ΦΥΣΙΚΗ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ( με Θεωρία και Ασκήσεις )
1 like4,214 views
Βιβλίο Φυσικής Β΄Γυμνασίου με Θεωρία και Ασκήσεις
![Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
Φυσικός
520
Η θερµότητα που πρέπει να προσφέρουµε για να ανυψωθεί η θερµοκρασία του
πάγου από τους -10 0
C στους 0 0
C είναι Q1=m⋅cπ⋅∆θ ή Q1=1⋅0,5⋅[0-(-10)] ή
Q1=0,5⋅10 ή Q=5 cal.
Η θερµότητα που να προσφέρουµε για να λιώσει ο πάγος των 0 0
C και να γίνει
νερό 0 0
C είναι Q2=m⋅LT=1⋅80 ή Q2=80 cal. Τέλος η θερµότητα που απαιτείται
για να ανυψωθεί η θερµοκρασία του νερού από τους 0 0
C στους 45 0
C είναι
Q3=m⋅cν⋅∆θ ή Q3=1⋅1⋅(45-0) ή Q3=45 cal.
Έτσι η συνολική θερµότητα που πρέπει να προσφέρουµε είναι Q=Q1+Q2+Q3 ή
Q=5+80+45 ή Q=130 cal ή 130⋅4,2=546 J. (Ισχύει 1cal=4,2J).
4. Να υπολογιστεί η θερµότητα που µεταφέρεται στο περιβάλλον κατά τη
µετατροπή 10g υδρατµών 100 0
C, σε ίση ποσότητα πάγου 0 0
C. ∆ίνεται η
ειδική θερµότητα του νερού cν=1 cal/g⋅grad, η λανθάνουσα θερµότητα
βρασµού του νερού LΒ=540 cal/g και η λανθάνουσα θερµότητα τήξης του
πάγου LT=80 cal/g.
Λύση:
Για να µετατραπούν 10 g υδρατµών 100 0
C σε ίση ποσότητα νερού 100 0
C,
τότε αποδίδεται στο περιβάλλον θερµότητα ίση µε τη θερµότητα βρασµού του
νερού άρα ισχύει Q1=m⋅LΒ=10⋅540=5.400 cal.
Στη συνέχεια για να ψύξουµε το νερό των 100 0
C σε θερµοκρασία 0 0
C θα
πρέπει να αφαιρέσουµε θερµότητα Q2= m⋅cν⋅∆θ ή Q2=10⋅1⋅100 ή Q2=1.000
cal. Στην πραγµατικότητα η θερµότητα Q2 είναι αρνητική. Αυτό ακριβώς
σηµαίνει ότι προσφέρεται από το νερό στο περιβάλλον.
Τέλος για να µετατραπεί το νερό των 0 0
C σε ίση ποσότητα πάγου 0 0
C,
αποδίδεται στο περιβάλλον θερµότητα που είναι ίση µε τη θερµότητα τήξης του
πάγου άρα ισχύει Q3=m⋅LT=10⋅80=800 cal.
Έτσι η συνολική θερµότητα που προσφέρεται στο περιβάλλον είναι
Q=Q1+Q2+Q3 ή Q=5.400+1.000+800 ή Q=7.200 cal ή 30,24 ΚJ.](https://image.slidesharecdn.com/bgymnolikolisissxolikobgimnasiomixail1-240328120556-bac46f52/85/-521-320.jpg)
ΦΥΣΙΚΗ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ( με Θεωρία και Ασκήσεις )
- 1. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 0 Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Τ F O A Γ Β F F 1 2 φ φ θ φ φ T N w φ R m φ R x x y y y΄ x΄ w w πάγος νερό -10 -5 0 +5 +10 V C 0 ΦΥΣΙΚΗ Β΄ Γυµνασίου
- 2. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Οι φυσικές επιστήµες και η µεθοδολογία τους 1. Τι ονοµάζουµε φαινόµενα; Τις διάφορες µεταβολές που συµβαίνουν γύρω µας στη φύση τις ονοµάζουµε φαινόµενα. Έτσι το χιόνι λιώνει, τα πετρώµατα διαβρώνονται, τα λουλούδια ανθίζουν, οι άνθρωποι αναπτύσσονται, τα αυτοκίνητα κινούνται. Όλα αυτά είναι παραδείγµατα φαινοµένων που συµβαίνουν γύρω µας. Τα φαινόµενα στα οποία δε µεταβάλλεται η σύσταση των σωµάτων που µετέχουν σ’ αυτά ονοµάζονται φυσικά φαινόµενα. Ενώ Τα φαινόµενα στα οποία µεταβάλλεται η σύσταση των σωµάτων που µετέχουν σ’ αυτά και προκύπτουν νέα σώµατα µε διαφορετική σύσταση από τα αρχικά ονοµάζονται χηµικά φαινόµενα. Η πτώση µιας σφαίρας και ο βρασµός του νερού, ονοµάζονται φυσικά φαινόµενα ενώ η καύση του ξύλου είναι ένα χηµικό φαινόµενο. 2. Ποιες επιστήµες ονοµάζονται φυσικές επιστήµες και ποιο είναι το αντικείµενο µελέτης αυτών των επιστηµών; Με την έρευνα και τη µελέτη των µεταβολών (είτε φυσικών είτε χηµικών) που συµβαίνουν στη φύση ασχολούνται οι φυσικές επιστήµες: Η φυσική, η χηµεία, η βιολογία, η γεωλογία, η µετεωρολογία, περιλαµβάνονται στις φυσικές επιστήµες. 3. Ποιος είναι ο ρόλος της Φυσικής σαν επιστήµη;
- 3. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 2 Η Φυσική αναζητά οµοιότητες µεταξύ των φαινοµένων που συµβαίνουν στο σύµπαν, και προσπαθεί να τα ερµηνεύσει. Οι Φυσικοί πραγµατοποιούν πειράµατα µε τα οποία ελέγχουν αν οι προτεινόµενες ερµηνείες είναι σωστές. Στόχος τους είναι να ανακαλύψουν τους βαθύτερους νόµους που κυβερνούν το φυσικό κόσµο και να τους διατυπώσουν µε τη µεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια, σαφήνεια και απλότητα. Έτσι, προσπαθούν να περιγράψουν όλα τα φυσικά φαινόµενα µε ένα ενιαίο σύνολο εννοιών. ∆υο τέτοιες βασικές έννοιες είναι η ενέργεια και η αλληλεπίδραση, οι οποίες µαζί µε την αντίληψη που έχουµε για τη µικροσκοπική δοµή της ύλης, µας βοηθούν στην πληρέστερη ερµηνεία των φαινοµένων. 4. Η ενέργεια συνδέεται αναπόσπαστα µε κάθε µεταβολή. Πότε λέµε ότι ένα σώµα περιέχει ενέργεια; Λέµε ότι ένα σώµα έχει ενέργεια όταν µπορεί να προκαλέσει µεταβολές. Η ενέργεια εµφανίζεται µε διάφορες µορφές και διατηρείται στις φυσικές µεταβολές. Για παράδειγµα, όταν ο άνεµος κινεί ένα ιστιοφόρο, µεταφέρεται ενέργεια από τον άνεµο στο ιστιοφόρο. Όση ποσότητα ενέργειας έχασε ο άνεµος ακριβώς τόση κέρδισε το ιστιοφόρο, έτσι ώστε η συνολική ενέργεια του ανέµου και του ιστιοφόρου διατηρείται σταθερή. 5. Αναφέρετε µερικές έννοιες που συνθέτουν το λεξιλόγιο της Φυσικής. Τι ονοµάζουµε Νόµο στη Φυσική; Σε ποια γλώσσα διατυπώνονται οι Νόµοι στη Φυσική; Τα φαινόµενα που µελετά η φυσική µπορούν να περιγραφούν µε τη χρήση κάποιων κοινών, βασικών εννοιών. Όπως για παράδειγµα, ο «χώρος», ο «χρόνος», η «κίνηση» των σωµάτων, οι «αλληλεπιδράσεις» τους κτλ. Αυτές συνθέτουν το λεξιλόγιο της γλώσσας της φυσικής.
