Ánh Xạ Đóng Trong Không Gian Mêtric Suy Rộng.doc

Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO
0973.287.149
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGÔ QUANG TRƯỜNG
ÁNH XẠ ĐÓNG TRONG KHÔNG
GIAN MÊTRIC SUY RỘNG
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng – Năm 2015

Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Công trình đã được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN
Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Phản biện 2: PGS. TSKH. Trần Quốc Chiến
Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 11 tháng
01 năm 2015.
Có thể tìm luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

Luanvanmaster.com
1
M— U
1. Lþ do chån • t i
nh x⁄ âng trong khæng gian m¶tric suy rºng l mºt
trong nhœng b i to¡n trång t¥m cıa tæpæ ⁄i c÷ìng. N«m
1985, L.Foged ¢ chøng minh r‹ng X l £nh âng cıa khæng
gian meetric khi v ch¿ khi nâ l khæng gian Fr†chet-
Urysohn vîi k- m⁄ng, - b£o tçn âng di truy•n. Sau â, Z.Gao v
Y. Hattori ¢ chøng minh r‹ng X l £nh âng Lindelof cıa
khæng gian meetric khi v ch¿ khi nâ l khæng gian Fr†chet-
Urysohn v @ - khæng gian v o n«m 1986. Gƒn ¥y nhi•u t¡c
gi£ tr¶n th‚ giîi quan t¥m ‚n c¡c t‰nh ch§t cıa c¡c ¡nh x⁄ âng
bi¶n-compact, ¡nh x⁄ âng phı- d¢y công nh÷ sü b£o tçn cıa
khæng gian m¶tric suy rºng qua c¡c ¡nh x⁄ âng. N«m 2007,
C.Liu ¢ chøng minh r‹ng n‚u f : X ! Y l ¡nh x⁄ âng v X l
khæng gian câ cì sð y‚u ‚m ÷æc theo i”m th… f l ¡nh x⁄ bi¶n-
compact khi v ch¿ khi Y khæng chøa b£n sao cıa S!. Tł â,
t¡c gi£ chøng minh ÷æc r‹ng khæng gian g- kh£ m¶tric b£o
tçn qua ¡nh x⁄ âng phı - d¢y v cho r‹ng khæng gian vîi cì sð
y‚u - ‚m ÷æc àa ph÷ìng b£o tçn qua ¡nh x⁄ âng phı-d¢y v
cho r‹ng khæng gian vîi cì sð y‚u - ‚m ÷æc àa ph÷ìng công
÷ìc b£o tçn qua ¡nh x⁄ âng phı-d¢y. Ngo i ra, C.Liu chøng
minh r‹ng n‚u f : X ! Y l ¡nh x⁄ âng v X l khæng gian d¢y
chu'n t›c, th… f l ¡nh x⁄ bi¶n-compact ‚m ÷æc khi

Luanvanmaster.com
v ch¿ khi Y khæng chøa b£n sao cıa S!. Hìn nœa, t¡c gi£
công thu ÷æc c¡c k‚t qu£ v sü b£o tçn cıa khæng gian vîi cì
sð ‚m ÷æc theo i”m, @ - khæng gian, khæng gian sn-

Luanvanmaster.com
2
kh£ m¶tric qua ¡nh x⁄ âng phı-d¢y.
Vîi c¡c lþ do nh÷ tr¶n, chóng tæi chån: " nh x⁄ âng
trong khæng gian m¶tric suy rºng" l m • t i lu“n v«n th⁄c
s¾.
2. Möc ‰ch nghi¶n cøu
Lu“n v«n nh‹m t…m hi”u v l m rª c¡c v§n • sau:
(1) H» thŁng l⁄i mºt sŁ ki‚n thøc v• tæpæ ⁄i c÷ìng, mºt sŁ
ki‚n thøc v• khæng gian m¶tric suy rºng.
(2) T…m hi”u mºt sŁ k‚t qu£ v• c¡c ¡nh x⁄ âng trong
khæng gian m¶tric suy rºng.
3. Łi t÷æng v ph⁄m vi nghi¶n cøu
Łi t÷æng nghi¶n cøu: ¡nh x⁄ âng, ¡nh x⁄ âng phı-d¢y,
¡nh x⁄ phı-compact.
4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu
(1) Tham kh£o t i li»u v h» thŁng hâa c¡c ki‚n thøc.
(2) Thu th“p c¡c b i b¡o khoa håc cıa c¡c t¡c gi£ nghi¶n
cøu li¶n quan ‚n "¡nh x⁄ âng trong khæng gian m¶tric
suy rºng".
(3) Th” hi»n t÷íng minh c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu trong • t i.
(4) Ph¥n t‰ch, ¡nh gi¡, tŒng hæp v trao Œi vîi thƒy h÷îng
d¤n k‚t qu£ ang nghi¶n cøu ” ho n ch¿nh lu“n v«n.
5. Þ ngh¾a khoa håc v thüc ti„n
• t i câ þ ngh¾a v• m°t lþ thuy‚t, câ th” sß döng nh÷ t i

