SlideShare a Scribd company logo

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ.pdf

S
ssuser96a7452

Μία εκπαιδευτική πρόταση διδασκαλίας των Μαθηματικών με την βοήθεια παιχνιδιών

Education
1 of 123
Download to read offline
1
2
3
4
5
6
7
8
Most read
9
10
11
Most read
12
13
14
Most read
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ Μελίσσια 2021
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ.pdf
Περιεχόμενα Εισαγωγή Pythagorea σελ. 1 Engare σελ. 8 One touch drawing σελ. 12 Maze puzzles σελ. 19 Tower of Hanoi σελ. 25 Chess σελ. 31 Abstract strategy games σελ. 37 Go σελ. 44 2D puzzles with polyominoes σελ. 46 3D puzzles σελ. 55 Game of life σελ. 59 Hexagon games σελ. 64 Mancala σελ. 68 Mastermind σελ. 70 Numerical puzzles σελ. 77 Peg solitaire σελ. 83 Pente σελ. 85 Rubik’s cube σελ. 87 Sam Loyd puzzles σελ. 92 Sudoku σελ. 97 Tangram σελ. 106 Disentanglement puzzles σελ. 110 Βιβλιογραφία σελ. 116
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ.pdf
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ Αν διαβάσουμε ιστορία των μαθηματικών θα δούμε ότι παράλληλα με τις μεγάλες ανακαλύψεις μία σειρά από παιχνίδια και παζλ κάνουν την εμφάνισή τους. Παιχνίδια που αναπτύσσουν την λογική – μαθηματική σκέψη αλλά και δεξιότητες επίλυσης προβλήματος, της εφαρμογής αλλά και ανάπτυξης ενός αλγορίθμου. Συγχρόνως επειδή πολλά από αυτά είναι ομαδικά αναπτύσσουν και αξίες όπως της συνεργασίας της ομαδικότητας αλλά και του ανταγωνισμού. Υπάρχουν παιχνίδια όπου όλοι παραδέχονται ότι έχουν ένα μαθηματικό υπόβαθρο όπως το σκάκι αλλά υπάρχουν και άλλα που αν μπεις στη λογική να «σπάσεις» το παιχνίδι, δηλαδή να βρεις την στρατηγική που το επιλύει πάντα τότε θα χρησιμοποιήσεις μαθηματικά. Στο βιβλίο που κρατάτε περιγράφονται παιχνίδια που τα περισσότερα από αυτά τα ξέρουμε και έχουμε παίξει. Συγχρόνως αναλύονται σε ένα βαθμό τα κρυμμένα μαθηματικά αλλά και ιστορίες που έχουν να κάνουν με κάποια μεγάλη στιγμή της εξέλιξης των μαθηματικών. Πρωταγωνιστές στις ιστορίες είναι ονόματα, όπως Αρχιμήδης , Euler, Hamilton κ.α. Στόχος του βιβλίου είναι να αποτελέσει μία εναλλακτική μαθηματική δραστηριότητα στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Τι εννοώ, φανταστείτε μία τάξη που παίζει ένα από τα παιχνίδια που το βιβλίο περιγράφει. Τι θα συμβεί, φωνές, ενθουσιασμός, χάος … Τι το πιο ζωντανό και υγειές σε μία τάξη όπου δωδεκάχρονα τα έχεις οκτώ ώρες κλεισμένα και αναγκασμένα να κάθονται, ενώ εσύ ο δάσκαλος τριάντα-σαράντα χρονών στην καλύτερη των περιπτώσεων, γιατί συνήθως είναι πενήντα και εξήντα, να είσαι όρθιος.
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ Το να κερδίσεις σε ένα παιχνίδι μπορεί να είναι τυχαίο μπορεί να είναι και προϊόν λαθεμένων κινήσεων του αντιπάλου. Εδώ εξετάζουμε και προσπαθούμε να βρούμε την βέλτιστη στρατηγική επίλυσης του παιχνιδιού. Τα παιδιά θα ανακαλύψουν τα μαθηματικά ως μέτρηση, ως συμβολισμό, ως ένα γεωμετρικό σχήμα, ως αλγόριθμο. Σε συνεργασία καθηγητές των Μαθηματικών και της Πληροφορικής διδάσκουν τους μαθητές τους, κώδικα ανάπτυξης του παιχνιδιού. Τι το πιο όμορφο μία δραστηριότητα παιγνιώδης όπου μαθητές και καθηγητές διαφορετικών ειδικοτήτων συνεργάζονται! Συγχρόνως μαθαίνουμε Ιστορία, Μαθηματικά, Πληροφορική, εξασκούμε το λεξιλόγιο μας στην μητρική αλλά και σε άλλη γλώσσα. Αναπτύσσουμε δεξιότητες έρευνας, διότι το ψάξιμο στο διαδίκτυο είναι απαραίτητη διαδικασία, αλλά και δεξιότητες παρουσίασης αφού τα όποια αποτελέσματα πρέπει να τα επικοινωνήσουμε με τα υπόλοιπα μέλη της εκπαιδευτικής κοινότητας ή να τα παρουσιάσουμε στο πλαίσιο μιας ημερίδας ή ενός συνεδρίου. Το πιο σημαντικό, μαθαίνουμε να δουλεύουμε ως ομάδα. Η συνεργασία διαφορετικών ανθρώπων τόσο ηλικιακά αλλά και γνωστικά αποτελεί πρόκληση, είναι αγωγή συμπεριφοράς στον πραγματικό κόσμο που θα ζήσει ο εκπαιδευόμενος. Αν υπάρχει φαντασία, τα πάντα μπορούν να συμβούν από μία τέτοια ενασχόληση. Μπορεί η ομάδα να φτιάξει το δικό της παιχνίδι είτε κλασικό είτε ηλεκτρονικό, να προγραμματίσει το δικό της ρομπότ που να παίζει το παιχνίδι που προηγουμένως «σπάσαμε», να λειτουργήσει ως πολλαπλασιαστής – δάσκαλος και στα άλλα μέλη του σχολείου ή άλλων σχολείων, να γνωρίσει
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ επαγγελματίες και να αναπτυχθεί μία άτυπη δράση επαγγελματικού προσανατολισμού. Το πιο σημαντικό από όλα θα παίξουμε και συγχρόνως μπορεί και να μάθουμε! Τα παιχνίδια που διαπραγματεύομαι χωρίζονται σε 22 ενότητες. Ο χωρισμός έγινε με βάση το «γήπεδο» διεξαγωγής του παιχνιδιού, με το αν είναι παζλ και τι διαστάσεων, με το αν είναι ηλεκτρονικό ή συμβατικό, με το πόσοι είναι οι παίκτες και το πόσο γνωστό είναι. Είναι προφανές ότι ο χωρισμός – ομαδοποίηση είναι σχετική. Το αν πέτυχα να σας ανάψω εκείνη τη μικρή φλόγα της περιέργειας που λέγεται «δαίμονας» θα φανεί με το αν ξεφυλλίσετε ή καλύτερα αν μελετήσετε το βιβλίο. Γνωρίζοντας εκ των προτέρων ότι μελετώ σημαίνει σημειώνω , τσακίζω, γεμίζω τα περιθώρια με ερωτήσεις και σημειώματα που πιθανόν κάποια άλλη στιγμή εσείς πια, ψάξετε και ανακαλύψετε νέα παιχνίδια νέες προτάσεις δημιουργικής ενασχόλησης με το πιο όμορφο έχει δημιουργήσει ο άνθρωπος τον λόγο και τα μαθηματικά.
1 Γ. Λαγουδάκος Pythagorea Πρόκειται για ένα Γεωμετρικό παιχνίδι που ο σκοπός είναι να λύσεις τα προβλήματα που υπάρχουν στις 27 πίστες. Τα θέματα που συναντάμε στις διάφορες πίστες καλύπτουν ένα μεγάλο μέρος της διδακτέας ύλης Γυμνασίου και Λυκείου. Υπάρχουν θέματα του αναφέρονται στις παράλληλες, στα παραλληλόγραμμα, στα ισοσκελή τρίγωνα, στην συμμετρία, στις γωνίες, στον κύκλο, στο Πυθαγόρειο θεώρημα, στα εμβαδά κ.α. Το παιχνίδι μπορεί να το κατεβάσει κάποιος ελεύθερα στο κινητό του τρέχει σε περιβάλλον Android αλλά και σε iOS. Επειδή το παιχνίδι είναι στα Αγγλικά ο χρήστης εξοικειώνεται με την Αγγλική μαθηματική ορολογία. Σε κάθε εφαρμογή υπάρχει η δυνατότητα – αν πατήσεις το ερωτηματικό που εμφανίζεται – να σου δοθούν ως βοήθεια οι διάφοροι ορισμοί – στα Αγγλικά – των βασικών εννοιών που το συγκεκριμένο πρόβλημα ασχολείται. Η κλασική μορφή του κάθε «φύλλου εργασίας» παρουσιάζεται στην διπλανή εικόνα. Όταν το θέμα λυθεί εμφανίζεται το ζητούμενο σημείο, ευθεία, τμήμα, σχήμα, κατασκευασμένο με κίτρινο χρώμα. Η επιφάνεια του παιχνιδιού είναι ένα ορθογώνιο πλέγμα grid που σχηματίζει 6Χ6=36 τετράγωνα κελιά και 7Χ7=49 σημεία-κορυφές.
2 Γ. Λαγουδάκος Για κατασκευάσεις ένα τμήμα ή μία ευθεία δεν έχεις παρά να ενώσεις δύο από αυτά τα 49 σημεία. Εκτός από τα σημεία του πλέγματος μπορούμε να ορίσουμε ένα σημείο και ως σημείο τομής δύο τμημάτων ή δύο ευθειών. Το πλέγμα είναι μοναδιαίο άρα η κατακόρυφη ή η οριζόντια απόσταση δύο διαδοχικών κορυφών του πλέγματος είναι ίση με 1. Η επιλογή να λύνονται όλα τα θέματα με τη βοήθεια του πλέγματος – Grid είναι αυτό που κάνει το Pythagorea τόσο χρήσιμο εκπαιδευτικό εργαλείο. Διότι στο πλέγμα μπορούμε να εργαστούμε με κλασική Ευκλείδεια γεωμετρία αλλά και με Αναλυτική Γεωμετρία. Είναι ένα παιχνίδι που παίζεται από μικρούς αλλά και μεγάλους ! Ας δούμε μερικά παραδείγματα …
3 Γ. Λαγουδάκος
4 Γ. Λαγουδάκος Εκτός από ένα καλό εκπαιδευτικό παιχνίδι μπορούμε εμείς οι δάσκαλοι των μαθηματικών σε Γυμνάσιο και Λύκειο να το δούμε και ως μία τράπεζα θεμάτων με ερωτήσεις που ξεφεύγουν από τις συνηθισμένες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα … Άσκηση Γ Γυμνασίου Δίνονται δύο ορθογώνια – όπως στο σχήμα. Να κατασκευασθεί μία ευθεία που να χωρίζει τα δύο ορθογώνια σε σχήματα με ίσο εμβαδόν. Η κατασκευή μας πρέπει να παίρνει υπόψιν της τον περιορισμό που θέτει εξ αρχής το παιχνίδι, δηλαδή μία ευθεία ορίζεται από δύο σημεία και ένα σημείο ορίζεται ως κόμβος ή ως σημείο τομής δύο ευθειών. Οι γνώσεις που πρέπει να ανακληθούν από τον μαθητή είναι οι ιδιότητες του κέντρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου και ότι δύο ίσα τρίγωνα είναι και ισεμβαδικά. Μία πιθανή λύση μπορεί να είναι η παρακάτω …
5 Γ. Λαγουδάκος Άσκηση Γ Γυμνασίου – Α Λυκείου Να εγγράψουμε σε δεδομένο τετράγωνο ένα άλλο τετράγωνο του οποίου δίνεται η κορυφή Α (με τον περιορισμό που θέτει εξ αρχής το παιχνίδι δηλαδή μία ευθεία ορίζεται από δύο σημεία και ένα σημείο ορίζεται ως κόμβος ή ως σημείο τομής δύο ευθειών). Η λύση από μέρους του μαθητή χρειάζεται κάποια φαντασία αλλά μοιάζει με άσκηση του σχολικού του βιβλίου. Βασίζεται ουσιαστικά στην ισότητα τριγώνων και στο ορισμό – ιδιότητες του τετραγώνου. Αυτό που εννοούμε είναι να θεωρήσει ο μαθητής τα κατάλληλα σημεία πάνω στις πλευρές του τετραγώνου. Στη συνέχεια συγκρίνοντας ορθογώνια τρίγωνα να αποδείξει ότι το σχηματιζόμενο (κόκκινο) τετράπλευρο έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Μετά πρέπει να δείξει ότι είναι και τετράγωνο. Το οποίο μπορεί να δειχθεί με γωνίες αλλά και με τη βοήθεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος προς τιμή της ονομασίας του παιχνιδιού !
6 Γ. Λαγουδάκος Άσκηση Α’ Λυκείου Να βρεθεί το κέντρο βάρους του τριγώνου, (με τον περιορισμό που θέτει εξ αρχής το παιχνίδι δηλαδή μία ευθεία ορίζεται από δύο σημεία και ένα σημείο ορίζεται ως κόμβος ή ως σημείο τομής δύο ευθειών). Εδώ οι γνώσεις που πρέπει ο μαθητής να ανακαλέσει είναι ότι το κέντρο βάρους είναι το σημείο τομής των διαμέσων. Οπότε για να προσδιορίσουμε το κέντρο βάρους ενός τριγώνου χρειαζόμαστε δύο διαμέσους. Καθώς επίσης να γνωρίζουμε τις βασικές ιδιότητες των παραλληλογράμμων. Μία λύση είναι να βρεθούν τα μέσα των δύο πλευρών του τριγώνου ως σημεία τομής διαγώνιων των δύο ορθογωνίων παραλληλογράμμων ( μπλε και κόκκινο). Φέρνοντας τις διαμέσους ορίζουμε και το κέντρο βάρους του τριγώνου. Η μορφή που θα έχει η λύση μας στο περιβάλλον του παιχνιδιού θα είναι κάπως έτσι …
7 Γ. Λαγουδάκος Άσκηση Β’ Λυκείου Τ Θεωρούμε κατάλληλο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων οπότε ο κύκλος έχει εξίσωση 2 2 x y 1 + = και το σημείο Α έχει συντεταγμένες (2,-1) Το πρόβλημα ανάγεται στο κλασικό «να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων που άγονται από το Α προς τον κύκλο C». Η δυσκολία εδώ βρίσκεται στο ότι την εφαπτομένη ΑΓ πρέπει να την ορίσουμε με την βοήθεια των κόμβων που υπάρχουν στο πλέγμα. Πως μπορούμε να την κατασκευάσουμε; Αν ο μαθητής βρει την εξίσωση της πολικής ΒΓ θα διαπιστώσει ότι η εξίσωση της είναι η y=2x-1. Μία ευθεία που διέρχεται από το Β ( κόμβος) και έχει κλίση 2 μπορούμε να την φέρουμε. Σημειώνουμε το σημείο τομής Γ της πολικής και του κύκλου. Άρα η δεύτερη εφαπτομένη ΑΓ κατασκευάζεται. Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η λύση που εμφανίζεται στο παιχνίδι όταν ακολουθήσουμε τη παραπάνω στρατηγική επίλυσης. Να κατασκευαστούν οι εφαπτόμενες κύκλου που διέρχονται από δεδομένο σημείο Α. ΚΑΛΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ !
8 Γ. Λαγουδάκος Engare Ένα γεωμετρικό παιχνίδι από την Περσία ! Designed and developed by Mahdi Bahrami Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι να περάσει ο παίκτης 6 πίστες ώστε να του δοθεί η δυνατότητα να «ανοίξουν» οι εφαρμογές με τις οποίες θα είναι σε θέση να σχεδιάσει αραβουργήματα σε διάφορες επιφάνειες. Η λογική του παιχνιδιού είναι να μαντέψει ο παίκτης την γραμμή που αφήνει ως ίχνος ένα κινούμενο σημείο το οποίο βρίσκεται σε σημείο ενός πολύσπαστου εργαλείου σχεδίασης. Ας δούμε μερικές εφαρμογές από τις πίστες όπως και τις δυνατότητες που δίνουν οι σχεδιαστικές εφαρμογές της εφαρμογής. Αρχική οθόνη Δίνει τις επιλογές να ξεκινήσεις ένα νέο παιχνίδι ή να συνεχίσεις από εκεί που έχεις φθάσει … Ακολούθως παρουσιάζεται ένα κλασικό κτήριο ισλαμικής τέχνης όπου πατώντας στα διάφορα τμήματά του – αψίδες πηγαίνεις στις διάφορες πίστες. Η κεντρική αψίδα σε πάει στο στην σχεδιαστική εφαρμογή αραβουργημάτων. Η εφαρμογή ανοίγει προοδευτικά καθώς ο παίκτης λύνει σιγά-σιγά τα προβλήματα κατασκευών που συναντά στις διάφορες πίστες.
9 Γ. Λαγουδάκος 1η πίστα Παρουσιάζεται μία σειρά από 8 προκλήσεις ! Για παράδειγμα Παρουσιάζονται δύο τετράγωνα και στο πάνω μέρος της οθόνης μία καμπύλη. Το ζητούμενο είναι σε ποιο σημείο του «πάνω» τετραγώνου πρέπει να τοποθετήσεις ένα σημείο ώστε πέφτοντας το τετράγωνο το σημείο να διαγράφει την καμπύλη αυτή. Άλλο παράδειγμα Παρουσιάζεται ένας κύκλος (ο πορτοκαλί) που κινείται εσωτερικά ενός άλλου. Ποιο σημείο του κινούμενου κύκλου αφήνει ως ίχνος καθώς κινείται, την γραμμή που παρουσιάζεται στο πάνω μέρος της οθόνης. 2η πίστα Παρουσιάζονται 12 προκλήσεις … Για παράδειγμα. Δύο λευκά τετράγωνα κινούνται με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο – μοτίβο στην επιφάνεια. Σε ποιο σημείο και σε ποια θέση θα πρέπει να τοποθετήσεις το κινούμενο σημείο ώστε να αφήνει ως ίχνος τη γραμμή που εμφανίζεται στο πάνω μέρος της οθόνης. Παρόμοιας λογικής είναι και οι πίστες που ακολουθούν. Το ωραίο στην εφαρμογή είναι ότι καθώς περνάς – λύνεις τις προκλήσεις, ανοίγουν τμηματικά και τα εργαλεία σχεδίασης αραβουργημάτων.
10 Γ. Λαγουδάκος Πρόκειται για 6 εργαλεία σχεδίασης ροζετών σε επίπεδες επιφάνειες αλλά και σε τρισδιάστατους τρούλους. Ας δούμε τα εργαλεία αυτά … Το πρώτο σχεδιαστικό εργαλείο είναι ένα παιχνίδι για τη συμμετρία. Μπορείς να σχεδιάσεις τριών ειδών αντικείμενα σε μορφή κυλίνδρου σε μορφή κώνου και τέλος σε επίπεδη επιφάνεια. Το μοτίβο που εμφανίζεται στην επιφάνεια που θα διαλέξεις παράγεται σε ένα grid πατώντας – χρωματίζοντας τα τετραγωνάκια του. Η τελική σύνθεση μπορεί να αποθηκευτεί καθώς επίσης με τους δρομείς που υπάρχουν να αλλάξει το μέγεθός της. Σου δίνεται επίσης η δυνατότητα να σβήσεις και να ξανασχεδιάσεις καθώς και να κάνεις zoom ώστε να επεξεργαστείς λεπτομέρειες. Το δεύτερο εργαλείο σχεδίασης παράγει στροφές – ροζέτες σε επίπεδη ή τρισδιάστατη σε σχήμα τρούλου επιφάνεια. Οι δρομείς σου δίνουν τη δυνατότητα να «πολλαπλασιάσεις» τις γραμμές που έχεις σχεδιάσει ώστε το τελικό αποτέλεσμα να γίνει πολύ πιο πλούσιο. Και στην εφαρμογή αυτή υπάρχει η δυνατότητα του zoom της διόρθωσης και της αποθήκευσης της εργασίας σου.
11 Γ. Λαγουδάκος Με παρόμοιο τρόπο αναπτύσσονται και τα υπόλοιπα σχεδιαστικά εργαλεία . Παρακάτω παρουσιάζω κάποιες δυνατότητες … Κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού ακούγεται μουσική που παραπέμπει στη κουλτούρα του αραβικού πολιτισμού Σίγουρα τα αποτελέσματα είναι θεαματικά. Κοστίζει περίπου 7 $ και η αγορά γίνεται ηλεκτρονικά με χρήση πιστωτικής κάρτας. Το παιχνίδι «τρέχει» σε pc σε περιβάλλον Windows ή Mac.
12 Γ. Λαγουδάκος One touch drawing Για το συγκεκριμένο παιχνίδι θα ξεκινήσω λίγο ανάποδα, πρώτα θα σας μιλήσω για δύο πολύ όμορφες ιστορίες που αναφέρονται σε δύο σπουδαίους μαθηματικούς και μετά θα αναφερθώ στο παιχνίδι. Ιστορία 1η Οι γέφυρες του Κένιγκσμπεργκ Βρισκόμαστε στον 18ο αιώνα στην πόλη του Königsberg . Μια πόλη που την διέσχιζε ο ποταμός Pregel στον οποίο είχαν χτιστεί 7 γέφυρες για την επικοινωνία των κατοίκων της. Την εποχή εκείνη ήταν διαδεδομένο ένα παιχνίδι ανάμεσα στους κατοίκους, αλλά και στους επισκέπτες της πόλης. Να ξεκινούν από ένα σημείο της πόλης και περνώντας όλες τις γέφυρες μία μόνο φορά να περπατήσουν από τα όμορφα σοκάκια της πόλης και να επιστρέψουν στο σημείο από όπου ξεκίνησαν. Όλες όμως οι προσπάθειες κατέληγαν σε αποτυχία. Τελικά ήταν όντως αδύνατη μια τέτοια διαδρομή ή απλά δεν είχαν βρει την κατάλληλη διαδρομή; Το 1727 ο διάσημος Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler (1707- 1783) εργαζόταν στη Ρωσία προσκεκλημένος της αυτοκράτειρας Μεγάλης Αικατερίνης και πιθανότητα τότε ήταν που άκουσε για πρώτη φορά το «παράδοξο» πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg
13 Γ. Λαγουδάκος Ο Euler σχεδίασε έναν χάρτη του Königsberg αντικαθιστώντας τις 4 περιοχές γης που συνδέονταν από τις γέφυρες με τέσσερα σημεία, Α,Β,Γ και Δ και τις γέφυρες με γραμμές που ένωναν τα σημεία αυτά. Το πρόβλημα λοιπόν του μοναδικού περιπάτου πάνω από όλες τις γέφυρες (και της μοναδικής λύσης στο πρόβλημα), ισοδυναμούσε με ένα πρόβλημα σχεδίασης στο χαρτί, μιας γραμμής – μονοκονδυλιάς , χωρίς να σηκωθεί το μολύβι από το χαρτί, αλλά και χωρίς να ζωγραφιστεί η ίδια γραμμή δύο φορές. Γιατί όμως ήταν αδύνατη μία τέτοια διαδρομή; O Euler συνειδητοποίησε ότι σε μία εφικτή διαδρομή, κάθε σημείο θα έπρεπε να είχε μία γραμμή να καταλήγει και μία να ξεκινάει από αυτό. Εάν επισκεπτόσουν αυτό το σημείο ξανά, θα έπρεπε να υπήρχε μία νέα γραμμή προς αυτό και από αυτό. Έτσι, θα έπρεπε να υπάρχουν μόνο ζυγοί αριθμοί γραμμών , που να ξεκινούν (καταλήγουν) από κάθε σημείο. Οι μόνες εξαιρέσεις του κανόνα αυτού είναι η αρχή και το τέλος της διαδρομής. Το σημείο εκκίνησης έχει μόνο μία γραμμή, που ξεκινάει από αυτό και το σημείο τερματισμού μία γραμμή που καταλήγει σε αυτό. Έτσι, για να είναι δυνατόν μία διαδρομή να σχεδιαστεί μονοκονδυλιά θα πρέπει , όχι παραπάνω από δύο σημεία – η αρχή και το τέλος – να έχουν μονό αριθμό γραμμών. Αν όμως δούμε τον χάρτη των 7 γεφυρών του Königsberg, κάθε σημείο έχει μονό αριθμό γεφυρών που ξεκινούν ή καταλήγουν σε αυτό. Έτσι η διαδρομή που τόσος κόσμος πάσχιζε να βρει είναι ανέφικτη.
14 Γ. Λαγουδάκος Ιστορία 2η Ο Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) ήταν Ιρλανδός μαθηματικός και καθηγητής Αστρονομίας στο Trinity College του Δουβλίνου και βασιλικός αστρονόμος της Ιρλανδίας. Εργάστηκε στα καθαρά μαθηματικά αλλά και στη φυσική. Μικρός χαρακτηρίστηκε ως παιδί θαύμα αφού σε ηλικία 7 ετών μιλούσε δώδεκα γλώσσες. Ο ίδιος πάντα θεωρούσε ως έργο ζωής την ανακάλυψη των quaternions το 1843 ως επέκταση των μιγαδικών σαν σημεία από το επίπεδο στον χώρο. Λέγεται ότι στις 16 Οκτωβρίου του 1843 ανακάλυψε πως θα μπορούσε να ορίσει την πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ των στοιχείων της ομάδας των quaternions.Την ανακάλυψή αυτή την σημείωσε στην γέφυρα του Royal Canal του Δουβλίνου, έγραψε λοιπόν την εξίσωση 2 2 2 i j k i j k 1 = = =   = − που ουσιαστικά πρόκειται για τις βασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού μεταξύ των μοναδιαίων στοιχείων της ομάδας που κατασκεύασε. Σε ότι έχει να κάνει με το θέμα που εξετάζουμε στο βιβλίο αυτό αξίζει να αναφέρουμε ένα παιχνίδι που κατασκεύασε. Πρόκειται για το Icosian Game. To παιχνίδι αυτό εφευρέθηκε το 1857 και πούλησε τα δικαιώματά του για 25 λίρες. Σήμερα σώζονται μόνο τρία κομμάτια από το πρωτότυπο.
15 Γ. Λαγουδάκος Το παιχνίδι σε μία άλλη εκδοχή του λέγεται και travelers dodecahedron (ταξιδιώτες του δωδεκάεδρου). Η πίστα στην οποία παίζουμε το παιχνίδι μπορεί να είναι δυνητικά ένα δωδεκάεδρο ή μία προβολή του στο επίπεδο που να αποδίδει τις κορυφές του στερεού ως 20 σημεία στο επίπεδο και τις ακμές του ως ευθύγραμμα τμήματα. Παίζεται από δύο παίκτες ο πρώτος τοποθετεί 5 πιόνια σε 5 θέσεις που αντιπροσωπεύουν 5 κορυφές του δωδεκαέδρου και ο δεύτερος παίκτης καλείται να τοποθετήσει τα υπόλοιπα 15 πιόνια ώστε να προσδιοριστεί μία κυκλική διαδρομή που να περνά από όλες τις κορυφές του δωδεκαέδρου από μία φορά και να καταλήγει στο σημείο εκκίνησης. Δεδομένου ότι έχουμε 20 κορυφές, είναι σαφές ότι υπάρχουν δυνητικά 20 × 19 = 380 διαφορετικά διαδρομές. Πολλές από αυτές είναι ίδιες λόγω των συμμετριών που υπάρχουν οπότε τελικά οι δυνατές διαδρομές μειώνονται σημαντικά σε 26.
16 Γ. Λαγουδάκος Αντίστοιχα παιχνίδια μπορούν να αναπτυχθούν και για τα άλλα Πλατωνικά στερεά σε αντίστοιχες πίστες - προβολές στο επίπεδο, αλλά και σε πίστες που το χαρακτηριστικό τους είναι η συμμετρία. Διηγηθήκαμε τις δύο προηγούμενες ιστορίες για να αναφερθούμε σε ένα τομέα των μαθηματικών που θεμελιώθηκε από τους μαθηματικούς Euler και Hamilton. Πρόκειται για την θεωρία γράφων. Ας θεωρήσουμε στο φύλλο του χαρτιού μας ένα σύνολο από σημεία – τα οποία θα τα λέμε κόμβους (vertices) που συνδέονται με γραμμές (όχι κατά ανάγκη όλοι οι κόμβοι μεταξύ τους) – τις οποίες θα τις λέμε ακμές ( edge), Ως γράφο ή γράφημα ορίζουμε μία σειρά από κόμβους και ακμές που εναλλάσσονται μεταξύ τους. Υπάρχουν οι προσανατολισμένοι ή κατευθυνόμενοι γράφοι όπου οι ακμές απεικονίζονται διανυσματικά , οι σταθμισμένοι γράφοι αν η σύνδεση των ακμών έχουν κάποια αξία – βαρύτητα, e5 e3 e1 e6 e4 e2 v4 v3 v2 v5 v1 e7 e8
17 Γ. Λαγουδάκος οι συνεκτικοί γράφοι αν δεν υπάρχει κάποιο μέρος του που είναι αποκομμένο από το υπόλοιπο σώμα σε αντιδιαστολή με τους μη συνεκτικούς γράφους. Το ερώτημα που τίθεται είναι : μπορούμε να σχεδιάσουμε τον γράφο ξεκινώντας από έναν κόμβο και περνώντας από όλες τις ακμές από μία φορά να καταλήξουμε από εκεί που αρχίσαμε ή σε κάποια άλλον κόμβο, χωρίς όμως να αφήσουμε καμιά ακμή έξω από τη διαδρομή μας; Προς τιμή του μεγάλου μαθηματικού Euler που ασχολήθηκε και τελικά έλυσε παρόμοια προβλήματα ονομάζουμε : Διαδρομή Euler (Euler circuit/cycle ) μία χάραξη που χρησιμοποιεί όλες τις ακμές από μία φορά και η αρχή και το τέλος της είναι ό ίδιος κόμβος. Ένας γράφος που περιέχει μία διαδρομή Euler λέγεται γράφος του Euler (Eulerian graph) . Πρόκειται για την γνωστή σε όλους μας μονοκονδυλιά. Μονοπάτι Euler ( Euler path) μία χάραξη που χρησιμοποιεί όλες τις ακμές από μία φορά αλλά η αρχή και το τέλος είναι διαφορετικός κόμβος. Ένας γράφος που περιέχει ένα μονοπάτι Euler λέγεται semi-Eulerian graph Αν όμως θέλουμε να περάσουμε από όλους τους κόμβους χωρίς κατά ανάγκη να χρησιμοποιήσουμε και όλες τις ακμές τότε προς τιμή του Hamilton θα μιλάμε Διαδρομή και Μονοπάτι Hamilton. Το παιχνίδι που σας καλώ να ανακαλύψετε και να παίξετε είναι το : One touch drawing Πρόκειται για ένα παιχνίδι που ο στόχος είναι με μονοκονδυλιά να ενώσεις όλα τα σημεία του σχήματος που η κάθε πίστα παρουσιάζει χωρίς όμως να περάσεις δύο ή περισσότερες φορές από την ίδια γραμμή που ενώνει τα σημεία – κόμβους.
18 Γ. Λαγουδάκος Αν εφαρμόσει κανείς τις βασικές αρχές του Euler οι πίστες τελειώνουν η μία μετά την άλλη… Είναι ευκαιρία για σένα αναγνώστη να δοκιμάσεις τις δυνάμεις σου στο παιχνίδι αυτό, αφού η τεχνολογία δίνει τη δυνατότητα να δυσκολέψει το αρχικό βασικό πρόβλημα και να μας ανοίξει νέους δρόμους σκέψεις και αναζήτησης. Έτσι για να προκαλέσω δίνω μερικές από τις πίστες του παιχνιδιού, μερικές εύκολες άλλες πιο δύσκολες… Όπως οι δύο διπλανές … Η αυτή …όπου το βελάκι σου επιβάλει μία συγκεκριμένη φορά κίνησης ή αυτές τις δύο, όπου το κόκκινο χρώμα επιβάλει στον παίκτη να περάσει δύο φορές από τη συγκεκριμένη διαδρομή… Αν κατόρθωσα να προκαλέσω το ενδιαφέρον σου , δεν έχεις παρά να αναζητήσεις το παιχνίδι και να ασχοληθείς. Ποιος ξέρει , πιθανόν να μπορέσεις σαν άλλος Euler να βρεις έναν γενικό τρόπο επίλυσης οποιασδήποτε διαδρομής όσο ευφάνταστης δυσκολίας και αν έχει. Καλή επιτυχία …
19 Γ. Λαγουδάκος Maze puzzles Η πλέον γνωστή αναφορά στη λέξη λαβύρινθος γίνεται στην Ελληνική μυθολογία ( ιστορία;) όπου περιγράφεται η θανάτωση του Μινώταυρου από τον Θησέα. Ο Βασιλάς της Κρήτης Μίνωας για να τιμωρήσει τους Αθηναίους επειδή σκότωσαν τον γιο του, ανάγκασε μετά από πόλεμο να του στέλνουν κάθε χρόνο 7 νέους και 7 νέες για να γίνονται βορά του μυθικού τέρατος Μινώταυρου. Ο πρίγκηπας της Αθήνας Θησέας γιος του Αιγαία πήρε τη θέση ενός από τους νέους με σκοπό να αντιμετωπίσει το τέρας. Η θυσία των νέων γινόταν πάντα σε ένα χώρο δαιδαλώδες γεμάτο αδιέξοδα και σπήλαια όπου όποιος έμπαινε εκεί δεν μπορούσε να βγει οπότε ήταν έρμαιο της βούλησης του Μινώταυρου. Η κόρη του Μίνωα, Αριάδνη αγάπησε τον Θησέα και του αποκάλυψε έναν τρόπο να μπορεί να βρίσκει την έξοδο του Λαβυρίνθου. Απλώς έπρεπε να στερεώσει κατά τη είσοδό του ένα νήμα που εκείνη του έδωσε ( Μίτος της Αριάδνης) και να το ξετυλίγει καθώς εισέρχεται βαθύτερα στο Λαβύρινθο. Ο Θησέας τελικά σκότωσε τον Μινώταυρο, παντρεύτηκε την Αριάδνη και ζήσαν αυτοί καλά και εμείς καλύτερα ! Υπάρχει ένα σχέδιο του λαβυρίνθου σε αρχαίο μινωικό νόμισμα. Το σχέδιο αυτό το συναντάμε σε πολλούς πολιτισμούς σε ολόκληρο τον κόσμο Υπάρχουν σχέδια - λαβύρινθοι που αποτυπώνονται σε τοίχους ή σε πατώματα αλλά και τρισδιάστατα με διάφορα υλικά από πέτρες, ξύλα, ψηφιδωτά ως και φυτά, σε όλον τον κόσμο και διαφόρων χρονικών περιόδων. Μωσαϊκό σε βίλα στην Ρωμαϊκή πόλη Conímbriga στην Πορτογαλία Hemet Maze Stone, ένα προϊστορικό πετρογλυφικό κοντά στη πόλη Hemet της Καλιφόρνια
20 Γ. Λαγουδάκος Πέτρινος λαβύρινθος στο νησί Blå Jungfrun , Σουηδία Σκάλισμα που δείχνει πολεμιστή να μπαίνει στο chakravyuha (Λαβύρινθος) - ναός Hoysaleswara , Halebidu , Ινδία Διακοσμητικό σχέδιο τοίχου στον καθεδρικό ναό της Lucca , Ιταλία (12ος-13ος αιώνας) Λαβύρινθος ως διακοσμητικό στοιχείο στον καθεδρικό της πόλης Chartres, Γαλλία (11ος -12ος αιώνας) Λαβύρινθος – κήπος στο Breamore Mizmaze, Hampshire, Αγγλία
21 Γ. Λαγουδάκος Το πρώτο ερώτημα που θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στην σύντομη αναφορά μας είναι πως μπορούμε να επιλύουμε οποιονδήποτε λαβύρινθο. Ο μαθηματικός Leonhard Euler ήταν ένας από τους πρώτους που ασχολήθηκαν μαθηματικά με προβλήματα λαβυρίνθου. Οι λαβύρινθοι που δεν περιέχουν βρόχους (περίκλειστα διαμερίσματα) είναι γνωστοί ως "τυπικοί" ή "τέλειοι" λαβύρινθοι και είναι ισοδύναμοι με ένα δέντρο στη θεωρία γραφημάτων. Έτσι, πολλοί αλγόριθμοι επίλυσης λαβυρίνθου σχετίζονται στενά με τη θεωρία γραφημάτων . Διαισθητικά, αν κάποιος τραβήξει και τεντώσει τα μονοπάτια στο λαβύρινθο με τον σωστό τρόπο, το αποτέλεσμα θα μπορούσε να γίνει να μοιάζει με ένα δέντρο. Ας δούμε το γιατί με ένα παράδειγμα. Στο διπλανό λαβύρινθο ξεκινάμε από την είσοδο και θέλουμε να φθάσουμε στη θέση Μ. Σημειώνουμε με γράμματα κάθε φορά που συναντάμε αδιέξοδο ή διασταύρωση. Δηλαδή έχουμε κάτι σαν το διπλανό σχήμα … Ενώνουμε τις δυνατές διαδρομές σχηματίζοντας έναν γράφο. Τώρα η λύση είναι μία εύκολη υπόθεση. Παρατηρείστε ότι για τον συγκεκριμένο λαβύρινθο υπάρχουν δύο τρόποι για να φθάσει κάποιος στο σημείο στόχο. Ο τρόπος αυτός λειτουργεί να βλέπουμε τον λαβύρινθο από ψηλά τι γίνεται όμως όταν είμαστε μέσα του. Υπάρχει ασφαλής τρόπος να φθάσουμε στο σημείο στόχο;
22 Γ. Λαγουδάκος Ένας τρόπος είναι να ακουμπάμε με το ένα χέρι μας δεξί ή αριστερό έναν τοίχο συνεχώς και μετά από μία μακρά διαδρομή θα βρεθούμε στην έξοδο. Ο αλγόριθμός αυτός δεν δουλεύει όταν το σημείο στόχος είναι εσωτερικό σημείο του λαβυρίνθου όπως στο παράδειγμά μας. Άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε φιστίκια και πατατάκια ! Μπαίνουμε στον λαβύρινθο, οι φράκτες είναι υψηλοί και όλες οι διαδρομές και τα σημεία διακλαδώσεων φαίνονται ίδια. Τα φιστίκια και τα πατατάκια θα τα χρησιμοποιήσουμε ως δείκτες. Η μέθοδος που θα ακολουθήσουμε λέγεται αλγόριθμος του Trémaux και εφαρμόζεται σε όλους τους τύπους λαβυρίνθων. Κατ’ αρχήν σε κάθε λαβύρινθο υπάρχουν κάποια πολύ χαρακτηριστικά σημεία – κόμβοι. Η αρχή, το τέλος, τα αδιέξοδα και τα σημεία διασταύρωσης . 1ο Καθώς προχωράμε αφήνουμε πίσω μας φιστίκια και 2ο όποτε συναντάμε σημείο διασταύρωσης αφήνουμε ένα πατατάκι. 3ο Όταν φθάσουμε σε αδιέξοδο γυρνάμε πίσω (αφήνοντας μία δεύτερη σειρά από φιστίκια) μέχρι να φθάσουμε στο πρώτο πατατάκι που θα συναντήσουμε. 4ο Εκεί επιλέγουμε διαδρομή που δεν έχει σημειωθεί με φιστίκια. 5ο Κάθε φορά επιλέγουμε δεξιόστροφή ή αριστερόστροφη πορεία. Αν ακολουθήσουμε τις οδηγίες αυτές θα φθάσουμε τελικά στο τέλος του λαβυρίνθου. Ας δούμε τον αλγόριθμο με εικόνα σημειώνοντας τις διαδρομές – ίχνη από φιστίκια με πράσινα και κόκκινα διανύσματα και τα πατατάκια – σημεία διασταύρωσης με μπλε σημεία.
23 Γ. Λαγουδάκος Το δεύτερο ερώτημα που θα ασχοληθούμε είναι πως μπορούμε να κατασκευάσουμε τον δικό μας λαβύρινθο. Κάτι σαν τον διπλανό το πλακάκι λαβύρινθο της Βαβυλώνας (πλάκα με αριθμό MS 3194, Νορβηγική Συλλογή Schøyen) Ας ξεκινήσουμε λοιπόν ! Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο με αρχή και τέλος σε δύο απέναντι γωνίες. Χωρίστε το σε τρεις περιοχές, με ένα ακόμη άνοιγμα σε κάθε μία περιοχή. Σχεδιάστε μια μεταβλητή διαδρομή από το επάνω αριστερό σημείο εκκίνησης προς τη έξοδο της πρώτης περιοχής. Η διαδρομή χωρίζει την 1η περιοχή σε δύο μέρη. Ανοίγουμε από μία έξοδο στις δύο αυτές περιοχές για να δημιουργήσουμε αδιέξοδες διαδρομές. Συμπληρώνουμε την περιοχή με γραμμές και κενά στην τύχη έτσι και αλλιώς δεν οδηγούν πουθενά! . Συνεχίζουμε την διαδρομή – λύση του λαβυρίνθου μέσα από την 2η περιοχή.
24 Γ. Λαγουδάκος Συμπληρώνουμε την 2η περιοχή με αδιέξοδα και κενά, με την ίδια τεχνική όπως δουλέψαμε στο 1ο διαμέρισμα. Συνεχίζουμε την διαδρομή λύση στο 3ο διαμέρισμα μέχρι την έξοδο. Συμπληρώνουμε με αδιέξοδα και κενά … Επιβεβαιώνουμε την λύση. Με λίγη εξάσκηση θα μπορέσετε να φτιάξετε αριστουργήματα όπως τα παρακάτω. Βέβαια υπάρχει και ο πιο εύκολος τρόπος. Να δημιουργήσετε το δικό σας λαβύρινθο στον παρακάτω ιστότοπο http://www.mazegenerator.net/ και μετά να προσπαθήσετε να τον λύσετε.
25 Γ. Λαγουδάκος Tower of Hanoi Οι πύργοι του Hanoi είναι ένα λογικό πάζλ που κατασκευάσθηκε το 1883 από τον καθηγητή “Claus”, που στην πραγματικότητα πρόκειται για αναγραμματισμό του ονόματος του κ. Lucas!! Το πάζλ αυτό αποτελείται από τρεις στύλους και μία συλλογή από δίσκους διαφορετικών διαμέτρων, που μπορούν να τοποθετηθούν στους στύλους αυτούς. Το παιχνίδι ξεκινά έχοντας όλους τους δίσκους στο πρώτο στύλο, τοποθετημένους κατά σειρά διαμέτρων με το δίσκο που έχει μεγαλύτερο διάμετρο στη βάση. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι να μεταφερθούν όλοι οι δίσκοι από τον πρώτο στύλο στον τελευταίο με την ίδια τοποθέτηση. Επιτρέπεται να μετακινούμε έναν δίσκο κάθε φορά σε όποιον στύλο θέλουμε, με την προϋπόθεση, αν υπάρξουν δύο ή περισσότεροι δίσκοι κάποια φορά σε ένα στύλο αυτοί θα πρέπει να είναι τοποθετημένοι κατά φθίνουσα σειρά σε σχέση με τη διάμετρό τους , συνθήκη που ισχύει πάντα στο παιχνίδι αυτό. Η πρόκληση του παιχνιδιού συνιστάται στο να το λύσουμε με όσο το δυνατό λιγότερες κινήσεις !!! Για εξάσκηση παίξτε το παιχνίδι στη διεύθυνση : https://marcin-chwedczuk.github.io/assets/apps/hanoi/index.html
26 Γ. Λαγουδάκος Ανακαλύπτοντας Μαθηματικά !! Το καλό με τις διαδικτυακές εφαρμογές είναι ότι μπορείς να πειραματιστείς – να δοκιμάσεις. Αν έχουμε 1 μόνο δίσκο ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Μα προφανώς 1 κίνηση. Αν έχουμε 2 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Μα προφανώς 3 κινήσεις. Αν έχουμε 3 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Με λίγη εξάσκηση θα φθάσετε στο άριστο αποτέλεσμα των 7 κινήσεων. Αν έχουμε 4 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Εδώ τα πράγματα δυσκολεύουν, αλλά το ρεκόρ είναι 15 κινήσεις. Ανακαλύπτετε κάποια κρυμμένη μαθηματική σχέση ανάμεσα στους όρους της ακολουθίας 1 , 3 , 7 , 15 , … Σωστά το μαντέψατε ο κάθε όρος της ακολουθίας προκύπτει διπλασιάζοντας τον προηγούμενο και προσθέτοντας ένα, δηλαδή ισχύει ότι : ν ν 1 h 2 h 1 − =  + . Βρείτε έναν γενικό τύπο που να αποδίδει τους όρους της ακολουθίας. Υπάρ χ ει μί α ομάδα μον αχ ών σ το μακ ρι ν ό Θι βέτ που σ το μον ασ τή ρ ι του ς υ πάρχ ει έν α τέτοι ο πάζλ που αποτελ εί ται από 64 χ ρ υσ ού ς δί σκ ου ς κ αι 3 δι αμαν τέν ι ου ς σ τύ λ ου ς. Σύ μφων α με το γ εν ι κ ό τύπο που θ α βρ εί τε υ πάρ χ ουν 64 2 1 − κ ι ν ή σ ει ς γι α ν α λ υ θ εί όσ ο το δυ ν ατό γρ ηγ ορ ότερ α έν α τέτοι ο πάζλ . Οι μον αχ οί σ υ ν εχ ώς, από τότε που φτι άχ τηκ ε το μον ασ τήρ ι , κ άν ουν κ αι από μί α κ ί ν ησ η κ άθ ε έν α δευ τερ όλ επτο. Υπάρ χ ει έν ας θ ρ ύλ ος που λ έει ότι όταν το πάζλ λ υθ εί τότε θ α έρ θ ει κ αι το τέλ ος του κ όσ μου . Μη ν αν ησ υ χ εί τε όμως σύ μφων α με του ς υ πολ ογ ισ μού ς μου χ ρ ει άζον ται 583.344.214.028 χ ρ όν ι α γ ι α ν α γ ίν ει κ άτι τέτοι ο κ αι το μον ασ τή ρι εί ν αι μόλ ι ς 1500 ετών …
27 Γ. Λαγουδάκος Από τον αναδρομικό τύπο στον γενικό όρο: n n 1 n 2 2 n 2 2 n 3 3 2 n 3 n 1 n 2 2 1 n n 1 n 2 2 n h 2h 1 2(2h 1) 1 2 h 2 1 2 (2h 1) 2 1 2 h 2 2 1 ... 2 h 2 ... 2 2 1 2 1 2 2 ... 2 2 1 2 1 2 1 − − − − − − − − − = + = + + = + + = + + + = + + + = = + + + + + = − = + + + + + = = − − Υπάρχει στρατηγική – αλγόριθμος με βάση τον οποίο επιτυγχάνουμε την βέλτιστη λύση του παιχνιδιού για οποιοδήποτε αριθμό δίσκων ; Αν παίξουμε πολλές φορές πιθανόν να φθάσουμε στο σημείο να ανακαλύψουμε διάφορα μοτίβα κινήσεων που θα μας οδηγήσουν στην λύση. Υπάρχουν δύο αλγόριθμοι ο ένας χρησιμοποιεί αναδρομή και ο άλλος επανάληψη. 1. Ο επαναληπτικός αλγόριθμος Καταρχήν ας φανταστούμε τους στύλους να βρίσκονται σε κύκλο και όχι σε ευθεία και ας ορίσουμε τη μετακίνηση ενός δίσκου προς τα δεξιά ως θετική . Τότε ο επαναληπτικός αλγόριθμος συνίσταται στην επανάληψη των εξής δύο εντολών. Εντολή 1η : μετακίνησε το μικρότερο δίσκο μία θέση προς τα δεξιά. Εντολή 2η : κάνε την επόμενη επιτρεπτή κίνηση. Ο αλγόριθμός σταματά όταν όλοι οι δίσκοι έχουν μεταφερθεί σε άλλον στύλο από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο.
28 Γ. Λαγουδάκος Παράδειγμα Για 2 δίσκους : 1 1 2 2 1 1 2 2 → → → − − − − − − Για 3 δίσκους : 1 2 2 1 1 3 3 1 3 1 2 3 2 3 2 1 2 2 1 3 2 1 3 3 → → → → → − − − − − → → − − − Για 4 δίσκους : 1 2 2 3 3 3 3 1 1 4 4 1 4 1 2 4 2 4 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 4 3 2 4 3 4 3 3 4 3 4 2 1 1 1 3 3 3 2 3 4 2 3 4 2 4 2 1 4 1 4 1 2 3 4 → → → → → − − − − → → → → → − − − − → → → → → − − − −
29 Γ. Λαγουδάκος Θα παρατηρήσετε ότι όταν έχουμε 2 ή 4 δίσκους ο αλγόριθμος συγκεντρώνει τους δίσκους στον 3ο στύλο αν έχουμε όμως 3,5,… δίσκους ο αλγόριθμος τους συγκεντρώνει στον 2ο στύλο. 2. Ο αναδρομικός αλγόριθμος Για τις ανάγκες του αλγορίθμου συμβολίζουμε : με Δν τον ν-ιοστό – μεγαλύτερο - δίσκο και Δ(ν-1,ν-2,…,2,1) όλους τους υπόλοιπους και Α τον αρχικό στύλο, Τ τον τελικό και Β τον ενδιάμεσο βοηθητικό τότε η λογική του αλγορίθμου βασίζεται στην παρακάτω αναδρομική διαδικασία. Εντολή 1η : Μετακίνησε τους (1,2,...,ν 1) Δ − δίσκους από την Αρχική θέση στην Βοηθητική δηλαδή (1,2,...,ν 1),Α (1,2,...,ν 1),Β Δ Δ − − → Εντολή 2η : Μετακίνησε τον Δν δίσκο από την Αρχική θέση στην Τελική δηλαδή ν,Α ν,Τ Δ Δ → Εντολή 3η :Μετακίνησε τους (1,2,...,ν 1) Δ − δίσκους από την Βοηθητική θέση στη Τελική δηλαδή (1,2,...,ν 1),Β (1,2,...,ν 1),Τ Δ Δ − − → Παράδειγμα Για 2 δίσκους : 1,Α 1,Β 2,Α 2,Τ 1,Β 1,Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → λύση σε 3 κινήσεις. Τις 3 αυτές κινήσεις ας τη συμβολίσουμε ως μία με (1,2),Α (1,2),Τ Δ Δ → Για 3 δίσκους : (1,2),Α (1,2),Β 3,Α 3,Τ (1,2),Β (1,2),Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → παρατηρείστε ότι η 1η και η 3η κίνηση περιέχουν το πρόβλημα που αντιμετωπίσαμε των 2 δίσκων (αναδρομή) οπότε η επίτευξη μιας τέτοιας κίνησης εμπεριέχει 3 επιπλέον κινήσεις, άρα συνολικά η λύση του προβλήματος με 3 δίσκους απαιτεί 3+1+3=7 κινήσεις. Ολοκληρωμένη η λύση είναι η εξής :
30 Γ. Λαγουδάκος 1,Α 1,Τ 2,Α 2,Β (1,2),Α (1,2),Β 1,Τ 1,Β 3,Α 3,Τ 3,Α 3,Τ 1,Β 1,Α 2,Β 2,Τ (1,2),Β (1,2),Τ 1,Α 1,Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → →  → → → → → →  → Για 4 δίσκους : (1,2,3),Α (1,2,3),Β 4,Α 4,Τ (1,2,3),Β (1,2,3),Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → παρατηρείστε ότι το 1ο και το 3ο βήμα εμπεριέχουν το προηγούμενο πρόβλημα – αναδρομή. Αν σημειώσουμε ότι μία τέτοια διαδοχή κινήσεων αποτελείται από 7 κινήσεις τότε αντιλαμβανόμαστε ότι η λύση στη περίπτωση των 4 δίσκων επιτυγχάνεται με 7+1+7=15 κινήσεις. Ας δούμε αναλυτικά τη λύση. 1,Α 1,Β 2,Α 2,Τ 1,Β 1,Τ (1,2),Α (1,2),Τ 3,Α 3,Β (1,2,3),Α (1,2,3),Β 3,Α 3,Β 1,Τ 1,Α (1,2),Τ (1,2),Β 2,Τ 2 4,Α 4,Τ 4,Α 4,Τ (1,2),Β (1,2),Α (1,2,3),Β (1,2,3),Τ 3,Β 3,Τ (1,2),Α (1,2),Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → → → → → → → →   → → → → → → ,Β 1,Α 1,Β 4,Α 4,Τ 1,Β 1,Τ 2,Β 2,Α 1,Τ 1,Α 3,Β 3,Τ 1,Α 1,Β 2,Α 2,Τ 1,Β 1,Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → → → → → → → Για περισσότερες πληροφορίες επισκεφθείτε τα sites … https://www.hackerearth.com/blog/developers/tower-hanoi- recursion-game-algorithm-explained/ http://photodentro.edu.gr/lor/r/8521/1010
31 Γ. Λαγουδάκος Chess Το σκάκι προέρχεται από την Ινδία όπου τον 6ο αιώνα υπάρχει το παιχνίδι chaturanga με παρόμοια λογική με το σημερινό σκάκι. Την ίδια περίοδο συναντάμε στην Περσία το chat rang που μετά τη κατάκτηση της Περσίας από τους Άραβες ονομάζεται Shatranj . Η ισλαμική επέκταση φέρνει το παιχνίδι στην Δύση όπου το συναντάμε ως ajedrez στην Ισπανία, xadrez στην Πορτογαλία, ζατρίκιον (zatrikion) στα Ελληνικά. Στην Αγγλία επικράτησε αρχικά η ονομασία shah βασιλιάς, μετέπειτα η ονομασία check και τέλος η σημερινή ονομασία chess . Τα αρχαιότερα τεμάχια σκακιού από ελεφαντόδοντο βρέθηκαν στη Σαμαρκάνδη, στο Ουζμπεκιστάν και χρονολογούνται από το 760 μ.Χ. Το παλαιότερο γνωστό εγχειρίδιο σκακιού ήταν στα αραβικά και χρονολογείται από το 840-850 και γράφτηκε από τον al-Adli ar- Rumi (800-870), με τίτλο Kitab ash-shatranj. Στην Κίνα το σκάκι ονομάζεται xiangqi, εμφανίζεται σε ένα βιβλίο με τίτλο Xuán guaì lù που χρονολογείται περίπου στα 800. Μέχρι το 1000 m.X. το σκάκι έχει εξαπλωθεί σε ολόκληρη την Ευρώπη. Σώζεται ένα χειρόγραφο του 13ου αιώνα το libro de los juegos σχετικά με το shatranj . Περί το 1200, οι κανόνες του shatranj άρχισαν να τροποποιούνται στη νότια Ευρώπη, και γύρω στο 1475, πολλές σημαντικές αλλαγές κατέστησαν το παιχνίδι ουσιαστικά όπως είναι σήμερα γνωστό. Βιβλία για το σκάκι άρχισαν να εμφανίζονται από τον 15ο αιώνα χαρακτηριστικά αναφέρουμε το Repetición de Amores y Arte de Ajedrez εκδόθηκε στη Salamanca το 1497 από τον Luis Ramirez de Lucena.
32 Γ. Λαγουδάκος Τον 18ο αιώνα, το κέντρο της ευρωπαϊκής ζωής σκακιού μεταφέρθηκε από τις χώρες της Νότιας Ευρώπης στη Γαλλία. Οι δύο σπουδαιότεροι Γάλλοι δάσκαλοι ήταν ο François-André Danican Philidor , και αργότερα ο Louis- Charles Mahé de La Bourdonnais. Οι χώροι που παιζόταν το σκάκι εκείνη την εποχή ήταν καφενεία σε μεγάλες ευρωπαϊκές πόλεις όπως το Café de la Régence στο Παρίσι και το Divan του Simpson στο Λονδίνο Στον 19ο αιώνα εμφανίστηκαν λέσχες, βιβλία και περιοδικά. Οι εφημερίδες παρουσίαζαν σε καθημερινή βάση προβλήματα για το σκάκι όπου οι Bernhard Horwitz , Josef Kling και ο Samuel Loyd συνέθεσαν μερικά από τα πιο σημαντικά προβλήματα. Το 1843 ο von der Lasa δημοσίευσε το Handbuch des Schachspiels το πρώτο ολοκληρωμένο εγχειρίδιο της θεωρίας του σκακιού . Την περίοδο αυτή αρχίζουν και οι πρώτοι αγώνες. Το πρώτο σύγχρονο τουρνουά σκακιού διοργανώθηκε από τον Howard Staunton , κορυφαίο αγγλικό σκακιστή στο Λονδίνο το 1851 που το κέρδισε ο Γερμανός Adolf Anderssen, ο οποίος χαιρετίστηκε ως ο κορυφαίος σκακιστής. Το 1924 ιδρύθηκε στο Παρίσι η Παγκόσμια Ομοσπονδία Σκακιού (FIDE) και από τότε καθιερώθηκε και ο τίτλος του παγκόσμιου πρωταθλητή στο παιχνίδι αυτό. Στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα εμφανίζονται οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές προγραμματισμένοι να μπορούν να συναγωνιστούν στο παιχνίδι ακόμα και παγκόσμιους πρωταθλητές. Είναι κλασική η μονομαχία ανάμεσα στον παγκόσμιο πρωταθλητή Garry Kasparov και του Η-Υ IBM Deep Blue το 1997 όπου για πρώτη φορά η μηχανή κατόρθωσε να νικήσει τον άνθρωπο Από τότε έχουν εμφανιστεί αρκετές εφαρμογές όπου δίνουν την δυνατότητα να παίξει κάποιος σκάκι με τον υπολογιστή, επιλέγοντας ακόμα και το επίπεδο ανταγωνισμού. Ένα πολύ καλό ντοκιμαντέρ για την ιστορία του σκακιού στην Ελλάδα από το αρχείο της ΕΡΤ παρουσιάζεται στην υπερ- σύνδεση … François-André Danican Philidor Garry Kasparov
33 Γ. Λαγουδάκος Το σκάκι παίζεται σε ένα ταμπλό από 8Χ8=64 τετράγωνα. Κάθε παίκτης έχει 16 κομμάτια τον βασιλιά, την βασίλισσα, δύο ιππότες, δύο άλογα, δύο πύργους και 8 στρατιώτες. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι να συλληφθεί ο αντίπαλος βασιλιάς. Υπάρχει όμως και η δυνατότητα το παιχνίδι να λήξει ισόπαλο. Οι κινήσεις του κάθε κομματιού είναι : Ο βασιλιάς μπορεί να κινηθεί ένα τετράγωνο προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Ο πύργος μπορεί να μετακινηθεί οριζόντια ή κατακόρυφα απεριόριστα αλλά δεν μπορεί να πηδήσει πάνω από άλλα κομμάτια. Ο αξιωματικός μπορεί να μετακινηθεί διαγώνια απεριόριστα, αλλά δεν μπορεί να πηδήσει πάνω από άλλα κομμάτια. Η βασίλισσα συνδυάζει τις κινήσεις του πύργου και του αξιωματικού, γι’ αυτό είναι και το πολυτιμότερο κομμάτι του παιχνιδιού. Το άλογο μετακινείται κάνοντας το σχήμα “L” δύο τετράγωνα κάθετα και ένα τετράγωνο οριζόντια, ή δύο τετράγωνα οριζόντια και ένα τετράγωνο κατακόρυφα. To άλογο είναι το μόνο κομμάτι που μπορεί να πηδήσει πάνω από άλλα κομμάτια. Ο στρατιώτης μπορεί να προχωρήσει μπροστά ένα τετράγωνο. Στην πρώτη κίνησή του μπορεί να προχωρήσει, αν ο παίκτης θέλει, δύο τετράγωνα. Ο στρατιώτης μπορεί επίσης να κινηθεί και ένα τετράγωνο μπροστά διαγώνια στην περίπτωση όπου υπάρχει αντίπαλο κομμάτι οπότε με την κίνηση αυτή το εξουδετερώνει. Εκτός από το σκάκι που όλοι γνωρίζουμε υπάρχουν και διάφορες παραλλαγές του που ουσιαστικά διαφέρουν ως προς το ταμπλό που εξελίσσεται το παιχνίδι, τους κανόνες, αλλά και τον αριθμό των κομματιών που εμπλέκονται στο παιχνίδι. Παίκτες σκακιού στο Κάιρο Stanisław Chlebowski(1835-1884)
34 Γ. Λαγουδάκος Κλασικά μαθηματικά προβλήματα που σχετίζονται με το σκάκι! Independence problems Είναι προβλήματα τοποθέτησης του μέγιστου αριθμού ενός κομματιού π.χ. αξιωματικός, άλογο, βασίλισσα στην σκακιέρα ώστε κανένα κομμάτι να μη απειλεί το άλλο. Το πιο διάσημο από αυτά τα προβλήματα είναι αυτό των 8 βασιλισσών. Δηλαδή να τοποθετήσουμε το μέγιστο αριθμό από βασίλισσες στη σκακιέρα ώστε καμιά να μην απειλείται από τις υπόλοιπες. Ο μέγιστος αριθμός βασιλισσών σε μια σκακιέρα 8Χ8 είναι 8. Το ερώτημα που γεννιέται είναι σε μία σκακιέρα 10Χ10 ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός; Γενικά σε μία σκακιέρα νΧν ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός; Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι λύσεις στις περιπτώσεις όπου έχουμε βασιλιάδες, αξιωματικούς και βασίλισσες. Domination problems Πρόκειται για προβλήματα όπου το ζητούμενο είναι να τοποθετήσουμε στη σκακιέρα το ελάχιστο δυνατό αριθμό κομματιών (αξιωματικούς, βασίλισσες, άλογα) ώστε όλα τα ελεύθερα τετράγωνα να απειλούνται από τα κομμάτια που έχουμε τοποθετήσει. Τα παρακάτω σχήματα δίνουν την λύση του προβλήματος για βασιλιάδες, βασίλισσες, άλογα και αξιωματικούς.
35 Γ. Λαγουδάκος Knight’s Tour Στο πρόβλημα αυτό τοποθετούμε ένα άλογο σε ένα οποιαδήποτε τετράγωνο στη σκακιέρα και εκτελώντας την χαρακτηριστική L κίνησή του πρέπει να περάσει από όλα τα τετράγωνα της σκακιέρας από μία μόνη φορά.O μαθηματικός Alexander Chernov το 2014 υπολόγισε 19.591.828.170.979.904 λύσεις με το τετράγωνο εκκίνησης και το τετράγωνο κατάληξης να είναι διαφορετικά ( ανοικτός βρόγχος) Το παζλ πιστεύεται ότι ανακαλύφθηκε τον 9ο αιώνα στο Κασμίρ από ένα ποιητή με το όνομα Rudrata. Σε ένα επικό ποίημα 1008 στίχων με τίτλο Paduka Sahasram περιγράφεται μία κίνηση του ήρωα σε ένα χώρο που προσομοιάζεται με σκακιέρα 4Χ8. Η κίνηση που περιγράφεται αποδίδεται στο διπλανό σχήμα. Στη Δύση το πρόβλημα ήρθε ως μετάφραση από τα Αραβικά του χειρόγραφου «Nuzhat al-Arbab al-'aqulfi'sh- shatranj αal- manqul» (Η απόλαυση της ευφυίας , μια περιγραφή του σκακιού) που αποδίδεται στον επαγγελματία Άραβα παίκτη του σκακιού al- Adli ar-Rumi , που έζησε στη Βαγδάτη γύρω στο 840 μ.Χ. Ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που διερεύνησαν το πρόβλημα ήταν ο Leonhard Euler στα τέλη του 1770 γι’ αυτό και το πρόβλημα αναφέρεται και ως Euler Chess & Knight.Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η λύση που έδωσε ο Euler. Πρόκειται για μία ανοικτή διαδρομή. Στον Euler αποδίδεται και η επίλυση του προβλήματος και σε μικρότερες σκακιέρες, όπως αυτές που παρουσιάζονται παρακάτω.
36 Γ. Λαγουδάκος Στο διπλανό σχήμα δίνουμε μία κλειστή διαδρομή λύση του προβλήματος. Ο πρώτος αλγόριθμος επίλυσης ονομάστηκε Αλγόριθμος του Warnsdorf από τον μαθηματικό που τον ανέπτυξε το 1823. Στο video που δίνουμε μπορείτε να δείτε έναν αλγόριθμό επίλυσης του Puzzle με βάση το οποίο λύσαμε το puzzle. Οι βασικές αρχές του είναι να ξεκινά κάποιος από μία γωνία και να κινείται δεξιόστροφα προσπαθώντας πάντα να είναι κοντά στις πλευρές της τετράγωνης σκακιέρας. Με αφορμή το Knight’s Tour έχει φτιαχτεί το παιχνίδι Joust. Παίζεται σε μία σκακιέρα 8Χ8 από δύο παίκτες που έχουν από ένα άλογο διαφορετικού χρώματος. Τοποθετούν τα δύο άλογα σε δύο γωνίες και κινούνται εναλλάξ. Η κίνηση που κάνουν τα άλογα είναι η χαρακτηριστική L κίνηση. Όταν ένα άλογο αφήσει ένα τετράγωνο για να κινηθεί, το τετράγωνο αυτό γίνεται «καμένο» και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί πλέον στο παιχνίδι από κανένα παίκτη. Καθώς τα δύο άλογα κινούνται, ολοένα και περισσότερα τετράγωνα «καίγονται» άρα λιγότερα τετράγωνα παραμένουν διαθέσιμα για κίνηση. Τελικά όταν κάποιος παίκτης δεν μπορεί να κινήσει το άλογο του χάνει. Σε Ολυμπιάδα των Μαθηματικών δόθηκε το εξής θέμα. Η Αλίκη και ο Βασίλης παίζουν το εξής παιχνίδι. Σε μία σκακιέρα 8Χ8 η Αλίκη τοποθετεί σε κάποιο τετράγωνο ένα άλογο. Με τη σειρά του ο Βασίλης μετακινεί το άλογο εκτελώντας την χαρακτηριστική L κίνηση σε μία θέση. Κάθε φορά όταν μετακινείται το άλογο το τετράγωνο που αφήνει θεωρείται καμένο και δεν επιτρέπεται κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού να βάλουμε το άλογο σε αυτό. Οι δύο παίκτες παίζουν εναλλάξ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σίγουρη στρατηγική νίκης για τον Βασίλη. Ποια είναι αυτή; Στο video που δίνουμε θα καταλάβετε τη στρατηγική.