- 4. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 3 Οι σχέσεις που συνδέουν τις έννοιες της φυσικής εκφράζονται µε τους νόµους της φυσικής. Η µεγάλη εξέλιξη της φυσικής ξεκίνησε το 17ο αιώνα, µε την εισαγωγή του πειράµατος στη µεθοδολογία της και τη διατύπωση των νόµων της στη γλώσσα των µαθηµατικών, δηλαδή µε τη χρήση εξισώσεων ή γραφικών παραστάσεων. Τα µαθηµατικά και το πείραµα συνετέλεσαν στην τεράστια ανάπτυξη της φυσικής. Έτσι π.χ ελεύθερη πτώση ονοµάζουµε την κίνηση που κάνουν τα σώµατα όταν ασκείται σ’ αυτά µόνο το βάρος τους. (η λέξη “βάρος”, στη Φυσική εκφράζει τη δύναµη µε την οποία η Γη έλκει ένα σώµα). Στο διπλανό σχήµα έχουµε ένα σώµα µάζας m που αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h, µε την επίδραση του βάρους του w, έχοντας την επιτάχυνση της βαρύτητας g. (Η δύναµη του βάρους συνδέεται µε τη µάζα µε τη µαθηµατική σχέση w=m⋅g.) Μια µαθηµατική σχέση ή εξίσωση που περιγράφει το Νόµο της ελεύθερης πτώσης είναι η h= 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅g⋅ ⋅ ⋅ ⋅t2 που συνδέει τα φυσικά µεγέθη ύψος (h), χρόνο (t) και την επιτάχυνση της βαρύτητας (g). Η επιτάχυνση εκφράζει το ρυθµό µεταβολής της ταχύτητας. Με λέξεις µπορούµε να διατυπώσουµε τη παραπάνω σχέση του Νόµου της ελεύθερης πτώσης ως εξής: Το διάστηµα (ύψος h) που διανύει ένα σώµα κατά την ελεύθερη πτώση, είναι ανάλογο του τετραγώνου του χρόνου κίνησής του.
- 5. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 4 Η παραπάνω µαθηµατική εξίσωση αναπαριστάται µε τη βοήθεια της παρακάτω γραφικής παράστασης. Βλέπετε ότι για τη γραφική παράσταση χαράζουµε δυο άξονες κάθετους µεταξύ τους, από τους οποίους τον ένα τον ονοµάζουµε άξονα των υψών h και τον άλλο άξονα των χρόνων t. Ακόµη αν το διάγραµµά µας είναι ποσοτικό και όχι ποιοτικό, ορίζουµε πάνω στους άξονες κατάλληλες κλίµακες µέτρησης των φυσικών µεγεθών, εδώ του ύψους h και του χρόνου t. Παρατηρείστε ότι η εξίσωση h= 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅g⋅ ⋅ ⋅ ⋅t2 έχει γραφική παράσταση που είναι µια συνεχή καµπύλη που στα µαθηµατικά ονοµάζεται παραβολή. 6. Να αναφέρετε µερικά επιτεύγµατα της Φυσικής που χαρακτηρίζουν το σύγχρονο πολιτισµό του ανθρώπου. Πολλά επιτεύγµατα που χαρακτηρίζουν το σύγχρονο πολιτισµό, όπως: οι ραδιοεπικοινωνίες, οι ηλεκτρονικές εφαρµογές (κατασκευή ηλεκτρονικών υπολογιστών κ.ά.), η πυρηνική τεχνολογία, τα διαστηµικά ταξίδια πραγµατοποιήθηκαν χάρη στην ανάπτυξη της Φυσικής και γενικότερα των φυσικών επιστηµών. h t
- 6. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 5 1.2 Η επιστηµονική µέθοδος 1. Ποια είναι τα σηµαντικότερα στοιχεία και τα µεθοδολογικά βήµατα της επιστηµονικής µεθόδου; Τα σηµαντικότερα στοιχεία της επιστηµονικής µεθόδου είναι: η παρατήρηση, η υπόθεση και το πείραµα. Στο πείραµα αναγκαία είναι η µέτρηση µεγεθών για την επιβεβαίωση ή διάψευση της υπόθεσης. Αυτή η διαδικασία ολοκληρώνεται µε τη τη διατύπωση ενός Φυσικού Νόµου. Κάθε σχέση που προκύπτει από την επεξεργασία των µετρήσεων και που συνδέει δυο ή περισσότερα φυσικά µεγέθη, ονοµάζεται φυσικός νόµος. Οι φυσικοί , στην προσπάθειά τους να κατανοήσουν το φυσικό κόσµο, εργάζονται µε µια συγκεκριµένη µεθοδολογία που περιλαµβάνει τα παρακάτω βήµατα. Η µεθοδολογία αυτή ονοµάζεται επιστηµονική µέθοδος. Παρατηρούν προσεκτικά ό,τι συµβαίνει γύρω τους. Ταξινοµούν τις παρατηρήσεις τους, αναζητώντας οµοιότητες µεταξύ των φαινοµένων και κάνουν αρχικές υποθέσεις. Εκφράζουν τις παρατηρήσεις τους µε τη βοήθεια µετρήσιµων ποσοτήτων. Αναζητούν συσχετίσεις µεταξύ των ποσοτήτων τις οποίες προσπαθούν να εκφράσουν µε τη βοήθεια των µαθηµατικών. Στη συνέχεια: ∆ιατυπώνουν υποθέσεις για να ερµηνεύσουν τις παραπάνω συσχετίσεις.
- 7. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 6 Με τη βοήθεια του πειράµατος διαψεύδουν ή επαληθεύουν τις υποθέσεις και Καταλήγουν στη διατύπωση νέας υπόθεσης που αποτελεί το Φυσικό Νόµο. Προσέξτε την καταλυτική δράση του πειράµατος για την διατύπωση ενός Νόµου στη Φυσική. Η φυσική όµως είναι πειραµατική επιστήµη. Η διατύπωση µιας φυσικής θεωρίας είναι µια διαδικασία, που αρχίζει και τελειώνει µε την παρατήρηση και το πείραµα. Πείραµα ονοµάζουµε: τη µεθοδική αναπαραγωγή ενός φαινοµένου µε στόχο την εξακρίβωση της φύσης του, των αιτιών που το προκαλούν και των νόµων από τους οποίους διέπεται αυτό το φαινόµενο. Ο τρόπος που εργάζονται οι επιστήµονες δεν εµπεριέχει πάντοτε όλα τα παραπάνω βήµατα της επιστηµονικής µεθόδου και µε τη συγκεκριµένη σειρά. Πολλές φορές οι επιστήµονες ακολουθούν τη διαίσθηση, τη φαντασία και την έµπνευσή τους, νοητικές λειτουργίες οι οποίες δεν υπακούουν πάντοτε σε κανόνες. Άλλες φορές η τύχη παίζει σηµαντικό ρόλο.
