![https://doi.org/10.1007/978-3-031-44966-6_1
Chapter 1
Basic Concepts
1.1 Symbols, Units, and Prefixes
Symbols, units, and prefixes are very important issues especially in electrical and
electronics engineering (EEE). The international system of units (SI) is exhibited in
Table 1.1. Numerous units derived from the SI are demonstrated in Table 1.2.
Furthermore, unit prefixes are given in Table 1.3 [1].
Example 1.1 Find value of 5 F/m2
in terms of fF/(μm)2
Solution 1.1 5 F/m2
= 5 × 1015
fF/(106
μm)2
= 5 × 1015
fF/1012
(μm)2
= 5 × 103
fF/
(μm)2
1.2 Some Fundamental Functions
It is a well-known fact that functions are very essential issue for science and
engineering notably in EEE. Some of the fundamental functions, namely, constant,
sine wave, full-wave rectified, positive half-wave rectified, square wave, triangular
wave, sawtooth wave, exponential, delta, unit step, and unit ramp functions are
introduced in this chapter.
A constant function, namely, x1(t), is depicted in Fig. 1.1, where A is a real
number and t is time variable. Therefore, the function has a constant value of A for all
the times.
A sine wave function is called as x2(t) = Bsin(2πft + ψ), where f > 0 is the
frequency, |B| is the peak value, and -180° ≤ ψ ≤ 180° is the phase angle.
Furthermore, f and B are real numbers, while ω = 2πf is angular frequency,
and T = 1/f is the period. The function x2(t) is depicted in Fig. 1.2 in which
B = 500 mV, f = 1 MHz, and ψ = 60° are chosen as a practice. A full-wave
rectified function at 1 MHz is depicted in Fig. 1.3, while a positive half-wave
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024
E. Yuce, S. Minaei, Passive and Active Circuits by Example,
1](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-16-320.jpg)
![Unit(s) SI
rectified function at 1 MHz is depicted in Fig. 1.4. In Figs. 1.3 and 1.4, sinusoidal
signals with peak 500 mV at 500 kHz and 1 MHz are applied, respectively. In
addition, a full-wave rectifier output is obtained from any function by taking absolute
value of this function. A square wave function at 1 MHz is demonstrated in Fig. 1.5,
while a triangular wave function at 1 MHz is shown in Fig. 1.6. A sawtooth wave
function is plotted in Fig. 1.7 at 1 MHz, while an exponential one is given in
Fig. 1.8. Further, this exponential function is defined as x3(t) = 0.5exp(-t/10-6
)
for t ≥ 0.
2 1 Basic Concepts
Table 1.1 International sys-
tem of units (SI)
Fundamental physical quantity SI SI symbol
Length Meter m
Mass Kilogram kg
Time Second s
Electric current Ampere A
Thermodynamic temperature Kelvin K
Amount of substance Mole mol
Luminous intensity Candela cd
Table 1.2 A number of units derived from the SI
SI
symbol
Expressed in
SI-based unit
Expressed in other
SI unit
Force, weight Newton N kg m s-2
–
Frequency Hertz Hz s-1
–
Energy, work, heat Joule J kg.m2
.s-2
N m
Electric charge Coulomb C A.s –
Electric potential (voltage) Volt V kg.m2
.s-3
.A-1
J/C
Magnetic flux Weber Wb kg.m2
.s-2
.A-1
V s
Inductance Henry H kg.m2
.s-2
.A-2
Wb/A
Capacitance Farad F kg-1
.m-2
.s4
.A2
C/V
Resistance, impedance,
reactance
Ohm Ω kg.m2
.s-3
.A-2
V/A
Electrical conductance Siemens S kg-1
.m-2
.s3
.A2
A/V
Magnetic flux density Tesla T kg.s-2
.A-1
Wb/m2
Power, radiant flux Watt W kg.m2
.s-3
J/s
Angle Radian rad m.m-1
–
δΔ(t) function is shown in Fig. 1.9 [2]. Delta function, namely, δ(t), is defined as
δ t
ð Þ = lim
Δ → 0
δΔ t
ð Þ ð1:1Þ
uΔ(t) function is exhibited in Fig. 1.10. Unit step function, namely, u(t), is given
below.](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-17-320.jpg)
![8 1 Basic Concepts
Fig. 1.12 Representation of
r(t) function
r(t)
t
1
Sy x,z,w
ð Þ
x =
x
y x, z, w
ð Þ
∂y x, z, w
ð Þ
∂x
ð1:5Þ
Note It is desired that sensitivities of any functions should be small in magnitude
[3–8].
Example 1.2 Find the sensitivity of function F(x) to x shown below in which B is a
real number.
F x
ð Þ =
x
x - B
ð1:6Þ
Solution 1.2 The sensitivity of the function F(x) given above with respect to x is
evaluated as in the following:
SF x
ð Þ
x =
x
x
x - B
d
dx
x
x - B
=
B
B - x
ð1:7Þ
Note It is observed from Eq. (1.7) that if x approaches to B, sensitivity goes to
infinity in magnitude. As a result, the function given in (1.6) is an undesired function
due to sensitivity point of view.
Example 1.3 A parallel/series RLC circuit has the angular resonance frequency (ω0)
as given in Eq. (1.8). Thus, find the sensitivities of ω0 to both passive elements.
ω0 =
1
LC
p ð1:8Þ
Solution 1.3 The sensitivities of ω0 to both passive elements are found as
Sω0
L =
L
ω0
dω0
dL
= -
1
2
ð1:9aÞ
Sω0
C =
C
ω0
dω0
dC
= -
1
2
ð1:9bÞ](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-23-320.jpg)
![þ þ
ð Þ
þ þ
ð Þ
1.3 Sensitivity 9
Fig. 1.13 A simple
BJT-based circuit
VCC
RB
VBB
IC1
Fig. 1.14 A BJT-based
circuit with a resistor in
emitter
VCC
RB
VBB
RE
IC2
In order to express sensitivity more, bipolar junction transistor (BJT)-based
simple circuits operated in the forward active region are given in Figs. 1.13 and
1.14 as examples. It is assumed that both BJTs are identical. Thus, collector currents
of the topologies given in Figs. 1.13 and 1.14 are, respectively, computed as [9]
IC1 =
βF VBB - VBE
ð Þ
RB
ð1:10aÞ
IC2 =
βF VBB - VBE
ð Þ
RB βF 1 RE
ð1:10bÞ
Sensitivities of the collector currents demonstrated in Figs. 1.13 and 1.14 to the
current gain (βF = IC/IB) can be, respectively, given below.
SIC1
βF
=
βF
IC1
dIC1
dβF
= 1 ð1:11aÞ
SIC2
βF
=
βF
IC2
dIC2
dβF
=
RB þ RE
RB βF 1 RE
ð1:11bÞ
One observes from the equations denoted in (1.11a) and (1.11b) that the circuit in
Fig. 1.14 is less sensitive than one exhibited in Fig. 1.13 due to the resistor RE. In
Eqs. (1.11a) and (1.11b), dIC1/dβF and dIC2/dβF are, respectively, evaluated by
dIC1
dβF
=
VBB - VBE
RB
ð1:12aÞ](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-24-320.jpg)
![þ þ
ð Þ
ð Þ
10 1 Basic Concepts
dIC2
dβF
=
VBB - VBE
ð Þ RB þ βF þ 1
ð ÞRE
ð Þ - βF VBB - VBE
ð ÞRE
RB þ βF þ 1
ð ÞRE
ð Þ2
=
VBB - VBE
ð Þ RB þ RE
ð Þ
RB βF 1 RE
2
ð1:12bÞ
It is understood from above that sensitivity gives a measure for performances of the
circuit with respect to their elements or parameters. In other words, it provides
selection of the adequate element tolerances [10].
References
1. J.W. Nilsson, S.A. Riedel, Electric Circuits, 10th edn. (Pearson, 2015)
2. A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, S.H. Nawab, Signals and Systems, Pearson New International
Edition (Pearson Education Limited, Harlow, 2013)
3. A.B. Williams, Analog Filter and Circuit Design Handbook (McGraw Hill Professional, 2013)
4. R. Schaumann, M.E.V. Valkenburg, Design of Analog Filters (Oxford University Press, 2001)
5. A.F. Anday, Aktif devre sentezi (Istanbul Technical University, 1992)
6. A. Anand, M. Agrawal, N. Bhatt, M. Ram, Advances in System Reliability Engineering
(Elsevier, Academic, 2019), pp. 267–279
7. E.A. Ustinov, Sensitivity Analysis in Remote Sensing (Springer Briefs in Earth Sciences, 2015)
8. https://www.embedded.com/analyzing-circuit-sensitivity-for-analog-circuit-design/
9. A.S. Sedra, K.C. Smith, T.C. Carusone, V. Gaudet, Microelectronic Circuits, 8th edn. (Oxford
University Press, New York, 2020)
10. N.B. Hamida, B. Kaminska, Multiple fault analog circuit testing by selectivity analysis. Analog
Integr. Circ. Sig. Process 4(3), 231–243 (1993)](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-25-320.jpg)
![https://doi.org/10.1007/978-3-031-44966-6_2
Chapter 2
Signals, Systems, and Filters
2.1 Fundamentals of the Signals and Systems
Signals can be mainly divided into two subcategories, voltage and current ones.
Furthermore, they can be separated into two subgroups, analog and digital ones
[1]. In this book, we concentrate on the analog voltage and current signals.
Linearity and time-invariance are other important issues. However, full-wave recti-
fier configurations are nonlinear, while rheostat is a variable resistor. It is assumed
that active and passive circuits given in Figs. 2.1 and 2.2 are linear time-invariant
(LTI). The circuits exhibited in Figs. 2.1 and 2.2 are examples for the circuit analysis
and circuit synthesis, respectively. In Fig. 2.1, vin(t) and the circuit are known, where
the output is required. Additionally, in Fig. 2.2, vin(t) and vout(t) are known in which
the circuit is required. In Fig. 2.1, the circuit has only a single output voltage, while
the topology in Fig. 2.2 can be implemented in several methods [2].
If the circuit in Fig. 2.1 is an active structure, its output voltage with respect to the
input voltage can be defined as follows [3]:
vout t
ð Þ = f vin t
ð Þ
ð Þ =
1
k = 0
ak t
ð Þvk
in t
ð Þ
= a0 t
ð Þ þ a1 t
ð Þvin t
ð Þ þ a2 t
ð Þv2
in t
ð Þ þ . . .
ð2:1Þ
where v0
in(t) = 1, ak(t) (k = 0, 1, 2, . . .) is a complex number and k of vk
in(t)
represents kth exponent. The circuit is nonlinear and time-varying for a0(t) ≠ 0, even
if it is as in the following form:
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024
E. Yuce, S. Minaei, Passive and Active Circuits by Example,
11](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-26-320.jpg)
![12 2 Signals, Systems, and Filters
Fig. 2.1 A circuit used in
the analysis Given
circuit
vin(t) Calculated output
+
_
+
_
Fig. 2.2 A circuit utilized
in the synthesis Required
circuit
vin(t)
+
_
+
_
vout(t)
vout t
ð Þ =
1
k = 0
ak t
ð Þvk
in t
ð Þ = a0 t
ð Þ þ a1 t
ð Þvin t
ð Þ ð2:2Þ
The circuit in Fig. 2.1 is linear if its output voltage is as in the following:
vout t
ð Þ = a1 t
ð Þvin t
ð Þ ð2:3Þ
However, equation in (2.3) is time-varying. Apart from this, if the circuit in
Fig. 2.1 is time-invariant, it has generally the following equation:
vout t
ð Þ =
1
k = 0
akvk
in t
ð Þ ð2:4Þ
If the configuration in Fig. 2.1 is LTI, it can be defined below.
vout t
ð Þ = a1vin t
ð Þ ð2:5Þ
An LTI circuit can be generally shown as
n
k = 0
bk
dk
vout t
ð Þ
dtk
=
m
i = 0
ai
di
vin t
ð Þ
dti ð2:6Þ
where a0(d0
v(t)/dt0
) = a0v(t), bk (k = 0, 1, 2, . . . , n), and ai (i = 0, 1, 2, . . ., m) are
time-invariant complex numbers. Also, n ≥ m is required for causality [3]. Input
voltage signal and corresponding output voltage signal can be, respectively, dem-
onstrated by
vin t
ð Þ = A sin ωt
ð Þ ð2:7aÞ](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-27-320.jpg)
![ð
2.1 Fundamentals of the Signals and Systems 13
Fig. 2.3 An NMOS
transistor-based simple
amplifier circuit [4]
vin(t)
VDD
RD
vout(t)
VA
M
iD(t)
voutðtÞ =
1
k = 0
BkcosðkωtÞ 2:7bÞ
From Eq. (2.7b), the total harmonic distortion (THD) is defined as
THD = 100 ×
1
k = 2
Bk
B1
2
ð2:8Þ
One observes from equation given in (2.8) that DC term of the output signal is not
utilized in calculation of the THD. Furthermore, the first nine harmonics including
fundamental harmonic are taken in the SPICE simulation program.
Example 2.1 Find the THD value of the NMOS transistor-based simple amplifier in
Fig. 2.3.
Solution 2.1 It is assumed that the transistor operates in the saturation region. If the
channel-length modulation effect is ignored, drain current of the circuit in Fig. 2.3 is
computed as
iD t
ð Þ = ID þ id t
ð Þ þ io t
ð Þ
=
1
2
kn vin t
ð Þ - VA - VTN
ð Þ2
=
1
2
kn - VA - VTN
ð Þ2
þ kn - VA - VTN
ð Þvin t
ð Þ þ
1
2
knv2
in t
ð Þ
ð2:9Þ
Here, VTN is the threshold voltage of the NMOS transistor, while kn is
transconductance parameter. In addition, VA is sufficiently less than -VTN. Thus,
constant current (ID), desired current (id(t)), and other current (io(t)) signals are,
respectively, calculated as
ID =
1
2
kn - VA - VTN
ð Þ2
ð2:10aÞ](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-28-320.jpg)
![ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ
16 2 Signals, Systems, and Filters
pi = σi þ jωi ð2:19Þ
If real part of pi = σi 0, it is stable. If σi = 0 and ωi ≠ ωk (k = 1, 2, 3, . . ., n and
i ≠ k), it is marginally stable. Otherwise, it is unstable. By taking all the initial
conditions zero, Fourier transform of vin(t) in Fig. 2.2 is found as Vin(ω). Likewise,
Fourier transform of vout(t) is computed as Vout(ω). Vin(ω) and Vout(ω) are, respec-
tively, given by
Vin ω
ð Þ =
1
- 1
vin t
ð Þe- jωt
dt ð2:20aÞ
Vout ω
ð Þ =
1
- 1
vout t
ð Þe- jωt
dt ð2:20bÞ
By using equations in (2.20a) and (2.20b), TF of the circuit can be defined as
H ω
ð Þ =
Vout ω
ð Þ
Vin ω
ð Þ
ð2:21Þ
Equation given in (2.21) can be expressed by
HðωÞ = jHðωÞjej∠HðωÞ
ð2:22Þ
where ∠H(ω) is phase and |H(ω)| is gain. Thus, the relationship between input and
output of the circuit in the time domain and frequency domain are, respectively,
given as
vout t
ð Þ = h t
ð Þ vin t
ð Þ ð2:23aÞ
Vout ω = H ω Vin ω 2:23b
Here, h(t) is impulse response of the LTI topology, while H(ω) is its Fourier
transform. In addition, * is the convolution operator.
