Abstract image of a woman sitting on books and studying on a laptop

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

น
นำสว่าง เหิมสารจอด

การแก้สมการ ม.1

Education
1 of 76
Downloaded 55 times
1
2
3
4
5
6
Most read
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Most read
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว และ iMath เนื้อหาประกอบด้วย ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ตัวแปรตัวแปร สมการสมการ สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบสองขั้นตอนการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบสองขั้นตอน และอื่น ๆและอื่น ๆ โดย เสถียร วิเชียรสาร วท.บ. (สถิติ) ครู ค.ศ.1 โรงเรียนบ้านซับก้านเหลือง ป.บัณฑิต (การศึกษา)
เอกสารประกอบการเรียนการสอน สาระการเรียนรูคณิตศาสตร ชวงชั้นที่ 3 พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง สํานักงานเขตพื้นที่การศึกษานครราชสีมาเขต 3
คํานํา เอกสารความรูพีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเลมนี้ ใหความรูในกลุมสาระ คณิตศาสตร เหมาะสําหรับนักเรียนที่สนใจในการศึกษาหาความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับเนื้อหาพีชคณิตเบื้องตนและ สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว รวมถึงครูผูสอนกลุมสาระคณิตศาสตรสามารถใชเปนสื่อประกอบการสอนได ขอความที่ปรากฏอยูในเอกสารเลมนี้ จะเปนการบรรยายในลักษณะที่เปนคําพูดที่ใชทั่ว ๆ ไป ไมไดเนนออกไป ทางการใชคําที่เปนวิชาการมากนัก อานแลวจะรูสึกเหมือนกับวาผูจัดทําไดเปนผูบรรยายใหฟงในขณะนั้น เนื้อหาที่สําคัญ ๆ ก็จะประกอบไปดวยสวนของพีชคณิตเบื้องตน ซึ่งก็ไดแกการดําเนินการการบวก ลบ คูณ หาร การเขียนการดําเนินการในรูปอยางยอ และสวนที่เจาะลึกในเรื่องของสมการการเชิงเสนตัวแปรเดียว ซึ่ง จะเรียงลําดับเนื้อหาการแกสมการในรูปแบบงาย ๆ ทีละขั้นไปจนถึงระดับที่ซับซอน ขอขอบคุณ ครูจินตนา ปตตังเว ครูชํานาญการโรงเรียนบานซับกานเหลือง ที่ไดใหคําแนะนํา หลาย ๆ อยางและตรวจสอบขอผิดพลาดที่เกิดขึ้น จนสามารถจัดทําเอกสารประกอบการเรียนเลมนี้ไดสําเร็จ ผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวาเอกสารเลมนี้จะเปนอีกสื่อนวัตกรรมหนึ่งที่จะชวยเสริมความรู ความเขาใจ และ ความรักในการเรียนคณิตศาสตร เกิดประโยชนอยางสูงแกผูเรียนและครูผูสอน หากผิดพลาดประการใด ผูจัดทําขอนอมรับคําแนะนําทุกประการดวยความยินดียิ่ง เพื่อจะนํามาพัฒนางานนี้และงานอื่น ๆ ตอไป ดวยความปรารถนาดี เสถียร วิเชียรสาร
คําชี้แจง เอกสารประกอบการเรียนกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร เรื่องพีชคณิตเบื้องตนและสมการ เชิงเสนตัวแปรเดียว มีจุดประสงคหรือผลการเรียนรูที่คาดหวังประกอบดวย 1. ผูเรียนสามารถคํานวณตัวเลขเพื่อหาผลลัพธไดถูกตองตามลําดับการดําเนินการทาง คณิตศาสตร 2. ผูเรียนสามารถบอกลักษณะการดําเนินการทางคณิตศาสตรจากประโยคสัญลักษณที่อยูรูป แบบอยางยอได 3. ผูเรียนสามารถหาผลลัพธจากประโยคสัญลักษณที่มีตัวแปรไดถูกตอง เมื่อกําหนดคาของ ตัวแปรมาให 4. ผูเรียนสามารถบอกไดวาสมการที่กําหนดใหเปนจริงหรือเปนเท็จ 5. ผูเรียนสามารถบอกไดวาคําตอบของสมการมีคาเทาใด เมื่อกําหนดสมการและตัวเลขที่ นาจะเปนคําตอบของสมการนั้นมาให 6. ผูเรียนมีความรูความเขาใจเกี่ยวกับลักษณะสําคัญของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 7. ผูเรียนสามารถใชสมบัติการบวกและสมบัติการลบแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวได 8. ผูเรียนสามารถใชสมบัติการคูณและสมบัติการหารแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวได 9. ผูเรียนสามารถใชหลักการพิจารณาลําดับการดําเนินการทางคณิตศาสตรเพื่อแกสมการเชิง เสนตัวแปรเดียวแบบสองขั้นตอนได 10. ผูเรียนสามารถแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขางของสมการได 11. ผูเรียนสามารถแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขางของสมการ และแต ละขางมีตัวแปรซ้ํากันมากวา 1 ตัวได 12. ผูเรียนสามารถแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวที่มีรูปแบบที่ซับซอนได 13. ผูเรียนสามารถสรางสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวจากโจทยปญหาที่กําหนดใหได 14. ผูเรียนสามารถแกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวได รูปแบบของเนื้อหาจะลําดับจากความรูพื้นฐานงาย ๆ แลวคอย ๆ เพิ่มความยากความซับซอน มากขึ้น ดังนั้นเพื่อใหเกิดผลสัมฤทธิ์ในการเรียนรู ผูเรียนจะตองศึกษาตามลําดับเนื้อหนาที่ปรากฏ หากยังไม เขาใจเนื้อหาในเรื่องนั้น ๆ อยางถองแท ก็ไมควรที่จะไปศึกษาเรื่องที่อยูในลําดับถัดไป เพื่อเปนการตรวจสอบ วาผูเรียนมีความเขาใจเนื้อหานั้น ๆ หรือไม จะมีแบบทดสอบความเขาใจใหผูเรียนไดลองทํา ถาทําไดถูกตอง นั่นแสดงวาผูเรียนมีความพรอมที่จะศึกษาเนื้อหาที่อยูถัดไป
สารบัญ หนา 1. ลําดับการดําเนินการทางคณิตศาสตร 1 2. ตัวแปร 1 3. สมการ 7 4. สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 10 5. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 10 6. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวแบบสองขั้นตอน 19 7. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว กรณีที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขางของสมการ 24 8. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว กรณีที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขางของสมการ 27 แตละขางมีตัวแปรซ้ํากันมากกวา 1 ตัว 9. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ที่มีรูปแบบที่ซับซอน 29 10. โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 38 11. แบบทดสอบพีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 54 12. เฉลยแบบทดสอบพีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 57 บรรณานุกรม
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 1 หลักการ : การดําเนินการทางคณิตศาสตร คือการคํานวณหาคาผลลัพธจากประโยคสัญลักษณทาง คณิตศาสตร ซึ่งอาจจะเปนการบวก ลบ คูณ หาร และยกกําลัง เปนตน ซึ่งลําดับการดําเนินการหรือ ลําดับการคํานวณกอนหลังเปนดังนี้ 1. ใหดําเนินการภายในวงเล็บกอนเปนลําดับแรก 2. ยกกําลัง 3. คูณ หรือหาร (ตามลําดับจากซายไปขวา) 4. บวก หรือลบ (ตามลําดับจากซายไปขวา) ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของ )92(53)84( 2 ++×÷+ วิธีทํา )92(53)84( 2 ++×÷+ 33 1320 1354 135312 )94(5312 = += +×= +×÷= ++×÷= 2054; 4312; 1394; 42,1284; 2 =× =÷ =+ ==+ ตัวอยางที่ 2 จงหาคาของ [ ] 2)37(4 2 +−+ วิธีทํา [ ] 2)37(4 2 +−+ [ ] [ ] 22 220 2164 244 2 = += ++= ++= 20164; 164; 437; 2 =+ = =− หลักการ : ตัวแปร คือ ตัวที่ไมทราบคา (ไมใชตัวเลข) ที่ปรากฏอยูในประโยคสัญลักษณทางคณิตศาสตร ซึ่ง อาจจะอยูในรูปของตัวอักษร หรือรูปรางตาง ๆ และเพื่อที่จะสามารถหาคําตอบของประโยคสัญลักษณนั้น ๆ จําเปนจะตองทราบคาของตัวแปรทุกตัวที่ปรากฏอยูในประโยคสัญลักษณ 2. ตัวแปร 1. ลําดับการดําเนินการทางคณิตศาสตร
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 2 รูปแบบของประโยคสัญลักษณที่นาสนใจ a3 หมายถึง a×3 ab หมายถึง ba × a⋅5 หมายถึง a×5 3 d หมายถึง ddd ×× 2 3xy หมายถึง yyx ×××3 ( )[ ]cdba หมายถึง ( )dcba ××× b t 3 หมายถึง ( )bt ×÷ 3 )4(2 หมายถึง 42× ตัวอยางที่ 3 จงหาคาของ 4−+ yx เมื่อ 3,7 == yx วิธีทํา 4−+ yx 6 410 437 = −= −+= แทนคา x ดวย 7 และ y ดวย 3 ตัวอยางที่ 4 จงหาคาของ ba 32 + เมื่อ 12,4 == ba วิธีทํา ba 32 + )12(3)4(2 += แทนคา a ดวย 4 และ b ดวย 12 44 368 = += ใหคูณกอนบวกนะ ตัวอยางที่ 5 จงหาคาของ x y 3 2 เมื่อ 3,6 == xy วิธีทํา x y 3 2 )3(3 62 = แทนคา y ดวย 6 และ x ดวย 3 4 936 9 36 = ÷= =
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 3 1. จากรูปแบบการดําเนินการอยางยอตอไปนี้ จงเขียนใหอยูการดําเนินการเต็มรูปแบบ ตัวอยาง xx ×= 66 1.1 =)3(6 ab .................................................................................... 1.2 =)2)(3( ba ................................................................................ 1.3 = dc ab 3 2 3 5 ...................................................................................... 1.4 =⋅ d c ab 4 .................................................................................. 1.5 =2 )(ab ..................................................................................... 2. จงหาคาของ ( ) 6534 2 ⋅−+ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงหาคาของ 352 +⋅ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 4. จงหาคาของ 654)32(5 ⋅+−+⋅ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 1
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 4 5. จงหาคาของ 9221 ⋅+ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 6. จงหาคาของ 24)5(3 ÷+ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 7. จงหาคาของ 5318 −÷ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 8. จงหาคาของ ( )2 365 + ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 5 9. จงหาคาของ ( ) 23 12 79 3 ⋅ −− ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 10. กําหนดให a = 7, b = 6, c = 4 และ d = 3 จงหาคาของ dba 243 −+ =...................................... =...................................... =................. 21÷abc =...................................... =...................................... =................. ( ) dcb ⋅+ 23 =...................................... =...................................... =................. ( )dcb ⋅+ 23 =...................................... =...................................... =................. 2 cd =...................................... =...................................... =................. ( )2 cd =...................................... =...................................... =................. 11. จงหาคาของ 2 723 )419(3 − +−⋅ =...................................... =...................................... =................. )66(4342 −+⋅− =...................................... =...................................... =................. ( ) 5172 ÷+ =...................................... =...................................... =................. 23 21 2 − =...................................... =...................................... =................. ( )[ ] 2374 2 +−+ =...................................... =...................................... =................. ( )[ ] 1687 2 −−− =...................................... =...................................... =................. ( )[ ] 7234 ÷+ =...................................... =...................................... =................. ( )[ ]14178217 −−− =...................................... =...................................... =.................
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 6 12. กําหนดให y = 36, x = 25 และ w = 20 จงหาคาของ ( )wx w xy +− ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 13. จากประโยคสัญลักษณทางคณิตศาสตรแตละขอดานลาง ใหนักเรียนใสวงเล็บเพื่อแสดงลําดับการ ดําเนินการทางคณิตศาสตรใหถูกตอง ตัวอยาง =⋅+ )34(52 37 =+÷ 3672 8 =+÷−+ 5436446 46 =+÷+ 6247 2 9 =+−⋅ 1583 6 =−−+ 5784 10
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 7 หลักการ : สมการ หมายถึง ประโยคสัญลักษณทางคณิตศาสตรที่แสดงถึงความเทากันของจํานวน (โดยมี สัญลักษณ = ที่แสดงถึงความเปนสมการ) เชน 5 + 4 = 9 ; เปนจริง 10 - 3 = 7 ; เปนจริง )65(2 + = 2(5) + 2(6) ; เปนจริง 325 ⋅+ = 21 ; เปนเท็จ สมการที่มีตัวแปรปรากฏอยูจะเรียกวา ประโยคเปด ซึ่งทําใหไมสามารถบอกไดวาสมการดังกลาว เปนจริงหรือเท็จ จนกวาจะนําตัวเลขมาแทนตัวแปร เชน 5 + 4 = x 10y - 4 = 26 2a = 8 4 3x = 1 การหาคําตอบของสมการ คือการหาจํานวนมาแทนตัวแปรที่ปรากฏอยูในสมการนั้น ๆ เพื่อทําให สมการเปนจริง หรือเรียกวา การแกสมการ และจํานวนดังกลาวเรียกวา คําตอบของสมการ นั่นเอง ตัวอยางที่ 6 จงหาวาจํานวนใดในวงเล็บ (8, 9, 10) ที่เปนคําตอบของสมการ 5 + 4 = x วิธีทํา ตัวแปรในที่นี้คือ x 5 + 4 = x 5 + 4 = 8 ทดลองแทน x ดวย 8 9 = 8 จะพบวาไมจริง ดังนั้น 8 ไมใช คําตอบของสมการนี้ 5 + 4 = x 5 + 4 = 9 ทดลองแทน x ดวย 9 9 = 9 จะพบวาเปนจริง ดังนั้น 9 คือ คําตอบของสมการนี้ 3. สมการ
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 8 ตัวอยางที่ 7 จงหาวาจํานวนใดในวงเล็บ (1, 2, 3) ที่เปนคําตอบของสมการ 10y - 4 = 26 วิธีทํา ตัวแปรในที่นี้คือ y 10y - 4 = 26 10(1) - 4 = 26 ทดลองแทน y ดวย 1 10 - 4 = 26 6 = 26 จะพบวาไมจริง ดังนั้น 1 ไมใช คําตอบของสมการนี้ 10y - 4 = 26 10(2) - 4 = 26 ทดลองแทน y ดวย 2 20 - 4 = 26 16 = 26 จะพบวาไมจริง ดังนั้น 2 ไมใช คําตอบของสมการนี้ 10y - 4 = 26 10(3) - 4 = 26 ทดลองแทน y ดวย 3 30 - 4 = 26 26 = 26 จะพบวาเปนจริง ดังนั้น 3 คือ คําตอบของสมการนี้
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 9 1. จงหาคําตอบของสมการในแตละขอ จากตัวเลขที่กําหนดให (ขีดเสนใตตัวเลขที่เปนคําตอบ) ตัวอยาง x 3814 += (52, 42, 24) m3 48= (14, 16, 19) c−3.1 50.0= (0.80, 1.80, 5.30) w 792 8= (44, 54, 99) 2. จงหาคําตอบของสมการ x5 100= คําตอบของสมการนี้คือ x = ........ 1634 + x= คําตอบของสมการนี้คือ x = ........ 7−d 24= คําตอบของสมการนี้คือ d = ........ 8+t 18= คําตอบของสมการนี้คือ t = ........ 3. สมการแสดงความระหวางอุณหภูมิในหนวยองศาเซลเซียสกับองศาฟาเรนไฮต 9 )32(5 − = F C เมื่อ C คือคาอุณหภูมิในหนวยองศาเซลเซียสและ F คือคาอุณหภูมิในหนวยองศาฟาเรนไฮต ถากําหนดให อุณหภูมิในหนวยองศาฟาเรนไฮตเปน 32 จงหาวาอุณหภูมิในหนวยองศาเซลเซียสจะเปนเทาใด ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 2
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 10 หลักการ : สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว หมายถึง สมการที่มีตัวแปรปรากฏอยูในสมการนั้นเพียง 1 ตัวแปร เชน 5+x 10= 43 +x 25= 4+− x 63 += x 5 43 +x 25= ( )xx 6382 −+ x525 −= หลักการ : จะตองทําใหฝงใดฝงหนึ่งของสมการเหลือเพียงแคตัวแปร สวนอีกฝงหนึ่งเหลือเพียงตัวเลข การบวกและการลบ สมบัติ การบวก ของสมการ หลักการ : เมื่อนําจํานวนที่เทากันมาบวกเขาทั้งสองขางของสมการ คาแตละขาง ของสมการจะยังคงเทากันเหมือนเดิม รูปทั่วไป (ทางพีชคณิต) ตัวอยาง a = b a + c = b + c 5 = 5 5 + 2 = 5 + 2 7 = 7 สมบัติ การลบ ของสมการ หลักการ : เมื่อนําจํานวนที่เทากันมาลบออกทั้งสองขางของสมการ คาแตละขาง ของสมการจะยังคงเทากันเหมือนเดิม รูปทั่วไป (ทางพีชคณิต) ตัวอยาง a = b a - c = b - c 5 = 5 5 - 2 = 5 - 2 3 = 3 5. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 4. สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 11 ในการแกสมการที่มีตัวเลขบวกหรือลบอยูกับตัวแปร จะตองใชการดําเนินการที่ตรงกันขามเพื่อกําจัด ตัวเลขตัวเลขดังกลาวใหหายไป เหลือเพียงแตตัวแปร เมื่อแกสมการเรียบรอยแลวใหตรวจสอบคําตอบที่ ไดทุกครั้ง ตัวอยางที่ 8 จงแกสมการ 1534 =−y วิธีทํา แกสมการ 34−y 15= 3434 +−y 3415 += บวก 34 เขาทั้งสองขางของสมการ y 49= ตรวจคําตอบ 34−y 15= 3449 − 15= แทนคา y ดวย 49 15 15= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 15 ตัวอยางที่ 9 จงแกสมการ 23.735.4 =+w วิธีทํา แกสมการ 35.4+w 23.7= 35.435.4 −+w 35.423.7 −= ลบ 4.35 ออกทั้งสองขางของสมการ w 88.2= ตรวจคําตอบ 35.4+w 23.7= 35.488.2 + 23.7= แทนคา w ดวย 2.88 23.7 23.7= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 2.88
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 12 1. จงแกสมการ 2115 =+ x วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงแกสมการ 7040 =+ n วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงแกสมการ 14282 =+p วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 3
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 13 4. จงแกสมการ 524 −= x วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 5. จงแกสมการ 68 −= f วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 6. จงแกสมการ s+=1319 วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 14 การคูณและการหาร สมบัติ การคูณ ของสมการ หลักการ : เมื่อนําจํานวนที่เทากันมาคูณเขาทั้งสองขางของสมการ คาแตละขางของ สมการจะยังคงเทากันเหมือนเดิม รูปทั่วไป (ทางพีชคณิต) ตัวอยาง a = b ac = bc 6 = 6 6(2) = 6(2) 12 = 12 สมบัติ การหาร ของสมการ หลักการ : เมื่อนําจํานวนที่เทากัน (ยกเวน 0) มาหารทั้งสองขางของสมการ คาแต ละขางของสมการจะยังคงเทากันเหมือนเดิม รูปทั่วไป (ทางพีชคณิต) ตัวอยาง a = b c a = c b , 0≠c 6 = 6 3 6 = 3 6 2 = 2 ตัวอยางที่ 10 จงแกสมการ 2 4 = p วิธีทํา แกสมการ 4 p 2= 4 4 ⋅ p 42 ⋅= คูณ 4 เขาทั้งสองขางของสมการ p 8= ตรวจคําตอบ 4 p 2= 4 8 2= แทนคา p ดวย 8 2 2= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 8
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 15 ตัวอยางที่ 11 จงแกสมการ z624 = วิธีทํา แกสมการ 24 z6= 6 24 6 6z = หารทั้งสองขางของสมการดวย 6 4 z= ตรวจคําตอบ 24 z6= 24 )4(6= แทนคา z ดวย 4 24 24= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 4 ตัวอยางที่ 12 จงแกสมการ 4816 =x วิธีทํา แกสมการ x16 48= 16 16x 16 48 = หารทั้งสองขางของสมการดวย 16 x 3= ตรวจคําตอบ x16 48= )3(16 48= แทนคา x ดวย 3 48 48= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 3
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 16 1. จงแกสมการ 18 7 = s วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงแกสมการ w=⋅ 423 วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงแกสมการ 60 9 c = วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 4
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 17 4. จงแกสมการ q2.04.18 = วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 5. จงแกสมการ 6.3 6.0 = p วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 6. จงแกสมการ 1833 =m วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 18 7. จงแกสมการ 56 7 = f วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 8. จงแกสมการ p17102 = วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 9. จงแกสมการ 22.34.1 =t วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 19 ตัวอยางที่ 13 จงหาคาของ 432 +⋅ วิธีทํา เมื่อพิจาณาลําดับการดําเนินการจะพบวา ลําดับที่ 1 นํา 2 คูณ 3 ไดผลลัพธคือ 6 ลําดับที่ 2 นํา 6 บวกกับ 4 ได 10 ดังนั้น 10432 =+⋅ เชนเดียวกัน 62 +x จะมีลําดับขั้นตอนการดําเนินการคือ ลําดับที่ 1 นํา 2 คูณ x ไดผลลัพธคือ 2x ลําดับที่ 2 จึงนํา 2x บวกกับ 6 ได 2x + 6 จงแสดงลําดับการดําเนินการของประโยคสัญลักษณตอไปนี้ 1, x58 +− ลําดับที่ 1 ลําดับที่ 2 2. 45 −x ลําดับที่ 1 ลําดับที่ 2 3. 64 +x ลําดับที่ 1 ลําดับที่ 2 4. 4 12 − d ลําดับที่ 1 ลําดับที่ 2 6. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวแบบสองขั้นตอน
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 20 5. 3 6 w + ลําดับที่ 1 ลําดับที่ 2 ในการแกสมการที่อยูรูปแบบที่มีทั้งการบวก(หรือลบ)และการคูณ(หรือหาร)ปนกันอยู จะใช วิธีการดําเนินการแบบยอนกลับกับการดําเนินการในตัวอยางขางตน นั่นคือ อะไรที่ดําเนินการหลังสุดจะถูก กําจัดออกเปนอันดับแรก และทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จนกวาขางใดขางหนึ่งของสมการเหลือเพียงตัวแปร สวนอีก ขางมีเพียงตัวเลข ตัวอยางที่ 14 จงแกสมการ 842 =+x วิธีทํา เมื่อพิจาณาลําดับการดําเนินการจะพบวา ลําดับที่ 1 นํา 2 คูณ x ไดผลลัพธคือ 2x ลําดับที่ 2 นํา 4 บวกกับ 2x จึงได 8 ดังนั้นการแกสมการนี้จึงเริ่มดวย ลําดับที่ 1 นํา 4 ไปลบออกทั้งสองขางของสมการ 442 −+x 48 −= x2 4= ลําดับที่ 2 นํา 2 ไปหารทั้งสองขางของสมการ 2 2x 2 4 = x 2= จะพบวาฝงซายของสมการเหลือเพียงตัวแปรเรียบรอยแลว และฝงขวาก็เปนเพียงตัวเลข ดังนั้นการแกสมการถือวาเสร็จเรียบรอยแลว ตรวจคําตอบ 42 +x 8= 4)2(2 + 8= แทนคา x ดวย 2 44 + 8= 8 8= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 2
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 21 ตัวอยางที่ 15 จงแกสมการ 84 12 =− d วิธีทํา เมื่อพิจาณาลําดับการดําเนินการจะพบวา ลําดับที่ 1 นํา 12 ไปหาร x ไดผลลัพธคือ 12 d ลําดับที่ 2 นํา 4 ไปลบออกจาก 12 d จึงได 8 ดังนั้นการแกสมการนี้จึงเริ่มดวย ลําดับที่ 1 นํา 4 ไปบวกเขาทั้งสองขางของสมการ 44 12 +− d 48 += 12 d 12= ลําดับที่ 2 นํา 12 ไปคูณทั้งสองขางของสมการ 12 12 ⋅ d 1212⋅= d 144= จะพบวาฝงซายของสมการเหลือเพียงตัวแปรเรียบรอยแลว และฝงขวาก็เปนเพียงตัวเลข ดังนั้นการแกสมการถือวาเสร็จเรียบรอยแลว ตรวจคําตอบ 4 12 − d 8= 4 12 144 − 8= แทนคา d ดวย 144 412 − 8= 8 8= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 144 ตัวอยางที่ 16 จงแกสมการ 794 =−r วิธีทํา 94 −r 7= 994 +−r 97 += r4 16= r r 4 4 4 4 16 = = ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 4 (นักเรียนลองตรวจคําตอบดูนะ)
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 22 1. จงแกสมการ 743 =+x วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงแกสมการ 6.362.1 =+ t วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงแกสมการ 273 8 =+ f วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 5
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 23 4. จงแกสมการ 11835 −= h วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 5. จงแกสมการ k517.042.0 += วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 6. จงแกสมการ 3.27.14 =+g วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 24 หลักการ : 1. ตัดสินใจวาจะใหตัวแปรเหลืออยูขางใดของสมการ ขณะที่อีกฝงจะตองเหลือเพียงตัวเลข 2. กําจัดพจนของตัวแปรในฝงที่ไมตองการ โดยการนําพจนที่เหมือนกันมาดําเนินการแบบตรงกัน ขาม (บวกหรือลบแลวแตเครื่องหมายหนาพจนเดิม) 3. กําจัดตัวเลขออกจากฝงที่มีตัวแปรอยู ตัวอยางที่ 17 จงแกสมการ 5394 +=− rr วิธีทํา แกสมการ 94 −r 53 += r เลือกที่จะใหตัวแปรเหลือเพียงฝงซาย rr 394 −− rr 353 −+= กําจัด 3r ที่อยูฝงขวา 9−r 5= โดยนํา 3r มาลบออกทั้งสองขาง 99 +−r 95 += นํา 9 มาบวกเขาทั้งสองขาง r 14= ตรวจคําตอบ 94 −r 53 += r 9)14(4 − 5)14(3 += แทนคา r ดวย 14 956 − 542 += 47 47= จะพบวาเปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 14 ตัวอยางที่ 18 จงแกสมการ xx 41625 −=− วิธีทํา แกสมการ 25 −x x416 −= เลือกที่จะใหตัวแปรเหลือเพียงฝงซาย xx 425 +− xx 4416 +−= กําจัด x4 ที่อยูฝงขวา 29 −x 16= โดยนํา x4 มาบวกเขาทั้งสองขาง 229 +−x 216 += นํา 2 มาบวกเขาทั้งสองขาง x9 18= 7. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว กรณีที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขางของสมการ
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 25 9 9x 9 18 = นํา 9 มาหารทั้งสองขาง x 2= ตรวจคําตอบ 25 −x x416 −= 2)2(5 − )2(416 −= แทนคา x ดวย 2 210 − 816 −= 8 8= จะพบวาเปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 2 ตัวอยางที่ 19 จงแกสมการ 425310 +=− ww วิธีทํา แกสมการ w310 − 425 += w เลือกที่จะใหตัวแปรเหลือเพียงฝงขวา ww 3310 +− ww 3425 ++= กําจัด w3 ที่อยูฝงขวา 10 428 += w โดยนํา w3 มาบวกเขาทั้งสองขาง 4210 − 42428 −+= w นํา 42 มาลบออกทั้งสองขาง 32− w8= 8 32 − 8 8w = นํา 8 มาหารทั้งสองขาง 4− w= ตรวจคําตอบ w310 − 425 += w )4(310 −− 42)4(5 +−= แทนคา w ดวย -4 )12(10 −− 42)20( +−= 1210 + 2042 −= 22 22= จะพบวาเปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมา นั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ -4
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 26 1. จงแกสมการ 5432 +−=−− tt วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงแกสมการ tt 234 +−=+ วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงแกสมการ 22585 +=−− cc วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 6
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 27 หลักการ : 1. ยุบรวมพจนตัวแปรแตละขางของสมการเขาดวยกัน ใหเหลือเพียงพจนเดียว 2. ใชวิธีการแกสมการตามหลักการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว กรณีที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขาง ของสมการ ตัวอยางที่ 20 จงแกสมการ aaaa 64323104 ++−=−+ วิธีทํา แกสมการ aa 3104 −+ aa 6432 ++−= 10+a a443 += ยุบรวมพจนที่มีตัวแปร a แลว เลือกที่จะใหตัวแปรเหลือเพียง ฝงขวา aa −+10 aa −+= 443 กําจัด a ที่อยูฝงซาย 10 a343 += โดยนํา a มาลบออกทั้งสองขาง 4310 − 43343 −+= a นํา 43 มาลบออกทั้งสองขาง 33− a3= 3 33 − 3 3a = นํา 3 มาหารทั้งสองขาง 11− a= ตรวจคําตอบ aa 3104 −+ aa 6432 ++−= )11(310)11(4 −−+− )11(643)11(2 −++−−= แทนคา a ดวย -11 )33(1044 −−+− )66(4322 −++= 1− 1−= จะพบวาเปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ -11 8. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว กรณีที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขางของสมการ แตละขางมีตัวแปรซ้ํา กันมากกวา 1 ตัว
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 28 1. จงแกสมการ fff −=−+ 734 วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงแกสมการ zzzz 220353 −+=+− วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงแกสมการ gggg 1004100324 −+=−− วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 7
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 29 หลักการ : พยายามจัดรูปแบบของสมการที่ใหมาอยูในรูปของการบวกหรือการลบกันของแตละพจน โดยใช สมบัติการแจกแจง การคูณ การหาร หรือการทําเศษสวนใหมีตัวสวนที่เทากัน เขามาชวยในการจัดรูปแบบที่ ซับซอน ใหอยูในรูปอยางงาย ตัวอยางที่ 21 จงแกสมการ xx 3)5(4 =+ วิธีทํา แกสมการ )5(4 +x x3= )5(44 +x x3= นํา 4 คูณเขาไปในวงเล็บ 204 +x x3= ตามสมบัติการแจกแจง xx 3204 −+ xx 33 −= กําจัดพจน x3 ที่อยูฝงขวา โดย 20+x 0= นํา x3 มาลบออกทั้งสองขาง 2020 −+x 200 −= นํา 20 มาลบออกทั้งสองขาง x 20−= ตรวจคําตอบ )5(4 +x x3= )520(4 +− )20(3 −= แทนคา x ดวย -20 )15(4 − 60−= 60− 60−= จะพบวาเปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ -20 ตัวอยางที่ 22 จงแกสมการ )4(2)4(3 xx −=+ วิธีทํา แกสมการ )4(3 +x )4(2 x−= )4(33 +x )(2)4(2 x−= แจกแจงทั้งสองขางของสมการ 123 +x x28 −= xx 2123 ++ xx 228 +−= กําจัดพจน x2 ที่อยูฝงขวาโดย 9. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ที่มีรูปแบบที่ซับซอน
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 30 125 +x 8= นํา x2 มาบวกเขาทั้งสองขาง 12125 −+x 128 −= นํา 12 มาลบออกทั้งสองขาง x5 4−= 5 5x 5 4 −= นํา 5 มาหารทั้งสองขาง x 5 4 −= ตรวจคําตอบ )4(3 +x )4(2 x−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− 4 5 4 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= 5 4 42 แทนคา x ดวย 5 4 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × × +− 51 54 5 4 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− × × = 5 4 51 54 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− 5 20 5 4 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= 5 4 5 20 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− 5 204 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 5 4 5 20 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 5 16 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 5 420 2 5 48 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 5 24 2 5 48 5 48 = จะพบวาเปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 5 4 − ตัวอยางที่ 23 จงแกสมการ ( ) ( )[ ] ( )122123 +=+−+ xxx วิธีทํา แกสมการ ( ) ( )[ ]2123 +−+ xx ( )12 += x [ ]2223 −−+ xx 22 += x x3 22 += x xx 23 − xx 222 −+= x 2= ตรวจคําตอบ ( ) ( )[ ]2123 +−+ xx ( )12 += x
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 31 ( ) ( )[ ]221223 +−+ ( )122 += ( )[ ]4323 − ( )32= [ ]463 − 6= )2(3 6= 6 6= ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 2 ตัวอยางที่ 24 จงแกสมการ )1(4)5(4 −=−− xxx วิธีทํา แกสมการ xx −− )5(4 )1(4 −= x xx −− )5(44 )1(44 −= x 203 −x 44 −= x xx 3203 −− xx 344 −−= 20− 4−= x 420 +− 44 +−= x 16− x= ตรวจคําตอบ xx −− )5(4 )1(4 −= x )16()516(4 −−−− )116(4 −−= 16)21(4 +− )17(4 −= 1684 +− 68−= 68− 68−= ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ -16 ตัวอยางที่ 25 จงแกสมการ 153 7 3 =− x วิธีทํา แกสมการ 3 7 3 − x 15= 33 7 3 +− x 315 += 7 3x 18=
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 32 3 7 7 3 ⋅ x 3 7 18⋅= x 42= ตรวจคําตอบ 3 7 3 − x 15= 3 7 )42(3 − 15= 3 7 126 − 15= 318 − 15= 15 15= ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 42 ตัวอยางที่ 26 จงแกสมการ 1 5 12 = +x วิธีทํา แกสมการ 5 12 +x 1= 5 5 12 ⋅ +x 51⋅= 12 +x 5= 112 −+x 15 −= x2 4= 2 2x 2 4 = x 2= ตรวจคําตอบ 5 12 +x 1= 5 1)2(2 + 1= 5 14 + 1= 5 5 1= 1 1= ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 2
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 33 ตัวอยางที่ 27 จงแกสมการ 24 1 2 5 24 3 2 xxxx −+=+− วิธีทํา แกสมการ 24 3 2 xx +− 24 1 2 5 xx −+= 4 3 2 2 − x 4 1 2 4 += x 4 3 −x 4 1 2 += x xx −− 4 3 xx −+= 4 1 2 4 3 − 4 1 += x 4 1 4 3 −− 4 1 4 1 −+= x 4 4 − x= 1− x= ตรวจคําตอบ 24 3 2 xx +− 24 1 2 5 xx −+= 2 )1( 4 3 2 )1( − +− − 2 )1( 4 1 2 )1(5 − −+ − = 4 3 2 2 −− 2 1 4 1 2 5 ++−= 4 3 22 22 − × × − 4 1 2 4 +−= 4 3 4 4 −− 4 1 22 24 + × × −= 4 7 − 4 1 4 8 +−= 4 7 − 4 7 −= ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ -1 ตัวอยางที่ 28 จงแกสมการ 9 14 3 3 1 + =+ − aa วิธีทํา แกสมการ 3 3 1 + −a 9 14+ = a
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 34 31 33 3 1 × × + −a 9 14+ = a 3 9 3 1 + −a 9 14+ = a 3 91+−a 9 14+ = a 3 8+a 9 14+ = a 9 3 8 ⋅ +a 9 9 14 ⋅ + = a 3)8( ⋅+a 14+= a )3(8)3( +a 14+= a 243 +a 14+= a aa −+ 243 aa −+= 14 242 +a 14= 24242 −+a 2414 −= a2 10−= 2 2a 2 10 −= a 5−= ตรวจคําตอบ 3 3 1 + −a 9 14+ = a 3 3 15 + −− 9 145 +− = 3 3 6 + − 9 9 = 32 +− 1= 1 1= ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ -5 ตัวอยางที่ 29 จงแกสมการ 3 6 2 4 13 6 5 m m mm − −= − − วิธีทํา แกสมการ 4 13 6 5 − − mm 3 6 2 m m − −= ( ) 34 313 26 25 ⋅ ⋅− − ⋅ ⋅ mm ( ) 43 46 121 122 ⋅ ⋅− − ⋅ ⋅ = mm
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 35 ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 1 12 )3(1)3(3 12 10 − − mm 12 )4()4(6 12 24 mm − −= 12 39 12 10 − − mm 12 424 12 24 mm − −= 12 )39(10 −− mm 12 )424(24 mm −− = 12 3910 +− mm 12 42424 mm +− = 12 3+m 12 2428 − = m 12 12 3 ⋅ +m 12 12 2428 ⋅ − = m 3+m 2428 −= m mm −+ 3 mm −−= 2428 3 2427 −= m 243 + 242427 +−= m 27 m27= 27 27 27 27m = 1 m= ตรวจคําตอบ 4 13 6 5 − − mm 3 6 2 m m − −= 4 1)1(3 6 )1(5 − − 3 16 )1(2 − −= 4 13 6 5 − − 3 5 2 −= 4 2 6 5 − 3 5 2 −= 34 32 26 25 ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ 3 5 31 32 − ⋅ ⋅ = 12 6 12 10 − 3 5 3 6 −= 12 4 3 1 = 3 1 3 1 =
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 36 1. จงแกสมการ 15)3(2 +=− xx วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงแกสมการ 1)2(3 −=+ yy วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงแกสมการ 715)32(5 −−=−− yy วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 8
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 37 4. จงแกสมการ 6 5 )2( 3 7 − =−− + a a a วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 5. จงแกสมการ )15( 10 3 12 6 15 2 += + + x xx วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 38 หลักการ : การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ประกอบดวยขั้นตอนดังนี้ 1. อานและวิเคราะหโจทย 2. หาใหไดวาโจทยถามหาอะไร 3. กําหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทยถาม 4. นําเงื่อนไขที่โจทยใหมา รวมกับตัวแปรในขอ 3 สรางเปนสมการตั้งตน 5. ทําการแกสมการ 6. ตรวจคําตอบ โจทยปญหาเกี่ยวกับจํานวน ขอความสําคัญที่ใชในการสรางสมการ ขอความ การดําเนินการ ตัวอยาง รวมกัน การบวก (+) 4 กับ 6 รวมกัน เขียนเปน 64 + ผลรวมของ......กับ........ การบวก (+) ผลรวมของ 5 กับ 6 เขียนเปน 65 + ผลลบของ.........กับ....... การลบ (-) ผลลบของ 10 กับ 6 เขียนเปน 610 − ผลตางของ......กับ....... การลบ(-) ผลตางของ 25 กับ 4 เขียนเปน 425 − ....เทาของ....... การคูณ (×) 5 เทาของ 4 เขียนเปน 45× ......ของ....... การคูณ (×) เศษสามสวนสี่ของ 12 เขียนเปน 12 4 3 × ......นอยกวา.......อยู....... การลบ (-) 12 นอยกวา 20 อยู 8 เขียนเปน 81220 =− ......มากกวา.......อยู....... การลบ (-) 20 มากกวา 12 อยู 8 เขียนเปน 81220 =− ตัวอยางที่ 30 ผลรวมของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 4 มีคาเทากับ 10 จงหาจํานวนนั้น วิธีทํา สิ่งที่โจทยถามหาคือ จํานวนนั้น ซึ่งก็คือจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งนั่นเอง กําหนดให จํานวนเต็มจํานวนหนึ่งเปน x เงื่อนไขที่โจทยใหมาคือ ผลรวมของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 4 มีคาเทากับ 10 คําวา ผลรวมของ ก็คือการบวกนั่นเอง .................. =+ 10. โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 39 เขียนเปนสมการไดเปน 4+x 10= แกสมการ 44 −+x 410 −= x 6= ตรวจคําตอบ 4+x 10= 46 + 10= 10 10= ดังนั้น จํานวนที่ตองการหาคือ 6 ตัวอยางที่ 31 ผลตางระหวางจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 4 มีคาเทากับ 10 จงหาจํานวนนั้น วิธีทํา สิ่งที่โจทยถามหาคือ จํานวนนั้น ซึ่งก็คือจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งนั่นเอง กําหนดให จํานวนเต็มจํานวนหนึ่งเปน x เงื่อนไขที่โจทยใหมาคือ ผลตางระหวางจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 4 มีคาเทากับ 10 คําวา ผลตางระหวาง ก็คือการลบนั่นเอง .................. =− เขียนเปนสมการไดเปน 4−x 10= แกสมการ 44 +−x 410 += x 14= ตรวจคําตอบ 4−x 10= 414 + 10= 10 10= ดังนั้น จํานวนที่ตองการหาคือ 14
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 40 ตัวอยางที่ 32 ผลรวมของสองเทาของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 8 มีคาเทากับ 26 จงหาจํานวนนั้น วิธีทํา สิ่งที่โจทยถามหาคือ จํานวนนั้น ซึ่งก็คือจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งนั่นเอง จึงกําหนดให จํานวนเต็มจํานวนหนึ่งเปน x เงื่อนไขที่โจทยใหมาคือ ผลรวมของสองเทาของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 8 มีคาเทากับ 26 คําวา ผลรวมของ ก็คือการบวกนั่นเอง .................. =+ เกิดคําถามตอมาวา บวกระหวางอะไรละ เมื่อพิจาณาเงื่อนไขในโจทยจะพบวา จํานวนที่สองที่จะนํามาบวกก็คือ 8 268...... =+ ขณะที่จํานวนแรกคือ สองเทาของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง จึงตองพิจารณาตอละวา สองเทาของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง จะแยกออกไดเปน สองเทาของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง เพราะฉะนั้นจํานวนแรกที่จะนํามาบวกก็คือ x2 ดังนั้นสมการตั้งตนจึงเขียนไดเปน 82 +x 26= แกสมการ 882 −+x 826 −= x2 18= 2 2x 2 18 = x 9= ตรวจคําตอบ 82 +x 26= 8)9(2 + 26= 818 + 26= 26 26= ดังนั้น จํานวนที่ตองการหาคือ 9
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 41 ตัวอยางที่ 33 จํานวนเต็มสองจํานวนรวมกัน -45 ถาจํานวนหนึ่งนอยกวาอีกจํานวนหนึ่งอยู 15 จงหา จํานวนสองจํานวนนั้น วิธีทํา สิ่งที่โจทยถามหาคือ จํานวนสองจํานวนนั้น ซึ่งก็คือจํานวนเต็มที่มาบวกกันนั่นเอง แตปญหาก็คือ เราไมทราบจํานวนใดเลย ทราบเพียงแความีจํานวนที่มากกับจํานวนที่นอย จึงเขียนสมการคราว ๆ ไดวา จํานวนมาก + จํานวนนอย = -45 จึงกําหนดให กําหนดใหจํานวนที่มาก x จากเงื่อนไขที่โจทยใหมาวา จํานวนหนึ่งนอยกวาอีกจํานวนหนึ่งอยู 15 นั่นคือ จํานวนมาก - จํานวนนอย = 15 จึงไดวา จํานวนมาก - 15 = จํานวนนอย หรือ จํานวนนอย = x - 15 จากเงื่อนไขตาง ๆ ขางตน จะเขียนเปนสมการตั้งตนไดวา )15( −+ xx 45−= แกสมการ 15−+ xx 45−= 152 −x 45−= 15152 +−x 1545 +−= x2 30−= 2 2x 2 30 −= x 15−= ตรวจคําตอบ )15( −+ xx 45−= )1515(15 −−+− 45−= )30(15 −+− 45−= 45− 45−= ดังนั้น จํานวนที่ตองการหาคือ -15 ถามวา คําตอบที่ไดถูกตอง เพียงพอแลวหรือไม ตอบวา ไม จริง ๆ แลว ตองไมลืมสิ่งที่โจทยถาม นั่นคือ ตองตอบทั้ง 2 จํานวน คือ จํานวนที่มาก กับ จํานวนที่นอย จํานวนที่มาก คือ x เทากับ -15 จํานวนที่นอย คือ 15−x เทากับ 301515 −=−−
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 42 ตัวอยางที่ 34 สองเทาของผลตางระหวางจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 4 มีคาเทากับ 14 จงหาจํานวนนั้น วิธีทํา สิ่งที่โจทยถามหาคือ จํานวนนั้น ซึ่งก็คือจํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง นั่นเอง จึงใหจํานวนหนึ่งนั้นเปน x พิจารณาเงื่อนไขในโจทยที่ใหมา สองเทาของผลตางระหวางจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 4 มีคาเทากับ 14 เริ่มสรางสมการตั้งตนโดยพิจารณาเงื่อนไขทีละสวน สองเทาของ เขียนไดเปน ×2 ...... )(2⇒ ผลตางระหวาง เขียนไดเปน .............− ....)(....2 −⇒ จํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง คือ x ....)(2 −⇒ x กับ 4 )4(2 −⇒ x มีคาเทากับ 14 14)4(2 =−⇒ x )4(2 −x 14= แกสมการ )4(22 −x 14= 82 −x 14= 882 +−x 814 += x2 22= 2 2x 2 22 = x 11= ตรวจคําตอบ )4(2 −x 14= )411(2 − 14= )7(2 14= 14 14= ดังนั้น จํานวนเต็มที่ตองการหาคือ 11
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 43 ตัวอยางที่ 35 จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงกันมีผลรวมเทากับ 48 จงหาจํานวนทั้งสามจํานวนนั้น วิธีทํา สิ่งที่โจทยตองการทราบก็คือ จํานวนเต็มทั้งสามจํานวน ซึ่งตอนนี้เรายังไมทราบแมแต จํานวนเดียว เมื่อพิจารณาจากขอความ จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงกัน สามารถยกตัวอยางไดเชน 1, 2, 3 หรือ 5, 6, 7 หรือ 11, 12, 13 เปนตน จากตัวอยางที่ยกมา หากพิจารณาเพิ่มเติมจะพบวา จํานวนที่สองจะมากกวาจํานวนที่หนึ่งอยู 1 จํานวนที่สามจะมากกวาจํานวนที่หนึ่งอยู 2 ถาใหจํานวนแรกคือ x จะไดวาจํานวนที่สองคือ 1+x จะไดวาจํานวนที่สองคือ 2+x และเมื่อพิจารณาขอความจากโจทยอีกครั้งหนึ่ง จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงกันมีผลรวมเทากับ 48 จึงไดวาสมการตั้งตนคือ )2()1( ++++ xxx 48= แกสมการ 21 ++++ xxx 48= 33 +x 48= 333 −+x 348 −= x3 45= 3 3x 3 45 = x 15= ตรวจคําตอบ )2()1( ++++ xxx 48= )215()115(15 ++++ 48= 171615 ++ 48= 48 48= ดังนั้นจึงไดวาจํานวนเต็มสามจํานวนเรียงกันคือ 15, 16, 17
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 44 โจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละ ตัวอยางที่ 36 แมคาซื้อมะมวงน้ําดอกไมและมะมวงเขียวเสวยมาขายรวม 60 กิโลกรัม มะมวงน้ําดอกไมกิโลกรัมละ 60 บาท มะมวงเขียวเสวยกิโลกรัมละ 50 บาท ปรากฏวาอัตราสวนของจํานวนเงินที่ซื้อมะมวงน้ําดอกไมตอจํานวนเงินที่ซื้อ มะมวงเขียวเสวยเปน 6 : 7 จงหาวาแมคาซื้อมะมวงแตละชนิดมาอยางละกี่กิโลกรัม วิธีทํา สิ่งที่โจทยตองการทราบมี 2 คา คือปริมาณน้ําหนักของมะมวงทั้งสองชนิด ซึ่งในขณะนี้เรา ไมทราบคาใดเลย แตเงื่อนไขหรือขอมูลที่โจทยใหมาก็คือปริมาณน้ําหนักของมะมวงทั้งสองชนิดรวมกันคือ 60 กิโลกรัม นั่นคือ น้ําหนักมะมวงน้ําดอกไม + น้ําหนักมะมวงเขียวเสวย = 60 กําหนดให น้ําหนักมะมวงน้ําดอกไมเปน x กิโลกรัม จะไดวา น้ําหนักมะมวงเขียวเสวยเปน x−60 กิโลกรัม มะมวงน้ําดอกไมราคากิโลกรัมละ 60 บาท ซึ่งซื้อมา x กิโลกรัม คิดเปนเงิน x60 บาท มะมวงเขียวเสวยราคากิโลกรัมละ 50 บาท ซึ่งซื้อมา x−60 กิโลกรัม คิดเปนเงิน )60(50 x− บาท เงื่อนไขในโจทยเพิ่มเติมคือ อัตราสวนของจํานวนเงินที่ซื้อมะมวงน้ําดอกไมตอจํานวนเงินที่ ซื้อมะมวงเขียวเสวยเปน 6 : 7 จึงสรางสมการตั้งตนไดเปน )60(50 60 x x − 7 6 = แกสมการ 7 )60(50 60 ⋅ − x x 7 7 6 ⋅= )60(50 420 x x − 6= )60(50 )60(50 420 x x x −⋅ − )60(506 x−⋅= x420 )60(300 x−= x420 )(300)60(300 x−= x420 x30018000 −= xx 300420 + xx 30030018000 +−= x720 18000=
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 45 720 720x 720 18000 = x 25= ตรวจคําตอบ )60(50 60 x x − 7 6 = )2560(50 )25(60 − 7 6 = )35(50 1500 7 6 = 35 30 7 6 = 7 6 7 6 = ดังนั้น น้ําหนักมะมวงน้ําดอกไมที่แมคาซื้อมาคือ 25 กิโลกรัม น้ําหนักมะมวงเขียวเสวยที่แมคาซื้อมาคือ 352560 =− กิโลกรัม ตัวอยางที่ 37 โรงเรียนกาวหนาวิทยามีจํานวนนักเรียนในระดับชั้นตาง ๆ ดังนี้ ระดับชั้นประถมศึกษา คิดเปน 50% ของนักเรียนทั้งหมด ระดับชั้นมัธยมศึกษา คิดเปน 80% ของนักเรียนชั้นประถมศึกษา ที่เหลืออีก 118 คน เปนนักเรียนชั้น อนุบาล จงหาจํานวนนักเรียนทั้งหมดของโรงเรียนนี้ วิธีทํา สิ่งที่โจทยตองการทราบคือ จํานวนนักเรียนทั้งหมด ถาอยางนั้นเราก็แทนจํานวนนักเรียนทั้งหมดเลยนะวาคือ x คน ทีนี้มาดูเงื่อนไขเพิ่มเติม จํานวนนักเรียนระดับชั้นประถมคิดเปน 50% ของนักเรียนทั้งหมด จึงไดวาจํานวนนักเรียนระดับประถมศึกษาคือ x 100 50 คน จํานวนนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาคิดเปน 80% ของนักเรียนชั้นประถมศึกษา จึงไดวาจํานวนนักเรียนระดับมัธยมศึกษาคือ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x 100 50 100 80 คน และขอมูลสุดทายที่เหลืออยูก็คือจํานวนนักเรียนชั้นอนุบาล คือ 118 คน จํานวนนักเรียนทั้งหมดของโรงเรียนหาไดจาก นักเรียนชั้นประถม + นักเรียนชั้นมัธยม + นักเรียนชั้นอนุบาล = นักเรียนทั้งหมด
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 46 จากขอมูลทั้งหมดที่ไดมาจึงสรางสมการตั้งตนไดดังนี้ 118 100 50 100 80 100 50 +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + xx x= แกสมการ 118 100 40 100 50 ++ xx x= 118 100 90 +x x= 118 10 9 +x x= xx 10 9 118 10 9 −+ xx 10 9 −= 118 xx 10 9 10 10 −= 118 10 x = 10118⋅ 10 10 ⋅= x 1180 x= ตรวจคําตอบ 118 100 50 100 80 100 50 +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + xx x= 1181180 100 50 100 80 1180 100 50 +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅+⋅ 1180= 118472590 ++ 1180= 1180 1180= ดังนั้น จํานวนนักเรียนทั้งหมดคือ 1180 คน
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 47 โจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราเร็ว หลักการ : อัตราเร็ว หมายถึง ระยะทางที่เคลื่อนที่ไดในหนึ่งหนวยเวลา เชน อัตราเร็ว 50 กิโลเมตรตอชั่วโมง หมายความวา ในเวลา 1 ชั่วโมง เคลื่อนที่ไดระยะทาง 50 กิโลเมตร ถากําหนดให v แทน อัตราเร็ว s แทน ระยะทาง t แทน เวลา จะไดความสัมพันธระหวางปริมาณทั้งสามคือ t s v = หรือ v s t = หรือ vts = ตัวอยางที่ 38 ปติวิ่งดวยอัตราเร็ว 13 กิโลเมตรตอชั่วโมง ปรีชาวิ่งดวยอัตราเร็ว 11 กิโลเมตรตอ ชั่วโมง และวิ่งนานกวาปติ 20 นาที ไดระยะทางไกลกวาปติ 2 กิโลเมตร จงหาวาปรีชา วิ่งไดระยะทางเทาใด วิธีทํา สิ่งที่โจทยตองการทราบคือ ระยะทางที่ปรีชาวิ่งได จึงกําหนดให ระยะทางที่ปรีชาวิ่งได คือ x กิโลเมตร และปรีชาวิ่งดวยอัตราเร็ว 11 กิโลเมตร/ชั่วโมง จึงไดวาเวลาที่ปรีชาใชในการวิ่งคือ 11 x ชั่วโมง จากขอมูลเพิ่มเติมพบวาปรีชาวิ่งไดไกลกวาปติ 2 กิโลเมตร จึงไดวาปติวิ่งไดระยะทาง 2−x กิโลเมตร และปติวิ่งดวยอัตราเร็ว 13 กิโลเมตร/ชั่วโมง จึงไดวาเวลาที่ปติใชในการวิ่งคือ 13 2−x ชั่วโมง เงื่อนไขเพิ่มเติมจากโจทยคือ เวลาที่ปรีชาวิ่งจะนานกวาเวลาที่ปติวิ่งอยู 20 นาที ซึ่งคิดเปน 60 20 หรือ 3 1 ชั่วโมง นั่นคือ เวลาที่ปรีชาวิ่ง = เวลาที่ปติวิ่ง + 3 1 จึ่งเขียนเปนสมการไดวา 11 x 3 1 13 2 + − = x
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 48 แกสมการ 11 x 3 1 13 2 13 +−= x 11 x 39 13 39 6 13 +−= x 11 x 39 7 13 += x 1311 xx − 1339 7 13 xx −+= 143 11 143 13 xx − 39 7 = 143 2x 39 7 = 2 143 143 2 ⋅ x 2 143 39 7 ⋅= x 2 11 3 7 ⋅= x 6 77 = หรือ 6 5 12 ตรวจคําตอบ 11 x 3 1 13 2 + − = x 11 6 77 3 1 13 2 6 77 + − = 66 77 3 1 13 6 12 6 77 + − = 6 7 3 1 13 6 65 += 6 7 3 1 )13(6 65 += 6 7 78 26 78 65 += 6 7 78 91 = 6 7 6 7 = ดังนั้นปรีชาวิ่งไดระยะทาง 6 5 12 กิโลเมตร
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 49 1. จงหาจํานวนเต็มบวกสามจํานวนที่เรียงกัน ซึ่งมีผลรวมเทากับ 93 วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงหาจํานวนเต็มคูสามจํานวนที่เรียงติดกัน ซึ่งมีผลรวมเทากับ -153 วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 9
