10
Most read
13
Most read
18
Most read
Matriks, Relasi, dan Fungsi 
Bekerjasama dengan 
Rinaldi Munir
Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A  B yang artinya f memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.
Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B. abABf
Fungsi adalah relasi yang khusus: 1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. 2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b)  f dan (a, c)  f, maka b = c.
Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantaranya: 1. Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. 2. Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan f(x) = 1/x. 3. Kata-kata Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”. 4. Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| function abs(x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end;
Contoh 26. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B. Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B. Contoh 27. Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}.
Contoh 28. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B. Contoh 29. Relasi f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v. Contoh 30. Misalkan f : Z  Z didefinisikan oleh f(x) = x2. Daerah asal dan daerah hasil dari f adalah himpunan bilangan bulat, dan jelajah dari f adalah himpunan bilangan bulat tidak-negatif.
Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. a1AB2345bcd
Contoh 31. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu, Tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u.
Contoh 32. Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu? Penyelesaian: (i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2  2. (ii) f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a  b, a – 1  b – 1. Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.
Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.  Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B. a1AB23bcd
Contoh 33. Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.
Contoh 34. Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi pada? Penyelesaian: (i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. (ii) f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.
Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada. Contoh 35. Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.
Contoh 36. Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. Fungsi satu-ke-satu, Fungsi pada, bukan pada bukan satu-ke-satu Buka fungsi satu-ke-satu Bukan fungsi maupun pada a1AB23bc4a1AB23bccda1AB23bccd4a1AB23bccd4
Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.
Contoh 37. Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible. Contoh 38. Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1. Penyelesaian: Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke- satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1.
Contoh 39. Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1. Penyelesaian: Dari Contoh 3.41 dan 3.44 kita sudah menyimpulkan bahwa f(x) = x – 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah funsgi yang not invertible.

More Related Content

PPTX
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
PPTX
Homomorfisma grup
PPT
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
PPTX
Bab2 peubah-acak-dan-distribusi-peluang
PDF
Relasi dan fungsi - matematika diskrit
PPTX
Bab 4 aljabar boolean
PPTX
Bab 6 relasi
DOCX
Sub grup normal dan grup fakto
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Homomorfisma grup
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
Bab2 peubah-acak-dan-distribusi-peluang
Relasi dan fungsi - matematika diskrit
Bab 4 aljabar boolean
Bab 6 relasi
Sub grup normal dan grup fakto

What's hot (20)

PPT
Pertemuan 3 relasi & fungsi
PDF
Prinsip Inklusi Eksklusi
PDF
Logika dan Pembuktian
PPTX
Nilai harapan
PDF
Vektor, Aljabar Linier
DOCX
Peubah acak diskrit dan kontinu
PDF
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 03
DOC
PPTX
Matematika Diskrit Relasi Rekursif
PPTX
6. interpolasi polynomial newton
PDF
Operasi himpunan
PDF
Analisis bab1 bab2
DOCX
Persamaan differensial part 1
PPTX
Teorema multinomial dan prinsip sarang merpati
DOCX
Matematika diskrit (dual graf, lintasan dan sirkuit euler, lintasan dan sirku...
PPTX
ALJABAR LINEAR ELIMINASI GAUSSIAN
PDF
BAB 1 Transformasi
DOCX
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
PPTX
Variabel acak dan nilai harapan (Statistik Ekonomi II)
PDF
Analisis real-lengkap-a1c
Pertemuan 3 relasi & fungsi
Prinsip Inklusi Eksklusi
Logika dan Pembuktian
Nilai harapan
Vektor, Aljabar Linier
Peubah acak diskrit dan kontinu
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 03
Matematika Diskrit Relasi Rekursif
6. interpolasi polynomial newton
Operasi himpunan
Analisis bab1 bab2
Persamaan differensial part 1
Teorema multinomial dan prinsip sarang merpati
Matematika diskrit (dual graf, lintasan dan sirkuit euler, lintasan dan sirku...
ALJABAR LINEAR ELIMINASI GAUSSIAN
BAB 1 Transformasi
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Variabel acak dan nilai harapan (Statistik Ekonomi II)
Analisis real-lengkap-a1c
Ad

Viewers also liked (20)

