Posobie 3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов
Высшая математика III
САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Производная и её приложения
Издание третье
Рекомендовано
Сибирским региональным учебно-методическим
центром высшего профессионального образования
в качестве учебного пособия для студентов
и преподавателей вузов
Издательство Томского политехнического университета
Томск 2007

2
УДК 517
Т19
Тарбокова Т.В.
Т19 Высшая математика III. Самоучитель решения задач.
Производная и её приложения: учебное пособие / Т.В. Тарбокова,
В.М. Шахматов. – Томск: Изд-во Томского политехнического
университета, 2007. – 122 с.
Самоучитель решения задач является третьей частью комплекта
учебных пособий по курсу высшей математики, направленных на
формирование и развитие познавательной самостоятельности студентов.
Содержит теоретические сведения, наборы задач для индивидуальных
домашних заданий и алгоритмы их решения по следующим разделам:
предел и непрерывность функции одного аргумента. Для студентов всех
специальностей вузов.
УДК 517
Рекомендовано к печати Редакционно-издательским
советом Томского политехнического университета
Рецензенты
Доктор педагогических наук,
профессор, зав. кафедрой математики,
теории и методики обучения математике ТГПУ
Э.Г. Гельфман
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры общей математики ТГУ
Н.Ю. Галанова
© Томский политехнический университет, 2007
© Оформление. Издательство Томского политехнического университета, 2007

3
Содержание
1. Введение ............................................................................................. 3
2. Техника дифференцирования. Задание 1 (а – е) .............................. 6
3. Уравнения касательной и нормали
к графику функции. Задание 2 (а, б) .............................................. 15
4. Правило Лопиталя. Задание 3 (а – г) .............................................. 16
5. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке. Задание 4а ..................................................................... 18
6. Производные высших порядков. Задание 5 (а – г) ........................ 19
7. Дифференциал. Задание 6 (а – б) .................................................... 20
8. Условия монотонности и экстремумы функции.
Задание 7 (а – в) ................................................................................ 23
9. Интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции, точки перегиба. Задание 8 а ............................ 24
10. Асимптоты графика функции. Задание 9а ..................................... 25
11. Полное исследование функции
и построение графика. Задание 10 а ............................................... 25
12. Ответы к заданию 1 ......................................................................... 29
13. Ответы к заданию 2 ......................................................................... 36
14. Ответы к заданию 3 ......................................................................... 38
15. Ответы к заданию 4 ......................................................................... 40
16. Ответы к заданию 5 ......................................................................... 40
17. Ответы к заданию 6 ......................................................................... 43
18. Ответы к заданию 7 ......................................................................... 45
19. Ответы к заданию 8 ......................................................................... 48
20. Ответы к заданию 9 ......................................................................... 50
21. Ответы к заданию 10 ....................................................................... 52
22. Обязательные ИДЗ. Задания 1 – 10 ................................................ 55
23. Упражнения по технике дифференцирования
функции одного аргумента. Задания 11 – 27 ................................. 83
24. Дополнительные ИДЗ. Задания 28 – 45 ......................................... 99
25. Список рекомендуемой литературы ................................................ 4

4
Введение
Настоящее учебное пособие – самоучитель решения задач –
предназначено в помощь первокурсникам любой формы обучения
и содержит как теоретический материал, изложение которого
иллюстрируется решенными примерами, так и варианты типовых
домашних индивидуальных заданий по теме: «Производная и её
приложения».
Теоретический материал, как правило, излагается в виде
ответов на поставленные перед студентом вопросы. Вопросы
занумерованы: 1-е число соответствует номеру решаемой задачи,
2-е – порядковому номеру вопроса. Ответы можно найти в конце
учебного пособия (с. 29 – 54). Рекомендуется сделать три
закладки в книгу, отделяющие страницу изучаемого материала,
ответы и индивидуальные задания. Отвечая на поставленные
вопросы и делая записи в соответствии с рекомендациями,
студент не только справится с решением задач своего
варианта, но хорошо усвоит теоретический материал и даже
создаст свой конспект по наиболее трудным для понимания
вопросам из изучаемых разделов высшей математики.
С помощью самоучителя легко проконтролировать
качество усвоения теоретического материала, так как основные
определения и теоремы в пособии представлены специальным
образом: вопросы и ответы на них разделены вертикальной
чертой. Закрыв текст справа от черты, нужно лишь ответить
самостоятельно на вопрос в устной, а еще лучше в письменной
форме и, открыв текст справа, сверить результат.
Одна тысяча восемьсот задач – 60 индивидуальных заданий в
30 вариантах – позволят студентам выбрать задачи для
самостоятельного решения и закрепления навыков,
приобретенных при решении примеров одного из вариантов, а
преподавателей обеспечат богатым банком заданий.
Пособие в основном ориентировано на студента среднего
уровня подготовки, и усвоение содержащегося в нем материала
гарантирует удовлетворительные и хорошие знания.

5
Чтобы получить отличные знания, необходимо в
совершенстве овладеть теорией и практикой решения задач
повышенного уровня сложности, и в этом окажут помощь
учебники и сборники задач из списка рекомендуемой литературы,
а также задания повышенного уровня сложности, содержащиеся в
данном пособии.

6
ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
ЗАДАНИЕ 1.0 (1. №моего варианта)
– Найти производные первого порядка данных функций одного
аргумента.
Подготовимся к выполнению задания, повторив теоретический
материал.
1.1. Что представляет собой приращение аргумента xΔ функции ( )y f x=
в точке 0x ?
……………………………………………………………………………………..
1.2. Как найти приращение yΔ функции ( )y f x= , соответствующее
приращению аргумента xΔ в точке 0x ?
……………………………………………………………………………………...
1.3. Сформулируйте определение производной функции ( )y f x= в точке
0x x= .
……………………………………………………………………………………...
1.4. Какие действия называют дифференцированием функции?
…………………………………………………………………………………….
1.5. Сформулируйте основные правила дифференцирования функции
одного аргумента.
…………………………………………………………………………………….
1.6. Какую производную имеет постоянная функция?
…………………………………………………………………………………….
1.7. Как найти производную степенной функции?
…………………………………………………………………………………….
При отыскании производных степенных функций ( ( ))n
y u x= полезно
запомнить формулы для некоторых частных случаев показателя n.
Таблица 1
Степенная функция
( ( ))n
y u x=
Производная степенной функции
/ 1 /n
xy nu u−
= ⋅
1 ( )n y u x= ⇒ = / / /
( ( )) 1xy u x u= = ⋅
1 1
1n y u
u
−
= − ⇒ = = / 1 / / 2 / /
2
1 1
( ) ( ) x xy u u u u
u u
− −
= = = − ⋅ = − ⋅
1
2
1
2
n y u u= ⇒ = =
1 1
/ / / / /2 2
1 1
( ) ( )
2 2
x xy u u u u u
u
−
= = = ⋅ = ⋅
1
2
1 1
2
n y u
u
−
= − ⇒ = =
1 3
/ / / /2 2
3
1 1
( )
2 2
x xy u u u u
u
− −
= = − ⋅ = − ⋅

7
Необходимо уметь преобразовывать степенные функции с дробными и
отрицательными показателями, имея в виду, что:
m
n m nu u= ;
1 m
m
u
u
−
= .
При дифференцировании хорошо также не забывать, что постоянные
сомножители выносятся за знак производной.
Научиться дифференцировать любую функцию Вы сможете только
после того, как выучите все правила дифференцирования и таблицу
производных и будете проговаривать эти правила и формулы мысленно
или вслух, выполняя каждое задание.
Например, найдем производную функции
6 4 2
2
3 4 2
15 1
x x x
y
x
+ − −
=
+
.
Вынесем
15
1
за знак производной;
применим правило дифференцирования дроби:
производную числителя 6 4 2 / 5 3
(3 4 2) 3 6 4 4 2 0x x x x x x+ − − = ⋅ + ⋅ − −
умножим на знаменатель 2
1 x+ ; отнимем числитель 6 4 2
(3 4 2)x x x+ − − ,
умноженный на производную знаменателя
1
2 / 2 / 2 /2
2 2 2
1 1
( 1 ) ((1 ) ) (1 ) (0 2 )
2 1 2 1 1
x
x x x x
x x x
+ = + = ⋅ + = ⋅ + =
+ + +
;
и эту разность разделим на квадрат знаменателя, то есть:
5 3 2 6 4 2
6 4 2 2
/ /
22
(18 16 2 ) 1 (3 4 2)
1 3 4 2 1 1( )
15 15 11
x
x x x x x x x
x x x xy
xx
+ − + − + − − ⋅
+ − − += = ⋅
++
=
желательно сделать алгебраические преобразования, упрощающие
выражение для производной,
5 3 2 6 4 2
3
2 2
7 5 3 3 4 2
3 2
3 3
2 22 2
(18 16 2 )(1 ) (3 4 2)
15(1 )
15 30 15 15 ( 2 1)
1 .
15(1 ) 15(1 )
x x x x x x x x
x
x x x x x x
x x
x x
+ − + − + − −
= =
+
+ + + +
= = = +
+ +
Ответ: / 3 2
1y x x= + .
В примере
2
2
(2 1)x x x
y
x
+ −
= функцию y можно, конечно,
дифференцировать как дробь, и производную числителя найти по правилу
дифференцирования произведения, но удобнее сначала преобразовать
функцию

8
2
2 1 2 2
2 2 2
(2 1) 2 1
( ) (2 )
x x x x
y x x x x x x
x x x
− −+ −
= = + − = + −
и применить только правило нахождения производной произведения:
производную первого сомножителя 1 2 / 2 3
(2 ) 2( 1) 2x x x x− − − −
+ = − −
умножим на второй сомножитель 2
x x− и прибавим первый
сомножитель 1 2
(2 )x x− −
+ , умноженный на производную второго
сомножителя 2 / 2 /
2 2
1 1
( ) ( ) (2 1)
2 2
x x x x x
x x x x
− = ⋅ − = ⋅ −
− −
, то есть
/ 2 3 2 1 2
2
1
( 2 2 ) (2 ) (2 1)
2
y x x x x x x x
x x
− − − −
= − − − + + −
−
.
Полученное выражение можно упростить:
2 2
/
3 2 2 2
4( 1)( ) (2 )(2 1) 3
2 2
x x x x x x
y
x x x x x x
− + − + + −
= =
− −
.
Замечание. Функцию
2
2
(2 1)x x x
y
x
+ −
= можно было преобразовать
по-другому:
2 2
2
(2 1) 2 1 1 1
(2 ) 1
x x x x x x
y
x x x xx
+ − + −
= = ⋅ = + ⋅ − и
получить менее громоздкое выражение для производной:
/
2 2
1 1 1 1 1
(0 ) 1 (2 ) (0 )
1
2 1
y
x xx x
x
= − − + + +
−
, которое и упрощать
легче: /
2 2 2
3
1
2 ( ) 2 11 1 2 1 3
( )
1 1 22 2
x
x xx x xy
x x xx x x xx x
x x
−
− −− +
= − − = − =
− − −
.
Ответ: /
2 2
3
2
y
x x x
=
−
.
Запишите функцию задания 1номер варианта а).
Какие правила и формулы Вы примените для дифференцирования
данной функции?
Найдите производную функции задания 1а Вашего варианта.
………………………………………………………………………………….
Ответ 1….а)……………………………………………………………………
Для отыскания производных следующих примеров Вашего
индивидуального задания Вам понадобится использовать формулы таблицы
производных:

9
Производная функции одного аргумента
и правила дифференцирования
( ( ), ( ), )u u x v v x c const= = =
Таблица производных
1. /
( ) 0;сonst =
степенные функции
2. / 1 /
( ) ;n n
u n u u−
= ⋅ ⋅
2a. /
( ) 1;x =
2b. 2 / /
( ) 2 ;u u u= ⋅ ⋅
2c. / /
2
1 1
( ) ;u
u u
= − ⋅
2e. / /1
( ) ;
2
u u
u
= ⋅
⋅
показательные функции
3. / /
( ) ln ;u u
a a a u= ⋅ ⋅
3a. / /
( ) ;u u
e e u= ⋅
логарифмические функции
4. / /1
(log ) ;
lna u u
u a
= ⋅
⋅
4a. / /1
(ln ) ;u u
u
= ⋅
тригонометрические функции
5. / /
(sin ) cos ;u u u= ⋅
6. / /
(cos ) sin ;u u u= − ⋅
7. / /
2
1
( ) ;
cos
tgu u
u
= ⋅
8. / /
2
1
( ) ;
sin
ctgu u
u
= − ⋅
обратные тригонометрические
функции
9. / /
2
1
(arcsin ) ;
1
u u
u
= ⋅
−
10. / /
2
1
(arccos ) ;
1
u u
u
= − ⋅
−
11. / /
2
1
( ) ;
1
arctgu u
u
= ⋅
+
12. / /
2
1
( ) ;
1
arcctgu u
u
= − ⋅
+
гиперболические функции
13. / /
( ) ;shu ch u u= ⋅
14. / /
( ) ;chu sh u u= ⋅
15. / /
2
1
( ) ;thu u
ch u
= ⋅
16. / /
2
1
( ) ;cthu u
sh u
= − ⋅
показательно – степенные функции
17. / / 1 /
( ) lnv v v
u u u v v u u−
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
модуль функции
18. / /
sgnu u u= ⋅ , ( sgn )u u u= ⋅ ,
где
1, 0
sgn 1, 0;
0, 0.
u
u u
u
⎧ >⎪⎪⎪⎪= − <⎨
⎪⎪ =⎪⎪⎩
– функция
знак u (сигнум u).
Правила дифференцирования
1. / /
( ) ;сu c u= ⋅ 1a. ;
1
)( //
u
cc
u
⋅=
2. / / /
( ) ;u v u v+ = +
3. / / /
( ) ;u v u v u v⋅ = ⋅ + ⋅
4. ( )
/ /
2
;
u u v u v
v v
′ ⋅ − ⋅
=
5. Сложная функция
/ / /
( ( ( )) ;u xF u x F u= ⋅
6. Параметрически заданная
функция
/ / /
/ //
/ /
( ), ( )
; ;
( )
t x t
x xx
t t
x x t y y
y y
y y t x x
⎧ =⎪⎪ ⇒ = =⎨
⎪ =⎪⎩
7. Неявно заданная функция
( )y y x= уравнением

10
( , ) 0;F x y = ⇒чтобы найти
производную неявно заданной
функции, нужно
продифференцировать обе части
уравнения ( , ) 0,F x y = считая y
функцией от х и применяя
правило 5 дифференцирования
сложной функции;
8. Логарифмическое
дифференцирование
( ) ln ln ( );y f x y f x= ⇒ =
/ /1
(ln ( )) .y f x
y
⋅ =
Поупражняемся в применении этих формул
1.8. По какому правилу находят производную синуса?
…………………………………………………………………………………..
1.9. Найдите производную функции 5
sin 10y x= + .
………………………………………………………………………………….
1.10. Какую производную имеет функция косинус cosy u= ?
………………………………………………………………………………….
1.11. Продифференцируйте функцию cos5y x= .
………………………………………………………………………………….
1.12. Как найти производную тангенса?
………………………………………………………………………………….
1.13. Продифференцируйте функцию 3
2y tg x= .
………………………………………………………………………………….
1.14. По какой формуле находят производную котангенса?
………………………………………………………………………………….
5y ctg x= .
………………………………………………………………………………….
1.16. Какую производную имеет логарифмическая функция
log ( )ay u x= ?
………………………………………………………………………………….
1.17. lg(4sin2 ).y x= Найдите /
y .
………………………………………………………………………………….
1.18. Как получить производную натурального логарифма, то есть
функции ln ( )y u x= ?
………………………………………………………………………………….
ln 7y tg x= .
………………………………………………………………………………….
1.20. По какому правилу находят производную показательной функции
( )u x
y a= ?
………………………………………………………………………………….

11
6ctg x
y = .
………………………………………………………………………………….
1.22. Какую производную имеет экспоненциальная функция ( )u x
y e= ?
………………………………………………………………………………….
1.23. Найдите производную функции
cos
2
x
y e= .
………………………………………………………………………………….
1.24. Какой функции равна производная арксинуса?
………………………………………………………………………………….
(arcsin5 )y x= .
………………………………………………………………………………….
1.26. Как находят производную арккосинуса?
………………………………………………………………………………….
1.27. Получите производную функции 23
arccos(7 3)y x= + .
………………………………………………………………………………….
1.28. Какую производную имеет функция арктангенс?
………………………………………………………………………………….
1
2arctg x
y = .
………………………………………………………………………………….
1.30. Какой функции равна производная арккотангенса?
………………………………………………………………………………….
1.31. Найдите производную функции
2
4
ln
x
x
arcctg e
y
arctg e
= .
………………………………………………………………………………….
1.32. Какие правила следует использовать при нахождении производной
функции
1
( )mx a
y arctg e
bm ab
= , где , ,a b m − постоянные.
………………………………………………………………………………….
Применяем соответствующие правила и находим производную:
/
2
2
1 1
1 ( )
mx
mx
mx
mx
a e
y e m
bm ab a b ae
e
b
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
+
+
.
Ответ: /
2
mx
mx
e
y
b ae
=
+
.

12
1.33. Какие правила следует применить для того, чтобы найти
производную функции
2
2
1 1
ln
1 1
x x x
x x x
e e e
y
e e e
+ + − −
=
+ + − +
?
Вспомним, как преобразуют логарифм произведения и частного:
ln ln lnab a b= + ; ln ln ln
a
a b
b
= − , заметив, что данную функцию можно
упростить, если обозначить 2
( ) 1 x x x
u x e e e= + + − . Тогда можно
записать:
1
ln ln( 1) ln( 1)
1
u
y u u
u
−
= = − − +
+
. Поэтому
/ / / /
2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 2
( )
1 1 1 1
2 1
( ( 2 ) )
1 2 1 1 2 1
2 2 2 1 1
2 2 1 2 1 1
x x x
x x x
x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
u u
y u u u
u u u u
e e e
e e e e e e e e
e e e e e
e e e e e e e e e
+ − +
= − ⋅ = ⋅ = ⋅ =
− + − −
= ⋅ + − =
+ + − + + + − + +
+ − + +
= ⋅ =
+ − + + + + + +
Ответ: /
2
1
1 x x
y
e e
=
+ +
.
Найдите производную функции задания 1 номер варианта б).
…………………………………………………………………………………..
Ответ 1….б)……………………………………………………………………
1.34. Какие правила Вы примените, чтобы получить производную функции
2
1 sin 31
cos( )
3 31cos62
x
y tg
x
= + ?
…………………………………………………………………………………...
Продифференцируем данную функцию:
2
/
2
1 (2sin31 cos31 31) cos62 sin 31 ( sin62 62)
0
31 cos 62
x x x x x
y
x
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
= + ⋅ .
После упрощений будем иметь:
2 2 2
/
2 2
sin62 (cos 31 sin 31 2sin 31 ) sin62 62
cos62cos 62 cos 62
x x x x x tg x
y
xx x
− +
= = = .
Ответ: / 62
cos62
tg x
y
x
= .

13
Найдите производную функции задания 1 номер варианта в).
………………………………………………………………………………….....
Ответ 1….в)……………………………………………………………………..
Дальнейшие Ваши успехи в технике дифференцирования будут
зависеть от количества выполненных Вами упражнений. Возьмите любой
задачник, например, из списка рекомендуемой литературы (стр. 4) и
упражняйтесь до тех пор, пока результаты Ваших решений не перестанут
отличаться от ответов в задачнике.
Функции, производные которых мы находили, называют явными.
Стандартное обозначение явно заданной функции ( )y f x= , то есть слева
– обозначение функции, а справа – запись ее зависимости от аргумента x.
Если же уравнение ( , ) 0F x y = , задающее функцию, не решено
относительно y , то функцию ( )y x называют заданной неявно уравнением
( , ) 0F x y = .
1.35. Сформулируйте и выучите правило дифференцирования неявно
заданной функции.
…………………………………………………………………………………...
Например, найдем производную функции ( )y x , заданной неявно
уравнением sin cos( ) cosy x x y y+ − = .
1.36. Какие правила нужно применить, чтобы отыскать производную
данной функции?
…………………………………………………………………………………...
Получим уравнение относительно искомой производной
/ / /
sin cos sin( ) (1 ) siny x y x x y y y y⋅ + ⋅ − − ⋅ − = − ⋅ и выразим
производную /
y явно из этого уравнения: / sin( ) cos
sin sin( ) sin
x y y x
y
x x y y
− −
=
+ − +
.
Ответ: / sin( ) cos
sin sin( ) sin
x y y x
y
x x y y
− −
=
+ − +
.
Найдите производную функции задания 1 номер варианта г).
…………………………………………………………………………………...
Ответ 1….г)…………………………………………………………………….
1.37. В чем заключается метод логарифмического дифференцирования?
…………………………………………………………………………………...

14
1.38. В каких случаях применяют метод логарифмического
дифференцирования?
…………………………………………………………………………………...
Применим метод логарифмического дифференцирования для нахождения
производной функции sin3
( 2 ) x
y arctg x= .
1.39. Какие правила используете для решения данного примера?
…………………………………………………………………………………...
Прологарифмируем функцию: ln sin3 ln 2y x arctg x= ⋅ и найдем
производную полученной неявно заданной функции
/
2
1 1 1
cos3 3 ln 2 sin3 2
2 1 4
y x arctg x x
y arctg x x
⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
+
, откуда
/ sin3
2
2sin3
( 2 ) (3cos3 ln 2 )
(1 4 ) 2
x x
y arctg x x arctg x
x arctg x
= ⋅ +
+
.
Замечание. Эту производную можно было найти иначе, применяя правило
дифференцирования показательно – степенной функции ( )
( )v x
y u x= , и
основание, и показатель которой являются функциями независимой
переменной x.
1.40. По какому правилу можно продифференцировать показательно –
степенную функцию?
…………………………………………………………………………………...
Применяя правило, получим
/ sin3 1 sin 2
2
sin3
2
1
sin3 ( 2 ) 2 ( 2 ) ln 2 cos3 3
1 4
2sin3
( 2 ) ( 3cos3 ln 2 ).
2 (1 4 )
x x
x
y x arctg x arctg x arctg x x
x
x
arctg x x arctg x
arctg x x
−
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
+
= + ⋅
⋅ +
Очевидно, результат – тот же самый.
Ответ: / sin3
2
2sin3
( 2 ) (3cos3 ln 2 )
(1 4 ) 2
x x
y arctg x x arctg x
x arctg x
= ⋅ +
+
.
Запишите задание 1 номер варианта д) и выполните его.
…………………………………………………………………………………...
Ответ 1….д)…………………………………………………………………….
1.41. Когда говорят, что функция задана параметрически?
…………………………………………………………………………………...

15
1.42. Как найти производную параметрически заданной функции?
…………………………………………………………………………………...
В качестве упражнения получим производную /
xy функции, заданной
параметрически:
2
arcsin( 1),
arccos2 .
x t
y t
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
1.43. Какие формулы и правила применим?
…………………………………………………………………………………...
Итак,
/ 22
/
/ 2
2 2
1
2
21 4
1 1 42
1 ( 1)
t
x
t
y t tty
x t tt
t
− ⋅
−−= = = −
−⋅
− −
.
Ответ:
2
/
2
2
1 4
x
t t
y
t t
−
= −
−
.
Решите пример задания 1 номер варианта е).
…………………………………………………………………………………
Ответ 1….е)……………………………………………………………………
УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
ЗАДАНИЕ 2.0 (2. № МОЕГО ВАРИАНТА)
- Написать уравнение касательной и нормали к графику функции
( )y f x= в точке 0 0( , )M x y .
2.1. Сформулируйте определение касательной к графику функции
( )y f x= в точке 0 0( , )M x y .
…………………………………………………………………………………...
2.2. В чем заключается геометрический смысл производной функции
в точке?
…………………………………………………………………………………...
2.3. По какой формуле можно найти уравнение касательной к графику
функции ( )y f x= в точке 0 0( , )M x y ?
…………………………………………………………………………………...
2.4. Сформулируйте определение нормали к графику функции ( )y f x= в
точке 0 0( , )M x y .
…………………………………………………………………………………...

16
2.5. По какой формуле можно найти уравнение нормали к графику
функции ( )y f x= в точке 0 0( , )M x y ?
…………………………………………………………………………………...
Придерживаясь следующего плана решения,
выполните задание 2 номер варианта а).
1) вычислить значение 0 0( )y f x= функции в указанной точке;
2) найти угловой коэффициент касательной /
1 0( )k y x= и угловой
коэффициент нормали 2 /
1 0
1 1
( )
k
k y x
= − = − к графику функции в данной
точке;
3) записать уравнение касательной по формуле 2.3 и уравнение нормали
по формуле 2.5.
Ответ 2….а)……………………………………………………………………
2.6. Как найти угол, под которым пересекаются две линии?
…………………………………………………………………………………...
Выполните задание 2 номер варианта б).
…………………………………………………………………………………...
Ответ 2….б)…………………………………………………………………….
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
– Вычислить пределы функций, применяя правило Лопиталя.
Французский инженер Гильом Франсуа де Лопиталь (1661 – 1704)
доказал теоремы, которые очень эффективно применяются для вычисления
пределов.
Для практических приложений, опуская строгость формулировок
теорем Лопиталя, можно пользоваться правилом Лопиталя.
3.1. Как формулируется правило Лопиталя?
…………………………………………………………………………………...
3.2. Какие другие виды неопределенностей можно преобразовать к
неопределенностям вида { }0
0
или { }∞
∞
?
……………………………………………………………………………...
3.3. Как можно тождественно преобразовать неопределенность вида
{ }∞ −∞ , чтобы ее можно было раскрыть по правилу Лопиталя?
…………………………………………………………………………………...