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 50 3. นักเรียนหองหนึ่ง มีจํานวนนักเรียนหญิงเปนสองเทาของจํานวนนักเรียนชาย ถานักเรียนชายมาเพิ่ม 7 คน และนักเรียนหญิงยายไป 4 คน แลวจํานวนนักเรียนชายกับนักเรียนหญิงจะเทากัน จงหาจํานวนนักเรียน ในหองนี้ วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 4. สวนที่เปนลําตัวของจรวดลําหนึ่งยาวกวาหกเทาของหัวจรวดอยู 1.5 เมตร ถาลําตัวจรวดยาว 27 เมตร หัวจรวดจะยาวเทาไร วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ...........................................................................................................................................................
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 51 5. ศรีแจมมีเงินจํานวนหนึ่ง เธอใชเงินสองในสามของเงินเงินที่มีอยูซื้อหนังสือแลวซื้อขนม 10 บาท ปรากฏ วามีเงินเหลือ 50 บาท จงหาวาเดิมเธอมีเงินอยูเทาใด วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 6. เมื่อ พ.ศ. 2521 ก อายุเปนสามเทาของอายุ ข ถาถึงป 2536 ข จะมีอายุมากกวาครึ่งหนึ่งของอายุ ก อยู 7 ป อยากทราบวา ข เกิด พ.ศ. อะไร วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ . ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 52 7. สนามหญารูปสี่เหลี่ยมผืนผาแหงหนึ่ง มีอัตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 5 : 3 ถาเพิ่มความยาว แตละดานอีก 20% จากความยาวเดิม จะทําใหความยาวรอบสนามเทากับ 268.8 เมตร จงหาวาเดิมแตละ ดานของสนามยาวกี่เมตร วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 8. สายชลเปดรานขายกระเปาและรองเทา เธอติดราคาขายกระเปาใบหนึ่งไวโดยคิดกําไร 25% แตเมื่อมี เพื่อนมาซื้อ สายชลจึงลดราคาให 10% และขายไปในราคา 900 บาท อยากทราบวาตนทุนของกระเปาใบ นี้เปนเทาใด วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 53 9. เด็กคนหนึ่งขี่จักรยานไดระยะทาง 57 กิโลเมตร โดยใชอัตราเร็วชวงแรก 12 กิโลเมตรตอชั่วโมง และชวง ตอไป 16 กิโลเมตรตอชั่วโมง ถาเขาใชเวลาตลอดทางรวม 4 ชั่วโมง จงหาระยะทางและเวลาที่ขี่จักรยาน ของแตละชวง วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 10. ขบวนรถไฟขบวนหนึ่งถาแลนเร็วกวาปกติอีก 13 กิโลเมตรตอชั่วโมง ในระยะทาง 120 กิโลเมตร จะใช เวลาแลนนอยกวาปกติ 10 นาที รถไฟขบวนนี้แลนดวยอัตราเร็วปกติกี่กิโลเมตรตอชั่วโมง วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 54 คําชี้แจง เลือกคําตอบที่ถูกตอง โดยทําเครื่องหมาย X ลงในกระดาษคําตอบ 1. ?352 =×+ ก. 21 ข. 25 ค. 17 ง. 16 2. ?4542 =×+× ก. 26 ข. 28 ค. 52 ง. 72 3. ?)32()59(4 =+×−× ก. 80 ข. 65 ค. 29 ง. 19 4. 7 เปนผลลัพธที่ไดจากขอใด ก. 7834 −×+ ข. )]78(3[4 −×+ ค. ]7)83[(4 −×+ ง. 7]8)34[( −×+ 5. ตัวเลือกในขอใดตอไปนี้ที่ไมไดมีคาเทากับ a×3 ก. 3 a ข. )(3 a ค. a3 ง. a⋅3 6. bx +4 มีความหมายตามขอใด ก. )(4 bx +× ข. bx +× )4( ค. bxxxx +××× )( ง. )(4 bx + 7. b t 3 มีความหมายตามขอใด ก. bt ×÷ 3 ข. bt ×÷ )3( ค. tb ÷× )3( ง. )3( bt ×÷ 8. ?6 =−+ yx เมื่อกําหนดให 3=x และ 12=y ก.7 ข.8 ค.9 ง. 10 9. ?3 =−+ cba เมื่อกําหนดให 4,2 == ba และ 2=c ก.0 ข.12 ค.18 ง. 22 10. สัญลักษณในขอใดแสดงถึงความเปนสมการ ก.= ข.≠ ค.≡ ง. ≈ 11. สมการในขอใดที่เปนจริง ก. 27345 =×+ ข. 63 =−x ค. 515714 +=+ ง. )1(2)4(2)14(2 +=+ 12. คําตอบของสมการ 1424 =+x คือขอใด ก.1 ข.2 ค.3 ง. 4 13. ขอใดไมใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ก. 75 =+x ข. )2(555)32( −−=+− xxx ค. 1=+ yx ง. xx 42 = แบบทดสอบวัดความรู พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 55 14. ขอใดกลาวไมถูกตองเกี่ยวกับการแกสมการ 1815 =+ x ก. คําตอบของสมการนี้คือ 3 ข. การแกสมการนี้จะตองนํา 15 มาลบทั้งสองขาง ค. นํา 18 มาลบทั้งสองขางของสมการ ง. ตองกําจัด 15 ใหหายไปจากฝงซายของสมการ 15. ถา 27 =−d จงหาวา ?7 =+d ก.9 ข.14 ค.16 ง. 18 16. คําตอบของสมการ 255 =x มีคาเทากับขอใด ก.5 ข.30 ค.50 ง. 125 17. ขอใดกลาวไมถูกตองเกี่ยวกับการแกสมการ 27 5 3 =x ก. นํา 5 มาคูณเขาทั้งสองขางของสมการ ข. นํา 3 มาหารทั้งสองขางของสมการ ค. นํา 3 5 มาคูณทั้งสองขางของสมการ ง. คําตอบของสมการนี้คือ 50 18. ขอใดคือขั้นตอนการแกสมการ 1754 =+x ก. นํา 4 ไปหารทั้งสองขางของสมการ แลวนํา 5 ไปลบทั้งสองขางของสมการ ข. นํา x4 ไปลบออกทั้งสองขางของสมการ แลวจึงนํา 5 ไปลบออกทั้งสองขางของสมการ ค. นําไป 5 ลบทั้งสองขางของสมการ แลวนํา 4 ไปหารทั้งสองขางของสมการ ง. นํา 17 ลบออกทั้งสองขางของสมการ แลวจึงนํา 5 ไปลบออกทั้งสองขางของสมการ 19. ขอใดคําตอบของสมการ 3212 5 4 =+x ก.5 ข.25 ค.44 ง. 50 20. ขอใดคือขอตอบของสมการ 5432 +=− xx ก. 2− ข.2 ค. 4− ง. 4 21. จากสมการ 12435 +−=+ xx แลว 1−x มีคาเทากับขอใด ก.0 ข.1 ค.2 ง. 4 22. ขอใดคือคําตอบของสมการ aaa 49234 −=−+ ก.0 ข.1 ค.2 ง. 4 23. ขอใดคือคําตอบของสมการ 6)1(2 =+g ก.2 ข. 2− ค.4 ง. 4− 24. ขอใดคือคําตอบของสมการ 105)1(3 −=+−+ xx ก.2 ข. 2− ค.4 ง. 4− 25. ขอใดคือคําตอบของสมการ 3 5 12 = +x ก. 5 2 ข. 2 15 ค.7 ง. 9
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 56 26. )4(3)3(213 −=−+− xxx มีคําตอบตามขอใด ก. 5 2 ข. 5 2 − ค. 2 5 ง. 2 5 − 27. จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงติดกัน มีผลรวมเทากับ -15 แลวขอใดตอไปนี้กลาวถูกตอง ก. จํานวนที่นอยที่สุดคือ -4 ข. จํานวนที่มากที่สุดบวกกับจํานวนที่นอยที่สุดเทากับ -10 ค. จํานวนที่นอยที่สุดมีคาเปนสองเทาของจํานวนที่มากที่สุด ง. จํานวนที่มากที่สุดบวกกับจํานวนที่สองมีคาเทากับ -9 28. หาเทาของจํานวนหนึ่งบวกกับ 13 มีคาเทากับ 38 ถาให x แทนจํานวนหนึ่งนั้น ขอใดคือสมการตั้งตน สําหรับการแกปญหานี้ ก. 38135 =+x ข. 38)13(5 =+x ค. 38135 =+ x ง. 38)135( =+ x 29. สมบัติวิ่งดวยอัตราเร็ว 12 กิโลเมตรตอชั่วโมง ปรีชาวิ่งดวยอัตราเร็ว 10 กิโลเมตรตอชั่วโมง และวิ่ง นานกวาสมบัติ 25 นาที ไดระยะทางไกลกวาสมบัติ 2 กิโลเมตร จงหาวาปรีชาวิ่งไดระยะทางกี่กิโลเมตร ก.15 ข.16 ค.18 ง. 20 30. ซื้อสิ้นคามาราคา 300 บาท ตองการขายใหไดกําไร 25% หากตองการลดราคาลง 20% ของที่ประกาศ ไว ตองติดราคาขายไวกี่บาท ก.450 ข. 75.468 ค.480 ง. 75.488 31. จากการสํารวจของพัสดุโรงเรียนพบวา มีหลอดไฟชํารุด 30 หลอด คิดเปน 24% ของจํานวนหลอด ทั้งหมด จํานวนหลอดไฟที่ยังใชการไดมีเทาใด ก.80 ข.85 ค.90 ง. 95 32. สนามหญารูปสี่เหลี่ยมผืนผา มีอัตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 5 : 4 ถาเพิ่มความยาวของ แตละดานออกไปอีก 25% ของความยาวเดิม จะทําใหความยาวรอบสนามเทากับ 180 เมตร จงหาวา เดิมแตละดานของสนามยาวกี่เมตร ก. 28, 34 ข. 32, 40 ค.34, 42 ง. 36, 45 33. ประดิษฐซื้อสมมา 30 บาท วันตอมาซื้ออีก 30 บาท ปรากฏวาสมลดราคาลง 20% ทําใหไดสมเพิ่มขึ้น กวาครั้งแรก 10 ผล ดังนั้นครั้งแรกซื้อสมมากี่ผล ก.30 ข.40 ค.50 ง. 60 34. จากขอ 33 สมราคาผลละเทาใด ก.50 สตางค ข.55 สตางค ค.65 สตางค ง. 75 สตางค 35. แจกเงินจํานวนหนึ่งใหแกเด็กคนละ 50 บาท ยังขาดเงินอยู 100 บาท หากแจกคนละ 45 บาท จะเหลือ เงิน 50 บาท จงหาวามีเงินแจกเด็กอยูกี่บาท ก. 000,1 บาท ข. 200,1 บาท ค. 400,1 บาท ง. 600,1 บาท
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 57 1. ค 2. ข 3. ข 4. ข 5. ก 6. ข 7. ง 8. ค 9. ก 10. ก 11. ง 12. ค 13. ค 14. ค 15. ค 16. ก 17. ง 18. ค 19. ข 20. ค 21. ก 22. ข 23. ก 24. ข 25. ค 26. ค 27. ข 28. ก 29. ก 30. ข 31. ง 32. ข 33. ข 34. ง 35. ค เฉลยละเอียด 1. ?352 =×+ วิธีทํา 352 ×+ 152 += ; นํา 5 คูณ 3 กอน 17= ; จึงคอยนํา 2 บวกกับ 15 ดังนั้นตอบขอ ค 2. ?4542 =×+× วิธีทํา 4542 ×+× 208 += ; นําตัวเลขคูณกันกอน 28= ; จึงคอยนํามาบวกกัน ดังนั้นตอบขอ ข 3. ?)32()59(4 =+×−× วิธีทํา )32()59(4 +×−× 544 ××= ; ทําในวงเล็บกอน 80= ; จึงคอยนํามาคูณกัน ดังนั้นตอบขอ ข 4. )]78(3[4 −×+ ]13[4 ×+= ; ทําในวงเล็บกอน 34 += ; จึงคอยนํามาคูณกัน 7= ดังนั้นตอบขอ ข เฉลยแบบทดสอบวัดความรู พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 58 5. a×3 สามารถเขียนใหอยูในรูปอยางยอไดดังนี้ a×3 a3= )(3 a= a⋅= 3 3 a aaa ××= ดังนั้นตอบขอ ก 6. bx +4 มีความหมายหรือลําดับการดําเนินการคือ นํา 4 คูณกับ x กอน แลวจึงคอยนําไปบวกกับ b จึงไดวา bx +× )4( ดังนั้นตอบขอ ข 7. เศษสวนก็คือการหารนั่นเอง โดยที่ตัวเศษคือตัวตั้ง ขณะที่ตัวสวนคือตัวหาร b t 3 bt 3÷= ; ตัวตั้งคือ t ตัวหารคือ 3b )3( bt ×÷= ; b3 ก็คือ b×3 ดังนั้นตอบขอ ง 8. ?6 =−+ yx เมื่อกําหนดให 3=x และ 12=y วิธีทํา 6−+ yx 6123 −+= ; แทนคา 3=x และ 12=y 615 −= ; ดําเนินการจากซายไปขวา 9= ดังนั้นตอบขอ ค 9. ?3 =−+ cba เมื่อกําหนดให 6,6 == ba และ 2=c วิธีทํา cba 3−+ )2(342 −+= ; แทนคา 6,6 == ba และ 2=c 642 −+= ; นํา 3 คูณ 2 กอน 66 −= ; ดําเนินการจากซายไปขวา 0= ดังนั้นตอบขอ ก 10. สัญลักษณที่แสดงถึงความเปนสมการคือ เครื่องหมายเทากับ (=) ดังนั้นตอบขอ ก
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 59 11. พิจารณาทีละตัวเลือก ขอ ก 345 ×+ 27= 125 + 27= 17 27= ; ซึ่งไมเปนจริง 2717 ≠ ขอ ข 3−x 6= ; เนื่องจากเรายังไมทราบคาของตัวแปร x จึงยังบอกไมไดวาสมการนี้เปนจริง หรือไม ขอ ค 714 + 515 += 21 20= ; ซึ่งไมเปนจริง 2021 ≠ ขอ ง )14(2 + )1(2)4(2 += )5(2 28 += 10 10= ; ซึ่งเปนจริง ดังนั้นตอบขอ ง 12. จากสมการ 1424 =+x เมื่อลองนํา 3 ไปแทนใน x จะไดวา 24 +x 14= 2)3(4 + 14= 212 + 14= 14 14= ; ซึ่งเปนจริง ดังนั้นคําตอบของสมการนี้ คือ 3 ดังนั้นตอบขอ ค 13. พิจารณาสมการในตัวเลือกแตละขอพบวา ขอ ก. 75 =+x มีตัวแปรอยูในสมการ 1 ตัวคือตัวแปร x ดังนั้น สมการนี้เปนสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ขอ ข. )2(555)32( −−=+− xxx มีตัวแปรอยูในสมการ 1 ตัวคือตัวแปร x ถึงแมวาจะ มีตัวแปรซ้ํากันอยูหลายที่ก็ตาม ดังนั้นสมการนี้เปน สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 60 ขอ ค. 1=+ yx มีตัวแปรอยูในสมการ 2 ตัวคือตัวแปร x และ y ดังนี้ สมการนี้ไมใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ขอ ง. xx 42 = มีตัวแปรอยูในสมการ 1 ตัวคือตัวแปร x ถึงแมวาจะ มีตัวแปรซ้ํากันอยูหลายที่ก็ตาม ดังนั้นสมการนี้เปน สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ดังนั้นตอบขอ ค 14. 1815 =+ x มีวิธีการหาคําตอบของสมการดังนี้ วิธีทํา x+15 18= ; ตองกําจัด 15 ในฝงซายทิ้งไป 1515 −+ x 1518 −= ; โดยนํา 15 มาลบออกทั้งสองขาง x 3= ; จะไดคําตอบของสมการนี้คือ 3 ดังนั้นตอบขอ ค 15. ถา 27 =−d จงหาวา ?7 =+d วิธีทํา จะหาคา 7+d ได เราจะตองทราบคาของ d ซะกอน 7−d 2= ; ตองกําจัด 7 ในฝงซายทิ้งไป 77 +−d 72 += ; โดยนํา 7 มาบวกเขาทั้งสองขาง d 9= แตจะตอบขอ ก ไมไดนะ เพราะวาโจทยไมไดถามหาคาของ d แตโจทยถามหาคา 7+d จึงไดวา 16797 =+=+d ดังนั้นตอบขอ ค 16. 255 =x มีวิธีการหาคา x ดังนี้ วิธีทํา x5 25= ; ตองกําจัด 5 ในฝงซายทิ้งไป 5 5x 5 25 = ; โดยนํา 5 มาหารทั้งสองขาง x 5= ดังนั้นตอบขอ ก
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 61 17. 27 5 3 =x มีวิธีการแกสมการดังนี้ วิธีทํา x 5 3 27= ; ตองกําจัด 5 3 ในฝงซายทิ้งไป 3 5 5 3 ×x 3 5 27×= ; โดยนํา 3 5 มาคูณทั้งสองขาง ซึ่งมีคา เทากับนํา 5 มาคูณเขาทั้งสองขาง และ นํา 3 มาหารทั้งสองขาง x 45= ; จะไดคําตอบของสมการนี้คือ 45 ดังนั้นตอบขอ ง 18. 1754 =+x มีขั้นตอนการแกสมการดังนี้ วิธีทํา 54 +x 17= 554 −+x 517 −= ; นํา 5 มาลบออกทั้งสองขาง x4 12= 4 4x 4 12 = ; นํา 4 มาหารทั้งสองขาง x 3= ดังนั้นตอบขอ ค 19. 3212 5 4 =+x แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา 12 5 4 +x 32= 1212 5 4 −+x 1232 −= ; นํา 12 มาลบออกทั้งสองขาง x 5 4 20= 4 5 5 4 ×x 4 5 20×= ; นํา 4 5 มาคูณทั้งสองขาง x 25= ดังนั้นตอบขอ ข
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 62 20. 5432 +=− xx แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา 32 −x 54 += x ; เลือกที่จะใหเหลือตัวแปร x ในฝงขวา xx 232 −− xx 254 −+= ; นํา x2 มาลบออกทั้งสองขาง 3− 52 += x 53 −− 552 −+= x ; นํา 5 มาลบออกทั้งสองขาง 8− x2= 2 8 − 2 2x = ; นํา 2 มาคูณทั้งสองขาง 4− x= ดังนั้นตอบขอ ค 21. จากสมการ 12435 +−=+ xx แลว 1−x มีคาเทาใด วิธีทํา จะหาคา 1−x ได เราจะตองทราบคาของ x ซะกอน 35 +x 124 +−= x ; เลือกที่จะใหเหลือตัวแปร x ในฝงขวา xx 435 ++ xx 4124 ++−= ; กําจัด x4− โดยนํา x4 มาบวกเขา ทั้งสองขางของสมการ 39 +x 12= 339 −+x 312 −= ; นํา 3 มาลบออกทั้งสองขาง x9 9= 9 9x 9 9 = ; นํา 9 มาหารทั้งสองขางของสมการ x 1= แตจะตอบขอ ข ไมไดนะ เพราะวาโจทยไมไดถามหาคาของ x แตโจทยถามหาคา 1−x จึงไดวา 0111 =−=−x ดังนั้นตอบขอ ก 22. aaa 49234 −=−+ แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา aa 234 −+ a49 −= ; ยุบรวมตัวแปรในแตละฝงใหเหลือเพียง ตัวเดียว 32 +a a49 −= ; เลือกที่จะใหตัวแปรเหลืออยูที่ฝงซาย aa 432 ++ aa 449 +−= ; นํา a4 บวกเขาทั้งสองขาง 36 +a 9=
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 63 336 −+a 39 −= ; นํา 3 มาลบออกทั้งสองขาง a6 6= 6 6a 6 6 = ; นํา 6 มาหารทั้งสองขาง a 1= ดังนั้นตอบขอ ข 23. 6)1(2 =+g แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา )1(2 +g 6= )1(2)(2 +g 6= ; นํา 2 คูณเขาไปในวงเล็บ ตามสมบัติการ แจกแจง 22 +g 6= 222 −+g 26 −= ; นํา 2 มาลบออกทั้งสองขาง g2 4= 2 2g 2 4 = ; นํา 2 มาหารทั้งสองขาง g 2= ดังนั้นตอบขอ ก 24. 105)1(3 −=+−+ xx แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา xx +−+ 5)1(3 10−= xx +−+ 5)1(3)(3 10−= ; นํา 3 คูณเขาไปในวงเล็บ ตามสมบัติการ แจกแจง xx +−+ 533 10−= 24 −x 10−= 224 +−x 210 +−= ; นํา 2 มาบวกเขาทั้งสองขาง x4 8−= 4 4x 4 8 −= ; นํา 4 มาหารทั้งสองขาง x 2−= ดังนั้นตอบขอ ข
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 64 25. 3 5 12 = +x แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา 5 12 +x 3= 5 5 12 ⋅ +x 53⋅= ; นํา 5 คูณเขาทั้งสองขางของสมการ 12 +x 15= 112 −+x 115 −= ; นํา 1 มาลบออกทั้งสองขาง x2 14= 2 2x 2 14 = ; นํา 2 มาหารทั้งสองขาง x 7= ดังนั้นตอบขอ ค 26. )4(3)3(213 −=−+− xxx แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา )3(213 −+− xx )4(3 −= x )3(2)(213 −+− xx )4(3)(3 −= x ; นําตัวเลขคูณเขาไปในวงเล็บ 6213 −+− xx 123 −= x 75 −x 123 −= x xx 375 −− xx 3123 −−= ; นํา x3 มาลบออกทั้งสองขาง 72 −x 12−= 772 +−x 712 +−= ; นํา 7 มาบวกเขาทั้งสองขางของสมการ x2 5−= 2 2x 2 5 −= ; นํา 2 มาหารทั้งสองขาง x 2 5 −= ดังนั้นตอบขอ ค 27. จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงติดกัน มีผลรวมเทากับ -15 มีวิธีการหาจํานวนเต็มทั้ง 3 จํานวนดังนี้ วิธีทํา ทําความเขาใจกับขอความ จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงติดกัน ยกตัวอยางเชน 1, 2, 3 หรือ 5, 6, 7 จากจํานวนที่ยกตัวอยางจะพบวา จํานวนที่สอง เทากับ จํานวนแรก + 1 จํานวนที่สาม เทากับ จํานวนแรก + 2
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 65 ตอนนี้เราไมรูจํานวนใดเลยในสามจํานวนนี้ จึงสมมติใหจํานวนแรกเทากับ x จะไดจํานวนที่สองเทากับ 1+x และจํานวนที่สามเทากับ 2+x เงื่อนไขเพิ่มเติมบอกวา จํานวนทั้งสามนี้มีผลรวมเทากับ -15 นั่นคือ )2()1( ++++ xxx 15−= แกสมการ )2()1( ++++ xxx 15−= 21 ++++ xxx 15−= 33 +x 15−= 333 −+x 315 −−= ; นํา 3 มาลบออกทั้งสองขาง x3 18−= 3 3x 3 18 −= ; นํา 3 มาหารทั้งสองขาง x 6−= จึงไดวาจํานวนเต็มทั้งสามจํานวนนั้นคือ -6, -5, -4 จะไดวาจํานวนที่มากที่สุดบวกดวยจํานวนที่นอยที่สุดเทากับ -4 + (-6) = -10 ดังนั้นตอบขอ ข 28. หาเทาของจํานวนหนึ่งบวกกับ 13 มีคาเทากับ 38 จะสรางเปนสมการตั้งตนไดดังนี้ วิธีทํา ถาให x แทนจํานวนหนึ่ง จะไดวาหาเทาของจํานวนหนึ่งคือ x5 และหาเทาของจํานวนหนึ่งบวกกับ 13 มีคาเทากับ 38 จึงไดวา 38135 =+x ดังนั้นตอบขอ ก 29. สมบัติวิ่งดวยอัตราเร็ว 12 กิโลเมตรตอชั่วโมง ปรีชาวิ่งดวยอัตราเร็ว 10 กิโลเมตรตอชั่วโมง และวิ่ง นานกวาสมบัติ 25 นาที ไดระยะทางไกลกวาสมบัติ 2 กิโลเมตร จงหาวาปรีชาวิ่งไดระยะทางกี่กิโลเมตร วิธีทํา สิ่งที่โจทยถามคือระยะทางที่ปรีชาวิ่งได จึงใหระยะทางที่ปรีชาวิ่งไดคือ x กิโลเมตร และปรีชาวิ่งดวยอัตราเร็ว 10 กิโลเมตร/ชั่วโมง
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 66 จึงไดวาปรีชาใชเวลาในการวิ่งเทากับ 10 x ชั่วโมง ทีนี้มาดูขอมูลของสมบัติกันบาง สมบัติวิ่งไดระยะทางที่นอยกวาปรีชาอยู 2 กิโลเมตร และระยะทางของปรีชาคือ x กิโลเมตร จึงไดวาระยะทางที่สมบัติวิ่งไดคือ 2−x กิโลเมตร สมบัติวิ่งดวยอัตราเร็ว 12 กิโลเมตร/ชั่วโมง จึงไดวาสมบัติใชเวลาวิ่งเทากับ 12 2−x ชั่วโมง ปรีชาวิ่งนานกวาสมบัติ 25 นาที หรือคิดเปน 12 5 60 25 = ชั่วโมง นั่นคือ เวลาที่ปรีชาวิ่ง = เวลาที่สมบัติวิ่ง + 12 5 ชั่วโมง เขียนเปนสมการไดวา 10 x 12 5 12 2 + − = x แกสมการ 10 x 12 52 +− = x ; ตัวสวนเหมือนกัน ยุบใหเหลือตัวเดียว 10 x 12 3+ = x 10 10 ⋅ x 10 12 3 ⋅ + = x ; นํา 10 คูณเขาทั้งสองขาง x 12 )3(10 + = x 12⋅x 12 12 )3(10 ⋅ + = x ; นํา 12 คูณเขาทั้งสองขาง x12 )3(10 += x x12 3010 += x ; นํา 10 คูณเขาไปในวงเล็บ xx 1012 − xx 103010 −+= ; นํา x10 มาลบทั้งสองขาง x2 30= 2 2x 2 30 = ; นํา 2 มาหารทั้งสองขางของสมการ x 15= ; นั่นคือระยะทางที่ปรีชาวิ่งไดเทากับ 15 กิโลเมตร ดังนั้นตอบขอ ก
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 67 30. ซื้อสิ้นคามาราคา 300 บาท ตองการขายใหไดกําไร 25% หากตองการลดราคาลง 20% ของที่ประกาศ ไว ตองติดราคาขายไวกี่บาท วิธีทํา ตนทุน 300 บาท ตองการขายใหไดกําไร 25% ซึ่งคิดเปนจํานวนเงิน 75300 100 25 =× บาท ดังนั้นจะตองขายใหไดเงินจริง ๆ 375 บาท โจทยตองการทราบราคาขายที่จะติดไวกอนที่จําทําการลด 20% จึงสมมติใหตั้งราคาขายเทากับ x บาท และลดราคา 20% คิดเปนเงิน 100 20x หรือ x 5 1 บาท จึงไดวาสินคานี้จะขายในราคา xx 5 1 − บาท นั่นคือ xx 5 1 − 375= แกสมการ xx 5 1 5 5 − 375= ; ทําตัวสวนใหเทากัน x 5 4 375= 4 5 5 4 ⋅x 4 5 375⋅= ; นํา 4 5 คูณเขาทั้งสองขาง x 75.468= นั่นคือตองติดราคาขายเทากับ 468.75 บาท ดังนั้นตอบขอ ข 31. จากการสํารวจของพัสดุโรงเรียนพบวา มีหลอดไฟชํารุด 30 หลอด คิดเปน 24% ของจํานวนหลอด ทั้งหมด จํานวนหลอดไฟที่ยังใชการไดมีเทาใด วิธีทํา โจทยตองการทราบจํานวนหลอดไฟที่ยังใชการได จึงใหจํานวนหลอดไฟที่ยังใชการไดเทากับ x หลอด เนื่องจากจํานวนหลอดไฟที่ชํารุดคิดเปน 24% ของจํานวนหลอดไฟทั้งหมด จํานวนหลอดไฟที่ชํารุด 24% นั้นมีจํานวน 30 หลอด ดังนั้นจํานวนหลอดไฟทั้งหมดคือ 12530 24 100 =× หลอด จํานวนหลอดไฟที่ใชการได = จํานวนหลอดไฟทั้งหมด - จํานวนหลอดไฟที่ชํารุด เพื่อหาจํานวนหลอดไฟที่ใชการได จึงเขียนเปนสมการตั้งตนไดเปน x 30125 −=
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 68 แกสมการ x 95= นั่นคือจํานวนหลอดไฟที่ยังใชการไดคือ 95 หลอด ดังนั้นตอบขอ ง 32. สนามหญารูปสี่เหลี่ยมผืนผา มีอัตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 5 : 4 ถาเพิ่มความยาวของ แตละดานออกไปอีก 25% ของความยาวเดิม จะทําใหความยาวรอบสนามเทากับ 180 เมตร จงหาวา เดิมแตละดานของสนามยาวกี่เมตร วิธีทํา โจทยตองการทราบความยาวเดิมของแตละดานของสนามกอนที่จะมีการเพิ่มความยาวใหม แตตอนนี้เราก็ยังไมทราบความยาวของสนามเลยแมแตดานเดียว จึงกําหนดใหดานยาวของสนามเทากับ x เมตร เนื่องจากอัตราสวนของความยาวตอความกวางของสนามเปน 5 : 4 จึงไดวาเมื่อดานยาว ยาวx เมตร ดานกวางจะตองยาว x 5 4 เมตร เมื่อเพิ่มความยาวแตละดานออกไปอีก 25% ของความยาวเดิม จะไดวา ดานยาวใหมจะยาวเทากับ xxx 4 5 4 1 =+ เมตร ดานกวางใหมจะยาวเทากับ xxx =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 5 4 4 1 5 4 เมตร ความยาวรอบสนามหลังจากที่เพิ่มความยาวของแตละดานเทากับ 180 เมตร จึงเขียนเปนสมการไดดังนี้ xxxx +++ 4 5 4 5 180= แกสมการ xx 2 4 10 + 180= xx 4 8 4 10 + 180= x 4 18 180= 18 4 4 18 ⋅x 18 4 180⋅= x 40= นั่นคือความยาวเดิมของสนามจะมีดานยาว ยาวเทากับ 40 เมตร และดานกวางยาว 32 เมตร ดังนั้นตอบขอ ข
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 69 33. ประดิษฐซื้อสมมา 30 บาท วันตอมาซื้ออีก 30 บาท ปรากฏวาสมลดราคาลง 20% ทําใหไดสมเพิ่มขึ้น กวาครั้งแรก 10 ผล ดังนั้นครั้งแรกซื้อสมมากี่ผล วิธีทํา โจทยถามหาจํานวนสมที่ซื้อมาครั้งแรก จึงสมมติใหจํานวนสมที่ซื้อมาครั้งแรกเทากับ x ผล จะไดวาสมราคาผลละ x 30 บาท วันตอมาสมลดราคาลง 20% หรือขายในราคา 80% ของราคาเดิม จึงไดวาสมราคาผลละ xx 2430 5 4 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ บาท และซื้อมา 30 บาท จึงไดสมจํานวน 4 5 24 30 24 30 xx x == ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ผล จํานวนสมที่ซื้อมาในวันตอมาเพิ่มขึ้นจากวันแรก 10 ผล จึงไดวา จํานวนสมวันที่สอง = จํานวนสมวันแรก + 10 ซึ่งเขียนเปนสมการไดวา 4 5x 10+= x แกสมการ x x − 4 5 xx −+= 10 4 4 4 5 xx − 10= 4 x 10= 4 4 ⋅ x 410⋅= x 40= นั่นคือจํานวนสมที่ซื้อมาวันแรกเทากับ 40 ผล ดังนั้นตอบขอ ข 34. จากขอ 33 จะไดวาสมราคาผลละ 75.0 40 30 = บาท หรือ 75 สตางค ดังนั้นตอบขอ ง
พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 70 35. แจกเงินจํานวนหนึ่งใหแกเด็กคนละ 50 บาท ยังขาดเงินอยู 100 บาท หากแจกคนละ 45 บาท จะเหลือ เงิน 50 บาท จงหาวามีเงินแจกเด็กอยูกี่บาท วิธีทํา โจทยถามหาวาจํานวนเงินที่แจกเด็กมีอยูกี่บาท จึงสมมติใหจํานวนที่แจกเด็กมีอยู x บาท แจกเงินใหเด็กคนละ 50 บาท จะแจกได 50 x คน แตยังขาด 100 บาท แสดงวายังเหลือเด็กที่ยังไมไดเงิน 2 50 100 = คน ดังนั้นจํานวนเด็กทั้งหมดมีอยู 2 50 + x คน ถาแจกใหเด็กคนละ 45 บาท จะใชเงินทั้งหมด ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 50 45 x บาท และยังเหลือเงินอยู 50 บาท แสดงวาจํานวนเงินที่มีอยู - จํานวนเงินที่แจกเด็กคนละ 45 บาท = 50 บาท เขียนเปนสมการตั้งตนไดวา ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− 2 50 45 x x 50= แกสมการ 90 50 45 −− x x 50= 9090 50 45 +−− x x 9050 += 50 45x x − 140= 50 45 50 50 xx − 140= 50 5x 140= 5 50 50 5 ⋅ x 5 50 140⋅= x 1400= นั่นคือมีเงินแจกเด็กอยูทั้งหมด 1,400 บาท ดังนั้นตอบขอ ค
บรรณานุกรม วินิจ วงศรัตนะ, ผศ. ม.ป.ป.. คูมือเตรียมสอบ คณิตศาสตร ม.1-2-3 สาระการเรียนรูพื้นฐาน & เพิ่มเติม ตรงตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร. กรุงเทพมหานคร : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี, สถาบัน. 2547. หนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐาน คณิตศาสตร เลม 2 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 ตามหลักสูตรการศึกษา ขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว. สุชิน ทํามาหากิน. 2547. คูมือคณิตศาสตรแนวใหม ม.1 เลม 2 ภาคเรียนที่ 2 ตรงตามหลักสูตรการศึกษา ขั้นพื้นฐาน พ.ศ. 2544. กรุงเทพมหานคร : สํานักพิมพพัฒนาศึกษา สุชิน ทํามาหากิน. 2547. คูมือคณิตศาสตรแนวใหม ม.2 เลม 2 ภาคเรียนที่ 2 ตรงตามหลักสูตรการศึกษา ขั้นพื้นฐาน พ.ศ. 2544. กรุงเทพมหานคร : สํานักพิมพพัฒนาศึกษา Balch, Kay., and others. 1993. Mathematics Applications and Connections, Course 3. U.S.A. : McGraw - Hill