Note Gain of the passive circuit is between zero and one, while gain of the active
configuration can be any positive or negative real numbers. In other words, gain of
the active circuit can be more or less than unity in magnitude [1].](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-31-320.jpg)
![ð Þ
infinity BW. BPF and NF have the following equations for ωC, BW, and quality
factor (Q) [5, 6]:
18 2 Signals, Systems, and Filters
Fig. 2.7 Characteristics of
the ideal HPF
C
1
( )
HP
H
0
Fig. 2.8 Characteristics of
the ideal APF
1
( )
AP
H
0
ω2
C = ω1 × ω2 ð2:24aÞ
BW = ω2 - ω1 2:24b
Q =
ωC
BW
ð2:24cÞ
ωC of BPF and NF in Figs. 2.5 and 2.6 is angular resonance frequency or center
frequency. Ideal filters demonstrated in Figs. 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, and 2.8 can be,
respectively, expressed as
HLP ω
ð Þ
j j =
1 ω ≤ ωC
0 ω ωC
ð2:25aÞ
HBP ω
ð Þ
j j =
1 ω1 ≤ ω ≤ ω2
0 ω ω1 and ω ω2
ð2:25bÞ
HNF ω
ð Þ
j j =
1 ω ≤ ω1 and ω ≥ ω2
0 ω1 ω ω2
ð2:25cÞ](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-33-320.jpg)
![ð Þ
j j ð Þ
2.4 Ideal Second-Order Filters 19
HHP ω
ð Þ
j j =
1 ω ≥ ωC
0 ω ωC
ð2:25dÞ
HAP ω = 1 ω ≥ 0 2:25e
Note For the characteristics given in Figs. 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, and 2.8, the negative
frequency responses are ignored.
2.4 Ideal Second-Order Filters
A second-order universal filter can realize all the LPF, BPF, NF, HPF, and APF
responses [7]. Non-inverting second-order unity gain LPF, BPF, NF, HPF, and APF
phase and gain responses for different Q values are, respectively, depicted
in Figs. 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, and 2.13, which are obtained by using one resistor,
one capacitor, and one inductor. Resonance frequency of these filter circuits is taken
as f0 ffi 1.59 MHz. Non-inverting second-order unity gain LPF, BPF, NF, HPF, and
APF in Figs. 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, and 2.13 are, respectively, given below.
HLP s
ð Þ =
ω2
0
D s
ð Þ
ð2:26aÞ
Fig. 2.9 Non-inverting second-order unity gain LPF phase and gain responses for different quality
factors against frequency](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-34-320.jpg)
![ffi ffi ffi
2.5 Ideal First-Order Filters 33
Fig. 2.22 Phase and gain responses of the video filter against frequency
Example 2.5 Investigate the TF of a video filter given as below [8].
H s
ð Þ =
ω2
02 s2
þ ω2
01
s2 þ ω01
Q1
s þ ω2
01 s2 þ ω02
Q2
s þ ω2
02
ð2:58Þ
where f01 = 4 MHz, f02 = 3 MHz, Q1 = 4, and Q2 = 1 are chosen.
Solution 2.5 Phase and gain responses for the video filter with respect to frequency
are shown in Fig. 2.22.
Example 2.6 Investigate the TF of the fourth-order Butterworth LPF shown by
H s
ð Þ =
ω4
0
s2 þ ω0
Q1
s þ ω2
0 s2 þ ω0
Q2
s þ ω2
0
ð2:59Þ
Here, f0 3.18 MHz, Q1 0.541, and Q2 1.306 are taken.
Solution 2.6 Phase and gain responses for the fourth-order Butterworth LPF against
frequency are depicted in Fig. 2.23.
One observes from Fig. 2.23 that for f f0, gain of the fourth-order Butterworth
LPF decreases as -80 dB/decade.](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-48-320.jpg)
![https://doi.org/10.1007/978-3-031-44966-6_3
Chapter 3
Passive Circuit Elements and Their Analysis
3.1 Passive Circuit Elements
Electrical symbols of the fundamental passive elements, resistor, capacitor, and
inductor are depicted in Fig. 3.1. Capacitor and inductor are called as energy storage
elements and possess memory. However, resistor is memoryless and dissipates
power. As state variables, the capacitor has a voltage across its terminals, while
the inductor has a current in it. These voltage and current are stated as initial
conditions for the capacitor and inductor, respectively. In addition, their current
and voltage relationships in the time domain, s domain (complex frequency domain),
and frequency domain are given in Table 3.1. It is seen from Table 3.1 that the
voltage across the capacitor terminals and the current passing through the inductor
are continuous.
3.2 Passive Circuits
Passive elements can be divided into two subcategories: grounded and floating
passive elements. Two identical grounded passive circuits are demonstrated in
Figs. 3.2 and 3.3. A voltage source is applied to the topology given in Fig. 3.2,
while a current source is applied to the same configuration in Fig. 3.3 [1, 2]. Input
impedance and admittance of the circuit given in Fig. 3.2 are, respectively, computed
as follows:
Z =
Vtest
Icircuit
ð3:1aÞ
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024
E. Yuce, S. Minaei, Passive and Active Circuits by Example,
35](https://image.slidesharecdn.com/28513630-250513070340-21e47f93/85/Passive-And-Active-Circuits-By-Example-1st-Edition-Erkan-Yuce-50-320.jpg)
Passive And Active Circuits By Example 1st Edition Erkan Yuce
- 1. Passive And Active Circuits By Example 1st Edition Erkan Yuce download https://ebookbell.com/product/passive-and-active-circuits-by- example-1st-edition-erkan-yuce-57027260 Explore and download more ebooks at ebookbell.com
- 2. Here are some recommended products that we believe you will be interested in. You can click the link to download. Passive Active Rfmicrowave Circuits Course And Exercises With Solutions 1st Edition Pierre Jarry https://ebookbell.com/product/passive-active-rfmicrowave-circuits- course-and-exercises-with-solutions-1st-edition-pierre-jarry-5139502 Passive And Active Measurement 23rd International Conference Pam 2022 Virtual Event March 2830 2022 Proceedings Oliver Hohlfeld https://ebookbell.com/product/passive-and-active-measurement-23rd- international-conference-pam-2022-virtual-event- march-2830-2022-proceedings-oliver-hohlfeld-47226984 Passive And Active Measurement 24th International Conference Pam 2023 Virtual Event March 2123 2023 Proceedings Anna Brunstrom https://ebookbell.com/product/passive-and-active-measurement-24th- international-conference-pam-2023-virtual-event- march-2123-2023-proceedings-anna-brunstrom-49417066 Passive And Active Network Measurement 10th International Conference Pam 2009 Seoul Korea April 13 2009 Proceedings 1st Edition Changhoon Kim https://ebookbell.com/product/passive-and-active-network- measurement-10th-international-conference-pam-2009-seoul-korea- april-13-2009-proceedings-1st-edition-changhoon-kim-2039920
- 3. Passive And Active Measurement 12th International Conference Pam 2011 Atlanta Ga Usa March 2022 2011 Proceedings 1st Edition Changhyun Lee https://ebookbell.com/product/passive-and-active-measurement-12th- international-conference-pam-2011-atlanta-ga-usa- march-2022-2011-proceedings-1st-edition-changhyun-lee-2107762 Passive And Active Structural Vibration Control In Civil Engineering Cism International Centre For Mechanical Sciences 1st Edition Tt Soong https://ebookbell.com/product/passive-and-active-structural-vibration- control-in-civil-engineering-cism-international-centre-for-mechanical- sciences-1st-edition-tt-soong-2194910 Passive And Active Measurement 11th International Conference Pam 2010 Zurich Switzerland April 79 2010 Proceedings 1st Edition Amir Hassan Rasti https://ebookbell.com/product/passive-and-active-measurement-11th- international-conference-pam-2010-zurich-switzerland- april-79-2010-proceedings-1st-edition-amir-hassan-rasti-2528980 Passive And Active Measurement 13th International Conference Pam 2012 Vienna Austria March 1214th 2012 Proceedings 1st Edition Changhyun Lee https://ebookbell.com/product/passive-and-active-measurement-13th- international-conference-pam-2012-vienna-austria- march-1214th-2012-proceedings-1st-edition-changhyun-lee-4105304 Passive And Active Measurement 12th International Conference Pam 2011 Atlanta Ga Usa March 2022 2011 Proceedings 1st Edition Changhyun Lee https://ebookbell.com/product/passive-and-active-measurement-12th- international-conference-pam-2011-atlanta-ga-usa- march-2022-2011-proceedings-1st-edition-changhyun-lee-4142894
- 6. Passive and Active Circuits by Example
- 7. Erkan Yuce • Shahram Minaei Passive and Active Circuits by Example
- 8. Erkan Yuce Department of Electrical and Electronics Engineering Pamukkale University Denizli, Türkiye Shahram Minaei Department of Electrical and Electronics Engineering Dogus University Istanbul, Türkiye ISBN 978-3-031-44965-9 ISBN 978-3-031-44966-6 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-031-44966-6 © The Editor(s) (if applicable) and The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024, Corrected Publication 2024 This work is subject to copyright. All rights are solely and exclusively licensed by the Publisher, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed. The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use. The publisher, the authors, and the editors are safe to assume that the advice and information in this book are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or the editors give a warranty, expressed or implied, with respect to the material contained herein or for any errors or omissions that may have been made. The publisher remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations. This Springer imprint is published by the registered company Springer Nature Switzerland AG The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland Paper in this product is recyclable.
- 9. Preface In the past three decades, research and development of active building blocks have been rapidly increased. While operational amplifier-based circuits still find nice applications, new active elements derived from concept of current conveyors have emerged as alternatives for designing active filters, simulated inductors, etc. This book deals with analysis and design of different types of active filters, simulated inductors, etc. through giving more than 200 examples. The text comprises nine chapters that are chosen to provide a complete source for the researchers, undergraduate students, and graduate students who are working on the applications and designs of active filters, simulated inductors, oscillators, recti- fiers, etc. with new active elements. Chapter 1 introduces basic concepts such as symbols, units, and prefixes. Several fundamental functions such as constant, sine wave, full-wave rectified, positive half- wave rectified, square wave, triangular wave, sawtooth wave, exponential, delta, unit step, and unit ramp functions versus time are given, where 1 MHz frequency is taken for all the periodical signals. Sensitivity analysis with three examples are treated in which an arbitrary function, an RLC circuit, and two bipolar junction transistor (BJT)-based structures are used. Chapter 2 treats analog signals and systems. The concepts involving linearity, non-linearity, time-invariant, time-variant, linear time-invariant, and causality are briefly explained. Total harmonic distortion is defined, which is explained with an NMOS transistor-based simple amplifier. Definitions of Laplace and Fourier trans- forms are given. Ideal, second-order ideal, and first-order ideal transfer functions are discussed in detail. Chapter 3 investigates the basic passive elements, resistor, capacitor, and induc- tor. Current and voltage relations of these passive elements in the time domain, s domain, and frequency domain are also given. Phase and magnitude of any impedance are explained by means of many practices. Fundamental RC and RL circuits and their operating frequency ranges are given. Parallel and/or series RLC circuits are analyzed with some examples. Time domain, s domain, and frequency domain analyses for the series and parallel RC, RL, and RLC circuits are given with v
- 10. some examples. Quality factors of the series and parallel RC, RL, and RLC circuits are explained. Numerous SPICE simulation results are also included to explain the given circuits in which ideal elements are used. vi Preface Chapter 4 describes passive component-based voltage, current, transimpedance and transadmittance-mode first-order, second-order, and high-order filter transfer functions in detail. In the filter realizations, resistors, capacitors, and inductors are used. Combinations of resistors, capacitors, and inductors implement all the filter transfer functions. Chapter 5 deals with operational amplifiers and their applications. Some funda- mental circuits based on ideal operational amplifiers are given. Several restrictions of the operational amplifier-based circuits are exhibited. Many circuits such as simu- lated grounded inductors, rectifiers, oscillators, and filters employing operational amplifier(s) are given. Slew rate limitations with numerous examples are given. Full- power bandwidth is defined. Chapter 6 introduces unity gain cells, i.e., current followers and voltage fol- lowers. Current and voltage follower-based many analog circuits, for example, amplifier/attenuator, integrator, differentiator, voltage-mode filters, adder, all-pass filters, instrumentation amplifiers, etc., are given. Chapter 7 describes unity gain inverting amplifiers and negative impedance converters. A number of circuits for realizing different transfer functions, first- order voltage-mode all-pass filters, and one first-order current-mode universal filter based on a single unity gain amplifier are given. Afterward, many circuits based on negative impedance converter(s) are investigated. Chapter 8 deals with current-mode active devices, current conveyors (CCs). These CCs are called first-generation CC (CCI), second-generation CC (CCII), and third-generation CC, and subtractor-connected CCI, current-controlled CCII (CCCII), inverting CCII, differential CC, dual X CCII, differential voltage CC, differential difference CC, fully differential CCII, current differencing CC, and extra X CCCII. A number of circuits for instance simulated inductors, oscillators, rectifiers, filters, etc. are investigated. Chapter 9 introduces other important active components, namely current feed- back operational amplifier, operational transresistance amplifier, four-terminal float- ing nullor, operational transconductance amplifier, voltage differencing inverting buffered amplifier, voltage differencing buffer amplifier, current differencing buff- ered amplifier, current amplifier, current follower transconductance amplifier, cur- rent differencing transconductance amplifier, differential voltage current conveyor transconductance amplifier, and current operational amplifier. Simulated inductors are generally given as application examples for these active devices. Denizli, Türkiye Erkan Yuce Istanbul, Türkiye Shahram Minaei August 2023
- 11. Acknowledgments The authors would like to thank Prof. Dr. Aydin Kizilkaya, Prof. Dr. Sezai Tokat, Associate Prof. Dr. Firat Yucel, Assistant Prof. Dr. Tolga Yucehan, and Assistant Mehmet Dogan for their helpful suggestions. The author Erkan Yuce would like to dedicate the book to his wife Yildiz Yuce, his daughters Rana Nur Yuce, Gulsu Nur Yuce and his parents. The author Shahram Minaei would like to dedicate the book to his wife Elham Minayi, his daughter Aylin Minayi and his parents. vii