17
3.4. Как можно тождественно преобразовать неопределенность вида
{ }0⋅∞ , чтобы ее можно было раскрыть по правилу Лопиталя?
…………………………………………………………………………………...
3.5. Как можно тождественно преобразовать показательно – степенные
неопределенность вида { }1∞
, { }0
0 , { }0
∞ , чтобы их можно было
раскрыть по правилу Лопиталя?
…………………………………………………………………………………...
Рассмотренные тождественные преобразования можно собрать в
таблице 2 рекомендаций по применению правила Лопиталя.
Таблица 2
№
Вид
неопределенности
Преобразования
Результат
преобразований
(c, d – const)
1 { }0⋅∞
1.1
( ) ( )
( ) ( )
1 1
( ) ( )
f x h x
f x h x
h x f x
⋅ = =
{ }0
0
или { }∞
∞
–
применить
правило
Лопиталя.
2 { }∞−∞
2.1. Дроби привести к общему
знаменателю;
2.2. Умножить и разделить
разность функций на
сопряженное выражение,
если это разность
квадратных корней;
2.3. Умножить и разделить
разность функций на
неполный квадрат суммы
этих функций, если это
разность корней кубических;
2.4.
1 1
( ) ( )
( ) ( )
1
( ) ( )
h x f x
f x h x
f x h x
−
− =
⋅
{ }0
c
= ∞;
{ } 0
c
=
∞
;
{ }0
0
c
= ;
{ }c
∞
= ∞;
{ }с
A
d
=
{ }0
0
или { }∞
∞
–
применить
правило
Лопиталя.

18
Таблица 2 (продолжение)
3
{ }
{ }
{ }
0
0
1 ,
0 ,
.
∞
∞
3.1.
ln ln ;
lim ln lim .
v
A
x a x a
y u y v u
y A y e
→ →
= ⇒ =
= ⇒ =
3.2.
lnv v u
y u e ⋅
= =
См. выше
Запишите задания 3.номер варианта а, б, в, г).
…………………………………………………………………………………
3.6. Как выяснить, какого вида неопределенности в этих заданиях?
…………………………………………………………………………………..
Примените правило Лопиталя для раскрытия полученных
неопределенностей, воспользовавшись в случае необходимости
тождественными преобразованиями.
Ответ 3…..а, б, в, г…………………………………………………………….
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ
– Найти наибольшее и наименьшее значения функции ( )f x на
данном отрезке.
4.1. Какую теорему применяют для решения поставленной задачи?
…………………………………………………………………………………...
Придерживаясь последовательности следующих пунктов плана
отыскания наибольшего и наименьшего значений функции ( )f x на
отрезке [ ],a b , выполните задание 4номер варианта а).
1. Найти производную первого порядка данной функции;
2. Найти все критические точки ix , принадлежащие отрезку [ ],a b ; в
критических точках первого порядка производная первого порядка
исследуемой функции равна нулю или бесконечности, или не
существует;
3. Вычислить ( )if x – значения функции во всех критических точках,
оказавшихся на отрезке [ ],a b , 1,2,...i n= ;
4. Вычислить ( )f a и ( )f b – значения функции на концах отрезка;
5. Сравнить все полученные значения функции ( ), ( ), ( )if x f a f b и
выбрать из них наибольшее и наименьшее.

19
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
ЗАДАНИЕ 5.0 (5.№ МОЕГО ВАРИАНТА)
- Найти производные указанного порядка данных функций,
заданных явно;
- Найти производные указанного порядка данных функций,
заданных параметрически;
- Разложить многочлен по формуле Тейлора;
- Представить данную функцию формулой Маклорена.
5.1. Сформулируйте определение производной второго порядка.
………………………………………………………………………………….....
5.2. Найдите производную второго порядка функции lnsin
4
x
y = .
………………………………………………………………………………….....
5.3. Сформулируйте определение производной n-го порядка.
………………………………………………………………………………….....
5.4. Найдите производную пятого порядка (5)
y функции 4
3 x
y = .
………………………………………………………………………………….....
Выполните задание 5 номер варианта а).
………………………………………………………………………………….....
Ответ 5….а)……………………………………………………………………...
5.5. Как найти производные высших порядков функции, заданной
параметрически?
…………………………………………………………………………………….
5.6. Найдите производную второго порядка функции
2
3 ;
4 .
y t
x t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………..…...
Ответ 5….б)…………………………………………………………………..….
5.7. Запишите формулу Тейлора для функции ( )f x .
………………………………………………………………………………..…...
5.8. Какую формулу называют формулой Маклорена?
………………………………………………………………………………….....
5.9. Как представляют формулой Маклорена элементарные функции
, sin , cos , ln(1 ), (1 )x m
e x x x x+ + ?
…………………………………………………………………………………...

20
5.10. Разложите многочлен 3( )P x по степеням 0x x− , если
3 2
3 0( ) 4 6 8, 1.P x x x x x= + − − = −
………………………………………………………………………………….....
Разложите многочлен 5 4
5( ) 3 7 2P x x x x= − + + по степеням
02 ( 2)x x− = и сделайте проверку.
………………………………………………………………………………….....
Выполните задание 5 номер варианта в).
Ответ 5….в)……………………………………………………………………..
Следует заметить, что если функция имеет конечное число
производных, отличных от нуля, например, многочлен, то ее
представление формулой Тейлора содержит конечное число слагаемых.
Поэтому остаточный член формулы Тейлора в таких случаях равен нулю.
Если же функция дифференцируема бесконечное число раз и
удовлетворяет условиям теоремы Тейлора о разложении функции по
формуле Тейлора, то ее разложение по формуле Тейлора или Маклорена
обязательно содержит отличный от нуля остаточный член, являющийся
бесконечно малой функцией при 0x x→ ,
5.11. Разложите по формуле Маклорена функцию
x
exf −
= 2
)( до 4
0( ).x
…………………………………………………………………………………...
Выполните задание 5 номер варианта г).
Ответ 5….г)…………………………………………………………………….
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
- Найти дифференциал данной функции;
- Вычислить приближенно значение функции в точке, применяя
дифференциал.
6.1. Сформулируйте определение дифференцируемой в точке 0x
функции ( )y f x= .
…………………………………………………………………………………...
6.2. Как определяется дифференциал функции ( )y f x= в точке 0x ?
…………………………………………………………………………………...
6.3. Какая связь имеет место между дифференцируемой в точке 0x
функцией ( )y f x= и существованием производной этой функции в той
же точке?
…………………………………………………………………………………..

21
Несмотря на то, что формула для нахождения дифференциала очень
простая, многие студенты затрудняются находить дифференциал.
Дифференциал функции находят, умножая производную функции по
ее аргументу на дифференциал этого аргумента:
xdy y dx′=
6.4. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?
……………………………………………………………………………………
Усвоить правило нахождения дифференциала очень важно, поскольку
оно применяется при отыскании практически любого интеграла.
6.5. Найдите дифференциалы всех функций, входящих в таблицу
производных.
…………………………………………………………………………………...
6.6. Дана функция 2 2
1 ln 1y x x x x= − + + − . Найдите ее
дифференциал.
…………………………………………………………………………………...
Выполните задание 6 номер варианта а).
…………………………………………………………………………………...
Ответ 6….а)…………………………………………………………………….
Несколько архаичным в двадцать первом веке представляется
применение дифференциала к приближенным вычислениям. Но, решая
подобные задачи, можно прочувствовать связь и различие между
приращением yΔ функции ( )y f x= и ее дифференциалом dxydy x
/
= .
А именно, если отбросить второе слагаемое ( )x xα Δ ⋅ Δ – бесконечно
малую функцию при 0xΔ → в приращении yΔ функции ( )y f x= , то
получится приближенное равенство y dyΔ ≈ , или

22
/
0 0 0( ) ( ) ( )f x x f x f x x+ Δ − ≈ ⋅Δ . То есть значение функции в некоторой
точке 0x x+ Δ , близкой к точке 0x , приближенно равно значению этой
функции 0( )f x в точке 0x , сложенным с дифференциалом функции,
вычисленным в этой же точке 0x :
/
0 0 0( ) ( ) ( )f x x f x f x x+ Δ ≈ + ⋅Δ .
Ясно, что чем меньше xΔ , тем меньше ошибка вычисления, равная
отбрасываемому слагаемому ( )x xα Δ ⋅ Δ в приращении yΔ функции
( )y f x= .
Можно придерживаться следующего плана при вычислении
приближенного значения функции ( )y f x= в точке 0x x+ Δ :
1. Представить значение аргумента x в виде двух слагаемых 0x x+ Δ ,
причем приращение аргумента xΔ должно быть мало, а в точке 0x легко
вычислить значение функции и ее производной.
Несмотря на то, что любое число можно разбить на сумму двух слагаемых
бесконечным количеством способов, находится единственный способ,
удовлетворяющий разумным соображениям;
2. Вычислить значения функции и ее производной в точке 0x ;
3. Применить формулу приближенного вычисления:
/
0 0 0( ) ( ) ( )f x x f x f x x+ Δ ≈ + ⋅Δ .
Например, вычислим приближенно 3
26.
Решение.
1. Очевидно, что нужно вычислить значение функции 3
y x= при 26x = .
Представим число 26 в виде суммы 0 27x = и 1xΔ = − ;
2. 3
0( ) 27 3f x = = ; /
0 32 23
0
1 1 1
( )
273 3 27
f x
x
= = = ;
3. 3 1 1
26 3 ( 1) 3 2,962976
27 27
≈ + ⋅ − = − ≈ . Вычисления на
калькуляторе дают значение 3
26 2,962496≈ , то есть применение
дифференциала в рассмотренном примере позволило вычислить значение
функции с точностью 0,005, обеспечив два верных знака после запятой.
Ответ: 3
26 2,96≈ .
……………………………………………………………………………………
Ответ 6….б)……………………………………………………………………

23
УСЛОВИЯ МОНОТОННОСТИ
И ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ
- Найти интервалы убывания и возрастания функции;
- Исследовать функцию на экстремум, применяя первое достаточное
условие существования экстремума функции в точке;
- Исследовать функцию на экстремум, применяя второе достаточное
условие существования экстремума функции в точке;
7.1. Каковы условия монотонности (убывания, возрастания) функции )(xf
на интервале ( , )a b ?
…………………………………………………………………………………...
Выполните задание 7номер варианта а).
…………………………………………………………………………………...
Ответ 7….а)…………………………………………………………………….
7.2. Какие точки называются точками локального максимума
(минимума) функции ( )f x ?
………………………………………………………………………………...
7.3. Какие точки называются точками локального экстремума функции
( )f x ?
…………………………………………………………………………………...
7.4. Сформулируйте теорему Ферма – необходимое условие
существования экстремума функции в точке.
…………………………………………………………………………………...
7.5. В чем заключается первое достаточное условие существования
экстремума функции в точке?
…………………………………………………………………………………...
7.6. Какие точки называются критическими точками первого порядка?
…………………………………………………………………………………...
7.7. Какие точки называются стационарными?
…………………………………………………………………………………...
Выполните задание 7номер варианта б).
…………………………………………………………………………………...
Ответ 7….б)…………………………………………………………………….
7.8. Как формулируется второе достаточное условие существования
экстремума функции в точке?
…………………………………………………………………………………...

24
Выполните задание 7номер варианта в).
………………………………………………………………………………….....
Ответ 7….в)……………………………………………………………………..
ИНТЕРВАЛЫ ВЫПУКЛОСТИ И ВОГНУТОСТИ
ГРАФИКА ФУНКЦИИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
- Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика данной функции
и точки перегиба.
8.1. Как определяется выпуклая вверх (выпуклая вниз) на интервале ),( ba
функция?
………………………………………………………………………………….....
8.2. Сформулируйте теорему о достаточных условиях выпуклости вверх
(выпуклости вниз) графика функции.
………………………………………………………………………………….....
8.3. Как определяются точки перегиба графика функции?
………………………………………………………………………………….....
8.4. Сформулируйте необходимые условия существования точки
перегиба.
…………………………………………………………………………………….
8.5. Какие точки называются критическими точками второго порядка?
………………………………………………………………………………….....
8.6. Каково первое достаточное условие существования точки перегиба?
………………………………………………………………………………….....
8.7. Каково второе достаточное условие существования точки перегиба?
………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………….....
Ответ ….а)……………………………………………………………………….

25
АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
- Найти асимптоты графика функции.
9.1. Сформулируйте определение асимптоты графике функции.
………………………………………………………………………………….....
9.2. Как найти вертикальные асимптоты графика функции?
………………………………………………………………………………….....
9.3. Сформулируйте определение наклонной асимптоты.
…………………………………………………………………………………….
9.4. Как найти наклонные асимптоты графика функции?
………………………………………………………………………………….....
9.5. Когда график функции имеет горизонтальные асимптоты?
………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………….....
Ответ 9….а)……………………………………………………………………...
ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ
ГРАФИКА
- Провести полное исследование функции и построить график.
Можно предложить следующий план полного исследования функции.
Исследования без применения производной.
Таблица 3
№
Цель
исследова
ния
Действия Вывод
1
Найти
область
определе-
ния
функции
Найти точки, в которых
функция не определена
или не задана (точки
разрыва графика функции)
Исключить найденные
точки из области
определения функции

26
2
Найти
вертикаль
ные
асимптоты
Вычислить односторонние
пределы функции в точках
разрыва и в точках,
«подозрительных» на
разрыв для кусочно-
аналитической функции
Если хотя бы один из
односторонних пределов в
исследуемой точке равен
бесконечности, то график
функции имеет
вертикальную асимптоту:
0
lim ( )
x a
f x x a
→ ±
= ∞ ⇒ = –
вертикальная асимптота
3
Исследо-
вать
функцию
на
четность и
нечет-
ность
Если ( ) ( )f x f x− = ,
то функция четная.
Если ( ) ( )f x f x− = − ,
то функция нечетная
Функция, не являющаяся
ни четной, ни нечетной,
называется функцией
общего вида
Если функция четная или
нечетная, ограничиться
исследованием функции
на интервале (0, )∞ .
График четной функции
симметричен
относительно оси OY,
график нечетной функции
симметричен
относительно начала
координат
4
Исследо-
вать
функцию
на
периодич-
ность
0T ≠ – период функции, –
наименьшее из всех
возможных значений,
удовлетворяющих
условиям:
1. ( ), ( );x T D f x T D f− ∈ + ∈
2. ( ) ( ) ( )f x T f x T f x+ = − =
Ограничиться
исследованием на
интервале по длине
равном периоду T, за
пределы интервала
продолжить график
функции периодическим
образом
5
Найти
точки
пересече-
ния с осями
координат
Решив уравнение
( ) 0y f x= = , найти
0 0: ( ) 0x f x = .
Найти 0)0( yy =
Точка пересечения
графика с осью OX: 0( ,0)x .
Точка пересечения
графика с осью OY: 0(0, )y
6
Найти
наклон-
ные, в
частности,
горизон-
тальные,
асимптоты
Вычислить пределы
( )
lim
x
f x
k
x→±∞
= и
lim ( ( ) )
x
b f x kx
→±∞
= −
Если k и b – конечные
числа, то уравнение
наклонных асимптот
y kx b= + , причем, при
0к = асимптота
горизонтальная y b=

27
Исследования с применением производной.
Таблица 4
№
Цель
исследо-
вания
Действия и вывод
1.1.1. Найти критические точки первого порядка
, 1,2,... :ix i n= /
( ) 0iy x = или /
( )iy x = ∞, или
/
( )iy x −не существует (необходимое условие
существования экстремума функции в точке);
1.2.1. Применить первое достаточное условие
существования экстремума функции в критической
точке:
x 1x x< 1x xx x>
/
y ⎯
Критическая
точка первого
порядка
+
y Функция
убывает
1 1( , ( ))x y x −
точка минимума
Функция
возрастает
x 2x x< 2x 2x x>
/
y +
точка первого
порядка
⎯
y Функция
2 2( , ( ))x y x −
точка
максимума
Функция
убывает
1
Найти
интервалы
монотонно-
сти и точки
локальных
экстремумо
в функции
1.2.2.Если 3 4,x x и 5x – стационарные точки
/ / /
3 4 5( ( ) ( ) ( ) 0)y x y x y x= = = , можно применить
второе достаточное условие существования
экстремума функции в точке:
//
3 3 3( ) 0 ( , ( ))y x x y x> ⇒ −точка локального минимума;
//
4 4 4( ) 0 ( , ( ))y x x y x< ⇒ −точка локального максимума;
//
5( ) 0y x = ⇒ требуются дополнительные
исследования.

28
2.1. Найти критические точки второго порядка
, 1,2,...jx j m= : 0)(//
=jxy или //
( )jy x = ∞, или
//
( )jy x − не существует (необходимое условие
существования точки перегиба графика);
2.2. Применить достаточные условия выпуклости и
вогнутости графика и существования точек перегиба:
x 6x x< 6x 6x x>
//
y
+
точка второго
порядка, точка
непрерыв-
ности
⎯
2
Найти
интервалы
выпуклости
и
вогнутости
графика
функции и
точки
перегиба
y
График
функции
вогнутый
6 6( , ( ))x y x −то
чка перегиба
График функции
выпуклый
Например, на рисунке изображен график функции:
10.1. Укажите критические точки первого порядка изображенной на
рисунке функции.
………………………………………………………………………………….....
10.2. Укажите критические точки второго порядка изображенной на
рисунке функции.
………………………………………………………………………………........

29
Проведем полное исследование функции
6
ln
x
y
x
+
= и на
основании исследований построим график.
10.3. Найдем область определения данной функции.
…………………………………………………………………………………...
10.4. Найдем вертикальные асимптоты графика функции.
…………………………………………………………………………………...
10.5. Исследуем функцию на четность и нечетность.
…………………………………………………………………………………...
10.6. Исследуем функцию на периодичность.
…………………………………………………………………………………...
10.7. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
…………………………………………………………………………………...
10.8. Найдем наклонные асимптоты графика функции.
…………………………………………………………………………………...
10.9. Исследуем функцию на экстремум и найдем интервалы монотон-
ности функции.
…………………………………………………………………………………...
10.10.Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и
точки перегиба.
…………………………………………………………………………………...
10.11.Построим график функции.
…………………………………………………………………………………...
Выполните задание 10а.
Ответы к заданию 1
1.1.
Определение
приращения
аргумента xΔ
Приращением аргумента xΔ функции ( )y f x=
называется разность между значением аргумента в точке
0x x= и любой другой точке из некоторой окрестности
точки 0 0 0: , ( )x x x x x U xδΔ = − ∈ .
1.2.
приращения
yΔ функции
( )y f x=
Приращением yΔ функции ( )y f x= , соответствующим
приращению аргумента xΔ в точке 0x x= , называется
разность между значением функции в точке 0x x x= + Δ
и в точке 0 0 0: ( ) ( )x x y f x x f x= Δ = + Δ − .

30
1.3.
производной
функции
( )y f x=
в точке 0x x=
Пусть функция ( )y f x= определена в некоторой
окрестности точки 0x x= . Предел отношения
приращения yΔ функции в этой точке (если он
существует) к приращению xΔ аргумента, когда
0xΔ → , называется производной функции ( )y f x= в
точке 0x x= .
Обозначается производная ( )y f x= в точке 0x x=
одним из следующих способов:
/
0( )f x , или /
0( )y x , или 0( )df x
dx
, 0
/
x xf = .
Таким образом,
0 0/
0
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
x x
y f x x f x
f x
x xΔ → Δ →
Δ + Δ −
= =
Δ Δ
.
1.4.
операции
дифференци-
рования
функций
Дифференцированием функций называют отыскание
производных этих функций.
1.5.
Основные
правила
дифференциро-
вания
функций
Пусть с – константа, а ( )u x и ( )v x имеют производные в
некоторой точке x. Тогда функции ( ) ( )u x v x± , ( )c u x⋅ ,
( ) ( )u x v x⋅ и
( )
( )
u x
v x
(где ( ) 0v x ≠ ) также имеют
производные в этой точке, причем
1. / / /
( )u v u v± = ± – производная суммы функций
равна сумме производных этих функций;
2. / / /
( )u v u v u v⋅ = ⋅ + ⋅ – производная произведения
функций равна сумме произведений производной
первой функции на вторую и первой функции на
производную второй;
3. / /
( )сu cu= ,
1u
u
c c
′⎛ ⎞⎟ ′⎜ = ⋅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
– постоянный множитель
выносят за знак производной;

31
4. 2
u u v uv
v v
′ ′ ′⎛ ⎞ −⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
– производная отношения двух
функций (частного) равна отношению разности
произведений производной числителя на знаменатель
и числителя на производную знаменателя к квадрату
знаменателя;
5. Пусть функция ( )y F u= имеет производную в точке
0u , а функция ( )u xϕ= – в точке 0 0( )u xϕ= . Тогда
сложная функция ( ( ))y F u x= также имеет
производную в точке 0x , причем
/ / /
0 0 0( ) ( ) ( )u xy x F u u x= ⋅ – производная сложной
функции равна производной этой функции по
промежуточному аргументу u, умноженной на
производную от промежуточного аргумента u по
основному аргументу x.
1.6.
Производная
постоянной
функции
Производная постоянной функции равна нулю:
/
0с = .
1.7.
степенной
функции
Производная степенной функции равна показателю
степени, умноженному на основание в степени, на
единицу меньше, и умноженному на производную от
основания:
/ 1 /
( ( ))n n
xu x n u u−
= ⋅ ⋅
1.8.
синуса
Производная синуса равна косинусу того же аргумента,
умноженному на производную аргумента:
/ /
(sin ( )) cos xu x u u= ⋅
1.9. / 5 / 5 4
(sin 10) cos 5 0y x x x= + = ⋅ + .
1.10.
косинуса
Производная косинуса равна минус синусу того же
аргумента, умноженному на производную аргумента:
/ /
(cos ( )) sin xu x u u= − ⋅ .

32
1.11. / /
(cos5 ) sin5 5y x x= = − ⋅ .
1.12.
тангенса
Производная тангенса равна единице, деленной на
квадрат косинуса того же аргумента, умноженной на
производную аргумента:
/ / /
2 2
1 1
( ( ))
(cos ) cos
x xtg u x u u
u u
= ⋅ = ⋅ .
1.13.
1 2
3/ / /3 3
3 2 32 23
1 1 2
( 2 ) ( (2 ) ) (2 ) 2
3(cos 2 ) 3 (2 ) (cos 2 )
y tg x tg x x
x x x
−
= = = ⋅ ⋅ = .
1.14.
котангенса
Производная котангенса равна минус единице, деленной
на квадрат синуса того же аргумента и умноженной на
/ / /
2 2
1 1
( ( ))
(sin ) sin
x xctg u x u u
u u
= − ⋅ = − ⋅
1.15.
2 2
/ 3 / 2
2 2 4
1 15 5 15cos 5
( 5 ) 3 5 ( ) 5
sin 5 sin 5 sin 5
ctg x x
y ctg x ctg x
x x x
⋅
= = − ⋅ = − = − .
1.16.
логарифма
Производная логарифмической функции равна единице,
деленной на аргумент логарифма и на натуральный
логарифм основания, умноженной на производную
аргумента:
/ /1
(log ( ))
lna xu x u
u a
= ⋅
⋅
.
1.17. / / / cos2
(lg(4sin2 )) (lg4 lgsin2 ) 0 2
sin 2 ln10
x
y x x
x
= = + = + ⋅
⋅
.
1.18.
натурального
логарифма
Производная натурального логарифма равна единице,
деленной на аргумент логарифма и умноженной на
/ /1
(ln ( )) xu x u
u
= ⋅ .
1.19. / 2 / /5
2
2 2 1 14 28
(ln 7 ) ( ln 7 ) 7
5 5 5sin7 cos7 5sin147 cos 7
y tg x tg x
x x xtg x x
= = = ⋅ ⋅ = =
⋅
.

33
1.20.
показательной
функции
Производная показательной функции равна этой
функции, умноженной на натуральный логарифм
основания и умноженной на производную показателя:
( ) / /
( ) lnu x u
xa a a u= ⋅ ⋅
1.21.
3
/ 3 / 3
2 2
1 3 6 ln6
(6 ) 6 ln6 ( ) 3
sin 3 sin 3
ctg x
ctg x ctg x
y
x x
⋅
= = ⋅ − ⋅ = − .
1.22.
экспоненты
Производная экспоненты равна экспоненте, умноженной
на производную показателя экспоненты:
( ) / /
( )u x u
xe e u= ⋅ .
1.23.
cos cos cos/ /2 2 2
1 1
( ) ( sin ) sin
2 2 2 2
x x x
x x
y e e e= = − ⋅ = − ⋅ .
1.24.
арксинуса
Производная арксинуса равна единице, деленной на
корень квадратный из единицы минус аргумент
арксинуса в квадрате и умноженной на производную
аргумента:
/ /
2
1
(arcsin ( ))
1
xu x u
u
= ⋅
−
.
1.25.
2
/ 3 / 2
2 2
1 15(arcsin5 )
((arcsin5 ) ) 3(arcsin5 ) 5
1 (5 ) 1 25
x
y x x
x x
= = ⋅ ⋅ =
− −
.
1.26.
арккосинуса
Производная арккосинуса равна минус единице,
деленной на корень квадратный из единицы минус
аргумент арккосинуса в квадрате и умноженной на
/ /
2
1
(arcsin ( ))
1
xu x u
u
= − ⋅
−
.
1.27.
2
/ 2 / 23 3
2 2
1 1
( arccos(7 3)) (arccos(7 3)) ( ) 14
3 1 (7 3)
y x x x
x
−
= + = + ⋅ − ⋅
− +
.

34
1.28.
арктангенса
Производная арктангенса равна единице, деленной на
единицу плюс аргумент арктангенса в квадрате и
умноженной на производную аргумента:
/ /
2
1
( ( ))
1
xarctg u x u
u
= ⋅
+
1.29. / / 3 / 3
3 2
1 1
( ) (2 ) 2 ln2 ( ) 3
2 1 (3 )
arctg x arctg x
arctg x
y
x
− −
= = = ⋅ ⋅ − ⋅
+
.
1.30.
арккотангенса
Производная арккотангенса равна минус единице,
деленной на единицу плюс аргумент арккотангенса в
квадрате и умноженной на производную аргумента:
/ /
2
1
( ( ))
1
xarctg u x u
u
= − ⋅
+
1.31.
2
/ / 2 4 /
4
2 4
2 4 4 8
(ln ) (ln ln )
1 1 1 1
( ) 2 4
1 1
x
x x
x
x x
x x x x
arcctge
y arcctg e arctg e
arctge
e e
arcctg e e arctg e e
= = − =
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
+ +
1.32. Постоянный множитель выносят за знак производной;
производная арктангенса;
производная экспоненты.
1.33. Постоянный множитель выносят за знак производной;
производная логарифма;
производная суммы;
производная экспоненты;
производная постоянной функции.
1.34. Производная суммы;
производная постоянной функции;
производная частного;
производная степенной функции;
производная синуса;
производная косинуса.

