modul transformasi

Modul Transformasi Matematika
1
Transformasi
BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini, anda akan mempelajari tra nsfo rmasi yang te rdi ri atas
re fl e ksi , transl asi , rotas i , dan d il atasi yan g diidentifikasi berdasarkan
ciri-cirinya. Refleksi merupakan pencerminan. Dalam geometri bidang pencerminan terdiri
dari pencerminan terhadap sumbu x, sumbu y, y = x, y = -x, x = m, y = n, tehadap titik pusat
O. Translasi merupakan perpindahan. Rotasi merupakan perputaran. Rotasi ditentukan oleh
pusat dan besar sudut. Titik pusat di O(0,0) dan di P(a,b), sedangkan untuk besar sudut
positif berlawanan arah dengan arah jarum jam dan sebaliknya besar sudut negatif searah
dengan arah jarum jam. Dilatasi merupakan transformasi yang merubah ukuran tetapi tidak
merubah bentuk bangun. Dilatasi ditentukan oleh pusat dan faktor skala.
B. Prasyarat
Agar dapat mempelajari modul ini, anda harus mempelajari bangun datar dan sistem
koordinat.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Perhatikan langkah-langkah dalam setiap contoh sehingga mempermudah dalam
memahami konsep transformasi geometri.
2. Apabila ada soal latihan, kerjakanlah soal-soal tersebut sebagai latihan untuk
persiapan evaluasi.
3. Kerjakan soal-soal yang ada pada evaluasi.
D.Tujuan akhir
1. Menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi bidang
2. Melakukan operasi berbagai jenis transformasi: translasi,refleksi, dilatasi, dan rotasi.

2
Transformasi
BAB II
PEMBELAJARAN
A. Kompetensi : Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan
dengan matriks dalam pemecahan masalah.
B. Sub Kompetensi : Mendefinisikan arti geometri dari suatu transformasi di
bidang melalui pengamatan dari kajian pustaka.
a. Menentukan hasil transformasi geometri dari sebuah titik dan bangun.
b. Menentukan operasi aljabar dari transformasi geometri dan mengubahnya ke
dalam persamaan matriks.

3
Transformasi
Tahukah Anda?
Disadari atau tidak di sekeliling kita banyak
karya seni yang motifnya mengandung unsur-unsur
transformasi.Seorang pelukis yang bernama M. C.
Esher banyak yaang menciptakan lukisan yang
menggunakan unsur transformasi.
Perhatikan gambar berikut ini yang
merupakan salah satu karya seni M.C. Esher.
1. Transformasi apa yang dapat digunakan
untuk memperoleh Gambar 1 tersebut?
2. Transformasi apa saja yang dapat
digunakan untuk memperoleh Gambar 2
tersebut?
Setelah mempelajari bab ini tentu Anda
dapat menjawab pertanyaan di atas.
Dalam bab ini Anda akan mempelajari
tentang transformasi dan juga akan belajar
tentang refleksi,translasi, rotasi dan dilatasi.
Pengertian Transformasi
Transformasi merupakan proses perpindahan suatu titik atau garis atau bidang menjadi
bayangan titik atau garis atau bidang tersebut. Bisa juga dikatakan bahwa transformasi itu
diartikan sebagai memindahkan objek dari suatu tempat ke tempat lain. Sebelum dipindahkan,
objek tersebut disebut sebagai original objek, setelah dipindahkan disebut sebagai image. Jika
sebelem dan sesudah di transformasi bentuk dan ukuran objek tetap maka disebut transformasi
isometric. Yang termasuk dalam transformasi isometric adalah translasi, refleksi ,dilatasi dan
rotasi.
Jenis-jenis transformasi :
1. Refleksi (pencerminan)
2. Translasi (Perpindahan)
3. Rotasi (perputaran)
4. Dilatasi (perbesaran)
A

