interpolasi
Download as PPTX, PDF4 likes15,238 views
Dokumen ini membahas metode numerik untuk interpolasi, termasuk interpolasi linier, kuadrat, dan Lagrange, serta penerapan teknik ini dalam menentukan nilai fungsi yang tidak diketahui dari data diskrit. Diberikan beberapa contoh kasus, penjelasan kosa kata matematis, dan prosedur untuk menggunakan interpolasi dalam konteks eksperimen fisika. Materi juga mencakup algoritma komputasi untuk menghampiri fungsi menggunakan titik data yang tersedia.
![TABEL REKURSIF INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON
i xi F(xi) F 2F 3F
0 x0 F(x0) F[x1 , x0] F[x2, x1, F[x3, x2, x1,
x0] x0]
1 x1 F(x1) F[x2 , x1] F[x3, x2,
x1]
2 x2 F(x2) F[x3 , x2]
3 xTabel selisih
3 F(x3)
i xi x- xi
0 x0 x – x0
1 x1 x – x1
2 x2 x – x2
3 x3 x – x3](https://image.slidesharecdn.com/4interpolasi2-120624234313-phpapp02/85/interpolasi-14-320.jpg)
![PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE- 1
f ( x1 ) f ( x0 ) 2 0 1
f [ x1 , x0 ]
x1 x0 10 0 5
f ( x2 ) f ( x1 ) 7 2 1
f [ x2 , x1 ]
x2 x1 20 10 2
i xi F(xi F f ( x3 ) f ( x2 ) 14 7 7
) f [ x3 , x2 ]
x3 x2 30 20 10
0 0 0 1/5
f ( x4 ) f ( x 3 ) 22 14 4
1 10 2 1/2 f [ x4 , x 3 ]
x4 x 3 40 30 5
2 20 7 7/10
f ( x5 ) f ( x4 ) 31 22 9
3 30 14 4/5 f [ x5 , x4 ]
x5 x4 50 40 10
4 40 22 9/10
50 31
f ( x6 ) f ( x5 ) 41 31
5 1 f [ x6 , x5 ] 1
60 41
x6 x5 60 50
6](https://image.slidesharecdn.com/4interpolasi2-120624234313-phpapp02/85/interpolasi-16-320.jpg)
![PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE-2
2F f [ x2 , x1 ] f [ x1 , x0 ] 1/ 2 1/ 5 3
i xi F f [ x2 , x1 , x0 ]
x 2 x0 20 0 200
0 0 F 3/200 7 1
f [ x3 , x2 ] f [ x2 , x1 ] 10 2 1
1 10 1/5 1/100 f [ x3 , x2 , x1 ]
x3 x1 30 10 100
2 20 1/2 1/200 4 7
f [ x4 , x 3 ] f [ x 3 , x 2 ] 5 10 1
3 30 7/10 1/200 f [ x4 , x 3 , x 2 ]
x4 x 2 40 20 200
4 40 4/5 1/200 9 4
f [ x5 , x4 ] f [ x4 , x 3 ] 10 5 1
50 f [ x5 , x4 , x 3 ]
5 9/10 x5 x 3 50 30 200
6 60 1 1 9
f [ x6 , x5 ] f [ x4 , x6 ] 10 1
f [ x6 , x5 , x4 ]
x6 x4 60 40 200](https://image.slidesharecdn.com/4interpolasi2-120624234313-phpapp02/85/interpolasi-17-320.jpg)
![PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE-3
i xi 2F 3F
0 0 3/200 -1/6000 1 / 100 3 / 200 1
f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]
10
30 0 6000
1 1/100 -1/6000
1 / 200 1 / 100 1
2 20 1/200 0 f [ x4 , x3 , x2 , x1 ]
40 10 6000
3 30 1/200 0 1 / 200 1 / 200
f [ x5 , x4 , x 3 , x 2 ] 0
4 40 1/200 50 20
50 1 / 200 1 / 200
5 f [ x6 , x5 , x4 , x 3 ] 0
60 30
6 60](https://image.slidesharecdn.com/4interpolasi2-120624234313-phpapp02/85/interpolasi-18-320.jpg)
interpolasi
- 1. METODE NUMERIK (MAT – 367 / 2–1 SKS) INTERPOLASI Della Maulidiya, S.Si, M.Kom
- 2. INTERPOLASI Pendekatan numerik untuk menentukan nilai suatu fungsi f(x) = y yang tidak diketahui rumus fungsinya, pada suatu nilai x tertentu jika nilai di sekitar x diketahui
- 3. POLINOMIAL INTERPOLASI Hampiran nilai fungsi dihampiri oleh fungsi Polinomial Nilai fungsi polinomial mudah dihitung, diturunkan, diintegral dan kontinu di semua titik Titik –titik data yang digunakan dalam interpolasi bersifat diskrit, misal hasil eksperimen fisik
- 4. METODE INTERPOLASI Interpolasi Interpolasi Linier Beda Terbagi Interpolasi Kuadrat Interpolasi Interpolasi Newton Beda Maju Interpolasi Polinomial Beda Interpolasi Mundur Interpolasi Lagrange
- 5. KASUS 1 : Jarak tempuh sebuah mobil setiap 10 menit Perpanjangan kawat (cm) 50 41 40 31 30 22 18 20 14 7 10 0 2 0 0 10 20 30 40 50 60 Peningkatan suhu Fungsi jarak s(t) tidak diketahui. Berapa jarak yang ditempuh mobil pada menit ke-35 ?
