Suy diễn thống kê và ngôn ngữ R (4): Phân tích phương sai (ANOVA)

11
Phân tích phương sai
(Analysis of variance)
Phân tích phương sai, như tên gọi, là một số phương pháp phân tích thống kê mà
trọng điểm là phương sai (thay vì số trung bình). Phương pháp phân tích phương sai nằm
trong “đại gia đình” các phương pháp có tên là mô hình tuyến tính (hay general linear
models), bao gồm cả hồi qui tuyến tính mà chúng ta đã gặp trong chương trước. Trong
chương này, chúng ta sẽ làm quen với cách sử dụng R trong phân tích phương sai.
Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một phân tích đơn giản, sau đó sẽ xem đến phân tích phương
sai hai chiều, và các phương pháp phi tham số thông dụng.
11.1 Phân tích phương sai đơn giản (one-way analysis of
variance - ANOVA)
Ví dụ 1. Bảng thống kê 11.1 dưới đây so sánh độ galactose trong 3 nhóm bệnh
nhân: nhóm 1 gồm 9 bệnh nhân với bệnh Crohn; nhóm 2 gồm 11 bệnh nhân với bệnh
viêm ruột kết (colitis); và nhóm 3 gồm 20 đối tượng không có bệnh (gọi là nhóm đối
chứng). Câu hỏi đặt ra là độ galactose giữa 3 nhóm bệnh nhân có khác nhau hay không?
Gọi giá trị trung bình của ba nhóm là µ1, µ2, và µ3, và nói theo ngôn ngữ của kiểm định
giả thiết thì giả thiết đảo là:
Ho: µ1 = µ2 = µ3
Và giả thiết chính là:
HA: có một khác biệt giữa 3 µj (j=1,2,3)
Bảng 11.2. Độ galactose cho 3 nhóm bệnh nhân Crohn, viêm ruột kết
và đối chứng
Nhóm 1: bệnh
Crohn
Nhóm 2: bệnh viêm
ruột kết
Nhóm 3: đối
chứng (control)
1343
1393
1420
1641
1897
2160
2169
2279
2890
1264
1314
1399
1605
2385
2511
2514
2767
2827
2895
1809 2850
1926 2964
2283 2973
2384 3171
2447 3257
2479 3271
2495 3288
2525 3358
2541 3643
2769 3657

3011
n=9
Trung bình: 1910
SD: 516
n=11
Trung bình: 2226
SD: 727
n=20
Trung bình: 2804
SD: 527
Chú thích: SD là độ lệch chuẩn (standard deviation).
Thoạt đầu có lẽ bạn đọc, sau khi đã học qua phương pháp so sánh hai nhóm bằng
kiểm định t, sẽ nghĩ rằng chúng ta cần làm 3 so sánh bằng kiểm định t: giữa nhóm 1 và 2,
nhóm 2 và 3, và nhóm 1 và 3. Nhưng phương pháp này không hợp lí, vì có ba phương
sai khác nhau. Phương pháp thích hợp cho so sánh là phân tích phương sai. Phân tích
phương sai có thể ứng dụng để so sánh nhiều nhóm cùng một lúc (simultaneous
comparisons).
11.1.1 Mô hình phân tích phương sai
Để minh họa cho phương pháp phân tích phương sai, chúng ta phải dùng kí hiệu.
Gọi độ galactose của bệnh nhân i thuộc nhóm j (j = 1, 2, 3) là xij. Mô hình phân tích
phương sai phát biểu rằng:
ij i ijx µ α ε= + + [1]
Hay cụ thể hơn:
xi1 = µ + α1 + εi1
xi2 = µ + α2 + εi2
xi3 = µ + α3 + εi3
Tức là, giá trị galactose củ bất cứ bệnh nhân nào bằng giá trị trung bình của toàn
quần thể (µ) cộng/trừ cho ảnh hưởng của nhóm j được đo bằng hệ số ảnh hưởng iα , và sai
số ijε . Một giả định khác là ijε phải tuân theo luật phân phối chuẩn với trung bình 0 và
phương sai σ2
. Hai thông số cần ước tính là µ và iα . Cũng như phân tích hồi qui tuyến
tính, hai thông số này được ước tính bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất; tức là tìm
ước số ˆµ và ˆ jα sao cho ( )
2
ˆˆij jx µ α− −∑ nhỏ nhất.
Quay lại với số liệu nghiên cứu trên, chúng ta có những tóm tắt thống kê như sau:
Nhóm Số đối
tượng (nj)
Trung bình Phương sai
1 – Crohn n1 = 9 1x = 1910 2
1s = 265944
2 – Viêm ruột kết n2 = 11 2x = 2226 2
2s = 473387
3 – Đối chứng n3 = 20 3x = 2804 2
3s = 277500
Toàn bô mẫu n = 40 x = 2444

Chú ý rằng: ( ) ( )ij j ij jx x x x x x= + − + − [2]
Trong đó, x là số trung bình của toàn mẫu, và jx là số trung bình của nhóm j. Nói cách
khác, phần ( )jx x− phản ánh độ khác biệt (hay cũng có thể gọi là hiệu số) giữa trung
bình trừng nhóm và trung bình toàn mẫu, và phần ( )ij jx x− phản ánh hiệu số giữa một
galactose của một đối tượng và số trung bình của từng nhóm. Theo đó,
• tổng bình phương cho toàn bộ mẫu là:
( )
2
ij
i j
SST x x= −∑∑
= (1343–2444)2
+ (1393–2444)2
+ (1343 – 2444)2
+ … + (3657– 2444)2
= 12133923
• tổng bình phương vì khác nhau giữa các nhóm:
( )
2
i
i j
SSB x x= −∑∑ = ( )
2
j j
j
n x x−∑
= 9(1910 – 2444)2
+ 11(2226 – 2444)2
+ 20(2804 – 2444)2
= 5681168
• tổng bình phương vì dao động trong mỗi nhóm:
( )
2
ij j
i j
SSW x x= −∑∑ = ( ) 2
1j j
j
n s−∑
= (9-1)(265944) + (11-1)(473387) + (20-1)(277500)
= 12133922
Có thể chứng minh dễ dàng rằng: SST = SSB + SSW.
SSW được tính từ mỗi bệnh nhân cho 3 nhóm, cho nên trung bình bình phương cho từng
nhóm (mean square – MSW) là:
MSW = SSW / (N – k) = 12133922 / (40-3) = 327944
và trung bình bình phương giữa các nhóm là:
MSB = SSB / (k– 1) = 5681168 / (3-1) = 2841810
Trong đó N là tổng số bệnh nhân (N = 40) của ba nhóm, và k = 3 là số nhóm bệnh nhân.
Nếu có sự khác biệt giữa các nhóm, thì chúng ta kì vọng rằng MSB sẽ lớn hơn MSW.
Thành ra, để kiểm tra giả thiết, chúng ta có thể dựa vào kiểm định F:
F = MSB / MSW = 8.67 [3]

Với bậc tự do k-1 và N-k. Các số liệu tính toán trên đây có thể trình bày trong một bảng
phân tích phương sai (ANOVA table) như sau:
Nguồn biến thiên (source
of variation)
Bậc tự do
(degrees of
freedom)
Tổng bình
phương
(sum of
squares)
Trung bình
bình phương
(mean
square)
Kiểm định
F
Khác biệt giữa các nhóm
(between-group)
2 5681168 2841810 8.6655
Khác biệt trong từng
nhóm (with-group)
37 12133923 327944
Tổng số 39 12133923
11.1.2 Phân tích phương sai đơn giản với R
Tất cả các tính toán trên tương đối rườm rà, và tốn khá nhiều thời gian. Tuy nhiên với R,
các tính toán đó có thể làm trong vòng 1 giây, sau khi dữ liệu đã được chuẩn bị đúng
cách.
(a) Nhập dữ liệu. Trước hết, chúng ta cần phải nhập dữ liệu vào R. Bước thứ nhất là
báo cho R biết rằng chúng ta có ba nhóm bệnh nhân (1, 2 vả ), nhóm 1 gồm 9 người,
nhóm 2 có 11 người, và nhóm 3 có 20 người:
> group <- c(1,1,1,1,1,1,1,1,1, 2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,
3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3)
Để phân tích phương sai, chúng ta phải định nghĩa biến group là một yếu tố - factor.
> group <- as.factor(group)
Bước kế tiếp, chúng ta nạp số liệu galactose cho từng nhóm như định nghĩa trên (gọi
object là galactose):
> galactose <- c(1343,1393,1420,1641,1897,2160,2169,2279,2890,
1264,1314,1399,1605,2385,2511,2514,2767,2827,2895,3011,
1809,2850,1926,2964,2283,2973,2384,3171,2447,3257,2479,3271,2495,3288,
2525,3358,2541,3643,2769,3657)
Đưa hai biến group và galactose vào một dataframe và gọi là data:
> data <- data.frame(group, galactose)
> attach(data)
Sau khi đã có dử liệu sẵn sàng, chúng ta dùng hàm lm() để phân tích phương sai như
sau:
> analysis <- lm(galactose ~ group)

Trong hàm trên chúng ta cho R biết biến galactose là một hàm số của group. Gọi
kết quả phân tích là analysis.
(b) Kết quả phân tích phương sai. Bây giờ chúng ta dùng lệnh anova để biết kết quả
phân tích:
> anova(analysis)
Analysis of Variance Table
Response: galactose
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
group 2 5683620 2841810 8.6655 0.0008191 ***
Residuals 37 12133923 327944
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Trong kết quả trên, có ba cột: Df (degrees of freedom) là bậc tự do; Sum Sq là tổng bình
phương (sum of squares), Mean Sq là trung bình bình phương (mean square); F
value là giá trị F như định nghĩa [3] vừa đề cập phần trên; và Pr(>F) là trị số P liên
quan đến kiểm định F.
Dòng group trong kết quả trên có nghĩa là bình phương giữa các nhóm (between-
groups) và residual là bình phương trong mỗi nhóm (within-group). Ở đây, chúng
ta có:
SSB = 5683620 và MSB = 2841810
và:
MSB = 2841810 và MSB = 327944
Thành ra, F = 2841810 / 327944 = 8.6655.
Trị số p = 0.00082 có nghĩa là tín hiệu cho thấy có sự khác biệt về độ galactose giữa ba
nhóm.
(c) Ước số. Để biết thêm chi tiết kết quả phân tích, chúng ta dùng lệnh summary như
sau:
> summary(analysis)
Call:
lm(formula = galactose ~ group)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-995.5 -437.9 102.0 456.0 979.8
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1910.2 190.9 10.007 4.5e-12 ***
group2 316.3 257.4 1.229 0.226850
group3 894.3 229.9 3.891 0.000402 ***

---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 572.7 on 37 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.319, Adjusted R-squared: 0.2822
F-statistic: 8.666 on 2 and 37 DF, p-value: 0.0008191
Theo kết quả trên đây, intercept chính là ˆµ trong mô hình [1]. Nói cách khác, ˆµ =
1910 và sai số chuẩn là 190.9.
Để ước tính thông số ˆ jα , R đặt 1
ˆα =0, và 2 2 1
ˆ ˆ ˆα α α= − = 316.3, với sai số chuẩn là 257,
và kiểm định t = 316.3 / 257 = 1.229 với trị số p = 0.2268. Nói cách khác, so với nhóm 1
(bệnh nhân Crohn), bệnh nhân viêm ruột kết có độ galactose trung bình cao hơn 257,
nhưng độ khác biệt này không có ý nghĩa thống kê.
Tương tự, 3 3 1
ˆ ˆ ˆα α α= − = 894.3, với sai số chuẩn là 229.9, kiểm định t =
894.3/229.9=3.89, và trị số p = 0.00040. So với bệnh nhân Crohn, nhóm đối chứng có độ
galactose cao hơn 894, và mức độ khác biệt này có ý nghĩa thống kê.
11.2 So sánh nhiều nhóm (multiple comparisons) và điều
chỉnh trị số p
Cho k nhóm, chúng ta có ít nhất là k(k-1)/2 so sánh. Ví dụ trên có 3 nhóm, cho
nên tổng số so sánh khả dĩ là 3 (giữa nhóm 1 và 2, nhóm 1 và 3, và nhóm 2 và 3). Khi
k=10, số lần so sánh có thể lên rất cao. Như đã đề cập trong chương 7, khi có nhiều so
sánh, trị số p tính toán từ các kiểm định thống kê không còn ý nghĩa ban đầu nữa, bởi vì
các kiểm định này có thể cho ra kết quả dương tính giả (tức kết quả với p<0.05 nhưng
trong thực tế không có khác nhau hay ảnh hưởng). Do đó, trong trường hợp có nhiều so
sánh, chúng ta cần phải điều chỉnh trị số p sao cho hợp lí.
Có khá nhiều phương pháp điều chỉnh trị số p, và 4 phương pháp thông dụng nhất
là: Bonferroni, Scheffé, Holm và Tukey (tên của 4 nhà thống kê học danh tiếng).
Phương pháp nào thích hợp nhất? Không có câu trả lời dứt khoát cho câu hỏi này, nhưng
hai điểm sau đây có thể giúp bạn đọc quyết định tốt hơn:
(a) Nếu k < 10, chúng ta có thể áp dụng bất cứ phương pháp nào để điều
chỉnh trị số p. Riêng cá nhân tôi thì thấy phương pháp Tukey thường
rất hữu ích trong so sánh.
(b) Nếu k>10, phương pháp Bonferroni có thể trở nên rất “bảo thủ”. Bảo
thủ ở đây có nghĩa là phương pháp này rất ít khi nào tuyên bố một so
sánh có ý nghĩa thống kê, dù trong thực tế là có thật! Trong trường
hợp này, hai phương pháp Tukey, Holm và Scheffé có thể áp dụng.

Ở đây, tôi sẽ không giải thích lí thuyết đằng sau các phương pháp này (vì bạn đọc
có thể tham khảo trong các sách giáo khoa về thống kê), nhưng sẽ chỉ cách sử dụng R để
tiến hành các so sánh theo phương pháp của Tukey.
Quay lại ví dụ trên, các trị số p trên đây là những trị số chưa được điều chỉnh cho
so sánh nhiều lần. Trong chương về trị số p, tôi đã nói các trị số này phóng đại ý nghĩa
thống kê, không phản ánh trị số p lúc ban đầu (tức 0.05). Để điều chỉnh cho nhiều so
sánh, chúng ta phải sử dụng đến phương pháp điều chỉnh Bonferroni.
Chúng ta có thể dùng lệnh pairwise.t.test để có được tất cả các trị số p so
sánh giữa ba nhóm như sau:
> pairwise.t.test(galactose, group, p.adj="bonferroni")
Pairwise comparisons using t tests with pooled SD
data: galactose and group
1 2
2 0.6805 -
3 0.0012 0.0321
P value adjustment method: bonferroni
Kết quả trên cho thấy trị số p giữa nhóm 1 (Crohn) và viêm ruột kết là 0.6805 (tức không
có ý nghĩa thống kê); giữa nhóm Crohn và đối chứng là 0.0012 (có ý nghĩa thống kê), và
giữa nhóm viêm ruột kết và đối chứng là 0.0321 (tức cũng có ý nghĩa thống kê).
Một phương pháp điều chỉnh trị số p khác có tên là phương pháp Holm:
> pairwise.t.test(galactose, group)
Pairwise comparisons using t tests with pooled SD
1 2
2 0.2268 -
3 0.0012 0.0214
P value adjustment method: holm
Kết quả này cũng không khác so với phương pháp Bonferroni.
Tất cả các phương pháp so sánh trên sử dụng một sai số chuẩn chung cho cả ba nhóm.
Nếu chúng ta muốn sử dụng cho từng nhóm thì lệnh sau đây (pool.sd=F) sẽ đáp ứng
yêu cầu đó:
> pairwise.t.test(galactose, group, pool.sd=FALSE)
Pairwise comparisons using t tests with non-pooled SD

1 2
2 0.2557 -
3 0.0017 0.0544
P value adjustment method: holm
Một lần nữa, kết quả này cũng không làm thay đổi kết luận.
11.2.1 So sánh nhiều nhóm bằng phương pháp Tukey
Trong các phương pháp trên, chúng ta chỉ biết trị số p so sánh giữa các nhóm,
nhưng không biết mức độ khác biệt cũng như khoảng tin cậy 95% giữa các nhóm. Để có
những ước số này, chúng ta cần đến một hàm khác có tên là aov (viết tắt từ analysis of
variance) và hàm TukeyHSD (HSD là viết tắt từ Honest Significant Difference, tạm dịch
nôm na là “Khác biệt có ý nghĩa thành thật”) như sau:
> res <- aov(galactose ~ group)
> TukeyHSD (res)
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = galactose ~ group)
$group
diff lwr upr p adj
2-1 316.3232 -312.09857 944.745 0.4439821
3-1 894.2778 333.07916 1455.476 0.0011445
3-2 577.9545 53.11886 1102.790 0.0281768
Kết quả trên cho chúng ta thấy nhóm 3 và 1 khác nhau khoảng 894 đơn vị, và khoảng tin
cậy 95% từ 333 đến 1455 đơn vị. Tương tự, galactose trong nhóm bệnh nhân viêm ruột
kết thấp hơn nhóm đối chứng (nhóm 3) khoảng 578 đơn vị, và khoảng tin cậy 95% từ 53
đến 1103.

0 500 1000 1500
3-23-12-1
Differences in mean levels of group
Biểu đồ 11.1. Trung bình hiệu và khoảng tin cậy
95% giữa nhóm 1 và 2, 1 và 3, và 3 và 2. Trục
hoành là độ galactose, trục tung là ba so sánh.
11.2.2 Phân tích bằng biểu đồ
Một phân tích thống kê không thể nào hoàn tất nếu không có một đồ thị minh họa
cho kết quả. Các lệnh sau đây vẽ đồ thị thể hiện độ galactose trung bình và sai số chuẩn
cho từng nhóm bệnh nhân. Biểu đồ này cho thấy, nhóm bệnh nhân Crohn có độ
galactose thấp nhất (nhưng không thấp hơn nhóm viêm ruột kết), và cả hai nhóm thấp
hơn nhóm đối chứng và sứ khác biệt này có ý nghĩa thống kê.
> xbar <- tapply(galactose, group, mean)
> s <- tapply(galactose, group, sd)
> n <- tapply(galactose, group, length)
> sem <- s/sqrt(n)
> stripchart(galactose ~ group, “jitter”, jit=0.05, pch=16, vert=TRUE)
> arrows(1:3, xbar+sem, 1:3, xbar-sem, angle=90, code=3, length=0.1)
> lines(1:3, xbar, pch=4, type=”b”, cex=2)

1 2 3
15002000250030003500
Biểu đồ 11.2. Độ galactose của nhóm 1 (bệnh nhân Crohn),
nhóm 2 (bệnh nhân viêm ruột kết), và nhóm 3 (đối chứng).
11.3 Phân tích bằng phương pháp phi tham số
Phương pháp so sánh nhiều nhóm phi tham số (non-parametric statistics) tương
đương với phương pháp phân tích phương sai là Kruskal-Wallis. Cũng như phương pháp
Wilcoxon so sánh hai nhóm theo phương pháp phi tham số, phương pháp Kruskal-Wallis
cũng biến đổi số liệu thành thứ bậc (ranks) và phân tích độ khác biệt thứ bậc này giữa các
nhóm. Hàm kruskal.test trong R có thể giúp chúng ta trong kiểm định này:
> kruskal.test(galactose ~ group)
Kruskal-Wallis rank sum test
data: galactose by group
Kruskal-Wallis chi-squared = 12.1381, df = 2, p-value = 0.002313
Trị số p từ kiểm định này khá thấp (p = 0.002313) cho thấy có sự khác biệt giữa
ba nhóm như phân tích phương sai qua hàm lm trên đây. Tuy nhiên, một bất tiện của
kiểm định phi tham số Kruskal-Wallis là phương pháp này không cho chúng ta biết hai
nhóm nào khác nhau, mà chỉ cho một trị số p chung. Trong nhiều trường hợp, phân tích

phi tham số như kiểm định Kruskal-Wallis thường không có hiệu quả như các phương
pháp thống kê tham số (parametric statistics).
11.4 Phân tích phương sai hai chiều (two-way analysis of
variance - ANOVA)
Phân tích phương sai đơn giản hay một chiều chỉ có một yếu tố (factor). Nhưng
phân tích phương sai hai chiều (two-way ANOVA), như tên gọi, có hai yếu tố. Phương
pháp phân tích phương sai hai chiều chỉ đơn giản khai triển từ phương pháp phân tích
phương sai đơn giản. Thay vì ước tính phương sai của một yếu tố, phương pháp phân sai
hai chiều ước tính phương sai của hai yếu tố.
Ví dụ 2. Trong ví dụ sau đây, để đánh giá hiệu quả của một kĩ thuật sơn mới, các
nhà nghiên cứu áp dụng sơn trên 3 loại vật liệu (1, 2 vả 3) trong hai điều kiện (1, 2).
Mỗi điều kiện và loại vật liệu, nghiên cứu được lặp lại 3 lần. Độ bền được đo là chỉ số
bền bĩ (tạm gọi là score). Tổng cộng, có 18 số liệu như sau:
Bảng 11.2. Độ bền bĩ của sơn cho 2 điều kiện và 3 vật liệu
Vật liệu (j)Điều kiện
(i) 1 2 3
1 4.1, 3.9, 4.3 3.1, 2.8, 3.3 3.5, 3.2, 3.6
2 2.7, 3.1, 2.6 1.9, 2.2, 2.3 2.7, 2.3, 2.5
Số liệu này có thể tóm lược bằng số trung bình cho từng điều kiện và vật liệu trong bảng
thống kê sau đây:
Bảng 11.3. Tóm lược số liệu từ thí nghiệm độ bền bĩ của nước sơn
Vật liệu (j)Điều kiện (i)
1 2 3
Trung bình
cho 3 vật
liệu
Trung bình
1 4.10 3.07 3.43 3.533
2 2.80 2.13 2.50 2.478
Trung bình 2
nhóm
3.450 2.600 2.967 3.00
Phương sai
1 0.040 0.063 0.043
2 0.070 0.043 0.040

