степенева, показникова та логарифмічна функції
- 1. Ю. Марчук Курс лекцій з математики КОРІНЬ n-ГО СТЕПЕНЯ. У курсі алгебри розглядалось поняття квадратного кореня з невідємного числа. Узагальнимо це поняття, визначивши поняття кореня з довільним натуральним показником, більшим від 1. Як відомо, квадратним коренем з числа а називають число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно визначається поняття кореня довільного натурального степеня п з числа а. Коренем п-го степеня (n N, n 1) з числа а називається число, п-й степінь якого дорівнює а. Запис: п а - радикал; п – показник кореня; а – підкореневий вираз. Розвязання коренів − При парному п існує два корені п-го степеня з будь-якого додатного числа а. п а = ± с − Корінь п-го степеня з числа 0 дорівнює нулю. п 0 = 0 − Коренів парного степеня з відємних чисел не існує. − При непарному п існує корінь п-го степеня з будь-якого числа а, і тільки один. п а = b Властивості кореня п-го степеня (n N, m Z) 1) a b = a b, a 0, b 0 n n n a a n 2) = , a 0, b 0 b b n n 3) n m = n m a a , a 0 4) n a = n m am , m 0 - основна властивість кореня m 5) n m ( n a = a ) , a 0 6) Якщо 0 а b, то n n a b СТЕПЕНІ З РАЦІОНАЛЬНИМИ ПОКАЗНИКАМИ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ З курсу алгебри відомо, що степінь з натуральним показником обчислюється за формулою: an = a a a ... a 1442443 n разів Розглянемо випадок, коли показник степеня є раціональним числом. Відомо, що раціональне число можна записати у вигляді m , де т Z, п N. n m n r , Q, = a r r Степенем числа а 0 з раціональним показником m r = , де т Z, п N (п 1), n називається число n m a . m n m n a = a Властивості степеня з раціональним показником Для будь-яких rQ і sQ, та будь-яких a0, b0 правильні рівності: aras = ar+s r s r s r s a a a a a − = = ( r ) s r s a = a ( ) r r r a b = a b
- 2. Тема: Степенева, показникові та логарифмічна функції r r r a b a b = При 0 a b: a b , коли r 0 r r a b , коли r 0 r r При r s: ar as , коли а 1 r s a a , коли 0 а 1 r 1 0 n 1 Важливі значення степеня: n a 0 = 0 a = a a = a = − , при r 0 1 СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИ Розглянемо степінь хп при п R і х 0. Якщо п – стале, а основа х – змінна, то у = хп є функцією аргументу х тобто f(x) = xn . Функцію f(x) = xn, де п – стале дійсне число, а основа х – змінна, називають степеневою функцією. Властивості степеневої функції залежать від того, яким числом є показник п. Щоб встановити властивості функції користуються схемою дослідження функцій. Схема дослідження функції: 1) Дослідити область визначення функції. 2) Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність. 3) Визначити координати точок перетину графіка з осями координат. 4) Дослідити проміжки знакосталості функції. 5) Визначити проміжки зростання і спадання функції. 6) Дослідити функцію на екстремуми. 7) Встановити характерні точки функції. 8) Побудувати графік функції. ДОСЛІДЖЕННЯ СТЕПЕНЕВОЇ ФУНКЦІЇ. 1. nN, п – непарне. − D( f ) = (−;+) − Функція непарна. (графік симетричний відносно початку координат) − х = 0, у = 0. − якщо x 0, то y 0; якщо x 0, то y 0.(графік розміщений у І і ІІІ чвертях) − Функція зростає на всій області визначення, монотонна. − Точок екстремуму немає. − Характерні точки (1; 1) і (-1; -1). − Графік: при п = 1 є пряма у = х; при п = 3; 5; 7;… є криві, симетричні відносно початку координат і розміщені у І і ІІІ чвертях.