- 8. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 7 1.3 Τα φυσικά µεγέθη και οι µονάδες τους 1. Ποια µεγέθη ονοµάζονται φυσικά µεγέθη; Τα µεγέθη που χρησιµοποιούµε για την περιγραφή ενός φυσικού φαινοµένου λέγονται φυσικά µεγέθη. Φυσικά µεγέθη είναι. το µήκος, το εµβαδόν, ο όγκος, ο χρόνος, η ταχύτητα, η µάζα, η πυκνότητα. 2. Τι ονοµάζουµε µέτρηση ενός φυσικού µεγέθους; Ονοµάζουµε τη σύγκρισή του µε ένα άλλο οµοειδές µέγεθος το οποίο ονοµάζουµε µονάδα µέτρησης. Ο αριθµός που προκύπτει από τη σύγκριση ονοµάζεται αριθµητική τιµή του µεγέθους που µετρήθηκε. Έτσι για να µετρήσουµε το µήκος ενός σώµατος, το συγκρίνουµε µε ορισµένο µήκος, το οποίο έπειτα από συµφωνία, θεωρούµε ως µονάδα µέτρησης, όπως για παράδειγµα είναι το 1 m. Αν προκύψει το µήκος του 15m τότε το 15 είναι η αριθµητική τιµή που προέκυψε µετά τη σύγκριση αυτή. Η διαδικασία της µέτρησης µπορεί να είναι εύκολη, όπως όταν µετράς το µήκος του θρανίου, ή περίπλοκη, όπως η µέτρηση της απόστασης των πλανητών από τον ήλιο. 3. Ποια φυσικά µεγέθη ονοµάζονται θεµελιώδη µεγέθη και ποιες µονάδες µέτρησης ονοµάζονται θεµελιώδεις µονάδες; Να αναφέρετε παραδείγµατα.
- 9. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 8 Μερικά φυσικά µεγέθη προκύπτουν άµεσα από τη διαίσθησή µας. ∆εν ορίζονται µε τη βοήθεια άλλων µεγεθών. Αυτά τα φυσικά µεγέθη ονοµάζονται θεµελιώδη. Τέτοια φυσικά µεγέθη είναι το µήκος, ο χρόνος και η µάζα. Οι µονάδες µέτρησης των θεµελιωδών µεγεθών ορίζονται συµβατικά και ονοµάζονται θεµελιώδεις µονάδες. Το µέτρο (m), το δευτερόλεπτο (s) και το χιλιόγραµµο (kg) είναι θεµελιώδεις µονάδες στη Μηχανική. 4. Ποια είναι θεµελιώδης µονάδα µέτρησης του µήκους και ποια είναι τα υποπολλαπλάσια και πολλαπλάσια αυτής; Η θεµελιώδης µονάδα µέτρησης του µήκους είναι το µέτρο (meter). Το όνοµά του προέρχεται από την ελληνική λέξη µετρώ και παριστάνεται µε το γράµµα m. Για τη µέτρηση µηκών µικρότερων του ενός µέτρου, χρησιµοποιούµε τα υποπολλαπλάσιά του: Το 1 δεκάµετρο (1dm) το εκατοστό (1cm), το χιλιοστό (1mm) κ.ά. Ισχύει: 1dm=0,1 m ή 1dm=10-1 m. Αυτό βέβαια σηµαίνει ότι 1m=10dm.
- 10. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 9 Ακόµη: 1cm=0,01 m ή 1cm=10-2 m. Αυτό επίσης σηµαίνει 1m=100=102 cm. Παρόµοια έχουµε και: 1mm=0,001 m ή 1cm=10-3 m. Ακόµη 1m=1.000=103 mm. Επίσης: 1µm (µικρόµετρο) είναι 1µm=10-6 m και 1nm (νανόµετρο) είναι 1nm=10-9 m. Τέλος: το 1Å (Άγκστροµ)= 10-10 m. 1Å είναι το τυπικό µέγεθος του ατόµου ενός χηµικού στοιχείου. Για τη µέτρηση µηκών πολύ µεγαλύτερων από το 1 m χρησιµοποιούµε τα πολλαπλάσια του µέτρου, όπως: το ένα χιλιόµετρο (1km) µε 1Km=1.000m=103 m. Αρχικά το ένα µέτρο ορίστηκε σαν το 1/10.000.000 της απόστασης από το Β. πόλο µέχρι τον Ισηµερινό της Γης. Ή το 1/40.000.000 του µήκους της περιφέρειας ενός µεσηµβρινού της Γης. Το 1960 ορίστηκε ξανά το µέτρο ως η απόσταση που καταλαµβάνουν 1.650.763,75 µήκη κύµατος ορισµένης ακτινοβολίας του αερίου κρυπτό (86Kr) στο κενό. Ενώ το 1983 ξανά ορίστηκε ως η απόσταση που διανύει το φως στο κενό, στη διάρκεια 1/299.792.458 του δευτερολέπτου. Στη ναυτιλία σαν µονάδα µήκους χρησιµοποιείται το 1ναυτικό µίλι=1853 m. Το υποδεκάµετρο, το πτυσσόµενο µέτρο, η µετροταινία κ.ά. είναι τα συνηθισµένα όργανα µέτρησης του µήκους.
- 11. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 10 Για να εξασφαλίσουµε ότι το 1 m θα αντιστοιχεί στο ίδιο µήκος για όλους τους ανθρώπους, κατασκευάσαµε ως πρότυπο µια ράβδο από ιριδιούχο λευκόχρυσο και χαράξαµε πάνω σε αυτή δυο εγκοπές. Την απόσταση µεταξύ των δυο εγκοπών την ονοµάσαµε 1 µέτρο. Αυτό το πρότυπο µέτρο φυλάσσεται στο Μουσείο Μέτρων και Σταθµών που βρίσκεται στις Σέβρες κοντά στο Παρίσι. Γενικά για να διευκολυνθούµε στις πράξεις τους, χρησιµοποιούµε τα πολλαπλάσια ή τα υποπολλαπλάσια των µονάδων τα οποία συνήθως εκφράζουν µε δυνάµεις του 10. Οι εκθέτες των δυνάµεων αυτών είναι πολλαπλάσια ή υποπολλαπλάσια του 3 . Πολλές φορές επίσης αντί για τις δυνάµεις του 10, χρησιµοποιούµε σύµβολα µε γράµµατα. Για παράδειγµα, το χίλιες φορές µεγαλύτερο (103 ) το παριστάνουµε µε το k (kilo). ∆ηλαδή, τα 1000 m µπορούν να γραφούν 103 m ή 1 km. Παρόµοια το ένα χιλιοστό του µέτρου µπορεί να γραφεί ως 10-3 m ή 1 mm. Στο διπλανό πίνακα φαίνονται τα πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια των µονάδων µαζί µε τα σύµβολά τους. 5. Ποια φαινόµενα χρησιµοποιούµε για τη µέτρηση του χρόνου; Ποια είναι η θεµελιώδη µονάδα µέτρησης του χρόνου; Για τη µέτρηση του χρόνου χρησιµοποιούµε τα περιοδικά φαινόµενα. Περιοδικά ονοµάζονται τα φαινόµενα τα οποία επαναλαµβάνονται ακριβώς µε τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήµατα. Ο χρόνος για να επαναληφθεί µια φορά το περιοδικό φαινόµενο ονοµάζεται περίοδος (T) του φαινοµένου.
