APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)
0 likes713 views
Dokumen tersebut membahas tentang sample geometry dan random sampling. Secara ringkas, dokumen menjelaskan tentang diagram p-dimensi dan n-dimensi untuk mewakili data sampel, serta menghitung nilai rata-rata vektor dan dekomposisi vektor menjadi komponen rata-rata dan deviasi. Dokumen juga membahas mengenai nilai ekspektasi dari sample mean dan covarians matriks, serta generalized variance untuk mewakili variasi data pada lebih d
![Cara Menghitung Rata-Rata Vektor x
Pada Diagram p-dimensi.
𝐱 𝟏
′
= [ 4,
1 ]
𝐱 𝟐
′
= [ -1,
3 ]
𝐱 𝟑
′
= [ 3,
5 ]
1.Hitung rata-rata variabel
untuk setiap observasi
2.Plot n=3 vektor pada p=2
dimensi, dan masukkan
nilai x pada diagram
Gambar 1. Plot data
matriks X, n=3 vektor pada
p=2 dimensi.
Gambar 1 menunjukkan bahwa
x adalah balance point pada
diagram tersebut.
M. Harry D - 16.9298](https://image.slidesharecdn.com/pert3-200113015809/85/APG-Pertemuan-3-Sample-Geometry-and-Random-Sampling-1-4-320.jpg)
![Diagram n-dimensi
Contoh:
𝑦1 = Vektor variabel ke-1
𝑦𝑝 = vektor varaiabel ke-p
Setiap kolom mewakili
koordinat titik pada diagram
pada diagram n-dimensi.
𝒚 𝟏
′
= [ 4, -1, 3 ]
𝒚 𝟐
′
= [ 1, 3, 5 ]
Gambar 2. Diagram dengan
p = 2 vektor pada n = 3
dimensi M. Harry D - 16.9298
Johnson
pdf](https://image.slidesharecdn.com/pert3-200113015809/85/APG-Pertemuan-3-Sample-Geometry-and-Random-Sampling-1-5-320.jpg)
APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)
- 1. Sample Geometry dan Random Sampling Sample Geometry dan Random Sampling Dosen Pengampu: Rani Nooraeni, S.S.T, M.Stat
- 2. Geometri Nilai-Nilai Sampel • Setiap baris mewakili observasi multivariat • Setiap kolom mewakili variabel multivariat • Dari data tersebut dapat dibuat 2 plot yang berbeda, yaitu diagram p-dimensi dan diagram n-dimensi. Johnson pdf
- 3. Diagram p-dimensi Vektor observasi ke-1 Vektor observasi ke-n • Setiap baris mewakili koordinat titik pada diagram pada diagram p-dimensi. • Diagram tersebut memberikan informasi lokasi dan variabilitas titik-titik. M. Harry D - 16.9298 Johnson pdf
- 4. Cara Menghitung Rata-Rata Vektor x Pada Diagram p-dimensi. 𝐱 𝟏 ′ = [ 4, 1 ] 𝐱 𝟐 ′ = [ -1, 3 ] 𝐱 𝟑 ′ = [ 3, 5 ] 1.Hitung rata-rata variabel untuk setiap observasi 2.Plot n=3 vektor pada p=2 dimensi, dan masukkan nilai x pada diagram Gambar 1. Plot data matriks X, n=3 vektor pada p=2 dimensi. Gambar 1 menunjukkan bahwa x adalah balance point pada diagram tersebut. M. Harry D - 16.9298