Luanvanmaster.com
3
li»u tham kh£o d nh cho nhœng ai ang nghi¶n cøu v• ¡nh
x⁄ âng trong khæng gian m¶tric suy rºng.
6. BŁ cöc • t i
Lu“n v«n ÷æc chia th nh hai ch÷ìng:
Ch÷ìng 1. Cì sð lþ thuy‚t. Trong ch÷ìng n y, chóng
tæi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v t‰nh ch§t cıa khæng
gian tæpæ nh‹m ” phöc vö cho vi»c chøng minh trong
ch÷ìng 2 cıa lu“n v«n.
Ch÷ìng 2. nh x⁄ âng trong khæng gian m¶tric suy
rºng. Trong ch÷ìng n y, chóng tæi chøng minh v• mŁi
quan h» giœa ¡nh x⁄ âng vîi mºt sŁ ¡nh x⁄ câ t‰nh ch§t
phı, chøng minh c¡c t‰nh ch§t cıa ¡nh x⁄ âng công nh÷
chøng minh c¡c i•u ki»n ” ¡nh x⁄ âng câ bi¶n-compact
trong khæng gian m¶tric suy rºng.
M°c dò ¢ r§t cŁ g›ng song lu“n v«n khæng th” tr¡nh
nhœng h⁄n ch‚ v thi‚u sât. T¡c gi£ r§t mong nh“n ÷æc sü
âng gâp þ ki‚n cıa quþ thƒy cæ v c¡c b⁄n ” lu“n v«n ÷æc
ho n ch¿nh hìn. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn.

Luanvanmaster.com
4
CH×ÌNG 1
CÌ S— LÞ THUY T
Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v
t‰nh ch§t cıa khæng gian tæpæ nh‹m ” phöc vö cho vi»c
chøng minh ch÷ìng 2 cıa lu“n v«n.
1.1. KH˘NG GIAN M TRIC
1.1.1 ành ngh¾a. Gi£ sß X l mºt t“p tòy þ kh¡c rØng v
d : X X ! R l mºt h m X X thäa m¢n c¡c i•u ki»n sau:
(1) d(x; y) 0 vîi måi x; y 2 X;
d(x; y) = 0 khi v ch¿ khi x = y;
(2) d(x:y) = d(y; x) vîi måi x; y 2 X.
(3) d(x:z) d(x; y) + d(y; z).
Khi â,
(1) d ÷æc gåi l mºt m¶tric tr¶n X.
(2) C°p (X; d) ÷æc gåi l mºt khæng gian m¶tric.
1.1.2 ành ngh¾a. Gi£ sß fxng l mºt d¢y khæng gian m¶tric
X. Ta nâi r‹ng d¢y fxng hºi tö ‚n x 2 X n‚u vîi måi > 0, tçn t⁄i n0 2 N
sao cho
d(xn; x) < vîi måi n n0:
Lóc â, x0 ÷æc gåi l i”m tîi h⁄n cıa d¢y fxng:

Luanvanmaster.com
5
1.1.3 Nh“n x†t.
(1) N‚u d¢y fxng hºi tö ‚n x 2 X, th… mØi d¢y con fxnk g cıa d¢y
fxng công hºi tö ‚n x.
(2) Giîi h⁄n cıa mºt d¢y hºi tö l duy nh§t.
1.1.4 ành ngh¾a. Gi£ sß (X; ) l mºt khæng gian m¶tric, x0
2 X v r > 0. Khi â
(1) T“p hæp
S(x0; r) = fx 2 X : (x; x0) < rg
÷æc gåi l h…nh cƒu mð t¥m x0 b¡n k‰nh r.
(2) T“p hæp
S[x0; r] = fx 2 X : (x; x0) rg
÷æc gåi l h…nh cƒu âng t¥m x0 b¡n k‰nh r.
1.1.5 ành ngh¾a. Cho A l mºt t“p hæp con cıa khæng gian
m¶tric X. Khi â,
(1) U ÷æc gåi l l¥n c“n cıa x n‚u tçn t⁄i r > 0 sao cho x 2
B(x; r) U
(2) A ÷æc gåi l mºt t“p mð trong X n‚u vîi måi x 2 A, tçn t⁄i mºt l¥n
c“n U cıa x sao cho
x 2 U A:

Luanvanmaster.com
6
1.1.6 ành ngh¾a T“p con A cıa khæng gian m¶tric X ÷æc
gåi l mºt t“p hæp âng n‚u X n A l mºt t“p mð trong X.
1.1.8 ành l‰. T“p con A cıa khæng gian m¶tric X l âng
trong X khi v ch¿ khi vîi måi d¢y fxng A, fxng hºi tö ‚n x ta •u câ
x 2 A.
Nh÷ v“y, t“p A l âng trong X khi v ch¿ khi A chøa t§t c£ c¡c i”m
giîi h⁄n cıa nâ.
1.1.9 ành l‰. Łi vîi khæng gian m¶tric X, c¡c k‚t qu£ sau l
óng.
(1) ;; X l c¡c t“p hæp mð.
(2) Hæp tòy þ c¡c t“p con mð l t“p con mð.
(3) Giao hœu h⁄n t“p con mð l t“p con mð.
1.1.10 ành l‰. C¡c khflng ành sau l óng Łi vîi khæng gian
m¶tric X
(1) ;; X l c¡c t“p con âng.
(2) Giao tòy þ c¡c t“p con âng l t“p con âng.
(3) Hæp hœu h⁄n c¡c t“p con âng l t“p con âng.
1.2. KH˘NG GIAN T˘P˘
1.2.1. ành ngh¾a. Cho X l mºt t“p hæp v l hå gçm c¡c t“p
con n o â cıa X thäa m¢n c¡c i•u ki»n sau.
(a) ;,X2 .