35
1.35.
неявно
заданной
функции
Пусть функция ( )y f x= , обладающая производной в
точке х, задана неявно уравнением ( , ) 0F x y = .
Тогда производную /
( )y x можно найти,
продифференцировав уравнение ( , ) 0F x y = с учетом
того, что y является функцией аргумента х.
Из полученного уравнения найти производную.
1.36. Производная неявно заданной функции;
производная произведения;
производная косинуса.
1.37.
Метод
логарифмичес
кого
дифференциро
вания
Сначала функцию логарифмируют, потом находят
производную по правилу дифференцирования неявно
заданной функции:
( ) ln ln ( )y f x y f x= ⇒ = .
/ / / /1
(ln ( )) ( ) (ln ( ))y f x y f x f x
y
⋅ = ⇒ = ⋅ .
1.38. Метод логарифмического дифференцирования применяют в тех
случаях, когда функция имеет много сомножителей в числителе и в
знаменателе, а так же если это показательно – степенная функция.
1.39. Производная неявно заданной функции;
производная произведения;
производная логарифма;
производная арктангенса.
1.40.
показательно-
степенной
функции
Производная показательно – степенной функции равна
сумме производных этой функции как показательной и
как степенной:
/ / 1 /
( ) lnv v v
u u u v v u u−
= ⋅ + ⋅ ⋅

36
1.41.
линии,
заданной
параметри-
чески
Пусть на некотором множестве X R⊂ заданы две
функции ( )x x t= и ( )y y t= . Тогда множество всех
точек на плоскости Oxy с координатами ( ( ), ( ))x t y t , где
t X∈ , называют кривой (или линией), заданной
параметрически уравнениями
( );
( ).
x x t
y y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
, а функцию
( )y x – параметрически заданной этими уравнениями.
1.42.
Теорема
о производной
параметри-
чески
заданной
функции
Пусть функция ( )y f x= задана параметрически
уравнениями
( );
( ).
x x t
y y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
Тогда, если функции ( )x x t= и ( )y y t= имеют
производные в точке в точке 0t , причем /
0( ) 0x t ≠ ,а
функция ( )y f x= имеет производную в точке
0 0( )x x t= , тогда эта производная находится по формуле:
/
0/
0 /
0
( )
( )
( )
t
t
y t
y x
x t
= или
/
/
/
t
x
t
y
y
x
= .
1.43. Производная параметрически заданной функции;
производная арккосинуса;
производная арксинуса;
производная степенной функции;
производная постоянной функции.
2.1.
касательной
к графику
функции
Касательной к графику функции в точке 0 0 0( , )M x y
называют предельное положение секущей,
соединяющей точки 0 0 0( , )M x y и ( , )M x y графика, при
стремлении точки M к точке 0M по графику.

37
2.2.
Геометричес-
кий смысл
Производная функции ( )y f x= в точке 0x равна
тангенсу угла, образованного касательной к графику
функции в этой точке и положительным направлением
оси Ox: /
0( )y x tgα= , где α – угол между касательной к
графику функции в точке 0x и положительным
направлением оси Ox.
2.3.
Уравнение
касательной
Пусть функция ( )y f x= в точке 0x имеет производную
/
0( )y x tgα= . Тогда в точке 0 0 0( , )M x y существует
касательная к графику этой функции, уравнение
которой: /
0 0 0( )( )y y f x x x− = − .
2.4.
нормали
Прямая линия, проходящая через точку касания,
перпендикулярно касательной, называется нормалью к
кривой.
2.5.
Уравнение
нормали
Пусть функция ( )y f x= в точке 0x имеет производную
/
0( )y x tgα= . Тогда в точке 0 0 0( , )M x y существует
нормаль к графику этой функции, уравнение которой:
0 0/
0
1
( )
( )
y y x x
f x
− = − − .
Если /
0( ) 0f x = (то есть касательная горизонтальна), то
нормаль вертикальна и имеет уравнение 0x x= .

38
2.6.
Угол между
линиями в
точке их
пересечения
Пусть даны две пересекающиеся в точке 0 0 0( , )M x y
кривые 1( )y f x= и 2 ( )y f x= , причем обе функции
имеют производные в точке 0x . Тогда углом между
этими кривыми называется угол между касательными к
ним, проведенными в точке 0 0 0( , )M x y .
Этот угол ϕ можно найти из формулы:
/ /
2 0 1 0
/ /
1 0 2 0
( ) ( )
1 ( ) ( )
f x f x
tg
f x f x
ϕ
−
=
+ ⋅
.
3.1.
Первое
правило
Лопиталя
Пусть функции ( )f x и ( )g x дифференцируемы в
некоторой окрестности 0( )U xδ точки 0x , за
исключением, может быть, самой этой точки, и
/
( ) 0g x ≠ для всех 0( ),x U x x xδ∈ ≠ . Тогда, если
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x x x
f x g x
→ →
= = (в этом случае говорят, что в
точке 0x имеет место неопределенность вида { }0
0
) и
существует
/
/
0
( )
lim
( )x x
f x
g x→
, то существует и
0
( )
lim
( )x x
f x
g x→
,
причем
/
/
0 0
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x x x x
f x f x
g x g x→ →
= .
Второе
правило
Лопиталя
Пусть функции ( )f x и ( )g x дифференцируемы в
некоторой окрестности 0( )U xδ точки 0x , за
исключением, может быть, самой этой точки, и
/
( ) 0g x ≠ для всех 0( ),x U x x xδ∈ ≠ . Тогда, если
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x
→ →
= = ∞ (в этом случае говорят, что в
точке 0x имеет место неопределенность вида { }∞
∞
) и
/
/
0
( )
lim
( )x x
f x
g x→
, то существует и
0
( )
lim
( )x x
f x
g x→
,
причем
/
/
0 0
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x x x x
f x f x
g x g x→ →
= .

39
Если отношение
/
/
( )
( )
f x
g x
в свою очередь представляют собой
неопределенность вида { }0
0
или { }∞
∞
, то правило Лопиталя (при условии
выполнения соответствующих ограничений на функции /
( )f x и )(/
xg )
можно применять второй раз и т. д.
3.2. К неопределенностям вида { }0
0
или { }∞
∞
можно преобразовывать
также неопределенности вида { } { } { } { } { }0 0
0 , , 1 , 0 ,∞
⋅∞ ∞ −∞ ∞ .
3.3.
Вид
неопреде-
ленности
Действия
Результат действий
( ,c d −постоянные)
{ }∞ −∞
1. Дроби привести к общему
знаменателю;
2. Умножить и разделить разность
функций на сопряженное выражение,
если это разность квадратных корней;
3. Умножить и разделить разность
функций на неполный квадрат суммы
этих функций, если это разность
корней кубических;
4. Преобразовать тождественно
1 1
( ) ( )
( ) ( )
1
( ) ( )
h x f x
f x h x
f x h x
−
− =
⋅
{ }0
c
= ∞; { } 0
c
=
∞
;
{ }0
0
c
= ; { }c
∞
= ∞;
{ }с
A
d
= ;
{ }0
0
или { }∞
∞
–
применить правило
Лопиталя.
3.4.
Вид
неопреде-
ленности
Действия Результат действий
{ }0⋅∞
Тождественно преобразовать
произведение функций в отношения:
( ) ( )
( ) ( )
1 1
( ) ( )
f x h x
f x h x
h x f x
⋅ = =
{ }0
0
или { }∞
∞
–
применить правило
Лопиталя.

40
3.5.
Вид
неопредел
енностей
Действия Результат действий
{ }
{ }
{ }
0
0
1 ,
0 ,
.
∞
∞
1. Сначала прологарифмировать
функцию, вычислить предел
логарифма функции, а затем найти
предел функции:
ln ln ;
lim ln lim .
v
A
x a x a
y u y v u
y A y e
→ →
= ⇒ =
= ⇒ =
2. использовать основное
логарифмическое тождество,
вычислить предел показателя
экспоненты:
lnv v u
y u e ⋅
= =
См. выше
3.6. Нужно в функцию ( )y f x= вместо x подставить то значение, к
которому xстремится.
Ответ к заданию 4
4.1.
Теорема
о свойстве
непрерывной
на отрезке
функции
Непрерывная на отрезке [ ],a b функция достигает на
этом отрезке, по меньшей мере, один раз наибольшего
значения M и наименьшего значения m.
5.1.
второго
порядка
Производная от функции /
( )f x (производной первого
порядка) называется производной второго порядка от
функции ( )f x (или второй производной) и обозначается
//
( )f x .
5.2.
/ /
// /
2 2
1 1 1
(lnsin ) cos ;
4 4 4 4 4
sin
4
1 1 1 1
( )
4 4 4
4sin 16sin
4 4
x x x
y ctg
x
x
y ctg
x x
= = ⋅ =
− −
= = ⋅ =

41
5.3.
n-го порядка
Производная от функции ( 1)
( )n
f x−
(производной эн-
минус первого порядка) называется производной энного
порядка от функции ( )f x (или энной производной) и
обозначается ( )
( )n
f x .
5.4. (5) 4 (5) 5 5 4
(3 ) 4 (ln3) 3x x
y = = , поскольку при каждом последовательном
дифференцировании добавляется сомножитель 4ln3.
5.5.
высших
порядков
параметриче-
ски заданной
функции
Производная второго порядка функции, заданной
параметрически уравнениями
( );
( )
y y t
x x t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
, может быть
найдена по формуле:
/ /
//
/
( )x t
xx
t
y
y
x
= , а производная энного
порядка – по формуле:
( 1) /
( )
/
( )n
x tn
x
t
y
y
x
−
= .
5.6.
Найдем сначала производную первого порядка функции
2
3 ;
4
y t
x t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
.
/
/
/
6 3
4 2
t
x
t
y t
y t
x
= = = .
Производная второго порядка данной функции равна
/
//
/
3 3
( ) 32 2
4 8(4 )
t
xx
t
t
y
t
= = = .
5.7.
Формула
Тейлора
Пусть функция ( )f x имеет в некоторой окрестности
точки 0x производные до (n+1)-го порядка
включительно. Тогда для любой точки х из этой
окрестности имеет место формула Тейлора
/ //
0 0 2
0 0 0
( ) ( 1)
0 1
0 0 0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ...
1 ! 2 !
( ) ( )
( ) ( ) , .
! ( 1)!
n n
n n
f x f x
f x f x x x x x
f x f c
x x x x x x
n n
+
+
= + − + − + +
+ − + − →
+
Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется
остаточным членом в форме Лагранжа. Точка с в

42
остаточном члене в форме Лагранжа берется из
интервала 0( , )x x , 0(( ) )n
o x x− – остаточный член в
форме Пеано.
5.8.
Формула
Маклорена
В случае, когда 0 0x = формула Тейлора принимает вид
/ // ( )
2(0) (0)
( ) (0) ... ( )
1 ! 2 ! !
n
n nf f f
f x f x x x o x
n
= + + + + +
и называется формулой Маклорена.
5.9. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
имеет следующий вид:
2
3 5 2 1
2 2
2 4 2
2 1
2 3
1
2
1 ... ( );
2 ! !
sin ... ( 1) ( );
3 ! 5 ! (2 1)!
cos 1 ... ( 1) ( );
2 ! 4 ! (2 )!
ln(1 ) ... ( 1) ( );
2 3
( 1) ( 1) ( (
(1 ) 1 ...
2 !
n
x n
n
n n
n
n n
n
n n
x x
e x o x
n
x x x
x x o x
n
x x x
x o x
n
x x x
x x o x
n
n
x x xα α α α α α
α
+
+
+
−
= + + + + +
= − + + + − +
+
= − + + + − +
+ = − + + + − +
− − ⋅⋅⋅ − −
+ = + + + +
1))
( ).
!
n n
x o x
n
+
5.10.
1. Найдите все отличные от нуля производные данного многочлена;
2. Вычислите значения функции и производных в точке 0 1x = − ;
3. Запишите разложение многочлена по формуле Тейлора;
4. Сделайте проверку: раскрыв скобки в разложении многочлена по
формуле Тейлора, получите исходный многочлен.
Ответ: 2 3
3( ) 1 11( 1) ( 1) ( 1)P x x x x= − + + + + + .
5.11.
2 2 2 3 2 4
2 2 2 4
( ), 0
2 ! 3 ! 4 !
x e x e x e x
e e e x o x x−
= − + − + + → .

43
6.1.
руемой
в точке
функции
Пусть функция ( )y f x= определена в некоторой
окрестности точки 0x . Если приращение yΔ функции
( )y f x= можно представить в виде
( )y A x x xαΔ = ⋅Δ + Δ ⋅Δ ,
где A – постоянное число в точке 0x ;
( )xα Δ – бесконечно малая функция при 0xΔ → ,
то функция ( )y f x= называется дифференцируемой в
точке 0x .
6.2.
ала функции
Главная часть приращения yΔ дифференцируемой в
точке 0x функции ( )y f x= , то есть xA Δ⋅ называется
дифференциалом функции в точке 0x и обозначается dy
или 0( )df x :
0( )dy df x A x= = ⋅ Δ .
Замечание. Если y x= , то dy dx x= = Δ .
6.3.
Теорема о
связи
функции,
имеющей
производную,
и
дифференциру
емой в точке
Функция ( )y f x= дифференцируема в точке 0x тогда и
только тогда, когда в этой точке существует конечная
производная /
0( )f x , при этом /
0( )A f x= .
Следовательно,
/
0 0( ) ( )dy df x f x dx= = ⋅ .
6.4.
Геометричес-
кий смысл
ала
Дифференциал функции в точке 0x равен приращению
ординаты касательной, проведенной к графику функции
в этой точке, соответствующему приращению аргумента
xΔ

44
6.5. Умножив правые части формул таблицы производных на
дифференциалы аргументов, получим таблицу дифференциалов.
Например,
0dc = , /
xdu u dx= ;
1 / 1
( )n n n
xd u nu u dx nu du− −
= = ;
/
( ) ln lnu u u
xd a a a u dx a a du= ⋅ = ⋅ ; и т. д.
6.6. Найдем дифференциал функции 2 2
1 ln 1y x x x x= − + + − .
При отыскании производной воспользуемся равенством:
sgn 1
, 0
u
u
u u
= ≠
и правилом отыскания производной модуля функции / /
( ( ) ) sgn xu x u u= ⋅ ,
где функция сигнум u – знак функции u :
1, 0;
sgn 1, 0;
0, 0.
u
u u
u
⎧ >⎪⎪⎪⎪= − <⎨
⎪⎪ =⎪⎪⎩
2
/ 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 sgn( 1) 2
1 (1 )
2 1 1 2 1
2 1 sgn( 1)( 1 )
1 1 1
2 1 1 2
.
1 1 1
x x x x
y x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x
x x x
+ −
= − + + + =
− + − −
− + − − +
= + =
− + − −
−
= + =
− − −
Поэтому
2
2
2
1
x
dy dx
x
=
−
.

45
7.1.
Теорема о
монотонности
функции на
интервале
Если функция ( )f x дифференцируема на интервале
( , )a b и / /
( ) 0 ( ( ) 0) ( , )f x f x x a b> < ∀ ∈ , то функция
( )f x возрастает (соответственно – убывает) на этом
интервале.
Если же / /
( ) 0 ( ( ) 0) ( , )f x f x x a b≥ ≤ ∀ ∈ , то функция
( )f x не убывает (соответственно – не возрастает) на
этом интервале, то есть
1 2 1 2 1 2, ( , ) : ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ ≤
(соответственно 1 2( ) ( )f x f x≥ ).
Например, найдем интервалы возрастания и убывания функции
2
( ) ( 2) ( 1)f x x x= − − .
Функция определена на всей числовой прямой, а ее производная равна
/ 2
( ) 2( 2)( 1) ( 2) ( 2)(2 2 2) ( 2)(3 4)f x x x x x x x x x= − − + − = − − + − = − − .
Функция ( )f x возрастает тогда и только тогда, когда /
( ) 0f x > , то есть
( 2)(3 4) 0x x− − > , откуда
4
( , ) (2, )
3
x ∈ −∞ ∪ ∞ .
Аналогично, данная функция убывает тогда и только тогда, когда 0)(/
<xf ,
то есть ( 2)(3 4) 0x x− − < , откуда
4
( ,2)
3
x ∈ .
7.2.
точки
локального
максимума
(локального
минимума)
Точка 0x называется точкой локального максимума
(локального минимума), если существует такая
окрестность 0( )U xδ этой точки, что
0 0 0( ) ( ) ( ),f x f x x U x x xδ< ∀ ∈ ≠
(соответственно 0 0 0( ) ( ) ( ),f x f x x U x x xδ> ∀ ∈ ≠ ).
7.3.
точек
локального
экстремума
Точки локального максимума и минимума называются
точками локального экстремума, а значения функции в
этих точках – экстремумами функции.

46
7.4.
Теорема
Ферма
(необходимое
условие
экстремума)
Если 0x – точка локального экстремума для функции
( )f x , то в этой точке производная функции либо равна
нулю ( /
0( ) 0f x = ), либо не существует.
7.5.
Первое
достаточное
условие
Пусть функция ( )f x непрерывна в точке 0x и
дифференцируема в некоторой ее окрестности (за
исключением, быть может, самой точки 0x ). Тогда, если
производная функции /
( )f x меняет знак при переходе
через точку 0x , то 0x – точка локального экстремума
(если с «+» на «–» – локальный максимум, если же с «-»
на «+» – локальный минимум).
7.6.
критических
точек первого
порядка
Точки области определения функции ( )f x , в которых ее
первая производная не существует или равна нулю,
называются критическими точками первого порядка
Точки экстремума следует искать среди критических точек первого
порядка.
Например, найдем экстремумы функции ln
( )
x
f x
x
= . Функция определена
и дифференцируема для всех положительных значений аргумента: 0x > ,
причем /
2 2
1
ln 1 ln
( )
x x xxf x
x x
⋅ − −
= = . Критическая точка одна 1x e= ,
поскольку в точке 0x = функция терпит разрыв, так как не определена в
самой точке и слева от этой точки.
Исследуем знак производной в окрестности точки 1x e= .
x (0, )e e ( , )e ∞
/
( )f x + 0 ⎯
( )f x Функция
Локальный
максимум
max
1
( )f e
e
=
Функция
убывает

47
Ответ: max
1
( )f f e
e
= = .
7.7.
стационарной
точки
Точка дифференцируемой функции, в которой производная
первого порядка равна нулю, называется стационарной
точкой: /
0 0( ) 0,f x x= ⇒ – стационарная точка.
7.8
Второе
условие
Пусть функция ( )f x имеет в точке 0x производные
первого и второго порядков. Тогда, если
/ //
0 0( ) 0, ( ) 0f x f x= ≠ , то 0x – точка локального
экстремума.
В частности, если / //
0 0( ) 0, ( ) 0f x f x= < , то 0x – точка
локального максимума,
Если же / //
0 0( ) 0, ( ) 0f x f x= > , то 0x – точка локального
минимума.
Например, найдем экстремумы функции 2
( )
1
x
f x
x
=
+
.
Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой,
причем
2 2 2
/
2 2 2 2
1 2 1
( )
(1 ) (1 )
x x x
f x
x x
+ − −
= =
+ +
.
Стационарные точки две (в стационарных точках производная первого
порядка равна нулю): 1 21, 1x x= − = .
Найдем производную второго порядка исследуемой функции
2 2 2 2 3 3 3
//
2 4 2 3 2 3
2 (1 ) (1 )2(1 )2 2 2 4 4 6 2
( )
(1 ) (1 ) (1 )
x x x x x x x x x x x
f x
x x x
− + − − + − − − + − +
= = =
+ + +
и вычислим ее значения в стационарных точках:
//
1
1
( 1) 0 1
2
f x− = > ⇒ = − – точка локального минимума;
//
2
1
(1) 0 1
2
f x= − < ⇒ = – точка локального максимума.
Ответ: min
1
( 1)
2
f f= − = − , max
1
(1)
2
f f= = .

48
8.1.
выпуклой
вверх
(выпуклой
вниз) функции
Функция ( )f x , определенная на интервале ( , )a b
называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на этом
интервале, если точки любой дуги графика функции
расположены выше (соответственно, ниже) хорды,
стягивающей эту дугу.
Иногда выпуклость вверх (соответственно, выпуклость вниз) называют
просто выпуклостью (соответственно, вогнутостью).
График выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале ( , )a b функции
также называют выпуклым вверх (соответственно, выпуклым вниз).
График функции выпуклый вниз График функции выпуклый вверх
Можно дать другое, эквивалентное определение выпуклости вверх
(выпуклости вниз):
выпуклой
вверх
(выпуклой
вниз) функции
Функция ( )f x , определенная на интервале ( , )a b
называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на этом
интервале, если график этой функции при ( , )x a b∈
расположен ниже (соответственно, выше) касательной,
проведенной в любой его точке.
График функции выпуклый вниз График функции выпуклый вверх

49
8.2.
Достаточные
условия
выпуклости
вверх
Пусть функция ( )f x имеет вторую производную на
интервале ( , )a b . Тогда, если //
( ) 0f x < (соответственно,
//
( ) 0f x > ) на этом интервале, то функция ( )f x выпукла
вверх (соответственно, выпукла вниз) на нем.
8.3.
точки
перегиба
Пусть функция ( )f x дифференцируема в некоторой
окрестности точки 0x . Тогда, если при переходе через
эту точку функция меняет направление выпуклости, то
эта точка называется точкой перегиба функции ( )f x .
Точка 0 0( , ( ))x f x при этом называется точкой перегиба
графика функции ( )f x .
( )0 0, ( )x f x – точка перегиба графика функции
8.4.
Необходимое
условие точки
перегиба
Если 0x – точка перегиба функции ( )f x , то в этой точке
вторая производная функции либо равна нулю ( //
0( )f x =
0), либо не существует.
8.5.
критических
точек второго
порядка
Точки, в которых вторая производная равна нулю или не
существует, называются критическими точками второго
порядка.
Точки перегиба следует искать среди критических точек второго
порядка.

50
8.6.
Первое
перегиба
Пусть функция ( )f x имеет первую производную в точке
0x и вторую производную в некоторой ее окрестности
(за исключением, быть может, самой точки 0x ). Тогда,
если вторая производная функции меняет знак при
переходе через точку 0x , то 0x – точка перегиба.
8.7.
Второе
перегиба
Пусть в точке 0x функция ( )f x имеет производные до
третьего порядка включительно. Тогда, если
// ///
0 0( ) 0, ( ) 0f x f x= ≠ , то 0x – точка перегиба этой
функции.
При выполнении задания 8 номер варианта а) воспользуйтесь Таблицей 4,
пунктом 2 (стр.27–28).
9.1.
асимптоты
графика
функции
Прямая линия m называется асимптотой графика
функции ( )y f x= , если расстояние d от точки М,
лежащей на этом графике, до прямой m стремится к
нулю при неограниченном удалении этой точки по
графику от начала координат в бесконечность.
9.2.
вертикальной
асимптоты
Прямая 0x x= называется вертикальной асимптотой
графика функции ( )y f x= , если хотя бы один из
односторонних пределов
00
lim ( )
x x
f x
→ +
и
00
lim ( )
x x
f x
→ −
равен
бесконечности.
Пунктирная прямая – вертикальная асимптота

51
9.3.
наклонной
асимптоты
Прямая y kx b= + называется наклонной асимптотой
графика функции ( )y f x= при x → ∞ (при x → −∞),
если lim ( ( ) ( )) 0
x
f x kx b
→+∞
− + =
(соответственно, lim ( ( ) ( )) 0
x
f x kx b
→−∞
− + = ).
Пунктирная прямая – наклонная асимптота
9.4.
Необходимые
и достаточные
условия
существования
наклонной
асимптоты
Прямая y kx b= + является наклонной асимптотой
графика функции ( )y f x= при x → ∞ (при x → −∞)
тогда и только тогда, когда существуют пределы
( )
lim
x
f x
k
x→+∞
= и lim ( ( ) )
x
f x kx b
→+∞
− =
(соответственно,
( )
lim
x
f x
k
x→−∞
= и lim ( ( ) )
x
f x kx b
→−∞
− = ).
9.5.
Необходимые
и достаточные
условия суще-
ствования го-
ризонтальной
асимптоты
Прямая y b= является горизонтальной асимптотой
графика функции ( )y f x= при x → ∞ (при x → −∞)
тогда и только тогда, когда существует предел
lim ( )
x
f x b
→+∞
= (соответственно, lim ( )
x
f x b
→−∞
= ).
Пунктирная прямая – горизонтальная асимптота

52
При выполнении задания 9 номер варианта а) воспользуйтесь Таблицей 3,
пунктами 2 и 6 (стр.25–26).
10.1.
7x = − – точка минимума; /
( 7)f − не существует;
5x = − – точка максимума; /
( 5) 0f − = ;
1x = − – точка минимума; /
( 1) 0f − = ;
5x = – точка максимума; /
(5) 0f = ;
6x = – точка минимума; /
(6)f – не существует.
10.2.
3x = − – точка перегиба; //
( 3) 0f − = (или не существует);
8x = – точка перегиба; //
(8) 0f = (или не существует).
Точка 2x = не является точкой перегиба графика функции (несмотря на
то, что интервал вогнутости сменяется интервалом выпуклости), так как
функция терпит разрыв в этой точке.
10.3.
Логарифмическая функция определена для тех значений аргумента,
которые являются положительными:
2
6 ( 6)
0 0
x x x
x x
+ +
> ⇒ > . Числителю соответствует квадратный трехчлен с
корнями 1 26, 0x x= − = . Положительным значениям аргумента данной
логарифмической функции соответствуют интервалы ( , 6) (0, )−∞ − ∪ ∞ .
То есть областью определения функции являются интервалы
( , 6) (0, )−∞ − ∪ ∞ .
10.4.
Для отыскания вертикальных асимптот вычислим пределы в точке
1 6x = − – левосторонний, в точке 2 0x = – правосторонний.
{ } { }6 0
6 6 0 6 0
lim ln ln ln 6
6 6x
x
x
x→− −
+ − − +
= = = −∞ ⇒ = −
−
– вертикальная
асимптота;
{ } { }0
6 0 6 6
lim ln ln ln 0
0 0x
x
x
x→+
+ +
= = = ∞ ⇒ = – вертикальная асимптота.

