аксиоматический подход в математике матрицы и определители
- 1. Аксиоматический подход в математике. Элементы линейной алгебрыЛекция 4.1Никогда не существовало и не будет существовать никаких «прикладных наук», есть лишь приложения наукЛуи Пастер
- 3. Аксиоматический подход в математикеВопрос №13
- 4. Правила игры, условные обозначения…
- 5. способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые истинные утверждения (аксиомы), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) этой теории.Аксиоматический метод
- 6. АксиомаV постулат - Аксио́ма паралле́льности Евкли́даСдр.-греч.ἀξίωμα — утверждение, в определённых рамках (теории, концепции, дисциплины) принимаемое истинным без доказательств, которое в последующем служит «фундаментом» для построения доказательств.Требования к системе аксиом: непротиворечивость;
- 8. полнота.ТеоремаС греч. ω- утверждение, истинность которого установлена путем доказательства.
- 9. Научная теорияТеоремыПонятия+Аксиомы+Теоремы = Научная теорияПонятияАксиомыАксиоматический метод
- 10. Понятие матрицы. Основные операции над матрицамиВопрос №2
- 11. Нарушения связи на участках за год
- 12. МатрицаМатрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из объектов aij, которые называют элементами матрицы и обозначаетсяАmxn=Варианты записи матрицы:3) А=1) А=2) А=или сокращенная запись A=( aij); i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n
- 13. Матрица размера m*nИндексыСтрокиНомер строкиНомер столбцаЭлементы матрицыaijНомер строкиНомер столбцаСтолбцы
- 14. Количество строк и столбцов - MxNУкажите размер матриц2х33х23х1Размер
- 15. Укажите размер матриц А и В.В = Виды матрицМатрица-строка Нулевая матрица Матрица-столбец
- 16. Главная диагональm=nПобочная диагональКвадратнаяматрица n-го порядка – матрица размера nxn, n- порядок матрицы.КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫВиды матриц
- 17. ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА – это матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме элементов на главной диагонали.0 00 56 00 0 98ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА – это диагональная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные равны 0. Е = (1)Укажите порядок трех единичных матрицДиагональная ЕдиничнаяВиды матриц
- 18. Треугольная матрица квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю. – верхняя треугольная матрица, – нижняя треугольная матрица.Треугольные матрицыВиды матриц
- 19. Определите вид и размер матриц
- 20. Когда матрицы равны?Две матрицы называются равными если:Они имеют одинаковый размер.2. Соответствующие элементы матриц равны.
- 22. Алгебра матрицЛинейные операции над матрицамиНелинейные операции над матрицамиСложение (вычитание) матрицУмножение на скаляр (число)Умножение матрицТранспонирование матрицы
- 23. Суммой (разностью) матриц одинакового размера является матрица того же размера, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.cij = aijbij(матрицы складываются поэлементно)С = А + В = В + АСумма матрицСумма и разность определены только для матриц одинакового размера
- 24. Умножение матрицы на числоПроизведением матрицы А на число называется матрица В=А, элементы которой bij=aij, В=АВ=Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы
- 25. Транспонирование матрицТранспонированная матрица. Если в матрице Am×nстроки заменить соответственно столбцами, то получим транспонированную матрицу ATn×m:Проверка!
- 26. Пример
- 27. Свойства линейных операций над матрицами
- 28. Произведение матрицПроизведением матрицA m kB k nназывается такая матрица C m n, каждый элемент которой cijравен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы ВAmxnxBnxk=CmxkВСАОперация умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
- 29. для каких матриц определено произведение?число столбцов первой равночислу строк второй
- 32. Определены ли произведения А ∙ В и В ∙ А?1х33х1А3х1 ∙ В1х3= C3х3В1х3 ∙ А3х1= D1х1Найдем АВ и ВАРавны ли АВ и ВА?D1х1=(2 ∙1+1 ∙2+1 ∙1) = (5)=Произведение матриц некоммутативно: A·B ≠ B·A
- 33. Свойства операции умножения матриц
- 34. Определители и их свойстваВопрос №3
- 35. Определители 2 порядкаЧисловая характеристика квадратной матрицы - ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ( detA, Δ , aij)Определитель 2-го порядка - это число, записанное в виде: Произведениеэлементовглавнойдиагоналиминус произведениеэлементовпобочнойдиагонали.
