จำนวนเชิงซ้อน.pdf
- 1. ¨Ó¹Ç¹àªÔ§«é͹ ¨Ó¹Ç¹àªÔ§«é͹ คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 ชื่อ – สกุล ชั้น เลขที่
- 2. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 1 นายรัฐภูมิ เครือวัง สมการพหุนาม 2 1 0 x + = ไมมีจำนวนจริงใด ๆ เปนคำตอบของสมการ เพราะจากที่ไดเรียนมา จาก สมการขางตนจะไดวา 2 1 x = − ซึ่งไมมีจำนวนจริงใด ๆ ที่เมื่อยกกำลังสองแลวไดจำนวนจริงลบ ดวยเหตุนี้ จึง ทำใหนักคณิตศาสตรไดสรางระบบจำนวนซึ่งขยายออกไปจากระบบจำนวนจริง เพื่อใหสมการพหุนามทั้งหมดมี คำตอบในระบบจำนวนที่สรางขึ้นมาใหมนี้ โดยระบบจำนวนที่สรางขึ้นมาใหมนี้ มีชื่อวา “จำนวนเชิงซอน” และเซตของจำนวนในระบบจำนวนใหมนี้ตองเปนเซตที่มีเซตของจำนวนจริงเปนสับเซต ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของแตละขอตอไปนี้ 1) i = 2) 2 i = 3) 3 i = 4) 4 i = 5) 13 i = 6) 56 i = 7) 135 i = 8) 224 i = 9) 512 i = 10) 917 i = ตัวอยางที่ 2 จงหาคาของ 2 3 99 ... i i i i + + + + ตัวอยางที่ 3 จงหาคาของ ( ) 3 4 65 2 ... i i i i + + + ขอสังเกต กำหนด 0 1 i = จะไดวา 4 4 1 4 2 4 3 1, , 1, n n n n i i i i i i + + + = = = − = − เมื่อ { } 0 n∈ ∪ จำนวนเชิงซอน 1.1 จำนวนเชิงซอน บทนิยาม 1 จำนวนเชิงซอน (Complex Number) คือ จำนวนที่เขียนในรูปคูอันดับ หรือ เมื่อ และ เปนจำนวนจริง และ หรืออาจจะเขียนไดดังนี้ ให เปนเซตของจำนวนเชิงซอน จะไดวา
- 3. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 2 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 4 จงหาสวนจริงและสวนจินตภาพของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ 1) 3 2i + ( ) Re z คือ ( ) Im z คือ 2) 1 2i − ( ) Re z คือ ( ) Im z คือ 3) 1 i − − ( ) Re z คือ ( ) Im z คือ 4) 4 3i − ( ) Re z คือ ( ) Im z คือ 5) 6 ( ) Re z คือ ( ) Im z คือ 6) 13 ( ) Re z คือ ( ) Im z คือ ขอสังเกต 1. ถา ( ) Im 0 z = แลว z จะเปนจำนวนจริง 2. ถา ( ) Re 0 z = และ ( ) Im 0 z ≠ แลว z จะเปนจำนวนจินตภาพแท ตัวอยางที่ 5 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซอน ( ) 2,4 และ ( ) 3, 1 − บทนิยาม 3 สำหรับจำนวนเชิงซอน และ จะได 1. การเทากัน ก็ตอเมื่อ และ 2. การบวก 3. การคูณ บทนิยาม 2 สำหรับจำนวนเชิงซอน หรือ เมื่อ และ เปนจำนวนจริง เรียก วา สวนจริง (real part) ของ และเขียนแทนดวย และเรียก วา สวนจินตภาพ (imaginary part) ของ และเขียนแทนดวย
- 4. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 3 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 6 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซอน ( ) 3,2 − และ ( ) 9, 6 − − ตัวอยางที่ 7 จงหาจำนวนจริง a และ b ที่ทำให ( ) ( ) 2 1 2 3 8 a i bi i + + − + = + ตัวอยางที่ 8 จงหาจำนวนจริง a และ b ที่ทำให ( )( ) 3 4 7 a i bi i − + = − ตัวอยางที่ 9 จงหาคาของ ( ) ( ) ( ) 5 4 2 25 3 9 + − − − − + − − ตัวอยางที่ 10 จงหาคาของ ( )( ) ( )( ) 3 3 1 1 9 1 3 i i − + − − − − +
- 5. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 4 นายรัฐภูมิ เครือวัง 1. จงหาสวนจริงและสวนจินตภาพของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ 1) 1 1 2 1 i + ( ) Re z คือ ( ) Im z คือ 2) 1 2 1 5i − + ( ) Re z คือ ( ) Im z คือ 3) 1 2 i − ( ) Re z คือ ( ) Im z คือ 4) 2 2 1 2 1 i − ( ) Re z คือ ( ) Im z คือ 5) 1 3 1 − ( ) Re z คือ ( ) Im z คือ 6) 1 1 2 2 i − ( ) Re z คือ ( ) Im z คือ 2. จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ 1) ( ) 2,3 − และ ( ) 1,2 2) ( ) 2, 2 − และ ( ) 3, 1 − 3) ( ) 1, 2 − − และ ( ) 1,4 4) ( ) 5, 1 − และ ( ) 5,1 แบบฝกหัด 1.1
