Materi teori bilangan
- 1. Implikasi pq 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 Kontrapositif ~q~p 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Pembuktian: Bukti langsung: ( , diketahui , dibuktikan ) Bukti tidak langsung ( , diandaikan , didapat , kontradiktif) Biimplikasi: (i) (ii) Contoh Bukti Langsung: jika x, y genap maka x+y genap Jawab: Bukti langsung: x genap u.s y genap , u.s genap Contoh Bukti tidak langsung: jika genap maka genap p q p q
- 2. Jawab: Bukti langsung: tidak dapat langsung dibuktikan, maka dapat dijawab dengan bukti tidak langsung Bukti tidak langsung Andaikan bukan genpa , berarti ganjil , u.s , u.s Didapat ganjil, kontrakdiksi dengan yang diketahui genap Jadi pengandaian salah, haruslah genap. Latihan: Buktikan bilangan rasional! Bukti: Andaikan bukan bilanagn rasional genap, maka genap, anggap b kontradiksi dengan
- 3. genap, maka b genap Jadi pengandaian salah, haruslah bilangan rasional. BILANGAN BULAT SKEMA Aksioma medan/ aksioma lapangan tidak bisa dibuktikan. Nom or Sifat Penjumlahan Perkalian 1 Tertutu p 2 Komuta tif 3 Asosiati f 4 Elemen Identita s 5 Elemen Invers 6 Distribu tif Bukti Penting:
- 4. Buktikan ! Bukti: (4) (6) (5) )) INDUKSI MATEMATIKA Teorema: Misalkan yang memenuhi: (i) (ii) Jika maka Maka Bukti: Andaikan maka Berdasarkan sifat Well Ordering: (setiap himpunan dnegan bagian daru N yang tidak kosong memiliki elemen terkecil) maka dengan menggunkan sifat Well Ordering: memiliki elemen terkecil, sebut p p q Tidak bisa pakai bukti langsung
- 5. dan (i) (ii) maka Kontradiksi dengan ( elemen terkecil dari ) Jadi, pengandaian salah, haruslah Pembuktian: Deduksi: dari contoh universl ( ) Induksi: dari contoh-cohtoh bilanganmengambil kesimpulan Contoh: Buktikan Bukti: Akan dibuktikan dengan induksi matematika: (i) (ii) Ambil maka Akan ditunjukkan S N 1 p m>1
- 6. Dari (i) dan (ii) diperoleh: Latihan Soal: Buktikan: 1. 2. 3. habis dibagi 8, 4. Jawab: (i) Bukti: akan ditunjukkan dengan induksi matematika (i) , maka (ii) Ambil maka Akan ditunjukkan
- 7. Dari (i) dan (ii) diperoleh: (ii) Bukti: akan ditunjukkan dengan induksi matematika (i) (ii) Ambil maka
- 8. Dari (i) dan (ii) diperoleh: (iii) Bukti: akan ditunjukkan dengan induksi matematika (i) habis dibagi 8, (ii) Ambil maka Akan ditunjukkan habis dibagi 8 Dari (i) dan (ii) diperoleh: habis dibagi 8, (iv)Bukti: akan ditunjukkan dengan induksi matematika (i) (ii) Ambil maka Akan ditunjukkan
- 9. Dari (i) dan (ii) diperoleh: TUGAS: Buktikan! 1. Jumlah dari pangkat tiga habis dibagi 9 2. 3. 4. habis dibagi 15 TEOREMA BINOMIAL Rumus Kombinasi : Buktikan Bukti:
- 10. SEGITIGA PASCAL , Buktikan! Bukti: (i) (ii) Ambil maka Akan ditunjukkan 1 1 1 1 1 1 1 2 33 4 6 4 1 1
- 11. Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan: FPB (BELUM LENGKAP) 1. Buktikan 2. 3. Jawab: 1.