53
10.5.
Исследуем функцию на четность и нечетность.
6 6
( ) ln ( ) ln
x x
f x f x
x x
− + +
− = ≠ =
−
;
6 6
( ) ln ( ) ln
x x
f x f x
x x
− + +
− = ≠ − = −
−
.
Следовательно, исследуемая функция является функцией общего вида.
10.6.
Очевидно, функция не является периодической.
10.7.
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью Оy график функции не пересекается, так как точка 0x = не
принадлежит области допустимых значений функции D.
Пусть
6 6
( ) 0 ln 0 1 6
x x
f x x x
x x
+ +
= ⇒ = ⇒ = ⇒ + = – полученное
уравнение решений не имеет, то есть точек пересечения графика с осью Ох
тоже нет.
10.8.
Найдем наклонные асимптоты, если они существуют.
{ }
6
ln ln1
lim 0
x
x
xk
x→±∞
+
= = =
∞
;
6
lim ln ln1 0
x
x
b
x→±∞
+
= = = .
Значит, график функции имеет горизонтальную асимптоту 0y = – ось Ох.
10.9.
Производная первого порядка данной функции равна
/ / /6 1 1
( ) (ln ) (ln( 6) ln )
6
x
f x x x
x x x
+
= = + − = −
+
.
Исследуем знак первой производной:
/ 1 1 6
( )
6 ( 6)
f x
x x x x
−
= − =
+ +
.
x 6x < − 6x = − 6 0x− < < 0x = 0x >
/
( )f x
⎯
Не
Не существует
Не
⎯
( )f x Убывает −∞ Не определена +∞ Убывает
Итак, точек экстремума исследуемая функция не имеет.

54
10.10.
Найдем производную второго порядка данной функции.
2 2
// /
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 12 36 12( 3)
( ) ( )
6 ( 6) ( 6) ( 6)
x x x x
f x
x x x x x x x x
− + + + +
= − = − + = =
+ + + +
.
Исследуем знак второй производной.
x 6x < − 6x =− 6 0x− < < 0x = 0x >
//
( )f x ⎯ Не
Не
Не
+
( )f x
График
выпуклый
−∞ Не
определена
∞ График
вогнутый
10.11.
Изобразим функцию на графике.

55
Обязательные индивидуальные домашние задания
Задание № 1а
Найдите производные данных функций
1а.1
3 22(3 4 2)
15 1
x x x
y
x
+ − −
=
+
1а.2
2 2
3
(2 1) 1
3
x x
y
x
− +
=
1а.3
4 2
2
8
2( 4)
x x
y
x
−
=
−
1а.4
22 1
3 2 4
x x
y
x
− −
=
+
1а.5
8 8
12
(1 ) 1
12
x x
y
x
+ +
= 1а.6
2
42 1 3
x
y
x
=
−
1а.7
2 2 3
5
( 6) (4 )
120
x x
y
x
− +
= 1а.8
2 2
3
( 8) 8
6
x x
y
x
− −
=
1а.9
3
3 3 2
4 3
(2 )
x
y
x x
+
=
+
1а.10
3/ 4 2
3
3/ 2
(1 )x
y
x
+
=
1а.11
6 3
3
2
1
x x
y
x
+ −
=
−
1а.12
2 2
3
( 2) 4
24
x x
y
x
− +
=
1а.13
2
2
1
2 1 2
x
y
x
+
=
+
1а.14 2
1 (3 2)
4
x x
y
x
− −
=
1а.15
2 3
3
(1 )
3
x
y
x
+
= 1а.16
6 3
3
8 128
8
x x
y
x
+ −
=
−
1а.17 2
2 3 ( 2)x x
y
x
+ −
= 1а.18 ( )2 35 1
1y x x
x
= − +
1а.19
2 2
3
(2 3) 3
9
x x
y
x
+ −
= 1а.20 2 2
1
( 5) 5
x
y
x x
−
=
+ +
1а.21
3
2
(3 5) 3
2
x x x
y
x
− −
= 1а.22
1
2
1
x
y
x
−
=
+
1а.23 2
1
( 2) 4 5
y
x x x
=
+ + +
1а.24
3 23 1
1
x x
y
x
+ +
=
+

56
1а.25 3
2
1
3
( 1)
x
y
x
+
=
−
1а.26 2
7
6 2 7
x
y
x x
+
=
+ +
1а.27 2
1
1
x x
y
x x
+
=
+ +
1а.28
2
4
2
2 1
x
y
x
+
=
−
1а.29
( 3) 2 1
2 7
x x
y
x
+ −
=
+
1а.30
2
3
2
x x
y
x
+
=
+
Задание № 1б
1б.1 ( )2
ln 2 2 1x x x
y x e e e= − + + + +
1б.2 ( )21
2 sin 2 cos2
8
xy e x x= − −
1б.3 1 3
2 2
xe
y arctg
−
=
1б.4
1 1 2
ln
ln 4 1 2
x
x
y
+
=
−
1б.5
1 1
2 1 ln
1 1
x
x
x
e
y e
e
+ −
= + +
+ +
1б.6 ( )
32
3
xy arctge=
1б.7 ( )21
ln 1 2
2
x xy e arctg e= + −
1б.8 ( )
218 27 11
ln 1
6( 1)
x x
x
x
e e
y e
e
+ +
= + +
+
1б.9 ( )2
2 1 2 1
ln 2
x xy arctg= − − −
1б.10 ( )
1 1
2 2 1 2ln
1 1
x
x
x
e
y x e
e
+ −
= − + −
+ +

57
1б.11 ( )2 2
sin cos
xe
y x x
α
α β β β
α β
= −
+
1б.12 ( )2 2
sin cos
xe
y x x
α
β β α β
α β
= +
+
1б.13 2 2
1 cos2 2 sin2
2 2( 4 )
ax a bx b bx
y e
a a b
⎛ ⎞+ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+
1б.14 ( )
1
ln 1
1
x
x
y x e
e
= + − +
+
1б.15 6 3 63 ln (1 ) 1 3
x x x
y x e e arctg e
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠
1б.16 / 4
8
x
y x
x e
= +
+
1б.17 ( )2
ln 1 sinx x x
y e e e−
= + − +
1б.18 ( )2
arcsin ln 1 1x x x
y x e e e−
= − − + −
1б.19 ( ) ( )
2/ 2 / 2 / 2ln 1 2x x x xy x e e arctg e arctg e−= − + − −
1б.20 ( )
2
4 21
2 2
2
xy e x x−= − + +
1б.21
5
2
2
cos
xe
y x arctgx
x
π
π
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
1б.22 ( )
3 3 32
3 2 2x
y e x x= − +
1б.23 2arcsin 1x xy e e= − −
1б.24 sin 1
cos
xy e x
x
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
1б.25 ( )2 2( 1)cos ( 1) sin
2
xe
y x x x x= − + −

58
1б.26 ( )x xy arctg e e−= −
1б.27 ( )
3 3 3 3 35 4 2
3 5 2 6 12 12x
y e x x x x x= − + − + −
1б.28
3
33
xe
y
sh x
= −
1б.29
2
2
1 1
ln
1 1
x x x
x x x
e e e
y
e e e
+ + − −
=
+ + − +
1б.30
2
31
xe
y
x
=
+
Задание № 1в
1в.1
2
1 sin 3
sin 3
3 cos6
x
y
x
= + 1в.2
2
1 cos 3
cosln 2
3 sin6
x
y
x
= −
1в.3
2
1 1 sin 4
ln
3 4 cos8
x
y tg
x
= + 1в.4
2
3 1 cos 4
5
8 sin8
x
y ctg
x
= −
1в.5
2
cossin5 sin 2
2cos4
x
y
x
⋅
= 1в.6
2
sincos3 cos 2
4sin4
x
y
x
⋅
=
1в.7
2
cosln7 sin 7
7cos14
x
y
x
⋅
= 1в.8
2
1 cos 8
cos 2
16 sin16
x
y ctg
x
= −
1в.9
2
1 cos 10
cos2
6 sin20
x
y ctg
x
= + 1в.10
2
3 1 sin 6
2
6 cos12
x
y ctg
x
= +
1в.11
2
1 1 1 sin 10
cos
3 2 10 cos20
x
y tg
x
= + 1в.12
2
1 1 cos 12
lnsin
2 24 sin 24
x
y
x
= −
1в.13
2
1 sin 5
8sin 3
5 cos10
x
y ctg
x
= + 1в.14
2
cos 3 cos 14
28sin28
ctg x
y
x
⋅
=
1в.15
2
cos (1/3) cos 16
32sin32
xtg x
y
x
⋅
= 1в.16
2
sin(1/3) sin 17
17cos34
ctg x
y
x
⋅
=

59
1в.17
2
sin (1/7) cos 16
32sin32
tg x
y
x
⋅
= 1в.18
25 2 cos 18
36sin36
ctg x
y
x
⋅
=
1в.19
2
ln2 sin 19
19cos38
tg x
y
x
⋅
= 1в.20
2
1 cos 20
cos5
40 sin40
x
y ctg
x
= −
1в.21
2
sin 21
4
21cos42
x
y tg
x
= + 1в.22
2
1 cos 22
cosln13
44 sin44
x
y
x
= −
1в.23
2
1 sin 23
lncos
3 23cos46
x
y
x
= + 1в.24
2
1 1 cos 24
sin
13 48 sin48
x
y ctg
x
= −
1в.25
2
1 sin 25
sinln
2 25cos50
x
y
x
= + 1в.26
2
3 1 cos 26
cos 2
52 sin52
x
y
x
= −
1в.27
2
7 sin 27
cos2
27cos54
x
y tg
x
= + 1в.28
2
3 cos 28
sin 2
56sin56
x
y tg
x
= −
1в.29
2
sin 29
cossin3
29cos58
x
y
x
= + 1в.30
2
2 cos 30
sin cos2
60sin 60
x
y
x
= −
Задание № 1г
Найдите производные функций, заданных неявно.
1г.1 arcsin arccos( ) 0y x y x− − = 1г.2 cos( )yctgx x y= +
1г.3 3 3 3 0x y axy+ − = 1г.4 2 2cos sin3y x a x=
1г.5 3 3 2 sin 0y y ay x− + = 1г.6 2 22 cos( ) 0y xy b xy− + =
1г.7 4 4 2 2x y x y+ = 1г.8 3 2 2 3 0x ax y bxy y+ + + =
1г.9 sin( ) cos( ) ( )xy xy tg x y+ = + 1г.10 2 2 2x y x y++ =
1г.11 2 ln arcsiny y x x= 1г.12 arcsin arcsinx y y x x y− = −
1г.13 y xx y= 1г.14 cos( ) xx xy ye=
1г.15
1 1 1
2 2 2x y a+ = 1г.16
2 2 2
3 3 3x y a+ =
1г.17 1 yy xe= + 1г.18 sin cos cos2 0x y y y− + =
1г.19
2 2
1
1
y xk
tg tg
k
−
=
+
1г.20
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =

60
1г.21 ( )xy x arctg y e= + + 1г.22 2 arcsin 2yy x x+ =
1г.23 arcsincos y xx e xy+ = 1г.24 ln( ) 2 arccosyy x y x+ =
1г.25 ( 5 ) ( ) 0y ytg x arctg x+ + = 1г.26 3cos (2 )xx y arcctg y+ = +
1г.27 arcsin ln( ) 0x y x y+ + − = 1г.28 ( ) ( ) 2yctg xy tg x y+ − =
1г.29 ( ) (2 )x ysh x y th e− + = 1г.30 2 3 ( )xe y ch xy+ +
Задание № 1д
1д.1 ( )arcsin
3 x
y cth x= 1д.2 ( )ln
cos( 2) x
y x= +
1д.3 ( )arccos
sin3 x
y x= 1д.4 ( )arcsin( 1)
5 x
y th x +
=
1д.5 ( )arcsin 2
( 2) x
y sh x= + 1д.6 ( )cos5 arctg x
y x=
1д.7 ( )
3
3 2
arcctg x
y x= + 1д.8 ( )sin
ln( 3) x
y x= +
1д.9 ( ) 7
2log ( 4) ctg x
y x= + 1д.10 ( ) ( 2)
3 arctg x
y sh x +
=
1д.11 ( ) (1/ )
3 ctg x
y ch x= 1д.12 ( )arcsin5 tg x
y x=
1д.13 ( )ln( 3)
arccos5 x
y x −
= 1д.14 3(arccos2 ) arcctgxy x=
1д.15 ( ) 2
ln( 7) ctg x
y x= + 1д.16 ( ) 3
(7 4) x
y ctg x +
= +
1д.17 ( )
2
1
arctg x
y th x= + 1д.18 ( )arcsin7
(1/ ) x
y cth x=
1д.19 ( )arcsin3
cos( 5) x
y x= + 1д.20 ( )
arccos3
6
x
y x= +
1д.21 ( ) (1/ )
sin4 arctg x
y x= 1д.22 ( )
343
x
y tg x
+
=
1д.23 ( )
sin32
x
y ctg x= 1д.24 ( )
257
x
y tg x
+
=
1д.25 ( ) cos
arccos x
y x= 1д.26 ( ) ( 3)
7 sh x
y ctg x +
=
1д.27 ( ) ( 4)
5 arctg x
y sh x +
= 1д.28 ( ) (3 1)th x
y arctgx +
=
1д.29 ( )
sin( 3)x
y cth x
+
= 1д.30 ( ) 2
3 arcctg x
y sh x=

61
Задание № 1е
Вычислите производную xy′ от функций, заданных параметрически
1е.1
( )
2
2
3
3 1
3
sin /3
t
x
t
y t t
⎧⎪ +⎪ =⎪⎪⎨
⎪⎪ = +⎪⎪⎩
1е.2
2
3 2
2
1
( 1)
x t t
y
t
⎧⎪ = −⎪⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎪ −⎪⎩
1е.3
21
1
x t
y tg t
⎧⎪ = −⎪⎨
⎪ = +⎪⎩
1е.4
arcsin(sin )
arccos(cos )
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
1е.5
( )2
2
ln 1
1
x t t
y t t
⎧⎪ = + +⎪⎪⎨
⎪⎪ = +⎪⎩
1е.6
22
arcsin( 1)
x t t
y t
⎧⎪ = −⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
1е.7
( )2
ln
t
t
x ctg e
y tg e
⎧⎪ =⎪⎪⎨
⎪⎪ =⎪⎩
1е.8 2
ln
1/cos
x ctgt
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
1е.9
/ 2
1
t
t
x arctg e
y e
⎧⎪ =⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎪⎩
1е.10
2
1
ln
1
1
t
x
t
y t
⎧ −⎪⎪ =⎪⎪ +⎨
⎪⎪⎪ = −⎪⎩
1е.11
4
2
2
1
ln
1
1
arcsin
1
x
t
t
y
t
⎧⎪⎪ =⎪⎪ −⎪⎪⎨
⎪ −⎪⎪ =⎪⎪ +⎪⎩
1е.12
2
2
1
1
x t
t
y
t
⎧⎪ = −⎪⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎪⎪ −⎩
1е.13
2
2
arcsin 1
arccos
x t
y t
⎧⎪ = −⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎪⎩
1е.14
2 2
2
(1 cos )
cos /sin
x t
y t t
⎧⎪ = +⎪⎨
⎪ =⎪⎩
1е.15
2
2
1
ln(1 1 )
t
x
t
t
y
t
⎧⎪⎪ =⎪⎪ −⎪⎨
⎪⎪ + −⎪ =⎪⎪⎩
1е.16
2
1
ln
1
1
t
x
t
y t
⎧ −⎪⎪ =⎪⎪ +⎨
⎪⎪ = −⎪⎪⎩
1е.17
2
1
arccos
1
1 arcsin
x
t
y t
t
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎨
⎪⎪ = − +⎪⎪⎩
1е.18 2
1
ln
1 1
ln
x
t
t
y
t
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎨
⎪ + −⎪⎪ =⎪⎪⎩

62
1е.19
arcsin
1
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎩
1е.20
2
2
arcsin
/ 1
x t
y t t
⎧⎪ =⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎪⎩
1е.21
2
2
1
1 1
ln
x t t
t
y
t
⎧⎪ = +⎪⎪⎪⎨ + +⎪⎪ =⎪⎪⎩
1е.22 21
ln
1
x arctgt
t
y
t
⎧ =⎪⎪⎪⎪⎨ +⎪ =⎪⎪ +⎪⎩
1е.23
2
2
ln(1 )
arcsin 1
x t
y t
⎧⎪ = −⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎪⎩
1е.24
( )
2
( 1)/( 1)
arcsin 1
x arctg t t
y t
⎧ = + −⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
1е.25
2
1 sin
ln
1 sin
(1/ 2) lncos
t
x
t
y tg t t
⎧ −⎪⎪ =⎪⎪ +⎨
⎪⎪ = +⎪⎪⎩
1е.26
2 1
1 arcsin
t
x t t arctg
t
y t t t
⎧ −⎪⎪ = − −⎪⎨
⎪⎪ = − −⎪⎩
1е.27
2
ln
1
sin
x tgt
y
t
⎧ =⎪⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎪⎩
1е.28
2
2
2
2
2
ln
ln 1
1
arcsin
ln 1
1
t t
x t
t
t t
y t
t
⎧⎪⎪ = + −⎪⎪ −⎪⎨
⎪⎪ = + −⎪⎪⎪ −⎩
1е.29
2sec
lncos
tx e
y tgt t tgt t
⎧⎪ =⎪⎨
⎪ = + −⎪⎩
1е.30
( )2
2
2
ln 1
1 1
1 ln
x t t
t
y t
t
⎧⎪ = + +⎪⎪⎪⎪⎨
⎪ + +⎪ = + −⎪⎪⎪⎩
Составьте уравнение нормали и уравнение касательной к данной кривой
в точке с абсциссой 0x
2а.1
2
0
4
, 2
4
x x
y x
−
= = 2а.2 0
1
, 4
1
x
y x
x
+
= =
−
2а.3 2
02 3 1, 2y x x x= + − = − 2а.4 3
0, 1y x x x= − = −
2а.5 3
0, 1y x x x= + = 2а.6 3 2
020, 8y x x= − = −
2а.7 2
08 32, 4y x x x= + − = 2а.8 4
08 70, 16y x x= − =
2а.9 3
02 3 1, 1y x x x= − + = 2а.10 2
02 3, 1y x x= + = −

63
2а.11
2
02
3 6
, 3
x x
y x
x
− +
= = 2а.12
3
03
2
, 2
2
x
y x
x
+
= =
−
2а.13 3
03 , 64y x x x= − = 2а.14 ( )3
03 2 , 1y x x x= − =
2а.15
3
0
3 2
, 1
3
x x
y x
−
= = 2а.16
29
04
6
, 1
1
x
y x
x
+
= =
+
2а.17 3
014 15 2, 1y x x x= − + = 2а.18 4
03 , 1y x x x= − =
2а.19 0
2 1
, 1
x
y x
x
+
= = 2а.20
8
04
2( 2)
, 1
3( 1)
x
y x
x
− +
= =
+
2а.21
5
04
1
, 1
1
x
y x
x
+
= =
+
2а.22
16
02
9
, 1
1 5
x
y x
x
+
= =
−
2а.23 0
1
, 2
3 2
y x
x
= =
+
2а.24 02
, 2
2
x
y x
x
= = −
+
2а.25
2
0
3 3
, 3
3
x x
y x
− +
= = 2а.26 02
2
, 1
1
x
y x
x
= =
+
2а.27
2
02
1 3
, 1
3
x
y x
x
+
= =
+
2а.28
2
03, 2
10
x
y x= + =
2а.29 ( )3
02 3 , 1y x x x= − + = 2а.30
2
0
2 3
, 4
4
x x
y x
− −
= =
Задание № 2 б
Найдите угол между линиями.
2б.1
2
2 ;
2
x
y x y= = 2б.2
1
;y y x
x
= =
2б.3
2 2
2 2
4 1;
2 9
x y x
x y y
+ − =
+ − =
2б.4
[ ]
sin ; cos ;
0; 2
y x y x
x π
= =
∈
2б.5 2;y x y x= = 2б.6 21 ;y x y x= − =

64
2б.7 3 12
;y x x y
x
= − = 2б.8 2 2 28 ;
2
x
x y ax y
a x
+ = =
−
2б.9 2 3;y x y x= = 2б.10 2 2( 2) ; 4 4y x y x x= − = − +
2б.11 2 22 5; 3 5y x y x x= − = − + 2б.12 32 ; 2y x x x y= − + =
2б.13 3; 5y x x y x= − = 2б.14 1 sin ; 1y x y= + =
2б.15 2 2 25; 4x y y x+ = = 2б.16 2sin ; 2cosy x y x= =
2б.17 3
2
1
;y x y
x
= = 2б.18
1
;y y x
x
= =
2б.19 2 28 ;y x y x= − = 2б.20 2 3 22 ; 2 1y x y x x= = + −
2б.21
3 3 7 0;
1
x y xy
y x
+ − − =
= +
2б.22
2 2 4;
2 2
x y
x y
+ =
+ =
2б.23 2; 5y x y x= = 2б.24 2 2;y x x y= =
2б.25
2
ln ;
2
x
y x y
e
= = 2б.26 5 32 1
; 1
3 9
y x x x= − =
2б.27
2
2
4 4;
6 4
y x x
y x x
= − +
= − + −
2б.28
2
3
4 2 8;
10
y x x
y x x
= + −
= − +
2б.29 2 2ln ; 4 4y x x y x= = − 2б.30 2 32 ; 64 48 11 0y x x y= − − =
Вычислите пределы, используя правило Лопиталя
3а.1 4
ln( 5)
lim
3x
x
x→∞
+
+
3а.2
ln
1
lim
1
x
x
a x
x→
−
−
3а.3
0
lim
sinx
tgx x
x x→
−
−
3а.4
2
21
1 4sin ( /6)
lim
1x
x
x
π
→
−
−
3а.5 lim arcsin ( )
x a
x a
ctg x a
a→
−
⋅ − 3а.6 ( )lim 2 ln
x
arctgx xπ
→∞
−
3а.7 ( )1/lim 1x
x
a x
→∞
− 3а.8
1
1
lim
ln lnx
x
x x→
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

65
3а.9
2
2 20
1 cos
lim
sinx
x
x x→
−
−
3а.10
0
lim
2sinx
tgx x
x x→
−
+
3а.11
2
1/
2
1
lim
2
x
x
e
arctgx π→∞
−
−
3а.12
3 2
31
2 2
lim
7 6x
x x x
x x→
− − +
− +
3а.13 30
cos sin
lim
x
x x x
x→
−
3а.14
5
lim
x
x
e
x→∞
3а.15
1
1
lim
1 sin( /2)x
x
xπ→
−
−
3а.16 3
ln
lim
x
x
x→∞
3а.17
0
1
lim
1 cosx
ch x
x→
−
−
3а.18
0
/
lim
( / 2)x
x
ctg x
π
π→
3а.19
0
ln(sin )
lim
ln(sin )x
mx
x→
3а.20
/ 2
lim
5x
tgx
tg xπ→
3а.21
2
/ 4
1/cos 2
lim
1 cos4x
x tgx
xπ→
−
+
3а.22 ( )
0
lim 1 cos
x
x ctgx
→
−
3а.23 ( )
1
lim 1 ( / 2)
x
x tg xπ
→
− 3а.24 lim sin(3/ )
x
x x
→∞
3а.25
3
1
1 2 1
lim
2x
x
x x→−
+ +
+ +
3а.26 30
cos sin
lim
x
x x x
x→
−
3а.27
1
1
lim
1 sin( /2)x
x
xπ→
−
−
3а.28
0
sin
lim
4 sinx
tgx x
x x→
−
−
3а.29
/ 2
3
lim
5x
tg x
tg xπ→
3а.30
2
/ 4
sec 2
lim
1 cos4x
tgx
xπ→
−
+
3б.1 20
1 cos8
lim
2x
x
tg x→
−
3б.2 4lim sin
x
a
x
x→∞
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
3б.3 1
lim ln ln( 1)
x
x x
→
⋅ − 3б.4 lim ( ) ( / 2)
x
x tg x
π
π
→
−

66
3б.5 23
1 5
lim
3 6x x x x→
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− − −
3б.6 31
1 1
lim
2(1 ) 3(1 )x x x→
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠−
3б.7
0
lim
sin
ax bx
x
e e
x→
−
3б.8
/ 2
lim
2cosx
x
ctgx xπ
π
→
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
3б.9 30
lim
x
x arctgx
x→
−
3б.10 2/(2 )
1 sin
lim
(2 )x a
ax
axπ π→
−
−
3б.11
/ 6
1 2sin
lim
cos3x
x
xπ→
−
3б.12
2
0
1
lim
ln(1 2 )
x
x
e
x→
−
+
3б.13
0
1
lim
1
x
xx
a
c→
−
−
3б.14 31
ln
lim
1x
x
x→ −
3б.15
1
ln
lim
x
x
ctgx→
3б.16
0
1 cos
lim
1 cosx
ax
bx→
−
−
3б.17 lim n nx a
x a
x a→
−
−
3б.18
0
1
lim
sin2
x
x
e
x→
−
3б.19 ( )
0
lim ln
x
x x
→
3б.20 ( )2
0
lim 1 x
x
e ctgx
→
−
3б.21 20
1 1
lim
sinx x x x→
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
3б.22
0
lim
1
x x
x
a b
x x→
−
−
3б.23
3
3
20
1
lim
sin 2
x
x
e x
x→
− −
3б.24
0
1
lim
sin
a x
x
e
bx→
−
3б.25
2
0
ln(1 )
lim
cos3 xx
x
x e−→
+
−
3б.26
5
lim
x
x
e
x→∞
3б.27 7
ln( 7)
lim
3x
x
x→+∞
+
−
3б.28
0
/
lim
(5 / 2)x
x
ctg x
π
→
3б.29 ( )
0
lim 1 cos2 4
x
x ctg x
→
− 3б.30 ( )2lim sin /
x
x b x
→∞
3в.1 30
arcsin4
lim
5 5 xx
x
e−→ −
3в.2
0
ln cos
lim
x
x
x→