- 6. PENYELESAIAN KASUS 1 (INTERPOLASI LINIER): Menit ke-35 artinya t = 35 berada di tengah antara t = 30 dan t = 40. Misal antara t = 30 dan t = 40 dihubungkan oleh garis lurus (fungsi linier) maka titik (35, f(35) ) ada di antara titik (30, 14) dan (40, 22). Sehingga f(35) dapat ditentukan oleh : 14 22 f (35) 18 2 25 22 18 Jarak (km) 20 14 15 10 5 0 25 30 35 40 Waktu (menit)
- 8. PENYELESAIAN KASUS 1 (INTERPOLASI KUADRAT) : Di sekitar t = 35, selain t = 30 dan t = 40 juga ada titik-titik lain. Sehingga ada lebih dari dua titik yang bisa digunakan untuk menghitung f(35) dengan menggunakan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c f(20) = a(20)2 + b(20) + c = 400a +20b + c = 7 f(30) = 900a + 30b + c = 14 25 22 f(40) = 1600a + 40b + c = 22 17.875 20 Jarak (km) Diperoleh fungsi kuadrat : 15 14 f(x)=0,005x2 + 0,45x – 4 10 7 5 0 f(35) = 0.005(35)2 + 0.45(35) 4 15 20 25 30 35 40 f(35) = 17,875 Waktu (menit)
- 9. PENYELESAIAN KASUS 1 (INTERPOLASI KUADRAT) : Bandingkan jika menggunakan nilai di t = 30, t = 40 dan t = 50 f(30) = 900a + 30b + c = 14 f(40) = 1600a + 40b + c = 22 f(50) = 2500a + 50b + c = 31 Ternyata diperoleh fungsi kuadrat : f(x)=0,005x2 + 0,45x – 4 40 31 Jarak (km) 30 22 17.875 20 14 10 7 0 15 20 25 30 35 40 45 50 Waktu (menit)
- 11. PERBANDINGAN GRAFIK –GRAFIK FUNGSI POLINOMIAL Makin tinggi derajat polinomial makin cepat nilai fungsi meningkat
- 12. INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON Interpolasi linier dan interpolasi kuadrat adalah kasus khusus interpolasi beda terbagi Newton Interval nilai x tidak perlu sama Orde / derajat fungsi polinom ditentukan dari banyaknya titik data yang tersedia Fungsi polinom derajat n digunakan jika tersedia (n + 1) titik data Makin banyak data yang dilibatkan dalam pencarian suatu titik data maka akurasi akan makin baik Newton’s Divided Difference Interpolation
- 13. RUMUS INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON Beda terbagi hingga ke -n F Beda terbagi hingga ke Beda terbagi hingga ke – 2 -1 2F
- 14. TABEL REKURSIF INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON i xi F(xi) F 2F 3F 0 x0 F(x0) F[x1 , x0] F[x2, x1, F[x3, x2, x1, x0] x0] 1 x1 F(x1) F[x2 , x1] F[x3, x2, x1] 2 x2 F(x2) F[x3 , x2] 3 xTabel selisih 3 F(x3) i xi x- xi 0 x0 x – x0 1 x1 x – x1 2 x2 x – x2 3 x3 x – x3
- 15. PENYELESAIAN KASUS 1 DENGAN INTERPOLASI TERBAGI NEWTON Berapa jarak yang ditempuh mobil pada menit ke-35 ? Tabel data Tabel selisih untuk x = Waktu Jarak 35 i xi x- xi 0 0 0 0 35 10 2 1 10 25 20 7 2 20 15 30 14 3 30 5 40 22 4 40 -5 50 31 5 50 -10 60 41
- 16. PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE- 1 f ( x1 ) f ( x0 ) 2 0 1 f [ x1 , x0 ] x1 x0 10 0 5 f ( x2 ) f ( x1 ) 7 2 1 f [ x2 , x1 ] x2 x1 20 10 2 i xi F(xi F f ( x3 ) f ( x2 ) 14 7 7 ) f [ x3 , x2 ] x3 x2 30 20 10 0 0 0 1/5 f ( x4 ) f ( x 3 ) 22 14 4 1 10 2 1/2 f [ x4 , x 3 ] x4 x 3 40 30 5 2 20 7 7/10 f ( x5 ) f ( x4 ) 31 22 9 3 30 14 4/5 f [ x5 , x4 ] x5 x4 50 40 10 4 40 22 9/10 50 31 f ( x6 ) f ( x5 ) 41 31 5 1 f [ x6 , x5 ] 1 60 41 x6 x5 60 50 6
