Persamaan Diferensial Orde 2 Variasi Parameter
6 likes14,274 views
Dokumen ini membahas metode variasi parameter untuk menemukan solusi dari persamaan diferensial nonhomogen, yang merupakan metode umum yang dapat diterapkan pada berbagai persamaan. Proses ini melibatkan penggantian konstanta dengan fungsi untuk memperoleh solusi khas, serta menyelesaikan sistem persamaan aljabar untuk menentukan fungsi yang diperlukan. Metode ini memiliki keuntungan dan kesulitan, tergantung pada sifat fungsi yang digunakan dalam persamaan.
![Sekarang kita mensubstitusikan y, y „, dan y“masing-masing dalam Pers. (16) dari Pers. (19),
(22), dan (23). kita menemukan bahwa
u1(t)[y”1(t) + p(t)y‟1(t) + q(t)y1(t)]
+ u2(t)[y”2(t) + p(t)y‟2(t) + q(t)y2(t)]
+ u‟1(t)y‟1(t) + u‟2(t)y‟2(t) = g(t)
(24)
Setiap ekspresi dalam tanda kurung siku dalam Pers. (24) adalah nol karena kedua y1 dan y2
adalah solusi dari persamaan homogen (18). Oleh karena itu Persamaan. (24) tereduksi
menjadi
u‟1(t)y‟1(t) + u‟2(t)y‟2(t) = g(t)
(25)
Persamaan (21) dan (25) membentuk sistem dua persamaan aljabar linear u‟1(t) dan u‟2(t) dari
fungsi yang tidak diketahui. sesuai dengan Pers. (6) dan (9) dalam Contoh 1.
Dengan menyelesaikan sistem (21), (25) kita memperoleh
,
(26)
dimana W(y1, y2) adalah Wronskian dari y1 dan y2. Perhatikan bahwa pembagian dengan W
diperbolehkan sejak y1 dan y2 adalah solusi, dan karena itu Wronskian mereka adalah nol.
Dengan mengintegrasikan Pers. (26) kita menemukan fungsi yang diinginkan u1(t) dan u2(t),
yaitu,
,
(27)
Teorema 3.7.1
Jika fungsi p, q, and g adalah kontinu pada interval terbuka I, dan jika fungsi-fungsi y1 dan y2
adalah solusi linear dari persamaan homogen (18) sesuai dengan persamaan nonhomogen
(16),
y”+ p(t)y‟ + q(t)y = g(t)
kemudian, solusi khas dari Pers. (16) adalah
(28)
dan persamaan umumnya adalah
y = c1y1(t) + c2y2(t) + Y(t)
(29)
seperti yang ditentukan oleh Teorema 3.6.2.
Dengan memeriksa ekspresi (28) dan meninjau proses dimana kita berasal, kita dapat melihat
bahwa mungkin ada dua kesulitan utama dalam menggunakan metode variasi parameter.](https://image.slidesharecdn.com/kel-131024200641-phpapp02/85/Persamaan-Diferensial-Orde-2-Variasi-Parameter-4-320.jpg)
Persamaan Diferensial Orde 2 Variasi Parameter
- 1. Variasi Parameter Pada bagian ini akan dijelaskan metode lain untuk menemukan solusi khas dari persamaan homogen. Metode ini, yang dikenal sebagai variasi parameter, metode ini digagaskan oleh Lagrange dan juga melengkapi metode koefisien yang ditentukan dangan cukup baik. Keuntungan utama dari variasi parameter adalah bahwa itu adalah metode umum, pada prinsipnya dapat diterapkan untuk persamaan apapun, dan tidak membutuhkan bentuk rinci tentang asumsi dari solusi. Bahkan, kemudian dalam bagian ini kita menggunakan metode ini untuk mendapatkan formula untuk solusi khas dari sembarang persamaan diferensial nonhomogen orde dua. Di sisi lain, metode variasi parameter mengharuskan kita mengevaluasi integral tertentu yang melibatkan istilah homogen dalam persamaan diferensial, dan ini dapat menimbulkan kesulitan. Contoh 1 Temukan solusi khas dari y” + 4y = 3 csc t (1) Perhatikan bahwa masalah ini tidak termasuk dalam lingkup dari metode koefisien ditentukan karena istilah nonhomogen g(t) = 3 csc t melibatkan quotient (jumlah atau produk) sin t atau cos t. Oleh karena itu, kita perlu pendekatan yang berbeda. Amati juga bahwa persamaan homogen sesuai dengan Persamaan. (1) adalah