- 12. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 11 Τέτοια φαινόµενα είναι: η διαδοχή της ηµέρας µε τη νύχτα (ηµερονύκτιο), οι φάσεις της σελήνης, οι κτύποι της καρδιάς ενός ανθρώπου, η κίνηση του εκκρεµούς, η µεταβολή της ενέργειας ορισµένων ατόµων. Η θεµελιώδης µονάδα µέτρησης του χρόνου είναι το δευτερόλεπτο (second ή σύντοµα s). Ορίζουµε το δευτερόλεπτο έτσι ώστε το ηµερόνυκτο να διαρκεί 86.400 s. Άρα 1s= 1 24 60 60 ⋅ ⋅ = 1 86.400 µιας µέσης ηλιακής ηµέρας. Ακόµη ισχύουν και: 1 ηµερονύκτιο = 24 ώρες (h). 1 ώρα (h) = 60 λεπτά (min)=3.600 δευτερόλεπτα (s) ή 1s= 1 3.600 h. 1 λεπτό (min) = 60 δευτερόλεπτα (s) ή 1s= 1 60 min Υποπολλαπλάσια του δευτερολέπτου είναι: Το 1 µιλισεκόντ (1ms) όπου 1ms= 1 1.000 s=10-3 s, οπότε ισοδύναµα έχουµε 1s=1.000=103 ms. Το 1 µικροσεκόντ (1µs) όπου 1µs= 1 1.000.000 s=10-6 s, οπότε ισοδύναµα έχουµε 1s=1.000.000=106 µs. Το 1967 το δευτερόλεπτο ξαναορίστηκε µε βάση το ρολόι καισίου, ως εξής:
- 13. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 12 1 δευτερόλεπτο είναι η χρονική διάρκεια µέσα στην οποία συµβαίνουν 9.192.631.770 καθορισµένες περιοδικές ενεργειακές µεταβολές στο άτοµο του καισίου (133Cs). Τα όργανα µέτρησης του χρόνου ονοµάζονται χρονόµετρα. 6. Τι ονοµάζουµε µάζα των σωµάτων και ποια είναι η θεµελιώδης µονάδα που χρησιµοποιούµε για τη µέτρηση της; Η µάζα είναι το µέτρο µιας ιδιότητας της ύλης που ονοµάζεται αδράνεια. Αδράνεια είναι η ιδιότητα των σωµάτων να «αντιστέκονται» σε κάθε µεταβολής της κινητικής τους κατάστασης (δηλαδή της ταχύτητάς τους). Η εµπειρία µας δείχνει ότι όσο πιο δύσκολα ένα σώµα αρχίζει να κινείται ή σταµατά, τόσο µεγαλύτερη είναι η αδράνειά του άρα και η µάζα του σώµατος. Η µάζα ενός σώµατος εκφράζει την ποσότητα της ύλης που περιέχεται στο σώµα αυτό. Η µάζα ενός σώµατος παραµένει σταθερή οπουδήποτε και να βρίσκεται το σώµα (π.χ ένα σώµα θα έχει την ίδια µάζα και στη Γη αλλά και στη Σελήνη και ακόµα και στο κενό διάστηµα). Το βάρος ενός σώµατος είναι δύναµη. Το βάρος και η µάζα του σώµατος συνδέονται µε τη σχέση w=m⋅g. Προσέξτε ότι το βάρος ενός σώµατος µάζας m δεν παραµένει σταθερό από τόπο σε τόπο γιατί µεταβάλλεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g. Θεµελιώδης µονάδα µάζας είναι το χιλιόγραµµο (1 kg) . Υποπολλαπλάσιο του 1 kg είναι: το 1 g (γραµµάριο). Ισχύει, 1 kg = 1.000 =103 g ή 1g=0,001=10-3 Kg. Ακόµη ως υποπολλαπλάσια χρησιµοποιούµε,
- 14. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 13 το 1µιλιγραµµάριο (µιλιγκράµ) (1mg) µε 1mg=10-3 g και το 1 µικρογραµµάριο (1µg) µε 1µg=10-6 g. Πολλαπλάσια του 1 Κg είναι: ο 1 τόνος (1tn) µε 1tn=1.000=103 Kg. Τη µάζα ενός σώµατος τη µετράµε µε το ζυγό, όπως είναι αυτός που φαίνεται στο σχήµα. Έστω δύο σώµατα µε µάζες m1 και m2, που έχουν βάρη w1 και w2, στον ίδιο τόπο. Είναι: w1 = m1⋅ g και w2 = m2⋅ g ∆ιαιρώντας τις σχέσεις αυτές κατά µέλη παίρνουµε: w1/w2 = m1/ m2 ∆ηλαδή ο λόγος των βαρών δύο σωµάτων (στον ίδιο τόπο) ισούται µε το λόγο των µαζών τους. Την ιδιότητα αυτή τη χρησιµοποιούµε για την εύρεση της µάζας ενός σώµατος µε το ζυγό, συγκρίνοντας το βάρος του µε το βάρος των σταθµών. Το βάρος w ενός σώµατος το µετράµε µε το δυναµόµετρο ή ζυγό µε ελατήριο. H αρχή µέτρησης του βάρους σ’ αυτή την περίπτωση στηρίζεται στην ελαστική παραµόρφωση που αυτή προκαλεί. Όταν από το ελατήριο κρεµάσουµε ένα σώµα, η επιµήκυνση εξαρτάται από το βάρος του σώµατος αυτού. ∆ιπλάσιο βάρος προκαλεί διπλάσια επιµήκυνση κ.λπ.
- 15. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 14 1kg είναι η µάζα ενός κυλίνδρου από φιδιούχο λευκόχρυσο που φυλάσσεται στο Μουσείο Μέτρων και Σταθµών που βρίσκεται στις Σέβρες κοντά στο Παρίσι. 7. Ποια µεγέθη ονοµάζονται παράγωγα µεγέθη; Αναφέρετε µερικά παραδείγµατα. Τα µεγέθη που ορίζονται µε απλές µαθηµατικές σχέσεις από τα θεµελιώδη ονοµάζονται παράγωγα. Οι µονάδες τους µπορούν να εκφραστούν, µε τις ίδιες απλές µαθηµατικές σχέσεις, µέσω των µονάδων των θεµελιωδών µεγεθών και ονοµάζονται παράγωγες µονάδες. Παράγωγα µεγέθη είναι, το εµβαδόν, ο όγκος, η πυκνότητα, η ταχύτητα κτλ,. Γενικά η µονάδα µέτρησης κάθε παράγωγου µεγέθους µπορεί πάντοτε να εκφραστεί ως συνάρτηση των µονάδων των θεµελιωδών µεγεθών από τα οποία ορίζονται. 8. Ποιες µονάδες µέτρησης του εµβαδού (Α) γνωρίζετε; Μονάδα µέτρησης εµβαδού (συµβολικά Α) είναι το εµβαδόν της επιφάνειας ενός τετραγώνου µε πλευρά 1 m. Η µονάδα µέτρησης του εµβαδού προκύπτει από τον ορισµό του. Εµβαδόν τετραγώνου = µήκος πλευράς x µήκος πλευράς. Αν τα µήκη των πλευρών µετρώνται σε m, τότε: µονάδα εµβαδού = 1 m·1 m = 1 m2 .