- 12. 2. 3. ALGORITMA PEMBAGIAN Teorema: Misalkan maka tunggal, Bukti: Bentuk (i) Akan ditunjukkan Pilih
- 13. Dengan menggunakan sifat Welll Ordering, karena maka memiliki elemen terkecil, sebur . Misalkan (ii) Akan ditunjukkan jelas karena Akan ditunjukkan (menggunakan bukti tidak langsung) Andai Kontradiksi dengan r elemen terkecil dari , jadi pengandaian salah, haruslah (iii) Misalkan Akan ditunjukkan dan
- 14. akibatnya Contoh Soal: Buktikan: Bukti: Misalkan , (teorema algoritma pembagian) (i) (ii) Dari (i) dann (ii) diperoleh maka Latihan Soal: Buku Teobil 14.a) Buktikan Bukti:
- 15. Maka diperoleh . karena dan 20.d) dan Jawab: ...(i) ...(ii) Substitusi (ii) ke (i): ALGORITMA EUCLIDES
- 16. Misalkan , dengan menggunakan algoritma pembagian berkali-kali diperoleh: , Contoh 1: Jawab: Contoh 2: Tentukan Solusi ! Untuk mencari solusi FPB Untuk mencari x0 dan y0
- 17. Jawab: 3 (mempunyai solusi) 3 dan Solusi: dan ; Contoh 3:
- 18. Tentukan dan dari ! Jawab: dan *) Bukti: Akan ditunjukkan (i) jelas (ii)
- 19. (iii) Dari (i), (ii) dan (iii) disimpulkan PERSAMAAN DEOPHANTINE Bentuk persamaan: Solusi dari persamaan ini merupakan bilangan bulat. Teorema: Persamaan Deophantine mempunyai solusi jika Misalkan merupakan solusi dari . (cari dahulu ) Maka solusi umum dari adalah: dan; ; Jika tanda solusinya terbalik, maka dikalikan dengan (-1)
- 21. (Terbukti) (iii) (Terbukti) Dari (i), (ii) dan (iii) disimpulkan: BILANGAN PRIMA Definisi: bilangan prima jika: bilangan prima jika (i) (ii)
- 22. Teorema: Jika bilangan prima dan maka atau *) Bilangan Prima=2,3,5,7,... dan bilangan relatif prima Contoh: dan Bukti: Misalkan , akan ditunjukkan ...(i) ...(ii) Substitusi (ii) ke (i), maka Untuk akan didapat (caranya serupa) KEKONGGRUENAN Definisi: Misalkan konggruen modulo
- 23. Ditulis Didefinisikan: Contoh: Residu terkecil modulo 5=0,1,2,3,4 Residu lengkap modulo 5=5,6,12,53,-11 Teorema: Misalkan dan mempunyai hasil yang sama bila dibagi Bukti:
- 24. *) (artinya dibagi memiliki sisa ) Maka: Terbukti Teorema 4.2 c) Jika Bukti: d) Jika dan maka dan
- 25. Bukti: (i) (ii) e) Jika maka dan Bukti: (i)
- 26. (ii) f) BELUM Tugas! Aplikasi Konggruen Buktikan Teorema konggruen! a. Tentukan sisanya jika dibagi 7 b. Tentukan sisanya jika dibagi 10 c. Tentukan sisanya jika dibagi 25 Jawab: a.
- 27. Sisanya adalah 2 b. Sisanya adalah 1 c. Belum Latihan: 1. Tentukan 1 digit angka terakhir dari 2. Tentukan 2 digit angka terakhir dari Jawab: 1.
- 28. Satu digit terakhir dari yaitu 9 2. Belum APLIKASI KONGGRUENSI Teorema: Misalkan Misal (basis 10bilangan romawi) Teorema:
- 29. Contoh: 13765 S=1+3+7+6+5=22 Bukti: Terbukti Teorema:
- 30. Bukti: Terbukti PERSAMAAN LINEAR KONGGRUENSI Teorema: Jika maka Teorema: Jika mempunyai solusi dan memiliki solusi Bentuk persamaan:
- 31. Contoh 1: ... * maka * memiliki 1 solusi HP= Cek: 1+3=4, , maka solusinya memang hanya 1 Contoh 2 ... * maka * memiliki 3 solusi
- 32. HP= residu terkecil dari 21 Contoh 3 ... * maka * memiliki 20 solusi Jika dikerjakan dengan cara seperti di atas, terlalu banyak, maka dapat diselesaikan degan cara lain sbb:
- 33. HP= TEOREMA CINA Misalkan Sistem persamaan konggruensi: Mempunyai solusi modulo
- 34. Bukti: (i) , maka (ii) Latihan: Tentukan Solusi dari: Jawab:
- 35. Solusi: