Solucionario de algebra

EJERCICIO 1
1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido
negativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estado
económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.
Al recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capital
tantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entonces
la operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada como
se indicase indicase indicase indicase indica
− + = +60 320 260 bs.
2.2.2.2.2. 1 170 1 515 345. .− = − sucres
3.3.3.3.3. 200 56 189 67+ − = + $
4.4.4.4.4. − − + = +665 1 178 2 280 437. . soles
5.5.5.5.5. 20 15 40 75 30− + − = − $
6.6.6.6.6. − + − + = −67 72 16 2 9$
7.7.7.7.7. 200 78 81 93 41 59 70− − − + − = − colones
8.8.8.8.8. − − − + − =45 66 79 200 10 0
EJERCICIO 2
1.1.1.1.1. 12 15 3− = − !
2.2.2.2.2. − + − = −3 8 6 1!
3.3.3.3.3. ( )15 3 15 3 18− − = + = !
4.4.4.4.4. ( )− − + = + =8 5 8 5 13!
5.5.5.5.5. − + + − = −4 7 2 11 6!
6.6.6.6.6. − + ⋅ = − + = − →
− + ⋅ = − + = →
− + ⋅ = − + = + →
8 4 1 8 4 4 7
8 4 2 8 8 0 8
8 4 5 8 20 12 11
!
!
!
am
am
am
7.7.7.7.7. − − ⋅ = − − = − →
− − ⋅ = − − = − →
− − ⋅ + ⋅ = − − + = − →
− − ⋅ + ⋅ = − − + = + →
1 2 2 1 4 5 10
1 2 3 1 6 7 11
1 2 3 3 1 1 6 3 4 12
1 2 3 3 3 1 6 9 2 2
!
!
!
!
am
am
am
pm
8.8.8.8.8. − + = −56 7 49!
9.9.9.9.9.
( )
− + = −
− + − = −
71 5 66
15 5 20
!
!
long
lat.
10.10.10.10.10. 18 3 21
65 4 61
+ =+
- =+
!
!
long
lat.
11.11.11.11.11. - + =+75 135 60 años
EJERCICIO 3
1.1.1.1.1. + −32 16m m;
2.2.2.2.2. + −10 4m m;
3.3.3.3.3. 50 85 35− = − m
4.4.4.4.4. − ⋅ = −6 11 66m
5.5.5.5.5. - × =-
× =+
8 6 48
9 6 54
m
m
6.6.6.6.6. 400 2 800
400 3 1 200
⋅ = + →
− ⋅ = − →
m corredor
m yo.
7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste
se reparten asi: 15 pies que sobresalense reparten asi: 15 pies que sobresalense reparten asi: 15 pies que sobresalense reparten asi: 15 pies que sobresalense reparten asi: 15 pies que sobresalen
- se asumen en sentido positivo- .- se asumen en sentido positivo- .- se asumen en sentido positivo- .- se asumen en sentido positivo- .- se asumen en sentido positivo- .
25 pies que se encuentran enterrados.25 pies que se encuentran enterrados.25 pies que se encuentran enterrados.25 pies que se encuentran enterrados.25 pies que se encuentran enterrados.
- se asumen en sentido negativo - .- se asumen en sentido negativo - .- se asumen en sentido negativo - .- se asumen en sentido negativo - .- se asumen en sentido negativo - .
Al introducir 3 pies màs, se adicionanAl introducir 3 pies màs, se adicionanAl introducir 3 pies màs, se adicionanAl introducir 3 pies màs, se adicionanAl introducir 3 pies màs, se adicionan
a los que estan bajo el suelo y se debena los que estan bajo el suelo y se debena los que estan bajo el suelo y se debena los que estan bajo el suelo y se debena los que estan bajo el suelo y se deben
descontar de los que estan por encima.descontar de los que estan por encima.descontar de los que estan por encima.descontar de los que estan por encima.descontar de los que estan por encima.
Aritmèticamente significa:Aritmèticamente significa:Aritmèticamente significa:Aritmèticamente significa:Aritmèticamente significa:
40 15 25
25 3 28
15 3 12
= +
− − = −
+ − = +
pies
pies
8.8.8.8.8. 55 52 3− = + m
9.9.9.9.9. − + = −32 15 17m
10.10.10.10.10. 35 47 12− = − m
11.11.11.11.11. − + = +39 56 17m
12.12.12.12.12. 90 58 36 4− − = − m
13.13.13.13.13. 72 30 1 72 30 42
72 30 2 72 60 12
72 30 3 72 90 18
72 30 4 72 120 48
− ⋅ = − = +
− ⋅ = − = +
− ⋅ = − = −
− ⋅ = − = −
m
m
m
m
14.14.14.14.14. ( )
( )
( )
( )
− − − ⋅ = − + = −
− − − ⋅ = − + =
− − − ⋅ = − + = +
− − − ⋅ = − + = +
120 60 1 120 60 60
120 60 2 120 120 0
120 60 3 120 180 60
120 60 4 120 240 120
Km
Km
Km

EJERCICIO 7.
1.1.1.1.1. x x x+ =2 3
2.2.2.2.2. 8 9 17a a a+ =
3.3.3.3.3. 11 9 20b b b+ =
4.4.4.4.4. − − = −b b b5 6
5.5.5.5.5. − − = −8 9m m m
6.6.6.6.6. − − = −9 7 16m m m
7.7.7.7.7. 4 5 9a a ax x x
+ =
8.8.8.8.8. 6 8 141 1 1
a a ax x x+ + +
+ =
9.9.9.9.9. − − = −+ + +
m m mx x x1 1 1
5 6
10.10.10.10.10. − − =−− − −
3 42 2 2
a a ax x x
11.11.11.11.11.
1
2
1
2
1 1
2
2
2
a a a a a+ =
+
= =
12.12.12.12.12.
3
5
1
10
6
10
7
10
ab ab
ab ab
ab+ =
+
=
13.13.13.13.13.
1
3
1
6
2 1
6
3
6
1
2
xy xy xy xy xy+ =
+
= =
14.14.14.14.14. − − =
− −
= − = −
1
5
4
5
1 4
5
5
5
xy xy xy xy
15.15.15.15.15. − − =
− −
= −
5
6
1
8
20 3
24
23
24
2 2 2 2
a b a b a b a b
16.16.16.16.16. − − =
− −
= −a a a a
7
8
8 7
8
15
8
17.17.17.17.17. 8 9 6 23a a a a+ + =
18.18.18.18.18. 15 20 36x x x x+ + =
19.19.19.19.19. − − − = −7 8 9 24m m m m
20.20.20.20.20. − − − = −a b a b a b a b2 2 2 2
3 5
21.21.21.21.21. a a a ax x x x
+ + =3 8 12
22.22.22.22.22. − − − = −+ + + +
5 3 5 131 1 1 1
a a a ax x x x
23.23.23.23.23. a a a a a+ + =
+ +
=
1
2
2
3
6 3 4
6
13
6
24.24.24.24.24. − − − =
− − −
= −x x x x x
2
3
1
6
6 4 1
6
11
6
25.25.25.25.25.
1
5
3
10
2 3 10
10
15
10
3
2
ax ax ax ax ax ax+ + =
+ +
= =
26.26.26.26.26. − − − =
− − −
= −
3
4
5
6
9 10 12
12
31
12
2 2 2 2 2
a x a x a x a x a x
27.27.27.27.27. 11 8 9 11 39a a a a a+ + + =
28.28.28.28.28. m m m m mx x x x x+ + + + +
+ + + =1 1 1 1 1
3 4 6 14
29.29.29.29.29. − − − − =−x y x y x y x y x y2 2 2 2 2
8 9 20 38
30.30.30.30.30. − − − − = −3 5 6 9 23a a a a am m m m m
31.31.31.31.31.
1
2
1
4
1
8
4 2 1 8
8
15
8
a a a a a a+ + + =
+ + +
=
32.32.32.32.32.
2
5
1
2
1
10
1
20
8 10 2 1
20
21
20
ax ax ax ax ax ax+ + + =
+ + +
=
33.33.33.33.33. 0 5 0 6 0 7 0 8 2 6, , , , ,m m m m m+ + + =
34.34.34.34.34. − − − −
=
− − − −
= − = −
1
7
1
14
1
28
4 2 1 28
28
35
28
5
4
ab ab ab ab
ab ab ab
35.35.35.35.35. − − − −
=
− − − −
= −
2
3
1
6
1
9
1
12
24 6 4 3
36
37
36
3 3 3 3
3 3
x y x y x y x y
x y x y
36.36.36.36.36. ab ab ab ab ab ab2 2 2 2 2 2
7 9 21 39+ + + + =
37.37.37.37.37. − − − − − = −m m m m m m8 7 3 20
38.38.38.38.38. − − − − − = −+ + + + + +
x x x x x xa a a a a a1 1 1 1 1 1
8 4 5 19
39.39.39.39.39.
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
30 20 15 12 10
60
87
60
29
20
a a a a a
a a a
+ + + +
=
+ + + +
= =
40.40.40.40.40. − − − − −
=
− − − − −
= −
1
3
1
6
1
2
1
12
1
9
12 6 18 3 4
36
43
36
ab ab ab ab ab
ab ab
EJERCICIO 8
1.1.1.1.1. 8 6 2a a a− =
2.2.2.2.2. 6 8 2a a a− = −
3.3.3.3.3. 9 15 6ab ab ab− = −
4.4.4.4.4. 15 9 6ab ab ab− =
5.5.5.5.5. 2 2 0a a− =
6.6.6.6.6. − + =7 7 0b b
7.7.7.7.7. − + =14 32 18xy xy xy

8.8.8.8.8. − + =25 32 72 2 2
x y x y x y
9.9.9.9.9. 40 51 113 3 3
x y x y x y− = −
10.10.10.10.10. − + =m n m n m n2 2 2
6 5
11.11.11.11.11. − + =15 40 25xy xy xy
12.12.12.12.12. 55 81 263 2 3 2 3 2
a b a b a b− = −
13.13.13.13.13. − + =x y x y2 2
0
14.14.14.14.14. − + =9 9 02 2
ab ab
15.15.15.15.15. 7 7 02 2
x y x y− =
16.16.16.16.16. − + =101 118 17mn mn mn
17.17.17.17.17. 502 405 97ab ab ab− =
18.18.18.18.18. − + = −1024 1018 6x x x
19.19.19.19.19. − + =15 15 0ab ab
20.20.20.20.20.
1
2
3
4
2 3
4
1
4
a a a a− =
−
= −
21.21.21.21.21.
3
4
1
2
3 2
4
1
4
a a a a− =
−
=
22.22.22.22.22.
5
6
5
12
10 5
12
5
12
2 2 2 2
a b a b a b a b− =
−
=
23.23.23.23.23. − + =
− +
=
4
7
9
14
8 9
14
1
14
2 2 2 2
x y x y x y x y
24.24.24.24.24.
3
8
5
4
3 10
8
7
8
am am am am− =
−
= −
25.25.25.25.25. − + =
− +
= −am am am am
3
5
5 3
5
2
5
26.26.26.26.26.
5
6
7
8
20 21
24
1
24
mn mn mn mn− =
−
= −
27.27.27.27.27. − + =
− +
= −a b a b a b a b2 2 2 23
11
11 3
11
8
11
28.28.28.28.28. 3 4 5 6 2 24 3 4 3 4 3
, , ,a b a b a b− = −
29.29.29.29.29. − + =12 3 4 2 2, , ,yz yz yz
30.30.30.30.30. 4 2 2a a ax x x
− =
31.31.31.31.31. − + =+ +
8 8 01 1
a ax x
32.32.32.32.32. 25 32 71 1 1
m m ma a a− − −
− = −
33.33.33.33.33. − + =+ +
x xa a1 1
0
34.34.34.34.34. − + =
− +
=− − − −1
4
1
2
1 2
4
1
4
2 2 2 2
a a a am m m m
35.35.35.35.35.
5
6
7
12
10 7
12
3
12
1
4
1 1 1 1 1
a a a a am m m m m+ + + + +
− =
−
= =
36.36.36.36.36. 4
1
3
12 1
3
11
3
2 2 2 2
a a a a− =
−
=
37.37.37.37.37. − + =
− +
= −5
3
4
20 3
4
17
4
mn mn mn mn
38.38.38.38.38. 8 25 172 3 2 3 2 3
a b a b a bx x x x x x+ + + + + +
− = −
39.39.39.39.39. − + =
− +
=
7
8
7 8
8
1
8
a b a b a b a bm n m n m n m n
40.40.40.40.40. 0 85 0 5 0 35, , ,mxy mxy mxy− =
EJERCICIO 9
1.1.1.1.1. 9 3 5 11a a a a− + =
2.2.2.2.2. − + − =8 9 0x x x
3.3.3.3.3. 12 23 5 16mn mn mn mn− − = −
4.4.4.4.4. − + − =x x x19 18 0
5.5.5.5.5. 19 10 6 15m m m m− + =
6.6.6.6.6. − − + =11 15 26 0ab ab ab
7.7.7.7.7. − + − = −5 9 35 31a a a aX X X X
8.8.8.8.8. − − + =+ + +
24 15 39 02 2 2
a a aX X X
9.9.9.9.9.
2
3
1
3
2 1 3
3
0
3
0y y y y y+ − =
+ −
= =
10.10.10.10.10. − + − =
− + −
= −
3
5
1
4
1
2
12 5 10
20
17
20
m m m m m
11.11.11.11.11.
3
8
1
4
3 2 8
8
3
8
2 2 2 2 2
a b a b a b a b a b+ − =
+ −
= −
12.12.12.12.12. − + + − =a a a a a8 9 15
13.13.13.13.13. 7 11 20 31 15ab ab ab ab ab− + − = −
14.14.14.14.14. 25 50 11 14 02 2 2 2
x x x x− + + =
15.15.15.15.15. − − − + =xy xy xy xy xy8 19 40 12
16.16.16.16.16. 7 21 80 53ab ab ab ab ab+ − − = −
17.17.17.17.17. − + + − =−25 11 60 82 362 2 2 2 2
xy xy xy xy xy
18.18.18.18.18. − + − + =72 87 101 243 157ax ax ax ax ax
19.19.19.19.19. − − − + =82 71 53 206 0bx bx bx bx
20.20.20.20.20. 105 464 58 301 03 3 3 3
a a a a− + + =

21.21.21.21.21.
1
2
1
3
1
4
1
5
30 20 15 12
60
13
60
x x x x x x− + − =
− + −
=
22.22.22.22.22.
1
3
1
3
1
6
1
12
4 4 2 1
12
1
12
y y y y y y− + − =
− + −
=
23.23.23.23.23.
3
5
1
6
1
3
18 5 10 30
30
7
30
2 2 2 2
2 2
a b a b a b a b
a b a b
− + −
=
− + −
= −
24.24.24.24.24. − − + −
=
− − + −
= − = −
5
6
1
6
3
8
20 4 24 9
24
9
24
3
8
2 2 2 2
2 2 2
ab ab ab ab
ab ab ab
25.25.25.25.25. − + − + − = −a a a a a a8 11 15 75 64
26.26.26.26.26. − + + − + =7 21 14 30 82 80c c c c c c
27.27.27.27.27. − + − − + =mn mn mn mn mn mn14 31 20
28.28.28.28.28. a y a y a y a y a y2 2 2 2 2
7 93 51 48 0− − + + =
29.29.29.29.29. − + − + − + =a a a a a a a3 6 3
30.30.30.30.30.
1
2
2
3
7
6
1
2
3 4 7 3 6
6
3
6
1
2
x x x x x
x x x
+ − + −
=
+ − + −
= − = −
31.31.31.31.31. − + + + −
=
− + + + −
= − = −
2
3
4
1
4
5
6
48 18 6 24 20
24
20
24
5
6
x x x x x
x x x
32.32.32.32.32. 7 30 41 9 73 0a a a a ax x x x x
− − − + =
33.33.33.33.33. − + − − + =+ + + + + +
a a a a a ax x x x x x1 1 1 1 1 1
7 11 20 26
34.34.34.34.34. a a a a a a a+ − + − + =6 20 150 80 31 88
35.35.35.35.35. − − − − − + = −9 11 17 81 110 9b b b b b b b
36.36.36.36.36. − + + − − + = −a b a b a b a b a b a b a b2 2 2 2 2 2 2
15 85 131 39 162
37.37.37.37.37. 84 501 604 715 231 165
1340
2 2 2 2 2 2
2
m x m x m x m x m x m x
m x
− − − + +
= −
38.38.38.38.38.
5
6
2
3
1
4
5
8
4
20 16 6 15 96
24
111
24
37
8
4
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 5
8
3 2
a b a b a b a b a b
a b a b
a b a b
+ − − +
=
+ − − +
=
= =
39.39.39.39.39. 40 81 130 41 83 91 16 28a a a a a a a a− + + − − + = −
40.40.40.40.40. − + − + − − − =21 52 60 84 31 23 0ab ab ab ab ab ab ab
EJERCICIO 10
1.1.1.1.1. 7 6 9 4
7 6 13 9 4 13
13 13
a a b b
a a a b b b
a b
+ − −
+ = − − = −
= −
2.2.2.2.2. a b c b c c a
a a b b c c c
+ − − − + −
− = − = − − + =
=
2
0 0 2 0
0
3.3.3.3.3. 5 11 9 20 1
5 20 25 11 12 9 1 10
25 12 10
x y x y
x x x y y y
x y
− − + − −
+ = − − = − − − = −
= − −
4.4.4.4.4. − + + − − − −
− − − = − − = − = −
= − + −
6 8 5 6 11
6 6 13 8 7 5 11 6
13 7 6
m n m n m
m m m m n n n
m n
5.5.5.5.5. − + + − + + −
− + = + − = − + =
=
a b b c a c b
a a a b b b c c
a
2 2 3 2 3
3 2 2 3 0 2 2 0
2
6.6.6.6.6. − + − + + + −
− + + = + − = −
= −
81 19 30 6 80 25
81 80 0 19 6 25 0 30
30
x y z y x x y
x x x y y y z
z
7.7.7.7.7. 15 6 8 20 5 31
15 8 8
6 5 12 20 31 11
8 12 11
2 2 2
2 2 2 2
2
a ab a ab a ab
a a a a
ab ab ab ab
a ab
− − + − − + −
− + =
− − − = − − = −
= − −
8.8.8.8.8. − + − + − + − −
− − + − =
+ − − = −
= −
3 4 6 81 114 31
3 6 31 21
4 81 114 30
21 30
a b a b b a a b
a a a a a
b b b b b
a b
9.9.9.9.9. − − + + − +
− + − + = −
− + =
= −
71 84 50 84 45 18
71 50 45 18 48
84 84 0
48
3 4 2 3 4 2 3 3
3 3 3 3 3
4 2 4 2
3
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b
a b
10.10.10.10.10. − + − + + + − − − − − +
− + − = − + − =
− − + = − − = −
= − −
a b c a b c a b c
a a a a b b b
c c c
a
8 2 2 19 2 3 3 3 3
2 3 2 2 3 0
2 3 0 8 19 3 14
2 14

11.11.11.11.11. m mn m mn m m m m
m m m m m m m m mn mn mn
m m mn
2 2 3 2 2 3
3 3 3 2 2 2 2 2
3 2
71 14 65 115 6
6 7 14 115 129 71 65 6
7 129 6
+ − − + − − +
+ = − − − = − − =
= − +
12.12.12.12.12. x y x y x y x y x y x y x y x y y
x y x y x y x y x y x y x y x y
x y x y y
x y x y y
4 3 2 2 4 2 3 2 3 2 4 3
4 4 4 4 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 3
4 3 2 3
8 10 7 9 21 50
8 21 14 7 7
0 10 9 50 31
14 7 31
− + − − − + − − + − +
− + = − + − = −
− = − − − + =
= − − +
13.13.13.13.13. 5 3 8 5 50 4 65 90 7
8 7 0 3 4 0 5 5 0 50 65 90 25
25
1 2 3 1 2 2 3 3
3 3 3 2 2 2 1 1
a b c a b b c c
c c c b b b a a
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
− − − − + − − + + +
− + + = − + − = − = − − + = −
= −
14.14.14.14.14. a x a x a x
x x x x a a a a
x a
m m m m m m
m m m m m m m m
m m
+ + + + + +
+ + + + + + + +
+ +
− − + − + − + −
− + − = − − + = − − + − = −
= − − −
2 3 2 3 2 3
3 3 3 3 2 2 2 2
3 2
5 8 3 5 6 5
5 5 3 5 8 6 3
3
15.15.15.15.15. 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 9 3 3 3
0 3 0 6 3 2 7 0 4 0 7 3 3 3 0 5 0 9 3 3 4
2 7 3 3 3 4
, , , , , ,
, , , , , , , , ,
, , ,
a b c a b c a b c
a a a a b b b b c c c c
a b c
+ + − − − + − −
− + = − − = − − − = −
= − −
16.16.16.16.16.
1
2
1
3
2 3
3
4
1
6
3
4
1
2
1
2
2
3
4
2 8 3
4
7
4
1
3
3
1
6
2 18 1
6
17
6
3
4
1
2
3 2
4
1
4
7
4
17
6
1
4
a b a b a b
a a a a a b b b b b
a b
+ + − − − + −
+ − =
+ −
= − − =
− −
= − − =
−
=
= − +
17.17.17.17.17.
3
5
2
1
10
1
3
2 2
3
5
1
10
2
6 1 20
10
13
10
2
1
3
2
6 1 6
3
1
3
13
10
1
3
2 2 2
2 2 2 2 2
2
m mn m mn mn m
m m m m m mn mn mn mn mn
m mn
− + − + −
+ − =
+ −
= − − − + =
− − +
= −
= − −
18.18.18.18.18. − + − + − + − −
− + =
− +
= − − =
− −
= −
− + − =
− + −
= − = −
= − −
3
4
1
2
5
6
2
3
4
1
6
1
3
2
3
4
7
3
9 28
12
19
12
1
2
3
4
2
2 3 8
4
9
4
5
6
1
6
1
3
5 1 2
6
6
6
19
12
9
4
2 2 1
3
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
a ab b a ab b b ab
a a a a ab ab ab ab ab
b b b b b b
a ab b

19.19.19.19.19. 0 4 31
3
8
0 6
2
5
0 2
1
4
6
0 4
2
5
2 2
5
0
3
8
0 2
3 16
8
14
8
0175
0 6
1
4
2 4 1
4
14
4
0 35 31 6 25
0175 0 35 25
2 2 3 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2 3
, , ,
, ,
, ,
,
,
, ,
,
, ,
x y xy y x y xy y
x y x y x y xy xy xy xy xy
y y y y y
xy y
+ + − − − + −
− =
−
= − =
−
= =
− + =
− +
= − = − − =
= − +
20.20.20.20.20.
3
25
7
50
3
5
1
25
0 2
1
5
3
25
3
5
0 2
3 15 5
25
13
25
7
50
1
25
1
5
7 2 10
50
1
50
13
25
1
50
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
1 2
a b a b a b
a a a a a b b b b b
a b
m m m m m m
m m m m m m m m m m
m m
− − − − − −
− − − − − − − − − −
− −
− + − − +
+ − =
+ −
= − − + =
− − +
=
= +
,
,
EJERCICIO 11
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4
1.1.1.1.1. 3 3 1 2 6ab= ⋅ ⋅ =
2.2.2.2.2. 5 5 1 2 3 5 8 3 1202 3 2 3
a b c= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
3.3.3.3.3. b mn2 2
2
1
2
1
3
4
6
2
3
= ⋅ ⋅ = =
4.4.4.4.4. 24 24
1
2
1
3
1
4
6
1
27
1
4
6
108
1
18
2 3
2 3
m n p=











 ⋅ = ⋅ ⋅ = =
5.5.5.5.5.
2
3
2
3
1 2
1
2
2
3
4
1
8
8
24
1
3
4 2 3 4 2
3
a b m = ⋅ ⋅ ⋅





 = ⋅ ⋅ = =
6.6.6.6.6.
7
12
7
12
3
1
4
1
2
189
12
1
16
1
2
189
384
63
128
3 2 3
2
c p m= ⋅ ⋅





 ⋅ = ⋅ ⋅ = =
7.7.7.7.7. m n pb c a
=











 ⋅ = ⋅ ⋅ =
1
2
1
3
1
4
1
4
1
27
1
4
1
432
2 3
8.8.8.8.8.
5
6
5
6
1
1
2
5
6
1
2
5
12
1 2 2 1
3 2
a mb c− − −
−
⋅ = ⋅ ⋅





 = ⋅ =
9.9.9.9.9. 2 2 2 3 4 9 36 62 2
bc = ⋅ ⋅ = ⋅ = =
10.10.10.10.10. 4 12 4
1
2
12 2 3 2 216 2 6 1223 23 3
m bc⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
11.11.11.11.11. mn a b⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = =8
1
2
1
3
8 1 2
1
6
64
8
6
4
3
4 3 4 3
12.12.12.12.12.
4
3
4 1
3 2 3
4
18
2
9
a
bc
=
⋅
⋅ ⋅
= =
13.13.13.13.13. 5
5 2
1
2
1
3
1
4
20
1
4
1
12
5
1
12
60
2 2
2
2
b m
np
=
⋅ ⋅






⋅
=
⋅
= =
14.14.14.14.14.
3
4
2
3
3
4
2
2
3
3
3 8
4
2 9
3
24
4
18
3
6
6
1
3
2
3
2
b
c
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
= = =
15.15.15.15.15.
2 2
1
2
1
3
1
1
9
1
1
3
32 2
m
n
=
⋅






= = =
16.16.16.16.16.
24
2
24
1
2
1
3
2
1
3
1
4
24
6
2
1
9
1
16
4
2
1
144
4
2
1
12
4
1
6
24
2 2 2 2
mn
n p⋅
=
⋅ ⋅
⋅












=
⋅ ⋅
=
⋅
=
⋅
= =

17.17.17.17.17. 3 64
2
3 64 2 3
2
1
2
3 64 8 729 3 373 248 3 72 216
3 63 3 63
3 3⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
b c
m
.
18.18.18.18.18.
3
5
3
2
125
3
5
1
1
4
2
3
2
125 2
1
2
3
5
4
4
3
2
250
2
3
5
1
3
2
125
3
5
3
2
5
3
5
15
2
6
75
2
25
2
3
2
3 3
3
⋅
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
= = =
apb
bm
EJERCICIO 12
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 3 b = 4 c = 1/3 d = 1/2 m = 6 n = 1/4
1.1.1.1.1. a ab b2 2 2 2
2 3 2 3 4 4 9 24 16 1− + = − ⋅ ⋅ + = − + =
2.2.2.2.2. c cd d2 2
2 2
2
1
3
2
1
3
1
2
1
2
1
9
1
3
1
4
4 12 9
36
25
36
+ + =





 + ⋅ ⋅ +





 = + + =
+ +
=
3.3.3.3.3.
a
c
b
d
+ = + = + =
3
1
3
4
1
2
9 8 17
4.4.4.4.4.
c
d
m
n
− + = − + = − + =
− +
= −2
1
3
1
2
6
1
4
2
2
3
24 2
2 72 6
3
64
3
5.5.5.5.5.
a b m2 2 2 2 2 2
3 2 6
3
3
4
2
6
6
9
3
16
2
36
6
3 8 6 1− + = − + = − + = − + =
6.6.6.6.6.
3
5
1
2
2
3
5
1
3
1
2
4 2
1
2
1
5
2 1
1 10 5
5
4
5
c b d− + = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
− +
= −
7.7.7.7.7.
ab
n
ac
d
bd
m
+ − =
⋅
+
⋅
−
⋅
= + − = + − =
+ −
= =
3 4
1
4
3
1
3
1
2
4
1
2
6
12
1
4
1
1
2
2
6
48 2
1
3
144 6 1
3
149
3
49 2
3
8.8.8.8.8. b n m+ + = + + ⋅ = + + =
+ +
= =6 4
1
4
6 6 2
1
2
6
4 1 12
2
17
2
8 1
2
9.9.9.9.9. c a d b n d3 16 8
1
3
3 3
1
2
16 4
1
4
8
1
2
1
3
3
1
2
16
1
4
2 1 8
1
2
2 16 1
2
13
2
62 2 1
2
− + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
− +
= − = −
10.10.10.10.10.
m
d
a
b =






= = ⋅ =
6
1
2
216
1
16
216 16 3456
3
4 .

111111.1.1.1.1. 3
4
4
3
1
3
4
4
1
4
6
1
3
4
1
4
6
1
12
1
24
2 1
24
3
24
1
8
2
2
2 2
c
n
m
+ =






+






= + = + =
+
= =
12.12.12.12.12.
4
2
16
2
1 2
1
2
8
1
4
1
2
4
8
16
1
1
2
1
2
1 1 1 0
2 2 2 2
d n
+ − = ⋅





 + ⋅





 − = + − = + − = − =
13.13.13.13.13.
a b
c
b m
d
+
−
+
=
+
−
+
= − = − =
3 4
1
3
4 6
1
2
7
1
3
10
1
2
21 20 1
14.14.14.14.14.
b a
n
m b
d
a
−
+
−
+ =
−
+
−
+ ⋅ = + + = + + =5
4 3
1
4
6 4
1
2
5 3
1
1
4
2
1
2
15 4 4 15 23
15.15.15.15.15.
12
2
16 1
12
1
3
3
2 4
16
1
4
3
6
1
1
2
4 3
8
4 3
6
2
1
8
1
6
2
3 4 48
24
47
24
123
24
c a
b
n a
m d
−
−
−
+ =
⋅ −
⋅
−
⋅ −
+ =
−
−
−
+ = − + =
− +
= =
16.16.16.16.16. 4
3
3
6
6
4 4
3 3
3
6 6
6
16
9
3
36
6
4
3
3
6
6
4 1 1 4b
a m
+ − = ⋅ +
⋅
−
⋅
= + − = + − = + − =
17.17.17.17.17. b d c d+
−
+
=
+ ⋅
−
⋅ + ⋅
=
+
−
+
= − =
−
=
2
2
3 8
4
4 2
1
2
2
3
1
3
8
1
2
4
2 1
2
1 2
4
3
2
3
4
6 3
4
3
4
18.18.18.18.18.
2
3
3 2
4
2 3 4
3
3 2
1
2
4
3
1
4
2 144
3
3
9
4
4
3
1
2
2 12
3
3
3
2
4
3
2
24
3
9
2
4
3
2
8
9
8
3
2
64 9 12
8
61
8
7
2 2 2 2 2
2
5
8
⋅
+
⋅ +
− ⋅ =
⋅ ⋅
+
⋅ +






− ⋅ =
⋅
+
⋅
− ⋅
=
⋅
+
⋅
− = + − = + − =
+ −
= =
a b d
a n
EJERCICIO 13
Para los problemas 1 al 24 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 m = 1/2 n = 2/3 p = 1/4 x = 0
1.1.1.1.1. ( ) ( )a b c d+ ⋅ − = + ⋅ − = ⋅ − = − =1 2 3 4 3 3 4 9 4 5
2.2.2.2.2. ( )( ) ( )( )a b b a+ − = + − = ⋅ =1 2 2 1 3 1 3
3.3.3.3.3. ( )( )b m c n a− − + = −





 −





 + ⋅ =
−





−




 + = ⋅ + = + =
+
= =4 2
1
2
3
2
3
4 1
4 1
2
9 2
3
4
3
2
7
3
4
7
2
4
7 8
2
15
2
72 2 1
2
4.4.4.4.4. ( )( ) ( )( )2 3 4 2
1
2
3
2
3
4
1
4
2 1 2 1 4 3 5 152 2
m n p b+ + = ⋅ + ⋅





 ⋅ +





 = + + = ⋅ =
5.5.5.5.5. ( )( )( ) ( ) ( )4 8 6 4
1
2
8
1
4
1 2 6
2
3
4 2 2 3 0 02 2 2 2
m p a b n d+ + − = ⋅ +





 + ⋅ −





 = + ⋅ ⋅ =

6.6.6.6.6. ( )( )( )( ) ( )( )( )c b d c b a m p− − − − = − − − −





 = ⋅ ⋅
−




 =3 2 4 3 2 1
1
2
1
4
1 1 1
2 1
4
1
4
7.7.7.7.7. ( ) ( ) ( )b c d a m n x2 2 2 2 5
62 2 3 4 1
1
2
2
3
2 0 4 7
3 4
6
28
7
6
168 7
6
161
6
26+ − + + = + − +





 + ⋅ = ⋅ −
+




 = − =
−
= =
8.8.8.8.8. ( ) ( ) ( )2 6 4 2
1
2
0 6 2 3 4 4 6 4 9 4 16 6 13 64 78 64 142 2 2 2 2 2
mx b c d+ + − = ⋅ ⋅ + + − ⋅ = + − ⋅ = ⋅ − = − =
9.9.9.9.9.
8
9
16 8
1
2
9
2
3
16
1
4
2
1
4
18
3
4
2
4
6
2
2
3
2
2 6
3
8
3
2 2
3
m
n
p
b
a+





 =
⋅
⋅
+
⋅










⋅ = + = + = + =
+
= =
10.10.10.10.10. ( ) ( ) ( )x m a d cb c a
+ + − = + + − = + − = ⋅ =0
1
2
1 4 3
1
2
1 64 3
1
2
62 312 3 1
11.11.11.11.11. ( )4
4
1
2
1
4
1
1 2
3
4
2 1
4
1 4
9
4
3
4
5
9
3
5
9
27
5
5
2 2
2
2 2
2
2
5
m p
a
a b
c
+
÷
+
=
+






÷
+
=
+




 ÷
+
= ⋅ ÷ = = =
12.12.12.12.12. ( )( )( )
( )( )( )
2 3 4 8 6 4 9 20
2
1
2
3
2
3
4
1
4
8
1
4
6
2
3
4
1
2
9
2
3
20
1
4
1 2 1 2 4 2 6 5 4 4 11 176
m n p p n m n p+ + + − +
= ⋅ + ⋅ + ⋅





 ⋅ + ⋅ − ⋅





 ⋅ + ⋅





 = + + + − + = ⋅ ⋅ =
13.13.13.13.13. ( ) ( ) ( )c m n d m p b n p2 2 2
2 2 2 2
12
1
63
1
2
2
3
4
1
2
1
4
2
2
3
1
4
9
7
6
16
3
4
4
11
12
21
2
12
44
12
126 144 44
12
26
12
2 2
+ − + + +
= +





 − +





 + +





 = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
− +
= = =
14.14.14.14.14.
c d
a d
m
2 2 2 2
1
2
2 3 4
1
2
4
1
2
9 16
1
2
2
1
2
25
1
2
2
1
2
5
1
2
5
2
2
+
÷







 =
+
÷







 ⋅ =
+
÷





 ⋅ = ÷





 ⋅ = ⋅ = =
15.15.15.15.15. ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
4 2 18 24 2 8 2 40
4
1
4
2 2 18
2
3
24
1
4
2 8
1
2
2 40
1
4
1 1 4 12 6 2 4 2 11 5 6 2 66 30 132 162
p b n p m p a+ − + + +
= ⋅ + ⋅





 ⋅ − ⋅





 + ⋅ +





 ⋅ +





 = + − + + = ⋅ + ⋅ = + =
16.16.16.16.16.
a
d
b
d b
m
p
+
−
⋅
+
=
+
−
⋅
+












=
+
⋅
+
= ⋅
+
= ⋅
+
= ⋅ = ⋅ = =
5
2
1
4
2
4 2
5
2
1
2
1
4
2 4
2
2
5
2
1
4
1
16
6
2
2
5 8
1
16
3
2
5 8
1
16
3
2
13
1
16
3
2
208
624
2
312
2
2
2
2
17.17.17.17.17. ( ) ( )a b c b m n+ ⋅ + − ⋅ = + ⋅ + ⋅ − ⋅





 = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = − =
−
= = =2 2 2
2
4
6
2
38 1 2 3 8 2
1
2
2
3
3 25
1
2
2
3
3 5
2
6
15
2
6
90 2
6
88
6
14 14
18.18.18.18.18.
( ) ( )
a c n
b
c d p
+
+





 ÷ + ⋅ =
+
+
⋅












÷ + ⋅ = +





 ÷ ⋅ = =
2
6 1 3
2
6
2
3
2
3 4
1
4
4
2
4
2
7
1
2
2
7
2
4
7

19.19.19.19.19. ( ) ( )
( ) ( )
3 32 2 16
2
3 3 2 32
1
2
2 4 1 16
1
4
2
2
3
3 16 6 4
6
2
3 4 6 2 3 12 12 3 3
c b m d a p
n
− ⋅ − − ⋅ −
= − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = − − = −
20.20.20.20.20.
( )
( )
6
2 8
3
2
6 1 2 3
2 8 2
3
1
2
2
3
2 2 1
3 4
2
3
1
4
1 2 3
36
2 16
1
2
2
6
6
8
1
2
1
3
18 12 8
24
22
24
11
12
abc
b
mn
b a
cdnp
abc⋅
+
−
−
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
+
⋅ ⋅
−
−
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
⋅
+ − = + − =
+ −
= =
21.21.21.21.21. ( )( ) ( )( )a b
b a
a b a b
2 2
2 2
2 2
2 2
2
33 2 3
1 2
2 1
3 1 2 2 1 3 2
5
3
3 3 8
5
3
72
5 216
3
221
3
73
+
−
+ + + =
+
−
+ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ = + =
+
= =
22.22.22.22.22. b
a b b c n m
2
2
2
2
2 2
1
2
1 1 1 1 1 1
2
1
1
1
2
1
2
1
3
1
2
3
1
1
2
4
3
2
5
6
3
2
2 4
5
4
7
2
21
4
49
4
70
4
35
2
17
+ +





 +





 + +






= + +





 +





 + +










= + ⋅





 + +





 = + +





 = + = = =
23.23.23.23.23.
( )( )
( )( )
2 3 4 2 4
2
1
2
3
2
3
4
1
4
2 3 4
1
2
2
3
1 2 1 6 4
1
4
4
9
3 7
4
9
21
4
9
189 4
9
185
9
20
2 2
2 2
5
9
m n p c m n+ + −
= ⋅ + ⋅





 ⋅ + ⋅





 −











 = + + − ⋅ ⋅ = ⋅ − = − =
−
= =
24.24.24.24.24.
b
c
ab m
n
b m
2 2
3
2
2
3
3
2 1 2
1
2
2
3
2
1
2
3
4
1
2
2
3
3
2
3
7
2
4
9
6
7
4
9
54 28
63
26
63
−
−
−
−
=
−
⋅ ⋅ −
−
−
=
−
− = − = − =
−
=
EJERCICIO 14
1.1.1.1.1. a b m+ +
2.2.2.2.2. m b x2 3 4
+ +
3.3.3.3.3. a a+ +1 2;
4.4.4.4.4. x x− −1 2;
5.5.5.5.5. y y y+ + +2 4 6; ;
6.6.6.6.6. ( )$ a x m+ +
7.7.7.7.7. m n−
8.8.8.8.8. ( )bs x. − 6
9.9.9.9.9. ( )x m Km−
10.10.10.10.10. ( )$ x a m+ −
11.11.11.11.11. ( )m a b c Km− − −
12.12.12.12.12. ( )$ n − 300
13.13.13.13.13. ( )365− x días
14.14.14.14.14. $ ; $15 ; $8a a ma
15.15.15.15.15. 2 3
2
a b
c
+ +
16.16.16.16.16. a b m⋅ 2
17.17.17.17.17. 23 2
n m
18.18.18.18.18. x m2 2
19.19.19.19.19. ( ) ( )$ ; $3 6a b ax bm+ +
20.20.20.20.20. ( )( )a b x y+ +
21.21.21.21.21. ( )$ 8 48x +
22.22.22.22.22. ( )( )bs a x. − +8 4
23.23.23.23.23.
75
x
sucres
24.24.24.24.24. $
a
m

25.25.25.25.25.
3 000
1
.
n
colones
−
26.26.26.26.26.
x
a
soles
−3
27.27.27.27.27.
m
m
14
28.28.28.28.28.
x
a
km
h
+1
EJERCICIO 15
29.29.29.29.29. $
a b
m
+
−2
30.30.30.30.30. x x
x
hab+ +





2
2
.
31.31.31.31.31. 1000
3
2
4
. − + +











a
a a
sucres
1.1.1.1.1. m n m n, → +
2.2.2.2.2. ( )m n m n m n, − → + − = −
3.3.3.3.3. − → − +3 4 3 4a b a b,
4.4.4.4.4. 5 6 6 5b a a b, → − +
5.5.5.5.5. ( )7 6 7 6 7 6 1, − → + − = − =
6.6.6.6.6. − → − + =6 9 6 9 3,
7.7.7.7.7. − → − +2 3 2 3x y x y,
8.8.8.8.8. ( )5 5 5mn m mn m mn m, − → + − = −
9.9.9.9.9. 5 7 5 7 12a a a a a, → + =
10.10.10.10.10. ( )− − → − + − = − − = −8 5 8 5 8 5 13x x x x x x x,
11.11.11.11.11. − → − + = −11 8 11 8 3m m m m m,
12.12.12.12.12. 9 15 9 15 6ab ab ab ab ab, − → − = −
13.13.13.13.13. − − → − − = −xy xy xy xy xy, 9 9 10
14.14.14.14.14. ( )mn mn mn mn mn mn mn, − → + − = − = −11 11 11 10
15.15.15.15.15.
1
2
2
3
1
2
2
3
a b a b, − → −
16.16.16.16.16.
3
5
3
4
3
5
3
4
b c b c, → +
17.17.17.17.17.
1
3
2
3
1
3
2
3
3
3
b b b b b b, → + = =
18.18.18.18.18. − − → − − = − = −
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
xy xy xy xy xy xy,
19.19.19.19.19. − −
− − = − = −
3
5
2
5
3
5
2
5
5
5
abc abc
abc abc abc abc
,
20.20.20.20.20. −
− + =
− +
= −
4
3
8
4
3
8
32 3
8
29
8
2 2
2 2 2 2
x y x y
x y x y x y x y
,
21.21.21.21.21.
3
8
3
4
3
8
3
4
3 6
8
3
8
mn mn
mn mn mn mn
, −
− =
−
= −
22.22.22.22.22. a b c a b c, , → + +
23.23.23.23.23. a b c a b c, ,− → − +
24.24.24.24.24. a b c a b c, ,− → − +2 2
25.25.25.25.25. 3 2 4 3 2 4m n p m n p, ,− → − +
26.26.26.26.26. a ab b a ab b2 2 2 2
7 5 7 5, ,− − → − −
27.27.27.27.27. x xy y x xy y2 2 2 2
3 4 3 4, ,− − → − −
28.28.28.28.28. x x y x x y3 2 3 2
6 6, ,− → − +
29.29.29.29.29. 2 3 2 3 5a b a a a b a b, ,− → + − = −
30.30.30.30.30. − − → − − + = − −m n n m n n m n, ,8 4 8 4 4
31.31.31.31.31. − − → − + − = −7 8 7 8a a b a a b a b, ,
32.32.32.32.32.
1
2
2
3
3
4
1
2
3
4
2
3
4 6
8
2
3
1
4
2
3
x y x
x x y x y x y
, , −
− + =
−
+ = − +
33.33.33.33.33. − − −
− − − =
− −
− = − −
3
5
2
3
3
5
2
3
3 5
5
2
3
8
5
2
3
m m mn
m m mn m mn m mn
, ,
34.34.34.34.34. − −
− − + + = − + +
7 5 3
7 5 3 8 5 3
2 2 2
2 2 2 2 2
a ab b a
a a ab b a ab b
, , ,

35.35.35.35.35. − + − − = −7 17 5 4 10 92 2 2
mn mn m m mn m
36.36.36.36.36. x x x y x y x x y3 3 2 2 3 2
7 8 4 5 6 4 5− − + + = − − +
37.37.37.37.37. 5 9 6 7 4 3 72 2 2 2 2
x x xy xy y x xy y− + − + = + +
38.38.38.38.38. − − + − −
= − − −
8 5 11 7
9 6 7
2 2 2 2 3
2 2 3
a b a b ab ab b
a b ab b
39.39.39.39.39. m m n m n mn n
m m n mn n
3 2 2 2 3
3 2 2 3
8 7 7
7
− + + −
= − + −
40.40.40.40.40.
1
2
1
4
2
3
1
5
6
2 1
4
10 3
15
6
1
4
13
15
6
a a b b
a b a b
− + + −
=
−
+
+
− = + −
41.41.41.41.41. a a b b c c b− − + − + =3 4 8 8
42.42.42.42.42. m m m m n m n mn
m m n mn
3 3 3 2 2 2
3 2 2
5 5 4 4 7
8 7
+ − − − −
= − −
43.43.43.43.43. 9 11 6 4 6 8 17 2x x y y z z x y z− − − + − = − −
44.44.44.44.44. 6 9 5 7 8 11
15 5 15 11
2 2 2 2
2 2
a a ab b b
a ab b
+ − − − −
= − − −
45.45.45.45.45. − + − + − −
= − −
x y x y xy xy y
xy y
2 2 2 2 3 3 4
3 4
5 7 4 8
2 4 8
46.46.46.46.46. 3
1
2
1
2
4 6
6 1
2
1 2
2
2
5
2
1
2
2
a a b b
a b a b
− + − − +
=
−
+
−
+ = − +
47.47.47.47.47.
1
2
3
4
2
3
1
3
5
6
5
6
2 3
4
2 1
3
5
4
1
3
2 2 2 2
2 2
x x xy xy y y
x xy x xy
+ + − + −
=
+
+
−
= +
48.48.48.48.48. 5 5 6 5 8 81 1 1 2 2
ax ax a a a a ax x x x x
− − + + + =+ + + + +
49.49.49.49.49.
3
4
2
3
1
3
1
3
5
3 4
4
3
3
1 15
3
7
4
16
3
2 2 2 2
2 2 2 2
x x xy xy y y
x xy y x xy y
+ − − + +
=
+
− +
+
= − +
50.50.50.50.50.
3
4
1
4
1
2
1
2
5
6
3 1 4
4
3 3 5
6
3
2
1
6
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b a b ab ab ab
a b ab a b ab
− + + + −
=
− +
+
+ −
= +
EJERCICIO 16
1.1.1.1.1. 3 2
2 3
5 5
a b c
a b c
a b
+ −
+ +
+
2.2.2.2.2. 7 4 5
7 4 6
a b c
a b c
c
− +
− + −
−
3.3.3.3.3. m n p
m n p
+ −
− − +
0
4.4.4.4.4. 9 3 5
4
5 4 9
3
x y
x y
x y
x
− +
− − +
− + −
5.5.5.5.5. a b c
a b c
a b c
b
+ −
+ −
− − +
2 2 2
3 3
2
6.6.6.6.6. p q r
p q r
p q r
r
+ +
− − +
+ −
−
2 6 3
5 8
4
7.7.7.7.7. − − +
− −
− + +
−
7 4 6
10 20 8
5 24 2
2
x y z
x y z
x y z
x
8.8.8.8.8. − + −
− +
− + −
− − −
2 3 6
3 8 8
5 10
4 4 8
m n
m n
m n
m n
9.9.9.9.9. − − −
− +
− + −
− −
5 2 3
7 3 5
8 5 3
6
a b c
a b c
a b c
a c
10.10.10.10.10. ab bc cd
ab bc cd
ab bc cd
ab
+ +
− − −
+ +
−
8 3 3
5 2 2
2
11.11.11.11.11. ax ay az
ax ay az
ax ay az
ay az
− −
− − −
+ +
+
5 7 6
4 9 8
12.12.12.12.12. 5 7 8
4 6
3 8 9
2 23
x y
x y
x y
x
− +
− − +
− + +
− +
13.13.13.13.13. − + −
− − +
− −
−
am mn s
am mn s
am mn s
am mn
6 4
5 6
3 5 2
4
14.14.14.14.14. 2 3
6 4
8
9 4
a b
b c
a c
a b c
+
−
− +
+ +
15.15.15.15.15. 6 3
4 5
5
5 7
m n
n p
m p
m n
−
− +
− −
−
16.16.16.16.16. 2 3
5 4
8 6
7 9
10 3 12 7
a b
c
a
c
a b c
+
+ −
+
+ −
+ + −
17.17.17.17.17. 2 3
5 9
6 4
3 5
8 5
x y
z
x
y
x z
−
+ +
−
−
+

21.21.21.21.21. 5 3 7
8 5 9
11 5 16
14 7
a a a
a a a
a a a
a a
x m n
x m n
x m n
x m
− −
− + −
− + +
− +
22.22.22.22.22. 6 7 5
4 7
5 3 12
5 11 6
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
m m m
m m m
m m m
m m m
a a a
a a a
a a a
a a a
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
− −
− −
− + +
− +
23.23.23.23.23. 8
3 4 2 3
4 5 3 4
9 2
3 2
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
y z u
+ + +
− − − +
+ + −
− − + +
+ +
7.7.7.7.7. m n
n mn
m n
m mn
2 2
2
2 2
2
4 3
5 5
4 3
+
+ −
− −
− −
8.8.8.8.8. 3
4 5
4 6
3 1
3
2
3 2
x x
x
x x
x
+
− +
− + −
−
9.9.9.9.9. x xy y
x xy y
x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 2
2 2
3
3 2
3
3 2
− +
− + −
+ −
+ −
10.10.10.10.10. a ab b
a ab b
a ab b
b
2 2
2 2
2 2
2
3
5
2 8
− +
+ − −
− + −
−
11.11.11.11.11. − + −
+ −
− − +
− + −
7 5 6
4 8 9
7 14
4 6 1
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
18.18.18.18.18. 8 3
5
7 4
19 3
a b c
a b c
a b c
a b c
a c
+ −
− +
− − −
− +
+
19.19.19.19.19. 7 2 4
9 6 5
3 6
8 3 5
15 7 3 10
x y
y z
y z
x y
x y z
+ −
+ − +
− + −
− −
+ − −
20.20.20.20.20. − − −
+ −
− + +
+ −
− + + −
m n p
m n
m p
m n
m n p
2 5
6 3 4
5 2 8
3 2 9
24.24.24.24.24. a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
a c
+ − +
− + −
− + − +
− − + −
− +
2 3 2
3 3 4
3 2
25.25.25.25.25. 5 3 4
2 2 3
2 4 3
3 6
2
ab bc cd
bc cd de
ab bc de
ab bc cd
ab
− +
+ + −
− + +
− − −
26.26.26.26.26. a b
b c
c d
a c
c d
a d
a d
a
−
−
+
−
−
− +
−
2
12.12.12.12.12. a a
a a
a a
a a a
3
3 2
2
3 2
4 5
2 6
7 4
2 11 15
− +
− +
+ − +
− − +
13.13.13.13.13. − + −
− +
− + −
− + −
x x
x x
x x
x x
2
3 2
3
2
6
7 5
8 5
8 9 6
14.14.14.14.14. a b
a b ab
a ab b
a a b ab b
3 3
2 2
3 2 3
3 2 2 3
5 4
7
2 5 11 2
−
+ −
− −
+ − −
15.15.15.15.15. x xy y
x x y y
x xy y
x x y xy y
3 2 3
3 2 3
3 2 3
3 2 2 3
5
2 4 5
4 5 3 5
+ +
− −
− −
− − −
16.16.16.16.16. − +
+ + −
− + +
+ +
7 4
6
7 5
6 8
2 3
3 2 3
3 2 3
2 3
m n n
m mn n
m m n n
mn n
1.1.1.1.1. x x
x x
x x
2
2
2
4
5
2
+
−
−
2.2.2.2.2. a ab
ab b
a ab b
2
2
2 2
2
+
− +
− +
3.3.3.3.3. x x
x
x x x
3
2
3 2
2
4
2 4
+
− +
− + +
4.4.4.4.4. a a
a a
a a a a
4 2
3
4 3 2
3
4
3 4
−
+ +
+ − +
5.5.5.5.5. − +
+
− + +
x x
x
x x x
2
3
3 2
3
6
3 6
6.6.6.6.6. x x
x
x
x x
2
2
2
4
7 6
3 5
4 11 1
−
− +
−
− +
EJERCICIO 17

17.17.17.17.17. x x x
x x
x x
x x x x
4 2
3 2
2
4 3 2
4 5
7 4 6
2 3 11
− +
+ − +
+ − +
+ + − +
18.18.18.18.18. + + +
+ − +
+ − −
+ + + − −
a a
a a
a a
a a a a a
6 4
5 3
3 2
6 5 4 3 2
6
3 8
14
2
19.19.19.19.19. x x
x x
x x
x x x x x
5
4 2
3
5 4 3 2
9
3 7 6
3 4 5
3 3 7 3 2
+ −
+ − +
− − +
+ − − − +
20.20.20.20.20. a a
a
a a
a
a a
3
2
2
2
3
5
4 7
8 6
5 1
+
+ +
+ +
− −
+ −
21.21.21.21.21. x x y
x y xy
xy y
x y
x x y x y xy y
4 2 2
3 3
3 4
2 2
4 3 2 2 3 4
5 6
4
4 6
5 5 2 6
−
− +
− +
− −
− − + + −
22.22.22.22.22. + +
− + −
− + +
− − +
− + −
x xy
x xy y
x xy y
x xy y
x xy y
2
2 2
2 2
2 2
2 2
4 7
6 5
6 4
7 7
23.23.23.23.23. a ax x
ax x a x
a x a x
a ax x
a x
3 2 3
2 3 2
3 3 2
3 2 3
3 3
8
6 5
3 5
14
5 2
− +
− − +
− −
+ −
−
24.24.24.24.24. − + −
+ − +
− + −
+ − −
− + − −
8 6
5
4 4 3
7 4 6
3 3 6 6
2 2 3
3 2 3
3 2 2
2 2
3 2 2
a m am m
a am m
a a m am
a m am
a a m am
25.25.25.25.25. x x y xy
x y x y y
x y xy y
x xy y
x x y x y x y
5 3 2 4
4 2 3 5
3 2 4 5
5 4 5
5 4 3 2 2 3
2 3
3 4
5 2
2 2 2 3
− −
+ + −
+ − −
+ +
+ + +
26.26.26.26.26. a a a
a a
a a
a a a
a a a
5 6 2
4 3
2
5 2
6 4 3
6
3 8 5
4 6 5
4
+ +
+ + +
+ − +
− − + −
+ + + +
27.27.27.27.27. a b
a b a b ab
a a b a b
a b a b b
a ab b
4 4
3 2 2 3
4 3 2 2
3 2 2 4
4 3 4
3 5 4
4 3 3
2 4
−
− + −
− + −
− + −
− − −
28.28.28.28.28. m n m n
n m n mn
m n mn
m n m n
mn
3 3 2
3 2 2
3 3 2
3 3 2
2
6
4 5
6
2 2
11
− +
+ − +
− +
− + −
29.29.29.29.29. a a
a a
a a
a a
a a a a
x x
x x
x x
x x
x x x x
−
+ +
+ +
+ −
+ − +
−
− −
− −
− −
− − −
3
5 6
7
13
6 3
2
1 3
3 4
1 3
1 2 4
30.30.30.30.30. − + +
− − +
− + −
+ − +
− + + −
⇒ − + −
+ +
+ − −
+ +
− − +
+ + +
+ + +
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a a
a a a a
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
1 2
3 1 2
3 2
1 2 2
1 3 2
3 2 1
3
4 5
2 3
3 2

EJERCICIO 18
1.1.1.1.1.
1
2
1
3
1
2
1
4
1
2
2 3
6
1
4
1
2
5
6
1
4
2
2
2 2 2 2
x xy
xy y
x xy y x xy y
+
+ +
+
+
+ = + +
2.2.2.2.2. a ab
ab b
ab b
a ab b a b
2
2
2
2 2 2 2
1
2
1
4
1
2
1
4
1
5
2 1 1
4
5 2
10
3
10
+
− +
− −
+
− −
+
−
= +
3.3.3.3.3. x xy
xy y
xy y
x xy y
x xy y x xy y
2
2
2
2 2
2 2 2 2
2
3
1
6
5
6
2
3
4 1 5
6
3 2
3
2
6
5
3
1
3
5
3
+
− +
− +
+
− −
+
+
= − + = − +
4.4.4.4.4.
3
4
1
2
2
5
1
6
1
10
1
3
3
4
4 1
10
3 1 2
6
3
4
3
10
2 2
2
2
2 2 2
x y
xy y
xy y
x xy y x xy
−
− +
+ +
+
− +
+
− + +
= −
5.5.5.5.5.
2
3
1
5
1
2
5
6
1
10
1
6
1
12
1
20
1
3
8 10 1
12
4 2 1
20
3 1 2
6
17
12
3
20
4
6
17
12
3
20
2
3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
a ab b
a ab b
a ab b
a ab b
a ab b a ab b
+ −
− +
− + −
+ −
+
− +
+
− + −
= + − = + −
6.6.6.6.6.
5
6
2
3
3
4
1
6
1
8
1
2
1
3
1
4
5
6
5 1 2
6
16 3 6
24
9 6 10
12
2
6
7
24
13
12
1
3
13
12
7
24
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
x y xy
x y xy
x y xy
x y xy
x y xy x xy y
− +
− + −
− + +
− −
+
− + +
+
− +
= − + ⇒ + −
7.7.7.7.7. a ab b
ab b a b
a b a b
a ab b a b
a ab b a b a a b ab b
3 2 3
2 3 2
3 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2 3 2 2 3
1
2
3
8
2
5
6
1
4
3
5
1
2
4 1
4
4 3
8
5 10 3
5
5 3
6
5
4
7
8
8
5
2
6
5
4
1
3
7
8
8
5
− +
− − +
− −
+
+
− −
+
− −
+
−
= − − + ⇒ + − −
8.8.8.8.8. x x
x x
x x x
x x x x
x x x x x x x x
4 2
3
4 3
4 2 3
4 2 3 4 3 2
5
3
2
3
3
8
3
5
5
6
3
4
5 3
5
2
4 5
6
3 6
8
2
5
2
9
6
9
8
2
5
3
2
9
8
2
− +
− + −
− + −
−
− + +
+
+
− −
= − + + − ⇒ + − − +
9.9.9.9.9.
2
3
1
4
2
5
1
8
3
5
1
6
1
2
2 3
3
2 1
8
2 3 5
5
1 3
6
5
3
1
8
6
5
2
6
5
3
1
3
1
8
6
5
3 2 3
2 3 2
3 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2 3 2 2 3
m mn n
mn n m n
m n m n
m mn n m n
m mn n m n m m n mn n
− +
+ − +
− −
+
+
− +
+
− −
+
−
= − − − ⇒ − − −
10.10.10.10.10. x x y y
x x y y xy
x y y x y
x x y y xy x y
x x y y xy x y
x x y x y xy y
4 2 2 4
4 2 2 4 3
2 2 4 3
4 2 2 4 3 3
4 2 2 4 3 3
4 3 2 2 3 4
2
2
7
5
6
3
8
1
14
1
6
1
4
1
7
5
6
6 5
6
16 3 2
8
4 1 2
14
1
6
5
6
1
6
17
8
5
14
1
6
5
6
1
6
5
6
17
8
1
6
5
14
+ +
− + − −
− + −
−
+
+ −
+
− +
− −
= + + − −
⇒ − + − +

11.11.11.11.11. x x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
5 3
5 2
3 2 4
3
5 3 2 4
5 3 2 4
5 4 3 2
2
3
4
5
3
1
10
3
8
1
6
1
4
2
3
1
12
3
5
4
2
8 2 1
12
8 1 6
10
3 2
8
2
3
4
2
7
12
13
10
1
8
2
3
4
2
2
3
7
12
1
8
13
10
4
− +
− − +
+ − −
− + −
− +
− + −
+
− +
+
−
− −
= − − + + − −
⇒ − − − + + −
12.12.12.12.12.
2
9
5
6
1
3
3
7
7
8
1
9
2
3
1
2
1
4
2 6
9
6 7
14
20 21 6
24
3 1
9
4
9
1
14
7
24
4
9
3 2 3
2 2 3
3 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
a ax x
a x ax x
a a x ax
a a x ax x
a a x ax x
+ −
− − −
− + −
−
+
− +
+
− −
+
− −
= − + − −
13.13.13.13.13. a a a
a a a
a a
a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
6 4 2
5 3
4 2
6 4 2 5 3
6 4 2 5 3
6 5 4 3 2
3
5
3
8
1
2
3
7
5
8
6
3
8
6
7 3
7
8 5
8
3
5
3
8
4 3
8
10
7
3
8
3
5
3
8
7
8
3
5
10
7
3
8
3
8
7
8
− +
+ − −
− − +
− −
+
− −
+
−
+ − +
− −
= − + + − −
⇒ + − − + −
14.14.14.14.14. x y
x y xy y
y x y x y
x y y x y
x x y xy y x y x y
x x y xy y x y x y
x x y x y x y xy y
5 5
3 2 4 5
5 4 2 3
3 2 5 4
5 3 2 4 5 4 2 3
5 3 2 4 5 4 2 3
5 4 3 2 2 3 4 5
1
10
3
4
1
6
1
9
3
5
5
6
2
5
1
3
2
1 4
10
3
4
18 3 2 6
18
3 10
5
5
6
3
10
3
4
29
18
13
5
5
6
13
5
3
10
5
6
3
4
29
18
−
+ − −
− + −
− − +
+
−
− +
− − − −
+
+
−
= − − − + −
⇒ + − − − −
EJERCICIO 19
a = 2 b = 3 c = 10 x = 5 y = 4 m = 2/3 n = 1/5
1.1.1.1.1. 4 5
3 6 8
2 8
2 4 8 8 8 0
x y
x y
x y
y
−
− + −
− +
−
⇒ ⋅ − = − =
2.2.2.2.2. x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
2
5 8
10 30
6 5 50
6 10 72
6 5 10 5 72 6 25 50 72
150 50 72 172
− +
− + −
− + −
− + −
⇒− ⋅ + ⋅ − = − ⋅ + −
= − + − = −
3.3.3.3.3. x y
x x y
x x y xy
x y x y x y xy
x x y x y xy y
4 4
4 2 2
4 3 3
4 4 2 2 3 3
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
2 5 8
4 7 10
5 8 7 10
7 5 10 8
5 7 5 4 5 5 4 10 5 4 4 8
625 28 125 5 25 16 50 64 256 8
625 3 500 2 000 3 200 256 8 3 811
−
− −
− + +
− − − − + +
⇒− + − + − −
= − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − −
= − + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − −
= − + − + − − =. . . .
4.4.4.4.4. 3 5 6
6 20 8
12 20 12
9 45 2
9
2
3
45
1
5
2
18
3
45
5
2 6 9 2 1
m n
m n
m n
m n
− +
− − +
− −
− +
⇒ ⋅ − ⋅ + = − + = − + = −

5.5.5.5.5. nx cn ab
nx cn ab
nx ab
nx cn ab
+ −
− −
− −
− − −
⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
= − − ⋅ −
= − − − = −
8 2
5
10 3 5
10
1
5
5 10
1
5
3 2 3 5
50
5
10
5
6 3 5
10 2 18 5 15
6.6.6.6.6. a b
a b ab b
a ab
a b b
a ab b
3 3
2 2 3
3 2
2 3
3 2 3
3 2 3
3 8
5 6 8
3 2
4 2 2 8
4 2 2 2 3 2 3 8
4 8 4 9 2 27 8
32 36 54 8 42
+
− + −
− − +
+ −
− + − +
⇒− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +
= − ⋅ + ⋅ − ⋅ +
= − + − + = −
7.7.7.7.7. 27 125
9 25
14 8
10 11
27 22 125 8
27
2
3
2
3
1
5
22
2
3
1
5
125
1
5
8
27
8
27
4
9
1
5
44
3
1
25
125
1
125
8
8
4
45
44
75
1 8
4
45
44
75
1
20 132
3 3
2 2
2
2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
m n
m n mn
mn
m n mn
m m n mn n
+
− +
− −
+ +
+ + + −
⇒ ⋅





 +





 ⋅ + ⋅ ⋅





 + ⋅





 −
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ −
= + + + − = + +
=
+ + 225
225
377
225
1152
225= =
8.8.8.8.8. x y m
x y m
y m
x y m
a b x
a b x
b x
a b x
− − −
− − −
− −
− − −
− −
−
+ +
− −
+ −
+ −
⇒ ⋅ + ⋅ −





 = + − =
1 2 4
1 2 4
2 4
1 2 4
2 1 3 2
5 4
2 2 2
3 2
3 2 3
3 5 2 4 3
2
3
15 8 2 21
9.9.9.9.9. n m
n m
n m
m
b x
b x
b x
x
− −
− −
− −
−
−
− +
− − +
+ −
⇒





 =





 =
1 3
1 3
1 3
3
5 3 2
8
5 3 10
4 5 18
2
3
2
3
4
9
10.10.10.10.10. x y xy
x y x x y
xy x y
xy y
x y xy x y
x x y xy y
3 3
3 4 2 2
3 2 2
3 4
3 3 4 4
4 3 3 4
4 3 3 4
5
5 6
6 2
3 1
6 4 2
6 4 2
5 6 5 4 4 5 4 4 2
625 24 125 20 64 256 2
625 3 000 1280 256 2 2 091
− +
− + −
− + +
+ + −
− + + −
⇒ + − − +
= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − +
= + ⋅ − ⋅ − +
= + − − + =. . .
11.11.11.11.11.
3
4
2
3
1
3
1
9
1
6
1
3
3
4
2 1
6
6 1 3
9
3
4
1
6
4
9
3
4
2
1
6
2 3
4
9
3
3
4
4
1
6
6
4
9
9 3 1 4 6
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
a b
ab b
ab b
a ab b
a ab b
+
− +
+ −
−
− +
+
+ −
= − +
⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
12.12.12.12.12.
9
17
25
34
1
4
7
34
5
17
1
2
15
7
34
1
4
30
3
18 7 7
34
25 10
34
1 2 1 12
4
45
18
34
35
34
12
4
45
9
17
45
35
34
3
9
17
2
3
45
2
3
1
5
35
34
1
5
3
9
17
4
9
90
15
35
34
1
25
3
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
m n
m n mn
m mn
m n mn
m n mn
m mn n
+ −
+ + −
− − −
+
+ −
+
+
+
− + − +
−
= + + −
⇒ − + +
=





 − ⋅ ⋅ +





 +
= ⋅ − + ⋅ +
= − + + = + −
=
+ −
= − = −
4
17
6
35
850
3
4
17
7
170
3
40 7 510
170
463
170
2 123
170

14.14.14.14.14. 0 2 0 4 0 5
0 6 0 3 0 8
0 4 0 8 6
0 2 15 0 9
01 01 6
01 01 6
01 2 3 2 3 01 3 6
0 3 4 2 9 01 27 6
12 18 2 7 6
25 5
3 2 2
2 2 3
3 2
3 2 3
2 2 3
2 2 3
2 2 3
, , ,
, , ,
, ,
, , ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
a ab a b
ab a b b
a a b
a a b b
ab a b b
a b ab b
+ −
+ − −
− − +
+ +
− + +
⇒− + + +
= − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= − ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= − + + +
=
13.13.13.13.13. 1
2
3
5
2
3
4
1
10
6
1
4
1
25
4
1
8
2
3
5
4 6 2 1
8
30 5 2 100
50
10 30 20 3
5
7
8
67
50
43
5
7
8
3
2
3
67
50
10
1
5
43
5
7 9 2
24
67
50
43
5
126
24
670
250
43
5
21
4
67
25
43
5
525 268 860
100
1 653
100
16
2
2
2
2
2
2 2
53
100
b m cn
b m cn
b m cn
b m cn
b m cn
b m cn
− −
− +
− + +
− + +
+ − −
+
− − + +
+
− + + +
⇒ + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
=
⋅ ⋅
+ + = + + = + +
=
+ +
= =
.
EJERCICIO 20
1.1.1.1.1. − − = −8 5 13
2.2.2.2.2. − − = −7 4 11
3.3.3.3.3. 8 11 3− = −
4.4.4.4.4. ( )− − − = − + =8 11 8 11 3
5.5.5.5.5. ( )− − − = − + =1 9 1 9 8
6.6.6.6.6. 2 3 2 3a b a b− = −
7.7.7.7.7. 3 2 3 2b b− = −
8.8.8.8.8. 4 6 4 6x b x b− = −
9.9.9.9.9. − − = − −5 6 5 6a b a b
10.10.10.10.10. ( )− − − = − +8 3 8 3x x
11.11.11.11.11. − − = − −9 5 9 52 2 2 2
a b a b
12.12.12.12.12. ( )− − − = − +7 5 7 5xy yz xy yz
13.13.13.13.13. 3 4a a a− = −
14.14.14.14.14. 11 25 142 2 2
m m m− = −
15.15.15.15.15. ( )− − − = − + = −6 6 52 2 2 2 2
x y x y x y x y x y
16.16.16.16.16. ( )11 7 11 7 183 2 3 2 3 2 3 2 3 2
a m a m a m a m a m− − = + =
17.17.17.17.17. ( )− − − = − + =8 8 8 8 02 2 2 2
ab ab ab ab
18.18.18.18.18. ( )31 46 31 46 772 2 2 2 2
x y x y x y x y x y− − = + =
19.19.19.19.19. ( )− − − = − + =84 84 84 84 02 2 2 2
a b a b a b a b
20.20.20.20.20. 3 5 3 51 2 1 2
a b a bx x x x+ + + +
− = −
21.21.21.21.21. − − = − −+ +
8 11 8 112 2
x xa a
22.22.22.22.22. ( )6 5 6 5 11a a a a an n n n n
− − = + =
23.23.23.23.23. ( )− − − = − + =− − − − −
45 60 45 60 151 1 1 1 1
a a a a ax x x x x
24.24.24.24.24. ( )54 86 54 86 1401 1 1 1 1
b b b b bn n n n n− − − − −
− − = + =
25.25.25.25.25. ( )− − − = − + =35 60 35 60 25m m m m ma a a a a
26.26.26.26.26. 5
1
2
5
1
2
10 1
2
11
2
5 1
2− −





 = + =
+
= =
27.27.27.27.27. − − =
− −
= −
2
3
3
4
8 9
12
17
12
28.28.28.28.28.
1
3
2
3
1
3
2
3
3
3
2 2 2 2 2 2
x x x x x x− −





 = + = =
29.29.29.29.29.
4
5
5
6
24 25
30
49
30
3 3 3 3
x y x y x y x y− −





 =
+
=
30.30.30.30.30. − − −





 =
− +
=
1
8
3
4
1 6
8
5
8
2 2 2 2
ab ab ab ab
31.31.31.31.31. − − = −2 3 5
32.32.32.32.32. ( )7 1 7 1 8− − = + =
33.33.33.33.33. ( )− − − = − + = −8 5 8 5 3
34.34.34.34.34. ( )5 4 5 4 9− − = + =
35.35.35.35.35. ( )− − − = − + =7 7 7 7 0
36.36.36.36.36. ( )2 5 2 5a a− − = +

37.37.37.37.37. − − = − −3 3x b x b
38.38.38.38.38. − − = − −2 5 2 5n m n m
39.39.39.39.39. ( )3 6 6 3b a a b− − = +
40.40.40.40.40. ( )8 5 5 83 3
b a a b− − = +
41.41.41.41.41. ( )− − − = − +7 9 7 9a a
42.42.42.42.42. ( )25 25 25 25ab ab− − = +
43.43.43.43.43. ( )3 3 4a a a a a− − = + =
44.44.44.44.44. ( )− − − = − + = −4 3 4 3b b b b b
45.45.45.45.45. ( )54 11 54 11 653 3 3 3 3
x x x x x− − = + =
46.46.46.46.46. 78 14 642 2 2
a b a b a b− =
47.47.47.47.47. ( )− − − = − + = −54 43 54 43 112 2 2 2 2
a y a y a y a y a y
48.48.48.48.48. − − = −ab ab ab9 10
49.49.49.49.49. ( )− − − = − + =31 31 31 31 02 2 2 2
x y x y x y x y
50.50.50.50.50. − − = −3 4a a ax x x
51.51.51.51.51. ( )311 7 311 7 3181 1 1 1 1
a a a a ax x x x x+ + + + +
− − = + =
52.52.52.52.52. 105 9 96m m mx x x
− =
53.53.53.53.53. − − = −− − −
31 18 491 1 1
a a ax x x
54.54.54.54.54. ( )− − − = − + = −236 19 236 19 217m m m m ma a a a a
55.55.55.55.55. − − = −+ + +
85 54 1392 2 2
a a ax x x
56.56.56.56.56. ( )1
4
6
1
4
6− − = +a a
57.57.57.57.57. ( )− − − =
− +
=
2
3
5
2 15
3
13
3
58.58.58.58.58. − −
=
− −
= − = −
7
10
3
8
56 30
80
86
80
43
40
3 3
3 3 3
m m
m m m
59.59.59.59.59.
5
6
11
12
10 11
12
21
12
7
4
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b a b
a b a b a b
− −






=
+
= =
60.60.60.60.60. − −
=
− −
=
−
= −
1
9
45
1 405
9
406
9
45
3 2 3 2
3 2 3 2 1
9
3 2
a b a b
a b a b a b
EJERCICIO 21
1.1.1.1.1. a b
a b
b
+
− +
2
2.2.2.2.2. 2 3
2
3 5
x y
x y
x y
−
−
−
3.3.3.3.3. 8
3 4
11 4
a b
a
a b
+
−
+ −
4.4.4.4.4. x x
x
x x
2
2
3
5 6
2 6
−
−
+ −
5.5.5.5.5. a a b
a b ab
a a b ab
3 2
2 2
3 2 2
7 9
8 9
−
− −
− −
6.6.6.6.6. x y z
x y z
− +
− + −
0
7.7.7.7.7. x y z
x y z
x y z
+ −
+ −
+ −2 2 2
8.8.8.8.8. x y xy
x y xy
x y xy
x xy y
2 2
2 2
2 2
2 2
3
3 4
2 2
2 2
+ −
− + +
− + +
⇒− + +
9.9.9.9.9. x x
x x
x x x
3 2
2
3 2
6
5 6 4
6 4
− +
− − +
− +
10.10.10.10.10. y y
y y y
y y y y
y y y y
2 3
2 4
2 4 3
4 3 2
6 8
3 2 6
4 2 6 6 8
2 6 4 6 8
+ −
− −
− + − −
⇒ − + + − −
11.11.11.11.11. a ab a
a a b
a ab a a b
a a b ab a
3 2
2
3 2 2
3 2 2
6 9
8 15 5
6 17 15 5
15 6 17 5
− +
+ − −
− + − −
⇒ − − + −
12.12.12.12.12. x xy y
y x y x y
x xy y x y x y
x x y x y xy y
4 3 4
4 3 2 2
4 3 4 3 2 2
4 3 2 2 3 4
9 11
20 8 6
9 31 8 6
8 6 9 31
+ −
− + +
+ − + +
⇒ + + + −
13.13.13.13.13. a b c d
a b c d
a b
+ + −
+ − +
+2 2
14.14.14.14.14. ab ac cd de
ab ac cd de
ab ac cd de
+ − −
− + + −
− + + −
2 3 5
8 4 5 5
7 6 2 10
15.15.15.15.15. x x x
x x x
x x x
3 2
3 2
3 2
6 9 19
6 11 21 43
5 17 30 24
+ − −
− + − +
− + − +

16.16.16.16.16. y y y
y y y y
y y y y y y y y y y
5 3 2
3 2 4
5 3 2 4 5 4 3 2
9 6 31
31 8 11 19
40 14 11 19 31 11 40 14 19 31
− + −
− + + +
− + + + − ⇒ + − + + −
17.17.17.17.17. 5 9 6 8
5 21 14 18
9 27 22 18 27 22 9 18
3 3 2 2
3 2 2
3 2 2 2 2 3
m n m n mn
m m n mn
n m n mn m n mn n
− + −
− + − +
− + − + ⇒ − − +
18.18.18.18.18. 4 19 6
25 51 32
29 32 38 29 38 32
3 3 4 2 2
3 3 2 2 4
3 3 4 2 2 4 4 3 2 2 3 4
x y xy y x y
x y xy x y x
x y xy y x y x x x y x y xy y
− + −
+ − +
+ + − + ⇒ + − + +
19.19.19.19.19. m m n m n
m n m n mn
m m n m n m n mn m m n m n m n mn
6 4 2 2 4
2 4 3 3 5
6 4 2 2 4 3 3 5 6 4 2 3 3 2 4 5
9 19
30 61 13 16
21 80 13 16 13 21 16 80
+ − +
+ + + −
+ + + + − ⇒ + + + − +
20.20.20.20.20. − + − +
+ + −
− + + + − − +
a b a b ab
a a b a b b
a a b a b a b a b ab b
5 3 3 5
6 4 2 2 4 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 18 42
8 11 11 9
8 11 6 11 18 9 42
21.21.21.21.21. 1 3 6
24 30 8 15
25 29 7 12 6 6 7 29 12 25
2 4 3 5
2 4 6
2 4 3 5 6 6 5 4 3 2
− + − + −
+ − − +
+ − − − − + ⇒ − − − + − +
x x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x x x
22.22.22.22.22. − + − + −
+ + − + −
− + + + − + − ⇒ + + − − + −
6 8 23 80 18
51 21 80 9
6 8 28 101 98 9 8 28 101 6 9 98
2 3 5 4 3 2
4 3 2 5 4
2 3 5 4 3 2 5 4 5 4 3 2 2 3 4 5
x y x x y x y
x y x y y xy
x y x x y x y y xy x x y x y x y xy y
23.23.23.23.23. m m n m n mn
m n m n mn n
m m n m n m n m n mn n
6 4 2 2 4 5
5 3 3 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
8 21 6 8
23 14 24 8 14
23 8 14 21 18 8 22
− + − +
− + − +
+ − − + + − +
24.24.24.24.24. x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
7 5 2
6 4 3
7 5 2 6 4 3 7 6 5 4 3 2
8 16 23 15
51 18 8 25 30
59 16 23 3 8 25 30 8 16 25 30 23 59 3
− + − −
− + + − +
− + − + + − + ⇒ + + − + − − +
25.25.25.25.25. 9 15 31 14
15 3 25 53 9
9 31 4 25 53 9 14 9 25 53 31 9 4 14
6 4 2 2 4 6
4 2 6 5 3 3 5
6 2 4 6 5 3 3 5 6 5 3 3 2 4 5 6
a a b a b b
a b b a b a b ab
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
− + − +
+ − − − +
+ − − − + + ⇒ − − + + − +
26.26.26.26.26.
a a a
a a a
a a
x x x
x x x
x x
+ −
− + +
− +
+ +
+ +
+
1 2
1 2
1
5 6
4 7

27.27.27.27.27. m m m
m m m m
m m m m m m m m m m
a a a
a a a a
a a a a a a a a a a
− +
− − −
− − − − ⇒ − + − − −
− −
− + −
− − + − + − − −
1 2
2 1 3
1 2 1 3 1 1 2 3
3
4 5 3 8
5 2 3 8 3 5 2 8
28.28.28.28.28. a a a a
a a a a
a a a a a a a a a a a a
m m m m
m m m m
m m m m m m m m m m m m
+ + −
+ − + +
+ + − + + + + + + −
− − +
+ + + +
+ − + + + ⇒ + + + − +
4 2 1
2 1 3 1
4 2 1 3 1 4 3 2 1 1
7 8 6
14 8 5 11
7 8 14 5 11 5 7 11 8 14
29.29.29.29.29. x x x x
x x x x
a a a a
a a a a
+ − −
− + −
+ − − + − + + − − −
− + +
− − + −
− − + + − ⇒ + − − + −
2 1 2
1 1 3
2 1 2 1 3 2 1 1 2 3
7 9 25
19 45 11 60
26 36 25 11 60 11 26 36 25 60
30.30.30.30.30. m m m m
m m m m m
m m m m m m m m m m m m
n n n n
n n n n n
n n n n n n n n n n n n
+ − − −
− − − −
+ − − − − + − − − −
− + −
− − − − −
− + − − − ⇒ − − + − −
1 2 3 5
2 3 5 4
1 2 3 5 4 1 2 3 4 5
6 8 19
5 6 9 8
11 2 28 8 8 11 2 28
EJERCICIO 22
1.1.1.1.1.
b a
b a
b a a b
−
−
− ⇒− +2 2 2 2
2.2.2.2.2. 2 3
4
x y
x y
x y
+
− +
+
3.3.3.3.3. − +
−
− + − ⇒− − +
7 5
5
2 5 2 5
a
a b
a b a b
4.4.4.4.4. − +
− +
− + + ⇒− + +
x
x x
x x x x
2
2
2 2
6
5
2 6 5 2 5 6
5.5.5.5.5. x y xy
xy x
x y xy x x x y xy
2 2
2 3
2 2 3 3 2 2
5
6 6
+
+ −
+ − ⇒ − + +
6.6.6.6.6. 7 5
6 8
5 8 8 5
2 2
2 3
2 2 3 3 2 2
a b ab
a b a
a b ab a a a b ab
+
− +
+ + ⇒ + +
7.7.7.7.7. − + −
− + −
− + −
a b c
a b c
a b c
2 3
2
2 3 5
8.8.8.8.8. − + +
+ − −
− + + ⇒ − +
3 4 5
2 3 4 3 2 4
n m p
n m p
n m p m n p
9.9.9.9.9. x y z
x y z
x y z
+ −
− +
+ −
3 6
2 2 5
10.10.10.10.10. − + +
− −
+ − ⇒ − + +
5 8
6 3
7 2 2 7
2 2
2 2
2 2 2 2
b ab a
b ab a
b ab a a ab b
11.11.11.11.11.
− − +
− + +
− +
5 6
3
6 9
2 2
2 2
2
m n mn
m n mn
m mn
12.12.12.12.12. − + −
+ − +
− + − + ⇒ − + −
8 5 4
6
8 6 10 8 6 10
2
3
2 3 3 2
x x
x x
x x x x x x

13.13.13.13.13. 14 8 16
14 9
8 7 8 7
2
2 3
3 3
m n
m m
n m m n
− +
− − −
− + − ⇒ − − +
14.14.14.14.14. 8 5 6
6
7 6
ab bc cd
ab bc cd
ab bc
+ +
− + −
+
15.15.15.15.15. a a b b
a b b ab
a a b ab
3 2 3
2 3 2
3 2 2
9
25 8
34 8
− −
− + +
− +
16.16.16.16.16. 6 8 6
6 4
6 8 7 6 4
3 2 2
2 3
3 2 2 3
x x y xy
xy y
x x y xy y
− −
− + −
− − + −
17.17.17.17.17. m n c
m n c d
n c d c d n
2
2
9 11 14
7 8
16 19 14 19 16 14
− + +
− − + −
− + + − ⇒ − − +
18.18.18.18.18. 5 9 40 6
7 8 5
5 2 8 45 5
4 3 3 4
3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
a a b ab b
a b a b ab b
a a b a b ab b
+ − +
− + − −
+ + − +
19.19.19.19.19. x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
5 4 2
2 3
5 4 2 3
5 4 3 2
8 25 15
6 7 6 9
8 19 22 6 9
8 6 19 9 22
− + +
− + − +
− + + − +
⇒ − − + + +
20.20.20.20.20. − − − +
− − − +
− − − + − +
⇒− − + − − +
3 8 19 18
6 25
9 8 44 18
8 9 44 18
4 3 2 5
4 5 5 2 3
4 3 2 5 5 2 3
5 3 2 2 3 4 5
xy x y y
xy y x x y
xy x y y x x y
x x y x y xy y
21.21.21.21.21. x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
3 4 2
3 2 5
3 4 2 5
5 4 3 2
6 8 9 15
25 18 46 25 11
24 6 26 37 10 11
11 6 24 26 10 37
− + − +
− + + − +
− − + + − +
⇒ − − + − +
22.22.22.22.22. a a b ab b
a b a b a b ab
a a b a b a b ab b
5 3 2 4 5
4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 5
26 8 6
8 15 45 8
8 27 15 53 14
− + − +
− − + + +
− − + + − +
23.23.23.23.23. y y y
y y y y
y y y y y y
y y y y y y
6 3 2
3 4 5
6 3 2 4 5
6 5 4 3 2
9
23 5 8 15 8
22 14 8 15 8
15 8 22 8 14
+ + +
− + − + +
− + + − + +
⇒ + − − + + +
24.24.24.24.24. x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
8 6 4 2
7 5 3
8 6 4 2 7 5 3
8 7 6 5 4 3 2
3 5 9
36 7 5 23 51
3 5 45 7 5 23 51
7 5 3 23 5 51 45
− + − −
− − − + −
− + − − − − + −
⇒ − − − + + − − −
25.25.25.25.25. x x y x y x y
x y x y y x y xy
x x y x y x y y x y xy
x x y x y x y x y xy y
7 5 2 4 3 2 5
4 3 2 5 7 3 4 6
7 5 2 4 3 2 5 7 3 4 6
7 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
3 35 8 60
60 90 50
3 95 7 60 90 50
3 95 90 7 50 60
− + − +
+ + − − +
− + − + − − +
⇒ − + − − + − +
26.26.26.26.26. a a
a a a
a a a a
a a a a
x x
x x x
x x x x
x x x x
+ +
+ +
+ + +
+ + +
− −
+ − +
− − − +
⇒ − − + −
3 1
1 2
3 1 2
3 2 1
8 5
5 6
3 5 6
3 6 5
27.27.27.27.27. − + + +
− − − −
− + + −
⇒− − + +
− − −
− − −
− − −
− − −
8 16 15
7 5 8
15 16 10 8
15 8 10 16
4 2 3
2 3 1
4 2 1
1 2 4
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
28.28.28.28.28. 15 5 6 41
9 18 31
15 14 6 59 31
15 14 31 6 59
3 2 1
2 1 1 4
3 2 1 1 4
4 3 2 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
a a a a
a a a a
a a a a a a
a a a a a a
+ + −
+ − + +
+ + − + +
+ + + + −
+ − +
+ + − +
+ − + − +
⇒ + + − − +
29.29.29.29.29. 9 21 26 14
5 12 8
14 33 26 14 8
14 33 26 8 14
1 2 3 5
1 2 4
1 2 3 5 4
1 2 3 4 5
a a a
a a a a
a a a a a
a a a a a
m m m m
m m m m
m m m m m m
m m m m m m
− − − −
− − −
− − − − −
− − − − −
− + +
− + +
− + + + +
⇒ + − + + +
30.30.30.30.30. − + − − +
+ + +
− + + − − +
+ + − −
+ + + −
+ + + + − −
15 50 14 6 8
23 6
15 23 56 14 5 8
3 1 1 2
4 2 1 1
4 3 2 1 1 2
m m m m m
m m m m
m m m m m m m
x x x x x
x x x x
x x x x x x x

EJERCICIO 23
1.1.1.1.1. 1
1
2
− +
− +
a
a
2.2.2.2.2. 0
8
8
− +
− +
a
a
3.3.3.3.3. −
− − +
− − − ⇒ − − −
9
3 5
3 4 3 4
2
2 2
a a
a a a a
4.4.4.4.4. +
− + −
− + ⇒ −
16
5 16
5 5
2
2 2
xy x
xy x x xy
5.5.5.5.5. 1
1 1
3 2 2
3 2 2 3 2 2
− + −
− + − ⇒− + − +
a a b ab
a a b ab a a b ab
6.6.6.6.6. x
x x y xy
x x y xy
3
3 2 2
3 2 2
8 6
2 8 6
+ +
+ +
7.7.7.7.7. a
a b ab b
a a b ab b
3
2 2 3
3 2 2 3
8 6
8 6
+ − +
+ − +
8.8.8.8.8. +
− +
− + +
y
x y x y xy
x y x y xy y
4
3 2 2 3
3 2 2 3 4
5 7 8
5 7 8
9.9.9.9.9. m
m am a m a m a
m am a m a m a
4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
5 18 7
4 18 7
− + − − +
− + − − +
10.10.10.10.10. 16
14
30 30
− + − −
− + − − ⇒ − − − +
b a c d
b a c d a b c d
11.11.11.11.11. x
xy y
x xy y x xy y
2
2
2 2 2 2
1
1 1
−
− −
− − − ⇒ − − −
12.12.12.12.12. a
a b ab b
a a b ab b
3
2 2 3
3 2 2 3
6
5 8
5 8 6
+
− + −
− + − +
13.13.13.13.13. x y
x y xy
x x y xy y
3 3
2 2
3 2 2 3
5 17 5
5 17 5
+
+ − +
+ − + +
14.14.14.14.14. x
x y x y xy
x x y x y xy
4
3 2 2 3
4 3 2 2 3
1
9 8 15
9 8 15 1
−
− + +
− + + −
15.15.15.15.15. a b
a b a b a b ab
a a b a b a b ab b
a a b a b a b ab b
5 5
4 2 3 3 2 4
5 4 2 3 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
11 2 8 4
11 2 8 4
11 8 2 4
+
+ − − +
+ − − + +
⇒ + − − + +
16.16.16.16.16. x x
x x
x x x x
4 2
3
4 3 2
50
5 25
5 25 50
+ +
− +
− + + +
17.17.17.17.17. y y
y y y y
y y y y y y
y y y y y y
6
5 4 3 2
6 5 4 3 2
6 5 4 3 2
41
9 17 18
41 9 17 18
9 17 18 41
+ −
− − + −
+ − − − + −
⇒ − − + − + −
18.18.18.18.18. a a b a b
a b a b ab b
6 4 2 2 4
5 3 3 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
9
15 17 14
15 9 17 14
+ +
+ − + +
+ + − + + +
19.19.19.19.19. x x x
x x
x x x x x x x x
4 3
2
4 3 2 4 3 2
11
5 34
16 34 16 34
+ −
− + +
+ − + + ⇒ + + − +
20.20.20.20.20. m
m n mn n
m m n mn n
3
2 2 3
3 2 2 3
1
7 3
7 3 1
−
− − +
− − + −

EJERCICIO 24
1.1.1.1.1.
1
2
1
4
1
3
2
5
2 1
4
1
3
2
5
3
4
1
3
2
5
2
2 2
2 2
2 2
a
a ab b
a ab b
a ab b
+ −
+
+ −
= + −
2.2.2.2.2. 15
4
5
2
3
5
9
4
5
2
3
135 5
9
4
5
2
3
140
9
4
5
2
3
15 5
9
− − +
− − +
+
= − − +
= − − +
xy yz
xy yz
xy yz
xy yz
3.3.3.3.3.
3
5
1
6
3
4
2
9
18 5
30
3
4
2
9
3
4
13
30
2
9
bc
bc ab cd
bc ab cd
ab bc cd
− + +
−
+ +
⇒ + +
4.4.4.4.4.
1
2
2
3
4
5
2
9
1
2
5 8
10
6 2
9
1
2
3
10
8
9
1
2
a b
a b
a b
a b
−
− − +
−
−
+
+
= − − +
5.5.5.5.5.
5
9
3
8
1
10
5
7
3
11
5
9
30 8
80
5
7
3
11
5
9
38
80
5
7
3
11
5
9
5
7
19
40
3
11
2 2
2
2 2
2 2
2 2
x y
y xy
x y xy
x y xy
x xy y
−
− − +
−
+
− +
= − − +
⇒ − − +
6.6.6.6.6.
5
6
2
9
1
5
1
2
3
8
5
6
10 9
45
1
2
3
8
5
6
1
2
3
8
19
45
3 3
3 2 2
3 3 2 2
3 2 2 3
m n
n m n mn
m n m n mn
m m n mn n
+
+ + −
+
+
+ −
⇒ + − +
7.7.7.7.7.
3
7
1
3
3
5
5
14
1
2
1
8
6 5
14
2 3
6
1
14
1
6
3
5
1
8
2 2
2
2
2 2
a ab b
a ab
a ab
a ab b
+ −
− − +
−
+
−
− − +
8.8.8.8.8.
3
8
5
6
1
10
3
5
3
10
2
15 24
40
50 18
60
1 20
10
39
40
68
60
21
10
39
40
17
15
21
10
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
x xy y
x xy y
x xy y
x xy y x xy y
+ −
+ −
+
+
+
−
+
= + − = + −
9.9.9.9.9. a a a
a a
a a a
a a a
3 2
2
3 2
3 2
5
6
7
8
9
10
7
8
8 7
8
10 9
10
20 21
24
15
8
19
10
1
24
+ − +
+ − −
+
+
−
+
+
−
= + − −
10 .10 .10 .10 .10 . m mn n
mn n m n
m mn n m n
m m n mn n
3 2 3
2 3 2
3 2 3 2
3 2 2 3
7
12
4
7
5
9
5
21
1
8
21 20
36
4 7
7
5
21
1
8
5
21
1
36
11
7
1
8
+ −
− − + +
+
−
−
+
+ +
⇒ + + − +

12.12.12.12.12.
1
2
3
5
7
8
8
9
7
20
1
8
1
9
7
8
1
2
12 7
20
7 1
8
8 1
9
7
8
1
2
19
20
8
8
9
9
7
8
1
2
19
20
7
8
a b c d
b c d
a b c d
a b c d
a b c d
+ − +
+ − + −
+
+
−
+
+
+
−
= + − + −
= + − + −
6.6.6.6.6. 5
8
1
4
1
3
7
8
6
5
6
5
8
2 7
8
1 18
3
5
6
5
8
9
8
19
3
5
6
5
6
5
8
9
8
19
3
2 2
2 3
2 2 3
2 2 3
3 2 2
a b ab
ab a
a b ab a
a b ab a
a a b ab
+ −
+ − −
+
+
−
+
−
= + − −
⇒− + + −
7.7.7.7.7.
2
11
5
14
1
3
6
7
8
2
9
2
11
20 49
56
3 2
9
6
2
11
29
56
5
9
6
3 2 2 3
4 2 2 3
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
m n m n mn
m m n mn
m m n m n mn
m m n m n mn
+ + −
− +
+ +
−
+
+
−
= + − + −
8.8.8.8.8. − + + + −
− + −
− +
−
+ +
+
−
+
= − − + + −
= − − + + −
7
8
1
14
2
3
1
3
7
1
2
3
7
1
8
2
9
1
2
7
8
1 6
14
2
3
8 3
24
63 2
9
1
2
7
8
5
14
2
3
11
24
65
9
1
2
7
8
5
14
2
3
11
24
7
4 3 2 2 3 4
5 3 2 4
5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 2
9
x y x y x y xy
x x y xy
x x y x y x y xy
x x y x y x y xy
x x y x y x y xy
1.1.1.1.1. 3
8
5
6
5
6
9 20
24
5
6
11
24
5
6
2
2
2 2
a a
a
a a a a
−
−
−
− = − −
2.2.2.2.2. 8 6 5
1
2
3
5
16 1
2
30 3
5
5
15
2
33
5
5
a b
a b
a b a b
+ −
− +
−
+
+
− = + −
3.3.3.3.3. x x y
x y
x x y x x y
3 2
2
3 2 3 2
2
3
6
7
9
6 7
9
6
1
9
6
+ −
−
+
−
− = − −
4.4.4.4.4. a b c
a b c
a b c a b c
+ −
− + −
−
+
+
−
+
= + −
1
2
3
4
2
3
2 1
2
4 3
4
3 2
3
1
2
7
4
5
3
5.5.5.5.5.
2
3
5
6
1
2
2 3
3
5 6
6
1 2
2
1
3
1
6
3
2
m n p
m n p
m n p m n p
+ +
− − +
−
+
−
+
+
= − − +
11.11.11.11.11.
3
5
3
4
5
7
2
3
5
8
1
3
5
6
3 5
5
3
4
5
8
15 7
21
4 5
6
2
5
3
4
5
8
8
21
1
6
4 3 3 4
4 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
x x y xy y
x x y xy y
x x y x y xy y
x x y x y xy y
+ − +
− − + −
−
+ − −
−
+
−
= − + − − −
EJERCICIO 25

9.9.9.9.9.
7
9
2
3
1
8
2
13
7
9
1
11
7
9
6 7
9
1
8
11 1
11
2 13
13
7
9
13
9
1
8
12
11
15
13
5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 4 2 2 4 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 6 6 5 4 2 3 3 2 4 6
x y x y x y x y xy y
x x y x y xy y
x x y x y x y x y y x x y x y x y x y y
+ − − + +
− + − − +
− + +
+
− −
+
+
+
= − + + − − +
10.10.10.10.10.
1
3
7
9
5
8
7
11
2
5
2
3
1
6
3
4
6
1 2
3
14 3
18
5 6
8
7
11
2 30
5
11
18
1
8
7
11
32
5
3 2 2 3
3 2 2
3 2 2 3 3 2 2 3
x x y xy y
x x y xy
x x y xy y x x y xy y
− + − −
+ − −
+
−
−
+
−
− −
+
= − − − −
11.11.11.11.11.
3
10
3
7
5
9
2
13
7
20
5
14
1
3
3
5
2
13
6 7
20
6 5
14
5 3
9
3
5
2
13
13
20
11
14
2
9
3
5
4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
m n m n n
m m n m n n
m m n m n n m m n m n n
− +
+ − − +
+
+
−
+
+
−
+ = + − + +
12.12.12.12.12.
3
8
7
22
7
12
1
2
1
3
35
5
11
5
6
3
4
3
13
3
8
7 10
22
7 10
12
1
2
3
4
13 9
39
35
3
8
17
22
17
12
1
2
3
4
22
39
35
5 4 3 2 2 3 5
4 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
c c d c d c d d
c d c d cd d
c c d c d c d cd d
c c d c d c d cd d
+ + + − −
+ + − −
+
+
+
+
+ − −
+
−
= + + + − − −
EJERCICIO 26
a = 1 b = 2 c = 3 x = 4 y = 5 m = 3/2 n = 2/5
1.1.1.1.1. a ab
ab b
a ab b
2
2
2 2
2 2
3
4
1 4 1 2 2 1 8 4 11
−
− −
− −
= − ⋅ ⋅ − = − − = −
2.2.2.2.2. a b
b a b ab
a b a b ab a a b ab b
3 3
3 2 2
3 3 2 2 3 2 2 3
3 2 2 3
2 5 6
3 5 6 5 6 3
1 5 1 2 6 1 2 3 2 1 5 2 6 4 3 8
1 10 24 24 11
+
+ + −
+ + − ⇒ + − +
= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ⋅
= + − + =

3.3.3.3.3.
1
2
1
2
5
3
1 2
2
1
2
5
3
1
2
1
2
5
3
1
2
1
1
2
2
5
3
3
1
2
1 5
1 2 10
2
7
2
3 1
2
a
a b c
a b c a b c
− − +
−
− + = − − +
⇒− ⋅ − ⋅ + ⋅ = − − +
=
− − +
= =
4.4.4.4.4. 3 5
10 8
2 15 8 2 8 15
2
3
2
8
3
2
2
5
15
2
5
2
9
4
48
10
3
4
5
9
2
24
5
12
5
45 48 24
10
27
10
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
m n
m n mn
m n mn m mn n
−
− − −
− − ⇒ − −
=





 − ⋅ ⋅ −





 = ⋅ − − ⋅
= − − = =
− −
= −
5.5.5.5.5. x x y y
x y xy y
x x y x y xy y
4 2 2 4
3 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
18 15
16 6 9
16 18 6 6
4 16 4 5 18 4 5 6 4 5 6 5
256 80 64 18 16 25 24 125 6 625
256 5120 7 200 3 000 3 750 4 926
− +
+ −
+ − + +
= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
= + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
= + − + + =. . . . .
6.6.6.6.6. a am m
am m a m
a am m a m a a m am m
3 2 3
2 3 2
3 2 3 2 3 2 2 3
3 2
2 3
7
5 5 8
2 6 8 8 2 6
1 8 1
3
2
2 1
3
2
6
3
2
1
24
2
2
9
4
6
27
8
1 12
9
2
81
4
4 48 18 81
4
19
4
− +
+ + −
− + − ⇒ − − +
= − ⋅ ⋅ − ⋅





 +





 = − − ⋅ + ⋅
= − − + =
− − +
=
7.7.7.7.7.
2
3
7
8
1
5
1
6
1
10
4 1
6
7 8
8
2 1
10
1
2
1
8
1
10
1
2
1
1
8
1 2
1
10
2
1
2
2
8
4
10
1
2
1
4
2
5
10 5 8
20
3
20
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
a ab b
a ab b
a ab b a ab b
+ −
− − +
−
+
−
−
−
= − −
⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = − −
= − − =
− −
= −
8.8.8.8.8.
2
3
3
4
1
2
1
6
1
4
1
2
4 1
6
3 1
4
5
6
3
2
5
6
3
2
2
5
3
2
2
5
27
8
5
6
18
20
3
2
4
25
27
8
3
4
12
50
675 150 48
200
873
200
2 2 3
2 2 3 3
2 2 3 3 2 2
3 2 2
m n mn n
m n mn n m
m n mn m m m n mn
+ −
+ + +
+
+
+
+ = + +
=





 +





 ⋅ +





 = + ⋅ + ⋅
= + + =
+ +
=
9.9.9.9.9. a a b b
a b a b
a a b a b a b b
5 2 4 5
4 2 3 3
5 4 2 3 3 2 4 5
5 4 2 3 3 2 4 5
3
5
5 3
1 1 2 5 1 2 3 1 2 2
1 4 5 8 3 16 32 1 4 40 48 32 21
− +
− +
− + − +
= − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +
= − + ⋅ − ⋅ + = − + − + =
10.10.10.10.10. − + −
−
− + −
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= − + − = −
ab mn mx
ab
ab mn mx
10 8
15
16 10 8
16 1 2 10
3
2
2
5
8
3
2
4
32 6 48 74
11.11.11.11.11. a
a b ab b
a a b ab b
3
2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
11 9
11 9
1 11 1 2 9 1 2 2
1 22 36 8 7
− + −
− + −
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
= − + − =
12.12.12.12.12.
1
64
2
3
5
6
3
8
1
64
2
3
5
6
3
8
1
64
4
2
3
4
5
6
4
3
8
4
32
3
20
6
3
8
96 256 80 9
24
231
24
77
8
9
4
2
4 2
4 2
5
8
x
x x
x x x
− − +
− − +
= ⋅ − ⋅ − ⋅ +
= − − + =
− − +
= − = − = −

13.13.13.13.13. x x y xy
x xy y
x x y xy y
x x y xy y
3 2 2
3 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3
16
2
5
3
4
3
5
1
25
4 3
4
3
16
2 3
5
1
25
1
4
3
16
1
5
1
25
1
4
4
3
16
4 5
1
5
4 5
1
25
5
1
4
64
15
16
16
4
5
25
125
25
16 15 20 5 56
+ −
− + +
−
+ −
−
+
⇒ + + +
= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= + + + =
EJERCICIO 27
1.1.1.1.1. + +
− − − +
+ − − +
ab b a
a b a ab b
a ab b ab b
2 2
2 2 2 2
2 2 2
5 4
4 4
2.2.2.2.2. a
a
+
− + −
−
8 1
6 14
14 13
3.3.3.3.3. − +
+ +
− + + +
−
− − −
− − −
x xy
x y y
x x y xy y
x y
x x y xy y
x x y xy y
3 2
2 3
3 2 2 3
2
3 2 2 3
3 2 2 3
4
5
5 4
7
5 4
12 4
4.4.4.4.4. − + −
− + −
+ −
3 4 5
3 4 5 4
4 5 4
3 2 3 4
3 2 3 3
3 4 3
m n mn n m
m n mn n n
n m n
5.5.5.5.5. 8 9 3 6
7 9 3
5
a b c a
a b c a
a a
+ −
− − + −
6.6.6.6.6. a b c a b c
a b c a
a a b c
− + + −
− + −
− + −
2
2
14.14.14.14.14.
2
5
5
6
9
2 5
5
5 54
6
3
5
49
6
1
3
5
1
49
6
1
1
3
5
49
6
30 18 245
30
257
30
8
1 3 2
1 3 2
1 3
1 3
4 4 1 4 3
17
30
a a a a
a a a
a a a
a a a
x x x x
x x x
x x x
x x x
− − −
− − −
− −
− −
− −
+ − +
− + −
−
+ −
−
⇒ − +
= − ⋅ + ⋅
= − + =
+ − +
= =
7.7.7.7.7. − + − − +
− + − + −
− +
m n p m n p
m n p m n p
m n p
2 2 2
0
8.8.8.8.8. 9 5 3
9 7 25 25 6
6 25 24 5 3
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
ax a x ax a
ax a x x a
a x x ax a
− − +
− + + − −
+ − − −
9.9.9.9.9. 5 6 4 1
2 8 6 2 5 2 2
2 5 2 2 5 2 3
2 3
3 3 2
3 2 3 2
a a a
a a a a a
a a a a a a
+ − −
− + − − + −
+ − + − − + −
10.10.10.10.10.
5 9 4 1
11 7 6 11 2 9 6 4
11 2 9 6 4 12 2 9 6 5
3 2 4
4 3 4 3 2
4 3 2 4 3 2
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
− + −
− − − + + + −
− − − − + + + + −
11.11.11.11.11. 35 7 11
7 35 8 6 7 5
7 5 8 5
2 2 3 3
3 2 2 3 2
3 2 3 2 3
a b ab a b
a a b ab a ab
a ab a ab b
− − +
− − + + − +
− + − − + +
12.12.12.12.12. − + − +
− + −
− + + − +
− +
− − + −
+ − − + −
11 14 25 8
19 6 9 4
11 19 8 16 4
7 4
11 19 8 16 4
11 26 8 20 4
4 2
3 2
4 3 2
5 3
4 3 2
5 4 3 2
n n n
n n n
n n n n
n n n
n n n n
n n n n n

13.13.13.13.13. − + −
− − −
− − + − −
− +
− + + − + +
− + + − + +
6 5 6
7 5 11 6
7 11 11 5 6 6
8
7 11 11 5 6 6
6 11 3 5 7 6
3 3
4 3 2 2 4
4 3 2 2 3 4
4 2 2 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
a m am
a a m a m m
a a m a m am m
a a m m
a a m a m am m
a a m a m am m
14.14.14.14.14. − + −
− + + −
− − + + − −
− + +
+ − − + +
+ − − + +
4 13 9
6 8 2
6 4 8 13 8 2
30 40
6 4 8 13 8 2
7 4 38 13 48 3
4 2 3 4
5 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
x y x y xy
x x y xy y
x x y x y x y xy y
x x y xy y
x x y x y x y xy y
x x y x y x y xy y
15.15.15.15.15. a b a
a b a b
a b
+
− − +
2
2
2
16.16.16.16.16. 8 9 8 6 4
6 5 2
8 6 4 8 6 6
x x y
y
x y x y
+ + +
−
+ + + +
17.17.17.17.17. x y x xy y
xy y y
x xy y x xy y
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
6 7 34
7 40 9 16
7 34 7 43 16
− − +
− + −
− + − + −
18.18.18.18.18. 4 8 5 5
7 6 4
5 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a ab b a ab b
a ab b a ab b
a ab b a b
+ − + +
− + − − +
+ + +
19.19.19.19.19. x y
x y xy
x x y xy y
x x y xy y
x y
x x y xy y
3 3
2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
3 3
3 2 2 3
14 5
14 5
14 5
3 19
4 14 5 20
−
− +
− + −
− + −
−
− + −
20.20.20.20.20. x x y y x x y y
x y y x x y y
x x y y
4 2 2 4 4 2 2 4
2 2 4 4 2 2 4
4 2 2 4
6 2 32
8 31 2 32
2 32 0
− + − +
+ + − − −
+ +
21.21.21.21.21. − + +
+ − − −
− + + − −
− + + − −
+ + −
− + + − −
6
7 8 6
6 7 8 6
6 7 8 6
3 8 19
6 4 15 8 25
5 4 2
3 2
5 4 3
5 4 3
6 4 3
6 5 4 3
n n n
n n n
n n n n
n n n n
n n n
n n n n n
22.22.22.22.22. a a b ab
a b a b ab b
a a b a b ab b
a a b a b ab b
a b a b b
a a b a b a b ab b
5 3 2 4
4 3 2 4 5
5 4 3 2 4 5
5 4 3 2 4 5
4 2 3 5
5 4 3 2 2 3 4 5
3 6
22 10 11
22 7 5
22 7 5
5 7
17 7 7 5 2
− +
+ + − −
+ + − −
+ + − −
− + −
+ + + − −
23.23.23.23.23. 4 5 2 3 5 6 4
7 8 4 5
3 5 6 4 3 5 6 1
3 2 3 2
3 4
3 2 4 3 2
m m m m m m
m m m
m m m m m m m
− − − − + +
− + + −
− − + + − − + −
24.24.24.24.24. 7 11 2 8
7 11 8 4
2 8 2 4
2 2 2
2 2
2 2
a ab b b
a ab b
b b
− + −
− + + − +
− −
25.25.25.25.25. 3 4 5
7 8 11 5 6 2 11
2 7 2
5 6 2 11 6 7 11
a b c
a b a b c
a b c a b c
a b c a b
− +
− + − − + − −
− + − − + +
− + − − − + −
26.26.26.26.26. 5 14 19 8
9 1
3 1
5 17 10 6
3 5
2 8 17 10 1
3 2
5
4 2
5 4 3 2
4 3
5 4 3 2
a a a
a a
a a
a a a a a
a a
a a a a a
+ − +
+ −
− + −
− + + − +
− + −
− + + − +

27.27.27.27.27. m m n n
m n m n mn n
m m n m n mn n
m m n mn n
m m n m n mn n
m m n m n mn n
4 2 2 4
3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
10 15
11 14 3
11 4 3 16
6 7 8
11 4 3 16
5 11 11 11 17
+ +
− − − +
− − − +
+ + −
− + + + −
+ + + −
28.28.28.28.28. a a b ab b
a b a b ab b
a b a b ab
a a b a b a b ab b
a a b ab
a a b a b a b ab b
a a b a b a b ab b
5 3 2 4 5
4 2 3 4 5
3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 5
5 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
4 8
7 15 25 3
3 5
7 3 18 22 2
3 6 21 6
7 3 18 22 2
2 7 3 24 2 6
+ + −
− + − +
− + −
− + + − +
− − −
− + − − + −
+ − − + − −
EJERCICIO 28
29.29.29.29.29. x y
x y x y x y y
x x y x y x y
x x y x y x y xy y
x x y x y x y
x y x y xy y
5 5
4 3 2 2 3 5
5 4 3 2 2 3
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3
4 3 2 4 5
3 21 18
3 21 18
32 26 18 2
3 21 18
29 47 2
+
+ + −
+ + +
+ − + − +
− − − −
− − +
30.30.30.30.30. 3 6
7
4
8 7 12
4
8 7 5 13
1
1 2
1 2
2 1 1
1 2
2 1 1 2
a a
a a a
a a a
a a a a
a a a
a a a a a
x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x x
+
− +
− +
− − +
− + −
− − + −
−
− −
− −
+ + −
− −
+ + − −
6.6.6.6.6. a x x a x ax x
a ax a a x ax x
a a x ax x a a x ax x
a a x ax x
a a x ax x
a x ax
2 3 2 2 3
3 2 3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2
3 5 11 11
3 4 6 8
3 3 9 17 3
3 3
9 17 3
10 14
− − + −
+ − + +
+ + − − + −
+ + −
− + − +
−
7.7.7.7.7. x x
x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
4 2
3 3 2
4 2 4
4 3 2 4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
3
3 5 7 8 3 4
5 4 3
2 4 2 7 8 3 1
2 4 2
7 8 3 1
6 12 4 1
+ −
− − + − + − +
− + −
− − + + − + − +
− − + +
− + − + −
+ − + +
1.1.1.1.1. x x x x
x x
x x x x
2 2
2 2
5 4 2 1
2 6 6 2
2 1 2 2 3
+ − + −
− − + −
+ − + −
2.2.2.2.2. 3 5 7 4 6 2
3 8 3 7 7 3
4 6 2 7 7 3 3
a b c a b a b c
a b c b c a b c
a b c a b c a b c
− + + − −
− − − − − + +
− − − − − + +
3.3.3.3.3. x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
3 3 2
3 2 2 2
3 2 2 3 2
1 9 4 6 8
5 7 3 1 3 8 5
6 8 3 8 5 6 2 8 3
+ + − +
− + − − + − −
− + − + + + − +
4.4.4.4.4. a a a a
a a a a
a a a a a a a a
2 4 3 2
3 4
3 2 4 4 3 2
1 2
1 2
+ + +
− − − −
+ + − + + −
5.5.5.5.5. ab bc ac ab bc ac ab bc ac
bc ac ab bc ac ab ac
ab bc ac ab ac ab bc
+ + − + − + −
− + − − + + − −
− + − + − − −
5 3 4 6 9 9
7 8 9 3 5 4 9
6 9 9 4 9 3 6 9

8.8.8.8.8. m n
m n m n mn m m n m n mn n
m m n n m n mn m m n mn
m n m n mn n m m n mn m m n m n mn n
4 4
3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
4 2 2 4 2 2 3 4 2 2 3
3 2 2 3 4 4 2 2 3 4 3 2 2 3 4
17 4 7 6 17 2 7 81
6 80 4 2
17 2 7 81 2 17 3 8 81 2
−
− − − + + − −
− + − − + − + − −
+ − − − − + + + + − − −
9.9.9.9.9. + + −
− − + − − + − + − − +
− − + − − − + − + + +
− + − − + − + − − − − − − +
a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
3
5 4 2 4 3 2 5 4 3 2
2 3 2 4 3 2
5 4 3 2 4 3 2 5 3 2
7
6 8 4 11 10 27
5 11 26 16 8 7 15 12 7 7 15
11 10 27 12 7 7 15 11 4 3 42
10.10.10.10.10. 3 3 20 11 8
11 9 14 19 8 9 3 11 8 14
3 11 8 14 20 11 8 17 14
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x y x xy y x xy y
xy y x xy y x xy y
x xy y x xy y x
− − − − +
− + − − + − + − +
− + − − + +
11.11.11.11.11. a a
a a
a
a a
− −
− + −
− +
− +
1 3
1 4
0 3 8
2 1
2
2
12.12.12.12.12. a ab b
a ab b a ab b a ab b
a ab b ab b a ab b
a ab b a ab b ab b
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 8 7 9 3 4
5 11 17 8 7 2 9
2 9 4 5
− +
− + − + + − + −
− + − − − − +
− + − − + − − +
13.13.13.13.13. m
m m m m m m m
m m m m m m m m
m m m m m m m m m m m
4
3 2 5 5 4 2
2 4 2 4 3 2
4 3 2 5 4 2 5 4 3
1
8 6 5 16 16 7 19
7 1 16 7 3 7 13 5
7 13 5 16 7 19 17 13 24
−
− + − + − − + −
− − + − + − − + − + −
− + − + − + − − + + −
14.14.14.14.14. x y
x y x y x y y x y x y xy x x y x y x y xy y
x y xy xy x y x y xy
x x y x y x y xy y x y x y xy x x y x y x y xy y
5 5
4 3 2 2 3 5 4 3 2 4 5 4 3 2 2 3 4 5
3 2 4 4 4 3 2 4
5 4 3 2 2 3 4 5 4 3 2 4 5 4 3 2 2 3 4 5
2 5 7 3 7 11 2 2 7 6 4 8
7 6 8 1 7 10 1
2 2 7 6 4 8 7 10 1 9 7 4 4 7
−
− + − − − + − + + + − + +
− + − − − − + −
− − − + − − − + − − + + + + + +
15.15.15.15.15. − + −
− + − +
− − − + − + − + − − + − +
− + − + − + − + + − + − + −
− − + − + − + − − + − + + − − +
a a a
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a
6 4
5 3 2
4 3 4 2 5 4 3 2
3 2 5 3 2 6 5 4 3 2
6 5 4 3 2 5 4 3 2 6 5 4 3
7 8
3 11 4
6 11 2 8 3 7 8 5 5 3 7 48 58 13
5 5 4 1 5 7 41 50 8 3 5 4 14 13
3 5 4 14 13 5 3 7 48 58 13 8 4 2 44 2
44− a
16.16.16.16.16. a a x a x x
a x a x ax a x a x a x
a x ax x a
a a x a x a x ax x a a x a x a x x
a a x a x a x x
a a x a x a x ax x
5 3 2 3 2 5
4 2 3 4 4 3 2 2 3
3 2 4 5 5
5 4 3 2 2 3 4 5 5 4 3 2 2 3 5
5 4 3 2 2 3 5
5 4 3 2 2 3 4 5
7 9 18 4 8
20 21 19 9 17 11
9 7 80 36
20 2 21 26 71 9 11 4 28
9 11 4 28
20 2 21 26 71
11
− + + − −
− + − − − +
+ − + − +
− + + − + − − + + − +
− + + − +
− + − − + − +
a x a x a x ax x4 3 2 2 3 4 5
10 26 5 99− − + − +

1.1.1.1.1. a b a
a b a b
a b a b
a b a b
+
− + − −
−
+
+ −
−
= + = −
1
2
3
4
2
3
3
4
1
3
5
4
3 2
3
2 3
4
9 4
12
5
4
1
3
5
4
5
12
5
4
2.2.2.2.2.
3
8
6
1
2
3
5
5
6
3
5
5
6
3
5
3
8
6
5
6
3
5
3
8
6
3 5
6
3
8
6
4
3
3
8
6
3 2
3 2 3 2
3 2 3
3
a a a
a a a a a
a a a a a
a a
− +
− + − − +
− + + −
+
− +
= − +
3.3.3.3.3. a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
+ + +
− − + − +
−
+
−
+
−
+
+
+
= + + = + +
3
3
5
7
3
6
2
5
2
3
6
1
5
1
6
5 2
5
9 2
3
6
3 1
5
14 1
6
6
3
5
7
3
6
2
5
5
2
6
4.4.4.4.4.
1
3
3
7
1
5
1
14
2
9
6
1
3
6 1
14
2
9
1 30
5
1
3
5
14
2
9
31
5
5
6
1
3
5
14
2
9
31
5
5 2
6
5
14
2
9
31
5
7
6
5
14
2
9
6
3 2
2
3 2
3 2
3
3 2
3 2
3 2 1
5
x x
x x
x x x
x x x
x
x x x
x x x
x x x
− +
− +
−
−
− +
+
= − − +
−
− + + −
−
+
+ + −
= − + + −
EJERCICIO 29
5.5.5.5.5.
7
12
7
12
3
7
2
5
6
3
7
2
5
6
3
4
1
5
1
3
7
12
3
7
2
5
6
7 9
12
3
7
2
5
1
5
18 1
3
4
3
3
7
2
5
1
5
17
3
4 4 3 2
3 2 4
4 3 2 4 3 2
4 3 2
a a a a
a a a a
a a a a a a a
a a a a
− + −
− + − − +
− + −
+
− + − −
−
= − + − −
6.6.6.6.6. − + − −
− − + − + −
− +
−
−
+
+ + −
+
= − + − + = + −
1
2
2
3
1
4
5
9
2
5
1
9
2
5
3
1
2
5
9
13
20
3
1
2
6 1
9
5 8
20
3
1
2
13
20
2 15
5
1
2
5
9
13
20
3
1
2
13
20
17
5
x y z y
y z x y z
x y z x z
x y z x z
7.7.7.7.7. − + −
− +
−
−
+
−
−
−
= − − −
−
+ +
+ +
3
2
3
4
1
8
5
6
2
3
12 1
8
9 10
12
3 2
3
11
8
1
12
1
3
1
2
1
3
11
8
1
12
1
3
1
2
11
8
1
12
2 2 3
2 2 3
2 2 3
2 2 3
3 3
2 2 3
3 2 2
a b ab b
a b ab b
a b ab b
a b ab b
a b
a b ab b
a a b ab
8.8.8.8.8. 1
2
2
9
2
3
1
5
1
2
1
9
3
5
1
3
3
5
5
9
1
10
1
9
1
10
1
2
2 3
9
3
5
6 5
9
2 1
10
1
2
6 1
10
1
2
1
9
3
5
1
9
1
10
1
2
7
10
a b b c a b c
b c b c b c
a b c b c a c
a b c b c a c
− + + −
− − − − −
−
−
−
−
+
−
−
+
= + − = + = −

9.9.9.9.9.
1
3
1
8
1
5
1
4
2
3
1
4
1
3
19
40
2
3
1
8
3
5
3
4
1
10
1
3
29
40
1
8
1
3
19
40
3
4
1
10
1
3
5 24
40
3
4
2 1
10
1
3
10 29
40
2
3
2 1
8
8 9
12
10 8
80
1
3
19
40
3
4
1
10
1
3
19
40
2
3
1
8
1
12
2
80
1
12
1
40
3 2 2 3 2
2 3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a a
+ + − + − − +
− − − − − − + + −
+
−
− +
−
+
−
− +
−
−
−
+
−
= − − + = − − + = + = +
10.10.10.10.10.
3
5
5
6
2
9
2
9
1
9
2
3
3
5
7
3
13
6
1
2
3
2
1
3
1
4
17
45
22
9
3
2
1
2
3
5
7
3
1
9
1
4
3
5
10 18
12
2 3
9
1
4
10 17
45
1 22
9
4 9
6
1
2
39 2
18
2 1
4
3
5
28
12
1
9
1
4
27
45
21
9
13
6
1
2
37
18
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x xy y x xy y x xy y
xy y x xy y x xy y
x xy y x xy y y
x xy y x xy y y
− + + − − + + +
− − + − − − − − +
−
+
+
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
= − − + = − − − = +
= − − + = − − −
3
4
3
5
7
3
1
9
1
4
3
5
7
3
13
6
1
2
2 2 2 2
x xy y x xy y
11.11.11.11.11.
2
7
1
5
1
2
1
4
1
5
3
4
3
8
3
2
7
10
3
4
3
8
1
10
5
4
1
8
3
2
1
2
2
7
3
4
3
8
1
10
2
7
3
4
3
8
2 1
10
2 5
4
2 1
8
3
2
2 5
10
2
7
15 1
10
7
10
2
7
3
4
3
8
1
10
3 3 2 2 2 2 3
2 2 3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3 2 2 3 3 3
3 2 2 3
a b a b ab a b ab b
a b ab b a b ab b a a b ab b
a a b ab b a b ab b a b
a a b ab b
− + − − + − −
− + + − + − − − + − +
− + −
− −
+
+
− −
+
− −
−
−
= − + − = − + − − = − − − = − − −
3
4
3
8
3
2
7
10
2
7
14
10
7
10
2
7
7
5
7
10
2 2 3 3 3 3 3
a b ab b a b a b
12.12.12.12.12.
1
3
1
4
2
7
3
5
2
5
5
3
5
14
2
5
1
14
7
20
1
4
2
3
5
14
1
4
11
60
1
4
4 1
14
12 7
20
20 24 15
60
1
4
3 5 2
3
1
4
11
60
1
4
2
5
5
14
5
20
11
60
1
4
0
3
2 2 3 4
4 3 2 2 4 4 4
4 3 2 2 4 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3
m n mn n
m m n m n n m n
m m n m n n m m n m n mn
m m n m n mn n m n m n mn n
m m n m n mn n
− −
+ − + −
− + − − − − +
+
+
−
+
− +
− −
− +
− − + −
= + + − − 4
4 3 2 2 35
14
1
4
11
60
1
4
= + + −m m n m n mn

13.13.13.13.13.
1
2
1
3
3
4
1
6
2
5
1
4
5
1
2
1
3
3
8
1
2
13
12
7
30
1
4
1
3
3
8
1
2
4 9
12
5 12
30
1 2
4
1
3
3
8
1
2
13
12
7
30
1
4
1
3
40 3
8
1
2
13
12
7
30
1
4
1
3
3
8
1
2
13
12
7
30
1
4
1
3
37
8
x y
y z
z m
m n x y z m n
x y z m n x y z m n
x y z m n x y z m n
+
−
+
− + + − − − + − −
+
+
−
−
+
−
+ + − − − + − +
−
= + + − + + = − − − + − +
14.14.14.14.14.
5
6
1
2
3
5
2
3
3
8
5
3
8
3
4
1
6
2
3
11
24
1
12
1
2
152
33
1
6
39
40
3
11
1
12
3
8
20 9
24
6 9 2
12
4 1
6
24 15 39
40
165 22 9
33
11 24
24
1
2
1216 99
264
11
24
1
12
3
6
0
40
152
33
11
24
1
12
1
2
152
33
4 3
2
4 3 2 4 3 2
3 4 3
4 3 2 4 2
4 3 2 4 3 2
a a a
a a
a a a a a a
a a a a
a a a a a a
a a a a a a a
+ −
− − +
− − + − − − +
+ + + − + −
−
+
− +
−
−
−
+ −
+
− + −
− +
−
= − − − + = − − + =
.
− − +
13
24
1
2
1117
264
4 2
a a
.
EJERCICIO 30
1.1.1.1.1. x x
x x x
x
Rta x x x
3 2
3 2
3 2
5
3 5 6
3 6
3 11
− +
− + + − −
−
− + + −.
4.4.4.4.4. x x
x x x
x
Rta x x x
3 2
3 2
3 2
4 8
4 13
5
4 13
− +
− + + −
−
− − +.
7.7.7.7.7. 5 8 11
4 8 11
5 8 11
3 2 3
3 3
3 2
3 2 3
a ab b
a b
a ab
Rta a ab b
+ − −
− +
+ −
+ − −.
2.2.2.2.2. − + −
− + + +
+
− + + +
5 9 6
5 9 6 8 9
8 9
5 9 6 8 9
a b c
a b c x
x
Rta a b c x.
5.5.5.5.5. m mn n
m m n mn n
m n
Rta m m n mn n
4 3 4
4 2 2 3 4
2 2
4 2 2 3 4
3 6
4 3 6 8
4 8
4 3 6 8
− +
− + + − −
−
− − + +.
8.8.8.8.8.
1
2
1
3
4
1
2
1
3
4
x y
x y
− −
− +
−
3.3.3.3.3. a b
a a b ab b
a b ab b
Rta a a b ab b
3 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3
8 5 3
8 5 4
8 5 3
−
− − + −
− + −
− − + −.
6.6.6.6.6. 4 5 5 2
5 4 8
4 9 6
4 5 5 2
3 2
2
3
3 2
x x x
x x
x x
Rta x x x
+ − −
− − +
− +
+ − −.
Rta x y.
1
2
1
3
4− −

9.9.9.9.9. 5 7 8
5 7 8 1
1
5 7 8 1
2 2
2 2
2 2
x xy y
x xy y
Rta x xy y
− −
− + + +
− + + +.
10.10.10.10.10. n
m m n mn n
m m n mn n
m m n mn n
m
Rta m m n mn n
3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3
3 2 2 3
9 8 5
9 8 5 2
10 8 5 2
10 8 5 2
− + − +
− + − +
− + −
− + −.
11.11.11.11.11. 0
5 8
5 8
0
3
3
− + −
− + −
a a
a a
Rta.
EJERCICIO 31
1.1.1.1.1. ( )x x y
x x y
y
− −
= − +
=
6.6.6.6.6. ( ) ( )a a b a b
a a b a b
a a a
+ − + − +
= + − − +
= − =2
11.11.11.11.11. ( ) ( )x y x y z x y z
x y x y z x y z
x y z
+ + − + − + −
= + + − + − − +
= − + 2
2.2.2.2.2. ( )x x x
x x x
x
2 2
2 2
3 5
3 5
3 5
+ − − +
= − − +
= − +
7.7.7.7.7. a b a a b
a b a a b
a a a
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
3 2
+ − + − −
= − + − +
= − =
12.12.12.12.12. ( ) ( ) ( )a b a a b a b
a b a a b a b
b
− + + − + − − +
= − − − + + −
= −
2
2
2
3.3.3.3.3. ( )a b a
a b a
a b
+ − − +
= + + −
= + −
2 3
2 3
3 3
8.8.8.8.8. { } { }2 1 3
2 1 3
1 3 4
a x a a x
a x a a x
− − + − − + −
= + − + − − +
= + =
13.13.13.13.13. ( ) ( ) [ ]− − + + − + − − +
= − + + − + + −
= − + +
x y xy x xy y xy
x y xy x xy y xy
x xy y
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 3
2 3
3 3 2
4.4.4.4.4. ( )4 2
4 2
6
m m n
m m n
m n
− − −
= + +
= +
9.9.9.9.9. ( ) [ ]x y x xy y x y
x y x xy y x y
x xy y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
2
+ − + + + − +
= + − − − − +
= − − +
14.14.14.14.14. [ ] { } ( )8 2 3 3
8 2 3 3
8 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
x xy y x xy y x xy
x xy y x xy y x xy
x y
+ − + − − + − − −
= − + + − + − +
= +
5.5.5.5.5. ( )2 3 4 3
2 3 4 3
2
x y x y
x y x y
x
+ − +
= + − −
= −
10.10.10.10.10.( ) ( )− + + − + −
= − + − + −
= − +
5 6 5 6
5 6 5 6
6 5
m m
m m
m
15.15.15.15.15. ( ) ( ) ( ) ( )− + + − − − − + + +
= − − − − + − + +
=
a b a b b a a b
a b a b b a a b
3
3
0
EJERCICIO 32
1.1.1.1.1. ( )[ ]
[ ]
2
2
2
2
a a a b
a a a b
a a a b
a b
+ − +
= + − −
= + − −
= −
2.2.2.2.2. ( )[ ]
[ ]
3 2
3 2
3 2
4
x x y x y
x x y x y
x x y x y
x
− + − +
= − + − −
= − − + +
=
3.3.3.3.3. ( ) ( )[ ]
[ ]
2
2
2
2 2
m m n m n
m m n m n
m m n m n
m n
− − − +
= − − − −
= − + + +
= +

4.4.4.4.4. ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
4 3 2 3
4 3 2 3
4 3 2 3
6 3 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
x x xy y xy x y
x x xy y xy x y
x x xy y xy x y
x xy y
+ − − + − + − − +
= + − + − + + −
= − + − + + −
= + −
5.5.5.5.5. ( ) ( ){ }
{ }
a a b a b c a
a a b a b c a
a a b a b c a
a c
+ − + − − + − +
= + − + + − + +
= − + + − + +
= +
2
2
2
6.6.6.6.6. ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
4 2 3 4 2 1
4 2 3 4 2 1
4 2 3 4 2 1
5 2
m m n n m
m m n n m
m m n n m
n
− + − + − − +
= − + − + − − −
= − − + − − −
= − +
7.7.7.7.7. { }( )[ ]
( )[ ]
[ ]
2 5 2
2 5 2
2 5 2
2 5 2
2
x x y x y
x x y x y
x x y x y
x x y x y
x y
+ − − − + − +
= + − − − − +
= + − + + −
= − + + −
= − +
8.8.8.8.8. ( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
x xy y x xy y
x xy y x xy y
x xy y x xy y
x xy y x xy y
x xy y
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
7 3 2
7 3 2
7 3 2
7 3 2
2 4 3
− − + − + − + −
= − − + − − + −
= − − − − + −
= + + + − +
= + +
9.9.9.9.9. ( ) ( ){ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
− + + − + − − + − − +
= − − + − + − − + − +
= − − + − + + − + −
= − − − + + − + −
= −
a b a b a b a b a
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b
3 2 2
2
2
2
2
10.10.10.10.10. ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
− + − + + − − − +
= − + − + + − − − −
= − + − + − − − −
= − + − − + + + +
= − +
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y
4 2
4 2
4 2
4 2
3
11.11.11.11.11. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
− − + + − + − − + + − + −
= − + − − + − − + −
= − − − + − − + −
= −
a b a b a b b a b
a b a b a b b a b
a b a b a b b a b
a b
2 3
2 3
2 3
3 7
12.12.12.12.12. ( ) ( )[ ]{ } ( )
[ ]{ }
{ }
7 3 5 3 2 3
7 3 5 3 2 3
7 3 5 3 2 3
7 3 5 3 2 3
7 2 5
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
m m n n m n
m m n n m n
m m n n m n
m m n n m n
m n
− − + − − − − + − +
= − − + − + + − − −
= − − − + − − + − −
= + + − + + − − −
= + −
13.13.13.13.13. ( ) ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
2 4 4
2 4 4
6 4
6 4
a a b a b a b a
a a b a b a b a
a b a b a b a
a b a b a b a
b
− − + − − − + − − − +
= + − − − − + − + −
= − − − + − +
= − − + − + −
=
14.14.14.14.14. ( ){ } ( )[ ]( )
{ }[ ]( )
[ ]( )
( )
3 5 2 6
3 5 2 6
3 5 2 6
3 5 2 6
3 5 2 6
5 5 6
x y x y x x y
x y x y x x y
x y x y x x y
x y x y x x y
x y x y x x y
x y
− + − + − + − − +
= − + − + − − + −
= − + − + − − + −
= − − + − − + −
= − + − + + − +
= − +
15.15.15.15.15. ( ) ( ) ( ){ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
6 2 2 2
6 2 2 2
6 2 2 2
6 2 2 2
6 7
c a c a c a a c c
c a c a c a a c c
c a c a c a a c c
c a c a c a a c c
a c
− − + + − + − − + +
= − − − + − − − − − +
= − − − − − − − − +
= + + + + + + + −
= +
16.16.16.16.16. ( ) ( )( ){ } ( )[ ]
( ){ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
− + − + − + − − − +
= − − − + − + − + − −
= − − − + − + − + − −
= − − − − + − + − −
= − − − + − + − + +
= − + +
3 2 2 2 5 6
3 2 2 2 5 6
3 2 2 2 5 6
3 2 2 2 5 6
3 2 2 2 5 6
6 2 1
m n m m m n n
m n m m m n n
m n m m m n n
m n m m m n n
m n m m m n n
m n

17.17.17.17.17. ( ) ( )( )[ ] ( ){ }
( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
2 5 3 2 4
2 5 3 2 4
2 5 3 2 4
2 5 3 2 4
2 5 3 2 4
5 6
a b a c a b c a b
a b a c a b c a b
a b a c a b c a b
a b a c a b c a b
a b a c a b c a b
a b
+ − + − + − − + − + − − +
= + − + − + − − + − − + −
= + − + − + + − + + + −
= + − − + − − + − − + −
= − − + − − + − − + −
= − − −
18.18.18.18.18. ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ){ }
( )[ ] { }
[ ]
− − + − − − + − + + − − + − +
= − − + − − + + − − − − + − −
= − − − − + − − − − + − −
= + + − − − −
= −
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
3 2 3 4 2 1
4
x x y x y x x y
x x y x y x x y
x x y x y x x y
x x y x y
19.19.19.19.19. ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]{ }
[ ] [ ] [ ]{ }
{ }
− − − − + − + − − + − + −
= − − − + − − −
= − + + − +
= − +
=
a a b c c
a a b c c
a a b c c
b c c
b
20.20.20.20.20. ( )[ ]{ } ( )[ ]{ } ( )
[ ]{ } [ ]{ }
{ } { }
− − − + − + − − − − +
= − − − − − + + − −
= − + − + − −
= − − − − − −
=− −
a b b a a b
a b b a a b
a b b a a b
a b b a a b
a b3 3
21.21.21.21.21. ( )[ ]{ } ( )[ ]{ } ( ){ }[ ]
[ ]{ } [ ]{ } { }[ ]
{ } { } [ ]
− − − + − − + − − + + − − + −
= − − − − + − + − + − + − − −
= − + − − − + − + +
= − − + + − + + +
= − + +
a b c c a b a b
a b c c a b a b
a b c c a b a b
a b c c a b a b
a b c2
22.22.22.22.22. ( )( ){ } ( ) ( ){ }[ ]
( ){ } { }[ ]
{ }[ ]
[ ]
− + − − − + + − + + − +
= − + − − − − + − − − +
= − + − − + + − − − +
= − − − + + − − − +
= − + + − − + + + −
= − + −
3 4 2 3
3 4 2 3
3 4 2 3
3 4 2 3
3 4 2 3
2 4 7
m m n m m n n
m m n m m n n
m m n m m n n
m m n m m n n
m m n m m n n
m n
23.23.23.23.23. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]
[ ]{ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
− + − + − − + − − − + −
= − + − − − − + − + − −
= − + − − + − + − + −
= − − − +
= − + + − = −
x x y x y z x y y
x x y x y z x y y
x x y x y z x y y
x x y z
x x y z y z
2
2 2
24.24.24.24.24. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]
[ ]{ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
− − + − + − − − + − − − +
= − − + − + − − + − − +
= − − + − − − −
= − − − − − − = + +
a a a b a b c a b
a a a b a b c a b
a a c a b
a a c a b a b c3
EJERCICIO 33
1.1.1.1.1.
( )
a b c d
a b c d
− + −
= + − + −
2.2.2.2.2.
( )
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 6
3 6
− − +
= + − − +
3.3.3.3.3.
( )
x x x
x x x
3 2
3 2
4 3 1
4 3 1
+ − +
= + − +
4.4.4.4.4.
( )
a a b ab b
a a b ab b
3 2 2 3
3 2 2 3
5 3
5 3
− + −
= + − + −
5.5.5.5.5.
( )
x x x x
x x x x
4 3 2
4 3 2
2 2 1
2 2 1
− + − +
= − + − +
6.6.6.6.6.
( )
2
2
a b c d
a b c d
+ − +
= − − + −
7.7.7.7.7.
( )
x x x
x x x
3 2
3 2
3 4
3 4
+ + −
= − − − +
8.8.8.8.8.
( )
x x y xy y
x x y xy y
3 2 2 3
3 2 2 3
5 3
5 3
− + −
= − − +
9.9.9.9.9.
( )
a x xy y
a x xy y
2 2 2
2 2 2
2
2
− − −
= − + +
10.10.10.10.10.
( )
a b bc c
a b bc c
2 2 2
2 2 2
2
2
+ − −
= − − + +

EJERCICIO 34
1.1.1.1.1. ( )
( )[ ]
x y x y
x y x y
+ + −
= − − − −
2
2
2.2.2.2.2. ( ) ( )
( ) ( )[ ]
4 2 3 2
4 2 3 2
m n m n m n
m n m n m n
− + − − + + −
= − − + − + − −
3.3.3.3.3. ( )[ ]
( )[ ]{ }
x xy x xy y
x xy x xy y
2 2 2
2 2 2
3
3
− + − +
= − − − +
4.4.4.4.4. [ ] ( )
[ ] ( )[ ]
x x x x x
x x x x x
3 2
3 2
3 4 2 3 2 3
3 4 2 3 2 3
− + − + − − +
= − − − + + + +
5.5.5.5.5. ( )[ ]{ }
( )[ ]{ }[ ]
2 3 2
2 3 2
a b a a b a
a b a a b a
+ − − + + −
= − − + − + + −
EJERCICIO 35
6.6.6.6.6. ( )
( )[ ]
− + − +
= − − − +
2 3
2 3
a a b
a a b
7.7.7.7.7. ( ) ( )
( ) ( )[ ]
2 3
2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
x xy y xy x y
x xy y xy x y
+ − + + − +
= − − − + + − − +
8.8.8.8.8. x x x
x x x
3 2
3 2
3 4 2
3 4 2
− − + −
= − − + − + −{ }
9.9.9.9.9. ( )[ ] ( )
( )[ ] ( ){ }
m m m m
m m m m
4 2
4 2
3 2 3 2 3
3 2 3 2 3
− + + + − +
= − − − + + − − +
1.1.1.1.1. 2 3 6⋅ − = −
2.2.2.2.2. − ⋅− =4 8 32
3.3.3.3.3. − ⋅ = −15 16 240
4.4.4.4.4. ab ab a b a b⋅− = − = −+ +1 1 1 1 2 2
5.5.5.5.5. 2 3 6 62 2 1 3
x x x x⋅− = − =−+
6.6.6.6.6. − ⋅ − = =+ +
4 4 42 2 2 1 1 2 3 3
a b ab a b a b
7.7.7.7.7. − ⋅ =− =−+ +
5 5 53 2 3 1 1 2 4 3
x y xy x y x y
8.8.8.8.8. a b a x a b x a b x2 3 2 2 2 3 4 3
3 3 3⋅ = =+
9.9.9.9.9. − ⋅− = =+
4 5 20 202 2 2 1 2 3 2
m mn p m n p m n p
10.10.10.10.10. 5 6 302 2 2 2
a y x a x y⋅− = −
11.11.11.11.11. − ⋅− = =+
x y y z x y z x y z2 3 3 4 2 3 3 4 2 6 4
4 4 4
12.12.12.12.12. abc cd abc d abc d⋅ = =+1 1 2
13.13.13.13.13. − ⋅− = =+
15 16 240 2404 3 2 3 2 4 3 3 2 7 3
x y a x a x y a x y
14.14.14.14.14. 3 4 122 3 2 2 3 2
a b x y a b x y⋅− = −
15.15.15.15.15. 3 7 21 212 3 5 2 1 3 1 5 2 4 6
a bx b x a b x a b x⋅ = =+ +
16.16.16.16.16. − ⋅− = =+
8 9 72 722 3 2 4 2 2 1 3 4 2 3 3 4
m n a mx a m n x a m n x
17.17.17.17.17. a b ab a bm n m n
⋅− = − + +1 1
18.18.18.18.18. − ⋅− = + +
5 6 302 3 2 3
a b a b x a b xm n m n
19.19.19.19.19. x y c x y c x y c x y cm n m n x m m n n x m n x
⋅− = − = −+ + + +1 2 2 1
20.20.20.20.20. − ⋅− = + +
m n m n m nx a x a
6 62 2 1
EJERCICIO 36
1.1.1.1.1. a a a am m m m m
⋅ = =+ + + +1 1 2 1
2.2.2.2.2. − ⋅− = =+ + + +
x x x xa a a a a2 2 2 2
3.3.3.3.3. 4 4 41 1 1 1 2 1
a b ab a b a bn x x n x x n x
⋅− = − = −+ + + + + +
4.4.4.4.4. − ⋅ = − = −+ + + + + + + + + +
a b a b a b a bn n n n n n n n n n1 2 2 1 2 2 2 3 2 2
5.5.5.5.5. − ⋅− =+ + + + + +
3 4 124 1 2 3 2 6 2 4
a b a b a bn n n n n n
6.6.6.6.6. 3 4 12 122 3 1 2 2 1 3 2 3 5
x y x y x y x ym m m m m m
⋅ = =+ + + + + + + +
7.7.7.7.7. 4 5 202 4 5 1 2 7 2 5
x b x b x ba a a a a a+ + + + + +
⋅− = −
8.8.8.8.8. a b c a b a b c a b cm n m n m m n n m n
⋅− =− = −+ +2 2 2 3
9.9.9.9.9. − ⋅− =+ + − − − −
x y x y c x y cm a m a m a1 2 3 5 2 2 2 2 3 2
4 4
10.10.10.10.10. − ⋅− =− − − − −
5 7 351 2 3 4 3 3 2 5
m n c m n m n ca b a b a b

EJERCICIO 37
1.1.1.1.1.
1
2
4
5
1
2
4
5
4
10
2
5
2 3 5 5 5
a a b a b a b a b⋅ = ⋅ = =
2.2.2.2.2. − ⋅−
= − ⋅− = =
3
7
7
14
3
7
7
14
21
98
3
14
2 2 3
2 5 2 5 2 5
m n a m
a m n a m n a m n
3.3.3.3.3.
2
3
3
5
6
15
2
5
2 3 2 4 2 6 4 2 6 4
x y a x y a x y a x y⋅− = − = −
4.4.4.4.4. − ⋅− = =
1
8
4
5
4
40
1
10
3 4 3 2 3 5 5 3 5 5
m n a m n a m n a m n
5.5.5.5.5. − ⋅ = − = −
7
8
2
7
14
56
1
4
3 4 4
abc a a bc a bc
6.6.6.6.6. − ⋅ − = =
3
5
5
6
3
6
1
2
3 4 2 5 2 3 9 2 3 9
x y a by a bx y a bx y
7.7.7.7.7.
1
3
3
5
3
15
1
5
1 1
a a a am m m
⋅ = =+ +
EJERCICIO 38
8.8.8.8.8. − ⋅ − = ⋅ =+ +3
4
2
5
3
2
1
5
3
10
3 1 3 1 3
a ab a b a bm m m
9.9.9.9.9.
5
6
3
10
1
2
1
2
1
4
2
1 2 1 2
a b ab c
a b c a b c
m n
m n m n
⋅ −
= − ⋅ = −+ + + +
10.10.10.10.10. − ⋅ −
= ⋅ =
+ −
− + − +
2
9
3
5
2
3
1
5
2
15
1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
a b a b
a b a b
x m x m
x m x m
11.11.11.11.11.
3
8
4
5
12
40
3
10
2 3 2 3 2
a b a b a b a bm n m n m n m n
⋅ − = − = −
12.12.12.12.12. − ⋅ −
= ⋅ =
+ − −
− − − −
2
11
44
7
2
4
7
8
7
1 3 2 3 2
2 2 1 2 2 2 1 2
a b c a b
a b c a b c
x x x
x x x x
1.1.1.1.1. a a a a a⋅− ⋅ = − = −+ +
3 3 32 1 1 2 4
2.2.2.2.2. 3 3 32 3 2 2 2 3 1 2 6
x x y a x a x y a x y⋅− ⋅− = =+ +
3.3.3.3.3. − ⋅− ⋅− = − =−+ + +
m n m mn m n m n2 2 3 2 2 1 1 3 5 4
3 5 15 15
4.4.4.4.4. 4 5 20 202 3 2 2 2 3 1 2 2 6 2 2
a a x ay a x y a x y⋅− ⋅− = =+ +
5.5.5.5.5. − ⋅− ⋅− = − = −+ + + + +
a ab a b a b a bm x m x m x
2 3 6 62 1 2 1 3 1
6.6.6.6.6.
1
2
2
3
3
5
6
30
1
5
3 2 4 2 4 3 1 6 4
x a x a m a x m a x m⋅− ⋅− = =+ +
7.7.7.7.7.
2
3
3
4
3
18
12
3
2
2 4 4 1
2 4 4 1 6 5
a a b a b
a b a b
m x
m x m x
⋅ ⋅−
= − = −
+
+ + + + + +
EJERCICIO 39
8.8.8.8.8. − ⋅− ⋅−
= − = −+ + + + +
3
5
5
1
10
15
50
3
10
3 2
2 3 1 2 4
m a m a m
a m a m
x a
x a x a
9.9.9.9.9. 2 3 4 24 242 3 1 2 3 1 7
a a a a a a⋅− ⋅− ⋅ = =+ + +
10.10.10.10.10. − ⋅− ⋅ ⋅−
= − = −+ + + +
3 4 5
60 60
2 3 2
3 1 2 2 1 1 6 4
b a b ab a x
a b x a b x
11.11.11.11.11. a b a ab a x
a b x a b x
m x
m x m x
⋅− ⋅− ⋅−
= − = −+ + + + + +
2 2
2 1 2 1 5 1
2 3
6 6
12.12.12.12.12. − ⋅− ⋅− ⋅−
= =+ + + + +
1
2
3
5
10
3
3
4
6
8
3
4
2 2 3 2
2 1 3 2 1 2 1 8 4
x y xy x x y
x y x y
1.1.1.1.1. 3
2
6 2
3 2
4 3
x x
x
x x
−
−
− +
2.2.2.2.2. 8 3
2
16 6
2 2
3
5 3 2
x y y
ax
ax y ax y
−
−
3.3.3.3.3. x x
x
x x x
2
3 2
4 3
2
2 8 6
− +
−
− + −
4.4.4.4.4. a a a
ab
a b a b a b
3 2
4 3 2
4 6
3
3 12 18
− +
− +

5.5.5.5.5. a ab b
ab
a b a b ab
2 2
3 2 2 3
2
2
− +
−
− + −
6.6.6.6.6. x x x
a x
a x a x a x
5 3
2 2
2 7 2 5 2 3
6 8
3
3 18 24
− −
− −
7.7.7.7.7. m m n n
m x
m x m n x m n x
4 2 2 4
3
7 5 2 3 4
3 7
4
4 12 28
− +
−
− + −
8.8.8.8.8. x x y xy
ax y
ax y ax y ax y
3 2 2
3
6 5 2 4 3
4 6
4 6
− +
− +
9.9.9.9.9. a a b ab
a m
a m a bm a b m
3 2 2
4 2
7 2 6 2 5 2 2
5 8
4
4 20 32
− −
−
− + +
10.10.10.10.10. a a a
a
a a a
a a a
m m m
m m m
m m m
− +
−
− + −
= − + −
− −
+ − + − +
+ −
1 2
1 1 1 2 1
1 1
2
2 2 2
2 2 2
11.11.11.11.11. x x x
x
x x x
m m m
m
m m m
+ −
+ −
+ −
+ −
1 1
2
3 1 3 3 1
3
3
3 9 3
12.12.12.12.12. a b a b a b
a b
a b a b a b
m n m n m n
m n m n m n
+ −
+ −
− + − +
+ + + + +
1 1 2 2
2
2 1 1 2 3
3
3 3 3
EJERCICIO 40
13.13.13.13.13. x x x
x
x x x x
3 2
2
5 4 3 2
3 5 6
4
4 12 20 24
− + −
−
− + − +
14.14.14.14.14. a a x a x
bx
a bx a bx a bx bx
4 3 2 2
3
4 3 3 4 2 5 3
6 9 8
3
3 18 27 24
− + −
− + −
15.15.15.15.15. a a a a
a x
a x a x a x a x
n n n n
n
n n n n
+ + +
+ + +
− − −
−
− + + +
3 2 1
2
2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2
3 4
3 4
16.16.16.16.16. x x x x
a x
a x a x a x a x a x
4 3 2
2 3
2 7 2 6 2 5 2 4 2 3
6 8 7 5
3
3 18 24 21 15
− + − +
−
− + − + −
17.17.17.17.17. − + − −
− + − −
3 5 7 4
5
15 25 35 20
3 2 2 3
2 2
2 4 2 2 3 3 2 2 4 2 5
x x y xy y
a xy
a x y a x y a x y a xy
18.18.18.18.18. x x x x
x
x x x x
a a a a
a a a a
+ + + +
+ + + +
− + −
−
− + − +
5 4 3 1
2
7 6 5 3
3 5
2
2 6 2 10
19.19.19.19.19. a a b a b a b b
a y
a y a b y a b y a b y a b y
8 6 2 4 4 2 6 8
3 2
11 2 9 2 2 7 4 2 5 6 2 3 8 2
3 3
5
5 15 5 15 5
− + − +
−
− + − + −
20.20.20.20.20. a b a b a b a b
a b
a b a b a b a b
m n m n m n m n
m
m n m n m n m n
+ − +
+ − +
− + − + − +
+ − + − + − +
3
4
4 12 4 4
1 2 2 4 3 6
3
2 3 2 1 5 2 2 7 2 3 9
1.1.1.1.1.
1
2
2
3
2
5
2
10
4
15
1
5
4
15
2
1 2 2
3 2
a b
a
a a b
a a b
−
−
= −
+
2.2.2.2.2.
2
3
3
4
2
3
4
9
6
12
4
9
1
2
3
3 1 3 1 1
4 3 2
a b
a b
a b a b
a b a b
−
−
− +
= − +
+ +
3.3.3.3.3.
3
5
1
6
2
5
5
3
15
15
5
18
10
15
5
18
2
3
2
1 1 2 2 2 1
2 2 2 3
a b c
ac
a c abc ac
a c abc ac
− +
−
− + −
= − + −
+ +
4.4.4.4.4.
2
5
1
3
2
9
3
6
5
3
3
6
9
6
5
2
3
2 2
2
2 2 2 1 2 2
4 3 2 2
a ab b
a x
a x a bx a b x
a x a bx a b x
+ −
+ −
= + −
+ +

5.5.5.5.5.
1
3
2
5
1
4
3
2
3
6
6
10
3
8
1
2
3
5
3
8
2 2
3
2 3 3 1 2 3
2 3 4 5
x xy y
y
x y xy y
x y xy y
− −
− −
= − −
+ +
6.6.6.6.6. 3 5 6
3
10
9
10
15
10
18
10
9
10
3
2
9
5
2 3
2 1 3 2 3 2 3
3 3 2 3 2 3
a b c
a x
a x a bx a cx
a x a bx a cx
− +
−
− + −
= − + −
+
7.7.7.7.7.
2
9
1
3
3
7
6
63
3
7
3
21
2
21
3
7
1
7
4 2 2 4
3 4
4 3 4 2 3 2 4 3 4 4
7 4 5 6 3 8
x x y y
x y
x y x y x y
x y x y x y
− +
− +
= − +
+ + + +
EJERCICIO 41
8.8.8.8.8.
1
2
1
3
1
4
1
5
5
8
5
16
5
24
5
32
5
40
5
16
5
24
5
32
1
8
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2 2
a b x y
a m
a m a b m a mx a my
a m a b m a mx a my
− + −
−
− + − +
= − + − +
+
9.9.9.9.9.
2
3
1
2
5
6
1
9
3
4
6
12
3
8
15
24
3
36
1
2
3
8
5
8
1
12
3 2 2 3
2 3
3 2 3 2 2 1 3 1 2 2 3 2 3 3
5 3 4 4 3 5 2 6
m m n mn n
m n
m n m n m n m n
m n m n m n m n
+ − −
+ − −
= + − −
+ + + + + +
10.10.10.10.10.
2
5
1
3
3
5
1
10
5
7
10
35
5
21
15
35
5
70
2
7
5
21
3
7
1
14
6 4 2 2 4 6
3 4 3
3 6 4 3 3 4 4 2 3 3 2 4 4 3 3 4 6 3
3 10 3 3 8 5 3 6 7 3 4 9
x x y x y y
a x y
a x y a x y a x y a x y
a x y a x y a x y a x y
− + −
−
− + − +
= − + − +
+ + + + + +
1.1.1.1.1. a
a
a a
a
a a
+
−
+
− −
+ −
3
1
3
3
2 3
2
2
3.3.3.3.3. x
x
x x
x
x x
+
−
+
− −
+ −
5
4
5
4 20
20
2
2
5.5.5.5.5. − +
− +
−
− +
− +
x
x
x x
x
x x
3
5
3
5 15
8 15
2
2
7.7.7.7.7. 3 2
2
6 4
3 2
6 2
2
2
2 2
x y
x y
x xy
xy y
x xy y
−
+
−
+ −
− −
2.2.2.2.2. a
a
a a
a
a a
−
+
−
−
− −
3
1
3
3
2 3
2
2
4.4.4.4.4. m
m
m m
m
m m
−
−
−
− +
− +
6
5
6
5 30
11 30
2
2
6.6.6.6.6. − −
− −
+
+ +
+ +
a
a
a a
a
a a
2
3
2
3 6
5 6
2
2
8.8.8.8.8. 5 4
3 2
15 12
10 8
15 22 8
2
2
2 2
x y
x y
x xy
xy y
x xy y
−
− +
− +
+ −
− + −

9.9.9.9.9. 5 7
3
5 7
15 21
5 8 21
2
2
2 2
a b
a b
a ab
ab b
a ab b
−
+
−
+ −
+ −
11.11.11.11.11. − +
−
− +
+ −
− + −
a b
a b
a ab
ab b
a ab b
8 4
8 8
4 4
8 12 4
2
2
2 2
13.13.13.13.13. − +
+
− +
− +
− + +
9 8
6 4
54 48
36 32
54 12 32
2
2
2 2
m n
m n
m mn
mn n
m mn n
10.10.10.10.10. 7 3
2 4
14 6
28 12
14 22 12
2
2
x
x
x x
x
x x
−
+
−
+ −
+ −
12.12.12.12.12. 6 5
6 5
6 5
6 11 5
2
2
2 2
m n
m n
m mn
mn n
m mn n
−
−
−
− +
− +
14.14.14.14.14. − −
−
− −
+ +
− + +
7 3
2 11
14 6
77 33
14 71 33
2
2
y
y
y y
y
y y
EJERCICIO 42
1.1.1.1.1. x xy y
x y
x x y xy
x y xy y
x y
2 2
3 2 2
2 2 3
3 3
+ +
−
+ +
− − −
−
5.5.5.5.5. a a a
a
a a a
a a a
a a a
3 2
4 3 2
3 2
4 2
1
2
+ −
−
+ −
− − +
− +
9.9.9.9.9. m m m
am a
am am am am
am am am a
am am a
3 2
4 3 2
3 2
4
2
2
2
2
− + −
+
− + −
+ − + −
− −
2.2.2.2.2. a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
2
2
2
3 3
− +
−
− +
− + −
− + −
6.6.6.6.6. m m n n
m n
m m n m n
m n m n n
m n
4 2 2 4
2 2
6 4 2 2 4
4 2 2 4 6
6 6
+ +
−
+ +
− − −
−
10.10.10.10.10. 3 5 2
4 5
12 20 8
15 25 10
12 35 33 10
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
− +
−
− +
− + −
− + −
3.3.3.3.3. a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
2
2
2
3 3
+ +
+
+ +
+ + +
+ + +
7.7.7.7.7. x x x
x
x x x x
x x x
x x x
3 2
4 3 2
3 2
4 3
2 3 1
2 3
2 4 6 2
3 6 9 3
2 7 3
− + −
+
− + −
+ − + −
− + −
11.11.11.11.11. 5 3
3
15 9 3
5 3
15 5 9 3 3
4 2 2 4
5 3 2 4
4 2 3 5
5 4 3 2 2 3 4 5
m m n n
m n
m m n mn
m n m n n
m m n m n m n mn n
− +
−
− +
− + −
− − + + −
4.4.4.4.4. x x
x
x x x
x x
x x x
3 2
4 3
3 2
4 2
3 1
3
3
3 9 3
9 3
− +
+
− +
+ − +
− + +
9.9.9.9.9. 3 6 5
2
3 6 5
6 12 10
3 5 12 10
3
2
5 3 2
3
5 2
y y
y
y y y
y y
y y y
− +
+
− +
+ − +
+ − +
12.12.12.12.12. a a
a a
a a a
a a a
a a
a a a
2
2
4 3 2
3 2
2
4 2
1
1
1
2 1
+ +
− −
+ +
− − −
− − −
− − −

13.13.13.13.13. x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
3 2
2
5 4 3
4 3 2
3 2
5 2
2
2 5
2
2 4 2
5 10 5
12 5
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+ −
19.19.19.19.19. x xy y
x xy y
x x y x y
x y x y xy
x y xy y
x x y xy y
2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 3 4
2
3
2
2
3 6 3
3 5 3
− +
− + +
− + −
+ − +
+ − +
− + − +
14.14.14.14.14. m m n mn
m mn n
m m n m n
m n m n m n
m n m n mn
m m n m n mn
3 2 2
2 2
5 4 3 2
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
5 4 2 3 4
3 2
2 8
3 2
2 6 4
8 24 16
5 20 16
− +
− −
− +
− + −
− + −
− + −
20.20.20.20.20. n n
n
n n n
n n
n n n
2
2
4 3 2
2
4 3
2 1
1
2
2 1
2 2 1
− +
−
− +
− + −
− + −
15.15.15.15.15. x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x
2
2
4 3 2
3 2
2
4 2
1
1
1
2 1
+ +
− −
+ +
− − −
− − −
− − −
21.21.21.21.21. a a b ab
a b ab b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b ab
a b a b a b ab
3 2 2
2 2 3
5 4 2 3 3
4 2 3 3 2 4
3 3 2 4 5
5 4 2 2 4 5
3 4
2 10
3 4
2 6 8
10 30 40
5 22 40
− +
− −
− +
− + −
− + −
− + −
16.16.16.16.16. x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
4 2
2
6 4 2
5 3
4 2
6 5 3 2
3 2
2 3
3 2
2 6 4
3 9 6
2 6 7 4 6
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− + − − +
22.22.22.22.22. 8 12 6 9
2 3
16 24 12 18
24 36 18 27
16 24 27
3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
4 2 2 4
x x y xy y
x y
x x y x y xy
x y x y xy y
x x y y
− + −
+
− + −
+ − + −
− −
17.17.17.17.17. m m m
m
m m m m
m m m
m m m m m
3 2
3
6 5 4 3
3 2
6 5 4 2
4 1
1
4
4 1
4 4 1
+ − −
+
+ − −
+ + − −
+ − + − −
23.23.23.23.23. 2 3 4
2 5
4 6 2 8
10 15 5 20
4 4 13 3 20
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
y y y
y
y y y y
y y y
y y y y
− + −
+
− + −
+ − + −
+ − − −
18.18.18.18.18. a a
a a
a a a
a a a
a a
a a a a
3
2
5 3 2
4 2
3
5 4 2
5 2
5
5 2
5 2
5 25 10
7 27 10
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− + − +
24.24.24.24.24. − + +
− −
− + +
+ − −
+ − −
− + + − −
a ax x
a ax x
a a x a x
a x a x ax
a x ax x
a a x a x ax x
3 2 3
2 2
5 3 2 2 3
4 2 3 4
3 2 4 5
5 4 3 2 4 5
2 3
2 3
2 4 6
3 6 9
2 3
2 3 5 11 3

25.25.25.25.25. x x y x y xy
x xy y
x x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y xy
x x y x y xy
4 3 2 2 3
2 2
6 5 4 2 2 3
5 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 5
6 5 2 4 5
3 2
3 2
3 2
3 2
2 3
− + +
− − −
− + − −
− + − −
− + − −
− + − −
30.30.30.30.30. y y
y y
y y y
y y y
y y
y y y y y
2
4 2
6 5 4
4 3 2
2
6 5 4 3
2 1
2 2
2
2 4 2
2 4 2
2 4 4 2
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− − + − +
26.26.26.26.26. a a a
a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a a
3 2
3
6 5 4 3
4 3 2
3 2
6 5 2
5 2 3
2 7
5 2 3
2 10 4 6
7 35 14 21
5 31 8 21
− + −
− −
− + −
− + − +
− + − +
− + − +
31.31.31.31.31. m m
m m
m m m
m m m
m m
m m m m m m
4 2
3
7 5 3
5 3
4 2
7 5 4 3 2
3 4
3 2 1
3 9 12
2 6 8
3 4
3 11 18 3 8 4
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− + + − − +
27.27.27.27.27. m m m
m m
m m m m
m m m m
m m m
m m m m
4 3 2
2
6 5 4 2
5 4 3
4 3 2
6 5 3
3
2 3
3
2 2 2 6
3 3 3 9
5 6 9
+ − +
− +
+ − +
− − + −
+ + − +
− + − +
32.32.32.32.32. a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a a a a
3 2
3 2
6 5 4 3
5 4 3 2
4 3 2
3 2
6 5 4 3 2
1
2 1
2 2 2 2
1
2 2 3 2 1
+ − +
+ − −
+ − +
+ + − +
− − + −
− − + −
+ − − + − −
28.28.28.28.28. a a b a b ab b
a ab b
a a b a b a b a b
a b a b a b a b ab
a b a b a b ab b
a a b a b a b ab b
4 3 2 2 3 4
2 2
6 5 4 2 3 3 2 4
5 4 2 3 3 2 4 5
4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4 2 3 3 5 6
3
2
3
2 2 6 2 2
3
4 6 3
+ − − +
− +
+ − − +
− − + + −
+ + − − +
− − + − +
33.33.33.33.33. 8 12 6
3 2 4
24 36 18 3
16 24 12 2
32 48 24 4
24 52 38 33 26 4
3 2 2 3
2 2
5 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
x x y xy y
x xy y
x x y x y x y
x y x y x y xy
x y x y xy y
x x y x y x y xy y
− − +
− +
− − +
− + + −
+ − − +
− + − − +
29.29.29.29.29. x x y x y xy y
x xy y
x x y x y x y x y
x y x y x y x y xy
x y x y x y xy y
x x y x y x y xy y
4 3 2 2 3 4
2 2
6 5 4 2 3 3 2 4
5 4 2 3 3 2 4 5
4 2 3 3 2 4 5 6
6 4 2 3 3 2 4 5 6
2
2 2 2 2 2
2 2 2 3 2
− + − +
+ −
− + − +
+ − + − +
− + − + −
− + − + −
34.34.34.34.34. 5 4 2 3 1
2 2
5 4 2 3
10 8 4 6 2
10 8 4 6 2
5 4 8 5 5 2 6 6 2
4 3 2
4 2
8 7 6 5 4
6 5 4 3 2
4 3 2
8 7 6 5 4 3 2
a a a a
a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a a a a
− + − −
− +
− + − −
− + − + +
+ − + − −
− − + + − + − −

35.35.35.35.35. x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
4 3 2
3 2
7 6 5 4 3
6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
7 6 5 2
1
2 3 6
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
6 6 6 6 6
3 6 3 6
− + − +
− + +
− + − +
− + − + −
+ − + − +
+ − + − +
− + + − +
40.40.40.40.40. 3 6 2 3 2
3 4 5
3 6 2 3 2
9 18 6 9 6
12 24 8 12 8
15 30 10 15 10
3 15 14 28 47 28 23 10
5 3 2
4 2
9 7 6 5 4
7 5 4 3 2
6 4 3 2
5 3 2
9 7 6 4 3 2
a a a a
a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a a a
− + − +
− + −
− + − +
− + − + −
+ − + − +
− + − + −
− + − + − + −
36.36.36.36.36. 3 2 5 4
2 1
3 2 5 4
3 2 5 4
6 4 10 8
3 2 5 4
3 5 9 10 8 3 4
3 2
3 2
6 5 4 3
5 4 3 2
4 3 2
3 2
6 5 4 3 2
a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a a a a
+ − −
+ − +
+ − −
+ + − −
− − + +
+ + − −
+ − − + + −
41.41.41.41.41. a b c
a b c
a ab ac
ab b bc
ac bc c
a b bc c
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
− + −
2
2
2
2 2 2
2
37.37.37.37.37. 5 3 4 2
3 1
5 3 4 2
15 9 12 6
5 3 4 2
5 3 11 11 17 3 4 2
4 3 2
4 2
8 7 6 5
6 5 4 3
4 3 2
8 7 6 5 4 3 2
y y y y
y y
y y y y
y y y y
y y y y
y y y y y y y y
− + +
− −
− + +
− + − −
− + − −
− − + − − − −
42.42.42.42.42. x y z
x y z
x xy xz
xy y yz
xz yz z
x xy y yz z
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+ − + −
2
2
2
2
2 3
2
2
2
2 2 2
38.38.38.38.38. m m n m n n
m m n mn n
m m n m n m n
m n m n m n m n
m n m n m n mn
m n m n m n n
m m n m n m n m n m n mn n
4 3 2 2 4
3 2 2 3
7 6 5 2 3 4
6 5 2 4 3 2 5
5 2 4 3 3 4 6
4 3 3 4 2 5 7
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
2 3 4
3 5
2 3 4
3 6 9 12
5 10 15 20
2 3 4
5 14 20 13 9 20 4
− + −
− + − +
− + − +
+ − + −
− + − +
+ − + −
− + − + − − + −
43.43.43.43.43. 2 3 5
2
2 3 5
2 3 5
4 6 10
2 5 3 10
2
2
2
2 2 2
x y z
x y z
x xy xz
xy y yz
xz yz z
x xy xz y yz z
− +
− + +
− + −
+ − +
+ − +
− + − − − +
39.39.39.39.39. x x y x y y
x x y xy
x x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y xy
x x y x y x y x y xy
6 4 2 2 4 6
5 3 2 4
11 9 2 7 4 5 6
9 2 7 4 5 6 3 8
7 4 5 6 3 8 10
11 9 2 7 4 5 6 3 8 10
3
2 3
3
2 6 2 2
3 9 3 3
5 8 6 5 3
− − +
− +
− − +
− + + −
+ − − +
− + − − +
44.44.44.44.44. x xy xz y yz z
x y z
x x y x z xy xyz xz
x y xy xyz y y z yz
x z xyz xz y z yz z
x xyz y z
2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 3 2 2
2 2 2 2 3
3 3 3
3
− − + − +
+ +
− − + − +
+ − − + − +
+ − − + − +
− + +

EJERCICIO 43
1.1.1.1.1. a a a
a
a a a
a a a
a a
x x x
x x x
x x x
x x
+ +
+ + +
+ +
+
− +
+
− +
+ − +
+
2 1
3 2 1
2 1
3
1
2.2.2.2.2. − + +
+
− + +
− + +
− + + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + + +
x x x
x x
x x x
x x x
x x x x
n n n
n n n
n n n
n n n n
3 2 1
2
5 4 3
4 3 2
5 4 3 2
2
2
2
3
3.3.3.3.3. m m m m
m m
m m m m
m m m m
m m m m
m m m m m
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a a
+ + −
+ + + +
+ + +
+ + −
+ + + −
+ − +
− +
+ − +
− − + −
+ + − +
− + − +
2 1 1
2
4 3 2 1
3 2 1
2 1 1
4 3 1 1
2 3
2 2 2 2
3 3 3 3
6 5 3
4.4.4.4.4. a a a
a a
a a a
a a a
a a a a
n n n
n n
n n n
n n n
n n n n
+ +
+
+ + +
+ +
+ + +
+ −
+
+ −
+ + −
+ + −
2 1
1
2 3 2 2 2 1
2 2 2 1 2
2 3 2 2 2 1 2
3 2
3 2
3 2
4 2
5.5.5.5.5. x x x
x x
x x x
x x x
x x x x x
a a a
a a
a a a
a a a
a a a a a
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ + + + +
+ −
−
+ −
− − +
+ − − +
2 1
3 1
2 5 2 4 2 3
2 3 2 2 2 1
2 5 2 4 2 3 2 2 2 1
2
2
2
2 4 2
2 3 4 2
6.6.6.6.6. a a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a a
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
− +
+ −
− +
+ − +
− + −
− + −
− −
+ +
+ −
− −
+ − −
2 3
2 1
2 3
2 4 6
2 3
2 8 3
1 2
2
2 1
1 1
1 2
2 1 2
7.7.7.7.7. a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a a a
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+ − + −
− −
− −
− −
− − −
− − −
− − − −
3 2
3 2
3 2
3 2
2 4 5 2
1 2
1 2
2 2 1 2 2
2 1 2 2 2 3
2 2 2 3 2 4
2 2 1 2 2 2 3 2 4
8.8.8.8.8. m m m m
m m m
m m m m
m m m m
m m m m
m m m m m m
a a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a a a
+ + + +
− − −
+ + +
+ + −
+ − −
+ + + − −
− − +
− + +
− + + −
+ − − +
+ − − +
− + + − − +
4 3 2 1
1 2 3
2 3 2 2 2 1 2
2 2 2 1 2 2 1
2 1 2 2 1 2 2
2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2
2
2
2
2
2 2 4
9.9.9.9.9. x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
a a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
− − − −
− − −
− − − −
− − − −
− − − −
− − − −
+ − +
− −
+ − +
− − + −
− − + −
+ − −
1 2 3 4
1 2 3
2 2 2 3 2 4 2 5
2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 2 5 2 6 2 7
2 2 2 3 2 4 2 7
2
2
2
2
4
10.10.10.10.10. a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
n n n n
n n
n n n n
n n n n
n n n n n
− + −
−
− + −
− + − +
− + − +
− − −
−
− − −
− − − −
− − − −
1 2 2 3 3 4
2 2 4
2 3 2 1 4 2 2 5 2 3 6
2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8
2 3 2 1 4 2 2 5 2 4 7 2 5 8
2
2
2
2
11.11.11.11.11. a b
a b
a a b
a b b
a a b a b b
x x
m m
m x m x
x m m x
m x m x x m m x
+
+
+
+ +
+ + +
+
+
+ +
12.12.12.12.12. a b
a b
a ab
a b b
a ab a b b
x n
x n
x n
x n x n
− −
−
−
− −
−
−
−
− +
− − +
1 1
1
1
1 1

13.13.13.13.13. − + +
− +
− + +
+ − −
− + +
− + + − +
+ +
− − −
+ −
− −
− − −
+ − − −
5 3
6 8
30 6 18
40 8 24
5 3
30 46 5 23 3
2 2 2 1 2
3 1 3 2 3 3
5 1 5 5 1
5 5 1 5 2
5 1 5 2 5 3
5 1 5 5 1 5 2 5 3
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a a a
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m m m
14.14.14.14.14. x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x
+ − + +
− − − − −
+ − − − −
− − − −
− − − − +
+ − −
− +
− − −
− + −
− + −
− + −
− + +
2 1 1 1
2 1 2 2 2 1 2 3
3 1 2 3 3 2 2 3 1 2 1
3 2 2 3 1 2 1 3 2 2
3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1
3 1 2 3 3 2 2 3
4 3
2 4 10
2 8 6
4 16 12
10 40 30
2 4 28 a x a x
y x y− − +
−2 2 3 3 2 1
30
EJERCICIO 44
1.1.1.1.1.
1
2
1
3
1
3
1
2
1
6
1
9
1
4
1
6
1
6
4 9
36
1
6
1
6
5
36
1
6
2
2
2 2
2 2
a b
a b
a ab
ab b
a ab b
a ab b
−
+
−
+ −
−
−
−
= + −
2.2.2.2.2. x y
x y
x xy
xy y
x xy y
x xy y
x xy y
−
+
−
+ −
−
−
−
= + −
= + −
2
5
1
3
5
6
1
3
2
15
5
6
10
30
1
3
4 25
30
10
30
1
3
21
30
1
3
1
3
7
10
1
3
2
2
2 2
2 2
2 2
3.3.3.3.3.
1
2
1
3
1
4
2
3
3
2
2
6
2
9
2
12
3
4
3
6
3
8
2
6
8 27
36
2 6
12
3
8
1
3
35
36
8
12
3
8
1
3
35
36
2
3
3
8
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
x xy y
x y
x x y xy
x y xy y
x x y xy y
x x y xy y
x x y xy y
− +
−
− +
− + −
−
+
+
+
−
= − + −
= − + −
4.4.4.4.4.
1
4
2
3
1
4
3
2
1
16
1
4
2
12
3
8
3
2
6
6
1
16
2 3
8
2 18
12
1
16
5
8
20
12
1
16
5
8
5
3
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2
a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
a a b ab b
a a b ab b
− +
−
− +
− + −
−
+
+
+
−
= − + −
= − + −

5.
2
5
1
3
1
2
3
2
2
6
10
3
6
3
4
2
5
1
3
1
2
4
5
2
3
2
2
6
10
15 12
30
45 20 48
60
3 4
6
2
2
6
10
3
30
17
60
7
6
3
5
1
10
17
60
7
6
2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
m mn n
m mn n
m m n m n
m n m n mn
m n mn n
m m n m n mn n
m m n m n mn n
m m n m n mn n
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+
−
−
+ −
+
+
−
= + − + −
= + − + −
7. − + +
− +
− + +
+ − −
− + +
− +
+
+
− −
−
−
+
= − + + − +
= − + + − +
1
2
1
3
3
2
3
2
2
3
3
4
3
6
9
4
1
2
1
3
3
2
2
6
2
9
6
6
3
4
3 3
6
27 4 4
12
27 4
18
6
6
3
4
6
6
19
12
23
18
6
6
3
4
19
12
23
18
2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
x ax a
x ax a
x ax a x
ax a x a x
a x a x a
x ax a x a x a
x ax a x a x a
x ax a x a x a
9.
1
4
1
3
1
4
1
2
3
2
1
10
1
5
3
8
3
6
3
8
3
4
1
40
1
30
1
40
1
20
1
20
1
15
1
20
1
10
3
8
60 3
120
45 4 6
120
90 3 8
120
1 1
20
1
10
3
8
63
120
47
120
79
120
2
20
1
10
3
8
21
40
47
120
79
120
1
10
1
10
3 2
2
5 4 3 2
4 3 2
3 2
5 4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x x x x x x
+ − +
+ −
+ − +
+ + − +
− − + −
+
+
−
− +
+
− −
+
+
−
= + − + + − = + − + + −
6.
3
8
1
4
2
5
2
1
3
2
6
8
2
4
4
5
3
24
1
12
2
15
6
8
2
4
4
5
6
8
2
4
96 15
120
2 18
24
8 30
60
4
5
3
4
1
2
111
120
16
24
38
60
4
5
3
4
1
2
37
40
2
3
19
30
4
5
2
3
5 4 3
3 2
2
5 4 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+ −
+
−
−
+
+
−
= + − + + −
= + − + + −
8.
2
7
1
5
1
2
1
4
2
3
5
6
2
28
1
20
1
8
4
21
2
15
2
6
10
42
5
30
5
12
2
28
21 80
420
105 112 200
840
10 5
30
5
12
2
28
101
420
417
840
15
30
5
12
1
14
101
420
139
280
1
2
3 2 2
2 2
5 4 3 2
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3
x x y xy
x xy y
x x y x y
x y x y x y
x y x y xy
x x y x y x y xy
x x y x y x y xy
x x y x y x y
− +
− +
− +
− + −
+ − +
−
+
+
+ +
−
+
+
= − + − +
= − + − +
5
12
4
xy

10.10.10.10.10.
3
4
1
2
2
5
1
4
2
3
2
3
5
2
6
12
2
6
4
15
2
12
6
12
2
6
4
15
2
12
15
8
5
4
10
10
5
8
6
12
4 6
12
32 40 225
120
10 16 75
60
20 120
120
5
8
1
2
10
12
297
120
101
60
3 2 2 3
2 2
5 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3
m m n mn n
m mn n
m m n m n m n
m n m n m n mn
m n m n mn n
m m n m n m n mn n
m m n m n m n
− + −
− +
− + −
− + − +
+ − + −
−
+
+
+ +
−
+ +
+
+
−
= − + − +
140
120
5
8
1
2
5
6
99
40
101
60
7
6
5
8
4 5 5 4 3 2 2 3 4 5
mn n m m n m n m n mn n− = − + − + −
EJERCICIO 45
1.1.1.1.1. x x x por x
x x x x
3 2 2
5 4 2
1
1 1 1
1 0 1
1 1 1
1 1 1
1 1 0 1 1
− + −
− +
+ −
− +
− + −
− + + −
= − + −
2.2.2.2.2. x x x por x x
x x x x x x
4 3 2 3 2
7 6 5 4 3 2
3 5 8 2 7
1 3 5 0 8
1 2 0 7
1 3 5 0 8
2 6 10 0 16
7 21 35 0 56
1 1 11 3 13 19 0 56
11 3 13 19 56
+ − + − −
+ − + +
− + −
+ − + +
− − + + −
− − + + −
+ − + − + + −
= + − + − + −
3.3.3.3.3. a a b a b ab b por a ab b
4 3 2 2 3 4 2 2
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
3 2 5 2
1 3 2 5 1
1 2 1
1 3 2 5 1
2 6 4 10 2
1 3 2 5 1
1 1 7 12 13 7 1
7 12 13 7
+ − + − − +
+ − + −
− +
+ − + −
− − + − +
+ + − + −
+ − + − + −
= + − + − + −
4.4.4.4.4. m m n mn n por m mn n
m m n m n m n m n mn n
3 2 2 3 3 2 3
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
5 6 4
1 5 6 1
1 0 4 1
1 5 6 1
4 20 24 4
1 5 6 1
1 5 2 20 19 10 1
5 2 20 19 10
− + + − −
− + +
+ − −
− + +
− + − −
− + − −
− + + − − −
= − + + − − −
5.5.5.5.5. x x por x x
x x x x
4 2 4 2
8 6 4 2
8 3 6 5
1 0 8 0 3
1 0 6 0 5
1 0 8 0 3
6 0 48 0 18
5 0 40 0 15
1 0 2 0 50 0 58 0 15
2 50 58 15
− + + −
+ − + +
+ + + −
+ − + +
+ + − + +
− + + + −
+ − + − + + + −
= − − + −
6.6.6.6.6. a a a por a a a a
a a a a a a a
6 4 2 8 6 4 2
14 12 10 8 6 4 2
3 6 10 4 3 2
1 0 3 0 6 0 10
1 0 4 0 3 0 2
1 0 3 0 6 0 10
4 0 12 0 24 0 40
3 0 9 0 18 0 30
2 0 6 0 12 0 20
1 0 7 0 9 0 23 0 52 0 42 0 20
7 9 23 52 42 20
− − + − + −
+ − + − + +
+ − + + + −
+ − + − + +
− + + + + + −
+ + − + − + +
− + + + + + −
+ − + + + + + − + + + −
= − + + − + −

7.7.7.7.7. x x x por x x
x x x x x
9 6 3 6 3
15 12 9 6 3
4 3 2 3 8 10
1 0 0 4 0 0 3 0 0 2
3 0 0 8 0 0 10
3 0 0 12 0 0 9 0 0 6
8 0 0 32 0 0 24 0 0 16
10 0 0 40 0 0 30 0 0 20
3 0 0 20 0 0 51 0 0 70 0 0 46 0 0 20
3 20 51 70 46 20
− + − − +
+ + − + + + + + −
+ + − + + +
+ + − + + + + + −
− + + + + + − + + +
+ + + − + + + + + −
+ + − + + + + + − + + + + + −
= − + − + −
9.9.9.9.9. x x y x y x y y por x y
x x y x y x y x y x y y
5 4 3 2 2 3 5 2 2
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 7
3 6 4 2 4
1 3 6 4 0 1
2 0 4
2 6 12 8 0 2
4 12 24 16 0 4
2 6 8 20 24 18 0 4
2 6 8 20 24 18 4
− − − − +
− − − + −
+ +
− − − + −
+ − − − + −
− − − − − + −
= − − − − − −
11.11.11.11.11. n n n n por n n
n n n n n n n n n
6 4 3 4 2
10 8 7 6 5 4 3 2
3 5 8 4 3 4
1 0 3 5 0 8 4
1 0 3 0 4
1 0 3 5 0 8 4
3 0 9 15 0 24 12
4 0 12 20 0 32 16
1 0 6 5 13 23 8 44 12 32 16
6 5 13 23 8 44 12 32 16
− + − + − +
+ − + + − +
+ − + +
+ − + + − +
− + + − + + −
+ + − + + − +
+ − + + − − + − − +
= − + + − − + − − +
13.13.13.13.13. x x y x y y por x x y x y y10 6 4 2 8 10 6 4 2 2 4 6
5 3 6 4 5
1 0 0 0 5 0 0 0 3 0 6
1 0 4 0 5 0 1
1 0 0 0 5 0 0 0 3 0 6
4 0 0 0 20 0 0 0 12 0 24
5 0 0 0 25 0 0 0 15 0 30
1 0 0 0 5 0 0 0 3 0 6
1 0 4 0 10 0 21 0 28 0 23 0
− + − − − +
+ + + − + + + + + −
+ − + − + +
+ + + − + + + + + −
− + + + + + + + − + +
− + + + + + + + − + +
+ + + + − + + + + + −
+ − + − + + + + + − + + + + + −
− − + + − + + −
9 0 33 0 6
4 10 21 28 23 9 33 616 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 14 16
x x y x y x y x y x y x y x y y
14.14.14.14.14. a a a por a
a a a a a
m m m
m m m m m
− + −
− + +
+ −
− + +
− + + −
− − + + −
= − − + −
− −
+ + − −
3 5 5
1 3 0 5
1 0 5
1 3 0 5
5 15 0 25
1 3 5 20 0 25
3 5 20 25
1 3 2
2 1 1 3
8.8.8.8.8. m m m por m m m m
m m m m m m m
12 8 4 16 12 8 4
28 24 20 16 12 8 4
7 9 15 5 9 4 3
1 7 9 15
1 5 9 4 3
1 7 9 15
5 35 45 75
9 63 81 135
4 28 36 60
3 21 27 45
1 12 53 127 187 192 87 45
12 53 127 187 192 87 45
− + − − + − +
− + −
− + − +
− + −
− + − +
+ − + −
− + − +
+ − + −
− + − + − + −
= − + − + − + −
10.10.10.10.10. 6 4 6 2 2 7
6 0 0 4 6 2
1 0 2 1 7
6 0 0 4 6 2
12 0 0 8 12 4
6 0 0 4 6 2
42 0 0 28 42 14
6 0 12 2 36 6 16 38 44 14
6 12 2 36 6 16 38 44 14
5 2 4 2
9 7 6 5 4 3 2
a a a por a a a
a a a a a a a a
− + − − + −
+ + − + −
+ − + −
+ + − + −
− + + + − +
+ + + − + −
− + + + − +
+ − + − + − + − +
= − + − + − + − +
12.12.12.12.12. 3 4 5 3
3 4 0 0 1
1 0 5 3
3 4 0 0 1
15 20 0 0 5
9 12 0 0 3
3 4 15 29 13 0 5 3
3 4 15 29 13 5 3
4 3 4 3 2 3
7 6 5 2 4 3 3 4 6 7
x x y y por x xy y
− − − +
− + + −
+ − +
− + + −
− + + + +
+ − + + −
− − + − + + −
= − − + − + −
15.15.15.15.15. a a a por a a a
a a a
a a a a
x x x x x x
x x x
x x x x
+ + − + +
+ + +
+ + −
− − + +
− + −
+ + +
− + −
+ − + −
+ − + −
− + − − − −
= − +
− − − −
2 1 1 3 1
2 5 2 4 2 3
2 2 2 1 2 2 1
5 7 7 6
1 5 0 7
7 0 6 1
7 35 0 49
6 30 0 42
1 5 0 7
7 35 6 78 5 42 7
7 35 6
78 5 42 7

16.16.16.16.16. x x x por x x x x
x x x x
x x x x
a a a a a a a
a a a a
a a a a
+ − + − −
+ + +
− − − −
− − − + +
+ − + −
− + +
+ − + −
− + + + +
+ + − + −
+ + − + −
− − + − + − −
= − − +
− + − −
2 2 1 1 2
2 3 2 2 2 1 2
2 1 2 2 2 3 2 4
5 6 6 4 2
1 0 5 0 6
6 4 2 1
6 0 30 0 36
4 0 20 0 24
2 0 10 0 12
1 0 5 0 6
6 4 28 21 46 19 12 6
6 4 28 21
46 19 12 6
17.17.17.17.17. a a a a por a a a
a a a a a a
x x x x x x x
x x x x x x
2 2 2 1 2 2 1 3 1 3 3 1
5 3 5 2 5 1 5 5 1 5 2
3 5 6 5 3
1 3 1 5
6 5 3
6 18 6 30
5 15 5 25
3 9 3 15
6 23 12 34 22 15
6 23 12 34 22 15
+ + − + −
+ + + − −
− − − − +
− − −
− +
− − −
− + + +
+ − − −
− + − + −
= − + − + −
EJERCICIO 46
1.1.1.1.1. ( )( )4 5 3
4 20
3
4 20
12 60
4 8 60
2
2
a a
a
a
a a
a
a a
+ −
+
−
+
− −
+ −
2.2.2.2.2. ( )( )3 1 1
3 3
1
3 3
3 3
3 3
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
a x x
a x a
x
a x a x
a x a
a x a
+ −
+
−
+
− −
−
3.3.3.3.3. ( )( )( )2 3 1 4
2 6
1
2 6
2 6
2 8 6
4
2 8 6
8 32 24
2 26 24
2
2
3 2
2
3
a a a
a
a
a a
a
a a
a
a a a
a a
a a
− − +
−
−
−
− +
− +
+
− +
+ − +
− +
4.4.4.4.4. ( )( )( )x x x
x
x
x x
x
x x
x
x x x
x x
x x x
2 2 2
2
2
4 2
2
4 2
2
6 4 2
4 2
6 4 2
1 1 1
1
1
1
2 1
1
2
2 1
1
+ − +
+
+
+
+ +
+ +
−
+ +
− − −
+ − −
5.5.5.5.5. ( )( )( )m m m m
m m
m
m m
m m
m m m
m
m m m
m m m
m m m m
− − +
−
−
−
− +
− +
+
− +
+ − +
− + +
4 6 3 2
4
6
4
6 24
10 24
3 2
3 30 72
2 20 48
3 28 52 48
2
3 2
2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
6.6.6.6.6. ( )( )( )a b a ab b a b
a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
a b
a a b a b ab
a b a b ab b
a a b ab b
− − + +
− +
+
− +
+ − +
− − +
−
− − +
− + + −
− + −
2 2
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
4 3 3 4
2
2
2
2
2 2
7.7.7.7.7. ( )( )( )3 2 1 1 1
3 6 3
1
3 6 3
3 6 3
3 9 9 3
1
3 9 9 3
3 9 9 3
3 6 6 3
2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
5 4 2
x x x x x
x x x
x
x x x
x x x
x x x x
x
x x x x
x x x x
x x x x
− + − +
− +
−
− +
− + −
− + −
+
− + −
+ − + −
− + −

11.11.11.11.11. ( )( )( )( )x x x x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x x
− + − +
− −
+ +
− −
+ − + −
+ − − −
− −
+ −
− − +
− − +
− − + +
3 4 5 1
3 5
4 1
3 5
4 12 5
12 4 5
4 5
12
4 4 48
5 5 60
3 21 43 60
2 2
2 2
2
4 3 2
3 2
2
4 3 2
12.12.12.12.12. ( )( )( )( )x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x
x x x x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
2 2 2
2 2
2
4 3 2 3
2 2
4 3 2 3 2
3 2
7 6 5 4 3
6 5 4 3 2
5 4 3 2
3 2 1 1 3
2 1 3
3 1
2 3
3 6 3 3
2 4 6 3 3 3
3 3
2 4 6 3
2 4 6 3
3 6 12 18
− + + − +
+ + −
+ −
+ + −
+ + + − +
+ + + + − − +
− − +
+ + + +
− − − − −
− − − − −
+ + + + +
+ − − − − + +
9
3 6 12 18 9
9 9 9 9
4 3 2
7 6 5 4 3 2
x
x x x x
x x x x x x x
13.13.13.13.13. ( )( )( )( )9 3 2 2 1 1 2 1
27 18 2 1
2 1 1
54 36 2
27 18 2 1
54 9 18 2 3 1
2 3 1
108 18 36
162 27 54
54 9 18
108 180 45 45 18
2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2 2
2
6 5 4
5 4 3
4 3 2
6 5 4 3 2
a a a a a
a a a
a a
a a a a
a a a
a a a a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a a a
− + − −
− −
+ −
− −
+ − − +
− − − +
− +
− −
− + +
+ − −
− + − −
14.14.14.14.14. ( )( )a a b a b b
a a b
a b b
a b a b
a b a b
a b a b
x x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ +
+ −
+
−
+
− −
−
1 2 1 2
2 1 2
1 2 2
3 2 2 1 2 2
2 1 2 2 3 4
3 2 3 4
8.8.8.8.8.( )( )( )x x x x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x
x
x x x x
x x x
x x x x x
2 2
2
2
4 3 2
3 2
2
4 2
5 3 2
4 2
5 4 3 2
1 1 2
1
1
1
2 1
2
2
2 2 4 2
2 4 5 2
− + + − −
− +
+ −
− +
+ − +
− + −
− + −
−
− + −
− + − +
− − + − +
9.9.9.9.9. ( )( )( )a a a
a
a
a a
a
a a a
a
a a a a
a a a
a a a a a
a a
m m m
m
m
m m
m
m m m
m
m m m m
m m m
m m m m m
m m
− + −
−
+
+ −
−
+ − −
−
+ − −
− + − +
+ − − − +
⇒ + −
− −
−
− −
− −
−
− − − −
− −
− − − −
− −
3 2 1
3
2
3
2 6
2 3 6
1
2 3 6
3 2 6
3 3 2 6
3
1 1
1
2 1 1
2 1 1
1
2 1 3 2 2 2 1
2 1 1
2 1 3 2 2 2 1
3 2 2 1
a a am m m2 2 1
2 3 6− −
− − +
10.10.10.10.10. ( )( )( )a a a a
a a
a
a a
a a
a a a
a
a a a
a a a
a a a a
− − −
−
−
−
− +
− +
−
− +
− + −
− + −
1 2 3
2
2 2
3 2
3
3 2
3 9 6
6 11 6
2
3 2
2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2

EJERCICIO 47
1.1.1.1.1. ( ) ( )4 3 5 2
4 12 5 10
9 22
x x
x x
x
+ + +
= + + +
= +
2.2.2.2.2. ( ) ( ) ( )6 4 3 1 5 2
6 24 3 3 5 10
8 31
2 2 2
2 2 2
2
x x x
x x x
x
+ − + + +
= + − − + +
= +
3.3.3.3.3. ( ) ( ) ( )a a x a x a a x a
a ax ax a ax a
a ax
− + + − −
= − + + − +
= +
3 2 3
3 6 3
10
2 2 2
2
4.4.4.4.4. ( ) ( )x y y x x y
x y x x y y x y
x y x y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 3
3
+ + + −
= + + + −
= − + +
5.5.5.5.5. ( ) ( )4 5 3 3
4 5 3 3 3 3
3 3 2
3 2 2 2 2 2 2
3 2 4 2 2 3 2
4 3 2 2 2
m mn m m n m m n
m mn m m n m mn
m m m n mn
− + + − −
= − + + − +
= + + −
6.6.6.6.6. ( ) ( ) ( )y x y y x y x y x
y x y x y y x y y x y y
y y
2 2 3 3 2 2 2 2 2
2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2
3 2
1 1 1
3
+ − + + + − −
= + − − + + − +
= − +
7.7.7.7.7. ( ) ( )( )
( )
5 2 1 4 6
5 10 4 4 6
10 4 4
6 6
2
2
2
x x x x
x x x x x
x x x x
x x
+ − + + −
= + − + + + −
= − + − − − −
= − − +
8.8.8.8.8. ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
a a a a a
a a a a a a a
a a a
a a a
a a
+ − − + − + +
= − + − − − + − + +
= + − − −
= + − − +
= − + +
5 5 3 2 2 5 4
5 5 25 3 2 2 4 5 20
5 5 3 4
5 5 3 12
2 5 7
2 2
2 2
2 2
2
9.9.9.9.9. ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
a ab b
+ − − − + − + −
= + − − − − − − −
= + − − + + − + +
= − + +
4 3 5 2 3 3 6
4 3 15 2 3 3 6
4 3 15 2 3 3 6
14 5 5
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
10.10.10.10.10. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
a c a c
a c a c a c a c
a ac ac c a ac ac c
a ac c a ac ac c
ac
+ − −
= + + − − −
= + + + − − − +
= + + − + + −
=
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
4
11.11.11.11.11. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
3 4 3 3
3 4 3 3
3 4 3 3
3 2 4 2 3 3
3 6 3 4 8 4 3 3
2 14 4
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
x y x y x y
x y x y x y x y x y
x xy xy y x xy xy y x y
x xy y x xy y x y
x xy y x xy y x y
x xy y
+ − − + −
= + + − − − + −
= + + + − − − + + −
= + + − − + + −
= + + − + − + −
= + −
12.12.12.12.12.( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
m n m n m n
m n m n m n m n m n m n
m mn n m mn n m mn n
m mn n m mn n
m mn n
+ − + + −
= + + − + + + − −
= + + − + + + − +
= − + − − −
= − − +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 4
2 2 4 4
2 4 4 8 16
2 6 17 4 4
2 10 16
13.13.13.13.13. ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )
x a x x a x a x a x
ax x ax x ax x a x a x a x
ax x x ax x a x a ax ax x
ax x x a a ax ax x
x x ax a a
+ + + − + + − −
= + + + − + + + − − −
= + + − − − − − − − +
= − + − − + + −
= − + + − −
3 1 1 2
3 3 2 2
4 3 2 2
3
2 5
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
14.14.14.14.14. ( ) ( ) ( )a b c a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
a ab ac a ab ac
ab b bc ab b bc
ac bc c ac bc c
a ab ac b bc c a ab ac b bc c
a b c
a b c
a ab ac
ab b bc
ac bc c
a ab
+ − + − + − + +
+ − − +
+ − − +
+ − − +
+ + − − + −
− − + + − +
+ − + − + − + + − +
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ +
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2ac b bc c
a ab ac b bc c
a ab ac b bc c
a ab ac b bc c
a ab ac b bc c
a b c ab ac bc
+ + +
+ − + − +
− + + − +
− − − − − −
− − + − +
⇒ + + − − −
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 6
2 2 6

15.15.15.15.15. ( ) ( ) ( )x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
4 3 2 4 3 2
3 2 3 2
2 2
4 3 2 4 3 2
2
2
4 3 2
3 2 3
3 2
3 2
3 2
3 2
3 3 9 2 2 4
2 5 6 9 2 3 4 4
3
3
3
+ − − − + + − −
+ − + −
+ − + −
+ − + −
+ + − + + −
− − + − − +
+ − − + + − − +
− −
− −
− − 4 3 2
3 2 4 3 2
2 4 3 2
4 3 2 4 3 2
2 5 6 9
3 2 3 4 4
3 3 9 2 5 6 9
2 5 6 9 2 7 4 14
+ − − +
− + + − − + + −
− + + − − + +
− − + + − − + +
x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
17.17.17.17.17. ( )[ ] ( )[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
x x
+ − − + + −
= + − − − + −
= − − + −
= − − + + −
= − +
2 3 3 1 4
2 3 3 1 4
3 3 2 1 4
6 3 6 3 4
5 5 3
2
2
2
2 2
2
19.19.19.19.19. ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
m n m n m n m n m n m n
m n m mn n m n m n
m n m mn n m n
mn n m n
m n mn mn n
m n mn n
+ − − + + + − −
= − − + + + − +
= − − − − − +
= − − − +
= − + −
= − −
2 3
2 2 2 3 3
2 5
2 2 5
2 10 2 10
2 8 10
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 3
2 2 3
EJERCICIO 48
1.1.1.1.1. ( )[ ]
[ ]
x a x
x a x
x a x
x a
− + − +
= − − +
= − + −
= − −
3 2 1
3 2 2
3 2 2
3 3 2
2.2.2.2.2. ( ) ( )[ ]
[ ]
− + − + − +
= − − − − +
= − − − + −
= − − + ⇒ − + −
a b a b a
a b a ab b
a b a ab b
a b ab a ab b
3 2 2
3 2 2
6 3 6
7 7 3 7 3 7
16.16.16.16.16. ( ) ( )( ) ( )x y z x y x y x xy y
x y z x y
x y z x y
x xy xz x xy
xy y yz xy y
xz yz z x y
x xy xz y yz z
x xy xz y yz z
x y
x xy y
x xy xz y yz z
x y z
+ + − + − + + +
+ + +
+ + −
+ + +
+ + + − −
+ + + −
+ + + + +
+ + + + +
− +
+ +
+ + + + +
⇒ + +
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
3
2 2 2
2 2 2
3 3 3
3 5 2 5 2
3 5 + + +5 2 2xy xz yz
18.18.18.18.18. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
3 2 4 1 3 4 2 2
3 6 4 4 3 12 2 4
2 8
8 2 16
6 16
2
2
x x x x
x x x x
x x
x x x
x x
+ − + + − +
= + − − + − −
= − + +
= − − + +
= − − +
20.20.20.20.20. ( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ]
( )[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
x y x y x y x y x y x
x xy y x xy y x y xy x
x xy y x xy y xy y
x xy y xy y
x y x y x y xy xy y
x y x y xy y
+ − − + − + −
= + + − − + − + −
= + + − + − −
= − + − −
= − + + − − +
= − + − +
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
3 2 2 2 2 3 3 4
3 2 2 3 4
3
2 3 2
2 3 6 3
2 8 2
2 2 8 8 2 2
2 10 10 2
3.3.3.3.3. ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
[ ]
− − + − − + − +
= − − + − − − − −
= − − − −
= + +
3 2 2 2 3 2 1
3 2 2 2 2 6 3
4 6 3
4 6 3
x y x y x y x
x y x y x y x
x y
x y
4.4.4.4.4. ( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
4 3 5 2
4 3 5 2
4 3 5 2
4 4 5
4 4 5
3 4 5
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
− − + − − + −
= − − + − − + −
= − − + + − +
= − − + +
= + − −
= + −

5.5.5.5.5. ( )( )[ ]{ }
( )[ ]{ }
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
2 3 2 3 2 2
2 3 2 3 2 2
2 3 2 3 2 2 4 2
2 3 2 3 3 2 4
2 3 6 6 4 8
2 3 6 6 4 8
4 3 4 8 4 4 3 8
a x a x a b a
a x a x a b a
a x a x a b a
a x a x b
a x a x b
a x a x b
a x b a b x
− − + − + − − + − +
= − − + − + − − + − −
= − − + − + + − + +
= − − + + − +
= − − + + − +
= + − − + −
= − − + − ⇒ − + − −
6.6.6.6.6. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
[ ]
a x y x y x y x y
a x y x y x y x y
a x y x y
a x y x y
a x y
− + − − + − − − − −
= − − − + + − + + +
= − + + +
= − + + +
= − +
3 2 2 2
3 3 2 2 2 2
4 2 2 4
4 2 2 8
2 10
7.7.7.7.7. ( ) ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
m m n m m n n m n
m m n m m n n m n
n m m n
n m m n
n m n
n m n
n m m n
− + − − + − + + − + − + −
= − − − − + − + − + − − +
= − − − + − + −
= − − − − + −
=− − − + −
= − + − +
= − + + ⇒ − +
3 2 2 2 1 1
3 2 2 2 2 1
3 2 3 2 1
3 2 3 2 1
3 5 2 1
15 6 3
7 15 3 15 7 3
8.8.8.8.8. ( ) ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
− − − + − − + − + − + −
= − + − − − − + − + − + −
= − − − − + − −
= − − − − + − −
= − − − − −
= − − − + +
= − + +
2 3 2 4 2 2 1 2
2 2 3 6 4 2 2 1 2 2
5 4 4 2 2 1
5 4 4 2 2 2 2
5 4 4 3 4 2
5 4 12 16 8
17 12 8
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b
a b a b
a b
9.9.9.9.9. ( ) ( ){ }[ ]
{ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
[ ]
− + − − + − + − − − − +
= − − − − + − + − − + + +
= − − − − + − + −
= − − − − − + −
= − − − − + −
= − − + − +
= − − +
5 2 2 3 1 2
5 5 2 2 3 1 2
3 5 2 2 2 2 2
3 5 2 4 4 4
3 5 2 3 4
3 5 2 3 4
8 4
x y x y x y x y x
x y x y x y x y x
x y x y x y
x y x y x y
x y x y
x y x y
x y
10.10.10.10.10. ( ) [ ]( ){ }[ ]
( ){ }[ ]
( ){ }[ ]
{ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
m m n m n m n m
m m n m n m n m
m n m n m
m n m n m
m n m n
m n m n
m n m n
m n
− + + − − − + − − − + +
= − − + − − − + − − + − +
= − − + − − − + − +
= − − + − − + +
= − − + − − +
= − − + − + −
= − − − + −
= − + −
3 2 2 3 1
3 3 2 2 3 3 3
2 3 5 4 5
2 3 5 4 5
2 3 6 4 5
2 3 6 4 5
2 3 6 4 5
8 5
11.11.11.11.11. ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }
[ ]{ } [ ]{ }
[ ]{ } { }
{ }
− − + − − − + − − − +
= − + + − − − − − − − −
= − + + − − − − +
= − + + + − −
= − + + +
= +
3 2 2 4 2 3
3 6 2 4 2 3 3
3 6 2 4 5 3
3 6 2 20 12
4 5 40 24
36 29
x y x x y x y
x y x x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y
x y
12.12.12.12.12. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
5 3 2 3 2
5 3 2 3 2 2
5 3 6 3
5 2 18 9
5 16 10
80 50
− + − − + − + + − − + − + −
= − − − − + − − − − − + −
= − − − − + −
= − − + −
= −
= −
a b a b a b a b a b a
a b a b a b a b a b a
a b a b a
a b a b
a b
a b
13.13.13.13.13. ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }
[ ]{ } [ ]{ }
{ } { }
− − + − + − − − − −
= − − − + − − +
= − − − − −
= − + + +
= +
3 4
3 4
3 4
3 3 4 4
7
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b
14.14.14.14.14. ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }
[ ]{ } [ ]{ }
{ }{ }
{ }
{ }
− + − − + − + − + − − − + − +
= − + − + + − + − − + − − − +
= − − + + + − − +
= − − + + + + −
= − − + −
= − +
a b a b a b a b a a
a b a b a b a b a a
a b a b a
a b a b
a b
a b
2 3 2 3 1 3 2 1
2 2 3 2 3 3 3 3 2 2
3 3 2 3 3 6
4 3 6 3 6 9
9 3
9 3

EJERCICIO 49
1.1.1.1.1. − ÷ = −24 8 3
2.2.2.2.2. − ÷ − =63 7 9
3.3.3.3.3. − ÷ − = =−
5 5 52 2 1
a a a a
4.4.4.4.4.14 2 7 73 4 2 3 1 4 2 2 2
a b ab a b a b÷ − = − = −− −
5.5.5.5.5. − ÷ = − = −− −
a b c a b a b c c3 4 3 4 3 3 4 4
6.6.6.6.6. − ÷− = =− −
a b ab a b a2 2 1 1 1
7.7.7.7.7. 54 6 9 92 2 3 2 3 2 1 2 2 3 3
x y z xy z x y z x÷ − = − =−− − −
8.8.8.8.8. − ÷ = − = −− −
5 5 52 2 2 2 1 1
m n m n m n
9.9.9.9.9. − ÷ − = =− −
8 8 12 3 2 3 2 2 3 3
a x a x a x
10.10.10.10.10. − ÷ = − = −
−
xy y
xy xy2
2 1
2
2 2
11.11.11.11.11. 5 6
5
6
5
6
4 5 4 4 4 5 1 4
x y x y x y y÷ − = − = −− −
12.12.12.12.12. − ÷ = − = −−
a b c c a b c a b8 9 4 4 8 9 4 4 8 9
8
1
8
1
8
13.13.13.13.13. 16 5
16
5
16
5
6 4 3 6 4 3 6
m n n m n m n÷ − = − = −−
14.14.14.14.14. − ÷ − = =− −
108 20
108
20
27
5
7 6 8 6 8 7 6 6 8 8 7
a b c b c a b c a
15.15.15.15.15. − ÷ − = =− −
2 3
2
3
2
3
2 6 6 2 1 6 6
m n mn m n m
16.16.16.16.16. a a ax x
÷ = −2 2
17.17.17.17.17. − ÷ = − − −
3 32 1 2
a b ab a bx m x m
18.18.18.18.18. 5 6
5
6
5
6
3 4 3 4 1 1 3 4
a b c a b c a b c a bm n m n m n
÷ − = − = −− − − − −
19.19.19.19.19. a b a b a bx m m n x m m n
÷ − = − − −
4
1
4
20.20.20.20.20. − ÷ − = =− − − − −
3 5
3
5
3
5
3 2 3 2 3 3 2
m n x m n x m n x m na x x a x x a x x
EJERCICIO 50
1.1.1.1.1. a a a a am m m m m m+ + + − + + − −
÷ = = =3 2 3 2 3 2b g
3.3.3.3.3. − ÷ − = = =− − − − − − − +
3 5
3
5
3
5
3
5
2 5 2 5 2 5 3
a a a a am m m m m mb g
5.5.5.5.5. − ÷ − = =− − − − − −
4 5
4
5
4
5
2 3 2 2 3 2 5 2
a b a b a b a bx n x n x n
7.7.7.7.7. 5 6
5
6
5
6
2 1 3 2 2 4 2 1 2 2 3 4
a b a b a b abm x m x m m x x− − − − − − + − − +
÷ − = − = −
9.9.9.9.9. a b a b a b a bm n x a m a m n m x a a n x+ + + − + −
÷ = =
2.2.2.2.2. 2 2 2 24 2 4 2 4 2 2
x x x x xa a a a a a+ + + − + + − −
÷ − = − = − = −b g
4.4.4.4.4. x x x x xn n n n n n n2 3 4 2 3 4 2 3 4 1
4
1
4
1
4
1
4
+ + + − + + − − −
÷ − = − = − = −b g
6.6.6.6.6. − ÷ − = =+ − + − − − − −
7 8
7
8
7
8
3 1 4 2 3 4 1 2 1 3
x y x y x y x ym m m m m m
8.8.8.8.8. − ÷ = − = −− + − + − − + + − −
4 5
4
5
4
5
1 1 1 1 1 1 1 1
x y x y x yn n n n n n n n
10.10.10.10.10. − ÷ = − − − −
5 6
5
6
2 3 1 2 3
ab c a b c a b cm n x m n x
EJERCICIO 51
1.1.1.1.1.
1
2
2
3
1
2
2
3
3
4
2 2 2
x x x÷ = =
2.2.2.2.2.
− ÷ − = = =− −3
5
4
5
3
5
4
5
15
20
3
4
3 2 3 2 1 1
a b a b a b a a
3.3.3.3.3.
2
3
1
6
2
3
1
6
12
3
45 3 3 5 3 3 5 5
xy z z xy z xy xy÷ − = − = − = −−
4.4.4.4.4.
− ÷ − = = =− − − − − −7
8
3
4
7
8
3
4
28
24
7
6
2 1 2 1 2 1 2
a b ab a b a b a bm n m n m n m n
5.5.5.5.5. − ÷ − = = =
2
9
2
2
9
2
2
18
1
9
4 5 4 5 4 5 4 5
x y x y x y x y
6.6.6.6.6. 3
1
3
3
1
3
94 5 6 4 5 4 4 5 1 6 5 4
m n p m np m n p n p÷ − = − = −− − −
7.7.7.7.7. − ÷ − = = =− − −7
8
5
2
7
8
5
2
14
40
7
20
2 5 6 5 6 2 1 5 5 6 6
a b c ab c a b c a a
8.8.8.8.8.
2
3
3
5
2
3
3
5
10
9
2 1 2 1 2
a b ab a b a bx m x m x m
÷ − = − = −− − − −

9.9.9.9.9.
− ÷ = − = − = −− − −3
8
3
4
3
8
3
4
12
24
1
2
3 5 3 5 3 5 3 5
c d d c d c d c dx x x x
10.10.10.10.10.
3
4
3
2
3
4
3
2
6
12
1
2
3 3 3 3
a b b a b a b a bm n m n m n m n
÷ − = − = − = −− − −
11.11.11.11.11. − ÷ − = =+ − + − − − −
2
1
2
2
1
2
44 3 4 3 4 4 3 3 6
a b a b a b a bx m x m x m
12.12.12.12.12. − ÷
= − = − = −
− + − −
− − + + − +
1
15
3
5
1
15
3
5
5
45
1
9
3 5 2 4 1
3 4 5 1 2 6 2 6 2
a b c a b
a b c ab c ab c
x m x m
x x m m
EJERCICIO 52
1.1.1.1.1. a ab a
a ab
a
a
a
ab
a
a b2
2 2
− ÷ =
−
= − = −
2.2.2.2.2. 3 5 3
3 5
3
3
3
5
3
5
3
2 3 2 4 2
2 3 2 4
2
2 3
2
2 4
2
3 2 2
x y a x x
x y a x
x
x y
x
a x
x
y a x
− ÷ −
=
−
−
=
−
−
−
= − +
3.3.3.3.3. 3 5 6
2
3
2
5
2
6
2
3
2
5
2
3
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
a ab a b
a
a
a
ab
a
a b
a
a b ab
− −
−
=
−
−
−
−
−
= − + +
4.4.4.4.4.
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x x
3 2 3 2
24 4
4 1
− +
= − + = − +
5.5.5.5.5. 4 10 5
2
4
2
10
2
5
2
2 5
5
2
8 6 4
3
8
3
6
3
4
3
5 3
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
− −
= − − = − −
6.6.6.6.6. 6 8 20
2
6
2
8
2
20
2
3 4 10
3 2 2
3 2 2
2 2
m m n mn
m
m
m
m n
m
mn
m
m mn n
− +
−
=
−
−
−
+
−
= − + −
7.7.7.7.7. 6 3
3
6
3
3
3 3
2
1
3
8 8 6 6 2 3
2 3
8 8
2 3
6 6
2 3
2 3
2 3
6 5 4 3
a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b a b
− −
= − − = − −
8.8.8.8.8. x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
4 3 2
4 3 2
3 2
5 10 15
5
5
5
5
10
5
15
5
1
5
2 3
− − +
−
=
−
−
−
−
−
+
−
= − + + −
9.9.9.9.9. 8 10 20 12
2
8
2
10
2
20
2
12
2
4 5 10 6
9 2 7 4 5 6 3 8
2
9 2
2
7 4
2
5 6
2
3 8
2
7 2 5 4 3 6 8
m n m n m n m n
m
m n
m
m n
m
m n
m
m n
m
m n m n m n mn
− − +
= − − +
= − − +
10.10.10.10.10.
a a
a
a
a
a
a
a a
x m x m
x m+
= + = +
− −
− −
1
2 2
1
2
2 3
11.11.11.11.11. 2 3 6
3
2
3
3
3
6
3
2
3
2
2 4
3
3
2
3
4
3
3 1 1
a a a
a
a
a
a
a
a
a
a a a
m m m
m m m
m m m
− +
−
=
−
−
−
+
−
= − + −
+ +
+ +
− − +
12.12.12.12.12. a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b a b a b
m n m n m n
m n m n m n
m n m n m n
+ −
= + −
= + −
− + − +
− + − +
− − − − − +
1 2 2 4
2 3
2 3
1 2
2 3
2 4
2 3
2 3 3 1 4 1
13.13.13.13.13. x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x x x x x
m m m m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
+ + −
−
+
− −
+
−
−
−
− + −
= − + −
= − + − ⇒ + − −
2 1 1
2
2
2 2
1
2
1
2
4 2 3 4 3 2
5 6
5 6
5 6 6 5
14.14.14.14.14. 4 6 8
2
4
2
6
2
8
2
2 3 4
4 1 3 2 2 3
2 4
4 1
2 4
3 2
2 4
2 3
2 4
2 3 2
a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b ab b
x m x m x m
x m
x m
x m
x m
x m
x m
x m
+ − + − + −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
− +
−
=
−
−
−
+
−
= − + −
EJERCICIO 53
1.1.1.1.1.
1
2
2
3
2
3
2
3
3
4
6
6
3
4
1
2
x
x
x
x
x x− = − = −
2.2.2.2.2.
1
3
3
5
3
5
3
5
1
4
3
5
5
9
15
15
5
12
5
9
5
12
3 2
3 2 3 2
a a a
a a a a a a
−
−
−
+
−
= − + − = − + −

3.3.3.3.3. 1
4
1
4
2
3
1
4
3
8
1
4
4
4
8
3
12
8
8
3
3
2
4
2
3
2
2 2
2
2 2 2 2
m
m
m n
m
m n
m
m mn n m mn n
− +
= − + = − +
4.4.4.4.4.
2
3
1
5
1
5
1
5
1
4
1
5
1
5
10
3
5
5
5
4
5
10
3
5
4
5
4 3
3
3 4
3
2 5
3
6
3
3 2 2 3
3 2 2 3
x y
xy
x y
xy
x y
xy
xy
xy
x x y xy y
x x y xy y
−
−
−
+
−
−
−
= − + − +
= − + − +
5.5.5.5.5.
2
5
5
1
3
5 5
2
25
1
15
1
5
5 3 3
5
4 2 3 5
a
a
a b
a
ab
a
a a b b− − = − −
EJERCICIO 54
6.6.6.6.6.
1
3
1
2
1
4
1
2
2
3
2
4
2
3
1
2
1
1 2 1 2
a
a
a
a
a a a a
m m
m m m m
+ = + = +
−
− − − −
7.7.7.7.7.
2
3
1
6
1
4
1
6
2
5
1
6
12
3
6
4
12
5
4
12
5
3
2
1
2
1
2 2
3 2 3 2
a
a
a
a
a
a
a a a a a a
x
x
x
x
x
x
+
−
−
− −
− −
= − − ⇒ − −
8.8.8.8.8. −
−
+
−
−
−
= − +
= − +
− + + +
− − − − −
− − − − −
3
4
2
5
1
8
2
5
2
3
2
5
15
8
5
16
10
6
15
8
5
16
5
3
1 2
3 2
1
3 2
1
3 2
4 3 1 2 2
4 3 1 2 2
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x a x a x
a x a x a x
n m n m n m
n m n m n m
n m n m n m
1.1.1.1.1. a a a
a a a
a
a
2
2
2 3 3
3 1
3
3
+ − +
− − −
− −
+ +
2.2.2.2.2. a a a
a a a
a
a
2
2
2 3 1
3
3 3
3 3
− − +
− − −
− −
+ +
3 .3 .3 .3 .3 . x x x
x x x
x
x
2
2
20 5
5 4
4 20
4 20
+ − +
− − −
− −
+ +
4.4.4.4.4. m m m
m m m
m
m
2
2
11 30 6
6 5
5 30
5 30
− + −
− + −
− +
+ −
5.5.5.5.5. x x x
x x x
x
x
2
2
8 15 3
3 5
5 15
5 15
− + − +
− + − +
− +
+ −
6.6.6.6.6. a a a
a a a
a
a
2
2
5 6 2
2 3
3 6
3 6
+ + +
− − +
+
− −
7.7.7.7.7. 6 2 2
6 3 3 2
4 2
4 2
2 2
2
2
2
x xy y x y
x xy x y
xy y
xy y
− − +
− − −
− −
+ +
8.8.8.8.8. − + − − +
+ − −
−
− +
15 22 8 3 2
15 10 5 4
12 8
12 8
2 2
2
2
2
x xy y x y
x xy x y
xy y
xy y
9.9.9.9.9. 5 8 21 3
5 15 5 7
7 21
7 21
2 2
2
2
2
a ab b a b
a ab a b
ab b
ab b
+ − +
− − −
− −
+ +
10.10.10.10.10. 14 22 12 7 3
14 6 2 4
28 12
28 12
2
2
x x x
x x x
x
x
+ − −
− + +
−
− +
11.11.11.11.11. − + − − +
+ − −
−
− +
8 12 4
8 8 8 4
4 4
4 4
2 2
2
2
2
a ab b a b
a ab a b
ab b
ab b
12.12.12.12.12. 6 11 5
6 6 6 5
5 5
5 5
2 2
2
2
2
m mn n m n
m mn m n
mn n
mn n
− + −
− + −
− +
+ −
13.13.13.13.13. − + + − +
+ − +
− +
+ −
54 12 32 9 8
54 48 6 4
36 32
36 32
2 2
2
2
2
m mn n m n
m mn m n
mn n
mn n
14.14.14.14.14. − + + − −
+ + −
+ +
− −
14 71 33 7 3
14 6 2 11
77 33
77 33
2
2
y y y
y y y
y
y

15.15.15.15.15. x y x y
x x y x xy y
x y
x y xy
xy y
xy y
3 3
3 2 2 2
2
2 2
2 3
2 3
− −
− + + +
− +
−
− +
16.16.16.16.16. a a b ab b a b
a a b a ab b
a b ab
a b ab
ab b
ab b
3 2 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2 3
2 3
3 3
2
2 3
2 2
− + − −
− + − +
− +
+ −
−
− +
17.17.17.17.17. x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
4 2
4 3 3 2
3 2
3 2
9 3 3
3 3 1
3 9
3 9
3
3
− + + +
− − − +
− −
+ +
+
− −
18.18.18.18.18. a a a
a a a a a
a
a a
a a
a a
4
4 3 3 2
3
3 2
2
2
1+ +
− − − +
−
+ +
+
− −
19.19.19.19.19. m n m n
m m n m m n n
m n
m n m n
m n n
m n n
6 6 2 2
6 4 2 4 2 2 4
4 2
4 2 2 4
2 4 6
2 4 6
− −
− + + +
− +
−
− +
20.20.20.20.20. 2 7 3 2 3
2 3 2 3 1
4
4 6
6 7
6 9
2 3
2 3
4 3
4 3 3 2
3
3 2
2
2
x x x x
x x x x x
x
x x
x x
x x
x
x
− + − +
− − − + −
−
+ +
+
− −
− −
+
21.21.21.21.21. 3 12 5 10 2
3 6 3 6 5
6 12
6 12
5 10
5 10
5 2 2
5 3 3
3
3
2
2
y y y y
y y y y
y y
y y
y
y
− + + +
− − − +
− −
+ +
+
− −
22.22.22.22.22. am am a am a
am am m m m
am
am am
am am
am am
am a
am a
4
4 3 3 2
3
3 2
2
2
2
2
2 2
2 2
− − +
− − − + −
−
+ +
−
− −
− −
+ +
23.23.23.23.23. 12 35 33 10 4 5
12 15 3 5 2
20 33
20 25
8 10
8 10
3 2 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2 3
2 3
a a b ab b a b
a a b a ab b
a b ab
a b ab
ab b
ab b
− + − −
− + − +
− +
+ −
−
− +
24.24.24.24.24. 15 5 9 3 3 3
15 5 5 3
9 3
9 3
3
3
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 4 2 2 4
3 2 2 3
3 2 2 3
4 5
4 5
m m n m n m n mn n m n
m m n m m n n
m n m n
m n m n
mn n
mn n
− − + + − −
− + − +
− +
+ −
−
− +
EJERCICIO 55
1.1.1.1.1. a a a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a a
4 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
2 1 1
1
2 2
1
1
− − − + +
− − − − −
− − −
+ + +
− − −
+ + +

2.2.2.2.2. x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
5 2 2
5 4 3 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
12 5 2 5
2 5 2
2 5 12
2 4 10
2 5
2 5
+ − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
3.3.3.3.3. m m n m n mn m mn n
m m n m n m m n mn
m n m n m n
m n m n m n
m n m n mn
m n m n mn
5 4 2 3 4 2 2
5 4 3 2 3 2 2
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
3 2 2 3 4
5 20 16 2 8
2 8 3 2
3 8 20
3 6 24
2 4 16
2 4 16
− + − − −
− + + − +
− + +
+ − −
− −
− + +
4.4.4.4.4. x x x x x
x x x x x
x x
x x x
x x
x x
4 2 2
4 3 2 2
3
3 2
2
2
2 1 1
1
2
1
1
− − − − −
− + + + +
+ −
− + +
− −
− + +
5.5.5.5.5. x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x
x x
6 5 3 2 4 2
6 4 2 2
5 4 3 2
5 3
4 2
4 2
2 6 7 4 6 3 2
3 2 2 3
2 3 6 9 4
2 6 4
3 9 6
3 9 6
− + − − + − +
− + − − +
− + + − −
+ − +
− +
− + −
6.6.6.6.6. m m m m m m m m
m m m m m
m m m
m m m
6 5 4 2 3 2
6 5 4 3 3
3 2
3 2
4 4 1 4 1
4 1
4 1
4 1
+ − + − − + − −
− − + + +
+ − −
− − + +
7.7.7.7.7. a a a a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a a
5 4 2 2
5 4 3 3
3 2
3 2
2
2
7 27 10 5
5 5 2
5 7 27
5 5 25
2 2 10
2 2 10
− + − + − +
− + − − +
− + −
+ − +
− +
− + −
8.8.8.8.8. − + − + − +
+ − + − + +
+ −
− + −
− +
− + −
x x y xy y x xy y
x x y x y x xy y
x y x y xy
x y x y xy
x y xy y
x y xy y
4 3 3 4 2 2
4 3 2 2 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3 4
2 2 3 4
3 5 3 2
2 3
5
2
3 6 3
3 6 3
9.9.9.9.9. n n n n n
n n n n
n n
n n
4 3 2
4 3 2 2
2
2
2 2 1 2 1
2 1
2 1
2 1
− + − − +
− + − −
− + −
+ − +
10.10.10.10.10. a b a b a b ab a b ab b
a b a b a b a a b ab
a b a b a b
a b a b a b
a b a b ab
a b a b ab
5 4 2 2 4 5 2 2 3
5 4 2 3 3 3 2 2
4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4
3 3 2 4 5
3 3 2 4 5
5 22 40 2 10
2 10 3 4
3 10 22
3 6 30
4 8 40
4 8 40
− + − − −
− + + − +
− + +
+ − −
− −
− + +
11.11.11.11.11. 16 24 27 8 12 6 9
16 24 12 18 2 3
24 36 18 27
24 36 18 27
4 2 2 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
3 2 2 3 4
x x y y x x y xy y
x x y x y xy x y
x y x y xy y
x y x y xy y
− − − + −
− + − + +
− + −
− + − +
12.12.12.12.12. 4 4 13 3 20 2 5
4 10 2 3 4
6 13
6 15
2 3
2 5 20
8 20
8 20
4 3 2
4 3 3 2
3 2
3 2
2
2
y y y y y
y y y y y
y y
y y
y y
y y
y
y
+ − − − +
− − − + −
− −
+ +
−
− − −
− −
+
13.13.13.13.13. − − + − − − + +
+ − − − −
+ − −
− + +
− −
− + +
2 3 5 11 3 2 3
2 4 6 2 3
3 6 11
3 6 9
2 3
2 3
5 4 3 2 4 5 3 2 3
5 3 2 2 3 2 2
4 3 2 2 3 4
4 2 3 4
3 2 4 5
3 2 4 5
a a x a x ax x a ax x
a a x a x a ax x
a x a x a x ax
a x a x ax
a x ax x
a x ax x

14.14.14.14.14. − + − − − + +
+ − + + − − −
− + + −
+ − + +
− + − −
+ − + +
x x y x y xy x x y x y xy
x x y x y x y x xy y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y xy
x y x y x y xy
6 5 2 4 5 4 3 2 2 3
6 5 4 2 3 3 2 2
5 4 2 3 3 2 4
5 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 5
4 2 3 3 2 4 5
2 3 3 2
3 2
2 3
3 2
3 2
3 2
15.15.15.15.15. a a a a a a
a a a a a a
a a a a
a a a
a a a a
a a a
a a
a a
6 5 2 3
6 4 3 3 2
5 4 3 2
5 3 2
4 3 2
4 2
3
3
5 31 8 21 2 7
2 7 5 2 3
5 2 7 31
5 10 35
2 3 4 8
2 4 14
3 6 21
3 6 21
− + − + − −
− + + − + −
− + + +
+ − −
− − −
− + +
− + +
+ − −
16.16.16.16.16. m m m m m m m
m m m m m m
m m m m m
m m m m
m m m
m m m
6 5 3 4 3 2
6 5 4 2 2
5 4 3 2
5 4 3
4 3 2
4 3 2
5 6 9 3
3 2 3
2 5 3 6
2 2 2 6
3 3 3 9
3 3 3 9
− + − + + − +
− − + − − +
− + + − −
+ + − +
+ − +
− − + −
17.17.17.17.17. a a b a b a b ab b a ab b
a a b a b a a b a b ab b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b ab
a b a b ab
a b ab b
a b ab b
6 5 4 2 3 3 5 6 2 2
6 5 4 2 4 3 2 2 3 4
5 4 2 3 3
5 4 2 3 3
4 2 3 3
4 2 3 3 2 4
3 3 2 4 5
3 3 2 4 5
2 4 5 6
2 4 5 6
4 6 3 2
2 3
5 6
2
3 5
3 6 3
3 3
2
2
2
− − + − + − +
− + − + − − +
− +
− + −
− +
+ − +
− + −
+ − +
− +
− + −
18.18.18.18.18. x x y x y x y xy y x xy y
x x y x y x x y x y xy y
x y x y
x y x y x y
x y x y
x y x y x y
x y xy
x y x y xy
x y xy y
x y xy y
6 4 2 3 3 2 4 5 6 2 2
6 5 4 2 4 3 2 2 3 4
5 3 3
5 4 2 3 3
4 2 2 4
4 2 3 3 2 4
3 3 5
3 3 2 4 5
2 4 5 6
2 4 5 6
2 2 2 3 2 2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
− + − + − + −
− − + − + − +
− +
+ −
+ −
− − +
− +
+ + −
+ −
− − +
19.19.19.19.19. y y y y y y y
y y y y y
y y y y y
y y y
y y
y y
6 5 4 3 4 2
6 4 2 2
5 4 3 2
5 3
4 2
4 2
2 4 4 2 2 2
2 2 2 1
2 4 2 4
2 4 4
2 2
2 2
− − + − + − +
− + − − +
− + + − −
+ − +
− +
− + −
20.20.20.20.20. 3 11 18 3 8 4 3 4
3 9 12 3 2 1
2 6 8
2 6 8
3 4
3 4
7 5 4 3 2 4 2
7 5 3 3
5 4 3
5 3
4 2
4 2
m m m m m m m m
m m m m m
m m m m
m m m
m m
m m
− + + − − + − +
− + − − +
− + + −
+ − +
− +
− + −
21.21.21.21.21. a a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
6 5 4 3 2 3 2
6 5 4 3 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
2 2 3 2 1 1
2 1
4 2
2 3
2 2 2 2 1
1
1
+ − − + − − + − +
− − + − + − −
− − +
− − + −
− − + −
+ + − + −
− − + −
+ + − +
22.22.22.22.22. 24 52 38 33 26 4 8 12 6
24 36 18 3 3 2 4
16 56 36 26
16 24 12 2
32 48 24 4
32 48 24 4
5 4 3 2 2 3 4 5 3 2 2 3
5 4 3 2 2 3 2 2
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
3 2 2 3 4 5
x x y x y x y xy y x x y xy y
x x y x y x y x xy y
x y x y x y xy
x y x y x y xy
x y x y xy y
x y x y xy y
− + − − + − − +
− + + − − +
− + − −
+ − − +
− − +
− − + −
23.23.23.23.23. 5 4 8 5 6 2 4 6 2 2
5 10 10 5 4 2 3
4 2 5 4 2
4 8 8
2 3 4 6 4
2 4 4
3 6 6
3 6 6
8 7 6 5 4 3 2 4 2
8 6 4 4 3 2
7 6 5 4 3
7 5 3
6 5 4 3 2
6 4 2
5 3
5 3
a a a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a a
− − + + − + − − +
− + − − + −
− + + − −
+ − +
+ − − + +
− + −
− + −
− +

24.24.24.24.24. x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
7 6 5 2 3 2
7 6 5 4 4 3 2
6 5 4
6 5 4 3
5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
3 6 3 6 2 3 6
2 3 6 1
3 6
2 3 6
3 6
2 3 6 3
3 5 3
2 3 6 6
2 3 6
2 3 6
− + + − + − + +
− + − − − + − +
− + −
+ − + +
− + +
− + − − −
− + − −
+ − + + +
− + +
− + − −
25.25.25.25.25. 3 5 9 10 8 3 4 3 2 5 4
3 2 5 4 2 1
3 4 6 8
3 2 5 4
6 12 3
6 4 10 8
3 2 5 4
3 2 5 4
6 5 4 3 2 3 2
6 5 4 3 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
a a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
+ − − + + − + − −
− − + + + − +
+ − − +
− − + +
− − + +
+ + − −
+ − −
− − + +
26.26.26.26.26. 5 3 11 11 17 3 4 2 5 3 4 2
5 3 4 2 3 1
15 9 17 3
15 9 12 6
5 3 4 2
5 3 4 2
8 7 6 5 4 3 2 4 3 2
8 7 6 5 4 2
6 5 4 3
6 5 4 3
4 3 2
4 3 2
y y y y y y y y y y y y
y y y y y y
y y y y
y y y y
y y y y
y y y y
− − + − − − − − + +
− + − − − −
− + − −
+ − + +
− + − −
+ − + +
27.27.27.27.27. − + − + − − + − − + − +
+ − + − − + −
− + −
− + − +
− + − −
+ − + −
m m n m n m n m n m n mn n m m n mn n
m m n m n m n m m n m n n
m n m n m n m n
m n m n m n m n
m n m n m n m n
m n m n m n
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7 3 2 2 3
7 6 5 2 4 3 4 3 2 2 4
6 5 2 4 3 3 4
6 5 2 4 3 3 4
5 2 4 3 3 4 2 5
5 2 4 3 3 4
5 14 20 13 9 20 4 3 5
3 5 2 3 4
2 9 19 13
2 6 10 2
3 9 11 9
3 9 15 3m n
m n m n mn n
m n m n mn n
2 5
3 4 2 5 6 7
3 4 2 5 6 7
4 12 20 4
4 12 20 4
− + −
− + − +
28.28.28.28.28. x x y x y x y x y xy x x y xy
x x y x y x x y x y y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y xy
x y x y xy
11 9 2 7 4 5 6 3 8 10 5 3 2 4
11 9 2 7 4 6 4 2 2 4 6
9 2 7 4 5 6
9 2 7 4 5 6
7 4 5 6 3 8
7 4 5 6 3 8
5 6 3 8 10
5 6 3 8 10
5 8 6 5 3 2 3
2 3 3
3 5 6
3 6 9
3 5
2 3
2 3
2 3
− + − − + − +
− + − − − +
− + −
+ − +
− + −
+ − +
+ − +
− + −
29.29.29.29.29. 3 15 14 28 47 28 23 10 3 6 2 3 2
3 6 2 3 2 3 4 5
9 12 3 30 47 28
9 18 6 9 6
12 15 24 38 22 23
12 24 8 12 8
15 30 10 15 10
9 7 6 4 3 2 5 3 2
9 7 6 5 4 4 2
7 6 5 4 3 2
7 5 4 3 2
6 5 4 3 2
6 4 3 2
5 3 2
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a a a a
− + − + − + − − + − +
− + − + − − + −
− + + − + −
+ − + − +
+ − − + − +
− + − + −
− + − + −
+15 30 10 15 105 3 2
a a a a− + − +
30.30.30.30.30. a b bc c a b c
a ab ac a b c
ab b ac bc
ab b bc
ac bc c
ac bc c
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
− + − + −
− − + − +
− − + +
+ + −
+ −
− − +
31.31.31.31.31. − + − − − + − +
+ − + − + +
+ − −
− + −
− +
− + −
2 5 3 10 2 3 5
2 3 5 2
2 4 3
2 3 5
4 6 10
4 6 10
2 2 2
2
2
2
2
2
x xy xz y yz z x y z
x xy xz x y z
xy xz y yz
xy y yz
xz yz z
xz yz z
32.32.32.32.32. x y xyz z x xy xz y yz z
x x y x z xy xyz xz x y z
x y x z y xy xyz z xz
x y y xy xyz y z yz
x z xyz z xz y z yz
x z xyz z xz y z yz
3 3 3 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 3 2 3 2
2 3 2 2 2
2 3 2 2 2
2 3 2 2 2
3
2
+ − + − − + − +
− + + − + − + +
+ + − − + −
− − + + + −
− + − + −
− + − + − +

33.33.33.33.33. a b a b
a a b a a b a b ab b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b ab
ab b
ab b
5 5
5 4 4 3 2 2 3 4
4
4 3 2
3 2
3 2 2 3
2 3
2 3 4
4 5
4 5
+ +
− − − + − +
−
+ +
− −
−
+ +
+
− −
34.34.34.34.34. 21 21 3 3
21 21 7 7 7 7 7
21
21 21
21
21 21
21
21 21
21 21
21 21
5 5
5 4 4 3 2 2 3 4
4
4 3 2
3 2
3 2 2 3
2 3
2 3 4
4 5
4 5
x y x y
x x y x x y x y xy y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y xy
xy y
xy y
− −
− + + + + +
− +
− +
− +
−
− +
35.35.35.35.35. 16 16 2 2
16 16 8 8 8 8
16
16 16
16
16 16
16 16
16 16
8 8 2 2
8 6 2 6 4 2 2 4 6
6 2
6 2 4 4
4 4
4 4 2 6
2 6 8
2 6 8
x y x y
x x y x x y x y y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y y
x y y
− +
− − − + −
−
+ +
− −
− −
+ +
36.36.36.36.36. x y x y
x x y x x y x y x y y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y y
x y y
10 10 2 2
10 8 2 8 6 2 4 4 2 6 8
8 2
8 2 6 4
6 4
6 4 4 6
4 6
4 6 2 8
2 8 10
2 8 10
− −
− + + + + +
− +
− +
− +
−
− +
37.37.37.37.37. x y x y
x x y x x y x y x y y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y y
x y y
15 15 3 3
15 12 3 12 9 3 6 6 3 9 12
12 3
12 3 9 6
9 6
9 6 6 9
6 9
6 9 3 12
3 12 15
3 12 15
+ +
− − − + − +
−
+
− −
−
+
+
− −
38.38.38.38.38. x x y xy y x xy x y y
x x y xy x xy x x y
x y xy y x xy x
x y xy y xy y y
x xy x y y
x xy x y y
3 2 2 3 2 2
3 2 2 2
2 2 3 2
2 2 3 2
2 2
2 2
3 3 1 2 1
2 1
2 1
2
1 2
1 2
+ + + − + + + + +
− − − − − − + −
+ + − − − −
− − − − − −
− − − − − −
+ + + + + +
39.39.39.39.39. x y x x y x y xy y
x x y x y x y xy x y
x y x y x y xy y
x y x y x y xy y
5 5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4 5
4 3 2 2 3 4 5
+ − + − +
− + − + − +
− + − +
− + − + −
EJERCICIO 56
1.1.1.1.1. a a a
a a a a a
a
a a
a a
a a
x x
x x x x x
x
x x
x x
x x
+
+ + + +
+
+ +
+
+
+ +
− − − +
−
+ +
+
− −
3
3 2 2 1
2
2 1
1
1
1

2.2.2.2.2. − + + + +
+ + − + +
+ +
− −
+
− −
+ + + +
+ + + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
x x x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
n n n n
n n n n n
n n
n n
n n
n n
5 4 3 2 2
5 4 3 2 1
4 3
4 3
3 2
3 2
3
2
2 3
2 2
3.3.3.3.3. m m m m m m m
m m m m m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
a a a a a
a a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
+ + + −
+ + + + + −
+ + +
+ + +
+ +
+ +
+ −
+ −
− + − + − +
− + − + − +
− +
− + −
− + −
+ − +
− +
− + −
4 3 1 1 2
4 3 2 2 1 1
3 2 1
3 2 1
2 1
2 1
1 1
1 1
6 5 3 2 3
2 3
3 6
2 3
3 5
2 3
2 3
2 3
4.4.4.4.4. a a a a a a
a a a a a
a a
a a
a a
a a
n n n n n n
n n n n n
n n
n n
n n
n n
2 3 2 2 2 1 2 1
2 3 2 2 2 1
2 2 2 1
2 2 2 1
2 1 2
2 1 2
4 2
3 2
3
3 3
2 2
2 2
+ + + +
+ + + +
+ +
+ +
+
+
+ + − +
− − + −
+
− −
− −
+
5.5.5.5.5. x x x x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
a a a a a a a
a a a a a
a a
a a
a a
a a
2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 3 1
2 5 2 3 2 1
2 4 2 3
2 4 2 2
2 3 2 1
2 3 2 1
2 3 4 2 2
2 2
2
2 4
2
2
+ + + + + + +
+ + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ − − + −
− + + −
+ −
− +
− +
+ −
6.6.6.6.6. a a a a a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
x x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
+ − − − −
+ +
+ −
+ −
− −
− −
− + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
2 1 2 1 2
2 1 2
1 1
1 1
1 2
1 2
2 8 3 2 3
2 3 2 1
2 5 8
2 4 6
2 3
2 3
7.7.7.7.7. a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
2 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2
2 2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 2 3
2 1 2 2 2 3
2 2 2 3 2 4
2 2 2 3 2 4
2 4 5 2
3 2
3 5 5
3 3 3
2 2 2
2 2 2
+ − + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
− − − − − −
− − − −
− − −
− − −
− − −
− − −
9.9.9.9.9. x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
a a a a a a a
a a a a a a a
a a
a a a
a a
a a a
a a a
a a a
2 2 2 3 2 4 2 7 1 2 3
2 2 2 3 2 4 1 2 2 3 4
2 3 2 4
2 3 2 4 2 5
2 4 2 5
2 4 2 5 2 6
2 5 2 6 2 7
2 5 2 6 2 7
4
2
2 3
2 2 2
2
− − − − − − −
− − − − − − −
− −
− − −
− −
− − −
− − −
− − −
+ − − − −
− + + + − +
+ −
− + +
− +
+ − −
+ − −
− + +
10.10.10.10.10. a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n
2 3 2 1 4 2 2 5 2 4 7 2 5 8 1 2 2 3 3 4
2 3 2 1 4 2 2 5 2 3 6 2 2 4
2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8
2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8
2 2
2
2
2
− + − + − + −
− + − + −
− + − +
+ − + −
− − − − − − −
− − − −
− − − −
− − − −
11.11.11.11.11. a a b a b b a b
a a b a b
a b b
a b b
m x m x x m m x x x
m x m x m m
x m m x
x m m x
+ +
+
+
+
+ + + +
− − +
+
− −
12.12.12.12.12. a a b b ab a b
a a b a b
b ab
b ab
x x n n
x x x n
n n
n n
− + − −
− + −
−
− +
− −
− − −
−
−
1 1
1 1 1
1
1
8.8.8.8.8. − + + − − + − + +
+ − − − − +
+ + −
− + +
− −
− + +
− + +
+ −
+ + + − − − − −
+ + + + + + +
+ +
+ +
+ −
+ −
− −
m m m m m m m m m
m m m m m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m
a a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a
2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3
2 3 2 2 2 1 4 3 2 1
2 2 2 1 2
2 2 2 1 2
2 1 2 2 1
2 1 2 2 1
2 2 1 2 2
2
2 2 4
2
4
2 3
2 2 2
2 1 2 2a a
m− −
−
13.13.13.13.13. 3 23 5 46 30 8 6
3 24 18 3 5
13 46
8 6
5 40 30
5 40 30
5 3 5 2 5 1 5 5 1 3 3 3 2 3 1
5 3 5 2 5 1 2 2 1 2 2
5 2 5 1 5
5 2 5 1 5
5 1 5 5 1
5 1 5 5 1
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
m m m m m m m m
m m m m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
− − − + − − −
− − − + +
− −
− −
− +
− +
− + + − − +
− + − + −
+ − +
− + −
− + −
− +

14.14.14.14.14. 2 4 28 30 4 3
2 8 6 2 4 10
4 6 28
4 16
3 1 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 1 2 1 1 1
3 1 2 3 3 2 2 3 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 3
3 2 2 3 1 2 1 3 2 2
3 2 2 3
x y x y x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x y x y
x y x
a x a x a x a x a x a x a x
a x a x a x a x a x a x
a x a x a x
a x a
+ − − − − + + − + +
+ − − − − − − − − −
− − − −
−
− − + − + −
− + − − − −
+ − −
− + − − −
− − − − +
− − − − +
−
− +
− + −
1 2 1 3 2 2
3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1
3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1
12
10 40 30
10 40 30
y x y
x y x y x y
x y x y x y
x a x
a x a x a x
a x a x a x
EJERCICIO 57
1.1.1.1.1.
1
6
5
36
1
6
1
3
1
2
1
6
1
4
1
2
1
3
1
9
1
6
1
9
1
6
2 2
2
2
2
a ab b a b
a ab a b
ab b
ab b
+ − +
− − −
− −
+
2.2.2.2.2.
1
3
7
10
1
3
2
5
1
3
2
15
1
3
5
6
5
6
1
3
5
6
1
3
2 2
2
2
2
x xy y x y
x xy x y
xy y
xy y
+ − −
− + +
−
− +
3.3.3.3.3.
1
3
35
36
2
3
3
8
1
2
1
3
1
4
1
3
2
9
1
6
2
3
3
2
3
4
1
2
3
8
3
4
1
2
3
8
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 3
x x y xy y x xy y
x x y xy x y
x y xy y
x y xy y
− + − − +
− + − −
− + −
− +
4.4.4.4.4.
1
16
5
8
5
3
1
4
3
2
1
16
3
8
1
4
2
3
1
4
5
3
1
4
3
2
1
6
1
6
3 2 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2 3
2 3
a a b ab b a b
a a b a ab b
a b ab
a b ab
ab b
ab b
− + − −
− + − +
− +
−
−
− +
5.5.5.5.5.
3
5
1
10
17
60
7
6
3
2
2
3
5
2
5
4
5
2
5
1
3
1
2
1
2
65
60
7
6
1
2
1
3
2
3
3
4
1
2
3
4
1
2
4 3 2 2 3 4 2 2
4 3 2 2 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3 4
2 2 3 4
m m n m n mn n m mn n
m m n m n m mn n
m n m n mn
m n m n mn
m n mn n
m n mn n
+ − + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
− +
6.6.6.6.6.
3
4
1
2
37
40
2
3
19
30
4
5
2
1
3
2
3
4
1
8
3
4
3
8
1
4
2
5
1
2
4
5
1
12
19
30
1
2
1
12
1
2
4
5
2
15
4
5
4
5
2
15
4
5
5 4 3 2 3
5 3 2 2
4 3 2
4 2
3
3
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x
x x
+ − + + − − +
− + − + −
− − +
− + −
− + −
− +
7.7.7.7.7.
9
4
1
12
13
18
1
3
3
2
2
3
9
4
3
2
3
2
1
3
1
2
1
2
13
12
13
18
1
2
1
3
2
9
3
4
1
2
1
3
3
4
1
2
1
3
4 3 2 2 3 4 2 2
4 3 2 2 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3 4
2 2 3 4
a a x a x ax x a ax x
a a x a x a ax x
a x a x ax
a x a x ax
a x ax x
a x ax x
− − + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
− +

8.8.8.8.8.
1
14
101
420
139
280
1
2
5
12
2
7
1
5
1
2
1
14
1
20
1
8
1
4
2
3
5
6
4
21
13
35
1
2
4
21
2
15
1
3
5
21
1
6
5
12
5
21
1
6
5
12
5 4 3 2 2 3 4 3 2 2
5 4 3 2 2 2
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
3 2 2 3 4
x x y x y x y xy x x y xy
x x y x y x xy y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y xy
x y x y xy
− + − + − +
− + − − +
− + −
+ − +
− +
− + −
10.10.10.10.10.
1
2
5
6
99
40
101
60
7
6
5
8
3
4
1
2
2
5
1
4
1
2
1
3
4
15
1
6
2
3
2
3
5
2
1
2
53
24
91
60
7
6
1
2
1
3
4
15
1
6
15
8
5
4
5
8
15
8
5
4
5 4 3 2 2 3 4 5 3 2 2 3
5 4 3 2 2 3 2 2
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
3 2 2 3 4
m m n m n m n mn n m m n mn n
m m n m n m n m mn n
m n m n m n mn
m n m n m n mn
m n m n mn n
m n m n mn
− + − + − − + −
− + − + − +
− + − +
− + −
− + −
− + − +
5
8
5
n
EJERCICIO 58
9.9.9.9.9.
3
8
21
40
47
120
79
120
1
10
1
10
1
4
1
3
1
4
1
2
3
8
1
2
3
8
3
4
3
2
1
10
1
5
1
40
1
60
11
120
1
10
1
40
1
30
1
40
1
20
1
20
1
15
1
20
1
10
1
20
1
15
1
20
1
10
5 4 3 2 3 2
5 4 3 2 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
+ − + + − + − +
− − + − + −
− − +
− − + −
− − + −
+ − +
1.1.1.1.1. x x x x x x x
x
5 4 2 3 2
2
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1
− + − ÷ − +
− + + − − +
− + − + −
− + − ⇒ −
+ − +
2.2.2.2.2. x x x x x x x x
x x x
7 6 5 4 3 2 3 2
4 3 2
11 3 13 19 56 2 7
1 1 11 3 13 19 0 56 1 2 0 7
1 2 0 7 1 3 5 0 8
3 11 10 13 3 5 8
3 6 0 21
5 10 8 19
5 10 0 35
8 16 0 56
8 16 0 56
+ − + − + − ÷ − −
+ − + − + + − − + −
− + − + + − + +
− + − ⇒ + − +
− + − +
− + + +
+ − + −
− + −
− + − +
3.3.3.3.3. a a b a b a b a b ab b a ab b6 5 4 2 3 2 2 4 5 6 2 2
7 12 13 7 2+ − + − + − ÷ − +
1 1 7 12 13 7 1 1 2 1
1 2 1 1 3 2 5 1
3 8 12 3 2 5
3 6 3
2 9 13
2 4 2
5 11 7
5 10 5
1 2 1
1 2 1
4 3 2 2 3 4
+ − + − + − − +
− + − + − + −
− + ⇒ + − + −
− + −
− + −
− +
− +
− + −
− + −
+ − +
a a b a b ab b

4.4.4.4.4. m m n m n m n m n mn n m mn n
m m n mn n
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 3
3 2 2 3
5 2 20 19 10 4
1 5 2 20 19 10 1 1 0 4 1
1 0 4 1 1 5 6 1
5 6 21 19 5 6
5 0 20 5
6 1 24 10
6 0 24 6
1 0 4 1
1 0 4 1
− + + − − − ÷ − −
− + + − − − + − −
− − + + − + +
− + + − ⇒ − + +
+ − −
+ − −
− − + +
+ − −
− − + +
5.5.5.5.5. x x x x x x
x x
8 6 4 2 4 2
4 2
2 50 58 15 6 5
1 2 50 58 15 1 6 5
1 6 5 1 8 3
8 45 58 8 3
8 48 40
3 18 15
3 18 15
− − + − ÷ + −
− − + − + −
− − + − +
− − + ⇒ − +
+ + −
+ −
− − +
6.6.6.6.6. a a a a a a a a a a a14 12 10 8 6 4 2 8 6 4 2
7 9 23 52 42 20 4 3 2− + + − + − ÷ − + −
1 7 9 23 52 42 20 1 4 3 2
1 4 3 2 1 3 6 10
3 6 25 52 3 6 10
3 12 9 6
6 34 58 42
6 24 18 12
10 40 30 20
10 40 30 20
6 4 2
− + + − + − − + −
− + − + − − +
− + + − ⇒ − − +
− + −
− + − +
+ − + −
− + −
− + − +
a a a
7.7.7.7.7. 3 20 51 70 46 20 3 8 10
3 20 51 70 46 20 3 8 10
3 8 10 1 4 3 2
12 41 70 4 3 2
12 32 40
9 30 46
9 24 30
6 16 20
6 16 20
15 12 9 6 3 6 3
9 6 3
x x x x x x x
x x x
− + − + − ÷ − +
− + − + − − +
− + − − + −
− + − ⇒ − + −
− +
− +
− + −
− + −
− +
8.8.8.8.8. m m m m m m m m m m28 24 20 16 12 8 4 12 8 4
12 53 127 187 192 87 45 7 9 15− + − + − + − ÷ − + −
1 12 53 127 187 192 87 45 1 7 9 15
1 7 9 15 1 5 9 4 3
5 44 112 187 5 9 4 3
5 35 45 75
9 67 112 192
9 63 81 135
4 31 57 87
4 28 36 60
3 21 27 45
3 21 27 45
16 12 8 4
− + − + − + − − + −
− + − + − + − +
− + − + ⇒ − + − +
+ − + −
− + −
− + − +
− + − +
+ − + −
− + −
− + − +
m m m m
9.9.9.9.9. 2 6 8 20 24 18 4 2 47 6 5 2 4 3 3 4 2 5 7 2 2
x x y x y x y x y x y y x y− − − − − − ÷ +
2 6 8 20 24 18 0 4 2 0 4
2 0 4 1 3 6 4 0 1
6 12 20 3 6 4
6 0 12
12 8 24
12 0 24
8 0 18
8 0 16
2 0 4
2 0 4
5 4 3 2 2 3 5
− − − − − + − + +
− − − − − − + −
− − − ⇒ − − − −
+ +
− − −
+ + +
− + −
+ + +
− + −
+ +
x x y x y x y y
10.10.10.10.10. 6 12 2 36 6 16 38 44 14 2 79 7 6 5 4 3 2 4 2
a a a a a a a a a a a− + − + − + − + ÷ − + −
6 0 12 2 36 6 16 38 44 14 1 0 2 1 7
6 0 12 6 42 6 0 0 4 6 2
4 6 6 16 38 6 4 6 2
4 0 8 4 28
6 2 12 10 44
6 0 12 6 42
2 0 4 2 14
2 0 4 2 14
5 2
+ − + − + − + − + + − + −
− − + − + + + − + −
− + + − + ⇒ − + −
+ + − + −
− − + −
− − + − +
− + + − +
+ − − + −
a a a

11.11.11.11.11. n n n n n n n n n n n n n
n n
10 8 7 6 5 4 3 2 6 4 3
4 2
6 5 13 23 8 44 12 32 16 3 5 8 4
1 0 6 5 13 23 8 44 12 32 16 1 0 3 5 0 8 4
1 0 3 5 0 8 4 1 0 3 0 4
3 0 13 15 12 44 12 3 4
3 0 9 15 0 24 12
4 0 12 20 0 36 16
4 0 12 20 0 36 16
− + + − − + − − + ÷ − + − +
+ − + + − − + − − + + − + + − +
− − + − − + − + − + +
− + + − − + − ⇒ − +
+ + − + + − +
+ − + + − +
− + + − − + −
13.13.13.13.13. x x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y
x x y x y y
16 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 14 16 6 4 2 2 4 6
10 6 4 2 8 10
4 10 21 28 23 9 33 6 4 5
1 4 10 21 28 23 9 33 6 1 4 5 1
1 4 5 1 1 0 5 0 3 6
5 20 28 23 5 3 6
5 20 25 5
3 18 9 33
3 12 15 3
6 24 30 6
6 24 30 6
− − + + − + + − ÷ − − +
− − + + − + + − − − +
− + + − + − + + −
− + + − ⇒ − + −
+ − − +
− + +
− + + −
− + + −
+ − − +
15.15.15.15.15. 7 35 6 78 5 42 7 7 62 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 2 1 3 1
a a a a a a a a a ax x x x x x x x x x+ + + + + − + +
− + − − − − ÷ + +
7 35 6 78 5 42 7 7 0 6 1
7 0 6 1 1 5 0 7
35 0 79 5 5 7
35 0 30 5
49 0 42 7
49 0 42 7
2 1 1
− + − − − − + + +
− − − − − + −
− + − − ⇒ − −
+ + + +
− + − −
− + +
+ + −
a a ax x x
16.16.16.16.16. 6 4 28 21 46 19 12 6 6 4 22 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 2
x x x x x x x x x x x xa a a a a a a a a a a a+ + + − − − − + − −
− − + − + − − ÷ − + +
6 4 28 21 46 19 12 6 6 4 2 1
6 4 2 1 1 0 5 0 6
30 20 46 19 5 6
30 20 10 5
36 24 12 6
36 24 12 6
2 2
− − + − + − − − + +
− + − − + − + −
− + − + ⇒ − −
+ − + +
− + − −
− + +
+ −
x x xa a a
17.17.17.17.17. 6 23 12 34 22 15 3 55 3 5 2 5 1 5 5 1 5 2 2 2 2 1 2 2 1
a a a a a a a a a ax x x x x x x x x x+ + + − − + + −
− + − + − ÷ − − −
6 23 12 34 22 15 1 3 1 5
6 18 6 30 6 5 3
5 18 4 22 6 5 3
5 15 5 25
3 9 3 15
3 9 3 15
3 1 3 3 1
− + − + − − − −
− + + + − +
− + − + ⇒ − +
+ − − −
− − −
− + + +
+ −
a a ax x x
12.12.12.12.12. 3 4 15 29 13 5 3 5 37 6 5 2 4 3 3 4 6 7 3 2 3
x x y x y x y x y xy y x xy y− − + − + − ÷ − +
3 4 15 29 13 0 5 3 1 0 5 3
3 0 15 9 3 4 0 0 1
4 0 20 13 3 4
4 0 20 12
1 0 5 3
1 0 5 3
4 3 4
− − + − + + − + − +
− − + − − + + −
− + + − ⇒ − −
+ + − +
− + + −
− − +
x x y y
14.14.14.14.14. a a a a a am m m m m+ + − −
− − + − ÷ −2 1 1 3 2
3 5 20 25 5
1 3 5 20 0 25 1 0 5
1 0 5 1 3 0 5
3 0 20 3 5
3 0 15
5 0 25
5 0 25
1 3
− − + + − + −
− − + − + +
− + + ⇒ − +
+ + −
+ + −
− − +
− −
a a am m m

EJERCICIO 59
1.1.1.1.1. a b a
a
b
a
b
2 2 2
2
2
2
2
1
+
− +
2.2.2.2.2. a a
a a
a
4 3
4
3
2
2
2
+
− +
+
4.4.4.4.4. 16 20 8 7 4
16 4 5 2
7
4
20
20
8
8
7
4 3 2 2 3 2
4 2 2
3
3
3
2 2
2 2
3
a a b a b ab a
a a ab b
b
a
a b
a b
a b
a b
ab
− + +
− − + +
−
+
−
+
5.5.5.5.5. x x x
x x x
x
x
x
2
2
7 10 6
6 1
4
6
10
6
4
+ + +
− − + +
+
+
− −
+
6.6.6.6.6. x x x
x x x
x
x
x
2
2
5 7 4
4 1
3
4
7
4
3
− + −
− + − +
−
− +
−
+
7.7.7.7.7. m m m
m m m
m
m
m
4 2 2
4 2 2
2
2
2
11 34 3
3 8
10
3
8 34
8 24
10
− + −
− + − +
−
− +
−
+
8.8.8.8.8. x xy y x y
x xy x y
y
x y
xy y
xy y
y
2 2
2
2
2
2
2
6
7
8
7
7 7
8
− + +
− − − +
+
− +
+ +
+
3.3.3.3.3. 9 6 7 3
9 3 2
7
3
6
6
7
3 2 2
3
2
2
2
x x x
x x
x
x
x
+ +
− + +
+
−
+
9.9.9.9.9. x x x x x
x x x x
x
x x
x
3 2 2
3 2
2
3 2 1
2 2
1
2 2
− + + − +
− + − +
+
− +
+ +
10.10.10.10.10. x y x y
x x y x xy y
y
x y
x y
x y xy
xy y
xy y
y
3 3
3 2 2 2
3
2
2 2
2 3
2 3
3
2
2
+ −
− + + + +
−
− +
+
− +
11.11.11.11.11. x y x y
x x y x x y x y xy y
y
x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y xy
xy y
xy y
y
5 5
4 4 4 3 2 2 3 4
5
4
4 3 2
3 2
3 2 2 3
2 3
2 3 4
4 5
4 5
5
2
2
+ −
− + + + + + +
−
− +
− +
− +
+ +
− +
12.12.12.12.12. x x x x x
x x x x
x
x x
x x
x x
x
3 2 2
3 2
2
2
2
4 5 8 2 1
2 6
6 2
2 1
6 6 8
6 12 6
6 2
+ − + − +
− + − + +
+
− +
− +
− + −
+

13.13.13.13.13. 8 6 5 9 2 3
8 12 4 3 7
12
2 3
6 5
6 9
14 9
14 21
12
3 2 2 3
3 2 2 2
3
2 2
2 2
2 3
2 3
3
a a b ab b a b
a a b a ab b
b
a b
a b ab
a b ab
ab b
ab b
b
− + − −
− + + + +
−
+
− +
−
− +
EJERCICIO 60
14.14.14.14.14. x x x x x x
x x x x x
x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x
5 4 2 2
5 4 3 3
2
3 2
3 2
2
2
3 9 7 4 3 2
3 2 2 3
20 10
3 2
2 9 7
2 6 4
3 11 4
3 9 6
20 10
− + + − − +
− + − − + +
−
− +
− + +
+ − +
+ −
− + −
−
Para los problemas del 1 al 9 las literales toman los siguentes valores:
a = - 1 b = - 2 c = - 1/2
1.1.1.1.1.
( ) ( )
a ab b2 2
2 2
2
1 2 1 2 2
1 2 2 4 1 4 4 9
− +
= − − − ⋅ +
= + ⋅ + = + + =
2.2.2.2.2.
( ) ( ) ( )
3 4 3
3 1 4 1 2 3 1 2 2
3 4 2 3 4 8 3 8 12 8 31
3 2 2 3
3 2 2 3
a a b ab b− + −
= − − − ⋅ + − −
= − − ⋅ − ⋅ − = − − − − = −
3.3.3.3.3.
( ) ( ) ( )
a a ac bc4 3
4 3
3 2 3
1 3 1 2 1
1
2
3 2
1
2
1 3 2
1
2
6
1
2
1 3 1 3 8
− + −
= − − − + − −





 − ⋅ −






= + + ⋅ + ⋅ = + + + =
4.4.4.4.4.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a c a c a c ac c5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3
2
2
3 4 5
8 16 20 40
1 8 1
1
2
16 1
1
2
20 1
1
2
40 1
1
2
1
2
1 8
1
2
16
1
4
20
1
8
40
1
16
1
32
1 4 4
5
2
5
2
1
32
1
1
32
32 1
− + − + −
= − − − −





 + − −





 − − −





 + − −





 − −






= − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + = − + − + − + = − + =
− +
32
31
32
= −
5.5.5.5.5. ( ) ( ) ( )
( )
( )
a b b c a c− + − − −
= − − + − −











 − − − −












= − + +



 − − +



 = +





 − −






= + − = + = + =
2 2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
1 2 2
1
2
1
1
2
3 2
1
2
1
1
2
9
5
2
1
2
9
25
4
1
4
9
24
4
9 6 15
6.6.6.6.6. ( ) ( ) ( )
( )[ ]
[ ]
b a b c a c+ − − − −
= + − − − −











 − − − −












= − − +



 − − +



 = −



 − −




= − + = − = − =
−
= − = −
3 3 3
3
3 3
3
3 3
3
3 3
1
2
2 1 2
1
2
1
1
2
2 1 2
1
2
1
1
2
1
5
2
1
2
1
125
8
1
8
1
124
8
1
31
2
2 31
2
29
2
14
7.7.7.7.7. ab
c
ac
b
bc
a
+ −
=
− ⋅
−
+
− −






−
−






−
= + −
= + − = + =
+
= =
1 2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
4
1
4
1 3
1
4
12 1
4
13
4
3 1
4
8.8.8.8.8. ( ) ( )a b c a b c c+ + − − − +
= − + + −











 − − − − −











 + −






= −



 − − +



 − =



 − −



 −
= − − =
− −
= − = − = −
2 2
2 2
2 2 2 2
2
4
1
2
1 2
1
2
1 2
1
2
1
2
1
1
2
3
1
2
1
2
1
2
5
2
1
2
1
4
25
4
1
2
1 25 2
4
26
4
6 6
9.9.9.9.9. ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) [ ] ( )
3 2 4 2
3 2 1 2 4 1 2
1
2
2
1
2
1 2 3 2 2 4 2
1
2
2
2
3 3 0 4
3
2
6
2
6 3 3
a b a b c c a b+ − + − −
= − + − − + −











 − −





 − − = − + + −



 + − = ⋅ +



 − = − =

a = 2 b = 1/3 x = - 2 y = - 1 m= 3 n = 1/2
10.10.10.10.10.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
x x y xy
y
4 2 2
3
4 2 2
3
8 2
3
2
2
8
2 1
2
3 2 1
2
1
16
8
4
2
6
2
1 2 2 3 1 2
− + −
=
−
−
− −
+
− −
− −
= −
−
+
−
+ = + − + =
11.11.11.11.11.( ) ( ) ( )( )
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
a x x y x y m x n− + − + − + −
= − − + − − − + − − − + − −




= + + − + + − − −



 = + − + −




= + +



 = + =
+
= =
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
2
2 2 2 1 2 1 3 2
1
2
2 2 2 1 4 1 3 2
1
2
4 1 3 1
1
2
16 1 3
1
2
17
3
2
34 3
2
37
2
18
12.12.12.12.12. ( ) ( )( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) [ ] [ ][ ]
[ ]
− − + + − − + + +
= − − − − + − + − − − − − + ⋅ − + − +



 = − − + + + − + + − − +




= + − + − +



 = − + −



 = − − = −
+
= − = −
x y x y x y m b x y n2 2
2 2
1
2
3
2 1 2 1 2 1 3 3
1
3
2 1
1
2
2 1 4 1 5 1 2 1
1
2
1 5 4 3
1
2
1 20
5
2
19
5
2
38 5
2
43
2
21
13.13.13.13.13.( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )
[ ][ ] [ ]
3 2 2 4 4
2
3 2 2 1 2
1
2
4 3 4 2 1
2 1
2
6 2 1 12 4 4 1
2 1
2
4 11 16
1
2
44 16
1
2
60
1
2
60
2 2
2 2
1
2
x y n m x y
x y
− − + −
−
= − − − ⋅ − ⋅



 + − − −
− − −
= − + − + ⋅ ⋅ −
− +
= − − + −
−
= + + = + =
15.15.15.15.15. ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )
x x y m x y x y n x y m n2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2 1 3 2 1 2 1
1
2
2 1 3 2
1
2
4 1 1 2 1 4 1
1
2
2 1 9 1 4 2 1 5
1
2
3 8 8
9
2
9 8 80
9
2
160 9
2
− + − − + − + + −
= − − − − + − − − − − + − −



 + − + − − ⋅






= + − − + + −



 + − − − = ⋅ − − −



 + − = + + ⋅ = + =
+
= =
169
2
84 1
2
16.16.16.16.16. ( )
( )
( ) ( )[ ] [ ]
[ ]
3 2 3
2 4
3 2
2
2 1
3
3
1
2
1
3
1
2
2 2 1 4 3
2
3
3
2
6 2 8 1 4
9
4 9
6
2 5 9
13
6
10 19
13
6
114 13
6
127
6
21
3 2 3 2
1
6
a
x
y
m
n
y
m
n
x y+ + − + − + =
⋅
−
+
−
+
⋅
−
− + − − − + = − − − − + − − +
= − −
+
+ − = − − − = − − = −
+
= − = −
14.14.14.14.14.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
4
3 2
1 1
4 2
3 1
2
2 1
1
1
2
1
1
3
2 2 3
8
3
8
2 1
2 3 2 16 3
8
3
8 1 2 13
8
3
21 2
8
3
23
8 69
3
77
3
25
3
3
4
3
3
4
2
3
x
y
x
y n b
x x m−
+
+ −





 + −
=
−
−
−
−
+ −
+ −










− + − −
=
−
−
−
−
−
+ − − + − = + + − − +
= + + = + =
+
= =
1.1.1.1.1. 7 8 9 10
5 2 1 4
am am am am
↓ ↓ ↓ ↓
+ + − −! ! ! !
3.3.3.3.3. x xy x
xy y x y
x y y Rta
2 2
2 2 2
2 2 2
3
3
−
− − +
−
4.4.4.4.4. 3 5 6
3 8 6
3
2
2
x x
x x Rta
x
− +
− + −
5.5.5.5.5. 3 2 3 8
2 3 5 8 5
2 3 8 2 5 13
2
2
2 2
a a
a a a
a a a a Rta
− +
− + +
− + + +
6.6.6.6.6. ( )( )[ ]{ }
( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
− − − + − − +
= − − − + − − −
= − − − + − + +
= − − − − − = − + + + = +
3 4 5 6
3 4 5 6
3 4 5 6
3 3 6 6 3 3 6 6 6 6
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
EJERCICIO 61

7.7.7.7.7. ( )( ) ( )
( )( )
( )
x y x y x y
x xy xy y x y x y
x y x xy y
x y x xy y
xy y
+ − − +
= − + − − + +
= − − + +
= − − − −
= − −
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2 2
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( ) ( )
( )
a b c
a b c b
c b
a
= = =
+ − − +
−
−
= + − − +
−
−
= ⋅ − − +
−
−
= + + = + =
2 3 1
3 4
3 2 3 4 1 3
1 3
2
3 5 4 2
2
2
15 8 1 23 1 24
9.9.9.9.9. 3 5 2 5 6
3 5
2 3 6 6
2 3 6
6
3 3
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
x y x xy y
x xy y x xy
x xy y x y
x xy y
x y
x xy Rta
− + +
− + − − −
+ − +
+ −
+
+
10.10.10.10.10.
2
3
1
2
1
5
1
2
3
4
2
1
3
1
4
1
10
1
2
3
8
3
20
4
3
2
5
1
3
1
4
193
120
23
20
2
5
2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
a ab b
a ab b
a a b a b
a b a b ab
a b ab b
a a b a b ab b
− +
+ −
− +
+ − +
− + −
+ − + −
11.11.11.11.11. x x x
x x x
x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
5 3 2
4 2
3
5 4 3 2 2
5 4 3 3
3 2
3 2
2
2
5
2 2 10
6 6 30
2 5 7 16 30 2 6
2 6 5
7 16
2 6
5 10 30
5 10 30
− +
− + −
+ − +
− + + − + − +
− + − − +
− + −
+ − +
− +
− + −
12.12.12.12.12.
1
4
1
90
1
15
1
2
1
3
1
4
1
6
1
2
1
3
1
5
1
6
1
90
1
6
1
9
1
2
1
5
1
10
1
15
1
2
1
3
1
5
1
10
1
15
3 1
3
4
3
3 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 3 2 2
2 3
a ab b a b
a a b a ab b
a b ab
a b ab a ab b
ab b a ab b
ab b ab ab
− + +
− − − +
− −
+ + +
+ − + −
− −
+
=
13.13.13.13.13. − − − +
+ − − +
− − +
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− + − +
3
2 3 2 2
2 2 3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
4 4 3 3
2 3 3 2 3
2 2 3 2 3
2 3 3 2 3
3 2 3
2 2
5 4 2 3
4 3 2 4
3 2 2 3 5
5 4 3 2 4 5
ab b a a b b
a b ab b a b b
a b b a a b b
a a b b
a ab b
a a b a b
a b a b ab
a b a b b
a a b a b ab b
14.14.14.14.14. x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x
x x
3 2
2 3 2
2 3 2
3 2 3 2
3 2 2
3 2
2
2
5 4
6 6 3 2 16 5 12
8 8 3 19 6
19 6 3 12
3 12 3
3 4
4 4 12
4 4 12
− +
− − + − + +
− + − − + −
− + + − +
+ − + − +
− + − +
− +
− + −
15.15.15.15.15. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2 1 2 3 3 10 2 3 1
4 4 1 5 2 6 3 10 6 2
4 5 4 4 5 2 6 3 10 6 2
3 10 6 2 3 10 6 2
2 2 2 2 2
2 2 4 3 2 3 2
2 3 3 2 3 2
3 2 3 2
+ + − − + − = + + −
+ + + − + − − + = + + −
+ + + − + + − = + + −
+ + − = + + −
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x

16.16.16.16.16.
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
x y
x y x y x y x y
= − =
+ − + + −
= − + − − + − + − −
= − − + − −
= ⋅ + ⋅ = + =
2 1
2
2 1 2 1 2 2 1 2 1
1 3 2 1 3
1 9 2 3 9 6 15
2 2
2 2
2 2
17.17.17.17.17. x x
x x x
x x x Rta
x x x x
2
2
2
2 2
2 8
4 4 6
6 4 8 3
4 6 5 4 3
+ +
+ + +
− − −
+ + − +
18.18.18.18.18. ( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]
{ } [ ]
{ } [ ]
− + − + − + − + − −
= − − + − − = − + − +
= − − = −
= − + = −
−
−
−
3 2 2
3 2 2 2
2 3 2 2
2 3 4
4
2 3
2 7
a b a a b a b a b
a b a a b a b a b
a b b
a b b
b
a b
a b Rta
19.19.19.19.19. ( )( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] [ ]
[ ]
5 3 8 2
5 3 8 2
5 2 8 3
5 2 5
3
5
3
15 3
5
15 2
2
2
2 2
x x x y x x x y
x x x y x x x y
x x y x x y
x x y x y
x y
x y
x y
x xy
xy y
x xy y Rta
+ − − − + − + − +
= + − − + = + − − +
= + − − = − +
= − − = +
= −
+
−
+
− −
− −
20.20.20.20.20.
( )[ ]
[ ]
[ ]
1
4
1
24
5
12
1
3
1
2
1
4
1
4
1
8
1
2
1
2
1
3
1
6
1
12
1
3
1
6
1
12
1
3
2 5 4
2 5
1
2
1
3
2 6
8 1
2
3 1
3
2 6
9
2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 3
x x y xy y x xy y
x x y xy x y
x y xy y
x y xy y
x x x y x y
x x x y x y
x x y x y
x x y x
+ + + − +
− + − +
− +
− + −
+ − − − − +
= + − − + − −
= + − + −
+
+
−
= − + − +
2
3
4
y Rta
x y= − +
21.21.21.21.21. ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )
[ ][ ]
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
2 2 2 2
2 2 4 3 2
4 3 2 3 2 2 4 3 2
4 3 2 4 3 2
3 2 3 4 4 7 6
3 2 3 4 4 7 6
3 3 3 9 2 2 6 4 4 7 6
4 4 7 6 4 4 7 6
− + + − + = − + − +
− − − + = − + − −
− + − + − − + − = − + − −
− + − − = − + − −
22.22.22.22.22. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]x x y x x y x y x y
x xy x xy x y x y
xy x y
x y x y xy
xy x y xy Rta
x y xy x y xy
+ − − + − −
= + − + = + − +
= = − +
− + − +
−
− + +
2 3
2 2 3 3
2 5
5 2 10
2 4 7
2 10 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 3 3
3 3
3 3 3 3
23.23.23.23.23. x y x y x xy y
x x y x xy y x xy y
x y x x y x y
x y xy x y x y xy
xy x y xy y
xy y x x y x y xy y Rta
3 3 2 2
3 2 2 2 2 2
2 4 3 2 2
2 2 3 2 2 3
2 2 2 3 4
2 3 4 3 2 2 3 4
3
3
3
3
4 3 2
− − + −
− + + + + +
+ −
− + + + −
+ + −
− + + + + −
24.24.24.24.24. ( )( ) ( )( )
[ ]
[ ]
x y x xy y x y x xy y
x x y xy x y xy y x x y xy x y xy y
x y x y
x y x y
y
− + + − + − +
= + + − − − − − + + − +
= − − +
= − − −
= −
2 2 2 2
3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3
3 3 3 3
3 3 3 3
3
2
25.25.25.25.25.
( ) ( )
( ) ( )
a b c
ab
c
b a
b
a
c b
c
b
= = =
+ − − −
=
⋅
+ −
⋅
− −
= + ⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ − ⋅
= + − =
+ −
=
−
= −
4 9 25
2
9
3
4 9
25
2 9 4
9 9
4
3 25 9
25
9
36
25
2 5
81
16
3 16
5
3
6
5
10
9
4
48
5
3
6
5
45
2
80
12 225 800
10
563
10
56
2
2
3
10
26.26.26.26.26. x x x x x x
x x x
x
x x x
x x x Rta
x
x
3 2 2
3 2 2
2
2
3 4 12 3 4 2
3 4
4 12
4 12 4 2
2 2
2 4
2 4
+ − − + − = −
− − −
− −
+ + − −
+ +
−
− +
?

27.27.27.27.27. ( )( ){ } ( ){ }[ ]
( ){ } { }[ ]
{ } [ ]
( ) ( )
( )
4 3 4 3
4 3 4 3 2
4 3 4 3 6 5 1
4 4 4 3 6 2 5 2 1
6 5 1 6 4 10 1
24 10 1 33
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
x x x x x x
x x x x x x Si x
x x x x x x x x
x x x x x
x x
− − − + + − + −
= − − − − + − − = −
= − − + + + − + − −
= − + − + − + = − − − −
= − − = + −
= + − =
29.29.29.29.29. ( )( )( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) [ ]
( )( ) [ ]
a b a b a b a a a a a b
a b a ab ab b a a a a a b
a b a b a b
a a b a b b a b
a b a b
2 2 4 4
2 2 2 2 4 4
2 2 2 2 4 4
4 2 2 2 2 4 4 4
4 4 4 4
3 2 2 4 1
3 2 4 4 4
+ + − = − + + − + − +
+ − + − = − + + − − − +
+ − = −
− + − = −
− = −
EJERCICIO 62
28.28.28.28.28. x x
x x x x Rta
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
2
2 4 3
4 3 2 3 2
2 4 3 2
4 3 2
7 5
9 11 21
7 5 18 14 84 45
9 63 45 7 14 63 45
7 14 63 45
+ −
− − +
+ − − − +
− − + + − − +
+ − − +
30.30.30.30.30. ( ) ( )[ ]
[ ]
[ ]
3 3 4 3
5 6 3 4 3
5 3 2 1
2 1
5 3 2
1 2 1
5 2 1
2
3 2 2
3 2 2
2
3 2 2
2
3 2
− + − + − − +
+ − = − − + + −
+ − = − − +
= − + −
+ − − +
+ − + −
+ + − +
x x x
x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x
x x x Rta x
1.1.1.1.1. ( )m m m+ = + +3 6 9
2 2
2.2.2.2.2. ( )5 25 10
2 2
+ = + +x x x
3.3.3.3.3.( )6 36 12
2 2 2
a b a ab b+ = + +
4.4.4.4.4. ( )9 4 81 72 16
2 2
+ = + +m m m
5.5.5.5.5. ( )7 11 49 154 121
2 2
x x x+ = + +
6.6.6.6.6. ( )x y x xy y+ = + +
2 2 2
2
7.7.7.7.7. ( )1 3 1 6 92 2 2 4
+ = + +x x x
8.8.8.8.8.( )2 3 4 12 9
2 2 2
x y x xy y+ = + +
9.9.9.9.9.( )a x by a x a xby b y2 2 2 4 2 2 2 2 4
2+ = + +
EJERCICIO 63
10.10.10.10.10. ( )3 8 9 48 643 4 2 6 3 4 8
a b a a b b+ = + +
11.11.11.11.11.( )4 5 16 40 255 6 2 10 5 6 12
m n m m n n+ = + +
12.12.12.12.12. ( )7 5 49 70 252 3 4 2 4 6 2 3 4 8
a b x a b a b x x+ = + +
13.13.13.13.13. ( )4 5 16 40 252 3 2 2 4 2 3 2 6
ab xy a b ab xy x y+ = + +
14.14.14.14.14. ( )8 9 64 144 812 3 2 4 2 2 3 6
x y m x y x ym m+ = + +
15.15.15.15.15. ( )x y x x y y10 12 2 20 10 12 24
10 20 100+ = + +
16.16.16.16.16. ( )a a a a am n m m n n
+ = + ++2 2 2
2
17.17.17.17.17. ( )a b a a b bx x x x x x
+ = + ++ + +1 2 2 1 2 2
2
18.18.18.18.18. ( )x y x x y ya x a a x x+ − + + − −
+ = + +1 2 2 2 2 1 2 2 4
2
1.1.1.1.1. ( )a a a− = − +3 6 9
2 2
2.2.2.2.2. ( )x x x− = − +7 14 49
2 2
3.3.3.3.3. ( )9 81 18
2 2
− = − +a a a
4.4.4.4.4. ( )2 3 4 12 9
2 2 2
a b a ab b− = − +
5.5.5.5.5. ( )4 1 16 8 1
2 2 2
ax a x ax− = − +
6.6.6.6.6. ( )a b a a b b3 3 2 6 3 3 6
2− = − +
7.7.7.7.7. ( )3 5 9 30 254 2 2 8 4 2 4
a b a a b b− = − +
8.8.8.8.8. ( )x x x2 2 4 2
1 2 1− = − +
9.9.9.9.9. ( )x ay x ax y a y5 2 2 10 5 2 2 4
3 6 9− = − +
10.10.10.10.10. ( )a b a a b b7 7 2 14 7 7 14
2− = − +
11.11.11.11.11. ( )2 3 4 12 9
2 2 2
m n m mn n− = − +
12.12.12.12.12. ( )10 9 100 180 813 5 2 6 4 5 2 10
x xy x x y x y− = − +
13.13.13.13.13. ( )x y x x y ym n m m n n
− = − +
2 2 2
2
14.14.14.14.14. ( )a a ax x x− − −
− = − +2 2 2 4 2
5 10 25
15.15.15.15.15. ( )x x x x xa a a a a+ − + − −
− = − +1 2 2 2 2 2 1 2 4
3 6 9

EJERCICIO 64
1.1.1.1.1. ( )( )x y x y x y+ − = −2 2
2.2.2.2.2. ( )( )m n m n m n− + = −2 2
3.3.3.3.3. ( )( )a x x a a x− + = −2 2
4.4.4.4.4. ( )( )x a x a x a2 2 2 2 4 4
+ − = −
5.5.5.5.5. ( )( )2 1 1 2 4 12
a a a− + = −
6.6.6.6.6. ( )( )n n n− + = −1 1 12
7.7.7.7.7. ( )( )1 3 3 1 1 9 2 2
− + = −ax ax a x
8.8.8.8.8. ( )( )2 9 2 9 4 812
m m m+ − = −
9.9.9.9.9. ( )( )a b a b a b3 2 3 2 6 4
− + = −
10.10.10.10.10.( )( )y y y y y y2 2 4 2
3 3 9− + = −
11.11.11.11.11. ( )( )1 8 8 1 1 64 2 2
− + = −xy xy x y
12.12.12.12.12. ( )( )6 6 362 2 2 2 4 4 2
x m x x m x x m x− + = −
13.13.13.13.13. ( )( )a b a b a bm n m n m n
+ − = −2 2
14.14.14.14.14. ( )( )3 5 5 3 9 252 2
x y y x x ya m m a a m
− + = −
15.15.15.15.15.( )( )a b b a a bx x x x x x+ − − + + −
− + = −1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 4
EJERCICIO 65
1.1.1.1.1. ( )( )x y z x y z x xy y z+ + + − = + + −2 2 2
2
2.2.2.2.2. ( )( )x y z x y z x y yz z− + + − = − + −2 2 2
2
3.3.3.3.3. ( )( )x y z x y z x y yz z+ + − − = − − −2 2 2
2
4.4.4.4.4. ( )( )m n m n m mn n+ + + − = + + −1 1 2 12 2
5.5.5.5.5. ( )( )m n m n m n mn− − − + = + − −1 1 2 12 2
6.6.6.6.6. ( )( )x y x y x y y+ − − + = − + −2 2 4 42 2
7.7.7.7.7. ( )( )n n n n n n n2 2 4 2
2 1 2 1 4 4 1+ + − − = − − −
EJERCICIO 66
8.8.8.8.8. ( )( )a a a a a a2 2 4 2
2 3 2 3 2 9− + + + = + +
9.9.9.9.9. ( )( )m m m m m m2 2 4 2
1 1 3 1− − + − = − +
10.10.10.10.10. ( )( )2 2 4 42 2 2
a b c a b c a ab b c− − − + = − + −
11.11.11.11.11. ( )( )2 2 4 22 2 2
x y z x y z x y yz z+ − − + = − + −
12.12.12.12.12. ( )( )x x x x x x x2 2 4 2
5 6 5 6 25 60 36− + + − = − + −
13.13.13.13.13. ( )( )a ab b a b ab a a b b2 2 2 2 4 2 2 4
− + + + = + +
14.14.14.14.14. ( )( )x x x x x x x x x x3 2 3 2 6 4 3 2
2− − + + = − − −
1.1.1.1.1. ( )a a a a+ = + + +2 6 12 8
3 3 2
2.2.2.2.2. ( )x x x x− = − + −1 3 3 1
3 3 2
3.3.3.3.3. ( )m m m m+ = + + +3 9 27 27
3 3 2
4.4.4.4.4. ( )n n n n− = − + −4 12 48 64
3 3 2
5.5.5.5.5. ( )2 1 8 12 6 1
3 3 2
x x x x+ = + + +
6.6.6.6.6. ( )1 3 1 9 27 27
3 2 3
− = − + −y y y y
7.7.7.7.7. ( )2 8 12 62 3 2 4 6
+ = + + +y y y y
8.8.8.8.8.( )1 2 1 6 12 8
3 2 3
− = − + −n n n n
9.9.9.9.9. ( )4 3 64 144 108 27
3 3 2
n n n n+ = + + +
10.10.10.10.10. ( )a b a a b a b b2 3 6 4 2 2 3
2 6 12 8− = − + −
11.11.11.11.11. ( )2 3 8 36 54 27
3 3 2 2 3
x y x x y xy y+ = + + +
12.12.12.12.12. ( )1 1 3 32 3 2 4 6
− = − + −a a a a
EJERCICIO 67
1.1.1.1.1. ( )( )a a a a+ + = + +1 2 3 22
2.2.2.2.2. ( )( )x x x x+ + = + +2 4 6 82
3.3.3.3.3. ( )( )x x x x+ − = + −5 2 3 102
4.4.4.4.4. ( )( )m m m m− − = − +6 5 11 302
5.5.5.5.5. ( )( )x x x x+ − = + −7 3 4 212
6.6.6.6.6. ( )( )x x x x+ − = + −2 1 22
7.7.7.7.7. ( )( )x x x x− − = − +3 1 4 32
8.8.8.8.8. ( )( )x x x x− + = − −5 4 202
9.9.9.9.9. ( )( )a a a a− + = − −11 10 1102
10.10.10.10.10. ( )( )n n n n− + = − −19 10 9 1902
11.11.11.11.11. ( )( )a a a a2 2 4 2
5 9 4 45+ − = − −
12.12.12.12.12. ( )( )x x x x2 2 4 2
1 7 8 7− − = − +
13.13.13.13.13. ( )( )n n n n2 2 4 2
1 20 19 20− + = + −
14.14.14.14.14. ( )( )n n n n3 3 6 3
3 6 3 18+ − = − −
15.15.15.15.15. ( )( )x x x x3 3 6 3
7 6 42+ − = + −
16.16.16.16.16. ( )( )a a a a4 4 8 4
8 1 7 8+ − = + −
17.17.17.17.17.( )( )a a a a5 5 10 5
2 7 5 14− + = + −
18.18.18.18.18. ( )( )a a a a6 6 12 6
7 9 2 63+ − = − −
19.19.19.19.19. ( )( )ab ab a b ab+ − = − −5 6 302 2
20.20.20.20.20. ( )( )xy xy x y xy2 2 2 4 2
9 12 3 108− + = + −
21.21.21.21.21. ( )( )a b a b a b a b2 2 2 2 4 4 2 2
1 7 6 7− + = + −
22.22.22.22.22.( )( )x y x y x y x y3 3 3 3 6 6 3 3
6 8 2 48− + = + −
23.23.23.23.23. ( )( )a a a ax x x x
− + = + −3 8 5 242
24.24.24.24.24. ( )( )a a a ax x x x+ + + +
− − = − +1 1 2 2 1
6 5 11 30

EJERCICIO 68
1.1.1.1.1. ( )x x x+ = + +2 4 4
2 2
2.2.2.2.2. ( )( )x x x x+ + = + +2 3 5 62
3.3.3.3.3. ( )( )x x x+ − = −1 1 12
4.4.4.4.4. ( )x x x− = − +1 2 1
2 2
5.5.5.5.5. ( )( )n n n n+ + = + +3 5 8 152
6.6.6.6.6. ( )( )m m m− + = −3 3 92
7.7.7.7.7. ( )( )a b a b a ab b+ − + + = + + −1 1 2 12 2
8.8.8.8.8. ( )1 1 3 3
3 2 3
+ = + + +b b b b
9.9.9.9.9. ( )( )a a a2 2 4
4 4 16+ − = −
10.10.10.10.10. ( )3 5 9 30 252 2 2 2 2 4
ab x a b abx x− = − +
11.11.11.11.11. ( )( )ab ab a b+ − = −3 3 9 2 2
12.12.12.12.12. ( )1 4 1 8 16
2 2 2
− = − +ax ax a x
13.13.13.13.13. ( )( )a a a a2 2 4 2
8 7 56+ − = + −
14.14.14.14.14. ( )( )x y x y x y y+ + − − = − − −1 1 2 12 2
15.15.15.15.15. ( )( )1 1 1 2
− + = −a a a
16.16.16.16.16. ( )( )m m m m− + = + −8 12 4 962
17.17.17.17.17. ( )( )x x x x2 2 4 2
1 3 2 3− + = + −
18.18.18.18.18. ( )( )x x x x3 3 6 3
6 8 2 48+ − = − −
19.19.19.19.19. ( )5 6 25 60 363 4 2 6 3 4 8
x m x x m m+ = + +
EJERCICIO 69
20.20.20.20.20. ( )( )x x x x4 4 8 4
2 5 3 10− + = + −
21.21.21.21.21. ( )( )1 1 1 22 2
− + − − = − + − +a b b a a ab b
22.22.22.22.22. ( )( )a b a b a bx n x n x n
+ − = −2 2
23.23.23.23.23. ( )( )x x x xa a a a+ + + +
− + = − −1 1 2 2 1
8 9 72
24.24.24.24.24. ( )( )a b c a b c a b c2 2 2 2 2 2 4 4 4
+ − = −
25.25.25.25.25. ( )2 8 12 6
3 3 2 2 3
a x a a x ax x+ = + + +
26.26.26.26.26. ( )( )x x x x2 2 4 2
11 2 13 22− − = − +
27.27.27.27.27. ( )2 5 4 20 253 4 2 6 3 4 8
a b a a b b− = − +
28.28.28.28.28. ( )( )a a a a3 3 6 3
12 15 3 180+ − = − −
29.29.29.29.29. ( )( )m m n n m m m m n n m2 2 4 2 2 2
2− + + + = + + −
30.30.30.30.30. ( )( )x x x x4 4 8 4
7 11 4 77+ − = − −
31.31.31.31.31. ( )11 121 22
2 2 2
− = − +ab ab a b
32.32.32.32.32. ( )( )x y x y x y x y2 3 2 3 4 6 2 3
8 6 2 48− + = − −
33.33.33.33.33.( )( )( )a b a b a b a a b b+ − − = − +2 2 4 2 2 4
2
34.34.34.34.34. ( )( )( )x x x x x+ − − = − +1 1 2 3 22 4 2
35.35.35.35.35. ( )( )( )a a a a+ + − = −3 9 3 812 4
36.36.36.36.36. ( )( )( )x x x x x+ − + = − −5 5 1 24 252 4 2
37.37.37.37.37. ( )( )( )( )a a a a a a+ − + − = − +1 1 2 2 5 44 2
38.38.38.38.38. ( )( )( )( )a a a a a a+ − − + = − +2 3 2 3 13 364 2
1.1.1.1.1. x
x
x
2
1
1
1
−
+
= −
2.2.2.2.2.
1
1
1
2
−
−
= +
x
x
x
3.3.3.3.3.
x y
x y
x y
2 2
−
+
= −
4.4.4.4.4.
y x
y x
y x
2 2
−
−
= +
5.5.5.5.5.
x
x
x
2
4
2
2
−
+
= −
6.6.6.6.6.
9
3
3
4
2
2−
−
= +
x
x
x
7.7.7.7.7.
a b
a b
a b
2 2
4
2
2
−
+
= −
8.8.8.8.8.
25 36
5 6
5 6
4
2
2−
−
= +
x
x
x
9.9.9.9.9.
4 9
2 3
2 3
2 2 4
2
2x m n
x mn
x mn
−
+
= −
10.10.10.10.10.
36 49
6 7
6 7
2 2 4
2
2m n x
m nx
m nx
−
−
= +
11.11.11.11.11.
81 100
9 10
9 10
6 8
3 4
3 4a b
a b
a b
−
+
= −
12.12.12.12.12.
a b x y
a b x y
a b x y
4 6 8 10
2 3 4 5
2 3 4 54
2
2
−
+
= +
13.13.13.13.13.
x y
x y
x y
n n
n n
n n
2 2
−
+
= −
14.14.14.14.14.
a
a
a
x
x
x
2 2
1
1100
10
10
+
+
+−
−
= +
15.15.15.15.15.
1 9
1 3
1 3
2 4
2
2−
+
= −
+
+
+x
x
x
m
m
m
16.16.16.16.16.
( )
( )
x y z
x y z
x y z
+ −
+ −
= + +
2 2
17.17.17.17.17.
( )
( )
1
1
1
2
− +
+ +
= − −
a b
a b
a b
18.18.18.18.18.
( )
( )
4
2
2
2
− +
+ +
= − −
m n
m n
m n
19.19.19.19.19.
( )
( )
x x y
x x y
y
2 2
− −
+ −
=
20.20.20.20.20.
( )
( )
a x
a x
a x
+ −
+ +
= + −
2
9
3
3

EJERCICIO 70
1.1.1.1.1.
1
1
1
3
2+
+
= − +
a
a
a a
2.2.2.2.2.
1
1
1
3
2−
−
= + +
a
a
a a
3.3.3.3.3.
x y
x y
x xy y
3 3
2 2+
+
= − +
4.4.4.4.4.
8 1
2 1
4 2 1
3
2a
a
a a
−
−
= + +
5.5.5.5.5.
8 27
2 3
4 6 9
3 3
2 2x y
x y
x xy y
+
+
= − +
6.6.6.6.6.
27 125
3 5
9 15 25
3 3
2 2m n
m n
m m n
−
−
= + +
7.7.7.7.7.
64 343
4 7
16 28 49
3
2a
a
a a
+
+
= − +
8.8.8.8.8.
216 125
6 5
36 30 25
3
2−
−
= + +
y
y
y y
9.9.9.9.9.
1
1
1
3 3
2 2+
+
= − +
a b
ab
ab a b
10.10.10.10.10.
729 512
9 8
81 72 64
3
2−
−
= + +
b
b
b b
11.11.11.11.11.
a x b
ax b
a x axb b
3 3 3
2 2 2+
+
= − +
12.12.12.12.12.
n m x
n mx
n nmx m x
3 3 3
2 2 2−
−
= + +
13.13.13.13.13.
x y
x y
x x y y
6 3
2
4 2 227
3
3 9
−
−
= + +
14.14.14.14.14.
8
2
4 2
9 9
3 3
6 3 3 6a y
a y
a a y y
+
+
= − +
15.15.15.15.15.
1
1
1
12
4
4 8−
−
= + +
x
x
x x
16.16.16.16.16.
27 1
3 1
9 3 1
6
2
4 2x
x
x x
+
+
= − +
17.17.17.17.17.
64
4
16 4
3 9
3
2 3 6a b
a b
a ab b
+
+
= − +
18.18.18.18.18.
a b
a b
a a b b
6 6
2 2
4 2 2 4−
−
= + +
19.19.19.19.19.
125 343
5 7
25 35 49
15
5
5 10−
−
= + +
x
x
x x
20.20.20.20.20.
n
n
n n
6
2
4 21
1
1
+
+
= − +
EJERCICIO 71
1.1.1.1.1.
x y
x y
x x y xy y
4 4
3 2 2 3−
−
= + + + 2.2.2.2.2.
m n
m n
m m n m n mn n
5 5
4 3 2 2 3 4+
+
= − + − +
3.3.3.3.3.
a n
a n
a a n a n an n
5 5
4 3 2 2 3 4−
−
= + + + +
4.4.4.4.4.
x y
x y
x x y x y x y xy y
6 6
5 4 3 2 2 3 4 5−
+
= − + − + −
5.5.5.5.5.
a b
a b
a a b a b a b ab b
6 6
5 4 3 2 2 3 4 5−
−
= + + + + +
6.6.6.6.6.
x y
x y
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6+
+
= − + − + − +
7.7.7.7.7.
a m
a m
a a m a m a m a m am m
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6−
−
= + + + + + +
8.8.8.8.8.
a b
a b
a a b a b a b a b a b ab b
8 8
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7−
+
= − + − + − + −
9.9.9.9.9.
x y
x y
x x y x y x y x y x y x y x y xy y
10 10
9 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 9−
−
= + + + + + + + + +
10.10.10.10.10.
m n
m n
m m n m n m n m n m n m n mn n
9 9
8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8+
+
= − + − + − + − +
11.11.11.11.11.
m n
m n
m m n m n m n m n m n m n mn n
9 9
8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8−
−
= + + + + + + + +
12.12.12.12.12.
a x
a x
a a x a x a x a x a x a x a x ax x
10 10
9 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 9−
+
= − + − + − + − + −
13.13.13.13.13.
1
1
1
5
2 3 4−
−
= + + + +
n
n
n n n n 14.14.14.14.14.
1
1
1
6
2 3 4 5−
−
= + + + + +
a
a
a a a a a
15.15.15.15.15.
1
1
1
7
2 3 4 5 6+
+
= − + − + − +
a
a
a a a a a a
16.16.16.16.16.
1
1
1
8
2 3 4 5 6 7−
+
= − + − + − + −
m
m
m m m m m m m
17.17.17.17.17.
x
x
x x x
4
3 216
2
2 4 8
−
−
= + + +
18.18.18.18.18.
x
x
x x x x x
6
5 4 3 264
2
2 4 8 16 32
−
+
= − + − + −
19.19.19.19.19.
x
x
x x x x x x
7
6 5 4 3 2128
2
2 4 8 16 32 64
−
−
= + + + + + +
20.20.20.20.20.
a
a
a a a a
5
4 3 2243
3
3 9 27 81
+
+
= − + − +
21.21.21.21.21.
x
x
x x x x x
6
5 4 3 2729
3
3 9 27 81 243
−
−
= + + + + +

22.22.22.22.22.
625
5
125 25 5
4
2 3−
+
= − + −
x
x
x x x 23.23.23.23.23.
m
m
m m m m m m m
8
7 6 5 4 3 2256
2
2 4 8 16 32 64 128
−
−
= + + + + + + +
24.24.24.24.24.
x
x
x x x x x x x x x
10
9 8 7 6 5 4 3 21
1
1
−
−
= + + + + + + + + + 25.25.25.25.25.
x y
x y
x x y x y xy y
5 5
4 3 2 2 3 4243
3
3 9 27 81
+
+
= − + − +
26.26.26.26.26.
16 81
2 3
8 12 18 27
4 4
3 2 2 3a b
a b
a a b ab b
−
−
= + + +
27.27.27.27.27.
64 729
2 3
32 48 72 108 162 243
6 6
5 4 3 2 2 3 4 5m n
m n
m m n m n m n mn n
−
+
= − + − + +
28.28.28.28.28.
1 024 1
2 1
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
10
9 8 7 6 5 4 3 2. x
x
x x x x x x x x x
−
−
= + + + + + + + + +
29.29.29.29.29.
512
2
256 128 64 32 16 8 4 2
9 9
8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8a b
a b
a a b a b a b a b a b a b ab b
+
+
= − + − + − + − +
30.30.30.30.30.
a
a
a a a a a
6
5 4 3 2729
3
3 9 27 81 243
−
−
= + + + + +
EJERCICIO 72
1.1.1.1.1.
x y
x y
x x y y
6 6
2 2
4 2 2 4+
+
= − +
2.2.2.2.2.
a b
a b
a a b a b b
8 8
2 2
6 4 2 2 4 6−
+
= − + −
3.3.3.3.3.
m n
m n
m m n m n m n n
10 10
2 2
8 6 2 4 4 2 6 8−
−
= + + + +
4.4.4.4.4.
a b
a b
a a b a b b
12 12
3 3
9 6 3 3 6 9−
+
= − + −
5.5.5.5.5.
a x
a x
a a x a x x
12 12
3 3
9 6 3 3 6 9−
−
= + + +
6.6.6.6.6.
x y
x y
x x y x y x y y
15 15
3 3
12 9 3 6 6 3 9 12+
+
= − + − +
7.7.7.7.7.
m
m
m m
12
4
8 41
1
1
+
+
= − +
EJERCICIO 73
8.8.8.8.8.
m n
m n
m m n m n n
16 16
4 4
12 8 4 4 8 12−
−
= + + +
9.9.9.9.9.
a b
a b
a a b a b a b a b b
18 18
3 3
15 12 3 9 6 6 9 3 12 15−
+
= − + − + −
10.10.10.10.10.
x y
x y
x x y x y y
20 20
5 5
15 10 5 5 10 15−
+
= − + −
11.11.11.11.11.
m n
m n
m m n m n m n m n m n n
21 21
3 3
18 15 3 12 6 9 9 6 12 3 15 18+
+
= − + − + − +
12.12.12.12.12.
x
x
x x x
24
6
18 12 61
1
1
−
−
= + + +
13.13.13.13.13.
a b
a b
a a b a b a b b
25 25
5 5
20 15 5 10 10 5 15 20+
+
= − + − +
1414141414
a m
a m
a a m a m a m m
30 30
6 6
24 18 6 12 12 6 18 24−
−
= + + + +
4.4.4.4.4.
x y
x y
x x y y
6 3
2
4 2 227
3
3 9
−
−
= + +
5.5.5.5.5.
x y
x y
x y
6 6
3 3
3 349
7
7
−
+
= −
6.6.6.6.6.
a b
a b
a a b a b a b a b a b b
14 14
2 2
12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12−
−
= + + + + + +
1.1.1.1.1.
x
x
x
4
2
21
1
1
−
+
= −
2.2.2.2.2.
8
2
4 2
3 6
2
2 2 4m n
m n
m mn n
+
+
= − +
3.3.3.3.3.
1
1
1
5
2 3 4−
−
= + + + +
a
a
a a a a

7.7.7.7.7.
1
1
1
3
2+
+
= − +
a
a
a a
8.8.8.8.8.
16 25
4 5
4 5
2 4 6
2 3
2 3x y m
xy m
xy m
−
+
= −
9.9.9.9.9.
x y
x y
x x y x y x y x y x y x y x y y
27 27
3 3
24 21 3 18 6 15 9 12 12 9 15 6 18 3 21 24+
+
= − + − + − + − +
10.10.10.10.10.
a y
a y
a a y y
27 27
9 9
18 9 9 18+
+
= − +
11.11.11.11.11.
a b x
a b x
a b x
4 4 6
2 2 3
2 2 364
8
8
−
+
= −
12.12.12.12.12.
1
1
1
2 4 8
2 4
2 4−
−
= +
a b c
ab c
ab c
13.13.13.13.13.
32 243
2 3
16 24 36 54 81
5 5
4 3 2 2 3 4x y
x y
x x y x y xy y
+
+
= − + − +
14.14.14.14.14.
( )
( )
25 1
5 1
4
2
− +
+ +
= −
a
a
a
15.15.15.15.15.
1
1
1
12
4
4 8−
−
= + +
x
x
x x
EJERCICIO 74
16.16.16.16.16.
64 343
4 7
16 28 49
6 9
2 3
4 2 3 6x y
x y
x x y y
−
−
= + +
17.17.17.17.17.
a b
a b
a a b a b a b a b b
18 18
3 3
15 12 3 9 6 6 9 3 12 15−
+
= − + − + −
18.18.18.18.18.
( )
( )
a x y
a x y
a x y
+ −
+ −
= + +
2 2
19.19.19.19.19.
1
1
1
11
10 9 8 7 6 5 4 3 2+
+
= − + − + − + − + − +
x
x
x x x x x x x x x x
20.20.20.20.20.
x y
x y
x x y x y x y y
40 40
8 8
32 24 8 16 16 8 24 32−
−
= + + + +
21.21.21.21.21.
9 36
3 6
3 6
10
5
5−
+
= −
x
x
x
22.22.22.22.22.
x
x
x x x x x x x
8
7 6 5 4 3 2256
2
2 4 8 16 32 64 128
−
−
= + + + + + + +
1.1.1.1.1. x x x2
2
2 3 1
1 2 1 3
1 2 3 2
− + ÷ −
= − ⋅ +
= − + =
4.4.4.4.4.
( ) ( ) ( )
( )
a a a a4 3 2
4 3 2
5 2 6 3
3 5 3 2 3 6
81 5 27 2 9 6
81 135 18 6 228
− + − ÷ +
= − − − + − −
= − − + ⋅ −
= + + − =
7.7.7.7.7. a a a a5 3
5 3
2 2 4 5
5 2 5 2 5 4
3 125 2 125 10 4
3 125 250 10 4 2 881
− + − ÷ −
= − ⋅ + ⋅ −
= − ⋅ + −
= − + − =
.
. .
10.10.10.10.10.15 11 10 18 3 2
15
2
3
11
2
3
10
2
3
18
15
8
27
11
4
9
20
3
18
40
9
44
9
20
3
18
40 44 60 162
9
18
9
2
3 2
3 2
x x x x− + + ÷ +
= −





 − −





 + −





 +
= −





 − ⋅ − +
= − − − +
=
− − − +
= =
2.2.2.2.2.
( ) ( ) ( )
x x x x3 2
3 2
3 2 2 1
1 3 1 2 1 2
1 3 2 2 8
− + − ÷ +
= − − − + − −
= − − − − = −
5.5.5.5.5. m m m m4 3 2
4 3 2
5 4
4 4 4 5
256 64 16 5 309
+ − + ÷ −
= + − +
= + − + =
8.8.8.8.8. 6 3 5 2 1
6
1
2
1
2
3
1
2
5
6
1
8
1
4
3
2
5
3
4
1
4
3
2
5
3 1 6 20
4
12
4
3
3 2
3 2
x x x x+ + + ÷ +
= −





 + −





 + −





 +
= −





 + − + = − + − +
=
− + − +
= =
11.11.11.11.11.5 12 9 22 21 5 2
5
2
5
12
2
5
9
2
5
22
2
5
21
5
16
625
12
8
125
9
4
25
44
5
21
16
125
96
125
36
25
44
5
21
80
125
36
25
44
5
21
80 180 1 100 2 625
125
1 625
125
13
4 3 2
4 3 2
x x x x x− + − + ÷ −
=





 −





 +





 −





 +
= ⋅ − ⋅ + ⋅ − +
= − + − +
= − + − +
=
− + − +
= =
. . .
3.3.3.3.3. x x x4 3
4 3
5 2
2 2 5
16 8 5 13
− + ÷ −
= − +
= − + =
6.6.6.6.6.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
x x x x x x5 4 3 2
5 4 3 2
3 2 4 2 2 3
3 3 3 2 3 4 3 2 3 2
243 3 81 2 27 4 9 6 2
243 243 54 36 8 98
+ − + − + ÷ +
= − + − − − + − − − +
= − + ⋅ − − + ⋅ + +
= − + + + + =
9.9.9.9.9. 12 21 90 3 3
12 1 21 1 90
12 21 90 81
3
3
x x x− + ÷ −
= ⋅ − ⋅ +
= − + =
12.12.12.12.12. a a a a a6 4 2
6 4 2
8 4 1 2 3
3
2
3
2
8
3
2
4
3
2
1
729
64
81
16
8
9
4
12
2
1
729
64
81
16
18 6 1
729
64
81
16
23
729 324 1 472
64
419
64
+ − + + ÷ +
= −





 + −





 − −





 + −





 +
= + − ⋅ − +
= + − − + = + −
=
+ −
= −
.

1.1.1.1.1. x x x
x s
2
7 5 3
1 7 5 3
3 12
1 4 7
4 7
− + ÷ −
−
−
− −
= − −Re .
2.2.2.2.2. a a a
a s
2
5 1 2
1 5 1 2
2 14
1 7 15
7 15
− + ÷ +
− −
−
−
= − Re .
3.3.3.3.3. x x x x
x x s
3 2
2
2 2 1
1 1 2 2 1
1 2 4
1 2 4 6
2 4 6
− + − ÷ +
− − −
− −
− −
= − + −Re .
4.4.4.4.4. x x x x
x s
3 2
2
2 2 2
1 2 1 2 2
2 0 2
1 0 1 0
1 0
− + − ÷ −
− −
= + Re .
5.5.5.5.5. a a a
a a s
3 2
2
3 6 3
1 3 0 6 3
3 18 54
1 6 18 60
6 18 60
− − ÷ +
− − −
− −
− −
= − + −Re .
EJERCICIO 76
1.1.1.1.1. x x x2
6 3− − ÷ −
Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)
2.2.2.2.2. x x x x3 2
4 10 2+ − − ÷ +
3.3.3.3.3. 2 5 7 9 3 14 3 2
x x x x x− + − + ÷ −
Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)
4.4.4.4.4. x x x x x5 4 3
5 7 8 3+ − − + ÷ +
Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)
5.5.5.5.5. 4 8 11 4 2 13 2
x x x x− − − ÷ −
6.6.6.6.6. 6 2 3 3 3 3 15 4 3 2
x x x x x x+ − − + + ÷ +
Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)
EJERCICIO 75
6.6.6.6.6. n n n n
n n n s
4 3
3 2
5 4 48 2
1 5 0 4 48 2
2 14 28 48
1 7 14 24 0
7 14 24 0
− + − ÷ +
− − −
− −
− −
= − + − Re .
7.7.7.7.7. x x x
x x x s
4
3 2
3 5 1
1 0 0 3 5 1
1 1 1 2
1 1 1 2 3
2 3
− + ÷ −
−
−
−
= + + − Re .
8.8.8.8.8. x x x x x x
x x x s
5 4 3 2
4 3
12 4 2 4
1 1 12 1 4 2 4
4 12 0 4 0
1 3 0 1 0 2
3 2
+ − − − − ÷ +
− − − − −
−
− − −
= − − −Re .
9.9.9.9.9. a a a a
a a a a s
5 3
4 3 2
3 4 6 2
1 0 3 0 4 6 2
2 4 2 4 16
1 2 1 2 8 10
2 2 8 10
− + − ÷ −
− −
= + + + + Re .
10.10.10.10.10.
x x x
x x x x s
5 2
4 3 2
208 2076 5
1 0 0 208 0 2 076 5
5 25 125 415 2 075
1 5 25 83 415 1
5 25 83 415 1
− + ÷ −
−
− −
− −
= + + − −
.
.
Re .
11.11.11.11.11. x x x x x x
x x x x x s
6 5 4 3 2
5 4 3 2
3 4 3 2 3
1 3 4 3 1 0 2 3
3 18 66 207 618 1 854
1 6 22 69 206 618 1 856
6 22 69 206 618 1 856
− + − − + ÷ +
− − − −
− − −
− − −
= − + − + −
.
.
Re . .
12.12.12.12.12. 2 3 7 5 2 1
2 3 7 5
1
2
1 1 3
2 2 6 2
3 2
3 2
2
x x x x
x x s
− + − ÷ −
− −
−
− −
= − + −Re .
13.13.13.13.13. 3 4 5 6 3 2
3 4 5 6
2
3
2 4 6
3 6 9 0
2 3 0
3 2
2
a a a a
a a s
− + + ÷ +
− −
− −
−
= − + Re .
14.14.14.14.14. 3 4 4 10 8 3 1
3 4 4 10 8
1
3
1 1 1 3
3 3 3 9 5
3 5
4 3 2
3 2
x x x x x
x x x s
− + − + ÷ −
− −
− −
− −
= − + − Re .
15.15.15.15.15. x x x x x
x x x x s
6 4 3 2
5 4 3
15
8
1 2 3
1 0 1
15
8
1 0 1
3
2
3
2
9
4
15
8
0
3
2
9
4
1
3
2
5
4
0 1
3
2
5
4
1
2
3
4
5
8
1
2
3
4
5
4
− + + − ÷ +
− − −
− − −
− −
= − + + − Re .
7.7.7.7.7. a+1 Es factor deEs factor deEs factor deEs factor deEs factor de a a a3 2
2 2 5− + +
( ) ( ) ( )− − − + − +
= − − − + =
1 2 1 2 1 5
1 2 2 5 0
3 2
No existe residuo, luego a + 1 divide exacta-No existe residuo, luego a + 1 divide exacta-No existe residuo, luego a + 1 divide exacta-No existe residuo, luego a + 1 divide exacta-No existe residuo, luego a + 1 divide exacta-
mente al polinomio, por lo que se deduce esmente al polinomio, por lo que se deduce esmente al polinomio, por lo que se deduce esmente al polinomio, por lo que se deduce esmente al polinomio, por lo que se deduce es
un factor de este.un factor de este.un factor de este.un factor de este.un factor de este.
8.8.8.8.8. x−5 divide adivide adivide adivide adivide a x x x x x5 4 3 2
6 6 5 2 10+ + − + −
5 6 5 6 5 5 5 2 5 10
3125 3750 750 125 10 10 0
5 4 3 2
+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −
= − + + + − =
Al sustituir x por 5 en el polinomio, este seAl sustituir x por 5 en el polinomio, este seAl sustituir x por 5 en el polinomio, este seAl sustituir x por 5 en el polinomio, este seAl sustituir x por 5 en el polinomio, este se
anula, entonces x - 5 divide con exactitud aanula, entonces x - 5 divide con exactitud aanula, entonces x - 5 divide con exactitud aanula, entonces x - 5 divide con exactitud aanula, entonces x - 5 divide con exactitud a
x x x x x5 4 3 2
6 6 5 2 10+ + − + −

9.9.9.9.9. 4 3x− divide adivide adivide adivide adivide a 4 7 7 7 34 3 2
x x x x− + − +
4
3
4
7
3
4
7
3
4
7
3
4
3
324
256
189
64
63
16
21
4
3
324 756 1 008 1 344 768
256
0
256
0
4 3 2





 −





 +





 −





 +
= − + − +
=
− + − +
= =
. .
La variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplaza
por 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es el
valor de la variable del divisorvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisor. Se observa. Se observa. Se observa. Se observa. Se observa
su anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 es
un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.
10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de
3 2 3 2 6 75 4 3 2
n n n n n+ − − + + porque 7 no esporque 7 no esporque 7 no esporque 7 no esporque 7 no es
múltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que al
reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-
sultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la división
no será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puede
concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.
11.11.11.11.11. 2 2 4 16 2
4 12 16
2 6 8 0
2 6 8
3 2
2
a a a a
Exacta coc a a
− − + ÷ +
− −
−
− +; .
12.12.12.12.12. a a a a
Exacta coc a a
4 2
3 2
2 2 1
1 1 0 2
1 1 0 2 0
2
− + + ÷ +
− −
−
− +; .
13.13.13.13.13. x x x
Exacta coc x x x
4
3 2
5 6 1
1 1 1 6
1 1 1 6 0
6
+ − ÷ −
+ + +; .
14.14.14.14.14. x x x x x x
Exacta coc x x x x x
6 4 3 2
5 4 3 2
39 26 52 29 30 6
6 36 18 48 24 30
1 6 3 8 4 5 0
6 3 8 4 5
− + − + − ÷ −
− −
− −
+ − + − +; .
15.15.15.15.15. a a a a a a a
Inexacta coc a a a s
6 5 4 3 2
5 3
4 4 8 25 4
4 0 4 0 4 16
1 0 1 0 1 4 9
4 9
− − + + − + ÷ −
− −
− −
− + −; . ; Re .
16.16.16.16.16. 16 24 37 24 4 4 1
4 5 8 4
16 20 32 16 0
4 5 8 4
4 3 2
3 2
x x x x x
Exacta coc x x x
− + − + ÷ −
− −
− −
− + −; .
17.17.17.17.17. 15 25 18 18 17 11 3 5
25 0 30 20 5
15 0 18 12 3 6
5 6 4 1 6
5 4 3 2
4 2
n n n n n n
Inexacta coc n n n s
+ − − + − ÷ +
− −
− − −
− + − −; . ; Re .
18.18.18.18.18. 7 5 5
35 150
7 30 0
150
2
x x k x
Sik se anula
− + ÷ −
= −
19.19.19.19.19. x x x k x
k luegok
3 2
3 4 2
2 2 4
1 1 2 0
4 0 4
− + + ÷ −
−
−
+ = = −,
20.20.20.20.20. 2 25 3
6 18 54 87
2 6 18 29 0
87 87 0
4
a a k a
Parak secumpleque k
+ + ÷ +
− −
− −
= − + =
21.21.21.21.21. 20 7 29 4 1
5 3 8
20 12 32 0
8 0 8
3 2
x x x k x
k entoces k
− + + ÷ +
− −
−
− = =
EJERCICIO 77
1.1.1.1.1.
x
x
Inexacta s
5
1
1
2
+
−
Re .
2.2.2.2.2.
a b
a b
Inexacta s b
4 4
4
2
+
+
Re .
3.3.3.3.3.
x
x
Exacta
8
2
1
1
−
+
4.4.4.4.4.
a
a
Inexacta s
11
1
1
2
+
−
Re .
5.5.5.5.5.
a b
a b
Inexacta s b
6 6
2 2
6
2
+
+
Re .
6.6.6.6.6.
x
x
Exacta
7
1
1
−
−
7.7.7.7.7.
x
x
Inexacta s
3
8
2
16
−
+
−Re .
8.8.8.8.8.
x
x
Exacta
4
16
2
−
+
9.9.9.9.9.
a
a
Inexacta s
5
32
2
64
+
−
Re .
10.10.10.10.10.
x
x
Inexacta s
7
128
2
256
−
+
−Re .
11.11.11.11.11.
16 81
2 3
4 4
a b
a b
Exacta
−
+
12.12.12.12.12.
a x b
ax b
Exacta
3 6 9
2 3
+
+

EJERCICIO 78
1.1.1.1.1. 5 8 15
5 8 15
3 15
15
3
5
x x
x x
x
x
x
= −
− = −
− = −
=
−
−
=
2.2.2.2.2. 4 1 2
4 2 1
4 1
1
4
x
x
x
x
+ =
= −
=
=
3.3.3.3.3. y y
y y
y
y
y
− = −
− = − +
− = −
=
−
−
=
5 3 25
3 25 5
2 20
20
2
10
4.4.4.4.4. 5 6 10 5
5 10 5 6
5 1
1
5
1
5
x x
x x
x
x
x
+ = +
− = −
− = −
=
−
−
=
5.5.5.5.5. 9 11 10 12
9 12 10 11
3 1
1
3
y y
y y
y
y
− = − +
− = − +
− =
= −
6.6.6.6.6. 21 6 27 8
6 8 27 21
2 6
6
2
3
− = −
− + = −
=
=
=
x x
x x
x
x
x
7.7.7.7.7. 11 5 1 65 36
16 65 36 1
16 65 35
49 35
35
49
5
7
x x x
x x
x x
x
x
x
+ − = −
= − +
− = −
− = −
=
−
−
=
8.8.8.8.8. 8 4 3 7 14
11 4 8 14
11 8 14 4
3 18
18
3
6
x x x x
x x
x x
x
x
x
− + = + +
− = +
− = +
=
=
=
9.9.9.9.9. 8 9 12 4 13 5
4 9 13
4 13 9
3 22
22
3
22
3
x x x x
x x
x x
x
x
x
+ − = − −
− + = − −
− + = − −
− = −
=
−
−
=
10.10.10.10.10. 5 6 81 7 102 65
11 81 72 102
11 72 102 81
61 183
183
61
3
y y y y
y y
y y
y
y
y
+ − = + +
− = +
− = +
− =
=
−
= −
11.11.11.11.11. 16 7 5 11 3
8 11 10 3
8 10 3 11
2 14
14
2
7
+ − + = − −
+ = −
− = − −
− = −
=
−
−
=
x x x x
x x
x x
x
x
x
12.12.12.12.12. 3 101 4 33 108 16 100
68 8 16
16 8 68
15 60
60
15
4
x x x
x x
x x
x
x
x
+ − − = − −
− + = −
− + = −
= −
=
−
= −
13.13.13.13.13. 14 12 39 18 256 60 657
9 14 717 256
9 717 256 14
726 242
242
726
1
3
− + − = − −
+ = − +
+ = −
=
=
=
x x x x x
x x
x x
x
x
x
14.14.14.14.14. 8 15 30 51 53 31 172
88 84 172
88 84 172
172 172
172
172
1
x x x x x x
x x
x x
x
x
x
− − − = + −
− = −
− − = −
− = −
=
−
−
=
EJERCICIO 79
1.1.1.1.1. ( ) ( )x x x
x x x
x x
x x
x
x
x
− + = − +
− − = − −
− − = −
− + = +
=
=
=
2 1 8 3 3
2 1 8 3 3
1 5 3
3 5 1
2 6
6
2
3
2.2.2.2.2. ( ) ( )15 10 6 2 3
15 10 6 2 3
15 10 4 1
15 4 10 1
11
11
1
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
− = − + + − +
− = − − − +
− = +
− = +
=
=
3.3.3.3.3. ( ) ( ) ( ) ( )5 3 4 6 8 11 3 6
5 3 4 6 8 11 3 6
1 5 17
5 17 1
4 18
18
4
9
2
− − − + = + − −
− + − = + − +
− = +
− = +
− =
=
−
= −
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x

4.4.4.4.4. ( ) ( ) ( ) ( )30 6 5 4 5 6 8 3
30 6 5 4 5 6 8 3
26 2 2 14
26 2 14 2
28 12
12
28
3
7
x x x x x
x x x x x
x x
x x
x
x
x
− − + + − + = − + + − +
+ − − + = − − − +
− = − −
+ = − +
= −
= −
= −
5.5.5.5.5. ( ) ( ) ( ) ( )15 6 5 2 3 7 23 3 2
15 6 5 2 3 7 23 3 2
10 10 20
10 10 20
20 20
20
20
1
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x
x
+ − + − − − + = − + − + −
− + − + − = − − − + −
= − −
+ = −
= −
=
−
= −
6.6.6.6.6. ( )[ ] ( )
[ ]
[ ]
3 5 3 8 5 9
3 5 3 8 5 9
3 6 3 3 9
3 6 3 3 9
3 3 3 9
1 3
3 1
2 2
2
2
1
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
+ − − + = + − −
+ − − − = − −
+ − − = −
− − = −
− − = −
− − = −
− − = − +
− = − ⇒ =
−
−
=
7.7.7.7.7. ( )[ ] ( ) ( )[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
16 3 6 9 30 3 2 3
16 3 6 9 30 3 2 3
16 12 6 30 4 5
16 12 6 30 4 5
4 6 26 5
4 26 5 6
22 11
11
22
1
2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
− − − = + − + − +
− − + = + − − − −
− − = + − −
− + = − −
+ = −
− = − −
− = −
=
−
−
=
9.9.9.9.9. ( ) ( ){ }
{ }
{ }
9 5 1 2 8 7 5 9 0
9 5 1 2 8 7 5 9 0
4 1 7 9 0
4 1 7 9 0
12 8 0
12 8
8
12
2
3
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x
x
x
x
− + − + − − + =
− − − + − + + =
− − + + =
− − − + =
− =
=
=
=
11.11.11.11.11. ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
− + − − + − − + − + − = −
− + − − + + − − − − = −
− − − − + = −
− − + − = −
− − = −
= −
3 8 15 6 3 2 5 4 29 5
3 8 15 6 3 2 5 4 29 5
3 21 21 4 5
3 21 21 4 5
5
5
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
EJERCICIO 80
1.1.1.1.1. ( ) ( )x x x
x x x
x x
x x
x
x x
+ − = − +
+ − = − −
− = − −
+ = − +
= −
=
−
⇒ = −
3 1 6 4 2 3
3 3 6 8 12
4 3 8 6
4 8 6 3
12 3
3
12
1
4
2.2.2.2.2. ( ) ( ) ( )5 1 16 2 3 3 2 7
5 5 32 48 6 21
37 43 5 21
37 5 21 43
32 64
64
32
2
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x x
− + + = − −
− + + = − −
+ = −
− = − −
= −
=
−
⇒ = −
3.3.3.3.3. ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 4 5 3 3 5
6 6 20 12 3 5
14 18 8
14 8 18
6 18
18
6
3
2 2
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x x
+ − − = − − +
+ − + = − − −
− + = −
− + = −
− = −
=
−
−
⇒ =
10.10.10.10.10. ( )[ ] ( ) ( )[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
71 5 2 3 25 3 4 4 3
71 5 2 3 25 3 4 4 3
71 7 3 25 7 7
71 7 3 25 7 7
74 7 32 7
74 32 7 7
42 14
42
14
3
+ − + − + = − − + − +
+ − − + = − − − − −
+ − + = − − −
− + = + +
− = +
− = +
=
=
=
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
8.8.8.8.8. ( ){ }[ ]
{ }[ ]
{ }[ ]
[ ]
[ ]
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
x x
− + − − + = −
− + − − − = −
− + − − = −
− + − + = −
− − = −
− + = −
= − +
= ⇒ = =
5 3 5 6 3
5 3 5 6 3
5 3 4 6 3
5 3 4 6 3
11 3
11 3
2 3 11
2 8
8
2
4

4.4.4.4.4. ( ) ( )184 7 2 5 301 6 1 6
184 14 35 301 6 6 6
149 14 289 6
149 289 6 14
140 20
140
20
7
− + = + − −
− − = + − −
− = +
− = +
− =
−
=
− =
x x
x x
x x
x x
x
x
x
5.5.5.5.5. ( ) ( ) ( ) ( )7 18 6 3 5 7 9 3 2 5 12
126 7 18 30 7 9 6 15 12
108 23 13 36
23 13 36 108
36 144
144
36
4
− − − = − + − + −
− − + = − − − − −
+ = − −
+ = − −
= −
=
−
= −
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x
6.6.6.6.6. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 5 7 1 2 7 4 0
3 9 5 35 2 14 4 0
5 25 0
5 25
25
5
5
2
2 2 2
x x x x x x
x x x x x x
x
x
x
x
− + + − + − + + =
− + + − − − − + =
− + =
− = −
=
−
−
=
7.7.7.7.7. ( ) ( ) ( ) ( )− + + − + − − − − =
− − − + − + − + =
− =
=
=
=
3 2 7 5 6 8 1 2 3 0
6 21 5 6 8 16 3 0
4 20 0
4 20
20
4
5
x x x x
x x x x
x
x
x
x
8.8.8.8.8. ( )( ) ( )( )3 4 4 3 6 4 2 5
12 9 16 12 12 38 20
25 38 20 12
13 8
8
13
2 2
x x x x
x x x x x
x x
x
x
− − = − −
− − + = − +
− + = −
=
=
9.9.9.9.9. ( )( ) ( )( )4 5 4 5 10 3 7 2
20 41 20 20 76 21
41 76 21 20
35 1
1
35
1
35
2 2
− − = − −
− + − = − + −
− = − +
− = −
=
−
−
=
x x x x
x x x x
x x
x
x
x
10.10.10.10.10. ( )( ) ( )( )x x x x
x x x x
x x
x
x
x
+ + = + − +
+ + = − − +
+ = − −
= −
=
−
= −
1 2 5 2 3 4 5
2 7 5 2 5 12 5
7 5 7 5
12 12
12
12
1
2 2
11.11.11.11.11. ( ) ( )x x
x x x x
x
x
x
x
− − − =
− + − + − =
− =
=
=
=
2 3 1
4 4 9 6 1
2 5 1
2 6
6
2
3
2 2
2 2
12.12.12.12.12. ( )( ) ( )( )
( ) ( )
14 5 1 2 3 17 10 1 6
14 10 13 3 17 10 59 6
14 10 13 3 17 10 59 6
13 59 6
72 6
6
72
1
12
2 2
2 2
− − + = − + −
− + − = − − −
− − + = − + +
− − =
− =
=
−
= −
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x
x
x
13.13.13.13.13. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x
x
x
− + − = + − − + − +
− + + − = + − − + − +
− + = + − − − + +
− + = + − +
− − = −
− = −
=
−
−
=
2 3 3 4 3 2 1 2
4 4 3 3 12 2 2
2 7 4 3 3 36 2 2
2 7 4 2 2 36 4
7 2 36
9 36
36
9
4
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
14.14.14.14.14. ( ) ( ) ( ) ( )( )3 1 5 2 2 3 5 2 1 0
9 6 1 5 10 4 12 9 5 3 2 0
20 4 0
20 4
4
20
1
5
2 2
2 2 2
x x x x x
x x x x x x x
x
x
x
x
− − − − + − + − =
− + − + − − − − + + =
− + =
− = −
=
−
−
=

15.15.15.15.15. ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 3 1 5 3 4 5 1 4 12
2 12 18 3 6 3 8 15 4 20 4 4 12
4 46 34 4 12
46 12 34
46 46
46
46
1
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x
x
x
x
x
− − + + − − + − + = −
− + − − − + − + + − + = −
− + = −
− = − −
− = −
=
−
−
=
16.16.16.16.16. ( ) ( ) ( )( )5 2 5 3 2 1 5 2 10 0
5 20 20 5 30 45 10 2 10 0
51 27 0
51 27
27
51
9
17
2 2 2
2 2 2 2
x x x x x
x x x x x x x
x
x
x
x
− − + + − + − =
− + − − − + − − − =
− − =
− =
=
−
= −
17.17.17.17.17. ( ) ( ) ( )x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x
2
2 2
5 15 3 14 5 2 3 13 2
5 15 3 14 5 10 39 6
5 15 4 15
5 4 0
0
0
− + = − − + − + −
− + = − − + − + −
− + = − +
− + =
− =
=
18.18.18.18.18. ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 5 6 3 2 6 3 4 1 3 9 1 2 0
3 15 8 12 6 3 4 3 9 17 2 0
45 24 36 18 6 24 27 51 6 0
21 6 0
21 6
6
21
2
7
2 2 2
2 2 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x
x
x
x
− + − + − − + − =
− − − + − − − − =
− − − − + − + + =
− =
=
=
=
EJERCICIO 81
19.19.19.19.19. ( ) ( ) ( )( )7 4 3 5 4 1 1 2
7 56 112 3 30 75 4 4 2
4 86 37 4 6
86 6 37
86 43
43
86
1
2
2 2
2 2 2
2 2
x x x x
x x x x x
x x x
x
x
x
x
− − + = + − −
− + − − − = − −
− + = −
− = − −
− = −
=
−
−
=
20.20.20.20.20. ( ) ( ) ( ) ( )5 1 6 3 7 3 2 5 2
5 10 5 6 18 42 3 2 10 2
8 47 13 2
8 13 2 47
21 49
49
21
7
3
2 2
2 2 2 2
2 2
− − − − = − − + −
− + − + + = − − − −
− + + = − − −
+ = − −
= −
=
−
= −
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x
x
x
x
1.1.1.1.1. ( ) ( )[ ]
[ ]
[ ]
14 3 2 5 2 1 0
14 3 2 5 2 1 0
11 2 4 3 0
11 2 4 3 0
7 1 0
7 1
1
7
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x
− − − + − − =
− + − + − + =
+ − + =
+ − − =
− =
=
=
2.2.2.2.2. ( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) [ ]
3 7 5 2 1 2 3 1
9 42 49 5 2 3 2 3 1
9 42 49 10 15 10 3 1
27 59 3 1
27 3 1 59
30 58
58
30
29
15
2 2
2 2 2
2 2 2
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x x
− − + − = − − − +
− + − − − = − − − −
+ − + − + + = +
− + = +
− − = −
− = −
=
−
−
⇒ =

3.3.3.3.3. ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
6 2 1 5 2 1
6 2 1 5 2 1
4 1 5 2 1
4 1 3 1
4 1 3 1
4 3 1 1
0
x x x x
x x x x
x x x
x x
x x
x x
x
− + = − − + − − −
− − = − − + +
− = − − + +
− = − − +
− = −
− = − +
=
4.4.4.4.4. ( ) ( ) ( ){ }
{ }
{ }
2 3 1 3 2 1 3 2
2 3 3 3 2 2 3 6
2 3 3 3 8
2 3 3 3 8
2 8 3
11
2 2
2 2
2 2
2 2
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x
+ − − = − + − − +
− − = − + − − −
− − = − − −
− − = − + +
− = +
=
5.5.5.5.5. ( ) ( )[ ]{ }
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x
x
x
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
3 1 4 1 4 0
3 4 4 4 0
3 4 0
3 4 0
4 4 0
4 4
4
4
1
− + + + − − =
− + + + − − =
− + + − =
− + + − =
− − + =
− = −
=
−
−
=
6.6.6.6.6. ( )( ) ( ) ( ){ }[ ]
( ) { }[ ]
[ ]
3 2 1 3 2 5 3 5 10
3 2 5 3 4 20 25 3 15 10
6 15 9 4 20 25 3 15 10
10 5 16 3 15 10
5 3 16 15
2 1
1
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x
x
+ − + − + = − − − + +
− + + − − − = − − − − +
− + + − − − = − + +
− − − = − − −
− + = −
− =
= −
7.7.7.7.7. ( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x
x x
x
x x
+ + − = − + +
+ + − = − − +
− + − + − = + − − − −
− − = − −
− + = − +
− =
=
−
⇒ = −
1 2 3 2 1 1
3 2 3 2 1
3 3 9 2 6 2 2
7 6 3 2
7 3 2 6
4 4
4
4
1
2 2
3 2 2 3 2 2
8.8.8.8.8. ( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x
x
x x
+ + − = + + − +
+ + − = + − +
− + − + − = − + − +
+ − = − −
+ = − +
= −
=
−
⇒ = −
2 3 1 4 4 4 7
5 6 1 4 16 7
5 5 6 6 16 4 64 7
4 6 4 16 57
16 57 6
17 51
51
17
3
2 2
3 2 2 3 2
2 2
9.9.9.9.9.
( ) ( ) ( )
( )
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x
x
x x
+ − − = −
+ + + − − + − = −
+ + + − + − + = −
+ = −
= −
−
= ⇒ − =
1 1 6 3
3 3 1 3 3 1 6 18
3 3 1 3 3 1 6 18
6 2 6 18
2 18
2
18
1
9
3 3
3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
2 2
10.10.10.10.10. ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
3 2 5 3 1 1 3
3 4 4 5 3 2 1 1 3
3 12 12 5 3 6 3 1 3
3 15 12 60 12 60 3 3 6 6 3 3 3
3 48 60 3 3
48 3 60
45 60
60
45
4
3
2 2
2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
2 2
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x
x x
x
x x
− + = + − +
− + + = + + − +
− + + = + + − +
+ − − + + = − + − + − +
− + = −
− + = −
− = −
=
−
−
⇒ =
EJERCICIO 82
1.1.1.1.1. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
− →
+ − =
− =
= +
=
= →
− ⇒ −
= →
º
º
º
º
8
8 106
2 8 106
2 106 8
114
2
57
8 57 8
49

2.2.2.2.2. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
− →
+ − =
= +
=
=
= →
− ⇒ −
= →
º
º
º
º
32
32 540
2 540 32
2 572
572
2
286
32 286 32
254
3.3.3.3.3. A B bs
A B
A A
A
A
A
A bs
A B
B
bs B
+ =
− =
+ − =
= +
=
=
=
− =
⇒ − =
=
1 154
506
506 1 154
2 1 154 506
2 1660
1660
2
830
506
830 506
324
. .
.
.
.
.
.
.
4.4.4.4.4. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x x N mayor
x
N menor
→
− →
+ − =
= +
=
= →
− ⇒ −
= →
º
º
º
º
24
24 106
2 106 24
130
2
65
24 65 24
41
5.5.5.5.5. A B años
A B
A A
A
A
A años
A B
B
años B
+ =
+ =
+ + =
= −
=
=
+ =
+ =
=
56
14
14 56
2 56 14
42
2
21
14
21 14
35
6.6.6.6.6. A B soles
A B
A A
A
A
A soles
A B
B
soles B
+ =
− =
+ − =
= +
=
=
− =
⇒ − =
=
1080
1014
1014 1080
2 1080 1014
2 094
2
1047
1014
1047 1014
33
.
.
. .
. .
.
.
.
. .
7.7.7.7.7. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
− →
+ − =
= +
=
= →
− ⇒ −
= →
º
º
º
º
1
1 103
2 103 1
104
2
52
1 52 1
51
8.8.8.8.8. x N menor
x N medio
x N mayor
x x x
x
x
x
x N menor
x
N medio
x
N mayor
→
+ →
+ →
+ + + + =
+ =
= −
=
= →
+ ⇒ +
= →
+ ⇒ +
= →
º
º
º
º
º
º
1
2
1 2 204
3 3 204
3 204 3
201
3
67
1 67 1
68
2 67 2
69
9.9.9.9.9. x N x N
x N x N
x x x x
x
x
x
x N
x
N
x x
N N
→ + →
+ → + →
+ + + + + + =
+ =
= −
=
= →
+ ⇒ +
= →
+ ⇒ + + ⇒ +
= → = →
º º
º º
º
º
º º
1 1 2
2 3 3 4
1 2 3 74
4 6 74
4 74 6
68
4
17 1
1 17 1
18 2
2 17 2 3 17 3
19 3 20 4
10.10.10.10.10. 2
2 2
2 2 2 194
4 194 2
192
4
48
2 2 48
96
2 2 2 48 2
96 2
98
x N menor
x N mayor
x x
x
x
x
x
N menor
x
N mayor
→
+ →
+ + =
= −
=
=
⇒ ⋅
= →
+ ⇒ ⋅ +
= +
= →
º
º
º
º
11.11.11.11.11. x N mayor
x N medio
x N menor
x x x
x
x
x
x N mayor
x
N medio
x
N menor
→
− →
− →
+ − + − =
− =
=
=
= →
− ⇒ −
= →
− ⇒ −
= →
º
º
º
º
º
º
1
2
1 2 186
3 3 186
3 189
189
3
63
1 63 1
62
2 63 2
61
12.12.12.12.12. caballo coche arreos
coche caballo
coche arreos
coche coche coche
coches
coches
coche
coche
coche caballo
caballo
caballo
coche arreos
arreos
arreos
+ + =
+ =
− =
+ + + − =
+ =
=
=
=
+ =
⇒ + =
=
− =
⇒ − =
=
325
80
25
80 25 325
3 55 325
3 270
270
3
90
80
90 80
170
25
90 25
65
$
$
$

13.13.13.13.13. x N mayor
x N medio
x N menor
x x x
x
x
x
x N mayor
x
N medio
x
N menor
→
− →
− →
+ − + − =
− =
=
=
= →
− ⇒ −
= →
− ⇒ −
= →
º
º
º
º
º
º
32
65
32 65 200
3 97 200
3 297
297
3
99
32 99 32
67
65 99 65
34
14.14.14.14.14. x cesto
x cesto
x cesto
x x x
x
x
x
x cesto
x
cesto
x
cesto
→
− →
− →
+ − + − =
− =
=
=
= →
− ⇒ −
= →
− ⇒ −
= →
1
10 2
15 3
10 15 575
3 25 575
3 600
600
3
200 1
10 200 10
190 2
15 200 15
185 3
º
º
º
º
º
º
15.15.15.15.15. x mayor
x medio
x menor
x x x
x
x
x
x
x mayor
x
medio
x
menor
→
− →
− →
+ − + − =
− =
= +
=
=
= →
− ⇒ −
= →
− ⇒ −
= →
55
70
55 70 454
3 125 454
3 454 125
3 579
579
3
193
55 193 55
138
70 193 70
123
16.16.16.16.16. x
x
x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
→
− →
− − →
⇒ − →
+ − + − =
= +
=
=
= →
− ⇒ −
= →
− ⇒ −
= →
1
20 2
20 40 3
60 3
20 60 310
3 310 80
3 390
390
3
130 1
20 130 20
110 2
60 130 60
70 3
º
º
º
º
º
º
º
17.17.17.17.17. x mayor
x menor
x medio
x x x
x
x
x
x
x mayor
x
menor
x
medio
→
− →
− →
+ − + − =
− =
= +
=
=
= →
− ⇒ −
= →
− ⇒ −
= →
20
18
20 18 88
3 38 88
3 88 38
3 126
126
3
42
20 42 20
22
18 42 18
24
18.18.18.18.18. x mayor
x menor
x x
x
x
x
x
x mayor
x
menor
→
− →
+ − =
− =
= +
=
=
= →
− ⇒ −
= →
36
36 642
2 36 642
2 642 36
2 678
678
2
339
36 339 36
303
EJERCICIO 83
1.1.1.1.1. x edadJuan
x edadPedro
x x
x
x
x edadJuan
x
edadPedro
→
→
+ =
=
=
= →
⇒ ⋅
= →
3
3 40
4 40
40
4
10
3 3 10
30
2.2.2.2.2. x Arreos
x Caballo
x x
x
x
x Arreos
x
Caballo
→
→
+ =
=
=
= →
⇒ ⋅
= →
4
4 600
5 600
600
5
120
4 4 120
480
$
$
3.3.3.3.3. x piso
x
piso
x
x
x x
x
x
x
x Habt piso
x
Habt piso
→
→
+ =
+
=
= ⋅
=
=
= →
⇒
= →
1
2
2
2
48
2
2
48
3 48 2
3 96
96
3
32 1
2
32
2
16 2
º
º
. º
. º
4.4.4.4.4. A B C
B A
C A
A A A
A
A
A colones
B A
colones
C A
colones
+ + =
=
=
⇒ + + =
=
=
=
= ⇒ ⋅
=
= ⇒ ⋅
=
300
2
3
2 3 300
6 300
300
6
50
2 2 50
100
3 3 50
150

5.5.5.5.5. A B C
A
B
C B
B
B B
B
B
B B
B
B
B Sucres
A
B
Sucres
C B
Sucres
+ + =
=
=
⇒ + + =
+ =
+
=
= ⋅
=
=
= ⇒
=
= ⇒ ⋅
=
133
2
2
2
2 133
2
3 133
6
2
133
7 133 2
266
7
38
2
38
2
19
2 2 38
76
6.6.6.6.6. x N mayor
x
N menor
x
x
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
→
+ =
+
=
= ⋅
=
=
= →
⇒
= →
º
º
º
º
6
6
147
6
6
147
7 147 6
7 882
882
7
126
6
126
6
21
7.7.7.7.7. A B C
B
A
B A
B
C
B C
B B B
B
B
B Quetz
A B
Quetz
C B
Quetz
+ + =
= ⇒ =
= ⇒ =
+ + =
=
=
=
= ⇒ ⋅
=
= ⇒ ⋅
=
140
2
2
4
4
2 4 140
7 140
140
7
20
2 2 20
40
4 4 20
80
.
.
.
8.8.8.8.8. x parte
x parte
x parte
x x x
x
x
x parte
x
parte
x
parte
→
→
→
+ + =
=
=
= →
⇒ ⋅
= →
⇒ ⋅
= →
1
4 2
5 3
4 5 850
10 850
850
10
85 1
4 4 85
340 2
5 5 85
425 3
º
º
º
º
º
º
9.9.9.9.9. x N buscado
x x
x x
x N buscado
→
= +
− =
= →
º
º
2 111
2 111
111
10.10.10.10.10. x edadRosa
x edadMaría
x x
x
x
x
x edadRosa
x
edadMaría
→
+ →
+ + =
= −
=
=
= →
+ ⇒ ⋅ +
= +
= →
3 15
3 15 59
4 59 15
4 44
44
4
11
3 15 3 11 15
33 15
48
11.11.11.11.11. x N buscado
x x
x x
x
x
x N buscado
→
= +
− =
=
=
= →
º
º
8 21
8 21
7 21
21
7
3
12.12.12.12.12. x Mi edad
x
x
x
x
x Mi edad
→
+ =
= −
=
=
= →
3 7 100
3 100 7
3 93
93
3
31
13.13.13.13.13. x parte
x
parte
x
parte
x
x x
x x x
x
x
x
x parte
x
parte
x
parte
→
→
→
+ + =
+ +
=
= ⋅
=
=
= →
⇒ = →
⇒
⋅
= ⋅ = →
1
3
2
4
3
3
3
4
3
96
3 4
3
96
8 96 3
8 288
288
8
36 1
3
36
3
12 2
4
3
4 36
3
4 12 48 3
º
º
º
º
º
º
14.14.14.14.14. x EdadEnrique
x EdadPedro
x EdadJuan
x EdadEugenio
x x x x
x
x
x EdadEnrique
x EdadPedro
x EdadJuan
x EdadEugenio
→
→
→
→
+ + + =
=
=
= →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
2
3
6
2 3 6 132
12 132
132
12
11
2 2 11 22
3 3 11 33
6 6 11 66
EJERCICIO 84
1.1.1.1.1. x parte
x parte
x parte
x x x
x
x
x
x parte
x parte
x
parte
→
→
− →
+ + − =
= +
=
=
= →
⇒ ⋅ = →
− ⇒ ⋅ −
= − = →
1
3 2
3 40 3
3 3 40 254
7 254 40
7 294
294
7
42 1
3 3 42 126 2
3 40 3 42 40
126 40 86 3
º
º
º
º
º
º

2.2.2.2.2. A B C
C A
B C B A
B A
A A A
A
A
A
A Balb
B A Balb
C A Balb
+ + =
=
− = ⇒ − =
= +
+ + + =
= −
=
=
=
= + ⇒ ⋅ + = + =
= ⇒ ⋅ =
130
2
15 15 2
2 15
2 15 2 130
5 130 15
5 115
115
5
23
2 15 2 23 15 46 15 61
2 2 23 46
.
.
.
3.3.3.3.3. x Número
x
Número
x Número
x
x
x
x
x
x x
x
x
x Número
x
Número
x Número
→
−
→
− →
+
−
+ − =
+ − =
+
= +
= ⋅
=
= →
−
⇒
−
= = →
− ⇒ − = →
1
8
2
2
18 3
8
2
18 238
2
2
8
2
256
4
2
256 4
5 260 2
520
5
104 1
8
2
104 8
2
96
2
48 2
18 104 18 86 3
º
º
º
º
º
º
4.4.4.4.4. x Costo traje
x
Costo sombrero
x Costo bastón
x
x
x
x
x
x x
x
x
x Costo traje
x
Costo sombrero
x Costo bastón
→
→
− →
+ + − =
+ = +
+
=
= ⋅
=
= →
⇒ = →
− ⇒ − = →
8
30
8
30 259
2
8
259 30
16
8
289
17 289 8
2 312
17
136
8
136
8
17
30 136 30 106
.
$
$
$
5.5.5.5.5. x Número
x
Número
x Número
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x Número
x
Número
x Número
→
−
→
− →
+
−
+ − =
+ − =
+
= +
=
+
=
=
= →
−
⇒
−
= = →
− ⇒ − = →
1
6
5
2
6 3
6
5
6 72
2
5
6
5
78
10
5
78
6
5
11
5
390 6
5
11 396
396
11
36 1
6
5
36 6
5
30
5
6 2
6 36 6 30 3
º
º
º
º
º
º
6.6.6.6.6. A B
B A
A A
A
A
A
A bs
B A
bs
+ =
= +
+ + =
= −
=
=
=
= + ⇒ ⋅ +
= + =
99
3 19
3 19 99
4 99 19
4 80
80
4
20
3 19 3 20 19
60 19 79
.
.
7.7.7.7.7. x cm de azúl
x
cm deblanco
x
x
x
x
x x
x
x
x cmde azúl
x
cmde blanco
→
−
→
+
−
=
+ − =
+
= +
= ⋅
=
= →
−
⇒
−
= = →
14
2
14
2
74
2
14
2
74
2
2
74 7
3 81 2
162
3
54
14
2
54 14
2
40
2
20
8.8.8.8.8. A B C
B A
B
A
B C
B
B B
B
B
B B
B
B
B
A
B
C B
+ + =
= − ⇒
+
=
− =
+
+ + − =
+ + = +
+
= −
= ⋅
=
=
=
+
⇒
+
= =
= − ⇒ − =
152
2 8
8
2
32
8
2
32 152
2
8
2
2 152 32
4
2
184 4
5 180 2
360
5
72
8
2
72 8
2
80
2
40
32 72 32 40
$
$
$
x x
x x
x
x
x N buscado
→
− = −
+ = +
=
=
= →
º
º
80 220 2
2 220 80
3 300
300
3
100
10.10.10.10.10. x Tengo ahora
x x
x x
x S Tengo ahora
→
+ = +
− = −
= →
2 10 60
2 60 10
50 /.
11.11.11.11.11. x Parte separada
x Laotraparte
x x
x
x
x cm
m Parte separada
x cm
m Laotraparte
→
+ →
+ + =
= −
=
=
⇒ →
+ ⇒ + =
⇒ →
80
80 910
2 910 80
830
2
415
4 15
80 415 80 495
4 95
,
,

12.12.12.12.12. x Edad padre
x
Edad hijo
x
x
x
x
x x
x
x
x Edad padre
x
Edad hijo
→
−
→
+
−
=
+ − =
+
= +
= ⋅
=
= →
−
⇒
−
= = →
3
3
3
3
83
3
3
3
83
3
3
83 1
4 84 3
252
4
63
3
3
63 3
3
60
3
20
EJERCICIO 85
13.13.13.13.13. A B C
B A
B C
B B B
B
B
B Votos
A B Votos
C B Votos
+ + =
+ =
− =
+ + + − =
= +
=
=
= + ⇒ + =
= − ⇒ − =
9 000
500
800
500 800 9 000
3 9 000 300
9 300
3
3 100
500 3 100 500 3 600
800 3 100 800 2 300
.
.
.
.
.
. .
. .
14.14.14.14.14. x N buscado
x x
x x
x
x
x N buscado
→
− = −
+ = +
=
=
= →
º
º
8 60 60 7
8 7 60 60
15 120
120
15
8
15.15.15.15.15. x Edad bre
x x
x x
x
x
x Edad bre
→
− = −
+ = +
=
=
= →
hom
hom
2 17 100
2 100 17
3 117
117
3
39
1.1.1.1.1. x N mayor
x
N menor
x
x
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
→
+ =
+
=
= ⋅
=
= →
⇒
⋅
= →
º
º
º
º
2
3
2
3
100
3 2
3
100
5 100 3
300
5
60
2
3
2 60
3
40
2.2.2.2.2. x Edad padre
x
Edad hijo
x
x
x
x
x x
x
x
x
x Edad padre
x
Edad hijo
→
−
→
+
−
=
+ − =
+
= +
=
+
=
=
= →
−
⇒
−
= →
15
2
15
2
60
2
15
2
60
2
2
60
15
2
3
2
120 15
2
3 135
135
3
45
15
2
45 15
2
15
3.3.3.3.3. x Partemayor
x Partemenor
x x
x
x
x Partemayor
x
Partemenor
→
− →
+ − =
= +
=
= →
− ⇒ −
= →
232
232 1 080
2 1 080 232
1 312
2
656
232 656 232
424
.
.
.
4.4.4.4.4. A B
A B
A A
A
A
A Soles
B A
Soles
+ =
− =
+ − =
= +
=
=
= − ⇒ −
=
150
46
46 150
2 150 46
196
2
98
46 98 46
52
5.5.5.5.5. x Ang mayor
x
Ang menor
x
x
x
x
x x
x
x
x
x Ang mayor
x
Ang menor
→
+
→
+
+
=
+ + =
+
= −
=
−
=
=
= →
+
⇒
+
= →
.
.
.
.
45
2
45
2
180
2
45
2
180
2
2
180
45
2
3
2
360 45
2
3 315
315
3
105
45
2
105 45
2
75
!
!
6.6.6.6.6. x N mayor
x
N menor
x
x
x
x
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
−
→
+
−
=
+ − =
+
= +
=
+
=
=
= →
−
⇒
−
= = →
º
º
.
.
.
º
º
88
3
88
3
540
3
88
3
540
3
3
540
88
3
4
3
1 620 88
3
4 1 708
1708
4
427
88
3
427 88
3
339
3
113
7.7.7.7.7.
x N mayor
x
N menor
x
x
x
x
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
−
→
−
−




 =
− + =
−
= −
= ⋅
=
=
= →
−
⇒
−
= →
º
º
º
º
12
4
12
4
36
4
12
4
36
4
4
36 3
3 33 4
3 132
132
3
44
12
4
44 12
4
8

88888 x Costo perro
x
Costo collar
x
x
x x
x
x
x
x Costo perro
x
Costocollar
→
→
+ =
+
=
= ⋅
=
=
= →
⇒ = →
8
8
54
8
8
54
9 54 8
9 432
432
9
48
8
48
8
6
$
$
11.11.11.11.11. x Parte mayor
x
Parte menor
x
x
x
x
x x
x
x
x Parte mayor
x
Parte menor
→
+
→
+
+
=
+ = −
+
=
−
=
=
= →
+
⇒
+
= = →
16
3
16
3
160
3
160
16
3
3
3
480 16
3
4 464
464
4
116
16
3
116 16
3
132
3
44
EJERCICIO 86
9.9.9.9.9. A B
A B
A B
A B
A A
A
A
A
B A
+ =
− = +
⇒ − − =
− =
+ − =
= +
=
=
= − ⇒ − =
84
16 20
16 20
36
36 84
2 84 36
120
2
60
36 60 36 24
$
$
12.12.12.12.12. x N mayor
x
N menor
x
x
x
x
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
+
→
+
+
=
+ = −
+
=
−
=
=
= →
+
⇒
+
= = →
º
º
.
.
.
º
º
150
3
150
3
506
3
506
150
3
3
3
1518 150
3
4 1368
1 368
4
342
150
3
342 150
3
492
3
164
10.10.10.10.10. x N Señoritas
x
N Jovenes
x
x
x
x
x x
x
x
x N Señoritas
x
N jovenes
→
−
→
+
−
=
+ = +
+
=
+
=
=
= →
−
⇒
−
= →
º
º
º
º
15
2
15
2
60
2
60
15
2
2
2
120 15
2
3 135
135
3
45
15
2
45 15
2
15
13.13.13.13.13. x Esti ráfica
x Lapicero
x x
x
x
x bs Esti ráfica
x bs Lapicero
→
− →
+ − =
=
=
= →
− ⇒ − = →
log
. log
.
10
10 18
2 28
28
2
14
10 14 10 4
14.14.14.14.14. x Parte roja
x Parte negra
x x
x
x cm Parte roja
x cm Parte negra
→
+ →
+ + =
=
= →
+ ⇒ + = →
4
4 84
2 80
40
4 40 4 44
1.1.1.1.1.
( )
2
2 10 3 10
2 10 3 30
2 3 30 10
20
20
2 2 20 40
x Edad actual A
x Edad actual B
x x
x x
x x
x
x Edad actual B
x Edad actual A
→
→
− = −
− = −
− = − +
− = −
= →
⇒ ⋅ = →
2.2.2.2.2.
( )
3
3 5 2 5
3 5 2 10
3 2 10 5
5
3 3 5 15
x Edad A
x Edad B
x x
x x
x x
x Edad B
x Edad A
→
→
+ = +
+ = +
− = −
= →
⇒ ⋅ = →
3.3.3.3.3. 2
2 30 5
2 30 5
25
2 2 25 50
x TieneA
x TieneB
x x
x x
x TieneB
x TieneA
→
→
− = −
− = −
= →
⇒ ⋅ = →
$
$
4.4.4.4.4.
( )
( )
( )
x
Tiene A
x Tiene B
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x colones Tiene B
x
colonesTiene A
2
2
66 2 90
132
2
2 90
132 4 90
132 4 360
3 492
492
3
164
2
164
2
82
→
→
+ = −
+
= −
+ = −
+ = −
− = −
=
−
−
= →
⇒ = →
5.5.5.5.5. x N ones
x
N Srtas
x
x
x
x
x x
x
x N ones
x
N Srtas
→
→
+ = −
− = − −
−
= −
− = −
= →
⇒ = →
ºvar
º
ºvar
º
3
3
14 10
3
10 14
3
3
24
2 72
36
3
36
3
12
6.6.6.6.6.
( )
3
3 5 2 10
3 5 2 20
25
3 3 25 75
x Edad padre
x Edad hijo
x x
x x
x Edad hijo
x Edad padre
→
→
− = +
− = +
= →
⇒ ⋅ = →

7.7.7.7.7. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
− →
+ − =
=
=
= →
− ⇒ ⋅ −
= − = →
º
º
º
º
2 56
2 56 85
3 141
141
3
47
2 56 2 47 56
94 56 38
10.10.10.10.10. 4
4 15 21
4 21 15
3 36
36
3
12
4 4 12
48
x DíasTrab Pedro
x DíasTrab Enrique
x x
x x
x
x
x DíasTrab Enrique
x
DíasTrab Pedro
→
→
− = +
− = +
=
=
= →
⇒ ⋅
= →
.
.
.
.
EJERCICIO 87
8.8.8.8.8. 5
5 0 5 0 5
5 0 5 0 5
4 1
1
4
0 25
5 5 0 25
1 25
x Tiene Enrique
x Tienesuhno
x x
x x
x
x
x Tiene suhno
x
Tiene Enrique
→
→
− = +
− = +
=
=
= →
⇒ ⋅
= →
.
, ,
, ,
$ ,
,
$ ,
11.11.11.11.11.
( )
2
2 14 3 14
2 14 3 42
2 3 42 14
28
28
14
2 14 2 28 14
42
14 28 14
14
x Edad act padre
x Edad act hijo
x x
x x
x x
x
x Edad act hijo
Edadeshace años
x
años padre
x
años hijo
→
→
− = −
− = −
− = − +
− = −
= →
− ⇒ ⋅ −
= →
− ⇒ −
= →
.
.
.
:
9.9.9.9.9. x Bolsa
x Bolsa
x x
x
x S Bolsa
x S Bolsa
→
− →
+ − =
=
= →
− ⇒ − = →
1
400 2
400 1 400
2 1 800
900 1
400 900 400 500 2
.
.
/.
/.
12.12.12.12.12.
( )
3
3 22 2 22
3 2 44 22
22
3 3 22 66
x Edad actual Juan
x Edad actual hijo
x x
x x
x Edad actualhijo
x Edad actual Juan
→
→
+ = +
= + −
= →
⇒ ⋅ = →
13.13.13.13.13.
( )
A B A B
A B
B B
B B
B
B
B
A B
+ = ⇒ = −
+ = +
⇒ − + = +
− − = −
− = −
=
−
−
=
= − ⇒ − =
84 84
80 3 4
84 80 3 12
3 12 164
4 152
152
4
38
84 84 38 46
$
$
1.1.1.1.1. 2
4 50 702
54 702
702
54
13
2 2 13
26
x N Sombreros
x N trajes
x x
x
x
x N trajes
x
N Sombreros
→
→
+ =
=
=
= →
⇒ ⋅
= →
º
º
º
º
2.2.2.2.2.
( )
x Cab
x Vacas
x x
x x
x
x
x Cab
x Vacas
→
− →
+ − =
+ − =
=
=
= →
− ⇒ − = →
.
.
. .
. .
.
.
.
6
600 800 6 40 000
600 800 4 800 40 000
1 400 44 800
44 800
1 400
32
6 32 6 26
3.3.3.3.3.
( )
16
12 16 5 73
192 12 5 73
17 73 192
119
17
7
16 16 7 9
− →
→
− − =
− − =
− = −
=
−
−
= →
− ⇒ − = →
x ob reslt
x ob noreslt
x x
x x
x
x
x ob noreslt
x ob reslt
Pr . .
Pr . .
Pr . .
Pr . .
4.4.4.4.4.
( )
50
3 50 2 90
150 3 2 90
5 60
60
5
12
50 50 12 38
− →
→
− − =
− − =
− = −
=
−
−
= →
− ⇒ − = →
x Días trab
x Días no trab
x x
x x
x
x
x Días no trab
x Días trab
.
.
.
.
5.5.5.5.5.
( )
35 30
25
30 35 25 1 015
1 050 30 25 1 015
5 1 015 1 050
35
5
7 25
35 35 7 28 30
− →
→
− + =
− + =
− = −
=
−
−
= →
− ⇒ − = →
x Trajesde Q
x Trajes de Q
x x
x x
x
x
x Trajes de Q
x Trajesde Q
.
. .
. .
6.6.6.6.6.
( )
x TrajeCal
x Traje
x x
x x
x
x
x balb TrajeCal
x balb Traje
→
− →
+ − =
+ − =
=
=
= →
− ⇒ − = →
.
inf.
.
.
.
.
. .
. inf.
7
32 18 7 1 624
32 18 126 1 624
50 1 750
1 750
50
35
7 35 7 28

8.8.8.8.8.
( )
3 5
6 3 5 5 582
18 30 5 582
23 552
552
23
24
24
3 5 3 24 5
77
x Sac Frij
x Sac azúc
x x
x x
x
x
x
Sac azúc
x
Sac Frij
+ →
→
+ + =
+ + =
=
=
=
⇒ →
+ ⇒ ⋅ +
= →
. .
. .
. .
. .
9.9.9.9.9.
( )
80
0 75 80 0 90 68 40
60 0 75 0 90 68 40
0 15 8 40
8 40
0 15
56
56
80 80 56
24
3
3
− →
→
− + =
− + =
=
=
=
⇒ →
− ⇒ −
= →
x Cedro
x Caoba
x x
x x
x
x
x
pies Caoba
x
pies Cedro
, , ,
, , ,
, ,
,
,
10.10.10.10.10.
( )
1 050
3 1 050 2 1 825
3 150 3 2 1 825
5 1 825 3 150
5 1 325
1 325
5
265
265
1 050 1 050 265
785
. .
.
. .
. .
. .
.
.
.
. .
.
− →
→
− − =
− − =
− = −
− = −
=
−
−
=
⇒ →
− ⇒ −
= →
x P mayor
x P menor
x x
x x
x
x
x
x
P menor
x
P mayor
7.7.7.7.7. 3
0 05 3 0 06 1 47
0 15 0 06 1 47
0 21 1 47
1 47
0 21
7
7
3 3 7 21
x N Lápices
x N cuad
x x
x x
x
x
x
N cuad
x N Lápices
→
→
⋅ + =
+ =
=
=
=
⇒ →
→ ⋅ = →
º
º .
, , ,
, , ,
, ,
,
,
º .
º
EJERCICI0 88
1.1.1.1.1. x
x
x x
x
x x x
x
x
x
x
x
→
→
+ − →
⇒ − →
+ + − =
= +
=
= →
⇒ ⋅ = →
− ⇒ ⋅ −
= − = →
1
2 2
2 20 3
3 20 3
2 3 20 196
6 196 20
216
6
36 1
2 2 36 72 2
3 20 3 36 20
108 20 88 3
º
º
º
º
º
º
º
2.2.2.2.2.
( )
3
3 5 4 5
3 5 4 20
3 4 20 5
15
15
3 3 15 45
x Edad A
x Edad B
x x
x x
x x
x
x Edad B
x Edad A
→
→
− = −
− = −
− = − +
− = −
= →
⇒ ⋅ = →
3.3.3.3.3.
( )
x Par zap
x Traje
x x
x x
x
x
x soles Par zap
x soles Traje
→
+ →
+ + =
+ + =
= −
=
= →
+ ⇒ ⋅ + = →
.
.
. .
. .
.
.
2 50
50 2 50 35 16 000
100 2 500 35 16 000
135 16 000 2 500
13 500
135
100
2 50 2 100 50 250
4.4.4.4.4. x Costocasa
x x
x x
x x
x
x
x bs Costocasa
→
= +
=
+
= +
=
=
= →
4 6
2 000
4
12 000
6
6 4 48 000
2 48 000
48 000
2
24 000
.
.
.
.
.
. .
5.5.5.5.5.
x N mayor
x
N menor
x
x
x
x
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
−
→
+
−
=
+ = +
+
=
+
=
=
= →
−
⇒
⋅ −
= = →
º
º
º
º
2 156
3
2 156
3
108
2
3
108
156
3
3 2
3
324 156
3
5 480
480
5
96
2 156
3
2 96 156
3
36
3
12
6.6.6.6.6. x Ancho
x
x
x
x
pies Ancho
→
− =
=
=
=
⇒ →
461 11 9
450 9
450
9
50
50
7.7.7.7.7. x Gasté
x x
x
x
x
Gasté
→
− =
=
=
=
⇒ →
85 4
85 5
85
5
17
17$
8.8.8.8.8.
( )
( ) ( )
( ) ( )
x Edad act B
x Edad Ahace años
x x
x x
x x
x
x Edad act B
Edad actual de A
x
años
→
− →
− + + = +
− + = +
− = −
− = −
= →
− + ⇒ − +
= ⋅ + =
.
.
:
2 12 12
2 12 24 68 3 12
2 24 92 3 36
2 3 36 68
32
32
2 12 12 2 32 12 12
2 20 12 52
9.9.9.9.9.
( )
x mon cts
x mon cts
x x
x x
x
x
x
x mon cts
x mon cts
→
− →
+ − =
+ − =
= −
=
=
= →
− ⇒ − = →
. .
. .
, , ,
, , , ,
, , ,
, ,
,
,
. .
. .
10
22 5
0 10 0 05 22 1 85
0 10 1 10 0 05 1 85
0 05 1 85 1 10
0 05 0 75
0 75
0 05
15 10
22 22 15 7 5

10.10.10.10.10.
( ) ( )
x N buscado
x x
x x
x x
x
x
x N buscado
→
− = −
− = −
− = − +
− = −
=
−
−
= →
º
º
12 24 24 27
12 288 24 648
12 24 648 288
12 360
360
12
30
11.11.11.11.11.
( )
x c cab
x x
x x
x
x
x c cab
→
= −
= −
− = −
=
−
−
= →
/ .
$ / .
35 40 10
35 40 400
5 400
400
5
80
12.12.12.12.12. x N buscado
x x
x x
x
x
x N buscado
→
− = −
+ = +
=
=
= →
º
º
3 55 233
3 233 55
4 288
288
4
72
13.13.13.13.13.
( ) ( )
x N menor
x N medio
x N mayor
x x x
x x x
x
x
x
N menor
x N medio
x N mayor
→
+ →
+ →
+ + + + =
+ + + + =
= −
=
=
⇒ →
+ ⇒ + = →
+ ⇒ + = →
º
º
º
º
º
º
1
2
2 3 1 4 2 740
2 3 3 4 8 740
9 740 11
729
9
81
81
1 81 1 82
2 81 2 83
14.14.14.14.14. x Acaballo
x Enauto
x Apie
x x x
x
x
x Km Acaballo
x Km Enauto
x Km Apie
→
→
− →
+ + − =
= +
=
= →
⇒ ⋅ = →
− ⇒ − = →
3
20
3 20 150
5 150 20
170
5
34
3 3 34 102
20 34 20 14
15.15.15.15.15.
( )
x Partehijo
x Partehijas
x x
x x
x
x
x
colones Partehijo
x
colones Partehijas
→
+ →
+ + =
+ + =
=
=
=
⇒ →
+ ⇒ + =
⇒ →
2 000
3 2 2 000 16 500
3 2 4 000 16 500
5 12 500
12 500
5
2 500
2 500
2 000 2 500 2 000 4 500
4 500
.
. .
. .
.
.
.
.
. . . .
.
16.16.16.16.16.
( )
x N mayor
x N menor
x x
x x x
x
x N mayor
x N menor
→
− →
− − =
− + − =
=
= →
− ⇒ − = →
º
º
º
º
1
1 31
2 1 31
2 32
16
1 16 1 15
2 2
2 2
17.17.17.17.17.
( )
3
5
12
5
12
5 12
5 60
4 60
15
3 3 15 45
12 15 12 3
x Edad A
x Edad B
x
Edad C
x Edad C
Luego
x
x
x x
x x
x
x Edad B
x Edad A
x Edad C
→
→
→
− →
= −
= −
= −
− = −
= →
⇒ ⋅ = →
− ⇒ − = →
:
18.18.18.18.18.
( ) ( )
x Edad act A
x
Edad Ben años
x
Edad Ben años
Luego
x x
x x
x x
x x
x
x Edad act A
Edad actual de B
x
años
→
+
→
+
→
+
+ =
+
+ +
=
+
+ = +
+ = +
− = −
= →
+
− ⇒
+
−
= − =
.
:
.
:
5
3
5
20
2
20
5
3
15
20
2
5 45
3
20
2
2 50 3 20
2 100 3 60
40
40
20
2
20
40 20
2
20
30 20 10
19.19.19.19.19. x Lunes
x Martes
x Miercoles
x Jueves
x Viernes
x Sábado
x x x x x x
x
x
x
x Lunes
x Martes
x Miercoles
x Jueves
x Viernes
x Sábado
→
→
→
→
− →
− →
+ + + + − + − =
− =
= +
=
= →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
− ⇒ ⋅ − = →
− ⇒ ⋅ − = →
2
4
8
8 30
8 20
2 4 8 8 30 8 20 911
31 50 911
31 911 50
961
31
31
2 2 31 62
4 4 31 124
8 8 31 248
8 30 8 31 30 218
8 20 8 31 20 228
$
$
$
$
$
$
20.20.20.20.20. x N
x N
x x
x
x
x N
x N
→
− →
+ − = ⋅
= +
=
= →
− ⇒ − = →
º
º
º
º
1
18 2
18 3 18
2 54 18
72
2
36 1
18 36 18 18 2
21.21.21.21.21.
( )
( )
( ) ( )
x Tiene A
x Tiene B
x x
x x
x
x
x Tiene A
x
Tiene B
→
− →
+ − =
+ − =
=
=
= →
− ⇒ −
= ⋅ = →
3 16
3 16 36
3 48 36
4 84
84
4
21
3 16 3 21 16
3 5
$
$15
22.22.22.22.22.
( )
3
2
3 1 3 2
2
20
3 1 3 40
2 40 2
38
3 3 38 114
2
38
2
x Tiene A
x Tiene B
x
TieneC
x x
x
x x x
x x
x Tiene B
x Tiene A
x
TieneC
→
→
→
− − − = +






− − + = +
− = −
= →
⇒ ⋅ = →
⇒ = →
$
$19

23.23.23.23.23. x Costo tienda
x x
x x
x x
x
x
bs Costo tienda
→
− =
−
=
− =
=
=
⇒ →
5
800
7
4 000
5 7
7 28 000 5
2 28 000
14 000
14 000
.
.
.
.
. .
24.24.24.24.24.
( )
( )
( ) ( )
x Cab peor
x Cab mejor
x x
x x
x
x Cab peor
x
Cab mejor
→
+ →
+ + =
+ + =
=
= →
+ = +
= ⋅ = →
.
.
$ .
$ .
2 15
2 15 120
2 30 120
3 90
30
2 15 2 30 15
2 45 90
25.25.25.25.25. x queda A
x queda B
x x
x
x
Como A tenía Q
loqueperdío A
x Q
→
→
+ =
=
=
⇒
= − ⇒ − =
3
3 160
4 160
40
80
80 80 40 40
.
.
26.26.26.26.26.
( )
2
2 2 400 400
4 800 400
3 1 200
400
2 2 400 800
x Emp A
x Emp B
x x
x x
x
x Emp B
x Emp A
→
→
− = +
− = +
=
= →
⇒ ⋅ = →
.
.
.
$ .
$ .
EJERCICIO 89
27.27.27.27.27.
( )
4
4 5 3 5
4 5 3 15
10
4 4 10 40
x Cab
x Vacas
x x
x x
x Vacas
x Cab
→
→
+ = +
+ = +
= →
⇒ ⋅ = →
.
.
2828282828 x Lunes
x Martes
x Miercoles
x Jueves
x Jueves
x x
x
x Lunes
x Martes
x Miercoles
x Jueves
→
+ →
+ →
+ →
→
+ =
− = −
= →
+ ⇒ + = →
+ ⇒ + = →
⇒ ⋅ = →
6
12
18
4
18 4
3 18
6
6 6 6 12
12 6 12 18
4 4 6 24
$
$
$
29.29.29.29.29.
( )
x Tenía ppio
x x
x x
x
x
x
soles Tenía ppio
→
− + − − =
− + − =
=
=
=
⇒ →
.
.
2 50 2 2 50 390 0
2 440 4 100 0
6 540
540
6
90
90
30.30.30.30.30.
( )( )
2
2 6 4 2
2 2 24 2
2 24
12
2 2 12 24
2
2 2
x L o
x Ancho
x x x
x x x
x
x m Ancho
x m L o
→
→
− + =
+ − =
=
= →
⇒ ⋅ = →
arg
arg
31.31.31.31.31.
( )
3 5
5
3 10 2 10
3 10 2 20
10
3 5 3 10 5 35
5 10 5 15
x Padrehace años
x Hijohace años
x x
x x
x años
Edad actual Padre
x años
Edad actual Hijo
x años
→
→
+ = +
+ = +
=
+ ⇒ ⋅ + =
+ ⇒ + =
:
:
32.32.32.32.32.
( )
3 4
4
3 6 5 6
3 6 5 30
2 24
12
3 4 3 12 4 32
4 12 4 8
x Edad Aen años
x Edad Ben años
x x
x x
x
x años
Edad Actual A
x años
Edad Actual B
x años
→
→
− = −
− = −
− = −
=
− ⇒ ⋅ − =
− ⇒ − =
:
:
1.1.1.1.1. ( )a ab a a b2
+ = +
2.2.2.2.2. ( )b b b b+ = +2
1
3.3.3.3.3. ( )x x x x2
1+ = +
4.4.4.4.4. ( )3 3 13 2 2
a a a a− = −
5.5.5.5.5. ( )x x x x3 4 3
4 1 4− = −
6.6.6.6.6. ( )5 15 5 1 32 3 2
m m m m+ = +
7.7.7.7.7. ( )ab bc b a c− = −
8.8.8.8.8. ( )x y x z x y z2 2 2
+ = +
9.9.9.9.9. ( )2 6 2 32 2
a x ax ax a x+ = +
10.10.10.10.10. ( )8 12 4 2 32
m mn m m n− = −
11.11.11.11.11. ( )9 18 9 23 2 3 2 2
a x ax ax a x− = −
12.12.12.12.12. ( )15 60 15 43 2 2 3 2 2
c d c d c d c d+ = +
13.13.13.13.13. ( )35 70 35 22 3 3 2 3
m n m m n m− = −
14.14.14.14.14. ( )abc abc abc c+ = +2
1
15.15.15.15.15. ( )24 36 12 2 32 2 2 4 2 2 2
a xy x y xy a xy− = −
16.16.16.16.16. ( )a a a a a a3 2 2
1+ + = + +
17.17.17.17.17. ( )4 8 2 2 2 4 12 2
x x x x− + = − +
18.18.18.18.18. ( )15 20 5 5 3 4 13 2 2
y y y y y y+ − = + −
19.19.19.19.19. ( )a a x ax a a ax x3 2 2 2 2
− + = − +
20.20.20.20.20.
( )
2 2 3
2 2 3
2 2
a x ax ax
ax a x
+ −
= + −
21.21.21.21.21. ( )x x x x x x3 5 7 3 2 4
1+ − = + −
22.22.22.22.22.
( )
14 28 56
14 2 4
2 2 3 4
2 2 2
x y x x
x y x x
− +
= − +
23.23.23.23.23.
( )
34 51 68
17 2 3 4
2 2 2
2 2
ax a y ay
a x ay y
+ −
= + −
24.24.24.24.24.
( )
96 48 144
48 2 3
2 3
2 3
− +
= − +
mn n
mn n
25.25.25.25.25.
( )
a b c a c x a c y
a c b x y
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
− +
= − +

26.26.26.26.26.
( )
55 110 220
55 2 4
2 3 2 3 2 2 3
2 3 3 2 3
m n x m n x m y
m n x n x y
+ −
= + −
27.27.27.27.27.
( )
93 62 124
31 3 2 4
3 2 2 3 2 2
2 2 2
a x y a x y a x
a x axy x y
− −
= − −
28.28.28.28.28. ( )x x x x x x x x− + − = − + −2 3 4 2 3
1
29.29.29.29.29. ( )a a a a a a a a6 4 3 2 2 4 2
3 8 4 3 8 4− + − = − + −
30.30.30.30.30.
( )
25 10 15 5
5 5 2 3 1
7 5 3 2
2 5 3
x x x x
x x x x
− + −
= − + −
31.31.31.31.31. ( )x x x x x x x x15 12 9 6 6 9 6 3
2 3 2 3− + − = − + −
32.32.32.32.32.
( )
9 12 15 24
3 3 4 5 8
2 3 2 3
2 2 3
a ab a b ab
a a b a b b
− + −
= − + −
33.33.33.33.33.
( )
16 8 24 40
8 2 1 3 5
3 2 2 4 2 2 3
2 2 2
x y x y x y x y
x y xy x y y
− − −
= − − −
34.34.34.34.34.
( )
12 24 36 48
12 1 2 3 4
2 3 2 4 3 5 4
2 2 2 3 3
m n m n m n m n
m n mn m n m n
+ − +
= + − +
35.35.35.35.35.
( )
100 150 50 200
50 2 3 4
2 3 2 2 3 3 2
2 2 2
a b c ab c ab c abc
abc ab bc b c c
− + −
= − + −
36.36.36.36.36. ( )x x x x x x x x x x5 4 3 2 4 3 2
1− + − + = − + − +
37.37.37.37.37.
( )
a a a a a
a a a a a
2 3 4 5 6
2 2 3 4
2 3 4 6
1 2 3 4 6
− + − +
= − + − +
38.38.38.38.38.
( )
3 6 5 8 4
3 6 5 8 4
2 3 2 2 2
2
a b ab a b a bx ab m
ab a a b ax bm
+ − + +
= + − + +
39.39.39.39.39.
( )
a a a a a a
a a a a a a
20 16 12 8 4 2
2 18 14 10 6 2
1
− + − + −
= − + − + −
EJERCICIO 90
1.1.1.1.1. ( ) ( ) ( )( )a x b x x a b+ + + = + +1 1 1
2.2.2.2.2. ( ) ( ) ( )( )x a a a x+ − + = + −1 3 1 1 3
3.3.3.3.3. ( ) ( ) ( )( )2 1 1 1 2x y x x y− + − = − +
4.4.4.4.4. ( ) ( ) ( )( )m a b a b n a b m n− + − = − +
5.5.5.5.5. ( ) ( ) ( )( )2 1 3 1 1 2 3x n y n n x y− − − = − −
6.6.6.6.6. ( ) ( )( )a n n n a+ + + = + +2 2 2 1
7.7.7.7.7. ( ) ( )( )x a a a x+ − − = + −1 1 1 1
8.8.8.8.8. ( ) ( )( )a b a a b2 2 2
1 1 1 1+ − + = + −
9.9.9.9.9. ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 3 2x x y x x x y− − − = − −
10.10.10.10.10. ( ) ( )( )1 2 1 1 1 2− + − = − +x a x x a
11.11.11.11.11. ( ) ( )( )4 4 1x m n n m m n x− + − = − −
12.12.12.12.12. ( ) ( )( )− − + + = + −m n x m n m n x 1
13.13.13.13.13. ( ) ( ) ( )( )a a b b a b a b a b3 2 3 2
1 1 1− + − − + = − + −
14.14.14.14.14. ( ) ( ) ( )( )4 1 3 1 1 4 32 2 2
m a x n x a a x m n+ − + − + = + − +
15.15.15.15.15. ( )
( ) ( ) ( )( )
x a b c a b c
x a b c a b c a b c x
2 2
2 2 2 1
+ + − − −
= + + − + + = + + −
16.16.16.16.16. ( )( ) ( ) ( )( )x y n n n x y+ + − + = + + −1 3 1 1 3
17.17.17.17.17. ( )( ) ( ) ( )( )x x y x x x y+ − + − = − + +1 2 3 2 2 1 3
18.18.18.18.18. ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )a a a a a a a+ + − + = + + − = + −3 1 4 1 1 3 4 1 1
19.19.19.19.19. ( )( ) ( ) ( )( )x m n m n m n x2 2
2 2 4+ − + − = − +
20.20.20.20.20. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )a x a x x a a x− − + − = − − − = − −1 2 1 1 2 2 1
21.21.21.21.21. ( ) ( )( ) ( )( )5 1 1 1 1 6 12 2 2
x a x a a x+ + + + = + +
22.22.22.22.22. ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
a b a b a b a b
a b a b a b b a b
+ − − − −
= − + − + = −2
23.23.23.23.23. ( )( ) ( )( ) ( )m n a m n a m a+ − + − − = −2 2 2 2
24.24.24.24.24. ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
x m x x x n
x x m x n x m n
+ + − + −
= + + − + = + +
1 1
1 1
25.25.25.25.25. ( )( ) ( )( ) ( )x x x x x x− − + − + = −3 4 3 4 3 2
26.26.26.26.26. ( )( ) ( )( )a b a a a a b+ − + − − = + + −1 1 1 1 22 2 2
27.27.27.27.27. ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
a b c x b c a x
x a b c a b c x a
+ − − − − − −
= − + − + − + = −
3 3
3 3 2
28.28.28.28.28. ( ) ( ) ( ) ( )( )3 1 2 1 1 1 3 2x x y x z x x x y z− − − + − = − − +
29.29.29.29.29. ( ) ( ) ( )( )a n b n n n a b+ − + − − = + − −1 1 1 1 1
30.30.30.30.30. ( ) ( ) ( )( )x a a a a x+ − − + + = + +2 2 3 2 2 2
31.31.31.31.31. ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 3 1 2 1 3 1 1 4+ + − + + + = + +a x a x x x a
32.32.32.32.32. ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
3 2 3 2 1 3 2
3 2 1 1 3 2
x x y z x x y x
x x y z x y z x
+ + − − + − + − +
= + + − − − − + = − +

EJERCICIO 91EJERCICIO 91EJERCICIO 91EJERCICIO 91EJERCICIO 91
1.1.1.1.1.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a ab ax bx
a ab ax bx
a a b x a b
a b a x
2
2
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
2.2.2.2.2.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
am bm an bn
am bm an bn
m a b n a b
a b m n
− + −
= − + −
= − + −
= − +
3.3.3.3.3.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
ax bx ay by
ax bx ay by
x a b y a b
a b x y
− − +
= − − −
= − − −
= − −
2 2 4
2 2 4
2 2 2
2 2
4.4.4.4.4.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a x bx a y by
a x bx a y by
x a b y a b
a b x y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
3 3
3 3
3 3
3
− + −
= − + −
= − + −
= − +
5.5.5.5.5.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 2 3
3 3 2 2
3 1 2 1
1 3 2
4 4
4 4
4 4
4
m n nx mx
m mx n nx
m x n x
x m n
− − +
= + − +
= + − +
= + −
6.6.6.6.6.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x a x a x
a a x x x
a x x x
x x a
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1
1
− + −
= − + + +
= − + + +
= + −
7.7.7.7.7.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
4 1 4
4 4 1
4 1 1
1 4 1
3 2
3 2
2 2
2
a a a
a a a
a a a
a a
− − +
= + − +
= + − +
= + −
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x x xy y
x x xy y
x x y x
x x y
+ − −
= + − +
= + − +
= + −
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1
1
9.9.9.9.9.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 2 3
3 3 2 2
3 2
3 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
abx y x aby
abx aby y x
ab x y x y
x y ab
− − +
= + − +
= + − +
= + −
10.10.10.10.10.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 6
3 6 2
3 1 2 1 2
1 2 3
2 2
2 2
2
2
a b b x ax
a ax b b x
a x b x
x a b
− + −
= − − −
= − − −
= − −
11.11.11.11.11.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
4 4 3 3
4 4 3 3
4 3
4 3
4 3
3 2
3 2
2
2
2
a x a b bm amx
a x a b bm amx
a ax b m b ax
a ax b m ax b
ax b a m
− + −
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
12.12.12.12.12.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
6 3 1 2
6 3 1 2
3 2 1 2 1
2 1 3 1
ax a x
ax a x
a x x
x a
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
13.13.13.13.13.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 9 3
3 9 3
3 1 3 3 1
3 1 3
3 2
3 2
2 2
2
x ax x a
x x ax a
x x a x
x x a
− − +
= − − −
= − − −
= − −
14.14.14.14.14.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 5 15 6
2 5 15 6
2 5 3 5 2
2 5 3 2 5
2 5 3
2 2
2 2
2
2
2
a x a y by bx
a x a y by bx
a x y b y x
a x y b x y
x y a b
− + −
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
15.15.15.15.15.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2 2 3
2 3 2 2 2
2 2 2
2 2
x y xz y z xy
x y xy xz y z
xy x y z x y
x y xy z
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
16.16.16.16.16.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
6 9 21 14
6 14 9 21
2 3 7 3 3 7
3 7 2 3
m n nx mx
m mx n nx
m x n x
x m n
− + −
= − − −
= − − −
= − −
17.17.17.17.17.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
n x a y n y a x
n x n y a y a x
n x y a y x
n x y a x y
x y n a
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
5 5
5 5
5
5
5
− − +
= − − −
= − − −
= − + −
= − +
18.18.18.18.18.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
1 3 3
1 3 3
1 3 1
1 3 1
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
a ab b
a ab b
a b a
a b
19.19.19.19.19.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
4 12 3
4 12 3
4 3 3
3 4 1
3 2
3 2
2 2
2
am amn m n
am amn m n
am m n m n
m n am
− − +
= − − −
= − − −
= − −
20.20.20.20.20.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
20 5 2 8
20 8 5 2
4 5 2 5 2
5 2 4
ax bx by ay
ax ay bx by
a x y b x y
x y a b
− − +
= + − +
= + − +
= + −
21.21.21.21.21.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 6
3 2 6
3 2 3
3 2 3
3 1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
− + −
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
x abx ab
x abx ab
x ab x
x ab x
x ab
22.22.22.22.22.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a a a
a a a
a a a
a a
3 2
3 2
2
2
1
1
1 1
1 1
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
23.23.23.23.23.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 7 3 7
3 3 7 7
3 7
3 7
2 2 2
2 2 2
2
2
a b x ax ab
a ax b x ab
a a x b x a
a x a b
− + −
= + − +
= + − +
= + −
24.24.24.24.24.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 2 2 1
2 2 2 1
2 1 1
2 1 1
am an a m n
am an a m n
a m n m n
a m n
− + − + −
= − + − − +
= − + − − +
= − − +

25.25.25.25.25.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 2 6 3 4
3 6 3 2 2 4
3 2 2 2
2 3 2
ax by bx a ay b
ax a ay by bx b
a x y b y x
x y a b
− − − + +
= − + − + −
= − + − + −
= + − −
26.26.26.26.26.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a a a x a x
a a a x a x
a a x a x
a a x
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 2
2 2
1
1
1 1
1 1
+ + + + +
= + + + + +
= + + + + +
= + + +
27.27.27.27.27.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 3 9 3
3 3 9 3
3 3 3
3 1 3
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
a a b ab a ab b
a a b ab a ab b
a a ab b a ab b
a a ab b
− + − + −
= − + − − +
= − + − − +
= − − +
EJERCICIO 92
28.28.28.28.28.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 2 3 6
3 2 2 6
3 2 3
2 3
3 2 2 2 2 2
2 2 2 3 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x nx xz nz ny xy
nx nz ny x xz xy
n x z y x x z y
x n x y z
− + − − +
= − + + + + +
= − + + + + +
= − + +
29.29.29.29.29.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 2 3 2 3
3 3 3 2 2 2
3 2
3 2
3 2
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
x axy ay xy ax x y
x xy x y axy ay ax
x x y xy a xy y x
x x y xy a xy y x
x a x xy y
+ + − − −
= − − + + −
= − − + + −
= − − − − − +
= − − −
3030303030
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a b n a b x n x a b x n x
a b a b x a b x n n x n x
a b x x n x x
a b n x x
2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 4
2 3 2 3 2 2 3 4 4 2 4
2 3 2 4 2
2 3 4 2
3 3
3 3
1 3 1 3
1 3
− + − − +
= + − − + −
= + − − + −
= − + −
1.1.1.1.1. ( )a ab b a b2 2 2
2− + = −
2.2.2.2.2. ( )a ab b a b2 2 2
2+ + = +
3.3.3.3.3. ( )x x x2 2
2 1 1− + = −
4.4.4.4.4. ( )y y y4 2 2 2
2 1 1+ + = +
5.5.5.5.5. ( )a a a2 2
10 25 5− + = −
6.6.6.6.6. ( )9 6 32 2
− + = −x x x
7.7.7.7.7. ( )16 40 25 4 52 4 2 2
+ + = +x x x
8.8.8.8.8. ( )1 14 49 1 72 2
− + = −a a a
9.9.9.9.9. ( )36 12 62 4 2 2
+ + = +m m m
10.10.10.10.10. ( )1 2 13 6 3 2
− + = −a a a
11.11.11.11.11. ( )a a a8 4 4 2
18 81 9+ + = +
12.12.12.12.12. ( )a a b b a b6 3 3 6 3 3 2
2− + = −
13.13.13.13.13. ( )4 12 9 2 32 2 2
x xy y x y− + = −
14.14.14.14.14. ( )9 30 25 3 52 2 4 2 2
b a b a b a− + = −
15.15.15.15.15. ( )1 14 49 1 72 4 2 2 2
+ + = +x y x y x y
16.16.16.16.16. ( )1 2 15 10 5 2
− + = −a a a
17.17.17.17.17.
( )
49 70 25
7 5
6 3 2 2 4
3 2 2
m am n a n
m an
− +
= −
18.18.18.18.18.
( )
100 60 9
10 3
10 4 5 6 8 12
5 4 6 2
x a x y a y
x a y
− +
= −
19.19.19.19.19. ( )121 198 81 11 96 12 6 2
+ + = +x x x
20.20.20.20.20.
( )
a am x m x
a m x
2 2 2 4 4
2 2 2
24 144
12
− +
= −
21.21.21.21.21. ( )16 104 169 4 132 4 2 2
− + = −x x x
22.22.22.22.22. ( )400 40 1 20 110 5 5 2
x x x+ + = +
23.23.23.23.23.
a
ab b
a
b
2
2
2
4 2
− + = −






24.24.24.24.24. 1
2
3 9
1
3
2 2
+ + = +






b b b
25.25.25.25.25. a a b
b
a
b4 2 2
4
2
2 2
4 2
− + = −






26.26.26.26.26.
1
25 3
25
36
1
5
5
6
2 4 2 2
− + = −






x x x
27.27.27.27.27. 16 2
16
4
4
6 3 2
4
3
2 2
x x y
y
x
y
− + = −






28.28.28.28.28.
n
mn m
n
m
2
2
2
9
2 9
3
3+ + = +






29.29.29.29.29. ( ) ( )
( ) ( )
a a a b a b
a a b a b
2 2
2 2
2
2
+ + + +
= + + = +
30.30.30.30.30. ( ) ( )
( ) ( )
4 4 1 1
2 1 1
2
2 2
− − + −
= − + = +
a a
a a
31.31.31.31.31. ( ) ( )
( ) ( )
4 4
2 3
2 2
2 2
m m n m n m
m n m m n
− − + −
= − + = −
32.32.32.32.32. ( ) ( )
( )
m n m n
m n
− + − +
= − +
2
2
6 9
3
33.33.33.33.33. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
a x a x x y x y
a x x y a y
+ − + + + +
= + − − = −
2 2
2 2
2
34.34.34.34.34.( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
m n a m m n a m
m n a m m n a
+ − − + + −
= + − + = + −
2 2
2 2
2
2
35.35.35.35.35. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
4 1 4 1 1 1
2 2 1 2 3
2 2
2 2
+ − + − + −
= + − + = − +
a a b b
a b a b
36.36.36.36.36. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
9 12 4
3 3 2 2 5
2 2
2 2
x y x y x y x y
x y x y x y
− + − + + +
= − + + = −

EJERCICIO 93
1.1.1.1.1. ( )( )x y x y x y2 2
− = + −
2.2.2.2.2. ( )( )a a a2
1 1 1− = + −
3.3.3.3.3. ( )( )a a a2
4 2 2− = + −
4.4.4.4.4. ( )( )9 3 32
− = + −b b b
5.5.5.5.5. ( )( )1 4 1 2 1 22
− = + −m m m
6.6.6.6.6. ( )( )16 4 42
− = + −n n n
7.7.7.7.7. ( )( )a a a2
25 5 5− = + −
8.8.8.8.8. ( )( )1 1 12
− = + −y y y
9.9.9.9.9. ( )( )4 9 2 3 2 32
a a a− = + −
10.10.10.10.10. ( )( )25 36 5 6 5 64 2 2
− = + −x x x
11.11.11.11.11. ( )( )1 49 1 7 1 72 2
− = + −a b ab ab
12.12.12.12.12. ( )( )4 81 2 9 2 92 4 2 2
x y x y x y− = + −
13.13.13.13.13. ( )( )a b c ab c ab c2 8 2 4 4
− = + −
14.14.14.14.14. ( )( )100 10 102 6 3 3
− = + −x y xy xy
15.15.15.15.15. ( )( )a b a b a b10 12 5 6 5 6
49 7 7− = + −
16.16.16.16.16. ( )( )25 121 5 11 5 112 4 2 2
x y xy xy− = + −
17.17.17.17.17.
( )( )
100 169
10 13 10 13
2 4 6
2 3 2 3
m n y
mn y mn y
−
= + −
18.18.18.18.18. ( )( )a m n am n am n2 4 6 2 3 2 3
144 12 12− = + −
19.19.19.19.19.
( )( )
196 225
14 15 14 15
2 4 12
2 6 2 6
x y z
xy z xy z
−
= + −
20.20.20.20.20.
( )( )
256 289
16 17 16 17
12 4 10
6 2 5 6 2 5
a b m
a b m a b m
−
= + −
21.21.21.21.21. ( )( )1 9 1 3 1 32 4 6 8 2 3 4 2 3 4
− = + −a b c d ab c d ab c d
22.22.22.22.22. ( )( )361 1 19 1 19 114 7 7
x x x− = + −
23.23.23.23.23.
1
4
9
1
2
3
1
2
32
− = +





 −





a a a
24.24.24.24.24. 1
25
1
5
1
5
2
− = +





 −






a a a
25.25.25.25.25.
1
16
4
49
1
4
2
7
1
4
2
7
2
− = +





 −






x x x
26.26.26.26.26.
a x a x a x2 6 3 3
36 25 6 5 6 5
− = +





 −






27.27.27.27.27.
x y z x yz x yz2 2 4 2 2
100 81 10 9 10 9
− = +





 −






28.28.28.28.28.
x a x a x a6 10 3 5 3 5
49
4
121 7
2
11 7
2
11
− = +





 −






29.29.29.29.29. 100
1
16
10
1
4
10
1
4
2 4 8 2 4 2 4
m n x mn x mn x− = +





 −






30.30.30.30.30. ( )( )a b a b a bn n n n n n2 2
− = + −
31.31.31.31.31. 4
1
9
2
1
3
2
1
3
2
x x xn n n
− = +





 −






32.32.32.32.32. ( )( )a b a b a bn n n4 4 2 2 2 2
225 15 15− = + −
33.33.33.33.33. 16
49
4
7
4
7
6
2
3 3
x
y
x
y
x
ym
n
m
n
m
n
− = +





 −






34.34.34.34.34. 49
81
7
9
7
9
10
12
5
6
5
6
a
b
a
b
a
bn
x
n
x
n
x
− = +





 −






35.35.35.35.35. a b a b a bn n n n n n2 4 2 21
25
1
5
1
5
− = +





 −






36.36.36.36.36.
1
100
1
10
1
10
2
− = +





 −





x x xn n n
EJERCICIO 94
1.1.1.1.1. ( ) ( )( )x y a x y a x y a+ − = + + + −
2 2
2.2.2.2.2. ( ) ( )( ) ( )( )4 1 2 1 2 1 3 1
2
− + = + + − − = + −a a a a a
3.3.3.3.3. ( ) ( )( )9 3 3
2
− + = + + − −m n m n m n
4.4.4.4.4. ( ) ( )( )m n m n m n− − = − + − −
2
16 4 4
5.5.5.5.5. ( ) ( )( )x y z x y z x y z− − = − + − −
2 2
4 2 2
6.6.6.6.6. ( ) ( )( )a b a b a b+ − = + + + −2 1 2 1 2 1
2
7.7.7.7.7. ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2
2
− − = + − − +x y x y x y
8.8.8.8.8. ( )
( )( ) ( )( )
x a x
x a x x a x x a a x
+ −
= + + + − = + −
2 4
2 2 2 2 3 2 2
2 2
9.9.9.9.9. ( ) ( ) ( )( )a b c d a b c d a b c d+ − + = + + + + − −
2 2
10.10.10.10.10. ( ) ( ) ( )( )a b c d a b c d a b c d− − − = − + − − − +
2 2

11.11.11.11.11. ( )
( )( ) ( )( )
x x
x x x x x x
+ −
= + + + − = + −
1 16
1 4 1 4 5 1 1 3
2 2
12.12.12.12.12. ( )
( )( ) ( )( )
64 2
8 2 8 2 9 2 7 2
2 2
m m n
m m n m m n m n m n
− −
= + − − + = − +
13.13.13.13.13. ( ) ( ) ( )( )a b x y a b x y a b x y− − + = − + + − − −2 2 2
2 2
14.14.14.14.14. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2
2 2 3 2
2 2
a c a c
a c a c a c a c a a c
− − +
= − + + − − − = −
15.15.15.15.15. ( )
( )( ) ( )( )
x x
x x x x x x
+ −
= + + + − = + −
1 4
1 2 1 2 3 1 1
2 2
16.16.16.16.16. ( )
( )( ) ( )( )
36 3
6 3 6 3 9 3
2 2
x a x
x a x x a x x a x a
− +
= + + − − = + −
17.17.17.17.17. ( ) ( )( )a a a a a a6 2 3 3
1 1 1− − = + − − +
18.18.18.18.18. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
a m
a m a m a m a m
− − −
= − + − − − + = + − − +
1 2
1 2 1 2 3 1
2 2
19.19.19.19.19. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 3 5
2 3 5 2 3 5 3 8 2
2 2
x x
x x x x x x
− − −
= − + − − − + = − +
20.20.20.20.20. ( ) ( )( )1 5 2 1 5 2 1 5 2
2
− + = + + − −a x a x a x
21.21.21.21.21. ( ) ( )( )7 81 7 9 7 9
2
x y x y x y+ − = + + + −
22.22.22.22.22. ( ) ( )( )m m m m m m6 2 2 3 2 3 2
1 1 1− − = + − − +
23.23.23.23.23. ( ) ( )( )16 2 3 4 2 3 4 2 310 2 2 5 2 5 2
a a a a a a− + = + + − −
24.24.24.24.24. ( ) ( ) ( )( )x y c d x y c d x y c d− − + = − + + − − −
2 2
25.25.25.25.25. ( ) ( )
( )( )
( )( )
2
2 2
3 2
2 2
a b c a b
a b c a b a b c a b
a b c a c
+ − − +
= + − + + + − − −
= + − −
26.26.26.26.26. ( ) ( )( )100 10 10
2
− − + = + − + − + −x y z x y z x y z
27.27.27.27.27. ( ) ( )( ) ( )( )x y x x y x x y x y x y2 2
2− − = + − − + = −
28.28.28.28.28. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 3 5 1
2 3 5 1 2 3 5 1 7 2 4 3
2 2
x x
x x x x x x
+ − −
= + + − + − + = + −
29.29.29.29.29. ( ) ( )
( )( )
( )( )
x y z y z x
x y z y z x x y z y z x
x z y x
− + − − +
= − + + − + − + − + −
= − −
2 2
2
2 2
3 2 2
30.30.30.30.30. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 1 4
2 1 4 2 1 4 3 5 3
2 2
x x
x x x x x x
+ − +
= + + + + − − = + −
31.31.31.31.31. ( ) ( )
( )( )
( )( )
a x x a
a x x a a x x a
a x x
+ + − + −
= + + + + − + + − − +
= + +
2 1 1
2 1 1 2 1 1
2 3 2
2 2
32.32.32.32.32. ( ) ( )( )4 49 2 2 7 2 2 7
2 2
x a y x a y x a y+ − = + + + −
33.33.33.33.33. ( ) ( )
( )( )
( )( )
25 4
5 5 2 2 5 5 2 2
7 3 3 7
2 2
x y x y
x y x y x y x y
x y x y
− − +
= − + + − − −
= − −
34.34.34.34.34. ( ) ( )
( )( )
( )( )
36 121
6 6 11 11 6 6 11 11
17 5 17 5
2 2
m n m n
m n m n m n m n
m n n m
+ − −
= + + − + − +
= − −
EJERCICIO 95
1.1.1.1.1.
( )
( )( )
a ab b x
a b x
a b x a b x
2 2 2
2 2
2+ + −
= + −
= + + + −
2.2.2.2.2.
( )
( )( )
x xy y m
x y m
x y m x y m
2 2 2
2 2
2− + −
= − −
= − + − −
3.3.3.3.3.
( )
( )( )
m mn n
m n
m n m n
2 2
2
2 1
1
1 1
+ + −
= + −
= + + + −
4.4.4.4.4.
( )
( )( )
a a b
a b
a b a b
2 2
2 2
2 1
1
1 1
− + −
= − −
= − + − −
5.5.5.5.5.
( )
( )( )
n n c
n c
n c n c
2 2
2 2
6 9
3
3 3
+ + −
= + −
= + + + −
6.6.6.6.6.
( )
( )( )
a x ax
a x
a x a x
2 2
2
2 4
4
2 2
+ + −
= + −
= + + + −
7.7.7.7.7.
( )
( )( )
a a b
a b
a b a b
2 2
2 2
4 4 9
2 9
3 2 3 2
+ − −
= − −
= + − − −
8.8.8.8.8.
( )
( )( )
x y xy
x y
x y x y
2 2
2
4 4 1
2 1
2 1 2 1
+ − −
= − −
= − + − −
9.9.9.9.9.
( )
( )( )
a ay y x
a y x
a y x a y x
2 2 2
2 2
6 9 4
3 4
3 2 3 2
− + −
= − −
= − + − −
10.10.10.10.10.
( )
( )( )
4 25 36 20
2 5 36
2 5 6 2 5 6
2 2
2
x y xy
x y
x y x y
+ − +
= + −
= + + + −
11.11.11.11.11.
( )
( )( )
9 1 16 24
3 4 1
3 4 1 3 4 1
2 2
2
x a ax
x a
x a x a
− + −
= − −
= − + − −
12.12.12.12.12.
( )
( )( )
1 64 16
8 1
8 1 8 1
2 2 4
2 4
2 2
+ − −
= − −
= − + − −
a b x ab
ab x
ab x ab x

13.13.13.13.13.
( )
( )
( )( )
a b bc c
a b bc c
a b c
a b c a b c
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
− − −
= − + +
= − +
= + + − −
14.14.14.14.14.
( )
( )
( )( )
1 2
1 2
1
1 1
2 2
2 2
2
− + −
= − − +
= − −
= + − − +
a ax x
a ax x
a x
a x a x
15.15.15.15.15.
( )
( )
( )( )
m x xy y
m x xy y
m x y
m x y m x y
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
− − −
= − + +
= − +
= + + − −
16.16.16.16.16.
( )
( )
( )( )
c a a
c a a
c a
c a c a
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
1
1 1
− + −
= − − +
= − −
= + − − +
17.17.17.17.17.
( )
( )
( )( )
( )( )
9 25 10
9 10 25
9 5
3 5 3 5
8 2
2
2
2
− − −
= − + +
= − +
= + + − −
= − + +
n n
n n
n
n n
n n
18.18.18.18.18.
( )
( )
( )( )
4 4 4
4 4 4
4 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
a x x
a x x
a x
a x a x
− + −
= − − +
= − −
= + − − +
19.19.19.19.19.
( )
( )
( )( )
1 9 6
1 6 9
1 3
3 1 1 3
2 2
2 2
2
− − −
= − + +
= − +
= + + − −
a n an
a an n
a n
a n a n
20.20.20.20.20.
( )
( )
( )( )
25 16 8
25 8 16
25 4
5 4 5 4
2 2
2 2
2
− − +
= − − +
= − −
= + − − +
x y xy
x xy y
x y
x y x y
21.21.21.21.21.
( )
( )
( )( )
9 4 4
9 4 4
9 2
3 2 3 2
2 2 2
2 2 2
2 2
x a m am
x a am m
x a m
x a m x a m
− − +
= − − +
= − −
= + − − +
22.22.22.22.22.
( )
( )
( )( )
16 12 4 9
16 4 12 9
16 2 3
4 2 3 4 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
x y ab a b
x y a ab b
x y a b
xy a b xy a b
+ − −
= − − +
= − −
= + − − +
23.23.23.23.23.
( )
( )
( )( )
− + − −
= − + +
= − +
= + + − −
a m a
m a a
m a
m a m a
2 2
2 2
2 2
25 1 2
25 2 1
25 1
5 1 5 1
24.24.24.24.24.
( )
( )
( )( )
49 25 9 30
49 25 30 9
49 5 3
7 5 3 7 5 3
4 2 2
4 2 2
4 2
2 2
x x y xy
x x xy y
x x y
x x y x x y
− − +
= − − +
= − −
= + − − +
25.25.25.25.25.
( ) ( )
( )( )
a ab b c cd d
a b c d
a b c d a b c d
2 2 2 2
2 2
2 2− + − − −
= − − +
= − + + − − −
26.26.26.26.26.
( ) ( )
( )( )
x xy y m mn n
x y m n
x y m n x y m n
2 2 2 2
2 2
2 2+ + − + −
= + − −
= + + − + − +
27.27.27.27.27.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
a b ab x ax a
a ab b x ax a
a b x a
a b x a a b x a
a b x b x
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 4 2
4 4 2
2
2 2
2 2 2
+ + − − −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
= + + −
28.28.28.28.28.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x a ax y b by
x ax a y by b
x a y b
x a y b x a y b
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 4 9 6
4 4 6 9
2 3
2 3 2 3
+ − − − +
= − + − − +
= − − −
= − + − − − +
29.29.29.29.29.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
m x n mn ax a
m mn n x ax a
m n x a
m n x a m n x a
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
9 6 4 4
6 9 4 4
3 2
3 2 3 2
− + + − −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
30.30.30.30.30.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
9 4 12 25 10
9 12 4 10 25
3 2 5
3 2 5 3 2 5
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
x y a xy b ab
x xy y a ab b
x y a b
x y a b x y a b
+ − − − −
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
31.31.31.31.31.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 9 6
2 6 9
3
3 3
2 2 2
2 2 2
2 2
am x a m x
a am m x x
a m x
a m x a m x
− − + + −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
32.32.32.32.32.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x a a b x b
x x b a b a
x b a
x b a x b a
2 4 2 2
2 2 2 4
2 2 2
2 2
9 6 1 2
2 1 6 9
1 3
1 3 1 3
− + + + −
= + + − − +
= + − −
= + + − + − +
33.33.33.33.33.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
16 1 10 9 24 25
16 24 9 25 10 1
4 3 5 1
4 3 5 1 4 3 5 1
2 2 2
2 2 2
2 2
a m x ax m
a ax x m m
a x m
a x m a x m
− − + − −
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
34.34.34.34.34.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
9 2 100 60
2 9 60 100
3 10
3 10 3 10
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
m a acd c d m
a acd c d m m
m a cd
m a cd m a cd
− + − + −
= − − + + − +
= − − −
= − + − − − +
35.35.35.35.35.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
4 9 49 30 25 28
4 28 49 9 30 25
2 7 3 5
2 7 3 5 2 7 3 5
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
a x b xy y ab
a ab b x xy y
a b x y
a b x y a b x y
− + − − −
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
36.36.36.36.36.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
225 169 1 30 26
225 30 1 169 26
15 1 13
15 1 13 15 1 13
2 2 2
2 2 2
2
a b a bc c
a a b bc c
a b c
a b c a b c
− + + + −
= + + − − +
= + − −
= + + − + − +
37.37.37.37.37.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
x y x y
x x y y
x y
x y x y
x y x y
2 2
2 2
2 2
4 4 1 2
4 4 2 1
2 1
2 1 2 1
3 1
− + + − −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
= + + − +
38.38.38.38.38.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
a x a x
a a x x
a x
a x a x
a x a x
2 2
2 2
2 2
16 36 12 8
12 36 8 16
6 4
6 4 6 4
10 2
− − + + −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
= + + − +

EJERCICIO 96
1.1.1.1.1.
( )
( )
( )( )
a a
a a
a a a
a a
a a a a
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
1
2 1
1
1 1
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
2.2.2.2.2.
( )
( )( )
m m n n
m n m n
m m n n m n
m n m n
m n mn m n mn
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + + −
3.3.3.3.3.
( )
( )( )
x x
x x
x x x
x x
x x x x
8 4
4 4
8 4 4
4 2 4
4 2 4 2
3 4
4 4
2
2 2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
4.4.4.4.4.
( )
( )( )
a a
a a
a a a
a a
a a a a
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
2 9
4 4
6 9 4
3 4
2 3 2 3
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
5.5.5.5.5.
( )
( )( )
a a b b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
3
2
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
6.6.6.6.6.
( )
( )( )
x x
x x
x x x
x x
x x x x
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
6 1
4 4
2 1 4
1 4
2 1 2 1
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
7.7.7.7.7.
( )
( )( )
4 3 9
9 9
4 12 9 9
2 3 9
2 3 3 2 3 3
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a a b b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
8.8.8.8.8.
( )
( )( )
4 29 25
9 9
4 20 25 9
2 5 9
2 3 5 2 3 5
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
x x
x x
x x x
x x
x x x x
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
9.9.9.9.9.
( )
( )( )
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
8 4 4 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
4 16
4 4
8 16 4
4 4
2 4 2 4
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
10.10.10.10.10.
( )
( )( )
16 25 9
16 24 9
4 3
4 3 4 3
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
m m n n
m n m n
m m n n m n
m n m n
m mn n m mn n
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
11.11.11.11.11.
( )
( )( )
25 54 49
16 16
25 70 49 16
5 7 16
5 4 7 5 4 7
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a a b b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
12.12.12.12.12.
( )
( )( )
36 109 49
25 25
36 84 49 25
6 7 25
6 5 7 6 5 7
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
13.13.13.13.13.
( )
( )( )
81 2 1
16 16
81 18 1 16
9 1 16
9 4 1 9 4 1
8 4
4 4
8 4 4
4 2 4
4 2 4 2
m m
m m
m m m
m m
m m m m
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
14.14.14.14.14.
( )
( )( )
c c
c c
c c c
c c
c c c c
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
45 100
25 25
20 100 25
10 25
5 10 5 10
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
15.15.15.15.15.
( )
( )( )
4 53 49
25 25
4 28 49 25
2 7 25
2 5 7 2 5 7
8 4 4 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
a a b b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a a b b a a b b
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
16.16.16.16.16.
( )
( )( )
49 76 64
36 36
49 112 64 36
7 8 36
8 6 7 8 6 7
2 4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
n n
n n
n n n
n n
n n n n
17.17.17.17.17.
( )
( )( )
25 139 81
49 49
25 90 81 49
5 9 49
5 7 9 5 7 9
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
18.18.18.18.18.
( )
( )( )
49 76 100
64 64
49 140 100 64
7 10 64
7 8 10 7 8 10
8 4 4 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
19.19.19.19.19.
( )
( )( )
4 108 121
64 64
4 44 121 64
2 11 64
2 8 11 2 8 11
2 4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
x x
x x
x x x
x x
x x x x
20.20.20.20.20.
( )
( )( )
121 133 36
121 132 36
11 6
11 6 11 6
4 2 4 8
2 4 2 4
4 2 4 8 2 4
2 4 2 2 4
2 2 4 2 2 4
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −

21.21.21.21.21.
( )
( )( )
144 23 9
49 49
144 72 9 49
12 3 49
12 7 3 12 7 3
6 12
6 6
6 12 6
6 2 6
3 6 3 6
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
n n
n n
n n n
n n
n n n n
22.22.22.22.22.
( )
( )( )
16 9
16 8
4
4 4
4 8
4 4
4 8 4
4 2 4
2 4 2 4
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
c c
c c
c c c
c c
c c c c
23.23.23.23.23.
( )
( )( )
64 169 81
25 25
64 144 81 25
8 9 25
8 5 9 8 5 9
4 2 4 8
2 4 2 4
4 2 4 8 2 4
2 4 2 2 4
2 4 2 4
a a b b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
24.24.24.24.24.
( )
( )( )
225 5
25 25
225 30 25
15 25
5 15 5 15
2 4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
m m
m m
m m m
m m
m m m m
EJERCICIO 97
1.1.1.1.1.
( )
( )( )
x y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
4 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
64
16 16
16 64 16
8 16
4 8 4 8
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
2.2.2.2.2.
( )
( )( )
4
4 4
4 4 4
2 4
2 2 2 2
8 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
x y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
25.25.25.25.25.
( )
( )( )
1 126 169
100 100
1 26 169 100
1 13 100
1 10 13 1 10 13
2 4 4 8
2 4 2 4
2 4 4 8 2 4
2 4 2 2 4
2 2 4 2 2 4
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b
ab a b ab a b
26.26.26.26.26.
( )
( )( )
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y x y
x y xy x y xy
4 4 2 2
2 2 2 2
4 4 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
21 121
22 121
11
11 11
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
27.27.27.27.27.
( )
( )( )
49 75 196
121 121
49 196 196 121
7 14 121
7 11 14 7 11 14
8 4 2 2 4 4
4 2 2 4 2 2
8 4 2 2 4 4 4 2 2
4 2 2 2 4 2 2
4 2 2 2 4 2 2 2
c c m n m n
c m n c m n
c c m n m n c m n
c m n c m n
c c mn m n c c mn m n
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
28.28.28.28.28.
( )
( )( )
81 292 256
4 4
81 288 256 4
9 16 4
9 2 16 9 2 16
4 8 2 4 8 16
2 4 8 2 4 8
4 8 2 4 8 16 2 4 8
2 4 8 2 2 4 8
2 4 2 4 8 2 4 2 4 8
a b a b x x
a b x a b x
a b a b x x a b x
a b x a b x
a b ab x x a b ab x x
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
3.3.3.3.3.
( )
( )( )
a b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
4 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
324
36 36
36 324 36
18 36
6 18 6 18
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
4.4.4.4.4.
( )
( )( )
4 81
36 36
4 36 81 36
2 9 36
2 6 9 2 6 9
4 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
m n
m n m n
m m n n m n
m n m n
m mn n m mn n
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
5.5.5.5.5.
( )
( )( )
4 625
100 100
4 100 625 100
2 25 100
25 10 2 25 10 2
8
4 4
4 8 4
4 2 4
4 2 4 2
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
x
x x
x x x
x x
x x x x
6.6.6.6.6.
( )
( )( )
64
16 16
64 16 16
8 16
4 8 4 8
12
6 6
6 12 6
6 2 6
6 3 6 3
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
a
a a
a a a
a a
a a a a

7.7.7.7.7.
( )
( )( )
1 4
4 4
1 4 4 4
1 2 4
2 2 1 2 2 1
4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
n
n n
n n n
n n
n n n n
8.8.8.8.8.
( )
( )( )
64
16 16
64 16 16
8 16
8 4 8 4
8 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
x y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
9.9.9.9.9.
( )
( )( )
81 64
144 144
81 144 64 144
9 8 144
9 12 8 9 12 8
4 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
EJERCICIO 98
1.1.1.1.1. ( )( )x x x x2
7 10 5 2+ + = + +
2.2.2.2.2. ( )( )x x x x2
5 6 3 2− + = − −
3.3.3.3.3. ( )( )x x x x2
3 10 5 2+ − = + −
4.4.4.4.4. ( )( )x x x x2
2 2 1+ − = + −
5.5.5.5.5. ( )( )a a a a2
4 3 3 1+ + = + +
6.6.6.6.6. ( )( )m m m m2
5 14 7 2+ − = + −
7.7.7.7.7. ( )( )y y y y2
9 20 5 4− + = − −
8.8.8.8.8. ( )( )x x x x2
6 3 2− − = − +
9.9.9.9.9. ( )( )x x x x2
9 8 8 1− + = − −
10.10.10.10.10. ( )( )c c c c2
5 24 8 3+ − = + −
11.11.11.11.11. ( )( )x x x x2
3 2 2 1− + = − −
12.12.12.12.12. ( )( )a a a a2
7 6 6 1+ + = + +
13.13.13.13.13. ( )( )y y y y2
4 3 3 1− + = − −
14.14.14.14.14. ( )( )n n n n2
8 12 6 2− + = − −
15.15.15.15.15. ( )( )x x x x2
10 21 7 3+ + = + +
16.16.16.16.16. ( )( )a a a a2
7 18 9 2+ − = + −
17.17.17.17.17. ( )( )m m m m2
12 11 11 1− + = − −
18.18.18.18.18. ( )( )x x x x2
7 30 10 3− − = − +
19.19.19.19.19. ( )( )n n n n2
6 16 8 2+ − = + −
20.20.20.20.20. ( )( )a a a a2
21 20 20 1− + = − −
21.21.21.21.21. ( )( )y y y y2
30 6 5+ − = + −
22.22.22.22.22. ( )( )a a a a2
11 28 7 4− + = − −
23.23.23.23.23. ( )( )n n n n2
6 40 10 4− − = − +
24.24.24.24.24. ( )( )x x x x2
5 36 9 4− − = − +
25.25.25.25.25. ( )( )a a a a2
2 35 7 5− − = − +
26.26.26.26.26. ( )( )x x x x2
14 13 13 1+ + = + +
27.27.27.27.27. ( )( )a a a a2
14 33 11 3− + = − −
28.28.28.28.28. ( )( )m m m m2
13 30 15 2+ − = + −
29.29.29.29.29. ( )( )c c c c2
13 14 14 1− − = − +
30.30.30.30.30. ( )( )x x x x2
15 56 8 7+ + = + +
31.31.31.31.31. ( )( )x x x x2
15 54 9 6− + = − −
32.32.32.32.32. ( )( )a a a a2
7 60 12 5+ − = + −
33.33.33.33.33.
( )( )
x x
x x
2
17 60
60 2
30 2 2 2 5 20
15 3 3 1 3
5 5 20 3 17
1 20 3
− −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
34.34.34.34.34.
( )( )
x x
x x
2
8 180
180 2
90 2 2 3 3 18
45 3 2 5 10
15 3 18 10 8
5 5 18 10
1
+ −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
35.35.35.35.35.
( )( )
m m
m m
2
20 300
300 2
150 2 2 3 5 30
75 3 2 5 10
25 5 30 10 20
5 5 30 10
1
− −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
36.36.36.36.36.
( )( )
x x
x x
2
132
132 2
66 2 2 2 3 12
33 3 11 1 11
11 11 12 11 1
1 12 11
+ −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
37.37.37.37.37.
( )( )
m m
m m
2
2 168
168 2
84 2 2 2 3 12
42 2 2 7 14
21 3 14 12 2
7 7 14 12
1
− −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
38.38.38.38.38.
( )( )
c c
c c
2
24 135
135 3
45 3 3 3 9
15 3 3 5 15
5 5 15 9 24
1 15 9
+ +
⋅ =
⋅ =
⇒ + =
= + +
39.39.39.39.39.
( )( )
m m
m m
2
4
2
41 400
400 2
200 2 2 16
100 2 5 25
50 2 25 16 41
25 5 25 16
5 5
1
− +
=
=
⇒ + =
= − −
40.40.40.40.40.
( )( )
a a
a a
2
2
380
380 2
190 2 2 5 20
95 5 19 1 19
19 19 20 19 1
1 20 19
+ −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
41.41.41.41.41.
( )( )
x x
x x
2
12 364
364 2
182 2 2 13 26
91 7 2 7 14
13 13 26 14 12
1 26 14
+ −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −

42.42.42.42.42.
( )( )
a a
a a
2
3
2
42 432
432 2
216 2 2 3 24
108 2 2 3 18
54 2 24 18 42
27 3 24 18
9 3
3 3
1
+ +
⋅ =
⋅ =
⇒ + =
= + +
43.43.43.43.43.
( )( )
m m
m m
2
30 675
675 3
225 5 3 5 3 45
45 3 3 5 15
15 3 45 15 30
5 5 45 15
1
− −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
44.44.44.44.44.
( )( )
y y
y y
2
3
50 336
336 3
112 2 3 7 2 42
56 2 2 8
28 2 42 8 50
14 2 42 8
7 7
1
+ +
⋅ ⋅ =
=
⇒ + =
= + +
45.45.45.45.45.
( )( )
x x
x x
2
3
2 528
528 2
264 2 2 3 24
132 2 2 11 22
66 2 24 22 2
33 3 24 22
11 11
1
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
46.46.46.46.46.
( )( )
n n
n n
2
4
3
43 432
432 2
216 2 2 16
108 2 3 27
54 2 16 27 43
27 3 16 27
9 3
3 3
1
+ +
=
=
⇒ + =
= + +
47.47.47.47.47.
( )( )
c c
c c
2
4
2
4 320
320 2
160 2 2 16
80 2 2 5 20
40 2 20 16 4
20 2 20 16
10 2
5 5
1
− −
=
⋅ =
⇒ − =
= − +
48.48.48.48.48.
( )( )
m m
m m
2
2
2 2
8 1 008
1 008 2
504 2 2 7 28
252 2 2 3 36
126 2 36 28 8
63 3 36 28
21 3
7 7
1
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
.
.
EJERCICIO 99
1.1.1.1.1. ( )( )x x x x4 2 2 2
5 4 4 1+ + = + +
2.2.2.2.2. ( )( )x x x x6 3 3 3
6 7 7 1− − = − +
3.3.3.3.3. ( )( )x x x x8 4 4 4
2 80 10 8− − = − +
4.4.4.4.4. ( )( )x y xy xy xy2 2
12 4 3+ − = + −
5.5.5.5.5. ( ) ( ) ( )( )4 2 4 15 4 5 4 3
2
x x x x− − = − +
6.6.6.6.6. ( ) ( ) ( )( )5 13 5 42 5 7 5 6
2
x x x x+ + = + +
7.7.7.7.7. ( )( )x ax a x a x a2 2
2 15 5 3+ − = + −
8.8.8.8.8. ( )( )a ab b a b a b2 2
4 21 7 3− − = − +
9.9.9.9.9. ( ) ( ) ( )( )x y x y x y x y− + − − = − + − −
2
2 24 6 4
10.10.10.10.10.
( ) ( )( ) ( )( )
− + +
= − − − = − − + = − +
x x
x x x x x x
2
2
4 5
4 5 5 1 5 1
11.11.11.11.11. ( )( )x x x x10 5 5 5
20 5 4+ − = + −
12.12.12.12.12. ( )( )m mn n m n m n2 2
56 8 7+ − = + −
13.13.13.13.13.
( )( )
x ax a
x a x a
4 2 2
2 2
7 60
12 5
+ −
= + −
14.14.14.14.14. ( ) ( )
( )( )
2 4 2 3
2 3 2 1
2
x x
x x
− +
= − −
15.15.15.15.15. ( ) ( )
( )( )
m n m n
m n m n
− + − −
= − + − −
2
5 24
8 3
16.16.16.16.16.
( )( )
x x
x x
8 4
4
4 4
240
240 2
120 2 2 16
60 2 3 5 15
30 2 16 15 1
15 3 16 15
5 5
1
+ −
=
⋅ =
⇒ − =
= + −
17.17.17.17.17.
( )
( )( ) ( )( )
− + +
= − − −
= − − + = − +
y y
y y
y y y y
2
2
2 15
2 15
5 3 5 3
18.18.18.18.18.
( )( )
a b a b
a b a b
4 4 2 2
2 2 2 2
2 99
99 3 3 3 9
33 3 11 1 11
11 11 11 9 2
1 11 9
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
19.19.19.19.19.
( )( )
c cd d
c d c d
2 2
11 28
7 4
+ +
= + +
20.20.20.20.20. ( )
( )( )
25 5 5 84
84 2
42 2 2 3 12
21 3 7 1 7
7 7 12 7 5
1 5 12 5 7
2
2
x x
x x
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
21.21.21.21.21.
( )( )
a ab b
a b a b
2 2
21 98
98 2 2 7 14
49 7 7 1 7
7 7 14 7 21
1 14 7
− +
⋅ =
⋅ =
⇒ + =
= − −

22.
( )( )
x y x y
x y x y
4 4 2 2
2 2 2 2
132
132 2
66 2 2 2 3 12
33 3 11 1 11
11 11 12 11 1
1 12 11
+ −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
23.
( )
( )( ) ( )( )
− + +
= − − −
= − − + = − +
x x
x x
x x x x
4 2
4 2
2 2 2 2
2 48
2 48
8 6 8 6
24. ( ) ( )
( )( )
c d c d
c d c d
+ − + +
= + − + −
2
18 65
13 5
25.
( )( )
a axy x y
a xy a xy
2 2 2
2
2 440
440 2
220 2 2 5 20
110 2 11 2 22
55 5 22 20 2
11 11 22 20
1
+ −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
26.
( )( )
m n m n
m n m n
6 6 3 3
3
3 3 3 3
21 104
104 2
52 2 2 8
26 2 13 1 13
13 13 13 8 21
1 13 8
− +
=
⋅ =
⇒ + =
= − −
27.
( )
( )( ) ( )( )
− + +
= − − −
= − − + = − +
n n
n n
n n n n
2
2
5 14
5 14
7 2 7 2
28.
( )( )
x x
x x
6 3
3 3
930
930 2
465 5 2 5 3 30
93 3 31 1 31
31 31 31 30 1
1 31 30
+ −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
29. ( ) ( )
( )( )
4 8 4 105
105 5
21 3 5 3 15
7 7 7 1 7
1 15 7 8
4 15 4 7
2 2 2
2 2
x x
x x
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
30.
( )( )
x abx a b
x ab x ab
4 2 2 2
2 2
5 36
9 4
+ −
= + −
31.
( )( )
a a b b
a b a b
4 2 2 4
2
2 2 2 2
156
156 2
78 2 2 3 12
39 3 13 1 13
13 13 13 12 1
1 13 12
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
32.
( )
( )( )
( )( )
− + +
= − − −
= − − +
= − +
x ax a
x ax a
x a x a
a x x a
2 2
2 2
4 21
4 21
7 3
7 3
33.
( )( )
x y x y a
x y a x y a
8 8 4 4 2
4 4 4 4
15 100
20 5
− −
= − +
34. ( ) ( )
( )( )
( )( )
a a
a a
a a
− + − −
⋅ =
=
⇒ − =
= − + − −
= + −
1 3 1 108
108 2
54 2 2 3 12
27 3 3 9
9 3 12 9 3
3 3 1 12 1 9
1 11 10
2
2
2
35.
( )( )
m abcm a b c
m abc m abc
2 2 2 2
56
8 7
+ −
= + −
36. ( ) ( )
( )( )
7 24 7 128
128 4
32 4 4 16
8 4 4 2 8
2 2 16 8 24
1 7 16 7 8
2 2 2
2
2 2
x x
x x
+ +
=
⋅ =
⇒ + =
= + +
EJERCICIO 100
1.
( )
( )( )
( )( )
2 3 2
4 3 2 4
2 4 2 1
2
2 2 1
2
2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
+ −
= + −
2.
( )
( )( )
( )( )
3 5 2
9 5 3 6
3 6 3 1
3
2 3 1
2
2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
= − +
3.
( )
( )( )
( )( )
6 7 2
36 7 6 12
6 4 6 3
2 3
3 2 2 1
2
2
x x
x x
x x
x x
+ +
= + +
=
+ +
⋅
= + +
4.
( )
( )( )
( )( )
5 13 6
25 13 5 30
5 15 5 2
5
3 5 2
2
2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
+ −
= + −
5.
( )
( )( )
( )( )
6 5 6
36 5 6 36
6 9 6 4
3 2
2 3 3 2
2
2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
6.
( )
( )( )
( )( )
12 6
144 1 12 72
12 9 12 8
3 4
4 3 3 2
2
2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
7.
( )
( )( )
( )( )
4 15 9
16 15 4 36
4 12 4 3
4
3 4 3
2
2
a a
a a
a a
a a
+ +
= + +
=
+ +
= + +
8.
( )
( )( )
( )( )
10 11 3
100 11 10 30
10 6 10 5
2 5
5 3 2 1
2
2
a a
a a
a a
a a
+ +
= + +
=
+ +
⋅
= + +
9.
( )
( )( )
( )( )
12 13 35
144 13 12 420
420 4 4 7 28
105 5 5 3 15
21 3 28 15 13
7 7
12 28 12 15
4 3
1 3 7 4 5
2
2
m m
m m
m m
m m
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
10.
( )
( )( )
( )( )
20 1
400 1 20 20
20 5 20 4
5 4
4 1 5 1
2
2
y y
y y
y y
y y
+ −
= + −
=
+ −
⋅
= + −
11.
( )
( )( )
( )( )
8 14 15
64 14 8 120
120 2
60 2 2 2 5 20
30 2 2 3 6
15 3 20 6 14
5 5
8 20 8 6
4 2
1 2 5 4 3
2
2
a a
a a
a a
a a
− −
= − −
⋅ ⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +

12.
( )
( )( )
( )( )
7 44 35
49 44 7 245
245 5
49 7 7 7 49
7 7 5 1 5
1 49 5 44
7 49 7 5
7
7 7 5
2
2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
= − +
13.
( )
( )( )
( )( )
15 16 15
225 16 15 225
225 5
45 5 5 5 25
9 3 3 3 9
3 3 25 9 16
1
15 25 15 9
5 3
3 5 5 3
2
2
m m
m m
m m
m m
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
14.
( )
( )( )
( )( )
2 5 2
4 5 2 4
2 4 2 1
2
2 2 1
2
2
a a
a a
a a
a a
+ +
= + +
=
+ +
= + +
15.
( )
( )( )
( )( )
12 7 12
144 7 12 144
144 2
72 2 2 16
36 2 3 9
18 2 16 9 7
9 3
12 16 12 9
4 3
3 3 3 4 4 3
1
2
2
4
2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
=
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
16.
( )
( )( )
( )( )
9 10 1
81 10 9 9
9 9 9 1
9
1 9 1
2
2
a a
a a
a a
a a
+ +
= + +
=
+ +
= + +
17.
( )
( )( )
( )( )
20 9 20
400 9 20 400
400 2
200 2 2 16
100 2 5 25
50 2 25 16 9
25 5
20 25 20 16
5 4
5 5 4 5 5 4
1
2
2
4
2
n n
n
n n
n n
− −
= − −
=
=
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
18.
( )
( )( )
( )( )
21 11 2
441 11 21 42
21 14 21 3
7 3
3 2 7 1
2
2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
+ −
⋅
= + −
19.
( )( )
( )( )
15 6
225 15 90
15 10 15 9
5 3
3 2 5 3
2
2
m m
m m
m m
m m
+ −
= + −
=
+ −
⋅
= + −
20.
( )
( )( )
( )( )
15 8 12
225 8 15 180
180 2
90 2 2 3 18
45 5 5 2 10
9 3 18 10 8
3 3
15 18 15 10
3 5
1 5 6 3 2
2
2
2
a a
a a
a a
a a
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
21.
( )
( )( )
( )( )
9 37 4
81 37 9 36
9 36 9 1
9
4 9 1
2
2
x x
x x
x x
x x
+ +
= + +
=
+ +
= + +
22.
( )
( )( )
( )( )
20 44 15
400 44 20 300
300 2
150 2 2 5 50
75 5 2 3 6
15 5 50 6 44
3 3
20 50 20 6
10 2
1 2 5 10 3
2
2
2
n n
n n
n n
n n
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
23.
( )
( )( )
( )( )
14 31 10
196 31 14 140
140 2
70 2 5 7 35
35 5 2 2 4
7 7 35 4 31
1
14 35 14 4
7 2
2 5 7 2
2
2
m m
m m
m m
m m
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
24.
( )
( )( )
( )( )
2 29 90
4 29 2 180
180 2
90 2 2 5 20
45 3 3 9
15 3 20 9 29
5 5
2 20 2 9
2
1 2 10 2 9
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
+ +
= + +
⋅ =
=
⇒ + =
=
+ +
= + +
25.
( )
( )( )
( )( )
20 7 40
400 7 20 800
800 4
200 4 4 2 32
50 5 5 25
10 5 32 25 7
2 2
20 32 20 25
4 5
1 5 8 4 5
2
2
2
2
a a
a a
a a
a a
− −
= − −
⋅ =
=
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
26.
( )( )
( )( )
4 33
16 4 132
132 2
66 2 2 3 12
33 3 11 1 11
11 11 12 11 1
1
4 12 4 11
4
3 4 11
2
2
2
n n
n n
n n
n n
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
= + −
27.
( )
( )( )
( )( )
30 13 10
900 13 30 300
300 2
150 2 5 25
75 5 2 3 12
15 5 25 12 13
3 3
30 25 30 12
5 6
1 6 5 5 2
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −

EJERCICIO 101
1.
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 5 6
6 5 6 36
6 9 6 4
3 2
2 3 3 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
+ −
⋅
= + −
2.
( ) ( )
( )( )
( )( )
5 4 12
5 4 5 60
5 10 5 6
5
2 5 6
6 3
3 2 3
3 3
3 3
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
+ −
= + −
3.
( ) ( )
( )( )
( )( )
10 29 10
10 29 10 100
10 25 10 4
5 2
2 5 5 2
8 4
4 2 4
4 4
4 4
x x
x x
x x
x x
+ +
= + +
=
+ +
⋅
= + +
4.
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 5 21
6 5 6 126
126 2
63 3 2 7 14
21 7 3 3 9
3 3 14 9 5
1
6 14 6 9
2 3
3 7 2 3
2 2
2
a x ax
ax ax
ax ax
ax ax
+ −
+ −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
5.
( ) ( )
( )( )
( )( )
20 9 20
20 9 20 400
400 2
200 2 5 25
100 2 2 16
50 2 25 16 9
25 5
20 25 20 16
5 4
5 5 4 5 5 4
1
2 2
2
2
4
x y xy
xy xy
xy xy
xy xy
+ −
= + −
=
=
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
6.
( ) ( )
( )( )
( )( )
15 2
15 15 30
15 6 15 5
3 5
5 2 3
2 2
2 2
x ax a
x a x a
x a x a
x a x a
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
7.
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
− − +
= − + −
= − + −
⋅ =
=
⇒ − =
=
− + −
⋅
= − + −
= + −
10 7 12
10 7 12
10 7 10 120
120 2
60 2 5 3 15
30 2 2 8
15 5 15 8 7
3 3
10 15 10 8
5 2
1 2 3 5 4
2 3 4 5
2
2
2
3
x x
x x
x x
x x
x x
x x
8.
( )
( )( )
( )( )
21 29 72
441 29 21 1 512
1 512 2
756 2 2 7 56
378 2 3 27
189 3 56 27 29
63 3
21 56 21 27
7 3
21 3 3 8 7 9
7 7
1
2 2
2 2
3
3
x xy y
x xy y
x y x y
x y x y
− −
= − −
⋅ =
=
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
.
.
9.
( )
( )( )
( )( )
6 13 15
36 13 6 90
6 18 6 5
6
3 6 5
2 2
2 2
m am a
m am a
m a m a
m a m a
− −
= − −
=
− +
= − +
10.
( ) ( )
( )( )
( )( )
14 45 14
14 45 14 196
196 2
98 2 7 7 49
49 7 2 2 4
7 7 49 4 45
1
14 49 14 4
7 2
2 7 7 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
11.
( )
( )( )
( )( )
30 13 3
900 13 30 90
30 18 30 5
6 5
5 3 6
2 2
2 2
a ab b
a ab b
a b a b
a b a b
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
12.
( ) ( )
( )( )
( )( )
7 33 10
7 33 7 70
7 35 7 2
7
5 7 2
6 3
3 2 3
3 3
3 3
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
= − +
13.
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + +
= − − −
= − − −
= −
− +
= − − +
= − +
3 13 30
3 13 30
9 13 3 90
3 18 3 5
3
6 3 5
6 3 5
2
2
2
a a
a a
a a
a a
a a
a a
14.
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + +
= − − −
= − − −
= −
− +
⋅
= − − +
= − +
6 7 5
6 7 5
6 7 6 30
6 10 6 3
2 3
3 5 2 1
5 3 2 1
8 4
8 4
4 2 4
4 4
4 4
4 4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
15.
( )( )
( )( )
6 15
36 6 90
6 10 6 9
2 3
3 5 2 3
2 2
2 2
a ax x
a ax x
a x a x
a x a x
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
16.
( ) ( )
( )( )
( )( )
4 7 15
4 7 4 60
4 12 4 5
4
3 4 5
2 2 2
2 2 2
x mnx m n
x mn x m n
x mn x mn
x mn x mn
+ −
= + −
=
+ −
= + −
17.
( ) ( )
( )( )
( )( )
18 17 15
18 17 18 270
270 2
135 5 3 27
27 3 5 2 10
9 3 27 10 17
3 3
18 27 18 10
9 2
1 2 3 9 5
2 2
2 2
3
a ay y
a y a y
a y a y
a y a y
+ −
= + −
=
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −

18.
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + +
= − − −
= − − −
= −
− +
⋅
= − − +
= − +
8 2 15
8 2 15
8 2 8 120
8 12 8 10
4 2
2 3 4 5
3 2 4 5
4 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
19.
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + +
= − − −
= − − −
= −
− +
⋅
= − − +
= − +
25 5 6
25 5 6
25 5 25 150
25 15 25 10
5 5
5 3 5 2
3 5 5 2
8 4
8 4
4 2 4
4 4
4 4
4 4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
20.
( ) ( )
( )( )
( )( )
30 91 30
30 91 30 900
30 100 30 9
10 3
3 10 10 3
10 5
5 2 5
5 5
5 5
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
21.
( ) ( )
( )( )
( )( )
30 17 21
30 17 30 630
630 2
315 5 5 7 35
63 3 2 3 18
21 3 35 18 17
7 7
30 35 30 18
5 6
1 6 7 5 3
2 2
2 2
2
m am a
m a m a
m a m a
m a m a
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
22.
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + −
= − − +
= − − +
= −
− −
⋅
= − − −
= − −
15 16 4
15 16 4
15 16 15 60
15 10 15 6
5 3
3 2 5 2
3 2 2 5
2
2
2
a a
a a
a a
a a
a a
a a
23.
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + −
= − − +
= − − +
= −
− −
⋅
= − − −
= − −
6 11 4
6 11 4
6 11 6 24
6 8 6 3
2 3
3 4 2
4 3 2
2 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
y x y x
y x y x
y x y x
x y y x
24.
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− + −
= − − +
= − − +
⋅ =
⋅ =
⇒ + =
= −
− −
⋅
= − − −
= − −
20 27 9
20 27 9
20 27 20 180
180 2
90 2 2 3 12
45 5 5 3 15
9 3 15 12 27
3 3
20 15 20 12
5 4
1 4 3 5 3
4 3 3 5
2 2
2 2
2 2
2
a ab b
a ab b
a b a b
a b a b
a b a b
a b b a
EJERCICIO 102
1. ( )a a a a3 2 3
3 3 1 1+ + + = +
2. ( )27 27 9 32 3 3
− + − = −x x x x
3. ( )m m n mn n m n3 2 2 3 3
3 3+ + + = +
4. ( )1 3 3 12 3 3
− + − = −a a a a
5. ( )8 12 6 22 4 6 2 3
+ + + = +a a a a
6. ( )125 75 15 1 5 13 2 3
x x x x+ + + = +
7. ( )8 36 54 27 2 33 2 2 3 3
a a b ab b a b− + − = −
8. ( )27 108 144 64 3 43 2 2 3 3
m m n mn n m n+ + + = +
9. x x x No es cubo perfecto3 2
3 3 1− + + =
10. 1 12 6 82 3 3
+ − − =a b ab a b No es cubo perfecto
11. ( )125 150 60 8 5 23 2 2 3 3
a a b ab b a b+ + + = +
12. ( )8 36 54 27 2 32 3 3
+ + + = +x x x x
13. 8 12 642 4 6
− − − =a a a No es cubo perfecto
14. ( )a a b a b b a b6 4 3 2 6 9 2 3 3
3 3+ + + = +
15. ( )x x y x y y x y9 6 4 3 8 12 3 4 3
9 27 27 3− + − = −
16. ( )64 240 300 125 4 53 2 2 3 3
x x y xy y x y+ + + = +
17. ( )216 756 882 343 6 72 4 6 2 3
− + − = −a a a a
18. ( )125 600 960 512 5 812 8 5 4 10 15 4 5 3
x x y x y y x y+ + + = +
19. ( )a a a a18 12 6 6 3
3 3 1 1+ + + = +
20. ( )m am n a mn a n m an3 2 2 2 3 3 3
3 3− + − = −
21. ( )1 18 108 216 1 62 3 4 6 6 9 2 3 3
+ + + = +a b a b a b a b
22. ( )64 240 300 125 4 59 6 4 3 8 12 3 4 3
x x y x y y x y− + − = −

EJERCICIO 103
1. ( )( )1 1 13 2
+ = + − +a a a a
2. ( )( )1 1 13 2
− = − + +a a a a
3. ( )( )x y x y x xy y3 3 2 2
+ = + − +
4. ( )( )m n m n m mn n3 3 2 2
− = − + +
5. ( )( )a a a a3 2
1 1 1− = − + +
6. ( )( )y y y y3 2
1 1 1+ = + − +
7. ( )( )y y y y3 2
1 1 1− = − + +
8. ( )( )8 1 2 1 4 2 13 2
x x x x− = − + +
9. ( )( )1 8 1 2 1 2 43 2
− = − + +x x x x
10. ( )( )x x x x3 2
27 3 3 9− = − + +
11. ( )( )a a a a3 2
27 3 3 9+ = + − +
12. ( )( )8 2 4 23 3 2 2
x y x y x xy y+ = + − +
13. ( )( )27 3 9 33 3 2 2
a b a b a ab b− = − + +
14. ( )( )64 4 16 46 2 2 4
+ = + − +a a a a
15. ( )( )a a a a3 2
125 5 5 25− = − + +
16. ( )( )1 216 1 6 1 6 363 2
− = − + +m m m m
17. ( )( )8 27 2 3 4 6 93 6 2 2 2 4
a b a b a ab b+ = + − +
18. ( )( )x b x b x x b b6 9 2 3 4 2 3 6
− = − + +
19. ( )( )8 27 2 3 4 6 93 3 2 2
x y x y x xy y− = − + +
20. ( )( )1 343 1 7 1 7 493 2
+ = + − +n n n n
21. ( )( )64 729 4 9 16 36 813 2
a a a a− = − + +
22. ( )( )a b x ab x a b abx x3 3 6 2 2 2 2 4
− = − + +
23. ( )( )512 27 8 3 64 24 99 3 3 6
+ = + − +a a a a
24. ( )( )x y x y x x y y6 12 2 4 4 2 4 8
8 2 2 4− = − + +
25. ( )( )1 729 1 9 1 9 816 2 2 4
+ = + − +x x x x
26. ( )( )27 64 3 4 9 12 163 9 3 2 3 6
m n m n m mn n+ = + − +
27. ( )( )343 512 7 8 49 56 643 6 2 2 2 4
x y x y x xy y+ = + − +
28. ( )( )x y y xy y x y xy y3 6 9 2 3 2 4 5 6
216 6 6 36− = − + +
29. ( )( )a b x abx a b x abx3 3 3 2 2 2
1 1 1+ = + − +
30. ( )( )x y x y x x y y9 9 3 3 6 3 3 6
+ = + − +
31. ( )( )1 000 1 10 1 100 10 13 2
. x x x x− = − + +
32. ( )( )a b a b a a b b6 12 2 4 4 2 4 8
125 5 5 25+ = + − +
33. ( )( )x y x y x x y y12 12 4 4 8 4 4 8
+ = + − +
34. ( )( )1 27 1 3 1 3 93 3 2 2
− = − + +a b ab ab a b
35. ( )( )8 729 2 9 4 18 816 2 4 2
x x x x+ = + − +
36. ( )( )a b a b a ab b3 12 4 2 4 8
8 2 2 4+ = + − +
37. ( )( )8 125 2 5 4 10 259 3 6 3 2 6 3 2 2 4
x y z x yz x x yz y z− = − + +
38. ( )( )27 343 3 7 9 21 496 9 2 3 4 2 3 6
m n m n m m n n+ = + − +
39. ( )( )216 6 36 612 4 4 8
− = − + +x x x x
EJERCICIO 104
1. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
1 1 1
1 1 2
3 2
2 2
+ + = + + − + + +
= + + − − + + +
x y x y x y x y
x y x y x xy y
2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
1 1 1
1 1 2
3 2
2 2
− + = − + + + + +
= − − + + + + +
a b a b a b a b
a b a b a ab b
3. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
27 3 9 3
3 9 3 3 2
3 2
2 2
+ − = + − − − + −
= + − − + + − +
m n m n m n m n
m n m n m mn n
4. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
x y x y x y x y
x y x xy y x y
− − = − − − + − +
= − − − + + − +
3 2
2 2
8 2 2 4
2 2 2 2 4
5. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
x y x y x y x y
x y x xy y x y
+ + = + + + − + +
= + + + + − − +
2 1 2 1 2 2 1
2 1 4 4 2 1
3 2
2 2
6. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
1 2 1 2 1 2 2
1 2 1 2 4 4
3 2
2 2
− − = − − + − + −
= − + + − + − +
a b a b a b a b
a b a b a ab b
7. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
3 3 2 2
2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 2 1
2 1 1
+ + = + + − + + +
= + − − + + +
= + + +
8. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
8 1 2 1 4 2 1 1
2 1 4 2 2 2 1
1 7 4 1
3 3 2 2
2 2 2
2
a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a
− − = − − + − + −
= − + + − + − +
= + − +

9. ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
27
3 9 3
3 9 3 3 2
2 13 5
3 3
2 2
2 2 2 2
2 2
x x y
x x y x x x y x y
x x y x x xy x xy y
x y x xy y
− −
= − − + − + −
= − + + − + − +
= + − +
10. ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
2 27
2 3 2 3 2 9
2 3 4 4 6 3 9
3
2
2 2
a b
a b a b a b
a b a ab b a b
− −
= − − − + − +
= − − − + + − +
11. ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
6 3
2 4 2 2
2 4 3 2 2
2 4 3 2
2
2 2 2
2 2 4 4
2 3 4 4
− +
= − + + + + +
= − − + + + + +
= − − + + + +
12. ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
a a
a a a a a a
a a a a a a a
a a a
+ + −
= + + − + − − + + −
= − + + − + + + − +
= − − +
1 3
1 3 1 3 1 3
2 2 2 1 2 3 6 9
2 2 2 13
3 3
2 2
2 2 2
2
13. ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )
( ) ( )
x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
− − +
= − − + − + − + + +
= − − − − + + + − + + +
= − + + = − + +
1 2
1 2 1 1 2 2
1 2 2 1 2 4 4
3 3 3 3 9 1
3 3
2 2
2 2 2
2 2
14. ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )
x y x y
x y x y x xy y x y x xy y
y x y
− − +
= − − + − + − + + +
= − − − − + + − + + +
= − +
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 3
15. ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
m m
m m m m m m
m m m m m m m m
m m m
− + −
= − + − − − − − + −
= − + − − + − + − + − +
= − − +
2 3
2 3 2 2 3 3
2 3 4 4 5 6 6 9
2 5 5 7
3 3
2 2
2 2 2
2
16. ( ) ( )
( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
2 3
2 3 2 2 3 3
2 3 4 4 6 9 6
5 7 3 3
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
x y x y
x y x y x xy y x xy y x xy y
x x xy y
− + +
= − + + − − − + + +
= − + + − + − + + + + +
= + +
17. ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
8
2 4 2
2 2 4 8 4 2 2 2
3 3 6 7
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
a b a b
a b a b a ab b a b a ab b
a b a ab b
+ + −
= + + − + − + − + −
= + + − + + − + + − +
= + + +
18. ( )
( )[ ] ( ) ( )( )[ ]
( )( )
64 125
4 5 16 4 5 25
4 4 5 16 32 16 20 20 25
3
2
2 2
m n
m n m n m n
m n m mn n m n
+ −
= + − + + + +
= + − + + + + +
EJERCICIO 105
1. ( )( )a a a a a a5 4 3 2
1 1 1+ = + − + − +
2. ( )( )a a a a a a5 4 3 2
1 1 1− = − + + + +
3. ( )( )1 1 15 2 3 4
− = − + + + +x x x x x x
4.
( )( )
a b
a b a a b a b a b a b ab b
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
+
= + − + − + − +
5.
( )( )
m n
m n m m n m n m n m n mn n
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
−
= − + + + + + +
6. ( )( )a a a a a a5 4 3 2
243 3 3 9 27 81+ = + − + − +
7. ( )( )32 2 16 8 4 25 2 3 4
− = − + + + +m m m m m m
8. ( )( )1 243 1 3 1 3 9 27 815 2 3 4
+ = + − + − +x x x x x x
9.
( )( )
x
x x x x x x x
7
6 5 4 3 2
128
2 2 4 8 16 32 64
+
= + − + − + − +
10. ( )( )243 32 3 2 81 54 36 24 165 2 3 4
− = − + + + +b b b b b b
11. ( )( )a b c a bc a a bc a b c ab c b c5 5 5 4 3 2 2 2 3 3 4 4
+ = + − + − +
12.
( )( )
m a x
m ax m m ax m a x m a x m a x ma x a x
7 7 7
6 5 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6
−
= − + + + + + +
13. ( )( )1 1 17 2 3 4 5 6
+ = + − + − + − +x x x x x x x x
14.
( )( )
x y
x y x x y x y x y x y xy y
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
−
= − + + + + + +
15.
( )( )
a
a a a a a a a
7
6 5 4 3 2
2 187
3 3 9 27 81 243 729
+
= + − + − + − +
.
16. ( )( )1 128 1 2 1 2 4 8 16 32 647 2 3 4 5 6
− = − + + + + + +a a a a a a a a
17. ( )( )x y x y x x y x y x y y10 5 2 8 6 4 2 2 3 4
32 2 2 4 8 16+ = + − + − +
18.
( )( )
1 128
1 2 1 2 4 8 16 32 64
4
2 2 4 6 8 10 12
+
= + − + − + − +
x
x x x x x x x

EJERCICIO 106
1. ( )5 5 12
a a a a+ = +
2. ( )m mx x m x2 2 2
2+ + = +
3. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a a ab b a a ab b
a a b a
a a b
2 2
1 1
1
+ − − = + − −
= + − +
= + −
4. ( )( )x x x x2 2 2
36 6 6 6− = − = + −
5. ( )9 6 32 2 2
x xy y x y− + = −
6. ( )( )x x x x2
3 4 1 4− − = − +
7.
( )( )
( )( )
6 2
36 6 12
6 4 6 3
3 2
3 2 2 1
2
2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
8. ( )( )1 1 13 2
+ = + − +x x x x
9. ( )( )27 1 3 1 9 3 13 2
a a a a− = − + +
10. ( )( )x m x m x x m x m xm m5 5 4 3 2 2 3 4
+ = + − + − +
11. ( )a a b ab a a ab b3 2 2 2 2
3 5 3 5− + = − +
12.
( ) ( ) ( )( )
2 6 3
2 3 3 3 2
xy y xz z
y x z x x y z
− + −
= − + − = − +
13. ( )1 4 4 1 22 2
− + = −b b b
14.
( )
( )( )
4 3
4 4
2
2 2
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
15.
( )
( )( )
x x y y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
8 4 4 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
6
2 4
2 4
4
2 2
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
16. ( )( )a a a a2
30 6 5− − = − +
17.
( )
( )( )
( )( )
15 11 14
225 11 15 210
15 21 15 10
3 5
5 7 3 2
2
2
m m
m m
m m
m m
+ −
= + −
=
+ −
⋅
= + −
18. ( )( )a a a a6 2 4 2
1 1 1+ = + − +
19. ( )( )8 27 2 3 4 6 93 6 2 2 2 4
m y m y m my y− = − + +
20. ( )16 24 9 4 32 2 2
a ab b a b− + = −
21. ( )( )1 1 17 2 3 4 5 6
+ = + − + − + − +a a a a a a a a
22. ( )8 12 6 1 2 13 2 3
a a a a− + − = −
23. ( )( )1 1 12
− = + −m m m
24. ( )( )x x x x4 2 2 2
4 21 7 3+ − = + −
25. ( )( )125 1 5 1 25 5 16 2 4 2
a a a a+ = + − +
26.
( ) ( )( )
a ab b m
a b m a b m a b m
2 2 2
2 2
2+ + −
= + − = + + + −
27. ( )8 16 24 8 1 2 32 3 2 2 2
a b a b a b a b a b+ − = + −
28.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
x x x
x x x x x x x x
5 4
5 4 4 4
1
1 1 1 1 1
− + −
= − + − = − + − = + −
29.
( )
( )( )
( )( )
6 19 20
36 19 6 120
120 2
60 2 2 3 24
30 2 5 1 5
15 3 24 5 19
5 5
6 24 6 5
6
1 4 6 5
2
2
3
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
= + −
30. ( )( )25 81 5 9 5 94 2 2 2
x y x y x y− = + −
31. ( )( )1 1 13 2
− = − + +m m m m
32.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x a xy y ab b
x xy y a ab b
x y a b
x y a b x y a b
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
− + + + −
= + + − − +
= + − −
= + + − + − +
33. ( )21 7 7 7 7 3 15 4 2 3 3 2 2 3 2 2
m n m n m n m n m n m m n mn− + − = − + −
34. ( ) ( ) ( ) ( )( )a x b x c x a b c x+ − + + + = − + +1 1 1 1
35. ( ) ( ) ( )4 4 2
2 2
+ − + − = + −x y x y x y
36. ( )( )1 1 12 4 2 2
− = + −a b ab ab
37. ( )b ab a b a2 2 2
12 36 6+ + = +
38. ( )( )x x x x6 3 3 3
4 77 11 7+ − = + −

39.
( ) ( )
( )( )
( )( )
15 17 4
15 17 15 60
15 20 15 3
5 3
3 4 5 1
4 2
2 2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=
− +
⋅
= − +
40. ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
1 3
1 3 1 3 3
1 3 1 3 6 9
3
2
2 2
+ −
= + − − − + −
= + − − + + − +
a b
a b a b a b
a b a b a ab b
41.
( )
( )( )
x x
x x
x x x
x x
x x x x
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
25
9 9
10 25 9
5 9
3 5 3 5
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
42.
( )
( )( )
a a
a a
a a a
a a
a a a a
8 4
4 4
8 4 4
4 2 4
4 2 4 2
28 36
16 16
12 36 16
6 16
4 6 4 6
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
43. ( )( )343 8 7 2 49 14 43 2
+ = + − +a a a a
44. ( )12 15 3 4 52 2 2
a bx a by a b x y− = −
45. ( )( )x xy y x y x y2 2
2 15 5 3+ − = + −
46.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
6 4 2 3
6 3 4 2
3 2 1 2 2 1
3 2 2 1
am an n m
am m an n
m a n a
m n a
− − +
= + − +
= + − +
= − +
47. ( )( )81 4 9 2 9 26 2 8 3 4 3 4
a b c a bc a bc− = + −
48. ( ) ( )( )16 2 4 2 4 2
2
− + = + + − −a b a b a b
49.
( )
( )( )
( )( )
20
20
5 4
5 4
2
2
− −
= − + −
= − + −
= + −
x x
x x
x x
x x
50. ( )( )n n n n2
42 7 6+ − = + −
51.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a d n c an cd
a an n c cd d
a n c d
a n c d a n c d
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
− + − − −
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
52. ( )( )1 216 1 6 1 6 369 3 3 6
+ = + − +x x x x
53 ( )( )x x x x3 2
64 4 4 16− = − + +
54. ( )x x x x3 4 3
64 1 64− = −
55. ( )18 36 54 18 2 35 3 4 3 2 8 2 3 3 2 5
ax y x y x y x y ax x y− − = − −
56. ( )49 14 1 7 12 2
a b ab ab− + = −
57. ( ) ( )( ) ( )( )x x x x x+ − = + + + − = + −1 81 1 9 1 9 10 8
2
58. ( ) ( )( )a b c a b c a b c2 2
− + = + + − −
59. ( ) ( ) ( )m n m n m n+ − + + = + −
2 2
6 9 3
60.
( ) ( )
( )( )
( )( )
7 31 20
7 31 7 140
140 2
70 2 7 5 35
35 5 2 4
7 7 35 4 31
1
7 35 7 4
7
5 7 4
2
2
2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
⋅ =
=
⇒ − =
=
+ −
= + −
64.
( )
( )( )
1 27
25 25
1 2 25
1 25
1 5 1 5
2 4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
b b
b b
b b b
b b
b b b b
66. ( )( )c d c d c d4 4 2 2 2 2
4 2 2− = + −
67. ( )15 15 20 5 3 3 44 3 2 2 2
x x x x x x− + = − +
68.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
a x a x
a x a x a x a x a x a x a x
2 2
2 2
1
− − −
= − − + = + − − + = + − −
61.
( )
9 63 45
9 7 5
3 2
2
a a a
a a a
+ −
= + −
62.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
ax a x
ax a x
a x x
a x
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
1
1
1 1
1 1
63.
( )
81 25 90
81 90 25
9 5
4 2 2
4 2 2
2 2
x y x y
x x y y
x y
+ −
⇒ − +
= −
65.
( )
( )( )
m m n n
m n m n
m m n n m n
m n m n
m mn n m mn n
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
69.
( )( )
x x
x x
4 2
2 2
8 240
240 4
60 4 4 5 20
15 3 4 3 12
5 5 20 12 8
1 20 12
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
70.
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 7 20
6 7 6 120
120 4
30 3 4 2 8
10 5 5 3 15
2 2 15 8 7
1
6 15 6 8
3 2
2 5 3 4
4 2
2 2 2
2 2
2 2
m m
m m
m m
m m
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −

71.
( )
9 4 12 9 12 4
3 2
2 2 2 2
2
n a an n an a
n a
+ − ⇒ − +
= −
72. ( )2 2 2 12 2
x x+ = +
73. ( ) ( ) ( )( )7 1 3 1 7 3 1a x y b x y a b x y+ − − + − = − + −
74. ( )( )x x x x2
3 18 6 3+ − = + −
75. ( ) ( ) ( )( )a m b n a m b n a m b n+ − + = + + + + − −
2 2
76 ( )x x y xy y x y3 2 2 3 3
6 12 8 2+ + + = +
77.
( ) ( )
( )( )
( )( )
8 22 21
8 22 8 168
168 4
42 2 3 2 6
21 3 4 7 28
7 7 28 6 22
1
8 28 8 6
4 2
2 7 4 3
2
2
a a
a a
a a
a a
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
78. ( )1 18 81 1 92 2 2
+ + = +ab a b ab
79. ( )( )4 1 2 1 2 16 3 3
a a a− = + −
80.
( )( )
x x
x x
6 3
3 3
4 480
480 4
120 3 5 4 20
40 4 4 3 2 24
10 5 24 20 4
2 2 24 20
1
− −
⋅ =
⋅ ⋅ =
⇒ − =
= − +
81.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
ax bx b a by ay
ax ay a bx by b
a x y b x y
a b x y
− + − − +
= + − − + −
= + − − + −
= − + −
1 1
1
82
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
6 3 2 1
6 3 2 1
3 2 1 2 1 3 1 2 1
am m a
am m a
m a a m a
− − +
= − − −
= − − − = − −
83.
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
15 14 8
8 14 15
8 14 8 120
120 4
30 3 4 5 20
10 5 3 2 6
2 2 20 6 14
1
8 20 8 6
4 2
2 5 4 3
5 2 4 3
2
2
2
+ −
= − − −
= − − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= −
− +
⋅
= − − +
= − +
x x
x x
x x
x x
x x
x x
84. ( )a a a a a a a a10 8 6 4 4 6 4 2
1− + + = − + +
85. ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 1 1 1 2 1x a a x a a a x− − + = − − − = − −
86.( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )m n m n n m n m n m n n m n m n+ − + − = − + + = − +3 3 4
87.
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
a b b x a x
b b x a a x
b x a x x a b
2 3 3 2 2 2
3 3 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 3
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
− + −
= − − + −
= − − + − = − −
88.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 3 3 2
2 3 3 2
2 3 3 2
2 3 2 3
2 3 1
am b c cm bm a
am cm bm b c a
m a c b b c a
m a b c a b c
a b c m
− − − − +
= − − − + −
= − − − + −
= − − + − −
= − − +
91. ( ) ( )( ) ( )( )81 9 9 10 82 2
x a x x a x x a x x a x a− + = + + − − = + −
92.
( ) ( ) ( )( )
a a x
a a x a x a x a x
2 2
2 2 2 2
9 6 16
6 9 16 3 16 3 4 4 3
+ − −
= − + − = − − = − + − −
93.
( ) ( ) ( )( )
9 4 4
9 4 4 9 2 3 2 3 2
2 2
2 2 2 2
a x x
a x x a x a x a x
− − +
= − − + = − − = + − − +
94.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
9 3
9 3 3 3 3 3 3 1
2 2
2 2
x y x y
x y x y x y x y x y x y x y
− + −
= − + − = + − + − = − + +
95. ( )( )x x x x2
72 9 8− − = − +
96.
( )
( )( )
36 120 49
36 36
36 84 49 36
6 7 36
6 6 7 6 6 7
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a a b b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
97.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
a m n mn ab b
a ab b m mn n
a b m n
a b m n a b m n
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
9 6 4 4
4 4 6 9
2 3
2 3 2 3
− − − + +
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
98. 1
4
9
1
2
3
1
2
3
8 4 4
− = +





 −





a a a
99.
( )
( )( )
81 64
144 144
81 144 64 144
9 8 144
9 12 8 9 12 8
8 12
4 6 4 6
8 4 6 12 4 6
4 6 2 4 6
4 2 3 6 4 2 3 6
a b
a b a b
a a b b a b
a b a b
a a b b a a b b
+
+ −
+ + −
= + −
= − + + +
89. x x x2
2
2
3
1
9
1
3
− + = −






90.
( )( )
4
2 2
2 4
2 2
a b
a b a b
n n
n n n n
−
= + −
101.
( )
( )( )
( )( )
x abx a b
a b a b
x abx a b a b
x ab a b
x ab ab x ab ab
x ab x ab
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 35
36 36
2 36
36
6 6
5 7
− −
+ −
− + −
= − −
= − + − −
= + −
100.
( ) ( )
( )( )
( )( )
49 77 30
49 77 49 1 470
1 470 7
210 7
30 5
6 6 7 5 35
1 7 6 42
42 35 77
49 35 49 42
7 7
7 5 7 6
2
2
x x
x x
x x
x x
− +
= − +
⋅ =
⋅ =
⇒ + =
=
− −
⋅
= − −
.
.

102. ( )125 225 135 27 5 33 2 3
x x x x− + − = −
103. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
a a
a a a a a
− − +
= − + + − − − = + −
2 3
2 3 2 3 2 1 5
2 2
104.
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
4 12 5 15
4 12 5 15
4 3 5 3 3 4 5
2 2
2 2
2 2
a m a n bm bn
a m a n bm bn
a m n b m n m n a b
+ − −
= + − +
= + − + = + −
105. ( )1 6 9 1 33 6 3 2
+ + = +x x x
106. ( )( )a a b b a b a b4 2 2 2 2
3 40 8 5+ − = + −
107. ( )( )m a x m ax m axm a x3 3 3 2 2 2
8 2 2 4+ = + − +
108.
( )[ ]
( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
1 9 24 16
9 24 16 1
3 4 1
3 4 1 3 4 1
3 4 1 1 4 3
2 2
2 2
2
− + −
= − − + −
= − − −
= − − + − −
= − + + −
x xy y
x xy y
x y
x y x y
x y y x
109.
( ) ( )
( )( )
( )( )
1 11 24
24 11 24 24
24 8 24 3
8 3
3 1 8 1
2
2
+ +
= + +
=
+ +
⋅
= + +
x x
x x
x x
x x
110. ( )9 27 9 9 1 32 3 3 3 5 3 2 3 3
x y x y x y x y x x− − = − −
111. ( )
( )( )
a b c x y
a b c xy a b c xy
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
9
3 3
+ − −
= + − + + − −
112. ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
8 1 1
2 1 1 4 1 2 1 1
2 2 1 4 8 4 2 2 1
2 1 4 10 7
3
2
2
2
a
a a a
a a a a
a a a
+ −
= + − + + + +
= + − + + + + +
= + + +
113.
( )( )
100 121
10 11 10 11
4 6 4
2 3 2 2 3 2
x y m
x y m x y m
−
= + −
114. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
a a
a a a a
2 2 2
2 2 2 2
1 5 1 24
1 8 1 3 9 2
+ + + −
= + + + − = + −
115. ( )( )1 1 000 1 10 1 10 1006 2 2 4
+ = + − +. x x x x
116.
( )[ ]
( )[ ]
( )( )
( )( )
49 9 6
6 9 49
3 49
7 3 7 3
7 3 7 3
2 2 2
2 2 2
2 2
a x y xy
x xy y a
x y a
a x y a x y
a x y a x y
− − +
= − − + −
= − − −
= − + − − + −
= + − − +
117.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x y x yz z
x x y yz z
x y z
x y z x y z
4 2 2 2
4 2 2 2
2 2 2
2 2
4 4 4 4
4 4 4 4
2 2
2 2 2 2
− + + − −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
118. ( )( )a a a a3 2
64 4 4 16− = − + +
119. ( )( )a x a x a a x a x ax x5 5 4 3 2 2 3 4
+ = + − + − +
120. ( )( )a a b b a b a b6 3 2 3 3
3 54 9 6− − = − +
121.
( )
( )( )
( )( )
165 4
4 165
165 5
33 3 5 3 15
11 11 11 1 11
1 15 11 4
15 11
15 11
2
2
+ −
= − − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − − +
= − +
x x
x x
x x
x x
122.
( )
( )( )
a a
a a
a a a
a a
a a a a
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
1
2 1
1
1 1
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
123.
x y x y x y2 6 3 3
4 81 2 9 2 9
− = +





 −






124. 16
8
5 25
4
5
2
2 2
x
xy y
x
y
+ + = +






125.
( )
( )( )
( )( )
a b a b
a b a b
a b
a b a b
a b a b
4 4 2 2
4 4 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 96
100 100
4 4 100
2 100
2 10 2 10
12 8
+ −
+ −
+ + −
= + −
= + + + −
= + −

126.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
8 7 21 7 8 24
7 21 7 8 8 24
7 1 3 8 1 3
1 3 7 8
2 3 2
2 3 2
2
2
a x y by ay a x a bx
y by ay a x a x a bx
y b a a x a b
b a y a x
+ + − − +
= + − + − +
= + − + − +
= + − +
127.
( )( )
x x
x x
4 2
2 2
11 390
390 3
130 2 13 2 26
65 5 5 3 15
13 13 26 15 11
1 26 15
+ −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= + −
128.
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
7 33 10
10 33 7
10 33 10 70
10 35 10 2
5 2
2 7 5 1
7 2 5 1
2
2
2
+ −
= − − −
= − − −
= −
− +
⋅
= − − +
= − +
m m
m m
m m
m m
m m
m m
129. ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
4 9
2 3 2 3
2 2 3 3 2 2 3 3
2 2
a b c d
a b c d a b c d
a b c d a b c d
+ − +
= + + + + − +
= + + + + − −
130. ( )( )729 125 9 5 81 45 253 12 4 4 2 8
− = − + +x y xy xy x y
131. ( ) ( ) ( ) ( )( )x y x y x y x y x y x y+ + + = + + + = + + +
2 2
1
132. ( )
( )
( )
( )( )
4 2
4 2
4 2
4 2
4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
− + +
− − +
+ −
− + −
= − − +
= − −
= + − − +
a b ab
a b ab
b b
a ab b
a ab b
a b
a b a b
133.
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
x y x y
x y x y
x y x xy y x y x y x xy y
3 3
3 3
2 2 2 2
1
− + −
= − + −
= − + + + − = − + + +
134.
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
a b a b
a b a b
a b a b a b a ab b
a b a b a ab b
2 2 3 3
2 2 3 3
2 2
2 2
− + −
= − + −
= + − + − + +
= − + + + +
EJERCICIO 107
1.
( ) ( )( )
3 3
3 1 3 1 1
2
2
ax a
a x a x x
−
= − = + −
2.
( ) ( )( )
3 3 6
3 2 3 2 1
2
2
x x
x x x x
− −
= − − = − +
3.
( )
( ) ( )( )
2 4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
a x abx b x
x a ab b
x a b x a b a b
− +
= − +
= − = − −
4.
( ) ( )( )
2 2
2 1 2 1 1
3
3 2
a
a a a a
−
= − = − + +
5.
( ) ( )( )
a a a
a a a a a a
3 2
2
3 28
3 28 7 4
− −
= − − = − +
6.
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x x x
3 2
3 2
2
2
4 4
4 4
1 4 1
4 1 2 2 1
− + −
= + − +
= + − +
= − + = + − +
7.
( )
( )( )
3 3
3
3
3 3
3 3
2 2
ax ay
a x y
a x y x xy y
+
= +
= + − +
8.
( ) ( )
4 4
4 4 2
2 2
2 2 2
ab abn an
a b bn n a b n
− +
= − + = −
9.
( )( )
( )( )( )
x x
x x
x x x
4 2
2 2
2
3 4
4 1
2 2 1
− −
= − +
= + − +
10.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
a a a
a a a
a a a
a a
a a a
3 2
3 2
2
2
1
1
1 1
1 1
1 1 1
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= − + −
11.
( ) ( )
2 4 2
2 2 1 2 1
2
2 2
ax ax a
a x x a x
− +
= − + = −
12.
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
x x x y y
x x x y y
x x y x
x x y x x x y
3 2
3 2
2 2
2
1 1
1 1 1
− + −
= − + −
= − + −
= − + = + − +
13.
( ) ( )( )
2 6 8
2 3 4 2 4 1
3 2
2
a a a
a a a a a a
+ −
= + − = + −
14.
( ) ( )
16 48 36
4 4 12 9 4 2 3
3 2 2
2 2 2
x x y xy
x x xy y x x y
− +
= − + = −
15.
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
3 3
3 3
3 3
3 3
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2
2 2
x x y xy y
x x y xy y
x x y y x y
x y x y x y x y x y
− − +
= − − −
= − − −
= − − = − + −
16.
( ) ( )( )
5 5
5 1 5 1 1
4
3 2
a a
a a a a a a
+
= + = + − +

17.
( )
( )
( )( )
( )( )
6 2
6 2
36 6 12
6 4 6 3
2 3
3 2 2 1
2
2
2
ax ax a
a x x
a x x
a x x
a x x
− −
= − −
= − −
=
− +
⋅
= − +
18.
( )( ) ( )( )( )
n
n n n n n
4
2 2 2
81
9 9 3 3 9
−
= − + = + − +
19.
( ) ( )( )
8 2
2 4 1 2 2 1 2 1
2
2
ax a
a x a x x
−
= − = − +
20.
( ) ( )( )
ax ax ax
ax x x ax x x
3 2
2
10 25
10 25 5 5
+ +
= + + = + +
21.
( )
( )
( )
( )[ ]
( )( )
( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
3 2
2
2
2
2 2
6 7
6 7
6 7 16 16
6 9 16
3 4
3 4 3 4
1 7
− −
= − −
= − − + −
= − + −
= − −
= − + − −
= + −
22.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
m m m
m m m
m m m
m m
m m m
3 2
3 2
2
2
3 16 48
3 16 48
3 16 3
3 16
3 4 4
+ − −
= + − +
= + − +
= + −
= + − +
23.
( ) ( )( )( )
x x y xy y
x y x y x y x y
3 2 2 3
3
6 12 8
2 2 2 2
− + −
= − = − − −
24. ( )( ) ( )
( )( )
( )( )( )
a b a b a b
a b a b
a b a b a b
+ − − −
= − + −
= + − + −
2 2 2 2
2 2
1
1
25.
( )
( )
( )( )
32 48 18
2 16 24 9
2 4 3
2 4 3 4 3
5 3 2
4 2 2
2 2
2 2
a x a bx ab x
ax a a b b
ax a b
ax a b a b
− +
= − +
= −
= − −
26.
( )
( ) ( )[ ] ( )( )[ ]
x x x x
x x x x
x x x x x x x
4 3 2
3 2
2 2
1
1 1 1 1
− + −
= − + −
= − + − = − +
27.
( )
( )( )
( )( )
( )( )
4 32 36
16 32 4 144
144 2
72 2 2 4
36 4 4 3 3 36
9 3 36 4 32
3 3
4 36 4 4
4
1 9 4 4
4 9 1
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=
⋅ ⋅ =
⇒ − =
=
+ −
= + −
= + −
28. ( )
( )( )
( )( )( )
a a
a a a a
a a a a
4 2
2 2
2
2
2 2
2 2 1
− +
= + + − −
= + + − +
29.
( )( )
( )( )( )
x x
x x
x x x x
6 3
3 3
2 3
25 54
27 2
3 3 9 2
− −
= − +
= − + + +
30.
( )
( )( )
a a
a a
a a a a a a
6
5
4 3 2
1
1 1
+
= +
= + − + − +
31.
( )
( )[ ]
( )( )
a b a bx abx aby
ab a ax x y
ab a x y
ab a x y a x y
3 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
+ + −
= + + −
= + −
= + + + −
32.
( )
( )( )
3 3
3 1
3 1 1
2
2
abm ab
ab m
ab m m
−
= −
= + −
33.
( )
( )( )
81 3
3 27
3 3 9 3
4 4
3 3
2 2
x y xy
xy x y
xy x y x xy y
+
= +
= + − +
34.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
a a a
a a a
a a a
a a
a a a a
4 3
4 3
3
3
2
1
1
1 1
1 1
1 1 1
− + −
= − + −
= − + −
= − +
= − + − +
35.
( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
− −
= − −
= − + −
= − + −
=
− + −
⋅
= − + −
= + −
3 18
1 3 18
18 3 1
18 3 18 18
18 6 18 3
6 3
3 1 6 1
3 1 1 6
2 3
2
2
2
36.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 2 6 2
6 2 6 2
2 3 2 3
3 2 2
2 3
2
2
ax bx ab b
ax bx ab b
x a b b a b
a b x b
x b a b
− + −
= − + −
= − + −
= − +
= + −
37.
( )
( )( )
am am am
am m m
am m m
3 2
2
7 12
7 12
4 3
− +
= − +
= − −
38.
( )
( )( )
4 4
4 1
4 1 1
2 3 2
2 3
2 2
a x a
a x
a x x x
−
= −
= − + +
39.
( )
( )( )
28 7
7 4
7 2 2
3 3
2 2
x y xy
xy x y
xy x y x y
−
= −
= − +
40.
( )
( )( )
3 3 18
3 6
3 3 2
2
2
abx abx ab
ab x x
ab x x
− −
= − −
= − +
41.
( )( )
( )( )( )
x x
x x
x x x
4 2
2 2
2
8 128
128 4
32 4 4 4 16
8 4 4 2 8
2 2 16 8 8
1 16 8
4 4 8
− −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
= − +
= + − +
42.
( )
( )( )
18 60 50
2 9 30 25
2 3 5 3 5
2 2 3
2 2
x y xy y
y x xy y
y x y x y
+ +
= + +
= + +

43. ( )( ) ( )
( )( )
( )( )( )
x xy a y a
a x xy y
a x y x y
2 2
2 2
2 1 1
1 2
1
− + + +
= + − +
= + − −
44.
( )
( )( )
x x y xy
x x xy y
x x y x y
3 2 2
2 2
2 3
2 3
3
+ −
= + −
= + −
45.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
a x b x a y b y
a x b x a y b y
x a b y a b
a b x y
a b a b x y
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 2 8
4 2 8
4 2 4
4 2
2 2 2
− + −
= − + −
= − + −
= − +
= − + +
46.
( )
( )( )
45 20
5 9 4
5 3 2 3 2
2 4 2
2 4
2 2 2
a x a
a x
a x x
−
= −
= + −
47. ( )
( )( )
( )( )( )
a a
a a a a
a a a a
4 2
2 2
2
12
12 12
4 3 12
− −
= + − − +
= + − − +
48.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
bx b x
bx x b
x b b
b x
b x x
2 2
2 2
2
2
1
1
1 1
1 1
1 1 1
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= − + −
49.
( )
( )( )
2 6 56
2 3 28
2 7 4
4 3 2
2 2
2
x x x
x x x
x x x
+ −
= + −
= + −
50.
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
30 55 50
30 55 30 1 500
1 500 2
750 2 5 2 20
375 5 5 3 75
75 5 75 20 55
15 5
30 75 30 20
15 2
3 3 2 5 15 10
1 5 2 5 3 2
2
2
2
2
a a
a a
a a
a a
a a
− −
= − −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− +
⋅
= − +
= − +
.
.
51. ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )( )( )
9
9 1
3 1 3 1
3 3 1 3 3 1
3
2
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y x y x y
− − −
= − − −
= − − + − −
= − − + − −
52.
( )
( )
( )( )
( )( )
6 9
6 9
6 9
3 3
3 3
2 3 2
2 2
2 2
a x a ax
a ax a x
a x ax a
a x a x a
a a x x a
− −
= − −
= − − +
= − − −
= − −
53.
( )
( )( )
64 125
64 125
4 5 16 20 25
4
3
2
a a
a a
a a a a
−
= −
= − + +
54.
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
70 26 24
2 35 13 12
2 35 13 35 420
420 2
210 2
105 5
21 3
7 7
1
2 7 28
3 5 15
28 15 13
35 28 35 15
7 5
2 5 4 7 3
4 3 2
2 2
2 2
2
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
+ −
= + −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
⋅
= + −
55.
( )
( )( )
a a a
a a a
a a a
7 6 3
3 4 3
3 2 2
6 55
6 55
11 5
+ −
= + −
= + −
56.
( )
( )
16 56 49
16 56 49
4 7
5 3 3 5
4 2 2 4
2 2 2
a b a b ab
ab a a b b
ab a b
− +
= − +
= −
57.
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
7 32 15
7 32 15
7 32 7 105
105 5
21 3 5 7 35
7 7 3 1 3
1 35 3 32
7 35 7 3
7
5 7 3
6 2 4 4 2
2 4 2 2 4
2 2 2 2 2 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x a x a x
x x a x a
x x a x a
x x a x a
x x a x a
+ −
= + −
= + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
+ −
= + −
58.
( )( )
( ) ( )
( )( )
x x y
x xy x xy
x x y x x y
x x y x y
m n
m n m n
m n m n
m n m n
2 2 2 2
1 1
2
+
+ +
−
= + −
= + −
= + −
59.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
2 5 54 135
2 54 5 135
2 27 5 27
27 2 5
3 3 9 2 5
4 3
4 3
3 3
3
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
+ − −
= − + −
= − + −
= − +
= − + + +
60.
( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )( )
ax ax y axy ax axy ay
a x x y xy x xy y
a x x y xy x xy y
a x x xy y x xy y
a x x xy y
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
+ + − − −
= + + − − −
= + + − + +
= + + − + +
= − + +
61.( )
( )[ ]( )[ ]
( )( )( )
x y
x y x y
x xy y x y x y
+ −
= + + + −
= + + + + + + −
4
2 2
2 2
1
1 1
2 1 1 1
62.
( )
( )
( )[ ]
( )[ ]
( )( )
3 3 3
3 1
3 1
3 2 1
3 1
3 1 1
5 3
4 2
4 2 2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
a a a
a a a
a a a a a
a a a a
a a a
a a a a a
+ +
= + +
= + + + −
= + + −
= + −
= + + − +

EJERCICIO 108
1.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
8
4 4
4 2 2
4 2
−
= + −
= + + −
= + + + −
a
a a
a a a
a a a a
2.
( )( )
( )( )( )( )
a
a a
a a a a a a
6
3 3
2 2
1
1 1
1 1 1 1
−
= + −
= + − + − + +
3.
( )( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x x x
4 2
2
2
2 2
41 400
400 4
100 5 4 16
20 5 5 25
4 4 25 16 41
1 25 16
5 5 4 4
− +
=
=
⇒ + =
= − −
= + − + −
4.
( )
( )( )[ ] ( ) ( )
a a b b
a b
a b a b a b a b
4 2 2 4
2 2 2
2 2 2
2− +
= −
= + − = + −
5.
( )
( )( )
( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x x
5 3
4 2
2 2
2
2
2
2 1
2 1 1
+ −
= + −
= + −
= + + −
6.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
2 6 2 6
2 6 2 6
2 3 2 3
2 2 3
2 1 3
2 1 1 3
4 3
4 3
3
3
3
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x x
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= − + + +
7.
( )
( )( )
( )( )( )
3 243
3 81
3 9 9
3 9 3 3
4
4
2 2
2
x
x
x x
x x x
−
= −
= + −
= + + −
8.
( )
( )( )[ ]
( )( )( )( )
16 8
4
2 2
2 2 2 2
4 2 2 4
2 2 2
2
x x y y
x y
x y x y
x y x y x y x y
− +
= −
= + −
= + − + −
9.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
9 9
9 9
9
9
9 1
3 1 3 1
4 3 2
4 3 2
3
3
2
x x y x xy
x x y x xy
x x y x x y
x x x y
x x x y
x x x x y
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
10.
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )( )
12 33 9
3 4 11 3
3 4 11 4 12
3 4 12 4 1
4
3 3 4 1
3 3 2 1 2 1
4 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2
ax ax a
a x x
a x x
a x x
a x x
a x x x
+ −
= + −
= + −
=
+ −
= + −
= + + −
11.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x y
x y x y
x y x y x y
x y x y x y x y
8 8
4 4 4 4
4 4 2 2 2 2
4 4 2 2
−
= + −
= + + −
= + + + −
12.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x x x
x x x x x x
6 3
3 3
2 3
2 2
7 8
8 1
2 2 4 1
2 2 4 1 1
− −
= − +
= − + + +
= − + + + − +
13.
( )( )
( )( )( )( )
64
8 8
2 4 2 2 4 2
6
3 3
2 2
−
= + −
= + − + − + +
x
x x
x x x x x x
14.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
a a b a b b
a a b a b b
a a b b a b
a b a b
a b a b a b a ab b
5 3 2 2 3 5
5 3 2 2 3 5
3 2 2 3 2 2
2 2 3 3
2 2
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= + − − + +
15.
( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( ) ( )( )( )
8 6 2
2 4 3 1
2 4 3 4 4
2 4 4 4 1
4
2 1 4 1 2 1 2 1 2 1
4 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2 2
x x
x x
x x
x x
x x x x x
+ −
= + −
= + −
=
+ −
= + − = + + −
16
( )( )
( )( )( )( )
a a
a a
a a a a
4 2
2
2
2 2
25 144
144 4
36 4 4 16
9 3 3 9
3 3 16 9 25
1
16 9
4 4 3 3
− +
=
=
⇒ + =
= − −
= + − + −
17.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
a x a y ax ay
a x a y ax ay
a x y a x y
a a x y
a a x y x xy y
2 3 2 3 3 3
2 3 2 3 3 3
2 3 3 3 3
2 3 3
2 2
2 2
2 2
2
2
2
− + −
= − + −
= − + −
= + −
= + − + +
18.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
a a a a
4 3 2
4 3 2
3
3
2
2 2
2 2
2 2
2
1 2
1 1 2
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
19.
( )
( )( )[ ]
( ) ( )
1 2
1
1 1
1 1
3 6
3 2
2
2
2 2 2
− +
= −
= − + +
= − + +
a a
a
a a a
a a a
20.
( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
( )( )( )( )
m
m m m
m m m m m m
m m m m m
m m m m
m m m m m m
6
2 4 2
4 2 2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
729
9 9 81
3 3 9 81 9 9
3 3 18 81 9
3 3 9 9
3 3 3 9 3 9
−
= − + +
= + − + + + −
= + − + + −
= + − + −
= + − + + − +
21.
( )
( )( )
( )( )( )
x x
x x
x x x
x x x x
5
4
2 2
2
1
1 1
1 1 1
−
= −
= + −
= + + −

22.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
x x y x y y
x x y x y y
x x y y x y
x y x y
x y x xy y x y x y
5 3 2 2 3 5
5 3 2 2 3 5
3 2 2 3 2 2
3 3 2 2
2 2
− + −
= − + −
= − + −
= + −
= + − + + −
23.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
a b a b a b ab
a b a b a b ab
a b a b ab a b
a b ab a b
ab a b a b
ab a b a b a b
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3 3
3 3
2 2
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= − −
= + − −
24.
( )
( )( )
( )( )( )
5 3 125
5 625
5 25 25
5 25 5 5
4
4
2 2
2
a
a
a a
a a a
−
= −
= + −
= + + −
.
25. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ]{ }
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )
a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
a a
a a a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2 3
2 2 2 3 4 4
2 2 2 1 4
2 1 4
2 1 2 2 1 2
2 1 2 3
1 2 3 4 4
1 2 1 4
1 1 4
1 1 2 1
+ − + −
= + − + − + −
= + − + + −
= + − −
= + − + + − −
= + + + −
= + + − + −
= + + + −
= + + −
= + + + + −( )
( ) ( )( )
2
1 3 1
2
= + + −a a a
26.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
a x ax a a
a x ax a a
ax a a a
ax a a
a x a
a x x x a
2 3 3 2
2 3 3 2
3
3
3
2
2 8 16
2 8 16
2 8 2
8 2
8 2
2 2 4 2
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= − + + +
27.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
6 6
3 3 3 3
2 2 3 3
2 2 2 2
−
= − +
= − + + +
= − + + + − +
a b
a b a b
ab ab a b a b
ab ab a b ab ab a b
28.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
5 10 5 10
5 10 5 10
5 2 5 2
5 5 2
5 1 2
5 1 1 2
3 2
3 2
2
2
2
ax ax ax a
ax ax ax a
ax x a x
ax a x
a x x
a x x x
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
29.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
a x b y b x a y
a x b x b y a y
x a b y b a
x a b y a b
a b x y
a b a b x y x y
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
+ − −
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
= + − + −
30.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x x
x x x x
8 4
4 4
4 2 2
4 2
2
2 1
2 1 1
2 1 1 1
+ −
= + −
= + + −
= + + + −
31.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
a a a a
4 3 2
4 3 2
3
3
2
9 9
9 9
1 9 1
9 1
9 1
3 3 1
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
32.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
a x a x a x x
a x a x a x x
a x x x x
a x x
a a x x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
6 6
6 6
6 6
1 6
1 1 3 2
+ − − − +
= + − − + −
= + − − + −
= − + −
= + − + −
33.
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
16 25 9
16 25 16 144
144 4
36 4 4 16
9 3 3 9
3 3 16 9 25
1
16 16 16 9
16
1 16 9
1 1 4 3 4 3
4 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
m m
m m
m m
m m
m m m m
− +
= − +
=
=
⇒ + =
=
− −
= − −
= + − + −
34.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
3 12 3 12
3 3 12 12
3 1 12 1
3 12 1
3 4 1
3 2 2 1
2 2
2 2
2
2
2
abx ab bx b
abx bx ab b
bx a b a
bx b a
b x a
b x x a
− + −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
35.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
3 9 30 3 9 30
3 9 30 3 9 30
3 3 10 3 3 10
3 3 3 10
3 1 5 2
2 2
2 2
2 2
2
a m am m a a
a m am m a a
m a a a a
m a a
m a a
+ − + + −
= + − + + −
= + − + + −
= + + −
= + + −
36.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
a x a x a x x
a x a x a x x
a x x x x
a x x
a a a x x
3 2 3 3 2
3 2 3 3 2
3 2 2
3 2
2
5 6 5 6
5 6 5 6
5 6 5 6
1 5 6
1 1 3 2
− + + − +
= − + + − +
= − + + − +
= + − +
= + − + − −
37. ( ) ( )( )
( ) ( )[ ]
( )( )( )
( )( )( )
x x y x x y
x y x x
x y x y x x
x y x y x
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
2 1
2 1
2 1
1
− − − −
= − − −
= + − − +
= + − −
38. ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
a x ax x
a x x x ax x
x a x x ax
x ax ax a ax
x ax ax a
a x x x
a x x a x
3
2
2
2
2
2
2 3
1 3 1
1 1 3 1
1 1 3
1 3
1 2
1 2 1
1 1 1
+ + +
= + − + + +
= + − + +
= + − + +
= + + +
= + + +
= + + = +

EJERCICIO 109
1.
( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x xy
x x y
x x y x y
x x y x y x y
x x y x y x y x y
9 8
8 8
4 4 4 4
2 2 2 2 4 4
2 2 4 4
−
= −
= − +
= + − +
= + + − +
2.
( )
( )( )
( )( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x x x
5 3
4 2
2 2
40 144
40 144
36 4
6 6 2 2
− +
= − +
= − −
= − + + −
3.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
a a b a ab
a a b a ab
a a b a a b
a a a b
a a a b a ab b
a a a a b a ab b
6 3 3 4 3
6 3 3 4 3
3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
2 2
1
1 1
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − + − +
= + − + − +
4.
( )
( )( )
( ) ( )
4 8 4
4 2 1
4 1 1
4 1 1
4 2
4 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
− +
= − +
= − −
= + −
5.
( )
( )( )
( )( )( )( )
a ab
a a b
a a b a b
a a b a ab b a b a ab b
7 6
6 6
3 3 3 3
2 2 2 2
−
= −
= + −
= + − + − + +
6.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
2 2 4 2 2 4
2 2 4 2 2 4
2 2 2 2
2 2
2 2 1
4 3 2 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
a a a a b ab b
a a a a b ab b
a a a b a a
a a a b
a a a b a b
− − − + +
= − − − − −
= − − − − −
= − − −
= − + + −
7.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x x
6 5 2
6 5 2
5
5
4
2 2
2
5 81 405
5 81 405
5 81 5
81 5
81 5
9 9 5
3 3 9 5
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= − + +
= + − + +
8.
( )
( )( )
( )( )( )( )
3 3
3 1
3 1 1
3 1 1 1 1
6
6
3 3
2 2
−
= −
= − +
= − + + + − +
a
a
a a
a a a a a a
9. ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
4 2 2
4 2
4
4
4 1
2 1 2 1
2 2 2 3 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
ax a ax x a a x ax
ax a x a a ax x
ax a x a a x
ax a a x
a x a x
a x x a x
− + − + −
= − − − +
= − − −
= − −
= − −
= + − −
10.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x x x
7 4 3
7 4 3
4 3 3
4 3
2 2 2
2 2
81 81
81 81
1 81 1
81 1
9 9 1 1
9 3 3 1 1
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= + − + − +
= + + − + − +
11.
( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x
17
16
8 8
8 4 4
8 4 2 2
8 4 2
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
−
= −
= + −
= + + −
= + + + −
= + + + + −
12.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
3 75 48 1 200
3 75 48 1 200
3 25 48 25
3 48 25
3 16 5 5
3 4 4 5 5
3 4 2 2 5 5
6 4 2
6 4 2
4 2 2
4 2
4
2 2
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= − + −
= + − + −
= + + − + −
.
.
13.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )
a x x a x x
a x x a x x
x a x a
x x a
x x a a
x x a a a a a a
6 2 2 6
6 2 2 6
2 6 6
2 6
3 3
2 2
1 1
1
1 1 1
1 1 1 1 1
− + −
= − + −
= − + −
= + −
= + − +
= + − + + + − +
14. ( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )
a ax x x
a a x x x
a a x x x x x
2 4 2
2 2
82 81
81 1
9 9 1 1
− − +
= − − −
= − + − + −
EJERCICIO 110
1.
( )( )
( ) ( )
x x x
x x x
x x
3 2
2
2
1
1 1 1 1 1
1 2 1
1 2 1 0
2 1 1
1 1
+ − −
− − +
= + + −
= + −
2.
( )( )
( )( )( )
x x x
x x x
x x x
3 2
2
4 6
1 4 1 6 1
1 5 6
1 5 6 0
5 6 1
3 2 1
− + +
− −
− −
−
= − + +
= − − +
3.
( )( )
( )( )( )
a a a
a a a
a a a
3 2
2
3 4 12
1 3 4 12 2
2 2 12
1 1 6 0
6 2
3 2 2
− − +
− − +
− −
− −
= − − −
= − + −
4.
( )( )
( )( )( )
( )( )
m m
m m m
m m m
m m
3
2
2
12 16
1 0 12 16 2
2 4 16
1 2 8 0
2 8 2
4 2 2
4 2
− +
− +
−
−
= + − −
= + − −
= + −

5.
( )( )
( )( )( )
2 18 9
2 1 18 9 3
6 15 9
2 5 3 0
2 5 3 3
2 5 3 3
6 3
2 1 0
2 1 3 3
3 2
2
x x x
x x x
x x x
− − +
− − +
−
−
= + − −
− −
−
−
= − − +
6.
( )( )
a a a
a a a
3 2
2
13 28
1 1 13 28 4
4 20 28
1 5 7 0
5 7 4
+ − −
− − +
= + + −
7.
( )( )
x x x
x x
3 2
2
2 2
1 2 1 2 2
2 0 2
1 0 1 0
1 2
+ + +
−
− −
= + +
8.
( )( )
( )( )( )
n n
n n n
n n n
3
2
7 6
1 0 7 6 1
1 1 6
1 1 6 0
6 1
3 2 1
− +
− +
−
−
= + − −
= + − −
9.
( )( )
( ) ( )
x x
x x x
x x
3 2
2
2
6 32
1 6 0 32 2
2 16 32
1 8 16 0
8 16 2
4 2
− +
− −
− −
−
= − + +
= − +
10.
( )( )
( ) ( )[ ]( )
( )( )( )
( )( )( )
6 23 9 18
6 23 9 18 3
18 15 18
6 5 6 0
6 5 6 3
6 5 6 36 3
6 9 6 4 3
3 2
2 3 3 2 3
3 2
2
2
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
+ + −
− −
− −
−
= + − +
= + − +
=
+ − +
⋅
= + − +
11.
( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )
x x x x
x x x
x x x x
x x x
4 3 2
3 2
2
2
4 3 4 4
1 4 3 4 4 1
1 3 0 4
1 3 0 4 0
3 4 1
1 3 0 4 1
1 4 4
1 4 4 0
4 4 1 1
2 1 1
− + + −
− − +
−
−
= − + −
− −
− −
−
= − + − +
= − − +
12.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
4 3 2
3
2
2 13 14 24
1 2 13 14 24 2
2 0 26 24
1 0 13 12 0
13 12 2
1 0 13 12 1
1 1 12
1 1 12 0
12 2 1
4 3 2 1
− − + +
− − +
− −
− −
= − − −
− − −
−
− −
= − − − +
= − + − +
13.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
4 2
3 2
2
15 10 24
1 0 15 10 24 1
1 1 14 24
1 1 14 24 0
14 24 1
1 1 14 24 2
2 2 24
1 1 12 0
12 1 2
4 3 1 2
− − +
− − +
− −
− −
= + − − −
− − −
−
− −
= − − − +
= − + − +
14.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
n n n
n n n n
n n n n
n n n n
4 2
3 2
2
27 14 120
1 0 27 14 120 2
2 4 46 120
1 2 23 60 0
2 23 60 2
1 2 23 60 3
3 3 60
1 1 20 0
20 2 3
5 4 2 3
− − +
− − +
− −
− −
= + − − −
− − −
−
− −
= − − − +
= − + − +
15.
( )( )
( )( )( )
x x x
x x x x
x x x x
4 3
3 2
2
6 3 140
1 6 0 3 140 4
4 8 32 140
1 2 8 35 0
2 8 35 4
1 2 8 35 5
5 15 35
1 3 7 0
3 7 4 5
+ + +
−
− − −
−
= + − + +
− −
− −
−
= − + + +
16.
( )( )
( )( )( )
( ) ( )[ ]( )( )
( )( )( )( )
8 18 75 46 120
8 18 75 46 120 2
16 68 14 120
8 34 7 60 0
8 34 7 60 2
8 34 7 60 4
32 8 60
8 2 15 0
8 2 15 2 4
8 2 8 120 2 4
120 4
30 3 4 3 12
10 2 5 2 10
5 5 12 10 2
1
8 12 8 10 2 4
4 2
2
4 3 2
3 2
2
2
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a
− − + +
− − −
− −
− −
= − − + +
− − +
− −
− −
= − − + −
= − − + −
⋅ =
⋅ =
⇒ − =
=
− + + −
⋅
= −( )( )( )( )3 4 5 2 4a a a+ + −
17.
( )( )
( )( )( )
x x
x x x x
x x x
4 2
3 2
2
22 75
1 0 22 0 75 5
5 25 15 75
1 5 3 15 0
5 3 15 5
1 5 3 15 5
5 0 15
1 0 3 0
3 5 5
− −
− − +
= + + + −
−
− −
= + − +

18.
( )( )
( )( )( )
( ) ( )[ ]( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
15 94 5 164 60
15 94 5 164 60 1
15 109 104 60
15 109 104 60 0
15 109 104 60 1
15 109 104 60 6
90 114 60
15 19 10 0
15 19 10 1 6
15 19 15 150 1 6
15 25 15 6 1 6
5 3
3 5 5 2 1 6
4 3 2
3 2
2
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ − − +
− − +
−
−
= + + − −
− −
− −
−
= + − − +
= + − − +
=
+ − − +
⋅
= + − − +
19.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x
5 3 2
4 3 2
3 2
2
21 16 108 144
1 0 21 16 108 144 2
2 4 34 36 144
1 2 17 18 72 0
2 17 18 72 2
1 2 17 18 72 3
3 3 42 72
1 1 14 24 0
14 24 2 3
1 1 14 24 2
2 2 24
1 1 12 0
12 2 3 2
4 3 2 3 2
4
− + + −
− − +
− −
− −
= + − − + −
− − −
− −
− −
= − − + − +
− − +
−
−
= + − − + −
= + − − + −
= + ( )( )( )x x x− + −3 3 2
2
20.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a
5 3 2
4 3 2
3 2
2
23 6 112 96
1 0 23 6 112 96 1
1 1 22 16 96
1 1 22 16 96 0
22 16 96 1
1 1 22 16 96 2
2 6 32 96
1 3 16 48 0
3 16 48 1 2
1 3 16 48 3
3 0 48
1 0 16 0
16 1 2 3
4 4 1 2 3
− − + +
− − −
− − −
− −
= − − + + +
− − −
− −
− −
= − − + + +
− − +
−
−
= − + + −
= + − + + −
21.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( ) ( )
4 3 108 25 522 360
4 3 108 25 522 360 2
8 10 196 342 360
4 5 98 171 180 0
4 5 98 171 180 2
4 5 98 171 180 3
12 21 231 180
4 7 77 60 0
4 7 77 60 2 3
4 7 77 60 4
16 92 60
4 23 15 0
4 23 15 2 3 4
4 23 4
5 4 3 2
4 3 2
3 2
2
2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x
+ − − + +
− − −
− − −
− −
= − − + + +
− − +
− −
− −
= + − − + −
− − +
= + + + − −
= + +[ ]( )( )( )
( )( )( )( )( )[ ]
( )( )( )( )( )
60 2 3 4
4 20 4 3 2 3 4 4
5 4 3 2 3 4
x x x
x x x x x
x x x x x
+ − −
= + + + − − ÷
= + + + − −
22.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
5 3 2
4 3 2
3 2
2
30 25 36 180
1 0 30 25 36 180 2
2 4 52 54 180
1 2 26 27 90 0
2 26 27 90 2
1 2 26 27 90 5
5 35 45 90
1 7 9 18 0
7 9 18 2 5
1 7 9 18 6
6 6 18
1 1 3 0
3 2 5 6
− − − −
− − − − −
− −
− − −
= − − + − +
− − − −
− −
− −
= − + − + +
− − +
−
−
= − + + + −
24.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
5 3 2
4 3 2
3 2
2
25 25
1 0 25 1 0 25 1
1 1 24 25 25
1 1 24 25 25 0
24 25 25 1
1 1 24 25 25 5
5 20 20 25
1 4 4 5 0
4 4 5 1 5
1 4 4 5 5
5 5 5
1 1 1 0
1 1 5 5
− + −
− − −
− −
− − −
= − − + − +
− − − +
−
−
= + − + + −
− −
− −
−
= − + + − +
25.
( )( )
2 8 3 12
2 8 0 0 3 12 4
8 0 0 0 12
2 0 0 0 3 0
2 3 4
5 4
4
a a a
a a
− + −
− − +
= + −
26.
( )( )
( )( )( )
x x x x x
x x x x
x x x
5 4 3 2
4 3
3
2 15 3 6 45
1 2 15 3 6 45 3
3 15 0 9 45
1 5 0 3 15 0
5 3 15 3
1 5 0 3 15 5
5 0 0 15
1 0 0 3 0
3 3 5
+ − − − +
− − − +
− −
− −
= + − − −
− − −
−
−
= − − +
23.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )
6 13 81 112 180 144
6 13 81 112 180 144 2
12 2 166 108 144
6 1 83 54 72 0
6 83 54 72 2
6 1 83 54 72 3
18 57 78 72
6 19 26 24 0
6 19 26 24 2 3
6 19 26 24 4
24 20 24
6 5 6 0
6 5 6 2 3 4
6 5
5 4 3 2
4 3 2
3 2
2
2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x
− − + + −
− − − +
− − −
− − −
= − − − + −
− − − −
− −
− −
= − − + − +
− − +
−
−
= + − − + −
= + ( )[ ]( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
6 36 2 3 4
6 9 6 4 2 3 4
3 2
2 3 3 2 2 3 4
x x x x
x x x x x
x x x x x
− − + −
=
+ − − + −
⋅
= + − − + −
27.
( )( )
( )( )( )
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
6 4 42 113 108 36
1 6 4 42 113 108 36 1
1 5 1 41 72 36
1 5 1 41 72 36 0
5 41 72 36 1
1 5 1 41 72 36 1
1 4 5 36 36
1 4 5 36 36 0
4 5 36 36 1 1
1 4 5 36 36 2
2 4 18 36
1 2 9 18 0
+ + − − − −
− − − − −
− −
− − − −
= + − − − − +
− − − − −
− −
− − −
= + − − − + +
− − − −
− −
− −
= ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
x x x x x
x x x
x x x x
3 2 2
2 2 2
2 2
2 9 18 1 2
1 2 9 18 2
2 0 18
1 0 9 0
9 1 2
3 3 1 2
+ − − + +
− − −
−
−
= − + +
= + − + +

28.
( )( )
( )( )( )
a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a
6 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
3 2
32 18 247 162 360
1 0 32 18 247 162 360 1
1 1 31 49 198 360
1 1 31 49 198 360 0
31 49 198 360 1
1 1 31 49 198 360 2
2 2 58 18 360
1 1 29 9 180 0
29 9 180 1 2
1 1 29 9 180 3
3 12 51 180
1 4 17 60 0
4
− + + − −
− − − −
− − −
− − −
= − − + + − +
− − − +
− −
− −
= + − − + + −
− − +
− −
− −
= + −( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
17 60 1 2 3
1 4 17 60 3
3 3 60
1 1 20 0
20 1 2 3 3
5 4 1 2 3 3
2
a a a a
a a a a a a
a a a a a a
− + − −
− − −
− −
−
= + − + − − +
= + − + − − +
30.
( )( )
( )( )( )
2 10 34 146 224 424 480
2 10 34 146 224 424 480 1
2 12 22 168 56 480
2 12 22 168 56 480 0
2 12 22 168 56 480 1
2 12 22 168 56 480 2
4 32 20 296 480
2 16 10 148 240 0
2 16 10 148 240 1 2
2 16 10 148 240 2
4 24 28 240
2
6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
− − + + − −
− − − − −
− − −
− − −
= − − + + − +
− − − −
− − −
− −
= − + + − + +
− − +
− −
−
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( ) ( )[ ]( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
12 14 120 0
2 12 14 120 1 2 2
2 12 14 120 4
8 16 120
2 4 30 0
2 4 30 1 2 2 4
2 4 2 60 1 2 2 4
2 10 2 6 1 2 2 4
2
5 2 6 1 2 2 4
2 5 3 1 2 2 4
3 2
2
2
−
= − − + + + −
− − +
− −
− −
= − − + + − −
= − − + + − −
=
− + + + − −
= − + + + − −
= − + + + − −
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
29.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
6 4 2
5 4 3 2
4 2
2 2
41 184 144
1 0 41 0 184 0 144 1
1 1 40 40 144 144
1 1 40 40 144 144 0
40 40 144 144 1
1 1 40 40 144 144 1
1 0 40 0 144
1 0 40 0 144 0
40 144 1 1
36 4 1 1
6 6 2 2 1 1
− + −
− − +
− −
− −
= + − − + + −
− − −
− −
−
= − + − +
= − − − +
= + − + − − +
31.
( )( )
( )( )( )
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
8 6 103 344 396 144
1 8 6 103 344 396 144 2
2 12 12 182 324 144
1 6 6 91 162 72 0
6 6 91 162 72 2
1 6 6 91 162 72 2
2 8 28 126 72
1 4 14 63 36 0
4 14 63 36 2 2
1 4 14 63 36 3
3 3 51 36
1 1 17 12
− + + − + −
− − − +
− − −
− − −
= − − + − + −
− − − +
− − −
− − −
= − − + − − −
− − − +
− −
− −
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
0
17 12 2 3
1 1 17 12 4
4 20 12
1 5 3 0
5 3 2 3 4
3 2 2
2 2
= − − + − −
− − −
− −
−
= − + − − +
a a a a a
a a a a a
32.
( )( )
( )( )( )
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
7 5 4 3 2
6 5 4 3 2
5 3 2
20 2 64 40 128
1 0 20 2 64 40 0 128 2
2 4 32 68 8 64 128
1 2 16 34 4 32 64 0
2 16 34 4 32 64 2
1 2 16 34 4 32 64 2
2 0 32 4 0 64
1 0 16 2 0 32 0
16 2 32 2 2
1 0 16 2 0 32 4
4 16 0 8 32
1 4 0
− − + + −
− − − +
− − −
− − −
= + − − − + + −
− − − + −
− −
− −
= − − + − +
− − +
− −
−
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
2 8 0
4 2 8 2 2 4
1 4 0 2 8 4
4 0 0 8
1 0 0 2 0
2 2 2 4 4
4 3
3
−
= + − − − + −
− − −
−
−
= − − + − +
x x x x x x
x x x x x

EJERCICIO 111
1. a x ax mcd ax2 2
,
2. ab c a bc mcd abc2 2
,
3. 2 2 2 3 2
x y x y mcd x y,
4. 6 15
6 3 15 3
2 2 5 5
1 1
3 2 6 3 5 15
3 3
2 3 3 4
2 3
a b a b
mcd a b
,
⋅ = ⋅ =
⇒
5. 8 20
8 2 20 2
4 2 10 2
2 2 5 5
1 1
2 8 2 5 20
2 4
4
3 2 2
3 2
2
2
am n x m
mcd
m
,
= ⋅ =
=
⇒
6. 18 27
18 3 27 3
6 3 9 3
2 2 3 3
1 1
3 2 18 3 27
3 9
9
2 2 3 4
2 3
2
2
mn a m n
mcd
mn
,
⋅ = =
=
⇒
7. 15 24 36
15 5 24 3 36 3
3 3 8 4 12 4
1 2 2 3 3
1 1
5 3 15 3 4 2 24 3 4 36
3 3
2 3 2 4 2
2
2
a b c ab x b x
mcd b
, ,
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
⇒
8. 12 18 24
12 3 18 3 24 3
4 2 6 3 8 4
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 2 12 3 2 18 3 4 2 24
3 2 6
2 3 2 3 2
2 2
x yz xy z x yz
mcd xyz
, ,
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⇒
9. 28 35 42
28 7 35 7 42 7
4 4 5 5 6 6
1 1 1
7 4 28 7 5 35 7 6 42
7 7
2 3 4 3 4 5 4 5 6
2 3 4
a b c a b c a b c
mcd a b c
, ,
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⇒
10. 72 96 120
72 8 96 8 120 8
9 3 12 3 15 3
3 3 4 4 5 5
1 1 1
8 3 72 8 3 4 96 8 3 5 120
8 3 24
3 4 4 2 2 3 4 5 7
2
2 2 3
x y z x y z x y z
mcd x y z
, ,
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⇒
11. 42 56 70
42 14 56 14 70 14
3 3 4 4 5 5
1 1 1
14 3 42 14 4 56 14 5 70
14 14
2 3 2 4 2
2
am n m n x m n y
mcd m n
, ,
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⇒
12. 75 150 225
75 15 150 15 225 15
5 5 10 5 15 5
1 2 2 3 3
1 1
15 5 75 15 5 2 150 15 5 3 225
15 5 75
4 3 2 5 7 2 3 6 2
3 3
a b c a b x a b y
mcd a b
, ,
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⇒
13. 4 8 2 10
4 2 8 2 2 2 10 2
2 2 4 4 1 5 5
1 1 1
2 4 2 4 8 2 2 2 5 10
2 2
2 3 2 2 3 2
2
a b a b a bc ab c
mcd ab
, , ,
= ⋅ = = ⋅ =
⇒
14. 38 76 95
38 19 76 19 95 19
2 2 4 4 5 5
1 1 1
19 2 38 19 4 76 19 5 95
19 19
2 6 4 4 7 5 6
4 4
a x y mx y x y
mcd x y
, ,
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⇒
EJERCICIO 112
1. ( )
( )
2 2 2
4 4 2
2
2
2 2
a ab a a b
a ab a a b
mcd a
+ = +
− = −
2. ( )
( )
6 6 2 3 1
9 18 3 2
3
3 2 2
3 2 2 2 2 2 2
2
x y x y x y x
x y x y x y x
mcd x y
− = ⋅ −
+ = +
3.
( )
12 4 3
4 8 4 2
4
2 3 2 3
3 2 2 3 2 2
2 2
a b a b
a b a b a b a b
mcd a b
= ⋅
− = −
4. ( )
( )
ab b b a
a a a a
mcd a
+ = +
+ = +
+
1
1
1
2
5. ( )
( )
( )
x x x x
x x x x
mcd x x
2
3 2 2
1
1
1
− = −
− = −
−
6. ( )
( )
30 15 5 3 2
10 20 5 2 2
5
2 3 2
2 2 2 2
ax x x a x
axy x y xy a x
mcd x
− = ⋅ −
− = ⋅ −
7.
( )
18 6 3
6 18 6 3
6
2 3 4 2 3 4
2 2 4 2 4 2 4
2 4
a x y a x y
a x y a xy a xy x
mcd a xy
= ⋅
− = −
8. ( )
( )
( )
5 15 5 3
3 3
3
2
3 2 2
a a a a
a a a a
mcd a a
− = −
− = −
−
9. ( )
( )
( )
3 15 3 5
5 5
5
3 2 2
2
x x x x
ax ax ax x
mcd x x
+ = +
+ = +
+
10. ( )( )
( )
( )
a b a b a b
a ab b a b
mcd a b
2 2
2 2 2
2
− = + −
− + = −
−
11. ( )( )
( )
m n m n m mn n
am an a m n
mcd m n
3 3 2 2
3 3 3
+ = + − +
+ = +
+
12. ( )( )
( )( )
x x x
x x x x
mcd x
2
3 2
4 2 2
8 2 2 4
2
− = + −
− = − + +
−

13.13.13.13.13. ( )
( ) ( )( )
( )
2 4 2 2
6 6 3 2
2
2
3 2 2
ax ax ax x
x x x x x x x x x
mcd x x
+ = +
− − = − − = − +
+
14.14.14.14.14. ( )( )
( )
9 1 3 1 3 1
9 6 1 3 1
3 1
2
2 2
x x x
x x x
mcd x
− = + −
− + = −
−
15.15.15.15.15. ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
4 4 2
2 2 2 2
2
2
2
2 2 2
2 2 2 2
a ab b a b
a ab ab b a ab ab b
a a b b a b
a b a b
mcd a b
+ + = +
− + − = − + −
= − + −
= + −
+
16.16.16.16.16. ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
3 3 60 3 20
3 5 4
6 18 24 6 3 4
3 2 4 1
3 4
2 2
2 2
x x x x
x x
x x x x
x x
mcd x
+ − = + −
= + −
− − = − −
= ⋅ − +
−
17.17.17.17.17. ( )( )
( )
( )( )
8 2 4 2
4 4
2 2
2
3 3 2 2
2 2 2 2
x y x y x xy y
ax ay a x y
a x y x y
mcd x y
+ = + − +
− = −
= + −
+
18.18.18.18.18. ( )
( )
( )
( )( )
( )
2 12 18 2 6 9
2 3
9 9
3 3
3
3 2 2 2 2
2
3 2 2 2
a a b ab a a ab b
a a b
a x ab x ax a b
ax a b a b
mcd a a b
− + = − +
= −
− = −
= + −
−
19.19.19.19.19. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
ac ad bc bd ac ad bc bd
a c d b c d
a b c d
c cd d c cd d
c d
mcd c d
+ − − = + − +
= + − +
= − +
+ + = + +
= +
+
2 2 2 2
2
2
2 4 2 2 2
2
2 2 2 2
2
20.20.20.20.20. ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
3 6 45 3 2 15
3 5 3
6 24 30 6 4 5
3 2 5 1
3 5
2 2 2 2 2 2
2
2 2
a m a m a a m m
a m m
am x amx ax ax m m
ax m m
mcd a m
+ − = + −
= + −
+ − = − −
= ⋅ + −
+
21.21.21.21.21. ( )( )
( ) ( )( )
4 2 2
2 2 2
2
4 2 2 2
2 2 2 2
2
x y x y x y
x y x y x y
mcd x y
− = + −
+ = + +
+
22.22.22.22.22. ( ) ( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )
( )( )
3 3 3 1 3 1 1
3 1 1 1
9 9 9 1 3 1 1
3 1 1
5 4 2 2
2
3 2 2
x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x
mcd x x x
− = − = + −
= + + −
− = − = + −
+ −
23.23.23.23.23. ( )
( )
( )
a ab a a b
ab b b a b
a a b a a b
mcd a b
2
2
3 2 2
+ = +
+ = +
+ = +
+
24.24.24.24.24. ( )
( )
( )
( )
2 2 2 1
3 3 3 1
4 4 4 1
1
3 2 2
2
3 2 2
x x x x
x x x x
x x x x
mcd x x
− = −
− = −
− = −
−
25.25.25.25.25. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
mcd x x
4 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2 2
2
9 9 3 3
5 6 5 6 3 2
6 9 6 9 3
3
− = − = + −
− + = − + = − −
− + = − + = −
−
26.26.26.26.26. ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
a b a b ab ab a ab b ab a b
a b a b a b a b a b a b a b
mcd ab a b
3 2 2 3 2 2 2
4 2 3 2 2 2 2
2 2+ + = + + = +
− = − = + −
+
27.27.27.27.27. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
2 2 4 2 2 2 2 1
2 8 6 2 4 3 2 3 1
2 2 2 1 2 1 1
2 1
2 2
2 2
3 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
mcd x
+ − = + − = + −
− + = − + = − −
− = − = + −
−
28.28.28.28.28. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
ax ax ax ax x x ax x x
ax ax a a x x a x x
a x a x a x a x x x a x x x
mcd a x
3 2 2
2 2
2 3 2 2 2 2 2 2
2 8 2 8 4 2
6 6 3 2
3 10 3 10 5 2
2
− − = − − = − +
− − = − − = − +
− − = − − = − +
+
29.29.29.29.29. ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
2 16 32 2 8 16
2 4 4 2 2 2
2 8 2 4 2 2 2
2 16 2 8 2 2 2 4
2 2
4 2 4 2
2 2 2 2
3 2
2 3 2 2 3 2 2
an an a a n n
a n n a n n
an an an n an n n
a n a a n a n n n
mcd a n
− + = − +
= − − = + −
− = − = + −
+ = + = + − +
+

30.30.30.30.30. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
4 8 12 4 2 3 2 3 1
2 6 4 2 3 2 2 2 1
6 18 24 6 3 4 3 2 4 1
2 1
2 2 2
2 2
2 2
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
mcd a
+ − = + − = + −
− + = − + = − −
+ − = + − = ⋅ + −
−
31.31.31.31.31. ( )( )
( )( )
( )
4 2 2
8 2 4 2
4 4 2
2
2 2
3 3 2 2
2 2 2
a b a b a b
a b a b a ab b
a ab b a b
mcd a b
− = + −
+ = + − +
+ + = +
+
32.32.32.32.32.
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
x x x x
x x x x
x x x x x x x x x
mcd x
2
2
3 2 2
2 8 4 2
12 4 3
9 20 9 20 5 4
4
− − = − +
− − = − +
− + = − + = − −
−
33.33.33.33.33. ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
mcd a a
2
3 2 2
6 5 4 3 2
1
6 7 6 7 7 1
1 1 1
1
+ = +
− − = − − = − +
+ = + = + − + − +
+
34.34.34.34.34. ( )( )
( )
( )
x x x x
x x x x
x x x x x x
mcd x x
3 2
2 2
4 3 2 2 2
2
27 3 3 9
2 6 18 2 3 9
3 9 3 9
3 9
+ = + − +
− + = − +
− + = − +
− +
35.35.35.35.35. ( )( )
( )( )
( )
x ax a x a x a
x ax a x a x a
x ax a x a
mcd x a
2 2
2 2
2 2 2
6 3 2
2 3 3
6 9 3
3
+ − = + −
+ − = + −
+ + = +
+
36.36.36.36.36. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
54 250 2 27 125 2 3 5 9 15 25
18 50 2 9 25 2 3 5 3 5
18 60 50 2 9 30 25 2 3 5
2 3 5
3 3 2
2 2
2 2 2
x x x x x
ax a a x a x x
x x x x x
mcd x
+ = + = + − +
− = − = + −
+ + = + + = +
+
37.37.37.37.37. ( ) ( )( )[ ]
( )( )
( )( ) ( )( )( )
x x x
x x x x
x x x x x x
mcd x
2 2 2
2
4 2 2 2
1 1 1
4 5 5 1
1 1 1 1 1 1
1
− = + −
− − = − +
− = + − = + + −
+
38.38.38.38.38. ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
4 28 4 7
8 7 8 7 7 1
15 56 15 56 8 7
7
2
2 3 2 2 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2
ax ax ax x
a x a x a x a x x x a x x x
ax ax ax ax x x ax x x
mcd ax x
− = −
− + = − + = − −
− + = − + = − −
−
39.39.39.39.39. ( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
3 6 3 2
4 4 2 2
2 2
2 2 1
2
2
3 2
2
2
a a a a
a a a a a a a
a b ab ab a
a a a a
mcd a
− = −
− = − = + −
− = −
− − = − +
−
40.40.40.40.40. ( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
3 3 1
27 1 3 1 9 3 1
9 6 1 3 1
3 6 2 3 6 2
3 1 2 3 1
2 3 1
3 1
2
3 2
2 2
x x x x
x x x x
x x x
ax a x ax a x
a x x
a x
mcd x
− = −
− = − + +
− + = −
− + − = − + −
= − + −
= + −
−
41.41.41.41.41. ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a x a x ax x a x a x ax x
a x a x a
a x x a x a a
a a a a a a
a a a
a a
4 2 2 2
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2
2 2
5 3 2 5 3 2
3 2 2
3
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
1
− = + − = + + −
+ + + = + + +
= + + + = + +
+ + + = + + +
= + + +
= + + = + +
+ + + = + + +
= + + +
= + ( ) ( )( )( )
( )( )
2 2 2
2
1 1 1 1
1 1
+ = + − + +
+ +
a a a a
mcd a a
42.42.42.42.42. ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
2 4 2 2 2
2
2 2 2 2
2
3 2 2 3 2 2
2 2
3 3 2 2
3 2 2 2
m mn n m mn n
m n
m m n mn n m m n n m n
m n m n
m n m n m mn n
m mn m m n
m m n m n
mcd m n
+ + = + +
= +
+ + + = + + +
= + +
+ = + − +
− = −
= + −
+

43.43.43.43.43. ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )( )
a a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a
a a a
a a a a a a a
a a a a
mcd a
3 2 3
2
2
2 2
2 2
3 2
2
3 3 1 1 3 1
1 1 3 1
1 1 3
1 2 1 1 1
2 1 1
1 1 1
4 3 3 1
1
− + − = − − −
= − + + − −
= − + + −
= − − + = − −
− + = −
− = − = + −
− + = − −
−
44.44.44.44.44. ( )
( )( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )
16 54 2 8 27
2 2 3 4 6 9
12 42 90 6 2 7 15
6 2 7 2 30
6 2 10 2 3 2
3 2 5 2 3
32 24 36 4 8 6 9
4 8 6 8 72
4 8 12 8 6 4
2 2 3 8
3 3
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
3 2 2
2
2
a x x x a
x a a a
a x ax x x a a
x a a
x a a
x a a
a x a x ax ax a a
ax a a
ax a a
ax a
+ = +
= + − +
− − = − −
= − −
= − + ÷
= ⋅ − +
+ − = + −
= + −
= + − ÷
= + ( )
( )( )
( )
( )
( )( )[ ]
( )
a
ax a a
a x a x x x a a
x a
x a a
mcd x a
−
= + −
− + = − +
= −
= + −
+
6
2 2 3 4 3
32 144 162 2 16 72 81
2 4 9
2 2 3 2 3
2 2 3
3
4 2 4 2
2 2
2
45.45.45.45.45. ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
xy y x y xy y
y x xy y y x y
x y xy y y x xy y y x y x y
ax y ay ay x y ay x y x xy y
x y y y x y y x y x y
mcd y x y
+ = + +
= + + = +
− − = − − = − +
+ = + = + − +
− = − = + −
+
2 2 2 2 3 4
2 2 2 2 2
2 2 3 2 2
3 4 3 3 2 2
2 3 2 2
2
2
2 3 2 3 3
46.46.46.46.46. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
2 4 2 2 4 2
2 2 2
2 2
2 2
6 5 4 6 5 6 24
6 8 6 3 2 3
3 4 2
16 72 40 8 2 9 5
8 2 9 2 10
8 2 10 2 2
2 2
2 3 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
a am a m a am a m
a a m a m
a a m
am m m a m
a am m a m a m
a m a m
a m a m
a am m a am m
a m a m
a m a m
− + − = − + −
= − + −
= + −
− = −
+ − = + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ − = + −
= + −
= + − ÷
( )( )= + −
−
8 5 2
2
a m a m
mcd a m
47.47.47.47.47. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
12 6 24 12 12 6 24 12
6 2 12 2
6 12 2
3 2 2 2
3 24 3 8
3 2 2 4
9 9 18 9 2
3 2
12 24 12 2 4 3 2
3 2
3 3 3 3
2 2
2 2 2 2
2
2
ax ay bx by ax ay bx by
a x y b x y
a b x y
a b x y
a b a b
a b a ab b
a ab b a ab b
a b a b
a ab a a b a a b
mcd a b
− + − = − + −
= − + −
= + −
= ⋅ + −
+ = +
= + − +
+ − = + −
= + −
+ = + = ⋅ +
+
48.48.48.48.48. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
( )( )
5 5 5 5 5 5
5 5 5
15 15 15 15 15 15
15 15
15
5 3
20 20 20 20 20 20
20 20
20
2
3 2 2 2 2 2
2 2
2 2
3 2 2 2 2 2
2 2
2
a ax ay xy a a x y a x
a y a x a y a x
a ax a y x y a a y x a y
a x a y
a x a y
a x a x a y
a ay a x xy a a x y a x
a y a x
a
+ + + = + + +
= + + = + +
− + − = + − +
= − +
= − +
= ⋅ + − +
− + − = + − +
= − +
= −( )( )
( )( )( )
( )( )
y a x
a y a y a x
mcd a y a x
2
5 4
5
+
= ⋅ + − +
+ +

EJERCICIO 113
1.1.1.1.1.
( )
( )
12 8 1 2 5 3
12 30 18 6
38 19 2
2 5 3 2 1
2
6 3 3
2 1 2 1
2 1 1 2 1
2 2
2
2
2
x x x x
x x
x
x x x
x x x
x
x x
x mcd x
+ + − −
− + +
+ ÷
− − +
− −
− − ÷ −
+ +
− − +
2.2.2.2.2. ( ) ( )
( )
( )
3 2 6 6 2 20 2
6 3 18 3 10
6 2 20 2
2
3 10 2
3 6 3
5 10 2
2 2
2 1 2
3 2 2
3 2 2
3 2
2
2
2
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a
a a a
a a a
a
a a
a mcd a
− − − − ÷
− − − −
− + +
− + ÷ −
− − −
− +
− ÷
− −
− + −
;
3.3.3.3.3. ( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 5 6 3 4
15 18 3 3 4
15 18 3
15 18 3 3 4
15 20 5 5
2 2 2
3 4
3 3 3
1
3 2 2 3 2 2
3 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
a a x ax a a x ax
a a x ax a a ax x
a a ax x
a ax x a ax x
a ax x
ax x x
a ax x a x
a ax a
ax x x
a x a x
a x mcd a a x
− + − +
= − + = − +
= − +
− + − +
− + −
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −
− −
− + −
;
4.4.4.4.4. ( )
( )
2 4 4 6 2
2 2 3 2
2 1
1
2 1
2 2 2 2
1 1
1 1 1
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2 2
2 2
x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x mcd x x
+ − + ÷
+ − + + − +
− − + −
− +
+ − + − +
− + −
− + ÷
− + − +
− + − − +
5.5.5.5.5.
( ) ( )
( )
8 6 7 3 2 3 2
8 6 7 3 2 3 2
8 6 7 3 2 3 2 3
8 12 8 4
18 15 3 3
6 9 6 6 5
6 5
4 3 2 2 3 3 2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 3 2 2 3
2 2
a a x a x ax a a x ax
a a a x ax x a a ax x
a a x ax x a ax x x
a a x ax a
a x ax x
a x ax x a x ax x
a x ax
− + − + −
= − + − = + −
− + − + −
− − +
− + − ÷ −
+ − − +
− +
;
( )
−
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −
− −
− + −
x
ax x x
a x ax x a x
a x ax ax
ax x x
a x a x
a x mcd a a x
3
2 3 2
2 2 3
2 2
2 3 2
1
14 7 7
6 5 2
6 3 3
2
2 2
2 1 2
6.6.6.6.6. ( )
( )
( )
( )
( )
12 3 26 5 10
12 3 26 5 10 3 3 4 5 15 5
12 12 16 20 60 4
15 42 25 70 1
15 15 20 25 75 15 42 25 70 19
15 42 25 70
57 45 95 75 5
285 798
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
3 2
4 3 2 3 2
4 3 2
3 2
3 2
ax ax ax ax a a
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x
− + − + ÷
− + − + + − + −
− − + − +
− + − + −
+ − + − − + −
− + − +
− + −
−
( )
( )
+ − − + −
− + − +
− − ÷ −
− + − +
− −
− − ÷ −
+ +
− − +
475 1 330 285 225 475 375
285 225 475 375 1
573 955 191
285 225 475 375 3 5
285 475 95
225 375 75
3 5 3 5
3 5 1 3 5
3 2
3 2
2
3 2 2
3
2
2 2
2 2
x x x x
x x x
x
x x x x
x x x
x
x x
x mcd x
.
7.7.7.7.7. ( )
( )
( )
6 4 3 5 2 3 2 9 6 7
6 4 18 12 2
21 17 2
21 14 63 42 21 17 2
21 17 2
3 61 42
21 17 2 3 61 42
4 3 2 2 3 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
2 2 3 4 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 2
x x y x y xy y x x y xy y
x x y x y xy x
x y xy y y
x x y xy y x xy y
x x y xy x
x y xy y y
x xy y x xy y
− − + − − + −
− + − +
− + − ÷ −
− + − − +
− + −
+ − ÷
− + + −
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
2
21 427 294 7
444 296 148
3 61 42 3 2
3 2
63 42 21
3 2 3 2
3 2 1 3 2
− + +
− + ÷ −
+ − −
− +
− ÷
− −
− + −
x xy y
xy y y
x xy y x y
x xy x
xy y y
x y x y
x y mcd x y

8.8.8.8.8. ( )
( )
( )
( )
ax ax ax ax a a
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x
4 3 2
4 3 2
4 3 2 3 2
4 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
3 2 6 8
4 4
3 2 6 8 4 4
4 4
10 8 1
4 4 10 8
10 8 1
3 9 12 3
10 8 3 4
3 4
+ − + − ÷
+ − − ÷
+ − + − + − −
− − + +
− − + − −
+ − − + − +
− − + −
+ − ÷
+ − + + −
− − +
;
( )
x x
x x
x x x x
x x mcd x x
− − + ÷ −
+ − + −
− − + + −
2 6 8 2
3 4 3 4
3 4 1 3 4
2
2 2
2 2
9.9.9.9.9. ( )
( )
( )
( )
3 2 4 6 3
3 6 8 10 5
6 12 3 18 9 3 6 8 10 5
6 12 16 20 10 2
19 38 19 19
3 6 8 10 5 2 1
3 6 3 3
5 10 5 5
2
4 3 2
5 4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
2
4 3 2 2
4 3 2 2
2
2
m m m m
m m m m m m
m m m m m m m m
m m m m
m m
m m m m m m
m m m m
m m
m m
− − + −
− + − + ÷
− − + − − + − +
− + − + −
− + − ÷ −
− + − + − +
− + −
− + ÷
−
;
+ − +
− + − − +
1 2 1
2 1 1 2 1
2
2 2
m m
m m mcd m m
10.10.10.10.10.
( ) ( )
( )
Factor común a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a
a a
a a
7 3 6 16 2 5 3 7 14 33 4 10
21 42 112 14 35 21 42 99 12 30
21 42 112 14 35 21 42 99 12 30
21 42 99 12 30 1
13 26 65 13
21 42 99
5 4 3 2 5 4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
2
4 3
− + − + − + + −
= − + − + = − + + −
− + − + − + + −
− + − − +
− + ÷
− +
;
;
( )
( )
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a mcd a a a
2 2
4 3 2 2
2
2 2
2 2
12 30 2 5
21 42 105 21
6 12 30 6
2 5 2 5
2 5 1 2 5
+ − − +
− + −
− + − ÷ −
− + − +
− + − − +
11.11.11.11.11. ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
45 75 18 30 3
24 40 30 50 2
4 15 25 6 10 5 12 20 15 25
60 100 24 40 60 100 75 125 5
60 100 75 125 1
51 85 17
12 20 15 25 3 5
12 20 4
15 25 5
3 5 3 5
3 2
3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2
3 2
3 2 2
ax ax ax a a
ax ax ax a a
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x
x x x x
x x x
x
x x
+ − − ÷
+ − − ÷
+ − − + − −
+ − − + − − ÷
− − + +
+ ÷
+ − − +
− −
− − ÷ −
+ +
−
;
;
( )3 5 1 3 5x mcd a x− +
12.12.12.12.12.
( )
( )
( )
Factor común
x ax a x a x ax a x a
x ax a x a
ax a a
x ax a x a x a
x a x x
ax a a
x a x a
x a mcd x a
2
2 2 2 2 10 4 10 4
5 2 5 2
5 5 5 5 5
3 3 3
1 2
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 3
3 2 2 3 2 2
3 2
2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
:
;+ + + + + +
+ + + + + +
− − − −
− − ÷ −
+ + + +
− −
+ ÷
+ +
− − +

13.13.13.13.13.
( )
( )
( )
Factor común
x ax a x a
x ax a x a
x ax a x a
ax a x a a
x ax a x a x ax a
x ax a x x
ax a x a a
x
3
9 15 3 3
12 21 6 3 3
12 21 6 3 3 5
12 20 4 4 4
2
3 5 2
3 6 3 3
2
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2
:
;+ + −
+ + −
+ + − + + −
− − − +
+ + ÷
+ + − + +
− − −
− − − ÷ −
( )
+ + + +
− − − + +
2 2
2 1 3 2
2 2 2
2 2 2 2
ax a x ax a
x ax a mcd x ax a
14.14.14.14.14.
( )
( )
Factor común ab
a b a b ab a b a b a b ab
a a b b a a b ab b
a a b b a a b ab b
a a b ab b
a b ab b b
a a b ab b a ab
2
8 4 4 12 18 12 6
3 4 2 2 6 9 6 3
12 6 6 6 9 6 3
12 18 12 6 2
24 12 12 12
6 9 6 3 2
4 3 2 4 4 3 2 2 3 4
3 2 3 3 2 2 3
3 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2
:
;+ + − + −
+ + − + −
+ + − + −
− + − +
− + ÷
− + − −
( )
( )
+
− + −
− + − ÷ −
− + − +
− + − − +
b
a a b ab a
a b ab b b
a ab b a ab b
a ab b mcd ab a ab b
2
3 2 2
2 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
6 3 3 3
6 3 3 3
2 2
2 1 2 2
15.15.15.15.15.
( )
( )
( )
Factor común a n
a n a n a n a n
a n a n a n a n
a a n an n a a n an n
a a n an n
a n an n n
a a n an n a an n
3
9 33 27 6
9 12 21 6
3 11 9 2 3 4 7 2 5
3 4 7 2 1
15 16 4
15 20 35 10 15 16 4 12
15
2 2
5 2 4 3 3 4 2 5
5 2 4 3 3 4 2 5
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2 2
:
;− + −
+ − +
− + − + − +
− − + −
− + − ÷ −
+ − + − +
−
( )
( )
( )
( )
a a n an a
a n an n n
a an n a an n
a an n
an n n
a an n a n
a an a
an n n
a n a n
a n mcd a n a n
3 2 2
2 2 3
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
16 4
36 39 10
180 192 48 36 39 10
180 195 50 5
3 2
36 39 10 3 2
36 24 12
15 10 5
3 2 3 2
3 2 1 3 3 2
+ −
− + ÷
− + − +
− + −
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −
− −
− + −
16.16.16.16.16. ( )
( )
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a
a a a
a a a a a a a a
a a a
7 6 4 5 4 3
7 6 5 3 2 2
6 5 4 3 2
6 5 4 2 6 5 4 3 2
6 5 4 3 2
5 3
6 5 4 3 2 5 3
6 4 2
1 2 1
2
1
2 1
1 1
1 1
1 1
− + + − + + −
− + − − +
− + − + +
− + + − − + − + +
− + − + − −
− + − − −
− + − + + − + +
− + − −
( )
( )
( )
a a
a a a a
a a a a a a a
a a a a
a a
a a a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a mcd a a
− + − − + −
− + + − + + −
− + − − +
− + ÷
− + + − − +
− + −
− + − −
− + − +
− + − − +
5 4 3
5 3 5 4 3
5 4 3
4 3
5 4 3 4 3
5 4
4 3
4 3 4 3
4 3 4 3
2 1 1
1 2 1
2 1 1
2 2 2 2
2 1 1
1 1
1 1
1 1 1
17.17.17.17.17.
( )
( )
( )
Factor común a
ax ax ax ax a
ax ax ax ax a
x x x x x x x x
x x x x
x x
x x x x x x x
x x x x
x x
2
6 4 6 10 4
36 24 18 48 24
18 12 9 24 12 3 2 3 5 2 9
18 12 18 30 12 6
27 54 24 1
27 18 27 45 18 27 54 24 4
27 54 24
36 3
4 3 2
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
2
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
:
;− + − +
− − + −
− − + − − + − +
− + − + −
− + − −
− + − + − +
− + −
+ − ( )
( )
( )
( )
( )
( )
45 18 3
108 216 96 12 15 6 25
108 9 135 54 9
225 231 54 3
300 25 375 150 75 77 18 111
300 308 72 4
333 447 150 3
8 325 8 547 1 998 111 149 50 2 628
8 325 11 175 3 750 75
2 628 1 752
291
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2 2
2
x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x
+ ÷
− + + − +
− − + −
− + − ÷ −
+ − + − +
− + −
− + ÷
− + − +
− + −
−
. . . .
. . .
. .
( )
( )
( )
. . . . .
. .
. . .
708 391 572 131 400 2 628 1 752 876
291 708 194 472 111
197 100 131 400 65 700
3 2 3 2
3 2 1 2 3 2
2
2
x x x
x x x
x
x x
x mcd a x
− + − ÷
− +
− + ÷ −
− −
− + −

EJERCICIO 114
1.1.1.1.1.
( )
( )
( )
( )
2 5 6 9 2 5 3
2 5 3
3 9 3
2 5 3 3
2 6 2
3
2 5 6 3
3
5 6
3 5 6
5 6 1
2 6 2
5 6 3
2
3 6 3
3 3
3
3 2 2
3 2
2
2
3 2
3 2 2
2
2 2
2
2
x x x x x
x x x x
x
x x x
x x x
x
x x x x x
x x x
x x
x x x x
x
x
x x x
x x x
x
x x
x
− − + − −
− + +
− + ÷ −
− − −
− +
−
− − + −
− +
− +
− − +
+ −
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −
− −
− + 1 3mcd x −
3.3.3.3.3. ( )
( )
( )
( )
( )
x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x
x x
x x
4 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2
2 2 2 2 2
1 1
1 1
0
5 5 2 2 1 10
5 5 5 5 5
10 7 3 1
10 10 10 10 10 7 3 17
10 7 3
17 7 10
170 119
+ − − ÷
+ − − ÷
+ − − + − −
− − + +
− + − + − −
− − + +
− + + −
+ − − − −
− + +
− −
− −
;
( )
( )
51 17 7 10
170 70 100 10
49 49 49
17 7 10 1
17 17 17
10 10 10
1 1
1 1 1
2
2
2
2
x x
x x
x
x x x
x x x
x
x x
x mcd x
− −
− + +
− + ÷ −
− − −
− +
− ÷
− −
− + −
2.2.2.2.2.
( )
( )
8 6 3 2 2
8 4 8 4 4
10 5 5 5
2 2 2
2
2
2 2
2 1
0
6 2
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x x y xy y
x y xy y y
x x y xy y x xy y
x x y xy x
x y xy y y
x xy y x xy y
x xy y
x xy y x xy y
+ − − − − +
− + + −
+ − ÷
− − + + −
− − +
− − + ÷ −
+ − + −
− − +
− − + −
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
2
6 3 3 3
4 2 2
2 2
2
2
2 2
2 1 2
− − +
− + ÷ −
+ − −
− +
− ÷
− −
− + −
x xy y
xy y y
x xy y x y
x xy x
xy y y
x y x y
x y mcd x y
4.4.4.4.4.
( )
( )
( )
3 9 4 3 2 3 3 2
3 9 3 9 6 3
6 8
3 3 2 6 8 3
6 8
3 7 3 2
3
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
2 2 3 4 2
4 3 2 2 3 4 2 2
4 3 2 2 2
3 2 2 3 4
3
a a x a x ax x a a x a x ax x
a a x a x ax x
a x ax x x
a a x a x ax x a ax x a
a a x a x a
a x a x ax x x
a
+ + − + + + − −
− − − + +
+ + ÷
+ + − − + +
− − −
− − − − ÷ −
( )
( )
( )
( )
+ + + + +
− − − −
+ − ÷
+ + + + −
− − +
+ + ÷
+ − + +
− − −
− −
18 24 3 7 3 2 11
3 7 3 2 1
11 21 2
33 77 33 22 11 21 2 14
33 63 6 3
14 39 22
154 294 28 14 39 22
154 429 242 11
135
2 2 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 2 2
2 2
a x ax a a x ax x
a a x ax x
a x ax x x
a a x ax x a ax x
a a x ax a
a x ax x x
a ax x a ax x
a ax x
ax ( )
( )
( )
270 135
14 39 22 2 2 2
14 28 14 2 1
11 22 11 0
4 8 2 2
4 8 4
2
2 2
2 1 2
2
2 2
2
2
3 2 2 3
3 2 2
2 3 2
x x
a ax x a x a x a x
a ax a a x
ax x x
a a x ax x a x
a a x a
ax x x
a x a x
a x mcd a x
÷ −
+ + + + +
− − − −
+ ÷
+ − − +
− −
− − ÷ −
+ +
− − +
5.5.5.5.5.
( )
( )
( )
( )
( )
Factor común x
x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x
2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 3 3 2
4 4 3 3
8 3 4
8 8 6 6 8 3 4 5
8 3 4 1
5 7 2 1
40 15 5 20 5 7 2 41
40 56 16 8
5 4 2
4 3 3 2
4 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
+ − −
+ − − − + −
− + − +
− − −
− + − − − −
− + + +
− + − −
− − − − +
− + −
( )
( )
( )
41 21 20
205 287 82 41 21 20
205 105 100 5
182 182 182
41 21 20 1 1 1
41 41 41 1 1
20 20 20 0
3 4 3 4 1 3
3 3 3
3 4 3 4
2
2 2
2
2
2
6 4 3 4
6 5 5
5 4 3
x x
x x x x
x x
x
x x x x x
x x x x
x
x x x x x x
x x x
x x x x
− −
− + − −
− + +
− + ÷ −
− − − − −
− + − +
− ÷
− − + −
− +
− − +
Continua.Continua.Continua.Continua.Continua.

