![Функцийн уламжлалын зарим хэрэглээ
Эдгээр өөрчлөлтийн харьцаа нь
∆y
∆x
=
f (x2) − f (x1)
x2 − x1
болох ба үүнийг [x1, x2] завсар дээрх y-ын x хувьсагчаарх
өөрчлөлтийн дундаж хурд гэх бөгөөд энэ нь зураг дээрх PQ
огтлогч шулууны налалттай тэнцүү байна. Уг харьцааны
∆x → 0 үеийн хязгаарыг f 0(x1) уламжлал буюу y-ийн x
хувьсагчаарх эгшин зуурын өөрчлөлтийн хурд гэх ба энэ нь
P(x1, f (x1)) цэг дээрх шүргэгч шулууны налалттай тэнцүү
байна.](https://image.slidesharecdn.com/math1b-2020-2021-lecture-5-230529090624-d545eb7c/85/MATH1B-2020-2021-lecture-5-pdf-18-320.jpg)
![Физик дэх хэрэглээ
Бодолт
(е) (г) болон (д) хэсэгт олсон зүйлсээ ашиглавал [0, 1], [1, 3],
[3, 5] хугацааны завсруудад явсан замыг олж болно. Эхний
завсрын хувьд явсан зам нь
|f (1) − f (0)| = |4 − 0| = 4 м
байна.
t = 1-ээс t = 3-ийн хооронд явсан зам
|f (3) − f (1)| = |0 − 4| = 4 м
болно. Харин t = 3 ба t = 5-ийн хооронд явсан зам
|f (5) − f (3)| = |20 − 0| = 20 м
гэж олдоно. Иймд аялсан нийт зам 4 + 4 + 20 = 28 м юм.](https://image.slidesharecdn.com/math1b-2020-2021-lecture-5-230529090624-d545eb7c/85/MATH1B-2020-2021-lecture-5-pdf-24-320.jpg)
![Эдийн засаг дах хэрэглээ
Жишээ
Эндээс 500 ширхэг бүтээгдхүүн үйлдвэрлэх үеийн ахиу зардал
нь
C0
(500) = 5 + 0.02(500) = $15
болно. Энэ нь x = 500 үед зардал ямар хурдаар нэмэгдэж
байгаа болон 501 дэх барааг нэмж үйлдвэрлэх үеийн зардлыг
таамаглах боломж олгоно.
501 дэх бүтээгдэхүүний бодит зардал нь
C(501) − C(500) = [10, 000 + 5(501) + 0.01(501)2
]
− [10, 000 + 5(500) + 0.01(500)2
]
= $15.01.
C0(500) ≈ C(501) − C(500) тул уламжлал нь тооцооллыг
ихээхэн хялбарчилж байгааг мөн харж болно.](https://image.slidesharecdn.com/math1b-2020-2021-lecture-5-230529090624-d545eb7c/85/MATH1B-2020-2021-lecture-5-pdf-28-320.jpg)
MATH1B-2020-2021-lecture-5.pdf
- 1. МАТЕМАТИК I Б Лекц-5: Далд, параметрт болон урвуу функцийн уламжлал, функцийн уламжлалын хэрэглээ Хэрэглээний математикийн тэнхим Хэрэглээний Шинжлэх Ухаан Инженерчлэлийн Сургууль Монгол Улсын Их Сургууль
- 2. Үндсэн агуулга 1 Далд функцийн уламжлал 2 Параметрт хэлбэрээр өгөгдсөн функцийн уламжлал 3 Урвуу функцийн уламжлал 4 Функцийн уламжлалын зарим хэрэглээ
- 3. Далд функцийн уламжлал Далд функц Хэрэв x, y-ийн хамаарал F(x, y) = 0 хэлбэрээр өгөгдсөн бөгөөд уг тэгшитгэлээс y-ийг x-ээр илэрхийлэхэд төвөгтэй, зарим тохиолдолд илэрхийлэх боломжгүй бол түүнийг далд хэлбэрээр өгөгдсөн функц гэдэг. Тухайлбал, x, y-ийн хамаарал x2 + y2 = 25 (1) эсвэл x3 + y3 = 6xy (2) гэсэн ил биш хэлбэрээр өгсөн байдаг. Эдгээр тохиолдолд y-ийн уламжлалыг олохдоо заавал y-ийг x-ээр илэрхийлэх шаардлагагүй. Харин далд функцийн дифференциал ашиглана. Энэ нь тэгшитгэлийн хоёр талаас x-ээр уламжлал авч дараа нь уг тэгшитгэлээс y0-ийг олох арга юм.