PDF
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 05
PDF
Matematika Diskrit matriks relasi-dan_fungsi
DOCX
(8.3.1) soal dan pembahasan relasi fungsi, matematika sltp kelas 8
PDF
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 04
PDF
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 09
PDF
Matematika Diskrit - 03 himpunan - 05
PPT
Matematika diskrit
PDF
Kumpulan soal-dan-pembahasan-himpunan
DOC
Matriks transpose
DOC
Matriks, relasi dan fungsi
PDF
Matematika Diskrit - 03 himpunan - 02
DOCX
Matematika Diskrit: Fungsi pembangkit part 4
DOCX
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
PPTX
Fungsi Komposisi
PPTX
Graf ( Matematika Diskrit)
DOCX
Makalah Erick matematika diskrit 2013
PPTX
Operasi Aljabar Pada Fungsi (Math Class)
PPT
Relasi dan Fungsi ppt
PPT
Relasi dan fungsi
PPTX
Matematika Diskrit part 1
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 05
Matematika Diskrit matriks relasi-dan_fungsi
(8.3.1) soal dan pembahasan relasi fungsi, matematika sltp kelas 8
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 04
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 09
Matematika Diskrit - 03 himpunan - 05
Matematika diskrit
Kumpulan soal-dan-pembahasan-himpunan
Matriks transpose
Matriks, relasi dan fungsi
Matematika Diskrit - 03 himpunan - 02
Matematika Diskrit: Fungsi pembangkit part 4
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
Fungsi Komposisi
Graf ( Matematika Diskrit)
Makalah Erick matematika diskrit 2013
Operasi Aljabar Pada Fungsi (Math Class)
Relasi dan Fungsi ppt
Relasi dan fungsi
Matematika Diskrit part 1
Ad

Similar to Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 06 (20)

PPT
5 fungsi
PPTX
Fungsi pembalajaran pada tingkat sekolah menengah atas
PPTX
Bab 7 fungsi
PDF
1. relasi dan fungsi
PPTX
log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptx
PDF
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 4C
PPSX
Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib
PDF
1. relasi dan fungsi
PPT
PPT DEsmaido Wilen Saragih, rELASI. pptX
PPTX
Materi Fungsi untuk Mahasiswa Teknik.pptx
PPTX
Relasi dan fungsi
PPT
Teori bahasa dan otomata 3
PPTX
Ppt Fungsi matakuliah matematika diskrit
PPT
RELASI Matematika.ppt
PDF
fungsi kelas xi belajar merdeka semangat
DOC
Fungsi dan grafik_fungsi
DOC
Fungsi dan grafik_fungsi
PPT
PPT Fungsi.ppt
PPT
Fungsi relasi
PPTX
Matematika Relasi dan Fungsi
5 fungsi
Fungsi pembalajaran pada tingkat sekolah menengah atas
Bab 7 fungsi
1. relasi dan fungsi
log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptx
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 4C
Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib
1. relasi dan fungsi
PPT DEsmaido Wilen Saragih, rELASI. pptX
Materi Fungsi untuk Mahasiswa Teknik.pptx
Relasi dan fungsi
Teori bahasa dan otomata 3
Ppt Fungsi matakuliah matematika diskrit
RELASI Matematika.ppt
fungsi kelas xi belajar merdeka semangat
Fungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsi
PPT Fungsi.ppt
Fungsi relasi
Matematika Relasi dan Fungsi

More from KuliahKita (20)

PPTX
CSS Eksperimen - 05-2 Popup Menu
PPTX
CSS Eksperimen - 05-1 Popup Konfirmasi
PPTX
CSS Eksperimen - 04-4 Elemen Sliding Door
PPTX
CSS Eksperimen - 04-3 Elemen Card Flip
PPTX
CSS Eksperimen - 04-2 accordion
PPTX
CSS Eksperimen - 04-1 informasi tab
PPTX
CSS Eksperimen - 03-3 Slide Side Menu
PPTX
CSS Eksperimen - 03-2 Breadcrumb
PPTX
CSS Eksperimen - 03-1 navigasi dasar
PPTX
CSS Eksperimen - 02-2 Flexbox Grid
PPTX
Eksperimen CSS - 02-1 grid layout
PPTX
Eksperimen CSS - 01 Pendahuluan
PDF
07 equity research (bagian 2)
PDF
Pasar Saham - 32 Discounted Cash Flow (DCF)
PDF
Pasar Saham - Equity Research (bagian 1)
PDF
Pasar Saham - 30 Investment Due Dilligence
PDF
Pasar Saham - 29 Financial Ratio 03
PDF
Pasar Saham - 28 Financial Ratio 02
PDF
Pasar Saham -27 financial ratio 01
PDF
Pasar Saham - 26 Cash Flow Statement
CSS Eksperimen - 05-2 Popup Menu
CSS Eksperimen - 05-1 Popup Konfirmasi
CSS Eksperimen - 04-4 Elemen Sliding Door
CSS Eksperimen - 04-3 Elemen Card Flip
CSS Eksperimen - 04-2 accordion
CSS Eksperimen - 04-1 informasi tab
CSS Eksperimen - 03-3 Slide Side Menu
CSS Eksperimen - 03-2 Breadcrumb
CSS Eksperimen - 03-1 navigasi dasar
CSS Eksperimen - 02-2 Flexbox Grid
Eksperimen CSS - 02-1 grid layout
Eksperimen CSS - 01 Pendahuluan
07 equity research (bagian 2)
Pasar Saham - 32 Discounted Cash Flow (DCF)
Pasar Saham - Equity Research (bagian 1)
Pasar Saham - 30 Investment Due Dilligence
Pasar Saham - 29 Financial Ratio 03
Pasar Saham - 28 Financial Ratio 02
Pasar Saham -27 financial ratio 01
Pasar Saham - 26 Cash Flow Statement