- 12. Contents 1 Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Symbols, Units, and Prefixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Some Fundamental Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Sensitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Signals, Systems, and Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 Fundamentals of the Signals and Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Laplace and Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Ideal Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Ideal Second-Order Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Ideal First-Order Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Passive Circuit Elements and Their Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1 Passive Circuit Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Passive Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 RC and RL Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4 RLC Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4 Main Transfer Functions of the Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1 Definition of the Filter Transfer Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.1 VM FTF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.2 CM FTF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.1.3 TIM FTF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.1.4 TAM FTF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 First-Order VM FTFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.1 VM LPF TFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.2 VM HPF TFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2.3 VM APF TFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 ix
- 13. x Contents 4.3 First-Order CM FTFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4 Second-Order VM FTFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.5 Second-Order CM FTFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6 High-Order VM BPF TF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5 Operational Amplifiers and Their Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.1 Practical Operational Amplifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2 Ideal OAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.3 OA-Based Basic Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.4 Some More Examples Based on the OA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.5 Finite Open Loop Gain of the OA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.6 Practical Open Loop Gain OA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.7 Expression of the Open Loop Gain in the Frequency Domain . . . 116 5.8 Gain Bandwidth Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.9 DC Supply Voltage Restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.10 Simulated Grounded Inductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.10.1 Lossy SGIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.10.2 Lossless SGIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.11 Rectifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.12 Wien Oscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.13 Analog Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.14 Large Signal Operation in the OA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.15 SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.16 Full-Power Bandwidth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6 Unity Gain Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.1 Unity Gain Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.2 CFs and Their Practices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.3 VFs and Their Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.4 CF and VF-Based Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7 Unity Gain Inverting Amplifiers and Negative Impedance Converters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.2 UGIAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.3 NICs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8 Current Conveyors and Their Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.2 CCI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.3 CCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
- 14. Contents xi 8.3.1 Realizations of the Other Active Devices Based on the CCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.3.2 Realizations of the Instrumentation Amplifier Based on the CCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.3.3 Realizations of the Simulated Inductors Based on the CCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.3.4 Realizations of the QOs Based on the CCII . . . . . . . . . . 199 8.3.5 Realizations of the CCII- Based on the CCII+s . . . . . . . 200 8.4 CCIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.5 CCCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.6 ICCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.7 DCCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.8 DXCCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.9 DVCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.10 DDCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.11 FDCCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.12 CDCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.13 EX-CCCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9 Other Active Devices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.2 CFOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.3 OTRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.4 FTFN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.5 OTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.6 VDIBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.7 VDBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.8 CDBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.9 CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.10 CFTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 9.11 CDTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 9.12 DVCCTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 9.13 COA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Correction to: Unity Gain Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C1 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
- 15. About the Authors Erkan Yuce was born in 1969 in Nigde, Turkey. He received the B.Sc. degree from Middle East Technical University, the M.Sc. degree from Pamukkale Univer- sity, and the Ph.D. degree from Bogazici University, all in Electrical and Electronics Engineering in 1994, 1998, and 2006, respectively. He is currently a Professor at the Electrical and Electronics Engineering Department of Pamukkale University. His current research interests include analog circuits, active filters, synthetic induc- tors, and MOS transistor-based circuits. He is the author or co-author of about 190 papers published in scientific journals or conference proceedings. He is an assistant editor-in-chief of the International Journal of Electron- ics and Communications (AEU). Shahram Minaei received the B.Sc. degree in Electrical and Electronics Engineering from Iran University of Sci- ence and Technology, Tehran, Iran, in 1993, and the M. Sc. and Ph.D. degrees in Electronics and Communication Engineering from Istanbul Technical University, Istanbul, Turkey, in 1997 and 2001, respectively. He is currently a Professor at the Department of Electrical and Electronics Engineering, Dogus University, Istanbul, Turkey. He has more than 190 publications in scientific journals or con- ference proceedings. His current field of research con- cerns current-mode circuits and analog signal processing. Dr. Minaei is editor of the Journal of Circuits, Systems and Computers (JCSC), International Journal of Circuit Theory and Applications (IJCTA), Elektronika ir Elektrotechnika, and editor-in-chief of the AEU – Inter- national Journal of Electronics and Communications. xiii
- 16. https://doi.org/10.1007/978-3-031-44966-6_1 Chapter 1 Basic Concepts 1.1 Symbols, Units, and Prefixes Symbols, units, and prefixes are very important issues especially in electrical and electronics engineering (EEE). The international system of units (SI) is exhibited in Table 1.1. Numerous units derived from the SI are demonstrated in Table 1.2. Furthermore, unit prefixes are given in Table 1.3 [1]. Example 1.1 Find value of 5 F/m2 in terms of fF/(μm)2 Solution 1.1 5 F/m2 = 5 × 1015 fF/(106 μm)2 = 5 × 1015 fF/1012 (μm)2 = 5 × 103 fF/ (μm)2 1.2 Some Fundamental Functions It is a well-known fact that functions are very essential issue for science and engineering notably in EEE. Some of the fundamental functions, namely, constant, sine wave, full-wave rectified, positive half-wave rectified, square wave, triangular wave, sawtooth wave, exponential, delta, unit step, and unit ramp functions are introduced in this chapter. A constant function, namely, x1(t), is depicted in Fig. 1.1, where A is a real number and t is time variable. Therefore, the function has a constant value of A for all the times. A sine wave function is called as x2(t) = Bsin(2πft + ψ), where f > 0 is the frequency, |B| is the peak value, and -180° ≤ ψ ≤ 180° is the phase angle. Furthermore, f and B are real numbers, while ω = 2πf is angular frequency, and T = 1/f is the period. The function x2(t) is depicted in Fig. 1.2 in which B = 500 mV, f = 1 MHz, and ψ = 60° are chosen as a practice. A full-wave rectified function at 1 MHz is depicted in Fig. 1.3, while a positive half-wave © The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024 E. Yuce, S. Minaei, Passive and Active Circuits by Example, 1
- 17. Unit(s) SI rectified function at 1 MHz is depicted in Fig. 1.4. In Figs. 1.3 and 1.4, sinusoidal signals with peak 500 mV at 500 kHz and 1 MHz are applied, respectively. In addition, a full-wave rectifier output is obtained from any function by taking absolute value of this function. A square wave function at 1 MHz is demonstrated in Fig. 1.5, while a triangular wave function at 1 MHz is shown in Fig. 1.6. A sawtooth wave function is plotted in Fig. 1.7 at 1 MHz, while an exponential one is given in Fig. 1.8. Further, this exponential function is defined as x3(t) = 0.5exp(-t/10-6 ) for t ≥ 0. 2 1 Basic Concepts Table 1.1 International sys- tem of units (SI) Fundamental physical quantity SI SI symbol Length Meter m Mass Kilogram kg Time Second s Electric current Ampere A Thermodynamic temperature Kelvin K Amount of substance Mole mol Luminous intensity Candela cd Table 1.2 A number of units derived from the SI SI symbol Expressed in SI-based unit Expressed in other SI unit Force, weight Newton N kg m s-2 – Frequency Hertz Hz s-1 – Energy, work, heat Joule J kg.m2 .s-2 N m Electric charge Coulomb C A.s – Electric potential (voltage) Volt V kg.m2 .s-3 .A-1 J/C Magnetic flux Weber Wb kg.m2 .s-2 .A-1 V s Inductance Henry H kg.m2 .s-2 .A-2 Wb/A Capacitance Farad F kg-1 .m-2 .s4 .A2 C/V Resistance, impedance, reactance Ohm Ω kg.m2 .s-3 .A-2 V/A Electrical conductance Siemens S kg-1 .m-2 .s3 .A2 A/V Magnetic flux density Tesla T kg.s-2 .A-1 Wb/m2 Power, radiant flux Watt W kg.m2 .s-3 J/s Angle Radian rad m.m-1 – δΔ(t) function is shown in Fig. 1.9 [2]. Delta function, namely, δ(t), is defined as δ t ð Þ = lim Δ → 0 δΔ t ð Þ ð1:1Þ uΔ(t) function is exhibited in Fig. 1.10. Unit step function, namely, u(t), is given below.
- 18. 1.2 Some Fundamental Functions 3 Table 1.3 Unit prefixes Name Symbol Prefix multiplier Yocto y ×10-24 Zepto z ×10-21 Atto a ×10-18 Femto f ×10-15 Pico p ×10-12 Angstrom Ao ×10-10 Nano n ×10-9 Micro μ ×10-6 Mili m ×10-3 Santi c ×10-2 Desi d ×10-1 Kilo k ×103 Mega M ×106 Giga G ×109 Tera T ×1012 Peta P ×1015 Exa E ×1018 Zetta Z ×1021 Yotta Y ×1024 Fig. 1.1 A constant function x1(t) t A u t ð Þ = lim Δ → 0 uΔ t ð Þ ð1:2Þ u(t) function is depicted in Fig. 1.11, and unit ramp function demonstrated in Fig. 1.12 is computed as follows: r t ð Þ = t - 1 u τ ð Þdτ = tu t ð Þ ð1:3Þ Some relations among δ(t), u(t), and r(t) functions are given below. u t ð Þ = dr t ð Þ dt ð1:4aÞ
- 19. 4 1 Basic Concepts Fig. 1.2 A sine wave function at 1 MHz Fig. 1.3 A full-wave rectifier function at 1 MHz δ t ð Þ = du t ð Þ dt = d2 r t ð Þ dt2 ð1:4bÞ
- 20. 1.2 Some Fundamental Functions 5 Fig. 1.4 A half-wave rectifier function at 1 MHz Fig. 1.5 A square wave function at 1 MHz u t ð Þ = t - 1 δ τ ð Þdτ ð1:4cÞ
- 21. 6 1 Basic Concepts Fig. 1.6 A triangular wave function at 1 MHz Fig. 1.7 A sawtooth wave function at 1 MHz 1.3 Sensitivity The sensitivity, namely, the robustness of the outcomes of any models, deals with the effect of independent parameters on the dependent ones. Sensitivity of any function y(x, z, w) to x is defined in Eq. (1.5).
- 22. 1.3 Sensitivity 7 Fig. 1.8 An exponential function Fig. 1.9 Representation of δΔ(t) function G'(t) t '/2 -'/2 1/' Fig. 1.10 Representation of uΔ(t) function u'(t) t ' 1 -' 1/2 Fig. 1.11 Representation of u(t) function u(t) t 1
- 23. 8 1 Basic Concepts Fig. 1.12 Representation of r(t) function r(t) t 1 Sy x,z,w ð Þ x = x y x, z, w ð Þ ∂y x, z, w ð Þ ∂x ð1:5Þ Note It is desired that sensitivities of any functions should be small in magnitude [3–8]. Example 1.2 Find the sensitivity of function F(x) to x shown below in which B is a real number. F x ð Þ = x x - B ð1:6Þ Solution 1.2 The sensitivity of the function F(x) given above with respect to x is evaluated as in the following: SF x ð Þ x = x x x - B d dx x x - B = B B - x ð1:7Þ Note It is observed from Eq. (1.7) that if x approaches to B, sensitivity goes to infinity in magnitude. As a result, the function given in (1.6) is an undesired function due to sensitivity point of view. Example 1.3 A parallel/series RLC circuit has the angular resonance frequency (ω0) as given in Eq. (1.8). Thus, find the sensitivities of ω0 to both passive elements. ω0 = 1 LC p ð1:8Þ Solution 1.3 The sensitivities of ω0 to both passive elements are found as Sω0 L = L ω0 dω0 dL = - 1 2 ð1:9aÞ Sω0 C = C ω0 dω0 dC = - 1 2 ð1:9bÞ
- 24. þ þ ð Þ þ þ ð Þ 1.3 Sensitivity 9 Fig. 1.13 A simple BJT-based circuit VCC RB VBB IC1 Fig. 1.14 A BJT-based circuit with a resistor in emitter VCC RB VBB RE IC2 In order to express sensitivity more, bipolar junction transistor (BJT)-based simple circuits operated in the forward active region are given in Figs. 1.13 and 1.14 as examples. It is assumed that both BJTs are identical. Thus, collector currents of the topologies given in Figs. 1.13 and 1.14 are, respectively, computed as [9] IC1 = βF VBB - VBE ð Þ RB ð1:10aÞ IC2 = βF VBB - VBE ð Þ RB βF 1 RE ð1:10bÞ Sensitivities of the collector currents demonstrated in Figs. 1.13 and 1.14 to the current gain (βF = IC/IB) can be, respectively, given below. SIC1 βF = βF IC1 dIC1 dβF = 1 ð1:11aÞ SIC2 βF = βF IC2 dIC2 dβF = RB þ RE RB βF 1 RE ð1:11bÞ One observes from the equations denoted in (1.11a) and (1.11b) that the circuit in Fig. 1.14 is less sensitive than one exhibited in Fig. 1.13 due to the resistor RE. In Eqs. (1.11a) and (1.11b), dIC1/dβF and dIC2/dβF are, respectively, evaluated by dIC1 dβF = VBB - VBE RB ð1:12aÞ
