Синтез оптимального керування для систем диференціальних рівнянь с нефіксованим часом
Download as PPTX, PDF0 likes348 views
Теорія оптимального управління та теорія ігор
Синтез оптимального керування для систем диференціальних рівнянь с нефіксованим часом
- 1. Курсова робота з дисципліни «Теорія оптимального управління та теорія ігор» на тему: «Синтез оптимального керування для систем диференціальних рівнянь с нефіксованим часом» Виконала: студентка ІІІ курсу, групи УК-51 Факультету менеджменту та маркетингу Черепинець Вероніка Михайлівна Київ-2018
- 2. Постановка задачі Нехай модель системи керування має вигляд 𝑑𝑥𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓𝑖 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 , 𝑖 = 1, 𝑛, 0 < 𝑡 ≤ 𝑇, 𝑥𝑖 0 = 𝑥𝑖 0 , 𝑖 = 1, 𝑛. Функції 𝑓𝑖 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 , 𝑖 = 1, 𝑛 – неперервні по всім аргументам і мають частинні похідні по 𝑥, 𝑇 – нефіксоване додатне число. Керування 𝑢𝑗 𝑡 , 𝑗 = 1, 𝑚 – кусково-неперервні по 𝑡 функції, для яких виконуються умови 𝑢𝑗 𝑡 ≤ 𝑙𝑗, 𝑗 = 1, 𝑚, де 𝑙𝑗 – задані додатні числа. Такі функції утворюють множину допустимих керувань, яку будемо позначати через 𝑈. Потрібно знайти вектор допустимих керувань 𝑢∗ 𝑡 ∈ 𝑈 та число 𝑇, які б мінімізували критерій якості 𝐼 𝑢 = 0 𝑇 𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐹 𝑥 𝑇 , де 𝑓0 . , 𝐹 . – невід’ємні неперервні функції. Так як задача з нефіксованим часом (вільним правим кінцем) збігається з усім фазовим простором, на правий кінець обмежень немає.
- 3. Рівняння Беллмана для поставленої задачі 𝐼 = 0 𝑇 𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐹 𝑥 𝑇 → 𝑚𝑖𝑛 Будуємо рекурентну функцію: 𝑆𝑖 = 𝑚𝑖𝑛 𝑈 𝑖 𝐼𝑖 + 𝑆𝑖+1 , 𝑆 𝑁 = 𝐹 𝑥 𝑇 Далі будуємо квадратурну формулу прямокутників: 𝐼 = 0 𝑇 𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐹 𝑥 𝑇 = 𝑖=0 𝑁−1 𝑓0 𝑥𝑖, 𝑢𝑖, ∆𝑡𝑖 ∆𝑡 + 𝐹 𝑋 𝑁 𝐼 = 𝑖=0 𝑁−1 𝑓0 𝑥𝑖, 𝑢𝑖, ∆𝑡𝑖 ∆𝑡 + 𝐹 𝑋 𝑁 → 𝑚𝑖𝑛 Визначимо кількість відрізків: ∆𝑡 = 𝑇 𝑁 Рівняння Беллмана має вигляд: 𝑆𝑖 = 𝑚𝑖𝑛 𝑈 𝑖 𝑓0 𝑥𝑖, 𝑢𝑖, 𝑇 𝑁 𝑖 𝑇 𝑁 + 𝑆𝑖+1 𝑆 𝑁 = 𝐹(𝑋 𝑁)