Luanvanmaster.com
(b) N‚u U, V 2 , th… U V 2 .

Luanvanmaster.com
7
(c) N‚u fU g 2, th…
S
U 2 .
2
Khi â,
(1) ÷æc gåi l mºt tæpæ tr¶n X.
(2) C°p (X; ) ÷æc gåi l mºt khæng gian tæpæ.
(3) MØi phƒn tß cıa ÷æc gåi l mºt t“p hæp mð.
(4) MØi phƒn tß cıa X ÷æc gåi l mºt i”m cıa nâ.
1.2.3 ành ngh¾a. T“p con A cıa khæng gian t“p tæpæ (X; )
÷æc gåi l t“p hæp âng trong X n‚u XnA 2 .
1.2.5 ành l‰. Gi£ sß D l hå gçm t§t c£ c¡c t“p hæp âng
trong khæng gian tæpæ (X; ). Khi â,
(1) ;2D;X2D.
(2) N‚u F1 2 D v F2 2 D, th… F1 [ F2 2 D.
T
(3) N‚u fF g 2 D, th… F 2 D.
2
1.2.7 ành ngh¾a. Gi£ sı A l t“p con cıa khæng gian tæpæ
(X; ) v x 2 X. Khi â,
(1) x ÷æc gåi l i”m trong cıa A n‚u tçn t⁄i U 2 sao cho x 2 U A:
(2) x ÷æc gåi l i”m ngo i cıa A n‚u tçn t⁄i U 2 sao cho
x 2 U XnA:

Luanvanmaster.com
8
(3) x ÷æc gåi l i”m bi¶n cıa A n‚u x çng thíi khæng l i”m
trong v khæng l i”m ngo i cıa A, ngh¾a l vîi mØi U 2 ta câ
U A 6= ;; U X n A = ;:
(4) x ÷æc gåi l i”m tö cıa A n‚u vîi mØi l¥n c“n cıa x ta •u
câ

Luanvanmaster.com
U A n fxg 6= ;:
(5) x ÷æc gåi l i”m cæ l“p cıa X n‚u nâ khæng l i”m tö cıa X.
1.2.9 ành ngh¾a. Gi£ sß A l t“p con cıa khæng gian tæpæ
(X; ). Khi â, t“p con U cıa X ÷æc gåi l l¥n c“n cıa t“p A n‚u tçn t⁄i V
2 sao cho
A V U:
1.2.11 ành ngh¾a. Gi£ sı A l t“p con cıa khæng gian tæpæ
(X; ) .Khi â, t“p t§t c£ c¡c i”m trong cıa A ÷æc gåi l phƒn
trong cıa A v k‰ hi»u l IntA. 1.2.12
ành l‰. Gi£ sß A, B l (X; ). Khi â,
c¡c khflng ành sau l
t“p con cıa khæng gian tæpæ
óng.
(1) IntA l t“p con mð.
(2) IntA l t“p mð lîn nh§t trong A.
(3) Int(IntA) = IntA.
(4) A l mð khi v ch¿ khi A = IntA. Nh÷ v“y, Int;
= ;; IntA = A

Luanvanmaster.com
9
(5) N‚u A B, th… IntA IntB:
(6) IntA IntB = Int(A B).
(7) IntA [ IntB Int(A [ B).
1.2.13 ành ngh¾a. Gi£ sß A l t“p hæp con cıa khæng gian
tæpæ (X; ). Khi â, t“p t§t c£ c¡c i”m bi¶n cıa A uæc gåi l bi¶n
cıa A v k‰ hi»u l @A.
1.2.14 ành l‰. Gi£ sß A l t“p hæp con cıa khæng gian
tæpæ (X; ). Khi â, c¡c khflng ành sau l óng.
(1) A A.
(2) A l âng khi v ch¿ khi A = A.
(3) N‚u A B, th… A B.
(4) A[B =A[B.
(5) AB AB.
(6) A=A[@A.
1.2.15 ành l‰. Gi£ sß A l t“p hæp con cıa khæng gian
tæpæ (X; ) Khi â, x 2 A khi v ch¿ khi vîi måi l¥n c“n U cıa x ta •u
câ U A 6= ;.
1.3. CÌ S— V L N C N CÕA KH˘NG GIAN T˘P˘

Luanvanmaster.com
1.3.1 ành ngh¾a. Gi£ sß (X; ) l mºt khæng gian tæpæ v B .
Ta nâi r‹ng B l cì sð cıa (X; ) (hay l cì sð cıa ) n‚u mØi phƒn tß cıa
l hæp n o â c¡c phƒn tß cıa B.

