Smoothed Particle Hydrodinamics
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Smoothed Particle Hydrodinamics
Smoothed Particle Hydrodinamics
- 1. プロジェクト3B 中間発表 法政大学 情報科学部 ディジタルメディア学科 14K1020 髙尾航大
- 3. SPH法とは？ • Smoothed Particle Hydrodynamics Method • 連続体に関する方程式を粒子単位で近似し、ラグランジュ的に解く 手法の一種。 • 今回は流体の方程式に適用する。
- 5. SPH法における物理量 • SPH法を用いてNavier-Stokes方程式を解いていく。 • SPH法における物理量の離散表現 𝜙 𝕩 = 𝑗 ∈ 𝑁 𝑚𝑗 𝜙𝑗 𝜌𝑗 𝑊(𝕩𝑗 − 𝕩, ℎ)
- 6. 物理量の勾配・ラプラシアン 𝛻𝜙 𝕩 = 𝑗 ∈ 𝑁 𝑚𝑗 𝜙𝑗 𝜌𝑗 𝛻𝑊(𝕩𝑗 − 𝕩, ℎ) 𝛻2 𝜙 𝕩 = 𝑗 ∈ 𝑁 𝑚𝑗 𝜙𝑗 𝜌𝑗 𝛻2 𝑊(𝕩𝑗 − 𝕩, ℎ)
- 7. カーネル重み関数 • 粒子間の距離で重みを決定する。 𝑊𝑝𝑜𝑙𝑦6 𝑟, ℎ = 315 64𝜋ℎ9 (ℎ2 − 𝑟2 )3 , 0 ≤ 𝑟 ≤ ℎ 0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 𝛻𝑊𝑝𝑜𝑙𝑦6 𝑟, ℎ = − 945 32𝜋ℎ9 (ℎ2 − 𝑟2 )2 𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ ℎ 0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 𝛻2 𝑊𝑝𝑜𝑙𝑦6 𝑟, ℎ = − 945 32𝜋ℎ9 3(ℎ2 − 𝑟2 )3 − 4𝑟2 (ℎ2 − 𝑟2 ), 0 ≤ 𝑟 ≤ ℎ 0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
- 8. 物理量の例 - 密度ρ • 物理量の式のρをφと入れ替えてみると… 𝜌 𝕩 = 𝑗 ∈ 𝑁 𝑚𝑗 𝜌𝑗 𝜌𝑗 𝑊 𝕩𝑗 − 𝕩, ℎ = 𝑗 ∈ 𝑁 𝑚𝑗 𝑊 𝕩𝑗 − 𝕩, ℎ • 密度は周辺粒子の質量と距離にだけ依存することがわかる
- 9. Navier-Stokes方程式 • 流体の世界の運動方程式的なもの 𝛻 ∙ 𝕧 = 0 𝜕𝕧 𝜕𝑡 + 𝕧 ∙ 𝛻 𝕧 = 𝜇 𝜌 𝛻2 𝕧 − 1 𝜌 𝛻𝑝 + 𝑓𝑒𝑥𝑡 質量保存則 運動量保存則
- 10. Navier-Stokes方程式をSPH風に(1) 粒子自体が液体であることから、粒子の重さが変化しない限り 質量保存性は考慮しなくて良い。(質量一定より常に保持される) また、移流を表す 𝕧 ∙ 𝛻 𝕧 も考慮しなくて良い。 (ラグランジュ的解法だから移流はそもそも起こらない)
- 11. Navier-Stokes方程式をSPH風に(2) 𝜕𝕧 𝜕𝑡 + 𝕧 ∙ 𝛻 𝕧 = 𝜇 𝜌 𝛻2 𝕧 − 1 𝜌 𝛻𝑝 + 𝑓𝑒𝑥𝑡 𝜕𝕧 𝜕𝑡 = 𝜇 𝜌 𝛻2 𝕧 − 1 𝜌 𝛻𝑝 + 𝑓𝑒𝑥𝑡 考慮しないものはさよなら
- 12. Navier-Stokes方程式をSPH風に(3) 𝜕𝕧 𝜕𝑡 = 𝜇 𝜌 𝛻2 𝕧 − 1 𝜌 𝛻𝑝 + 𝑓𝑒𝑥𝑡 𝜌 𝜕𝕧 𝜕𝑡 = 𝜇𝛻2 𝕧 − 𝛻𝑝 + 𝜌𝑓𝑒𝑥𝑡 両辺 𝜌 倍
- 13. Navier-Stokes方程式をSPH風に(4) 𝜌 𝜕𝕧 𝜕𝑡 = 𝜇𝛻2 𝕧 − 𝛻𝑝 + 𝜌𝑓𝑒𝑥𝑡 𝜌𝑖 𝕧 𝑖 𝑡 = 𝑓𝑖 𝑓𝑖 = 𝜇𝛻2 𝕧 − 𝛻𝑝𝑖 + 𝜌𝑖 𝑓𝑒𝑥𝑡 粘性拡散項 圧力項 この際𝜕𝑡は決め打ちで計算する
- 14. 粘性拡散項の離散化 物理量離散化式ラプラシアンのφを𝕧に置き換えるが、 𝑓𝑖 𝑣𝑖𝑠𝑐 = 𝜇𝛻2 𝕧 = 𝜇 𝑗 𝑚𝑗 𝕧𝑗 − 𝕧𝑖 𝜌𝑗 𝛻2 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐(𝕩𝑗 − 𝕩𝑖) Symmetricではない為、少し工夫して変形 「iからjに与える力」と「jからiに与える力」が異なり、
- 15. 圧力項の離散化 𝑓𝑖 𝑣𝑖𝑠𝑐 = 𝛻𝑝 = − 𝑗 𝑚𝑗 𝑝𝑗 + 𝑝𝑖 2𝜌𝑗 𝛻𝑊𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠(𝕩𝑗 − 𝕩𝑖) 同様にSymmetricではない為、少し工夫して変形 粒子間の圧力の平均。
- 16. 圧力・密度解法のソース
- 17. NS方程式解法のソース
- 18. GPU実装 • UnityComputeShaderを用いてSPH計算 C# Script Struct Compute Shader (SPH) Struct Compute Buffer Shader Output Dispatch GPULoop CPU
- 19. 粒子のレンダリング • ComputeShader出力されたバッファをもとに粒子を描画。 • GeometryShaderを用いて常に視点を向くビルボードを作成。 -> Sphereで出力しないことにより軽量化 Position(Buffer) Billboard GeometryShader
- 20. Weekly CG Challenge ! • Ray Marching • Iridescent Shader • Marching Cubes • Newton Method • Fitting Line Algorithm • Tornado