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IME 2020 - FECHADA
1
01. (Ime 2020) Considere a progressão geométrica 1 2 n
a , a , , a ,
  e a progressão aritmética 1 2 n
b , b , , b ,
  com as
condições:
1
a 0;
>
2
1
a
1;
a
= e
2 1
b b 0
− >
Para que n n
[log (a ) b ]
α − não dependa de n, o valor de α deverá ser
a) 2
1
b
2
1
a
a
 
 
 
b) 1
1
b
2
1
a
a
 
 
 
c) 2 1
1
(b b )
2
1
a
a
−
 
 
 
d) 1 2
1
(b b )
2
1
a
a
−
 
 
 
e) 1 2
1
(b b )
2
1
a
a
 
 
 
02. (Ime 2020) Diversos modelos de placas de identificação de veículos já foram adotados no Brasil. Considere os seguintes
modelos de placas e a descrição de sua composição alfanumérica:
- Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de três números)
- Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro números)
- Modelo 3: ABC1234 (três letras seguidas de quatro números)
- Modelo 4: ABC1C23 (três letras seguidas de um número, uma letra e dois números)
Sejam 1 2 3
c , c , c e 4
c as quantidades das combinações alfanuméricas possíveis para os modelos 1, 2, 3 e 4,
respectivamente. Os números 1 2 3
c , c , c e 4
c são termos de uma progressão aritmética com infinitos termos com a maior
razão possível. A soma dos algarismos da razão dessa progressão é:
Observação:
- considere o alfabeto com 26 letras.
a) 11
b) 12
c) 14
d) 16
e) 19
IME 2020 - FECHADA
2
03. (Ime 2020) Considere os conjuntos A {0,1, 2, 3, 4}
= e B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}.
= Seja F o conjunto de funções cujo
domínio é A e cujo contradomínio é B. Escolhendo-se ao acaso uma função f de F, a probabilidade de f ser
estritamente crescente ou ser injetora é
a) 0,00252
b) 0,00462
c) 0,25200
d) 0,30240
e) 0,55440
04. (Ime 2020) Um triângulo equilátero é projetado ortogonalmente em um plano, gerando um triângulo isósceles, cujo
ângulo desigual mede 30 .
° O cosseno do ângulo do plano do triângulo equilátero com o plano de projeção é
a) 2 3 3
−
b) 4 2 3
−
c) 2 3
−
d) 1 3
−
e)
3
1
2
−
05. (Ime 2020) Em um cubo regular de aresta a, os pontos M, N e L pertencentes às três arestas distintas que partem do
vértice A estão a uma distância x de A tal que
a
0 x .
2
< ≤ Para que plano MNL seja tangente à esfera inscrita no cubo,
o valor de x é
a)
a
( 3 1)
2
−
b)
a
(3 3)
2
−
c)
a
(2 3)
2
−
d)
a
(4 2 3)
2
−
e)
a 3
2
06. (Ime 2020) Um inteiro positivo é escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vértice, é calculado o
produto dos números escritos nas três faces adjacentes. Se a soma desses produtos é 1105, a soma dos seis números das
faces é
a) 22
b) 35
c) 40
d) 42
e) 50
IME 2020 - FECHADA
3
07. (Ime 2020) O lugar geométrico definido pela equação 2 2
x 3y 5 2x xy 4y
+ + = − − representa
a) uma elipse.
b) uma hipérbole.
c) uma circunferência.
d) um conjunto vazio.
e) duas retas paralelas.
08. (Ime 2020) Uma progressão geométrica é formada com os números naturais A, B e C, nessa ordem. O log(A) possui
a mesma mantissa, M, do log(B) e C é a característica do log(A). Sabe-se que M log(C)
= e que C possui o maior valor
possível. O valor da mantissa do log(ABC) é
a) M
b) 2M
c) 3M
d) 3M 2
−
e) 3M 3
−
09. (Ime 2020) Sabe-se que S x y z,
= + + onde x, y e z são soluções inteiras do sistema abaixo.
2
3
2ln(x)
2 x
2y
x
2
y e
log y log z (x 3)

