Поведение связки двух тел на упругом тросе в гравитационном поле Земли
0 likes581 views
Документ описывает исследование поведения связки двух тел на упругом тросе в гравитационном поле Земли, с основным акцентом на построение математической модели, определение положений равновесия системы и интегрирование уравнений. Студент Никита Божко, под руководством Владимира Асланова, использует формализм Лагранжа для анализа кинетической и потенциальной энергии, а также для нахождения равновесия в численных моделированиях. В заключении представлены иллюстрации и зависимости различных параметров системы во времени.
Поведение связки двух тел на упругом тросе в гравитационном поле Земли
- 1. Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) Поведение связки двух тел на упругом тросе в гравитационном поле Земли Студент: Божко Никита Романович nikita.host@gmail.com Научный руководитель: Асланов Владимир Степанович aslanov_vs@mail.ru 18 июня 2013 г.
- 2. ЦЕЛИ РАБОТЫ Построить математическую модель. Определить положения равновесия системы. Провести интегрирование уравнений в точках положения равновесия. Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 2 / 28
- 3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Схема системы Рисунок 1 - Схема механической системы Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 3 / 28
- 4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Допущения Будем считать, что движение происходит по круговой орбите, т.е. θ = ωt; (1) где ω = GME r3 1 - определяется высотой орбиты. Допущения: 1 спутник - это диск; 2 трос невесомый упругий стержень; 3 на конце троса точечная масса. Воспользуемся формализмом Лагранжа. За обобщенные координаты примем следующие параметры системы: q1 = α, q2 = l, q3 = β. Уравнения движения: d dt ∂T ∂ ˙qi − ∂T ∂qi = Qi, i = 1, 2, 3. (2) Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 4 / 28
- 5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Схема скоростей Рисунок 2 - Скорости тел Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 5 / 28
- 6. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Построение математической модели. Кинетическая энергия тел Кинетическая энергия системы: T = T1 + T2 (3) где T1, T2 - кинетическая энергия спутника и точки соответственно. Кинетическая энергия первого тела: T1 = 1 2 J1 ( ˙α + ω)2 + 1 2 m1(r1ω)2 , (4) где J1 = mR2 2 - момент инерции диска. Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 6 / 28
- 7. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Построение математической модели. Кинетическая энергия тел Кинетическая энергия точки: T2 = 1 2 m2V 2 2 . (5) Скорость полюса: Vp = V ц.м. 1 + V в.ц.м. 1 . (6) Абсолютная скорость точки: V2 = Vp + V r 2 + V e 2 . (7) Вектор абсолютной скорости груза: V2 = ˙l cos ∆ − ˙∆l sin ∆ − r1ω sin ωt − R(ω + ˙α) sin α ˙l sin ∆ + ˙βl cos ∆ + r1ω cos ωt + R(ω + ˙α) cos α (8) где ∆ = ωt + α + β Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 7 / 28
- 8. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Построение математической модели. Потенциальная энергия тел Потенциальная энергия системы: Π = Π1 + Π2 + Πупр. (9) Потенциальная энергия спутника: Π1 = −G MEm1 r1 . (10) Потенциальная энергия точки: Π2 = −G MEm2 r2 . (11) Потенциальная энергия силы упругости: Πупр = c 2 (l − l0)2 . (12) Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 8 / 28
- 9. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Построение математической модели. Лагранжиан системы Лагранжиан системы: L = T − Π. (13) Тогда систему (2) можно переписать: d dt ∂L ∂ ˙qi − ∂L ∂qi = 0, i = 1, 2, 3. (14) Лагранжиан данной системы: L = 1 2 J1( ˙α + ω) + 1 2 m1(ωr1)2 + 1 2 m2(−r1ω sin ωt − R( ˙α + ω)× × sin(ωt + α) + ˙l cos ∆ − ˙∆l sin ∆)2 + (r1ω cos ωt + R( ˙α + ω)× × cos(α + ωt) + ˙l sin ∆ + ˙Deltal cos ∆)2 ) − G MEm1 r1 − − G MEm2 r2 + c 2 (l − l0)2 . (15) Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 9 / 28
- 10. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Уравнения движения d dt ∂L ∂ ˙α − ∂L ∂α = 0; d dt ∂L ∂ ˙β − ∂L ∂β = 0; d dt ∂L ∂ ˙l − ∂L ∂l = 0. (16) Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 10 / 28
- 11. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ Определение положения равновесия упрощенной системы Условие равновесия: Qi = − ∂Π ∂qi = 0, i = 1, 2, 3. (17) Будем искать положения равновесия для нерастяжимого троса l = l0. Условие равновесия: Rr1 sin α + r1l sin(α + β) = 0; Rl sin β + r1l sin(α + β) = 0. (18) Положения возможного равновесия α = 0, β = 0; α = π, β = 0; α = 0, β = π - отбрасываем. Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 11 / 28