37 Γ. Λαγουδάκος Abstract strategy games Παιχνίδια αφηρημένης στρατηγικής 1η κατηγορία παιχνίδια σαν την γνωστή μας ντάμα … Η ντάμα (Jeu de dames) είναι επιτραπέζιο παιχνίδι στρατηγικής με πιόνια, που παίζεται με δύο παίκτες. Προέρχεται από την Ανατολή, έγινε γνωστή πρώτα στη Γαλλία την εποχή των μεγάλων σταυροφοριών και αργότερα σε όλη την Ευρώπη. Οι παίκτες τοποθετούν τα 20 πιόνια τους στα μαύρα τετράγωνα του ταμπλό ώστε οι δύο ομάδες να βρίσκονται αντιμέτωπες και παίζουν εναλλάξ έχοντας την δυνατότητα να προωθήσουν κάθε πούλι μπροστά διαγώνια δεξιά ή αριστερά μία μόνο θέση. Τα πούλια δεν μπορούν να μετακινηθούν πλάγια ή πίσω. Ο κάθε παίκτης μπορεί να "αιχμαλωτίσει" το πιόνι του αντιπάλου και να το βγάλει έξω όταν έχει την δυνατότητα να το πηδήξει. Αν υπάρχει η δυνατότητα μπορεί ένας παίκτης να κάνει πολλές συνεχόμενες κινήσεις πηδώντας διαδοχικά όσα πούλια του αντιπάλου μπορεί. Ένα πιόνι γίνεται ντάμα όταν φθάσει στην τελευταία γραμμή (πρώτη του αντιπάλου). Σε αυτήν την περίπτωση η ντάμα πλέον μπορεί να μετακινείται όσες θέσεις θέλει διαγωνίως (εμπρός και πίσω). Στο πούλι που μετατράπηκε σε ντάμα, τοποθετούμε ένα δεύτερο πούλι πάνω του, ώστε να ξεχωρίζει από τα υπόλοιπα. Το παιχνίδι τελειώνει όταν ένας από τους δύο παίκτες δεν έχει κανένα πούλι. Παραλλαγές της ντάμας υπάρχουν πολλές. Ενδεικτικά αναφέρουμε το Alquerque ή το Qirkat (Αραβία) Το παιχνίδι ήρθε στην Ευρώπη όταν οι Μαυριτανοί εισέβαλαν στην Ισπανία. Το παιχνίδι αυτό έφθασε στο Μεξικό από τους Ισπανούς και εξαπλώθηκε σε όλη την Αμερική.
38 Γ. Λαγουδάκος 2η κατηγορία παιχνίδια που παίζονται σε ένα γήπεδο που μοιάζει με αυτό της γνωστής μας τρίλιζα Η τρίλιζα είναι αρχαίο παιχνίδι, ένα τέτοιο παιχνίδι έχει βρεθεί χαραγμένο στο ναό του Karnak στην Αίγυπτο και χρονολογείται από το 1400 π.χ. Ένα άλλο έχει βρεθεί σε νεκροταφείο της εποχής του Χαλκού στην Ιρλανδία, αλλά και στην Ακρόπολη της Αθήνας. Η τρίλιζα έφτασε στο απόγειο της δημοτικότητάς της στην Ευρώπη την Αναγέννηση. Ήταν γνωστό στους αρχαίους Έλληνες με την ονομασία «τριόδιν» και σήμερα λέγεται και εννιάδα ή εννιάρα ή εννιάπετρο. Το ταμπλό της τρίλιζας αποτελείται από τρία τετράγωνα το ένα μέσα στο άλλο και τέσσερις κάθετες, που ενώνουν τα μέσα των πλευρών των τετραγώνων. Ο κάθε παίκτης παίρνει εννέα πιόνια διαφορετικού χρώματος ή είδους από αυτά του αντιπάλου και το παιχνίδι ξεκινά με κλήρο για το ποιος θα παίξει πρώτος, ο οποίος έχει την δυνατότητα να επιλέξει τη θέση στην οποία θα τοποθετήσει το αρχικό πιόνι του. Μετά εναλλάξ γίνεται η (κατάλληλη) τοποθέτηση και των εννέα πεσσών των δύο παικτών. Μετά την αρχική τοποθέτηση ο κάθε παίκτης μπορεί να μετακινήσει κάποιο πιόνι του σε διπλανή κενή θέση. Αυτός που θα κατορθώσει να τοποθετήσει τρία πιόνια σε ευθεία γραμμή – να σχηματίσει μία τρίλιζα – έχει τη δυνατότητα να αφαιρέσει ένα πιόνι – ένα πεσσό – του αντιπάλου. Χαμένος τελικά ήταν ο παίκτης που μένει με δύο μόνο πιόνια. Υπάρχει και η απλούστερη εκδοχή που παίζεται σε ένα ταμπλό σαν το διπλανό. Το παιχνίδι αυτό είναι αρκετά διαδεδομένο σε ολόκληρο τον κόσμο με πολλές ονομασίες όπως Achi (Γκάνα) ή tic-tac-toe ή Nine Holes στην Ευρώπη και Αμερική. είναι ένα παιχνίδι ευθυγράμμισης. Κάθε παίκτης έχει τέσσερεις χάντρες διαφορετικού χρώματος για να πέσει. Στην αρχή οι παίκτες εναλλάξ τοποθετούν τις χάντρες στα σημεία του ταμπλό μετά κάθε παίκτης μπορεί να κινηθεί κατά μήκος μιας γραμμής σε ένα διπλανό κενό σημείο. Νικητής είναι ο πρώτος παίκτης που θα δημιουργήσει τριάδα οριζόντια κάθετα ή διαγώνια.
39 Γ. Λαγουδάκος Σε όλο τον κόσμο υπάρχουν παιχνίδια «κυνηγιού» που παίζονται σε παρόμοια με την τρίλιζα ταμπλό και παρόμοιους κανόνες. Ενδεικτικά αναφέρουμε το Adugo . Είναι ένα παιχνίδι που προέρχεται από τη φυλή Bororo στην περιοχή Pantanal της Βραζιλίας . Στο παιχνίδι ο Jaguar ("adugo", στη γλώσσα του Bororo) κυνηγά τα σκυλιά. Το παιχνίδι είναι επίσης γνωστό ως Jaguar and Dogs . Στόχος του παιχνιδιού Ο ιαγουάρος προσπαθεί να συλλάβει τουλάχιστον πέντε σκυλιά για να σταματήσει το παιχνίδι ενώ τα σκυλιά προσπαθούν να περιβάλλουν τον ιαγουάρο και να μπλοκάρουν τις κινήσεις του. Κανόνες του παιχνιδιού Στην αρχή, ο ιαγουάρος βρίσκεται στο κεντρικό σημείο του γηπέδου και όλα τα σκυλιά στο μισό γήπεδο όπως στο διπλανό σχήμα. Ο ένας παίκτης θα είναι ο Ιαγουάρος και ο άλλος τα σκυλιά. Ο ιαγουάρος κινείται πρώτα. Οι παίκτες εναλλάσσονται και κινούν ή τον ιαγουάρο ή ένα σκυλί την φορά μετακινώντας τις χάντρες ένα διάστημα τη φορά πάνω στο μοτίβο που υπάρχει στο γήπεδο. Ο ιαγουάρος και τα σκυλιά μετακινούνται ένα διάστημα κάθε φορά ακολουθώντας το μοτίβο στο ταμπλό. Ο Ιαγουάρος συλλαμβάνει ένα σκυλί αν υπάρχει η δυνατότητα να το πηδήξει και να βρεθεί σε ελεύθερο σημείο. Τα σκυλιά δεν μπορούν να συλλάβουν. 3η κατηγορία παιχνίδια σαν το γνωστό μας Stratego Stratego είναι ένα επιτραπέζιο παιχνίδι για δύο παίκτες σε ένα ταμπλό 10Χ10 . Κάθε παίκτης έχει 40 κομμάτια που αντιπροσωπεύουν μεμονωμένους αξιωματικούς , στρατιώτες , τη σημαία, την βόμβα , τον κατάσκοπο κ.α. Όλη η ατμόσφαιρα παραπέμπει στους Ναπολεόντειους πολέμους. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι κάποιος παίκτης να βρει και να συλλάβει τη σημαία του αντιπάλου ή να συλλάβει τόσα πολλά κομμάτια του εχθρού που ο αντίπαλος να μην μπορεί να κάνει άλλες κινήσεις. Το παιχνίδι είναι παραλλαγή του Γαλλικού παιχνιδιού L'Attaque . Βρίσκεται σε παραγωγή στην Ευρώπη από τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο και
40 Γ. Λαγουδάκος τις Ηνωμένες Πολιτείες από το 1961. Δημιουργός του παιχνιδιού είναι ο Jacques Johan Mogendorff. Αρχικά οι εικόνες ήταν εκτυπωμένες σε χαρτί , αργότερα σε ξύλο και τέλος σε πλαστικό. Υπάρχουν πολλοί διαγωνισμοί Stratego σε όλο τον κόσμο. Το παιχνίδι είναι ιδιαίτερα δημοφιλές στις Κάτω Χώρες, τη Γερμανία , την Ελλάδα και το Βέλγιο , όπου διοργανώνονται παγκόσμια και εθνικά πρωταθλήματα. Παρόμοιο παιχνίδι είναι το Κινέζικο Luzhanqi όπου το πεδίο της μάχης περιλαμβάνει δρόμους βουνά και σιδηροδρόμους για ταχεία επίθεση. 4η κατηγορία σαν το γνωστό μας τάβλι Το τάβλι είναι ένα παιχνίδι για δύο παίκτες, παραλλαγή του οποίου είναι το δυτικό τάβλι (backgammon). Κάθε παίκτης κατέχει 15 πούλια, που κινούνται σε ειδικό ταμπλό σύμφωνα με τις ενδείξεις δυο ζαριών. Σκοπός του κάθε παίκτη είναι να μαζέψει πρώτος όλα τα πούλια από το ταμπλό. Ο παίκτης που ολοκληρώνει πρώτος το μάζεμα είναι και ο νικητής. Το ταμπλό του ταβλιού χωρίζεται σε τέσσερις περιοχές με κάθε περιοχή να περιλαμβάνει έξι θέσεις, συνολικά δηλαδή 24 θέσεων, όπως φαίνεται στην εικόνα. Κάθε παίκτης έχει μια περιοχή εκκίνησης και η απέναντί της περιοχή είναι η περιοχή μαζέματος του παίκτη. Τα πούλια τού παίκτη κινούνται κυκλικά από την περιοχή εκκίνησης
41 Γ. Λαγουδάκος στην περιοχή μαζέματος. Όταν ένας παίκτης έχει όλα του τα πούλια στην περιοχή μαζέματος του επιτρέπεται να ξεκινήσει το μάζεμα. Υπάρχουν τρία βασικά παιχνίδια : οι Πόρτες, το Πλακωτό και το Φεύγα. Το τάβλι θεωρείται τυχερό παιχνίδι διότι η εξέλιξή του εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τις ενδείξεις των ζαριών. Από τα προηγούμενα παιχνίδια, το πλακωτό γενικά θεωρείται ότι έχει τον σχετικά μικρότερο παράγοντα τύχης. Σχετικά με το είδος των τεχνικών απαιτήσεων οι πόρτες έχουν κάπως περισσότερες απαιτήσεις τακτικής, το πλακωτό κάπως περισσότερες απαιτήσεις στρατηγικής και το φεύγα είναι περισσότερο ισορροπημένο τόσο σε απαιτήσεις τακτικής όσο και στρατηγικής. Το τάβλι είναι ίσως το αρχαιότερο παιχνίδι που επιζεί μέχρι και τις ημέρες μας, αφού η πρώτη του εμφάνιση μαρτυρείται στη Μεσοποταμία, την περίοδο περίπου 2900 με 1800 πΧ. Ένα παρόμοιο παιχνίδι το Senet ή "παιχνίδι των τριάντα τετραγώνων" παιζόταν και στην Αρχαία Αίγυπτο. Άλλο ένα αρχαίο παιχνίδι σχετικό με το τάβλι που είναι άξιο αναφοράς είναι το Tact Nard παιζόταν στην Περσία από το 1600 πΧ το όνομά του σήμαινε «Μάχη σε ξύλο» και μεταφέρθηκε στην Ευρώπη από τους Άραβες. Στην Αρχαία Ελλάδα υπάρχει παρόμοιο παιχνίδι με το όνομα Πεσσοί ενώ και στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία με το όνομα Ludus Duodecim Scriptorum - παιχνίδι των δώδεκα γραμμάτων. Στο Μεσαίωνα , το παιχνίδι ήταν αρκετά γνωστό στην Ευρώπη, και είχε αποκτήσει δική του ονομασία και φήμη σε διάφορες ευρωπαϊκές χώρες. Μερικά από τα ονόματά του ήταν «Tables» (Αγγλία), «Tavola Reale» (Ιταλία), «Tablas Reales» (Ισπανία). Το τάβλι κατά περιόδους απαγορεύτηκε ή κατακρίθηκε από την Εκκλησία, καθώς έχει τον χαρακτήρα τυχερού παιχνιδιού. Ο Λουδοβίκος ο Θ' της Γαλλίας, το 1254 απαγόρευσε σε όλους τους υπηκόους του να παίζουν τάβλι. Το 1526 ο Άγγλος βασιλιάς Henry o 8ος διέταξε να καούν όλα τα ταμπλό του ταβλιού. Οι Άγγλοι παίκτες του παιχνιδιού σκέφτηκαν να
42 Γ. Λαγουδάκος καμουφλάρουν το ταμπλό κατασκευάζοντάς το αναδιπλούμενο, για να μοιάζει χοντρικά με βιβλίο. Σε αυτή την ιδέα οφείλει το σημερινό ταμπλό τη μορφή. Το 1743 ο Edmund Hoyle, εξέδωσε μια "Πραγματεία πάνω στο παιχνίδι του ταβλιού" τυποποιώντας τους κανόνες του παιχνιδιού και υποδεικνύοντας τακτικές για βέλτιστο παιχνίδι, οι οποίες είναι γενικά παραδεκτές ως χρήσιμες, ακόμα και σήμερα. Το παιχνίδι έφτασε στην Αμερική ταυτόχρονα με την Ευρώπη. Οι λογαριασμοί εξόδων του Τόμας Τζέφερσον το 1776, περίπου τον καιρό που έγραφε την Διακήρυξη της Ανεξαρτησίας δείχνουν κέρδη και απώλειες από παιχνίδια ταβλιού. Σε αυτή την περίοδο το παιχνίδι πήρε και το σημερινό του διεθνές όνομα, το ονόμασαν «bac» (πίσω) - «gamen» (παιχνίδι), επειδή όταν ένα πούλι «πιάσει» ένα άλλο, αυτό επιστρέφει πίσω στην αρχή. Τα μαθηματικά που μπορούμε να συναντήσουμε στο τάβλι είναι απλές αρχές πιθανοτήτων και για να είμαι σαφέστερος ας δούμε ένα παράδειγμα …. Παίζουμε πόρτες και ο αντίπαλος σε έχει χτυπήσει, συγχρόνως έχει πιάσει τέσσερεις από τις έξι θέσεις, που μπορείς να μπεις. Η κατάσταση είναι τραγική, τα έχεις βάψει μαύρα. Όμως δεν είναι έτσι, τουλάχιστον αυτά λένε οι πιθανότητες… Έχεις συνολικά 36 δυνατούς συνδυασμούς ζαριών, από αυτούς σου κάνουν για να μπεις οι 20. Άρα έχεις πιθανότητα για να μπεις 20 55,5% 36 = . Ηθικό δίδαγμα, όταν έχεις τις μαύρες σου παίζοντας τάβλι δες το από την πλευρά των πιθανοτήτων…
43 Γ. Λαγουδάκος Τέλος η πιο κλασική μαθηματική ιστορία που έχει να κάνει με σκακιέρα εξελίσσεται σε μακρινούς χρόνους στην Περσία. Ένας βασιλιάς θέλοντας να ευχαριστήσει τον Μαθηματικό που κατασκεύασε πρώτος για χάρη του το γνωστό σε όλους μας σκάκι, του πρότεινε να του κάνει ό,τι δώρο ήθελε. Τότε ο Μαθηματικός του ζήτησε κάτι πολύ απλό!!! Όπως είναι η σκακιέρα με τα 8Χ8 τετράγωνα, ο βασιλιάς να βάζει σπυριά ρυζιού στο κάθε τετράγωνο με έναν συγκεκριμένο τρόπο. Στο πρώτο τετράγωνο 1 σπυρί, στο 2ο τετράγωνο 2 σπυριά, στο 3ο τετράγωνο 2 2 σπυριά, στο 4ο τετράγωνο 3 2 σπυριά και ούτω καθεξής μέχρι και το 64ο τετραγωνάκι της σκακιέρας. Μόλις ο βασιλιάς θα τελείωνε, θα έδινε στον Μαθηματικό όλα τα σπυριά ρυζιού που θα ήταν στη σκακιέρα. Ο βασιλιάς, που από Μαθηματικά δεν θα ήξερε και πολλά, δέχθηκε. Πόσα σπυριά τελικά έπρεπε ο βασιλιάς να δώσει στον Μαθηματικό; Αν τα έχω υπολογίσει σωστά 18.446.744.073.709.551.615!!! Υποθέτοντας ότι κάθε σπυρί ρυζιού έχει βάρος περίπου 0,033gr, υπολογίστε πόσους τόνους ρυζιού θα έπρεπε να παραδώσει στον Μαθηματικό ο βασιλιάς. Για να επιβεβαιώσετε τους υπολογισμούς σας, σας δίνω την απάντηση 608.742.554.432 τόνους ρύζι !!!.
44 Γ. Λαγουδάκος Go Σύμφωνα με τον μύθο, ο Κινέζος αυτοκράτορας Yao (2337-2258 π.Χ.), επινόησε το παιχνίδι αυτό, για τον γιό του, ελπίζοντας να του διδάξει πειθαρχεία, συγκέντρωση και ισορροπία. Άλλοι μύθοι περιγράφουν Κινέζους στρατηγούς που το χρησιμοποιούσαν για να εξασκούν διάφορες στρατηγικές επίθεσης. Το Go θεωρείτο το παιχνίδι των αριστοκρατών στην Κίνα. Ήταν μια από τις 4 τέχνες (Go, Καλλιγραφία, Ζωγραφική και Guqin μουσικό όργανο) που έπρεπε να γνωρίζει κάποιος για να θεωρηθεί μορφωμένος. Τον 7ο αιώνα το Go έρχεται στην Ιαπωνία. Στις αρχές του 20ου αιώνα, ιδρύεται η πρώτη ακαδημία για παίκτες του Go. Πρόκειται για ένα στρατηγικό επιτραπέζιο παιχνίδι, οι δυο παίκτες, άσπρος και μαύρος, προσθέτουν εναλλάξ πέτρες στο go-ban (ταμπλό), περικυκλώνοντας περιοχή, φυλακίζοντας πέτρες του αντιπάλου και προστατεύοντας τις δικές τους πέτρες. Οι κανόνες του Go είναι πολύ απλοί, αλλά η στρατηγική που ακολουθεί είναι περίπλοκη. Η τελική βαθμολογία αποτελείται από την περιοχή που ελέγχει ο κάθε παίκτης και τον αριθμό των πετρών που κατάφερε να φυλακίσει. Δυο παίκτες, ο μαύρος και ο άσπρος, τοποθετούν εναλλάξ μια πέτρα στα σημεία που τέμνονται οι γραμμές ενός πίνακα 19X19. Ο μαύρος παίζει πρώτος. Υπάρχει η δυνατότητα το παιχνίδι να εξελιχθεί σε πίνακα 9Χ9 ή 13Χ13 για να είναι πιο σύντομο. Οι πέτρες πρέπει να έχουν άδεια σημεία γύρω τους (ελευθερίες) για να παραμείνουν στον πίνακα. Όταν μια πέτρα (ή μια ομάδα πετρών) περικυκλώνεται από αντίπαλες πέτρες, έτσι ώστε να μην έχει ελευθερίες, φυλακίζεται και αφαιρείται από το παιχνίδι.
45 Γ. Λαγουδάκος Εάν ένα σημείο είναι περικυκλωμένο ήδη από αντίπαλες πέτρες, τότε απαγορεύεται να παίξει κάποιος εκεί (κίνηση αυτοκτονίας). Η μόνη περίπτωση που επιτρέπεται η κίνηση αυτοκτονίας είναι εάν με την συγκεκριμένη κίνηση μπορεί να αφαιρεθεί ελευθερία των αντίπαλων πετρών, οπότε οι αντίπαλες πέτρες φυλακίζονται. Κανόνας Κο: ένα πιόνι που μόλις χτύπησε ένα άλλο πιόνι δεν επιτρέπεται να χτυπηθεί στην αμέσως επόμενη κίνηση. Πρέπει πρώτα να τοποθετηθεί ένα πιόνι σε άλλο σημείο του ταμπλό. Αυτό γίνεται για να μην υπάρχει η δυνατότητα συνεχούς επανάληψής της ίδιας κίνησης. Ο παίκτης μπορεί να μην παίξει πέτρα. Όταν και οι δυο παίκτες δεν παίξουν σε συνεχόμενες κινήσεις, το παιχνίδι τελειώνει και υπολογίζεται η βαθμολογία (ο καθένας μετρά τα άδεια σημεία περικυκλωμένα από δικές του πέτρες, συν τις αντίπαλες πέτρες που κατάφερε να φυλακίσει). Ο παίκτης με την μεγαλύτερη βαθμολογία κερδίζει το παιχνίδι. Επειδή ο μαύρος έχει το πλεονέκτημα της πρώτης κίνησης ο άσπρος ξεκινάει το παιχνίδι με μικρό προβάδισμα σε πόντους που λέγεται komidashi ή komi ,συνήθως 6.5 πόντους.Το komi μπορεί να προσαρμοστεί ανάλογα με την διαφορά σε δύναμη των δύο αντιπάλων. Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να πάρει αρνητικό πρόσημο, ενώ σπάνια είναι ακέραιος αριθμός. Για τον λόγο αυτό οι ισοπαλίες (jigo) στο go είναι μηδαμινές. Το go επιτρέπει και τα παιχνίδια με πλεονέκτημα. Αν ένας παίκτης είναι πιο δυνατός από τον αντίπαλο του, τότε παίρνει τα άσπρα, και δίνει στον μαύρο πλεονέκτημα ένα αριθμό πετρών στην αρχή του παιχνιδιού που καλύπτει τη διαφορά δύναμης. Από τον 16ο αιώνα, εφαρμόστηκαν βαθμίδες που παρουσιάζουν τη δύναμη των παικτών. Το σύστημα διαβάθμισης είναι παρόμοιο με αυτό των πολεμικών τεχνών. Οι αρχάριοι ξεκινούν από 30 kyu και όσο γίνονται καλύτεροι μειώνεται ώσπου να φθάσει στο 1 kyu. Μετά είναι η κατηγορία dan ή shodan στην οποία η διαβάθμιση βαίνει αυξανόμενη από το 1 dan μέχρι το 7 dan. Τέλος είναι η κατηγορία των επαγγελματιών παικτών αρχίζοντας από 1 pro dan έως και 9 pro dan.
46 Γ. Λαγουδάκος 2D – 3D puzzles with polyominoes Polyomino είναι ένα επίπεδο γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται με την ένωση δύο ή περισσότερων ίσων τετραγώνων. Ανάλογα με τον αριθμό των τετραγώνων έχουμε τα domino – tromino – tetromino – pentomino - hexomino κ.τ.λ. Τα σχήματα αυτά έχουν χρησιμοποιηθεί σε πολλά παζλ. Το όνομα polyomino επινοήθηκε από τον Solomon W. Golomb το 1953 και έγιναν ιδιαίτερα γνωστά στο ευρύ κοινό όταν ο Martin Gardner τα συμπεριέλαβε στη στήλη "Μαθηματικά Παιχνίδια" του Νοεμβρίου 1960 στο περιοδικό Scientific American. Υπάρχουν 5 tetromino , 12 pentomino, 35 hexomino Τα tetromino χρησιμοποιούνται στο γνωστό παιχνίδι tetris και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την πλακόστρωση επιφανειών διαφόρων διαστάσεων αλλά και στην κατασκευή κύβων Για παράδειγμα στα διπλανά σχήματα παρουσιάζονται πλακόστρωση 6Χ10 και κύβος 6Χ6. Μπορείτε να πλακοστρώσετε επιφάνεια 4Χ7; Κάντε μια προσπάθεια και αν καταλήξετε στο ότι αυτό δεν γίνεται προσπαθήστε να το αποδείξετε. Αν δεν μπορέσετε δεν πειράζει παρακολουθείστε το video …
47 Γ. Λαγουδάκος Όμοια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα pentominoes για πλακοστρώσεις, για παράδειγμα στα παρακάτω σχήματα έχουμε πλακοστρώσεις 6Χ10, 5Χ12, 4Χ15, 3Χ20, 8Χ8 Υπάρχουν καταπληκτικά ξύλινα παζλ για 2D αλλά 3D κατασκευές Μπορείτε να ανακαλύψετε χρησιμοποιώντας pentominoes … μία από τις 2339 διαφορετικές λύσεις πλακόστρωσης ορθογωνίου 6Χ10 ή μία από τις 2 λύσεις πλακόστρωσης ορθογωνίου 3Χ20 ή μία από τις 368 λύσεις πλακόστρωσης ορθογωνίου 4Χ15 ή μία από τις 1010 λύσεις πλακόστρωσης ορθογωνίου 5Χ12 ή μία από τις 3940 λύσεις κατασκευής ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων 5Χ4Χ3 ή μία από τις 264 λύσεις κατασκευής ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων 6Χ5Χ2 ή μία από τις 12 λύσεις κατασκευής ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων 10Χ3Χ2
48 Γ. Λαγουδάκος Υπάρχουν ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα που σχετίζονται με χρήση domino, triomino, tetromino κ.τ.λ. στο επίπεδο. Το πιο γνωστό είναι « το πρόβλημα της ακρωτηριασμένης σκακιέρας» το πρωτοδιατύπωσε ο φιλόσοφος Max Black στο βιβλίο του Critical Thinking (1946) και έγινε ευρύτερα γνωστό από τον Martin Gardner . Το πρόβλημα έχει ως εξής: Ας υποθέσουμε ότι σε μια σκακιέρα 8 × 8 έχουν αφαιρεθεί τα δύο διαγωνίως απέναντι τετράγωνα. Έτσι έχουν απομείνει στην σκακιέρα 62 τετράγωνα. Το ερώτημα είναι αν μπορούμε να τοποθετήσουμε 31 domino ώστε να πλακοστρώσουμε πλήρως την σκακιέρα. Το πρόβλημα είναι αδύνατο. Ένα ντόμινο τοποθετημένο στη σκακιέρα θα καλύπτει πάντα ένα λευκό τετράγωνο και ένα μαύρο τετράγωνο. Ως εκ τούτου, μια συλλογή ντόμινο που τοποθετείται στο ταμπλό θα καλύπτει ίσους αριθμούς τετραγώνων κάθε χρώματος. Εάν οι δύο λευκές γωνίες αφαιρεθούν από το ταμπλό τότε 30 λευκά τετράγωνα και 32 μαύρα τετράγωνα παραμένουν να καλύπτονται από ντόμινο, οπότε αυτό είναι αδύνατο. Αν αφαιρεθούν οι δύο μαύρες γωνίες, τότε παραμένουν 32 άσπρα τετράγωνα και 30 μαύρα τετράγωνα, οπότε είναι και πάλι αδύνατο. Παρόμοιο πρόβλημα είναι και η πλακόστρωση με domino μιας σκακιέρας που έχουν αφαιρεθεί οπουδήποτε δύο τετράγωνα ίδιου χρώματος. Αν όμως αφαιρεθούν δύο τετράγωνα διαφορετικού χρώματος είναι πάντα δυνατή η πλακόστρωση. Η πρόταση αυτή λέγεται θεώρημα του Ralph E. Gomory του μαθηματικού που το πρωτοδιατύπωσε το 1973. Ένα δεύτερο γνωστό πρόβλημα είναι : Αν έχουμε μία επιφάνεια που αποτελείται από ν ν 2 2  τετράγωνα (με ν  ), μπορεί πάντα μπορεί να πλακοστρωθεί από πλακάκια σχήματος L ,δηλαδή από πλακάκια σαν το διπλανό σχήμα, αφήνοντας μόνο ένα τυχαίο τετραγωνάκι ακάλυπτο. Κατ’ αρχήν σε μία επιφάνεια 2Χ2 τότε είναι προφανές ότι αυτή μπορεί να καλυφτεί από ένα πλακάκι σχήματος L αφήνοντας ένα τετράγωνο ακάλυπτο.
49 Γ. Λαγουδάκος Αν έχουμε μία επιφάνεια 4Χ4 μπορεί να καλυφθεί από πλακάκια σχήματος L αφήνοντας μόνο ένα τετράγωνο ακάλυπτο; Χωρίζουμε το τετράγωνο σε τέσσερα τεράγωνα 2Χ2. Αφαιρώντας από τα τρία «κενά» τετράγωνα από ένα τετράγωνο στο κέντρο καταλήγουμε σε τέσσερα τετράγωνα της περίπτωσης 2Χ2 Εύκολα μπορούμε τώρα να πλακοστρώσουμε την επιφάνεια μας με πλακάκια σχήματος L, αφήνοντας μόνο ένα πλακάκι ακάλυπτο, αυτό που είχε εξ αρχής επιλεγεί . Αν έχουμε μία επιφάνεια 8Χ8, μπορεί να καλυφθεί από πλακάκια σχήματος L αφήνοντας μόνο ένα πλακάκι ακάλυπτο;
50 Γ. Λαγουδάκος Χωρίζουμε το τετράγωνο σε τέσσερα τετράγωνα 4Χ4. Αφαιρώντας από τα τρία «κενά» τετράγωνα από ένα τετράγωνο στο κέντρο καταλήγουμε σε τέσσερα τετράγωνα της περίπτωσης 4Χ4. Εύκολα μπορούμε τώρα να πλακοστρώσουμε την επιφάνεια μας με πλακάκια σχήματος L, αφήνοντας μόνο ένα πλακάκι ακάλυπτο, αυτό που είχε εξ αρχής επιλεγεί . Είναι προφανές ότι η επίλυση του προβλήματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια της μαθηματικής επαγωγής. Το πρόβλημα για επιφάνεια 1 1 2 2  έχει λυθεί. Υποθέτουμε ότι είμαστε σε θέση να λύσουμε το πρόβλημα για επιφάνεια ν ν 2 2  τετραγώνων με ένα οποιοδήποτε τετράγωνο κενό. Θα αποδείξουμε ότι μία επιφάνεια με ν 1 ν 1 2 2 + +  τετράγωνα με ένα οποιοδήποτε τετραγωνάκι κενό μπορεί να καλυφθεί πλήρως με πλακίδια σχήματος L εκτός του αρχικού κενού τετραγώνου. Χωρίζουμε το τετράγωνο σε τέσσερα τετράγωνα με ν ν 2 2  τετράγωνα, αφαιρούμε τα τρία κεντρικά τετράγωνα και το πρόβλημα ανάγεται στην προηγούμενη περίπτωση.
51 Γ. Λαγουδάκος Ας δούμε μερικά ακόμα κλασικά προβλήματα … Πρόβλημα 1ο Να πλακοστρώσετε επιφάνεια σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου χρησιμοποιώντας μία μόνο φορά κάθε ένα από τα 12 πεντόνιμα Μία λύση είναι αυτή που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα όπου σχηματίζεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαστάσεων 6Χ10, υπάρχουν όμως και οι λύσεις που καλύπτουν ορθογώνια διαστάσεων 12Χ5 ή 4Χ15 ή 3Χ20. Πρόβλημα 2ο Αποδείξτε ότι δεν μπορούμε να πλακοστρώσουμε επιφάνεια σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου χρησιμοποιώντας τα 5 τετρόμινα από μία φορά. Απόδειξη Η επιφάνεια θα έχει εμβαδόν 4Χ5=20 τ.μ. Αν ζωγραφίσουμε το ορθογώνιο σαν μία σκακιέρα θα παρατηρήσουμε ότι ο αριθμός των λευκών και ο αριθμός των μαύρων τετραγώνων είναι ίσος. Αν κάνουμε το ίδιο και με τα 5 τετρόμινα παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει τρόπος τα λευκά και μαύρα τετράγωνα να είναι του ίδιου πλήθους.
52 Γ. Λαγουδάκος Πρόβλημα 3ο Να πλακοστρωθεί επιφάνεια σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου διαστάσεων 3Χ20 χρησιμοποιώντας το κάθε ένα μία μόνο φορά. Υπάρχουν δύο λύσεις του προβλήματος. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται η μία, η άλλη είναι δική σας δουλειά! Πρόβλημα 4ο Χώρισε τα 12 πεντόμινο σε τρείς ομάδες των 4 και να βρείτε επιφάνεια εμβαδού 20τ.μ. που η κάθε ομάδα μπορεί να την πλακοστρώσει. Μία λύση παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα, υπάρχουν άλλες; Πρόβλημα 5ο Να προσδιορίσουμε την ελάχιστη επιφάνεια όπου και τα 12 τα πεντόμινα μπορούν να χωρέσουν
53 Γ. Λαγουδάκος Πρόβλημα 6ο Να αποδείξετε ότι από τα 5 τετρόμινο μόνο 4 μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να καλυφθεί μία σκακιέρα Για την απόδειξη δείτε το παρακάτω σχήμα. Πρόβλημα 7ο Επίλεξε ένα οποιοδήποτε πεντόμινο και χρησιμοποιώντας 9 από τα υπόλοιπα να κατασκευάσετε ένα σχήμα όμοιο με το πεντόμινο που διαλέξαμε αλλά τριπλάσιο σε μέγεθος. Στο παρακάτω σχήμα δίνουμε δύο λύσεις. Υπάρχουν και άλλες;
54 Γ. Λαγουδάκος Πρόβλημα 8ο Πλακόστρωσε μία σκακιέρα της οποίας λείπουν οι τέσσερεις άκρες χρησιμοποιώντας τα 12 πεντόμινα από μία φορά το καθένα. Η λύση … Το πρόβλημα μπορεί να γενικευθεί και ως εξής. Να πλακοστρώσετε μία σκακιέρα 8Χ8 χρησιμοποιώντας τα 12 πεντόμινα και ένα οποιοδήποτε τετρόμινο από μία φορά. Πρόβλημα 9ο Χώρισε τα 12 πεντόμινο σε 3 ομάδες των 4 και χρησιμοποιώντας τα πεντόμινα της κάθε ομάδας να σχηματίσετε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαστάσεων 3Χ7 του οποίου να λείπει ένα τετράγωνο Η μοναδική λύση … Πρόβλημα 10ο Κάλυψε ένα τετράγωνο διαστάσεων 5Χ5 χρησιμοποιώντας 4 τετρόμινο και 1 πεντόμινο. Δύο λύσεις. Υπάρχουν και άλλες;
55 Γ. Λαγουδάκος 3D Puzzles a. Cubes To Soma cube είναι ένα 3D puzzle που εφευρέθηκε από τον Piet Hein το 1933 Επτά κομμάτια που συνθέτονται από μοναδιαίους κύβους πρέπει να χρησιμοποιηθούν ώστε να κατασκευαστεί ένας κύβος 3Χ3Χ3 Οι μαθηματικές ιδιότητες του Soma cube μελετήθηκαν από τον John Horton Conway τον Σεπτέμβρη του 1958 στο περιοδικό Scientific American. Υπάρχουν 240 ξεχωριστές λύσεις του παζλ. Μία δυσκολότερη εκδοχή του είναι ο Bedlam cub που είναι ένα 3D puzzle με 13 κομμάτια με σκοπό να φτιαχτεί ένας κύβος 4Χ4Χ4 Στον παρακάτω σύνδεσμο παρουσιάζεται μία λύση του puzzle. http://danieltebbutt.com/bedlam.html Παρόμοιος μηχανικός κύβος είναι ο Snake cube . Πρόκειται για μία αλυσίδα από 27 ή 64 κύβους που συνδέονται μεταξύ τους και μπορούν να περιστραφούν ελεύθερα ώστε να σχηματιστεί ένας κύβος διαστάσεων 3Χ3Χ3 ή 4Χ4Χ4.
56 Γ. Λαγουδάκος b. Burr Puzzles Λέγονται τα παζλ – συνήθως ξύλινα – που τρία ή περισσότερα κομμάτια με εγκοπές συνδυάζονται για να σχηματίσουν ένα τρισδιάστατο συμμετρικό στερεό. Ο όρος "burr" αναφέρεται για πρώτη φορά σε ένα βιβλίο του 1928 από τον Edwin Wyatt. Η προέλευση των παζλ παιχνιδιών είναι άγνωστη. Παρουσιάζονται ως παιχνίδια σε πολλούς πολιτισμούς όπως στην Κίνα ή στην Ινδία. Στα τέλη της δεκαετίας του 1970 έγινε μία συστηματική διερεύνηση των ιδιοτήτων των παζλ από τον μαθηματικό Bill Cutler που δημοσιεύθηκε από τον Martin Gardner στο Scientific American. Το Puzzle Knot ή Chinese Cross είναι το παλαιότερο puzzle της κατηγορίας αυτής. Έξι κομμάτια ξύλου συνδυάζονται για να σχηματίσουν ένα στερεό σε σχήμα σταυρού. Υπάρχει καταγεγραμμένο δίπλωμα ευρεσιτεχνίας για το παζλ αυτό στις ΗΠΑ από το 1917 Ένα από τα πιο γνωστά παζλ είναι και ο σταυρός Cross που φτιάχνεται από τρία κομμάτια με κατάλληλη περιστροφή και συνδυασμού των επί μέρους στοιχείων. Επόμενο είναι το παζλ Altekruse – σταυρός στα γερμανικά και πρωτοπαρουσιάστηκε το 1890. Ένα κλασικό Altekruse αποτελείται από 12 ίδια κομμάτια. Για να το αποσυναρμολογήσετε, τα δύο μισά του παζλ πρέπει να μετακινηθούν σε αντίθετες κατευθύνσεις. Με την ίδια αρχή, μπορούν να δημιουργηθούν και άλλα παζλ της οικογένειας αυτής, με 6, 24, 36 κομμάτια.
57 Γ. Λαγουδάκος Το παζλ Chuck εφευρέθηκε και κατοχυρώθηκε με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας από τον Edward Nelson το 1897. To Chuck αποτελείται κυρίως από τεμάχια ραβδίων σε σχήμα U με διάφορα μήκη και μερικά με επιπλέον εγκοπή που χρησιμοποιούνται ως κομμάτια κλειδιού. Υπάρχουν πολλά είδη το Baby chuck που είναι το ευκολότερο το Papa-chuck το Grand papa-chuck κ.α. Το puzzle Pagoda ή Japanese Crystal. Αναφέρεται στο βιβλίο του Wyatt του 1928. Υπάρχουν puzzle διαφόρων μεγεθών. Το μέγεθος 1 έχει 3 κομμάτια το μέγεθος 2 έχει 9 κομμάτια. Συναντάμε παζλ με 19-33-51 κομμάτια. Το παζλ Star, όπως λέει και η ονομασία του προσομοιάζει με αστέρι με ποικίλο αριθμό αχτίνων. c. Barrels and Balls puzzles. Όπως το λέει και η ονομασία τους πρόκειται για 3D Puzzles όπου σχηματίζεται ένα βαρέλι ή μία σφαίρα …
58 Γ. Λαγουδάκος Στον παρακάτω σύνδεσμο θα βρείτε μία μεγάλη ποικιλία από κινέζικα παζλ … https://chinesepuzzles.org/ Η λύση του Barrel puzzle Μία συλλογή από 3D Puzzle
59 Γ. Λαγουδάκος Game of life Το Παιχνίδι της Ζωής είναι ένα παιχνίδι που εξελίσσεται μόνο του και εξαρτάται μόνο από τις αρχικές συνθήκες που θα δώσει κανείς. Στο παιχνίδι αυτό πρωταγωνιστές είναι τετράγωνα που ζουν, αναπτύσσονται και πεθαίνουν σε μία άπειρη δισδιάστατη σκακιέρα. Δημιουργός του παιχνιδιού είναι ο Βρετανός μαθηματικός John Horton Conway το 1970. Στην αρχή μαρκάροντας κάποια τετράγωνα τους δίνουμε «ζωή». Τα τετράγωνα αυτά αποτελούν την πρώτη κοινότητα στον κόσμο που έχουμε δημιουργήσει. Είναι η στιγμή μηδέν. Μετά το παιχνίδι εξελίσσεται μόνο του. Μια σειρά από γεννήσεις και θάνατοι συμβαίνουν. Ο αρχικός πληθυσμός μπορεί να αυξηθεί ή να εξαφανιστεί, μπορεί να παραμείνει ακίνητος ή να κινηθεί, μπορεί να σχηματίσει άλλες μορφές, στατικές ή δυναμικές. Το κάθε τετράγωνο αλληλοεπιδρά συνεχώς με τα τριγύρω του τετράγωνα με τους εξής κανόνες. 1. Οποιοδήποτε ζωντανό τετράγωνο με λιγότερους από δύο ζωντανούς γείτονες πεθαίνει από μοναξιά. 2. Κάθε ζωντανό τετράγωνο με δύο ή τρεις ζωντανούς γείτονες συνεχίζει να ζει. 3. Οποιοδήποτε ζωντανό τετράγωνο με περισσότερους από τρεις ζωντανούς γείτονες πεθαίνει από υπερπληθυσμό. 4. Κάθε νεκρό τετράγωνο με ακριβώς τρεις ζωντανούς γείτονες τετράγωνα ζωντανεύει. Το παιχνίδι έκανε την πρώτη του δημόσια εμφάνιση στο τεύχος Οκτωβρίου 1970 του Scientific American , στη στήλη " Μαθηματικά παιχνίδια " του Martin Gardner στο οποίο ο Gardner το χαρακτήρισε ως ένα παιχνίδι που μπορεί και προσομοιάζει τις πραγματικές διαδικασίες ζωής. Από τη δημοσίευσή του, το Game of Life έχει προσελκύσει μεγάλο ενδιαφέρον λόγω των εκπληκτικών τρόπων με τους οποίους τα μοτίβα μπορούν να εξελιχθούν. Ανάλογα με την εξέλιξη του παιχνιδιού τα αρχικά μοτίβα ταξινομούνται σε τρεις κατηγορίες. Τις ακίνητες ζωές οι οποίες δεν αλλάζουν από τη μια γενιά στην άλλη, στους ταλαντωτές οι οποίοι επιστρέφουν στην αρχική τους
60 Γ. Λαγουδάκος κατάσταση μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό γενεών και στα διαστημόπλοια όπου παρουσιάζουν κίνηση σε όλο το πλέγμα. . Τα παραπάνω σχήματα αποτελούν χαρακτηριστικές περιπτώσεις αρχικών μοτίβων που καθ’ όλη την εξέλιξη του παιχνιδιού παραμένουν ακίνητα και αναλλοίωτα. Τα παραπάνω είναι αρχικά μοτίβα – «ταλαντωτές» τα τρία που φαίνονται στην δεξιά στήλη μετά από 2 στιγμές ο κόσμος τους επανέρχεται στην αρχική κατάσταση στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σύστημα έχει περίοδο 2. Ενώ το τρίτο που το λένε «pulsar» και έχει περίοδο 3. Στα παρακάτω τρία σχήματα παρουσιάζονται οι αντίστοιχες 3 κινήσεις – εξελίξεις του κόσμου “pulsar”
61 Γ. Λαγουδάκος Τα διαστημόπλοια είναι τα πλέον θεαματικά ας παρατηρήσουμε κάποια … Το πρώτο λέγεται “glider” – ανεμοπλάνο ενώ τα άλλα δύο λέγονται LWSS και MWSS (χαμηλού και μεσαίου βάρους διαστημόπλοια) Ας δούμε μερικές στιγμές της ζωής αυτών των περίεργων πλασμάτων. Όταν παρουσιάζεται όμως ένας τέτοιος κόσμος με παγωμένες και στατικές εικόνες χάνεται η διεύθυνση της κίνησης… Έτσι μπορείτε να παρατηρήσετε ότι ενώ υπάρχει μία μορφή «περιόδου 4» εν τούτοις επειδή ο κόσμος μας κινείται το διαστημόπλοιο αναπαράγει τον εαυτό του κάθε 4 στιγμές αλλά σε άλλη θέση. Ο Conway αρχικά υπέθεσε ότι κανένα μοτίβο δεν μπορεί να αναπτυχθεί επ’ αόριστο. Επομένως οποιαδήποτε αρχικός «κόσμος» με πεπερασμένο αριθμό ζωντανών τετραγώνων δεν μπορεί να αυξηθεί πέρα από κάποιο πεπερασμένο ανώτερο όριο. Στην αρχική εμφάνιση του παιχνιδιού στα "Μαθηματικά παιχνίδια", ο Conway πρόσφερε ένα έπαθλο πενήντα δολαρίων σε αυτόν που θα μπορούσε να αποδείξει ή να διαψεύσει την εικασία πριν από το τέλος του 1970. Το βραβείο κέρδισε τον Νοέμβριο από μια ομάδα από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης με επικεφαλής τον Bill Gosper . Το μοτίβο που ονομάστηκε "Gosper glider gun" είναι αυτό που παρουσιάζεται παρακάτω και παράγει το πρώτο διαστημόπλοιο στη 15η γενιά και μετά ένα άλλο διαστημόπλοιο κάθε 30η γενιά.
62 Γ. Λαγουδάκος Πηγή Wikipedia Αργότερα βρέθηκαν μικρότερα μοτίβα που εμφανίζουν επίσης άπειρη ανάπτυξη. Τα τρία μοτίβα που εμφανίζονται παρακάτω αναπτύσσονται επ’ αόριστο. Το πρώτο έχει μόνο δέκα ζωντανά τετράγωνα αριθμός που έχει αποδειχθεί ότι είναι ο ελάχιστος ικανός για να πετύχουμε μία κοινότητα που να αναπτύσσεται συνεχώς Στις 18 Μαΐου 2010, ο Andrew J. Wade ανακοίνωσε ένα μοτίβο, με το όνομα "Gemini", το οποίο δημιουργεί ένα αντίγραφο του εαυτού του, ενώ καταστρέφει τον γονέα του. Το μοτίβο αυτό-αναπαράγεται μετά από 34 εκατομμύρια στιγμές. Στον παρακάτω σύνδεσμο μπορείτε να πειραματιστείτε με τη μορφή που θα έχει ο αρχικός σχηματισμός των «ζωντανών» τετραγώνων και την εξέλιξη του κόσμου που θα έχετε δημιουργήσει. https://bitstorm.org/gameoflife/
64 Γ. Λαγουδάκος Hexagon games Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με παιχνίδια που παίζονται σε εξαγωνικό ταμπλό. Το εξαγωνικό ταμπλό έχει πλεονεκτήματα αλλά και μειονεκτήματα σε σχέση με το τετραγωνικό. Ως πλεονέκτημα θεωρείται το γεγονός ότι το κέντρο κάθε κελιού στο εξαγωνικό πλέγμα απέχει το ίδιο από όλα τα γειτονικά του, όπως επίσης τα γειτονικά κελιά μοιράζονται κοινές πλευρές και όχι όπως στο τετραγωνικό που υπάρχουν γειτονικά κελιά που έχουν επαφή σε ένα μόνο σημείο. Ως μειονέκτημα θα αναφέρουμε ότι οι δυνατοί προσανατολισμοί στο εξαγωνικό μειώνονται σε έξι αντί σε οκτώ που είναι στο τετραγωνικό. Η κίνηση ανατολικά ή δυτικά αντικαθίσταται με μία περίεργη κίνηση ζικ-ζακ πηδώντας γειτονικά κελιά. Το πλέον γνωστό παιχνίδι που παίζεται σε εξαγωνικά κελιά είναι το επιτραπέζιο παιχνίδι στρατηγικής Hex. Παίζεται από δύο παίκτες. Ο σκοπός είναι να συνδεθούν οι δύο απέναντι ακμές του γηπέδου με μία συνεχόμενη αλυσίδα. Δημιουργοί του παιχνιδιού οι μαθηματικοί Piet Hein και John Nash, οι δύο μαθητικοί το εφηύραν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον το 1940. Με τον τίτλο Hex το παιχνίδι κυκλοφόρησε το 1952. Την ίδια χρονιά ο John Nash απέδειξε με χρήση γραμμικής άλγεβρας ότι ο πρώτος παίκτης έχει πλεονέκτημα νίκης. Την 1η δεκαετία του 21ου αιώνα το παιχνίδι έγινε ηλεκτρονικό και στις 30 Οκτωβρίου του 2019 υπολογιστής νίκησε τον καλύτερο παίκτη του παιχνιδιού. Η στρατηγική νίκης του παιχνιδιού είναι να δημιουργήσει κάποιος παίκτης την λεγόμενη ασφαλή σύνδεση. Πρόκειται για μία αλυσίδα σαν το διπλανό σχήμα όπου υπάρχουν δύο εναλλακτικές κινήσεις για ενωθούν σε αλυσίδα δύο αποκομμένες σειρές.
65 Γ. Λαγουδάκος Παρόμοια παιχνίδια είναι το “Y” που παίζεται σε ένα ταμπλό που προσομοιάζει με γεωδαιτικό τρίγωνο. Οι παίκτες παίζουν εναλλάξ και κερδίζει εκείνος που έχει συνδέσει με κάποιον τρόπο και τις τρεις πλευρές του τριγώνου ή δύο κορυφές του και το Havannah που νικητής είναι εκείνος που θα σχηματίσει μία περίκλειστη αλυσίδα ή μία αλυσίδα που συνδέει δύο κορυφές του γηπέδου ή μία αλυσίδα που ενώνει σημεία τριών πλευρών του γηπέδου Το επόμενο παιχνίδι που θα παρουσιάσουμε είναι ηλεκτρονικό και λέγεται Chat noir δηλαδή Μαύρη Γάτα. Σε ένα εξαγωνικό πλέγμα κινείται μία γάτα, συγχρόνως υπάρχουν ήδη σημειωμένα κάποια σημεία – εμπόδια. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι ο παίκτης να τοποθετήσει τα δικά του σημεία – εμπόδια ώστε να μην επιτρέψει στην γάτα να φύγει εκτός του γηπέδου. Το εξαγωνικό πλέγμα επιτρέπει στην γάτα να κινηθεί προς έξι κατευθύνσεις, έτσι το κυνηγητό φαίνεται να καταλήγει σχεδόν πάντα υπέρ της γάτας. Επειδή οι κινήσεις της γάτας είναι προγραμματισμένες ώστε να κινηθεί προς το πλησιέστερο άνοιγμα θα πρέπει ο παίκτης να είναι πάντα ένα βήμα πριν την κίνηση της γάτας. Τοποθετώντας κατάλληλο εμπόδιο προς το πλησιέστερο άνοιγμα. Η γάτα θα επανασχεδιάσει την στρατηγική της, πάντα όμως με την αρχή της κίνησης προς το πλησιέστερο άνοιγμα. Ο παίκτης τώρα γνωρίζοντας την κίνηση της γάτας αποκτά πλεονέκτημα. Αρκεί να είναι σε θέση να εκτιμά γεωμετρικά σωστά προς τα που είναι η ελάχιστη απόσταση. Ένα μαθηματικό εργαλείο που εξετάζει παρόμοιο πρόβλημα είναι τα λεγόμενα διαγράμματα Voronoi προς τιμή του Georgy Feodosevich Voronoy (1868-1908) Ρώσου μαθηματικού που πρωτοδιμοσίευσε σχετική εργασία. Τι είναι όμως τα διαγράμματα Voronoi; Αν υποθέσουμε ότι στο επίπεδο έχουμε διάφορα σημεία ( τα ονομάζουμε σπόρους ή γεννήτριες) τότε μπορούμε να χωρίσουμε το επίπεδο σε περιοχές που η κάθε μία θα αποτελείται από σημεία που
66 Γ. Λαγουδάκος βρίσκονται πλησιέστερα προς μία γεννήτρια σε σχέση με τα υπόλοιπα. Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα έχουμε χωρίσει το επίπεδο σε εννέα περιοχές με βάση τα εννέα σημεία – γεννήτριες Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ,Η,Θ,Ι Πως όμως βοηθούν τα διαγράμματα Voronoi στο παιχνίδι Chat Noir; Ας παρακολουθήσουμε την εξέλιξη ενός παιχνιδιού. Σημειώνουμε τις περιοχές Voronoi στην αρχική φάση του παιχνιδιού. Η γάτα θα κινηθεί προς το ΑΒ ή το ΑΗ Επιλέγουμε να τοποθετήσουμε εμπόδιο στο άνοιγμα ΑΒ – το σημείο Θ. Η γάτα αλλάζει κατεύθυνση θα πάει προς το ΑΗ ή το ΗΖ Επιλέγουμε να τοποθετήσουμε εμπόδιο στο άνοιγμα ΑΗ – το σημείο Ι. Η γάτα θα κινηθεί προς το ΗΖ.
67 Γ. Λαγουδάκος Παρατηρείστε ότι έχοντας καλή γεωμετρική αντίληψη ως προς την μικρότερη απόσταση της γάτας από τα υπάρχοντα ανοίγματα είμαστε σε θέση να προβλέψουμε τις κινήσεις της. Άρα να είμαστε ένα βήμα πιο μπροστά. Αν το εκμεταλλευτούμε θα νικήσουμε. Το θέμα είναι να μη κάνουμε σε κρίσιμο σημείο του παιχνιδιού λάθος, γιατί η γάτα δεν κάνει ποτέ λάθος επιλογές. Μη ξεχνάτε ότι έτσι είναι προγραμματισμένη! Το παιχνίδι μπορείτε να το παίξετε στην διεύθυνση https://codepen.io/ge1doot/details/yNGKRR Από τα πιο δημοφιλή επιτραπέζια παιχνίδια που παίζονται σε εξάγωνο γήπεδο είναι το Abalone. Πρώτο-κυκλοφόρησε το 1987 και από τότε έχουν πουληθεί πάνω από 4.5 εκατομμύρια κομμάτια. Στην αρχή οι δύο παίκτες τοποθετούν τα 14 πιόνια τους όπως στο διπλανό σχήμα. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι με ωθήσεις ο ένας παίκτης να πετάξει έξω από το γήπεδο τα πούλια του άλλου. Οι κινήσεις -προωθήσεις μπορούν να γίνουν με δύο τρόπους όπως φαίνεται δίπλα με ένα ή περισσότερα πούλια Εκτός από την προώθηση υπάρχει και η δυνατότητα πούλια ενός παίκτη να ωθήσουν τα πούλια του αντιπάλου με την προϋπόθεση ο επιτιθέμενος να υπερτερεί αριθμητικά. Τα πούλια ωθούνται προς ένα κενό χώρο και νικητής είναι ο πρώτος παίκτης που διώχνει έξι πούλια του αντιπάλου εκτός γηπέδου. Αν οι αντίπαλοι παίζουν αμυντικά τοποθετώντας τα πούλια τους σε σφηνοειδή παράταξη μπορεί το παιχνίδι να μη τελειώνει ποτέ, γι’ αυτό πάντα υπάρχει μία άτυπη συμφωνία να διεξαχθεί το παιχνίδι με επιθετικό πνεύμα. Στον παρακάτω ιστότοπο μπορείτε να παίξετε το παιχνίδι. https://lazymuttgames.com/games/Abalone/ Η εξέλιξη του παιχνιδιού με στρατηγική που βασίστηκε στα διαγράμματα Voronoi
68 Γ. Λαγουδάκος Mancala Η λέξη mancala προέρχεται από την αραβική λέξη naqala σημαίνει "να κινηθεί". Το παιχνίδι που εμφανίστηκε για πρώτη φορά στην Αφρική και αργότερα στην Ασία. Λέγοντας mancala εννοούμε μια ομάδα παιχνιδιών με παρόμοιους κανόνες και ταμπλό στο οποίο παίζεται. Έχουν καταγραφεί περί τα 800 παιχνίδια στην κατηγορία αυτή σε διάφορα σημεία και πολιτισμούς σε ολόκληρο τον κόσμο. Ας αναφέρουμε μερικά … Ali Guli Mane ή Pallanguzhi ή Omanu Guntalu στη Νότια Ινδία. Bao la Kiswahili στην Ανατολική και κεντρική Αφρική Gebeta ή Tigrigna στην Αιθιοπία και Ερυθραία. Kalah στην Βόρεια Αμερική. Oware ή Ashanti στην Καραϊβική. Ayo ή oware στη Δυτική Αφρική. Toguz korgool ή Toguz kumalak στην Κιργιζία και το Καζακστάν. Congklak στην Ινδονησία Dakon ή Sungka στις Φιλιππίνες Mangala στην Τουρκία Ορισμένοι ιστορικοί πιστεύουν ότι η Mancala είναι το παλαιότερο παιχνίδι στον κόσμο με βάση τα αρχαιολογικά ευρήματα που βρέθηκαν στην Ιορδανία και χρονολογούνται γύρω στο 6000 π.Χ. Τον 17ο αιώνα το συναντάμε στην Αγγλία αργότερα στην Βαλτική ως " Bohnenspiel ", στη Βοσνία, όπου ονομάζεται Ban-Ban και εξακολουθεί να παίζεται σήμερα. Βρέθηκε επίσης στη Σερβία και στην Ελλάδα ως "Mandoli" στις Κυκλάδες. Δύο πίνακες Mancala από τις αρχές του 18ου αιώνα βρίσκονται στο Κάστρο Weikersheim στη νότια Γερμανία. Στις ΗΠΑ παίζεται ως Warra ή Kalah ή Ouril. Το παιχνίδι μεταφέρθηκε στις ΗΠΑ από σκλάβους τον 17ο αιώνα από την περιοχή του Πράσινου Ακρωτηρίου.
69 Γ. Λαγουδάκος Στα περισσότερα παιχνίδια Mancala οι παίκτες ξεκινούν τοποθετώντας ένα συγκεκριμένο αριθμό σπόρων, που προβλέπονται για το συγκεκριμένο παιχνίδι, σε κάθε μία από τις κοιλότητες του ταμπλό. Στο διπλανό υπερσύνδεσμο θα δείτε μία απλή παραλλαγή του παιχνιδιού … Ανάλογα το παιχνίδι διαφέρουν οι κανόνες αλλά και τα ταμπλό. Για παράδειγμα το παιχνίδι Endodoi παίζεται σε πίνακες από 2×6 έως 2×10. Το παιχνίδι Chuba στη Μοζαμβίκη παίζεται σε ταμπλό 160 (4×40) οπών που απαιτούν 320 σπόρους, το παιχνίδι En Gehé στην Τανζανία έχει ταμπλό με 2×50=100 κοιλότητες και 400 σπόρους. Στην γειτονική μας Τουρκία παίζεται μία παραλλαγή του παιχνιδιού το Mangala. Παίζεται σε ταμπλό 2Χ6 ή 2Χ7 και σε κάθε κοιλότητα τοποθετούνται 5 πέτρες. Ο πρώτος παίκτης παίρνει όλα τα κομμάτια από μία κοιλότητα και τα ρίχνει ένα κάθε φορά στις επόμενες κοιλότητες κινούμενος αριστερόστροφα. Εάν το τελευταίο κομμάτι πέσει σε μία κοιλότητα που περιέχει 1 ή 3 τεμάχια, όλα τα κομμάτια συλλαμβάνονται από τον παίκτη και πάνε στη βάση του - Mangala. Επίσης, αν υπάρχει μια συνεχής σειρά κοιλοτήτων με 2 ή 4 κομμάτια πριν από εκείνη που συνέβη η σύλληψη, όλοι οι σπόροι σε αυτές τις κοιλότητες συλλαμβάνονται επίσης. Οι παίκτες μπορούν να συλλάβουν και από τις δύο πλευρές του ταμπλό. Το παιχνίδι τελειώνει όταν όλα τα κοιλώματα είναι κενά. Ο παίκτης που κατέλαβε τα περισσότερα κομμάτια κερδίζει το παιχνίδι.
70 Γ. Λαγουδάκος Mastermind Το Mastermind είναι ένα παιχνίδι για δύο παίκτες. Εφευρέθηκε το 1970 από τον Ισραηλινό Mordecai Meirowitz σύμβουλο τηλεπικοινωνιών. Ο πρώτος παίκτης (κωδικοποιητής) τοποθετεί σε βάση που δεν φαίνεται από τον δεύτερο παίκτη (αποκωδικοποιητής) σε τέσσερις θέσεις, ισάριθμα πιόνια-καρφάκια που μπορεί να είναι χρωματισμένα με διαφορετικό χρώμα ή κάποια από αυτά να είναι του ίδιου χρώματος. Υπάρχει η δυνατότητα επιλογής του χρώματος από μία παλέτα έξι χρωμάτων. Ο δεύτερος παίκτης έχει τη δυνατότητα 12 δοκιμών ώστε να ανακαλύψει τον συνδυασμό παίρνωντας όμως από τον πρώτο παίκτη κάποιες πληροφορίες κατά την διάρκεια του παιχνιδιού. Συγκεκριμένα μόλις ο 2ος παίκτης κάνει την πρώτη του εικασία ο 1ος παίκτης τοποθετεί : ένα μαύρο καρφί αν υπάρχει πιόνι σωστού χρώματος και τοποθετημένο στη σωστή θέση ή ένα λευκό καρφάκι αν υπάρχει πιόνι σωστού χρώματος τοποθετημένο σε λάθος θέση ή δε βάζει καθόλου καρφάκι στη περίπτωση όπου δεν υπάρχει πιόνι που αντιστοιχεί σε χρώμα του κρυμμένου συνδυασμού. Για παράδειγμα στην περίπτωση όπου η πρώτη δοκιμή δίνει δύο σωστά πιόνια σε χρώμα και θέση και ένα με σωστό μόνο χρώμα τότε ο 2ος παίκτης τοποθετεί 2 μαύρα και ένα άσπρο καρφάκι. Το ερώτημα είναι αν υπάρχει στρατηγική ώστε σε 12 κινήσεις να είμαστε σε θέση να ανακαλύψουμε τον κρυμμένο συδυασμό. Ας σημειωθεί ότι ο συνολικός αριθμός των δυνατών συνδυασμών είναι = 4 6 1296 διαφορετικοί τρόποι.
71 Γ. Λαγουδάκος Υπάρχουν αρκετοί αλγόριθμοι για να παίξει κάποιος το παιχνίδι αυτό. Ας παρακολουθήσουμε έναν και τη λογική του, χρησιμοποιώντας αντί για χρώματα γράμματα. Έστω ότι ο κρυμμένος συνδυασμός είναι ΒΕΑΖ, γράμματα επιλεγμένα από τα 6 πρώτα της αλφαβήτου Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ. Επίσης οι πληροφορίες που παίρνουμε από τον αντίπαλο ας δεχθούμε ότι θα είναι Σ αν είναι σωστό γράμμα και θέση και Σ αν είναι σωστό μόνο το χρώμα. Η στρατηγική … Α/Α Κίνηση Πληροφορίες Συμπέρασμα 1 ΑΑΑΑ Σ Υπάρχει ένα Α 2 ΑΑΒΒ Σ-Σ Υπάρχει ένα Β και ένα Α 3 ΑΑΓΓ Σ Δεν υπάρχει Γ 4 ΑΑΔΔ Σ Δεν υπάρχει Δ 5 ΑΑΕΕ Σ-Σ Υπάρχει ένα Α και ένα Ε 6 ΑΑΖΖ Σ-Σ Υπάρχει ένα Α και ένα Ζ σε σωστή θέση Μέχρι τώρα γνωρίζουμε : Υπάρχουν Α,Β,Ε,Ζ με το Ζ να είναι στην 3η ή 4η θέση. Επίσης το Α βρίσκεται στις θέσεις 3 ή 4 το Β στις 1 ή 2 και τέλος το Ε στις θέσεις 1 ή 2 7 ΕΒΑΖ Σ-Σ-Σ-Σ Έχουμε βάλει τα Ε,Β ή τα Α,Ζ στη σωστή θέση 8 ΕΒΖΑ Σ-Σ-Σ-Σ Τα Α και Ζ ήταν στην σωστή θέση 9 ΒΕΑΖ Σ-Σ-Σ-Σ Παρατηρείστε ότι με τον αλγόριθμο αυτόν βρίσκουμε πρώτα τα χρώματα (6 πρώτες κινήσεις) και μετά τη θέση. Υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι που όχι απλώς επιλύουν το παιχνίδι αλλά και με το μικρότερο αριθμό κινήσεων. Παρακολουθείστε το επόμενο video … Και παίξτε το παιχνίδι στον παρακάτω σύνδεσμο για να ανακαλύψετε την δικιά σας στρατηγική. https://www.archimedes-lab.org/mastermind.html
72 Γ. Λαγουδάκος ΑΛΛΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 1ος αλγόριθμος – βρίσκουμε πρώτα το χρώμα. ( στη θέση των χρωμάτων χρησιμοποιούμε αριθμούς από το 1 ως το 6) Σπαταλάμε έως και πέντε προσπάθειες αναγνώρισης όλων των χρωμάτων δημιουργώντας μονόχρωμες προσπάθειες. Υπάρχει και η περίπτωση να χρειαστούν μόνο τέσσερις προσπάθειες. Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα … Με τη στρατηγική αυτή βρίσκουμε τα 4 χρώματα αλλά υπάρχουν ακόμα 24 τουλάχιστον συνδυασμοί (εάν δεν υπάρχουν διπλά χρώματα) και δεν είναι εύκολο με κανένα τρόπο να σπάσουμε τον κώδικα σε 5 ή 6 προσπάθειες, ειδικά αν δεν έχουμε καμία ιδέα για τις θέσεις των χρωμάτων στον κώδικα!
73 Γ. Λαγουδάκος 2ος αλγόριθμος του Knuth. Το 1977, ο Donald Knuth απέδειξε ότι ο κωδικοποιητής μπορεί να λύσει το μοτίβο σε πέντε κινήσεις ή λιγότερες, χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο που μείωσε σταδιακά τον αριθμό των πιθανών μοτίβων. Ο αλγόριθμος λειτουργεί ως εξής: 1ο βήμα : Δημιουργήστε το σετ S των 1296 πιθανών συνδυασμών, 1111,1112, .., 6666. 2ο βήμα : Ξεκινήστε με την αρχική εικασία 1122 (ο Knuth δίνει παραδείγματα που δείχνουν ότι κάποιες άλλες πρώτες εικασίες όπως οι 1123, 1234 δεν κερδίζουν σε πέντε δοκιμές). 3ο βήμα : Παίξτε την εικασία για να λάβετε μια απάντηση από μαύρα και λευκά καρφιά. 4ο βήμα : Εάν η απάντηση είναι τέσσερα μαύρα καρφιά το παιχνίδι τελειώνει , και ο αλγόριθμος τερματίζεται, διαφορετικά … 5ο βήμα : Αφαιρέστε από το S οποιονδήποτε συνδυασμό που δεν θα έδινε την ίδια απάντηση εάν (η εικασία) ήταν ο ζητούμενος συνδυασμός. 6ο βήμα: Σχηματίστε μία νέα λίστα με τους συνδυασμούς που απομένουν και κατατάξτε τους κατά αύξουσα αριθμητική σειρά. Επιλέξτε ως νέα πρόβλεψη τον πρώτο αριθμό της νέας λίστας. Επαναλάβετε την διαδικασία από το 3ο βήμα και μετά. Σε 5 πέντε το πολύ προσπάθειες θα έχετε λύση τον γρίφο.
74 Γ. Λαγουδάκος 3ος αλγόριθμος – Συνδυαστικός αλγόριθμος. ( στη θέση των χρωμάτων χρησιμοποιούμε αριθμούς από το 1 ως το 6) Ας υποθέσουμε ότι ο κωδικοποιημένος συνδυασμός είναι ο 1364 Η εξέλιξη του παιχνιδιού : 1 3 6 5 Β W Συμπεράσματα 1 1 2 2 1 0 Οι πιθανοί αριθμοί θα είναι : 1 - - - ή - 1 - - ή - - 2 - ή - - - 2 Όπου στα κενά μπορούν να μπουν οι αριθμοί 3,4,5,6 με επανάληψη. Άρα με την 1η κίνηση από ένα σύνολο 1296 πιθανών συνδυασμών καταλήγουμε σε ένα σύνολο 3 4 4 4 4 256  = = συνδυασμών 3 3 4 4 1 0 Οι πιθανοί αριθμοί θα είναι : 3 - - - ή - 3 - - ή - - 4 - ή - - - 4 Όπου στα κενά μπορούν να μπουν οι αριθμοί 1,2,5,6 με επανάληψη, άρα άλλοι 256 συνδυασμοί. Συνδυάζοντας τα δύο αποτελέσματα καταλήγουμε στους εξής πιθανούς συνδυασμούς 1 3 - - ή 1 – 4 - ή 1 - - 4 ή 3 1 - - ή 1 4 - - ή - 1 – 4 ή 3 – 2 - ή - 3 2 - ή - - 2 4 ή 3 - - 2 ή - 3 – 2 ή - - 4 2 Όπου στα κενά μπορούν να μπουν οι αριθμοί 5 και 6 με επανάληψη, άρα μετά τις 2 πρώτες κινήσεις έχουμε καταλήξει σε 2 12 4 192  = συνδυασμούς. 5 5 6 6 1 1 Οι πιθανοί συνδυασμοί είναι : 5 6 - - ή 5 – 5 - ή 5 - - 5 ή 6 5 - - ή - 5 5 - ή - 5 – 5 ή - - 6 5 ή - 6 6 - ή 6 – 6 - ή - - 5 6 ή - 6 – 6 ή 6 - - 6