Recently uploaded (16)

PDF
441817878-K3-Pada-Alat-Berat.pdf pemahaman
PPT
PEMANFAATAN CANGKANG UNTUK HEATER GUNA EFISIENSI ENERGI
PPTX
Data mining mengolah informasi dan menjadikannya dasar pengambilan keputusan
PPTX
peningkatan kapasitas perangka desa.pptx
PPTX
Terminal-Peti-Kemas dan Pusat Aktivitas.pptx
PPTX
PPT ANALISA SISTEM TENAGA (Sistem Per Unit, Single Line Diagram)
PPTX
Pengantar Mekanika Teknik II [Shared].pptx
PPTX
Mekanisme Desk Wrkshop Satu Data Kalsel 2025,10-7-2025.pptx
PPTX
Cara membuat PCB.........................
PPTX
Rekayasa Lingkungan menjadikan lingkungan lebih baik
PPTX
2. LAPORAN KESELAMATAN DAN KESIHATAN BAGI BULAN JUN-JUL 2025.pptx
PPTX
Kualitas, Kekuatan, dan Optimasi Rancangan.pptx
DOCX
MPLS PAUD.docx teks sebagai penyemangat anak-anak
PPTX
Terminal-Peti-Kemas-Pusat-Aktivitas-Logistik.pptx
PPTX
2. LAPORAN KESELAMATAN DAN KESIHATAN BAGI BULAN JUN-JUL 2025.pptx
PDF
Proposal Skirpsi Tentang K3 dengan Metode FMEA
441817878-K3-Pada-Alat-Berat.pdf pemahaman
PEMANFAATAN CANGKANG UNTUK HEATER GUNA EFISIENSI ENERGI
Data mining mengolah informasi dan menjadikannya dasar pengambilan keputusan
peningkatan kapasitas perangka desa.pptx
Terminal-Peti-Kemas dan Pusat Aktivitas.pptx
PPT ANALISA SISTEM TENAGA (Sistem Per Unit, Single Line Diagram)
Pengantar Mekanika Teknik II [Shared].pptx
Mekanisme Desk Wrkshop Satu Data Kalsel 2025,10-7-2025.pptx
Cara membuat PCB.........................
Rekayasa Lingkungan menjadikan lingkungan lebih baik
2. LAPORAN KESELAMATAN DAN KESIHATAN BAGI BULAN JUN-JUL 2025.pptx
Kualitas, Kekuatan, dan Optimasi Rancangan.pptx
MPLS PAUD.docx teks sebagai penyemangat anak-anak
Terminal-Peti-Kemas-Pusat-Aktivitas-Logistik.pptx
2. LAPORAN KESELAMATAN DAN KESIHATAN BAGI BULAN JUN-JUL 2025.pptx
Proposal Skirpsi Tentang K3 dengan Metode FMEA

Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 06

  • 1. Matriks, Relasi, dan Fungsi Bekerjasama dengan Rinaldi Munir
  • 2. Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A  B yang artinya f memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.
  • 3. Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B. abABf
  • 4. Fungsi adalah relasi yang khusus: 1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. 2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b)  f dan (a, c)  f, maka b = c.
  • 5. Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantaranya: 1. Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. 2. Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan f(x) = 1/x. 3. Kata-kata Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”. 4. Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| function abs(x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end;
  • 6. Contoh 26. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B. Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B. Contoh 27. Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}.
  • 7. Contoh 28. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B. Contoh 29. Relasi f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v. Contoh 30. Misalkan f : Z  Z didefinisikan oleh f(x) = x2. Daerah asal dan daerah hasil dari f adalah himpunan bilangan bulat, dan jelajah dari f adalah himpunan bilangan bulat tidak-negatif.
  • 8. Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. a1AB2345bcd
  • 9. Contoh 31. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu, Tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u.
  • 10. Contoh 32. Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu? Penyelesaian: (i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2  2. (ii) f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a  b, a – 1  b – 1. Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.
  • 11. Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.  Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B. a1AB23bcd
  • 12. Contoh 33. Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.
  • 13. Contoh 34. Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi pada? Penyelesaian: (i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. (ii) f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.
  • 14. Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada. Contoh 35. Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.
  • 15. Contoh 36. Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. Fungsi satu-ke-satu, Fungsi pada, bukan pada bukan satu-ke-satu Buka fungsi satu-ke-satu Bukan fungsi maupun pada a1AB23bc4a1AB23bccda1AB23bccd4a1AB23bccd4
  • 16. Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.
  • 17. Contoh 37. Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible. Contoh 38. Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1. Penyelesaian: Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke- satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1.
  • 18. Contoh 39. Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1. Penyelesaian: Dari Contoh 3.41 dan 3.44 kita sudah menyimpulkan bahwa f(x) = x – 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah funsgi yang not invertible.