Integral fungsi rasional (2)
Download as PPT, PDF4 likes5,321 views
Dokumen tersebut membahas tentang dekomposisi pecahan parsial dari fungsi rasional untuk menghitung integralnya. Metode ini melibatkan pembagian fungsi rasional menjadi jumlahan suku-suku polinomial sederhana yang dapat diintegralkan. Contoh pembagian dilakukan untuk kasus fungsi rasional yang merupakan kombinasi dari faktor-faktor linier dan kuadratik.
![INTEGRAL TAK-WAJAR
• Beberapa aplikasi calculus melibatkan integral dimana
1. Interval integrasi tidak terbatas:
[a,+∞), (- ∞, a], atau (- ∞, + ∞)
2. Integran adalah fungsi diskontinu tak-hingga di suatu
titik c di dalam selang [a, b]: limx→c f(x) = ±∞
Contoh:
1. 2.
∫
∞
1
2
1
dx
x ∫
1
0
1
dx
x](https://image.slidesharecdn.com/integralfungsirasional2-130428094321-phpapp02/85/Integral-fungsi-rasional-2-10-320.jpg)
![• Hal yang sama:
• Jika f kontinu disetiap titik pada [a,b] kecuali di
titik c∈(a,b) dan salah satu atau kedua2 limit
sepihak f di c adalah tak-hingga maka
.)(lim)(
makabila)(tetapi
](padanegatif-nondankontinu)(Jika
∫∫ +
→
+
=
→+∞→
b
tat
b
a
dxxfdxxf
axxf
a, bxf
∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(](https://image.slidesharecdn.com/integralfungsirasional2-130428094321-phpapp02/85/Integral-fungsi-rasional-2-14-320.jpg)
Integral fungsi rasional (2)
- 1. Fungsi Rasional dan Pecahan Parsial • Fungsi rasional diekspresikan sbb • Untuk menghitung integral fungsi rasional, perlu dilakukan dekomposisi pecahan-parsial dari fungsi rasional tersebut. polinomialadalah)(dan)(dimana )( )( )( xQxP xQ xP xR =
- 2. • Metode pecahan parsial adalah suatu tehnik aljabar dimana R(x) didekomposisi menjadi jumlahan suku-suku: konstanta.-konstantaadalah,,,,, kuadratik)(faktor )( ataulinier)(faktor )( berbentuk parsial-pecahan)(danpolinomialsuatu)(dimana ),()()()( )( )( )( 2 21 cbaCBA cbxax CBx bax A xFxp xFxFxFxp xQ xP xR n n i k ++ + + ++++==
- 5. Faktor-faktor Linier • Jika Q(x) adalah (ax +b)n ( kelipatan n dari faktor ax +b), maka dekomposisinya • Jika Q(x) adalah faktor-faktor linier dengan kelipatan n = 1, konstanta,,,, )()( 212 21 nn n AAA bax A bax A bax A + ++ + + + )()()( :idekomposismaka )())(()( 22 2 11 1 2211 nn n nn bxa A bxa A bxa A bxabxabxaxQ + ++ + + + +++=
- 6. • Contoh ( )( ) ∫ ∫ −+ −− −+ dx xxx xx dx xx 2 434 .2 . 212 5 .1 23 2
- 7. Faktor Kuadratik • Jika Q(x) adalah (ax2 + bx + c)n (kelipatan n dari faktor kuadratik ax2 + bx + c), dimana ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan i.e. b2 –4ac <0, maka, dekomposisi R(x) konstanta.-konstanta,,,,,,, )()( 2121 222 22 2 11 nn n nn CCCBBB cbxax CxB cbxax CxB cbxax CxB ++ + ++ ++ + + ++ +
- 8. • Jika faktor-faktor kuadratik mempunyai kelipatan n=1, maka dekomposisi • Jika Q(x) kombinasi dari faktor linier dan kuadratik, gunakan dekomposisi yang sesuai untuk masing-masing faktor. konstanta.-konstanta,,,,,,, 2121 2 22 2 2 22 11 2 1 11 nn nnn nn CCCBBB cxbxa CxB cxbxa CxB cxbxa CxB ++ + ++ ++ + + ++ +
- 10. INTEGRAL TAK-WAJAR • Beberapa aplikasi calculus melibatkan integral dimana 1. Interval integrasi tidak terbatas: [a,+∞), (- ∞, a], atau (- ∞, + ∞) 2. Integran adalah fungsi diskontinu tak-hingga di suatu titik c di dalam selang [a, b]: limx→c f(x) = ±∞ Contoh: 1. 2. ∫ ∞ 1 2 1 dx x ∫ 1 0 1 dx x
- 11. Limit tak-hingga dari integral • Definisi: • Jika limitnya ada, dikatakan integral tak-wajar (kiri) tsb. convergen; • Jika limitnya tidak ada, dikatakan integral tak- wajar tsb. Divergen. )(lim)( ∫∫ ∞→ ∞ = t a t a dxxfdxxf
- 12. • Hal yang sama berlaku untuk • Contoh: 1. 2. ∫∫ −∞→ ∞− = b t t b dxxfdxxf )(lim)( ∫ ∞ 1 2 1 dx x ∫∞− − 0 1 1 dx x
- 13. Integran tak-hingga • Definisi: Jika limitnya ada: konvergen sebaliknya: divergen .)(lim)( makabila)(tetapi b)[a,padanegatif-nondankontinu)(Misalkan ∫∫ − → − = →+∞→ t abt b a dxxfdxxf bxxf xf
- 14. • Hal yang sama: • Jika f kontinu disetiap titik pada [a,b] kecuali di titik c∈(a,b) dan salah satu atau kedua2 limit sepihak f di c adalah tak-hingga maka .)(lim)( makabila)(tetapi ](padanegatif-nondankontinu)(Jika ∫∫ + → + = →+∞→ b tat b a dxxfdxxf axxf a, bxf ∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf )()()(
- 15. Contoh Selidiki integral tak-wajar berikut ∫ ∫ ∫ − − 2 0 3/2 2 1 2 1 0 )12( 1 .3 )2( 1 .2 1 .1 dx x dx x dx x