5.5.5.5.5. ( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3 4 3 4
3 4 3 4 1
3 4
3 4 3 4 3 4 13
3 9 12 3
13 3 12 4 1
13 39 52 13 3 12 4 3
13 3 12 4 1
36 12 48 12
39 9
5 4 5 4 3
5 4 3
4 3
4 3 2 3 2
4 3
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x
x
− − − + ÷
− + + −
+ − ÷
− − + + −
− − +
− − + + ÷ −
+ − + − −
− − + +
+ − ÷
+
( )
( )
( )
( )
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x
x x x
x x x
x
x x
x mcd x x
2 2
3 2
2
2 2
2
2
2
36 12 3 4
39 13 52 13
4 16 12 4
3 4 4 3
3 12 9 3
13 13 13
4 3 1
3 3 3
1 1
1 1 1
− − + −
− − +
− + − ÷ −
+ − − +
− + −
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −
− −
− + −
Continuación.Continuación.Continuación.Continuación.Continuación.
EJERCICIO 115
16.16.16.16.16. 3 6 9 183 2 4 2 4 2
x x x y mcm x y, ,
17.17.17.17.17. 9 12 18 362 2 2 3 3 3 3 2
a bx ab x a b x mcm a b x, ,
18.18.18.18.18. 10 15 20 602 2 3 2 3
m mn n mcm m n, ,
19.19.19.19.19. 18 24 36 723 2 3 3 3
a b ab mcm a b, ,
20.20.20.20.20. 20 24 30
20 24 30 6
20 4 5 5 6 5 4 120
4 4 1 4 120
1 1
2 3 3 2
3 3
m n m n mn
mcm m n
, ,
⋅ ⋅ =
⇒
21.21.21.21.21. ab bc a c b c mcm a b c2 2 2 3 3 3 2 3 3
, , ,
22.22.22.22.22. 2 8 4 12 242 3 2 3 3 3 3 3
x y xy a x a mcm a x y, , ,
23.23.23.23.23. 6 9 12 18 362 2 3 2 3 2
a x ay x y mcm a x y, , ,
24.24.24.24.24. 15 10 20 25
15 10 20 25 5
3 2 4 5 5 5 3 2 300
3 2 4 1 3 300
1 2 4 2
1 2 2
1
2 2 3 4
2 2
2 4
mn m n mn
mcm m n
, , ,
⋅ ⋅ =
⇒
25.25.25.25.25. 24 36 40 60
24 36 40 60 2
12 18 20 30 2
6 9 10 15 3 2 3 5 360
2 3 10 5 5 360
2 3 2 1 3
2 1 2 2
1 1
2 3 2 4 2 5 3 6
3 2
3 3 6
a x a y x y a y
mcm a x y
, , ,
⋅ ⋅ =
⇒
26.26.26.26.26. 3 8 10 12 16
3 8 10 12 16 2
3 4 5 6 8 2
3 2 5 3 4 2 2 3 5 240
3 1 5 3 2 2 240
3 5 3 1 3
1 5 1 5
1
3 2 2 3 2 2
4
3 3
a ab b a b a b
mcm a b
, , , ,
⋅ ⋅ =
⇒
1.1.1.1.1. a ab mcm a b2 2 2 2
,
2.2.2.2.2. x y xy mcm x y2 2 2 2
,
3.3.3.3.3. ab c a bc mcm a b c2 2 2 2
,
4.4.4.4.4. a x a bx mcm a bx2 3 3 2 3 3
,
5.5.5.5.5. 6 4 122 3 3
m n m mcm m n,
6.6.6.6.6. 9 15 453 2 5 3 5
ax y x y mcm ax y,
7.7.7.7.7. a ab a b mcm a b3 2 2 3 2
, ,
8.8.8.8.8. x y xy xy z mcm x y z2 2 3 2 3
, ,
9.9.9.9.9. 2 4 8 82 2 3 3 2
ab a b a mcm a b, ,
10.10.10.10.10. 3 4 6 122 3 3 3 2 4 4 3 2
x y z x y z x mcm x y z, ,
11.11.11.11.11. 6 9 12 362 2 3 3 3 3
mn m n m n mcm m n, ,
12.12.12.12.12. 3 4 8 242 2 2 2 2 2
a b x mcm a b x, ,
13.13.13.13.13. 5 10 15 302 2 2 2
x xy xy mcm x y, ,
14.14.14.14.14. ax y a xy a x y mcm a x y3 2 3 2 2 3 3 3 3
, ,
15.15.15.15.15. 4 6 3 122 2 2 2
ab a b mcm a b, ,

EJERCICIO 116
1.1.1.1.1.
( )
( )
2 2
4 8 2 2
4 2
2
a a
x x
mcm a x
=
− = −
−
2.2.2.2.2. ( )
( )
ab b b a b
b b
mcm b a b
− = −
=
−
2
2 2
2
3 3
3
3.3.3.3.3. ( )
( )
x y xy xy x y
x y x y
mcm x y x y
2 2
2 2
2
+ = +
=
+
4.4.4.4.4. ( )
( ) ( )
4 8 2 1 2
8 2
2 1 2 8 1 2
2
3
3
+ = +
=
+ = +
a a
mcm a a
5.5.5.5.5.
( )
( )
6 2 3
3 6 3 2
6 2
2 2
2 2 3 2
2 2
a b a b
a b ab ab a b
mcm a b a b
= ⋅
+ = +
+
6.6.6.6.6.
( )
( )
14 7 2
6 4 2 3 2
14 3 2
2 2
2
2
x x
x xy x x y
mcm x x y
= ⋅
+ = +
+
7.7.7.7.7.
( )
( )
( )
9 3
6 12 2 3 2
2 3 2
18 2
2
2
2
m m
mn mn mn n
mcm mn n
mn n
=
− = ⋅ −
⋅ −
⇒ −
8.8.8.8.8.
( )
( )
15 5 3
3 6 3 2
15 2
= ⋅
+ = +
+
x x
mcm x
9.9.9.9.9.
( )
( )
10 5 2
5 15 5 1 3
10 1 3
= ⋅
− = −
−
b b
mcm b
10.10.10.10.10. ( )
( )
( )
4 12 2 3
36 2 3
2 3 3
36 3
2
2 2 2 2
2 2 2
2
ax ay a x y
a a
mcm a x y
a x y
− = −
= ⋅
⋅ −
⇒ −
11.11.11.11.11.
( )
( )
12 2 3
2 5 2 5
12 2 5
2 2 2
2 3 2 3 2 3
2 3
xy xy
ax y x y x y a
mcm x y a
= ⋅
+ = +
+
12.12.12.12.12. ( )
( )
mn mn mn n
mn mn
m m
mcm m n n
3 2 2
2 2
2 2
1
1
− = −
=
=
−
13.13.13.13.13. ( )
( )
3 6 3 2
2 2
6 2 3
6 2
2
2 2
2
a ab a a b
a a
ab ab
mcm a b a b
− = −
=
= ⋅
−
14.14.14.14.14. ( )
( )
5 5 5 1
5 1
5 4 4
2 2
2 3 2 3
4 3
x x x x
xy xy
x y x y
mcm x y x
− = −
=
=
−
15.15.15.15.15. ( )
( )
( )
27 81 3 3
9 3
18 2 3
2 3 3
54 3
4 3 2 3 3
2 2 2
3 2 3
3 3 3
3 3
a b a b a b a b
a a
b b
mcm a b a b
a b a b
+ = +
=
= ⋅
⋅ +
⇒ +
16.16.16.16.16. ( )
( )
( )
9 9 3
10 5 2
6 2 3
5 2 3
90
3 3 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
x y xy xy x y
x x
mcm x y x y
x y x y
+ = +
= ⋅
= ⋅
⋅ ⋅ +
⇒ +
17.17.17.17.17. ( )
( )
( )( )
( )
x y xy xy x
x x x x
x x
mcm x y x x
x y x
2
3 2 2
2
2 2
2 2
1
1
4 2
2 1 1
4 1
− = −
+ = +
=
− +
⇒ −
18.18.18.18.18. ( )
( )
( )( )
( )
6 18 2 3 3
8 24 2 3
24 2 3
2 3 3 3
24 9
2
3
3
3
2
m m m m
m m
mcm m m m
m m
+ = ⋅ +
− = −
= ⋅
⋅ + −
⇒ −
19.19.19.19.19. ( )
( )
( )( )
3 3 3 1
2 2
6 18 2 3 3
6 1 3
2 2 2 2
2 2
ax a a x
a b a b
x x
mcm a b x x
+ = +
=
− = ⋅ −
+ −
20.20.20.20.20. ( )
( )
( )( )
( ) ( )
x x x
x x x x x x
x x x
x x
mcm x x x
2 2
3 2 2
2 2
2 2
4 4 2
2 2
2 1
2 1
+ + = +
+ − = + −
= + −
=
+ −
21.21.21.21.21. ( )
( )
( )
( )
9 18 3 2
4 4 2
6 2 3
3 2 2
18 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
a x a y a x y
x xy y x y
ab ab
mcm a b x y
a b x y
− = −
− + = −
= ⋅
⋅ −
⇒ −
22.22.22.22.22. ( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
9 36 3 4
3 2 2
3 3 18 3 6
3 3 2
6 2 3
2 3 2 2 3
18 4 3
4 2 2 2 2
2 2
3 2 2
3 3
2 3
3 2
x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x
mcm x x x x
x x x
− = −
= + −
− − = − −
= − +
= ⋅
⋅ + − −
⇒ − −
23.23.23.23.23. ( )
( )
( )
( )
4 12 9 4 12 9
2 3
2 3 2 3
2 3
3 2 2 2 2
2
4 3 3
2 2 2 2
2 3 2
x x y xy x x xy y
x x y
x x y x x y
a x a x
mcm a x x y
− + = − +
= −
− = −
=
−
24.24.24.24.24. ( )
( )
( )
9 45 3 5
12 3 2
8 2
3 2 5
72 5
2 2
2 2 2 2 2
3 3 3
2 3 3 2
3 2
x x x x
x y x y
x x
mcm x y x
x y x
− = −
= ⋅
=
⋅ −
⇒ −
25.25.25.25.25. ( )
( )
( )
( ) ( )
n x n y n x y
nx nxy ny n x xy y
n x y
n n
an an
mcm an x y x y
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
3 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2
+ = +
+ + = + +
= +
=
=
+ +
26.26.26.26.26. ( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )
4 24 36 2 6 9
2 3
2 8 8 2 4 4
2 2
6 6
3 2
8 2
8 3 2
3 2 2 2
2 2
3 2 2
2
3 2 2
2 3 2
2 2 2
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x x
x x
mcm x x x
+ + = + +
= +
− + = − +
= −
+ − = + −
= + −
=
+ −

27.27.27.27.27. ( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
6 6 2 3 1
2 2 2 2 1
1 1 1
3 3
2 3 1 1
6 1 1
3 2 2
2 2
3 2
3 3
3 2
3 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
mcm x x x x
x x x x
+ = ⋅ +
− + = − +
+ = + − +
=
⋅ + − +
⇒ + − +
29.29.29.29.29. ( )
( )
( )
( ) ( )
5 5 5
12 24 12 2 3 2
2 3
6 2 3
4 2
2 2
5 2 3 60
3 4 3
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 3 2 2 3 2
ab b b a b
a ab b a ab b
a b
a b a b
b b
a a
mcm a b a b a b a b
− = −
− + = ⋅ − +
= ⋅ −
= ⋅
=
=
= ⋅ ⋅ − ⇒ −
28.28.28.28.28. ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
ax a bx b a x b x a b x
a ab b a b
xy xy
x x x x
mcm x y a b x x y a b x
− + − = − + − = + −
+ + = +
=
− = −
⋅ + − ⇒ + −
1 1 1
2
4 2
3 3 3 1
2 3 1 12 1
2 2 2
2 2 2
3 2 2
2 2 2 2 2 2 2
30.30.30.30.30. ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
14 14 7 2 1
2 1 1
7 7 7 1
28 7 2
1 1
28 1 1
2 2
2 2
2
2 2
2 2
x x
x x x
x x
x x
x x
mcm x x x
+ = ⋅ +
+ + = +
+ = +
= ⋅
+ = +
+ +
EJERCICIO 117
1.1.1.1.1. ( )
( )
( )( )
( )
6 6 2 3 1
3 3 3 1
2 3 1 1
6 12
x x
x x
mcm x x
x
− = ⋅ −
+ = +
⋅ − +
⇒ −
2.2.2.2.2. ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
10 40 5 2 4
5 2 2 2
5 10 5 2
5 2 2 2
10 4
2 2
2
x x
x x
x x
mcm x x
x
− = ⋅ −
= ⋅ + −
+ = +
⋅ + −
⇒ −
3.3.3.3.3. ( )( )
( )
( )( )
( )
x y x y x y
x x y x x y
mcm x x y x y
x x y
2 2
3 2 2
2
2 2 2
4 2 2
2 2
2 2
4
− = + −
+ = +
+ −
⇒ −
4.4.4.4.4. ( )
( )
( )
x x x
a x a a x
mcm a x
2 2
2 2 2
2 2
6 9 3
3 9 3 3
3 3
− + = −
− = −
−
5.5.5.5.5. ( )
( )( )
( )( )
4 12 9 2 3
4 9 2 3 2 3
2 3 2 3
2 2 2
2 2
2
a ab b a b
a b a b a b
mcm a b a b
− + = −
− = + −
+ −
6.6.6.6.6. ( )
( )
( )
( )
a a b ab a a ab b
a a b
a a b a a b
mcm a a b
3 2 2 2 2
2
3 2 2
2 2
2 2+ + = + +
= +
+ = +
+
7.7.7.7.7. ( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
2 6 8 2 3 4
2 4 1
3 12 3 4
2 3 4 1
6 4 1
2 2
bx bx b b x x
b x x
ax a a x
mcm b a x x
ab x x
+ − = + −
= + −
+ = +
⋅ + −
⇒ + −
8.8.8.8.8. ( )( )
( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
x x x x
x x x x
x x x
mcm x x x x
x x x
2
3 2
2
2 15 5 3
25 25
5 5
5 5 3
25 3
+ − = + −
− = −
= + −
+ − −
⇒ − −
9.9.9.9.9. ( ) ( )
( )( )
( )( )
x x
x x x
mcm x x
− = −
− = + −
+ −
1 1
1 1 1
1 1
2 2
2
2
10.10.10.10.10. ( ) ( )
( )( )
x x
x x
mcm x x
+ = +
+ = +
+ +
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
11.11.11.11.11. ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
x y x y x xy y
x y x y
mcm x y x xy y
3 3 2 2
3 3
3 2 2
+ = + − +
+ = +
+ − +
12.12.12.12.12. ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
x y x y x xy y
x y x y
mcm x y x xy y
3 3 2 2
3 3
3 2 2
− = − + +
− = −
− + +
13.13.13.13.13. ( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )( )
4 7 2 4 7 4 8
4 8 4 1 4
2 4 1
3 10 5 2
2 4 1 5
2 2
2
x x x x
x x
x x
x x x x
mcm x x x
− − = − −
= − + ÷
= − +
+ − = + −
− + +
14.14.14.14.14. ( )( )
( )( )
( )( )( )
a a a a
a a a a
mcm a a a
2
2
30 6 5
3 18 6 3
6 3 5
+ − = + −
+ − = + −
+ − −
15.15.15.15.15. ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x
x x x
mcm x x x x
x x x
4 3 2 2 2
2
3 2 2 2
2
2
2 2
2 15 2 15
5 3
9 5 45 9 5 9
5 9
5 3 3
5 3 3
5 9
+ − = + −
= + −
− + − = − + −
= + −
= + + −
+ + −
⇒ + −

16.16.16.16.16. ( )( )
( )( )( )
( )
( )( )( )
x x x x
x x x x
ax ax ax ax x x
mcm ax x x x x
6 3 3 3
2 3
4 3 2 2 2
2 2 3
4 32 8 4
2 2 4 4
2 4 2 4
2 2 4 4
− − = − +
= − + + +
+ + = + +
− + + +
17.17.17.17.17. ( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
12 2 3
8 2
2 3 24
2 2 2
2 3 2
3 2 2
x y x y x y
x y x y
mcm x y x y x y x y
− = ⋅ + −
− = −
⋅ + − ⇒ + −
18.18.18.18.18. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
5 5
10 5 2
10
2 2
2 2 2 2
2 2 2
x y x y
x y x y
mcm x y x y
+ = +
+ = ⋅ +
+ +
19.19.19.19.19. ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
6 2 3
4 2
2 3
12
3 3
2 3 3 2 2 2 2
2 2 3 2 2
2 3 2 2
a m n a m n
a b m n a b m n m mn n
mcm a b m n m mn n
a b m n m mn n
+ = ⋅ +
+ = + − +
⋅ + − +
⇒ + − +
20.20.20.20.20. ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
ax m n ax m n
x m n x m n m mn n
mcm ax m n m mn n
− = −
− = − + +
− + +
3 3
3 3 3 3 2 2
3 3 2 2
21.21.21.21.21. ( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2 2 1
3 3 3 1
1 1 1
2 3 1 1 6 1
2
2
4 2 2 2 2
2 2 2
a a a a
a a a a
a a a a a a a
mcm a a a a a
+ = +
− = −
− = − = + −
⋅ + − ⇒ −
22.22.22.22.22. ( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
x x x x
x x x x
x x x
mcm x x x x x
2
3 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
4 2 2
2 2 4
+ = +
− = −
− = + −
− + ⇒ −
23.23.23.23.23. ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
2
2
2
2 2 1
4 3 3 1
6 3 2
2 1 3
+ − = + −
− + = − −
− − = − +
+ − −
24.24.24.24.24. ( )
( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )
( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )
( )( )( )
4 12 9 2 3
3 14 8 3 14 3 24
3 12 3 2 3 4 3 2
6 13 6 6 13 6 36
6 9 6 4 3 2 2 3 3 2
4 2 3 3 2
2 2
2 2
2 2
2
+ + = +
+ + = + +
= + + ÷ = + +
+ + = + +
= + + ÷ ⋅ = + +
+ + +
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
mcm a a a
25.25.25.25.25. ( )
( )
( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )
10 10 5 2 1
15 15 5 3 1
5 5 5 1 5 1 1
5 2 3 1 1 1 30 1 1
2 2
2 2
2 2 2
x x
x x
x x x x
mcm x x x x x
+ = ⋅ +
+ = ⋅ +
− = − = + −
⋅ ⋅ + + − ⇒ + −
26.26.26.26.26. ( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )( )( ) ( )( )
ax bx ay by x a b y a b
x y a b
x xy x x y
x xy x x y
mcm x x y x y a b x x y a b
− + − = − + −
= + −
+ = +
− = −
+ − − ⇒ − −
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
27.27.27.27.27. ( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
4 4 2
6 6 2 3
15 15 5 3 5 3
2 3 5 60
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
a b ab ab a b
a b a b
a b a b a b a b
mcm ab a b a b ab a b
+ = +
− = ⋅ −
− = ⋅ − = ⋅ + −
⋅ ⋅ + − ⇒ −
28.28.28.28.28. ( )( )
( )( )
( )
( )( )( )
x x x
x x x x
x x
mcm x x x x
2
3 2
2
25 5 5
125 5 5 25
2 10 2 5
2 5 5 5 25
− = + −
− = − + +
+ = +
+ − + +
29.29.29.29.29. ( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
a b a b ab ab a ab b
ab a b
a ab b a b a b
ab b b a b
mcm ab a b a b
3 2 2 3 2 2
2
2 2
2 3 2
2 2
6 9 6 9
3
2 3 3
3
− + = − +
= −
− − = − +
+ = +
− +
30.30.30.30.30. ( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2 2
4 4 2
6 6 2 3 2 3
2 3 12
2
2 2
3 3 2 2
2 2 2
m mn m m n
mn n n m n
m n mn mn m n mn m n m n
mcm mn m n m n mn m n
+ = +
− = −
− = ⋅ − = ⋅ + −
⋅ + − ⇒ −
31.31.31.31.31. ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
20 2 5
15 5 3
12 2 3
2 5 3 60
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
x y x y x y
x y x y
x y x y
mcm x y x y x y x y
− = ⋅ + −
− = ⋅ −
+ = ⋅ +
⋅ ⋅ + − ⇒ + −
32.32.32.32.32. ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
ax ax a a x x a x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
mcm ax x x x
2 2
3 2 2 2
4 3 2 2 2 2
2 2
5 14 5 14 7 2
14 49 14 49 7
7 18 7 18 9 2
7 2 9
+ − = + − = + −
+ + = + + = +
+ − = + − = + −
+ − +

33.33.33.33.33. ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 12 18 2 6 9 2 3
3 27 3 9 3 3 3
5 30 45 5 6 9 5 3
2 3 5 3 3 30 3 3
3 2 2 2
4 2 2 2 2
3 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
mcm x x x x x x
− + = − + = −
− = − = + −
+ + = + + = +
⋅ ⋅ + − ⇒ + −
34.34.34.34.34. ( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )( )( )
( )( ) ( )
3 3 3 1 3 1 1
6 6 2 3 1
12 12 2 3 1
9 9 3 1
2 3 1 1 1
36 1 1 36 1
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 4
− = − = + −
+ = ⋅ +
+ = ⋅ +
− = −
⋅ + + −
⇒ + − = −
a a a a
a a
a a
a a
mcm a a a
a a a
35.35.35.35.35. ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3 2 2 3 2
135 40 5 27 8 5 3 2 9 6 4
12 8 2 3 2
5 2 3 2 9 6 4
20 3 2 9 6 4
2 2
3 3 2
2
2 2 2
2 2
n n
n n n n n
n n
mcm n n n
n n n
− = −
− = − = − + +
− = −
⋅ − + +
⇒ − + +
36.36.36.36.36. ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
12 8 3 2 4 3 2 3 2
4 1 3 2
48 3 32 2 16 3 2 3 2
16 1 3 2
4 1 4 1 3 2
6 5 6 6 5 6 36
6 9 6 4 3 2
2 3 3 2
4 1 4 1 3 2 2 3
16 1 3 2 2 3
2 2 2
2
2 2
2
mn m n m n n
m n
m n n m m n n
m n
m m n
n n n n
n n
n n
mcm m m n n
m n n
+ − − = + − +
= − +
− + − = + − +
= − +
= + − +
− − = − −
= − + ÷ ⋅
= − +
+ − + −
⇒ − + −
37.37.37.37.37. ( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )
( )
15 16 15 15 16 15
15 16 15 225
15 25 15 9 5 3
3 5 5 3
18 60 50 2 9 30 25
2 9 30 9 225
2 9 15 9 15 3 3
2 3 5
12 20 2 3 5
2
2 5 2 4 2 3 2 3 2
2 3 2
2 3
2 3
3 2 2
2
2
3 2 2 2
2
a x a x a x a x x x
a x x x
a x x x
a x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x
ax ax ax x
mcm a
+ − = + −
= + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ + = + +
= + +
= + + ÷ ⋅
= +
+ = +
= ( ) ( )
( ) ( )
2 3 2
2 3 2
3 5 5 3
4 3 5 5 3
x x x
a x x x
+ −
= + −
38.38.38.38.38. ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
16 8 4
16 8 4 2 2
16 4 4 4 2 2
4 2 2
2 4 2 2
2 4 2 2 2 2
4 2 2 2
2 2 2 2
+ + = +
− + = − = − +
− = + − = + + −
+ + −
x x x
x x x x x
x x x x x x
mcm x x x
39.39.39.39.39.
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
1 1
1 1
1 1 1
1 1 1
2 2
2 2
3 2
2 2 2
+ = +
+ = +
+ = + − +
+ − + +
a a
a a
a a a a
mcm a a a a
40.40.40.40.40. ( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )
( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )
( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )
( )( )( )
8 10 3 8 10 8 24
8 12 8 2 4 2 2 3 4 1
20 13 2 20 13 20 40
20 8 20 5 4 5 5 2 4 1
10 11 6 10 11 10 60
10 15 10 4 5 2 2 3 5 2
2 3 5 2 4 1
2 2
2 2
2 2
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
mcm n n n
− − = − −
= − + ÷ ⋅ = − +
+ + = + +
= + + ÷ ⋅ = + +
− − = − −
= − + ÷ ⋅ = − +
− + +
41.41.41.41.41.
( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( )
6 2 36 6 12
6 4 6 3 2 3
3 2 2
15 22 8 15 22 15 120
15 12 15 10 3 5
5 4 3 2
10 3 4 10 3 10 40
10 8 10 5 2 5
5 4 2
3 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a ab b a ab b
a b a b
a b a b
a ab b a b a b
a b a b
a b a b
a ab b a b a b
a b a b
a b a b
mcm a b a
+ − = + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ + = + +
= + + ÷ ⋅
= + +
+ − = + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ −( )( )b a b5 4+
42.42.42.42.42. ( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
12 5 2 12 5 12 24
12 8 12 3 4 3
3 2 4
15 13 2 15 13 15 30
15 10 15 3 5 3
3 2 5
20 20 20 20
20 5 20 4 5 4
4 5
4 5 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
x xy y x y x y
x y x y
x y x y
x xy y x y x y
x y x y
x y x y
x xy y x y x y
x y x y
x y x y
mcm x y x y x
+ − = + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ + = + +
= + + ÷ ⋅
= + +
− − = − −
= − + ÷ ⋅
= − +
− + ( )+ 2y

43.43.43.43.43. ( )
( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )
6 6 2 3 1
3 3 3 1
1 1 1 1 1 1
2 3 1 1 1
6 1 1
2 2 2 3 2 2
2 2 2 2
4 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
b x b x b x x
a x a x a x x
x x x x x x
mcm a b x x x x
a b x x x
+ = ⋅ +
− = −
− = + − = + + −
⋅ + + −
⇒ + −
44.44.44.44.44. ( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )( )
x x x x x x
x x
x x x x
a x a x a x a x x x
a x x x
x x x x x x
mcm a x x x x x
4 3 3
3
2
2 4 2 3 2 2 2 2 2
2 2
4 3 2 2 2
2 2 2
8 4 32 4 8 4
8 4
2 2 4 4
2 8 2 8
4 2
2 4 8 2 2 4
2 2 2 4 4
+ − − = − + −
= + −
= + − + −
− − = − −
= − +
− + = − +
+ − + −
45.45.45.45.45. ( )
( )
( )
( )( )
( )( )( )( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
x x x x x x
x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x
x x x x
x x x x
x
4 2 4 2 2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
10 9 10 9 4 4
6 9 4
3 4
2 3 2 3
3 1 3 1
4 3 4 3 1 1
4 4 1
2 1
2 1 2 1 3 1
4 3 4 3 1 1
− + = − + + −
= − + −
= − −
= − − + −
= − + + −
+ + = + + + −
= + + −
= + −
= + + + − = + +
− + = − + + −
= −( )
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )
4 4 1
2 1
2 1 2 1 1 3
9 9 1 9 1
9 1
3 3 1
3 3 1 1 9 1
2
3 2 2
2
2 2
x
x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x
mcm x x x x x x
+ −
= − −
= − + − − = − −
− + − = + − +
= − +
= + − +
+ − + − ⇒ − −
46.46.46.46.46. ( )( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )( )
1 1 1
1 1
1 1 1
1 2 1
1 1 1
3 2
2
2 2
2 2
− = − + +
− = −
− = + −
− + = −
− + + +
a a a a
a a
a a a
a a a
mcm a a a a
47.47.47.47.47. ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
a ab b a b a b ab a b
b a ab b a a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b
a b ab ab a b
mcm a b a b a b
− = − = −
+ = + = +
− = − = + −
− = −
+ −
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
48.48.48.48.48. ( )( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )( )
m n m n m mn n
m n m n m n
m mn n m n
m mn n m mn n
mcm m n m mn n m n
3 3 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
27 3 3 9
9 3 3
6 9 3
3 9 3 9
3 3 9 3
− = − + +
− = − +
− + = −
+ + = + +
− + + +
EJERCICIO 118
1.1.1.1.1.
a
ab
a
b
2
=
2.2.2.2.2.
2
8
1
42
a
a b ab
=
3.3.3.3.3.
x y
x y xy
2 2
3 3
1
=
4.4.4.4.4.
ax
x y
a
x y
3
5 2
4 4
=
5.5.5.5.5.
6
3
2
2 3
3m n
m
mn=
6.6.6.6.6.
9
24
3
8
2 3
2 3 4 2
x y
a x y a xy
=
7.7.7.7.7.
8
24 3
4 3 2
2 2
3
m n x
mn x
m n
=
8.8.8.8.8.
12
32
3
8
3 4 5
2
2 2 4
x y z
xy z
x y z
=
9.9.9.9.9.
12
60
1
5
2 3
3 5 6 2 6
a b
a b x ab x
=
10.10.10.10.10.
21
28
3
4
3 6
4 2 2
4
3
mn x
m n x
nx
m
=
11.11.11.11.11.
42
26
21
13
2 3
4 5 2 2
a c n
a c m
n
a c m
=
12.12.12.12.12.
7
34
1
2
3 4 6
7 8 10 4 4 4
x y z
x y z x y z
=
13.13.13.13.13.
30
45
2
3
6 2
3 4 3
2 2
3 3
x y
a x z
x y
a z
=
14.14.14.14.14.
a b
a b c a b c
5 7
8 9 3 2
3
1
3
=
15.15.15.15.15.
21
63 3
8 10 12
4 2
4 9 10
a b c
a bc
a b c
=
16.16.16.16.16.
54
63
6
7
9 11 13
10 12 15 2
x y z
x y z xyz
=
17.17.17.17.17.
15
75 5
12 15 20
11 16 22 2
a b c
a b c
a
bc
=
18.18.18.18.18.
75
100
3
4
7 5
3 12 3
4
7 3
a m
a m n
a
m n
=

EJERCICIO 119
1.1.1.1.1.
( ) ( )
3
2 2
3
2
3
2
2 3 2
ab
a x a
ab
a x a
b
a x a+
=
+
=
+
2.2.2.2.2.
( ) ( )
xy
x y xy
xy
xy x y x y3 3 3
1
3
2 2
−
=
−
=
−
3.3.3.3.3.
( )
( )
2 4
3 6
2 2
3 2
2
3
ax bx
ay by
x a b
y a b
x
y
+
+
=
+
+
=
4.4.4.4.4.
( )( )x x
x
x x
x
x
2
2 3
3
3 1
3
1
− −
−
=
− +
−
= +
5.5.5.5.5.
( ) ( ) ( )
10
80 8 8
2 3
3 2
2 3
2
3
a b c
a a b
a b c
a a b
b c
a b−
=
−
=
−
6.6.6.6.6.
( )( )
( )
x
ax a
x x
a x
x
a
2
4
5 10
2 2
5 2
2
5
−
+
=
+ −
+
=
−
7.7.7.7.7.
( ) ( )
( )( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
3 4 15
5 6
3 4 3 45
3 2
3 9 3 5 3
3 2
3 3 5
3 2
3 5
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
− −
− +
=
− −
− −
=
− + ÷
− −
=
− +
− −
=
+
−
8.8.8.8.8.
( )
( )
15 45
10 30
15 3
10 3
3
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
a bn a bm
a b n a b m
a b n m
a b n m b
−
−
=
−
−
=
9.9.9.9.9.
( )( )
( )
x y
x xy y
x y x y
x y
x y
x y
2 2
2 2 2
2
−
+ +
=
+ −
+
=
−
+
10.10.10.10.10.
( )
( )( )
3 15
25
3 5
5 5
3
5
2
2
x y xy
x
xy x
x x
xy
x
+
−
=
+
+ −
=
−
11.11.11.11.11.
( )
( )( )
a ab b
a b
a b
a b a ab b
a b
a ab b
2 2
3 3
2
2 2 2 2
4 4
8
2
2 2 4
2
2 4
− +
−
=
−
− + +
=
−
+ +
12.12.12.12.12.
( )
( )
( )( )
( )( )
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x
x
3 2
3
2
2
4 21
9
4 21
9
7 3
3 3
7
3
+ −
−
=
+ −
−
=
+ −
+ −
=
+
+
13.13.13.13.13.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
6 5 6
15 7 2
6 5 6 36
15 7 15 30
6 9 6 4 3 2
15 10 15 3 5 3
2 3 3 2
3 2 5 1
2 3
5 1
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
+ −
− −
=
+ −
− −
=
+ − ÷ ⋅
− + ÷ ⋅
=
+ −
− +
=
+
+
14.14.14.14.14.
( ) ( ) ( )( )
a
a a a
a
a a a
a
a a a
3
4 3
3
3
3
3
1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
+
− + −
=
+
− + −
=
+
+ −
=
−
15.15.15.15.15.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 4 2
4 2 8
2 2 2
2 4 2
2 2
4 2
2
4
ax ay bx by
ax a bx b
x a b y a b
x a b a b
x y a b
x a b
x y
x
+ − −
− − +
=
− + −
− − −
=
+ −
− −
=
+
−
16.16.16.16.16.
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
a ab b
a x a bx ab x
a b a b
ax a b b
a b a b
ax a b
a b
ax a b
2 2
3 2 2
2 2 2
6
6 9
3 2
6 9
3 2
3
2
3
− −
− +
=
− +
− +
=
− +
−
=
+
−
17.17.17.17.17.
( )( )
m n
m n
m n
m n m n m n
2 2
4 4
2 2
2 2 2 2 2 2
1+
−
=
+
+ −
=
−
18.18.18.18.18.
( )
( )( )
( ) ( )
x y
x y
x y x xy y
x y
x xy y
x y
3 3
3
2 2
3
2 2
2
+
+
=
+ − +
+
=
− +
+
19.19.19.19.19.
( ) ( )
( )( )
m n
m n
m n
m n m n
m n
m n
−
−
=
−
+ −
=
−
+
2
2 2
2
20.20.20.20.20.
( ) ( )
( )( )
( )a x
a x
a x
a x a ax x
a x
a ax x
−
−
=
−
− + +
=
−
+ +
3
3 3
3
2 2
2
2 2
21.21.21.21.21.
( )( )
( )( )
a a
a a
a a
a a
a
a
2
2
20
7 10
5 4
5 2
4
2
− −
− +
=
− +
− −
=
+
−
22.22.22.22.22.
( ) ( )( )[ ]
( )
( )
1
2 1
1 1
1
1
2 2
2
2
2
2−
+ +
=
+ −
+
= −
a
a a
a a
a
a
23.23.23.23.23.
( )
( )( )
a b a b
a b
a b a b
a b a b
a b
a b
4 2 2 4
4 4
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
−
−
=
−
+ −
=
+
24.24.24.24.24.
( )( )
( )( )
x y
x y
x y x y
x y x xy y
x y
x xy y
2 2
3 3 2 2 2 2
−
−
=
+ −
− + +
=
+
+ +
25.25.25.25.25.
( )
( )
( )
( )
24 8
36 24 4
8 3
4 9 6
2 3
3
2
3
3 2 2
4 3 2 2
2
2 2 2 2
a b a b
a a b a b
a b a b
a a ab b
b a b
a b
b
a b
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+
=
+
26.26.26.26.26.
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
n n
n n
n n
n n
n n n
n n
n n
n
3
2
2
5 6
1
6 1
1 1
6 1
1
6
−
− −
=
−
− +
=
+ −
− +
=
−
−
27.27.27.27.27.
( )( )
( )
8 1
8 4 2
2 1 4 2 1
2 4 2 1
2 1
2
3
3 2
2
2
n
n n n
n n n
n n n
n
n
+
− +
=
+ − +
− +
=
+

28.28.28.28.28. ( )
( )
( )( )
( )( )
a b c
a b c
a b c a b c
a b c a b c
a b c
a b c
2 2
2 2
− −
+ −
=
+ − − +
+ − + +
=
− +
+ +
29.29.29.29.29. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
a b c d
a c b d
a b c d a b c d
a b c d a b c d
a b c d
a b c d
+ − −
+ − −
=
+ + − + − +
+ + − − + +
=
+ − +
− + +
2 2
2 2
30.30.30.30.30.
( )
( )
3 9
6 9
3 3
3
3
3
3 2
2
2
2
2
x x
x x
x x
x
x
x
+
+ +
=
+
+
=
+
31.31.31.31.31. ( )
( )( )
( )
( )
10
6 6 6
10
6
5
3
2 3 3
4 3 2 2
2 2 2
2 2 2
a a b
a a b a b
a a b a ab b
a a ab b
a b
+
− +
=
+ − +
− +
=
+
32.32.32.32.32.
( )
( )
( )
( )
a a ab
x a ab
a a b
ax a b
a
x
4 8
3 6
4 2
3 2
4
3
2
2
2
−
−
=
−
−
=
33.33.33.33.33.
( )
( )
x x
x x
x x
x
x
x
3 2
2
2
2
2
6
12 36
6
6 6
−
− +
=
−
−
=
−
34.34.34.34.34. ( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
x y
x x y
x y
x x y
x y
x x y x xy y
x y
x x xy y
−
−
=
−
−
=
−
− + +
=
−
+ +
4
64
4
64
4
4 4 16
4
4 16
2
5 2 3
2
2 3 3
2
2 2 2
2 2 2
35.35.35.35.35.
( )
( )
x xy
x x y y
x x y
x y
x
x y
3 2
4 2 2 4
2 2
2 2 2 2 2
3
6 9
3
3 3
−
− +
=
−
−
=
−
36.36.36.36.36.
( )
( )( )
m n m n mn
m
mn m m
m m m
mn
m
3 2
3
2
2
3 9
27
3 9
3 3 9 3
+ +
−
=
+ +
− + +
=
−
37.37.37.37.37.
( )( )
( )( )
x x
x
x x
x x
x
x
4 2
4
2 2
2 2
2
2
8 15
9
5 3
3 3
5
3
− +
−
=
− −
+ −
=
−
+
38.38.38.38.38.
( )( )
( )( )
a a
a a
a a
a a
a
a
4 2
4 2
2 2
2 2
2
2
6 7
8 9
7 1
9 1
7
9
+ −
+ −
=
+ −
+ −
=
+
+
39.39.39.39.39.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
3 19 20
6 17 12
3 19 3 60
6 17 6 72
3 15 3 4 3
6 8 6 9 2 3
5 3 4
3 4 2 3
5
2 3
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
+ +
+ +
=
+ +
+ +
=
+ + ÷
+ + ÷ ⋅
=
+ +
+ +
=
+
+
40.40.40.40.40.
( ) ( )
( )( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
4 15 4
8 20
4 15 4 16
10 2
4 16 4 1 4
10 2
4 4 1
10 2
2 2 4 1
10 2
2 4 1
10
4 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a a
a a
a a
a
− −
− −
=
− −
− +
=
− + ÷
− +
=
− +
− +
=
+ − +
− +
=
− +
−
41.41.41.41.41.
( )
( )
( )( )
( )
( )
125
2 20 50
125
2 10 25
5 25 5
2 5
5 25
2 5
4
3 2
3
2
2
2
2
a a
a a a
a a
a a a
a a a
a
a a
a
+
+ +
=
+
+ +
=
+ − +
+
=
− +
+
42.42.42.42.42.
( )
( )
( )( )
( )( )
( )
a n a
an an a
a n
a n n
a n n
n n
a n
n
2 2 2
2
2 2
2
36
30
36
30
6 6
6 5
6
5
−
+ −
=
−
+ −
=
+ −
+ −
=
−
−
43.43.43.43.43.
( ) ( )
( )( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
3 5 8
3 5 3 24
3 8 3 3 3
3 8
3 8
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
m mn n
m n
m n m n
m n m mn n
m n m n
m n m mn n
m n m n
m n m mn n
m n
m mn n
+ −
−
=
+ −
− + +
=
+ − ÷
− + +
=
+ −
− + +
=
+
+ +
44.44.44.44.44.
( )
( )
15 18
20 24
3 5 6
4 5 6
3
4
3 2
2 2 2
2
2
a b a b
a b ab
a b a
ab a
a
b
−
−
=
−
−
=
45.45.45.45.45.
( )
( )
( )
( )( ) ( )
9 24 16
9 16
3 4
9 16
3 4
3 4 3 4
3 4
3 4
2
4 2
2
2 2
2
2 2
x x
x x
x
x x
x
x x x
x
x x
− +
−
=
−
−
=
−
+ −
=
−
+
46.46.46.46.46.
( )
( )
( )( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
( )
( )
16 25
12 7 10
16 25
12 7 10
4 5 4 5
12 7 12 120
4 5 4 5
12 15 12 8 3 4
4 5 4 5
4 5 3 2
4 5
3 2
2
3 2
2
2
2
a x x
a a a
x a
a a a
x a a
a a a
x a a
a a a
x a a
a a a
x a
a a
−
− −
=
−
− −
=
+ −
− −
=
+ −
− + ÷ ⋅
=
+ −
− +
=
+
+
47.47.47.47.47.
( )
( )
( )( )
( )
( )
8
4 4
8
4 4
2 4 2
2
4 2
2
4 3
4 3 2 2
3 3
2 2 2
2 2
2
2 2
x xy
x x y x y
x x y
x x xy y
x y x xy y
x x y
x xy y
x x y
−
− +
=
−
− +
=
− + +
−
=
+ +
−

48.48.48.48.48.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
3 4 6 8
6 5 4
3 2 4 2
6 5 6 24
3 4 2
6 8 6 3 2 3
3 4 2
3 4 2 1
2
2 1
2
2
an a bn b
n n
n a b a b
n n
n a b
n n
n a b
n n
a b
n
− − +
− −
=
− − −
− −
=
− −
− + ÷ ⋅
=
− −
− +
=
−
+
49.49.49.49.49.
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x
4 2
3 2
2 2
2
2
49
2 63
7 7
2 63
7 7
9 7
7
9
−
+ −
=
+ −
+ −
=
+ −
+ −
=
+
+
50.50.50.50.50.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
x x x y y
x x x y y
x x y x y
x x y x y
x x y
x x y
x x x
x x
x x
x
4 3
3 2
3
2
3
2
2
2
1
1
1 1
1 1
1
1
+ − −
− − +
=
− + −
− − −
=
+ −
− −
=
+ − +
+ −
=
− +
−
51.51.51.51.51.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 6 3
3 3
2 3 3
3 3
2 1 3
1 3
2 1
1
3 2
3 2
2
2
2
2
2
2
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
x
+ − −
+ + +
=
+ − +
+ + +
=
− +
+ +
=
−
+
52.52.52.52.52.
( ) ( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
( )
a m am a n an
a a a
am a an a
a a a
a m n a
a a a
m n a a
a a a
m n a
a a
3 3
4 3 2
2 2
2 2
2
2
4 4
4 12
4 4
4 12
4
6 2
2 2
6 2
2
6
− + −
− −
=
− + −
− −
=
+ −
− +
=
+ + −
− +
=
+ −
−
53.53.53.53.53. ( )
( )
( )( )
( )( )
4 3
2 9
2 3 2 3
2 3 2 3
2 3
2 3
2 2
2
a x
a x
a x a x
a x a x
a x
a x
− −
+ −
=
+ − − +
+ + + −
=
− +
+ +
54.54.54.54.54.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
m am n an
a a a
m a n a
a a a
m n a
a a a a a
m n a
a a a
n
a a
m n
a
− + −
− + −
=
− + −
− − −
=
+ −
− + + − −
=
+ −
− − +
=
+
− +
=
+
−
1 3 3
1 1
1 3 1
1
1 1 3 1
1
1 1 2
2 1 1
2 3
3
2
2
2 2
m
55.55.55.55.55.
( )
( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )( ) ( )
6 3
42 9 15
3 2 1
3 14 3 5
2 1
14 3 14 70
2 1
14 10 14 7 2 7
2 1
7 5 2 1
1
7 5
2
5 3
2
4 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2 2 2
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x x x
+
− −
=
+
− −
=
+
− −
=
+
− + ÷ ⋅
=
+
− +
=
−
56.56.56.56.56.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
a a a
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a
a
2 3
2 3
2
2
2
2
2
2
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
− − +
+ − −
=
− − −
− + −
=
− −
+ −
=
−
+
57.57.57.57.57.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
( )
8 12 6
6
6 2 8
6 6 6
6 2 2 4 2
6 3 6 2 3 2
2 4 4
2 3
2
3
3 2 2 3
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2 2
x x y xy y
x xy y
xy x y x y
x y x y
xy x y x y x xy y
x y x y
x y x xy y
x y x y
x y
x y
+ + +
+ −
=
+ + +
+ −
=
+ + + − +
+ − ÷ ⋅
=
+ + +
+ −
=
+
−
58.58.58.58.58.
( )( )
( )
8 125
25 20 4
2 5 4 10 25
2 5
4 10 25
2 5
3
2
2
2
2
n
n n
n n n
n
n n
n
−
− +
=
− + +
−
=
+ +
−
59.59.59.59.59.
( )
( )
( )( )
( )( )
6
15 2
6
2 15
3 2
5 3
2
5
2
2
2
2
− −
+ −
=
− + −
− − −
=
+ −
− +
=
−
−
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
60.60.60.60.60.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )
( )( )
3 2 8
4 5 6
8 2 3
6 5 4
8 2 8 24
6 5 6 24
8 6 8 4 2 4
6 8 6 3 2 3
4 3 2 1
3 4 2 1
4 3
3 4
2
2
2
2
2
2
+ −
+ −
=
− − −
− − −
=
− −
− −
=
− + ÷ ⋅
− + ÷ ⋅
=
− +
− +
=
−
−
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
61.61.61.61.61.
( )( )
( )
m n mn
mn m n
mn mn
mn
mn
mn
2 2
2 2
2
3 10
4 4
5 2
2
5
2
+ −
− +
=
+ −
−
=
+
−
62.62.62.62.62.
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( )( )
( )
( )( )
x x y b x b y
b bx x
x x y b x y
b x
x b x y
x b
x b x b x y
x b
x b x y
x b
3 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
4 4
4 4
4
2
4
2
2 2
2
2
2
+ − −
− +
=
+ − +
−
=
− +
−
=
+ − +
−
=
+ +
−

69.69.69.69.69.
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x
x
3 2
2
2
3 2
2
2
2
2
3 4
1 3 0 4 2
2 2 4
1 1 2 0
2 2
2 2 1
2 1
8 12
1 1 8 12 2
2 2 12
1 1 6 0
2 6
2 3 2
2 3
2 1
2 3
1
3
+ −
− −
− −
−
= + + −
= + + −
= + −
+ − −
− − −
−
− −
= + − −
= + − +
= + −
⇒
+ −
+ −
=
−
−
70.70.70.70.70.
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x
x x
3 2
2
2
4 3 2
3
2
2
2
2
8 12
1 1 8 12 2
2 2 12
1 1 6 0
2 6
2 3 2
2 3
2 7 20 12
1 2 7 20 12 2
2 0 14 12
1 0 7 6 0
2 7 6
1 0 7 6 2
2 4 6
1 2 3 0
2 2 2 3
2 3 1
2 3
2
− − +
− −
−
−
= − + −
= − + −
= − +
− − + −
− − −
−
−
− − +
−
−
−
= − − + −
= − + −
⇒
− +
− +( )( )3 1
1
1
x
x
−
=
−
63.63.63.63.63.
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
x x
x x y x y
x x
x x y x y
x x
x x y
x
x y
6 3
4 3
3 3
3
3 3
3
3
2
2 1
2 1
1
2
+ −
− − +
=
+ −
− − −
=
+ −
− −
=
+
−
64.64.64.64.64. ( )( )
( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
2 2
2 2
2 9
2 3 6
2 1 3 3
3 1 3 2
1
− − −
− − + −
=
− + + −
− + + −
=
65.65.65.65.65. ( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
( ) ( )( )[ ]
( )( )
( )( )( )
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a
a a a
a a
a a a
a
a
2 2
2 2
2 2
2
2
2
4 4 4 4 1
6 2 5 2
2 2 1
3 2 2 5 2 4
2 2 1
3 2 4 2 1 2
2 2 1
3 2 2 1
2 1
3
− + − +
+ − − +
=
− −
+ − − +
=
− −
+ − − ÷
=
− −
+ − −
=
−
+
66.66.66.66.66. ( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x
x x
3 3
4 3 2 2
2 2
2 2
2
3 1
1
3 1 1
1 1 1
3
1
− −
+ + −
=
− − + +
+ + + −
=
−
+
67.67.67.67.67. ( )( )
( )( )
( ) ( )[ ]( )( )
( ) ( )[ ]( )
( )( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( )[ ]
( )( )( )( )
( ) ( )( )
4 4 3 7 30
2 7 3 4 12 9
4 4 4 12 10 3
2 7 2 6 2 3
10 3 4 6 4 2 2 2
2 3 2 6 2 1 2
10 3 2 3 2 1
2 3 3 2 1
10
2 3
2 2
2 2
2
2 2
2
2
n n n n
n n n n
n n n n
n n n
n n n n
n n n
n n n n
n n n
n
n
+ − + −
− + + +
=
+ − + −
− + +
=
+ − + − ÷ ⋅
+ − − ÷ ⋅
=
+ − + −
+ − −
=
+
+
68.68.68.68.68. ( )( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
x y x y
x y x x y xy y
x y x y x y
x y x x y y x y
x y x y
x y x y
x y
x y
6 6
3 3 3 2 2 3
3 3 3 3
3 3 2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
− +
− + + +
=
+ − +
− + + +
=
+ +
+ +
=
+
+
71.71.71.71.71.
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
4 2
3 2
2
4 3 2
3 2
2
7 2 8
1 0 7 2 8 2
2 4 6 8
1 2 3 4 0
2 2 3 4
1 2 3 4 1
1 1 4
1 1 4 0
2 1 4
2 9 10 24
1 2 9 10 24 2
2 8 2 24
1 4 1 12 0
2 4 12
1 4 1 12 3
3 3 12
1 1 4 0
2 3
− − +
− − −
− −
− −
+ − − +
− −
− −
− −
+ − − −
− − + +
− − −
− −
− −
+ − − +
− −
− −
− −
+ − ( )
( )( )( )
( )( )( )
− −
⇒
+ − − −
+ − − −
=
−
−
x
x x x x
x x x x
x
x
4
2 1 4
2 3 4
1
3
2
2
72.72.72.72.72.
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
a a a
a a a
a a
a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a
5 3 2
2 3 3
2 3
2 2
5 4 3 2
4 3 2
2 3
1
1 1
1 1
1 1 1
2 6 8 5 6
1 2 6 8 5 6 1
1 1 7 1 6
1 1 7 1 6 0
1 7 6
1 1 7 1 6 1
1 0 7 6
1 0 7 6 0
1 7 6
1 0 7 6 1
1 1 6
1 1
− − +
= − − −
= − −
= − + + +
− − + + −
− − −
− −
− −
− − − + +
− −
− −
− −
− − −
− − −
−
− −
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )
6 0
1 1 6
1 1 3 2
1 1 1
1 1 3 2
1
3 2
2 2
2
2 2
2
2
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a
− + − −
= − + − +
⇒
− + + +
− + − +
=
+ +
− +

EJERCICIO 120
1.1.1.1.1.
( )
( )
( )
( )
4 4
6 6
4 1
6 1
4 1
6 1
2
3
−
−
=
−
−
= −
−
−
= −
x
x
x
x
x
x
2.2.2.2.2.
( )
( )
a b
b a
a b
a b
2 2
2 2
2 2
2 2
1
−
−
= −
−
−
= −
3.3.3.3.3.
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
m n
n m
m n m n
n m n m
m n m n
m n m n
m n
m n
2 2
2
−
−
=
+ −
− −
=
+ −
− −
=
+
−
4.4.4.4.4.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
2
2
12
16
4 3
4 4
4 3
4 4
3
4
− −
−
=
− +
− +
= −
− +
− +
= −
+
+
5.5.5.5.5.
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( )
3 6
2 2
3 2
2
3 2
2
3 2
2
3
y x
mx my nx ny
y x
x m n y m n
y x
x y m n
x y
x y m n m n
−
− − +
=
−
− − −
=
−
− −
= −
−
− −
= −
−
6.6.6.6.6.
( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 9 5
10 3
2 9 2 10
3 10
2 10 2 1
5 2
5 2 1
5 2
2 1
2
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
− −
+ −
= −
− −
− −
= −
− +
− +
= −
− +
− +
= −
+
+
7.7.7.7.7.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
8
2 8
2 4 2
4 2
2 4 2
4 2
2 4
4
3
2
2 2 2
−
+ −
=
− + +
+ −
= −
− + +
+ −
= −
+ +
+
a
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a
a
8.8.8.8.8.
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
a a
n an m am
a a
n a m a
a a
n m a
a a
m n a
a
m n
2
2
2 1
1 1
2 1
1
2 1
1
2
+ −
− − +
=
+ −
− − −
=
+ −
− −
=
+ −
− −
=
+
−
9.9.9.9.9.
( )
( )
( )
( )
4 4
5 10
2
5 2
2
5 2
2
5
2 2
2 2
x xy y
y x
x y
y x
x y
x y
x y− +
−
=
−
−
= −
−
−
= −
−
10.10.10.10.10.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
3 3
3 3
3
3
3
3
3
3
1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
mx nx my ny
ny nx my mx
m x y n x y
m y x n y x
m n x y
n m y x
m n x y
m n x y
x y
x y x y x y
− − +
− − +
=
− − −
− − + −
=
− −
− −
=
− −
− −
=
−
+ −
=
+
11.11.11.11.11.
( )
( )( )
9 6
7 12
3
4 3
3
4
2
2
2
− +
− +
=
−
− −
=
−
−
x x
x x
x
x x
x
x
12.12.12.12.12.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
a b
b a
a b a b
b a b ab a
a b a b
a b b ab a
a b
b ab a
2 2
3 3
2 2
2 2 2 2
−
−
=
+ −
− + +
= −
+ −
− + +
= −
+
+ +
13.13.13.13.13.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
3 3 6 6
2 2
3 6
2
3 2
2
3 2
2
3
ax bx a b
b a bx ax
x a b a b
b a x b a
x a b
x b a
x a b
x a b
− − +
− − +
=
− − −
− − −
=
− −
− −
=
− −
− −
=
14.14.14.14.14.
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
a x
x ax x a
a x a x
x x a x a
a x a x
x x a
a x a x
x a x
a x
x
2 2
2
3 3
3
3 3 3
−
− − +
=
+ −
− − −
=
+ −
− −
=
+ −
− −
=
+
−
15.15.15.15.15.
( )
( )( )
( )
( )( )
3 6
8
3 2
2 4 2
3 2
2 4 2
3
4 2
3
2
2 2
bx x
b
x b
b b b
x b
b b b
x
b b
−
−
=
−
− + +
= −
−
− + +
= −
+ +
16.16.16.16.16.
( ) ( )
( )
( )
1
1
1
1
1
3 3
2−
−
= −
−
−
= − −
a
a
a
a
a
17.17.17.17.17.
( )
( )
( )
( )
2 2 2
3 3 3
2
3
2
3
2
3
3 2 2
3 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x x y xy
y xy x y
x x xy y
y y xy x
x x xy y
y x xy y
x
y
− −
+ −
=
− −
+ −
= −
− −
− −
= −
18.18.18.18.18.
( )
( )
( )
( )
a b
b a
a b
a b
a b
−
−
=
−
−
= −
3
2
3
2

19.19.19.19.19.
( ) ( )[ ]
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
2 22 60
75 3
2 22 2 120
3 25
2 12 2 10
3 5 5
2 12 5
3 5 5
2 6 5
3 5 5
2 6
3 5
2
2
2
2
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
− +
−
=
− +
−
=
− −
− +
=
− −
− +
=
− −
− +
=
−
+
20.20.20.20.20.
( )
( )
( )
( )( )
6 3
4 4
3 2
2
3 2
2 2
3
2
2 2 2
4 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
an b n
b ab a
n a b
b a
n a b
a b a b
n
a b
−
− +
=
−
−
=
−
− −
=
−
21.21.21.21.21.
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
x y z
y z x
x y z x y z
y z x y z x
z y x y x z
z y x y z x
y x z
x y z
− −
+ −
=
− − − +
+ − + +
=
+ − − −
+ − + +
=
− −
+ +
2 2
2
22.22.22.22.22.
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( )
3 3
3
3 3 3
2
a ab
bd ad bc ac
a a b
d b a c b a
a a b
d c b a
a a b
c d a b
a
c d
−
− − +
=
−
− − −
=
−
− −
=
−
− −
=
−
23.23.23.23.23.
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
x
x
x
x x x
x
x x x
x
x x
−
−
=
−
− + +
= −
−
− + +
= −
−
+ +
5
125
5
5 25 5
5
5 5 25
5
5 25
3
3
3
2
3
2
2
2
24.24.24.24.24.
( )13 6 6
6 13 6
6 13 6
6 13 6
1
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
− −
− +
= −
− +
− +
= −
25.25.25.25.25.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 1 2 1
2 1
2 1
1
3 2 2 2
2 2 3 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x xy x y
xy y x x
x x y x y
y x x x
x x y
x y x
x y
x y
− + −
+ − −
=
− + −
+ − +
=
+ −
+ −
= −
−
−
= −
26.26.26.26.26.
( )
( )( )
( )
( )( )
30 45 20
8 27
5 6 9 4
2 3 4 6 9
5 4 6 9
2 3 4 6 9
5
2 3
2 2 3
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
x y xy x
x y
x xy y x
x y x xy y
x x xy y
x y x xy y
x
x y
− −
+
=
− −
+ − +
= −
− +
+ − +
= −
+
27.27.27.27.27.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
n n n
n n n
n n n
n n n
n n
n n
n n
n n
n
n
+ − −
− − +
=
+ − +
− − −
=
− +
− −
=
− +
− −
=
+
−
1
2 2
1 1
1 2 1
1 1
2 1
1 1
2 1
1
2
3 2
3 2
2
2 2
2
2
2
2
28.28.28.28.28.
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )
( )
( )( )
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x
x x
x
− + −
− −
=
− + −
− −
=
− + −
−
=
− +
−
2 12
2 3
2 4 3
2 3
2 4 3
3
2 4
3
2 2
2
2
2
2
29.29.29.29.29.
( )
( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
5 15
90 10
5 3
10 9
3
2 3 3
3
2 3 3
1
2 3
3 2
3 2 5
2
3 2 2
x x y
x y x
x x y
x y x
x y
x y x y x
x y
x x y y x x y x
−
−
=
−
−
=
−
− +
= −
−
− +
=
−
+
30.30.30.30.30.
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )
( )
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
2 2
2 2
1 8 16
4 1
1 1 4 4
4 1 1
1 4
1
4
− − +
− −
=
+ − − −
− + −
=
− −
−
=
−

EJERCICIO 121
1.1.1.1.1.
( )
a a x a x ax
a a x a x ax
Factor común a
a a x ax x a a x ax x
a a x ax x
ax x x
a a x ax x a x
a a x a x
ax x mcd a a x
ax x a ax
a a x a
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 3 2
3 2 2 3
3 2 2 2
2 3
2 3 2
4 3 2
2 2
2 2
2 2 1
3 3 3
2 2
2
2 2
2 2
− + −
− − +
− + − − − +
− + + −
− ÷
− − + −
− + −
− + = −
+ − = −
− + x ax a ax
a a x a x
a x ax
a x ax
a a x a x ax a ax
a a x a x
a x ax
a x ax
a x
a x
Rta
2 3 2
4 3 2 2
2 2 3
2 2 3
4 3 2 2 3 2
4 3 2 2
2 2 3
2 2 3
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
− −
− + +
−
− +
− − + −
− + −
− +
+ −
=
+
−
.
2.2.2.2.2.
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x mcd x x
x x x x x
4 3 2
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
2
4 3 2 2
4 3 2 2
2
2 2
2 2
4 3 2 2
3 4 3 5
3 6 3 5
3 4 3 5 3 6 3 5
3 6 3 5 1
2 6 10 2
3 6 3 5 3 5
3 5
3 5
3 5 3 5
3 5 1 3 5
3 4 3 5
+ + − −
+ + + +
+ + − − + + + +
− − − − −
− − − ÷ −
+ + + + + +
− − −
+ +
+ + + +
− − − + +
⇒ + + − − +3 5
3 5 1
3 5
3 5
3 6 3 5 3 5
3 5 1
3 5
3 5
1
1
4 3 2 2
2
2
4 3 2 2
4 3 2 2
2
2
2
2
x
x x x x
x x
x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
Rta
+
− − − −
− − −
+ +
+ + + + + +
− − − +
+ +
− − −
=
−
+
.
3.3.3.3.3.
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 3
3 4 3 3 2
6 3 3 6 6 6 8 2 6 6 5
6 8 2 6 6 1
5 5 12 12 6
30 40 10 30 30 30 30 72 72 6
30 30 72 72
10
4 3 2
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
3 2
4 3 2 3 2
4 3 2
3
ax ax ax ax a
ax ax ax ax a
Factor común a
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x x x x x x x
x x x x x
x
− − − +
− + + −
− − − + − + + −
− + − − +
− − +
− + + − − − + ÷
− + + −
− + ( )
( )
( )
( )
( )
( )
82 42 30 2
5 5 12 12 5 41 21 15 12
5 41 21 15 1
36 33 3 3
60 492 252 180 12 11 1 437
60 55 5 5
437 257 180 12
5 244 4 807 437 5 244 3 084 2 160 12
5 244 3 084 2 160 1
2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2 2
2
x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
− − ÷ −
− − + − + +
− + − −
− − ÷
− + + − −
− + +
− + + −
− − − − ÷
− + +
. . . . .
. . .
( )
( )
( )
− + ÷ −
− − −
− +
− ÷
− − = −
− + = −
1723 1723 1 723
437 257 180 1
437 437 437
180 180 180
1 1 1
1 1
2
2
x
x x x
x x x
x
x x mcd a x
x ax a
.
⇒ − − − + −
− + + −
−
− +
− +
+ −
− + + − −
− + − +
− +
+ −
−
− +
=
+ −
− +
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
3 4 3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
2 2
3 3
4 3 2
4 3 3 2
3 2
3 2
4 3 2
4 3 3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
ax ax ax ax a ax a
ax ax x x
ax ax
ax ax
ax a
ax a
ax ax ax ax a ax a
ax ax x x
ax ax
ax ax
ax a
ax a
x x
x x
Rta.

4.4.4.4.4.
( )
( )
( )
( )
( )
6 13 18 8 10
10 9 11 12 6
60 130 180 80 60 54 66 72 6
60 54 66 72 1
76 114 152 38
10 9 11 12 2 3 4
10 15 20 5
6 9 12 3
2 3 4 2 3 4
2 3 4 1 2
3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2 2
2
x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x mcd x
− + −
− + +
− + − − + + ÷
− + − −
− + − ÷ −
− + + − +
− + −
− + ÷
− + − +
− + − = 2
3 2 2
3 2
2
2
3 2 2
3 2
2
2
3 4
6 13 18 8 2 3 4
6 9 12 3 2
4 6 8
4 6 8
10 9 11 12 2 3 4
10 15 20 5 3
6 9 12
6 9 12
3 2
5 3
− +
− + − − +
− + − −
− + −
+ − +
− + + − +
− + − +
− +
− + −
=
−
+
x
x x x x x
x x x x
x x
x x
x x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
Rta.
5.5.5.5.5.
( )
( )
( )
( )
x x y x y xy
x x y x y xy
Factor común x
x x y xy y
x y y y
x x y xy y x y
x xy x
x y xy y y
x y x xy
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 3
3 2 2 3 2 2
3 2
2 2 3
2 2 2
2 2 2
2 5 4
2 4 4 2 2 5 4
2 5 4 1
2 5 4 5
2 2 2
5 6
5 5 5 6
− + −
− + −
− + − − + −
− + − +
− ÷
− + − −
− +
− + − ÷ −
− −
( )
( )
( )
+
− + −
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −
− −
− + − = −
y
x xy y
xy y y
x xy y x y
x xy x
xy y y
x y x y
x y mcd x x y x xy
2
2 2
2
2 2
2
2
2
5 6 1
6 6 6
5 6
5 5 5
1
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
5.5.5.5.5. x x y x y xy x xy
x x y x xy y
x y x y xy
x y x y
x y xy
x y xy
x x y x y xy x xy
x x y x xy y
x y x y
x y x y
x y xy
x y xy
x xy y
x xy y
Rta
4 3 2 2 3 2
4 3 2 2
3 2 2 3
3 2 2
2 2 3
2 2 3
4 3 2 2 3 2
4 3 2 2
3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 3
2 2
2 2
2 2
2
2 5 4
2 2 2 3
3 4
3 3
2 3
− + − −
− + − +
− + −
+ −
−
− +
− + − −
− + − +
− +
+ −
−
− +
=
− +
− +
.
6.6.6.6.6.
( )
( )
( )
( )
2 2 2 3 3
3 3 4 5 2
6 3 6 6 9 6 2 6 8 10 2
6 2 6 8 10 1
2 1 1
5 4 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
5 4 3 2
4 2
a a a a
a a a a
a a a a a a a a
a a a a
a a
− + + +
− + + +
− + + + − + + + ÷
− + − − −
− − − ÷ −
( )
( )
3 3 4 5 2 1
3 6 3 3
3 4 3 5 1
2 1 3 4 3 5
3 4 3 5 1
3 6 3 6 3
3 4 3 5 2 2
2 2
5
5 4 3 2 4 2
5 3
4 3 2
4 2 4 3 2
4 3 2
3 2
4 3 2 3 2
4 3 2
3
a a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a a a
a a a a
a a a
a a a a a a a
a a a a a
a
− + + + + +
− − −
− − + − + −
+ + + − + −
− − + − +
− + − + ÷ −
+ − + − − + −
− + − +
( )
( )
( )
− + − ÷
− + − − + −
− + − +
− − ÷ −
− + − +
− −
− − ÷ −
+ +
− − = +
5 5 5 5
2 2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1
2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3
2
2 2
2 2
a a
a a a a a a
a a a
a
a a a a
a a a
a
a a
a mcd a

6.6.6.6.6. ⇒ − + + + +
− − − +
− + +
+ +
+
− −
− + + + +
− − − +
− + +
+ +
+
− −
=
− +
− +
2 2 2 3 1
2 2 2 3
2 3
3 3
3 3
3 3 4 5 1
3 3 3 5
4 5
5 5
5 5
2 3
3 5
5 4 3 2 2
5 3 3 2
4 2
4 2
2
2
5 4 3 2 2
5 3 3 2
4 2
4 2
2
2
3 2
3 2
a a a a a
a a a a
a a
a a
a
a
a a a a a
a a a a
a a
a a
a
a
a a
a a
Rta.
7.7.7.7.7.
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2
1 2 2 1
1 2 2 1 3
1 1
3 2 2
3 3 3 3 2 2
3 2 2 1
3 2 2 1
3 4 2 3 4
2 3 4
2 3
2 3 4 2
2
2 3 4
2 2 3
2 3
2 3
2 3 2
− − + − − − +
− + + + −
+ + ÷
− − − + + +
− − −
− − − + ÷ −
+ + + + −
− − − +
+ + ÷
+ + − + +
−
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x
x x x x x
( )
3 3 3 3
1 1
1 1 1
2
2 3
2 2
2 2
− −
− − − ÷ −
+ + + +
− − − = + +
x x
x x x x
x x x x
x x mcd x x
⇒ − − + + +
− − − − +
− − − +
+ + +
+ +
− − −
1 1
1 1 2
2
2 2 2
3 4 2
2 2
2 3 4
2 3
2 3 4
2 3 4
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
7.7.7.7.7. 1 2 2 1
1 1 3
3 2 2
3 3 3
1 2
1 3
2 3 4 2
2 2
2 3 4
2 3
2 3 4
2 3 4
2
2
− − − + + +
− − − − +
− − − +
+ + +
+ +
− − −
=
− +
− +
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
Rta.
8.8.8.8.8.
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2 2
3 3
3 3 3
2 2
2 2 2
3 3
3 3 3
3 2 2 3
2 2 2 2 2 2
3 2 2
2 2 2
3 2 2 3
3 2 2 2
2 3
2 3
3 2 2
3 2 2
m m n mn n
m m n n m n m n m n
m m n mn n
m m n n m n m n m n
mcd m n
m m n mn n m n
m m n m n
mn n
mn n
m m n mn n m n
m m n m
+ − −
= − + − = + −
+ + +
= + + + = + +
= +
+ − − +
− − −
− −
+ +
+ + + +
− − +
+
− −
=
−
+
n
mn n
mn n
m n
m n
Rta
2
2
2 2
2
2
3
.
9.9.9.9.9. ( )
( )
6 3 4 2 10 5
3 7 15 2
6 14 2 30 6 3 4 2 10 5
6 3 4 2 10 5
3 18 2 12 5 30 1
6 3 4 2 10 5 3 18 2 12 5
5 4 3 2
6 4 2
6 4 2 5 4 3 2
6 5 4 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
a a a a a
a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a
a a a a a a a a a a
+ − − + +
+ − +
+ − + + − − + +
− − + + − −
− + + − − + ÷ −
+ − − + + − − + +
( )
( )
−
− + + − − +
− + ÷
− − + + − − +
− + −
− + − ÷ −
− + − +
− + − = − +
30
6 36 4 24 10 60 2
39 26 65 13
3 18 2 12 5 30 3 2 5
3 2 5
18 12 30 6
3 2 5 3 2 5
3 2 5 1 3 2 5
5 4 3 2
4 2
5 4 3 2 4 2
5 3
4 2
4 2 4 2
4 2 4 2
a a a a a
a a
a a a a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a mcd a a

9.9.9.9.9. 6 3 4 2 10 5 3 2 5 3 7 15 3 2 5
6 4 10 2 1 3 2 5 3
3 2 5 9 6 15
3 2 5 9 6 15
2 1
3
5 4 3 2 4 2 6 4 2 4 2
5 3 6 4 2 2
4 2 4 2
4 2 4 2
2
a a a a a a a a
a a a a
a a a a
a
a
Rta
+ − − + + − + + − + − +
− + − + − + − +
− + − +
− + − − + − =
+
+
.
10.10.10.10.10.
( )
( )
( )
( )
( )
5 10 21 2 4 3
3 6 11 2 4 5
15 30 63 6 12 15 30 55 10 20 5
15 30 55 10 20 1
8 16 32 8
3 6 11 2 4 2 4
3 6 12 3
2 4 1
2 4
6 4 3
6 4 3
6 4 3 6 4 3
6 4 3
3
6 4 3 3
6 4 3 3
3
3
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
− + − +
− + + −
− + − + − + + − ÷
− + − − +
− + ÷
− + + − − +
− + −
− + − ÷ −
− + x x
x x mcd x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x
x
Rta
3
3 3
6 4 3 3 6 4 3 3
6 4 3 3 6 4 3 3
3 3
3 3
3
3
2 4
2 4 1 2 4
5 10 21 2 4 2 4 3 6 11 2 4 2 4
5 10 20 5 1 3 6 12 3 1
2 4 2 4
2 4 2 4
5 1
3 1
− +
− + − = − +
− + − + − + − + + − − +
− + − + − + − −
− + − + −
− + − + − + =
+
−
.
11.11.11.11.11.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
n n n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n
6 5 4 3 2
5 3 5 3
6 5 4 3 2
5 3 5 3
6 5 4 3 2 5 3 6 5 4 3 2 5 3
3 3 7 21
3 3 7 3 3 7
2 2 7 14
2 2 7 2 2 7
3 3 7 21 7 2 2 7 14
− − + + −
= − − − + − = − − +
+ − − + +
= + − + + + = + − +
− − + + − − + + − − + + − +
− + − − − + − +
− + − − +
+ − + − + − =
−
+
7
7 3 7 2
3 3 21 2 2 14
3 3 21 2 2 14
3
2
6 4 2 6 4 2
5 3 5 3
5 3 5 3
n
n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
n
n
Rta.
12.12.12.12.12. ( )
( )
( )
a a a a a a a a
a a a a
a a a
7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2
7 6 5 4 3 2
4 3 2
6 5 4 3 2 4 3 2
6 5 4
2 5 8 2 5 8 2 5 10 4 10 16 2
2 5 10 4 10 16
2 3 12 21 8 1
2 4 10 20 8 20 32 2 3 12 21 8
2 3 12 21
+ − + + + − + + − + + − +
− − + − − + −
− − + − + ÷ −
+ − + + − + + − + −
− − + −
( )
a a a
a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a
a a a a
3 2 2
5 4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
8
2 16 20 32
2 3 12 21 8 2 16 20 32
2 4 2 32 40 64 2
10 11 32 64 1
+
+ − + − +
+ − + − + − + − +
− − + − + −
− − − + − −

12.12.12.12.12.
( )
( )
( )
a a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a
a a a a a a a a
a a a a
a a a
a a a a
5 4 3 2 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
2 16 20 32 10 11 32 64 2
10 11 32 64
8 12 48 84 32 4
2 20 22 64 128 2 3 12 21 8
2 3 12 21 8 1
17 34 85 136 17
2 3 12 21
+ − + − + + + − +
− − − + −
− − + − + ÷ −
+ + − + + − + −
− − + − +
+ − + ÷
+ − +
( )
− + − +
− − + −
− − + − −
8 2 5 8
2 4 10 16 2
2 5 8 1
3 2
4 3 2
3 2
a a a
a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a mcd a a a
3 2 3 2
3 2 3 2
2 5 8 2 5 8
2 5 8 1 2 5 8
+ − + + − +
− − + − = + − +
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
7 6 5 4 3 2 3 2 6 5 4 3 2 3 2
7 6 5 4 4 6 5 4 3 3
3 2 3 2
3 2 3 2
2 5 8 2 5 8 2 5 8 2 5 10 4 10 16 2 5 8
2 5 8 1 2 5 8 2
2 5 8 2 4 10 16
2 5 8 2 4 10 16
+ − + + + − + + − + + − + + − + + − +
− − + − + − − + − +
+ − + + − +
− − + − − − + −
EJERCICIO 122
1.1.1.1.1.
3
2
2
2
6
4 2
a
a
a
a
a
⋅ =
2.2.2.2.2.
5
9
4
4
20
362 2
x
a
a
a
ax
⋅ =
3.3.3.3.3.
m
ab
a
a
am
a b2 2 2
2
2
2
2
⋅ =
4.4.4.4.4.
3
8
3
3
9
24
2
2
2 2
3
x
y
xy
xy
x y
xy
⋅ =
5.5.5.5.5.
4
5
4
52 3
m
n
n
n
mn
n
⋅ =
6.6.6.6.6.
2 7
5
3
3
6 21
15
x x+
⋅ =
+
7.7.7.7.7.
2
1
2 2
2
x
x
x
x
x
x x−
⋅ =
−
8.8.8.8.8.
a
a
a
a
a
a a
2 3
2
2
2
2
2
2 4+
⋅ =
+
9.9.9.9.9.
3 3 3
2
2
2 2
a
a b
a b
a b
a ab
a ab b+
⋅
+
+
=
+
+ +
10.10.10.10.10.
x
x
x
x
x x
x x
−
+
⋅
+
+
=
− −
+ +
4
3
2
2
2 8
5 6
2
2
11.11.11.11.11.
2 22
2
3
2 3
a
x a
a
a
a
a x a+
⋅ =
+
12.12.12.12.12.
x y x y−
⋅ =
−
6
2
2
2 2
12
13.13.13.13.13.
5 5 5
2 2
x
a b
a b
a b
ax bx
a b−
⋅
+
+
=
+
−
14.14.14.14.14.
x
a
x
x
x x
ax
−
⋅ =
−5 3
3
3 15
3
2
15.15.15.15.15.
5
2
2
2
10 5
4 4
2
2 2
x
x y
x y
x y
x xy
x xy y+
⋅
+
+
=
+
+ +
16.16.16.16.16.
x
x
x
x
x
x x
+
+
⋅
−
−
=
−
− −
3
1
3
3
9
2 3
2
2
17.17.17.17.17.
2
1
1
1
2 2 2
1
2
2
2
3
a
a a
a a
a a
a+
⋅
− +
− +
=
− +
+
18.18.18.18.18.
x y
x
xy
xy
x y xy
x y
−
⋅ =
−2
3
3
3
3 6
9
2 2
2
19.19.19.19.19.
x
x
x
x
x
x x
−
+
⋅
+
+
=
−
+ +
1
1
1
1
1
2 1
2
2
20.20.20.20.20.
a b
a
ab
ab
a b ab
a b
+
⋅ =
+
7
9
9
9 9
632
2 2
3
21.21.21.21.21.
x
x
x
x
x x
x x
+
+
⋅
−
−
=
− −
+ −
1
5
2
2
2
3 10
2
2
EJERCICIO 123
1.1.1.1.1.
6 10
2
6
2
10
2
3 5
3 2
3 2
2
a a
a
a
a
a
a
a a
−
= −
= −
2.2.2.2.2. 9 6 3
3
9
3
6
3
3
3
3 2
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2
x y x y xy
xy
x y
xy
x y
xy
xy
xy
x xy y
− +
= − +
= − +
3.3.3.3.3. x x
x x
x
x
2
2
3
3
3
+
−
= +
4.4.4.4.4. 10 15 2 5
10 2 3
15 2
15
2
2 3
2
5
2
2
a a a
a a
a
a
a
a
+ −
− +
−
−
−
= + −
=
+
+
a
a
Rta
4
3
1
2

5.5.5.5.5. 9 6 3 5 3
9 3 2 1
6
6
3
3
5
3 2 1
5
3
3 2
3 2
2
2
2
x x x x
x x x
x
x
x
x
x x
x
− + −
− − +
−
+
−
−
= − + −
6.6.6.6.6. x x x
x x x
x
x
x
x
2
2
5 16 2
2 7
7 16
7 14
2
7
2
2
− − +
− − −
− −
+ +
−
= − −
+
7.7.7.7.7. 12 6 2 4 1
12 3 3
3 2
3
3 2
4 1
3
3 2
4 1
2
2
x x x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
− − −
− +
− −
= +
− −
−
= −
+
−
8.8.8.8.8. a b a b
a a b a ab b
a b
a b ab
ab b
ab b
b
a ab b
b
a b
3 3
3 2 2 2
2
2 2
2 3
2 3
3
2 2
3
3 2
2 2 4
2
2 4
4 3
4 8
5
2 4
5
2
+ +
− − − +
−
+
+
− −
−
= − + −
+
9.9.9.9.9. x x x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
3 2 2
3
2
2
2 2
6 1 3
3 1
3 1
3
3 2
1
3 2
3
1
3 2
3
− − + −
− + −
− − +
−
− −
= − +
− −
−
= − −
+
−
10.10.10.10.10. 3 4 2 6 3 2
3 2 2 2
6 2
6 4
6 6
6 4
2
2 2
2
3 2
3 2 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2 3
2 3
3
2 2
3
x x y xy y x y
x x y x xy y
x y xy
x y xy
xy y
xy y
y
x xy y
y
x y
+ + − −
− + + +
+
− +
−
− +
−
= + + −
−
11.11.11.11.11. 2 7 6 8 2 1
2 3
6 5 8
6 3 3
2 5
3
2 5
2 1
3 2 2
3 2
2
2
2
x x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x
x x
− + − − +
− + − −
− + −
− +
−
= − +
−
− +
12.12.12.12.12. 2 3 1
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
1
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
2
2
a a a a a
a a a a a
a a
a a a
a a
a a
a
a a
a
a a
− + − +
− + − − −
− −
− +
− +
− +
− +
= − − −
−
− +
13.13.13.13.13. x x x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
4 2 2
4 2 2
2
2
2
2
4 3 2
2 2
2 3
2 4
3 4
2
3 4
2
− − −
− + −
− −
−
− −
= − −
+
−
14.14.14.14.14. 10 18 5 3 2 3 1
10 15 5 5
3 10 3
5
3 10 3
2 3 1
3 2 2
3 2
2
2
2
n n n n n
n n n n
n n
n
n n
n n
− − + − +
− + −
− − +
= −
+ −
− +
15.15.15.15.15. 8 4 5 6
8 10 12 2
10 12
2
10 12
4 5 6
4 2
4 3 2 2
3 2
2
3 2
2
x x x
x x x x
x x
x
x x
x x
+ +
− − −
− −
= −
+
+ +
16.16.16.16.16. 6 3 3
6 2 2 2
3 2 2
3
2
2
2
3
5 4 3 2 3
5 3 2 2 3 2
4 3 2 2 3
4 2 3 4
3 2 2 3 4
2
3 2 2 3 4
3 2 3
m m n m mn n
m m n m n m mn
m n m n m n
m n m n mn
m n m n mn
m mn
m n m n mn
m mn n
+ − +
− + − +
+ −
− + −
− −
= + +
− −
− +

EJERCICIO 124
1.1.1.1.1.
( )
( )
a
a
a
a a a
a
a a a
a
a a
a
a a
a
+
+
=
+ +
+
=
+ +
+
=
+
+
=
+
+
4
2
2 4
2
2 4
2
6
2
6
2
2 2
2.2.2.2.2.
( )
m n
n
m
m n m n
m
m mn n
m
− −
=
− −
=
− −
2
2 2 2
3.3.3.3.3.
( )( )
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
+ −
−
=
+ − −
−
=
+ − −
−
=
+ −
−
5
3
2
5 2 3
2
3 10 3
2
3 13
2
2 2
4.4.4.4.4.
( )
a
ab
a b
a a b ab
a b
a ab ab
a b
a ab
a b
+
+
=
+ +
+
=
+ +
+
=
+
+
2 2
2
5.5.5.5.5.
( )
1
3
3 1
3 1 3 1
2
2
2 2
−
+ −
=
− + −
=
− + −
= −
−
a
a
a
a a a
a
a a a
a
a
a
6.6.6.6.6.
( ) ( )
1
2
−
+
−
=
− − +
−
=
− − −
−
= −
−
a x
a x
a x a x
a x
a x a x
a x
x
a x
7.7.7.7.7.
( )
2
1
2
2
a x
a x
a x a x
a x
a x a x
a x
a
a x
+
+
−
=
+ − +
+
=
+ − −
+
=
+
8.8.8.8.8.
( )( )
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
+ −
−
=
+ − −
−
=
+ − −
−
=
+ −
−
2
3
1
2 1 3
1
2 3
1
5
1
2 2
9.9.9.9.9.
( )( ) ( )
( )
x x
x x
x
x x x x x
x
x x x x x
x
x x
x
x x
x
2
2
2 2
3 2 2
3 2 2
3
6
2
3 2 6
2
6 6
2
2
2
2
2
− −
−
+
=
− + − −
+
=
− − − +
+
=
−
+
=
−
+
10.10.10.10.10.
( )( )
( )
( )( )
( )
x y
x y
x y
x y x y x y
x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y x y
+ +
−
−
=
+ − + −
−
=
− + −
−
=
−
−
=
−
−
=
+ −
−
= + = +
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 2
11.11.11.11.11.
( )( )
3
2
2 3
3 2 3 22 2 2 2
mn
m n
m n
m n m n mn
m n
m mn n mn
m n
m n
m n
−
+ −
=
− − +
−
=
− + +
−
=
+
−
12.12.12.12.12.
( )( ) ( )
2 3
5 6
2
2 3 2 5 6
2
2 6 5 6
2
2 4
2
2
2
2 2 2
2
a x
ax x
a x
a x a x ax x
a x
a ax x ax x
a x
a ax
a x
− −
−
+
=
− + − −
+
=
+ − − +
+
=
−
+
13.13.13.13.13.
( )( )
m m
m
m
m m m m
m
m m
m m
2
3
2 3
3 3
2 4
2
2 4 2
2
8
2
8
2
− + −
+
=
− + + −
+
=
+ −
+
=
+
14.14.14.14.14.
( )
( )( ) ( )
x x
x x
x
x x x x x
x
x x x x x
x
x x x
x
2
2
3 2 2
3 2
5
3 2
2
5 2 3 2
2
7 10 3 6
2
10 4
2
− −
+
−
=
− − − +
−
=
− + − −
−
=
− +
−
15.15.15.15.15.
( )( )
a ab b
ab b
a b
a ab b a b ab b
a b
a a b ab b ab b
a b
a a b ab
a b
2 2
2 3
2 2 2 3
3 2 2 3 2 3
3 2 2
3
7
2
3 2 7
2
2 5 5 7
2
2 5 2
2
+ − +
−
−
=
+ − − + −
−
=
+ − + + −
−
=
+ +
−
16.16.16.16.16. ( )
( ) ( )( )
x
x x
x
x x x x
x x
x x
x x x x
3
2
3 2
2
3 3
2 2
2
1
1
2 1 1
1
2 1
1
1
1
+
− +
− +
=
+ + − + − −
− +
=
+ − −
− +
=
− +
17.17.17.17.17.
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
x
x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
+ −
− +
− +
=
+ − + − − +
− +
=
− − + − + −
− +
=
− +
− +
=
− −
− −
=
−
−
3
2 1
4 3
3 4 3 2 1
4 3
9 9 2 1
4 3
9 8
4 3
8 1
3 1
8
3
3 2
2
2 3 2
2
3 2 3 2
2
2
2

18.18.18.18.18.
( )
( )
( )( )
3
3 3
3 3 3
3 3 3 3
3 3 3
3
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
3 2 2 2
2 2
3 2
2 2
2
2
a
a b ab
a b
a a b a b ab
a b
a ab a b ab
a b
a a b
a b
a a b
a b a b
a
a b
+
+
−
=
− + +
−
=
− + +
−
=
+
−
=
+
+ −
=
−
19.19.19.19.19.
( )( ) ( )
( )
( )
( )
x
x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
− −
−
− +
=
− − + − −
− +
=
− + − − +
− +
=
− +
−
=
− −
−
=
−
−
=
−
3
27
6 9
3 6 9 27
6 9
9 27 27 27
6 9
9 27
3
9 3
3
9
3
9
3
3
2
2 3
2
3 2 3
2
2
2 2
20.20.20.20.20.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
a a
a a
a a
a a a a a a
a a
a a a a a
a a
a
a a
a a
a a
a a a
a a
a a a
a
2
3
2
2 2 3
2
4 3 3
2
4 2 2
2
3 2
3 5
2 11 9
2
3 5 2 2 11 9
2
2 11 10 2 11 9
2
1
2 1
1 1
2 1
1 1 1
2 1
1
2
− + +
− +
+ −
=
− + + − + − +
+ −
=
− + − + − +
+ −
=
−
+ −
=
− +
+ −
=
+ + −
+ −
=
+ + +
+
EJERCICIO 125
1.1.1.1.1.
a
b ab
mcm ab ab b a
ab ab
a
b
a a
ab
a
ab
ab ab ab
a
ab ab
Rta
;
, .
1
1
1 1 1 1 1
2
2
= ÷ =
÷ =
=
⋅
=
=
⋅
= ⇒
2.2.2.2.2.
( )
x
a a x
mcm a x
a x a ax
a x a x
x
a
x ax
a x
ax
a x
a x a x a x
ax
a x a x
Rta
2
4
3
6
6 2 3
6 3 2
2
3
6
3
6
4
3
4 2
6
8
6
3
6
8
6
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2 2
,
, .
=
÷ =
÷ =
= =
=
⋅
=
⇒
3.3.3.3.3.
1
2
3
4
5
8
8
8 2 4
8 4 2
8 8 1
1
2
1 4
8
4
8
3
4
3 2
8
6
8
5
8
5 1
8
5
8
4
8
6
8
5
8
2 3
3
3 2
3 2
3 3
2 3 3
2
3
2
3
3 3 3
3
2
3 3
x x x
mcm x
x x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x x x
x
x
x
x x
Rta
, ,
, , .
=
÷ =
÷ =
÷ =
=
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
=
⇒
4.4.4.4.4.
( ) ( ) ( )
3 3
3 3 3 3 3 3
3 3
2 2 3
3 2
3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2
2
2
3 2
2
3 2 2 3 2 3 2 3
2
3 2
2
3 2
2
3 2 3 2
2
3 2
x
ab
x
a b a
mcm a b
a b ab a a b a b ab a b a b
x
ab
x a
a b
a x
a b
x
a b
x ab
a b
abx
a b a
b
a b
b
a b
a x
a b
abx
a b
b
a b
Rta
, ,
; ;
, , .
=
÷ = ÷ = ÷ =
= = = = = =
⇒
5.5.5.5.5.
( ) ( )
( )
7
6
1
9
5
12
36
36 6 6 36 9 4 36 12 3
7
6
7 6
36
42
36
1
9
1 4
36
4
36
5
12
5 3
36
15
36
42
36
4
36
2 3
2 3
2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2
2
3
2 3
4
2 3
2
2 3
2
2 3
2
2
2 3
3
2 3
4
2 3
2
2
y
x xy
x
y
mcm x y
x y x y x y xy xy x y y x
y
x
y y
x y
y
x y xy
xy
x y
xy
x y
x
y
x x
x y
x
x y
y
x y
xy
x y
, ,
; ;
,
=
÷ = ÷ = ÷ =
= = = =
= = ⇒ 3
3
2 3
15
36
, .
x
x y
Rta
6.6.6.6.6.
( )( )
( )
a
a a
a
a
mcm a
a a a a a a a
a
a
a a
a
a a
a a a a
a
a
a
a
a
a
a a
a a
a
a
Rta
− +
=
÷ = ÷ = ÷ =
−
=
−
=
−
=
⋅
=
+
=
+
=
+
⇒
− +
1
3
5
6
2
6
6 3 2 6 6 1 6 6
1
3
1 2
6
2 2
6
5
6
5 1
6
5
6
2 2 6
6
6 12
6
2 2
6
5
6
6 12
6
2
2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
, ,
; ;
, , .
7.7.7.7.7.
( )( ) ( )
( )
x y
x y
x y
xy
mcm x y
x y x y y
x y xy x
x y
x y
x y y
x y
xy y
x y
x y
xy
x y x
x y
x xy
x y
x y
x y
x y
x y
xy y
x y
x xy
x y
x y
− +
=
÷ =
÷ =
−
=
−
=
− +
=
+
=
+
= = ⇒
− +
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
3
5 3
3 3
3 3
3
3
3 3
3 3 3 3
5
5 3
3
15
3
3 3
3 3
15
, ,
; ;
, ,
2
2 2
3x y
Rta.

8.8.8.8.8.
( )( )
( )( )
( )
m n
m
m n
m n n
mcm m n
m n m m n
m n m n n
m n n m
m n
m
m n m n
m n
m n m n
m n
m n
m n
m n n
m n
mn n
m n
n
m
m n
m
m n
+ −
=
÷ =
÷ =
÷ =
+
=
+
=
+
−
=
−
=
−
= =
⇒
2 5
1
10
10
10 2 5
10 5 2
10 10
2
5
10
5 5
10
5
2
10
2 2
10
1
10
1
10 10
3 2
3 2
3 2 2 2
3 2 3
3 2 2 3
2 2
3 2
3 2 2 3
3 2
3 3 2
2
3 2
2
3
3 2
3
3 2
, ,
5 5
10
2 2
10 10
3 2 2 3
3 2
2
3 2
3
3 2
m n m n
m n
mn n
m n
m
m n
Rta
+ −
, , .
9.9.9.9.9.
( )( )
( )( )
( )( )
a b a b
a
a b
b
mcm ab
ab ab
ab a b
ab b a
a b a b ab
ab
a b ab
ab
a b
a
a b b
ab
ab b
ab
a b
b
a b a
ab
a ab
ab
a b ab
ab
ab b
+ − +
=
÷ =
÷ =
÷ =
+
=
+
=
+
−
=
−
=
−
+
=
+
=
+
⇒
+ −
6 2 3
6
6 6
6 2 3
6 3 2
6 6 6
2
3
6
3 3
6
3
2
6
2 2
6
6
3 3
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 3
2
2
2
2 3
2
2 2
2
2 2
2
3 2
2
2 2 3
2
2
, ,
;
;
,
3
2
3 2
2
6
2 2
6ab
a ab
ab
Rta, .
+
10.10.10.10.10.
( )
( )
( )
2
3
3
4
3
2
12
12 3 4
12 4 3
12 2 6
2
3
2 4
12
8 4
12
3
4
3 3
12
9 3
12
3
2
3 6
12
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 3
2 2
2
2
2 2
2 3
2 2
2 2
a b
a
b a
b
a b
mcm a b
a b a b
a b b a
a b a b
a b
a
a b b
a b
ab b
a b
b a
b
b a a
a b
a b a
a b
a b a b a b
− − −
=
÷ =
÷ =
÷ =
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
−
=
−
, ,
;
;
a b
a b a b
a b
ab b
a b
a b a
a b
a b a b
a b
Rta
2 2
3 2 2 3
2 2
2 3
2 2
2 3
2 2
3 2 2 3
2 2
6 18
12
8 4
12
9 3
12
6 18
12
=
−
⇒
− − −
, , .
11.11.11.11.11.
( ) ( ) ( )
( )
2
5
3
1
5 5
5 5 5 1 5 5 1 5
2
5
2 1
5 5
2 2
5 5
3
1
3 5
5 5
15
5 5
2 2
5 5
15
5 5
,
;
, .
x
mcm x
x x x x
x
x
x
x x x x
x
x x
Rta
+
= +
+ ÷ = + + ÷ + =
=
+
+
=
+
+ +
=
⋅
+
=
+
⇒
+
+ +
12.12.12.12.12.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
a
a b
b
a b
mcm a b
a b a b a b a b a b
a
a b
a a b
a b
a ab
a b
b
a b
b
a b
b
a b
a ab
a b
b
a b
Rta
+ −
= −
− ÷ + = − − ÷ − =
+
=
−
−
=
−
−
−
=
−
=
−
⇒
−
− −
,
;
, .
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
1
1
13.13.13.13.13. ( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )
x
x x x
x x x
x x x x
mcm x x x
x x
x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x
x x x
x
x
x x
x
2 2
2
2
2
3 2
3 2 2 3 2 2
3 3 2
2 2
2 2
2 3
1
1
2
1 1 1
2 2 1
1 2 1
1 2
2 2
2 2 1 2 2 2
2 2 1
2 2 2
2 2 2
1
2
− − −
− = + −
− − = − +
= − − +
= − −
= − − +
− − + − − − + − −
− + − − + + −
− + − + +
− − −
−
=
−
,
( )
− − +
=
−
− − +
− −
=
−
− − +
=
−
− − +
⇒
−
− − +
−
− − +
2 2
2
2 2
1
2
1 1
2 2
1
2 2
2
2 2
1
2 2
2
2
3 2
2 3 2 3 2
2
3 2 3 2
x x
x x
x x x
x x
x
x x x
x
x x x
x x
x x x
x
x x x
Rta
;
; .
14.14.14.14.14.
( )
( )
( )[ ] ( )[ ] ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
a
a
a
mcm a
a a a a
a
a
a
a
a
a
a a a
a
a a
a
a
a
a a
a
Rta
−
+
= +
+ ÷ + = + ÷ = +
−
+
=
−
+
=
−
+
=
+
+
=
+
+
⇒
−
+
+
+
3
4 5
3
8
8 5
8 5 4 5 2 8 5 8 5
3
4 5
2 3
8 5
2 6
8 5
3
8
3 5
8 5
3 15
8 5
2 6
8 5
3 15
8 5
2
2
,
;
, .

15.15.15.15.15.
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
x
a x
x
mcm a x
a x a x a x a x
x
a x
x
a x
x x a x
a x
ax x
a x
x
a x
ax x
a x
Rta
2
2 2 2
2 2
3 6
6
6 3 2 6 6
3
2
6 6 6 6
2
6 6
−
= −
− ÷ − = − ÷ = −
−
=
−
=
−
−
=
−
−
⇒
−
−
−
,
;
, .
16.16.16.16.16. ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3 2 3
1
1 1 1 1
1
3 3 1
1
3 3
1
2 2
1
2 2
1
3 3
1
3
1
3 3
1
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
x x
x
x x
mcm x x
x x x x x x x x x
x x x x x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
, ,
;
;
,
+
−
= −
− ÷ = − − ÷ = −
− ÷ − =
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
+
−
=
+
−
=
+
−
⇒
−
−
−
( ) ( )2
2
2
1
3
1x
x x
x x
Rta
−
+
−
, .
17.17.17.17.17. ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ] ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
2 2 4 4 8
8
8 2 2 4 8 8
8 4 4 2
1
2 2
4
8
4 4
2
8
2 2
8
8 8 8
4
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 3
2 2
a b
a
a b
b
mcm a b
a b a b a b a b a b
a b a b a b
a b
a b
a b
a
a b
a a b
a b
a ab
a b
b b a b
a b
a b b
a b
a
+ −
= −
− ÷ + = − − ÷ = −
− ÷ − = +
+
=
−
−
−
=
+
−
=
+
−
=
−
−
=
−
−
⇒
, ,
;
;
( )
( ) ( ) ( )
−
−
+
−
−
−
b
a b
a ab
a b
a b b
a b
Rta
8
2 2
8 82 2
2
2 2
2 3
2 2
, , .
18.18.18.18.18. ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
xy
y
x xy xy y
mcm xy x y
xy x y xy x y xy x y x xy y
xy x y xy y x
x
xy
x x y
xy x y
x xy
xy x y
y
x xy
y
xy x y xy y
x
xy x y
x xy
xy x y
y
xy x y
x
xy x y
Rta
, ,
;
, , .
2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
3
3 3
3
+ +
= +
+ ÷ = + + ÷ + =
+ ÷ + =
=
+
+
=
+
+
+
=
+ +
=
+
⇒
+
+ + +
19.19.19.19.19. ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 2 1
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
a b a ab
a
a ab
mcm a a b
a a b a b a
a a b a ab a b
a a b a ab a b
a b
a
a a b a ab
a b
a a b
a
a ab
a a b
a a b
a ab
a a b
a
a a b
a b
a a b
a ab
a
− + −
= −
− ÷ − =
− ÷ + = −
− ÷ − = +
−
=
− +
=
−
−
−
=
+
−
=
+
−
⇒
−
−
−
+
, ,
;
, ,
( )a b
Rta2 2
−
.
20.20.20.20.20.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
3
1 1 1
1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
3
1
3 1
1
3 3
1
1
1
1 1 1 1
3 3
1 1 1
2 3
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2 2
2
3 2
2
3
2
3
2
2
2
3 2
2
3
2
x
x
x
x
x
x
mcm x
x x x
x x x x x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
Rta
+ − −
= −
− ÷ + = −
− ÷ − = + − ÷ − =
+
=
−
−
=
−
−
−
=
+
−
=
+
− −
=
−
⇒
−
−
+
− −
, ,
;
, , .
21.21.21.21.21. ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
1
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
m n
m
m mn
n
m mn
mcm m m n
m m n m n m m m n m mn m n
m m n m mn m n
m n
m
m m n
m
m mn
m m n
m m n
m mn
m m n
n
m mn
n m n
m m n
mn n
m m n
m
m m n
m mn
− + −
= −
− ÷ − = − ÷ + = −
− ÷ − = +
−
=
−
+
=
−
−
=
−
−
−
=
+
−
=
+
−
⇒
−
−
, ,
;
;
,
( )
( )
( )m m n
n m n
m m n
Rta2 2 2 2
−
+
−
, .
22.22.22.22.22.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
n
n
n
n
n
mcm n
n n n
n n n n n
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Rta
+
−
−
+
+
−
= −
− ÷ − = +
− ÷ + = − − ÷ − =
+
−
=
+ +
−
=
+
−
−
+
=
−
−
+
−
=
+
−
⇒
+
−
−
−
+
−
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
, ,
; ;
, , .

23.23.23.23.23.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
a b
a b
a b
a b
a b
a b
mcm a b
a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
4 4
4 4
4 4 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2 4 4 4 4
2 2
2 2
2 2 2
4 4
2 2
2 2
2 2 2
4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
1
−
+
+
−
+
−
= −
− ÷ + = −
− ÷ − = + − ÷ − =
−
+
=
−
−
+
−
=
+
−
+
−
=
+
−
, ,
; ;
( ) ( )⇒
−
−
+
−
+
−
a b
a b
a b
a b
a b
a b
Rta
2 2 2
4 4
2 2 2
4 4
4 4
4 4, .
24.24.24.24.24.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
3
1
1
2
1
2
2
2 1 2
2 2 1
2 2 1
3
1
3 2
2
3 6
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3 6
2
1
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
x
x
x
x x x
mcm x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x x x x x x
x x
x x
x
−
−
+ + −
= + −
+ − ÷ − = +
+ − ÷ + = −
+ − ÷ + − =
−
=
+
+ −
=
+
+ −
−
+
=
−
+ − + −
=
+ −
⇒
+
+ −
−
, ,
;
;
,
x x x x
Rta2 2
2
1
2+ − + −
, .
25.25.25.25.25. ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x
x
x
x
mcm x
x x
x x
x x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Rta
2 5 15
1
10 30
10 3
10 3 2 5 3
10 3 5 3 2
10 3 10 3 1
2
5 3
10 3
5 15
10 3
5 15
2
10 3
1
10 30
1
10 3
5 15
10 3
2
10 3
1
10 3
2
2
, ,
;
, , .
+
−
+
= +
+ ÷ = +
+ ÷ + =
+ ÷ + =
=
+
+
=
+
+
+
=
+
−
+
=
−
+
⇒
+
+ +
−
+
26.26.26.26.26. ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1
4
3 1
3 12
4 3
6 24
6 4
6 4 4 6 6 4 3 4 2
6 4 6 4 1
2 1
4
6 2 1
6 4
12 6
6 4
3 1
3 12
2 3 1
6 4
6 2
6 4
4 3
6 24
4 3
6 4
12 6
6 4
6 2
6 4
x
x
x
x
x
x
mcm x
x x x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
+
+
+
+
= +
+ ÷ + = + ÷ + =
+ ÷ + =
−
+
=
−
+
=
−
+
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
⇒
−
+
+
+
, ,
;
;
,
( )
, .
4 3
6 4
x
x
Rta
+
+
27.27.27.27.27. ( )( )( )
( )( )( )[ ] ( ) ( )( )
( )( )( )[ ] ( )
( )( )( )[ ] ( ) ( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )
( )
a
a a a
mcm a a a
a a a a a a
a a a a a
a a a a a a
a
a a
a a a
a
a a
a
a
a
+ − −
= + + −
+ + − ÷ + = + −
+ + − ÷ − = +
+ + − ÷ − = + +
+
=
+ −
+ + −
=
−
+ −
−
=
+
+
4
2
9 25
5
3 5
4 3 5 3 5
4 3 5 3 5 4 3 5 3 5
4 3 5 3 5 9 25 4
4 3 5 3 5 3 5 4 3 5
3
4
3 3 5 3 5
4 3 5 3 5
27 75
4 9 25
2
9 25
2 4
4
2
2
2
2
2
, ,
;
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 5 3 5
2 8
4 9 25
5
3 5
5 4 3 5
4 3 5 3 5
15 85 100
4 9 25
27 75
4 9 25
2 8
4 9 25
15 85 100
4 9 25
2
2
2
2
2 2
2
2
a a
a
a a
a
a a
a a a
a a
a a
a
a a
a
a a
a a
a a
Rta
+ −
=
+
+ −
−
=
+ +
+ + −
=
+ +
+ −
⇒
−
+ −
+
+ −
+ +
+ −
;
, , .
28.28.28.28.28. ( )( )
( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
x
x
x
x x
x
x x
mcm x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x
x
x x
x x x
x x
x x x
x
x x
x x
+
−
+
+ − + +
+ + −
+ + − ÷ − = +
+ + − ÷ + − = +
+ + − ÷ + + = −
+
−
=
+ +
+ + −
=
+ +
+ + −
+
+ −
=
+ +
1
4
2
6
3
5 6
2 6
2 6 4 3
2 6 6 2
2 6 5 6 2
1
4
1 3
2 6
4 3
2 6
2
6
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
, ,
;
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
x x x
x
x x x
x
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x
x x x
x x
x x x
Rta
+ + −
=
+
+ + −
+ +
=
−
+ + −
=
−
+ + −
⇒
+ +
+ + −
+
+ + −
−
+ + −
2 6
2
2 6
3
5 6
3 2
2 6
3 6
2 6
4 3
2 6
2
2 6
3 6
2 6
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
, , .
29.29.29.29.29.
( )( )
( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )
( )( )
( )( ) ( )( )( )
a
a a
a
a a
a
a a
mcm a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a
a a
a a
a a a
a
a a a
a
a
+
+ − − +
+
+ −
= + − +
+ − + ÷ + − = −
+ − + ÷ − + = +
+ − + ÷ + − = −
+
+ −
=
+ −
+ − +
=
−
+ − −
3
20
5
7 12
1
2 15
5 7 12
5 7 12 20 3
5 7 12 7 12 5
5 7 12 2 15 4
3
20
3 3
5 7 12
9
5 4 3
5
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
, ,
;
( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
− +
=
+
+ − +
=
+
+ − −
+
+ −
=
+ −
+ − +
=
− −
+ − −
⇒
−
+ − −
+
+ − −
− −
+ − −
7 12
5 5
5 7 12
5 25
5 4 3
1
2 15
1 4
5 7 12
3 4
5 4 3
9
5 4 3
5 25
5 4 3
3 4
5 4 3
2
2
2 2
2
2 2 2
a
a a
a a a
a
a a a
a
a a
a a
a a a
a a
a a a
a
a a a
a
a a a
a a
a a a
Rta
;
, , .

30.30.30.30.30.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
a
a
a
a a x
mcm a
a a a a a a
a a a a
a
a
a
a
a
a a
a a
a
a
a
a
a a
a
a
a
a
a
a a
+
− + + −
= −
− ÷ − = − ÷ + + = −
− ÷ − = + +
+
−
=
+
− + +
=
−
−
=
−
−
−
=
+ +
−
⇒
+
−
−
−
+ +
1
1
2
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
2
1
2 1
1
2 2
1
1
1
1
1
1
1
2 2
1
1
3 2
3
3 3 3 2
3 2
3 3 2 3
2
3
2
3 3
2
3
2
, ,
; ;
, ,
a
Rta3
1−
.
31.31.31.31.31. ( )
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
1
2
3
3 1
3 1 1 3 1
3 1 1 3 3 1 3 1
1
1
3 1
3 1
3 3 3
3 1
1
1
3
3 1
2
3
2 1
3 1
2 2
3 1
3 3 3
3 1
3
3 1
2
3
3
3 2
3 3 3 3
2
3
2
3
3 3
3
3
3
3
2
3 3
x x
mcm x
x x x x
x x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x x
x x
− −
= −
− ÷ − = + +
− ÷ − = − ÷ = −
−
=
+ +
−
=
+ +
−
−
=
−
=
−
−
=
−
−
⇒
+ +
− −
, ,
;
;
, ,
( )
x
x
Rta
3
3
2
3 1
−
−
.
32.32.32.32.32.
( )
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ]
( ) ( )
( )[ ]
3
2 2
1
4 4
4
4 2 2 2
4 4
4 4 4
3
2 2
3 2
4
6 6
4
4
4
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
a ab
b
a x abx ax bx
mcm ax a b
ax a b a ab x a b
ax a b a x abx x a b
ax a b ax bx a a b
a ab
x a b
ax a b
ax bx
ax a b
b
a x abx
b x a b
ax
+ + −
= −
− ÷ + = −
− ÷ + = −
− ÷ − = +
+
=
−
−
=
−
−
+
=
−
, ,
;
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b
abx b x
ax a b
ax bx
a a b
ax a b
a ab
ax a b
ax bx
ax a b
abx b x
ax a b
a ab
ax a b
Rta
2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
4 4
4
1
4 4 4 4
6 6
4
4 4
4 4
−
=
−
−
−
=
+
−
=
+
−
⇒
−
−
−
−
+
−
;
, , .
33.33.33.33.33.
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1
1
1
3 1
1
1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
3 1
1
3 3
1
1
1
1
1
3 3
1
2 3
3
3 2
3 2 3 3
2
3 2 3
2
3
3 3
2
3
2
3 3
a
a
a
a
a
mcm a
a a a
a a a a a
a
a
a
a
a
a a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Rta
−
+
−
+
−
= −
− ÷ − = −
− ÷ − = − − ÷ − =
−
=
−
−
+
−
=
+ −
−
=
−
−
+
−
=
+
−
⇒
−
−
−
−
+
−
, ,
; ;
, , .
34.34.34.34.34. ( )( )
( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( ) ( )
( )( )[ ] ( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
2 3
6 7 2
3
2 1
2 1
6 4
2 3 2 2 1
2 3 2 2 1 6 7 2 2
2 3 2 2 1 2 1 2 3 2
2 3 2 2 1 6 4 2 1
2 3
6 7 2
2 2 3
2 3 2 2 1
4 6
2 3 2 2 1
3
2 1
6 3 2
2 3
2
2
2
x
x x x
x
x
mcm x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
−
+ + +
−
+
= + +
+ + ÷ + + =
+ + ÷ + = +
+ + ÷ + = +
−
+ +
=
−
+ +
=
−
+ +
+
=
+
, ,
;
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
+ +
=
+
+ +
−
+
=
− +
+ +
=
−
+ +
⇒
−
+ +
+
+ +
−
+ +
2 2 1
18 12
2 3 2 2 1
2 1
6 4
2 1 2 1
2 3 2 2 1
4 1
2 3 2 2 1
4 6
2 3 2 2 1
18 12
2 3 2 2 1
4 1
2 3 2 2 1
2
2
x
x
x x
x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
Rta
;
, , .
EJERCICIO 126
1.1.1.1.1.
x x x x x x x−
+
+
=
− + +
=
− + +
=
−2
4
3 2
6
3 2 2 3 2
12
3 6 6 4
12
9 2
12
b g b g
2.2.2.2.2.
2
5
1
3
3 2 5
15
5 6
152 2 2
a ab
b a
a b
a b
a b
+ =
⋅ +
=
+
3.3.3.3.3.
( ) ( )a b
a
b a
b
b a b a b a
ab
ab b ab a
ab
a ab b
ab
−
+
−
=
− + −
=
− + −
=
− + −
2
15 20
4 2 3
60
4 8 3 3
60
3 7 8
60
2 2 2 2
4.4.4.4.4.
( ) ( )
( )
a b
ab
a b ab
a b
ab a b a b ab
a b
a b ab a b ab
a b
a b ab
a b
ab a b
a b
a b
ab
+
+
−
=
+ + −
=
+ + −
=
+
=
+
=
+
3
3
4
5
5 3 3 4
15
5 15 3 12
15
8 3
15
8 3
15
8 3
15
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
5.5.5.5.5.
( )
a a a
a a a a a a a
−
+ +
+
=
− + ⋅ + +
=
− + + +
=
1
3
2
6
3 4
12
4 1 2 2 3 4
12
4 4 4 3 4
12
11
12
6.6.6.6.6.
n
m mn m
n n m mn
m n
m mn n
m n2 2
2
2
3 2 3 2 3 2
+ + =
⋅ + +
=
+ +
7.7.7.7.7.
( ) ( )
1
2
2 1
3
3 1 6 2 2
6
3 3 6 12 2
6
9 12 3 2
6
2 2
2
2
2
2
2
−
+
+
+
=
− + + +
=
− + − +
=
+ − +
x
x
x
x ax
ax x a x
ax
ax ax ax a
ax
ax a ax
ax
8.8.8.8.8.
( ) ( ) ( )
( )
2 3
3
3 2
10 5
10 2 3 3 3 2 6
30
20 30 9 6 6 6
30
29 24
30
29 24
30
29 24
30
a
a
x
x
x a
ax
x a a x x a
ax
ax x ax a x a
ax
ax x
ax
x a
ax
a
a
−
+
+
+
−
=
− + + + −
=
− + + + −
=
−
=
−
=
−

9.9.9.9.9.
( ) ( )
( )
3
5
2
2
2
6
6 3 15 2 5 2
30
18 15 30 5 10
30
38 30 10
30
2 19 15 5
30
19 15 15
15
2
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
=
⋅ + + + +
=
+ + + +
=
+ +
=
+ +
=
+ +
x
x
x
x
x x x x
x
x x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
10.10.10.10.10.
( ) ( ) ( )
x y x y y x
x y x y y x
x y x y y x x y
−
+
+
+
−
=
− + + + −
=
− + + + −
=
+
12
2
15
4
30
5 4 2 2 4
60
5 5 8 4 2 8
60
5
60
11.11.11.11.11.
( ) ( ) ( )
m n
mn
n a
na
a m
am
a m n m n a n a m
amn
am an mn ma an mn
amn
an
amn m
−
+
−
+
−
=
− + − + −
=
− + − + −
= =
2
2
2 1
12.12.12.12.12.
( ) ( ) ( )
x
x
x
x
x
x
x x x x x
x
x x x x x
x
x x x
x
+
+
−
+
−
=
+ + − + −
=
+ + − + −
=
+ − +
2
3
2
5
2
9
15 2 9 2 5 2
45
15 30 9 18 10 5
45
19 30 18 10
45
2
2
3
3
2 2 3
3
3 2 3 3
3
3 2
3
13.13.13.13.13.
( ) ( )
1
3
2 2
3
2
2 2
2 2 2 2
2 3
2 2 3 2 3
2 3
3 2 3
2 3
ab
b a
ab
ab b
a b
ab a b a b ab b
a b
ab ab a ab b
a b
a ab b
a b
+
−
+
+
=
+ − + +
=
+ − + +
=
− + +
14.14.14.14.14.
( ) ( )
a b
ab
a m
am a
m a b b a m bm
abm
am bm ab bm bm
abm
am ab bm
abm
+
+
−
+
=
+ + − +
=
+ + − +
=
+ +
3 2 3 3
3 2 3 3
3 2 3 3 2 3
EJERCICIO 127
1.1.1.1.1.
1
1
1
1
1 1
1
2
12 2
a a
a a
a
a
a+
+
−
=
− + +
−
=
−
2.2.2.2.2.
( )
2
4
1
3
2 3 4
12
2 6 4
12
3 2
122 2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
+
+
−
=
− + +
+ −
=
− + +
+ −
=
−
+ −
3.3.3.3.3.
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
3
1
6
2 5
3 2 5 6 1
1 2 5
6 15 6 6
1 2 5
21
1 2 5
−
+
+
=
+ + −
− +
=
+ + −
− +
=
− +
x x
x x
x x
x x
x x x x
4.4.4.4.4.
( ) ( )
x
x y
x
x y
x x y x x y
x y
x xy x xy
x y
x
x y
−
+
+
=
+ + −
−
=
+ + −
−
=
−2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
5.5.5.5.5.
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
m
m
m
m
m m m m
m m
m m m m
m m
m
m m
m
m m
+
−
+
+
−
=
− + + − +
− −
=
+ − + − −
− −
=
−
− −
=
−
− −
3
3
2
2
2 3 3 2
3 2
6 6
3 2
2 12
3 2
2 6
3 2
2 2 2 2
6.6.6.6.6.
( )( ) ( )( )
( ) ( )
x y
x y
x y
x y
x y x y x y x y
x y
x y x y
x y
x xy y x xy y
x y
x y
x y
+
−
+
−
+
=
+ + + − −
−
=
+ + −
−
=
+ + + − +
−
=
+
−
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
7.7.7.7.7.
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x
x
x
x
x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
2 2
2
2
2 2
2
2
2
1
1
1
1 1
1 1
2 1
1 1
2 1
1 1
−
+
+
−
=
− + +
− +
=
− + + +
− +
=
+ +
− +
8.8.8.8.8.
( )2
5
3
25
2 5 3
25
2 10 3
25
5 10
252 2 2 2
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x−
+
−
=
+ +
−
=
+ +
−
=
+
−
9.9.9.9.9.
1
3 2 9 4
3 2
9 4
4
9 42 2 2 2 2 2
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
x y−
+
−
−
=
+ + −
−
=
+
−
10.10.10.10.10.
( )( )x a
x a
a x
x a
x a x a a x
x a
x ax ax a a x
x a
ax
x a
ax
a x
+
+
+
−
−
=
− + + −
−
=
+ − − + −
−
=
−
−
=
−
3
3
9
3 3
9
3 3 3
9
2
9
2
9
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2

11.11.11.11.11.
( ) ( )
( )( ) ( )( )
a
a
a
a
a a a a
a a
a a a a
a a
a
a
1 1
1 1
1 1 1 1
2
1
2 2
2 2
2 2
3 3
2 2 4
−
+
+
=
+ + −
− +
=
+ + −
− +
=
−
12.12.12.12.12.
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
a ab ab b
b a b a a b
ab a b
ab b a ab
ab a b
a b
ab a b
−
+
+
=
+ + −
−
=
+ + −
−
=
+
−
13.13.13.13.13.
( )
ab
a b
a
a b
ab a a b
a b
ab a ab
a b
a
a b
9 3
3
9
3
9
3
9
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
−
+
+
=
+ −
−
=
+ −
−
=
−
14.14.14.14.14.
( ) ( )( ) ( )( )
1 1 2
2 2 2 2 2
a b a b
a b a b
a b a b
a
a b a b−
+
−
=
− + +
+ −
=
+ −
15.15.15.15.15.
( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
3 2 3 2
3 6 3 2 2
5 6 5
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
x y x y
x y x y
x y x y
x xy y x y
x y x y
x xy y
x y x y
+
+
+
=
+ + +
+ +
=
+ + + +
+ +
=
+ +
+ +
16.16.16.16.16.
( )
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
x
a ax
a x
ax
a
ax x
a ax a a x
ax ax mcm ax a x
ax x x a x
x a x a x a
ax a x
x a x a
ax a x
a
ax a x
a
x a x
2 2
2
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
−
+
+
+
−
− = −
= = −
− = −
=
+ + − +
−
=
+ − +
−
=
−
=
−
17.17.17.17.17.
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
3
2 4
1
2 4
8
4
2 4 2 2
2 4 2 2 2 4
4 2 2
3 2 1 2 2 8
2 4
3 6 2 2 16
2 4
6 8
2 4
2 4
2 2 2
4
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x x
x x mcm x
x x x
x x x x
x
x x x x
x
x x
x
x x
x x
x
x
+
+
−
−
+
+
−
+ = +
− = − = −
− = − +
=
− + − + + +
−
=
− + + − + +
−
=
+ +
−
=
+ +
+ −
=
+
−
18.18.18.18.18.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
1 1 3
1
1
1 1
1 1 1
1 1 3
1
2 3
1
1 2
1 1
2
1
2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
x x x x
x
x
x x x x
x x x x mcm x x
x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x
+
+
−
+
+
−
+ = +
− = − = −
− = + −
=
− + + + +
−
=
+ +
−
=
+ +
− +
=
+
−
19.19.19.19.19.
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
( )
x y
x y
x y
x y
xy
x y
mcm x y
x y x y x y x y xy
x y
x xy y x xy y xy
x y
x y xy
x y
x xy y
x y
x y
x y x y
x y
x y
−
+
+
+
−
+
−
= −
=
− − + + + +
−
=
− + + + + +
−
=
+ +
−
=
+ +
−
=
+
+ −
=
+
−
4
4
2 2 4
2 2 4 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
20.20.20.20.20.
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
1
5 4 5
5
2 1
5 5
4 5 5 1
2 1 1 5 1
1 1 5 5
5 1
2 1 25
5 1
3 3 24
5 1
3 8
5 1
2 2
2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
a
a
a a
a
a a
a a
a a a a
a a a mcm a a
a a a a a
a a
a a a a a
a a
a a
a a
a a
a a
−
+
− −
+
+
+ +
− = −
− − = − +
+ + = + = − +
=
+ + + + + −
− +
=
+ + + + + −
− +
=
+ −
− +
=
+ −
− +
21.21.21.21.21. ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2
5 3
1 85
25 9
25 9
3 25 9 2 5 3 1 85
25 9
75 27 10 6 85
25 9
7 27
25 9
2
2
2
2
2 2 2
2 2
a a
a
a
mcm a a
a a a a a
a a
a a a a a
a a
a
a a
+
−
+
−
−
= −
=
− + + + −
−
=
− + + + −
−
=
−
−
22.22.22.22.22. ( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
x x
x
x
mcm x
x x x x x
x
x x x x x
x
x x
x
+
+
−
−
+
−
= −
=
+ − + − + − −
−
=
− − + − + − +
−
=
− +
−
1
10
3
5 10
2
2
10 2
1 2 2 3 5 2 2
10 2
2 2 6 5 20 20
10 2
6 19 12
10 2
2 2 2

23.23.23.23.23.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
x
x x
x
x x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x
+
+ −
+
+
+ −
+
−
+ +
+ − = + −
+ − = + −
+ + = + +
= + + −
=
+ + + + + + − −
+ + −
=
+ + + + + + − +
+ + −
=
+
5
12
4
2 15
3
9 20
12 4 3
2 15 5 3
9 20 5 4
5 4 3
5 5 4 4 3 3
5 4 3
10 25 8 16 6 9
5 4 3
3 12
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
( )( )( )
x
x x x
+
+ + −
50
5 4 3
24.24.24.24.24.
( )( )
( )
1
2
1 2
8 2 4
8 2 2 4 8
2 4 1 2 2
8
2 5 2
8
5
8
2
3 2
3 2 3
2 2
3
2 2
3 3
x
x
x
x
x x
x x x x mcm x
x x x x x
x
x x x x
x x
−
+
−
−
+
+ +
− = − + + = −
=
+ + + − + −
−
=
− + + + −
−
=
−
25.25.25.25.25.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1 1
1
1
1
2 1 1 1
1
2 4 2 1
1
3 6 3
1
3 2 1
1
3 1
1
3
1
2 3
3
2
3
2 2
3
2
3
2
3
2
3
a
a
a
a
a
mcm a
a a a a
a
a a a a a
a
a a
a
a a
a
a
a a
+
+
+
+
+
+
= +
=
+ + + + +
+
=
+ + + + + +
+
=
+ +
+
=
+ +
+
=
+
+
=
+
26.26.26.26.26.
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
3 11 6
1
9
1
3 2
3 11 6 3 3 2
9 3 3
3 2 3 2 9 3 2
2 3 1 3 2 9
9 3 2
2 6 3 5 2 9
9 3 2
6 7
9 3 2
2 2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
x
x x
x
x x
x x x x
x x x
x x mcm x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x
+ +
+
+
−
+
+
+ + = + +
− = + −
+ = + = − +
=
− + + + + −
− +
=
− + + + + −
− +
=
− −
− +
27.27.27.27.27.
( )( )
( )
( )( )
x
x x x x
x x x x mcm x
x x x x
x
x x
x
x x
x x x
x
x x
2
3 2
3 2 3
2 2
3
2
3 2 2
4
1
1
1
3
1
1 1 1 1
4 1 3 3
1
2 2
1
2 1
1 1
2
1
−
+
+
+
+
− +
+ = + − + = +
=
− + − + + +
+
=
+
+
=
+
+ − +
=
− +
28.28.28.28.28.
( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )( )
1
1
1
1 2
1
1 2 3
1 2 3
2 3 3 1
1 2 3
5 6 2 4
1 2 3
7 10
1 2 3
5 2
1 2 3
5
1 3
2 2
x x x
x
x x x
mcm x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x
x x
−
+
− +
+
+
− + +
= − + +
=
+ + + + + +
− + +
=
+ + + +
− + +
=
+ +
− + +
=
+ +
− + +
=
+
− +
29.29.29.29.29.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )
x
x x
x
x x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x
x x
−
− −
+
−
− −
+
−
− +
− − = − +
− − = − +
− + = − −
= − − +
=
− − + − − + − +
− − +
=
− + + − + + −
− −
2
2 5 3
3
2 3 2
2 1
5 6
2 5 3 3 2 1
2 3 2 2 2 1
5 6 3 2
3 2 2 1
2 2 3 3 2 1 2 1
3 2 2 1
4 4 6 9 4 1
3
2 2 2
2
2
2
2 2 2
( )( )
( )( )( )
2 2 1
6 10 12
3 2 2 1
2
x
x x
x x x
+
=
− +
− − +
30.30.30.30.30. ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
a
a
a
a
a
a
mcm a a a
a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a a
a a a
a a a
a a a
−
−
+
+
+
+
+
−
= − + −
=
+ − − + − + − + − + +
− + −
=
− − + + − − + + + − −
− + −
=
− − +
− + −
2
1
3
2
1
3
1 2 3
2 2 3 1 3 3 1 1 2
1 2 3
3 4 12 9 9 2 2
1 2 3
3 2 14 19
1 2 3
3 2 3 2 3 2
3 2

EJERCICIO 128
1.1.1.1.1.
( ) ( )x x x x x x x−
−
+
=
− − +
=
− − −
=
−3
4
2
8
2 3 2
8
2 6 2
8
8
8
2.2.2.2.2.
( ) ( )
a b
a
b
ab
b a b a b
a b
ab b ab a
a b
a b
a b
+
−
−
=
+ − −
=
+ − +
=
+
5 3
5 3 5 3 3 5
2
2
2
2
2
2
3.3.3.3.3.
( ) ( )2
3
1
2
2 2 3
6
4 3
62 2 2 2 2 2
mn m n
m n
m n
m n
m n
− =
−
=
−
4.4.4.4.4.
( ) ( )
a
ab
ab
a b
ab a ab
a b
a b ab ab
a b
a b ab
a b
−
−
−
=
− − −
=
− − +
=
+ −
3
5
4 3
3
3 3 5 4 3
15
3 9 20 15
15
3 6 20
15
2
2 3
2 2
2 3
2 2 2 2
2 3
2 2 2
2 3
5.5.5.5.5.
( ) ( )
2 3
4
2
8
2 2 3 2
8
4 6 2
8
3 8
8
a
a
a
a
a a
a
a a
a
a
a
+
−
−
=
+ − −
=
+ − +
=
+
6.6.6.6.6.
( ) ( )
y x
x
x y
y
y y x x x y
xy
y xy x xy
xy
y xy x
xy
−
−
−
=
− − −
=
− − +
=
+ −
2
20
3
24
6 2 5 3
120
6 12 5 15
120
6 3 5
120
2 2 2 2
7.7.7.7.7.
( ) ( ) ( )
x x x
x x x
x x x x x
−
−
−
−
+
=
− − − − +
=
− − + − −
=
− −
= −
+
1
3
2
4
3
6
4 1 3 2 2 3
12
4 4 3 6 2 6
12
4
12
4
12
8.8.8.8.8.
( ) ( ) ( )
3
5
2 1
10
4 1
20
4 3 2 2 1 4 1
20
12 4 2 4 1
20
4 2 1
20
2
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
−
+
−
+
=
− + − +
=
− − − −
=
− −
a
a
a
a
a a a a
a
a a a a
a
a a
a
9.9.9.9.9.
( ) ( ) ( )
( )
3
5
1
3
2 3
15
3 3 5 1 2 3
15
9 5 5 2 3
15
3 3 3
15
3 1
15
1
5
2
2
3
2 2
3
2 2 2
3
2
3
2
3
2
3
x
x
x
x x
x
x x x x x
x
x x x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
−
−
−
+ +
=
− − − + +
=
− + − − −
=
+ −
=
+ −
=
+ −
10.10.10.10.10.
( )
1
2
2
3
5
6
3 2 2 5
6
3 4 2 5
6
4 5
6
2 3
3 2
2 3
3 2 3
2 3
3 2
2 3
a
b
ab a b
ab ab b
a b
ab ab ab
a b
ab ab
a b
−
+
−
=
− + −
=
− − −
=
− −
EJERCICIO 129
1.1.1.1.1. ( )( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
1
4
1
3
4 3
3 4
4 3
3 4
4 3
1
4 3
x x
mcm x x
x x
x x
x x
x x x x
−
−
−
= − −
=
− − −
− −
=
− − +
− −
=
− −
2.2.2.2.2.
( )( ) ( )( )
m n
m n
m n
m n
mcm m n
m n m n m n m n
m n
m mn n m mn n
m n
mn
m n
mn
n m
−
+
−
+
−
= −
=
− − − + +
−
=
− + − − −
−
=
−
−
=
−
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 4 4
3.3.3.3.3.
( )( ) ( )( )1
1
1
1
1 1 1 1
1
1 2 1 2
1
4
1
4
1
2
2 2
2 2 2
−
+
−
+
−
=
− − − + +
−
=
− + − − −
−
=
−
−
=
−
x
x
x
x
x x x x
x
x x x x
x
x
x
x
x
4.4.4.4.4.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b
a ab
b a
ab b
a ab a a b ab b b a b
mcm ab a b
b a b a b a
ab a b
ab b ab a
ab a b
a b
ab a b
+
+
−
−
+
+ = + + = +
= +
=
+ − −
+
=
+ − +
+
=
+
+
2 2
2 2
2 2 2 2
;
5.5.5.5.5.
( )( ) ( )m n
m n
m n
m n
m n m n m n
m n
m mn n m n
m n
mn
m n
+
−
−
+
−
=
+ + − +
−
=
+ + − −
−
=
−
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
6.6.6.6.6. ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
2
1
2
1
2
1
2 2
2 2
2
2 2 2 2 2
x x x x
x x x x x x x x
mcm x x
x x
x x
x x
x x
x
x x x x
+
−
−
+ = + − = −
= −
=
− − +
−
=
− − −
−
=
−
−
=
−
−
=
−
;

7.7.7.7.7.
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a x
a x
x
a x
a x a x x a x
a x a x
a ax x ax x
a x a x
a ax x
a x a x
+
−
−
−
=
+ + − −
− +
=
+ + − +
− +
=
+ +
− +
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2 2
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
a
a a
a a a a
mcm a
a
a
a
a
a
a
+
+
−
+
+ = + + = +
= +
=
+ −
+
=
+ −
+
=
+
+
=
1
6 3
1
12 6
6 3 3 2 1 12 6 6 2 1
6 2 1
2 1 1
6 2 1
2 2 1
6 2 1
2 1
6 2 1
1
6
;
9.9.9.9.9.
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
a
a a
a
a a
a a a a a a a
mcm a a
a a a a
a a
a a
a a a a
−
− +
−
+
+ −
− + = − + − = + −
= − +
=
+ − − − +
+ −
=
− − +
+ −
=
−
+ −
4
6 9
3
12
6 9 3 12 4 3
3 4
4 4 3 3
4 3
16 9
4 3
7
4 3
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
;
10.10.10.10.10.
( )
( )
( )( )
a ab b
a b
b
a b
mcm a b
a ab b b a b
a b
a ab b ab b
a b
a ab
a b
a a b
a b a b
a
a b
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
4 3
9 3
9
4 3 3
9
4 3 3
9
3
9
3
3 3 3
+ −
−
−
+
= −
=
+ − − −
−
=
+ − − +
−
=
+
−
=
+
+ −
=
−
11.11.11.11.11.
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
x
x
x
x
mcm x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x
x x
x
x x
2 2
2
2
2 2
2 2 2
1
1
1
1 1
1 1 1
1 1
2 1
1 1
3 1
1 1
3 1
1 1
−
−
+
−
= − +
=
− − + +
+ −
=
− − − −
+ −
=
− −
+ −
= −
+
+ −
12.12.12.12.12.
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 3
3 3 3
3 2 2
2 2 2
3 2 2
2 2 2 2
3 2 2 3 2 2
a b a b
mcm a b a ab b
a b a ab b
a b a ab b
a ab b a ab b
a b a ab b
ab
a b a ab b
−
−
−
= − + +
=
− − + +
− + +
=
− + − − −
− + +
=
−
− + +
13.13.13.13.13.
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
x
x x x x
x x x x
x x x mcm x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
+
+ −
−
− +
+ − = + −
− + = − = − +
=
− + − +
+ −
=
+ − − −
+ −
=
+ −
+ −
3
6 2
1
4 4 1
6 2 3 2 2 1
4 4 1 2 1 2 1 3 2
2 1 3 3 2
3 2 2 1
2 5 3 3 2
3 2 2 1
2 2 5
3 2 2 1
2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
14.14.14.14.14. ( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
x
x
x
x
mcm x
x x x x
x
x x x x
x
x x
x
−
+
−
+
−
= −
=
− − − + +
−
=
− + − − −
−
=
−
−
1
4 4
2
8 8
8 1
2 1 1 2 1
8 1
2 4 2 3 2
8 1
7
8 1
2
2
2 2
2
2
2
15.15.15.15.15. ( )
( )
( ) ( ) ( )
x
xy y y
mcm y x y
x x y
y x y
x x y
y x y
y
y x y x y
−
− = −
=
− −
−
=
− +
−
=
−
=
−
2
1
1
16.16.16.16.16. ( )
( )
( ) ( ) ( )
b
a b
b
a ab
mcm a a b
ab b a b
a a b
ab ab b
a a b
b
a a b
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
−
−
+
= −
=
− −
−
=
− +
−
=
−
17.17.17.17.17.
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3
6 9
1
4 12 9
6 9 3 2 3 4 12 9 2 3
3 2 3
2 3 2 3 3 1
3 2 3
4 9 3 3
3 2 3
4 3 6
3 2 3
2
2 2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a a
a a a a a
mcm a
a a a
a
a a
a
a a
a
−
+
−
−
+ +
+ = + + + = +
= +
=
+ − − −
+
=
− − +
+
=
− −
+
;
18.18.18.18.18. ( )( )
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
x
x x
x
x x
mcm x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x x x x x
+
+ +
−
−
− +
= + + − +
=
+ − −
+ + − +
=
+ − +
+ + − +
=
+ + − +
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2

19.19.19.19.19. ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
a
a a a a
mcm a a
a a a a a a
a a
a a a a a a
a a
a a a
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
a a
−
+
−
−
−
+
= −
=
− − − + − −
−
=
− + − − − +
−
=
− + −
−
= −
−
−
= −
−
−
= −
−
−
=
−
−
1 1
2 2
1
2 2
2 1
2 1 1 1 1
2 1
2 2 1
2 1
2 4 2 2
2 1
4 2
2 1
2 2 1
2 1
2 1
1
1 2
1
2
2
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2 2 2
20.20.20.20.20.
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
1
4 4
1
8 8
1
12 12
24 1 1
6 1 1 3 1 1 2 1
24 1 1
6 1 3 1 2 2
24 1 1
6 6 6 6 3 3 3 3 2 2
24 1 1
3 11 3 7
2
2 2
2 2 2
2 2
3 2 3 2 2
2 2
3 2 3 2 2
2 2
3 2
a a a
mcm a a
a a a a a
a a
a a a a a a a
a a
a a a a a a a
a a
a a a
+
−
−
−
+
= + −
=
+ − − + + − −
+ −
=
− + − − + + + − +
+ −
=
− + − − − − − − +
+ −
=
− + −
( )24 14
a −
21.21.21.21.21. ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
y
x xy x x y
mcm x x y
y x y x
x x y
y x y x
x x y
y x
x x y
y x
x x y
x y
x x y x
2
1 1
2 2 2 2 2
−
− −
−
= −
=
− − −
−
=
− + −
−
=
−
−
=
−
−
= −
−
−
= −
22.22.22.22.22. ( )
( )
( ) ( ) ( )
a
a ab a a b
mcm a a b
a a b a
a a b
a b
a a b
a b
a a b a
2
1 1
1
+
− −
+
= +
=
− + −
+
=
− −
+
= −
+
+
= −
23.23.23.23.23. ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1 2
2 0
0
2 2 3 2
2 2
2 2 2 2 2 2
x xy x xy
y
x xy
mcm x x y
x y x y y
x x y
x y x y
x x y x x y
−
−
+
−
−
= −
=
+ − − −
−
=
− − +
−
=
−
=
24.24.24.24.24.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
x
x x x x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x
x x x
2 2 2
2
2
2
2 2
2
3
2 3 5 6
2 2 1
2 3 3 1
5 6 3 2
2 1 3
3 3 2 1
2 1 3
3 3 6
2 1 3
6
2 1 3
+ −
−
+ −
−
+ +
+ − = + −
+ − = + −
+ + = + +
= + − +
=
+ − + − −
+ − +
=
+ − − − +
+ − +
=
−
+ − +
25.25.25.25.25.
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
3
1
2
1
1 9
1 1
1 1
3 1 2 1 1 9
1 1
3 6 3 2 2 2 1 9
1 1
1 1
2 2 3
3
2 2
3
2 3 2 2
3
3
3
x x
x
x
x
x x
mcm x x
x x x x x
x x
x x x x x x x x
x x
x
x x
+ +
−
+
−
−
−
− −
= − −
=
− − + + + − −
− −
=
− + − − − − − − − +
− −
= −
− −
26.26.26.26.26.
( )( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
a b
a b
a b
a ab b a b
a b a b a ab b
a ab b a ab b
a b a b
mcm a b a ab b
a b a b a b a ab b
a b a ab b
a b a b a ab b
a b a ab
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
1
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2
2 2
2
+
−
−
+
+ +
−
−
− = − + +
+ + = + +
− = −
= − + +
=
+ − + − − + +
− + +
=
+ − + − − −
− + +( )
( )( ) ( )
b
b ab
a b a ab b
b ab
a b
2
2
2 2
2
3 3
2
2
2
2
=
−
− + +
=
−
−
27.27.27.27.27.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
3
2 2 4
1
4 8 32
10 1
8 40 32
2 2 4 2 2 2 2 1
4 8 32 4 2 8 4 4 2
8 40 32 8 5 4 8 4 1
8 4 2 1
12 4 2 1 1 10 1 2
8 4 2 1
2 2 2
2 2
2 2
2 2
a
a a
a
a a
a
a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
mcm a a a
a a a a a a
a a a
− −
−
−
+ −
−
−
+ +
− − = − − = − +
+ − = + − = + −
+ + = + + = + +
= + − +
=
+ − − + − − −
+ − +
( )( )( )
( )( )( )
=
+ − + − + + −
+ − +
=
+ − +
12 48 2 2 10 20 2
8 4 2 1
69
8 4 2 1
2 2 2
a a a a a a
a a a
a
a a a

28.28.28.28.28.
( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
4 12
9
27 2 3 9
4 12 4 3
27 3 3 9
2 3 9 2 3 9
4 27
3 9 4 9 2 3
4 27
3 9 4 36 2 6
4
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2 2 2
3 3
2 2 2 2
3 3
2 2 2 2 2
3
a x
a x
a x
a
a ax a
a x a x
a x a x a ax a
a ax a a ax a
mcm a x
a ax x a x a a x
a x
a ax x a x a ax
a
−
−
+
−
−
+ +
− = −
− = − + +
+ + = + +
= −
=
+ + − + − −
−
=
+ + − − − +
( )
( ) ( )
−
=
− + −
−
= −
− +
−
27
5 9 27
4 27
5 9 27
4 27
3
2 2
3 3
2 2
3 3
x
a ax x
a x
a ax x
a x
29.29.29.29.29.
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 3
10 10
1
50
9 14
50 50
10 10 10 1
50 50
50 50 50 1
50 1
5 2 3 1 1 9 14
50 1
10 15 2 1 9 14
50 1
2 2
50 1
2 1
50 1
1
25
2 2
2 2
2 2 2
a
a
a a
a
a a
a a
mcm a
a a a a
a
a a a a
a
a
a
a
a
−
+
−
+
−
−
+
+ = +
=
+ = +
= +
=
− − + + − −
+
=
− − − − − +
+
=
− −
+
= −
+
+
= −
EJERCICIO 130
1.1.1.1.1. ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
2
3
3
2
4 7
6
3 2
2 2 3 3 4 7
3 2
2 4 3 9 4 7
3 2
2
3 2
1
3
2
x x
x
x x
mcm x x
x x x
x x
x x x
x x
x
x x x
−
+
+
−
−
− −
= − +
=
+ + − − −
− +
=
+ + − − +
− +
=
+
− +
=
−
2.2.2.2.2. ( )
( ) ( )
( )
( )
a
a a
a
a
mcm a
a a
a
a
a
a
a
3 6
1
6 12
12
12 24
12 2
4 2 12
12 2
5 10
12 2
5 2
12 2
5
12
+
−
+
+
+
+
= +
=
− + +
+
=
+
+
=
+
+
=
3.3.3.3.3. ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
x
x x x
mcm x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x
2 2
2 2
3 2 2
2 2
3 3 2
2 2
3 2
2 2
1
1
3
1
3 1
3 1 3 1
3 1
3 3 3
3 1
4 3 3
3 1
+
+ − = +
=
+ + − +
+
=
+ + − −
+
=
+ − −
+
4.4.4.4.4. ( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
a
a
a
a
a
a
mcm a
a a a a a
a
a a a a a
a
a a
a
+
−
+
−
+
+
−
−
= −
=
+ + − − + − +
−
=
+ + − + + − −
−
=
− +
−
3
1
1
2 2
4
4 4
4 1
4 3 2 1 1 4 1
4 1
4 12 2 4 2 3 4
4 1
3 3 10
4 1
2
2
2
2 2
2
2
2
5.5.5.5.5. ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
a b
a ab
a b
ab
a
ab b
mcm ab a b
b a b a b a b a
ab a b
ab b a ab b a
ab a b
ab
ab a b a b
−
+
+
+
−
+
= +
=
− + + + −
+
=
− + + + −
+
=
+
=
+
2 2
2
2 2 2 2
2 3 3
6.6.6.6.6.
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
x y
x y
x y
x y
x
x y
mcm x y
x y x y x y x y x
x y
x xy y x xy y x
x y
x xy
x y
x x y
x y x y
x
x y
−
+
−
+
−
+
−
= −
=
− − − + + +
−
=
− + − − − +
−
=
−
−
=
−
+ −
=
+
4
4
2 2 4
4 4 4 4
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
7.7.7.7.7. ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
x
a ax a x
mcm ax a x
x x a x a a x
ax a x
x ax x a ax
ax a x
a
ax a x
a
x a x
2
2
2 2 2 2
1 1
−
+ + = −
=
+ − + −
−
=
+ − + −
−
=
−
=
−

8.8.8.8.8.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
x
x x
x
x x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x
x
+
− −
−
+
− −
+
+
+ +
− − = − +
− − = − +
+ + = + +
= − + +
=
+ + − + + + − +
− + +
=
+ + − − − + −
− + +
=
− −
−
1
20
4
4 5
5
5 4
20 5 4
4 5 5 1
5 4 4 1
5 4 1
1 1 4 4 5 5
5 4 1
2 1 8 16 25
5 4 1
6 40
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
( )( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )( )
5 4 1
10 4
5 4 1
10
5 1
x x
x x
x x x
x
x x
+ +
=
− +
− + +
=
−
− +
9.9.9.9.9.
( )
( )( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 1
12 8 6 2
2
16 8
12 8 4 3 2
6 2 3 2 2 1
16 8 8 2 1
8 3 2 2 1
2 2 1 2 1 8 2 3 2
8 3 2 2 1
8 2 8 6 4
8 3 2 2 1
6 4 2
8 3 2 2 1
2 3 2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
x
x
x
x x
x
x
x x
x x x x
x x
mcm x x
x x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x
+
+
−
+ −
+
−
+ = +
+ − = + −
− = −
= + −
=
+ − − + +
+ −
=
− − + +
+ −
=
+ −
+ −
=
+( )
( )( ) ( )( )
x
x x
x x
x x
−
+ −
=
+ −
+ −
1
8 3 2 2 1
3 2 1
4 3 2 2 1
2
10.10.10.10.10. ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 1
1 1
2
ax a ax a x
mcm ax a x
a x x ax
ax a x
ax a
ax a x
a x
ax a x
x
x a x
−
+
+
+
= +
=
+ − +
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
11.11.11.11.11. ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
1 1 2
2
2 2
4 4
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 2 2 3 3 2 2 3 2 3
2 2 2 2
3
4 4
3
4 4
x y x y
y
x y
mcm x y x y
x y x y x y x y y x y
x y x y
x xy x y y x xy x y y x y y
x y x y
y
x y
y
y x
+
−
−
+
+
= − +
=
− + − + + + −
− +
=
+ − − − − − − + −
− +
=
−
−
=
−
12.12.12.12.12. ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
a
a
a
a
a a
a
mcm a
a a a a a a
a
a a a a a a
a
a a
a
a a
a a
a
a
−
+
−
−
−
+
+ −
−
= −
=
− − − − + + + −
−
=
− + − + + + + −
−
=
−
−
=
−
+ −
=
+
1
3 3
2
6 6
2 6
9 9
18 1
6 1 1 3 2 1 2 2 6
18 1
6 12 6 3 3 6 2 4 12
18 1
5 5
18 1
5 1
18 1 1
5
18 1
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
13.13.13.13.13.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
1
2 24
2
2 8
3
8 12
2 24 6 4
2 8 4 2
8 12 6 2
6 2 4
2 2 6 3 4
6 2 4
2 2 12 3 12
6 2 4
26
6 2 4
2 2 2
2
2
2
a a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
mcm a a a
a a a
a a a
a a a
a a a a a a
+ −
+
− −
−
+ +
+ − = + −
− − = − +
+ + = + +
= + + −
=
+ + + − −
+ + −
=
+ + + − +
+ + −
=
+ + −
14.14.14.14.14. ( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
x y
xy
x y
xy y
y
x xy
mcm xy x y
x y x y x x y y
xy x y
x xy y x xy y
xy x y xy x y
+
−
+
+
−
+
= +
=
+ + − + −
+
=
+ + − − −
+
=
+
=
2
2
2 2 0
0
2 2
2
2 2 2 2
15.15.15.15.15.
( )( ) ( )( )
a
a
a
a a
a
a
mcm a
a a a a a a
a
a a a a a a a a
a
a a
a
3
3 2
3
3 2
3
3 2 3 2 2
3
2
3
1
3
1
1
1
1
1 3 1 1
1
4 3 1
1
3 2 4
1
+
+
+
− +
−
−
+
= +
=
+ + + − − − +
+
=
+ + + − + − + − +
+
=
+ +
+
16.16.16.16.16. ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
1
1
2
1
3
1
1 1
1 1 2 1 3 1
1 1
1 2 2 2 3 3
1 1
4 1
1 1
2
2
3
2 2
2 2 2
2 2
3 2 2 3 2 3 2
2 2
2
2 2
x
x
x
x
x
mcm x x x
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x x x
x x x
x x
x x x
−
+
−
−
−
= − + +
=
+ + + + + + − +
− + +
=
+ + + + + + + + − −
− + +
=
+ +
− + +

17.17.17.17.17.
( )( ) ( )
( )
( )( )
a b
a ab b a b
a
a b
mcm a b
a b a b a ab b a
a b
a ab b a ab b a
a b
a ab
a b
a a b
a b a ab b
a
a ab b
+
− +
−
+
+
+
= +
=
+ + − − + +
+
=
+ + − + − +
+
=
+
+
=
+
+ − +
=
− +
2 2
2
3 3
3 3
2 2 2
3 3
2 2 2 2 2
3 3
2
3 3 2 2 2 2
1 3
3
2 3
3 3 3 3
18.18.18.18.18.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
2
−
+
+
+ +
−
+
−
= −
=
+ + + + − − +
−
=
+ + + − + − − −
−
=
− −
−
=
− +
−
=
+
+ +
x
x
x x
x
x
mcm x
x x x x x
x
x x x x x x
x
x x
x
x x
x
x
x x
2
2 3
2 4
6 12
8
8
2 2 4 2 3 2 6 12
8
2 4 8 2 4 3 6 6 12
8
4 3 10
8
2 4 5
8
4 5
2 4
2 3
3
2
3
2 2
3
2
3 3 2
19.19.19.19.19.
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
3 2
3 10
5 1
4 5
4 1
3 2
3 10 5 2 4 5 5 1
3 2 2 1 5 2 1
3 2 1 5 1 2 4 1 5
5 2 1
3 3 2 2 5 10 2 4 20
2 2 2
2 2
2
2 2 2
x
x x
x
x x
x
x x
x x x x x x x x
x x x x mcm x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x x x
+
+ −
−
+
+ −
+
−
− +
+ − = + − + − = + −
− + = − − = + − −
=
+ − − + − + − +
+ − −
=
− + − − + − + + +
;
;
( )( )( )
( )( )( )
− −
+ − −
=
+ −
+ − −
x
x x x
x x
x x x
5
5 2 1
2 27 5
5 2 1
2
20.20.20.20.20.
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
2 3 3 1
1
2 4 1
1
2 3
3
2 3
3
2 3 2 3 2
3
2
3
n n n n
mcm n n
n n n n n n
n n
n n n n n n n n n
n n
n n
n n
+
+
−
−
−
− = −
=
− + − − − −
−
=
− + − + − − + − +
−
=
− +
−
21.21.21.21.21.
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
1
5
5
5
5
25
25 5
25 5 5 5 5
25 5
25 10 25 10 25
25 5
20 25
25 5
2
2
2 2
2
4
4 2
4 2 2 2 2
4 2
4 4 2 4 2
4 2
4 2
4 2
a
a
a
a
a
mcm a a
a a a a a
a a
a a a a a
a a
a a
a a
+
−
−
+
+
+
−
= − +
=
− − − − + + +
− +
=
− − + − + + +
− +
=
+ −
− +
22.22.22.22.22.
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
9 9 6
6
9 6
9 3 3 9 6 3
9 6 3 3 3
1 9 3 6 3
3 3
9 9 9 6 54 36 6
3 3
9 54
2
2
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 4 2 3 4 2 3
2 2
−
−
−
+ +
−
− +
− = + − + + = +
− + = − = + −
=
− − − − − +
+ −
=
− − + − + − − − −
+ −
=
−
x
x
x
x x
x
x x
x x x x x x
x x x mcm x x
x x x x x x
x x
x x x x x x x x x
x x
x
;
;
( ) ( )
−
+ −
55
3 3
2
2 2
x
x x
23.23.23.23.23. ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
x
x
x
x
x
x x
mcm x
x x x x x x x
x
x x x x x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
2 2
1
3 3
1
6 6
5
18 18
18 1
9 1 6 1 1 3 1 1 5 1
18 1
9 9 6 12 6 3 6 3 5 5
18 1
6 32 8
18 1
2 3 16 4
18 1
3 16 4
9 1
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
+
−
+
−
+
−
+
−
−
= −
=
− − + + + − − − +
−
=
− − − − + − + − −
−
=
− −
−
=
− −
−
=
− −
−
24.24.24.24.24. ( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
a
a
a
a
a
a
mcm a
a a a a a
a
a a a a a
a
a a
a
+
+
−
−
−
−
−
= −
=
+ − − − − +
−
=
+ − − − + +
−
=
+ −
−
2
2 2
7
8 8
3
4 4
8 1
4 2 1 7 2 3 1
8 1
4 4 8 7 2 4 6
8 1
2 2
8 1
2
2
2
2 2
2
2
2
25.25.25.25.25. ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
a
a
a
a
a
a
mcm a
a a a
a
a a a
a
a
a
a
a
a
a
−
+
+
+
+
−
−
+
= +
=
− + + − −
+
=
− + + − +
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
3
20 10
2 5
40 20
4 1
60 30
120 2 1
12 3 6 2 5 4 4 1
120 2 1
12 36 12 30 16 4
120 2 1
8 2
120 2 1
2 4 1
120 2 1
4 1
60 2 1
26.26.26.26.26.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
2
2 5 3
1
2 6
3
2
2 5 3 2 3 1
2 6 2 3 2
2 2 1
2 3 1 2
2 2 1 3 2 3
2 3 1 2
2 4 1 6 9
2 3 1 2
7 4
2 3 1 2
2 2 2
2
2
2
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x
x x x
+ +
−
− −
+
− −
+ + = + +
− − = + −
− − = − +
= + + −
=
− − + + +
+ + −
=
− − − + +
+ + −
=
+
+ + −

27.27.27.27.27. ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
a
a
a
a a
mcm a a a
a a a a a a
a a a
a a a a a a a a
a a a
a a a
−
−
−
−
+
+
−
= − + −
=
− + − − − + − +
− + −
=
− + + − − + − + + −
− + −
=
+ − − + + − + + − − + + + −
− + −
=
1
2
2
3
1
1
2 3 1
1 3 2 1 2 3
2 3 1
2 1 3 4 4 1 6
2 3 1
3 2 6 3 4 4 4 4 6
2 3 1
7
2 2
2 2 2
3 2 2 3 2 2 2
( )( )( )
a a
a a a
2
12 1
2 3 1
− +
− + −
28.28.28.28.28.
( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 3
2 3
2 3
2 3 2 3
4 9 2 3
2 3 4 9 2 3 2 3
4 9 2 3
8 18 12 27 8 36 54 27 2 3
4 9 2 3
46 75
4 9 2 3
2
2
2 3
2
2 3 2 3 2
2
2
2
+
−
−
−
+
−
−
= − −
=
+ − − − − +
− −
=
− + − − + − + − −
− −
=
−
− −
a
a
a
a
a
a
mcm a a
a a a a a
a a
a a a a a a a a
a a
a a
a a
29.29.29.29.29. ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
1
5 5
1
5 5
1
10 10
10 1 1
2 1 1 2 1 1 1
10 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 1
10 1 1
5 3
10 1
2
2 2
2 2 2
2 2
2 3 2 3 2
2 2
2
4
+
+
−
−
+
= + −
=
+ − + + + − −
+ −
=
− + − + + + + − +
+ −
=
+
−
a a a
mcm a a
a a a a a
a a
a a a a a a a
a a
a
a
30.30.30.30.30.
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
1
3 3
1
3 3 6 6 2 2
3 3 3 1 3 3 3 1
6 6 6 1 2 2 2 1
6 1 1 6 1
2 1 1 2 1 1 1 3 1
6 1
2 2 2 2 2 2 2 2 3
2 2
2 2 2 2
2 2 4
2 2 2 2
4
2 3 2 3 3
−
−
+
+
+
−
−
− = − + = +
+ = + − = −
= + − = −
=
+ + − + − + − − +
−
=
+ + + − + − + + − −
x x
x
x
x
x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x x x x
x
x x x x x x x x
;
;
( )
( ) ( )
x x
x
x
x
x
x
−
−
=
−
=
−
3
6 1
2
6 1 3 1
3
4
4 4
EJERCICIO 131
1.1.1.1.1.
1 1
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
m n
m
n m m n
m
m n
mcm m n
m n m
m n
n
m n
−
+
−
=
−
−
−
= −
=
+ −
−
=
−
2.2.2.2.2.
( )
x
x xy
x
y x
x
x x y
x
x y
x
x y
x
x y
mcm x y
x x
x y
x
x y
2
2
2
2 2 2
2 3
−
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
= −
=
+
−
=
−
3.3.3.3.3.
( )
( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
1
2 4
1
2 4
4
2
4
2 1
2 2
1
2
2 2 2
2
2
2
x x
x
x x x
x
x
mcm x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x
−
+
−
=
−
−
−
= −
=
+ −
−
=
− +
− +
=
+
+
4.4.4.4.4.
( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
a b
a ab
a
b a
a b
a a b
a
a b
mcm a a b
a b a b a
a a b
a ab b a
a a b
ab b
a a b
+
−
+
−
=
+
−
−
−
= −
=
+ + −
−
=
+ + −
−
=
+
−
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
5.5.5.5.5.
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
x
x x
x
x
x
x x
x
x
mcm x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
−
− −
−
−
=
−
− +
+
−
= − +
=
− + +
− +
=
− + +
− +
=
+ −
− +
4
2 3 6 2
4
3 1 2 3
2 3 1
2 4 1
2 3 1
2 8
2 3 1
3 8
2 3 1
2
2 2
6.6.6.6.6.
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
1
2 8
1
2 3
1
4 2
1
2 3
2 3 4
3 4
2 3 4
3 4
2 3 4
1
2 3 4
1
2 3 4
2
x x x x x x x x
mcm x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x x x x
+ −
+
− +
=
+ −
−
− +
= − + +
=
+ − +
− + +
=
+ − −
− + +
=
−
− + +
=
− + +
7.7.7.7.7.
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1
2 2
2
1
7
4 4
1
2 1
2
1
7
4 1
4 1
2 1 8 1 7 1
4 1
2 2 8 8 7 7
4 1
3
4 1
2
2
2 2
x x x x x x
mcm x
x x x
x
x x x
x
x
x
+
+
−
+
−
=
+
−
−
+
−
= −
=
− − + + +
−
=
− − − + +
−
=
−
−

8.8.8.8.8.
( ) ( )
2
3
3
3
2
9
2
3
3
3
2
9
9
2 3 3 3 2
9
2 6 3 9 2
9
5
9
2 2
2
2
2 2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
mcm a
a a a a a
a
a a a a a
a
a a
a
+
+
−
+
−
=
+
+
−
−
−
= −
=
− + + −
−
=
− + + −
−
=
+
−
9.9.9.9.9.
( )( ) ( )
x y
y x
y
x y
x
y x
x y
y x
y
x y
x
x y
mcm x y
x y x y y x x y
x y
x xy xy y y x xy
x y
x xy
x y
+
+
+
−
−
−
=
+
+
+
−
−
−
= −
=
+ − + + +
−
=
− + − + + +
−
=
+
−
3 3 3 3
3 3
3 3 3 2 3
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
10.10.10.10.10.
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
x
x x
x
x x x
x
x x
x
x x x
mcm x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x
x x x
2
2 2 2 2
2 3
3
1 2
1
2
3 1
3
1 2
1
2
3 2 1
2 3 3 3 1
3 2 1
2 9 2 3
3 2 1
4 6
3 2 1
+ −
+
−
− +
+
+
=
+ −
−
−
− +
+
+
= + + −
=
+ − − + + + −
+ + −
=
+ − + + + −
+ + −
=
+ +
+ + −
11.11.11.11.11.
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
3
2 2
1
4 4
4
8 8
3
2 1
1
4 1
4
8 1
8 1
12 1 2 1 4
8 1
12 12 2 2 4
8 1
10 10
8 1
10 1
8 1 1
5
4 1
2 2
2
2
2 2
a a a a a a
mcm a
a a
a
a a
a
a
a
a
a a a
+
−
−
−
−
=
+
−
−
+
−
= −
=
− − + +
−
=
− − − +
−
=
−
−
=
−
− +
=
+
12.12.12.12.12.
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
1
3
1
3 2
2
2 1
1
3
1
3 2
2
2 1
3 2 1
2 1 1 1 2 3
3 2 1
3 2 1 2 6
3 2 1
3
3 2 1
3
3 2 1
2 2
a
a
a a a a
a
a
a a a a
mcm a a a
a a a a a
a a a
a a a a
a a a
a
a a a
a
a a a
−
+
+
− −
+
− −
=
−
−
+
− −
+
− −
= − − −
=
− − − + − + −
− − −
=
− + − + + −
− − −
=
− −
− − −
=
+
− − −
13.13.13.13.13.
( )
( ) ( ) ( )
2
1
2 2
1
1
1
2
1
2 1
1
1
1
1
2 1 2 1 1
1
2 2 2 2 2 1
1
3 1
1
3 2
3 2
2
3 2
3
2 2
3
3 2 3 2
3 3
x
x
x x
x x x
x
x
x x
x x x
mcm x
x x x x x x
x
x x x x x x
x
x
x
−
+
+
−
+
+ +
=
−
−
+
−
+
+ +
= −
=
+ + − + + −
−
=
+ + − − + −
−
=
−
−
14.14.14.14.14.
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x x
x x
mcm x x
x x x x x x
x x
x x x x x x x x
x x
x
+
−
+
+
−
+
+ +
− +
=
+
−
−
+
−
+
+ +
− −
= − −
=
+ − − + − + + +
− −
=
− + − − + − + + + +
− −
=
+
2
3 1
1
3 2
4 6 3
6 11 3
2
3 1
1
2 3
4 6 3
2 3 3 1
2 3 3 1
2 2 3 1 3 1 4 6 3
2 3 3 1
2 3 4 6 3 3 1 4 6 3
2 3 3 1
3
2
2
2
2
2 2 2
2
( )( )
( )( )
( )( )
5 2
2 3 3 1
2 3 1
2 3 3 1
2
2 3
x
x x
x x
x x
x
x
−
− −
=
+ −
− −
=
+
−
EJERCICIO 132
1.1.1.1.1.
2
3
6
4
12
12
2 2 2 2
a
b
b
a
a b
ab
ab⋅ = =
2.2.2.2.2.
x y a
m
m
x
x ya m
x m
a y
xm
2 3
2 3
2 3
3 2
3
5
10
3
9 90
15
6
⋅ ⋅ = =
3.3.3.3.3.
5
7
4
7
14
5
14 5 4
49 5
8
7
2
3
2
3 4
2 2
4 3 3 2 2
x
y
y
m
m
x
x my
x m y x m y
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
⋅
=
4.4.4.4.4.
5 2 3
10
10 3
10
3
2 2
a
a
b
b ab
ab b
⋅ ⋅ =
⋅
=
5.5.5.5.5.
2
15
3 5
7
15 2
15 7
2
7
3
3
2 2
2
2 5
3 3
4
3
x
a
a
y
x
xy
a x
a xy
x
ay
⋅ ⋅ =
⋅
⋅
=
6.6.6.6.6.
7
6
3
10
5
14
7 3 5
14 6 10 82 2
4 4
2 2
2
a
m
m
n
n
ax
amn
am n x
n
mx
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
7.7.7.7.7.
( )
( )
2
6
8
4 2
2 1
3
4
2 2 1
2
3
2
x x
x
x x
x
x+
+
+
=
+
⋅
+
=
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( )
5 25
14
7 7
10 50
5 5
14
7 1
10 5
1
4
x x
x
x x
x
x+
⋅
+
+
=
+
⋅
+
+
=
+

9.9.9.9.9.
( ) ( )( ) ( )
m n
mn n
n
m n
m n
n m n
n
m n m n
n
m n
n
m mn n
+
−
⋅
−
=
+
−
⋅
+ −
=
−
=
− +
2
2
2 2
2
2 2 2
2
10.10.10.10.10.
( )
( )
( )
( )
( )
xy y
x xy
x xy y
x xy
y x y
x x y
x y
x x y
y x y
x
xy y
x
−
+
⋅
+ +
−
=
−
+
⋅
+
−
=
+
=
+
2 2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
11.11.11.11.11.
( )
( ) ( )( )
( )
( )
x xy y
x xy
x
x y
x y
x x y
x
x y x y
x x y
x y
x xy
x xy y
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2
2 2
4 4
2 4
2
2 2 2
2
2
2
4
− +
+
⋅
−
=
−
+
⋅
+ −
=
−
+
=
−
+ +
12.12.12.12.12.
( ) ( )
( )( )
2 2
2
3
2 3
2 1
2
3
3 1
1
2
2
2
2 2
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
+
⋅
−
− −
=
+
⋅
−
− +
=
13.13.13.13.13.
( )( )
( )( ) ( ) ( )
a ab a b
a a a ab
a a b
a a a a b a a a a
2
2 2
2
2 1
3
6 6
1
1 1
3
6
1
2 1
1
2 2
− + −
+ +
⋅
−
=
+ −
+ +
⋅
−
=
+
=
+
14.14.14.14.14.
( )
( )
( )
( )( )
x y
x
x x
x y
x y
x x x
x x
x y
x
−
−
⋅
+ +
−
=
−
− + +
⋅ + + =
−
−
3
3
2
2 2
2
1
1
1 1
1
1
15.15.15.15.15.
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
2 2
2 50
4 5
3 3
2 1
2 25
5 1
3 1
1 5
3 5 5
1
3 5
1
3 15
2
2
2
a
a
a a
a
a
a
a a
a
a a
a a
a
a
a
a
−
−
⋅
− −
+
=
−
−
⋅
− +
+
=
− −
+ −
=
−
+
=
−
+
16.16.16.16.16.
( )( )
( )
( )
( )( )
2 3 2
6 3
3 6
4
2 2 1
3 2 1
3 2
2 2
1
2
2
x x
x
x
x
x x
x
x
x x
− −
+
⋅
+
−
=
− +
+
⋅
+
− +
=
17.17.17.17.17.
( )( ) ( )
( )
y y
y
y
y
y y
y
y
y
y
2
9 18
5
5 25
5 15
6 3
5
5 5
5 3
6
+ +
−
⋅
−
+
=
+ +
−
⋅
−
+
= +
18.18.18.18.18.
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x x
x
3 2
2
2
2
2
2
2 3
4 8 3
2 3
2 3
2 3 2 1
2 3
1
3 1
2 1 1
3
2 1
3
2 1
+ −
+ +
⋅
+
−
=
+ −
+ +
⋅
+
−
=
+ −
+ −
=
+
+
=
+
+
19.19.19.19.19.
( )( )
( )( )
x
a
a a
x x
x x x
a a a
a a
x x
x
a
3
3
2
2
2
2
2
2
27
1
1
3 9
3 3 9
1 1
1
3 9
3
1
−
−
⋅
+ +
+ +
=
− + +
− + +
⋅
+ +
+ +
=
−
−
20.20.20.20.20.
( )
( ) ( )
( )
a ab b a b
a b
a b a b
a b
2 2
3
2
3
4 4
3
2 4
2
2
3
2 2
2
2
3
+ +
⋅
+
+
=
+
⋅
+
+
=
21.21.21.21.21.
( )
( )
1
1
1
1
1
1
2
2
2 2
−
+
⋅
+
−
⋅ =
−
+
⋅
+
−
⋅ =
x
a
a a
x x
x
a
x
a
a a
x x
x
a
x
22.22.22.22.22.
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x x x
2
2
2
3 2
2
2
2
2 2
2 2
2
16
2 8 4
4 4
2
4 4
4 2
1
4
2 2
2 4 4
2 4 4 1
1
1
+
−
⋅
− −
+
⋅
+
+ +
=
+
− +
⋅
− +
+
⋅
+
+ +
=
+ − +
+ − + +
=
+
23.23.23.23.23.
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
m n x
m x n
m n x
m mn mx
m n x m n x
m n x m n x
m n x m n x
m m n x
m n x
m
+ −
+ −
⋅
− −
+ −
=
+ + + −
+ + − +
⋅
− + − −
+ −
=
− −
2 2
2 2
2 2
2
24.24.24.24.24.
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 1
2
2 1
1
1
1
3 2
2
3
2 2
2 2 2
2 2
a ab
ax ax
x x
a x b x
x
x
a a b
ax x
x x
x a b
x
x
+
−
⋅
−
+
⋅
+
=
+
−
⋅
−
+
⋅
+
=
25.25.25.25.25.
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
a a
a
a
a a
a
a
a a
a
a
a a
a a
a
a a
a
a a
a
2
2
2
2
5 6
3 15
6
30
25
2 4
3 2
3 5
6
6 5
5 5
2 2
3
6
3
6
− +
−
⋅
− −
⋅
−
−
=
− −
−
⋅
− +
⋅
+ −
−
=
−
−
=
−
−
26.26.26.26.26.
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )( )
x xy y
x xy y
x y
x xy
x xy
x y
x y x y
x y x y
x y x y
x x y
x x y
x y
x y x y
x y
x xy y
x y
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
3 10
2 8
16
4
6
2
5 2
4 2
4 4
4
6
2
5 6
2
11 30
2
− −
− −
⋅
−
+
⋅
−
+
=
− +
− +
⋅
+ −
+
⋅
−
+
=
− −
+
=
− +
+
27.27.27.27.27.
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
x ax a
ax a
ax a
ax a
a x
x ax a
x a
a x a
a x a
a x
a x
x a x a
x a
a x
x a
ax a
2 2
2
2
2 2
2
4 4
3 6
2 4 6 6
3 2
2
3 2
2 2
1
6
2
4 2
1
4 8
+ +
−
⋅
−
+
⋅
+
+ +
=
+
−
⋅
−
+
⋅
+
+ +
=
+
+
=
+
+
28.28.28.28.28.
( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
a
a a
a
a
a
a
a a
a
a a
a a
a
a a
a
a
a a
a
a a
a
a a
a
2
2 2
3 2
2
2
81
2 10
11
36
2 12
2 18
5
2 22
9 9
2 5
11
6 6
2 6
2 9
5
2 11
9
4 6
9
4 24
−
+
⋅
+
−
⋅
−
+
⋅
+
+
=
+ −
+
⋅
+
+ −
⋅
−
+
⋅
+
+
=
−
+
=
−
+

29.29.29.29.29.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
a a
a a
a a
a a
a a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a
a
a a
a
2
2
2
2
3 2
2
2
2
7 10
6 7
3 4
2 15
2 3
2 8
5 2
7 1
4 1
5 3
2 3
4 2
3 1
3 7
1
7 7
+ +
− −
⋅
− −
+ −
⋅
− −
− −
=
+ +
− +
⋅
− +
+ −
⋅
− −
− +
=
− +
− −
=
+
−
=
+
−
30.30.30.30.30.
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
x x
x x x
x x
x x x x x
x
x
x x
x x x
x x
x x x
x
x x
x x x
x x
x x x
x x x x
x
x
4
3 2
4
4 3 2 2
2
3
2
3
2 2 2
2
2
2
2 2
2
27
3 9
1
3 3
27
1
1
3 9 3 3
3 3 9
1
1 1
3 9
1
9 3
1
9
+
− +
⋅
+
− +
⋅
+
⋅
−
=
+
− +
⋅
+
− +
⋅
+ −
=
+ − +
− +
⋅
+ − +
− +
⋅
− +
=
+
−
EJERCICIO 133
1.1.1.1.1.
( )
( )
( )
a
a
b
a
a
b
a
a
b
ab a
b
a b
b
a
a
b
a b a
b
ab a a
b
ab
b
a b
b
ab
b
a
+





 −
+






⇒ + =
+
=
+
⇒ −
+
=
+ −
+
=
+ −
+
=
+
⇒
+
⋅
+
=
1
1
1
1
1 1 1
1
1
2
2.2.2.2.2.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x x x
−
+





 +
+






⇒ −
+
=
+ −
+
=
+ −
+
=
+ −
+
⇒ +
+
=
+ +
+
=
+ +
+
=
+ +
+
⇒
+ −
+
⋅
+
+
= − + = −
2
1
1
2
2
1
1 2
1
2
1
2 1
1
1
2
2 1
2
2 1
2
1 1
2
2 1
1
1
2
1 1 1
2
2
2
2
3.3.3.3.3.
1 1
1
1
1
−
+





 +






⇒ −
+
=
+ −
+
=
+
⇒ + =
+
⇒
+
⋅
+
=
x
a x
x
a
x
a x
a x x
a x
a
a x
x
a
a x
a
a
a x
a x
a
4.4.4.4.4.
( )
( )( )
( )
a
ab
a b
b
a
a
ab
a b
a a b ab
a b
a ab ab
a b
a
a b
b
a
a b
a
a
a b
a b
a
a b a b
a b
a b
+
−





 −






⇒ +
−
=
− +
−
=
− +
−
=
−
⇒ − =
−
⇒
−
⋅
−
=
+ −
−
= +
1
1
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2 2
2
5.5.5.5.5.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x x x
x
x x x
x
x
x
x x
x
x
x
x
+ −
+





 − +
−
+






⇒ + −
+
=
+ + −
+
=
+ + −
+
=
+ −
+
=
+ −
+
⇒ − +
−
+
=
− + + −
+
=
+ − + −
+
=
+
⇒
+ −
+
⋅
+
=
2
12
1
2
10 3
5
2
12
1
2 1 12
1
3 2 12
1
3 10
1
5 2
1
2
10 3
5
2 5 10 3
5
3 10 10 3
5 5
5 2
1 5
2 2
2 2
2
( )2 3 2
2
1
2
1
x
x
x x
x
−
+
=
−
+
6.6.6.6.6.
( )
1
1
2
2 2 2 2
+





 −
+






⇒ + =
+
⇒ −
+
=
+ −
+
=
+ −
+
=
+
⇒
+
⋅
+
=
x
y
x
x
x y
x
y
y x
y
x
x
x y
x x y x
x y
x xy x
x y
xy
x y
y x
y
xy
x y
x
7.7.7.7.7.
( )( ) ( )
( )
( )
a x
ax x
a x
x
a x
a x
ax x
a x
a x a x ax x
a x
a ax x ax x
a x
a ax x
a x
a x
a x
x
a x
a x x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
+ −
+
+





 +
+






⇒ + −
+
+
=
+ + − +
+
=
+ + − −
+
=
+ +
+
=
+
+
⇒ +
+
=
+ +
+
=
+
+
⇒
+
+
⋅
+
+
= +
2
2
2
2 2 2 2 2
2
2
2
1
2
2
2
3 2
2
2
2 2
1
2
2
2

8.8.8.8.8.
( ) ( )
( )( )
( )( )
x
x x
x
x
x
x
x x
x
x x x x
x
x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
−
−
−





 + −
+






⇒ −
−
−
=
− − −
−
=
− − +
−
=
−
−
=
−
⇒ + −
+
=
+ + −
+
=
+ + −
+
=
+ −
+
=
+ −
+
⇒
−
3
2
3
2
2 3
2
3 3
2 2 2
2 2
2
6
25
1
8
3
6
25
25 6
25
25 6
25
19
25
19
25
1
8
3
1 3 8
3
4 3 8
3
4 5
3
5 1
3
19
25
( )( )
( )
( )( )
⋅
+ −
+
=
−
− +
=
−
+ − −
=
−
+ −
x x
x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
5 1
3
19 1
5 3
19 19
5 15 3
19 19
15 2
2
2
2
2
10.10.10.10.10.
( )( )
( )( )
( )( )
a x
x
a x
a x
a x
a x
a x
x
a x
a x a x x
a x
a ax x x
a x
a ax x
a x
a x a x
a x
a x
a x
a x
a x a x a x
a x
a
+ −
+





 − +
+
+






⇒ + −
+
=
+ + −
+
=
+ + −
+
=
+ −
+
=
+ −
+
⇒ − +
+
+
=
− + + +
+
=
2
14
2
5
4
2
14
2
2 2 14
2
2 5 2 14
2
2 5 12
2
4 2 3
2
5
4
4 5
4
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
+ − + +
+
=
+ +
+
=
+ +
+
⇒
+ −
+
⋅
+ +
+
= − + = − −
3 4 5
4
2 3
4
2
4
4 2 3
2
2
4
2 3 2 3
2 2 2 2 2
2 2
ax x a x
a x
a ax x
a x
a x a x
a x
a x a x
a x
a x a x
a x
a x a x a ax x
9.9.9.9.9.
( )
( )( )
( )( )
m
mn
m n
n
m
m
mn
m n
m m n mn
m n
m mn mn
m n
m
m n
n
m
m n
m
m n m mn n
m
m
m n
m n m mn n
m
m mn n
m
−
+





 +






⇒ −
+
=
+ −
+
=
+ −
+
=
+
⇒ + =
+
=
+ − +
⇒
+
⋅
+ − +
=
− +
1
1
3
3
2 2
3
3
3 3
3
2 2
3
2 2 2
3
2 2
11.11.11.11.11.
( )( )
1 1 1
1
1
1
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
+





 −





 +
−






⇒ + =
+
⇒ − =
−
⇒ +
−
=
−
⇒
+
⋅
−
⋅
+ −
= =
a
b
b
a
b
a b
a
b
b a
b
b
a
a b
a
b
a b
a
a b
b a
b
a b
a
a
a b a b
a
ab
a
b
12.12.12.12.12.
( ) ( )
( )
( )
2
2
1
3
6
2
1
1
2
2
1
2 1 2
1
2 4
1
2 2
1
3
6
2
3 2 6
2
3 6 6
2
3
2
1
1 1
2 2
1
3
2
1
6
+
+





 −
+





 +






⇒ +
+
=
+ +
+
=
+
+
=
+
+
⇒ −
+
=
+ −
+
=
+ −
+
=
+
⇒ + =
+
⇒
+
+
⋅
+
⋅
+
=
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
EJERCICIO 134
1.1.1.1.1.
x
y
x
y
x
y
y
x
xy2
2 3
2
2
3
3
2
3 2 6
÷ = ⋅ =
2.2.2.2.2.
3
5
3
5
1 3
5
2
2
2 3
2
2 2 3 2 2
a b
x
a b
a b
x a b b x
÷ = ⋅ =
3.3.3.3.3.
5
7
10
14
5
7
14
10
2
3
4
4
2
3
4
4 2
m
n
m
an
m
n
an
m
an
m
÷ = ⋅ =
4.4.4.4.4. 6
5
6
5
302 3
2
2 3
2
2
a x
a x
a x
a x
x÷ = ⋅ =
5.5.5.5.5.
15
19
20
38
15
19
38
20
3
2
2
3
2
3 4
2
3
3 4
2
2 2
2
m
ax
y
a x
m
ax
a x
y
m a x
y
÷ = ⋅ =
6.6.6.6.6.
11
7
22
11
7
1
22 14
2 3
2
4
2 3
2 4
2
2
x y
m
y
x y
m y
x
m y
÷ = ⋅ =
7.7.7.7.7.
( )
x x x
x
−
÷
−
=
−
⋅
−
=
1
3
2 2
6
1
3
6
2 1
1
8.8.8.8.8.
( )
( )
( )
3
6 9
5
3
3
3
3
5
3
5 3
2
2 2
3
2 2
2
2 3
a
a ab b
a
a b ab
a
a b
ab a b
a
b
a b+ +
÷
+
=
+
⋅
+
=
+
9.9.9.9.9.
( )
( )
( )
( )
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x
3
2
2 2
2 6
5 5
2 6
1
2 3
2 3
5 1
1
5
−
+
÷
−
+
=
−
+
⋅
+
−
=
+
10.10.10.10.10.
( )( )
( )( )
( )
1
30
2
42
1
6 5
7 6
2
7
2 5
2 2
a a a a
a a
a a a
a
− −
÷
+ −
=
− +
⋅
+ −
=
+
+
11.11.11.11.11.
( )
( ) ( )
20 30
15 15
4 6
1
5 4 6
15 1
1
4 6
1
3
2
3 2 2
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x x
−
+
÷
−
+
=
−
+
⋅
+
−
=

12.12.12.12.12.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
2
2
2
2
2
2
6 5
15 56
2 35
5 24
5 1
8 7
8 3
7 5
1 3
7 7
2 3
49
− +
− +
÷
+ −
− −
=
− −
− −
⋅
− +
+ −
=
− +
− +
=
+ −
−
13.13.13.13.13.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
8 26 15
16 9
6 13 5
9 1
2 5 4 3
4 3 4 3
3 1 3 1
2 5 3 1
3 1
4 3
2
2
2
2
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
+ +
−
÷
+ −
−
=
+ +
+ −
⋅
+ −
+ −
=
+
−
14.14.14.14.14.
( )
( )( )
( )
( )
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x
3
2
2
2
121
49
11
7
121
7 7
7
11
11
7
−
−
÷
−
+
=
−
+ −
⋅
+
−
=
+
−
15.15.15.15.15.
( )( ) ( ) ( )
ax
a
a x a
a
ax
a a
a
a ax a a
2
2
3 2 2
2
2 2 2
5
4 1
5
2 1
5
2 1 2 1
2 1
5
1
2 1
+
−
÷
+
−
=
+
+ −
⋅
−
+
=
+
16.16.16.16.16.
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
a
4
3 2
4 2
3
2 2
2
2
2 2
1 4 3
3 9
1 1
1
3 3
3 1
3 1
−
+
÷
+ +
+
=
+ −
+
⋅
+
+ +
=
−
17.17.17.17.17.
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
x
x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
3
2
3 2
2
2
2
2
2
125
64
5 25
56
5 5 25
8 8
8 7
5 25
5 7
8
2 35
8
+
−
÷
− +
+ −
=
+ − +
+ −
⋅
+ −
− +
=
+ −
−
=
− −
−
18.18.18.18.18.
( )
( )
( )
( )( )
16 24 9
16 12
64 27
32 24 18
4 3
4 4 3
2 16 12 9
4 3 16 12 9
1
2
2 2 3 3
2 2
2 2 2
2 2
x xy y
x y
x y
x xy y
x y
x y
x xy y
x y x xy y
− +
−
÷
−
+ +
=
−
−
⋅
+ +
− + +
=
19.19.19.19.19.
( )
( )
( )
( )( )
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a a
2
3 2
2
2 2
6
3
3 54
9
6
3
9
9 6
1
3
−
+
÷
+ −
+
=
−
+
⋅
+
+ −
=
+
20.20.20.20.20.
( )( )
( )( )
( )
( )( ) ( )
15 7 2
25
6 13 6
25 10 1
3 2 5 1
5 1 5 1
5 1
2 3 3 2
5 1
2 3
5 1
2 3
2
3
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x
x
x x
x
x x
+ −
−
÷
+ +
+ +
=
+ −
− +
⋅
+
+ +
=
+
+
=
+
+
21.21.21.21.21.
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
x
x x
x x
x
x x x
x x
x
x x
x
x x
x x x
x x x
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
1
2 2 2
7 7 7
7 7
1 1
2 1
7 1
7 1
1
2 1
1 1
1 1
2
1
2
−
− +
÷
+ +
+
=
− + +
− +
⋅
+
+ +
=
−
− +
⋅ + − + =
− +
=
−
22.22.22.22.22.
( )( )
( ) ( )
2 2
3 3
8 4
2
3
1
4 2
1
12
mx my nx ny
x y
m n
m n x y
x y m n
− + −
−
÷ +
=
+ −
−
⋅
+
=
23.23.23.23.23.
( )
( )( )
( )( )
( )( )
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
2
2
2
2
2
6 9
4 1
5 24
2 17 8
3
2 1 2 1
2 1 8
8 3
3
2 1
− +
−
÷
+ −
+ +
=
−
+ −
⋅
+ +
+ −
=
−
−
24.24.24.24.24.
( )( )
( )
( )( )
( )( )
2 7 15
4
3 40
4 32
5 2 3
4
8 4
8 5
2 3
2 2
3 2
2 2
2 2
2 2
a ab b
a a b
a ab b
a ab b
a b a b
a a b
a b a b
a b a b
a b
a
+ −
+
÷
− −
− −
=
+ −
+
⋅
− +
− +
=
−
EJERCICIO 135
1.1.1.1.1.
1 1
2
1
2
1
2 2
2 2 2
2
+
+





 ÷ +






⇒ +
+
=
+ +
+
=
+
+
⇒ + =
+
⇒
+
+
÷
+
=
+
+
⋅
+
=
+
a
a b
a
b
a
a b
a b a
a b
a b
a b
a
b
b a
b
a b
a b
b a
b
a b
a b
b
b a
b
a b
2.2.2.2.2.
( )
( )
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x x x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
−
+





 ÷ −
+






⇒ −
+
=
+ −
+
=
+ −
+
⇒ −
+
=
+ −
+
=
+
⇒
+ −
+
÷
+
=
+ −
+
⋅
+
=
+ −
2
1 1
2
1
1 2
1
2
1
1
1
1 1
2
1 1
2
1
1 2
2
2
2 2 2
2
2
2

3.3.3.3.3.
( )( )
1
1
1
2
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
2
1
1 2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
− +
+





 ÷ +
−






⇒ − +
+
=
− + +
+
=
− +
+
=
+
⇒ +
−
=
− +
−
=
+
−
⇒
+
÷
+
−
=
+
⋅
−
+
=
−
+
a
a
a a
a
a
a
a a a
a
a a
a a
a
a
a
a
a
a
a
a a
a
a
a
a
4.4.4.4.4.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x x
x x
x
+
+





 ÷ +
+






⇒ +
+
=
+ +
+
=
+ +
+
=
+ +
+
⇒ +
+
=
+ +
+
=
+ +
+
=
+ +
+
⇒
+ +
+
÷
+ +
+
=
+ +
+
⋅
+
+ +
=
+ +
+
=
2
3
3
4
2
3
3 2
3
3 2
3
1 2
3
3
4
4 3
4
4 3
4
3 1
4
1 2
3
3 1
4
1 2
3
4
3 1
2 4
3
2
2
2
x x
x x
2
2
6 8
6 9
+ +
+ +
5.5.5.5.5.
( )( )
( )
a b
b
a b
b
a b
a b
b
a b
a b a b b
a b
a b b
a b
a
a b
b
a b
a b b
a b
a
a b
a
a b
a
a b
a
a b
a b
a
a a b
a b
a ab
a b
+ +
−





 ÷ −
+






⇒ + +
−
=
+ − +
−
=
− +
−
=
−
⇒ −
+
=
+ −
+
=
+
⇒
−
÷
+
=
−
⋅
+
=
+
−
=
+
−
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
1
6.6.6.6.6.
( )( )
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
1
1
2
1
1
1
1
2
2 1
2
1
2
1 1
2
1
1
1 1
1
1
1
1 1
2
1
1
1 1
2
1
1
1 1
3
3
3
3
3
3
2
3
2
2
3
2
2
3 2 3
−
+





 ÷ +
−






⇒ −
+
=
+ −
+
=
+
+
=
+ − +
+
⇒ +
−
=
− +
−
=
− +
−
⇒
+ − +
+
÷
− +
−
=
+ − +
+
⋅
−
− +
=
+ −
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x x
x
x x
x
x x x
x
x
x x
x x
x 2
1
2
2
3=
−
+
x
x
7.7.7.7.7.
( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
x
x x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
x
+
+





 ÷ +
−






⇒ +
+
=
+ +
+
=
+ +
+
=
+
+
⇒ +
−
=
− +
−
=
−
−
=
+ −
+ −
⇒
+
+
÷
+ −
+ −
=
+
+
⋅
+ −
+ −
=
+ −
1
2
1
3
4
1
2
2 1
2
2 1
2
1
2
1
3
4
4 3
4
1
4
1 1
2 2
1
2
1 1
2 2
1
2
2 2
1 1
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
=
− −
−1
2
1
2
x x
x
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( ) ( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n n
n
n n n
n
n
n
n
n
n
n n n
n
n n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
−
−
+





 ÷ + −
−





⇒ −
−
+
=
+ − −
+
=
+ − +
+
=
+
+
⇒ + −
−
=
+ − −
=
+ − +
=
+
⇒
+
+
÷
+
=
+
+
⋅
+
=
2 1
2
1
1
2 1
2
2 2 1
2
2 2 1
2
1
2
1
1 1 1 1 1
1
2
1 1
2 1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2 3 3
3
2
3 3
2 3 2
+ 2
EJERCICIO 136
1.1.1.1.1.
3
4
8
9 3
2
3
3 22
2
2
2
2
2
x
y
y
x
z
x
x
z
x
z
⋅ ÷ = ⋅ =
2.2.2.2.2.
5 2 5
4
5 2
5
2
2 2
2 2
a
b
a
b
x
a
a
b
ab
x
a b
x
÷ ⋅





 = ⋅ =
3.3.3.3.3.
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
a
a
a
a
a a
a a
a
a
a
a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
+
−
⋅
−
+
÷
+
+ −
=
+
−
⋅
−
+
⋅
+ −
+
=
+ −
+
=
+ −
+
1
1
3 3
2 2 2
1
1
3 1
2 1
2 1
1
3 2 1
2 1
3 3 6
2 2
2
2
2
2
4.4.4.4.4.
( )
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )( )
64 81
81
9
8 9
8 9
9
8 9 8 9
9 9
9
8 9
9
8 9
9 9 81
2 2
2
2
2
2
2 2
2
a b
x
x
a b
a ab
x
a b a b
x x
x
a b
x
a a b
x x
a
x
a
−
−
⋅
−
−
÷
+
+
=
+ −
+ −
⋅
−
−
⋅
+
+
=
− +
=
−
5.5.5.5.5.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x x
2
2
2
2
2
12
49
56
20
5 24
5
4 3
7 7
8 7
5 4
5
8 3
1
7
− −
−
⋅
− −
+ −
÷
− −
+
=
− +
+ −
⋅
− +
+ −
⋅
+
− +
=
−
6.6.6.6.6.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
a a
a a
a
a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
2
2
2
2
2
2
8 7
11 30
36
1
42
4 5
7 1
6 5
6 6
1 1
5 1
7 6
1
− +
− +
⋅
−
−
÷
− −
− −
=
− −
− −
⋅
+ −
+ −
⋅
− +
− +
=

7.7.7.7.7.
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )( )
x x
x x
x x
x x x
x
x
x x x x
x x
x
x x x
x
x x
x
x
4
2
2
3 2
2 2 2
2
27
7 30
20 100
3 9
100
3
3 3 9
10 3
10
3 9
3
10 10
3
10
−
+ −
⋅
+ +
+ +
÷
−
−
=
− + +
+ −
⋅
+
+ +
⋅
−
+ −
=
−
−
8.8.8.8.8.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
a
a
a a
a
x
x
a
a
a a
a
x
x
a
a
a x
a a x
x
a x
x
ax a
2 3 2 2 2
2
1
3 6 6 12
4 8
3
1
3 2
1
6 2
4 2
3
1
3 2
3 2 3
2 1 2
3
2 2
3
2 4
+
−
÷
+
−
⋅
+
−





 =
+
−
÷
+
−
⋅
+
−
=
+
−
⋅
− −
+ +
=
−
+
=
−
+
9.9.9.9.9.
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
8 10 3
6 13 6
4 9
3 2
8 14 3
9 12 4
2 3 4 1
2 3 3 2
2 3 2 3
3 2
3 2
2 3 4 1
2 3
2 3
4 12 9
2 3
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
− −
+ +
⋅
−
+
÷
+ +
+ +
=
− +
+ +
⋅
+ −
+
⋅
+
+ +
=
−
+
=
− +
+
10.10.10.10.10.
( )
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )a b c
a b c
a c b
a ab ac
a b c
a
a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
a a b c
a
a b c
a a b c
a b c
a ab ac
a b c
+ −
− −
⋅
+ −
+ −
÷
+ +
=
+ + + −
− + − −
⋅
+ + − +
+ −
⋅
+ +
=
+ +
− −
=
+ +
− −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
11.11.11.11.11.
( )
( )
( )( )( )
( )( )( )
( )a a
b b
a a
b
ax a
ab b
a a
b b
b b b a
a a a x
b b
x
b b
x
2
2
2
2 2 2
2 2
5 6 55
1
3
11
5
1
1 1 11
11 5 3
1
3 3
−
+
÷
+ −
−
⋅
+
+





 =
−
+
⋅
+ − +
+ − +
=
−
+
=
−
+
12.12.12.12.12.
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
m m n mn
m n mn n
m n
m mn n
m n
m mn n
m m n
n m n m n
m n m n
m n m n
m n
m n m mn n
m m n
n m mn n
m mn
m n mn n
3 2 2
2 2 3
2 2
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2 2 3
6 9
2 7 3
4
8 2
27
16 8
3
3 2
2 2
2 4
4
3 3 9
4
3 9
4
3 9
+ +
+ +
⋅
−
− −
÷
+
+ +
=
+
+ +
⋅
+ −
− +
⋅
+
+ − −
=
+
− +
=
+
− +
13.13.13.13.13.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )
( )
a ax
a x a a x
a a x
a ax x
a x
a ax
a ax
a x a a x
a a x a x
a a ax a x a x
a ax
a a x
a a x
a a x a
2 2
2 2 3 2
3 2
2 2
2 2
3 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
1
2
1 1
−
+
⋅
+
÷
−
+ +
⋅
−
+






=
−
+
⋅
+
⋅
+ +
− + −
=
−
−
=
−
−
=
14.14.14.14.14.
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
a a
a
a
a a
a a
a a
a a
a a
a a a
a a
a a
a a a a
a a a a
a
a a a a
a
a a
2 2
2
3
2
4 2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
3 2
3
9
27
3 3
9
3
3
3 3
3 9 3
3 9
3
3 3
3 3
3
3 3
3
3
−
−
⋅
−
+ −
÷
−
+
=
−
+ −
⋅
− + +
+ +
⋅
+
− +
=
− +
+
=
− +
+
= −
EJERCICIO 137
1.1.1.1.1.
( )
( )( )
a
a
b
b
b
ab a
b
b
b
a b
b b
a
b
−
−
=
−
−
=
−
+ −
=
+1 1
1
1 1 12
2.2.2.2.2.
( )( )x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
x x
2
3
2
2
1
1
1
1
1
1 1
1
1
−
−
=
−
−
=
− + +
−
= + +
3.3.3.3.3.
( )( )
( )
a
b
b
a
b
a
a b
ab
a b
a
a b a b
b a b
a b
b
−
+
=
−
+
=
+ −
+
=
−
1
2 2
4.4.4.4.4.
1 1
1 1
m n
m n
m n
mn
n m
mn
m n
n m
+
−
=
+
−
=
+
−
5.5.5.5.5.
( )x
x
x
x
x x
x x
x
x
+
−
=
+
−
= =2
4
2
2
4
4
2 3
3
2
6.6.6.6.6.
( )( )
( )
x
y
y
x
y
x
x y
xy
x y
x
x y x y
y x y
x y
y
−
+
=
−
+
=
+ −
+
=
−
1
2 2
7.7.7.7.7.
( )( )
( )( )
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x
+ +
− −
=
+ +
− −
=
+ +
− +
=
+
−
4
3
4
5
4 3
4 5
1 3
5 1
3
5
2
2
8.8.8.8.8.
( )( )
( )
a
a
a
a a
a
a
a
a a
a
a
− +
−
=
− +
−
=
− −
−
= −
4
4
1
2
4 4
2
2 2
2
2
2

9.9.9.9.9.
( )
( )( )
( )
( )
2
4
4
1
2
4 4
4
4 2
4 4
4 2
2
4
2
4 4
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
a b
a
b
a b
ab
a b ab
a
a b ab
ab
b a b ab
a b ab
b a b a b
a b
b a b
a b
ab b
a b
−
−
+
+
=
− −
+ +
=
− −
+ +
=
− +
+
=
−
+
=
−
+
10.10.10.10.10.
2
3
5
10
3
10 3
5
3 10
3
3
5
+
+
=
+
+
=
a
b
a
b
b a
b
a b b
11.11.11.11.11.
( )
a x
x
a x
a
a
a x
a x x
a x
a a x a
a x
a
a a x a x
− +
+
−
+
=
− +
+
+ −
+
=
+ −
=
+ −
2
2
2
2 2 2
3 2 2
2
2
1
1
1
12.12.12.12.12.
( )( )
( )( )
( )
a
a
a a
a a
a
a a
a
a a a
a a
a a
a
a a
a
+ −
+ +
=
+ −
+ +
=
+ −
+ +
=
−
+
=
−
+
5
14
1
8 7
5 14
8 7
7 2
7 1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
13.13.13.13.13.
( )( )
( )( )
( )
1 9 20
16
9 20
16
5 4
4 4
5
4
5
4
5
4
2 3
2
3
2
2
2 3 2 3 2
a a a
a
a
a a
a
a
a
a a
a a a
a
a a
a
a a
a
a a
− +
−
=
− +
−
=
− −
+ −
= −
−
+
= −
−
+
=
−
+
14.14.14.14.14.
( )( )
( )( )
( )( )
20 7 6
4
25
4 3 5 2
4 25
4 3 5 2
2 5 2 5
4 3
5 2
2
2
2
2
2
x x
x
x
x x
x
x
x
x x x
x x
x x
x
+ −
−
=
+ −
−
=
+ −
+ −
= −
+
+
15.15.15.15.15.
( )
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
2
2
2
2
+
−
+
−
=
− +
−
− +
−
=
+
=
+
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
16.16.16.16.16.
( )
( )
a
ab
a b
a
ab
a b
a ab ab
a b
a ab ab
a b
a a b
a a b
a b
a b
−
+
+
−
=
+ −
+
− +
−
=
−
+
=
−
+
2
2
2
2
17.17.17.17.17.
( )( )
( )( )
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x
− −
+
+ −
+
=
+ −
+
+ −
+
=
+ −
+ −
=
+
+
1
5
3
5
35
3
2 8
3
8 20
3
4 2
10 2
4
10
2
2
18.18.18.18.18.
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )
( )( )
a
a
a
a
a
a
a a a
a
a a a
a
a a a
a a a
a a a
a a a
a
a a
a a
a a
+ −
+
+
− +
−
+
=
+ + − −
+
− − + −
+
=
+ − −
+ + −
=
+ − +
+ + −
=
+
+ +
=
+ +
+ +
2
7 9
3
4
5 11
1
5 6 7 9
3
3 4 5 11
1
1 2 3
3 2 15
1 3 1
3 5 3
1
3 5
2 1
8 15
2
2
2
2
2
2
2
EJERCICIO 138
1.1.1.1.1.
( )
( )
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
1
2 1
2
2
2
+
+
−
−
−
+
=
− + +
−
+ − −
−
=
+
= +
x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
2.2.2.2.2.
( )
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )( )
1
1
2
1
2 2 6
1
1 2 1
1
2 2 6
1
3 1
1 3 5 2
3 1
1 3 1 2 2
2
2
2
2
x x
x
x
x
x
x x
x
x x x x
x x
x x
x x x
x x
x x x
x
x x
−
+
+
−
+
+
+
=
+ + −
−
− − + +
+
=
−
− + −
=
−
− − +
=
+ −
3.3.3.3.3.
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
a
a b
b
a b
a b
a b
a
b
a a b b a b
a b a b
b a b a a b
b a b
a ab ab b
a b
ab b a ab
b
a b
a b
a b
b
b
a b
−
−
+
+
−
+
=
+ − −
− +
+ + −
−
=
+ − +
+
+ + −
=
+
+
+
=
+
2 2
2 2
2 2
2 2
4.4.4.4.4.
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x
+
+
−
+
+
−
+
−
−
+
=
+ + − + +
+ +
− + − − +
+ +
=
+ + − − −
+ − − + +
=
+
=
+
=
+
3
4
1
2
1
2
3
4
3 2 1 4
4 2
1 4 3 2
2 4
5 6 5 4
3 4 6
2
4 2
2
2 2 1
1
2 1
2 2
2 2

5.5.5.5.5.
( ) ( )
( )
( )
( )( )
m
n
m n
m n
m n
n
n
m
m m n n m n
n m n
m m n n
nm
m m n m n n
m n
m mn n
m
m n
m n
m mn n
m
m n m mn n
m n
m mn n
m
m mn n
m
m mn n
m
2 2 2
2 2 2
2
3 2 2 3
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
+
−
+
−
+
=
+ − −
+
− +
=
+ − +
+
− +
=
+
+
− +
=
+ − +
+
− +
= − + ⋅
− +
=
6.6.6.6.6.
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
a
b a
a
b
b a
a b
a b
ab
a a b b b a
b a b
a b a ab b
ab
a ab b ab
b a b
a b a ab b
ab
a b
a b
a b a ab b
ab
a b
a b a b
a ab b
ab
2
3
3 3
3
2 2
3
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
1
+
−
−
−
=
+
− − −
−
=
+ − +
− − +
−
=
+ − +
−
−
=
+ − +
⋅
−
+ −
=
− +
7.7.7.7.7.
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )( )
1
2
1
2
2 2
1
1 2
1
2 1 2 2
1 1
2 1
2 2 2 2
1
1
2 1
1 1
1 1 1
2 1
1 1
2
2 1 1
2
2 2 1
2
1
2
5
4
2
2
4 5
2 2
2
5 5
2
2
2
2
2
2 3 2
2
+
+
+
+
−
=
+ +
+
− + +
+ −
=
+ +
− + +
−
=
+
+
+ −
=
+ ⋅ + −
+
=
+ −
=
+ + −
=
− + − + −
=
+ −
x
x
x
x
x
x x
x
x x x
x x
x x
x x x
x
x
x
x x
x x x
x
x x
x x x
x x x x x
x x − x3
2
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )
x y
x y
x y
x y
x y
x
x y
x y
x y x y
x y x y
x y x x y
x x y
x xy y x xy y
x y
x xy y x xy
x
xy
x y
y
x
xy
x y
x
y
x
y x y
x
xy y
+
−
−
−
+
+
−
+
+
=
+ − −
− +
+ − +
+
=
+ + − + −
−
+ + − −
=
−
=
−
⋅ =
−
=
−
2
2
2 2
2 2
4
4 4 4
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
9.9.9.9.9.
( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
a x
a x
b x
b x
a x b x
a x b x b x a x
a x b x
b x a x
a x b x
ab ax bx x ab bx ax x
b x a x
bx ax
b a
x b a
b a
x
+
−
−
+
−
−
−
−
=
+ − − + −
− −
− − −
− −
=
− + − − + − +
− − +
=
−
−
=
−
−
=
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
10.10.10.10.10.
( )
( ) ( )
( )( )
a
a x
a
a x
a
a x
a
a x
a a
a x
a a x a a x
a x a x
a
a ax a ax
a x
a
a
a x
a a x
a
a x
a
+
−
+
−
+
+
=
−
+
+ + −
− +
=
+ + −
−
=
−
= ⋅
−
=
−
2 2
2
2
2
2
2 2 2 4
2 2
2 2
11.11.11.11.11.
( ) ( )
( )
( )( )
( )
a b
a b
b
a
a b
a
b
a b
a a b b a b
a a b
a b a b ab
a a b
a ab ab b
a b ab
a ab b
a ab b
+
−
+
+
+
−
=
+ + −
−
+ − +
−
=
+ + −
− +
=
+ −
+ −
=
2
3
2
3
2
3
3
3
1
2 2
2 2
2 2
2 2
12.12.12.12.12.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
1
7 12
16
7 12
16
4 3
4 4
4 3 1
4 4
3
4
3
4
2
2
2
2
2
− +
−
=
− +
−
=
− −
− +
=
− −
⋅
− +
=
−
+
=
−
+
x x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x x
x x
x x x
x
x x
x
x x

13.13.13.13.13.
( )( )
( )
a
b
b
a
b a
b
a
a b
ab
a ab b
a b
a b
a ab b
a
a b a ab b
a
a ab b
a a b a ab
2 2
2
3 3
2 2
2
3 3
2 2
2 2
2 2
2
1 1
−
+ +
=
−
+ +
=
−
+ +
= − + + ⋅
+ +
= − = −
14.14.14.14.14.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
x y
y
x y
x y
y
x y
x y x y y
x y
x y x y y
x y
x xy y
x xy y
x y x y
x y x y
x y
x y
− −
+
− −
+
=
− + −
+
− + −
+
=
− −
− −
=
− +
− +
=
−
−
2
4
3
5
2 4
3 5
6
2 8
3 2
4 2
3
4
2
2
2
2
2 2
2 2
15.15.15.15.15.
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
2
1
2
1
2
1
2
1
2 1 2 1
1 1
2 1 2 1
1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
4
4
1
−
+
+
+
−
−
=
+ + −
− +
− − +
+ −
=
+ + −
− − −
= − = −
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a a a
16.16.16.16.16.
( )( )
( )( )
1 1
1 1
2
2
1
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
y
y
+ +
−
− +
− +
−
+ +
=
− + − − −
+ + − +
+ + − + −
− + + +
=
−
= −
17.17.17.17.17.
1
2
1
2
2
2
+
+
− −
−
−
− +
=
− − + +
− −
− + − +
− +
=
+
− −
+
− +
=
+
− −
⋅
− +
+
=
− +
− −
b c
a b c
c b
a b c
a b c b c
a b c
a b c c b
a b c
a b
a b c
a b
a b c
a b
a b c
a b c
a b
a b c
a b c
18.18.18.18.18.
( )
( )
( )
( )
a
a
a
a
a
a
a
a
a a
a a
a a
a a
a a a
a a a
a a
a
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
1 2
2 2 1
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
−
+
−
−
−
−
=
+ −
−
− −
−
=
+ − +
− + −
=
− +
−
19.19.19.19.19.
( )
( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+ −
+
+
−
− +
−
−
+
=
+ −
+
+
−
− +
−
−
+
=
−
−
+
+
=
1
6 12
2
5
4
11 22
2
7
1
6 2
2
5
4
11 2
2
7
5
5
7
7
1
20.20.20.20.20.
1
1
1
1
1
1
1 1+
=
+
= ⋅
+
=
+
x
x
x
x
x
x
x
21.21.21.21.21.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 1
1
1
1
2 1
1
2 1
+
−
=
+
−
=
+
−
=
− +
−
=
−
−
= ⋅
−
−
=
−
−
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
22.22.22.22.22. 1
1
2
1
3
1
1
1
2
1
3
3
1
1
2
3
3
1
1
2 3
3
1
3
2 3
2 3 3
2 3 2 3
−
+
−
= −
+
−
= −
+
−
= −
−
−
= −
−
−
=
− − +
−
=
−
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
23.23.23.23.23.
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2 2
2
2
3 2
2
2
2
3 2
2 4
3 2
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+ +
+
=
+
+
= ⋅
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
24.24.24.24.24.
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
2
2 2
2
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x x
x
x
x
−
−
+
=
−
+ −
+
=
−
+
=
−
+
=
− −
=
−
= −

25.25.25.25.25.
( )
( )( )
( )( )
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1 1
1
2
1
1
2 1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2 2 2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a a
a a
a
a
a
a a a
a
a a a
a
a
a
a
a
+ −
+
−
=
+ −
+
−
=
+ −
+
+ −
=
+ −
−
=
+ − −
−
=
+ − −
−
= ⋅
−
−
=
−
−
26.26.26.26.26.
( )( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
−
+ −
+
−
−
+
=
−
+ −
+
+ − +
+
=
−
+ −
+
+
+
=
−
+ −
+ +
+
=
−
+ − −
= −
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2 1
2
1
2 1
12 2
2
2
2
2
2
EJERCICIO 139
1.1.1.1.1.
x
x
Para x
−
+
→
−
+
= =
2
3
2
2 2
2 3
0
5
0
2.2.2.2.2.
x
x
Para x
−
−
→
−
−
= =∞
2
3
3
3 2
3 3
1
0
3.3.3.3.3.
x a
x a
Parax a
a a
a a a
2 2
2 2
2 2
2 2 2
0
2
0
−
+
→
−
+
= =
4.4.4.4.4.
x y
x y
Parax y
y y
y y
y2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
0
+
−
→
+
−
= =∞
5.5.5.5.5.
x
x
Para x
−
−
→
−
−
= =
∞
=
1
3
2
2
2 1
3
2 2
1
3
0
1
0
6.6.6.6.6.
( )( )
( )( )
x
x x
Para x
x x
x x
x
x
2
2
9
12
3
3 3
4 3
3
4
3 3
3 4
6
7
−
+ −
→
+ −
+ −
=
+
+
=
+
+
=
7.7.7.7.7.
( )( )
( )( )
a a
a a
Para a
a a
a a
a
a
2
2
6
2 15
3
3 2
5 3
2
5
3 2
3 5
5
8
− −
+ −
→
− +
+ −
=
+
+
=
+
+
=
8.8.8.8.8.
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
x x
x x x
Para x
x x
x x x
x x
x x
x
x
2
3 2
2
2 2
7 10
2 2
2
5 2
2 2
5 2
1 2
5
1
2 5
4 1
3
3
1
− +
− − +
→
− −
− − −
=
− −
− −
=
−
−
=
−
−
=
−
= −
9.9.9.9.9.
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( )( )
x x
x x x
Para x
x
x x x
x
x x
x
x x x
x
x x
2
3 2
2
2
2
2
2
2 2
2 1
2 2
1
1
2 2
1
1 2
1
1 1 2
1
2
1 1
1 1 2
0
2
0
− +
− − +
→
−
− − −
=
−
− −
=
−
− + −
=
−
− −
=
−
− −
=
−
=
10.10.10.10.10.
( )( )
( )( )
a
a a
Para a
a a a
a a
a a
a
3
2
2 2 2
8
11 26
2
2 2 4
13 2
2 4
13
2 2 2 4
2 13
12
15
4
5
−
+ −
→
− + +
+ −
=
+ +
+
=
+ ⋅ +
+
= =
11.11.11.11.11.
( )( )
( )
x x
x x
Para x
x x
x
x
x
2
2 2
7 6
2 1
1
6 1
1
6
1
1 5
1 1
4
0
− +
− +
→
− −
−
=
−
−
=
−
−
=
−
= ∞
12.12.12.12.12.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
x x
x x
Para x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x
x x
3
3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3 2
7 6
2
3 2 1 0 3 2 2
2 4 2
1 2 1 0
2 2 1
7 6 1 0 7 6 2
2 4 6
1 2 3 0
2 2 3
2 1
2 2 3
1
2 3
2 1
2 2 2 3
9
5
− −
− +
→
− − = − −
⇒ − + +
− + = −
−
−
⇒ − + −
− +
− + −
=
+
+ −
=
+
+ ⋅ −
=

13.13.13.13.13.
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
x
x x x
Para x
x x
x x x
x x
x x
x
x
2
3 2
2 2 2 2
16
4 4
4
4 4
4 4
4 4
1 4
4
1
4 4
4 1
8
15
−
− − +
→
− +
− − −
=
− +
− −
=
+
−
=
+
−
=
14.14.14.14.14.
( )
( )( )
4 4 1
4 8 5
1
2
2 1
2 5 2 1
2 1
2 5
2
1
2
1
2
1
2
5
1 1
1 5
0
6
0
2
2
2
x x
x x
Para x
x
x x
x
x
− +
+ −
→
−
+ −
=
−
+
=
⋅ −
⋅ +
=
−
+
= =
15.15.15.15.15.
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )
8 6 1
4 12 15 4
1
2
8 6 1 8 6 8 8
8 4 8 2 2 1 4 1
4 12 15 4 4 12 15 4 4
16 16 4
4 4 1 0
4 4 4 1 4 2 1
2 1 4 1
2 1 4
4 1
2 1 4
4
1
2
1
2
1
2
3 2
2 2
3 2
2 2
2
x x
x x x
Para x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x
x x
x
x x
− +
+ − +
→
⇒ − + = − +
= − − = − −
⇒ + − + = − −
− −
−
= + − + = + −
⇒
− −
− +
=
−
− +
=
⋅ −
⋅
2
1
1
2
4
1
0
−





 +






= = ∞
16.16.16.16.16.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
x x
x x x x
Para x
x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x
x x x
3
4 3 2
3
2
4 3 2
3 2
2
3 2
2
3 2
9 10
11 9 18
2
9 10
1 0 9 10 2
2 4 10
1 2 5 0 2 2 5
11 9 18
1 1 11 9 18 2
2 2 18 18
1 1 9 9 0 2 9 9
2 2 5
2 9 9
2 5
9 9
− +
− − + +
→
⇒ − +
−
−
− = − + −
⇒ − − + +
− −
− −
− − = − + − −
⇒
− + −
− + − −
=
+ −
+ − −
=
2 2 2 5
2 2 9 2 9
3
15
1
5
2
3 2
+ ⋅ −
+ − ⋅ −
=
−
= −
17.17.17.17.17.
( )( )
x a
x a
Para x a
x a x ax a
x a
x ax a a a a a
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
3
−
−
→
− + +
−
= + + = + + =
18.18.18.18.18.
( )
( )
a ab b
a ab
Para b a
a b
a a b
a b
a
a a
a
2 2
2
2
2
0
− +
−
→
−
−
=
−
=
−
=
19.19.19.19.19.
( )( )
( )
x y
xy y
Para y x
x y x y
y x y
x y
y
x x
x
x
x
2 2
2
2
2
−
−
→
+ −
−
=
+
=
+
= =
20.20.20.20.20.
( )( )
( )
x a
a x a
Para x a
x a x ax a
a x a
x ax a
a
a a a
a
a
a
3 3
2 3
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
3
3
−
−
→
− + +
−
=
+ +
=
+ +
= =
21.21.21.21.21.
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x x
x x x
Para x
x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x
3
3 2
3
2
2
3 2
2
2
2
2
3 2
2 6 6 2
1
3 2
1 0 3 2 1
1 1 2
1 1 2 0 1 2
1 2 1
1 2
2 6 6 2
2 6 6 2 1
2 4 2
2 4 2 0 1 2 4 2
1 1 2 2
1 2 2
1 2
1 2 2
− +
− + −
→
⇒ − +
−
−
− = − + −
= − + −
= − +
⇒ − + −
− −
−
− = − − +
= − − −
= − −
⇒
− +
− −
=
+
−
=
+
⋅ −
= = ∞
2
2 2
1 2
2 1 2
3
0x
22.22.22.22.22.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x x x
x x x x
Para x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
2
7 6
3 3 11 6
3
7 6
1 1 7 1 6 2
2 6 2 6
1 3 1 3 0
2 3 3
1 3 1 3 1
1 2 3
1 2 3 0
2 1 2 3
2 1 3 1
− − + +
− − + −
→
⇒ − − + +
− − −
− −
− −
+ − − +
− −
− −
− −
= + − − −
= + − − +

