Hàm số ôn thi đại học

www.VNMATH.com

TRUNG TAÂM GIA SÖ ÑÆNH CAO CHAÁT LÖÔÏNG

SÑT: 0978421673-TP HUEÁ

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 12
LUYỆN THI

TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

* Biện luận số nghiệm phương trình
* Phương trình tiếp tuyến
* Tương giao, tiếp xúc và họ đương cong
* Điểm đặc biệt, khoảng cách , tâm-trục đối xứn g

Hueá, thaùng 7/2012

TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ

MỤC LỤC
Vấn đề 1: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
Vấn đề 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
 Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M
 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc
 Dạng 3: Viết phương trình đi qua điểm A cho trước
 Dạng 4: Tìm những điểm trên đồ thị  C  : y  f ( x ) sao cho tại đó tiếp tuyến
của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước
 Dạng 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d hoặc trên (C) mà từ đó kẻ được
1,2,3... tiếp tuyến với đồ thị
 Dạng 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị
(C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
 Dạng 7: Lập tiếp tuyến chung của hai đồ thị
 Dạng 8: Sự tiếp xúc của đường cong
 Dạng 9: Một số dạng khác về tiếp tuyên
Một số bài toán chọn lọc về tiếp tuyến
Vấn đề 3: Vẽ đồ thị hàm số có dấu giá trị tuyệt đối
 Dạng 1: Từ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x ) vẽ đồ thị hàm số (C ') : y  f ( x )

U x 
(C) hãy vẽ đồ thị hàm số
xa
U x 
U x 
(C’) y 
hoặc y 
xa
xa

 Dạng 2: Từ đồ thị hàm số y 

 

 Dạng 3: Cho hàm số y  f  x  (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’) : y  f x

 Dạng 4: Cho hàm số y  f  x  (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’) y  f  x 
Vấn đề 4: Sự tương giao của đồ thị
Vấn đề 5: Điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số
 Dạng 1: Tìm điểm trên đồ thị (C) có tọa độ nguyên
 Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C):y=f(x) đối xứng qua đường thẳng
y=ax+b
Chuyên đề LTĐH

1

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


 Dạng 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C):y=f(x ) đối xứng qua điểm I(a;b)
Vấn đề 6: Họ đường cong
 Dạng 1: Tìm điểm cố định của họ đường cong
 Dạng 2:Tìm điểm họ đồ thị không đi qua
 Dạng 3: Tìm điêmt mà một số đồ thị của họ đồ thị đi qua
Vấn đề 7: Tâm đối xứng -Trục đối xứng
Vấn đề 8: Khoảng cách
 Dạng 1: Đối với hàm phân thức hữu tỉ
 Dạng 2: Cho đồ thị (C) có phương trình y=f(x). Tìm trên (C) điểm M thỏa
điều kiện K
 Dạng 3: Cho đường cong (C) và đường thẳng d : Ax+By+C=0 . Tìm điểm I
trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất .
 Dạng 4: Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) và đường thẳng d :
y=kx+m. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho :
 AB là hằng số a
 AB ngắn nhất .
Luyện tập

Chuyên đề LTĐH

2

Trần Đình Cư


Vấn đề 1: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình
F ( x, m)  0  f ( x )  m

Dạng 1:

(1)

Khi đó (1) có thể xem là phươn g trình hoành độ
giao điểm của hai đường:

(C ) : y  f ( x );

y

c.

yCĐ

d:ym

 d là đường thẳng cùng phương với trục
hoành.

m

A

c.

c.

(C)
(d)
c. : y = m

xA

c.

yCT

c.

x

 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2:
(2)

F ( x , m)  0  f ( x )  g(m)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặ t g( x )  k .
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Cho hàm số y 

1 3
x  x 2  3x  3
3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

1 3
x  x 2  3x  m  0
3

Hướng dẫn:
a) Bảng biến thiên

Chuyên đề LTĐH

Đồ thị:

3

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


b)

1 3
1
x  x 2  3x  m  0  x 3  x 2  3x  3  m  3
3
3

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
y  m  3


m  9 hoặc m 

 m=9 hoặc m 


5
: phương trình có 1 nghiệm
3

5
: phương trình có 2 nghiệm
3

5
 m  9 : phương trình có 3 nghiệm
3


x2
có đồ thị (C)
1 x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình m x  1  x  2
Hướng dẫn:
a) Bảng biến thiên và đồ thị:

b)

Chuyên đề LTĐH

4

Trần Đình Cư


Bài 3. Cho hàm số y = x4 – 4x2 + 3
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
2.Tìm a để phương trình : x 4  4 x 2  log 3 a  3  0 có 4 nghiệm thực phân
biệt .

Hướng dẫn:
Phương trình tương đương với x4 – 4x2 + 3 =  log 3 a
Theo đồ thị câu 1 bài toán yêu cầu tương đương
 log 3 a  1  1  log 3 a  1 

1   log 3 a < 3

1
a3
3

Bài 4. Cho hàm số y  x 4  5 x 2  4, có đồ thị (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm m để phương trình | x 4  5 x 2  4 | log 2 m có 6 nghiệm
phân biệt.
Hướng dẫn :

Chuyên đề LTĐH

5

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


log12 m 

9
9
 m  12 4  144 4 12
4

Bài 5. Cho hàm số: y  x 4  6 x 2  5
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
2. Tìm m để phương trình: x 4  6 x 2  log2 m  0 có 4 nghiệm phân biệt trong
đó 3 nghiệm lớn hơn – 1.
y

Hướng dẫn :
4

.5

2

Pt  x – 6x + 5 = 5 + log2m
Nhìn vào đồ thị ta thấy yêu cầu bài toán 

-1

1
0  5  log2 m  5 
 m 1
32

.

.

o

.1

x

.

4

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  1 có đồ thị (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Dựa vào đồ thị (C ), biện luận theo m số nghiệm thực của phương
trình x 4  2 x 2  m  0

(*)

Bài 2. Cho hàm số y   x 3  3 x 2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Dùng (C) tìm k để phương trình :  x 3  3 x 2  k 3  3k 2  0 có 3 nghiệm
phân biệt.
Bài 3. Cho hàm số y  x 3  mx  m  2 , với m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m =3.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của x 3  3 x  k  1  0
Bài 4 . Cho hàm số y  x 3  3 x 2  1
2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
sau: x 3  3 x 2  1 
Chuyên đề LTĐH

m
2
6

Trần Đình Cư


Bài 5 . Cho hàm số y   x 4  2 x 2  3 (C )
2. Tìm m để phương trình x 4  2 x 2  m  0 có 4 nghiệm phân biệt
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1 . Cho hàm số y  x 3  3 x  1 (C )
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
 x3  3x  m  0
 x 3  3 x  1  2m
Bài 2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y 
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

1 4
x  2x2  3
2

1 4
x  2x2  m  0
2

c) Tìm k để phương trình x 4  4 x 2  6  2 k có 6 nghiệm phân biệt
Bài 3.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y 

2x  4
x 3

b) Biện luận theo m số ng hiệm của phương trình
 2 x 2 m x 3  0
 x 2  m x 3
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận
theo m số nghiệm của phương trình:
a) y  x 3  3 x  1; x 3  3 x  1  m  0
b) y   x 3  3 x  1; x 3  3 x  m  1  0

Chuyên đề LTĐH

7

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


c) y  x 3  3 x  1; x 3  3 x  m 2  2m  2  0
d) y   x 3  3 x  1; x 3  3 x  m  4  0
e) y  

x4
 2 x 2  2; x 4  4 x 2  4  2m  0
2

f) y  x 4  2 x 2  2; x 4  2 x 2  m  2  0
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra
đồ thị (T). Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
1. (C ) : y  x 3  3 x 2  6;

(T ) : y  x 3  3 x 2  6 ; x 3  3 x 2  6  m  3  0
3

2. (C ) : y  2 x 3  9 x 2  12 x  4; (T ) : y  2 x  9 x 2  12 x  4;
3

2 x  9 x 2  12 x  m  0
3.

(C ) : y  ( x  1)2 (2  x ); (T ) : y  ( x  1)2 2  x ;( x  1)2 2  x  (m  1)2 (2  m)

Bài 6. Cho hàm số y  f ( x ) 

x2
.
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x  3y  0 .
c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của 3 x 2  (m  2) x  m  2  0
Bài 7. Cho hàm số y  f ( x ) 

x 1
.
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) c ủa hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x  2 y  0 .
c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của 2 x 2  (m  1) x  m  1  0

Chuyên đề LTĐH

8

Trần Đình Cư


Vấn đề 2 : Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
DẠNG 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM M(x0;y0)
Phương pháp: Viết phương trình tiếp tuyến 





của (C): y =f(x) tại điểm M 0 x0 ; y0 :

 Nếu cho x 0 thì tìm y0 = f(x0).
Nếu cho y 0 thì tìm x0 là nghiệm của
phương trình f(x) = y 0.



 Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0).
 Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0 = f (x0).(x – x0)
* Chú ý:





-

Điểm M 0 x0 ; y0 được gọi là tiếp điểm

-

x0 là hoành độ tiếp điểm và y0 là tung độ tiếp điểm

-

Điểm M  Ox thì tọa độ của M là M x;0 ; điểm M  Oy thì tọa độ của M là

 

M  0; y 
VÍ DỤ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  2
1. Tại điểm (2; 2)
2. Tại điểm có hoành độ x  1
3. Tại điểm có tung độ y  2
4. Tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng y  x  1 .

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C): y  3 x 3  x 2  7 x  1 tại A(0; 1)
c) (C): y 

b) (C): y  x 4  2 x 2  1 tại B(1; 0)

3x  4
tại C(1; –7)
2x  3

d)(C): y  x  1 

2
tại D(0; 3)
2x 1

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

Chuyên đề LTĐH

9

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


x 2  3x  3
a) (C): y 
tại điểm A có x A  4
x 2
b) (C): y 

3( x  2)
tại điểm B có yB  4
x 1

c) (C): y 

x 1
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
x 2

d) (C): y  x 3  3 x  1 tại điểm uốn của (C).
e) (C): y 

1 4
9
x  2 x 2  tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
4
4

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường
được chỉ ra:
a) (C): y  2 x 3  3 x 2  9 x  4 và d: y  7 x  4 .
b) (C): y  2 x 3  3 x 2  9 x  4 và (P): y   x 2  8 x  3 .
c) (C): y  2 x 3  3 x 2  9 x  4 và (C’): y  x 3  4 x 2  6 x  7 .
Bài 4. Cho hàm số y  2 x 3  3 x 2  12 x  1 có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị
(C) biết tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ .
Hướng dẫn:

M  x0 ; y0   (C ), Phöông trình tieáp tuyeán taïi M:





2
3
2
y= 6 x0  6 x0  12  x  x0   2 x0  3 x0  12 x0  1

Tieáp tuyeán ñi qua O(0;0) neân x0  1  y0  12
BTTT:

Tìm

m

để

tiếp

tuyến

của

đồ

thị

hàm

số

y  x 3   m  1 x 2   3m  1 x  m  2 tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua A  2; 1 .
Đáp số: m  2
Bài 6. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ
một tam giác có diện tích bằng S cho trước:
a) (C): y 

2x  m
1
tại điểm A có x A  2 và S = .
x 1
2

b) (C): y 

x  3m
9
tại điểm B có x B  1 và S = .
x2
2

Chuyên đề LTĐH

10

Trần Đình Cư


c) (C): y  x 3  1  m( x  1) tại điểm C có xC  0 và S = 8.
Hướng dẫn câu a)

x A  2  y A  4  m và f '(2)  2  m . Phương trình tiếp tuyến tại A  2;4  m  có
dạng  : y   2  m  x  2    4  m  .


22
 8  3m 
1
1 m  
Δ  Ox  A  3m  8;0  ; Δ  Oy  B  0;
9
 .Ta coù: SOAB  OA.OB   
2
2
 m2 
 m  3

Bài 7 . Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
điểm được chỉ ra: (C): y 

5 x  11
tại điểm A có x A  2 .
2x  3

2x  3
. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C)
x 2
tại M cắt các đường tiệm cận của ( C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường
tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện
tích nhỏ nhất.
Câu 8. Cho hàm số y 

Hướng dẫn:

 2x  3 
1
Ta có: M  x0 ; 0
 , x0  2 , y '( x0 ) 
2
x0  2 

 x0  2 
Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:  : y 

1

x

0

 2

( x  x0 ) 
2

2 x0  3
x0  2

 2x  2 
Toạ độ giao điểm A, B của    và hai tiệm cận là: A  2; 0
 ; B  2 x0  2;2 
 x0  2 
Ta thấy

x A  x B 2  2 x0  2
y  yB 2 x 0  3

 x0  x M , A

 yM . Suy ra M là trung
2
2
2
x0  2

điểm của AB.
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAB có diện tích
2



 2 x0  3
 
1
2
S =  IM   ( x0  2)  
 2      ( x0  2)2 
 2
2 
x0  2
( x0  2) 



 


2

Chuyên đề LTĐH

11

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


Dấu “=” xảy ra khi ( x0  2)2 

x  1
1
 0
2
( x0  2)
 x0  3


Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)

2x 1
. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm
x 1
I (1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn n hất .


Hướng dẫn:


3 
Nếu M  x0 ; 2 
  (C ) thì tiếp tuyến tại M có phương trình
x0  1 

y2

3
3

( x  x0 ) hay
x0  1 ( x0  1)2

3( x  x0 )  ( x0  1)2 ( y  2)  3( x0  1)  0

Khoảng cách từ I (1;2) tới tiếp tuyến là

d

3(1  x0 )  3( x0  1)
9   x0  1

4

Theo bất đẳng thức Côsi



6 x0  1
9  ( x0  1)

4



6
9
 ( x0  1)2
2
( x0  1)

.

9
 ( x0  1)2  2 9  6 , vây d  6 .
2
( x0  1)

Khoảng cách d lớn nhất bằng

6 khi

2
9
 ( x0  1)2   x0  1  3  x0  1  3 .
2
( x0  1)



Vậy có hai điểm M : M 1  3;2  3





hoặc M 1  3;2  3



x 1
. Gọi M  x0 ; y0  là một điểm bất kỳ thuộc (C). Tiếp
x 1
tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai
tiệm cận.