- 4. Дискретизація поставленої задачі Система диференційних рівнянь має вигляд: 𝑑𝑋𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓𝑖 𝑥, 𝑢, 𝑡 , 0 < 𝑡 ≤ 𝑇 Зводимо задачу до дискретного вигляду: (𝑥𝑖 𝑗+1 − 𝑥𝑖 𝑗 )𝑁 𝑇 = 𝑓𝑖(𝑥𝑖, 𝑢𝑖, 𝑇 𝑁 𝑗) де, 𝑗 – номер точки в розбитті, а 𝑖 – номер рівняння. Функціонал в дискретному виді має вигляд: 𝐼 = 𝑗=0 𝑁−𝑖 𝑓0 𝑥𝑖, 𝑢𝑖, 𝑇 𝑁 𝑗 𝑇 𝑁 + 𝐹(𝑋 𝑁)
- 5. Схема Моісеєва Розглядаємо задачу: 𝐽𝑖 𝑥, 𝑦, 𝑢 . = 𝑡 𝑖 𝑡 𝑖+1 𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 → 𝑖𝑛𝑓, 𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 , 𝑥 𝑡𝑖 = 𝑥, 𝑥 𝑡𝑖+1 = 𝑦, 𝑡𝑖 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑖+1, 𝑥 𝑡 ∈ 𝐺 𝑡 , 𝑡𝑖 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑖+1, де 𝑢 = 𝑢(. ) кусково-неперервна й 𝑢(𝑡) ∈ 𝑉(𝑡) при 𝑡𝑖 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑖+1. Нехай усі точки сусідніх шкал попарно з’єднані елементарними операціями, тоді величина 𝑖=0 𝑁−1 𝑀𝑖 𝑥𝑖𝑗, 𝑥𝑖+1,𝑗+1 + 𝐹(𝑥 𝑁𝑗 𝑘 ) виражає собою значення початкової функції. Позначимо 𝐶 𝑘 𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 𝑖=𝑘 𝑁−1 𝑀𝑖 𝑥𝑖𝑗, 𝑥𝑖+1, 𝑗𝑖+1 + 𝐹(𝑥 𝑁𝑗 𝑘 ) , де нижня грань береться по всьому набору точок. Покажемо, що функції 𝐶 𝑘(𝑥) задовольняють наступні рекурентні співвідношення: 𝐶 𝑘 𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 𝑦∈𝐻 𝑘+1 𝑀 𝑘 𝑥, 𝑦 + 𝐶 𝑘+1 𝑦 , 𝑘 = 0, … , 𝑁 − 1; 𝐶 𝑁 𝑥 = 𝐹 𝑥 , де 𝐻 – шкала стану.
- 6. Розв’язання економічної задачі Динаміка величини запасів у момент часу 𝑡 з урахуванням зміни кількості виробів: 𝑑 𝑥 𝑑𝑡 = 𝛿 − 𝑑(𝑥, 𝑡) Допоміжні співвідношення задачі: 𝛿 𝑡 + 1 = ℎ 𝑡 + 1 𝑥 𝑡 + 1 + 𝛿 𝑡 𝑥(𝑡 + 1) + 𝛿 𝑡 𝑥 𝑡 + 1 𝑘 𝑡 + 1 𝛿 𝑡 𝑡, де ℎ 𝑡 + 1 𝑥 𝑡 + 1 – витрати на зберігання запасів; 𝛿 𝑡 𝑥(𝑡+1) 𝛿(𝑡) - витрати на закупівлю або виробництво одиниць продукції в t рік; 𝛿 𝑡 𝑥 𝑡+1 𝑘(𝑡+1) 𝛿(𝑡) – витрати на переналагодження замовлення в t рік. Критерій задачі: ℐ = 0 10 (( 𝛿𝑥 𝑘 )𝑡)𝑑𝑡 − 𝐹 𝛿 𝑡 → 𝑚𝑖𝑛, де 𝐹 𝛿 10 = −𝛾 (𝛿 10 +𝐷)2 𝑡 . Постановка економічної задачі