- 25. þ þ ð Þ ð Þ 10 1 Basic Concepts dIC2 dβF = VBB - VBE ð Þ RB þ βF þ 1 ð ÞRE ð Þ - βF VBB - VBE ð ÞRE RB þ βF þ 1 ð ÞRE ð Þ2 = VBB - VBE ð Þ RB þ RE ð Þ RB βF 1 RE 2 ð1:12bÞ It is understood from above that sensitivity gives a measure for performances of the circuit with respect to their elements or parameters. In other words, it provides selection of the adequate element tolerances [10]. References 1. J.W. Nilsson, S.A. Riedel, Electric Circuits, 10th edn. (Pearson, 2015) 2. A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, S.H. Nawab, Signals and Systems, Pearson New International Edition (Pearson Education Limited, Harlow, 2013) 3. A.B. Williams, Analog Filter and Circuit Design Handbook (McGraw Hill Professional, 2013) 4. R. Schaumann, M.E.V. Valkenburg, Design of Analog Filters (Oxford University Press, 2001) 5. A.F. Anday, Aktif devre sentezi (Istanbul Technical University, 1992) 6. A. Anand, M. Agrawal, N. Bhatt, M. Ram, Advances in System Reliability Engineering (Elsevier, Academic, 2019), pp. 267–279 7. E.A. Ustinov, Sensitivity Analysis in Remote Sensing (Springer Briefs in Earth Sciences, 2015) 8. https://www.embedded.com/analyzing-circuit-sensitivity-for-analog-circuit-design/ 9. A.S. Sedra, K.C. Smith, T.C. Carusone, V. Gaudet, Microelectronic Circuits, 8th edn. (Oxford University Press, New York, 2020) 10. N.B. Hamida, B. Kaminska, Multiple fault analog circuit testing by selectivity analysis. Analog Integr. Circ. Sig. Process 4(3), 231–243 (1993)
- 26. https://doi.org/10.1007/978-3-031-44966-6_2 Chapter 2 Signals, Systems, and Filters 2.1 Fundamentals of the Signals and Systems Signals can be mainly divided into two subcategories, voltage and current ones. Furthermore, they can be separated into two subgroups, analog and digital ones [1]. In this book, we concentrate on the analog voltage and current signals. Linearity and time-invariance are other important issues. However, full-wave recti- fier configurations are nonlinear, while rheostat is a variable resistor. It is assumed that active and passive circuits given in Figs. 2.1 and 2.2 are linear time-invariant (LTI). The circuits exhibited in Figs. 2.1 and 2.2 are examples for the circuit analysis and circuit synthesis, respectively. In Fig. 2.1, vin(t) and the circuit are known, where the output is required. Additionally, in Fig. 2.2, vin(t) and vout(t) are known in which the circuit is required. In Fig. 2.1, the circuit has only a single output voltage, while the topology in Fig. 2.2 can be implemented in several methods [2]. If the circuit in Fig. 2.1 is an active structure, its output voltage with respect to the input voltage can be defined as follows [3]: vout t ð Þ = f vin t ð Þ ð Þ = 1 k = 0 ak t ð Þvk in t ð Þ = a0 t ð Þ þ a1 t ð Þvin t ð Þ þ a2 t ð Þv2 in t ð Þ þ . . . ð2:1Þ where v0 in(t) = 1, ak(t) (k = 0, 1, 2, . . .) is a complex number and k of vk in(t) represents kth exponent. The circuit is nonlinear and time-varying for a0(t) ≠ 0, even if it is as in the following form: © The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024 E. Yuce, S. Minaei, Passive and Active Circuits by Example, 11
- 27. 12 2 Signals, Systems, and Filters Fig. 2.1 A circuit used in the analysis Given circuit vin(t) Calculated output + _ + _ Fig. 2.2 A circuit utilized in the synthesis Required circuit vin(t) + _ + _ vout(t) vout t ð Þ = 1 k = 0 ak t ð Þvk in t ð Þ = a0 t ð Þ þ a1 t ð Þvin t ð Þ ð2:2Þ The circuit in Fig. 2.1 is linear if its output voltage is as in the following: vout t ð Þ = a1 t ð Þvin t ð Þ ð2:3Þ However, equation in (2.3) is time-varying. Apart from this, if the circuit in Fig. 2.1 is time-invariant, it has generally the following equation: vout t ð Þ = 1 k = 0 akvk in t ð Þ ð2:4Þ If the configuration in Fig. 2.1 is LTI, it can be defined below. vout t ð Þ = a1vin t ð Þ ð2:5Þ An LTI circuit can be generally shown as n k = 0 bk dk vout t ð Þ dtk = m i = 0 ai di vin t ð Þ dti ð2:6Þ where a0(d0 v(t)/dt0 ) = a0v(t), bk (k = 0, 1, 2, . . . , n), and ai (i = 0, 1, 2, . . ., m) are time-invariant complex numbers. Also, n ≥ m is required for causality [3]. Input voltage signal and corresponding output voltage signal can be, respectively, dem- onstrated by vin t ð Þ = A sin ωt ð Þ ð2:7aÞ
- 28. ð 2.1 Fundamentals of the Signals and Systems 13 Fig. 2.3 An NMOS transistor-based simple amplifier circuit [4] vin(t) VDD RD vout(t) VA M iD(t) voutðtÞ = 1 k = 0 BkcosðkωtÞ 2:7bÞ From Eq. (2.7b), the total harmonic distortion (THD) is defined as THD = 100 × 1 k = 2 Bk B1 2 ð2:8Þ One observes from equation given in (2.8) that DC term of the output signal is not utilized in calculation of the THD. Furthermore, the first nine harmonics including fundamental harmonic are taken in the SPICE simulation program. Example 2.1 Find the THD value of the NMOS transistor-based simple amplifier in Fig. 2.3. Solution 2.1 It is assumed that the transistor operates in the saturation region. If the channel-length modulation effect is ignored, drain current of the circuit in Fig. 2.3 is computed as iD t ð Þ = ID þ id t ð Þ þ io t ð Þ = 1 2 kn vin t ð Þ - VA - VTN ð Þ2 = 1 2 kn - VA - VTN ð Þ2 þ kn - VA - VTN ð Þvin t ð Þ þ 1 2 knv2 in t ð Þ ð2:9Þ Here, VTN is the threshold voltage of the NMOS transistor, while kn is transconductance parameter. In addition, VA is sufficiently less than -VTN. Thus, constant current (ID), desired current (id(t)), and other current (io(t)) signals are, respectively, calculated as ID = 1 2 kn - VA - VTN ð Þ2 ð2:10aÞ
- 29. ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ þ ð Þ Þ 14 2 Signals, Systems, and Filters id t = kn - VA - VTN vin t 2:10b io t ð Þ = 1 2 knv2 in t ð Þ ð2:10cÞ Note cos(2ω0t) = 2cos2 (ω0t) - 1. If vin(t) = Acos(ω0t) is chosen, id(t) and io(t) are, respectively, computed by id t ð Þ = kn - VA - VTN ð ÞA cos ω0t ð Þ ð2:11aÞ io t ð Þ = 1 2 kn A cos ω0t ð Þ ð Þ2 = 1 2 knA2 1 þ cos 2ω0t ð Þ 2 = 1 4 knA2 þ 1 4 knA2 cos 2ω0t ð Þ = IDC iu t ð2:11bÞ From (2.11b), IDC and undesired current (iu(t)) are, respectively, written as IDC = 1 4 knA2 ð2:12aÞ iu t ð Þ = 1 4 knA2 cos 2ω0t ð Þ ð2:12bÞ vout(t) of the circuit exhibited in Fig. 2.3 is found as in the following: vout t ð Þ = VDD - RD × iD t ð Þ = VDD - RD × ID þ id t ð Þ þ io t ð Þ ð Þ = VDD - RD × ID þ IDC þ id t ð Þ þ iu t ð Þ ð ð2:13Þ If constant currents in vout(t) of equation in (2.13) are ignored, AC part of the output voltage (vout / (t)) is obtained as v = out t ð Þ = RD × id t ð Þ þ iu t ð Þ ð Þ = RD × kn - VA - VTN ð ÞA cos ω0t ð Þ þ 1 4 knA2 cos 2ω0t ð Þ = B1 cos ω0t ð Þ þ B2 cos 2ω0t ð Þ ð2:14Þ Here, B1 = RD × kn(-VA-VTN)A and B2 = RD × knA2 /4. Finally, THD of the circuit in Fig. 2.3 is evaluated as
- 30. 2.2 Laplace and Fourier Transforms 15 THD = 100 × 1 k = 2 Bk B1 2 = 100 × 2 k = 2 Bk B1 2 = 100 × RD × 1 4 knA2 RD × kn - VA - VTN ð ÞA = 25 × A - VA - VTN ð2:15Þ 2.2 Laplace and Fourier Transforms By taking all the initial conditions zero, Laplace transforms of vin(t) and vout(t) in Fig. 2.2 are, respectively, found as follows: VinðsÞ = 1 - 1 vinðtÞe- st dt ð2:16aÞ Vout s ð Þ = 1 - 1 vout t ð Þe- st dt ð2:16bÞ By using equations given in (2.6), (2.16a), and (2.16b), a transfer function (TF) can be defined as H s ð Þ = Vout s ð Þ Vin s ð Þ = m i = 0 aisi n j = 0 bjsj ð2:17Þ In Eq. (2.17), real parts of all the poles must be negative for the stability. The following condition, m ≤ n (m ≥ 0 and n ≥ 1) is required for the causality. If m ≥ 1 and n ≥ 1, the equation in (2.17) can be expressed as follows: H s ð Þ = K m j = 1 s þ zj n i = 1 s þ pi ð Þ ð2:18Þ Here, K = am/bn. Also, -pi (i = 1, 2, 3,. . ., n) and -zj ( j = 1, 2, 3,. . ., m) are poles and zeroes, respectively. pi given in Eq. (2.18) can be written as
- 31. ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ 16 2 Signals, Systems, and Filters pi = σi þ jωi ð2:19Þ If real part of pi = σi 0, it is stable. If σi = 0 and ωi ≠ ωk (k = 1, 2, 3, . . ., n and i ≠ k), it is marginally stable. Otherwise, it is unstable. By taking all the initial conditions zero, Fourier transform of vin(t) in Fig. 2.2 is found as Vin(ω). Likewise, Fourier transform of vout(t) is computed as Vout(ω). Vin(ω) and Vout(ω) are, respec- tively, given by Vin ω ð Þ = 1 - 1 vin t ð Þe- jωt dt ð2:20aÞ Vout ω ð Þ = 1 - 1 vout t ð Þe- jωt dt ð2:20bÞ By using equations in (2.20a) and (2.20b), TF of the circuit can be defined as H ω ð Þ = Vout ω ð Þ Vin ω ð Þ ð2:21Þ Equation given in (2.21) can be expressed by HðωÞ = jHðωÞjej∠HðωÞ ð2:22Þ where ∠H(ω) is phase and |H(ω)| is gain. Thus, the relationship between input and output of the circuit in the time domain and frequency domain are, respectively, given as vout t ð Þ = h t ð Þ vin t ð Þ ð2:23aÞ Vout ω = H ω Vin ω 2:23b Here, h(t) is impulse response of the LTI topology, while H(ω) is its Fourier transform. In addition, * is the convolution operator. Note Gain of the passive circuit is between zero and one, while gain of the active configuration can be any positive or negative real numbers. In other words, gain of the active circuit can be more or less than unity in magnitude [1].
- 32. 2.3 Ideal Filters 17 2.3 Ideal Filters Ideal low-pass filter (LPF), band-pass filter (BPF), notch filter (NF), and high-pass filter (HPF) have noncausal TFs, but they can be tried to realize with some approx- imations such as Butterworth, Chebyshev, etc. TFs of the LPF, BPF, NF and HPF are, respectively, demonstrated in Figs. 2.4, 2.5, 2.6, and 2.7, while ideal all-pass filter (APF) TF that is causal is exhibited in Fig. 2.8. ωC in Figs. 2.4 and 2.7 is angular cutoff frequency. Additionally, ω1 and ω2 in Figs. 2.5 and 2.6 are angular cutoff frequencies. LPF has a bandwidth (BW) of ωC, while HPF and APF possess Fig. 2.4 Characteristics of the ideal LPF C 1 ( ) LP H 0 Fig. 2.5 Characteristics of the ideal BPF 1 ( ) BP H 1 2 0 Fig. 2.6 Characteristics of the ideal NF 1 ( ) NF H 1 2 0
- 33. ð Þ infinity BW. BPF and NF have the following equations for ωC, BW, and quality factor (Q) [5, 6]: 18 2 Signals, Systems, and Filters Fig. 2.7 Characteristics of the ideal HPF C 1 ( ) HP H 0 Fig. 2.8 Characteristics of the ideal APF 1 ( ) AP H 0 ω2 C = ω1 × ω2 ð2:24aÞ BW = ω2 - ω1 2:24b Q = ωC BW ð2:24cÞ ωC of BPF and NF in Figs. 2.5 and 2.6 is angular resonance frequency or center frequency. Ideal filters demonstrated in Figs. 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, and 2.8 can be, respectively, expressed as HLP ω ð Þ j j = 1 ω ≤ ωC 0 ω ωC ð2:25aÞ HBP ω ð Þ j j = 1 ω1 ≤ ω ≤ ω2 0 ω ω1 and ω ω2 ð2:25bÞ HNF ω ð Þ j j = 1 ω ≤ ω1 and ω ≥ ω2 0 ω1 ω ω2 ð2:25cÞ
- 34. ð Þ j j ð Þ 2.4 Ideal Second-Order Filters 19 HHP ω ð Þ j j = 1 ω ≥ ωC 0 ω ωC ð2:25dÞ HAP ω = 1 ω ≥ 0 2:25e Note For the characteristics given in Figs. 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, and 2.8, the negative frequency responses are ignored. 2.4 Ideal Second-Order Filters A second-order universal filter can realize all the LPF, BPF, NF, HPF, and APF responses [7]. Non-inverting second-order unity gain LPF, BPF, NF, HPF, and APF phase and gain responses for different Q values are, respectively, depicted in Figs. 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, and 2.13, which are obtained by using one resistor, one capacitor, and one inductor. Resonance frequency of these filter circuits is taken as f0 ffi 1.59 MHz. Non-inverting second-order unity gain LPF, BPF, NF, HPF, and APF in Figs. 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, and 2.13 are, respectively, given below. HLP s ð Þ = ω2 0 D s ð Þ ð2:26aÞ Fig. 2.9 Non-inverting second-order unity gain LPF phase and gain responses for different quality factors against frequency
- 35. ð Þ 20 2 Signals, Systems, and Filters Fig. 2.10 Non-inverting second-order unity gain BPF phase and gain responses for different quality factors versus frequency Fig. 2.11 Non-inverting second-order unity gain NF phase and gain responses for different quality factors with respect to frequency HBP s ð Þ = ω0 Q s D s ð2:26bÞ
- 36. ð Þ 2.4 Ideal Second-Order Filters 21 Fig. 2.12 Non-inverting second-order unity gain HPF phase and gain responses for different quality factors versus frequency Fig. 2.13 Non-inverting second-order unity gain APF phase and gain responses for different quality factors against frequency HNF s ð Þ = s2 þ ω2 0 D s ð2:26cÞ
- 37. ð Þ ð Þ 22 2 Signals, Systems, and Filters HHP s ð Þ = s2 D s ð2:26dÞ HAP s ð Þ = s2 - ω0 Q s þ ω2 0 D s ð2:26eÞ The denominator, D(s), in Eq. (2.26) is in the form of D s ð Þ = s2 þ ω0 Q s þ ω2 0 ð2:27Þ Here, ω0 is angular resonance frequency, while Q is quality factor. Apart from this, bandwidth (BW) is evaluated by BW = ω0 Q ð2:28Þ An ideal non-inverting second-order unity gain LPF in the frequency domain has, respectively, the following phase and gain responses: ∠HLP ω ð Þ = - Arctan ω0ω Q ω2 0 - ω2 ð2:29aÞ HLP ω ð Þ j j = ω2 0 ω2 0 - ω2 2 þ ω0ω Q 2 ð2:29bÞ It is seen from Fig. 2.9 and equation indicated in (2.29a) that phase responses of the non-inverting second-order LPF will vary from 0° to -180° if the frequency changes from 0° to infinity. Phase of the LPF is equal to -90° at the resonance frequency. In addition, if f f0, gain of the LPF decreases with -40 dB/decade. On the other hand, an ideal non-inverting second-order unity gain BPF in frequency domain has, respectively, the following phase and gain responses: ∠HBP ω ð Þ = 90 ° - Arctan ω0ω Q ω2 0 - ω2 ð2:30aÞ HBP ω ð Þ j j = ω0ω Q ω2 0 - ω2 2 þ ω0ω Q 2 ð2:30bÞ An ideal non-inverting second-order unity gain NF in the frequency domain has, respectively, the following phase and gain responses:
- 38. ð Þ j j ð Þ 2.4 Ideal Second-Order Filters 23 ∠HNF ω ð Þ = - Arctan ω0ω Q ω2 0 - ω2 if ω ω0 0 if ω = ω0 180 ° - Arctan ω0ω Q ω2 0 - ω2 if ω ω0 ð2:31aÞ HNF ω ð Þ j j = ω2 0 - ω2 ω2 0 - ω2 2 þ ω0ω Q 2 ð2:31bÞ Likewise, an ideal non-inverting second-order unity gain HPF in the frequency domain has, respectively, the following phase and gain responses: ∠HHP ω ð Þ = 180 ° - Arctan ω0ω Q ω2 0 - ω2 ð2:32aÞ HHP ω ð Þ j j = ω2 ω2 0 - ω2 2 þ ω0ω Q 2 ð2:32bÞ Phase of the HPF is equal to 90° at the resonance frequency. In addition, if f f0, gain of the HPF increases with 40 dB/decade. Finally, an ideal non-inverting second- order unity gain APF in the frequency domain has, respectively, the following phase and gain responses: ∠HAP ω ð Þ = - 2Arctan ω0ω Q ω2 0 - ω2 ð2:33aÞ HAP ω = 1 2:33b One observes from Eq. (2.33a) that phase response varies from 0° to -360° as the frequency goes from zero to infinity. Inverting second-order unity gain LPF, BPF, NF, HPF, and APF phase and gain responses with respect to frequency are, respectively, given in Figs. 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, and 2.18, which are obtained by using one resistor, one capacitor, and one inductor. Resonance frequency of these figures is chosen as f0 ffi 1.59 MHz. TFs of the filters given in Figs. 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, and 2.18 are, respectively, found as