Chứng minh rằng
1. Chứng minh M là trung điểm của AB
2. Diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Chuyên đề LTĐH

12

Trần Đình Cư


3. Tích khoảng cách từ từ điểm M đến hai tiệm cận là không đổi
Hướng dẫn câu 2
Gọi M  x0 ; y0   (C )  y0 
PTTT tại M có dạng: y  

x0  1
( x  1) .
x0  1 0

x 1
2
()
( x  x0 )  0
2
x0  1
( x0  1)

Giao điểm của 2 tiệm cận: I(1;1) .
Ta có

 x 3
A = ()  TCĐ => A=  1; 0
 ; B = ()  TCN => B =  2 x0  1;1
x0  1 

IA =

4
; IB = 2 x0  1 .
x0  1

Do đó: SIAB =

1
.IA.IB = 4 (đvdt) không phụ thuộc vị trí M.
2


x
x 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
2. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bằng

2

Hướng dẫn:


x 
M  x0 ; 0   (C ) .
 x0  1 
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M có dạng  : y 

x0
1

 x  x0 
x0  1  x  12
0

Chuyển  về dạng phương trình tổng quát. Dùng công thức tính khoảng cach từ 1

x  0
điểm đến đường thẳng, g iải phương trình ta được  0
 x 0  2


Chuyên đề LTĐH

13

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


Baøi 12. Cho haøm soá y 

2x 1
(C )
x 1

1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá
2. Tìm treân ñoà thò (C) nhöõng ñieåm M sao cho tieáp tuyeán taïi M taïo vôùi hai
tieäm caän moät tam giaùc coù baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp baèng

2

Höôùng daãn:

 2x 1 
Goïi M  x0 ; 0
   C  . Phöông trình tieáp tuyeán taïi M caét hai ñöôøng tieäm caän
x0  1 

 2x 1 
laàn löôït taïi A  1; 0
 ; B  2 x0  1;2  . Ta thaáy tam giaùc taïo thaønh laø tam giaùc
 x0  1 
x  0
ABI vuoâng taïi I coù caïnh huyeàn laø AB  2 2   0
 x0  2

Baøi 13. Cho haøm soá y  x 4  2mx 2  m, m laø tham soá
1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m=1
2. Bieát A laø ñieåm thuoäc ñoà thò haøm soá coù hoaønh ñoä baèng 1. Tìm m ñeå khoaûng

3 
töø ñieåm B  ;1 ñeán tieáp tuyeán taïi A laø lôùn nhaát.
4 

Chuyên đề LTĐH

14

Trần Đình Cư


DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC
Phương pháp: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho
trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

 Gọi M(x 0; y0) là tiếp điểm. Tính f (x0).
  có hệ số góc k  f (x0) = k (1)
 Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của .
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

 Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m.
  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

 f ( x )  kx  m

 f '( x )  k

(*)

 Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của .
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau:

+  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan
+  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
Chuyên đề LTĐH

15

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com

+  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k = 
+  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc  thì

1
a

ka
 tan 
1  ka

BÀI TẬP MẪU:

 3m  1 x  m

2

m

, m  0 . Định m để tiếp tuyến trên (C m) tại
xm
giao điểm với trục hoành song song với đường thẳng y=x
Bài 1. Cho (Cm ) : y 

Hướng dẫn:
Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành x0 

y' 


m2  m
1 
, m   0;  ;1
3m  1
3 


x  m
, y '  1   0
 x0  3m

 x  m
4m 2

2


m2  m
 m  1
m

3m  1  

.........
m   1
m2  m


5

 3m  3m  1


Bài 2. (Đại học A2011). Cho hàm số y 

x 1
2x 1

Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y  x  m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt A và B. Gọi k1  k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A
và B. Tìm m để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : y  x  m

x 1
1
 x  m, x   2 x 2  2mx   m  1  0
2x 1
2
Phương trình (1) có   m 2  2m  2  (m  1) 2  1  0, m  
 Phương trì nh (1) luôn có 2 nghiệm nên d luôn cắt (C) tại hai điểm A, B.
Chuyên đề LTĐH

16

Trần Đình Cư


Hoành độ tiếp điểm tại A, B là x1; x2 là nghiệm của phương trình (1)
 x1  x2   m và x1 .x2  
Ta có: k1  k2  

m 1
2

2
4( x 2  x2 )  4( x1  x2 )  2
1
1

 1
 4( m  1) 2  2
2
2
2
(2 x1  1) (2 x2  1)
 4 x1 x2  2( x1  x2 )  1

k1  k2 đạt giá trị lớn nhất bằng 2  m  1

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  có hệ số góc k được chỉ ra:
a) (C): y  2 x 3  3 x 2  5 ; k = 12
c) (C): y 

b) (C): y 

2x  1
; k = –3
x 2

x 2  3x  4
; k = –1
x 1

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với đường thẳng d
cho trước:

2x 1
3
; d: y   x  2
x 2
4

a) (C): y 

x3
 2 x 2  3x  1 ; d : y  3x  2
3

c) (C): y 

1
3
x2  2x  3
; d: 2 x  y  5  0 d) (C): y  x 4  3 x 2  ; d : y  4 x  1
2
2
4x  6

b) (C): y 

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  vuông góc với đường thẳng d
cho trước:
a) (C): y 

x
2x 1
x3
; d: y  x
 2 x 2  3 x  1 ; d: y    2 b) (C): y 
8
x 2
3

c) (C): y 

x2  3
; d: y = –3x
x 1

d) (C): y 

x2  x  1
; d : y  2 x
x2

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với chiều dương trục Ox
góc :
a) (C): y 

x3
 2 x 2  x  4;   60 0
3

Chuyên đề LTĐH

b)(C): y 

17

x3
 2 x 2  x  4;   750
3

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


c) (C ) : y 

3x  2
;   450
x 1

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với đường thẳng d một góc
:
a) (C): y 

x3
 2 x 2  x  4; d : y  3 x  7;   450
3

b) (C): y 

x3
1
 2 x 2  x  4; d : y   x  3;   450
3
2

c) (C ) : y 

4x  3
; d : y  3 x;   450
x 1

d) (C ) : y 

3x  7
; d : y   x;   60 0
2 x  5

x2  x  3
e) (C ) : y 
; d : y   x  1;   60 0
x 2
x
, biết tiếp tuyến đó
x 1
cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB
cân tại O.
Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

Hướng dẫn: Vì tam giác OAB cân tại O nên đường thẳng AB phải song song với
một trong hai đường thẳng có phương trình y  x hoặc y   x
Ta có: y ' 

1

 x  1

2

 0, x  1. Gọi M 0  x0 ; y0  là tiếp điểm của đồ thị hàm số

Do đó:

 x  2
y '  x0   1   0
 x0  0


 Vôùi x0  0  y0  0.Phöông trình tieáp tuyeán: y  x  loaïi vì A  B
 Vôùi x0  2  y0  2.Phöông trình tieáp tuyeán: y  x  4  thoõa 

1 3
1
x  2 x 2   m  4  x   m , m là tham số
3
3

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
Chuyên đề LTĐH

18

Trần Đình Cư


2. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của hàm số đi qua A  3; 1
Hướng dẫn:
2
f '( x0 )  x0  4 x0  4  m   x0  2   m  m. Min f '( x 0 )  m ñaït ñöôïc khi x 0  2
2

Vôùi x0  2  y0  m  3.
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M (2; m  3) , sau đó thay tọa độ điểm A vào ta
tìm được m  2 .

Chuyên đề LTĐH

19

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


DẠNG 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM
Phương pháp: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm

A( x A ; y A ) .

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

 Gọi M(x 0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y 0 = f(x0), y0 = f (x0).
 Phương trìn h tiếp tuyến  tại M: y – y0 = f (x0).(x – x0)
  đi qua A( x A ; y A ) nên: yA – y0 = f (x0).(xA – x0)

(2)

 Giải phương trình (2), tìm được x 0. Từ đó viết phương trình của .
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

 Phương trình đường thẳ ng  đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k:
y – yA = k(x – xA)

  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

 f ( x)  k( x  x A )  yA


 f '( x )  k


(*)

 Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến .

BÀI TẬP MẪU:

x2
 C.
x2

Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến đi qua điểm A  6;5  .
Hướng dẫn:
Phương trình đường thẳng đi qua A  6;5  là  d  : y  k  x  6   5 .
Chuyên đề LTĐH

20

Trần Đình Cư


(d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

4
x2

x2

k  x  6  5 
 x  2 2   x  6   5  x  2


x2

 


4
4
k  
k  
2
2


 x  2
 x  2


4  x  6   5  x  2 2   x  2  x  2 
4x 2  24x  0
 x  0; k  1





4
4
k
 x  6; k   1
k
2
2


4
 x  2

 x  2


Suy ra có 2 tiếp tuyến là :  d1  : y   x  1;  d 2  : y  

x 7

4 2

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  đi qua điểm được chỉ ra:
a) (C): y   x 3  3 x  2 ; A(2; –4)

b) (C): y  x 3  3 x  1 ; B(1; –6)

c) (C): y   2  x 2  ; C(0; 4)

d)(C): y 

 3
1 4
3
x  3 x 2  ; D  0; 
2
2
 2

3x  4
; F(2; 3)
x 1

2

e) (C): y 

x2
; E(–6; 5)
x 2

f) (C): y 

g) (C): y 

x 2  3x  3
; G(1; 0)
x 2

h) y 

Chuyên đề LTĐH

21

x2  x  2
; H(2; 2)
x 1

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


DẠNG 4: TÌM NHỮNG ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ

C  : y  f ( x ) SAO CHO

TẠI ĐÓ TIẾP TUYẾN CỦA (C) SONG SONG HOẶC V UÔNG GÓC
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG d CHO TRƯỚC

PHƯƠNG PHÁP:

 Gọi M(x0; y0)  (C).  là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f (x0).
 Vì

 // d

f (x0) = kd

d

hoặc

nên
nên

f (x0) = 

1
kd

(1)
(2)

 Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0. Từ đó tìm được M(x 0; y0)  (C).
Bài 1. Cho (Cm ) : y 

 m  1 x  m . Định m để tiếp tuyến trên (C

xm
x0=4 thì song song với đường phân giác thứ hai của gốc hệ tọa độ.

m)

có hoành độ

Hướng dẫn:

f '( x ) 

m2

 x  m

2

, f '( x )  1  m  2


1 3
2
x  x  có đồ thị (C). Tìm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó
3
3

1
2
của đồ thị vuông gốc với đường thẳng y   x 
3
3
Bài 3. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
d cho trước:
a) (C): y 

1
x 2  3x  6
; d: y  x
3
x 1

b) (C): y 

x2  x  1
; d là tiệm cận xiên của (C)
x 1

c) (C): y 

x2  x  1
; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của
x 1

Chuyên đề LTĐH

22

Trần Đình Cư


(C).

x2  x  1
d) (C): y 
; d: y = x
x
Bài 4. Tìm các điểm trên đ ồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng
d cho trước:
a) (C): y  x 3  x 2  x  10 ; d: y  2 x

b) (C): y 

x2  x  1
; d: y = –x
x

Bài 5. Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường
thẳng d cho trước:
a) (C): y 

(3m  1) x  m 2  m
(m  0) tại điểm A có y A = 0 và d: y  x  10 .
xm

Bài 6. Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường
thẳng d cho trước:

x 2  (2m  1) x  2  m
a) (C): y 
tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C).
x 1
2 x 2  mx  1
b) (C): y 
; tại điểm B có x B = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 .
x 3

Chuyên đề LTĐH

23

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


DẠNG 5: TÌM NHỮNG ĐIÊM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG d HOẶC TRÊN
(C) MÀ TỪ ĐÓ KẺ ĐƯỢC 1,2,3,… TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ
(C):y=f(x)
PHƯƠNG PHÁP:
Giả sử d: ax + by +c = 0. M(x M; yM)  d.

 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

 f ( x )  k ( x  x M )  yM

 f '( x )  k


(1)
(2)

 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM

(3)

 Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2 có đồ thị (C)
1. Qua A(1;0) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C). Hãy viết phương trình tiếp
tuyến ấy.
2. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp
tuyến qua A của (C) nói trên
Hướng dẫn:

1) Goïi d laø ñöôøng thaúng ñi qua A(1;0)  d:y  k  x  1 . d laø tieáp tuyeán cuûa (C)
 x 3  3 x 2  2  k  x  1  x  1



. Vaäy coù 1 tieáp tuyeán
2
k  3
3 x  6  k


2) Goïi  laø tieáp tuyeán khaùc cuûa (C) song song vôùi tieáp tuyeán taïi A
  : y  x  b.Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä phöông trình
 x 3  3 x 2  2  3 x 2  b  x  1

 2

  : y  3 x  3
3 x  6  3
b  3

  d vaäy khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc song song vôùi tieáp tuyeán taïi A

x 1
có đồ thị (C). Tìm những điểm trên trục tung mà từ
x 1
mỗi điểm ấy chỉ có thể kẻ đúng một tiếp tuyến với (C)

Chuyên đề LTĐH

24

Trần Đình Cư


Hướng dẫn:

A  0; a   d : x  0(truc tung). Phöông trình tieáp tuyeán keû töø A
y  kx  a. Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä phöông trìn:
 x 1
 x  1  kx  a

  a  1 x 2  2  a  1 x  a  1  0(*)

2
k 
2

 x  1

Qua A keû ñöôïc 1 tieáp tuyeán  (*) coù1 nghieäm
1
 a  1  x   A  0;1
2
a  1

 a  1  A  a; 1
  0
Bài 3. Cho hàm số y  mx 3   m  1 x 2   m  2  x  m  1 có đồ thị (C m).
a) Tìm m để (C m) đạt cực đại tại x=-1
b) Khi m=-1, tìm trên đường thẳng y=2 những điểm từ đó kẻ 3 tiếp tuyến đến
(C)
Hướng dẫn:

(C ) : y  x 3  3 x; A  a;2   d : y  2. Phöông trình tieáp tuyeán keû töø A

y  k  x  a   2. Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä phöông trìn:

 x 3  3x  k  x  a   2
 x  1

Ta có: 

2
2
 g( x )  2 x   3a  2  x  3a  2  0
k  3 x  3


Qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán  g(x)=0 coù hai nghieäm phaân bieät khaùc 1
a  1


2
a    a  2
3

Bài 1. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng d có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến
với (C):
a) (C ) : y  x 3  6 x 2  9 x  1 ; d: x = 2

Chuyên đề LTĐH

b) (C ) : y  x 3  3 x ; d: x = 2

25

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


Bài 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a) (C ) : y   x 3  3 x 2  2

b) (C ) : y  x 3  3 x  1

Bài 3. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với
(C):
a) (C ) : y 

x 1
; d là trục tung
x 1

x2  x  2
; d là
x 1

b) (C ) : y 

trục hoành

2x2  x
c) (C ) : y 
; d: y = 1
x 1
e) (C ) : y 

x 2  3x  3
d) (C ) : y 
; d: x = 1
x2

x3
; d: y = 2x + 1
x 1

Bài 4. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến
với (C):
a) (C ) : y 

x2  6x  9
; d là trục tung
x  2

b) (C ) : y 

x 2  3x  3
; d là trục tung
x 1

c) (C ) : y 

2x  1
; d: x = 3
x 2

d) (C ) : y 

3x  4
; d: y = 2
4x  3

Bài 5. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với (C):
a) (C ) : y 

x2  x  2
; d là trục hoành
x2

b) (C ) : y 

x2  x  1
; d là
x 1

trục tung
c) (C ) : y 

x 2  3x  3
; d: y = –5
x2

Bài 6. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C):
a) (C ) : y   x 3  3 x 2  2 ; d: y = 2

b) (C ) : y  x 3  3 x ; d: x = 2

c) (C ) : y   x 3  3 x  2 ; d là trục hoành

d) (C ) : y  x 3  12 x  12 ; d: y = –4

e) (C ) : y  x 4  x 2  2 ; d là trục tung

e) (C ) : y   x 4  2 x 2  1 ; d là trục

tung

Chuyên đề LTĐH

26

Trần Đình Cư


Bài 7. Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):
a) (C ) : y  x 3  9 x 2  17 x  2 ; A(–2; 5)
b) (C ) : y 

 4 4
1 3
x  2 x 2  3 x  4; A  ; 
3
 9 3

c) (C ) : y  2 x 3  3 x 2  5; A(1; 4)
Bài 8. Cho đồ thị hàm số  C  : y  x 3  3 x 2  4 . Tìm tập hợp các điểm trên trục
hoành sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
Bài 9. Cho đt hàm số  C  : y  x 4  2 x 2  1 . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho
từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).
Bài 10. Đồ thị hàm số  C  : y  x 3  3 x  2 . Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4
sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với ( C).

Chuyên đề LTĐH

27

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


DANG 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị
(C): y = f(x) và 2 tiếp tuy ến đó vuông góc với nhau
Phương Pháp:
Gọi M(x M; yM).