- 12. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ Определение положения равновесия исходной системы Составим условия равновесия для исходной системы: R sin α + l sin(α + β) = 0; R sin β + r1 sin(α + β) = 0; GMEm2l r3 2 (l + Rcosβ + r1 cos(α + β)) − c(l − l0) = 0. (19) Решение этой системы ищется численно. Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 12 / 28
- 13. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = 0, β = 0 m1 = 10 т, m2 = 500 кг, l0 = 1000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м, c = 294, 053 Н/м. Рисунок 9 - Зависимость α от времени Рисунок 10 - Зависимость β от времени Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 13 / 28
- 14. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = 0, β = 0 Рисунок 11 - Зависимость l − l0 от времени Рисунок 12 - Кинетическая, потенциальная и полная энергии Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 14 / 28
- 15. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = 0, β = 0 m1 = 10 т, m2 = 500 кг, l0 = 30000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м, c = 9, 8 Н/м. Рисунок 13 - Зависимость α от времени Рисунок 14 - Зависимость β от времени Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 15 / 28
- 16. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = 0, β = 0 Рисунок 15 - Зависимость l от времени Рисунок 16 - Кинетическая, потенциальная и полная энергии Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 16 / 28
- 17. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = π, β = 0 m1 = 10 т, m2 = 500 кг, l0 = 1000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м, c = 294, 053 Н/м. Рисунок 17 - Зависимость α от времени Рисунок 18 - Зависимость β от времени Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 17 / 28
- 18. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = π, β = 0 Рисунок 19 - Зависимость l от времени Рисунок 20 - Кинетическая, потенциальная и полная энергии Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 18 / 28
- 19. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = π, β = 0 m1 = 10 т, m2 = 500 кг, l0 = 30000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м, c = 9, 8 Н/м. Рисунок 21 - Зависимость α от времени Рисунок 22 - Зависимость β от времени Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 19 / 28
- 20. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = π, β = 0 Рисунок 23 - Зависимость l от времени Рисунок 24 - Кинетическая, потенциальная и полная энергии Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 20 / 28
- 21. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = 0, β = 0, l = 984, 77 m1 = 10 т, m2 = 500 кг, l0 = 1000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м, c = 294, 053 Н/м. Рисунок 25 - Зависимость α от времени Рисунок 26 - Зависимость β от времени Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 21 / 28
- 22. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = π, β = 0, l = 984, 77 Рисунок 27 - Зависимость l от времени Рисунок 28 - Кинетическая, потенциальная и полная энергии Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 22 / 28
- 23. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = 0, β = 0, l = 29547 m1 = 10 т, m2 = 500 кг, l0 = 30000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м, c = 9, 8 Н/м. Рисунок 25 - Зависимость α от времени Рисунок 26 - Зависимость β от времени Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 23 / 28
- 24. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = 0, β = 0, l = 29547 Рисунок 27 - Зависимость l от времени Рисунок 28 - Кинетическая, потенциальная и полная энергии Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 24 / 28
- 25. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = 0, β = 0, l = 996, 954 m1 = 10 т, m2 = 100 кг, l0 = 1000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м, c = 294, 053 Н/м. Рисунок 29 - Зависимость α от времени Рисунок 30 - Зависимость β от времени Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 25 / 28
- 26. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ α = 0, β = 0, l = 996, 954 Рисунок 31 - Зависимость l от времени Рисунок 32 - Кинетическая, потенциальная и полная энергии Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 26 / 28
- 27. Список использованных источников 1 Асланов В.С. Влияние упругости орбитальной тросовой системы на колебания спутника, ПММ, Том 74. Вып. 4, 2010. - с.582-593. 2 Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем М.: Наука, 1990. - 336 с.. Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 27 / 28
- 28. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 28 / 28