- 39. 24 2 Signals, Systems, and Filters Fig. 2.14 Inverting second-order unity gain LPF phase and gain responses for different quality factors against frequency Fig. 2.15 Inverting second-order unity gain BPF phase and gain responses for different quality factors versus frequency HLP s ð Þ = - ω2 0 D s ð Þ ð2:34aÞ
- 40. ð Þ 2.4 Ideal Second-Order Filters 25 Fig. 2.16 Inverting second-order unity gain NF phase and gain responses for different quality factors with respect to frequency Fig. 2.17 Inverting second-order unity gain HPF phase and gain responses for different quality factors against frequency HBP s ð Þ = - ω0 Q s D s ð2:34bÞ
- 41. ð Þ ð Þ ð Þ 26 2 Signals, Systems, and Filters Fig. 2.18 Inverting second-order unity gain APF phase and gain responses for different quality factors versus frequency HNF s ð Þ = - s2 þ ω2 0 D s ð2:34cÞ HHP s ð Þ = - s2 D s ð2:34dÞ HAP s ð Þ = - s2 - ω0 Q s þ ω2 0 D s ð2:34eÞ The denominator, D(s) denoted in Eqs. (2.34a), (2.34b), (2.34c), (2.34d), and (2.34e), was defined before in Eq. (2.27). The inverting second-order unity gain LPF, BPF, NF, HPF, and APF possess the same gain responses of the non-inverting second-order unity gain LPF, BPF, NF, HPF, and APF, respectively. An ideal inverting second-order unity gain LPF in the frequency domain has the following phase responses: ∠HLP ω ð Þ = 180 ° - Arctan ω0ω Q ω2 0 - ω2 ð2:35Þ An ideal inverting second-order unity gain BPF in the frequency domain has the following phase responses:
- 42. 2.4 Ideal Second-Order Filters 27 ∠HBP ω ð Þ = - 90 ° - Arctan ω0ω Q ω2 0 - ω2 ð2:36Þ An ideal inverting second-order unity gain NF in the frequency domain has the following phase response: ∠HNF ω ð Þ = 180 ° - Arctan ω0ω Q ω2 0 - ω2 if ω ω0 180 ° if ω = ω0 360 ° - Arctan ω0ω Q ω2 0 - ω2 if ω ω0 ð2:37Þ Likewise, an ideal inverting second-order unity gain HPF in the frequency domain has the following phase response: ∠HHP ω ð Þ = - Arctan ω0ω Q ω2 0 - ω2 ð2:38Þ Finally, an ideal inverting second-order unity gain APF in the frequency domain has the following phase response: ∠HAP ω ð Þ = 180 ° - 2Arctan ω0ω Q ω2 0 - ω2 ð2:39Þ One observes from Eq. (2.39) that phase response varies from 180° to -180° as the frequency goes from zero to infinity. Note For the non-inverting and inverting second-order universal filter responses, magnitudes of the gains can be more or less than unity if active devices are used in the implementation of the filter structures. Example 2.2 Find the frequency of the second-order LPF for Q 1/√2, where the gain is maximum. Solution 2.2 Derivative of the gain of the second-order LPF defined in Eq. (2.29b) is taken as
- 43. 28 2 Signals, Systems, and Filters d HLP ω ð Þ j j dω = 2 × ω × ω2 0 ω2 0 1 - 1 2Q2 - ω2 ω2 0 - ω2 2 þ ω0ω Q 2 3 2 ð2:40Þ If equation given in (2.40) is taken as zero, maximum frequency value is found. Therefore, the following more simpler equation is obtained as: ω2 - ω2 0 1 - 1 2Q2 = 0 ) ω2 = ω2 0 1 - 1 2Q2 ð2:41Þ Therefore, ωmax is evaluated as ωmax = ± ω0 1 - 1 2Q2 ð2:42Þ However, ωmax 0; thus, it is found by ωmax = ω0 1 - 1 2Q2 ð2:43Þ Note ωmax = 0 for Q ≤ 1/√2. Example 2.3 Find the ωC of the second-order LPF with respect to ω0 and Q. Solution 2.3 Firstly, |HLP(ω)| = 1/√2 is taken. Afterward, the following equation is obtained: ω2 0 ω2 0 - ω2 2 þ ω0ω Q 2 ω = ωC = 1 2 p ð2:44Þ From equation given in (2.44), the following equation is obtained: ω4 0 ω2 0 - ω2 C 2 þ ω0ωC Q 2 = 1 2 ) ω2 0 - ω2 C 2 þ ω0ωC Q 2 = 2ω4 0 ð2:45Þ If the equation given in (2.45) is expanded, the following equation is obtained: Q2 ω4 C þ ω2 0ω2 C - 2Q2 ω2 0ω2 C - Q2 ω4 0 = 0 ð2:46Þ The above equation simplifies as
- 44. ð 2.5 Ideal First-Order Filters 29 ω4 C - ω2 C 2 - 1 Q2 ω2 0 - ω4 0 = 0 ð2:47Þ Solution of the equation exhibited in (2.47), the following ωC is found: ωC = ± ω0 Q 2 p 2Q2 - 1 þ 8Q4 - 4Q2 þ 1 ð2:48Þ Nevertheless, ωC must be greater than zero. The equation in (2.48) turns into ωC = ω0 Q 2 p 2Q2 - 1 þ 8Q4 - 4Q2 þ 1 ð2:49Þ If Q = 1/√2 is taken, ωC = ω0 is obtained. Example 2.4 Find gains of the ideal second-order LPF, BPF, and HPF. Solution 2.4 Gains of the ideal second-order LPF, BPF, and HPF are, respectively, found as follows: GLP = lim ω → 0 HLP ω ð Þ j j ð2:50aÞ GBP = HBP ω ð Þ j jω = ω0 ð2:50bÞ GHP = lim ω → 1 HHP ω ð Þ j j 2:50cÞ 2.5 Ideal First-Order Filters It is a well-known fact that a first-order universal filter can realize all the LPF, HPF, and APF responses. Non-inverting and inverting first-order unity gain LPF, HPF, and APF phase and gain responses are, respectively, exhibited in Figs. 2.19, 2.20, and 2.21, which are obtained by using resistors and capacitors. Pole frequency of the filter circuits in these figures is chosen as f0 ffi 1.59 MHz. Non-inverting and inverting first-order unity gain LPF, HPF, and APF shown in Figs. 2.19, 2.20, and 2.21 are, respectively, given as follows: HLP s ð Þ = ± ω0 D s ð Þ ð2:51aÞ
- 45. 30 2 Signals, Systems, and Filters Fig. 2.19 Non-inverting and inverting first-order unity gain LPF phase and gain responses against frequency Fig. 2.20 Non-inverting and inverting first-order unity gain HPF phase and gain responses versus frequency
- 46. ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ 2.5 Ideal First-Order Filters 31 Fig. 2.21 Non-inverting and inverting first-order unity gain APF phase and gain responses with respect to frequency HHP s ð Þ = ± s D s ð2:51bÞ HAP s ð Þ = ± ω0 - s D s ð2:51cÞ Here, + sign corresponds to the non-inverting filters, while - sign is related to the inverting filters. Further, the denominator, D(s) is given as D s ð Þ = s þ ω0 ð2:52Þ where ω0 is the angular pole frequency. TFs of Eq. (2.51) in the frequency domain convert to HLP ω ð Þ = ± ω0 D ω ð Þ ð2:53aÞ HHP ω ð Þ = ± jω D ω ð2:53bÞ HAP ω ð Þ = ± ω0 - jω D ω ð2:53cÞ Here, the denominator, D(ω) is given by
- 47. þ þ 32 2 Signals, Systems, and Filters D ω ð Þ = ω0 þ jω ð2:54Þ If the TFs in Eq. (2.53) are non-inverting, they have, respectively, the following phase responses: ∠HLP ω ð Þ = - Arctan ω ω0 ð2:55aÞ ∠HHP ω ð Þ = 90 ° - Arctan ω ω0 ð2:55bÞ ∠HAP ω ð Þ = - 2Arctan ω ω0 ð2:55cÞ One observes from equation in (2.55c) that phase response varies from 0° to -180° as the frequency goes from zero to infinity. Apart from this, if the TFs in Eq. (2.53) are inverting, they have, respectively, the following phase responses: ∠HLP ω ð Þ = 180 ° - Arctan ω ω0 ð2:56aÞ ∠HHP ω ð Þ = - 90 ° - Arctan ω ω0 ð2:56bÞ ∠HAP ω ð Þ = 180 ° - 2Arctan ω ω0 ð2:56cÞ One sees from equation in (2.56c) that phase response varies from 180° to 0° as the frequency goes from zero to infinity. On the other hand, gains of the TFs of equations in (2.53) can be given below. HLP ω ð Þ j j = ω0 ω2 0 þ ω2 ð2:57aÞ HHP ω ð Þ j j = ω ω2 0 ω2 ð2:57bÞ HAP ω ð Þ j j = ω2 0 þ - ω ð Þ2 ω2 0 ω2 = 1 ð2:57cÞ It is observed from equations in (2.57a) and (2.57b) that gain of the first-order LPF decreases -20 dB/decade if ω ω0, while gain of the first-order HPF increases 20 dB/decade if ω ω0.
- 48. ffi ffi ffi 2.5 Ideal First-Order Filters 33 Fig. 2.22 Phase and gain responses of the video filter against frequency Example 2.5 Investigate the TF of a video filter given as below [8]. H s ð Þ = ω2 02 s2 þ ω2 01 s2 þ ω01 Q1 s þ ω2 01 s2 þ ω02 Q2 s þ ω2 02 ð2:58Þ where f01 = 4 MHz, f02 = 3 MHz, Q1 = 4, and Q2 = 1 are chosen. Solution 2.5 Phase and gain responses for the video filter with respect to frequency are shown in Fig. 2.22. Example 2.6 Investigate the TF of the fourth-order Butterworth LPF shown by H s ð Þ = ω4 0 s2 þ ω0 Q1 s þ ω2 0 s2 þ ω0 Q2 s þ ω2 0 ð2:59Þ Here, f0 3.18 MHz, Q1 0.541, and Q2 1.306 are taken. Solution 2.6 Phase and gain responses for the fourth-order Butterworth LPF against frequency are depicted in Fig. 2.23. One observes from Fig. 2.23 that for f f0, gain of the fourth-order Butterworth LPF decreases as -80 dB/decade.
- 49. 34 2 Signals, Systems, and Filters Fig. 2.23 Phase and gain responses of the fourth-order Butterworth LPF versus frequency References 1. A.S. Sedra, K.C. Smith, T.C. Carusone, V. Gaudet, Microelectronic Circuits, 8th edn. (Oxford University Press, New York, 2020) 2. A.F. Anday, Devre ve sistem analizi çözümlü problemler (Birsen, 2004) 3. A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, S.H. Nawab, Signals and Systems, Pearson New International Edition. (Pearson Education Limited, Harlow, 2013) 4. B. Razavi, Fundamentals of Microelectronics: With Robotics and Bioengineering Applications, 3rd edn. (Wiley, 2021) 5. A.B. Williams, Analog Filter and Circuit Design Handbook (McGraw Hill Professional, 2013) 6. R. Schaumann, M.E.V. Valkenburg, Design of Analog Filters (Oxford University Press, 2001) 7. E. Yuce, A single-input multiple-output voltage-mode second-order universal filter using only grounded passive components. Indian J. Eng. Mater. Sci. 24(2), 97–106 (2017) 8. E. Yuce, S. Minaei, H. Alpaslan, Single voltage controlled CMOS grounded resistors and their application to video filter. Indian J. Eng. Mater. Sci. 21(5), 501–509 (2014)
- 50. https://doi.org/10.1007/978-3-031-44966-6_3 Chapter 3 Passive Circuit Elements and Their Analysis 3.1 Passive Circuit Elements Electrical symbols of the fundamental passive elements, resistor, capacitor, and inductor are depicted in Fig. 3.1. Capacitor and inductor are called as energy storage elements and possess memory. However, resistor is memoryless and dissipates power. As state variables, the capacitor has a voltage across its terminals, while the inductor has a current in it. These voltage and current are stated as initial conditions for the capacitor and inductor, respectively. In addition, their current and voltage relationships in the time domain, s domain (complex frequency domain), and frequency domain are given in Table 3.1. It is seen from Table 3.1 that the voltage across the capacitor terminals and the current passing through the inductor are continuous. 3.2 Passive Circuits Passive elements can be divided into two subcategories: grounded and floating passive elements. Two identical grounded passive circuits are demonstrated in Figs. 3.2 and 3.3. A voltage source is applied to the topology given in Fig. 3.2, while a current source is applied to the same configuration in Fig. 3.3 [1, 2]. Input impedance and admittance of the circuit given in Fig. 3.2 are, respectively, computed as follows: Z = Vtest Icircuit ð3:1aÞ © The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024 E. Yuce, S. Minaei, Passive and Active Circuits by Example, 35
- 51. ð Þ ð Þ 36 3 Passive Circuit Elements and Their Analysis Fig. 3.1 Fundamental passive circuit components (a) resistor, (b) capacitor, and (c) inductor R IR VR + _ C IC VC + _ L IL VL + _ (a) (b) (c) Table 3.1 Current and voltage relationships of the fundamental passive circuit components Domain Passive elements Time s Frequency Resistor vR(t) = RiR(t) VR(s) = RIR(s) VR(ω) = RIR(ω) Capacitor iC t = C dvC t ð Þ dt IC(s) = sCVC(s) IC(ω) = jωCVC(ω) Inductor vL t = L diL t ð Þ dt VL(s) = sLIL(s) VL(ω) = jωLIL(ω) Fig. 3.2 A voltage source applied to the grounded passive circuit Passive circuit Vtest + _ Icircuit Fig. 3.3 A current source applied to the grounded passive circuit Passive circuit Vcircuit + _ Itest Y = Icircuit Vtest ð3:1bÞ Input impedance and admittance of the circuit shown in Fig. 3.3 are, respectively, calculated below. Z = Vcircuit Itest ð3:2aÞ Y = Itest Vcircuit ð3:2bÞ The circuit of Fig. 3.3 has the same input impedance and admittance as the topology in Fig. 3.2 possesses. Example 3.1 Find phase and magnitude of the input impedance of the ideal resistor shown in Fig. 3.4.
- 52. ð Þ j j ð Þ 3.2 Passive Circuits 37 Fig. 3.4 An ideal grounded resistor R Vin Iin ZR Fig. 3.5 An ideal grounded capacitor Vin Iin ZC C Solution 3.1 The input impedance of the resistor in the frequency domain is evaluated as ZR ω ð Þ = Vin ω ð Þ Iin ω ð Þ = R ð3:3Þ Input impedance of the resistor given in Eq. (3.3) can be expressed as ZRðωÞ = jZRðωÞjej∠ZRðωÞ ð3:4Þ Here, ∠ZR(ω) is defined as phase, and |ZR(ω)| is defined as magnitude of the input impedance of the resistor. In addition, they are, respectively, computed as ∠ZR ω ð Þ = 0o ð3:5aÞ ZR ω = R 3:5b Example 3.2 Find phase and magnitude of the input impedance of the ideal capacitor depicted in Fig. 3.5. Solution 3.2 The input impedance of the capacitor in the frequency domain is calculated as ZCðωÞ = VinðωÞ IinðωÞ = 1 jωC = - j 1 ωC ð3:6Þ Input impedance of the capacitor given in Eq. (3.6) can be expressed as
- 53. ð Þ j j ð Þ 38 3 Passive Circuit Elements and Their Analysis Fig. 3.6 An ideal grounded inductor Vin L Iin ZL ZCðωÞ = jZCðωÞjej∠ZCðωÞ ð3:7Þ where ∠ZC(ω) is defined as phase and |ZC(ω)| is defined as magnitude of the input impedance of the capacitor. Further, they are, respectively, computed as ∠ZC ω ð Þ = - 90o ð3:8aÞ ZC ω ð Þ j j = 1 ωC ð3:8bÞ Example 3.3 Find phase and magnitude of the input impedance of the ideal inductor exhibited in Fig. 3.6. Solution 3.3 The input impedance of the inductor in the frequency domain is found as ZL ω ð Þ = Vin ω ð Þ Iin ω ð Þ = jωL ð3:9Þ Similarly, input impedance of the inductor given in Eq. (3.9) can be expressed as ZLðωÞ = jZLðωÞjej∠ZLðωÞ ð3:10Þ where ∠ZL(ω) is defined as phase and |ZL(ω)| is defined as magnitude of the input impedance of the inductor. Moreover, they are, respectively, evaluated below. ∠ZL ω ð Þ = 90o ð3:11aÞ ZL ω = ωL 3:11b Phases and magnitudes of impedances of the ideal grounded resistor in Fig. 3.4, the ideal grounded capacitor in Fig. 3.5, and the ideal grounded inductor in Fig. 3.6 are simulated through the SPICE program. In all the simulations, R = 1 kΩ, C = 10 pF, and L = 100 μH are chosen. Additionally, the frequency in all the AC simulations is taken from 1 kHz to 1 GHz. Their AC simulation results are, respectively, shown in Figs. 3.7, 3.8, and 3.9 for the ideal grounded resistor in Fig. 3.4, the ideal grounded capacitor in Fig. 3.5, and the ideal grounded inductor in
- 54. Fig. 3.6, respectively. Time domain simulation results are, respectively, given in Figs. 3.10, 3.11, and 3.12 in which a sinusoidal peak input current signal with peak 50 μA at 1 MHz is separately applied to each of the ideal grounded resistor in Fig. 3.4, the ideal grounded capacitor in Fig. 3.5, and the ideal grounded inductor in Fig. 3.6. 3.2 Passive Circuits 39 Fig. 3.7 Phase and magnitude of the impedance of the resistor exhibited in Fig. 3.4 Fig. 3.8 Phase and magnitude of the impedance of the capacitor depicted in Fig. 3.5
- 55. Random documents with unrelated content Scribd suggests to you:
- 56. Saweiljuhinilla, samalla henkilöllä, jolla on kaatuva ja joka keräilee vanhoja rahoja… Siellä on kestitystäkin… Ja kun siellä ei satu olemaan vaimoani, niin voi… (lyö luunapin leukansa alle). Vaan… tosiaankin… ajan vähyyden tähden älkäämme poiketko aineestamme… Minä puhuin viimeksi tetanuksesta… Muuten… (katsoo kelloa)… jääköön seuraavaan kertaan. (Korjaa liiviään ja astuu mahtavasti pois).