- 6. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 5 นายรัฐภูมิ เครือวัง 3. จงเขียนจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ใหอยูในรูป a bi + เมื่อ a และ b เปนจำนวนจริง 1) ( ) ( ) 1 3 2 4 1 3 i i − + − 2) ( ) ( ) 1 5 4 2 1 3 i i + + − 3) ( ) ( ) 1 2 8 5 1 2 i i − + − 4) ( ) 2 2 1 1 2 i i − 5) ( ) 1 1 4 i i − − 6) ( )( ) 1 4 3 3 2 1 i i − + 7) ( ) 2 1 4 1 3 i i − 8) ( ) 2 1 1 2 i − 9) ( )( ) 1 3 2 3 2 1 i i + − 10) ( )( ) 1 2 5 3 1 2 i i − − +
- 7. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 6 นายรัฐภูมิ เครือวัง 4. จงหาจำนวนจริง a และ b ในแตละขอตอไปนี้ 1) ( ) 3 2 4 5 a bi i − =+ 2) ( ) 3 12 a bi + = 3) ( ) 2 4 3 a a b i i + + = + 4) ( ) 3 5 15 9 a bi i + = + 5) ( ) 7 12 a b abi i + − = − 6) ( )( ) 2 5 3 a bi i i + + =− 5. จงหาคาตอไปนี้ 1) ( ) 3 1 i − 2) ( ) ( ) 4 4 2 2 i i + − − 3) ( ) ( ) 3 3 1 1 i i − − + 4) ( ) ( ) 5 4 2 2 i i − +
- 8. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 7 นายรัฐภูมิ เครือวัง ให 1 2 3 , , z z z เปนจำนวนเชิงซอน สมบัติ การบวก การคูณ ปด 1 2 z z + เปนจำนวนเชิงซอน 1 2 z z เปนจำนวนเชิงซอน การสลับที่ 1 2 2 1 z z z z + = + 1 2 2 1 z z z z = การเปลี่ยนหมู ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 z z z z z z + + = + + ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 z z z z z z = การแจกแจง ( ) 1 2 3 1 2 1 3 z z z z z z z + = + ตัวอยางที่ 11 จงหาเอกลักษณการบวก ตัวผกผันการบวก เอกลักษณการคูณ และตัวผกผันการคูณของ จำนวนเชิงซอนตอไปนี้ 1) 1 i − เอกลักษณการบวก คือ ตัวผกผันการบวก คือ เอกลักษณการคูณ คือ ตัวผกผันการคูณ คือ 2) 4 3i − + เอกลักษณการบวก คือ ตัวผกผันการบวก คือ เอกลักษณการคูณ คือ ตัวผกผันการคูณ คือ 1.2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอน เอกลักษณและตัวผกผันการบวก ให มี เปนเอกลักษณการบวกของ หรือ เปนเอกลักษณการบวกของ และมี เปนตัวผกผันการบวกของ หรือ เปนตัวผกผันการบวกของ เอกลักษณและตัวผกผันการคูณ ให มี เปนเอกลักษณการคูณของ หรือ เปนเอกลักษณการคูณของ และมี เปนตัวผกผันการคูณของ หรือ เปนตัวผกผันการคูณของ
- 9. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 8 นายรัฐภูมิ เครือวัง 3) ( ) 3,4 z = เอกลักษณการบวก คือ ตัวผกผันการบวก คือ เอกลักษณการคูณ คือ ตัวผกผันการคูณ คือ 4) 1 3i + เอกลักษณการบวก คือ ตัวผกผันการบวก คือ เอกลักษณการคูณ คือ ตัวผกผันการคูณ คือ 5) 5i เอกลักษณการบวก คือ ตัวผกผันการบวก คือ เอกลักษณการคูณ คือ ตัวผกผันการคูณ คือ 6) 7i เอกลักษณการบวก คือ ตัวผกผันการบวก คือ เอกลักษณการคูณ คือ ตัวผกผันการคูณ คือ 7) ( ) 4 4 3, − เอกลักษณการบวก คือ ตัวผกผันการบวก คือ เอกลักษณการคูณ คือ ตัวผกผันการคูณ คือ 8) 3 2 i − เอกลักษณการบวก คือ ตัวผกผันการบวก คือ เอกลักษณการคูณ คือ ตัวผกผันการคูณ คือ 9) 2 2i − เอกลักษณการบวก คือ ตัวผกผันการบวก คือ เอกลักษณการคูณ คือ ตัวผกผันการคูณ คือ 10) x yi + เอกลักษณการบวก คือ ตัวผกผันการบวก คือ เอกลักษณการคูณ คือ ตัวผกผันการคูณ คือ ตัวอยางที่ 12 จงหาสังยุคของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ 1) สังยุคของ 1 i − คือ 2) สังยุคของ 2 i − + คือ 3) สังยุคของ 3 2i + คือ 4) สังยุคของ 4 คือ 5) สังยุคของ i − คือ 6) สังยุคของ xi คือ สังยุคของจำนวนเชิงซอน ให สังยุคของจำนวนเชิงซอน เขียนแทนดวย