75 Γ. Λαγουδάκος Άλλοι 192 συνδυασμοί οι οποίοι με την βοήθεια των προηγούμενων περιπτώσεων καταλήγουμε στις εξής 24 ! δυνατές περιπτώσεις 1365 1545 1646 3525 3626 6524 1356 5145 6146 3552 3662 6542 3165 1554 1664 5325 6326 5624 3156 5154 6164 5352 6362 5642 Παρατηρείστε πως ομαδοποιούνται ανάλογα με τους αριθμούς που περιέχουν; Ως 4η επιλογή διαλέγουμε μία από αυτές ας υποθέσουμε την 5642 5 6 4 2 0 2 Στο σημείο αυτό χρειάζεται λίγη σκέψη … 1ο αφού ο αριθμός 5642 δεν είναι ο ζητούμενος απορρίπτονται και όλοι οι αριθμοί της ομάδας στην οποία ανήκει (;) Άρα καταλήγουμε στους αριθμούς : 1365 1545 1646 3525 3626 6524 1356 5145 6146 3552 3662 6542 3165 1554 1664 5325 6326 5624 3156 5154 6164 5352 6362 5642 Επίσης από το αποτέλεσμα έχουμε ότι το 5 δεν είναι στην 1η θέση , το 6 δεν είναι στην 2η θέση το 4 δεν είναι στην 3η θέση και το 2 δεν είναι στην 4η θέση άρα διώχνουμε και άλλους αριθμούς … 1365 1545 1646 3525 3626 6524 1356 5145 6146 3552 3662 6542 3165 1554 1664 5325 6326 5624 3156 5154 6164 5352 6362 5642 Παραμένουν οι αριθμοί : 1365 / 1356 / 3165 / 3156 / 1554 / 6164 / 3525 / 6326 / μόλις 8 αριθμοί ! Διώχνουμε όλους τους αριθμούς από αυτούς που έχουν το ίδιο αποτύπωμα με τον 5642. Δηλαδή έχουν 2 οποιουσδήποτε ίδιους αριθμούς στην ίδια θέση, δηλαδή …
76 Γ. Λαγουδάκος Ο αριθμός που ήδη έχουμε διώξει ο 1646 έχει το ίδιο αποτύπωμα με τον 5642 Δυστυχώς όλοι οι 8 αριθμοί που έχουν απομείνει έχουν διαφορετικό αποτύπωμα, οπότε όλοι είναι πιθανοί. Διαλέγουμε έναν από την ομάδα που έχει τους περισσότερους αριθμούς, έστω τον 3156 3 1 5 6 0 4 Άρα οι πιθανοί αριθμοί είναι οι 1365 / 1356 / 3165 Με τον 1356 να απορρίπτεται αφού η κατάληξη 56 δεν οδηγεί σε σωστή θέση. Άρα έχουμε 1365 ή 3165 με τον 3165 να απορρίπτεται για τον ίδιο λόγο Άρα ο κωδικοποιημένος συνδυασμός είναι ο 1365 Παρατηρείστε ότι λύσαμε τον γρίφο σε 5 κινήσεις! Ακολουθώντας τις 3 πρώτες κινήσεις – επιλογές πάντα ως τυποποιημένες κινήσεις θα διαπιστώσετε ότι πάντα μπορούμε να λύσουμε τον γρίφο σε 5 ή 6 το πολύ κινήσεις.
77 Γ. Λαγουδάκος Numerical puzzles Το Puzzle του Αριστοτέλη (;) Πρόκειται για ένα μαγικό εξάγωνο. Περιλαμβάνει 19 μικρότερα εξάγωνα αριθμημένα από το 1 ως το 19. Ο σκοπός του παζλ είναι να συνδυαστούν τα επιμέρους εξάγωνα για να φτιαχτεί ένα μεγαλύτερο στο οποίο το άθροισμα των αριθμών και προς τις τρεις διευθύνσεις να είναι σταθερό και ίσο με 38. Πρώτη αναφορά για το παζλ γίνεται το 1887 από τον Ernst von Haselberg Με τα ίδια στοιχεία μπορούμε να αναζητήσουμε ένα μαγικό εξάγωνο όπου οι αριθμοί και προς τις τρεις διευθύνσεις να έχουν τον ίδιο μέσο που είναι προφανώς ο αριθμός 10 Magic star Στο εμπόριο μπορείτε να βρείτε το magic star 26. Πρόκειται για ένα αριθμητικό παζλ που ο στόχος είναι να τοποθετήσουμε στις ειδικές εγκοπές που υπάρχουν στο περίγραμμα ενός εξάχτινου αστεριού τους αριθμούς 1 ως 12 ώστε να σχηματίζεται σε κάθε γραμμή το ίδιο αποτέλεσμα 26. Υπάρχουν 80 δυνατές περιπτώσεις για να το πετύχουμε οπότε είναι ένα εύκολο και διασκεδαστικό παζλ. Ένα μαγικό αστέρι περιέχει τους αριθμούς 1 ως 2ν όπου ν το πλήθος των αχτίνων του και η μαγική σταθερά που πάντα αναζητούμε είναι η Μ=4ν+2. Στα διπλανά σχήματα παρουσιάζονται τα μαγικά επτάχτινο και οκτάχτινο.
78 Γ. Λαγουδάκος Puzzle 15 Πρόκειται για το κλασικό παιχνίδι του είδους του εφευρέθηκε από τον Noyes Chapman το 1880. Σε ένα τετράγωνο 4Χ4 υπάρχουν δεκαπέντε τετραγωνάκια αριθμημένα από το 1 ως το 15, μία θέση είναι κενή ώστε να μπορούν τα υπόλοιπα να σύρονται οριζόντια ή κατακόρυφα. Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι τα τετραγωνάκια που αρχικά βρίσκονται σε τυχαίες θέσεις να διαταχθούν κατά τη σειρά της αρίθμησης όπως φαίνεται στην διπλανή εικόνα. Υπάρχει ένας σίγουρος και εύκολος αλγόριθμος επίλυσης του Puzzle όχι όμως και ο πιο σύντομος. Χ Χ → → → → → → → 1 2 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 7 9 9 14 10 13 13 Μπορείτε να εξασκηθείτε στον παρακάτω σύνδεσμο … http://lorecioni.github.io/fifteen-puzzle-game/ Ο Sam Loyd πρόσφερε μία «απλούστερη» εκδοχή του παιχνιδιού και την ονόμασε puzzle 14-15. Η διάταξη των πλακιδίων είναι σαν αυτή που παρουσιάζεται δίπλα. Παρατηρείστε ότι απλώς έχει αναδιαταχτεί το τετραγωνάκι 14 και το 15. Είχε μάλιστα προσφέρει και ένα βραβείο 1000 δολαρίων στον πρώτο που θα μπορούσε να λύσει τη σπαζοκεφαλιά αυτή. Χιλιάδες άνθρωποι ξενύχτισαν προσπαθώντας…
79 Γ. Λαγουδάκος « … μαγαζάτορες ξεχνούσαν να ανοίξουν τα μαγαζιά τους, ένας κληρικός στεκόταν ένα ολόκληρο βράδυ κάτω από μία λάμπα του δρόμου προσπαθώντας να θυμηθεί τον τρόπο με τον οποίο είχε λύσει το πρόβλημα, … κυβερνήτες ναυάγησαν τα πλοία τους και μηχανικοί οδήγησαν τα τρένα πέρα από τους σταθμούς, ένας εκδότης πήγε να φάει το μεσημεριανό του και τον βρήκαν περασμένα μεσάνυχτα να σπρώχνει μικρά κομμάτια πίτας γύρω από ένα πιάτο…» Απόσπασμα από το βιβλίο του Simon Singh « Το τελευταίο θεώρημα του Fermat» εκδόσεις Τραυλός Η συγκεκριμένη εκδοχή του παιχνιδιού ενώ φαίνεται απλούστερη από τις προηγούμενες, δεν έχει λύση ! Γιατί όμως δεν έχει λύση; Για να εξετάσουμε αν είναι επιλύσιμο ή όχι μία διάταξη ενός puzzle θα εισάγουμε έναν όρο, αυτόν του βαθμού διαταραχής. Ουσιαστικά είναι ένας αριθμός που μετρά πόσα ζεύγη από πλακάκια είναι σε λάθος σειρά. Π.χ. Στην αρχική διάταξη όλα τα πλακάκια βρίσκονται στη σωστή σειρά, άρα ο βαθμός διαταραχής είναι 0.
80 Γ. Λαγουδάκος Στο δεύτερο παράδειγμα τα ζεύγη που βρίσκονται σε λάθος σειρά, δηλαδή ένας μεγαλύτερος αριθμός βρίσκεται πίσω από έναν μικρότερο είναι : (3,2),(3,1),(2,1),(1,4). Άρα ο βαθμός διαταραχής είναι 4. Στην περίπτωση του puzzle 14-15, όπου η μόνη αναδιάταξη είναι μεταξύ των πλακών με αριθμούς 14 και 15, ο βαθμός διαταραχής είναι 1. Ας βρούμε το βαθμό διαταραχής και για το διπλανό Puzzle. Τα ζεύγη είναι (14,13),(14,12),(13,12), άρα Β.Δ (βαθμός διαταραχής)=3 Για να εξετάσουμε πότε ένα puzzle λύνεται, πρέπει να ξεκινήσουμε ανάποδα… (σχήμα 1ο) και να αλλάξουμε κάποια από τα πλακάκια… (σχήμα 2ο) και στο νέο puzzle να αλλάξουμε πάλι κάποια από τα πλακάκια του (σχήμα 3ο) . Τα δύο τελευταία puzzle είναι προφανώς επιλύσιμα αφού προέκυψαν από αναδιάταξη των πλακών ξεκινώντας από την αρχή, οπότε μία αντίστροφη σειρά μετακινήσεων θα οδηγήσει στη λύση του προβλήματος. Ας βρούμε τον βαθμό διαταραχής στα δύο τελευταία σχήματα . Για το 2ο σχήμα έχουμε ((15,11),(15,13),(15,14),(15,12),(13,12),(14,12) άρα Β.Δ=6. Για το 3ο σχήμα έχουμε (12,10),(12,11),(14,13),(14,10),(14,11),(15,13), (15,10), (15,11),(13,10),(13,11) άρα Β.Δ=10 3 2 1 4 6 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 σχήμα 1ο σχήμα 2ο σχήμα 3ο
81 Γ. Λαγουδάκος Αποδεικνύεται ότι οι διατάξεις που είναι επιλύσιμες ,που προκύπτουν δηλαδή μετά από αναδιατάξεις των πλακών από την αρχική μορφή, έχουν βαθμό διαταραχής άρτιο αριθμό. Για το λόγο αυτό οποιαδήποτε διάταξη με περιττό αριθμό βαθμού διαταραχής είναι μη επιλύσιμο puzzle. Ένα επίσης κλασικό «συρόμενο» παιχνίδι είναι και το Klotski Ανήκει στην κατηγορία των συρόμενων παιχνιδιών. Αποτελείται από 10 κομμάτια διαφόρων μεγεθών. Ένα από αυτά είναι συνήθως ζωγραφισμένο με διαφορετικό χρώμα και πρέπει να πάει σε μία συγκεκριμένη θέση. Όλα τα κομμάτια μετακινούνται οριζόντια ή κατακόρυφα. Το παιχνίδι εμφανίζεται για πρώτη φορά στην Ιαπωνία το 1935. Στην Αμερική έγινε ιδιαίτερα γνωστό από την δημοσίευση από τον Martin Gardner το Φεβρουάριο του 1964 στο Scientific American της βέλτιστης λύσης του puzzle που είναι 81 βήματα. Η κινέζικη εκδοχή ονομάζεται εναλλακτικά Huarong Path ή Huarong Trail , Είναι βασισμένο στο ιστορικό μυθιστόρημα “των τριών Βασιλείων” όπου το 208 ο στρατηγός Cao Cao κατορθώνει να περάσει το Huarong Path μετά την ήτα του στη μάχη των Red Cliffs. Η μορφή του στρατηγού είναι η δεσπόζουσα στο παζλ ενώ δευτερεύουσες μορφές απεικονίζονται στα άλλα κομμάτια του παζλ.
82 Γ. Λαγουδάκος Στην Ιαπωνική εκδοχή το παιχνίδι λέγεται hakoiri musume . Η βασική φιγούρα παριστάνει ένα "αθώο νεαρό κορίτσι, που δεν ξέρει τίποτα από τον κόσμο" παγιδευμένο σε ένα κτίριο. Το μεγαλύτερο κομμάτι ονομάζεται "κόρη", και άλλα μπλοκ δίνεται ονόματα άλλων μελών της οικογένειας (όπως ο πατέρας, η μητέρα και ούτω καθεξής). Ηλεκτρονικά μπορείτε να παίξετε το Klotski στη διεύθυνση … http://stavanger-guide.no/klotski.htm Safe cracker puzzle Είναι ένα puzzle που αποτελείται από τέσσερις ομόκεντρους δίσκους διαφορετικής αχτίνας, όπου είναι σημειωμένοι αριθμοί. Ο στόχος είναι να τοποθετηθούν οι δίσκοι με τέτοιο τρόπο ώστε οι αριθμοί που βρίσκονται στη κάθε μία από τις 16 αχτίνες που υπάρχουν να έχουν το ίδιο άθροισμα. Το puzzle πρωτοεμφανίστηκε το 1911 και έχει μία μόνο λύση που παρουσιάζεται στο διπλανό πίνακα.
83 Γ. Λαγουδάκος Peg solitaire Βρισκόμαστε στην εποχή του Λουδοβίκου 14ου περί το 1687 τότε σε ένα χαρακτικό της εποχής παρουσιάζεται η πριγκίπισσα του Soubise να παίζει ένα επιτραπέζιο παιχνίδι σε κυκλικό ταμπλό με μπίλιες. Την ίδια εποχή το λογοτεχνικό περιοδικό Mercure galant περιγράφει το must επιτραπέζιο της εποχής το peg solitaire … Το Peg solitaire (ή το Solo Noble ) είναι ένα επιτραπέζιο παιχνίδι για έναν παίκτη. Παίζεται σε στρογγυλό ταμπλό στο οποίο υπάρχουν 37 τρύπες και 36 μπάλες, συνήθως γυάλινες ή ξύλινες. Η κινήσεις που μπορούν να γίνουν είναι οριζόντιες ή κατακόρυφες και αποσκοπούν την υπερπήδηση μιας μπίλιας από κάποια άλλη, οπότε αυτόματα η μπίλια που υπερπηδήσαμε βγαίνει εκτός παιχνιδιού. Η κίνηση αυτή μπορεί να γίνει όταν οι δύο μπίλιες βρίσκονται σε γειτονικές θέσεις και αμέσως μετά υπάρχει κενή θέση. Το παιχνίδι τελειώνει όταν στο ταμπλό μείνει μία μόνο μπίλια. Το παιχνίδι διαδόθηκε στην Αγγλία και από εκεί στην Ινδία. Υπάρχουν αρκετές διαφορετικές εκδοχές του ανάλογα με το ταμπλό στο οποίο παίζεται. Υπάρχουν ταμπλό σε σχήμα σταυρού ή ακόμα σε σχήμα τριγώνου. Η λογική παραμένει η ίδια. Η πιο απαιτητική εξέλιξη του παιχνιδιού είναι εκείνη που απαιτεί η τελευταία μπίλια να βρεθεί τελικά στην κεντρική θέση.
84 Γ. Λαγουδάκος Υπάρχουν αρκετές στρατηγικές για να λυθεί το συγκεκριμένο παιχνίδι παρακάτω αναφέρουμε μερικές. Μη ξεχάσετε να δείτε και το video !
85 Γ. Λαγουδάκος Pente Το Pente είναι ένα παιχνίδι στρατηγικής για δύο ή περισσότερους παίκτες, το οποίο δημιουργήθηκε το 1977 από τον Gary Gabrel, στη Hideaway Pizza , στο Stillwater της Oklahoma. Οι πελάτες έπαιξαν το παιχνίδι σε καρό τραπεζομάντιλα ενώ περίμεναν να φτάσουν οι παραγγελίες τους. Μοιάζει με το ιαπωνικό παιχνίδι ninuki-renju , μια παραλλαγή του gomoku που παίζεται στο ίδιο ταμπλό με αυτό του go αλλά σε ένα πλαίσιο 19x19. Η λέξη Pente παράγεται από τον αριθμό 5 στα Ελληνικά γι’ αυτό και σε πολλές εκδόσεις του παιχνιδιού υπάρχουν αρχαιοελληνικές διακοσμήσεις. Οι παίκτες παίζουν εναλλάξ και τοποθετούν πέτρες του χρώματος τους (λευκές και μαύρες) στις κορυφές του πλέγματος. Ο λευκός ανοίγει το παιχνίδι. Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι να σχηματίσει κάποιος από τους δύο παίκτες πρώτος πέντε πέτρες σε οριζόντια ή κατακόρυφή ή διαγώνια θέση. Υπάρχει η απλή εκδοχή του παιχνιδιού όπου απλώς τοποθετούνται οι πέτρες εναλλάξ και η στρατηγική επικεντρώνεται στο να αποτραπεί να σχηματιστεί με οποιονδήποτε τρόπο σε κάποιο μέρος του ταμπλό τετράδα. Η εκδοχή αυτή είναι παρόμοια με τη γνωστή τρίλιζα ή το connect four. Υπάρχει και η επιλογή να συλλαμβάνονται πέτρες του αντιπάλου. Αυτό συμβαίνει όταν δύο πέτρες του αντιπάλου βρεθούν μεταξύ δύο δικών σου. Για παράδειγμα αν υπάρχει στο ταμπλό η διάταξη ΧΟΟ_ και μετά γίνει ΧΟΟΧ οι δύο πέτρες Ο απομακρύνονται από το
86 Γ. Λαγουδάκος παιχνίδι. Αν όμως υπάρχει η διάταξη ΧΟ_Χ τότε επιτρέπεται να γίνει ΧΟΟΧ χωρίς να απομακρύνονται οι δύο πέτρες τύπου Ο. Επίσης μπορεί να συμφωνηθεί νικητής να είναι εκείνος που σχηματίζει πεντάδα ή έχει συλλάβει δέκα πιόνια του αντιπάλου. Το Pente μπορεί επίσης να παιχτεί από τέσσερα άτομα, που ανά δύο ενεργούν ως εταίροι. Μπορεί επίσης να παιχτεί με πολλούς ανεξάρτητους παίκτες όταν κάθε παίκτης έχει τις δικές του διαφορετικές έγχρωμες πέτρες. Για να υπάρχει ισορροπία και να είναι δίκαιο το παιχνίδι ο 1ος παίκτης παίζει υποχρεωτικά την πρώτη πέτρα στο κέντρο αλλά την επόμενη να είναι τουλάχιστον τρεις διασταυρώσεις μακριά από το κέντρο του ταμπλό. Υπάρχει η δυνατότητα να παίξετε το παιχνίδι στην παρακάτω διεύθυνση … https://www.classicgame.com/game/Pente Παρόμοιο παιχνίδι είναι το Reversi ή Othello. Το Othello παίζεται πάνω σε ένα ταμπλό που αποτελείται από 64 τετράγωνα. Τα πιόνια είναι συνολικά 64 και έχουν σχήμα δίσκου. Η μια όψη τους είναι λευκή και η άλλη μαύρη. Κάθε παίκτης παίρνει 32 πιόνια και αποφασίζεται πιο χρώμα θα αντιπροσωπεύει τον καθένα. Στο κέντρο του ταμπλό τοποθετούνται 4 πιόνια όπως φαίνεται δίπλα. Η βασική ιδέα του παιχνιδιού είναι το «γύρισμα» των πουλιών του αντίπαλου χρώματος. Όταν για παράδειγμα ένα λευκό πιόνι τοποθετηθεί στην ίδια γραμμή (οριζόντια- κατακόρυφα ή διαγώνια) με ένα άλλο λευκό πιόνι, τότε όσα μαύρα πιόνια παρεμβάλλονται μεταξύ τους «γυρίζουν» και γίνονται λευκά. Κάθε παίκτης στη σειρά του τοποθετεί το πιόνι πάντα από τη όψη του χρώματος που τον εκπροσωπεί. Το πιόνι τοποθετείται με τρόπο ώστε υποχρεωτικά να «γυρίζει» τουλάχιστον ένα πιόνι του αντιπάλου. Αν αυτή η δυνατότητα έχει αποκλειστεί, τότε ο παίκτης χάνει τη σειρά του. Σκοπός του παιχνιδιού είναι η επικράτηση του ενός χρώματος έναντι του άλλου. Όταν έχουν τοποθετηθεί όλα τα πούλια πάνω στο ταμπλό, τότε ο κάθε παίκτης μετράει τα πούλια με το δικό του χρώμα. Νικητής είναι εκείνος που έχει τα περισσότερα πούλια. Παίξτε διαδικτυακά στον διπλανό σύνδεσμο https://playpager.com/play-reversi/index.html
87 Γ. Λαγουδάκος Rubik’s Cube Ο κύβος του Rubik είναι ένα 3-D παζλ που εφευρέθηκε το 1974 από έναν ουγγρικό γλύπτη και καθηγητή αρχιτεκτονικής Ernő Rubik . Στην αρχή το παιχνίδι λεγόταν Magic Cube. Tο 1980 παιχνίδι χαρακτηρίστηκε ως το καλύτερο παιχνίδι του έτους. Από τότε έχουν πουληθεί πάνω από 400.000.000 κύβοι παγκοσμίως και θεωρείται ευρέως ότι αποτελεί το πιο πετυχημένο παιχνίδι στον κόσμο. Στους κύβους που υπάρχουν στο εμπόριο η κάθε έδρα είναι χρωματισμένη και με διαφορετικό χρώμα. Η λευκή έδρα είναι απέναντι από την κίτρινη, η μπλε απέναντι από την πράσινη και τέλος η πορτοκαλί απέναντι από την κόκκινη. Το κόκκινο, το λευκό και το μπλε είναι διατεταγμένα με τη σειρά κατά δεξιόστροφη διάταξη. Ένας εσωτερικός μηχανισμός περιστροφής επιτρέπει σε κάθε έδρα να γυρίζει ανεξάρτητα, αναμιγνύοντας έτσι τα χρώματα. Το παζλ θεωρείται ότι έχει λυθεί όταν κάθε έδρα έχει μόνο ένα χρώμα. Τον Μάρτιο του 1981 το βιβλίο Guinness Book of World Records διοργάνωσε στο Βερολίνο πρωτάθλημα ταχύτητας για το παιχνίδι αυτό. Τον ίδιο μήνα ο κύβος του Rubik κοσμεί το εξώφυλλο του περιοδικού Scientific American. Το 1981 φιλοξενούνται στην εφημερίδα Washington Post και στο περιοδικό New Scientist διθυραμβικά αφιερώματα. Αρχίζουν να κυκλοφορούν ειδικά βιβλία για την επίλυση του παζλ το βιβλίο «the Simple Solution to Rubik's Cube» του James G. Nourse κάνει πάνω από 6.000.000 πωλήσεις. Το 1981 το Μουσείο Σύγχρονης Τέχνης στη Νέα Υόρκη παρουσίασε έναν κύβο του Rubik, και στην Παγκόσμια Έκθεση του 1982 στο Knoxville, του Tennessee παρουσιάστηκε ένας κύβος έξι ποδιών. Την ίδια χρονιά το αμερικάνικο κανάλι ABC παρουσιάζει σειρά κινούμενων σχεδίων με τον τίτλο Rubik, το Amazing Cube. Τον Ιούνιο του 1982 πραγματοποιήθηκε στη Βουδαπέστη το 1ο παγκόσμιο πρωτάθλημα Rubik's Cube.
88 Γ. Λαγουδάκος Οι κύβοι του Rubik συνέχισαν να διατίθενται στην αγορά και να πωλούνται καθ’ όλη τη διάρκεια των δεκαετιών '80 και '90 ,αλλά το ενδιαφέρον για τον κύβο άρχισε ξανά να αυξάνεται στις αρχές της δεκαετίας του 2000. Το 2003 διοργανώνεται στο Τορόντο το πρώτο παγκόσμιο τουρνουά ταχύτητας με 83 συμμετοχές και το 2004 δημιουργείται το World Cube Association. Στο YouTube αρχίζουν να εμφανίζονται video με τεχνικές επίλυσης του παζλ. Μετά τη λήξη του διπλώματος ευρεσιτεχνίας του Rubik το 2000, εμφανίστηκαν και άλλες μάρκες κύβων, ιδίως από τις κινεζικές εταιρείες. Το 1981, ο δεκατριάχρονος Patrick Bossert ανέπτυξε μια λύση για την επίλυση του κύβου, μαζί με μια συμβολική ονοματολογία, σχεδιασμένη για να είναι εύκολα κατανοητή από τους αρχάριους. Το 1997, ο Denny Dedmore δημοσίευσε μια λύση που την εξηγούσε χρησιμοποιώντας διαγραμματικά εικονίδια που αντιπροσωπεύουν τις κινήσεις που πρέπει να γίνουν. Το παγκόσμιο ρεκόρ για την επίλυση ενός κύβου Rubik's 3×3×3 είναι 3,47 δευτερόλεπτα, και πραγματοποιήθηκε από τον Κινέζο Du Yusheng στις 24 Νοεμβρίου 2018 στο Wuhu Open. Η ταχύτερη λύση με το ένα χέρι παγκοσμίως είναι 6,88 δευτερόλεπτα και έγινε τον Αυστραλό Feliks Zemdegs στις 10 Μαΐου 2015. Το παγκόσμιο ρεκόρ των λίγων κινήσεων για την επίλυση ενός κύβου είναι οι 16 κινήσεις το οποίο πέτυχε ο Ιταλός Sebastiano Tronto στις 15 Ιουνίου 2019. Η ταχύτερη επίλυση του Cub Rubik από ειδικά προγραμματισμένο κομπιούτερ πραγματοποιήθηκε από το Rubpin's Contraption, ένα ρομπότ προγραμματισμένο από τους Ben Katz και Jared Di Carlo με χρόνο επίλυσης 0,38 δευτερολέπτων. Υπάρχουν πολλές παραλλαγές του αυθεντικού παζλ. Υπάρχουν κύβοι 2X2X2, 4Χ4Χ4, 5Χ5Χ5 μέχρι και 17Χ17Χ17 ! Εκτός από κύβο έχουν χρησιμοποιηθεί και διάφορα άλλα στερεά όπως τετράεδρο (Pyraminx), οκτάεδρο (Skewb Diamond), δωδεκάεδρο (Megaminx), εικοσάεδρο (Dogic).
89 Γ. Λαγουδάκος Υπάρχουν επίσης παζλ που αλλάζουν σχήμα όπως το φίδι Rubik και το Square One . Μία από τις νεότερες παραλλαγές 3×3×3 είναι το TouchCube του Rubik που διαθέτει κουμπιά για συμβουλές και αυτο-επίλυση, και περιλαμβάνει μια βάση φόρτισης.
90 Γ. Λαγουδάκος Ο πρωτότυπος (3×3×3) Rubik's Cube έχει οκτώ γωνίες ,δώδεκα ακμές και 27 κύβους τοποθετημένους ώστε να σχηματίζουν έναν μεγαλύτερο κύβο με έξι έδρες. Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν 43,252,003,274,489,856,000 δυνατές αναδιατάξεις των μικρότερων κύβων στρέφοντάς τους κατάλληλα. Αυτό σημαίνει πως, αν θεωρήσουμε πως απαιτείται ένα δευτερόλεπτο για κάθε διαφορετική κίνηση, ο χρόνος που χρειάζεται για να δει κανείς όλες τις πιθανές διατάξεις είναι 1.4 τετράκις εκατομμύρια έτη. Κάθε έδρα μπορεί να κινηθεί κατά 90ο δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα ή κατά 180ο, οπότε το σύνολο των δυνατών κινήσεων είναι 6(έδρες)Χ3(κινήσεις)=18κινήσεις. Στην προσπάθεια να βρεθεί ένας τρόπος λύσης του γρίφου έχουν αναφερθεί πολλοί τρόποι συμβολισμού των διαφόρων κινήσεων, εδώ θα αναφέρουμε την πιο διαδεδομένη ονοματολογία των κινήσεων των εδρών του κύβου. Καταρχήν έχουμε τις δεξιόστροφες κατά 90ο περιστροφές των 6 εδρών του τις οποίες τις συμβολίζουμε με R,L,U,D,F,B. Τα γράμματα συμβολίζουν ταυτόχρονα και τις έδρες δηλαδή : R η δεξιά έδρα (Right) , L η αριστερή (Left), U επάνω (Up), D κάτω (Down) , F μπροστινή (Front), B η πίσω (Buck) όπως βλέπουμε τις έδρες κρατώντας τον κύβο στα χέρια μας. Οι αριστερόστροφες κατά 90ο στροφές των εδρών συμβολίζονται αντίστοιχα ως : R’ , L’ , U’ , D’ , F’ , B’ . Τέλος οι κατά 180ο περιστροφή τω εδρών συμβολίζεται ως : R2 , L2 , U2 , D2 , F2 , B2 . Όταν θέλουμε να δηλώσουμε περιστροφή δύο πλευρών ταυτόχρονα τότε γράφουμε : r ή r’ όταν θέλουμε να στρέψουμε δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα τις δύο δεξιές πλευρές, όπως βλέπουμε τον κύβο και αντίστοιχα l , l’ , u , u’ , d , d’ , f , f’ , b ,b’. Η περιστροφή μόνο των μεσαίων πλευρών συμβολόζεται με M, M’ , S , S’ , E και E’ Περιστροφή ολόκληρου του κύβου με σκοπό την αλλαγή του προσανατολισμού του συμβολίζεται με x,x’,y,y’,z,z’.
91 Γ. Λαγουδάκος Ένα από τα πρώτα ερωτήματα που τέθηκαν σχετικά με τον κύβο ήταν … ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός κινήσεων που χρειάζονται για να λυθεί ο γρίφος; Από το 1980 ο καθηγητής David Singmaster είχε κάνει μια εικασία πως το μέγιστο πλήθος κινήσεων είναι 20, και το 1995 αποδείχτηκε ότι υπάρχει κύβος που χρειάζεται τόσες κινήσεις για να λυθεί ενώ νωρίτερα την ίδια χρονιά αποδείχτηκε ότι αυτό το νούμερο δεν ξεπερνά το 29. Το 2007, οι Daniel Kunkle και Gene Cooperman χρησιμοποιώντας υπολογιστικές μεθόδους απέδειξαν ότι ένας 3×3×3 Rubik Cube μπορεί να λυθεί σε 26 κινήσεις ή λιγότερες. Το 2008, ο Tomas Rokicki μείωσε τον αριθμό σε 22 κινήσεις. Το 2010 μια ομάδα ερευνητών με επικεφαλής τον Morley Davidson του Πανεπιστημίου του Kent State University , με τη βοήθεια υπολογιστικών συστημάτων, σε συνεργασία με τους Tomas Rokicki, Herbert Kociemba και John Dethridge (μηχανικός στη Google ) απέδειξε ότι κάθε διάταξη του κύβου του Rubik μπορεί να λυθεί το πολύ με 20 κινήσεις. Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε και αριθμός του θεού από τους λάτρεις του παιχνιδιού. Η ομάδα ουσιαστικά έλυσε κάθε θέση του Rubik's Cube - και τις 43.252.003.274.489.856.000 θέσεις -χρησιμοποιώντας νέους αλγορίθμους επίλυσης του παιχνιδιού και έδειξε ότι καμία θέση δεν απαιτεί περισσότερες από 20 κινήσεις. Ένας αλγόριθμος επίλυσης του παζλ είναι αυτός που περιγράφεται παρακάτω, αν τον εκτελέσετε πιστά θα έχετε λύσει τον κύβο του Rubik ! https://www.youtube.com/watch?time_continue=79&v=rmnSpUgOvyI&feature=emb_logo https://www.aggouria.net/pos-na-liso-kivo-tou-rubik/ https://www.neolaia.gr/2019/05/24/pos-na-liseis-ton-kibo-tou-rubik-se-liga-lepta/ http://ludusmentis.blogspot.com/2012/04/rubik-3x3.html
92 Γ. Λαγουδάκος Sam Loyd Puzzles Samuel Loyd (1841-1911), Αμερικάνος σκακιστής, συγγραφέας, γνωστός για τα μαθηματικά παζλ που ο Martin Gardner τα έκανε ιδιαίτερα γνωστά στους κύκλους της Μαθηματικής κοινότητας δημοσιεύοντάς τα στο Scientific American . Μετά τον θάνατό του κυκλοφόρησε το βιβλίο Cyclopedia of 5000 Puzzles (1914). Προς τιμή του μεγάλου δασκάλου των «διασκεδαστικών μαθηματικών» θα αναφέρουμε κάποια από τα παζλ που έφτιαξε. Get off the earth Πρόκειται για μία μηχανική οφθαλμαπάτη που πρωτοπαρουσιάστηκε το 1896. Το όλο puzzle αποτελείται από δύο ομόκεντρους δίσκους όπου ο μικρότερος έχει την δυνατότητα να στρέφεται ανεξάρτητα από τον άλλον. Το σύστημα των δύο δίσκων είναι σχεδιασμένο ώστε να προσομοιάζει με την γη. Περιμετρικά είναι σχεδιασμένοι επίσης και 13 πολεμιστές κινέζοι. Όταν στραφεί για λίγο ο μικρότερος δίσκος ως δια μαγείας ο ένας κινέζος εξαφανίζεται, τώρα υπάρχουν 12 πολεμιστές. Πως γίνεται αυτό;
93 Γ. Λαγουδάκος Trick donkeys Το Donkeys Trick εφευρέθηκε από τον Sam Loyd το 1858 και τυπώθηκε σε εκατομμύρια κάρτες. Η έγχρωμη εκδοχή του παζλ είναι αυτή που παρουσιάζουμε δίπλα. Η κάρτα δείχνει δύο γαϊδούρια, το κεντρικό μέρος των οποίων παραμείνει κενό. Το τρίτο μέρος της κάρτας είναι οι αναβάτες, και ο στόχος του παζλ είναι να κόψουμε κατάλληλα τα τρία μέρη της κάρτας και να τα ανασυνθέσουμε ώστε να φαίνεται ότι οι αναβάτες είναι πάνω στα γαϊδούρια. Την λύση του παζλ την παρουσιάζουμε σε διαδοχικές φάσεις στα παρακάτω σχήματα. Το μυστικό είναι η καταρχήν αντιμετάθεση των δύο γαϊδουριών και η επανένωση των τριών κομματιών. Η οπτική απάτη του παζλ είναι ότι τα νέα γαϊδούρια φτιάχνονται από μισά μέρη των αρχικών.
94 Γ. Λαγουδάκος Back from the Klondike Το παζλ αυτό φτιάχτηκε από τον Sam Loyd το 1898. Οι κανόνες και ο σκοπός του είναι απλός. Ξεκινήστε από το κέντρο και μετακινηθείτε τρία τετράγωνα σε οποιαδήποτε από τις οκτώ κατευθύνσεις. Θα βρεθείτε σε ένα αριθμημένο τετράγωνο. Ο αριθμός αυτός αντιπροσωπεύει το μήκος της επόμενης «πορείας» σας, η οποία μπορεί να είναι πάλι σε οποιαδήποτε από τις οκτώ κατευθύνσεις. Συνεχίστε με αυτόν τον τρόπο μέχρι να φτάσετε στο έξοδο του λαβύρινθου. Το πρωτότυπο παζλ, όπως δημοσιεύτηκε στο New York Journal and Advertiser , είχε πολλές λύσεις. Το παρακάτω παζλ έχει μόνο μία μπορείτε να την βρείτε; Η λύση • 3 τετράγωνα νοτιοδυτικά έως 4. • 4 τετράγωνα νοτιοδυτικά έως 6. • 6 τετράγωνα βορειοανατολικά έως 6. • 6 τετράγωνα βορειοανατολικά έως 2. • 2 τετράγωνα βορειοανατολικά έως 5. • 5 τετράγωνα νοτιοδυτικά έως 4. • 4 τετράγωνα νοτιοδυτικά έως 4. • 4 τετράγωνα νοτιοδυτικά έως 4. 4 τετράγωνα νοτιοανατολικά έξοδος
95 Γ. Λαγουδάκος The Hidden Star Puzzle Puzzle παρατηρητικότητας. Μπορείτε να βρείτε στο διπλανό σχήμα το κρυμμένο αστέρι; Η λύση Για να καταλάβουμε την αισθητική των puzzle του τέλους του 19ου αιώνα παρουσιάζουμε ορισμένα από τα πιο χαρακτηριστικά παζλ όπως είχαν δημοσιευθεί. Πρόκειται για το London Tower Puzzle όπου είναι ένα κλασικό πρόβλημα διαδρομών. Θυμίζει αρκετά τα προβλήματα σχετικά με Euler και Hamilton path. Γεωμετρικό πρόβλημα αρίθμησης με τίτλο Tea Puzzles
96 Γ. Λαγουδάκος Γεωμετρικό παζλ σύνθεσης μιας σκακιέρας που έσπασε με τίτλο The Checker Board Puzzle The Canals on Mars ένα παζλ διαδρομών. The Paris maze, ένας λαβύρινθος αναζητά αλγόριθμο επίλυσης.
97 Γ. Λαγουδάκος Sudoku Το Sudoku είναι ένα παιχνίδι – παζλ όπου ο στόχος είναι να γεμίσουν όλα τα κουτάκια ενός πίνακα 9Χ9 με ψηφία έτσι ώστε κάθε στήλη, κάθε σειρά και καθένα από τα εννέα υποσυστήματα – πίνακες 3Χ3 που συνθέτουν τον πίνακα 9Χ9 να περιέχουν όλα τα ψηφία από το 1 έως το 9. Μερικά κουτάκια είναι ήδη συμπληρωμένα ώστε να υπάρχει μία μόνο λύση. Το sudoku επινοήθηκε από τον Αμερικανό Αρχιτέκτονα Howard Garns (1905– 1989) το 1979 και δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά από την εταιρεία Dell Magazines με το όνομα "Number Place". Το 1986 προβάλλεται στην Ιαπωνία από την εταιρεία παζλ Nikoli και γίνεται δημοφιλές με το όνομα sudoku που σημαίνει ενιαίο ψηφίο. Το 2004 εμφανίζεται σε στήλη στους Times του Λονδίνου. Αντί αριθμών μπορούν να χρησιμοποιηθούν οποιαδήποτε σύμβολα. Έχουν δημιουργηθεί γρίφοι με βάση κινέζικα σύμβολα, με το λατινικό αλφάβητο ή ακόμα και με χρώματα. Πρόγονος του παιχνιδιού μπορεί να θεωρηθεί ένα παζλ που πρώτο - παρουσιάστηκε στην Γαλλική εφημερίδα La France το 1895 με τις οδηγίες : "Χρησιμοποιήστε τους αριθμούς 1 έως 9 εννέα φορές για να ολοκληρώσετε το πλέγμα με τέτοιο τρόπο ώστε οι οριζόντιες, κάθετες και δύο κύριες διαγώνιες γραμμές όταν προσθέτουν να δίνουν το ίδιο άθροισμα." Η μανία του sudoku διαδόθηκε παντού και αναπτύχθηκαν διάφορες εναλλακτικές μορφές του παιχνιδιού όπως παρουσιάζονται … Sudoku 4X4 ιδιαίτερο sudoku 6X6 samurai sudoku
98 Γ. Λαγουδάκος sudoku 9X9 με γράμματα didoku 8X8 nonomino sudoku Hypersudokus triangular sudoku
99 Γ. Λαγουδάκος Killer Sudoku puzzle sudoku classic ξύλινα παιχνίδια sudoku
100 Γ. Λαγουδάκος Το δυσκολότερο Sudoku του κόσμου δημιούργησε ένας 47χρονος μαθηματικός από την Φινλανδία. Ο Dr Arto Inkala ξόδεψε τρεις μήνες για να το ολοκληρώσει και καλεί τους λάτρεις του «αθλήματος» να προσπαθήσουν να το λύσουν, αν και όπως δήλωσε στην εφημερίδα Sun, «για να μπορέσει να το καταφέρει κάποιος αυτό χωρίς βοήθεια θα χρειαστεί τουλάχιστον...μερικές εβδομάδες». Δεν έχετε παρά να δοκιμάσετε … Τα Μαθηματικά του Sudoku ! Γύρω από το παιχνίδι αυτό έχουν αναπτυχθεί ενδιαφέροντα θεωρήματα αλλά και εικασίες, για παράδειγμα ένα ερώτημα που απασχόλησε την μαθηματική κοινότητα είναι : «ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος αριθμών που χρειάζεται να τοποθετηθεί σε ένα Sudoku, ώστε το παιχνίδι να έχει μοναδική λύση;». Από καιρό είχε διατυπωθεί η εικασία ότι για να έχει ένα πρόβλημα Sudoku μοναδική λύση χρειάζεται να δίνονται τουλάχιστον 17 συμπληρωμένα τετραγωνάκια. Μία ομάδα των ιρλανδών μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο του Δουβλίνου απέδειξε ότι αυτή η υπόθεση είναι σωστή. Η στρατηγική που ακολούθησαν έφερε για μία άλλη φορά στην επιφάνεια το ερώτημα τι είναι απόδειξη; , αφού η όποια δικαιολόγηση έγινε με χρήση ενός υπέρ-υπολογιστή. Υπάρχουν 5.472.730.538 περιπτώσεις να ταξινομηθούν κατάλληλα τα 9 ψηφία ώστε να σχηματίσουμε ένα Sudoku. Για να αποδείξουν ότι δίνοντας μόνο 16 από αυτά δεν είναι δυνατόν να λυθεί μονοσήμαντα το παιχνίδι έπρεπε οι μαθηματικοί να κάνουν ένα
101 Γ. Λαγουδάκος τεράστιο αριθμό δοκιμών αφού είχαν μπροστά τους 81 33594090947249085 16   =     συνδυασμούς! Η ομάδα έγραψε ένα πρόγραμμα που το «έτρεξε» σε έναν υπολογιστή Silicon Graphics, αποτελούμενο από 640 επεξεργαστές Intel Xeon, για 12 μήνες, από τον Ιανουάριο ως τον Δεκέμβριο του 2011. Το πρόγραμμα εξέταζε κάθε μία από τις 5.472.730.538 δυνατές περιπτώσεις αν μπορεί να λυθεί μονοσήμαντα δίνοντας ως δεδομένα μόνο 16 αριθμούς. Το αποτέλεσμα δικαίωσε την εικασία, οπότε πλέον αποδείχθηκε (;) ότι χρειάζονται τουλάχιστον 17 συμπληρωμένα κουτάκια σε ένα παιχνίδι Sudoku ώστε αυτό να έχει μοναδική λύση. Το πραγματικά ενδιαφέρον στην όλη ιστορία είναι ότι η μεθοδολογία με την οποία δούλεψαν οι Ιρλανδοί μαθηματικοί βρήκε εφαρμογή και σε τομείς αρκετά πιο χρήσιμους. Εφαρμόστηκε στον προγραμματισμό των συσκευών ανάλυσης DNA στο Cold Spring Harbour Laboratory (CSHL) στο Long Island της Νέας Υόρκης ονομάζοντας την συγκεκριμένη μεθοδολογία DNA-Sudoku. Για περισσότερες πληροφορίες : https://www.scientificamerican.com/article/dna-sudoku/ Ένα δεύτερο ερώτημα που τίθεται είναι Πόσα «διαφορετικά» sudoku μπορούμε να πάρουμε από ένα μόνο αρχικό sydoku; Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το sudoku Αν αντιμεταθέσουμε τους αριθμούς 1 και 2 θα πάρουμε το διπλανό που είναι ένα νέο sudoku.
102 Γ. Λαγουδάκος Υπάρχουν 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9! 362.880         = = τέτοιες διαφορετικές αντιμεταθέσεις Για παράδειγμα αν εκτελέσουμε την αντιμετάθεση : 1 1, 2 4, 3 3, 4 6, 5 7, 6 5, 7 8, 8 9, 9 2 → → → → → → → → → θα πάρουμε ένα νέο sudoku : Ένας άλλος τρόπος να πάρουμε ένα «διαφορετικό» sudoku είναι να αντιμεταθέσουμε στήλες, για παράδειγμα, στο παρακάτω σχήμα έχουμε δύο διαφορετικά sudoku με μία απλή αντιμετάθεση της 1ης με την 2η στήλη. Πόσες τέτοιες αντιμεταθέσεις μπορούμε να κάνουμε; Εδώ πρέπει να είμαστε προσεκτικοί γιατί μπορούμε να αντιμεταθέσουμε στήλες που ανήκουν στο ίδιο τετράγωνο, άρα υπάρχουν 6 αντιμεταθέσεις των 3 πρώτων στηλών – μία εικόνα για όσα λέω δίνει το παρακάτω σχήμα
103 Γ. Λαγουδάκος Οπότε συνολικά 3 6 6 6 6   = δυνατότητες αφού 6 περιπτώσεις αντιμεταθέσεων υπάρχουν ανάμεσα στις 4η-5η-6η στήλη και άλλες 6 για τις αντιμεταθέσεις των 7η-8η-9η στήλη. Όμως έχουμε και άλλες 6 δυνατότητες αντιμεταθέσεων ολόκληρων των τριών ζωνών και όχι μεμονωμένα των 9 στηλών, δηλαδή υπάρχει και η εξής δυνατότητα : Άρα συνολικά υπάρχουν και άλλες 4 6 1296 = περιπτώσεις Λόγω της συμμετρίας που έχει το Sudoku ότι μπορούμε να κάνουμε με τις στήλες μπορούμε να κάνουμε και με τις γραμμές, άρα υπάρχουν και άλλες 4 6 1296 = περιπτώσεις «νέων» sudoku που προκύπτουν από αντιμεταθέσεις γραμμών. Λοιπόν, τελειώσαμε; Όχι βέβαια αφού μπορούμε επίσης να περιστρέψουμε τα sudoku κατά 90 o και να προκύψει ένα νέο. Για παράδειγμα παρατηρείστε … Πως μία απλή περιστροφή δημιουργεί ένα νέο αποτέλεσμα… Άλλες περιστροφές, για παράδειγμα κατά 180ο ή κατά 90ο αριστερόστροφα δεν θα δώσουν άλλα sudoku αφού πρόκειται για καταστάσεις που έχουν προσμετρηθεί με τις αναδιατάξεις των γραμμών ή στηλών. Άρα τελικά πόσα «νέα» sudoku φτιάχνουμε από μόλις ένα; Φτιάχνουμε 4 4 9! 6 6 2 1.218.998.108.160    = νέα παζλ. Είναι ένας πραγματικά πολύ μεγάλος αριθμός που αν ο εκτυπωτής σας έκανε ένα δευτερόλεπτο να τυπώσει κάθε ψηφίο του θα χρειαζόμαστε σχεδόν 40.000 χρόνια για να τυπωθεί και το χαρτί που θα χρησιμοποιούσαμε θα έφθανε το ύψος του Έβερεστ.
104 Γ. Λαγουδάκος To Kenken ή KenDoku Είναι ένα puzzle αριθμητικής και λογικής που εφευρέθηκε το 2004 από τον Ιάπωνα καθηγητή μαθηματικών Tetsuya Miyamoto. Όπως και στο Sudoku στόχος είναι να γεμίσει το τετραγωνικό πλέγμα στο οποίο παίζεται το παιχνίδι με τους κατάλληλους αριθμούς. Οι βασικοί κανόνες είναι οι εξής : Αν το πλέγμα είναι 3Χ3 θα χρησιμοποιηθούν οι αριθμοί 1,2,3 ώστε να εμφανίζονται από μία φορά τόσο οριζόντια όσο και κάθετα. Όμοια για τους αριθμούς 1,2,3,4 αν το πλέγμα είναι 4Χ4 και ούτω καθεξής. Το μεγαλύτερο πλέγμα στο οποίο παίζεται το παιχνίδι είναι το 9Χ9 όπου χρησιμοποιούμε τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6,7,8 και 9. Το διαφορετικό που υπάρχει στο puzzle αυτό είναι ότι μέσα στο πλέγμα εμφανίζονται περιοχές που περιβάλλονται από μία παχύτερη γραμμή. Σε αυτές τις περιοχές εμφανίζονται τα σύμβολα των τεσσάρων πράξεων καθώς και ένας αριθμός «αποτέλεσμα» των σημειωμένων πράξεων. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι έχουμε το παρακάτω 3X3 kenken Παρατηρείστε ότι το 3Χ3 πλέγμα έχει χωριστεί σε πέντε περιοχές στις δύο από αυτές δεν σημειώνεται κανένα σύμβολο οποιασδήποτε πράξης απλώς οι αριθμοί 2 και 1. Αυτό σημαίνει απλά ότι στα αντίστοιχα τετράγωνα θα υπάρχουν οι αριθμοί αυτοί. Στις περιοχές που σημειώνεται το «5+» θα πρέπει να γράψουμε τους αριθμούς 1,2,3 με τέτοιο τρόπο ώστε οι σημειωμένοι αριθμοί στα αντίστοιχα τετράγωνα να έχουν άθροισμα 5 και συγχρόνως να ικανοποιείται και ο αρχικός περιορισμός του puzzle να εμφανίζονται οι αριθμοί μία μόνο φορά είτε οριζόντια είτε κατακόρυφα. Αν σε μία περιοχή εμφανίζεται το σύμβολο «3-» αυτό σημαίνει ότι θα σημειωθούν δύο αριθμοί που διαφέρουν κατά 3, αντίστοιχα «2:» σημαίνει ότι θα σημειώσουμε δύο αριθμούς με πηλίκο 2. Προσοχή όμως οι αριθμοί αυτοί μπορεί να γραφούν με οποιαδήποτε σειρά. Δηλαδή αν το πλέγμα είναι 3Χ3 ένα σύμβολο «3:» μπορεί να σημαίνει ότι θα γράψουμε τους αριθμούς 1 και 3 ή τους 3 και 1. Αντίστοιχα σε ένα πλαίσιο 4Χ4 το σύμβολο «3-» μπορεί να σημαίνει ότι θα γράψουμε τους αριθμούς 4 και 1 ή τους 1 και 4.
105 Γ. Λαγουδάκος Το 2007 εκδόθηκαν στην Ιαπωνία από τις εκδόσεις Gakken Co. εκπαιδευτικά βιβλία με τίτλο Kashikoku naru pazuru (φωτισμένο παζλ ευφυΐας ) 賢 く な る パ ズ ル , Από τον Μάρτιο του 2008 υπάρχει στήλη Kenken στους New York Times και από το 2015 στο Γερμανικό περιοδικό Der Spiegel . To Kenken μπορεί κάποιος να το παίξει και στο κινητό του αρκεί να κατεβάσει την αντίστοιχη εφαρμογή. Το παιχνίδι αυτό χρησιμοποιείται από πολλούς δασκάλους στην Αμερική για να διδάξουν στους μαθητές τους δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων, λογική και κριτική σκέψη. Το 2009, η KenKen LLC ξεκίνησε το Πρόγραμμα Τάξης KenKen (KKCR), το οποίο δίνει την δυνατότητα στους εκπαιδευτικούς να εγγραφούν σε ένα εβδομαδιαίο ενημερωτικό δελτίο παρέχοντας σετ puzzle KenKen. Σήμερα, πάνω από 25.000 εκπαιδευτικοί είναι μέρος του προγράμματος , εκτός από το KKCR, το KenKen βοηθά τους εκπαιδευτικούς να οργανώσουν τα δικά τους κλαμπ και τουρνουά KenKen στα σχολεία τους. Το παιχνίδι μπορεί να παιχτεί και διαδικτυακά στην διεύθυνση www.kenkenpuzzle.com Αποτελεί πρόκληση στον καθένα να δοκιμάσει τις μαθηματικές δεξιότητες του προσπαθώντας να επιλύσει τα παρακάτω puzzle.
106 Γ. Λαγουδάκος Tangram Το tan-gram είναι ένα παζλ που αποτελείται από επτά επίπεδα σχήματα τα οποία ενώνονται για να σχηματίσουν σχήματα. Ο στόχος του παζλ είναι να σχηματιστεί ένα συγκεκριμένο σχήμα που δίνεται το περίγραμμά του χρησιμοποιώντας και τα επτά κομμάτια, χωρίς να επικαλύπτει το ένα το άλλο. Έχει εφευρεθεί στην Κίνα περί το 1000 μ.Χ. και στη συνέχεια μεταφέρθηκε στην Ευρώπη στις αρχές του 19ου αιώνα. Το κινεζικό του όνομα είναι Qiqiao Bang 七巧板, που σημαίνει "επτά έξυπνα κομμάτια". Υπάρχει ένας μύθος σχετικά με την προέλευση του παιχνιδιού. Λέγεται ότι ένας μοναχός έδωσε σε έναν μαθητή του ένα τετράγωνο πιάτο πορσελάνης και ένα πινέλο, και του είπε να ταξιδέψει και να ζωγραφίσει στην πορσελάνη τις ομορφιές που θα συναντούσε στο δρόμο του. Ο μαθητής κατά λάθος έσπασε το πιάτο σε επτά κομμάτια. Στην προσπάθεια του συγκολλήσει το πιάτο κατάλαβε ότι μπορούσε να δημιουργήσει με τα κομμάτια αυτά πολλές και ενδιαφέρουσες μορφές. Έτσι δεν θα χρειαζόταν πλέον τα ταξιδέψει αφού όλες οι ομορφιές του κόσμου θα μπορούσαν να σχεδιαστούν με τα επτά αυτά κομμάτια.
107 Γ. Λαγουδάκος Αν θεωρήσουμε ότι το τετράγωνο που σχηματίζουν όλα μαζί τα πλακίδια του παιχνιδιού έχει πλευρά 1 τότε οι διαστάσεις των πλακιδίων είναι : 2 «μεγάλα» ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα με διαστάσεις : ( , , ) 2 2 1 2 2 2 «μικρά» ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα με διαστάσεις : ( , , ) 1 2 2 2 4 4 1 «μεσαίο» ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με διαστάσεις : ( , , ) 2 1 1 2 2 2 1 τετράγωνο πλευράς 2 4 και 1 παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών 1 2 και 2 4 . Παρόμοιο παιχνίδι με το tagram είναι και το (Ο)στομάχιον του Αρχιμήδους. Το παιχνίδι αυτό περιγράφεται σε μαθηματικό κείμενο του Αρχιμήδη όπου κάποια αποσπάσματά του έχουν διασωθεί. Η λέξη οστομάχιον προέρχεται από τις λέξεις οστούν και μάχη και σημαίνει η μάχη των οστών. Παιζόταν με 14 γεωμετρικά σχήματα (οστά) με τα οποία δύο ή και περισσότεροι παίχτες σχημάτιζαν διάφορες γεωμετρικές φιγούρες και ανταγωνίζονταν μεταξύ τους. Το παιχνίδι αυτό μπορείτε να το αναζητήσετε στη διεύθυνση …
108 Γ. Λαγουδάκος Παίζοντας το tangram συμβαίνουν αρκετά παράδοξα! Ένα τέτοιο παράδοξο έχει επισημανθεί από τον Sam Loyd και παρουσιάζεται στην παρακάτω εικόνα. Τα τρία κύπελα παράγονται από τα επτά πλακίδια του παιχνιδιού άρα έχουν το ίδιο εμβαδόν όμως είναι διαφορετικά μεταξύ τους … . Ένα δεύτερο παράδοξο είναι αυτό που παρουσιάζεται στην διπλανή εικόνα … Παρατηρείστε τα δύο τετράγωνα που φαίνονται ίδια αλλά το ένα έχει κενή περιοχή δύο τριγώνων (;), συγχρόνως το δεύτερο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν αφού αποτελείται από τα επτά πλακίδια του παιχνιδιού αλλά και από την «μαύρη» περιοχή. Παρακάτω σας δίνω μια σειρά από τέτοια παράδοξα. Αποτελεί πρόκληση στον οποιοδήποτε η κατασκευή τους αλλά και η δικαιολόγηση της παραδοξότητας
109 Γ. Λαγουδάκος Για να σας προϊδεάσω σας δίνω μία οπτική δικαιολόγηση για το παράδοξο του μοναχού ! Παρατηρείστε πως μια μικρή διαφοροποίηση στο τελικό μέγεθος των δύο σχημάτων δίνει την εντύπωση ότι σχηματίσαμε δύο σχήματα από τα επτά κομμάτια του tangram αλλά που δεν είναι όμως και ισεμβαδικά. Λέγεται ότι έχουν καταγραφεί πάνω από 6500 φιγούρες που μπορούν να δημιουργηθούν από τα επτά κομμάτια του tangram , αλλά από αυτά μόνο 13 είναι κυρτά πολύγωνα , την πρόταση αυτή την απόδειξαν το 1942 οι μαθηματικοί Fu Traing Wang και ο Chuan- Chin Hsiung. Παραλλαγές του παζλ είναι τα :
110 Γ. Λαγουδάκος Disentanglement puzzles Τα puzzles με τα οποία θα ασχοληθούμε λέγονται και «μπερδεμένα παζλ» (tanglement puzzles) , ή «παζλ της ταβέρνας» (tavern puzzles) αφού φτιάχνονταν κυρίως με σίδηρο και οι πελάτες των ταβερνών προσπαθούσαν να τα λύσουν όσο περίμεναν να εξυπηρετηθούν αλλά και «τοπολογικά παζλ» (topological puzzles) αφού σε πολλά από αυτά η λύση τους βασίζεται σε βασικές αρχές της τοπολογίας ενός κλάδου της Γεωμετρίας. Το χαρακτηριστικό γνώρισμα των puzzles είναι ότι ο σκοπός είναι αποσυναρμολόγηση αλλά και η συναρμολόγησή τους. Έχει καταγραφή ένα μεγάλο πλήθος από αυτά και ως υλικά χρησιμοποιούνται ξύλο, μέταλλο, σχοινί, αλλά και πλαστικό. Παρακάτω παρουσιάζουμε μερικές συλλογές από τέτοια κομμάτια σε συσκευασίες των αρχών του 20ου αιώνα όπου εκτός από τα παζλ περιέχονται και οδηγίες επίλυσής τους.
111 Γ. Λαγουδάκος Στο βιβλίο αυτό θα αναφερθούμε σε κάποια από αυτά που παρουσιάζουν με τον έναν ή τον άλλο τρόπο μαθηματικό ενδιαφέρον!
112 Γ. Λαγουδάκος Patience Puzzle δηλαδή το παζλ της υπομονής. Εμφανίζεται στο εμπόριο με διάφορα ονόματα όπως The Devil’s Needle, Baguenaudier, Time Waster, Tiring Irons, Prisoner’s Lock, Cardan’s Rings. Το συγκεκριμένο puzzle περιγράφεται από τον Ιταλό μαθηματικό Girolamo Cardano (1501-1576) στο βιβλίο του Subtilitate Rerum. Στην Ανατολή χρησιμοποιείτο και ως κλειδαριά. Θεωρείται ότι εφευρέθηκε αρχικά στην Κίνα, ο Αμερικανός εθνογράφος Stewart Culin συσχετίζει μια παράδοση που αποδίδει την εφεύρεση του παζλ στον κινέζικο στρατηγό Zhuge Liang του 2ου / 3ου αιώνα . To puzzle είναι συνήθως μεταλλικό και αποτελείται από ένα σύστημα μεταλλικής ράβδου και ενός αριθμού δακτυλιδιών, από τα οποία κάποια συνδέονται μεταξύ τους και είναι περασμένα στην κεντρική ράβδο. Όσα περισσότερα δακτυλίδια υπάρχουν τόσο πιο δύσκολο θεωρείται το puzzle. Ο Γάλλος μαθηματικός του 19ου αιώνα Édouard Lucas βρήκε μια κομψή λύση που χρησιμοποιεί το δυαδικό σύστημα αρίθμησης για να περιγράψει τον αλγόριθμο επίλυσης του puzzle. Συγχρόνως κατέληξε στο τύπο : n 1 n 1 2 1 ,n 2k a(n) { 2 ,n 2k 1 − − − = = = + όπου n o αριθμός των δακτυλιδιών και a(n) ο αριθμός των κινήσεων που απαιτούνται για να λυθεί ο γρίφος, (στον τύπο αυτόν ως μία κίνηση θεωρείται η ταυτόχρονη εξαγωγή ή η εισαγωγή στην κεντρική ράβδο δύο δακτυλιδιών). Ας παρακολουθήσουμε τον αλγόριθμό του Lucas. Καταρχήν γράφει 0 όταν ο δακτύλιος είναι εκτός της ράβδου και 1 όταν ο ράβδος διαπερνά το συγκεκριμένο δακτυλίδι. Οπότε σε 5 δακτυλίδια ο αριθμός των 16 βημάτων – κινήσεων σύμφωνα με τον τύπο που αναφέραμε περιγράφεται ως εξής :
113 Γ. Λαγουδάκος Ξεκινάμε με την κατάσταση 11111 / 1ο βήμα βγάζουμε το 1ο δακτυλίδι οπότε έχουμε 01111 / 2ο βήμα βγάζουμε το 3ο δακτυλίδι άρα είμαστε στην κατάσταση 01011 / 3ο βήμα τοποθετούμε ξανά μέσα στην ράβδο το 1ο δακτυλίδι , άρα 11011 / 4ο βήμα βγάζουμε 1ο και 2ο δακτυλίδι , άρα 00011 / 5ο βήμα βγάζουμε το 5ο δακτυλίδι, άρα 00010 / 6ο βήμα βάζουμε το 1ο και 2ο δακτυλίδι στην ράβδο , άρα 11010 / 7ο βήμα βγάζουμε το 1ο δακτυλίδι άρα 01010 / 8ο βήμα βάζουμε στην ράβδο το 3ο δακτυλίδι, άρα 01110 / 9ο βήμα βάζουμε στην ράβδο το 1ο δακτυλίδι, άρα 11110 / 10ο βήμα βγάζουμε 1ο και 2ο δακτυλίδι , άρα 00110 / 11ο βήμα βγάζουμε το 4ο δακτυλίδι, άρα 00100 / 12ο βήμα βάζουμε το 1ο και 2ο δακτυλίδι, άρα 11100 / 13ο βήμα βγάζουμε το 1ο δακτυλίδι, άρα 01100 / 14ο βήμα βγάζουμε το 3ο δακτυλίδι, άρα 01000 / 15ο βήμα βάζουμε το 1ο δακτυλίδι, άρα 11000 / 16ο βήμα τέλος βγάζουμε 1ο και 2ο δακτυλίδι, άρα 00000. Bent nail puzzle δηλαδή το παζλ των λυγισμένων καρφιών. Πρόκειται για το πιο αναγνωρίσιμο από όλα τα παζλ της κατηγορίας. Χαρακτηρίζεται ως τοπολογικό παζλ. Ενώ φαίνεται αδύνατο να ξεμπλεχτούν τα δύο ( σε άλλα παζλ και τρία καρφιά) με κατάλληλες στροφές τα δύο καρφιά ξεχωρίζουν.
114 Γ. Λαγουδάκος Loony Loop puzzle Κλασικό τοπολογικό παζλ, όπου με κινήσεις και κατάλληλες στροφές ο στόχος είναι να αποσυναρμολογήσεις ένα σύστημα μεταλλικών βρόγχων με σκοπό να «απελευθερωθεί» το σχοινί που είναι μπλεγμένο μέσα σε αυτά. Συνήθως μαζί με το παζλ δίνεται και η λύση με μορφή αλγοριθμικής διαδικασίας. Figure Eight puzzle Το άλυτο παζλ! Φτιάχτηκε από τον Stewart Coffin. Ο Αμερικάνος μαθηματικός Martin Gardner το συμπεριέλαβε στο βιβλίο του “The Mathemagician and the Pied Puzzler” γράφοντας το άρθρο The Odyssey of the figure eight puzzle. Oι μαθηματικοί Inta Bertuccioni και Paul Melvin απέδειξαν ότι το παζλ είναι άλυτο αναπτύσσοντας και συνδυάζοντας γνώσεις από ένα τομέα των μαθηματικών που λέγεται θεωρία κόμβων που αποτελεί κλάδο της Τοπολογίας.
115 Γ. Λαγουδάκος Miguel Ortiz Berrocal Ισπανός γλύπτης γεννημένος στην Μάλαγα (1933-2006) . Είναι γνωστός από τα γλυπτά παζλ που κατασκεύαζε αφού τα έργα αυτά μπορούν να αποσυναρμολογηθούν σε πολλά κομμάτια. Έχει κατασκευάσει από μεγάλα γλυπτά που εκτίθενται σε δημόσιους χώρους ως και μινιατούρες. Το να συναρμολογήσεις ένα γλυπτό του Berrocal είναι πραγματικά ένα δύσκολο παζλ. Στο διπλανό video παρουσιάζεται μία από τις πιο γνωστές συνθέσεις του το «Romeo & Juliette Puzzle Sculpture » Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τα Τanglement puzzles μπορείτε να επισκεφθείτε τον ιστότοπο http://robspuzzlepage.com/tanglement.htm
116 Γ. Λαγουδάκος Βιβλιογραφία 1. A difficult case “Pacioli and Cardano on the Chinese Rings” - Albrecht Heffer, Andreas M. Hinz Center for History of Science, Ghent University, Mathematics Department, LMU Munich 2. Puzzle Craft - Stewart T. Coffin 3. Topology of Puzzle Rings - Kouki Taniyama Asia Pacific Mathematics Newsletter 4. 536 Puzzles and curious problems – Henry Ernest Dudeney Charles Scribner’s Sons – N.Y. 5. The Puzzle Universe - A history of maths in more than 300 puzzles- Ivan Moscovich -LANNOO 6. Defeating Mastermind By Justin Dowell 7. Group Theory via Rubik’s Cube - Tom Davis tomrdavis@earthlink.net / http://www.geometer.org ROUGH DRAFT!!! / December 6, 2006 8. Easy Mazes by KrazyDad, Book 1 9. Back From The Klondike by Sam Loyd - Joseph Eitel amagicclassroom.com 10. San Loyd’s Puzzles – a book for children by Duneroller Publishing
117 Γ. Λαγουδάκος 11. Entertaining Mathematical Puzzles – Martin Gardner – M.A.A. 12. Mathematical Magic Show - Martin Gardner – M.A.A. 13. Herman Tulleken – Polyominoes – How they fit together 14. Πτυχιακή εργασία : «Ο Κύβος του Ρούμπικ: Ανάλυση και Μέθοδοι Επίλυσης» - Κωνσταντίνος. Γ. Καρατσενίδης Ε.K.Π.Α. - ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 15. Solving a sudoku puzzle - BY JEAN-PAUL DELAHAYE Scientific American June 2006 16. Genetic Algorithms «Playing Mastermind» – Vivian van Oijen, BSc Artificial Intelligence- Utrecht University- July 4, 2018 17. Trémaux’s Algorithm for Threading a Maze - Robert R. Snapp 18. Wikipedia 19. Προσωπικές σημειώσεις