- 7. Дискретизація поставленої економічної задачі 𝑡 ∈ 0; 10 , 𝑁 = 10, ∆𝑡 = 0.1 , тоді: 𝑥1 − 𝑥0 0,1 = 𝛿0 − 𝑑0, 𝑥2 − 𝑥1 0,1 = 𝛿1 − 𝑑1, 𝑥3 − 𝑥2 0,1 = 𝛿2 − 𝑑2, 𝑥4 − 𝑥3 0,1 = 𝛿3 − 𝑑3, 𝑥5 − 𝑥4 0,1 = 𝛿4 − 𝑑4, 𝑥6 − 𝑥5 0,1 = 𝛿5 − 𝑑5, 𝑥7 − 𝑥6 0,1 = 𝛿6 − 𝑑6, 𝑥8 − 𝑥7 0,1 = 𝛿7 − 𝑑7, 𝑥9 − 𝑥8 0,1 = 𝛿8 − 𝑑8, 𝑥10 − 𝑥9 0,1 = 𝛿9 − 𝑑9 . Описуємо критерій за правилом лівих прямокутників: ℐ = 𝛿0 𝑥0 𝑘0 + 𝛿1 𝑥1 𝑘1 + 𝛿2 𝑥2 𝑘2 + 𝛿3 𝑥3 𝑘3 + 𝛿4 𝑥4 𝑘4 + 𝛿5 𝑥5 𝑘5 + 𝛿6 𝑥6 𝑘6 + 𝛿7 𝑥7 𝑘7 + 𝛿8 𝑥8 𝑘8 + 𝛿9 𝑥9 𝑘9 0,1 − 𝛾 (𝛿9 + 𝐷)2 𝑡
- 8. За допомогою схеми Моїсеєва та рівнянь Беллмана знаходимо приблизний розв’язок задачі: 𝑆9 = −𝛾 (𝛿9+𝐷)2 𝑡 𝑆8 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿8 𝛿8 𝑥8 𝑘8 − 𝛾 (𝛿9 + 𝐷)2 𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿8 𝛿8 𝑥8 𝑘8 − 𝛾 (0,1 𝛿8 − 𝑑8 + 𝑥8 + 𝐷)2 𝑡 𝑆7 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿7 𝛿7 𝑥7 𝑘7 − 𝛾 (𝛿8 + 𝐷)2 𝑡 = = 𝑚𝑖𝑛 𝛿7 𝛿7 𝑥7 𝑘7 − 𝛾 (0,1 𝛿7 − 𝑑7 + 𝑥7 + 𝐷)2 𝑡 𝑆6 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿6 𝛿6 𝑥6 𝑘6 − 𝛾 (𝛿7 + 𝐷)2 𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿6 𝛿6 𝑥6 𝑘6 − 𝛾 (0,1 𝛿6 − 𝑑6 + 𝑥6 + 𝐷)2 𝑡 𝑆5 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿5 𝛿5 𝑥5 𝑘5 − 𝛾 (𝛿6 + 𝐷)2 𝑡 = = 𝑚𝑖𝑛 𝛿5 𝛿5 𝑥5 𝑘5 − 𝛾 (0,1 𝛿5 − 𝑑5 + 𝑥5 + 𝐷)2 𝑡 𝑆4 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿4 𝛿4 𝑥4 𝑘4 − 𝛾 (𝛿5 + 𝐷)2 𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿4 𝛿4 𝑥4 𝑘4 − 𝛾 (0,1 𝛿4 − 𝑑4 + 𝑥4 + 𝐷)2 𝑡 𝑆3 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿3 𝛿3 𝑥3 𝑘3 − 𝛾 (𝛿4 + 𝐷)2 𝑡 = = 𝑚𝑖𝑛 𝛿3 𝛿3 𝑥3 𝑘3 − 𝛾 (0,1 𝛿3 − 𝑑3 + 𝑥3 + 𝐷)2 𝑡 𝑆2 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿2 𝛿2 𝑥2 𝑘2 − 𝛾 (𝛿3 + 𝐷)2 𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿2 𝛿2 𝑥2 𝑘2 − 𝛾 (0,1 𝛿2 − 𝑑2 + 𝑥2 + 𝐷)2 𝑡 𝑆1 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿1 𝛿1 𝑥1 𝑘1 − 𝛾 (𝛿2 + 𝐷)2 𝑡 = = 𝑚𝑖𝑛 𝛿1 𝛿1 𝑥1 𝑘1 − 𝛾 (0,1 𝛿1 − 𝑑1 + 𝑥1 + 𝐷)2 𝑡 𝑆0 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿0 𝛿0 𝑥0 𝑘0 − 𝛾 (𝛿1 + 𝐷)2 𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿0 𝛿0 𝑥0 𝑘0 − 𝛾 (0,1 𝛿0 − 𝑑0 + 𝑥0 + 𝐷)2 𝑡
- 9. Оптимальні величини кількості виробів та величин запасів: Значення критерію:
- 11. Дякую за увагу!