More Related Content

PDF
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชัน
Jiraprapa Suwannajak
 
PDF
ชุดการสอนที่ 3 มุมภายนอกกับมุมภายใน
วิเชียร กีรติศักดิ์กุล
 
PDF
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
kroojaja
 
PDF
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
Mike Polsit
 
PDF
ใบงานสถิติและข้อมูล
peesartwit
 
PDF
เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2
นายเค ครูกาย
 
PDF
ชุดที่ 8 การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสัดส่วน
พิทักษ์ ทวี
 
PDF
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ปริมาตรของพีระมิด
คุณครูพี่อั๋น
 
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชัน
Jiraprapa Suwannajak
 
ชุดการสอนที่ 3 มุมภายนอกกับมุมภายใน
วิเชียร กีรติศักดิ์กุล
 
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
kroojaja
 
แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ
Mike Polsit
 
ใบงานสถิติและข้อมูล
peesartwit
 
เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2
นายเค ครูกาย
 
ชุดที่ 8 การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสัดส่วน
พิทักษ์ ทวี
 
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ปริมาตรของพีระมิด
คุณครูพี่อั๋น
 

What's hot (20)

PDF
โครงสร้างคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ม.ต้น
Inmylove Nupad
 
PDF
บทที่ 4 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
sawed kodnara
 
PDF
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
คุณครูพี่อั๋น
 
PDF
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
ทับทิม เจริญตา
 
PDF
ชุดการสอนที่ 4 เรื่อง เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม
วิเชียร กีรติศักดิ์กุล
 
PDF
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
phaephae
 
PDF
ระบบสมการเชิงเส้น
Ritthinarongron School
 
PDF
หน่วยที่ 3 เลขยกกำลัง ม.1
guychaipk
 
PDF
บัตรลงคะแนน2
Pattama Poyangyuen
 
PDF
โครงงานเรขาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เ...
พิทักษ์ ทวี
 
PDF
ข้อสอบคณิตศาสตร์ (PISA)
Napadon Yingyongsakul
 
PDF
ชุดที่ 1 แบบรูปและความสัมพันธ์
Aobinta In
 
DOCX
โครงงานคณิตศาสตร์
Nomjeab Nook
 
PDF
เศษส่วนพหุนาม
Ritthinarongron School
 
PDF
ตัวอย่างข้อสอบ Gsp งานศิลปะหัตกรรม ปีการศึกษา 2552
waranyuati
 
PDF
เส้นขนาน ม.2
KruGift Girlz
 
PDF
ลิลิตตะเลงพ่าย (สอน Ppt)[1]
นิตยา ทองดียิ่ง
 
PDF
ข้อสอบเรื่องการบวกลบคูณหารพหุนาม
ทับทิม เจริญตา
 
PDF
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
พัน พัน
 
PDF
ฮิสโทแกรม
krookay2012
 
โครงสร้างคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ม.ต้น
Inmylove Nupad
 
บทที่ 4 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
sawed kodnara
 
แผนการสอนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1
คุณครูพี่อั๋น
 
แบบทดสอบ เรื่อง สัญกรณ์วิทยาสตร์
ทับทิม เจริญตา
 
ชุดการสอนที่ 4 เรื่อง เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม
วิเชียร กีรติศักดิ์กุล
 
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
phaephae
 
ระบบสมการเชิงเส้น
Ritthinarongron School
 
หน่วยที่ 3 เลขยกกำลัง ม.1
guychaipk
 
บัตรลงคะแนน2
Pattama Poyangyuen
 
โครงงานเรขาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เ...
พิทักษ์ ทวี
 
ข้อสอบคณิตศาสตร์ (PISA)
Napadon Yingyongsakul
 
ชุดที่ 1 แบบรูปและความสัมพันธ์
Aobinta In
 
โครงงานคณิตศาสตร์
Nomjeab Nook
 
เศษส่วนพหุนาม
Ritthinarongron School
 
ตัวอย่างข้อสอบ Gsp งานศิลปะหัตกรรม ปีการศึกษา 2552
waranyuati
 
เส้นขนาน ม.2
KruGift Girlz
 
ลิลิตตะเลงพ่าย (สอน Ppt)[1]
นิตยา ทองดียิ่ง
 
ข้อสอบเรื่องการบวกลบคูณหารพหุนาม
ทับทิม เจริญตา
 
เรื่องเศษส่วนพหุนาม
พัน พัน
 
ฮิสโทแกรม
krookay2012
 
Ad

Similar to การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว (20)