- 57. MATKAN VARRELLA. Kultapilvi yönsä lepäeli Jättivuoren rinnoill' ylevillä… Lermontow. Huoneessa, jota ravintolanpitäjä itse, kasakka Semjon Tshistopljui, sanoo vierashuoneeksi, koska se on määrätty ainoastaan matkustaville, istui suuren maalaamattoman pöydän ääressä kookas, leveäharteinen, neljänkymmenen korvissa oleva mies. Hän istui pää käsinojossa pöytää vasten ja nukkui. Talikynttelin tynkä, joka oli pistetty pumadapurkkiin, valaisi hänen vaaleaa partaansa, jykevän, leveän nenän, ahavan syömät kasvot ja tuuheat, mustat kulmakarvat, jotka laskeutuivat ummistuneiden silmien ylle. Nenä, posket, kulmakarvat — kaikki piirteet ja kukin niistä erikseen olivat karheat ja raskaat kuin vierashuoneen huonekalut, mutta yleensä näyttivät ne verrattain sopusuhtaisilta, jopa kauniillakin. Semmoinenhan se on, kuten sanotaan, venäläisten kasvojen planeetti: kuta jykevämmät ja räikeämmät niiden piirteet ovat, sitä pehmeämmiltä ja suopeammilta ne näyttävät. Pukuna oli miehellä herrastakki, jonkunverran kulunut, mutta raidattu leveällä, uudella
- 58. nauhalla, samettiliivit ja leveät housut, joiden lahkeet olivat suurien saappaiden varsissa. Eräällä penkillä, joita oli pitkin seiniä, nukkui ketunnahkaturkin karvapuolella noin kahdeksan vuoden ikäinen tyttö ruskeassa mekossa ja pitkissä, mustissa sukissa. Tytön kasvot olivat kalpeat, tukka pellavainen, hartiat hoikat, koko ruumis laiha ja vetelä, mutta nenä pisti kasvoista samanlaisena paksuna ja rumana pallukkana kuin miehelläkin. Hän nukkui sikeästi. Vierashuone oli juhla-asussa. Ilmassa oli äsken pestyjen lattioiden haju, nuoralla, joka ulottui huoneen läpi seinästä toiseen, ei nyt riippunut, kuten ennen, riepuja ja nurkassa pöydän yläpuolella paloi pieni lamppu, josta lankesi valoläiskä Pyhän Yrjänän kuvalle. Nurkan kummallakin puolen oli seinillä joukko kömpelöitä rahvaankuvia niin järjestettyinä, että uskonnollisia aiheita esittävät ankaran asteettain muuttuivat maallista elämää esittäviksi. Kynttelin tyngän ja lampun himmeässä valossa muodostelivat kuvat yhtäjaksoisen, mustatäpläisen juovan. Vaan kun kaakeli-uuni, jonka mieli teki laulaa yhteen ääneen pyryn kanssa, vinkuen veti sisäänsä ilmaa ja halot aivan kuin henkiin heräten välähyttelivät kirkkaita leimuja, silloin alkoi pyöreähirsisillä seinillä hyppiä ruskeita pilkkuja ja nukkuvan miehen pään yläpuolella välkähti milloin isä Serafimin, milloin shahi Nassr-Eddinin kuvat. Ulkona myllersi tuisku. Jotain vimmattua, vihaista, mutta syvän onnetonta ja petomaisen raivokasta kiuhui ja ryöppysi ravintolan nurkissa ja tuntui kuin olisi se tahtonut hyökätä sisään. Se jyskytti ovea, kolhi ikkunoita, ruski seinissä ja katolla, toisinaan oli sen äänessä uhmaa, toisinaan se rukoillen vaikeroi, vaan sitte tuokioksi taukosi ja voitonriemuisesti, kavalasti ulvoen syöksähti savutorveen.
- 59. Vaan uunissa leimahtelivat puut ja tuli hyöksähti vihaisena kuin kahlekoira vihollista vastaan, alkoi taistelu ja sitte kuului valitusta, kirkumista ja hurjaa kiljuntaa. Ja kaikessa tässä kuulosti sen ärjyvää tuskaa, tyydyttämätöntä vihaa ja loukkaantunutta voimattomuutta, joka aina oli tottunut voittamaan. Tätä villiä, petomaista leikkiä kuuntelemaan näytti vierashuone iäksi mykistyneen. Vaan jonkun ajan kuluttua kirahti ovi ja huoneeseen astui palveluspoika, jolla oli uusi karttuunipaita päällä. Toista jalkaansa ontuen ja unisilla silmillään muljoillen hän niisti sormillaan kynttelin, lisäsi puita uuniin ja meni pois. Samassa kuului Rogatshista, jonne ravintolasta oli kolmensadan askeleen paikoille, kellon ääni, joka ilmotti puoliyötä. Tuuli ryöpytti kellon ääniä aivan kuin lumihiutaleitakin. Se karkasi niiden kimppuun, pyöritteli ympäri ilmojen lakeuksia, niin että muutamat äänet katkeilivat tai venyivät pitkiksi, lainehtiviksi soinnuiksi, toiset taas kokonaan kuolivat vihurin pauhuun. Eräs ääni soi niin selvästi, että luuli sen tulevan ikkunan alta. Turkilla nukkuva tyttö vavahti ja nosti päätään. Hän katsoi tuokioisen pimeään ikkunaan ja Nassr-Eddiniin, jolla silloin läikkyi uunin punerva hohde ja siirsi sitte katseensa nukkuvaan mieheen. — Isä! — sanoi hän. Mies ei liikahtanut. Tyttö liikautti vihaisesti kulmakarvojaan, painautui pitkälleen ja veti jalkansa koukkuun. Oven takana haukotteli joku pitkään ja kovasti. Kohta sen jälkeen kuului oven narinaa ja epäselviä ääniä. Joku oli tullut sisään ja pudisteli lunta päältään ja kopisteli huopakenkiään. — Mitä? — kysyi veltto naisääni. — Neiti Ilowaiskaja on saapunut, — vastasi bassoääni.
- 60. Taas narahti ovi, josta tunkeusi sisään myöskin tuulen ryöppy. Joku, luultavasti ontuva poika, hypähti vierashuoneen ovelle, rykäisi kunnioittavasti ja tarttui ovilukkoon. — Tänne, matushka-neiti, — sanoi laulava naisääni, — täällä on puhdasta. Ovi aukeni selälleen ja kynnykselle ilmestyi parrakas mies, joka oli kyytimiehen kauhtanassa, suuri matkalaukku harteilla ja koko mies kiireestä kantapäähän lumen pöpperössä. Hänen jälestään astui huoneeseen pieni, melkein kahta vertaa häntä lyhyempi nainen kasvoitta ja käsittä, sillä hän oli niin tarkkaan vaatteilla kääritty ja turottu, että näytti nyytiltä. Kyytimiehestä ja nyytistä levisi kostea haju ja kynttelin liekki alkoi häilyä. — Kaikellaista tyhmyyttä! — virkkoi nyytti vihaisesti. — Mainiosti olisi voinut ajaa edelleen. Ei jäänyt jälelle kuin kaksitoista virstaa ja sekin enimmäkseen metsätietä. Mihin sitä olisi eksynyt? — Vaikkei olisi eksytty, mutta kun eivät hevoset ota kulkeakseen, — vastasi kyytimies, — Enhän minä Herra nähköön tahallani! — Mihin ihmeelle lie tultukaan. Hiljaa… täällä taidetaan nukkua. Mene pois. Kyytimies laski matkalaukun lattialle, jolloin hänen harteiltaan luiskahti lumilepeitä, sihautti nenäänsä ja läksi. Sitte näki tyttö, kuinka nyytin keskestä pisti esiin kaksi kättä, jotka alkoivat purkaa saalien, huivien ja vöiden paksua kerrosta. Ensin kirposi lattialle suuri saali, sitte paslikka, sen jälkeen valkea villahuivi. Kun pää oli
- 61. vapautunut kääreistä ja nainen oli riisunut matkaturkin, tuli hän puolta hoikemmaksi. Nyt oli vielä päällä pitkä, harmaa nuttu, jossa oli suuret napit ja jonka taskut olivat pullollaan. Yhdestä taskusta hän veti jonkun paperikäärön, toisesta nipun suuria, raskaita avaimia, jotka hän pani niin varomattomasti pöydälle, että nukkuva mies liikahti ja avasi silmänsä. Hetkisen mies katsoi tylsästi ympärilleen aivan kuin käsittämättä missä hän oli, sitte puisteli päätään ja siirtyi istumaan nurkkaan. Nainen riisui palton, josta hän kepeni taas puolta hoikemmaksi, veti jaloistaan karvakengät ja istuutui. Nyt hän ei ollut enää nyytin näköinen. Hän oli pieni, laiha, 20 paikoilla oleva tummatukkainen nainen, niin hoikka ja soleva kuin mato, kasvot valkeat, pitkähköt ja tukka aaltoileva. Hänen nenänsä oli pitkä ja terävä, leuka myöskin pitkä ja terävä, silmäripset pitkät ja tämän yleisen terävyyden tähden tuntuivat hänen kasvonsa pistäviltä. Mustassa puvussaan, jonka kaulantiehys ja hihat olivat täynnä pitsejä, terävine kyynäspäineen ja ruusunpunaisine sormineen hän muistutti keskiaikaisten englantilaisten naisten muotokuvia. Ja vakava, miettivä kasvojen sävy lisäsi vielä enemmän tuota yhtäläisyyttä. Nainen silmäili huonetta, vilkasi syrjäkariin mieheen ja tyttöön ja olkapäitään kohauttaen istuutui ikkunan ääreen. Tummat ikkunat vapisivat kostean länsituulen puhalluksesta. Suuria lumihöytäleitä tuiskusi valkealle välähtäen ruutuja vasten, josta ne tuuli karisti kuitenkin pois. Raivokas myrskyn soitto yltyi yltymistään… Pitkän äänettömyyden jälkeen alkoi tyttö mutista ja sanoi vihaisesti: — Herra Jumala, miten olen onneton! Kaikista onnettomin!
- 62. Mies nousi ylös ja varovin askelin, jotka eivät ollenkaan sopineet hänen suureen kokoonsa ja tuuheaan partaansa, sipsutteli tytön luo. — Etkö nuku, tyttöseni? — kysyi hän anteeksipyytävällä äänellä. — Mitä tahdot? — En mitään! Olkapäätäni kivistää. Sinä, isä, et ole hyvä ihminen ja Jumala rankasee sinua! Saat nähdä, että rankasee! — Kultaseni, en ole tiennyt, että olkapäätäsi kivistää, mutta minkäs minä sille voin, lapseni, — sanoi mies tavalla, jolla juopuneet miehet pyytävät anteeksi ankarilta vaimoiltaan. — Sitä pakottaa vain matkustamisen tähden. Huomenna pääsemme perille, lepäämme ja sitte se heittää. — Huomenna, huomenna… Sinä sanot minulle joka päivä: huomenna. Meidän on kulettava vielä kaksikymmentä päivää. — Totta totisesti, lapseni, me pääsemme huomenna perille. Minä en valehtele milloinkaan enkä ole syyssä, jos myrsky meidät yllätti. — En jaksa enää kärsiä, en jaksa, en! Tyttö potkasi rutosti toisella jalallaan ja parahti katkerasti itkemään. Hänen isänsä viittasi kädellään ja katsahti hämillään naiseen. Tämä kohautti olkapäitään ja meni veltosti tytön luo. — Kuulehan, kultaseni, — sanoi hän, — älä viitsi itkeä. Eihän se ole hauska, jos olkapäätä kivistää, vaan minkäs sille tekee. — Nähkääs, hyvä neiti, — sanoi mies nopeasti aivan kuin itseään puolustellen, — emme ole nukkuneet kahteen yöhön ja olemme
- 63. ajaneet kurjilla ajoneuvoilla. Ei siis ole ihme, jos häntä kivistää. Ja sitte sattui meille vielä päihtynyt kyytimies, matkalaukku varastettiin meiltä, koko ajan vinha ryöppy… Minäkin rupesin voimaan pahoin nukkumisesta istuvassa asennossa. Jumaliste, Sasha, sinuttakin on tässä paha elämä, vaan sinä vielä itket. Mies pudisti päätään, viittasi kädellään ja istuutui. — Älä tosiaankaan itke enää, — sanoi neiti, — pikku lapsethan vain itkevät. Jos sinä, kultaseni, olet sairas, niin pitää riisuutua ja nukkua. Ruvetaanpas riisumaan. Kun tyttö oli riisuttu ja rauhottunut, syntyi taas äänettömyys. Neiti istui ikkunan edessä ja katseli neuvottomana huonetta, pyhimyksenkuvaa ja uunia. Hänestä näytti kummalliselta sekä huone että paksunenäinen tyttö, joka oli lyhyessä pojan paidassa ja tytön isä. Tämä omituinen mies istui nurkassa, silmäili hämillään kuin päihtynyt ympärilleen ja hieroskeli kämmenperällään kasvojaan. Hän oli vaiti, mulkoili silmillään ja hänen muodostaan oli vaikea päättää, että hän hevin alkaisi puhua. Mutta hän alkoi kuitenkin ensiksi puhelun. Polviaan sivellen ja rykäistyään hän sanoi naurahtaen: — Kummallista, tosiaankin! Mahdoton on uskoa omia silmiäänkään: senkö lempoa varten on kohtalo meidät ajanut tähän inhottavaan ravintolaan? Mitä se on sillä tahtonut ilmaista? Elämä tekee toisinaan semmoisia salto mortale, ettei voi muuta kuin neuvottomana hölmistellä. Matkustatteko te, neiti, kauas? — En, — vastasi neiti. — Minä matkustan meidän maatilallemme, jonne täältä tulee kaksitoista virstaa, meidän karjakartanoomme isäni ja veljeni luo. Olen itse Ilowaiskaja ja karjakartanoakin nimitetään Ilowaiskiksi. Kyllä on kauhea sää!
- 64. — Pahempaa ei voi olla. Ontuva poika tuli huoneeseen ja pisti purkkiin uuden kynttelin, — Paneppas, poika, teekeittiö tulelle, — virkkoi mies hänelle. — Kukas tähän aikaan teetä juo? — sanoi poika. — Synti on juoda ennen aamujumalanpalvelusta. — Olkoon vain, poika, et sinä tulisessa pätsissä korvennu, vaan me… Teetä juodessa uudet tuttavukset rupesivat puhelemaan. Ilowaiskaja sai tietää, että hänen puhetoverinsa nimi oli Grigori Mihailowitsh Liharew, että hän on sen saman Liharewin veli, joka on erään naapuri ujesdin päällikkönä ja että hän itsekin oli ennen ollut tilanomistaja, vaan joutunut aikoinaan rappiolle. Liharew taas sai tietää, että Ilowaiskajaa kutsuttiin Maria Mihailownaksi, että hänen isällään oli suuremmoinen maatila, vaan että isännyyttä täytyy hänen pitää yksinään, koska isä ja veli katsovat elämää sormiensa välitse ja pitävät liian paljon hevosista. — Isä ja veli ovat karjakartanossa ihan yksinään, — sanoi Ilowaiskaja sormiaan vilkuttaen (keskustellessa hänellä oli tapana vilkuttaa sormiaan kasvojensa edessä ja lipaista jokaisen lauseen perästä terävällä kielellään huuliaan). Miehet ovat huoletonta väkeä eivätkä itsensä tähden pane rikkaa ristiin. Saapas nähdä, ken heille valmistaa paaston päättäjäisaterian! Äitiä meillä ei ole ja palvelijat ovat semmoisia, etteivät minutta saa siivolleen liinaa pöydälle. Voi kuvitella heidän asemansa! He jäävät ilman ateriaa ja minun pitää istua täällä koko yö.
- 65. Ilowaiskaja kohautti olkapäitään, ryyppäsi teetä ja jatkoi: — On juhlia, joilla on oma tuoksunsa. Pääsiäisenä, helluntaina ja jouluna on ilmassa jokin erityinen tuoksu. Suruttomatkin ihmiset rakastavat noita juhlia. Minun veljeni esimerkiksi selittää, ettei Jumalaa ole, vaan pääsiäisenä ehättää ensimäisenä aamukirkkoon. Liharew loi katseensa Ilowaiskajaan ja naurahti. — Sanotaan, ettei Jumalaa ole, — jatkoi Ilowaiskaja myöskin naurahtaen, — mutta sanokaas minulle, miksi kaikki kuuluisat kirjailijat, oppineet ja yleensä viisaat ihmiset kääntyvät elämänsä lopulla uskovaisiksi? — Ken ei nuorena ole osannut uskoa, se ei usko vanhanakaan, olipa hän vaikka itse viisauden isä. Rykimisestä päättäen oli Liharewilla bassoääni, mutta luultavasti peläten puhua kovasti tai liiallisesta kainoudesta hän puhui tenoriäänellä. Oltuaan vähän aikaa ääneti hän huokasi ja sanoi: — Minä käsitän asian niin, että usko on hengen kyky. Se on sama kuin lahjakkuus: sen täytyy olla synnynnäistä. Mikäli voin päättää itsestäni, niistä ihmisistä, joita elämässäni olen tuntenut ja kaikesta siitä, mitä on ympärilläni tapahtunut, on tuo kyky ominaista venäläisille mitä suurimmassa määrässä. Venäläinen elämä muodostaa koko joukon uskoja ja viehtymyksiä, vaan uskon puutetta ja kieltämistä se ei ole edes haistanutkaan, jos tietää tahdotte. Jos venäläinen ei usko Jumalaan, niin merkitsee se, että hän uskoo johonkuhun muuhun.