22.22.22.22.22.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
⇒ − − + −
− − − −
− −
− −
= + − + −
− −
−
−
= + − − +
= + − − −
⇒
+ − − +
+ − − −
=
+
−
=
+
−
= =
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x
4 3 2
3 2
2
3 3 11 6
1 3 3 11 6 2
2 10 14 6
1 5 7 3 0
2 5 7 3
1 5 7 3 1
1 4 3
1 4 3 0
2 1 4 3
2 1 3 1
2 1 3 1
2 1 3 1
1
1
3 1
3 1
4
2
2
23.23.23.23.23.
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )
3 5 4 4
2 3 8 4
2
3 5 4 4
3 5 4 4 2
6 2 4
3 1 2 0
2 3 2
2 3 8 4
1 2 3 8 4 2
2 8 10 4
1 4 5 2 0
2 4 5 2
1 4 5 2 2
2 4 2
1 2 1 0
2 2 2 1
2
3 2
4 3 2
3 2
2
4 3 2
3 2
2
x x x
x x x x
Para x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
− − +
+ − − −
→
⇒ − − +
− −
−
−
= − + −
⇒ + − − −
− − −
− + + +
−
− − −
= − + + +
⇒
− ( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
3 2
2 2 1
3 2
2 1
3 2 2 2
2 2 2 1
12
36
1
3
2
2
2
2
2
2
x x
x x x
x x
x x
+ −
− + +
=
+ −
+ +
=
⋅ + −
+ +
= =
24.24.24.24.24.
( )( )
x x
x x x x
Para x
x x x x
x x x x
2
4 3 2
2
4 3 2
5 4
2 9 2 8
1
5 4 1 4
2 9 2 8
1 2 9 2 8 1
1 1 10 8
1 1 10 8 0
− +
− − + +
→
⇒ − + = − −
⇒ − − + +
− −
− − −
− − −
24.24.24.24.24.
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
− − − −
− − −
= − − + +
⇒
− −
− − + +
=
+ +
=
+ ⋅ +
=
1 10 8
1 1 10 8 4
4 12 8
1 3 2 0
1 4 3 2
1 4
1 4 3 2
1
3 2
1
1 3 1 2
1
6
3 2
2
2
2 2
25.25.25.25.25.
( )( )
( )( )( )
( )
x x x
x x x x
Para x
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
5 3 2
5 3 2
5 3 2
4 3
3
5 3 2
4
4 8 32
3 10 4 40
2
4 8 32
1 0 4 8 0 32 2
2 4 0 16 32
1 2 0 8 16 0
2 2 8 16
1 2 0 8 16 2
2 0 0 16
1 0 0 8 0
2 2 8
3 10 4 40
1 0 3 10 4 40 2
2 4 2 24 40
1 2 1 12 20 0
2 2
− + −
− + − −
→
⇒ − + −
− −
− + + +
−
− −
= − + +
⇒ − + − −
− − −
− +( )
( )( )( )
( )( ) ( )
( )( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
3 2
3
2 2
3
2 2
3
2
3
2
12 20
1 2 1 12 20 2
2 0 2 20
1 0 1 10 0
2 2 10
1 0 1 10 2
2 4 10
1 2 5 0
2 2 2 5
2 2 8
2 2 2 5
8
2 2 5
2 8
2 2 2 2 2 5
16
20
4
5
+ + +
−
− − −
− + + +
−
− −
−
= − + − +
⇒
− + +
− + − +
=
+
+ − +
=
+
+ − ⋅ +
= =
x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x
x x x
26.26.26.26.26.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
8 6 9
12 13 3
3
4
8 6 8 72
12 13 12 36
8 12 8 6
12 9 12 4
2 3 4 3
4 3 3 1
2 3
3 1
2
3
4
3
3
3
4
1
9
2
5
4
36
10
18
5
2
2
2
2
x x
x x
Para x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
+ −
− +
→
⇒
+ −
− +
=
+ −
− −
=
+ −
− −
=
+
−
=
⋅ +
⋅ −
= = =
27.27.27.27.27.
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
x x x
x x
Para x
x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x
x x
x
3 2
4 2
3 2
2 3
4 2
3 2
2
2 2
6 12 8
8 16
2
6 12 8
1 6 12 8 2
2 8 8
1 4 4 0
2 4 4 2
8 16
1 0 8 0 16 2
2 4 8 16
1 2 4 8 0
2 2 4 8
1 2 4 8 2
2 8 8
1 4 4 0
2 4 4
2 2
+ + +
− +
→ −
⇒ + + +
−
− − −
= + + + = +
⇒ − +
− −
− −
− −
+ − − +
− − −
− −
−
= + − +
= + −
⇒
+( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2
2
2 2
2 2
0
16
0
3
2 2
2 2
x x
x
x
+ −
=
+
−
=
− +
− −
= =
28.28.28.28.28.
( ) ( )
( )( )
( )( )
9 3 3 1
27 1
1
3
3 3 1 3 1
27 1
3 1 3 1
3 1 9 3 1
3 1
9 3 1
3
1
3
1
9
1
3
3
1
3
1
4
3
3
4
9
3 2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
x x x
x
Para x
x x x
x
x x
x x x
x
x x
+ + +
+
→ −
=
+ + +
+
=
+ +
+ − +
=
+
− +
=
−





 +
−





 − −





 +
= =

29.29.29.29.29.
( )( )
( )( )
1
1
3
1
1
1 3
1
2
1
1 2
1 1
2
1
1 2
1 1 1
3
3
13
2
3
2
3 2 2 2
x x
Para x
x x
x
x x
x
x x
x x x
x
x x−
−
−
→
+ + −
−
=
+ −
−
=
− +
− + +
=
+
+ +
=
+
+ +
= =
30.30.30.30.30. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x
x
Para x x x
x
x
x x2
3 10 1
1
2
2 5 2
1
2
5 1 2 5 2 1 7+ − +
−





 → + −
−
−





 = + − ⇒ + − =
EJERCICIO 140
1.1.1.1.1.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
12 31 20
18 21 4
12 31 12 240
18 21 18 72
12 16 12 15
18 24 18 3
3 4 4 5
3 4 6 1
4 5
6 1
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
+ +
+ −
=
+ +
+ −
=
+ +
+ −
=
+ +
+ −
=
+
−
2.2.2.2.2.
( )
( )( ) ( )
1 2 1
2
2 1
2 1 2 2 1
1
1 1
1
1
1
2 3
2
3
2
2
3 2 3 2
a a a
a
a
a
a a
a
a a a
a
a
a
a
a a
a
a a
a
a a
+ +





 ÷ + −
+





=
+ +




 ÷
+ − −





=
+
⋅
+ −
=
+
−
=
+
−
3.3.3.3.3.
( )
( ) ( )( ) ( )
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x x x x x
3 2
5 2
2
2 3
2
2
3 9
27
3 9
27
3 9
3 3 9
1
3
+ +
−
=
+ +
−
=
+ +
− + +
=
−
4.4.4.4.4.
( ) ( )
( ) ( )
x y
y
x x y
xy
x x y x x y
xy
x x y xy x x y xy
xy
x y
xy
x
+
−
−
=
+ − −
=
+ + − + −
= =
2 2
2 2
3 2 2 3 2 2 2
2 2 4
4
5.5.5.5.5.
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
a b a b b
a a b b
a b a b a b
a b a b
a a b b b a
a b a b
a b a b
a b a b
a b
a b
4 3 2
4 2 2
4 3 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
− + −
− −
=
− + −
− +
=
+ − +
− +
=
− +
− +
=
+
+
6.6.6.6.6.
( )( )
( )( )
a
a
a
a a a
a
a
a
a a a
a
a
a
a
a a a
a
a
a
a a a
a
a
a
a a
+
+
−
=
− + +
−
=
+
−
=
+ − +
−
−
+
+
=
+ − −
+
=
−
+
⇒
+ − +
−
⋅
−
+
= − +
1 5
5
5 1 5
5
1
5
1 1
5
5
1
5
1
5
1
1 1
5
5
1
1
2
3
2
3
2
2
2
2 2
2
2
2
2
7.7.7.7.7.
( )( )
x x
x
x
x x x x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
3
2 3
3 3
2
2 2
5 4
29
5
5 5 4 29
5
29 20 29
5
49 29
5
34
170
5
29 170 170
5
29
5
49 29
5
29
5
49 29
5
5
29
49 29
29
+ − −
−
−
=
− + − − +
−
=
− + − +
−
=
−
−
+ +
−
−
=
+ − + −
−
=
−
⇒
−
−
÷
−
=
−
−
⋅
−
=
−
8.8.8.8.8.
4 5
3
4
3
5
3 3
4
3
5
3 3
2 2 2 2 2
x xy y
x
x
x
xy
x
y
x
x y y
x
− +
= − + = − +
9.9.9.9.9.
m n x
mnx
m
mnx
n
mnx
x
mnx nx mx mn
− −
= − − = − −
1 1 1
10.10.10.10.10.
( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
x xy
x y
x xy
x x y
x y
x x y
x x y x y
x y
x x y x x y x x y
3 2
2
2 2
−
−
= +
⇒
−
−
= +
⇒
+ −
−
= + ⇒ + = +
11.11.11.11.11.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
x x
x x
x
x
x
x x x x
x
x x x
x
x x x x x
x
x x
x x x
x
x x
x x x
x
x x x x x x
2
2 3
2 2
3 2 2
2
3 2
2
2
2 2 2
2 1
9 3
3
1
1
1 3 3 3
3
1 1
1
5 7 3 9 3
3
1
2 2 3
3
1
3 1
3
1 1 1
− + −
−
−
=
−
−
⇒
− − − −
−
=
− + +
−
⇒
− + − − +
−
= + +
⇒
− − −
−
= + +
⇒
− + +
−
= + + ⇒ + + = + +
12.12.12.12.12.
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )
a a
a a a
a
a
a
a a a a
a a a
a a a
a
a
a a
a
a
a a
a
a a
4 2
3 2
2
2
5 4
4 4
3
2 4
2 1
2 1 2 1
2 1 2
2 5 3 2 4
2 1
1
2 1
2 1
1
2 1 1
2 1
1 1
− +
+ − −
= − +
+
+
⇒
− − + +
− + +
=
− − + +
+
⇒ − =
− −
+
⇒ − =
+ −
+
⇒ − = −

13.13.13.13.13.
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 1 2
2
2 2 2 2
4 2
2 2
3 3 2 2 2 2
3 3
3 3 3 2 2 3 3 2
3 3
3 2
3 3
a b a b
a
a ab b
a b a b a ab b a a b
a b a b
a b a a b ab b a ab
a b a b
a a b
a b a b
−
+
+
+
− +
=
+ + − − + + −
+ −
=
+ + − + − + −
+ −
=
−
+ −
14.14.14.14.14.
( ) ( )
a
a
a
a
a
a
a
a a a
a
a a a
a
a a a
a
a a a
a
a
a
a
a a
2
2
4
4
3
2
2 2 4
4
2 3
2
2 4 4
4
2 3 3
2
2
4
2
2 2
1 1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1
−
−
−





 ⋅ − +
+





=
+ −
−







 ⋅
− + +







=
+ −
−





 ⋅
− + +





=
−
⋅
+
=
−
15.15.15.15.15.
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
x
x x
x
x x
a x a
x x a x a x
x x
x x
x x
x
a x x
x x
x
a x
x
x
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
9
12
3
3
16
2 7 3
2 1
3 3
4 3
3
3
4 4
3 2 1
2 1 4
−
− −
÷
−
+





 ⋅
−
+ +
⋅ +






=
+ −
− +
⋅
+
−







 ⋅
− +
+ +
⋅
+




 =
+
16.16.16.16.16.
( )( ) ( )( )( )
( )( )
( )
3 12 4
6 25 4 4
3 12 4
3 1 12 4 2
6 14 4
3 7 2 0
2 3 7 2 2 2 3 1
6 25 4 4
6 1 25 4 4 2
12 22 6 4
6 11 3 2 0
2 6 11 3 2
6 11 3 2 2
12 2 2
6 1 1 0
2
3 2
4 3 2
3 2
2
4 3 2
3 2
x x x
x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
− − +
+ − − +
⇒ − − +
− − −
− −
−
= + − + = + − −
+ − − +
− − −
− −
− −
+ − − +
− −
−
−
= − ( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
+ + −
= − + + −
⇒
+ − −
− + + −
=
+
2 6 1
2 2 2 1 3 1
2 2 3 1
2 2 2 1 3 1
1
2 1
2
x x
x x x x
x x x
x x x x x
17.17.17.17.17.
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
16 81
72 5 12
4 9 4 9
72 5 72 864
4 9 4 9
72 32 72 27
4 9 4 9
9 4 8 3
4 9 4 9
4 9 8 3
9 4
8 3
2
2
2
−
− −
=
− +
− −
=
− +
− +
=
− +
− +
= −
− +
− +
= −
+
+
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
18.18.18.18.18.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2
2
3
3 2 3
6
5 6
5 6 2 3 3 2
5 6
3 2 6
5 6
5 6 2 6 3 6
5 6
5 6
3 2 6
2 5 6 1
2
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
x x x
x
x
x
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x
x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x
x x
x
−
+
+
+





 ÷
+
+
+
+
+ +






=
+ + − + + +
+ +
÷
+ + + +
+ +
=
+ + − − + +
+ +
⋅
+ +
+ + + +
=
+ +
⋅
2 5 6
1
2
x x x+ +
=
19.19.19.19.19.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
b
a
b
a
b
a b
a b
a b
b
a
a b
a
a b b
a b
a b a b
a b
a b
a a b
a
a b
a b
a b
a b
a a b
a
a b
a b a a b
a a b
a b a a b
a a b
a
a a b
a
a b
1
1
2
3
2 2 3
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 3 2
2 2
3
2 2
2
2 2
−
+
+
−
−
−
−
=
−
+
− +
−
− − +
−
=
−
+
−
+
−
=
−
+
+
=
+ −
−
=
+ −
−
=
−
=
−
20.20.20.20.20.
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
1
3
36
4
1
36
1
4
1
3
6 6 2 2 1
36
1
4
6 6
3
2 2
36 4
6 6 2 2
3 6 6 2 2
1
3
2
2
2 2
2 2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
x x x x x
x x x x x
−
÷
−





 ⋅
−
⋅
−
=
+ −
⋅
+ −






 ⋅
−
⋅
−
=
+ −
⋅
+ −
⋅
−
⋅
−
=
+ − + −
+ − + −
=

21.21.21.21.21.
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )( )
3
2
5
5
1
2
3 14 10
4 4
3 5 5 2 2 5
2 5
3 14 10
2
3 15 5 20 20 7 10
5 3 14 10
9 42 30
5 3 14 10
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
a
a b a b a b
a ab b
a ab b
a a b a b a b a b
a b a b
a ab b
a b
a ab a ab b a ab b
a b a ab b
a ab b
a b a ab b
−
+
−
+
−
− +
− +
=
− + − + − −
− −
− +
−
=
− + − + + − +
− − +
=
− +
− − +
( )
( )( )
=
− +
− − +
=
−
3 3 14 10
5 3 14 10
3
5
2 2
2 2
a ab b
a b a ab b a b
22.22.22.22.22.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a b
x
a b
x x
x
x x
x
x
a b
a b
x
x x x x
x x x x
x
x
x
x
x
x
+
−
−
−
+
−
+
+
+
−
⋅
+
−
÷
−
=
+ − −
−
− + +
−
⋅
+
−
⋅
−
=
+ + − + −
− + + + +
⋅
+
=
+
⋅
+
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 2
2
1 1
1
1 1
1
1
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
1
4
4
2 1
1
4
1
2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
23.23.23.23.23.
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
3 9
1
6 12
1
2 3
1
6
9
1
3 3
1
6 2
1
2 3 6 9
2 3 2 3 3 2 6 2
6 3 2
2 2 12 6 9 3 6 6 12
6 3 2
7 13 27
6 3 2
2
2 2
2
2
2 2 2
2
2
2
x x x x
x
x x x
x
x x
x x x x x
x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
−
−
+
−
−
+
− +
=
−
−
+
−
−
+
− +
=
− + − − − + + +
− +
=
− − − + − − − + +
− +
=
+ −
− +
24.24.24.24.24.
( )
( )
( )
( )
( )
a b
a b
a b
a b
a b
a b
b
b
a
a b a b
b
a b a b
a b
a b a b
a b
ab b
a
a b b a b
b
a
a b
b
a b
b a b
a
a b a
b
a a b
b a b
b a b
a a b
b
a
− +
+
+
+ −
−
−
⋅
+
−
⋅
+
−
=
− + +
+
− − +
−
⋅
+
−
⋅
+ −
=
+
−
⋅
+
−
⋅ =
−
+
⋅
+
−
⋅ =
2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
EJERCICIO 141
1.1.1.1.1.
( )
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
6
5
1
3
30
6
1 3
3
30 2 1 3
30 2 6
6 2 30
7 28
28
7
4
+ = −
⇒
+
=
−
+ = −
+ = −
+ = −
= −
=
−
= −
2.2.2.2.2.
3
5
2
3
1
5
0 15
9 10 3 0
3
3
x x
mcm
x x
x
x
− + = =
− + =
− = −
=
3.3.3.3.3.
1
2
1
4
1
10
1
5
20
10 5 2 4
5 4 10 2
8
x x
mcm x
x x
x x
x
+ − = =
+ − =
− = − +
= −
4.4.4.4.4.
x x x
mcm
x x x
x x x
x
x
x
2
2
12 6
5
4
12
6 24 2 15
6 2 15 24
3 39
39
3
13
+ − = − =
+ − = −
− − = − −
= −
=
−
= −
5.5.5.5.5.
3
4
1
5
2
5
4
3
20
20
15 4 40 25 3
55 3 25 4
58 29
29
58
1
2
x
x
x
mcm
x x x
x x
x
x
x
− + = − =
− + = −
+ = +
=
=
=
6.6.6.6.6.
2
3
5 7
10
3
2
1 30
20 150 21 45 30
130 45 51
85
51
5
3
x x x
mcm x
x x
x
x
x
− = − + =
− = − +
− + =
−
=
−
=
7.7.7.7.7.
x
mcm
x
x
x
−
− = =
− − =
− =
=
4
3
5 0 3
4 15 0
19 0
19
8.8.8.8.8. x
x x
mcm
x x x
x x
x
x
−
+
= =
− − =
− =
− =
= −
2
12
5
2
12
12 2 30
11 30 2
19 2
2
19
9.9.9.9.9. x
x
x mcm
x x x
x x
x
x
x
−
−
= − =
− + = −
− − = − −
− = −
=
−
−
=
5 1
3
4
3
5
15
15 25 5 60 9
10 60 9 5
70 14
14
70
1
5

10.10.10.10.10. ( )
( )
10
8 3
4
2 3 4
40 8 3 8 3
40 8 8 24 3
40 16 27
27
24
9
8
x
x
x mcm
x x x
x x x
x x
x
x
−
−
= − =
− + = −
− = − −
− = −
=
−
= −
11.11.11.11.11.
( ) ( ) ( )
x x x
mcm
x x x
x x x
x x
x
x
−
−
−
=
−
=
− − − = −
− − + = −
− = − −
− = −
=
2
3
3
4
4
5
60
20 2 15 3 12 4
20 40 15 45 12 48
5 12 48 5
7 53
53
7
12.12.12.12.12.
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
mcm
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
−
−
−
−
−
= −
−
=
− − − − − = − −
− − + − + = − +
− + = − +
− + = −
=
=
1
2
2
3
3
4
5
5
60
30 1 20 2 15 3 12 5
30 30 20 40 15 45 12 60
5 55 12 60
5 12 60 55
7 5
5
7
13.13.13.13.13. ( )
( ) ( )
x x
x
mcm
x x x
x x x
x
x
x
x
− − −
−
= =
− − − − =
− + − + =
− + =
− =
=
−
= −
5 1
7 5
10
1 10
10 10 5 1 7 5 10
10 50 10 7 5 10
35 3 10
35 7
7
35
1
5
14.14.14.14.14. ( )
( ) ( )
2
5 6
4
1
3
5 5
12
24 3 5 6 4 5 60
24 15 18 4 20 60
13 2 60
13 60 2
2
73
x
x
x x
mcm
x x x x
x x x x
x x
x x
x
−
−
+ − = −
=
− − + − = −
− + + − = −
− = −
+ =
=
15.15.15.15.15.
( ) ( )
4
10 1
6
4
16 3
4
12
48 2 10 1 48 3 16 3
48 20 2 48 48 9
20 46 9
20 55
55
20
11
4
−
+
= −
+
=
− + = − +
− − = − −
− + = −
− = −
=
−
−
=
x
x
x
mcm
x x x
x x x
x
x
x
x
16.16.16.16.16. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2
1 3
1
3
3
1
6
6
3 1 6 3 2 3 1
3 3 6 18 2 6 1
3 15 2 7
5 8
8
5
x x x mcm
x x x
x x x
x x
x
x
− − − = + + =
− − − = + +
− − + = + +
− + = +
− = −
=
17.17.17.17.17. ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
6 1
3
11 2
9
1
4
5 2
5
6
6 1 36
12 6 1 4 11 2 9 5 2 30 6 1
72 12 44 8 45 18 180 30
17 38 180 30
197 8
8
197
x x
x x mcm
x x x x
x x x x
x x
x
x
+
−
−
− − = + =
+ − − − − = +
+ − + − + = +
− + = +
− = −
=
18.18.18.18.18. ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 1
3
1
3
4 1
13 2
6
1
2
3 6
2 4 1 2 4 1 13 2 3 3
8 2 8 2 13 2 3 9
2 6 5
8 5
8
5
x
x
x
x mcm
x x x x
x x x x
x
x
x
+
= − −
+
− − =
+ = − − + − −
+ = − − − − +
= − −
= −
− =
19.19.19.19.19. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
5
5 1
3
10
10 3
1
2
2
6
5
10
4 5 1 3 10 3 5 2 12
20 4 30 9 5 10 12
50 13 5 10 12
50 13 5 2
55 11
1
5
x x x mcm
x x x
x x x
x x
x x
x
x
− + − = − − − =
− + − = − − −
− + − = − + −
− = − + −
− = − −
=
=

20.20.20.20.20.
( ) ( ) ( ) ( )
3 1
2
5 4
3
2
8
2 3
5
1
10
120
60 3 1 40 5 4 15 2 24 2 3 12
180 60 200 160 15 30 48 72 12
35 250 48 84
83 166
2
x x x x
mcm
x x x x
x x x x
x x
x
x
−
−
+
−
+
=
−
−
=
− − + − + = − −
− − − − − = − −
− − = −
− =
= −
21.21.21.21.21.
( ) ( ) ( ) ( )
7 1
3
5 2
2
4 3
4
1 4
3
12
4 7 1 6 5 2 3 4 3 4 1 4
28 4 30 12 12 9 4 16
8 30 9 4
17 34
2
2
2
2 2 2
x x
x
x x
x
mcm x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x
x
−
−
−
=
−
+
+
=
− − − = − + +
− − + = − + +
− = − +
=
=
22.22.22.22.22.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 7
3
2 4
5
4 6
15
7 6
3
15
5 2 7 6 4 4 6 5 7 6
10 35 6 24 4 6 35 30
30 30
30
30
1
2 2 2
2
2
2 2 2 2
3 2 3 3 2
x x
x
x
x
x
x
mcm x
x x x x x x x
x x x x x x x
x
x
x
+
−
−
−
−
=
+
=
+ − − − − = +
+ − + − + = +
=
=
=
23.23.23.23.23.
( ) ( )
2
3
1
5
3
4
6
3
60
8 1 15 6
8 8 15 90
8 15 90 8
7 98
98
7
14
x x
mcm
x x
x x
x x
x
x
x
+




 =
−




 =
+ = −
+ = −
− = − −
− = −
=
−
−
=
24.24.24.24.24.
( ) ( ) ( )
3
5
2 1
6
4
3
3 2
4
1
5
2
3
1
5
0
60
6 2 1 20 3 2 4 2 12 0
12 6 60 40 4 8 12 0
52 26 0
26
52
1
2
x x x
mcm
x x x
x x x
x
x
−




 −
+




 −
−




 + =
=
− − + − − + =
− − − − + + =
− − =
= − = −
25.25.25.25.25.
( )
10
3 5
6
3 2
4
60 3 5
6
47
12 8
24
4 55 3 94 3
220 12 94 3
12 3 94 220
9 126
126
9
14
11
12−
+
= −
⇒
− −
= − =
− = −
− = −
− + = −
− = −
=
−
−
=
x
x
x x
mcm
x x
x x
x x
x
x
x
26.26.26.26.26.
( )
9 2 7
1 1
2
1
2
2
2
9 2 7
2
2
2
4
11
4
9 2 7
2
2
13
4
4
36 8 14 2 13
36 8 28 14 13
50 36 13
49 49
1
3
4x x
x
x
x x
x x
x
x x
mcm
x x x
x x x
x x
x
x
− − −





 =
+
+
⇒ − −
−




 =
+
+
⇒ − −
−




 =
+
=
− − − = +
− − + = +
− = +
=
=
27.27.27.27.27.
( ) ( ) ( )
3
8
7
10
12 5
16
2 3
20
4 9
4
7
80
0 160
60 112 10 12 5 8 2 3 40 4 9 14 0
60 112 120 50 16 24 160 360 14 0
84 336 0
84 336
336
84
4
x x x x
mcm
x x x x
x x x x
x
x
x
x
− −
−
−
−
+
+
+ = =
− − − − − + + + =
− − + − + + + + =
+ =
= −
=
−
= −
28.28.28.28.28. ( ) ( )
( ) ( ) ( )
5
4
3
17
20 2 1
24
34
68
85 12 20 68 2 1 2 24
85 12 240 136 68 2 48
63 308 2 48
65 260
260
65
4
x
x x
x
mcm
x x x x
x x x x
x x
x
x
x
− − − − =
+
=
− − − − = +
− + − + = +
− + = +
− = −
=
−
−
=

29.29.29.29.29.
( ) ( )
5
4
1
3
2
2
2
3
1
4
10
5
3
20
4
1
3
4
2
2
3
1
4
30 5
3
20
4
4
6
2
3
30 5
12
12
3 20 2 4 8 30 5
60 3 8 2 8 30 5
60 3 7 30
10 30
3
+ = −





 − + −






⇒
+
=
−




 − +
−





⇒
+
=
−
− +
−
=
+ = − − + −
+ = − − + −
+ = − +
= −
= −
x x x
x x x
x x x
mcm
x x x
x x x
x x
x
x
30.30.30.30.30.
( )
( ) ( ) ( )
5 2
12
4
9
22
36
3 20
8
12
20 3
18
36
15 2 16 22 108 720 3 8 2 20 3
15 30 6 108 720 24 3 40 6
16 24 117 784
101 808
8
x x
x
x x
mcm
x x x x x
x x x x x
x x
x
x
+
+ −
−
= − −
−
−
−
=
+ + − + = − − − − −
+ − + = − − + − +
+ = −
− = −
=
31.31.31.31.31.
( ) ( )
3
2
1
3
7
2
6
2
3
3
7
2
6
3 6 2 3 42 3
18 3 6 2 42 3
12 42 3
2 30
15
−





 − −





 = − −






⇒
−
−
−
= − =
− − − = −
− − + = −
− = −
=
=
x x
x
x
x x x
mcm
x x x
x x x
x x
x
x
32.32.32.32.32. ( )( )x x x x
x
x
x x
x x
x x
x
mcm
x
x
x
+ − − − = −





 − −






⇒ − − − = −
−
⇒ − =
− +
⇒ − =
− +
=
− = − +
− = −
=
3 3
5
4 5
3
3
4
9
5
4
4
5
12 3
4
41
4
16 60 15
20
41
4
44 15
20
20
205 44 15
220 44
5
2
2 2
33.33.33.33.33.
( ) ( )
2 2
3 1
8
2
3
2
6
1
4
2
16 3 1
8
2 4
18
1
4
72
144 9 13 1 4 2 4 18
144 117 9 8 16 18
27 9 8 2
19 7
7
19
x x
x x
x
x x x
mcm
x x x
x x x
x x
x
x
− −
−




 =
+




 −
⇒ −
− +
=
+
− =
− + = + −
− − = + −
− = −
=
=
EJERCICIO 142
1.1.1.1.1. ( )
( )
3
5
3
2 1
0 5 2 1
3 2 1 15 0
6 3 15 0
6 12
2
+
−
= = −
− + =
− + =
= −
= −
x
mcm x
x
x
x
x
2.2.2.2.2.
( ) ( )
2
4 1
3
4 1
16 1
2 4 1 3 4 1
8 2 12 3
4 5
5
4
2
x x
mcm x
x x
x x
x
x
−
=
+
= −
+ = −
+ = −
− = −
=
3.3.3.3.3.
5
1
1
1
1
5 1
4
2
2
x x
mcm x
x
x
−
=
−
= −
= +
=
4.4.4.4.4.
( )
3
1
1
1
0 1
3 1 1 0
3 3 1 0
3 4
4
3
2
2
x x
mcm x
x
x
x
x
+
−
−
= = −
− − =
− − =
=
=
5.5.5.5.5. ( )( )
( )( ) ( )( )
5 8
3 4
5 2
3 4
3 4 3 4
3 4 5 8 5 2 3 4
15 4 32 15 26 8
26 4 8 32
22 40
40
22
20
11
2 2
x
x
x
x
mcm x x
x x x x
x x x x
x x
x
x
x
+
+
=
+
−
= + −
− + = + +
+ − = + +
− + = +
− =
= −
= −
6.6.6.6.6.
( )
10 5 8
5 9 19
2 5 9 19
10 5 8 2 5 9 19
10 5 8 10 18 38
5 18 38 8
23 46
46
23
2
2
2
2
2 2
2 2
x x
x x
mcm x x
x x x x
x x x x
x x
x
x
x
− +
+ −
= = + −
− + = + −
− + = + −
− − = − −
− = −
=
−
−
=

7.7.7.7.7. ( )
( ) ( )
1
3 3
1
4 4
1
12 12
12 1
4 1 3 1 1
4 4 3 3 1
7 0
6 0
0
2
x x x
mcm x
x x x
x x x
x x
x
x
−
+
+
=
−
= −
+ + − = +
+ + − = +
− =
=
=
8.8.8.8.8. ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x
mcm x
x x x x x
x x x x x
x x
x
x
4
8
4 5
7
4
4 4 5
4 5 4 8 7 4 5
4 5 4 32 28 35
27 28 35
35
35
2
2
2 2
−
−
−
= = −
− − − = −
− − + = −
= −
− = −
=
9.9.9.9.9. ( )
( )( ) ( ) ( )
2 9
10
2 3
2 1 5
10 2 1
2 9 2 1 10 2 3 2 2 1
4 20 9 20 30 4 2
21 2
21
2
10
2 2
1
2
x x
x
x
mcm x
x x x x x
x x x x x
x
x
x
−
+
−
−
= = −
− − + − = −
− + + − = −
− = −
−
−
=
=
10.10.10.10.10.
( )
( )
( ) ( )( )
3 1
1
18 1
2
2 1
2 9 6 1 1 18 1
18 12 2 18 19 1
12 19 1 2
7 1
1
7
2
2
2 2
x
x
x
mcm x
x x x x
x x x x
x x
x
x
−
−
=
−
= −
− + = − −
− + = − +
− + = −
= −
= −
11.11.11.11.11. ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 7
5 2
2 1
5 4
0 5 2 5 4
2 7 5 4 2 1 5 2 0
10 27 28 10 2 0
28 26
13
14
2 2
x
x
x
x
mcm x x
x x x x
x x x x
x
x
+
+
−
−
−
= = + −
+ − − − + =
+ − − + + =
=
=
12.12.12.12.12.
( )( )
( )
( )
( )( ) ( )
5 2 7 3
7 5 1
1 0 7 5 1
5 2 7 3 7 5 1 0
35 6 35 7 0
8 6
3
4
2 2
x x
x x
mcm x x
x x x x
x x x x
x
x
− +
−
− = = −
− + − − =
+ − − + =
=
=
13.13.13.13.13.
( ) ( )
3
4
2
3
8
7 12
7 12
3 3 2 4 8
3 9 2 8 8
3 2 9
9
2
2
x x x x
mcm x x
x x
x x
x x
x
−
=
−
+
− +
= − +
− = − +
− = − +
− =
=
14.14.14.14.14.
( )
( )
( )( ) ( ) ( )( )
6 1
18
3 2
5 6
1 3
9
18 5 6
6 1 5 6 54 2 2 1 3 5 6
30 41 6 54 108 26 12 30
95 102 26 12
69 90
90
69
1
2 2
7
23
x x
x
x
mcm x
x x x x x
x x x x x
x x
x
x
x
−
−
+
−
=
+
= −
− − − + = + −
− + − − = − − +
− − = − −
− =
= −
= −
15.15.15.15.15.
( ) ( )
5
1
3
1
6
1
0 1
5 1 3 1 6 0
5 5 3 3 6 0
8 4 0
8 4
1
2
2
2
+
−
−
−
−
= = −
− − + − =
− − − − =
− − =
− =
= −
x x x
mcm x
x x
x x
x
x
x
16.16.16.16.16.
( )( ) ( )( )
1 2
1 3
1 2
1 3
3 14
1 9
1 9
1 2 1 3 1 2 1 3 3 14
1 6 1 6 3 14
2 3 14
14
2
2
2 2
+
+
−
−
−
= −
−
−
= −
+ − − − + = − +
− − − − + = − +
− = − +
=
x
x
x
x
x
x
mcm x
x x x x x
x x x x x
x x
x
17.17.17.17.17.
( )( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 1
7 12
1
2 6
7
6 24
7 12 3 4
2 6 2 3
6 24 6 4 6 3 4
6 3 1 3 4 7 3
18 6 3 12 7 21
18 6 10 33
8 39
39
8
4
2
2
7
8
x
x x x x
x x x x
x x
x x mcm x x
x x x
x x x
x x
x
x
x
−
+ +
=
+
+
+
⇒ + + = + +
⇒ + = +
⇒ + = + = + +
− = + + +
− = + + +
− = +
=
=
=

18.18.18.18.18.
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1
1
3
2 2
3
2 2
2 1 1
2 1 3 1 1 3 1
2 2 3 3 3 6 3
2 5 6 3
4 8
2
2
2
2
2 2
x x x
mcm x x
x x x x
x x x x
x x
x
x
−
−
−
= −
+
= − +
+ − − + = − −
+ − + = − + −
+ = −
− = −
=
19.19.19.19.19. ( )
( )( ) ( ) ( )
5 13
15
4 5
5 15 3
15 3
5 13 3 3 4 5 5 3
5 2 39 12 15 5 15
14 54 15
54
2 2
x x
x
x
mcm x
x x x x x
x x x x x
x x
x
+
−
+
−
= = −
+ − − + = −
− − − − = −
− − = −
=
20.20.20.20.20. ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 1
2 1
4
3 2
2
3
3 2 1 3 2
3 2 1 3 2 3 4 2 1 2 2 1 3 2
18 21 6 6 21 12 12 2 4
18 2 4
22 2
11
2 2 2
x
x
x
x
mcm x x
x x x x x x
x x x x x x
x
x
x
−
+
−
−
−
= = + −
− − − − + = + −
− + − + + = − −
= − −
= −
− =
21.21.21.21.21. ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
4 3
2 5
3 8
3 7
1 2 5 3 7
4 3 3 7 3 8 2 5 2 5 3 7
12 19 21 6 40 6 29 35
20 19 29 35
9 16
16
9
1
2 2 2
7
9
x
x
x
x
mcm x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x
x
x
+
−
−
+
−
= = − −
+ − − + − = − −
− − − − + = − +
− + = − +
=
=
=
22.22.22.22.22. ( )
( ) ( )( ) ( )
10 7
15 3
3 8
12
5 4
20 4
12 5 1
4 10 7 3 8 5 1 3 5 4
40 28 15 43 8 15 12
40 28 43 20
3 48
16
2
2
2 2
x
x
x x
x
mcm x
x x x x
x x x x
x x
x
x
−
+
=
+
−
−
+
= +
− = + + − −
− = + + − +
− = +
− =
= −
23.23.23.23.23. ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
4 1
5
2
2 7
8 3
10
1 10 2 7
2 4 1 2 7 10 2 8 3 2 7 13 2 7
16 60 14 10 20 16 62 21 26 91
50 6 88 112
38 118
118
38
3
3
10
2 2
2
19
x x
x
x
mcm x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x
x
x
−
+
−
−
=
−
− = −
− − + − = − − − −
− + + − = − + − +
− − = − +
=
=
=
24.24.24.24.24.
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
2
2
3
2 2
2
2 4
1
1
2
2
3
2 2
7
3
2 4
1
1
2
2
3
2 2
7
6 12
6 1 2
6 2 12 1 9 2 7 1
6 12 12 12 9 18 7 7
6 2 11
8 11
11
8
1
1
3
3
8
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x
x x x x
x x x x
x x
x
x
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
= − −
− − − = − − −
− − + = − − +
− = −
− = −
=
−
−
=
25.25.25.25.25.
( )( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1
3
2
5 20
1
3 12
2
3
15 4 3
15 4 6 3
15 3
2
30 4
15 60 6 18
15 45
2
30 120
2 9 78 15 45 2 30 120
18 156 15 45 60 240
18 156 45 285
63 441
7
1
2
x x x x
mcm x x
x x
x
x
x x
x
x
x x x
x x x
x x
x
x
+
−
−
=
−
−
+
= − +
− − + =
+
− −
− − − =
+
− −
− = + − −
− = + − +
− = − +
=
=
26.26.26.26.26.
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
6 2
4
5 5
10
12 4
3
10 10
20 1 3
10 1 16 3 50 1 6 3
10 10 48 16 50 50 18 6
6 38 44 32
50 70
7
5
12
5
−
−
−
=
−
−
−
= − −
− − − = − − −
− − + = − − +
− = − +
=
=
=
x x x x
mcm x x
x x x x
x x x x
x x
x
x
x
27.27.27.27.27. ( )
( ) ( )
2
3
6
9 1
2
3 1
3 9 1
2 9 1 18 6 3 1
18 2 18 18 6
2 18 6
8 18
4
9
2
2
2
2 2
2 2
−
−
=
−
= −
− − = +
− − = +
− = +
− =
− =
x
x x
mcm x
x x x
x x x
x
x
x

28.28.28.28.28. ( )
( ) ( ) ( )( )
5 27
5 3
1
6 5 3
5 27 5 3 5 3 6
5 27 5 3 5 27 18
5 3 18
13 3
3
13
2
2
3 2 3 2
x x
x x
x mcm x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x
x
x
−
+
− = − = +
− − + = + −
− − − = − −
− − = −
=
=
29.29.29.29.29.
( ) ( )
4 1
4 1
6
16 1
4 1
4 1
16 1
4 1 6 4 1
16 8 1 6 16 8 1
16 5 1
16 6
3
8
2
2
2 2
2 2
x
x x
x
x
mcm x
x x
x x x x
x
x
x
+
−
−
−
=
−
+
= −
+ − = −
+ + − = − +
− =
=
=
30.30.30.30.30.
( )
( )( ) ( ) ( )
3
1
1
2
1
4
5 1
3 4
3 4
3 1 4 2 1 5 1
3 15 12 2 4 2 5 5
11 14 5
6 14
7
3
2
2
2
2
2 2 2
1
3
x
x
x
x
x x
x x
mcm x x
x x x x x
x x x x x x
x x
x
x
x
−
+





 +
+
−





 =
−
− −
= − −
− − + + = −
− + + + + = −
− + = −
− = −
=
−
−
=
31.31.31.31.31.
( )( )
( )( ) ( )
2
2
2
3
2
2 3
78
2 6
2 2 3
2 2 2 3 3 2 78
4 14 12 3 12 12 78
26 78
3
2
2
2 2
2 2 2
x
x
x
x
x
x x
mcm x x
x x x x
x x x x x
x
x
+
−





 −
−
+





 =
+
− −
= − +
+ + − − = +
+ + − + − = +
=
=
32.32.32.32.32.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
1
3 28
1
12 35
3
20
3 28 7 4
12 35 7 5
20 5 4
7 5 4
5 4 3 7
5 4 3 21
9 3 21
12 3
4
2 2 2
2
2
2
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x
x x x
x
x
x
+ −
−
+ +
=
+ −
⇒ + − = + −
⇒ + + = + +
⇒ + − = + −
= + + −
+ − − = +
+ − + = +
= +
− =
− =
33.33.33.33.33.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
x
x x
x
x
x
x x
x x x x
x x x
x x x x
mcm x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x
x
−
+ +
=
−
−
−
−
− −
⇒ + + = + +
⇒ − = + −
⇒ − − = − +
= + − + = − +
− − = − + − − +
− + = − − − − +
− + = − +
− = −
2
8 7
2 5
49
2
6 7
8 7 7 1
49 7 7
6 7 7 1
7 7 1 49 1
2 7 2 5 1 2 7
9 14 2 3 5 5 14
9 14 8 9
5
2 2 2
2
2
2
2
2 2 2
= 5
34.34.34.34.34.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
4 5
15 7 2
2 3
12 7 10
2 5
20 29 5
0
15 7 2 3 2 5 1
12 7 10 4 5 3 2
20 29 5 4 5 5 1
3 2 5 1 4 5
4 5 4 5 2 3 5 1 2 5 3 2 0
16 25 10 13 3 6
2 2 2
2
2
2
2 2
x
x x
x
x x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x x
x x x
+
+ −
−
+
− −
−
−
− +
=
⇒ + − = + −
⇒ − − = − +
⇒ − + = − −
= + − −
+ − − + − − − + =
− − − + − x x
x
x
x
2
11 10 0
2 12 0
2 12
6
+ + =
− − =
− =
= −
35.35.35.35.35.
( )
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
7
2 1
3
4
2
1
3 1
2 9 4
2 1 4 1
7 4 1 3 2 1 1 2 2 1 4 3 1
7 35 28 6 9 3 4 18 8 3 6 3
26 25 12 5
14 20
10
7
1
2
2
2 2 2 2
3
7
x x x
x
x x
mcm x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x
x
x
+
−
+
=
+
−
+
+ +
= + + +
+ + − + + = + + − +
+ + − − − = + + − − −
+ = +
= −
= −
= −
36.36.36.36.36.
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
x
x
x
x
x
x x
mcm x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x
x
x
+
−
=
−
+
+
+
− −
= − +
+ + = − − + + −
+ + + = − + − + − −
= − −
= −
− =
3
3
1
1
2 7 1
2 3
3 1
3 1 3 1 2 7 1 3
7 15 9 7 15 9 14 40 6
9 15 40
24 40
3
5
2
2 2
2
2 2
3 2 3 2 2

37.37.37.37.37.
( )
( )
( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
x
x
x
x
x
x
mcm x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x
x
x
−
+
−
+
−
= −
+
+
= + −
+ − − − + + = − + −
− − + − − − − = − − +
− + = − +
− =
= −
= −
4
5
1
2
12 3
5
5 2
5 2 4 5 1 12 3 2
22 40 11 35 25 12 12 72
57 15 12 72
45 57
57
45
1
2
2
2
3 2 3 2 2
4
15
38.38.38.38.38. ( )( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
x
x
x
x
x
x
x
x
mcm x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
x
−
−
−
−
−
=
+
+
−
+
+
= − − + +
− + + − − − + = + − − − − − +
− − + + − + + − − = − − + + − + + − −
+ =
3
4
2
3
2
1
3
2
4 3 1 2
3 1 2 4 4 1 2 4 3 9 4 1
3 7 15 18 3 8 12 16 3 12 20 48 3 13 27 36
3 2
2 2 2 2
4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2
− +
=
=
7 12
10 10
1
x
x
x
39.39.39.39.39. ( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
x
x
x
x
x
x
x
x
mcm x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
x
+
+
−
+
−
=
−
−
−
+
= + − − +
+ − − + − − + + = − + − + − + − −
+ − − + − − − + + = − − + + − + + −
− + =
6
2
1
3
5
1 4
2 3 1 4
6 3 1 4 1 2 4 5 2 3 4 2 3 1
6 13 66 72 6 7 6 8 2 25 26 120 2 5 6
60 80
2
4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2
20 120
80 40
1
2
x
x
x
+
− =
= −
EJERCICIO 143
1.1.1.1.1. ( )a x
x
a
x
a
x
a
a
+ =
+ =
− + + = −
=
−
1 1
1
1
1 1
1
1
1
2.2.2.2.2.
( )
ax bx
ax bx
x a b
x
a b
− = −
− = −
− =
=
−
4 2
4 2
2
2
3.3.3.3.3.
( ) ( )( )
ax b a bx
ax bx a b
x a b a b a b
x a b
+ = −
+ = −
+ = + −
= −
2 2
2 2
4.4.4.4.4. ( )
( )
( ) ( )
3 2 9
6 3 9
3 9 6
3 3
3
2
2
2
2
a x ax a
a x ax a
x a a a
x a a
x a
− + = +
− + = +
− = + −
− = −
= −
5.5.5.5.5. ( ) ( ) ( )a x b x b a b a x
ax ba xb ax ab bx
xb bx ab ab
bx ab
x
ab
b
x a
+ + − = −
+ + − = −
+ = −
=
=
=
2 2
4 2
2 4
3 3
3
3
6.6.6.6.6.
( ) ( ) ( )x a x a a a x
x ax a x ax a a ax
ax ax a
ax a
x
a
a
x
a
− − + = −
− + − − − = −
− + =
=
=
=
2 2
2 2 2 2 2
2
2
2
7
2 2 7
4 7
3
3
3
7.7.7.7.7. ( ) ( )
( ) ( )( )
ax a a b x ab
ax a ab x ab
ax x a
x a a a
x a
− + = − − +
− − = − − −
+ = −
+ = + −
= −
1
1
1
1 1 1
1
2
2
8.8.8.8.8. ( ) ( ) ( )
( )
a a x b x b b x b
a a x b x b b x b
a x b x a b
a x b x a b
x a b a b
x
a b
a b
2 2 2
3 2 2 3 2 3
2 2 3 3
2 2 3 3
2 2 3 3
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
− − − = −
− − + = −
− − = − −
+ = +
+ = +
=
+
+
9.9.9.9.9.
( )( ) ( )( ) ( )
( )
x a x b x b x a b a a
x bx ax ab x ax bx ab ab b a
bx ax ab ab b a
x a b a b
x
+ − − + − = − +
− + − − + − + = − +
− + + = − +
− = −
=
2 2 3
2 2 2 3
2 3 2 3
3 2 3 2
1
2 2

10.10.10.10.10. ( ) ( )
( )
x a a x a a
x a a ax x a a
a ax a
a a
a
x
a
x
2 2 2
2 2 2 2 2
2
1
2
2
1
2
1
2
+ = + − −
+ = + + − +
= +
−
=
−
=
11.11.11.11.11. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
m n x m n m mx a
mn mx mn m m x am
mx m x am m
xm m m a
x
a
m
− − − = −
− − + = −
− − = − −
− + = − +
=
+
+
1
1 1
1
1
2
2
12.12.12.12.12. ( ) ( )
( )
( ) ( )
x a ax a x a
x a ax a x a
x a ax a x
x a ax x
a ax x
a x a
x
− + = − + − −
− + = − − − +
− = − − +
+ − = −
− = −
− = −
=
2 2 3 2 5
2 2 3 3 2 10
2 5 3 8
4 8 2 3
4 2 2 4
4 2 2 2
2
13.13.13.13.13. ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
a x a bx b b a x
ax a bx b ab bx
ax bx b ab a
x a b b a b a
x
a b b a
a b
x b a
x a b
− − = − −
− − = − −
− = − +
− = − −
= −
− −
−
= − −
= −
2 2
2 2
2
2 2
2 2
14.14.14.14.14. ( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
ax bx x a b x b x a
x a b x ax bx a ab b x ax bx ab
x a b a ab b
x a b a b
x a b
+ = + − − − +
+ = + − + − + − − + +
+ = + +
+ = +
= +
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 4
2
15.15.15.15.15. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x a b a a x x a b
ax bx a a x ax bx
ax x a a
x a a
x
a
+ − − − = − − −
+ − − + = − − +
− = − +
− = −
=
−
3 2 2 1
3 2 2 2
2 2 2 1
2 1 1
1
2
2
2
2
16.16.16.16.16. ( )( ) ( ) ( )m x m x x m m x m
m mx x x mx m mx m
mx m
x
m
m
x
m
+ + = − + −
+ + = − + + −
= −
= −
= −
4 3 2 15
3 13 4 4 4 15
2 3
3
2
3
2
2
2 2 2 2 2
2
2
17.17.17.17.17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
a a x a a b b x b b a a
a a x a a b b x b b a a
a x b x b a
x b a b a
x b a a b b a
x a b
x
a b
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
2 2
2 2
1 1 1 0
0
0
0
1
1
− − + − − − − + + =
− − − − + − + + + =
− + − + =
− − − =
− + = −
+ =
=
+
18.18.18.18.18. ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
ax b bx a a x x b a a b b
a x abx b abx bx a ax bx a x a b b
ax b b b
x
b
a
− = − − − − + + −
− + = + − − − + + + −
− = −
=
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
2 2
1 3 1 3
19.19.19.19.19. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x b x a a b
x bx b x ax a a ab b
bx ax a ab
x b a a a b
x a a b
x a
x a
+ − − − + =
+ + − + − − − − =
+ − − =
+ − + =
− + =
=
=
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
0
2 2 2 0
2 2 2 2 0
2 2 0
2 0
2 2
20.20.20.20.20. ( ) ( )x m m x m x
x x m xm m m x x m xm m x
x xm x m
xm m
x
m
m
x m
+ − = − − +
+ + + − = − + − + +
+ − =
=
=
=
3 3 3 3
3 2 2 3 3 3 2 2 3 3
3 2 3 3
2 3
3
2
12 2
3 3 12 3 3 2
2 6 2 12
6 12
12
6
2

EJERCICIO 144
1.1.1.1.1.
m
x m m
mcm mx
m x x
m x
m
x
− = =
− =
=
=
1 2
2
3
3
2
2
2
2.2.2.2.2.
a
x
b a
x
mcm x
a bx a
bx a
x
a
b
+ = =
+ =
=
=
2
4
2
2 8
6
6
3.3.3.3.3.
( )
( )
x
a
x
a a
mcm a
ax x a
ax x a
x a a
x
a
a
x
2
1 1
2
2
2 1
2 2
2 2
2
2
1
2
2
−
−
= =
− − =
− + =
+ = +
=
+
+
=
4.4.4.4.4.
( ) ( )
m
x
n
m
n
x
mcm mx
m nx mn mx
m mn mx nx
m m n x m n
m x
+ = + =
+ = +
− = −
− = −
=
1
2
2
5.5.5.5.5.
( ) ( )
( )
( ) ( )
a
a
a
x
mcm ax
x a ax a a
ax x ax a a
ax x a a
x a a a
x a
−
+ =
−
=
− + = −
− + = −
− = −
− = −
=
1 1
2
3 2
2
2 1 2 3 2
2 2 6 4
3 2 2 3 2
3 2 2 3 2
2
2
6.6.6.6.6.
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
a x
a
b x
b
a b
ab
mcm ab
b a x a b x a b
ab bx ab ax a b
x a b a b
x
−
−
−
=
−
=
− − − = −
− − + = −
− = −
=
2
2
2
2
2
7.7.7.7.7.
( ) ( )
( ) ( )
x a
a
a x
ab a
mcm a b
b x a a a x ab
bx ab a ax ab
bx ax ab a
x a b a a b
x a
−
−
−
= − =
− − − = −
− − + = −
+ = +
+ = +
=
3 2 1
3 2
3 2
2 2
2
2
2
2
2
2
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
x m
m
x n
n
m n
mn
mcm mn
n x m m x n m n mn
xn mn mx mn m mn n
x n m m n
x n m n m m n
x m n
x n m
+
−
+
=
+
− =
+ − + = + −
+ − − = − +
− = −
− = − − −
= − −
= −
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
9.9.9.9.9.
( ) ( )
( ) ( )
x b
a
x a
b
mcm ab
b x b ab a x a
bx b ab ax a
bx ax a ab b
x a b a b
x a b
−
= −
−
=
− = − −
− = − +
+ = + +
+ = +
= +
2
2
2
2
2 2
2 2
2
10.10.10.10.10. ( )
( ) ( )
( )
4
2
3
3
2
2 2
8 6 2 3 2
8 12 6 6 3
8 6 3
3 2
8
x
a b
mcm a b
x a b a b
x a b a b
x a b
x
a b
+
− = − = +
− + = − +
− − = − −
= +
=
+
11.11.11.11.11.
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
2 3 2 6
4
4
2 3 4 2 2 6
2 11 12 12 10 2
4
4
2 2 2 2
2
a x
x a
x a
x a
mcm x a x a
a x a x x a x a
a ax x x ax a
ax a
x a
+
+
=
−
+
= + +
+ + = + −
+ + = + −
= −
= −
12.12.12.12.12.
( )
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
2
4
2
4
4 4
8 2 4
8 8 8 8 8 2 4
6 12 9
6 2 9
3
2 2
2 2
x c
x b
x c
x b
mcm x b x b
x c x b x c x b
x xb xc bc x xb xc bc
xb xc bc
x b c bc
x
bc
b c
−
−
=
+
−
= − −
− − = + −
− − + = − + −
− − = −
− + = −
=
+

13.13.13.13.13.
( ) ( )
1 1 1
1 1
2
2
n
m
x mn x
mcm xmn
xm m n x mn
xm x m n mn
x m mn m
x mn
− = − =
− = −
− = −
− = −
=
14.14.14.14.14.
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
x b x a
x a a b x
mcm x a a b x
x b x a x a a b x
x ax bx ab bx x a ab
ax ab a
ax a b a
x b a
− +
− − +
= = − − +
− + = − − +
+ − − = − + − +
= −
= −
= −
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 4 2 4 2 2 4
6 2
2 3
2 3
2 2 2
2
15.15.15.15.15. ( )( )
( ) ( )( )
x m
x n
n x
m x
mcm m x x n
x m x n x n
x mx m x n
mx m n
x
m n
m
+
−
=
+
+
= + −
+ = + −
+ + = −
= − −
= −
+
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
16.16.16.16.16.
( )( )
( )( ) ( )( )
x x b x b
x b
x bx b mcm x b
x x b x b x b x bx b
x x b b x x bx b x b
b x b x b
x
b
2 3
3
2 3
2 3 3 2
2 5 3 2 5 2 3
3 2 3
3
5
2 2
2 2
3 2 2 3 2 3
2 2 3
2
+ +
+
= − + = +
+ + = + − +
+ + = + − +
+ =
=
17.17.17.17.17.
( ) ( ) ( )
( )
3
4
1
3
5 13
12
3
4
1
3
5 13
12
3 3
4 3
5 13
12
12
3 3 3 4 5 13
9 9 4 4 5 13
5 13 5 13
5 13
2
2
x
b
x
a
x
b
x
a
a b
a
ax bx
ab
ax bx
ab
a b
a
ax bx
ab
ax bx
ab
a b
a
mcm ab
ax bx ax bx b a b
ax bx ax bx ab b
ax bx ab b
x a b
+





 = −





 +
+
⇒
+




 =
−




 +
+
⇒
+
=
−
+
+
=
+ = − + +
+ = − + +
+ = +
+ = ( )b a b
x b
5 13+
=
18.18.18.18.18.
( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
x a x b
x a
ab b
x a
mcm x a
x a x a x b ab b
x ax a x bx b ab b
ax bx a ab
x a b a a b
x
a
+
=
−
−
+
−
−
= −
+ − = − + −
+ − = − + + −
+ = +
+ = +
=
3 3
3 3
9 3
3 3
3 3 3 3
3 2 3 6 3 3 3
2 6 3
2 3 3
2
2
2
2 2
2 2 2 2 2
2
19.19.19.19.19. ( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
5
3
5
3
3 3
3 5 5 3
15 2 15 2
2 2
2
2
2 2 2 2
2 2
x a
x b
x b
x a
mcm x b x a
x a x a x b x b
x ax a x bx b
ax bx a b
x a b a b a b
x
b a
+
+
=
−
−
= + −
− + = − +
− − = + −
− − = −
− + = + −
=
−
20.20.20.20.20. ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
x a
x a
x a
x a
a x ab
x a
mcm x a x a
x a x a a x ab
x ax a x ax a ax a b
ax ax a b
ax a b
x
ab
+
−
−
−
+
=
+
−
= − +
+ − − = +
+ + − + − = +
= +
=
=
2
2
2 2 2
4 2
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
2
21.21.21.21.21.
( )( ) ( )
( )
( )
2 3
4
2
11
16
16
2 3 4 2 16 11
2 11 12 2 32 11
11 44 11
11 11 44
11 11 1 4
1 4
4 1
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
x a
x a
a
x a
mcm x a
x a x a x a a
x ax a x a a
ax a a
ax a a
ax a a
x a
x a
−
+
− =
−
= −
− − − − =
− + − + =
− + =
− = −
− = −
= − −
= −
22.22.22.22.22. ( )
( )
( )
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2 2
2 2 2
2
x a
x
a ax
x a
a
mcm a x a
a x x a
a x x ax a
a a ax
a a
a
x
a
x
+
+
+
=
+
= +
+ = +
+ = + +
− =
−
=
−
=
23.23.23.23.23.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 3 6 2
2 3 6 2
2 2 3 3 6 12
2 3 4 9
2 3 2 3 2 3
2 3
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
a x
b
b x
a
a b
ab
mcm ab
a a x b b x a b
a ax b bx a b
ax bx a b
x a b a b a b
x a b
+
−
+
=
−
=
+ − + = −
+ − − = −
− = −
− = − +
= +

24.24.24.24.24. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
m n x m n m x n
n
mn m n mcm n
nm n x n m n m x n mn m n
mn mnx m n mn mnx n x n mn m n
mnx n x mn m n n
nx n m n n mn m
x n m n m
x n m
− − − + = − − =
− − − + = − −
− − + − + = − +
− + = − + +
− = − +
− = −
= −
2 2 2
3 2 2
2 2 2 2 3 2 2
2 2 2 3
2 2
2
1
2 3
2 3
2 3
2 4 4
2 4 4
2 2
2
EJERCICIO 145
1.1.1.1.1.
( )
x N buscado
x
x
x
x x x
x x
x
x
x
→
− = −
− = −
= −
− = −
=
−
−
=
º
3
8
2 11
8 3 8 2 11
5 16 88
11 88
88
11
8
2.2.2.2.2.
( )
x N buscado
x
x
x
x x x
x x
x
x
x
→
+ = −
+ = −
= −
− = −
=
−
−
=
º
5
6
3 14
6 5 6 3 14
11 18 84
7 84
84
7
12
3.3.3.3.3.
( )
x N que se resta
x
x
x x
x x
x
x
→
− = +
− = +
− = +
− = −
=
º
22 11
6
5
5 22 55 6
110 5 55 6
11 55
5
4.4.4.4.4. x N que tienediferencia
x x mcm
x x
x
x
→
− = =
− =
=
=
º
5
4
7
8
30 8
10 7 240
3 240
80
x x x mcm
x x x
x
x
→
− = − =
− = −
− = −
=
º
17
3
5
1
6
30
30 510 18 5
510 17
30
x
x x x
x
x
x
mcm
x x x
x
x
→
+ − = −






⇒ + − = =
+ − =
=
=
º
.
.
5
3
8
49 2
1
6
1
12
5
3
8
49
6
120
24 45 5 880 20
49 5 880
120
7.7.7.7.7. x Edad de A
x
Edad de B
x
x x
mcm
x x x
x
x años Edad de A
años Edad de B
→
→
+ − =





 =
+ − =
=
= →
⇒
⋅
= = →
3
5
3
5
4 2
3
5
5
5 3 20 6
2 20
10
3 10
5
30
5
6
8.8.8.8.8. x Lo que tiene A
x
Lo que tiene B
x
x
mcm
x x
x
x Tiene A
Tiene B
→
→
+ =





 =
+ =
− = −
= →
⇒
⋅
= →
7
8
90 2
7
8
8
8 720 14
6 720
120
7 120
8
105
$
$
9.9.9.9.9. x Long pieza
x
x
mcm
x x
x
x m
→
− = =
− =
=
=
.
3
5
40 5
5 3 200
2 200
100
10.10.10.10.10. x Lo que tenia
x x x mcm
x x x
x
x bs
→
− +





 = =
− − =
=
=
1
3
1
8
39 24
24 8 3 936
13 936
72 .
11.11.11.11.11. x N buscado
x
x
mcm
x x
x
x
→
− = =
− =
=
=
º
3 48
3
3
9 144
8 144
18
12.12.12.12.12. x N buscado
x
x
mcm
x x
x
x
→
− = + =
− = +
=
=
º
4 19
2
30 2
8 38 60
7 98
14
13.13.13.13.13. x N buscado
x
x mcm
x x
x
x
→
− = − =
− = −
− = −
=
º
80
2
10 2
160 2 20
3 180
60
14.14.14.14.14. x N buscado
x x
mcm
x x
x
x
x
→
− = =
− =
=
=
=
º
7
8
2
4
5
40
35 80 32
3 80
80
3
26 2
3
15.15.15.15.15. x Ancho del buque
x
x
x
x
Pies x
→
− =
=
=
=
=
800 744
8
9
56
8
9
504 8
504
8
63

EJERCICIO 146
1.1.1.1.1.
( )
( )
x N menor
x N mayor
x
x
x
x
x x
x x
x
x N menor
x
N mayor
→
+ →
+
= −
+
= −
+ = −
+ = −
− = −
= →
⇒ +
= + = →
º
º
º
º
1
4 1
5
4
4 4
5
4
4 4 5 4
4 4 5 20
24
24
1
24 1 25
4.4.4.4.4.
( )
( )
( ) ( )
x N menor
x N mayor
x x
x
mcm
x x x
x x x
x x
x
x N menor
x N mayor
→
+ →
+ + − =
+
=
+ + − = +
+ + − = +
− = +
=
= →
⇒ + = + = →
º
º
.
.
.
.
º
º
1
1
5
1
1
33
8
3 1
20
660
132 1 20 5 280 99 1
132 132 20 5 280 99 99
152 99 5 148 99
53 5 247
99
1 99 1 100
7.7.7.7.7.
( )
x Gane ayer
x Gane hoy
x x
x
x x
x x
x
x Gane ayer
x Gane hoy
→
+ →
+ + − =
− =
− =
=
= →
⇒ + = + = →
1
1 25
2
5
5 2 24 2
10 120 2
8 120
15
1 15 1 16
$
$
9.9.9.9.9.
( )
( )
x N menor
x N medio
x N mayor
x x
x mcm
x x x
x x x
x x
x
x x N menor
x N medio
x N mayor
→
+ →
+ →
+
+
− = + =
+ + − = +
+ + − = +
− = +
=
= →
⇒ + = + = →
⇒ + = + = →
º
º
º
º
º
º
1
2
3
5
5 2
6
31 1 30
18 25 2 930 30 30
18 25 50 930 30 30
43 30 880 30
13 910
70
1 70 1 71
2 70 2 72
8.8.8.8.8.
( ) ( )
x N menor
x N medio
x N mayor
x x x
mcm
x x x
x x x
x
x N menor
x N medio
x N mayor
→
+ →
+ →
+
+
+
+
= =
+ + + + =
+ + + + =
=
= →
⇒ + = + = →
⇒ + = + = →
º
º
º
.
. .
. . .
. .
º
º
º
1
2
20
1
27
2
41
9 22 140
1 107 820 1 540 2 199 260
1 107 820 820 540 1 080 199 260
2 467 197 360
80
1 80 1 81
2 80 2 82
10.10.10.10.10.
( )
( )
( ) ( )
x N menor
x N medio
x N mayor
x x
x mcm
x x x
x x x
x
x N menor
x N medio
x N mayor
→
+ →
+ →
+
− − = + =
+ − − = +
+ − − = +
=
= →
⇒ + = + = →
⇒ + = + = →
º
º
º
º
º
º
1
2
3 1
7
3
10
1
1
11
2 770
330 1 231 770 70 2
330 330 231 770 70 140
29 580
20
1 20 1 21
2 20 2 22
2.2.2.2.2.
( )
( )
x N menor
x N mayor
x x
mcm
x x
x x
x
x N menor
x
N mayor
→
+ →
− =
+
=
− = +
− = +
=
= →
⇒ +
= + = →
º
º
º
º
1
7
8
17
3 1
5
40
35 680 24 1
35 680 24 24
11 704
64
1
64 1 65
3.3.3.3.3.
( )
( )
x N menor
x N mayor
x
x x
mcm
x x x
x x x
x
x N menor
x
x N mayor
→
+ →
− = −
+
=
− = − +
− = − −
=
= →
⇒ +
= + = →
º
º
.
.
.
º
º
1
81
3
4
2 1
5
20
20 1 620 15 8 1
20 1 620 15 8 8
13 1 612
124
1
124 1 125
5.5.5.5.5.
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 324
4 8 4 4 324
8 320
40
2 2 40 80
2 2 80 2 82
2 2
2 2
x N menor
x N mayor
x x
x x x
x
x
x N menor
x N mayor
→
+ →
+ − =
+ + − =
=
=
⇒ = ⋅ = →
⇒ + = + = →
º
º
º
º
6.6.6.6.6.
( )
x Tiene B
x Tiene A
x
x
mcm
x x
x x
x Tiene B
x Tiene A
→
+ →
− =
+
− =
− = + −
− = −
= →
⇒ + = + = ⇒
1
8
4 1
5
4 5
5 40 4 4 20
5 4 40 16
24
1 24 1 25
$
$

11.11.11.11.11.
( )
( ) ( )
x Edad B
x Edad A
x Edad C
x x
x
x x
x x
x
x Edad B
x Edad A
x Edad C
→
+ →
− →
+ − − =
+
− = +
− = +
=
= →
⇒ + = + = →
⇒ − = − = →
2
2
2 12
7 2
8
8 2 14 7 2
16 112 7 14
9 126
14
2 14 2 16
2 14 2 12
12.12.12.12.12.
( )
( )
( ) ( )
x Edad B
x Edad A
x Edad C
x x
x
mcm
x x x x
x x x x
x
x Edad B
x Edad A
x Edad C
→
− →
+ →
+ − =
−
− =
+ + − = − −
+ + − = − −
− = −
= →
⇒ − = − = →
⇒ + = + = →
1
1
1
17 1
5
4 5
5 2 1 5 17 1 20
5 10 5 5 17 17 20
7 42
6
1 6 1 5
1 6 1 7
2 2
2 2
2 2
EJERCICIO 147
1.1.1.1.1.
( )
x N mayor
x N menor
x
x
x x
x x
x
x N mayor
x N menor
→
− →
−
−
=
− = −
− = −
=
= →
⇒ − = − = →
º
º
º
º
59
5
59
2
5 2 59
5 118 2
3 123
41
59 59 41 18
2.2.2.2.2.
( )
x N mayor
x N menor
x
x
x x
x x
x
x N mayor
x N menor
→
− →
−
−
=
− = −
− = −
=
= →
⇒ − = − = →
º
º
º
º
436
73
436
2
73 2 436
73 872 2
3 945
315
436 436 315 121
5.5.5.5.5.
( )
( )
x Parte mayor
x Parte menor
x
x
x x
x x
x
x Parte mayor
x
Parte menor
→
− →
−
−
=
− = −
− = −
=
= →
⇒ −
= − = →
260
2 40
3 260
2
2 40 6 260
2 40 1 560 6
8 1 600
200
260
260 200 60
.
.
6.6.6.6.6.
( ) ( )
x Parte de A
x Parte de B
x
x
x
x
x x
x x
x
x soles Parte de A
x
soles Parte de B
→
− →
−
−
=
−
⋅
−
=
− = −
− = −
=
= →
⇒ −
= − = →
196
3
8
16
196
5
1
3 128
8
5
196
1
5 3 128 8 196
15 640 1 568 8
23 2 208
96
196
196 96 100
.
.
3.3.3.3.3.
( )
x N mayor
x N menor
x
x
x x
x x
x
x N mayor
x N menor
→
− →
−
−
=
− = −
− = −
− = −
= →
⇒ − = − = →
º
º
º
º
44
2
44
3
2 3 44
2 3 132
2 130
65
44 65 44 21
4.4.4.4.4.
( )
x N mayor
x N menor
x
x
x x
x x
x
x N mayor
x N menor
→
− →
−
−
=
− = −
− = −
− = −
= →
⇒ − = − = →
º
º
º
º
56
8
56
3
8 3 56
8 3 168
2 160
80
56 80 56 24
EJERCICIO 148
1.1.1.1.1. x Ganó el día
x
Ganó el día
x
Ganó el día
x
x x
mcm
x x x
x
x Ganó el día
x
Ganó el día
x
Ganó el día
er
er
er
er
→
→
→
+ + = =
+ + =
=
= →
⇒ = = →
⇒ = = →
1
2
2
4
3
2 4
175 4
4 2 700
7 700
100 1
2
100
2
50 2
4
100
4
25 3
º
$
$ º
$
2.2.2.2.2. x Perdió miercoles
x Perdió jueves
x Perdió viernes
x x x mcm
x x x
x
x Perdió miercoles
Perdió jueves
Perdió viernes
→
→
→
+ + = =
+ + =
=
= →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
3
5
1
2
3
5
1
2
252 10
10 6 5 2 520
21 2 520
120
3
5
120 72
1
2
120 60
.
.
$
$
$
3.3.3.3.3. x Tiene A
x Tiene B
x Tiene C
x
x x
mcm
x x x
x
x suc Tiene A
sucres Tiene B
sucres Tiene C
→
→
→
+ + = =
+ + =
=
= →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
2
3
2
5
2
3
2
5
248 15
15 10 6 3 720
31 3 720
120
2
3
120 80
2
5
120 48
.
.
.

4.4.4.4.4. x Edad A
x Edad B
x Edad C
x
x x
mcm
x x x
x
x
años edadde A
años edaddeB
años edaddeC
→
→
→
+ + = =
+ + =
=
=
→
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
3
5
9
40
3
5
9
40
73 40
40 24 9 2 920
73 2 920
40
40
3
5
40 24
9
40
40 9
.
.
5.5.5.5.5. x día
x día
x día
x día
x x x x mcm
x x x x
x
x Km
Km día
Km día
Km día
Km día
er
er
→
→
→
→
+ + + = =
+ + + =
=
=
→
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
1
1
3
2
1
9
3
1
27
4º
1
3
1
9
1
27
120 27
27 9 3 3 240
40 3 240
81
81 1
1
3
81 27 2
1
9
81 9 3
1
27
81 3 4º
º
º
.
.
.
.
. º
. º
.
6.6.6.6.6. x semana
x semana
x semana
semana
x x x x mcm
x x x x
x
x Km
→
→
→
→
+ + + = =
+ + + =
=
=
1
11
10
2
121
100
3
1 331
1000
4
11
10
121
100
1 331
1 000
4 641 1 000
1 000 1 100 1 210 1 331 4 641 000
4 641 4 641 000
1 000
ª
ª
ª
.
.
ª
.
.
. .
. . . . ' .
. ' .
. .
6.6.6.6.6. 1 000 1
11
10
1 000 1 100 2
121
100
1 000 1 210 3
1 331
1 000
1 000 1 331 4
. . ª
. . . ª
. . . ª
.
.
. . . ª
Km semana
Km semana
Km semana
Km semana
→
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
7.7.7.7.7. x Persona
x
Persona
x
Persona
x
Persona
x
Persona
x
x x x x
mcm
x x x x x
x
x colones
colones Persona
x
colones Persona
x
colones Persona
x
colones
→ →
→ →
→
+ + + + = =
+ + + + =
=
=
→
⇒ = = →
⇒ = = →
⇒ = = →
1
2
2
8
3
40
4
400
5
2 8 40 400
330 500 400
400 200 50 10 132 200 000
661 132 200 000
200 000
200 000 1
2
200 000
2
100 000 2
8
200 000
8
25 000 3
40
200 000
40
5 000 4
ª ; ª
ª ; ª
ª
.
' .
' .
.
. ª
.
. ª
.
. ª
.
. ª Persona
x
colones Persona⇒ = = →
400
200 000
400
500 5
.
ª
8.8.8.8.8. x c en barco
x c en tren
x c en avión
x
x x
mcm
x x x
x
x Km
Km c en barco
x Km c en tren
x Km c en avión
→
→
→
+ + = =
+ + =
=
=
→
⇒ = ⋅ = →
⇒ = ⋅ = →
Re .
Re .
Re .
.
.
.
. .
. . Re .
. . . Re .
. . . Re .
4
9
5
18
4
9
5
18
9 362 18
18 8 5 168 516
31 168 516
5 436
5 436
4
9
4
9
5 436 2 416
5
18
5
18
5 436 1 510

EJERCICIO 149
1.1.1.1.1.
( )
( )
x Tenía al principio
x
x
mcm
x x
x x
x
x
Tenía al principio
→
− −
−
= =
− − − =
− − + =
− =
=
→
20
2 20
3
10 3
3 60 2 20 30
3 60 2 40 30
20 30
50
50$
2.2.2.2.2. x Tenía al principio
x x
mcm
x x
x
Q Tenía al principio
→
− = =
− =
=
→
2 4
21 4
2 84
84
84 .
3.3.3.3.3.
( )
( )
x Tengo ahora
x
x
mcm
x x
x x
x
x
Tengo ahora
→
+ −
+
= =
+ − + =
+ − − =
+ =
=
→
7
4 7
5
20 5
5 35 4 7 100
5 35 4 28 100
7 100
93
93$
x
x
x quedó
x x prestó
Luego
x x x mcm
x x x
x
bs Tenía al principio
→
− = →
⋅ = →
− − = =
− − =
=
→
2
5
3
5
5
6
3
5
1
2
2
5
1
2
500 10
10 4 5 5 000
5 000
5 000
.
.
. .
5.5.5.5.5. x Aves en la granja
x Palomas
x x
x
sto
x
x Gallinas
x
x x
mcm
x x x
x
Aves en la granja
x Palomas
x Gallinas
Gallos
→
→
− =
⋅ = →
− − = =
− − =
=
→
⇒ = ⋅ = →
⇒ = ⋅ = →
→
4
5
4
5 5
5
3
4
3
20
4
5
3
20
4 20
20 16 3 80
80
80
4
5
4
5
80 64
3
20
3
20
80 12
4
Re
x x
x
quedó
x
x Perdí
x x x mcm
x x x
x
soles Tenía al principio
→
− = →
⋅ = →
− − − = =
− − − =
=
→
4
5 5
2
3 5
2
15
4
5
2
15
8 0 15
15 12 2 120 0
120
120
x x x mcm
x x x
x
x
Tenía al principio
→
− + = + =
− + = +
− = −
=
→
5
12
42 2 12
12 5 504 12 24
5 480
96
96$
x
x
mcm
x x
x
Tenía al principio
→
− − = =
− − =
=
→
2
15 30 2
2 30 60
90
90$
x x x
mcm
x x x
x
x
suc Tenía al principio
→
− + = +
=
− + = +
− = −
=
→
3
4
1 300 100
4
4 3 5 200 4 400
3 4 800
1 600
1 600
.
.
.
.
. .
x x
x
quedó
x x
Libros
x x
x
x
mcm
x x x x
x
x
Tenía al principio
→
− = →
⋅ = →
− − = −
=
− − = −
− = −
=
→
3
4 4
2
3 4 6
3
4 6
2
5
38
60
60 45 10 24 2 280
19 2 280
120
120
.
.
$
EJERCICIO 150
1.1.1.1.1.
( )
x Edad actual A
x Edad actual B
x x mcm
x x
x
x años Edad actual A
x años Edad actual B
→
→
− = − =
− = −
=
= →
⇒ = ⋅ = →
3
15
1
6
3 15 6
6 90 3 15
3 75
25
3 25 3 75
2.2.2.2.2.
( )
x Edad actual B
x Edad actual A
x x
x x
x años Edad actual B
x años Edad actual A
→
→
+ = +
+ = +
= →
⇒ = ⋅ = →
3
3 20 2 20
3 20 2 40
20
3 3 20 60

3.3.3.3.3.
( )
x Edad actual A
x x mcm
x x
x
x
años Edad actual A
→
− = + =
− = +
=
=
→
5
9
11
5 11
11 55 9 45
2 100
50
50
4.4.4.4.4.
( )
x Edad actual A
x x
x x
x
años Edad actual A
→
− = +
− = +
=
→
2 6 24
2 12 24
36
36
5.5.5.5.5.
( )
x Edad hijo
x Edad padre
x x
x x
x
años Edad hijo
x años Edad padre
→
→
+ = +
+ = +
=
→
⇒ = ⋅ = →
3
2 16 3 16
2 32 3 16
16
16
3 3 16 48
6.6.6.6.6.
( )
x Edad padre
x Edad hijo
x x
mcm
x x
x
x
años Edad padre
x años Edad hijo
→
→
−
= − =
− = −
=
=
→
⇒ = ⋅ = →
2
5
2 8
7
2
5
8 35
10 80 14 280
200 4
50
50
2
5
2
5
50 20
7.7.7.7.7.
( )
x Edad actual de A
x Edad actual de B
x
x
mcm
x x
x
x
años Edad actual de A
x años Edad actual de B
→
− →
− + =
+
=
− = +
=
=
→
⇒ − = − = →
65
65 10
5 10
12
12
900 12 5 50
850 17
50
50
65 65 50 15
8.8.8.8.8.
( )
x Edad padre
x Edad hijo
x
x
mcm
x x
x
x
años Edad padre
x años Edad hijo
→
− →
− − =
−
=
− = −
=
=
→
⇒ − = − = →
25
25 15
3 15
8
8
8 320 3 45
5 275
55
55
25 55 25 30
9.9.9.9.9.
( )
2 10
10
2 10
10
2 10 10
3 10 10
2
2
4 40 3 60
20
2 10 2 20 10 50
10 20 10 30
x Edad padre hace años
x Edad hijo hace años
x Edad actual padre
x Edad actual hijo
x
x
mcm
x x
x
x años Ed act padre
x años Ed act hijo
→
→
+ →
+ →
+ + =
+ +
=
+ = +
=
⇒ + = ⋅ + = →
⇒ + = + = →
. .
. .
10.10.10.10.10.
( )
x Edad de A
x Edad de B
x
x
mcm
x x
x
x
años Edad de B
x años Edad A
+ →
→
+ − =
−
=
= −
=
=
→
⇒ + = + = →
18
18 18
5 18
2
2
2 5 90
90 3
30
30
18 30 18 48
11.11.11.11.11. 3
3 4 4 16
4 8 16
3 24
8
8
3 3 8 24
x Edad A
x Edad B
x x x
x x
x
x
años Edad B
x años Edad A
→
→
− + − = +
− = +
=
=
→
⇒ = ⋅ = →

EJERCICIO 151
1.1.1.1.1.
( )
x Tiene B
x Tiene A
x
x
mcm
x x
x
x
soles Tiene B
x soles Tiene A
→
→
− =
+
=
− = +
=
=
→
⇒ = ⋅ = →
2
2 20
4 20
5
5
10 100 4 80
6 180
30
30
2 2 30 60
2.2.2.2.2. x Tiene B
x
Tiene A
x
x
mcm
x x
x
colones Tiene B
x
colones Tiene A
→
→
− = + =
− = +
=
→
⇒ = = →
2
24
2
24 2
2 48 48
96
96
2
96
2
48
3.3.3.3.3.
( )
x Tiene A
x Tiene B
x x mcm
x x
x
Tiene A
x Tiene B
→
→
− = + =
− = +
=
→
⇒ = ⋅ = →
2
3
5
2 6 6 5
6 18 5 30
48
48
2 2 48 96
$
$
4.4.4.4.4.
( )
x Tiene A
x Tiene B
x x mcm
x x
x
x
Tiene A
x Tiene B
→
→
+ = − =
+ = −
=
=
→
⇒ = ⋅ = →
3
5
3
5
30
9
5
30 5
3 150 9 270
420 6
70
70
3
5
3
5
70 42
$
$
5.5.5.5.5. x Tiene A yB
x
x
mcm
x x
x
suc Tiene A yB
→
− =
+
=
− = +
=
→
30
30
2
2
2 60 30
90
90 .
6.6.6.6.6.
( )
x Tiene A
x Tiene B
x x mcm
x x
x
x Tiene A
x Tiene B
→
→
+ = − =
+ = −
=
= →
⇒ = ⋅ = →
2
3
2
3
22
7
5
22 15
10 330 21 462
792 11
72 72
2
3
2
3
72 48
$
$
7.7.7.7.7. x Tiene B
x Tiene A
x x mcm
x x
x Tiene B
x Tiene A
→
→
+ = − =
+ = −
= →
⇒ = ⋅ = →
4
5
4
5
13 5 5
4 65 5 25
90 90
4
5
4
5
90 72
$
$
8.8.8.8.8. x Tiene A
x
Tiene B
x
x x mcm
x x x
x x
x Tiene A
x
Tiene B
→
→
+ = + =
+ = +
= +
= →
⇒ = = →
2
2
1
3
5 6
3 2 6 30
5 6 30
30 30
2
30
2
15
$
$
9.9.9.9.9. x Empezaron A y B
x x x mcm
x x x
x
x
balboas Empezaron A y B
→
− = − =
− = −
− = −
=
→
3
5
24 5
5 3 5 120
3 120
40
40
10.10.10.10.10. x Empezaron A y B
x x
x
Le queda B
x
partedeloqueda B
x x
ha ganado A
x
x
x
mcm
x x x
x x
x
x
soles Empezaron A y B
→
− = →
→
+ =
+
→
= −
+




 =
= − −
= −
− = −
=
→
3
4 4
12
3
12
24
288
12
4
288
12
12
3 12 288
3 11 288
8 288
36
36
ª
EJERCICIO 152
1.1.1.1.1.
( )
x N años que pasan
x x mcm
x x
x
años pasan
→
+ = + =
+ = +
=
→
º
28
3
4
38 4
112 4 3 114
2
2
2.2.2.2.2.
( )
x N años que pasan
x x mcm
x x
x
años pasan
→
+ = + =
+ = +
=
→
º
30
7
6
25 6
180 6 7 175
5
5
3.3.3.3.3.
( )
x N años hace
x x
mcm
x x
x
años hace
→
− = −
=
− = −
=
→
º
48
9
10
52
10
480 10 468 9
12
12
4.4.4.4.4.
( )
x N años hace
x x
mcm
x x
x
x
años hace
→
− = −
=
− = −
=
=
→
º
18
1
4
27
4
72 4 27
45 3
15
15
5.5.5.5.5.
( )
x La suma de dinero
x x mcm
x x
x
x
La suma de dinero
→
+ = + =
+ = +
=
=
→
3
5
50 22 5
150 3 5 110
40 2
20
20$
6.6.6.6.6.
( )
x Gastó cada uno
x x mcm
x x
x
x
Q Gastó cada uno
→
− = − =
− = −
=
=
→
3
11
90 50 11
270 3 550 11
8 280
35
35 .

7.7.7.7.7.
( )
x Edad actual hermano
x Edad actual persona
x x x x
x x mcm
x x
x
años Edad actual hermano
x años Edad actual persona
→
→
+ + + =
+ = =
+ =
=
→
⇒ = ⋅ = →
3
4
3
4
75
3
3
4
75 4
12 3 300
20
20
3
4
3
4
20 15
8.8.8.8.8. x ganó cada uno
x x x
x x
x
x
ganó cada uno
→
+ + + = +
+ = +
=
=
→
54 32 4 66
2 86 4 66
20 2
10
10$
9.9.9.9.9.
( )
x Le dió A a B
x x mcm
x x
x
x
bs Le dió A a B
→
− = + =
− = +
=
=
→
153
1
4
12 4
612 4 12
600 5
120
120 .
EJERCICIO 153
1.1.1.1.1.
( )( ) ( )
x Long rect
x Ancho rect
x x x x
x x x x
x
x
m Ancho rect
x m Long rect
+ →
→
+ + − = +
+ + − = +
=
=
→
⇒ + = + = →
3
4 1 22 3
5 4 22 3
2 18
9
9
3 9 3 12
2 2
. .
.
.
. .
2.2.2.2.2.
( )( )
x Una de las ensiones
x La otra ensión
x x x
x x x
x
x
m m Dimensiones
→
→
+ + − =
+ + − =
=
=
⋅ →
dim
dim2
5 2 5 160 2
2 15 25 160 2
15 135
9
9 18
2
2 2
3.3.3.3.3.
( )( ) ( )
x Una ensión
x Otra ensión
x x x x
x x x x
x
x
m m Dimensiones
+ →
→
− − + = +
− + + = +
− = −
=
⋅ →
2
5 3 115 2
8 15 115 2
10 130
13
15 13
2 2
dim
dim
4.4.4.4.4.
x
Long del rect
x
Ancho del rect
x x
x
x
2
24
2
12
2
24
2
12
2
12
+ →
− →
+





 −





 = −






. .
.
4.4.4.4.4.
x
x mcm
x x
x
m m Dimensiones
2
24 2
48 2
48
48 12
+ = =
+ =
=
⋅ →
5.5.5.5.5.
( )( )
x Long del cuadrado
Equiv al rect
x Long del rect
x Ancho del rect
x x x
x x x
x
x Long del rect
x Ancho del rect
m m Dimensiones
→
+ →
− →
+ − =
+ − =
=
⇒ + = + = →
⇒ − = − = →
⋅ →
.
. .
. .
.
. .
.
7
6
7 6
42
42
7 42 7 49
6 42 6 36
49 36
2
2 2
6.6.6.6.6.
( )( ) ( )
( )( )
x Ancho
x Longitud
x x x x
x x x x
x x x x
x
x
m Ancho
x m Long
m m Dimensiones
→
+ →
+ − + + = +
+ + + = +
+ + + = +
=
=
→
⇒ + = + = →
⋅ →
30
30 20 15 150 30
10 15 150 30
25 150 150 30
300 5
60
60
30 60 30 90
90 60
2
2 2
.
7.7.7.7.7.
( )( ) ( )
x Ancho
x Longitud
x x x x
x x x x
x Ancho
x Long
m m Dimensiones
→
+ →
+ + = +
+ + = +
= →
⇒ + = + = →
⋅ →
10
8 1 10
9 8 10
8
10 8 10 18
18 8
2 2
.
EJERCICIO 154
1.1.1.1.1. x Numerador
x Deno ador
x
x
x
x
x x
x
Numerador
Deno ador
fracción
→
− →
− +
=
+
=
= +
=
→
− = →
→
2
2 7
1
2
5
1
2
2 5
5
5
5 2 3
5
3
min
min
2.2.2.2.2. x Numerador
x Deno ador
x
x
x
x
x x
x
x
Numerador
Deno ador
Fracción
→
+ →
+ +
=
+
=
= +
=
=
→
+ = →
→
1
1 15
1
3
16
1
3
3 16
2 16
8
8
8 1 9
8
9
min
min
3.3.3.3.3.
( ) ( )
x Numerador
x Deno ador
x
x
x
x
x x
x x
x
Numerador
Deno ador
Fracción
− →
→
− +
+
=
−
+
=
− = +
− = +
=
− = →
→
→
8
8 1
1
3
4
7
1
3
4
4 7 3 1
4 28 3 3
31
31 8 23
31
23
31
min
min

4.4.4.4.4.
( )
x Numerador
x Deno ador
x
x
x x
x x
x
Numerador
Deno ador
Fracción
→
+ →
−
+
=
− = +
− = +
=
→
⋅ + = →
→
2 1
4
2 1
1
3
3 4 2 1
3 12 2 1
13
13
2 13 1 27
13
27
min
min
7.7.7.7.7.
( ) ( )
x Numerador
x Deno ador
x
x
x
x
x x
x x
x
x
Numerador
Deno ador
Fracción
→
− →
+
− +
=
+
+
=
+ = +
+ = +
=
=
→
⋅ − = →
→
3 1
8
3 1 4
11
12
8
3 3
11
12
12 8 33 1
12 96 33 33
63 21
3
3
3 3 1 8
3
8
min
min
6.6.6.6.6.
( )( )
( ) ( ) ( )( )
x Numerador
x Deno ador
x
x
x
x
x
x
x
x
mcm x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x
x
Numerador
Deno ador
Fracción
→
+ →
+ +
=
+





 −
+
=
+
− = + +
+ = + − + +
+ = + − − −
= −
=
=
→
+ = →
→
1
1 4
3
1
2
5
3
1
2 5 1
1 3 5 2 5 1
3 15 2 12 10
3 10
10 2
5
5
5 1 6
5
6
2 2 2
min
min
5.5.5.5.5.
( ) ( )
x Numerador
x Deno ador
x
x
x
x
x x
x x
x
x
Numerador
Deno ador
Fracción
→
+ →
+
+ −
=
+
+
=
+ = +
+ = +
=
=
→
⋅ + = →
→
2 6
15
2 6 1
4
3
15
2 5
4
3
3 15 4 2 5
3 45 8 20
25 5
5
5
2 5 6 16
5
16
min
min
8.8.8.8.8.
( ) ( )
x Numerador
x Deno ador
x
x
x
x
mcm x
x x x
x
x
x
Numerador
Deno ador
Fracción
→
− →
−
−
−
−
= = −
− − = −
= −
=
=
→
− = →
→
22
22
15
22
3 22
15 3 22
15 3 66
81 3
27
27
27 22 5
27
5
min
min
EJERCICIO 155
1.1.1.1.1.
( )
( )
( )
x cifra deunidades
x cifra de decenas
x x
x x
x El Número
x
x
x x
x x
x
x
cifra deunidades
cifra de decenas
N buscado
→
+ →
+ +
+ +
+ →
+
+
=
+ = +
+ = +
=
=
→
+ = →
→
2
10 2
10 20
11 20
11 20
2 1
7
11 20 14 1
11 20 14 14
6 3
2
2
2 2 4
42 º
2.2.2.2.2.
( )
( )
x cifra deunidades
x cifra de decenas
x x
x x
x El Número
x
x
x x
x
x
cifra deunidades
cifra de decenas
N buscado
→
− →
− +
− +
− →
−
−
=
− = −
=
=
→
− = →
→
4
10 4
10 40
11 40
11 40
2 2
4
11 40 8 16
3 24
8
8
8 4 4
48 º
3.3.3.3.3.
( )
x cifra deunidades
x cifra de decenas
x x
x N dis uido en
x
x
x x
x
x
N buscado
→
→
+ −
− →
−
=
− =
=
=
→
2
10 2 9
21 9 9
21 9
3
6
21 9 18
3 9
3
63
º min
º

4.4.4.4.4.
( )
( )
( )
x cifra deunidades
x cifra de decenas
x x
x
x N multip
x x
x x
x
x
Cifra de unidades
Cifra de decenas
N buscado
→
+ →
+ +
+
+ →
+ = +
+ = +
=
=
→
+ = →
→
1
10 1
3 11 10
33 30 3
33 30 21 2 1
33 30 42 21
9 9
1
1
1 1 2
21
º .*
º
5.5.5.5.5.
( )
( )
( )
x cifra deunidades
x cifra de decenas
x x
x N aumentado en
x
x
x x
x x
x
x
N buscado
→
− →
− + +
− →
−
−
=
− = −
− = −
=
=
→
7
10 7 8
78 9 8
78 9
2 7
6
78 9 12 7
78 9 84 12
3 6
2
52
º
º
6.6.6.6.6.
( )
x cifra deunidades
x cifra de decenas
x x
x El Número
x x
x x
x
cifra deunidades
cifra de decenas
N buscado
→
+ →
+ +
+ →
+ − =
− =
=
→
+ = →
→
2
10 2
11 20
11 20 27 10
11 7 10
7
7
7 2 9
97 º
7.7.7.7.7.
( )
x cifra deunidades
x cifra de decenas
x x
x N dis en
x
x x
x x
x
N buscado
→
→
+ −
− →
−
−
=
− =
=
→
2
10 2 4
21 4 4
21 4
2
20
21 4 20
4
84
º min
º
EJERCICIO 156
1.1.1.1.1. x Días trabaj juntos
x
mcm x
x x
x
x
días Hacen la obra
→
+
1
= =
+ =
=
=
→
.
1
3 6
1
6
2 6
3 6
2
2
2.2.2.2.2. x Tiempo en llenar depósito
x
mcm x
x x
x
x
x
En llenar depósito
→
+ = =
+ =
=
=
=
→
1
10
1
20
1
20
2 20
3 20
20
3
6
6
2
3
2
3 min.
3.3.3.3.3. x Hacen obra juntos
x
mcm x
x x x
x
x
días Hacen obra juntos
→
+ + = =
+ + =
=
=
→
1
4
1
6
1
12
1
12
3 2 12
6 12
2
2
4.4.4.4.4. x Hacen obra juntos
x
x
mcm x
→
+ + =
+ + = =
1
1
1
6
1
2
1
2
3
1
6
5
12
1
12
1
2
2
5
4.4.4.4.4. 8 2 5 12
15 12
12
15
4
5
4
5
x x x
x
x
x
de día hacen la obra
+ + =
=
=
=
x
mcm x
x x x
x
x
x
Llenar el depósito
→
+ + = =
+ + =
=
=
=
→
1
5
1
6
1
12
1
60
12 10 5 60
27 60
60
27
2
2
2
9
2
9 min
x
mcm x
x x x
x
x
x
Llenarel depósito
→
+ − = =
+ − =
=
=
=
→
1
4
1
8
1
20
1
40
10 5 2 40
13 40
40
13
3
3
1
13
1
13 min.
EJERCICIO 157
ABCD x
AB
BC
X
CD
x
x
x
x
x x
x
x
=
=
=
=
= + +
= +
= +
=
= =
5
12
30
5 30
12
35
12
12 420
11 420
420
11
38 2
11
1.1.1.1.1.

AB x
BD
AC
CD
X
AB BD AC CD
x
x
mcm
x x
x
x
x
=
=
=
=
+ = +
+ = + =
+ = +
=
=
=
15
50
12
15 50
12
12
12 180 600
11 420
420
11
38 2
11
AB x
BD
AC
CD
x
AC CD AB BD
x
x mcm
x x
x
x
x
=
=
=
=
+ = +
+ = + =
+ = +
=
=
=
45
50
12
50
12
45 12
600 12 540
60 11
60
11
5 5
11
2.2.2.2.2.
AB x
BD
AC
CD
x
=
=
=
=
30
40
12
AB BD AC CD
x
x
mcm
x x
x
x
x
+ = +
+ = + =
+ = +
=
=
=
30 40
12
12
12 360 480
11 120
120
11
10 10
11
3.3.3.3.3.
4.4.4.4.4.
5.5.5.5.5.
6.6.6.6.6.
ABC x
AB
BC
x
ABC AB BC
x
x
mcm
x x
x
x
x
=
=
=
= +
= + =
= +
=
=
=
20
12
20
12
12
12 240
11 240
240
11
21 9
11
AB
x
BC
ABC x
ABC AB BC
x
x
mcm
x x
x
x
x
=
=
=
= +
= + =
= +
=
=
=
12
30
12
30 12
12 360
11 360
360
11
32 8
11
ABCD x
AB
BC
x
CD
ABCD AB BC CD
x
x
x
x
mcm
x x
x
x
x
=
=
=
=
= + +
= + +
= +
=
= +
=
=
=
10
12
15
10
12
15
25
12
12
12 300
11 300
300
11
27 3
11

7.7.7.7.7.
ABCD x
AB
BC
x
CD
ABCD AB BC CD
x
x
mcm
x x
x
x
x
=
=
=
=
= + +
= + + =
= + +
=
=
=
30
12
15
30
12
15 12
12 360 180
11 540
540
11
49 1
11
AB x
BD
AC
CD
x
AB BD AC CD
x
x
x
x
mcm
x x
x
x
x
=
=
=
=
+ = +
+ = +
− = =
− =
=
=
=
15
30
12
15 30
12
12
15 12
12 180
11 180
180
11
16 4
11
8.8.8.8.8.
ABC x
AB
BC
x
ABC AB BC
x
x
mcm
x x
x
x
x
=
=
=
= +
= + =
= +
=
=
=
50
12
50
12
12
12 600
11 600
600
11
54 6
11
9.9.9.9.9.
AB x
BD
AC
CD
x
AB BD AC CD
x
x
x x
x
x
x
=
=
=
=
+ = +
+ = +
+ = +
=
=
=
15
35
12
15 35
12
12 180 420
11 240
240
11
21 9
11
10.10.10.10.10.
ABCD x
AB
BC
x
CD
ABCD AB BC CD
x
x
x
x
mcm
x x
x
x
x
=
=
=
=
= + +
= + +
= + =
= +
=
=
=
15
12
5
15
12
5
20
12
12
12 240
11 240
240
11
21 9
11
11.11.11.11.11.
ABCD x
AB
BC
x
CD
ABCD AB BC CD
x
x
x
x
mcm
x x
x
x
x
=
=
=
=
= + +
= + +
= + =
= +
=
=
=
40
12
10
40
12
10
50
12
12
12 600
11 600
600
11
54 6
11

11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación
EJERCICIO 158
1.1.1.1.1.
( )
x N mayor
x N menor
x
x mcm
x x
x N mayor
N menor
→
− →
− = − =
− = −
= →
− = →
º
º
º
º
6
2
10
3
8
6 8
4 80 3 18
62
62 6 56
2.2.2.2.2.
( )
x Ledió A a B
x x mcm
x x
x
x
Ledió A a B
→
− = + =
− = +
=
=
→
11
10
120 90 10
1 320 11 900 10
420 21
20
20
.
$
4.4.4.4.4. x Persona favorecida
x Persona que recibió menos
x x mcm
x x
x
x
soles Pers favorecida
soles Pers que rec men
→
→
+ = =
+ =
=
=
→
⋅ =
→
5
7
5
7
48 000 7
7 5 336 000
12 336 000
28 000
28 000
5
7
28 000 20 000
20 000
.
.
.
.
. .
. .
. . . .
x
x
Cociente sumado
x
x
Nueva sum en
x
x
x N buscado
→
+
+
+
→
+
=
+
→ ÷
+
=
+ =
= →
º
º
6
8
5
46
8
5
46
8
2
46
16
2
46
16
4
46 64
18
AB x
BD
AC
CD
x
AB BD AC CD
x
x
x
x
mcm
x x
x
x
x
=
=
=
=
+ = +
+ = +
− =
=
− =
=
=
=
10
40
12
10 40
12
12
30
12
12 360
11 360
360
11
32 8
11

5.5.5.5.5.
( )
( )
x Parte mayor
x Parte menor
x x mcm
x x
x x
x
x
Parte mayor
Parte menor
→
− →
= − =
= −
= −
=
=
→
− = →
84
1
10
1
4
84 20
2 5 84
2 420 5
7 420
60
60
84 60 24
6.6.6.6.6. x Parte mayor
x Parte menor
x x mcm
x x
x
x Parte mayor
Parte menor
→
− →
− = =
− =
=
= →
− = →
120
120
3
5
5
600 5 3
600 8
75
120 75 45
7.7.7.7.7. x Sueldo mensual
x
x x mensual
x x mcm
x x
x
x
Sueldo mensual
→
+ = →
−





 = =
− =
=
=
→
2
3
8
7
8
15 15
7
8
300 8
120 105 2 400
15 2 400
160
160
.
.
$
8.8.8.8.8. x Lo que tenía
x Gastó en ropa
x Gastó en libros
x x x mcm
x x x
x
x
Gastó en ropa
Gastó en libros
→
→
→
− − − = =
− − − =
=
=
⋅ = →
⋅ = →
1
5
3
8
1
5
3
8
102 0 40
40 8 15 4 080 0
17 4 080
240
1
5
240 48
3
8
240 90
.
.
$
$
7
4
3
2
21
8
21
8
51
40
54 40
105 51 2 160
54 2 160
40
7
4
7 40
4
70
70
x x
Vr total vta
de todos los lib
Luego
x x
mcm
x x
x
x
x
Total libros comprados
⋅ = →
− = =
− =
=
=
=
⋅
=
→
. .
.
.
.
13.13.13.13.13. x parte
x
parte
x
x parte
x x parte
x
x
x x
mcm
x x x x
x
x
parte
parte
parte
parte
→
→
⋅ = →
⋅ = →
+ + + =
=
+ + + =
=
=
→
⋅ = →
⋅ = →
⋅ = →
1
5
6
2
3
5
5
6
1
2
3
1
3
1
2
1
6
4
5
6
1
2
1
6
150
6
6 5 3 900
15 900
60
60 1
5
6
60 50 2
1
2
60 30 3
1
6
60 10 4
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
9.9.9.9.9. x Edad de A
x Edad de B
x x Edad de C
x x x mcm
x x x
x
x
años Edad de A
años Edad de B
años Edad de C
→
→
⋅ = →
+ + = =
+ + =
=
=
→
⋅ = →
⋅ = →
2
5
2
3
2
5
4
15
2
5
4
15
25 15
15 6 4 375
25 375
15
15
2
5
15 6
4
15
15 4
10.10.10.10.10. x Costo auto
x
x mcm
x x
x
x
bs Costo auto
→
+ = + =
+ = +
=
=
→
8 000
3
2 000 3
24 000 3 6 000
18 000 2
9 000
9 000
. .
. .
.
.
.
11.11.11.11.11. x Libros compre
x x
mcm
x x
x
x Lib compre
→
− = =
− =
=
= →
7
2
5
2
8 2
7 5 16
2 16
8 .
12.12.12.12.12. x Cierto N de libros
x
Vr cierto N de libros
x x
Vr del N
de lib ant
x x x
Vr total de
lib compré
x
x x
total lib comp
→
→





 = →
+ = →
+ = →
º
. º
. º
. .
.
.
. .
3
4
3
4
7
10
21
40
3
4
3
4
21
40
51
40
3
4
7
4

ABC x
AB
BC
x
ABC AB BC
x
x
mcm
x x
x
x
x
=
=
=
= +
= + =
= +
=
=
=
45
12
45
12
12
12 540
11 540
540
11
49 1
11
15.15.15.15.15.
( )
x Edad A
x Edad B
x x mcm
x x
x x
x
años Edad A
años Edad B
→
− →
− − = − =
− − = −
− = −
=
→
− = →
10
10 15
3
4
15 4
4 40 60 3 45
4 100 3 45
55
55
55 10 45
16.16.16.16.16. x Puede hacerla A
x
mcm x
x x
x
x
días Puede hacerla A
→
+ = =
+ =
=
=
→
1
10
1 1
6
60
6 60 10
60 4
15
15
17.17.17.17.17. x Parte mayor
x Parte menor
x
x
x
x mcm
x x
x
x
Parte mayor
Parte menor
→
− →
= − −
= − =
= −
=
=
→
⇒ − = →
650
5
650 50
5
600 5
3 000 5
6 3 000
500
500
650 500 150
.
.
18.18.18.18.18.
( )
x Edad actual B
x
Edad actual A
x
x mcm
x x
x
x
años Edad actual B
años Edad actual A
→
→
− = − =
− = −
=
=
→
= →
4
4
10
1
10
10 40
10 400 4 40
6 360
60
60
60
4
15
19.19.19.19.19.
( ) ( )
( )
( )
( )
x N mayor
x N menor
x x x
x x x x
x x
x x
x x
x
x
N mayor
N menor
→
− →
− − − = −
− + − − = −
− = −
− = −
− = −
=
=
→
− = →
º
º
º
º
1
1 43
1
11
1
2 1 43
1
11
1
2 44
1
11
1
11 2 44 1
22 484 1
21 483
23
23
23 1 22
2 2
2 2
20.20.20.20.20. x Vr sortija
x
x mcm
x x
x
x
sucres Vr sortija
→
+




 = + =
+ = +
=
=
→
.
.
.
. .
.
.
7
3 000
12
1 500 12
21 000 7 18 000 12
3 000 5
600
600
21.21.21.21.21. x N personas
x x
x
N más de pers
x x
x x
mcm x
x
x
x
personas Se repartió
→
+ = →
=
= − =
= −
=
=
→
º
º .
$
1
5
6
5
120
6
5
100
100 120
2
100 120 2
2 20
10
10
22.22.22.22.22. x libros que compró
x
x x
Libros más
x x
x x
mcm x
x
x
x
libros compró
Pagóporc u
→
+ = →
=
= − =
= −
=
=
→
= →
4
5
4
400
5
4
320
320 400
2
320 400 2
2 80
40
40
400
40
10$ /
23.23.23.23.23.
( )
x Suma repartida
x
cibió A
x
cibió B
x x
x
mcm
x x x
x
c A
c B
→
− →
+ →
− + + + =
=
+ + =
=
− = →
+ = →
2
30
3
7
20
2
30
3
7
20 30
14
7 6 280 14
280
280
2
30 110
3 280
7
20 140
Re
Re
$ Re .
$ Re .
24.24.24.24.24. x Lib comprad
x
Vr de x lib
x
x x
sto
x x
Vr vta resto
x x
mcm
x x
x
x
Libros comprados
→
→
− = →
⋅ = →
− = =
− =
=
=
→
. .
. .
Re
.
6
5
3
2
3
2
3
9
4
3
2
3
2
6
5
9 10
15 12 90
3 90
30
30
25.25.25.25.25. x Fortuna
x
x x x
mcm
x x x x
x
colones Fortuna
→
− − − =
=
− − − =
=
→
2 4 6
2 500
12
12 6 3 2 30 000
30 000
30 000
.
.
.
.
14.14.14.14.14.

26.26.26.26.26. x sueldo anual
x
x x x
mcm
x x x x
x
x
balboas sueldo anual
→
− − − =
=
− − − =
=
=
→
3
5 8 20
810
40
40 24 5 2 32 400
9 32 400
3 600
3 600
.
.
.
.
27.27.27.27.27. x Ahorros
x
x x x
Lequedaba
x x
x x
mcm
x x
x
x
ahorros
→
− − = →
⋅ =
− = =
− =
=
=
→
3
8
5
12
5
24
3
5
5
24 8
5
24 8
400 24
5 3 9 600
2 9 600
4 800
4 800
.
.
.
$ .
28.28.28.28.28.
( )
x Parte mayor
x Parte menor
x
x
x x
mcm
x x x x
x x
x
x
Parte mayor
Parte menor
→
− →
− − = − −
=
− − = − +
− − = −
− = −
=
→
− = →
350
350
3
5
17
15
350
15
5 250 15 9 15 5 950 17
24 32 11 200
56 11 200
200
200
350 200 150
. .
.
.
29.29.29.29.29.
( )
x Suma repartida
cibió A
x B C
x C B
C A B
C x C
C x C
C x
C
x
x x
x
x x
x mcm
x x x
x
Suma recibida
→
→
− = +
− − =
= +
= + − −
= −
=
=
+ + ⋅ + =
+ + = =
+ + =
=
→
$ Re
$
15
15
15
15 15
2
2
15 15
2
3 2 2
30
3 2
6
180 2 3 6
180
180
30.30.30.30.30.
( )
x Pesos
x N piezasde ctvs
x x
N piezasde ctvs
x x
x
mcm
x x x
x
x
Pesos
piezasde ctvs
piezasde ctvs
→
→
⋅ = →
+ + =
=
+ + =
=
=
→
⋅ = →
= →
3
4
20
2
3
3
4 2
10
3
4
0 20
0 10
2
9 60
4
4 0 6 0 2 38 4
4 8 38 4
8
8
3
4
8 6 20
8
2
4 10
º
º
,
,
,
, , ,
, ,
31.31.31.31.31. x Capital primitivo
x año
x
x x
Le quedaba
x x
año
x x x
Tenia al term
el año
x x
año
x
x x x
x x x x
x
x
Q Capitalprimitivo
er
er
→
→
− = →
⋅ = →
+ = →
⋅ = →
− + + =
− + + =
=
=
→
1
5
1
5
4
5
3
10
4
5
6
25
2
4
5
6
25
26
25
2
3
5
26
25
78
125
3
5
6
25
78
125
13 312
125 25 30 78 1 664 000
208 1 664 000
8 000
8 000
º
.
º
.
' .
' .
.
. .
32.32.32.32.32.
( )
x Edad de A
x x mcm
x x
x
años Edad de A
→
− = + =
− = +
=
→
10
2
3
5 3
3 30 2 10
40
40
33.33.33.33.33.
( )
x Cant bres
en el lado del cuadrado
x Hombres en la tropa
x x
er
→
+ →
+ = + +
. hom
1
36
1 36 75
2
2 2
33.33.33.33.33.
( )
x x x
x
x
bresen el lado
del cuadrado
Homb en la tropa
er
2 2
2
2 1 111
2 110
55
55
1
55 36
3 061
+ + = +
=
=
→
+
= →
hom
. .
34.34.34.34.34. x Lo que tenía
x
x x
mcm
x x x
x
tenía
→
− − = +
=
− − = +
=
→
5
8
20
4
16
8
8 5 160 2 128
288
288$
35.35.35.35.35.
( )
x Empezó a jugar
x Le quedaba
x
x
x x
x x
mcm
x x x
x
x
Lempiras Empezó a jugar
→
− →
− =
−
+ − −
−




 − =
=
− − + − =
=
=
→
2 60
3
10
2 60
6 180
10
60
6 180
10
7
8
0
40
80 2 400 24 720 35 0
21 1 680
80
80
.
.
36.36.36.36.36.
( ) ( )
x Cifra unidades
x Cifra decenas
x x x x
x x x
x
Cifra unidades
Cifra decenas
N buscado
→
+ →
+ + − = + +
+ + − = +
=
→
+ = →
→
5
10 5 18 6 5
10 50 18 12 30
2
2
2 5 7
72 º
37.37.37.37.37.
( )
x Unidades
x Decenas
x x x x
x x x x
x
x
Unidades
Decenas
N buscado
→
− →
− + − = + −
− + − = + −
=
=
→
− = →
→
9
10 9 27 10 9
90 10 27 10 9
54 18
3
3
9 3 6
63 º

38.38.38.38.38. x Mangos que había
x
x x
Quedaban
x x
x
x
x
x x x
mcm
x x x x
x
x
Mangos había
→
− − =
−
→
−




 + =
+
+
+ =
+
− − −
+




 −
+




 =
=
− − − − − − =
=
=
→
3
4
2 12
3
1
3
2 12
3
6
2 42
9
2 42
9
2
9
102
9
3
4
2 42
9
102
9
0
9
9 3 36 2 42 102 0
3 180
60
60
39.39.39.39.39.
( )
x Ganó c u
x x mcm
x x
x
x
Ganó c u
→
+ = + =
+ = +
=
=
→
/
$ /
7
10
80 50 10
560 7 500 10
60 3
20
20
40.40.40.40.40.
( )
x Pluma fuente
x Lapicero
x x
mcm
x x
x
x
Costo la pluma
Costo lapicero
→
→
− = +
=
− = +
=
=
→
⋅
= →
3
5
5
6
0 20
3
5
0 30
30
25 5 18 9
7 14
2
2
3 2
5
1 20
, ,
$
$ ,
41.41.41.41.41. x Tenía el lunes antes de
x x
Lunes
x
x x
Quedaba
x
x
Martes
x x x
Quedaba
x
x
Miercoles
→
+ =
+
→
−
+




 =
−
→
−
+ =
+
→
−
−
+




 =
−
→
−
+ =
+
→
2
2
4
2
4
2
4
2
4
2
2
2
4
4
4
2
4
4
12
4
12
4
2
2
4
8
41.41.41.41.41. x x
mcm
x x
x
x
Tenía el lunes antes de
−
−
+




 = =
− − − =
− =
=
⇒ →
12
4
4
8
0 8
2 24 4 0
28 0
28
28$
42.42.42.42.42. x Capital primitivo
x
x x
Tenía
x
x
año
x x x
Tenía
x
x
año
x x
mcm
x x
x
x
Capital primitivo
→
+ − =
−
→
−
− =
−
→
−
+
−
=
−
→
−
− =
−
→
−
+
−
= =
− + − =
=
=
→
2
6 000
3 12 000
2
3 12 000
2
2
6 000
3 36 000
4
2
3 12 000
2
3 36 000
4
9 60 000
4
9 60 000
4
2
6 000
9 108 000
8
3
9 60 000
4
9 108 000
8
32 250 8
18 120 000 9 108 000 258 000
27 486 000
18 000
18 000
.
.
.
.
.
º
. . .
.
.
.
º
. .
.
. . .
.
.
$ .
43.43.43.43.43. x ecio traje
ecio bastón
s
x
x s
x
ecio sombrero
x x
mcm
x x
x
ecio traje
ecio sombrero
→
→
+ =
+ − =
+
→
+
+ = =
+ + =
=
→
+
= →
Pr
$ Pr
Pr
$ Pr
$ Pr
15
15
3
4
15 5 2
10
2
10
2
15
3
4
4
2 20 60 3
80
80
80 10
2
45
44.44.44.44.44. x Espacio recorrido por perro y conejo
Perro Conejo
uesto
egunta
Luego Saltos del perrocon respecto a la ventaja
Perro Conejo
uesto
egunta x
Luego
x
Saltos que avanza el conejo
al ser alcanzado
→
⋅
→
→
sup
Pr ?
:
sup
Pr ?
:
2 5
50
2 50
5
3 8
8
3
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

44.44.44.44.44. Perro Conejo
uesto
egunta x
Luego
x
Saltos que da el perro
para alcanzar al conejo
Entonces
x x
mcm
x x
x
Saltos del perro
para alcanzar el conejo
sup
Pr ?
:
:
2 5
5
2
8
3
2 50
5
5
2
6
16 120 15
120
5 120
2
300
→
−
⋅
= =
− =
=
⋅
= →
45.45.45.45.45. x Espacio recorrido
por perro y liebre
Perro Liebre
uesto
egunta
Luego Saltos del perro con
respecto a la ventaja
Perro Liebre
uesto
egunta x
Luego
x
Saltos que avanza la
liebre al ser alcanzada
Perro Liebre
uesto
egunta x
Luego
x
Saltos que da el perro
para alcanzar a la liebre
Entonces
x x
x x
mcm
x x
x
x
Saltos del perro
para alcanzar la liebre
→
⋅
→
→
→
−
⋅
=
− = =
− =
=
=
⋅ = →
sup
Pr ?
:
sup
Pr ?
:
sup
Pr ?
:
:
,
,
3 4
60
3 60
4
5 8
8
5
3 4
4
3
8
5
3 60
4
4
3
8
5
45
4
3
15
24 675 20
4 675
168 75
4
3
168 75 225
AB x
AC
CD
x
BD
AB BD AC CD
x
x
x
x
mcm
x x
x
x
x
=
=
=
=
+ = +
+ = +
− = =
− =
=
=
=
50
12
6
6 50
12
12
44 12
12 528
11 528
528
11
48
47.47.47.47.47.
( )
x Aporta A
x Aporta B
x
x x
año A
x x
año B
x x
año A
x x
mcm
x x
x x
x
año B
Entonces
x x
er
er
→
→
− = →
+ =
+
→
+ =
+
→
+
−
+




 =
+ − −
+
=
+
+
→
+
=
+
3
4
5
4
5
1
3
4
3 000
3 12 000
4
1
4
5
1 600
4 8 000
5
2
3 12 000
4
1
9
3 12 000
4
36
27 108 000 3 12 000
36
24 96 000
36
3 8 32 000
36
8 32 000
12
2
4 8 000
5
8 32 000
12
.
.
.
.
º
. .
. .
. .
.
º
:
. .
mcm
x x
x
x
bs Aportó A
bs Aportó B
=
+ = +
=
=
→
⋅
= →
60
48 96 000 40 160 000
8 64 000
8 000
8 000
3 8 000
4
6 000
. .
.
.
.
.
.
46.46.46.46.46.

48.48.48.48.48. x Años para que la edad
del padre sea a la
suma de sus hijos
x x x
x x
x
años Edad del padre sea
igual a la suma
de sus hijos
→
=
+ = + + +
+ = +
=
→
60 16 14
60 30 2
30
30
49.49.49.49.49. x Km recorridos
x x
mcm
x x
x
x
Km recorridos
→
+ = =
+ =
=
=
→
.
.
50 10
12 50
5 600
6 600
100
100
50.50.50.50.50. Buey
P C
C
P
Luego
P
C
P P
mcm
P P
P
P
Costo el perro
C mcm
C
C
C
Costo el caballo
→
+ =
+ =
+
=
+
+ = =
+ + =
=
=
→
+
= =
+ =
=
=
→
$
:
$
$
80
80 2
80
13
2
80
2
80
2
80
13
2
2
80 160 13
240 12
20
20
20 80
2
2
20 80 2
100 2
50
50
EJERCICIO 159
1.1.1.1.1. a m
v m
s
v m
s
x
x
x m
=
=
=
=
⋅
−
=
=
30
8
5
30 8
8 5
240
3
80
'
2.2.2.2.2.
( )
a Km
v Km
h
v Km
h
x
x
x Km
=
=
= −
=
⋅
− −
=
=
160
50
30
160 50
50 30
8 000
80
100
'
.
.
3.3.3.3.3. a Km
v Km
h
v Km
h
x
=
=
=
=
⋅
−
200
90
40
200 90
90 40
'
3.3.3.3.3. x
x Km de A
De B
Como la dis cia entre A y B
es Km
Entonces B recorrió
Km Km Km
=
=
− =
18 000
50
360
200
360 200 160
.
.
tan
4.4.4.4.4. a Km
v Km
h
v Km
h
x
x
x Km
El tiempo empleado
en encontrarse será
Km
Km
h
horas
=
=
=
=
⋅
−
=
=
=
80
90
70
80 90
90 70
7 200
20
360
360
90
4
'
.
.
5.5.5.5.5.
( )
a Km
v Km
h
v Km
h
De A
x
x
x Km
Como los trenes pasan
por A y B a las am
Entonces De A
x Km
v Km
h
Tiempo empleado para
los Km es
Km
Km
h
horas
horas h
Luego
am h
am Se encuentran
=
=
= −
=
⋅
− −
=
=
=
=
=
→
+ =
→
550
100
120
550 100
100 120
55 000
220
250
8
250
100
250
250
100
2 5
2 5 2 30
8 2 30 10 30
10 30
'
.
.
.
.
,
, min.
:
min :
:

6.6.6.6.6.
( )
a Km
v Km
h
v Km
h
x Dis cia recorrida por
A al encontrarse
x
x
x Km A
Como A recorrió Km
Entonces B
Km Km Km B
=
=
= −
→
=
⋅
− −
=
= →
− = →
70
9
5
70 9
9 5
630
14
45
45
70 45 25
'
tan
9.9.9.9.9.
( )
a Km
v v
v v
x
v
v v
x
v
v
x Km
=
=
= −
=
− −
=
=
186
186
186
2
93
'
.
8.8.8.8.8.
( )
Re arg
'
.
arg
:
corrido tren de c a
en horas es
Km
h
h Km
a Km
v Km
h
v Km
h
x
x
x Km
Km Alcanza el tren de
pasajeros al de c a
El tiempo empleado es
Km
Km
h
horas
3
42 3 126
126
60
42
126 60
60 42
7 560
18
420
420
420
60
7
=
=
=
=
=
⋅
−
=
=
→
=
7.7.7.7.7.
( )
A y B dis tes Km
Km Km Km
a Km
v Km
h
v Km
h
x
x
x Km
Luego A recorre
Km Km Km
B recorre
Km Km Km
tan
'
29
29 2 27
27
5
4
27 5
5 4
135
9
15
15 2 17
29 17 12
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
⇒ − =
=
=
= −
=
⋅
− −
=
=
+ =
− =
EJERCICIO 162
1.1.1.1.1. b cm
h cm
A
b h
A
cm cm
A cm
=
=
=
⋅
=
⋅
=
10
8
2
10 8
2
40 2
2.2.2.2.2.
( )
d m
A
d
A
m
A m
=
=
=
=
8
2
8
2
32
2
2
2
3.3.3.3.3.
( )( )
t s
v m
s
e v t
e s m
s
e m
=
=
= ⋅
=
=
15
9
15 9
135
4.4.4.4.4. v m
s
e m
t
e
v
t
m
m
s
t s
=
=
= ⇒ =
=
9
108
108
9
12
5.5.5.5.5.
( ) ( )
b m
c m
a b c
a m m
a m m
a m
a m
a m
=
=
= +
= +
= +
=
=
=
4
3
4 3
16 9
25
25
5
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
6.6.6.6.6.
( ) ( )
a m
c m
b a c
b m m
b m m
b m
b m
b m
=
=
= −
= −
= −
=
=
=
13
5
13 5
169 25
144
144
12
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
7.7.7.7.7.
( )
r m
A r
A m
A m
A m
=
=
= ⋅
=
= ⋅
=
5
3 14
3 14 5
3 14 25
78 5
2
2
2
2
π
π
,
,
,
,
8.8.8.8.8. r m
C r
C m
C m
C m
=
=
= ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
=
5
3 14
2
2 3 14 5
10 3 14
31 4
π
π
,
,
,
,
9.9.9.9.9.
( )
h m
r m
v
h r
v
m m
v m
v m
=
=
=
=
⋅ ⋅
=
⋅
= ⋅
=
9
2
3 14
3
9 3 14 2
3
12 3 14
37 68
2
2
2
2
π
π
,
,
,
,
10.10.10.10.10. P g
V cm
D
p
v
D
g
cm
D g
cm
=
=
=
=
=
8 24
8
8 24
8
1 03
3
3
3
,
,
,
11.11.11.11.11.
( )
L m
A
L
A
m
A m
A m
=
=
=
=
=
4
3
4
4 3
4
4 3
6 92
2
2
2
2
,
12.12.12.12.12.
( )
( )
N
S
S
S
=
= −
=
=
6
180 6 2
180 4
720
!
!
!

EJERCICIO 163
1.1.1.1.1. e v t
v
e
t
Rta
t
e
v
Rta
= ⋅
=
=
2.2.2.2.2.
( )
A h
b b
A h b b
A
b b
h Rta
=
+





= +
+
=
'
'
'
2
2
2
3.3.3.3.3. e a t
e a t
e
t
a Rta
= ⋅
= ⋅
=
1
2
2
2
2
2
2
4.4.4.4.4. A a l n
A a l n
A
l n
a Rta
A
n a
l Rta
A
l a
n Rta
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
1
2
2
2
2
2
5.5.5.5.5. A r
A
r
A
r Rta
= ⋅
=
=
π
π
π
2
2
6.6.6.6.6. a b c bx
a b c bx
a b c
b
x
b c a
b
x Rta
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
= + −
− − = −
−
− −
=
+ −
=
7.7.7.7.7. V V a t
V a t V Rta
V V a t
V V
t
a Rta
V V
a
t Rta
o= + ⋅
− ⋅ =
− = ⋅
−
=
−
=
0
0
0
0
8.8.8.8.8. V V a t
V a t V Rta
a t V V
a
V V
t
Rta
t
V V
a
Rta
o= − ⋅
+ ⋅ =
⋅ = −
=
−
=
−
0
0
0
0
9.9.9.9.9. D
P
V
DV P
V
P
D
Rta
P VD Rta
=
=
=
=
10.10.10.10.10. a b c
a c b
a c b Rta
a b c
a b c Rta
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
= +
− =
− =
− =
− =
11.11.11.11.11. V a t
V
a
t Rta
a
V
t
Rta
= ⋅
=
=
12.12.12.12.12.
( )
( )
( )
1 1 1
f p p
p p
f p p
f p f p
f p p
p p f p p
p
f p p
p
p
f p
p
f p
p
p f
f p
p
p
f p
p
f
p p f p
p
f
p p f p f
p
p f
p f
Rta
= −
⋅
⋅ ⋅
=
⋅ − ⋅
⋅ ⋅
⋅ = −
=
−
=
⋅
−
⋅
= −
⋅
+
⋅
=
⋅ + ⋅
=
+ = ⋅
=
⋅
+
'
'
'
'
'
' '
'
'
'
'
'
'
'
'
' '
'
'
12.12.12.12.12.
( )
p p f p
p
f
p p
p
f p
p
f
p
f p
p
f
f p
p
f p
f p p f p
f p
f p
p Rta
' '
' '
'
'
'
'
' '
'
'
⋅ + ⋅
=
⋅
+
⋅
=
+
⋅
=
⋅
= −
⋅ = −
⋅
−
=
13.13.13.13.13. v
e
d
v
e
d
v d e Rta
d
e
v
Rta
=
=
⋅ =
=
2
2
2
14.14.14.14.14. e V t a t
e V t a t
e a t V t
e a t
t
V Rta
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
− ⋅ = ⋅
− ⋅
⋅
=
0
2
0
2
2
0
2
0
1
2
2 2
2 2
2
2
15.15.15.15.15.
( )
e V t a t
e V t a t
e a t V t
e a t
t
V Rta
a t V t e
a
V t e
t
a
V t e
t
Rta
= ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅
+ ⋅ = ⋅
+ ⋅
⋅
=
⋅ = ⋅ −
=
⋅ −
=
⋅ −
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
1
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
16.16.16.16.16. V
h r
V
r
h Rta
V
h
r
v
h
r Rta
=
⋅ ⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
π
π
π
π
2
2
2
3
3
3
3
17.17.17.17.17. I
c t r
I c t r
I
t r
c Rta
I
r c
t Rta
I
c t
r Rta
=
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
100
100
100
100
100
18.18.18.18.18. E I R
E
I
R Rta
E
R
I Rta
= ⋅
=
=
19.19.19.19.19. e
V
a
ae V
ae V Rta
=
=
=
2
2
2
2
2
20.20.20.20.20. ( )
( )
( )
( )
u a n r
u n r a Rta
u a n r
u a
r
n
u a
r
n
u a r
r
n Rta
u a r nr
u a nr r
u a r n
u a
n
r Rta
= + −
− − =
− = −
−
= −
−
+ =
− +
=
− + =
− = −
− = −
−
−
=
1
1
1
1
1
1
1
21.21.21.21.21. u a r
u
r
a Rta
u
a
r
u
a
r Rta
n
n
n
n
= ⋅
=
=
=
−
−
−
−
1
1
1
1
22.22.22.22.22. I
Q
t
Q I t Rta
Q
I
t Rta
=
= ⋅
=

EJERCICIO 164
1.1.1.1.1. x x
x x
x
Lim erior de x
− < −
− + < −
<
→
5 2 6
5 6 2
1
1 . inf
2.2.2.2.2. 5 12 3 4
5 3 12 4
2 8
4
4
x x
x x
x
x
Lim eror de x
− > −
− > −
>
>
→ . inf
3.3.3.3.3. x x
x x
x
x
Lim erior de x
− > −
+ > +
>
>
→
6 21 8
8 21 6
9 27
3
3 . inf
4.4.4.4.4. 3 14 7 2
14 2 7 3
12 4
3
x x
x x
x
x
− < −
− + < −
− <
− <
5.5.5.5.5. 2
5
3 3
10
6 5 30
6 30 5
5 35
7
x
x
x x
x x
x
x
− > +
− > +
− > +
>
>
6.6.6.6.6. 3 4
4
5
2
2
12 16 10 8
12 10 16 8
3 24
8
x
x x
x x x
x x x
x
x
− + < +
− + < +
+ − < +
<
<
7.7.7.7.7. ( ) ( )x x
x x x x
x x
x
x
x
− − > −
− + − > − +
− − > − +
− > −
<
<
1 7 2
2 1 7 4 4
6 4 4 2
10 2
10 2
5
2 2
2 2
8.8.8.8.8. ( )( ) ( )( )x x x x
x x x x
x x
x
x
+ − + < + +
+ − + < + +
− < −
<
<
2 1 26 4 5
2 26 9 20
24 20 9
4 8
1
2
2 2
9.9.9.9.9. ( ) ( ) ( )( )3 2 2 3 2 1 4
3 6 2 6 2 7 4
9 6 7 4
9 7 4 6
2 2
1
2 2
x x x x x
x x x x x
x x
x x
x
x
− + + > − +
− + + > + −
− > −
− > − +
>
>
10.10.10.10.10. ( ) ( )( ) ( )6 1 2 4 3 2 3 5 21
6 6 6 8 8 15 63
8 14 15 63
8 15 63 14
7 49
7 49
7
2
2 2
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x
+ − − + < +
+ − + + < +
+ < +
− < −
− <
> −
> −
11.11.11.11.11. ( )( ) ( )( )x x x x
x x x x
x x
x
x
x
− + < − −
+ − < − +
+ < +
<
<
<
4 5 3 2
20 5 6
5 20 6
6 26
26
6
13
3
2 2
12.12.12.12.12. ( ) ( ) ( )2 3 4 7 4 2
4 12 9 4 28 4 24 48 32
12 48 9 32
60 41
60 41
41
60
2 2 3
2 3 2 3 2
x x x x
x x x x x x x
x x
x
x
x
− + − < −
− + + − < − + −
− − < − −
− < −
>
>
13.13.13.13.13.
( )( ) ( )( )
2 1
3 1
2 5
3 2
3 2 2 1 2 5 3 1
6 7 2 6 13 5
2 5 13 7
7 6
7
6
2 2
x
x
x
x
x x x x
x x x x
x x
x
x
+
−
>
+
+
+ + > + −
+ + > + −
+ > −
>
>
14.14.14.14.14.
( )( ) ( )
x
x
x
x x x x
x x x x
x x
x
x
+
−
+
>
+ + − > +
+ + − > +
− >
>
>
3
3
4
2 3
2 3 12 2
5 6 12 2
5 2 6
3 6
2
2 2
15.15.15.15.15.
( ) ( )
5
3 1
20
9 1
2
3 1
5 3 1 20 2 3 1
15 5 20 6 2
15 6 25 2
9 27
3
2
x x x
x x
x x
x x
x
x
+
−
−
<
−
− − < +
− − < +
− < +
<
<
16.16.16.16.16.
1 1 1
1
1 1
2
2 2 2
x x x x x
x x x
x
+
>
−
−
−
− > + −
>
17.17.17.17.17. x N s enteros
x x
x x
x x
x
N s enteros menores
que Rta
→
+ > +
+ > +
− > −
>
º .
º .
3
15
2
1
2 90 3 6
90 6 3 2
84
84
EJERCICIO 165
1.1.1.1.1. x y x
x x
x x
x x
x Rta
− > + >
− > + >
> + >
> >
>
3 5 2 5 17
3 5 2 5 17
5 3 2 12
8 6
8
2.2.2.2.2. 5 6 2 9 3
6 5 9
11 9
9
− >− + >
− > − − − > −
< <
<
x y x x
x x
x x
x Rta
3.3.3.3.3. 6 5 4 11 4 2 10 5
2 6 3 6
3 2
3
x x x x
x x
x x
x Rta
+ > + − > −
> >
> >
>

4.4.4.4.4. 5 4 7 16 8 7 16 15
12 2 8 8
6 1
1
x x y x x
x x
x x
x Rta
− > − − < −
> <
> <
<
5.5.5.5.5.
x x
y x x
x x x x
x x
x
x Rta
2
3
4
2 2
3
5
6 23
2 12 8 10 3 30 117
20 120 20
6
20
2
5− > + + < −
− > + + < −
> <
<
>
6.6.6.6.6. 2 3 10 6 4 5 6
2 10 3 6 5 6 4
13 10
10 13
x x y x x
x x x x
x x
x Rta
− < + − > +
− < + − > +
< >
< <
7.7.7.7.7.
x x
y x x
x x x x
x x x
x x
x Rta
4
1
3
1 2 3
2
5
3 12 4 18 10 18 5 2
18 12 4 3 5 20
6 4
4 6
1
2
3
5− > − − > +
− > − − > +
− > − >
> >
< <
8.8.8.8.8. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x y x x x x
x x x x x x x x
x x
x
x Rta
− + < + − + + > + +
+ − < − − + + > + +
< − > −
< −
− < < −
1 2 2 3 3 5 4 3
2 6 8 15 7 12
2 4 3
2
3 2
2 2 2 2
9.9.9.9.9.
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x Rta
+
+
>
−
+
−
+
<
−
−
+ + > − + − < − +
+ + > + − − + < − −
> <
< <
2
8
2
3
1
4
5
1
2 3 2 8 1 5 4
5 6 6 16 2 1 20
22 21
21 22
2
2 2 2 2
10.10.10.10.10. x N s enteros
x
x
y x x
x x x
x
x
x Luego son y Rta
→
− > + + < +
− > + <
>
>
< <
º .
3 6
2
4 4 8 3 15
6 12 8 7
5 20
4
4 7 5 6
EJERCICIO 166
1.1.1.1.1. x Ky
K
K
x
x
=
=
=
= ⋅
=
9 6
9
6
3
2
8
12
8.8.8.8.8. x
K y
Z
K
K
K
Z
Z
Z
=
=
=
=
=
⋅
=
=
3
4
8
24 4
6
10
7 6
42
10
4 1
5
10.10.10.10.10.
( )
( )
x
K
y
K
K
K
x
x
x
=
−
=
−
=
=
=
−
=
=
2
2
2
1
9
3 1
9
8
72
72
5 1
72
24
3
2.2.2.2.2. x Ky
K
K
y
y
y
=
=
=
=
⋅
=
=
2 3
2
3
24
2
3
3 24
2
36
3.3.3.3.3.
( )( )
( )( )
A KBC
K
K
K
A
A
=
=
=
=
=
=
30 2 5
30
10
3
3 7 4
84
4.4.4.4.4.
( )( )
x KYZ
K
K
K
Ky
y
y
y
=
=
=
=
=
=
=
=
4 3 6
4
18
2
9
10 9
10
2
9
9
10 2
5
5.5.5.5.5. A
K
B
K
K
A
K
A
=
=
=
=
= =
3
5
15
7
15
7
2 1
7
9.9.9.9.9. ( )
( )
( )
( )
x K y
K
K
K
K
x
x
x
= −
= −
= −
=
=
= −
= ⋅
=
2
2
2
1
48 5 1
48 25 1
48
24
2
2 7 1
2 48
96
11.11.11.11.11.
( )
( )
A Area del
cuadrado
d Diagonal
A Kd
m K m
m
m
K
K
A m
A
m
A m
→
→
=
=
=
=
=
=
=
2
2 2
2
2
2
2
2
18 6
18
36
1
2
1
2
10
100
2
50
12.12.12.12.12.
( )( )
( )
( )( )
Ap Area piramide
a apotema
pb perim de la b
Ap Kapb
m K m m
m K m
m
m
K
K
Ap m m
Ap
m
Ap m
→
→
→
=
=
=
=
=
=
=
=
. .
480 12 80
480 960
480
960
1
2
1
2
6 40
240
2
120
2
2 2
2
2
2
2
7.7.7.7.7. A
KB
C
K
K
K
A
A
=
=
=
=
=
⋅
=
8
12
3
8 4
2
2 7
14
1
6.6.6.6.6. B
K
A
K
K
K
A A
A A
=
=
=
=
= ⇒ =
⇒ = ⇒ =
1
3 1
2
1
3
2
1
6
1
12
1
6 1
12
1
6
6 12 2

15.15.15.15.15. Lo Long circunf
r Radio
Lo Kr
cm K cm
K
cm
r
cm r
cm r
cm r
→
→
=
= ⋅
=
=
=
=
=
. .
44 7
44
7
66
44
7
462 44
462
44
10 1
2
13.13.13.13.13.
( )
( )
( )
Vp Vol piramide
h Altura
Ab Area base
Vp KhAb
m K m m
m K m
K
Vp m m
Vp
m
Vp m
→
→
→
=
= ⋅
=
=
= ⋅
=
=
.
96 8 36
96 288
1
3
1
3
12 64
768
3
256
3 2
3 3
2
3
3
14.14.14.14.14.
( )
( )
Ao Area circulo
r Radio
Ao Kr
cm K cm
cm
cm
K
K
Ao cm
Ao cm
Ao cm
→
→
=
=
=
=
=
= ⋅
=
2
2 2
2
2
2
2
2
616 14
616
196
22
7
22
7
7
22 7
154
16.16.16.16.16. x
K
y
K
K
K
y
y
y
y
y
=
=
⋅ =
=
=
=
= ±
= ±
= ±
2
2
2
2
4
6
36 4
144
9
144
144
9
144
9
12
3
4
EJERCICIO 167
1.1.1.1.1. A KB
K
K A B
=
=
= ⇒ =
10 5
2 2
2.2.2.2.2. e Espacio
V Velocidad
t Tiempo
e KVt
Si K e Vt
→
→
→
=
= ⇒ =1
3.3.3.3.3. Ar Area rombo
D Diag mayor
D Diag menor
A KDD
cm K cm cm
cm K cm
K
A DD
→
→
→
=
= ⋅ ⋅
= ⋅
=
=
'
'
'
24 8 6
24 48
1
2
1
2
2
2 2
4.4.4.4.4. A
KB
C
K A
B
C
=
= ⇒ =3
3
5.5.5.5.5. C Kr
cm K cm
cm
cm
K
K
C r
=
= ⋅
=
=
=
132 21
132
21
44
7
44
7
6.6.6.6.6. ( )
( )
( )
C Espacio h
t Tiempo
h Altura e
e K t
m K s
m
s
K
m
s
K
e t
→
→
→
= ⋅
=
=
=
=
2
2
2
2
2
19 6 2
19 6
4
4 9
4 9
,
,
,
,
7.7.7.7.7. F
KmV
r
=
2
8.8.8.8.8. y Función
x Vble indep
y x
→
→
= +
. .
2 3
9.9.9.9.9. L Lado de un cuad
inscrito en un circulo
r Radio
L K r
K
L r
→
→
= ⋅
=
= ⋅
.
2
2
10.10.10.10.10. y Función
x Vble indep
y
x
→
→
= +
. .
2
2
2
11.11.11.11.11. y
x
=
−5 2
3
12.12.12.12.12. F Fuerza de atracc
m Masa cuerpo
m Masa cuerpo
d Dis cia
F
K m m
d
→
→
→
→
=
⋅ ⋅
.
'
tan
'
1
2
2
13.13.13.13.13. h Altura
A Area del
B Base
h
K A
B
cm
K cm
cm
cm K cm
K
h
A
B
→
→
→
=
⋅
=
⋅
= ⋅
=
=
∆
∆
10
20
4
10 5
2
2
2
14.14.14.14.14. W Energ cinetica
m Masa
V Velocidad
W KmV
K
W mV
→
→
→
=
=
=
.
2
2
1
2
1
2

16.16.16.16.16. x
K
y
K
K
x
y
=
=
=
=
2
5
10
10
15.15.15.15.15. B Area base piramide
V Volumen
h Altura
B
KV
h
K
K
K
B
V
h
→
→
→
=
=
⋅
= ⋅
=
=
100
400
12
1 200 400
3
3
.
18.18.18.18.18. A
KB
C
K
K
K
A
B
C
A
B
C
=
=
⋅
= ⋅
=
=
=
3
24
4
12 24
1
2
1
2
2
17.17.17.17.17. x
K
y
K
K
x
y
=
=
=
=
2
2
2
3
2
12
12
EJERCICIO 173
1.1.1.1.1. x y
y x
x Entero y
Para que y sea entero
y el mayor valor que
podemos dar a x es
Por to las soluciones
enteras y son
x y
x y
x y
x y
+ =
= −
− → +
+
+
= =
= =
= =
= =
5
5
5
4
1 4
2 3
3 2
4 1
.
tan
:
2.2.2.2.2. 2 3 37
2 37 3
37 3
2
36
2
1
2
2
2 2
18
1
2
18
1
2
1
2
3 3
2
2
2
1
2
2
2 2
1
1
2
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
Entero
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
→
−
→
+ − −
− +
−
→
( )
( )
1
2
1 2
2 1
1 2
2 3 1 2 37
2 3 6 37
2 34 6
2 17 3
2
17 3
1 2
17 3
0 1 17
1 1
1 3 14
2 5 11
3 7 8
4 9 5
5 11
−
=
− =
− = −
= −
⇒ + − =
+ − =
= +
=
+
= +
= − →
= +
= = =
= = − →
= − = =
= − = =
= − = =
= − = =
= − =
y
m
y m
y m
y m
x m
x m
x m
x
m
x m
y m m entero
x m
m y x sol
m y no
m y x sol
m y x sol
m y x sol
m y x sol
m y x sol
m y x no
=
= − = = − →
2
6 13 1
3.3.3.3.3. 3 5 43
3 43 5
43 5
3
42
3
1
3
3
3
2
3
14
1 2
3
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
( )
( )
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
y m
x m
x m
x m
x
m
x m
y m
x m
m x y sol
m x y No
m x y
− + =
−
−
→
−
→
− −
− +
−
−
=
− =
− = −
= −
+ − =
+ − =
= +
=
+
= +
= −
= +
= = =
= = = − →
= − = =
14
1 2
3
1 2
3
2 4
3
2
3
3
3
1
3
2
3
2
3
2 3
3 2
2 3
3 5 2 3 43
3 10 15 43
3 33 15
3 11 5
3
11 5
2 3
11 5
0 11 2
1 16 1
1 6 5 sol
m x y sol
m x No
= − = =
= − = − →
2 1 8
3 4

4.4.4.4.4.
( )
x y
x y
y Entero
y Entero
y m
y m
y m
x m
x m
x m
y m
x m
m x y No
m x y sol
m x y sol
m x y No
m x y No
+ =
= −
− →
− →
− =
− = −
= −
+ − =
+ − =
=
= −
=
= = = →
= = =
= = =
= = = →
= = = − →
3 9
9 3
9 3
3
3
3
3
3 3 9
9 3 9
3
3
3
0 0 3
1 3 2
2 6 1
3 9 0
4 12 1
5.5.5.5.5.
( )
( )
7 8 115
7 115 8
115 8
7
112
7
3
7
7
7 7
16
3
7
3
7
24 8
7
24
7
7
7 7
24
7
24
7
24 7
7 24
24 7
7 8 24 7 115
7 192 56 115
7 56 77
7 8 11
7
8 11
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
y m
x m
x m
x m
x
m
x m
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
−
→
−
→
− −
− +
−
−
=
− =
− = −
= −
+ − =
+ − =
− = −
=
−
= −
y m
x m
m x No
m x No
m x y sol
m x y sol
m x y No
m x No
= −
= −
= = − →
= = − →
= = =
= = =
= = = − →
= − = − →
24 7
8 11
0 11
1 3
2 5 10
3 13 3
4 21 4
1 19
6.6.6.6.6.
( )
( )
15 7 136
7 136 15
136 15
7
133
7
3
7
14
7 7
19 2
3
7
19 2
3
7
3
7
24 8
7
24
7
7
7 7
24
7
24
7
24 7
7 24
24 7
15 24 7 7 136
360 105 7 136
105 7 224
7 15 32
7
15
x y
y x
y
x
y
x x
y x
x
y x
x
x
Entero
x
Entero
x x
x
x
x
m
x m
x m
x m
m y
m y
m y
y
m
y
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
→
−
→
− −
− +
−
−
=
− =
− = −
= −
− + =
− + =
− + = −
=
−
= m
x m
y m
m x y No
m x y No
m x y No
m x y sol
m x No
m x No
x y No
−
= −
= −
= = = − →
= = = − →
= = = − →
= = =
= = − →
= − = − →
= = − →
32
24 7
15 32
0 24 32
1 17 17
2 10 2
3 3 13
4 4
1 31
31 47
7.7.7.7.7.
( )
x y
x y
x y
x
y
x y
y m
y m
y m
x m
x m
x m
y m
x m
m x No
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x y No
m
+ =
= −
= + − −
= − −
+ = −
− =
− = −
= −
+ − =
+ − =
= −
= −
= −
= = − →
= = =
= = =
= = =
= = =
= = = →
=
5 24
24 5
24 1 1 5
25
5
1
5
5
5
1
5
5
5
5
5
5 5 24
25 5 24
5 1
5
5 1
0 1
1 4 4
2 9 3
3 14 2
4 19 1
5 24 0
6 29 1
1 6
x y No
m x No
= = − →
= − = − →
8.8.8.8.8. 9 11 203
9 203 11
203 11
9
198
9
5
9
9
9
2
9
22
5 2
9
22
5 2
9
5 2
9
25 10
9
18
9
7
9
9
9 9
2
7
9
7
9
7 9
9 7
7 9
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
y m
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
→
−
→
+ − −
− +
−
−
=
− =
− = −
= −

( )
( )
9 11 7 9 203
9 77 99 203
9 14 11
9
14 11
7 9
14 11
0 14 7
1 25 2
1 3 16
2 8
x m
x m
x
m
x m
y m
x m
m x y sol
m x y No
m x y sol
m x No
+ − =
+ − =
=
+
= +
= −
= +
= = =
= = = − →
= − = =
= − = − →
9.9.9.9.9.
( )
( )
5 2 73
2 73 5
73 5
2
72
2
1
2
4
2 2
36 2
1
2
36 2
1
2
1
2
1 2
2 1
1 2
5 1 2 2 73
5 10 2 73
2 34 5
2
34 5
1 2
34 5
0 1 34
1 1
1
x y
y x
y
x
y
x x
y x
x
y x
x
x
m
x m
x m
x m
m y
m y
y
m
y m
x m
y m
m x y sol
m x No
m x
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
=
− =
− = −
= −
− + =
− + =
=
+
= +
= −
= +
= = =
= = − →
= − = 3 29
2 5 24
3 7 19
4 9 14
5 11 9
6 13 4
7 15 1
y sol
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x y No
=
= − = =
= − = =
= − = =
= − = =
= − = =
= − = = − →
10.10.10.10.10.
( )
( )
8 13 162
8 162 13
162 13
8
160
8
2
8
8
8
5
8
20
2 5
8
20
2 5
8
2 5
8
10 25
8
10
8
24
8 8
3
10
8
10
8
10 8
8 10
10 8
8 13 10 8 162
8 130 104 162
8 4 13
8
4 13
10
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
y
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
→
−
→
− −
− +
−
−
=
− =
− = −
= −
+ − =
+ − =
=
+
= +
= −
= +
= = =
= = =
= = = − →
= − = − →
8
4 13
0 4 10
1 17 2
2 30 6
1 9
m
x m
m x y sol
m x y sol
m x y No
m x No
11.11.11.11.11. 7 5 104
5 104 7
104 7
5
100
5
4
5
5
5
2
5
20
4 2
5
20
4 2
5
4 2
5
12 6
5
x y
y x
y
x
y
x x
y x
x
y x
x
x
Entero
x
Entero
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
→
−
→
( )
( )
10
5
2
5
5
5 5
2
2
5
2
2
5
2
5
2 5
5 2
2 5
7 2 5 5 104
14 35 5 104
5 18 7
5
18 7
12 5
18 7
0 2 18
1 3
1 7 11
2 12 4
3 17 3
+ − −
− +
−
− +
−
−
=
− =
− = −
= −
− + =
− + =
=
+
= +
= −
= +
= = =
= = − →
= − = =
= − = =
= − = = − →
x x
x
x
x
x
x
m
x m
x m
x m
m y
m y
y
m
y m
x m
y m
m x y sol
m x No
m x y sol
m x y sol
m x y No
12.12.12.12.12.
( )
10 32
32 10
32 2 2 10
30
10
2
10
10
10
3
2
10
2
10
3
3
3
3
10 3 32
30 10 32
2 10
0 3 2
1 2 12
2 1 22
3 0 32
4 1
1 4 8
x y
y x
y x
y
x
y x
y x
x m
x m
x m
m y
m y
y m
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x y No
m x No
m x y No
+ =
= −
= + − −
= + −
= + −
− = −
− =
− = −
= −
− + =
− + =
= +
= = =
= = =
= = =
= = = →
= = − →
= − = = − →

13.13.13.13.13.
( )
( )
9 4 86
4 86 9
86 9
4
84
4
2
4
8
4 4
21 2
2
4
21 2
2
4
2
4
2 4
4 2
2 4
9 2 4 4 86
18 36 4 86
4 17 9
4
17 9
2 4
0 2 17
1 2
1 6 8
x y
y x
y
x
y
x x
y x
x
y x
x
x
m
x m
x m
x m
m y
m y
y
m
y m
x m
m x y sol
m x No
m x y sol
m
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
=
− =
− = −
= −
− + =
− + =
=
+
= +
= −
= = =
= = − →
= − = =
= − = = − →2 10 1x y No
14.14.14.14.14. 9 11 207
9 207 11
207 11
9
198
9
9
9
9
9
2
9
22
9 2
9
22
9 2
9
9 2
9
45 10
9
45
9
9
9 9
45
9
45 9
9 45
45 9
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
m
y m
y m
y m
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
→
−
→
− −
−
=
− =
− = −
= −
( )
( )
9 11 45 9 207
9 495 99 207
9 11 32
9
11 32
45 9
11 32
0 32
1 21
2 10
3 1 18
4 12 9
5 23 0
6 34 9
1 43
x m
x m
x
m
x m
y m
x m
m x No
m x No
m x No
m x y sol
m x y sol
m x y No
m x y No
m x No
+ − =
+ − =
=
−
= −
= −
= −
= = − →
= = − →
= = − →
= = =
= = =
= = = →
= = = − →
= − = − →
15.15.15.15.15.
( )
( )
11 12 354
11 354 12
354 12
11
352
11
2
11
11
11 11
32
2
11
32
2
11
2
11
2 11
11 2
2 11
11 12 2 11 354
11 24 132 354
11 30 12
11
30 12
2 11
0 30 2
1 42 9
1 18
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
m
y m
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
y m
m x y sol
m x y No
m x y
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
=
− =
− = −
= −
+ − =
+ − =
=
+
= +
= −
= = =
= = = − →
= − = =
= − = =
= − = − →
13
2 6 24
3 6
sol
m x y sol
m x No
16.16.16.16.16.
( )
( )
10 13 294
10 294 13
294 13
10
290
10
4
10
10
10
3
10
29
4 3
10
4 3
10
28 21
10
28
10
20
10 10
2
28
10
28
10
28 10
10 28
28 10
10 13 28 10 294
10 364 130 294
10 13 7
10
13 7
28 10
0
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
y m
m x
+ =
= −
=
−
= + − −
− + =
−
−
→
−
→
− −
− +
−
−
=
− =
− = −
= −
+ − =
+ − =
=
−
= −
= −
= = − 7
1 6 18
2 19 8
3 32 2
1 20
→
= = =
= = =
= = = − →
= − = − →
No
m x y sol
m x y sol
m x y No
m x No
17.17.17.17.17. 11 8 300
8 300 11
300 11
8
296
8
4
8
3
8
8
8
37
4 3
8
37
4 3
8
4 3
8
12 9
8
x y
y x
y
x
y
x x
y x
x
y x
x
x
Entero
x
Entero
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
→
−
→

17.17.17.17.17.
( )
( )
12
8
8
8 8
12
8
12 8
8 12
12 8
11 12 8 8 300
132 88 8 300
8 21 11
8
21 11
12 8
0 12 21
1 4 32
2 4
1 20 10
2 28 1
− −
−
=
− =
− = −
= −
− + =
− + =
=
+
= +
= −
= = =
= = =
= = − →
= − = =
= − = = − →
x x
x
m
x m
x m
x m
m y
m y
y
m
y m
x m
m x y sol
m x y sol
m x No
m x y sol
m x y No
18.18.18.18.18.
( )
( )
21 25 705
21 705 25
705 25
21
693
21
12
21
21
21
4
21
33
12 4
21
12 4
21
192 64
21
192
21
63
21 21
3
192
21
192
21
192 21
21 192
192 21
21 25 192 21 705
21 4 800 525 705
21 25 195
21
25 195
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
−
→
−
→
− −
− +
−
−
=
− =
− = −
= −
+ − =
+ − =
=
−
= −
.
y m
m x No
m x No
m x y sol
m x y sol
m x y No
m x No
= −
= = − →
= = − →
= = =
= = =
= = = − →
= − = − →
192 21
0 195
7 20
8 5 24
9 30 3
10 55 18
1 220
19.19.19.19.19.
( )
( )
3 4 5
3 5 4
5 4
3
2
3
3
3
3
3 3
1
2
3
1
2
3
2
3
2 3
3 2
3 4 3 2 5
3 12 8 5
3 4 1
3
4 1
3 2
1 3 1
2 7 4
3 11 7
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
m
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
y m
m x y sol
m x y sol
m x y sol
− =
= +
=
+
= + + +
= + +
+
− − =
+
+
=
+ =
= −
− − =
− + =
=
−
= −
= −
= = =
= = =
= = =
20.20.20.20.20. 5 8 1
5 1 8
1 8
5
1 8
5
2 16
5
2
5
15
5 5
3
2
5
2
5
x y
x y
x
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
− =
= +
=
+
+
→
+
→
+ +
+
+
+
=
( )
( )
2 5
5 2
5 8 5 2 1
5 40 16 1
5 8 3
5
8 3
5 2
1 5 3
2 13 8
3 21 13
+ =
= −
− − =
− + =
=
−
= −
= −
= = =
= = =
= = =
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
y m
m x y sol
m x y sol
m x y sol
21.21.21.21.21.
( )
( )
7 13 43
7 43 13
43 13
7
42
7
1
7
7
7
6
7
6
1 6
7
6
1 6
7
1 6
7
6 36
7
6
7
35
7 7
5
6
7
6
7
6 7
7 6
7 13 7 6 43
7 91 78 43
7 13 5
7
13 5
7 6
1 8
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
y m
m x
− =
= +
=
+
= + + +
= + +
+
− − =
+
+
→
+
→
+ +
+
+
+
=
+ =
= −
− − =
− + =
=
−
= −
= −
= = y sol
m x y sol
m x y sol
=
= = =
= = =
1
2 21 8
3 34 15

22.22.22.22.22.
( )
11 12 0
11 12
12
11
11
11 11
11
11
11
11 12 11 0
11 132 0
12
11
1 12 11
2 24 22
3 36 33
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
y
m
y m
x m
x m
x m
y m
m x y sol
m x y sol
m x y sol
− =
=
=
= +
− =
=
=
− =
− =
=
=
= = =
= = =
= = =
23.23.23.23.23.
( )
( )
14 17 32
14 32 17
32 17
14
28
14
4
14
14
14
3
14
2
4 3
14
4 3
14
20 15
14
14
14
6
14
14
14 14
1
6
14
6
14
6 14
14 6
14 17 14 6 32
14 238 102 32
14 17 5
14
17 5
14 6
1 12 8
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
y m
m x y sol
m
− =
= +
=
+
= + + +
= + +
+
+
→
+
→
+ + +
+ +
+
+
=
+ =
= −
− − =
− + =
=
−
= −
= −
= = =
= = =
= = =
2 29 22
3 46 36
x y sol
m x y sol
24.24.24.24.24.
( )
( )
7 11 83
7 83 11
83 11
7
77
7
6
7
7
7
4
7
11
6 4
7
11
6 4
7
6 4
7
12 8
7
7
7
5
7
7
7 7
1
5
7
5
7
5 7
7 5
7 11 7 5 83
7 77 55 83
7 11 4
7
11 4
7 5
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
y m
m
− =
= +
=
+
= + + +
= + +
+
− − =
+
+
→
+
→
+ + +
+ +
+
+
=
+ =
= −
− − =
− + =
=
+
= +
= −
= 1 15 2
2 26 9
3 37 16
x y sol
m x y sol
m x y sol
= =
= = =
= = =
25.25.25.25.25. 8 13 407
8 407 13
407 13
8
400
8
7
8
8
8
5
8
50
7 5
8
50
7 5
8
7 5
8
35 25
8
32
8
3
8
24
8 8
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
− =
= +
=
+
= + + +
= + +
+
− − =
+
+
→
+
→
+ + +
( )
( )
4 3
3
8
3
8
3 8
8 3
8 13 8 3 407
8 104 39 407
8 13 46
8
13 46
8 3
1 59 5
2 72 13
3 85 21
+ +
+
+
=
+ =
= −
− − =
− + =
=
+
= +
= −
= = =
= = =
= = =
y
y
y
m
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
y m
m x y sol
m x y sol
m x y sol
26.26.26.26.26.
( )
( )
20 23 411
20 411 23
411 23
20
400
20
11
20
20
20
3
20
20
11 3
20
20
11 3
20
11 3
20
77 21
20
60
20
17
20
20
20 20
3
17
20
17
20
17 20
20 17
20 23 20 17 411
20 460 391 411
20 23 1
20
20 17
23
y x
y x
y
x
y
x x
y x
x
y x
x
x
Entero
x
Entero
x x
x
x
x
m
x m
x m
y m
y m
y
m
x m
y m
− =
= +
=
+
= + + +
= + +
+
− − =
+
+
→
+
→
+ + +
+ +
+
+
=
+ =
= −
− − =
− + =
=
+
= −
= +1
1 3 24
2 23 47
3 43 70
m x y sol
m x y sol
m x y sol
= = =
= = =
= = =

27.27.27.27.27.
( )
( )
5 7 312
5 312 7
312 7
5
310
5
2
5
5
5
2
5
62
2 2
5
62
2 2
5
2 2
5
6 6
5
5
5
1
5
5
5 5
1
1
5
1
5
1 5
5 1
5 7 5 1 312
5 35 7 312
5 7 61
5
7 61
5 1
y x
y x
y
x
y
x x
y x
x
y x
x
x
Entero
x
Entero
x x
x
x
x
m
x m
x m
y m
y m
y
m
y m
x m
m
− =
= +
=
+
= + + +
= + +
+
− − =
+
+
→
+
→
+ + +
+ +
+
+
=
+ =
= −
− − =
− + =
=
+
= +
= −
= 1 4 68
2 9 75
3 14 82
x y
m x y
m x y
= =
= = =
= = =
EJERCICIO 174
1.1.1.1.1. x Billetes
y Billetes
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
Entero
→
→
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
→
$
$
2
5
2 5 42
2 42 5
42 5
2
40
2
2
2
3
2
2
2
20
2 3
2
20
2 3
2
2 3
2
( )
( )
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 5 2 2 42
2 10 10 42
2 5 16
2
5 16
2 2
0 16 2
1 21 0
2 26 2
1 11 4
2 6 6
3 1 8
4
− −
− +
−
−
=
− =
− = −
= −
+ − =
+ − =
=
+
= +
= −
= = =
= = = →
= = = − →
= − = =
= − = =
= − = =
= − =
y y
y
y
y
m
y m
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
y m
m x y sol
m x y No
m x y No
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x − →4
1 2 8 5
6 2 6 5
11 2 4 5
16 2 2 5
No
de y de
de y de
de y de ó
de y de
$ $
$ $
$ $
$ $
2.2.2.2.2.
( )
( )
x Monedas de
y Monedas de
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y y
y m
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
→
→
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + = −
− =
− = −
= −
+ − =
+ − =
=
+
= +
$
$
5
10
5 10 45
5 45 10
45 10
5
40
5
5
5
5
5
5
5
8
5 5
5
8 1
1
1
1
5 10 1 45
5 10 10 45
5 2 7
5
2 7
y m
m x y sol
m x y No
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x No
de y de
de y de
de y de
de y de
= −
= = =
= = = →
= − = =
= − = =
= − = =
= − = − →
1
0 7 1
1 9 0
1 5 2
2 3 3
3 1 4
4 1
1 5 4 10
3 5 3 10
5 5 2 10
7 5 1 10
$ $
$ $
$ $
$ $
3.3.3.3.3.
( )
( )
5 3 62
3 62 5
62 5
3
60
3
2
3
3
3
2
3
20
2 2
3
20
2 2
3
2 2
3
10 10
3
9
3
1
3
9
3 3
3 3
1
3
1
3
1 3
3 1
1 3
5 1 3 3 62
5 15 3 62
3 5 19
3
5 19
x y
y x
y
x
y
x x
y x
x
y x
x
x
Entero
x
Entero
x x
x
x
x
m
x m
x m
x m
m y
m y
y
m
y m
x
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
→
−
→
+ − −
− +
−
−
=
− =
− = −
= −
− + =
− + =
=
+
= +
= −
= = =
= = − →
= − = =
= − = =
= − = =
1 3
0 1 19
1 2
1 4 14
2 7 9
3 10 4
1 19 4 14 7 9
10 4
m
m x y sol
m x No
m x y sol
m x y sol
m x y sol
y y y
y
; ; ;

4.4.4.4.4.
( )
x Sombreros
y Pares de zapatos
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
y m
x m
x m
x
→
→
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
→
−
→
+ − −
− +
−
−
=
− =
− = −
= −
+ − =
+ − =
=
8 15 340
8 340 15
340 15
8
336
8
4
8
8
8
7
8
42
4 7
8
42
4 7
8
4 7
8
28 49
8
24
8
4
8
48
8 8
3 6
4
8
4
8
4 8
8 4
4 8
8 15 4 8 340
8 60 120 340
8 15( )m
x m
y m
m x y sol
m x y No
m x y sol
m x y sol
m x No
sombreros y pares dezap
+
= +
= −
= = =
= = = − →
= − = =
= − = =
= − = − →
35
8
15 35
4 8
0 35 4
1 50 4
1 20 12
2 5 20
3 10
5 20
20 12
35 4
.
.
.
5.5.5.5.5. x Metros de lana
y Metros de seda
x y
Si multiplico por la
ecuación inicial no se
altera Luego
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
y
→
→
+ =
→
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
→
−
→
+ − −
− +
−
−
=
− =
− = −
1 50 2 50 42
2
3 5 84
3 84 5
84 5
3
81
3
3
3
3
3
2
3
27
3 2
3
27
3 2
3
3 2
3
15 10
3
12
3
3
3
9
3 3
4 3
3
3
3
3
3 3
3 3
, ,
.
( )
( )
= −
+ − =
+ − =
=
+
= +
= −
= = =
= = = →
= − = =
= − = =
= − = =
= − = =
= − = − →
3 3
3 5 3 3 84
3 15 15 84
3 5 23
3
5 23
3 3
0 23 3
1 28 0
1 18 6
2 13 9
3 8 12
4 3 15
5 2
3 15
8 12
13 9
18
m
x m
x m
x
m
x m
y m
m x y sol
m x y No
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x No
m de lana y m de seda
6
23 3
6.6.6.6.6.
( )
( )
x niños
y adultos
x y
x y
x y
x
y
x
y y
x y
y
x y
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
y m
x m
x
→
→
+ =
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
→
−
→
+ − −
− +
−
−
=
− =
− = −
= −
+ − =
+ −
0 45 17 20
9 20 340
9 340 20
340 20
9
333
9
7
9
18
9
2
9
37 2
7 2
9
37 2
7 2
9
7 2
9
98 28
9
90
9
8
9
27
9 9
10 3
8
9
8
9
8 9
9 8
8 9
9 20 8 9 340
9 160
,
( )
180 340
9 20 20
9
20 20
8 9
0 20 8
1 0 1
1 0 17
2 20
20 8
m
x
m
x m
y m
m x y sol
m x y No
m x y No
m x No
niños y adultos
=
=
+
= +
= −
= = =
= = = − →
= − = = →
= − = − →
7.7.7.7.7.
( )
x Caballos
y Vacas
x y
x y
y x
y
x
y
x x
→
→
+ = ÷
+ =
= −
=
−
= + − −
460 440 41 000 20
23 22 2 050
22 2 050 23
2 050 23
22
2 046
22
4
22
22
22 22
.
.
.
.
.