 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
 f ( x )  k ( x  x M )  yM


 f '( x )  k


(1)
(2)

 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM

(3)

 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1, x2.
 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f (x1).f (x2) = –1
Từ đó tìm được M.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với

(3) coù 2 nghieäm phaân bieät

trục hoành thì 
 f ( x1 ). f ( x2 )  0

BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1
tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông
góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là:
x3 + mx2 + 1 = – x + 1  x(x2 + mx + 1) = 0

(*)

Đặt g(x) = x2 + mx + 1 . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt  g(x) = 0 có hai nghiệm
phân biệt khác 0.

g  m 2  4  0
m  2

.


 m  2
g  0   1  0


Chuyên đề LTĐH

28

Trần Đình Cư


S  xB  xC   m

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0  
.
 P  xB xC  1

Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: f   xC  f   x B   1

 x B xC  3 x B  2m  3 xC  2m   1  x B xC 9 x B xC  6m  x B  xC   4m2   1


 1  9  6m  m   4m 2   1  2m 2  10  m   5 (nhận so với điều kiện)


x2  1
. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó
x
có thể kẻ đến ( C) hai tiếp tuyến vuông góc.
Lời giải:
Gọi M(x0;y0). Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x0) + y0.
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) và d:

x2  1
 k  x  x0   y0 ,  kx  0 
x

 1  k  x 2   y0  kx0  x  1  0 *
d tiếp xúc với (C)

k  1
k  1
 2

2

  x 0 k 2  2  2  x 0 y0  k  y0  4  0  I 
2
   y0  kx0   4 1  k   0


 y0  kx0
Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân

x  0
 0
 x0  0
 y2  4
k1 , k2  1
 2
 0

2
biệt thỏa mãn: 
  2  1   x 0  y 0  4 .
x0
k1k2  1


y  x

0
2
 0

 y0  x0   0

Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn: x 2  y 2  4
loại bỏ bốn giao điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận.

x2
(C). Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2
x 1
tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục
hoành.
Bài 3. Cho hàm số: y 

Chuyên đề LTĐH

29

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


Hướng dẫn:
Phương trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y  kx  a (1)

x 2
(2)
 x  1  kx  a

Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A: 
có nghiệm x  1
3

k
(3)
 ( x  1)2

Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được: (a  1) x 2  2(a  2) x  a  2  0

(4)

a  1
a  1

Để (4) có 2 nghiệm x  1 là:  f (1)  3  0  
a  2
Δ '  3a  6  0

Hoành độ tiếp điểm x1; x2 là nghiệm của (4)
Tung độ tiếp điểm là y1 

x1  2
x 2
, y2  2
x1  1
x2  1

Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là: y1 .y2  0 

( x1  2)( x2  2)
0
( x1  1)( x2  2)

x1 x2  2( x1  x2 )  4
2
9a  6
2
0
 0  a   . Vậy   a  1 thoả
3
3
x1 x2  ( x1  x2 )  1
3
Baøi 1. Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai t iếp tuyến với (C) vuông góc

với nhau. Viết phương trình các tiếp tuyến đó:


1
a) (C ) : y  2 x 2  3 x  1; A  0;  
4


b) (C ) : y 

x2  x  1
; A(1; 1)
x 1

x2  2x  2
; A(1;0)
c) (C ) : y 
x 1
Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với

(C) vuông góc với nhau:
a) (C ) : y  x 3  3 x 2  2 ; d: y = –2

b)

(C ) : y  x 3  3 x 2 ; d là trục

hoành

Chuyên đề LTĐH

30

Trần Đình Cư


2x2  x  1
c) (C ) : y 
; d là trục tung
x 1
tung
e) (C ) : y 

x2  2x  1
d) (C ) : y 
; d là trục
x 1

x 2  3x  2
; d: x = 1
x

Baøi 3. Tìm m để d cắt (C) t ại hai điểm phân biệt mà tại đó hai tiếp tuyến với (C)

vuông góc với nhau:

x 2  mx  8
b) (C ) : y 
; d là trục
xm

x2  x  m
a) (C ) : y 
; d: y = –1
2x  m
hoành
c) (C ) : y 

x 2  2mx  m
; d là trục hoành
xm

Baøi 4. Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến v ới (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về

hai phía với trục hoành (C ) : y 

x2
; A(0; m)
x 1

Bài 5. Cho hàm số (C ) : y  x 3  3 x 2  4
1. Khảo sát hàm số.
2. Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2 ; 0) có hệ số góc k .Tìm k để (d) cắt (C)
tại ba điểm phân biệt A ; M ; N sao cho hai tiếp tuyến của (C ) tại M và N
vuông góc với nhau.
Hướng dẫn:
Phương trình đường thẳng d : y  k  x  2 
Hoành độ A;M;N là nghiệm của phương trình :

 x  2  xA
x 3  3 x 2  4  k  x  2    x  2 x 2  x  2  k  0  
2
 f (x)  x  x  2  k  0






Phương trình 3nghiệm phân biệt  f ( x )  0 có 2nghiệm phân biệt khác 2
 xM  xN  1
  0
9

   k  0 .Theo Viét ta có 
4
 f (2)  0
 xM xN  k  2

Tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau  y '  x M  .y '  x N   1
Chuyên đề LTĐH

31

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com

2
2
 (3 xM  6 xM )(3 xN  6 xN )  1  9k 2  18k  1  0  k 

3  2 2
3

Bài 6. Cho hàm số y  x 3  3 x 2 có đồ thị (C). Tìm những điểm trên trục hoành mà
từ đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến của đồ thị (C), trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc
với nhau.
Hướng dẫn:

M  m;0   Ox. Ñöôøng thaúng d qua M:y=k  x  m  .

 x 3  3x 2  k  x  m 

d laø tieáp tuyeán  heä sau coù nghieäm 
2
3 x  6 x  k

x  0
 2
2 x  3 1  m  x  6m  0(*)

 m  3
Qua M keû ñöôïc ba tieáp tuyeán   1
.
  m  0
 3


2
 x1  x2   m  1
Phöông trình (*) coù hai nghieäm vaø 
3
 x x  3m
 1 2
2
Qua M keû ñöôïc ba tieáp tuyeán cuûa (C) thì k1  3 x12  6 x1 , k2  3 x2  6 x2 , k3  0

Theo ñeà: k1 .k2  1  m 

Chuyên đề LTĐH

1
(thoûa).
27

32

Trần Đình Cư


DẠNG 7: LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CHUNG CỦA HAI ĐỒ
THỊ
C1  : y  f ( x ) vaø  C2  : y  g( x )

PHƯƠNG PHÁP:
1. Gọi : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C 1) và (C2).
u là hoành độ tiếp điểm của  và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của  và (C2).

  tiếp xúc với (C 1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
 f (u)  au  b

 f '(u)  a

 g(v)  av  b
 g '(v)  a


(1)
(2)
(3)
(4)

 Từ (2) và (4)  f (u) = g (v)  u = h(v) (5)
 Thế a từ (2) vào (1)  b = (u)

(6)

 Thế (2), (5), (6) vào (3)  v  a  u  b. Từ đó viết phương trình của .
2. Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 0 thì một tiếp tuyến chung
của (C 1) và (C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.
BÀI TẬP MẪU:
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parabol

( P1 ) : y 

1 2
x  1;
2

1
( P2 ) : y   x 2  2 x  1
2

Hướng dẫn:

BÀI TẬP ÁP DỤNG: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị:
a) (C1 ) : y  x 2  5 x  6; (C2 ) : y   x 2  5 x  11
b) (C1 ) : y  x 2  5 x  6; (C2 ) : y   x 2  x  14
c) (C1 ) : y  x 2  5 x  6; (C2 ) : y  x 3  3 x  10

Chuyên đề LTĐH

33

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


DẠNG 8: SỰ TIẾP XÚC HAI ĐỒ THỊ
PHƯƠNG PHÁP:
Cho hai hàm số (C ) : y  f ( x ) ;

(C ') : y  g( x )

Để (C) và (C’) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

 f ( x )  g( x )

 f '( x )  g '( x )
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng  : y  kx  b  k  0  tiếp xúc với đồ thị hàm số

 f ( x )  kx  b
(C ) : y  f ( x ) là 
 f '( x )  k
BÀI TẬP MẪU:

1
Bài 1. Tìm m để đồ thị các hàm số y  mx 2 , y   x 2  2 x  1 tiếp xúc với nhau.
2
Hướng dẫn:

 2 1 2
mx  x  2 x  1 (1)
Đồ thị hai hàm số tiếp xúc với nhau khi hệ sau có nghiệm 
.
2
2mx   x  2
(2)

Nhận xét rằng:
 Giá trị x tìm được chính là hoành độ tiếp điểm
 Giá trị m tìm được chính là giá trị tham số để hai đồ thị tiếp xúc
Từ (2) ta suy ra rằng: x 

2 
1
 m    thay vào (1) ta được m  2
2m  1 
2

Chú ý rằng: Nếu tiếp tục giải tìm x ta tìm được hoành độ tiếp điểm, nhưng bài toán
không đòi hỏi điều đó.
Bài 2. Tìm m để đồ thị hàm số y 

x3
 m  x  1 tiếp xúc với trục hoành.
3

Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành :y=0 khi hệ phương trình sau có nghiệm
Chuyên đề LTĐH

34

Trần Đình Cư


 x3
  m  x  1  0
3
x2  m  0


(1)
(2)

Từ (2) ta được: x   m ,  m  0 
 Vơi x  m thay vào (1) ta được m  0
 Vơi x   m thay vào (1) ta được m  0 hoặc m 

9
4

Bài 1. Tìm m để đồ thị hàm số

 2m  1 x  m
y

2

x 1

tiếp xúc với đường thẳng y  x

Bài 2. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  x  3m  Cm  . Định m để  Cm  tiếp xúc với trục
hoành.
Bài 3. Cho hàm số y  x 4  x 3   m  1 x 2  x  m Cm  . Định m để  Cm  tiếp xúc
với trục hoành.
Bài 4. Xác định a để (C ) : y   x  1  x  1 tiếp xúc với (P ) : y  ax 2  3
2

2

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi m, (Cm ) : y 

 m  2 x   m

2

 2m  4

xm

 luôn tiếp

xúc với đường thẳng  : y  x  6
Bài 6. Cho hàm số y = x 4 – 2(2m2 – 1)x2 + m

(1)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2/ Tìm m để đồ thị c ủa hàm số (1) tiếp xúc với trục hòanh.

Chuyên đề LTĐH

35

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


DẠNG 9 : MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ TIẾP TUYẾN
Baøi 1. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm

cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.
2) Chứng minh diện tích của IAB là một hằng số.
3) Tìm điểm M để chu vi IAB là nhỏ nhất.
a) ( H ) : y 

2x 1
x 1

b) ( H ) : y 

x 1
x 1

c) ( H ) : y 

4x  5
2 x  3

Baøi 2. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm

cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.
2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không
đổi.
2) Chứng minh diện tích của IAB là một hằng số.
3) Tìm điểm M để chu vi IAB là nhỏ nhất.
a) ( H ) : y 

x 2  3x  4
2x  2

c) ( H ) : y 

x2  2x  2
x 1

b) ( H ) : y 

x 2  3x  3
x 1

Baøi 3. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm

cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng S:
a) ( H ) : y 

2mx  3
;S 8
xm

Baøi 4. Tìm điểm M thuộc hypebol (H) tại đó tiếp tuyến cắt các trục toạ độ tại các

điểm A, B sao cho OAB vuông cân:
a) ( H ) : y 

Chuyên đề LTĐH

x2  x  1
x 1

b) ( H ) : y 

2 x 2  5x
x2

36

Trần Đình Cư


x 2  3x  3
c) ( H ) : y 
x2

2x2  x  1
Baøi 5. Cho (C): y 
. Chứng minh rằng trên đường thẳng d: y = 7 có 4
x 1
điểm sao cho từ mỗi điểm có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc
450.
Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tạo với các trục toạ độ một

tam giác có diện tích S cho trước:

1
a) (C ) : y  x  ; S  4
x

Chuyên đề LTĐH

b) (C ) : y 

37

x3  1
1
;S
x
2

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ TIẾP TUYẾN
Bài 1. Cho hàm số (C ) : y 

2x 1
. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến
x 1

tại M tạo với hai tiệm cận của đồ thị (C) một tam giác có bán kính đường tròn ngoại
tiếp bằng

2.

Hướng dẫn:


2x 1 

Bước 1: M  x0 ; 0  . Tiệm cận ngang y  2; tiệm cận đứng x  1

x0  1 


Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng : Δ : y  

1

x

0

 1

2

x  x 
0

2 x0  1
x0  1



2 x0 
 ; B  2 x0  1;2 

 x0  1 

Bước 3: Tiếp tuyến cắt các tiệm cân lần lượt tại A  1;


 x0  0

Bước 4: Từ giả thiết ta suy ra được AB  2 2  

 x0  2


Bài 2. Cho hàm số (C ) : y  x 4  2mx 2  m . Biết A là điểm thuộc đồ thị hàm số (C) có
3 

hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ điểm B  ;1 đến tiếp tuyến của đồ thị
4 
hàm số tại A đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Bước 1: A 1;1  m  . Phương trình tiếp tuyến tại A có dạng:

 4  4m  x  y  3 1  m   0
Bước 2: Khoảng cách từ B đến tiếp tuyến là d 

1
16 1  m   1
2

 1. Dấu “=” xảy ra

khi m=1. Lúc đó d  1
1
3

1
3

Bài 3. Cho hàm số y  x 3  2 x 2   m  4  x   m . Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có
hệ số góc nhỏ nhất đi qua A  3; 1
Hướng dẫn:

Chuyên đề LTĐH

38

Trần Đình Cư


Bước 1: Ta có k   x0  2   m  m . kmin  m  x0  2  M  2; m  3
2

Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại M, sau đó thay tọa độ điểm A vào ta được
m  2

Chuyên đề LTĐH

39

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


Chuyên đề LTĐH

40

Trần Đình Cư


Chuyên đề LTĐH

41

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


Vấn đề 3: Vẽ đồ thị hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
DẠNG 1: Cho hàm số y  f  x  (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’) y  f  x 
Phương pháp:

 f x neáu f ( x )  0
  
Ta có: y  f  x   
 f  x  neáu f ( x )  0


C  
C  
1

2

Suy ra: Đồ thị C  gồm 2 phần:

 C   là phần đồ thị của (C) ứng với y  0 ( phía trên trục hoành)
 1
 
 C   là phần đồ thị lấy đối xứng phần y  0 của đồ thị (C) qua trục Ox.
 2 
 
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y  x 3  3 x 2  4
b) Vẽ đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  4
Hướng dẫn:

Chuyên đề LTĐH

42

Trần Đình Cư


b)

Ta có:

 x3  3x 2  4

y  x  3x  4  
3
2
 x  3 x  4

3

2





neáu x 3  3 x 2  4  0
neáu x 3  3 x 2  4  0

Đồ thị hàm số bao gồm:
 Giữ lại đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  4 phía trên trục Ox
 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị nằm phía dưới Ox

Bài 2.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y 
b) Vẽ đồ thị hàm số y 

2x  1
x2

2x  1
x2

Hướng dẫn:

Chuyên đề LTĐH

43

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


b) Ta có:

2x 1
2x 1  x  2

y

x  2  2x 1

 x2


2x 1
0
x2
2x 1
neáu
0
x2

neáu

Đồ thị hàm số:
 Giữ lại đồ thị hàm số y 

2x 1
phía trên trục Ox
x2

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị nằm phía dưới Ox
Bài 3. (ĐHB-2009). Cho hàm số y  2 x 4  4 x 2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Với các giá trị nào của m, phương trình x 2 x 2  2  m có 6 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn:

x 2 x 2  2  m  2 x 2 x 2  2  2m  2 x 4  4 x 2  2m

Chuyên đề LTĐH

44

Trần Đình Cư


4

3

2

1

8

6

4

2

2

4

6

8

1

2

3

4

Chuyên đề LTĐH

45

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


U x 
(C) hãy vẽ đồ thị hàm số
xa
U x 
U x 
(C’) y 
hoặc y 
xa
xa

DẠNG 2: Cho hàm số y 

PHƯƠNG PHÁP:
Ta có:

