クラシックな機械学習の入門　　8. クラスタリング

8. クラスタリング
距離と類似度
階層型クラスタリング
K-means
クラシックな機械学習の入門
by 中川裕志（東京大学）

クラスタリング（Clustering)とは？
教師データはない
性質が近い観測データ点をひとまとまり（これを
「クラスタ」と呼ぶ）にまとめる
3つのキーポイント
「性質が近い」ということを定量的に表すために観測
データ点間の距離を定義する
距離の近いものをどのようにまとめるかというアルゴ
リズム
いくつのまとまり（＝クラスタ）があるのか
ただし、クラスタ数はまとめるアルゴリズムと密接に関連
すると距離ないし類似度が大切なので、まずはそれから。

観測データ点を多次元空間中の点と定義
そこで２つの問題
各次元は観測データ点からどのように定義するか
次元のことをfeatureあるいは素性（そせい）と呼ぶ
この問題をfeature design ：素性設計と呼ぶ。例えば、
 2つの素性の比を新たな素性とする ex 身長/体重
 2つの素性の連続したもの ex 日本・銀行、日本・沈没、
しかし、これは個別適用分野に応じて工夫すべし。
多次元空間における2点間の距離の定義
ユークリッド距離ばかりではないのだ！
距離の定義

距離あるいは類似度の定義
wiをデータ点を表す素性のベクトルとする。
ex. あるテキストｗにおいて語彙番号１の「日本」が３回、
語彙番号２の「米国」が２回、語彙番号３の「中国」が１
回,… 出現したとき、ｗの素性ベクトル： wi＝(3,2,1,….)T
wiの第j成分wijとしてTF*IDF(i,j)を使うこと有
距離で定義する場合と、その逆の類似度で
定義する場合がある。類似度の場合は、最
大値＝１、最小値＝０とすることが多い。
いくつかの定義を次のページ以降に記す。

距離あるいは類似度の定義１
 
 
が定義できる。えば、成分の生起確率だと思番目のが
擬距離）
ユークリッド距離
係数（類似度）
係数（類似度）
内積と書くと　
類似度　　
KLkw
wwKLdivergenceKL
wwwwwwDist
ww
ww
wwDiceDice
ww
ww
wwJaccard
wwwwwwwwww
ww
ww
wwcosine
ik
ji
N
k
jkikjiji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
N
k
iki
N
k
jkikjiiNiii
ji
ji
ji
||(
),(
2
),(
||
||
),(Jaccard
),(),...,,(
),()(cosine
2/1
1
2
2/1
1
2
1
21




























i.e.TF*IDF(i,N)

いよいよ距離の話に進むのだが、
その前に情報理論の基礎概念を復習
 エントロピー：
 結合エントロピー：
 条件付エントロピー：

  )(log)( xPxPxH
x

)|(log),()|( xyPyxPxyH
x y

   yHyxH
yPyxPyxPyxP
yPyxPyxPyxPyxPyxH
x yx y
x yx y





|
)(log),()|(log),(
)()|(log),(),(log),(),(
),(log),(),( yxPyxPyxH
x y


ＫＬ divergence:
情報理論による擬距離
 相対エントロピー or Kullback-Leibler divergence or
KL divergence: KL(P||Q)：分布PとQの類似性を測る尺度
KL(P||P)=0
KL(P||Q)≠KL(Q||P)
非対称なので擬距離
対称性を持たせるために
SymmetricKL(P||Q)=(KL(P||Q)+KL(Q||P))/2 という尺度もある
 相互情報量：
)(
)(
log)()||(
i
i
i
i
xQ
xP
xPQPKL 
            
   
yx yPxP
yxP
yxPyPxPyxPKLyxI
,
,
log,||,,
この部分をpointwise mutual informationとして使うこと
もある

距離の計算例
x=(1,0), y=(0,1)の場合
     
   
   
      