More Related Content

PDF
οδηγίες για το διαγώνισμα στην οδύσσεια
Maria Michali
 
DOC
Υπόδειγμα Σεναρίου Διδασκαλίας
Vasilis Drimtzias
 
PPTX
τα παιχνίδια του χτες και του σήμερα
dourvas
 
PDF
Πηγές ιστορίας γ΄ γυμνασίου
cgialopsos
 
PDF
Το ημερολόγιο της Άννας Φρανκ-Ν. Λογοτεχνία β γυμνασίου
vserdaki
 
PPTX
μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες. Στρατηγικές διδασκαλίας και προσέγγισης
Panos Pir
 
PPT
να ΄σαι καλά δάσκαλε
artedinou
 
PDF
σχεδιο δρασησ
Bill Smyrnios
 
οδηγίες για το διαγώνισμα στην οδύσσεια
Maria Michali
 
Υπόδειγμα Σεναρίου Διδασκαλίας
Vasilis Drimtzias
 
τα παιχνίδια του χτες και του σήμερα
dourvas
 
Πηγές ιστορίας γ΄ γυμνασίου
cgialopsos
 
Το ημερολόγιο της Άννας Φρανκ-Ν. Λογοτεχνία β γυμνασίου
vserdaki
 
μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες. Στρατηγικές διδασκαλίας και προσέγγισης
Panos Pir
 
να ΄σαι καλά δάσκαλε
artedinou
 
σχεδιο δρασησ
Bill Smyrnios
 

What's hot (20)

PPTX
το πιο γλυκο ψωμι
Dimitra Stefani
 
PPTX
παραθετικά επιθέτων - επιρρημάτων, β΄ όρος σύγκρισης
Matoula Mk
 
PDF
Σταυρόλεξο: Φυσικά ΣΤ Δημοτικού
Penelope Markellou
 
PPSX
"Πώς γράφουμε επιστολή"
katpapaioa
 
DOCX
μαθαίνω να γράφω άρθρο
Katerina Dervisi
 
PDF
Ασκήσεις Συλλαβισμού
theodora tz
 
DOCX
ΑΡΧΑΙΑ Β΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ,ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ,"Η ΚΑΛΛΙΠΑΤΕΙΡΑ",ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΕΥΗ ΚΑΡΟΥΝΙΑ
 
DOCX
διαγωνισμα στο μαθημα της νεοελληνικης γλωσσας ταξη β γυμνασίου
Ria Papamanoli
 
PPTX
Το πιο γλυκό ψωμί
xspanaki
 
PDF
Φυσική Ε΄ 9.7. ΄΄ Τριβή - Επιθυμητή ή ανεπιθύμητη; ΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
PPTX
Βρίσκω το εμβαδό τριγώνου
Γιάννης Φερεντίνος
 
PDF
Σχεδιο Διδασκαλίας στα Μαθηματικά-Α τάξη
kvaggelio25
 
DOCX
το επικοινωνιακο πλαισιο στην εκθεση
Eleni Kots
 
DOCX
Βασικές έννοιες στην Ιλιάδα- Β Γυμνασίου
mvourtsian
 
PPTX
"Το μαύρο κύμα» ΛΟΥΙΣ ΣΕΠΟΥΛΒΕΔΑ
4ο Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων/ Ρούσση Μαρία πε02
 
DOCX
αφαίρεση με δανεικό κανόνας και ασκήσεις
Ioanna Chats
 
PDF
Μαθηματικά Ε΄ - Επανάληψη 7ης ενότητας, κεφ. 41-44
Χρήστος Χαρμπής
 
DOCX
μανιταρια στην πολη σημειωσεις
Dimitra Stefani
 
PPTX
Ο Κάσπαρ Χάουζερ
Evangelia Patera
 
PDF
Γλώσσα Ε΄ 7.1.΄΄ Εγώ σε συναυλία;΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
το πιο γλυκο ψωμι
Dimitra Stefani
 
παραθετικά επιθέτων - επιρρημάτων, β΄ όρος σύγκρισης
Matoula Mk
 
Σταυρόλεξο: Φυσικά ΣΤ Δημοτικού
Penelope Markellou
 
"Πώς γράφουμε επιστολή"
katpapaioa
 
μαθαίνω να γράφω άρθρο
Katerina Dervisi
 
Ασκήσεις Συλλαβισμού
theodora tz
 
ΑΡΧΑΙΑ Β΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ,ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ,"Η ΚΑΛΛΙΠΑΤΕΙΡΑ",ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΕΥΗ ΚΑΡΟΥΝΙΑ
 
διαγωνισμα στο μαθημα της νεοελληνικης γλωσσας ταξη β γυμνασίου
Ria Papamanoli
 
Το πιο γλυκό ψωμί
xspanaki
 
Φυσική Ε΄ 9.7. ΄΄ Τριβή - Επιθυμητή ή ανεπιθύμητη; ΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
Βρίσκω το εμβαδό τριγώνου
Γιάννης Φερεντίνος
 
Σχεδιο Διδασκαλίας στα Μαθηματικά-Α τάξη
kvaggelio25
 
το επικοινωνιακο πλαισιο στην εκθεση
Eleni Kots
 
Βασικές έννοιες στην Ιλιάδα- Β Γυμνασίου
mvourtsian
 
"Το μαύρο κύμα» ΛΟΥΙΣ ΣΕΠΟΥΛΒΕΔΑ
4ο Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων/ Ρούσση Μαρία πε02
 
αφαίρεση με δανεικό κανόνας και ασκήσεις
Ioanna Chats
 
Μαθηματικά Ε΄ - Επανάληψη 7ης ενότητας, κεφ. 41-44
Χρήστος Χαρμπής
 
μανιταρια στην πολη σημειωσεις
Dimitra Stefani
 
Ο Κάσπαρ Χάουζερ
Evangelia Patera
 
Γλώσσα Ε΄ 7.1.΄΄ Εγώ σε συναυλία;΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
Ad

Similar to ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ.pdf (20)

PDF
γιάννης πλατάρος «μια γεωμετρική εφαρμογή μεγίστου κι ελάχιστου με χρόνο, μέσ...
Γιάννης Πλατάρος
 
DOC
εργασία συνεδρίου για τπε
Γιάννης Πλατάρος
 
PDF
Dixeirisi ulis b luk geometria
ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
 
PDF
Μαθηματικές ιστορίες
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Σενάριο "γραμματα" - Χελωνόκοσμος "Αβάκιο"
Constantina Kotsari
 