y” + 4y = 0, (2) yc(t) = c1 cos 2t + c2 sin 2t (3) Dan solusi umum dari Pers. (2) adalah Ide dasar dalam metode variasi parameter adalah untuk menggantikan konstanta c1 dan c2 dalam Pers. (3) masing-masing oleh fungsi u1(t) dan u2(t), sehingga ekspresi yang dihasilkan y = u1(t) cos 2t + u2(t) sin 2t (4) Adalah solusi dari Persamaan nonhomogen (1). Untuk menentukan u1 dan u2 kita perlu untuk menggantikan y dari persamaan. (4) dalam Pers. (1). Namun, bahkan tanpa melakukan substitusi ini, kita dapat memastikan bahwa hasilnya akan menjadi satu persamaan yang melibatkan beberapa kombinasi dari u1, u2, dan dua turunan pertamanya. Karena hanya ada satu persamaan dan dua fungsi yang tidak diketahui, kita dapat berharap bahwa ada banyak kemungkinan pilihan u1 dan u2 yang akan memenuhi. Atau, kita mungkin dapat memaksakan kondisi kedua yang kita pilih, sehingga
- 2. adalah mungkin untuk memilih kondisi kedua ini dengan cara yang membuat perhitungan nyata lebih efisien (menurut Lagrange). Kembali ke Pers. (4), kita menurunkan turunan pertamnya dan mendapatkan y‟ =−2u1(t) sin 2t + 2u2(t) cos 2t + u‟1(t) cos 2t + u‟2(t) sin 2t. (5) Mengingat kemungkinan memilih kondisi kedua pada u1 dan u2, Kita memerlukan dua istilah terakhir di ruas kanan dari Persamaan. (5) menjadi nol, yaitu, u‟1(t) cos 2t + u‟2(t) sin 2t = 0 (6) y„=−2u1(t) sin 2t + 2u2(t) cos 2t (7) jadi, Meskipun efek akhir dari kondisi (6) belum jelas, setidaknya telah disederhanakan ekspresi untuk y‟. Selanjutnya, dengan menurunkan lagi Persamaan. (7), kita memperoleh y”=−4u1(t) cos 2t − 4u2(t) sin 2t − 2u‟1(t) sin 2t + 2u‟2(t) cos 2t (8) Kemudian, mengsubstitusikan y dan y”dalam Pers. (1) dari Pers. (4) dan (8), masing-masing, kita menemukan bahwa u1 dan u2 memenuhi y” + 4y = 3 csc t −4u1(t) cos 2t − 4u2(t) sin 2t − 2u‟1(t) sin 2t + 2u‟2(t) cos 2t + 4(u1(t) cos 2t + u2(t) sin 2t)= 3 csc t −2u‟1(t) sin 2t + 2u‟2(t) cos 2t = 3 csc t (9) sekarang kita akan memilih u1 dan u2 sehingga memenuhi Pers. (6) dan (9). Persamaan ini dapat dilihat sebagai sepasang persamaan aljabar linear untuk dua kuantitas yang tidak diketahui u‟1(t) dan u‟2(t). Persamaan (6) dan (9) dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Sebagai contoh, pemecahan Pers. (6) untuk u’2(t), kita memiliki u‟1(t) cos 2t + u‟2(t) sin 2t = 0 u‟2(t) =−u‟1(t) cos 2t sin 2t (10) Kemudian, menggantikan u‟2(t) dalam Pers. (9) dan menyederhanakan, kita memperoleh (11) Selanjutnya, u‟1(t) kembali dalam Pers. (10), kita menemukan bahwa (12) Setelah memperoleh u‟1(t) dan u‟2(t), langkah selanjutnya adalah untuk mengintegrasikan sehingga memperoleh u1(t) dan u2(t). Hasilnya adalah u1(t) =−3sint + c1 dan (13)
- 3. (14) Terakhir, dengan mengsubstitusikannya ke dalam Pers. (4), kita dapatkan y =−3 sin t cos 2t + ln | csc t − cot t| sin 2t + 3 cost sin 2t + c1 cos 2t + c2 sin 2t, atau y = 3 sin t + ln | csc t − cot t| sin 2t + c1 cos 2t + c2 sin 2 (15) Istilah dalam Pers. (15) melibatkan sembarang konstanta c1 dan c2 adalah solusi umum dari persamaan homogen yang sesuai, sedangkan yang lainnya adalah solusi khas dari persamaan homogen (1). Oleh karena itu Persamaan. (15) adalah solusi umum dari persamaan. (1). Dalam contoh sebelumnya metode variasi parameter bekerja dengan baik dalam menentukan solusi khas, dan karenanya solusi umum, dari Pers. (1). Kita menganggap y”+ p(t)y‟ + q(t)y = g(t) (16) di mana p, q, dan g diberikan fungsi kontinu. Sebagai titik awal, kita anggap bahwa