U x 

nếu x  a  C 1 
 
U x   x  a
 

y

x  a  U x 

ếu x  a  C2 
 
 x  a n
 


 C   là phần đồ thị của (C) ứng với x  a
 1
 
 C   là phần đồ thị lấy đối xứng phần x  a của đồ thị (C) qua trục Ox.
 2 
 
Hàm số y 

U x 
tương tự.
xa

BÀI TẬP MẪU:
Bài 1.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y 
b) Vẽ đồ thị hàm số y 

c) Vẽ đồ thị hàm số y 

2x 1
x2

2x 1
x2
2x 1
x2

Hướng dẫn:
a) Xem bài 2a) dạng 1

Chuyên đề LTĐH

46

Trần Đình Cư


b) Ta có:

2x  1
2x  1  x  2

y

x  2  2x  1

 x2


khi x  2
khi x  2

 Giữ lại phần đồ thị y=f(x) ứng với hoành độ x>-2
 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị y=f(x) ứng với
hoành độ x<-2
c) Ta có:

2x  1


y
 x2
x  2  2x  1

 x2

2x  1

1
2
1
khi x   x  2 
2
khi x 

Giữ lại phần đồ thị y=f(x) ứng với hoành độ x 

Chuyên đề LTĐH

47

1
2

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị y=f(x) ứng với hoành độ x 

Chuyên đề LTĐH

48

1
2

Trần Đình Cư


 

DẠNG 3: Cho hàm số y  f  x  (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’) : y  f x

PHƯƠNG PHÁP:

 

   hàm số y  f  x  là hàm số chẵn

Nhận xét: f  x  f x
Ta có:

 f ( x )  y neáu x  0 (1)
(C ') : y  f x  
neáu x  0
 f (- x )

 

Do đó đồ thị  C '  gồm 2 phần:
Phần 1: là phần đồ thị của (C):y=f(x) nằm phía bên phải Oy ( x  0 ) (do 1)
Phần 2: là phần đồ thị lấy đối xứng phần 1 qua trục Oy vì hàm số chẵn
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y  x 3  3 x 2  4
3

b) Vẽ đồ thị hàm số y  x  3 x 2  4
Hướng dẫn:

b) Ta có:

Chuyên đề LTĐH

49

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


Do đó đồ thị  C '  gồm 2 phần:
 Phần 1: là phần đồ thị của (C):y=f(x) nằm phía bên phải Oy ( x  0 ) (do 1)
 Phần 2: là phần đồ thị lấy đối xứng phần 1 qua trục Oy vì hàm số chẵn

Bài tập 2: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3  3 x 2  m
Hướng dẫn:
2

2

Đồ thị hàm số y  x  3 x  2
10

8

6

4

2

20

15

10

5

5

10

15

2

4

6

8

10

Chuyên đề LTĐH

50

Trần Đình Cư

20


DẠNG 4: Cho hàm số y  f  x  (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’) y  f  x 

PHƯƠNG PHÁP:

Nhận xét:

Neáu M  x0 ; y0   (C )  M  x0 ;  y0   (C ') neân (C ') nhaän truïc Ox laøm truïc ñoái xöùng

 f  x  0

Ta có: y  f  x   
y   f  x 


 C   là phần đồ thị của (C) ứng với y  0
 1
 
 C   là phần đồ thị lấy đối xứng phần  C   qua trục Ox.
 2 
 1
 
 
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sau: y 
b) Vẽ đồ thị hàm số : y 

x 1
x 1

x 1
x 1

Hướng dẫn:
a) Đồ thị hàm số y 

Chuyên đề LTĐH

x 1
x 1

51

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


b) Đồ thị hàm số : y 

x 1
bao gồm:
x 1

 Là phần đồ thị (C):y=f(x) phía trên Ox
 Lấy đối xứng phần đồ thị 1 qua Ox

Chuyên đề LTĐH

52

Trần Đình Cư


Vấn đề 4: Sự tương giao của đồ thị
PHƯƠNG PHÁP:
Xét sự tương giao của hai đồ thị C  : y  f  x  và C  : y  g  x 

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị f  x   g  x  1
 Số điểm chung của C  và C  bằng số nghiệm của 1
 Nếu phương trình 1 vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung
 Nếu phươ ng trình 1 có nghiệm kép thì hai đồ thị tiếp xúc nhau
 Nếu phương trình 1 có bao nhiêu nghiệm thì hai đồ thị có bấy nhiêu
điểm chung
 Chú ý:
Hàm bậc ba: y  ax 3  bx 2  cx  d ( a  0)

1

Phương pháp đại số :  Nếu 1 có 1 nghiệm là  thì:

x  

1  x   Ax 2  Bx  C   0  

2
 Ax  Bx  C  0 2 

 Phương trình 1 có 1 nghiệm  phương trình 2 có 1 nghiệm kép x  
hoặc (2) vô nghiệm
 Phương trình 1 có 2 nghiệm  phương trình 2 có 1 nghiệm kép x  
hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x  
 Phương trình 1 có 3 nghiệm  phương trình 2  có 2 nghiệm phân biệt
khác 
Chuyên đề LTĐH

53

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


Phương pháp hàm số:  Nếu không nhẩm được nghiệm

 Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm  (C) và Ox có 1 điểm chung
 f khoâng coù cöïc trò

(h.1a)


  yCÑ .yCT  0


(h.1b)

   f coù 2 cöïc trò

y

y

(C)

(C)
yCĐ
A

x0

O

(h.1a)

A
x0

x

yCT
x1 o

x2

(h.1b)

x

 Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm
 f coù 2 cöïc trò

 (C) tiếp xúc với Ox  
 yCÑ .yCT  0

(h.2)

y
(C)
yCĐ

(H.2)

A
x0 o

B
x1

x'0

x

(yCT = f(x0) = 0)

 Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt

y
(C)

 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt


 yCÑ .yCT  0

yCĐ
A

(h.3)

B x2
x0 x1 x'0 o
yCĐ

C
x"0

x
(H.3)

Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu

 Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt
 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
 y .y  0

  CÑ CT
 xCÑ  0, xCT  0

a. f (0)  0 (hay ad  0)

Chuyên đề LTĐH

54

Trần Đình Cư

y

y

a>0

yCĐ

yCĐ
o

A

yCT

a<0

(C)

B x2
xA x1 xB

C
xC

f(0)
o

x

yCT

A x1 B
xA
xB x2

C
xC

f(0)

x
(C)

 Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt
 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
 y .y  0
  CÑ CT

 xCÑ  0, xCT  0
a. f (0)  0 (hay ad  0)


a>0

y

a<0

(C)

(C)

f(0)
yCĐ
A

B x2
xA x1 xB

C
xC o
yCT

yCĐ
A x1 B
C
xA
xB x2 xC o
yCT
f(0)

x

Hàm trùng phương ax 4  bx 2  c  0
 Đặt t  x 2

y

x

1

t  0

 Khi đó 1  at 2  bt  c  0

2

 Phương trình 1 vô nghiệm  phương trình 2 vô nghiệm hoặc có
nghiệm âm
 Phương trình 1 có 1 nghiệm  phương trình 2 có 1 nghiệm kép

x  0 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x  0 và 1
nghiệm âm.
 Phương trình 1 có 2 nghiệm  phương trình 2 có 1 nghiệm kép
x  0 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x  0 và 1
nghiệm âm.

Chuyên đề LTĐH

55

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


 Phương trình 1 có 3 nghiệm  phương trình 2 có 1 nghiệm đơn
x  0 và 1 nghiệm kép x  0

 Phương trình 1 có 4 nghiệm  phương trình 2 có 2 nghiệm đơn
x  0.

 Hai đồ thị C  : y  f  x  và C  : y  g  x  tiếp xúc nhau  hệ phương trình

 f x   g x 
có nghiệm.

 f  x   g  x 
Bài 1. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x 2  2 x và đường thẳng
y  x  m cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Hướng dẫn: Lập phương trình hoành độ giao điểm  m  

1
4

Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì cần
biến đổi đưa về biện luận bậc 2 bằng cách nhẩm được 1 nghiệm. Cụ thể ta xem bài
2 sau:
Bài 2. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x 3  7 x 2  6 x và đường
thẳng y   mx  m cắt nhau tại ba điểm phân biệt
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm

x 3  7 x 2  6 x   mx  m





 x 3  7 x 2   6  m  x  m  0   x  1 x 2  6 x  m  0
m  9
ÑS : 
m  5
Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có bậc lớn hơ n hoặc bằng 3, còn
tham số m có bậc 2 thì ta thường coi nó như phương trình bậc hai của tham số để
việc hạ bậc dễ dàng hơn. Ta xem bài sau:





Bài 3. Tìm m để đồ thị hàm số y  mx 3  6  m 2 x 2  15mx  9m 2 cắt Ox tại hai
điểm phân biệt
Hướng dẫn:
Chuyên đề LTĐH

56

Trần Đình Cư


Đồ thị hàm số cắt Ox tại 2 điểm phân biệt





 mx 3  6  m 2 x 2  15mx  9m 2  0(*) có hai nghiệm phân biệt.
Nếu xem phương trình (*) là phương trình bậc 2 ẩn m.

m  x
2
(*)   x 2  9 m  x 3  15 x m  6 x 2  0   1
 m2  ...

Ta coù:













(*)   x  m  mx 2  6 x  9m  0.

(*) coù hai nghieäm phaân bieät  mx 2  6 x  9m  0 (**) coù ñuùng moät nghieäm khaùc m
hoaëc coù hai nghieäm trong ñoù coù 1 nghieäm baèng m
 TH1: (**) coù ñuùng moät nghieäm khaùc m
 Neáu m=0  x  0  m  Khoâng thoûa maõn
 Neáu m  0  (**) laø phöông trình baäc hai
 '  0

** coù ñuùng moät nghieäm khaùc m  m.m


2
 6m  9m  0


 TH2: (**) coù hai nghieäm phaân bieät, trong ñoù coù moät nghieäm baèng m

 m  1

m  0

  '  0
voânghieäm
m.m 2  6m  9m  0

Vaäy m=  1 thì ñoà thò caét Ox taïi hai ñieåm phaân bieät

Chú ý: Trong trường hợp không tìm được nghiệm phương trình hoành độ giao điểm
thì phương pháp hàm số vẫn là tối ưu hơn cả:
Bài 4. Tìm m để đồ thị hàm số y 

x3
 m  x  1 cắt Ox tại hai điểm phân biệt
3

Hướng dẫn:

Chuyên đề LTĐH

57

Trần Đình Cư

www.VNMATH.com


x3
x3
Phương trình hoành độ giao điểm:
 m  x  1  0  m 
, x  1
3
3  x  1
Số nghiệm là số giao điểm...
Xét hàm số: y 

x3
, x  1
3  x  1

Vậy, đồ thị hàm số cắt Ox tại hai điểm khi m 

9
4

Bài 5. Tìm m để đồ thị ( P ) : y  x 2 cắt đường thẳng d : y  mx  m  3 tại hai điểm
A và B đối xứng nhau qua I( -1;3)
Hướng dẫn :

Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm:

x 2  mx  m  3  x 2  mx   m  3  0. Ñeå yù phöông trình luoân coù
hai nghieäm phaân bieät vì >0,m  

A  x1; mx1  m  3 ; B  x2 ; mx2  m  3 , I laø trung ñieåm cuûa AB.

Töø ñoù ta ñöôïc m=-2
Bài 6. Tìm m để đường thẳng ( P ) : y   x  m cắt đồ thị y 

x 1
tại hai điểm A
x2

và B sao cho độ dài AB=5
Hướng dẫn :

Chuyên đề LTĐH

58

Trần Đình Cư


Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm:
x 1
  x  m  g( x )  x 2   3  m  x  2m  1  0  x  2  (1).
x2
hai ñoà thò caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät  (1) coù 2 nghieâm pb khaùc 2
  0

luoân ñuùng
 g(2)  0
A  x1;  x1  m  ; B  x2 ;  x2  m  , AB2 =25  2  x1  x2   25  m  1 
2

2
2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:





Bài 1. Tìm m để đồ thị hàm số y   x  1 x 2  2 x  3m cắt Ox tại 3 điểm phân
biệt
Đáp số: m 

1
3

Bài 2. Tìm m để đồ thị hàm số y  mx 3   3  4m  x  6 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ khác 

1
2

m  0
m  3

hoaëc 
Đáp số: 
3
m  4
m  
8


Bài 3. Tìm m để đồ thị hàm số y  x 3  5mx 2  4m 2 x và đường thẳng

y  2mx  2m 2 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.

1
m  0 hoaëc m> 2

Đáp số: 
m  2

3


x
x 2

a) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với ( P ) : y  x 2  2 x

Chuyên đề LTĐH

59

Trần Đình Cư


b) Tìm m để đường thẳng y  m  x  2  cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A,B và
khoảng cách AB= 3 2

Đáp số:
a) A  O(0;0);

B(1;1);

C (3;3)

m  1
b) 
 m  9  113

16

Bài 5. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:
a) 2 x 3  3(m  1) x 2  6mx  2  0

b) x 3  3 x 2  3(1  m) x  1  3m  0

c) 2 x 3  3mx 2  6(m  1) x  3m  12  0

d) x 3  6 x 2  3(m  4) x  4m  8  0

e) 2 x 3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  2  m  0

f) x 3  3mx  2 m  0

Bài 6. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:
a) x 3  (m  1) x 2  (2m 2  3m  2) x  2m(2m  1)  0
c) x 3  (2 m  1) x 2  (3m  1) x  ( m  1)  0

b) x 3  3mx  2m  0

d) x 3  3 x 2  3(1  m) x  1  3m  0

Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  (m 2  1)  0

b) x 3  6 x 2  3(m  4) x  4m  8  0

c) 2 x 3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  2  m  0

d)

1 3
x xm0
3

Bài 8. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:
a) x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  (m 2  1)  0
c)

b) x 3  6 x 2  3(m  4) x  4m  8  0

1 3 5 2
7
x  x  4x  m   0
3
2
6

d) x 3  mx 2  (2m  1) x  m  2  0

Hướng dẫn câu a), các câu khác làm tương tự:
Đặt
Chuyên đề LTĐH

60

Trần Đình Cư


Phương trình:

có

với mọi

, có 2 nghiệm

;
;
Để phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt thì ta phải có điều kiện

.
Bài 9. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:
a) 2 x 3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  2  m  0 b) x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  (m 2  1)  0
c) x 3  3 x 2  9 x  m  0

Chuyên đề LTĐH

d) x 3  x 2  18mx  2m  0

61

Trần Đình Cư


Vấn đề 5: Điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số
DẠNG 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y=f(x) có tọa độ nguyên
Phương Pháp:
Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ y 

 Phân tích y 

P( x )
có toạ độ là những số nguyên:
Q( x )

P( x )
a
thành dạng y  A( x ) 
, với A(x) là đa thức, a là số
Q( x )
Q( x )

nguyên.

 Khi đó  x    Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để

y  

Q(x) là ước số của a.

 Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.
BÀI TẬP:
Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:

a) y 

x2
x 1

b) y 

x  10
x2

c) y 

x2
x 2

d) y 

x2  x  1
x2

e) y 

x2  2x
x 1

f) y  x  1 

4
x 1

Baøi 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:

a) y  x  y 2  2( x  1) y  4 x

Chuyên đề LTĐH

b) y  2 x  y2  4( x  1) y  6 x

62

Trần Đình Cư


DẠNG 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C):y=f(x) đối xứng qua đường thẳng
y=ax+b
Cơ sở của phương pháp : A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn AB

 Phương trình đường thẳng  vuông góc với d: y = ax = b có dạng:
1
a

: y   x  m

(C)

(d)

 Phương trình hoành độ giao điểm của  và (C):
1
a

f(x) =  x  m

()

B
A

(1)

I

 Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó x A, xB là các nghiệm của (1).