PDF
οδηγίες για τη διδασκαλια των θετικών μαθημάτων στο γυμνάσιο 2011 12
Christos Gotzaridis
 
PDF
Κατασκευάζω γεωμετρικά σχήματα
Georgia Palapela
 
PPSX
Ερευνητική Εργασία - Παιχνίδια αριθμητικής λογικής - Ελληνογαλλική Σχολή Καλα...
christinatikva
 
PDF
ευκλειδησ 2016 17 solutions_2
Christos Loizos
 
PDF
ΒΟΗΘΗΜΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.pdf
Μαυρουδης Μακης
 
DOCX
Οδηγιες μαθηματων ΠΕ4 Γυμνασιου 2014 15
Christos Gotzaridis
 
PDF
140917 odigies 8et_gumn
Xristos Koutras
 
PDF
Math b
bpispas
 
PDF
Arthro gia blog
Christos Loizos
 
PDF
Μαθήματικά E΄τάξης: Σχέδια μαθήματος Geogebra
Martaki Fani
 
DOC
οδηγιεσ θετικων μαθηματων γυμνασιου 2012 2013
Dimitris Makrakis
 
DOCX
Εκπαιδευτικό σενάριο «Γεωμετρία - Χώρος και σχήματα Υποενότητα: ● Γεωμετρικά...
Σπύρος Κυριαζίδης
 
PDF
Mpourazanas eksetaseis b gymnasiou 15 16
ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΔΑΜΑΣΙΩΤΗΣ
 
PPT
Γιάννης Θωμαΐδης: «Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές ε...
Thales and friends
 
PDF
Pd fsam merge
Θανάσης Δρούγας
 
γιάννης πλατάρος «μια γεωμετρική εφαρμογή μεγίστου κι ελάχιστου με χρόνο, μέσ...
Γιάννης Πλατάρος
 
εργασία συνεδρίου για τπε
Γιάννης Πλατάρος
 
Dixeirisi ulis b luk geometria
ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
 
Μαθηματικές ιστορίες
Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Σενάριο "γραμματα" - Χελωνόκοσμος "Αβάκιο"
Constantina Kotsari
 
οδηγίες για τη διδασκαλια των θετικών μαθημάτων στο γυμνάσιο 2011 12
Christos Gotzaridis
 
Κατασκευάζω γεωμετρικά σχήματα
Georgia Palapela
 
Ερευνητική Εργασία - Παιχνίδια αριθμητικής λογικής - Ελληνογαλλική Σχολή Καλα...
christinatikva
 
ευκλειδησ 2016 17 solutions_2
Christos Loizos
 
ΒΟΗΘΗΜΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.pdf
Μαυρουδης Μακης
 
Οδηγιες μαθηματων ΠΕ4 Γυμνασιου 2014 15
Christos Gotzaridis
 
140917 odigies 8et_gumn
Xristos Koutras
 
Math b
bpispas
 
Arthro gia blog
Christos Loizos
 
Μαθήματικά E΄τάξης: Σχέδια μαθήματος Geogebra
Martaki Fani
 
οδηγιεσ θετικων μαθηματων γυμνασιου 2012 2013
Dimitris Makrakis
 
Εκπαιδευτικό σενάριο «Γεωμετρία - Χώρος και σχήματα Υποενότητα: ● Γεωμετρικά...
Σπύρος Κυριαζίδης
 
Mpourazanas eksetaseis b gymnasiou 15 16
ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΔΑΜΑΣΙΩΤΗΣ
 
Γιάννης Θωμαΐδης: «Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές ε...
Thales and friends
 
Pd fsam merge
Θανάσης Δρούγας
 
Ad

More from ssuser96a7452 (9)

PDF
Περί απείρου ....pdf
ssuser96a7452
 
PDF
Τα μαθηματικά στα χρόνια της επανάστασης του 21 pdf.pdf
ssuser96a7452
 
PDF
ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ.pdf
ssuser96a7452
 
PDF
Math and Art in Athens.pdf
ssuser96a7452
 
PDF
ΟΠΕΡ ΕΔΕΙ ΠΟΙΗΣΑΙ.pdf
ssuser96a7452
 
PDF
SANGAKU.pdf
ssuser96a7452
 
PDF
ΑΠΙΘΑΝΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ.pdf
ssuser96a7452
 
PDF
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΟΥΣ ΘΗΛΥΚΟΥ.pdf
ssuser96a7452
 
PDF
τα μαθηματικά στα χρόνια της επανάστασης του 21 pdf
ssuser96a7452
 
Περί απείρου ....pdf
ssuser96a7452
 
Τα μαθηματικά στα χρόνια της επανάστασης του 21 pdf.pdf
ssuser96a7452
 
ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ.pdf
ssuser96a7452
 
Math and Art in Athens.pdf
ssuser96a7452
 
ΟΠΕΡ ΕΔΕΙ ΠΟΙΗΣΑΙ.pdf
ssuser96a7452
 
SANGAKU.pdf
ssuser96a7452
 
ΑΠΙΘΑΝΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ.pdf
ssuser96a7452
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΟΥΣ ΘΗΛΥΚΟΥ.pdf
ssuser96a7452
 
τα μαθηματικά στα χρόνια της επανάστασης του 21 pdf
ssuser96a7452
 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ.pdf