4
Transformasi
P’(2h-a,b)
a
h
2h-a
y
x
B.1
Materi Pembelajaran
REFLEKSI(PENCERMINAN)
Terlihat seorang bayi yang senang bermain dengan cermin. Kalian juga pasti sering
bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk
dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak
bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-
pertanyaantersebut, kalian akan menemukan beberapa sifat pencerminan.
Pada cermin datar, tampak oleh kita bahwa jarak objek dengan cermin adalah sama
dengan
jarak bayangan objek tersebut ke cermin. Misalkan garis x
= h adalah cermin dan titik P (a,b) adalah objek.
Jarak titik P terhadap sumbu y adalah a. Jarak cermin x =
h ke sumbu y adalah h. Karena jarak
benda ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin
maka jarak bayangan ke sumbu y adalah 2h sehingga
jarak bayangan ke objek adalah 2h – a.
Dan sekarang, perhatikan lingkaran Q yang dicerminkan terhadap sumbu-y berikut ini.
Bayi sangat senang mencoba sesuatu
yang baru dia lihat, seperti gambar di
samping, bayi laki-laki ini tampak asik
melihat bayangannya di cermin. Ketika
bayi itu menempelkan salah satu
tangannya, ternyata pada cermin,
tangannya juga menempel.
P(a,b)
B

5
Transformasi
Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:
 Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’.
 Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik
bayangannya ke cermin, yaitu QA’ =QA’ dan PB’ = P B’ .
 Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke
bayangannya adalah sudut siku-siku.
Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.
Konsep di atas adalah pencerminan terhadap cermin dengan posisi vertikal. Bagaimana
dengan posisi cermin yang miring? Misalkan cermin yang demikian adalah garis y = x.
Dengan demikian, kita akan mencoba menemukan konsepnya dengan melakukan beberapa
percobaan, yaitu dengan mencerminkan beberapa titik ke cermin tersebut dan melihat
bayangan yang dihasilkan pada sumbu koordinat.
Perhatikan gambar dan tabel di bawah ini. Beberapa titik dicerminkan pada garis y = x,
kemudian dicari titik yang jaraknya ke cermin sama dengan jarak bayangannya ke cermin.

6
Transformasi
sumbu X
y=x
Secara matematis, kita dapat menuliskan pencerminan terhadap garis y = x sebagai berikut:
A(a,b) D(b, a)
1. Melukis Bayangan Bangun Geometri oleh Refleksi terhadap Garis tertentu.
Prosedur yang ditempuh untuk melukis bayangan geometri oleh refleksi terhadap
garis tertentu adalah sebagi berikut;
a. Tetapkan garis yang akan berperan sebagi sumbu simetri atau sumbu cermin
b. Buatlah garis tegak lurus yang ditarik dari titik-titik sudut bangun geometri
yang akan dilukis bayangannya, tegak lurus pada sumbu simetri atau sumbu
cermin.
c. Lukislah titik-titik sudut bangun geometri bayangan dengan cara mengukur
jarak antara titik sudut bangun geometri bayangan terhadap sumbu cermin sama
dengan jarak titik sudut bangun geometri semula terhadap sumbu cermin
d. Hubungkan titik-titik sudut yang berdekatan yang diperoleh pada langkah c
sehingga bangun geometri bayangan yang diminta terlukis.
2. Persamaan Transformasi Refleksi pada Bidang
a. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap
Sumbu X
Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap sumbu X,
maka diperoleh hasil refleksi atau bayangan titik
B(a’,b’), dengan persamaan transformasi
refleksinya adalah
a’= a
b’= -b
Transformasi refleksi itu dapat ditulis
sebagai berikut
A(a,b) B(a, b)
b. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap
Sumbu Y
Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap sumbu Y,
C(a’,b’), dengan persamaan transformasi

7
Transformasi
sumbu Y
y=x
y= -x
refleksinya adalah
a’= -a
b’= b
Transformasi refleksi itu dapat ditulis sebagai berikut
A(a, b)C (-a, b)
c. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap garis y=x
Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap garis y=x,
D(a’,b’), dengan persamaan transformasi
refleksinya adalah
a’= b
b’= a
Transformasi refleksi itu dapat ditulis sebagai
berikut
A(a,b) D(b, a)
d. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap
garis y= -x
Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap garis y= -x
E(a’,b’), dengan persamaan transformasi
refleksinya adalah
a’= -b
b’= -a
berikut
A(a, b) (-b,- a)
e. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap
titik asal O(0, 0)
Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap titik asal
O(0, 0) maka diperoleh hasil refleksi atau
bayangan titik F(a’,b’), dengan persamaan
transformasi refleksinya adalah
a’= -a
b’= -b