- 16. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 15 Αυτή τη µονάδα την ονοµάζουµε τετραγωνικό µέτρο (m2 ). Βλέπουµε ότι η µονάδα µέτρησης του εµβαδού εκφράζεται µέσω της θεµελιώδους µονάδας του µήκους. Ακόµη έχουµε ότι: 1m2 =100cm⋅100cm=104 cm2 . 1m2 =1.000mm⋅1000mm=106 mm2 . Τα υποπολλαπλάσια των µονάδων εµβαδού προκύπτουν από τα αντίστοιχα υποπολλαπλάσια της µονάδας µήκους ως εξής: 1dm2 = (10-1 m)2 = 10-2 m2 , 1cm2 = (10-2 m)2 = 10-4 m2 , 1mm2 = (10-3 m)2 = 10-6 m2 9. Τι ονοµάζεται όγκος ενός σώµατος; Ποιες µονάδες µέτρησης του όγκου (V) γνωρίζετε; Όγκος ενός σώµατος ονοµάζεται ο χώρος που καταλαµβάνει ένα σώµα. Βασική µονάδα µέτρησης όγκου ενός σώµατος είναι το 1m3 (κυβικό µέτρο). 1m3 είναι ο όγκος ενός κύβου που έχει ακµή ίση µε 1m. Υποπολλαπλάσια του όγκου είναι: 1dm3 = (10-1 m)3 = 10-3 m3 , 1cm3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3 , 1mm3 = (10-3 m)3 = 10-9 m3
- 17. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 16 Στο διεθνές εµπόριο έχει ορισθεί ως µονάδα µέτρησης του όγκου υγρών προϊόντων, π.χ. βενζίνη, πετρέλαιο, αναψυκτικά κ.α., το ένα λίτρο (1L). Ισχύει 1L=1dm3 . To 1L είναι υποπολλαπλάσιο του 1m3 . Συγκεκριµένα: 1L = 10-3 m3 γιατί 1m3 = 1.000L=103 L. ή 1L = 103 cm3 , και 1m3 = 106 cm3 . Υποπολλαπλάσιο του 1L είναι το 1mL = 10-3 L ή 1mL = 1cm3 . Τα στερεά και τα υγρά θεωρούνται ασυµπίεστα. ∆ηλαδή ο όγκος τους παραµένει σταθερός ακόµη και αν µεταβληθεί το σχήµα τους. Αντίθετα τα αέρια είναι συµπιεστά. Ο όγκος στερεών σωµάτων απλού γεωµετρικού σχήµατος, βρίσκεται µε υπολογισµό. Ο όγκος κυλίνδρου ακτίνας r και ύψους h, ισούται µε το γινόµενο του εµβαδού της βάσης (κύκλος) επί του ύψους του h. ∆ηλαδή: V=π⋅r2 ⋅h. Ο όγκος σφαίρας ακτίνας rυπολογίζεται µε τον τύπο: V= 4 3 π⋅r3 . Ο όγκος σωµάτων ακανόνιστου σχήµατος και άγνωστης πυκνότητας υπολογίζεται µε την εξής µέθοδο: Σε ογκοµετρικό κύλινδρο, ρίχνουµε νερό και µετράµε τον όγκο του έστω V1. Κατόπιν βάζουµε στο κύλινδρο το σώµα και µετράµε τη νέα ένδειξη έστω V2, στην κλίµακα του ογκοµετρικού κυλίνδρου. Τότε ο ζητούµενος όγκος του στερεού είναι V=V2-V1. 9. Τι ονοµάζουµε πυκνότητα ενός σώµατος και τι εκφράζει αυτή; Πως ορίζεται αυτή; Πως υπολογίζεται και ποια είναι η µονάδα µέτρησής της; V1 V2
- 18. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 17 Η πυκνότητα (ρ) είναι ένα παράγωγο φυσικό µέγεθος που χαρακτηρίζει το υλικό κάθε σώµατος. ∆εν χαρακτηρίζει, για παράδειγµα, µια σιδηροδοκό αλλά γενικά το σίδηρο. Έτσι, η πυκνότητα µιας σιδηροδοκού είναι ίδια µε την πυκνότητα ενός πολύ µικρού κοµµατιού (ρινίσµατος) σιδήρου. Η πυκνότητα εκφράζει τη µάζα του υλικού που περιέχεται σε µια µονάδα όγκου. Η πυκνότητα ενός υλικού ορίζεται ως το πηλίκο που έχει ως αριθµητή τη µάζα σώµατος από αυτό το υλικό και παρονοµαστή τον όγκο του. ∆ηλαδή πυκνότητα = ά ό µ ζα γκο , ή µε σύµβολα: ρ = m V Για να υπολογίσουµε την πυκνότητα ενός υλικού, για παράδειγµα του αλουµινίου, αρκεί να διαιρέσουµε τη µάζα ενός σώµατος από αλουµίνιο µε τον όγκο του. Ένα κοµµάτι αλουµινίου µάζας m=270 gr έχει όγκο V=100 cm3 . Εποµένως, η πυκνότητα ρ του αλουµινίου είναι: Επειδή πυκνότητα εκφράζεται µέσω της µάζας και του όγκου, άρα είναι ένα παράγωγο µέγεθος τότε και η µονάδα της πυκνότητας µπορεί να εκφραστεί µέσω των θεµελιωδών µονάδων της µάζας (kg) και του µήκους (m), δηλαδή: Φυσικά χρησιµοποιώντας διαφορετικές µονάδες µέτρησης της µάζας και του όγκου ενός σώµατος µπορούν να προκύψουν διαφορετικές µονάδες µέτρησης της πυκνότητας του σώµατος.
- 19. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 18 Μάζα (m) Όγκος (V) Πυκνότητα (ρ) 1Kg 1m3 1Kg/m3 1g 1cm3 1g/cm3 =103 Kg/m3 1g 1mL 1g/mL=1g/cm3 1g 1L 1g/L=1Kg/m3 Για να θυµάστε ευκολότερα: Όταν ξέρουµε δυο από τα µεγέθη ρ, m, V, µπορούµε να υπολογίσουµε το τρίτο µε βάση το διπλανό σχήµα. Φαινόµενη πυκνότητα ενός σώµατος είναι ο λόγος της µάζας του σώµατος, προς το φαινόµενο όγκο του, δηλαδή τον όηκο που περιλαµβάνει και τα κενά, που υπάρχουν στη µάζα του σώµατος, όπως οι πόροι οι κοιλότητες κ.ά. Αντίστοιχα πραγµατική πυκνότητα είναι ο λόγος της µάζας του σώµατος προς τον πραγµατικό του όγκο, δηλαδή χωρίς τα κενά. Στα συµπαγή σώµατα οι διαφορές ανάµεσα στην πραγµατική και στη φαινόµενη πυκνότητα είναι πολύ µικρές. Στα πορώδη όµως υλικά για να υπολογίσουµε την πραγµατική πυκνότητα πρέπει να λάβουµε υπόψη µας τον πραγµατικό όγκο του σώµατος χωρίς τα κενά των πόρων. Η εξίσωση της πυκνότητας ρ = m V δηλώνει την ισότητα µεταξύ των φυσικών µεγεθών των δυο µελών της εξίσωσης. Επειδή τα διάφορα φυσικά µεγέθη όπως εδώ η πυκνότητα (ρ) η µάζα (m) και ο όγκος (V), έχουν διαστάσεις, συµπεραίνουµε ότι θα πρέπει οι διαστάσεις του αριστερού µέρους της εξίσωσης να είναι οι ίδιες µε τις διαστάσεις του δεξιού µέλους. Αν δε συµβαίνει αυτό τότε η εξίσωση δε µπορεί να είναι σωστή.