  • 3. Περιεχόμενα Εισαγωγή Pythagorea σελ. 1 Engare σελ. 8 One touch drawing σελ. 12 Maze puzzles σελ. 19 Tower of Hanoi σελ. 25 Chess σελ. 31 Abstract strategy games σελ. 37 Go σελ. 44 2D puzzles with polyominoes σελ. 46 3D puzzles σελ. 55 Game of life σελ. 59 Hexagon games σελ. 64 Mancala σελ. 68 Mastermind σελ. 70 Numerical puzzles σελ. 77 Peg solitaire σελ. 83 Pente σελ. 85 Rubik’s cube σελ. 87 Sam Loyd puzzles σελ. 92 Sudoku σελ. 97 Tangram σελ. 106 Disentanglement puzzles σελ. 110 Βιβλιογραφία σελ. 116
  • 5. Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ Αν διαβάσουμε ιστορία των μαθηματικών θα δούμε ότι παράλληλα με τις μεγάλες ανακαλύψεις μία σειρά από παιχνίδια και παζλ κάνουν την εμφάνισή τους. Παιχνίδια που αναπτύσσουν την λογική – μαθηματική σκέψη αλλά και δεξιότητες επίλυσης προβλήματος, της εφαρμογής αλλά και ανάπτυξης ενός αλγορίθμου. Συγχρόνως επειδή πολλά από αυτά είναι ομαδικά αναπτύσσουν και αξίες όπως της συνεργασίας της ομαδικότητας αλλά και του ανταγωνισμού. Υπάρχουν παιχνίδια όπου όλοι παραδέχονται ότι έχουν ένα μαθηματικό υπόβαθρο όπως το σκάκι αλλά υπάρχουν και άλλα που αν μπεις στη λογική να «σπάσεις» το παιχνίδι, δηλαδή να βρεις την στρατηγική που το επιλύει πάντα τότε θα χρησιμοποιήσεις μαθηματικά. Στο βιβλίο που κρατάτε περιγράφονται παιχνίδια που τα περισσότερα από αυτά τα ξέρουμε και έχουμε παίξει. Συγχρόνως αναλύονται σε ένα βαθμό τα κρυμμένα μαθηματικά αλλά και ιστορίες που έχουν να κάνουν με κάποια μεγάλη στιγμή της εξέλιξης των μαθηματικών. Πρωταγωνιστές στις ιστορίες είναι ονόματα, όπως Αρχιμήδης , Euler, Hamilton κ.α. Στόχος του βιβλίου είναι να αποτελέσει μία εναλλακτική μαθηματική δραστηριότητα στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Τι εννοώ, φανταστείτε μία τάξη που παίζει ένα από τα παιχνίδια που το βιβλίο περιγράφει. Τι θα συμβεί, φωνές, ενθουσιασμός, χάος … Τι το πιο ζωντανό και υγειές σε μία τάξη όπου δωδεκάχρονα τα έχεις οκτώ ώρες κλεισμένα και αναγκασμένα να κάθονται, ενώ εσύ ο δάσκαλος τριάντα-σαράντα χρονών στην καλύτερη των περιπτώσεων, γιατί συνήθως είναι πενήντα και εξήντα, να είσαι όρθιος.
  • 6. Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ Το να κερδίσεις σε ένα παιχνίδι μπορεί να είναι τυχαίο μπορεί να είναι και προϊόν λαθεμένων κινήσεων του αντιπάλου. Εδώ εξετάζουμε και προσπαθούμε να βρούμε την βέλτιστη στρατηγική επίλυσης του παιχνιδιού. Τα παιδιά θα ανακαλύψουν τα μαθηματικά ως μέτρηση, ως συμβολισμό, ως ένα γεωμετρικό σχήμα, ως αλγόριθμο. Σε συνεργασία καθηγητές των Μαθηματικών και της Πληροφορικής διδάσκουν τους μαθητές τους, κώδικα ανάπτυξης του παιχνιδιού. Τι το πιο όμορφο μία δραστηριότητα παιγνιώδης όπου μαθητές και καθηγητές διαφορετικών ειδικοτήτων συνεργάζονται! Συγχρόνως μαθαίνουμε Ιστορία, Μαθηματικά, Πληροφορική, εξασκούμε το λεξιλόγιο μας στην μητρική αλλά και σε άλλη γλώσσα. Αναπτύσσουμε δεξιότητες έρευνας, διότι το ψάξιμο στο διαδίκτυο είναι απαραίτητη διαδικασία, αλλά και δεξιότητες παρουσίασης αφού τα όποια αποτελέσματα πρέπει να τα επικοινωνήσουμε με τα υπόλοιπα μέλη της εκπαιδευτικής κοινότητας ή να τα παρουσιάσουμε στο πλαίσιο μιας ημερίδας ή ενός συνεδρίου. Το πιο σημαντικό, μαθαίνουμε να δουλεύουμε ως ομάδα. Η συνεργασία διαφορετικών ανθρώπων τόσο ηλικιακά αλλά και γνωστικά αποτελεί πρόκληση, είναι αγωγή συμπεριφοράς στον πραγματικό κόσμο που θα ζήσει ο εκπαιδευόμενος. Αν υπάρχει φαντασία, τα πάντα μπορούν να συμβούν από μία τέτοια ενασχόληση. Μπορεί η ομάδα να φτιάξει το δικό της παιχνίδι είτε κλασικό είτε ηλεκτρονικό, να προγραμματίσει το δικό της ρομπότ που να παίζει το παιχνίδι που προηγουμένως «σπάσαμε», να λειτουργήσει ως πολλαπλασιαστής – δάσκαλος και στα άλλα μέλη του σχολείου ή άλλων σχολείων, να γνωρίσει
  • 7. Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ επαγγελματίες και να αναπτυχθεί μία άτυπη δράση επαγγελματικού προσανατολισμού. Το πιο σημαντικό από όλα θα παίξουμε και συγχρόνως μπορεί και να μάθουμε! Τα παιχνίδια που διαπραγματεύομαι χωρίζονται σε 22 ενότητες. Ο χωρισμός έγινε με βάση το «γήπεδο» διεξαγωγής του παιχνιδιού, με το αν είναι παζλ και τι διαστάσεων, με το αν είναι ηλεκτρονικό ή συμβατικό, με το πόσοι είναι οι παίκτες και το πόσο γνωστό είναι. Είναι προφανές ότι ο χωρισμός – ομαδοποίηση είναι σχετική. Το αν πέτυχα να σας ανάψω εκείνη τη μικρή φλόγα της περιέργειας που λέγεται «δαίμονας» θα φανεί με το αν ξεφυλλίσετε ή καλύτερα αν μελετήσετε το βιβλίο. Γνωρίζοντας εκ των προτέρων ότι μελετώ σημαίνει σημειώνω , τσακίζω, γεμίζω τα περιθώρια με ερωτήσεις και σημειώματα που πιθανόν κάποια άλλη στιγμή εσείς πια, ψάξετε και ανακαλύψετε νέα παιχνίδια νέες προτάσεις δημιουργικής ενασχόλησης με το πιο όμορφο έχει δημιουργήσει ο άνθρωπος τον λόγο και τα μαθηματικά.
  • 8. 1 Γ. Λαγουδάκος Pythagorea Πρόκειται για ένα Γεωμετρικό παιχνίδι που ο σκοπός είναι να λύσεις τα προβλήματα που υπάρχουν στις 27 πίστες. Τα θέματα που συναντάμε στις διάφορες πίστες καλύπτουν ένα μεγάλο μέρος της διδακτέας ύλης Γυμνασίου και Λυκείου. Υπάρχουν θέματα του αναφέρονται στις παράλληλες, στα παραλληλόγραμμα, στα ισοσκελή τρίγωνα, στην συμμετρία, στις γωνίες, στον κύκλο, στο Πυθαγόρειο θεώρημα, στα εμβαδά κ.α. Το παιχνίδι μπορεί να το κατεβάσει κάποιος ελεύθερα στο κινητό του τρέχει σε περιβάλλον Android αλλά και σε iOS. Επειδή το παιχνίδι είναι στα Αγγλικά ο χρήστης εξοικειώνεται με την Αγγλική μαθηματική ορολογία. Σε κάθε εφαρμογή υπάρχει η δυνατότητα – αν πατήσεις το ερωτηματικό που εμφανίζεται – να σου δοθούν ως βοήθεια οι διάφοροι ορισμοί – στα Αγγλικά – των βασικών εννοιών που το συγκεκριμένο πρόβλημα ασχολείται. Η κλασική μορφή του κάθε «φύλλου εργασίας» παρουσιάζεται στην διπλανή εικόνα. Όταν το θέμα λυθεί εμφανίζεται το ζητούμενο σημείο, ευθεία, τμήμα, σχήμα, κατασκευασμένο με κίτρινο χρώμα. Η επιφάνεια του παιχνιδιού είναι ένα ορθογώνιο πλέγμα grid που σχηματίζει 6Χ6=36 τετράγωνα κελιά και 7Χ7=49 σημεία-κορυφές.
  • 9. 2 Γ. Λαγουδάκος Για κατασκευάσεις ένα τμήμα ή μία ευθεία δεν έχεις παρά να ενώσεις δύο από αυτά τα 49 σημεία. Εκτός από τα σημεία του πλέγματος μπορούμε να ορίσουμε ένα σημείο και ως σημείο τομής δύο τμημάτων ή δύο ευθειών. Το πλέγμα είναι μοναδιαίο άρα η κατακόρυφη ή η οριζόντια απόσταση δύο διαδοχικών κορυφών του πλέγματος είναι ίση με 1. Η επιλογή να λύνονται όλα τα θέματα με τη βοήθεια του πλέγματος – Grid είναι αυτό που κάνει το Pythagorea τόσο χρήσιμο εκπαιδευτικό εργαλείο. Διότι στο πλέγμα μπορούμε να εργαστούμε με κλασική Ευκλείδεια γεωμετρία αλλά και με Αναλυτική Γεωμετρία. Είναι ένα παιχνίδι που παίζεται από μικρούς αλλά και μεγάλους ! Ας δούμε μερικά παραδείγματα …
  • 11. 4 Γ. Λαγουδάκος Εκτός από ένα καλό εκπαιδευτικό παιχνίδι μπορούμε εμείς οι δάσκαλοι των μαθηματικών σε Γυμνάσιο και Λύκειο να το δούμε και ως μία τράπεζα θεμάτων με ερωτήσεις που ξεφεύγουν από τις συνηθισμένες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα … Άσκηση Γ Γυμνασίου Δίνονται δύο ορθογώνια – όπως στο σχήμα. Να κατασκευασθεί μία ευθεία που να χωρίζει τα δύο ορθογώνια σε σχήματα με ίσο εμβαδόν. Η κατασκευή μας πρέπει να παίρνει υπόψιν της τον περιορισμό που θέτει εξ αρχής το παιχνίδι, δηλαδή μία ευθεία ορίζεται από δύο σημεία και ένα σημείο ορίζεται ως κόμβος ή ως σημείο τομής δύο ευθειών. Οι γνώσεις που πρέπει να ανακληθούν από τον μαθητή είναι οι ιδιότητες του κέντρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου και ότι δύο ίσα τρίγωνα είναι και ισεμβαδικά. Μία πιθανή λύση μπορεί να είναι η παρακάτω …
  • 12. 5 Γ. Λαγουδάκος Άσκηση Γ Γυμνασίου – Α Λυκείου Να εγγράψουμε σε δεδομένο τετράγωνο ένα άλλο τετράγωνο του οποίου δίνεται η κορυφή Α (με τον περιορισμό που θέτει εξ αρχής το παιχνίδι δηλαδή μία ευθεία ορίζεται από δύο σημεία και ένα σημείο ορίζεται ως κόμβος ή ως σημείο τομής δύο ευθειών). Η λύση από μέρους του μαθητή χρειάζεται κάποια φαντασία αλλά μοιάζει με άσκηση του σχολικού του βιβλίου. Βασίζεται ουσιαστικά στην ισότητα τριγώνων και στο ορισμό – ιδιότητες του τετραγώνου. Αυτό που εννοούμε είναι να θεωρήσει ο μαθητής τα κατάλληλα σημεία πάνω στις πλευρές του τετραγώνου. Στη συνέχεια συγκρίνοντας ορθογώνια τρίγωνα να αποδείξει ότι το σχηματιζόμενο (κόκκινο) τετράπλευρο έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Μετά πρέπει να δείξει ότι είναι και τετράγωνο. Το οποίο μπορεί να δειχθεί με γωνίες αλλά και με τη βοήθεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος προς τιμή της ονομασίας του παιχνιδιού !
  • 13. 6 Γ. Λαγουδάκος Άσκηση Α’ Λυκείου Να βρεθεί το κέντρο βάρους του τριγώνου, (με τον περιορισμό που θέτει εξ αρχής το παιχνίδι δηλαδή μία ευθεία ορίζεται από δύο σημεία και ένα σημείο ορίζεται ως κόμβος ή ως σημείο τομής δύο ευθειών). Εδώ οι γνώσεις που πρέπει ο μαθητής να ανακαλέσει είναι ότι το κέντρο βάρους είναι το σημείο τομής των διαμέσων. Οπότε για να προσδιορίσουμε το κέντρο βάρους ενός τριγώνου χρειαζόμαστε δύο διαμέσους. Καθώς επίσης να γνωρίζουμε τις βασικές ιδιότητες των παραλληλογράμμων. Μία λύση είναι να βρεθούν τα μέσα των δύο πλευρών του τριγώνου ως σημεία τομής διαγώνιων των δύο ορθογωνίων παραλληλογράμμων ( μπλε και κόκκινο). Φέρνοντας τις διαμέσους ορίζουμε και το κέντρο βάρους του τριγώνου. Η μορφή που θα έχει η λύση μας στο περιβάλλον του παιχνιδιού θα είναι κάπως έτσι …
  • 14. 7 Γ. Λαγουδάκος Άσκηση Β’ Λυκείου Τ Θεωρούμε κατάλληλο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων οπότε ο κύκλος έχει εξίσωση 2 2 x y 1 + = και το σημείο Α έχει συντεταγμένες (2,-1) Το πρόβλημα ανάγεται στο κλασικό «να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων που άγονται από το Α προς τον κύκλο C». Η δυσκολία εδώ βρίσκεται στο ότι την εφαπτομένη ΑΓ πρέπει να την ορίσουμε με την βοήθεια των κόμβων που υπάρχουν στο πλέγμα. Πως μπορούμε να την κατασκευάσουμε; Αν ο μαθητής βρει την εξίσωση της πολικής ΒΓ θα διαπιστώσει ότι η εξίσωση της είναι η y=2x-1. Μία ευθεία που διέρχεται από το Β ( κόμβος) και έχει κλίση 2 μπορούμε να την φέρουμε. Σημειώνουμε το σημείο τομής Γ της πολικής και του κύκλου. Άρα η δεύτερη εφαπτομένη ΑΓ κατασκευάζεται. Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η λύση που εμφανίζεται στο παιχνίδι όταν ακολουθήσουμε τη παραπάνω στρατηγική επίλυσης. Να κατασκευαστούν οι εφαπτόμενες κύκλου που διέρχονται από δεδομένο σημείο Α. ΚΑΛΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ !
  • 15. 8 Γ. Λαγουδάκος Engare Ένα γεωμετρικό παιχνίδι από την Περσία ! Designed and developed by Mahdi Bahrami Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι να περάσει ο παίκτης 6 πίστες ώστε να του δοθεί η δυνατότητα να «ανοίξουν» οι εφαρμογές με τις οποίες θα είναι σε θέση να σχεδιάσει αραβουργήματα σε διάφορες επιφάνειες. Η λογική του παιχνιδιού είναι να μαντέψει ο παίκτης την γραμμή που αφήνει ως ίχνος ένα κινούμενο σημείο το οποίο βρίσκεται σε σημείο ενός πολύσπαστου εργαλείου σχεδίασης. Ας δούμε μερικές εφαρμογές από τις πίστες όπως και τις δυνατότητες που δίνουν οι σχεδιαστικές εφαρμογές της εφαρμογής. Αρχική οθόνη Δίνει τις επιλογές να ξεκινήσεις ένα νέο παιχνίδι ή να συνεχίσεις από εκεί που έχεις φθάσει … Ακολούθως παρουσιάζεται ένα κλασικό κτήριο ισλαμικής τέχνης όπου πατώντας στα διάφορα τμήματά του – αψίδες πηγαίνεις στις διάφορες πίστες. Η κεντρική αψίδα σε πάει στο στην σχεδιαστική εφαρμογή αραβουργημάτων. Η εφαρμογή ανοίγει προοδευτικά καθώς ο παίκτης λύνει σιγά-σιγά τα προβλήματα κατασκευών που συναντά στις διάφορες πίστες.
  • 16. 9 Γ. Λαγουδάκος 1η πίστα Παρουσιάζεται μία σειρά από 8 προκλήσεις ! Για παράδειγμα Παρουσιάζονται δύο τετράγωνα και στο πάνω μέρος της οθόνης μία καμπύλη. Το ζητούμενο είναι σε ποιο σημείο του «πάνω» τετραγώνου πρέπει να τοποθετήσεις ένα σημείο ώστε πέφτοντας το τετράγωνο το σημείο να διαγράφει την καμπύλη αυτή. Άλλο παράδειγμα Παρουσιάζεται ένας κύκλος (ο πορτοκαλί) που κινείται εσωτερικά ενός άλλου. Ποιο σημείο του κινούμενου κύκλου αφήνει ως ίχνος καθώς κινείται, την γραμμή που παρουσιάζεται στο πάνω μέρος της οθόνης. 2η πίστα Παρουσιάζονται 12 προκλήσεις … Για παράδειγμα. Δύο λευκά τετράγωνα κινούνται με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο – μοτίβο στην επιφάνεια. Σε ποιο σημείο και σε ποια θέση θα πρέπει να τοποθετήσεις το κινούμενο σημείο ώστε να αφήνει ως ίχνος τη γραμμή που εμφανίζεται στο πάνω μέρος της οθόνης. Παρόμοιας λογικής είναι και οι πίστες που ακολουθούν. Το ωραίο στην εφαρμογή είναι ότι καθώς περνάς – λύνεις τις προκλήσεις, ανοίγουν τμηματικά και τα εργαλεία σχεδίασης αραβουργημάτων.
  • 17. 10 Γ. Λαγουδάκος Πρόκειται για 6 εργαλεία σχεδίασης ροζετών σε επίπεδες επιφάνειες αλλά και σε τρισδιάστατους τρούλους. Ας δούμε τα εργαλεία αυτά … Το πρώτο σχεδιαστικό εργαλείο είναι ένα παιχνίδι για τη συμμετρία. Μπορείς να σχεδιάσεις τριών ειδών αντικείμενα σε μορφή κυλίνδρου σε μορφή κώνου και τέλος σε επίπεδη επιφάνεια. Το μοτίβο που εμφανίζεται στην επιφάνεια που θα διαλέξεις παράγεται σε ένα grid πατώντας – χρωματίζοντας τα τετραγωνάκια του. Η τελική σύνθεση μπορεί να αποθηκευτεί καθώς επίσης με τους δρομείς που υπάρχουν να αλλάξει το μέγεθός της. Σου δίνεται επίσης η δυνατότητα να σβήσεις και να ξανασχεδιάσεις καθώς και να κάνεις zoom ώστε να επεξεργαστείς λεπτομέρειες. Το δεύτερο εργαλείο σχεδίασης παράγει στροφές – ροζέτες σε επίπεδη ή τρισδιάστατη σε σχήμα τρούλου επιφάνεια. Οι δρομείς σου δίνουν τη δυνατότητα να «πολλαπλασιάσεις» τις γραμμές που έχεις σχεδιάσει ώστε το τελικό αποτέλεσμα να γίνει πολύ πιο πλούσιο. Και στην εφαρμογή αυτή υπάρχει η δυνατότητα του zoom της διόρθωσης και της αποθήκευσης της εργασίας σου.
  • 18. 11 Γ. Λαγουδάκος Με παρόμοιο τρόπο αναπτύσσονται και τα υπόλοιπα σχεδιαστικά εργαλεία . Παρακάτω παρουσιάζω κάποιες δυνατότητες … Κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού ακούγεται μουσική που παραπέμπει στη κουλτούρα του αραβικού πολιτισμού Σίγουρα τα αποτελέσματα είναι θεαματικά. Κοστίζει περίπου 7 $ και η αγορά γίνεται ηλεκτρονικά με χρήση πιστωτικής κάρτας. Το παιχνίδι «τρέχει» σε pc σε περιβάλλον Windows ή Mac.
  • 19. 12 Γ. Λαγουδάκος One touch drawing Για το συγκεκριμένο παιχνίδι θα ξεκινήσω λίγο ανάποδα, πρώτα θα σας μιλήσω για δύο πολύ όμορφες ιστορίες που αναφέρονται σε δύο σπουδαίους μαθηματικούς και μετά θα αναφερθώ στο παιχνίδι. Ιστορία 1η Οι γέφυρες του Κένιγκσμπεργκ Βρισκόμαστε στον 18ο αιώνα στην πόλη του Königsberg . Μια πόλη που την διέσχιζε ο ποταμός Pregel στον οποίο είχαν χτιστεί 7 γέφυρες για την επικοινωνία των κατοίκων της. Την εποχή εκείνη ήταν διαδεδομένο ένα παιχνίδι ανάμεσα στους κατοίκους, αλλά και στους επισκέπτες της πόλης. Να ξεκινούν από ένα σημείο της πόλης και περνώντας όλες τις γέφυρες μία μόνο φορά να περπατήσουν από τα όμορφα σοκάκια της πόλης και να επιστρέψουν στο σημείο από όπου ξεκίνησαν. Όλες όμως οι προσπάθειες κατέληγαν σε αποτυχία. Τελικά ήταν όντως αδύνατη μια τέτοια διαδρομή ή απλά δεν είχαν βρει την κατάλληλη διαδρομή; Το 1727 ο διάσημος Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler (1707- 1783) εργαζόταν στη Ρωσία προσκεκλημένος της αυτοκράτειρας Μεγάλης Αικατερίνης και πιθανότητα τότε ήταν που άκουσε για πρώτη φορά το «παράδοξο» πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg
  • 20. 13 Γ. Λαγουδάκος Ο Euler σχεδίασε έναν χάρτη του Königsberg αντικαθιστώντας τις 4 περιοχές γης που συνδέονταν από τις γέφυρες με τέσσερα σημεία, Α,Β,Γ και Δ και τις γέφυρες με γραμμές που ένωναν τα σημεία αυτά. Το πρόβλημα λοιπόν του μοναδικού περιπάτου πάνω από όλες τις γέφυρες (και της μοναδικής λύσης στο πρόβλημα), ισοδυναμούσε με ένα πρόβλημα σχεδίασης στο χαρτί, μιας γραμμής – μονοκονδυλιάς , χωρίς να σηκωθεί το μολύβι από το χαρτί, αλλά και χωρίς να ζωγραφιστεί η ίδια γραμμή δύο φορές. Γιατί όμως ήταν αδύνατη μία τέτοια διαδρομή; O Euler συνειδητοποίησε ότι σε μία εφικτή διαδρομή, κάθε σημείο θα έπρεπε να είχε μία γραμμή να καταλήγει και μία να ξεκινάει από αυτό. Εάν επισκεπτόσουν αυτό το σημείο ξανά, θα έπρεπε να υπήρχε μία νέα γραμμή προς αυτό και από αυτό. Έτσι, θα έπρεπε να υπάρχουν μόνο ζυγοί αριθμοί γραμμών , που να ξεκινούν (καταλήγουν) από κάθε σημείο. Οι μόνες εξαιρέσεις του κανόνα αυτού είναι η αρχή και το τέλος της διαδρομής. Το σημείο εκκίνησης έχει μόνο μία γραμμή, που ξεκινάει από αυτό και το σημείο τερματισμού μία γραμμή που καταλήγει σε αυτό. Έτσι, για να είναι δυνατόν μία διαδρομή να σχεδιαστεί μονοκονδυλιά θα πρέπει , όχι παραπάνω από δύο σημεία – η αρχή και το τέλος – να έχουν μονό αριθμό γραμμών. Αν όμως δούμε τον χάρτη των 7 γεφυρών του Königsberg, κάθε σημείο έχει μονό αριθμό γεφυρών που ξεκινούν ή καταλήγουν σε αυτό. Έτσι η διαδρομή που τόσος κόσμος πάσχιζε να βρει είναι ανέφικτη.
  • 21. 14 Γ. Λαγουδάκος Ιστορία 2η Ο Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) ήταν Ιρλανδός μαθηματικός και καθηγητής Αστρονομίας στο Trinity College του Δουβλίνου και βασιλικός αστρονόμος της Ιρλανδίας. Εργάστηκε στα καθαρά μαθηματικά αλλά και στη φυσική. Μικρός χαρακτηρίστηκε ως παιδί θαύμα αφού σε ηλικία 7 ετών μιλούσε δώδεκα γλώσσες. Ο ίδιος πάντα θεωρούσε ως έργο ζωής την ανακάλυψη των quaternions το 1843 ως επέκταση των μιγαδικών σαν σημεία από το επίπεδο στον χώρο. Λέγεται ότι στις 16 Οκτωβρίου του 1843 ανακάλυψε πως θα μπορούσε να ορίσει την πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ των στοιχείων της ομάδας των quaternions.Την ανακάλυψή αυτή την σημείωσε στην γέφυρα του Royal Canal του Δουβλίνου, έγραψε λοιπόν την εξίσωση 2 2 2 i j k i j k 1 = = =   = − που ουσιαστικά πρόκειται για τις βασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού μεταξύ των μοναδιαίων στοιχείων της ομάδας που κατασκεύασε. Σε ότι έχει να κάνει με το θέμα που εξετάζουμε στο βιβλίο αυτό αξίζει να αναφέρουμε ένα παιχνίδι που κατασκεύασε. Πρόκειται για το Icosian Game. To παιχνίδι αυτό εφευρέθηκε το 1857 και πούλησε τα δικαιώματά του για 25 λίρες. Σήμερα σώζονται μόνο τρία κομμάτια από το πρωτότυπο.
  • 22. 15 Γ. Λαγουδάκος Το παιχνίδι σε μία άλλη εκδοχή του λέγεται και travelers dodecahedron (ταξιδιώτες του δωδεκάεδρου). Η πίστα στην οποία παίζουμε το παιχνίδι μπορεί να είναι δυνητικά ένα δωδεκάεδρο ή μία προβολή του στο επίπεδο που να αποδίδει τις κορυφές του στερεού ως 20 σημεία στο επίπεδο και τις ακμές του ως ευθύγραμμα τμήματα. Παίζεται από δύο παίκτες ο πρώτος τοποθετεί 5 πιόνια σε 5 θέσεις που αντιπροσωπεύουν 5 κορυφές του δωδεκαέδρου και ο δεύτερος παίκτης καλείται να τοποθετήσει τα υπόλοιπα 15 πιόνια ώστε να προσδιοριστεί μία κυκλική διαδρομή που να περνά από όλες τις κορυφές του δωδεκαέδρου από μία φορά και να καταλήγει στο σημείο εκκίνησης. Δεδομένου ότι έχουμε 20 κορυφές, είναι σαφές ότι υπάρχουν δυνητικά 20 × 19 = 380 διαφορετικά διαδρομές. Πολλές από αυτές είναι ίδιες λόγω των συμμετριών που υπάρχουν οπότε τελικά οι δυνατές διαδρομές μειώνονται σημαντικά σε 26.
  • 23. 16 Γ. Λαγουδάκος Αντίστοιχα παιχνίδια μπορούν να αναπτυχθούν και για τα άλλα Πλατωνικά στερεά σε αντίστοιχες πίστες - προβολές στο επίπεδο, αλλά και σε πίστες που το χαρακτηριστικό τους είναι η συμμετρία. Διηγηθήκαμε τις δύο προηγούμενες ιστορίες για να αναφερθούμε σε ένα τομέα των μαθηματικών που θεμελιώθηκε από τους μαθηματικούς Euler και Hamilton. Πρόκειται για την θεωρία γράφων. Ας θεωρήσουμε στο φύλλο του χαρτιού μας ένα σύνολο από σημεία – τα οποία θα τα λέμε κόμβους (vertices) που συνδέονται με γραμμές (όχι κατά ανάγκη όλοι οι κόμβοι μεταξύ τους) – τις οποίες θα τις λέμε ακμές ( edge), Ως γράφο ή γράφημα ορίζουμε μία σειρά από κόμβους και ακμές που εναλλάσσονται μεταξύ τους. Υπάρχουν οι προσανατολισμένοι ή κατευθυνόμενοι γράφοι όπου οι ακμές απεικονίζονται διανυσματικά , οι σταθμισμένοι γράφοι αν η σύνδεση των ακμών έχουν κάποια αξία – βαρύτητα, e5 e3 e1 e6 e4 e2 v4 v3 v2 v5 v1 e7 e8
  • 24. 17 Γ. Λαγουδάκος οι συνεκτικοί γράφοι αν δεν υπάρχει κάποιο μέρος του που είναι αποκομμένο από το υπόλοιπο σώμα σε αντιδιαστολή με τους μη συνεκτικούς γράφους. Το ερώτημα που τίθεται είναι : μπορούμε να σχεδιάσουμε τον γράφο ξεκινώντας από έναν κόμβο και περνώντας από όλες τις ακμές από μία φορά να καταλήξουμε από εκεί που αρχίσαμε ή σε κάποια άλλον κόμβο, χωρίς όμως να αφήσουμε καμιά ακμή έξω από τη διαδρομή μας; Προς τιμή του μεγάλου μαθηματικού Euler που ασχολήθηκε και τελικά έλυσε παρόμοια προβλήματα ονομάζουμε : Διαδρομή Euler (Euler circuit/cycle ) μία χάραξη που χρησιμοποιεί όλες τις ακμές από μία φορά και η αρχή και το τέλος της είναι ό ίδιος κόμβος. Ένας γράφος που περιέχει μία διαδρομή Euler λέγεται γράφος του Euler (Eulerian graph) . Πρόκειται για την γνωστή σε όλους μας μονοκονδυλιά. Μονοπάτι Euler ( Euler path) μία χάραξη που χρησιμοποιεί όλες τις ακμές από μία φορά αλλά η αρχή και το τέλος είναι διαφορετικός κόμβος. Ένας γράφος που περιέχει ένα μονοπάτι Euler λέγεται semi-Eulerian graph Αν όμως θέλουμε να περάσουμε από όλους τους κόμβους χωρίς κατά ανάγκη να χρησιμοποιήσουμε και όλες τις ακμές τότε προς τιμή του Hamilton θα μιλάμε Διαδρομή και Μονοπάτι Hamilton. Το παιχνίδι που σας καλώ να ανακαλύψετε και να παίξετε είναι το : One touch drawing Πρόκειται για ένα παιχνίδι που ο στόχος είναι με μονοκονδυλιά να ενώσεις όλα τα σημεία του σχήματος που η κάθε πίστα παρουσιάζει χωρίς όμως να περάσεις δύο ή περισσότερες φορές από την ίδια γραμμή που ενώνει τα σημεία – κόμβους.
  • 25. 18 Γ. Λαγουδάκος Αν εφαρμόσει κανείς τις βασικές αρχές του Euler οι πίστες τελειώνουν η μία μετά την άλλη… Είναι ευκαιρία για σένα αναγνώστη να δοκιμάσεις τις δυνάμεις σου στο παιχνίδι αυτό, αφού η τεχνολογία δίνει τη δυνατότητα να δυσκολέψει το αρχικό βασικό πρόβλημα και να μας ανοίξει νέους δρόμους σκέψεις και αναζήτησης. Έτσι για να προκαλέσω δίνω μερικές από τις πίστες του παιχνιδιού, μερικές εύκολες άλλες πιο δύσκολες… Όπως οι δύο διπλανές … Η αυτή …όπου το βελάκι σου επιβάλει μία συγκεκριμένη φορά κίνησης ή αυτές τις δύο, όπου το κόκκινο χρώμα επιβάλει στον παίκτη να περάσει δύο φορές από τη συγκεκριμένη διαδρομή… Αν κατόρθωσα να προκαλέσω το ενδιαφέρον σου , δεν έχεις παρά να αναζητήσεις το παιχνίδι και να ασχοληθείς. Ποιος ξέρει , πιθανόν να μπορέσεις σαν άλλος Euler να βρεις έναν γενικό τρόπο επίλυσης οποιασδήποτε διαδρομής όσο ευφάνταστης δυσκολίας και αν έχει. Καλή επιτυχία …
  • 26. 19 Γ. Λαγουδάκος Maze puzzles Η πλέον γνωστή αναφορά στη λέξη λαβύρινθος γίνεται στην Ελληνική μυθολογία ( ιστορία;) όπου περιγράφεται η θανάτωση του Μινώταυρου από τον Θησέα. Ο Βασιλάς της Κρήτης Μίνωας για να τιμωρήσει τους Αθηναίους επειδή σκότωσαν τον γιο του, ανάγκασε μετά από πόλεμο να του στέλνουν κάθε χρόνο 7 νέους και 7 νέες για να γίνονται βορά του μυθικού τέρατος Μινώταυρου. Ο πρίγκηπας της Αθήνας Θησέας γιος του Αιγαία πήρε τη θέση ενός από τους νέους με σκοπό να αντιμετωπίσει το τέρας. Η θυσία των νέων γινόταν πάντα σε ένα χώρο δαιδαλώδες γεμάτο αδιέξοδα και σπήλαια όπου όποιος έμπαινε εκεί δεν μπορούσε να βγει οπότε ήταν έρμαιο της βούλησης του Μινώταυρου. Η κόρη του Μίνωα, Αριάδνη αγάπησε τον Θησέα και του αποκάλυψε έναν τρόπο να μπορεί να βρίσκει την έξοδο του Λαβυρίνθου. Απλώς έπρεπε να στερεώσει κατά τη είσοδό του ένα νήμα που εκείνη του έδωσε ( Μίτος της Αριάδνης) και να το ξετυλίγει καθώς εισέρχεται βαθύτερα στο Λαβύρινθο. Ο Θησέας τελικά σκότωσε τον Μινώταυρο, παντρεύτηκε την Αριάδνη και ζήσαν αυτοί καλά και εμείς καλύτερα ! Υπάρχει ένα σχέδιο του λαβυρίνθου σε αρχαίο μινωικό νόμισμα. Το σχέδιο αυτό το συναντάμε σε πολλούς πολιτισμούς σε ολόκληρο τον κόσμο Υπάρχουν σχέδια - λαβύρινθοι που αποτυπώνονται σε τοίχους ή σε πατώματα αλλά και τρισδιάστατα με διάφορα υλικά από πέτρες, ξύλα, ψηφιδωτά ως και φυτά, σε όλον τον κόσμο και διαφόρων χρονικών περιόδων. Μωσαϊκό σε βίλα στην Ρωμαϊκή πόλη Conímbriga στην Πορτογαλία Hemet Maze Stone, ένα προϊστορικό πετρογλυφικό κοντά στη πόλη Hemet της Καλιφόρνια
  • 27. 20 Γ. Λαγουδάκος Πέτρινος λαβύρινθος στο νησί Blå Jungfrun , Σουηδία Σκάλισμα που δείχνει πολεμιστή να μπαίνει στο chakravyuha (Λαβύρινθος) - ναός Hoysaleswara , Halebidu , Ινδία Διακοσμητικό σχέδιο τοίχου στον καθεδρικό ναό της Lucca , Ιταλία (12ος-13ος αιώνας) Λαβύρινθος ως διακοσμητικό στοιχείο στον καθεδρικό της πόλης Chartres, Γαλλία (11ος -12ος αιώνας) Λαβύρινθος – κήπος στο Breamore Mizmaze, Hampshire, Αγγλία
  • 28. 21 Γ. Λαγουδάκος Το πρώτο ερώτημα που θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στην σύντομη αναφορά μας είναι πως μπορούμε να επιλύουμε οποιονδήποτε λαβύρινθο. Ο μαθηματικός Leonhard Euler ήταν ένας από τους πρώτους που ασχολήθηκαν μαθηματικά με προβλήματα λαβυρίνθου. Οι λαβύρινθοι που δεν περιέχουν βρόχους (περίκλειστα διαμερίσματα) είναι γνωστοί ως "τυπικοί" ή "τέλειοι" λαβύρινθοι και είναι ισοδύναμοι με ένα δέντρο στη θεωρία γραφημάτων. Έτσι, πολλοί αλγόριθμοι επίλυσης λαβυρίνθου σχετίζονται στενά με τη θεωρία γραφημάτων . Διαισθητικά, αν κάποιος τραβήξει και τεντώσει τα μονοπάτια στο λαβύρινθο με τον σωστό τρόπο, το αποτέλεσμα θα μπορούσε να γίνει να μοιάζει με ένα δέντρο. Ας δούμε το γιατί με ένα παράδειγμα. Στο διπλανό λαβύρινθο ξεκινάμε από την είσοδο και θέλουμε να φθάσουμε στη θέση Μ. Σημειώνουμε με γράμματα κάθε φορά που συναντάμε αδιέξοδο ή διασταύρωση. Δηλαδή έχουμε κάτι σαν το διπλανό σχήμα … Ενώνουμε τις δυνατές διαδρομές σχηματίζοντας έναν γράφο. Τώρα η λύση είναι μία εύκολη υπόθεση. Παρατηρείστε ότι για τον συγκεκριμένο λαβύρινθο υπάρχουν δύο τρόποι για να φθάσει κάποιος στο σημείο στόχο. Ο τρόπος αυτός λειτουργεί να βλέπουμε τον λαβύρινθο από ψηλά τι γίνεται όμως όταν είμαστε μέσα του. Υπάρχει ασφαλής τρόπος να φθάσουμε στο σημείο στόχο;
  • 29. 22 Γ. Λαγουδάκος Ένας τρόπος είναι να ακουμπάμε με το ένα χέρι μας δεξί ή αριστερό έναν τοίχο συνεχώς και μετά από μία μακρά διαδρομή θα βρεθούμε στην έξοδο. Ο αλγόριθμός αυτός δεν δουλεύει όταν το σημείο στόχος είναι εσωτερικό σημείο του λαβυρίνθου όπως στο παράδειγμά μας. Άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε φιστίκια και πατατάκια ! Μπαίνουμε στον λαβύρινθο, οι φράκτες είναι υψηλοί και όλες οι διαδρομές και τα σημεία διακλαδώσεων φαίνονται ίδια. Τα φιστίκια και τα πατατάκια θα τα χρησιμοποιήσουμε ως δείκτες. Η μέθοδος που θα ακολουθήσουμε λέγεται αλγόριθμος του Trémaux και εφαρμόζεται σε όλους τους τύπους λαβυρίνθων. Κατ’ αρχήν σε κάθε λαβύρινθο υπάρχουν κάποια πολύ χαρακτηριστικά σημεία – κόμβοι. Η αρχή, το τέλος, τα αδιέξοδα και τα σημεία διασταύρωσης . 1ο Καθώς προχωράμε αφήνουμε πίσω μας φιστίκια και 2ο όποτε συναντάμε σημείο διασταύρωσης αφήνουμε ένα πατατάκι. 3ο Όταν φθάσουμε σε αδιέξοδο γυρνάμε πίσω (αφήνοντας μία δεύτερη σειρά από φιστίκια) μέχρι να φθάσουμε στο πρώτο πατατάκι που θα συναντήσουμε. 4ο Εκεί επιλέγουμε διαδρομή που δεν έχει σημειωθεί με φιστίκια. 5ο Κάθε φορά επιλέγουμε δεξιόστροφή ή αριστερόστροφη πορεία. Αν ακολουθήσουμε τις οδηγίες αυτές θα φθάσουμε τελικά στο τέλος του λαβυρίνθου. Ας δούμε τον αλγόριθμο με εικόνα σημειώνοντας τις διαδρομές – ίχνη από φιστίκια με πράσινα και κόκκινα διανύσματα και τα πατατάκια – σημεία διασταύρωσης με μπλε σημεία.
  • 30. 23 Γ. Λαγουδάκος Το δεύτερο ερώτημα που θα ασχοληθούμε είναι πως μπορούμε να κατασκευάσουμε τον δικό μας λαβύρινθο. Κάτι σαν τον διπλανό το πλακάκι λαβύρινθο της Βαβυλώνας (πλάκα με αριθμό MS 3194, Νορβηγική Συλλογή Schøyen) Ας ξεκινήσουμε λοιπόν ! Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο με αρχή και τέλος σε δύο απέναντι γωνίες. Χωρίστε το σε τρεις περιοχές, με ένα ακόμη άνοιγμα σε κάθε μία περιοχή. Σχεδιάστε μια μεταβλητή διαδρομή από το επάνω αριστερό σημείο εκκίνησης προς τη έξοδο της πρώτης περιοχής. Η διαδρομή χωρίζει την 1η περιοχή σε δύο μέρη. Ανοίγουμε από μία έξοδο στις δύο αυτές περιοχές για να δημιουργήσουμε αδιέξοδες διαδρομές. Συμπληρώνουμε την περιοχή με γραμμές και κενά στην τύχη έτσι και αλλιώς δεν οδηγούν πουθενά! . Συνεχίζουμε την διαδρομή – λύση του λαβυρίνθου μέσα από την 2η περιοχή.
  • 31. 24 Γ. Λαγουδάκος Συμπληρώνουμε την 2η περιοχή με αδιέξοδα και κενά, με την ίδια τεχνική όπως δουλέψαμε στο 1ο διαμέρισμα. Συνεχίζουμε την διαδρομή λύση στο 3ο διαμέρισμα μέχρι την έξοδο. Συμπληρώνουμε με αδιέξοδα και κενά … Επιβεβαιώνουμε την λύση. Με λίγη εξάσκηση θα μπορέσετε να φτιάξετε αριστουργήματα όπως τα παρακάτω. Βέβαια υπάρχει και ο πιο εύκολος τρόπος. Να δημιουργήσετε το δικό σας λαβύρινθο στον παρακάτω ιστότοπο http://www.mazegenerator.net/ και μετά να προσπαθήσετε να τον λύσετε.
  • 32. 25 Γ. Λαγουδάκος Tower of Hanoi Οι πύργοι του Hanoi είναι ένα λογικό πάζλ που κατασκευάσθηκε το 1883 από τον καθηγητή “Claus”, που στην πραγματικότητα πρόκειται για αναγραμματισμό του ονόματος του κ. Lucas!! Το πάζλ αυτό αποτελείται από τρεις στύλους και μία συλλογή από δίσκους διαφορετικών διαμέτρων, που μπορούν να τοποθετηθούν στους στύλους αυτούς. Το παιχνίδι ξεκινά έχοντας όλους τους δίσκους στο πρώτο στύλο, τοποθετημένους κατά σειρά διαμέτρων με το δίσκο που έχει μεγαλύτερο διάμετρο στη βάση. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι να μεταφερθούν όλοι οι δίσκοι από τον πρώτο στύλο στον τελευταίο με την ίδια τοποθέτηση. Επιτρέπεται να μετακινούμε έναν δίσκο κάθε φορά σε όποιον στύλο θέλουμε, με την προϋπόθεση, αν υπάρξουν δύο ή περισσότεροι δίσκοι κάποια φορά σε ένα στύλο αυτοί θα πρέπει να είναι τοποθετημένοι κατά φθίνουσα σειρά σε σχέση με τη διάμετρό τους , συνθήκη που ισχύει πάντα στο παιχνίδι αυτό. Η πρόκληση του παιχνιδιού συνιστάται στο να το λύσουμε με όσο το δυνατό λιγότερες κινήσεις !!! Για εξάσκηση παίξτε το παιχνίδι στη διεύθυνση : https://marcin-chwedczuk.github.io/assets/apps/hanoi/index.html
  • 33. 26 Γ. Λαγουδάκος Ανακαλύπτοντας Μαθηματικά !! Το καλό με τις διαδικτυακές εφαρμογές είναι ότι μπορείς να πειραματιστείς – να δοκιμάσεις. Αν έχουμε 1 μόνο δίσκο ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Μα προφανώς 1 κίνηση. Αν έχουμε 2 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Μα προφανώς 3 κινήσεις. Αν έχουμε 3 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Με λίγη εξάσκηση θα φθάσετε στο άριστο αποτέλεσμα των 7 κινήσεων. Αν έχουμε 4 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Εδώ τα πράγματα δυσκολεύουν, αλλά το ρεκόρ είναι 15 κινήσεις. Ανακαλύπτετε κάποια κρυμμένη μαθηματική σχέση ανάμεσα στους όρους της ακολουθίας 1 , 3 , 7 , 15 , … Σωστά το μαντέψατε ο κάθε όρος της ακολουθίας προκύπτει διπλασιάζοντας τον προηγούμενο και προσθέτοντας ένα, δηλαδή ισχύει ότι : ν ν 1 h 2 h 1 − =  + . Βρείτε έναν γενικό τύπο που να αποδίδει τους όρους της ακολουθίας. Υπάρ χ ει μί α ομάδα μον αχ ών σ το μακ ρι ν ό Θι βέτ που σ το μον ασ τή ρ ι του ς υ πάρχ ει έν α τέτοι ο πάζλ που αποτελ εί ται από 64 χ ρ υσ ού ς δί σκ ου ς κ αι 3 δι αμαν τέν ι ου ς σ τύ λ ου ς. Σύ μφων α με το γ εν ι κ ό τύπο που θ α βρ εί τε υ πάρ χ ουν 64 2 1 − κ ι ν ή σ ει ς γι α ν α λ υ θ εί όσ ο το δυ ν ατό γρ ηγ ορ ότερ α έν α τέτοι ο πάζλ . Οι μον αχ οί σ υ ν εχ ώς, από τότε που φτι άχ τηκ ε το μον ασ τήρ ι , κ άν ουν κ αι από μί α κ ί ν ησ η κ άθ ε έν α δευ τερ όλ επτο. Υπάρ χ ει έν ας θ ρ ύλ ος που λ έει ότι όταν το πάζλ λ υθ εί τότε θ α έρ θ ει κ αι το τέλ ος του κ όσ μου . Μη ν αν ησ υ χ εί τε όμως σύ μφων α με του ς υ πολ ογ ισ μού ς μου χ ρ ει άζον ται 583.344.214.028 χ ρ όν ι α γ ι α ν α γ ίν ει κ άτι τέτοι ο κ αι το μον ασ τή ρι εί ν αι μόλ ι ς 1500 ετών …
  • 34. 27 Γ. Λαγουδάκος Από τον αναδρομικό τύπο στον γενικό όρο: n n 1 n 2 2 n 2 2 n 3 3 2 n 3 n 1 n 2 2 1 n n 1 n 2 2 n h 2h 1 2(2h 1) 1 2 h 2 1 2 (2h 1) 2 1 2 h 2 2 1 ... 2 h 2 ... 2 2 1 2 1 2 2 ... 2 2 1 2 1 2 1 − − − − − − − − − = + = + + = + + = + + + = + + + = = + + + + + = − = + + + + + = = − − Υπάρχει στρατηγική – αλγόριθμος με βάση τον οποίο επιτυγχάνουμε την βέλτιστη λύση του παιχνιδιού για οποιοδήποτε αριθμό δίσκων ; Αν παίξουμε πολλές φορές πιθανόν να φθάσουμε στο σημείο να ανακαλύψουμε διάφορα μοτίβα κινήσεων που θα μας οδηγήσουν στην λύση. Υπάρχουν δύο αλγόριθμοι ο ένας χρησιμοποιεί αναδρομή και ο άλλος επανάληψη. 1. Ο επαναληπτικός αλγόριθμος Καταρχήν ας φανταστούμε τους στύλους να βρίσκονται σε κύκλο και όχι σε ευθεία και ας ορίσουμε τη μετακίνηση ενός δίσκου προς τα δεξιά ως θετική . Τότε ο επαναληπτικός αλγόριθμος συνίσταται στην επανάληψη των εξής δύο εντολών. Εντολή 1η : μετακίνησε το μικρότερο δίσκο μία θέση προς τα δεξιά. Εντολή 2η : κάνε την επόμενη επιτρεπτή κίνηση. Ο αλγόριθμός σταματά όταν όλοι οι δίσκοι έχουν μεταφερθεί σε άλλον στύλο από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο.
  • 35. 28 Γ. Λαγουδάκος Παράδειγμα Για 2 δίσκους : 1 1 2 2 1 1 2 2 → → → − − − − − − Για 3 δίσκους : 1 2 2 1 1 3 3 1 3 1 2 3 2 3 2 1 2 2 1 3 2 1 3 3 → → → → → − − − − − → → − − − Για 4 δίσκους : 1 2 2 3 3 3 3 1 1 4 4 1 4 1 2 4 2 4 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 4 3 2 4 3 4 3 3 4 3 4 2 1 1 1 3 3 3 2 3 4 2 3 4 2 4 2 1 4 1 4 1 2 3 4 → → → → → − − − − → → → → → − − − − → → → → → − − − −
  • 36. 29 Γ. Λαγουδάκος Θα παρατηρήσετε ότι όταν έχουμε 2 ή 4 δίσκους ο αλγόριθμος συγκεντρώνει τους δίσκους στον 3ο στύλο αν έχουμε όμως 3,5,… δίσκους ο αλγόριθμος τους συγκεντρώνει στον 2ο στύλο. 2. Ο αναδρομικός αλγόριθμος Για τις ανάγκες του αλγορίθμου συμβολίζουμε : με Δν τον ν-ιοστό – μεγαλύτερο - δίσκο και Δ(ν-1,ν-2,…,2,1) όλους τους υπόλοιπους και Α τον αρχικό στύλο, Τ τον τελικό και Β τον ενδιάμεσο βοηθητικό τότε η λογική του αλγορίθμου βασίζεται στην παρακάτω αναδρομική διαδικασία. Εντολή 1η : Μετακίνησε τους (1,2,...,ν 1) Δ − δίσκους από την Αρχική θέση στην Βοηθητική δηλαδή (1,2,...,ν 1),Α (1,2,...,ν 1),Β Δ Δ − − → Εντολή 2η : Μετακίνησε τον Δν δίσκο από την Αρχική θέση στην Τελική δηλαδή ν,Α ν,Τ Δ Δ → Εντολή 3η :Μετακίνησε τους (1,2,...,ν 1) Δ − δίσκους από την Βοηθητική θέση στη Τελική δηλαδή (1,2,...,ν 1),Β (1,2,...,ν 1),Τ Δ Δ − − → Παράδειγμα Για 2 δίσκους : 1,Α 1,Β 2,Α 2,Τ 1,Β 1,Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → λύση σε 3 κινήσεις. Τις 3 αυτές κινήσεις ας τη συμβολίσουμε ως μία με (1,2),Α (1,2),Τ Δ Δ → Για 3 δίσκους : (1,2),Α (1,2),Β 3,Α 3,Τ (1,2),Β (1,2),Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → παρατηρείστε ότι η 1η και η 3η κίνηση περιέχουν το πρόβλημα που αντιμετωπίσαμε των 2 δίσκων (αναδρομή) οπότε η επίτευξη μιας τέτοιας κίνησης εμπεριέχει 3 επιπλέον κινήσεις, άρα συνολικά η λύση του προβλήματος με 3 δίσκους απαιτεί 3+1+3=7 κινήσεις. Ολοκληρωμένη η λύση είναι η εξής :
  • 37. 30 Γ. Λαγουδάκος 1,Α 1,Τ 2,Α 2,Β (1,2),Α (1,2),Β 1,Τ 1,Β 3,Α 3,Τ 3,Α 3,Τ 1,Β 1,Α 2,Β 2,Τ (1,2),Β (1,2),Τ 1,Α 1,Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → →  → → → → → →  → Για 4 δίσκους : (1,2,3),Α (1,2,3),Β 4,Α 4,Τ (1,2,3),Β (1,2,3),Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → παρατηρείστε ότι το 1ο και το 3ο βήμα εμπεριέχουν το προηγούμενο πρόβλημα – αναδρομή. Αν σημειώσουμε ότι μία τέτοια διαδοχή κινήσεων αποτελείται από 7 κινήσεις τότε αντιλαμβανόμαστε ότι η λύση στη περίπτωση των 4 δίσκων επιτυγχάνεται με 7+1+7=15 κινήσεις. Ας δούμε αναλυτικά τη λύση. 1,Α 1,Β 2,Α 2,Τ 1,Β 1,Τ (1,2),Α (1,2),Τ 3,Α 3,Β (1,2,3),Α (1,2,3),Β 3,Α 3,Β 1,Τ 1,Α (1,2),Τ (1,2),Β 2,Τ 2 4,Α 4,Τ 4,Α 4,Τ (1,2),Β (1,2),Α (1,2,3),Β (1,2,3),Τ 3,Β 3,Τ (1,2),Α (1,2),Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → → → → → → → →   → → → → → → ,Β 1,Α 1,Β 4,Α 4,Τ 1,Β 1,Τ 2,Β 2,Α 1,Τ 1,Α 3,Β 3,Τ 1,Α 1,Β 2,Α 2,Τ 1,Β 1,Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → → → → → → → Για περισσότερες πληροφορίες επισκεφθείτε τα sites … https://www.hackerearth.com/blog/developers/tower-hanoi- recursion-game-algorithm-explained/ http://photodentro.edu.gr/lor/r/8521/1010
  • 38. 31 Γ. Λαγουδάκος Chess Το σκάκι προέρχεται από την Ινδία όπου τον 6ο αιώνα υπάρχει το παιχνίδι chaturanga με παρόμοια λογική με το σημερινό σκάκι. Την ίδια περίοδο συναντάμε στην Περσία το chat rang που μετά τη κατάκτηση της Περσίας από τους Άραβες ονομάζεται Shatranj . Η ισλαμική επέκταση φέρνει το παιχνίδι στην Δύση όπου το συναντάμε ως ajedrez στην Ισπανία, xadrez στην Πορτογαλία, ζατρίκιον (zatrikion) στα Ελληνικά. Στην Αγγλία επικράτησε αρχικά η ονομασία shah βασιλιάς, μετέπειτα η ονομασία check και τέλος η σημερινή ονομασία chess . Τα αρχαιότερα τεμάχια σκακιού από ελεφαντόδοντο βρέθηκαν στη Σαμαρκάνδη, στο Ουζμπεκιστάν και χρονολογούνται από το 760 μ.Χ. Το παλαιότερο γνωστό εγχειρίδιο σκακιού ήταν στα αραβικά και χρονολογείται από το 840-850 και γράφτηκε από τον al-Adli ar- Rumi (800-870), με τίτλο Kitab ash-shatranj. Στην Κίνα το σκάκι ονομάζεται xiangqi, εμφανίζεται σε ένα βιβλίο με τίτλο Xuán guaì lù που χρονολογείται περίπου στα 800. Μέχρι το 1000 m.X. το σκάκι έχει εξαπλωθεί σε ολόκληρη την Ευρώπη. Σώζεται ένα χειρόγραφο του 13ου αιώνα το libro de los juegos σχετικά με το shatranj . Περί το 1200, οι κανόνες του shatranj άρχισαν να τροποποιούνται στη νότια Ευρώπη, και γύρω στο 1475, πολλές σημαντικές αλλαγές κατέστησαν το παιχνίδι ουσιαστικά όπως είναι σήμερα γνωστό. Βιβλία για το σκάκι άρχισαν να εμφανίζονται από τον 15ο αιώνα χαρακτηριστικά αναφέρουμε το Repetición de Amores y Arte de Ajedrez εκδόθηκε στη Salamanca το 1497 από τον Luis Ramirez de Lucena.
  • 39. 32 Γ. Λαγουδάκος Τον 18ο αιώνα, το κέντρο της ευρωπαϊκής ζωής σκακιού μεταφέρθηκε από τις χώρες της Νότιας Ευρώπης στη Γαλλία. Οι δύο σπουδαιότεροι Γάλλοι δάσκαλοι ήταν ο François-André Danican Philidor , και αργότερα ο Louis- Charles Mahé de La Bourdonnais. Οι χώροι που παιζόταν το σκάκι εκείνη την εποχή ήταν καφενεία σε μεγάλες ευρωπαϊκές πόλεις όπως το Café de la Régence στο Παρίσι και το Divan του Simpson στο Λονδίνο Στον 19ο αιώνα εμφανίστηκαν λέσχες, βιβλία και περιοδικά. Οι εφημερίδες παρουσίαζαν σε καθημερινή βάση προβλήματα για το σκάκι όπου οι Bernhard Horwitz , Josef Kling και ο Samuel Loyd συνέθεσαν μερικά από τα πιο σημαντικά προβλήματα. Το 1843 ο von der Lasa δημοσίευσε το Handbuch des Schachspiels το πρώτο ολοκληρωμένο εγχειρίδιο της θεωρίας του σκακιού . Την περίοδο αυτή αρχίζουν και οι πρώτοι αγώνες. Το πρώτο σύγχρονο τουρνουά σκακιού διοργανώθηκε από τον Howard Staunton , κορυφαίο αγγλικό σκακιστή στο Λονδίνο το 1851 που το κέρδισε ο Γερμανός Adolf Anderssen, ο οποίος χαιρετίστηκε ως ο κορυφαίος σκακιστής. Το 1924 ιδρύθηκε στο Παρίσι η Παγκόσμια Ομοσπονδία Σκακιού (FIDE) και από τότε καθιερώθηκε και ο τίτλος του παγκόσμιου πρωταθλητή στο παιχνίδι αυτό. Στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα εμφανίζονται οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές προγραμματισμένοι να μπορούν να συναγωνιστούν στο παιχνίδι ακόμα και παγκόσμιους πρωταθλητές. Είναι κλασική η μονομαχία ανάμεσα στον παγκόσμιο πρωταθλητή Garry Kasparov και του Η-Υ IBM Deep Blue το 1997 όπου για πρώτη φορά η μηχανή κατόρθωσε να νικήσει τον άνθρωπο Από τότε έχουν εμφανιστεί αρκετές εφαρμογές όπου δίνουν την δυνατότητα να παίξει κάποιος σκάκι με τον υπολογιστή, επιλέγοντας ακόμα και το επίπεδο ανταγωνισμού. Ένα πολύ καλό ντοκιμαντέρ για την ιστορία του σκακιού στην Ελλάδα από το αρχείο της ΕΡΤ παρουσιάζεται στην υπερ- σύνδεση … François-André Danican Philidor Garry Kasparov
  • 40. 33 Γ. Λαγουδάκος Το σκάκι παίζεται σε ένα ταμπλό από 8Χ8=64 τετράγωνα. Κάθε παίκτης έχει 16 κομμάτια τον βασιλιά, την βασίλισσα, δύο ιππότες, δύο άλογα, δύο πύργους και 8 στρατιώτες. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι να συλληφθεί ο αντίπαλος βασιλιάς. Υπάρχει όμως και η δυνατότητα το παιχνίδι να λήξει ισόπαλο. Οι κινήσεις του κάθε κομματιού είναι : Ο βασιλιάς μπορεί να κινηθεί ένα τετράγωνο προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Ο πύργος μπορεί να μετακινηθεί οριζόντια ή κατακόρυφα απεριόριστα αλλά δεν μπορεί να πηδήσει πάνω από άλλα κομμάτια. Ο αξιωματικός μπορεί να μετακινηθεί διαγώνια απεριόριστα, αλλά δεν μπορεί να πηδήσει πάνω από άλλα κομμάτια. Η βασίλισσα συνδυάζει τις κινήσεις του πύργου και του αξιωματικού, γι’ αυτό είναι και το πολυτιμότερο κομμάτι του παιχνιδιού. Το άλογο μετακινείται κάνοντας το σχήμα “L” δύο τετράγωνα κάθετα και ένα τετράγωνο οριζόντια, ή δύο τετράγωνα οριζόντια και ένα τετράγωνο κατακόρυφα. To άλογο είναι το μόνο κομμάτι που μπορεί να πηδήσει πάνω από άλλα κομμάτια. Ο στρατιώτης μπορεί να προχωρήσει μπροστά ένα τετράγωνο. Στην πρώτη κίνησή του μπορεί να προχωρήσει, αν ο παίκτης θέλει, δύο τετράγωνα. Ο στρατιώτης μπορεί επίσης να κινηθεί και ένα τετράγωνο μπροστά διαγώνια στην περίπτωση όπου υπάρχει αντίπαλο κομμάτι οπότε με την κίνηση αυτή το εξουδετερώνει. Εκτός από το σκάκι που όλοι γνωρίζουμε υπάρχουν και διάφορες παραλλαγές του που ουσιαστικά διαφέρουν ως προς το ταμπλό που εξελίσσεται το παιχνίδι, τους κανόνες, αλλά και τον αριθμό των κομματιών που εμπλέκονται στο παιχνίδι. Παίκτες σκακιού στο Κάιρο Stanisław Chlebowski(1835-1884)
  • 41. 34 Γ. Λαγουδάκος Κλασικά μαθηματικά προβλήματα που σχετίζονται με το σκάκι! Independence problems Είναι προβλήματα τοποθέτησης του μέγιστου αριθμού ενός κομματιού π.χ. αξιωματικός, άλογο, βασίλισσα στην σκακιέρα ώστε κανένα κομμάτι να μη απειλεί το άλλο. Το πιο διάσημο από αυτά τα προβλήματα είναι αυτό των 8 βασιλισσών. Δηλαδή να τοποθετήσουμε το μέγιστο αριθμό από βασίλισσες στη σκακιέρα ώστε καμιά να μην απειλείται από τις υπόλοιπες. Ο μέγιστος αριθμός βασιλισσών σε μια σκακιέρα 8Χ8 είναι 8. Το ερώτημα που γεννιέται είναι σε μία σκακιέρα 10Χ10 ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός; Γενικά σε μία σκακιέρα νΧν ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός; Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι λύσεις στις περιπτώσεις όπου έχουμε βασιλιάδες, αξιωματικούς και βασίλισσες. Domination problems Πρόκειται για προβλήματα όπου το ζητούμενο είναι να τοποθετήσουμε στη σκακιέρα το ελάχιστο δυνατό αριθμό κομματιών (αξιωματικούς, βασίλισσες, άλογα) ώστε όλα τα ελεύθερα τετράγωνα να απειλούνται από τα κομμάτια που έχουμε τοποθετήσει. Τα παρακάτω σχήματα δίνουν την λύση του προβλήματος για βασιλιάδες, βασίλισσες, άλογα και αξιωματικούς.
  • 42. 35 Γ. Λαγουδάκος Knight’s Tour Στο πρόβλημα αυτό τοποθετούμε ένα άλογο σε ένα οποιαδήποτε τετράγωνο στη σκακιέρα και εκτελώντας την χαρακτηριστική L κίνησή του πρέπει να περάσει από όλα τα τετράγωνα της σκακιέρας από μία μόνη φορά.O μαθηματικός Alexander Chernov το 2014 υπολόγισε 19.591.828.170.979.904 λύσεις με το τετράγωνο εκκίνησης και το τετράγωνο κατάληξης να είναι διαφορετικά ( ανοικτός βρόγχος) Το παζλ πιστεύεται ότι ανακαλύφθηκε τον 9ο αιώνα στο Κασμίρ από ένα ποιητή με το όνομα Rudrata. Σε ένα επικό ποίημα 1008 στίχων με τίτλο Paduka Sahasram περιγράφεται μία κίνηση του ήρωα σε ένα χώρο που προσομοιάζεται με σκακιέρα 4Χ8. Η κίνηση που περιγράφεται αποδίδεται στο διπλανό σχήμα. Στη Δύση το πρόβλημα ήρθε ως μετάφραση από τα Αραβικά του χειρόγραφου «Nuzhat al-Arbab al-'aqulfi'sh- shatranj αal- manqul» (Η απόλαυση της ευφυίας , μια περιγραφή του σκακιού) που αποδίδεται στον επαγγελματία Άραβα παίκτη του σκακιού al- Adli ar-Rumi , που έζησε στη Βαγδάτη γύρω στο 840 μ.Χ. Ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που διερεύνησαν το πρόβλημα ήταν ο Leonhard Euler στα τέλη του 1770 γι’ αυτό και το πρόβλημα αναφέρεται και ως Euler Chess & Knight.Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η λύση που έδωσε ο Euler. Πρόκειται για μία ανοικτή διαδρομή. Στον Euler αποδίδεται και η επίλυση του προβλήματος και σε μικρότερες σκακιέρες, όπως αυτές που παρουσιάζονται παρακάτω.
  • 43. 36 Γ. Λαγουδάκος Στο διπλανό σχήμα δίνουμε μία κλειστή διαδρομή λύση του προβλήματος. Ο πρώτος αλγόριθμος επίλυσης ονομάστηκε Αλγόριθμος του Warnsdorf από τον μαθηματικό που τον ανέπτυξε το 1823. Στο video που δίνουμε μπορείτε να δείτε έναν αλγόριθμό επίλυσης του Puzzle με βάση το οποίο λύσαμε το puzzle. Οι βασικές αρχές του είναι να ξεκινά κάποιος από μία γωνία και να κινείται δεξιόστροφα προσπαθώντας πάντα να είναι κοντά στις πλευρές της τετράγωνης σκακιέρας. Με αφορμή το Knight’s Tour έχει φτιαχτεί το παιχνίδι Joust. Παίζεται σε μία σκακιέρα 8Χ8 από δύο παίκτες που έχουν από ένα άλογο διαφορετικού χρώματος. Τοποθετούν τα δύο άλογα σε δύο γωνίες και κινούνται εναλλάξ. Η κίνηση που κάνουν τα άλογα είναι η χαρακτηριστική L κίνηση. Όταν ένα άλογο αφήσει ένα τετράγωνο για να κινηθεί, το τετράγωνο αυτό γίνεται «καμένο» και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί πλέον στο παιχνίδι από κανένα παίκτη. Καθώς τα δύο άλογα κινούνται, ολοένα και περισσότερα τετράγωνα «καίγονται» άρα λιγότερα τετράγωνα παραμένουν διαθέσιμα για κίνηση. Τελικά όταν κάποιος παίκτης δεν μπορεί να κινήσει το άλογο του χάνει. Σε Ολυμπιάδα των Μαθηματικών δόθηκε το εξής θέμα. Η Αλίκη και ο Βασίλης παίζουν το εξής παιχνίδι. Σε μία σκακιέρα 8Χ8 η Αλίκη τοποθετεί σε κάποιο τετράγωνο ένα άλογο. Με τη σειρά του ο Βασίλης μετακινεί το άλογο εκτελώντας την χαρακτηριστική L κίνηση σε μία θέση. Κάθε φορά όταν μετακινείται το άλογο το τετράγωνο που αφήνει θεωρείται καμένο και δεν επιτρέπεται κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού να βάλουμε το άλογο σε αυτό. Οι δύο παίκτες παίζουν εναλλάξ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σίγουρη στρατηγική νίκης για τον Βασίλη. Ποια είναι αυτή; Στο video που δίνουμε θα καταλάβετε τη στρατηγική.