Luanvanmaster.com
10
1.3.3 ành l‰. Gi£ sß B . Khi â, B l mºt cì sð cıa khæng
gian tæpæ (X; ) khi v ch¿ khi mØi t“p mð trong X l hæp cıa mºt
hå n o â c¡c t“p mð thuºc B.
1.3.4 ành l‰. Gi£ sß B l mºt cì sð cıa khæng gian tæpæ
(X; ). Khi â, c¡c khflng ành sau l óng.
(1) N‚u U, V 2 B sao cho x 2 U V , th… tçn t⁄i W 2 B sao cho
x 2 W U V:
(2) Vîi mØi x 2 X, tçn t⁄i U 2 B sao cho x 2 U.
1.3.5 ành ngh¾a. Gi£ ssß Ux l hå gçm t§t c£ c¡c l¥n c“n
cıa x. Ta nâi r‹ng hå Bx Ux l mºt cì sð l¥n c“n t⁄i x n‚u vîi mØi U
2 Ux, tçn t⁄i V 2 Bx sao cho
x 2 V U:
1.3.6 ành l‰. Gi£ sß x 2 X v Bx l cì sð l¥n c“n t⁄i x. Khi
â,
(1) x 2 U vîi mØi U 2 Bx v Bx 6= ; vîi mØi x 2 X.
(2) N‚u U, V 2 Bx, th… tçn t⁄i W 2 Bx sao cho x
2 W U V:
1.3.7 ành ngh¾a. Gi£ sß X l mºt khæng gian tæpæ. Khi
â,
(1) X ÷æc gåi l khæng gian thäa m¢n ti¶n • ‚m ÷æc thø nh§t n‚u
mØi i”m cıa X câ mºt cì sð l¥n c“n ‚m ÷æc.

Luanvanmaster.com
11
(2) X ÷æc gåi l khæng gian thäa m¢n ti¶n • ‚m ÷æc thø hai n‚u câ
mºt cì sð l¥n c“n ‚m ÷æc.
1.3.8 ành l‰. N‚u X l khæng gian thäa m¢n ti¶n • ‚m ÷æc
thø hai, th… nâ l khæng gian thäa m¢n ti¶n • ‚m ÷æc thø nh§t.
1.3.9 ành l‰. N‚u khæng gian tæpæ (X; ) thäa m¢n ti¶n •
‚m ÷æcc thø nh§t, th… t⁄i mØi i”m cıa X, tçn t⁄i mºt cì sð l¥n c“n
gi£m v ‚m ÷æc.
1.4.C CTI N T CH
1.4.1 ành ngh¾a. Gi£ sß X l mºt khæng gian tæpæ. Khi â,
X uæc gåi l T1-khæng gian n‚u vîi måi x, y 2 X m x 6= y, tçn t⁄i
c¡c l¥n c“n mð U cıa x v V cıa y sao cho
x 2= V v y 2= U.
1.4.2 ành l‰. X l T1-khæng gian khi v ch¿ khi t“p mºt i”m
fxg l âng trong X vîi måi x 2 X.
X uæc gåi l T2-khæng gian hay khæng gian Hausdorff n‚u vîi
måi x, y 2 X m x 6= y, tçn t⁄i c¡c l¥n c“n mð U cıa x v V cıa y sao
cho
UV =;:
X uæc gåi l khæng gian ch‰nh quy n‚u vîi måi t“p hæp âng F
X v vîi måi x 2= F , tçn t⁄i c¡c l¥n c“n mð U cıa x v V cıa F sao cho
UV =;:

Luanvanmaster.com
12
1.4.5 ành l‰. X l khæng gian ch‰nh quy khi v ch¿ khi vîi
måi x 2 X v vîi måi l¥n c“n U cıa x, tçn t⁄i l¥n c“n V cıa x sao cho
x 2 V V U:
1.4.6 ành ngh¾a. X uæc gåi l T3-khæng gian n‚u nâ l T1-
khæng gian v ch‰nh quy.
1.4.7 ành l‰. X l khæng gian chu'n t›c khi v ch¿ khi vîi måi
t“p con âng F trong X v vîi måi l¥n c“n U cıa F , tçn t⁄i l¥n c“n V
cıa F sao cho
F V V U:
1.4.8 ành ngh¾a. X uæc gåi l khæng gian chu'n t›c n‚u vîi
E, F l c¡c t“p con âng trong X sao cho E F = ;, tçn t⁄i c¡c l¥n c“n
U cıaa E v V cıa F sao cho
UV =;:
1.4.9 ành ngh¾a. X uæc gåi l T4-khæng gian n‚u nâ l
T1-khæng gian v chu'n t›c.
1.4.10 Nh“n x†t. T4-khæng gian =) T3-khæng gian =) T2-
khæng gian =) T1-khæng gian.
1.5. KH˘NG GIAN CON
1.5.1 ành ngh¾a.Gi£ sß (X; ) l khæng gian tæpæ v M l
mºt t“p con cıa X. Khi â, hå
M = fU M : U 2 g