- 66. Liharew otti Ilowaiskajan tarjooman teekupin, härppäsi siitä yhdellä kertaa puolet ja jatkoi: — Kerron teille itsestäni. Minun sieluuni on luonto pannut tavattoman kyvyn voida uskoa. Puolet elämääni olen kulkenut ateistien ja nihilistien kirjoissa, mutta elämässäni ei ole ollut ainoatakaan hetkeä, jolloin en olisi uskonut. Kaikki lahjakkuus paljastuu tavallisesti jo lapsuudessa, niinpä minunkin kykyni alkoi tuntua jo silloin, kun pöydän alla pienenä ryömiskelin. Minun äitini piti siitä, että lapset söivät paljon, ja kun hän syötti minua, hoppusi hän: Syö, tärkeintä elämässä on soppa! Minä uskoin, söin soppaa kymmenen kertaa päivässä ja söin kuin haikala, että viimeiseltä inhotti ja pyörrytti. Lapsenhoitaja kertoi satuja, ja minä uskoin haltijoihin, hiisiin ja kaikkeen muuhun roskaan. Toisinaan varastin isältä myrkkyä, ripottelin sitä namusille, joita kuletin ullakolle, että muka haltijat olisivat kuolleet ja hävinneet maan päältä. Ja kun opin lukemaan ja ymmärtämään luettua, silloin se vasta rasavillin elämä alkoi! Karkailin Ameriikkaan, elostelin rosvona, pyrin luostariin ja otin pieniä poikia piinaamaan minua kuten Kristusta. Ja huomatkaa, että uskoni oli aina virkeä ja toimelias. Kun karkailin Ameriikkaan, houkuttelin aina mukaani jonkun samallaisen tyhmyrin kuin itsekin olin, ja minä olin iloinen, kun vilussa värjöttelin kaupungin tulliportin takana ja sain selkääni. Milloin elostelin rosvona, oli minulla kotiin, tullessa ehdottomasti naama verillä. Lapsuus, kuten huomaatte, oli mitä levottomin! Kun minut sitte pantiin kouluun ja siellä alkoi suuri totuuksien tulva, kuten esimerkiksi, että maa kiertää aurinkoa tai ettei valkoinen väri ole valkeaa, vaan on muodostunut seitsemästä eri värisiä, meni pääni pyörälle. Kaikki kieppui päässäni yhtenä mylläkkänä: Josua, joka oli pysähdyttänyt auringon kulustaan ja äitini, joka profeetta Eliaan nimessä kielsi ukkosen johdon ja isäni, joka ei välittänyt niistä totuuksista, joita minä olin oppinut.
- 67. Terävyyteni innostutti minua. Minä kuleskelin kuin raivoisa vihuri ympäri taloa ja talleissa ja saarnailin totuuksiani, kauhistuin muiden tietämättömyyttä ja leimusin vihasta kaikkia niitä kohtaan, jotka valkeassa värissä näkivät ainoastaan valkeaa… Tyhjänpäiväistähän se muuten oli ja poikamaista. Vakava ja niin sanoakseni miehevä innostus alkoi minussa yliopistossa. Oletteko te, neiti suorittaneet jonkun oppikurssin? — Olen. Nowotsherkaskissa, Donin instituutissa. — Varsinaisilla kursseilla ette ole ollut? Siis te ette tiedä, mitä ovat tieteet. Kaikilla tieteillä, niin paljon kuin niitä tässä maailmassa on, on yksi ja sama passi, jota ilman ne pitävät itseään mahdottomina: pyrkimys totuuteen! Jokaisella niistä, vieläpä jollakin farmakognosialla on päämääränä totuus, vaan ei elämän hyöty eikä mukavuudet. Merkillistä! Kun te alatte tutustua johonkuhun tieteeseen, niin hämmästyttää teitä ennen kaikkia sen alku. Minä sanon teille, ettei ole mitään sen viehättävämpää eikä suuremmoisempaa eikä mikään huumaa ja tempaa ihmisen mieltä niin voimakkaasti kuin jonkun tieteen alku. Jo viidestä ensi luennosta saa mitä kirkkaimpien toiveiden siivet ja tuntee olevansa totuuden herra. Ja minä antauduin tieteille rajattomasti ja intohimoisesti kuin lemmitylle naiselle. Minä olin niiden orja enkä niiden ulkopuolella tahtonut tietää mistään muusta auringosta. Yöt päivät, selkää suoristamatta pänttäilin päähäni, itkin ja tuskailin ja kirosin kirjoja, kun näin ihmisten kytkevän tieteitä itsekkäiden etujen palvelukseen. Mutta viehätyksen vallassa en pysynyt kauvan. Seikka on nähkääs semmoinen, että jokaisella tieteellä on alkunsa mutta ei ollenkaan loppua enemmän kuin murtolukujen jatkuvassa sarjassa. Eläintiede tuntee 35,000 hyönteislajia, kemia 60 yksiaineista alkuainetta. Jos näiden numeroiden perään ilmestyy aikaa myöten kymmeniä nollia,
- 68. pysyy eläintiede ja kemia yhtä kaukana lopustaan kuin nytkin ja aikamme tieteellinen työ tulee olemaan kokonaan numerojen kasvattamista. Tämän konstin minä keksin silloin, kun tapasin 35,001:nen lajin tyydytystä tuntematta. Pettymystä en kuitenkaan ole ehtinyt tuntea, koska minut kohta valtasi uusi usko. Lyöttäydyin nihilistiksi, levittelin sen julistuksia ja otin osaa sen pimeihin tekoihin ja vehkeisiin. Tunkeuduin rahvaan syviin kerroksiin, palvelin tehtaissa, olin voitelijan ammatissa ja lotjanvetäjänä. Mutta kun sitte pitkin Venäjää kuleksien sain hajua Venäjän kansan elämästä, tuli minusta tuon elämän lämmin ihailija. Rakastin Venäjän kansaa aina kärsimyksiin asti, rakastin ja uskoin sen Jumalaan, kieleen, luovaan voimaan. Ja niin edespäin, ja niin edespäin… Olen ollut aikani slavofili, ukrainafili, arkeologi, kansan tuotannon parhaiden esineiden kokoilijana… olen ihannellut aatteita, ihmisiä, tapauksia, paikkoja… viehätystä, viehätystä loppumattomiin! Viisi vuotta takaperin minä en tunnustanut mitään omistusoikeutta ja minun viimeisenä uskonani oli se, ettei pahaa pidä vastustaa. Sasha huokasi katkonaisesti ja kääntelihe. Liharew meni hänen luokseen. — Lapseni, etkö tahdo teetä? — kysyi hän hellästi. — Juo itse! — vastasi tyttö äreästi. Lihavew joutui hämilleen ja palasi nolona paikalleen. — Teillä näkyy olleen hauska elo, — virkkoi Ilowaiskaja. — On kyllä muistelemista. — Niin, hauskaltahan se tuntunee, kun istuu teekupin ääressä hyvän puhetoverin kanssa ja loruaa, vaan kysykääpäs, minkä minulle
- 69. on se hauskuus maksanut. Kuinka paljo olen saanut maksaa elämäni vaihtelevaisuudesta? Minä, neitiseni, en ole uskonut, kuten uskoo saksalainen filosofian tohtori enkä ole korven syvyydessä elämääni viettänyt, vaan jokainen uusi uskoni on minua vääntänyt ja muokannut kuin vemmelpuuta ja repinyt kappaleiksi ruumiini. Päättäkää itse. Olin yhtä rikas kuin veljeni, vaan nyt olen kerjäläinen. Viehätysten huumeessa menetin sekä oman että vaimoni omaisuuden ja paljo vieraita varoja. Nyt olen 42 ikäinen, vanhuuden kynnyksellä, vaan koditon olen kuin koira, joka on yöllä häipynyt isäntänsä kuorman perästä. Koko elämäni aikana en ole tiennyt, mitä lepo on. Henkeni on lakkaamatta ahdistusta nähnyt, jopa toivojakin potenut… Olen saanut kuihtua säännöttömästä, raskaasta työstä, nähnyt puutetta, istunut viisi kertaa vankilassa, piileksinyt Arhankelin ja Tobolskin lääneissä… Kirvelee, kun muistelee! Olen elänyt, mutta huumeen kourissa en ole nähnyt itse elämän kulkua. Uskotteko, etten muista ainoatakaan kevättä, en ole huomannut, että vaimo minua rakasti, että minulle syntyi lapsia? Ja mitä vielä sanoisinkaan teille? Kaikille niille, jotka minua ovat rakastaneet, olen minä ollut onnettomuus… Äitini käy jo 15 vuotta surupuvussa minun tähteni ja minun ylpeiden veljieni, jotka minun tähteni ovat saaneet kärsiä katkeria tuskia, saaneet punastua, raataa olkansa takaa, hukata rahaa, rupesivat viimeisellä vihaamaan minua kuin myrkkyä. Liharew nousi ylös, mutta painautui jälleen istumaan. — Jos minä olisin ainoastaan onneton, niin Jumalaa korkeasti ylistäisin, — jatkoi hän Ilowaiskajaan katsomatta. — Minun oma onnettomuuteni haipuu kaukaisuuteen, kun muistelen, miten usein olen viehätysteni vaiheissa ollut järjetön, kaukana totuudesta, väärintekevä, julma, vaarallinen. Miten monesti olenkaan sydämeni syvyydestä vihannut ja halveksinut niitä, joita olisi pitänyt rakastaa ja
- 70. — päinvastoin. Tuhansia kertoja olen nahkaani vaihtanut. Tänään minä uskon, polvistun maahan, vaan huomenna pelkurina karkaan äskeisten jumalieni ja ystävieni luota. Jumala yksin on nähnyt, miten usein olen viehtymiseni tähden häpeästä itkenyt ja päänalustani järsinyt. En kertaakaan ole elämässäni tahallani valehdellut enkä pahaa tehnyt, mutta ei ole omatuntoni puhdas! Neitiseni, en saata edes kehua sillä, ettei omallatunnollani olisi yhdenkään kuolemaa, sillä omien silmienihän nähden vaimoni heitti henkensä, jonka olin kuihduttanut huolettomalla hurjuudellani. Niin, vaimoni! Kuulkaa, jokapäiväisessä elämässä on kaksi käsitystä naisesta tavallisinta. Yhdet mittailevat naisten pääkalloja todistaakseen, että nainen on alempana kuin mies, etsivät hänen puutteitaan herjatakseen häntä, voidakseen olla jotain hänen silmissään ja puolustaakseen eläimellisyyttään. Toiset taas koettavat voimiensa takaa nostaa naisen itsensä tasalle eli toisin sanoen pakottaa hänet pänttäämään päähänsä nuo 35,000 lajia, kirjottamaan ja lukemaan samoja tyhmyyksiä, joita he itsekin kirjottavat ja lukevat. Liharewin kasvoille nousi tumma varjo. — Minä sanon teille, että nainen on aina ollut ja tulee olemaan miehen orjana, — jatkoi hän bassoäänellä ja nyrkkiä pöytään iskien. — Hän on herkkä ja pehmeä kuin vaha, josta mies on muovaillut, mitä ikinä on mielensä tehnyt. Herra Jumala tosiaankin! Miten kurjan kurjasta miehen päähänpistosta nainen on kerinnyt hiuksensa, hylännyt perheensä, kuihtunut ja kuollut vieraalla maalla… Niistä aatteista, joiden tähden hän on uhrannut itsensä, ei ole yhtään naisellista. Rajaton, uskollinen, altis orja! Pääkalloja en ole mitannut, mutta minä puhun raskaasta, katkerasta kokemuksesta. Ylväimmät, itsenäisimmät naiset, joille minun on onnistunut kertoa huumaukseni, ovat kulkeneet perässäni mitään aprikoimatta ja kyselemättä ja tehden kaikki, mitä olen tahtonut. Eräästä nunnasta tein nihilistin, joka, kuten jälestäpäin sain tietää,
- 71. ampui santarmin. Minun vaimoni ei jättänyt minua mieroa vaeltaessani hetkeksikään ja tuuliviirin tavoin kääntyi hänen uskonsa sitä mukaa, kuin minä mistäkin viehätyin. Liharew hypähti pystyyn ja alkoi astua huoneessa. — Jaloa, ylevää orjuutta! — sanoi hän käsiään läiskyttäen. — Siinä juuri onkin naisen elämän korkea ajatus! Kaikenkarvaisesta hassutuksesta, jota on kertynyt minun päähäni koko siltä ajalla, jolloin olen ollut tekemisissä naisten kanssa, on minun muistooni jäänyt aivan kuin siivilään — ei suinkaan aatteita, ei järkeviä sanoja eikä filosofiaa, vaan tuo ääretön alistuminen kohtaloon, tuo ääretön laupeus, kaikkianteeksiantavaisuus… Liharew puristeli nyrkkiään, tuijotti yhteen kohtaan ja kummallisen intohimoisesti ponnistaen, aivan kuin jokaista sanaa imeskellen jatkoi hän yhteenpurislettujen hampaiden välistä. — Tuo… tuo ylevä vaivojen kestäminen, uskollisuus hautaan saakka, sydämen runollisuus… Elämänajatus on juuri tuossa marttyyrikuolemassa, josta ei valitus kuulu, kyynelissä, jotka pehmittävät kiven, rajattomassa, kaikkianteeksiantavassa rakkaudessa, joka luo elämän kaaokseen valoa ja lämpöä… Ilowaiskaja nousi hiljaa ylös, otti askeleen Liharewia kohti ja kiinnitti katseensa hänen kasvoihinsa. Kyynelistä, jotka kimaltelivat miehen silmäripsissä, väräjävästä, intohimoisesta äänestä ja kasvojen punasta käsitti hän, etteivät naiset olleet Liharewin puheen satunnaisena ja tyhjänä aiheena. Ne olivat hänen uuden viehätyksensä tai, kuten hän itse sanoi, uuden uskonsa esineenä. Ensi kerran elämässään näki Ilowaiskaja edessään innostuneen, tulisesti uskovan miehen. Kädenliikkeineen ja säihkyvine silmineen
- 72. hän tuntui Ilowaiskajasta mielettömältä, raivokkaalta, mutta hänen silmiensä tulesta, puheesta ja kookkaan ruumiin liikkeistä hehkui niin voimakas kauneus, että Ilowaiskaja huomaamattaan seisoi hänen edessään aivan kuin maan alle vajonneena ja riemuavin silmin katsoi hänen kasvoihinsa. — Ja äitini sitte! — puhui hän ojentaen käsiään Ilowaiskajaa kohti rukoilevin kasvoin. — Olen myrkyttänyt hänen elämänsä, tahrinut hänen käsityksensä mukaan Liharewin suvun maineen ja tuottanut hänelle niin paljon kipua ja tehnyt pahaa, että vain pahin vihollinen voi tehdä niin ja mikä on ollut seuraus? Veljet antavat hänelle muutamia ropoja hartaustoimituksia varten, vaan äiti kieltäytyy tyydyttämästä uskonnollisia tunteitaan, säästää nuo rovot ja lähettää salaa tuhlaajapojalleen Grigorille! Yksistään tämä pikku seikka kasvattaa ja jalostaa henkeä paljoa voimakkaammin kuin mitkään teoriat ja 35,000 lajia. Voisin kertoa teille tuhansia esimerkkiä. Otetaan vaikka teidät! Ulkona on yö ja myrsky, vaan te matkustatte isänne ja veljenne luo lämmittääksenne heitä suurena juhlana hellyydellänne, vaikka he eivät mahda teitä muistellakaan, ovat unohtaneet teidät. Mutta rakastukaahan vain kovasti johonkuhun ihmiseen, niin saattepa nähdä, että menette hänen jälestään vaikka pohjoisnavalle. Vai mitä? — Niin, jos… kerran rakastan. — Siinäpä se! — riemahti Liharew. — Jumaliste, miten olen iloinen, että tutustuin teihin! Kohtaloni on niin hyvä, että se aina antaa minun tavata mainioita ihmisiä. Ei päivää, ettei semmoista tuttavuutta, että vaikka henkensä antaisi sen edestä. Tässä maailmassa on paljoa enemmän hyviä ihmisiä kuin pahoja. Teidän kanssanne olemme tässä avomielisesti ja syviä säikeitä myöten
- 73. pakisseet, aivan kuin oltaisi satavuotisia tuttavuksia. Toisinaan sattuu niin, että kymmenen vuotta saa murjottaa ja olla ääneti, salata kaikki vaimoltaan ja ystäviltään, vaan kun toisinaan tapaa rautatievaunussa koulupojan, niin avaa hänelle koko sydämensä. Teitä on minulla kunnia nähdä ensi kertaa, vaan olen tehnyt teille niin syvän katumuksen, etten koskaan ole semmoista tehnyt. Ja miksi? Käsiään hieroskellen ja hymyillen Liharew käveli hieman aikaa huoneessa ja alkoi sitte taas puhua naisista. Tällä välin oli alettu soittaa aamukirkkoon. — Hyvä Jumala! — itki Sasha. — Rupattelee eikä anna nukkua! — Tosiaankin, — häpsähti Liharew, — anna anteeksi, kultaseni. Nuku, nuku… Paitsi häntä on minulla vielä kaksi poikaa, — kuiskasi hän. — Ne ovat setänsä luona, vaan tämä ei tule hetkeäkään toimeen isättä. Kituu, nurkuu ja niin on minuun takertunut kuin kärpänen hunajaan. Olen tässä, neitiseni, rupatellut tosiaankin liian kauan. Ei haittaisi, jos tekin levähtäisitte. Sallitteko, niin laitan teille vuoteen? Lupaa odottamatta hän otti märän turkin, puistaisi sitä ja levitti penkille nurin, kokoili hujanhajan heitetyt huivit ja saalit, pani päänaluseksi torvelle käärityn palton ja kaiken tämän hän teki ääneti, kasvoilla orjamaisen harras innostus, aivan kuin ei olisi ollenkaan hamuillut naisen vaateriepuja, vaan kokoillut pyhän astian pirstaleita. Koko hänen vartalossaan kuvastui syyllisyyttä ja hätääntynyttä arkuutta, aivan kuin hän olisi häpeillyt hennon olennon läsnäollessa vartensa väkevyyttä ja kookkuutta. Kun Ilowaiskaja oli asettunut levolle sammutti Liharew kynttelin ja istuutui jakkaralle uunin viereen.