- 10. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 9 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 13 กำหนดให 4 3 z i = − แลวคาของ z z + เทากับเทาใด ตัวอยางที่ 14 ถา z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ z z + เทากับเทาใด ตัวอยางที่ 15 กำหนดให 2 3 z i = + แลวคาของ z z − เทากับเทาใด ตัวอยางที่ 16 ถา z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ z z − เทากับเทาใด สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน ให เปนจำนวนเชิงซอน 1) สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน ให เปนจำนวนเชิงซอน 2)
- 11. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 10 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 17 กำหนดให 3 5 z i = − แลวคาของ z z ⋅ เทากับเทาใด ตัวอยางที่ 18 ถา z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ z z ⋅ เทากับเทาใด ตัวอยางที่ 19 กำหนดให 3 5 z i = − และ 4 7 w i = + แลวคาของ z w + เทากับ z w + หรือไม ตัวอยางที่ 20 ถา z และ 1 z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ 1 z z + เทากับ z w + หรือไม สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน ให เปนจำนวนเชิงซอน 3) สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน ให และ เปนจำนวนเชิงซอน 4)
- 12. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 11 นายรัฐภูมิ เครือวัง ในทำนองเดียวกัน จะไดวา ตัวอยางที่ 21 กำหนดให 2 3 z i = − และ 3 w i = + แลวคาของ z w ⋅ เทากับ z w ⋅ หรือไม ตัวอยางที่ 22 ถา z และ 1 z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ 1 z z ⋅ เทากับ z w ⋅ หรือไม ในทำนองเดียวกัน จะไดวา สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน ให และ เปนจำนวนเชิงซอน 5) สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน ให และ เปนจำนวนเชิงซอน 6) สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน ให และ เปนจำนวนเชิงซอน 7)
- 13. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 12 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 23 กำหนดให 2 3 z i = − แลวคาของ ( ) z เทากับเทาใด ตัวอยางที่ 24 ถา z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ ( ) z เทากับเทาใด ตัวอยางที่ 25 กำหนดให 1 z i = + แลวคาของ ( ) 10 z เทากับ ( ) 10 z หรือไม ตัวอยางที่ 26 กำหนดให 1 z i = − แลวคาของ ( ) 6 z เทากับ ( ) 6 z หรือไม สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน ให เปนจำนวนเชิงซอน 8) สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน ให เปนจำนวนเชิงซอน 8)
- 14. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 13 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 27 จงหาคาของจำนวนเชิงซอน 3 4 1 2 i i + − ตัวอยางที่ 28 จงหาคาของจำนวนเชิงซอน 2 9 9 2 i i − + ตัวอยางที่ 29 คาของ ( )( ) ( )( ) 2 1 3 1 3 1 2 1 i i i i i i + − + + + + − เทากับเทาใด ตัวอยางที่ 30 ถา z เปนจำนวนเชิงซอนซึ่ง ( )( ) 1 1 1 i z + + = − แลว ( ) ( ) 15 4Re z z z − เทากับเทาใด การหารจำนวนเชิงซอน บทนิยาม สำหรับจำนวนเชิงซอน ใด ๆ
- 15. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 14 นายรัฐภูมิ เครือวัง 1. กำหนดให 1 3 2 z i = − และ 2 2 5 z i =− + จงหาคาในแตละขอตอไปนี้ 1) 1 z 2) 2 z 3) 1 2 z z 4) 1 2 z z 5) 1 2 z z ⋅ 6) 1 2 z z + 2. กำหนด 4 3 z i = + จงหาคาในแตละขอตอไปนี้ 1) z z + 2) z z − 3) zz 4) 1 z− แบบฝกหัด 1.2
- 16. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 15 นายรัฐภูมิ เครือวัง 3. จงหาตัวผกผันการบวกและตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซอน z เมื่อกำหนด z ในแตละขอตอไปนี้ 1) ( ) ( ) 2 3 3 z i i = − + − − 2) ( ) 4 2 3 z i = − 3) 6 28 z = + − 4) ( ) ( ) 3 50 2 72 z = − − − − − 5) ( ) 2 7 z i = − 6) ( )( ) 3 18 5 98 z = + − − −