8
Transformasi
titik asal O(0, 0)
x = h
y = b
Transformasi refleksi itu dapat ditulis sebagai berikut
A(a,b)  F(- a, -b)
f. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap garis x = h
Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap garis x= h,
G(a’,b’), dengan persamaan transformasi
refleksinya adalah
a’= 2h - a
b’= b
berikut
A(a, b)  G(2h – a, b)
g. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap
garis y = k
Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap garis y= k,
H(a’,b’), dengan persamaan transformasi
refleksinya adalah
a’= a
b’= 2k - b
berikut
A(x, y)  (a, 2k - b)
Bagaimana dua refleksi dikomposisikan?
Misalnya, titik A(a, b) dicerminkan terhadap garis x =h. Kemudian, dilanjutkan dengan
pencerminan terhadap garis x =k.
Untuk mengetahui pencerminan ini, amatilah gambar berikut!

9
Transformasi
Dari gambar, tampak bahwa:
A(a, b) A’(2h - a, b) A”(2(k - h) + a, b)
Contoh 1
Sebuah titik A(3,2) dicerminkan terhadap garis y =x kemudian dilanjutkan dengan
pencerminan terhadap garis y = 4. Tentukanlah bayangan pencerminan tersebut!
Jawab:
A(a, b) A’(b,a) A'’(a,2k b)
Dimana
= 2 = = 2
= 3 ′′ = 2.4 − 3= 5
Sehingga A’(2,3) sehingga A’’(2,5)
Contoh 2
1. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A(2,0), B(0,-5) danC(-3,1). Tentukan
koordinat bayangan segitiga ABC tersebut bila dicerminkan terhadap sumbu x
Jawab :
Pencerminan terhadap sumbu x
P(x,y) P’(x, -y)
A(2,0) A’(2,0)
B(0,-5) B’ (0,5)
C(-3,1) C’ (-3,-1)
y= 4y = x
x= h x= k

10
Transformasi
2. Bayangan garis 3x – 2y + 5 = 0 oleh refleksi terhadap sumbu x adalah
Jawab :
Oleh pencerminan terhadap sumbu X
maka: x’ = x
y’ = -y
disubstitusi ke kurva 3x – 2y + 5 = 0 diperoleh: 3x’ – 2(-y’) + 5 = 0
3x’ + 2y’ + 5 = 0
Jadi bayangannya adalah 3x + 2y + 5 = 0
3. Gambarlah setiap bangun geometri dan bayangannya, jika setiap bangun direflesikan
terhadap garis h?
Jawab ;
Bentuk dari lingkaran tersebut merupaka bayangan dari lingkaran itu oleh refleksi
terhadap garis h.
4. Gambarlah setiap bangun geometri dan bayangannya, jika setiap bangun direflesikan
terhadap garis h?
h
h A’

11
Transformasi
Jawab:
Segi lima AB’C’D’E’ adalah bayangan dari segi lima ABCDE oleh refleksi terhadap garis
h
Fotografi refleksi bisa menghasilkan
foto "pencerminan", dengan
menggunakan media cermin itu
sendiri, permukaan refleksi dan juga
air. Kita harus pandai menggali
lebih dalam imajinasi kita untuk
menghasilkan foto unik seperti ini.
Kreatifitas dan kualitas foto
tergantung dari fotografer itu
sendiri.

