Metode Komputasi, Pentingnya Metode Numerik
- 2. Pokok Bahasan • Pendahuluan • Akar – akar persamaan • Sistem Persamaan Linier • Sistem Persamaan Non Linier • Regresi • Interpolasi • Integrasi Numerik • Persamaan Differensial
- 3. Definisi dan Pentingnya Metode Numerik • Metode numerik adalah teknik penyelesaian permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan. • Dalam metode numerik ini dilakukan operasi hitungan dalam jumlah yang banyak dan prosesnya berulang. • Dalam prakteknya perlu bantuan komputer untuk menyelesaikan hitungan tersebut. • Tanpa bantuan komputer, metode numerik tidak banyak memberikan manfaat.
- 4. • Metode numerik mampu menyelesaikan suatu sistem persamaan yang besar, persamaan yang tidak linier dan persamaan yang kompleks yang tidak mungkin diselesaikan secara analitis. • Berbagai masalah yangada dalam berbagai disiplin ilmu dapat digambarkan dalam bentuk matematik dari berbagai fenomena yang berpengaruh. • Biasanya fenomena yang berpengaruh tersebut cukup banyak dan sangat kompleks, dan untuk menyederhanakannya diperlukan suatu asumsi, sehingga beberapa bisa diabaikan. • Meskipun telah dilakukan penyederhanaan, namun sering persamaan tersebut tidak bisa diselesaikan secara analitis. Untuk itu diperlukan metode numerik untuk menyelesaikannya
- 5. Kesalahan (error) • Penyelesaian secara numerik suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai sebenarnya (nilai eksak). • Berarti dalam penyelesaian numerik terdapat kesalahan terhadap nilai sebenarnya. Ada tiga macam kesalahan yaitu: 1. Kesalahan bawaan 2. Kesalahan pembulatan 3. Kesalahan pemotongan
- 6. • Kesalahan bawaan adalah kesalahan dari nilai data. Kesalahan tersebut bisa terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala, atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur. • Kesalahan pembulatan terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan. Kesalahan ini terjadi apabila bilangan perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak. Suatu bilangan dibulatkan pada posisi ke n dengan membuat semua angka disebelah kanan dari posisi tersebut sama dengan nol. Sedangkan angka pada posisi ke n tersebut tidak berubah atau tidak dinaikkan satu digit
- 7. • Contoh: 86743242 dapat dibulatkan menjadi 86743000 3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14 Beberapa aturan pembulatan bilangan sampai n angka yang berarti dengan membuang semua angka disebelah kanan dari angka ke n tersebut: • Jika bilangan yang dibuang kurang dari setengah satuan dari bilangan ke n, maka angka ke n tetap tidak berubah. Contoh: 29,63243 dibulatkan menjadi 29,63 • Jika bilangan yang dibuang lebih dari setengah satuan dari bilangan ke n, maka angka ke n dinaikkan satu tingkat. Contoh: 81,9773 dibulatkan menjadi 81,98
- 8. • Jika bilangan yang dibuang tepat setengah satuan dari bilangan yang ke n, maka angka yang ke n tetap tidak berubah jika angka yang ke n tersebut adalah genap, dan dinaikkan satu digit jika angka yang ke n tersebut ganjil. Sehingga angka yang ke n akan selalu genap. Contoh : 46,35 dibulatkan menjadi 46,4 48,45 dibulatkan menjadi 48,4
- 9. • Kesalahan pemotongan terjadi karena tidak dilakukan hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh, suatu proses yang tak berhingga diganti dengan proses hingga. Contoh: Akan terjadi kesalahan jika persamaan diatas dipotong beberapa suku :
- 10. Kesalahan Absolut dan Relatif • Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat diberikan dalam bentuk berikut ini :
- 11. • Indeks e menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai eksak. Dari bentuk persamaan diatas maka didapat bahwa kesalahan adalah perbedaan antara nilai eksak dan nilai perkiraan. (1.1) • Bentuk kesalahan seperti diberikan oleh persamaan (1.1) disebut dengan kesalahan absolut. Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan. Sebagai contoh, kesalahan 1 cm pada pengukuran pensil akan sangat terasa dibanding dengan kesalahan yang sama pada pengukuran panjang jembatan.
- 12. • Besarnya tingkat kesalahan dapat dinyatakan dalam bentuk kesalahan relatif, yaitu dengan membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak. (1.2) • Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen seperti berikut ini. (1.3)
- 13. • Dalam persamaan (1.1), (1.2) dan (1.3) kesalahan dibandingkan terhadap nilai eksak. Nilai eksak tersebut hanya dapat diketahui apabila suatu fungsi dapat diselesaikan secara analitis. Dalam metode numerik, biasanya nilai tersebut tidak diketahui. Untuk itu kesalahan dinyatakan berdasarkan pada nilai perkiraan terbaik dari nilai eksak, sehingga kesalahan mempunyai bentuk berikut ini. (1.4)
- 14. • Indeks a menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai perkiraan (approximate value). • Didalam metode numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteratif. Pada pendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya. Dalam hal ini kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumya dan perkiraan sekarang, dan kesalahan relatif diberikan oleh bentuk: (1.5)
- 15. • Contoh. Pengukuran panjang jembatan dan pensil menghasilkan 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak) adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relatif. Penyelesaian :
- 16. Contoh tersebut menunjukkan bahwa meskipun kedua kesalahan adalah sama yaitu 1 cm, tetapi kesalahan relatif pensil jauh lebih besar. Kesimpulan yang dapat diambil bahwa pengukuran jembatan memberikan hasil yang baik (memuaskan), sementara hasil pengukuran pensil tidak memuaskan.