- 17. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 16 นายรัฐภูมิ เครือวัง 4. จงเขียนจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ใหอยูในรูป a bi + เมื่อ , a b∈ 1) 1 3 2i − 2) 1 1 5i − − 3) 5 3 3 4 i i − + 4) 2 7i i + 5) 1 2 3i − 6) 1 3 5 2 i i − − + 5. จงหาจำนวนเชิงซอน z ที่สอดคลองกับสมการในแตละขอตอไปนี้ 1) ( ) 2 1 i z i + = + 2) ( ) 1 3 i z + = 3) ( ) 3 4i z i + = 4) ( ) 3 7 2 i z i i − + = +
- 18. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 17 นายรัฐภูมิ เครือวัง จากกราฟ เปนเวกเตอรที่เขียนแทนจำนวนเชิงซอน z a bi = + ซึ่งเปนเวกเตอรที่มีจุดตั้งตนอยูที่จุด ( ) 0,0 O และจุดสิ้นสุดคือจุด ( ) , a b ซึ่งเปนจุดที่เขียนแทนจำนวนเชิงซอน a bi + θ เปนมุมที่เวกเตอรทำกับแกน x (ทิศทวนเข็มนาิกา) เรียกวา แอมพลิจูด (amplitude) ของ จำนวนเชิงซอน และ tan b a θ = คาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน คือ ขนาดของเวกเตอรที่เขียนแทนจำนวนเชิงซอนนั้น คาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน z a bi = + เขียนแทนดวย 2 2 z a bi a b = + = + ตัวอยางที่ 31 จงหาขนาดของจำนวนเชิงซอน 2 3 z i = − ตัวอยางที่ 32 กำหนด 4 2 1 z z − = − จงหา z 1.3 คาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน
- 19. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 18 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 33 กำหนดให 3 4 z i = − จงหาคาของ , z z − และ z ตัวอยางที่ 34 ถา z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ , z z − และ z เทากันหรือไม ตัวอยางที่ 35 กำหนดให 5 12 z i = + แลวคาของ z z ⋅ เทากับ 2 z หรือไม ตัวอยางที่ 36 ถา z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ z z ⋅ เทากับ 2 z หรือไม สมบัติของคาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน ให เปนจำนวนเชิงซอน 1) สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน ให เปนจำนวนเชิงซอน 2)
- 20. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 19 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 37 กำหนดให 2 3 z i = − และ 3 2 w i = + จงหาคาของ z w ⋅ และ z w ตัวอยางที่ 38 ถา z และ w เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ z w ⋅ และ z w เทากันหรือไม ตัวอยางที่ 39 กำหนดให 3 5 z i = − และ 1 w i = − แลวคาของ z w เทากับ z w หรือไม ตัวอยางที่ 40 ถา z และ w เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ z w เทากับ z w หรือไม สมบัติของคาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน ให และ เปนจำนวนเชิงซอน 3) สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน ให และ เปนจำนวนเชิงซอน 4)
- 21. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 20 นายรัฐภูมิ เครือวัง สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน (เพิ่มเติม) ให และ เปนจำนวนเชิงซอน 5) ก็ตอเมื่อ และ 6) สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน (เพิ่มเติม) ให เปนจำนวนเชิงซอน ถา เปนจำนวนจริง และ เปนจำนวนจริงบวก 1) จะไดกราฟเปนรูปวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่จุดกำเนิด รัศมีเทากับ 2) จะไดกราฟเปนรูปวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่จุดกำเนิด รัศมีเทากับ 3) จะไดกราฟเปนรูปวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่จุดกำเนิด รัศมีเทากับ 4) จะไดกราฟเปนรูปวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่จุดกำเนิด รัศมีเทากับ