12
Transformasi
B.2
Sifat Refleksi
Jika suatu objek dicerminkan terhadap sumbu x, maka koordinat x tetap sama tetapi
koordinat y berubah menjadi berlawanan dengan posisi koordinat asal.
Refleksi terhadap garis y=mx pada bidang xy dapat dibuat merupakan kombinasi dari
transformasi translasi-rotasi-refleksi. Secara umum pertama-tama dilakukan translasi garis
mencapai titik potong koordinat. Kemudian garis dirotasi ke salah satu sumbu dan refleksi
objek menurut sumbu tersebut. Objek dan garis dirotasi sehingga mencapai sumbu lainnya.
Translasi(perpindahan)
Pernahkah kalian melihat kereta gantung?
Walaupun hanya lewat TV ataupun media
informasi yang lain tentunya kalian pernah
melihatnya, kereta tersebut berpindah dari
satu pos ke pos yang lain melalui lintasan tali
yang di rentangkan, sehingga kereta itu hanya bisa berjalan melalui tali, kereta gantung
yang berpindah merupakan sesuatu dari satu tempat ke tempat lain. Ini merupakan hal
yang disebut translasi, selain itu banyak hal yang ada disekitar kita yang berkaitan erat
dengan materi translasi ini. Mari pelajari konsep translasi.
Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) tidak mengalami perubahan bentuk dan
ukuran.
Jarak bangun (objek) dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan
dengan cermin tersebut

13
Transformasi
Minggu lalu, Niko Sentera duduk di pojok kanan baris pertama dikelasnya. Minggu
ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Ucok. Ucok sendiri
berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Martina.
Perhatikan perpindahan tempat duduk Niko Sentera dan Ucok ini
Niko Sentera berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini,
Niko Sentera telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang
ditulis sebagai (-2, 2)
Kemudian, Ucok berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini,
Ucok telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis
sebagai (-2,-1)
Sehingga, translasi adalah transformasi paling
sederhana yang dapat diterapkan pada suatu objek
grafis. Secara sederhana translasi adalah
memindahkan objek grafis dari satu tempat ke tempat
lain tanpa mengubah tampilan dan orientasi. Untuk
menghasilkan translasi dari suatu objek grafis, kita
menambahkan konstanta Tx pada koordinat x dan
konstanta Ty pada koordinat Y, formula ini
diterapkan pada semua titik pada objek yang akan
ditranslasikan.
Pada prakteknya untuk mentranslasikan objek
grafis, tentu saja kita tidak harus menghitung semua
titik pada objek tersebut, tetapi cukup titik-titik
pentingnya saja.Contoh untuk memindahkan garis,
cukup dihitung titik awal dan akhir saja kemudian
gambarkan garis dari lingkaran kemudian dengan
menggunakan algoritma penggambaran lingkaran, lingkaran dengan posisi baru bisa dibentuk.
Pernahkah Anda bermain flying
fox di laut? Di laut yang indah
Anda melakukan permainan ini
tentu asyik bukan?

14
Transformasi
2. Menentukan Koordinat Titik Bayangan oleh Translasi Tertentu
Jika translasi T =(a ,b) memetakan titik A(x, y) ke
titik A´(x’, y’)maka persamaan transformasinya (persamaan
yang menghubungkan (x, y) dengan (x’, y,)) adalah
x’ = x + a
y’ = y + b
Aturan yang mengaitkan titik A(x, y) translasi T = (a,
b) dengan hasil translasi atau bayangan titik A’(x’, y’) dapat
dituliskan sebagai berikut.
A(x,y) A’(x + a, y + b)
Contoh :
1. Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan
koordinat bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh T = (1 ,3)
Jawab :
titik O (0,0)   )3,1(T
O’(0+1, 0+3) = O’(1,3)
titik A (3,0)  
  3,1T
A’(3+1, 0+3) = A’(4,3)
titik B (3,5)   )3,1(T
B’ (3+1, 5+3) = B’(4,8)
2. Sebuah titik P(a,b + 2 + b) digeser dengan T(3,2b – a) sehingga hasil pergeseran
adalah Q(3a + b, –3). Tentukanlah pergeseran titik R(2,4), oleh translasi T!
Jawab:
P(a,2b + 2)    )2,3( abT
Q(3a + b,−3)
3a + b = a + 3 –3 = 2b + 2+2b-a
2a + b = 3 dan a = 4b + 5
Dengan mensubstitusi a = 4b + 5 ke 2a + b = 3 maka diperoleh:
a = 4b + 5 dan 2a + b = 3 → 2(4b + 5) + b = 3
→ 9b + 10 = 3
→ 9b = –7
T=(a, b)

