sistem digital - penyederhanaan fungsi boolean.pdf

penyederhanaan
fungsi boolean
purwanto simamora

aplikasi aljabar boolean
1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)
Saklar: objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan
tutup.
Tiga bentuk gerbang paling sederhana:
1. Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka → x
a x b
2. Output b hanya ada jika dan hanya jika x & y dibuka → xy
a x y b
3. Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka x + y
a x
b y
c

1. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND
Lampu
A B
Sumber
tegangan
2. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR
A Lampu
Sumber
Tegangan
B
Contoh

2. Rangkaian Logika
Gerbang AND
Gerbang OR
Gerbang NOT (inverter)
x
y
xy
x
y
x+ y
x'
x

Contoh.
Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian
logika.
Solusi : cara 1
x'
x
y
xy
x
y x'y
xy+x'y

Cara kedua
xy
x
y
x'
x'y
Cara ketiga
x y
xy
xy+x'y
x'
x'y
xy+x'y

Gerbang turunan
Gerbang NAND
Gerbang NOR
x
y
x
y
Gerbang XOR
Gerbang XNOR
(xy)'
x
y
(x+y)'
x + y
x
y
(x + y)'

x'
y'
x'y' ekivalen dengan
x
y
(x+y)'
x'
y'
x' + y'
x
y
(xy)'
x
y
(x + y)' ekivalen dengan
x
y
(x + y)'
x + y
ekivalen dengan

contoh
f(x, y) = x’y + xy’ + y’
disederhanakan menjadi
f(x, y) = x’ + y’
Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3
cara:
1. Secara aljabar
2. Menggunakan Peta Karnaugh
3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)
Penyederhanaan Fungsi Boolean

Contoh:
1.f(x, y) = x + x’y
= (x + x’)(x + y)
= 1 ∙ (x + y )
= x + y
2.f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’
= x’z(y’ + y) + xy’
= x’z + xz’
3. f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’)
= xy + x’z + xyz + x’yz
= xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z
1. Secara Aljabar

2. Peta Karnaugh
•Suatu peralatan grafis yang digunakan untuk menyederhanakan
persamaan logika atau mengkonversikan sebuah tabel kebenaran
menjadi sebuah rangkaian logika.
•Salah satu metode yang paling mudah untuk penyederhanaan
Rangkaian Logika.

Map
Value A B Y
0 0 0 A’B’
1 0 1 A’B
2 1 0 AB’
3 1 1 AB
Tabel
Kebenaran
A
A’B’
0
AB’
2
A’B
1
AB
3
0
1
1
B
0
Model II
A’B’
0
A’B
1
AB’
2
AB
3
0
1
1
A
0
Karnaugh Map 2 Variabel : ( A dan B )
Model I
Map
Value
B

Desain Pemetaan K- Map 2 Variabel
0
1
0
1
A
B
A’ A
B’
B

Karnaugh Map 2 Variabel : dengan minterm-mintermnya
x y F
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 0
0 1
x
y
0
1
1 1
0 0
y
0 1
x
y
0
1
x’y’ x’y
xy’ xy
x
F = Σ(m0,m1) = x’y + x’y’

0 1
1 0
B
A 0 1
0
1
F=AB +A’B 0 1
1 1
B
A 0 1
0
1
F=AB +AB +AB 
0 1
1 0
B
A 0 1
0
1
F=AB +A’B 0
1 1
1
B
A 0 1
0
1 F=A+B
F=AB +AB +AB 

Contoh : 1
0
1
2
0
0 1
1 3
B
A
0
0
Tabel Kebenaran 1
Map
Value A B Y
0 0 0 1
1 0 1 0
2 1 0 0
3 1 1 1
1
A’B’
A’B’
0
0
1
0 AB
2 3
1
A
0
B 0
1
AB
Jadi Y = A’B’ + AB

Contoh : 2
0
1
1
1
0 0
2 3
B
A
0
0
Tabel Kebenaran 1
Map
Value A B Y
0 0 0 1
1 0 1 1
2 1 0 0
3 1 1 0
1
A’B’
A’B
A’B’
0 1
A’B
0 0
2 3
1
A
0
B 0
1
Jadi Y = A’