Những tính toán sơ khởi trên đây cho thấy có thể có sự khác nhau (hay ảnh hưởng) của
điều kiện và vật liệu thí nghiệm.
Gọi xij là score của điều kiện i (i = 1, 2) cho vật liệu j (j = 1, 2, 3). (Để đơn giản hóa
vấn đề, chúng ta tạm thời bỏ qua k đối tượng). Mô hình phân tích phương sai hai chiều
phát biểu rằng:
ij i j ijx µ α β ε= + + + [4]
Hay cụ thể hơn:
x11 = µ + α1 + β1 + ε11
x12 = µ + α1 + β2 + ε12
x13 = µ + α1 + β3 + ε11
x21 = µ + α2 + β1 + ε21
x22 = µ + α2 + β2 + ε22
x23 = µ + α2 + β3 + ε21
µ là số trung bình cho toàn quần thể, các hệ số αi (ảnh hưởng của điều kiện i)và βj (ảnh
hưởng của vật liệu j) cần phải ước tính từ số liệu thực tế. εij được giả định tuân theo luật
phân phối chuẩn với trung bình 0 và phương sai σ2
.
Trong phân tích phương sai hai chiều, chúng ta cần chia tổng bình phương ra thành 3
nguồn:
• nguồn thứ nhất là tổng bình phương do biến đổi giữa 2 điều kiện:
( )
2
i i
i
SSc n x x= −∑
= 9(3.533 – 3.00)2
+ 9(2.478 – 3.00)2
= 5.01
• nguồn thứ hai là tổng bình phương do biến đổi giữa 3 vật liệu:
( )
2
j j
j
SSm n x x= −∑
= 6(3.45 – 3.00)2
+ 6(2.60 – 3.00)2
+ 6(2.967 – 3.00)2
= 2.18
• nguồn thứ ba là tổng bình phương phần dư (residual sum of squares):

( ) ( )
2 2
1ij i j ij ij
i j
SSe x x x x n s= − − + = −∑∑ ∑
= 2(0.040) + 2(0.063) + 2(0.043) + 2(0.070) + 2(0.043) + 2(0.040)
= 0.73
Trong các phương trình trên, n = 3 (lặp lại 3 lần cho mỗi điều kiện và vật liệu), m = 3
vật liệu, x là số trung bình cho toàn mẫu, ix là số trung bình cho từng điều kiện, jx là số
trung bình cho từng vật liệu. Vì SSc có m-1 bậc tự do, SSm có (n -1) bậc tự do, và SSe có
N–nm+2 bậc tự do, trong đó N là tổng số mẫu (tức 18). Do đó, các trung bình bình
phương
• giữa hai điều kiện: MSc = SSc / (m-1) = 5.01 / 1 = 5.01
• giữa ba vật liệu: MSm = SSc / (n-1) = 2.18 /2 = 1.09
• phần dư: MSe = SSe / (N-nm+2) = 0.73 / 14 = 0.052
Do đó, so sánh độ khác biệt giữa hai điều kiện dựa vào kiểm định F = MSc/Mse với bậc
tự do 1 và 14. Tương tự, so sánh độ khác biệt giữa ba vật liệu có thể dựa vào kiểm định
F = MSm/Mse với bậc tự do 2 và 14. Các phân tích trên có thể trình bày trong một bảng
phân tích phương sai như sau:
Nguồn biến thiên (source
of variation)
Bậc tự do
(degrees of
freedom)
Tổng bình
phương
(sum of
squares)
Trung bình
bình phương
(mean
square)
Kiểm định
F
Khác biệt giữa 2 điều kiện 1 5.01 5.01 95.6
Khác biệt giữa 3 vật liệu 2 2.18 1.09 20.8
Phần dư (residual) 14 0.73 0.052
Tổng số 17 7.92
11.4.1 Phân tích phương sai hai chiều với R
(a) Bước đầu tiên là nhập số liệu từ bảng 11.2 vào R. Chúng ta cần phải tổ chức dữ
liệu sao cho có 4 biến như sau:
Condition Material Đối tượng Score
(điều kiện) (vật liệu)
1 1 1 4.1
1 1 2 3.9
1 1 3 4.3
1 2 4 3.1
1 2 5 2.8
1 2 6 3.3
1 3 7 3.5
1 3 8 3.2

1 3 9 3.6
2 1 10 2.7
2 1 11 3.1
2 1 12 2.6
2 2 13 1.9
2 2 14 2.2
2 2 15 2.3
2 3 16 2.7
2 3 17 2.3
2 3 18 2.5
Chúng ta có thể tạo ra một dãy số bằng cách sử dụng hàm gl (generating levels). Cách
sử dụng hàm này có thể minh họa như sau:
> gl(9, 1, 18)
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Levels: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Trong lệnh trên, chúng ta tạo ra một dãy số 1,2,3, … 9 hai lần (với tổng số 18 số). Mỗi
một lần là một nhóm. Trong khi lệnh:
> gl(4, 9, 36)
[1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Levels: 1 2 3 4
Trong lệnh trên, chúng ta tạo ra một dãy số với 4 bậc (1,2,3, 4) 9 lần (với tổng số 36 số).
Do đó, để tạo ra các bậc cho điều kiện và vật liệu, chúng ta lệnh như sau:
> condition <- gl(2, 9, 18)
> material <- gl(3, 3, 18)
Và tạo nên 18 mã số (tứ 1 đến 18):
> id <- 1:18
Sau cùng là số liệu cho score:
> score <- c(4.1,3.9,4.3, 3.1,2.8,3.3, 3.5,3.2,3.6,
2.7,3.1,2.6, 1.9,2.2,2.3, 2.7,2.3,2.5)
Tất cả cho vào một dataframe tên là data:
> data <- data.frame(condition, material, id, score)
> attach(data)
(b) Phân tích và kết quả sơ khởi. Bây giờ số liệu đã sẵn sàng cho phân tích. Để
phân tích phương sai hai chiều, chúng ta vẫn sử dụng lệnh lm với các thông số như
sau:
> twoway <- lm(score ~ condition + material)
> anova(twoway)

Response: score
condition 1 5.0139 5.0139 95.575 1.235e-07 ***
material 2 2.1811 1.0906 20.788 6.437e-05 ***
Residuals 14 0.7344 0.0525
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Ba nguồn dao động (variation) của score được phân tích trong bảng trên. Qua
trung bình bình phương (mean square), chúng ta thấy ảnh hưởng của điều kiện có vẻ quan
trọng hơn là ảnh hưởng của vật liệu thí nghiệm. Tuy nhiên, cả hai ảnh hưởng đều có ý
nghĩa thống kê, vì trị số p rất thấp cho hai yếu tố.
(c) Ước số. Chúng ta yêu cầu R tóm lược các ước số phân tích bằng lệnh summary:
> summary(twoway)
Call:
lm(formula = score ~ condition + material)
Residuals:
-0.32778 -0.16389 0.03333 0.16111 0.32222
Coefficients:
(Intercept) 3.9778 0.1080 36.841 2.43e-15 ***
condition2 -1.0556 0.1080 -9.776 1.24e-07 ***
material2 -0.8500 0.1322 -6.428 1.58e-05 ***
material3 -0.4833 0.1322 -3.655 0.0026 **
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
F-statistic: 45.72 on 3 and 14 DF, p-value: 1.761e-07
Kết quả trên cho thấy so với điều kiện 1, điều kiện 2 có score thấp hơn khoảng
1.056 và sai số chuẩn là 0.108, với trị số p = 1.24e-07, tức có ý nghĩa thống kê. Ngoài ra,
so với vật liệu 1, score cho vật liệu 2 và 3 cũng thấp hơn đáng kể với độ thấp nhất ghi
nhận ở vật liệu 2, và ảnh hưởng của vật liệu thí nghiệm cũng có ý nghĩa thống kê.
Giá trị có tên là “Residual standard error” được ước tính từ trung bình bình
phương phần dư trong phần (a), tức là 0.0525 = 0.229, tức là ước số của ˆσ .
Hệ số xác định bội (R2
) cho biết hai yếu tố điều kiện và vật liệu giải thích khoảng
91% độ dao động của toàn bộ mẫu. Hệ số này được tính từ tổng bình phương trong kết
quả phần (a) như sau:

2 5.0139 2.1811
0.9074
5.0139 2.1811 0.7344
R
+
= =
+ +
Và sau cùng, hệ số R2
điều chỉnh phản ánh độ “cải tiến” của mô hình. Để hiểu hệ
số này tốt hơn, chúng ta thấy phương sai của toàn bộ mẫu là s2
= (5.0139 + 2.1811 +
0.7344) / 17 = 0.4644. Sau khi điều chỉnh cho ảnh hưởng của điều kiện và vật liệu,
phương sai này còn 0.0525 (tức là residual mean square). Như vậy hai yếu tố này làm
giảm phương sai khoảng 0.4644 – 0.0525 = 0.4119. Và hệ số R2
điều chỉnh là:
Adj R2
= 0.4119 / 0.4644 = 0.88
Tức là sau khi điều chỉnh cho hai yếu tố điều kiện và vật liệu phương sai của score giảm
khoảng 88%.
(d) Hiệu ứng tương tác (interaction effects)
Để cho phân tích hoàn tất, chúng ta còn phải xem xét đến khả năng ảnh hưởng
của hai yếu tố này có thể tương tác nhau (interactive effects). Tức là mô hình score trở
thành:
( )ij i j i j ijij
x µ α β α β ε= + + + +
Chú ý phương trình trên có phần ( )i j ij
α β phản ánh sự tương tác giữa hai yếu tố. Và
chúng ta chỉ đơn giản lệnh R như sau:
> anova(twoway <- lm(score ~ condition+ material+condition*material))
Response: score
condition 1 5.0139 5.0139 100.2778 3.528e-07 ***
material 2 2.1811 1.0906 21.8111 0.0001008 ***
condition:material 2 0.1344 0.0672 1.3444 0.2972719
Residuals 12 0.6000 0.0500
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Kết quả phân tích trên (p = 0.297 cho ảnh hưởng tương tác). Chúng ta có bằng chứng để
kết luận rằng ảnh hưởng tương tác giữa vật liệu và điều kiện không có ý nghĩa thống kê,
và chúng ta chấp nhận mô hình [4], tức không có tương tác.
(e) So sánh giữa các nhóm. Chúng ta sẽ ước tính độ khác biệt giữa hai điều kiện và ba
vật liệu bằng hàm TukeyHSD với aov:
> res <- aov(score ~ condition+ material+condition)
> TukeyHSD(res)

Fit: aov(formula = score ~ condition + material + condition)
$condition
diff lwr upr p adj
2-1 -1.055556 -1.287131 -0.8239797 1e-07
$material
diff lwr upr p adj
2-1 -0.8500000 -1.19610279 -0.5038972 0.0000442
3-1 -0.4833333 -0.82943612 -0.1372305 0.0068648
3-2 0.3666667 0.02056388 0.7127695 0.0374069
Biểu đồ sau đây sẽ minh hoạ cho các kết quả trên:
> plot(TukeyHSD(res), ordered=TRUE)
There were 16 warnings (use warnings() to see them)
-1.0 -0.5 0.0 0.5
3-23-12-1
Differences in mean levels of material
Biểu đồ 11.3. So sánh giữa 3 loại vật liệu
bằng phương pháp Tukey.
(f) Biểu đồ. Để xem qua độ ảnh hưởng của hai yếu tố điều kiện và vật liệu, chúng ta cần
phải có một đồ thị, mà trong phân tích phương sai gọi là đồ thị tương tác. Hàm
interaction.plot cung cấp phương tiện đề vẽ biều đồ này:
> interaction.plot(score, condition, material)