  • 44. 37 Γ. Λαγουδάκος Abstract strategy games Παιχνίδια αφηρημένης στρατηγικής 1η κατηγορία παιχνίδια σαν την γνωστή μας ντάμα … Η ντάμα (Jeu de dames) είναι επιτραπέζιο παιχνίδι στρατηγικής με πιόνια, που παίζεται με δύο παίκτες. Προέρχεται από την Ανατολή, έγινε γνωστή πρώτα στη Γαλλία την εποχή των μεγάλων σταυροφοριών και αργότερα σε όλη την Ευρώπη. Οι παίκτες τοποθετούν τα 20 πιόνια τους στα μαύρα τετράγωνα του ταμπλό ώστε οι δύο ομάδες να βρίσκονται αντιμέτωπες και παίζουν εναλλάξ έχοντας την δυνατότητα να προωθήσουν κάθε πούλι μπροστά διαγώνια δεξιά ή αριστερά μία μόνο θέση. Τα πούλια δεν μπορούν να μετακινηθούν πλάγια ή πίσω. Ο κάθε παίκτης μπορεί να "αιχμαλωτίσει" το πιόνι του αντιπάλου και να το βγάλει έξω όταν έχει την δυνατότητα να το πηδήξει. Αν υπάρχει η δυνατότητα μπορεί ένας παίκτης να κάνει πολλές συνεχόμενες κινήσεις πηδώντας διαδοχικά όσα πούλια του αντιπάλου μπορεί. Ένα πιόνι γίνεται ντάμα όταν φθάσει στην τελευταία γραμμή (πρώτη του αντιπάλου). Σε αυτήν την περίπτωση η ντάμα πλέον μπορεί να μετακινείται όσες θέσεις θέλει διαγωνίως (εμπρός και πίσω). Στο πούλι που μετατράπηκε σε ντάμα, τοποθετούμε ένα δεύτερο πούλι πάνω του, ώστε να ξεχωρίζει από τα υπόλοιπα. Το παιχνίδι τελειώνει όταν ένας από τους δύο παίκτες δεν έχει κανένα πούλι. Παραλλαγές της ντάμας υπάρχουν πολλές. Ενδεικτικά αναφέρουμε το Alquerque ή το Qirkat (Αραβία) Το παιχνίδι ήρθε στην Ευρώπη όταν οι Μαυριτανοί εισέβαλαν στην Ισπανία. Το παιχνίδι αυτό έφθασε στο Μεξικό από τους Ισπανούς και εξαπλώθηκε σε όλη την Αμερική.
  • 45. 38 Γ. Λαγουδάκος 2η κατηγορία παιχνίδια που παίζονται σε ένα γήπεδο που μοιάζει με αυτό της γνωστής μας τρίλιζα Η τρίλιζα είναι αρχαίο παιχνίδι, ένα τέτοιο παιχνίδι έχει βρεθεί χαραγμένο στο ναό του Karnak στην Αίγυπτο και χρονολογείται από το 1400 π.χ. Ένα άλλο έχει βρεθεί σε νεκροταφείο της εποχής του Χαλκού στην Ιρλανδία, αλλά και στην Ακρόπολη της Αθήνας. Η τρίλιζα έφτασε στο απόγειο της δημοτικότητάς της στην Ευρώπη την Αναγέννηση. Ήταν γνωστό στους αρχαίους Έλληνες με την ονομασία «τριόδιν» και σήμερα λέγεται και εννιάδα ή εννιάρα ή εννιάπετρο. Το ταμπλό της τρίλιζας αποτελείται από τρία τετράγωνα το ένα μέσα στο άλλο και τέσσερις κάθετες, που ενώνουν τα μέσα των πλευρών των τετραγώνων. Ο κάθε παίκτης παίρνει εννέα πιόνια διαφορετικού χρώματος ή είδους από αυτά του αντιπάλου και το παιχνίδι ξεκινά με κλήρο για το ποιος θα παίξει πρώτος, ο οποίος έχει την δυνατότητα να επιλέξει τη θέση στην οποία θα τοποθετήσει το αρχικό πιόνι του. Μετά εναλλάξ γίνεται η (κατάλληλη) τοποθέτηση και των εννέα πεσσών των δύο παικτών. Μετά την αρχική τοποθέτηση ο κάθε παίκτης μπορεί να μετακινήσει κάποιο πιόνι του σε διπλανή κενή θέση. Αυτός που θα κατορθώσει να τοποθετήσει τρία πιόνια σε ευθεία γραμμή – να σχηματίσει μία τρίλιζα – έχει τη δυνατότητα να αφαιρέσει ένα πιόνι – ένα πεσσό – του αντιπάλου. Χαμένος τελικά ήταν ο παίκτης που μένει με δύο μόνο πιόνια. Υπάρχει και η απλούστερη εκδοχή που παίζεται σε ένα ταμπλό σαν το διπλανό. Το παιχνίδι αυτό είναι αρκετά διαδεδομένο σε ολόκληρο τον κόσμο με πολλές ονομασίες όπως Achi (Γκάνα) ή tic-tac-toe ή Nine Holes στην Ευρώπη και Αμερική. είναι ένα παιχνίδι ευθυγράμμισης. Κάθε παίκτης έχει τέσσερεις χάντρες διαφορετικού χρώματος για να πέσει. Στην αρχή οι παίκτες εναλλάξ τοποθετούν τις χάντρες στα σημεία του ταμπλό μετά κάθε παίκτης μπορεί να κινηθεί κατά μήκος μιας γραμμής σε ένα διπλανό κενό σημείο. Νικητής είναι ο πρώτος παίκτης που θα δημιουργήσει τριάδα οριζόντια κάθετα ή διαγώνια.
  • 46. 39 Γ. Λαγουδάκος Σε όλο τον κόσμο υπάρχουν παιχνίδια «κυνηγιού» που παίζονται σε παρόμοια με την τρίλιζα ταμπλό και παρόμοιους κανόνες. Ενδεικτικά αναφέρουμε το Adugo . Είναι ένα παιχνίδι που προέρχεται από τη φυλή Bororo στην περιοχή Pantanal της Βραζιλίας . Στο παιχνίδι ο Jaguar ("adugo", στη γλώσσα του Bororo) κυνηγά τα σκυλιά. Το παιχνίδι είναι επίσης γνωστό ως Jaguar and Dogs . Στόχος του παιχνιδιού Ο ιαγουάρος προσπαθεί να συλλάβει τουλάχιστον πέντε σκυλιά για να σταματήσει το παιχνίδι ενώ τα σκυλιά προσπαθούν να περιβάλλουν τον ιαγουάρο και να μπλοκάρουν τις κινήσεις του. Κανόνες του παιχνιδιού Στην αρχή, ο ιαγουάρος βρίσκεται στο κεντρικό σημείο του γηπέδου και όλα τα σκυλιά στο μισό γήπεδο όπως στο διπλανό σχήμα. Ο ένας παίκτης θα είναι ο Ιαγουάρος και ο άλλος τα σκυλιά. Ο ιαγουάρος κινείται πρώτα. Οι παίκτες εναλλάσσονται και κινούν ή τον ιαγουάρο ή ένα σκυλί την φορά μετακινώντας τις χάντρες ένα διάστημα τη φορά πάνω στο μοτίβο που υπάρχει στο γήπεδο. Ο ιαγουάρος και τα σκυλιά μετακινούνται ένα διάστημα κάθε φορά ακολουθώντας το μοτίβο στο ταμπλό. Ο Ιαγουάρος συλλαμβάνει ένα σκυλί αν υπάρχει η δυνατότητα να το πηδήξει και να βρεθεί σε ελεύθερο σημείο. Τα σκυλιά δεν μπορούν να συλλάβουν. 3η κατηγορία παιχνίδια σαν το γνωστό μας Stratego Stratego είναι ένα επιτραπέζιο παιχνίδι για δύο παίκτες σε ένα ταμπλό 10Χ10 . Κάθε παίκτης έχει 40 κομμάτια που αντιπροσωπεύουν μεμονωμένους αξιωματικούς , στρατιώτες , τη σημαία, την βόμβα , τον κατάσκοπο κ.α. Όλη η ατμόσφαιρα παραπέμπει στους Ναπολεόντειους πολέμους. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι κάποιος παίκτης να βρει και να συλλάβει τη σημαία του αντιπάλου ή να συλλάβει τόσα πολλά κομμάτια του εχθρού που ο αντίπαλος να μην μπορεί να κάνει άλλες κινήσεις. Το παιχνίδι είναι παραλλαγή του Γαλλικού παιχνιδιού L'Attaque . Βρίσκεται σε παραγωγή στην Ευρώπη από τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο και
  • 47. 40 Γ. Λαγουδάκος τις Ηνωμένες Πολιτείες από το 1961. Δημιουργός του παιχνιδιού είναι ο Jacques Johan Mogendorff. Αρχικά οι εικόνες ήταν εκτυπωμένες σε χαρτί , αργότερα σε ξύλο και τέλος σε πλαστικό. Υπάρχουν πολλοί διαγωνισμοί Stratego σε όλο τον κόσμο. Το παιχνίδι είναι ιδιαίτερα δημοφιλές στις Κάτω Χώρες, τη Γερμανία , την Ελλάδα και το Βέλγιο , όπου διοργανώνονται παγκόσμια και εθνικά πρωταθλήματα. Παρόμοιο παιχνίδι είναι το Κινέζικο Luzhanqi όπου το πεδίο της μάχης περιλαμβάνει δρόμους βουνά και σιδηροδρόμους για ταχεία επίθεση. 4η κατηγορία σαν το γνωστό μας τάβλι Το τάβλι είναι ένα παιχνίδι για δύο παίκτες, παραλλαγή του οποίου είναι το δυτικό τάβλι (backgammon). Κάθε παίκτης κατέχει 15 πούλια, που κινούνται σε ειδικό ταμπλό σύμφωνα με τις ενδείξεις δυο ζαριών. Σκοπός του κάθε παίκτη είναι να μαζέψει πρώτος όλα τα πούλια από το ταμπλό. Ο παίκτης που ολοκληρώνει πρώτος το μάζεμα είναι και ο νικητής. Το ταμπλό του ταβλιού χωρίζεται σε τέσσερις περιοχές με κάθε περιοχή να περιλαμβάνει έξι θέσεις, συνολικά δηλαδή 24 θέσεων, όπως φαίνεται στην εικόνα. Κάθε παίκτης έχει μια περιοχή εκκίνησης και η απέναντί της περιοχή είναι η περιοχή μαζέματος του παίκτη. Τα πούλια τού παίκτη κινούνται κυκλικά από την περιοχή εκκίνησης
  • 48. 41 Γ. Λαγουδάκος στην περιοχή μαζέματος. Όταν ένας παίκτης έχει όλα του τα πούλια στην περιοχή μαζέματος του επιτρέπεται να ξεκινήσει το μάζεμα. Υπάρχουν τρία βασικά παιχνίδια : οι Πόρτες, το Πλακωτό και το Φεύγα. Το τάβλι θεωρείται τυχερό παιχνίδι διότι η εξέλιξή του εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τις ενδείξεις των ζαριών. Από τα προηγούμενα παιχνίδια, το πλακωτό γενικά θεωρείται ότι έχει τον σχετικά μικρότερο παράγοντα τύχης. Σχετικά με το είδος των τεχνικών απαιτήσεων οι πόρτες έχουν κάπως περισσότερες απαιτήσεις τακτικής, το πλακωτό κάπως περισσότερες απαιτήσεις στρατηγικής και το φεύγα είναι περισσότερο ισορροπημένο τόσο σε απαιτήσεις τακτικής όσο και στρατηγικής. Το τάβλι είναι ίσως το αρχαιότερο παιχνίδι που επιζεί μέχρι και τις ημέρες μας, αφού η πρώτη του εμφάνιση μαρτυρείται στη Μεσοποταμία, την περίοδο περίπου 2900 με 1800 πΧ. Ένα παρόμοιο παιχνίδι το Senet ή "παιχνίδι των τριάντα τετραγώνων" παιζόταν και στην Αρχαία Αίγυπτο. Άλλο ένα αρχαίο παιχνίδι σχετικό με το τάβλι που είναι άξιο αναφοράς είναι το Tact Nard παιζόταν στην Περσία από το 1600 πΧ το όνομά του σήμαινε «Μάχη σε ξύλο» και μεταφέρθηκε στην Ευρώπη από τους Άραβες. Στην Αρχαία Ελλάδα υπάρχει παρόμοιο παιχνίδι με το όνομα Πεσσοί ενώ και στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία με το όνομα Ludus Duodecim Scriptorum - παιχνίδι των δώδεκα γραμμάτων. Στο Μεσαίωνα , το παιχνίδι ήταν αρκετά γνωστό στην Ευρώπη, και είχε αποκτήσει δική του ονομασία και φήμη σε διάφορες ευρωπαϊκές χώρες. Μερικά από τα ονόματά του ήταν «Tables» (Αγγλία), «Tavola Reale» (Ιταλία), «Tablas Reales» (Ισπανία). Το τάβλι κατά περιόδους απαγορεύτηκε ή κατακρίθηκε από την Εκκλησία, καθώς έχει τον χαρακτήρα τυχερού παιχνιδιού. Ο Λουδοβίκος ο Θ' της Γαλλίας, το 1254 απαγόρευσε σε όλους τους υπηκόους του να παίζουν τάβλι. Το 1526 ο Άγγλος βασιλιάς Henry o 8ος διέταξε να καούν όλα τα ταμπλό του ταβλιού. Οι Άγγλοι παίκτες του παιχνιδιού σκέφτηκαν να
  • 49. 42 Γ. Λαγουδάκος καμουφλάρουν το ταμπλό κατασκευάζοντάς το αναδιπλούμενο, για να μοιάζει χοντρικά με βιβλίο. Σε αυτή την ιδέα οφείλει το σημερινό ταμπλό τη μορφή. Το 1743 ο Edmund Hoyle, εξέδωσε μια "Πραγματεία πάνω στο παιχνίδι του ταβλιού" τυποποιώντας τους κανόνες του παιχνιδιού και υποδεικνύοντας τακτικές για βέλτιστο παιχνίδι, οι οποίες είναι γενικά παραδεκτές ως χρήσιμες, ακόμα και σήμερα. Το παιχνίδι έφτασε στην Αμερική ταυτόχρονα με την Ευρώπη. Οι λογαριασμοί εξόδων του Τόμας Τζέφερσον το 1776, περίπου τον καιρό που έγραφε την Διακήρυξη της Ανεξαρτησίας δείχνουν κέρδη και απώλειες από παιχνίδια ταβλιού. Σε αυτή την περίοδο το παιχνίδι πήρε και το σημερινό του διεθνές όνομα, το ονόμασαν «bac» (πίσω) - «gamen» (παιχνίδι), επειδή όταν ένα πούλι «πιάσει» ένα άλλο, αυτό επιστρέφει πίσω στην αρχή. Τα μαθηματικά που μπορούμε να συναντήσουμε στο τάβλι είναι απλές αρχές πιθανοτήτων και για να είμαι σαφέστερος ας δούμε ένα παράδειγμα …. Παίζουμε πόρτες και ο αντίπαλος σε έχει χτυπήσει, συγχρόνως έχει πιάσει τέσσερεις από τις έξι θέσεις, που μπορείς να μπεις. Η κατάσταση είναι τραγική, τα έχεις βάψει μαύρα. Όμως δεν είναι έτσι, τουλάχιστον αυτά λένε οι πιθανότητες… Έχεις συνολικά 36 δυνατούς συνδυασμούς ζαριών, από αυτούς σου κάνουν για να μπεις οι 20. Άρα έχεις πιθανότητα για να μπεις 20 55,5% 36 = . Ηθικό δίδαγμα, όταν έχεις τις μαύρες σου παίζοντας τάβλι δες το από την πλευρά των πιθανοτήτων…
  • 50. 43 Γ. Λαγουδάκος Τέλος η πιο κλασική μαθηματική ιστορία που έχει να κάνει με σκακιέρα εξελίσσεται σε μακρινούς χρόνους στην Περσία. Ένας βασιλιάς θέλοντας να ευχαριστήσει τον Μαθηματικό που κατασκεύασε πρώτος για χάρη του το γνωστό σε όλους μας σκάκι, του πρότεινε να του κάνει ό,τι δώρο ήθελε. Τότε ο Μαθηματικός του ζήτησε κάτι πολύ απλό!!! Όπως είναι η σκακιέρα με τα 8Χ8 τετράγωνα, ο βασιλιάς να βάζει σπυριά ρυζιού στο κάθε τετράγωνο με έναν συγκεκριμένο τρόπο. Στο πρώτο τετράγωνο 1 σπυρί, στο 2ο τετράγωνο 2 σπυριά, στο 3ο τετράγωνο 2 2 σπυριά, στο 4ο τετράγωνο 3 2 σπυριά και ούτω καθεξής μέχρι και το 64ο τετραγωνάκι της σκακιέρας. Μόλις ο βασιλιάς θα τελείωνε, θα έδινε στον Μαθηματικό όλα τα σπυριά ρυζιού που θα ήταν στη σκακιέρα. Ο βασιλιάς, που από Μαθηματικά δεν θα ήξερε και πολλά, δέχθηκε. Πόσα σπυριά τελικά έπρεπε ο βασιλιάς να δώσει στον Μαθηματικό; Αν τα έχω υπολογίσει σωστά 18.446.744.073.709.551.615!!! Υποθέτοντας ότι κάθε σπυρί ρυζιού έχει βάρος περίπου 0,033gr, υπολογίστε πόσους τόνους ρυζιού θα έπρεπε να παραδώσει στον Μαθηματικό ο βασιλιάς. Για να επιβεβαιώσετε τους υπολογισμούς σας, σας δίνω την απάντηση 608.742.554.432 τόνους ρύζι !!!.
  • 51. 44 Γ. Λαγουδάκος Go Σύμφωνα με τον μύθο, ο Κινέζος αυτοκράτορας Yao (2337-2258 π.Χ.), επινόησε το παιχνίδι αυτό, για τον γιό του, ελπίζοντας να του διδάξει πειθαρχεία, συγκέντρωση και ισορροπία. Άλλοι μύθοι περιγράφουν Κινέζους στρατηγούς που το χρησιμοποιούσαν για να εξασκούν διάφορες στρατηγικές επίθεσης. Το Go θεωρείτο το παιχνίδι των αριστοκρατών στην Κίνα. Ήταν μια από τις 4 τέχνες (Go, Καλλιγραφία, Ζωγραφική και Guqin μουσικό όργανο) που έπρεπε να γνωρίζει κάποιος για να θεωρηθεί μορφωμένος. Τον 7ο αιώνα το Go έρχεται στην Ιαπωνία. Στις αρχές του 20ου αιώνα, ιδρύεται η πρώτη ακαδημία για παίκτες του Go. Πρόκειται για ένα στρατηγικό επιτραπέζιο παιχνίδι, οι δυο παίκτες, άσπρος και μαύρος, προσθέτουν εναλλάξ πέτρες στο go-ban (ταμπλό), περικυκλώνοντας περιοχή, φυλακίζοντας πέτρες του αντιπάλου και προστατεύοντας τις δικές τους πέτρες. Οι κανόνες του Go είναι πολύ απλοί, αλλά η στρατηγική που ακολουθεί είναι περίπλοκη. Η τελική βαθμολογία αποτελείται από την περιοχή που ελέγχει ο κάθε παίκτης και τον αριθμό των πετρών που κατάφερε να φυλακίσει. Δυο παίκτες, ο μαύρος και ο άσπρος, τοποθετούν εναλλάξ μια πέτρα στα σημεία που τέμνονται οι γραμμές ενός πίνακα 19X19. Ο μαύρος παίζει πρώτος. Υπάρχει η δυνατότητα το παιχνίδι να εξελιχθεί σε πίνακα 9Χ9 ή 13Χ13 για να είναι πιο σύντομο. Οι πέτρες πρέπει να έχουν άδεια σημεία γύρω τους (ελευθερίες) για να παραμείνουν στον πίνακα. Όταν μια πέτρα (ή μια ομάδα πετρών) περικυκλώνεται από αντίπαλες πέτρες, έτσι ώστε να μην έχει ελευθερίες, φυλακίζεται και αφαιρείται από το παιχνίδι.
  • 52. 45 Γ. Λαγουδάκος Εάν ένα σημείο είναι περικυκλωμένο ήδη από αντίπαλες πέτρες, τότε απαγορεύεται να παίξει κάποιος εκεί (κίνηση αυτοκτονίας). Η μόνη περίπτωση που επιτρέπεται η κίνηση αυτοκτονίας είναι εάν με την συγκεκριμένη κίνηση μπορεί να αφαιρεθεί ελευθερία των αντίπαλων πετρών, οπότε οι αντίπαλες πέτρες φυλακίζονται. Κανόνας Κο: ένα πιόνι που μόλις χτύπησε ένα άλλο πιόνι δεν επιτρέπεται να χτυπηθεί στην αμέσως επόμενη κίνηση. Πρέπει πρώτα να τοποθετηθεί ένα πιόνι σε άλλο σημείο του ταμπλό. Αυτό γίνεται για να μην υπάρχει η δυνατότητα συνεχούς επανάληψής της ίδιας κίνησης. Ο παίκτης μπορεί να μην παίξει πέτρα. Όταν και οι δυο παίκτες δεν παίξουν σε συνεχόμενες κινήσεις, το παιχνίδι τελειώνει και υπολογίζεται η βαθμολογία (ο καθένας μετρά τα άδεια σημεία περικυκλωμένα από δικές του πέτρες, συν τις αντίπαλες πέτρες που κατάφερε να φυλακίσει). Ο παίκτης με την μεγαλύτερη βαθμολογία κερδίζει το παιχνίδι. Επειδή ο μαύρος έχει το πλεονέκτημα της πρώτης κίνησης ο άσπρος ξεκινάει το παιχνίδι με μικρό προβάδισμα σε πόντους που λέγεται komidashi ή komi ,συνήθως 6.5 πόντους.Το komi μπορεί να προσαρμοστεί ανάλογα με την διαφορά σε δύναμη των δύο αντιπάλων. Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να πάρει αρνητικό πρόσημο, ενώ σπάνια είναι ακέραιος αριθμός. Για τον λόγο αυτό οι ισοπαλίες (jigo) στο go είναι μηδαμινές. Το go επιτρέπει και τα παιχνίδια με πλεονέκτημα. Αν ένας παίκτης είναι πιο δυνατός από τον αντίπαλο του, τότε παίρνει τα άσπρα, και δίνει στον μαύρο πλεονέκτημα ένα αριθμό πετρών στην αρχή του παιχνιδιού που καλύπτει τη διαφορά δύναμης. Από τον 16ο αιώνα, εφαρμόστηκαν βαθμίδες που παρουσιάζουν τη δύναμη των παικτών. Το σύστημα διαβάθμισης είναι παρόμοιο με αυτό των πολεμικών τεχνών. Οι αρχάριοι ξεκινούν από 30 kyu και όσο γίνονται καλύτεροι μειώνεται ώσπου να φθάσει στο 1 kyu. Μετά είναι η κατηγορία dan ή shodan στην οποία η διαβάθμιση βαίνει αυξανόμενη από το 1 dan μέχρι το 7 dan. Τέλος είναι η κατηγορία των επαγγελματιών παικτών αρχίζοντας από 1 pro dan έως και 9 pro dan.
  • 53. 46 Γ. Λαγουδάκος 2D – 3D puzzles with polyominoes Polyomino είναι ένα επίπεδο γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται με την ένωση δύο ή περισσότερων ίσων τετραγώνων. Ανάλογα με τον αριθμό των τετραγώνων έχουμε τα domino – tromino – tetromino – pentomino - hexomino κ.τ.λ. Τα σχήματα αυτά έχουν χρησιμοποιηθεί σε πολλά παζλ. Το όνομα polyomino επινοήθηκε από τον Solomon W. Golomb το 1953 και έγιναν ιδιαίτερα γνωστά στο ευρύ κοινό όταν ο Martin Gardner τα συμπεριέλαβε στη στήλη "Μαθηματικά Παιχνίδια" του Νοεμβρίου 1960 στο περιοδικό Scientific American. Υπάρχουν 5 tetromino , 12 pentomino, 35 hexomino Τα tetromino χρησιμοποιούνται στο γνωστό παιχνίδι tetris και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την πλακόστρωση επιφανειών διαφόρων διαστάσεων αλλά και στην κατασκευή κύβων Για παράδειγμα στα διπλανά σχήματα παρουσιάζονται πλακόστρωση 6Χ10 και κύβος 6Χ6. Μπορείτε να πλακοστρώσετε επιφάνεια 4Χ7; Κάντε μια προσπάθεια και αν καταλήξετε στο ότι αυτό δεν γίνεται προσπαθήστε να το αποδείξετε. Αν δεν μπορέσετε δεν πειράζει παρακολουθείστε το video …
  • 54. 47 Γ. Λαγουδάκος Όμοια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα pentominoes για πλακοστρώσεις, για παράδειγμα στα παρακάτω σχήματα έχουμε πλακοστρώσεις 6Χ10, 5Χ12, 4Χ15, 3Χ20, 8Χ8 Υπάρχουν καταπληκτικά ξύλινα παζλ για 2D αλλά 3D κατασκευές Μπορείτε να ανακαλύψετε χρησιμοποιώντας pentominoes … μία από τις 2339 διαφορετικές λύσεις πλακόστρωσης ορθογωνίου 6Χ10 ή μία από τις 2 λύσεις πλακόστρωσης ορθογωνίου 3Χ20 ή μία από τις 368 λύσεις πλακόστρωσης ορθογωνίου 4Χ15 ή μία από τις 1010 λύσεις πλακόστρωσης ορθογωνίου 5Χ12 ή μία από τις 3940 λύσεις κατασκευής ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων 5Χ4Χ3 ή μία από τις 264 λύσεις κατασκευής ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων 6Χ5Χ2 ή μία από τις 12 λύσεις κατασκευής ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων 10Χ3Χ2
  • 55. 48 Γ. Λαγουδάκος Υπάρχουν ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα που σχετίζονται με χρήση domino, triomino, tetromino κ.τ.λ. στο επίπεδο. Το πιο γνωστό είναι « το πρόβλημα της ακρωτηριασμένης σκακιέρας» το πρωτοδιατύπωσε ο φιλόσοφος Max Black στο βιβλίο του Critical Thinking (1946) και έγινε ευρύτερα γνωστό από τον Martin Gardner . Το πρόβλημα έχει ως εξής: Ας υποθέσουμε ότι σε μια σκακιέρα 8 × 8 έχουν αφαιρεθεί τα δύο διαγωνίως απέναντι τετράγωνα. Έτσι έχουν απομείνει στην σκακιέρα 62 τετράγωνα. Το ερώτημα είναι αν μπορούμε να τοποθετήσουμε 31 domino ώστε να πλακοστρώσουμε πλήρως την σκακιέρα. Το πρόβλημα είναι αδύνατο. Ένα ντόμινο τοποθετημένο στη σκακιέρα θα καλύπτει πάντα ένα λευκό τετράγωνο και ένα μαύρο τετράγωνο. Ως εκ τούτου, μια συλλογή ντόμινο που τοποθετείται στο ταμπλό θα καλύπτει ίσους αριθμούς τετραγώνων κάθε χρώματος. Εάν οι δύο λευκές γωνίες αφαιρεθούν από το ταμπλό τότε 30 λευκά τετράγωνα και 32 μαύρα τετράγωνα παραμένουν να καλύπτονται από ντόμινο, οπότε αυτό είναι αδύνατο. Αν αφαιρεθούν οι δύο μαύρες γωνίες, τότε παραμένουν 32 άσπρα τετράγωνα και 30 μαύρα τετράγωνα, οπότε είναι και πάλι αδύνατο. Παρόμοιο πρόβλημα είναι και η πλακόστρωση με domino μιας σκακιέρας που έχουν αφαιρεθεί οπουδήποτε δύο τετράγωνα ίδιου χρώματος. Αν όμως αφαιρεθούν δύο τετράγωνα διαφορετικού χρώματος είναι πάντα δυνατή η πλακόστρωση. Η πρόταση αυτή λέγεται θεώρημα του Ralph E. Gomory του μαθηματικού που το πρωτοδιατύπωσε το 1973. Ένα δεύτερο γνωστό πρόβλημα είναι : Αν έχουμε μία επιφάνεια που αποτελείται από ν ν 2 2  τετράγωνα (με ν  ), μπορεί πάντα μπορεί να πλακοστρωθεί από πλακάκια σχήματος L ,δηλαδή από πλακάκια σαν το διπλανό σχήμα, αφήνοντας μόνο ένα τυχαίο τετραγωνάκι ακάλυπτο. Κατ’ αρχήν σε μία επιφάνεια 2Χ2 τότε είναι προφανές ότι αυτή μπορεί να καλυφτεί από ένα πλακάκι σχήματος L αφήνοντας ένα τετράγωνο ακάλυπτο.
  • 56. 49 Γ. Λαγουδάκος Αν έχουμε μία επιφάνεια 4Χ4 μπορεί να καλυφθεί από πλακάκια σχήματος L αφήνοντας μόνο ένα τετράγωνο ακάλυπτο; Χωρίζουμε το τετράγωνο σε τέσσερα τεράγωνα 2Χ2. Αφαιρώντας από τα τρία «κενά» τετράγωνα από ένα τετράγωνο στο κέντρο καταλήγουμε σε τέσσερα τετράγωνα της περίπτωσης 2Χ2 Εύκολα μπορούμε τώρα να πλακοστρώσουμε την επιφάνεια μας με πλακάκια σχήματος L, αφήνοντας μόνο ένα πλακάκι ακάλυπτο, αυτό που είχε εξ αρχής επιλεγεί . Αν έχουμε μία επιφάνεια 8Χ8, μπορεί να καλυφθεί από πλακάκια σχήματος L αφήνοντας μόνο ένα πλακάκι ακάλυπτο;
  • 57. 50 Γ. Λαγουδάκος Χωρίζουμε το τετράγωνο σε τέσσερα τετράγωνα 4Χ4. Αφαιρώντας από τα τρία «κενά» τετράγωνα από ένα τετράγωνο στο κέντρο καταλήγουμε σε τέσσερα τετράγωνα της περίπτωσης 4Χ4. Εύκολα μπορούμε τώρα να πλακοστρώσουμε την επιφάνεια μας με πλακάκια σχήματος L, αφήνοντας μόνο ένα πλακάκι ακάλυπτο, αυτό που είχε εξ αρχής επιλεγεί . Είναι προφανές ότι η επίλυση του προβλήματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια της μαθηματικής επαγωγής. Το πρόβλημα για επιφάνεια 1 1 2 2  έχει λυθεί. Υποθέτουμε ότι είμαστε σε θέση να λύσουμε το πρόβλημα για επιφάνεια ν ν 2 2  τετραγώνων με ένα οποιοδήποτε τετράγωνο κενό. Θα αποδείξουμε ότι μία επιφάνεια με ν 1 ν 1 2 2 + +  τετράγωνα με ένα οποιοδήποτε τετραγωνάκι κενό μπορεί να καλυφθεί πλήρως με πλακίδια σχήματος L εκτός του αρχικού κενού τετραγώνου. Χωρίζουμε το τετράγωνο σε τέσσερα τετράγωνα με ν ν 2 2  τετράγωνα, αφαιρούμε τα τρία κεντρικά τετράγωνα και το πρόβλημα ανάγεται στην προηγούμενη περίπτωση.
  • 58. 51 Γ. Λαγουδάκος Ας δούμε μερικά ακόμα κλασικά προβλήματα … Πρόβλημα 1ο Να πλακοστρώσετε επιφάνεια σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου χρησιμοποιώντας μία μόνο φορά κάθε ένα από τα 12 πεντόνιμα Μία λύση είναι αυτή που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα όπου σχηματίζεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαστάσεων 6Χ10, υπάρχουν όμως και οι λύσεις που καλύπτουν ορθογώνια διαστάσεων 12Χ5 ή 4Χ15 ή 3Χ20. Πρόβλημα 2ο Αποδείξτε ότι δεν μπορούμε να πλακοστρώσουμε επιφάνεια σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου χρησιμοποιώντας τα 5 τετρόμινα από μία φορά. Απόδειξη Η επιφάνεια θα έχει εμβαδόν 4Χ5=20 τ.μ. Αν ζωγραφίσουμε το ορθογώνιο σαν μία σκακιέρα θα παρατηρήσουμε ότι ο αριθμός των λευκών και ο αριθμός των μαύρων τετραγώνων είναι ίσος. Αν κάνουμε το ίδιο και με τα 5 τετρόμινα παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει τρόπος τα λευκά και μαύρα τετράγωνα να είναι του ίδιου πλήθους.
  • 59. 52 Γ. Λαγουδάκος Πρόβλημα 3ο Να πλακοστρωθεί επιφάνεια σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου διαστάσεων 3Χ20 χρησιμοποιώντας το κάθε ένα μία μόνο φορά. Υπάρχουν δύο λύσεις του προβλήματος. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται η μία, η άλλη είναι δική σας δουλειά! Πρόβλημα 4ο Χώρισε τα 12 πεντόμινο σε τρείς ομάδες των 4 και να βρείτε επιφάνεια εμβαδού 20τ.μ. που η κάθε ομάδα μπορεί να την πλακοστρώσει. Μία λύση παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα, υπάρχουν άλλες; Πρόβλημα 5ο Να προσδιορίσουμε την ελάχιστη επιφάνεια όπου και τα 12 τα πεντόμινα μπορούν να χωρέσουν
  • 60. 53 Γ. Λαγουδάκος Πρόβλημα 6ο Να αποδείξετε ότι από τα 5 τετρόμινο μόνο 4 μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να καλυφθεί μία σκακιέρα Για την απόδειξη δείτε το παρακάτω σχήμα. Πρόβλημα 7ο Επίλεξε ένα οποιοδήποτε πεντόμινο και χρησιμοποιώντας 9 από τα υπόλοιπα να κατασκευάσετε ένα σχήμα όμοιο με το πεντόμινο που διαλέξαμε αλλά τριπλάσιο σε μέγεθος. Στο παρακάτω σχήμα δίνουμε δύο λύσεις. Υπάρχουν και άλλες;
  • 61. 54 Γ. Λαγουδάκος Πρόβλημα 8ο Πλακόστρωσε μία σκακιέρα της οποίας λείπουν οι τέσσερεις άκρες χρησιμοποιώντας τα 12 πεντόμινα από μία φορά το καθένα. Η λύση … Το πρόβλημα μπορεί να γενικευθεί και ως εξής. Να πλακοστρώσετε μία σκακιέρα 8Χ8 χρησιμοποιώντας τα 12 πεντόμινα και ένα οποιοδήποτε τετρόμινο από μία φορά. Πρόβλημα 9ο Χώρισε τα 12 πεντόμινο σε 3 ομάδες των 4 και χρησιμοποιώντας τα πεντόμινα της κάθε ομάδας να σχηματίσετε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαστάσεων 3Χ7 του οποίου να λείπει ένα τετράγωνο Η μοναδική λύση … Πρόβλημα 10ο Κάλυψε ένα τετράγωνο διαστάσεων 5Χ5 χρησιμοποιώντας 4 τετρόμινο και 1 πεντόμινο. Δύο λύσεις. Υπάρχουν και άλλες;
  • 62. 55 Γ. Λαγουδάκος 3D Puzzles a. Cubes To Soma cube είναι ένα 3D puzzle που εφευρέθηκε από τον Piet Hein το 1933 Επτά κομμάτια που συνθέτονται από μοναδιαίους κύβους πρέπει να χρησιμοποιηθούν ώστε να κατασκευαστεί ένας κύβος 3Χ3Χ3 Οι μαθηματικές ιδιότητες του Soma cube μελετήθηκαν από τον John Horton Conway τον Σεπτέμβρη του 1958 στο περιοδικό Scientific American. Υπάρχουν 240 ξεχωριστές λύσεις του παζλ. Μία δυσκολότερη εκδοχή του είναι ο Bedlam cub που είναι ένα 3D puzzle με 13 κομμάτια με σκοπό να φτιαχτεί ένας κύβος 4Χ4Χ4 Στον παρακάτω σύνδεσμο παρουσιάζεται μία λύση του puzzle. http://danieltebbutt.com/bedlam.html Παρόμοιος μηχανικός κύβος είναι ο Snake cube . Πρόκειται για μία αλυσίδα από 27 ή 64 κύβους που συνδέονται μεταξύ τους και μπορούν να περιστραφούν ελεύθερα ώστε να σχηματιστεί ένας κύβος διαστάσεων 3Χ3Χ3 ή 4Χ4Χ4.
  • 63. 56 Γ. Λαγουδάκος b. Burr Puzzles Λέγονται τα παζλ – συνήθως ξύλινα – που τρία ή περισσότερα κομμάτια με εγκοπές συνδυάζονται για να σχηματίσουν ένα τρισδιάστατο συμμετρικό στερεό. Ο όρος "burr" αναφέρεται για πρώτη φορά σε ένα βιβλίο του 1928 από τον Edwin Wyatt. Η προέλευση των παζλ παιχνιδιών είναι άγνωστη. Παρουσιάζονται ως παιχνίδια σε πολλούς πολιτισμούς όπως στην Κίνα ή στην Ινδία. Στα τέλη της δεκαετίας του 1970 έγινε μία συστηματική διερεύνηση των ιδιοτήτων των παζλ από τον μαθηματικό Bill Cutler που δημοσιεύθηκε από τον Martin Gardner στο Scientific American. Το Puzzle Knot ή Chinese Cross είναι το παλαιότερο puzzle της κατηγορίας αυτής. Έξι κομμάτια ξύλου συνδυάζονται για να σχηματίσουν ένα στερεό σε σχήμα σταυρού. Υπάρχει καταγεγραμμένο δίπλωμα ευρεσιτεχνίας για το παζλ αυτό στις ΗΠΑ από το 1917 Ένα από τα πιο γνωστά παζλ είναι και ο σταυρός Cross που φτιάχνεται από τρία κομμάτια με κατάλληλη περιστροφή και συνδυασμού των επί μέρους στοιχείων. Επόμενο είναι το παζλ Altekruse – σταυρός στα γερμανικά και πρωτοπαρουσιάστηκε το 1890. Ένα κλασικό Altekruse αποτελείται από 12 ίδια κομμάτια. Για να το αποσυναρμολογήσετε, τα δύο μισά του παζλ πρέπει να μετακινηθούν σε αντίθετες κατευθύνσεις. Με την ίδια αρχή, μπορούν να δημιουργηθούν και άλλα παζλ της οικογένειας αυτής, με 6, 24, 36 κομμάτια.
  • 64. 57 Γ. Λαγουδάκος Το παζλ Chuck εφευρέθηκε και κατοχυρώθηκε με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας από τον Edward Nelson το 1897. To Chuck αποτελείται κυρίως από τεμάχια ραβδίων σε σχήμα U με διάφορα μήκη και μερικά με επιπλέον εγκοπή που χρησιμοποιούνται ως κομμάτια κλειδιού. Υπάρχουν πολλά είδη το Baby chuck που είναι το ευκολότερο το Papa-chuck το Grand papa-chuck κ.α. Το puzzle Pagoda ή Japanese Crystal. Αναφέρεται στο βιβλίο του Wyatt του 1928. Υπάρχουν puzzle διαφόρων μεγεθών. Το μέγεθος 1 έχει 3 κομμάτια το μέγεθος 2 έχει 9 κομμάτια. Συναντάμε παζλ με 19-33-51 κομμάτια. Το παζλ Star, όπως λέει και η ονομασία του προσομοιάζει με αστέρι με ποικίλο αριθμό αχτίνων. c. Barrels and Balls puzzles. Όπως το λέει και η ονομασία τους πρόκειται για 3D Puzzles όπου σχηματίζεται ένα βαρέλι ή μία σφαίρα …
  • 65. 58 Γ. Λαγουδάκος Στον παρακάτω σύνδεσμο θα βρείτε μία μεγάλη ποικιλία από κινέζικα παζλ … https://chinesepuzzles.org/ Η λύση του Barrel puzzle Μία συλλογή από 3D Puzzle
  • 66. 59 Γ. Λαγουδάκος Game of life Το Παιχνίδι της Ζωής είναι ένα παιχνίδι που εξελίσσεται μόνο του και εξαρτάται μόνο από τις αρχικές συνθήκες που θα δώσει κανείς. Στο παιχνίδι αυτό πρωταγωνιστές είναι τετράγωνα που ζουν, αναπτύσσονται και πεθαίνουν σε μία άπειρη δισδιάστατη σκακιέρα. Δημιουργός του παιχνιδιού είναι ο Βρετανός μαθηματικός John Horton Conway το 1970. Στην αρχή μαρκάροντας κάποια τετράγωνα τους δίνουμε «ζωή». Τα τετράγωνα αυτά αποτελούν την πρώτη κοινότητα στον κόσμο που έχουμε δημιουργήσει. Είναι η στιγμή μηδέν. Μετά το παιχνίδι εξελίσσεται μόνο του. Μια σειρά από γεννήσεις και θάνατοι συμβαίνουν. Ο αρχικός πληθυσμός μπορεί να αυξηθεί ή να εξαφανιστεί, μπορεί να παραμείνει ακίνητος ή να κινηθεί, μπορεί να σχηματίσει άλλες μορφές, στατικές ή δυναμικές. Το κάθε τετράγωνο αλληλοεπιδρά συνεχώς με τα τριγύρω του τετράγωνα με τους εξής κανόνες. 1. Οποιοδήποτε ζωντανό τετράγωνο με λιγότερους από δύο ζωντανούς γείτονες πεθαίνει από μοναξιά. 2. Κάθε ζωντανό τετράγωνο με δύο ή τρεις ζωντανούς γείτονες συνεχίζει να ζει. 3. Οποιοδήποτε ζωντανό τετράγωνο με περισσότερους από τρεις ζωντανούς γείτονες πεθαίνει από υπερπληθυσμό. 4. Κάθε νεκρό τετράγωνο με ακριβώς τρεις ζωντανούς γείτονες τετράγωνα ζωντανεύει. Το παιχνίδι έκανε την πρώτη του δημόσια εμφάνιση στο τεύχος Οκτωβρίου 1970 του Scientific American , στη στήλη " Μαθηματικά παιχνίδια " του Martin Gardner στο οποίο ο Gardner το χαρακτήρισε ως ένα παιχνίδι που μπορεί και προσομοιάζει τις πραγματικές διαδικασίες ζωής. Από τη δημοσίευσή του, το Game of Life έχει προσελκύσει μεγάλο ενδιαφέρον λόγω των εκπληκτικών τρόπων με τους οποίους τα μοτίβα μπορούν να εξελιχθούν. Ανάλογα με την εξέλιξη του παιχνιδιού τα αρχικά μοτίβα ταξινομούνται σε τρεις κατηγορίες. Τις ακίνητες ζωές οι οποίες δεν αλλάζουν από τη μια γενιά στην άλλη, στους ταλαντωτές οι οποίοι επιστρέφουν στην αρχική τους
  • 67. 60 Γ. Λαγουδάκος κατάσταση μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό γενεών και στα διαστημόπλοια όπου παρουσιάζουν κίνηση σε όλο το πλέγμα. . Τα παραπάνω σχήματα αποτελούν χαρακτηριστικές περιπτώσεις αρχικών μοτίβων που καθ’ όλη την εξέλιξη του παιχνιδιού παραμένουν ακίνητα και αναλλοίωτα. Τα παραπάνω είναι αρχικά μοτίβα – «ταλαντωτές» τα τρία που φαίνονται στην δεξιά στήλη μετά από 2 στιγμές ο κόσμος τους επανέρχεται στην αρχική κατάσταση στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σύστημα έχει περίοδο 2. Ενώ το τρίτο που το λένε «pulsar» και έχει περίοδο 3. Στα παρακάτω τρία σχήματα παρουσιάζονται οι αντίστοιχες 3 κινήσεις – εξελίξεις του κόσμου “pulsar”
  • 68. 61 Γ. Λαγουδάκος Τα διαστημόπλοια είναι τα πλέον θεαματικά ας παρατηρήσουμε κάποια … Το πρώτο λέγεται “glider” – ανεμοπλάνο ενώ τα άλλα δύο λέγονται LWSS και MWSS (χαμηλού και μεσαίου βάρους διαστημόπλοια) Ας δούμε μερικές στιγμές της ζωής αυτών των περίεργων πλασμάτων. Όταν παρουσιάζεται όμως ένας τέτοιος κόσμος με παγωμένες και στατικές εικόνες χάνεται η διεύθυνση της κίνησης… Έτσι μπορείτε να παρατηρήσετε ότι ενώ υπάρχει μία μορφή «περιόδου 4» εν τούτοις επειδή ο κόσμος μας κινείται το διαστημόπλοιο αναπαράγει τον εαυτό του κάθε 4 στιγμές αλλά σε άλλη θέση. Ο Conway αρχικά υπέθεσε ότι κανένα μοτίβο δεν μπορεί να αναπτυχθεί επ’ αόριστο. Επομένως οποιαδήποτε αρχικός «κόσμος» με πεπερασμένο αριθμό ζωντανών τετραγώνων δεν μπορεί να αυξηθεί πέρα από κάποιο πεπερασμένο ανώτερο όριο. Στην αρχική εμφάνιση του παιχνιδιού στα "Μαθηματικά παιχνίδια", ο Conway πρόσφερε ένα έπαθλο πενήντα δολαρίων σε αυτόν που θα μπορούσε να αποδείξει ή να διαψεύσει την εικασία πριν από το τέλος του 1970. Το βραβείο κέρδισε τον Νοέμβριο από μια ομάδα από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης με επικεφαλής τον Bill Gosper . Το μοτίβο που ονομάστηκε "Gosper glider gun" είναι αυτό που παρουσιάζεται παρακάτω και παράγει το πρώτο διαστημόπλοιο στη 15η γενιά και μετά ένα άλλο διαστημόπλοιο κάθε 30η γενιά.
  • 69. 62 Γ. Λαγουδάκος Πηγή Wikipedia Αργότερα βρέθηκαν μικρότερα μοτίβα που εμφανίζουν επίσης άπειρη ανάπτυξη. Τα τρία μοτίβα που εμφανίζονται παρακάτω αναπτύσσονται επ’ αόριστο. Το πρώτο έχει μόνο δέκα ζωντανά τετράγωνα αριθμός που έχει αποδειχθεί ότι είναι ο ελάχιστος ικανός για να πετύχουμε μία κοινότητα που να αναπτύσσεται συνεχώς Στις 18 Μαΐου 2010, ο Andrew J. Wade ανακοίνωσε ένα μοτίβο, με το όνομα "Gemini", το οποίο δημιουργεί ένα αντίγραφο του εαυτού του, ενώ καταστρέφει τον γονέα του. Το μοτίβο αυτό-αναπαράγεται μετά από 34 εκατομμύρια στιγμές. Στον παρακάτω σύνδεσμο μπορείτε να πειραματιστείτε με τη μορφή που θα έχει ο αρχικός σχηματισμός των «ζωντανών» τετραγώνων και την εξέλιξη του κόσμου που θα έχετε δημιουργήσει. https://bitstorm.org/gameoflife/
  • 70. 64 Γ. Λαγουδάκος Hexagon games Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με παιχνίδια που παίζονται σε εξαγωνικό ταμπλό. Το εξαγωνικό ταμπλό έχει πλεονεκτήματα αλλά και μειονεκτήματα σε σχέση με το τετραγωνικό. Ως πλεονέκτημα θεωρείται το γεγονός ότι το κέντρο κάθε κελιού στο εξαγωνικό πλέγμα απέχει το ίδιο από όλα τα γειτονικά του, όπως επίσης τα γειτονικά κελιά μοιράζονται κοινές πλευρές και όχι όπως στο τετραγωνικό που υπάρχουν γειτονικά κελιά που έχουν επαφή σε ένα μόνο σημείο. Ως μειονέκτημα θα αναφέρουμε ότι οι δυνατοί προσανατολισμοί στο εξαγωνικό μειώνονται σε έξι αντί σε οκτώ που είναι στο τετραγωνικό. Η κίνηση ανατολικά ή δυτικά αντικαθίσταται με μία περίεργη κίνηση ζικ-ζακ πηδώντας γειτονικά κελιά. Το πλέον γνωστό παιχνίδι που παίζεται σε εξαγωνικά κελιά είναι το επιτραπέζιο παιχνίδι στρατηγικής Hex. Παίζεται από δύο παίκτες. Ο σκοπός είναι να συνδεθούν οι δύο απέναντι ακμές του γηπέδου με μία συνεχόμενη αλυσίδα. Δημιουργοί του παιχνιδιού οι μαθηματικοί Piet Hein και John Nash, οι δύο μαθητικοί το εφηύραν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον το 1940. Με τον τίτλο Hex το παιχνίδι κυκλοφόρησε το 1952. Την ίδια χρονιά ο John Nash απέδειξε με χρήση γραμμικής άλγεβρας ότι ο πρώτος παίκτης έχει πλεονέκτημα νίκης. Την 1η δεκαετία του 21ου αιώνα το παιχνίδι έγινε ηλεκτρονικό και στις 30 Οκτωβρίου του 2019 υπολογιστής νίκησε τον καλύτερο παίκτη του παιχνιδιού. Η στρατηγική νίκης του παιχνιδιού είναι να δημιουργήσει κάποιος παίκτης την λεγόμενη ασφαλή σύνδεση. Πρόκειται για μία αλυσίδα σαν το διπλανό σχήμα όπου υπάρχουν δύο εναλλακτικές κινήσεις για ενωθούν σε αλυσίδα δύο αποκομμένες σειρές.
  • 71. 65 Γ. Λαγουδάκος Παρόμοια παιχνίδια είναι το “Y” που παίζεται σε ένα ταμπλό που προσομοιάζει με γεωδαιτικό τρίγωνο. Οι παίκτες παίζουν εναλλάξ και κερδίζει εκείνος που έχει συνδέσει με κάποιον τρόπο και τις τρεις πλευρές του τριγώνου ή δύο κορυφές του και το Havannah που νικητής είναι εκείνος που θα σχηματίσει μία περίκλειστη αλυσίδα ή μία αλυσίδα που συνδέει δύο κορυφές του γηπέδου ή μία αλυσίδα που ενώνει σημεία τριών πλευρών του γηπέδου Το επόμενο παιχνίδι που θα παρουσιάσουμε είναι ηλεκτρονικό και λέγεται Chat noir δηλαδή Μαύρη Γάτα. Σε ένα εξαγωνικό πλέγμα κινείται μία γάτα, συγχρόνως υπάρχουν ήδη σημειωμένα κάποια σημεία – εμπόδια. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι ο παίκτης να τοποθετήσει τα δικά του σημεία – εμπόδια ώστε να μην επιτρέψει στην γάτα να φύγει εκτός του γηπέδου. Το εξαγωνικό πλέγμα επιτρέπει στην γάτα να κινηθεί προς έξι κατευθύνσεις, έτσι το κυνηγητό φαίνεται να καταλήγει σχεδόν πάντα υπέρ της γάτας. Επειδή οι κινήσεις της γάτας είναι προγραμματισμένες ώστε να κινηθεί προς το πλησιέστερο άνοιγμα θα πρέπει ο παίκτης να είναι πάντα ένα βήμα πριν την κίνηση της γάτας. Τοποθετώντας κατάλληλο εμπόδιο προς το πλησιέστερο άνοιγμα. Η γάτα θα επανασχεδιάσει την στρατηγική της, πάντα όμως με την αρχή της κίνησης προς το πλησιέστερο άνοιγμα. Ο παίκτης τώρα γνωρίζοντας την κίνηση της γάτας αποκτά πλεονέκτημα. Αρκεί να είναι σε θέση να εκτιμά γεωμετρικά σωστά προς τα που είναι η ελάχιστη απόσταση. Ένα μαθηματικό εργαλείο που εξετάζει παρόμοιο πρόβλημα είναι τα λεγόμενα διαγράμματα Voronoi προς τιμή του Georgy Feodosevich Voronoy (1868-1908) Ρώσου μαθηματικού που πρωτοδιμοσίευσε σχετική εργασία. Τι είναι όμως τα διαγράμματα Voronoi; Αν υποθέσουμε ότι στο επίπεδο έχουμε διάφορα σημεία ( τα ονομάζουμε σπόρους ή γεννήτριες) τότε μπορούμε να χωρίσουμε το επίπεδο σε περιοχές που η κάθε μία θα αποτελείται από σημεία που
  • 72. 66 Γ. Λαγουδάκος βρίσκονται πλησιέστερα προς μία γεννήτρια σε σχέση με τα υπόλοιπα. Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα έχουμε χωρίσει το επίπεδο σε εννέα περιοχές με βάση τα εννέα σημεία – γεννήτριες Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ,Η,Θ,Ι Πως όμως βοηθούν τα διαγράμματα Voronoi στο παιχνίδι Chat Noir; Ας παρακολουθήσουμε την εξέλιξη ενός παιχνιδιού. Σημειώνουμε τις περιοχές Voronoi στην αρχική φάση του παιχνιδιού. Η γάτα θα κινηθεί προς το ΑΒ ή το ΑΗ Επιλέγουμε να τοποθετήσουμε εμπόδιο στο άνοιγμα ΑΒ – το σημείο Θ. Η γάτα αλλάζει κατεύθυνση θα πάει προς το ΑΗ ή το ΗΖ Επιλέγουμε να τοποθετήσουμε εμπόδιο στο άνοιγμα ΑΗ – το σημείο Ι. Η γάτα θα κινηθεί προς το ΗΖ.
  • 73. 67 Γ. Λαγουδάκος Παρατηρείστε ότι έχοντας καλή γεωμετρική αντίληψη ως προς την μικρότερη απόσταση της γάτας από τα υπάρχοντα ανοίγματα είμαστε σε θέση να προβλέψουμε τις κινήσεις της. Άρα να είμαστε ένα βήμα πιο μπροστά. Αν το εκμεταλλευτούμε θα νικήσουμε. Το θέμα είναι να μη κάνουμε σε κρίσιμο σημείο του παιχνιδιού λάθος, γιατί η γάτα δεν κάνει ποτέ λάθος επιλογές. Μη ξεχνάτε ότι έτσι είναι προγραμματισμένη! Το παιχνίδι μπορείτε να το παίξετε στην διεύθυνση https://codepen.io/ge1doot/details/yNGKRR Από τα πιο δημοφιλή επιτραπέζια παιχνίδια που παίζονται σε εξάγωνο γήπεδο είναι το Abalone. Πρώτο-κυκλοφόρησε το 1987 και από τότε έχουν πουληθεί πάνω από 4.5 εκατομμύρια κομμάτια. Στην αρχή οι δύο παίκτες τοποθετούν τα 14 πιόνια τους όπως στο διπλανό σχήμα. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι με ωθήσεις ο ένας παίκτης να πετάξει έξω από το γήπεδο τα πούλια του άλλου. Οι κινήσεις -προωθήσεις μπορούν να γίνουν με δύο τρόπους όπως φαίνεται δίπλα με ένα ή περισσότερα πούλια Εκτός από την προώθηση υπάρχει και η δυνατότητα πούλια ενός παίκτη να ωθήσουν τα πούλια του αντιπάλου με την προϋπόθεση ο επιτιθέμενος να υπερτερεί αριθμητικά. Τα πούλια ωθούνται προς ένα κενό χώρο και νικητής είναι ο πρώτος παίκτης που διώχνει έξι πούλια του αντιπάλου εκτός γηπέδου. Αν οι αντίπαλοι παίζουν αμυντικά τοποθετώντας τα πούλια τους σε σφηνοειδή παράταξη μπορεί το παιχνίδι να μη τελειώνει ποτέ, γι’ αυτό πάντα υπάρχει μία άτυπη συμφωνία να διεξαχθεί το παιχνίδι με επιθετικό πνεύμα. Στον παρακάτω ιστότοπο μπορείτε να παίξετε το παιχνίδι. https://lazymuttgames.com/games/Abalone/ Η εξέλιξη του παιχνιδιού με στρατηγική που βασίστηκε στα διαγράμματα Voronoi
  • 74. 68 Γ. Λαγουδάκος Mancala Η λέξη mancala προέρχεται από την αραβική λέξη naqala σημαίνει "να κινηθεί". Το παιχνίδι που εμφανίστηκε για πρώτη φορά στην Αφρική και αργότερα στην Ασία. Λέγοντας mancala εννοούμε μια ομάδα παιχνιδιών με παρόμοιους κανόνες και ταμπλό στο οποίο παίζεται. Έχουν καταγραφεί περί τα 800 παιχνίδια στην κατηγορία αυτή σε διάφορα σημεία και πολιτισμούς σε ολόκληρο τον κόσμο. Ας αναφέρουμε μερικά … Ali Guli Mane ή Pallanguzhi ή Omanu Guntalu στη Νότια Ινδία. Bao la Kiswahili στην Ανατολική και κεντρική Αφρική Gebeta ή Tigrigna στην Αιθιοπία και Ερυθραία. Kalah στην Βόρεια Αμερική. Oware ή Ashanti στην Καραϊβική. Ayo ή oware στη Δυτική Αφρική. Toguz korgool ή Toguz kumalak στην Κιργιζία και το Καζακστάν. Congklak στην Ινδονησία Dakon ή Sungka στις Φιλιππίνες Mangala στην Τουρκία Ορισμένοι ιστορικοί πιστεύουν ότι η Mancala είναι το παλαιότερο παιχνίδι στον κόσμο με βάση τα αρχαιολογικά ευρήματα που βρέθηκαν στην Ιορδανία και χρονολογούνται γύρω στο 6000 π.Χ. Τον 17ο αιώνα το συναντάμε στην Αγγλία αργότερα στην Βαλτική ως " Bohnenspiel ", στη Βοσνία, όπου ονομάζεται Ban-Ban και εξακολουθεί να παίζεται σήμερα. Βρέθηκε επίσης στη Σερβία και στην Ελλάδα ως "Mandoli" στις Κυκλάδες. Δύο πίνακες Mancala από τις αρχές του 18ου αιώνα βρίσκονται στο Κάστρο Weikersheim στη νότια Γερμανία. Στις ΗΠΑ παίζεται ως Warra ή Kalah ή Ouril. Το παιχνίδι μεταφέρθηκε στις ΗΠΑ από σκλάβους τον 17ο αιώνα από την περιοχή του Πράσινου Ακρωτηρίου.
  • 75. 69 Γ. Λαγουδάκος Στα περισσότερα παιχνίδια Mancala οι παίκτες ξεκινούν τοποθετώντας ένα συγκεκριμένο αριθμό σπόρων, που προβλέπονται για το συγκεκριμένο παιχνίδι, σε κάθε μία από τις κοιλότητες του ταμπλό. Στο διπλανό υπερσύνδεσμο θα δείτε μία απλή παραλλαγή του παιχνιδιού … Ανάλογα το παιχνίδι διαφέρουν οι κανόνες αλλά και τα ταμπλό. Για παράδειγμα το παιχνίδι Endodoi παίζεται σε πίνακες από 2×6 έως 2×10. Το παιχνίδι Chuba στη Μοζαμβίκη παίζεται σε ταμπλό 160 (4×40) οπών που απαιτούν 320 σπόρους, το παιχνίδι En Gehé στην Τανζανία έχει ταμπλό με 2×50=100 κοιλότητες και 400 σπόρους. Στην γειτονική μας Τουρκία παίζεται μία παραλλαγή του παιχνιδιού το Mangala. Παίζεται σε ταμπλό 2Χ6 ή 2Χ7 και σε κάθε κοιλότητα τοποθετούνται 5 πέτρες. Ο πρώτος παίκτης παίρνει όλα τα κομμάτια από μία κοιλότητα και τα ρίχνει ένα κάθε φορά στις επόμενες κοιλότητες κινούμενος αριστερόστροφα. Εάν το τελευταίο κομμάτι πέσει σε μία κοιλότητα που περιέχει 1 ή 3 τεμάχια, όλα τα κομμάτια συλλαμβάνονται από τον παίκτη και πάνε στη βάση του - Mangala. Επίσης, αν υπάρχει μια συνεχής σειρά κοιλοτήτων με 2 ή 4 κομμάτια πριν από εκείνη που συνέβη η σύλληψη, όλοι οι σπόροι σε αυτές τις κοιλότητες συλλαμβάνονται επίσης. Οι παίκτες μπορούν να συλλάβουν και από τις δύο πλευρές του ταμπλό. Το παιχνίδι τελειώνει όταν όλα τα κοιλώματα είναι κενά. Ο παίκτης που κατέλαβε τα περισσότερα κομμάτια κερδίζει το παιχνίδι.
  • 76. 70 Γ. Λαγουδάκος Mastermind Το Mastermind είναι ένα παιχνίδι για δύο παίκτες. Εφευρέθηκε το 1970 από τον Ισραηλινό Mordecai Meirowitz σύμβουλο τηλεπικοινωνιών. Ο πρώτος παίκτης (κωδικοποιητής) τοποθετεί σε βάση που δεν φαίνεται από τον δεύτερο παίκτη (αποκωδικοποιητής) σε τέσσερις θέσεις, ισάριθμα πιόνια-καρφάκια που μπορεί να είναι χρωματισμένα με διαφορετικό χρώμα ή κάποια από αυτά να είναι του ίδιου χρώματος. Υπάρχει η δυνατότητα επιλογής του χρώματος από μία παλέτα έξι χρωμάτων. Ο δεύτερος παίκτης έχει τη δυνατότητα 12 δοκιμών ώστε να ανακαλύψει τον συνδυασμό παίρνωντας όμως από τον πρώτο παίκτη κάποιες πληροφορίες κατά την διάρκεια του παιχνιδιού. Συγκεκριμένα μόλις ο 2ος παίκτης κάνει την πρώτη του εικασία ο 1ος παίκτης τοποθετεί : ένα μαύρο καρφί αν υπάρχει πιόνι σωστού χρώματος και τοποθετημένο στη σωστή θέση ή ένα λευκό καρφάκι αν υπάρχει πιόνι σωστού χρώματος τοποθετημένο σε λάθος θέση ή δε βάζει καθόλου καρφάκι στη περίπτωση όπου δεν υπάρχει πιόνι που αντιστοιχεί σε χρώμα του κρυμμένου συνδυασμού. Για παράδειγμα στην περίπτωση όπου η πρώτη δοκιμή δίνει δύο σωστά πιόνια σε χρώμα και θέση και ένα με σωστό μόνο χρώμα τότε ο 2ος παίκτης τοποθετεί 2 μαύρα και ένα άσπρο καρφάκι. Το ερώτημα είναι αν υπάρχει στρατηγική ώστε σε 12 κινήσεις να είμαστε σε θέση να ανακαλύψουμε τον κρυμμένο συδυασμό. Ας σημειωθεί ότι ο συνολικός αριθμός των δυνατών συνδυασμών είναι = 4 6 1296 διαφορετικοί τρόποι.
  • 77. 71 Γ. Λαγουδάκος Υπάρχουν αρκετοί αλγόριθμοι για να παίξει κάποιος το παιχνίδι αυτό. Ας παρακολουθήσουμε έναν και τη λογική του, χρησιμοποιώντας αντί για χρώματα γράμματα. Έστω ότι ο κρυμμένος συνδυασμός είναι ΒΕΑΖ, γράμματα επιλεγμένα από τα 6 πρώτα της αλφαβήτου Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ. Επίσης οι πληροφορίες που παίρνουμε από τον αντίπαλο ας δεχθούμε ότι θα είναι Σ αν είναι σωστό γράμμα και θέση και Σ αν είναι σωστό μόνο το χρώμα. Η στρατηγική … Α/Α Κίνηση Πληροφορίες Συμπέρασμα 1 ΑΑΑΑ Σ Υπάρχει ένα Α 2 ΑΑΒΒ Σ-Σ Υπάρχει ένα Β και ένα Α 3 ΑΑΓΓ Σ Δεν υπάρχει Γ 4 ΑΑΔΔ Σ Δεν υπάρχει Δ 5 ΑΑΕΕ Σ-Σ Υπάρχει ένα Α και ένα Ε 6 ΑΑΖΖ Σ-Σ Υπάρχει ένα Α και ένα Ζ σε σωστή θέση Μέχρι τώρα γνωρίζουμε : Υπάρχουν Α,Β,Ε,Ζ με το Ζ να είναι στην 3η ή 4η θέση. Επίσης το Α βρίσκεται στις θέσεις 3 ή 4 το Β στις 1 ή 2 και τέλος το Ε στις θέσεις 1 ή 2 7 ΕΒΑΖ Σ-Σ-Σ-Σ Έχουμε βάλει τα Ε,Β ή τα Α,Ζ στη σωστή θέση 8 ΕΒΖΑ Σ-Σ-Σ-Σ Τα Α και Ζ ήταν στην σωστή θέση 9 ΒΕΑΖ Σ-Σ-Σ-Σ Παρατηρείστε ότι με τον αλγόριθμο αυτόν βρίσκουμε πρώτα τα χρώματα (6 πρώτες κινήσεις) και μετά τη θέση. Υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι που όχι απλώς επιλύουν το παιχνίδι αλλά και με το μικρότερο αριθμό κινήσεων. Παρακολουθείστε το επόμενο video … Και παίξτε το παιχνίδι στον παρακάτω σύνδεσμο για να ανακαλύψετε την δικιά σας στρατηγική. https://www.archimedes-lab.org/mastermind.html
  • 78. 72 Γ. Λαγουδάκος ΑΛΛΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 1ος αλγόριθμος – βρίσκουμε πρώτα το χρώμα. ( στη θέση των χρωμάτων χρησιμοποιούμε αριθμούς από το 1 ως το 6) Σπαταλάμε έως και πέντε προσπάθειες αναγνώρισης όλων των χρωμάτων δημιουργώντας μονόχρωμες προσπάθειες. Υπάρχει και η περίπτωση να χρειαστούν μόνο τέσσερις προσπάθειες. Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα … Με τη στρατηγική αυτή βρίσκουμε τα 4 χρώματα αλλά υπάρχουν ακόμα 24 τουλάχιστον συνδυασμοί (εάν δεν υπάρχουν διπλά χρώματα) και δεν είναι εύκολο με κανένα τρόπο να σπάσουμε τον κώδικα σε 5 ή 6 προσπάθειες, ειδικά αν δεν έχουμε καμία ιδέα για τις θέσεις των χρωμάτων στον κώδικα!
  • 79. 73 Γ. Λαγουδάκος 2ος αλγόριθμος του Knuth. Το 1977, ο Donald Knuth απέδειξε ότι ο κωδικοποιητής μπορεί να λύσει το μοτίβο σε πέντε κινήσεις ή λιγότερες, χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο που μείωσε σταδιακά τον αριθμό των πιθανών μοτίβων. Ο αλγόριθμος λειτουργεί ως εξής: 1ο βήμα : Δημιουργήστε το σετ S των 1296 πιθανών συνδυασμών, 1111,1112, .., 6666. 2ο βήμα : Ξεκινήστε με την αρχική εικασία 1122 (ο Knuth δίνει παραδείγματα που δείχνουν ότι κάποιες άλλες πρώτες εικασίες όπως οι 1123, 1234 δεν κερδίζουν σε πέντε δοκιμές). 3ο βήμα : Παίξτε την εικασία για να λάβετε μια απάντηση από μαύρα και λευκά καρφιά. 4ο βήμα : Εάν η απάντηση είναι τέσσερα μαύρα καρφιά το παιχνίδι τελειώνει , και ο αλγόριθμος τερματίζεται, διαφορετικά … 5ο βήμα : Αφαιρέστε από το S οποιονδήποτε συνδυασμό που δεν θα έδινε την ίδια απάντηση εάν (η εικασία) ήταν ο ζητούμενος συνδυασμός. 6ο βήμα: Σχηματίστε μία νέα λίστα με τους συνδυασμούς που απομένουν και κατατάξτε τους κατά αύξουσα αριθμητική σειρά. Επιλέξτε ως νέα πρόβλεψη τον πρώτο αριθμό της νέας λίστας. Επαναλάβετε την διαδικασία από το 3ο βήμα και μετά. Σε 5 πέντε το πολύ προσπάθειες θα έχετε λύση τον γρίφο.
  • 80. 74 Γ. Λαγουδάκος 3ος αλγόριθμος – Συνδυαστικός αλγόριθμος. ( στη θέση των χρωμάτων χρησιμοποιούμε αριθμούς από το 1 ως το 6) Ας υποθέσουμε ότι ο κωδικοποιημένος συνδυασμός είναι ο 1364 Η εξέλιξη του παιχνιδιού : 1 3 6 5 Β W Συμπεράσματα 1 1 2 2 1 0 Οι πιθανοί αριθμοί θα είναι : 1 - - - ή - 1 - - ή - - 2 - ή - - - 2 Όπου στα κενά μπορούν να μπουν οι αριθμοί 3,4,5,6 με επανάληψη. Άρα με την 1η κίνηση από ένα σύνολο 1296 πιθανών συνδυασμών καταλήγουμε σε ένα σύνολο 3 4 4 4 4 256  = = συνδυασμών 3 3 4 4 1 0 Οι πιθανοί αριθμοί θα είναι : 3 - - - ή - 3 - - ή - - 4 - ή - - - 4 Όπου στα κενά μπορούν να μπουν οι αριθμοί 1,2,5,6 με επανάληψη, άρα άλλοι 256 συνδυασμοί. Συνδυάζοντας τα δύο αποτελέσματα καταλήγουμε στους εξής πιθανούς συνδυασμούς 1 3 - - ή 1 – 4 - ή 1 - - 4 ή 3 1 - - ή 1 4 - - ή - 1 – 4 ή 3 – 2 - ή - 3 2 - ή - - 2 4 ή 3 - - 2 ή - 3 – 2 ή - - 4 2 Όπου στα κενά μπορούν να μπουν οι αριθμοί 5 και 6 με επανάληψη, άρα μετά τις 2 πρώτες κινήσεις έχουμε καταλήξει σε 2 12 4 192  = συνδυασμούς. 5 5 6 6 1 1 Οι πιθανοί συνδυασμοί είναι : 5 6 - - ή 5 – 5 - ή 5 - - 5 ή 6 5 - - ή - 5 5 - ή - 5 – 5 ή - - 6 5 ή - 6 6 - ή 6 – 6 - ή - - 5 6 ή - 6 – 6 ή 6 - - 6