Luanvanmaster.com
13
công l mºt tæpæ tr¶n M, v ta nâi r‹ng (M; M ) l khæng gian
tæpæ con hay ìn gi£n l khæng gian con cıa M.
1.5.2 ành lþ. Gi£ sß M l khæng gian con cıa khæng gian
tæpæ X v E M. Khi â,
(1) T“p hæp E l âng trong khæng gian con M khi v ch¿ khi tçn
t⁄i t“p con F âng trong X sao cho
E=MF
.
(2) Bao âng E
M
cıa E trong khæng gian con M v bao âng E
cıa E trong X li¶n h» nhau bði h» thøc
EM
=EM:
1.6. KH˘NG GIAN COMPACT, KH˘NG GIAN LIN-
DELOF
1.6.1 ành ngh¾a. Gi£ sß A l t“p con cıa khæng gian tæpæ
X v U l hå gçm c¡c t“p con n o o cıa X. Khi â,
S
(1) U ÷æc gåi l mºt phı cıa A n‚u A U.
(2) V ÷æc gåi l mºt phı con cıa U phı A n‚u V U v V phı A.
(3) Mºt phı U cıa A ÷æc gåi l mºt phı mð (t÷ìng øng, phı âng)
cıa A n‚u mØi phƒn tß cıa U l mð (t÷ìng øng, âng) trong X.

Luanvanmaster.com
14
1.6.2 ành ngh¾a. Gi£ sß U v V l c¡c phı cıa khæng gian
tæpæ X. Ta nâi r‹ng phı U l màn cıa phı V n‚u vîi mØi V 2 V,
tçn t⁄i U 2 U sao cho U V .
1.6.3 ành ngh¾a. Gi£ sß K l t“p con cıa khæng gian X. Khi
â,
(1) K ÷æc gåi l t“p con compact trong X n‚u mØi phı mð cıa K,
tçn t⁄i phı con hœu h⁄n. N‚u K = X, th… ta nâi r‹ng X l khæng
gian compact.
(2) K ÷æc gåi l t“p con compact theo d¢y trong X n‚u mØi d¢y
trong K câ th” tr‰ch ra ÷æc mºt d¢y con hºi tö trong K. N‚u
K = X, th… ta nâi r‹ng X l khæng gian compact theo d¢y.
(3) K ÷æc gåi l t“p con compact Lindelof cıa X n‚u mØi phı mð
cıa K, tçn t⁄i phı con ‚m ÷æc. Hìn nœa, n‚u K = X, th… ta nâi
r‹ng X l khæng gian Lindelof.
1.6.5 BŒ •. MØi T2-khæng gian compact l khæng gian
chu'n t›c. Do â, nâ l khæng gian ch‰nh quy.
1.6.6 BŒ •. Måi t“p con âng cıa t“p compact l t“p com-pact.
1.7. NH X LI N TÖC
1.7.1 ành ngh¾a. Gi£ sß f : (X; ) ! (Y; ) l ¡nh x⁄ tł khæng
gian tæpæ (X; ) v o khæng gian tæpæ (Y; ). Khi â,
(1) f ÷æc gåi l l¥n
c“n V cıa X
sao cho
¡nh x⁄ li¶n töc t⁄i i”m x0 2 X n‚u vîi måi f(x0)
trong Y , tçn t⁄i l¥n c“n U cıa x0 trong
f(x0 2 f(U) V:

Luanvanmaster.com
15
(2) f ÷æc gåi l li¶n töc tr¶n X (hay li¶n töc) n‚u f li¶n töc t⁄i måi i”m
cıa X.
1.7.2 ành l‰. Gi£
sß (X; ); (Y; )
¡nh x⁄ f : (X; ) ! (Y; ). Khi â, f khi v ch¿
khi vîi måi l¥n c“n W cıa
f
1
(W ) l l¥n c“n cıa x0.
l hai khæng gian tæpæ
v li¶n töc t⁄i i”m x0 2 X
f(x0) trong Y , ta •u câ
1.7.3 ành l‰. Gi£ sß f : (X; )! (Y; ) l ¡nh x⁄ tł khæng gian
tæpæ (X; ) v o khæng gian tæpæ (Y; ). Khi â, c¡c khflng ành
sau l t÷ìng ÷ìng.
(1) f li¶n töc;
(2) T⁄o £nh cıa mØi t“p hæp mð trong Y l mºt t“p hæp mð trong
X;
(3) T⁄o £nh cıa mØi t“p hæp âng trong Y l mºt t“p hæp âng
trong X;
1.7.4 ành l‰. Gi£ sß (X; ); (Y; ) l hai khæng gian tæpæ,
a 2 Y . Khi â, ¡nh x⁄ f : (X; ) ! (Y; ) cho bði f(x) = a vîi
måi x 2 X l li¶n töc.
1.7.5 ành l‰. Gi£ sß X, Y , Z l c¡c khæng gian tæpæ,
f : X ! Y v g : Y ! Z l c¡c ¡nh x⁄ li¶n töc.
Khi â,
h = g f : X ! Z công l mºt ¡nh x⁄ li¶n töc.