- 20. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 19 Αυτό είναι κάτι που ισχύει σε όλες τις εξισώσεις που περιγράφουν τους νόµους της φυσικής. Έτσι οι διαστάσεις των φυσικών µεγεθών µας βοηθούν να ελέγξουµε αν µια εξίσωση της Φυσικής µπορεί να είναι σωστή. Άρα η σηµασία των διαστάσεων στη Φυσική είναι πολύ σηµαντική. 10. Τι ονοµάζουµε ∆ιεθνές Σύστηµα Μονάδων (System Internationale) Το σύνολο των θεµελιωδών και των παραγώγων µονάδων αποτελεί ένα σύστηµα µονάδων. Ανάλογα µε την εκλογή των θεµελιωδών µανάδων, δηµιουργούνται τα διάφορα συστήµατα µονάδων. Σήµερα από όλες τις χώρες χρησιµοποιείται το ∆ιεθνές Σύστηµα Μονάδων (System Internationale) S.I. Τα θεµελιώδη και ορισµένα παράγωγα µεγέθη στο SI φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. To S.I σύστηµα µονάδων ονοµάζεται διαφορετικά και M.K.S ή Μ.K.S.A από τα αρχικά των µονάδων µέτρησης 1m, 1Κg, 1s και 1A (για την ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος) Άλλo συστήµατα µονάδων είναι το C.G.S όπου µονάδα µέτρησης του µήκους είναι το 1cm, της µάζας είναι το 1g και του χρόνου το 1s.
- 21. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 20 Στο S.I µονάδα µέτρησης της δύναµης είναι το 1Ν (1Νιούτον ή 1Newton) Άλλες µονάδες είναι το 1κιλοπόντ (1Κp)=9,81N. Στο C.G.S µονάδα µέτρησης της δύναµης 1δύνη (1dyn)=10-5 N. Οι µονάδες 1Kp και 1dyn δεν χρησιµοποιούνται πλέον. Η ταχύτητα υ, είναι ένα παράγωγο µέγεθος και για σταθερή τιµή ορίζεται από τη σχέση υ= x t , όπου x είναι η απόσταση που διανύει το κινούµενο σώµα και t είναι ο χρόνος που κινήθηκε αυτό. Η ταχύτητα λοιπόν είναι ένα παράγωγο φυσικό µέγεθος. Η µονάδα µέτρησής της στο S.I προκύπτει αν αντικαταστήσουµε όπου x το (1m) και όπου t το (1sec), που είναι οι αντίστοιχες µονάδες µέτρησής τους στο S.I. Άρα η µονάδα µέτρησης της ταχύτητας στο S.I είναι το 1m 1s ή 1m/s. Στις αγγλοσαξονικές χώρες χρησιµοποιούνται ως µονάδες µήκους: 1 ίντσα (1in)=2,54 cm 1πόδι (ft=foot)=12in=30,5cm 1γυάρδα (yd)=3πόδια=0,914m 1 αγγλικό µίλι (mile)=1609 m. ως µονάδες όγκου: 1 British gallon=4,546 L 1 gallon (U.S)=3,785 L ως µονάδες δύναµης: 1pound force= 453,6 p ως µονάδες µάζας:
- 22. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 21 1ουγγιά (oz)=28,35 g 1 λίµπρα (lb=pound)=16 oz=453,6g.
- 23. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 22 1. Να βρείτε πόσα µέτρα (m) είναι τα: α) 20 cm β) 4 mm γ) 5 Å δ) 0,04 Κm ε) 15 dm στ) 700 nm. Λύση: α) 20 cm=20⋅10-2 m=0,2 m. β) 4 mm=4⋅10-3 m=0,004 m. γ) 5 Å=5⋅10-10 m. δ) 0,04 Κm=0,04⋅103 m=40 m. ε) 15 dm=15⋅10-1 m=1,5 m. στ) 700 nm=700⋅10-9 m=7⋅10-7 m. 2. Να βρείτε πόσα εκατοστά (cm) είναι τα: α) 20 m β) 4 µm γ) 1,5 Å δ) 0,002 Κm ε) 5 dm στ) 400 nm.
- 24. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 23 Λύση: α) 20 m=20⋅102 cm=2.000 cm. β) 4 µm=4⋅10-6 m=4⋅10-6 ⋅ 102 cm=4⋅10-4 cm. γ) 1,5 Å=1,5⋅10-10 m=1,5⋅10-10 ⋅102 cm=1,5⋅10-8 cm. δ) 0,002 Κm=2⋅10-3 ⋅103 m=2 m=2⋅102 cm=200 cm. ε) 5 dm=5⋅10-1 m=5⋅10-1 ⋅102 cm =50 cm. στ) 400 nm=400⋅10-9 m=4⋅10-7 m=4⋅10-7 ⋅102 cm=4⋅10-5 cm. 3. Να βρείτε πόσα νανόµετρα (nm) είναι τα: α) 0,06 m β) 2,5 cm γ) 500 Å δ) 0,002 mm ε) 400 µm Λύση: α) 0,06 m=6⋅10-2 m=6⋅10-2 ⋅109 nm =6⋅107 nm. β) 2,5 cm=2,5⋅10-2 m=2,5⋅10-2 ⋅109 nm =2,5⋅10-7 nm. γ) 500 Å=500⋅10-10 m=5⋅10-8 ⋅109 cm=50 nm. δ) 0,002 mm=2⋅10-3 ⋅10-3 m=2⋅10-6 m=2⋅10-6 ⋅109 nm=2⋅103 nm=2.000 nm. ε) 400 µm=400⋅10-6 m=4⋅10-4 m=4⋅10-4 ⋅109 nm=4⋅105 nm.
- 25. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 24 4. Να συγκρίνετε τις αποστάσεις: α) 0,08 m β) 32,5 cm γ) 200 mm Λύση: Θα µετατρέψουµε όλα τα µήκη στην ίδια µονάδα µέτρησης ώστε να µπορέσουµε να τα συγκρίνουµε. Αποφασίζουµε να τα µετατρέψουµε όλα σε cm. Τότε έχουµε: α) 0,08 m=8⋅10-2 m=6⋅10-2 ⋅102 cm =6 cm. β) 32,5 cm. γ) 200 mm=2⋅102 ⋅10-1 cm=20 cm. Άρα µεγαλύτερη απόσταση είναι τα 32,5 cm στη συνέχεια τα 200mm και τέλος τα 0,08m. 5. Μια σφαίρα έχει ακτίνα r=12 cm. Να βρείτε τότε σε µέτρα (m), το µήκος της περιφέρειας ενός µέγιστου κύκλου πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας. ∆ίνεται π=3,14. Λύση: Ο µέγιστος κύκλος πάνω στη σφαίρα θα έχει ακτίνα όση είναι και η ακτίνα της σφαίρας. Το µήκος της περιφέρειας του κύκλου (s) δίνεται τότε από τη σχέση: s=2πr=2⋅3,14⋅12⋅10-2 =0,7536 m. Σε αυτές τις περιπτώσεις µπορούµε τον αριθµό π να µην τον αντικαθιστούµε, οπότε το µήκος της περιφέρειας του µέγιστου κύκλου στην επιφάνεια της σφαίρας είναι τότε, s=2πr=2⋅π⋅12⋅10-2 ή s=0,24π m.