- 22. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 21 นายรัฐภูมิ เครือวัง 1. จงเขียนจุดในระนาบเชิงซอนซึ่งแทนจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,3 , 2, 1 , 4, 1 , 3,0 − − − − 1) 5 2 ,2 3 ,1 5 , i i i i + − − − แบบฝกหัด 1.3
- 23. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 22 นายรัฐภูมิ เครือวัง 2. จงหาคาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ 1) 5 12i − + 2) 11 60i − 3) 5 3i + 4) ( ) ( ) 6 7 13 5 i i − + − − 5) ( ) 10 2 3i − + 6) ( ) ( ) ( ) 20 4 40 3 2 3 1 2 i i i − + +
- 24. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 23 นายรัฐภูมิ เครือวัง เมื่อ z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ รากที่สองของ z คือจำนวนเชิงซอนที่ยกกำลังสองแลวเทากับ z ให z x yi = + เปนจำนวนเชิงซอนซึ่ง x และ y เปนจำนวนจริงที่ไมใชศูนยพรอมกัน และให w a bi = + เปนรากที่สองของ z พิสูจน 1.4 รากที่สองของจำนวนเชิงซอน
- 25. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 24 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 41 จงหารากที่สองของ 5 12i − + ตัวอยางที่ 42 จงหารากที่สองของ 6 8i − ตัวอยางที่ 43 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2 2 5 12 0 x x + + = ทฤษฎีบท กำหนดให เปนจำนวนเชิงซอน และ แลวรากที่สองของ คือ เมื่อ เมื่อ
- 26. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 25 นายรัฐภูมิ เครือวัง 1. จงหารากที่สองของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ 1) 3 4i − + 2) 1 2 2i + 3) 2 5i + 4) ( )( ) 7 2 3 5 − − + − แบบฝกหัด 1.4
- 27. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 26 นายรัฐภูมิ เครือวัง 1. จงหาเซตคำตอบของสมการตอไปนี้ 1) 2 5 8 0 x x + + = 2) 2 2 4 0 x x + + = 3) 2 5 12 13 0 x x + + = 4) 2 3 2 7 0 x x − + =
- 28. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 27 นายรัฐภูมิ เครือวัง ถา z a bi = + เปนจำนวนเชิงซอน และ 0 z ≠ จะเขียนแทน z บนระนาบเชิงซอนไดดังนี้ เมื่อกำหนดให θ เปนขนาดของมุมบวกที่เล็กที่สุดซึ่งวัดทวนเข็มนาิกาจากแกน x ทางดานบวก และให r z = แทนระยะทางระหวางจุดกำเนิด O กับ z จะได 2 2 r z a b = = + tan b a θ = sin b r θ = หรือ sin b r θ = cos a r θ = หรือ cos a r θ = จาก z a bi = + จะได ( ) cos sin z r r i θ θ = + ( ) cos sin z r i θ θ = + ดังนั้น z a bi = + สามารถเขียนอยูในรูปเชิงขั้วไดเปน ( ) cos sin z r i θ θ = + โดยที่ tan b a θ = เรียก ( ) cos sin r i θ θ + วารูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซอน a bi + และเรียก θ วา อารกิวเมนต ของ z เนื่องจาก ( ) cos cos 2n θ θ π = + และ ( ) sin sin 2n θ θ π = + เมื่อ n I ∈ ดังนั้น ( ) ( ) ( ) cos 2 sin 2 r n i n θ π θ π + + + จะเปนรูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซอน a bi + ดวย 1.5 จำนวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว
- 29. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 28 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 44 จงเขียนจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ใหอยูในรูปเชิงขั้ว 1) 1 i + 2) 2 2i − 3) 1 3i − 4) 2 2 3i − +
- 30. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 29 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 45 ถา ( ) 1 2 cos75 sin 75 z i = + และ ( ) 2 3 2 cos15 sin15 z i = + จงหา 1) 1 2 z z ในรูป a bi + 2) 1 2 z z ในรูป a bi + 3) 3 2 z ในรูป a bi + ทฤษฎีบท กำหนดให และ เปนจำนวนเชิงซอน โดยที่ และ โดยที่ จะได 1. 2.