PDF
Basic algebra
เลิฟ บุญรอด
 
PDF
Unit4
โรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
PDF
แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยที่ 1 เรื่องสมการ ...pdf
SeedaKotprom1
 
DOC
หลักสูตรคณิตม.ต้น
Apichaya Savetvijit
 
PDF
แผน 4 นวัตกรรม บูรณาการเรื่องสมบัติของจำนวนเต็ม
Jirathorn Buenglee
 
PPT
Chapter2 ลำดับ
PumPui Oranuch
 
PDF
คำอธิบายรายวิชาและโครงสร้างรายวิชา ค31202
Aun Wny
 
DOC
Lead2
รุิจิรา คุณประทุม
 
DOCX
เรื่อง บทเรียนสำเร็จรูปเรื่อง อสมการ ม.3
วรรณิภา ไกรสุข
 
PDF
Real number2555
wongsrida
 
PDF
การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
krusongkran
 
PDF
Random 121009010211-phpapp02
Destiny Nooppynuchy
 
PDF
ข้อสอบ O-net-คณิต-ป.3-ชุด-1
Tangkwa Dong
 
PDF
ข้อสอบ O net คณิต ป.3 ชุด 1
Manas Panjai
 
PDF
เผยแพร่ผลงาน เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1
pandachar
 
PDF
เอกสารประกอบการประชุมปฏิบัติการการอบรมครูวิชาคณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา
Napadon Yingyongsakul
 
PDF
Factoring of polynomials2
Aon Narinchoti
 
PPT
บทที่ 1.ทบทวนคณิตศาสตร์
PumPui Oranuch
 
PDF
การแยกตัวประกอบพหุนาม
Aon Narinchoti
 
PDF
คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 ค 31201
kroojaja
 
Basic algebra
เลิฟ บุญรอด
 
Unit4
โรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยที่ 1 เรื่องสมการ ...pdf
SeedaKotprom1
 
หลักสูตรคณิตม.ต้น
Apichaya Savetvijit
 
แผน 4 นวัตกรรม บูรณาการเรื่องสมบัติของจำนวนเต็ม
Jirathorn Buenglee
 
Chapter2 ลำดับ
PumPui Oranuch
 
คำอธิบายรายวิชาและโครงสร้างรายวิชา ค31202
Aun Wny
 
Lead2
รุิจิรา คุณประทุม
 
เรื่อง บทเรียนสำเร็จรูปเรื่อง อสมการ ม.3
วรรณิภา ไกรสุข
 
Real number2555
wongsrida
 
การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
krusongkran
 
Random 121009010211-phpapp02
Destiny Nooppynuchy
 
ข้อสอบ O-net-คณิต-ป.3-ชุด-1
Tangkwa Dong
 
ข้อสอบ O net คณิต ป.3 ชุด 1
Manas Panjai
 
เผยแพร่ผลงาน เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1
pandachar
 
เอกสารประกอบการประชุมปฏิบัติการการอบรมครูวิชาคณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา
Napadon Yingyongsakul
 