Luanvanmaster.com
1.7.6 ành l‰. Gi£ sß f : X ! Y l ¡nh x⁄ li¶n töc tł khæng gian
tæpæ X v o khæng gian tæpæ Y v K l t“p con compact cıa X.
Khi â, f(K) l t“p con compact trong Y .

Luanvanmaster.com
16
1.7.7 ành l‰. Gi£ sß f : (X; )! (Y; ) l ¡nh x⁄ tł khæng gian
tæpæ (X; ) v o khæng gian tæpæ (Y; ). Khi â, c¡c khflng ành
sau l t÷ìng ÷ìng.
(1) f li¶n töc;
(2) f A f(A) vîi måi A X;
(3) f 1
(B) f 1
(B) vîi måi B Y ;
(4) f
1
(IntB) Intf
1
(B) vîi måi B Y .

Luanvanmaster.com
17
CH×ÌNG 2
NH X ´NG TRONG KH˘NG GIAN M TRIC
SUY R¸NG
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi chøng minh v• mŁi quan h»
giœa ¡nh x⁄ âng vîi mºt sŁ ¡nh x⁄ câ t‰nh ch§t phı, chøng minh
c¡c t‰nh ch§t cıa ¡nh x⁄ âng công nh÷ chøng minh c¡c i•u ki»n
” ¡nh x⁄ âng câ bi¶n-compact trong khæng gian m¶tric suy rºng.
2.1. NH X ´NG
2.1.1 ành ngh¾a. Gi£ sß f : X ! Y l ¡nh x⁄ tł khæng gian
tæpæ X v o khæng gian tæpæ Y . Khi â,
(1) f ÷æc gåi l ¡nh x⁄ âng n‚u f(F ) l t“p con âng trong Y vîi måi t“p
con âng F trong X.
(2) f ÷æc gåi l ¡nh x⁄ mð n‚u f(F ) l t“p con mð trong Y vîi måi t“p
con mð F trong X.
2.1.2 BŒ •. Gi£ sß f : X ! Y l song ¡nh li¶n töc tł khæng gian
tæpæ X l¶n khæng gian tæpæ Y . Khi â, c¡c khflng ành sau l
t÷ìng ÷ìng.
(1) f l ¡nh x⁄ âng;
(2) f l ¡nh x⁄ mð;
(3) f l ph†p çng phŁi.

Luanvanmaster.com
18
2.1.3 M»nh •. Gi£ sß f : X ! Y l ¡nh x⁄ li¶n töc tł khæng gian
tæpæ X v o khæng gian tæpæY . Khi â, f l ¡nh x⁄ âng khi v ch¿
khi
f(A) = f( A) vîi måi A X.
2.1.4 BŒ •. Gi£ sß f : X ! Y l ¡nh x⁄ âng tł khæng gian tæpæ
X v o khæng gian tæpæ Y v g : Y ! Z l ¡nh x⁄ âng tł khæng gian
tæpæ Y v o khæng gian tæpæ Z. Khi â,
gf : X ! Z
công l ¡nh x⁄ âng tł khæng gian tæpæ X v o khæng gian tæpæ
Z.
2.1.5 M»nh •. Gi£ sß f : X ! Y l ¡nh x⁄ âng v li¶n töc tł khæng
gian tæpæ X v o khæng gian tæpæ Y v g : Y ! Z l ¡nh x⁄ âng tł
khæng gian tæpæ Y v o khæng gian tæpæ Z. Khi â,
gjf(X) : f(X)! Z
công l ¡nh x⁄ âng.
2.1.7 ành l‰. Gi£ sß f : X ! Y l mºt ¡nh x⁄ tł khæng gian
tæpæ X v o khæng gian tæpæ Y . Khi â, f l ¡nh x⁄ âng khi
v ch¿ khi vîi måi B 2 Y v vîi måi l¥n c“n A cıa f
1
(B), tçn t⁄i l¥n
c“n C cıa B sao cho
f
1
(B) f
1
(C) A:
2.1.8 ành l‰. Gi£ sß f : X ! Y l mºt ¡nh x⁄ tł khæng gian
tæpæ X v o khæng gian tæpæ Y . Khi â, f l ¡nh x⁄ âng khi
v ch¿ khi vîi måi y 2 Y v vîi måi l¥n c“n U cıa f
1
(y), tçn t⁄i l¥n
c“n V cıa y sao cho
f 1
(y) f 1
(V ) U:

Luanvanmaster.com
19
2.2. M¨I QUAN H GIÚA NH X ´NG V M¸T S¨ NHX C´TNHCH
TPHÕ
2.2.1 ành ngh¾a. Gi£ sß P l mºt t“p con n o â cıa X. Khi â,
(1) P ÷æc gåi l l¥n c“n d¢y cıa x, n‚u vîi måi d¢y fxg hºi tö ‚n x 2
X, tçn t⁄i m 2 N sao cho
[
fxg fxn : n mg P:
(2) P ÷æc gåi l mð theo d¢y, n‚u P l l¥n c“n d¢y cıa x vîi måi x 2
P .
2.2.2 ành ngh¾a. Gi£ sß fxng l d¢y n‹m trong khæng gian
tæpæ X, x0 2 X v A l t“p con n o â cıa X. Khi â,
(1) D¢y fxng ÷æc gåi l hºi tö ‚n x0 trong X n‚u vîi måi l¥n c“n
mð U cıa x0, tçn t⁄i m 2 N sao cho
xn 2 U vîi måi n m.
(2) X ÷æc gåi l khæng gian d¢y n‚u vîi måi t“p con A X, A l t“p
âng trong X n‚u khæng câ d¢y n o trong A hºi tö ‚n i”m n‹m
ngo i A.
2.2.3 Nh“n x†t. MØi khæng gian m¶tric l khæng gian d¢y.
2.2.5 ành ngh¾a. Gi£ sß f : X ! Y l mºt ¡nh x⁄ tł khæng gian
tæpæ X v o khæng gian tæpæ Y . Khi â,