2.53.03.54.0
material
meanofscore
1 2 3
condition
1
2
Biểu đồ 11.4. Trung bình score cho từng điều kiện 1 (đường
đứt đoạn) và điều kiện 2 cho 3 loại vật liệu.
11.5 Phân tích hiệp biến (analysis of covariance - ANCOVA)
Phân tích hiệp biến (sẽ viết tắt là ANCOVA) là phương pháp phân tích sử dụng cả
hai mô hình hồi qui tuyến tính và phân tích phương sai. Trong phân tích hồi qui tuyến
tính, cả hai biến phụ thuộc (dependent variable, cũng có thề gọi là “biến ứng” – response
variable) và biến độc lập (independent variable hay predictor variable) phần lớn là ở dạng
liên tục (continuous variable), như độ cholesterol và độ tuổi chẳng hạn. Trong phân tích
phương sai, biến phụ thuộc là biến liên tục, còn biến độc lập thì ở dạng thứ bậc và thể
loại (categorical variable), như độ galactose và nhóm bệnh nhân trong ví dụ 1 chẳng hạn.
Trong phân tích hiệp biến, biến phụ thuộc là liên tục, nhưng biến độc lập có thể là liên
tục và thể loại.
Ví dụ 3. Trong nghiên cứu mà kết qủa được trình bày dưới đây, các nhà nghiên
cứu đo chiều cao và độ tuổi của 18 học sinh thuộc vùng thành thị (urban) và 14 học trò
thuộc vùng nông thôn (rural).
Bảng 11.4. Chiều cao của học trò vùng thành thị và nông
thôn
Area ID Age (months) Height
(cm)
urban 1 109 137.6
urban 2 113 147.8
urban 3 115 136.8
urban 4 116 140.7

Câu hỏi đặt ra là có sự
khác biệt nào về chiều cao giữa
trẻ em ở thành thị và nông thôn
hay không. Nói cách khác, môi
trường cư trú có ảnh hưởng đến
chiều cao hay không, và nếu có
thì mức độ ảnh hưởng là bao
nhiêu?
Một yếu tố có ảnh hưởng
lớn đến chiều cao là độ tuổi.
Trong độ tuổi trưởng thành,
chiều cao tăng theo độ tuổi. Do
đó, so sánh chiều cao giữa hai
nhóm chỉ có thể khách quan nếu
độ tuổi giữa hai nhóm phải tương
đương nhau. Để đảm bảo tính
khách quan của so sánh, chúng ta
cần phải phân tích số liệu bằng
mô hình hiệp biến.
Việc đầu tiên là chúng ta
phải nhập số liệu vào R với
những lệnh sau đây:
> # tạo ra dãy số id
> id <- c(1:18, 1:14)
> # group 1=urban 2=rural và cần phải xác định group là một “factor”
> group <- c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2)
> group <- as.factor(group)
> # nhập dữ liệu
> age <- c(109,113,115,116,119,120,121,124,126,129,130,133,134,135,
137,139,141,142,
121,121,128,129,131,132,133,134,138,138,138,140,140,140)
> height <- c(137.6,147.8,136.8,140.7,132.7,145.4,135.0,133.0,148.5,
148.3,147.5,148.8,133.2,148.7,152.0,150.6,165.3,149.9,
139.0,140.9,134.9,149.5,148.7,131.0,142.3,139.9,142.9,
147.7,147.7,134.6,135.8,148.5)
> # tạo một data frame
> data <- data.frame(id, group, age, height)
> attach(data)
Chúng ta thử xem qua vài chỉ số thống kê mô tả bằng cách ước tính độ tuổi và
chiều cao trung bình cho từng nhóm học sinh:
urban 5 119 132.7
urban 6 120 145.4
urban 7 121 135.0
urban 8 124 133.0
urban 9 126 148.5
urban 10 129 148.3
urban 11 130 147.5
urban 12 133 148.8
urban 13 134 133.2
urban 14 135 148.7
urban 15 137 152.0
urban 16 139 150.6
urban 17 141 165.3
urban 18 142 149.9
rural 1 121 139.0
urban 2 121 140.9
urban 3 128 134.9
urban 4 129 149.5
urban 5 131 148.7
urban 6 132 131.0
urban 7 133 142.3
urban 8 134 139.9
urban 9 138 142.9
urban 10 138 147.7
urban 11 138 147.7
urban 12 140 134.6
urban 13 140 135.8
urban 14 140 148.5

> tapply(age, group, mean)
1 2
126.8333 133.0714
> tapply(height, group, mean)
1 2
144.5444 141.6714
Kết quả trên cho thấy nhóm học sinh thành thị có độ tuổi thấp hơn học sinh nông
thôn khoảng 6.3 tháng (126.8 – 133.1). Tuy nhiên, chiều cao của học sinh thành thị cao
hơn học sinh nông thôn khoảng 2.8 cm (144.5 – 141.7). Bạn đọc có thể dùng kiểm định t
để thấy rằng sự khác biệt về độ tuổi giữa hai nhóm có ý nghĩa thống kê (p = 0.045).
Ngoài ra, biểu đồ sau đây còn cho thấy có một mối liên hệ tương quan giữa tuổi và chiều
cao:
110 115 120 125 130 135 140
130135140145150155160165
age
height
Biểu đồ 11.5. Chiều cao (cm) và độ tuổi (tháng
tuổi) của hai nhóm học sinh thành thị và nông
thôn.
Vì hai nhóm khác nhau về độ tuổi, và tuổi có liên hệ với chiều cao, cho nên chúng
ta không thể phát biểu hay so sánh chiều cao giữa 2 nhóm học sinh mà không điều chỉnh
cho độ tuổi. Để điều chỉnh độ tuổi, chúng ta sử dụng phương pháp phân tích hiệp biến.
11.5.1 Mô hình phân tích hiệp biến
Gọi y là chiều cao, x là độ tuổi, và g là nhóm. Mô hình căn bản của ANCOVA
giả định rằng mối liên hệ giữa y và x là một đường thẳng, và độ dốc (gradient hay slope)

của hai nhóm trong mối liên hệ này không khác nhau. Nói cách khác, viết theo kí hiệu
của hồi qui tuyến tính, chúng ta có:
1 1 1y x eα β= + + in group 1
2 2 2y x eα β= + + in group 2. [5]
Trong đó:
α1 : là giá trị trung bình của y khi x= 0 của nhóm 1;
α2 : là giá trị trung bình của y khi x= 0 của nhóm 2;
β: độ dốc của mối liên hệ giữa y và x;
e1 và e2: biến số ngẫu nhiên với trung bình 0 và phương sai σ2
.
Gọi x là số trung bình của độ tuổi cho cả 2 nhóm, 1x và 2x là tuổi trung bình của
nhóm 1 và nhóm 2. Như nói trên, nếu 1 2x x≠ , thì so sánh chiều cao trung bình của nhóm
1 và 2 ( 1y và 2y ) sẽ thiếu khách quan, vì
1 1 1 1y x eα β= + +
2 2 2 2y x eα β= + +
và mức độ khác biệt giữa hai nhóm bây giờ tùy thuộc vào hệ số β:
( )1 2 1 2 1 2y y x xα α β− = − + −
Chú ý rằng trong mô hình [5], chúng ta có thể diễn dịch α α1 2− là độ khác biệt
chiều cao trung bình giữa hai nhóm nếu cả hai nhóm có cùng tuổi trung bình. Mức khác
biệt này này thể hiện ảnh hưởng của hai nhóm nếu không có một yếu tố nào liên hệ đến y.
Thành ra, để ước tính α α1 2− , chúng ta không thể đơn giản trừ hai số trung bình 1y - 2y ,
nhưng phải điều chỉnh cho x. Gọi x* là một giá trị chung cho cả hai nhóm, chúng ta có
thể ước tính giá trị điều chỉnh y cho nhóm 1 (kí hiệu 1ay ) như sau:
( )*
1 1 1ay y x xβ= − −
1ay có thể xem là một ước số cho chiều cao trung bình của nhóm 1 (thành thị) cho giá trị
x là x* . Tương tự,
( )*
2 2 2ay y x xβ= − −
là số cho chiều cao trung bình của nhóm 1 (nông thôn) với cùng giá trị x*. Từ đây,
chúng ta có thể ước tính ảnh hưởng của thành thị và nông thôn bằng công thức sau đây:
( )1 2 2 1 1 2a ay y y y x xβ− = − − −

Do đó, vấn đề là chúng ta phải ước tính β. Có thể chứng minh rằng ước số β từ phương
pháp bình phương nhỏ nhất cũng là ước tính khách quan cho α α1 2− . Khi viết bằng mô
hình tuyến tính, mô hình hiệp biến có thể mô tả như sau:
( )y x g xg eα β γ δ= + + + + [6]
Nói cách khác, mô hình trên phát biểu rằng chiều cao của một học sinh bị ảnh
hưởng bởi 3 yếu tố: độ tuổi (β), thành thị hay nông thôn (γ), và tương tác giữa hai yếu tố
đó (δ). Nếu δ = 0 (tức ảnh hưởng tương tác không có ý nghĩa thống kê), mô hình trên
giảm xuống thành:
y x g eα β γ= + + + [7]
Nếu γ = 0 (tức ảnh hưởng của thành thị không có ý nghĩa thống kê), mô hình trên giảm
xuống thành:
y x eα β= + + [8]
11.5.2 Phân tích bằng R
Các thảo luận vừa trình bày trên xem ra khá phức tạp, nhưng trong thực tế, với R,
cách ước tính rất đơn giản bằng hàm lm. Chúng ta sẽ phân tích ba mô hình [6], [7] và
[8]:
> # model 6
> model6 <- lm(height ~ group + age + group:age)
> # model 7
> model7 <- lm(height ~ group + age)
> # model 8
> model8 <- lm(height ~ age)
Chúng ta cũng có thể so sánh cả ba mô hình cùng một lúc bằng lệnh anova như sau:
> anova(model6, model7, model8)
Model 1: height ~ group + age + group:age
Model 2: height ~ group + age
Model 3: height ~ age
Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
1 28 1270.44
2 29 1338.02 -1 -67.57 1.4893 0.23251
3 30 1545.95 -1 -207.93 4.5827 0.04114 *

---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Chú ý “model 1” chính là mô hình [6], “model 2” là mô hình [7], và “model 3” là
mô hình [8]. RSS là residual sum of squares, tức tổng bình phương phần dư
cho mỗi mô hình. Kết quả phân tích trên cho thấy:
• Toàn bộ mẫu có 18+14=32 học sinh, mô hình [6] có 4 thông số (α, β, γ và δ), cho
nên mô hình này có 32-4 = 28 bậc tự do. Tổng bình phương của mô hình là
1270.44.
• mô hình [7] có 3 thông số (tức còn 29 bậc tự do), cho nên tổng bình phương phần
dư cao hơn mô hình [7]. Tuy nhiên, đứng trên phương diện xác suất thì trung
bình bình phương phần dư của mô hình này 1338.02 / 29 = 46.13, không khác
mấy so với mô hình [6] (trung bình bình phương là: 1270.44 / 28 = 45.36), vì trị
số p = 0.2325, tức không có ý nghĩa thống kê. Nói cách khác, bỏ hệ số tương tác
δ không làm thay đổi khả năng tiên đoán của mô hình một cách đáng kể.
• Mô hình [8] chỉ có 2 thông số (và do đó có 30 bậc tự do), với tổng bình phương là
1545.95. Trung bình bình phương phần dư của mô hình này là 51.53 (1545.95 /
30), tức cao hơn hai mô hình [6] một cách đáng kể, vì trị số p = 0.0411.
Qua phân tích trên, chúng ta thấy mô hình [7] là tối ưu hơn cả, vì chỉ cần 3 thông số mà
có thể “giải thích” được dữ liệu một cách đầy đủ. Bây giờ chúng ta sẽ chú tâm vào phân
tích kết quả của mô hình này.
> summary(model7)
Call:
lm(formula = height ~ group + age)
Residuals:
-14.324 -3.285 0.879 3.956 14.866
Coefficients:
(Intercept) 91.8171 17.9294 5.121 1.81e-05 ***
group2 -5.4663 2.5749 -2.123 0.04242 *
age 0.4157 0.1408 2.953 0.00619 **
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
F-statistic: 5.063 on 2 and 29 DF, p-value: 0.01300