- 17. PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE-2 2F f [ x2 , x1 ] f [ x1 , x0 ] 1/ 2 1/ 5 3 i xi F f [ x2 , x1 , x0 ] x 2 x0 20 0 200 0 0 F 3/200 7 1 f [ x3 , x2 ] f [ x2 , x1 ] 10 2 1 1 10 1/5 1/100 f [ x3 , x2 , x1 ] x3 x1 30 10 100 2 20 1/2 1/200 4 7 f [ x4 , x 3 ] f [ x 3 , x 2 ] 5 10 1 3 30 7/10 1/200 f [ x4 , x 3 , x 2 ] x4 x 2 40 20 200 4 40 4/5 1/200 9 4 f [ x5 , x4 ] f [ x4 , x 3 ] 10 5 1 50 f [ x5 , x4 , x 3 ] 5 9/10 x5 x 3 50 30 200 6 60 1 1 9 f [ x6 , x5 ] f [ x4 , x6 ] 10 1 f [ x6 , x5 , x4 ] x6 x4 60 40 200
- 18. PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE-3 i xi 2F 3F 0 0 3/200 -1/6000 1 / 100 3 / 200 1 f [ x3 , x2 , x1 , x0 ] 10 30 0 6000 1 1/100 -1/6000 1 / 200 1 / 100 1 2 20 1/200 0 f [ x4 , x3 , x2 , x1 ] 40 10 6000 3 30 1/200 0 1 / 200 1 / 200 f [ x5 , x4 , x 3 , x 2 ] 0 4 40 1/200 50 20 50 1 / 200 1 / 200 5 f [ x6 , x5 , x4 , x 3 ] 0 60 30 6 60
- 19. PENCARIAN BEDA TERBAGI HINGGA KE-4 i xi 2F 3F 4F 0 0 3/200 -1/6000 0 1 10 1/100 -1/6000 1/240000 2 20 1/200 0 0 1 / 6000 1 / 6000 4 0 f 0 3 30 1/200 0 40 0 4 40 1/200 4 0 1 / 6000 1 1 f 5 50 50 10 240000 6 60 4 0 0 2 f 0 60 20
- 20. TABEL REKURSIF BEDA TERBAGI HINGGA MENGGUNAKAN MS. EXCEL 2 3 4 5 6 i xi fi F F F F F F 0 0 0 0.2 0.015 -0.000167 5.42101E-21 8.33333E-08 -2.77778E-09 1 10 2 0.5 0.01 -0.000167 4.16667E-06 -8.33333E-08 i xi x- xi 2 20 7 0.7 0.005 -1.73E-19 4.33681E-21 0 0 35 1 10 25 3 30 14 0.8 0.005 0 2 20 15 4 40 22 0.9 0.005 3 30 5 5 50 31 1 4 40 -5 6 60 41 5 50 -10 f6(36) = 0 + 35 0.2 + 35 25 0.015 + 35 25 15 (-0.000167) + 35 25 15 5 5.42101E-21 + 35 25 15 5 (-5) 8.33333E-08 + 35 25 15 5 (-5) (-10) (-2.77778E-09) = 17.89648 …
- 21. INTERPOLASI LAGRANGE • Joseph Louis Lagrange (Prancis) menulis persamaan garis lurus dalam bentuk polinomial Lagrange • Polinomial Lagrange dapat digunakan untuk menginterpolasi tabel dengan n nilai meskipun intervalnya titik-titik data tidak sama
- 22. TABEL SELISIH INTERPOLASI LAGRANGE i xi F(xi) x - xi x1 - xi x2 - xi x3 - xi x4 - xi 0 1 0 2 0 3 0 4 0
- 23. PENYELESAIAN KASUS 1 DENGAN INTERPOLASI LAGRANGE Tabel selisih interpolasi lagrange l xi F(xi) x - xi x0- xi x1 - xi x2 - xi x3 - xi x4 - xi x5 - xi x6 - xi 0 0 0 35 0 10 20 30 40 50 60 1 10 2 25 -10 0 10 20 30 40 50 2 20 7 15 -20 -10 0 10 20 30 40 3 30 14 5 -30 -20 -10 0 10 20 30 4 40 22 -5 -40 -30 -20 -10 0 10 20 5 50 31 -15 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 6 60 41 -25 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Polinomial Lagrange
- 24. TABEL POLINOMIAL LAGRANGE i xi F(xi) (x-xj) (xi-xj) Li Li * F(xi) 0 0 0 -3515625 720000000 -0.00488 0 1 10 2 -4921875 -120000000 0.041016 0.08203125 2 20 7 -8203125 48000000 -0.1709 -1.196289063 3 30 14 -24609375 -36000000 0.683594 9.5703125 4 40 22 24609375 48000000 0.512695 11.27929688 5 50 31 8203125 -120000000 -0.06836 -2.119140625 6 60 41 4921875 720000000 0.006836 0.280273438 f6(35) 17.89648438