- 3. Ю. Марчук Курс лекцій з математики 2. nN, п – парне. − D( f ) = (−;+) − Функція парна. (графік симетричний відносно осі OY) − х = 0, у = 0. − якщо x 0, то y 0; якщо x 0, то y 0.(графік розміщений у І і ІІ чвертях) − Функція зростає при х 0 /x (0; +∞)/; спадає при х 0 /х (-∞; 0)/. − Точка екстремуму: (0; 0) – точка мінімуму. − Характерні точки (1; 1) і (-1; 1). − Графік: при п = 2; 4; 6;… є криві, симетричні відносно осі OY і розміщені у І і ІІ чвертях. 3. nZ, n 0, п – непарне. − D( f ) = (−;0) U (0;+) − Функція непарна. (графік симетричний відносно початку координат) − Точок перетину з осями немає. − якщо x 0, то y 0; якщо x 0, то y 0.(графік розміщений у І і ІІІ чвертях) − Функція спадає на всій області визначення, монотонна. − Точок екстремуму немає. − Характерні точки (1; 1) і (-1; -1). − Графік – це криві, симетричні відносно початку координат і розміщені у І і ІІІ чвертях. 4. nZ, n 0, п – парне. − D( f ) = (−;0) U (0;+) − Функція парна. (графік симетричний відносно осі OY) − Точок перетину з осями немає. − якщо x 0, то y 0; якщо x 0, то y 0.(графік розміщений у І і ІІ чвертях) − Функція спадає при х 0 / x (0; +∞) /; зростає при х 0 / х (-∞; 0) /. − Точок екстремуму немає. − Характерні точки (1; 1) і (-1; 1). − Графік – це криві, симетричні відносно осі OY і розміщені у І і ІІ чвертях.
- 4. Тема: Степенева, показникові та логарифмічна функції 1 5. = ( k = 3;5;7;...) k n − D( f ) = (−;+ ) − Функція непарна. (графік симетричний відносно початку координат) − x = 0, y = 0. − якщо x 0, то y 0; якщо x 0, то y 0.(графік розміщений у І і ІІІ чвертях) − Функція зростає на всій області визначення, монотонна. − Точок екстремуму немає. − Характерні точки (1; 1) і (-1; -1). − Графік – це криві, симетричні відносно початку координат і розміщені у І і ІІІ чвертях. 1 6. = ( k = 2;4;6;...) k n − D( f ) = [0;+ ) − Функція несиметрична. − x = 0, y = 0. − якщо x 0, то y 0.(графік розміщений у І чверті) − Функція зростає на всій області визначення, монотонна. − Точок екстремуму немає. − Характерна точка (1; 1). − Графік – це криві, розміщені у І чверті. ПОКАЗНИКОВІ ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ Використовуючи степінь можна записати дві різні відповідності: − між значенням степеня і значенням основи ( хп ); − між значенням степеня і значенням показника степеня (ах). хп – степінь із змінною основою і сталим показником. ах – степінь із сталою основою і змінним показником. Функція, задана формулою y = ax, де а 0, a ≠ 1, називається показниковою функцією за основою а. Є два види показникової функції за основою а: − показникова функція за основою 0 a 1; − показникова функція за основою a 1. Вивчаючи функції, важливими є не тільки вміння досліджувати властивості різних функцій і на основі їх будувати графіки, але важливими є і навики читання графіка функції. Тому в процесі вивчення показникової функції ми спочатку побудуємо її графіки, а потім, читаючи їх, визначимо її властивості.