15
Transformasi
B.3
→ b = –7/9
Bila nilai b = -7/9 disubstitusi ke a = 3b + 5 maka a = -8/3
Dengan demikian, translasi yang dimaksud adalah T(3, 2b – a) = T (3,10/9).
Pergeseran titik R (2, 4) oleh translasi T (3,-4) adalah:
R(2,4)   )9/10,3(T
S(2 + 3, 4 + (10/9) = S(5,46/9)
Rotasi(Perputaran)
Dengan menggunakan jangka, Arif membuat sebuah busur
lingkaran. Ia menusukkan jarum jangka pada titik O, kemudian
memutar jangka dengan sudut putar  berlawanan dengan arah
perputaran jarum jam. Melalui peragaan ini, Arif telah melakukan
rotasi sebesar  dengan pusat titik O.
Misalkan, posisi awal pensil jangka pada titik A(a, b). Setelah
dirotasi sebesar  dengan pusat titik O, posisi pensil jangka ini
berada pada titik A(a’, b’) seperti pada gambar berikut.
Saat kita di taman hiburan,pasti kita
akan melihat banyak permainan. Salah
satunya adalah bianglala, anak-anak
yang suka terhadap permainan ini.
Bianglala selalu berputar pada porosnya.
Dan permainan ini merupakan contoh
dari rotasi.

16
Transformasi
Sehingga, rotasi atau perputaran adalah transformasi dengan proses memutar sebarang
titik lain terhadap titik tertentu(titik pusat rotasi). Suatu rotasi ditentukan oleh tiga unsur
berikut ini.
a. Titik Pusat Rotasi
Titik pusat rotasi adalah titik tetap yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan
arah dan besar sudut rotasi.
b. Besar Sudut Rotasi
Besar atau jauh sudut rotasi menentukan jauh nya rotasi. Ukurannya dapat dinyatakan
dalam derajat,radian, atau bilangan pecahan terhadap satu putaran yang penuh.
c. Arah Sudut Rotasi
Suatu rotasi dikatakan mempunyai arah positif (+), jika rotasi itu berlawanan dengan
arah jarum jam sedangkan rotasi dikatakan mempunyai arah negatif(-), jika rotasi itu
searah dengan arah putaran jarum jam.
1. Melukis Bayangan Bangun Geometri oleh Rotasi Tertentu
Bayangan bangun geometri pada suatu rotasi dapat dilukis , jika diketahui titik pusat
rotasi, besar sudut rotasi dan arah sudut rotasi.
Masalah 1
Sebuah pesawat pada titik koordinat P(20,40) bergerak berputar sebesar 90° terhadap titik asal
menuju titik Q. Setelah tiba di titik Q, pesawat melanjutkan rotasi sebesar 90° terhadap titik
asal menuju titik R. Tunjukkanlah koordinat tujuan pesawat tersebut pada koordinat kartesius!
Perhatikan gambar berikut ini!!

17
Transformasi
Rotasi suatu image adalah memutar objek terhadap titik tertentu di bidang xy. Bentuk dan
ukuran objek tidak berubah. Untuk melakukan rotasi perlu diketahui sudut rotasi  dan pivot
point (Xp,Yp) atau titik rotasi dimana objek dirotasi. Nilai positif dari sudut rotasi menentukan
arah rotasi berlawanan dengan jarum jam dan sebaliknya nilai negatif akan memutar objek
searah jarum jam.
Perhatikan gambar berikut!
Contoh
1) Tentukanlah bayangan P(3,-5) jika dirotasi 90 derajat dengan pusat rotasi di A(1,2)
dilengkapi dengan gambarnya!
Solusi:
P(3, -5) = P(a, b)
A(1, 2) = A(x, y)