1
0
log0
0
1
log1)||(
21001,
0
1001
10012
,
0
2
0
|1,00,1|
|1,00,1|
,
0
1001
1001
),cos(
2/122
22
22
yxKL
yxDist
yxDice
yxJaccard
yx
（擬）距離　
距離　　
類似度　
類似度　
類似度

距離の計算例
x=(1,1), y=(2,2)の場合
     
   
   
      
化すれば同一分布は確率分布として正規yxyxKL
yxDist
yxDice
yxJaccard
yx
,0)||(
21212,
88.1
23
8
2211
21212
,
1
2
2
|2,21,1|
|2,21,1|
,
1
82
4
2211
2121
),cos(
2/122
2222
2222















距離の計算例
x=(1,2), y=(2,1)の場合
     
   
   
      
82.22log
3
1
1
2
log
3
2
2
1
log
3
1
3
1
3
2
log
3
2
3
2
3
1
log
3
1
)||(
21212,
35.0
52
8
1221
21212
,
1
2
2
|1,22,1|
|1,22,1|
,
5
4
1221
2121
),cos(
2/122
2222
2222














yxKL
yxDist
yxDice
yxJaccard
yx

 距離の定義１のスライドで示した距離、類似度はすべ
ての次元の数値を平等に扱っていた。
 ただし、次元の間に相関がある場合はよい距離では
ない。
 この場合に対応するのがマハラノビス距離
 図に示すように各次元の方向毎に異なるスケーリング＋回転
距離の定義２－１
原点から等距離線
ユークリッド距離マハラノビス距離

マハラノビス距離dAの楕円の等距離線を実現す
るには次式の正定値行列Aを用いる
Aが単位行列ならユークリッド距離の2乗
Aが対角行列なら、次元毎のスケールが異なる
Aが非対角行列なら回転も加わる
距離の定義２－２
       













iNiN
ji
iNiNjiji
T
jijiA
ww
ww
AwwwwwwAwwwwd 
11
11 ,...,,

























2
1
2
1
2
2
2
2
10
02
10
01

Aは各次元のデータの分散行列:covの逆行列
距離の定義２－３
     
 
 
 









 



























NN
NN
wwN
iNiN
jiiNiNji
ji
T
jijiA
xxxx
xx
xx
ExxA
K
ww
wwAwwww
wwAwwwwd
K
,...,
cov
,...,
,
1111
..1
1
1111
1


するとを観測データ点の数と

マラハノビス距離の直観的説明
下図で横軸方向の分散＝１００A11=0.01
マハラノビス距離の成分=0.01x
縦軸方向の分散＝0.0１  A22=100
マハラノビス距離の成分=100x
横軸方向の分散が大きい
ので、意味的には原点から
あまり離れていない
縦軸方向の分散が小さい
ので、意味的には原点から
大きく離れている
x
x
原点からの等距離線

データ点間の距離を利用してまとめあげるア
ルゴリズムをクラスタリングアルゴリズムと呼
ぶことが多い。ここでは以下に2種について説
明する。
階層型
K-means
まとめるアルゴリズム

階層型クラスタリングアルゴリズムの概念：Dendrogram
(Hierarchical Agglomerative Clustering Algorithm: HAC)

階層型クラスタリングアルゴリズム：閾値で切るという直感的意味
(Hierarchical Agglomerative Clustering Algorithm: HAC)

Dendrogram形成方法が鍵
 一番下のデータ点CiとCｊをつなぐときは、距離d(Ci,Cｊ)
が一番小さいものをつなぐ
 つながれたデータ点集合は新たなひとつの擬データ点
Ckとみなす。
 （擬）データ点同士をつなぐときに閾値θにより次のよう
に条件付ける
if min d(Ci,Cｊ) < θ then new Ck= Ci∪Cｊ
i,j
otherwise Ci, Cｊ are result clusters
図では高さの閾値のように書いたが、実は上記のように
d(Ci,Cｊ)の閾値。 θが大きいほど大きなクラスタが作られる。
 距離d(Ci,Cｊ)の定義によっていくつかのvariationがある
。