( )
( )
y x
x
x
m
x m
x m
x m
m y
m y
y
m
y m
x m
m x y sol
m x No
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x y No
caballos y vacas
= − +
−
−
=
− =
− = −
= −
− + =
− + =
=
+
= +
= −
= = =
= = − →
= − = =
= − = =
= − = =
= − = = − →
93
4
22
4
22
4 22
22 4
4 22
23 4 22 22 2 050
92 506 22 2 050
22 23 89
22
23 89
4 22
0 4 89
1 18
1 26 66
2 48 43
3 70 20
4 92 3
4 89
26
.
.
caballos y vacas
caballos y vacas
caballos y vacas
66
48 43
70 20
8.8.8.8.8.
( )
( )
3 3 5 5
3 5 2
3 2 5
2 5
3
2 5
3
4 10
3
3
3
1
3
9
3 3
1 3
1
3
1
3
1 3
3 1
3 5 3 1 2
3 15 5 2
3 5 1
3
5 1
x y
x y
x y
x
y
y
Entero
y
Entero
y y
y
y
y
m
y m
y m
x m
x m
x
m
x m
+ = +
− =
= +
=
+
+
→
+
→
+ + +
+ +
+
+
=
+ =
= −
− − =
− + =
=
−
= −
y m
m x No
m x y sol
Los N s son y
= −
= = − →
= = =
3 1
0 1
1 4 2
4 2º
9.9.9.9.9.
( )
( )
( )
x Monedas de
y Monedas de
x y
x y
y x
y
x
y
x x
y x
x
y x
x
x
m
x m
x m
x m
m y
m y
y
m
y m
x
→
→
+ =
+ =
= −
=
−
= + − −
= − +
−
− + =
−
−
=
− =
− = −
= −
− + =
− + =
=
+
= +
= −
0 25
0 10
0 25 0 10 2 10 100
25 10 210
10 210 25
210 25
10
200
10
10
10
20
10
5
10
20 2
10 5
10
20 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
25 2 2 10 210
50 50 10 210
10 5 16
10
5 16
2
,
,
, , ,
2
0 2 16
1 0
1 4 11
2 6 6
3 8 1
4 10 4
2 0 25 16 0 10
4 0 25 11 0 10
6 0 25 6 0 10
8 0 25 1 0 10
m
m x y sol
m x No
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x y No
mon de y mon de
mon de y mon de
mon de y mon de
mon de y mon de
= = =
= = →
= − = =
= − = =
= − = =
= − = = − →
. , . ,
. , . ,
. , . ,
. , . ,

EJERCICIO 175
21.21.21.21.21. x y
x y
+ = − =
= − =
1 0 4 0
1 4
IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ − 1 4,
22.22.22.22.22. 3 2 5
3 2 0 0 5
1 1 5 01
2
x y con x y
x y x y
x y x y
= + =
− = = =
= = = =
23.23.23.23.23. x y con x y
x y x y
x y x y
− = + =
= = − = =
= = = =
2 3 18
0 2 0 18
2 0 6 0
IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ 5 3,
24.24.24.24.24. 2 0 5 4 26
1 2 0 6
2 4
1
2
x y con x y
x y x y
x y
− = + = −
= = = = −
= − = −
Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2
IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ 2 3,
y = 4y = 4y = 4y = 4y = 4
x=-1x=-1x=-1x=-1x=-1
(-1,4)
(-1,4)
(-1,4)
(-1,4)
(-1,4)
00000
3x
=
2y
3x
=
2y
3x
=
2y
3x
=
2y
3x
=
2y
x+
y=
5
x+
y=
5
x+
y=
5
x+
y=
5
x+
y=
5
(2,3)(2,3)(2,3)(2,3)(2,3)
00000
x - y =
2
x - y =
2
x - y =
2
x - y =
2
x - y =
2
3x+y=18
3x+y=18
3x+y=18
3x+y=18
3x+y=18
(5,3)(5,3)(5,3)(5,3)(5,3)
00000
2x-y=0
2x-y=0
2x-y=0
2x-y=0
2x-y=0
5x
+
4y
=
-26
5x
+
4y
=
-26
5x
+
4y
=
-26
5x
+
4y
=
-26
5x
+
4y
=
-26
(-2,-4)(-2,-4)(-2,-4)(-2,-4)(-2,-4)
00000
IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ − −2 4,

25.25.25.25.25. 5 6 9 4 3 24
0 1 0 8
3 4 3 4
1
2
x y con x y
x y x y
x y x y
+ = − − =
= = − = = −
= = − = = −
26.26.26.26.26. x con x y
x x y
x y
+ = − = −
= − = =
= − = −
5 0 6 7 9
5 2 3
5 3
27.27.27.27.27. 3 8 28 5 2 30
4 2 0 15
0 3 2 101
2
x y con x y
x y x y
x y x y
+ = − = −
= = = =
= = = − =
28.28.28.28.28. y con x y
y x y
x y
− = + =
= = =
= =
4 0 7 2 22
4 0 11
2 4
5x
+
6y
=
- 9
5x
+
6y
=
- 9
5x
+
6y
=
- 9
5x
+
6y
=
- 9
5x
+
6y
=
- 9
4x
-3y
=
24
4x
-3y
=
24
4x
-3y
=
24
4x
-3y
=
24
4x
-3y
=
24
5x-2y=-30
5x-2y=-30
5x-2y=-30
5x-2y=-30
5x-2y=-30
3x + 8y = 28
3x + 8y = 28
3x + 8y = 28
3x + 8y = 28
3x + 8y = 28
(3,-4)(3,-4)(3,-4)(3,-4)(3,-4)
(-4,5)
(-4,5)
(-4,5)
(-4,5)
(-4,5)
IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ −3 4,
IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ − 4 5,
6x
-7y
=
-9
6x
-7y
=
-9
6x
-7y
=
-9
6x
-7y
=
-9
6x
-7y
=
-9
x+5=0x+5=0x+5=0x+5=0x+5=0
7x+2y=22
7x+2y=22
7x+2y=22
7x+2y=22
7x+2y=22
y - 4 = 0y - 4 = 0y - 4 = 0y - 4 = 0y - 4 = 0
(-5,-3)(-5,-3)(-5,-3)(-5,-3)(-5,-3)
(2,4)
(2,4)
(2,4)
(2,4)
(2,4)
00000
00000
00000
00000
IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ − −5 3, IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ 2 4,

29.29.29.29.29. 6 5 4 3 38
6 5 0 2 10
5 6 1 14
x y con x y
x y x y
x y x y
= − − = −
+ = = − =
= = − = =
30.30.30.30.30. 5 2 14 8 5 17
0 7 1 5
2 2 4 3
x y con x y
x y x y
x y x y
− = − − = −
= = = =
= − = = − = −
EJERCICIO 176
1.1.1.1.1.
( )
( )
x y x y
x y x y
x
y
y
y
y y
y y
y
y
x
x
x
sol x y
+ = − =
= − = +
=
+
− =
+
− = +
− = +
=
=
+ =
+ =
=
= =
6 27 7 3 9
27 6 7 9 3
9 3
7
27 6
9 3
7
7 27 6 9 3
189 42 9 3
180 45
4
6 4 27
24 27
3
3 4
;
:
2.2.2.2.2.
( ) ( )
( )
3 2 2 5 8 60
3 2 2 5 60 8
2 2
3
60 8
5
2 2
3
60 8
5
5 2 2 3 60 8
10 10 180 24
170 34
5
3 2 5 2
3 10 2
3 12
4
4 5
x y x y
x y x y
x
y
x
y
y y
y y
y y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− = − + = −
= − + = − −
= −
−
= −
+
−
−
= −
+
− = +
− = +
− =
− =
− − = −
+ = −
= −
= −
= − = −
;
:
3.3.3.3.3.
( )
( )
3 5 7 2 4
5 7 3 4 2
7 3
5
4 2
7 3
5
4 2
7 3 5 4 2
7 3 20 10
13 13
1
2 1 4
2 4
2
2
1 2
x y x y
y x y x
y
x
y x
x
x
x x
x x
x
x
y
y
y
y
sol x y
+ = − = −
= − − = − −
=
−
= +
−
= +
− = +
− = +
− =
− =
− − = −
− − = −
− = −
=
= − =
;
:
4x
- 3y
=
-
38
4x
- 3y
=
-
38
4x
- 3y
=
-
38
4x
- 3y
=
-
38
4x
- 3y
=
-
38
6x =
- 5y
6x =
- 5y
6x =
- 5y
6x =
- 5y
6x =
- 5y
5x-2y=-14
5x-2y=-14
5x-2y=-14
5x-2y=-14
5x-2y=-148x-5y=-17
8x-5y=-17
8x-5y=-17
8x-5y=-17
8x-5y=-17
(-5,6)(-5,6)(-5,6)(-5,6)(-5,6)
(-4,-3)(-4,-3)(-4,-3)(-4,-3)(-4,-3)
00000
00000
IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ − −4 3,IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ − 5 6,

4.4.4.4.4.
( ) ( )
7 4 5 9 8 13
7 5 4 9 13 8
5 4
7
13 8
9
9 5 4 7 13 8
45 36 91 56
92 46
46
92
1
2
9 8
1
2
13
9 4 13
9 9
1
1
1
2
x y x y
x y x y
x
y
x
y
y y
y y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− = + =
= + = −
=
+
=
−
+ = −
+ = −
=
= =
+





 =
+ =
=
=
= =
;
:
5.5.5.5.5.
( ) ( )
9 16 7 4 3 0
16 7 9 4 3
7 9
16
3
4
4 7 9 16 3
28 36 48
28 84
28
84
1
3
4 1 0
4 1
1
4
1
3
1
4
x y y x
y x y x
y
x
y
x
x x
x x
x
x
y
y
y
sol x y
+ = − =
= − =
=
−
=
− =
− =
=
= =
− =
=
=
= =
;
:
6.6.6.6.6.
( ) ( )
( )
14 11 29 13 8 30
14 11 29 8 30 13
11 29
14
13 30
8
8 11 29 14 13 30
88 232 182 420
188 94
2
13 2 8 30
26 8 30
8 4
1
2
1
2
2
x y y x
x y x y
x
y
x
y
y y
y y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− = − − =
= − − = −
=
−
=
−
− = −
− = −
=
=
− =
− =
− =
= −
= − =
;
:
7.7.7.7.7.
( ) ( )
( )
15 11 87
15 11 87
11 87
15
12 5 27
12 27 5
27 5
12
12 11 87 15 27 5
132 1 044 405 75
207 1 449
1 449
207
7
12 5 7 27
12 35 27
12 8
8
12
2
3
2
3
7
x y
x y
x
y
x y
x y
x
y
y y
y y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− = −
= −
=
−
− − = −
= −
=
−
− = −
− = −
=
= =
+ =
+ =
= −
= − = −
= − =
.
.
.
:
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( )
7 9 42
9 42 7
42 7
9
12 10 4
10 4 12
4 12
10
10 42 7 9 4 12
420 70 36 108
38 456
12
12 12 10 4
144 10 4
10 140
14
12 14
x y
y x
y
x
x y
y x
y
x
x x
x x
x
x
y
y
y
y
sol x y
+ =
= −
=
−
+ = −
= − −
= −
+
− = − +
− = − −
= −
= −
− + = −
− + = −
=
=
= − =:

9.9.9.9.9.
( ) ( )
6 18 85 24 5 5
18 6 85 5 5 24
6 85
18
5 24
5
5 6 85 18 5 24
30 425 90 432
335 402
335
402
5
6
6
5
6
18 85
5 18 85
18 90
5
5
6
5
x y x y
y x y x
y
x
y
x
x x
x x
x
x
y
y
y
y
sol x y
− = − − = −
− = − − − = − −
=
+
=
+
+ = +
+ = +
=
= =





 − = −
− = −
− = −
=
= =
;
:
EJERCICIO 177
1.1.1.1.1.
( )
( )
x y x y
x y
y y
y y
y
y
x
x
x
sol x y
+ = − =
= −
− − =
− − =
− = −
=
+ =
+ =
=
= =
3 6 5 2 13
6 3
5 6 3 2 13
30 15 2 13
17 17
1
3 1 6
3 6
3
3 1
;
:
2.2.2.2.2.
( )
5 7 1 3 4 24
5 1 7
1 7
5
3
1 7
5
4 24
3 21
5
4 24
3 21 20 120
41 123
3
3 4 3 24
3 12 24
3 12
4
4 3
x y x y
x y
x
y
y
y
y
y
y y
y
y
x
x
x
x
sol x y
+ = − − + = −
= − −
= −
+
+




 + = −
+
+ = −
+ + = −
= −
= −
− + − = −
− − = −
− = −
=
= = −
;
:
3.3.3.3.3.
( )
( )
3 4 8 8 9 77
4 8 3
8 3
4
8 9
8 3
4
77
32 9 8 3 308
32 72 27 308
59 236
4
3 4 4 8
12 4 8
4 20
5
4 5
x y x y
y x
y
x
x
x
x x
x x
x
x
y
y
y
y
sol x y
+ = − = −
= −
=
−
−
−




 = −
− − = −
− + = −
= −
= −
− + =
− + =
=
=
= − =
;
:
4.4.4.4.4.
( )
x y x y
y x
y
x
x
x
x x
x x
x
x
y
y
y
sol x y
− = − + =
= +
=
+
−
+




 =
− + =
− − =
− =
= −
− − =
− =
= −
= − = −
5 8 7 8 25
8 25 7
25 7
8
5
25 7
8
8
8 5 25 7 64
8 125 35 64
27 189
7
7 5 8
5 15
3
7 3
;
:
5.5.5.5.5.
( )
15 11 32 7 9 8
7 8 9
8 9
7
15 11
8 9
7
32
105 11 8 9 224
105 88 99 224
204 136
136
204
2
3
15
2
3
11 32
10 11 32
11 22
2
2
3
2
x y y x
y x
y
x
x
x
x x
x x
x
x
y
y
y
y
sol x y
+ = − =
= +
=
+
+
+




 =
+ + =
+ + =
=
= =





 + =
+ =
=
=
= =
;
:
6.6.6.6.6.
( )
10 18 11 16 9 5
10 11 18
11 18
10
16
11 18
10
9 5
16 11 18 90 50
176 288 90 50
378 126
126
378
1
3
10 18
1
3
11
10 6 11
10 5
1
2
1
2
1
3
x y x y
x y
x
y
y
y
y y
y y
y
y
x
x
x
x
sol x y
+ = − − = −
= − −
= −
+
−
+




 − = −
− + − = −
− − − = −
− =
= − = −
+ −





 = −
− = −
= −
= −
= − = −
;
:

7.7.7.7.7. 4 5 5 4 10 7
10 7 4
7 4
10
4 5
7 4
10
5
8 7 4 10
4 3
3
4
4
3
4
5 5
3 5 5
5 2
2
5
3
4
2
5
x y x y
y x
y
x
x
x
x x
x
x
y
y
y
y
sol x y
+ = − − = −
= −
=
−
+
−




 =
+ − =
=
=





 + =
+ =
=
=
= =
;
:
8.8.8.8.8.
( )
32 25 13 16 15 1
16 1 15
1 15
16
32
1 15
16
25 13
2 1 15 25 13
2 30 25 13
2 55 13
55 11
1
5
16 15
1
5
1
16 3 1
16 4
1
4
1
4
1
5
x y x y
x y
x
y
y
y
y y
y y
y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− = + =
= −
=
−
−




 − =
− − =
− − =
− =
− =
= −
+ −





 =
− =
=
=
= = −
;
:
9.9.9.9.9.
( )
( )
11 13 163 8 7 94
11 163 13
163 13
11
8
163 13
11
7 94
8 163 13 77 1 034
1 304 104 77 1 034
27 270
10
11 13 10 163
11 130 163
11 33
3
3 10
x y x y
x y
x
y
y
y
y y
y y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− = − − + =
= − +
= −
−
−




 + =
− + =
− + =
− = −
=
− = −
− = −
= −
= −
= − =
;
.
. .
:
EJERCICIO 178
1.1.1.1.1. ( )
( )
( )
6 5 9 2
4 3 13 3
12 10 18
12 9 39
19 57
3
4 3 3 13
4 9 13
4 4
1
1 3
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− = −
+ = −
− = −
− − = −
− = −
=
+ =
+ =
=
=
= =:
2.2.2.2.2.
( )
( )
7 15 1
6 8 7
7 15 1
7 42 56
57 57
1
7 15 1 1
7 15 1
7 14
2
2 1
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− =
− − =
− =
− − =
− =
= −
− − =
+ =
= −
= −
= − = −:
3.3.3.3.3. ( )
( )
( )
3 4 41 3
11 6 47 2
9 12 123
22 12 94
31 217
7
3 7 4 41
21 4 41
4 20
5
7 5
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
sol x y
− =
+ =
− =
+ =
=
=
− =
− =
− =
= −
= = −:
4.4.4.4.4. ( )
( )
( )
9 11 14 4
6 5 34 6
36 44 56
36 30 204
74 148
2
6 5 2 34
6 10 34
6 24
4
4 2
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
+ = −
− = − −
+ = −
− + =
=
=
− = −
− = −
= −
= −
= − =:
5.5.5.5.5.
( )
( )
10 3 36
2 5 4 5
10 3 36
10 25 20
28 56
2
10 3 2 36
10 30
3
3 2
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
sol x y
− =
+ = − −
− =
− − =
− =
= −
− − =
=
=
= = −:
6.6.6.6.6. ( )
( )
( )
11 9 2 5
13 15 2 3
55 45 10
39 45 6
16 16
1
11 1 9 2
11 9 2
9 9
1
1 1
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
sol x y
− =
− = − −
− =
− + =
=
=
− =
− =
− = −
=
= =:

7.7.7.7.7. ( )
( )
( )
18 5 11 2
12 11 31 3
36 10 22
36 33 93
23 115
5
18 5 5 11
18 25 11
18 36
2
2 5
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
+ = −
+ = −
+ = −
− − = −
− = −
=
+ = −
+ = −
= −
= −
= − =:
8.8.8.8.8. ( )
( )
( )
9 7 4 11
11 13 48 9
99 77 44
99 117 432
194 388
2
9 7 2 4
9 14 4
9 18
2
2 2
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
+ = − −
− = −
− − =
− = −
− = −
=
+ = −
+ = −
= −
= −
= − =:
9.9.9.9.9. ( )
( )
( )
12 14 20 7
14 12 19 6
84 98 140
84 72 114
26 26
1
12 14 1 20
12 14 20
12 6
1
2
1
2
1
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− =
− + = −
− =
− + = −
− =
= −
− − =
+ =
=
=
= = −:
10.10.10.10.10. ( )
( )
15 40 8
19 8 236
120 8 320
19 8 236
139 556
4
15 4 40
60 40
20
20
4 20
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
sol x y
− =
+ =
− =
+ =
=
=
− =
− =
− = −
=
= =:
11.11.11.11.11. ( )
( )
( )
36 11 14 2
24 17 10 3
72 22 28
72 51 30
29 58
2
36 11 2 14
36 22 14
36 36
1
1 2
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− = −
− = −
− = −
− + = −
= −
= −
− − = −
+ = −
= −
= −
= − = −:
12.12.12.12.12. ( )
( )
( )
12 17 104 5
15 19 31 4
60 85 520
60 76 124
161 644
4
12 17 4 104
12 68 104
12 36
3
3 4
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− =
+ = − −
− =
− − =
− =
= −
− − =
+ =
=
=
= = −:
EJERCICIO 179
1.1.1.1.1.
( )
( )
( )
8 5 7 9
8 7 9 5
8 7 4
6 3 6
6 3 6
8 7 4 3
6 3 6 4
24 21 12
24 12 24
9 36
4
6 3 4 6
6 12 6
6 18
3
3 4
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− = −
− = − +
− = −
= +
− =
− = −
− = −
− = −
− + = −
− = −
=
− =
− =
=
=
= =:
2.2.2.2.2.
( )
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
sol x y
− = +
− =
− = −
− = −
− =
− = − −
− =
− + =
=
=
− =
=
= =
1 1
2
3 3 7
3 4
2
3 4 1
2
3 4
2 6
3
3 2
5
5 3:
3.3.3.3.3. ( ) ( )
( ) ( )
( )
3 2 2 2 5 7
3 6 2 2 10 7
3 2 6 7 2 10
3 2 6 7 2 10
3 6 2 7 10 2
6 2
3
10 2
7
7 6 2 3 10 2
42 14 30 6
8 72
9
7 2 9 10
7 18 10
7 28
4
4 9
x y y x
x y y x
x y x y
x y x y
x y x y
x
y
x
y
y y
y y
y
y
x
x
x
x
sol x y
+ = + =
+ = + =
− = − − =
− = − − =
= − + = +
= −
−
=
+
− − = +
− + = +
=
=
− =
− =
=
=
= =
;
:

4.4.4.4.4. ( )
( )
( )
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y y
y y
y
y
x
x
x
sol x y
− = +
− = +
− =
= +
+ = −
+ = −
+ = −
= − −
+ = − −
− − − =
− =
= −
− − =
+ =
=
= = −
1 2 6
1 2 12
2 13
13 2
6 3 1 2
6 3 6
6 3
3 6
13 2 3 6
3 6 2 13
8 16
2
2 2 13
4 13
9
9 2:
5.5.5.5.5. ( )
( )
( )
( )
30 8 2 30
30 8 2 30
2 8
5 29 5 4
5 29 5 4
4 4 24
6
2 8
6 1
2 8
6
2
2
2 2 8
4 8
4
4 2
− − = +
− + = +
− =
− = − −
− = − +
− =
− =
− =
− = −
− =
− + = −
− =
= −
− − =
+ =
=
= = −
x y
x y
x y
x x y
x x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
sol x y:
6.6.6.6.6. ( ) ( )
( )
( )
3 9 5 2 9
3 9 5 2 9
4 3 0
4 3 7 5 47
4 3 7 5 47
4 8 40
2 10
4 3 0
2 10 4
4 3 0
4 8 40
x x y y x y
x x y y x y
x y
x y y
x y y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
− + = − +
− − = − −
− + =
− + = −
− − = −
− = −
− = −
− + =
− = −
− + =
− = −
( )
− = −
=
− = −
− = −
=
= =
5 40
8
2 8 10
16 10
6
6 8
y
y
x
x
x
sol x y:
7.7.7.7.7. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
x y x y x y
x y x y x y
x y x y
x y
x y y x y x
x y y x y x
x y y x
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
− − + = − + +
− − − = − − −
− − = − − −
− = −
+ − − = −
+ − + = −
− = −
− =
− = −
− = −
− = −
− + =
− = −
=
6 8 10 5 3
6 8 10 5 3
5 9 10 5 3
5 4 3
9 11 2 2
9 11 2 2
12 8 2 2
14 10 0
5 4 3 5
14 10 0 2
25 20 15
28 20 0
3 15
5
5 5 − = −
− = −
− = −
=
= =
4 3
25 4 3
4 28
7
5 7
y
y
y
y
sol x y:
8.8.8.8.8. ( ) ( )
( )
( )
( )
5 3 7 8 6
5 15 7 8 6
2 7 6
7 9 2 18 0
7 9 2 36 0
5 27 0
2 7 6 5
5 27 0 2
10 35 30
10 54 0
89 30
30
89
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
+ − + = −
+ − − = −
− + = −
− − − =
− − + =
+ =
− + = −
+ =
− + = −
+ =
= −
= −
− + −





 = −
− − = −
− = −
= =
= = −
2 7
30
89
6
178 210 534
178 324
324
178
1
1
30
89
73
89
73
89
x
x
x
x
sol x y:
9.9.9.9.9. ( ) ( )
( )
( )
( )
2 5 4 4
2 10 4 16
18 4 10
10 11 12
10 10 11 12
2 0
18 4 10
2 0 9
18 4 10
18 9 0
5 10
2
2 2 0
2 2 0
2 2
1
1 2
x y x
x y x
x y
y x y x
y x y x
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
+ = −
+ = −
− = −
− = −
− = −
− =
− = −
− = −
− = −
− + =
= −
= −
− − =
+ =
= −
= −
= − = −:
10.10.10.10.10. ( )
( ) ( )
( )
3 4 2 2 7 0
3 4 4 14 0
4 14
4 14
5 1 2 1 0
5 5 2 1 0
5 2 4
4 14
5 2 4 2
4 14
10 4 8
11 22
2
2 4 14
4 12
3
2 3
x y x
x y x
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
sol x y
− − − =
− − + =
− − = −
+ =
− − − =
− − + =
− =
+ =
− =
+ =
− =
=
=
+ =
=
=
= =:

11.11.11.11.11. ( ) ( ) ( )
( )
( )
12 2 8 2 2 5 6
12 24 16 8 10 12
4 16 10 12
14 28 0
2 0
20 4 10
20 80 10
2 8 1
2 0 2
2 8 1
2 4 0
2 8 1
4 1
1
4
2
1
4
0
4 2 0
4
x y x y x y
x y x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
+ − + = −
+ − − = −
− + = −
− + =
− + =
− = −
− = −
− = −
− + =
− = −
− + =
− = −
− = −
=
− +





 =
− + =
− = −
=
= =
2
1
2
1
2
1
4
x
sol x y:
12.12.12.12.12. ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
x y y x
xy x xy y
x y
y x x y
xy y xy x
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− − − = −
− − + = −
− + = −
− − + =
− − − =
− − =
+ = −
− + = −
+ = −
− + = −
+ = −
= −
= −
− + − = −
− − = −
− =
= −
= − = −
2 3 14
2 3 14
2 3 14
6 9 54
6 9 54
9 6 54
3 2 18
2 3 14 3
3 2 18 2
6 9 42
6 4 36
13 78
6
2 3 6 14
2 18 14
2 4
2
2: 6
EJERCICIO 180
1.1.1.1.1.
( ) ( )
3
2
11
3 2 22
2
7
2 14
3 2 22 2 14
3 22 2 2 14
22 2
3
14
2
2 22 2 3 14
44 4 42 3
2
2
2 2 14
2 12
6
6 2
x
y
x y
x
y
x y
x y x y
x y x y
x
y
x
y
y y
y y
y
y
x
x
x
sol x y
+ =
+ =
+ =
+ =
+ = + =
= − = −
=
−
=
−
− = −
− = −
− = −
=
+ =
=
=
= =
;
:
2.2.2.2.2.
( )
( )
5
12
9
3
4
15
5 12 108 4 3 60
5 108 12
108 12
5
4
108 12
5
3 60
4 108 12 15 300
432 48 15 300
33 132
4
4 3 4 60
4 12 60
4 48
12
12 4
x
y x
y
x y x y
x y
x
y
y
y
y y
y y
y
y
x
x
x
x
sol x y
− = − =
− = − =
= +
=
+
+




 − =
+ − =
+ − =
= −
= −
− − =
+ =
=
=
= = −
;
;
:
3.3.3.3.3.
( )
( )
x y
y
x
x y y x
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
7 3
5 3
14
26
3 7 105 42 364
3 7 105
42 364 3
3 7 105
3 126 1 092
133 1 197
9
3 7 9 105
3 63 105
3 42
14
14 9
+ = − =
+ = − =
+ =
− + =
+ =
− + =
=
=
+ =
+ =
=
=
= =
;
;
.
.
:

4.4.4.4.4.
( )
x y y x
x y y x
x y x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
sol x y
5 4 3 3
1
4 5 3
4 5 0 3
4 5 0
3 4
4 5 0
4 4 12
12
12
12 3
15
15 12
= = −
= = −
− = − =
− =
− = −
− =
− + = −
− = −
=
− =
=
= =
;
:
5.5.5.5.5.
( )
( )
3
5
1
4
2 2
5
2
12 5 40 4 5
4 5 0
4 5 0
12 5 40 1
4 5 0
12 5 40
8 40
5
4 5 5 0
20 5 0
5 20
4
5 4
x
y x
y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
sol x y
− = =
− = =
− =
− =
− = −
− =
− + = −
− = −
=
− =
− =
− = −
=
= =
;
:
6.6.6.6.6.
( )
( )
2
3
3
4
1
1
8
5
6
2
8 9 12 3 20 48
8 9 12
20 3 48 3
8 9 12
60 9 144
52 156
3
8 3 9 12
24 9 12
9 36
4
3 4
x y
y
x
x y y x
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
sol x y
− = − =
− = − =
− =
− + =
− =
− + =
− =
= −
− − =
− − =
− =
= −
= − = −
;
;
:
7.7.7.7.7.
( )
( )
( )
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
sol x y
8 5
11
10 5 4
59
40
5 8 44 8 10 59
5 8 44 5
8 10 59 4
25 40 220
32 40 236
57 456
8
5 8 8 44
40 8 44
8 4
1
2
8
1
2
− = − + =
−
− = − + = −
− = −
+ = −
− = −
+ = −
= −
= −
− − = −
− − = −
− = −
=
= − =
;
;
:
8.8.8.8.8.
( )
( )
x y
x
y
x y x y
x y x y
x
y
x
y
y y
y y
y
y
x
x
sol x y
7 8
0
1
7
3
4
7
8 7 0 4 21 196
8 7 4 196 21
7
8
196 21
4
28 8 196 21
28 1 568 168
196 1 568
8
7 8
8
7
7 8
+ = − =
+ = − =
= − = +
=
−
=
+
− = +
− = +
− =
= −
=
− −
=
= = −
;
;
.
.
:
9.9.9.9.9.
( )
( )
2 1
5 4
2 3 8
4 2 1 5
8 4 5
8 5 4
2 3 8 4
8 5 4
8 12 32
8 5 4
7 28
4
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
+
= − = −
+ =
+ =
− = −
− = − −
− = −
− + =
− = −
=
=
;
( )8 5 4 4
8 20 4
8 16
2
2 4
x
x
x
x
sol x y
− = −
− = −
=
=
= =:
10.10.10.10.10.
( )
( )
( )
12 5 6 0
12 5 6
5
3
7
6
12
10 7 72
12 5 6 5
10 7 72 6
60 25 30
60 42 432
67 402
6
10 7 6 72
10 42 72
10 30
3
3 6
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
sol x y
+ + =
+ = −
− = −
− = −
+ = −
− = − −
+ = −
− + =
=
=
− = −
− = −
= −
= −
= − =:
11.11.11.11.11. ( )
( )
( )
( )
x
y
x y
x y
y
x
y x
x y
x
y
y y
y y
y
y
x
x
x
sol x y
5
3 2
15 2
15 30
5
3
224
5
15 224
15 224
224
15
15 15 30 224
225 450 224
226 226
1
15 1 30
15 30
15
15 1
= +
= +
= +
+ =
+ =
= −
=
−
+ = −
+ = −
= −
= −
= − +
= − +
=
= = −:

12.12.12.12.12.
( )
( )
( )
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
sol x y
5 6
1
30 3 20
13
12
6 5 1 20 3 65
6 5 1 3
20 3 65 5
18 15 3
100 15 325
82 328
4
6 4 5 1
5 25
5
4 5
− = − − =
− = − − =
− = −
− = −
− = −
− + = −
− = −
=
− = −
− = −
=
= =
;
;
:
13.13.13.13.13.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
x
y
y
y
y y
y
y
x
x
sol x y
−
−
−
=
−
+
+
=
− − − = − + + =
− − + = − + + =
− = + =
=





 + =
+ =
=
=
=
=
= =
3
3
4
4
0
4
2
2
5
3
4 3 3 4 0 5 4 2 2 30
4 12 3 12 0 5 20 2 4 30
4 3 0 5 2 46
3
4
5
3
4
2 46
15 8 184
23 184
8
3 8
4
6
6 8
;
;
;
:
14.14.14.14.14.
( ) ( )
( )
x y x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
sol x y
−
−
−
= −
+
−
+
= −
− − − = − + − − = −
− = − − = −
− = −
− = − −
− = −
− + =
=
=





 − = −
− = −
=
= =
1
2
1
3
13
36
1
3
1
2
2
3
18 1 12 1 13 2 2 3 3 4
18 12 7 2 3 3
18 12 7
2 3 3 4
18 12 7
8 12 12
10 5
1
2
2
1
2
3 3
3 4
4
3
1
2
4
3
;
;
:
15.15.15.15.15.
( ) ( )
( )
( )
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
x y
y y
y y
y
y
x
x
sol x y
+
=
− −
=
−
+ = − − = −
+ = − − = −
− = − − =
= −
− − =
− − =
=
=
= −
=
= =
1
10
4
5
4
5
2
10
1 2 4 2 4 2
1 2 8 2 8 2
2 9 2 6
2 9
2 2 9 6
4 18 6
3 24
8
2 8 9
7
7 8
;
;
;
:
16.16.16.16.16.
( )
( )
( )
x
y
y
x
x y y x
x y y x
x y
x y
x y
x y
x
y
y
y
y
sol x y
= −
+
= −
+
= − − = − −
+ = − + = −
+ = −
+ = − −
+ = −
− − =
= −
− + = −
− + = −
=
=
= − =
3 3
4
1 5
4
4 3 3 4 1 5
4 3 3 4 5 1
4 3 3 4
5 4 1 3
16 12 12
15 12 3
9
4 9 3 3
36 3 3
3 33
11
9 11
;
;
:
17.17.17.17.17.
( ) ( )
( )
( )
x y x y x
y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y
x y
y y
y y
y
y
x
x
sol x y
+
=
−
= +
+ = − = +
+ = − = +
+ = − =
= −
− − =
− − =
− =
= −
= − −
=
= = −
6 12
2
3
3
2 2 3 3
2 2 2 3 9
3 0 2 3 9
3
2 3 3 9
6 3 9
9 9
1
3 1
3
3 1
;
;
;
;
:

18.18.18.18.18.
( )
3
3
5
6
15 3 30
15 27
15 27
27
15
3
2
7
9
21 2 63
21 61
61 21
21 61
27 15 21 61
27 315 915
314 942
3
27 3
15
2
2 3
x
y
x y
x y
x y
x
y
y
x
y x
x y
x y
x y
y y
y y
y
y
x
x
sol x y
−
−
=
− + =
− =
= +
=
+
−
−
=
− + =
− + =
− = −
= −
+ = −
+ = −
− = −
=
=
+
=
= =:
19.19.19.19.19.
( ) ( )
( )
( )
x y y x
x y y x
x y y x
x y
x x y
x x y
x x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
sol
+
−
−
=
+ − − =
+ − + =
− =
+
−
=
+ − =
+ − =
− =
− =
− = −
− =
− + = −
− = −
=





 − =
− =
− = −
=
6 3
7
24
4 8 7
4 4 8 8 7
12 4 7
2 6
5
12
6 2 5
6 2 2 5
8 2 5
12 4 7
8 2 5 2
12 4 7
16 4 10
4 3
3
4
12
3
4
4 7
9 4 7
4 2
1
2
: x y= =
3
4
1
2
20.20.20.20.20.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
x y x
x
x y x x
x x y
x y
x y y x
y
x y y x y
x y y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
−
−
−
= −
− − − = −
− − = − +
+ =
−
−
−
= −
− − − = −
− − = −
− = −
+ = −
− = −
− − = −
− = −
− = −
=
+ =
+ =
=
2
4 2
7
2 2 4 7
3 4 2 28 2
2 26
3
8
3
6
13
3 3 4 3 24 13
13 15 24 312
13 39 312
2 26 13
13 39 312
13 26 338
13 39 312
65 650
10
2 10 26
20 26
6
sol x y: = =6 10
21.21.21.21.21.
( )
( )
( )
( )
12
3 2
6
3 2
72 3 2 6 3 2
3 2 18 12 72
3 16 60
5 3
3
5 3 3
3 3 5 3 0
6 8 0
3 16 60
6 8 0 2
3 16 60
12 16 0
15 60
4
6 4 8 0
8 24
3
4 3
−
−
= +
− + = +
− + − = −
+ =
−
= −
− = −
− − + + =
− =
+ =
− =
+ =
− =
=
=
− =
− = −
=
= =
x y
y
x y y
x y y
x y
y x
x y
y x x y
x x y y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
sol x y:
22.22.22.22.22. ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
y x x y
xy y xy x
x y
x y
y x
y x
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
sol x y
− = −
− = −
− =
−
−
−
=
− − − =
− − + =
− =
− =
− = −
− =
− + = −
− = −
=
− =
− = −
− = −
=
= =
4 6
4 6
6 4 0
5
3
11
1
0
5 1 11 3 0
5 5 11 33 0
11 5 28
6 4 0 5
11 5 28 4
30 20 0
44 20 112
14 112
8
11 8 5 28
5 28 88
5 60
12
8 12:
23.23.23.23.23.
( )
( ) ( )
( )
( )
3 3
5 6
21
17
51 3 21 5 6
51 153 105 126
54 27 0
2 0
4 7
2 1
2
4 7 2 2 1
4 7 4 2
4 3 2
2 0 2
4 3 2
4 2 0
4 3 2
2
2 2 0
2 2
1
1 2
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
y
x y y
x y y
x y
x y
x y
x y
x y
y
x
x
x
sol x y
+
+
=
+ = +
+ = +
− + =
− =
−
+
= −
− = − +
− = − −
− = −
− = −
− =
− + =
− = −
=
− =
=
=
= =:

24.24.24.24.24.
( ) ( )
( ) ( )
( )
7
2 3 6
7
3 2 1
7 3 2 1 7 2 3 6
21 14 7 14 21 42
35 35 35
1
6
4
10
2
6 2 10 4
6 12 10 10 40
28 10 16
14 5 8
1 8
5 8 14
8 8 8
5 8 14
3
x y x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y y
y x y
y x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
− +
= −
− −
− − = − − +
− − = − + −
− = −
− = −
− +
=
+
+ = − +
+ = − +
− = −
− = −
− = − −
− = −
− + =
− = −
− = −
=
− = −
− = −
=
= =
6
2
2 1
3
3
2 3
x
y
y
y
sol x y:
25.25.25.25.25.
( )
( ) ( )
( )
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol x y
+
−
= −
+ = − −
+ = − +
− =
+ +
+ −
=
+ + = + −
+ + = + −
+ = −
− =
+ = −
− =
+ = −
= −
= −
− + = −
= −
= − = −
7
7
7 7
8 6 0
1
1
3
4
4 1 3 1
4 4 4 3 3 3
7
8 6 0
7 6
8 6 0
6 6 42
14 42
3
3 7
4
3 4:
26.26.26.26.26.
( ) ( )
( )
( )
x y
x y
x y
y x x y
y x x y
y x x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
sol x y
4
8
3
2
33
4
32 6 33
6 1
3
2
2
17
24
8 12 2 17
8 8 24 12 17
32 4 17
6 1 2
32 4 17 3
2 12 2
96 12 51
98 49
1
2
1
2
6 1
1 12 2
12 3
1
4
1
2
1
4
− = −
− = −
− = −
−
−
+
= −
− − + = −
− − − = −
+ =
− = −
+ =
− = −
+ =
=
=
− = −
− = −
− = −
=
= =:
27.27.27.27.27.
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
x
x
y
y
y x y x
xy y x xy y x
x y
x y
x y
x
x
y
y
y x x y
xy y x xy x y
x y
x y
x y
y y
y
x
x
sol x
−
+
=
−
−
− − = − +
− − + = + − −
− = −
− = −
= − +
+
−
=
−
−
− + = − −
+ − − = − − +
− + =
− + =
= −
− + = −
=
= −
=
2
2
7
5
5 2 7 2
2 5 10 2 7 14
2 4 24
2 12
12 2
1
1
3
5
5 1 1 3
5 5 3 3
2 2 8
4
4
12 2 4
8
8 4
4
: = =4 8y
28.28.28.28.28.
( ) ( )
( )
( )
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
− −
+ +
= −
− − = − + +
− − = − − −
− =
− =
+ −
− +
= −
+ − = − − +
+ − = − + −
− = −
− = −
− =
− = − −
− =
− + =
=
=
1
1
3
17
17 1 3 1
17 17 17 3 3 3
20 14 14
10 7 7
1
1
15
1 15 1
1 15 15 15
16 14 14
8 7 7
10 7 7
8 7 7 1
10 7 7
8 7 7
2 14
( )
7
10 7 7 7
7 63
9
7 9
− =
− = −
=
= =
y
y
y
sol x y:
29.29.29.29.29.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
6 9 4
4 6 5
2
5
5 6 9 4 2 4 6 5
30 45 20 8 12 10
22 57 30
2 3 3
3 2 4
6
11
11 2 3 3 6 3 2 4
22 33 33 18 12 24
4 21 9
22 57 30 2
4 21 9 11
44 114 60
44 231 99
117 39
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
+ −
− +
=
+ − = − +
+ − = − +
+ =
+ −
+ −
=
+ − = + −
+ − = + −
+ =
+ =
+ = −
+ =
− − = −
− = −
y
x
x
x
x
sol x y
=
+





 =
+ =
=
=
= =
1
3
4 21
1
3
9
4 7 9
4 2
1
2
1
2
1
3
:

30.30.30.30.30.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 2
15
9
3 2 9 15
3 2 9 9 135
12 11 135
4
3
5 1
8
1
32 15 1 24
32 15 15 24
32 15 39
12 11 135 8
32 15 39 3
96 88 1 080
96 45 117
133 1 197
9
12 11 9 135
12 135 99
12 36
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
+
+ −
= −
+ = − + −
+ = − − +
+ =
−
−
= −
− − = −
− + = −
− = −
+ =
− = − −
+ =
− + =
=
=
+ =
= −
=
=
.
.
3
3 9sol x y: = =
31.31.31.31.31. ( )
( )
( )
( )
( )
2 5
17
5 60
2 5 17 5 1 020
2 85 17 1 025
2 17 940
62
2
1 40
62 2 1 80
2 2 18
2 20
2 17 940
2 20 1
2 17 940
2 20
16 960
60
2 60 20
2 80
40
40 60
x
y
x y
x y
x y
y
x
y x
y x
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
sol x y
+
− − = −
+ − − = −
− + = −
+ = −
+
− − =
+ − − =
− + =
+ =
+ = −
+ = −
+ = −
− − = −
= −
= −
− =
=
=
= = −
.
.
:
32.32.32.32.32.
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 4
6
30
23
23 3 4 30 6
69 92 30 180
99 88 0
9 8 0
9
3
63
37
37 9 63 3
333 37 189 63 63
396 100 189
396 100 189
9 8 0 44
396 100 189
396 352 0
252 189
3
4
9 8
3
4
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
+
−
= −
+ = − −
+ = − +
− =
− =
−
+ −
= −
− = − + −
− = − − +
− = −
− = −
− = −
− = −
− + =
= −
=
−
−
−




 =
+ =
= −
=
−
=
−
=
−
0
9 6 0
9 6
2
3
2
3
3
4
x
x
x
sol x y:
33.33.33.33.33.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
x
x y
x x y
x x y
x y
y
y x
y y x
y y x
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
−
+
=
−
− + = −
− − = −
− = −
−
+
=
+
− + = +
− − = +
− = −
− = − −
− = −
− + =
− = −
=
=
− = −
= − +
=
4 1
9
2 5
3
9 4 1 3 2 5
9 4 1 6 15
5 6 14
3 2
7
18
10
70 10 3 2 7 18
70 30 20 7 126
146 7 40
7 40 146 5
5 6 14 7
35 200 730
35 42 98
158 632
4
5 6 4 14
5 14 24
2
sol x y: = =2 4
EJERICIO 181
1.1.1.1.1. x y a b x y a b
x y a b
x y a b
x a
a y a b
y b
sol x a y b
+ = + − = −
+ = +
− = −
=
+ = +
=
= =
;
:
2.2.2.2.2.
( ) ( )
2 2
2 2
0
2 2 0
2 2 0
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
2
2
2
x y b
bx by b b
bx y
bx y
bx y
bx by b b
y by b b
y b b b
y b
x b b
x
x
sol x y b
+ = +
+ = +
− =
− + =
− + =
+ = +
+ = +
+ = +
=
+ = +
=
=
= =:
3.3.3.3.3. 2 3
2 0
2 4 0
2 3
2 4 0
3 3
2 3
2 4
2
2
x y a
x y
x y
x y a
x y
y a
y a
x a a
x a
x a
sol x a y a
− =
− =
− + =
− =
− + =
=
=
− =
=
=
= =
;
:
4.4.4.4.4. x y a x y a
x y a
x y a
x
x
y a
y a
sol x y a
− = − + = +
− = −
+ = +
=
=
+ = +
=
= =
1 1
1
1
2 2
1
1 1
1
;
:

5.5.5.5.5.
( ) ( )
x
a
y b
x
b
y a b
x ay ab x by ab b
x ay ab
x by b ab
ay by b ab
y a b b b a
y b
x ab ab
x ab
sol x ab y b
+ = − = −
+ = − = −
+ =
− + = −
+ = +
+ = +
=
+ =
=
= =
2
2
2
2
2
2
2
;
;
:
6.6.6.6.6.
( ) ( )
( )
x
b
y
a
ax by ab
abx b y ab
x
a
y
b
a b
ab
bx ay a b
abx a y a ab
abx b y ab
abx a y a ab
b y a y a ab
y b a a b a
y a
ax ba ab
a x b ab
x b b
x b
sol x b y a
+ =
+ =
+ =
+ =
+
+ = +
− − = − −
+ =
− − = − −
− = − +
− = −
=
+ =
+ =
+ =
=
= =
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 3 2
2 2
2 3 2
2 2 3 2
2 2 2 2
:
7.7.7.7.7.
( ) ( )
x y a b
ax ay a ab
ax by a b
ax ay a ab
ax by a b
by ay b ab
y b a b b a
y b
x b a b
x a
sol x a y b
+ = +
− − = − −
+ = +
− − = − −
+ = +
− = −
− = −
=
+ = +
=
= =
2
2 2
2
2 2
2
:
8.8.8.8.8.
( )
( ) ( )
ax by x y
a b
ab
abx b y abx aby a b
abx b y
abx aby a b
b y aby a b
yb b a a b
yb y
b
ax b
b
ax x
a
sol x
a
y
b
− = + =
+
− = + = +
− =
− − = − −
− − = − +
− + = − +
− = − ⇒ =
−





 =
= ⇒ =
= =
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1 1
2
2
2
;
:
9.9.9.9.9.
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
mx ny m n nx my m n
mnx n y m n n mnx m y m mn
mnx n y m n n
mnx m y m mn
n y m y m m n mn n
y m n m m n n m n
y m n m n m n
y m n
m x mny m mn
n x mny m n n
m x
− = + + = +
− = + + = +
− + = − −
+ = +
+ = − + −
+ = − + −
+ = + −
= −
− = +
+ = +
+
2 2 2 2
2 2 3 2 3 2
2 2 3
2 3 2
2 2 3 2 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 2
2 2 3
2
;
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
n x m mn m n n
x m n m m n n m n
x m n m n m n
x m n
sol x m n y m n
2 3 2 2 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
= + + +
+ = + + +
+ = + +
= +
= + = −:
10.10.10.10.10.
( ) ( )
x
m
y
n
m mx ny m mn
xn ym m n xmn n y m n mn
xmn ym m n
xmn n y mn m n
ym yn mn m n
y m n mn n m
y mn
xn m n m n
xn m n x m
sol x m y mn
+ = − = −
+ = − = −
+ =
− + = −
+ = +
+ = +
=
+ =
= ⇒ =
= =
2
2
2
2
3 2
2 2 3 3
2 3
2 3 3
2 2 3 3
2 2 2 2
2 2
2 2
2
;
:

11.11.11.11.11.
( )
( ) ( )
x y a
ax ay a
ax by a a b b
ax by a ab b
ax ay a
ax by a ab b
ay by ab b
y a b b a b
y b
y b
x b a
x a b
sol x a b y b
+ =
+ =
− = + +
− = + +
− − = −
− = + +
− − = +
− + = +
− =
= −
− =
= +
= + = −
2
2
2 2
2
2 2
2
:
12.12.12.12.12.
( ) ( )
x y m n
mx my m mn
mx ny m n
mx my m mn
my ny mn n
y m n n m n
y n
x n m n
x m
sol x m y n
− = −
− = −
− = −
− + = − +
− = −
− = −
=
− = −
=
= =
2
2 2
2
2
:
13.13.13.13.13.
( ) ( )
x
a
y
b
x
b
y
a
b a
ab
bx ay ax by b a
abx a y
abx b y b a b
b y a y b a b
y b a b b a
y b
x
a
b
b
bx ab
bx ab
x a
sol x a y b
+ = + =
−
+ = + = −
− − =
+ = −
− = −
− = −
=
+ =
+ =
= −
= −
= − =
0
2 2
0 2 2
0
2 2
2 2
2 2
0
0
2 2
2 2
2
2 3 2
2 2 3 2
2 2 2 2
;
:
14.14.14.14.14. ( )
( )
x y c a x y a
a x a y a c a x a y a
a x a y a c
a x a y a
a y a a c
a y a a c
y a c
y c a
x c a c
x a c x c a
sol x a c y c a
+ = − =
− − = − − =
− − = −
− =
− = −
− = −
− = −
= −
+ − =
− = ⇒ = +
= + = −
2 2
2 2
2
2
2 2 2
2 2
2
2 3
2 2 2 2 2 3
2 2 2
2 2 3
2 3 2
2 2
;
;
:
15.15.15.15.15.
( )
ax by ay bx
a b
ab
b ax b y a by b ax a b
b ax b y
b ax a by a b
a by b y a b
by a b a b
by
y
b
ax b
b
ax
x
a
sol x
a
y
b
− = − =
−
− = − = −
− =
− + = −
− = −
− = −
=
=
−





 =
=
=
= =
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1 1
2 2
2 3 2 2 2 2
2 3
2 2 2 2
2 3 2 2
2 2 2 2
;
:
16.16.16.16.16. ( )
( ) ( )
x
b
y
a
a b x y ab b a
a x b y a b a b x y ab a b
a x a y a b a b
a x b y a b a b
a x a y a b a b
b y a y a b a b
y a b a b b a
y a b
y a b
x
b
a b
2 2
2 2 3 2 2 3 2 2
2 2 3 2 4
2 2 3 2 2 3
2 2 3 2 4
2 2 2 3 4
2 2 2 2 2
2
2
2
2
+ = + − = −
+ = + − = −
− = −
− − = − −
− = −
− − = − −
− + = − +
− = −
=
+
;
;
a
a b
x b ab b
x ab
sol x ab y a b
2
3 2 3
2
2 2
= +
+ = +
=
= =:

17.17.17.17.17.
( ) ( )
nx my m n mx ny
m n
mn
m nx m y m m n m nx mn y m n
m nx m y m m n
m nx mn y m n
m y mn y m n n
ym m n n m n
ym n
y
n
m
nx m
n
m
m n
nx n m n
nx m
x
m
n
sol x
m
n
y
n
m
+ = + − =
−
+ = + − = −
− − = − −
− = −
− − = − −
− + = − +
=
=
+





 = +
+ = +
=
=
= =
;
:
3 3
2 3 3 2 2 2 3 3
2 3 3 2
2 2 3 3
3 2 2 3
2 2 2 2
18.18.18.18.18. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a b x a b y b ab
ax bx ay by b ab
a b x a b y ab b
ax bx ay by ab b
ax bx ay by b ab
ax bx ay by b ab
bx by b ab
b x y b a b
x y a b
ax bx ay by b ab
ax bx ay by b ab
ax ay ab
− − + = −
− − − = −
+ − − = −
+ − + = −
− + + + = − +
+ − + = − +
+ = − +
+ = −
+ = −
− − − = −
+ − + = − +
− = −
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2 2 2 4
2 2 2
2
3
2 2 2
( )
( )
2 2
2
2 2
a x y ab
x y b
x y a b
x y b
x a b
x a b
a b y b
y a
y a
sol x a b y a
− = −
− = −
+ = −
− = −
= −
= −
− − = −
− = −
=
= − =:
19.19.19.19.19.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x b
a
y b
b
a b
b
b x b a y b a a b
bx b ay ab a ab
abx ab a y a b a a b
abx ab a y a a b
x a
b
y a
a
a b
a
a x a b y a b a b
ax a by ba ba b
abx a b b y b a b a b
abx a b b y
+
+
−
=
+
+ + − = +
+ + − = +
+ + − = +
− − − = − −
−
−
−
= −
+
− − − = − +
− − + = − −
− − + = − −
− −
2 2
2 2 2 3 2
2 2 3 2
2 2
2 2 2 2 3
2 2
2
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
= − −
− − − = − −
− − = − −
− − − − = − − − −
+ + + = +
+ + + = +
+ + = +
+ =
+
+
+ −
=
+
2
2
2
2 2
2 3
2 2 3 2
2 2 2 3
2 2 2 2 3 2 2 3
2 2 3 3 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
b a b
abx ab a y a a b
abx a b b y b a b
ab a b a y b y a a b b a b
ab a b a b a y b y
b a b a b a y a b
b a a b y a b
a b y
x b
a
a b b
b
a b
b
b x( ) ( )
( )
+ + = +
+ + = +
= − ⇒ = − ⇒ = −
= − = +
b a a a b
bx b a a ab
bx ab b bx b a b x a b
sol x a b y a b
2
2 2 2
2
:
20.20.20.20.20.
( ) ( )
x
a b
y
a b ab
x
b
y
a
a b
a b
abx aby a b a bx ab y a b
a bx a by a ab
a bx a by a ab
a bx ab y a b
ab y a by b ab
ayb b a b b a
ayb b
ay
y
a
abx ab
a
a b
abx b a b
abx a bx x
+
+
+
= + =
+
+ = + + = +
− − = − −
− − = − −
+ = +
− = −
− = −
=
=
=
+





 = +
+ = +
= ⇒ = ⇒
1
1
1
1
1
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
;
=
= =
1
1 1
b
sol x
b
y
a
:

EJERCICIO 182
1.1.1.1.1.
1 2 7
6
2 1 4
3
2 4 7
3
2 1 4
3
3
1
3
2 1
3
4
3
6 4
6 3 2
2 3
x y x y
x y
x y
y
y
x
x x
x x
sol x y
+ = + =
− − = −
+ =
−
= −
=
+ =
+ =
= ⇒ =
= =
;
:
2.2.2.2.2.
3 2 1
2
2 5 23
12
6 4
1
6 15 23
4
19 19
4
4
3 2
4
1
2
6
6 2
3
3 4
x y x y
x y
x y
y
y
x
x x
x
x
sol x y
− = + =
− + = −
+ =
=
=
− =
− =
=
=
= =
;
:
3.3.3.3.3.
5 4
7
7 6
4
15 12
21
14 12
8
29
29
1
5
1
4
7
5 4 7
4 2
2
1 2
x y x y
x y
x y
x
x
y
y y
y
y
sol x y
+ = − =
+ =
− =
=
=
+ =
+ =
=
=
= =
;
:
4.4.4.4.4.
12 5 13
2
18 7 19
2
36 15 39
2
36 14 38
2
1 1
2
2
36 7 19
12 36
3
3 2
x y x y
x y
x y
y
y
x x
x
x
sol x y
+ = − + = −
− − =
+ = −
− =
− =
− = −
= −
= −
= − = −
;
:
5.5.5.5.5.
9 3
27
5 4
22
3 1
9
12 4
36
5 4
22
7
14
1
2
5
1
2
4
22 10
4
22
10 4 22
4 12
1
3
1
2
1
3
x y x y
x y
x y
x y
x
x
y y
y y
y
y
sol x y
+ = + =
+ =
− − = −
+ =
− = −
=
+ = ⇒ + =
+ =
=
=
= =
;
:
6.6.6.6.6.
6 8
23
4 11
50
12 16
46
12 33
150
49
196
1
4
x y x y
x y
x y
y
y
− = − + =
− + =
+ =
=
=
;
4 11
1
4
50
4
44 50
4 44 50
4 6
2
3
2
3
1
4
x
x
x x
x
x
sol x y
+ =
+ =
+ =
=
=
= =:
7.7.7.7.7.
9 10
11
7 15
4
27 30
33
14 30
8
41
41
1
7
1
15
4
7 15 4
15 3
5
1 5
x y x y
x y
x y
x
x
y
y y
y
y
sol x y
+ = − − = −
+ = −
− = −
= −
− =
− − = −
− − = −
− =
− =
= − = −
;
:
8.8.8.8.8.
( )
1
2
3 3
4
1 5
2
4
3
1
2
3 3
4
1
2
5
4
2
3
17
4
17
12
12 4
3
1 5
2 3
4
3
6 5 8
3 6
2
2 3
x y x y
x y
x y
y
y
y
x
x x
x
x
sol x y
− = + = −
− =
− − =
− =
− =
− =
+
−
= −
− = −
= −
= −
= − = −
;
:

9.9.9.9.9.
2
5
1
3
11
45
1
10
3
5
4
5
2
10
1
6
11
90
2
10
6
5
8
5
31
30
31
18
18 30
3
5
1
10
3
5
3
5
4
5
3 30 24
6 3
1
2
1
2
3
5
x y x y
x y
x y
y
y
y
x
x x
x x
sol x y
− = − − =
− + =
− =
− =
− =
− =
+






=
+ =
= − ⇒ = −
= − = −
;
:
12.12.12.12.12.
( )
( )
1 1 1 1
1 1
1 1
2 2
1 1
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
x y
a
x y
b
x y
a
x y
b
y
a b
a b
y
x
a b
b
x a b bx
ax xb bx
ax bx
ax bx
x a b x
a b
sol x
a b
y
a b
+ = − =
+ =
− + = −
= − ⇒
−
=
−
−
=
− − =
− + =
− = −
− − = −
+ = ⇒ =
+
=
+
=
−
;
:
111111.1.1.1.1.
3
10
1
3
107
60
6
5
1
4
14
5
3
5
2
3
107
30
3
5
1
8
7
5
13
24
13
6
1
4
6
5
1
4
1
4
14
5
6 5 14
6 9
2
3
2
3
1
4
x y x y
x y
x y
y
y
x
x x
x
x
sol x y
+ = + =
+ =
− − = −
=
=
+






=
+ =
=
=
= =
;
:
14.14.14.14.14.
( )
2 2
0
2 2
2 2
0
2
2
2
0
2 0
2
2 2
x y
m n
mn
m
x
n
y
n
x
n
y
m n
m
m
x
n
y
m n
x
m n
m
m x
m
m
n
y
y n
y n
sol x m y n
+ =
+
− =
+ =
+
− =
+
=
+
=
− =
− =
=
= =
;
:
10.10.10.10.10.
( )
3 7
3
2
3
1
4
8 103
84
3
4
7
12
1
6
3
4
24 309
84
295
12
295
84
7
3 7
3 7
2
3
9 2
9 3
3
3 7
x y x y
x y
x y
y
y
x
x x
x
x
sol x y
− = + =
− =
− − = −
−
=
−
=
− =
− =
=
=
= =
;
:
13.13.13.13.13.
( )
2 3 2 3
2
2 3
2 3
2 2
4
3 2
3 2
2
2
x
b
y
a
a
a
x
b
y
a
x
ab
y
a
a
x
b
y
b a
y
a
b y
a
x
b
b
a x x
a x
sol x a y b
− =
−
+ =
− = −
− − = −
− −
= − −
=
+ =
+ =
=
= =
;
:
EJERCICIO 183
1.1.1.1.1.
4 5
2 3
4 3 2 5 12 10 2⋅ − ⋅ = − =
2.2.2.2.2.
2 7
3 5
2 5 3 7 10 21 11⋅ − ⋅ = − = −
3.3.3.3.3.
−
− ⋅ − ⋅ = − − = −
2 5
4 3
2 3 4 5 6 20 26
4.4.4.4.4. ( )
7 9
5 2
7 2 9 5 14 45 59
−
− − ⋅ = − − = −
5.5.5.5.5. ( ) ( )( )
5 3
2 8
5 8 3 2 40 6 46
−
− −
− − − − = − − = −
6.6.6.6.6. ( )( )
9 11
3 7
9 7 11 3 63 33 30
−
−
⋅ − − − = − =
7.7.7.7.7. ( )
− −
− ⋅ − − = − + = −
15 1
13 2
15 2 13 1 30 13 17
8.8.8.8.8. ( ) ( )( )
12 1
13 9
12 9 13 1 108 13 95
−
−
− − − = − + = −

9.9.9.9.9.
10 3
17 13
10 13 3 17 130 51 79⋅ − ⋅ = − = 10.10.10.10.10. ( )( ) ( )( )
− −
− −
− − − − − = − = −
5 8
19 21
5 21 8 19 105 152 47
11.11.11.11.11. ( ) ( )
8 2
3 0
8 0 2 3 0 6 6
−
− − = + = 12.12.12.12.12. ( )( )
31 85
20 43
31 43 85 20 1 333 1 700 367
−
−
⋅ − − − = − = −. .
EJERCICIO 184
1.1.1.1.1. 7 8 29
5 11 26
29 8
26 11
7 8
5 11
319 208
77 40
111
37
3
7 29
5 26
7 8
5 11
182 145
37
37
37
1
3 1
x y
x y
x
y
sol x y
+ =
+ =
= =
−
−
= =
= =
−
= =
= =:
2.2.2.2.2. 3 4 13
8 5 5
13 4
5 5
3 4
8 5
65 20
15 32
85
17
5
3 13
8 5
3 4
8 5
15 104
17
119
17
7
5 7
x y
x y
x
y
sol x y
− =
− = −
=
−
− −
−
−
=
− −
− +
=
−
= −
=
−
−
−
=
− −
=
−
= −
= − = −:
3.3.3.3.3. 13 31 326
25 37 146
326 31
146 37
13 31
25 37
12 062 4 526
481 775
7 536
1 256
6
13 326
25 146
13 31
25 37
1 898 8 150
1 256
10 048
1 256
8
6 8
x y
x y
x
x
y
y
sol x y
− = −
+ =
=
− −
−
=
− +
+
=
−
= −
=
−
−
=
+
= =
= − =
. . .
.
. .
.
.
.
:
4.4.4.4.4. 15 44 6
27 32 1
6 44
1 32
15 44
27 32
192 44
480 1 188
236
708
1
3
15 6
27 1
15 44
27 32
15 162
708
177
708
1
4
1
3
1
4
x y
x y
x
x
y
y
sol x y
− = −
− + = −
=
− −
−
−
−
=
− −
−
=
−
−
=
=
−
− −
−
−
=
− −
−
=
−
−
=
= =
.
:
5.5.5.5.5. 8 9
8 9 0
2 5 3
7
2
4 10 6 7
4 6 3
0 9
3 6
8 9
4 6
0 27
48 36
27
12
9
4
2
8 0
4 3
8 9
4 6
24 0
12
24
12
2
2 2
1
4
1
4
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol x y
= −
+ =
+ + =
+ + =
+ = −
=
−
=
+
−
= = =
=
−
=
− −
=
−
= −
= = −:
6.6.6.6.6. ax by
ax by
x
b
b
a b
a b
x
b b
ab ab
b
ab a
y
a
a
a b
a b
y
a a
ab
a
ab b
sol x
a
y
b
− = −
+ =
=
− −
−
=
− +
+
= =
=
−
−
=
+
= =
= =
1
7
1
7
7 6
2
3
1
7
7
2
8
2
4
3 4
:
7.7.7.7.7. ( )
( )
3 2 2 1
3 2 2 1
3 3 3
1
5 3 3 1
5 3 3 1
4 5 4
1 1
4 5
1 1
4 5
5 4
5 4
9
1 1
4 4
1 1
4 5
4 4
1
8
9 8
x y y
x y y
x y
x y
y x x
y x x
x y
x x
y y
sol x y
− + = +
− − = +
− =
− =
− + = +
− − = +
− + =
=
−
−
−
=
+
−
=
=
−
−
−
=
+
=
= =:

8.8.8.8.8. ax y
ax
y
ax y
x
a
a
a a a a
y
a
a
a
a
a a
a
a
a
sol x
a
y
+ =
− = −
− = −
=
− −
−
=
− +
− −
=
−
−
=
=
−
−
=
− −
−
=
−
−
=
= =
2 2
2
3 1
6 2
2 2
2 6
2
6
12 4
6 2
8
8
1
2
2
2
6
2 2
8
4
8
1
2
1 1
2
:
9.9.9.9.9.
x y
x y
x y
x y
x
y
sol x y
4 6
4
3 2 48
8 12
0
3 2 0
48 2
0 2
3 2
3 2
96 0
6 6
96
12
8
3 48
3 0
3 2
3 2
0 144
12
12
8 12
+ = −
+ = −
− =
− =
=
−
−
−
=
−
− −
=
−
= −
=
−
−
=
+
−
= −
= − = −:
10.10.10.10.10.
( )
( )
( ) ( )
3 3 1
2
2
3 1
2
3
1
3 2
3
3 1
3 1
3 3 1
1 2
3
1
6 3 1
3 1
3 1
3 1
1
1
2
2
2
3 2 2
2
2
2
x ay a
x
a
ay
x a y a
x
a a
a a
a
a
x
a a a
a a
a a
a a
a
y
a
a
a
a
y
a a
a a
a
a a a
sol x a y
a
+ = +
+ =
+ =
=
+
=
+ −
−
=
−
−
=
=
+
=
− −
−
=
−
−
=
= =:
11.11.11.11.11.
( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x y
x y
x y
y x
y x
y x
x y
x y
x
x
y
y
+
−
−
=
+ − − =
+ − + =
− + =
− = −
−
−
−
=
− − − =
− − + =
− + − =
− + =
=
− −
−
−
=
− +
−
=
−
= −
=
−
−
−
−
=
−
2
3
3
8
5
6
8 2 3 3 20
8 16 3 9 20
8 3 25 20
8 3 5
5
6
2 3
5
0
5 5 6 2 3 0
5 25 12 18 0
12 5 7 0
12 5 7
5 3
7 5
8 3
12 5
25 21
40 36
4
4
1
8 5
12 7
8 3
12 5
56 60
40 36
4
4
1
1 1
−
=
−
= −
= − = −sol x y:
12.12.12.12.12.
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3 2 5
4 2 1
5 2
2 1 4
3 2
4
20 4 1
12 2
4 6
2 6
2
3 5
2 1
3 2
4
6 1 5
2 6
6
2 6
1
2
2
1
2
x y
mx y m
x
m
m
x
m
m
m
m
y
m m
m
y
m m
m
m
m
sol x y
− =
+ = +
=
−
+
−
=
+ +
+
=
+
+
=
=
+
−
=
+ −
+
=
+
+
=
= =:
13.13.13.13.13.
( ) ( )
( ) ( )
2
2 3
17
2
34 2 3 17 2
34 2 3 17 34
34 19 37
3
4 1
21
3 5
63 4 1 21 3 5
63 4 1 63 105
67 63 106
37 19
106 63
34 19
67 63
2 331 2 014
2 142 1 273
4 345
869
5
34 37
67 106
34 19
67 63
3 604 2 479
869
x
y
y
x y y
x y y
x y
y
x
x
y x x
y x x
x y
x
x
y
y
−
+
= +
− + = +
− − = +
− =
−
+
= +
− + = +
− − = +
− + =
=
−
−
−
=
+
−
= =
=
−
−
−
=
+
=
. .
. .
.
. .
7
5 7sol x y: = =
14.14.14.14.14.
( )
( )
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x
y
sol x y
+
−
=
+ = −
+ = −
− + =
− −
+ +
=
− − = + +
− − = + +
− =
− =
=
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=
−
−
−
=
− −
−
=
= =
4
4
4 4
3 5 0
1
1
1
9
9 1 1
9 9 9 1
8 10 10
4 5 5
0 5
5 5
3 5
4 5
0 25
15 20
25
5
5
3 0
4 5
3 5
4 5
15 0
5
3
5 3:

15.15.15.15.15.
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
x y b
x
a b
y
a b
x a b y a b a b
x
b
a b a b
a b a b
x
b a b a b
a b a b
a b a
a
b a
y
b
a b a b
a b a b
y
a b b a b
a
a a b
a
a b
sol x a b y a b
− =
+
+
−
=
− + + = −
=
−
− +
−
− +
=
+ + −
+ + −
=
+
= +
=
− −
−
− +
=
− − −
=
−
= −
= + = −
2
2
2
2 1
2
1 1
2 2 2
2
1 2
2
1 1
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
:
16.16.16.16.16.
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
x
x
y
y
x y x y
xy x y xy x y
x y
x y
x
x
y
y
y x y x
xy y x xy y x
x y
x y
x
y
+
−
=
+
+
+ + = − +
+ + + = + − −
+ = −
+ = −
+
−
=
+
+
+ + = + −
+ + + = − + −
− + = −
− + = −
=
−
−
−
=
− +
+
=
−
= −
9
9
21
39
9 39 9 21
39 9 351 21 9 189
18 18 540
30
8
8
19
11
11 8 19 8
8 11 88 8 19 152
8 16 240
2 30
30 1
30 2
1 1
1 2
60 30
2 1
30
3
10
=
−
− −
−
=
− −
=
−
= −
= − = −
1 30
1 30
1 1
1 2
30 30
3
60
3
20
10 20sol x y:
EJERCICIO 185
1.1.1.1.1. x y x y
x y x y
y x y x
− = + =
= = − = =
= = = =
1 7
0 1 0 7
0 1 0 7
sol : x = 4 y = 3sol : x = 4 y = 3sol : x = 4 y = 3sol : x = 4 y = 3sol : x = 4 y = 3
2.2.2.2.2. x y x y
x y x y
y x y x
− = + = −
= = − = = −
= = = = −
2 10 2 3 8
0 5 0 2
0 10 0 4
2
3
sol : x = 2 Y = - 4sol : x = 2 Y = - 4sol : x = 2 Y = - 4sol : x = 2 Y = - 4sol : x = 2 Y = - 4
x
+
y
=
7
x
+
y
=
7
x
+
y
=
7
x
+
y
=
7
x
+
y
=
7
x
- y
=
1
x
- y
=
1
x
- y
=
1
x
- y
=
1
x
- y
=
1
x
- 2y
=
10
x
- 2y
=
10
x
- 2y
=
10
x
- 2y
=
10
x
- 2y
=
10
2x
+
3y
=
-8
2x
+
3y
=
-8
2x
+
3y
=
-8
2x
+
3y
=
-8
2x
+
3y
=
-8
(4,3)(4,3)(4,3)(4,3)(4,3)
(2,-4)(2,-4)(2,-4)(2,-4)(2,-4)

3.3.3.3.3. 5 3 0 7 16
3 5 0 16
0 2 2
7
x y x y
x y x y
y x
− = − = −
= = = =
= = −
sol : x = - 3 y = - 5sol : x = - 3 y = - 5sol : x = - 3 y = - 5sol : x = - 3 y = - 5sol : x = - 3 y = - 5
4.4.4.4.4. 3 4 5 6 38
3 4 0 2 8
4 3 3 4
x y x y
x y x y
x y y x
= − − =
+ = = − = −
= = − = − =
sol : x = 4 y = - 3sol : x = 4 y = - 3sol : x = 4 y = - 3sol : x = 4 y = - 3sol : x = 4 y = - 3
5.5.5.5.5. 3 4 15 2 5
5 0 0 5
1 3 2 1
x y x y
x y x y
x y x y
+ = + =
= = = =
= = = =
6.6.6.6.6. 5 2 16 4 3 10
2 3 2 6
4 2 1 2
x y x y
x y x y
x y x y
+ = + =
= = = − =
= = − = =
7x-y=-16
7x-y=-16
7x-y=-16
7x-y=-16
7x-y=-16
5x
- 3y
=
0
5x
- 3y
=
0
5x
- 3y
=
0
5x
- 3y
=
0
5x
- 3y
=
0
5x
- 6y
=
38
5x
- 6y
=
38
5x
- 6y
=
38
5x
- 6y
=
38
5x
- 6y
=
38
3x + 4y = 0
3x + 4y = 0
3x + 4y = 0
3x + 4y = 0
3x + 4y = 0
4x+
3y=
10
4x+
3y=
10
4x+
3y=
10
4x+
3y=
10
4x+
3y=
10
5x+2y=16
5x+2y=16
5x+2y=16
5x+2y=16
5x+2y=16
3x + 4y = 15
3x + 4y = 15
3x + 4y = 15
3x + 4y = 15
3x + 4y = 15
2x+y=5
2x+y=5
2x+y=5
2x+y=5
2x+y=5
(-3,-5)(-3,-5)(-3,-5)(-3,-5)(-3,-5)
(1,3)(1,3)(1,3)(1,3)(1,3)
(4,-2)(4,-2)(4,-2)(4,-2)(4,-2)
(4,-3)(4,-3)(4,-3)(4,-3)(4,-3)

9.9.9.9.9.
x y
x y
x y x y
x y
x y
x y x y
2 3
1
6
3 2 1
3 5 3 4
3 4
7
12
4 3 7
1 1 4 3
− = − − = −
= = = − = −
+ = − + = −
= − = − = − =
;
;
7.7.7.7.7. x y y x
x y x y
x y x y
x y x y
+ = + − = +
− = − − + =
= = = =
= − = = − =
8 2 4 2
6 6
0 6 0 6
6 0 6 0
sol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentes
8.8.8.8.8.
3
5 4
2 5 25
12 5 40 0 5
0 8 5 4
5 4
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
+ = − =
+ = = = −
= = = = −
= = −
10.10.10.10.10. x y x y
x y x y
x y x y
+ = + =
= = = =
= = = =
3 6 3 9 10
0 2 0 1
6 0 3 0
1
9
1
3
sol : Incompatiblessol : Incompatiblessol : Incompatiblessol : Incompatiblessol : Incompatibles
(-1,-1)(-1,-1)(-1,-1)(-1,-1)(-1,-1)
(5,-4)(5,-4)(5,-4)(5,-4)(5,-4)
x
+
8
=
y
+
2
x
+
8
=
y
+
2
x
+
8
=
y
+
2
x
+
8
=
y
+
2
x
+
8
=
y
+
2
y
- 4
=
x
+
2
y
- 4
=
x
+
2
y
- 4
=
x
+
2
y
- 4
=
x
+
2
y
- 4
=
x
+
2
x - 5y = 25
x - 5y = 25
x - 5y = 25
x - 5y = 25
x - 5y = 25
x + 3y = 6
x + 3y = 6
x + 3y = 6
x + 3y = 6
x + 3y = 6
3x +9y =10
3x +9y =10
3x +9y =10
3x +9y =10
3x +9y =10
12x+5y=40
12x+5y=40
12x+5y=40
12x+5y=40
12x+5y=40
3x
-2y
=
-1
3x
-2y
=
-1
3x
-2y
=
-1
3x
-2y
=
-1
3x
-2y
=
-1
4x
+
3y
=
-7
4x
+
3y
=
-7
4x
+
3y
=
-7
4x
+
3y
=
-7
4x
+
3y
=
-7

11.11.11.11.11. 2 3 13
2 3 5 1
6 9 39
2 3 5 1
x y
x y x y
x y
x y x y
+ = −
= − = − = − = −
+ = −
= − = − = − = −
;
,
sol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentes
12.12.12.12.12.
( ) ( ) ( ) ( )
x y y x
x y y x
x y y x
x y x y
x y x y
x y x y
−
−
−
=
−
+
−
= −
− − − = − + − = −
− − + = − + − = −
− = + = −
= = − = = −
= = − = − = −
2
2
3
3
4
2
2
3
3
11
3
3 2 2 3 24 3 2 2 3 22
3 6 2 6 24 3 6 2 6 22
3 2 24 2 3 10
6 3 4 6
4 6 2 2
13.13.13.13.13. x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
+ =
= = = =
− = −
= = = =
− = −
= = = =
9
6 3 4 5
1
0 1 2 3
2 6
0 3 2 4
;
;
;
14.14.14.14.14. x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
+ =
= = = =
+ =
= = = − =
+ =
= = = =
5
0 5 2 3
3 4 18
2 3 2 6
2 3 13
2 3 5 1
;
;
;
(4,-6)(4,-6)(4,-6)(4,-6)(4,-6)
(2,3)(2,3)(2,3)(2,3)(2,3)
(4,5)(4,5)(4,5)(4,5)(4,5)
2x
+
3y
=
- 13
2x
+
3y
=
- 13
2x
+
3y
=
- 13
2x
+
3y
=
- 13
2x
+
3y
=
- 13
6x
+
9y
=
- 39
6x
+
9y
=
- 39
6x
+
9y
=
- 39
6x
+
9y
=
- 39
6x
+
9y
=
- 39
x +
y =
5
x +
y =
5
x +
y =
5
x +
y =
5
x +
y =
5
3x +
4y =
18
3x +
4y =
18
3x +
4y =
18
3x +
4y =
18
3x +
4y =
18
2x +
3y =
13
2x +
3y =
13
2x +
3y =
13
2x +
3y =
13
2x +
3y =
13
x +
y =
9
x +
y =
9
x +
y =
9
x +
y =
9
x +
y =
9
x - 2y = - 6
x - 2y = - 6
x - 2y = - 6
x - 2y = - 6
x - 2y = - 6
x
-y
=
-1
x
-y
=
-1
x
-y
=
-1
x
-y
=
-1
x
-y
=
-1
2x
+
3y
=
-10
2x
+
3y
=
-10
2x
+
3y
=
-10
2x
+
3y
=
-10
2x
+
3y
=
-10
3x-2y=24
3x-2y=24
3x-2y=24
3x-2y=24
3x-2y=24

EJERCICIO 186
1.1.1.1.1.
( )
( )
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x y z
x y z
x z
x z
x z
x z
x z
x z
x
x
z
z
z
z
y
y
y
sol x y
+ + =
− + =
− − = −
+ + =
− + =
+ =
+ + =
− − = −
− = −
− = −
+ =
− = −
+ =
− = −
=
=
+ =
+ =
=
=
+ + =
+ =
=
=
6
2 5
3 10
6
2 5
2 3 11
6
3 10
2 2 4
2
2 3 11
2 3
2 3 11
3 3 6
5 5
1
2 1 3 11
2 3 11
3 9
3
1 3 6
4 6
2
1: = =2 3z
2.2.2.2.2.
( )
( )
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x z
x z
x z
x
x
+ + =
− + =
+ − =
+ + =
− + =
+ =
− + =
+ − =
− + =
+ − =
+ =
+ =
+ = −
+ =
− − = −
− = −
=
12
2 7
2 6
12
2 7
3 2 19
2 7 2
2 6
4 2 2 14
2 6
5 20
3 2 19
5 20 2
3 2 19
10 2 40
7 21
3
15.15.15.15.15. 2 1
0 1 1 1
2 13
5 4 3 5
3 2 19
5 2 3 5
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
+ = −
= = − = − =
− = −
= − = = − =
− = −
= − = = − =
;
;
;
sol : x = - 3 y = 5sol : x = - 3 y = 5sol : x = - 3 y = 5sol : x = - 3 y = 5sol : x = - 3 y = 5
16.16.16.16.16. x y y x x y
x y x y x y
x y x y x y
− = − = − − =
= = − = = − = − = −
= = = = − = =
1 2 4 4 5 7
0 1 0 2 2 3
1 0 2 1 3 1
x
- y
=
1
x
- y
=
1
x
- y
=
1
x
- y
=
1
x
- y
=
1
2y
- x
=
- 4
2y
- x
=
- 4
2y
- x
=
- 4
2y
- x
=
- 4
2y
- x
=
- 4
4x - 5y = 7
4x - 5y = 7
4x - 5y = 7
4x - 5y = 7
4x - 5y = 7
x - 2y = - 13
x - 2y = - 13
x - 2y = - 13
x - 2y = - 13
x - 2y = - 13
3x
-2y
=
-19
3x
-2y
=
-19
3x
-2y
=
-19
3x
-2y
=
-19
3x
-2y
=
-192x+
y=
-1
2x+
y=
-1
2x+
y=
-1
2x+
y=
-1
2x+
y=
-1
(-3,5)(-3,5)(-3,5)(-3,5)(-3,5)
(-2,-3)(-2,-3)(-2,-3)(-2,-3)(-2,-3)

( )5 3 20
15 20
5
3 5 12
8 12
4
3 4 5
+ =
+ =
=
+ + =
+ =
=
= = =
z
z
z
y
y
y
sol x y z:
3.3.3.3.3.
( )
( )
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x z
x z
x z
x
x
z
z
y
y
− + =
+ + =
+ − = −
− + =
+ + =
+ =
+ =
− + =
+ − = −
− + =
+ − = −
+ =
+ = −
+ =
− − = −
+ =
= −
= −
− + =
=
− − + =
− + =
−
2
4
2 2 4
2
4
2 2 6
3
2 2
2 2 4
2 2 2 4
2 2 4
4 0
3 1
4 0
3
4 0
3 3
1
1 3
4
1 4 2
3 2
y
y
sol x y z
= −
=
= − = =
1
1
1 1 4:
4.4.4.4.4.
( )
2 3 1
3 2 12
3 2 5
2 3 1 2
3 2 5
4 2 6 2
3 2 5
7 7 7
1
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
+ − = −
− − = −
− − = −
+ − = −
− − = −
+ − = −
− − = −
− = −
− = −
( )
( )
( ) ( )
2 3 1 3
3 2 12
6 3 9 3
3 2 12
7 11 15
1 7
7 11 15
7 7 7
7 11 15
4 8
2
2 1
1
2 1 3 2 1
2 6 1
4 1
3
1 3 2
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x z
x z
x z
z
z
x
x
y
y
y
y
sol x y z
+ − = −
− − = −
+ − = −
− − = −
− = −
− = − −
− = −
− + =
− = −
− = −
=
− = −
=
+ − = −
+ − = −
− = −
=
= = =:
5.5.5.5.5.
( )
( )
( ) ( )
2 3 1
6 2 14
3 1
2 3 1
3 1
5 4 2
2 3 1
6 2 14
8 13
5 4 2
8 13 4
5 4 2
32 4 52
27 54
2
8 2 13
16 13
3
2 2 3 3 1
4 9 1
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
x y z
x y z
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
z
z
+ + =
− − = −
+ − =
+ + =
+ − =
+ =
+ + =
− − = −
+ = −
+ =
+ = − −
+ =
− − =
− =
= −
− + = −
− + = −
=
− + + =
− + + =
5 1
4
2 3 4
+ =
= −
= − = = −
z
z
sol x y z:
6.6.6.6.6.
( )
( )
( )
5 2 24
2 5 2 14
4 3 26
5 2 24 2
2 5 2 14
10 4 2 48
2 5 2 14
12 34
5 2 24 3
4 3 26
15 6 3 72
4 3 26
14 2 46
12 34 2
14 2 46
24 2
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
x y
x y
x y
− + =
+ − = −
− + =
− + =
+ − = −
− + =
+ − = −
+ =
− + = −
− + =
− + − = −
− + =
− + = −
+ = −
− + = −
− − = −
( )
( )
68
14 2 46
38 114
3
12 3 34
36 34
2
3 4 2 3 26
3 8 3 26
3 15
5
3 2 5
− + = −
− = −
=
+ =
+ =
= −
− − + =
+ + =
=
=
= = − =
x y
x
x
y
y
y
z
z
z
z
sol x y z:
7.7.7.7.7.
( )
( )
4 2 3 8
3 4 2 1
2 5 3
4 2 3 8 2
3 4 2 1
8 4 6 16
3 4 2 1
5 4 17
5 4 17
4 2 3 8
2 5 3 2
4 2 3 8
4 2 10 6
8 13 14
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
+ + =
+ + = −
− + =
+ + = −
+ + = −
− − − = −
+ + = −
− − = −
+ =
+ + =
− + =
+ + =
− + =
+ =

( )
( )
( )
( ) ( )
8 13 14 5
5 4 17 8
40 65 70
40 32 136
33 66
2
5 4 2 17
5 8 17
5 25
5
2 5 5 2 3
10 10 3
3
3
5 3 2
x z
x z
x z
x z
z
z
x
x
x
x
y
y
y
y
sol x y z
+ = −
+ =
− − = −
+ =
− =
= −
+ − =
− =
=
=
− + − =
− − =
− =
= −
= = − = −:
8.8.8.8.8.
( )
( )
( )
( )
6 3 2 12
9 4 37
10 5 3 21
6 3 2 12
9 4 37 3
6 3 2 12
27 3 12 111
33 14 123
9 4 37 5
10 5 3 21
45 5 20 185
10 5 3 21
55 23 206
33 14 123 5
55 23 206 3
165 70 615
165
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x z
x z
x
+ + =
− + =
+ + =
+ + =
− + =
+ + =
− + =
+ =
− + =
+ + =
− + =
+ + =
+ =
+ =
+ = −
+ =
−
( )
( ) ( )
− = −
= −
+ − =
− =
=
=
+ + − =
+ − =
+ =
= −
= −
= = − = −
69 618
3
33 14 3 123
33 42 123
33 165
5
6 5 3 2 3 12
30 3 6 12
3 24 12
3 12
4
5 4 3
z
z
x
x
x
x
y
y
y
y
y
sol x y z:
9.9.9.9.9.
( )
( )
( )
2 4 3 3
10 8 9 0
4 4 3 2
2 4 3 3 3
10 8 9 0
6 12 9 9
10 8 9 0
16 4 9
10 8 9 0
4 4 3 2 3
10 8 9 0
12 12 9 6
2 20 6
10 3
16 4 9 5
10 3
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
x y
x y
x y
+ + =
− − =
+ − =
+ + =
− − =
+ + =
− − =
+ =
− − =
+ − = −
− − =
− − + = −
− − = −
+ =
+ =
+ = −( )2
80 20 45
2 20 6
78 39
1
2
16
1
2
4 9
8 4 9
4 1
1
4
2
1
2
4
1
4
3 3
1 1 3 3
3 1
1
3
1
2
1
4
1
3
x y
x y
x
x
y
y
y
y
z
z
z
z
sol x y z
+ =
− − = −
=
=





 + =
+ =
=
=





 +





 + =
+ + =
=
=
= = =:
10.10.10.10.10.
( )
3 1
2 1
2 17
3 1
2 1
4 3 2
2 1 2
2 17
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ + = −
+ + =
+ − =
+ =
+ − =
+ + = −
( )
( )
( )
2 4 2 2
2 17
3 5 15
4 3 2 3
3 5 15 4
12 9 6
12 20 60
11 66
6
4 3 6 2
4 18 2
4 20
5
5 6 2 17
2 16
8
5 6 8
x y z
x y z
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
z
z
z
sol x y z
+ − =
+ + = −
+ = −
+ =
+ = − −
+ =
− − =
− =
= −
+ − =
− =
=
=
− + = −
= −
= −
= = − = −:
11.11.11.11.11.
( )
( )
7 3 4 35
3 2 5 38
6 27
7 3 4 35
6 27 3
7 3 4 35
3 3 18 81
4 14 46
2 7 23
3 2 5 38
6 27 2
3 2 5 38
2 2 12 54
5 7 16
2 7 23
5 7 16
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x z
+ − = −
− + =
+ − = −
+ − = −
+ − = − −
+ − = −
− − + =
+ =
+ =
− + =
+ − = −
− + =
+ − = −
− = −
+ =
− = −
( )
( )
7 7
1
2 1 7 23
7 21
3
1 6 3 27
17 27
10
1 10 3
x
x
z
z
z
y
y
y
sol x y z
=
=
+ =
=
=
+ − = −
− = −
= −
= = − =:
12.12.12.12.12.
( )
( )
( )
4 5 6
3 3 4 30
6 2 3 33
4 5 6 3
3 3 4 30
12 3 15 18
3 3 4 30
15 11 12
4 5 6 2
6 2 3 33
8 2 10 12
6 2 3 33
14 7 21
2 3
15 11 12
2 3 11
15
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x z
x z
x
− + = −
+ − =
+ − =
− + = −
+ − =
− + = −
+ − =
+ =
− + = −
+ − =
− + = −
+ − =
+ =
+ =
+ =
+ = −
+
( )
( ) ( )
11 12
22 11 33
7 21
3
2 3 3
3
4 3 5 3 6
12 15 6
3 6
3
3
3 3 3
z
x z
x
x
z
z
y
y
y
y
y
sol x y z
=
− − = −
− = −
=
+ =
= −
− + − = −
− − = −
− − = −
− = −
=
= = = −:
13.13.13.13.13.
( )
( )
( )
9 4 10 6
6 8 5 1
12 12 15 10
6 8 5 1 2
12 12 15 10
12 16 10 2
12 12 15 10
28 25 12
9 4 10 6 2
6 8 5 1 3
18 8 20 12
18 24 15 3
32 35 15
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
y z
x y z
x y z
x y z
x y z
y z
+ − =
− + = −
+ − =
− + = − −
+ − =
− + − =
+ − =
− =
+ − =
− + = − −
+ − =
− + − =
− =

( )
( )
28 25 12 8
32 35 15 7
224 200 96
224 245 105
45 9
1
5
28 25
1
5
12
28 5 12
28 7
1
4
6 8
1
4
5
1
5
1
6 2 1 1
6 2
1
3
1
3
1
4
1
5
y z
y z
y z
y z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
sol x y z
− = −
− =
− + = −
− =
− =
= −
− −





 =
+ =
=
=
−





 + −





 = −
− − = −
=
=
= = = −:
14.14.14.14.14.
( )
5 3 11
10 10
15 2 7
5 3 11
10 10
15 2 1
10 10
15 2 7
25 3
15 2 1
25 3 2
15 2 1
50 2 6
35 7
1
5
15
1
5
2 1
3 2 1
2 4
2
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
x y z
x y z
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
+ − = −
− + =
+ − = −
+ − = −
− + =
+ = −
− + =
+ − = −
+ =
+ = −
+ = −
+ = −
− − = −
− = −
=





 + = −
+ = −
= −
= −
( )
( )
10 2 10
10
1
5
2 10
2 2 10
6
1
5
2 6
x z
z
z
z
sol x y z
− − + =





 − − + =
+ + =
=
= = − =:
15.15.15.15.15.
( )
x y
y z
z x
x y
y z
x y
y z
x z
x z
x z
x
x
y
y
z
z
sol x y z
+ =
+ = −
+ = −
+ =
+ = − −
+ =
− − =
− =
− =
+ = −
= −
= −
− + =
=
+ = −
= −
= − = = −
1
1
6
1
1 1
1
1
2
2
6
2 4
2
2 1
3
3 1
4
2 3 4:
16.16.16.16.16.
( )
( )
x y
y z
x z
x y
y z
x y
y z
x z
x z
x z
x z
x z
z
z
x x
y
y y
sol x y z
+ = −
+ =
+ =
+ = −
+ = −
+ = −
− − =
− = −
− = − −
+ =
− + =
+ =
=
=
− = − ⇒ =
+ = −
= − ⇒ = −
= = − =
2 1
2 0
2 11
2 1
2 0 1
2 1
2 0
1
1 1
2 11
1
2 11
3 12
4
4 1 3
3 2 1
2 4 2
3 2 4:
17.17.17.17.17.
( )
y z
x z
y x
y z
x z
y z
x z
x y
x y
x y
y
y
z
z
x
x
x
sol x y z
+ = −
+ =
+ = −
+ = −
+ = −
+ = −
− − = −
− + = −
− + = −
+ = −
= −
= −
− + = −
= −
− =
=
=
= = − = −
8
2 9
3 2 3
8
2 9 1
8
2 9
2 17
2 17
2 3 3
4 20
5
5 8
3
2 3 9
2 12
6
6 5 3:
18.18.18.18.18.
( )
( )
( )
( )
( )
3 2 0
3 4 25
5 14
3 4 25
5 14 4
3 4 25
20 4 56
20 3 31
20 3 31 2
3 2 0 3
40 6 62
9 6 0
31 62
2
3 2 2 0
6 2 0
2 6
3
3 3 4 25
4 16
4
2 3
x y
y z
z x
y z
x z
y z
x z
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
z
z
z
sol x y z
− =
− =
− = −
− =
− + = −
− =
− + = −
− + = −
− + = −
− =
− + = −
− =
− = −
=
− =
− =
− = −
=
− =
− =
= −
= =: = − 4
19.19.19.19.19.
( )
( )
3 5 10
5 3 7
3 5 13
5 3 10
5 3 7
3 3 3
1
3 5 13
1 3
3 5 13
3 3 3
2 10
5
5 1
4
4
5 3 4 7
5 12 7
5 5
1
1 4 5
z x
x y
y z
x z
x y
y z
y z
y z
y z
y z
y z
z
z
y
y
y
x
x
x
x
sol x y z
− =
− = −
− = −
− + =
− = −
− + =
− + =
− = −
− + =
− = −
− + =
− = −
=
− + =
− = −
=
− = −
− = −
=
=
= = =:
20.20.20.20.20.
( )
( )
( )
x y
y z
x y z
x y z
x y
x y z
x y
y z
y z
y z
y z
y z
y
y
x
x
x
z
z
sol x y z
− =
− =
+ + =
+ + =
− = −
+ + =
− + =
+ =
+ =
− =
+ =
− =
=
=
− =
− =
=
+ + =
= −
= = = −
2 0
2 5
8
8
2 0 1
8
2 0
3 8
3 8 2
2 5
6 2 16
2 5
7 21
3
2 3 0
6 0
6
6 3 8
1
6 3 1:

21.21.21.21.21.
( )
( )
( )
5 3 2
2 5
2 4 8
2 4 8
2 5 2
2 4 8
2 4 10
2
5 2 3 2
10 3 2
3 12
4
2 4 5
8 5
3
3
2 3 4
x z
z y
x y z
x y z
y z
x y z
y z
x
z
z
z
z
y
y
y
y
sol x y z
− =
− = −
+ − =
+ − =
− + = −
+ − =
− + = −
= −
− − =
− − =
− =
= −
− − = −
− − = −
− =
= −
= − = − = −:
22.22.22.22.22.
( )
( )
( )
2 14
4 41
3 5 53
4 41
3 5 53
7 4 94
7 4 94
2 14 4
7 4 94
8 4 56
15 150
10
2 10 14
20 14
6
6
4 10 6 41
34 41
7
10 7 6
x z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x z
x z
x z
x
x
z
z
z
z
y
y
y
sol x y z
− =
+ − =
− + =
+ − =
− + =
+ =
+ =
− =
+ =
− =
=
=
− =
− =
− = −
=
+ − =
+ =
=
= = =:
23.23.23.23.23. x y z
z x y
z x y
z x y
z x y
z z
+ − =
+ − =
− + =
+ − =
− + =
= ⇒ =
1
3
7
3
7
2 10 5
x y z
x y z
x
x
y
y
y
y
sol x y z
− + =
+ − =
=
=
− + =
− + =
− = −
=
= = =
3
1
2 4
2
2 5 3
7 3
4
4
2 4 5:
24.24.24.24.24.
( )
( )
( )
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x
2 2 3
3
3 3 2 18
3 6 2
5
2 3 30
6 3 6
0
2 0
3 3 2 18 2
2 0 3
6 6 4 36
3 6 3 0
9 36
2 3 30 2
2 0
4 2 6 60
2 0
5 5 60
+ − =
+ − =
+ − = −
+ − = −
− + =
− + =
+ − =
− + =
+ − =
− + =
− =
+ − = −
− + =
+ − = −
− + =
− = −
−
( )
z
x z
x z
x z
x z
x
x
z
z
z
= −
− =
− = − −
− =
− + =
=
=
− = −
− = −
=
12
9 36
12 1
9 36
12
8 48
6
6 12
18
18
6 2 18 0
2 24 0
2 24
12
6 12 18
− + =
− + =
− = −
=
= = =
y
y
y
y
sol x y z:
25.25.25.25.25.
( )
( )
( )
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x y z
x y z
x y z
3 4 3
21
4 3 4 252
5 6 3
0
6 5 10 0
10 3 6
3
3 10 5 90
6 5 10 0 2
3 10 5 90
12 10 20 0
3 10 5 90
9 15 90
3 5 30
4 3 4 252 10
3 10 5 90 3
40 30 40
+ + =
+ + =
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ − = −
+ − =
− − + =
+ − =
− + =
− + =
+ + =
+ − = −
+ + =
( )
( )
( ) ( )
2 520
9 30 15 270
31 55 2 250
3 5 30 11
31 55 2 250
33 55 330
31 55 2 250
64 1 920
30
3 30 5 30
90 5 30
5 120
24
6 30 5 10 24 0
180 240 5 0
5 60
12
30 12 24
.
.
.
.
.
:
− − + = −
+ =
− + = −
+ =
− = −
+ =
=
=
− + =
− + =
=
=
+ − =
− + =
=
=
= = =
x y z
x z
x z
x z
x z
x z
x
x
z
z
z
z
y
y
y
y
sol x y zContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa

26.26.26.26.26.
( )
( )
x
y z
x y z
y
x z
y x z
z
y x
z y x
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
x y
x y
−
+
=
− − =
−
+
=
− − =
−
−
=
− + =
− − = −
− + − =
− + + = −
− + − =
− + =
− + − =
− + =
− + − =
− + =
− + =
− + =
− + =
3
4
3 12
8
10
8 80
2
5
2 10
3 12 1
8 80
3 12
8 80
4 9 68
8 80 2
2 10
2 16 2 160
2 10
15 170
4 9 68
15 ( )
( )
( )
170 4
4 9 68
4 60 680
51 612
12
4 9 12 68
4 108 68
4 40
10
3 10 12 12
30 12 12
18 12
6
10 12 6
−
− + =
− = −
− = −
=
− + =
− + =
− = −
=
− − =
− − =
− =
=
= = =
x y
x y
y
y
x
x
x
x
z
z
z
z
sol x y z:
27.27.27.27.27.
( ) ( )
( ) ( )
x y y
x y y
x y y
x y
x z y
x z y
x z y
x y z
+
=
+
+ = +
+ = +
− =
−
=
−
− = −
− = −
− − = −
7
4
5
5 7 4
5 5 7 28
5 2 28
5
4
2
2 5 4
2 2 5 20
2 5 2 20
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
y z x
y z x
y z x
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
−
=
+
− = +
− = +
− + = −
− − = −
− + = −
− − = −
− + = −
− = −
− = −
− = −
− = −
− + = −
− = −
=
− =
− =
3
2
10
10 3 2
10 10 3 6
3 10 10 6
2 5 2 20 5
3 10 10 6
10 25 10 100
3 10 10 6
13 35 106
13 35 106 2
5 2 28 35
26 70 212
175 70 980
149 1 192
8
5 8 2 28
40 2
.
( ) ( )
28
2 12
6
2 8 5 6 2 20
16 30 2 20
2 6
3
8 6 3
− = −
=
− − = −
− − = −
− = −
=
= = =
y
y
z
z
z
z
sol x y z:
28.28.28.28.28.
( )
y
z
x
y z x
x y z
z
x
y
z x y
x y z
x
y
z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
y z
−
+
= −
− − = −
− + − = −
−
−
= −
− + = −
− − + = −
−
+
= +
− − = +
− − =
− + − = −
− − + = − −
− + − = −
+ − =
− =
4
2
6
2 4 2 12
2 2 8
7
3
5
3 7 3 15
3 3 22
2
5
4
5 2 5 20
5 5 22
2 2 8
3 3 22 2
2 2 8
2 6 6 44
8 7 36
( )
( )
( ) ( )
5 5 22
3 3 22 5
5 5 22
5 15 15 110
16 10 88
8 5 44
8 5 44
8 7 36
2 8
4
8 7 4 36
8 28 36
8 64
8
3 8 3 4 22
12 22
10
10 8 4
x y z
x y z
x y z
x y z
y z
y z
y z
y z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
sol x y z
− − =
− − + = −
− − =
− − + = −
− + = −
− + = −
− + = −
− =
− = −
=
− =
− =
=
=
− − + = −
− − = −
=
= = =:
29.29.29.29.29.
( )
x y
y z
x y y z
x y z
x y x z
x y x z
x y z
y z
x
y z x
x y z
x y z
z
z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
− +
−
=
− + − =
− − =
−
−
−
=
− − + =
− + =
−
− = −
− − = −
− − =
− + − = −
− = −
=
− + =
− − = −
− + =
− + + = −
− + = −
−
2
3
2 2 6
2 6
2 4
0
2 2 0
2 0
2
5
2 10
2 6
2 10
2 4
2
2 0
2 6 2
2 0
4 2 2 12
3 3 12
3 ( )x
x
x
x
+ = −
− + = −
− = −
=
3 2 12
3 6 12
3 18
6

6 2 2 0
2 8 0
2 8
4
6 4 2
− + =
− + =
− = −
=
= = =
y
y
y
y
sol x y z:
30.30.30.30.30.
( )
1 1
5
1 1
6 1
1 1
5
1 1
6
1 1
1
1 1
1
1 1
7
2
6
1
3
1 1
1
3
5
1
3 5
1
2
1
2
1
1
2
1
6
2
1
6
1
4
1
4
1
2
1
3
1
4
x y
x z
x y
x z
y z
y z
y z
y
y
x
x
x
x
z
z
z
z
sol x y z
+ =
+ = −
+ =
− − = −
− = −
− = −
+ =
=
=
+ =
+ =
=
=
+ =
+ =
=
=
= = =:
31.31.31.31.31.
( )
( )
3 2
2
2 2 3
2
1
3 2
2
2 2 3
2
3 2 1
2
3 2 1
2
2
1 4 4
3
6 4
1
1 4 4
3
7 7
3
3
3
3
2
2
1
2
2
2
1
2
3
3
2 1
2
1
2 1
2
2 1
2
4
3 2 4
x y
y z
x y
y z
x z
x z
x z
x z
x z
x
x
y
y
y
y
z
z
z
z
sol x y z
+ =
+ = −
+ =
− − = −
− =
− =
+ =
− =
+ =
=
=
+ =
+ =
=
=
− =
− =
− = −
=
= = =:
32.32.32.32.32.
( )
1 4 2
6
3 2 4
3 2
1 4 2
6
6 4 8
6
5 6
12
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
+ + = −
+ + = −
+ + = −
− − − = −
− − = −
( )
( )
( )
( )
1 4 2
6 5
6 5 6
31 4
5 20 10
30
24 20 24
124
29 14
94
5 6
12 7
29 14
94 3
35 42
84
87 42
282
122
366
122 366
1
3
5
1
3
6
12
15
6
12
6
3
2
1
1
3
4 2
2
6
3
4
1 6
4
8
1
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x z
x z
x z
x
x
x
z
z
z
z
y
y
y
+ + = −
− − =
+ + = −
− − =
− =
− − = −
− =
+ =
− =
=
=
=
− − = −
− − = −
− =
− =
+ +
−
= −
+ − = −
= −
−
2
1
3
1
2
2
=
= = − = −
y
sol x y z:

EJERCICIO 187
1.1.1.1.1. 1 2 1
1 3 4
1 0 2
1 2 1
1 3 4
6 0 8 3 0 4 7⇒ + + − − − =
2.2.2.2.2. 1 2 2
1 3 3
1 4 5
1 2 2
1 3 3
15 8 6 6 12 10 45
−
−
−
−
−
⇒− − − + − − = −
3.3.3.3.3. −
−
−
−
⇒ + + + + − =
3 4 1
2 3 0
1 2 7
3 4 1
2 3 0
63 4 0 3 0 56 14
4.4.4.4.4. 2 5 1
3 4 3
6 2 4
2 5 1
3 4 3
32 6 90 24 12 60 44
−
−
−
−
⇒− − + − − − = −
5.5.5.5.5. 5 1 6
2 5 3
3 4 2
5 1 6
2 5 3
50 48 9 90 60 4 115
− −
−
− −
−
⇒ + − + − − =
6.6.6.6.6. 4 1 5
3 2 6
12 3 2
4 1 5
3 2 6
16 45 72 120 72 6 65
−
−
⇒ + − − + − = −
7.7.7.7.7. 5 2 8
3 7 3
4 0 1
5 2 8
3 7 3
35 0 24 224 0 6 171
−
− −
−
−
− −
⇒ + + − + − = −
8.8.8.8.8. 3 2 5
1 3 4
3 2 5
3 2 5
1 3 4
45 10 24 45 24 10 0
− −
− −
⇒− − + + − + =
9.9.9.9.9. 5 2 3
6 1 2
3 4 5
5 2 3
6 1 2
25 72 12 9 40 60 0⇒ + + − − − =
10.10.10.10.10. 12 5 10
8 6 9
7 4 2
12 5 10
8 6 9
144 320 315 420 432 80 847
−
−
−
⇒ + + + − + =
11.11.11.11.11. − −
− −
− −
− −
⇒ − − − − − = −
9 3 4
7 5 3
4 6 1
9 3 4
7 5 3
45 168 36 80 162 21 422
12.12.12.12.12. 11 5 7
12 3 8
13 1 9
11 5 7
12 3 8
297 84 520 273 88 540 378
−
−
−
−
−
⇒ − + + − − =

EJERCICIO 188
1.1.1.1.1. x y z
x y z
x y z
x
x
y
y
z
z
sol x y z
+ + =
− + =
+ − =
=
−
−
−
−
−
−
=
+ + + − +
+ + + − +
= =
= −
=
− + + − − +
= =
=
−
−
=
− + + + − −
= =
= = =
11
3 13
2 2 7
11 1 1
13 1 3
7 2 1
11 1 1
13 1 3
1 1 1
1 1 3
2 2 1
1 1 1
1 1 3
11 26 21 7 66 13
1 2 6 2 6 1
12
6
2
1 11 1
1 13 3
2 7 1
1 11 1
1 13 3
13 7 66 26 21 11
6
24
6
4
1 1 11
1 1 13
2 2 7
1 1 11
1 1 13
7 22 26 22 26 7
6
30
6
5
2 4: 5
2.2.2.2.2. x y z
x y z
x y z
x
+ + = −
+ − = −
− + = −
=
−
− −
− −
−
− −
−
−
−
6
2 1
2 3 6
6 1 1
1 1 1
6 2 3
6 1 1
1 1 1
1 1 1
2 1 1
1 2 3
1 1 1
2 1 1
x
y
y
z
z
sol x y z
=
− + + + + +
− − − − −
=
−
= −
=
−
− −
−
−
− −
=
− − + + − +
−
=
−
= −
=
−
−
− −
−
−
=
− + − + − +
−
=
−
= −
= − = − = −
18 2 6 6 12 3
3 4 1 1 2 6
11
11
1
1 6 1
2 1 1
1 6 3
1 6 1
2 1 1
3 12 6 1 6 36
11
22
11
2
1 1 6
2 1 1
1 2 6
1 1 6
2 1 1
6 24 1 6 2 12
11
33
11
3
1 2 3:
3.3.3.3.3. 2 3 4 3
2 6 8 5
4 9 4 4
3 3 4
5 6 8
4 9 4
3 3 4
5 6 8
2 3 4
2 6 8
4 9 4
2 3 4
2 6 8
72 180 96 96 216 60
48 72 96 96 144 24
48
96
1
2
2 3 4
2 5 8
4 4 4
2 3 4
2 5 8
40 32 96 80 64 24
96
32
96
1
3
2 3 3
2 6 5
4 9 4
x y z
x y z
x y z
x
x
y
y
z
+ + =
+ + =
+ − =
=
−
−
=
− + + − − +
− + + − − +
=
−
−
=
= −
=
− + + − − +
−
=
−
−
=
=
2 3 3
2 6 5
48 54 60 72 90 24
96
24
96
1
4
1
2
1
3
1
4
z
sol x y z
=
+ + − − −
−
=
−
−
=
= = =:

4.4.4.4.4. 4 4
2 2 2
6 2 3 12
4 1 1
2 2 1
12 2 3
4 1 1
2 2 1
4 1 1
2 2 1
6 2 3
4 1 1
2 2 1
24 4 12 24 8 6
24 4 6 12 8 6
6
12
1
2
4 4 1
2 2 1
6 12 3
4 4 1
2 2 1
24 24 24 12 48 24
12
36
12
3
4 1 4
2 2 2
6 2 12
4 1 4
2 2 2
96 16 12 48 16 24
12
60
12
5
x y z
x y z
x y z
x
x
y
y
z
z
sol x
− + =
+ − =
− + =
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
− + − − +
− + − − +
= =
=
−
−
=
+ − − + −
= =
=
−
−
−
=
− − − + +
= =
: = = =
1
2
3 5y z
5.5.5.5.5. x y z
x y z
x y z
x
+ + =
− + =
+ − = −
=
−
− −
−
−
−
−
4 5 11
3 2 5
4 3 26
11 4 5
5 2 1
26 1 3
11 4 5
5 2 1
1 4 5
3 2 1
4 1 3
1 4 5
3 2 1
x
y
y
z
z
sol x y z
=
+ − − − +
+ + + − +
=
−
= −
= − −
=
− − + − + +
=
−
= −
=
−
−
−
=
+ + + − +
= =
= − = − =
66 25 104 260 11 60
6 15 16 40 1 36
224
112
2
1 11 5
3 5 1
4 26 3
1 11 5
3 5 1
15 390 44 100 26 99
112
336
112
3
1 4 11
3 2 5
4 1 26
1 4 11
3 2 5
52 33 80 88 5 312
112
560
112
5
2 3 5:
6.6.6.6.6. 7 10 4 2
5 2 6 38
3 21
2 10 4
38 2 6
21 1 1
2 10 4
38 2 6
7 10 4
5 2 6
3 1 1
7 10 4
5 2 6
4 152 1 260 168 12 380
14 20 180 24 42 50
1 968
246
8
7 2 4
5 38 6
3 21 1
7 2 4
5 38 6
266 420 36 456 882 10
246
1 230
246
5
7 10 2
5 2 38
3 1 21
7 10 2
5 2 38
294 10 1
x y z
x y z
x y z
x
x
y
y
z
z
+ + = −
− + =
+ − =
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
− + + + + +
+ + + − +
= =
=
−
−
−
=
− + − − − −
=
−
= −
=
−
−
−
−
=
− − +
. .
.
. .
:
140 12 266 1 050
246
492
246
2
8 5 2
− − −
=
−
= −
= = − = −sol x y z

7.7.7.7.7. 4 7 5 2
6 3 7 6
9 21
2 7 5
6 3 7
21 1 9
2 7 5
6 3 7
4 7 5
6 3 7
1 1 9
4 7 5
6 3 7
54 30 1 029 315 14 378
108 30 49 15 28 378
1 190
238
5
4 2 5
6 6 7
1 21 9
4 2 5
6 6 7
216 630 14 30 588 108
238
238
238
1
4 7 2
6 3 6
1 1 21
4 7 2
6 3 6
252 12 42 6
x y z
x y z
x y z
x
x
y
y
z
z
+ + = −
+ + =
− + = −
=
−
− −
−
−
=
− − − + − −
− + − + −
=
−
−
=
=
−
−
−
=
− − − + +
−
=
−
= −
=
−
− −
−
=
− + + + +
. .
24 882
238
714
238
3
5 1 3
+
−
=
−
= −
= = − = −sol x y z:
8.8.8.8.8. 3 5 2 22
2 6 32
8 3 5 33
22 5 2
32 1 6
33 3 5
22 5 2
32 1 6
3 5 2
2 1 6
8 3 5
3 5 2
2 1 6
x y z
x y z
x y z
x
− + = −
− + =
+ − = −
=
− −
−
− −
− −
−
−
−
−
−
−
x
y
y
z
z
sol x y z
=
− + + − + −
+ − + − −
=
−
= −
=
−
− −
−
=
− − − − + −
−
=
−
−
=
=
− −
−
−
− −
−
=
− − − − −
−
=
−
−
=
= − = =
110 192 990 66 396 800
15 12 240 16 54 50
602
301
2
3 22 2
2 32 6
8 33 5
3 22 2
2 32 6
480 132 1 056 512 594 220
301
1 806
301
6
3 5 22
2 1 32
8 3 33
3 5 22
2 1 32
99 132 1 280 176 288 330
301
2 107
301
7
2 6 7
. .
. .
:
9.9.9.9.9. x y z
x y
x y
x
x
y
y
z
z
sol x y z
+ + =
+ =
+ =
=
=
+ + − + +
+ + − + +
=
−
= −
=
=
+ + − + +
−
=
−
−
=
=
=
+ + − − −
−
=
−
−
=
= − = =
3
2 6
2 3 6
3 1 1
6 2 0
6 3 0
3 1 1
6 2 0
1 1 1
1 2 0
2 3 0
1 1 1
1 2 0
0 18 0 12 0 0
0 3 0 4 0 0
6
1
6
1 3 1
1 6 0
2 6 0
1 3 1
1 6 0
0 6 0 12 0 0
1
6
1
6
1 1 3
1 2 6
2 3 6
1 1 3
1 2 6
12 9 12 12 18 6
1
3
1
3
6 6 3:

10.10.10.10.10. 3 2 1
4 28
2 3 43
1 2 0
28 0 1
43 2 3
1 2 0
28 0 1
3 2 0
4 0 1
1 2 3
3 2 0
4 0 1
0 0 86 0 2 168
0 0 2 0 6 24
80
16
5
3 1 0
4 28 1
1 43 3
3 1 0
4 28 1
252 0 1 0 129 12
16
112
16
7
3 2 1
4 0 28
1 2 43
3 2 1
4 0 28
0 8 56 0 168 344
x y
x z
x y z
x
x
y
y
z
z
− = −
+ = −
+ + = −
=
− −
−
−
− −
−
−
−
=
+ + + + −
+ − + − +
=
−
= −
=
−
−
−
−
−
=
− + − + + +
=
−
= −
=
− −
−
−
− −
−
=
− + + + −
16
128
16
8
5 7 8
=
−
= −
= − = − = −sol x y z:
11.11.11.11.11.
x y z
x y z
x y
z
x y z
x y z
x y z
x y z
x
3 4 4
1
4 3 3 12
6 2
1
2 6 12 12
3 6 6
2 8 2
0
4 4 0
12 3 3
6 3 6
0 1 4
12 3 3
6 3 6
4 3 3
1 3 6
4 1 4
4 3 3
1 3 6
− + =
− + =
+ − =
+ − =
+ − =
− − =
− − =
=
−
−
− −
−
−
−
−
− −
−
−
x
y
y
z
z
sol x y z
=
− − + + − −
− − + − − −
=
−
−
=
=
−
−
−
=
− + − − + +
−
=
−
−
=
=
−
−
−
=
− − − + +
−
=
−
−
=
= = =
144 18 0 0 72 72
48 3 72 36 24 12
306
51
6
4 12 3
1 6 6
4 0 4
4 12 3
1 6 6
96 0 288 72 0 48
51
408
51
8
4 3 12
1 3 6
4 1 0
4 3 12
1 3 6
0 12 72 144 24 0
51
204
51
4
6 8 4:
12.12.12.12.12.
x
y z x y x z
y
x y z y x z y
x y z x y z
x
x
y
y
z
3
2 3 1
4
11
3 6 4 4 44
3 6 9 4 4 44
9 3 6
1 1 0
44 1 4
9 3 6
1 1 0
1 3 6
1 1 0
4 1 4
1 3 6
1 1 0
36 6 0 264 0 12
4 6 0 24 0 12
306
34
9
1 9 6
1 1 0
4 44 4
1 9 6
1 1 0
4 264 0 24 0 36
34
272
34
8
+ = + − = + = +
+ = + + = +
+ − = − + =
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
− + + − + −
− + + − + −
=
−
−
=
=
−
−
=
− + + + −
−
=
−
−
=
; ;
; ;
=
−
−
−
=
− − + + + −
−
=
−
−
=
= = =
1 3 9
1 1 1
4 1 44
1 3 9
1 1 1
44 9 12 36 1 132
34
136
34
4
9 8 4
z
sol x y z:

EJERCICIO 191
1.1.1.1.1. x y z x y z x y z
Plano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y z
Para y z x Para y z x Para y z x
Para x z y Para x z y Para x z y
Para x y z Para x y z Para x y z
+ + = + + = + + =
+ + = + + = + + =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
2 8 2 2 9 3 3 5 24
2 8 2 2 9 3 3 5 24
0 0 8 0 0 4 0 0 8
0 0 4 0 0 4 0 0 8
0 0 8 0 0 9 0 0 4
1
2
1
2
4
5
Sol : x = 1 y= 2 z = 3Sol : x = 1 y= 2 z = 3Sol : x = 1 y= 2 z = 3Sol : x = 1 y= 2 z = 3Sol : x = 1 y= 2 z = 3
DDDDD
AAAAA
GGGGG
FFFFF
CCCCC
IIIII
NNNNN
MMMMM
RRRRR
BBBBB
EEEEE
HHHHH
33333
11111
22222
QQQQQ

2.2.2.2.2. x y z x y z x y z
+ + = + + = + + =
+ + = + + = + + =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
5 3 2 8 2 3 3 14
5 3 2 8 2 3 3 14
0 0 5 0 0 2 0 0 7
0 0 5 0 0 4 0 0 4
0 0 5 0 0 8 0 0 4
2
3
2
3
2
3
sol : x = 1 y = 1 z = 3sol : x = 1 y = 1 z = 3sol : x = 1 y = 1 z = 3sol : x = 1 y = 1 z = 3sol : x = 1 y = 1 z = 3
CCCCC
DDDDD
AAAAA
GGGGG
QQQQQ
IIIII
33333
FFFFF
11111
NNNNN
11111
MMMMM
BBBBB
EEEEE
RRRRR
HHHHH

3.3.3.3.3. 2 2 3 23 2 3 2 20 4 3 2 24
2 2 3 23 2 3 2 20 4 3 2 24
0 0 11 0 0 10 0 0 6
0 0 11 0 0 6 0 0 8
0 0 7 0
1
2
1
2
2
3
2
3
x y z x y z x y z
Para x y z Para x y
+ + = + + = + + =
+ + = + + = + + =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =0 10 0 0 12z Para x y z
GGGGG
DDDDD
QQQQQ
NNNNN
AAAAA
CCCCCIIIII
55555
FFFFF
RRRRR
MMMMM
22222
BBBBB
EEEEE
HHHHH
22222

4.4.4.4.4. 2 2 3 24 4 5 2 35 3 2 19
2 2 3 24 4 5 2 35 3 2 19
0 0 12 0 0 8 0 0 6
0 0 12 0 0 7 0 0 9
0 0 8 0 0
3
4
1
3
1
2
x y z x y z x y z
Para x y z Para x y z
+ + = + + = + + =
+ + = + + = + + =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
= = = = = =17 0 0 191
2 Para x y z= = =
GGGGG
DDDDD
QQQQQ
AAAAA
NNNNN
CCCCCFFFFFIIIII
44444
33333
33333
RRRRR
EEEEE
BBBBB
MMMMM
HHHHH
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM MMMMM
MMMMM

5.5.5.5.5. 3 4 5 35 2 5 3 27 2 13
3 4 5 35 2 5 3 27 2 13
0 0 11 0 0 13 0 0 6
0 0 8 0 0 5 0 0 13
0 0 7 0 0 9 0 0 13
2
3
1
2
1
2
3
4
2
5
x y z x y z x y z
+ + = + + = + + =
+ + = + + = + + =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
GGGGG
DDDDD
AAAAA QQQQQ
MMMMM
IIIII FFFFFCCCCC
33333
22222
NNNNN
RRRRR
44444
EEEEE
BBBBB
HHHHH

6.6.6.6.6. 4 3 5 42 3 4 3 33 2 5 2 29
4 3 5 42 3 4 3 33 2 5 2 29
0 0 10 0 0 11 0 0 14
0 0 14 0 0 8 0 0 5
0 0 8 0 0 11 0 0 14
1
2
1
2
1
4
4
5
2
5
1
2
x y z x y z x y z
+ + = + + = + + =
+ + = + + = + + =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
GGGGG
DDDDD
IIIIIFFFFF
RRRRR
55555
QQQQQ
22222
EEEEE
AAAAA
CCCCC
MMMMM
33333
HHHHH
NNNNN
BBBBB

5.5.5.5.5.
( )
( )
( )
( )
x Cifra decenas
y Cifra unidades
x y
x y
x y x y
x y
x y
y
x y y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y y
x
x
x x sol
→
→
+ −
+
=
+ − = +
− =
+ −
−
=
+ − = −
− = −
− = −
− =
− = − −
− =
− + =
= ⇒ =
− =
− =
= ⇒ =
10 17
5
10 17 5
5 4 17
10 2
2
19
10 2 19 2
10 18 36
5 9 18
5 4 17
5 9 18 1
5 4 17
5 9 18
5 35 7
5 4 7 17
5 28 17
5 45 9 97:
6.6.6.6.6.
( )
x Cifra decenas
y Cifra unidades
x y y x
x y
x y
y x
x y
x y
x y
x y
x y
y y
x x sol
→
→
+ + = +
− = −
− = −
+ −
=
+ =
− = − −
+ =
− + =
+ =
= ⇒ =
− = − ⇒ =
10 9 10
9 9 9
1
10 1
7
6
10 43
1 1
10 43
1
10 43
11 44 4
4 1 3 34:
7.7.7.7.7.
( )
x Cifra decenas
y Cifra unidades
x y
x y y x
x y y x
x y
x y
x y
x y
x x
y y sol
→
→
+ =
+ + − = +
+ + − = +
− = −
− = −
+ =
− = −
= ⇒ =
+ = ⇒ =
9
10 1 1 10
10 10 1 10
9 9 9
1
9
1
2 8 4
4 9 5 45:
EJERCICIO 199
1.1.1.1.1.
( )
x Monedas de cts
y Monedas de cts
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol Mon de cts
Mon de cts
→
→
+ = −
+ =
− − = −
+ =
=
=
+ =
=
20
10
78 10
20 10 1 130
10 10 780
20 10 1 130
10 350
35
35 78
43
35 20
43 10
.
.
.
.
: . .
. .
2.2.2.2.2.
( )
x Monedas de
y Monedas de
x y
x y
x y
x y
x
y
y
sol Mon de
Mon de
→
→
+ = −
+ =
− − = −
+ =
=
+ =
=
$
$
: . $
. $
5
4
91 4
5 4 404
4 4 364
5 4 404
40
40 91
51
40 5
51 4
3.3.3.3.3.
( )
x N de adultos
y N de niños
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol adultos y niños
→
→
+ = −
+ =
− − = −
+ =
=
=
+ =
=
º
º
.
.
.
.
:
700 15
40 15 18 000
15 15 10 500
40 15 18 000
25 7 500
300
300 700
400
300 400
4.4.4.4.4.
( )
x Monedas de cts
y Monedas de cts
x y
x y
x y
x y
→
→
+ = −
+ =
− − = −
+ =
20
25
44 20
20 25 995
20 20 880
20 25 995
.
.
5 115
23
23 44
21
21 20
23 25
y
y
x
x
sol Monedas de cts
Monedas de cts
=
=
+ =
=
: .
.
5.5.5.5.5.
( )
x Billetes de
y Billetes de
x y
x y
x y
x y
y
x
x
sol Billetes de
Billetes de
→
→
+ = −
+ =
− − = −
+ =
=
+ =
=
$
$
: $
$
1
2
287 1
2 419
287
2 419
132
132 287
155
155 1
132 2
6.6.6.6.6.
( )
x Libros de col
y Libros de col
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
sol libros de col
libros de col
→
→
+ = −
+ =
− − = −
+ =
=
=
+ =
=
3
7
34 3
3 7 174
3 3 102
3 7 174
4 72
18
18 34
16
16 3
18 7
.
.
: .
.
7.7.7.7.7.
( )
x N de trajes
y N de sombreros
x y
x y
x y
x y
x
x
y y
sol trajes
sombreros
→
→
+ = −
+ =
− − = −
+ =
=
=
+ = ⇒ =
º
º
.
.
.
.
:
54 45
375 45 6 720
45 45 2 430
375 45 6 720
330 4 290
13
13 54 41
13
41

EJERCICIO 200
1.1.1.1.1.
( )
( )
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
B
B
A
A
sol A B
− = +
− =
+ = −
− = −
− = −
− = −
− + = −
− = −
− = −
=
− =
=
→ →
1 1
2
1 3 1
3 4
2 1
3 4
2
3 4
2 6
3
3 2
5
5 3: $ $
2.2.2.2.2.
( )
( )
B A
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A
B
B
B
sol A soles
B soles
− = +
− = −
− = +
− =
− = − −
− =
− + =
− =
=
− = −
− = −
=
→
→
2 2
4
2 2 2
2 6
4 1
2 6
4
2 6
10
10 4
14
14
10
14
:
3.3.3.3.3.
( )
( )
P Pedro
J Juan
P J
P J
J P
P J
P J
P J
P J
P J
J
J
P P
sol Pedro
Juan
→
→
− = +
− =
− = +
− = −
− = −
− = −
− + = −
− = −
− = −
=
− = ⇒ =
→
→
3 3
6
4 3 3
4 15
6 1
4 15
6
4 15
3 21
7
7 6 13
13
7
: $
$
4.4.4.4.4. ( )
( )
( ) ( )
( )
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A
B
B
B
sol A Años
B Años
− = −
− = −
+ = +
+ = +
− =
− = − −
− =
− + =
− =
=
− = −
− = −
=
→
→
10 2 10
2 10
3
4
10 10
3 10 4 10
3 4 10
2 10 2
3 4 10
2 4 20
3 4 10
30
30 2 10
2 40
20
30
20
:
5.5.5.5.5. ( )
( )
( ) ( )
( )
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A
B
B
B
sol A Años
B Años
− = −
− = −
+ = +
+ = +
− =
− = − −
− =
− + =
− =
=
− = −
− = −
=
→
→
6 2 6
2 6
6
8
5
6
5 6 8 6
5 8 18
2 6 4
5 8 18
4 8 24
5 8 18
42
42 2 6
2 48
24
42
24
:
6.6.6.6.6. ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
− = −
− = −
− = −
+ = +
+ = +
− =
− = − −
− =
5
3
2
5
2 5 3 5
2 3 5
7
9
10 10
7 10 9 10
7 9 20
2 3 5 3
7 9 20
( )
− + =
− =
=
− = −
− = −
=
→
→
6 9 15
7 9 20
35
2 35 3 5
70 3 5
25
35
25
A B
A B
A
B
B
B
sol A Años
B Años
:
7.7.7.7.7.
( )
( )
( )
( )
( )
x Edad Hombre
y Edad Esposa
x
y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
x
x
x
sol Años tiene el bre
Años tiene la esposa
→
→
=
+ = +
+ = +
− =
− =
− = −
− =
− + = −
=
=
=
=
→
→
9
5
3
5
4 4
3 12 5 20
3 5 8
5 9 0 3
3 5 8 5
15 27 0
15 25 40
20
9
5
20
9 4
36
36
20
: hom
8.8.8.8.8.
( )
( )
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
B
B
A
A
sol A Lempiras
B Lempiras
− = +
− =
+ = −
+ = −
− = −
− = −
− = −
− + = −
− = −
− = −
=
− =
=
→
→
25 25
50
5
17
35 35
5 175 17 595
5 17 770
50 5
5 17 770
5 5 250
5 17 770
12 1 020
85
85 50
135
135
85
.
:

9.9.9.9.9.
( )
( )
( )
x Edad padre
y Edad hijo
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
y
y
y
sol Años Edad padre
Años Edad hijo
→
→
− = −
− = −
− = −
+ = +
+ = +
− =
− = − −
− =
− + =
− =
=
− = −
− = −
=
→
→
1
5
6 6
6 5 30
5 24
2
5
9 9
2 18 5 45
2 5 27
5 24 1
2 5 27
5 24
2 5 27
51
51 5 24
5 75
15
51
15
:
11.11.11.11.11.
( )
A
B
B
B
A B B B
A B B
A B
B A
B A
A B
A B
A B
A B
A B
B
A
A cts
sol tiene A
tiene B
+ + = − −






+ + = − −
+ + = −
− = −
+ − = −
− = −
− = −
− = −
− = − −
− = −
− + =
=
− = −
=
→
→
2
60 4
2
60
2 120 8 4 480
2 120 4 480
2 3 600
80 310 80
230 80
150
2 3 600
150 2
2 3 600
2 2 300
300
300 150
150
1 50
3
.
: $ ,
$
10.10.10.10.10. ( )
( )
( )
P J
P J
P J
P J
P J
P J
P J
P J
J
J
P
P
P
sol cts tenia Pedro
cts tenia Juan
+ = −
− = −
− = +
− =
− = − −
− =
− + =
− =
=
=
− =
=
=
→
→
15 5 15
5 90
3 20 20
3 80
5 90 3
3 80
3 15 270
3 80
14 350
25
3 25 80
3 105
35
35
25
: .
.
12.12.12.12.12.
( )
( ) ( )
( )
( )
x Edad de Enrique
y Edad hermana
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
x
x
x
x
sol Añ Ed Enrique
Añ Ed herm
→
→
− = −
− = −
− = −
+ = +
+ = +
− =
− = − −
− =
− + =
− =
=
− = −
− = −
=
=
→
→
6
3
2
6
2 12 3 18
2 3 6
4 6 5 6
4 24 5 30
4 5 6
2 3 6 2
4 5 6
4 6 12
4 5 6
18
2 3 18 6
2 54 6
2 48
24
24
18
: . .
. . .
EJERCICIO 201
1.1.1.1.1. x Veloc bote agua tranq
y Veloc del rio
x y Veloc bote a favor
del agua
x y Veloc bote contra
la corriente
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol Km
h Veloc
bote agua tranq
Km
h Veloc del rio
→
→
+ →
− →
+
=
+ =
−
=
− =
+ =
− =
=
=
− =
=
→
→
. .
.
.
.
: .
.
.
10
1
10
4
1
4
10
4
2 14
7
7 4
3
7
3
y Veloc del rio
del agua
x y Veloc bote contra
agua
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol Km
h Bote
Km
h Rio
→
→
+ →
− →
+
=
+ =
+ =
−
=
− =
− =
+ =
− =
=
=
− =
=
→
→
. .
.
.
.
:
28 7
4
7 7 112
16
24
3
3 3 24
8
16
8
2 24
12
12 8
4
12
4
3.3.3.3.3.
( )
( )
x Tiempo ida
y Tiempo vuelta
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
sol h Tiempo ida
h Tiempo vuelta
→
→
+ =
=
− =
+ =
− =
+ =
=
=
− =
− = −
=
→
→
5
8 12
12 8 0
5 8
12 8 0
8 8 40
20 40
2
12 2 8 0
8 24
3
2
3
:

y Veloc rio
de la cte
x y Veloc bote en contra
de la cte
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x x
y y
sol h Veloc bote
h Veloc rio
→
→
+ →
− →
+
=
+ =
+ =
−
=
− =
− =
+ =
− =
= ⇒ =
− = ⇒ =
→
→
. .
.
.
.
: .
.
40 5
2
5 5 80
16
40
5
5 5 40
8
16
8
2 24 12
12 8 4
12
4
5.5.5.5.5.
( )
x tiempo ida
y tiempo vuelta
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x x
y
y y
sol h tiempo ida
h tiempo vuelta
→
→
+ =
=
− =
− =
+ =
− =
= ⇒ =
− =
− = − ⇒ =
→
→
6
20 40
40 20 0
2 0
6
2 0
3 6 2
2 2 0
4 4
2
4
:
6.6.6.6.6.
( )
x tiempo ida
y tiempo vuelta
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol h tiempo ida
h tiempo vuelta
Entonces
Km
h
Km
h Veloc rio abajo
Km
h
Km
h Veloc rio arriba
Luego
x Veloc bote
y Veloc rio
x y
x y
x
x
y
→
→
+ =
=
− =
− =
+ =
− =
+ =
− =
=
=
+ =
=
→
→
= →
= →
→
→
+ =
− =
=
=
+ =
5
8 12
12 8 0
3 2 0
5 2
3 2 0
2 2 10
3 2 0
5 10
2
2 5
3
2
3
32
2
16
12
3
4
16
4
2 20
10
10 16
:
.
.
.
.
y
sol Km
h Veloc bote
Km
h Veloc rio
=
→
→
6
10
6
: .
.
EJERCICIO 202
1.1.1.1.1.
( )
( )
x N mayor
y N medio
z N menor
z
x y
z x y
x y z
x y z
y z x
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
z
z
x y z
x y z
x z
x
x
x
y
y
→
→
→
− =
+
− = +
+ − = −
+ + =
− = −
− + =
+ + = −
+ − = −
− − − = −
+ − = −
− = −
=
+ + =
− + =
+ =
+ =
=
=
+ + =
+
º
º
º
1
3
3 3
3 3
37
13
13
37 1
3 3
37
3 3
4 40
10
37
13
2 2 50
2 2 10 50
2 30
15
15 10 37
25=
=
37
12
15 12 10
y
sol: , ,
2.2.2.2.2.
( )
( )
x ecio kilo azúcar
y ecio kilo café
z ecio kilo fríjoles
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
→
→
→
+ + =
+ + =
+ + =
+ + = −
+ + =
Pr
Pr
Pr
,
,
,
,
,
5 3 4 1 18
4 5 3 1 45
2 2 0 46
5 3 4 1 18 3
4 5 3 1 45 4
( )
( )
− − − = −
+ + =
+ =
+ + =
+ + = −
+ + =
− − − = −
15 9 12 3 54
16 20 12 5 80
11 2 26
4 5 3 1 45 2
2 2 0 46 3
8 10 6 2 90
6 3 6 1 38
x y z
x y z
x y
x y z
x y z
x y z
x y z
,
,
,
,
,
,
,
( )
2 7 1 52
11 2 26 2
2 7 1 52
2 22 4 52
2 7 1 52
15 3
1
5
0 2
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
y
+ =
+ = −
+ =
− − = −
+ =
− = −
=
=
,
,
,
,
,
,
( )
( )
2 7 0 2 1 52
2 1 4 1 52
2 0 12
0 06
2 0 06 0 2 2 0 46
0 12 0 2 2 0 46
2 0 14
0 07
6
20
7
x
x
x
x
z
z
z
z
sol cts Kilo Az
cts Kilo café
cts Kilo fríjoles
+ =
+ =
=
=
+ + =
+ + =
=
=
→
→
→
, ,
, ,
,
,
, , ,
, , ,
,
,
: . .
.
.

3.3.3.3.3.
( )
x Cifra centenas
y Cifra decenas
z Cifra unidades
x y z
x y
z
x y z
x y z
x y z z y x
x z
x z
x y z
x y z
x y z
x y z
z
z
x
x
y
y
y sol
→
→
→
+ + =
+ =
+ =
+ − =
+ + − = + +
− =
− =
+ + = −
+ − =
− − − = −
+ − =
− = −
=
− =
=
+ + =
+ =
=
15
3
2
2 2 3
2 2 3 0
100 10 99 100 10
99 99 99
1
15 2
2 2 3 0
2 2 2 30
2 2 3 0
5 30
6
6 1
7
7 6 15
13 15
2 726:
4.4.4.4.4.
( )
x N mayor
y N medio
z N menor
x y z
z y x
x y z
x
y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x
x
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
→
→
→
+ + =
+ + =
+ + =
− =
+
− = +
− − =
+ + =
− − =
=
=
+ + =
− − =
+ + =
− − =
− =
º
º
º
127
2 3 9
39
2 6 9 702
4
2
2 8
2 8
127
2 8
3 135
45
2 6 9 702
2 8 9
2 6 9 702
18 9 9 72
20 3 774
( )20 45 3 774
900 3 774
3 126
42
45 42 127
40
45 42 40
− =
− =
− = −
=
+ + =
=
y
y
y
y
z
z
sol: , ,
5.5.5.5.5.
( )
( )
x Cifra centenas
y Cifra decenas
z Cifra unidades
x y z
x y z
x y
x y z x y
x y z
x y z z y x
x z
x z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x z
x z
→
→
→
+ + =
+ +
+
=
+ + = +
− + =
+ + + = + +
− = −
− = −
+ + =
− + =
+ + =
− + =
+ =
+ =
− = − −
+ =
6
100 10
41
100 10 41 41
59 31 0
100 10 198 100 10
99 99 198
2
6 31
59 31 0
31 31 31 186
59 31 0
90 32 186
45 16 93
2 45
45 16 93
45 45 90
45 16 93
61 183
3
3 2
1
1 3 6
4 6
2 123
− + =
+ =
=
=
− = −
=
+ + =
+ =
=
x z
x z
z
z
x
x
y
y
y sol:
6.6.6.6.6. x Angulo mayor
y Angulo medio
z Angulo menor
x y z
x z
x z
→
→
→
+ + =
− =
− =
180
35
35
z x y
x y z
x y z
x y z
x
x
z
z
y
y
y
sol
− = −
− − = −
+ + =
− − = −
=
=
− =
=
+ + =
+ =
=
20
20
180
20
2 160
80
80 35
45
80 45 180
125 180
55
80 55 45: , ,! ! !
7.7.7.7.7.
( )
( )
( )
x N de vacas
y N de caballos
z N de terneros
x y z
x y z
x y z
z x
x y z
x z
x y z
x z
y
x y z
x z
x y z
x z
y z
z
→
→
→
+ + =
+ + =
+ + =
+ =
+ + =
+ = −
+ + =
− − = −
=
+ + =
+ = −
+ + =
− − = −
+ =
+ =
+
º
º
º
.
.
.
.
.
.
.
110
8 9 5
15
45 40 72 5 400
65
110
65 1
110
65
45
45 40 72 5 400
65 45
45 40 72 5 400
45 45 2 925
40 27 2 475
40 45 27 2 475
1 800 27z
z
z
x
x
x
sol vacas
caballos
terneros
=
=
=
+ + =
+ =
=
2 475
27 675
25
45 25 110
70 110
40
40
45
25
.
: ;
;

8.8.8.8.8.
( )
x Cifra centenas
y Cifra decenas
z Cifra unidades
x y z
x y z
x y z
x z y
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
z
z
x y z
x y z
x z
x z
x
x
y
y sol
→
→
→
+ + =
+ − =
+ − =
+ − =
− + =
+ + =
+ − = −
+ + =
− − + = −
=
=
+ + =
− + =
+ =
+ =
+ =
=
+ + =
=
10
4
4
6
6
10
4 1
10
4
2 6
3
10
6
2 2 16
8
3 8
5
5 3 10
2 523:
9.9.9.9.9.
( )
x Angulo mayor
y Angulo medio
z Angulo menor
x y z
x y
y z
x y z
y z
x y z
y z
x
y
y
z
z
z
sol
→
→
→
+ + =
+ =
+ =
+ + =
+ = −
+ + =
− − = −
=
+ =
=
+ + =
+ =
=
180
135
110
180
110 1
180
110
70
70 135
65
70 65 180
135 180
45
70 65 45: , ,! ! !
10.10.10.10.10.
( )
( )
A B C
C
A
A C
A B
A B
A B C
A B
A C
A C
A C
A C
A C
A
A
C
C
B
B
sol A bs B bs
C bs
+ + =
=
− =
− =
− =
+ + =
− =
+ =
+ =
− =
+ =
− =
=
=
+ =
=
+ + =
=
→ →
→
140
2
2 0
10
10
140
10
2 150
2 150 2
2 0
4 2 300
2 0
5 300
60
2 60 150
30
60 30 140
50
60 50
30
: . .
.
11.11.11.11.11.
( )
A C
A C
B C
B C
A C
A C
A C
B C
A B C
A B C
A C
A B C
A C
B
C
C
A
A
sol A
B C
− = +
− =
− =
− =
+ =
− = −
− =
− =
+ − =
+ − =
− = − −
+ − =
− + =
=
− =
=
− =
=
→
→ →
1 1
2
1
1
5 2
2 5
2
1
2 3
2 3
2 5 1
2 3
2 5
8
8 1
7
7 2
9
9
8 7
: $
$ $
12.12.12.12.12.
( )
( )
( )
x y z
z y x
x y z
z y x x y z
x y z
x y z
x
x
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
+ + =
+ + =
+ +
+ + = + +
− − =
− − =
=
=
− − =
+ + =
− − =
+ + =
− =
−
6
100 10
41 100 10
107
10 700 1 070 107 4 100 410 41
3 993 660 10 659 0
1 331 220 3 553 0
100 300
3
1 331 220 3 553 0
6 220
1 331 220 3 553 0
220 220 220 1 320
1 551 3 333 1 320
1 551 3
. . .
. .
. .
. .
. .
.
. . .
. 3 333 1 320
4 653 3 333 1 320
1
3 1 6
4 6
2 321
. .
. . .
:
z
z
z
y
y
y sol
=
− =
=
+ + =
+ =
=
13.13.13.13.13.
( )
A B
A B
B C
B C
A C
A C
A B
B C
A C
A C
A C
A C
A C
A
A
B
B
C
C
sol A Q
B Q C Q
− = +
− =
− = +
− =
=
− =
− =
− =
− =
− = −
− =
− + = −
− =
− = −
=
− =
=
− =
=
→
→ →
2 2
4
1 1
2
8
5
5 8 0
4
2
6
6 8
5 8 0
8 8 48
5 8 0
3 48
16
16 4
12
12 2
10
16
12 10
:

14.14.14.14.14.
( )
( )
( )
x Cifra centena
y Cifra decena
z Cifra unidades
x
x
x y z
z y x
x y z
z y x x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
→
→
→
=
=
+ + =
+ + =
+ +
+ + = + +
− − =
− − =
− − =
+ + =
− − =
+ + =
− =
−
100 400
4
9
100 10
16 100 10
49
4 900 490 49 1 600 160 16
1 551 330 4 884 0
517 110 1 628 0
517 110 1 628 0
9 110
517 110 1 628 0
110 110 110 990
627 1 518 990
627 4 1
. .
. .
.
.
.
.
.518 990
2 508 1 518 990
1 518 1 518
1
4 1 9
5 9
4 441
z
z
z
z
y
y
y sol
=
− =
− = −
=
+ + =
+ =
=
. .
. .
:
15.15.15.15.15.
( )
( )
2 32
2 32
3
2 9
6 3 27
3 6 27
3
1
3 3
3 3
2 32
3 6 27
5 7 5
3 6 27
3 3
4 9 30
5 7 5 4
4 9 30 5
20 28 20
20 45
A B C
A B C
B
C A
B C A
A B C
A B
C
A B C
A B C
A B C
A B C
A C
A B C
A B C
A C
A C
A C
A C
A
+ = +
+ − =
+ = +
+ = +
− − = −
+
= −
+ = −
+ − = −
+ − =
− − = −
− =
− − = −
+ − = −
− = −
− = −
− = −
− + = −
− C
C
= −
− = −
150
17 170
( )
( )
C
A
A
A
B
B
B
sol
=
− =
=
=
+ − =
+ =
=
10
5 7 10 5
5 75
15
2 15 10 32
20 32
12
15 12 10: ,
EJERCICIO 203
1.1.1.1.1.
( )
( )
x Ancho
y L o
x y
y x
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol m m
→
→
+ =
=
− =
+ =
− =
+ =
− =
=
=
+ =
=
⋅
arg
:
2 18
4 5
5 4 0
9 4
5 4 0
4 4 36
5 4 0
9 36
4
4 9
5
5 4
2.2.2.2.2. A B
A B
A B
A B
=
− =
− = +
− =
2
2 0
12 12
24
( )
A B
A B
A B
A B
B
A
A
sol A balboas
B balboas
− =
− = −
− =
− + = −
=
− =
=
→
→
2 0
24 1
2 0
24
24
24 24
48
48
24
:
3.3.3.3.3.
( )( )
( )( )
x Ancho
y L o
x y xy
xy x y xy
x y
x y xy
xy x y xy
x y
→
→
+ + = +
+ + + = +
+ =
+ − = +
− + − = +
− + =
arg
1 1 26
1 26
25
2 3 19
3 2 6 19
3 2 25
( )x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
sol m m
+ =
− + =
+ =
− + =
=
=
+ =
=
⋅
25 3
3 2 25
3 3 75
3 2 25
5 100
20
20 25
5
20 5:
4.4.4.4.4. x ecio carro
y ecio caballo
z ecio arreos
x y z
x z y
x y z
y z x
x y z
→
→
→
+ + =
+ = +
− + =
+ = +
− − = −
Pr
Pr
Pr
200
20
20
40
40
x y z
x y z
x
x
x y z
x y z
x z
x z
z
z
y
y
y
sol Costo carro
Costo caballo
Costo arreos
+ + =
− − = −
=
=
+ + =
− + =
+ =
+ =
+ =
=
+ + =
+ =
=
→
→
→
200
40
2 160
80
200
20
2 2 220
110
80 110
30
80 30 200
110 200
90
80
90
30
:$
$
$

5.5.5.5.5. x Número
y Número
z Número
x y z
x y z
x z y
x y z
y z x
x y z
x y z
x y z
x
x
x y z
x y z
x y
x y
y
y
z
z
z
sol
er
er
→
→
→
+ = +
+ − =
+ − =
− + =
+ = +
− − = −
+ − =
− + =
=
=
− + =
− − = −
− = −
− = −
− = −
=
+ − =
− =
=
1
2
3
18
18
78
78
102
102
18
78
2 96
48
78
102
2 2 24
12
48 12
60
48 60 18
108 18
90
48 60 90
º
: , ,
6.6.6.6.6. x Cifra decenas
y Cifra unidades
x y
x y y x
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y sol
→
→
+ =
+ − = +
− =
− =
+ =
− =
=
=
+ =
=
6
10 36 10
9 9 36
4
6
4
2 10
5
5 6
1 51:
7.7.7.7.7. x Veloc pájaro
y Veloc viento
x y Veloc pájaro a favor
x y Veloc pájaro contra
x y
x y
x y
→
→
+ →
− →
+
=
+ =
−
=
.
.
.
.
55
1
55
25
1
x y
x y
x
x
y
y
sol Km
h Veloc del
pájaro tranq
Km
h Veloc del
viento
− =
+ =
=
=
− =
=
→
→
25
55
2 80
40
40 25
15
40
15
: .
.
.
8.8.8.8.8.
( )( )
( )( )
( )
( )
x N de libros
y ecio de c u
xy x y
xy xy x y
x y
xy x y
xy xy x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
sol Libros compró
tó c u
→
→
= + −
= − + −
− = −
= − +
= + − −
− =
− = −
− = −
− = −
− + = −
− = −
=
− = −
− = −
− = −
=
→
→
º
Pr /
:
$ cos /
5 2
2 5 10
2 5 10
5 4
4 5 20
4 5 20
2 5 10
4 5 20 1
2 5 10
4 5 20
2 30
15
2 15 5 10
30 5 10
5 40
8
15
8
9.9.9.9.9.
( )
( )
x ecio kilo café
y ecio kilo té
x y
x y
x y
x y
x
x
→
→
+ = −
+ =
− − = −
+ =
− = −
=
Pr
Pr
,
,
,
,
,
,
7 6 4 8 9
8 9 6 45 6
63 54 43 2
48 54 38 7
15 4 5
0 3
( )7 0 3 6 4 8
2 1 6 4 8
6 2 7
0 45
30
45
, ,
, ,
,
,
: .
.
+ =
+ =
=
=
→
→
y
y
y
y
sol cts Costo kilo café
cts Costo kilo té
10.10.10.10.10.
( )
x trajes de
y trajes de
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
sol trajes de
trajes de
→
→
+ = −
+ =
− − = −
+ =
− = −
=
+ =
=
→
→
$
$
.
.
.
: $
$
40
35
50 40
40 35 1 910
40 40 2 000
40 35 1 910
5 90
18
18 50
32
32 40
18 35
11.11.11.11.11.
( )
x Numerador
y Deno ador
x
y
x y
x y
x
y
x y
x y
x y
x y
x
y
y
y sol
→
→
−
=
− =
− =
−
=
= −
− + =
− =
− + =
=
− =
− = −
=
min
:
1 1
3
3 3
3 3
2
1
2
2 2
2 2
3 3
2 2
5
3 5 3
12
12
5
12
12.12.12.12.12. x bolsa
y bolsa
x y
x y
x y
a
a
→
→
+ =
− = +
− =
1
2
200
15 15
30

x y
x y
x
x
y
y
sol soles bolsa
soles bolsa
a
a
+ =
− =
=
=
+ =
=
→
→
200
30
2 230
115
115 200
85
115 1
85 2
:
13.13.13.13.13.
( )
( )
x ecio caballo
y ecio coche
x y
x y
y
x
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
sol soles Costó el caballo
soles Costó el coche
→
→
+ =
− = −
+ =
= +
− =
− = − −
− =
− + =
− =
=
=
− = −
=
→
→
Pr
Pr
:
20 3
3 20
20
3
5
3 100 5
3 5 100
3 20 3
3 5 100
3 9 60
3 5 100
4 160
40
3 40 20
100
100
40
14.14.14.14.14.
( )
( )
x Cifra decenas
y Cifra unidades
x y x y
x y x y
x y
x y y x
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y sol
→
→
+ = +
+ = +
− =
+ − = +
− =
− =
− =
− = −
− =
− + = −
− = −
=
− =
=
10 6
10 6 6
4 5 0
10 9 10
9 9 9
1
4 5 0
1 5
4 5 0
5 5 5
5
5
5 1
4 54:
15.15.15.15.15.
( )( )
( )( )
( )
x N de personas
y ecio c u
xy x y
xy xy x y
x y
x y
xy x y
xy xy x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
sol Personas
bs c u
→
→
= + −
= − + −
− = −
− = −
= − +
= + − −
− =
− =
− = − −
− =
− + =
=
=
− = −
− = −
=
→
→
º
Pr /
:
. /
10 5
5 10 50
5 10 50
2 10
6 5
5 6 30
5 6 30
5 6 30
2 10 3
5 6 30
3 6 30
2 60
30
30 2 10
2 40
20
30
20
16.16.16.16.16.
( )
A B
A
A
B
B
A A B B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A
A
B
B
sol A sucres
B sucres
+ =
− = −
− = −
− =
− =
+ =
− =
+ =
− =
=
=
+ =
=
→
→
1 080
2
5 4
20 8 20 5
12 15 0
4 5 0
1 080 5
4 5 0
5 5 5 400
4 5 0
9 5 400
600
600 1 080
480
600
480
.
.
.
.
.
:
17.17.17.17.17.
( )
x gané ayer
y gané hoy
y x
y
x
x y
x y
x y
→
→
+ =
=
− =
− =
− = −
10
5
6
5 6 0
5 6 0
10 6
5 6 0
6 6 60
60
60
60 10
50
60
50
x y
x y
x
x
y
y
sol gané ayer
gané hoy
− =
− + = −
− = −
=
− =
=
→
→
: $
$
18.18.18.18.18.
( )
( )
x nùmero
y nùmero
x
y
x
y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
sol
er
→
→
=
−
−
=
− =
− = −
− =
− + = −
− = −
=
− =
− =
=
1
2
3
5
10
10
1
2
5 3 0
2 10 3
5 3 0
6 3 30
30
30
2 30 10
60 10
50
30 50
º
: ,
19.19.19.19.19.
( )
( )
A B
A B
B A
B A
A B
A B
A B
A B
A B
A
A
B
B
sol A lempiras
B lempiras
+ = −
− = −
+ = −
+ = −
− =
− = − −
− =
− + =
− =
=
=
− = −
=
→
→
4 4
8
4
9
5
4
5 20 9 36
9 5 56
8 5
9 5 56
5 5 40
9 5 56
4 96
24
24 8
32
24
32
:

20.20.20.20.20. ( )
( )
( )
( )
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
B
B
A
A
A
sol A Años
B Años
− = −
− = −
+ = +
+ = +
− =
− = − −
− =
− + =
− =
=
=
− = −
− = −
=
→
→
20 2 20
2 20
30
9
7
30
7 210 9 270
7 9 60
2 20 7
7 9 60
7 14 140
7 9 60
5 200
40
2 40 20
80 20
60
60
40
:
21.21.21.21.21. x tiempo ida
y tiempo vuelta
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
Si h tiempo de ida
h tiempo de vuelta
Entonces
Km
h
Km
h Veloc a favor
Km
h
Km
h Veloc en contra
Luego
x Veloc del bote
y Veloc delrio
x y
x y
x
x
→
→
+ =
=
− =
− =
+ =
− =
=
=
+ =
=
→
→
= →
= →
→
→
+ =
− =
=
=
3
4 8
8 4 0
2 0
3
2 0
3 3
1
1 3
2
1
2
16
1
16
16
2
8
16
8
2 24
12
.
.
.
.
12 16
4
12
4
+ =
=
→
→
y
y
sol Km
h Veloc bote
Km
h Veloc rio
: .
.
22.22.22.22.22.
( )
( )
A B
A B
A B
B A
A B
A B
A B
A B
A B
B
A
A
A
sol A Años
B Años
9
2
5
5 90 9
5 9 90
2 15
2 15
5 9 90
2 15 5
5 9 90
5 10 75
15
2 15 15
30 15
45
45
15
− =
− =
− =
= −
− =
− =
− = −
− =
− + = −
=
− =
− =
=
→
→
:
23.23.23.23.23.
( )
( )
( )
5 4 4
5 4 4
7 2 6
7 6 2
5 4 4 6
7 6 2 4
30 24 24
28 24 8
2 16
8
5 8 4 4
40 4 4
4 36
9
8 9
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A
A
B
B
B
B
sol A Km B Km
− =
− =
− =
− =
− =
− = −
− =
− + = −
=
=
− =
− =
− = −
=
→ →:
24.24.24.24.24. x Cifra decenas
y Cifra unidades
y x
x y y x
x y
x y
→
→
− =
+ + + =
+ =
+ =
4
10 10 66
11 11 66
6
− + =
+ =
=
=
+ =
=
x y
x y
y
y
x
x
sol
4
6
2 10
5
5 6
1
15:
25.25.25.25.25.
( )
( )( )
x L o
y Ancho
x y
x y
x y
x y xy
xy x y xy
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol m m
→
→
+ =
+ =
+ =
+ − = −
− + − = −
− + = −
− =
+ =
− =
=
=
+ =
=
⋅
arg
:
2 58
2 2 58
29
2 2 46
2 2 4 46
2 2 42
21
29
21
2 50
25
25 29
4
25 4
26.26.26.26.26.
( )( )
x L o
y Ancho
x y
x y
y x xy
xy y x xy
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol m m
→
→
+ =
+ =
− + =
+ − − =
− = −
− = −
+ =
− = −
=
=
+ =
=
⋅
arg
:
2 2 56
28
2 2
2 2 4
2 2 4
4
28
4
2 24
12
12 28
16
16 12

EJERCICIO 204
1.1.1.1.1.
( )
m n
A
A
A
= =
= ⋅ − +
= ⋅ ⋅
=
6 3
6 5 6 3 1
6 5 4
120
3
6
3
6
3
6
....
2.2.2.2.2. P
P
P
5
5
5
5
5 4 3 2
120
=
= ⋅ ⋅ ⋅
=
!
3.3.3.3.3.
( )
m n
C
A
P
C
C
C
= =
= =
⋅ − +
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=
7 5
7 6 7 5 1
5
7 6 5 4 3
5 4 3 2 1
2 520
120
21
5
7
5
7
5
5
7
5
7
5
7
....
!
.
4.4.4.4.4.
( )
m n
A
A
A
= =
= ⋅ − +
= ⋅
=
6 2
6 5 6 2 1
6 5
30
2
6
2
6
2
6
....
5.5.5.5.5.
( )
m n
A
A
A
= =
= ⋅ − +
= ⋅ ⋅
=
5 3
5 4 5 3 1
5 4 3
60
3
5
3
5
3
5
....
6.6.6.6.6.
( )
m n
C
A
P
C
C
C
= =
= =
⋅ − +
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
12 5
12 11 12 5 1
5
12 11 10 9 8
5 4 3 2 1
3 11 2 3 4
792
5
12
5
12
5
5
12
5
12
5
12
....
!
7.7.7.7.7. P
P
P
7
7
7
7
7 6 5 4 3 2
5 040
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
!
.
8.8.8.8.8.
( )
m n
C
A
P
C
C
C
= =
= =
⋅ − +
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
=
7 4
7 6 7 4 1
4
7 6 5 4
4 3 2 1
7 5
35
4
7
4
7
4
4
7
4
7
4
7
....
!
9.9.9.9.9. P P
P
P
P
5 1 4
4
4
4
4
4 3 2
24
− =
=
= ⋅ ⋅
=
!
10.10.10.10.10. P
P
P
6
6
6
6
6 5 4 3 2
720
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
!
11.11.11.11.11. Siendo el
P
P
P
lugar fijo
P
P P
P
P
1
6
6 5 4 3 2
720
7
7
7 720
5 040
6
6
6
7
7 6
7
7
º
!
sin
!
.
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=
=
= ⋅
=
12.12.12.12.12. En un banco
P
En una mesa
redonda
P P
P
P
6
6 1 5
5
5
720
5
120
=
=
=
=
−
!
13.13.13.13.13.
( )
m n
A
A
A
= =
= ⋅ − +
= ⋅ ⋅
=
9 3
9 8 9 3 1
9 8 7
504
3
9
3
9
3
9
....
14.14.14.14.14. P P
P
P
4 1 3
3
3
3
6
− =
=
=
!
15.15.15.15.15.
( )
m n
C
A
P
C
C
C
= =
= =
⋅ − +
=
⋅ ⋅
⋅
= ⋅
=
5 3
5 4 5 3 1
3
5 4 3
3 2
5 2
10
3
5
3
5
3
3
5
3
5
3
5
....
!
16.16.16.16.16. P P
P
P
P
5 2 3
3
3
3
3
3 2
6
− =
=
= ⋅
=
!
17.17.17.17.17.
( )
m n
A
A
A
= =
= ⋅ − +
= ⋅ ⋅
=
5 3
5 4 5 3 1
5 4 3
60
3
5
3
5
3
5
....
18.18.18.18.18. P P
P
P
P
11 1 10
10
10
10
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2
3 628 800
− =
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
!
. .
19.19.19.19.19.
( )
m n
C
A
P
C
C
C
= =
= =
⋅ − +
=
⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅
=
8 3
8 7 8 3 1
3
8 7 6
3 2
4 7 2
56
3
8
3
8
3
3
8
3
8
3
8
....
!
20.20.20.20.20.
( )
m n
A
A
A
= =
= ⋅ − +
= ⋅ ⋅
=
6 3
6 5 6 3 1
6 5 4
120
5
6
5
6
5
6
....
21.21.21.21.21. Palabras dist as
P
P
P
Vocales fijas
P
P
int
!
.
!
8
8
8
5
5
8
8 7 6 5 4 3 2
40 320
5
120
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=
=
22.22.22.22.22. P P
P
P
P
5 1 4
4
4
4
4
4 3 2
24
− =
=
= ⋅ ⋅
=
!

EJERCICIO 205
1.1.1.1.1. ( )4 162 2 4
a a=
2.2.2.2.2. ( )− = −5 125
3 3
a a
3.3.3.3.3. ( )3 27
3 3 3
xy x y=
4.4.4.4.4. ( )− =6 362 2 4 2
a b a b
5.5.5.5.5. ( )− = −2 82 3 3 6 9
x y x y
6.6.6.6.6. ( )4 642 3 4 3 6 9 12
a b c a b c=
7.7.7.7.7. ( )− =6 364 5 2 8 10
x y x y
8.8.8.8.8. ( )− = −7 3433 4 3 3 9 12
ab c a b c
9.9.9.9.9. ( )a b a bm n x mx nx
=
10.10.10.10.10. ( )− =2 163 5 6 4 12 20 24
x y z x y z
11.11.11.11.11. ( )− = −3 273 3 9 3
m n m n
12.12.12.12.12. ( )a b c a b c
m m m m2 3 2 3
=
13.13.13.13.13. ( )− =m nx m n x2 3 4 8 4 12
14.14.14.14.14. ( )− = −3 2432 5 10 5
a b a b
15.15.15.15.15. ( )7 495 6 8 2 10 12 16
x y z x y z=
16.16.16.16.16. −





 =
x
y
x
y2 4
2 2
2
17.17.17.17.17. −





 = −
2 8
2
3 3
6
m
n
m
n
18.18.18.18.18.
ab a b2 3 3 6
5 125





 =
19.19.19.19.19. −





 =
3
4
9
16
2 2 4
2
x
y
x
y
20.20.20.20.20. −





 =
2
3
16
81
2
3
4 4 8
12
ab
m
a b
m
21.21.21.21.21.
2
3
32
243
3
4
5 15 5
20
m n
x
m n
x





 =
22.22.22.22.22. −





 =
3
4
9
16
3 2 2 6 4
a b a b
23.23.23.23.23. −





 =
mn m n2 4 4 8
3 81
24.24.24.24.24. −





 = −
a b a b2 4 5 10 20
2 32
EJERCICIO 206
1.1.1.1.1. ( )
( )
a b
a a b b
a a b b
5 4 2
10 5 4 8
10 5 4 8
7
2 7 49
14 49
+
= + +
= + +
2.2.2.2.2. ( )
( )( )
3 5
9 2 3 5 25
9 30 25
4 3 2
8 4 3 2 6
8 5 3 2 6
x xy
x x xy x y
x x y x y
−
= − +
= − +
3.3.3.3.3. ( )
( )
a b a
a b a b a a
a b a b a
2 3 5 2
4 6 2 3 5 10
4 6 7 3 10
2
2
−
= − +
= − +
4.4.4.4.4. ( )
( )( )
7 8
49 2 7 8 64
49 112 64
5 3 4 2
10 5 3 4 6 8
10 8 4 6 8
x x y
x x x y x y
x x y x y
−
= − +
= − +
5.5.5.5.5. ( )
( )( )
9 5
81 2 9 5 25
81 90 25
2 2 3 2
2 4 2 2 3 4 6
2 4 3 5 4 6
ab a b
a b ab a b a b
a b a b a b
+
= + +
= + +
6.6.6.6.6. ( )
( )( )
3 7
9 2 3 7 49
9 42 49
2 3 3 2 2
4 6 2 3 3 2 6 4
4 6 5 5 6 4
x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y
−
= − +
= − +
7.7.7.7.7. ( )
( )( )
xy a b
x y xy a b a b
x y a b xy a b
−
= − +
= − +
2 2 2
2 2 2 2 4 4
2 2 2 2 4 4
2
2
8.8.8.8.8.
x y
x x y y
x xy y
2
2
3
4
2
2
2
3
4
9
4
2
3
4
9
2
2 2
2 2
+






= +











 +
= + +
9.9.9.9.9.
3
4
2
5
9
16
2
3
4
2
5
4
25
9
16
3
5
4
25
2 2 2
4 2 2 4
4 2 2 4
a b
a a b b
a a b b
−






= −











 +
= − +
10.10.10.10.10.
5
6
3
5
25
36
2
5
6
3
5
9
25
25
36
9
25
3 2 2
6 3 2 2 4
6
4 2
2 4
x xy
x x xy x y
x
x y
x y
+






= +











 +
= + +
11.11.11.11.11.
a a b
a a a b a b
a a b a b
5 3 7 2
10 5 3 7 6 14
10 8 7 6 14
9
3
7
81
2
9
3
7
9
49
81
2
21
9
49
−






= −











 +
= − +
12.12.12.12.12.
2
5
5
4
4
25
2
2
5
5
4
25
16
4
25
25
16
4 3 2
8 4 3 6
8
4 3
6
m n
m m n n
m
m n
n
−






= −











 +
= − +
13.13.13.13.13.
x y
x x y y
x xy y
3 4
9
2
3 4 16
9 6 16
2 2
2 2 4
2 2 4
+






= +











 +
= + +
14.14.14.14.14.
2
3
3
5
4
9
2
2
3
3
5
9
25
4
9
4
5
9
25
2
2 2
2 2
x y
x x y y
x xy y
−






= −











 +
= − +

15.15.15.15.15.
a a
b
a a a
b
a
b
a a
b
a
b
3 2 2
6 3 2 4
2
6 5 4
2
8
4
7
64
2
8
4
7
16
49 64 7
16
49
+






= +











 + = + +
16.16.16.16.16.
3
2
2
3
9
4
2
3
2
2
3
4
9
9
4
2
4
9
4 2
2
4 8
2
3
8
x
x
x x
x x
x
x
x
−






= −











 + = − +
17.17.17.17.17.
5
6
3
10
25
36
2
5
6
3
10
9
100
25
36 2
9
100
7
4
6
2
2 14
8
7
4
6
2
12
4
14
8
5 2 12
4
x
y
y
x
x
y
x
y
y
x
y
x
x
y
x y y
x
−





 = −











 +
= − +
18.18.18.18.18.
3
8
4
9
9
64
2
3
8
4
9
16
81
9
64 3
16
81
6 2
5
2 12 6 2
5
4
10
12 8
5
4
10
a a
b
a a a
b
a
b
a a
b
a
b
−





 = −











 +
= − +
EJERCICIO 207
1.1.1.1.1. ( ) ( )( ) ( )( )2 3 8 3 4 3 3 2 9 27 8 36 54 27
3 3 2 2 3 3 2 2 3
a b a a b a b b a a b ab b+ = + + + = + + +
2.2.2.2.2. ( ) ( )( ) ( )( )4 3 64 3 16 3 3 4 9 27 64 144 108 272 3 3 2 2 4 6 3 2 2 4 6
a b a a b a b b a a b ab b− = − + − = − + −
3.3.3.3.3. ( ) ( )( ) ( )( )5 6 125 3 25 6 3 5 36 216 125 450 540 2162 3 3 6 4 3 2 6 9 6 4 3 2 6 9
x y x x y x y y x x y x y y+ = + + + = + + +
4.4.4.4.4. ( ) ( )( ) ( )( )4 3 64 3 16 3 3 4 9 27 64 144 108 273 2 3 9 6 2 3 2 4 3 6 9 7 2 5 4 3 6
x xy x x xy x x y x y x x y x y x y− = − + − = − + −
5.5.5.5.5. ( )
( )( ) ( )( )
7 5
343 3 49 5 3 7 25 125 343 735 525 125
4 2 3 3
12 8 2 3 4 4 6 6 9 12 10 3 8 6 6 9
a a b
a a a b a a b a b a a b a b a b
−
= − + − = − + −
6.6.6.6.6. ( ) ( )( ) ( )( )a a x a a a x a a x a x a a x a x a x8 5 4 3 24 16 5 4 8 10 8 15 12 24 21 4 18 8 15 12
9 3 9 3 81 729 27 243 729+ = + + + = + + +
7.7.7.7.7. ( )
( )( ) ( )( )
8 7
512 3 64 7 3 8 49 343 512 1 344 1 176 343
4 2 4 3
12 8 2 4 4 4 8 6 12 12 10 4 8 8 6 12
x x y
x x x y x x y x y x x y x y x y
−
= − + − = − + −. .
8.8.8.8.8. ( )
( )( ) ( )( )
3 5
27 3 9 5 3 3 25 125 27 135 225 125
2 3 2 3
6 3 4 2 3 2 2 6 4 9 6 6 3 7 4 8 5 9 6
a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
−
= − + − = − + −
9.9.9.9.9.
1
2
2
3 8
3
4
2
3
3
2
4
9
8
27 8 2
2
3
8
27
2 3 3 2 2 4 6 3 2 2 4 6
a
b a a b a b b a a b ab b
+





 = +











 +











 + = + + +
10.10.10.10.10.
3
4
4
5
27
64
3
9
16
4
5
3
3
4
16
25
64
125
27
64
27
20
36
25
64
125
2 2 3 6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
a b a a b a b b a a b a b b
−





 = −











 +











 − = − + −
11.11.11.11.11.
5
6
3
10
125
216
3
25
36
3
10
3
5
6
9
100
27
1 000
125
216
5
8
9
40
27
1 000
2 4 3
6 3 4 2 4 2 8 12 6 3 4 6 2 9 12
a b b
a b a b b a b b b a b a b a b b
−






= −











 +











 − = − + −
. .
12.12.12.12.12.
7
8
4
7
343
512
3
49
64
4
7
3
7
8
16
49
64
343
343
512
21
16
6
7
64
343
5 6 3
15 10 6 5 12 18 15 10 6 5 12 18
x y
x x y x y y x x y x y y
−






= −











 +











 + = − + +

13.13.13.13.13.
x
y
y
x
x
y
x
y
y
x
x
y
y
x
y
x
x
y y
y
x
y
x2
3
8
3
4
3
3
2
9 27
8
9
4
27
2
27
2
3 3
3
2
2 2
2
4
3
6
3
3 3
3
6+





 = +











 +











 + = + + +
14.14.14.14.14.
2
5
5
2
8
125
3
4
25
5
2
3
2
5
25
4
125
8
8
125
6
5
15
2
125
8
2
3
3 6 4
3
2
6 9
6 4
3
2
6 9
a
b
a a
b
a
b b
a a
b
a
b b
−





 = −











 +











 − = − + −
15.15.15.15.15. ( ) ( )4
3
64 3 16
3
3 4
9 27
64
144 108 274
3
12 8
3
4
2
6
3
9
12
9
3
6
6
3
9x
x
y
x x
x
y
x
x
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
−





 = −





 +





 − = − + −
16.16.16.16.16.
3
2
4
5
27
8
3
9
4
4
5
3
3
2
16
25
64
125
27
8
27
5
72
25
64
125
2 3 3
3
2
2
2 4 6 3
3
2 3 6
a
b
b a
b
a
b
b a
b
b b a
b
a ab b
+





 = +











 +











 + = + + +
17.17.17.17.17.
7
8
343
512
3
49
64
3
7
8
343
512
147
64
21
8
4 5
3
4 5 8 10 12 15
4 5 8 10
12 15
−





 = −





 +





 − = − + −x y x y x y x y
x y x y
x y
18.18.18.18.18.
m n
m
m m n
m
m n
m
n
m
m m n n
m
n
m
3 2
2
3 9 6 2
2
3 4
4
6
6
9 4 2 4 6
6
6
6
216
3
36
6
3
6
36 216
216 2
18 216
−





 = −











 +











 − = − + −
EJERCICIO 208
1.1.1.1.1.
( ) ( ) ( )( )
x x
2
4 2 2 2 4 2 3 2 4 3 2
2 1
4 1 2 2 2 1 2 2 1 4 1 4 2 4 4 6 4 1
− +
= + + + − + + − = + + − + − = − + − +
2.2.2.2.2.
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 1
4 1 2 2 2 2 1 2 1 4 1 4 4 2 4 4 5 2 1
2
4 2 2 2 4 2 3 2 4 3 2
x x
+ +
= + + + + + = + + + + + = + + + +
3.3.3.3.3. ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x x x x x x x x
x x x x
2 4 2 2 2 4 2 3 2
4 3 2
5 2 25 4 2 5 2 2 2 5 2 25 4 10 4 20
10 29 20 4
− + = + + + − + + − = + + − + −
= − + − +
4.4.4.4.4. ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
3 2 6 4 3 2 3 2 6 4 5 3 2
6 5 4 3 2
5 6 25 36 2 5 2 6 2 5 6 25 36 10 12 60
10 25 12 60 36
− + = + + + − + + − = + + − + −
= − + + − +
5.5.5.5.5. ( )( ) ( )( ) ( )( )4 3 5 16 9 25 2 4 3 2 4 5 2 3 5
16 9 25 24 40 30 16 24 49 30 25
4 2 8 4 4 2 4 2
8 4 6 4 2 8 6 4 2
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
− + = + + + − + + −
= + + − + − = − + − +
6.6.6.6.6. ( )( ) ( )( ) ( )( )x y z x y z x y x z y z x y z xy xz yz+ − = + + + + − + − = + + + − −2 4 2 2 2 2 2 4 4 2 42 2 2 2 2 2
7.7.7.7.7.
( )( ) ( )( ) ( )( )
3
9 2 3 2 3 2 9 6 6 2 2 5 6 9
3 6
6 12 3 6 3 6 6 12 3 6 9 12 9 6 3
− −
= + + + − + − + − − = + + − − + = + − − +
x x
8.8.8.8.8. ( )( ) ( )( ) ( )( )5 7 3 25 49 9 2 5 7 2 5 3 2 7 3
25 49 9 70 30 42 25 70 30 49 42 9
4 2 8 4 2 4 2 4 2
8 4 2 6 5 3 8 6 5 4 3 2
− + = + + + − + + −
= + + − + − = − + + − +
9.9.9.9.9. ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 3 4 4 9 2 2 2 2 2 3 2 2 3
4 4 9 8 12 12 4 8 8 12 9
2 2 4 2 2 4 2 2 2 2
4 2 2 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
a ab b a a b b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b ab b
+ − = + + + + − + −
= + + + − − = + − − +
10.10.10.10.10. ( )( ) ( )( ) ( )( )m m n n m m n n m m n m n m n n
m m n n m n m n m n m m n m n m n m n n
3 2 4 6 4 2 8 3 2 3 4 2 4
6 4 2 8 5 3 4 2 5 6 5 4 2 3 4 2 5 8
2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 8 4 4 4 8 4
− + = + + + − + + −
= + + − + − = − + + − +
11.11.11.11.11. ( ) ( )a
b
c a
b
c a
b
a c
b
c a
b
c
ab
ac bc
2 4 4 16
2
2
2
2 4
2
4 4 16 4 2
2
2
2 2
2
2
− + = + + +





 − +











 + −





 = + + − + −

12.12.12.12.12. ( ) ( )x
y
x
y
x
y
x
y
x
y xy
x y
x
xy
x
y
y
5
5
5
3 25
25
25
9
2
5
5 2
5
5
3
2 5
5
3 25
25
25
9
2
2
3
50
3
25
2
2
3
25
50
3
25
9
2
2
2
2
2
2
− + = + + +





 − +











 + −





 = + + − + −
= − + + − +
13.13.13.13.13. ( ) ( )x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x x
2 4
2
2 2 4
2 3
2
4
3
2
2
2
3 4
4
9
2
2
2
2
2
3
2
2
3 4
4
9
2
3
4
3
4
5
3
4
3
4
9
− + = + + +





 − +











 +





 − = + + − + −
= − + − +
14.14.14.14.14.
a
x
x
a
a
x
x
a
a
x
a
x
x
a
x
a
a
x
x
a
a
x
x
a
a
x
a
x
x
a
x
a
− + = + + +





 −





 +











 + −











 = + + − + −
= − − + +
1
3
1
9
2
1
3
2 2
1
3
1
9
2
3
2
2
3
2
3
2
3
19
9
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
15.15.15.15.15.
3
4 2
4
5
9
16 4
16
25
2
3
4 2
2
3
4
4
5
2
2
4
5
9
16 4
16
25
3
4
6
5
4
5
9
16
3
4
29
20
4
5
16
25
2 4 2 2 2
4 2 3 2 4 3 2
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
− + = + + +





 −





 +











 + −












= + + − + − = − + − +
16.16.16.16.16.
a b a b a a b b
a b a a b b a a a b b b
2 2 4 4 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4
4
3
5 9 16
9
25 81
2
4
3
5
2
4 9
2
3
5 9
16
9
25 81
3
10 18
2
15 16
3
10 18
9
25
2
15 81
− + = + + +





 −





 +











 + −












= + + − + − = − + + − +
17.17.17.17.17. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )x x x x x x x x x x x x x x x
3 2 6 4 2 3 2 3 3 2 2
6 4 2 5 4 3 3 2 6 5 4 2
1 1 2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1
− + + = + + + + − + + + − + − +
= + + + − + + − − + = − + − + +
18.18.18.18.18.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
x x x
3 2
6 4 2 3 2 3 3 2 2
6 4 2 5 4 3 3 2 6 5 4 3 2
3 2 2
9 4 4 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2
9 4 4 6 4 4 12 12 8 6 5 16 8 8 4
− − +
= + + + + − + − + + − − + − + −
= + + + − − + + − − = − + + − − +
19.19.19.19.19.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
x x x
4 2
8 4 2 4 2 4 4 2 2
8 4 2 6 5 4 3 2 8 6 5 4 3 2
3 4 5
9 16 25 2 3 2 4 2 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5
9 16 25 6 8 10 24 30 40 6 8 19 24 46 40 25
+ − +
= + + + + + − + + − + + −
= + + + + − + − + − = + − + − + − +
20.20.20.20.20.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x
4 3
8 6 2 4 3 4 4 3 3
8 6 2 7 5 4 4 3 8 7 6 5 4 3 2
4 2 3
16 4 9 2 4 2 2 2 3 2 4 2 2 4 3 2 2 3
16 4 9 8 4 6 16 24 12 8 16 4 22 24 4 12 9
− + −
= + + + + − + + − + − + − − + −
= + + + − + − − + − = − + + − + + − +
21.21.21.21.21.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
3 6
9 36 2 3 6 2 3 2 3 2 6 2 6 2
9 36 36 6 6 12 12 2 2 13 18 42 36 9
2 3
2 4 6 2 3 2 3 2 3
2 4 6 2 3 3 4 5 6 5 4 3 2
− + −
= + + + + − + + − + − + − − + −
= + + + − + − − + − = − + − + − +
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a
22.22.22.22.22.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
x
x
x
x
x
x x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
3
2
6
4
2 3
2
3 3
2 2
6
4
2
5
4
3
3
2
6
5
2
2
3
2
4
4
9
4 2
2
2
2
2
3
2
2
2 2
2
3
2 2 2
2
3
2
4
4
9
4
2
3
2
4
3
4
8
3 4
5
− + +
= + + + +





 − +











 +





 + −





 + − +






= + + + − + + − − + = − +
4 3 2
3
2
3
32
9
8
3
4+ − + +
x x x

23.23.23.23.23.
a a a
3 2
6 4 2 3 2 3 3 2 2
2
2
3
3
4
1
2
4
4
9
9
16
1
4
2
2
2
3
2
2
3
4
2
2
1
2
2
2
3
3
4
2
2
3
1
2
2
3
4
1
2
− + −
= + + + +





 −





 +











 +





 −





 + −











 + −





 −





 +





 −






= + + + − + − − + − = − + − + − +
a a a a a a
a
a a a a a a a a6 4 2 5 4 3
3
2 6 5 4 3 2
4
4
9
9
16
1
4
2
3
3
4 2
2
3
3
4 4
2
3
43
36
3
2
59
48
3
4
1
4
24.24.24.24.24.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
5 4 3 2
10 8 6 4 2 5 4 5 3 5 2 5 5 4 3 4 2
4 4 3 2 3 3 2 2
10 8 6 4 2 9 8
2
4 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2
− + − + −
= + + + + + + − + + − + + − + − + − −
+ − + − − + − + + − + − + − − + −
= + + + + + − + − 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 4 4
2 3 4 5 8 7 6 5 4 4
7 6 5 7 6 5 4 5 4 3 3 2
10 9 8 7 6 5 4 3 2
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
+ − − + − + − + − − + −
= − + − + − + − + − +
EJERCICIO 209
1.1.1.1.1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )x x x x x x x x x x x x x x
2 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 3 5 4 4 2 2 3 6 5 4 3 2
1 1 3 3 1 3 3 1 3 3 6 1
1 3 3 3 3 3 3 6 3 6 7 6 3 1
+ + = + + + + + + + + +
= + + + + + + + + + = + + + + + +
2.2.2.2.2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 1 8 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2 3 1 2 3 1
6 2 1
8 1 12 12 3 6 6 3 12 8 12 6 11 3 3 1
2 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
6 3 5 4 2 4 2 3 6 5 4 3 2
x x
− − = − − + − + − + − − + − + − + − −
+ − −
= − − − − − + + − + = − − + + − −
3.3.3.3.3.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
1 3 2
1 27 8 3 1 3 3 1 2 3 3 1 3 3 2 3 2 1 3 2 3
6 1 3 2
1 27 8 9 6 27 54 12 36 36 1 9 33 63 66 36 8
2
3 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
3 6 2 2 4 4 5 3 2 3 4 5 6
− +
= − + + − + + − + − + + −
+ −
= − + − + + + + − − = − + − + − +
x x
x x x x x x x x x x
x x
4.4.4.4.4.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 3
8 27 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 6 2 3
8 27 36 12 54 27 6 9 36 9 33 63 66 36 8
2
3 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 6 2 2 4 4 5 3 6 5 4 3 2
− +
= − + + − + + − + − + + − + −
= − + − + + + + − − = − + − + − +
x x
5.5.5.5.5.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
3 2
9 6 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2
3 2
9 6 8 6 7 4 3 2 5
9 8 7 6 5 4 3 2
2 4
8 64 3 2 3 4 3 2 3 2 4 3 4 3 4 2
6 2 4
8 64 6 12 12 48 48 96 48
6 12 20 48 48 48 96 64
− −
= − − + − + − + − + − − + − + − −
+ − −
= − − − − + − + − +
= − + − + − + − −
6.6.6.6.6.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
x x
x x x x x x x x x x
x x
4 2
12 6 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2
4 2
12 6 10 8 8 4 4 2 6 12 10 8 6 4 2
2
8 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2
6 2
8 3 6 3 6 12 12 12 3 3 11 6 12 8
− −
= − − + − + − + − + − − + − + − −
+ − −
= − − − − + − + − + = − − + + − −

7.7.7.7.7. ( ) ( ) ( ) ( )a
a a
a
a a
a
a
a
a a
a
a a a
a
a a
a
a a
a
a a
3
2
9
6 3
3 2
2
3 2
2 2
3
2 2 2
3
2 2
3
2
9
6 3
2 3 8 27
3
2
3
3
3
2
3
2 3
3
3
3
3 2
6
2 3
8 27
3
+ − = + − +





 + −





 +





 +





 −





 + −






+ −











 +





 −






= + − +
a
a
a a a a
a a
a a a a a a8
7
7 5 5 4
6 9
8 7 6 5 4 3
2
3
4 4 3 6
3
2 4
7
8 12 6 27
− + − + + − = + − − + + −
8.8.8.8.8. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x x x x x
x
x x x x
x x x
x x x x x x
2 6 3 2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2
6 3 5 4 4
2 3
2
8 27
8 3
2 3
3 2 2 3
3 2
3
3
2 3 2
2
3 2
3
6
2 3
2
8 27
8
4
3
2 6
2
− + = − + +





 −





 + + −











 + −





 +






+ −





 +





 −






= − + − + + +
2
2 3
6 5 4 3 2
3
6 4 2
8 4
5
3
55
27
20
3
4 8+ − − = − + − + − +x x x
x x x x x
x
9.9.9.9.9.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a
3 2
9 6 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2
2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2
3 2 3 2 3 2
9 6 3 8
1
1 3 3 3 1 3 3
3 1 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1
6 6 1 6 1 6 1
1 3 3
− + −
= − + − + − + + − + − + −
+ − − + + − + − + − + − − + −
+ − + − − + − + − −
= − + − − + a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
7 6 7 5 4 5 4 2 3 2 6 5 4 3
9 8 7 6 5 4 3 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6
3 6 10 12 12 10 6 3 1
− + + − + − − + − + − + − +
= − + − + − + − + −
10.10.10.10.10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
3 2 9 6 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2
2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2
3 2 2 3 2 2 2
9
2 3 8 27 3 2 3 3 3 3 2 3 2
3 2 3 3 3 2 3 3 6 2 6 2 3
6 3 6 2 3 3 3 3 3 2 3 3
8
− + − = − + − + − + + − + − + −
+ − − + + − + − + − + − −
+ − + − − + − + − − + −
= − 6 3 8 7 6 7 5 4 5 4 2 6 5
4 3 3 2
9 8 7 6 5 4 3 2
27 6 3 9 12 12 36 3 6 9 12 36
18 36 27 54 27
6 15 29 51 60 64 63 27 27
+ − − + − + + − + − − − +
− + + − +
= − + − + − + − + −
x x x x x
x x x x x x x x x
11.11.11.11.11.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
3 2
9 6 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2
2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2
2 3 2 3 2 3
4 2 3
64 8 27 3 4 3 2 3 3 3 4 3 4 2
3 4 3 3 2 3 2 4 3 2 3 3 3 3 3 4
3 3 2 6 4 2 6 4 3 6 2 3 6 4
− + −
= − + − + − + + − + − + −
+ − − + + − + − + − + − −
+ − + − + − − + − + −( )( )( )2
9 6 3 8 7 6 7 5 4 5 4 2 3 2
6 5 4 3
9 8 7 6 5 4 3 2
2 3
64 8 27 12 6 9 48 96 144 12 48 36 27 108
54 48 72 36 144
12 54 121 180 228 179 144 54 27
x
x x x x x
x x x x x x x x x
−
= − + − − + − + + − + − − + −
+ − + − +
= − + − + − + − + −
12.12.12.12.12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
1 2 1 8 3 3 2 3 3 3 2 3
3 2 3 2 3 2 3 3 3 2
6 2 6 2 6 6 2
1 8
2 4 6 6 12 18 2 4 6 2 2 2 2 4 2 2 6
4 2 4 2 2 4 2 6 6 2 6 2 2 6 2 4
2 4 4 6 2 6 2 4 6
6
− + − = − + − + − + + − + − + − + − −
+ + − + − + − + − − + −
+ − + − + − − + − −
= − +
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x12 18 2 4 6 4 8 10 8 10 14 12
14 16 6 10 8 12
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 3 3 6 3 12 12 12 3
3 6 12 12 6 12
1 3 9 16 24 27 23 15 6
− − + − + + − + − − +
− + − − + +
= − + − + − + − + −
x x x x x x
x x x x x x x x x

EJERCICIO 210
1.1.1.1.1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x x− = − +
⋅
−
⋅
+ = − + − +2 4 2
4 3
2
2
6 2
3
2 2 8 24 32 16
4 4 3 2 2 3 4 4 3 2
2.2.2.2.2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a a a+ = + +
⋅
+
⋅
+ = + + + +3 4 3
4 3
2
3
6 2
3
3 3 12 54 108 81
4 4 3 2 2 3 4 4 3 2
3.3.3.3.3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 2
5 4
2
2
10 3
3
2
10 2
4
2 32 80 80 40 10
5 5 4 3 2 2 3 4 5 2 3 4 5
− = − +
⋅
−
⋅
+
⋅
− = − + − + −x x x x x x x x x x x
4.4.4.4.4. ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 5
2 4 2 5
4 3
2
2 5
6 2
3
2 5 5 16 160 600 1 000 625
4
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
x y
x x y x y x y y x x y x y xy y
+
= + +
⋅
+
⋅
+ = + + + +.
5.5.5.5.5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a
a a a a a a
− = − +
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
= − + − + − +
3 6 3
6 5
2
3
15 4
3
3
20 3
4
3
15 2
5
3 3
18 135 540 1 215 1 458 729
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4 3 2
. .
6.6.6.6.6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 6 2
6 5
2
2
15 4
3
2
20 3
4
2
15 2
5
2
64 192 240 160 60 12
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
a b a a b a b a b a b a b b
− = − +
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
= − + − + − +
7.7.7.7.7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x y x x y x y x y x y y
x x y x y x y x y y
2 3 5 2 5 2 4 3 2 3 3 2 2 2 3 3 2 3 4 3 5
10 8 3 6 6 4 9 2 12 15
2 5 2
5 4
2
2
10 3
3
2
10 2
4
2 2
10 40 80 80 32
+ = + +
⋅
+
⋅
+
⋅
+
= + + + + +
8.8.8.8.8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x x x x x x x
x x x x x x
3 6 3 6 3 5 3 4 2 3 3 3 3 2 4 3 5 6
18 15 12 9 6 3
1 6 1
6 5
2
1
15 4
3
1
20 3
4
1
15 2
5
1 1
6 15 20 15 6 1
+ = + +
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
= + + + + + +
9.9.9.9.9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 2 5 2 3
5 4
2
2 3
10 3
3
2 3
10 2
4
2 3 3
32 240 720 1 080 810 243
5 5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
a b a a b a b a b a b b
a a b a b a b ab b
− = − +
⋅
−
⋅
+
⋅
−
= − + − + −.
10.10.10.10.10. ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
x y
4 3 6
4 6 4 5 3 4 4 3 2 4 3 3 3 4 2 3 4 4 3 5 3 6
24 20 3 16 6 12 9 8 12 4 15 18
5
6 5
6 5
2
5
15 4
3
5
20 3
4
5
15 2
5
5 5
30 375 2 500 9 375 18 750 15 625
−
= − +
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
= − + − + − +. . . .
11.11.11.11.11.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 6 2
2
6 5
2
2
2
15 4
3
2
2
20 3
4
2
2
15 2
5
2
2 2
64 96 60 20
15
4
3
8 64
6
6 5 4
2
3
3
2
4 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5
6
x
y
x x
y
x
y
x
y
x
y
x
y y
x x y x y x y x y xy
y
−






= −





 +
⋅ 




 −
⋅ 




 +
⋅ 




 −
⋅ 




 +






= − + − + − +
12.12.12.12.12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
3
3 5 3
3
5 4
2
3
3
10 3
3
3
3
10 2
4
3
3 3
243 135 30
10
3
5
27 243
2 5
5 4
2
3
2 2
2
2 3 2 4 2 5
2 4 6 8
10
−





 = −





 +
⋅ 




 −
⋅ 




 +
⋅ 




 −






= − + − + −
x x x x x x
x x x x
x
13.13.13.13.13. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2 3 2 6 2 3
6 5
2
2 3
15 4
3
2 3
20 3
4
2 3
15 2
5
2 3 3
64 576 2 160 4 320 4 860 2 916 729
3 4 6 3 6 3 5 4 3 4 4 2 3 3 4 3 3 2 4 4
3 4 5 4 6
18 15 4 12 8 9 12 6 16 3 20 24
m n m m n m n m n m n
m n n
− = − +
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
= − + − + − +. . . .

14.14.14.14.14. ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
x
x x x x x x x
x x x x x x x
2 7
2 7 2 6 2 5 2 2 4 3 2 3 4 2 2 5 2 6 7
14 12 10 8 6 4 2
3
7 3
7 6
2
3
21 5
3
3
35 4
4
3
35 3
5
3
21 2
6
3 3
21 189 945 2 835 5 103 5 103 2 187
−
= − +
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
= − + − + − + −. . . .
15.15.15.15.15. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
3
3 5 3
3
5 4
2
3
3
10 3
3
3
3
10 2
4
3
3 3
243 135 30
10
3
5
27 243
2 5
5 4
2
3
2 2
2
2 3 2 4 2 5
5 4 2 3 4 2 6 8
10
a
b
a a
b
a
b
a
b
a
b b
a a b a b a b ab
b
−





 = −





 +
⋅ 




 −
⋅ 




 +
⋅ 




 −






= − + − + −
16.16.16.16.16. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
x y x x y x y x y x y
x y x y y
x x y x y x y x y x y x y y
2 2 7 2 7 2 6 2 2 5 2 2 2 4 2 3 2 3 2 4
2 2 2 5 2 2 6 2 7
14 12 2 10 4 8 6 6 8 4 10 2 12 14
2 7 2
7 6
2
2
21 5
3
2
35 4
4
2
35 3
5
2
21 2
6
2 2
14 84 280 560 672 448 128
+ = + +
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
= + + + + + + +
17.17.17.17.17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
x x x x x x x
x x
x x x x x x x x
3 8 3 8 3 7 3 6 2 3 5 3 3 4 4 3 3 5
3 2 6 3 7 8
24 21 18 15 12 9 6 3
1 8 1
8 7
2
1
28 6
3
1
56 5
4
1
70 4
5
1
56 3
6
1
28 2
7
1 1
8 28 56 70 56 28 8 1
− = − +
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
= − + − + − + − +
18.18.18.18.18. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
y
x x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y y
2
9
2 9 2 8 2 7
2
2 6
3
2 5
4
2 4
5
2 3
6
2 2
7
2
8
2
9
2
9 8
2 2
36 7
3 2
84 6
4 2
126 5
5 2
126 4
6 2
84 3
7 2
36 2
8 2 2
−





 = −





 +
⋅ 




 −
⋅ 




 +
⋅ 




 −
⋅ 





+
⋅ 




 −
⋅ 




 +
⋅ 




 −






= − + − + − + − + −
9
18 16 14 2 12 3 10 4 8 5 6 6 4 7 2 8
9
9
2
9
21
2
63
8
63
16
21
16
9
32
9
256 512
x x y x y x y x y x y x y x y x y
y
19.19.19.19.19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 7 2
7 6
2
2
21 5
3
2
35 4
4
2
35 3
5
2
21 2
6
2
128 448 672 560 280 84 14
3 4 7 3 7 3 6 4 3 5 4 2 3 4 4 3 3 3 4 4
3 2 4 5 3 4 6 4 7
21 18 4 15 8 12 12 9 16 6 20 3 24 28
m n m n n
m m n m n m n m n m n m n n
− = − +
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
= − + − + − + −
20.20.20.20.20.
x y
x x y x y x y x y y
x x y x y
2 2 5
2 5 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 5
10 8 2 6
2
2
3
2
5
2
2
3
5 4
2 2
2
3
10 3
3 2
2
3
10 2
4 2
2
3
2
3
32
5
24
5
+






=





 +











 +
⋅ 










 +
⋅ 










 +
⋅ 










 +






= + +
4 4 6 2 8 10
9
20
27
40
81
32
243
+ + +
x y x y y
21.21.21.21.21.
1
5
5
2
1
5
6
1
5
5
2
6 5
2
1
5
5
2
15 4
3
1
5
5
2
20 3
4
1
5
5
2
15 2
5
1
5
5
2
5
2
1
15
6 6 5 4 2 3 3 2 4
5 6
−





 =





 −











 +
⋅ 










 −
⋅ 










 +
⋅ 











−
⋅ 










 +






=
a a a a a
a a
.625
3
625
3
20
5
2
375
16
1 875
16
15 625
64
2 3 4 5 6
− + − + − +
a a a a a a. .

EJERCICIO 211
NOTNOTNOTNOTNOTA: TA: TA: TA: TA: Triángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicioriángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicioriángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicioriángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicioriángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicio
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1.1.1.1.1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a a b a b a b a b a b b
+ = + + + + + +
= + + + + + +
2 6 2 15 2 20 2 15 2 6 2 2
12 60 160 240 192 64
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
2.2.2.2.2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 2 5 2 3 10 2 3 10 2 3 5 2 3 3
32 240 720 1 080 810 243
2 3 5 2 5 2 4 3 2 3 3 2 2 2 3 3 2 3 4 3 5
10 8 3 6 6 4 9 2 12 15
m n m m n m n m n m n n
m m n m n m n m n n
− = − + − + −
= − + − + −.
3.3.3.3.3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x y x x y x y x y x y x y y
2 3 6 2 6 2 5 3 2 4 3 2 2 3 3 3 2 2 3 4 2 3 5 3 6
12 10 3 8 6 6 9 4 12 2 15 18
6 15 20 15 6
6 15 20 15 6
+ = + + + + + +
= + + + + + +
4.4.4.4.4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 7 3 21 3 35 3 35 3 21 3 7 3
2 187 5 103 5 103 2 835 945 189 21
7 7 7 6 7 5 7 2 4 7 3 3 7 4 2 7 5 7 6 7 7
7 14 21 28 35 42 49
− = − + − + − + −
= − + − + − + −
y y y y y y y y
y y y y y y y. . . .
5.5.5.5.5. ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 3
2 6 2 3 15 2 3 20 2 3 15 2 3 6 2 3 3
64 576 2 160 4 320 4 860 2 916 729
3 4 6
3 6 3 5 4 3 4 4 2 3 3 4 3 3 2 4 4 3 4 5 4 6
18 15 4 12 8 9 12 6 16 3 20 24
x y
−
= − + − + − +
= − + − + − +. . . .
6.6.6.6.6. ( ) ( ) ( ) ( )
x
y
x x
y
x
y
x
y
x
y y
x x y x y x y x y
y
2
3
5 2 5 2 4
3
2 3
3 2
2 2
3 3
2
3 4 3 5
10 8 3 6 6 4 9 2 12
15
2 2
5
2
10
2
10
2
5
2
32
5
16
5
4
5
2
5
2
+





 =





 +





 +





 +





 +





 +
= + + + + +
7.7.7.7.7.
a
b
a a
b
a
b
a
b
a
b
a
b b
a a
b
a
b
a
b
3
3
3
6
3
3
15
3
3
20
3
3
15
3
3
6
3
3 3
729
2
27
5
3
20
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4
2
3
3
−





 =





 −











 +











 −











 +











 −











 +






= − + − + − +
135 486 7292
4 5 6
a
b
a
b b
8.8.8.8.8. ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1
1 8 1 28 1 56 1 70 1 56 1 28 1 8 1
1 8 28 56 70 56 28 8
4 8
8 7 4 6 4 2 5 4 3 4 4 4 3 4 5 2 4 6 4 7 4 8
4 8 12 16 20 24 28 32
−
= − + − + − + − +
= − + − + − + − +
x
x x x x x x x x
x x x x x x x x

9.9.9.9.9.
2
3
3
2
2
3
7
2
3
3
2
21
2
3
3
2
35
2
3
3
2
35
2
3
3
2
21
2
3
3
2
7
2
3
3
2
7 7 6 5 2 4 3 3 4
2 5
x y x x y x y x y x y
x y x y
−





 =





 −











 +











 −











 +












−











 +











 −






= − + − + − + −
6 7
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
3
2
128
2 187
224
243
56
9
70
3
105
2
567
8
1 701
32
2 187
128
y
x x y x y x y x y x y xy y.
. .
10.10.10.10.10.
2
2
2
7
2
2
21
2
2
35
2
2
35
2
2
21
2
2
7
2
2 2
2 7 7 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 4
2 2 5 2 6 2
m
m
m m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m m
−





 =





 −











 +











 −











 +












−











 +











 −






= − + − + − + −
7
7 4
2
5 8 11 14
128 224 168
70
35
2
21
8
7
32 128m m m
m
m m m m
11.11.11.11.11. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
x mn x x mn x mn x mn x mn x mn
x mn x mn mn
x x mn x m n x m n x m n x m n x m n x m n m n
3 8 3 8 3 7 3 6 2 3 5 3 3 4 4 3 3 5
3 2 6 3 7 8
24 21 18 2 2 15 3 3 12 4 4 9 5 5 6 6 6 3 7 7 8 8
8 28 56 70 56
28 8
8 28 56 70 56 28 8
+ = + + + + +
+ + +
= + + + + + + + +
12.12.12.12.12.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
3
3 9 3
3
36 3
3
84 3
3
126 3
3
126 3
3
84 3
3
36 3
3
9 3
3 3
19 683 19 683 8 748
2 9
9 8
2
7
2 2
6
2 3
5
2 4
4
2 5
3
2 6
2
2 7 2 8 2 9
2 4
−





 = −





 +





 −





 +





 −






+





 −





 +





 −






= − +
b b b b b b
b b b b
b b. . . − + − + − + −2 268 378 42
28
9
4
27 243 19 683
6 8 10
12 14 16 18
.
.
b b b
b b b b
13.13.13.13.13.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
1 10 1
1
45 1
1
120 1
1
210 1
1
252 1
1
210 1
1
120 1
1
45 1
1
10 1
1 1
1
10 45 120
10
10 9 8
2
7
3
6
4
5
5
4
6
3
7
2
8 9 10
2 3
−





 = −





 +





 −





 +





 −





 +






−





 +





 −





 +






= − + −
x x x x x x x
x x x x
x x x
+ − + − + − +
210 252 210 120 45 10 1
4 5 6 7 8 9 10
x x x x x x x
14.14.14.14.14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2 5 2 6 2 5 15 2 5 20 2 5 15 2 5
6 2 5 5
64 960 6 000 20 000 37 500 37 500 15 625
2 5 6 2 6 2 5 5 2 4 5 2 2 3 5 3 2 2 5 4
2 5 5 5 6
12 10 5 8 10 6 15 4 20 2 25 30
m n n
− = − + − +
− +
= − + − + − +. . . . .
15.15.15.15.15.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
4
4 7 4
4
21 4
4
35 4
4
35 4
4
21 4
4
7 4
4 4
16 384 7 168 1 344 140
35
4
21
64
7
1 024 16 384
5 7
7 6
5
5
5 2
4
5 3
3
5 4
2
5 5 5 6 5 7
5 10 15
20 25 30 35
−






= −





 +





 −





 +





 −





 +





 −






= − + − + − + −
x
x x x x x x x
x x x
x x x x
. . .
. .