18
Transformasi
a’ = (a – x) cos a – (b – y) sin a + x
b’ = (a – x) sin a + (b – y) cos a + y
a’ = (3 – 1) cos 90o
– (-5 – 2) sin 90o
+ 1 = 0
+ 7 + 1 = 8
b’ = (3 – 1) sin 90o
– (-5 – 2) cos 90o
+ 2 = 2
+ 0 + 2 = 4
Jadi, bayangan P(3, 5) adalah P’(8, 4)
2) ABCD adalah persegi panjang. Gambarlah persegi panjang ABCD
dan bayangannya persegi panjang A’B’C’D’, jika persegi panjang
ABCD dirotasikan dengna titik pusat di A sejauh + 90 derajat
Solusi:
Persegi panjang ABCD adalah bayangan dari persegi panjang
ABCD oleh rotasi yang berpusat di titik A sejauh +90 derajat
Sifat Rotasi
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi
Seorang anak yang meluncur
dari papan, lalu anak itu
berputar sesuai geraknya.

19
Transformasi
B.4
Dilatasi (Perbesaran/ Pengecilan)
Gambar gedung Pemkab Ponorogo
Andi memotret gedung Pemkab yang ada di kota di Ponorogo. Dimana gedung
tersebut menjulang tinggi. Dari hasil potretannya, foto tersebut diperbesar dan juga diperkecil
dari pencetakan. Foto tersebut sama dengan foto yang sesungguhnya,tetapi ukuran lebih
diperkecil lagi.
Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor
dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.
 Jika k < -1 atau k > 1, maka hasil dilatasinya diperbesar,
 Jika -1 < k < 1, maka hasil dilatasinya diperkecil,
 Jika k = 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan.
Jika suatu objek diperbesar atau diperkecil, objek dapat diskalakan menggunakan
faktor yang sama baik secara horisontal maupun vertikal sehingga proporsinya tetap atau bisa
menggunakan faktor yang berbeda yang akan menyebabkan objek tersebut menjadi lebih
tinggi, lebih pendek, lebih tipis atau lebih tebal. Di bawah ini ada gambar yang menujukkan
dilatasi tersebut.

20
Transformasi
Proses untuk mengubah ukuran objek, dengan cara, mengubah jarak setiap titik pada
objek terhadap titik acuan. Objek dapat diskalakan dengan arah horizontal maupun vertical
dengan cara mengalikan koordinat tiap objek dengan faktor konstanta.
Jenis penskalaan ada dua yaitu uniform dan diferensial. Penskalaan Uniform terjadi
bila faktor vertikal sama dengan horizontal, sedangkan diferensial jika kedua faktor tersebut
berbedaPenskalaan uniform untuk poligon, lingkaran dan elips, dapat dilihat pada table
berikut:
Objek Penskalaan
Poligon Transformasikan titik-titik sudut
Gambar ulang tiap garis
Lingkaran Transformasikan titik pusat
Sesuaikan ukuran jari-jari
Gambar ulang tiap titik
Objek Penskalaan
Ellips Transformasikan sumbu mayor dan
minor
Gambar ulang tiap titik

21
Transformasi
Proses Dilatasi tidak mengubah bentuk, tetapai hanya mengubah ukuran
Contoh dilatasi :
Persegi panjang dengan koordinat (4,2), (10,2),
(4,4), (10,4) dengan faktor skala ½
Koordinat persegi panjang sesudah transformasi
(2,1), (5,1), (2,2), (5,2)
Dilatasi merupakan suatu transformasi yang
mengubah ukuran (memperbesar atau
memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah
bentuk bangunnya.
1. Melukis Bayangan Dilatasi pada Bangun Geometri
Misalkan titik A dipetekan ke titik A’ oleh dilatasi [O, k] maka berlaku OA’ = k x OA.
Letak dari A’ ditentukan oleh arah OA’, dan arah A’ = k x OA ditentukan oleh kesepakatan.
Dan kesepakatan tesebut dapat dilihat sebagai berikut:
1. Jika k > 0, maka A’ = k x OA ditetapkan searah dengan OA
2. Jika k < 0, maka A’ = k x OA ditetapkan berlawanan arah dengan OA
Dengan menggunakan kesepakatan diatas, bayangan dari suatu bangun geometri oleh
dilatasi, [O, k] dapat digambarmelalui langkah-langkah sebagai berikut:
1. Buatlah ruas garis dari titik O (titik pusat) ke titik yang hendak didilatasikan.
2. a. untuk k bernilai positif, bayangannya adalah sebuah titik yang berjarak k kali jarak
dari O ke titik yang didilatasikan dan dalam arah yang sama.
b. untuk k bernilai negatif, bayangannya adalah sebuah titik yang berjarak |k| kali jarak
dari O ke titik yang didilatasikan tetapi dalam arah yang belawanan.