kita mengetahui solusi umum yc(t) = c1y1(t) + c2y2(t) (17) y” + p(t)y‟ + q(t)y = 0 (18) dari persamaan homogen Ini adalah asumsi utama karena sejauh ini kita telah menunjukkan bagaimana untuk memecahkan Persamaan. (18) hanya jika memiliki koefisien konstan. Jika Pers. (18) memiliki koefisien yang bergantung pada t, maka biasanya metode yang dijelaskan dalam Bab 5 harus digunakan untuk memperoleh yc (t). Gagasan penting, seperti digambarkan dalam contoh 1, adalah untuk mengganti konstanta c1 dan c2 dalam Pers. (17) oleh fungsi u1(t) dan u2(t), masing-masing, ini memberi y = u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t) (19) Kemudian kita coba untuk menentukan u1(t) dan u2(t) sehingga ekspresi dalam Pers. (19) merupakan solusi dari persamaan homogen (16). Jadi kita mendapatkan y‟= u‟1(t)y1(t) + u1(t)y‟1(t) + u‟2(t)y2(t) + u2(t)y‟2(t) (20) Seperti pada Contoh 1, sekarang kita menetapkan ketentuan bahwa u‟1(t) dan u‟2(t) dalam Pers. (20) sama dengan nol, yaitu u‟1(t)y1(t) + u‟2(t)y2(t) = 0 (21) kemudian dengan menurunkan Pers. (20) kita mendapatkan y‟ = u1(t)y‟1(t) + u2(t)y‟2(t) (22) Selanjutnya, dengan menurunkan lagi, kita memperoleh y” = u‟1(t)y‟1(t) + u1(t)y”1(t) + u‟2(t)y‟2(t) + u2(t)y”2(t) (23)
- 4. Sekarang kita mensubstitusikan y, y „, dan y“masing-masing dalam Pers. (16) dari Pers. (19), (22), dan (23). kita menemukan bahwa u1(t)[y”1(t) + p(t)y‟1(t) + q(t)y1(t)] + u2(t)[y”2(t) + p(t)y‟2(t) + q(t)y2(t)] + u‟1(t)y‟1(t) + u‟2(t)y‟2(t) = g(t) (24) Setiap ekspresi dalam tanda kurung siku dalam Pers. (24) adalah nol karena kedua y1 dan y2 adalah solusi dari persamaan homogen (18). Oleh karena itu Persamaan. (24) tereduksi menjadi u‟1(t)y‟1(t) + u‟2(t)y‟2(t) = g(t) (25) Persamaan (21) dan (25) membentuk sistem dua persamaan aljabar linear u‟1(t) dan u‟2(t) dari fungsi yang tidak diketahui. sesuai dengan Pers. (6) dan (9) dalam Contoh 1. Dengan menyelesaikan sistem (21), (25) kita memperoleh , (26) dimana W(y1, y2) adalah Wronskian dari y1 dan y2. Perhatikan bahwa pembagian dengan W diperbolehkan sejak y1 dan y2 adalah solusi, dan karena itu Wronskian mereka adalah nol. Dengan mengintegrasikan Pers. (26) kita menemukan fungsi yang diinginkan u1(t) dan u2(t), yaitu, , (27) Teorema 3.7.1 Jika fungsi p, q, and g adalah kontinu pada interval terbuka I, dan jika fungsi-fungsi y1 dan y2 adalah solusi linear dari persamaan homogen (18) sesuai dengan persamaan nonhomogen (16), y”+ p(t)y‟ + q(t)y = g(t) kemudian, solusi khas dari Pers. (16) adalah (28) dan persamaan umumnya adalah y = c1y1(t) + c2y2(t) + Y(t) (29) seperti yang ditentukan oleh Teorema 3.6.2. Dengan memeriksa ekspresi (28) dan meninjau proses dimana kita berasal, kita dapat melihat bahwa mungkin ada dua kesulitan utama dalam menggunakan metode variasi parameter.
- 5. Seperti yang telah kita sebutkan sebelumnya, satu adalah penentuan y1(t) dan y2(t), satu himpunan solusi dari persamaan homogen (18), ketika koefisien dalam persamaan yang tidak konstan. Kesulitan lain yang mungkin adalah dalam evaluasi integral yang muncul dalam Pers. (28). Hal ini sepenuhnya tergantung pada sifat dari fungsi y1, y2, dan g. Dalam menggunakan Persamaan. (28), pastikan bahwa persamaan diferensial adalah persis dalam bentuk (16), jika tidak, jangka nonhomogen g(t) tidak akan diidentifikasi dengan benar. Keuntungan utama dari metode variasi parameter persamaan (28) itu memberikan ekspresi untuk solusi khas Y(t) dalam sembarang fungsi g(t).