  • 81. 75 Γ. Λαγουδάκος Άλλοι 192 συνδυασμοί οι οποίοι με την βοήθεια των προηγούμενων περιπτώσεων καταλήγουμε στις εξής 24 ! δυνατές περιπτώσεις 1365 1545 1646 3525 3626 6524 1356 5145 6146 3552 3662 6542 3165 1554 1664 5325 6326 5624 3156 5154 6164 5352 6362 5642 Παρατηρείστε πως ομαδοποιούνται ανάλογα με τους αριθμούς που περιέχουν; Ως 4η επιλογή διαλέγουμε μία από αυτές ας υποθέσουμε την 5642 5 6 4 2 0 2 Στο σημείο αυτό χρειάζεται λίγη σκέψη … 1ο αφού ο αριθμός 5642 δεν είναι ο ζητούμενος απορρίπτονται και όλοι οι αριθμοί της ομάδας στην οποία ανήκει (;) Άρα καταλήγουμε στους αριθμούς : 1365 1545 1646 3525 3626 6524 1356 5145 6146 3552 3662 6542 3165 1554 1664 5325 6326 5624 3156 5154 6164 5352 6362 5642 Επίσης από το αποτέλεσμα έχουμε ότι το 5 δεν είναι στην 1η θέση , το 6 δεν είναι στην 2η θέση το 4 δεν είναι στην 3η θέση και το 2 δεν είναι στην 4η θέση άρα διώχνουμε και άλλους αριθμούς … 1365 1545 1646 3525 3626 6524 1356 5145 6146 3552 3662 6542 3165 1554 1664 5325 6326 5624 3156 5154 6164 5352 6362 5642 Παραμένουν οι αριθμοί : 1365 / 1356 / 3165 / 3156 / 1554 / 6164 / 3525 / 6326 / μόλις 8 αριθμοί ! Διώχνουμε όλους τους αριθμούς από αυτούς που έχουν το ίδιο αποτύπωμα με τον 5642. Δηλαδή έχουν 2 οποιουσδήποτε ίδιους αριθμούς στην ίδια θέση, δηλαδή …
  • 82. 76 Γ. Λαγουδάκος Ο αριθμός που ήδη έχουμε διώξει ο 1646 έχει το ίδιο αποτύπωμα με τον 5642 Δυστυχώς όλοι οι 8 αριθμοί που έχουν απομείνει έχουν διαφορετικό αποτύπωμα, οπότε όλοι είναι πιθανοί. Διαλέγουμε έναν από την ομάδα που έχει τους περισσότερους αριθμούς, έστω τον 3156 3 1 5 6 0 4 Άρα οι πιθανοί αριθμοί είναι οι 1365 / 1356 / 3165 Με τον 1356 να απορρίπτεται αφού η κατάληξη 56 δεν οδηγεί σε σωστή θέση. Άρα έχουμε 1365 ή 3165 με τον 3165 να απορρίπτεται για τον ίδιο λόγο Άρα ο κωδικοποιημένος συνδυασμός είναι ο 1365 Παρατηρείστε ότι λύσαμε τον γρίφο σε 5 κινήσεις! Ακολουθώντας τις 3 πρώτες κινήσεις – επιλογές πάντα ως τυποποιημένες κινήσεις θα διαπιστώσετε ότι πάντα μπορούμε να λύσουμε τον γρίφο σε 5 ή 6 το πολύ κινήσεις.
  • 83. 77 Γ. Λαγουδάκος Numerical puzzles Το Puzzle του Αριστοτέλη (;) Πρόκειται για ένα μαγικό εξάγωνο. Περιλαμβάνει 19 μικρότερα εξάγωνα αριθμημένα από το 1 ως το 19. Ο σκοπός του παζλ είναι να συνδυαστούν τα επιμέρους εξάγωνα για να φτιαχτεί ένα μεγαλύτερο στο οποίο το άθροισμα των αριθμών και προς τις τρεις διευθύνσεις να είναι σταθερό και ίσο με 38. Πρώτη αναφορά για το παζλ γίνεται το 1887 από τον Ernst von Haselberg Με τα ίδια στοιχεία μπορούμε να αναζητήσουμε ένα μαγικό εξάγωνο όπου οι αριθμοί και προς τις τρεις διευθύνσεις να έχουν τον ίδιο μέσο που είναι προφανώς ο αριθμός 10 Magic star Στο εμπόριο μπορείτε να βρείτε το magic star 26. Πρόκειται για ένα αριθμητικό παζλ που ο στόχος είναι να τοποθετήσουμε στις ειδικές εγκοπές που υπάρχουν στο περίγραμμα ενός εξάχτινου αστεριού τους αριθμούς 1 ως 12 ώστε να σχηματίζεται σε κάθε γραμμή το ίδιο αποτέλεσμα 26. Υπάρχουν 80 δυνατές περιπτώσεις για να το πετύχουμε οπότε είναι ένα εύκολο και διασκεδαστικό παζλ. Ένα μαγικό αστέρι περιέχει τους αριθμούς 1 ως 2ν όπου ν το πλήθος των αχτίνων του και η μαγική σταθερά που πάντα αναζητούμε είναι η Μ=4ν+2. Στα διπλανά σχήματα παρουσιάζονται τα μαγικά επτάχτινο και οκτάχτινο.
  • 84. 78 Γ. Λαγουδάκος Puzzle 15 Πρόκειται για το κλασικό παιχνίδι του είδους του εφευρέθηκε από τον Noyes Chapman το 1880. Σε ένα τετράγωνο 4Χ4 υπάρχουν δεκαπέντε τετραγωνάκια αριθμημένα από το 1 ως το 15, μία θέση είναι κενή ώστε να μπορούν τα υπόλοιπα να σύρονται οριζόντια ή κατακόρυφα. Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι τα τετραγωνάκια που αρχικά βρίσκονται σε τυχαίες θέσεις να διαταχθούν κατά τη σειρά της αρίθμησης όπως φαίνεται στην διπλανή εικόνα. Υπάρχει ένας σίγουρος και εύκολος αλγόριθμος επίλυσης του Puzzle όχι όμως και ο πιο σύντομος. Χ Χ → → → → → → → 1 2 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 7 9 9 14 10 13 13 Μπορείτε να εξασκηθείτε στον παρακάτω σύνδεσμο … http://lorecioni.github.io/fifteen-puzzle-game/ Ο Sam Loyd πρόσφερε μία «απλούστερη» εκδοχή του παιχνιδιού και την ονόμασε puzzle 14-15. Η διάταξη των πλακιδίων είναι σαν αυτή που παρουσιάζεται δίπλα. Παρατηρείστε ότι απλώς έχει αναδιαταχτεί το τετραγωνάκι 14 και το 15. Είχε μάλιστα προσφέρει και ένα βραβείο 1000 δολαρίων στον πρώτο που θα μπορούσε να λύσει τη σπαζοκεφαλιά αυτή. Χιλιάδες άνθρωποι ξενύχτισαν προσπαθώντας…
  • 85. 79 Γ. Λαγουδάκος « … μαγαζάτορες ξεχνούσαν να ανοίξουν τα μαγαζιά τους, ένας κληρικός στεκόταν ένα ολόκληρο βράδυ κάτω από μία λάμπα του δρόμου προσπαθώντας να θυμηθεί τον τρόπο με τον οποίο είχε λύσει το πρόβλημα, … κυβερνήτες ναυάγησαν τα πλοία τους και μηχανικοί οδήγησαν τα τρένα πέρα από τους σταθμούς, ένας εκδότης πήγε να φάει το μεσημεριανό του και τον βρήκαν περασμένα μεσάνυχτα να σπρώχνει μικρά κομμάτια πίτας γύρω από ένα πιάτο…» Απόσπασμα από το βιβλίο του Simon Singh « Το τελευταίο θεώρημα του Fermat» εκδόσεις Τραυλός Η συγκεκριμένη εκδοχή του παιχνιδιού ενώ φαίνεται απλούστερη από τις προηγούμενες, δεν έχει λύση ! Γιατί όμως δεν έχει λύση; Για να εξετάσουμε αν είναι επιλύσιμο ή όχι μία διάταξη ενός puzzle θα εισάγουμε έναν όρο, αυτόν του βαθμού διαταραχής. Ουσιαστικά είναι ένας αριθμός που μετρά πόσα ζεύγη από πλακάκια είναι σε λάθος σειρά. Π.χ. Στην αρχική διάταξη όλα τα πλακάκια βρίσκονται στη σωστή σειρά, άρα ο βαθμός διαταραχής είναι 0.
  • 86. 80 Γ. Λαγουδάκος Στο δεύτερο παράδειγμα τα ζεύγη που βρίσκονται σε λάθος σειρά, δηλαδή ένας μεγαλύτερος αριθμός βρίσκεται πίσω από έναν μικρότερο είναι : (3,2),(3,1),(2,1),(1,4). Άρα ο βαθμός διαταραχής είναι 4. Στην περίπτωση του puzzle 14-15, όπου η μόνη αναδιάταξη είναι μεταξύ των πλακών με αριθμούς 14 και 15, ο βαθμός διαταραχής είναι 1. Ας βρούμε το βαθμό διαταραχής και για το διπλανό Puzzle. Τα ζεύγη είναι (14,13),(14,12),(13,12), άρα Β.Δ (βαθμός διαταραχής)=3 Για να εξετάσουμε πότε ένα puzzle λύνεται, πρέπει να ξεκινήσουμε ανάποδα… (σχήμα 1ο) και να αλλάξουμε κάποια από τα πλακάκια… (σχήμα 2ο) και στο νέο puzzle να αλλάξουμε πάλι κάποια από τα πλακάκια του (σχήμα 3ο) . Τα δύο τελευταία puzzle είναι προφανώς επιλύσιμα αφού προέκυψαν από αναδιάταξη των πλακών ξεκινώντας από την αρχή, οπότε μία αντίστροφη σειρά μετακινήσεων θα οδηγήσει στη λύση του προβλήματος. Ας βρούμε τον βαθμό διαταραχής στα δύο τελευταία σχήματα . Για το 2ο σχήμα έχουμε ((15,11),(15,13),(15,14),(15,12),(13,12),(14,12) άρα Β.Δ=6. Για το 3ο σχήμα έχουμε (12,10),(12,11),(14,13),(14,10),(14,11),(15,13), (15,10), (15,11),(13,10),(13,11) άρα Β.Δ=10 3 2 1 4 6 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 σχήμα 1ο σχήμα 2ο σχήμα 3ο
  • 87. 81 Γ. Λαγουδάκος Αποδεικνύεται ότι οι διατάξεις που είναι επιλύσιμες ,που προκύπτουν δηλαδή μετά από αναδιατάξεις των πλακών από την αρχική μορφή, έχουν βαθμό διαταραχής άρτιο αριθμό. Για το λόγο αυτό οποιαδήποτε διάταξη με περιττό αριθμό βαθμού διαταραχής είναι μη επιλύσιμο puzzle. Ένα επίσης κλασικό «συρόμενο» παιχνίδι είναι και το Klotski Ανήκει στην κατηγορία των συρόμενων παιχνιδιών. Αποτελείται από 10 κομμάτια διαφόρων μεγεθών. Ένα από αυτά είναι συνήθως ζωγραφισμένο με διαφορετικό χρώμα και πρέπει να πάει σε μία συγκεκριμένη θέση. Όλα τα κομμάτια μετακινούνται οριζόντια ή κατακόρυφα. Το παιχνίδι εμφανίζεται για πρώτη φορά στην Ιαπωνία το 1935. Στην Αμερική έγινε ιδιαίτερα γνωστό από την δημοσίευση από τον Martin Gardner το Φεβρουάριο του 1964 στο Scientific American της βέλτιστης λύσης του puzzle που είναι 81 βήματα. Η κινέζικη εκδοχή ονομάζεται εναλλακτικά Huarong Path ή Huarong Trail , Είναι βασισμένο στο ιστορικό μυθιστόρημα “των τριών Βασιλείων” όπου το 208 ο στρατηγός Cao Cao κατορθώνει να περάσει το Huarong Path μετά την ήτα του στη μάχη των Red Cliffs. Η μορφή του στρατηγού είναι η δεσπόζουσα στο παζλ ενώ δευτερεύουσες μορφές απεικονίζονται στα άλλα κομμάτια του παζλ.
  • 88. 82 Γ. Λαγουδάκος Στην Ιαπωνική εκδοχή το παιχνίδι λέγεται hakoiri musume . Η βασική φιγούρα παριστάνει ένα "αθώο νεαρό κορίτσι, που δεν ξέρει τίποτα από τον κόσμο" παγιδευμένο σε ένα κτίριο. Το μεγαλύτερο κομμάτι ονομάζεται "κόρη", και άλλα μπλοκ δίνεται ονόματα άλλων μελών της οικογένειας (όπως ο πατέρας, η μητέρα και ούτω καθεξής). Ηλεκτρονικά μπορείτε να παίξετε το Klotski στη διεύθυνση … http://stavanger-guide.no/klotski.htm Safe cracker puzzle Είναι ένα puzzle που αποτελείται από τέσσερις ομόκεντρους δίσκους διαφορετικής αχτίνας, όπου είναι σημειωμένοι αριθμοί. Ο στόχος είναι να τοποθετηθούν οι δίσκοι με τέτοιο τρόπο ώστε οι αριθμοί που βρίσκονται στη κάθε μία από τις 16 αχτίνες που υπάρχουν να έχουν το ίδιο άθροισμα. Το puzzle πρωτοεμφανίστηκε το 1911 και έχει μία μόνο λύση που παρουσιάζεται στο διπλανό πίνακα.
  • 89. 83 Γ. Λαγουδάκος Peg solitaire Βρισκόμαστε στην εποχή του Λουδοβίκου 14ου περί το 1687 τότε σε ένα χαρακτικό της εποχής παρουσιάζεται η πριγκίπισσα του Soubise να παίζει ένα επιτραπέζιο παιχνίδι σε κυκλικό ταμπλό με μπίλιες. Την ίδια εποχή το λογοτεχνικό περιοδικό Mercure galant περιγράφει το must επιτραπέζιο της εποχής το peg solitaire … Το Peg solitaire (ή το Solo Noble ) είναι ένα επιτραπέζιο παιχνίδι για έναν παίκτη. Παίζεται σε στρογγυλό ταμπλό στο οποίο υπάρχουν 37 τρύπες και 36 μπάλες, συνήθως γυάλινες ή ξύλινες. Η κινήσεις που μπορούν να γίνουν είναι οριζόντιες ή κατακόρυφες και αποσκοπούν την υπερπήδηση μιας μπίλιας από κάποια άλλη, οπότε αυτόματα η μπίλια που υπερπηδήσαμε βγαίνει εκτός παιχνιδιού. Η κίνηση αυτή μπορεί να γίνει όταν οι δύο μπίλιες βρίσκονται σε γειτονικές θέσεις και αμέσως μετά υπάρχει κενή θέση. Το παιχνίδι τελειώνει όταν στο ταμπλό μείνει μία μόνο μπίλια. Το παιχνίδι διαδόθηκε στην Αγγλία και από εκεί στην Ινδία. Υπάρχουν αρκετές διαφορετικές εκδοχές του ανάλογα με το ταμπλό στο οποίο παίζεται. Υπάρχουν ταμπλό σε σχήμα σταυρού ή ακόμα σε σχήμα τριγώνου. Η λογική παραμένει η ίδια. Η πιο απαιτητική εξέλιξη του παιχνιδιού είναι εκείνη που απαιτεί η τελευταία μπίλια να βρεθεί τελικά στην κεντρική θέση.
  • 90. 84 Γ. Λαγουδάκος Υπάρχουν αρκετές στρατηγικές για να λυθεί το συγκεκριμένο παιχνίδι παρακάτω αναφέρουμε μερικές. Μη ξεχάσετε να δείτε και το video !
  • 91. 85 Γ. Λαγουδάκος Pente Το Pente είναι ένα παιχνίδι στρατηγικής για δύο ή περισσότερους παίκτες, το οποίο δημιουργήθηκε το 1977 από τον Gary Gabrel, στη Hideaway Pizza , στο Stillwater της Oklahoma. Οι πελάτες έπαιξαν το παιχνίδι σε καρό τραπεζομάντιλα ενώ περίμεναν να φτάσουν οι παραγγελίες τους. Μοιάζει με το ιαπωνικό παιχνίδι ninuki-renju , μια παραλλαγή του gomoku που παίζεται στο ίδιο ταμπλό με αυτό του go αλλά σε ένα πλαίσιο 19x19. Η λέξη Pente παράγεται από τον αριθμό 5 στα Ελληνικά γι’ αυτό και σε πολλές εκδόσεις του παιχνιδιού υπάρχουν αρχαιοελληνικές διακοσμήσεις. Οι παίκτες παίζουν εναλλάξ και τοποθετούν πέτρες του χρώματος τους (λευκές και μαύρες) στις κορυφές του πλέγματος. Ο λευκός ανοίγει το παιχνίδι. Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι να σχηματίσει κάποιος από τους δύο παίκτες πρώτος πέντε πέτρες σε οριζόντια ή κατακόρυφή ή διαγώνια θέση. Υπάρχει η απλή εκδοχή του παιχνιδιού όπου απλώς τοποθετούνται οι πέτρες εναλλάξ και η στρατηγική επικεντρώνεται στο να αποτραπεί να σχηματιστεί με οποιονδήποτε τρόπο σε κάποιο μέρος του ταμπλό τετράδα. Η εκδοχή αυτή είναι παρόμοια με τη γνωστή τρίλιζα ή το connect four. Υπάρχει και η επιλογή να συλλαμβάνονται πέτρες του αντιπάλου. Αυτό συμβαίνει όταν δύο πέτρες του αντιπάλου βρεθούν μεταξύ δύο δικών σου. Για παράδειγμα αν υπάρχει στο ταμπλό η διάταξη ΧΟΟ_ και μετά γίνει ΧΟΟΧ οι δύο πέτρες Ο απομακρύνονται από το
  • 92. 86 Γ. Λαγουδάκος παιχνίδι. Αν όμως υπάρχει η διάταξη ΧΟ_Χ τότε επιτρέπεται να γίνει ΧΟΟΧ χωρίς να απομακρύνονται οι δύο πέτρες τύπου Ο. Επίσης μπορεί να συμφωνηθεί νικητής να είναι εκείνος που σχηματίζει πεντάδα ή έχει συλλάβει δέκα πιόνια του αντιπάλου. Το Pente μπορεί επίσης να παιχτεί από τέσσερα άτομα, που ανά δύο ενεργούν ως εταίροι. Μπορεί επίσης να παιχτεί με πολλούς ανεξάρτητους παίκτες όταν κάθε παίκτης έχει τις δικές του διαφορετικές έγχρωμες πέτρες. Για να υπάρχει ισορροπία και να είναι δίκαιο το παιχνίδι ο 1ος παίκτης παίζει υποχρεωτικά την πρώτη πέτρα στο κέντρο αλλά την επόμενη να είναι τουλάχιστον τρεις διασταυρώσεις μακριά από το κέντρο του ταμπλό. Υπάρχει η δυνατότητα να παίξετε το παιχνίδι στην παρακάτω διεύθυνση … https://www.classicgame.com/game/Pente Παρόμοιο παιχνίδι είναι το Reversi ή Othello. Το Othello παίζεται πάνω σε ένα ταμπλό που αποτελείται από 64 τετράγωνα. Τα πιόνια είναι συνολικά 64 και έχουν σχήμα δίσκου. Η μια όψη τους είναι λευκή και η άλλη μαύρη. Κάθε παίκτης παίρνει 32 πιόνια και αποφασίζεται πιο χρώμα θα αντιπροσωπεύει τον καθένα. Στο κέντρο του ταμπλό τοποθετούνται 4 πιόνια όπως φαίνεται δίπλα. Η βασική ιδέα του παιχνιδιού είναι το «γύρισμα» των πουλιών του αντίπαλου χρώματος. Όταν για παράδειγμα ένα λευκό πιόνι τοποθετηθεί στην ίδια γραμμή (οριζόντια- κατακόρυφα ή διαγώνια) με ένα άλλο λευκό πιόνι, τότε όσα μαύρα πιόνια παρεμβάλλονται μεταξύ τους «γυρίζουν» και γίνονται λευκά. Κάθε παίκτης στη σειρά του τοποθετεί το πιόνι πάντα από τη όψη του χρώματος που τον εκπροσωπεί. Το πιόνι τοποθετείται με τρόπο ώστε υποχρεωτικά να «γυρίζει» τουλάχιστον ένα πιόνι του αντιπάλου. Αν αυτή η δυνατότητα έχει αποκλειστεί, τότε ο παίκτης χάνει τη σειρά του. Σκοπός του παιχνιδιού είναι η επικράτηση του ενός χρώματος έναντι του άλλου. Όταν έχουν τοποθετηθεί όλα τα πούλια πάνω στο ταμπλό, τότε ο κάθε παίκτης μετράει τα πούλια με το δικό του χρώμα. Νικητής είναι εκείνος που έχει τα περισσότερα πούλια. Παίξτε διαδικτυακά στον διπλανό σύνδεσμο https://playpager.com/play-reversi/index.html
  • 93. 87 Γ. Λαγουδάκος Rubik’s Cube Ο κύβος του Rubik είναι ένα 3-D παζλ που εφευρέθηκε το 1974 από έναν ουγγρικό γλύπτη και καθηγητή αρχιτεκτονικής Ernő Rubik . Στην αρχή το παιχνίδι λεγόταν Magic Cube. Tο 1980 παιχνίδι χαρακτηρίστηκε ως το καλύτερο παιχνίδι του έτους. Από τότε έχουν πουληθεί πάνω από 400.000.000 κύβοι παγκοσμίως και θεωρείται ευρέως ότι αποτελεί το πιο πετυχημένο παιχνίδι στον κόσμο. Στους κύβους που υπάρχουν στο εμπόριο η κάθε έδρα είναι χρωματισμένη και με διαφορετικό χρώμα. Η λευκή έδρα είναι απέναντι από την κίτρινη, η μπλε απέναντι από την πράσινη και τέλος η πορτοκαλί απέναντι από την κόκκινη. Το κόκκινο, το λευκό και το μπλε είναι διατεταγμένα με τη σειρά κατά δεξιόστροφη διάταξη. Ένας εσωτερικός μηχανισμός περιστροφής επιτρέπει σε κάθε έδρα να γυρίζει ανεξάρτητα, αναμιγνύοντας έτσι τα χρώματα. Το παζλ θεωρείται ότι έχει λυθεί όταν κάθε έδρα έχει μόνο ένα χρώμα. Τον Μάρτιο του 1981 το βιβλίο Guinness Book of World Records διοργάνωσε στο Βερολίνο πρωτάθλημα ταχύτητας για το παιχνίδι αυτό. Τον ίδιο μήνα ο κύβος του Rubik κοσμεί το εξώφυλλο του περιοδικού Scientific American. Το 1981 φιλοξενούνται στην εφημερίδα Washington Post και στο περιοδικό New Scientist διθυραμβικά αφιερώματα. Αρχίζουν να κυκλοφορούν ειδικά βιβλία για την επίλυση του παζλ το βιβλίο «the Simple Solution to Rubik's Cube» του James G. Nourse κάνει πάνω από 6.000.000 πωλήσεις. Το 1981 το Μουσείο Σύγχρονης Τέχνης στη Νέα Υόρκη παρουσίασε έναν κύβο του Rubik, και στην Παγκόσμια Έκθεση του 1982 στο Knoxville, του Tennessee παρουσιάστηκε ένας κύβος έξι ποδιών. Την ίδια χρονιά το αμερικάνικο κανάλι ABC παρουσιάζει σειρά κινούμενων σχεδίων με τον τίτλο Rubik, το Amazing Cube. Τον Ιούνιο του 1982 πραγματοποιήθηκε στη Βουδαπέστη το 1ο παγκόσμιο πρωτάθλημα Rubik's Cube.
  • 94. 88 Γ. Λαγουδάκος Οι κύβοι του Rubik συνέχισαν να διατίθενται στην αγορά και να πωλούνται καθ’ όλη τη διάρκεια των δεκαετιών '80 και '90 ,αλλά το ενδιαφέρον για τον κύβο άρχισε ξανά να αυξάνεται στις αρχές της δεκαετίας του 2000. Το 2003 διοργανώνεται στο Τορόντο το πρώτο παγκόσμιο τουρνουά ταχύτητας με 83 συμμετοχές και το 2004 δημιουργείται το World Cube Association. Στο YouTube αρχίζουν να εμφανίζονται video με τεχνικές επίλυσης του παζλ. Μετά τη λήξη του διπλώματος ευρεσιτεχνίας του Rubik το 2000, εμφανίστηκαν και άλλες μάρκες κύβων, ιδίως από τις κινεζικές εταιρείες. Το 1981, ο δεκατριάχρονος Patrick Bossert ανέπτυξε μια λύση για την επίλυση του κύβου, μαζί με μια συμβολική ονοματολογία, σχεδιασμένη για να είναι εύκολα κατανοητή από τους αρχάριους. Το 1997, ο Denny Dedmore δημοσίευσε μια λύση που την εξηγούσε χρησιμοποιώντας διαγραμματικά εικονίδια που αντιπροσωπεύουν τις κινήσεις που πρέπει να γίνουν. Το παγκόσμιο ρεκόρ για την επίλυση ενός κύβου Rubik's 3×3×3 είναι 3,47 δευτερόλεπτα, και πραγματοποιήθηκε από τον Κινέζο Du Yusheng στις 24 Νοεμβρίου 2018 στο Wuhu Open. Η ταχύτερη λύση με το ένα χέρι παγκοσμίως είναι 6,88 δευτερόλεπτα και έγινε τον Αυστραλό Feliks Zemdegs στις 10 Μαΐου 2015. Το παγκόσμιο ρεκόρ των λίγων κινήσεων για την επίλυση ενός κύβου είναι οι 16 κινήσεις το οποίο πέτυχε ο Ιταλός Sebastiano Tronto στις 15 Ιουνίου 2019. Η ταχύτερη επίλυση του Cub Rubik από ειδικά προγραμματισμένο κομπιούτερ πραγματοποιήθηκε από το Rubpin's Contraption, ένα ρομπότ προγραμματισμένο από τους Ben Katz και Jared Di Carlo με χρόνο επίλυσης 0,38 δευτερολέπτων. Υπάρχουν πολλές παραλλαγές του αυθεντικού παζλ. Υπάρχουν κύβοι 2X2X2, 4Χ4Χ4, 5Χ5Χ5 μέχρι και 17Χ17Χ17 ! Εκτός από κύβο έχουν χρησιμοποιηθεί και διάφορα άλλα στερεά όπως τετράεδρο (Pyraminx), οκτάεδρο (Skewb Diamond), δωδεκάεδρο (Megaminx), εικοσάεδρο (Dogic).
  • 95. 89 Γ. Λαγουδάκος Υπάρχουν επίσης παζλ που αλλάζουν σχήμα όπως το φίδι Rubik και το Square One . Μία από τις νεότερες παραλλαγές 3×3×3 είναι το TouchCube του Rubik που διαθέτει κουμπιά για συμβουλές και αυτο-επίλυση, και περιλαμβάνει μια βάση φόρτισης.
  • 96. 90 Γ. Λαγουδάκος Ο πρωτότυπος (3×3×3) Rubik's Cube έχει οκτώ γωνίες ,δώδεκα ακμές και 27 κύβους τοποθετημένους ώστε να σχηματίζουν έναν μεγαλύτερο κύβο με έξι έδρες. Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν 43,252,003,274,489,856,000 δυνατές αναδιατάξεις των μικρότερων κύβων στρέφοντάς τους κατάλληλα. Αυτό σημαίνει πως, αν θεωρήσουμε πως απαιτείται ένα δευτερόλεπτο για κάθε διαφορετική κίνηση, ο χρόνος που χρειάζεται για να δει κανείς όλες τις πιθανές διατάξεις είναι 1.4 τετράκις εκατομμύρια έτη. Κάθε έδρα μπορεί να κινηθεί κατά 90ο δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα ή κατά 180ο, οπότε το σύνολο των δυνατών κινήσεων είναι 6(έδρες)Χ3(κινήσεις)=18κινήσεις. Στην προσπάθεια να βρεθεί ένας τρόπος λύσης του γρίφου έχουν αναφερθεί πολλοί τρόποι συμβολισμού των διαφόρων κινήσεων, εδώ θα αναφέρουμε την πιο διαδεδομένη ονοματολογία των κινήσεων των εδρών του κύβου. Καταρχήν έχουμε τις δεξιόστροφες κατά 90ο περιστροφές των 6 εδρών του τις οποίες τις συμβολίζουμε με R,L,U,D,F,B. Τα γράμματα συμβολίζουν ταυτόχρονα και τις έδρες δηλαδή : R η δεξιά έδρα (Right) , L η αριστερή (Left), U επάνω (Up), D κάτω (Down) , F μπροστινή (Front), B η πίσω (Buck) όπως βλέπουμε τις έδρες κρατώντας τον κύβο στα χέρια μας. Οι αριστερόστροφες κατά 90ο στροφές των εδρών συμβολίζονται αντίστοιχα ως : R’ , L’ , U’ , D’ , F’ , B’ . Τέλος οι κατά 180ο περιστροφή τω εδρών συμβολίζεται ως : R2 , L2 , U2 , D2 , F2 , B2 . Όταν θέλουμε να δηλώσουμε περιστροφή δύο πλευρών ταυτόχρονα τότε γράφουμε : r ή r’ όταν θέλουμε να στρέψουμε δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα τις δύο δεξιές πλευρές, όπως βλέπουμε τον κύβο και αντίστοιχα l , l’ , u , u’ , d , d’ , f , f’ , b ,b’. Η περιστροφή μόνο των μεσαίων πλευρών συμβολόζεται με M, M’ , S , S’ , E και E’ Περιστροφή ολόκληρου του κύβου με σκοπό την αλλαγή του προσανατολισμού του συμβολίζεται με x,x’,y,y’,z,z’.
  • 97. 91 Γ. Λαγουδάκος Ένα από τα πρώτα ερωτήματα που τέθηκαν σχετικά με τον κύβο ήταν … ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός κινήσεων που χρειάζονται για να λυθεί ο γρίφος; Από το 1980 ο καθηγητής David Singmaster είχε κάνει μια εικασία πως το μέγιστο πλήθος κινήσεων είναι 20, και το 1995 αποδείχτηκε ότι υπάρχει κύβος που χρειάζεται τόσες κινήσεις για να λυθεί ενώ νωρίτερα την ίδια χρονιά αποδείχτηκε ότι αυτό το νούμερο δεν ξεπερνά το 29. Το 2007, οι Daniel Kunkle και Gene Cooperman χρησιμοποιώντας υπολογιστικές μεθόδους απέδειξαν ότι ένας 3×3×3 Rubik Cube μπορεί να λυθεί σε 26 κινήσεις ή λιγότερες. Το 2008, ο Tomas Rokicki μείωσε τον αριθμό σε 22 κινήσεις. Το 2010 μια ομάδα ερευνητών με επικεφαλής τον Morley Davidson του Πανεπιστημίου του Kent State University , με τη βοήθεια υπολογιστικών συστημάτων, σε συνεργασία με τους Tomas Rokicki, Herbert Kociemba και John Dethridge (μηχανικός στη Google ) απέδειξε ότι κάθε διάταξη του κύβου του Rubik μπορεί να λυθεί το πολύ με 20 κινήσεις. Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε και αριθμός του θεού από τους λάτρεις του παιχνιδιού. Η ομάδα ουσιαστικά έλυσε κάθε θέση του Rubik's Cube - και τις 43.252.003.274.489.856.000 θέσεις -χρησιμοποιώντας νέους αλγορίθμους επίλυσης του παιχνιδιού και έδειξε ότι καμία θέση δεν απαιτεί περισσότερες από 20 κινήσεις. Ένας αλγόριθμος επίλυσης του παζλ είναι αυτός που περιγράφεται παρακάτω, αν τον εκτελέσετε πιστά θα έχετε λύσει τον κύβο του Rubik ! https://www.youtube.com/watch?time_continue=79&v=rmnSpUgOvyI&feature=emb_logo https://www.aggouria.net/pos-na-liso-kivo-tou-rubik/ https://www.neolaia.gr/2019/05/24/pos-na-liseis-ton-kibo-tou-rubik-se-liga-lepta/ http://ludusmentis.blogspot.com/2012/04/rubik-3x3.html
  • 98. 92 Γ. Λαγουδάκος Sam Loyd Puzzles Samuel Loyd (1841-1911), Αμερικάνος σκακιστής, συγγραφέας, γνωστός για τα μαθηματικά παζλ που ο Martin Gardner τα έκανε ιδιαίτερα γνωστά στους κύκλους της Μαθηματικής κοινότητας δημοσιεύοντάς τα στο Scientific American . Μετά τον θάνατό του κυκλοφόρησε το βιβλίο Cyclopedia of 5000 Puzzles (1914). Προς τιμή του μεγάλου δασκάλου των «διασκεδαστικών μαθηματικών» θα αναφέρουμε κάποια από τα παζλ που έφτιαξε. Get off the earth Πρόκειται για μία μηχανική οφθαλμαπάτη που πρωτοπαρουσιάστηκε το 1896. Το όλο puzzle αποτελείται από δύο ομόκεντρους δίσκους όπου ο μικρότερος έχει την δυνατότητα να στρέφεται ανεξάρτητα από τον άλλον. Το σύστημα των δύο δίσκων είναι σχεδιασμένο ώστε να προσομοιάζει με την γη. Περιμετρικά είναι σχεδιασμένοι επίσης και 13 πολεμιστές κινέζοι. Όταν στραφεί για λίγο ο μικρότερος δίσκος ως δια μαγείας ο ένας κινέζος εξαφανίζεται, τώρα υπάρχουν 12 πολεμιστές. Πως γίνεται αυτό;
  • 99. 93 Γ. Λαγουδάκος Trick donkeys Το Donkeys Trick εφευρέθηκε από τον Sam Loyd το 1858 και τυπώθηκε σε εκατομμύρια κάρτες. Η έγχρωμη εκδοχή του παζλ είναι αυτή που παρουσιάζουμε δίπλα. Η κάρτα δείχνει δύο γαϊδούρια, το κεντρικό μέρος των οποίων παραμείνει κενό. Το τρίτο μέρος της κάρτας είναι οι αναβάτες, και ο στόχος του παζλ είναι να κόψουμε κατάλληλα τα τρία μέρη της κάρτας και να τα ανασυνθέσουμε ώστε να φαίνεται ότι οι αναβάτες είναι πάνω στα γαϊδούρια. Την λύση του παζλ την παρουσιάζουμε σε διαδοχικές φάσεις στα παρακάτω σχήματα. Το μυστικό είναι η καταρχήν αντιμετάθεση των δύο γαϊδουριών και η επανένωση των τριών κομματιών. Η οπτική απάτη του παζλ είναι ότι τα νέα γαϊδούρια φτιάχνονται από μισά μέρη των αρχικών.
  • 100. 94 Γ. Λαγουδάκος Back from the Klondike Το παζλ αυτό φτιάχτηκε από τον Sam Loyd το 1898. Οι κανόνες και ο σκοπός του είναι απλός. Ξεκινήστε από το κέντρο και μετακινηθείτε τρία τετράγωνα σε οποιαδήποτε από τις οκτώ κατευθύνσεις. Θα βρεθείτε σε ένα αριθμημένο τετράγωνο. Ο αριθμός αυτός αντιπροσωπεύει το μήκος της επόμενης «πορείας» σας, η οποία μπορεί να είναι πάλι σε οποιαδήποτε από τις οκτώ κατευθύνσεις. Συνεχίστε με αυτόν τον τρόπο μέχρι να φτάσετε στο έξοδο του λαβύρινθου. Το πρωτότυπο παζλ, όπως δημοσιεύτηκε στο New York Journal and Advertiser , είχε πολλές λύσεις. Το παρακάτω παζλ έχει μόνο μία μπορείτε να την βρείτε; Η λύση • 3 τετράγωνα νοτιοδυτικά έως 4. • 4 τετράγωνα νοτιοδυτικά έως 6. • 6 τετράγωνα βορειοανατολικά έως 6. • 6 τετράγωνα βορειοανατολικά έως 2. • 2 τετράγωνα βορειοανατολικά έως 5. • 5 τετράγωνα νοτιοδυτικά έως 4. • 4 τετράγωνα νοτιοδυτικά έως 4. • 4 τετράγωνα νοτιοδυτικά έως 4. 4 τετράγωνα νοτιοανατολικά έξοδος
  • 101. 95 Γ. Λαγουδάκος The Hidden Star Puzzle Puzzle παρατηρητικότητας. Μπορείτε να βρείτε στο διπλανό σχήμα το κρυμμένο αστέρι; Η λύση Για να καταλάβουμε την αισθητική των puzzle του τέλους του 19ου αιώνα παρουσιάζουμε ορισμένα από τα πιο χαρακτηριστικά παζλ όπως είχαν δημοσιευθεί. Πρόκειται για το London Tower Puzzle όπου είναι ένα κλασικό πρόβλημα διαδρομών. Θυμίζει αρκετά τα προβλήματα σχετικά με Euler και Hamilton path. Γεωμετρικό πρόβλημα αρίθμησης με τίτλο Tea Puzzles
  • 102. 96 Γ. Λαγουδάκος Γεωμετρικό παζλ σύνθεσης μιας σκακιέρας που έσπασε με τίτλο The Checker Board Puzzle The Canals on Mars ένα παζλ διαδρομών. The Paris maze, ένας λαβύρινθος αναζητά αλγόριθμο επίλυσης.
  • 103. 97 Γ. Λαγουδάκος Sudoku Το Sudoku είναι ένα παιχνίδι – παζλ όπου ο στόχος είναι να γεμίσουν όλα τα κουτάκια ενός πίνακα 9Χ9 με ψηφία έτσι ώστε κάθε στήλη, κάθε σειρά και καθένα από τα εννέα υποσυστήματα – πίνακες 3Χ3 που συνθέτουν τον πίνακα 9Χ9 να περιέχουν όλα τα ψηφία από το 1 έως το 9. Μερικά κουτάκια είναι ήδη συμπληρωμένα ώστε να υπάρχει μία μόνο λύση. Το sudoku επινοήθηκε από τον Αμερικανό Αρχιτέκτονα Howard Garns (1905– 1989) το 1979 και δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά από την εταιρεία Dell Magazines με το όνομα "Number Place". Το 1986 προβάλλεται στην Ιαπωνία από την εταιρεία παζλ Nikoli και γίνεται δημοφιλές με το όνομα sudoku που σημαίνει ενιαίο ψηφίο. Το 2004 εμφανίζεται σε στήλη στους Times του Λονδίνου. Αντί αριθμών μπορούν να χρησιμοποιηθούν οποιαδήποτε σύμβολα. Έχουν δημιουργηθεί γρίφοι με βάση κινέζικα σύμβολα, με το λατινικό αλφάβητο ή ακόμα και με χρώματα. Πρόγονος του παιχνιδιού μπορεί να θεωρηθεί ένα παζλ που πρώτο - παρουσιάστηκε στην Γαλλική εφημερίδα La France το 1895 με τις οδηγίες : "Χρησιμοποιήστε τους αριθμούς 1 έως 9 εννέα φορές για να ολοκληρώσετε το πλέγμα με τέτοιο τρόπο ώστε οι οριζόντιες, κάθετες και δύο κύριες διαγώνιες γραμμές όταν προσθέτουν να δίνουν το ίδιο άθροισμα." Η μανία του sudoku διαδόθηκε παντού και αναπτύχθηκαν διάφορες εναλλακτικές μορφές του παιχνιδιού όπως παρουσιάζονται … Sudoku 4X4 ιδιαίτερο sudoku 6X6 samurai sudoku
  • 104. 98 Γ. Λαγουδάκος sudoku 9X9 με γράμματα didoku 8X8 nonomino sudoku Hypersudokus triangular sudoku
  • 105. 99 Γ. Λαγουδάκος Killer Sudoku puzzle sudoku classic ξύλινα παιχνίδια sudoku
  • 106. 100 Γ. Λαγουδάκος Το δυσκολότερο Sudoku του κόσμου δημιούργησε ένας 47χρονος μαθηματικός από την Φινλανδία. Ο Dr Arto Inkala ξόδεψε τρεις μήνες για να το ολοκληρώσει και καλεί τους λάτρεις του «αθλήματος» να προσπαθήσουν να το λύσουν, αν και όπως δήλωσε στην εφημερίδα Sun, «για να μπορέσει να το καταφέρει κάποιος αυτό χωρίς βοήθεια θα χρειαστεί τουλάχιστον...μερικές εβδομάδες». Δεν έχετε παρά να δοκιμάσετε … Τα Μαθηματικά του Sudoku ! Γύρω από το παιχνίδι αυτό έχουν αναπτυχθεί ενδιαφέροντα θεωρήματα αλλά και εικασίες, για παράδειγμα ένα ερώτημα που απασχόλησε την μαθηματική κοινότητα είναι : «ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος αριθμών που χρειάζεται να τοποθετηθεί σε ένα Sudoku, ώστε το παιχνίδι να έχει μοναδική λύση;». Από καιρό είχε διατυπωθεί η εικασία ότι για να έχει ένα πρόβλημα Sudoku μοναδική λύση χρειάζεται να δίνονται τουλάχιστον 17 συμπληρωμένα τετραγωνάκια. Μία ομάδα των ιρλανδών μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο του Δουβλίνου απέδειξε ότι αυτή η υπόθεση είναι σωστή. Η στρατηγική που ακολούθησαν έφερε για μία άλλη φορά στην επιφάνεια το ερώτημα τι είναι απόδειξη; , αφού η όποια δικαιολόγηση έγινε με χρήση ενός υπέρ-υπολογιστή. Υπάρχουν 5.472.730.538 περιπτώσεις να ταξινομηθούν κατάλληλα τα 9 ψηφία ώστε να σχηματίσουμε ένα Sudoku. Για να αποδείξουν ότι δίνοντας μόνο 16 από αυτά δεν είναι δυνατόν να λυθεί μονοσήμαντα το παιχνίδι έπρεπε οι μαθηματικοί να κάνουν ένα
  • 107. 101 Γ. Λαγουδάκος τεράστιο αριθμό δοκιμών αφού είχαν μπροστά τους 81 33594090947249085 16   =     συνδυασμούς! Η ομάδα έγραψε ένα πρόγραμμα που το «έτρεξε» σε έναν υπολογιστή Silicon Graphics, αποτελούμενο από 640 επεξεργαστές Intel Xeon, για 12 μήνες, από τον Ιανουάριο ως τον Δεκέμβριο του 2011. Το πρόγραμμα εξέταζε κάθε μία από τις 5.472.730.538 δυνατές περιπτώσεις αν μπορεί να λυθεί μονοσήμαντα δίνοντας ως δεδομένα μόνο 16 αριθμούς. Το αποτέλεσμα δικαίωσε την εικασία, οπότε πλέον αποδείχθηκε (;) ότι χρειάζονται τουλάχιστον 17 συμπληρωμένα κουτάκια σε ένα παιχνίδι Sudoku ώστε αυτό να έχει μοναδική λύση. Το πραγματικά ενδιαφέρον στην όλη ιστορία είναι ότι η μεθοδολογία με την οποία δούλεψαν οι Ιρλανδοί μαθηματικοί βρήκε εφαρμογή και σε τομείς αρκετά πιο χρήσιμους. Εφαρμόστηκε στον προγραμματισμό των συσκευών ανάλυσης DNA στο Cold Spring Harbour Laboratory (CSHL) στο Long Island της Νέας Υόρκης ονομάζοντας την συγκεκριμένη μεθοδολογία DNA-Sudoku. Για περισσότερες πληροφορίες : https://www.scientificamerican.com/article/dna-sudoku/ Ένα δεύτερο ερώτημα που τίθεται είναι Πόσα «διαφορετικά» sudoku μπορούμε να πάρουμε από ένα μόνο αρχικό sydoku; Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το sudoku Αν αντιμεταθέσουμε τους αριθμούς 1 και 2 θα πάρουμε το διπλανό που είναι ένα νέο sudoku.
  • 108. 102 Γ. Λαγουδάκος Υπάρχουν 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9! 362.880         = = τέτοιες διαφορετικές αντιμεταθέσεις Για παράδειγμα αν εκτελέσουμε την αντιμετάθεση : 1 1, 2 4, 3 3, 4 6, 5 7, 6 5, 7 8, 8 9, 9 2 → → → → → → → → → θα πάρουμε ένα νέο sudoku : Ένας άλλος τρόπος να πάρουμε ένα «διαφορετικό» sudoku είναι να αντιμεταθέσουμε στήλες, για παράδειγμα, στο παρακάτω σχήμα έχουμε δύο διαφορετικά sudoku με μία απλή αντιμετάθεση της 1ης με την 2η στήλη. Πόσες τέτοιες αντιμεταθέσεις μπορούμε να κάνουμε; Εδώ πρέπει να είμαστε προσεκτικοί γιατί μπορούμε να αντιμεταθέσουμε στήλες που ανήκουν στο ίδιο τετράγωνο, άρα υπάρχουν 6 αντιμεταθέσεις των 3 πρώτων στηλών – μία εικόνα για όσα λέω δίνει το παρακάτω σχήμα
  • 109. 103 Γ. Λαγουδάκος Οπότε συνολικά 3 6 6 6 6   = δυνατότητες αφού 6 περιπτώσεις αντιμεταθέσεων υπάρχουν ανάμεσα στις 4η-5η-6η στήλη και άλλες 6 για τις αντιμεταθέσεις των 7η-8η-9η στήλη. Όμως έχουμε και άλλες 6 δυνατότητες αντιμεταθέσεων ολόκληρων των τριών ζωνών και όχι μεμονωμένα των 9 στηλών, δηλαδή υπάρχει και η εξής δυνατότητα : Άρα συνολικά υπάρχουν και άλλες 4 6 1296 = περιπτώσεις Λόγω της συμμετρίας που έχει το Sudoku ότι μπορούμε να κάνουμε με τις στήλες μπορούμε να κάνουμε και με τις γραμμές, άρα υπάρχουν και άλλες 4 6 1296 = περιπτώσεις «νέων» sudoku που προκύπτουν από αντιμεταθέσεις γραμμών. Λοιπόν, τελειώσαμε; Όχι βέβαια αφού μπορούμε επίσης να περιστρέψουμε τα sudoku κατά 90 o και να προκύψει ένα νέο. Για παράδειγμα παρατηρείστε … Πως μία απλή περιστροφή δημιουργεί ένα νέο αποτέλεσμα… Άλλες περιστροφές, για παράδειγμα κατά 180ο ή κατά 90ο αριστερόστροφα δεν θα δώσουν άλλα sudoku αφού πρόκειται για καταστάσεις που έχουν προσμετρηθεί με τις αναδιατάξεις των γραμμών ή στηλών. Άρα τελικά πόσα «νέα» sudoku φτιάχνουμε από μόλις ένα; Φτιάχνουμε 4 4 9! 6 6 2 1.218.998.108.160    = νέα παζλ. Είναι ένας πραγματικά πολύ μεγάλος αριθμός που αν ο εκτυπωτής σας έκανε ένα δευτερόλεπτο να τυπώσει κάθε ψηφίο του θα χρειαζόμαστε σχεδόν 40.000 χρόνια για να τυπωθεί και το χαρτί που θα χρησιμοποιούσαμε θα έφθανε το ύψος του Έβερεστ.
  • 110. 104 Γ. Λαγουδάκος To Kenken ή KenDoku Είναι ένα puzzle αριθμητικής και λογικής που εφευρέθηκε το 2004 από τον Ιάπωνα καθηγητή μαθηματικών Tetsuya Miyamoto. Όπως και στο Sudoku στόχος είναι να γεμίσει το τετραγωνικό πλέγμα στο οποίο παίζεται το παιχνίδι με τους κατάλληλους αριθμούς. Οι βασικοί κανόνες είναι οι εξής : Αν το πλέγμα είναι 3Χ3 θα χρησιμοποιηθούν οι αριθμοί 1,2,3 ώστε να εμφανίζονται από μία φορά τόσο οριζόντια όσο και κάθετα. Όμοια για τους αριθμούς 1,2,3,4 αν το πλέγμα είναι 4Χ4 και ούτω καθεξής. Το μεγαλύτερο πλέγμα στο οποίο παίζεται το παιχνίδι είναι το 9Χ9 όπου χρησιμοποιούμε τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6,7,8 και 9. Το διαφορετικό που υπάρχει στο puzzle αυτό είναι ότι μέσα στο πλέγμα εμφανίζονται περιοχές που περιβάλλονται από μία παχύτερη γραμμή. Σε αυτές τις περιοχές εμφανίζονται τα σύμβολα των τεσσάρων πράξεων καθώς και ένας αριθμός «αποτέλεσμα» των σημειωμένων πράξεων. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι έχουμε το παρακάτω 3X3 kenken Παρατηρείστε ότι το 3Χ3 πλέγμα έχει χωριστεί σε πέντε περιοχές στις δύο από αυτές δεν σημειώνεται κανένα σύμβολο οποιασδήποτε πράξης απλώς οι αριθμοί 2 και 1. Αυτό σημαίνει απλά ότι στα αντίστοιχα τετράγωνα θα υπάρχουν οι αριθμοί αυτοί. Στις περιοχές που σημειώνεται το «5+» θα πρέπει να γράψουμε τους αριθμούς 1,2,3 με τέτοιο τρόπο ώστε οι σημειωμένοι αριθμοί στα αντίστοιχα τετράγωνα να έχουν άθροισμα 5 και συγχρόνως να ικανοποιείται και ο αρχικός περιορισμός του puzzle να εμφανίζονται οι αριθμοί μία μόνο φορά είτε οριζόντια είτε κατακόρυφα. Αν σε μία περιοχή εμφανίζεται το σύμβολο «3-» αυτό σημαίνει ότι θα σημειωθούν δύο αριθμοί που διαφέρουν κατά 3, αντίστοιχα «2:» σημαίνει ότι θα σημειώσουμε δύο αριθμούς με πηλίκο 2. Προσοχή όμως οι αριθμοί αυτοί μπορεί να γραφούν με οποιαδήποτε σειρά. Δηλαδή αν το πλέγμα είναι 3Χ3 ένα σύμβολο «3:» μπορεί να σημαίνει ότι θα γράψουμε τους αριθμούς 1 και 3 ή τους 3 και 1. Αντίστοιχα σε ένα πλαίσιο 4Χ4 το σύμβολο «3-» μπορεί να σημαίνει ότι θα γράψουμε τους αριθμούς 4 και 1 ή τους 1 και 4.
  • 111. 105 Γ. Λαγουδάκος Το 2007 εκδόθηκαν στην Ιαπωνία από τις εκδόσεις Gakken Co. εκπαιδευτικά βιβλία με τίτλο Kashikoku naru pazuru (φωτισμένο παζλ ευφυΐας ) 賢 く な る パ ズ ル , Από τον Μάρτιο του 2008 υπάρχει στήλη Kenken στους New York Times και από το 2015 στο Γερμανικό περιοδικό Der Spiegel . To Kenken μπορεί κάποιος να το παίξει και στο κινητό του αρκεί να κατεβάσει την αντίστοιχη εφαρμογή. Το παιχνίδι αυτό χρησιμοποιείται από πολλούς δασκάλους στην Αμερική για να διδάξουν στους μαθητές τους δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων, λογική και κριτική σκέψη. Το 2009, η KenKen LLC ξεκίνησε το Πρόγραμμα Τάξης KenKen (KKCR), το οποίο δίνει την δυνατότητα στους εκπαιδευτικούς να εγγραφούν σε ένα εβδομαδιαίο ενημερωτικό δελτίο παρέχοντας σετ puzzle KenKen. Σήμερα, πάνω από 25.000 εκπαιδευτικοί είναι μέρος του προγράμματος , εκτός από το KKCR, το KenKen βοηθά τους εκπαιδευτικούς να οργανώσουν τα δικά τους κλαμπ και τουρνουά KenKen στα σχολεία τους. Το παιχνίδι μπορεί να παιχτεί και διαδικτυακά στην διεύθυνση www.kenkenpuzzle.com Αποτελεί πρόκληση στον καθένα να δοκιμάσει τις μαθηματικές δεξιότητες του προσπαθώντας να επιλύσει τα παρακάτω puzzle.
  • 112. 106 Γ. Λαγουδάκος Tangram Το tan-gram είναι ένα παζλ που αποτελείται από επτά επίπεδα σχήματα τα οποία ενώνονται για να σχηματίσουν σχήματα. Ο στόχος του παζλ είναι να σχηματιστεί ένα συγκεκριμένο σχήμα που δίνεται το περίγραμμά του χρησιμοποιώντας και τα επτά κομμάτια, χωρίς να επικαλύπτει το ένα το άλλο. Έχει εφευρεθεί στην Κίνα περί το 1000 μ.Χ. και στη συνέχεια μεταφέρθηκε στην Ευρώπη στις αρχές του 19ου αιώνα. Το κινεζικό του όνομα είναι Qiqiao Bang 七巧板, που σημαίνει "επτά έξυπνα κομμάτια". Υπάρχει ένας μύθος σχετικά με την προέλευση του παιχνιδιού. Λέγεται ότι ένας μοναχός έδωσε σε έναν μαθητή του ένα τετράγωνο πιάτο πορσελάνης και ένα πινέλο, και του είπε να ταξιδέψει και να ζωγραφίσει στην πορσελάνη τις ομορφιές που θα συναντούσε στο δρόμο του. Ο μαθητής κατά λάθος έσπασε το πιάτο σε επτά κομμάτια. Στην προσπάθεια του συγκολλήσει το πιάτο κατάλαβε ότι μπορούσε να δημιουργήσει με τα κομμάτια αυτά πολλές και ενδιαφέρουσες μορφές. Έτσι δεν θα χρειαζόταν πλέον τα ταξιδέψει αφού όλες οι ομορφιές του κόσμου θα μπορούσαν να σχεδιαστούν με τα επτά αυτά κομμάτια.
  • 113. 107 Γ. Λαγουδάκος Αν θεωρήσουμε ότι το τετράγωνο που σχηματίζουν όλα μαζί τα πλακίδια του παιχνιδιού έχει πλευρά 1 τότε οι διαστάσεις των πλακιδίων είναι : 2 «μεγάλα» ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα με διαστάσεις : ( , , ) 2 2 1 2 2 2 «μικρά» ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα με διαστάσεις : ( , , ) 1 2 2 2 4 4 1 «μεσαίο» ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με διαστάσεις : ( , , ) 2 1 1 2 2 2 1 τετράγωνο πλευράς 2 4 και 1 παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών 1 2 και 2 4 . Παρόμοιο παιχνίδι με το tagram είναι και το (Ο)στομάχιον του Αρχιμήδους. Το παιχνίδι αυτό περιγράφεται σε μαθηματικό κείμενο του Αρχιμήδη όπου κάποια αποσπάσματά του έχουν διασωθεί. Η λέξη οστομάχιον προέρχεται από τις λέξεις οστούν και μάχη και σημαίνει η μάχη των οστών. Παιζόταν με 14 γεωμετρικά σχήματα (οστά) με τα οποία δύο ή και περισσότεροι παίχτες σχημάτιζαν διάφορες γεωμετρικές φιγούρες και ανταγωνίζονταν μεταξύ τους. Το παιχνίδι αυτό μπορείτε να το αναζητήσετε στη διεύθυνση …
  • 114. 108 Γ. Λαγουδάκος Παίζοντας το tangram συμβαίνουν αρκετά παράδοξα! Ένα τέτοιο παράδοξο έχει επισημανθεί από τον Sam Loyd και παρουσιάζεται στην παρακάτω εικόνα. Τα τρία κύπελα παράγονται από τα επτά πλακίδια του παιχνιδιού άρα έχουν το ίδιο εμβαδόν όμως είναι διαφορετικά μεταξύ τους … . Ένα δεύτερο παράδοξο είναι αυτό που παρουσιάζεται στην διπλανή εικόνα … Παρατηρείστε τα δύο τετράγωνα που φαίνονται ίδια αλλά το ένα έχει κενή περιοχή δύο τριγώνων (;), συγχρόνως το δεύτερο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν αφού αποτελείται από τα επτά πλακίδια του παιχνιδιού αλλά και από την «μαύρη» περιοχή. Παρακάτω σας δίνω μια σειρά από τέτοια παράδοξα. Αποτελεί πρόκληση στον οποιοδήποτε η κατασκευή τους αλλά και η δικαιολόγηση της παραδοξότητας
  • 115. 109 Γ. Λαγουδάκος Για να σας προϊδεάσω σας δίνω μία οπτική δικαιολόγηση για το παράδοξο του μοναχού ! Παρατηρείστε πως μια μικρή διαφοροποίηση στο τελικό μέγεθος των δύο σχημάτων δίνει την εντύπωση ότι σχηματίσαμε δύο σχήματα από τα επτά κομμάτια του tangram αλλά που δεν είναι όμως και ισεμβαδικά. Λέγεται ότι έχουν καταγραφεί πάνω από 6500 φιγούρες που μπορούν να δημιουργηθούν από τα επτά κομμάτια του tangram , αλλά από αυτά μόνο 13 είναι κυρτά πολύγωνα , την πρόταση αυτή την απόδειξαν το 1942 οι μαθηματικοί Fu Traing Wang και ο Chuan- Chin Hsiung. Παραλλαγές του παζλ είναι τα :
  • 116. 110 Γ. Λαγουδάκος Disentanglement puzzles Τα puzzles με τα οποία θα ασχοληθούμε λέγονται και «μπερδεμένα παζλ» (tanglement puzzles) , ή «παζλ της ταβέρνας» (tavern puzzles) αφού φτιάχνονταν κυρίως με σίδηρο και οι πελάτες των ταβερνών προσπαθούσαν να τα λύσουν όσο περίμεναν να εξυπηρετηθούν αλλά και «τοπολογικά παζλ» (topological puzzles) αφού σε πολλά από αυτά η λύση τους βασίζεται σε βασικές αρχές της τοπολογίας ενός κλάδου της Γεωμετρίας. Το χαρακτηριστικό γνώρισμα των puzzles είναι ότι ο σκοπός είναι αποσυναρμολόγηση αλλά και η συναρμολόγησή τους. Έχει καταγραφή ένα μεγάλο πλήθος από αυτά και ως υλικά χρησιμοποιούνται ξύλο, μέταλλο, σχοινί, αλλά και πλαστικό. Παρακάτω παρουσιάζουμε μερικές συλλογές από τέτοια κομμάτια σε συσκευασίες των αρχών του 20ου αιώνα όπου εκτός από τα παζλ περιέχονται και οδηγίες επίλυσής τους.
  • 117. 111 Γ. Λαγουδάκος Στο βιβλίο αυτό θα αναφερθούμε σε κάποια από αυτά που παρουσιάζουν με τον έναν ή τον άλλο τρόπο μαθηματικό ενδιαφέρον!
  • 118. 112 Γ. Λαγουδάκος Patience Puzzle δηλαδή το παζλ της υπομονής. Εμφανίζεται στο εμπόριο με διάφορα ονόματα όπως The Devil’s Needle, Baguenaudier, Time Waster, Tiring Irons, Prisoner’s Lock, Cardan’s Rings. Το συγκεκριμένο puzzle περιγράφεται από τον Ιταλό μαθηματικό Girolamo Cardano (1501-1576) στο βιβλίο του Subtilitate Rerum. Στην Ανατολή χρησιμοποιείτο και ως κλειδαριά. Θεωρείται ότι εφευρέθηκε αρχικά στην Κίνα, ο Αμερικανός εθνογράφος Stewart Culin συσχετίζει μια παράδοση που αποδίδει την εφεύρεση του παζλ στον κινέζικο στρατηγό Zhuge Liang του 2ου / 3ου αιώνα . To puzzle είναι συνήθως μεταλλικό και αποτελείται από ένα σύστημα μεταλλικής ράβδου και ενός αριθμού δακτυλιδιών, από τα οποία κάποια συνδέονται μεταξύ τους και είναι περασμένα στην κεντρική ράβδο. Όσα περισσότερα δακτυλίδια υπάρχουν τόσο πιο δύσκολο θεωρείται το puzzle. Ο Γάλλος μαθηματικός του 19ου αιώνα Édouard Lucas βρήκε μια κομψή λύση που χρησιμοποιεί το δυαδικό σύστημα αρίθμησης για να περιγράψει τον αλγόριθμο επίλυσης του puzzle. Συγχρόνως κατέληξε στο τύπο : n 1 n 1 2 1 ,n 2k a(n) { 2 ,n 2k 1 − − − = = = + όπου n o αριθμός των δακτυλιδιών και a(n) ο αριθμός των κινήσεων που απαιτούνται για να λυθεί ο γρίφος, (στον τύπο αυτόν ως μία κίνηση θεωρείται η ταυτόχρονη εξαγωγή ή η εισαγωγή στην κεντρική ράβδο δύο δακτυλιδιών). Ας παρακολουθήσουμε τον αλγόριθμό του Lucas. Καταρχήν γράφει 0 όταν ο δακτύλιος είναι εκτός της ράβδου και 1 όταν ο ράβδος διαπερνά το συγκεκριμένο δακτυλίδι. Οπότε σε 5 δακτυλίδια ο αριθμός των 16 βημάτων – κινήσεων σύμφωνα με τον τύπο που αναφέραμε περιγράφεται ως εξής :
  • 119. 113 Γ. Λαγουδάκος Ξεκινάμε με την κατάσταση 11111 / 1ο βήμα βγάζουμε το 1ο δακτυλίδι οπότε έχουμε 01111 / 2ο βήμα βγάζουμε το 3ο δακτυλίδι άρα είμαστε στην κατάσταση 01011 / 3ο βήμα τοποθετούμε ξανά μέσα στην ράβδο το 1ο δακτυλίδι , άρα 11011 / 4ο βήμα βγάζουμε 1ο και 2ο δακτυλίδι , άρα 00011 / 5ο βήμα βγάζουμε το 5ο δακτυλίδι, άρα 00010 / 6ο βήμα βάζουμε το 1ο και 2ο δακτυλίδι στην ράβδο , άρα 11010 / 7ο βήμα βγάζουμε το 1ο δακτυλίδι άρα 01010 / 8ο βήμα βάζουμε στην ράβδο το 3ο δακτυλίδι, άρα 01110 / 9ο βήμα βάζουμε στην ράβδο το 1ο δακτυλίδι, άρα 11110 / 10ο βήμα βγάζουμε 1ο και 2ο δακτυλίδι , άρα 00110 / 11ο βήμα βγάζουμε το 4ο δακτυλίδι, άρα 00100 / 12ο βήμα βάζουμε το 1ο και 2ο δακτυλίδι, άρα 11100 / 13ο βήμα βγάζουμε το 1ο δακτυλίδι, άρα 01100 / 14ο βήμα βγάζουμε το 3ο δακτυλίδι, άρα 01000 / 15ο βήμα βάζουμε το 1ο δακτυλίδι, άρα 11000 / 16ο βήμα τέλος βγάζουμε 1ο και 2ο δακτυλίδι, άρα 00000. Bent nail puzzle δηλαδή το παζλ των λυγισμένων καρφιών. Πρόκειται για το πιο αναγνωρίσιμο από όλα τα παζλ της κατηγορίας. Χαρακτηρίζεται ως τοπολογικό παζλ. Ενώ φαίνεται αδύνατο να ξεμπλεχτούν τα δύο ( σε άλλα παζλ και τρία καρφιά) με κατάλληλες στροφές τα δύο καρφιά ξεχωρίζουν.
  • 120. 114 Γ. Λαγουδάκος Loony Loop puzzle Κλασικό τοπολογικό παζλ, όπου με κινήσεις και κατάλληλες στροφές ο στόχος είναι να αποσυναρμολογήσεις ένα σύστημα μεταλλικών βρόγχων με σκοπό να «απελευθερωθεί» το σχοινί που είναι μπλεγμένο μέσα σε αυτά. Συνήθως μαζί με το παζλ δίνεται και η λύση με μορφή αλγοριθμικής διαδικασίας. Figure Eight puzzle Το άλυτο παζλ! Φτιάχτηκε από τον Stewart Coffin. Ο Αμερικάνος μαθηματικός Martin Gardner το συμπεριέλαβε στο βιβλίο του “The Mathemagician and the Pied Puzzler” γράφοντας το άρθρο The Odyssey of the figure eight puzzle. Oι μαθηματικοί Inta Bertuccioni και Paul Melvin απέδειξαν ότι το παζλ είναι άλυτο αναπτύσσοντας και συνδυάζοντας γνώσεις από ένα τομέα των μαθηματικών που λέγεται θεωρία κόμβων που αποτελεί κλάδο της Τοπολογίας.
  • 121. 115 Γ. Λαγουδάκος Miguel Ortiz Berrocal Ισπανός γλύπτης γεννημένος στην Μάλαγα (1933-2006) . Είναι γνωστός από τα γλυπτά παζλ που κατασκεύαζε αφού τα έργα αυτά μπορούν να αποσυναρμολογηθούν σε πολλά κομμάτια. Έχει κατασκευάσει από μεγάλα γλυπτά που εκτίθενται σε δημόσιους χώρους ως και μινιατούρες. Το να συναρμολογήσεις ένα γλυπτό του Berrocal είναι πραγματικά ένα δύσκολο παζλ. Στο διπλανό video παρουσιάζεται μία από τις πιο γνωστές συνθέσεις του το «Romeo & Juliette Puzzle Sculpture » Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τα Τanglement puzzles μπορείτε να επισκεφθείτε τον ιστότοπο http://robspuzzlepage.com/tanglement.htm
  • 122. 116 Γ. Λαγουδάκος Βιβλιογραφία 1. A difficult case “Pacioli and Cardano on the Chinese Rings” - Albrecht Heffer, Andreas M. Hinz Center for History of Science, Ghent University, Mathematics Department, LMU Munich 2. Puzzle Craft - Stewart T. Coffin 3. Topology of Puzzle Rings - Kouki Taniyama Asia Pacific Mathematics Newsletter 4. 536 Puzzles and curious problems – Henry Ernest Dudeney Charles Scribner’s Sons – N.Y. 5. The Puzzle Universe - A history of maths in more than 300 puzzles- Ivan Moscovich -LANNOO 6. Defeating Mastermind By Justin Dowell 7. Group Theory via Rubik’s Cube - Tom Davis tomrdavis@earthlink.net / http://www.geometer.org ROUGH DRAFT!!! / December 6, 2006 8. Easy Mazes by KrazyDad, Book 1 9. Back From The Klondike by Sam Loyd - Joseph Eitel amagicclassroom.com 10. San Loyd’s Puzzles – a book for children by Duneroller Publishing
  • 123. 117 Γ. Λαγουδάκος 11. Entertaining Mathematical Puzzles – Martin Gardner – M.A.A. 12. Mathematical Magic Show - Martin Gardner – M.A.A. 13. Herman Tulleken – Polyominoes – How they fit together 14. Πτυχιακή εργασία : «Ο Κύβος του Ρούμπικ: Ανάλυση και Μέθοδοι Επίλυσης» - Κωνσταντίνος. Γ. Καρατσενίδης Ε.K.Π.Α. - ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 15. Solving a sudoku puzzle - BY JEAN-PAUL DELAHAYE Scientific American June 2006 16. Genetic Algorithms «Playing Mastermind» – Vivian van Oijen, BSc Artificial Intelligence- Utrecht University- July 4, 2018 17. Trémaux’s Algorithm for Threading a Maze - Robert R. Snapp 18. Wikipedia 19. Προσωπικές σημειώσεις