 =


 =



+ =
+

O valor de S é
a) 84
b) 168
c) 234
d) 512
e) 600
10. (Ime 2020) Seja 𝐴𝐴 = {𝑧𝑧 ∈ ℂ|2 ≤ |𝑧𝑧 − 3 − 4𝑖𝑖| ≤ 3} onde ℂ é o conjunto dos números complexos. O valor do produto
entre o simétrico do complexo de menor módulo do conjunto A e o conjugado do complexo de maior módulo do mesmo
conjunto A é
a) 16
−
b) 8
−
c) 16 5
−
d) 1
e) 16
IME 2020 - FECHADA
4
11. (Ime 2020) Um polinômio P(x) de grau maior que 3 quando dividido por x 2, x 3
− − e x 5
− deixa restos 2, 3 e 5,
respectivamente. O resto da divisão de P(x) por (x 2)(x 3)(x 5)
− − − é
a) 1
b) x
c) 30
d) x 1
−
e) x 30
−
12. (Ime 2020) Considere a função f(x) x a,
= − x a,
≥ onde a é um número real positivo. Seja s a reta secante ao gráfico
de f em (2a, f(2a)) e (5a, f(5a)) e t a reta tangente ao gráfico de f que é paralela à reta s. A área do quadrilátero
formado pela reta s, a reta t, a reta x 2a
= e a reta x 5a
= é 2 unidades de área. O valor de a, em unidades de
comprimento, é
a) 2 2
b) 4
c) 2
d) 3 2
e) 3
2 4
13. (Ime 2020) Todos os arcos entre 0 e 2π radianos que satisfazem a desigualdade
1 3
senx cosx
2 2
− > + , estão
compreendidos entre
a)
12
π
e
6
π
b)
5
12
π
e
7
12
π
c)
2
3
π
e
5
6
π
d)
3
π
e
2
π
e)
5
6
π
e
11
12
π
14. (Ime 2020) O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo:
a) [1,16000]
b) [16001,17000]
c) [17001,18000]
d) [18001,19000]
e) 1900
[ 1, )
∞
IME 2020 - FECHADA
5
15. (Ime 2020) Seja U o conjunto dos 1000 primeiros números naturais maiores que zero. Considere que zeros à esquerda
são omitidos. Seja A U
⊆ o conjunto de números cuja representação na base 10 tem o algarismo mais significativo igual
a 1; e B U
⊆ o conjunto de números cuja representação na base 4 tem o algarismo mais significativo igual a 2. As
cardinalidades de A B
− e de B A
− são, respectivamente:
Observação:
* cardinalidade de um conjunto finito é o número de elementos distintos desse conjunto.
a) 46 e 277
b) 45 e 275
c) 44 e 275
d) 45 e 277
e) 46 e 275
GABARITO
1 - C 2 - E 3 - D 4 - A 5 - ANULADA
6 - B 7 - D 8 - D 9 - A 10 - A
11 - B 12 - E 13 - C 14 - C 15 - E