- 31. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 30 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 46 จงเขียน ( ) 4 2 2 3i + ในรูป a bi + เมื่อ , a b∈ ตัวอยางที่ 47 จงเขียน ( ) 12 3 i + ในรูป a bi + เมื่อ , a b∈ ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร ถา เปนจำนวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว และ จะได
- 32. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 31 นายรัฐภูมิ เครือวัง 1. จงเขียนจำนวนเชิงซอนแตละขอตอไปนี้ในรูปเชิงขั้ว 1) 3 2 2 i + 2) 3 i − 3) 2 3 2i + 4) 5 5) 8i − แบบฝกหัด 1.5
- 33. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 32 นายรัฐภูมิ เครือวัง 2. จงเขียนจำนวนเชิงซอนแตละขอตอไปนี้ในรูป a bi + เมื่อ , a b∈ 1) ( ) ( ) 2 cos25 sin 25 4 cos35 sin35 i i + + 2) 1 2 2 cos sin 3 cos sin 3 36 36 9 9 i i π π π π + + 3) 3 cos sin 3 3 6 cos sin 6 6 i i π π π π + + 4) ( ) ( ) ( ) 9 cos37 sin37 4 cos72 sin 72 12 cos19 sin19 i i i + + + 5) ( ) 9 3 i −
- 34. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 33 นายรัฐภูมิ เครือวัง การหาคำตอบของสมการ n x z = เมื่อ z เปนจำนวนเชิงซอนที่กำหนดให และ n เปนจำนวนเต็ม บวก มีคำตอบของสมการคือ รากที่ n ของจำนวนเชิงซอน z เราจะใชทฤษฎีบทของเดอมัวฟวรมาชวยในการ หารากที่ n ของจำนวนเชิงซอน ตัวอยางที่ 48 จงหารากที่ 4 ของ 81 ตัวอยางที่ 48 จงหารากที่ 3 ของ 1 3i + 1.6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอน เมื่อ n เปนจำนวนนับที่มากกวา 1 ทฤษฎีบท ถา แลวรากที่ ของ มีทั้งหมด รากที่แตกตางกัน คือ เมื่อ
- 35. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 34 นายรัฐภูมิ เครือวัง 1. จงหารากที่ 3 ของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ 1) 64 2) 27i − 3) 1 3i − + แบบฝกหัด 1.6
- 36. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 35 นายรัฐภูมิ เครือวัง 2. จงหารากที่ 4 -ของ 2 2 4 cos sin 3 3 i π π + 3. จงหารากที่ 5 ของ 4 4 3i −
- 37. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 36 นายรัฐภูมิ เครือวัง 4. จงหาจำนวนเชิงซอนทั้งหมดที่สอดคลองกับสมการตอไปนี้ 1) 3 0 z i − = 2) ( ) 3 2 8 z i i + =
- 38. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 37 นายรัฐภูมิ เครือวัง 3) 4 1 0 z + = 2) 6 64 0 z + =