67
3в.3
2
0
1
lim
cos 1
x
x
e
x→
−
−
3в.4
2
20
/2 1
lim
cos /2 1
x
x
e x x
x x→
− − −
− −
3в.5
0
1
lim
tgx
x
e
tgx x→
−
−
3в.6
1
ln(1 ) ( / 2)
lim
x
x tg x
ctg x
π
π→
− +
3в.7
cos ln( )
lim
ln( )x ax a
x x a
e e→
⋅ −
−
3в.8
1
1
lim
cos( / 2) ln(1 )x x xπ→ ⋅ −
3в.9
0
cos
lim
cos
ax
bxx
e bx
e bx→
−
−
3в.10
2
0
cos( 1)
lim
cos 1
x
x
e
x→
−
−
3в.11 lim
m m
n nx a
x a
x a→
−
−
3в.12 lim sin
6x
a
x
x→∞
3в.13
0
3 4 12
lim
3sin4 12sinx
tg x tgx
x x→
−
−
3в.14 2/ 4
1
lim
2sin 1x
tgx
xπ→
−
−
3в.15
30
( 1) 2( 1)
lim
x x
x
x e e
x→
+ − −
3в.16 30
arcsin2 2arcsin
lim
x
x x
x→
−
3в.17
sin
30
lim
x x
x
a a
x→
−
3в.18 ( ) 2
/ 4
lim tg x
x
tgx
π→
3в.19
0
ln(cos )
lim
ln(cos )x
ax
bx→
3в.20
3
2/ 4
1
lim
2sin 1x
tgx
xπ→
−
−
3в.21
0
1 1
lim
1xx x e→
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−
3в.22 20
ln(1 )
lim
ln( 1 )
x
x
xe
x x→
+
+ +
3в.23
2 0,01lim x
x
x e−
→∞
3в.24 ( ) 2log
1
lim 1 x
x
x
→
−
3в.25
2
4/
2
1
lim
2
x
x
e
arctgx π→∞
−
−
3в.26
1/ 2
1
lim
3 1 ln3x
x
x x→
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−
3в.27 1/ 2
lim ln2 ln(2 1)
x
x x
→
⋅ − 3в.28 0
lim arcsin
x
x tgx
→
⋅
3в.29 ( )3lim x
x
x e−
→∞
3в.30 ( ) 1
1
lim 1 x
x
x −
→
−

68
3г.1 ( )
0
lim 1 sin 2 ctgx
x
x
→
− 3г.2 ( )
0
lim ln(1/ ) x
x
x
→
3г.3 ( )
2
0
lim cos ctg x
x
x
→
3г.4
0
lim x
x
x
→
3г.5 ( )1/ ln
lim ln2 x
x
x
→∞
3г.6 ( )
2
1/2
0
lim 1 sin
tg x
x
x
→
+
3г.7 ( )ln
1
lim 1 x
x
x
→
− 3г.8 ( )1/
0
lim ln( ) x
x
x e
→
+
3г.9 ( )
0
lim sin tgx
x
x
→
3г.10 lim x
x
x
→∞
3г.11
sin
0
lim x
x
x
→
3г.12 ( )cos( / 2)
1
lim 1 x
x
x π
→
−
3г.13 ( )
1/2
0
lim 1
x
x
x
→
+ 3г.14
1/( 1)
1
lim x
x
x −
→
3г.15
( / 2)
1
lim
4
tg x
x
x
tg
π
π
→
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
3г.16
( / 2)
1
lim
4
tg x
x
x
ctg
π
π
→
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
3г.17
0
1
lim
tgx
x x→
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
3г.18
3
4
lim
3
x
x
x
x→∞
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+
3г.19 ( )sin
0
lim x
x
ctgx
→
3г.20 ( )1/
lim ln x
x
x
→∞
3г.21
6/(1 2ln )lim x
x
x +
→∞
3г.22 ( )
1/
lim 1
xx
x
e
→∞
−
3г.23 ( )1/ ln(2( 1))
lim 1 x
x
x −
→∞
− 3г.24 lim cos
x
x
m
x→∞
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
3г.25 ( )1/ ln
0
lim 2 x
x
ctg x
→
3г.26
2lim sin( / )
x
x a x
→∞
3г.27 25
1 5
lim
5 20x x x x→
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− − −
3г.28 31
1 1
lim
2(1 ) 3(1 )x x x→
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠−
3г.29 ( )cos( / 2)
1
lim 1 x
x
x π
→
− 3г.30 ( )sin
0
lim x
x
ctgx
→

69
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции ( )y f x=
на отрезке [ ];a b
4а.1 ( ) [ ]2ln 2 2 , 0; 3y x x= − + 4а.2 ( ) [ ]12 , 2; 2xy x e −= + −
4а.3 [ ]2
2 1
, 1/ 2; 0
( 1)
x
y
x
−
= −
−
4а.4 [ ]2
3
, 0; 5
1
x
y
x
=
+
4а.5
( ) [ ]2ln 2 4 , 1;3/2y x x= − + −
4а.6 [ ]3
, 2; 2y x x= − −
4а.7 [ ]
3
2
, 1; 1
1
x
y
x x
= −
− +
4а.8 [ ]
3
1
, 1; 2
x
y
x
⎛ ⎞+ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
4а.9 [ ]
2
4 , 0; 1xy e−= − 4а.10 [ ], 2; 0xy xe= −
4а.11 [ ]
3
2
4
, 1; 2
x
y
x
+
= 4а.12 [ ]2
, 2; 2
9
x
y
x
= −
−
4а.13 ( ) [ ]2 , 2; 1xy x e= − − 4а.14 ( ) [ ]1 , 0; 3xy x e−= −
4а.15 [ ]
1 ln
, 1/ ;
x
y e e
x
+
= 4а.16 [ ]
5
4
8
, 3; 1
x
y
x
−
= − −
4а.17 [ ]
2
4 , 1; 3x xy e −= 4а.18 2ln , 1/ ;1y x x e⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
4а.19 [ ]
2 1
, 1; 2
x
x
e
y
e
+
= − 4а.20 [ ]
2
2 2
, 1; 3
1
x x
y
x
− +
= −
−
4а.21 [ ]3 1, 4;0xy x e += − 4а.22 ( ) [ ]
3 2
1 , 4/5; 3y x x= + −
4а.23 [ ]
2
6 , 3; 3x xy e −= − 4а.24 [ ]4 33 16 2, 3;1y x x= − + −
4а.25 [ ]
ln
, 1; 4
x
y
x
= 4а.26 [ ]
4
36 7, 16; 20
4
x
y x= − +
4а.27
[ ]5 4 35 5 1, 1;2y x x x= − + + −
4а.28 ( ) [ ]3 , 0; 5xy x e−= −
4а.29 [ ]/ 2 cos , 0; / 2y x π= 3 + 4а.30 [ ]4108 , 1; 4y x x= − −

70
Найдите производную указанного порядка
5а.1 2 V(2 7)ln( 1), ?y x x y= − − = 5а.2 2 2 ІІІ(3 )ln , ?y x x y= − =
5а.3 2 ІІІcos , ?y x x y= = 5а.4 3 2 1 V(4 5) , ?xy x e y+= + =
5а.5 ІІІln( 1)
, ?
1
x
y y
x
−
= =
−
5а.6
2 ІІІ
3
log
, ?
x
y y
x
= =
5а.7 2 ІІІsin(5 3), ?y x x y= − = 5а.8 2 ІІІ(2 3)ln , ?y x x y= + =
5а.9 ІV
2
ln
, ?
x
y y
x
= = 5а.10 ІV
3
ln
, ?
x
y y
x
= =
5а.11 2 ІІІ(1 ) , ?y x arctgx y= + = 5а.12 V(4 3)2 , ?xy x y−= + =
5а.13 1 2 ІVsin(2 3 ), ?xy e x y−= + = 5а.14 2 ІV( 3)ln( 3), ?y x x y= + − =
5а.15
1
2 ІV2(1 ) , ?
x
y x x e y
−
= − − = 5а.16 ІІІln(3 )
, ?
3
x
y y
x
+
= =
+
5а.17 3 V(2 1)cos , ?y x x y= + = 5а.18 ІІІ(1/ )sin 2 , ?y x x y= =
5а.19 V( 7)ln( 4), ?y x x y= + + = 5а.20 ІV(3 7) 3 , ?xy x y−= − =
5а.21 ІІІln(2 5)
, ?
2 5
x
y y
x
+
= =
+
5а.22 ІІІ
5
ln
, ?
x
y y
x
= =
5а.23 / 2 ІVsin2 , ?xy e x y= = 5а.24 ІVln(1 3 ), ?y x x y= − =
5а.25 2 3 V( 3 1) , ?xy x x e y= + + = 5а.26 ІV(5 8) 2 , ?xy x y−= − =
5а.27 Vln( 2)
, ?
2
x
y y
x
−
= =
−
5а.28
3 ІV
2
log
, ?
x
y y
x
= =
5а.29 2 ІІІ(5 1)ln , ?y x x y= − = 5а.30 3 4 3 ІV( 2) , ?xy x e y+= + =
Вычислите производные xy′ и xxy′′ от функций, заданных параметрически
5б.1 3
(2 3)cos
3
x t t
y t
⎧ = +⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.2
2
2
2cos
3sin
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩

71
5б.3
3
3
6cos
2sin
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.4
( )2
1/( 2)
/( 2)
x t
y t t
⎧ = +⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎩
5б.5
2
4
t
t
x e
y e
−⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.6 5
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.7
3
2 2
2 /(1 )
/(1 )
x t t
y t t
⎧ = +⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎩
5б.8
2
2
1
( 1)/ 1
x t
y t t
⎧⎪ = −⎪⎪⎨
⎪ = + −⎪⎪⎩
5б.9
2
3 2
4 2
5 3
x t t
y t t
⎧ = +⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
5б.10
( )ln /
ln
x t t
y t t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.11
cos
sin
t t
t
x e
y e t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.12
4
ln
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.13
5cos
4sin
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.14
2
2
5cos
3sin
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.15 2
ln(1 )
x arctgt
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎩
5б.16 2
arcsin
1
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
5б.17
( )
( )
3 sin
3 1 cos
x t t
y t
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
5б.18
( )
( )
3 sin cos
3 cos sin
x t t t
y t t t
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎩
5б.19 2
sin 2
cos
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.20
3
3
t
t
x e
y e−
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.21
( )
2
ln /
ln
x t t
y t t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.22 2
arccos
1
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
5б.23
( )
1/( 1)
/( 1)
x t
y t t
⎧ = +⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎩
5б.24
3
3
5sin
3cos
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.25
3
8
t
t
x e
y e
−⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.26
23
( 1)
1
x t
y t
⎧⎪ = −⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
5б.27
2
ln
ln
x t
y t t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎩
5б.28
/
t
t
x te
y t e
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩

72
5б.29
2
5
6 4
3
x t
y t
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
5б.30
arcsin
ln
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
Разложите полином по степеням 0( )x x− , сделайте проверку, либо
раскрыв скобки в разложении, либо разделив данный многочлен на
0( )x x− .
5в.1 3
3 0( ) ; 1P x x x= =
5в.2 4 3 2
4 0( ) 8 24 23 17; 2P x x x x x x= + + + + = −
5в.3 2 3
3 0( ) 1 ; 1P x x x x= + + = −
5в.4 3 2
6 0( ) ( 8) ; 2P x x x= − =
5в.5 3 3
3 0( ) 2 3 5 1; 1P x x x x x= − + + = −
5в.6 4 3 2
4 0( ) 2 5 3 8 4; 2P x x x x x x= − − + + =
5в.7 4 3
4 0( ) 2 7 4; 1P x x x x x= − + − =
5в.8 2 3
6 0( ) ( 2 3) ; 0P x x x x= − + =
5в.9 3 2
3 0( ) 4 2 5 1; 1P x x x x x= − + − =
5в.10 4 2
4 0( ) 6 5 12; 1P x x x x= + − = −
5в.11 2 3
6 0( ) (3 2 1) ; 0P x x x x= − + =
5в.12 5 4
5 0( ) 2 10 3 5; 1P x x x x x= − − + =
5в.13 4 2
4 0( ) 8 3 2; 2P x x x x= − + = −
5в.14 3 2
3 0( ) 9 12 4; 3P x x x x= + − =
5в.15 4 3 2
4 0( ) 5 3 7 2; 1P x x x x x x= − + − + = −
5в.16 2 3
6 0( ) (11 5 4) ; 0P x x x x= − + =
5в.17 3 2
3 0( ) 2 3 5 10; 3P x x x x x= + − + = −
5в.18 6
6 0( ) ; 5P x x x= =
5в.19 2 3
6 0( ) (3 5) ; 0P x x x x= − + =

73
5в.20 4 3 2
4 0( ) 2 3 2 1; 4P x x x x x x= − + + − =
5в.21 3 2
3 0( ) 24 15 11 3; 4P x x x x x= + − − = −
5в.22 5 2
5 0( ) 2 3 10; 1P x x x x= − + = −
5в.23 4 2
4 0( ) 3 2 1; 2P x x x x= − + =
5в.24 3 2
3 0( ) 5 20; 5P x x x x= + − = −
5в.25 3 2 2
6 0( ) (2 3 1) ; 0P x x x x= + − =
5в.26 4 3 2
4 0( ) 2 3 10; 6P x x x x x= − + − =
5в.27 5 4 3 2
5 0( ) 6 4 3 2; 1P x x x x x x= + − + + = −
5в.28 2 2
4 0( ) (2 3 4) ; 1P x x x x= + − =
5в.29 5 3
5 0( ) 3 11 9; 7P x x x x= − + = −
5в.30 3 2
3 0( ) 4 3 1; 7P x x x x x= − + − =
Разложите по формуле Маклорена заданные функции ( )f x до ( )n
o x .
5г.1 5 1
( ) x
f x e −
= 5г.2 ( ) sin(2 3)f x x= +
5г.3 2
( ) cos( 2)x
f x = + 5г.4 ( ) ln( 2)f x ex= +
5г.5
1
( )
1 2
f x
x
=
−
5г.6
1
( )
3 4
f x
x
=
+
5г.7
1
( )
1 4
f x
x
=
+
5г.8 2
1
( )
(1 )
f x
x
=
−
5г.9 2
( ) 3 x
f x −
= 5г.10 / 2
( ) ( 1) x
f x x e= −
5г.11 2
( ) ( ) x
f x x x e−
= − 5г.12 ( ) (2 1) 1f x x x= + −
5г.13
2
2
3
( ) x
x x
f x
e
+
= 5г.14
1 2
( ) ln
1
x
f x
x
+
=
−
5г.15 ( ) (2 3)ln(5 6)f x x x= − + 5г.16 2
( ) ln( 3 2)f x x x= + +
5г.17 2
( ) ln(2 )f x x x= + − 5г.18 2
( ) (sin ), до o( )f x ch x x=

74
5г.19
2 3
( ) ln
3 2
x
f x
x
−
=
+
5г.20 2( ) , до o( )tgxf x e x=
5г.21 1 2 2
( ) , до o( )x
f x e x+
= 5г.22
2
5
( ) cos( ), до o( )x
f x sh x=
5г.23 2 3 2
( ) (1 ) , до o( )f x x x x= − + 5г.24 2
( ) lncos , до o( )f x x x=
5г.25 3
( ) (sin ), до o( )f x arctg x x= 5г.26 sin 3
( ) , до o( )x
f x e x=
5г.27 3 3
( ) ln (1 / 2), до o( )f x x x= − 5г.28 33( ) 1 3sin , до o( )f x x x= +
5г.29 3
( ) ln(1 arcsin )до o( )f x x x= + 5г.30 33( ) 1 3cos2 ,до o( )f x x x= −
Найдите дифференциал dy
6а.1 21
arcsin ln 1 , 0y x x x x
x
= − + − >
6а.2 ( )2
2arccos 1 2 , 0y tg x x= − >
6а.3 ( )1 2 ln 1 2y x x x= + − + +
6а.4 2 2 21 1y x arctg x x= − − −
6а.5 ( )2
arccos 1/ 1 2 , 0y x x= + >
6а.6 2 2
ln 3 3y x x x x= + + − +
6а.7 ( ) ( )lny arctg shx shx chx= + ⋅
6а.8 ( )2 2arccos ( 1)/( 2)y x x= −
6а.9 ( )2 4
ln cos 1 cosy x x= + +
6а.10 ( )2 2
ln 1 1y x x x arctgx= + + − +
6а.11 ( )2
ln 1 arcsinx x x
y e e e−
= + − +
6а.12
2
2 2
ln 1
ln
21 1
x x
y
x x
= −
+ +

75
6а.13 ( )2
4 4arcsin / 2y x x x= − +
6а.14 ln
2 sin
x x
y tg
x
⎛ ⎞⎟⎜= −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
6а.15 2 ln sin 2cosy x x x= + +
6а.16 3( /3)y ctgx tg x= −
6а.17
2 1
ln
2
x x
y
x
+ +
=
6а.18 3 2
2
x
y
x
+
=
−
6а.19
2
1x
y arctg
x
−
=
6а.20 2
2
1
ln 1
1
y x
x
= − −
−
6а.21 1
2
x
y arctg tg
⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
6а.22 2
ln 2 2 1y x x x= + + +
6а.23 ln cosy x x tg x= + ⋅
6а.24 ( )cos2 2sin2xy e x x= +
6а.25 ( )sin ln cos lny x x x= −
6а.26 2 11
1
2
xy x e −⎛ ⎞⎟⎜= − − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
6а.27 cos ln ln
2
x
y x tgx tg= ⋅ −
6а.28 2 2
3 ln 3y x x x x= + − + +
6а.29 ( )1y x x arctg x= − +
6а.30 2ln 1y xarctgx x= − +

76
Задание № 6 б
С помощью дифференциала приближенно вычислите данные величины
и оцените допущенную относительную погрешность
(с точностью до двух знаков после запятой)
6б.1 5
34 6б.2 3 26,19
6б.3 4 16,64 6б.4 8,76
6б.5 5
31 6б.6 3
70
6б.7 ( ) ( )3 2
2,01 2,01+ 6б.8 3
65
6б.9
2
2
(2,037) 3
(2,037) 5
−
+
6б.10
4 3,02
1 3,02
−
+
6б.11 4 15,8 6б.12 3
10
6б.13 5
200 6б.14 ( )5
3,03
6б.15 22,9/ (2,9) 16+ 6б.16 7
130
6б.17 3 27,5 6б.18 17
6б.19 640 6б.20 1,2
6б.21 10
1025 6б.22 ( ) ( )4 3
3,02 3,02+
6б.23 ( )3
5,07 6б.24 ( )1,5
4,01
6б.25 3 1,02 6б.26 cos151
6б.27 1,05arctg 6б.28 cos61
6б.29 44tg 6б.30 0,98arctg
Постройте графики функций с помощью производной первого порядка.
7а.1 3 2
2 9 12 9y x x x= − + − 7а.2 2
3y x x= −
7а.3 2 2
( 2)y x x= − 7а.4 2 3
2 3y x x= − −
7а.5 2 2
( 1) ( 1)y x x= + − 7а.6 3 2
2 3 4y x x= − −

77
7а.7 2 3
3 2y x x= − − 7а.8 2 2
( 1) ( 3)y x x= − −
7а.9
3 23
5
4
x x
y
+
= − 7а.10
3 29
6 9
4
x x
y x
−
= + −
7а.11 3
6 8y x x= − 7а.12 2 2
16 ( 1)y x x= −
7а.13 3 2
2 3 5y x x= + − 7а.14 2 3
2 12 8y x x= − −
7а.15 2 2
(2 1) (2 1)y x x= + − 7а.16 3 2
2 9 12y x x x= + +
7а.17 2 3
12 8 2y x x= − − 7а.18 2 2
(2 1) (2 3)y x x= − −
7а.19
3 227( )
4
4
x x
y
−
= − 7а.20
2(12 )
8
x x
y
−
=
7а.21
2 2( 4)
16
x x
y
−
= 7а.22
3 227( )
5
4
x x
y
−
= −
7а.23
2 316 6
8
x x
y
− −
= 7а.24
2( 4)
16
x
y
−
= −
7а.25 3 2
16 36 24 9y x x x= − + − 7а.26
2 36 16
8
x x
y
− −
=
7а.27 2 21
( 2) ( 6)
16
y x x= − − − 7а.28
2 311 9 3
8
x x x
y
+ − −
=
7а.29 3 2
16 12 4y x x= − − 7а.30
2 2( 1) ( 3)
16
x x
y
+ −
= −
Постройте графики функций с помощью производной первого порядка.
7б.1 3 21 2y x x= − − 7б.2 3 22y x x= −
7б.3
23
2
12 6( 2)
8
x
y
x
−
=
+
7б.4
23
2
12 6( 1)
2 9
x
y
x x
−
= −
+ +
7б.5 3 21 2y x x= − + 7б.6 232 6 3 ( 3)y x x= + − +
7б.7
23
2
6 6( 3)
2 9
x
y
x x
−
=
− +
7б.8
3 2
2
6 6
4 12
x
y
x x
= −
+ +
7б.9 3 21 4 3y x x= − + + 7б.10 233 ( 3) 2 6y x x= − − +
7б.11 234 8 6 ( 2)y x x= + − + 7б.12 3 ( 2)y x x= +

78
7б.13
23
2
3 6( 4)
4 12
x
y
x x
−
=
− +
7б.14
23
2
3 6( 1)
6 17
x
y
x x
+
= −
+ +
7б.15 3 2 4 3y x x= + + 7б.16 236 ( 2) 4 8y x x= − − +
7б.17
23
2
3 6( 5)
6 17
x
y
x x
−
=
− +
7б.18
23
2
3 6( 2)
8 24
x
y
x x
+
= −
+ +
7б.19 32 8 ( 2)y x x= + + 7б.20 236 6 9 ( 1)y x x= − − −
7б.21 3 2 6 8y x x= + + 7б.22 3 4 ( 1)y x x= −
7б.23 3 ( 2)y x x= − 7б.24 3 21 4 3y x x= − − +
7б.25 239 ( 1) 6 6y x x= + − − 7б.26 238 16 12 ( 2)y x x= − − −
7б.27
23
2
6 6( 3)
10 33
x
y
x x
+
=
+ +
7б.28
23
2
6 6( 6)
8 24
x
y
x x
−
= −
− +
7б.29 2312 ( 2) 2 8y x x= + − − 7б.30 233 ( 4) 2 8y x x= + − −
Исследуйте поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью
производных высших порядков.
7в.1
2
0
4 ( 2)ln( 1),
2
y x x x x
x
= − − − −
= 7в.2
2
0
4 2cos( 2),
2
y x x x
x
= − − −
=
7в.3
2 3 2
0
6 3 6 ,
2
xy e x x x
x
−= − + −
=
7в.4
2
0
2ln( 1) 2 1,
0
y x x x
x
= + − + +
=
7в.5
2
0
2 2cos( 1),
1
y x x x
x
= − − −
=
17в.6
2 2
0
cos ( 1) 2 ,
1
y x x x
x
= + + +
= −
7в.7
2
0
2ln 4 3,
1
y x x x
x
= + − +
=
7в.8
2
0
1 2 2cos( 1),
1
y x x x
x
= − − − +
= −

79
7в.9
2 2
0
6 8 2 ,
2
xy x x e
x
+= + + −
= −
7в.10
2 1
0
4 2 ,
1
xy x x e
x
+= + −
= −
7в.11
2
0
( 1)sin( 1) 2 ,
1
y x x x x
x
= + + − −
= −
7в.12
1 3
0
6 3 ,
1
xy e x x
x
−= − −
=
7в.13
2
0
2 ( 1)ln(2 ),
1
y x x x x
x
= + − + +
= −
7в.14
2 2
0
sin ( 1), 2
1
y x x x
x
= + − −
= −
7в.15
2 2
0
4 cos ( 2),
2
y x x x
x
= + + +
= −
7в.16
2
0
2ln( 2),
1
y x x
x
= + +
= −
7в.17
2
0
4 ( 2)sin( 2),
2
y x x x x
x
= − + − −
=
7в.18
3 2
0
6 3 6 5,
0
xy e x x x
x
= − − − −
=
7в.19
2 2
0
2 2 ,
2
xy x x e
x
−= − −
=
7в.20
2 2
0
sin ( 2) 4 4,
2
y x x x
x
= + − − −
= −
7в.21
2 2
0
cos ( 1) 2 ,
1
y x x x
x
= − + −
=
7в.22
2
0
2 ( 1)ln ,
1
y x x x x
x
= − − −
=
7в.23
2
0
( 1)sin( 1) 2 ,
1
y x x x x
x
= − − + −
=
7в.24
2 2
0
4 cos ( 2),
2
y x x x
x
= − + −
=
7в.25
4 3 2
0
4 12
24( 1 ), 0x
y x x x
x e x
= + + +
+ + − =
7в.26
2 2
0
sin ( 2) 4 4,
2
y x x x
x
= − − + −
=
7в.27
1 3 2
0
6 6
15 16, 1
xy e x x
x x
+= − − −
− − = −
7в.28
0
sin 2 ,
0
y x sh x x
x
= + −
=
7в.29
2 2
0
sin ( 1) 2 ,
1
y x x x
x
= − − +
=
7в.30
0
cos ,
0
y x ch x
x
= +
=
Найдите интервалы выпуклости и вогнутости функций.
8а.1 4 3
2 6 4y x x x= − + − 8а.2 3 2
6 2 6y x x x= − + −
8а.3 4 3 2
2 12 24 8y x x x x= − − + + 8а.4 4 2
2 3 1y x x x= − + −

80
8а.5 5 210 3y x x x= − + 8а.6 3 3y x= +
8а.7 2
1
1
y
x
=
−
8а.8
3
212
x
y
x
=
+
8а.9
1
x
y
x
=
+
8а.10 3 2 1
x
y
x
=
−
8а.11 3 34 12y x x= − 8а.12 siny x x= +
8а.13
2x
y e−
= 8а.14 1/ xy e=
8а.15
10
ln
10
x
y
x
= 8а.16
2
3( 1)
x
y
x
=
−
8а.17 sinlny x x= 8а.18 4 26 5y x x x= − +
8а.19
1
y arctg
x
= 8а.20 3 1
4y x
x
= +
8а.21 4 3 212 48y x x x= − + 8а.22 4 3 22 2 3 3 1y x x x x= + + + +
8а.23 2 3( 1)y x= − 8а.24 336 ( 1)y x x= −
8а.25 2 3 436 2y x x x x= + − − 8а.26 arctgxy e=
8а.27
4
21
2
x
y x= + − 8а.28
5
4 3 2
8 32
20
x
y x x x= − + −
8а.29 3 32 2 4y x x= − − 8а.30 21 /y x x= −
Найдите асимптоты и постройте графики функций.
9а.1
2
17
4 5
x
y
x
−
=
−
9а.2
2
2
1
4 3
x
y
x
+
=
−
9а.3
3
2
4
3 4
x x
y
x
−
=
−
9а.4
24 9
4 8
x
y
x
+
=
+