 Tìm toạ độ trung điểm I của AB.
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm
được m  xA, xB  yA, yB  A, B.
Chú ý:
x  x

 A, B đối xứng nhau qua trục hoành   A B
 y A   yB
x  x

B
 A, B đối xứng nhau qua trục tung   A
y A  yB


x  x

 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b   A B
 y A  yB  2b
 x  x  2a

 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a   A B
 y A  yB
BÀI TẬP:

Baøi 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đ ường thẳng d:

a) (C ) : y  x 3  x;

Chuyên đề LTĐH

d : x  2y  0

63

Trần Đình Cư


b) (C ) : y 

x4
;
x 2

d : x  2y  6  0

c) (C ) : y 

x2
;
x 1

d : y  x 1

d) (C ) : y 

x2  x  1
;
x 1

d : y  x 1

Baøi 2. Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Viết phương trình đồ thị (C ) đối xứng với

(C) qua đường thẳng d:
b) (C ) : y 

c) (C ) : y 

x2  x  2
;
x 2

d:y2

2 x 2  3x  7
;d:x2
x 1

d) (C ) : y 

a) (C ) : y  3 x 3  5 x 2  10 x  2; d : x  2

2 x 2  5x  3
; d : y  1
x 1

Baøi 3. Tìm m để trên đồ thị (C ) : y  mx 3  3 x 2  2 x  m 2 có một cặp điểm đối xứng

nhau qua trục Ox

Chuyên đề LTĐH

64

Trần Đình Cư


DẠNG 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C):y=f(x) đối xứng qua điểm I(a;b)
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm của AB.

 Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),
có hệ số góc k có dạng: y  k ( x  a)  b .

 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
f(x) = k ( x  a)  b

I

A

B

(1)

 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1).

 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm được k 
xA, xB.
x  x

B
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O   A
y A   yB


BÀI TẬP
Baøi 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I:

a) (C ) : y  x 3  4 x 2  x  2;

I (2; 4) b) (C ) : y 

c) (C ) : y  x 3  3 x 2  2 x  1;

I  O(0; 0)

e) (C ) : y 

3x  4
;
2x 1

x2  x  2
;
x 1

 5
I  0; 
 2

d) (C ) : y 
e) (C ) : y 

I (1;1)

x4
;
x 1

2 x 2  5x  1
; I  2; 5
x 1

I  O(0; 0)

Baøi 2. Cho đồ thị (C) và điểm I. Viết phương trình đồ thị (C ) đối xứng với (C) qua

điểm I:
a) (C ) : y  2 x 3  3 x 2  5 x  1;
c) (C ) : y 

x2  x  1
;
x 1

Chuyên đề LTĐH

I (2;1)

I (1;2) b) (C ) : y 

d) (C ) : y 

65

( x  1)2
;
x 2

I (1;1)

x3  2 x 2  5x  1
;
2x  3

I (2;1)

Trần Đình Cư


Vấn đề 6 : Họ đường cong
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong (Cm ) : y  f ( x , m)

( m là tham số )

Biện luận theo m số đường cong của họ (Cm ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) cho
trước.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Ta có :
Họ đườ ng cong (Cm ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 )



y0  f ( x 0 , m )

(1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ
(Cm) đi qua M0
Cụ thể:
 Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ
(Cm) đi qua M0
 Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều
không đi qua M0
 Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của h ọ
(Cm) đều đi qua M 0
Trong trường hợp này ta nói rằng M 0 là điểm cố định của họ đường cong
(Cm )

Chuyên đề LTĐH

66

Trần Đình Cư


DẠNG 1: TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong (Cm ) : y  f ( x , m)

( m là tham số )

Tìm điểm cố định của họ đường cong (C m)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁCH 1:
Bước 1: Gọi M 0 ( x0 ; y0 ) là điểm cố định (nếu có) mà họ (C m) đi qua. Khi đó
phương trình:

y0  f ( x0 , m) nghiệm đúng  m

(1)

Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 1:

Am  B  0 m

Dạng 2:

Am 2  Bm  C  0 m

Áp dụng định lý:

A  0
Am  B  0 m  
B  0

(2)

A  0

Am  Bm  C  0 m   B  0 (3)
C  0

2

Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được ( x0 ; y0 )
CÁCH 2:

 Gọi M(x 0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (C m).
M(x0; y0)  (Cm), m



y0 = f(x0, m), m

(1)

 Đặt F(m) = f(x 0, m) thì F(m) = y0 không đổi.
 F (m) = 0

(3)

 Giải (3) tìm được x 0. Thay x0 vào (1) tìm được y 0. Từ đósuy ra được các điểm
cố định.

Chuyên đề LTĐH

67

Trần Đình Cư


BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Cho họ (C m) y  x 3  3( m  1) x 2  2( m 2  4 m  1) x  4 m( m  1) . CMR: Khi
m thay đổi thì họ đường cong luôn qua một điểm cố định.
Bài 2. Cho họ đồ thị (C m): 

mx  1
. Tìm các điểm cố định mà đồ thị của hàm số
xm

luôn đi qua với mọi m  1
Bài 3. Cho họ (C m) có phương trình: y 

x 2  mx  m  1
. Chứng minh rằng (C m)
x 1

luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4. Cho hàm số (C m): y  x 3  3mx  2 m
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Chứng minh rằng họ đường cong luôn đi qua một điểm cố định.

mx  1
, m  1 . Gọi (H m) là đồ thị của hàm số đã cho.
xm

a. Chứng minh rằng với mọi m  1 , họ đường cong luôn qua 2 điểm cố định.
b. Gọi M là giao điểm của 2 tiệm cận. Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.
Baøi 1. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị (C m) có phương trình sau:

a) y  (m  1) x  2 m  1

b)

y  mx 2  2( m  2) x  3m  1

c) y  (m  1) x 3  2 mx 2  (m  2) x  2 m  1 d)

y  (1  2m) x 2  (3m  1) x  5m  2
e) y  x 3  mx 2  9 x  9m

f) y  (m  2) x 3  mx  2

g) y  2 mx 4  x 2  4m  1

h) y  x 4  mx 2  m  5

i) y 

(m  1) x  2
(m  1, m  2)
xm

Chuyên đề LTĐH

k) y 

68

x  3m  1
(m  2) x  4m

Trần Đình Cư


l) y 

x 2  5mx  7
mx  2


2 
m  

3


m) y 

2 x 2  (m  2) x  m
(m  0)
2x  m

Baøi 2. Chứng minh rằng họ đồ thị (C m) có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương

trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó:
a) y  (m  3) x 3  3(m  3) x 2  (6 m  1) x  m  1
b) y  (m  2) x 3  3(m  2) x 2  4 x  2 m  1
c) y  (m  4) x 3  (6 m  24) x 2  12 mx  7m  18
d) y  (m  1) x 3  (2 m  1) x  m  1
Bài 3. Cho hàm số: y  (m  2) x 3  2(m  2) x 2  (m  3) x  2m  1 (C m ) . Chứng
minh rằng họ đồ thị luôn qua ba điểm cố định và 3 điểm cố định đó cùng nằm trên
một đường thẳng.

Chuyên đề LTĐH

69

Trần Đình Cư


DẠNG 2: TÌM ĐIỂM HỌ ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHÔNG ĐI QUA
Phương pháp:

 Gọi M(x 0; y0) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (C m) đi qua.
M(x0; y0)  (Cm), m

y0 = f(x0, m) vô nghiệm m (1)



 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
A  0

 Dạng 1: (1)  Am + B = 0 vô nghiệm m  

B  0

(2a)

 A  B  0

 C  0
2
 Dạng 2: (1)  Am  Bm  C  0 vô nghiệm m  
(2b)

A  0

  B 2  4 AC  0

Chú ý:  Kết quả là một tập hợp điểm.

 Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những

điểm đồ thị không đi qua.
BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. Cho hàm số y  ( x  2)( x 2  2mx  m 2  1) (C m ) . Tìm các điểm mà (C m)
không thể đi qua.

(3m  1) x  m 2  m
xm

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Tìm các điểm trên đường thẳng x = 1, sao cho không thể có giá trị nào của m
để đồ thị hàm số đi qua.
Bài 3. Cho đồ thị hàm số y  2 x 3  3(m  3) x 2  18mx  8 (Cm ) . Chứng minh rằng
trên đường cong y = x 2 có hai điểm mà (Cm) không đi qua với mọi m.
Baøi 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ (C m) đi qua:

Chuyên đề LTĐH

70

Trần Đình Cư


m 1

m2

a) y  (m  2) x  m2  2 m

b) y 

c) y  mx 2  2(1  m) x  1  m (m  0)

d) y  x 2  m3 x  m 2  2

e) y  2 x 3  3mx 2  m3  5m 2  4

f) y  mx 3  m 2 x 2  4 mx  4 m 2  6

g) y 

(m  2) x  m2  2m  4
xm

h) y 

x 2  mx  8  m
i) y 
x 1
l) y 

m2  m  1

x

m2  m  1

(3m  1) x  m2  m
xm

x 2  2mx  m  2
k) y 
xm

x 2  mx  2 m  4

m) y 

x2  2 x  5

x 2  (3m  1) x  10
x2  3x  2

Baøi 2. Tìm các điểm thuộc (L) mà không có đồ thị nào của họ (C m) đi qua:

a) (Cm): y  mx 3  m 2 x 2  4 mx  4 m 2  6 ; (L) là trục hoành.
b) (Cm): y  2 x 3  3(m  3) x 2  18mx  6 ; (L): y  x 2  14 .
c) (Cm): y 
d) (Cm): y 

x 2  mx  m 2  m  1
mx  m 2  m  1

; (L) là trục tung.

(m  1) x 2  m 2 x  1
; (L): x = 2.
xm

m2 x 2  1
e) (Cm): y 
; (L): y = 1.
x

Chuyên đề LTĐH

71

Trần Đình Cư


DẠNG 3: TÌM ĐIỂM MÀ MỘT SỐ ĐỒ THỊ CỦA HỌ ĐÒ THỊ
(Cm):y=f(x,m) ĐI QUA
PHƯƠNG PHÁP:

 Ta có:

M(x0; y0)  (Cm)



y0 = f(x0, m)

(1)

Am 2  Bm  C  0

(2b)

 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
Am + B = 0 (2a)

hoặc

 Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (C m) đi qua M.
BÀI TẬP:
Baøi 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng k đồ thị của họ (C m) đi qua:

a) (Cm): y 

2mx  m 2  2m
; k = 1.
2( x  m )

b) (Cm): y 

 x 2  mx  m 2
; k = 2.
xm

c) (Cm): xy  2 my  2 mx  m2 x  4m  0 ; k = 1.
Baøi 2. Tìm các điểm thuộc (L) sao cho có đúng k đồ thị của họ (C m) đi qua:

a) (Cm): y  x 3  ( m 2  1) x 2  4 m ; (L): x = 2; k = 1.
b) (Cm): y  x 3  ( m 2  1) x 2  4 m ; (L): x = 2; k = 2.
c) (Cm): y  x 3  ( m 2  1) x 2  4 m ; (L): x = 2; k = 3.
Baøi 3. Chứng minh rằng các điểm thuộc (L) có đúng k đồ thị của họ (C m) đi qua:

a) (Cm): y 

mx 2  (m 2  m  1) x  m 2  m  2
; (L): x > 1; k = 2.
xm

(m  1) x 2  m 2
b) (Cm): y 
; (L): x > 0; k = 2.
xm
c) (Cm): y  x 4  2 mx 2  m 2  1; (L): y = 1; k = 1.
d) (Cm): y  x 3  ( m  1) x 2  (2 m3  3m  2) x  2 m(2 m  1); (L): x = 1,
y > –2; k = 2.
Chuyên đề LTĐH

72

Trần Đình Cư


Chuyên đề LTĐH

73

Trần Đình Cư


Vấn đề 7: TÂM ĐỐI XỨNG-TRỤC ĐỐI XỨNG
( CHỦ ĐỀ THẢO LUẬN)
LÝ THUYÊT:
 Tâm đối xứng
Chứng minh I  x0 , y0  là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y  f  x 

 x  X  x0
Đặt 
thế vào hàm số ban đầu y  f  x  ta được hàm số mới Y  G  X 
 y  Y  y0
Chứng minh hàm số Y  G  X  là hàm số lẻ, tức là chứng minh G  X   G  X 
Chú ý:
Cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ có tọa độ là

M 1  x0 , y0 , M 2  x0 , y0 

Cặp điểm đối xứng nhau qua trục hoành có tọa độ là M 1  x0 , y0 , M 2  x0 , y0 
Cặp điểm đối xứng nhau qua trục tung có tọa độ là M 1  x0 , y0 , M 2  x0 , y0 
 Trục đối xứng
a. Chứng minh đường thẳng x  x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số y  f  x 

 x  X  x0
Đặt 
thế vào hàm số ban đầu ta được hàm số mới Y  G  X 
y  Y
Chứng minh hàm số Y  G  X  là hàm số chẳn, tức là chứng minh G  X   G  X 
b. Chứng minh đường thẳng d  : y  ax  b là trục đối xứng của đồ thị hàm số

y  f x 
Gọi d  là đường thẳng vuông góc với d suy ra d  : y  

1
x  b
a

Lập phương tr ình hoành độ giao điểm của d  và đồ thị
Gọi A, B là giao điểm của d  và đồ thị, I là trung điểm của AB

 xI 

x A  xB
2

Gọi I ’ là giao điểm của d và d   xI 

Chuyên đề LTĐH

74

Trần Đình Cư


Chứng minh x I  x I 

 I  I   d là trục đối xứng của đồ thị hàm số.


x2  2x  2
C 
x 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

a.
b.

Tìm toạ độ 2 điểm A, B ở trên (C) và đối xứn g nhau qua đường thẳng
x – y +4 = 0

Bài 2. Cho hàm số: y  x 3  mx 2  1 C m 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Khi m = 3
2. Tìm trên đồ thị hàm số tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ
độ
3. Xác định m để đường cong (C m) tiếp xúc với đường thẳng (D) có
phương trình y= 5 .Khi đó , tìm giao điểm còn lại của (D) với (C m)
Bài 3. Cho hàm số: y  x3  3 x 2  m 1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
2. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm phân biệt đối
xứng qua gốc toạ độ
Bài 4. Cho hàm số:

y

2 x2   m  2 x
x 1

(1)vôùi k laø haøm soá

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m= -1
2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực
đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng x+4y -13=0
Bài 5. Cho hàm số y  mx 3   2  4m  x  3 coù ñoà thò laø (Cm )
1. Tìm những điểm cố định của (C m)
2. Tìm m sao cho đồ thị của hàm số có hai điểm đối xứng qua trục Oy.

Chuyên đề LTĐH

75

Trần Đình Cư


Vấn đề 8: KHOẢNG CÁCH
A. LÝ THUYẾT
 Khoảng cách giữa hai điểm A, B:

AB = ( xB  x A )2  ( yB  y A )2

 Khoảng cách từ điểm M(x 0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0:
d(M, ) =

ax0  by0  c
a2  b2

 Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến tiệm cận đứng : x  a là h  x0  a
 Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến tiệm cận ngang : y  b là : h  y0  b
 Diện tích tam giác ABC:
S=

  2
 
1
1
AB. AC.sin A 
AB 2 . AC 2   AB. AC 
2
2

 Để tìm khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  nào đó sao cho
khoảng cách đó ngắn nhất ta thường áp dụng bất đẳng thức Cauchy nhiều
lần. Và để khoảng cách ngắn nhất thì dấu “ =” xảy ra ở những số mà ta áp
dụng bất đẳng thức Cauchy.