- 26. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 25 6. Να βρείτε πόσα δευτερόλεπτα (s) είναι: α) τα 20 min β) οι 0,04 h γ) 5 ms δ) 18⋅103 µs. Λύση: α) 20 min=20⋅60 s=1.200 s. β) 0,04 h=4⋅10-2 ⋅3.600 s=4⋅36 s=144 s. γ) 5 ms=5⋅10-3 s=0,005 s. δ) 18⋅103 ⋅10-6 s=18⋅10-3 s=0,018 s. 7. Να βρείτε πόσες ώρες (h) είναι: α) τα 90 min β) τα 18 s γ) τα 36 ns δ) το 1 8 της ηµέρας (d). Λύση: α) 90 min=90⋅ 1 60 h=1,5 h. β) 18 s=18⋅ 1 3.600 h=0,005 h=5⋅10-3 h.
- 27. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 26 γ) 36 ns=36⋅10-9 s=36⋅10-9 ⋅ 1 3.600 h= 9 2 10 10 − h=10-7 h. δ) 1 8 d= 1 8 ⋅24 h=3 h. 8. Αν η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου είναι υ=108 Km h , να τη µετατρέψετε σε m s . Λύση: Για την ταχύτητα του αυτοκινήτου ισχύει υ=108 Km h =108 1.000 m 3.600 s = 108 m 3,6 s = =30 m s . 9. Να βρείτε πόσα χιλιόγραµµα ή κιλά (Κg) είναι: α) οι 0,02 tn β) τα 800 g γ) τα 5⋅104 mg δ) τα 0,04 µg. Λύση: α) 0,02 tn=2⋅10-2 ⋅103 Kg=20 Kg. β) 800 g=800⋅10-3 Kg=0,8 Kg. γ) 5 ⋅104 mg=5⋅104 ⋅10-3 g=50 g=50⋅10-3 Kg=5⋅10-2 Kg=0,05 Kg.
- 28. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 27 δ) 0,04 µg=4⋅10-2 ⋅10-6 g=4⋅10-8 ⋅10-3 Kg=4⋅10-11 Kg. 10. ∆υο σώµατα Α και Β ζυγίζουν αντίστοιχα mA=0,4 tn και mB=8⋅104 g. Να συγκρίνετε τις µάζες των δυο σωµάτων. Λύση: Για τη µάζα του σώµατος Α έχουµε mA=0,4 tn =4⋅10-1 ⋅103 Kg=400 Kg. Παρόµοια για τη µάζα του δεύτερου σώµατος Β έχουµε mB=8⋅104 g =8⋅104 ⋅10-3 Kg=80 Kg. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι mA>mB. 11. ∆ίνεται ότι η µάζα της Γης είναι ΜΓ=6⋅1024 Κg και ότι η ακτίνα της είναι RΓ=64⋅105 m. Αν είναι γνωστό ότι η µάζα της Σελήνης είναι ΜΣ= Γ M 81 και ότι η ακτίνα της Σελήνης είναι RΣ= Γ R 3,6 , τότε να υπολογίσετε τη µάζα της Σελήνης σε tn και την ακτίνα της Σελήνης σε Km. Λύση: Για τη µάζα της Σελήνης ισχύει ΜΣ= Γ M 81 ή ΜΣ= 24 6 10 81 ⋅ Κg ή 0,074⋅1024 Κg ή ΜΣ=74⋅10-3 ⋅1024 ⋅10-3 tn ή ΜΣ=74⋅1018 tn. Ακόµη για την ακτίνα της Σελήνης ισχύει RΣ= Γ R 3,6 ή RΣ= 5 64 10 3,6 ⋅ m ή RΣ= 17,8 ⋅105 m ή RΣ= 17,8 ⋅105 ⋅10-3 Κm ή RΣ= 17,8 ⋅102 Κm =1.780 Κm.
- 29. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 28 12. Να µετατραπεί σε m2 το εµβαδό: α) Α=0,08 Km2 β) Α=300 cm2 γ) Α=12⋅104 mm2 Λύση: α) Γνωρίζουµε ότι 1 Km=103 m, οπότε 1Κm2 =1Km⋅1Km=103 m⋅103 m=106 m2 . Τότε το εµβαδό Α θα είναι σε m2 : Α=0,08 Km2 =8⋅10-2 106 m2 =8⋅104 m2 =80.000 m2 . β) Γνωρίζουµε ότι 1 cm=10-2 m, οπότε 1cm2 =1cm⋅1cm=10-2 m⋅10-2 m=10-4 m2 . Τότε το εµβαδό Α θα είναι σε m2 : Α=300 cm2 =3⋅102 10-4 m2 =3⋅10-2 m2 =0,03 m2 . γ) Γνωρίζουµε ότι 1 mm=10-3 m, οπότε 1mm2 =1mm⋅1mm=10-3 m⋅10-3 m=10-6 m2 . Τότε το εµβαδό Α θα είναι σε m2 : Α=12⋅104 mm2 =12⋅104 10-6 m2 =12⋅10-2 m2 =0,12 m2 . 13. Ένα κυλινδρικό σύρµα έχει εµβαδό εγκάρσιας διατοµής Α=4π mm2 . Να βρεθεί η ακτίνα του σύρµατος σε m. Λύση: Γνωρίζουµε ότι το εµβαδό Α της εγκάρσιας διατοµής του σύρµατος (εµβαδό κύκλου) δίνεται από τη σχέση Α=π⋅r2 όπου r είναι η ακτίνα.
- 30. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 29 Ακόµη γνωρίζουµε ότι 1 mm=10-3 m, οπότε 1mm2 =1mm⋅1mm=10-3 m⋅10-3 m=10-6 m2 . Τότε το εµβαδό Α θα είναι σε m2 : Α=4π mm2 =4π⋅10-6 m2 . Τότε έχουµε Α=π⋅r2 ή 4π⋅10-6 =π⋅r2 ή r2 =4⋅10-6 m2 ή r= 6 2 4 10 m − ⋅ ή r=2⋅10-3 m. 14. Μια ορθογώνια ξύλινη πλάκα έχει µήκος α=1,4 m και πλάτος β=80 cm. Να βρείτε το εµβαδό της πλάκας α) σε m2 , β) σε dm2 και γ) σε mm2 . Λύση: Γνωρίζουµε ότι το εµβαδό Α της πλάκας δίνεται από τον τύπο που δίνει το εµβαδό του ορθογωνίου παραλληλογράµµου Α=α ⋅β. α) Έτσι για α=1,4 m και β=80 cm =0,8 m έχουµε Α=α ⋅β ή Α=1,4 ⋅0,8=1,12 m2 . β) Γνωρίζουµε ότι 1 m=10 dm, οπότε 1 m2 =1m⋅1m=10 dm⋅10 dm=102 dm2 . Οπότε το εµβαδό Α σε dm2 θα είναι Α=1,12 m2 ή Α=1,12⋅102 dm2 ή Α=112 dm2 . γ) Ακόµη γνωρίζουµε ότι 1 m=103 mm, οπότε 1m2 =1m⋅1m=103 mm⋅103 mm=106 mm2 . Οπότε το εµβαδό Α σε mm2 θα είναι Α=1,12 m2 ή Α=1,12⋅106 mm2 ή Α=1.120.000 mm2 .