81
9а.5
3 2
2
4 3 8 2
2 3
x x x
y
x
+ − −
=
−
9а.6
2
2
3
3 2
x
y
x
−
=
−
9а.7
2
2 6
2
x
y
x
−
=
−
9а.8
3 2
2
2 2 3 1
2 4
x x x
y
x
+ − −
=
−
9а.9
3
2
5
5 3
x x
y
x
−
=
−
9а.10
2
6 4
3 2
x x
y
x
− +
=
−
9а.11
2
2
2
9 4
x
y
x
−
=
−
9а.12
3
2
4 3
4 1
x x
y
x
−
=
−
9а.13
23 7
2 1
x
y
x
−
=
+
9а.14
2
2
16
9 8
x
y
x
+
=
−
9а.15
3 2
2
3 2 2
2 3
x x x
y
x
+ − −
=
−
9а.16
221
7 9
x
y
x
−
=
+
9а.17
2
2
2 1
2
x
y
x
−
=
−
9а.18
3 2
2
2 3 2 1
1 3
x x x
y
x
− − +
=
−
9а.19
2
11
4 3
x
y
x
−
=
−
9а.20
2
2
2 9
1
x
y
x
−
=
−
9а.21
3 2
2
2 3 2
1
x x x
y
x
− − +
=
−
9а.22
2 2 1
2 1
x x
y
x
+ −
=
+
9а.23
3 2
2
3 1
2 2
x x x
y
x
+ − −
=
−
9а.24
2 6 9
4
x x
y
x
+ +
=
+
9а.25
2
2
3 10
4 1
x
y
x
−
=
−
9а.26
2 2 2
3
x x
y
x
− +
=
+
9а.27
3 2
2
2 2 9 3
2 3
x x x
y
x
+ − −
=
−
9а.28
2
3 10
3 2
x
y
x
−
=
−
9а.29
2 4 13
4 3
x x
y
x
− − +
=
+
9а.30
2
2
8
4
x
y
x
− −
=
−

82
Проведите полное исследование функций и постройте их графики.
10а.1 2( 1)(2 3) xy x e− += + 10а.2 2(3 ) xy x e −= −
10а.3
2( 1)
2( 1)
xe
y
x
+
=
+
10а.4 3ln 1
3
x
y
x
= −
−
10а.5
2
2
x
e
y
x
−
=
−
10а.6 ln 1
2
x
y
x
= +
+
10а.7 3( 2) xy x e −= − 10а.8 2( 1)(2 1) xy x e += − +
10а.9
2( 1)
2( 1)
xe
y
x
−
=
−
10а.10 3 3ln
4
x
y
x
= −
+
10а.11
2( 2)
2( 2)
xe
y
x
+
=
+
10а.12 ln 2
2
x
y
x
= −
−
10а.13 2( 2)(2 5) xy x e− += + 10а.14 3(4 ) xy x e −= −
10а.15
3
3
x
e
y
x
−
=
−
10а.16 2ln 1
1
x
y
x
= −
+
10а.17
2( 2)
2( 2)
xe
y
x
− +
= −
+
10а.18
3
2ln 3
x
y
x
+
= −
10а.19 2(1 )(2 1) xy x e −= − 10а.20 2( 1) xy x e += − +
10а.21
( 2)
2
xe
y
x
− +
= −
+
10а.22 2ln 3
4
x
y
x
= −
−
10а.23
3
3
xe
y
x
+
=
+
10а.24 ln 1
5
x
y
x
= −
+
10а.25 2( 2)(2 3) xy x e += − + 10а.26 ( 3)( 4) xy x e− += +
10а.27
2( 1)
2( 1)
xe
y
x
− −
= −
−
10а.28
5
ln 2
x
y
x
−
= +
10а.29
3
3
x
e
y
x
−
=
−
10а.30
4 2
2ln 1
x
y
x
−
= +

83
Упражнения по технике дифференцирования
функции одного аргумента
Задание № 11
11.1 5
3
4 1
2 3y x x
xx
= − + + 11.2
5 2 3
4
3 2
4y x x
x x
= + − +
11.3
34 5
2
2 4
3y x x
x x
= + − − 11.4 2
5
2 4
7 3y x x
xx
= − − +
11.5
7 4
2
5 6
7y x x
xx
= + − + 11.6 32 4 4 5
5y x x
x x
= − + −
11.7 5 3
5
3 10
3y x x
x x
= − − + 11.8
3 7 6
5
3 4
4y x x
x x
= + − +
11.9 = + − −32 4
3
4 2
8y x x
x x
11.10 = + − −36 7
4
5 7
4y x x
x x
11.11 = − + −3 2
5
7 2
2 3y x x
x x
11.12 = − − +53 2
2
3 6
4y x x
x x
11.13 = − + +3
2
8 1
5 4y x x
xx
11.14 = + − +3 4 4
3
9 2
5y x x
xx
11.15 = − + −5 2 3
5
4 9
7y x x
xx
11.16 = + − +3 7
3
8 3
4 2y x x
xx
11.17 = + − −32 7 64
5 2y x x x
x
11.18 = + − −2 5
4
4 5
10 3y x x
x x
11.19 = − + −5 3
3
3 4
3y x x
x x
11.20 = + − + 34 7
3
5 7
9y x x
x x
11.21 = + + −3 2
5
4 7
3y x x
xx
11.22 = + − −3 3
5
2 4
5y x x
x x
11.23 = + − +52 4
3
3 8
7y x x
x x
11.24 = − − + 73 2
4
4 7
8y x x
x x
11.25 = − + − 5 4
4
5 1
8y x x
xx
11.26 = − + +4 3
5
5 4
3y x x
x x
11.27 = + − −35 5
4
3 3
4y x x
x x
11.28 = − − +5 35 2
4y x x
x x
11.29 = + − −5 3 6
3
7 4
2y x x
x x
11.30 = − + −3 7
4
6 3
3y x x
xx

84
12.1 = + − +
−
3 4
5
4
3 2 5
( 2)
y x x
x
12.2 = − −
− +
43
3
3
( 3)
2 3 1
y x
x x
12.3 = − +
+ −
5
2 2
5
( 4)
(2 4 1)
y x
x x
12.4 = − + −
−
5 2
3
5
7 3 5
( 1)
y x x
x
12.5 = − + −
−
4 2
4
3
3 5
( 5)
y x x
x
12.6 = − + −
+
4 3
3
4
3 2
( 2)
y x x x
x
12.7 = − +
+ −
53
2
5
( 7)
4 3 5
y x
x x
12.8 = + −
− +
65
2
2
( 4)
2 3 7
y x
x x
12.9 = − − +
−
2
7
3
5 4 3
( 4)
y x x
x
12.10 = − − −
−
3 2
5
2
4 3 4
( 3)
y x x
x
12.11 = + − +
−
2
3
7
8 3
( 1)
y x x
x
12.12 = + − +
−
5 2
4
4
3 4 5
( 4)
y x x
x
12.13 = − + +
−
43
2
8
5 2 1
( 5)
y x x
x
12.14 = − − −
+
7 2
5
3
5 7 3
( 2)
y x x
x
12.15 = − −
− +
54
2
4
( 1)
7 3 2
y x
x x
12.16 = − −
− −
65
3 2
3
( 2)
7 4
y x
x x
12.17 = − + −
+
3 4
2
3
4 3
( 4)
y x x
x
12.18 = −
− + −3 2
2 8
( 1) 6 3 7
y
x x x
12.19 = + − +
−
2
4
3
1 5 2
(9 3)
y x x
x
12.20 = + − −
+
3 2
3
5
5 4
( 1)
y x x
x
12.21 = − + −
−
4 2
2
7
5 4 1
( 5)
y x x
x
12.22 = − + −
−
5 2
5
4
3 7
( 7)
y x x
x
12.23 = − +
− −
7
2
9
( 3)
7 5 8
y x
x x
12.24 = − −
+ −
43
2
2
( 8)
1 3 4
y x
x x
12.25 = − −
− +
5
2
3
( 1)
4 3 1
y x
x x
12.26 = + − +
−
2 563
(2 3 1)
4
y x x
x
12.27 = − − +
−
2 43
3
4
(3 1)
( 7)
y x x
x
12.28 = − −
− +
7
2 4
10
( 4)
(3 5 1)
y x
x x
12.29 = − − +
+
2
5
7
8 5 2
( 2)
y x x
x
12.30 = − +
− +
53
2
5
( 1)
2 4 7
y x
x x

85
13.1 3 5
sin 2 cos8y x x= ⋅ 13.2 5 3
cos 3 (4 1)y x tg x= ⋅ +
13.3 4 5
arcsin4y tg x x= ⋅ 11.4 2
3 arccos3y ctg x x= ⋅
13.5 3 4
arcsin 2 7y x ctg x= ⋅ 13.6 2
arccos 4 ln( 3)y x x= ⋅ −
13.7 5 4
ln 7y x arctg x= ⋅ 13.8 3 sin
4 3 x
y arctg x= ⋅
13.9 cos 3
2 5x
y arcctg x= ⋅ 13.10 5
4 ln ( 2)x
y x−
= ⋅ −
13.11 4
3 arcsin7tgx
y x= ⋅ 13.12
2
5
5 arccos2x
y x= ⋅
13.13 4 3
sin 3 2y x arctg x= ⋅ 13.14 3
cos 4y x arcctg x= ⋅
13.15 3 3
2 arccos2y tg x x= ⋅ 13.16 7 5
arcsiny ctg x x= ⋅
13.17 sin 6
7x
y e tg x−
= ⋅ 13.18 cos 3
8x
y e ctg x= ⋅
13.19 5
cos arccos4y x x= ⋅ 13.20 3 2
sin 7 5y x arcctg x= ⋅
13.21 2 5
sin 3 3y x arcctg x= ⋅ 13.22 5 4
cosy x arctgx= ⋅
13.23 6 2
2 cos7y tg x x= ⋅ 13.24 3
4 arcsiny ctg x x= ⋅
13.25 41
arccosy ctg x
x
= ⋅ 13.26 51
3y tg arcctg x
x
= ⋅
13.27 3 3
2 arccos2y tg x x= ⋅ 13.28 5
2 3tgx
y arctg x= ⋅
13.29 5
sin 3y x arctg x= ⋅ 13.30 4 2
cos 3 arcsin3y x x= ⋅
14.1 2
5 ln( 4)y arcctg x x= ⋅ − 14.2 3
2 ln( 5)y arctg x x= ⋅ +
14.3 4 2
arccos ln( 1)y x x x= ⋅ + − 14.4 arccos2 3 x
y x −
= ⋅
14.5 4 2
3 7y tg x arcctg x= ⋅ 14.6
2
3
5 arcsin3x
y x−
= ⋅
14.7 5
2log ( 2)y arctg x x= ⋅ − 14.8 3log ( 5) arccos3y x x= + ⋅
14.9 2
arcsin 5x
y e x−
= ⋅ 14.10 4
4log ( 1) arcsiny x x= − ⋅
14.11 5 2
( 4) 3y x arcctg x= − ⋅ 14.12 3 3
4 2y ctg x arctg x= ⋅

86
14.13 cos 5
7x
y e arctg x−
= ⋅ 14.14 4 6
( 1) arccos4y x x= + ⋅
14.15 sin 4
2 5x
y arcctg x= ⋅ 14.16
3
5
3 2x
y arctg x−
= ⋅
14.17 cos 2
3 arcsin 3x
y x= ⋅ 14.18 2
ln( 10) arccos 4y x x= − ⋅
14.19 5
lg( 2) arcsin 3y x x= − ⋅ 14.20 5
3log (5 2) 7y x arctg x= − ⋅
14.21 3
ln( 5) 2y x arcctg x= + ⋅ 14.22 2
lg(7 9) arccos 4y x x= + ⋅
14.23 sin
4 3x
y arctg x−
= ⋅ 14.24 cos 2
2 4x
y arcctg x= ⋅
14.25 2
5log (2 5) arcsin 5y x x= − ⋅ 14.26 2
3log (2 9) arccosy x x= − ⋅
14.27 3
2 4x
y arctg x−
= 14.28 4
ln( 4) 3y x arcctg x= − ⋅
14.29 3
lg(3 4) 2y x arcctg x= + ⋅ 14.30 5 3
5log (3 1)y x arctg x= + ⋅
15.1 4 3
3 arcsin2y tg x x= ⋅ 15.2 4 4
( 2) arcsin5y x x= −
15.3
3
4
2 7x
y arctg x−
= 15.4 5 5
( 6) 3y x arcctg x= +
15.5 cos 2
3 ln( 3 7)x
y x x= − + 15.6 2log ( 7)y x arctg x= −
15.7 5 4
arccos 3y x tgx= ⋅ 15.8 7 3
( 5) 7y x arcctg x= −
15.9 2 3
arccos 7y x ctg x= ⋅ 15.10
2
4
5 arccos5x
y x−
=
15.11 4 4
cos7y arcctg x x= ⋅ 15.12 7 5
4( 6) arcsin3y x x= −
15.13 2 3
( 5) arccos 5y x x= + 15.14 7
( 2) arccosy x x= +
15.15 sin 3
2 arcsin 2x
y x−
= 15.16 5 4
( 7) arcsin7y x x= −
15.17 4
ln( 3) arccos3y x x= − ⋅ 15.18 3
2log ( 4) 4y x arctg x= − ⋅
15.19 4 2
( 7) 7y x arcctg x= − 15.20 3 4
5arccos 2y x x= −
15.21 4 4
2 5arcsin 5y x x= − 15.22 5 6
(3 4) arccos3y x x= −
15.23 5 3
(5 3) arcsin2y x x= − 15.24 23
2 ( 1) arccos3y x x= +
15.25 3
5 3y tg x arcctg x= ⋅ 15.26 3
(3 2) (7 1)y x arctg x= − −
15.27 3 25
(3 4) arcsin7y x x= − 15.28 3
arcsin 4 3y x ctg x= ⋅
15.29 cos
arcsin5x
y e x−
= 15.30 3 4
5 (3 5) arccosy x x= +

87
16.1 4 3
( 3) arccos5y x x= − 16.2 3 2
(3 4) arccos3y x x= −
16.3 3
4 arccosy sh x x= ⋅ 16.4 2 2
3y th x arcctg x= ⋅
16.5 3 2
5 arcsin3y cth x x= ⋅ 16.6
1
(7 2)y ch arctg x
x
= ⋅ +
16.7 3 2
4 arccos4y ch x x= ⋅ 16.8 3 2
3 5y sh x arcctg x= ⋅
16.9 5
3 arcsiny th x x= ⋅ 16.10 2 1
( 1) arccosy cth x
x
= + ⋅
16.11 4 2
2 arccosy sh x x= ⋅ 16.12 3
(3 2) 3y ch x arctg x= + ⋅
16.13 3 4
4 3y th x arcctg x= ⋅ 16.14 4
7 arcsiny cth x x= ⋅
16.15 3 2
2 arcsin7y sh x x= ⋅ 16.16 5 4
4 arccos3y th x x= ⋅
16.17 2
5y ch x arctg x= ⋅ 16.18 4 3
2y cth x arctgx= ⋅
16.19 4 2
5 arccos3y sh x x= ⋅ 16.20 3
9 (5 4)y ch x arctg x= ⋅ −
16.21 4 1
3y th xarcctg
x
= 16.22 3
4 arcsin(3 1)y cth x x= ⋅ −
16.23 5 4
2y ch x arctgx= ⋅ 16.24 4 3
7 arccosy th x x= ⋅
16.25 5
4 arccos2y cth x x= ⋅ 16.26 4
3 arcsin 2y cth x x= ⋅
16.27 5
3y th x arcctg x= ⋅ 16.28 4 4
3 arccos5y sh x x= ⋅
16.29 2 3
4 arcsiny cth x x= ⋅ 16.30 3
5 (2 5)y th x arcctg x= ⋅ −
17.1
3
arccos
5
x
e
y
x
=
+
17.2
2
( 4)
arcctgx
x
y
e
−
=
17.3
2
2
5 1
x
e
y
x x
−
=
+ −
17.4
5
2
3 4 2
ctg x
e
y
x x
−
=
− +

88
17.5
3
cos
7 5 2
x
x x
y
e
− +
= 17.6
3
2
3 4
tg x
e
y
x x
=
− +
17.7
sin
7
(3 5)
x
e
y
x
=
−
17.8
3 2
2 3 1
x
x x
y
e−
− +
=
17.9 3
3
4 5
x
x x
y
e
+ −
= 17.10
5
3
(2 4)
ctg x
e
y
x
=
+
17.11
2
3 2
x
x x
y
e
+ −
= 17.12
3
2
3 4 7
x
e
y
x x
=
− −
17.13
sin 2
4
(3 5)
x
e
y
x
−
=
+
17.14
cos5
2
5 2
x
e
y
x x
=
− −
17.15
3
(2 5)
ctgx
x
y
e
+
= 17.16
3
2
4 3 5
tg x
e
y
x x
−
=
− +
17.17
sin 4
6
(3 5)
x
e
y
x
−
=
−
17.18 4
2
3 5 10
x
x x
y
e−
− +
=
17.19 2 2
(2 4)
x
e
y
x x
−
=
− +
17.20
4
3
(3 5)
x
e
y
x
=
+
17.21
5
4
(3 5)
ctg x
e
y
x
=
−
17.22
7
2
(2 3)
x
x
y
e−
−
=
17.23
4
4
(3 1)
x
x
y
e
+
= 17.24
2
5 4 2
x
x x
y
e−
+ −
=
17.25
2
3
5 1
x
x x
y
e
− +
= 17.26
2
7
(2 5)
x
e
y
x
−
=
−
17.27
cos3
5
(2 4)
x
e
y
x
=
+
17.28
sin5
2
(3 2)
x
e
y
x
=
−
17.29 3
2
3 7
x
x x
y
e−
− −
= 17.30 2
4 7 5
tgx
e
y
x x
−
=
+ −

89
18.1
5
3
log (3 7)
7
x
y
ctg x
−
= 18.2 4
ln(5 3)
4 3
x
y
tg x
−
=
18.3 3
ln(7 2)
5cos 4
x
y
x
+
= 18.4
3
sin 5
ln(2 3)
x
y
x
=
−
18.5
2
cos 3
lg(3 4)
x
y
x
=
−
18.6
3
2
lg(5 1)
tg x
y
x
=
+
18.7
3log (4 5)
2
x
y
ctg x
+
= 18.8 2
ln(7 3)
3 4
x
y
tg x
−
=
18.9 2
lg(11 3)
cos 5
x
y
x
+
= 18.10
2
5
ln(7 2)
ctg x
y
x
=
−
18.11
2
( 2)
lg( 3)
tg x
y
x
−
=
+
18.12
3
sin (5 1)
lg(3 2)
x
y
x
+
=
−
18.13
3
cos (7 1)
lg( 5)
x
y
x
−
=
+
18.14
3
sin (4 3)
ln(7 1)
x
y
x
+
=
+
18.15
3
3
(2 3)
log ( 2)
ctg x
y
x
−
=
+
18.16
3
2
lg
sin5
x
y
x
=
18.17
2
4
ln ( 1)
cos3
x
y
x
+
= 18.18
2log (7 5)x
y
tg x
−
=
18.19
3
3
log (4 2)
2
x
y
ctg x
−
= 18.20
3
ln ( 5)
(1/ )
x
y
tg x
−
=
18.21 5
lg ( 2)
sin2
x
y
x
+
= 18.22
3
7
ln(3 2)
tg x
y
x
=
+
18.23
2 3
lg(3 4)
ctg x
y
x
−
=
+
18.24 2
(3 5)
ln ( 3)
tg x
y
x
−
=
+
18.25
2
2
cos
lg( 2 1)
x
y
x x
=
− +
18.26 2log (3 7)
3
x
y
tg x
−
=
18.27
3
ln ( 3)
( 3)
x
y
ctg x
−
=
−
18.28
4
5
ln( 7)
tg x
y
x
=
+
18.29 3
5
log (2 1)
cos
x
y
x
−
= 18.30
4
2
3
lg( 4)
tg x
y
x x
=
− +

90
19.1
4
5arcctg x
y
sh x
= 19.2
3
2
(1/ )
arctg x
y
ch x
=
19.3
4
2
arccos3x
y
th x
= 19.4
3
arcsin5x
y
ch x
=
19.5
3
( 1)
arccos2
cth x
y
x
+
= 19.6
5
2
3
3
th x
y
arctg x
=
19.7
7
5
arccos 2x
y
thx
= 19.8
3
arcsin 5
(3 1)
x
y
sh x
=
+
11.9
4
(2 5)
arccos3
th x
y
x
+
= 19.10
3
2
2arctg x
y
sh x
=
19.11
2
arcsin 4
(5 3)
x
y
th x
=
−
19.12
2
3
(4 2)ch x
y
arctgx
+
=
19.13
5
3
arcsin4x
y
th x
= 19.14
3
(2 1)arctg x
y
ch x
+
=
19.15
3
4
arccos4x
y
sh x
= 19.16
2
( 2)
arccos3
cth x
y
x
−
=
19.17
2
(2 2)
arcsin5
th x
y
x
+
= 19.18
2
2
(3 1)
arccos
cth x
y
x
−
=
19.19
5
arccos4
sh x
y
x
= 19.20
3
5
ch x
y
arctg x
=
19.21
2
( 3)th x
y
arcctg x
+
= 19.22
3
arcsin 3
( 5)
x
y
ch x
=
−
19.23
3
(2 5)
arcctg x
y
sh x
=
−
19.24
3
arccos 5
( 2)
x
y
th x
=
−
19.25 2
arccos3x
y
sh x
= 19.26
2
arcsin 3x
y
thx
=
19.27
2
3
5arctg x
y
cthx
= 19.28
2
5
( 3)
arctg x
y
th x
=
+
19.29
3
5
sh x
y
arcctg x
= 19.30
5
3
( 2)
ch x
y
arctg x
=
+

91
20.1 2
9 ( 7)
( 1)
arctg x
y
x
+
=
−
20.2 3
8 (2 3)
( 1)
arctg x
y
x
+
=
+
20.3 4
7arccos(4 1)
( 2)
x
y
x
−
=
+
20.4 5
6arcsin( 5)
( 2)
x
y
x
+
=
−
20.5 4
3 (2 5)
( 1)
arcctg x
y
x
−
=
+
20.6 2
2 (3 2)
( 3)
arctg x
y
x
+
=
−
20.7 5
4arccos3
( 2)
x
y
x
=
+
20.8 3
arcsin(3 8)
( 7)
x
y
x
+
=
−
20.9 4
7 (4 1)
( 4)
arctg x
y
x
+
=
−
20.10 4
3arcsin(2 7)
( 2)
x
y
x
−
=
+
20.11 4
2lg(4 5)
( 6)
x
y
x
+
=
+
20.12 2
5ln(5 7)
( 7)
x
y
x
+
=
−
20.13
3
2
4log (3 1)
( 1)
x
y
x
+
=
+
20.14
4
5
7log (2 5)
( 1)
x
y
x
−
=
−
20.15 4
ln(7 2)
( 6)
x
y
x
+
=
−
20.16 7
4lg(3 7)
( 1)
x
y
x
+
=
+
20.17
2
2
4
5log ( 1)
( 3)
x
y
x
+
=
−
20.18
3
2
6log (2 9)
( 4)
x
y
x
+
=
+
20.19
2
5
3log (5 4)
( 3)
x
y
x
−
=
−
20.20
2
5
3
7log ( )
( 3)
x x
y
x
+
=
+
20.21
2
7
2
log (2 5)
( 4)
x
y
x
+
=
−
20.22 7
2ln(3 10)
( 5)
x
y
x
−
=
+
20.23
3
4
2log (4 7)
( 3)
x
y
x
−
=
+
20.24 5
8lg(4 5)
( 1)
x
y
x
+
=
−
20.25
4
2
3log (2 9)
( 7)
x
y
x
+
=
−
20.26
2
4
lg( 2 )
( 8)
x x
y
x
−
=
+
20.27
2
3
3ln( 5)
( 7)
x
y
x
+
=
−
20.28
2
2
4log (3 5)
( 2)
x
y
x
−
=
−
20.29
2
5
2ln(2 3)
( 5)
x
y
x
−
=
−
20.30 3
4lg(3 7)
( 7)
x
y
x
+
=
−

92
21.1 2
2
2 1
log ( 3 )
2 1
x
y x x
x
+
= −
−
21.2 3
2 5
lg(4 7)
2 3
x
y x
x
−
= +
+
21.3 24
3
ln(5 2 1)
3
x
y x x
x
+
= − +
−
21.4 25
3
1
log ( 2 4)
1
x
y x
x
+
= + +
−
21.5 26
5
7 4
log (3 2 )
7 4
x
y x x
x
−
= +
+
21.6 7
2 3
lg(7 10)
2 1
x
y x
x
−
= −
+
21.7 28
5 1
ln(3 )
5 1
x
y x x
x
+
= −
−
21.8 9
5
3
log (2 3)
3
x
y x
x
+
= −
−
21.9
6 5
lg(4 7)
6 5
x
y x
x
+
= +
−
21.10 33
4 1
ln(2 3)
4 1
x
y x
x
−
= −
+
21.11 24
6
sin(3 1)
6
x
y x
x
+
= +
−
21.12 35
7
cos(2 )
7
x
y x x
x
−
= +
+
21.13 26
9
(3 4 1)
9
x
y tg x x
x
−
= − +
+
21.14 7
4
(2 5)
4
x
y ctg x
x
−
= +
+
21.15 28
2
sin(4 7 2)
2
x
y x x
x
−
= − +
+
21.16 29
3
cos( 3 2)
3
x
y x x
x
+
= − +
−
21.17 23 2
(2 9)
3 2
x
y tg x
x
−
= −
+
21.18 22 3
(3 5)
2 3
x
y ctg x
x
+
= +
−
21.19 24
5
sin(3 4)
5
x
y x x
x
+
= − +
−
21.20 5
6
cos(7 2)
6
x
y x
x
−
= +
+
21.21 6
7
arcsin(2 3)
7
x
y x
x
−
= +
+
21.22 7
8
arccos(3 5)
8
x
y x
x
−
= −
+
21.23 8
4
(5 1)
4
x
y arctg x
x
−
= +
+
21.24 9
1
(7 2)
1
x
y arcctg x
x
−
= +
+
21.25 27 4
arcsin( 1)
7 4
x
y x
x
−
= +
+
21.26 23
8 3
arccos( 5)
8 3
x
y x
x
−
= −
+
21.27 4
2 5
(3 2)
2 5
x
y arctg x
x
−
= +
+
21.28 5
3 4
(2 5)
3 4
x
y arcctg x
x
−
= +
+
21.29
2
6
2
1
arcsin2
1
x
y x
x
−
=
+
21.30
2
7
2
3
arccos4
3
x
y x
x
+
=
−