- 5. Ю. Марчук Курс лекцій з математики Побудуємо графіки функцій: x = 1 y 2 , x = 2 y 3 , у = 2х , у = 3х. y=2x y=3x y=0,5x y=(2/3)x x y x y x y x y -3 0,1 -3 0,04 -3 8,0 -3 3,4 -2,5 0,2 -2,5 0,1 -2,5 5,7 -2,5 2,8 -2 0,3 -2 0,1 -2 4,0 -2 2,3 -1,5 0,4 -1,5 0,2 -1,5 2,8 -1,5 1,8 -1 0,5 -1 0,3 -1 2,0 -1 1,5 -0,5 0,7 -0,5 0,6 -0,5 1,4 -0,5 1,2 0 1,0 0 1,0 0 1,0 0 1,0 0,5 1,4 0,5 1,7 0,5 0,7 0,5 0,8 1 2,0 1 3,0 1 0,5 1 0,7 1,5 2,8 1,5 5,2 1,5 0,4 1,5 0,5 2 4,0 2 9,0 2 0,3 2 0,4 2,5 5,7 2,5 2,5 0,2 2,5 0,4 3 8,0 3 3 0,1 3 0,3 y=2x y=3x y=0,5x у=(2/3)х 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Використовуючи схему дослідження функції та побудовані графіки, визначимо, які основні властивості має показникова функція у = ах: 1) область визначення: D(y) = (- ; +); область значень: E(y) = (0; +∞). 2) Функція несиметрична, не періодична, оборотна. 3) Перетин з осями: х = 0, у = 1 → (0; 1) – точка перетину з віссю ОY; точок перетину з віссю ОХ немає. 4) Проміжки знакосталості: x 0, y 0 (I чверть), x 0, y 0 (ІІ чверть). 5) Проміжки монотонності: при а 1, функція зростає на проміжку (- ; +); при 0 a 1, функція спадає на проміжку (- ; +). 6) Екстремумів немає. 7) Характерна точка (0; 1) Функція, обернена до показникової функції, називається логарифмічною функцією. Графік показникової функції називається експонентою.
- 6. Тема: Степенева, показникові та логарифмічна функції ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ Показниковими називають рівняння, в яких невідоме входить лише до показників степенів, а основи є сталими. Найпростішим показниковим рівнянням є: ax = b, a 0, b 0, a ≠ 1 aбо af(x) = b, a 0, b 0, a ≠ 1 Загального методу розв’язування показникових рівнянь немає. При розв’язуванні показникових рівнянь можна звести ліву і праву частини цього рівняння до степенів з однаковою основою, а потім перейти від порівняння степенів з однаковою основою до порівняння їхніх показників. Інші методи: спробувати звести показникове рівняння до квадратного рівняння, ввівши нову змінну; функціонально-графічний метод (розглянути ліву і праву частини рівняння як функції, графіки яких перетинаються, тоді рівняння має розв'язки, або не перетинаються, тоді рівняння немає розв'язків). Показниковими називають нерівності, в яких невідоме входить лише до показників степенів, а основи є сталими. Найпростіші показникові нерівності (a 0, b 0, a ≠ 1): aх b, ax b, af(x) ag(x), af(x) ag(x) Розвязуючи показникові нерівності виду af(x) ag(x) або af(x) ag(x), при переході від порівняння степенів до порівняння їхніх показників, слід пам’ятати властивості степеня з різними основами. Якщо а 1, то при переході до порівняння показників знак нерівності залишається таким самим. Якщо 0 a 1, то при переході до порівняння показників потрібно знак нерівності змінити на протилежний. ЛОГАРИФМИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ Нехай а – додатне число, а ≠ 1. Число у називається логарифмом числа х за основою а, якщо х = ау. Число а називається основою логарифма. Запис: y = logax Отже y = logax рівносильне х = ау, при а 0, а ≠ 1. Тоді a x log x a = – основна логарифмічна тотожність. Іншими словами, логарифм числа х за основою а – це показник степеня, до якого треба піднести число а, щоб одержати х. Основні властивості логарифмів 1) log ( pq) = log p + log q ( p 0, q 0) a a a 2) p log = log p − log q ( p 0, q 0) a a a q 3) log p = log p ( p 0, R) a a 4) log p = log p ( 0, p 0) a a log p 5) log = ( p 0, q 0, q 1) log q p a a q 6) a log b c = c log b a ( c 0, a 0, b 0, b 1) Наслідки: 4*) якщо = , то log p = log p a a 4**) якщо =1, то p p a a log 1 log =