EJERCICIO 212
1.1.1.1.1. ( )
( ) ( )
x y donde r
x y x y
− =
=
⋅
⋅
− =
−
5
5 2 2 3 2
3
5 4
1 2
10
4.4.4.4.4. ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 4
6 5 4
1 2 3
3 2
20 27 8
4 320
6
6 3 4 1
3 3
3 3
x y donde r
x y
x y
x y
− =
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
= −
= −
− −
.
7.7.7.7.7. ( )
( ) ( )
( )( )
x y donde r
x y
x y
x y
2 10
2 10 6 7 1
8 6
8 6
2 7
10 9 8 7 6 5
1 2 3 4 5 6
2
210 64
13 440
− =
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
=
=
− −
.
9.9.9.9.9. ( )
( ) ( )
a b donde r
a b
a b
2 15
2 15 9 10 1
12 9
10
15 14 13 12 11 10 9 8 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 005
+ =
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
− −
.
11.11.11.11.11. ( )
( ) ( )
( )( )
2 6
6 5 4 3 2
1 2 3 4 5
2
6 2
12
2 6
6 5 2 6 1
10
10
a b donde r
a b
a b
ab
− =
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
= −
= −
− −
2.2.2.2.2. ( )
( ) ( )
( )
a b donde r
a b
a b
a b
− =
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
= −
= −
− −
4
4 4
7 6 5
1 2 3
4
35 64
2 240
7
7 3 4 1
3
4 3
.
5.5.5.5.5. ( )
( ) ( )
( )( )
a b donde r
a b
a b
a b
2 9
2 9 4 5 1
10 4
10 4
2 5
9 8 7 6
1 2 3 4
2
126 16
2 016
− =
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
−
=
=
− −
.
3.3.3.3.3. ( )
( ) ( )
1 5
11 10 9 8
1 2 3 4
1
330
11
11 4 5 1
4
+ =
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
− −
x donde r
x
x
6.6.6.6.6.
( )
( )
2
2
6
8 7 6 5 4
1 2 3 4 5
2
2
56 8
32
14
8
8 5
6 1
3
5
3 5
a
b
donde r
a
b
a
b
a b
−





 =
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−






= −






= −
−
−
8.8.8.8.8. ( )
( ) ( )
( )
x y donde r
x y
x y
x y
− =
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
= −
= −
− −
2 11
11 7 2 8 1
4 14
4 14
8
11 10 9 8 7 6 5
1 2 3 4 5 6 7
330
330
10.10.10.10.10. ( )
( ) ( )
1 9
12 11 10 9 8 7 6 5
1 2 3 4 5 6 7 8
1
495
2 12
12 8 2 9 1
16
− =
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
=
− −
x donde r
x
x
12.12.12.12.12. ( )
( ) ( )
( )( )
3 5
8 7 6 5
1 2 3 4
3
70 81
5 670
2 2 8
2 8 4 2 5 1
8 8
8 8
x y donde r
x y
x y
x y
− =
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
−
=
=
− −
.
EJERCICIO 213
1.1.1.1.1. 4 22 4 2
a b ab= ±
2.2.2.2.2. 25 56 8 3 4
x y x y= ±
3.3.3.3.3. 27 33 93 3
a b ab=
4.4.4.4.4. − =−8 23 6 123 2 4
a b x ab x
5.5.5.5.5. 64 88 10 4 5
x y x y= ±
6.6.6.6.6. 16 28 164 2 4
a b a b= ±
7.7.7.7.7. x y z x y z15 20 255 3 4 5
=
8.8.8.8.8. − =−64 43 6 183 2 6
a x y ax y
9.9.9.9.9. − =−243 35 155 3
m n mn
10.10.10.10.10. 81 96 8 20 3 4 10
x y z x y z=±
11.11.11.11.11. 1 000 109 183 3 6
. x y x y=
12.12.12.12.12. 81 312 244 3 6
a b a b= ±
13.13.13.13.13. 64 212 18 306 2 3 5
a b c a b c= ±
14.14.14.14.14. 49 72 4 2
a b a bn n n n
= ±
15.15.15.15.15. − =−x y x yn x n x5 105 2
16.16.16.16.16.
9
25
3
5
2
4 2
a
x
a
x
= ±
17.17.17.17.17. − = −
27
64
3
4
3
9
3
3
a
x
a
x
18.18.18.18.18. − = −
a b
x
ab
x
5 10
15
5
2
3
32 2
19.19.19.19.19.
a
b c
a
bc
8
4 12
4
2
3
81 3
= ±
20.20.20.20.20.
128 2
14
7
2
x x
=
21.21.21.21.21.
x
y
x
y
m
n
m
n
2
4 2
121 11
= ±
22.22.22.22.22. − = −
125
216
5
6
9
12
3
3
4
x
m
x
m
23.23.23.23.23.
a
b c
a
bc
18
9 27
9
2
3
=
24.24.24.24.24.
x
y
x
y
20
30
10
2
3
1 024 2.
= ±

EJERCICIO 214
1.1.1.1.1.
( ) ( )
16 24 9 4 3
16 8 3 3
24 9 24 9
24 9
0
2 2 4 2
2 2 2
2 4 2 4
2 4
x xy y x y
x x y y
xy y xy y
xy y
− + −
− − −
− + = − +
−
2.2.2.2.2.
( )( )
25 70 49 5 7
25 10 7 7
70 49 70 49
70 49
0
4 3 2 2 2
4 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
a a x a x a ax
a a ax ax
a x a x a x a x
a x a x
− + −
− − −
− + = − +
−
3.3.3.3.3.
( )( )
( )( )
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
4 3 2 2
4 2
3 2 3 2
3 2
2 2
2 2
4 6 4 1 2 1
2 2 2
4 6 4 4
4 4
2 4 1 2 4 1 1
2 4 1 2 4 1
0
− + − + − +
− − −
− + = − +
−
− + − +
− + − = − +
4.4.4.4.4.
( )( )
( )( )
4 4 5 2 1 2 1
4 4
4 5 4
4
4 2 1 4 2 1 1
4 2 1 4 2 1
0
4 3 2 2
4 2
3 2 3 2
3 2
2 2
2 2
a a a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
+ + + + + +
− +
+ = +
− −
+ + + +
− − − = + +
5.5.5.5.5.
( )( )
( )( )
n n n n n n
n n n n
n n n n
n n
n n n n
n n n n
4 3 2 2
4 2
3 2 3 2
3 2
2 2
2 2
10 29 20 4 5 2
2 5 5
10 29 10 25
10 25
4 20 4 2 10 2 2
4 20 4 4 20 4
0
− + − + − +
− − −
− + = − +
−
− + − +
− + − = − +

6.6.6.6.6.
( )( )
( )( )
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
6 5 4 3 2 3 2
6 3 2 2
5 4 5 4
5 4
3 2 3 2
3 2 3 2
10 25 12 60 36 5 6
2 5 5
10 25 10 25
10 25
12 60 36 2 10 6 6
12 60 36 12 60 36
0
− + + − + − +
− − −
− + = − +
−
− + − +
− + − = − +
7.7.7.7.7.
( )( )
( )( )
16 24 49 30 25 4 3 5
16 8 3 3
24 49 24 9
24 9
40 30 25 8 6 5 5
40 30 25 40 30 25
0
8 6 4 2 4 2
8 4 2 2
6 4 6 4
6 4
4 2 4 2
4 2 4 2
a a a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
− + − + − +
− − −
− + = − +
−
− + − +
− + − = − +
8.8.8.8.8.
( )( )
( )( )
x xy xz yz y z x y z
x x y y
xy xz y xy y
xy y
xz yz z x y z z
xz yz z xz yz z
2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
4 2 4 4 2
2 2 2
4 2 4 4 4
4 4
2 4 2 4
2 4 2 4
0
+ − − + + + −
− +
− + = +
− −
− − + + − −
+ − = − − +
9.9.9.9.9.
( )( )
( ) ( )
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
12 9 6 3 6 3
12 6 3 3
9 6 9 6
9 6
6 3 6 3
6 3 6 3
2 5 6 9 3
2
2 5 2
2
6 6 9 2 2 3 3
6 6 9 6 6 9
0
+ − − + + −
− +
− = +
− −
− − + + − −
+ − = − − +
10.10.10.10.10.
( )( )
( )( )
25 70 30 49 42 9 5 7 3
25 10 7 7
70 30 49 70 49
70 49
30 42 9 10 14 3 3
30 42 9 30 42 9
0
8 6 5 4 3 2 4 2
8 4 2 2
6 5 4 6 4
6 4
5 3 2 4 2
5 3 2 5 3 2
x x x x x x x x x
x x x x
x x x x x
x x
x x x x x x x
x x x x x x
− + + − + − +
− − −
− + + = − +
−
− + − +
− + − = − +

11.11.11.11.11.
( ) ( )
( ) ( )
4 8 8 12 9 2 2 3
4 4 2 2
8 8 8 4
8 4
12 12 9 4 4 3 3
12 12 9 12 12 9
0
4 3 2 2 3 4 2 2
4 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3 4 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4
a a b a b ab b a ab b
a a ab ab
a b a b a b a b
a b a b
a b ab b a ab b b
a b ab b a b ab b
+ − − + + −
− +
− = +
− −
− − + + − −
+ − = − − +
12.12.12.12.12.
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
6 5 4 2 3 2
6 3 2 2
5 4 5 4
5 4
4 2 3 2
3 4 2 4 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2 3 2 1 1
2
2 3 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 1
2 2 2 1 2 2 2 1 1
0 2 2 2 1
− + − + + − + +
− − −
− + = − +
−
− + − +
− − = − +
− + +
− + − − − + +
= − + +
13.13.13.13.13.
( )( )
( )( )
x x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x
6 5 4 3 2 3 2
6 3 2 2
5 4 5 4
5 4
4 3 2 3 2
4 3 2 4 3 2
3 2
3 2 3 2
6 5 16 8 8 4 3 2 2
2 3 3
6 5 6 9
6 9
4 16 8 2 6 2 2
4 12 4 4 12 4
4 12 8 4
4 12 8 4 2 6
− + + − − + − − +
− − −
− + = − +
−
− + − − − −
− − = − + +
− − +
− + + − −( ) ( )− +
= − − +
4 2 2
0 4 12 8 43 2
x
x x x
14.14.14.14.14.
( )( )
( )( )
x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x
x x x x x
8 6 5 4 3 2 4 2
8 4 2 2 6 4
6 5 4
6 4 4 2
5 4 3 2 5 3 2
5 3 2
4 2 4 2
6 8 19 24 46 40 25 3 4 5
2 3 3 6 9
6 8 19
6 9 2 6 4 4
8 10 24 46 8 24 16
8 24 16
10 30 40 25 2 6 8
+ − + − + − + + − +
− + = +
− +
− − + − −
− + − + = − − +
+ −
+ − + + −( ) ( )x
x x x x x x
+
− − + − = + − +
5 5
10 30 40 25 10 30 40 25
0
4 2 4 2

15.15.15.15.15.
( ) ( )
( )( )
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x
x x x x x
8 7 6 5 4 3 2 4 3
8 4 3 3 7 6
7 6
7 6 4 3
5 4 3 2 5 4 2
5 4 2
4 3 4 3
8 16 4 22 24 4 12 9 4 2 3
2 4 4 8 16
8 16
8 16 2 8 2 2
4 22 24 4 4 16 4
4 16 4
6 24 12 9 2 8
− + + − + + − + − + −
− − − = − +
− +
− − +
− + + = − +
− + −
− + − + − +( )( )4 3 3
6 24 12 9 6 24 12 9
0
4 3 4 3
x
x x x x x x
− −
− + − = − + − +
16.16.16.16.16.
( )( )
( )( )
( )( )
9 36 42 18 13 2 3 6
9 6 6 6 36 36
36 42
36 36 6 12 6 12
6 18 13
6 12 6 12 2
6 12 2 6 12 2
6
2 3 4 5 6 2 3
2
2
2 2 2 2 3 4
2 3 4
2 3 4 2 3 3
3 4 5 6 3 4 5 6
− + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − + = − +
− +
− + − − + − −
− + − + = − + − +
a a a a a a a a a
a a a a
a a
a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a
a a a a a a a a
a3 4 5 6
12 2
0
− + −a a a
17.17.17.17.17.
( )( )
( )( )
( )( )
9 24 28 22 12 4 1 3 4 2 1
9 6 4 4 24 16
24 28
24 16 6 8 2 2
12 22 12 12 16 4
12 16 4
6 8 4 1 6 8 4 1 1
6
6 5 4 3 2 3 2
6 3 2 2 5 4
5 4
5 4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
3 2 3 2
3
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x
− + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − +
− + = − +
− + −
− + − + − + − −
− + − = − + − +8 4 1 6 8 4 1
0
2 3 2
x x x x x
18.18.18.18.18.
( )( )
( )( )
( ) ( )
16 40 73 84 66 36 9 4 5 6 3
16 8 5 5 40 25
40 73
40 25 8 10 6 6
48 84 66 48 60 36
48 60 36
24 30 36 9 8 10 12 3 3
24
6 5 4 3 2 3 2
6 3 2 2 5 4
5 4
5 4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
3 2 3 2
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x
− + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − +
− + = − +
− + −
− + − + − + − −
3 2 3 2
30 36 9 24 30 36 9
0
− + − = − + − +x x x x x

19.19.19.19.19.
( )( )
( )( )
m m n m n m n m n n m m n n
m m m n m n
m n m n m n m n
m n m n
m n m n n m m n n n
m n m n n m n m n n
6 5 4 2 3 4 2 5 8 3 2 4
6 3 2 2
5 4 2 5 4 2
5 4 2
3 4 2 5 8 3 2 4 4
3 4 2 5 8 3 4 2 5 8
4 4 4 8 4 2 2
2 2 2
4 4 4 4
4 4
4 8 4 2 4 2 2
4 8 4 4 8 4
0
− + + − + − +
− − −
− + = − +
−
− + − +
− + − = − +
20.20.20.20.20.
( )( )
( )( )
9 6 13 16 8 8 4 3 2 2
9 6 6
6 13
6 6 2 2 2
12 16 8 12 4 4
12 4
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 2 3
6 3 2 2 5 4 2
5 4 2
5 4 2 3 2 2 2
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
4 2
x x y x y x y x y xy y x x y xy y
x x x y x y x y x y
x y x y
x y x y x x y xy xy
x y
− + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − +
− + = − +
− +
( )( )
x y x y
x y x y xy y x x y xy y y
x y x y xy y x y x y xy y
3 3 2 4
3 3 2 4 5 6 3 2 2 3 3
3 3 2 4 5 6 3 3 2 4 5 6
4
12 4 8 4 6 2 4 2 2
12 4 8 4 12 4 8 4
0
−
− + − + − + − −
− + − = − + − +
21.21.21.21.21.
( )( )
( )( )
16 24 25 20 10 4 4 3 2
16 8 3 3 24 9
24 25
24 9 8 6 2 2
16 20 10 16 12 4
16
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 2 3
6 3 2 2 5 4 2
5 4 2
5 4 2 3 2 2 2
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
4
a a b a b a b a b ab b a a b ab b
a a a b a b a b a b
a b a b
a b a b a a b ab ab
a
− + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − +
− + = − +
−
( )( )
b a b a b
a b a b ab b a a b ab b b
a b a b ab b a b a b ab b
2 3 3 2 4
3 3 2 4 5 6 3 2 2 3 3
3 3 2 4 5 6 3 3 2 4 5 6
12 4
8 6 4 8 6 4
8 6 4 8 6 4
0
+ −
− + − + − + − −
− + − = − + − +
22.22.22.22.22.
( )( )
( )( )
36 36 48 15 24 28 16 4 6 3 4 2
36 12 3 3 36 9
36 48 15
36 9 12 6 4 4
48 24 24
8 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8 4 2 2 3 4
8 4 2 2 2 2 6 2 4 4
6 2 5 3 4 4
6 2 4 4 4 2 2 3 3
5 3 4 4 3 5
x x y x y x y x y x y xy y x x y xy y
x x x y x y x y x y
x y x y x y
x y x y x x y xy xy
x y x y x y
− + − − + − + − + −
− − − = − +
− + −
− − +
− −
( )( )
+ = − +
− + − − + − −
− + − + = − + − +
− + −
28 48 24 16
48 24 16 12 6 8 2 2
24 12 16 4 24 12 16 4
24 12 16 4
0
2 6 5 3 3 5 2 6
5 3 3 5 2 6 4 2 2 3 4 4
4 4 2 6 7 8 4 4 2 6 7 8
4 4 2 6 7 8
x y x y x y x y
x y x y x y x x y xy y y
x y x y xy y x y x y xy y
x y x y xy y

23.23.23.23.23.
( )( )
( )( )
25 40 26 28 17 4 4 5 4 2
25 10 4 4 40 16
40 26
40 16 10 8 10 8
10 28 17
10
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 2 3
6 3 2 2 5 4 2
5 4 2
5 4 2 3 2 2 2 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4
4 2
a a x a x a x a x ax x a a x ax x
a a a x a x a x a x
a x a x
a x a x a a x ax ax a x a x a x
a x a x a x
a x
− + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − + = − +
− +
− ( )( )+ − − + − −
− + − + = − + − +
− + −
8 10 8 2 2 2
20 16 4 4 20 16 4 4
20 16 4 4
0
3 3 2 4 3 2 2 3 3
3 3 2 4 5 6 3 3 2 4 5 6
3 3 2 4 5 6
a x a x a a x ax x x
a x a x ax x a x a x ax x
a x a x ax x
24.24.24.24.24.
( )( )
( )( )
4 12 17 16 14 10 5 2 1 2 3 2 1
4 4 3 3 12 9
12 17
12 9 4 6 2 2
8 16 14 8 12 4
8 12 4
4 10 10 5 4
8 7 6 5 4 3 2 4 3 2
8 4 3 3 7 6
7 6
7 6 4 3 2 2
6 5 4 6 5 4
6 5 4
5 4 3 2
a a a a a a
a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a a
− + − + − + − + − + − +
− − − = − +
− +
− − +
− + = − +
− + −
− + − + ( )( )
( )( )
a a a a a
a a a a a a a a
a a a a
a a a a a a a a
a a a a
4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
6 4
4 6 4 4 6 4
4 6 4 2 1
4 6 4 2 1 4 6 4 2 1 1
0 4 6 4 2 1
− + − −
− + − = − + − +
− + − +
− + − + − − + − +
= − + − +
25.25.25.25.25.
( )( )
( )( )
( )( )
x x x x x x
x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x
x
10 9 8 7 6 5 4 3 2 5 4 3 2
10 5 4 4 9 8
9 8
9 8 5 4 3 3 8 7 6
8 7 6
8 7 6 5 4 3 2 2
2 3 4 5 8 7 6 5 4 4 2
2 2
2 3
2 2 2 2 2
2 4 5
2 2 2 2 2
2
− + − + − + − + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − + = − +
− +
− + − − + − −
−
( )( )
7 6 5 4 7 6 5 4
7 6 5 4
6 5 4 3 2 5 4 3 2
6 5 4 3 2 6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 8 7 2 2 2
2 2 2
2 6 6 6 5 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4
+ − + = − + − +
− + −
− + − + − + − +
− + − + − = − + − +
− + − + − +
x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x
( )( )4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2
0 4 4 4 4 4 4
5 4 3 2 5 4 3 2
5 4 3 2
x x x x x x x x x x
x x x x x
− + − + − − + − + − −
= − + − + − +

EJERCICIO 215
1.1.1.1.1.
( )( )
x
x
x x x
x
x
x x x x x
x
x
x x x x
x x
x x
x x
4
3
2 2
4
2 3 2
3
2
3 2 2
2
2
2
4
5
3
4
3
4
9 2
2
3
4
5
3
2
2
3
2
3
2
3
4
3
4
9
2
3
4
3
4
9
2
3
4
3
4
9
0
− + − + − +
− − − = − +
− +
− − +











 = − +
− +
− + −
2.2.2.2.2.
a
x
a
x
x
a
x
a
a
x
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
19
9
2
3
1
3
2 1
3
1
3
2
3
1
9
2
3
19
9
2
3
1
9
2 2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
0
− + − + − +
− −





 −





 = − +
− +
− − +











 = − +
− +
− + −
3.3.3.3.3.
( )( )
a
ab b
ac bc c a
b
c
a
a b b ab b
ab b
ab b a b
c c ac bc c
ac bc c
ac bc c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4 4 2 16 2 4
4
2
4 4 4 2 16
4 2 16
4 2 16
0
− + + − + − +
− − − = − +
− +
− − +











 = − +
− +
− + −

4.4.4.4.4.
9
16
3
4
29
20
4
5
16
25
3
4 2
4
5
9
16
3
2 2 2
3
4 4
3
4
29
20
3
4 4
3
2
4
5
4
5
6
5
4
5
16
25
6
5
4
5
16
25
6
5
4
5
16
25
0
4 3 2 2
4 2 3 2
3 2
3 2 2 2
2
2
a a a a a a
a a a a a a
a a
a a a
a
a a
a a
a a
− + − + − +
− −





 −





 = − +
− +
− − +











 = − +
− +
− + −
5.5.5.5.5.
( )
a a b a b
ab
b a
ab
b
a a
ab ab
a b
a b
a b a b
a b
a b
a
ab
b b a b
ab
b
a b
ab
b
a b
ab
b
4 3 2 2
3
4 2 2
4 2 3
2 2
3 2 2
3
2 2
2 2 2 2 2
3
4
2 2
3
4
2 2
3
4
16 2
3
4 4 4 2
16 2 2
2
3
4
2 2
2
2 2 4 4
4 4
4 4
0
+ + − + + −
− +





 = +
+
− − + −





 −





 = − − +
− − +
+ −
6.6.6.6.6.
( )
x x
xy
y
y
x
y
x x x
x
xy
x x
y y xy
y
y
xy
y
y
xy
y
y
2
2
2
2
2
2
25
2
3
2
25
9
50
3
25
5
5
3
5
25
2
5
5
3
5
3
2
3
25
9
2
3
2
25
9
2
3
25
9
2
5
10
3
5 5 2
50
3
25
2
50
3
25
2
50
3
25
0
+ − + − + + −
− +











 = +
− +
− − + −





 − = − − +
− − +
+ −

7.7.7.7.7.
( )
x x y x y xy y x
xy
y
x x
xy xy
x y
x y
x y x y xy
x y
x y
x
xy
y y x y xy y
x y xy y
4 3 2 2 3 4 2 2
4 2 3
2 2
3 2 2 3
3
2 2
2 2 2 2 2 3 4
2 2 3
9
4
3
62
15
4
5 25 3
2
5
9
2
3
2 2
4
3
4
4
3
62
15
4
5
4
3
4
2
3
4
5 5
2
15
4
5 25
2
15
4
5
− + − + − +
− −





 − = − +
− + −
− − +











 = − +
− +
4
2 2 3 4
25
2
15
4
5 25
0
− + −
x y xy y
8.8.8.8.8.
a a a b b b a b
a a a
a
a a b b a b b b
a b b b
a b b b
4 2 2 2 2 4 2 2
4 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 2 4
2 2 2
16
3
10
9
25 18
2
15 81 4
3
5 9
16 2
3
5
3
5
3
10
9
25
3
10
9
25
3
10
9
25 2
6
5 9 9 18
2
15 81
18
2
15 81
18
2
15
− + + − + − +
− −





 −





 = − +
− +
− − +











 = − +
− +
− + −
4
81
0
9.9.9.9.9.
( )( )
x x
y x
x
x
x x x
x
x x
x x x x
y x
y x
2
2
2
2
2
2
4 2
4 1
2
1
2 2 2 4 4
4 2
4 4 2 4
1 1
2
4 1
2
4 1
2
4 1
0
+ + − + + −
− + = +
+
− − + −





 −





 = − − +
− − +
+ −

10.10.10.10.10.
( )
x x
x x
x
x
x x x
x
x x
x x x x
x x
x x
2
2
2
2
2
2
9
10
3
79
3
20 4
3
5
2
9
2
3
5 5
10
3
25
10
3
79
3
10
3
25
2
3
10
2 2 4
3
20 4
4
3
20 4
4
3
20 4
0
− + − + − +
− −





 − = − +
− +
− − +











 = − +
− +
− + −
11.11.11.11.11.
( )( )
a
a
a a
a
a
a
a a
a
a a
a a a a
a a
a a
4
2
2 4
2
2
4
2 2
2
2 2
2 2 2 4
2 4
2 4
4
5 28
30 9
2
5
3
4
5 5 5 25
5 28
5 25 10
3 3
3
30 9
3
30 9
3
30 9
0
− + − + − +
− − − = − +
− +
− − +











 = − +
− +
− + −
12.12.12.12.12.
a a
x
a
x
ax x
a
a a
x
x
a
a a a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a a
x
x
a
x
a
ax x
a
ax x
a
ax x
a
4 3 2
2
2
2
2
4 2 3 2
2
3 2
2
3 2
2
2 2
2
2
2
2
2
9
2
3
2
3
2
3
9
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 2
3
2
2
3
2
2
3
2
0
+ + − − + + −
− +











 = +
+
− − + −





 −





 = − − +
− − +
+ −

13.13.13.13.13.
9 3
2
65
16 3
4
9
3 1
4
2
3
9 6 1
4
1
4
3
2
1
16
3
2
65
16
3
2
1
16
6 1
2
2
3
2
3
4
3
4
9
4
3
4
9
4
3
4
9
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
x
a
x
x
a
x
a
a
x
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
− + − + − +
− −





 −





 = − +
− +
− − +











 = − +
− +
− + −
14.14.14.14.14.
( )( )
9 30 55
50 25
3 5
5
9 6 5 5 30 25
30 55
30 25 6 10
5 5
30
50 25
30
50 25
30
50 25
0
4 2
2 4
2
2
4 2 2
2
2 2
2 2 2 4
2 4
2 4
x x
x x
x
x
x x x
x
x x
x x x x
x x
x x
+ + + + + +
− + = +
+
− − + +











 = + +
+ +
− − −
15.15.15.15.15.
4
25
2
5
19
12
5
3
25
9
2
5
1
2
5
3
4
25
4
5
1
2
1
2
2
5
1
4
2
5
19
12
2
5
1
4
4
5
1
5
3
5
3
4
3
5
3
25
9
4
3
5
3
25
9
4
3
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
x
a
x
x
a
x
a
a
x
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
− + − + − +
− −





 −





 = − +
− +
− − +











 = − +
− +
− +
3
25
9
0
2
2
a
x
a
−

16.16.16.16.16.
x x y x y xy y x xy y
x x xy xy x y x y
x y x y
x y x y x
xy
y y x y xy y
x y xy y
x y
4 3 2 2 3 4 2 2
4 2 3 2 2
3 2 2
3 2 2 2 2 2 2 2 3 4
2 2 3 4
2 2
16 4
3
20 5 25 4 2 5
16 2 2 2 4 4
4
3
20
4 4 2 5 5 10 5 25
10 5 25
10
− + + + − −
− −





 −





 = − +
− +
− − −





 −





 = − + +
− + +
−
xy y3 4
5 25
0
−
17.17.17.17.17.
4
49
2
7
21
20
7
5
49
25
2
7
1
2
7
5
4
49
4
7
1
2
1
2
2
7
1
4
2
7
21
20
2
7
1
4
4
7
1
7
5
7
5
4
5
7
5
49
25
4
5
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
a b
x y
ab
xy
xy
ab
x y
a b
ab
xy
xy
ab
a b
x y
ab
xy
ab
xy
ab
xy
ab
xy
ab
xy
xy
ab
xy
ab
xy
ab
x y
a b
− + − + − +
− −





 −





 = − +
− +
− − +












− + = − +
− + −
7
5
49
25
4
5
7
5
49
25
0
2 2
2 2
2 2
2 2
xy
ab
x y
a b
xy
ab
x y
a b
18.18.18.18.18.
9
25
6
25
23
75
4
45
4
81
3
5
1
5
10
45
9
25
6
5
1
5
1
5
6
25
1
25
6
25
23
75
6
25
1
25
6
5
2
5
10
45
10
45
20
75
4
45
4
81
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
a x
m n
ax
mn
mn
ax
m n
a x
ax
mn
mn
ax
a x
m n
ax
mn
ax
mn
ax
mn
ax
mn
ax
mn
mn
ax
mn
ax
mn
ax
m n
a x
− + − + − +
− −





 −





 = − +
− +
− − +












− + =
20
75
4
45
4
81
20
75
4
45
4
81
0
2 2
2 2
2 2
2 2
− +
− + −
mn
ax
m n
a x
mn
ax
m n
a x

19.19.19.19.19.
( )( )
x
x
x x x x x
x
x
x
x x x x x
x
x
x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x
6
5
4 3 2 3
2
6
3 2 2 5 4
5
4
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
4
5
3
2
3
32
9
8
3
4
2
2
3
2
4
5
3
2
2
3
2
3
2
3
4
3
4
9
2
3
2
3
32
9
2
3
4
3
4
9
2
4
3
2
− + + − + + − + +
− − − = − +
− +
− − +











 = − +
+ −
− + − − + +

( )




 = − + +
− + +
− + − −
2 2 4
8
3
4
2 4
8
3
4
2 4
8
3
4
0
3 2
3 2
3 2
x x
x
x x
x
x x
x
20.20.20.20.20.
1
4
3
4
59
48
3
2
43
36
2
3
1
4
1
2
3
4
2
3 2
1
4
1
3
4
3
4
3
4
9
16
3
4
59
48
3
4
9
16
1
3
2
2
3
2
3
2
3
4
9
2
3
3
2
43
36
2
2 3 4 5 6 2 3
2
2
2 2 2 2
3
4
2 3 4
− + − + − + − + −
− −





 −





 = − +
− +
− − +











 = − +
− +
−
a a a a a a a a a
a a a a
a a
a a a a a a
a
a
a a a
a2
3
4 2 3 3
3 4 5 6 3 4 5 6
3 4 5 6
3
4
9
1
3
2
4
3 2 2
2
3
4
2
3 4 2
3
4
2
3 4
2
3
4
2
3 4
0
+ − − + −





 −






− + − + = − + − +
− + −
a
a a a a a
a a a a a a a a
a a a a
EJERCICIO 216
1.1.1.1.1.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
8 36 54 27 2 3
8 3 2 12
36 54 27 3 2 3 36
36 54 27 3 2 3 54
0 3 27
2 33
2
2 3 2
2 3 2 2
3 3
− + − −
− =
− + − − = −
− + − =
− = −
y y y y
y y y y y
y y y y y
y y

2.2.2.2.2.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
64 240 300 125 4 5
64 3 4 48
240 300 125 3 4 5 240
240 300 125 3 4 5 300
0 5 125
6 4 2 2 4 63 2 2
6 2 2 4
4 2 2 4 6 2 2 2 4 2
4 2 2 4 6 2 2 2 2 4
2 3 6
a a b a b b a b
a a a
a b a b b a b a b
a b a b b a b a b
b b
+ + + +
− =
+ + =
− − − =
=
3.3.3.3.3.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
6 5 4 3 23 2
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2 2 4
4 3 2 3 3
4 3 2 2 2 4 3 2
2 2 4 3
3 6 7 6 3 1 1
3 3
3 6 7 3 3
3 3 3 3
3 6 6 3 1
3 6 6 3 1 3 3 6 3
0 3 1 3 6
+ + + + + + + +
− =
+ + =
− − − =
+ + + + =
− − − − − + = + +
+ = +
( )( )
( )
+
+ = +
=
3
3 1 3 3
1 1
2
2 2 2
3
x
x x x x
4.4.4.4.4.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
8 12 6 11 3 3 1 2 1
8 3 2 12
12 6 11 3 2 12
12 6 3 2 6
12 12 3 3 1
12 12 3 3 1
0 3 2 12 12 3
3 2
6 5 4 3 23 2
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2 2 4
4 3 2 3 3
4 3 2
2 2 4 3 2
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
− − + + − − − −
− =
− − + − = −
− + − =
− + + − − − = −
− − + +
− = − +
( ) ( )
( )( )
( )
x x x x x
x x x x
2 2 4 3 2
2 2 2
3
1 12 12 3
3 2 1 6 3
1 1
− − = − + −
− − = −
− = −
5.5.5.5.5.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )
1 9 33 63 66 36 8 1 3 2
1 3 1 3
9 33 63 3 1 3 9
9 27 27 3 1 3 27
6 36 66 36 8 3 27
6 36 66 36 8
0 3 1 3 3 18 27
3 1 3 2
2 3 4 5 63 2
2
2 3 2
2 3 2 2
2 3 4 5 6 3 3
2 3 4 5 6
2 2
2
− + − + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
− + − + −
− = − +
−
x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x
x ( )
( )( )
( )
x x x x
x x x x
x x
2 2 3 4
2 2 4 5
2 3 6
6 36 54
3 1 3 2 12 36
2 8
= − +
− = −
=

6.6.6.6.6.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
x
6 5 4 3 23 2
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2 2 4
4 3 2 3 3
4 3 2
2 2 4 3 2
9 33 63 66 36 8 3 2
3 3
9 33 63 3 3 9
9 27 27 3 3 27
6 36 66 36 8 3 27
6 36 66 36 8
0 3 3 3 18 27
3
− + − + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
− + − + −
− = − +
( ) ( )
( )( )
( )
2 2 4 3 2
2 2 2
3
3 2 6 36 54
3 3 2 12 36
2 8
− = − +
− = −
=
x x x x
x x x x
7.7.7.7.7.
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
x x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
9 8 7 6 5 4 3 23 3 2
9 3 2 6
8 7 6 3 2 2 8
8 7 6 3 2 2 7
6 5 4 3 2 2 3 6
6 5 4 3 2
6 12 20 48 48 48 96 64 2 4
3 3
6 12 20 3 2 6
6 12 8 3 2 12
12 48 48 48 96 64 2 8
12 48 48 48 96
− + − + − + − − − −
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − − − = −
− + − + +
( )
( ) ( )
( )( )
64
0 3 2 3 12 12
3 2 4 12 48 48
3 2 4 48 96
3 2 2 6 5 4
3 2 2 6 5 4
3 2 2 3 2
x x x x x
x x x x x
x x x x
− = − +
− − = − + −
− − = −
8.8.8.8.8.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
12 10 8 6 4 23 4 2
12 4 2 8
10 8 6 4 2 2 10
10 8 6 4 2 2 8
8 6 4 2 2 3 6
8 6 4 2
4 2 2 8 6 4
3 3 11 6 12 8 2
3 3
3 3 11 3 3
3 3 3 3
6 12 6 12 8
6 12 6 12 8
0 3 3 6 3
3
− − + + − − − −
− =
− − + − = −
− + − =
− + + − − − = −
− − + +
− = − +
( ) ( )
( )( )
( )
x x x x x
x x x x
4 2 2 8 6 4
4 2 2 4 2
3
2 6 12 6
3 2 12 12
2 8
− − = − + −
− − = −
− = −
( )− = −4 64
3

9.9.9.9.9.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
8 36 66 63 33 9 1 2 3 1
8 3 2 12
36 66 63 3 2 3 36
36 54 27 3 2 3 54
12 36 33 9 1 3 27
12 36 33 9 1
0 3 2 3 12 36
6 5 4 3 23 2
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2 2 4
4 3 2 3 3
4 3 2
2 2 4
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
− + − + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
− + − + −
− = −
( ) ( )
( )( )
( )
3 2
2 2 4 3 2
2 2 2
3
27
3 2 3 1 12 36 27
3 2 3 1 6 9
1 1
+
− = − +
− = −
=
x
x x x x x
x x x x
10.10.10.10.10.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
27 135 117 235 156 240 64 3 5 4
27 3 3 27
135 117 235 3 3 5 135
135 225 125 3 3 5 225
108 360 156 240 64 5 125
108 360 156 240 64
0 3 3 5 27
6 5 4 3 23 2
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2 2 4
4 3 2 3 3
4 3 2
2 2 4
a a a a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a
a a a
− + + − − − − −
− =
− + + − = −
− + − =
− + − − − − = −
− + + +
− =
( ) ( )
( )( )
( )
− +
− − = − + −
− − = −
− = −
90 75
3 3 5 4 108 360 300
3 3 5 4 144 240
4 64
3 2
2 2 4 3 2
2 2 2
3
a a
a a a a a
a a a a
11.11.11.11.11.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
a a b a b a b a b ab b a ab b
a a a
a b a b a b a ab a b
a b a b a b a ab a b
a b a b a b ab b ab a b
a b
6 5 4 2 3 3 2 4 5 63 2 2
6 2 2 4
5 4 2 3 3 2 2 5
5 4 2 3 3 2 2 4 2
4 2 3 3 2 4 5 6 3 3 3
4 2
6 15 20 15 6 2
3 3
6 15 20 3 2 6
6 12 8 3 2 12
3 12 15 6 2 8
3
− + − + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
−
( )
( ) ( )
( )( )
+ − + −
− = − +
− = − +
− = −
12 15 6
0 3 2 3 12 12
3 2 3 12 12
3 2 3 6
3 3 2 4 5 6
2 2 4 3 2 2
2 2 2 4 2 3 3 2 4
2 2 2 2 4 5
a b a b ab b
a ab a a b a b
a ab b a b a b a b
a ab b a b ab
( )b b2 3 6
=

12.12.12.12.12.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
x x y x y x y x y xy y x xy y
x x x
x y x y x y x xy x y
x y x y x y x xy x y
x y x y x y xy y xy x y
6 5 4 2 3 3 2 4 5 63 2 2
6 2 2 4
5 4 2 3 3 2 2 5
5 4 2 3 3 2 2 4 2
4 2 3 3 2 4 5 6 3 3 3
9 42 117 210 225 125 3 5
3 3
9 42 117 3 3 9
9 27 27 3 3 27
15 80 210 225 125 3 27
15
− + − + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
−
( )
( ) ( )
( )( )
x y x y x y xy y
x xy x x y x y
x xy y x y x y x y
x xy y x y xy
4 2 3 3 2 4 5 6
2 2 4 3 2 2
2 2 2 4 2 3 3 2 4
2 2 2 2 4 5
80 210 225 125
0 3 3 3 18 27
3 3 5 15 80 135
3 3 5 75 225
+ − + −
− = − +
− = − +
− = −
13.13.13.13.13.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
a a a a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a
a a a a a
12 10 8 6 4 23 4 2
12 4 2 8
10 8 6 4 2 2 10
10 8 6 4 2 2 8
8 6 4 2 2 3 6
8 6 4 2
4 2 2 8 6 4
3 15 25 60 48 64 4
3 3
3 15 25 3 3
3 3 3 3
12 24 60 48 64
12 24 60 48 64
0 3 3 6 3
3
− + − + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
− + − + −
− = − +
( ) ( )
( )( )
( )
a a a a a
a a a a
4 2 2 8 6 4
4 2 2 4 2
3
4 12 24 12
3 4 48 48
4 64
− = − +
− = −
=
14.14.14.14.14.
( )
( ) ( )
( )( )
a a x a x a x a x a x a x a x x a a x x
a a a
a x a x a x a a x a x
a x a x a x a a x a x
a x a x a x
9 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 93 3 2 3
9 3 2 6
8 7 2 6 3 3 2 2 8
8 7 2 6 3 3 2 2 7 2
6 3 5 4 4 5
9 27 21 36 54 12 36 8 3 2
3 3
9 27 21 3 3 9
9 27 27 3 3 27
6 36 54 12
− + − − + + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + + ( )a x a x x a x a x
a x a x a x a x a x x
3 6 2 7 9 2 3 6 3
6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 9
36 8 3 27
6 36 54 12 36 8
0
− + − = −
− + − − + −
( )5 1252 3 6
y y=
( )
( ) ( )
( )( )
( )
3 3 3 18 27
3 3 2 6 36 54
3 3 2 12 36
2 8
3 2 2 6 5 4 2
3 2 2 3 6 3 5 4 4 5
3 2 3 2 3 6 2 7
3 3 9
a a x a a x a x
a a x x a x a x a x
a a x x a x a x
x x
− = − +
− = − +
− = −
=

15.15.15.15.15.
( )
( ) ( )
( )( )
( )
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a
a
9 8 7 6 5 4 3 23 3 2
9 3 2 6
8 7 6 3 2 2 8
8 7 6 3 2 2 7
7 6 5 4 3 2 3 6
7 6 5 4 3
6
3 6 10 12 12 10 6 3 1 1
3 3
3 6 10 3 3
3 3 3 3
3 9 12 12 10
3 6 6 3
3 6
− + − + − + − + − − + −
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
− + − + −
− + ( )
( ) ( )
( )( )
a a a a a a a a a a
a a a a a
5 4 3 2 3 2 2 6 5 4
6 5 4 3 2 3 2 2 7 6 5
3 2 2 5 4
9 9 6 3 1 3 3 6 3
3 6 9 9 6 3 1 3 3 6 3
0 3 3 3
− + − + − − = − +
− + − + − + − = − +
− = −
( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )
a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a
3 3
3 2 2 6 4 2 5 4 3
3 2 2 6 5 4 3 2
3 2 2 3 2
3
3 3 3 3 6 6 6
3 1 3 6 9 6 3
3 1 3 3 3
1 1
=
− + = + + − + −
− + − = − + − + −
− + − = − +
− = −
16.16.16.16.16.
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x x
9 8 7 6 5 4 3 23 3 2
9 3 2 6 3 2 2 8
8 7 6 3 2 2 7 2 3 6
8 7 6
7 6 5 4 3 3 2 2 6 5
12 54 121 180 228 179 144 54 27 4 2 3
3 3 3 4 12
12 54 121 3 4 48 4 64
12 48 64
6 57 180 228 179 3 4 3 24
− + − + − + − + − − + −
− = − = −
− + − − = − = −
− +
− + − + − = −
( ) ( )
( )( )
( )
+
− + − + − − = − +
− + − + − + − − = −
− + − + − + =
48
6 48 108 48 8 3 4 2 6 48 96
9 72 180 171 144 54 27 3 4 2 12 48
9 72 180 171 144 54 27 2 8
0
4
7 6 5 4 3 3 2 2 7 6 5
6 5 4 3 2 3 2 2 5 4
6 5 4 3 2 3 3
x
x x x x x x x x
( )
( ) ( )
( )( )
( )
3 4 2 3 48 12 24 12 48
3 4 2 3 9 144 36 72 36 144
3 4 2 3 27 108 54
3 27
3 2 2 6 4 2 5 4 3
3 2 2 6 4 2 5 4 3
3 2 2 3 2
3
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
− + = + + − + −
− + − = − − − + − +
− + − = − +
− = −

EJERCICIO 217
1.1.1.1.1.
x x x x x
x
x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x
x
x
x
x
6 5 4 3 2
3
2
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2 2 4
4
3
2
8 4
5
3
55
27
20
3
4 8
2 3
2
8
3
2
3
4
4
5
3
55
27
3
2 3 4
4 6 27
3
2 3 6
3
2
2
20
3
4 8
3
− + − + − + − +
−





 =
− + −





 −





 = −
− +





 −





 =
− + − + −


( )
( )
( )



 = −
− + − + −
−





 = − +
−





 = − +
−





 = −
=
3 3
4
3
2
2 2 4
3
2
2 2 4
3
2
2
2 2
3
27
3
2
2
20
3
4 8
0 3
2 3
3
4 3
3
2 3
2
3
2
2
2
3
3
2 3
2 6 4
2 8
x
x
x
x
x
x x x
x
x
x x x
x
x
x x
x x
2.2.2.2.2.
( )
( )
( )
a
a a a a a a
a
a a
a a a
a a a
a
a a
a
a a
a a a a a
a a
a a a
a
a
9
8 7 6 5 4 3
3 3
2
9 3 2 6
8 7 6
3 2
2 8
3
2 2 7
8 7 6 2 3 6
7 6
5 4 3
3
2
3
2 4
7
8 12 6 27 2 3
3 3
3
2 4
7
8
3
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4 8 2 8
12 6 27
3
2
+ − − + + − + −
− =
− −





 =





 =
− − −





 =
− − + + − +





 = + +
+





 −





 = − − −
+ − − +
+





 −





 = +
−





 = −
2
6 5
4
3
2 2
7 6
5
7 6
5 4 3 3
2 2 5 4
3 3
3 3
3
4
3
2 3 4
12 6 27
3
2 3 3 6
0
3 27
a a
a
a
a a
a a
a
a a
a a a a
a a a a
a a

3.3.3.3.3.
( )
( )
( )
x x
x
x x x
x
x
x x
x x x
x
x
x x
x x x x
x
x
x x x
x
3 2
2 3
3
2 2
3 2 2
2
2
3
2 2 2
2 3
8
9
4
15 45
60 36 8
2
3
2
3
2
3
4
8
3
2
3
9
4
9
4
15 45 3
2
3
27
2
3 27
9
4
27
2
27 3
2
3
3
4
9 27
3
2
18
60 36 8
3
2
− + − + − + − +





 =
−





 − = −
− + −





 − =
− = −
− + −





 = − +
− + − + −











 = − +
−











 = −
− + − + −





 =
3
2 3
2
18
54
3
2
3
2 6 36
3
2
18
60 36 8 2 8
0
2
2
2
2 3
3
3
x
x
x
x
x x x
x
x x x x x
4.4.4.4.4.
( )
( )
( )
a
b
a
b
a
b
b
a
b
a
b
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
3
3
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
3
8
3
4
15
8
5
2
15
8
3
4 8 2
1
2
8
3
2
3
4
3
4
15
8
5
2
3
2
1
3
4
3
2
1
3
2
3
4
3
2
1 1 1
3
8
3
2
− + − + − + − +
−





 =
− + −





 − = −





 − =
− + − = −
− +
15
8
3
4 8
3
2
1
3
4
3
3
3
8
3
2
15
8
3
4 8
3
2
1
2
3
8
3
2
3
2
0 3
2
1
2
3
8
3
4
2 8
2
2
3
3
2 2
2
2
2
3
3
2
2 2
2
3 3
b
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
b
a
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
b
a
b
a
b
a
b
− +
−





 = − +
− + − + − −











 = − +
−











 = −





 =
a3

5.5.5.5.5.
8
27
2
3 18
13
24 36 6 27
2
3
1
2 3
3
2
3
4
3
8
27
3
2
3
1
2
2
3
2
3 18
13
24
3
2
3
1
2 2
1
2
3
3
2
2
2
2
3
3
3
2 2
2
3
3
2 2
2
2
2
2
3
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
a
a
x
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
− + + − − − − −





 =
−





 −





 = −
− + +





 −





 =
−





 = −
− +
− + − − − −





 = − +
−





 −





 = − + −
− + + + −





 −





1
8
2
3 2
1
8
4
9
2
3 36 6 27
3
2
3
1
2
4
3
2 3
4
3
2
3
1
2 3
4
9
2
3 4
4
9
2
3 36 6 27
3
2
3
1
2 3
2
2
2
2
3
3
2 2
2
2
2
2
3
3
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
x
a
a
x
x
a
a
x
x
a
x
a
x
a
a
x
x
a
 = −
2 2
2
2
9 6
0
x
a
x
a
−





 = −
x
a
x
a3 27
3 3
3
6.6.6.6.6.
( )
( )
8
27
4
3
3
4
27
8
27
16
27
64
2
3
1
3
4
8
27
3
2
3
4
3
4
3
3
4 3
2
3
1
4
3
4
3
2
1 3
2
3
1
2
3
27
8
27
16
3
3
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
b
a
b
a
b
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
b
a
+ + + + + + + +
−





 =
+ +





 =
− − −





 =
+ + + ( )2
3
3
3
2
2
3
3
2 2
2
2
27
64
1 1
3
27
8
27
16
27
64
3
2
3
1
4
3
4
3
0 3
2
3
1
3
4
3
9
4
+ =
− − − − − +





 = + +
+











 = + +
b
a
a
b
b
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
b
a
3
2
3
1
3
4
9
8
27
16
3
4
27
64
2 2
2
3 3
3
a
b
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
+











 = +





 =

EJERCICIO 218
1.1.1.1.1. x x
1
3 3
=
2.2.2.2.2. m m
3
5 35
=
3.3.3.3.3. 4 4
3
4 34
a a=
4.4.4.4.4. xy x y
1
2 =
5.5.5.5.5. a b a b
a b b
b a b
4
5
3
2 45 3
45 2
45
=
=
=
6.6.6.6.6. x y z x y z
x x y z
x x y z
3
2
1
4
1
5 3 4 5
2 4 5
4 5
=
=
=
7.7.7.7.7. 2 2
2
2
4
5
5
2 45 5
45 2 2
2 45
a b a b
a b b b
b a b
=
=
=
15.15.15.15.15. x x=
1
2
16.16.16.16.16. m m3
1
3
=
17.17.17.17.17. 2 254
5
4
x x=
18.18.18.18.18. a b a b3 53
3
2
5
3=
19.19.19.19.19. 3 37 65
7
2
6
5
x y x y=
20.20.20.20.20. 2 23 54
1
4
3
4
5
4
ab c a b c=
21.21.21.21.21. 5 52 3 95
2
5
3
5
9
5
a x y z ax y z=
22.22.22.22.22. 3 376 85
7
6
8
5
m n m n=
23.23.23.23.23. 3 33 2 3
a b a bm n
m n
=
24.24.24.24.24. a b c a b cm n xr m n
x
r3
1 3
=
8.8.8.8.8. 3 3
2
7
4
5
2
7 27 45 27
x y z x y z=
9.9.9.9.9. a b c ab c
ab bc c
bc abc
1
4
5
4
7
4 5 74
4 4 34
34
=
=
=
10.10.10.10.10. 8 8
8
8
8
3 83
3 3 23
2 23
mn m n
m n n n
mn n
=
=
=
11.11.11.11.11. 4 4
4
4
2
7
3
5
6 2 73 56
2 3 33 56
2 2 3 56
a b c a b c
a b b b c
a b b c
=
=
=
12.12.12.12.12. 5 5
2
5
3
5
4
5 2 3 45
m n x m n x=
13.13.13.13.13. a a5
5
2=
14.14.14.14.14. x x73
7
3=
EJERCICIO 219
1.1.1.1.1. a b
a
b
2 3
2
3
−
=
2.2.2.2.2. 3
35
5
x
x
−
=
3.3.3.3.3.
a b
a b
a b
−
−
= =4
1
2
4
1
2
4
1 1
4.4.4.4.4.
3
3 32
1
3
2
1
3
2 3
x y
x y
x y
−
−
= =
5.5.5.5.5.
m n
m n
−
−
=
1
2 5
1
2 5
1
6.6.6.6.6. a b c
a c
b
2 1
2
−
=
7.7.7.7.7.
4
42
3
5
2
3
5
x y
x
y
−
=
8.8.8.8.8.
5
5
1
3
3
4 1
1
3
3
4
a b c
a b c
− −
−
=
9.9.9.9.9.
1
2 22
2
x
x
−
=
10.10.10.10.10.
3
31 5
5
x y
xy− −
=
11.11.11.11.11.
2 2 22 3
4 1
4
2 3
2
3
a b
a c
a c
a b
a c
b
− −
− −
= =
12.12.12.12.12.
x y z
a b c
a b c
xy z
− − −
− − −
=
1 2 3
2 5 8
2 5 8
2 3
13.13.13.13.13.
3
8
3
8
3
8
4
1
2
3 4
3
1
2 4
4
7
2
m n
m n
m n n
m
n
m
−
−
− −
−
= =
14.14.14.14.14.
4
7
4
7
4
7
1
2
4 2
2
3
1
2 4
2
3
2
9
2
2
3
2
a
a b c
a a c
b
a c
b
−
−
=
=
15.15.15.15.15.
2 2
2
5 7
2 3 4 2 3 5 4 7
2 8 3
m n
a m n a m m n n
a m n
− −
− −
=
=
16.16.16.16.16.
a x
a x y
y
a a x x
y
a x
−
−
−
= =
1
2 2
3 2 1
3
1
2 2 2
7
2 43
3 3
17.17.17.17.17.
c
b x
b c
x
2
1
2 3
1
2 2
3
4
4−
=
18.18.18.18.18.
1
3
33
4
2
5 4
3
4
2
5
4
a b c
a b
c− −
=
19.19.19.19.19.
3
3
3
2
3
1
2
3
4
2 3
1
2
3
4
5
3
2
7
4
a mn
a m n
a a mm nn
a m n
−
− −
=
=
20.20.20.20.20.
x y
x yz
z
x x yy
z
x y
− −
−
= =
2
3
1
4
2
1
2
1
2
2
2
3
1
4
1
2
8
3
5
4

EJERCICIO 220
1.1.1.1.1.
a
b a b
2
2 2 2
1
= −
2.2.2.2.2.
3 31
2 2
x
y xy
−
=
3.3.3.3.3.
4 42
3 1 2 3
mn
x m n x
= − −
4.4.4.4.4.
a b
ab
− −
=
1 3
3
3
1
3
5.5.5.5.5.
3
7
3
7
2
3
2
3
c
c
−
=
6.6.6.6.6.
2
5
2
5
1
4
2 1
4 2
x
y
x y
=
−
7.7.7.7.7.
m
m
−
=
3
3
5
1
5
8.8.8.8.8.
3 32 3
4 2 4 3
a b
c a c b
−
−
=
17.17.17.17.17.
3
7
3
7
5
5
3
4
5 5
3
4
a
x y
a x y
−
−
=
18.18.18.18.18.
1
4
1
3
4
1
3
a b
a b
−
−
=
19.19.19.19.19.
2
3
2
3
2
3
2
3
1
4
2 3
1
4 5
1
4
m
m n
m m n m n
−
−
= =
20.20.20.20.20.
a
x y
a x y
3
2
1
2
3 2
1
2
−
−
=
21.21.21.21.21.
3
3 3
2 3
1
2 3 1 3 3 1a b
a x
a ab x a b x−
− −
= =
22.22.22.22.22.
3
3 3
2 3
1 2 3
2 2 3 3 2 4 6xy z
x y z
xxy y z z x y z− − −
= =
23.23.23.23.23.
m n x
m n x
m m n n x x
m n x
− −
−
− − −
− −
−
=
=
2 1
1
2
4 5 2
2 4 1 5
1
2 2
2 4
3
2
9.9.9.9.9.
x y
x y
−
−
=
1
2 2
1
2 2
1
10.10.10.10.10.
a b c
a c b
−
−
−
=
2
3 3 2
2
3 2 3
1
11.11.11.11.11.
3 3 31
1
2
3
3
1
2
7
2
x y
y
xy y xy
−
−
= =
12.12.12.12.12.
2
9
2
9
2
1
2
2
1
2
m n
m n
−
−
=
13.13.13.13.13.
2
2 1
a
a= −
14.14.14.14.14.
3
32
2a
b
ab= −
15.15.15.15.15.
x y
y
x yy x y
2
2
2 2 2 3
−
= =
16.16.16.16.16.
4
41
2 2
1
2 2
x y
x y
−
−
=
EJERCICIO 221
1.1.1.1.1.
x
x
x
−
= =
1
2
1
2
1 1
2.2.2.2.2.
1
1
2
2
3
1
2
23 23
a b
a
b
a
b−
= =
3.3.3.3.3.
5
5 5
5
7
1
3
57
1
3
57
3
a b
a
b
a
b
−
= =
4.4.4.4.4.
3 3 3 31
1
2
1
2
1
2
x
x x x x
x
−
− −
= = =
5.5.5.5.5.
2
2 2
2
5
3
4
34
2
5
34
25
m n
n
m
n
m
−
= =
6.6.6.6.6.
1
4
1
4
1
3
3
x
x
=
7.7.7.7.7.
x
y
x y x y
3
5
2
3
35
2
3 35 23
−
= =
8.8.8.8.8.
3 3
3 3
3
2
1
4
3
2 4
22 4 4
a
x a x
a a x a a x
−
=
= =
9.9.9.9.9.
a
a
a a
a a a a a a
−
=
= = =
1
2
2 1
2 2
5
2
2 22 2
4
1
4
1
4
1
4
1
4
10.10.10.10.10. x y z
y
x z
y
x z
− −
= =
2
3
3
5
4
7
35
2
3
4
7
35
23 47
11.11.11.11.11.
x m n
x m n x m n
− −
−
= =2 3
2
5
2 3
2
5
2 3 25
1 1
12.12.12.12.12. a
a a a a
−




 = = =
1
2
3
3
2
3
1 1 1
13.13.13.13.13. x x
x x x x x
2
3
2 4
3
4
3
33 3
1 1 1





 =
= = =
−
−
14.14.14.14.14.
a
b
a
b
b
a
b b
a a
b b
a a





 = =
= =
− −
−
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
15.15.15.15.15. x x
x
x
− −




 = = =
1
2
1
3 1
6
1
6
6
1 1
16.16.16.16.16.
a a
a
−
−
= =3
3
2
3
2
1
17.17.17.17.17.
2 2
23 4
3
2
4
2
3
2 2
x y x y
x y
− −
− −
= =

18.18.18.18.18.
a
x
a
x
a x
2
3
5
2
3
5
2
2
3
5
2
− −
= =
19.19.19.19.19.
3
5
3
5
3
5
23
34
2
3
3
4
2
3
3
4
m
n
m
n
m n
− −
= =
20.20.20.20.20. a b
b
a a b
−
−
−
= =
3
5 34
3
4
3
5
3
5
3
4
1
21.21.21.21.21. x x x x x2 1 2
1
2
3
2−
−
= =
22.22.22.22.22.
1 1
7 6 7
2
6
2
7
2 3
a b a b
a b
− − − −
= =
23.23.23.23.23.
3 3 3
2
3
4
4
2
2
3
2
2
3
x
y
y
x
y
x
−
−
= =
24.24.24.24.24.
m n m n
m n
− −
− −
= =1 33
1
2
3
3
1
2
1
25.25.25.25.25. ( )
( ) ( )
16 16
16 16 16 16 64
3
2 3
2
=
= = =
26.26.26.26.26. 8 8 64 4
2
3 23 3
= = =
27.27.27.27.27. 81 81 81
81 81 9 3 27
3
4
1
2
1
4
4
=
= = ⋅ =
28.28.28.28.28. 9
1
9
1
9
1
9 9 9
1
81 9
1
243
5
2
5
2
5
2 2
−
=
=
= = =
29.29.29.29.29. ( ) ( )− = −
= − −
= − ⋅− =
27 27
27 27
3 3 9
2
3
2
3
3 3
30.30.30.30.30. ( ) ( )− = −
= − −
= − ⋅− =
32 32
32 32
2 2 4
2
5
2
5
5 5
31.31.31.31.31. 49
1
49
1
49 49
1
49 7
1
343
3
2
3 2
−
= =
=
⋅
=
32.32.32.32.32.
4
9
4
9
4 4 4
9 9 9
16 4
81 9
16 2
81 3
32
243
5
2
5
5
2 2
2 2





 =
=
=
=
⋅
⋅
=
33.33.33.33.33. 8
27
27
8
27
8
3
2
1
1
3
1
3
1
3
3
3
1
2





 =
= = =
−
34.34.34.34.34.
25
36
36
25
36
25
6
5
1
1
2
1
2
1
2
1
5





 =
= = =
−
35.35.35.35.35.
32
243
243
32
243
32
3
2
1
1
5
1
5
1
5
5
5
1
2





 =
= = =
−
36.36.36.36.36.
( )
−





 =
−
=
−
=
− −
=
⋅
− ⋅−
= =
−
27
64
64
27
64
27
64 64
27 27
4 4
3 3
16
9
1
2
3
2
3
2
3
23
2
3
3 3
3 3
7
9
37.37.37.37.37.
1
9
9 7293
3
−
= =
38.38.38.38.38.
16
81
81
16
81 81
16 16
81 3
16 2
243
32
7
5
4
5
4
5
4
44 4
44 4
19
32





 =
=
=
⋅
⋅
= =
−
39.39.39.39.39. −





 =
−
=
− −
=
⋅
− ⋅−
= =
−
32
243
243
32
243 243
32 32
3 3
2 2
9
4
2
2
5
2
5
2
5
5 5
5 5
1
4
40.40.40.40.40. ( )2
25
9
9
25
9 9
25 25
9 3
25 5
27
125
7
9
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
−
−
=






=
=
=
⋅
⋅
=
41.41.41.41.41. ( )5
81
16
16
81
16
81
2
3
1
16
1
4
1
4
1
4
1
4
4
4
−
−
=






= = =
42.42.42.42.42. 8 4 8 8 4 4
2 2 4 2 32
2
3
3
2 3 3 2
⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ =
43.43.43.43.43. 9 27
9
27
9 9 9
3
81
5
2
1
3
5
3
2 2
⋅ =
= =
−
44.44.44.44.44. 243 128
128
243
128 128 128
3
2 2 2
3
8
3
2
1
5
3
7
37
5
7 7 7
2
3
−
⋅
= =
=
⋅ ⋅
= =

EJERCICIO 222
1.1.1.1.1. a a b x para a b
x
− −
− −
+ + = =
= + ⋅ +
= + +
= + + =
+ +
= =
2 1
1
2 0
2 1
1
2 0
2
7
9
3 4
3 3 4
1
3
1 4
3
1
1
9
2
3
1
1 6 9
9
16
9
1
2.2.2.2.2.
( ) ( ) ( )
3 4 1
3 4 4 1 1 1
3
4
16 1
3
2
17
3 34
2
37
2
18
1
2 2 3 0
1
3
1
2
2 3
1
3
1
2
x x y x y para x y
− −
−
+ + = =
= + +
= + + = + =
+
= =
3.3.3.3.3.
( )
( )
2 4 16
2 4 16
4
16
4 16
2
4
16
16
4
4
16 16
1
2
1
16
2
16 16
1
2
1
16
1
4
8 1 4
16
13
16
3
4
1
1
2
3
4
3
4
1
1
2
3
4
3 4 24
1
2 4
a b
a
b
a b para a b−
−
−
−
−
−
−
−
+ + = =
= ⋅ + + ⋅
= ⋅ + +
⋅
= + + = + + =
+ +
=
4.4.4.4.4.
( )
x
y
x y x y
x
y
para x y
3
4
2
1
2
1
3 0 0
4
3
3
4
2
1
2
1
3 0 0
4
3
24 4 2
3 33
3
1
8
16 8
16
8
16 8 16 8
16
8
16 16 8
1
16 8
1
16
8 8
4 2 64
1
4 2
1
16
8 8
512
1
8
1 1
512
−
− −
−
− −
+ − + = =
= + ⋅ − ⋅ +
= ⋅ + − +
= ⋅ ⋅ +
⋅
− + = + − +
=
5.5.5.5.5.
( )
x
x
y
y
x x y para x y
0
1
3
0
0
3
4 2
1
3 3
4 2
3
24 4
2
1
27
2 81 3
1
81
3
1
2 1 81 3
81
1
3
2
81 81
3
83
1
27
9 3
9
83
1
27
3 86
1
27
86
−
−
−
−
−
−
+ + + = =
= + + + ⋅
= + + +
= + +
⋅
= + + = + =
6.6.6.6.6.
( )
a x a x
a x
x para a x
1
2
1
3
1
2
1
3
1
4 1
0
1
2
1
3
1
2
1
3
1
4 1
3
3
4
1
8
1
3 16 8
16 8 16 8
1
16 8
3 1
16 8
1
16 8
16 8 3
8
1
4 2
16 3 27
1
8
27
+ + + = =
= ⋅ + ⋅ +
⋅
+
= + + ⋅ +
= +
⋅
+ + = + =
− −
− −
− −
− −
7.7.7.7.7.
( ) ( )
a
b
a b c
a
b c
b c
para b c a
−
−
− −
−
−
−
−
− −
−
−
+ − + +
= = =
= + ⋅ −
⋅
+ +
= + ⋅ − + +
= + − + +
= + − =
+ −
= =
2
1
1 2 3
2
1
2 1
1
4 0
2
1
1 2 3
2
1
2 1
1
4
2 3 2
4
13
18
3
16 2 3
3
16
3 3 16 2
3
16 2
16 1
16
3
3
3
256
2
2
3 16
16 1
16
9
32
1
18
2 1
16
9
35
1
18
32 630 1
18
661
18
36
8.8.8.8.8.
( )
( )
x
y
x y
x
y
y para x y
0
0
2
3
1
5
2
1
0
2
3
1
5
2
1
3 2
3 5
2
2 5
6
3
8 32
1
3 1
8 32
8
32
1
1
3
2 32
32
8
1
1
3
2 2
1
2
1
1
3
3
1
2
2 18 3
6
23
6
3
+ − + + = =
= + − + +
= + − + +
= + − + + = + + =
+ +
= =
−
−
−
−
9.9.9.9.9.
( )
( ) ( ) ( )
( )
a
b
a b a b
a
para a b
−
− −
−
− −
− + − − = =
= − + − ⋅ −
= − + − −
= − + − −
= + − − = + =
1
3
4
5
0 3
2
5
2
3
1
3
4
5
3
2
5
2
3
3
5 4
5 5 2
5 3 2
3
4 2 2
1
3
1 1
27 243
27
1
243
1 243 27 243
1
27
1
27
3 243 3 3 3
1
3
3 243 3 3 3
1
3
162 27 9
1
3
126 126

EJERCICIO 223
1.1.1.1.1. x x x x2 3 2 3 1− + − −
= =b g
2.2.2.2.2. a a a a− − − − −
= =2 3 2 3 5
3.3.3.3.3. x x x x3 3 3 3 0
1− −
= = =
4.4.4.4.4. a a a a
1
2
1
2
1
3
2= =
+
5.5.5.5.5. x x x x
1
2
1
4
1
2
1
4
3
4= =
+
6.6.6.6.6. a a a a a
3
4
1
4
3
4
1
4
4
4= = =
+
13.13.13.13.13. x y x y x y x y x− −
−
− −
−
− −
= = =3
1
2 2
1
2 3 2
1
2
1
2 5 0 5
14.14.14.14.14. 3 2 3 2 6 62
1
2 2
1
2 2 2
1
2
1
2 0 0
a b a b a b a b−
−
−
−
= ⋅ = =
15.15.15.15.15. a b a b a b ab3 1 2 2 3 2 1 2 3− − − − − − −
= =
16.16.16.16.16. a b a b a b a b b
− − + +
= = =
1
2
3
4
1
2
1
4
1
2
1
2
3
4
1
4 0
4
4
17.17.17.17.17. m n m n m n m n m n
− − − − + −
−
= = =
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
3
3
3
3 1
18.18.18.18.18. 2 2 2 21
3
4 2 1 1
3
4
2
0
5
4
5
4
a b ab a b a b b− − − +
− − −
= = =
7.7.7.7.7. 3 3 3
2
5
3
5
2
5
3
5
1
5
m m m m
− − −
= =
8.8.8.8.8. 2 2 2
3
4
1
2
3
4
1
2
1
4
a a a a
− −
= =
9.9.9.9.9. x x x x−
− − − −
= =2
1
3
2
1
3
7
3
10.10.10.10.10. 3 3 32
2
3
2
2
3
4
3
n n n n
− −
= =
11.11.11.11.11. 4 4 42
1
2
2
1
2
5
2
a a a a−
− − − −
= =
12.12.12.12.12. a b ab
a b a b
− −
− + − +
= = =
1 2 2
1 1 2 2 0 0
1
EJERCICIO 224
1.1.1.1.1. a a
a a
a a a
a a a
a a
a a a
− −
− −
− − −
− − −
− −
− − −
+ +
− +
+ +
− − −
+ +
+ + +
4 2
4 2
8 6 4
6 4 2
4 2
8 6 2
3 2
1
3 2
3 2
3 2
2 2
4.4.4.4.4. 2 2
1
2 2
2 2
2 2
2 3 2
3
4
1
2
1
4
1
4
1
4
3
4
1
2
3
4
1
2
1
4
1
2
1
4
3
4
1
2
1
4
a a a
a a
a a a
a a a
a a
a a a a
− +
+ −
− +
− +
− + −
+ − + −
−
7.7.7.7.7. a b a b
a b a b a
b a b a b
a b a b a
a b a a b
b a b a b
2 1
2 2 3 1 4
3 1 2 2 1
1 2 2 1 3
2 1 3 4
3 2 1 4
−
− − − − −
− − − − −
− − − − −
− − − −
− − − −
+ +
− +
+ +
− − −
+ +
+ +
2.2.2.2.2. x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
2 2
2 2
4 2
2 2
2 4
4 2 2 4
1
2
1
2 2 2
1
2 3
− +
+ −
− +
− +
− + −
+ − + −
−
−
−
− −
− −
5.5.5.5.5. a a
a a
a a
a a
a a a
a a a
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4
3 2
2
3
4
3 2
2 2
3 4
3 6 6
1 2 2
4 8 8
3 5 10 8
− +
+ −
− +
+ − +
− + −
− + −
−
− −
−
− −
− −
−
−
−
3.3.3.3.3. x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
+ +
− +
+ +
− − −
+ +
− +
−
2
2
2
2 4 2
2 1
2 1
2
3
1
3
1
3
1
3
4
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
4
3
2
3
6.6.6.6.6.
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
3
4
1
4
1
4
1
2
1
2
5
4
3
4
1
4
3
4
1
4
1
4
1
4
1
4
3
4
5
4
1
4
1
4
3
4
2
2
2
2 4 2
2
4 4
+ −
− +
+ −
− − +
+ −
− + −
−
−
−
− −
− −
8.8.8.8.8. x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
− − − − − −
− − − − − −
− − − − − −
− − − − − −
− − − − − −
− − − − − −
+ +
− +
+ +
− − −
+ + +
+ +
1 1 3 3 5 5
3 2 5 4 7 6
4 3 6 5 8 7
6 5 8 7 10 9
8 7 10 9 12 11
4 3 8 7 12 11

9.9.9.9.9. a b a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a
a b a b a b a
3
4 3
1
4 2
1
4 1
1
2 1
1
2
5
4 4
3
4 3
1
4 2
3
4 3
1
4 2
1
4 1
1
4 2
1
4 1
3
4
5
4 4
3
4 3
1
4 1
3
4
2 3
2 2 2
3 3 3
5 3
− −
−
−
−
−
− − −
− −
−
−
−
−
−
−
− −
−
−
−
+ −
− +
+ −
− − +
+ −
− + −
10.10.10.10.10. a a b b
a a b b
a a b a b
a b a b a b
a b a b b
a a b a b b
−
− −
−
−
− −
−
−
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
−
−
− −
− − −
+ +
− +
+ +
− − −
+ + +
+ + +
1
1
2
1
2 1
1
1
2
1
2 1
2
3
2
1
2 1 1
3
2
1
2 1 1
1
2
3
2
1 1
1
2
3
2 2
2
3
2
1
2 1 1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
11.11.11.11.11. 4
4
4
4 3
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
5
2 2
1
2
3
2
3
2
2
1
2
3
2
3
2
1
2 2
5
2 2
1
2
1
2 2
x x y xy x y
x y
x x y x y xy
x y x y xy x y
x x y x y
− + −
+
− + −
− + −
+ −
12.12.12.12.12. x a x a x a
x a x a x
x a x a x ax
a x ax a x a x
a x a x ax a x
x ax a x a x
− + −
+ +
− + −
+ − + −
+ − + −
− − −
2 3
3 2
2 3
3 6 3 9
2 4 2 6
7 3 9
1
3
2
3
2
3
1
3
4
3
2
3
2
3
1
3
7
3
1
3 2
2
3
5
3
4
3
2
3
5
3
4
3
4
3
5
3
2
3
1
3 2
2
3
5
3
4
3
4
3
7
3
4
3
4
3
5
3
2
3
13.13.13.13.13. 5 3 4 2
3 2 5
15 9 12 6
10 6 8 4
25 15 20 10
15 19 17 24 10
2 1
1
3 2
2 1
1 2
3 2 1 2
a a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a a a
− + −
+ −
− + −
− + −
− + − +
+ − + − +
−
−
−
− −
− −
14.14.14.14.14. 2 3 4
2
2 3 4
4 6 2 8
2 3 4
2 7 9 7 4
1 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
1 2 3 4 5
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
− + +
− +
− + +
− + − −
+ − + +
− + − − +
− −
− − −
− − −
− − − −
− − − −
− − − − −
15.15.15.15.15. m m n n m n
m n m n
m mn m n n
mn m n n m n
m n n m n m n
m m n n m n
− + −
+ +
− + −
+ − + −
+ − + −
+ − −
−
−
−
−
−
−
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2 2
1
2
3
2
1
2 2 1
5
2
3
2
1
2
3
2 1
5
2
16.16.16.16.16. a a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a
3
5
1
5
1
5
2
5
2
5
3
5
1
5
1
5
3
5
1
5
1
5
1
5
3
5
1
5
3
5
2
2
2 4 2
2
2
6
+ −
− + −
− − +
+ − +
− − +
− + +
−
−
−
− −
−
17.17.17.17.17. m m m
m m
m m m
m m
m m
m m m
+ +
− +
+ +
− − −
+ + +
+ + +
− −
−
−
3 2
2 2 2
2 6 4
2 6 4
2 6 4
2 4 2 4
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
18.18.18.18.18. x y x y x y
x y x x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y
x y x y
− −
− − − −
−
−
−
−
−
−
−
−
− −
+ −
− −
+ −
− − +
− − +
− +
3
4
3
2
1
4
1
4
1
2
5
4
1
2
3
4
1
4
1
2
2 2
3
2
3
2 1
3
2
3
2 1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2 2 1
3
3
3
3 9 3
3 1
11 1

19.19.19.19.19. x y x y x y
x y x y x y
x y xy
xy x y
xy x y x y
x y x y x y
2 1 3 3 4 5
3 3 2 1 1
1 2 2
2 2 4
2 2 4 3 6
1 2 2 4 3 6
5 2
3
5 2
1 5 2
3 15 6
4 13 6
− − −
− − − −
− −
− −
− − −
− − −
+ +
− +
+ +
− − −
+ + +
+ + +
20.20.20.20.20. a b a b a b
a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
− −
−
− −
− −
− −
−
−
−
−
−
−
−
+ −
+ +
+ −
+ + −
+ −
+ + −
2
3
1
2
4
3 2
3
2
2
3
1
2
2
3
1
2
2
3
1
2
4
3
2
3
1
2
4
3 2
3
2
4
3 2
3
2
8
3 2
2
3
1
2 2
3
2
8
3 2
2
3 1
3 6 3
2
2
3 7
EJERCICIO 225
1.1.1.1.1. a a a a a2 2 2 2 2 2 4
÷ = = =− − − +b g
2.2.2.2.2. x x x x− − − −
÷ = =3 2 3 2 5
3.3.3.3.3. m m m m m
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
3
4
÷ = = =
− − −





 +
4.4.4.4.4. a a a a2 5 2 5 3
÷ = =− −
5.5.5.5.5. x x x x x− − − − − − +
÷ = = =3 7 3 7 3 7 4b g
6.6.6.6.6. a a a a
1
2
1
2
1
1
2÷ = =
− −
7.7.7.7.7. x x x x x
− − − − −





 − + −
÷ = = =
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
1
3
8.8.8.8.8. a a a a a
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
3
5
÷ = = =
− − −





 +
9.9.9.9.9. m m m m
− − − −
÷ = =
3
4
1
2
3
4
1
2
5
4
10.10.10.10.10. a a a a
1
3
1
3
1
2
3÷ = =
− −
11.11.11.11.11. 4 2
4
2
2 2
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
3
5
x x x x x÷ = = =
− − −





 +
12.12.12.12.12. a a a a a− − − − −





 − + −
÷ = = =3
7
4
3
7
4 3
7
4
5
4
13.13.13.13.13. x y x y x y xy− − − − − + − +
÷ = =2 1 3 2 2 3 1 2
14.14.14.14.14. a b ab a b a b
1
2
1
3
1
2
1
1
3
1
1
2
2
3
÷ = =
− − − −
15.15.15.15.15. a b a b a b a b2 3 1 2 1 3 1 3 4− − + − − −
÷ = =
16.16.16.16.16. x y x y x y x y y
− − −
−
− + − +
÷ = = =
1
2
2
3
1
2 1
1
2
1
2
2
3
1
0
1
3
1
3
17.17.17.17.17. m n m n m n m n
3
4
3
4
1
2
3
4
3
4
1
2
3
4
3
4
5
4
3
2
− − + − − −
÷ = =
18.18.18.18.18. 8 4
8
4
22
2
5
1
5 2 1
2
5
1
5 3
3
5
x y xy x y x y−
−
− −
+
−
÷ = =
19.19.19.19.19. a b a b a b a b
1
3
1
4 3
1
3
1
4 1 3
7
12 4
÷ = =
−
−
+
+
20.20.20.20.20. x y x y x y x y− − − − − − + − −
÷ = =4 5 2 1 4 2 5 1 6 4
EJERCICIO 226
1.1.1.1.1. x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
− − − − −
− − − − −
− − −
− − −
− −
− −
+ + + − +
− + − + +
− +
− + −
− +
− + −
8 6 2 4 2
8 6 4 4 2
6 4 2
6 4 2
4 2
4 2
2 2 1
3 2
3
3 3 3
2 2 2
2 2 2
2.2.2.2.2. a a a a a
a a a a a
a a
a a a
a a
a a
4
3
2
3
2
3
1
3
4
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2 1 2
2 2
2 3
2 4 2
2 1
2 1
− + + +
− − − − +
− −
+ + +
+ +
− − −
−

3.3.3.3.3. m m m m m m
m m m m
m m
m m
m m
m m
4 2 2 4 2 2
4 2 2 2
2 2
2 2
2 4
2 4
2 3 1
1 2
2 3 3
2 2 2
1
1
+ − + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
− − −
−
−
−
− −
− −
5.5.5.5.5. 3 5 10 8 3 4
3 1 4 2 2
6 4 10
6 2 8
6 2 8
6 2 8
2
3
4
3 2
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
4
3 2
2
3
4
3 2
m m m m m
m m m m
m m
m m
m m m
m m m
− + − + −
− − + − +
− + +
+ + −
+ −
− − +
−
−
− −
− −
− −
− −
− −
−
− −
−
7.7.7.7.7. 4 7 9 7 2 4 3 2
4 3 2 2
8 2 7 7
8 2 6 4
4 3 2
4 3 2
5 4 3 2 1 2 1
5 4 3 2 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
− − − − − − −
− − − − − − −
− − − −
− − − −
− − −
− − −
− − + − + + − +
− − + − − +
− + + −
+ − +
+ − +
− − + −
8.8.8.8.8. a b a b a b a b a b a b
a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
− − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − −
− −
− − − − − −
− − − − − −
− − − − − −
+ + − +
− + − + +
− + −
− +
− + −
12 11 8 7 4 3 7 6 5 4 3 2
12 11 10 9 8 7 5 5 3 3 1 1
10 9
10 9 8 7 6 5
8 7 6 5 4 3
8 7 6 5 4 3
4.4.4.4.4. 2 3 2 1
2 2 2 2 2
3
2 2 2
2 2 2
3
4
1
2
1
4
1
4
1
4
3
4
1
2
3
4
1
2
1
4
3
4
1
2
1
4
3
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
+ − + − + −
− − + − +
− + +
+ + −
+ −
− − +
−
6.6.6.6.6.
a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
5
4
1
4
1
4
3
4
1
2
1
2
5
4
3
4
1
4
3
4
1
4
1
4
3
4
1
4
1
4
3
4
1
4
1
4
1
4
1
4
3
4
1
4
1
4
3
4
4 4 2
2 2
2 5 4
2 4 2
2
2
− + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
− − −
−
−
−
− −
− −

9.9.9.9.9. m n m n n m m n m n
m n m m n n m m n
m
m m n m n
m n m n n
m n m n n
− − − − − − − − −
− − − − −
−
− − − − −
− − − − −
− − − − −
+ + − +
− + − + +
− + −
− +
− + −
4 2 1 3 4 3 1 2 2
4 3 2 1 2 1
3
3 2 1 1 2
2 1 1 2 3
2 1 1 2 3
10.10.10.10.10. 15 19 17 24 10 3 2 5
15 10 25 5 3 4 2
9 6 17
9 6 15
12 2 24
12 8 20
6 4 10
6 4 10
3 2 1 2 1
3 2 2 1
2
2
1
1
1 2
1 2
a a a a a a a
a a a a a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
+ − + − + + −
− − + − + −
− + +
+ + −
+ −
− − +
− − +
+ + −
− − −
−
−
−
− −
− −
11.11.11.11.11. a b a b a b a a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a
a b a b a
5
4 4
3
4 3
1
4 1
3
4
1
2 1
1
2
5
4 4
3
4 3
1
4 2
3
4 3
1
4 2
1
4 1
3
4 3
1
4 2
1
4 1
3
4 3
1
4 2
1
4 1
1
4 2
1
4 1
3
4
1
4 2
1
4 1
3
4
5 3 2 3
2 3
3 5
2 3
2 3
2 3
− −
−
−
−
−
−
− − − − −
−
−
− −
−
−
− −
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
− + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
12.12.12.12.12. x x y x y y x x y y
x x y x y x x y y
x y
x y x y x y
x y x y y
x y x y y
−
− −
− − − −
− −
−
−
− −
− − −
− −
−
− −
− −
− −
− −
− −
− −
−
− −
− −
−
+ + + − +
− + − + +
− + −
− +
− + −
2
3
2
1
2 1 1 2 1
1
2
1
2 1
2
3
2
1
2 1 1 1
1
2
1
2 1
3
2
1
2
3
2
1
2 1 1
1
2
3
2
1 1
1
2
3
2 2
1 1
1
2
3
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2

13.13.13.13.13. m m m m m m
m m m m m
m m
m m m
m m m
m m m
− + + −
− − + − −
− −
+ −
− − +
+ + −
− −
−
−
− −
− −
6 2
2 2
2 5
2 4 2
2
2
1
5
3
5
3
5
1
5
1
5
3
5
1
5
2
5
2
5
3
5
1
5
3
5
1
5
1
5
1
5
1
5
3
5
1
5
1
5
3
5
15.15.15.15.15. 4 3
4 4 4
5
2 2
1
2
1
2 2
1
2
1
2
5
2 2
1
2 2
3
2
1
2
1
2
3
2
2
1
2
2
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1
2 2
3
2
1
2 2
x x y x y x y
x x y x x y xy x y
x y
x y x y
x y
x y xy
xy x y
xy x y
+ − +
− − − − −
−
+ −
−
+ −
− −
+ +
16.16.16.16.16. x ax a x a x x a x a x
x a x a x x a x a x a
a x a x ax
a x a x ax
a x ax a x
a x ax a x
ax a x a x
ax a x
7
3
4
3
4
3
5
3
2
3
4
3
1
3
2
3
2
3
7
3
1
3 2
2
3
5
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3 2
2
3
5
3
4
3
1
3 2
2
3
5
3
4
3
2
3
5
3
4
3
4
3
2
3
5
3
4
3
4
3
4
3
4
3
5
3
2
3
4
3
4
3
7 3 9 2 3
2 3 2 3
2 3 7
2 4 6
3
2 3
3 6 9
3 6
− − − + +
− − − − + −
− − −
+ + +
− −
− − −
− − −
+ + +9
5
3
2
3
a x
14.14.14.14.14. 2 4 2 4 3 2
2 6 4 2 2 2
2 4 2
2 6 4
2 6 4
2 6 4
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
x x x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
+ + + + +
− − − − +
− − +
+ + +
+ +
− − −
−
− −
−
−

17.17.17.17.17. a a b b a b a b a b
a ab a b a a b b a b
ab b
ab a b b
a b
a b b a b
b a b a b
b a b a b
3
2
1
2
3
2 1
5
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2 2
3
2
1
2 2 1
5
2
3
2
1
2 2 1
5
2
+ − − + +
− − − − + −
− −
+ + +
− − −
− − −
+ + +
−
−
−
−
−
−
−
−
18.18.18.18.18. m n m n m n m n m n
m n m n m n m n m m n
m n m n
m n m n m n
m n m n
m n m n
− − − −
− − − − − − −
− −
− − −
− −
− −
− + + −
− − + − −
− −
+ + −
− − +
+ + −
2 2 1
3
4
3
2
1
4
1
4
1
2
2 2
3
2
3
2 1
5
4
1
2
3
4
1
4
1
2
3
2
3
2 1
3
2
3
2 1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
11 1 3
3 3
3 10
3 9 3
3 1
3 1
19.19.19.19.19. x y x y x y x y x y x y
x y xy x y x y x y
xy x y
xy x y
xy x y x y
xy x y x y
− − − − − − −
− − − − −
− −
− −
− − −
− − −
+ + + − +
− + − + +
− +
− + −
− +
− + −
1 2 2 4 3 6 3 3 2 1 1
1 2 2 2 1 3 3 4 5
2 2 4
2 2 4
2 2 4 3 6
2 2 4 3 6
4 13 6 3
1 3 5 2
5 3 13
5 5 15
2 2 6
2 2 6
20.20.20.20.20. 3 7 3 1
3 2
6
6 2 2
3
3
2
3
1
2 2
3
2
8
3 2
2
3
1
2
2
3
1
2
2
3
1
2
4
3
2
3
1
2
4
3 2
3
2
2
3
1
2
4
3 2
3
2
2
3
1
2
4
3 2
3
2
4
3 2
3
2
8
3 2
4
3 2
3
2
8
3 2
+ + − + +
− − − + −
− +
− − −
− − −
+ + +
−
−
− − −
− − − −
−
− −
−
− −
−
−
−
−
−
−
−
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b

EJERCICIO 227
1.1.1.1.1. ( )a a a− − ⋅ −
= =1 2 1 2 2
2.2.2.2.2. ( )a b a b a b− − − ⋅ − ⋅ − −
= =2 1 3 2 3 1 3 6 3
3.3.3.3.3. a a a a
3
2
2 3
2
2
6
2 3




 = = =
⋅
4.4.4.4.4. x x x
3
4
3 3
4
3
9
4





 = =
⋅
5.5.5.5.5. m m m m
3
4
2 3
4
2
6
4
3
2





 = = =
⋅
6.6.6.6.6. a a a a
− − ⋅ − −




 = = =
2
3
3 2
3
3
6
3 2
7.7.7.7.7. x y x y x y x y− − ⋅ ⋅ − −




 = = =4
1
4
2
4 2
1
4
2 8
2
4 8
1
2
8.8.8.8.8. 2 2 4 4
1
2
1
3
2
2
1
2
2
1
3
2
2
2
2
3
2
3
a b a b a b ab





 = = =
⋅ ⋅
9.9.9.9.9. ( )a b a b a b− − − ⋅ − ⋅ − −
= =3 1 4 3 4 1 4 12 4
10.10.10.10.10. x y x y x y x y
2
3
1
2
6 2
3
6
1
2
6
12
3
6
2 4 3− ⋅ − ⋅ − −




 = = =
11.11.11.11.11. 3 3 243 243
2
5 3
5
5
2
5
5 3 5
10
5 15 2 15
a b a b a b a b− ⋅ − ⋅ − −




 = = =
12.12.12.12.12. 2 2 8 8
1
2
1
3
3
3
1
2
3
1
3
3
3
2
3
3
3
2 1
m n m n m n m n
− − − ⋅ − ⋅ − − − −




 = = =
EJERCICIO 228
1.1.1.1.1. a b a a b b
a a b b
1
2
1
2
2 1
2
2 1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
+





 =





 +











 +






= + +
2.2.2.2.2. x y x x y y
x x y y
3
4
1
3
2 3
4
2 3
4
1
3
1
3
2
3
2
3
4
1
3
2
3
2
2
−





 =





 −











 +






= − +
3.3.3.3.3. ( ) ( )m m m m m m
m m m m m m
− − −
− − −
+





 =





 +





 +
= + + = + +
1
2
2 1
2
2 1
2 2
1 1
1
2 2 1
1
2 2
2 2 2 2
4 4 4 4
4.4.4.4.4. ( )
( ) ( )( ) ( )
a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b
a b ab a b
− −
− − − −
− − + − −
− −
−
= − +
= − +
= − +
2 3 3 2 2
2 3 2 2 3 3 2 3 2 2
4 6 2 3 3 2 6 4
4 6 6 4
2
2
2
5.5.5.5.5. ( ) ( )a b a a b b
a a b b
− − − − − −
− − − −
−





 = −





 +






= − +
1
3
4
2
1 2 1
3
4
3
4
2
2 1
3
4
3
2
3 2 3 3
6 9
6.6.6.6.6. ( ) ( ) ( )a b a a b b
a a b b
− − −
− −
+ = +





 +






= + +
2
2
2 2 2
1
2
1
2
2
4 2
1
2
2
2
7.7.7.7.7. x y x x y y
x x y y
34
1
2
2 3
4
2 3
4
1
2
1
2
2
3
2
3
4
1
2 1
2
2
−





 =





 −











 +






= − +
− − −
− −
8.8.8.8.8. m n m n
m n m n m n m n
m n m n mn
m n m n mn
− −
− − − −
− − + − −
− − − −
−






=





 −











 +






= − +
= − +
2
1
4
1
2 1
2
2
1
4
2
2
1
4
1
2 1
1
2 1
2
4
1
2
2
1
2
1
4
1 2
4
1
2
3
2
3
4 2
2
2
2
9.9.9.9.9. a b
a a b a b b
a a b a b b
1
3
1
3
3
1
3
3 1
3
2 1
3
1
3
1
3
2 1
3
3
2
3
1
3
1
3
2
3
3 3
3 3
+






=





 +











 +











 +






= + + +
10.10.10.10.10. ( )
( ) ( ) ( )
x y
x x y x y y
x x y x y y
23 1
3
2
3
3 2
3
2
1
2
3 1 2 1 3
2
4
3 1
2
3 2 3
3
3 3 3 3 3
9 27 27
−
=





 −





 +





 −
= − + −
−
− − −
− − −

11.11.11.11.11. m n m m n m n n m m n m n n
2
3
3
2
3 2
3
3 2
3
2 3
2
2
3
3
2
2 3
2
3
2
4
3
3
2
2
3 3
9
2
4 3 4 3 4 4 12 48 64+





 =





 +











 +











 +





 = + + +
− − − − − − −
12.12.12.12.12. ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 8 36 54 274
1
2
3
4 3 4 2
1
2 4
1
2
2 1
2
3
12 8
1
2 4 1
3
2
a b a a b a b b a a b a b b− − − − − − − − − − − − − −
−





 = −





 +





 −





 = − + −
13.13.13.13.13. ( )x y x x y x y y x xy x y y− =





 −











 +











 −





 = − + −3
3
1
2
3 1
2
2 1
3
1
2
1
3
2 1
3
3 3
2
1
3
1
2
2
3
3 3 3 3
14.14.14.14.14. a b a a b a b a b b a a b ab a b b
1
2
2
3
4 1
2
4 1
2
3 2
3
1
2
2 2
3
2 1
2
2
3
3 2
3
4
2
3
2
2
3
4
3
1
2 2
8
3
4 6 4 4 6 4+





 =





 +











 +











 +











 +





 = + + + +
15.15.15.15.15. ( ) ( ) ( ) ( )x y x x y x y x y y
x x y x y x y y
− − − − − − − − − −
− − − − − − − −
−





 = −





 +





 −





 +






= − + − +
2
1
3
4
2 4 2 3
1
3 2 2
1
3
2
2
1
3
3 1
3
4
8 6
1
3 4
2
3 2 1
4
3
4 6 4
4 6 4
16.16.16.16.16. x y x x y x y x y x y y
x x y xy x y
1
3
3
4
5 1
3
5 1
3
4 3
4
1
3
3 3
4
2 1
3
2 3
4
3 1
3
3
4
4 3
4
5
5
3
4
3
3
4
3
2
2
3
5 10 10 5
5 10 10
+





 =





 +











 +











 +











 +











 +






= + + +
− − − − − −
− − − − −
+ +
9
4
1
3 3
15
4
5x y y
17.17.17.17.17. ( )m n m m n m n m n m n n
m m n m n mn m n n
− =





 −











 +











 −











 +











 −






= − + − + −
3
5
1
2
5 1
2
4 1
3
1
2
3 1
3
2 1
2
2 1
3
3 1
2
1
3
4 1
3
5
5
2 2
1
3
3
2
2
3
1
2
4
3
5
3
5 10 10 5
5 10 10 5
18.18.18.18.18. ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a m
a a m a m a m a m a m m
a a m a m a m a m a m m
2 6
2 6 2 5
1
2 2 4
1
2
2
2 3
1
2
3
2 2
1
2
4
2
1
2
5 1
2
6
12 10
1
2 8 6
3
2 4 2 2
5
2 3
2
6 2 15 2 20 2 15 2 6 2 2
12 60 160 240 192 64
−
= −





 +





 −





 +





 −





 +






= − + − + − +
19.19.19.19.19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x x y x y x y x y y
x x y x y x y x y y
− − − − − −
− − − − −
+ = +





 +





 +





 +





 +






= + + + + +
3 4
5
3 5 3 4
1
4 3 3
1
4
2
3 2
1
4
3
3
1
4
4 1
4
5
15 12
1
4 9
1
2 6
3
4 3
5
4
5 10 10 5
5 10 10 5
20.20.20.20.20. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )a a a a a a a a
a a a a a a a a a
− − − − − − − −
− − − − − − − − −
+ + = + + + + +
= + + + + + = + + + +
2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1
4 2 3 2 1 4 3 2 1
3 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2
9 4 6 4 12 6 13 12 4
21.21.21.21.21. x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
1
2
1
4
1
4
2 1
2
2 1
4
2 1
4
2 1
2
1
4
1
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
3
4
1
4
3
4
2 2 2 2 2 2 2
4 2 4 4 2
− +





 =





 + −





 +





 +





 −





 +











 + −












= + + − + − = −
− − − −
−
+ + − +
−
x x x
1
2
1
4
1
2
4 4 4
22.22.22.22.22. ( ) ( ) ( )a a a a a a a a
a a a a a a a a
− − − −
− − − −
+ +





 =





 + +





 +





 +











 +






= + + + + + = + + + +
1
2
1
2
2 1
2
2
2
1
2
2 1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2 1
3 3 2 3 2 2 3
9 6 2 6 6 11 6

23.23.23.23.23. ( ) ( ) ( )m m m m m m m m m m m m
m m m m m m m m m m m
+ −





 = +





 + −





 +





 + −





 +





 −






= + + + − − = + − − +
2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3
4 9 4 6 12 4 2 12 9
3
4
1
2
2
2
3
4
2 1
2
2 3
4
1
2
3
4
1
2
2
3
2
7
4
3
2
5
4 2
7
4
3
2
5
4
24.24.24.24.24. ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b a b a b
ab a b a b a b
1
2
1
3
1
2
1
3
2 1
2
1
3
2
2
1
2
1
3
2 1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
2
3 1
2
3
1
2
1
3
1
2
1
2 2 2 2 2 2 2
4 4 2 4
− − − − − − − −
− − − −
− +





 =





 + − +





 +





 − +











 + −






= + + − + − 3
2
3
1
2
1
3
1
2
1
3 1
2
3
4 6 4= − + − +
− − − −
ab a b a b a b
25.25.25.25.25. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x x x x x x x x x
x x x x
1
2
1
4
3 1
2
3 1
4
3
3
1
2
2 1
4
1
2
2 1
4
2 1
2
1
4
2
2
1
2
2
1
4
1
2
1
1 1 3 3 1 3 3 1
3 1 3 1 6
+ −





 =





 +





 + − +











 +





 − +











 +





 −
+ −





 + −





 +





 ( )4
3
2
3
4
5
4
1
2
1
2
1
4
3
4
3
2
5
4
3
4
1
4
1
1 3 3 3 3 3 3 6 3 5 3 1





 −
= + − + − + − + + − = + − + −x x x x x x x x x x x x x
26.26.26.26.26. ( ) ( ) ( ) ( )
( )
a a a a a a a a a
a a a a
2
3
2
3
3 2
3
3
3
2
3
3 2
3
2 2
3
2 2
3
2
2
3
2
2
3
2
3
2 2
3
2
3
2 2
3
2 2 3 2 3 3 2 3 2
3 3 2 6
− +





 =





 + − +





 +





 − +











 + −





 + −






+











 +





 − +


− − − −
− −
( )


 −






= − + − + + + + − −
= − + − + − +
−
− − − −
− − −
2
8 6 3 12 12 3 6 12
6 15 20 15 6
2
3
2 2
4
3
2
3
2
3
2
3
2
3
4
3
2
4
3
2
3
2
3
4
3 2
a
a a a a a a a a
a a a a a a
27.27.27.27.27. m m m m m m m m m m m m
m m m m
1
6
1
3
1
2
3 1
6
3 1
3
3 1
2
3 1
6
2 1
3
1
6
2 1
2
1
3
2 1
6
1
3
2 1
2
1
2
2
2 2 3 2 3 3 2
3 2 3
+ +





 =





 +





 +





 +











 +











 +












+











 +






1
6
1
2
2 1
3
1
6
1
3
1
2
1
2
3
2
2
3
5
6
5
6
7
6
7
6
4
3
3
2
4
3
7
6
5
6
2
3
1
2
3 2 6 2
8 6 3 12 12 3 6 12
6 15 20 15 6





 +











 +


















= + + + + + + + + +
= + + + + + +
m m m m m
m m m m m m m m m m
m m m m m m m
EJERCICIO 229
1.1.1.1.1.
( )( )
( )( )
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x
− − − − − −
− − − − − −
− −
− − − −
− − − −
− −
+ + + + + +
− + = +
+ +
− − + +
+ + = + +
− − −
4 3 2 1 2 1
4 2 1 1 3 2
3 2
3 2 2 1
2 1 2 1
2 1
6 13 12 4 3 2
2 3 3 6 9
6 13
6 9 2 6 2 2
4 12 4 4 12 4
4 12 4

2.2.2.2.2.
( )
m m m m m m
m m m
m
m m m m
m m m m
m m
+ + + + + +
− +





 = +
+
− − + +












+ + = + +
− − −
− − −
− −
− − − −
− −
6 11 6 3
2 3 3 6 9
6 11
6 9 2 6
2 6 2 6
2 6
1
2
1
2 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 1
1
2 1
1
2 1
3.3.3.3.3.
( )
9 6 25 8 16 3 4
9 6
6 25 6
6
24 8 16 6 2 4 4
24 8 16 24 8 16
4
3
2
3
1
3
2
3
1
3
4
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
a a a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
− + − + − +
− −





 −






− + = − +
+ −
− + − +






− + − = − +
4.4.4.4.4. a a a a a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a a a a
a a a a a
2
7
4
3
2
5
4
3
4
1
2
2
3
4
3
4
7
4
3
2
7
4
3
2
7
4
3
2
3
2
5
4
3
4
1
2
1
2
3
2
5
4
3
2
5
4
4 2 12 9 2 3
2 2 2
4 2 4 4
4 4
6 12 9 2 4 3 3
6 12 9 6 12
+ − − + + −
− +












+ − = +
− −
− − + + −





 −






+ + − = − − + 9a

5.5.5.5.5.
( )
mn m n m n m n m n m n
mn m n
m n m n
m n
m n m n m n m n m n
− − − − − −
− −
− −
−
− − − − −
− + − + − +
− −





 −
− + = − +
+ −
− + − +






2
3
1
2
1
3
1
2
1
3 1
2
3
1
2
1
3
1
2
1
3
2
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3 1
2
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
4 6 4 2
2 2 2
4 6 4 4
4 4
2 4 2 4






− + − = − +
− − − −
2 4 2 4
1
2
1
3 1
2
3
1
2
1
3 1
2
3
m n m n m n m n
6.6.6.6.6.
( )
a a a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
4
5
3
5
2
5
1
5
2
5
1
5
4
5
2
5
1
5
1
5
3
5
2
5
3
5
2
5
3
5
2
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
8 10 24 9 4 3
2 4 4
8 10 8 16
8 16
6 24 9 2 8 3 3
6 24 9 6 24 9
− + + + − −
− −





 −






− + = − +
+ −
− + + − −





 −
+ − − = − + +
7.7.7.7.7.
( )
( )
( )
a a a a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a
− − − − − − − −
− − −
− − − − − −
− − − − − −
− − −
− + − + − + − +
− =
− + − −





 = −
+ − + −





 =
− +
3
5
2 2
3
2 1
1
23 1
1
2
3 1 2 2
5
2 2
3
2 1 2
1
2
5
2
5
2 2
3
2 1
1
2
2
2
2
3
2
6 21 44 63 54 27 2 3
3 3
6 21 44 3 2 6
6 12 8 3 2 12
9 36 63
( )
( )
1
1
2
1
2
3 3
2
2
3
2 1
1
2
1
1
2
2
2
3
2 1
1
1
2
2
2
3
2 1
1
1
2 2 1
1
2
54 27 2 8
9 36 63 54 27
3 2 3 12 12
3 2 3 9 36 36
3 2 3 27 54
− + −





 = −
− + − + −
−





 = − +
−





 = − +
−





 = −
− − −
− − − −
− − − − −
− − − − −
− − − −
a a a
a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
( )3 27
3
=

8.8.8.8.8.
( )
( )
( )
x x x x x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
2
4
3
2
3
2
3
4
3 23
2
3
2
3
2
2
3
2 4
3
4
3
2
3
2
3
2 4
3
4
3
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
3
4
3 2 3
2
6 15 20 15 6 2
3 3
6 15 20 3 2 6
6 12 8 3 2 12
3 12 15 6 2 8
3
− + − + − + − +
−





 =
− + −





 − = −
+ − +





 − =
− + − + − = −
−
− − − −
− − −
3
2
3
4
3 2
2
3
2 4
3
2
3
2
3
2 2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 2
3
4
3
2
3
3
2
12 15 6
3 2 3 12 12
3 2 3 12 12
3 2 3 6
+ − + −
−





 = − +
−











 = − +
−











 = −





 =
− − −
− −
− − −
− −
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x
9.9.9.9.9. a a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a
3
2
5
4
3
4
1
4
3
1
2
1
4
3
2
1
2
2
5
4
3
4
1
4
1
2
2 1
4
5
4
5
4
3
4
1
2
1
4
2
3
4
1
4
1
4
3 3
4
3 5 3 1 1
3 3
3 5 3 3 3
3 3 3 3
3 6 3 1
+ − + − + −
−





 =
+ − +











 =
− − −











 =
− − + −





 =
+
( )
( )
( )
3 6 3 1
3 3 6 3
3 1 3 6 3
3 1 3 3
1 1
3
4
1
4
1
2
1
4
2 3
4
1
2
1
2
1
4
2 3
4
1
2
1
2
1
4
2
1
2
1
4
3
a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
+ − +
+





 = + +
+





 − = − − −
+





 − = +
− = −

EJERCICIO 230
1.1.1.1.1.
( )
a x
ax xa
x a ax a x
a x ax
ax ax
ax
a x
x a ax a x a x
a x
a x
a x
2 2
1 1
2 2 1 1
2 2 1
1 1
1
1
2 2 1 1 1
1
2 2
1
2
3
19
9
2
3
1
3
2
1
3
1
3
2
3
19
9
2
3
1
9
2
3
1
9
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
−
− −
− − −
− −
− −
−
−
− − − −
−
−
−
− + − + − +
− −





 −






− + = − +
+ −
− + − +






− + − = − + −
a x2 2
2.2.2.2.2.
( )( )
( )( )
x x x x x x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x x x x
x x x
2 1 2 3 4 1 2
2 1 1 2
1 2
2 1 2 2
1 3 4 1 3 4
1 3 4
4 2 4 4 2
2 2 2 4 4
4 2 4
4 4 2 4
2 4 2 4
2 4
− + + − + − +
− − − = − +
− + +
+ − − +
− + = − +
− + −
− − − − − −
− − −
− −
− − − −
− − − − − −
− − −
3.3.3.3.3.
( )( )
( )( )
a a a a a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a a a
a a a a
4 2 3 4 2 1 2
4 2 1 1
2 2
2
3 4 2 1 2 2
3 4 3 4
10 4 25 20 4 5 2
2 5 5
10 4 25 10 25
10 25
4 20 4 2 10 2 2
4 20 4 4 20 4
− + + − + − +
− − −
− + + = − +
+ −
+ − + − +
− + − = − +
− − − − −
− −
− −
−
− − − − −
− − − −
4.4.4.4.4.
( )( )
( )( )
m
m m m
m
m
m
m m
m m m m
m m m
m m
m m
4
2 2 4
2
2
4
2 2
2 2 2 2
2 2 4
2 4
2 4
4
5 28 30 9
2
5 3
4
5 5 5 25
5 28 10 3 3
5 25 3 30 9
3 30 9
3 30 9
− + − + − +
− − − = − +
− + − +
+ − = − +
− +
− + −
− − −
− −
− −
− −
− −

5.5.5.5.5.
4
25
2
5
19
12
5
3
25
9
2
5
1
2
5
3
4
25
4
5
1
2
1
2
2
5
1
4
2
5
19
12
2
5
1
4
4
5
1
5
3
5
3
4
3
5
3
25
2 2 1 1 2 2 1 1
2 2 1 1
1
1 1 1 1
1 2
x y xy x y x y xy x y
x y xy xy
xy
xy xy x y x y
x y x y
− − − − − −
− − −
−
− − − −
− −
− + − + − +
− −





 −





 = − +
− +
+ − − +












− +
2 1 2 2
1 2 2
9
4
3
5
3
25
9
4
3
5
3
25
9
= − +
− + −
− −
− −
x y x y
x y x y
6.6.6.6.6.
( )
( )
a a x
a x
ax
a x
a
ax a x
a a
ax ax
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a
ax a x a x
ax
a x
ax
a x
4 3 1
2 2 2 2
2
1 1
4 2
1 1
3 1
2 2
3 1
2 2
3 1
2 2
2
1 1 1
2 2 2 2
9
2
3
2
3
2
3
9
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
2
3
2
+ + − − + + −
− +





 = +
+
− − + −





 −
− − + = − − +
−
− − − −
− −
−
−
−
−
−
− − − −
− −
+ + − −2
3
2 2 2ax
a x
7.7.7.7.7.
( )( )
( )( )
9 30 55 50 25 3 5 5
9 6 5 5 30 25
30 55
30 25 6 10 5 5
30 50 25 30 50 25
30 50 25
4 2 2 4 2 2
4 2 2
2
2 2 2 2
2 4 2 4
2 4
m m m m m m
m m m
m
m m m m
m m m m
m m
+ + + + + +
− + = +
+ +
− − + +
+ + = + +
− − −
− − −
− −
− − − −
− −
8.8.8.8.8.
4
49
2
7
21
20
7
5
49
25
2
7
1
2
7
5
4
49
4
7
1
2
1
2
2
7
21
20
2
7
1
4
2
7
1
4
4
5
7
2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1
2 2 2 2 1 1
1 1 1 1
1 1
1
a b x y abx y xya b x y a b abx y a b xy
a b x y abx y
abx y abx y
abx y
xya b
− − − − − − − − − − − −
− − − −
− − − −
− −
− −
− + − + − +
− −





 −






− + = − +
−
−
1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2
5
49
25
4
7
1
7
5
7
5
4
5
7
5
49
25
4
5
7
5
49
25
+ − +












− + − = − +
− − − − − − − −
− − − − − − − −
x y a b abx y a b xy a b xy
xya b a b x y a b xy a b x y

9.9.9.9.9.
( )
ab a b b a a b a b a b
ab a b a b
a b
a b a b a b a b
a b
− − − − − −
− − −
−
− − − −
−
− + − + − +
− −





 − = − +
− +
+ − − +












− +
2
3
1
2
1
3
1
3
1
2 1
2
3
1
2
1
3
1
2
1
3
2
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
4 6 4 2
2 2 2 4 4
4 6
4 4 2 4
2 4 a b a b a b
a b a b
− − −
− −
= − +
− + −
1
2
3
1
2
1
3 1
2
3
1
2
1
3 1
2
3
2 4
2 4
10.10.10.10.10.
( )( )
( )( )
a b a b a b
a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b
4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 4 4 2 2 4 4
2 2 4 4
6 7 6 3
2 3 3 6 9
6 7
6 9 2 6
2 6 2 6
2 6
+ + − + + −
− + = +
+ +
− − + − −
− − + = − − +
+ + −
− − − − − −
− − − −
− − − − − − − −
− − − −
11.11.11.11.11.
( )
xy x y x y x y x y x y
xy x y x y
x y
x y x y x y x y
x y x
2
3
1
2
1
3
1
2
1
3 1
2
3
1
2
1
3
1
2
1
3
2
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3 1
8 18 8 4
2 4 4 8 16
8 18
8 16 2 8
2 8
− + − + − +
− −





 − = − +
− +
+ − − +












− +
− − − − − −
− − − −
− − −
y x y x y
x y x y
− − − − −
− − − −
= − +
− + −
2
3
1
2
1
3 1
2
3
1
2
1
3 1
2
3
2 8
2 8
EJERCICIO 231
1.1.1.1.1. 18 2 3 3 22
= ⋅ =
2.2.2.2.2. 3 48 3 3 2 3 2 3 12 34 2
= ⋅ = ⋅ =
3.3.3.3.3. 16 2 2 2 23 33 3
= ⋅ =
4.4.4.4.4.
1
2
128
1
2
2 2
1
2
2 2 2 23 63 2 3 3
= ⋅ = ⋅ =
5.5.5.5.5. 2 243 2 3 3 2 3 3 6 34 44 4 4
= ⋅ = ⋅ =
6.6.6.6.6. 50 2 5 5 22 2 2
a b a b a b= ⋅ =
7.7.7.7.7. 3 81 3 9 3 9 273 4 2 2 4 2 2
x y x xy xy x xy x= ⋅ = ⋅ =
8.8.8.8.8.
1
2
108
1
2
2 3 3
2
2
3 3 3 3
5 7 2 2 4 6
2 3 2 3
a b a ab b
a b ab a b ab
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ =
9.9.9.9.9.
3
5
125
3
5
5 5
3 5
5
5 3 56 2 6 3 3
mn mn n m n m= ⋅ =
⋅
=
10.10.10.10.10. 2 44 2 2 11
2 2 11 4 11
3 7 9 2 2 6 8
3 4 2 3 4
a a b c a a ab bc c
a ab c abc a b c abc
= ⋅
= ⋅ ⋅ = =

11.11.11.11.11. 2 16
2 2 2 2 2 2 4 2
2 73
3 2 63 2 23 2 23
x y
x y y y x y y x y= ⋅ = ⋅ =
12.12.12.12.12.
2
3
27
2
3
3
2 3
3
2
2 83
3 2 6 23 2 2 23 2 2 23
m n
m n n n m n n m n= =
⋅
=
13.13.13.13.13. 5 160
5 2 20
5 2 20 10 20
7 9 133
3 6 9 123
2 3 4 3 2 3 4 3
a x y z
a x xy z z
ax y z xz ax y z xz
= ⋅
= ⋅ =
14.14.14.14.14. 80 2 5 2 54 5 124 4 4 4 124 3 4
a b c a b bc abc b= ⋅ =
15.15.15.15.15. 3 5 3 5 3 58 14 164 8 12 2 164 2 3 4 24
x y z x y y z x y z y= =
16.16.16.16.16.
2
5
32
2
5
2
2 2
5
4
5
2 115
5 2 105 2 25
2
25
x y
x y y y x y
y
x y= =
⋅
=
17.17.17.17.17. 2 128
2 2 2
2 2 2 8 2
2 83
6 2 6 23
2 2 2 23 3 2 23
xy x y
xy x y y
xyy x y xy x y
= ⋅
= ⋅ =
18.18.18.18.18.
1
3
27
1
3
3 3
3
3
3 3
3 7
2 2 6
3
3
a
a m
a
a am m
am
a
am m am= ⋅ = =
19.19.19.19.19.
3
5
375
3
5
5 3
3 5
5
3
3
3
83
3 6 23
2
23
2
23
x
a b
x
a a b
a
x
a b
a
x
a b= ⋅ =
⋅
=
20.20.20.20.20.
1
3
81
1
3
3
3
3
44 4 44 4 4
a b a b a b a b= = =
21.21.21.21.21. ( ) ( )9 18 9 2 3 2 3 22
a b a b a b a b+ = + = + = +
22.22.22.22.22.
( ) ( )
3 3
3 1 3 1 3 3
3 2 2 2
2 2
a b a b
a b a ab a ab a
−
= − = − = −
23.23.23.23.23.
( ) ( )
8 16
2 2 2 2 2 2 2 2 4
2 4 4
2 4 2 2 2
x y xy
xy x y x x y x x
+
= ⋅ + = + = +
24.24.24.24.24.
( ) ( ) ( )
2 4 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x xy y
x xy y x y x y
− +
= − + = − = −
25.25.25.25.25. ( )( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )
a b a b
a b a b a b
a b a b a b a b
− −
= − − +
= − + = − +
2 2
2
26.26.26.26.26.
( ) ( ) ( )
2 4 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
am amn an
a m mn n a m n m n a
+ +
= + + = + = +
27.27.27.27.27.
( )
( ) ( ) ( )
9 36 36
3 2 4
3 2 3 2 3 6
3 2
2 2
2
a a a
a a a
a a a a a a
− +
= − +
= − = − = −
EJERCICIO 232
1.1.1.1.1.
1
5
1 5
5 5
5
5
1
5
52
=
⋅
⋅
= =
2.2.2.2.2.
3
8
3 2
8 2
6
2
1
2
6
1
4
64 2
=
⋅
⋅
= = =
3.3.3.3.3. 2
1
2
2
2 1
2 2
2
2
2
2
2
2 22
=
⋅
⋅
= = =
4.4.4.4.4. 3
1
6
3
1 6
6 6
3
6
6
3
6
6
1
2
62
=
⋅
⋅
= = =
5.5.5.5.5.
1
2
2
3
1
2
2 3
3 3
1
2
6
3
1
2 3
6
1
6
62
=
⋅
⋅
= =
⋅
=
6.6.6.6.6.
a
x
a x
x
a
x
x a
x
x a
x
x
2 2
2 2 2
8 2 2 2 2 2
2
2 4
2=
⋅
= = =
7.7.7.7.7.
3
2
4
27
3
2
3 2
3
3 2
2 3
3
3
3
2
3
2 2
4 4 2 2 2
a
y
a y
y
a
y
y
a
y
y=
⋅
=
⋅
⋅
=
8.8.8.8.8. 5
9
5
5
3 5
5
5 3
5
5
3
53
2
2 4 2 2
n
m
mn
m m
mn
m
mn=
⋅
=
⋅
=
9.9.9.9.9. 6
5
24
6
5 6
2 3
6
2 3
30
2
30
3
2
3
4 2 2 2
2a
x
a
x x
a a
a
x
a=
⋅
⋅
=
⋅
=
10.10.10.10.10.
2
3
2 3
3
1
3
183
2
3
3 3
=
⋅
=
11.11.11.11.11. 5
1
5
5
5
5
5
5
5 253
2
3
3 23 3
= = =
12.12.12.12.12.
8
9
2 3
3
2
3
32
3
3
3 3
3 3
x
x
x x
x=
⋅
=

13.13.13.13.13. 2
125
4
2
5 2
2
2 5
2
2 5 22
5
3 2
3
3 6
3
2
2
3 3
b
b
b
b
b
b
b
b b=
⋅
=
⋅
=
14.14.14.14.14.
2
3
27
16
2
3
3 4
2
2 3
3 2
4
1
2
4
2
2 4
3
3 2 2
6 3 6
3
2 2
2 23
2
2 23x
a b
ab x
a b ab
ab x
ab
ab x=
⋅
=
⋅
⋅
=
15.15.15.15.15. 2
81
4
2
3 2
2
2 3
2
4 3 4
2
3
4
4 2 2 3
4 4 4
4
2 34 2 34
xy
a
x y
xy
a xy
x y
xy
xy
a xy a xy=
⋅
=
⋅
=
EJERCICIO 233
1.1.1.1.1. 9 3 3 3 34 24
2
4
1
2
= = = =
2.2.2.2.2. 4 2 2 2 26 26
2
6
1
3 3
= = = =
3.3.3.3.3. 27 3 3 3 39 39
3
9
1
3 3
= = = =
4.4.4.4.4. 16 2 2 2 28 48
4
8
1
2
= = = =
5.5.5.5.5. 3 64 3 2 3 2 3 2 3 212 612
6
12
1
2
= = ⋅ = ⋅ =
6.6.6.6.6. 25
5 5 5 5
2 24
2 2 24
2
4
2
4
2
4
1
2
1
2
1
2
a b
a b a b a b ab= = = =
7.7.7.7.7. 5 49 5 7 5 7 5 72 46 2 2 46
1
3
1
3
2
3 23
a b a b a b ab= = ⋅ =
8.8.8.8.8. 81 3 3 34 88 4 4 88
1
2
1
2
x y x y x y y x= = =
9.9.9.9.9. 32
2 2 2 2 2
10 1510
5 10 1510
1
2
3
2 3 2
x y
x y xy x y x y y xy y= = = = =
10.10.10.10.10. 64
2 2 2 2 2
6 1812
6 6 1812
1
2
1
2
3
2 3 2
m n
m n m n mn mn n n mn= = = = =
11.11.11.11.11. 343
7 7 7 7 7
9 126
3 9 126
1
2
3
2 2 2 3 2 2 2
a x
a x a x x a x a a ax a= = = = =
12.12.12.12.12. m n x
m nx n m x n m x x nx m x
10 15 2015
2
3
4
3 2 43 2 33 23
= = = =
EJERCICIO 234
1.1.1.1.1. 2 3 2 3 122
= ⋅ =
2.2.2.2.2. 3 5 3 5 452
= ⋅ =
3.3.3.3.3. ( )5 5 25
2 2
a b a b a b= =
4.4.4.4.4.
1
2
2
1
2
2
2
4
1
2
2
=





 ⋅ = =
5.5.5.5.5. ( ) ( )3 2 3 2 9 2 182 2 2 2 2 4
a a a a a a a= ⋅ = =
6.6.6.6.6. ( ) ( )5 3 5 3 25 3 752 2 2 4 2 4 2
x y x y x y x y= = =
7.7.7.7.7.
( ) ( ) ( )( )
ab a b
ab a b a b a b a b
2 23
2 3 23 3 6 23 5 73
= = =
8.8.8.8.8. ( ) ( ) ( )( )4 2 4 2 64 2 12823 3 23 3 23 53
m m m m m m m= = =
9.9.9.9.9. ( ) ( ) ( )( )2 8 2 8 16 8 12834 4 34 4 34 5 34
a ab a ab a ab a b= = =
10.10.10.10.10. ( )
( ) ( )
( )( )a b
a
a b
a b a
a b
a b a a ab+
+
=
+
+
= + = +
2
2
11.11.11.11.11. ( )
( )
( )x
x
x
x x
x
x x x x+
+
=
+
+
= + = +1
2
1
1 2
1
1 2 2 2
2
2
12.12.12.12.12. ( )
( ) ( )
( )( )
x
x
x
x x
x
x x x x
−
−
−
=
− −
−
= − − = − +
1
2
1
1 2
1
1 2 3 2
2
2
EJERCICIO 235
1.1.1.1.1. 5 5 125
2 2 4
36 6
3 26 6
= =
= =
2.2.2.2.2. 2 2 4
3 3
24 4
4 4
= =
=
3.3.3.3.3. 3 3 729
4 4 256
8 8 512
612 12
3 412 12
4 312 12
= =
= =
= =

4.4.4.4.4. 2 2 64
3 3 81
5 5 125
7 7 49
612 12
3 412 12
4 312 12
6 212 12
= =
= =
= =
= =
5.5.5.5.5. ( )
( )
5 5 125
4 4 16
7 7
36 36
23 2 2
6 4 26
36 36
x x x
x y x y x y
a b a b
= =
= =
=
6.6.6.6.6. ( )
( )
2 2 32
3 3 27
5 5
3 515 5 515
25 2 315 6 315
3 215 3 215
ab ab a b
a x a x a x
a x a x
= =
= =
=
7.7.7.7.7. ( )
( )
8 8 512
3 3 9
2 34 2 3 312 6 912
5 46 5 4 212 10 812
a x a x a x
a m a m a m
= =
= =
8.8.8.8.8. ( )
( )
( )
x x x
y y y
m m m
23 2 618 1218
36 3 318 918
79 7 218 1418
2 2 8
5 5 25
= =
= =
= =
9.9.9.9.9. ( )
( )
( )
3 3 243
2 2 16
7 7 49
4 520 520
25 2 420 820
310 3 220 620
a a a
b b b
x x x
= =
= =
= =
10.10.10.10.10.
( )
( )
2 2 2
3 2 3 2 3 64
4 5 4 5 4 125
3 412 412
612 612
24 2 312 612
a a a
b b b
x x x
= =
= =
= =
11.11.11.11.11. ( )
( )
( )
3 3 3
1
2
1
2
1
2
4 4 4
23 2 618 1218
36 3 318 918
59 5 218 1018
a a a
b b b
x x x
= =
= =
= =
12.12.12.12.12. ( )
( )
2 2 32
3 3 3
2 2
510 510
3 45 3 4 210 6 810
7 210 7 210
m m m
a x a x a x
x y x y
= =
= =
=
EJERCICIO 236
1.1.1.1.1. 5 5 125
2 2 4
5 2
36 6
3 26 6
3
= =
= =
Luego el orden es: ,
2.2.2.2.2. ( )15 15 225
7 7 343
7 15
6 212 12
4 312 12
4 6
= =
= =
Luego el orden es: ,
3.3.3.3.3. ( )
( )
11 11 1 331
43 43 1 849
43 11
36 6
3 26 6
3
= =
= =
.
.
: ,Luego el orden es
4.4.4.4.4. 3 3 27
5 5 25
32 32
32 3 5
36 6
3 26 6
6 6
6 3
= =
= =
=
Luego el orden es: , ,
5.5.5.5.5. 3 3 243
4 4 256
15 15 225
4 3 15
4 520 20
5 420 20
10 220 20
5 4 10
= =
= =
= =
6.6.6.6.6. 2 2 64
3 3 27
9 9 81
9 2 3
3 618 18
6 318 18
9 218 18
9 3 6
= =
= =
= =
EJERCICIO 237
1.1.1.1.1. ( )7 2 15 2 7 15 2 8 2− = − = −
2.2.2.2.2. ( )4 3 20 3 19 3 4 20 19 3 3 3− + = − + =
3.3.3.3.3. ( )5 22 5 8 5 1 22 8 5 29 5− − = − − = −
4.4.4.4.4. ( )2 9 2 30 2 40 2 1 9 30 40 2 18 2− + − = − + − = −

5.5.5.5.5.
3
4
2
1
2
2
3
4
1
2
2
3 2
4
2
1
4
2− = −





 =
−




 =
6.6.6.6.6.
3
5
3 3
3
5
1 3
3 5
5
3
2
5
3− = −





 =
−




 = −
7.7.7.7.7. 2 5
1
2
5
3
4
5
2
1
2
3
4
5
8 2 3
4
5
9
4
5
− +
= − +





 =
− +




 =
8.8.8.8.8.
1
4
3 5 3
1
8
3
1
4
5
1
8
3
2 40 1
8
3
41
8
3
+ −
= + −





 =
+ −




 =
9.9.9.9.9. ( )a b a b a b a a a b a b− + = − + =3 7 3 7 5
10.10.10.10.10. ( )
( )
3 2
3 2
x y a x y x y
x a x x y a y
+ − −
= + − − =
11.11.11.11.11. ( ) ( )
( )
x x
x x x
− + − +
= − + − + =
1 3 3 3 4 3
1 3 4 3 2 3
12.12.12.12.12.
1
3
2
2
3
2 2 2
1
3
2
3
2 2
1 2 6
3
2
5
3
2
3 3 3
3 3 3
− +
= − +





 =
− +




 =
13.13.13.13.13.
3
5
2
1
4
2
1
6
2
36 15 10
60
2
31
60
23 3 3 3 3− + =
− +




 =
14.14.14.14.14. ( ) ( )
( )
x a a x a a x a
x a x a x a a a
23 23 23
23 23
2 2 3
2 2 3
− − + −
= − + + − =
EJERCICIO 238
1.1.1.1.1.
( )
45 3 5 3 5
27 3 3 3 3
20 2 5 2 5
3 5 3 3 2 5
3 2 5 3 3 5 3 3
2
2
2
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
− = − ⋅ = −
= − −
= − − = −
Entonces:
2.2.2.2.2.
( ) ( )
175 5 7 5 7
243 3 3 9 3
63 3 7 3 7
2 75 2 5 3 10 3
5 7 9 3 3 7 10 3
5 3 7 9 10 3 2 7 3
2
4
2
2
= ⋅ =
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
− = − ⋅ = −
= + − −
= − + − = −
Entonces:
3.3.3.3.3.
( )
80 2 5 2 5 4 5
2 252 2 2 3 7 2 2 3 7 12 7
3 405 3 3 5 3 3 5 27 5
3 500 3 2 5 5 3 2 5 5 30 5
4 5 27 5 30 5 12 7
4 27 30 5 12 7 5 12 7
4 2
2 2
4 2
2 2
= ⋅ = =
− = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
= ⋅ = ⋅ =
− = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
= + − −
= + − − = −
Entonces:
4.4.4.4.4.
( ) ( )
7 450 7 3 5 2 7 3 5 2 105 2
4 320 4 2 5 4 2 5 32 5
3 80 3 2 5 3 2 5 12 5
5 800 5 2 2 5 5 2 5 2 100 2
105 2 100 2 32 5 12 5
105 100 2 32 12 5 5 2 20 5
2 2
6 3
4 2
4 2 2
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
− = − ⋅ = − ⋅ = −
= ⋅ = ⋅ =
− = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
= − − +
= − + − + = −
Entonces:
5.5.5.5.5.
( )
1
2
12
1
2
2 3 3
1
3
18
1
3
3 2 2
3
4
48
3
4
2 3 3 3
1
6
72
1
6
2 2 3 2
3 3 3 2 2 1 3 3 4 3
2
2
4
2 2
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ =
= + − + = + =
Entonces:
6.6.6.6.6.
( ) ( )
3
4
176
3
4
2 11
2 3
4
11 3 11
2
3
45
2
3
3 5
2 3
3
5 2 5
1
8
320
1
8
2 5
2
8
5 5
1
5
275
1
5
5 11
5
5
11 11
3 11 11 2 5 5
3 1 11 2 1 5 4 11 5
4
2
2
6
3
2
= ⋅ =
⋅
=
− = − ⋅ = −
⋅
= −
= ⋅ = =
= ⋅ = =
= + − +
= + − + = −
Entonces:

7.7.7.7.7.
( )
1
7
147
1
7
3 7 3
1
5
700
1
5
2 5 7 2 7
1
10
28
1
10
2 7
1
5
7
1
3
2 187
1
3
3 3 9 3
3 9 3 2 7
1
5
7
1 9 3 2
1
5
7
10 3
9
5
7
2
2 2
2
6
= ⋅ =
− = − ⋅ ⋅ = −
= ⋅ =
= ⋅ =
= + − +
= + + − +






= −
.
:Entonces
8.8.8.8.8.
1
3
3
3
1
3
3
1
2
2
2
1
2
2
3
4
3
2
1
2
3
1
3
3
1
2
3
1
2
2
1
3
1
2
3
1
2
2
5
6
3
1
2
2
2
2
2
= =
− = = −
= =
= + −
= +





 −
= −
Entonces:
9.9.9.9.9.
9
5
3 5
5
3
5
5
1
6
6
6
1
6
6
1
20
5
2 5
1
10
5
6 6
3
5
5
1
10
5
1
6
6 6
3
5
1
10
5
1
6
1 6
1
2
5
5
6
6
2
2
2
2 2
=
⋅
=
− = − = −
− = −
⋅
= −
=
= − − +
= −





 + − +






= +
Entonces:
10.10.10.10.10.
5
3
3
5
5
3
15
5
1
3
15
1
2
3
4
1
2
3
2
1
4
3
5
1
15
5
15
3 5
1
3
15
3
1
12
3
3
2 3
1
2
3
1
3
15
1
3
15
1
4
3
1
2
3
1
4
1
2
3
1
4
3
2
2
2 2
2 2
= =
− = − = −
− = −
⋅
= −
=
⋅
=
= − − +
= − +





 =
Entonces:
11.11.11.11.11.
( )
5 128 5 2 2 40 2
1
3
1
3
1
3
3
3
1
9
3
5 98 5 7 2 35 2
1
27
3
3
1
9
3
40 2 35 2
1
9
3
1
9
3
40 35 2 5 2
6
2
2
4
= ⋅ =
− = − = −
− = − ⋅ = −
= =
= − − +
= − =
Entonces:
12.12.12.12.12.
( )
2 700 2 2 5 7 20 7
15
1
45
15
5
3 5
5
4
5
16
4
5
2
5
56
1
7
56
7
7
8 7
20 7 8 7 5 5
20 8 7 12 7
2 2
2 2
4
2
= ⋅ ⋅ =
− = −
⋅
= −
= =
− = − = −
= − − +
= − =
Entonces:
13.13.13.13.13.
( )
25 5 5
49 7 7
9 3 3
5 3 7
5 3 7
2 7
2 2 2
2
2 2 2
ax ax x a
b b b
ax ax x a
entonces
x a x a b
x x a b
x a b
= =
= =
− = − = −
= − +
= − +
= +
:
14.14.14.14.14.
( ) ( )
2 2
9 3 3
16 2 4
4 2 2
2 3 4 2
2 3 4 2
2
2
2 2 2
2 4 2
2 2 2
m n m n
m n m n m n
mn mn n m
mn mn n m
Entonces
m n m n n m n m
m m n n n m
m n n m
=
− = − = −
= =
− = − = −
= − + −
= − + −
= − +
:
15.15.15.15.15.
( )
( )
( )
a x a x a x
a x a x
a b x
Entonces
a x a x a b x
a a a b x b x
320 2 5 8 5
7 5 7 5
4 5
8 5 7 5 4 5
8 7 4 5 4 5
6
2
= ⋅ =
− = −
− −
= − − −
= − − + =
:
16.16.16.16.16. ( )
( )
( )
9 9 3 1 3 1
4 4 2 1 2 1
5 1
3 1 2 1 5 1
3 2 5 1 0
2
2
x x x
x x x
x
Entonces
x x x
x
− = − = −
− = − = −
− −
= − + − − −
= + − − =
:

17.17.17.17.17. ( )
( )
( )
( )
2 3 2 3 2 3
9 27 3 3 3 3
25 75 5 3 5 3
2 3 3 3 5 3
2 3 5 3 4 3
4 4 4 2
2 2 2 2
4 4 2 4 2
2 2 2
2 2 2 2
a x a y a x y a x y
a x y a x y a x y
a x a y a x y a x y
Entonces
a x y a x y a x y
a a a x y a x y
+ = + = +
− + = − + = − +
+ = + = +
= + − + + +
= − + + = +
:
18.18.18.18.18.
( )
( ) ( )
( )
( )
3
1 3
1 3 1
4 4 2 1 2 1
1
1
1
1
1
1
1
3 1 2 1 1 3 2 1 1 2 1
2
2
2
a
a
a
a
a
a a
a a a
a
a
a
a
a
a
Entonces
a a a a a
+
= + = +
− + = − + = − +
+
+
= +
+
+
= +
= + − + + + = − + + = +
:
19.19.19.19.19. ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
entonces
a b a b a b a b
−
+
−
= −
−
−
= −
− +
−
+
= − +
−
+
= − −
−
−
= −
−
−
= −
= − − − + − = −
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2
1
2 2
2 2
:
EJERCICIO 239
1.1.1.1.1. 54 3 2 2
24 2 3 2 3
16 2 2 2 2
3 2 2 2 2 3 2 2 3
3 33 3
3 33 3
3 33 3
3 3 3 3 3
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
− = − ⋅ = −
= − − = −
Entonces:
2.2.2.2.2.
( )
40 2 5 2 5
1 029 7 3 7 3
625 5 5 5 5
2 5 5 5 7 3
2 5 5 7 3 7 3 3 5
3 33 3
3 33 3
3 33 3
3 3 3
3 3 3 3
= ⋅ =
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= − +
= − + = −
.
:Entonces
3.3.3.3.3.
( ) ( )
2 250 2 5 2 10 2
4 24 4 2 3 8 3
6 16 6 2 2 12 2
2 187 3 3 9 3
10 2 12 2 9 3 8 3
10 12 2 9 8 3 3 2 2
3 33 3
3 33 3
3 33 3
3 63 3
3 3 3 3
3 3 3 3
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
− = − ⋅ = −
= ⋅ =
= − + −
= − + − = −
.
:Entonces
4.4.4.4.4.
( ) ( )
5 48 5 2 6 10 6
3 3 645 3 3 5 27 5
2 384 2 2 6 8 6
4 1 715 4 7 5 28 5
10 6 8 6 27 5 28 5
10 8 6 27 28 5 2 6 5
3 33 3
3 63 3
3 63 3
3 33 3
3 3 3 3
3 3 3 3
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
− = − ⋅ = −
= ⋅ =
= − − +
= − + − + = +
.
.
:Entonces
6.6.6.6.6.
( ) ( )
1
2
24
1
2
2 3 3
2
3
54
2
3
3 2 2 2
3
5
375
3
5
5 3 3 3
1
4
128
1
4
2 2 2
3 3 3 2 2 2
1 3 3 2 1 2 4 3 3 2
3 33 3
3 33 3
3 33 3
3 63 3
3 3 3 3
3 3 3 3
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= + − −
= + + − − = −
Entonces:
5.5.5.5.5. 81 3 3 3 3
3 375 3 5 3 15 3
686 7 2 7 2
2 648 2 2 3 3 12 3
3 3 12 3 15 3 7 2 7 2
3 33 3
3 33 3
3 33 3
3 3 33 3
3 3 3 3 3
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ =
= + − + =
Entonces:
7.7.7.7.7.
( ) ( )
3
5
625
3
5
5 5 3 5
3
2
192
3
2
2 3 6 3
1
7
1 715
1
7
7 5 5
3
8
1 536
3
8
2 3 3 3
3 5 5 6 3 3 3
3 1 5 6 3 3 4 5 9 3
3 33 3
3 63 3
3 33 3
3 93 3
3 3 3 3
3 3 3 3
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= + − −
= + + − − = −
.
.
:Entonces

8.8.8.8.8.
1
4
2
2
1
2
2
1
3
9
3
1
3
9
2
27
2
3
1
3
2
1
2
2
1
3
2
1
3
9
1
2
1
3
2
1
3
9
1
6
2
1
3
9
3
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3 3 3
3 3 3 3
= =
= =
− = − = −
= − +
= −





 + = +
Entonces:
9.9.9.9.9. 6
1
24
6
9
2 3
9
1
25
5
5
1
5
5
2
5
64
2
5
2 2
1
2
5
1
5
2
1
2
5 9
1
5
1
2
5 9
3
10
5 9
3
3 3
3 3
3
3
3 3
3
3 3
3 3
3 3 3
3 3 3 3
=
⋅
=
= =
− = −
⋅
= −
= − +
= −





 + = − +
Entonces:
10.10.10.10.10. 7
1
49
7
7
7
7
1
16
4
2
1
4
4
1
2
4
2
1
2
4
2
7
8
2
7
2
7
1
4
4
1
2
4 7 7
1
4
1
2
4
3
4
4
3
3
3 3
3
6
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3 3 3 3 3 3
= =
= =
= =
− = − = −
= + + − = +





 =
Entonces:
11.11.11.11.11.
2
3
135
2
3
3 5 2 5
1
2
1
32
1
2
2
2
1
8
2
7
4
1
4
7
4
2
2
7
8
2
20
1
200
20
5
2 5
2 5
2 5 2 5
1
8
2
7
8
2
1
8
7
8
2 2
3 33 3
3
6
3 3
3
3
3 3
3
3 3
3 3
3 3 3 3 3 3
= ⋅ =
= =
= =
− = −
⋅
= −
= − + + = +





 =
Entonces:
12.12.12.12.12. ( )
( )
( )
( )
3 24 3 2 3 6 3
4 81 4 3 3 12 3
375 5 3 5 3
6 3 12 3 5 3
6 12 5 3 11 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3 3 3
3 3
− = − ⋅ = −
− − = − − ⋅ =
− − = − − ⋅ =
= − + +
= − + + =
Entonces:
13.13.13.13.13. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 320 4 2 5 16 5
10 40 10 2 5 20 5
2 54 2 3 2 6 2
3 1 024 3 2 2 24 2
16 5 20 5 6 2 24 2
16 20 5 6 24 2
4 5 18 2
3
63 3
3 33 3
3 33 3
3
93 3
3 3 3 3
3 3
3 3
− = − = −
− − = − − = − −
− − = − − = − −
− = − = −
= − − − − − + −
= − − + − + −
= − − + −
.
:Entonces
14.14.14.14.14.
( )
( )
( )
3 2 3 2
128 2 2 4 2
4 3 2
3 2 4 2 4 3 2
3 4 4 3 2 0
33 3
3 63 3
3
3 3 3
3
a a
b b b
b a
Entonces
a b b a
a b b a
=
− = − ⋅ = −
−
= − + −
= − + − =
:
15.15.15.15.15.
( )
a b a b a b
ab b a
a b a b
b a
Entonces
a b a b b a b a
b b a b a
250 5 2 5 2
3 3
5 2 5 2
3 3
5 2 5 2 3 3 3
3 3 2 3
3 33 3
33 3
33 3
3
3 3 3 3
3 3
= =
− = −
− = −
− − +
= − + =
:

EJERCICIO 240
1.1.1.1.1. 3 6 18 3 2 3 22
⋅ = = ⋅ =
2.2.2.2.2. 5 21 2 3 10 63 10 3 7 30 72
⋅ = = ⋅ =
3.3.3.3.3.
1
2
14
2
7
21
1
7
294
1
7
7 6 62
⋅ = = ⋅ =
4.4.4.4.4. 12 9 108 3 4 3 43 3 3 33 3
⋅ = = ⋅ =
5.5.5.5.5.
5
6
15 12 50 10 750 10 5 6 50 63 3 3 33 3
⋅ = = ⋅ =
6.6.6.6.6. x a
a
a
x
a
a x2
1
5 10 102
⋅ = =
7.7.7.7.7. 5 12 3 75 15 900 15 2 3 5 4502 2 2
⋅ = = ⋅ ⋅ =
8.8.8.8.8.
3
4
9 8 3 6 27 6 3 1823 3 33 33 3
a ab a b a b a b⋅ = = =
9.9.9.9.9. 3 6 14 2 35 6 2 940 6 2 7 15 84 152 2
⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =.
10.10.10.10.10.
1
2
21
2
3
42
3
7
22
1
7
19 404
1
7
2 7 3 11 6 112 2 2
⋅ ⋅
= = ⋅ ⋅ ⋅ =.
11.11.11.11.11. 3 45
1
6
15 4 20 2 13 500 2 5 3 4 30 43 3 3 3 3 33 3
⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =.
12.12.12.12.12.
5
6
7
8
3
5
4
7
1
2
1
2
1
2
2
2
1
4
22
⋅ = = =
13.13.13.13.13.
2 3
2
1 3 3 32
3 2
x
a x
a x
x
a x
ax
a ax
ax⋅ = = =
14.14.14.14.14.
1
3
6
2
2
2
2
2 2
22 3 4 2
x
y y
x
y
xy
y y
xy⋅ = = =
EJERCICIO 241
1.1.1.1.1. 2 3
2
4 6
2 6
−
= −
= −
2.2.2.2.2. 7 5 5 3
2 3
14 15 10 9
14 15 30
+
= +
= +
3.3.3.3.3.
( )
( )
2 3 5 5 2
4 15
8 45 4 75 20 30
4 2 3 5 5 3 5 30
4 6 5 5 3 5 30
2 2
+ −
= + −
= ⋅ + ⋅ −
= + −
4.4.4.4.4. 2 3
2 2 3
4 6
2 6 2 9
4 6 2 9
2 6 6
6 4
−
+
−
+ −
= + −
= + −
= −
5.5.5.5.5. 5 5 3
2 5 3 3
2 25 10 15
3 15 15 9
2 25 13 15 15 9
10 13 15 45
55 13 15
+
+
+
+ +
= + +
= + +
= +
6.6.6.6.6. 3 7 2 3
5 3 4 7
15 21 10 9
8 21 12 49
7 21 10 9 12 49
7 21 30 84
7 21 54
−
+
−
− +
= − +
= − +
= +
7.7.7.7.7. a x
a x
a ax
ax x
a ax x
a ax x
−
+
−
+ −
= − −
= − −
2
3
3 6
2
3 5 2
3 5 2
2
2
2 2
8.8.8.8.8. 7 5 11 7
5 5 8 7
35 25 55 35
56 35 88 49
35 25 111 35 88 49
175 111 35 616
791 111 35
−
−
−
− +
= − +
= − +
= −
9.9.9.9.9. 2 3 5
2 3
4 6 10
6 9 15
4 10 9 15
2 10 3 15
10 15 1
+ +
−
+ +
− − −
= + − −
= + − −
= − −
10.10.10.10.10. 2 3 3 5
2 2 3 5
4 3 6 10
2 6 6 9 2 15
10 3 15 25
4 6 6 9 5 15 25
2 6 18 5 15 5
5 15 6 21
− +
+ −
− +
+ − +
− + −
= − − + −
= − − + −
= − −

11. 2 3 6 5
3 6 3 5
2 9 18 15
2 18 36 30
6 15 3 30 3 25
2 9 3 2 7 15 36 2 30 3 25
6 3 2 7 15 6 2 30 15
7 15 3 2 2 30 15
2
− +
+ +
− +
+ − +
+ − +
= + ⋅ + − − +
= + + − − +
= + − +
12.
( )
( )
a a
a a
a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a
+ +
+ +
+ +
+ + + +
= + + + +
= + + + +
= + + +
1
2 1
2 2 1
3 2 1
3 2 2
3 3 2
2 2
2 2
2 2 2
2
2
13.
( )
( )
2 3
3
6 9
2 3
6 7 3
6 7 3 3
3 3 7
2 2
2 2
2 2 2
2
2
a a b
a a b
a a ab
a ab a b
a a ab a b
a a ab a b
a b a ab
− −
+ −
− −
− − −
= − − − −
= − − − +
= + − −
14.
( )
1
2 1
2 1 2
1 1
3 1 2 1
3 1 1
2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
− +
+ −
− +
− + −
= − + + −
= − + +
x x
x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
15.
( )
( )
a a
a a
a a
a a
a a a
a a
+ + −
+ + −
+ + −
+ − + −
= + + − + −
= + − −
1 1
1 2 1
1 1
2 1 2 1
1 3 1 2 2
3 3 1 1
2 2
2 2
2
2
16.
( )
( )
2 2 2
2 3
2 2 2 2
6 2 6
2 2 8 2 6
2 4 8 2 6
2 10 8 2
2
2
x
x
x x
x
x x
x x
x x
+ −
+ −
+ − +
− + +
= + − + +
= + − + +
= + − +
17.
( )
( )
3 2
2 3
6 4
9 6
6 5 6
6 5 6 6
5 6
2 2
2 2
2 2 2
2
2
a a x
a a x
a a ax
a ax a x
a a ax a x
a a ax a x
a ax x
− +
+ +
− +
+ + − +
= + + − +
= + + − −
= + −
18.
( )
( )
( ) ( )
a x a x
a x a x
a x a x
a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x
+ − −
+ − −
+ − −
− − + −
= + − − + −
= + − − + −
= − − −
2
2 2
3 2
3 2 2
3 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2

EJERCICIO 242
1.1.1.1.1.
( )
x x
x x x
x x x
x x
x x
=
= =
⋅ =
=
=
36
23 2 2
6 46
36 46 76
66
6
2 2 4
4 4
4
4
2.2.2.2.2. ( )3 2 3 2 3 4
3 4 4 8 12 32
12 2 2
24 2
24 2 24
2 24 34 5 24
4 4 24
24
ab ab a b
a b a a b
a ab
a ab
= =
⋅ =
= ⋅
=
3.3.3.3.3. ( )9 9
81
81 81 6 561
3 3
3 9
23 2 2
6
4 26
4 26 56 9 26
6 2 6 3 26
3 26
x y x y
x y
x y x x y
x x y
x x y
=
=
⋅ =
= ⋅
=
.
4.4.4.4.4. ( )
( )
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b a b
a a b
a a b
2 23 2 2 412
8 812
34 3 312
9 312
8 812 9 312 17 1112
12 5 1112
5 1112
2 3 2 3
2 27
2 27 2 27
2 27
2 27
=
=
=
=
⋅ =
=
=
5.5.5.5.5. ( )
( )
25 25
15 625
125 125
15 625
15 625 15 625
244 140 625
5 5
2 34 2 3 312
6 912
26 2 212
412
6 912 412
10 912
12 10 912 10 912
x y x y
x y
x x
x
x y x
x y
x y x y
=
=
=
=
⋅
=
= =
.
.
. .
. .
6.6.6.6.6. ( )
( )
2
3
4
2
3
4
2
3
4
3
4
16
3
4
4
3
4
4
2
3
4
3
4
4
1
2
4
1
2
2
1
2
2 2
2 128
23 2 515
5 1015
45 2 4 315
6 12 315
5 1015 6 12 315
11 22 315
22 22 315
15 7 15 7 315
7 7 315 7 315
m m
m
m n m n
m n
m m n
m n
m n
m m n
m m n m m n
=
=
=
=
⋅
=
=
= ⋅
= =
7.7.7.7.7.
( )
1
2
1
2
1
8
2
8 8
8
2
1
2
8
3
6
3
6
3 2 2
6 46
3
6 46 6
6
6
6
x x x
x x
x
x
x x
x
=





 =
= =
⋅ = =
=
−
8.8.8.8.8. ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
4 2 2
2 2
1
16
2 2
2
2 2 2 2
510 5 510
5 2 210 4 210
5 510 4 210
2
10
5 4 2 5
4 2
10
5 510
5
10
1
2
x x x
x x x
x x
x
x x
x
x x x x
= =
= =
⋅ ⋅
=
⋅
= = = =
9.9.9.9.9.
2
3
2 2
3
2 2
3
8
3
8 4
3
8 2
3
8 2
2
3
2 3
8 2
1
4 2
1
4
2
2
1
8
32
3
6
3
3
6
2
2
3
2
2 2
2
6
4
4 4
6
3 3
3
6
4
4 4
6
6
5 5
6 6
6 5
b
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
ab
b b
ab
=





 =
=





 =
⋅
= = =
10.10.10.10.10.
( ) ( )
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
3
2
1
9
3
2
1
9
3
2
1
3
1
2
1
3
3
2
1
3
243
3
4
3
3
3
4
1
9
3
4
3
3
1
4
3
1
4
3
1
4
3
1
4
9
3
6
3
6
3
2
6
4
6
3
6
4
6 6
5
7
6
6
4
6
6
4
6
2
3
23 3
=





 =
=





 =
⋅ ⋅
=
=
=
= = = =
EJERCICIO 243
1.1.1.1.1.
4 6
2 3
2
6
3
2 2= =
2.2.2.2.2.
2 3
10
1
5
3 1
5
3
a
a
a
a
= =
3.3.3.3.3.
1
2
3
3
4
4
6
3 2
3
3
xy
x
xy
x
y= =
4.4.4.4.4.
75
5 3
1
5
75
3
1
5
25
1
5
5
2 3 2 3
2 2 2x y
xy
x y
xy
xy xy y x= = = =
5.5.5.5.5.
3 16
4 2
3
4
16
2
3
4
8
3
4
2
3
2
53
23
5
2
3 33 3 33a
a
a
a
a a a= = = =
6.6.6.6.6.
5
6
1
2
10
3
2
3
15
60
1
2
2
3
1
4
3
4
1
4
3
2
1
8
32
= = = =
7.7.7.7.7.
4
2
2 2 2 2
3 2
2 3
3 2
2 3 2
x a x
a x
x
a x
a x
x
a
x
x
ax
x
ax= = = =

8.8.8.8.8.
2
3
3
6
3
2
1
2 2
23
2
33
2 2
3
3 2 3 2
2
3
3 23
a
x
a
x
x
ax
a
x
x
x
x
x
x
x
x x= = = =
9.9.9.9.9.
1
3
1
2
1
6
1
3
6
3
1
2
1
3
2
3
2
2
3 2
2
12
3
3
3 3
2
3
3 3
= = =
⋅
=
EJERCICIO 244
1.1.1.1.1. 2 2
2 2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
32
3 26
36
26
36
2
3
6 6
5
6
6 6
=
=
= = = = =
2.2.2.2.2. ( )
( )
9 3 3 3
3 3 9
3
9
3
9
3
1
9
3
3
3
1
81
2 3
6 6 36 36
23 2 2
6 46
36
46
3
4
6 6
4 5
6 6
6 56
x x x x
x x x
x
x
x
x x
x
x x
x
= = =
= =
= = = = =
3.3.3.3.3. ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
8 2 2 2
4 4 2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 4
4 2 8
33 3 3 412 12 12 412 412
24 2 312 6 612
412
6 612
6 6 4
12 12
12 4 2 4 2 412
4
12
2
12
1
3
1
6 3 6
3 26 2 26
2 26 6 3 26
a b a b a b a b
a a a
a b
a
a
a b
a
a a b
ab a
ab a ab a
ab ab a b
a b a a b
= = =
= =
=
= = ⋅
= ⋅
= ⋅ = ⋅
⇒ = =
= ⋅ =
4.4.4.4.4. ( )
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
4
2
2
1
2
2
2
2
1
32
36 3 36
3 36
4 46
6
5 5
6 6
6 56
x x x
x
x
x
x
x x
x
= =
= = =
5.5.5.5.5. ( )
( )
5 5 5
5 5 5 1
3 125
23 2 515 5 10 515
3 25 3 2 315 9 615
5 10 515
9 615
5
15
5 14
15
15 1415
m n m n m n
m n m n m n
m n
m n
m
n
mn
n n
mn
= =
= =
= = = = .
6.6.6.6.6. ( )
( )
18 3 2 3 2
3 3 3
3 2
3
12
3 4 56 2 3 4 5 212 4 2 6 8 1012
2 2 34 2 2 3 312 3 6 6 912
4 2 6 8 1012
3 6 6 912
212
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z
x y z
y z
= ⋅ = ⋅
= =
=
⋅
=
7.7.7.7.7. ( )3 3 27 27
27
27
43 4 3
9 129 39
39
29
9
m m m m m
m m
m
m m
= = =
= =
8.8.8.8.8. ( )
( )
4
5
4
4
5
2
4
5
2
1
10
2
1
10
2
1
10
2
4
5
2
1
10
2
8
2
8
2 8
2
3 2 2
6 4 2 26
2 2 3
6 3 66
4 2 26
3 66
2
4
6
2 2
6
6 2 26
ab ab a b
a a a
a b
a
b
a
a b
a a
a b
= =
= =
= = = =
EJERCICIO 245
1.1.1.1.1. ( )4 2 4 2 16 2 32
2
2 2
= = ⋅ =
2.2.2.2.2. ( )2 3 2 3 4 3 12
2
2 2
= = ⋅ =
3.3.3.3.3. ( )5 7 5 7 25 7 175
2
2 2
= = ⋅ =
4.4.4.4.4. ( )2 4 2 2 4 2 2 8 23
2
2 43 33 3
= = ⋅ =
5.5.5.5.5. ( ) ( )3 2 3 2 81 2 2 162 223
4
4 2 4
3 3 3 3 2 33 2 2
a b a b a a a b b a b a b= = ⋅ ⋅ =
6.6.6.6.6. ( ) ( ) ( )
( )
8 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
34
2
3 3 2
4 4 2 4 24 2 24
2
4
1
2
x x x x x x x x
x x x x
= = ⋅ = =
= =
7.7.7.7.7. ( ) ( )81 3 3 3 3 9 935
3
4 3 3
5 5 5 2 3 5 45 3 45
ab ab a b b b a b= = ⋅ ⋅ =

8.8.8.8.8. ( ) ( ) ( )18 18 18 18 18 3 2 3 26
3 36
3
6
1
2
2
= = = = = ⋅ =
9.9.9.9.9. ( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 2 16 2 32
2 2 2 2 2
a x a x a x a x= = =
10.10.10.10.10. ( ) ( ) ( )2 1 2 1 4 1 4 4
2
2 2
x x x x+ = + = + = +
11.11.11.11.11. ( ) ( ) ( )3 3 9 9 9
2
2 2
x a x a x a x a− = − = − = −
12.12.12.12.12. ( )
( )
( ) ( )
4 9
4 3
64 3
192
192 192 192
3 46
3
3 2 3 4 3
6
6 6 3 6 66
2 36
2
3
6
2
1
2
2
a b
a b
a a b b
ab a
ab a ab a ab a
=
=
=
= = =
13.13.13.13.13. ( )2 3 2 2 2 3 3
2 2 6 3 5 2 6
2 2 2
− = − +
= − + = −
14.14.14.14.14. ( )4 2 3 4 2 2 4 2 3 3
32 8 6 3 35 8 6
2 2 2 2
+ = + ⋅ +
= + + = +
15.15.15.15.15. ( )5 7 5 2 5 7 7
5 2 35 7 12 2 35
2 2 2
− = − +
= − + = −
16.16.16.16.16. ( )5 7 6 5 7 2 5 6 7 6
175 60 7 36 211 60 7
2 2 2 2
− = − ⋅ ⋅ +
= − + = −
17.17.17.17.17. ( ) ( )x x x x x x
x x x x
x x x
+ − = + − + −
= + − + −
= + − −
1 2 1 1
2 1
2 2 1
2
2 2
2
2
18.18.18.18.18. ( )
( )
x x
x x x x
x x x x x x x
+ −
= + − ⋅ + +
= + − + + = + − +
1 4
1 2 4 1 4
1 8 16 17 1 8
2
2 2 2
2 2
19.19.19.19.19. ( )
( ) ( )
a a
a a a a
a a a a a
+ − −
= + − + − + −
= + − − + − = − −
1 1
1 2 1 1 1
1 2 1 1 2 2 1
2
2 2
2 2
20.20.20.20.20. ( )
( ) ( )
( )
2 2 1 2 1
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1
4 2 1 4 4 1 2 1
8 4 4 4 1 2 1
10 3 4 4 1
2
2 2 2
2
2
2
x x
x x x x
x x x
x x x
x x
− + +
= − + ⋅ − + + +
= − + − + +
= − + − + +
= − + −
EJERCICIO 246
1.1.1.1.1. ( )a a a a a23 26
2
6
1
3 3
= = = =
2.2.2.2.2. ( ) ( )8 8 2 2 23 6
3
6
1
2= = = =
3.3.3.3.3. ( ) ( )81 3 3 3 34 48
4
8
1
2= = = =
4.4.4.4.4. 3 34
a a=
5.5.5.5.5. ( ) ( )4 2 2 2 223 2 26
2
6
1
3 3
a a a a a= = = =
6.6.6.6.6. ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 23 23 36
3
6
1
2= ⋅ = = = =
7.7.7.7.7. ( ) ( )25 5 5 5 524 2 28
2
8
1
4 4
a a a a a= = = =
8.8.8.8.8. ( ) ( )27 3 3 3 3343 3 312
3
12
1
4 4
a a a a a= = = =
9.9.9.9.9. ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 275 55 610
6
10
3
5
35 5
= ⋅ = = = = =
10.10.10.10.10. ( ) ( ) ( ) ( )
( )
a b a b b ab b ab b
ab b
ab ab a b
a b b a b
4 64 4 4 28
4
8
2
8
1
2
1
4
4
24 2 24
2 24 4 2 34
= = =
= ⋅
⇒ = =
= =
11.11.11.11.11. x x x x x1035 1015
10
15
2
3 23
= = = =
12.12.12.12.12. ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b+ = + = + = + = +
2
3
2
6
2
6
1
3 3
EJERCICIO 247
1.1.1.1.1.
1
3
3
3
3
3
3
32
⋅ = =
2.2.2.2.2.
5
2
2
2
5 2
2
5 2
22
⋅ = =
3.3.3.3.3.
3
4 5
5
5
3 5
4 5
3 5
4 5
3 5
202
⋅ = =
⋅
=
4.4.4.4.4.
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2 2
a
ax
ax
ax
a ax
a x
a ax
ax
ax
x
⋅ = = =
5.5.5.5.5.
5
4
2
2
5 2
2
5 2
223
3
3
3
3 33
3
a
a
a
a
a
a
a
⋅ = =
6.6.6.6.6.
1
9
3
3
3
3
3
33
23
23
23
3 33
23
x
x
x
x
x
x
x
⋅ = =

7.7.7.7.7.
3
9
3
3
3 3
3
3 9
3
9
4
2 34
2 34
2 34
4 44
34 34
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋅ = = =
8.8.8.8.8.
6
5 3
3
3
6 3
5 3
6 9
15
2 9
53
2 23
2 23
2 23
3 33
23 23
x
x
x
x
x
x
x
x
x
⋅ = = =
9.9.9.9.9.
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
27
3
3
3
3
3
3
3
324
24
24
24
4 44
24 24
⋅ = = =
10.10.10.10.10.
1
8
2
2
4
2
4
245
25
25
5
5 55
5
a
a
a
a
a
a
a
⋅ = =
11.11.11.11.11.
5
3
5
3
5
3
5
3
2 2
2 2
2
n
mn
mn
mn
n mn
m n
n mn
mn
n mn
m
⋅ = = =
12.12.12.12.12.
1
5 25
5
5
25
5 5
25
2534
24
24
4
4 44
4
a x
x
x
x
a x
x
ax
⋅ = =
EJERCICIO 248
1.1.1.1.1.
3 2
1 2
1 2
1 2
3 3 2 2 2
1 2
3 4 2 2
1 2
5 4 2
1
4 2 5
2
2
−
+
⋅
−
−
=
− − +
−
=
− +
−
=
−
−
= −
2.2.2.2.2.
5 2 3
4 3
4 3
4 3
20 5 3 8 3 2 3
4 3
20 13 3 6
16 3
26 13 3
13
2 3
2
2 2
+
−
⋅
+
+
=
+ + +
−
=
+ +
−
=
+
= +
3.3.3.3.3.
2 5
2 5
2 5
2 5
2 2 2 5 5
2 5
2 2 10 5
2 5
7 2 10
3
2 10 7
3
2 2
2 2
−
+
⋅
−
−
=
− +
−
=
− +
−
=
−
−
=
−
4.4.4.4.4.
7 2 5
7 5
7 5
7 5
7 35 2 35 2 5
7 5
7 3 35 10
7 5
17 3 35
2
2 2
2 2
+
−
⋅
+
+
=
+ + +
−
=
+ +
−
=
+
5.5.5.5.5.
2 3 5
2 2 5
2 2 5
2 2 5
2 2 10 6 10 3 5
2 2 5
4 7 10 15
8 5
19 7 10
3
2 2
2 2 2
−
+
⋅
−
−
=
− − +
−
=
− +
−
=
−
6.6.6.6.6.
19
5 2 4 3
5 2 4 3
5 2 4 3
95 2 76 3
5 2 4 3
95 2 76 3
50 48
95 2 76 3
22 2 2 2−
⋅
+
+
=
+
−
=
+
−
=
+
7.7.7.7.7.
3 2
7 2 6 3
7 2 6 3
7 2 6 3
21 2 18 6
7 2 6 3
42 18 6
98 108
42 18 6
10
21 9 6
5
2
2 2 2 2−
⋅
+
+
=
+
−
=
+
−
=
+
−
= −
+
8.8.8.8.8.
4 3 3 7
2 3 3 7
2 3 3 7
2 3 3 7
8 3 12 21 6 21 9 7
2 3 3 7
24 18 21 63
12 63
87 18 21
51
6 21 29
17
2 2
2 2 2 2
−
+
⋅
−
−
=
− − +
−
=
− +
−
=
−
−
=
−
9.9.9.9.9.
5 2 6 3
4 2 3 3
4 2 3 3
4 2 3 3
20 2 15 6 24 6 18 3
4 2 3 3
40 9 6 54
32 27
14 9 6
5
14 9 6
5
2 2
2 2 2 2
−
−
⋅
+
+
=
+ − −
−
=
− −
−
=
− −
= −
+
10.10.10.10.10.
7 3 11
5 7 4 11
5 7 4 11
5 7 4 11
5 7 4 77 15 77 12 11
5 7 4 11
35 11 77 132
175 176
97 11 77
1
97 11 77
2 2
2 2 2 2
+
+
⋅
−
−
=
− + −
−
=
+ −
−
=
− +
−
= −
11.11.11.11.11.
5 2
7 2 10
7 2 10
7 2 10
7 5 2 50 7 2 2 20
7 2 10
7 5 2 5 2 7 2 2 2 5
49 40
7 5 10 2 7 2 4 5
9
3 5 3 2
9
5 2
3
2 2 2
2 2
+
+
⋅
−
−
=
− + −
−
=
− ⋅ + − ⋅
−
=
− + −
=
−
=
−
12.12.12.12.12.
9 3 3 2
6 6
6 6
6 6
54 3 9 18 18 2 3 12
6 6
54 3 9 3 2 18 2 3 2 3
36 6
54 3 27 2 18 2 6 3
30
48 3 9 2
30
16 3 3 2
10
2 2
2 2
−
−
⋅
+
+
=
+ − −
−
=
+ ⋅ − − ⋅
−
=
+ − −
=
+
=
+

13.13.13.13.13.
a x
a x
a x
a x
a ax ax x
a x
a ax x
a x
+
+
⋅
−
−
=
− + −
−
=
+ −
−
2
2
2
2 2
2
2
4
2 2
2 2 2
14.14.14.14.14.
( )
( )
( )
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
− −
+ −
⋅
− −
− −
=
− − + −
− −
=
− − + −
− −
= − − −
1
1
1
1
2 1 1
1
2 1
1
2 1 2
2 2
2 2
2
2
15.15.15.15.15.
( )
( )
( )
a a
a a
a a
a a
a a a a
a a
a a a a
a a
a a a
a a a
− +
+ +
⋅
− +
− +
=
− + + +
− +
=
− + + +
− +
=
+ − +
−
= + − −
1
1
1
1
2 1 1
1
2 1
1
2 1 2
1
2 2 1
2 2
2 2
2
2
2
16.16.16.16.16.
( )
( )
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
+ +
+ −
⋅
+ +
+ +
=
+ + + +
+ −
=
+ + + +
+ −
=
+ + +
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 4 2
2 2
4 2 2 4
2 2
2 2
17.17.17.17.17.
( )
( )
a a
a a
a a
a a
a a a a
a a
a a a a
a a
a a a
a a a
+ −
+ +
⋅
+ −
+ −
=
+ − + +
+ −
=
+ − + +
+ −
=
+ − +
=
+ − +
4
4
4
4
4 2 4
4
4 2 4
4
2 4 2 4
4
2 4
2
2 2
2 2
2 2
2
18.18.18.18.18.
( ) ( )
( ) ( )
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b
a a b
b
a a b
b
+ − −
+ + −
⋅
+ − −
+ − −
=
+ − + − + −
+ − −
=
+ − − + −
+ − +
=
− −
=
− −
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
EJERCICIO 249
1.1.1.1.1.
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3
2 3 5
2 3 5
2 3 5
6 9 15
2 3 5
3 6 15
2 2 6 3 5
3 6 15
2 6
2 6
2 6
6 6 2 36 2 90
2 6
6 6 12 6 10
24
6 6 2 10
24
2 6 10
4
2 2
2
+ −
⋅
+ +
+ +
=
+ +
+ −
=
+ +
+ + −
=
+ +
⋅ =
+ +
=
+ +
=
+ +
=
+ +
2.2.2.2.2.
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 3 6
2 3 6
2 3 6
2 6 12
2 3 6
2 6 2 3
2 2 6 3 6
2 6 2 3
2 6 1
2 6 1
2 6 1
4 6 2 12 6 4 18 2 3
2 6 1
5 6 14 12 2 2 3
23
2 2
2
+ +
⋅
+ −
+ −
=
+ −
+ −
=
+ −
+ + −
=
+ −
−
⋅
+
+
=
+ + + − −
−
=
+ − −

3.3.3.3.3.
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 3
2 3 5
2 3 5
2 3 5
4 3 2 5 15
2 3 5
1 2 5 15
4 4 3 3 5
1 2 5 15
2 4 3
2 4 3
2 4 3
2 4 3 4 5 8 15 2 15 4 45
2 4 3
2 4 3 4 5 10 15 12 5
44
2 2 3 8 5 5 15 1
44
2 3 8 5 5 15 1
22
2 2
2
2
−
+ +
⋅
+ −
+ −
=
− − +
+ −
=
− +
+ + −
=
− +
+
⋅
−
−
=
− − + + −
−
=
− − + −
−
=
+ − −
=
+ − −
5.5.5.5.5.
( )
( )
( ) ( )
( )
6 3 2
6 3 2
6 3 2
6 3 2
6 3 2 2 18 2 12 2 6
6 3 2
11 6 2 4 3 2 6
6 2 18 3 2
11 6 2 4 3 2 6
2 18 7
2 18 7
2 18 7
22 18 77 12 36 42 2 8 54 28 3 4 108 14 6
2 18 49
66 2 77 72 42 2 24 6 28 3 24 3 14 6
72 49
24 2 4 3 10 6 5
23
2 2
2
+ +
+ −
⋅
+ +
+ +
=
+ + + + +
+ −
=
+ + +
+ + −
=
+ + +
+
⋅
−
−
=
− + − + − + −
−
=
− + − + − + −
−
=
− + −
4.4.4.4.4.
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3 5
2 3 5
2 3 5
2 3 5
6 10 3 5
2 3 5
10 6 2
2 2 6 3 5
10 6 2
2 6
2 6
2 6
2 60 2 36 4 6
2 6
4 15 12 4 6
24
4 15 3 6
24
15 3 6
6
2 2
2
+
+ +
⋅
+ −
+ −
=
+ + −
+ −
=
+ −
+ + −
=
+ −
⋅
=
+ −
=
+ −
=
+ −
=
+ −
6.6.6.6.6.
( )
( )
2 5
2 5 10
2 5 10
2 5 10
2 5 20 50
2 2 10 5 10
2 5 5 2 3
2 10 3
2 10 3
2 10 3
4 50 6 5 10 20 15 2 6 10 9
40 9
20 2 6 5 20 5 15 2 6 10 9
31
5 2 14 5 6 10 9
31
−
+ −
⋅
+ +
+ +
=
− + −
+ + −
=
− −
−
⋅
+
+
=
+ − − − −
−
=
+ − − − −
=
− − −
EJERCICIO 250
1.1.1.1.1.
2
2 3
2 3
2 3
2 6
2 3
2 6
1
6 2
+
⋅
−
−
=
−
−
=
−
−
= −
2.2.2.2.2.
3
3 2 5
3 2 5
3 2 5
3 2 15
3 20
3 2 15
17
3 2 15
17
−
⋅
+
+
=
+
−
=
+
−
= −
+
3.3.3.3.3.
2 5
1 5
1 5
1 5
2 2 5 5 5
1 5
7 3 5
4
7 3 5
4
+
−
⋅
+
+
=
+ + +
−
=
+
−
= −
+
4.4.4.4.4.
2 5
2 5
2 5
2 5
2 2 10 5
2 5
7 2 10
3
7 2 10
3
+
−
⋅
+
+
=
+ +
−
=
+
−
= −
+

5.5.5.5.5.
2 3 7
3 7
3 7
3 7
6 2 21 21 7
3 7
13 3 21
4
3 21 13
4
−
+
⋅
−
−
=
− − +
−
=
−
−
=
−
6.6.6.6.6.
6 2 5
2 6 5
2 6 5
2 6 5
12 5 30 10
24 5
22 5 30
19
+
−
⋅
+
+
=
+ +
−
=
+
7.7.7.7.7.
5 2 3 3
3 2 4 3
3 2 4 3
3 2 4 3
30 29 6 36
18 48
66 29 6
30
66 29 6
30
+
−
⋅
+
+
=
+ +
−
=
+
−
= −
+
8.8.8.8.8.
7 2 11
2 7 11
2 7 11
2 7 11
14 5 77 22
28 11
36 5 77
17
−
+
⋅
−
−
=
− +
−
=
−
EJERCICIO 251
1.1.1.1.1.
( )
x
x
x
x
− =
− =
− =
=
8 2
8 2
8 4
12
2
2
2.2.2.2.2.
( )
5 3 1 0
5 3 1
5 3 1
25 3 1
24 3
8
2 2
− + =
= +
= +
= +
=
=
x
x
x
x
x
x
3.3.3.3.3.
( )
7 5 2 9
5 2 2
5 2 2
5 2 8
5 10
2
3
3
3
3
3
+ − =
− =
− =
− =
=
=
x
x
x
x
x
x
4.4.4.4.4.
( ) ( )
9 5 3 1
9 5 3 1
9 5 3 1
9 5 9 6 1
6 6
1
2
2
2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x x
x
x
− − = −
− = −
− = −
− = − +
− = −
=
5.5.5.5.5.
( )
x x x
x x
x x
x
x
2
2
2 1 9
1 9
1 9
2 10
5
− + = −
− = −
− = −
=
=
6.6.6.6.6.
( )
15 7 1 12
3 7 1
3 7 1
27 7 1
28 7
4
3
3
3 3
3
− − =
= −
= −
= −
=
=
x
x
x
x
x
x
7.7.7.7.7.
( ) ( )
( )
x x
x x
x x x
x
x
x
x
x
x
+ + =
+ = −
+ = − +
= −
= −
− = −
=
=
=
7 7
7 7
7 49 14
7 49 14
1 7 2
6 2
3
3
9
2 2
2
2
9.9.9.9.9.
( ) ( )
( )
x x
x x
x x x
x
x
x
x
x
+ − + = −
+ = + −
+ = + − + +
− = − +
= +
= +
= +
=
10 19 1
10 19 1
10 19 2 19 1
10 2 19
5 19
5 19
25 19
6
2 2
2
2
10.10.10.10.10.
( ) ( )
( )
4 11 7 2 29
4 11 7 2 29
4 11 49 2 29
4 11 98 1 421
1 410 94
15
2 2
x x
x x
x x
x x
x
x
− = −
− = −
− = −
− = −
=
=
.
.
11.11.11.11.11.
( ) ( )
5 19 5 1
5 19 5 1
5 19 5 2 5 1
20 2 5
10 5
100 5
20
2 2
x x
x x
x x x
x
x
x
x
− − = −
− = −
− = − +
− = −
=
=
=
12.12.12.12.12.
( ) ( )
x x
x x
x x x
x
x
x
x
− + = +
− + = +
− + − + = +
− =
− =
− =
=
2 5 53
2 5 53
2 10 2 25 53
10 2 30
2 3
2 9
11
2 2
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( )
3 5 3 14 9
3 5 9 3 14
3 5 81 18 3 14 3 14
72 18 3 14
4 3 14
16 3 14
30 3
10
2 2
2
2
x x
x x
x x x
x
x
x
x
x
− + − =
− = − −
− = − − + −
− = − −
= −
= −
=
=

13.13.13.13.13.
( ) ( )
( )
9 14 3 10 4
9 14 3 10 4
9 14 9 10 24 10 16
14 90 24 10 16
120 24 10
5 10
25 10
15
2 2
x x
x x
x x x
x
x
x
x
x
− = + −
− = + −
− = + − + +
− = − + +
− = − +
= +
= +
=
14.14.14.14.14.
( ) ( )
x x
x x
x x x
x
x
x
x
− − + = −
− = + −
− = + − + +
− = − +
= +
= +
=
16 8 4
16 8 4
16 8 8 8 16
40 8 8
5 8
25 8
17
2 2
15.15.15.15.15.
( ) ( )
5 1 3 5 26
5 1 3 5 26
5 1 6 5 1 9 5 26
6 5 1 18
5 1 3
5 1 9
5 10
2
2 2
x x
x x
x x x
x
x
x
x
x
− + = +
− + = +
− + − + = +
− =
− =
− =
=
=
16.16.16.16.16.
( ) ( )
13 13 4 2
13 2 13 4
169 52 4 13 4
52 156
3
9
2 2
− + =
− = +
− + = +
− = −
=
=
x x
x x
x x x
x
x
x
17.17.17.17.17.
( ) ( )
( )
( ) ( )
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x
x x x
x
x
− + + = −
− + + = −
− + − + + = −
+ − = −
− = −
− = − +
− = −
=
4 4 2 1
4 4 2 1
4 2 16 4 4 1
2 2 16 4 4
2 16 2 4
4 64 4 16 16
80 16
5
2 2
2
2
2
2 2
2 2
18.18.18.18.18.
( ) ( )
( ) ( )
( )
9 7 16 7 0
9 7 16 7
9 7 2 9 7 16 7
2 9 7 6 14
2 9 7 6 14
4 9 7 36 168 196
36 28 36 168 196
196 196
1
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x
x
+ − − − =
+ − = −
+ − + + = −
− + = −
− + = −
+ = − +
+ = − +
=
=
19.19.19.19.19.
( ) ( )
( )
( ) ( )
9 10 2 3 2
9 10 2 3 2
9 10 4 9 37 30 4 3 2
13 22 2 4 9 37 30
12 24 4 9 37 30
3 6 9 37 30
3 6 9 37 30
9 36 36 9 37 30
36 30 37 36
6
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x
x
+ − + = −
+ − + = −
+ − + + + + = −
+ − + = + +
+ = + +
+ = + +
+ = + +
+ + = + +
− = −
=
20.20.20.20.20.
( ) ( )
( )
( ) ( )
18 8 2 4 2 2 1 0
18 8 2 4 2 2 1
18 8 2 4 4 4 6 4 4 2 1
18 8 10 4 4 6 4
8 8 4 4 6 4
2 2 4 6 4
2 2 4 6 4
4 8 4 4 6 4
2 8
4
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x
− − − − + =
− = − + +
− = − + − − + +
− = + − −
− = − −
− = − −
− = − −
− + = − −
− = −
=

21.21.21.21.21.
( ) ( )
( ) ( )
8 9 18 34 2 7 0
8 9 2 7 18 34
8 9 2 16 74 63 2 7 18 34
10 16 2 16 74 63 18 34
2 16 74 63 8 18
16 74 63 4 9
16 74 63 4 9
16 74 63 16 72 81
2 18
9
2 2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x
+ − + + + =
+ + + = +
+ + + + + + = +
+ + + + = +
+ + = +
+ + = +
+ + = +
+ + = + +
=
=
22.22.22.22.22.
( ) ( )
( ) ( )
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x
− − − = −
− − − = −
− − − + + − = −
− − + = − +
− + = − +
− + = − +
− = − +
− + = −
=
=
2 5 4 23
2 5 4 23
2 2 7 10 5 4 23
2 7 4 23 2 7 10
2 16 2 7 10
8 7 10
8 7 10
64 16 7 10
54 9
6
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
23.23.23.23.23.
( ) ( )
( )
( ) ( )
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
+ − + = − +
+ + + = +
+ + + + + + = +
+ + + + = +
+ + = +
+ + = +
+ + = +
+ + = + +
= −
6 9 70 2 9
6 2 9 9 70
6 4 15 54 4 9 9 70
5 42 4 15 54 9 70
4 15 54 4 28
15 54 7
15 54 7
15 54 14 49
5
2 2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
24.24.24.24.24.
( ) ( )
( ) ( )
x a x a x a
x a x a x a
x a x a x a x a
x x a x a
x a x a
x a x a
x a x a
x a x ax a
ax a
x a
− + + = −
− + + = −
− + − + + = −
+ − = −
− = −
− = −
− = −
− = − +
=
=
4 2
4 2
2 4 2
2 2 4 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
25.25.25.25.25.
( ) ( )
( ) ( )
( )
x ab b x
x ab x b
x ab x b x b
b x b ab
x b a
x a b
x a b
− = − +
− = +
− = − +
= +
= +
= +
= +
4 2
4 2
4 4 4
4 4 4
2 2
2
2
2 2
2
26.26.26.26.26.
( ) ( )
( ) ( )
( )
x a x a
x a x a
x a x a x a
a x a
a x a
a x a
a a x a
a a x
a x
+ − + − =
+ − = + −
+ − + + = + −
+ = +
+ = +
+ = +
+ + = +
− + =
− =
4 2 1 1
4 1 2 1
4 2 4 1 2 1
2 2 2 4
1 4
1 4
2 1 4
2 1
1
2 2
2 2
2
2
2

EJERCICIO 252
1.1.1.1.1.
( ) ( )
x x
x
x x x
x x x
x x x x
x
x
+ + =
+ + =
+ = −
+ = − +
=
=
5
10
5 10
5 10
5 100 20
25 100
4
2 2
2
2
2
2
2 2
2.2.2.2.2.
( ) ( )
( ) ( )
4 11 2
55
4 11
4 11 2 4 11 55
4 11 2 4 11 55
2 4 11 66 4
4 11 33 2
4 11 33 2
4 11 1 089 132 4
121 1 089
9
2
2
2
2
2
2 2
2 2
x x
x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x
− + =
−
− + − =
− + − =
− = −
− = −
− = −
− = − +
=
=
.
.
3.3.3.3.3.
( ) ( )
x x
x
x x x
x x x
x x x x
x
− − =
− − =
− = −
− + = −
=
7
4
7 4
4 7
8 16 7
16
2 2
2 2
2
2 2
4.4.4.4.4.
( )( ) ( )( )
( )
x
x
x
x
x x x x
x x x x
x
x
x
x
−
+
=
+
+
− + = + +
+ − = + +
=
=
=
=
2
4
1
13
2 13 1 4
11 26 5 4
6 30
5
5
25
2 2
2 2
5.5.5.5.5.
( ) ( )
( ) ( )
6
8
8
6 8 8
6 8 8
8 2
8 2
8 4 4
4 4
1
2
2
2
2
2 2
2 2
x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x
+
= + −
= + − +
= + − +
+ = +
+ = +
+ = + +
=
=
6.6.6.6.6.
( )( ) ( )
( ) ( )
x
x
x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x
− +
+
= +
− + + = +
+ − + = +
+ − = +
+ − = + +
=
=
3
8
9
9
3 9 8 9
6 27 8 9
6 27 1
6 27 2 1
4 28
7
2
2
2
2 2
2 2
7.7.7.7.7.
( )( ) ( )( )
( ) ( )
x
x
x
x
x x x x
x x x x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
+ − = + −
+ − = + −
=
=
=
=
4
2
11
1
4 1 11 2
3 4 9 22
18 6
3
3
9
2 2
2 2
8.8.8.8.8.
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 6 4 3
9
4 3
2 6 4 3 4 3 9
2 4 21 18 4 3 9
2 4 21 18 4 3 9
2 4 21 18 4 6
4 4 21 18 16 48 36
16 84 72 16 48 36
36 108
3
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
x x
x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x
x
+ − − =
−
+ − − − =
+ − − − =
+ − − + =
+ − = +
+ − = + +
+ − = + +
=
=
.....