22
Transformasi
A. Persamaan Transformasi Dilatasi dengan Titik Pusat O(0,0)
Jika titik A(x,y) didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala k atau [O, k], maka
diperoleh hasil dilatasi atau bayangan titik A’(x’,y’), dengan persamaan transformasi dilatasinya adalah
x’ = kx
y’ = ky
Transformasi dilatasi itu dapat ditulis sebagai berikut
P(x, y)  
  kO,
P’(kx, ky)
B. Persamaan Transformasi Dilatasi dengan Titik Pusat di P(a, b)
Jika titik A(x,y) didilatasi terhadap titik pusat P(a, b) dengan faktor skala k atau [P, k], maka
diperoleh hasil dilatasi atau bayangan titik A’(x’,y’), dengan persamaan transformasi dilatasinya adalah
x’ = a + k(x – a)
y’ = b + k(y – b)
Transformasi dilatasi itu dapat ditulis sebagai berikut
P(x, y)  
  kP,
P’(a + k(x – a),b+ k(y – b))
Sifat Dilatasi
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi)
dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap
ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.
a) Jika k > 1, maka bangun akar diperbesar dan terletak
secara terhadap pusat dilatasi dengan bangun
semula. (k = 2)
b) Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan
ukuran dan letak.
c) Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan
terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan
bangun semula. ( k = )
Gambar Dilatasi dengan [O, 2]
Gambar Dilatasi dengan [O, ]

23
Transformasi
d) Jika –1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan
terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi
dengan bangun semula. ( k = - )
e) Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan
terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi
dengan bangun semula. ( k = -2)
Contoh
1) Tentukanlah bayangan titik P(5, 6) jika didilatasikan oleh:
a. [O, 2]
b.[O, 3]
Jawab :
a. P(5, 6)
 
 2,O
P’(5.2, 6.2) = P’(10, 12)
Jadi, titik P’(10, 12)
b. P(5, 6)
 
 3,O
P’(5.3, 6.3) = P’(15, 18)
Jadi, titik P’(15, 18)
2) Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu Y di B. Karena dilatasi [O,-
2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’
Jawab :
Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0) memotong sumbu Y di B(0,2) karena dilatasi
[O,-2] maka
A’(kx,ky)→ A’(-6,0)
Gambar Dilatasi dengan [O,- ]
Gambar Dilatasi dengan [O,-2]

24
Transformasi
B’(kx,ky) → B’(0,-4)
Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga seperti pada gambar:
Sehingga luasnya = ½ x OA’ x OB’
= ½ x 6 x 4
= 12
3) Diberikan titik A(-2, 3) dan A’(-5, 8). Titik A’ adalah hasil dilatasi titik A oleh dilatasi dengan
pusat P(a, b)dengan faktor skala 2.carilah koordinat titik P?
Solusi:
Untuk menentukan bayangan dari titik A(x, y)oleh dilatasi yang berpusat di P(a,b)dengan
faktor skala k di tentukan oleh rumus berikut ini.
P(x, y)  
  kbaP ),,(
P’(a + k(x – a),b+ k(y – b))
P(-2, 3)  
  2),,( baP
P’(a + 2(-2 – a),b+ 2(3 – b)) =A’(-a -4, -b+6) =A’(-5, 8)
-a – 4 =-5 a = 1,
-b + 6 =8 b = -2
Jadi, koordinat titik P adalah (1, -2)
y
-6
4
A
B
x