93
22.1 ( ) 3
arccos( 2) tg x
y x= + 22.2 ( ) ( 1)
arcsin2 ctg x
y x +
=
22.3 ( )cos2
( 7) x
y arctg x= + 22.4 ( ) sin 4
( 3) x
y arcctg x= −
22.5 ( )arcsin3
(3 2) x
y ctg x= − 22.6 ( )arcsin3
(4 3) x
y tg x= −
22.7 ( ) 5
cos(2 5) arctg x
y x= − 22.8 ( )sin(7 4) arcctgx
y x= +
22.9 ( )ln( 3)
arcsin 2 x
y x +
= 22.10 ( )lg(5 1)
arccos3 x
y x −
=
22.11 ( ) 2log ( 4)
5 x
y arctg x +
= 22.12 ( )lg( 1)
7 x
y arctg x +
=
22.13 ( )arcsin
4log (2 3) x
y x= + 22.14 ( )arccos
5log (3 2) x
y x= +
22.15 ( )ln(5 4) arcctgx
y x= − 22.16 ( )arcsin 2
2log (6 5) x
y x= +
22.17 ( ) 2
lg(7 5) arctg x
y x= − 22.18 ( )arccos4
lg(4 3) x
y x= −
22.19 ( ) 5
ln(7 3) arctg x
y x= − 22.20 ( )5log (2 5) arctgx
y x= +
22.21 ( ) ( 3)
sin(8 7) cth x
y x +
= − 22.22 ( ) ( 7)
cos(3 8) th x
y x −
= +
22.23 ( ) (2 1)
(9 2) ch x
y tg x −
= + 22.24 ( ) 3
(7 5) sh x
y ctg x= +
22.25 ( )cos( 4)
(3 7) x
y sh x +
= − 22.26 ( ) ( 5)
(2 3) tg x
y ch x +
= −
22.27 ( )sin( 2)
(7 5) x
y th x +
= − 22.28 ( )cos( 4)
(3 2) x
y ch x +
= +
22.29 ( )ln(7 4) tgx
y x= + 22.30 ( ) 5
lg(8 3) tg x
y x= +
23.1
4
5
7( 3)
( 2)
x x
y
x
+ −
=
+
23.2
5 3
3
( 3) ( 2)
( 1)
x x
y
x
− +
=
−
23.3
3 5
2
( 2) ( 1)
( 4)
x x
y
x
− +
=
−
23.4
3 25
7
( 1) ( 2)
( 1)
x x
y
x
+ −
=
+

94
23.5
7 3
23
( 2) ( 3)
( 4)
x x
y
x
+ −
=
−
23.6
4 5
23
( 1) ( 2)
( 4)
x x
y
x
− +
=
−
23.7
10
5
( 7) 3 1
( 3)
x x
y
x
− −
=
+
23.8
2
7
( 3) 4
( 2)
x x
y
x
− +
=
+
23.9
8 2
5
( 1) ( 3)
( 2)
x x
y
x
+ −
=
+
23.10
4
43
( 2)( 7)
( 1)
x x
y
x
+ −
=
−
23.11
35
2 5
( 4)
( 1) ( 3)
x
y
x x
+
=
− +
23.12
73
5 3
( 1)
( 1) ( 7)
x
y
x x
−
=
+ −
23.13
3 4
7
( 2) ( 1)
( 2)
x x
y
x
+ −
=
+
23.14
5 23
3
( 2) ( 3)
( 7)
x x
y
x
− +
=
−
23.15
4 6
5
8( 2)
( 1)
x x
y
x
− +
=
−
23.16
75
3
1( 3)
( 8)
x x
y
x
+ −
=
+
23.17
47
2 5
( 2)
( 1) ( 6)
x
y
x x
−
=
+ −
23.18
25
4 3
( 1)
( 3) ( 5)
x
y
x x
+
=
− −
23.19
2
7 2
2 3
( 3) ( 4)
x x
y
x x
+ −
=
+ −
23.20
43
3 7
( 2)
( 5) ( 1)
x
y
x x
−
=
− +
23.21
3 4
53
( 4) ( 2)
( 2)
x x
y
x
+ −
=
−
23.22
6 3
25
( 1) ( 2)
( 3)
x x
y
x
− +
=
+
23.23
4 2
5
( 1) ( 7)
( 2)
x x
y
x
− −
=
+
23.24
2 5
2
( 7) ( 3)
3 1
x x
y
x x
+ −
=
+ −
23.25
3 5
4
3( 7)
( 4)
x x
y
x
− +
=
−
23.26
3
5
10( 8)
( 1)
x x
y
x
+ −
=
−
23.27
35
4
( 2) ( 1)
( 3)
x x
y
x
− −
=
+
23.28
3 54
2
( 1) ( 2)
( 3)
x x
y
x
+ −
=
−
23.29
56
4 7
( 1)
( 2) ( 5)
x
y
x x
−
=
+ −
23.30
35
4 5
( 2)
( 1) ( 3)
x
y
x x
+
=
− −

95
24.1 ( )lny x x x a x= + + − 24.2 ( )2 2
lny x x a= + +
24.3 ( )2 4ln 2y x x= − + 24.4 ( )ln 1y x x= + +
24.5
2 2
2 2
ln
a x
y
a x
+
=
−
24.6
2
4
ln
1
x
y
ax
=
−
24.7 ( )2ln cosy x x= + 24.8 ( )3ln 1 cosy x= +
24.9
2
2
ln
1
x
y
x
=
−
24.10 ln
4 2
x
y tg
π⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
24.11 4 1 2
ln
1 2
x
y
x
+
=
−
24.12
21 2
ln
2 2
x
y x a
x
π⎛ ⎞− ⎟⎜= + +⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠
24.13
2 4
lnsin
1
x
y
x
+
=
+
24.14
2 3
ln cos
2 1
x
y
x
+
=
+
24.15 4 2log logy tgx= 24.16 ( )cos ln sinln / 2y x x x x= +
24.17 16 5log logy tgx= 24.18 lglny ctgx=
24.19 4
1
log
1
ay
x
=
−
24.20 ( )21
ln 2 1
2
y tgx tg x= + +
24.21 2lnarcsin 1 xy e= − 24.22 4lnarccos 1 xy e= −
24.23 ( )2 2 2
lny bx a b x= + + 24.24 ( )2
ln 1x x
y e e= + +
24.25
1
ln arccosy
x
⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
24.26
2
2
1 2
ln
1 2
x x
y
x x
+ +
=
+ −
24.27
5 ( / 2)
ln
5 ( / 2)
tg x
y
tg x
+
=
−
24.28
ln
ln
sin(1/ )
x
y
x
=
24.29 lnlnsin(1 1/ )y x= + 24.30 3 2lnln lny x=

96
25.1
2 1 arcsin 2x x
y
x x
−
= + 25.2 36
2
tgx ctgx
y arctg x
−
= +
25.3 4 32
arcsin
5
x
y x
x
−
= − 25.4 22 1
2
4
x
y x x
−
= + −
25.5
21 1x
y arctg
x
+ −
= 25.6
2
4
4
arccos
16
x
y
x
−
=
+
25.7
2 3 1
3 6
x
y arctg
x
−
= 25.8
1 1 1
ln
4 1 2
x
y arctgx
x
−
= −
+
25.9 2
4 1
28 7
x x
y ctg
x x
− −
= −
− +
25.10 2
1
3
arcctg x
y
x xx
= +
25.11
3 2
2
2
arccos
3 1
x x
y x
x
+
= +
−
25.12
1
22 1
x x
y arctg x
xx
+
= +
+
25.13
3
3arccos
2( 2)
x x
y
x x
+
= +
+
25.14
4 2
3
4 4
2
x x
y arctg
xx
+
= +
25.15 arcsin
1
x
y arctg x
x
= +
+
25.16 2 2
1 1 arccos
1
2 2
x
y
x x
= − −
25.17
6
6arcsin
2 2
x x
y
x
+
= − 25.18
2
3
arcsin 1
26
x x
y
x x
−
= + −
−
25.19
(1 )x arctg x x
y
x
+ −
= 25.20
2
2 5 1
arcsin
35
x x
y
x x
− −
= +
−
25.21
2
2
5 1
ln
3 6 4
x x
y arctg
x
+
= +
+
25.22
3 5
arcsin
( 1) 5
x
y
x
−
=
−
25.23
2 21 arcsin 1
3
x
y x x= − − −
25.24
8 2
3 3
x
y arcctg arctg
x
= −
25.25
1
31
x x
y arctg ctg
x
−
= +
−
25.26 2 1
(2 5 )
2
x
y x x arctg x
x
+
= + −
+

97
5.27
2
2
arcsin 2 1
ln(1 4 )
82 1 4
x x
y x
x
= + −
−
5.28
2
2 1
( 1)
3
xx
y x arctg e
x
−
= − −
5.29 3
2 3
2
x
y xarcctg x
x
= −
+
5.30 2 2
arccos 2ln
1
x
y x x
x
= − −
+
26.1
1 2 5
ln
4 5 2 5
thx
y
thx
+
=
−
26.2 4
3
84
shx
y arctg shx
ch x
= +
26.3
1 1
ln
2 1
thx
y arctg thx
thx
+
= −
−
26.4 2
2
ln
2 4(2 )
thx thx
y
thx th x
+
= −
− −
26.5
1 1 1 2
2 4 2 1 2
thx
y thx
thx
+
= +
−
26.6 2
1
ln
2 2 2
x chx
y th
sh x
= − −
26.7 3
2ln 5
arcsin
ch x
y cthx
sh x
= − 26.8 2
2
3
2
ln
arctg thx
y sh x
sh x
= −
26.9
shx
y arctg
chx shx
=
−
26.10
1 1
ln
6 2
shx
y
shx
−
=
+
26.11 4 1
1
thx
y
thx
+
=
−
26.12
37
1
sh x
y
chx
=
+
26.13
53ch x
y
shx
= 26.14
33
6
th x
y
ch x
=
26.15
2
2
1 8 ln
2
ch x chx
y
ch x
+
= 26.16
2
3
12 1
3
sh x
y
sh x
+
= −
26.17 2
3
arcsin( )
22
shx
y thx
ch x
= − + 26.18
1 3
arcsin
1 38
chx
y
chx
+
=
+
26.19
1 4 8 ( /2)
ln
8 4 8 ( /2)
th x
y
th x
+
=
−
26.20
1 1 3
ln ln
4 2 4
x chx
y th
shx
+
= −

98
26.21
1 5 3
arcsin
4 3 5
chx
y
chx
+
= −
+
26.22
2
4
1 8
4
ch x
y
ch x
−
=
26.23 2
2 5
22
shx
y arctgshx
shx ch x
= − + 26.24 3
8 1
2
3 3
y cth x
chxsh x
= −
26.25 3
1
( )
2 2
shx
y arctg shx
ch x
= − 26.26 2
3
ln
2 2
x chx
y th chx
sh x
= + −
26.27 2
1 3
22
shx
y arctgshx
shxch x
= − − 26.28
1
( )
22
shx
y arcctg shx
chx
= +
26.29
2
2
1 2
sin
(1 )
shx
y shx
chx
−
= +
+
26.30 3 2 23 1
cos ( ) ln
2 2
y ch x thx= +
27.1 ( )(1/ 2)ln arctgx
y arctgx= 27.2 ( )
lnsin
sin
x
y x=
27.3 ( )5
sin
xe
y x= 27.4 ( )arcsin
xe
y x=
27.5 ( )3
ln
x
y x= 27.6 arcsin x
y x=
27.7 ( )2
3
xe
y ctg x= 27.8
tgxey x=
27.9 ( )4 xe
y tgx= 27.10 ( )cos5
xe
y x=
27.11 ( )8ln( sin )
sin x x
y x x= 27.12 ( )5 ch x
y x= −
27.13 ( )3 4
tgx
y x= + 27.14 ( )
3sin
1 x
y x= +
27.15 ( )2 1
sh x
y x= − 27.16 ( )4 5
ctg x
y x= +
27.17 ( )
/ 25
sin
x
y x= 27.18 ( )
cos2 1
x
y x= +

99
27.19
19 1919xy x= ⋅ 27.20 3 2
x xy x= ⋅
27.21 ( )
1/
sin
xe
y x= 27.22
ctgxey x=
27.23
cos xey x= 27.24 2 5
x xy x= ⋅
27.25
sin xey x= 27.26 ( )ln ( / 4)tg x
y tgx=
27.27
arctgxey x= 27.28 ( )8 1
th x
y x= +
27.29 29 29
x xy x= ⋅ 27.30 ( )lncos(2 /3)
cos2 x
y x=
Дополнительные индивидуальные домашние задания
Найдите производные первого и второго порядков от данных функций
28.1 2
8y x= 28.2 2 2
/5 /7 1x y+ =
28.3 y x arctgy= + 28.4 2 2
/5 /3 1x y+ =
28.5 2
25 4y x= − 28.6 4 5arcctgy x y= +
28.7 2
cosy x y− = 28.8 3 sin 5x y y+ =
28.9 3 5tgy x y= + 28.10 xy ctgy=
28.11 4y
y e x= + 28.12 ln / 7y y x− =
28.13 2 2
siny x x+ = 28.14 4 7y
e x y= −
28.15 4sin( )x y x+ = 28.16 sin 7 3y x y= +
28.17 4 5tgy y x= − 28.18 7y x ctgy= −
28.19 6 cosxy y− = 28.20 3
3 7y xy= +
28.21 2
ln( / )y x x y= + 28.22 2 3
4 5xy y x− = −
28.23 2 2
5x y x y+ = 28.24 4 2 2
4x x y y+ + =
28.25 2
sin 5y xy= + 28.26 3 3
5x y x+ =

100
28.27 7x y+ = 28.28 2
( )/( )y x y x y= − +
28.29 2 2
sin (3 ) 5x y+ = 28.30 2
( ) 5ctg x y x+ =
Для данной функции y и аргумента 0x вычислите 0( )y x′′′
29.1 2
0sin , / 2y x x π= = 29.2 0, 1y arctgx x= =
29.3 2
0ln( 2), 0y x x= + = 29.4 0cos , 0x
y e x x= =
29.5 0sin2 , 0x
y e x x= = 29.6 0cos , 0x
y e x x−
= =
29.7 0sin2 ,y x x π= = 29.8 5
0(2 1) , 1y x x= + =
29.9 0ln(1 ), 2y x x= + = 29.10 2
0
1
, 0
2
x
y x e x= =
29.11 0arcsin , 0y x x= = 29.12 5
0(5 4) , 2y x x= − =
29.13 0sin , / 2y x x x π= = 29.14 2
0ln , 1/3y x x x= =
29.15 0sin 2 , / 4y x x x π= = − 29.16 0cos2 , /12y x x x π= =
29.17 4
0ln , 1y x x x= = 29.18 0, 1y x arctgx x= + =
29.19 2
0cos , /4y x x π= = 29.20 2
0ln( 4), 3y x x= − =
29.21 2
0cos , / 2y x x x π= = 29.22 0arccos , 3/ 2y x x x= =
29.23 0( 1)ln( 1), 1/2y x x x= + + =− 29.24 3
0ln , 1y x x= =
29.25
2
02 , 1x
y x= = 29.26 0(4 3), 1y x x= − =
29.27 0, 2y xarcctgx x= = 29.28 0(7 4), 1y x x= − =
29.29 0sin2 , / 4y x x x π= = 29.30 33
0sin( ),y x xπ π= + =
Запишите формулу для производной n – го порядка указанных функций
30.1 lny x= 30.2 1/y x=
30.3 2xy = 30.4 cosy x=

101
30.5 siny x= 30.6 ln(3 )y x= +
30.7 1/( 5)y x= + 30.8 2xy e−=
30.9 y x= 30.10 3xy xe=
30.11 1/( 3)y x= − 30.12 2ln( 5)y x= +
30.13 4xy e= 30.14 1/( 7)y x= −
30.15 5xy = 30.16 5xy e−=
30.17 ln( 4)y x= + 30.18 1/( 6)y x= −
30.19 10xy = 30.20 7xy =
30.21 cos3y x= 30.22 ln(3 5)y x= −
30.23
5
x
y
x
=
+
30.24
1
ln
4
y
x
=
−
30.25 7y x= + 30.26 6xy xe=
30.27
4
3
y
x
=
+
30.28
1 x
y
x
+
=
30.29
4
3
y
x
=
+
30.30
1 x
y
x
+
=
31.1 ( )lim ln(2 ) ln(1 )
x
x x x
→∞
+ − + 31.2 ( )
1/
lim 2
xx
x
x
→∞
+
31.3 lim cos sin
x
x
m m
x x
λ
→∞
⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
31.4
1/sin
0
5
lim
2 9
x
x x→
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ +
31.5 ( )
2
2
0
lim 1 3
ctg x
x
tg x
→
+ 31.6 ( )lim cos( / )
x
x
m x
→∞
31.7 ( )
2
3/
0
lim cos2 x
x
x
→
31.8 ( )
0
lim ln tgx
x
ctgx
→
31.9 ( ) ( / 2 )
lim 2 / tg x a
x a
x a π
→
− 31.10
1/ ln( 1)
0
lim
x
e
x
x −
→

102
1.11 ( )lim 1 3/ x
x
x
→∞
+ 31.12 ( )
1/
0
lim
xx
x
e x
→
+
31.13 ( ) 2
/ 2
lim x
x
tgx π
π
−
→
31.14
2
lim
x
x
arctgx
π→∞
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
31.15
2
1/
0
cos
lim
cos2
x
x
x
x→
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
31.16
1
lim
1 sinx
tgx
x→∞
⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+
31.17
2
1/
0
lim
x
x
tgx
x→
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
31.18 ( )
1/ ( 1)
1
lim 1
x
e
x
x
−
→
−
31.19
0
lim 1 2x
x
x
→
− 31.20 ( )lim cos(1/ ) sin(1/ ) x
x
x x
→∞
+
31.21
2
2
2
1
lim
2
x
x
x
x→∞
⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠
31.22
2 2
lim sin cos
x
x x x→∞
⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
31.23
0
lim cosx
x
x
→
31.24 ( )
1
lim 1 sin ctg x
x
x π
π
→
+
31.25 lim
x
x
x a
x a→∞
⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−
31.26
0
1
lim
tgx
x x→
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
31.27
1/lim x
x
x
→∞
31.28
3/(4 ln )
0
lim x
x
x +
→
31.29
sin
0
lim x
x
x
→
31.30
3 2
31
2 2
lim
7 6x
x x x
x x→
− − +
− +
С помощью дифференциала приближенно вычислите данные величины и
оцените допущенную относительную погрешность (с точностью до двух
знаков после запятой)
32.1 arcsin0,6 32.2 0,95arctg
32.3 0,2
e 32.4 lg11
32.5 arcsin0,54 32.6 cos59
32.7 2,02
e 32.8 ln 46tg

103
32.9 1,02arctg 32.10 0,97arctg
32.11 1,01arctg 32.12 ( )2ln 0,2e +
32.13 1,03arctg 32.14 ln 47 15tg ′
32.15 lg9,5 32.16 3,1arctg
32.17 1,24 32.18 2,12
32.19 59tg 32.20 2log 1,9
32.21 3,2arctg 32.22 29ctg
32.23 sin93 32.24 lg1,5
32.25 sin29 32.26 lg101
32.27 sin31 32.28 lg0,9
32.29 0,25
e 32.30 15
Вычислите приближенно с помощью дифференциала.
33.1 3
, 7,76y x x= = 33.2 3 3 7 , 1,012y x x x= + =
33.3 3
, 27,54y x x= = 33.4 arcsin , 0,98y x x= =
33.5 3 2 2 5, 0,97y x x x= + + = 33.6 3
, 26,46y x x= =
33.7 2 3, 1,97y x x x= + + = 33.8 11, 1,021y x x= =
33.9 3
, 1,21y x x= = 33.10 21, 0,998y x x= =
33.11 3 2 , 1,03y x x= = 33.12 6, 2,01y x x= =
33.13 3
, 8,24y x x= = 33.14 7, 1,996y x x= =
33.15 3
, 7,64y x x= = 33.16 4 1, 2,56y x x= − =
33.17 2
1
, 1,016
2 1
y x
x x
= =
+ +
33.18
25
, 0,98
2
x x
y x
+ −
= =

104
33.19 3
, 8,36y x x= = 33.20 7, 2,002y x x= =
33.21 4 3, 1,78y x x= − = 33.22 3
, 0,98y x x= =
33.23 5, 2,997y x x= = 33.24 5 2 , 1,03y x x= =
33.25 4, 3,998y x x= = 33.26 1 sin , 0,01y x x x= + + =
33.27 3 3 cos , 0,01y x x x= + = 33.28 2 5, 1,97y x x= + =
33.29
1
, 1,58
2 1
y x
x
= =
+
33.30
1
, 4,16y x
x
= =
Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке,
соответствующей значению параметра 0t t=
34.1
3
3
0
sin
cos , /3
x a t
y a t t π
⎧⎪ =⎪⎨
⎪ = =⎪⎩
34.2
0
3cos
sin , /3
x t
y t t π
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = =⎪⎩
34.3
0
( sin )
(1 cos ), /3
x a t t
y a t t π
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ = − =⎪⎩
34.4
2
3
0
2
3 , 1
x t t
y t t t
⎧⎪ = −⎪⎨
⎪ = − =⎪⎩
34.5
2
3
2
03
2
1
2
, 1
1
t t
x
t
t t
y t
t
⎧⎪ +⎪ =⎪⎪ +⎪⎪⎨
⎪ −⎪⎪ = =⎪⎪ +⎪⎩
34.6
2
0
2
arcsin
1
1
arccos , 1
1
t
x
t
y t
t
⎧⎪⎪ =⎪⎪ +⎪⎨
⎪⎪ = = −⎪⎪⎪ +⎩
34.7
0
( cos 2sin )
( sin 2cos ),
4
x t t t t
y t t t t t
π
⎧ = −⎪⎪⎪⎨
⎪ = + =⎪⎪⎩
34.8
2
2
02
3
1
3
, 2
1
at
x
t
at
y t
t
⎧⎪⎪ =⎪⎪ +⎪⎨
⎪⎪ = =⎪⎪ +⎪⎩
34.9
0
2ln 1
, / 4
x ctgt
y tgt ctgt t π
⎧ = +⎪⎪⎨
⎪ = + =⎪⎩
34.10
2 4
2 3
0
(1/ 2) (1/ 4)
(1/ 2) (1/3) , 0
x t t
y t t t
⎧⎪ = −⎪⎨
⎪ = + =⎪⎩
34.11
0
cos
sin , /2
x at t
y at t t π
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = =⎪⎩
34.12
2
2
0
sin
cos , /6
x t
y t t π
⎧⎪ =⎪⎨
⎪ = =⎪⎩

105
34.13
2
0
2
arcsin
1
1
arccos , 1
1
t
x
t
y t
t
⎧⎪⎪ =⎪⎪ +⎪⎨
⎪⎪ = =⎪⎪⎪ +⎩
34.14
2
0
1 ln
3 2ln
, 1
t
x
t
t
y t
t
⎧ +⎪⎪ =⎪⎪⎪⎨
⎪ +⎪ = =⎪⎪⎪⎩
34.15
2
02
1
3 2
, 2
2
t
x
t
y t
tt
⎧ +⎪⎪ =⎪⎪⎪⎨
⎪⎪ = + =⎪⎪⎪⎩
34.16
0
1
1
, 1
t
x
t
t
y t
t
⎧ +⎪⎪ =⎪⎪⎨
⎪ −⎪ = = −⎪⎪⎩
34.17
3
3
0
sin
cos ,
4
x a t
y a t t
π
⎧⎪ =⎪⎪⎨
⎪ = =⎪⎪⎩
34.18
0
( sin cos )
(sin cos ),
4
x a t t t
y a t t t t
π
⎧ = +⎪⎪⎪⎨
⎪ = − =⎪⎪⎩
34.19
2
3
0
1
, 2
x t
y t t t
⎧⎪ = −⎪⎨
⎪ = − =⎪⎩
34.20
2
0
ln(1 )
, 1
x t
y t arctgt t
⎧⎪ = +⎪⎨
⎪ = − =⎪⎩
34.21
0
(1 sin )
cos , 0
x t t
y t t t
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ = =⎪⎩
34.22
0
3cos
4sin , /4
x t
y t t π
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = =⎪⎩
34.23
4
2 3
0, 1
x t t
y t t t
⎧⎪ = −⎪⎨
⎪ = − =⎪⎩
34.24
3
2
0
1
1, 1
x t
y t t t
⎧⎪ = +⎪⎨
⎪ = + = =⎪⎩
34.25
0
2cos
sin , /3
x t
y t t π
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = = −⎪⎩
34.26 2
0
2
2sin sin2 , / 4
x tgt
y t t t π
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = + =⎪⎩
34.27
3
2
0
1
, 2
x t
y t t
⎧⎪ = +⎪⎨
⎪ = = −⎪⎩
34.28
0
sin
, 0t
x t
y a t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = =⎪⎩
34.29
0
sin
cos2 , /6
x t
y t t π
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = =⎪⎩
34.30
0
2
, 0
t
t
x e
y e t−
⎧⎪ =⎪⎨
⎪ = =⎪⎩
Решите следующие задачи
35.1
Записать уравнение касательной к кривой 2 7 3y x x= − + в
точке с абсциссой 1.x =

106
35.2
Записать уравнение нормали к кривой 2 16 7y x x= − + в точке с
абсциссой 1.x =
35.3
Записать уравнение касательной к линии 4y x= − в точке с
35.4
Записать уравнение нормали к линии 4y x= + в точке с
35.5
Записать уравнение касательной к кривой 3 22 4 7y x x x= − + −
в точке (2;1).
35.6
Записать уравнение нормали к кривой 3 25 7 2y x x x= − + − в
точке (1;1).
35.7
Определить угловой коэффициент касательной к кривой
2 2 11 0x y xy− + − = в точке (3;2).
35.8
В какой точке кривой 2 34y x= касательная перпендикулярна к
прямой 3 1 0x y+ − = ?
35.9
Записать уравнение касательной к кривой 2 6 2y x x= − + в
35.10
Записать уравнение касательной к кривой 2 / 4 5y x x= − + в
35.11
Записать уравнение нормали к кривой 2 / 4 27 60y x x= − + в
35.12
Записать уравнение касательной к кривой
2 / 2 7 15/2y x x= − + + в точке с абсциссой 3.x =
35.13
Записать уравнение нормали к кривой 3 2 1y tg x= + в точке с
абсциссой /2.x π=
35.14
Записать уравнение касательной к кривой 4 3y tg x= в точке с
35.15
Записать уравнение нормали к кривой 6 5y tg x= в точке с
абсциссой / 20.x π=
35.16
Записать уравнение касательной к кривой 4sin6y x= в точке с

107
35.17
Выяснить, в какой точке кривой sin2y x= касательная
составляет с осью Ox угол / 4π .
35.18
Выяснить, в какой точке кривой 32 1y x= − касательная
составляет с осью Ox угол /3π .
35.19
Выяснить, в какой точке кривой 3 2/3 / 2 7 9y x x x= − − +
касательная составляет с осью Ox угол / 4π− .
35.20
Выяснить, в какой точке кривой 3 2/3 5 / 2 7 4y x x x= − + +
касательная составляет с осью Ox угол / 4π .
35.21
Найти точки на кривой 3 2/3 9 / 2 20 7y x x x= − + − , в которых
касательные параллельны оси Ox.
35.22
Найти точку на кривой 4 / 4 7y x= − , касательная в которой
параллельна прямой 8 4y x= − .
35.23
Найти точку на кривой 23 4 7y x x= − + + , касательная в
которой перпендикулярна к прямой 20 5 0x y− + = .
35.24
Найти точку на кривой 23 4 6y x x= − + , касательная в которой
параллельна прямой 8 5 0x y− − = .
35.25
Найти точку на кривой 25 4 1y x x= − + , касательная в которой
перпендикулярна к прямой 5 15 0x y+ + = .
35.26
Найти точку на кривой 23 5 11y x x= − − , касательная в которой
параллельна прямой 10 0x y− + = .
35.27
Найти точку на кривой 2 7 16y x x= − + + , касательная в
которой параллельна прямой 3 4y x= + .
35.28
Найти точку на кривой 24 10 13y x x= − + , касательная в
которой параллельна прямой 6 7y x= − .
35.29
Выяснить, в какой точке кривой 27 5 4y x x= − + касательная
перпендикулярна к прямой 23 1 0y x+ − = .
35.30
Выяснить, в какой точке кривой 2 /4 7 5y x x= − + касательная
параллельна прямой 2 5y x= + .