- 5. Diagram n-dimensi Contoh: 𝑦1 = Vektor variabel ke-1 𝑦𝑝 = vektor varaiabel ke-p Setiap kolom mewakili koordinat titik pada diagram pada diagram n-dimensi. 𝒚 𝟏 ′ = [ 4, -1, 3 ] 𝒚 𝟐 ′ = [ 1, 3, 5 ] Gambar 2. Diagram dengan p = 2 vektor pada n = 3 dimensi M. Harry D - 16.9298 Johnson pdf
- 6. Adanya keterbatasan dalam menggambarkan objek pada dimensi yang lebih dari 3 Menggunakan teorema pythagoras, panjang vektor yang tegak lurus dengan proyeksi vektor y pada vektor satuan adalah 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝟏, sehingga : M. Harry D - 16.9298 Johnson pdf
- 7. Example 3.3 – Dekomposisi Vektor Menjadi Komponen Rata-Rata dan Deviasi Misal X = 4 1 −1 3 3 5 , maka 𝑥𝑖 = 𝑥1𝑖+𝑥2𝑖+⋯+𝑥 𝑛1 𝑛 . 𝑥1 = 4−1+3 3 = 2 dan 𝑥2 = 1+3+5 3 . Dari Example 3.2 diperoleh di = yi + 𝑥𝑖1, d1 = y1 + 𝑥11 = 4 −1 3 − 2 2 2 = 2 −3 1 d2 = y2 + 𝑥21 = 1 3 5 − 3 3 3 = −2 0 2 . Ingat bahwa 𝑥11 dan d1= y1 + 𝑥11 adalah orthogonal, karena ( 𝑥11)’(d1) = 2 2 2 2 −3 = 4-6+2 = 0. Afifatuz Zahra - 16.8970
- 8. Hal tersebut juga berlaku untuk 𝑥21 dan d2= y2 + 𝑥21. Hasil dekomposisinya adalah y1 = 4 −1 3 = 2 2 2 + 2 −3 1 y2 = 1 3 5 = 3 3 3 + −2 0 2 Panjang vektor (𝐿 𝑑 𝑖 2 ) = 𝒅𝒊 ′ 𝒅𝒊 = 𝑗=1 𝑛 𝑥𝑗𝑖 − 𝑥𝑖 2 Dan diketahui varians sampel adalah 𝑠𝑖 2 = 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑗𝑖− 𝑥 𝑖 2 𝑛 . Sehingga dapat ditunjukkan bahwa kuadrat panjang vektor deviasi proporsional terhadap nilai varians variabelnya (semakin panjang vektor maka nilainya semakin bervariasi, begitu juga sebaliknya). Misalkan 𝜃𝑖𝑘 adalah sudut antara vektor 𝑑𝑖 dan 𝑑 𝑘, maka 𝑟𝑖𝑘 = 𝑠 𝑖𝑘 𝑠 𝑖𝑖 𝑠 𝑘𝑘 = cos (𝜃𝑖𝑘). Jadi, nilai cos sudut antara dua vektor adalah koefisien korelasi sampelnya. yi di𝑥𝑖1 Afifatuz Zahra - 16.8970
- 9. Example 3.4 – Menghitung Sn dan R Dari Vektor Deviasi Dari Example 3.3 diperoleh d1 = 2 −3 1 dan d2 = −2 0 2 . 𝒅 𝟏 ′ 𝒅 𝟏 = 2 −3 1 2 −3 1 = 14 = 3𝑠11, sehingga 𝑠11 = 14 3 . 𝒅 𝟐 ′ 𝒅 𝟐 = −2 0 2 −2 0 2 = 8 = 3𝑠22, sehingga 𝑠22 = 8 3 . 𝒅 𝟏 ′ 𝒅 𝟐 = 2 −3 1 −2 0 2 = -2 = 3𝑠12, sehingga 𝑠12 = − 2 3 . 𝑟12 = 𝑠12 𝑠11 𝑠22 = − 2 3 14 3 8 3 = -0.189 Diperoleh 𝑆 𝑛 = 14 3 − 2 3 − 2 3 3 3 dan R = 1 −0.189 −0.189 1 . Afifatuz Zahra - 16.8970 Johnson pdf
- 10. Sample Geometry dan Random Sampling Sample Acak dan nilai ekspektasi dari Sample Mean dan Covarians matriks