- 39. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 38 นายรัฐภูมิ เครือวัง ถา ( ) p x เปนพหุนามดีกรี n โดยที่ 1 n ≥ แลวจะเรียกสมการ ( ) 0 p x = วาเปนสมการพหุนาม ดังนั้น สมการพหุนามจะอยูในรูป 1 2 1 2 1 0 ... 0 n n n n n n a x a x a x a x a − − − − + + + + + =เมื่อ n เปนจำนวนเต็ม บวก และ 1 2 1 0 , , ,..., , n n n a a a a a − − เปนจำนวนเชิงซอน โดยที่ 0 n a ≠ จำนวนเชิงซอน a จะเปนคำตอบของ สมการ ( ) 0 p x = ก็ตอเมื่อ ( ) 0 p a = เรียก ( ) 0 p a = วา คำตอบเชิงซอนของสมการ ( ) 0 p x = ตัวอยางที่ 49 จงหาเซตคำตอบของสมการ 4 2 21 100 0 x x − − = ตัวอยางที่ 50 จงหาเซตคำตอบของสมการ 4 2 17 60 0 x x − + = 1.7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต ถา เปนพหุนามที่มีดีกรีมากกวาศูนย และมีสัมประสิทธิ์เปนจำนวนเชิงซอน แลวสมการ จะมีคำตอบเปนจำนวนเชิงซอนอยางนอยหนึ่งคำตอบ ทฤษฎีบท ถา เปนสมการพหุนามดีกรี โดยที่ และมีสัมประสิทธิ์เปนจำนวนเชิงซอนแลว สมการนี้จะมีคำตอบทั้งหมด คำตอบ เมื่อนับคำตอบที่ซ้ำกันดวย
- 40. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 39 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 51 จงหาเซตคำตอบของสมการ 3 2 3 5 8 4 0 x x x + + + = ทฤษฎีบทตัวประกอบ กำหนด เปนพหุนามที่มีดีกรีมากกวาหรือเทากับ 1 จะไดวาพหุนาม มี เปนตัว ประกอบ ก็ตอเมื่อ ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ กำหนด เปนพหุนามในรูป โดยที่ และ เปนจำนวนเต็ม ซึ่ง ถาจำนวนตรรกยะ เปนคำตอบของสมการ โดยที่ ห.ร.ม. ของ และ เทากับ 1 แลว จะเปนตัวประกอบของ และ เปนตัวประกอบของ
- 41. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 40 นายรัฐภูมิ เครือวัง ตัวอยางที่ 52 จงแสดงวา 6i เปนคำตอบของสมการ 4 3 2 4 6 12 0 x x x x + + + − =และหาเซตคำตอบ ทั้งหมดของสมการนี้ ทฤษฎีบท ถาจำนวนเชิงซอน เปนคำตอบของสมการพหุนาม โดยที่สัมประสิทธิ์ เปนจำนวนจริง แลวสังยุคของจำนวนเชิงซอน จะเปน คำตอบของสมการพหุนามดวย
- 42. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 41 นายรัฐภูมิ เครือวัง 1. จงหาเซตคำตอบของสมการนี้ 1) 3 2 2 6 8 0 x x x − − − = 2) 3 2 2 3 14 15 0 x x x + − − = 3) 4 2 2 2 0 x x x − + + = แบบฝกหัด 1.6
- 43. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 42 นายรัฐภูมิ เครือวัง 4) 4 2 6 8 3 0 x x x − − − = 2. จงแสดงวา 1 3i − เปนคำตอบของสมการพหุนาม 3 2 4 5 10 12 0 x x x − + + =พรอมทั้งหาคำตอบที่ เหลือทั้งหมด 3. จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เปนจำนวนเต็ม และมี 1,4,2i และ 2i − เปนคำตอบ
- 44. คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน 43 นายรัฐภูมิ เครือวัง 4. จงหาสมการพหุนามดีกรี 5 ที่มีสัมประสิทธิ์เปนจำนวนเต็ม และมี 1, 2, 3 − − และ 2 3i − + เปนคำตอบ 5. จงหาเซตคำตอบของสมการพหุนาม 5 4 3 2 9 31 51 40 12 0 x x x x x − + − + − =เมื่อทราบวา 1,2 เปน คำตอบหนึ่งของสมการพหุนามนี้ 6. จงหาเซตคำตอบของสมการพหุนาม 4 3 2 8 27 38 26 0 x x x x − + − + = เมื่อทราบวา 3 2i − เปนคำตอบ หนึ่งของสมการพหุนามนี้