- 36. Определители 3 – ого порядкаОпределителем 3 – ого порядка называется число:Метод треугольника_+
- 37. Отличие матрицы от определителя?а) нет различий;б) по форме представления; в) матрица – таблица, а определитель – число.
- 38. Свойства определителяСамостоятельно законспектировать: с. 18 – 20 УМП «Элементы линейной алгебры, теории множеств и математической логики» (библиотека)Подготовиться к летучке по решению примеров на применение свойств определителей
- 39. Системы линейных уравнений. Правило КрамераВопрос №4
- 40. Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛУ)1aij - коэффициентами при неизвестных, bi - свободные члены уравнений – произвольные числа, (i= 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) 2АХ = В3
- 41. Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестнымиНаиболее простым, является случай, когда число неизвестных n равно числу уравнений n. Пустьn=m= 2aij -коэффициентыпринеизвестных.Номер неизвестного, Номер уравненияСвободные члены уравненияРешение данной системы - это пара чисел х1 и х2, которая при подстановке обращает оба этих уравнения в тождества.
- 42. Решение СЛУ РешениемСЛУ (1) называется такая совокупность nзначений х1 , х2 , …, хn, при подстановке которых вместо соответствующих неизвестных в исходную систему каждое уравнение системы обращается в тождество.Система уравнений называется:совместной, если она имеет хотя бы одно решение, при этом:определенной, если она имеет единственное решение,неопределенной, если она имеет более одного решения. несовместной, если она не имеет решений.
- 43. Правило Крамера (в общем виде)Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными4– главный определитель
- 44. Теорема. Если определитель системы (4) отличен от нуля, т.е.Δ0, то система имеет единственноерешение,определяемое по формулам Крамера: , , …, .Следствие.Если Δ = 0, а хотя бы один из определителей Δ1, Δ2 , …, Δnне равен нулю, то система не имеет решений.Если Δ= Δ1 = Δ2 = … = Δn= 0, система имеет бесконечно много решений.
- 45. Главный определитель системыВспомогательные определители системыDD==xx;21DD21Система двух линейных уравнений с двумя неизвестнымиЕсли , то решение системы находится по формулам:Формулы Крамера
- 46. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестнымиРешить систему методом Крамера:Вычислим главный и вспомогательные определители системы:Найдем решение системы по формулам Крамера:
- 47. Системы из 3 линейных уравнений с 3 неизвестнымиРешим систему из 3 линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.Вспомогательные определители получаются из главного определителя, если заменить соответствующий столбец столбцом свободных членов:
- 48. Системы из 3 линейных уравнений с 3 неизвестнымиПо величине главного и вспомогательных определителей можно судить о характере системы:Если то система имеет единственное решение.
- 49. Если то система имеет бесконечное множество решений.
- 50. Если , но или или то система не имеет решений.
- 51. Если , то решение системы находится по формуламКрамера:ВыводыАксиоматический метод – универсальный подход к построению научной теорииМатрица = таблица, операции над матрицами:сложение, умножение на число,умножение матриц, транспонированиеОпределитель – числовая характеристика матрицыМетод Крамера – способ решения системnлинейных уравнений c nнеизвестнымиЭти сведения будут полезны при решении ВПЗ с использованием методов математического моделирования!
- 52. Задание на самоподготовку:Конспектс. 18 – 20 УМП «Элементы линейной алгебры, теории множеств и математической логики» (библиотека).Подготовиться к летучке по свойствам определителя.Завеститетрадь (12 листов) для выполнения Расчетно-графической работы