- 74. — Niin, niin, neitiseni, — kuiskaili hän polttaen paksua paperossia ja puhaltaen savun uuniin. — Luonto on istuttanut venäläiseen uskon suuren kyvyn, tutkiskelevan järjen ja ajattelemisen lahjan, mutta kaikki tämä murskautuu pirstoiksi huolettomuuden, laiskuuden ja haaveilevan kevytmielisyyden kalliota vasten. Niin, niin… Ilowaiskaja katseli kummissaan pimeään eikä nähnyt muuta kuin punaisen pilkun pyhimyskuvalla ja kekäleiden leimujen heijastuksen Liharewin kasvoilla. Pimeä, kellojen soitto, myrskyn ulvonta, ontuva poika, valitteleva Sasha, onneton Liharew ja hänen tarinansa — kaikki tämä sekottui ja sakoi yhdeksi valtavaksi vaikutukseksi ja avara maailma tuntui hänestä arvoitukselta, se humisi ihmeiden paljoutta ja lumoavien voimien huumaa. Kaikki äsken kuultu kaikui yhä vielä hänen korvissaan ja inehmon elämä kuvastui hänelle ihanana, runollisena taruna, jolla ei loppua ollut. Ja valtava vaikutus kasvoi kasvamistaan, kietoi hulpeisiinsa tietoisuuden ja muuttui makeaksi uneksi. Ilowaiskaja nukkui, mutta näki pyhimyskuvalampun ja paksun nenän, jolla kekäleiden kerkeä valo punaisena hyppi. Hän kuuli itkua. — Rakas isä, — rukoili lapsen ääni, — mennään takasin sedän luo. Siellä on joulupuu! Siellä on Stepa ja Kolja! — Kultaseni, minkä minä mahdan? — vakuutteli miehen hiljainen basso. — Ymmärrä minua, ymmärrä! Ja lapsen itkuun yhtyi miehen itku. Tämä inhimillisen surun haikea valitus soi hänen korvissaan niin suloisena, inhimillisenä säveleenä, että hänkin herposi sen nauttimisesta ja herahti itkuun. Sitte hän
- 75. kuuli, miten kookas musta varjo hiipi hänen luokseen, nosti lattialle pudonneen saalin ja kääri sen hänen jaloilleen. Ilowaiskaja heräsi kummalliseen kiljuntaan. Hän hypähti ylös ja katseli ihmetellen ympärilleen. Ikkunaan, josta toinen puoli oli lumen peitossa, kurkisti sarastuksen haaleva sini. Huoneessa oli harmaa hämärikkö, josta selvään erotti uunin, nukkuvan tytön ja Nassr- Eddinin. Uuni ja kyntteli olivat sammuneet. Avoimesta ovesta näkyi suuri ravintolahuone tiskineen ja pöytineen. Eräs mies, jolla oli tylsät mustalaiskasvot, seisoi ällistynein silmin keskellä huonetta lumesta sulaneessa vesilätäkössä ja piteli seivästä, jonka nenässä oli suuri, punainen tähti. Hänen ympärillään oli joukko pieniä poikia, jotka seisoivat yltäalta lumessa ja liikkumattomina kuin kuvapatsaat. Tähden valo, joka heijasti punaisen paperin läpi, punersi heidän märkiä kasvojaan. Poikajoukko kirkui kuka miten taisi ja kirkunasta ymmärsi Ilowaiskaja vain yhden kupletin: Hei sinä pikkunen poikanen, Otappas veitsesi hienoinen, Surmataan juutalainen, Se ilkeä muukalainen… Tiskin luona seisoi Liharew, katsoi ihastuksissaan laulajiin ja löi jalallaan tahtia. Huomattuaan Ilowaiskajan hän hymyili kasvojensa täydeltä ja meni hänen luokseen. Ilowaiskaja hymyili myöskin. — Hauskaa joulua! — sanoi Liharew. — Näin, että nukuitte hyvin. Ilowaiskaja katsoi häneen ääneti ja hymyili yhä. Yöllisen keskustelun jälkeen ei Liharew enää näyttänytkään hänestä kookkaalta eikä leveäharteiselta, vaan pieneltä, samaan
- 76. tapaan, kuten meistä tuntuu pieneltä jättiläislaiva, jonka on sanottu kulkeneen valtameren poikki. — No, nyt minun täytyy lähteä, — sanoi hän. — Pitää pukeutua. Sanokaa, mihin te nyt olette menossa? — Minäkö? Klinushkan asemalle sieltä Sergijewoon ja Sergijewosta 40 virstaa hevosella erään tolvanan, kenraali Shashkowskin kivihiilikaivoksille. Veljeni ovat hankkineet siellä minulle työnjohtajan paikan. Rupean kivihiilen kaivajaksi. — Minä tunnen ne kaivokset. Shashkowski on minun setäni. Mutta… miksi te sinne menette? — kysyi Ilowaiskaja ihmetellen Liharewiin katsoen. — Työnjohtajaksi, kaivostöitä johtamaan. — Käsittämätöntä! — sanoi Ilowaiskaja. — Te menette kivihiilikaivoksille. Mutta siellä on autioita aroja, puute ihmisistä ja semmoinen ikävä, ettette viihdy päivääkään. Hiili on mitä kurjinta, sitä ei osta kukaan ja setäni on petkuttaja, itsevaltias tyranni. Ette saa palkkaannekaan! — Sama se, virkkoi Liharew välinpitämättömästi, — hyvä, kun pääsee edes kaivoksille. Ilowaiskaja kohautti olkapäitään ja alkoi kävellä kiihkeästi edestakaisin. — Käsittämätöntä, käsittämätöntä! — puheli hän vilkutellen sormiaan kasvojensa edessä. — Mahdotonta ja… ja järjetöntä! Ajatelkaahan, että se on… se on pahempi maanpakoa, se on elävänä hautaamista. Ah, hyvä Jumala, — sanoi hän tulisesti ja astui
- 77. Liharewin eteen. Hänen ylähuulensa värisi ja terävät kasvonsa kalpenivat. — Ajatelkaa tosiaankin autiota aroa ja yksinäisyyttä. Siellä ei ole, kenen kanssa sanan vaihtaisi ja teitä… viehättävät naiset. Hiilikaivos ja naiset! Ilowaiskaja häpesi samassa tulisuuttaan, kääntyi selin Liharewiin ja meni ikkunan ääreen. — Ei, ei te ette saa mennä sinne! — sanoi hän ikkunaruutua sormellaan nopeasti viiltäen. Hän tunsi ei ainoastaan sydämessään, vaan selässäänkin, että hänen takanaan seisoo äärettömän onneton, mennyt, hylätty mies, vaan tämä, aivan kuin tunnustamatta onnettomuuttaan ja aivan kuin yöllä ei olisi itkenytkään hän, katseli häneen pehmeästi hymyillen. Itkisi edes vielä nytkin! Ilowaiskaja asteli mielenliikutuksen vallassa muutaman kerran huoneen yli, sitte pysähtyi nurkkaan ja mietti. Liharew puhui jotain, mutta hän ei kuunnellut häntä. Käännyttyään selin Liharewiin hän otti kukkarostaan 25 ruplan setelin, käänteli sitä kauan sormissaan, vaan vilkaistuaan Liharewiin punastui ja pisti setelin taskuunsa. Oven takaa kuului kyytimiehen ääni. Ilowaiskaja rupesi pukeutumaan ääneti, tuikein, ajattelevin kasvoin. Liharew auttoi häntä iloisesti rupatellen, mutta joka sana laskeutui raskaana taakkana Ilowaiskajan sydämelle. Ei ole ilo kuulla, kun onneton tai kuoleva koettaa kujeilla. Kun elävän ihmisen muuttaminen muodottomaksi nyytiksi oli päättynyt, loi Ilowaiskaja viimeisen silmäyksen vierashuoneeseen, seisoi tuokioisen ääneti ja läksi ääneti ulos. Liharew meni saattamaan.
- 78. Vaan ulkona talven vimma yhä riehui, Herra ties miksi ja mitä varten. Kokonaisia lumipilviä tupruili ilmassa aivan kuin niillä ei olisi ollut sijaa, mihin asettua. Hevoset, reki, puut ja pylvääseen köytetty härkä — kaikki oli valkeaa ja näytti pehmeältä, villavalta. — Suokoon Jumala teille… — sopersi Liharew auttaen Ilowaiskajaa rekeen. — Älkää pitäkö vihaa… Ilowaiskaja oli vaiti. Kun reki läksi liikkeelle ja kiersi erästä suurta nietosta, kääntyi hän katsomaan Liharewiin aivan kuin olisi halunnut jotain sanoa. Liharew juoksi hänen jälestään, mutta Ilowaiskaja ei virkkanut sanaakaan, katsahti vain häneen silmäripsiensä alta, joihin oli tarttunut lumihiuteita… Osasiko Ziharewin herkkä sielu tosiaankin lukea tuon katseen merkityksen tai ehkä mielikuvitus petti hänet, mutta hänestä alkoi äkkiä tuntua, että kun olisi vielä vetäissyt parikolme voimakasta piirtoa, niin olisi tuo tyttö lähtenyt hänen kanssaan kyselemättä, aikailematta. Kauan hän seisoi siinä kuin kivettyneenä ja katsoi jälkeen, jonka jalakset olivat uurtaneet. Ahneesti takertui lumihiuteita hänen tukkaansa, partaansa ja hartioihinsa… Peittyi kohta jalasten jälki ja hän itse alkoi näyttää lumihaarniskassaan valkealta kiveltä, mutta silmät yhä vain etsivät jotain lumipilvien ryöpystä.
- 79. *** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK KERTOMUKSIA I *** Updated editions will replace the previous one—the old editions will be renamed. Creating the works from print editions not protected by U.S. copyright law means that no one owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United States without permission and without paying copyright royalties. Special rules, set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to copying and distributing Project Gutenberg™ electronic works to protect the PROJECT GUTENBERG™ concept and trademark. Project Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you charge for an eBook, except by following the terms of the trademark license, including paying royalties for use of the Project Gutenberg trademark. If you do not charge anything for copies of this eBook, complying with the trademark license is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose such as creation of derivative works, reports, performances and research. Project Gutenberg eBooks may be modified and printed and given away—you may do practically ANYTHING in the United States with eBooks not protected by U.S. copyright law. Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial redistribution. START: FULL LICENSE
- 80. THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE
- 81. PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK To protect the Project Gutenberg™ mission of promoting the free distribution of electronic works, by using or distributing this work (or any other work associated in any way with the phrase “Project Gutenberg”), you agree to comply with all the terms of the Full Project Gutenberg™ License available with this file or online at www.gutenberg.org/license. Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg™ electronic works 1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg™ electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the terms of this license and intellectual property (trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy all copies of Project Gutenberg™ electronic works in your possession. If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project Gutenberg™ electronic work and you do not agree to be bound by the terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. 1.B. “Project Gutenberg” is a registered trademark. It may only be used on or associated in any way with an electronic work by people who agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few things that you can do with most Project Gutenberg™ electronic works even without complying with the full terms of this agreement. See paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project Gutenberg™ electronic works if you follow the terms of this agreement and help preserve free future access to Project Gutenberg™ electronic works. See paragraph 1.E below.
- 82. 1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (“the Foundation” or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project Gutenberg™ electronic works. Nearly all the individual works in the collection are in the public domain in the United States. If an individual work is unprotected by copyright law in the United States and you are located in the United States, we do not claim a right to prevent you from copying, distributing, performing, displaying or creating derivative works based on the work as long as all references to Project Gutenberg are removed. Of course, we hope that you will support the Project Gutenberg™ mission of promoting free access to electronic works by freely sharing Project Gutenberg™ works in compliance with the terms of this agreement for keeping the Project Gutenberg™ name associated with the work. You can easily comply with the terms of this agreement by keeping this work in the same format with its attached full Project Gutenberg™ License when you share it without charge with others. 1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in a constant state of change. If you are outside the United States, check the laws of your country in addition to the terms of this agreement before downloading, copying, displaying, performing, distributing or creating derivative works based on this work or any other Project Gutenberg™ work. The Foundation makes no representations concerning the copyright status of any work in any country other than the United States. 1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg: 1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate access to, the full Project Gutenberg™ License must appear prominently whenever any copy of a Project Gutenberg™ work (any work on which the phrase “Project Gutenberg” appears, or with which the phrase “Project Gutenberg” is associated) is accessed, displayed, performed, viewed, copied or distributed:
- 83. This eBook is for the use of anyone anywhere in the United States and most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you will have to check the laws of the country where you are located before using this eBook. 1.E.2. If an individual Project Gutenberg™ electronic work is derived from texts not protected by U.S. copyright law (does not contain a notice indicating that it is posted with permission of the copyright holder), the work can be copied and distributed to anyone in the United States without paying any fees or charges. If you are redistributing or providing access to a work with the phrase “Project Gutenberg” associated with or appearing on the work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the Project Gutenberg™ trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or 1.E.9. 1.E.3. If an individual Project Gutenberg™ electronic work is posted with the permission of the copyright holder, your use and distribution must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked to the Project Gutenberg™ License for all works posted with the permission of the copyright holder found at the beginning of this work. 1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg™ License terms from this work, or any files containing a part of this work or any other work associated with Project Gutenberg™. 1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this electronic work, or any part of this electronic work, without prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1
- 84. Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and knowledge seekers. We believe that every book holds a new world, offering opportunities for learning, discovery, and personal growth. That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of books, ranging from classic literature and specialized publications to self-development guides and children's books. More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can quickly find the books that best suit your interests. Additionally, our special promotions and home delivery services help you save time and fully enjoy the joy of reading. Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and personal growth every day! ebookbell.com