- 25. KASUS 2 Hasil pengamatan sebuah eksperimen fisika yang meneliti pengaruh jarak regangan (meter) sebuah pegas terhadap besar gaya (Newton) yang dikerahkan pegas tersebut disajikan dalam tabel dan scatter plot berikut. Uji jarak gay 55 ke- a 50 1 0.005 8 45 40 2 0.010 17 35 3 0.015 22 30 4 0.020 32 25 5 0.025 36 20 6 0.030 41 15 10 7 0.035 45 5 8 0.040 48 0 9 0.045 50 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
- 26. TUGAS Tentukan besar gaya regangan pegas jika jarak regangan pegas sejauh x/1000 meter Nilai x ditentukan oleh dua angka terakhir NPM Contoh : A1C008006 maka x = 6 jarak = 0.006 m A1C008012 maka x = 12 jarak = 0.012 m Untuk dua angka terakhir NPM berikut maka nilai x yaitu : NPM 01 02 03 04 05 10 15 25 30 40 45 x 17 18 19 23 24 26 27 37 39 46 48 Buatlah scatter plot yang menunjukkan letak data yang Anda cari di antara titik-titik data yang diketahui
- 27. INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON DAN INTERPOLASI LAGRANGE KOMPUTASI NUMERIK MENGGUNAKAN MATLAB
- 28. ALGORITMA BEDA TERBAGI NEWTON polinomial Newton Menghitung polinomial Newton untuk menghampiri fungsi f(x) dengan menggunakan (n + 1) titik data yang berbeda INPUT : (x1, f(x1)) , (x2, f(x2)) , . . . , (xn, f(xn)), (xn + 1, f(xn + 1)), x OUTPUT : a1 , a2 , a3, . . . , an , an+1 , polinom PROSES : 1. FOR k = 1 TO (n + 1) D(1, k) = f(xk) 2. a1 = D(1, 1) 3. FOR j = 2 TO (n + 1) (a) FOR k = 1 TO ((n + 1) – j + 1) D(j, k) = (D(j - 1, k+1) – D(j – 1, k))/(xk+j - 1 – xk) (b) aj = D(j, 1)
- 29. ALGORITMA BEDA TERBAGI NEWTON….LANJUTAN PROSES : 4. selisih(1) = x – x(1) 5. polinom = a1 5. FOR i = 2 TO N polinom=polinom + (a(i) * selisih(i-1)) selisih(i) =selisih(i – 1) *( x - x(i)) 6. STOP
- 30. HASIL PROGRAM MATLAB UNTUK ALGORITMA BEDA TERBAGI NEWTON Baris ke-1 adalah nilai – nilai y Baris ke-2 adalah nilai beda terhingga ke – 1 yaitu F Baris ke-3 adalah nilai beda terhingga ke – 1 yaitu 2F Baris ke-4 adalah nilai beda terhingga ke – 1 yaitu 3F …… dan seterusnya
- 31. ALGORITMA INTERPOLASI LAGRANGE Menghitung polinomial Lagrange untuk menghampiri fungsi f(x) dengan menggunakan n titik data yang berbeda INPUT : (x1, f(x1)) , (x2, f(x2)) , . . . , (xn, f(xn)), x OUTPUT : polinom Pn-1(x) PROSES : 1. Pn-1(x) = 0 2. FOR k = 1 TO n (a) Lk(x) = 1 (b) FOR j = 1 TO n if j k then Lk(x) = Lk(x) * (x – xj) / (xk – xj) (c) Pn-1(x) = Pn-1(x) + f(xk) * Lk(x) 3. STOP
- 32. REFERENSI Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan Matlab. Penerbit Andi. Yogyakarta Wahyudin. 1987. Metode Analisis Numerik. Penerbit Tarsito. Bandung Djojodihardjo, Harijono. 2000. Metode Numerik. Penerbit Gramedia Pustaka Utama. Jakarta Susila, I Nyoman. 1994. Dasar-dasar Metode Numerik. DepDikBud DIKTI. Proyek Pembinaan dan Peningkatan Mutu Tenaga Kependidikan. Jakarta