Qua phần ước tính thông số trình bày trên đây, chúng ta thấy tính trung bình chiều
cao học sinh tăng khoảng 0.41 cm cho mỗi tháng tuổi. Chú ý trong kết quả trên, phần
“group2” có nghĩa là hệ số hồi qui (regression coefficient) cho nhóm 2 (tức là nông
thôn), vì R phải đặt hệ số cho nhóm 1 bằng 0 để tiện việc tính toán. Vì thế, chúng ta có
hai phương trình (hay hai đường biểu diễn) cho hai nhóm học sinh như sau:
Đối với học sinh thành thị:
Height = 91.817 + 0.4157(age)
Và đối với học sinh nông thôn:
Height = 91.817 – 5.4663(rural) + 0.4157(age)
Nói cách khác, sau khi điều chỉnh cho độ tuổi, nhóm học sinh nông thôn (rural) có
chiều cao thấp hơn nhóm thành thị khoảng 5.5 cm và mức độ khác biệt này có ý nghĩa
thống kê vì trị số p = 0.0424. (Chú ý là trước khi điều chỉnh cho độ tuổi, mức độ khác
biệt là 2.8 cm).
Các biểu đồ sau đây sẽ minh họa cho các mô hình trên:
> par(mfrow=c(2,2))
> plot(age, height, pch=as.character(group),
main=”Mo hinh 1”)
> abline(144.54, 0) #mean value for urban
> abline(141.67, 0) #mean value for rural
> abline(102.63, 0.3138) #single line for dependence on age
> abline(91.8, 0.416) #line for males
> abline(91.8-5.46,0.416) #line for females parallel
> abline(79.7, 0.511) #line for males
> abline(79.7+47.08, 0.511-0.399) #line for females parallel
> par(mfrow=c(1,1))

1
1
1
1
1
1
1
1
1 11
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2 2
2
2
2
2
22
2
2
2
110 115 120 125 130 135 140
130140150160
Mo hinh 1
age
height
1
1
1
1
1
1
1
1
1 11
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2 2
2
2
2
2
22
2
2
2
110 115 120 125 130 135 140
130140150160
Mo hinh 2
age
height
1
1
1
1
1
1
1
1
1 11
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2 2
2
2
2
2
22
2
2
2
110 115 120 125 130 135 140
130140150160
Mo hinh 3
age
height
1
1
1
1
1
1
1
1
1 11
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2 2
2
2
2
2
22
2
2
2
110 115 120 125 130 135 140
130140150160
Mo hinh 4
age
height
Biểu đồ 11.6. Mô hình 1: chiều cao là hàm số của nơi trú ngụ, nhưng không
có liên hệ với độ tuổi; Mô hình 2 giả thiết rằng chiều cao phụ thuộc vào độ
tuổi, nhưng không có khác nhau giữa hai nhóm thành thị và nông thôn; Mô
hình 3 giả thiết rằng mối liên hệ giữa chiều cao và tuổi của nhóm thành thị
tương đương với với nhóm nông thôn (hai đường song song), nhưng học sinh
thành thị có chiều cao cao hơn nông thôn; và mô hình 4 giả thiết rằng mức độ
khác biệt về chiều cao giữa hai nhóm tùy thuộc vào độ tuổi (tức có tương tác
giữa độ tuổi và nơi trú ngụ): ở tuổi <120 tháng, chiều cao hai nhóm không
khác nhau mấy, nhưng khi tuổi >120 tháng tuổi thì nhóm học sinh thành thị có
chiều cao cao hơn nhóm nông thôn. Phân tích trên cho thấy mô hình 3 là tốt
nhất.
11.6 Phân tích phương sai cho thí nghiệm giai thừa
(factorial experiment)
Ví dụ 4. Để khảo sát ảnh hưởng của 4 loại thuốc trừ sâu (1, 2, 3 và 4) và ba loại
giống (B1, B2 và B3) đến sản lượng của cam, các nhà nghiên cứu tiến hành một thí
nghiệm loại giai thừa. Trong thí nghiệm này, mỗi giống cam có 4 cây cam được chọn
một cách ngẫu nhiên, và 4 loại thuốc trừ sâu áp dụng (cũng ngẫu nhiên) cho mỗi cây cam.
Kết quả nghiên cứu (sản lượng cam) cho từng giống và thuốc trừ sâu như sau:

Bảng 11.5. Sản lượng cam cho 3 loại giống và 4 loại thuốc trừ sâu
Mô
hình phân
tích thí
nghiệm giai
thừa cũng
không khác
gì so với phân tích phương sai hai chiều như trình bày trong phần trên. Cụ thể hơn, mô
hình mà chúng ta xem xét là:
product = α + β(variety) + γ(pesticide) + ε
Trong đó, α là hằng số biểu hiện trung bình toàn mẫu, α là hệ số ảnh hưởng của
ba giống cam, và γ là hệ số ảnh hưởng của 4 loại thuốc trừ sâu, và ε là phần dư (residual)
của mô hình.
Chúng ta có thể sử dụng hàm aov của R để ước tính các thông số trên như sau:
# trước hết chúng ta nhập số liệu
> variety <- c(1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3)
> pesticide <- c(1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4)
> product <- c(29,50,43,53,41,58,42,73,66,85,69,85)
# định nghĩa variety và pesticide là hai yếu tố (factors)
> variety <- as.factor(variety)
> pesticide <- as.factor(pesticide)
# cho vào một data frame tên là data
> data <- data.frame(variety, pesticide, product)
# phân tích phương sai bằng aov và cho vào object analysis
> analysis <- aov(product ~ variety + pesticide)
> anova(analysis)
Response: product
variety 2 2225.17 1112.58 44.063 0.000259 ***
pesticide 3 1191.00 397.00 15.723 0.003008 **
Residuals 6 151.50 25.25
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Kết quả trên cho thấy cả hai yếu tố giống cây (variety) và thuốc trừ sâu (pesticide) đều có
ảnh hưởng đến sản lượng cam, vì trị số p < 0.05. Để so sánh cụ thể cho từng hai nhóm,
chúng ta sử dụng hàm TukeyHSD như sau:
> TukeyHSD(analysis)
Thuốc trừ sâu (pesticide)Giống cam
(variety) 1 2 3 4
Tổng số
B1 29 50 43 53 175
B2 41 58 42 73 214
B3 66 85 63 85 305
Tổng số 136 193 154 211 694

Fit: aov(formula = product ~ variety + pesticide)
$variety
diff lwr upr p adj
2-1 9.75 -1.152093 20.65209 0.0749103
3-1 32.50 21.597907 43.40209 0.0002363
3-2 22.75 11.847907 33.65209 0.0016627
$pesticide
diff lwr upr p adj
2-1 19 4.797136 33.202864 0.0140509
3-1 6 -8.202864 20.202864 0.5106152
4-1 25 10.797136 39.202864 0.0036109
3-2 -13 -27.202864 1.202864 0.0704233
4-2 6 -8.202864 20.202864 0.5106152
4-3 19 4.797136 33.202864 0.0140509
Kết quả phân tích giữa các loại giống cho thấy giống B3 có sản lượng cao hơn
giống B1 khoảng 32 đơn vị với khoảng tin cậy 95% từ 21 đến 43 (p = 0.0002). Giống
cam B3 cũng tốt hơn giống B2, với độ khác biệt trung bình khoảng 22 đơn vị (p =
0.0017). Nhưng không có khác biệt đáng kể giữa giống B2 và B1.
So sánh giữa các loại thuốc trừ sâu, kết quả trên cho chúng ta biết các thuốc trừ
sâu 4 có hiệu quả cao hơn thuốc 1 và 3. Ngoài ra, thuốc 2 cũng có hiệu quả cao hơn
thuốc 1. Còn các so sánh khác không có ý nghĩa thống kê. Biểu đồ Tukey sau đây minh
họa cho kết luận trên.
> plot(TukeyHSD(analysis), ordered=TRUE)

-20 -10 0 10 20 30 40
4-34-23-24-13-12-1
Differences in mean levels of pesticide
11.7 Phân tích phương sai cho thí nghiệm hình vuông Latin
(Latin square experiment)
Ví dụ 5. Để so sánh hiệu quả của 2 loại phân bón (A và B) cùng 2 phương pháp
canh tác (a và b), các nhà nghiên cứu tiến hành một thí nghiệm hình vuông Latin. Theo
đó, có 4 nhóm can thiệp tổng hợp từ hai loại phân bón và phương pháp canh tác: Aa, Ab,
Ba, và Bb (sẽ cho mã số, lần lược, là 1=Aa, 2=Ab, 3=Ba, 4=Bb). Bốn phương
(treatment) đó được áp dụng trong 4 mẫu ruộng (sample = 1, 2, 3, 4) và 4 loại cây trồng
(variety = 1, 2, 3, 4). Tổng cộng, thí nghiệm có 4x4 = 16 mẫu. Tiêu chí để đánh giá là
sản lượng, và kết quả sản lượng được tóm tắt trong bảng sau đây:
Bảng 11.6. Sản lượng cho 2 loại phân bón và 2 phương pháp canh tác
Giống (variety)Mẫu ruộng
(sample) 1 2 3 4
1 175
Aa
143
Ba
128
Bb
166
Ab
2 170
Ab
178
Aa
140
Ba
131
Bb
3 135
Bb
173
Ab
169
Aa
141
Ba
4 145
Ba
136
Bb
165
Ab
173
Aa

Câu hỏi đặt ra là các phương pháp canh tác và phân bón có ảnh hưởng đến sản lượng
hay không. Để trả lời câu hỏi đó, chúng ta phải xem xét đến các nguồn làm cho sản
lượng thay đổi hay biến thiên. Nhìn qua thí nghiệm và bảng số liệu trên, rất dễ dàng
hình dung ra 3 nguồn biến thiên chính:
• Nguồn thứ nhất là khác biệt giữa các phương pháp canh tác và phân bón;
• Nguồn thứ hai là khác biệt giữa các loại giống cây;
• Nguồn thứ ba là khác biệt giữa các mẫu ruộng;
Và phần còn lại là khác biệt trong mỗi mẫu ruộng và loại giống. Để có một cái nhìn
chung về số liệu, chúng ta hãy tính trung bình cho từng nhóm qua bảng số sau đây:
Trung bình cho từng loại
giống
Trung bình cho từng mẫu Trung bình cho từng
phương pháp
1: 156.25
2: 157.50
3: 150.50
4: 152.75
Tổng trung bình: 154.25
1: 153.00
2: 154.75
3: 154.50
4: 154.75
1: 173.75
2: 168.50
3: 142.25
4: 132.50
Bảng tóm lược trên cho phép chúng ta tính tổng bình phương cho từng nguồn biến thiên.
Khởi đầu là tổng bình phương cho toàn bộ thí nghiệm (tôi sẽ tạm gọi là SStotal):
• Tổng bình phương chung cho toàn thí nghiệm:
SStotal = (175 – 154.25)2
+ (143 – 154.25)2
+ … (165 – 154.25)2
+ (173 – 154.25)2
= 4941
• Tổng bình phương do khác biệt giữa các loại giống (SSvariety). Chú ý là vì trung
bình mỗi giống được tính từ 4 số, cho nên chúng ta phải nhân cho 4 khi tính tổng
bình phương:
SSvariety = 4(156.25 – 154.25)2
+ 4(157.50 – 154.25)2
+
4(150.50 – 154.25)2
+ 4(152.75 – 154.25)2
= 123.5
Vì có 4 loại giống và một thông số, cho nên bậc tự do là 4-1=3. Theo đó, trung
bình bình phương (mean square) là: 123.5 / 3 = 41.2.
• Tổng bình phương do khác biệt giữa giống (SSsample). Chú ý là vì trung bình
mỗi mẫu được tính từ 4 số, cho nên khi tính tổng bình phương, cần phải nhân cho
4:
SSsample= 4(153.00 – 154.25)2
+ 4(154.75 – 154.25)2
+