- 7. Ю. Марчук Курс лекцій з математики 5*) якщо а = р, то q log p = 1 p q log Логарифм числа за основою 10 називається десятковим. Запис: x 10 x lg = log Логарифм числа за основою е називається натуральним. Запис: x x e ln = log e = 2,71828... Логарифм нуля і відємних чисел не існує, оскільки рівняння ах = 0 і нерівність ах 0 при а 0 не мають розвязків. Логарифмування – це знаходження логарифму деякого виразу за певною основою. Потенціювання – це перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа визначають саме число. Обчислення логарифмів: − будь-яке число а 0 має тільки один логарифм; − відємні числа і нуль логарифму не мають; − логарифм одиниці дорівнює нулю: log 1 = 0 a ; − логарифм основи дорівнює одиниці: log a =1 a . ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІК ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ. Кожному додатному числу х відповідає певне значення його логарифма logax. Отже logax при заданому а (а 0, а ≠ 1) є функцією від х на множині R+. Функцію y = logax називають логарифмічною функцією за основою а (а 0, а 1). Оскільки рівності y = logax і х = ау за означенням логарифма визначають один і той самий звязок між змінними х і у, то показникові і логарифмічна функції є оберненими. А графіки взаємно обернених функцій є симетричними відносно прямої у = х. Використаємо це для побудови графіка логарифмічної функції. Спочатку побудуємо графік логарифмічної функції y = log2x в такій послідовності: у = 2х (синій) → у = х (червоний) → y = log2x (зелений). 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 Аналогічно виконується побудова графіка логарифмічної функції y = log0,5x в такій послідовності: у = 0,5х (синій) → у = х (червоний) → y = log0,5x (зелений).
- 8. Тема: Степенева, показникові та логарифмічна функції 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 Виходячи з вище розглянутого, побудуємо графіки логарифмічної функції y = logax: 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 a 1 0 a 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Використовуючи графіки логарифмічної функції, визначимо її властивості. Властивості логарифмічної функції y = logax (а 0, а ≠ 1) 1) область визначення: D(y) = (0; +); область значень: E(y) =(- ; +). 2) Функція несиметрична, не періодична, оборотна. 3) Перетин з осями: х = 1, у = 0 → (1; 0) – точка перетину з віссю ОХ; точок перетину з віссю ОY немає. 4) Проміжки знакосталості: при a 1: 0 x 1, y 0 (IV чверть); x 1, y 0 (І чверть); при 0 a 1: 0 x 1, y 0 (І чверть); x 1, y 0 (IV чверть). 5) Проміжки монотонності: при а 1, функція зростає на проміжку (0; +∞); при 0 a 1, функція спадає на проміжку (0; +∞). 6) Екстремумів немає. 7) Характерна точка (1; 0) ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ Рівняння називається логарифмічним, якщо його змінна входить лише під знак логарифма. Найпростішим логарифмічним рівнянням є: logax = b, a 0, a ≠ 1. При будь-якому дійсному b це рівняння має єдиний розв'язок: х = аb. Розв'язування інших логарифмічних рівнянь ґрунтується на властивостях логарифмічної функції, означенні та властивостях логарифма.
- 9. Ю. Марчук Курс лекцій з математики Розв'язуючи логарифмічні рівняння, потрібно встановити область допустимих значень (ОДЗ) рівняння або здійснити перевірку отриманих розв'язків. Як для показникових, так і для логарифмічних рівнянь немає загального методу розв'язування. При розв'язуванні окремих логарифмічних рівнянь можна використовувати такі способи: За означенням логарифма; За властивостями логарифма і логарифмічної функції; Графічним способом. Нерівність називається логарифмічною, якщо її змінні входять лише під знаки логарифмів. Для розв'язування логарифмічних нерівностей використовують ті ж самі методи, що і для розв'язування логарифмічних рівнянь. Найпростішими логарифмічними нерівностями є: logax b чи logax b, a 0, a ≠ 1. Нерівності такого виду розв'язують, використовуючи такі властивості логарифмічної функції: якщо a 1 та logax b, то x ab; якщо 0 a 1 та logax b, то 0 x ab.