- 11. Random Sample Misal kita memiliki variabel random Xjk dalam satu set matriks X (n x p), Tiap set pengukuran Xj dengan p variabel adalah random vector. Sehingga seluruh (n) observasi akan membentuk random Matriks X tersebut. Jika Vektor baris X’1, X’2,...., X’n mewakili Observasi independen dari common joint distribution dengan density function f(x) =f(x1, x2, ..., xp), maka X1, X2, ..., Xn dapat dikatakan sampel random dari f(x). Dalam mempelajari Variabilitas sampling statistika seperti 𝑥 dan Sn dengan tujuan membuat analisis inferensia, diperlukan asumsi pada variabel di tiap observasi. Dimana : 1. Pengukuran sejumlah variabel dalam sekali percobaan akan berkorelasi, dan pengukuran antar percobaan harus independen 2. Independensi tiap percobaan seringkali terlanggar bila data berupa series. Ahmad Rizal- 16.8978 Johnson pdf
- 12. N i l a i E k s p e k t a s i d a r i S a m p l e M e a n d a n Covarians M a t r i k s Misal diketahui X1, X2, ..., Xn adalah sampel acak dari joint distribusi yang memiliki mean vector 𝜇 dan covarians matriks 𝜮. Maka 𝑿 adalah unbiased estimator dari 𝜇, dan covarians matriksnya adalah 𝜮/n. Yang dituliskan dengan : – E( 𝑿) = 𝜇 (Mean vektor populasi) – Cov ( 𝑿) 𝜮/n (Varians-covarians matriks populasi dibagi sample size). Untuk covarians matriks Sn, E(Sn) = 𝑛 −1 𝑛 Σ = Σ – Σ/n Maka, E( 𝑛 𝑛 −1 Sn) = Σ Unbiased Estimator dari Varians-Covarians Matriks : S = ( 𝑛 𝑛 −1 )Sn = 1 𝑛 −1 𝑗=1 𝑛 𝑿𝑗 − 𝑿 𝑿𝑗 − 𝑿 ’ Ahmad Rizal- 16.8978 Johnson pdf
- 13. G e n e l a r i z e d V a r i a n c e Pengertian Generalized variance • Untuk variabel tunggal, varians sampel digunakan untuk menggambarkan variasi data dalam pengukuran variabel tersebut. Namun, ketika terdapat p variabel untuk setiap unit, maka variasinya digambarkan dengan matriks varians-kovarians sampel sebagai berikut. 𝑺 = 𝑠11 ⋯ 𝑠1𝑝 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑠1𝑝 ⋯ 𝑠 𝑝𝑝 = 𝑠𝑖𝑘 = 1 𝑛 − 1 𝑗=1 𝑛 𝑥𝑗𝑖 − 𝑥𝑖 𝑥𝑗𝑘 − 𝑥 𝑘 Hanifah Afuwu- 16.9165 To Johnson pdf
- 14. G e n e l a r i z e d V a r i a n c e ( 2 ) Generalized sample variance dihitung dengan |S| yaitu nilai determinan dari matriks varians- kovarians sampel. Generalized sample variance =|S| Generalized sample variance memberikan informasi tentang semua nilai varians dan kovarians data dalam satu nilai. Ketika p > 1, beberapa informasi tentang sampel akan hilang dalam proses perhitungannya. Namun, interpretasi geometris |S| dapat mengatasi kekurangan dan kelebihannya. Hanifah Afuwu- 16.9165 Johnson pdf
- 15. Ketika p=2 maka akan menghasilkan 2 vektor deviasi yaitu 𝑑1 = 𝑦1 − 𝑥11 dan 𝑑2 = 𝑦2 − 𝑥21. Sehingga 𝐿 𝑑1 adalah panjang dari 𝑑1 dan 𝐿 𝑑2 adalah panjang dari 𝑑2. Luas trapesium :|𝐿 𝑑1 sin ⍬ | 𝐿 𝑑2 Karena 𝑐𝑜𝑠2 (⍬) + 𝑠𝑖𝑛2 (⍬) = 1 maka rumus diatas dapat ditulis 𝐿 𝑑1 sin(𝜃) 𝐿 𝑑2 = 𝐿 𝑑1 𝐿 𝑑2 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) Hanifah Afuwu- 16.9165 Johnson pdf