4(154.50 – 154.25)2
+ 4(154.75 – 154.25)2
= 8.5
Vì có 4 mẫu và một thông số, cho nên bậc tự do là 4-1=3, và theo đó trung bình
bình phương là: 8.5 / 3 = 2.8.
• Tổng bình phương do khác biệt giữa các phương pháp (SSmethod). Chú ý là vì
trung bình mỗi phương pháp được tính từ 4 số, cho nên khi tính tổng bình
phương, cần phải nhân cho 4:
SSsample= 4(173.75 – 154.25)2
+ 4(168.50 – 154.25)2
+
4(142.25 – 154.25)2
+ 4(132.50 – 154.25)2
= 4801.50
Vì có 4 phương pháp và một thông số, cho nên bậc tự do là 4-1=3, và theo đó
trung bình bình phương là: 4801.5 / 3 = 1600.5.
• Tổng bình phương phần dư (residual sum of squares):
SSresidual = SStotal – SSmethod – SSsample - SSvariety
= 4941.0 – 4801.5 – 8.5 – 123.5
= 7.5
Những ước tính trên đây có thể trình bày trong một bảng phân tích phương sai như sau:
Nguồn biến thiên Bậc tự do
(degrees
of
freedom)
Tổng bình
phương
(Sum of
squares)
Trung bình
bình phương
(Mean
square)
Kiểm định
F
Giữa 4 mẫu ruộng 3 8.5 2.8 2.3
Giữa 4 loại giống 3 123.5 41.2 32.9
Giữa 4 phương pháp 3 4801.5 1600.5 1280.4
Phần dư (residual) 6 7.5
Tổng số 16 4941.0
Qua phân tích thủ công và đơn giản trên, chúng ta dễ dàng thấy phương pháp
canh tác và loại giống có ảnh hưởng lớn đến sản lượng. Để tính toán chính xác trị số p,
chúng ta có thể sử dụng R để tiến hành phân tích phương sai cho thí nghiệm hình vuông
Latin.
Vấn đề tổ chức số liệu sao cho thích hợp để R có thể tính toán rất quan trọng. Nói
một cách ngắn gọn, mỗi số liệu phải là một số đặc thù (unique), hiểu theo nghĩa nó có
một “căn cước” độc nhất vô nhị. Trong thí nghiệm trên, chúng ta có 4 loại giống, 4 mẫu,
cho nên tổng số là 16 số liệu. Và, 16 số liệu này phải được định nghĩa cho từng loại
giống, từng mẫu, và quan trọng hơn là cho từng phương pháp canh tác. Chẳng hạn như,

trong ví dụ bảng số liệu 10.6 trên, 175 là sản lượng của phương pháp canh tác 1 (tức Aa),
loại giống 1, và mẫu 1; nhưng 173 (số ở góc mặc cuối bảng) là sản lượng của phương
pháp canh tác 1, nhưng từ loại giống 4, và mẫu 4; v.v...
• Trước hết, chúng ta nhập số liệu sản lượng, và gọi đó là y:
> y <- c(175, 143, 128, 166,
170, 178, 140, 131,
135, 173, 169, 141,
145, 136, 165, 173)
• Kế đến, gọi variety là giống gồm 4 bậc (1,2,3,4) cho từng số liệu trong y (và
cũng định nghĩa rằng variety là một factor, tức biến thứ bậc):
> variety <- c(1,2,3,4,
1,2,3,4,
1,2,3,4,
1,2,3,4,)
> variety <- as.factor(variety)
• Gọi sample là mẫu gồm 4 bậc (1,2,3,4) cho từng số liệu trong y (và cũng định
nghĩa rằng sample là một factor, tức biến thứ bậc):
> sample <- c(1,1,1,1,
2,2,2,2,
3,3,3,3,
4,4,4,4)
> sample <- as.factor(sample)
• Nhập số liệu cho phương pháp, method, cũng gồm 4 bậc (1,2,3,4) cho từng số
liệu trong y (và cũng định nghĩa rằng method là một factor, tức biến thứ bậc):
> method <- c(1, 3, 4, 2,
2, 1, 3, 4,
4, 2, 1, 3,
3, 4, 2, 1)
> method <- as.factor(method)
• Tổng hợp tất cả các số liệu trên vào một data frame và gọi là data:
> data <- data.frame(sample, variety, method, y)
• In ra data để kiểm tra xem số liệu có đúng và thích hợp hay chưa:
> data
sample variety method y
1 1 1 1 175
2 1 2 3 143
3 1 3 4 128
4 1 4 2 166
5 2 1 2 170

6 2 2 1 178
7 2 3 3 140
8 2 4 4 131
9 3 1 4 135
10 3 2 2 173
11 3 3 1 169
12 3 4 3 141
13 4 1 3 145
14 4 2 4 136
15 4 3 2 165
16 4 4 1 173
Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng dùng hàm lm hay aov để phân tích số liệu. Ở đây
tôi sẽ sử dụng hàm aov để tính các nguồn biến thiên trên (kết quả tính toán sẽ chứa trong
đối tượng latin):
> latin <- aov(y ~ sample + variety + method)
> summary(latin)
sample 3 8.5 2.8 2.2667 0.1810039
variety 3 123.5 41.2 32.9333 0.0004016 ***
method 3 4801.5 1600.5 1280.4000 8.293e-09 ***
Residuals 6 7.5 1.3
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Tất cả các kết quả này (dĩ nhiên) là những kết quả mà chúng ta đã tóm tắt trong
bảng phân tích phương sai một cách “thủ công” trên đây. Tuy nhiên, ở đây R cung cấp
cho chúng ta trị số p (trong Pr > F) để có thể suy luận thống kê. Và, qua trị số p,
chúng ta có thể phát biểu rằng mẫu ruộng không có ảnh hưởng đến sản lượng, nhưng loại
giống và phương pháp canh tác thì có ảnh hưởng đến sản lượng.
Để biết mức độ khác biệt giữa các phương pháp canh tác và giữa các loại giống,
chúng ta dùng hàm TukeyHSD như sau:
> TukeyHSD(latin)
$variety
diff lwr upr p adj
2-1 1.25 -1.4867231 3.9867231 0.4528549
3-1 -5.75 -8.4867231 -3.0132769 0.0014152
4-1 -3.50 -6.2367231 -0.7632769 0.0173206
3-2 -7.00 -9.7367231 -4.2632769 0.0004803
4-2 -4.75 -7.4867231 -2.0132769 0.0038827
4-3 2.25 -0.4867231 4.9867231 0.1034761
$method
diff lwr upr p adj
2-1 -5.25 -7.986723 -2.513277 0.0023016
3-1 -31.50 -34.236723 -28.763277 0.0000001
4-1 -41.25 -43.986723 -38.513277 0.0000000
3-2 -26.25 -28.986723 -23.513277 0.0000004
4-2 -36.00 -38.736723 -33.263277 0.0000000
4-3 -9.75 -12.486723 -7.013277 0.0000730

So sánh giữa các loại giống cho thấy có sự khác biệt giữa giống 3 và 1, 4 và 1, 3 và 2, 4
và 2.
Tất cả các so sánh giữa các phương pháp canh tác đều có ý nghĩa thống kê. Nhưng loại
nào có sản lượng cao nhất? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng biểu đồ hộp:
> boxplot(y ~ method, xlab="Methods (1=Aa, 2=Ab, 3=Ba, 4=Bb",
ylab=”Production")
1 2 3 4
130140150160170180
Methods (1=Aa, 2=Ab, 3=Ba, 4=Bb
Production
Biểu đồ so sánh sản lượng của bốn phương
pháp canh tác.
11.8 Phân tích phương sai cho thí nghiệm giao chéo (cross-
over experiment)
Ví dụ 6. Để thử nghiệm hiệu ứng của một thuốc mới đối với chứng ra mồ hôi
(thuốc này được bào chế để chữa trị bệnh tim, nhưng ra mồ hồi là một ảnh hưởng phụ),
các nhà nghiên cứu tiến hành một nghiên cứu trên 16 bệnh nhân. Số bệnh nhân này được
chia thành 2 nhóm (tạm gọi là nhóm AB và BA) một cách ngẫu nhiên. Mỗi nhóm gồm 8
bệnh nhân. Bệnh nhân được theo dõi hai lần: tháng thứ nhất và tháng thứ 2. Đối với
bệnh nhân nhóm AB, tháng thứ nhất họ được điều trị bằng thuốc, tháng thứ hai họ được
cho sử dụng giả dược (placebo). Ngược lại, với bệnh nhân nhóm BA, tháng thứ nhất sử
dụng giả dược, và tháng thứ hai được điều trị bằng thuốc. Tiêu chí để đánh giá là thời
gian ra mồ hôi trên trán (tính từ lúc uống thuốc đến khi ra mồ hôi) sau khi sử dụng thuốc
hay giả dược. Kết quả nghiên cứu được trình bày trong bảng số liệu sau đây:
Bảng 11.7. Kết quả nghiên cứu hiệu ứng ra mồ hôi của thuốc điều trị bệnh tim
Nhóm Thời gian (phút) ra mồ hôi trên trán

Mã số bệnh
nhân số (id)
Tháng 1 Tháng 2
AB A Placebo
1 6 4
3 8 7
5 12 6
6 7 8
9 9 10
10 6 4
13 11 6
15 8 8
BA Placebo A
2 5 7
4 9 6
7 7 11
8 4 7
11 9 8
12 5 4
14 8 9
16 9 13
Câu hỏi chính là có sự khác biệt về thời gian ra mồ hôi giữa hai nhóm điều trị bằng thuốc
và giả dược hay không.
Để trả lời câu hỏi trên, chúng ta cần tiến hành phân tích phương sai. Nhưng vì
cách thiết kế nghiên cứu khá đặc biệt (hai nhóm bệnh nhân với cách sắp xếp can thiệp
theo hai thứ tự khác nhau), nên các phương pháp phân tích trên không thể áp dụng được.
Có một phương pháp thông dụng là phân tích phương sai trong từng nhóm, rồi sau đó so
sánh giữa hai nhóm. Một trong những vấn đề chúng ta cần phải lưu ý là khả năng hiệu
ứng kéo dài (còn gọi là carry-over effect), tức là trong nhóm AB, hiệu quả của tháng thứ
2 có thể chịu ảnh hưởng kéo dài từ tháng thứ nhất khi bệnh được được điều trị bằng thuốc
thật. Trước hết, chúng ta thử tóm lược dữ liệu bằng bảng sau đây:
Bảng 11.8. Tóm lược kết quả thí nghiệm hiệu ứng ra mồ hôi của thuốc điều trị bệnh
tim
Thời gian (phút) ra mồ hôi trên
trán
Nhóm Mã số bệnh nhân
số (id)
Tháng 1 Tháng 2
Trung bình cho
từng bệnh nhân
AB A Placebo
1 6 4 5.0
3 8 7 7.5
5 12 6 9.0
6 7 8 7.5
9 9 10 9.5
10 6 4 5.0
13 11 6 8.5
15 8 8 8.0