 Đối với bài toán tìm 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh phân biệt của đồ thị sao cho AB
ngắn nhất của hàm y 

ax 2  bx  c
ta thường làm như sau:
ax  b

Chia đa thức tìm phần nguyên và phần dư.
Gọi 2 điểm A, B sao cho phù hợp
o

Nếu A ở nhánh bên phải thì ta nên gọi A có giá trị hoành độ là
x  TCĐ  a sau đó suy ra y , điều kiện a  0

o

Nếu B ở nhánh bên trái thì ta nên gọi B có giá trị hoành độ là
x  TCĐ  b sau đó suy ra y , điều kiện b  0

Sau đó tính AB và áp dụng bất đẳng thức Cauchy nhiều lần như ở trên.

Chuyên đề LTĐH

76

Trần Đình Cư


B. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
BÀI TOÁN 1: ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
DẠNG 1. Cho hàm số y=f(x) có đồ t hị (C) . Hãy tìm trên (C) hai điểm A và B sao
cho khoảng cách AB ngắn nhất .
CÁCH GIẢI
- Giả sử (C) có tiệm cận đứng : x=a . Do tính chất của hàm phân thức , đồ thị nằm
về hai phía của tiệm cận đứng . Cho nên gọi hai số  ,  là hai số dương
- Nếu A thuộc nhánh trái x A  a  x A  a    a  (C ) , và
- B thuộc nhánh phải xB  a  xB  a    a  (C )
- Tính : y A  f ( x A ); yB  f ( xB ) ; Sau đó tính
2

AB 2   xB  x A    yB  y A    b      a       yB  y A 


2

2

2

- Khi đó AB có dạng : AB 2  g  a  b  ;    ;  .  . Áp dụng bấ t đẳng thức Cô -si , ta


có kết quả cần tìm .
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. ( ĐH-NGoại Thương -99). Cho hàm số y 

x2  x  1
1
 x
C 
x 1
x 1

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau , sao cho AB ngắn nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi A thuộc nhánh trái x A  1  với số   0 , đặt
xA  1    1  y A  xA 

1
1
1
 1  
 1  
xA  1
1  1


 1

- Tương tự B thuộc nhánh phải xB  1  với số  >0 , đặt :
xB  1   ;  y B  xB 

Chuyên đề LTĐH

1
1
1
 1  
 1  
xB  1
1  1


77

 2

Trần Đình Cư

AB   xB  x A    yB  y A 
2

2

g ( ;  )     

2

2


1 
1 
 1     1       1       1     


 
 

2

2


1 1
1 
2
2
                   1 

 

  

2

2


2
1 
  2   2  2   1  1 
 2 2
   


2
1
g ( ;  )   2  2   1  1 
 2 2
  



4
 8  8  2 4.8  8  8 2
  8 



 AB  8  8 2

- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
  
  
1



4 ;
1      4
2
2
8      2




- Do đó ta tìm được hai điểm : A 1 


1
1
1
1
 

;1  4  4 2  ; B 1  4 ;1  4  4 2 
2
2
2
2
 


4

Bài 2.( ĐH-GTVT-98). Cho hàm số y 

x 2  3x  3
13
 x5
x2
x2

C

b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho AB ngắn nhất .
GIẢI
xA  2    2  y A  xA  5 

13
13
13
 7  
 7  
xA  2
2   2


1

xB  2   ;  y B  xB  5 

Chuyên đề LTĐH

13
1
13
 2   5
 7  
xB  2
2 2


78

 2

Trần Đình Cư

AB   xB  x A    yB  y A 
2

2

g ( ;  )     

- Vậy

2

2


13  
13  
  2      2       7       7     


 
 

2

2


13 13 
13 
2
2
                   1 

 

  

2


26 169 
  2   2  2   1  1 

  2  2 



26 169
g ( ;  )   2  2   1  1 

  2  2



522
 8 
 104  104  104 2




 AB  104  104 2  2 26  26 2

-Dấu đẳng thức xảy ra khi :
  
  
1



    
522 ; 
2
338
8      338



- Do đó ta tìm được hai điểm :
13  
13 

A  2  338;7  338 
 ; B  2  338;7  338 

338  
338 


Bài 3. (ĐH-SPTPHCM-2000). Cho hàm số y 

x 2  3x  3
1
 x2
x 1
x 1

C 

GIẢI
b. Gọi A thuộc nhánh trái x A  1  với số   0 , đặt
xA  1    1  y A  xA  2 

1
1
1
 1    2 
 1  
xA  1
1    1


 1

- Tương tự B thuộc nhánh phải xB  1  với số  >0 , đặt :
xB  1   ;  y B  xB  2 

Chuyên đề LTĐH

1
1
1
 1    2 
 1  
xB  1
1    1


79

 2

Trần Đình Cư

2


- Vậy
AB   xB  x A    yB  y A 
2

2

g ( ;  )     

2


1 
1 
  1      1       1       1     


 
 

2

2

2


1 1
1 
2
2
                   1 

 

  

2

2


2
1 
  2   2  2   1  1 
 2 2
   


2
1
g ( ;  )   2  2   1  1 
 2 2
  



4
 8  8  2 4.8  8  8 2
  8 



 AB  8  8 2

  
  
1



4 ;
1      4
2
2
8      2





- Do đó ta tìm được hai điểm : A  1 


1
1
1
1
 

;1  4  4 2  ; B  1  4 ;1  4  4 2 
4
2
2
2
2
 


Bài 4.( ĐH-An ninh-98). Cho hàm số y 

x2
1
 x 1
x 1
x 1

C 

b. Tìm trên (C) hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho AB ngắ n nhất .
GIẢI
xA  1    1  y A  xA  1 

1
1
1
 1   1
 2 
xA  1
1 1


 1

xB  1   ;  y B  xB  1 

1
1
1
 1   1
 2  
xB  1
1  1


 2

- Vậy

Chuyên đề LTĐH

80

Trần Đình Cư

AB   xB  x A    yB  y A 
2

2

g ( ;  )     

2

2


1 
1 
 1     1       2       2     


 
 

2

2


1 1
1 
2
2
                   1 

 

  

2

2


2
1 
  2   2  2   1  1 
 2 2
   


2
1
g ( ;  )   2  2   1  1 
 2 2
  



4
 8  8  2 4.8  8  8 2
  8 



 AB  8  8 2

  
  
1



4 ;
1      4
2
2
8      2




- Do đó ta tìm được hai điểm : A 1 



1
1
1
1
 

; 2  4  4 2  ; B 1  4 ; 2  4  4 2 
2
2
2
2
 


4

x3
6
 1
x3
x3

C

GIẢI
b. Gọi A thuộc nhánh trái xA  3  với số   0 , đặt
xA  3    3  y A  1 

6
6
6
 1
 1
xA  3
3   3


1

xB  3   ;  y B  1 

6
6
6
 1
 1
xB  3
3  3


 2

Vậy :
AB   xB  x A    yB  y A 
2

2

Chuyên đề LTĐH

2


6   6 
  3      3       1     1   


      
2

81

2

Trần Đình Cư


2

2

6 6
1 
2
2
2
g ( ;  )                 6       1 

  
  

2
1 
  2   2  2   1  36 
 2 2
   


2
1 
4
g ( ;  )   2  2   1  36 
 2 2   148 
 8  8  2 4.148  8  8 37
   


2

 AB  8  8 37

  
  
1



4 ;
1      4
2
37
148      37




- Do đó ta tìm được hai điểm : A  3 


4

1
6  
1
6 
;1  4
;1  4
; B 3  4

37
37  
37
37 

DẠNG 2:Cho đồ thị (C) có phương trình y=f(x). Tìm trên (C) điểm M sao cho
a. Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
b. Khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ bằng nhau ( Hay : Khoảng cách từ M đế n
trục hoành bằng k lần khoảng cách từ M đến trục tung )
c. Khoảng cách từ M đến I ( là giao hai tiệm cận ) là nhỏ nhất .
CÁCH GIẢI
A. Đối với câu hỏi : Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất .
- Gọi M(x;y) với y=f(x). thì tổng khoảng cách từ M đến hai trục là d  d  x  y
- Xét các khoảng cách từ M đến hai trục khi M nằm ở các vị trí đặc biệt : Trên trục
hoành , trên trục tung .
- Sau đó xét tổng quát ,những điểm M có hoành độ , hoặc tung độ lớn hơn hoành độ
hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục , để suy ra cách tìm GTLN-GTNN của d .
BÀI TẬP MẪU:
x2  2
2
 x2
x2
x2

C 


Chuyên đề LTĐH

82

Trần Đình Cư


b. Tìm những điểm M trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là
nhỏ nhất .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C).
b. - Xét những điểm M nằm trên trục Ox , cho y=0





 x 2  2  0  x   2  x  2  M1  2;0 ; M 2



2;0



- Khoảng cách từ M đến hai trục là d  d   2  0  2
- Xét những điểm M nằm trên trục Oy : cho x=0 , y= 1 , suy ra tồn tại 1 điểm
M(0;1) . Vậy kh oảng cách từ M đến hai trục là d = 0+1=1 < 2 .
- Xét những điểm M có hoành độ : x  2  d  x  y  2 .
- Xét những điểm M có hoành độ thỏa mãn : x  2 .
 Trường hợp :  2  x  0; y  0
 d  x  y  x  x  2 

2
2
2
 2
. y'  
 0 . Chứng tỏ
2
x2
x2
 x  2

hàm số nghịc biến . Do vậy mind =y(0)=1 . Có một điểm M(0;1)
0  x  2; y  0  d  x  x  2 

 Trường hợp :

y' 2

2

 x  2

2

2
2
 2x  2 
;
x2
x2

 0  x  1 x  3

 Bằng cách lập bảng biến thiên , ta suy ra mind = y(0)=1. Có một điểm
M(0;1)
- Kết luận : Trên (C) có đúng một điểm M(0;1) có tổ ng khoảng cách từ nó đến hai
tiệm cân là nhỏ nhất .

x 2  3x  3
1
 x 1
x2
x2

C 

b. Tìm trên đồ thị (C) những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục
tọa độ là nhỏ nhất .
GIẢI
Chuyên đề LTĐH

83

Trần Đình Cư


a. Học sinh tự vẽ đồ t hị
b.- Xét những điểm M nằm trên trục Ox , cho y=0 ,
 x 2  3 x  3  0;   9  12  3  0 . Vô nghiệm . Không có điểm M nào nằm trên

trục Ox.
- Xét những điểm M nằm trên trục Oy , cho x=0 suy ra y=3/2 . Tồn tại 1 điểm
M(0;3/2) . Khoảng cách từ M đến hai trục là d=0 +3/2=3/2 .
3
2

- Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn 3/2 .  d  x  y  .
- Xét những điểm M có hoành độ nhỏ hơn 3/2 :
 Với 0  x 

3
 y>3/2 ; d= x  y  3/2
2

 Với


3
1
1
1
 x  0; y  0  d   x  x  1 
 1
;d '  
 0.
2
2
x2
x2
 x  2

Chứng tỏ hàm số nghịch biến . Suy ra mind =y(0)= 3/2 . Có 1 điểm
M(0;3/2).
- Kết luận : Trên (C) chỉ có đúng một điểm M(0;3/2 ) mà tổng khoảng cách từ M
đến hai trục là nhỏ nhất .

x2
5
 1
x 3
x3

C 

b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục là nhỏ
nhất .
GIẢI
b. - Tìm những điểm M nằm trên trục Ox : cho y=0 suy ra x = -2 . Tồn tại một điểm
M(-2;0)  d M  2  0  2
- Tìm những điểm M nằm trên trục tung : cho x = 0 , suy ra y= -2/3
 dM  0  

2 2
 2
3 3

Chuyên đề LTĐH

84

Trần Đình Cư

2
3

2
3

- Xét những điểm M có hoành độ : x   d M  x  y  .
2
3

2
3

2
3

- Xét những điểm M có hoành độ thỏa mãn : x  ; y    y  (*)
2
3

+) Trường hợp : 0  x  . Do (*) cho nên : d M  x  y 
2
3

2
3

+) Trường hợp :   x  0;   y  0  d M   x  1 

2
3

5
5
; d 'M  1 
2
x 3
 x  3

x  3  5
. Khi lập bảng biến thiên ,ta thấy hàm số nghịch biến với mọi
d 'M  0  
x  3  5

2
 2 
x    ;0  . Vậy min d M  d M (0)  . Trên (C) có một điểm M( -2/3;0) thỏa mãn
3
 3 

yêu cầu bài toán .
B. Đối với câu hỏi :
Tìm m trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M
đến trục Oy .
CÁCH GIẢI
- Theo đầu bài ta có : y  k x

 g  x; k   0
 y  kx


 y   kx  h  x; k   0


- Bằng phương pháp tìm GTLN -GTNN của hàm số ta có kết quả .
BÀI TẬP MẪU

x 2  5 x  15
9
 x2
x3
x3

C 

b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox bằng hai lần
khoảng cách từ M đến trục Oy .
GIẢI
b. Theo giả thiết :

Chuyên đề LTĐH

85

Trần Đình Cư

 x 2  5 x  15

 2x
1  61
1  61

 x2  x  15  0
 y  2x
x
x3
x 

 2
 2

2
2

 x  5 x  15
 y  2 x
 3 x  11x  15  0 vô n 0
 2 x


x3


Như vậy trê n (C) có hai điểm M với hoành độ của chúng là :
x

1  61
1  61
x
2
2

Bài 2.Cho hàm số y 

x2
3
 1
x 1
x 1

C

b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox bằng ba lần
khoảng cách từ M đến trục Oy .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
b. Theo giả thiết ta có :
x2
vô n 0
 x  1  3x
3x2  2 x  2  0
y  3x



 2

 x  2  10  x  2  10
 y  3 x
 x  2  3 x
3 x  4 x  2  0

3
3

 x 1


Vậy trên (C) có hai điểm M có hoành độ : x 

2  10
2  10
, thỏa mãn yêu
x
3
3

cầu bài toán .
C. Đối với câu hỏi :
* Tìm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến I ( là giao hai tiệm cận ) là nhỏ
nhất .
CÁCH GIẢI
- Tìm tọa độ của hai tiệm cận I(a;b)
- Tính khoảng cách IM bằng cách :



2
2
IM   x  a; y  b   IM 2   x  a    y  b  g  x; a , b

- Sử dụng phương pháp tìm GTLN -GTNN của hàm số ta có kết quả .
BÀI TẬP MẪU
Chuyên đề LTĐH

86

Trần Đình Cư


BÀI 1.( ĐH-Ngoại ThươngA -2001). Cho hàm số y 

x2  2 x  2
1
 x 3
x 1
x 1

C 

b. Tìm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến I là nhỏ nhất (với I là giao hai
tiệm cận )
GIẢI
b. - Tọa độ của I là giao hai tiệm cận : I=(1;4)
- Gọi M(x;y) thuộc (C) , ta có :
2
2


1
1 
2
2



 IM   x  1; y  4   IM 2  g ( x)   x  1   x  3 
 4    x  1   x  1 

x 1 
x 1 



 g ( x)   x  1   x  1 
2

2

1

 x  1

 2  2  x  1 
2

2

1

 x  1

2

 2  2 2 2

 min IM  2  2 2 . Đạt được khi :

x  1
1
1 
2
4
 2  x  1 
;   x  1   
2
2

 x  1
x  1


1
2
1
4
2

4

1
1
và x = 1+ 4 thỏa
2
2

- Như vậy trên (C) tìm được hai điểm M có hoành độ : x=1 - 4
mãn yêu cầu bài toán .
x2  x  1
1
BÀI 2. (ĐH-SPII-2001). Cho hàm số y 
 x
x 1
x 1

C 

b. Tìm A(x;y) thuộc (C) với (x>1) sao cho khoảng cách từ A đến I đạt GTNN ( với I
là giao hai tiệm cận )
GIẢI
b. - Giao hai tiệm cận là I (1;1)
- M là điểm bất kỳ thuộc (C) suy ra M(x; y) ( x>1).
Chuyên đề LTĐH

87

Trần Đình Cư


- Theo giả thiết ta có :
2


1
1
2
2
2


2
 IM   x  1; y  1  IM   x  1   x 
 1   x  1   x  1 
2
2
x 1 

 x  1

 g ( x)  IM 2  2  x  1 
2

1

 x  1

-Do đó : min IM  2  2 2

2

 2  2  2 2;  min g ( x)  2  2 2

 2  x  1 
2

1

 x  1

2


x  1
1
4
  x  1  ;  
2

x  1


- Kết luận : Trên (C) có hai điểm M có hoành độ là : x= 1 

1
2
1
4
2

4

1
1
và x= 1   4 , thỏa
2
2

4

mãn yêu cầu của bài toán .