25
Transformasi
1. Diketahui titik A(2, 3), B(-4, 5), dan C(-3,-5). Tentukan bayangan titik A, B dan C jika
didilatasi [O, -2]
2. Tentukan bayangan titik A(-3,4) oleh dilatasi dengan pusat (2,3) dan fakator skala -1/2
3. Diketahui persamaan lingkaran x2
+ y2
– 2x + 4y = 16. Tentukan bayangan lingkaran
jika dicerminkan terhadap garis y = x.
4. Diketahui titik A(2, -1), B(5, 3), dan C(-2, 4). Tentukan bayangan titik A, B, dan C,
jika dicerminkan terhadap:
a. sumbu x
b. sumbu y
c. garis x = 2
d. garis y = -3
e. garis y = x
f. garis y = -x
5. Diketahui persamaan garis 2x + 3y = 6. Tentukan bayangan garis tersebut jika
dicerminkan terhadap sumbu y
6. Diketahui titik A(-3,2), B(2,-5), dan C(5,4). Tentukan bayangan titik A, B, C jika
ditranslasi oleh T = (-2, 4)
7. Diketahui persamaan garis x – 2y + 4 = 0. Tentukan bayangan garis tersebut jika
ditranslasi oleh T = (2, 3)
8. Tentukan bayangan persamaan garis 2x + 3y = 6 oleh rotasi pada pusat O sebesar +900
9. Tentukan bayangan persamaan lingkaran (x-2)2
+ (y-3)2
= 4 oleh rotasi pada O sebesar
+1800
10. Titik P(3,4) ditranslasikan oleh T=(a, b) menghasilkan Titik P’(7, -6). Tentukanlah
translasi T !
Asah Kemampuan

26
Transformasi
C Penutup
Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep transoformasi di atas, beberapa hal
penting dapat kita rangkum sebagai berikut.
a. Transformasi adalah proses perpindahan suatu titik atau garis atau bidang
menjadi bayangan titik atau garis atau bidang tersebut. Bisa juga dikatakan
bahwa transformasi itu diartikan sebagai memindahkan objek dari suatu tempat ke
tempat lain.
b. Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik
pada sebuah bidang berdasarkan jarak dan arah tertentu. Misalkan x, y, a, dan b
adalah bilangan real, translasi titik A (x, y) dengan T(a,b) adalah menggeser absis x
sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sedemikian hingga diperoleh
A’(x + a, y + b), secara notasi dilambangkan dengan:
A(x, y)  
  ),( baT
A'(x + a, y + b) .
c. Refleksi atau pencerminan adalah satu jenis transformasi yang memindahkan setiap
titik pada suatu bidang dengan mengggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik
yang dipindahkan. Pencerminan titik A (a, b) terhadap sumbu x = h didefinisikan
dengan:
A(a, b)  hx
A'(2h - a, b) ,
sedangkan pencerminan titik A (a, b) terhadap sumbu y= k didefinisikan dengan:
A(a, b)  ky
A'(a, 2k + b) .
d. Rotasi atau perputaran adalah transformasi yang memindahkan suatu titik ke titik lain
dengan perputaran terhadap titik pusat tertentu. Rotasi terhadap titik O(0,0) sebesar 900
dirumuskan dengan:
A(a,b)   ]90),0,0([OR
A'( b, a)

27
Transformasi
e. Dilatasi atau perubahan skala adalah suatu transformasi yang memperbesar atau
memperkecil bangun tetapi tidak mengubah bentuk. Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan
faktor skala k dirumuskan dengan: A(a,b)   ],[ kOD
A'(ka,kb), sedangkan dilatasi
dengan pusat P(p,q) dan faktor skala k dirumuskan dengan:
A(a,b)  
  kbaP ),,(
A'[ p k(a p),q k(b q)].
Konsep transformasi yang telah dibahas di atas, kita peroleh dari situasi nyata
kehidupan. Konsep-konsep ini sangat berguna untuk pemecahan masalah yang kamu temukan
dalam kehidupan sehari-hari. Dan konsep- konsep tersebut banyak kita jumpai dalam
kehidupan nyata.

modul transformasi

More Related Content

What's hot (20)

Similar to modul transformasi (20)

Recently uploaded (20)

modul transformasi