- 16. Dimana dan 𝒄𝒐𝒔 ⍬ = 𝒓 𝟏𝟐 Jadi, 𝑨𝒓𝒆𝒂 = 𝒏 − 𝟏 𝒔 𝟏𝟏 𝒔 𝟐𝟐 𝟏 − 𝒓 𝟏𝟐 𝟐 = 𝒏 − 𝟏 𝒔 𝟏𝟏 𝒔 𝟐𝟐 𝟏 − 𝒓 𝟏𝟐 𝟐 𝑺 = 𝒔 𝟏𝟏 𝒔 𝟏𝟐 𝒔 𝟏𝟐 𝒔 𝟐𝟐 = 𝒔 𝟏𝟏 𝒔 𝟏𝟏 𝒔 𝟐𝟐 𝒓 𝟏𝟐 𝒔 𝟏𝟏 𝒔 𝟐𝟐 𝒓 𝟏𝟐 𝒔 𝟐𝟐 = 𝒔 𝟏𝟏 𝒔 𝟐𝟐 − 𝒔 𝟏𝟏 𝒔 𝟐𝟐 𝒓 𝟏𝟐 𝟐 = 𝒔 𝟏𝟏 𝒔 𝟐𝟐 𝟏 − 𝒓 𝟏𝟐 𝟐 𝑺 = 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝟐 𝒏 − 𝟏 𝟐 𝑳 𝒅 𝟏 = 𝒋=𝟏 𝒏 𝒙𝒋𝟏 − 𝒙 𝟏 𝟐 = 𝒏 − 𝟏 𝒔 𝟏𝟏 𝑳 𝒅 𝟐 = 𝒋=𝟏 𝒏 𝒙𝒋𝟐 − 𝒙 𝟐 𝟐 = 𝒏 − 𝟏 𝒔 𝟐𝟐 Hanifah Afuwu- 16.9165 Johnson pdf
- 17. Generalized sample variance untuk p>2 atau p=p • Ketika p=p maka akan menghasilkan p vektor deviasi yaitu 𝒅 𝟏 = 𝒚 𝟏 − 𝑥1 𝟏, 𝒅 𝟐 = 𝒚 𝟐 − 𝑥2 𝟏, … , 𝒅 𝒑 = 𝒚 𝒑 − 𝑥 𝑝 𝟏. Sehingga perhitungan generalized sample variance menjadi : 𝑺 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑝 𝑛 − 1 𝑝 Hanifah Afuwu- 16.9165 Johnson pdf
- 18. Contoh Hanifah Afuwu- 16.9165 Catatan : GV sampel membesar, jika ada vektor deviasi yang memanjang, yang menyatakan variasi di dalam variabel juga membesar (korelasinya mengecil) GV sampel mengecil, jika arah dari 2 vektor deviasi semakin berimpitan , yang menyatakan variasi di dalam variabel juga mengecil (korelasinya membesar) Johnson pdf
- 19. Ketika Generalis asi Varians Sampel bernilai ‘0’ |S| = 0 ketika salah satu kolom di dalam matriks X – 1𝐱 ̅^′ merupakan kombinasi linier dari kolom lainnya. Misalnya ketika ada variabel nilai akhir, dan nilai UAS. Nilai akhir = nilai UTS + nilai UAS, maka nilai akhir merupakan kombinasi liner dari nilai UAS Nabilla Fathasya-16.9317 To Johnson pdf
- 20. Indikasi (Johnson, p. 131 – 134) Sa = 0 a adalah vektor eigen dari S dengan eigenvalue ‘0’ 2. a’(𝐱_𝐣 - 𝐱 ̅) = 0 untuk semua j kombinasi linear dari matriks X – 1 𝐱 ̅^′ bernilai ‘0’ 3. a’𝐱_𝐣=c, untuk semua j (c="a’" 𝐱 ̅")" kombinasi linear dari matriks X (data asli) bernilai ‘c’Dampak Didalam perhitungan statistik dan analisisnya jika |S| = 0 terjadi maka ada variabel yang harus direduksi. Pertanyaannya variabel manakah yang harus direduksi? ? Nabilla Fathasya-16.9317 To Johnson pdf
- 21. Generalisasi Varians Sampel yang telah Distandardisasi Observasi terstandar = xjk − xk skk Kemudian matriks varians-kovarians nya disebut R. Karena panjang vektor adalah n − 1 |R| akan besar ketika vektor-vektor ini saling orthogonal dan akan bernilai kecil ketika vektor- vektor memiliki arah yang sama. Dari persamaan rik =sik sii skk = cos(θ𝑖𝑘) maka|R| akan bernilai besar ketika rik mendekati ‘0’ dan bernilai kecil ketika rik mendekati ‘1’. Sehingga |R|= (n − 1)−p (volume)2 Nabilla Fathasya-16.9317 To Johnson pdf