- 4. Далд функцийн уламжлал Жишээ Хэрэв x3 + y3 = 6xy бол (a) dy dx -ийг ол. (b) Өгөгдсөн муруйн (3, 3) цэг дээр татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бич. (c) Координатын нэгдүгээр мөчийн аль цэг дээр шүргэгч нь хэвтээ байх вэ? Бодолт x3 + y3 = 6xy нь Декартын навч гэж нэрлэдэх муруйн тэгшитгэл бөгөөд уг тэгшитгэлээс y-ийг x-ээс хамаарсан функц хэлбэрээр илэрхийлэхэд нэлээн төвөгтэй юм.
- 5. Далд функцийн уламжлал Бодолт (a) Иймээс y-ийг x-ээс хамаарсан функц гэж үзэн x3 + y3 = 6xy тэгшитгэлийн хоёр талаас x-ээр уламжлал авахдаа y3-ийн хувьд давхар функцийн уламжлал, 6xy-ийн хувьд үржвэрийн уламжлалын дүрэм ашиглавал 3x2 + 3y2 y0 = 6xy0 + 6y болно. Уг адилтгалын 2 талыг 3-д хуваавал x2 + y2 y0 = 2xy0 + 2y хэлбэртэй болох ба эндээс y0-ийг олбол y2 y0 − 2xy0 = 2y − x2 ⇒ (y2 − 2x)y0 = 2y − x2 y0 = 2y − x2 y2 − 2x .
- 6. Далд функцийн уламжлал Бодолт (b) x = y = 3 үед y0 = 2 · 3 − 32 32 − 2 · 3 = −1 байна. Иймд уг Навчны (3, 3) цэг дээрх шүргэгч нь y − 3 = −1(x − 3) буюу x+y=6 болно.
- 7. Далд функцийн уламжлал Бодолт (c) y0 = 0 үед шүргэгч шулуун нь хэвтээ шулуун байдаг. (a)-д байгаа y0-ийн илэрхийллийг ашиглавал 2y − x2 = 0 үед (y2 − 2x 6= 0 байх ёстой) y0 = 0 болно. Эндээс y = 1 2 x2 гэж олдох ба анхны муруйн тэгшитгэлд орлуулбал x3 + ( 1 2 x2 )3 = 6x( 1 2 x2 ) буюу x6 = 16x3 гэж хялбархан гарна. Нэгдүгээр мөчид x 6= 0 учир x3 = 16 болно. Эндээс x = 161/3 = 24/3 гэж олдоно. Үүнийг дээрх тэгшитгэлд орлуулбал y = 1 2 28/3 = 25/3 байна. Иймд (24/3, 25/3) цэг дээр шүргэгч нь хэвтээ ба энэ цэг ойролцоогоор (2.5198, 3.1748) юм.
- 8. Далд функцийн уламжлал Декартын навч хэмээх муруй болон түүний (3, 3) цэг дээр татсан шүргэгчийн графикийг дараах зурагт үзүүллээ. Зураг: Декартын навч
- 9. Далд функцийн уламжлал Далд хэлбэрээр өгөгдсөн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалыг олох дараах жишээг авч үзье. Жишээ x4 + y4 = 16 бол y00-ийг ол. Бодолт Тэгшитгэлийн хоёр талаас x-р уламжлал авбал 4x3 + 4y3 y0 = 0 болох ба y0-ийн хувьд бодвол y0 = − x3 y3 (3) гэж олдоно.
- 10. Далд функцийн уламжлал Бодолт Хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалыг олохдоо y нь x-ээс хамаарсан функц гэдгийг анхааран ноогдворын уламжлал ашиглавал y00 = d dx − x3 y3 = − y3(d/dx)(x3) − x3(d/dx)(y3) (y3)2 = − y3 · 3x2 − x3(3y2y0) y6 болно. Одоо дээрх Тэгшитгэл 3-г энэ илэрхийлэлд орлуулбал y00 = − 3x2y3 − 3x3y2 −x3 y3 y6 = − 3(x2y4 + x6) y7 = − 3x2(y4 + x4) y7 = − 3x2(16) y7 = −48 x2 y7 . болно.