Luanvanmaster.com
(1) f ÷æc gåi l ¡nh x⁄ gi£ mð n‚u vîi måi y 2 Y , tçn t⁄i l¥n c“n U cıa
f
1
(y) sao cho f(U) l l¥n c“n cıa y trong Y .

Luanvanmaster.com
20
(2) f ÷æc gåi l ¡nh x⁄ phı-compact n‚u vîi måi t“p con compact K
cıa Y , tçn t⁄i t“p con compact L trong X sao cho f(L) = K.
(3) f ÷æc gåi l ¡nh x⁄ phı-d¢y n‚u vîi måi d¢y fyng hºi tö ‚n y trong
Y , tçn t⁄i d¢y fxng hºi tö ‚n x trong X sao cho
xn 2 f
1
(yn) vîi måi n 2 N.
(4) f ÷æc gåi l ¡nh x⁄ gi£-phı-d¢y n‚u vîi måi d¢y fyng hºi tö ‚n y
trong Y , tçn t⁄i t“p con compact K trong X sao cho
S
fyg fyn : n 2 Ng = f(K).
2.2.6 Nh“n x†t. MØi ¡nh x⁄ phı-d¢y ho°c phı-compact l ¡nh
x⁄ gi£-phı-d¢y.
2.2.7 ành l‰. Gi£ sß f : X ! Y l ¡nh x⁄ âng tł khæng gian
tæpæ X v o khæng gian tæpæ Y . Khi â, c¡c khflng ành sau l
óng.
(1) f l ¡nh x⁄ gi£ mð.
(2) N‚u @f
1
(y) l t“p con compact trong X vîi måi y 2 Y , th… f l
¡nh x⁄ gi£-phı-d¢y.
2.3. T NH CH T CÕA NH X ´NG TRONG KH˘NG
GIAN M TRIC SUY R¸NG
2.3.1 ành l‰. Gi£ sß f : X ! Y l ¡nh x⁄ âng v li¶n töc tł khæng
gian d¢y X v o khæng gian tæpæ Y . Khi â, vîi mØi

Luanvanmaster.com
21
y 2 Y , n‚u ta °t
n o A = x 2 @f
1
(y) : tçn t⁄i d¢y L X nf
1
(y) hºi tö ‚n x ;
th… ta câ A = @f
1
(y):
2.3.2 H» qu£. Gi£ sß f : X ! Y l ¡nh x⁄ âng v li¶n töc tł khæng
gian m¶tric X v o khæng gian tæpæ Y . Khi â, vîi
mØi y 2 Y , n‚u ta °t
n o A = x 2 @f
1
(y) : tçn t⁄i d¢y L X nf
1
(y) hºi tö ‚n x ;
th… ta câ A = @f
1
(y):
2.3.3 ành ngh¾a. Gi£ sß P l hå gçm c¡c t“p con n o â cıa
khæng gian tæpæ X. Khi â,
(1) P ÷æc gåi l
t“p håp sau l
hå ‚m ÷æc theo i”m (point-countable), n‚u ‚m
÷æc vîi måi x 2 X.
fP 2 P : x 2 P g:
(2) P ÷æc gåi l m⁄ng t⁄i x ( network at x) trong X, n‚u x 2 P vîi måi
P 2 P vîi måi l¥n c“n U cıa x, tçn t⁄i P 2 P sao cho
x 2 P U:
(3) P ÷æc gåi l m⁄ng (network) cıa X, n‚u fP 2 P : x 2 P g l m⁄ng
t⁄i x vîi måi x 2 X.
S

Luanvanmaster.com
2.3.4 ành ngh¾a. Gi£ sß P = fPx : x 2 Xg l mºt phı cıa
khæng gian tæpæ X thäa m¢n c¡c i•u ki»n (a) v (b) sau ¥y vîi
måi x 2 X.

