2. KÜMELER
Küme: Nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir.
Kümeyi oluşturan nesnelere kümenin elemanları denir.
Kümeler; A,B,C,D,...gibi büyük harflerle gösterilir.
Kümede bir eleman birden fazla yazılamaz.
Elemanların, kümenin içerisinde yer değiştirmesi kümeyi
değiştirmez.
A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
3. KÜMELER
KÜMENİN GÖSTERİLİŞİ
10 Tabanında, elemanları 5 ten büyük rakamlardan oluşan
küme 3 ayrı yöntemle gösterilir.
1-Liste yöntemi: Elemanları küme parantezi({ })içerisine alıp,
her bir eleman arasına virgül (,) gelecek şekilde yazılır ve
kümeler adları büyük harfle yazılır.
2-Ven Şeması: Düzgün kapalı şekil içerisine eleman yazılarak
küme oluşturulur.
.3.3
.5.5
5. KÜMELER
EŞİT KÜME
Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit küme denir
ÖRNEK:A={ 1,2,5,10}
B={x I x,10 sayısının pozitif tam bölenleri}
kümelerinin eşit olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM: 10 sayısının pozitif tam bölenleri 1,2,5,10 dur
O halde, B={1,2,5,10} dur
A ile B kümeleri eşittir.
A=B şeklinde gösterilir
6. KÜMELER
SONLU VE SONSUZ KÜME
Sonlu Küme: Elemanlarının sayısı bir doğal sayı
olan kümeye sonlu küme denir.
Sonsuz Küme: Sayılamayacak kadar çok elemanlı
olan kümeye sonsuz küme denir.
BOŞ KÜME
Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Boş küme {} sembolüyle gösterilir.
Boş kümenin eleman sayısı sıfır dır.
7. KÜMELER
ÖZ ALT KÜME
Bir kümenin kendisinden başka bütün alt kümelerine bu
kümenin öz alt kümesi denir.
N elemanlı bir kümenin “ALT küme-1”
sayıda öz alt küme sayısı var.
Örnek:
A={x,y}kümesinin öz alt kümeleri { } ,{x} ,{y} dır
8. KÜMELER
ALT KÜME
Bir A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanı
ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
A B şeklinde gösterilir.
Eğer A,B nin alt kümesi değil ise bu A B şeklinde gösterilir.
A B,A kümesi B kümesinin alt kümesidir.
B A,B kümesi A kümesini kapsar.
A kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı S(a)=2 dir.
⊂
⊃
⊄
⊂
9. KÜMELER
ALT KÜME ÖZELLİKLERİ
1-A A (Her küme kendisinin alt kümesidir.)
2-{ } A ( Boş küme her elemanın alt kümesidir)
3-(A B ve B A) ise A=B dir.
4-(A B ve B C) ise A C dir.
5-n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt
kümelerinin sayısı:
⊂
⊂
⊂
⊂
≥
⊂
⊂ ⊂
( )
!
!. !
n n
r n r r
=
−
10. KÜMELER
EVRENSEL KÜME VE TÜMLEYEN
Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye,
evrensel küme denir.
Evrensel küme genellikle E harfiyle gösterilir.
Evrensel kümenin, A kümesinin dışındaki elemanlarının
kümesine A kümesinin tümleyeni denir.
A kümesinin tümleyeni A’ şeklinde gösterilir.
A’
E
A
11. KÜMELER
EVRENSEL KÜME VE TÜMLEYEN
TÜMLEYEN ÖZELLİKLERİ
1) (A’)’=A
2)s(A)+ s(A’)= s(E)
3) ( ) ' E∅ =
5) ' 'A B B A⊂ ⇒ ⊂
( )4) 'E = ∅
6) 'A A∩ = ∅
12. KÜMELER
DE MORGAN KURALI
1- A ve B herhangi iki küme ise; (AUB)’ =A’ B’
2- A ve B herhangi iki küme ise ; (A B)’ =A’UB’
∩
∩
13. KÜMELER
KÜMELERİN BİRLEŞİMİ
A ve B herhangi iki küme olmak üzere; A ile B kümelerinin
bütün elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin
birleşimi denir.
A B
A={a,b,c,d}, B={b,c,e,f} kümeleri veriliyor
AUB kümesini liste biçiminde yazalım.
AUB={a,b,c,d,e,f} dir.
.a
.d .
.b .e
.c .f
AUB
14. KÜMELER
KÜMELERİN BİRLEŞİMİ
Birleşim İşleminin Özellikleri
1-Tek kuvvet özelliği: AUA=A
2-Değişme özeliği: AUB=BUA
3-Birleşme özeliği: Her A,B,C kümesi için
AU(BUC)=(AUB)UC
4-Birim(etkisiz) eleman özeliği: Her küme için AU{ }={ }UA
15. KÜMELER
KÜMELERİN KESİŞİMİ
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A ve B nin ortak elemanlarından
oluşan kümeye bu kümenin kesişimi denir. Kümelerinin kesişimi
A B şeklinde gösterilir. Aile B nin kesişimi
biçiminde tanımlanır.
Örnek: A={1,2,3,4,5}ve B={3,4,6,7} kümeleri veriliyor. A B kümesini
liste biçiminde yazalım ve ven şemasında gösterelim:
Çözüm: A B={3,4}
∩ { }A B xIx A x= ∈ ∧∈I
∩
∩
.1
.2
.5
.3 .6
.4
.7
A B
16. KÜMELER
KÜMELERİN KESİŞİMİ
Kesişim İşleminin Özellikleri
1-Tek kuvvet özelliği:Her eleman için dır
2-Değişme özelliği: her A ve B kümeleri için
dir.
A A A=I
{ }
{ }
A A xIx A x A
xIx A
A
= ∈ ∧ ∈
= ∈
=
I
A B B A=I I
{ }
{ }
A B xIx a x B
xIx B x A
B A
= ∈ ∧ ∈
= ∈ ∧ ∈
=
I
I
17. KÜMELER
KÜMELERİN KESİŞİMİ
Kesişim İşleminin Özellikleri
3-Birleşme özelliği: Her A;B;C kümeleri için ( )( )A B C A B C=I I I I
( ) ( ){ }
( ){ }
( ){ }
( )
A B C xIx A x B C
xIx A x B x C
xI x A x B x C
A B C
= ∈ ∧ ∈
= ∈ ∧ ∈ ∧ ∈
= ∈ ∧ ∈ ∧ ∈
=
I I I
I I
4-Yutan eleman özelliği: Her A kümesi için
dir
(Bu işlemde yutan eleman dir.)
A A∅ = ∅ = ∅I I
∅
18. KÜMELER
KÜMELERİN FARKI
A ve B herhangi iki küme olsun. A da olup B de olmayan
elemanların oluşturduğu kümeye “A”nın”B”den farkı denir
ve AB veya A-B Biçiminde gösterilir.
Örnek: A={1,2,3,4,5},B{3,5,6,7}kümeleri veriliyor.
A-B ve B-A kümelerini bulunuz.
Çözüm:
A-B={1,2,4},B-A={6,7} dir.
{ }A B xIx A x B− = ∈ ∧ ∉
.1
.2
.3
.3 .6
.5 .7
A
B
A-B B-A