• 0 kotak terlingkupi = “0” (Low)
• 1 kotak terlingkupi = 2 variabel output
• 4 kotak terlingkupi = “1” (High)
• Melingkupinya harus posisi “Horisontal “
atau “vertikal” , yang dilingkupi digit ”1” dan
jumlah digit “1” yang dilingkupi 2n (1,
2,4,8,16, ...)
1
1 1
0 1
1
0
A
B
B’ A
0 1
1
0
A
1
1 AB
A’B’
Y = AB + A’B’
Y = B’ + A
Catatan untuk K-Map 2 Variabel

Dari Tabel Kebenaran dibawah, tulis persamaan
logikanya dengan menggunakan K-map :
1
1 1
0
1
0
1
A
B
A’ A
B’
B
Map
Value
A B Y
0 0 0 1
1 0 1 1
2 1 0 0
3 1 1 1
0
1
0
1
A
B
A’ A
B’
B
1
1 1
Jadi Y = A’ + B
Contoh 3:

Sederhanakan persamaan logika : Y = A + AB’ + A’B
Menggunakan K- map :
0
1
0
1
A
B
A’ A
B’
B
1
1
1
1
1 1
0
1
0
1
A
B
A’ A
B’
B
Jadi Y = A + B
Contoh 4 :

Map
Value A B C Y
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
Tabel Kebenaran
A
00 01 11
A’B’C’
0
A’BC’
2
ABC’
6
AB’C’
4
A’B’C
1
A’BC
3
ABC
7
AB’C
5
Model II
AB
00 01 11
A’B’C’
0
A’B’C
1
A’BC
3
A’BC’
2
AB’C’
4
AB’C
5
ABC
7
ABC’
6
10
0
1
10
0
1
Model I
BC
C
Map Value
Karnaugh Map 3 Variabel : ( A, B dan C )

Tabel Kebenaran
Map
Value A B C Y
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
Model III Model IV
A’B’C’
0
A’B’C
1
A’BC’
2
A’BC
3
ABC’
6
ABC
7
AB’C’
4
AB’C
5
0 1
00
01
10
11
A B
C
A’B’C’
0
AB’C’
4
A’B’C
1
AB’C
5
A’BC
3
ABC
7
A’BC’
2
ABC’
6
0 1
00
01
10
11
B C
A
Map Value

00 01 11
1
A
0
10
BC
C’
C
B
B’
A
A’

jumlah digit “1” yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,
8, ... )
00 01 11
0
1
1 1
1 1
10
01 11
1
1
1
1
0 1
10
A
A BC00
A
B’
00 01 11
0
1
1
1
1
10
A
+ A’BC’
+ A’BC
Y = AB’C’
Catatan untuk K- Map 3 Variabel

AB
C
0
C 1
A
00 0111
10
B
c
ab
00 01 11 10
0
1
0 0 1 0
0 1 1 1
cout = ab + bc + ac
F(A,B,C) = m(0,4,5,7)= AC + B’C’
G(A,B,C) = A
0 0 1 1
0 0 1 1
C
B
A
1 0 0 1
0 0 1 1
C
B
A
ab
c 00 01 11 10
0
1
0 0 1 1
0 0 1 1
f = a
Contoh pengcoveran

A
0
1
BC
0 1 0 1
1 1 1 1
00 01 11 10
F=AB’C’ +AB C +ABC +ABC  + A’B’C + A’BC’
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
+
F=A+B C +BC 
A
1
0
1
BC
1
1 1
0 1 0 1
00 01 11 10
F=AB’C’ +AB C +ABC +ABC  + A’B’C + A’BC’

Tabel Kebenaran Diketahui Tabel Kebenaran seperti disamping :
Cari persamaan logikanya :
Map
Value A B C Y
0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 0
4 1 0 0 0
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
00 01 11
1
1 1
1 1 1
10
BC
A
0 A’B’
AB
AC
Jadi Y = AC + AB + A’B’
Contoh 1 :

Diketahui Persamaan Boolean: D = A’BC + A’BC’ + ABC’ + ABC + AB’C
Sederhanakan dengan metode K-map
00 01 11
A
0
1
1 1
1 1 1
10
BC
A’BC
A’BC’
ABC’
ABC
AB’C
00 01 11
1
1 1
1 1 1
A
0
10
BC
B
AC
Jadi D = B + AC
Contoh 2 :