108
Решите следующие задачи
36.1
Траектория движения тела – кубическая парабола 312y x= . В
каких ее точках скорости возрастания абсциссы и ординаты
одинаковы? ( ): (2,2/3), ( 2, 2/3).Ответ − −
36.2
Закон движения материальной точки 23 / 4 3 7s t t= − + . В какой
момент времени скорость ее движения будет равна 2 м/с?
( ):10/3 .Ответ c
36.3
По оси Ox движутся две материальные точки, законы движения
которых 2
4 7x t= − и 23 4 38x t t= − + . С какой скоростью эти
точки удаляются друг от друга в момент встречи?
( ): 40 / 26 / .Ответ м c или м с
36.4
Материальная точка движется по гиперболе 12xy = так, что ее
абсцисса x равномерно возрастает со скоростью 1 /м c. С какой
скоростью изменяется ордината точки, когда она проходит
положение (6, 2)? ( ): 1/3 / .Ответ м c−
36.5
В какой точке параболы 2 4y x= ордината возрастает вдвое
быстрее, чем абсцисса? ( ): (1/ 4, 1) .Ответ
36.6
Закон движения материальной точки 4 23 2 4s t t t= − + − . Найти
скорость движения точки в момент времени 2t c= .
( ): 22 / .Ответ м c
36.7
Закон движения материальной точки 4 3 23 4 6s t t t= − + + .
Найти скорость ее движения в момент времени 2t c= .
( ):100 / .Ответ м c
36.8
Закон движения материальной точки 4cos 6
4 4
t
s
π⎛ ⎞⎟⎜= + +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
.
Найти ее скорость в момент времени t cπ= .
( ): 1 / .Ответ м c−
36.9
Закон движения материальной точки 4sin 8
3 6
t
s
π⎛ ⎞⎟⎜= + −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
. Найти
ее скорость в момент времени / 2t cπ= . ( ): 2/3 / .Ответ м c

109
36.10
Закон движения материальной точки 3cos 10
4 12
t
s
π⎛ ⎞⎟⎜= − + +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
.
Найти ее скорость в момент времени /3t cπ= .
( ): 3/8 / .Ответ м c
36.11
Закон движения материальной точки 3 25 1
7
3 2
s t t= − + . В какой
момент времени скорость ее движения будет равна 42 м/с?
( ): 3 .Ответ c
36.12
Закон движения материальной точки 34 2 11s t t= − + . В какой
момент времени ее скорость будет равна 190 м/с?
36.13
Закон движения материальной точки 35
2 7
3
s t t= − + . Найти
скорость ее движения в момент времени 4t c= .
( ): 78 / .Ответ м c
36.14
Закон движения материальной точки 5 3
2 6 58s t t= − − . Найти
скорость ее движения в момент времени 2t c= .
( ): 88 / .Ответ м c
36.15
которых 2
3 8x t= − и 22 5 6x t t= + + . С какой скоростью эти
( ): 42 / , 33 / .Ответ м c м с
36.16
которых 25 6x t t= − + и 24 18x t= + . С какой скоростью эти
( ): 39 / , 32 / .Ответ м c м с
36.17
которых 34
7 16
3
x t t= − + и 3 22 5 8x t t t= + + − . В какой
момент времени их скорости окажутся равными?
( ): 40 / 26 / .Ответ м c или м с

110
36.18
Закон движения материальной точки 3 21
2 11 275
3
s t t t= − − + . В
какой момент времени скорость ее движения будет равна 10 м/с?
36.19
Материальная точка движется по гиперболе 20xy = так, что ее
абсцисса x равномерно возрастает со скоростью 1 /м c. С какой
скоростью изменяется ордината точки, когда она проходит
положение (4, 5)? ( ): 1,25 / .Ответ м c−
36.20
В какой точке параболы 2 8y x= ордината возрастает вдвое
быстрее, чем абсцисса? ( ): (1/2, 2).Ответ
36.21
которых 25 2 6x t t= + + и 24 3 18x t t= + + . С какой скоростью
эти точки удаляются друг от друга в момент встречи?
( ): 42 / 35 / .Ответ м c или м с
36.22
В какой точке кривой 2 16y x= ордината возрастает в четыре
раза быстрее, чем абсцисса? ( ): (1/4, 2).Ответ
36.23
В какой точке параболы 2 10x y= абсцисса возрастает вдвое
быстрее, чем ордината? ( ): (9/ 4, 9/16).Ответ
36.24
В какой точке параболы 2 9x y= абсцисса возрастает в пять раз
быстрее, чем ордината? ( ): (1; 0,1).Ответ
36.25
которых 3 22 2 6 7x t t t= − + − и 3 25
14 4
3
x t t= − + + . В какой
момент времени их скорости будут равными? ( : 4Ответ c
36.26
Закон движения материальной точки по прямой задан формулой
3 21 1
30 18
3 2
s t t t= − − + . В какой момент времени скорость
точки будет равна нулю? ( ): 6 .Ответ c

111
36.27
Тело движется по прямой Ox по закону 3 21 7
10 16
3 2
x t t t= − + − .
Определить скорость и ускорение движения тела. В какие
моменты времени оно меняет направление движения?
( ): 2 , 5 .Ответ c c
36.28
Зависимость между массой x кг вещества, получаемого в
некоторой химической реакции, и временем t выражается
уравнением 47(1 )tx e−= − . Определить скорость реакции в
случае, когда 0t c= . ( ): 28 / .Ответ кг c
36.29
Материальная точка движется прямолинейно так, что 2
6v x= ,
где v – скорость, x – пройденный путь. Определить ускорение
движения точки в момент, когда скорость равна 6 /м с .
( )2:1/ 2 / .Ответ м c
36.30
Закон движения материальной точки 3 3s t t= + . Найти скорость
ее движения в момент времени 2t c= . ( ):15 / .Ответ м c
Найдите производную n-го порядка
37.1 axy xe= 37.2 sin 2 cos( 1)y x x= + +
37.3 5 7 1xy e −= 37.4 lg(5 2)y x= +
37.5 3xy a= 37.6 lg( 4)y x= +
37.7
2(3 2)
x
y
x
=
+
37.8
4 7
2 3
x
y
x
+
=
+
37.9 y x= 37.10 3 52 xy +=
37.11 sin( 1) cos2y x x= + + 37.12 3 2 1xy e +=
37.13
2 5
13(3 1)
x
y
x
+
=
+
37.14
4 15
5 1
x
y
x
+
=
+
37.15 lg(3 1)y x= + 37.16 57 xy =

112
37.17
9(4 9)
x
y
x
=
+
37.18
4
y
x
=
37.19 lg(1 )y x= + 37.20 2 3xy a +=
37.21
5 1
13(2 3)
x
y
x
+
=
+
37.22
11 12
6 5
x
y
x
+
=
+
37.23 3 1xy e += 37.24 sin(3 1) cos5y x x= + +
37.25 lg(2 7)y x= + 37.26 2kxy =
37.27
1
x
y
x
=
+
37.28
1
1
x
y
x
+
=
−
37.29 3log ( 5)y x= + 37.30 2 53 xy +=
Найдите производную второго порядка xxy′′ от функций,
заданных параметрически
38.1 2
cos2
2sec
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.2
21
1/
x t
y t
⎧⎪ = −⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.3
cos
sin
t
t
x e t
y e t
⎧⎪ =⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.4
2
21/
x sh t
y ch t
⎧⎪ =⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.5
sin
2 cos
x t t
y t
⎧ = +⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
38.6 2
1/
1/(1 )
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎩
38.7
1/ 1
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
38.8
sin
sec
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.9
1/sin2
x tgt
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.10
1
/ 1
x t
y t t
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
38.11 3
1
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
38.12
cos /(1 2cos )
sin /(1 2cos )
x t t
y t t
⎧ = +⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎩

113
38.13
3 1
ln
x t
y t
⎧⎪ = −⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.14 2
x sht
y th t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.15
1
1/
x t
y t
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.16
2
2
cosx t
y tg t
⎧⎪ =⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.17
3
ln( 2)
x t
y t
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
38.18
sin
lncos
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.19
sin
2 cos
x t t
y t
⎧ = +⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎩
38.20
sin
2 cos
x t t
y t
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
38.21
cos
lnsin
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.22
cos sin
sin cos
x t t t
y t t t
⎧ = +⎪⎪⎨
⎪ = −⎪⎩
38.23
arcsin
tx e
y t
⎧⎪ =⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.24 4
cos
sin ( / 2)
x t
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.25 23
x cht
y sh t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.26 2 / 2
x arctgt
y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.27
2( sin )
4(2 cos )
x t t
y t
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎩
38.28
sin cos
cos sin
x t t t
y t t t
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ = +⎪⎩
38.29
cos sin
sin2
x t t
y t
⎧ = +⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
38.30
lnx t
y arctgt
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
Покажите, что функция y удовлетворяет уравнению (1)
39.1
2 / 2,
2 . (1)
x
x
y xe
y y e
−=
′ + =
39.2
sin / ,
cos . (1)
y x x
xy y x
=
′ + =
39.3
25 /3,
2 . (1)
x x
x
y e e
y y e
−= +
′ + =
39.4
2
2
2 1 ,
(1 ) 2 . (1)
y c x
x y xy x
= + −
′− + =

114
39.5
2
3
1 ,
2 . (1)
y x x
yy x x
= −
′ = −
39.6
/cos ,
0. (1)
y c x
y ytgx
=
′ − =
39.7 2
1/(3 ),
3 . (1)
y x c
y y
= − +
′ =
39.8
ln( ),
. (1)
x
x y
y c e
y e −
= +
′ =
39.9
2
2 2
,
( ) 2 0. (1)
y x cx
x y dx xydy
= −
+ − =
39.10
( ln ),
( ) 0. (1)
y x c x
x y dx xdy
= −
− + =
39.11
( / 2)
,
sin ln . (1)
tg x
y e
y x y y
=
′ =
39.12 2 2
(1 )/(1 ),
(1 )/(1 ). (1)
y x x
y y x
= + −
′ = + +
39.13 2
( )/(1 ),
(1 ). (1)
y b x bx
y xy b x y
= + +
′ ′− = +
39.14
3 22 3 3 ,
(1 2 )/ . (1)
y x x
yy x y
= + −
′ = −
39.15
2
1
ln 1,
2
(1 ) . (1)
x
x x
e
y
e yy e
⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
′+ =
39.16 2
2
2
1,
1 0. (1)
y
x
y xyy
= − −
′+ + =
39.17 2
ln3 ,
(1 ) . (1)
y tg x
y dx xdy
=
+ =
39.18
3
3 2
ln 1,
ln 3 0. (1)
y x x
x y xy y
= − −
′+ − =
39.19
2
7
,
1
(1 ). (1)
x
y a
ax
y xy a x y
= +
+
′ ′− = +
39.20
2 2 2
1,
2 0. (1)
a
y atg
x
a y x ax x y
= −
′+ + − =
39.21
4
3
1,
1
8 . (1)
1
y x x
xy y
y x
= + +
−
′ − =
+
39.22
3
3
3 3
2 1
,
1
2
( 1) (2 1) . (1)
x
y
xx
x
x y x y
x
= +
+
−
′+ + − =
39.23
2
2
2( 1) ,
2 2 . (1)
x
x
y x e
y xy xe
= +
′ − =
39.24
2
2
2 ,
2 . (1)
x x x
x x
y e e
y y xe
+
+
= +
′ − =
39.25 2
cos 3 ,
sin . (1)
y x x x
xy y x x
= − +
′ = +
39.26 3
1/ sin , 2 sin
cos ( cos sin ). (1)
y x x y x
y x y x x x
′= + +
+ = −

115
39.27
2
2
/( 1) ,
( 1) (2 1).(1)
y x x x
x x y y x x
= − +
′− + = −
39.28
/cos ,
sec . (1)
y y x
y ytgx x
=
′ − =
39.29
( 1) ( 1),
(1 ) . (1)
1
n x
x n
y x e
ny
y e x
x
= + −
′ − = +
+
39.30
4 2
2 4
,
. (1)
y x x
xyy y x
= − −
′ − =
Найдите наибольшее и наименьшее значения функций
на заданных отрезках.
40.1 [ ]2 16
16, 1, 4y x
x
= − 40.2 [ ]2
4
4 , 1, 4y x
x
= − −
40.3 [ ]23 2( 2) (8 ) 1, 0, 6y x x= − − − 40.4 [ ]2 , 0, 4y x x= −
40.5 [ ]231 2( 1) ( 7), 1, 5y x x= + − − − 40.6 [ ]4 5, 1, 9y x x= − +
40.7 [ ]
2
2
2( 3)
, 3, 3
2 5
x
y
x x
+
= −
− +
40.8 [ ]2
10
, 0, 3
1
x
y
x
=
+
40.9 [ ]23 2( 1) (5 ) 2, 3, 3y x x= = − − − 40.10 [ ]23 2 ( 3), 1, 6y x x= − −
40.11 [ ]2 108
2 59, 2, 4y x
x
= + − 40.12 [ ]2
4
3 , 1, 2
( 2)
y x
x
= − − −
+
40.13 [ ]
2
2
2( 7 7)
, 1, 4
2 2
x x
y
x x
− + −
=
− +
40.14 [ ]2
4
, 4, 2
4
x
y
x
= −
+
40.15 [ ]4 2 8, 1, 7y x x= − + + − 40.16 [ ]23 2( 2) (5 ), 1, 5y x x= − −
40.17 [ ]
2 8
8, 4, 1
2
x
y
x
= − + + − − 40.18 [ ]2
2 (2 3)
, 2, 1
4 5
x x
y
x x
− +
= −
+ +
40.19 [ ]
2
2
2( 3)
, 5, 1
2 5
x
y
x x
+
= − −
+ +
40.20 [ ]
2 8
2 5, 2, 1
2 2
x
y x
x
= − + + + −
−
40.21 [ ]23 2 ( 6), 2, 4y x x= − − 40.22 [ ]23 2( 1) ( 4), 0, 4y x x= − −
40.23 [ ]2 1 2, 1, 5y x x= − − + 40.24 [ ]23 2( 2) (1 ), 3, 4y x x= + − −
40.25
4 1
8 15, , 2
2
y x
x
⎡ ⎤
= + − ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
40.26 [ ]
2 2 16
13, 2, 5
1
x x
y
x
− +
= −
−

116
40.27 [ ]23 2( 2) ( 4) 3, 4, 2y x x= + − + − 40.28 [ ]23 2( 1) ( 2), 2, 5y x x= + − −
40.29 [ ]2 16
4 9, 1, 2
2
y x x
x
= + + − −
+
40.30 2
4 1
8 15, 2,
2
y x
x
⎡ ⎤
= − − − −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Проведите полное исследование указанных функций и постройте их
графики
41.1
2 2 2
1
x x
y
x
− +
=
−
41.2 2
1
( 1)
x
y
x
+
=
−
41.3 1/( 5)x
y e +
= 41.4 /(9 )y x x= −
41.5
24 4x x
y
x
− −
= 41.6
2
2
4 1
x
y
x
=
−
41.7
ln x
y
x
= 41.8
ln x
y x
x
= +
41.9 2
ln (1 )y x x= − + 41.10
3
2
1
x
y
x x
=
− +
41.11 2
2 lny x x= − 41.12
2
3 / 2x
y x e −
=
41.13
2
2
1
2
x x
y
x x
− −
=
−
41.14
2( 2)
1
x
y
x
−
=
+
41.15
1
ln
1
x
y
x
+
= −
−
41.16 2
ln ( 1)y x= +
41.17 ( ) 3 1
1 x
y x e +
= − 41.18 lny x x=
41.19 ( )
3 21
5
3
y x x= − 41.20
2 3 2
1
x x
y
x
− +
=
+
41.21 2
2 1
( 1)
x
y
x
−
=
−
41.22
5
4
1
x
y
x
=
−
41.23
3
2
4x
y
x
+
= 41.24
2
2
6
1
x
y
x
+
=
+
41.25
3
4
1
x
y
x
=
−
41.26
2 1x
x
e
y
e
+
=

117
41.27 2
2
1
y x
x
= + 41.28
45 3x
y
x
+
=
41.29 2
4 2
1
x
y
x
−
=
−
41.30 2
5
4
x
y
x
=
−
Проведите полное исследование указанных функций и постройте их
графики
42.1
2
2x xy e −= 42.2 2ln( 4)y x x= + −
42.3 ( ) 4 21 xy x e += − 42.4 2lny x x=
42.5
2
2
4 1x
x
e
y
e
−
= 42.6 2
2
( 1)
x
y
x
+
=
+
42.7
2
2 / 2xy x e−= 42.8 1/ xy xe=
42.9
3
2
(1 )
( 2)
x
y
x
−
=
−
42.10
2
2( 2)
x
y
x
=
+
42.11 xy xe= 42.12 2 1/ xy x e=
42.13 ( ) 12 xy x e −= + 42.14 ( ) 21 xy x e= +
42.15
ln x
y
x
= 42.16
2
2
1
x
y
x
⎛ ⎞− ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+
42.17
3
39
x
y
x
=
−
42.18 2
4
4
x
y
x
=
+
42.19
4
3 1
x
y
x
=
−
42.20 2
1
ln 1y
x
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
42.21 ( )2ln 2 6y x x= − + 42.22 3 1xy x e +=
42.23 ( )2ln 1y x x= − + 42.24 31 lny x= −
42.25
2
2( 1)
2
x
y
x
+
=
−
42.26
2
2 2 4
2
x x
y
x
+ +
=
−

118
42.27 2lny x x= − 42.28 2 2lny x x= −
42.29 1/(2 )xy e −= 42.30 ( )2ln 4y x= −
43.1
3
2
4x
y
x
+
= 43.2
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
43.3 2
2
2
y
x
=
+
43.4
2
2
4
3
x
y
x
=
+
43.5 2
12
9
x
y
x
=
+
43.6
2
3 3
1
x x
y
x
− +
=
−
43.7
3
2
4 x
y
x
−
= 43.8
2
4 1
4
x x
y
x
− +
=
−
43.9
3
2
2 1x
y
x
+
= 43.10
2
2
( 1)x
y
x
−
=
43.11
2
2( 1)
x
y
x
=
−
43.12
2
1
1y
x
⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
43.13
2
2
12 3
12
x
y
x
−
=
+
43.14
2
2
9 6 3
2 13
x x
y
x x
+ −
=
− +
43.15 2
8
4
x
y
x
−
=
+
43.16
2
1
1
x
y
x
⎛ ⎞− ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+
43.17
4
3
3 1x
y
x
+
= 43.18 2
4
( 1)
x
y
x
=
+
43.19 2
8( 1)
( 1)
x
y
x
−
=
+
43.20
3
2
1 2x
y
x
−
=
43.21 2
4
2 3
y
x x
=
+ −
43.22 2
4
3 2
y
x x
=
+ −

119
43.23
2
2
2 7
2 3
x x
y
x x
+ −
=
+ −
43.24 4
1
1
y
x
=
−
43.25
2
2
x
y
x
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+
43.26
3
2
32x
y
x
−
=
43.27
2
2
4( 1)
2 4
x
y
x x
+
=
+ +
43.28 3
3 2x
y
x
−
=
43.29
2
2
6 9
( 1)
x x
y
x
− +
=
−
43.30
3
3
27 54x x
y
x
− +
=
44.1 3 2(2 )( 4 1)y x x x= − − + 44.2 3 2( 3)( 6 6)y x x x= − + + +
44.3 3 2( 2)( 4 1)y x x x= + + + 44.4 3 2( 1)( 2 2)y x x x= + + −
44.5 3 2( 1)( 2 2)y x x x= − − − 44.6 3 2( 3)( 6 6)y x x x= − − +
44.7 3 2 2( 4 3)y x x= − + 44.8 3 2 2( 2)y x x= +
44.9 3 2 2( 2)y x x= − 44.10 3 2 2( 2 3)y x x= − −
44.11 3 2 2( 4)y x x= + 44.12 3 2 2( 4)y x x= −
44.13 23 ( 3)y x x= + 44.14 3 2( 1)( 2)y x x= − +
44.15 33 2 2( 1)y x x= − − 44.16 23 ( 6)y x x= +
44.17 3 2( 4)( 2)y x x= − + 44.18 3 32 2( 1) ( 2)y x x= − − −
44.19 3 2( 1)( 2)y x x= + − 44.20 23 ( 3)y x x= −
44.21 3 32 2( 2) ( 3)y x x= − − − 44.22 3 2( 2)( 4)y x x= + −
44.23 23 ( 6)y x x= − 44.24 3 32 2( 1)y x x= − −
44.25 23 ( 3)y x x= − 44.26 23 ( 3)y x x= +

120
44.27 3 32 2( 2) ( 3)y x x= + − + 44.28 23 ( 6)y x x= −
44.29 23 ( 1)y x x= − 44.30 3 32 2( 1) ( 2)y x x= + − +
45.1 sin cosx xy e += 45.2 ( )ln sin cosy x x= +
45.3
sin cos
2
x x
y arctg
+
= 45.4
1
sin cos
y
x x
=
+
45.5 2sin xy e= 45.6 siny arctg x=
45.7 ( )ln 2siny x= 45.8 sin cosx xy e −=
45.9
1
sin cos
y
x x
=
−
45.10
sin cos
2
x x
y arctg
−
=
45.11 ( )ln sin cosy x x= − 45.12 cosy arctg x= −
45.13 2
1
(sin cos )
y
x x
=
−
45.14 2
1
(sin cos )
y
x x
=
+
45.15 2cos xy e−= 45.16 ( )ln 2cosy x= −
45.17 sin cosx xy e− −= 45.18 3 siny x=
45.19
sin cos
2
x x
y
−
= 45.20 3
sin cos
2
x x
y
+
=
45.21 ( )ln 2siny x= − 45.22 ( )ln sin siny x x= − −
45.23 3 cosy x= 45.24 cosy x=
45.25 2cos xy e−= 45.26 cos sinx xy e −=
45.27 ( )ln cos siny x x= − 45.28 siny x=
45.29 2cos xy e= 45.30 ( )ln 2cosy x=

121
Список рекомендуемой литературы
ОСНОВНОЙ СПИСОК
1. Шипачев В. С. Высшая математика. − М.: Высшая школа, 1990.
2. Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Т. I. − М.:
Высшая школа, 1978.
3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для
втузов. Т. I. − М.: Наука, 1978.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК
4. Владимирский Б. М., Горстко А. Б., Ерусалимский Я. М. Математика.
Общий курс. – Санкт – Петербург, «Лань», 2002.
5. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Ч. I, II.
Издательство Харьковского государственного университета, 1971.
6. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. − М.:
Наука, 1975.
7. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Т. I. − М.: Высшая школа, 1970.
8. Шипачев В. С. Сборник задач по высшей математике. − М.: Высшая
школа, 1994.
9. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые
расчеты). – М.: Высшая школа, 1983.
10. 10.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть I.
Под редакцией Рябушко А. П. – Минск, Вышейшая школа, 1990.
11. 11.Высшая математика. Часть I. Учебное пособие. Под редакцией
Арефьева К. П. – Томск, ТПУ, 1998.
12. 12.Высшая математика. Часть I. Руководство к решению задач. Под
редакцией Столяровой Г. П. – Томск, ТПУ, 2001.
121

122
Татьяна Васильевна Тарбокова
Валерий Михайлович Шахматов
Самоучитель решения задач
Производная и её приложения
Учебное пособие
Научный редактор
доктор физико-математических наук,
профессор К. П. Арефьев
Рисунки – В. А. Тарбокова
Отпечатано с оригинала-макета автора
Подписано к печати 13.06.2007. Формат 60х84/16. Бумага «Классика».
Печать RISO. Усл.печ.л. 7,04. Уч. изд.л. 6,36.
Заказ . Тираж 100 экз. Цена свободная.
Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2000
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.

Posobie 3

More Related Content

What's hot (18)

Viewers also liked (7)

Similar to Posobie 3 (20)

Posobie 3