- 11. Параметрт хэлбэрээр өгөгдсөн функцийн уламжлал Хэрвээ муруйн x, y хувьсагчууд нь x = ϕ(t) y = ψ(t) , t0 ≤ t ≤ T гэсэн гуравдагч t хувьсагчаас хамаарсан функц хэлбэрээр өгөгдсөн бол уг муруйг параметрт тэгшитгэлээр өгөгдсөн муруй гэж нэрлэдэг. Тухайлбал, x = cos t y = sin t , t0 ≤ t ≤ 2π нь координатын эх дээр төвтэй 1 радиустай тойргийн параметрт тэгшитгэл юм. Учир нь x2 + y2 = sin2 t + cos2 t = 1 болж 1 радиустай тойргийн тэгшитгэл биелнэ.
- 12. Параметрт хэлбэрээр өгөгдсөн функцийн уламжлал Хэрэв ϕ(t), ψ(t) нь дифференциалчлагдах функцууд, y нь x-ээс хамаарсан дифференциалчлагдах функц бол давхар функцийн уламжлал ёсоор dy dt = dy dx dx dt болох ба эндээс dx dt 6= 0 үед dy dx -ийг олбол dy dx = dy dt dx dt = ψ0(t) ϕ0(t) гэж гарах ба энэ нь параметрт хэлбэрээр өгөгдсөн функцийн уламжлалыг олох томьёо юм.
- 13. Параметрт хэлбэрээр өгөгдсөн функцийн уламжлал Жишээ x = a cos t y = b sin t , 0 ≤ t ≤ π бол y0 x =? Бодолт y0 x = ψ0(t) ϕ0(t) = (b sin t)0 (a cos t)0 = b cos t a(− sin t) = − b a ctg t.
- 14. Урвуу функцийн уламжлал Харилцан нэгэн утгатай буулгалтын хувьд түүний урвуу нь оршин байдаг. Шууд ба урвуу функцүүдийн уламжлалын хооронд дараах хамаарал оршдог. Хэрэв y = f (x) нь X дээр дифференциалчлагдах бөгөөд f 0(x) 6= 0 байхаас гадна x = g(y) гэсэн урвуу функц оршин байвал x0 y = 1 y0 x байна.
- 15. Урвуу функцийн уламжлал Дээрх хамаарлыг синус функц болон түүнийг урвуу арксинус (sin−1 x) фунцийн жишээнээс харж болно. Арксинус функцийн тодорхойлолтыг санавал y = sin−1 x гэдэг нь sin y = x ба − π 2 ≤ y ≤ π 2 гэсэн үг юм. sin y = x тэнцэтгэлийн хоёр талаас x-ээр далд функцийн уламжлал авбал cos y dy dx = 1 буюу dy dx = 1 cos y болох ба − π 2 ≤ y ≤ π 2 учир cos y ≥ 0 гэдгээс cos y = q 1 − sin2 y = p 1 − x2 байна. Иймд dy dx = 1 cos y = 1 √ 1 − x2 буюу d dx (sin−1 x) = 1 √ 1 − x2 .
- 16. Урвуу функцийн уламжлал Жишээ y = arctg x функцийн уламжлалыг ол. Өгөгдсөн функцийн урвуу нь x = tg y болно. Иймд x 0 y = 1 cos2 y тул урвуу функцийн уламжлал олох дүрмээр y 0 x = 1 x0 y = cos2 y = 1 1 + tg2 y = 1 1 + tg2(arctg x) = 1 1 + x2 Жишээ y = ax функцийн уламжлалыг ол. y = ax ⇐⇒ x = loga y x0 y = 1 y · loga e = 1 y ln a ⇒ y0 x = (ax )0 = 1 x0 y = y ln a = ax ln a
- 17. Функцийн уламжлалын зарим хэрэглээ Өөрчлөлтийн хурд y = f (x) функцийн уламжлал dy dx нь y-ийн x хувьсагчаас хамаарах өөрчлөлтийн хурдыг илэрхийлдэг. Уг ойлголтыг физик, хими, биологи, эдийн засаг болон бусад салбарт өргөн хэрэглэдэг. Иймээс эхлээд өөрчлөлтийн хурд гэсэн ойлголтын үндсэн санааг дахин авч үзье. Хэрэв x-ийн утга x1-ээс x2 болж өөрчлөгдсөн бол x-ийн өөрчлөлт ∆x = x2 − x1 болох ба түүнд харгалзах y-ийн өөрчлөлт нь ∆y = f (x2) − f (x1) болно.