Trung bình 8.375 6.625 7.50
BA Placebo A
2 5 7 6.0
4 9 6 7.5
7 7 11 9.0
8 4 7 5.5
11 9 8 8.5
12 5 4 4.5
14 8 9 8.5
16 9 13 11.0
Trung bình 7.000 8.125 7.5625
Trung bình cho 2 nhóm 7.6875 7.3750 7.5312
Trung bình cho nhóm A = (8.375 + 8.125) / 2 = 8.25
Trung bình cho nhóm P (giả dược) = (6.625 + 7.000) / 2 = 6.8125
Qua bảng tóm lược trên, chúng ta có thể tính toán một số tổng bình phương:
• Tổng bình phương do khác biệt giữa hai nhóm điều trị bằng thuốc và giả dược:
SSTreat = 16(8.25 – 7.5312)2
+ 16(8.8125 – 7.5312)2
= 16.53
• Tổng bình phương do khác biệt giữa tháng 1 và tháng 2:
SSPeriod = 16(7.6875 – 7.5312)2
+ 16(7.3750 – 7.5312)2
= 0.781
• Tổng bình phương do khác biệt giữa hai nhóm AB và BA (thứ tự):
SSseq = 16(7.50 – 7.5312)2
+ 16(7.5625 – 7.5312)2
= 0.031
• Tổng bình phương do khác biệt giữa các bệnh nhân trong cùng nhóm AB hay BA:
SSw = (5.0 – 7.50)2
+ (7.5 – 7.50)2
+ (9.0 – 7.50)2
+ … + (8.0 – 7.50)2
+
(6.0 –7.5625)2
+ (7.5 – 7.5625)2
+ (9.0 – 7.5625)2
+ … + (11.0 – 7.5625)2
= 103.44
• Tổng bình phương cho toàn bộ mẫu:
SStotal = (6 – 7.5312)2
+ (9 – 7.5312)2
+ … + (13 – 7.5312)2
+ (9 – 7.5312)2
= 167.97
• Tổng bình phương còn lại (tức phần dư):
SSres = 167.97 – 16.53 – 0.781 – 0.031 – 103.44 = 47.19

Đến đây, chúng ta có thể lập bảng phân tích phương sai như sau:
Bảng 11.9. Kết quả phân tích phương sai số liệu trong bảng 11.7
(degrees
of
freedom)
Tổng bình
phương
(Sum of
squares)
Trung bình
bình phương
(Mean
square)
Kiểm định
F
Giữa hai nhóm điều trị 1 16.53 16.53 4.90
Giữa hai tháng 1 0.781 0.781 0.23
Giữa AB và BA 1 0.031 0.031 0.004
Trong mỗi nhóm 14 103.44 7.39
Phần dư (residual) 14 47.19 3.37
Tổng số 31 167.97
Qua phân tích trên, chúng ta thấy độ khác biệt giữa thuốc và giả dược lớn hơn là
độ khác biệt giữa hai tháng hay hai nhóm AB và BA. Kiểm định F để thử nghiệm giả
thiết thuốc và giả dược có hiệu quả như nhau là kiểm định F = 16.53 / 3.37 = 4.90 với bậc
tự do 1 và 14. Dựa trên lí thuyết xác suất, trị số F với bậc tự do 1 và 14 là 4.60. Do đó,
chúng ta có thể kết luận rằng thuốc này có hiệu ứng làm ra mồ hôi lâu hơn nhóm giả
dược.
Tất cả các tính toán “thủ công” trên chỉ là minh họa cho cách phân tích phương
sai cho thí nghiệm giao chéo. Trong thực tế, chúng ta có thể sử dụng R để tiến hành các
tính toán đó như cách tính phương sai cho các thí nghiệm đơn giản. Vấn đề chính là tổ
chức số liệu cho phân tích. R (cũng như nhiều phần mềm khác) yêu cầu người sử dụng
phải nhập từng số liệu một, và mỗi số liệu phải gắn liền với một bệnh nhân, một nhóm
điều trị, một tháng (hay giai đoạn), và một nhóm thứ tự. Đó là một yêu cầu rất quan
trọng, vì nếu tổ chức số liệu không đúng, kết quả phân tích có thể sai.
Trong phần sau đây, tôi sẽ mô tả từng bước một:
# bước 1: nhập dữ liệu và đặt tên object là y
> y <- c(6,8,12,7,9,6,11,8,
4,7,6,8,10,4,6,8,
5,9,7,4,9,5,8,9
7,6,11,7,8,4,9,13)
# bước 2: cứ mỗi số liệu trong bước 1, chỉ ra nhóm AB hay BA (mã
số 1 và 2)
> seq <- c(1,1,1,1,1,1,1,1,
1,1,1,1,1,1,1,1,
2,2,2,2,2,2,2,2,
2,2,2,2,2,2,2,2)
> seq <- as.factor(seq)

# bước 3: cứ mỗi số liệu trong bước 1, chỉ ra tháng 1 hay tháng 2
> period <- c(1,1,1,1,1,1,1,1,
2,2,2,2,2,2,2,2,
2,2,2,2,2,2,2,2,
1,1,1,1,1,1,1,1)
> period <- as.factor(period)
# bước 4: cứ mỗi số liệu trong bước 1, chỉ ra nhóm A hay placebo
bằng mã số 1 và 2:
> treat <- c(1,1,1,1,1,1,1,1,
2,2,2,2,2,2,2,2,
1,1,1,1,1,1,1,1,
2,2,2,2,2,2,2,2)
> treat <- as.factor(treat)
# bước 5: cứ mỗi số liệu trong bước 1, chỉ ra mã số cho từng bệnh
nhân
> id <- c(1,3,5,6,9,10,13,15,
1,3,5,6,9,10,13,15,
2,4,7,8,11,12,14,16,
2,4,7,8,11,12,14,16)
> id <- as.factor(id)
# bước 6: lập thành một data frame tên là data và in ra để kiểm
tra một lần nữa.
> data <- data.frame(seq, period, treat, id, y)
> data
seq period treat id y
1 1 1 1 1 6
2 1 1 1 3 8
3 1 1 1 5 12
4 1 1 1 6 7
5 1 1 1 9 9
6 1 1 1 10 6
7 1 1 1 13 11
8 1 1 1 15 8
9 1 2 2 1 4
10 1 2 2 3 7
11 1 2 2 5 6
12 1 2 2 6 8
13 1 2 2 9 10
14 1 2 2 10 4
15 1 2 2 13 6
16 1 2 2 15 8
17 2 2 1 2 7
18 2 2 1 4 6
19 2 2 1 7 11
20 2 2 1 8 7
21 2 2 1 11 8

22 2 2 1 12 4
23 2 2 1 14 9
24 2 2 1 16 13
25 2 1 2 2 5
26 2 1 2 4 9
27 2 1 2 7 7
28 2 1 2 8 4
29 2 1 2 11 9
30 2 1 2 12 5
31 2 1 2 14 8
32 2 1 2 16 9
Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng dùng hàm lm của R để phân tích số liệu. Chú ý rằng cách
dùng hàm lm cho phân tích phương sai áp dụng cho thí nghiệm giao chéo hoàn toàn
không khác gì với cách dùng cho các thí nghiệm khác. Khía cạnh khác biệt duy nhất là
cách tổ chức dữ liệu cho phân tích như trình bày trên.
> xover <- lm(y ~ treat+seq+period)
> anova(xover)
Response: y
treat 1 16.531 16.531 4.9046 0.04388 *
seq 1 0.031 0.031 0.0093 0.92466
period 1 0.781 0.781 0.2318 0.63764
id 14 103.438 7.388 2.1921 0.07711 .
Residuals 14 47.187 3.371
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Phân tích trên đây một lần nữa khẳng định cách tính thủ công mà tôi đã trình bày
phần trên. Nói tóm lại, mức độ khác biệt giữa thuốc và giả duợc có ý nghĩa thống kê, với
trị số F là 0.044.
Chúng ta cũng có thể yêu cầu khoảng tin cậy 95% cho độ khác biệt giữa hai nhóm
(bằng cách lệnh TukeyHSD) như sau (chú ý là với TukeyHSD chúng ta chỉ sử dụng
hàm aov chứ không phải lm):
> TukeyHSD(aov(y ~ treat+seq+period+id))
Fit: aov(formula = y ~ treat + seq + period + id)
$treat
diff lwr upr p adj
2-1 -1.4375 -2.829658 -0.04534186 0.0438783
$seq

diff lwr upr p adj
2-1 0.0625 -1.329658 1.454658 0.924656
$period
diff lwr upr p adj
2-1 -0.3125 -1.704658 1.079658 0.6376395
Chú ý kết quả:
$treat
diff lwr upr p adj
2-1 -1.4375 -2.829658 -0.04534186 0.0438783
cho biết tính trung bình thời gian ra mồ hôi của nhóm được điều trị cao hơn nhóm giả
dược khoảng 1.44 phút, và khoảng tin cậy 95% là từ 0.05 phút đến 2.8 phút. Còn các kết
quả so sánh giữa hai nhóm AB và BA (seq) hay giữa tháng 1 và tháng 2 (period)
không có ý nghĩa thống kê.
11.9 Phân tích phương sai cho thí nghiệm tái đo lường
(repeated measure experiment)
Ví dụ 7. Một nghiên cứu sơ khởi (pilot study) được tiến hành để đánh giá hiệu
nghiệm của một vắc-xin mới chống bệnh thấp khớp. Nghiên cứu gồm 8 bệnh nhân, được
chia thành 2 nhóm một cách ngẫu nhiên. Nhóm 1 gồm 4 bệnh nhân được điều trị bằng
vắc-xin; nhóm 2 cũng gồm 4 bệnh nhân nhưng được nhận giả dược (placebo, hay đối
chứng). Bệnh nhân được theo dõi trong 3 tháng, và cứ mỗi tháng, bệnh nhân được hỏi về
tình trạng của bệnh ra sao. Tình trạng bệnh được “đo lường” bằng một chỉ số có giá trị từ
0 (không có hiệu nghiệm, bệnh vẫn như trước) đến 10 (có hiệu nghiệm tuyệt đối, hết
bệnh). Kết quả nghiên cứu có thể tóm tắt trong bảng số liệu sau đây:
Bảng 11.10. Kết quả nghiên cứu vắc-xin chống đau thấp khớp
Chỉ số bệnh qua từng thángNhóm Mã số bệnh nhân
số (id) Tháng 1 Tháng 2 Tháng 3
Vắc-xin
1 6 3 0
2 7 3 1
3 4 1 2
4 8 4 3
Placebo
5 6 5 5
6 9 4 6
7 5 3 4
8 6 2 3
Câu hỏi chính là có sự khác biệt nào giữa hai nhóm vắc-xin và giả dược hay không.