A’B’C’D’
0
A’BC’D’
4
ABC’D’
12
AB’C’D’
8
A’B’C’D
1
A’BC’D
5
ABC’D
13
AB’C’D
9
A’B’CD
3
A’BCD
7
ABCD
15
AB’CD
11
A’B’CD’
2
A’BCD’
6
ABCD’
14
AB’CD’
10
00 01 11 10
CD
00
11
10
AB
01
Model 2
11
10
A’B’C’D’
0
A’B’C’D
1
A’B’CD
3
A’B’CD’
2
A’BC’D’
4
A’BC’D
5
A’BCD
7
A’BCD’
6
ABC’D’
12
ABC’D
13
ABCD
15
ABCD’
14
AB’C’D’
8
AB’C’D
9
AB’CD
11
AB’CD’
10
CD
11 10
AB 00 01
00
01
Map
Valu
e
A B C D Y
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
Model 1
Tabel Kebenaran Karnaugh Map 4 Variabel : ( A, B, C dan D )

AB
00 10
CD
00
01
11
10
D
C
C’
D’
A’ A
01 11
B
B’

jumlah digit “1” yang dilingkupi 2n ( 1,2, 4, 8,
16, ... )
AB
CD 00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
11 1 1
10 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
AC’
A’
ACD’
B’C’
ABCD’
A’BCD
Catatan untuk K-Map 4 Variabel

LT = A' B' D + A' C + B' C D
EQ = A'B'C'D' + A'BC'D + ABCD + AB'CD’
GT = B C' D' + A C' + A B D'
K-map untuk LT K-map untuk EQ K-map untuk GT
D
A
0 0 0 0
1 0 0 0
1 1 0 1
1 1 0 0
B
C
D
A
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
B
C
D
A
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 0
0 0 1 0
B
C
Contoh pengcoveran:

Contoh pengcoveran :
F= ABC +ACD +ABC
+AB CD +ABC +AB C
CD
0
AB
1 1
0
00
01
0
0 1
1
00 01 11 10
1
1 0
1
11
10
1
1 1
1
F=BC +CD + AC+ AD 

Kalau digambarkan dengan system coordinate
F = C + A’BD + B’D’
D
B
1 0 0
A
1
0 1 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
A
C
D
0000 B
1111
1000
0111
C
Contoh 1
F(A,B,C,D) = m(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)

1 1
1
1 1
1
1
AB
00 01 11 10
00
01
11
10
CD
D
C
B
A’C
ABC’D’
AB’D
A B
Contoh 2 : Diketahui Tabel Kebenaran ,
cari persamaan logikanya.
Jadi Y = A’C + AB’D + ABC’D’
C
0 1
1 1
3 1 1 1
2 1 1
AB
00 01 11 10
00
01
11
10
CD
A
D
Map
Value
A B C D Y
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 1
3 0 0 1 1 1
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 0
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 0
11 1 0 1 1 1
12 1 1 0 0 1
13 1 1 0 1 0
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 0

1 1
1
1 1 1 1
1
WX
00 01 11
YZ
00
01
11
Y
10
Z
1
1 1 1 1
1
1
1
WX
00 01 11 10
YZ
00
01
11
10
W
Y
Z
X
W
10
W’X’Y’Z’
YZ
WXZ’
WX’Z
Y
Jadi M = W’X’Y’Z’ + WXZ’ + WXX’Z + YZ
Contoh 3 : Lingkarilah dan
Tulis Persamaan Logikanya.

contoh soal
38
Y = Ab’C’D + ABC’D’
Y = AB’CD + ABCD’+ABCD
A. rangkaian logika (sebelum penyederhanaan)
B. penyederhanaan dengan metode aljabar Boolean
C. penyederhanaan dengan Karnaugh map (K-map)
D. rangkaian logika (setelah disederhanakan)

Latihan Soal 1:
39
Gambarlah K-map untuk setiap ekspresi logika dibawah serta
sederhanakan dengan pengcoveran yang benar :
1. AB + B’C + A’B’
2. AC + AC’B + BC + B’C’
3. XY + X’Z + Y’Z’
4. XY +YZ + XZ +X’Y’

Latihan Soal 2 :
40
Gambarlah K-map untuk setiap ekspresi logika dibawah
serta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar :
1. A(BC’ + C) + B(A + A’C)
2. (AC + AC’B). (BC + B’C’)
3. Z(XY + X’Z) . Y’Z’(X+ Z)
Catatan : cari minterm-mintermnya dulu (rubah kebentuk SOP)

sistem digital - penyederhanaan fungsi boolean.pdf

sistem digital - penyederhanaan fungsi boolean.pdf

More Related Content

Similar to sistem digital - penyederhanaan fungsi boolean.pdf (20)

Recently uploaded (17)

sistem digital - penyederhanaan fungsi boolean.pdf