- 18. Функцийн уламжлалын зарим хэрэглээ Эдгээр өөрчлөлтийн харьцаа нь ∆y ∆x = f (x2) − f (x1) x2 − x1 болох ба үүнийг [x1, x2] завсар дээрх y-ын x хувьсагчаарх өөрчлөлтийн дундаж хурд гэх бөгөөд энэ нь зураг дээрх PQ огтлогч шулууны налалттай тэнцүү байна. Уг харьцааны ∆x → 0 үеийн хязгаарыг f 0(x1) уламжлал буюу y-ийн x хувьсагчаарх эгшин зуурын өөрчлөлтийн хурд гэх ба энэ нь P(x1, f (x1)) цэг дээрх шүргэгч шулууны налалттай тэнцүү байна.
- 19. Функцийн уламжлалын зарим хэрэглээ Лейбницийн тэмдэглэгээ ашиглан dy dx = lim ∆x→0 ∆y ∆x гэж бичдэг. Одоо уламжлалын физикийн шинжлэх ухаан болон эдийн засгийн онол дах хэрэглээг авч үзье. Физик дэх хэрэглээ Хэрэв s = f (t) нь шулуун замаар хөдөлж байгаа материал цэгийн байрлалын функц бол ∆s/∆t нь ∆t хугацаан дах дундаж хурд, v = ds/dt нь эгшин зуурын хурд болно. Харин хурдны хугацаанаас хамаарах эгшин зуурын хурд нь хурдатгал буюу a(t) = v0(t) = s00(t) болно.
- 20. Физик дэх хэрэглээ Жишээ Материал цэгийн байрлал s = f (t) = t3 − 6f 2 + 9t тэгшитгэлээр өгөгджээ. Энд t секундээр, s метрээр хэмжигдэнэ. Тэгвэл (а) t хугацаан дахь хурдыг ол. (б) 2 секундын дараа хурд хэд болох вэ? 4 секундын дараа хэд болох вэ? (в) Материал цэг ямар үед хөдөлгөөнгүй байх вэ? (г) Ямар хугацаанд материал цэг урагш давшин хөдлөх вэ? (д) Материал цэгийн хөдөлгөөнийг илэрхийлэх графикийг зур. (е) Эхний таван секундын турш материал цэгийн шилжсэн зайг ол.
- 21. Физик дэх хэрэглээ Бодолт (а) Хурд нь байрлалын функцээс авсан уламжлал тул v(t) = ds dt = 3t2 − 12t + 9. . (б) 2 секундын дараах хурд гэдэг нь t = 2 байх үеийн агшин зуурын хурд буюу v(2) = ds dt t=2 = 3(2)2 − 12(2) + 9 = −3 м/с, t = 4 секундын дараах хурд мөн үүнтэй ижлээр v(4) = 3(4)2 − 12(4) + 9 = 9 м/с гэж олдоно
- 22. Физик дэх хэрэглээ Бодолт (в) v = 0 үед материал цэг хөдөлгөөнгүй байна. Өөрөөр хэлбэл 3t2 − 12t + 9 = 3(t2 − 4t + 3) = 3(t − 1)(t − 3) = 0 болох ба эндээс t = 1 эсвэл t = 3 гэж олдоно. Иймээс анх хөдөлгөөн эхэлснээс хойш 1 болон 3 секундын дараа материал цэг тайван байдалд байна. (г) Материал цэг v(t) 0 үед урагшаа хөдлөнө. Иймээс 3t2 − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3) 0 гэдгээс t 1 болон t 3 байх хугацаанд материал цэг урагш давшин хөдөлнө. Харин 1 t 3 үед буцаж хөдөлнө.
- 23. Физик дэх хэрэглээ Бодолт (д) (г) хэсэгт олсон мэдээллийг ашиглан материал цэгийн шулуун (s тэнхлэг) хөдөлгөөний урагш болон буцах хөдөлгөөний зураглалыг Зураг 2-т системтэйгээр харуулж болно.
- 24. Физик дэх хэрэглээ Бодолт (е) (г) болон (д) хэсэгт олсон зүйлсээ ашиглавал [0, 1], [1, 3], [3, 5] хугацааны завсруудад явсан замыг олж болно. Эхний завсрын хувьд явсан зам нь |f (1) − f (0)| = |4 − 0| = 4 м байна. t = 1-ээс t = 3-ийн хооронд явсан зам |f (3) − f (1)| = |0 − 4| = 4 м болно. Харин t = 3 ба t = 5-ийн хооронд явсан зам |f (5) − f (3)| = |20 − 0| = 20 м гэж олдоно. Иймд аялсан нийт зам 4 + 4 + 20 = 28 м юм.