距離の定義
 
  
    
   




l m
ji
ji
ji
jimlji
jimlji
ii
mClCd
CC
CCd
mClCdCCd
mClCdCCd
kkCC
)(),(
||||
1
,
methodlinkaverageGroup
)(),(max,
methodlinkComplete
)(),(min),(
methodlinkSingle
,..2,1),(
,
,
Single linkはまばらな内容のクラスタ、とくに鎖状につながったクラスタを作りやすい
Complete link は最初は凝縮したクラスタを作りがち。最後のころに離れ離れのクラ
スタを無理やりつなぐ傾向あり
Group average は、その中庸をとる。

K-means法
前述の階層型クラスタリングでは、閾値θで、
クラスタのまとまりの良さを決めていた。しか
し、クラスタ数そのものを制御できない。
一般的には、もともといくつのクラスタがある
か分からない。
もし、クラスタ数がK個だと分かっているとき使
えるのが、K-means法。
後に述べるEMアルゴリズムの原始的な形態。

K-means のアルゴリズム
1. データ:x[n]はN個
2. K個の点の初期値：m[k]を適当な値に決める
3. for (var n = 1; n <= N; n++)
{ x[n]の所属先を距離(x[n] , m[k] )の一番小さい k とする}
4. m[k]を、kに所属するx[n]の平均値に更新
5. 収束のテスト
例えば、全てのkで更新前m[k]と更新後m[k]の距離が予め
決めた閾値εより小さい
6. 収束したら終了。収束しなかったら3.へ戻る

各データの所属を一番m[k]に近い決める

各データ点の所属の更新
破線の境界から実線の境界へ

所属の更新： m[k]の変化は小さくなってくる

標準的評価法
• 精度:Precision=
𝑇𝑃
𝑇𝑃+𝐹𝑃
• 再現率:Recall=
𝑇𝑃
𝑇𝑃+𝐹𝑁
• Ｆ値=
2×𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛×𝑅𝑒𝑐𝑎𝑙𝑙
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛+𝑅𝑒𝑎𝑙𝑙
処理ｓで得ら
れたデータ集
合
処理ｓで得られるべきデータ集合
FP TP FN
TN

クラスタリングの評価：Purity
生成されたクラスタがどれだけ多数派で占めら
れているかを表す尺度
 
 
   



 





L
i
ji
j
L
i
ji
j
L
i
K
j
ji
jiL
j
ji
ji
K
n
N
n
n
purityglobal
n
n
puritylocal
j
in
L
CCCN
1
,
1
,
1 1
,
,
1
,
,
1
max
1
max
1
max
1
:
,,...:,:
　
　
するデータ数番目の真のクラスに属
て番目のクラスタにおい生成された
生成されたクラスタ数
真のクラス集合データ数

local purity
global purity
問題点何もしない場合
全データが同一クラスタ
１クラスタが１データ
1 2 3
10
6
)1(,
8
4
)1(,
7
5
)1(  puritypuritypurity
6.0
25
15
1087
645



purity
 ji
ji
n
N
purity ,
,
max
1

  11
1
max
1
11
,    N
N
N
n
N
purity
L
i
L
i
ji
j

Inverse Purity
 


















K
i
ji
j
K
i
ji
L
j
ji
n
n
n
N
ityInversePur
1
,
1
,
1
,
max
1
真のクラスjのデータ総数
１クラスタに１個のデータしかない場合も
Inverse Purityは1より小さい。
そこでPurityとの調和平均であるF値で評価
ityInversePurPurity
F
11
2

値
クラスタiのデータ数

 ８個、７個、１０個


1 2 3
25
15
1087
645



Purity
599.0
598.0
1
6.0
1
2


値F
598.06
10
10
4
7
8
5
8
7
25
1






ityInversePur

クラシックな機械学習の入門　　8. クラスタリング

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