- 22. Hubungan dengan S Efek yang ditimbulkan oleh 𝐝 𝟐 varians besar di|S| lebih besar dibanding |R|. Hubungan yang dapat ditarik antar keduanya yaitu (n − 1)p 𝐒 = n − 1 p (s11s22 … spp)|𝐑| Nabilla Fathasya-16.9317 Johnson pdf
- 23. Contoh soal Generalized variance p.124 (johnson) Example 3.7. Terdapat data mengenai karyawan (x1) dan pendapatan per karyawan (x2) untuk 16 perusahan penerbitan terbesar di Amerika Serikat. Berikut ini matriks sampel varians-kovariansya. 𝑺 = 252,04 −68,43 −68,43 123,67 Hitunglah generalized variance! Jawab : 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑒𝑑 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒 = 𝑺 = 252,04 123,67 − −68,43 −68,43 = 26,487 Hanifah Afuwu- 16.9165 Johnson pdf
- 24. M a t r i k s R a t a - R a t a , V a r i a n s - c ov ar i an s d a n K o r e l a s i S a m p e l Misalkan diberikan sebuah matriks X : X= 𝑥11 ⋯ 𝑥1𝑝 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑥1𝑝 ⋯ 𝑥 𝑛𝑝 = 𝑦1 ⋯ 𝑦𝑝 Maka: 𝒙 = 𝑦1 1 𝑛 … 𝑦 𝑝 1 𝑛 = 1 𝑛 𝑥11 ⋯ 𝑥1𝑝 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑥1𝑝 ⋯ 𝑥 𝑛𝑝 1 ⋯ 1 = 1 𝑛 X’1 Matriks var-cov sampel yang tidak bias adalah 𝑺 = 1 𝑛 − 1 𝑿′ 𝑰 − 𝟏 𝒏 𝟏′ 𝟏 𝑿 Kartika Ningtyas-16.9216 Johnson pdf
- 25. M a t r i k s K o r e l a s i 𝑹 = 𝑠11 𝑠11 𝑠11 ⋯ 𝑠1𝑝 𝑠11 𝑠 𝑝𝑝 𝑠21 𝑠11 𝑠22 ⋯ 𝑠2𝑝 𝑠22 𝑠 𝑝𝑝 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑠 𝑝1 𝑠11 𝑠 𝑝𝑝 ⋯ 𝑠 𝑝𝑝 𝑠 𝑝𝑝 𝑠 𝑝𝑝 = 𝟏 𝒓 𝟏𝟐 … ⋮ ⋮ ⋱ 𝒓 𝟏𝒑 𝒓 𝟐𝒑 ⋯ 𝒓 𝟏𝒑 ⋮ 𝟏 Kartika Ningtyas-16.9216 Johnson pdf
- 26. Nilai Sampel yang Saling Berkombinasi Linear dalam Satu Variabel Misalkan terdapat sebuah kombinasi linear dari p variabel 𝒃′ 𝑿 = 𝑏1 𝑋1 + 𝑏2 𝑋2 + … + 𝑏 𝑝 𝑋 𝑝 Maka diperoleh: Sample mean = 𝒃′ 𝒙 Sample variance = 𝒃′ 𝑺𝒃 Sample covariance dari 𝒃′ 𝒙 dan 𝐜′ 𝒙 = 𝒃′ 𝑺𝒄 Atau jika dimisalkan sebuah matriks A berukuran q x p dengan baris ke-k berisi kombinasi linear dari p variabel, maka untuk q kombinasi linear akan memiliki: Sample mean = 𝑨 𝒙 Sample variance = A 𝑺𝑨′ Kartika Ningtyas-16.9216 Johnson pdf
- 28. Sample Geometry dan Random Sampling Consider the data matrix 𝑿 = −1 3 −2 2 4 2 5 2 3 a. Calculate the matrix of deviations (residuals), 𝑿 − 𝟏 𝒙′. Is this matrix of full rank? Explain. b. Determine S and calculate the generalized sample variance 𝑺 . Interpret the latter geometrically. c. Using the result in (b), calculate the total sample variance.