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IME 2020 - fechada

  • 1. IME 2020 - FECHADA 1 01. (Ime 2020) Considere a progressão geométrica 1 2 n a , a , , a ,   e a progressão aritmética 1 2 n b , b , , b ,   com as condições: 1 a 0; > 2 1 a 1; a = e 2 1 b b 0 − > Para que n n [log (a ) b ] α − não dependa de n, o valor de α deverá ser a) 2 1 b 2 1 a a       b) 1 1 b 2 1 a a       c) 2 1 1 (b b ) 2 1 a a −       d) 1 2 1 (b b ) 2 1 a a −       e) 1 2 1 (b b ) 2 1 a a       02. (Ime 2020) Diversos modelos de placas de identificação de veículos já foram adotados no Brasil. Considere os seguintes modelos de placas e a descrição de sua composição alfanumérica: - Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de três números) - Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro números) - Modelo 3: ABC1234 (três letras seguidas de quatro números) - Modelo 4: ABC1C23 (três letras seguidas de um número, uma letra e dois números) Sejam 1 2 3 c , c , c e 4 c as quantidades das combinações alfanuméricas possíveis para os modelos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Os números 1 2 3 c , c , c e 4 c são termos de uma progressão aritmética com infinitos termos com a maior razão possível. A soma dos algarismos da razão dessa progressão é: Observação: - considere o alfabeto com 26 letras. a) 11 b) 12 c) 14 d) 16 e) 19
  • 2. IME 2020 - FECHADA 2 03. (Ime 2020) Considere os conjuntos A {0,1, 2, 3, 4} = e B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}. = Seja F o conjunto de funções cujo domínio é A e cujo contradomínio é B. Escolhendo-se ao acaso uma função f de F, a probabilidade de f ser estritamente crescente ou ser injetora é a) 0,00252 b) 0,00462 c) 0,25200 d) 0,30240 e) 0,55440 04. (Ime 2020) Um triângulo equilátero é projetado ortogonalmente em um plano, gerando um triângulo isósceles, cujo ângulo desigual mede 30 . ° O cosseno do ângulo do plano do triângulo equilátero com o plano de projeção é a) 2 3 3 − b) 4 2 3 − c) 2 3 − d) 1 3 − e) 3 1 2 − 05. (Ime 2020) Em um cubo regular de aresta a, os pontos M, N e L pertencentes às três arestas distintas que partem do vértice A estão a uma distância x de A tal que a 0 x . 2 < ≤ Para que plano MNL seja tangente à esfera inscrita no cubo, o valor de x é a) a ( 3 1) 2 − b) a (3 3) 2 − c) a (2 3) 2 − d) a (4 2 3) 2 − e) a 3 2 06. (Ime 2020) Um inteiro positivo é escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vértice, é calculado o produto dos números escritos nas três faces adjacentes. Se a soma desses produtos é 1105, a soma dos seis números das faces é a) 22 b) 35 c) 40 d) 42 e) 50
  • 3. IME 2020 - FECHADA 3 07. (Ime 2020) O lugar geométrico definido pela equação 2 2 x 3y 5 2x xy 4y + + = − − representa a) uma elipse. b) uma hipérbole. c) uma circunferência. d) um conjunto vazio. e) duas retas paralelas. 08. (Ime 2020) Uma progressão geométrica é formada com os números naturais A, B e C, nessa ordem. O log(A) possui a mesma mantissa, M, do log(B) e C é a característica do log(A). Sabe-se que M log(C) = e que C possui o maior valor possível. O valor da mantissa do log(ABC) é a) M b) 2M c) 3M d) 3M 2 − e) 3M 3 − 09. (Ime 2020) Sabe-se que S x y z, = + + onde x, y e z são soluções inteiras do sistema abaixo. 2 3 2ln(x) 2 x 2y x 2 y e log y log z (x 3)   =    =    + = +  O valor de S é a) 84 b) 168 c) 234 d) 512 e) 600 10. (Ime 2020) Seja 𝐴𝐴 = {𝑧𝑧 ∈ ℂ|2 ≤ |𝑧𝑧 − 3 − 4𝑖𝑖| ≤ 3} onde ℂ é o conjunto dos números complexos. O valor do produto entre o simétrico do complexo de menor módulo do conjunto A e o conjugado do complexo de maior módulo do mesmo conjunto A é a) 16 − b) 8 − c) 16 5 − d) 1 e) 16
  • 4. IME 2020 - FECHADA 4 11. (Ime 2020) Um polinômio P(x) de grau maior que 3 quando dividido por x 2, x 3 − − e x 5 − deixa restos 2, 3 e 5, respectivamente. O resto da divisão de P(x) por (x 2)(x 3)(x 5) − − − é a) 1 b) x c) 30 d) x 1 − e) x 30 − 12. (Ime 2020) Considere a função f(x) x a, = − x a, ≥ onde a é um número real positivo. Seja s a reta secante ao gráfico de f em (2a, f(2a)) e (5a, f(5a)) e t a reta tangente ao gráfico de f que é paralela à reta s. A área do quadrilátero formado pela reta s, a reta t, a reta x 2a = e a reta x 5a = é 2 unidades de área. O valor de a, em unidades de comprimento, é a) 2 2 b) 4 c) 2 d) 3 2 e) 3 2 4 13. (Ime 2020) Todos os arcos entre 0 e 2π radianos que satisfazem a desigualdade 1 3 senx cosx 2 2 − > + , estão compreendidos entre a) 12 π e 6 π b) 5 12 π e 7 12 π c) 2 3 π e 5 6 π d) 3 π e 2 π e) 5 6 π e 11 12 π 14. (Ime 2020) O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo: a) [1,16000] b) [16001,17000] c) [17001,18000] d) [18001,19000] e) 1900 [ 1, ) ∞
  • 5. IME 2020 - FECHADA 5 15. (Ime 2020) Seja U o conjunto dos 1000 primeiros números naturais maiores que zero. Considere que zeros à esquerda são omitidos. Seja A U ⊆ o conjunto de números cuja representação na base 10 tem o algarismo mais significativo igual a 1; e B U ⊆ o conjunto de números cuja representação na base 4 tem o algarismo mais significativo igual a 2. As cardinalidades de A B − e de B A − são, respectivamente: Observação: * cardinalidade de um conjunto finito é o número de elementos distintos desse conjunto. a) 46 e 277 b) 45 e 275 c) 44 e 275 d) 45 e 277 e) 46 e 275 GABARITO 1 - C 2 - E 3 - D 4 - A 5 - ANULADA 6 - B 7 - D 8 - D 9 - A 10 - A 11 - B 12 - E 13 - C 14 - C 15 - E