DẠNG 3: Cho đường cong (C) và đường thẳng d : Ax+By+C=0 . Tìm điểm I trên
(C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất .
CÁCH GIẢI
- Gọi I thuộc (C)  I  x0 ; y0  f ( x0 ) 
- Tính khoảng cách từ I đến d : g ( x0 )  h  I ; d  

Ax 0  By0  C
A2  B 2

- Khảo sát hàm số y  g ( x0 ) , để tìm ra minh.
MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1.Cho hàm số y 

x2  4 x  5
1
 x2
x2
x2

 C

b. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến d : y+3x+6=0 là nhỏ nhất ?
GIẢI



1 


b. - Gọi M là điemr bất kỳ thuộc (C) , thì : M   x; y   y  x  2 

x2
- Khoảng cách từ M đến d là h(M;d) :
Chuyên đề LTĐH

88

Trần Đình Cư


 h( M ; d )  g ( x ) 

3x  y  6
10



1
1
1
1
.
3x  6  x  2 

4  x  2 
x2
x2
10
10

+) Khi x>-2 ,x+2>0
5

x    2
1
1
1 
2
2
 4( x  2) 
 4  4( x  2) 
;   x  2   
3
x2
x2
4 
x    2


2

Vậy : minh(M;d)=

4
, khi x=-3/2
10

+) Khi x<-2 , thì x+2<0
 4  x  2  

1
1
5
2
 4  4  x  2   
;   x  2  1  x  
x2
2
 x  2

Do đó minh(M;d)=
Tóm lại : minh(M;d)=

4
khi x=-3 .
10

4
khi x=-1 và x=-3 .Có hai điểm M là M(-1;2) và M(-3;10

2)
Ví dụ 2. ( ĐH-KA-2005)Cho hàm số y  mx 

1
x

 Cm 

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Tìm m để khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng tiệm cận xiên của

 Cm  bằng

1
.
2

GIẢI
b.Ta có :
- y' m

1
1
 0  x2 
 m  0 . Qua bảng biến thiên , ta thấy điểm cực tiểu là
2
x
m

 1

M 
;2 m  .
 m


- Tiệm cận xiên của  Cm  là d : y=mx .

Chuyên đề LTĐH

89

Trần Đình Cư


- Khoảng cách từ M đến d là h(M;d) bằng :
m.
h( M ; d ) 

1
2 m
m
2

m 1

- Theo giả thiết :



m
2

m 1



m
m 1
2

m
1
m
1

 2
 ;  m 2  2m  1  0;  m  1  0
m 1
2
m 1 2
2

- Kết luận : Với m=1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 3.(ĐH-KB-2005 ). Cho hàm số y 

x 2   m  1 x  m  1
1
 xm
x 1
x 1

 Cm 

b. Chứng tỏ với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu và khoảng cách giữa chúng
bằng

20 .

GIẢI

 x  1  1  0   x  0 . Không phụ thuộc vào m , hay
b. Ta có : y '  1 

 x  2
2
2
 x  1
 x  1

1

2

nói một cách khác là với mọi m hàm số luôn có cực đại tại A( -2;m-3 ) và điểm cực
tiểu B(0;m+1).
- Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu là AB .
 AB 2  g ( x; m)  4  42  20  AB  20

 dpcm  .

DẠNG TOÁN 4. Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) và đường thẳng d :
y=kx+m. Tìm m đ ể d cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho :
- AB là hằng số a
- AB ngắn nhất .
CÁCH GIẢI
-b1: Tìm điều kiện (*) của m để phương trình hoành độ điểm chung : f(x)=kx+m (1)
có hai nghiệm
-b2 : Gọi A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  là hai giao điểm của d và (C) thì x1 ; x2 là hai nghiệm
của (1)

Chuyên đề LTĐH

90

Trần Đình Cư


-b3: Tính AB 

 x2  x1    y2  y1 
2

2

 g ( x1  x2 ; x1 x2 ; m)

 2

-b4: Áp dụng Vi-ét cho (1) , thay vào (2) , ta được : h(m)=0 . Giải phương trình này
ta có kết quả .

Chuyên đề LTĐH

91

Trần Đình Cư


LUYỆN TẬP
Ví dụ 1.(ĐH-Cần Thơ -98). Cho hàm số   x  3 

3
x 1

C 

b. Chứng minh với mọi m đường thẳng d : y=2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm A,B có
hoành độ x1 , x2 . Tìm m để khoảng cách  x2  x1  đạt giá trị nhỏ nhất
2

c. Tìm m để khoảng cách AB đạt GT NN .
GIẢI
b. Hoành độ của A,B x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình :
 x  3 

3
3
 2 x  m;  3 x  3  m 
 0;  g ( x; m)  3 x2   m  6 x  m  3  0
x 1
x 1

   m  6   12(m  3)  0

Điều kiện để có A,B : 
 m 2  72  0m  R
2

 g (1; m)  6 


- Khi đó :  x2  x1  
2

 1

m2  72  12  m  0
6
6
2

b. Khoảng cách AB 2   x2  x1    2 x2  m    2 x2  m    x2  x1  5


2

- Vậy : AB  x2  x1

2

m 2  72
5
. 5  12 5  m  0
6

Ví dụ 2.(DB-ĐHKD-2003). Cho hàm số y 

x 2   m  1 x  3m  2
x 1

 Cm 

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1.
b. Tìm m để Cm cắt trục Ox tại hai điểm A,B sao cho AB ngắn nhất .
GIẢI
b. Nếu Cm cắt trục Ox tại hai điểm A,B thì :
 g ( x; m)  x 2   m  1 x  3m  2  0 1 có hai nghiệm x khác 1 .

Chuyên đề LTĐH

92

Trần Đình Cư

 1


   m  12  4  3m  2   0
m 2  10m  7  0 m  5  32  m  5  32





(*)
m  1
 g (1; m)  4m  4  0
 m  1



- Khoảng cách AB  x2  x1    m 2  10m  7 
Ví dụ 3.(ĐHKD -2003). Cho hàm số y 

m  5

2

 32  min AB  32 .

x2  2x  4
4
 x
x2
x2

C 

b. Tìm m để đường thẳng d : y=mx+2 -2m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB=2.
GIẢI
b.- Phương trình hoành độ điểm chung của (C) và d là


x2  2x  4
 mx  2  2m;  g ( x; m)   m  1 x 2  4 1  m  x  4m  8  0 1
x2

- Để tồn tại A,B thì :
m  1  0

m  1
2
  '  4 1  m    m  1 4m  8   0  
 m  1  *
 4m  4  0
 g (2; m)  4 


- Khi đó :

 x2  x1 

 AB 

 AB 

4

2

 m2  x2  x1   x2  x1

 m  1  m2  1
m 1

2

m2 1 

2 '
2 4m  4
m2  1 
m2  1
m 1
m 1

 2  4  m  1  m 2  1   m  1 ;   m  1  4m 2  4   m  1   0


2

m  1  0
 2
 m  1 .Vi phạm điều kiện (*) . Cho nên không tồn tại m .
 4m  m  5  0

Ví dụ 4.(ĐH-Duy Tân-2001). Cho hàm số
mx 2   m  3 x  1
7  2m
y
 mx  m  3 
x2
x2

 Cm 

b. Tìm m đẻ đồ thị (1) cắt trục Ox tại hai điểm M,N sao cho MN ngắn nhất .
Chuyên đề LTĐH

93

Trần Đình Cư


GIẢI
a.Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Nếu (1) cắt trục Ox tại hai điểm M,N thì :
 g ( x; m)  mx 2   m  3 x  1  0

 2 có hai nghiệm x khác 2 .


m 
m  0


7
2
    m  3  4m  0  m2  2m  9  0  m  0  m   (*)
6
 g (2; m)  6m  7  0

7

m  
6


Khi đó :

 MN  x2  x1 

a

- Đặt t 

 m  1
m

2

8

 MN 2 

m 2  2m  9
2 9
1  2 .
2
m
m m

1
1
1
8
 g (t; m)  1  2t  9t 2  g '(t; m)  2(1  9t )  0  t   ; g ( ; m) 
m
9
9
9

-  min MN 

8 2 2
1
1
1

;  t       m   9 . Thỏa mãn (*)
9
3
9
m
9

Ví dụ 5. ( ĐH-KA-2004). Cho hàm số y 

 x 2  3x  3
2  x  1

C 

b. Tìm m để đường th ẳng d : y=m cắt (C) tại A,B sao cho AB=1.
GIẢI
b. Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ của A,B là hai nghiệm của phương trình :
  x 2  3x  3  2m  x  1  0;  g ( x; m)  x 2  2m  3  x  3  2m  0

1  Có hai

nghiệm khác 1.
1

m   2
    2m  3 2  4  3  2m   0


 4m 2  4m  3  0  
 *
 g (1; m)  1  0
m  3



2

- Khi đó A  x1 ; m  ; B  x2 m   AB  x2  x1  

Chuyên đề LTĐH

94

Trần Đình Cư


1 5
m 
2 . Thỏa
 AB  4m 2  4m  3  1;  4m 2  4m  4  0  m 2  m  1  0  

1 5
m 

2

mãn (*)
Ví dụ 6.( ĐH-QGA-2000). Cho hàm số y  x  1 

1
x 1

C 

b. Tìm trên (C) điểm M ( có hoành độ x>1) sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm
cận một tam giác có :
+) Chu vi nhỏ nhất
+) Một tam giác có diện tích không đổi .
GIẢI
b.Gọi M  x0 ; y0   (C )  y0  x0  1 


- Tiếp tuyến tại M có PT : y  1 



1
x0  1

.


1
  x  x0   x0  1 
x0  1
 x0  1 

1

2

* và I là giao

hai tiệm cận
- Tọa độ của I (1;2)
- Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng : x=1 tại điểm B


1 
2 
 yB  2 1 
  B 1; 2 

x0  1 
 x0  1 


- Tiếp tuyến cắt tiệm cận xiên : y=x+1 tại điểm A.


1
1
 1 
x  x0   x0  1 
 x A  1  x A  1  2 x0  A  2 x0  1; 2 x0 
2  A
x0  1
  x0  1 


1
2

+) Diện tích tam giác AIB là S .  S  IA.IB.sin 450 



1
2 IA.IB
4

1

Ta có : IA   2 x0  2; 2 x0  2   IA2  8  x0  1  IA  x0  1 2 2

Chuyên đề LTĐH

2

95

Trần Đình Cư






Tương tự : IB   0;


S

1
2.4 2  2
4

2 
2
2
;  IA.IB  x0  1 2 2.
4 2
  IB 
x0  1 
x0  1
x0  1

 dvdt  . Không phụ thuộc vào vị trí của điểm M .

+) Gọi chu vi tam giác IAB là P = IA+IB+AB .
Nhưng
AB 2  IA2  IB 2  2 IA.IB.cos450  2 IA.IB  2 IA.IB.
4



2 2



2
 IA.IB 1  2  4 2 1  2
2









( Dáu đẳng thức xảy ra khi IA=IB (a) )
- Mặt khác : IA  IB  2 IA.IB  2 4 2  2 4 2 . Đấu đẳng thức xảy ra khi : IA=IB
-Do đó : P  2 4 2  4





2  2  24 2  2

2  2  min P  2 4 2  2

2 2 .

1

4
4
 x0  1  2  y0  2  2  4 2
2
2
- Xảy ra khi : x0  1 2 
  x0  1  2  
1
x0  1

4
4
 x0  1  2  y0  2  2  4 2


Như vậy có hai điểm M :
1 
1 


M 1  1  4 2; y0  2  4 2  4  M 2  1  4 2; y0  2  4 2  4 
2
2




2x 1
3
 2
C
x2
x2

b. Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB nhỏ nhất
.
GIẢI
b. - Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ A,B là hai nghiệm của phương trình :


2x 1
  x  m;  g ( x; m)  x 2  (4  m) x  1  2m  0 1 có hai nghiệm khác -2
x2

Chuyên đề LTĐH

96

Trần Đình Cư

m 2  12  0
   4  m 2  4 1  2m   0
3




 m   *
3
2
 g (2; m)  2m  3  0
m 


2

- Khi đó A  x1 ;  x1  m  ; B  x2 ;  x2  m   AB2   x2  x1    x1  x2   2 x2  x1
2

2

2

- Vậy : AB  x2  x1 2   2  2. m 2  12  22 3  2 6;  m  0 .
Khi m = 0 thì AB nhỏ nhất bằng 2 6 .
Ví dụ 8. Cho hàm số y 

x 2  2mx  2
3  2m
 x  2m  1 
x 1
x 1

 Cm 

b. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đ ại , cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm
đó tới đường thẳng d : x+y+2=0 bằng nhau .
GIẢI
b. Tập xác định : D=R 1
- Đạo hàm : y ' 

x 2  2 x  2m  2

 x  1

2

- Hàm số có cực đại , cực tiểu , thì y'=0 có h ai nghiệm phân biệt khác -1.
 g ( x; m)  x 2  2 x  2m  2  0

1 ( có hai nghiệm

  '  3  2m  0
3

m
2
 g (1; m)  2m  3  0

x1 , x2  1 )

 *

- Gọi A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số . x1 , x2  1 là hai
nghiệm của phương t rình (1) . Theo định lý Vi -ét : x1  x2  2; x1.x2  2m
- Mặt khác đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình : y=2x+m , cho nên
: y1  2 x1  m; y2  2 x2  m  A  x1 ; 2 x1  m  ; B  x2 ; 2 x2  m 
x1  y1  2
2



x2  y2  2

Chuyên đề LTĐH

2

 x1  y1  2  x2  y2  2  3x1  2m  2  3x2  2m  2

97

Trần Đình Cư


  3 x1  2m  2    3 x2  2m  2   0   x1  x2  3  x1  x2  4m  4    0


2

2

1
 3  x1  x2  4m  4   0  x1  2   3  2  4m  4  0  m   . Thỏa mãn (*)
2
1
2

Vậy giá trị m cần tìm là : m   .
1
3

 Cm 

Ví dụ 9 . Cho hàm số y  x3  mx 2  x  m  1

b. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu . Tìm m để khoảng
cách giữa các diểm cực đại , cực tiểu là nhỏ nhất .
GIẢI
b. Tập xác định : D=R
- Ta có đạo hàm : y '  x 2  2mx  1 .
- Xét : g ( x; m)  x 2  2mx  1  0

1   '  m 2  1  0m  R . Chứng tỏ hàm số luôn

có CĐ,CT .
m

1

2

2

- Bằng phép chia đa thức : y   x   y '  m2  1 x  m  1 . Cho nên đường
3
3
3
3
thẳng đi qua hai điểm cực trị có PT : y  



2

2 2
 m  1 x  2 m  1 .
3
3
2







2

2




- Gọi hai điểm cực trị là : A  x1 ;   m2  1 x1  m  1  ; B  x2 ;   m 2  1 x2  m  1 
3
3
3
3
 AB 

 x2  x1 

2

2

2
2
4
2 '
4
 2

    m 2  1  x2  x1    x2  x1 1   m 2  1 
1   m 2  1
9
1
9
 3


 AB  2 m 2  1. 1 

2
4 2
 m  1  2
9

- Đặt : t  m 2  1  1  AB  f (t )  2

m

2

2
 4
 1 1   m 2  1 
 9


4 3
4
t  t  g (t )  t 3  t ; g '(t )  4t 2  1  0t  1
9
3

Hàm số g(t) luôn đồng biến . Do đó ming(t)=g(1)=7/3.