Factoring of polynomials2
Aon Narinchoti
 
บทที่ 1.ทบทวนคณิตศาสตร์
PumPui Oranuch
 
การแยกตัวประกอบพหุนาม
Aon Narinchoti
 
คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 ค 31201
kroojaja
 
Ad

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

  • 1. สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว และ iMath เนื้อหาประกอบด้วย ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ตัวแปรตัวแปร สมการสมการ สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบสองขั้นตอนการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบสองขั้นตอน และอื่น ๆและอื่น ๆ โดย เสถียร วิเชียรสาร วท.บ. (สถิติ) ครู ค.ศ.1 โรงเรียนบ้านซับก้านเหลือง ป.บัณฑิต (การศึกษา)
  • 2. เอกสารประกอบการเรียนการสอน สาระการเรียนรูคณิตศาสตร ชวงชั้นที่ 3 พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง สํานักงานเขตพื้นที่การศึกษานครราชสีมาเขต 3
  • 3. คํานํา เอกสารความรูพีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเลมนี้ ใหความรูในกลุมสาระ คณิตศาสตร เหมาะสําหรับนักเรียนที่สนใจในการศึกษาหาความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับเนื้อหาพีชคณิตเบื้องตนและ สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว รวมถึงครูผูสอนกลุมสาระคณิตศาสตรสามารถใชเปนสื่อประกอบการสอนได ขอความที่ปรากฏอยูในเอกสารเลมนี้ จะเปนการบรรยายในลักษณะที่เปนคําพูดที่ใชทั่ว ๆ ไป ไมไดเนนออกไป ทางการใชคําที่เปนวิชาการมากนัก อานแลวจะรูสึกเหมือนกับวาผูจัดทําไดเปนผูบรรยายใหฟงในขณะนั้น เนื้อหาที่สําคัญ ๆ ก็จะประกอบไปดวยสวนของพีชคณิตเบื้องตน ซึ่งก็ไดแกการดําเนินการการบวก ลบ คูณ หาร การเขียนการดําเนินการในรูปอยางยอ และสวนที่เจาะลึกในเรื่องของสมการการเชิงเสนตัวแปรเดียว ซึ่ง จะเรียงลําดับเนื้อหาการแกสมการในรูปแบบงาย ๆ ทีละขั้นไปจนถึงระดับที่ซับซอน ขอขอบคุณ ครูจินตนา ปตตังเว ครูชํานาญการโรงเรียนบานซับกานเหลือง ที่ไดใหคําแนะนํา หลาย ๆ อยางและตรวจสอบขอผิดพลาดที่เกิดขึ้น จนสามารถจัดทําเอกสารประกอบการเรียนเลมนี้ไดสําเร็จ ผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวาเอกสารเลมนี้จะเปนอีกสื่อนวัตกรรมหนึ่งที่จะชวยเสริมความรู ความเขาใจ และ ความรักในการเรียนคณิตศาสตร เกิดประโยชนอยางสูงแกผูเรียนและครูผูสอน หากผิดพลาดประการใด ผูจัดทําขอนอมรับคําแนะนําทุกประการดวยความยินดียิ่ง เพื่อจะนํามาพัฒนางานนี้และงานอื่น ๆ ตอไป ดวยความปรารถนาดี เสถียร วิเชียรสาร
  • 4. คําชี้แจง เอกสารประกอบการเรียนกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร เรื่องพีชคณิตเบื้องตนและสมการ เชิงเสนตัวแปรเดียว มีจุดประสงคหรือผลการเรียนรูที่คาดหวังประกอบดวย 1. ผูเรียนสามารถคํานวณตัวเลขเพื่อหาผลลัพธไดถูกตองตามลําดับการดําเนินการทาง คณิตศาสตร 2. ผูเรียนสามารถบอกลักษณะการดําเนินการทางคณิตศาสตรจากประโยคสัญลักษณที่อยูรูป แบบอยางยอได 3. ผูเรียนสามารถหาผลลัพธจากประโยคสัญลักษณที่มีตัวแปรไดถูกตอง เมื่อกําหนดคาของ ตัวแปรมาให 4. ผูเรียนสามารถบอกไดวาสมการที่กําหนดใหเปนจริงหรือเปนเท็จ 5. ผูเรียนสามารถบอกไดวาคําตอบของสมการมีคาเทาใด เมื่อกําหนดสมการและตัวเลขที่ นาจะเปนคําตอบของสมการนั้นมาให 6. ผูเรียนมีความรูความเขาใจเกี่ยวกับลักษณะสําคัญของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 7. ผูเรียนสามารถใชสมบัติการบวกและสมบัติการลบแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวได 8. ผูเรียนสามารถใชสมบัติการคูณและสมบัติการหารแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวได 9. ผูเรียนสามารถใชหลักการพิจารณาลําดับการดําเนินการทางคณิตศาสตรเพื่อแกสมการเชิง เสนตัวแปรเดียวแบบสองขั้นตอนได 10. ผูเรียนสามารถแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขางของสมการได 11. ผูเรียนสามารถแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขางของสมการ และแต ละขางมีตัวแปรซ้ํากันมากวา 1 ตัวได 12. ผูเรียนสามารถแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวที่มีรูปแบบที่ซับซอนได 13. ผูเรียนสามารถสรางสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวจากโจทยปญหาที่กําหนดใหได 14. ผูเรียนสามารถแกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวได รูปแบบของเนื้อหาจะลําดับจากความรูพื้นฐานงาย ๆ แลวคอย ๆ เพิ่มความยากความซับซอน มากขึ้น ดังนั้นเพื่อใหเกิดผลสัมฤทธิ์ในการเรียนรู ผูเรียนจะตองศึกษาตามลําดับเนื้อหนาที่ปรากฏ หากยังไม เขาใจเนื้อหาในเรื่องนั้น ๆ อยางถองแท ก็ไมควรที่จะไปศึกษาเรื่องที่อยูในลําดับถัดไป เพื่อเปนการตรวจสอบ วาผูเรียนมีความเขาใจเนื้อหานั้น ๆ หรือไม จะมีแบบทดสอบความเขาใจใหผูเรียนไดลองทํา ถาทําไดถูกตอง นั่นแสดงวาผูเรียนมีความพรอมที่จะศึกษาเนื้อหาที่อยูถัดไป
  • 5. สารบัญ หนา 1. ลําดับการดําเนินการทางคณิตศาสตร 1 2. ตัวแปร 1 3. สมการ 7 4. สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 10 5. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 10 6. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวแบบสองขั้นตอน 19 7. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว กรณีที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขางของสมการ 24 8. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว กรณีที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขางของสมการ 27 แตละขางมีตัวแปรซ้ํากันมากกวา 1 ตัว 9. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ที่มีรูปแบบที่ซับซอน 29 10. โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 38 11. แบบทดสอบพีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 54 12. เฉลยแบบทดสอบพีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 57 บรรณานุกรม
  • 6. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 1 หลักการ : การดําเนินการทางคณิตศาสตร คือการคํานวณหาคาผลลัพธจากประโยคสัญลักษณทาง คณิตศาสตร ซึ่งอาจจะเปนการบวก ลบ คูณ หาร และยกกําลัง เปนตน ซึ่งลําดับการดําเนินการหรือ ลําดับการคํานวณกอนหลังเปนดังนี้ 1. ใหดําเนินการภายในวงเล็บกอนเปนลําดับแรก 2. ยกกําลัง 3. คูณ หรือหาร (ตามลําดับจากซายไปขวา) 4. บวก หรือลบ (ตามลําดับจากซายไปขวา) ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของ )92(53)84( 2 ++×÷+ วิธีทํา )92(53)84( 2 ++×÷+ 33 1320 1354 135312 )94(5312 = += +×= +×÷= ++×÷= 2054; 4312; 1394; 42,1284; 2 =× =÷ =+ ==+ ตัวอยางที่ 2 จงหาคาของ [ ] 2)37(4 2 +−+ วิธีทํา [ ] 2)37(4 2 +−+ [ ] [ ] 22 220 2164 244 2 = += ++= ++= 20164; 164; 437; 2 =+ = =− หลักการ : ตัวแปร คือ ตัวที่ไมทราบคา (ไมใชตัวเลข) ที่ปรากฏอยูในประโยคสัญลักษณทางคณิตศาสตร ซึ่ง อาจจะอยูในรูปของตัวอักษร หรือรูปรางตาง ๆ และเพื่อที่จะสามารถหาคําตอบของประโยคสัญลักษณนั้น ๆ จําเปนจะตองทราบคาของตัวแปรทุกตัวที่ปรากฏอยูในประโยคสัญลักษณ 2. ตัวแปร 1. ลําดับการดําเนินการทางคณิตศาสตร
  • 7. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 2 รูปแบบของประโยคสัญลักษณที่นาสนใจ a3 หมายถึง a×3 ab หมายถึง ba × a⋅5 หมายถึง a×5 3 d หมายถึง ddd ×× 2 3xy หมายถึง yyx ×××3 ( )[ ]cdba หมายถึง ( )dcba ××× b t 3 หมายถึง ( )bt ×÷ 3 )4(2 หมายถึง 42× ตัวอยางที่ 3 จงหาคาของ 4−+ yx เมื่อ 3,7 == yx วิธีทํา 4−+ yx 6 410 437 = −= −+= แทนคา x ดวย 7 และ y ดวย 3 ตัวอยางที่ 4 จงหาคาของ ba 32 + เมื่อ 12,4 == ba วิธีทํา ba 32 + )12(3)4(2 += แทนคา a ดวย 4 และ b ดวย 12 44 368 = += ใหคูณกอนบวกนะ ตัวอยางที่ 5 จงหาคาของ x y 3 2 เมื่อ 3,6 == xy วิธีทํา x y 3 2 )3(3 62 = แทนคา y ดวย 6 และ x ดวย 3 4 936 9 36 = ÷= =
  • 8. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 3 1. จากรูปแบบการดําเนินการอยางยอตอไปนี้ จงเขียนใหอยูการดําเนินการเต็มรูปแบบ ตัวอยาง xx ×= 66 1.1 =)3(6 ab .................................................................................... 1.2 =)2)(3( ba ................................................................................ 1.3 = dc ab 3 2 3 5 ...................................................................................... 1.4 =⋅ d c ab 4 .................................................................................. 1.5 =2 )(ab ..................................................................................... 2. จงหาคาของ ( ) 6534 2 ⋅−+ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงหาคาของ 352 +⋅ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 4. จงหาคาของ 654)32(5 ⋅+−+⋅ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 1
  • 9. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 4 5. จงหาคาของ 9221 ⋅+ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 6. จงหาคาของ 24)5(3 ÷+ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 7. จงหาคาของ 5318 −÷ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 8. จงหาคาของ ( )2 365 + ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
  • 10. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 5 9. จงหาคาของ ( ) 23 12 79 3 ⋅ −− ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 10. กําหนดให a = 7, b = 6, c = 4 และ d = 3 จงหาคาของ dba 243 −+ =...................................... =...................................... =................. 21÷abc =...................................... =...................................... =................. ( ) dcb ⋅+ 23 =...................................... =...................................... =................. ( )dcb ⋅+ 23 =...................................... =...................................... =................. 2 cd =...................................... =...................................... =................. ( )2 cd =...................................... =...................................... =................. 11. จงหาคาของ 2 723 )419(3 − +−⋅ =...................................... =...................................... =................. )66(4342 −+⋅− =...................................... =...................................... =................. ( ) 5172 ÷+ =...................................... =...................................... =................. 23 21 2 − =...................................... =...................................... =................. ( )[ ] 2374 2 +−+ =...................................... =...................................... =................. ( )[ ] 1687 2 −−− =...................................... =...................................... =................. ( )[ ] 7234 ÷+ =...................................... =...................................... =................. ( )[ ]14178217 −−− =...................................... =...................................... =.................
  • 11. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 6 12. กําหนดให y = 36, x = 25 และ w = 20 จงหาคาของ ( )wx w xy +− ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 13. จากประโยคสัญลักษณทางคณิตศาสตรแตละขอดานลาง ใหนักเรียนใสวงเล็บเพื่อแสดงลําดับการ ดําเนินการทางคณิตศาสตรใหถูกตอง ตัวอยาง =⋅+ )34(52 37 =+÷ 3672 8 =+÷−+ 5436446 46 =+÷+ 6247 2 9 =+−⋅ 1583 6 =−−+ 5784 10
  • 12. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 7 หลักการ : สมการ หมายถึง ประโยคสัญลักษณทางคณิตศาสตรที่แสดงถึงความเทากันของจํานวน (โดยมี สัญลักษณ = ที่แสดงถึงความเปนสมการ) เชน 5 + 4 = 9 ; เปนจริง 10 - 3 = 7 ; เปนจริง )65(2 + = 2(5) + 2(6) ; เปนจริง 325 ⋅+ = 21 ; เปนเท็จ สมการที่มีตัวแปรปรากฏอยูจะเรียกวา ประโยคเปด ซึ่งทําใหไมสามารถบอกไดวาสมการดังกลาว เปนจริงหรือเท็จ จนกวาจะนําตัวเลขมาแทนตัวแปร เชน 5 + 4 = x 10y - 4 = 26 2a = 8 4 3x = 1 การหาคําตอบของสมการ คือการหาจํานวนมาแทนตัวแปรที่ปรากฏอยูในสมการนั้น ๆ เพื่อทําให สมการเปนจริง หรือเรียกวา การแกสมการ และจํานวนดังกลาวเรียกวา คําตอบของสมการ นั่นเอง ตัวอยางที่ 6 จงหาวาจํานวนใดในวงเล็บ (8, 9, 10) ที่เปนคําตอบของสมการ 5 + 4 = x วิธีทํา ตัวแปรในที่นี้คือ x 5 + 4 = x 5 + 4 = 8 ทดลองแทน x ดวย 8 9 = 8 จะพบวาไมจริง ดังนั้น 8 ไมใช คําตอบของสมการนี้ 5 + 4 = x 5 + 4 = 9 ทดลองแทน x ดวย 9 9 = 9 จะพบวาเปนจริง ดังนั้น 9 คือ คําตอบของสมการนี้ 3. สมการ
  • 13. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 8 ตัวอยางที่ 7 จงหาวาจํานวนใดในวงเล็บ (1, 2, 3) ที่เปนคําตอบของสมการ 10y - 4 = 26 วิธีทํา ตัวแปรในที่นี้คือ y 10y - 4 = 26 10(1) - 4 = 26 ทดลองแทน y ดวย 1 10 - 4 = 26 6 = 26 จะพบวาไมจริง ดังนั้น 1 ไมใช คําตอบของสมการนี้ 10y - 4 = 26 10(2) - 4 = 26 ทดลองแทน y ดวย 2 20 - 4 = 26 16 = 26 จะพบวาไมจริง ดังนั้น 2 ไมใช คําตอบของสมการนี้ 10y - 4 = 26 10(3) - 4 = 26 ทดลองแทน y ดวย 3 30 - 4 = 26 26 = 26 จะพบวาเปนจริง ดังนั้น 3 คือ คําตอบของสมการนี้
  • 14. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 9 1. จงหาคําตอบของสมการในแตละขอ จากตัวเลขที่กําหนดให (ขีดเสนใตตัวเลขที่เปนคําตอบ) ตัวอยาง x 3814 += (52, 42, 24) m3 48= (14, 16, 19) c−3.1 50.0= (0.80, 1.80, 5.30) w 792 8= (44, 54, 99) 2. จงหาคําตอบของสมการ x5 100= คําตอบของสมการนี้คือ x = ........ 1634 + x= คําตอบของสมการนี้คือ x = ........ 7−d 24= คําตอบของสมการนี้คือ d = ........ 8+t 18= คําตอบของสมการนี้คือ t = ........ 3. สมการแสดงความระหวางอุณหภูมิในหนวยองศาเซลเซียสกับองศาฟาเรนไฮต 9 )32(5 − = F C เมื่อ C คือคาอุณหภูมิในหนวยองศาเซลเซียสและ F คือคาอุณหภูมิในหนวยองศาฟาเรนไฮต ถากําหนดให อุณหภูมิในหนวยองศาฟาเรนไฮตเปน 32 จงหาวาอุณหภูมิในหนวยองศาเซลเซียสจะเปนเทาใด ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 2
  • 15. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 10 หลักการ : สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว หมายถึง สมการที่มีตัวแปรปรากฏอยูในสมการนั้นเพียง 1 ตัวแปร เชน 5+x 10= 43 +x 25= 4+− x 63 += x 5 43 +x 25= ( )xx 6382 −+ x525 −= หลักการ : จะตองทําใหฝงใดฝงหนึ่งของสมการเหลือเพียงแคตัวแปร สวนอีกฝงหนึ่งเหลือเพียงตัวเลข การบวกและการลบ สมบัติ การบวก ของสมการ หลักการ : เมื่อนําจํานวนที่เทากันมาบวกเขาทั้งสองขางของสมการ คาแตละขาง ของสมการจะยังคงเทากันเหมือนเดิม รูปทั่วไป (ทางพีชคณิต) ตัวอยาง a = b a + c = b + c 5 = 5 5 + 2 = 5 + 2 7 = 7 สมบัติ การลบ ของสมการ หลักการ : เมื่อนําจํานวนที่เทากันมาลบออกทั้งสองขางของสมการ คาแตละขาง ของสมการจะยังคงเทากันเหมือนเดิม รูปทั่วไป (ทางพีชคณิต) ตัวอยาง a = b a - c = b - c 5 = 5 5 - 2 = 5 - 2 3 = 3 5. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 4. สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
  • 16. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 11 ในการแกสมการที่มีตัวเลขบวกหรือลบอยูกับตัวแปร จะตองใชการดําเนินการที่ตรงกันขามเพื่อกําจัด ตัวเลขตัวเลขดังกลาวใหหายไป เหลือเพียงแตตัวแปร เมื่อแกสมการเรียบรอยแลวใหตรวจสอบคําตอบที่ ไดทุกครั้ง ตัวอยางที่ 8 จงแกสมการ 1534 =−y วิธีทํา แกสมการ 34−y 15= 3434 +−y 3415 += บวก 34 เขาทั้งสองขางของสมการ y 49= ตรวจคําตอบ 34−y 15= 3449 − 15= แทนคา y ดวย 49 15 15= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 15 ตัวอยางที่ 9 จงแกสมการ 23.735.4 =+w วิธีทํา แกสมการ 35.4+w 23.7= 35.435.4 −+w 35.423.7 −= ลบ 4.35 ออกทั้งสองขางของสมการ w 88.2= ตรวจคําตอบ 35.4+w 23.7= 35.488.2 + 23.7= แทนคา w ดวย 2.88 23.7 23.7= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 2.88
  • 17. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 12 1. จงแกสมการ 2115 =+ x วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงแกสมการ 7040 =+ n วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงแกสมการ 14282 =+p วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 3
  • 18. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 13 4. จงแกสมการ 524 −= x วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 5. จงแกสมการ 68 −= f วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 6. จงแกสมการ s+=1319 วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
  • 19. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 14 การคูณและการหาร สมบัติ การคูณ ของสมการ หลักการ : เมื่อนําจํานวนที่เทากันมาคูณเขาทั้งสองขางของสมการ คาแตละขางของ สมการจะยังคงเทากันเหมือนเดิม รูปทั่วไป (ทางพีชคณิต) ตัวอยาง a = b ac = bc 6 = 6 6(2) = 6(2) 12 = 12 สมบัติ การหาร ของสมการ หลักการ : เมื่อนําจํานวนที่เทากัน (ยกเวน 0) มาหารทั้งสองขางของสมการ คาแต ละขางของสมการจะยังคงเทากันเหมือนเดิม รูปทั่วไป (ทางพีชคณิต) ตัวอยาง a = b c a = c b , 0≠c 6 = 6 3 6 = 3 6 2 = 2 ตัวอยางที่ 10 จงแกสมการ 2 4 = p วิธีทํา แกสมการ 4 p 2= 4 4 ⋅ p 42 ⋅= คูณ 4 เขาทั้งสองขางของสมการ p 8= ตรวจคําตอบ 4 p 2= 4 8 2= แทนคา p ดวย 8 2 2= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 8
  • 20. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 15 ตัวอยางที่ 11 จงแกสมการ z624 = วิธีทํา แกสมการ 24 z6= 6 24 6 6z = หารทั้งสองขางของสมการดวย 6 4 z= ตรวจคําตอบ 24 z6= 24 )4(6= แทนคา z ดวย 4 24 24= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 4 ตัวอยางที่ 12 จงแกสมการ 4816 =x วิธีทํา แกสมการ x16 48= 16 16x 16 48 = หารทั้งสองขางของสมการดวย 16 x 3= ตรวจคําตอบ x16 48= )3(16 48= แทนคา x ดวย 3 48 48= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 3
  • 21. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 16 1. จงแกสมการ 18 7 = s วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงแกสมการ w=⋅ 423 วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงแกสมการ 60 9 c = วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 4
  • 22. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 17 4. จงแกสมการ q2.04.18 = วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 5. จงแกสมการ 6.3 6.0 = p วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 6. จงแกสมการ 1833 =m วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
  • 23. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 18 7. จงแกสมการ 56 7 = f วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 8. จงแกสมการ p17102 = วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 9. จงแกสมการ 22.34.1 =t วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
  • 24. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 19 ตัวอยางที่ 13 จงหาคาของ 432 +⋅ วิธีทํา เมื่อพิจาณาลําดับการดําเนินการจะพบวา ลําดับที่ 1 นํา 2 คูณ 3 ไดผลลัพธคือ 6 ลําดับที่ 2 นํา 6 บวกกับ 4 ได 10 ดังนั้น 10432 =+⋅ เชนเดียวกัน 62 +x จะมีลําดับขั้นตอนการดําเนินการคือ ลําดับที่ 1 นํา 2 คูณ x ไดผลลัพธคือ 2x ลําดับที่ 2 จึงนํา 2x บวกกับ 6 ได 2x + 6 จงแสดงลําดับการดําเนินการของประโยคสัญลักษณตอไปนี้ 1, x58 +− ลําดับที่ 1 ลําดับที่ 2 2. 45 −x ลําดับที่ 1 ลําดับที่ 2 3. 64 +x ลําดับที่ 1 ลําดับที่ 2 4. 4 12 − d ลําดับที่ 1 ลําดับที่ 2 6. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวแบบสองขั้นตอน
  • 25. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 20 5. 3 6 w + ลําดับที่ 1 ลําดับที่ 2 ในการแกสมการที่อยูรูปแบบที่มีทั้งการบวก(หรือลบ)และการคูณ(หรือหาร)ปนกันอยู จะใช วิธีการดําเนินการแบบยอนกลับกับการดําเนินการในตัวอยางขางตน นั่นคือ อะไรที่ดําเนินการหลังสุดจะถูก กําจัดออกเปนอันดับแรก และทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จนกวาขางใดขางหนึ่งของสมการเหลือเพียงตัวแปร สวนอีก ขางมีเพียงตัวเลข ตัวอยางที่ 14 จงแกสมการ 842 =+x วิธีทํา เมื่อพิจาณาลําดับการดําเนินการจะพบวา ลําดับที่ 1 นํา 2 คูณ x ไดผลลัพธคือ 2x ลําดับที่ 2 นํา 4 บวกกับ 2x จึงได 8 ดังนั้นการแกสมการนี้จึงเริ่มดวย ลําดับที่ 1 นํา 4 ไปลบออกทั้งสองขางของสมการ 442 −+x 48 −= x2 4= ลําดับที่ 2 นํา 2 ไปหารทั้งสองขางของสมการ 2 2x 2 4 = x 2= จะพบวาฝงซายของสมการเหลือเพียงตัวแปรเรียบรอยแลว และฝงขวาก็เปนเพียงตัวเลข ดังนั้นการแกสมการถือวาเสร็จเรียบรอยแลว ตรวจคําตอบ 42 +x 8= 4)2(2 + 8= แทนคา x ดวย 2 44 + 8= 8 8= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 2
  • 26. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 21 ตัวอยางที่ 15 จงแกสมการ 84 12 =− d วิธีทํา เมื่อพิจาณาลําดับการดําเนินการจะพบวา ลําดับที่ 1 นํา 12 ไปหาร x ไดผลลัพธคือ 12 d ลําดับที่ 2 นํา 4 ไปลบออกจาก 12 d จึงได 8 ดังนั้นการแกสมการนี้จึงเริ่มดวย ลําดับที่ 1 นํา 4 ไปบวกเขาทั้งสองขางของสมการ 44 12 +− d 48 += 12 d 12= ลําดับที่ 2 นํา 12 ไปคูณทั้งสองขางของสมการ 12 12 ⋅ d 1212⋅= d 144= จะพบวาฝงซายของสมการเหลือเพียงตัวแปรเรียบรอยแลว และฝงขวาก็เปนเพียงตัวเลข ดังนั้นการแกสมการถือวาเสร็จเรียบรอยแลว ตรวจคําตอบ 4 12 − d 8= 4 12 144 − 8= แทนคา d ดวย 144 412 − 8= 8 8= เปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 144 ตัวอยางที่ 16 จงแกสมการ 794 =−r วิธีทํา 94 −r 7= 994 +−r 97 += r4 16= r r 4 4 4 4 16 = = ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 4 (นักเรียนลองตรวจคําตอบดูนะ)
  • 27. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 22 1. จงแกสมการ 743 =+x วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงแกสมการ 6.362.1 =+ t วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงแกสมการ 273 8 =+ f วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 5
  • 28. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 23 4. จงแกสมการ 11835 −= h วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 5. จงแกสมการ k517.042.0 += วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 6. จงแกสมการ 3.27.14 =+g วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
  • 29. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 24 หลักการ : 1. ตัดสินใจวาจะใหตัวแปรเหลืออยูขางใดของสมการ ขณะที่อีกฝงจะตองเหลือเพียงตัวเลข 2. กําจัดพจนของตัวแปรในฝงที่ไมตองการ โดยการนําพจนที่เหมือนกันมาดําเนินการแบบตรงกัน ขาม (บวกหรือลบแลวแตเครื่องหมายหนาพจนเดิม) 3. กําจัดตัวเลขออกจากฝงที่มีตัวแปรอยู ตัวอยางที่ 17 จงแกสมการ 5394 +=− rr วิธีทํา แกสมการ 94 −r 53 += r เลือกที่จะใหตัวแปรเหลือเพียงฝงซาย rr 394 −− rr 353 −+= กําจัด 3r ที่อยูฝงขวา 9−r 5= โดยนํา 3r มาลบออกทั้งสองขาง 99 +−r 95 += นํา 9 มาบวกเขาทั้งสองขาง r 14= ตรวจคําตอบ 94 −r 53 += r 9)14(4 − 5)14(3 += แทนคา r ดวย 14 956 − 542 += 47 47= จะพบวาเปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 14 ตัวอยางที่ 18 จงแกสมการ xx 41625 −=− วิธีทํา แกสมการ 25 −x x416 −= เลือกที่จะใหตัวแปรเหลือเพียงฝงซาย xx 425 +− xx 4416 +−= กําจัด x4 ที่อยูฝงขวา 29 −x 16= โดยนํา x4 มาบวกเขาทั้งสองขาง 229 +−x 216 += นํา 2 มาบวกเขาทั้งสองขาง x9 18= 7. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว กรณีที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขางของสมการ
  • 30. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 25 9 9x 9 18 = นํา 9 มาหารทั้งสองขาง x 2= ตรวจคําตอบ 25 −x x416 −= 2)2(5 − )2(416 −= แทนคา x ดวย 2 210 − 816 −= 8 8= จะพบวาเปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 2 ตัวอยางที่ 19 จงแกสมการ 425310 +=− ww วิธีทํา แกสมการ w310 − 425 += w เลือกที่จะใหตัวแปรเหลือเพียงฝงขวา ww 3310 +− ww 3425 ++= กําจัด w3 ที่อยูฝงขวา 10 428 += w โดยนํา w3 มาบวกเขาทั้งสองขาง 4210 − 42428 −+= w นํา 42 มาลบออกทั้งสองขาง 32− w8= 8 32 − 8 8w = นํา 8 มาหารทั้งสองขาง 4− w= ตรวจคําตอบ w310 − 425 += w )4(310 −− 42)4(5 +−= แทนคา w ดวย -4 )12(10 −− 42)20( +−= 1210 + 2042 −= 22 22= จะพบวาเปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ไดมา นั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ -4
  • 31. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 26 1. จงแกสมการ 5432 +−=−− tt วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงแกสมการ tt 234 +−=+ วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงแกสมการ 22585 +=−− cc วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 6
  • 32. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 27 หลักการ : 1. ยุบรวมพจนตัวแปรแตละขางของสมการเขาดวยกัน ใหเหลือเพียงพจนเดียว 2. ใชวิธีการแกสมการตามหลักการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว กรณีที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขาง ของสมการ ตัวอยางที่ 20 จงแกสมการ aaaa 64323104 ++−=−+ วิธีทํา แกสมการ aa 3104 −+ aa 6432 ++−= 10+a a443 += ยุบรวมพจนที่มีตัวแปร a แลว เลือกที่จะใหตัวแปรเหลือเพียง ฝงขวา aa −+10 aa −+= 443 กําจัด a ที่อยูฝงซาย 10 a343 += โดยนํา a มาลบออกทั้งสองขาง 4310 − 43343 −+= a นํา 43 มาลบออกทั้งสองขาง 33− a3= 3 33 − 3 3a = นํา 3 มาหารทั้งสองขาง 11− a= ตรวจคําตอบ aa 3104 −+ aa 6432 ++−= )11(310)11(4 −−+− )11(643)11(2 −++−−= แทนคา a ดวย -11 )33(1044 −−+− )66(4322 −++= 1− 1−= จะพบวาเปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ -11 8. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว กรณีที่มีตัวแปรอยูทั้งสองขางของสมการ แตละขางมีตัวแปรซ้ํา กันมากกวา 1 ตัว
  • 33. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 28 1. จงแกสมการ fff −=−+ 734 วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงแกสมการ zzzz 220353 −+=+− วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงแกสมการ gggg 1004100324 −+=−− วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 7
  • 34. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 29 หลักการ : พยายามจัดรูปแบบของสมการที่ใหมาอยูในรูปของการบวกหรือการลบกันของแตละพจน โดยใช สมบัติการแจกแจง การคูณ การหาร หรือการทําเศษสวนใหมีตัวสวนที่เทากัน เขามาชวยในการจัดรูปแบบที่ ซับซอน ใหอยูในรูปอยางงาย ตัวอยางที่ 21 จงแกสมการ xx 3)5(4 =+ วิธีทํา แกสมการ )5(4 +x x3= )5(44 +x x3= นํา 4 คูณเขาไปในวงเล็บ 204 +x x3= ตามสมบัติการแจกแจง xx 3204 −+ xx 33 −= กําจัดพจน x3 ที่อยูฝงขวา โดย 20+x 0= นํา x3 มาลบออกทั้งสองขาง 2020 −+x 200 −= นํา 20 มาลบออกทั้งสองขาง x 20−= ตรวจคําตอบ )5(4 +x x3= )520(4 +− )20(3 −= แทนคา x ดวย -20 )15(4 − 60−= 60− 60−= จะพบวาเปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ -20 ตัวอยางที่ 22 จงแกสมการ )4(2)4(3 xx −=+ วิธีทํา แกสมการ )4(3 +x )4(2 x−= )4(33 +x )(2)4(2 x−= แจกแจงทั้งสองขางของสมการ 123 +x x28 −= xx 2123 ++ xx 228 +−= กําจัดพจน x2 ที่อยูฝงขวาโดย 9. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ที่มีรูปแบบที่ซับซอน
  • 35. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 30 125 +x 8= นํา x2 มาบวกเขาทั้งสองขาง 12125 −+x 128 −= นํา 12 มาลบออกทั้งสองขาง x5 4−= 5 5x 5 4 −= นํา 5 มาหารทั้งสองขาง x 5 4 −= ตรวจคําตอบ )4(3 +x )4(2 x−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− 4 5 4 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= 5 4 42 แทนคา x ดวย 5 4 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × × +− 51 54 5 4 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− × × = 5 4 51 54 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− 5 20 5 4 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= 5 4 5 20 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− 5 204 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 5 4 5 20 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 5 16 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 5 420 2 5 48 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 5 24 2 5 48 5 48 = จะพบวาเปนจริง ดังนั้นคําตอบที่ ไดมานั้น ถูกตองแลว ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 5 4 − ตัวอยางที่ 23 จงแกสมการ ( ) ( )[ ] ( )122123 +=+−+ xxx วิธีทํา แกสมการ ( ) ( )[ ]2123 +−+ xx ( )12 += x [ ]2223 −−+ xx 22 += x x3 22 += x xx 23 − xx 222 −+= x 2= ตรวจคําตอบ ( ) ( )[ ]2123 +−+ xx ( )12 += x
  • 36. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 31 ( ) ( )[ ]221223 +−+ ( )122 += ( )[ ]4323 − ( )32= [ ]463 − 6= )2(3 6= 6 6= ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 2 ตัวอยางที่ 24 จงแกสมการ )1(4)5(4 −=−− xxx วิธีทํา แกสมการ xx −− )5(4 )1(4 −= x xx −− )5(44 )1(44 −= x 203 −x 44 −= x xx 3203 −− xx 344 −−= 20− 4−= x 420 +− 44 +−= x 16− x= ตรวจคําตอบ xx −− )5(4 )1(4 −= x )16()516(4 −−−− )116(4 −−= 16)21(4 +− )17(4 −= 1684 +− 68−= 68− 68−= ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ -16 ตัวอยางที่ 25 จงแกสมการ 153 7 3 =− x วิธีทํา แกสมการ 3 7 3 − x 15= 33 7 3 +− x 315 += 7 3x 18=
  • 37. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 32 3 7 7 3 ⋅ x 3 7 18⋅= x 42= ตรวจคําตอบ 3 7 3 − x 15= 3 7 )42(3 − 15= 3 7 126 − 15= 318 − 15= 15 15= ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 42 ตัวอยางที่ 26 จงแกสมการ 1 5 12 = +x วิธีทํา แกสมการ 5 12 +x 1= 5 5 12 ⋅ +x 51⋅= 12 +x 5= 112 −+x 15 −= x2 4= 2 2x 2 4 = x 2= ตรวจคําตอบ 5 12 +x 1= 5 1)2(2 + 1= 5 14 + 1= 5 5 1= 1 1= ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 2
  • 38. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 33 ตัวอยางที่ 27 จงแกสมการ 24 1 2 5 24 3 2 xxxx −+=+− วิธีทํา แกสมการ 24 3 2 xx +− 24 1 2 5 xx −+= 4 3 2 2 − x 4 1 2 4 += x 4 3 −x 4 1 2 += x xx −− 4 3 xx −+= 4 1 2 4 3 − 4 1 += x 4 1 4 3 −− 4 1 4 1 −+= x 4 4 − x= 1− x= ตรวจคําตอบ 24 3 2 xx +− 24 1 2 5 xx −+= 2 )1( 4 3 2 )1( − +− − 2 )1( 4 1 2 )1(5 − −+ − = 4 3 2 2 −− 2 1 4 1 2 5 ++−= 4 3 22 22 − × × − 4 1 2 4 +−= 4 3 4 4 −− 4 1 22 24 + × × −= 4 7 − 4 1 4 8 +−= 4 7 − 4 7 −= ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ -1 ตัวอยางที่ 28 จงแกสมการ 9 14 3 3 1 + =+ − aa วิธีทํา แกสมการ 3 3 1 + −a 9 14+ = a
  • 39. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 34 31 33 3 1 × × + −a 9 14+ = a 3 9 3 1 + −a 9 14+ = a 3 91+−a 9 14+ = a 3 8+a 9 14+ = a 9 3 8 ⋅ +a 9 9 14 ⋅ + = a 3)8( ⋅+a 14+= a )3(8)3( +a 14+= a 243 +a 14+= a aa −+ 243 aa −+= 14 242 +a 14= 24242 −+a 2414 −= a2 10−= 2 2a 2 10 −= a 5−= ตรวจคําตอบ 3 3 1 + −a 9 14+ = a 3 3 15 + −− 9 145 +− = 3 3 6 + − 9 9 = 32 +− 1= 1 1= ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ -5 ตัวอยางที่ 29 จงแกสมการ 3 6 2 4 13 6 5 m m mm − −= − − วิธีทํา แกสมการ 4 13 6 5 − − mm 3 6 2 m m − −= ( ) 34 313 26 25 ⋅ ⋅− − ⋅ ⋅ mm ( ) 43 46 121 122 ⋅ ⋅− − ⋅ ⋅ = mm
  • 40. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 35 ดังนั้นคําตอบของสมการนี้คือ 1 12 )3(1)3(3 12 10 − − mm 12 )4()4(6 12 24 mm − −= 12 39 12 10 − − mm 12 424 12 24 mm − −= 12 )39(10 −− mm 12 )424(24 mm −− = 12 3910 +− mm 12 42424 mm +− = 12 3+m 12 2428 − = m 12 12 3 ⋅ +m 12 12 2428 ⋅ − = m 3+m 2428 −= m mm −+ 3 mm −−= 2428 3 2427 −= m 243 + 242427 +−= m 27 m27= 27 27 27 27m = 1 m= ตรวจคําตอบ 4 13 6 5 − − mm 3 6 2 m m − −= 4 1)1(3 6 )1(5 − − 3 16 )1(2 − −= 4 13 6 5 − − 3 5 2 −= 4 2 6 5 − 3 5 2 −= 34 32 26 25 ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ 3 5 31 32 − ⋅ ⋅ = 12 6 12 10 − 3 5 3 6 −= 12 4 3 1 = 3 1 3 1 =
  • 41. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 36 1. จงแกสมการ 15)3(2 +=− xx วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงแกสมการ 1)2(3 −=+ yy วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. จงแกสมการ 715)32(5 −−=−− yy วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 8
  • 42. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 37 4. จงแกสมการ 6 5 )2( 3 7 − =−− + a a a วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 5. จงแกสมการ )15( 10 3 12 6 15 2 += + + x xx วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
  • 43. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 38 หลักการ : การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ประกอบดวยขั้นตอนดังนี้ 1. อานและวิเคราะหโจทย 2. หาใหไดวาโจทยถามหาอะไร 3. กําหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทยถาม 4. นําเงื่อนไขที่โจทยใหมา รวมกับตัวแปรในขอ 3 สรางเปนสมการตั้งตน 5. ทําการแกสมการ 6. ตรวจคําตอบ โจทยปญหาเกี่ยวกับจํานวน ขอความสําคัญที่ใชในการสรางสมการ ขอความ การดําเนินการ ตัวอยาง รวมกัน การบวก (+) 4 กับ 6 รวมกัน เขียนเปน 64 + ผลรวมของ......กับ........ การบวก (+) ผลรวมของ 5 กับ 6 เขียนเปน 65 + ผลลบของ.........กับ....... การลบ (-) ผลลบของ 10 กับ 6 เขียนเปน 610 − ผลตางของ......กับ....... การลบ(-) ผลตางของ 25 กับ 4 เขียนเปน 425 − ....เทาของ....... การคูณ (×) 5 เทาของ 4 เขียนเปน 45× ......ของ....... การคูณ (×) เศษสามสวนสี่ของ 12 เขียนเปน 12 4 3 × ......นอยกวา.......อยู....... การลบ (-) 12 นอยกวา 20 อยู 8 เขียนเปน 81220 =− ......มากกวา.......อยู....... การลบ (-) 20 มากกวา 12 อยู 8 เขียนเปน 81220 =− ตัวอยางที่ 30 ผลรวมของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 4 มีคาเทากับ 10 จงหาจํานวนนั้น วิธีทํา สิ่งที่โจทยถามหาคือ จํานวนนั้น ซึ่งก็คือจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งนั่นเอง กําหนดให จํานวนเต็มจํานวนหนึ่งเปน x เงื่อนไขที่โจทยใหมาคือ ผลรวมของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 4 มีคาเทากับ 10 คําวา ผลรวมของ ก็คือการบวกนั่นเอง .................. =+ 10. โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
  • 44. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 39 เขียนเปนสมการไดเปน 4+x 10= แกสมการ 44 −+x 410 −= x 6= ตรวจคําตอบ 4+x 10= 46 + 10= 10 10= ดังนั้น จํานวนที่ตองการหาคือ 6 ตัวอยางที่ 31 ผลตางระหวางจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 4 มีคาเทากับ 10 จงหาจํานวนนั้น วิธีทํา สิ่งที่โจทยถามหาคือ จํานวนนั้น ซึ่งก็คือจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งนั่นเอง กําหนดให จํานวนเต็มจํานวนหนึ่งเปน x เงื่อนไขที่โจทยใหมาคือ ผลตางระหวางจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 4 มีคาเทากับ 10 คําวา ผลตางระหวาง ก็คือการลบนั่นเอง .................. =− เขียนเปนสมการไดเปน 4−x 10= แกสมการ 44 +−x 410 += x 14= ตรวจคําตอบ 4−x 10= 414 + 10= 10 10= ดังนั้น จํานวนที่ตองการหาคือ 14
  • 45. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 40 ตัวอยางที่ 32 ผลรวมของสองเทาของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 8 มีคาเทากับ 26 จงหาจํานวนนั้น วิธีทํา สิ่งที่โจทยถามหาคือ จํานวนนั้น ซึ่งก็คือจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งนั่นเอง จึงกําหนดให จํานวนเต็มจํานวนหนึ่งเปน x เงื่อนไขที่โจทยใหมาคือ ผลรวมของสองเทาของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 8 มีคาเทากับ 26 คําวา ผลรวมของ ก็คือการบวกนั่นเอง .................. =+ เกิดคําถามตอมาวา บวกระหวางอะไรละ เมื่อพิจาณาเงื่อนไขในโจทยจะพบวา จํานวนที่สองที่จะนํามาบวกก็คือ 8 268...... =+ ขณะที่จํานวนแรกคือ สองเทาของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง จึงตองพิจารณาตอละวา สองเทาของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง จะแยกออกไดเปน สองเทาของจํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง เพราะฉะนั้นจํานวนแรกที่จะนํามาบวกก็คือ x2 ดังนั้นสมการตั้งตนจึงเขียนไดเปน 82 +x 26= แกสมการ 882 −+x 826 −= x2 18= 2 2x 2 18 = x 9= ตรวจคําตอบ 82 +x 26= 8)9(2 + 26= 818 + 26= 26 26= ดังนั้น จํานวนที่ตองการหาคือ 9
  • 46. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 41 ตัวอยางที่ 33 จํานวนเต็มสองจํานวนรวมกัน -45 ถาจํานวนหนึ่งนอยกวาอีกจํานวนหนึ่งอยู 15 จงหา จํานวนสองจํานวนนั้น วิธีทํา สิ่งที่โจทยถามหาคือ จํานวนสองจํานวนนั้น ซึ่งก็คือจํานวนเต็มที่มาบวกกันนั่นเอง แตปญหาก็คือ เราไมทราบจํานวนใดเลย ทราบเพียงแความีจํานวนที่มากกับจํานวนที่นอย จึงเขียนสมการคราว ๆ ไดวา จํานวนมาก + จํานวนนอย = -45 จึงกําหนดให กําหนดใหจํานวนที่มาก x จากเงื่อนไขที่โจทยใหมาวา จํานวนหนึ่งนอยกวาอีกจํานวนหนึ่งอยู 15 นั่นคือ จํานวนมาก - จํานวนนอย = 15 จึงไดวา จํานวนมาก - 15 = จํานวนนอย หรือ จํานวนนอย = x - 15 จากเงื่อนไขตาง ๆ ขางตน จะเขียนเปนสมการตั้งตนไดวา )15( −+ xx 45−= แกสมการ 15−+ xx 45−= 152 −x 45−= 15152 +−x 1545 +−= x2 30−= 2 2x 2 30 −= x 15−= ตรวจคําตอบ )15( −+ xx 45−= )1515(15 −−+− 45−= )30(15 −+− 45−= 45− 45−= ดังนั้น จํานวนที่ตองการหาคือ -15 ถามวา คําตอบที่ไดถูกตอง เพียงพอแลวหรือไม ตอบวา ไม จริง ๆ แลว ตองไมลืมสิ่งที่โจทยถาม นั่นคือ ตองตอบทั้ง 2 จํานวน คือ จํานวนที่มาก กับ จํานวนที่นอย จํานวนที่มาก คือ x เทากับ -15 จํานวนที่นอย คือ 15−x เทากับ 301515 −=−−
  • 47. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 42 ตัวอยางที่ 34 สองเทาของผลตางระหวางจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 4 มีคาเทากับ 14 จงหาจํานวนนั้น วิธีทํา สิ่งที่โจทยถามหาคือ จํานวนนั้น ซึ่งก็คือจํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง นั่นเอง จึงใหจํานวนหนึ่งนั้นเปน x พิจารณาเงื่อนไขในโจทยที่ใหมา สองเทาของผลตางระหวางจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งกับ 4 มีคาเทากับ 14 เริ่มสรางสมการตั้งตนโดยพิจารณาเงื่อนไขทีละสวน สองเทาของ เขียนไดเปน ×2 ...... )(2⇒ ผลตางระหวาง เขียนไดเปน .............− ....)(....2 −⇒ จํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง คือ x ....)(2 −⇒ x กับ 4 )4(2 −⇒ x มีคาเทากับ 14 14)4(2 =−⇒ x )4(2 −x 14= แกสมการ )4(22 −x 14= 82 −x 14= 882 +−x 814 += x2 22= 2 2x 2 22 = x 11= ตรวจคําตอบ )4(2 −x 14= )411(2 − 14= )7(2 14= 14 14= ดังนั้น จํานวนเต็มที่ตองการหาคือ 11
  • 48. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 43 ตัวอยางที่ 35 จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงกันมีผลรวมเทากับ 48 จงหาจํานวนทั้งสามจํานวนนั้น วิธีทํา สิ่งที่โจทยตองการทราบก็คือ จํานวนเต็มทั้งสามจํานวน ซึ่งตอนนี้เรายังไมทราบแมแต จํานวนเดียว เมื่อพิจารณาจากขอความ จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงกัน สามารถยกตัวอยางไดเชน 1, 2, 3 หรือ 5, 6, 7 หรือ 11, 12, 13 เปนตน จากตัวอยางที่ยกมา หากพิจารณาเพิ่มเติมจะพบวา จํานวนที่สองจะมากกวาจํานวนที่หนึ่งอยู 1 จํานวนที่สามจะมากกวาจํานวนที่หนึ่งอยู 2 ถาใหจํานวนแรกคือ x จะไดวาจํานวนที่สองคือ 1+x จะไดวาจํานวนที่สองคือ 2+x และเมื่อพิจารณาขอความจากโจทยอีกครั้งหนึ่ง จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงกันมีผลรวมเทากับ 48 จึงไดวาสมการตั้งตนคือ )2()1( ++++ xxx 48= แกสมการ 21 ++++ xxx 48= 33 +x 48= 333 −+x 348 −= x3 45= 3 3x 3 45 = x 15= ตรวจคําตอบ )2()1( ++++ xxx 48= )215()115(15 ++++ 48= 171615 ++ 48= 48 48= ดังนั้นจึงไดวาจํานวนเต็มสามจํานวนเรียงกันคือ 15, 16, 17
  • 49. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 44 โจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละ ตัวอยางที่ 36 แมคาซื้อมะมวงน้ําดอกไมและมะมวงเขียวเสวยมาขายรวม 60 กิโลกรัม มะมวงน้ําดอกไมกิโลกรัมละ 60 บาท มะมวงเขียวเสวยกิโลกรัมละ 50 บาท ปรากฏวาอัตราสวนของจํานวนเงินที่ซื้อมะมวงน้ําดอกไมตอจํานวนเงินที่ซื้อ มะมวงเขียวเสวยเปน 6 : 7 จงหาวาแมคาซื้อมะมวงแตละชนิดมาอยางละกี่กิโลกรัม วิธีทํา สิ่งที่โจทยตองการทราบมี 2 คา คือปริมาณน้ําหนักของมะมวงทั้งสองชนิด ซึ่งในขณะนี้เรา ไมทราบคาใดเลย แตเงื่อนไขหรือขอมูลที่โจทยใหมาก็คือปริมาณน้ําหนักของมะมวงทั้งสองชนิดรวมกันคือ 60 กิโลกรัม นั่นคือ น้ําหนักมะมวงน้ําดอกไม + น้ําหนักมะมวงเขียวเสวย = 60 กําหนดให น้ําหนักมะมวงน้ําดอกไมเปน x กิโลกรัม จะไดวา น้ําหนักมะมวงเขียวเสวยเปน x−60 กิโลกรัม มะมวงน้ําดอกไมราคากิโลกรัมละ 60 บาท ซึ่งซื้อมา x กิโลกรัม คิดเปนเงิน x60 บาท มะมวงเขียวเสวยราคากิโลกรัมละ 50 บาท ซึ่งซื้อมา x−60 กิโลกรัม คิดเปนเงิน )60(50 x− บาท เงื่อนไขในโจทยเพิ่มเติมคือ อัตราสวนของจํานวนเงินที่ซื้อมะมวงน้ําดอกไมตอจํานวนเงินที่ ซื้อมะมวงเขียวเสวยเปน 6 : 7 จึงสรางสมการตั้งตนไดเปน )60(50 60 x x − 7 6 = แกสมการ 7 )60(50 60 ⋅ − x x 7 7 6 ⋅= )60(50 420 x x − 6= )60(50 )60(50 420 x x x −⋅ − )60(506 x−⋅= x420 )60(300 x−= x420 )(300)60(300 x−= x420 x30018000 −= xx 300420 + xx 30030018000 +−= x720 18000=
  • 50. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 45 720 720x 720 18000 = x 25= ตรวจคําตอบ )60(50 60 x x − 7 6 = )2560(50 )25(60 − 7 6 = )35(50 1500 7 6 = 35 30 7 6 = 7 6 7 6 = ดังนั้น น้ําหนักมะมวงน้ําดอกไมที่แมคาซื้อมาคือ 25 กิโลกรัม น้ําหนักมะมวงเขียวเสวยที่แมคาซื้อมาคือ 352560 =− กิโลกรัม ตัวอยางที่ 37 โรงเรียนกาวหนาวิทยามีจํานวนนักเรียนในระดับชั้นตาง ๆ ดังนี้ ระดับชั้นประถมศึกษา คิดเปน 50% ของนักเรียนทั้งหมด ระดับชั้นมัธยมศึกษา คิดเปน 80% ของนักเรียนชั้นประถมศึกษา ที่เหลืออีก 118 คน เปนนักเรียนชั้น อนุบาล จงหาจํานวนนักเรียนทั้งหมดของโรงเรียนนี้ วิธีทํา สิ่งที่โจทยตองการทราบคือ จํานวนนักเรียนทั้งหมด ถาอยางนั้นเราก็แทนจํานวนนักเรียนทั้งหมดเลยนะวาคือ x คน ทีนี้มาดูเงื่อนไขเพิ่มเติม จํานวนนักเรียนระดับชั้นประถมคิดเปน 50% ของนักเรียนทั้งหมด จึงไดวาจํานวนนักเรียนระดับประถมศึกษาคือ x 100 50 คน จํานวนนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาคิดเปน 80% ของนักเรียนชั้นประถมศึกษา จึงไดวาจํานวนนักเรียนระดับมัธยมศึกษาคือ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x 100 50 100 80 คน และขอมูลสุดทายที่เหลืออยูก็คือจํานวนนักเรียนชั้นอนุบาล คือ 118 คน จํานวนนักเรียนทั้งหมดของโรงเรียนหาไดจาก นักเรียนชั้นประถม + นักเรียนชั้นมัธยม + นักเรียนชั้นอนุบาล = นักเรียนทั้งหมด
  • 51. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 46 จากขอมูลทั้งหมดที่ไดมาจึงสรางสมการตั้งตนไดดังนี้ 118 100 50 100 80 100 50 +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + xx x= แกสมการ 118 100 40 100 50 ++ xx x= 118 100 90 +x x= 118 10 9 +x x= xx 10 9 118 10 9 −+ xx 10 9 −= 118 xx 10 9 10 10 −= 118 10 x = 10118⋅ 10 10 ⋅= x 1180 x= ตรวจคําตอบ 118 100 50 100 80 100 50 +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + xx x= 1181180 100 50 100 80 1180 100 50 +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅+⋅ 1180= 118472590 ++ 1180= 1180 1180= ดังนั้น จํานวนนักเรียนทั้งหมดคือ 1180 คน
  • 52. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 47 โจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราเร็ว หลักการ : อัตราเร็ว หมายถึง ระยะทางที่เคลื่อนที่ไดในหนึ่งหนวยเวลา เชน อัตราเร็ว 50 กิโลเมตรตอชั่วโมง หมายความวา ในเวลา 1 ชั่วโมง เคลื่อนที่ไดระยะทาง 50 กิโลเมตร ถากําหนดให v แทน อัตราเร็ว s แทน ระยะทาง t แทน เวลา จะไดความสัมพันธระหวางปริมาณทั้งสามคือ t s v = หรือ v s t = หรือ vts = ตัวอยางที่ 38 ปติวิ่งดวยอัตราเร็ว 13 กิโลเมตรตอชั่วโมง ปรีชาวิ่งดวยอัตราเร็ว 11 กิโลเมตรตอ ชั่วโมง และวิ่งนานกวาปติ 20 นาที ไดระยะทางไกลกวาปติ 2 กิโลเมตร จงหาวาปรีชา วิ่งไดระยะทางเทาใด วิธีทํา สิ่งที่โจทยตองการทราบคือ ระยะทางที่ปรีชาวิ่งได จึงกําหนดให ระยะทางที่ปรีชาวิ่งได คือ x กิโลเมตร และปรีชาวิ่งดวยอัตราเร็ว 11 กิโลเมตร/ชั่วโมง จึงไดวาเวลาที่ปรีชาใชในการวิ่งคือ 11 x ชั่วโมง จากขอมูลเพิ่มเติมพบวาปรีชาวิ่งไดไกลกวาปติ 2 กิโลเมตร จึงไดวาปติวิ่งไดระยะทาง 2−x กิโลเมตร และปติวิ่งดวยอัตราเร็ว 13 กิโลเมตร/ชั่วโมง จึงไดวาเวลาที่ปติใชในการวิ่งคือ 13 2−x ชั่วโมง เงื่อนไขเพิ่มเติมจากโจทยคือ เวลาที่ปรีชาวิ่งจะนานกวาเวลาที่ปติวิ่งอยู 20 นาที ซึ่งคิดเปน 60 20 หรือ 3 1 ชั่วโมง นั่นคือ เวลาที่ปรีชาวิ่ง = เวลาที่ปติวิ่ง + 3 1 จึ่งเขียนเปนสมการไดวา 11 x 3 1 13 2 + − = x
  • 53. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 48 แกสมการ 11 x 3 1 13 2 13 +−= x 11 x 39 13 39 6 13 +−= x 11 x 39 7 13 += x 1311 xx − 1339 7 13 xx −+= 143 11 143 13 xx − 39 7 = 143 2x 39 7 = 2 143 143 2 ⋅ x 2 143 39 7 ⋅= x 2 11 3 7 ⋅= x 6 77 = หรือ 6 5 12 ตรวจคําตอบ 11 x 3 1 13 2 + − = x 11 6 77 3 1 13 2 6 77 + − = 66 77 3 1 13 6 12 6 77 + − = 6 7 3 1 13 6 65 += 6 7 3 1 )13(6 65 += 6 7 78 26 78 65 += 6 7 78 91 = 6 7 6 7 = ดังนั้นปรีชาวิ่งไดระยะทาง 6 5 12 กิโลเมตร
  • 54. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 49 1. จงหาจํานวนเต็มบวกสามจํานวนที่เรียงกัน ซึ่งมีผลรวมเทากับ 93 วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 2. จงหาจํานวนเต็มคูสามจํานวนที่เรียงติดกัน ซึ่งมีผลรวมเทากับ -153 วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ทดสอบความเขาใจ ตอนที่ 9
  • 55. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 50 3. นักเรียนหองหนึ่ง มีจํานวนนักเรียนหญิงเปนสองเทาของจํานวนนักเรียนชาย ถานักเรียนชายมาเพิ่ม 7 คน และนักเรียนหญิงยายไป 4 คน แลวจํานวนนักเรียนชายกับนักเรียนหญิงจะเทากัน จงหาจํานวนนักเรียน ในหองนี้ วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 4. สวนที่เปนลําตัวของจรวดลําหนึ่งยาวกวาหกเทาของหัวจรวดอยู 1.5 เมตร ถาลําตัวจรวดยาว 27 เมตร หัวจรวดจะยาวเทาไร วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ...........................................................................................................................................................