Luanvanmaster.com
22
(1) Px l m⁄ng t⁄i x.
(2) N‚u P1, P2 2 Px, th… tçn t⁄i P 2 Px sao cho x 2 P P1 P2.
Khi â, P ÷æc gåi l cì sð y‚u ( weak base) cıa X, n‚u vîi t“p con G
X, G l mð trong X khi v ch¿ khi vîi måi x 2 G, tçn t⁄i P 2 Px sao
cho
x 2 P G.
S
2.3.5 BŒ •. Gi£ sß P = fPx : x 2 Xg l cì sð y‚u cıa
khæng gian tæpæ X. Khi â, vîi måi x 2 X, fxng l d¢y hºi tö
‚n x trong X v P 2 Px, tçn t⁄i m 2 N sao cho
S
fxg fxn : n mg P .
2.3.6 ành ngh¾a. Khæng gian tæpæ (X; ) ÷æc gåi l kh£
m¶tric n‚u tçn t⁄i mºt m¶tric d tr¶n X sao cho tæpæ sinh bði
m¶tric d tròng vîi tæpæ .
2.3.7 BŒ •.
Gi£ sß X l khæng gian tæpæ vîi cì sð y‚u ‚m ÷æc theo i”m.
Khi â, X l khæng gian d¢y v måi t“p con compact cıa X •u kh£
m¶tric.
2.3.8 BŒ •. N‚u X l khæng gian tæpæ câ m⁄ng ‚m ÷æc,
th… nâ l khæng gian chu'n t›c.
2.3.9 BŒ •. Gi£ sß X l khæng gian d¢y. Khi â, vîi måi A X v
vîi måi x 2 A, tçn t⁄i t“p con ‚m ÷æc C A sao cho x 2 C.
2.3.10 ành ngh¾a. T“p hæp F trong khæng gian tæpæ
÷æc gåi l t“p ríi r⁄c n‚u vîi måi x 2 F , tçn t⁄i l¥n c“n U cıa x sao
cho

Luanvanmaster.com
U F = fxg:

Luanvanmaster.com
23
2.3.11 BŒ •. Gi£ sß F l t“p con væ h⁄n cıa khæng gian
tæpæ X. Khi â, n‚u måi t“p con væ h⁄n cıa F •u âng, th… F âng
v ríi r⁄c.
2.3.13 ành ngh¾a. Gi£ sß x l mºt i”m trong khæng gian
tæpæ X. Khi â, vîi måi n 2 N, ta °t
S
S = fxgfxmn : n 2 Ng,
trong â Sm l d¢y hºi tö ‚n x trong X, v °t
S
S! = fSm : m 2 Ng.
Khi â,
(1) S ÷æc gåi l c¡i qu⁄t d¢y S! n‚u måii d¢y L hºi tö ‚n x trong S, L
ch¿ giao vîi hœu h⁄n Sm, ngh¾a l t“p hæp sau l hôu h⁄n.
fm 2 N : Sm L 6= ;g.
(2) X ÷æc gåi l chøa b£n sao (ho°c chøa b£n sao âng) cıa S! n‚u
trong X câ t“p con (t“p con âng) çng phæi vîi S!.
Gi£ sß B l t“p con cıa khæng gian X. Ta °t
n o
S(B) = x 2 X : x l i”m giîi h⁄n cıa d¢y n o â trong B :
2.3.14 ành l‰. Gi£ sß f : X ! Y l ¡nh x⁄ âng tł khæng gian
tæpæ X v o khæng gian tæpæ Y v X l khæng gian câ cì sð y‚u
‚m ÷æc theo i”m. Khi â, vîi måi y 2 Y , @f
1
(y) l t“p con
compact trong X n‚u Y khæng chøa b£n sao cıa S!.
2.3.15 H» qu£. Gi£ sß f : X ! Y l ¡nh x⁄ âng tł khæng gian
m¶tric X v o khæng gian tæpæ Y . Khi â, vîi måi y 2 Y , @f
1
(y)
l t“p con compact trong X n‚u Y khæng chøa b£n sao
cıa S!.

Luanvanmaster.com
24
KTLUN
Trong lu“n v«n n y, chóng tæi nghi¶n cøu v• ¡nh x⁄ âng trong
khæng gian m¶tric suy rºng v ⁄t ÷æc nhœng v§n • nh÷ sau.
(1) H» thŁng l⁄i mºt sŁ ki‚n thøc v• khæng gian m¶tric, khæng
gian tæpæ.
(2) Tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v t‰nh ch§t cì b£n cıa ¡nh x⁄
li¶n töc.
(3) Tr…nh b y kh¡i ni»m v chøng minh chi ti‚t mºt sŁ ành l‰
cıa ¡nh x⁄ âng trong khæng gian tæpæ.
(4) Tr…nh b y mŁi quan h» giœa ¡nh x⁄ âng vîi mºt sŁ ¡nh x⁄
câ t‰nh ch§t phı.
(5) Tr…nh b y v chøng minh chi ti‚t mºt sŁ t‰nh ch§t cıa ¡nh
x⁄ âng trong khæng gian m¶tric suy rºng.
(6) Chøng minh chi ti‚t k‚t qu£ v• i•u ki»n ” ¡nh x⁄ âng câ bi¶n
compact.

Ánh Xạ Đóng Trong Không Gian Mêtric Suy Rộng.doc

More Related Content

Similar to Ánh Xạ Đóng Trong Không Gian Mêtric Suy Rộng.doc (20)

More from Dịch vụ viết thuê Luận Văn - ZALO 0932091562 (20)

Recently uploaded (20)

Ánh Xạ Đóng Trong Không Gian Mêtric Suy Rộng.doc