Chuyên đề LTĐH

98

Trần Đình Cư


- Vậy min AB  2

7
21
2
 t  1;  m 2  1  1  m  0
3
3

Ví dụ 10.Cho hàm số y  x3  3x 2  4

C 

b. Cho điểm I(-1;0). Xác định các tham số thực m để đường thẳng d : y=mx+m cắt
đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt I,A,B sao cho AB < 2 2 .
GIẢI
b. Tọa độ của ba điểm là ba nghiệm của phương trình :
 x  1
 x 3 3 x 2  4  m( x  1);   x  1  x 2  4 x  4  m   0  
2
 g ( x; m)   x  2   m  0

 x  1

x  2 m

x  2  m

m  0


1

- Do đó A,B có hoành độ là hai nghiệm của (1).
- Gọi A  x1 ; mx1  m  ; B  x2 ; mx2  m   AB 

 x2  x1 

2

 m2  x2  x1   x2  x1
2

m2  1

- Theo giả thiết : AB < 2 2 .
 x2  x1



 

m 2  1  2 2;  2  m  2  m



m 2  1  2 2  2 m  m 2  1  2 2

 m3  m  2  0   m  1  m 2  m  2  0  m  1. Kết hợp với m>0 , ta có : 0<m<1

là đáp số của bài toán .

2x 1
5
 2
x2
x2

C

b. Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M(0;1). Hãy tìm trên (C)những điểm có hoành độ
x>1 mà khoảng cách từ đó đến d là ngắn nhất .
GIẢI
Chuyên đề LTĐH

99

Trần Đình Cư


b.Ta có : y '  

5

 x  2

2

 y '(0)  

5
4

- Phương trình tiếp tuyến d tại M : y  
- Gọi M  x; y   (C )
 h( M ; d ) 


5
5
 x  0   1   x  1;  5 x  4 y  4  0
4
4

với x>1 . Khoảng cách từ M đến d là h(M;d) thì :

5x  4 y  4
25  16



1
1
5 

5x  4 y  4 
5x  4 2 
4
x2
41
41


1
20
5x  4 
x2
41

 g ( x)  5 x  4 

20
20
 0  x  0 x  4
 x  1 ; g '( x)  5 
2
x2
 x  2

- Bằng cách lập bảng biến thiên , ta thấy ming(x)=g(4)=34
- Kết luận : min h( M ; d ) 

5 9
1
 9
.34 khi x=4 và y= 2     : A  4;    C 
2 2
41
 2

Ví dụ 12 . Cho hàm số y 

2x 1
5
 2
x2
x2

C 

b. Tìm hai điểm M,N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M,N song song với nhau và
khoảng cách giữa hai tiếp tuyến là lớn nhất .
GIẢI
b.Tập xác định : D=R 2
- Đạo hàm : y '  

5

 x  2

2

- Gọi : M  x1 ; y1  ; N  x2 ; y2    C  .kM  

5

 x1  2 

2

; kN  

5

 x2  2

2

- Nếu hai tiếp tuyến song song với nhau :
 kM  k N  

5



5

  x2  2    x1  2   0
2

2

 x1  2 
 x2  2 
  x2  x1  x2  x1  4   0  x1  x2  4  0 1  x1  x2 

Chuyên đề LTĐH

2

2

100

Trần Đình Cư


- Khoảng cách hai tiếp tuyến ngắn nhất khi MN vuông góc với hai tiếp tuyến :
 k MN .k M  1; k MN 



y2  y1
1
5  
5 

 2 
  2 

x2  x1  x2  x1  
x2  2  
x1  2  

5  x2  x1 
5

 x2  x1  x2  2  x1  2   x2  2 x1  2

 kM  



5

 x1  2 

2

 k MN .k M 

5

5

 x2  2  x1  2   x1  2 2

 1. Từ (1) x2  2  2  x1

5
5
1
3
 1  x1  x1  2  
2
25
 2  x1  2  x1  2   x1  2 

 25 x14  6.25 x13  25.16 x12  8.25 x1  1  0


2x  4
6
 2 
1 x
1 x

C

b. Gọi d là đường thẳng đi qua M(1;3) có hệ số góc là k .Tìm k để d cắt (C) tại hai
điểm A,B sao cho AB = 3 10 .
GIẢI
b. - Đường thẳng d : y=k(x -1)+1 .
- Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ của A,B là hai nghiệm của phương trình :


2x  4
 kx  1  k ;  g ( x; k )  kx 2   3  2k  x  k  3  0
1 x

1 . ( có hai nghiệm phân

biệt khác1 )
k  0
k  0

k  0
2

     3  2k   4k  k  3   0  

9
9  24k  0
 g (1; k )  6  0
k  24



*

- Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm A,B
- Gọi
A  x1 ; kx1  3  k  ; B  x2 ; kx2  3  k   AB 

 x2  x1 

2

 k 2  x2  x1   x2  x1
2

k2 1

Chuyên đề LTĐH

101

Trần Đình Cư

 AB 

9  24k
k

k 2  1  3 10   9  24 k   k 2  1  90 k 2  24 k 3  81k 2  24 k  9  0

 k  3
 k  3
 3  k  3  8k  3k  1  0   2

 k  3  41  k  3  41
8k  3k  1  0


16
16

2

 **

- Vậy với k thỏa mãn (**) thì d cắt (C) tại A,B và AB= 3 10
Ví dụ 14. Cho hàm só y  x3  3 x  2

C 

b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N mà MN= 2 6 .
GIẢI
- Đạo hàm : y '  3x 2  3  0  x  1  x  1
3
- Gọi M  x0 ; y0    C   y0  x0  3x0  2

- Tiếp tuyến d tại M có phương trình :
2
3
2
y   3x0  3  x  x0   x0  3x0  2  3  x0  1  x0  1 x  x0    x0  x0  2 



- Nếu d cắt (C) tại N thì :
2
3
 x 3  3 x  2   3 x0  3  x  x0   x0  3x0  2

3
2
2
2
 x 3  x0  3  x  x0    3x0  3   x  x0   0   x  x0   x 2  xx0  x0   3  3x0  3   0



 x  x0
 x  x0  0
 x  x0
 2
  x  4 x0  
.
2

 x  4 x0
 x  xx0  2 x0  0  x  x
0




- Như vậy , điểm N là điểm có hoành độ là : xN  4 x0  N 4 x0 ;  4 x0  1  4 x0  2 
- Ta có : MN 

 5 x0 

2

  4 x0  1  4 x0  2   x0  1

2

2

2

2

 x0  2 


2
2
2
 MN  25 x0   65 x0  15 x0   5 x0 1   3  13 x0   5 x0 169 x0  78 x0  10
2

2


Chuyên đề LTĐH

102

Trần Đình Cư



2
2
2
 5 x0 169 x0  78 x0  10  2 6   25 x0 169 x0  78 x0  10  24

Ví dụ 15 .Cho hàm số y 

3x  2
1
 3
x 1
x 1

C .

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) .
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;3) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B
sao cho AB= 2 3 .
GIẢI
b. Gọi d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k , thì d : y=k(x -1)+3 (1)
- Nếu d cắt (C) tại hai điểm A,B thì hoành độ A,B là hai nghiệm của phương trình :


3x  2
 kx  3  k  g (k ; x )  kx 2  2kx  k  1  0
x 1

 2 Có hai nghiệm phân biệt

khác 1.
k  0
k  0

  '  k 2  k  k  1  0  
k0
k  0
 g (1; k )  1  0


 *

- Gọi
A  x1 ; kx1  3  k  ; B  x2 ; kx2  3  k   AB 

 x2  x1 

2

 k 2  x2  x1   x2  x1
2

k2 1.

Với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (2).
-  AB 

2 '
2 k
. k 2 1 
. k 2  1  2 3;  k  k 2  1  k
a
k

 k 2  1  3k  k 2  3k  1  0  k 

- Vậy đáp số : k 

3  k  k 2  1  3k 2

3 5
3 5
. Thỏa mãn (*).
k 
2
2

3 5
3 5
.
k 
2
2


2x
2
 2
x 1
x 1

C

b. Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y=mx -m+2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt A,B sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất .
Chuyên đề LTĐH

103

Trần Đình Cư


GIẢI
b. Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ của A,B là hai nghiệm của phương trình :


2x
 mx  m  2  g ( x; m)  mx 2  2mx  m  2  0
x 1

m  0
m 

  '  m 2  m  m  2   0  
m0
 2m  0
 g (1; m)  2  0


1 có hai nghiệm x khác 1.

 *

- Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A,B có hoành độ là hai nghiệm của (1)
- Gọi
A  x1 ; mx1  m  2  ; B  x2 ; mx2  m  2   AB 

 x2  x1 

2

 m2  x2  x1   x2  x1
2

m2  1

2m  m 2  1
2  m 2  1
2 '
2 2m
2
2
 AB 
. m 1 
. m 1  2
2
 2 4  4.
a
m
m2
m

- Vậy min AB=4 khi m=1.
Ví dụ 17. Cho hàm số y  x3  3 x 2  1

C 

b. Tìm hai điểm A,B trên (C) sao cho tiếp tuyến tại A,B song song với nhau và AB
= 4 2.
GIẢI
2
b.Ta có y '  3 x 2  6 x  k A  3x12  6 x1 ; k B  3x2  6 x2

- Nếu hai tiếp tuyến tại A,B song song nhau thì :
 x1  x2
2
 3 x2  6 x2  3 x12  6 x1 ;  3  x2  x1  x2  x1  2   0  
 x1  x2  2 *

- Do
3
2
A, B  (C )  y1  x13  3x12  1; y2  x2  3x2  1  y2  y1
2
  x2  x1   x12  x1 x2  x2   3  x1  x2  



Chuyên đề LTĐH

104

Trần Đình Cư

2
 y2  y1   x2  x1   x1  x2   3  x1  x2   x1 x2    x2  x1  4  3.2  x1 x2 


   x2  x1  2  x1 x2   **

 AB 

 x2  x1    y2  y1 
2

2



 x2  x1    x2  x1   2  x1 x2 
2

2

2

 x2  x1 1   2  x1 x2 

Theo giả thiết :
2
2
2
x2  x1 1   2  x1 x2   4 2   x2  x1  1   2  x1 x2    32


2
2
  x1  x2   4 x1 x2  1   2  x1 x2    32;




- Đặt t= x1 x2 , và thay x1  x2  2 (do *)ta có :

 4  4t   5  4t  t 2   32  0;  t 3  3t 2  t  3  0   t 2  1  t  3  0  t   3
  x1  1

 x1  x2  2
 x2  3
2
- Vậy ta có hệ : 
 X  2 X  3  0  X  1  X  3  
 x  3
 x1 x2  3
 1
  x2  1


- Do đó tồn tại hai điểm A  1; 3 ; B  3;1  A  3;1 ; B  1; 3 thỏa mãn yêu cầu bài
toán


x2
x3

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
b.Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận
đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

Bài 2. Cho hàm số f x  

2x  1
1 x

(H)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
b. Gọi (∆) là tiếp tuyến tại điểm M( 0; 1 ) với đồ thị (H). Hãy tìm trên (H)
những điểm có hoành độ x > 1 mà khoảng cách từ đó đến (∆) là ngắn nhất.
Chuyên đề LTĐH

105

Trần Đình Cư

2



mx  m  1
. (C ).
x  m 1

1. Khảo sát hàm số khi m=2
2. Tìm trên (C ) những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm
cận nhỏ nhất.
Bài 4. cho hàm số y 

x 1
( C ).
x 1

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b .Tìm M thuộc ( C ) sao cho tổng khoảng cách từ m đến hai trục toạ đ ộ nhỏ
nhát.
Bài 5. Tìm trên đồ thị hàm số y 

x2
các điểm cách đều hai trục toạ độ.
x2

Bài 6. Cho hàm số y  x3  3mx 2  3x  3m  2  Cm  . Định m để  Cm  có cực đại cực
tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
Bài 7. Cho  C  : y 

2x  2
. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng
x 1

cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
x2  x  1
Bài 8. Cho hàm số  C  : y 
. Tìm cá điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách
x 1

đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.

2x  2
. Tìm 2 điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của
x 1

(C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.

x2  x  1
. Tìm 2 điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau
x 1

của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
a.

x2  2 x  1
.
x 1

Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến 2 trục tọa độ
là nhỏ nhất.

b.
Tìm 2 điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN
nhỏ nhất.

Chuyên đề LTĐH

106

Trần Đình Cư


Bài 22. (ĐH Khối A 2005)Gọi ( Cm) là đồ thị của hàm số: y  mx 
số)

1
(*) (m là tham
x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m =

1
4

.

b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của
(Cm) đến tiệm cận xiên bằng

1
2

.

Bài 23. Cho đồ thị (C) và điể m A. Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất.
Chứng minh rằng khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến
của (C) tại M.
a) (C ) : y  x 2  1; A  O(0; 0)
c) (C ) : y  2 x 2  1;

b) (C ) : y  x 2 ; A(3; 0)

A(9;1)

Bài 24. Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách
từ M đến d là nhỏ nhất.
a) (C ) : y  2 x 4  3 x 2  2 x  1; d : y  2 x  1 b) (C ) : y 

x2  4x  5
; d : y  3 x  6
x2

c) (C ) : y  x  x 2 ;

x 1
; d : y  2 x  3
x 1

d : y  2( x  1)

d) (C ) : y 

Bài 25. Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho d(M, Ox) = k.d(M,Oy) với k cho
trước.
a) (C ) : y 

x2
;
x 2

k 1

b) (C ) : y 

x2  x  1
;
x 1

c) (C ) : y 

x2  x  1
;
x 1

k2

d) (C ) : y 

x2  2x  2
; k 2
x 1

k 1

Bài 26. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến
hai tiệm cận là nhỏ nhất.
a) (H ) : y 

x2
x 2

b) (H ) : y 

2x 1
x 1

c) (H ) : y 

4x  9
x 3

d) (H ) : y 

x2  x  2
x 3

e) (H ) : y 

x2  x  1
2 x

f) (H ) : y 

x 2  3x  3
x2

Chuyên đề LTĐH

107

Trần Đình Cư


Bài 27. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến
hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
a) (H ) : y 

x 1
x 1

b) (H ) : y 

2x  1
x 2

c) (H ) : y 

4x  9
x 3

d) (H ) : y 

x 2  x  11
x 1

e) (H ) : y 

x2  3
x 2

f) (H ) : y 

x2  x  6
x 3

Bài 28. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho khoảng cách từ đó đến giao
điểm của hai tiệm cận là nhỏ nhất.
a) (H ) : y 

x2  2x  2
x 1

b) (H ) : y 

x2  x  1
;x 1
x 1

Bài 29. Cho hypebol (H). Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H)
sao cho độ dài AB là nhỏ nhất.
a) (H ) : y 

x 1
x 1

d) (H ) : y  2 x  1 

b) (H ) : y 
1
x

2x  3
2 x

c) (H ) : y 

4x  9
x 3

e) (H ) : y 

x 2  3x  3
x 1

f) (H ) : y 

x2  2x  5
1 x

Bài 30. Cho (C) và đường thẳng d. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ
dài AB là nhỏ nhất.
a) (H ) : y 

x2  6x  4
; d:yk
x 1

Chuyên đề LTĐH

b) (H ) : y 

108

x 1
; d : 2x  y  m  0
x 1

Trần Đình Cư

Hàm số ôn thi đại học

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Hàm số ôn thi đại học (20)

More from tuituhoc (20)

Recently uploaded (20)

Hàm số ôn thi đại học