- 25. Эдийн засаг дах хэрэглээ Жишээ Компани тухайн бүтээгдэхүүнийг x ширхэг үйлдвэрлэхэд гарах зардал нь C(x) байв. C(x)-ийг зардлын функц гэж нэрлэдэг. Хэрэв үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний тоо x1 утгаас x2 болж өссөн бол нэмэлт зардал нь ∆C = C(x2) − C(x1) болох ба зардлын өөрчлөлтийн дундаж хэмжээ ∆C ∆x = C(x2) − C(x1) x2 − x1 = C(x1 + ∆x) − C(x1) ∆x болно. Энэ тоо хэмжээний ∆x → 0 үеийн хязгаар нь үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний тооноос хамаарсан зардлын агшин зуурын өөрчлөлтийн хэмжээ бөгөөд үүнийг эдийн засагчид ахиу зардал гэж нэрлэдэг. Иймд Ахиу зардал = C0 (x) = lim ∆x→0 ∆C ∆x = dC dx .
- 26. Эдийн засаг дах хэрэглээ Жишээ Хэрэв үйлдвэрлэх бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ хангалттай их буюу n гээд ∆x = 1 гэж авбал (ингэснээр ∆x нь n-тэй харьцуулахад маш бага байх болно) C0 (n) ≈ C(n + 1) − C(n) болно. Иймд ахиу зардал гэдэг нь нэг ширхэг барааг нэмж үйлдвэрлэхэх гарах нэмэгдэл зардал юм.
- 27. Эдийн засаг дах хэрэглээ Жишээ Эдийн засагт зардлын функцийг C(x) = a + bx + cx2 + dx3 хэлбэрийн олон гишүүнтээр илэрхийлэх нь тохиромжтой байдаг. Энд a нь (түрээс, дулаан гэх мэт) тогтмол зардыг, харин үлдсэн хувьсагчид түүхий эд, ажиллах хүчин зэрэг бусад хүчин зүйлсийн зардлыг илэрхийлнэ. Жишээ нь компани x ширхэг бүтээгдхүүн үйлдвэрлэх зардлаа C(x) = 10, 000 + 5x + 0.01x2 байдаг гэж тооцжээ. Тэгвэл ахиу зардлын функц нь C0 (x) = 5 + 0.02x болно.
- 28. Эдийн засаг дах хэрэглээ Жишээ Эндээс 500 ширхэг бүтээгдхүүн үйлдвэрлэх үеийн ахиу зардал нь C0 (500) = 5 + 0.02(500) = $15 болно. Энэ нь x = 500 үед зардал ямар хурдаар нэмэгдэж байгаа болон 501 дэх барааг нэмж үйлдвэрлэх үеийн зардлыг таамаглах боломж олгоно. 501 дэх бүтээгдэхүүний бодит зардал нь C(501) − C(500) = [10, 000 + 5(501) + 0.01(501)2 ] − [10, 000 + 5(500) + 0.01(500)2 ] = $15.01. C0(500) ≈ C(501) − C(500) тул уламжлал нь тооцооллыг ихээхэн хялбарчилж байгааг мөн харж болно.
- 29. Эдийн засаг дах хэрэглээ Үүнтэй адилаар эдийн засагт ахиу эрэлт, ахиу орлого, ахиу ашгийг судалдаг ба эдгээр нь эрэлт, орлого, ашгийн функцийн уламжлал юм. Түүнчлэн уламжлалын тусламжтайгаар мэдрэмжийг олж болно. Функцийн мэдрэмж y = f (x) функцийн хувьд x-ээс хамаарсан мэдрэмж нь η = Ey Ex = lim ∆x→0 ∆y y ∆x x = x y dy dx томъёогоор тодорхойлогддог. Мэдрэмж нь x-ийн утга нэг хувиар нэмэгдэхэд y-ийн утга хэчнээн хувиар өөрчлөгдөхийг заадаг.
- 30. Ашиглах ном сурах, бичиг J. Stewart, Single variable calculus: Concepts and contexts, 2010 G. Strang, Calculus, 2010 Д. Баянжаргал, Эдийн засгийн математик, 2013 Р. Энхбат ба бусад, Эдийн засгийн математик, Бодлогын хураамж Ц. Лхамсүрэн, С.Намжилдорж, С.Тогмид, Дээд математикийн язгуур үндэс, 2002 А. Мекей, Н. Ёндон ба бусад, Дээд математикийн бодлогын хураамж, 1980 Б. П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 1995