9.9.9.9.9.
( )( ) ( )( )
( ) ( )
x
x
x
x
x x x x
x x x x
x
x
x
x
−
+
=
−
−
− − = − +
− + = − −
=
=
=
=
2
2
2 5
2 1
2 2 1 2 5 2
2 5 2 2 10
12 4
3
3
9
2 2
2 2
10.10.10.10.10.
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
x x
x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x
+ − − =
−
+ − − − =
+ − − − =
+ − − + =
+ − = −
+ − = − +
=
=
14 7
6
7
14 7 7 6
7 98 7 6
7 98 7 6
7 98 1
7 98 2 1
9 99
11
2
2
2
2
2 2
2 2
EJERCICIO 253
1.1.1.1.1. ( )− = − = − =a a a ai2 2
1 1
2.2.2.2.2. ( )− = − = − =2 2 1 2 1 2 i
3.3.3.3.3. ( )2 9 2 3 1 6 1 62
− = − = − = i
4.4.4.4.4. ( )− = − = − =81 9 1 9 1 92
i
5.5.5.5.5. ( )− = − = − =6 6 1 6 1 6 i
6.6.6.6.6. ( ) ( )3 3 1 3 1 34 2 2 2 2
− = − = − =b b b b b i
7.7.7.7.7. ( )− = ⋅ − = − =12 2 3 1 2 3 1 2 32
i
8.8.8.8.8. ( ) ( )− = − = − =7 7 1 7 1 7 i
9.9.9.9.9. ( )− = ⋅ − = − =27 3 3 1 3 3 1 3 32
i
10.10.10.10.10. ( )− = − = − =4 2 1 2 1 24 2 2 2 2 2
m m m m im
11.11.11.11.11. ( )− = − = − =
1
16
1
4
1
1
4
1
1
42 i
12.12.12.12.12. ( )− − = − + = − + = +a b a b a b i a b2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
EJERCICIO 254
1.1.1.1.1. ( )
( )
− = − =
− = − =
= + =
4 2 1 2
16 4 1 4
2 4 6
2
2
i
i
i i i
2.2.2.2.2. ( )
( )
( )
− = − =
− = − =
− − = − − = −
= + − =
25 5 1 5
81 9 1 9
49 7 1 7
5 9 7 7
2
2
2
i
i
i
i i i i
3.3.3.3.3. ( )
( )
2 9 2 3 1 6
3 100 3 10 1 30
6 30 36
2
2
− = − =
− = − =
= + =
i
i
i i i
4.4.4.4.4. ( )
( )
( )
3 64 3 8 1 24
5 49 5 7 1 35
3 121 3 11 1 33
24 35 33 22
2
2
2
− = − =
− − = − − = −
− = − =
= − + =
i
i
i
i i i i
5.5.5.5.5. ( )
( )
( )
( )
2 2 1 2
1
1
2 2
2 2
4 2 2 2
6 4 2 3
2 3 2 3
− = − =
− = − =
− = − =
= + + = + +
a a ai
a a a a i
a a a a i
ai a i a i i a a a
6.6.6.6.6. ( )
( )
( )
− = ⋅ − =
− = ⋅ − =
− = ⋅ − =
= + + =
18 3 2 1 3 2
8 2 2 1 2 2
2 50 2 5 2 1 10 2
3 2 2 2 10 2 15 2
2
2
2
i
i
i
i i i i
7.7.7.7.7. ( )
( )
( )
3 20 3 2 5 1 6 5
2 45 2 3 5 1 6 5
3 125 3 5 5 1 15 5
6 5 6 5 15 5 15 5
2
2
2
− = ⋅ − =
− − = − ⋅ − = −
− = ⋅ − =
= − + =
i
i
i
i i i i
8.8.8.8.8. ( )
( )
( )
− = − =
− = − =
− − = − − = −
= + − =
a a a i
a a a i
a a a i
a i a i a i a i
4 4 2
4 2 4 2
4 2 4 2
2 2 2 2
1
4 9 4 3 1 12
3 4 3 2 1 6
12 6 7

EJERCICIO 255
1.1.1.1.1.
( )
( )
− ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= −
= −
16 25
4 1 5 1
20 1
20 1
20
2
2.2.2.2.2.
( )
( )
− ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= −
= −
81 49
9 1 7 1
63 1
63 1
63
2
3.3.3.3.3.
( )
( )
5 36 4 64
5 6 1 4 8 1
30 1 32 1
960 1
960 1
960
2
− ⋅ −
= ⋅ − ⋅ ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= −
= −
4.4.4.4.4.
( )
( )
− ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= −
= −
3 2
3 1 2 1
6 1
6 1
6
2
9.9.9.9.9.
( )
( )
− ⋅ − ⋅ −
= − ⋅ − ⋅ −
= ⋅ ⋅ −
= − −
= − −
= −
2 3 5 10
2 1 3 5 1 10 1
3 2 5 10 1
3 100 1
30 1
30
3
i
10.10.10.10.10.
( )
( )
− ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= −
= ⋅ ⋅
=
12 27 8 50
2 3 1 3 3 1 2 2 1 5 2 1
60 9 4 1
60 3 2 1
360
4
11.11.11.11.11.
( )
( )
− − ⋅ −
= − − ⋅ −
= − −
= − −
=
5 3
5 1 3 1
15 1
15 1
15
2
x y
x y
xy
xy
xy
12.12.12.12.12.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
− + −
− − −
− + −
− − − −
− + − − −
= − − + = −
4 9
25 16
10 1 15 1
8 1 12 1
10 1 7 1 12 1
10 7 12 5
2 2
2 2
13.13.13.13.13.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
− + −
− − −
− + −
− − − −
− − −
= − +
=
2 3 5
2 2 6 5
2 4 1 6 10 1
6 10 1 18 25 1
4 1 90 1
4 90
86
2 2
2 2
5.5.5.5.5.
( )
( )
2 5 3 7
2 5 1 3 7 1
6 35 1
6 35 1
6 35
2
− ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= −
= −
6.6.6.6.6.
( )
( )
− ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= −
= −
3 75
3 1 25 3 1
5 3 1
15 1
15
2
2
7.7.7.7.7.
( )
( )
2 7 3 28
2 7 1 3 4 7 1
6 4 7 1
12 7 1
84
2
2
− ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= ⋅ −
= −
8.8.8.8.8. − ⋅ − ⋅ −
= − ⋅ − ⋅ −
= −
= − −
= − −
= −
49 4 9
7 1 2 1 3 1
42 1
42 1
42 1
42
3
e j
e j
i
14.14.14.14.14.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 5 3
2 4 3
2 4 1 5 6 1
8 6 1 20 9 1
4 1 3 6 1 60 1
4 3 6 60
56 3 6
2 2
2 2
− + −
− − −
− + −
− − − −
− − − − −
= − + +
= +
EJERCICIO 256
1.1.1.1.1.
−
−
=
−
−
=
16
4
4 1
2 1
2 2.2.2.2.2.
−
−
=
−
−
= =
10
2
10 1
2 1
10
2
5 3.3.3.3.3.
−
−
=
−
−
= = = =
81
3
9 1
3 1
9
3
9 3
9
9 3
3
3 3

4.4.4.4.4.
−
−
=
−
−
= =
90
5
3 10 1
5 1
3
10
5
3 2
5.5.5.5.5.
−
−
=
−
−
= =
150
3
5 6 1
3 1
5
6
3
5 2
6.6.6.6.6.
10 36
5 4
60 1
10 1
6
−
−
=
−
−
=
7.7.7.7.7.
2 18
6
6 2 1
6 1
6 2
6
6 12
36
6 2 3
6
2 3
2
−
−
=
−
−
= = =
⋅
=
8.8.8.8.8.
−
−
=
−
−
= =
315
7
3 35 1
7 1
3
35
7
3 5
9.9.9.9.9.
−
−
=
−
−
= = = = = =
27
3
27 1
3 1
27
3
9 3 3 3 3
4
4
4
4
4 4 24
2
4
1
2
10.10.10.10.10.
−
−
=
−
−
= = = = = =
300
12
300 1
12 1
300
12
25 5 5 5 5
4
4
4
4
4 4 24
2
4
1
2
EJERCICIO 257
1.1.1.1.1. 2 3 1
5 2 1
7 1
7
+ −
− −
+ −
+ i
2.2.2.2.2. − − −
− + −
− + −
− +
4 5 1
2 8 1
6 3 1
6 3i
3.3.3.3.3. 12 11 1
8 7 1
20 4 1
20 4
− −
+ −
− −
− i
4.4.4.4.4. 5 1
7 2 1
9 7 1
21 10 1
21 10
+ −
+ −
+ −
+ −
+ i
5.5.5.5.5. 3 2
5 8
10 13
2 3
−
−
− +
− +
i
i
i
i
6.6.6.6.6. 1
4 3
2 5
5 2 7
−
+
+
+ +
i
i
i
i
7.7.7.7.7.
( )
( )
( )
2 2
4 3
6 2 1 3 1
6 2 3
6 2 3
+ −
− −
+ − − −
+ −
+ −
i i
i
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
7 5
2 9
4 16
3 2 5 1 9 1 16 1
3 2 5 3 4
3 2 5
3 2 5 1
+ −
− −
− + −
+ + − − − + −
+ + − +
+ + +
+ + +
i i i
i i
i
EJERCICIO 258
1.1.1.1.1. ( ) ( )
( ) ( )
7 2 1 7 2 1
7 7 2 2 1
7 2
14
− − + + −
= + + − + −
= ⋅
=
2.2.2.2.2. ( ) ( )
( ) ( )
− − − + − + −
= − − + − + −
= − ⋅
= −
5 3 1 5 3 1
5 5 3 3 1
5 2
10
3.3.3.3.3. ( ) ( )
( ) ( )
9 3 9 3
9 9 3
9 2
18
+ + −
= + + −
= ⋅
=
i i
i i
4.4.4.4.4. ( ) ( )
( ) ( )
− − − + − + −
= − − + − + −
= − ⋅
= −
7 5 1 7 5 1
7 7 5 5 1
7 2
14
5.5.5.5.5. ( ) ( )
( ) ( )
8 3 2 8 3 2
8 8 3 3 2 1
8 2
16
− − + + −
= + + − + −
= ⋅
=
6.6.6.6.6. ( ) ( )
( ) ( )
2 3 2 3
2 2 3
2 2
+ + −
= + + −
=
i i
i i

EJERCICIO 259
1.1.1.1.1. ( ) ( )3 2 1 5 3 1
3 2 1
5 3 1
2 5 1
2 5
− − − + −
− −
− − −
− − −
− − i
2.2.2.2.2. ( ) ( )8 4 1 3 10 1
8 4 1
3 10 1
5 14 1
5 14
+ − − − −
+ −
− + −
+ −
+ i
3.3.3.3.3. ( ) ( )− − − − − − −
− − −
+ + −
+ −
+
1 1 7 8 1
1 1
7 8 1
6 7 1
6 7i
4.4.4.4.4. ( ) ( )4 7 1 5 3 1
4 7 1
5 3 1
1 4 1
1 4
− − − − −
− −
− + −
− − −
− − i
5.5.5.5.5. ( ) ( )15 4 1 8 7 1
15 4 1
8 7 1
7 3 1
7 3
− − − − −
− −
− + −
+ −
+ i
6.6.6.6.6. ( ) ( )11 80 1 3 50 1
11 80 1
3 50 1
8 130 1
8 130
+ − − − −
+ −
− + −
+ −
+ i
7.7.7.7.7. ( ) ( )
( )
( )
( )
5 25 3 6
5 25
3 6
2 25 1 6
2 5 6
2 11
2 11
− − − +
− −
− −
+ − − −
+ − −
+ −
−
i
i
i
i i
i
i
8.8.8.8.8. ( ) ( )
( )
( )
4 5 2 3
4 5
2 3
2 5 1 3 1
2 5 3
2 5 3
+ − − + −
+ −
− − −
+ − − −
+ −
+ −
i i
i
9.9.9.9.9. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 5 1 3 6 1
2 5
3 6
2 3 5 6
2 3 11
2 3 11
− − − + −
−
− −
− + − −
− + −
− −
i
i
i i
i
i
10.10.10.10.10. ( ) ( )
( )
( )
( )
8 7 7 3
8 7
7 3
15 7 1 3 1
15 7 3
15 7 3
− − − − + −
− −
− −
+ − − − −
+ − −
− +
i i
i
EJERCICIO 260
1.1.1.1.1. ( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 1
2 1 2 1
2 2 1 1 1
2 1
2
− − − + −
− − − − −
= − + − − −
= − −
= − i
2.2.2.2.2. ( ) ( )
( ) ( )
7 3 1 7 3 1
7 3 1 7 3 1
7 7 3 3 1
6 1
6
+ − − − −
+ − − + −
= − + + −
= −
= i
3.3.3.3.3. ( ) ( )
( ) ( )
− − − − − + −
− − − + − −
= − + + − − −
= − ⋅ −
= −
3 7 1 3 7 1
3 7 1 3 7 1
3 3 7 7 1
7 2 1
14i
4.4.4.4.4. ( ) ( )
( ) ( )
− + − − − − −
− + − + + −
= − + + + −
= −
=
5 2 5 2
5 2 5 2
5 5 1 1 2 1
2 2 1
2 2 i
5.5.5.5.5. ( ) ( )
( ) ( )
2 3 2 3
2 3 2 3
2 2 1 1 3 1
2 3 1
2 3
+ − − − −
+ − − + −
= − + + −
= −
= i
6.6.6.6.6. ( ) ( )− − − − − + −
− − − + − −
− − −
+ − −
− − = − −
= −
5 4 2 5 4 2
5 4 2 5 4 2
5 4 2
5 4 2
8 2 8 2 1
8 2 i

EJERCICIO 261
1.1.1.1.1.
( )
( )
3 4 1
5 3 1
15 20 1
9 1 12 1
15 29 1 12 1
15 29 12
3 29
2
− −
− −
− −
− − + −
− − + −
− −
−
i
i
2.2.2.2.2.
( )
( )
4 7 1
3 2 1
12 21 1
8 1 14 1
12 29 1 14 1
12 29 14
2 29
2
+ −
− − −
− − −
− − − −
− − − − −
− − +
−
i
i
3.3.3.3.3.
( )
( )
7 4
5 9
35 5 4 1
7 9 1 4 9 1
35 10 1 21 1 36 1
35 10 21 6
41 11
2
− −
+ −
− −
+ − − −
− − + − − −
− + +
+
i i
i
4.4.4.4.4.
( )
( )
8 9
11 25
88 11 9 1
8 25 1 9 25 1
88 33 40 15 1
88 7 15
103 7
2
− −
+ −
− −
+ − − −
− + − −
+ +
+
i i
i
i
5.5.5.5.5.
( )
( )
3 2
5 2
15 5 2 1
3 2 1 2 2 1
15 2 2 1 4 1
15 2 2 2
17 2 2
2
+ −
− −
+ −
− − − −
+ − − −
+ +
+
i
i
6.6.6.6.6.
( )
( )
( )
( ) ( )
4 3
5 2
20 5 3 1
4 2 1 2 3 1
20 5 3 4 2 6 1
20 5 3 4 2 6
20 6 5 3 4 2
2
+ −
− −
+ −
− − − −
+ − − −
+ − +
+ + −
i i
i
i
7.7.7.7.7.
( )
( )
( )
( ) ( )
2 5
3 2
6 3 5 1
2 2 1 5 2 1
6 15 4 10 1
6 15 2 10
6 10 15 2
2
+ −
+ −
+ −
+ − + −
+ + + −
+ + −
− + +
i i
i i
i
8.8.8.8.8.
( )
( )
5 3
5 2 3
25 5 3 1
2 5 3 1 2 9 1
5 15 2 15 6 1
5 3 15 6
3 15 1
2
+ −
+ −
+ −
+ − + −
+ + + −
+ −
−
i i
i
i
EJERCICIO 262
1.1.1.1.1. ( )( )
( )
( )
1 1
1
1 1
1 1
1 1 2
2
2
− +
= −
= − −
= − −
= + =
i i
i
2.2.2.2.2. ( )( )
( )
( )[ ]
3 2 1 3 2 1
3 2 1
9 4 1
9 4 13
2
2
+ − − −
= − −
= − −
= + =
3.3.3.3.3. ( )( )
( ) ( )
( )[ ]
( )[ ]
2 5 2 5
2 5
2 25 1
2 25 1
2 25 27
2 2
2
− +
= −
= − −
= − −
= + =
i i
i
4.4.4.4.4. ( )( )
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( )[ ]
2 3 4 2 3 4
2 3 4
4 3 16 1
12 16 1
12 16 28
2 2
2
+ −
= −
= − −
= − −
= + =
i i
i
5.5.5.5.5. ( )( )
( )
( )
( )[ ]
( )[ ]
5 2 5 2
25 2
25 2 1
25 2 1
25 2 1
25 2 27
2
2
2
− − + −
= − −
= − −
= − −
= − −
= + =
6.6.6.6.6. ( )( )
( )
( )
( )[ ]
− − − − + −
= − −
= − −
= − −
= + =
9 5 9 5
81 5
81 5 1
81 5 1
81 5 86
2
2

EJERCICIO 263
1.1.1.1.1.
( )
( )
1 1
1 1
1 1
1 1
1 2 1 1
1 1
1 2 1
1 1
2
2
2
2
+ −
− −
⋅
+ −
+ −
=
+ − + −
− −
=
+ −
+
= =
i i
i
2.2.2.2.2.
( )
( )
3 1
3 1
3 1
3 1
9 6 1 1
9 1
9 6 1
9 1
8 6
10
4 3
52
+ −
− −
⋅
+ −
+ −
=
+ − + −
− −
=
+ −
+
=
+
=
+i i i
3.3.3.3.3.
( )
( ) ( )[ ]
5 3 1
3 4 1
3 4 1
3 4 1
15 29 1 12 1
9 4 1
15 29 12
9 16 1
3 29
252
− −
+ −
⋅
− −
− −
=
− − + −
− −
=
− −
− −
=
−i i
4.4.4.4.4.
8 5
7 6
7 6
7 6
56 83 30
49 36
56 83 30
49 36
26 83
85
2
2
−
+
⋅
−
−
=
− +
−
=
− −
+
=
−i
i
i
i
i i
i
i i
5.5.5.5.5.
( ) ( )
( )
( )
4 3
5 4 3
5 4 3
5 4 3
20 21 3 1 4 3 1
25 4 3 1
20 21 3 12
25 48
8 21 3
73
2
2
+ −
− −
⋅
+ −
+ −
=
+ − + −
− −
=
+ −
− −
=
+i i
6.6.6.6.6.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 5
4 2 5
4 2 5
4 2 5
4 2 9 2 5 1 2 5 1
16 2 5 1
8 9 10 10
32 5
9 10 2
37
2 2
2 2
+ −
− −
⋅
+ −
+ −
=
+ − + −
− −
=
+ −
+
=
−i i
EJERCICIO 265
1.1.1.1.1. 3 5 2 0
5
3
2
3
0
5
3
2
3
5
3
25
36
25
36
2
3
5
6
25 24
36
5
6
1
6
5
6
1
6
5 1
6
1
5 1
6
4
6
2
3
2
2
2
2
2
1
2
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
− + =
− + =
− = −
− + = −
−





 =
−
− = ±
= ±
=
+
=
=
−
= =
2.2.2.2.2. 4 3 22 0
3
4
22
4
3
4
9
64
11
2
9
64
3
8
352 9
64
2
2
2
2
x x
x
x
x
x
x
+ − =
+ =
+ + = +
+





 =
+
x
x
x
x
+ = ±
= − ±
=
− +
= =
=
− −
= − = −
3
8
361
64
3
8
19
8
3 19
8
16
8
2
3 19
8
22
8
11
4
1
2
3.3.3.3.3. x x
x x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
11 24
11
121
4
121
4
24
11
2
121 96
4
11
2
25
4
11
2
5
2
11 5
2
6
2
3
11 5
2
16
2
8
+ = −
+ + = −
+





 =
−
+ = ±
= − ±
=
− +
=
−
= −
=
− −
=
−
= −
4.4.4.4.4.
( )
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
1
2
16 63
16 63
16 64 64 63
8 1
8 1
8 1
8 1 9
8 1 7
= −
− = −
− + = −
− =
− = ±
= ±
= + =
= − =
5.5.5.5.5. 12 4 9 0
9 12 4
9 12 4
12
9
4
9
4
3
4
9
4
9
4
9
2
3
0
2
3
0
2
3
2
2
2
2
2
2
1 2
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
− − =
− + =
− = −
− = −
− + = −
−





 =
− =
= =

6.6.6.6.6.
( )( )
( )
5 7 90 0
7 7 4 5 90
2 5
7 49 1 800
10
7 1 849
10
7 43
10
7 43
10
50
10
5
7 43
10
36
10
3
2
2
1
2
3
5
x x
x
x
x
x
x
− − =
=
± − −
=
± +
=
±
=
±
=
+
= =
=
−
= − = −
.
.
7.7.7.7.7.
( )( )
( )
6 222
6 222 0
1 1 4 6 222
2 6
1 5 329
12
1 73
12
1 73
12
74
12
6
1 73
12
72
12
6
2
2
2
1
1
6
2
x x
x x
x
x
x
x
x
= +
− − =
=
± +
=
±
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
.
8.8.8.8.8.
( )( )
( )
x x
x x
x
x
x
x
x
+ =
− − =
=
± − −
=
± +
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
11 10
10 11 0
1 1 4 10 11
2 10
1 1 440
20
1 21
20
1 21
20
22
20
1
1 21
20
20
20
1
2
2
2
1
1
10
2
9.9.9.9.9.
( ) ( )( )
( )
49 70 25 0
70 70 4 49 25
2 49
70 4 900 4 900
98
70
98
5
7
2
2
1 2
x x
x
x
x x
− + =
=
± −
=
± −
= = =
. .
10.10.10.10.10.
( ) ( )( )
( )
12 7 64 0
7 12 64 0
12 12 4 7 64
2 7
12 144 1 792
14
12 1 936
14
12 44
14
12 44
14
32
14
2
12 44
14
56
14
4
2
2
2
1
2
7
2
x x
x x
x
x
x
x
x
x
− + =
− + + =
=
− ± − −
−
=
− ± +
−
=
− ±
−
=
− ±
−
=
− +
−
= − = −
=
− −
−
=
−
−
=
.
.
11.11.11.11.11.
( ) ( )( )
( )
x x
x x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
15 56
15 56 0
15 15 4 1 56
2 1
15 225 224
2
15 1
2
15 1
2
14
2
7
15 1
2
16
2
8
= −
+ + =
=
− ± −
=
− ± −
=
− ±
=
− +
=
−
= −
=
− −
=
−
= −
12.12.12.12.12.
( ) ( )( )
( )
32 18 17 0
18 18 4 32 17
2 32
18 324 2 176
64
18 2 500
64
18 50
64
18 50
64
32
64
1
2
18 50
64
68
64
1
2
2
1
2
1
16
x x
x
x
x
x
x
x
+ − =
=
− ± − −
=
− ± +
=
− ±
=
− ±
=
− +
= =
=
− −
=
−
= −
.
.
13.13.13.13.13.
( ) ( )( )
( )
176 121 64
64 176 121 0
176 176 4 64 121
2 64
176 30 976 30 976
128
176
128
1
2
2
2
1 2
3
8
x x
x x
x
x x
= +
− + =
=
± −
=
± −
= = =
. .
14.14.14.14.14.
( ) ( )( )
( )
8 5 36
36 8 5 0
8 8 4 36 5
2 36
8 64 720
72
8 784
72
8 28
72
8 28
72
20
72
5
18
8 28
72
36
72
1
2
2
2
2
1
2
x x
x x
x
x
x
x
x
x
+ =
− + + =
=
− ± − −
−
=
− ± +
−
=
− ±
−
=
− ±
−
=
− +
−
= − = −
=
− −
−
=
−
−
=
15.15.15.15.15.
( ) ( )( )
( )
27 12 7 0
12 12 4 27 7
2 27
12 144 756
54
12 900
54
12 30
54
18
54
1
3
12 30
54
42
54
7
9
2
2
1
2
x x
x
x
x
x
x
+ − =
=
− ± − −
=
− ± +
=
− ±
=
− +
= =
=
− −
=
−
= −

16.16.16.16.16.
( ) ( )( )
( )
15 25 2
25 15 2 0
15 15 4 25 2
2 25
15 225 200
50
15 25
50
15 5
50
20
50
2
5
15 5
50
10
50
1
5
2
2
2
1
2
x x
x x
x
x
x
x
x
= +
− + =
=
± −
=
± −
=
±
=
+
= =
=
−
= =
17.17.17.17.17.
( ) ( )( )
( )
8 2 3 0
2 2 4 8 3
2 8
2 4 96
16
2 100
16
2 10
16
2 10
16
12
16
3
4
2 10
16
8
16
1
2
2
2
1
2
x x
x
x
x
x
x
x
− − =
=
± − −
=
± +
=
±
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
18.18.18.18.18.
( ) ( )( )
( )
105 2
2 105 0
1 1 4 2 105
2 2
1 1 840
4
1 841
4
1 29
4
1 29
4
28
4
7
1 29
4
30
4
7
2
2
2
1
2
1
2
= +
+ − =
=
− ± − −
=
− ± +
=
− ±
=
− ±
=
− +
= =
=
− −
=
−
= −
x x
x x
x
x
x
x
x
x
EJERCICIO 266
1.1.1.1.1. ( )
( ) ( )( )
( )
x x x
x x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
+ = +
+ = +
+ − − =
− − =
=
± − − −
=
± +
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
3 5 3
3 5 3
3 5 3 0
2 3 0
2 2 4 1 3
2 1
2 4 12
2
2 4
2
2 4
2
6
2
3
2 4
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2.2.2.2.2. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
3 3 2 4 4
9 6 16
9 22 0
9 9 4 1 22
2 1
9 169
2
9 13
2
4
2
2
9 13
2
22
2
11
2
2
2
1
2
x x x
x x
x x
x
x
x
x
− = + −
− = − +
+ − =
=
− ± − −
=
±
=
− +
= =
=
− −
=
−
= −
3.3.3.3.3. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
9 1 3 5 3 2
9 1 3 15 6
9 1 2 9
0 2 8 10
8 8 4 2 10
2 2
8 64 80
4
8 12
4
8 12
4
20
4
5
8 12
4
4
4
1
2
2 2
2
2
2
1
2
x x x x
x x x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
+ = − − − +
+ = − − + +
+ = + −
= − −
=
± − − −
=
± +
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
4.4.4.4.4. ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
2 3 5 23
4 12 9 10 25 23 0
3 22 7 0
22 22 4 3 7
2 3
22 400
6
22 20
6
22 20
6
42
6
7
22 20
6
2
6
1
3
2 2
2 2
2
2
1
2
x x
x x x x
x x
x
x
x
x
x
− − + = −
− + − − − + =
− + =
=
± −
=
±
=
±
=
+
= =
=
−
= =
5.5.5.5.5. ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
25 2 7 81
25 100 100 14 49 81
24 114 132 0
4 19 22 0
19 19 4 4 22
2 4
19 361 352
8
19 3
8
19 3
8
16
8
2
19 3
8
22
8
2
2 2
2 2
2
2
2
1
2
3
4
x x
x x x x
x x
x x
x
x
x
x
x
+ = − −
+ + = − + −
+ + =
+ + =
=
− ± −
=
− ± −
=
− ±
=
− +
=
−
= −
=
− −
=
−
= −
6.6.6.6.6. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
3 2 6 23 3
3 6 6 23 69
3 30 75 0
10 25 0
10 10 4 1 25
2 1
10 100 100
2
10
2
5
2
2
2
2
1 2
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x x
− − − = −
− − + = −
− + =
− + =
=
± − −
=
± −
= = =

7.7.7.7.7. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
7 3 5 1 5 2
7 21 5 5 5 10
7 16 5 4 10
17 16 0
17 17 4 1 16
2 1
17 225
2
17 15
2
17 15
2
2
2
1
17 15
2
32
2
16
2 2
2 2 2
2 2
2
2
1
2
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x
x
x
x
x
x
− − − = − +
− − + = − −
− − = − −
− + − =
=
− ± − − −
−
=
− ±
−
=
− ±
−
=
− +
−
=
−
−
=
=
− −
−
=
−
−
=
8.8.8.8.8. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
x
x
x
x
− − − = − −
− + − + − = − + −
− = − −
− − =
− − =
=
± − − −
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
5 6 2 3 118
10 25 12 36 4 12 9 118
2 11 4 12 109
4 14 98 0
2 7 49 0
7 7 4 2 49
2 2
7 441
4
7 21
4
28
4
7
7 21
4
14
4
3
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
1
2
1
2
9.9.9.9.9. ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
5 2 3 1 60 0
25 20 4 9 6 1 60 0
15 26 57 0
26 26 4 15 57
2 15
26 676 3 420
30
26 64
30
26 64
30
90
30
3
26 64
30
38
30
1
2 2 2
2 2 2
2
2
1
2
4
15
x x x
x x x x x
x x
x
x
x
x
x
− − + − − =
− + − − − − − =
− − =
=
± − − −
=
± +
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
.
10.10.10.10.10. ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
x x
x x x x x x
x x
x x
x
x
x
x
x
+ − − =
+ + + − + − + − =
+ − =
− − + =
=
± − − −
−
=
±
−
=
±
−
=
+
−
=
−
= −
=
−
−
=
−
−
=
4 3 343
12 48 64 9 27 27 343 0
21 21 252 0
12 0
1 1 4 1 12
2 1
1 49
2
1 7
2
1 7
2
8
2
4
1 7
2
6
2
3
3 3
3 2 3 2
2
2
2
1
2
11.11.11.11.11. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
x x x x
x x x x x x x x
x x
x
x
x
x
+ − − = + +
+ + + − + − + = + +
+ + =
=
− ± −
=
− ± −
=
− +
=
−
= −
=
− −
=
−
= −
2 1 3 4 8
6 12 8 3 3 1 3 4 8
6 5 1 0
5 5 4 6 1
2 6
5 25 24
12
5 1
12
4
12
1
3
5 1
12
6
12
1
2
3 3
3 2 3 2 2
2
2
1
2
12.12.12.12.12. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )
5 4 3 5 2 1 20 2 27
25 40 16 6 7 5 20 40 27
19 47 21 20 40 27
7 6 0
7 7 4 1 6
2 1
7 49 24
2
7 25
2
7 5
2
12
2
6
7 5
2
2
2
1
2
2 2 2
2 2
2
2
1
2
x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x
x
x
x
x
− − + − = − +
− + − − + = − +
− + = − +
− − − =
=
± − − − −
−
=
± −
−
=
±
−
=
+
−
=
−
= −
=
−
−
=
−
= −

EJERCICIO 267
1.1.1.1.1.
( ) ( )
x x
x
x
x
x
x
2
2
1
2
3 2 0
3
2
3
4
2
3
2
9
4
2
3
2
1
4
3
2
1
2
4
2
2
3
2
1
2
2
2
1
− + =
= −
−
±
−
−
= ± −
= ±
= + = =
= − = =
2.2.2.2.2.
( ) ( )
( )
x x
x
x
x
x
x
2
2
1
2
2 15 0
2
2
2
4
15
1 1 15
1 4
1 4 5
1 4 3
− − =
= −
−
±
−
− −
= ± +
= ±
= + =
= − = −
3.3.3.3.3.
( ) ( )
x x
x x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
19 88
19 88 0
19
2
19
4
88
19
2
361
4
88
19
2
9
4
19
2
3
2
22
2
11
19
2
3
2
16
2
8
= −
− + =
= −
−
±
−
−
= ± −
= ±
= + = =
= − = =
4.4.4.4.4.
( )
( )
x x
x x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
4 285
4 285 0
4
2
4
4
285
2 4 285
2 289
2 17 15
2 17 19
+ =
+ − =
= − ± − −
= − ± +
= − ±
= − + =
= − − = −
5.5.5.5.5. ( ) ( )
( )
5 1 2 2 7 8
5 5 4 14 8 0
9 8 0
9
2
9
4
8
9
2
81
4
8
9
2
49
4
9
2
7
2
2
2
1
9
2
7
2
16
2
8
2
2 2
2
2
1
2
x x x x
x x x x
x x
x
x
x
x
x
− − − = −
− − + + =
+ + =
= − ± −
= − ± −
= − ±
= − + =
−
= −
= − − =
−
= −
6.6.6.6.6. ( )
( ) ( )
( )
x x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
1
2
7 6 59
7 6 59 0
8 65 0
8
2
8
4
65
4 16 65
4 9
4 9 13
4 9 5
− + = +
− − − − =
− − =
= −
−
±
−
− −
= ± +
= ±
= + =
= − = −
8.8.8.8.8. ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
x x x
x x
x x
x
x
x
x
x
− + − − =
− − + − =
− − =
= −
−
±
−
− −
= ± +
= ±
= + = =
= − =
−
= −
2 2 7 1 21
4 7 7 21 0
7 18 0
7
2
7
4
18
7
2
49
4
18
7
2
121
4
7
2
11
2
18
2
9
7
2
11
2
4
2
2
2
2
2
1
2
9.9.9.9.9. ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 5 7 3
2 3 10 7 21
10 11 0
10
2
10
4
11
5 25 11
5 36
5 6 11
5 6 1
2
2 2
2
2
1
2
x x x x
x x x x
x x
x
x
x
x
x
− − + = +
− − + = +
− − =
= −
−
±
−
− −
= ± +
= ±
= + =
= − = −
10.10.10.10.10. ( )( ) ( )( )
( )
( )
x x x x x
x x x x x
x x
x x
x
x
x
x
x
− + − − + − + =
+ − − − + − + =
− − + =
+ − =
= − ± − −
= − ± +
= − ±
= − + = =
= − − =
−
= −
1 2 2 3 4 14 0
2 2 5 12 14 0
5 24 0
5 24 0
5
2
5
4
24
5
2
25
4
24
5
2
121
4
5
2
11
2
6
2
3
5
2
11
2
16
2
8
2 2
2
2
2
1
2
7.7.7.7.7. ( ) ( )
( ) ( )
( )
x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x
x
x
x
x
− + + = − −
− + + + = − + −
+ + = + −
− − =
= −
−
± − −
= ± +
= ±
= + = =
= − =
−
= −
1 11 199 3 2
2 1 11 199 3 4 4
9 200 2 4 4
5 204 0
5
2
5
4
204
5
2
25
4
204
5
2
841
4
5
2
29
2
34
2
17
5
2
29
2
24
2
12
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
1
2

EJERCICIO 268
1.1.1.1.1.
( ) ( )( )
( )
x x
mcm
x x
x x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
1
2
5 2
3
10
10
2 5 3
2 5 3 0
5 5 4 2 3
2 2
5 25 24
4
5 7
4
5 7
4
12
4
3
5 7
4
2
4
1
2
− = =
− =
− − =
=
± − − −
=
± +
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
2.2.2.2.2.
( ) ( )( )
( )
4
13 3
2
2
8 26 3
8 3 26 0
3 3 4 8 26
2 8
3 9 832
16
3 29
16
3 29
16
32
16
2
3 29
16
26
16
1
2
2
2
1
2
5
8
x
x
mcm x
x x
x x
x
x
x
x
x
− = =
− =
− − =
=
± − − −
=
± +
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
3.3.3.3.3. ( )
( )
( ) ( )
x x
x mcm
x x x
x x x
x x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
1
2
6 2
3 5 6
3 18 5
3 18 90
21 90 0
21
2
21
4
90
21
2
81
4
21
2
9
2
30
2
15
21
2
9
2
12
2
6
− = − =
− = −
− = −
− + =
= −
−
±
−
−
= ±
= + = =
= − = =
4.4.4.4.4. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
1
4
4
2
5
5
1
5
53
20
5 4 8 5 4 53
5 20 8 40 4 212 0
4 13 152 0
13 13 4 4 152
2 4
13 169 2 432
8
13 51
8
13 51
8
38
8
4
13 51
8
64
8
8
2
2
2
2
2
1
3
4
2
x x x
mcm
x x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
− + − = −
=
− + − = −
− + − − + =
− + + =
=
− ± − −
−
=
− ± +
−
=
− ±
=
− +
−
=
−
= −
=
− −
−
=
−
−
=
.
5.5.5.5.5.
( ) ( )
( )
5 1
2
1 2
5 1
2
1 2
5 10 2
2 10 0
2
2
2
4
10
1 1 10
1 11
1 11
1 11
2
2
2
1
2
x x
mcm x
x
x mcm x
x x x x
x x
x
x
x
x
x
−
+
= = +
+





 − = + =
+ − = +
− − =
= −
−
±
−
− −
= ± +
= ±
= +
= −
6.6.6.6.6.
( )
( )
( )
15 11 5
1
15 11 5
4 5 0
4
2
4
4
5
2 4 5
2 3
2 3 1
2 3 5
2
2
2
2
2
1
2
x
x
x
mcm x
x x x
x x
x
x
x
x
x
−
+
= − =
− + = −
+ − =
= − ± − −
= − ± +
= − ±
= − + =
= − − = −
7.7.7.7.7. ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
8
3 5
5 1
1
3 3 5 1
8 1 5 1 3 5 3 3 5 1
8 8 15 22 5 9 24 15
23 30 5 9 24 15
14 6 20 0
2 2 2
2 2
2
x
x
x
x
mcm x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
+
+
−
+
= = + +
+ + − + = + +
+ + + − = + +
+ − = + +
+ − =
( ) ( )( )
( )
x
x
x
x
=
− ± − −
=
− ±
=
− ±
=
− +
= =
=
− −
=
−
= −
6 6 4 14 20
2 14
6 1 156
28
6 34
28
6 34
28
28
28
1
6 34
28
40
28
1
2
1
2
3
7
.
8.8.8.8.8.
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
1
2
1
1
1
6
6 2 1
6 1 6 2 2 1
6 6 6 12 3 2
6 3 2
0 3 4
3
2
3
4
4
3
2
9
4
4
3
2
25
4
3
2
5
2
3
2
5
2
8
2
4
3
2
5
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
x x
mcm x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
= − −
− − − = − −
− − + = − +
= − +
= − −
= −
−
±
−
− −
= ± +
= ± = ±
= + = =
= − =
−
= −
9.9.9.9.9. ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
1
2 3
5
2
10
10 5
10 5 10 2 3 5 2
10 50 20 30 3 10
10 80 3 10
0 13 90
13
2
13
4
90
2
2
2
2
−
−
+
=
−
= +
+ − − = + −
+ − + = + −
− + = + −
= + −
= − ± − −
x
x
x
mcm x
x x x x
x x x x
x x x
x x
x

x
x
x
x
x
= − ± +
= − ±
=
−
±
=
−
+ = =
=
−
− =
−
= −
13
2
169
4
90
13
2
529
4
13
2
23
2
13
2
23
2
10
2
5
13
2
23
2
36
2
18
1
2
10.10.10.10.10. ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
x
x
x
x
mcm x
x x x x
x x x x
x x
x
x
x
x
x
x
−
= −
+
=
− = − +
− = − −
− + + =
=
− ± − −
−
=
− ± +
−
=
±
−
=
− ±
−
=
− +
−
=
−
= −
=
− −
−
=
−
−
=
13
5
10 5 3
13 5 10 5 3
13 5 50 30
4 37 30 0
37 37 4 4 30
2 4
37 1 369 480
8
37 1 849
8
37 43
8
37 43
8
6
8
3
4
37 43
8
80
8
10
2
2
2
2 2
2
2
1
2
.
.
11.11.11.11.11. ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
x
x
x
x
mcm x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x
x
x
x
x
x x
−
−
−
= = −
− − − = −
− − + = −
− + − = −
= − +
=
− − ± − −
=
± −
=
±
=
± ⋅
=
±
=
±
=
+
=
−
2
2 5
2
2 2
2 2 2 2 5 2
2 2 4 4 5 10
2 2 8 8 5 10
0 5 18 8
18 18 4 5 8
2 5
18 324 160
10
18 164
10
18 2 41
10
18 2 41
10
9 41
5
9 41
5
9 41
5
2 2 2
2 2 2
2
2
2
1 2;
12.12.12.12.12. ( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
4
1
1 3
4
20
3
12 1
12 4 3 1 1 3 4 1 20
48 9 12 3 80 80
23 68 3 0
68 68 4 23 3
2 23
68 4 624 276
46
68 4 900
46
68 70
46
68 70
46
2
46
1
23
68 70
46
138
46
3
2
2
2 2 2
2
2
1 2
x
x
x x
mcm x
x x x x x
x x x x x
x x
x
x
x x
−
−
−
= = −
− − − = −
+ − + = −
− + + =
=
− ± − −
−
=
− ± +
−
=
− ±
−
=
− ±
−
=
− +
−
=
−
= − =
− −
−
=
−
−
=
. .
;
13.13.13.13.13. ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
3 1 2
2 1
7
6
0 6 2 1
6 2 1 3 1 6 2 7 2 1 0
6 6 5 1 12 14 7 0
36 30 6 12 14 7 0
10 23 6 0
23 23 4 10 6
2 10
23 529 240
20
23 289
20
23 17
20
23 17
20
40
20
2
23 17
20
2 2 2
2 2 2
2
2
1 2
x
x
x
x
mcm x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x
x
x
x x
−
−
−
− = = −
− − − − − =
− + − − + =
− + − − + =
− + =
=
± −
=
± −
=
±
=
±
=
+
= = =
−
; = =
6
20
3
10
14.14.14.14.14.
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
5 8
1
7 4
2
2 5 8 7 4 1
5 2 16 7 11 4
0 2 13 20
13 13 4 2 20
2 2
13 169 160
4
13 9
4
13 3
4
13 3
4
16
4
4
13 3
4
10
4
5
2
2
2 2
2
2
1 2
1
2
x
x
x
x
x x x x
x x x x
x x
x
x
x x
−
−
=
−
+
+ − = − −
+ − = − +
= − +
=
± −
=
± −
=
±
=
±
=
+
= = =
−
= = =;

15.15.15.15.15.
( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
x
x
x
x
mcm x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x x
+
−
−
−
+
=
= − +
+ + − − − =
+ + − + − =
− + + =
− − =
=
± − − −
=
± +
=
±
=
±
=
+
= = =
−
=
−
= −
3
2 1
5 1
4 7
0
2 1 4 7
3 4 7 5 1 2 1 0
4 19 21 10 7 1 0
6 26 20 0
3 13 10 0
13 13 4 3 10
2 3
13 169 120
6
13 289
6
13 17
6
13 17
6
30
6
5
13 17
6
4
6
2
3
2 2
2
2
2
1 2;
16.16.16.16.16.
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
1
4
1
6
1
1
6 4 1
6 1 4 1 6 4
6 6 3 4 24 6
3 2 24 6
9 22 0
9
2
9
4
22
9
2
81
4
22
9
2
169
4
9
2
13
2
9
2
13
2
4
2
2
9
2
13
2
22
2
11
2
2
2
2
1 2
−
− =
+
= − +
+ − − + = −
+ + − − = −
+ + = −
+ − =
= − ± − −
= − ± + = − ± =
−
±
=
−
+ = = =
−
− =
−
= −
x x
mcm x x
x x x x
x x x x
x x x
x x
x
x
x x;
17.17.17.17.17. ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )
x
x
x
x
mcm x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x
x x
+
+
−
+
+
= = + +
+ + − + + = + +
+ + − − − = + +
= + +
= + −
= − ± − −
= − ± + = − ± = − ±
= − + = = − − = −
4
5
2
3
1
24
24 5 3
24 3 4 24 2 5 5 3
24 168 288 24 168 240 8 15
48 8 15
0 8 33
8
2
8
4
33
4 16 33 4 49 4 7
4 7 3 4 7 11
2 2 2
2
2
2
1 2;
18.18.18.18.18. ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
5
1
6
1
3 8 1
40 48 1 29 1
40 48 48 29 29
29 48 117 0
48 48 4 29 117
2 29
48 2 304 13 572
58
48 126
58
48 126
58
174
58
3
48 126
58
78
58
1
2
5
8
2
2
2
2
2
1 2
10
29
x x
mcm x
x x
x x
x x
x
x
x x
−
−
+
= = −
− − = −
− + = −
− − + =
=
− − ± − −
−
=
± +
−
=
±
−
=
+
−
=
−
= − =
−
−
=
−
−
=
. .
;
19.19.19.19.19. ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
x
x
x
x
x
x
mcm x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x
−
+
+
+
−
=
+
+
= + − +
− − + + + + + = + + −
− + + + + + + = + −
+ − − + + + + + + + + = − + −
+ + + =
1
1
1
1
2 9
3
1 1 3
1 1 3 1 1 3 2 9 1 1
2 1 3 2 1 3 2 9 1
3 2 6 3 3 2 6 3 2 2 9 9
2 6 2 6
2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2
3 2
2 9 2 9
0 3 4 15
3 2
2
x x x
x x
+ − −
= − −
( ) ( )( )
( )
x
x
x x
=
± − −
=
± +
=
±
=
±
=
+
= = =
−
=
−
= −
4 4 4 3 15
2 3
4 16 180
6
4 196
6
4 14
6
4 14
6
18
6
3
4 14
6
10
6
1
2
1 2
2
3
20.20.20.20.20. ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )
3
2
1
2
1
1
2 2 1
3 2 1 2 1 2 2
3 3 6 3 2 4
2 6 8 4
6 4 0
6
2
6
4
4 3 9 4 3 13
3 13 3 13
2 2 2
2 2
2
2
1 2
x x x
mcm x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x
x
x x
+
−
−
=
+
= + − +
− + − + + = + −
− − − − − = −
− − = −
− − =
= −
−
±
−
− − = ± + = ±
= + = −;

EJERCICIO 269
1.1.1.1.1.
( )( )
x x
x x
x x
2
1 2
6 0
3 2 0
3 2
− − =
− + =
= = −
2.2.2.2.2.
( )( )
x x
x x
x x
x x
2
2
1 2
7 18
7 18 0
9 2 0
9 2
+ =
+ − =
+ − =
= − =
3.3.3.3.3.
( )( )
8 65
8 65 0
13 5 0
13 5
2
2
1 2
x x
x x
x x
x x
− = −
+ − =
+ − =
= − =
4.4.4.4.4.
( )( )
x x
x x
x x
x x
2
2
2 2
1 2
108 3
3 108 0
108 2
54 2 2 3 3
27 3 12 9 3
9 3
3 3
1
12 9 0
12 9
= −
+ − =
⋅ −
− =
+ − =
= − =
5.5.5.5.5.
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 7 4 0
2 7 2 8 0
2 8 2 1
2
0
4 2 1 0
4 0 2 1 0
4
1
2
2
2
1 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
+ − =
+ − =
+ −
=
+ =
+ = − =
= − =
6.6.6.6.6.
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 10 11
6 11 10 0
6 11 6 60 0
6 15 6 4
3 2
0
2 5 3 2 0
2 5 0 3 2 0
5
2
2
2
3
2
2
2
1
1
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
= −
+ − =
+ − =
+ −
⋅
=
+ − =
+ = − =
= − = − =
7.7.7.7.7.
( ) ( )
( )( )
( )( )
20 27 14
20 27 14 0
20 27 20 280 0
20 35 20 8
5 4
0
4 7 5 2 0
7
4
1
2
5
2
2
2
1
3
4 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− =
− − =
− − =
− +
⋅
=
− + =
= = = −
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( )( )
( )( )
7 15 30
30 7 15 0
30 7 30 450 0
30 25 30 18
5 6
0
6 5 5 3 0
6 5 0 5 3 0
6 5 5 3
5
6
3
5
2
2
2
1 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
= −
+ − =
+ − =
+ −
⋅
=
+ − =
+ = − =
= − =
=
−
=
9.9.9.9.9.
( ) ( )
( )( )
( )( )
60 8 157
8 157 60 0
8 157 8 480 0
8 160 8 3
8
0
20 8 3 0
20 0 8 3 0
20 8 3
3
8
2
2
2
1
2
= +
+ − =
+ − =
+ −
=
+ − =
+ = − =
= − =
=
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
10.10.10.10.10. ( ) ( )
( )( )
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
− − − =
− − + − =
− + =
− − =
− = − =
= =
1 5 2 2
5 10 2 0
6 8 0
4 2 0
4 0 2 0
4 2
2
2
1 2
11.11.11.11.11. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
− − + = −
− + − − − + =
− − + =
+ − =
+ − =
+ −
=
2 2 3 80
4 4 4 12 9 80 0
3 16 75 0
3 16 75 0
3 16 3 225 0
3 25 3 9
3
0
2 2
2 2
2
2
2
( )( )3 25 3 0
3 25 0 3 0
3 25 3
25
3
8
2
1
1
3
x x
x x
x x
x
+ − =
+ = − =
= − =
= − = −
12.12.12.12.12.
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 9 4
3
3
18 27 4
4 27 18 0
4 27 4 72 0
4 24 4 3
4
0
6 4 3 0
6 0 4 3 0
6 4 3
3
4
2
2
2
2
2
1
2
x x
mcm x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
− = − =
− = −
− + =
− + =
− −
=
− − =
− = − =
= =
=
13.13.13.13.13.
( )( )
x
x
x
x
mcm x
x x
x x
x x
x x
x x
+
+ = =
+ + =
+ − =
+ − =
+ = − =
= − =
2 74
2 74
72 0
9 8 0
9 0 8 0
9 8
2
2
1 2
14.14.14.14.14. ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
x
x
mcm
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
+ −
−
= =
+ − − =
+ + − + − =
+ + =
+ + =
+ +
=
+ + =
+ = + =
= − = −
=
−
= −
2
2 5
3
3 3
3 2 2 5 9
3 12 12 2 5 9 0
3 10 8 0
3 10 3 24 0
3 6 3 4
3
0
2 3 4 0
2 0 3 4 0
2 3 4
4
3
1
2
2
2
2
2
1
2
1
3
15.15.15.15.15. ( )
( ) ( )( )
( )( )
x
x
x
x
mcm x
x x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
−
+ =
+
= −
+ − = + −
+ − = + −
− + =
− − =
− = − =
= =
2
3 15
4
4 2
4 4 2 3 15 2
4 4 8 3 9 30
13 30 0
10 3 0
10 0 3 0
10 3
2 2
2
1 2

16.16.16.16.16. ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
6
4
4 5
12
12 4
72 48 4 5 4
72 48 192 5 20
5 44 192 0
5 44 5 960 0
5 60 5 16
5
0
12 5 16 0
12 0 5 16 0
12 5 16
16
5
3
2
2
2
1
2
1
5
x x
mcm x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
−
− = = −
− − = −
− + = −
− − =
− − =
− +
=
− + =
− = + =
= = −
=
−
= −
17.17.17.17.17. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x x
x x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− − − =
− + − − + − + − =
− − =
− − =
− + =
− = + =
= = −
= = −
2 3 37
6 12 8 9 27 27 37 0
3 15 18 0
3 15 3 54 0
3 18 3 3 0
3 18 0 3 3 0
3 18 3 3
6 1
3 3
3 2 3 2
2
2
1 2
18.18.18.18.18. ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
x
x
x
mcm x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
−
+
− =
+
= +
− − + = + +
− − − = + +
+ + =
+ + =
+ = + =
= − = −
1
1
2
3
3
3 1
3 1 6 1 3 1
3 3 6 6 4 3
7 12 0
4 3 0
4 0 3 0
4 3
2
2
1 2
19.19.19.19.19.
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
4 1
2 3
2 1
6 5
6 5 4 1 2 1 2 3
24 14 5 4 8 3
20 6 8 0
10 3 4 0
10 3 10 40 0
10 8 10 5
2 5
0
5 4 2 1 0
5 4 0 2 1 0
5 4 2 1
4
5
1
2
2 2
2
2
2
1 2
x
x
x
x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
−
+
=
+
+
+ − = + +
+ − = + +
+ − =
+ − =
+ − =
+ −
⋅
=
+ − =
+ = − =
= − =
=
−
=
20.20.20.20.20.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
3 2
4
5
9 14
12
12
3 3 2 60 9 14
9 6 60 9 14
9 45 14 0
9 45 9 126 0
9 42 9 3
3 3
0
3 14 3 1 0
3 14 0 3 1 0
3 14 3 1
14
3
1
3
4
2
2
2
1 2
1
2
3
x x
x
mcm x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
+
= −
+
=
+ = − +
+ = − −
− + =
− + =
− −
⋅
=
− − =
− = − =
= =
= =
=
EJERCICIO 270
1.1.1.1.1.
( )( )
x ax a
x a x a
x a x a
x a x a
2 2
1 2
2 35 0
7 5 0
7 0 5 0
7 5
+ − =
+ − =
+ = − =
= − =
2.2.2.2.2.
( ) ( )( )
( )
10 36 37
10 37 36 0
37 37 4 10 36
2 10
37 2 809
20
37 53
20
37 53
20
16
20
4
5
37 53
20
90
20
9
2
2 2
2 2
2 2
2
1
2
x a ax
x ax a
x
a a a
x
a a a a
x
a a a a
x
a a a a
= −
+ − =
=
− ± − −
=
− ±
=
− ±
=
− +
= =
=
− −
=
−
=
−
.
3.3.3.3.3.
( ) ( )
( )( )
a x abx b
a x ab a x a b
a x ab a x ab
a x ab a x ab
a x ab a x ab
x
ab
a
x
ab
a
x
b
a
x
b
a
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 2 2
1 2
2 0
2 0
2 0
2 0 0
2
2
2
+ − =
+ − =
+ − =
+ = − =
= − =
=
−
=
= − =

4.4.4.4.4.
( ) ( ) ( )( )
( )
89 42 22
42 89 22 0
89 89 4 42 22
2 42
89 4 225
84
89 65
84
89 65
84
24
84
2
7
89 65
84
154
84
11
6
2 2
2 2
2 2
2
1
2
bx x b
x bx b
x
b b b
x
b b b
x
b b b b
x
b b b b
= +
− + =
=
− − ± − −
=
±
=
±
=
−
= =
=
+
= =
.
5.5.5.5.5.
( )( )
x ax a
x ax a
x a x a
x a x a
x a x a
2 2
2 2
1 2
20
20 0
5 4 0
5 0 4 0
5 4
+ =
+ − =
+ − =
+ = − =
= − =
6.6.6.6.6.
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 3
2 3 0
2 2 6 0
2 3 2 2
2
0
2 3 0
2 3 0 0
2 3
3
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 2
x abx a b
x abx a b
x ab x a b
x ab x ab
x ab x ab
x ab x ab
x ab x ab
x
ab
x ab
= +
− − =
− − =
− +
=
− + =
− = + =
= = −
= = −
7.7.7.7.7.
( ) ( )
( )( )
( )( )
b x abx a
b x abx a
b x ab b x a b
b x ab b x ab
b b
bx a bx a
bx a bx a
bx a bx a
x
a
b
x
a
b
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
1 2
2 3
2 3 0
2 3 0
3
0
3 0
3 0 0
3
3
+ =
+ − =
+ − =
+ −
⋅
=
+ − =
+ = − =
= − =
= − =
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( ) ( )
x ax bx ab
x ax bx ab
x x a b x a
x b x a
x b x a
x b x a
2
2
1 2
0
0
0
0 0
+ − =
+ − − =
+ − + =
− + =
− = + =
= = −
9.9.9.9.9.
( ) ( )
( )( )
x ax ab bx
x bx ax ab
x x b a x b
x b x a
x b x a
x b x a
2
2
1 2
2 6 3
3 2 6 0
3 2 3 0
3 2 0
3 0 2 0
3 2
− = −
+ − − =
+ − + =
+ − =
+ = − =
= − =
10.10.10.10.10. ( )
( ) ( )
( )( )
3 2 4 2 0
3 2 2 2 0
2 3 2 0
2 0 3 2 0
2 3 2
2
2
3
2
1 2
x mx nx mn
x x m n x m
x m x n
x m x n
x m x n
x
m
x
n
− + − =
− + − =
− + =
− = + =
= = −
= = −
11.11.11.11.11.
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
x a bx ab
x a b x a
x a x a b x a
x a b x a
x a b x a
x a b x a
2 2
2 2
1 2
0
0
0
0
0 0
− − − =
− − + =
+ − − + =
− − + =
− − = + =
= + = −
12.12.12.12.12. ( )
( ) ( )
( )( )
abx x b a
abx bx ax
abx ax bx
ax bx bx
bx ax
bx ax
bx ax
x
b
x
a
2
2
2
1 2
2 2
2 2 0
2 2 0
2 2 0
2 1 0
2 0 1 0
2 1
2 1
− − =
− + − =
+ − − =
+ − + =
+ − =
+ = − =
= − =
=
−
=
13.13.13.13.13.
( ) ( ) ( )
( )
( )
x ax a b
x
a a a b
x
a a a b a b
x
a b a b
a b
x
a b a b
a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
2
2 0
2 2 4
2
2 4 4 4
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
− + − =
=
− − ± − −
=
± − +
=
±
=
+
=
+
= +
=
−
=
−
= −

14.14.14.14.14. ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
4 4
4 4 4 0
4 4 4 4 4
2 4
4 16 16 64
8
4 64
8
4 8
8
4 8
8
4 2
8
2
2
4 8
8
4 2
8
2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1
2
x x b b m
x bx b m
x
b b b m
x
b b b m
x
b m b m
x
b m b m b m
x
b m b m b m
− + =
− + − =
=
− − ± − − −
=
± − +
=
±
=
±
=
+
=
+
=
+
=
−
=
−
=
−
15.15.15.15.15.
( ) ( ) ( )
( )
( )
x b a ax
x ax b a
x
a a b a
x
a a b a a b
x
a b a b
a b
x
a b a b
a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
2
4 4 0
4 4 0
4 4 4 4
2
4 16 4 16
2
4 2
2
4 2
2
2 2
2
2
4 2
2
2 2
2
2
− + − =
− − + =
=
− − ± − − − +
=
± + −
=
±
=
+
=
+
= +
=
−
=
−
= −
16.16.16.16.16. ( )
( ) ( )
( )( )
x a x a
x ax x a
x x a x a
x a x
x a x
x a x
2
2
1 2
2 2
2 2 0
2 0
2 0
0 2 0
2
− + = −
− − + =
− − − =
− − =
− = − =
= =
17.17.17.17.17. ( )
( ) ( )
( )( )
x x a a
x x ax a
x x a x
x x a
x x a
x x a
2
2
1 2
2 4 3 48
8 6 48 0
8 6 8 0
8 6 0
8 0 6 0
8 6
+ − =
+ − − =
+ − + =
+ − =
+ = − =
= − =
18.18.18.18.18.
( )( ) ( )
( )( )
x x m m
x m x m
x m x m x m
x m x m
x m x m
x m x m
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2 0
2 0
2 0
2 0 0
2
− = +
− − − =
+ − − + =
− − + =
− − = + =
= + = −
19.19.19.19.19. ( )
( ) ( )
( )( )
x m x m m
x xm xm m
x x m m x m
x m x m
x m x m
x m x m
2 2 5
2 3 2 5
3 2 3
3 2
3 2
1
3
2
2
2 2
2 2 0
2 0
2 0
0 2 0
2
+ − =
+ − − =
+ − + =
+ − =
+ = − =
= − =
20.20.20.20.20.
( ) ( )
( )( )
6 15 2 5
6 2 15 5 0
2 3 5 3 0
3 2 5 0
3 0 2 5 0
3 2 5
3
5
2
2
2
1 2
x ax bx ab
x bx ax ab
x x b a x b
x b x a
x b x a
x b x a
x
b
x
a
− = −
− − + =
− − − =
− − =
− = − =
= =
= =
21.21.21.21.21.
( ) ( )
( )( )
( )( )
3
4 2 2
0 4
3 2 2 0
2 3 2 0
2 3 2 4 0
2 4 2
2
0
2 2 0
2 0 2 0
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
1
2
x a x
a
mcm a
ax a x
x ax a
x a x a
x a x a
x a x a
x a x a
x a x a
x
a
+ − = =
+ − =
− − =
− − =
− +
=
− + =
− = + =
= = −
= −
22.22.22.22.22.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2
2
2
3
3 2 2 2
6 3 4 2 0
3 2 2 2 0
2 3 2 0
2 0 3 2 0
2 3 2
2
2
3
2
2
2 2
1 2
x b bx b
x
x x b bx b
x bx bx b
x x b b x b
x b x b
x b x b
x b x b
x
b
x
b
−
=
−
− = −
− − + =
− − − =
− − =
− = − =
= =
= =

23.23.23.23.23.
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
a x
a x
a x
a x
mcm a x
a x a x a x a x a x
a ax x a ax x a x
a ax x
x ax a
x a x a
x a x a
x a x a
+
−
+
−
+
= − = −
+ + + − − = − −
+ + + − + = − +
− − =
+ − =
+ − =
+ = − =
= − =
2
4
2 4
2 3 2 4 4
6 0
6 0
3 2 0
3 0 2 0
3 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 2
24.24.24.24.24.
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
x
x
a
a
a x a x
x a a x a
x a a x a
x
a a a a
a
x
a a a a
a
x
a a a a
a
x
a a a
a
a a a
a
x
a a a
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 4 3 2
2 2 2
2 2 2
2 2
1
2 2
1 2 2
2 2 1
2 4
2 4 0
4 2 4
2 2 4
8 16
2 2 4
8 16
4 8
4
4 2
4
4 2
4
−
=
−
− = −
− = −
− − + =
=
− − ± − − −
−
=
± − +
−
=
± − +
−
=
± −
−
=
± −
−
=
+ −
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
4 2
2 4
4 2
2 2
4 2 2
4
4 2
4
4 2 2
2
2
2 2
a
a a
a
a a
a
a
x
a a a
a
a
a
a
a
−
=
−
−
=
−
−
=
=
− −
−
=
−
=
−
25.25.25.25.25.
( ) ( )
( )( )
x
x a
a mcm ax
ax a x a x
ax x a a x
x ax a ax
ax x a
ax x a
ax x a
x
a
x a
+ = + =
+ = +
− + − =
− − − =
− − =
− = − =
= =
= =
2 1
2
2 2
2 2 0
1 2 1 0
1 2 0
1 0 2 0
1 2
1
2
2 2
2 2
1 2
26.26.26.26.26. ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 2
4
4
4 2 4 2
8 4 4 4 2 2
6 2 4 0
3 2 0
3 3 6 0
3 3 3 2
3
0
3 2 0
0 3 2 0
3 2
2
3
2 2 2
2 2
2 2
2 2
1
2
x b
b
x
x b
x
b
mcm b x b
x b x b bx x x b
x bx b bx x bx
x bx b
x bx b
x b x b
x b x b
x b x b
x b x b
x b x b
x
b
−
−
+
= = +
− + − = +
+ − − = +
− − =
− − =
− − =
− +
=
− + =
− = + =
= = −
= −
EJERCICIO 271
1.1.1.1.1. 3 48
16
16
4
2
2
x
x
x
x
=
=
=
= ±
2.2.2.2.2. 5 9 46
5 55
11
11
11
2
2
2
x
x
x
x
x
− =
=
=
=
= ±
3.3.3.3.3. 7 14 0
2 0
2
2
2 1
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x i
+ =
+ =
= −
= −
= −
= ±
4.4.4.4.4. 9 0
9
9
9
3
2 2
2 2
2
2
2
x a
x a
x
a
x
a
x
a
− =
=
=
=
= ±
5.5.5.5.5. ( )( )x x
x
x
x
x
x
+ − = −
− = −
=
=
= ⋅
= ±
5 5 7
25 7
18
18
3 2
3 2
2
2
2

6.6.6.6.6. ( )( )2 3 2 3 135 0
4 9 135 0
4 144
36
36
6
2
2
2
x x
x
x
x
x
x
− + − =
− − =
=
=
=
= ±
7.7.7.7.7. ( )( ) ( )3 2 2 4 8
3 12 8 16 8
2 28 0
2 28
14
14
2
2 2
2
2
2
x x x x
x x x x
x
x
x
x
+ − = − +
− = − + +
− =
=
=
= ±
8.8.8.8.8. x x
x
x
x
x
+





 −





 =
− − =
=
= ±
= ±
1
3
1
3
1
3
1
9
1
3
0
4
9
4
9
2
3
2
2
9.9.9.9.9. ( )( ) ( )( )2 1 2 4 1 5 0
2 3 2 3 4 5 0
7 0
7
7 1
7
2 2
2
2
x x x x
x x x x
x
x
x
x i
− + − + − + =
+ − − − + + =
+ =
= −
= −
= ±
10.10.10.10.10.
5
2
1
6
7
12
12
30 2 7
28 7
4
4
2
2 2
2
2
2
2
x x
mcm x
x
x
x
x
x
− = =
− =
=
=
=
± =
11.11.11.11.11. ( )( )
( )( ) ( )( )
2 3
3
2
1
3 1
2 3 1 2 3
2 5 3 5 6
3 0
3
3
2 2
2
2
x
x
x
x
mcm x x
x x x x
x x x x
x
x
x
−
−
=
−
−
= − −
− − = − −
− + = − +
− =
=
= ±
12.12.12.12.12.
x x x
x x x
x
x
x
x
x
2 2 2
2 2 2
2
2
2
5
3
4 1
5
14 1
15
0
5 25 12 3 14 1 0
3 27 0
3 27
9
9
3
−
+
−
−
−
=
− + − − + =
− =
=
=
=
= ±
13.13.13.13.13.
( ) ( ) ( ) ( )
2 3
1
2
7 2
2 2 3 2 1 7 2
2 4 3 6 1 7 14
5 14
9
9
3
2
2
2 2
2
2
x
x
x
mcm x
x x x x x
x x x x x
x
x
x
x
− −
+
−
= − = −
− − − − + = − −
− − + − − = − +
+ =
=
=
= ±
14.14.14.14.14.
( ) ( )
3
3
4 1
2 4 1
3 4 1 3 2 4 1
12 6 8 2
4 4
1
1
1
2
2
2 2
2 2
2
2
−
−
= = −
− − = −
− = −
=
=
=
= ±
x
mcm x
x x
x x
x
x
x
x
EJERCICIO 272
1.1.1.1.1.
( )
x x
x x
x x
x x
x
2
2
1
2
5
5 0
5 0
0 5 0
5
=
− =
− =
= − =
=
2.2.2.2.2.
( )
4 32
4 32 0
4 8 0
4 0 8 0
0 8
2
2
1 2
x x
x x
x x
x x
x x
= −
+ =
+ =
= + =
= = −
3.3.3.3.3.
( )
x x x x
x x
x x
x x
x x
2 2
2
1
2
3 3 4
0 2
0 2 1
0 0 2 1
1 2
1
2
− = −
= −
= −
= = −
= ⇒ =

4.4.4.4.4. ( )
( )
5 4 2 2
5 4 2 4
5 2 0
5 2 0
0 5 2 0
5 2
2
5
2
2
2
1
2
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
+ = +
+ = +
− =
− =
= − =
=
=
7.7.7.7.7. ( )( ) ( )( )
( )
4 1 2 3 3 1
8 10 3 2 3
7 8 0
7 8 0
0 7 8 0
7 8
8
7
1
2 2
2
1
2
2
1
7
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x
x
x
− + = + −
+ − = + −
+ =
+ =
= + =
= −
= −
= −
5.5.5.5.5. ( ) ( )
( )
x x
x x x x
x x
x x
x x
x
x
− − + = −
− + − − − + =
− − =
+ =
= + =
= −
=
−
= −
3 2 5 16
6 9 4 20 25 16 0
3 26 0
3 26 0
0 3 26 0
3 26
26
3
8
2 2
2 2
2
1
2
2
3
6.6.6.6.6.
( )
x x
mcm
x x
x x
x x
x x
x
2
2
1
2
3
9
6
3
2
12
4 2 18 18
2 2 1 0
2 0 2 1 0
0 2 1
1
2
−
−
= =
− + =
− =
= − =
= =
=
8.8.8.8.8. ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
x
x
x
x
mcm x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x x
x
+
−
−
+
−
= = − −
+ − − + − = − −
− − − − + = − +
= +
= +
= + =
= −
1
1
4
2
1 1 2
1 2 4 1 1 2
2 3 4 3 2
0
0 1
0 1 0
1
2 2 2
2
1
2
EJERCICIO 273
1.1.1.1.1.
( ) ( )
( )( )
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x chazo sol extraña
x
x sol que satisface
+ + =
+ = −
+ = −
+ = − +
= − +
= − −
− =
= →
− =
= →
4 1 5
4 1 5
4 1 5
4 1 25 10
0 14 24
0 12 2
12 0
12
2 0
2
2 2
2
2
1
2
Re
2.2.2.2.2.
( ) ( )
( )( )
2 1 3 7
7 1
7 1
49 14 1
15 50 0
10 5 0
10 0
10
5 0
5
2 2
2
2
1
2
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x chazo sol extraña
x
x sol que satisface
− − = −
− = −
− = −
− + = −
− + =
− − =
− =
= →
− =
= →
Re
3.3.3.3.3.
( )
( ) ( )
( )( )
5 1 3 4
5 1 3 16
5 1 2 5 14 3 3 16
2 5 14 3 14 6
5 14 3 7 3
5 14 3 49 42 9
0 4 56 52
0 14 13
0 13 1
13 0
13
1 0
1
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
1
2
x x
x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
x x
x
x chazo por sol extraña
x
x sol que satisface
− + + =
− + + =
− + + − + + =
+ − = −
+ − = −
+ − = − +
= − +
= − +
= − −
− =
= →
− =
= →
Re

4.4.4.4.4.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 5 1
2 1 5
4 1 2 5 5
3 6 2 5
3 6 2 5
9 36 36 4 20
9 40 16 0
9 40 9 144 0
9 36 9 4
9
0
4 9 4 0
4 0
4
9 4 0
9 4
4
9
2 2
2 2
2
2
2
1
2
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x
x sol que satisface
x
x
− + =
= + +
= + + + +
− = +
− = +
− + = +
− + =
− + =
− −
=
− − =
− =
= →
− =
=
= → Re
5.5.5.5.5.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
2 1 3 3
2 1 3 3
2 1 9 6 3 3
13 6 3
6 3 13
36 3 169 26
36 108 169 26
0 62 61
0 61 1
61 0
61
1 0
1
2 2
2 2
2
2
2
1
2
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x
x
x sol que satisface
− + + =
− = − +
− = − + + +
− = − +
+ = −
+ = − +
+ = − +
= − +
= − −
− =
= →
− =
= →
Re
6.6.6.6.6.
( ) ( )
( ) ( )
( )
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x x
x x x x
− + + − =
− + + =
− + − − + + =
− − = +
− − = + +
− − = + +
3 2 1 2 0
3 2 1 2
3 2 2 5 3 2 1 4
2 2 5 3 2
4 2 5 3 4 4
8 20 12 4 4
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
( )( )
( )( )
7 24 16 0
7 24 7 112 0
7 28 7 4
7
0
4 7 4 0
4 0 4
7 4 0
7 4
4
7
2
2
1
2
x x
x x
x x
x x
x x sol factible
x
x x sol inadmisible
− − =
− − =
− +
=
− + =
− = ⇒ = →
+ =
= − ⇒ = − →
7.7.7.7.7.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
5 1 3 2
5 1 2 3
5 1 2 10 2 2 3
2 10 2 8 4
8 4 2 10 2
4 2 1 2 10 2
4 2 10 2
16 16 4 10 2
6 14 4 0
6 14 6 24 0
6 12 6 2
6
0
2 6 2 0
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x
− − − =
− − = −
− − − + = −
− − = − +
− = −
− = −
− = −
− + = −
− + =
− + =
− −
=
− − =
− =
= →
− =
=
= →
2 0
2
6 2 0
6 2
1
3
1
2
x sol factible
x
x
x sol inadmisible
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( )
3 1 5 16 1
3 1 2 15 5 5 16 1
2 15 5 8
15 5 4
15 5 16
0 5
0 5
0
5 0
5
2
2
2
2
2
2 2
2
1
2
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x sol admisible
x
x sol admisible
+ + = +
+ + + + = +
+ =
+ =
+ =
= −
= −
= →
− =
= →

9.9.9.9.9.
( ) ( )
( )( )
2 4 3 3
2 4 3 9
4 3 9 2
4 3 81 36 4
0 4 40 84
0 10 21
0 7 3
7 0
7
3 0
3
2 2
2
2
2
1
2
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x
x chazo por
sol inadmisible
x
x sol aceptada
+ − =
+ − =
− = −
− = − +
= − +
= − +
= − −
− =
= →
− =
= →
Re
10.10.10.10.10.
( )
( ) ( )
( )( )
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x sol admisible
x
x sol admisible
+ +
+
=
+ + = +
+ = +
− + =
− − =
− =
= →
− =
= →
3
6
3
5
3 6 5 3
9 5 3
7 6 0
1 6 0
1 0
1
6 0
6
2
2 2
2
1
2
11.11.11.11.11.
( )
( ) ( )
( )( )
x
x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x sol admisible
x
x sol admisible
+ =
+ =
+ =
+ + =
− + =
− − =
− =
= →
− =
= →
4
5
4 5
4 5
8 16 25
17 16 0
16 1 0
16 0
16
1 0
1
2
2 2
2
2
1
2
12.12.12.12.12.
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 7
8
7
2 7 7 8
2 7 15
4 28 30 225
3 2 225 0
3 2 3 675 0
3 27 3 25
3
0
9 3 25 0
9 0 9
3 25 0
25
3
2 2
2
2 2
2 2
2
2
1
2
x x
x
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x sol aceptada
x x sol inadmisible
= + +
+
+ = + +
+ = +
+ = + +
− − =
− − =
− +
=
− + =
− = ⇒ = →
+ = ⇒ = − →
13.13.13.13.13.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x sol aceptada
x x sol rechazada
+ + =
+ + =
+ =
+ =
− − =
− − =
− +
=
− = ⇒ = →
+ = ⇒ = − →
8 2
8 4
8 3
8 9
9 8 0
9 1 9 72 0
9 9 9 8
9
0
1 0 1
9 8 0
8
9
2 2
2
2
2
1
2
14.14.14.14.14.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 7 12 1 0
6 7 12 1
6 2 42 7 12 1
2 42 12 12
42 6 6
42 36 72 36
0 37 71 6
37 71 37 222 0
37 74 37 3
37
0
2 37 3 0
2 0 2
37 3 0
37
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
1
− + + − + =
− + + = +
− + − − + + = +
− − = −
− − = −
− − = − +
= − −
− − =
− +
=
− + =
− = ⇒ = →
+ =
=
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x sol aceptada
x
x − ⇒ = − →3
3
372x sol inadmisible

EJERCICIO 274
11.11.11.11.11. x x
x y
2
4 3 0
0 3
1 0
2 1
3 0
1 8
− + =
−
−
12.12.12.12.12. x x
x y
2
6 8 0
0 8
1 3
2 0
3 1
4 0
− + =
−
sol x x: 1 22 4= =
sol x x: 1 21 3= =
13.13.13.13.13. x x
x y
2
2 3 0
0 3
1 4
2 3
3 0
1 0
− − =
−
−
−
−
sol x x: 1 21 3=- =
14.14.14.14.14. x x
x y
2
4 3 0
0 3
1 0
2 1
3 0
1 8
+ + =
−
− −
−
sol x x: 1 23 1= − = −

15.15.15.15.15. x x
x x
x y
2
2
6
6 0
0 6
1 4
2 0
3 6
1 6
3 0
= −
+ − =
−
−
− −
−
sol x x: 1 23 2=- =
16.16.16.16.16. x x
x x
x y
2
2
2 1
2 1 0
0 1
1 0
2 1
3 4
1 4
= −
− + =
−
17.17.17.17.17. x x
x y
2
8 16 0
0 16
2 4
4 0
6 4
+ + =
−
−
−
sol x x: 1 2 4= = -
18.18.18.18.18. x
x y
2
4 0
1 3
2 0
3 5
1 3
2 0
3 5
0 4
− =
−
− −
−
−
−
sol x x: 1 22 2=- =sol x x: 1 2 1= =

21.21.21.21.21. 2 9 10 0
0 10
1 3
2 0
3 1
4 6
2
x x
x y
− + =
22.22.22.22.22. 2 5 7 0
0 7
1 10
3 4
4 5
1 0
2
x x
x y
− − =
−
−
−
−
sol x x: 1 2
1
21 3=- =
sol x x: 1 2
1
22 2= =
19.19.19.19.19. x x
x x
x y
2
2
3 10
3 10 0
0 10
3 10
5 0
1 6
2 0
= +
− − =
−
−
− −
−
sol x x: 1 22 5=- =
20.20.20.20.20. x x
x x
x y
2
2
4 4
4 4 0
0 4
1 1
2 0
3 1
1 9
− = −
− + =
−
sol x x: 1 2 2= =

EJERCICIO 275
1.1.1.1.1.
( )
( )( )
x N mayor
x N menor
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
N mayor
N menor
→
− →
+ − =
+ − + =
− + =
− + =
− − =
= =
→
− = →
º
º
º
º
9
9 53
81 18 53
2 18 28 0
9 14 0
7 2 0
7 2
7
9 7 2
2 2
2 2
2
2
1 2
2.2.2.2.2.
( )
x N positivo
x
Otro Número
x
x
x
x
x
x x
N positivo
Otro Número
→
→





 =
=
=
= ±
= = −
→
= →
º
.
.
.
.
º
3
5
3
5
2 160
3 10 800
3 600
3 600
60 60
60
3 60
5
36
2
2
1 2
3.3.3.3.3.
( )
( )( )
x Edad de A
x Edad de B
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
años Edad de A
años Edad de B
→
− →
+ − =
+ − + =
− − =
− − =
− + =
= = −
→
− = →
3
3 317
6 9 317
2 6 308 0
3 154 0
14 11 0
14 11
14
14 3 11
2 2
2 2
2
2
1 2
4.4.4.4.4.
( )
( )
x Un Número
x El otro Número
x x
x x
x
x
x
x x
Un Número
El otro Número
→
→
− =
− =
=
=
= ±
= = −
→
= →
3
3 1 800
9 1 800
8 1 800
225
225
15 15
15
3 15 45
2 2
2 2
2
2
1 2
.
.
.
5.5.5.5.5.
( )
( )( )
x N buscado
x x
x x
x x
x x
x x
N buscado
→
− = −
− = −
− + =
− − =
= =
→
º
º
2
2
2
1 2
9 8 2
9 8 16
8 7 0
7 1 0
7 1
7
6.6.6.6.6.
( )
( )( )
x N mayor
x N menor
x x
x x x
x x
x x
x x
N menor
N mayor
+ →
→
+ − =
+ + − =
− − =
− + =
= = −
→
+ = →
1
1 57 3
2 1 57 3
56 0
8 7 0
8 7
8
8 1 9
2
2
2
1 2
º
º
º
º
7.7.7.7.7.
( )
( )( )
( )( )
x L o
x Ancho
Area x x
x x
Doble del area x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
m m m L o
m Ancho
+ →
→
= +
= +
= +
+ + = +
+ + = +
− − =
− + =
= = −
+ = →
→
4
4
4
2 8
8 4 2 8
12 32 2 8
4 32 0
8 4 0
8 4
8 4 12
8
2
2
2
2 2
2
1 2
arg
arg
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( )( )
x N sa comp
x
bs to cada saco
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
N sa comp
bs bs to cada saco
→
→
+
= −
= + − +
= + − −
+ − =
+ − =
+ − =
= − =
→
= →
º cos .
.
. cos
. .
. .
.
º cos .
.
. . cos
1 000
1 000
10
1 000
5
1 000 10 1 000 5 10
10 10 10 5 50
5 50 10 0
10 2 000 0
50 40 0
50 40
40
1 000
40
25
3 3 4 2
2 4
2
1 2
9.9.9.9.9.
( )
( )
4
4 860 625
16 860 625
17 860 625
50 625
50 625
225 225
4 225 900
900
225
2 2
2 2
2
2
1 2
x Costo caballo
x Costo arreos
x x
x x
x
x
x
x x
sucres Costo caballo
sucres Costo arreos
→
→
+ =
+ =
=
=
= ±
= = −
=
→
→
.
.
.
.
.
10.10.10.10.10.
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
x N menor
x N mayor
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
N mayor
N menor
− →
→
− + − =
− − =
− + =
− − =
− − =
− + =
− + =
= = −
→
− = →
7
7 7 184
2 7 7 184
2 21 49 184
2 21 135 0
2 21 2 270 0
2 30 2 9 0
15 2 9 0
15
9
2
15
15 7 8
2
2
2
1 2
º
º
º
º
11.11.11.11.11.
( )
( )( )
x Edad de A
x Edad de B
x x
x x
x x
x x
x x
años Edad de A
años Edad de B
→
− →
− =
− =
− + =
− − =
= =
→
→
23
23 102
23 102
23 102 0
17 6 0
17 6
17
6
2
2
1 2

12.12.12.12.12.
( ) ( )
( )( )
x N de libros
x
Costo c u
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
Libros
Costo c u
→
→
−
= +
= − + −
= − + −
= − −
= − +
= = −
→
= →
º
/
.
.
$ /
180
180
6
180
1
180 180 6 6
180 180 1 080 6
0 6 1 080
0 36 30
36 30
36
180
36
5
2
2
1 2
13.13.13.13.13.
( )( )
x N de filas
x
N soldados cada fila
x
x
x x
x x
x x
x x
N de filas
N soldados
cada fila
→
→
− =
− =
= + −
= + −
= − =
→
= →
º
º
º
º
180
180
8
180 8
0 8 180
0 18 10
18 10
10
180
10
18
2
2
1 2
14.14.14.14.14.
( )( )
x Costo del reloj
x de x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
soles Costo del reloj
→
=
+ =
+ =
+ − =
+ − =
= − =
→
%
.
.
2
2
2
2
1 2
100
100
75
100 7 500
100 7 500 0
150 50 0
150 50
50
15.15.15.15.15.
( )( )
x Pers comp
x
x
x x
x x
x x
x x
Pers comp el auto
→
− =
− =
+ − =
+ − =
= − =
→
. .
.
.
.
. .
1 200
194
1 200 194
194 1 200 0
200 6 0
200 6
6
2
2
1 2
16.16.16.16.16. x lojes comp
x
Costo cada reloj
x
x
x
x
x
x x
lojes comp
Costo cada reloj
→
→
=
=
=
± =
= = −
→
= →
Re .
Re .
$12
192
192 3
4
768 3
256
256
16 16
16
192
16
2
2
1 2
17.17.17.17.17.
( ) ( )
( )( )
x Libros comp
x
Costo cada lib
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
Libros comp
Costo cada lib
→
→
+ =
−
− + − =
− + − =
− − =
− + =
= = −
→
= →
.
.
.
$ .
150
150
1
150
5
150 5 5 150
150 750 5 150
5 750 0
30 25 0
30 25
30
150
30
5
2
2
1 2
18.18.18.18.18.
( )( )
x Libros comp
x
x
x x
x x
x x
x x
Libros comp
→
− =
− =
+ − =
+ − =
= − =
→
.
.
200
10
200 10
10 200 0
20 10 0
20 10
10
2
2
1 2
19.19.19.19.19.
( ) ( )
( )( )
x Plumas comp
x
ecio c u
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
Plumas comp
ecio c u
→
→
− =
+
+ − + =
+ − − =
+ − =
+ − =
= − =
→
= →
.
Pr /
.
$ Pr /
24
24
1
24
4
24 4 4 24
24 96 4 24
4 96 0
12 8 0
12 8
8
24
8
3
2
2
1 2
20.20.20.20.20.
( ) ( )
( )( )
x Tiempo de recorrido
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
horas Tiempo de recorrido
→
+ =
−
− + − =
− + − =
− − =
− − =
− + =
= = −
→
240
20
240
2
240 2 20 2 240
240 480 20 40 240
20 40 480 0
2 24 0
6 4 0
6 4
6
2
2
2
1 2
21.21.21.21.21.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
x Caballos comp
x
ecio cada caballo
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Caballos comp
ecio c caballo
→
→
+ =
+
−
− + − =
− + − =
− − =
− − =
− − =
− + =
− + =
= = −
→
= →
.
.
Pr
. .
. .
. . .
.
.
.
$ Pr /
2 000
2 000
60
2 000 80
2
2 000 2 60 2 2 080
2 000 4 000 60 120 2 080
60 200 4 000 0
3 10 200 0
3 10 3 600 0
3 30 3 20 0
10 3 20 0
10
20
3
10
2 000
10
200
2
2
2
2
1 2
22.22.22.22.22.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
x N menor
x N ermedio
x N mayor
x
x
x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
N menor
N ermedio
N mayor
→
+ →
+ →
+
+
=
+ = +
+ = +
= − −
= − −
= − +
= − +
= =
−
→
+ = →
+ = →
º
º int
º
º
º int
º
1
2
2
1
3
10
10 2 3 1
10 20 3 3
0 3 7 20
0 3 7 3 60
0 3 12 3 5
0 4 3 5
4
5
3
4
4 1 5
4 2 6
2
2
2
1 2

23.23.23.23.23. x Un N
x
El otro N
x
x
x
x
x
x
x x
Un N
El otro N
→
→
=
=
=
=
± =
= = −
→
= →
º.
º.
º.
º.
180
180
1
180 5
4
720 5
144
144
12 12
12
180
12
15
1
4
2
2
2
1 2
24.24.24.24.24.
( )
( )( )
( )( )
x N naranjas comp
x
Costo c naranja
x
x
x x x
x x x x
x x
x x
x x
N naranjas comp
ctvs Costo c naranja
→
→
+





 − =
+ − =
− + − =
− − =
− + =
= = −
→
= →
º .
/
º .
. /
150
150
1 5 150
150 5 150
150 750 5 150
5 750 0
30 25 0
30 25
30
150
30
5
2
2
1 2
25.25.25.25.25.
( )( )
x Costo del caballo
x
x
x x
x x
x x
x x
Q Costo del caballo
→
+ =
+ =
+ − =
+ − =
= − =
→
2
2
2
1 2
100
171
100 17 100
100 17 100 0
190 90 0
190 90
90
.
.
.
26.26.26.26.26. x N mayor
x
N menor
x
x x
x x
x x
→
→
= +
= +
= +
º
º
352
352
2
10
352
352
2
10
352
704 10
2
2
ContinùaContinùaContinùaContinùaContinùa
( )( )
x x
x x
x x
N mayor
N menor
2
1 2
10 704 0
32 22 0
32 22
32
352
32
11
− − =
− + =
= = −
→
= →
º
º
27.27.27.27.27.
( )( )
( )
( )( )
x Long pieza mayor
x Long pieza menor
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
m Long pieza mayor
m Long pieza menor
→
− →
⋅ = − −
= − +
= − +
= − +
= − +
= − −
= =
→
− = →
.
.
.
.
.
.
20
9 20 20
9 400 40
3 600 360 9
0 8 360 3 600
0 45 450
0 30 15
30 15
15
20 15 5
2 2
2 2
2
2
1 2
28.28.28.28.28.
( ) ( )
( )( )
x Tiempo en horas
x
Veloc del tren
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
Km
h Veloc del tren
→
→
=
−
+
− = + −
− = + −
= − +
= − +
= − +
= = −
= →
200
200 200
1
10
200 1 200 10 1
200 200 200 10 10
0 10 10 200
0 20
0 5 4
5 4
200
5
40
2
2
2
1 2
.
.
29.29.29.29.29.
( ) ( )
( )( )
x Dias trabj
x
Valor del jornal
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
Dias trabj
col Valor del jornal
→
→
− =
+
+ − + =
+ − − =
+ − =
+ − =
= − =
→
= →
.
.
84
84
1
84
2
84 2 2 84
84 168 2 84
2 168 0
14 12 0
14 12
12
84
12
7
2
2
1 2
30.30.30.30.30.
( ) ( )
( )( )
x Personas que van
x
Valor c u
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
Personas que van
Valor c u
→
→
−
− =
− − = −
− + = −
− − =
− + =
= = −
→
= →
90
90
3
1
90
90 3 90 3
90 3 90 270
3 270 0
18 15 0
18 15
18
90
18
5
2
2
1 2
/
$ /
31.31.31.31.31.
( )( )
x N buscado
x
x
x x
x x
x x
x x
N buscado
→
− =
− =
+ − =
+ − =
= − =
→
º
º
84
5
84 5
5 84 0
12 7 0
12 7
7
2
2
1 2
32.32.32.32.32.
( ) ( )
( )( )
x Edad actual A
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
años Edad actual A
→
− = +
− = +
− + = +
− + =
− − =
= =
→
6 6
6 6
12 36 6
13 30 0
10 3 0
10 3
10
2 2
2
2
1 2
33.33.33.33.33.
( ) ( )
( )( )
x Libros comp
x
ecio de c libro
x N de plumas
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
Libros comp
ecio c libro
→
→
− →
=
−
−
− = − −
− = − +
− − =
− + =
= = −
→
= →
.
Pr /
º
.
$ Pr /
40
2
40 40
2
1
40 2 40 2
40 80 40 2
2 80 0
10 8 0
10 8
10
40
10
4
2
2
1 2

EJERCICIO 276
1.1.1.1.1.
( )( )
3 5 2 0
4 5 4 3 2 25 24 49
2
2 2
x x
b ac
ales y desiguales racionales
+ − =
− = − − = + =
Re ,
2.2.2.2.2.
( ) ( )( )
2 4 1 0
4 4 4 2 1 16 8 8
2
2 2
x x
b ac
ales y desiguales irracionales
− + =
− = − − = − =
Re ,
3.3.3.3.3.
( ) ( )( )
4 4 1 0
4 4 4 4 1 16 16 0
2
2 2
x x
b ac
ales e iguales
− + =
− = − − = − =
Re
4.4.4.4.4.
( ) ( )( )
3 2 5 0
4 2 4 3 5 4 60 56
2
2 2
x x
b ac
aginarias
− + =
− = − − = − = −
Im
5.5.5.5.5.
( ) ( )( )
x x
b ac
ales e iguales
2
2 2
10 25 0
4 10 4 1 25 100 100 0
− + =
− = − − = − =
Re
6.6.6.6.6.
( ) ( )( )
x x
b ac
2
2 2
5 5 0
4 5 4 1 5 25 20 45
− − =
− = − − − = + =
Re ,
7.7.7.7.7.
( ) ( )( )
2 9 7 0
4 9 4 2 7 81 56 25
2
2 2
x x
b ac
ales ydesiguales racionales
− + =
− = − − = − =
Re ,
8.8.8.8.8.
( ) ( )( )
36 12 1 0
4 12 4 36 1 144 144 0
2
2 2
x x
b ac
ales e iguales
+ + =
− = − = − =
Re
9.9.9.9.9.
( ) ( )( )
4 5 3 0
4 5 4 4 3 25 48 23
2
2 2
x x
b ac
aginarias
− + =
− = − − = − = −
Im
10.10.10.10.10.
( ) ( )( )
x x
b ac
2
2 2
1 0
4 1 4 1 1 1 4 5
+ − =
− = − − = + =
Re ,
11.11.11.11.11.
( ) ( )( )
5 7 8 0
4 7 4 5 8 49 160 111
2
2 2
x x
b ac
aginarias
− + =
− = − − = − = −
Im
12.12.12.12.12.
( ) ( )( )
x x
b ac
ales y desiguales racionales
2
2 2
10 11 0
4 10 4 1 11 100 44 144
− − =
− = − − − = + =
Re ,
EJERCICIO 277
1.1.1.1.1.
( )
( )
x x
Suma
oducto
Si son raices
2
6 0
2 3 1
2 3 6
+ − =
+ − = −
− = −Pr
2.2.2.2.2. x x
Suma
No son raices
2
4 5 0
1 5 6
− − =
+ =
3.3.3.3.3. 2 1 0
2
1
2
0
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
x x
x
x
Suma
oducto
Si son raices
− − =
− − =
− =
−





 = −Pr
4.4.4.4.4. 3 8 3 0
8
3
1 0
3
1
3
8
3
2
2
x x
x
x
Suma
+ − =
+ − =
− + = −
Pr oducto
Si son raices
−





 = −3
1
3
1
5.5.5.5.5. 5 11 2 0
11
5
2
5
0
2
1
5
9
5
2
2
x x
x
x
Suma
No son raices
− + =
− + =
− =
6.6.6.6.6. 4 17 4 0
17
4
1 0
4
1
4
17
4
4
1
4
1
2
2
x x
x
x
Suma
oducto
Si son raices
+ + =
+ + =
− − = −
− −





 =Pr
7.7.7.7.7. 5 24 5 0
24
5
1 0
2
2
x x
x x
+ − =
+ − =
Suma
No son raices
− − = −5
1
5
26
5
8.8.8.8.8.
( )
x x
Suma
oducto
Si son raices
2
3 28 0
4 7 3
4 7 28
+ − =
− = −
− = −Pr
9.9.9.9.9. 6 2 0
6
1
3
0
1
2
2
3
1
6
1
2
2
3
1
3
2
2
x x
x
x
Suma
oducto
Si son raices
+ − =
+ − =
− = −





 −





 = −Pr
10.10.10.10.10. 8 2 3 0
1
4
3
8
0
1
2
3
4
1
4
2
2
x x
x x
Suma
No son raices
− − =
− − =
− = −

EJERCICIO 278
1.1.1.1.1.
( )
Suma
oducto
Luego x x
3 4 7
3 4 12
7 12 02
+ =
=
− + =
Pr
2.2.2.2.2.
( )
Suma
oducto
Luego x x
− + =
− = −
− − =
1 3 2
1 3 3
2 3 02
Pr
3.3.3.3.3.
( )
Suma
oducto
Luego x x
− − = −
− − =
+ + =
5 7 12
5 7 35
12 35 02
Pr
4.4.4.4.4.
( )
Suma
oducto
Luego x x
− + =
− = −
− − =
10 11 1
10 11 110
110 02
Pr
5.5.5.5.5. Suma
oducto
Luego x
x
x x
1
1
2
3
2
1
1
2
1
2
3
2
1
2
0
2 3 1 0
2
2
+ =





 =
− + =
⇒ − + =
Pr
6.6.6.6.6. Suma
oducto
Luego x
x
x x
− − = −
− −





 =
+ + =
⇒ + + =
2
1
5
11
5
2
1
5
2
5
11
5
2
5
0
5 11 2 0
2
2
Pr
7.7.7.7.7. Suma
oducto
Luego x
x
x x
3
2
3
7
3
3
2
3
2
7
3
2 0
3 7 6 0
2
2
− =
−





 = −
− − =
⇒ − − =
Pr
8.8.8.8.8. Suma
oducto
Luego x
x
x x
− − = −
− −





 =
+ + =
⇒ + + =
2
3
2
7
2
2
3
2
3
7
2
3 0
2 7 6 0
2
2
Pr
9.9.9.9.9. Suma
oducto
Luego x
x
x x
x x
− + =
−











 = −
− − =
⇒ − − =
⇒ − − =
1
2
3
4
1
4
1
2
3
4
3
8
4
3
8
0
4
3
2
0
8 2 3 0
2
2
2
Pr
10.10.10.10.10. Suma
oducto
Luego x
x
x x
− + = −
−





 = −
+ − =
⇒ + − =
5
2
7
33
7
5
2
7
10
7
33
7
10
7
0
7 33 10 0
2
2
Pr
11.11.11.11.11. Suma
oducto
Luego x x
x x
6
5
3
13
3
6
5
3
10
13
3
10 0
3 13 30 0
2
2
− =
−





 = −
− − =
⇒ − − =
Pr
12.12.12.12.12. Suma
oducto
Luego x x
x x
− − = −
− −





 =
+ + =
⇒ + + =
2
1
8
17
8
2
1
8
1
4
17
8
1
4
0
8 17 2 0
2
2
Pr
13.13.13.13.13.
( )
Suma
oducto
Luego x x
18 52 34
18 52 936
34 936 02
− = −
− = −
+ − =
Pr
14.14.14.14.14.
( )
Suma
oducto
Luego x x
− − = −
− − =
+ + =
15 11 26
15 11 165
26 165 02
Pr
15.15.15.15.15.
( )
Suma
oducto
Luego x x
0 2 2
0 2 0
2 02
+ =
=
− =
Pr
16.16.16.16.16. Suma
oducto
Luego x
x
x x
0
1
3
1
3
0
1
3
0
3
0
3 0
2
2
− = −
−





 =
+ =
⇒ + =
Pr
17.17.17.17.17.
( )
Suma
oducto
Luego x
5 5 0
5 5 25
25 02
− =
− = −
− =
Pr
18.18.18.18.18. Suma
oducto
Luego x
x
1
2
1
2
0
1
2
1
2
1
4
1
4
0
4 1 0
2
2
− =





 −





 = −
− =
⇒ − =
Pr
19.19.19.19.19.
( )
Suma
oducto
Luego x x
7 7 14
7 7 49
14 49 02
+ =
=
− + =
Pr
20.20.20.20.20. Suma
oducto
Luego x x
x x
8
11
3
13
3
8
11
3
88
3
13
3
88
3
0
3 13 88 0
2
2
− =
−





 = −
− − =
⇒ − − =
Pr
21.21.21.21.21. Suma
oducto
Luego x x
x x
− − = −
−





 −





 =
+ + =
⇒ + + =
5
6
9
2
16
3
5
6
9
2
15
4
16
3
15
4
0
12 64 45 0
2
2
Pr
22.22.22.22.22. Suma
oducto
Luego x x
x x
− + = −
−











 = −
+ − =
⇒ + − =
11
2
2
7
73
14
11
2
2
7
11
7
73
14
11
7
0
14 73 22 0
2
2
Pr
23.23.23.23.23.
( )
Suma a a a
oducto a a a
Luego x ax a
2
2 2
2 0
2
2 2
− =
− = −
− − =
Pr

24.24.24.24.24. Suma
b b b
oducto
b b b
Luego x
b
x
b
x bx b
− + = −
−











 =
−
+ − =
⇒ + − =
2
3 4
5
12
2
3 4 6
5
12 6
0
12 5 2 0
2
2
2
2 2
Pr
25.25.25.25.25. Suma m
m m
oducto m
m m
Luego x
m
x
m
x mx m
− =
−





 = −
− − =
⇒ − − =
2 2
2 2
2 2
0
2 0
2
2
2
2 2
Pr
28.28.28.28.28.
( )( )
Suma
oducto
Luego x x
1 2 1 2 2
1 2 1 2 1
2 1 02
+ + − =
+ − = −
− − =
Pr
29.29.29.29.29.
( )( )
Suma
oducto
Luego x x
2 5 2 5 4
2 5 2 5 1
4 1 02
+ + − =
+ − = −
− − =
Pr
30.30.30.30.30.
( )( )
Suma
oducto
Luego x x
3 1 3 1 6
3 1 3 1 10
6 10 02
+ − + − − =
+ − − − =
− + =
Pr
26.26.26.26.26.
( )
Suma b a b a
oducto b a b ab b
Luego x ax ab b
+ − =
− = −
− + − =
Pr 2
2 2
0
27.27.27.27.27.
( )
Suma
a b a b
oducto
a b ab
Luego x
a b
x
ab
x a b x ab
2 3
3 2
6
2 3 6
3 2
6 6
0
6 3 2 0
2
2
− =
−





 −





 =
−
−
−
− =
⇒ − − − =
Pr
EJERCICIO 279
1.1.1.1.1.
( )( )
x x
x x
x x
2
1 2
11 30 0
6 5 0
6 5
− + =
− − =
= =
2.2.2.2.2.
( )
x x
x
x
x
x
x
x
2
2
1
2
33 260 0
33
2
33
4
260
33
2
1 089 1 040
4
33
2
49
4
33
2
7
2
33
2
7
2
26
2
13
33
2
7
2
40
2
20
+ + =
= − ± −
=
−
±
−
=
−
±
=
−
±
= − + =
−
= −
=
−
− =
−
= −
. .
3.3.3.3.3.
( )( )
x x
x x
x x
2
1 2
306 0
18 17 0
18 17
+ − =
+ − =
= − =
4.4.4.4.4.
( )( )
x x
x x
x x
2
1 2
49 294 0
42 7 0
42 7
+ + =
+ + =
= − = −
5.5.5.5.5.
( )( )
x x
x x
x x
2
1 2
6 247 0
19 13 0
19 13
− − =
− + =
= = −
6.6.6.6.6.
( ) ( )
( )( )
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
3
2
1 0
2 3 2 0
2 3 2 4 0
2 4 2 1 0
2 2 1 0
2
1
2
− − =
− − =
− − =
− + =
− + =
= = −
7.7.7.7.7.
( ) ( )
( )( )
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
22
3
8 0
3 22 24 0
3 22 3 72 0
3 18 3 4 0
6 3 4 0
6
4
3
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
= − = −
8.8.8.8.8.
( ) ( )
( )( )
( )( )
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
4
3
8
0
8 2 3 0
8 2 8 24 0
8 6 8 4 0
4 3 2 1 0
3
4
1
2
− − =
− − =
− − =
− + =
− + =
= = −
9.9.9.9.9.
( ) ( )
( )( )
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
95
7
6 0
7 95 42 0
7 95 7 294 0
7 98 7 3 0
14 7 3 0
14
3
7
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
= − =
10.10.10.10.10.
( ) ( )( )
( )
x x
x x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
10
3
1 0
3 10 3 0
10 10 4 3 3
2 3
10 64
6
10 8
6
10 8
6
2
6
1
3
10 8
6
18
6
3
+ + =
+ + =
=
− ± −
=
− ±
=
− ±
=
− +
=
−
= −
=
− −
=
−
= −
11.11.11.11.11.
( ) ( )
( )( )
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
31
40
3
20
0
40 31 6 0
40 31 40 240 0
40 16 40 15 0
5 2 8 3 0
2
5
3
8
− + =
− + =
− + =
− − =
− − =
= =

12.12.12.12.12.
( ) ( )
( )( )
( )( )
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
6
5
9
0
18 3 10 0
18 3 18 180 0
18 15 18 12 0
6 5 3 2 0
5
6
2
3
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
=
−
=
13.13.13.13.13.
( ) ( )
( )( )
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
7
20
3
10
0
20 7 6 0
20 7 20 120 0
20 15 20 8 0
4 3 5 2 0
3
4
2
5
− − =
− − =
− − =
− + =
− + =
= =
−
14.14.14.14.14.
( ) ( )
( )( )
( )( )
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
21
5
4 0
5 21 20 0
5 21 5 100 0
5 25 5 4 0
5 5 4 0
5
4
5
− − =
− − =
− − =
− + =
− + =
= = −
15.15.15.15.15.
( ) ( )
( )( )
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
59
72
1
6
0
72 59 12 0
72 59 72 864 0
72 32 72 27 0
9 4 8 3 0
4
9
3
8
− + =
− + =
− + =
− − =
− − =
= =
16.16.16.16.16.
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
x x
x
x
x
x
2
2
1
2
2 4 0
2 2 4 1 4
2 1
2 20
2
2 2 5
2
2 2 5
2
2 1 5
2
1 5
2 2 5
2
2 1 5
2
1 5
− − =
=
− − ± − − −
=
±
=
±
=
+
=
+
= +
=
−
=
−
= −
17.17.17.17.17.
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
x x
x x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
11
4
0
4 4 11 0
4 4 4 4 11
2 4
4 64 3
8
4 8 3
8
4 8 3
8
4 1 2 3
8
1 2 3
2
1
2
3
4 8 3
8
4 1 2 3
8
1 2 3
2
1
2
3
− − =
− − =
=
− − ± − − −
=
± ⋅
=
±
=
+
=
+
=
+
= +
=
−
=
−
=
−
= −
18.18.18.18.18.
( ) ( )( )
( )
( )
( )
x x
x x
x
x
x
x
2
2
2
2 4
1
2
4
3
59
9
0
9 12 59 0
12 12 4 9 59
2 9
12 2 268
18
12 2 3 7
18
12 18 7
18
12 18 7
18
6 2 3 7
18
2 3 7
3
2
3
7
12 18 7
18
6 2 3 7
18
2 3 7
3
2
3
7
+ − =
+ − =
=
− ± − −
=
− ±
=
− ± ⋅ ⋅
=
− ±
=
− +
=
− +
=
− +
= − +
=
− −
=
− +
=
− −
= − −
.
19.19.19.19.19.
( )( )
x ax a
x a x a
x a x a
2 2
1 2
2 0
2 0
2
− − =
− + =
= = −
20.20.20.20.20.
( )( )
x bx b
x b x b
x b x b
2 2
1 2
7 10 0
5 2 0
5 2
+ + =
+ + =
= − = −
21.21.21.21.21.
( ) ( )
( )( )
( )( )
x
mx m
x mx m
x m x m
x m x m
x m x m
x
m m
x
m
2
2
2 2
2 2
1 2
2 9
0
18 9 2 0
18 9 18 36 0
18 12 18 3 0
6 4 6 0
4
6
2
3 6
− − =
− − =
− − =
− + =
− + =
= = = −

EJERCICIO 280
1.1.1.1.1.
( ) ( ) ( )
( )( )
x x
x
x
x
x
x x x x
2
2
1
2
2
16 63 0
16 16 4 63
2
16 4
2
16 2
2
16 2
2
18
2
9
16 2
2
14
2
7
16 63 9 7
− + =
=
− − ± − −
=
±
=
±
=
+
= =
=
−
= =
− + = − −
2.2.2.2.2.
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]
( )( )
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
2
2
1
2
2
24 143 0
24 24 4 143
2
24 4
2
24 2
2
24 2
2
22
2
11
24 2
2
26
2
13
24 143 11 13
11 13
+ + =
=
− ± −
=
− ±
=
− ±
=
− +
=
−
= −
=
− −
=
−
= −
+ + = − − − −
= + +
3.3.3.3.3.
( ) ( )
( )
( )( )
x x
x
x
x
x
x x x x
2
2
1
2
2
26 155 0
26
2
26
4
155
13 324 13 18
13 18 31
13 18 5
26 155 31 5
− − =
= −
−
± − −
= ± = ±
= + =
= − = −
− − = − +
4.4.4.4.4.
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )( )
2 6 0
1 1 4 2 6
2 2
1 49
4
1 7
4
1 7
4
6
4
3
2
1 7
4
8
4
2
2 6 2
3
2
2
2
2 3
2
2
2 3 2
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x
x
x x
+ − =
=
− ± − −
=
− ±
=
− ±
=
− +
= =
=
− −
= − = −
+ − = −





 +
=
−




 +
= − +
5.5.5.5.5.
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
12 5 2 0
5 5 4 12 2
2 12
5 121
24
5 11
24
5 11
24
6
24
1
4
5 11
24
16
24
2
3
12 5 2 12
1
4
2
3
12
4 1
4
3 2
3
12 4 1 3 2
12
4 1 3 2
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x
+ − =
=
− ± − −
=
− ±
=
− ±
=
− +
= =
=
− −
=
−
= −
+ − = −





 +






=
−





+





=
− +
= − +
6.6.6.6.6.
( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
5 41 8
41 41 4 5 8
2 5
41 1 521
10
41 39
10
41 39
10
2
10
1
5
41 39
10
80
10
8
5 41 8 5
1
5
8
5 1 8
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ +
=
− ± −
=
− ±
=
− ±
=
− +
= − = −
=
− −
=
−
= −
+ + = +





 +
= + +
.
7.7.7.7.7.
( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
6 7 10
7 7 4 6 10
2 6
7 289
12
7 17
12
7 17
12
10
12
5
6
7 17
12
24
12
2
6 7 10 6
5
6
2
6 5 2
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ −
=
− ± − −
=
− ±
=
− ±
=
− +
= =
=
− −
=
−
= −
+ − = −





 +
= − +
8.8.8.8.8.
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
12 25 12
25 25 4 12 12
2 12
25 49
24
25 7
24
25 7
24
32
24
4
3
25 7
24
18
24
3
4
12 25 12 12
4
3
3
4
12 3 4 4 3
12
3 4 4 3
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
− +
=
− − ± − −
=
±
=
±
=
+
= =
=
−
= =
− + = −





 −






=
− −
= − −
9.9.9.9.9.
( ) ( )( )
( )
( )( )
8 50 63
50 50 4 8 63
2 8
50 484
16
50 22
16
50 22
16
28
16
7
4
50 22
16
72
16
9
2
8 50 63 8
7
4
9
2
4 7 2 9
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ +
=
± −
=
− ±
=
− ±
=
− +
=
−
= −
=
− −
= − = −
+ + = +





 +






= + +
10.10.10.10.10.
( ) ( )( )
( )
( )( )
27 30 7
30 30 4 27 7
2 27
30 144
54
30 12
54
30 12
54
18
54
1
3
30 12
54
42
54
7
9
27 30 7 27
1
3
7
9
3 1 9 7
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ +
=
− ± −
=
− ±
=
− ±
=
− +
= − = −
=
− −
= − = −
+ + = +





 +






= + +

11.11.11.11.11.
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
30 61 30
61 61 4 30 30
2 30
61 121
60
61 11
60
61 11
60
72
60
6
5
61 11
60
50
60
5
6
30 61 30 30
6
5
5
6
5 6 6 5
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
− +
=
− − ± − −
=
±
=
±
=
+
= =
=
−
= =
− + = −





 −






= − −
12.12.12.12.12.
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
11 153 180
153 153 4 11 180
2 11
153 31 329
22
153 177
22
153 177
22
330
22
15
153 177
22
24
22
12
11
11 153 180 11 15
12
11
15 11 12
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
− −
=
− − ± − − −
=
±
=
±
=
+
= =
=
−
= − = −
− − = − +






= − +
.
13.13.13.13.13.
( )
( )( )
( )( )
6
6
1
2
1
4
6
1
2
25
4
1
2
5
2
4
2
2
1
2
5
2
6
2
3
6 2 3
6 2 3
2
2
1
2
2
2
− −
+ −
= − ± − − = − ±
= − + = =
= − − = − = −
+ − = − +
− − = − +
x x
x x
x
x
x
x x x x
x x x x
14.14.14.14.14.
( ) ( ) ( )( )
( )
5 9 2
9 9 4 2 5
2 2
9 121
4
9 11
4
9 11
4
20
4
5
9 11
4
2
4
1
2
2
2
1
2
− −
=
− − ± − − −
−
=
±
−
=
±
−
=
+
−
=
−
= −
=
−
−
=
−
−
=
x x
x
x
x
x
( )
( )( )
( )( )
5 9 2 2 5
1
2
5 2 1
5 1 2
2
− − = − + −






= − + −
= + −
x x x x
x x
x x
15.15.15.15.15.
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
15 4 4
4 4 4 15 4
2 4
4 256
8
4 16
8
12
8
3
2
4 16
8
20
8
5
2
15 4 4 4
3
2
5
2
2 3 2 5
3 2 5 2
2
2
1
2
2
+ −
=
− ± − −
−
=
− ±
−
=
− +
−
=
−
= −
=
− −
−
=
−
−
=
+ − = − +





 −






= − + −
= + −
x x
x x
x
x
x x x x
x x
x x
16.16.16.16.16.
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
4 13 12
12 13 4
13 13 4 12 4
2 12
13 361
24
13 19
24
32
24
4
3
13 19
24
6
24
1
4
12 13 4 12
4
3
1
4
3 4 1 4
4 13 12 4 3 1 4
2
2
2
1
2
2
2
+ −
− −
=
− − ± − − −
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
− − = −





 +






= − +
+ − = − +
x x
x x
x x
x
x
x x x x
x x
x x x x
17.17.17.17.17.
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
72 55 7
55 55 4 72 7
2 72
55 5 041
144
55 71
144
126
144
7
8
55 71
144
16
144
1
9
72 55 7 72
7
8
1
9
8 7 9 1
2
2
1
2
2
x x
x x
x
x
x x x x
x x
− −
=
− − ± − − −
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
− − = −





 +






= − +
.

18.18.18.18.18.
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
6 31 30
31 31 4 30 6
2 30
31 1 681
60
31 41
60
10
60
1
6
31 41
60
72
60
6
5
6 31 30 30
1
6
6
5
6 1 5 6
1 6 6 5
2
2
1
2
2
+ −
=
− ± − −
−
=
− ±
−
=
− +
−
=
−
= −
=
− −
−
=
−
−
=
+ − = − +





 −






= − + −
= + −
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
.
19.19.19.19.19.
( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
10 207 63
207 207 4 10 63
2 10
207 45 369
20
207 213
20
6
20
3
10
207 213
20
420
20
21
10 207 63 10
3
10
21
10 3 21
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ −
=
− ± − −
=
− ±
=
− +
= =
=
− −
=
−
= −
+ − = −





 +
= − +
.
20.20.20.20.20.
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
100 15
15 100
15
2
15
4
100
15
2
625
4
15
2
25
2
10
2
5
15
2
25
2
40
2
20
15 100 5 20
15 100 5 20
5 20
2
2
2
1
2
2
2
− −
+ −
= − ± − −
=
−
±
=
−
+ = =
=
−
− =
−
= −
+ − = − +
− − + = − − +
= − +
x x
x x
x
x
x
x
x x x x
x x x x
x x
21.21.21.21.21.
( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
18 31 49
31 31 4 18 49
2 18
31 4 489
36
31 67
36
36
36
1
31 67
36
98
36
49
18
18 31 49 18 1
49
18
1 18 49
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ −
=
− ± − −
=
− ±
=
− +
= =
=
− −
=
−
= −
+ − = − +






= − +
.
22.22.22.22.22.
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
6 2
4 6 2
2 6
49
12
7
12
8
12
2
3
7
12
6
12
1
2
6 2 6
2
3 2
3 2 2
2 2
2 2 2
1
2
2 2
x ax a
x
a a a a a
x
a a a a
x
a a a
a
x ax a x a x
a
x a x a
− −
=
− − ± − − −
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
− − = −





 +






= − +
23.23.23.23.23.
( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
5 22 15
22 22 4 5 15
2 5
22 784
10
22 28
10
22 28
10
6
10
3
5
22 28
10
50
10
5
5 22 15 5
3
5
5
5 3 5
2 2
2 2
2
1
2
2 2
x xy y
x
y y y
x
y y y
x
y y y
y
x
y y y
y
x xy y x
y
x y
x y x y
+ −
=
− ± − −
=
− ±
=
− ±
=
− +
= =
=
− −
= − = −
+ − = −





 +
= − +
24.24.24.24.24.
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
15 32 7
32 32 4 15 7
2 15
32 1 444
30
32 38
30
32 38
30
70
30
7
3
32 38
30
6
30 5
15 32 7 15
5
7
3
5 3 7
2 2
2 2
2
1
2
2 2
x mx m
x
m m m
x
m m m m
x
m m m m
x
m m m m
x mx m x
m
x
m
x m x m
− −
=
− − ± − − −
=
±
=
±
=
+
= =
=
−
=
−
= −
− − = +





 −






= + −
.

EJERCICIO 282
1.1.1.1.1.
( )( )
x
x x
x x
x x
x x
x i x
4
2 2
2 2
2 2
1 0
1 1 0
1 0 1 0
1 1
1 1
1
− =
+ − =
+ = − =
= − =
= ± − = ±
= ± = ±
2.2.2.2.2.
( )( )
( ) ( )
x
x x x
x
x
x x
x
x
x
i i
x
i i
3
2
1
2
2
2
3
1 0
1 1 0
1 0
1
1 0
1
2
1
4
1
1
2
3
4
1
2
3 1
2
1
2
3
2
1 3
2
1
2
3
2
1 3
2
+ =
+ − + =
+ =
= −
− + =
= −
−
±
−
−
= ± − = ±
−
= + =
+
= − =
−
3.3.3.3.3.
( )( )
( )( )( )
x
x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x i
x i x i
4
4
2 2
2
1 2
2
2
3 4
81
81 0
9 9 0
3 3 9 0
3 0 3 0
3 3
9 0
9
9 1 9
3 3
=
− =
− + =
− + + =
− = + =
= = −
+ =
= −
= ± − = ±
= = −
4.4.4.4.4.
( )( )
( )( )( )
x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x i
x i x i
4
2 2
2
1 2
2
2
3 4
256 0
16 16 0
4 4 16 0
4 0 4 0
4 4
16 0
16
16 1 4
4 4
− =
− + =
+ − + =
+ = − =
= − =
+ =
= −
= ± − = ±
= = −
5.5.5.5.5. ( )
( )( )
( ) ( )
x
x x x
x
x
x x
x
x i
x i x i
3
2
1
2
2
2 3
8 0
2 2 4 0
2 0
2
2 4 0
2
2
2
4
4
1
12
4
1
2 3 1
2
1 3
1 3 1 3
+ =
+ − + =
+ =
= −
− + =
=
− −
±
−
−
= ± − = ±
−
= +
= + = −
6.6.6.6.6.
( )( )
( )( )( )
x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x i
x i x i
4
2 2
2
1 2
2
2
3 4
625 0
25 25 0
5 5 25 0
5 0 5 0
5 5
25 0
25
25 1 5
5 5
− =
− + =
+ − + =
+ = − =
= − =
+ =
= −
= ± − = ±
= = −
7.7.7.7.7.
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
x
x x x
x
x
x x
x
x
x i
x i
3
2
1
2
2
2
3
64 0
4 4 16 0
4 0
4
4 16 0
4 4 4 1 16
2 1
4 16 64
2
4 48
2
4 4 3 1
2
2 2 3
4 48
2
4 4 3 1
2
2 2 3
+ =
+ − + =
+ =
= −
− + =
=
− − ± − −
=
± −
=
+ −
=
+ −
= +
=
− −
=
− −
= −
8.8.8.8.8.
( )( )
( )( )( )( )
x
x x
x x x x x x
x x
x x
x x
6
3 3
2 2
1 2
2
729 0
27 27 0
3 3 9 3 3 9 0
3 0 3 0
3 3
3 9 0
− =
− + =
− + + + − + =
− = + =
= = −
+ + =
( )
( ) ( )
x
x
i
x
i
x
i
x x
x
x
i
x
i
x
i
=
−
± −
=
−
±
−
=
−
±
=
− −
=
− +
− + =
=
− −
±
−
−
= ±
−
= ±
=
+
=
−
3
2
3
4
9
3
2
27 1
4
3
2
3 3
2
3 3 3
2
3 3 3
2
3 9 0
3
2
3
4
9
3
2
27 1
4
3
2
3 3
2
3 3 3
2
3 3 3
2
2
3 4
2
2
5 6
9.9.9.9.9.
( )( )
( )
x
x
x x x
x
x
x x
x
x
x i
x i
x i
3
3
2
1
2
2
2
3
8
8 0
2 2 4 0
2 0
2
2 4 0
2
2
2
4
4
1 3 1
1 3
1 3
1 3
=
− =
− + + =
− =
=
+ + =
=
−
± −
= − ± −
= − ±
= − +
= − −
10.10.10.10.10.
( )( )
x
x
x x
x x
x x
x x i
x x i
x x i
4
4
2 2
2 2
2
1 3
2 4
64
64 0
8 8 0
8 8
2 2 8 1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
=
− =
− + =
= = −
= ⋅ = −
= ± = ±
= =
= − = −

EJERCICIO 283
1.1.1.1.1.
( )( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
4 2
2 2
1 2
3 4
10 9 0
9 1 0
3 3 1 1 0
3 0 3 0
3 3
1 0 1 0
1 1
− + =
− − =
+ − + − =
+ = − =
= − =
+ = − =
= − =
2.2.2.2.2.
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
4 2
2 2
2 2
2 2
1 3
2 4
13 36 0
4 9 0
4 0 9 0
4 9
4 9
2 3
2 3
− + =
− − =
− = − =
= =
= ± = ±
= =
= − = −
3.3.3.3.3.
( )( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
4 2
2 2
1 2
3 4
29 100 0
25 4 0
5 5 2 2 0
5 0 5 0
5 5
2 0 2 0
2 2
− + =
− − =
+ − + − =
+ = − =
= − =
+ = − =
= − =
4.4.4.4.4.
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
4 2
2 2
2 2
2 2
1 3
2 4
61 900 0
36 25 0
36 0 25 0
36 25
36 25
6 5
6 5
− + =
− − =
− = − =
= =
= ± = ±
= =
= − = −
5.5.5.5.5.
( )( )
( )( )( )
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x i
x i x i
4 2
2 2
2
1 2
2
2
3 4
3 4 0
4 1 0
4 1 1 0
1 0 1 0
1 1
4 0
4
4 1 2
2 2
+ − =
+ − =
+ + − =
+ = − =
= − =
+ =
= −
= − = ±
= = −
6.6.6.6.6.
( )( )
( )( )( )
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x i x i
4 2
2 2
2
1 2
2
3 4
16 225 0
25 9 0
25 3 3 0
3 0 3 0
3 3
25 0
25 1
5 5
+ − =
+ − =
+ + − =
+ = − =
= − =
+ =
= ± −
= = −
7.7.7.7.7.
( )( )
( )( )( )
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x i
x i x i
4 2
2 2
2
1 2
2
2
3 4
45 196 0
49 4 0
7 7 4 0
7 0 7 0
7 7
4 0
4
4 1 2
2 2
− − =
− + =
+ − + =
+ = − =
= − =
+ =
= −
= − = ±
= = −
8.8.8.8.8.
( )( )
( )( )( )
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x
x x
4 2
2 2
2
1 2
2
2
3 4
6 5 0
5 1 0
5 1 1 0
1 0 1 0
1 1
5 0
5
5
5 5
− + =
− − =
− + − =
+ = − =
= − =
− =
=
= ±
= = −
9.9.9.9.9.
( ) ( )
( )( )
( )( )
4 37 9 0
4 37 4 36 0
4 36 4 1 0
9 4 1 0
9 0 4 1 0
9
1
4
9
3
1
2
3
1
2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
1 3
2 4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
− + =
− + =
− − =
− − =
− = − =
= = ±
= ±
= =
= − = −
10.10.10.10.10.
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
9 40 16 0
9 40 9 144 0
9 36 9 4 0
4 9 4 0
2 2 9 4 0
2 0 2 0
2 2
9 4 0
4
9
2
3
2
3
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2
1 2
2
3 4
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x x
− + =
− + =
− − =
− − =
+ − − =
+ = − =
= − =
− =
= ±
= = −
11.11.11.11.11.
( )
( ) ( )( )
( )
25 9 16 0
25 9 16 0
9 9 4 25 16
2 25
9 1 681
50
9 41
50
9 41
50
32
50
16
25
16
25
4
5
4
5
9 41
50
50
50
1
1
4 2
2 2 2
2
2
2
2
1 2
2
3 4
x x
x x
x
x
x
x x x
x
x x i x i
+ − =
+ − =
=
− ± − −
=
− ±
=
− ±
=
− +
= =
= ± = = −
=
− −
=
−
= −
= ± − = = −
.
12.12.12.12.12.
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
4 11 3 0
4 11 4 12 0
4 12 4 1 0
3 4 1 0
3 0
3
3 3 1 3
3 3
4 1 0
2 1 2 1 0
2 1 0 2 1 0
1
2
1
2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
1 2
2
3 4
x x
x x
x x
x x
x
x
x i
x i x i
x
x x
x x
x x
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ =
= −
= ± − = ± − = ±
= = −
− =
+ − =
+ = − =
= − =

13.13.13.13.13. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
2 1 3 80
4 4 1 6 9 80
3 10 88 0
3 10 3 264 0
3 22 3 12 0
3 22 4 0
3 22 2 2 0
2 0 2 0
2 2
3 22 0
22
3
22 1
3
22
3
3
3
66
3
22
2 2 2 2
4 2 4 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2
1 2
2
2
3
4
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x
x i
i
x i
+ − − =
+ + − + − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ + − =
+ = − =
= − =
+ =
=
−
= ±
−
= ⋅ =
= −
3
3
3
66
3
⋅ =
− i
14.14.14.14.14. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
i
x
i i
x
i i
2 2 2
4 2 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2
1 2
2
3
4
3 2 4 3 13
3 2 4 12 13
3 2 1 0
3 2 3 3 0
3 3 3 1 0
1 3 1 0
1 1 3 1 0
1 0 1 0
1 1
3 1 0
1
3 3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
+ = − +
+ = − +
− − =
− − =
− + =
− + =
+ − + =
+ = − =
= − =
+ =
=
−
= ±
= ⋅ =
= − ⋅ = −
EJERCICIO 284
1.1.1.1.1.
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x x
x x
ver ejerc prob
x i
x i
x
x x x
ver ejerc prob
x
i
x
i
6 3
3 3
3 3
3 3
3 3
1 2
3
2
2
3
4
3
2
5 6
7 8 0
8 1 0
8 0 1 0
8 1
8 1
2 1
8 0
2 2 4 0
2 4 0
282 9
1 3
1 3
1 0
1 1
282 2
1 3
2
1 3
2
− − =
− + =
− = + =
= = −
= = −
= = −
− =
− + + =
+ + =
= − +
= − −
+ =
+ − +
=
+
=
−
. .
. .
2.2.2.2.2.
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
6 3
3 3
3 3
3 3
3 3
3
30 81 0
27 3 0
27 0 3 0
27 3
27 3
3 3
+ + =
+ + =
+ = + =
= − = −
= − = −
= − = −
3.3.3.3.3.
( ) ( )
( )( )
( )( )
8 15 2 0
8 15 8 16 0
8 16 8 1 0
2 8 1 0
2 0 8 1 0
2
1
8
2
1
2
2
6 3
3 2 3
3 3
3 3
3 3
3
3
3
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ = − =
= − =
= − =
= −
4.4.4.4.4.
( )( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x x x
x x
x x
x
8 4
4 4
2 2 2 2
2 2
41 400 0
25 16 0
5 5 4 4 0
5 0 4 0
5 4
2
− + =
− − =
+ − + − =
− = − =
= ± = ±
= ±
5.5.5.5.5.
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
10 5
5 5
5 5
5 5
33 32 0
32 1 0
32 0 1 0
32 1
2 1
− + =
− − =
− = − =
= =
= =
6.6.6.6.6.
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
− −
− −
− −
− −
− + =
− − =
− = − =
= =
= =
= =
± = ± =
= = − = = −
4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 3 4
13 36 0
9 4 0
9 0 4 0
9 4
1
9
1
4
1
9
1
4
1
9
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
; ; ;

7.7.7.7.7.
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− −
− −
− −
− −
− −
+ = −
+ + =
+ + =
+ = + =
= − = −
= − = −
−
=
−
=
= − = −
6 3
6 3
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
35 216
35 216 0
27 8 0
27 0 8 0
27 8
1
27
1
8
1
27
1
8
1
3
1
2
10.10.10.10.10.
( ) ( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
+ =
+ − =
+





 −





 =
+ = − =
= − =
= − =
= =
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 2
6
6 0
3 2 0
3 0 2 0
3 2
3 2
9 4
9.9.9.9.9. x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3 3
3 3
3
9 8 0
8 1 0
8 0 1 0
8 1
64 1
64 1
4
− + =
−





 −





 =
− = − =
= =
= =
= =
=
12.12.12.12.12.
( )
2 5 2 0
4 5 2 4 0
2 4 2 1 0
2 2 1 0
2 0 2 1 0
2 2 1
2
1
2
2
1
16
16
1
2
1
4
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4 4
4
4
4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
− + =
−





 + =
−





 −





 =
−





 −





 =
− = − =
= =
= =






= =
=
8.8.8.8.8.
( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− −
− −
− −
− −
− −
= +
− − =
− + =
− = + =
= = −
= = −
=
−
=
= = −
10 5
10 5
5 5
5 5
5 5
5 5
5 5
242 243
242 243 0
243 1 0
243 0 1 0
243 1
1
243
1
1
1
243
1
1
1
3
1
11.11.11.11.11.
( )
3 16 5
3 16 5 0
9 16 3 15 0
3 15 3 1 0
3 15 0 3 1 0
15
3
1
3
5
1
3
25
1
9
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
= −
− + =
−





 + =
−





 −





 =
− = − =
= =
= =






= =
EJERCICIO 285
1.1.1.1.1.
( )
5 24
5 24
1
1
5 1
2
5 1
2
3 2
2
+
= −
=
=
=
+
+
−
= +
m
m
m
2.2.2.2.2.
( )
8 60
8 60
4
2
8 2
2
8 2
2
5 3
2
−
= −
=
=
=
+
−
−
= −
m
m
m
3.3.3.3.3.
( )
8 28
8 28
36
6
8 6
2
8 6
2
7 1
2
+
= −
=
=
=
+
+
−
= +
m
m
m
4.4.4.4.4.
( )
32 700
32 700
324 18
32 18
2
32 18
2
25 7
5 7
2
−
= −
= =
=
+
−
−
= −
= −
m
m
5.5.5.5.5.
( )
14 132
14 132
64 8
14 8
2
14 8
2
11 3
2
+
= −
= =
=
+
+
−
= +
m
m
6.6.6.6.6.
( )
13 88
13 88
81 9
13 9
2
13 9
2
11 2
2
+
= −
= =
=
+
+
−
= +
m
m
7.7.7.7.7.
( )
11 2 30
11 120
11 120 1
11 1
2
11 1
2
6 5
2
+
+
= − =
=
+
+
−
= +
m
8.8.8.8.8.
( )
84 18 3
84 972
84 972
6 084 78
84 78
2
84 78
2
81 3 9 3
2
−
−
= −
= =
=
+
−
−
= − = −
m
m .

9.9.9.9.9.
( )
21 6 10
21 360
21 360
81 9
21 9
2
21 9
2
15 6
2
+
+
= −
= =
=
+
+
−
= +
m
m
10.10.10.10.10.
( )
28 14 3
28 588
28 588
196 14
28 14
2
28 14
2
21 7
2
+
+
= −
= =
=
+
+
−
= +
m
m
11.11.11.11.11.
( )
14 4 6
14 96
14 96
100 10
14 10
2
14 10
2
12 2
2 3 2 2 3 2
2
2
−
−
= −
= =
=
+
−
−
= −
= ⋅ − = −
m
m
12.12.12.12.12.
( )
55 30 2
55 1 800
55 1 800
1 225 35
55 35
2
55 35
2
45 10 3 5 10
2
+
+
= −
= =
=
+
+
−
= + = +
.
.
.
m
m
13.13.13.13.13.
( )
73 12 35
73 5 040
73 5 040
289 17
73 17
2
73 17
2
45 28 3 5 2 7
2
−
−
= −
= =
=
+
−
−
= − = −
.
.m
m
14.14.14.14.14.
( )
253 60 7
253 25 200
253 25 200
38 809 197
253 197
2
253 197
2
225 28 15 2 7
2
−
−
= −
= =
=
+
−
−
= − = −
.
.
.
m
m
15.15.15.15.15.
( )
293 30 22
293 19 800
293 19 800
66 049 257
293 257
2
293 257
2
275 18 5 11 3 2
2
−
−
= −
= =
=
+
−
−
= − = −
.
.
.
m
m
16.16.16.16.16.
5
6
2
3
5
6
2
3
1
36
1
6
5
6
1
6
2
5
6
1
6
2
1
2
1
3
1 2
2 2
1 3
3 3
1
2
2
1
3
3
2
+
=





 −
= =
=
+
+
−
= + = +
= +
m
m
17.17.17.17.17.
3
4
1
2
3
4
1
2
1
16
1
4
3
4
1
4
2
3
4
1
4
2
1
2
1
4
2
2
1
2
2
−
=





 −
= =
=
+
−
−
= − = −
m
m
18.18.18.18.18.
9
16
1
8
9
16
1
8
49
256
7
16
9
16
7
16
2
9
16
7
16
2
1
2
1
16
2
2
1
4
2
+
=





 −
= =
=
+
+
−
= + = +
m
m
19.19.19.19.19.
( )
6 4 2
6 32
6 32
4 2
6 2
2
6 2
2
4 2 2 2
2
+
+
= −
= =
=
+
+
−
= + = +
m
m
20.20.20.20.20.
( )
7 4 3
7 48
7 48 1
7 1
2
7 1
2
4 3 2 3
2
+
+
= − =
=
+
+
−
= + = +
m
21.21.21.21.21.
( )
8 2 7
8 28
8 28
36 6
8 6
2
8 6
2
7 1
2
+
+
= −
= =
=
+
+
−
= +
m
m

22.22.22.22.22.
( )
10 2 21
10 84
10 84
16 4
10 4
2
10 4
2
7 3
2
+
+
= −
= =
=
+
+
−
= +
m
m
23.23.23.23.23.
( )
18 6 5
18 180
18 180
144 12
18 12
2
18 12
2
15 3
2
+
+
= −
= =
=
+
+
−
= +
m
m
24.24.24.24.24.
( )
24 2 143
24 572
24 572
4 2
24 2
2
24 2
2
13 11
2
−
−
= −
= =
=
+
−
−
= −
m
m
25.25.25.25.25.
( )
30 20 2
30 800
30 800
100 10
30 10
2
30 10
2
20 10 2 5 10
2
−
−
= −
= =
=
+
−
−
= − = −
m
m
26.26.26.26.26.
( )
9 6 2
9 72
9 72
9 3
9 3
2
9 3
2
6 3
2
+
+
= −
= =
=
+
+
−
= +
m
m
27.27.27.27.27.
( )
98 24 5
98 2 880
98 2 880
6 724 82
98 82
2
98 82
2
90 8 3 10 2 2
2
−
−
= −
= =
=
+
−
−
= − = −
.
.
.
m
m
EJERCICIO 286
1.1.1.1.1.
( )
a n r
u
= = = − =
= + = + =
7 9 10 7 3
7 8 3 7 24 31
2.2.2.2.2.
( )
a n r
u
= = = − =
= + = + =
5 12 10 5 5
5 11 5 5 55 60
3.3.3.3.3.
( )
a n r
u
= = = − =
= + = + =
9 48 15 12 3
9 47 3 9 141 150
4.4.4.4.4.
( )
a n r
u
= = = − =
= + = + =
3 63 17 10 7
3 62 7 3 434 437
5.5.5.5.5.
( )
a n r
u
= = = − = −
= + − = − = −
11 12 6 11 5
11 11 5 11 55 44
6.6.6.6.6.
( )
a n r
u
= = = − = −
= + − = − = −
19 28 5 12 7
19 27 7 19 189 170
7.7.7.7.7. ( )
( )
a n r
u
= = = − − − = −
= + − = − = −
3 13 5 1 4
3 12 4 3 48 45
8.8.8.8.8.
( )
a n r
u
= = = − = −
= + − = − = −
8 54 0 8 8
8 53 8 8 424 416
9.9.9.9.9. ( )
( )
a n r
u
= − = = − − =
= − + = − + =
7 31 1 3 4
7 30 4 7 120 113
10.10.10.10.10.
( )
a n r
u
= − = = − =
= − + = − + =
8 17 12 2 10
8 16 10 8 160 152
111111.1.1.1.1. a n r
u
= = = − =
= +





 = + = =
1
2
12
3
4
1
2
1
4
1
2
11
1
4
1
2
11
4
13
4
3 1
4
12.12.12.12.12. a n r
u
u
= = = − =
= +






= + = =
2
3
17
5
6
2
3
1
6
2
3
16
1
6
2
3
8
3
10
3
31
3
13.13.13.13.13. a n r
u
u
= = = − =
= +






= + = =
3
8
25
11
24
3
8
1
12
3
8
24
1
12
3
8
2
19
8
2 3
8
14.14.14.14.14. a n r
u
u
= = = − =
= +






= + = =
1
3
19
7
8
1
3
13
24
1
3
18
13
24
1
3
39
4
121
12
10 1
12
15.15.15.15.15. a n r
u
= = = − =
= +





 = + = =
7
2
27
21
4
7
2
7
4
7
2
26
7
4
7
2
91
2
98
2
49
16.16.16.16.16. a n r
u
u
= = = − = −
= + −






= − = − = −
7
9
36
1
3
7
9
4
9
7
9
35
4
9
7
9
140
9
133
9
14 7
9
17.17.17.17.17. a n r
u
u
= = = − = −
= + −






= − = − = −
2
7
15
1
8
2
7
9
56
2
7
14
9
56
2
7
126
56
110
56
127
28
18.18.18.18.18. a n r
u
u
= − = = − + = −
= − + −






= − − = − = −
3
5
21
14
15
3
5
1
3
3
5
20
1
3
3
5
20
3
109
15
7 4
15
Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:
u = a + (n - 1) r donde:u = a + (n - 1) r donde:u = a + (n - 1) r donde:u = a + (n - 1) r donde:u = a + (n - 1) r donde:
u es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad deu es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad deu es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad deu es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad deu es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad de
términos ; r es la razón de cambio.términos ; r es la razón de cambio.términos ; r es la razón de cambio.términos ; r es la razón de cambio.términos ; r es la razón de cambio.

19.19.19.19.19.
( )
a n r
u
= − = = − + = −
= − + − = − − = − = −
1
4
13
9
4
1
4
2
1
4
12 2
1
4
24
97
4
24 1
4
20.20.20.20.20. a n r
u
= − = = − + =
= − +





 = − + = =
5
6
19
1
3
5
6
1
2
5
6
18
1
2
5
6
9
49
6
8 1
6
21.21.21.21.21. a n r
u
= = = − = −
= + −





 = − = − = −
11
3
33
35
12
11
3
3
4
11
3
32
3
4
11
3
24
61
3
20 1
3
22.22.22.22.22. a n r
u
u
= = = − = −
= + −






= − = − = −
14
5
41
27
10
14
5
1
10
14
5
40
1
10
14
5
4
6
5
11
5
23.23.23.23.23. a n r
u
u
= − = = + =
= − +






= − + = =
3
5
26
3
10
3
5
9
10
3
5
25
9
10
3
5
45
2
219
10
21 9
10
24.24.24.24.24. a n
r
u
u
= − =
= − + =
= − +






= − + =
4 19
2
3
4
10
3
4 18
10
3
4 60 56
25.25.25.25.25. a n
r
u
u
= =
= − − = −
= + −






= − = − = −
3 39
5
4
3
17
4
3 38
17
4
3
323
2
317
2
158 1
2
EJERCICIO 287
1.1.1.1.1.
( )
u r n
a
a
= = =
= −






= − =
20
2
7
15
20 14
2
7
20 4 16
2.2.2.2.2.
( )( )
u n r
a
a
= − = =
= − −
= − − = −
18 32 3
18 31 3
18 93 111
3.3.3.3.3.
( )
u n r
a
= = = − =
= −





 = − = −
1 9 1
3
4
1
4
1 8
1
4
1 2 1
4.4.4.4.4. u n
Se plantea la ecuación
para encontrar la razón
r
r
r
= =
− =
− = −
− = −
25
3
7
25
3
2 7
2 7
25
3
2
4
3
( )
r
a
a
= =
= −






= − = =
4
6
2
3
25
3
6
2
3
25
3
12
3
13
3
4 1
3
5.5.5.5.5. a n u
r
= = =
=
−
−
= =
3 6 8
8 3
6 1
5
5
1
6.6.6.6.6.
( )
a n u
r
= − = = −
=
− − −
−
= − = −
1 10 4
4 1
10 1
3
9
1
3
7.7.7.7.7. a n u
r
= = = −
=
− −
−
=
−
= −
1
2
17
3
8
3
8
1
2
17 1
7
8
16
7
128
8.8.8.8.8. a n u
r
= = = −
=
− −
−
=
−
= −
5 18 80
80 5
18 1
85
17
5
9.9.9.9.9.
( )
a n u
r
= − = =
=
− −
−
= =
42 92 1 050
1 050 42
92 1
1 092
91
12
.
. .
Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:
( )a u n r r
u a
n
n
u a r
r
= − − =
−
−
=
− +
1
1
Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;
a es el primer término de la progresión.a es el primer término de la progresión.a es el primer término de la progresión.a es el primer término de la progresión.a es el primer término de la progresión.
10.10.10.10.10. a u
r
n
= =
= − =
=
− +
= =
4 30
6 4 2
30 4 2
2
28
2
14
11.11.11.11.11. a u
r
n
n
= =
= − =
=
− +
=
+
= =
5 18
16
3
5
1
3
18 5
1
3
1
3
13
1
3
1
3
40
3
1
3
40
12.12.12.12.12. a u
r
n
n
= =
= − =
=
− +
=
−
= = =
26
5
18
6
26
5
4
5
18
26
5
4
5
4
5
18
22
5
4
5
68
5
4
5
68
4
17

EJERCICIO 288
1.1.1.1.1.
( )
( )
( )( )
r
a n
u
u
s
s
= − =
= =
= +
= + =
=
+
= =
19 15 4
15 8
15 7 4
15 28 43
15 43 8
2
58 4 232
2.2.2.2.2.
( )
( )( )
a n
r
u
u
s
s
= =
=
= +
= + =
=
+
= =
31 19
7
31 18 7
31 126 157
31 157 19
2
3 572
2
1 786
.
.
3.3.3.3.3.
( )( )
( )( )
( )( )
a n r
u
u
s
s
= = = −
= + −
= −
=
−
= − = −
42 24 10
42 23 10
188
42 188 24
2
146 12 1 752.
4.4.4.4.4.
( )( )
( )( )
( )( )
a n r
u
u
s
s
= − = =
= − +
= − + =
=
− +
= =
10 80 4
10 79 4
10 316 306
10 306 80
2
296 40 11 840.
5.5.5.5.5.
( )( )
( )( )
( )( )
a n r
u
u
s
s
= = = −
= + −
= − = −
=
−
= − = −
11 60 10
11 59 10
11 590 579
11 579 60
2
568 30 17 040.
6.6.6.6.6.
( )( )
( )( )
( )( )
a n r
u
u
s
s
= − = = −
= − + −
= − − = −
=
− −
= − = −
5 50 8
5 49 8
5 392 397
5 397 50
2
402 25 10 050.
7.7.7.7.7.
( )
( )
a n r
u
u
s
s
= = =
= +






= + =
=
+






= =
1
2
9
1
2
1
2
8
1
2
1
2
4
9
2
1
2
9
2
9
2
45
2
22 1
2
8.8.8.8.8.
( )
( )
a n r
u
u
s
s
= = =
= +






= + =
=
+






= =
3
10
14
1
10
3
10
13
1
10
3
10
13
10
8
5
3
10
8
5
14
2
133
10
13 3
10
9.9.9.9.9.
( )
a n r
u
u
s
s
= = =
= +






= + =
=
+






= = =
3
4
19
3
4
3
4
18
3
4
3
4
27
2
57
4
19
3
4
57
4
2
19 15
2
285
2
142 1
2
10.10.10.10.10. a n r
u
u
s
s
= = = −
= + −






= − = −
=
−






= − = −
2
5
34
3
11
2
5
33
3
11
2
5
9
43
5
34
2
5
43
5
2
1 394
10
139 2
5
.
11.11.11.11.11. a n r
r
u
u
s
s
= = =
= − =
−
=
= +






= + =
=
+






= =
7
3
11
4
5
47
15
7
3
47 35
15
4
5
7
3
10
4
5
7
3
8
31
3
11
7
3
31
3
2
418
6
69 2
3
12.12.12.12.12. a n
r
u
u
s
s
= =
= − = =
= +






= + =
=
+






= =
13
4
46
73
20
13
4
8
20
2
5
13
4
45
2
5
13
4
18
85
4
46
13
4
85
4
2
4 508
8
563 1
2
.
13.13.13.13.13.
( ) ( )
a n r
u
s
= − = = + =
= − +





 = − + =
=
− +
= =
2 17
1
4
2
9
4
2 16
9
4
2 36 34
17 2 34
2
17 16 272
14.14.14.14.14. a n r
u
s
s
= − = = − + =
= − +





 = −
=
− −






= −





 = − = −
5 12
37
8
5
3
8
5 11
3
8
7
8
12 5
7
8
2
6
47
8
141
4
35 1
4

EJERCICIO 289
1.1.1.1.1. u a n
r
Luego
= = =
=
−
−
= =
⇒ + =
+ =
+ =
÷
11 3 5
11 3
5 1
8
4
2
3 2 5
5 2 7
7 2 9
3 5 7 9 11. . . . .
2.2.2.2.2. u a m
r
Luego
= − = =
=
− −
+
=
−
= −
⇒ − =
− =
− =
− =
− =
− =
− = −
÷ − −
5 19 7
5 19
7 1
24
8
3
19 3 16
16 3 13
13 3 10
10 3 7
7 3 4
4 3 1
1 3 2
19 16 13 10 7 4 1 2 5. . . . . . . . .
3.3.3.3.3. u a n
r
Luego
= − = − =
=
− +
−
=
−
= −
⇒− − = −
− − = −
− − = −
− − = −
− − = −
÷ − − − − − − −
73 13 7
73 13
7 1
60
6
10
13 10 23
23 10 33
33 10 43
43 10 53
53 10 63
13 23 33 43 53 63 73. . . . . . .
4.4.4.4.4. u a m
r
Luego
= = − =
=
+
+
= =
⇒− + = −
− + = −
− + =
+ =
÷ − − −
53 42 4
53 42
4 1
95
5
19
42 19 23
23 19 4
4 19 15
15 19 34
42 23 4 15 34 53. . . . . .
5.5.5.5.5. u a n
r
Luego
= − = − =
=
− +
−
= =
⇒− + = −
− + = −
− + = −
− + = −
− + = −
÷ − − − − − − −
9 81 7
9 81
7 1
72
6
12
81 12 69
69 12 57
57 12 45
45 12 33
33 12 21
81 69 57 45 33 21 9. . . . . . .
6.6.6.6.6. u a m
r
Luego
= = =
=
−
+
= =
⇒ + =
+ =
+ =
÷
÷
3 1 3
3 1
3 1
2
4
1
2
1
1
2
3
2
3
2
1
2
2
2
1
2
5
2
1
3
2
2
5
2
3
1 1 2 2 31
2
1
2
. . . . .
. . . . .
7.7.7.7.7. u a n
r
Luego
= = =
=
−
−
=
⇒ + =
+ =
+ =
+ =
÷
÷
12 5 6
12 5
6 1
7
5
5
7
5
32
5
32
5
7
5
39
5
39
5
7
5
46
5
46
5
7
5
53
5
5
32
5
39
5
46
5
53
5
12
5 6 7 9 10 122
5
4
5
1
5
3
5
. . . . . .
. . . . . .
8.8.8.8.8. u a m
r
Luego
= = − =
=
+
+
=
⇒− + = −
− + = −
− + = −
− + =
+ =
÷ − − − −
÷ − − − − −
3 4 5
3 4
5 1
7
6
4
7
6
17
6
17
6
7
6
5
3
5
3
7
6
1
2
1
2
7
6
2
3
2
3
7
6
11
6
4
17
6
5
3
1
2
2
3
11
6
3
4 2 1
1
2
2
3
1 35
6
2
3
5
6
. . . . . . .
. . . . . . .

9.9.9.9.9. u a n
r
Luego
= = =
=
−
−
=
−
= −
⇒ − =
− =
− =
− =
− =
÷
1
8
3
4
7
1
8
3
4
7 1
5
8
6
5
48
3
4
5
48
31
48
31
48
5
48
13
24
13
24
5
48
7
16
7
16
5
48
1
3
1
3
5
48
11
48
3
4
31
48
13
24
7
16
1
3
11
48
1
8
. . . . . . .
10.10.10.10.10. u a m
r
Luego
= = − =
=
+
+
=
⇒− + = −
− + =
+ =
+ =
+ =
+ =
÷ − −
÷ − −
3 1 6
3 1
6 1
4
7
1
4
7
3
7
3
7
4
7
1
7
1
7
4
7
5
7
5
7
4
7
9
7
9
7
4
7
13
7
13
7
4
7
17
7
1
3
7
1
7
5
7
9
7
13
7
17
7
3
1
3
7
1
7
5
7
1 1 2 32
7
6
7
3
7
. . . . . . . .
. . . . . . . .
11.11.11.11.11. u a n
r
= − = =
=
− −
−
=
−
= −
⇒ − =
− =
− =
1
8
2
3
7
1
8
2
3
7 1
19
24
6
19
144
2
3
19
144
77
144
77
144
19
144
29
72
29
72
19
144
13
48
13
48
19
144
5
36
5
36
19
144
1
144
2
3
77
144
29
72
13
48
5
36
1
144
1
8
− =
− =
÷ −Luego . . . . . . .
12.12.12.12.12. u a m
r
Luego
= − = − =
=
− +
+
= −
⇒− − = −
− − = −
− − = −
− − = −
− − = −
− − = −
− − = −
÷ − − − − − − − − −
5 2 7
5 2
7 1
3
8
2
3
8
19
8
19
8
3
8
11
4
11
4
3
8
25
8
25
8
3
8
7
2
7
2
3
8
31
8
31
8
3
8
17
4
17
4
3
8
37
8
2 2 2 3 3 3 4 4 53
8
3
4
1
8
1
2
7
8
1
4
5
8. . . . . . . . .
13.13.13.13.13. u a n
r
Luego
= − = =
=
− −
−
=
−
= −
⇒ − =
− =
− =
− = −
− − = −
− − = −
− − = −
− − = −
÷ − − − − − −
7
10
1
2
10
7
10
1
2
10 1
6
5
9
2
15
1
2
2
15
11
30
11
30
2
15
7
30
7
30
2
15
1
10
1
10
2
15
1
30
1
30
2
15
1
6
1
6
2
15
3
10
3
10
2
15
13
30
13
30
2
15
17
30
1
2
11
30
7
30
1
10
1
30
1
6
3
10
13
30
17
30
7
10
. . . . . . . . . .

EJERCICIO 290
1.1.1.1.1.
( )( )
( )( )
a n r
u
u
s
s
= = =
= +
= + =
=
+
= ⋅ =
7 20 7
7 19 7
7 133 140
7 140 20
2
147 10 1 470.
2.2.2.2.2.
( )( )
( )( )
a n r
u
u
s
s
= = =
= +
= + =
=
+
= ⋅ =
5 80 5
5 79 5
5 395 400
5 400 80
2
405 40 16 200.
3.3.3.3.3.
( )( )
( )( )
a n r
u
u
s
s
= = =
= +
= + =
=
+
= ⋅ =
9 43 10
9 42 10
9 420 429
9 429 43
2
219 43 9 417.
4.4.4.4.4.
( )( )
( )( )
a n r
u
u
s
s
= = =
= +
= + =
=
+
= ⋅ =
2 100 2
2 99 2
2 198 200
2 200 100
2
202 50 10 100.
5.5.5.5.5.
( )( )
( )( )
a n r
u
u
s
s
= = =
= +
= + =
=
+
= ⋅ =
9 100 2
9 99 2
9 198 207
9 207 100
2
216 50 10 800.
6.6.6.6.6.
( )( )
( )( )
a n r
u
u
s
s
s
s
= = =
= +
= + =
=
+
= ⋅
= ÷
=
8 50 3
8 49 3
8 147 155
8 155 50
2
163 25
4 075 100
40 75
.
$ ,
7.7.7.7.7.
( )( )
( )( )
32
10 32 2
10 31 2 72
10 72 32
2
1 312 10
131 20
→
= = =
= + =
=
+
= ÷
=
N normal de
dientes en la boca
de un adulto
a n r
u
s
s
s
º
.
$ ,
8.8.8.8.8.
( )( )
( )( )
a n r
u
s
s
= = =
= + =
=
+
= ⋅ =
77 72 11
77 71 11 858
77 858 72
2
935 36 33 660.
9.9.9.9.9.
( )( )
( )( )
n
a r
u
u
s
s bs
= ⋅ =
= =
= +
= + =
=
+
= ⋅ =
5 12 60
2 3
2 59 3
2 177 179
2 179 60
2
181 30 5 430. .
10.10.10.10.10.
( )( )
( )( )
a r
Si n
u
u
Avanzó m en
el segundo
s Dis cia
recorrida en seg
s
s
s m
= =
=
= +
= ÷
→
=
+
= ⋅
= ÷ =
600 25
8
600 7 25
775 100
7 75
8
8
600 775 8
2
1 375 4
5 500 100 55
,
º
tan
.
.
.
11.11.11.11.11. s n
x Ahorro el año
x
Ahorro el año
r x
x x
Luego el año Ahorro
x
x x
= =
→
→
= − =
+ =
2 400 3
2
2
1
2 2
3
2
3
2
.
º
º
º :
11. Continuación.11. Continuación.11. Continuación.11. Continuación.11. Continuación.
( )( )
( )( )
⇒ + + =
+ + =
=
=
→ = =
= = = = =
= + =
= = =
= + =
x
x
x
x x x
x
x
El año ahorro
x
sucres
Para el año
a n r
x
u sucres
Para el año
a n r
u sucres
2
3
2
2 400
2 3 4 800
6 4 800
800
1
2
800
2
400
2
400 2
2
800
2
400
400 1 400 800
3
400 3 400
400 2 400 1 200
.
.
.
º
º
º
.
12.12.12.12.12. 2 4º 22
3 7º 34
2 4º 3
3 22
3
2 22
11
11 3
3 7º 34
11 7º 34
7º 23
23 7º
4º
11 23
5 11 23
23 11
5 1
12
4
3
4º 3 11 3 14
2 22 4º 22 14 8
º
º
min
º º
tan
.
º min
min
min
º
min
min
. . .
min º
º min
y
y
El tér o medio entre
el y el es el
por to es una progresión
impar Luego el duplo
del tér o es
x tér o
x
x
Luego tér o
Como
es el tér o
Interpolación para conocer
el tér o
Donde n a u
r
tér o r
tér o
er
er
=
=
→
=
=
→
+ =
+ =
=
→
÷
= = =
=
−
−
= =
→ + = + =
→ − = − =
13.13.13.13.13.
( )( )
( )
n a r
u
u
s
s
= = =
= +
= + =
=
+
= ⋅ =
32 5 3
5 31 3
5 93 98
5 98 32
2
103 16 1 648$ .

14.14.14.14.14.
( )
a r n
u
u Km
s Km
= = − =
= + −






=
−
= =
=
+






=
50 5 8
50 7
11
2
100 77
2
23
2
11
50
23
2
8
2
246
1
2
1
2
15.15.15.15.15. 3 10
1 12
3 10 1 12
1 12 53
3 10 53
1
2
1
2
º º min
tan
º º,
min tan
º º º º
º º
º º
y tér os son
equidis tes a los
extremos y Luego
la suma de estos extremos
es igual a las suma de
los tér os equidis tes
como
+ = +
+ =
⇒ + =
16.16.16.16.16.
( )
n a u
r
térm
térm
térm
térm
térm
= = − = −
=
− − −
−
= − = −
→ − − = −
→ − − = −
→ − − = −
→ − − = −
→ − − = −
11 2 52
52 2
11 1
50
10
5
2 2 5 7
3 7 5 12
4 12 5 17
5 17 5 22
6 22 5 27
º .
º .
º .
º .
º .
21.21.21.21.21.
( )( )
( )( )
a r u
n
s
s
= = =
=
− +
= =
=
+
= =
51 2 813
813 51 2
2
764
2
382
813 51 382
2
864 191 165 024.
22.22.22.22.22. 5 31 9 59
5 31 59
59 31
5 1
28
4
7
10 59 7 66
11 66 7 73
12 73 7 80
º º
int
º .
º .
º .
→ →
= = =
=
−
−
= =
→ + =
→ + =
→ + =
erpolando
n a u
r
térm
térm
térm
23.23.23.23.23.
( )
n a u
a u
a u
Luego term
term colones
= = =
+ = +
+ =
=
=
3 12 500 20 500
12 500 20 500
33 000
2 2 33 000
2 16 500
. .
. .
.
º . .
º . .
17.17.17.17.17. a u r
n
n años
= = =
=
− +
=
500 1 900 200
1 900 500 200
200
8
.
.
18.18.18.18.18. n a u
r
r
= = =
=
−
−
= =
11 1 180 6 180
6 180 1180
11 1
5 000
10
500
. .
. .
.
$
19.19.19.19.19.
( )( )
n u r
a
a soles
= = = −
= − −
= + =
5 3 000 300
3 000 4 300
3 000 1 200 4 200
.
.
. . .
20.20.20.20.20.
( )( )
( )( )
( )( )
a r n
u
s
s
s
pies
= = =
= + =
=
+
=
= =
= ÷ =
161 322 5
161 4 322 1 449
1 449 161 5
2
1 610 5
2
8 050
2
4 025
4 025 10 402 5
.
.
.
.
.
. ,
EJERCICIO 291
1.1.1.1.1.
( )
( )
a n
r
u
u
u
= =
= ÷ =
=
=
= ⋅ =
−
3 7
6 3 2
3 2
3 2
3 64 192
7 1
6
2.2.2.2.2.
( )
a n
r
u
u
= =
= ÷ =
=
= =
−
1
3
8
3 1 3
1
3
3
3 729
8 1
6
3.3.3.3.3. a n
r
u
u
= =
= ÷ =
=












= = =
−
8 9
4 8
1
2
8
1
2
8
2
1
2
1
32
9 1
8 5
4.4.4.4.4. a n
r
u
u
= =
= ⋅ =
=












= =
−
1 6
4
25
5
2
2
5
1
2
5
2
5
32
3 125
6 1
5
5
.
5.5.5.5.5. a n
r
u
u
= =
= ÷ =
=












= =
−
3 7
2 3
2
3
3
2
3
2
3
64
243
7 1
6
5
6.6.6.6.6. a n
r
u
u
= =
= ⋅ =
=












= =
−
1
2
6
1
5
2
2
5
1
2
2
5
2
5
16
3 125
6 1
4
5
.
7.7.7.7.7. a n
r
u
u
= =
= ⋅ =
=












= = =
9
4
8
3
4
9
4
3
9
4
4
3
4
3
4 096
243
16
7
6
5
208
243
.
8.8.8.8.8.
( )
( )[ ]
( )
a n
r
u
u
= − =
= ÷ − = −
= − −
= − − =
3 6
6 3 2
3 2
3 32 96
5
9.9.9.9.9. a n
r
u
u
= =
= − ÷ = −
= −












= =
3 9
1 3
1
3
3
1
3
1
3
1
2 187
8
7
.
10.10.10.10.10. a n
r
u
u
= =
= ⋅ =
=












=
⋅
=
5
6
5
1
2
6
5
3
5
5
6
3
5
3
2 5
27
250
4
3
3

11.11.11.11.11.
( )
a n
r
u
u
= =
= ÷ − = −
= −












= − = −
16 8
1 4
1
4
16
1
4
1
4
1
1 024
7
5
.
12.12.12.12.12.
( )
a n
r
u
u
= =
= − = −
= −












= − = −
3
4
8
1
3
2
2
3
3
4
2
3
2
3
32
729
7
5
6
13.13.13.13.13. a n
r
u
u
= − =
= −





 = −
= − −












= −
⋅
= − = −
3
5
5
3
2
5
3
5
2
3
5
5
2
3 5
2
375
16
23
4
3
4
7
16
14.14.14.14.14. a n
r
u
u
= − =
= − −





 =
= −












= −
⋅
= −
3
4
10
1
4
4
3
1
3
3
4
1
3
1
4 3
1
26 244
9
8
.
EJERCICIO 292
1.1.1.1.1. r u n
a
= = =
=






= = =
1
2
1
64
7
1
64
1
2
1
2
1
2
2
2
16
6
6
6
6
2.2.2.2.2. r u n
a a
= = =
=






= =
⋅
⋅
= =
2
3
64
2 187
9
64
2 187
2
3
2
3
2
3
2 3
2 3
3
2
3
48
6
7
8
8
6 8
8 7 2
.
.
3.3.3.3.3. r
u n
a
= ⋅ =
= =
=






= =
⋅
⋅
=
32
625
125
16
2
5
32
625
6
32
625
2
5
2
5
2
5
2 5
2 5
55
5
4
5
5
5 5
5 4
8.8.8.8.8. a u n
r
= = =
= = = = ±
8
1
512
7
1
512
8
1
4 096
1
4
1
4
6
6
6
6
.
9.9.9.9.9. a u n
r
= = =
= = = = ±
625
16
1 5
1
625
16
16
625
2
5
2
54
4
4
4
4
10.10.10.10.10. a u n
r
r
= = − =
=
−
= −
⋅
⋅
= − = −
27
64
2
81
8
2
81
27
64
2 2
3 3
2
3
2
3
7
6
4 3
7
7
7
7
4.4.4.4.4. a u n
r
= = =
= = = =
2 64 6
64
2
2
2
2 25
6
5 55
5.5.5.5.5. a u n
r
= = =
= = = = ±
1
3
243 7
243
1
3
729 3 3
6
6 66
6.6.6.6.6. a u n
r
r
= − = =
=
−
= − = − = −
5 640 8
640
5
128 2 2
7
7 77
7.7.7.7.7. a u n
r
= = =
= = =
729
2
3
2
6
3
2
729
2
1
243
1
3
5 5
EJERCICIO 293
1.1.1.1.1.
( )
a n
r
u
s
s
= =
= ÷ =
=











 =





 =
=











 −
−
= − − = =
6 5
3 6
1
2
6
1
2
6
1
16
3
8
3
8
1
2
6
1
2
1
93
16
2
93
8
11
4
5
8
2.2.2.2.2.
( )[ ]
( )
( )
a n
r
u
u
s
s
= =
= − ÷ = −
= −
= − = −
=
− − −
− −
=
−
= −
4 6
8 4 2
4 2
4 32 128
128 2 4
2 1
252
3
84
5
3.3.3.3.3. a n
r
u
s
s
s
= =
= ÷ =
=











 =





 =
=











 −
−
= − −






= = =
12 7
4 12
1
3
12
1
3
12
1
729
4
243
4
243
1
3
12
1
3
1
8 744
729
3
2
26 232
1 458
17 17
6
1 446
1 458
241
243
.
.
.
.
.
4.4.4.4.4.
[ ]
( )
a n
r
u
s
s
= =
= ⋅ =
= =
=
−
−
= =
1
4
10
1
2
4 2
1
4
2 128
128 2
1
4
2 1
1 023
4
255
9
3
4
.

5.5.5.5.5.
( )
( )
a n
r
u
s
s
s
s
= =
= ⋅ =
=











 =
=





 −
−
=
−
⋅
−
=
−
−
= = =
9
4
8
3
2
4
9
2
3
9
4
2
3
2
3
2
3
2
3
9
4
2
3
1
2 3
3 2
3
6 305
2 916
3
18 915
2 916
6 6
7 5
5
5
5
8 8
6 2
1 419
2 916
473
972
.
.
.
.
.
.
6.6.6.6.6.
( )
( )[ ]
( )
a n
r
u
s
s
= − =
= − = −
= − − = − = −
=
− − +
− −
=
−
= − = −
1
10
7
1
5
10 2
1
10
2
64
10
32
5
32
5
2
1
10
2 1
129
10
3
129
30
4
6
3
10
7.7.7.7.7.
( )
a n
r
u
s
s
= − =
= − ÷ − =
= −











 = −
=
−





 +
−
=
−
=
−
= −
6 10
3 6
1
2
6
1
2
3
2
3
2
1
2
6
1
2
1
3 069
512
1
2
6 138
512
11
9
8
8
253
256
.
.
8.8.8.8.8. a n
r
u
s
s
= =
= − ÷ = −
= −











 = − = −
=
− −





 −
− −
= = = =
2 8
1 2
1
2
2
1
2
1
2
1
64
1
64
1
2
2
1
2
1
255
128
3
2
510
384
1 1
7
6
126
384
21
64
9.9.9.9.9. a n
r
u
s
s
= =
= ÷ =
=





 = =
=





 −
−
=
−
−
=
3
2
6
1
3
2
2
3
3
2
2
3
2
3
16
81
16
81
2
3
3
2
2
3
1
1
1
3
4
5 4
4
179
486 17
162
10.10.10.10.10.
( )
a n
r
u
s
s
s
= =
= ÷ − = −
= −





 = − = −
=
− −





 −
− −
=
−
−
= = =
9 6
1 3
1
3
9
1
3
1
3
1
27
1
27
1
3
9
1
3
1
728
81
4
3
2 184
324
6 6
5
3
240
324
20
27
.
EJERCICIO 294
1.1.1.1.1.
( )
( )
( )
a u n
r
= = =
= = ±
± = ±
± ± =
± = ±
÷ ÷ ± ±
5 3 125 5
3 125
5
25 5
5 5 25
25 5 125
125 5 625
5 25 125 625 3 125
4
.
.
: : : : .
2.2.2.2.2. a u m
r
= − = − =
=
−
−
= =
− ⋅ = −
− ⋅ = −
− ⋅ = −
− ⋅ = −
÷ ÷ − − − − − −
7 224 4
224
7
32 2
7 2 14
14 2 28
28 2 56
56 2 112
7 14 28 56 112 224
5
5
: : : : :
3.3.3.3.3. a u n
r
= = =
= = = ±
±





 = ±
± ±





 =
±





 = ±
± ±





 =
±





 = ±
÷ ÷ ± ± ±
128 2 7
2
128
1
2
1
2
128
1
2
64
64
1
2
32
32
1
2
16
16
1
2
8
8
1
2
4
128 64 32 16 8 4 2
6
6
6
: : : : : :
4.4.4.4.4. a u n
r
= = =
= = =





 =





 =





 =





 =
÷ ÷
÷ ÷
9
2
16
27
6
16
27
9
2
2
3
2
3
9
2
2
3
3
3
2
3
2
2
2
3
4
3
4
3
2
3
8
9
9
2
3 2
4
3
8
9
16
27
4 3 2 1
8
9
16
27
5
5
5
5
1
2
1
3
: : : : :
: : : : :

5.5.5.5.5. a u m
r
= = =
= = =





 =





 =





 =





 =





 =





 =
÷ ÷
2
2 187
64
6
2 187
64
2
3
2
3
2
2
3
2
3
3
3
2
9
2
9
2
3
2
27
4
27
4
3
2
81
8
81
8
3
2
243
16
243
16
3
2
729
32
2 3 4 6 10 15 22 34
7
7
7
7
1
2
3
4
1
8
3
16
25
32
11
64
.
.
: : : : : : :
6.6.6.6.6. a u n
r
= = =
= = =





 =





 =





 =





 =
÷ ÷
4
9
27
256
6
27
256
4
9
3
4
3
4
4
9
3
4
1
3
1
3
3
4
1
4
1
4
3
4
3
16
3
16
3
4
9
64
4
9
1
3
1
4
3
16
9
64
27
256
5
5
5
5
: : : : :
7.7.7.7.7. a u m
r
= = =
= = = ±
±





 = ±
± ±





 =
±





 = ±
± ±





 =
±





 = ±
± ±





 =
±





 = ±
÷ ÷ ± ± ± ±
8
1
32
7
1
32
8
1
2
1
2
8
1
2
4
4
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
2
1
8
1
8
1
2
1
16
8 4 2 1
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
8
8
8
: : : : : : : :
EJERCICIO 295
1.1.1.1.1. a r
s
= = ⋅ =
=
−
= = =
2
1
2
1
2
1
4
2
1
1
4
2
3
4
8
3
2 2
3
2.2.2.2.2. a r
s
= = ⋅ =
=
−
= =
1
2
1
6
2
1
3
1
2
1
1
3
1
2
2
3
3
4
7.7.7.7.7. a r
s
= = − ⋅ = −
=
+
= = =
2
2
5
1
2
1
5
2
1
1
5
2
6
5
10
6
12
3
8.8.8.8.8. a r
s
= − =
−
−
=
=
−
−
=
−
= −
= −
14
6
14
3
7
14
1
3
7
14
4
7
98
4
24 1
2
3.3.3.3.3. a r
s
= − =
−
−
=
=
−
−
=
−
= −
= −
5
2
5
2
5
5
1
2
5
5
3
5
25
3
8 1
3
4.4.4.4.4. a r
s
= − = − −





 =
=
−
−
=
−
= −
4
8
3
1
4
2
3
4
1
2
3
4
1
3
12
5.5.5.5.5. a r
s
= =





 =
=
−
= = =
3
4
1
4
4
3
1
3
3
4
1
1
3
3
4
2
3
9
8
11
8
6.6.6.6.6. a r
s
= = ⋅ =
=
−
= = =
1
6
1
7
6
6
7
1
6
1
6
7
1
6
1
7
7
6
11
6
EJERCICIO 296
1.1.1.1.1.
6
10
6
100
6
1 000
6
10
6
100
10
6
1
10
6
10
1
1
10
6
10
9
10
6
9
2
3
+ +
= =





 =
=
−
= = =
.
!
a r
s
2.2.2.2.2.
12
100
12
10 000
12
1 000 000
12
100
12
10 000
100
12
1
100
12
100
1
1
100
12
100
99
100
12
99
4
33
+ +
= =





 =
=
−
= = =
. . .
.
!
a r
s
3.3.3.3.3.
159
1 000
159
1 000 000
159
10
159
10
10
159
1
10
159
10
1
1
10
159
10
999
10
159
999
53
333
3 6
3
3
3
3
3
3
. . .
+
= =





 =
=
−
= = =
!
a r
s

4.4.4.4.4.
32
100
32
10 000
32
1 000 000
32
100
32
10 000
100
32
1
100
32
100
1
1
100
32
100
99
100
32
99
+ +
= =





 =
=
−
= =
. . .
.
!
a r
s
5.5.5.5.5.
144
10
144
10
144
10
144
10
144
10
10
144
1
10
144
10
1
1
10
144
10
999
10
144
999
16
111
3 6 9
3 6
3
3
3
3
3
3
+ +
= =





 =
=
−
= = =
!
a r
s
6.6.6.6.6.
3
10
5
100
5
1 000
5
100
5
1 000
100
5
1
10
5
100
1
1
10
5
100
9
10
5
90
1
18
3
10
1
18
64
180
16
45
+ +
= =





 =
=
−
= = =
= + = =
.
.
!
a r
s
s
7.7.7.7.7.
18
100
1
10
1
10
1
10
1
10
10
1
10
1
10
1
1
10
1
10
9
10
1
900
18
100
1
900
163
900
3 4
3 4
3
3 3
+ +
= = ⋅ =
=
−
= =
= + =
!
a r
s
s
8.8.8.8.8.
3
10
18
10
18
10
18
10
18
10
10
18
1
100
18
10
1
1
100
18
10
99
100
1
55
3
10
1
55
175
550
7
22
3 5
3 5
3
3 3
+ +
= =





 =
=
−
= =
= + = =
!
a r
s
s
9.9.9.9.9. 2
18
100
18
10
18
10
18
100
18
10
100
18
1
100
18
100
1
1
100
18
100
99
100
2
11
2
2
11
24
11
4 6
4
+ + +
= =





 =
=
−
= =
= + =
!
a r
s
s
EJERCICIO 297
1.1.1.1.1.
( )
( )
a r
Para saber cuanto
gano el sábado n
u Lempiras
Para saber cuanto
gané de lunes a sábado
utilizo S para los
primeros tér os de
la progresión
Donde a r u
s Lempiras
= =
→ =
= =
÷ ÷
= = =
=
−
−
=
2 2
6
2 2 64
6
2 4 8
2 2 64
64 2 2
2 1
126
5
min
.
: : !
2.2.2.2.2.
( )
( )
n r a
u
s
s
s
= = =
= =
=
−
−
= ÷
=
20 2 1
1 2 524 288
524 288 2 1
2 1
1 048 575 100
10 485 75
19
.
.
. .
$ . ,
3.3.3.3.3. n r u
a balboas
= = =
=






= =
8
1
3
1
1
1
3
1
1
2 187
2 1877
.
.
4.4.4.4.4. n par
Como es una sucesión impar
los tér os equidis luego
la multiplicación del primer
y último tér o es igual
al producto entre el y el
tér o
Entonces la respuesta es
= →
=
9
3
7º
1
216
Im
min tan,
min
º
min .
:
5.5.5.5.5. n u
tér o
Se encuentra la razón
para n entre el
y tér o
r
tér o
tér o
er
= =
= =
=
= = =
⋅ = →
⋅ = →
5
8
81
3
4
81
2
9
3 3
5
8
81
2
9
36
81
2
3
2
9
3
2
1
3
2
1
3
3
2
1
2
1
min
, º
º min .
º min
º min
6.6.6.6.6. a u n
r
tér o
= = =
= = =
⋅ = →
1
4
1
32
4
1
32
1
4
1
8
1
2
1
32
2
1
16
6
3 3
º min
7.7.7.7.7. r u n
a
s
s
= = =
=






= =
=





 −
−
=
−
−
=
2
3
160 5
160
2
3
160
16
81
810
160
2
3
810
2
3
1
2 110
3
1
3
2 110
4
.
$ .
8.8.8.8.8. a u n
r
= = =
= = =
59 049 100 000 6
100 000
59 049
10
9
10
9
5
5
5
5
. .
.
.

9.9.9.9.9. r a n
u
s bs
= = =
=





 = =
=





 −
−
=
−
−
= =
1
3
24 300 6
24 300
1
3
24 300
243
100
100
1
3
24 300
1
3
1
72 800
3
2
3
72 800
2
36 400
5
.
.
.
.
.
.
. .
10.10.10.10.10.
( )
( )
n a r
u
s
= = =
= =
=
−
−
= =
15 1 3
3 4 782 969
4 782 969 3 1
3 1
14 348 906
2
7 174 453
14
. .
. . . .
$ . .
EJERCICIO 298
1.1.1.1.1. ( )Log
Log Log
532 0 184
532 0 184
2 72591 1 26482
1 99073
10 97 8881 99073
⋅
= +
= +
=
⇒ =
,
,
, ,
,
,,
2.2.2.2.2. Log Log
Anti
191 7 432
2 28262 2 63548
4 9181
4 9181 82 814 4
,
, ,
,
log , . ,
+
= +
=
⇒ =
3.3.3.3.3. Log Log Log0 7 0 013 0 9
1 84510 2 11394 1 95424
2 08672
10 0 008192 08672
, , ,
, , ,
,
,,
+ +
= + +
= −
⇒ =−
4.4.4.4.4. Log Log Log Log7 5 8 16 0 35 10 037
0 875061 0 911690 1 544068 4 001603
4 1 2 332422
5 332422
10 214 991 85
214 992
5 332422
, , , .
, , , ,
,
,
. ,
.
,
+ + +
= + + +
= − +
=
⇒ =
≅
5.5.5.5.5. Log Log Log Log Log
Anti
3 2 4 3 7 8 103 4 0 019
0 505149 0 633468 0 892094 2 014520 2 278753
2 323988 2 323988 210 857
, , , , ,
, , , , ,
, log , ,
+ + + +
= + + + +
= ⇒ =
6.6.6.6.6. Log Log
Anti
95 18 7 23
1 978317 0 859138
1 119179 1 119179 13 15767031 13 1577
, ,
, ,
, log , , ,
−
= −
= ⇒ = ≅
7.7.7.7.7. Log Log
Log Co
8 125 0 9324
8 125 0 9324
0 909823 0 030397
0 940220 10 8 714063 8 71410 940220
, ,
, log ,
, ,
, , ,,
−
= +
= +
= ⇒ = ≅
8.8.8.8.8. Log Log
Co
Anti
7 653 95 12 354
7 653 95 12 354
3 883885 2 908192
2 792077 2 792077 619 55
. , ,
log . , log ,
, ,
, log , ,
−
= +
= +
= ⇒ =
9.9.9.9.9. Log Log
Log Co
0 72183 0 0095
0 72183 0 0095
1 858434 2 022276
1 88071 10 75 981873 75 9821 88071
, ,
, log ,
, ,
, , ,,
−
= +
= +
= ⇒ = ≅
10.10.10.10.10. Log Log
Log Co
Anti
9 114 0 02
9 114 0 02
3 959709 1 698970
5 658679 5 658679 455 699 97 455 700
. ,
. log ,
, ,
, log , . , .
−
= +
= +
= ⇒ = ≅
11.11.11.11.11. ( )
( )
Log
Anti
2 10 2
10 0 301029
3 010299
3 010299 1 024
10
=
=
=
=
log
,
,
log , .
12.12.12.12.12. ( )
( )
( ) ( )
Log0 15 3 0 15
3 1 176091
3 1 3 0 176091
2 471727
10 0 00337499 0 003375
3
2 471727
, log ,
,
,
,
, ,,
=
=
= − +
= −
= ≅−
13.13.13.13.13. ( )
( )
Log
Anti
18 65 4 18 65
4 1 270678
5 082715
5 082715 120 980 4916
120 980 5
4
, log ,
,
,
log , . ,
. ,
=
=
=
=
≅
14.14.14.14.14. ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
Log
Anti
2 0 084 0 168
2 0 168
2 1 225309
2 1 2 0 225309
1 549382 2 450618
10 0 028223963 0 028224
2 450618 0 028224
2 2
1 549382
⋅ =
=
=
= − +
= − =
= ≅
=
−
, log ,
log ,
,
,
, ,
, ,
log , ,
,
15.15.15.15.15. ( )
( )
Log
Anti
7 2 6 7 2
6 0 857332
5 143994
5 143994 139 313 75
6
, log ,
,
,
log , . ,
=
=
=
=

16.16.16.16.16. Log
Anti
3
3
2
0 477121
2
0 238560
0 238560 1 7320483 1 73205
= = =
= ≅
log ,
,
log , , ,
17.17.17.17.17. Log 2
2
3
0 301029
3
0 100343
10 1 259921
3
0 100343
= = =
=
log ,
,
,,
18.18.18.18.18. Log
Anti
5
5
4
0 698970
4
0 174742
0 174742 1 495348 1 49535
4
= = =
= ≅
log ,
,
log , , ,
19.19.19.19.19. Log 63
63
5
1 799340
5
0 359868
10 2 290172
5
0 359868
= = =
=
log ,
,
,,
20.20.20.20.20. Log
Anti
815
815
7
2 911157
7
0 415879
0 415879 2 605431
7
= = =
=
log ,
,
log , ,
EJERCICIO 299
1.1.1.1.1. Log co
Anti
515 78 19 6 13
2 711807 1 893151 1 212539
3 817497 3 817497 6 568 96 6 569
+ +
= + +
= → = ≅
log , log ,
, , ,
, log , . , .
2.2.2.2.2. Log co
Anti
23 054 934 5 8 164
1 36275 2 97058 4 0881
0 42143 0 42143 2 63894
, log , log .
, , ,
, log , ,
+ +
= + +
= → =
3.3.3.3.3. Log co co
Anti
8 14 9 73 0 6 7 8
0 91062 0 98811 0 22185 1 10791
1 22849 1 22849 16 923461 16 9235
, log , log , log ,
, , , ,
, log , , ,
+ + +
= + + +
= → = ≅
4.4.4.4.4. Log co co
Anti
513 4 9 132 85 3 10 764
2 71046 0 96057 2 06905 2 96802
0 7081 0 7081 5 10622
, log , log , log ,
, , , ,
, log , ,
+ + +
= + + +
= → =
5.5.5.5.5. Log co co
Anti
53 245 4 325 6 32 815 91 79
1 72628 3 63605 2 48392 2 03721
1 88346 1 88346 76 4645
, log . , log , log ,
, , , ,
, log , ,
+ + +
= + + +
= → =
6.6.6.6.6. Log co co
Anti
Como existe un signo negativo en la operación
entonces este afecta el resultado total luego
la respuesta final es
32 6 841 9 0 017 732 14
1 51322 2 92526 1 76955 3 135406
3 343436 3 343436 2 205 139151
2 205 14
, log , log , log ,
, , , ,
, log , . ,
,
. ,
+ + +
= + + +
= → =
≅ −
7.7.7.7.7. Log co co
Anti
El signo negativo se anula puesto que se
encuentra en el numerador y en el
deno ador luego la respuesta es positiva
95 36 0 14 83 7 2 936
1 97937 1 14613 2 07727 1 53224
1 26499 1 26499 0 054326
, log , log , log ,
, , , ,
, log , ,
min
+ + +
= + + +
= − → − =
8.8.8.8.8. Log co co
Anti
7 2 8 135 0 003 9 134 7
0 85733 0 91036 2 52288 4 03930
0 32987 0 32987 2 137333 2 13734
, log , log , log . ,
, , , ,
, log , , ,
+ + +
= + + +
= → = − ≅ −
9.9.9.9.9.
( ) ( )
3 0 2 5 3 4 0 2
5 0 47712 4 1 30103
2 38561 2 79588
0 41027 10 0 3888
1 58973
0 58973 0 3888
5 4
0 41027
⋅ = +
= +
= −
= − → =
⇒ =
−
, log log ,
, ,
, ,
, ,
* ,
log , ,
,
En la tabla se busca
Anti
10.10.10.10.10.
( ) ( )
1
2
5
2
3
3
1
2
0 69897
2
3
0 47712
0 349485 0 31808
0 66757
0 66757 4 651199 4 6512
log log
, ,
, ,
,
log , , ,
+
= +
= +
=
→ = ≅Anti
11.11.11.11.11.
( ) ( ) ( )
1
5
2
1
2
3
3
4
5
1
5
0 30103
1
2
0 47712
3
4
0 69897
0 060206 0 23856 0 5242275
0 82299
0 82299 6 65257 6 6526
log log log
, , ,
, , ,
,
log , , ,
+ +
= + +
= + +
=
→ = ≅Anti
12.12.12.12.12.
( ) ( )
8 3 5 5 6
8 0 47712 5 1 25181
3 81696 3 74095
0 07601
0 07601 1 19127 1 1913
log log ,
, ,
, ,
,
log , , ,
+
= +
= −
=
→ = ≅
co
Anti
13.13.13.13.13.
( ) ( )
7 0 53 3 2 5
7 1 72428 3 1 60206
1 93004 1 19382
3 12386 10 0 000751865
4 87614
3 12386
log , log ,
, ,
, ,
, ,
* ,
,
+
= +
= − −
= − → =−
co

14.14.14.14.14.
( ) ( )
2
5
3
5
3
2
2
5
0 47712
5
3
1 69897
0 190848 0 501717
0 310869 10 0 488799 0 4888
1 68914
0 310869
log log
, ,
, ,
, , ,
* ,
,
+
= +
= −
= − → = ≅−
co
15.15.15.15.15.
Log Log
Anti
7 86 8 14
2
0 89542 0 91062
2
1 80604
2
0 90302 0 90302 7 9987
, ,
, ,
,
, log , ,
+
=
+
=
= → =
16.16.16.16.16.
Log Log Log
Anti
932 5 813 6 0 005
2
2 96965 2 91041 3 69897
2
3 57903
2
1 78952 1 78952 61 59138
, , ,
, , ,
,
, log , ,
+ +
=
+ +
=
= =
17.17.17.17.17.
Log Log co co
Anti
93 7 104 2 8 35 7 3
2
1 97174 2 01787 1 07831 1 13668
2
2 2046
2
1 1023 1 1023 12 656174
, , log , log ,
, , , ,
,
, log , ,
+ + +
=
+ + +
= = → =
18.18.18.18.18.
Log Log Log
Anti
23 725 9 182 7 184
3
1 37521 0 96294 0 85637
3
3 19452
3
1 06484 1 06484 11 610207
, , ,
, , ,
,
, log , ,
+ +
=
+ +
= = = −
19.19.19.19.19.
Log Log co co
Anti
12 316 0 25 931 8 0 07
4
4 09047 1 39794 3 03068 1 15490
4
1 67399
4
0 41849 0 41849 2 621125
. , log , log ,
, , , ,
,
, log , ,
+ + +
=
+ + +
= = → =
20.20.20.20.20.
Log co
Anti
56 813 22 117
5
4 75446 5 65527
5
0 40973
5
0 081946 0 081946 1 20766
. log .
, ,
,
, log , ,
+
=
+
= = → =
21.21.21.21.21.
( )
( )
3
2
0 0316
3
2
0 1615
3
2
2 49969 0 79183
3
2
0 70848 1 06272 2 93728
10 0 086552
2 93728 0 08655625
1 06272
log , log ,
, ,
, , ,
,
log , ,
,
+
= +
= − = − =
=
=
−
co
Anti
22.22.22.22.22.
( ) ( )
3
4
3
2
3
5
3
4
0 47712
2
3
1 30103
0 35784 0 46598
0 10814 1 89186
1 89186 0 77958
log log
, ,
, ,
, ,
log , ,
+
= +
= −
= − =
=
co
Anti
23.23.23.23.23.
Log Co
Anti
15 4
7
1 17609 1 39794
7
0 57403
7
0 082
0 082 1 20782
+
=
+
= =
=
log
, ,
,
,
log , ,
24.24.24.24.24.
Log Co
Anti
5 3
5
0 69897 1 52288
5
0 04437
0 04437 1 10756
+
=
+
=
= −
log
, ,
,
log , ,
25.25.25.25.25. ( )
( )
( )
6
5
5 8
6
5
0 69897 1 09691
6
5
0 20412 0 24494 1 75506
1 75506 0 568926 0 56893
Log Co
Anti
+
= +
= − = − =
= ≅
log
, ,
, , ,
log , , ,
26.26.26.26.26.
( ) ( )
( ) ( )
Log Co Log Co
Anti
3 5
2
5 7
3
3 0 47712 1 30103 2 0 69897 1 15490
6
3 0 22185 2 0 14613
6
0 6655 0 29226
6
0 95781
6
0 159635 1 840364
10 0 6924126
1 840364 0 69241
0 159635
+
+
+
=
+ + +
=
− + −
=
− −
=
−
= − =
=
=
−
log log
, , , ,
, ,
, ,
,
, ,
,
log , ,
,

27.27.27.27.27.
( ) ( ) ( )
Log Log Log
Anti
2
7
3
5
0 2
3
15 0 30103 21 0 47712 35 1 30103
105
4 51545 10 01952 24 46395
105
9 92898
105
0 094562 1 905438
1 905438 0 8043369 0 80434
+ +
=
+ +
=
+ −
=
−
= − =
= ≅
,
, , ,
, , ,
,
, ,
log , , ,
28.28.28.28.28.
( ) ( ) ( )
Log Log Co
Anti
32 14
2
59 3
3
317 6
4
6 1 50705 4 1 77305 3 3 49812
12
9 0423 7 0922 7 50564
12
8 62886
12
0 71907
0 71907 5 2368483 5 23685
, , log ,
, , ,
, , ,
,
,
log , , ,
+ +
=
+ +
=
+ −
= =
= ≅
29.29.29.29.29.
( )
2 0 75 39 162 0 07 3 89
2
2 1 87506 1 59286 1 15490 1 41005
2
1 90793
2
0 953965 8 99425 8 9943
log , log , log , log ,
, , , ,
,
, , ,
+ + +
=
+ + +
= = = ≅
co co
30.30.30.30.30.
( ) ( ) ( )
3 0 2 2 0 3 4 0 05 3 25
2
3 1 30103 2 1 47712 4 1 30103 1 48812
2
3 0 90309 2 0 95424 5 20412 1 0 48812
2
1 54957
2
0 774785
0 774785 5 95366
log , log , log , log ,
, , , ,
, , , ,
,
,
log , ,
+ + +
=
+ + +
=
− + − + + − +
= =
=
co co
Anti
EJERCICIO 300
1.1.1.1.1.
( ) ( )
36 2 3
36 2 2 2 3
2 0 301030 2 0 477121
0 60206 0 954242
36 1 556302
2 2
= ⋅
= +
= +
= +
=
Log
Log
log log
, ,
, ,
,
2.2.2.2.2.
( )
75 3 5
75 3 2 5
0 477121 2 0 698970
0 477121 1 39794
75 1 875061
2
= ⋅
= +
= +
= +
=
Log
Log
log log
, ,
, ,
,
3.3.3.3.3. 30 2 3 5
30 2 3 5
0 301030 0 477121 0 698970
30 1 477121
= ⋅ ⋅
= + +
= + +
=
Log
Log
log log log
, , ,
,
4.4.4.4.4.
( )
48 2 3
48 4 2 3
4 0 301030 0 477121
1 20412 0 477121
48 1 681241
4
= ⋅
= +
= +
= +
=
Log
Log
log log
, ,
, ,
,
5.5.5.5.5.
( )
120 2 3 5
120 3 2 3 5
3 0 30103 0 477121 0 69897
0 90309 1 176091
120 2 079181
3
= ⋅ ⋅
= + +
= + +
= +
=
Log
Log
log log log
, , ,
, ,
,
6.6.6.6.6.
( )
98 7 2
98 2 7 2
2 0 845098 0 30103
1 690196 0 30103
98 1 991226
2
= ⋅
= +
= +
= +
=
Log
Log
log log
, ,
, ,
,
7.7.7.7.7.
( )
343 7
343 3 7
3 0 845098
343 2 535294
0 343 1 535294
3
=
=
=
=
=
Log
Log
Log
log
,
,
, ,
8.8.8.8.8.
( ) ( )
225 5 3
225 2 5 2 3
2 0 69897 2 0 477121
1 39794 0 954242
2 352182
22 5 1 352182
2 2
= ⋅
= +
= +
= +
=
=
Log
Log
log log
, ,
, ,
,
, ,
9.9.9.9.9.
( )
( )
( )
196 2 7
196 2 2 7
2 0 30103 0 845098
2 1 146128
2 292256
1 96 0 292256
2 2
= ⋅
= +
= +
=
=
=
Log
Log
log log
, ,
,
,
, ,

10.10.10.10.10.
( )
875 5 7
875 3 5 7
3 0 69897 0 845098
2 09691 0 845098
2 942008
0 875 1 942008
3
= ⋅
= +
= +
= +
=
=
Log
Log
log log
, ,
, ,
,
, ,
11.11.11.11.11.
( ) ( )
2 025 3 5
2 025 4 3 2 5
4 0 477121 2 0 69897
1 908484 1 39794
3 306424
202 5 2 306424
4 2
.
. log log
, ,
, ,
,
, ,
= ⋅
= +
= +
= +
=
=
Log
Log
12.12.12.12.12.
( )
448 2 7
448 6 2 7
6 0 30103 0 845098
1 80618 0 845098
2 651278
44 8 1 651278
6
= ⋅
= +
= +
= +
=
=
Log
Log
log log
, ,
, ,
,
, ,
16.16.16.16.16. 2
7
3
2
7
3
7 3
0 845098 1 522879
0 367977
1
3
1
3
=
=
= +
= +
=
Log
co
log
log log
, ,
,
17.17.17.17.17. 13
143
11
13
143
11
143 11
2 155336 2 958607
13 1 113943
=
=
= +
= +
=
Log
co
Log
log
log log
, ,
,
18.18.18.18.18. 25
225
9
25
225
9
225 9
2 352183 1 045757
25 1 397940
=
=
= +
= +
=
Log
co
Log
log
log log
, ,
,
13.13.13.13.13.
( )
2
5
2
2 5
25 5
25 2 0 69897
1 39794
2 0 397940
1
2
2
1
2
= =
=
=
=
=
,
,
,
,
Log
Log
14.14.14.14.14. 1
3
2
1 5
15 3 5
15 3 5
0 477121 0 698970
1 176091
1 0 176091
1
2
1
2
= =
= ⋅
= +
= +
=
=
,
log log
, ,
,
,
Log
Log
15.15.15.15.15. 1
7
5
1 4
14 7 2
14 7 2
0 845098 0 30103
1 146128
1 0 146128
2
5
2
5
= =
= ⋅
= +
= +
=
=
,
log log
, ,
,
,
Log
Log
EJERCICIO 301
1.1.1.1.1.
( )
5 3
5 3
5 3
0 69897 0 477121
0 477121
0 69897
0 6826
x
x
Log
x
x
x
=
=
=
=
= =
log
log log
, ,
,
,
,
2.2.2.2.2. 7 512
7 512
7 512
2 70927
0 845098
3 205864
3 2059
x
x
Log
x
x
x
=
=
=
= =
≅
log
log log
,
,
,
,
3.3.3.3.3.
( )
0 2 0 0016
0 2 0 0016
0 2 0 0016
1 30103 3 20412
3 20412
1 30103
3
0 69897
0 20412
0 69897
4 29203 0 29203
4
, ,
, log ,
log , log ,
, ,
,
,
,
,
,
, ,
x
x
Log
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
−
−
+
−
= −
=
4.4.4.4.4.
( )
9 0 576
9 0 576
9 1 76042
0 95424 1 76042
1 76042
0 95424
0 23958
0 95424
0 2510689
0 25107
x
x
Log
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
−
= −
≅ −
,
log ,
log ,
, ,
,
,
,
,
,
,
5.5.5.5.5.
( )
( )( )
3 729
3 729
1 3 729
1 0 477121 2 86273
1 6 00944
6 00944 1
5 00944 5
1
1
x
x
Log
x
x
x
x
x x
+
+
=
=
+ =
+ =
+ =
= −
= ⇒ ≅
log log
, ,
,
,
,
6.6.6.6.6.
( )
5 625
5 625
2 5 2 79588
2
2 79588
0 69897
2 4 6
2
2
x
x
Log
x
x
x x
−
−
=
=
− =
− =
− = ⇒ =
log
log ,
,
,
7.7.7.7.7.
( )
( )( )
2 128
2 128
3 1 2 2 10721
3 1 0 30103 2 10721
3 1 7
3 6
2
3 1
3 1
x
x
Log
x
x
x
x
x
+
+
=
=
+ =
+ =
+ =
=
=
log
log ,
, ,
8.8.8.8.8.
( )
( )( )
3 2 187
3 2 187
2 1 3 3 33985
2 1 0 477121 3 33985
2 1 7
2 8 4
2 1
2 1
x
x
Log
x
x
x
x x
−
−
=
=
− =
− =
− =
= ⇒ =
.
log .
log ,
, ,
9.9.9.9.9. 11 915
11 915
2 11 2 96142
2
2 96142
1 04139
2 2 84372
1 42186
2
2
x
x
Log
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
log
log ,
,
,
,
,

EJERCICIO 302
1.1.1.1.1. a u r
n
Log Co
Log
n
n
= = = ÷ =
=
+
+
=
+
+
= + = + =
3 48 6 3 2
48 3
2
1
1 68124 1 522879
0 30103
1
1 204119
0 30103
1 4 1 5
log
, ,
,
,
,
2.2.2.2.2. a u r
n
Log Co
Log
n
Log co co
Log
n
n n n
= = =
=
+
+
=
+ +
+
=
+ +
+
= + = + = ≅
2
243
16
3
2
2
3
2
1
243 16 2
1 5
1
2 38461 2 79588 1 69897
0 176091
1
0 87946
0 176091
1 4 994 1 5 994 6
243
16 log
log log
,
, , ,
,
,
,
, ,
3.3.3.3.3. a u r
n
Log Co
Log
n
n
= = = ÷ =
=
+
+
=
+
+
= + = + =
4 512 8 4 2
512 4
2
1
2 70927 1 39794
0 30103
1
2 10721
0 30103
1 7 1 8
log
, ,
,
,
,
4.4.4.4.4. a u r
n
Log Co
Log
n
Log Co Co
Log Co
n
n
n
n
n
= = = =
=
+
=
+ +
+
=
+ +
+
+
= +
= +
=
≅
6
2 048
81
8
6
4
3
2 048
81
6
4
3
2 048 81 6
4 3
3 31133 2 09151 1 22184
0 60206 1 522879
1
0 62468
0 124939
1
4 999879 1
5 999879
6
.
.
log
. log log
log
, , ,
, ,
,
,
,
,
5.5.5.5.5. a u r
n
Log Co
Log
n
Log Co Co
Log
n
n
= = = =
=
+
+
=
+ +
+
=
+ +
+
= + = + =
2
625
8
5
2
2 5
625
8
2
2 5
1
625 8 2
2 5
1
2 79588 1 09691 1 69897
0 39794
1
1 59176
0 39794
1 4 1 5
,
log
,
log log
,
, , ,
,
,
,
EJERCICIO 303
1.1.1.1.1.
( )
( )
( )
( )
c r t
C
C
Log C Log
Log C Log
Log C
Log C
Anti
= = =
= +
=
=
= +
= +
=
=
500 0 06 3
500 1 0 06
500 1 06
500 1 06
500 3 1 06
2 69897 3 0 02531
2 7749
2 7749 595 51
3
3
3
,
,
,
,
log ,
, ,
,
log , $ ,
2.2.2.2.2.
( )
( )
( )
c r t
C
Log C Log
Log C Log Log
Log C
Anti soles
= = =
= +
=
= +
= +
= +
=
=
3 500 0 07 5
3 500 1 0 07
3 500 1 07
3 500 5 1 07
3 54407 5 0 02938
3 54407 0 1469
3 69097
3 69097 4 908 94
5
5
. ,
. ,
. ,
. ,
, ,
, ,
,
log , . ,
3.3.3.3.3.
( )
( )
( )
c r t
C
Log C Log
Log Log
Log C
Anti bs
= = =
= +
=
= +
= +
= +
=
=
8 132 0 09 10
8 132 1 0 09
8 132 1 09
8 132 10 1 09
3 91020 10 0 03743
3 91020 0 3743
4 2845
4 2845 19 253 070
10
10
. ,
. ,
. ,
. ,
, ,
, ,
,
log , . , .

4.4.4.4.4.
( )
( )
( )
c r t
C
LogC Log
Log Log
LogC Anti
= = =
= +
=
= +
= +
= +
= =
930 0 035 7
930 1 0 035
930 1 035
930 7 1 035
2 9684829 7 0 0149403
2 9684829 0 01045821
3 073065 3 073065 1 183 2186
7
7
,
,
,
,
, ,
, ,
, log , $ . ,
5.5.5.5.5.
( )
( )
( )
C t
r
C
Log C Log
Log Log
Log C
Anti
= =
= = = ⇒ =
= +
=
= +
= +
= +
=
=
12 318 6
4
17
4
4 25
4 25
100
0 0425
12 318 1 0 0425
12 318 1 0425
12 318 6 1 0425
4 0905402 6 0 018076
4 0905402 0 108456
4 1989962
4 1989962 15 812 34204
1
4
6
6
.
,
,
,
. ,
. ,
. ,
, ,
, ,
,
log , $ . ,
6.6.6.6.6.
( )
( )
( )
C t
r
C
Log C Log
Log
Log C
Anti sucres
= =
= = = ⇒ =
= +
=
= +
= +
= +
=
=
24 186 7
5
11
2
5 5
5 5
100
0 055
24 186 1 0 055
24 186 1 055
24 186 7 1 055
4 383564 7 0 0232524
4 383564 0 1627668
4 5463308
4 5463308 35 182 83244
1
2
7
7
.
,
,
,
. ,
. ,
. log ,
, ,
, ,
,
log , . ,
7.7.7.7.7.
( )
( )
C t
r
Log C Log
Log
Anti
= =
= = = ⇒ =
=
= +
= +
= +
=
=
54 293 5
3
15
4
3 75
3 75
100
0 0375
54 293 1 0375
54 293 5 1 0375
4 734743 5 0 015988
4 734743 0 07994
4 814683
4 814683 65 265 399
3
4
5
.
,
,
,
. ,
. log ,
, ,
, ,
,
log , $ . ,
8.8.8.8.8.
( )
( )
( )
c t r
C
LogC Log
Log
LogC Anti C
= = = =
= +
= +
= +
= +
= +
= =
800 4
0 03
2
0 015
800 1 0 015
800 1 0 015
800 4 1 015
2 90309 4 0 00647
2 90309 0 02588
2 92897 849 09
4
4
,
,
,
,
log ,
, ,
, ,
, log $ ,
9.9.9.9.9.
( )
( )
c t r
C
Log C Log
Anti
= = = = =
= +
= +
= +
= +
=
=
900
12
3
4
0 04
4
0 01
900 1 0 01
900 4 1 01
2 954242 4 0 004321
2 954242 0 017284
2 971526
2 971526 936 54
4
,
,
,
log ,
, ,
, ,
,
log , $ ,
10.10.10.10.10.
( )
( )
r C t
c
Log c co
Log c
Anti
= = =
=
+
= +
= +
= −
=
=
0 05 972 60 4
972 60
1 0 05
972 6 4 1 05
2 987934 4 1 978811
2 987934 0 084756
2 903178
2 903178 800 16
4
, ,
,
,
log , log ,
, ,
, ,
,
log , $ ,
11.11.11.11.11.
( )
( )
C t
r
c
Log c co
Anti
= =
= = = ⇒ =
=
+
= +
= +
= −
=
=
1 893 5 6
4
9
2
4 5
4 5
100
0 045
1 893 5
1 0 045
1 893 5 6 1 045
3 277265 6 1 980883
3 277265 0 114702
3 162563
3 162563 1 454 02
1
2
6
. ,
,
,
,
. ,
,
log . , log ,
, ,
, ,
,
log , $ . ,
12.12.12.12.12.
( )
( )
C r t
c
Logc co
Logc
Anti Q
= = =
=
+
= +
= +
= −
=
= ≅
54 198 16 0 08 7
54 198 16
1 0 08
54 198 16 7 1 08
4 733984 7 1 966576
4 733984 0 233968
4 500016
4 500016 31 623 9 31 624
7
. , ,
. ,
,
log . , log ,
, ,
, ,
,
log , . , . .

13.13.13.13.13. c r C
t
Log Log
Log
t
t años
= = =
=
−
=
−
= = ≅
600 0 03 695 56
695 56 600
1 03
2 842334 2 778151
0 012837
0 064183
0 012837
4 9998 5
, ,
,
,
, ,
,
,
,
,
14.14.14.14.14.
( )
c C r
t
Log
Log
t
t años
= = =
=
−
+
=
−
= =
1 215 1 709 61 0 05
1 709 61 1 215
1 0 05
3 232897 3 084576
0 021189
0 148321
0 021189
7
. . , ,
. , log .
,
, ,
,
,
,
15.15.15.15.15.
( )
( )
( )
c t C
Log r
Log r
Log r
Anti
r
r
= = =
+ =
−
+ =
−
+ = =
=
+ =
= ⇒
800 4 1 048 63
1
1 048 63 800
4
1
3 020622 2 903089
4
1
0 117533
4
0 029384
0 029384 1 07
1 1 07
0 07 7
. ,
log . , log
, ,
,
,
log , ,
,
, %
16.16.16.16.16.
( )
( )
c t C
Log r
Log Log
Log r
Anti
r
r
= = =
+ =
−
=
−
+ =
=
+ =
= ⇒
6 354 4 7 151 46
1
7 151 46 6 354
4
3 854394 3 803047
4
1 0 012836
0 012836 1 03
1 1 03
0 03 3
. . ,
. , .
, ,
,
log , ,
,
, %
17.17.17.17.17.
( )
( )
c r t
C
Log C Log
Anti
Los ereses producidos represen
la diferencia entre la suma inicial y lo
que se ha convertido
Intereses producidos
= = = + =
= +
= +
= +
= +
=
=
⇒ = −
=
900 0 05 2
1
3
2 33333
900 1 0 05
900 2 33333 1 05
2 954242 2 33333 0 0211892
2 954242 0 049441
3 003683
3 003683 1 008 52
1 008 52 900
108 52
2 33333
, ,
,
, log ,
, , ,
, ,
,
log , . ,
int tan
. ,
$ ,
,
EJERCICIO 304
1.1.1.1.1.
( )( )
( )
( )
( )
c r t
a
Log Log
Anti
Loga co
Anti
= = =
=
−
=
=
=
=
= + + +
= + + +
=
=
40 000 0 05 10
40 000 0 05 1 05
1 05 1
1 05 10 1 05
10 0 0211892
0 211892
0 211892 1 62889
40 000 0 05 1 62889 0 62889
4 602059 2 69897 0 211892 0 2014253
3 7143463
3 7143463 5 180 21
10
10
10
. ,
. , ,
,
, ,
,
,
log , ,
log . log , log , log ,
, , , ,
,
log , $ . ,

2.2.2.2.2.
( )( )
( )
( )
( )
c r t
a
Log
Anti
Log a co
Anti soles
= = =
=
+
+ −
=
=
=
=
= + + +
= + + +
=
=
85 000 0 03 12
85 000 0 03 1 0 03
1 0 03 1
1 03 12 1 03
12 0 012837
0 154044
0 154044 1 425761
85 000 0 03 1 425761 0 425761
4 929418 2 477121 0 154044 0 370834
3 931417
3 931417 8 539 2
12
12
12
. ,
. , ,
,
, log ,
,
,
log , ,
, , , ,
,
log , . ,
3.3.3.3.3.
( )( )
( )
( )
( )
c r t
a
Log
Anti
Log a co
Anti
= = =
=
+
+ −
=
=
=
=
= + + +
= + + +
=
=
600 000 0 05 20
600 000 0 05 1 0 05
1 0 05 1
1 05 20 1 05
20 0 0211892
0 423784
0 423784 2 65328
600 000 0 05 2 65328 1 65328
5 778151 2 69897 0 423784 1 781653
4 682558
4 682558 48 145 75
20
20
20
. ,
. , ,
,
, log ,
,
,
log , ,
, , , ,
,
log , $ . ,
4.4.4.4.4.
( )( )
( )
( )
( )
c r t
a
Log
Anti
a co
Anti bs
= = =
=
+
+ −
=
=
=
=
= + + +
= + + +
=
=
5 000 000 0 06 30
5 000 000 0 06 1 0 06
1 0 06 1
1 06 30 1 06
30 0 025306
0 75918
0 75918 5 7435
5 000 000 0 06 5 7435 4 7435
6 69897 2 778151 0 75918 1 323901
5 5602
5 5602 363 245 2
30
30
30
' . ,
' . , ,
,
, log ,
,
,
log , ,
log log ' . log , log , log ,
, , , ,
,
log , . , .
5.5.5.5.5.
( )( )
( )
( )
c r t
a
a bs
a
a
a
a bs
NOTA
Vr que aparece
en la tabla de erés compuesto
decreciente para el en años
Vr que aparece
en la tabla de erés compuesto
para el a años
= = =
= ⋅
= ≅
=
−
=
=
= ≅
→
→
3 000 0 06 5
3 000 0 237396
712 188 712 19
3 000 0 06 1 06
1 06 1
180 1 338226
0 338226
240 88068
0 338226
712 1885367 712 19
0 237396
6% 5
1 338226
6% 5
5
5
. ,
. ,
, , .
. , ,
,
,
,
,
,
, , .
:
, .
int
.
, .
int
.
6.6.6.6.6. c r t
a
a bs
= = =
= ⋅
=
12 000 0 07 12
12 000 0 125902
1 510 824
. ,
. ,
. , .
7.7.7.7.7. c r t
a
a sucres
= = =
= ⋅
=
350 000 4 3
350 000 0 363773
127 320 55
1
2. %
. ,
. ,
8.8.8.8.8. c r t
a
a soles
= = =
= ⋅
=
425 000 6% 10
425 000 0 135868
57 743 9
.
. ,
. ,
9.9.9.9.9. c r t
a
a bs
= = =
= ⋅
=
90 750 5% 25
90 750 0 070952
6 438 894
.
. ,
. , .
10.10.10.10.10. c r t
a
a bs
= = =
= ⋅
= ≅
73 550 5 30
73 550 0 068805
5 060 60775 5 060 61
1
2. %
. ,
. , . , .
11.11.11.11.11. c r t
a
a sucres
= = =
= ⋅
= ≅
473 000 3 9
473 000 0 131446
62 173 958 62 173 96
1
2. %
. ,
. , . ,

12.12.12.12.12.
( )( )
( )
( )
( )
c r t
a
a soles
a
Log
Anti
Loga Log co
Anti soles
= = =
= ⋅
=
=
−
=
=
=
=
= + + +
= + + +
=
=
45 800 4% 30
45 800 0 057830
2 648 614
45 800 0 04 1 04
1 04 1
1 04 30 1 04
30 0 017033
0 51099
0 51099 3 243321
45 800 0 04 3 243321 2 243321
4 660865 2 60206 0 510989 1 649108
3 423022
3 423022 2 648 61
30
30
30
.
. ,
. ,
. , ,
,
, log ,
,
,
log , ,
. log , log , log ,
, , , ,
,
log , . ,
EJERCICIO 305
1.1.1.1.1.
( )
( ) ( )
( )
( )
c r t
i
Log
Anti
Log i Log co
Anti
= = =
=
+ − +
=
=
=
=
= + +
= + +
=
=
30 000 0 06 9
30 000 0 06
1 0 06 1 0 06
1 06 10 1 06
10 0 02531
0 2531
0 2531 1 791018
30 000 0 06 0 731018
4 477121 2 778151 0 136072
3 391344
3 391344 2 462 38
10
10
. ,
. ,
, ,
, log ,
,
,
log , ,
. log , log ,
, , ,
,
log , $ . ,
2.2.2.2.2.
( )
( )
( )
c r t
i
En la tabla de erés
compuesto
Log i Log co
Anti sucres
= = =
=
−
=
= + +
= + +
=
=
90 000 0 04 20
90 000 0 04
1 04 1 04
1 04 2 278768
90 000 0 04 1 238768
4 95424 2 60206 1 90701
3 4633
3 4633 2 906 03
21
21
. ,
. ,
, ,
int
, ,
. log , log ,
, , ,
,
log , . ,
3.3.3.3.3.
( )
( )
( )
( )
c r t
i
Log
Anti
Log i Log co
Anti
= = =
=
−
=
=
=
=
= + +
= + +
=
=
200 000 0 05 40
200 000 0 05
1 05 1 05
1 05 41 1 05
41 0 0211892
0 868757
0 868757 7 391915
200 000 0 05 6 341915
5 30103 2 69897 1 19777
3 19777
3 19777 1 576 79
41
41
. ,
. ,
, ,
, log ,
,
,
log , ,
. log , log ,
, , ,
,
log , $ . ,
4.4.4.4.4.
( )
( )
( )
c r t
i
Log i co
Anti
= = =
=
−
→
= + +
= + +
=
=
40 000 0 06 25
40 000 0 06
1 06 1 06
1 06 4 549383
40 000 0 06 3 489383
4 60206 2 778151 1 457251
2 837462
2 337462 687 79
26
26
. ,
. ,
, ,
, ,
log . log , log ,
, , ,
,
log , $ ,

Solucionario de algebra

More Related Content

Featured (20)

Solucionario de algebra