Để đơn giản hóa cách phân tích phương sai cho thí nghiệm tái đo lường, tôi sẽ tránh dùng
kí hiệu toán, mà chỉ minh họa bằng vài phép tính “thủ công” để bạn đọc có thể theo dõi.
Trước hết, chúng ta cần phải tóm lược số liệu bằng cách tính trung bình cho mỗi bệnh
nhân, mỗi nhóm điều trị, và mỗi tháng như sau:
Bảng 11.11. Tóm lược số liệu nghiên cứu vắc-xin chống đau thấp khớp
Chỉ số bệnh qua từng thángNhóm
điều trị
id
1 2 3
Trung bình
Vắc-xin 1 6 3 0 3.000
2 7 3 1 3.667
3 4 1 2 2.333
4 8 4 3 5.000
Trung bình 6.25 2.75 1.50 3.500
SD 1.71 1.26 1.29
Placebo 5 6 5 5 5.333
6 9 4 6 6.333
7 5 3 4 4.000
8 6 2 3 3.667
Trung bình 6.50 3.50 4.50 4.833
SD 1.73 1.29 1.29
Trung bình cho hai nhóm 6.375 3.125 3.000 4.167
Qua bảng trên, chúng ta có thể thấy ngay rằng có 5 nguồn làm cho kết quả thí nghiệm
khác nhau:
(a) giữa vắc-xin và giả dược (có lẽ là nguồn mà chúng ta cần biết!);
(b) giữa 3 tháng theo dõi;
(c) giữa mối ba tháng trong mỗi nhóm điều trị, mà giới thống kê thường đề cập
đến là “interaction” (tương tác), và trong trường hợp này, tương tác giữa
nhóm điều trị và thời gian;
(d) giữa các bệnh nhân trong cùng một nhóm điều trị;
(e) và sau cùng là phần dư, tức phần mà chúng ta không thể “giải thích” sau khi
xem xét các nguồn (a) đến (d) trên.
• Trước hết là tổng bình phương giữa hai nhóm điều trị (vắc-xin và giả dược), tôi sẽ
gọi là SStreat:
SStreat = 12(3.500 – 4.167)2
+
12(4.833 – 4.167)2
= 10.667
• Kế đến là tổng bình phương giữa 3 tháng điều trị, tôi sẽ gọi là SStime:
SStime= 8(6.375 – 4.167)2
+
8(3.125 – 4.167)2
+
8(3.000 – 4.167)2
= 58.583

• Nguồn thứ ba là tổng bình phương do tương tác giữa điều trị và thời gian, tôi sẽ
gọi là SSint
SSint= 4(6.25 – 4.167)2
+
4(2.75 – 4.167)2
+
4(1.50 – 4.167)2
+
4(6.50 – 4.167)2
+
4(3.50 – 4.167)2
+
4(4.50 – 4.167)2
–
SSvắcxin –SStime
= 77.833 – 10.667 – 58.583
= 8.583
• Nguồn thứ tư là tổng bình phương do tương tác giữa bệnh nhân trong mỗi nhóm
điều trị, tôi sẽ gọi là SSpatient(treat):
SSpatient(treat) = 3(3.000–3.350)2
+ 3(3.667–3.350)2
+ 3(2.333–3.350)2
+3(5.000–3.350)2
+
3(5.333–4.833)2
+ 3(6.333–4.833)2
+ 3(4.000–4.833)2
+3(3.667–4.833)2
= 25.333
• Ngoài ra, tổng bình phương cho toàn mẫu là:
SStotal = (6-4.167)2
+(3-4.167)2
+(0-4.167)2
+ … +(3-4.167)2
= 115.333
• Từ đó, chúng ta có thể ước tính tổng bình phương cho phần dư:
SSE = SStotal – SSvắcxin – SStime – SSpatient(vắcxin)– SSvắcxin-time
= 115.333 – 10.667 – 58.583 – 25.333 – 8.583
= 12.167
Đến đây, chúng ta có thể lập bảng phân tích phương sai như sau:
(degrees
of
freedom)
Tổng bình
phương
(Sum of
squares)
Trung bình
bình phương
(Mean
square)
Kiểm định F
Giữa vắcxin và placebo 1 10.667 10.667 2.53
Bệnh nhân (nhóm điều trị) 6 25.333 4.222 -
Giữa 3 tháng 2 58.583 29.292 28.89
Thời gian và nhóm điều trị 2 8.583 4.292 4.23
Phần dư (residual) 12 12.167 1.014 -
Tổng số 23 115.333

Tất cả các tính toán thủ công trên, như bạn đọc có thể thấy, khá rườm rà, và rất dễ sai
sót. Nhưng trong R, chúng ta có thể có kết quả trong vòng 1 giây, sau khi số liệu đã được
sắp xếp một cách thích hợp. Sau đây, tôi sẽ trình bày cách phân tích phương sai tái đo
lường bằng R:
• Trước hết, chúng ta nhập dữ liệu cho từng bệnh nhân. Cũng như bất cứ phần mềm
thống kê nào, mỗi giá trị phải được kèm theo những biến số đặc trưng như cho mỗi
bệnh nhân, mỗi nhóm, và mỗi thời gian:
y <- c(6,7,4,8,
3,3,1,4,
0,1,2,3,
6,9,5,6,
5,4,3,2,
5,6,4,3)
• Trong mỗi số liệu trên, cho R biết thuộc nhóm điều trị (mã số 1) hay giả dược (mã số
2). Cũng nên cho R biết treat là một biến thứ bậc (categorical variable) chứ không
phải biến số (numerical variable):
treat <- c(1,1,1,1,
1,1,1,1,
1,1,1,1,
2,2,2,2,
2,2,2,2,
2,2,2,2)
treat <- as.factor(treat)
• Trong mỗi số liệu trên, cho R biết thuộc tháng nào (mã số 1, 2, 3), và định nghĩa
time là một biến thứ bậc.
time <- c(1,1,1,1,
2,2,2,2,
3,3,3,3,
1,1,1,1,
2,2,2,2,
3,3,3,3)
time <- as.factor(time)
• Trong mỗi số liệu trên, cho R biết thuộc bệnh nhân nào (mã số 1, 2, 3, …,8), và định
nghĩa id là một biến thứ bậc.
id <- c(1,2,3,4, 1,2,3,4, 1,2,3,4,
5,6,7,8, 5,6,7,8, 5,6,7,8)
id <- as.factor(id)
• Nhập tất cả biến vào một data frame và đặt tên là, chẳng hạn như, data. Kiểm tra
một lần nữa xem số liệu đã đúng với ý định sắp xếp hay chưa. Xin nhắc lại, trước khi
phân tích số liệu, việc quan trọng là phải kiểm tra lại cho thật kĩ số liệu để đảm bảo số
liệu đã được tổ chức đúng và thích hợp.

data <- data.frame(id, time, treat, y)
data
id time treat y
1 1 1 1 6
2 2 1 1 7
3 3 1 1 4
4 4 1 1 8
5 1 2 1 3
6 2 2 1 3
7 3 2 1 1
8 4 2 1 4
9 1 3 1 0
10 2 3 1 1
11 3 3 1 2
12 4 3 1 3
13 5 1 2 6
14 6 1 2 9
15 7 1 2 5
16 8 1 2 6
17 5 2 2 5
18 6 2 2 4
19 7 2 2 3
20 8 2 2 2
21 5 3 2 5
22 6 3 2 6
23 7 3 2 4
24 8 3 2 3
Bây giờ, chúng ta đã sẵn sàng sử dụng R để phân tích. Hàm chính để phân tích
phương sai là aov (analysis of variance). Trong hàm này, chú ý cách cung cấp thông số
bằng cách dùng một hàm khác có tên là Error. Trong hàm Error, chúng ta cho R biết
rằng mỗi bệnh nhân (id) “thuộc” vào một nhóm điều trị và do đó thuộc vào biến time.
Cách để cho R biết là: Error(id/time). Cụ thể hơn:
> repeated <- aov(y ~ treat*time + Error(id/time))
Lệnh trên đây yêu cầu R phân tích theo mô hình: y = treat + time +
treat*time (chú ý treat*time tương đương với treat+time+treat*time),
và trung bình bình phương phần dư phải được tách thành hai phần: một phần trong các
bệnh nhân, và một phần giữa các tháng điều trị (viết tắt bằng kí hiệu id/time). Tất cả
kết quả cho vào đố itượng có tên là repeated. Chúng ta yêu cầu một bảng tóm lược
kết quả từ đối tượng repeated:
> summary(repeated)
Error: id
treat 1 10.6667 10.6667 2.5263 0.1631
Residuals 6 25.3333 4.2222
Error: id:time

time 2 58.583 29.292 28.8904 2.586e-05 ***
treat:time 2 8.583 4.292 4.2329 0.04064 *
Residuals 12 12.167 1.014
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Kết quả phân tích trong phần đầu của bảng trên cho thấy sự khác biệt giữa nhóm
điều trị bằng thuốc và giả dược không có ý nghĩa thống kê (p = 0.16). Như vậy chúng ta
có thể kết luận thuốc không có hiệu nghiệm giảm đau thấp khớp?
Câu trả lời là “không”, bởi vì phần thứ hai của bảng phân tích phương sai cho
thấy mối tương tác giữa treat và time (trị số p = 0.041). Điều này có nghĩa là độ
khác biệt giữa thuốc và giả dược tùy thuộc vào tháng điều trị. Thật vậy, nếu chúng ta
xem lại bảng 10.11 sẽ thấy trong tháng 1, trung bình của nhóm vắc-xin và giả dược
không mấy khác nhau (6.25 và 6.50), nhưng đến tháng thứ 2 và nhất là tháng thứ 3 thì độ
khác biệt giữa hai nhóm rất cao (như tháng thứ ba: 1.50 cho vắc-xin và 4.50 cho nhóm
giả dược). Như vậy, độ hiệu nghiệm trong nhóm được điều trị tăng dần theo thời gian,
còn trong nhóm giả dược thì hầu như không có khác biệt giữa 3 tháng. Nói cách khác và
tóm lại, qua thí nghiệm sơ khởi này chúng ta có thể nói vắc-xin có vẻ có hiệu quả giảm
đau trong các bệnh nhân thấp khớp.
***
Trên đây là vài cách sử dụng cho việc phân tích phương sai với các thí nghiệm
thông dụng. Thiết kế và phân tích thí nghiệm (experimental design) là một lĩnh vực
nghiên cứu tương đối chuyên sâu, những chỉ dẫn trên đây không thể và cũng không có
tham vọng mô tả tất cả các phép tính cũng như phương pháp cho tất cả thí nghiệm. Tuy
nhiên, trong thực tế, các phương pháp và thí nghiệm rất thường được áp dụng trong khoa
học thực nghiệm. R có một package tên là nlme (non-linear mixed-effects) cũng có thể
sử dụng cho các phân tích trên và các mô hình phức tạp hơn với đa biến và đa thứ bậc.
Package này cũng có thể tải về máy miễn phí tại website của R: http://cran.R-project.org.

Suy diễn thống kê và ngôn ngữ R (4): Phân tích phương sai (ANOVA)

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

Similar to Suy diễn thống kê và ngôn ngữ R (4): Phân tích phương sai (ANOVA) (20)

Recently uploaded (6)

Suy diễn thống kê và ngôn ngữ R (4): Phân tích phương sai (ANOVA)