  • 56. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 51 5. ศรีแจมมีเงินจํานวนหนึ่ง เธอใชเงินสองในสามของเงินเงินที่มีอยูซื้อหนังสือแลวซื้อขนม 10 บาท ปรากฏ วามีเงินเหลือ 50 บาท จงหาวาเดิมเธอมีเงินอยูเทาใด วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 6. เมื่อ พ.ศ. 2521 ก อายุเปนสามเทาของอายุ ข ถาถึงป 2536 ข จะมีอายุมากกวาครึ่งหนึ่งของอายุ ก อยู 7 ป อยากทราบวา ข เกิด พ.ศ. อะไร วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ . ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
  • 57. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 52 7. สนามหญารูปสี่เหลี่ยมผืนผาแหงหนึ่ง มีอัตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 5 : 3 ถาเพิ่มความยาว แตละดานอีก 20% จากความยาวเดิม จะทําใหความยาวรอบสนามเทากับ 268.8 เมตร จงหาวาเดิมแตละ ดานของสนามยาวกี่เมตร วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 8. สายชลเปดรานขายกระเปาและรองเทา เธอติดราคาขายกระเปาใบหนึ่งไวโดยคิดกําไร 25% แตเมื่อมี เพื่อนมาซื้อ สายชลจึงลดราคาให 10% และขายไปในราคา 900 บาท อยากทราบวาตนทุนของกระเปาใบ นี้เปนเทาใด วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
  • 58. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 53 9. เด็กคนหนึ่งขี่จักรยานไดระยะทาง 57 กิโลเมตร โดยใชอัตราเร็วชวงแรก 12 กิโลเมตรตอชั่วโมง และชวง ตอไป 16 กิโลเมตรตอชั่วโมง ถาเขาใชเวลาตลอดทางรวม 4 ชั่วโมง จงหาระยะทางและเวลาที่ขี่จักรยาน ของแตละชวง วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 10. ขบวนรถไฟขบวนหนึ่งถาแลนเร็วกวาปกติอีก 13 กิโลเมตรตอชั่วโมง ในระยะทาง 120 กิโลเมตร จะใช เวลาแลนนอยกวาปกติ 10 นาที รถไฟขบวนนี้แลนดวยอัตราเร็วปกติกี่กิโลเมตรตอชั่วโมง วิธีทํา.................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
  • 59. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 54 คําชี้แจง เลือกคําตอบที่ถูกตอง โดยทําเครื่องหมาย X ลงในกระดาษคําตอบ 1. ?352 =×+ ก. 21 ข. 25 ค. 17 ง. 16 2. ?4542 =×+× ก. 26 ข. 28 ค. 52 ง. 72 3. ?)32()59(4 =+×−× ก. 80 ข. 65 ค. 29 ง. 19 4. 7 เปนผลลัพธที่ไดจากขอใด ก. 7834 −×+ ข. )]78(3[4 −×+ ค. ]7)83[(4 −×+ ง. 7]8)34[( −×+ 5. ตัวเลือกในขอใดตอไปนี้ที่ไมไดมีคาเทากับ a×3 ก. 3 a ข. )(3 a ค. a3 ง. a⋅3 6. bx +4 มีความหมายตามขอใด ก. )(4 bx +× ข. bx +× )4( ค. bxxxx +××× )( ง. )(4 bx + 7. b t 3 มีความหมายตามขอใด ก. bt ×÷ 3 ข. bt ×÷ )3( ค. tb ÷× )3( ง. )3( bt ×÷ 8. ?6 =−+ yx เมื่อกําหนดให 3=x และ 12=y ก.7 ข.8 ค.9 ง. 10 9. ?3 =−+ cba เมื่อกําหนดให 4,2 == ba และ 2=c ก.0 ข.12 ค.18 ง. 22 10. สัญลักษณในขอใดแสดงถึงความเปนสมการ ก.= ข.≠ ค.≡ ง. ≈ 11. สมการในขอใดที่เปนจริง ก. 27345 =×+ ข. 63 =−x ค. 515714 +=+ ง. )1(2)4(2)14(2 +=+ 12. คําตอบของสมการ 1424 =+x คือขอใด ก.1 ข.2 ค.3 ง. 4 13. ขอใดไมใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ก. 75 =+x ข. )2(555)32( −−=+− xxx ค. 1=+ yx ง. xx 42 = แบบทดสอบวัดความรู พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
  • 60. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 55 14. ขอใดกลาวไมถูกตองเกี่ยวกับการแกสมการ 1815 =+ x ก. คําตอบของสมการนี้คือ 3 ข. การแกสมการนี้จะตองนํา 15 มาลบทั้งสองขาง ค. นํา 18 มาลบทั้งสองขางของสมการ ง. ตองกําจัด 15 ใหหายไปจากฝงซายของสมการ 15. ถา 27 =−d จงหาวา ?7 =+d ก.9 ข.14 ค.16 ง. 18 16. คําตอบของสมการ 255 =x มีคาเทากับขอใด ก.5 ข.30 ค.50 ง. 125 17. ขอใดกลาวไมถูกตองเกี่ยวกับการแกสมการ 27 5 3 =x ก. นํา 5 มาคูณเขาทั้งสองขางของสมการ ข. นํา 3 มาหารทั้งสองขางของสมการ ค. นํา 3 5 มาคูณทั้งสองขางของสมการ ง. คําตอบของสมการนี้คือ 50 18. ขอใดคือขั้นตอนการแกสมการ 1754 =+x ก. นํา 4 ไปหารทั้งสองขางของสมการ แลวนํา 5 ไปลบทั้งสองขางของสมการ ข. นํา x4 ไปลบออกทั้งสองขางของสมการ แลวจึงนํา 5 ไปลบออกทั้งสองขางของสมการ ค. นําไป 5 ลบทั้งสองขางของสมการ แลวนํา 4 ไปหารทั้งสองขางของสมการ ง. นํา 17 ลบออกทั้งสองขางของสมการ แลวจึงนํา 5 ไปลบออกทั้งสองขางของสมการ 19. ขอใดคําตอบของสมการ 3212 5 4 =+x ก.5 ข.25 ค.44 ง. 50 20. ขอใดคือขอตอบของสมการ 5432 +=− xx ก. 2− ข.2 ค. 4− ง. 4 21. จากสมการ 12435 +−=+ xx แลว 1−x มีคาเทากับขอใด ก.0 ข.1 ค.2 ง. 4 22. ขอใดคือคําตอบของสมการ aaa 49234 −=−+ ก.0 ข.1 ค.2 ง. 4 23. ขอใดคือคําตอบของสมการ 6)1(2 =+g ก.2 ข. 2− ค.4 ง. 4− 24. ขอใดคือคําตอบของสมการ 105)1(3 −=+−+ xx ก.2 ข. 2− ค.4 ง. 4− 25. ขอใดคือคําตอบของสมการ 3 5 12 = +x ก. 5 2 ข. 2 15 ค.7 ง. 9
  • 61. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 56 26. )4(3)3(213 −=−+− xxx มีคําตอบตามขอใด ก. 5 2 ข. 5 2 − ค. 2 5 ง. 2 5 − 27. จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงติดกัน มีผลรวมเทากับ -15 แลวขอใดตอไปนี้กลาวถูกตอง ก. จํานวนที่นอยที่สุดคือ -4 ข. จํานวนที่มากที่สุดบวกกับจํานวนที่นอยที่สุดเทากับ -10 ค. จํานวนที่นอยที่สุดมีคาเปนสองเทาของจํานวนที่มากที่สุด ง. จํานวนที่มากที่สุดบวกกับจํานวนที่สองมีคาเทากับ -9 28. หาเทาของจํานวนหนึ่งบวกกับ 13 มีคาเทากับ 38 ถาให x แทนจํานวนหนึ่งนั้น ขอใดคือสมการตั้งตน สําหรับการแกปญหานี้ ก. 38135 =+x ข. 38)13(5 =+x ค. 38135 =+ x ง. 38)135( =+ x 29. สมบัติวิ่งดวยอัตราเร็ว 12 กิโลเมตรตอชั่วโมง ปรีชาวิ่งดวยอัตราเร็ว 10 กิโลเมตรตอชั่วโมง และวิ่ง นานกวาสมบัติ 25 นาที ไดระยะทางไกลกวาสมบัติ 2 กิโลเมตร จงหาวาปรีชาวิ่งไดระยะทางกี่กิโลเมตร ก.15 ข.16 ค.18 ง. 20 30. ซื้อสิ้นคามาราคา 300 บาท ตองการขายใหไดกําไร 25% หากตองการลดราคาลง 20% ของที่ประกาศ ไว ตองติดราคาขายไวกี่บาท ก.450 ข. 75.468 ค.480 ง. 75.488 31. จากการสํารวจของพัสดุโรงเรียนพบวา มีหลอดไฟชํารุด 30 หลอด คิดเปน 24% ของจํานวนหลอด ทั้งหมด จํานวนหลอดไฟที่ยังใชการไดมีเทาใด ก.80 ข.85 ค.90 ง. 95 32. สนามหญารูปสี่เหลี่ยมผืนผา มีอัตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 5 : 4 ถาเพิ่มความยาวของ แตละดานออกไปอีก 25% ของความยาวเดิม จะทําใหความยาวรอบสนามเทากับ 180 เมตร จงหาวา เดิมแตละดานของสนามยาวกี่เมตร ก. 28, 34 ข. 32, 40 ค.34, 42 ง. 36, 45 33. ประดิษฐซื้อสมมา 30 บาท วันตอมาซื้ออีก 30 บาท ปรากฏวาสมลดราคาลง 20% ทําใหไดสมเพิ่มขึ้น กวาครั้งแรก 10 ผล ดังนั้นครั้งแรกซื้อสมมากี่ผล ก.30 ข.40 ค.50 ง. 60 34. จากขอ 33 สมราคาผลละเทาใด ก.50 สตางค ข.55 สตางค ค.65 สตางค ง. 75 สตางค 35. แจกเงินจํานวนหนึ่งใหแกเด็กคนละ 50 บาท ยังขาดเงินอยู 100 บาท หากแจกคนละ 45 บาท จะเหลือ เงิน 50 บาท จงหาวามีเงินแจกเด็กอยูกี่บาท ก. 000,1 บาท ข. 200,1 บาท ค. 400,1 บาท ง. 600,1 บาท
  • 62. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 57 1. ค 2. ข 3. ข 4. ข 5. ก 6. ข 7. ง 8. ค 9. ก 10. ก 11. ง 12. ค 13. ค 14. ค 15. ค 16. ก 17. ง 18. ค 19. ข 20. ค 21. ก 22. ข 23. ก 24. ข 25. ค 26. ค 27. ข 28. ก 29. ก 30. ข 31. ง 32. ข 33. ข 34. ง 35. ค เฉลยละเอียด 1. ?352 =×+ วิธีทํา 352 ×+ 152 += ; นํา 5 คูณ 3 กอน 17= ; จึงคอยนํา 2 บวกกับ 15 ดังนั้นตอบขอ ค 2. ?4542 =×+× วิธีทํา 4542 ×+× 208 += ; นําตัวเลขคูณกันกอน 28= ; จึงคอยนํามาบวกกัน ดังนั้นตอบขอ ข 3. ?)32()59(4 =+×−× วิธีทํา )32()59(4 +×−× 544 ××= ; ทําในวงเล็บกอน 80= ; จึงคอยนํามาคูณกัน ดังนั้นตอบขอ ข 4. )]78(3[4 −×+ ]13[4 ×+= ; ทําในวงเล็บกอน 34 += ; จึงคอยนํามาคูณกัน 7= ดังนั้นตอบขอ ข เฉลยแบบทดสอบวัดความรู พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
  • 63. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 58 5. a×3 สามารถเขียนใหอยูในรูปอยางยอไดดังนี้ a×3 a3= )(3 a= a⋅= 3 3 a aaa ××= ดังนั้นตอบขอ ก 6. bx +4 มีความหมายหรือลําดับการดําเนินการคือ นํา 4 คูณกับ x กอน แลวจึงคอยนําไปบวกกับ b จึงไดวา bx +× )4( ดังนั้นตอบขอ ข 7. เศษสวนก็คือการหารนั่นเอง โดยที่ตัวเศษคือตัวตั้ง ขณะที่ตัวสวนคือตัวหาร b t 3 bt 3÷= ; ตัวตั้งคือ t ตัวหารคือ 3b )3( bt ×÷= ; b3 ก็คือ b×3 ดังนั้นตอบขอ ง 8. ?6 =−+ yx เมื่อกําหนดให 3=x และ 12=y วิธีทํา 6−+ yx 6123 −+= ; แทนคา 3=x และ 12=y 615 −= ; ดําเนินการจากซายไปขวา 9= ดังนั้นตอบขอ ค 9. ?3 =−+ cba เมื่อกําหนดให 6,6 == ba และ 2=c วิธีทํา cba 3−+ )2(342 −+= ; แทนคา 6,6 == ba และ 2=c 642 −+= ; นํา 3 คูณ 2 กอน 66 −= ; ดําเนินการจากซายไปขวา 0= ดังนั้นตอบขอ ก 10. สัญลักษณที่แสดงถึงความเปนสมการคือ เครื่องหมายเทากับ (=) ดังนั้นตอบขอ ก
  • 64. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 59 11. พิจารณาทีละตัวเลือก ขอ ก 345 ×+ 27= 125 + 27= 17 27= ; ซึ่งไมเปนจริง 2717 ≠ ขอ ข 3−x 6= ; เนื่องจากเรายังไมทราบคาของตัวแปร x จึงยังบอกไมไดวาสมการนี้เปนจริง หรือไม ขอ ค 714 + 515 += 21 20= ; ซึ่งไมเปนจริง 2021 ≠ ขอ ง )14(2 + )1(2)4(2 += )5(2 28 += 10 10= ; ซึ่งเปนจริง ดังนั้นตอบขอ ง 12. จากสมการ 1424 =+x เมื่อลองนํา 3 ไปแทนใน x จะไดวา 24 +x 14= 2)3(4 + 14= 212 + 14= 14 14= ; ซึ่งเปนจริง ดังนั้นคําตอบของสมการนี้ คือ 3 ดังนั้นตอบขอ ค 13. พิจารณาสมการในตัวเลือกแตละขอพบวา ขอ ก. 75 =+x มีตัวแปรอยูในสมการ 1 ตัวคือตัวแปร x ดังนั้น สมการนี้เปนสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ขอ ข. )2(555)32( −−=+− xxx มีตัวแปรอยูในสมการ 1 ตัวคือตัวแปร x ถึงแมวาจะ มีตัวแปรซ้ํากันอยูหลายที่ก็ตาม ดังนั้นสมการนี้เปน สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว
  • 65. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 60 ขอ ค. 1=+ yx มีตัวแปรอยูในสมการ 2 ตัวคือตัวแปร x และ y ดังนี้ สมการนี้ไมใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ขอ ง. xx 42 = มีตัวแปรอยูในสมการ 1 ตัวคือตัวแปร x ถึงแมวาจะ มีตัวแปรซ้ํากันอยูหลายที่ก็ตาม ดังนั้นสมการนี้เปน สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ดังนั้นตอบขอ ค 14. 1815 =+ x มีวิธีการหาคําตอบของสมการดังนี้ วิธีทํา x+15 18= ; ตองกําจัด 15 ในฝงซายทิ้งไป 1515 −+ x 1518 −= ; โดยนํา 15 มาลบออกทั้งสองขาง x 3= ; จะไดคําตอบของสมการนี้คือ 3 ดังนั้นตอบขอ ค 15. ถา 27 =−d จงหาวา ?7 =+d วิธีทํา จะหาคา 7+d ได เราจะตองทราบคาของ d ซะกอน 7−d 2= ; ตองกําจัด 7 ในฝงซายทิ้งไป 77 +−d 72 += ; โดยนํา 7 มาบวกเขาทั้งสองขาง d 9= แตจะตอบขอ ก ไมไดนะ เพราะวาโจทยไมไดถามหาคาของ d แตโจทยถามหาคา 7+d จึงไดวา 16797 =+=+d ดังนั้นตอบขอ ค 16. 255 =x มีวิธีการหาคา x ดังนี้ วิธีทํา x5 25= ; ตองกําจัด 5 ในฝงซายทิ้งไป 5 5x 5 25 = ; โดยนํา 5 มาหารทั้งสองขาง x 5= ดังนั้นตอบขอ ก
  • 66. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 61 17. 27 5 3 =x มีวิธีการแกสมการดังนี้ วิธีทํา x 5 3 27= ; ตองกําจัด 5 3 ในฝงซายทิ้งไป 3 5 5 3 ×x 3 5 27×= ; โดยนํา 3 5 มาคูณทั้งสองขาง ซึ่งมีคา เทากับนํา 5 มาคูณเขาทั้งสองขาง และ นํา 3 มาหารทั้งสองขาง x 45= ; จะไดคําตอบของสมการนี้คือ 45 ดังนั้นตอบขอ ง 18. 1754 =+x มีขั้นตอนการแกสมการดังนี้ วิธีทํา 54 +x 17= 554 −+x 517 −= ; นํา 5 มาลบออกทั้งสองขาง x4 12= 4 4x 4 12 = ; นํา 4 มาหารทั้งสองขาง x 3= ดังนั้นตอบขอ ค 19. 3212 5 4 =+x แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา 12 5 4 +x 32= 1212 5 4 −+x 1232 −= ; นํา 12 มาลบออกทั้งสองขาง x 5 4 20= 4 5 5 4 ×x 4 5 20×= ; นํา 4 5 มาคูณทั้งสองขาง x 25= ดังนั้นตอบขอ ข
  • 67. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 62 20. 5432 +=− xx แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา 32 −x 54 += x ; เลือกที่จะใหเหลือตัวแปร x ในฝงขวา xx 232 −− xx 254 −+= ; นํา x2 มาลบออกทั้งสองขาง 3− 52 += x 53 −− 552 −+= x ; นํา 5 มาลบออกทั้งสองขาง 8− x2= 2 8 − 2 2x = ; นํา 2 มาคูณทั้งสองขาง 4− x= ดังนั้นตอบขอ ค 21. จากสมการ 12435 +−=+ xx แลว 1−x มีคาเทาใด วิธีทํา จะหาคา 1−x ได เราจะตองทราบคาของ x ซะกอน 35 +x 124 +−= x ; เลือกที่จะใหเหลือตัวแปร x ในฝงขวา xx 435 ++ xx 4124 ++−= ; กําจัด x4− โดยนํา x4 มาบวกเขา ทั้งสองขางของสมการ 39 +x 12= 339 −+x 312 −= ; นํา 3 มาลบออกทั้งสองขาง x9 9= 9 9x 9 9 = ; นํา 9 มาหารทั้งสองขางของสมการ x 1= แตจะตอบขอ ข ไมไดนะ เพราะวาโจทยไมไดถามหาคาของ x แตโจทยถามหาคา 1−x จึงไดวา 0111 =−=−x ดังนั้นตอบขอ ก 22. aaa 49234 −=−+ แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา aa 234 −+ a49 −= ; ยุบรวมตัวแปรในแตละฝงใหเหลือเพียง ตัวเดียว 32 +a a49 −= ; เลือกที่จะใหตัวแปรเหลืออยูที่ฝงซาย aa 432 ++ aa 449 +−= ; นํา a4 บวกเขาทั้งสองขาง 36 +a 9=
  • 68. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 63 336 −+a 39 −= ; นํา 3 มาลบออกทั้งสองขาง a6 6= 6 6a 6 6 = ; นํา 6 มาหารทั้งสองขาง a 1= ดังนั้นตอบขอ ข 23. 6)1(2 =+g แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา )1(2 +g 6= )1(2)(2 +g 6= ; นํา 2 คูณเขาไปในวงเล็บ ตามสมบัติการ แจกแจง 22 +g 6= 222 −+g 26 −= ; นํา 2 มาลบออกทั้งสองขาง g2 4= 2 2g 2 4 = ; นํา 2 มาหารทั้งสองขาง g 2= ดังนั้นตอบขอ ก 24. 105)1(3 −=+−+ xx แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา xx +−+ 5)1(3 10−= xx +−+ 5)1(3)(3 10−= ; นํา 3 คูณเขาไปในวงเล็บ ตามสมบัติการ แจกแจง xx +−+ 533 10−= 24 −x 10−= 224 +−x 210 +−= ; นํา 2 มาบวกเขาทั้งสองขาง x4 8−= 4 4x 4 8 −= ; นํา 4 มาหารทั้งสองขาง x 2−= ดังนั้นตอบขอ ข
  • 69. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 64 25. 3 5 12 = +x แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา 5 12 +x 3= 5 5 12 ⋅ +x 53⋅= ; นํา 5 คูณเขาทั้งสองขางของสมการ 12 +x 15= 112 −+x 115 −= ; นํา 1 มาลบออกทั้งสองขาง x2 14= 2 2x 2 14 = ; นํา 2 มาหารทั้งสองขาง x 7= ดังนั้นตอบขอ ค 26. )4(3)3(213 −=−+− xxx แกสมการไดดังนี้ วิธีทํา )3(213 −+− xx )4(3 −= x )3(2)(213 −+− xx )4(3)(3 −= x ; นําตัวเลขคูณเขาไปในวงเล็บ 6213 −+− xx 123 −= x 75 −x 123 −= x xx 375 −− xx 3123 −−= ; นํา x3 มาลบออกทั้งสองขาง 72 −x 12−= 772 +−x 712 +−= ; นํา 7 มาบวกเขาทั้งสองขางของสมการ x2 5−= 2 2x 2 5 −= ; นํา 2 มาหารทั้งสองขาง x 2 5 −= ดังนั้นตอบขอ ค 27. จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงติดกัน มีผลรวมเทากับ -15 มีวิธีการหาจํานวนเต็มทั้ง 3 จํานวนดังนี้ วิธีทํา ทําความเขาใจกับขอความ จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงติดกัน ยกตัวอยางเชน 1, 2, 3 หรือ 5, 6, 7 จากจํานวนที่ยกตัวอยางจะพบวา จํานวนที่สอง เทากับ จํานวนแรก + 1 จํานวนที่สาม เทากับ จํานวนแรก + 2
  • 70. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 65 ตอนนี้เราไมรูจํานวนใดเลยในสามจํานวนนี้ จึงสมมติใหจํานวนแรกเทากับ x จะไดจํานวนที่สองเทากับ 1+x และจํานวนที่สามเทากับ 2+x เงื่อนไขเพิ่มเติมบอกวา จํานวนทั้งสามนี้มีผลรวมเทากับ -15 นั่นคือ )2()1( ++++ xxx 15−= แกสมการ )2()1( ++++ xxx 15−= 21 ++++ xxx 15−= 33 +x 15−= 333 −+x 315 −−= ; นํา 3 มาลบออกทั้งสองขาง x3 18−= 3 3x 3 18 −= ; นํา 3 มาหารทั้งสองขาง x 6−= จึงไดวาจํานวนเต็มทั้งสามจํานวนนั้นคือ -6, -5, -4 จะไดวาจํานวนที่มากที่สุดบวกดวยจํานวนที่นอยที่สุดเทากับ -4 + (-6) = -10 ดังนั้นตอบขอ ข 28. หาเทาของจํานวนหนึ่งบวกกับ 13 มีคาเทากับ 38 จะสรางเปนสมการตั้งตนไดดังนี้ วิธีทํา ถาให x แทนจํานวนหนึ่ง จะไดวาหาเทาของจํานวนหนึ่งคือ x5 และหาเทาของจํานวนหนึ่งบวกกับ 13 มีคาเทากับ 38 จึงไดวา 38135 =+x ดังนั้นตอบขอ ก 29. สมบัติวิ่งดวยอัตราเร็ว 12 กิโลเมตรตอชั่วโมง ปรีชาวิ่งดวยอัตราเร็ว 10 กิโลเมตรตอชั่วโมง และวิ่ง นานกวาสมบัติ 25 นาที ไดระยะทางไกลกวาสมบัติ 2 กิโลเมตร จงหาวาปรีชาวิ่งไดระยะทางกี่กิโลเมตร วิธีทํา สิ่งที่โจทยถามคือระยะทางที่ปรีชาวิ่งได จึงใหระยะทางที่ปรีชาวิ่งไดคือ x กิโลเมตร และปรีชาวิ่งดวยอัตราเร็ว 10 กิโลเมตร/ชั่วโมง
  • 71. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 66 จึงไดวาปรีชาใชเวลาในการวิ่งเทากับ 10 x ชั่วโมง ทีนี้มาดูขอมูลของสมบัติกันบาง สมบัติวิ่งไดระยะทางที่นอยกวาปรีชาอยู 2 กิโลเมตร และระยะทางของปรีชาคือ x กิโลเมตร จึงไดวาระยะทางที่สมบัติวิ่งไดคือ 2−x กิโลเมตร สมบัติวิ่งดวยอัตราเร็ว 12 กิโลเมตร/ชั่วโมง จึงไดวาสมบัติใชเวลาวิ่งเทากับ 12 2−x ชั่วโมง ปรีชาวิ่งนานกวาสมบัติ 25 นาที หรือคิดเปน 12 5 60 25 = ชั่วโมง นั่นคือ เวลาที่ปรีชาวิ่ง = เวลาที่สมบัติวิ่ง + 12 5 ชั่วโมง เขียนเปนสมการไดวา 10 x 12 5 12 2 + − = x แกสมการ 10 x 12 52 +− = x ; ตัวสวนเหมือนกัน ยุบใหเหลือตัวเดียว 10 x 12 3+ = x 10 10 ⋅ x 10 12 3 ⋅ + = x ; นํา 10 คูณเขาทั้งสองขาง x 12 )3(10 + = x 12⋅x 12 12 )3(10 ⋅ + = x ; นํา 12 คูณเขาทั้งสองขาง x12 )3(10 += x x12 3010 += x ; นํา 10 คูณเขาไปในวงเล็บ xx 1012 − xx 103010 −+= ; นํา x10 มาลบทั้งสองขาง x2 30= 2 2x 2 30 = ; นํา 2 มาหารทั้งสองขางของสมการ x 15= ; นั่นคือระยะทางที่ปรีชาวิ่งไดเทากับ 15 กิโลเมตร ดังนั้นตอบขอ ก
  • 72. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 67 30. ซื้อสิ้นคามาราคา 300 บาท ตองการขายใหไดกําไร 25% หากตองการลดราคาลง 20% ของที่ประกาศ ไว ตองติดราคาขายไวกี่บาท วิธีทํา ตนทุน 300 บาท ตองการขายใหไดกําไร 25% ซึ่งคิดเปนจํานวนเงิน 75300 100 25 =× บาท ดังนั้นจะตองขายใหไดเงินจริง ๆ 375 บาท โจทยตองการทราบราคาขายที่จะติดไวกอนที่จําทําการลด 20% จึงสมมติใหตั้งราคาขายเทากับ x บาท และลดราคา 20% คิดเปนเงิน 100 20x หรือ x 5 1 บาท จึงไดวาสินคานี้จะขายในราคา xx 5 1 − บาท นั่นคือ xx 5 1 − 375= แกสมการ xx 5 1 5 5 − 375= ; ทําตัวสวนใหเทากัน x 5 4 375= 4 5 5 4 ⋅x 4 5 375⋅= ; นํา 4 5 คูณเขาทั้งสองขาง x 75.468= นั่นคือตองติดราคาขายเทากับ 468.75 บาท ดังนั้นตอบขอ ข 31. จากการสํารวจของพัสดุโรงเรียนพบวา มีหลอดไฟชํารุด 30 หลอด คิดเปน 24% ของจํานวนหลอด ทั้งหมด จํานวนหลอดไฟที่ยังใชการไดมีเทาใด วิธีทํา โจทยตองการทราบจํานวนหลอดไฟที่ยังใชการได จึงใหจํานวนหลอดไฟที่ยังใชการไดเทากับ x หลอด เนื่องจากจํานวนหลอดไฟที่ชํารุดคิดเปน 24% ของจํานวนหลอดไฟทั้งหมด จํานวนหลอดไฟที่ชํารุด 24% นั้นมีจํานวน 30 หลอด ดังนั้นจํานวนหลอดไฟทั้งหมดคือ 12530 24 100 =× หลอด จํานวนหลอดไฟที่ใชการได = จํานวนหลอดไฟทั้งหมด - จํานวนหลอดไฟที่ชํารุด เพื่อหาจํานวนหลอดไฟที่ใชการได จึงเขียนเปนสมการตั้งตนไดเปน x 30125 −=
  • 73. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 68 แกสมการ x 95= นั่นคือจํานวนหลอดไฟที่ยังใชการไดคือ 95 หลอด ดังนั้นตอบขอ ง 32. สนามหญารูปสี่เหลี่ยมผืนผา มีอัตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 5 : 4 ถาเพิ่มความยาวของ แตละดานออกไปอีก 25% ของความยาวเดิม จะทําใหความยาวรอบสนามเทากับ 180 เมตร จงหาวา เดิมแตละดานของสนามยาวกี่เมตร วิธีทํา โจทยตองการทราบความยาวเดิมของแตละดานของสนามกอนที่จะมีการเพิ่มความยาวใหม แตตอนนี้เราก็ยังไมทราบความยาวของสนามเลยแมแตดานเดียว จึงกําหนดใหดานยาวของสนามเทากับ x เมตร เนื่องจากอัตราสวนของความยาวตอความกวางของสนามเปน 5 : 4 จึงไดวาเมื่อดานยาว ยาวx เมตร ดานกวางจะตองยาว x 5 4 เมตร เมื่อเพิ่มความยาวแตละดานออกไปอีก 25% ของความยาวเดิม จะไดวา ดานยาวใหมจะยาวเทากับ xxx 4 5 4 1 =+ เมตร ดานกวางใหมจะยาวเทากับ xxx =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 5 4 4 1 5 4 เมตร ความยาวรอบสนามหลังจากที่เพิ่มความยาวของแตละดานเทากับ 180 เมตร จึงเขียนเปนสมการไดดังนี้ xxxx +++ 4 5 4 5 180= แกสมการ xx 2 4 10 + 180= xx 4 8 4 10 + 180= x 4 18 180= 18 4 4 18 ⋅x 18 4 180⋅= x 40= นั่นคือความยาวเดิมของสนามจะมีดานยาว ยาวเทากับ 40 เมตร และดานกวางยาว 32 เมตร ดังนั้นตอบขอ ข
  • 74. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 69 33. ประดิษฐซื้อสมมา 30 บาท วันตอมาซื้ออีก 30 บาท ปรากฏวาสมลดราคาลง 20% ทําใหไดสมเพิ่มขึ้น กวาครั้งแรก 10 ผล ดังนั้นครั้งแรกซื้อสมมากี่ผล วิธีทํา โจทยถามหาจํานวนสมที่ซื้อมาครั้งแรก จึงสมมติใหจํานวนสมที่ซื้อมาครั้งแรกเทากับ x ผล จะไดวาสมราคาผลละ x 30 บาท วันตอมาสมลดราคาลง 20% หรือขายในราคา 80% ของราคาเดิม จึงไดวาสมราคาผลละ xx 2430 5 4 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ บาท และซื้อมา 30 บาท จึงไดสมจํานวน 4 5 24 30 24 30 xx x == ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ผล จํานวนสมที่ซื้อมาในวันตอมาเพิ่มขึ้นจากวันแรก 10 ผล จึงไดวา จํานวนสมวันที่สอง = จํานวนสมวันแรก + 10 ซึ่งเขียนเปนสมการไดวา 4 5x 10+= x แกสมการ x x − 4 5 xx −+= 10 4 4 4 5 xx − 10= 4 x 10= 4 4 ⋅ x 410⋅= x 40= นั่นคือจํานวนสมที่ซื้อมาวันแรกเทากับ 40 ผล ดังนั้นตอบขอ ข 34. จากขอ 33 จะไดวาสมราคาผลละ 75.0 40 30 = บาท หรือ 75 สตางค ดังนั้นตอบขอ ง
  • 75. พีชคณิตเบื้องตนและสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เสถียร วิเชียรสาร ครู ค.ศ. 1 โรงเรียนบานซับกานเหลือง 70 35. แจกเงินจํานวนหนึ่งใหแกเด็กคนละ 50 บาท ยังขาดเงินอยู 100 บาท หากแจกคนละ 45 บาท จะเหลือ เงิน 50 บาท จงหาวามีเงินแจกเด็กอยูกี่บาท วิธีทํา โจทยถามหาวาจํานวนเงินที่แจกเด็กมีอยูกี่บาท จึงสมมติใหจํานวนที่แจกเด็กมีอยู x บาท แจกเงินใหเด็กคนละ 50 บาท จะแจกได 50 x คน แตยังขาด 100 บาท แสดงวายังเหลือเด็กที่ยังไมไดเงิน 2 50 100 = คน ดังนั้นจํานวนเด็กทั้งหมดมีอยู 2 50 + x คน ถาแจกใหเด็กคนละ 45 บาท จะใชเงินทั้งหมด ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 50 45 x บาท และยังเหลือเงินอยู 50 บาท แสดงวาจํานวนเงินที่มีอยู - จํานวนเงินที่แจกเด็กคนละ 45 บาท = 50 บาท เขียนเปนสมการตั้งตนไดวา ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− 2 50 45 x x 50= แกสมการ 90 50 45 −− x x 50= 9090 50 45 +−− x x 9050 += 50 45x x − 140= 50 45 50 50 xx − 140= 50 5x 140= 5 50 50 5 ⋅ x 5 50 140⋅= x 1400= นั่นคือมีเงินแจกเด็กอยูทั้งหมด 1,400 บาท ดังนั้นตอบขอ ค
  • 76. บรรณานุกรม วินิจ วงศรัตนะ, ผศ. ม.ป.ป.. คูมือเตรียมสอบ คณิตศาสตร ม.1-2-3 สาระการเรียนรูพื้นฐาน & เพิ่มเติม ตรงตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร. กรุงเทพมหานคร : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี, สถาบัน. 2547. หนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐาน คณิตศาสตร เลม 2 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 ตามหลักสูตรการศึกษา ขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว. สุชิน ทํามาหากิน. 2547. คูมือคณิตศาสตรแนวใหม ม.1 เลม 2 ภาคเรียนที่ 2 ตรงตามหลักสูตรการศึกษา ขั้นพื้นฐาน พ.ศ. 2544. กรุงเทพมหานคร : สํานักพิมพพัฒนาศึกษา สุชิน ทํามาหากิน. 2547. คูมือคณิตศาสตรแนวใหม ม.2 เลม 2 ภาคเรียนที่ 2 ตรงตามหลักสูตรการศึกษา ขั้นพื้นฐาน พ.ศ. 2544. กรุงเทพมหานคร : สํานักพิมพพัฒนาศึกษา Balch, Kay., and others. 1993. Mathematics Applications and Connections, Course 3. U.S.A. : McGraw - Hill