- 31. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 30 15. Να µετατραπεί σε L, ο όγκος: α) V=8 m3 β) V=4,48 mL γ) V=2⋅104 dm3 δ) V=8.000 mm3 . Λύση: α) Γνωρίζουµε ότι 1m3 =103 L, οπότε o όγκος V θα είναι σε L: V=8 m3 =8⋅103 L=8.000 L. β) Γνωρίζουµε ότι 1 L=103 mL ή 1mL=10-3 L, οπότε o όγκος V θα είναι σε L: V=4,48 mL=4,48⋅10-3 L=0,00448 L. γ) Γνωρίζουµε ότι 1 L=1 dm3 . Τότε o όγκος V θα είναι σε L: V=2⋅104 dm3 =2⋅104 L. δ) Γνωρίζουµε ότι 1 mm=10-3 m, οπότε 1mm3 =1mm⋅1mm⋅1mm=10-3 m⋅10-3 m⋅10-3 m =10-9 m3 . Ακόµη γνωρίζουµε ότι 1m3 =103 L. Οπότε o όγκος V θα είναι σε L: V=8.000 mm3 =8⋅103 ⋅10-9 m3 =8⋅103 ⋅10-9 ⋅103 L=8⋅10-3 L=0,008 L. 16. Ένα στερεό σώµα έχει όγκο V=100 cm3 . Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού α) σε m3 , β) σε L. Λύση: α) Γνωρίζουµε ότι 1 cm=10-2 m, οπότε 1cm3 =1cm⋅1cm⋅1cm=10-2 m⋅10-2 m⋅10-2 m =10-6 m3 . Οπότε o όγκος V του σώµατος σε m3 θα είναι: V=100 cm3 =102 ⋅10-6 m3 =10-4 m3 . Ακόµη γνωρίζουµε ότι 1m3 =103 L. Οπότε o όγκος V θα είναι σε L: V=10-4 m3 =10-4 ⋅103 L=10-1 L=0,1 L.
- 32. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 31 17. Η πυκνότητα του λαδιού είναι ρλ=0,6 g/cm3 . Να µετατρέψετε την πυκνότητα αυτή σε α) Kg/m3 . β) g/L γ) Kg/L. δ) g/mL. Λύση: Η πυκνότητα του λαδιού είναι ρλ=0,6 3 g cm οπότε έχουµε: α) 0,6 3 g cm =0,6 3 6 3 10 Kg 10 m − − =0,6⋅103 3 Κg m =600 3 Κg m . β) 0,6 3 g cm =0,6 3 g 10 L − =600 g L . γ) 0,6 3 g cm =0,6 3 3 10 Kg 10 L − − =0,6 Kg L . Γνωρίζουµε πως 1cm3 =1mL οπότε η πυκνότητα του λαδιού είναι: δ) ρλ=0,6 3 g cm =0,6 g mL .
- 33. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 32 18. Η πυκνότητα του πάγου είναι ρπ=900 Κg/m3 . Ένα παγάκι µάζας mπ=4,95g επιπλέει µέσα σ’ ένα ποτήρι µε νερό. α) Να υπολογιστεί ο όγκος που έχει το παγάκι. β) Το παγάκι λιώνει. Ποια θα είναι η µάζα και ποιος ο όγκος του νερού που θα σχηµατιστεί; ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1.000 Κg/m3 . Λύση: α) Η πυκνότητα του πάγου είναι 900 3 Κg m =900 6 3 1000g 10 cm =900⋅10-3 3 g cm =0,9 3 g cm . Για την πυκνότητα του πάγου ισχύει ρπ = π π m V ή Vπ= π π m ρ = 4,95 0,9 =5,5cm3 . β) Όταν το παγάκι θα λιώσει τότε η µάζα του νερού που θα σχηµατιστεί θα είναι ίση µε τη µάζα που είχε αρχικά το παγάκι. Άρα ισχύει mπ=mν ή mν=4,95 g. Από τον τύπο της πυκνότητας έχουµε m=ρ⋅V. Οπότε ισχύει ρπ⋅Vπ=ρν⋅Vν. (1) Η πυκνότητα του νερού είναι 1.000 3 Κg m =1.000 6 3 1000g 10 cm = =1.000⋅10-3 3 g cm =1 3 g cm . Τότε από τη σχέση (1) παίρνουµε: Έχουµε 0,9⋅5,5=1⋅Vν ή Vν=4,95 cm3 .
- 34. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 33 19.Να εξετάσετε διαστατικά αν η εξίσωση V=A⋅ ⋅ ⋅ ⋅υ⋅ ⋅ ⋅ ⋅t είναι δυνατόν να είναι σωστή. Λύση: Για να είναι σωστή η εξίσωση θα πρέπει οι διαστάσεις του πρώτου και του δεύτερου µέλους στο ίδιο σύστηµα µονάδων να είναι ίσες. Στο αριστερό µέλος της σχέσης που µας δίνεται έχουµε τον όγκο V που στο S.I έχει µονάδα µέτρησης το m3 . Στο δεύτερο µέλος της ισότητας και στο S.I έχουµε το εµβαδό Α µε µονάδα µέτρησης τo 1m2 . Ακόµη η ταχύτητα έχει µονάδα µέτρησης το 1 m s και ο χρόνος t έχει µονάδα µέτρησης το 1s. Τότε στο δεύτερο µέλος της ισότητας έχουµε όσον αφορά τις διαστάσεις 1m2 ⋅ 1 m s ⋅1s=1m3 . Καταλήγουµε λοιπόν και στο δεύτερο µέλος της ισότητας σε διαστάσεις όγκου. Οπότε η εξίσωση που µας δίνεται είναι δυνατό να είναι σωστή.
- 35. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 34 Μήκος 1) Να βρείτε πόσα µέτρα (m) είναι τα: α) 12 cm β) 5 mm. 2) Να βρείτε πόσα εκατοστά (cm) είναι τα: α) 2 m β) 5 mm. Γ) 5 Å ∆) 10-3 Κm. 3) Να βρείτε πόσα χιλιοστά (mm) είναι τα: α) 5 c m β) 2 nm. γ) 10-9 m δ) 0,0002 Κm. 4) Να βρείτε πόσα µικρόµετρα (µm) είναι τα: α) 2 cm β) 2 mm. γ) 2 nm. δ) 2 Å ε) 2 m στ) 2 Κm.
- 36. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 35 5) Να βρείτε πόσα νανόµετρα (nm) είναι τα: α) 2 Å β) 1 µm. γ) 106 mm. δ) 10-5 Κm. ε) 3 m 6) Να συγκρίνετε τις αποστάσεις α) 5 m και 4⋅10-3 Km β) 2 Km και 4⋅109 µm. γ) 2⋅10-3 cm και 54 µm. δ) 104 m και 10 Κm. 7) Ένα κυλινδρικό σύρµα έχει διάµετρο 0,5 cm. Να υπολογίσετε την ακτίνα του σύρµατος σε mm. 8) Αν η περιφέρεια ενός κύκλου έχει µήκος s=12 π cm, τότε να υπολογίσετε την ακτίνα του r σε mm. ∆ίνεται ότι η περιφέρεια κύκλου ακτίνας r δίνεται από τη σχέση s=2πr (π=3,14). 9) Η ακτίνα της Γης είναι RΓ=6.400 Κm. Να υπολογίσετε το µήκος αυτής σε m και σε cm. Χρόνος 10) Να βρείτε πόσα δευτερόλεπτα (s) είναι: α) οι 2 h β) τα 500 ms γ) τα 106 µs δ) τα 10-2 ns ε) το 1 8 h (της ώρας)
- 37. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 36 στ) τα 12 min ζ) το 1 6 d (της ηµέρας). 11) Να βρείτε πόσα λεπτά (min) είναι: α) τα 5 s β) τα 5 ms γ) τα 5 µs δ) τα 5 ns ε) οι 5 h στ) 5 d (ηµέρες). 12) Να βρείτε πόσες ώρες (h) είναι: α) τα 12 min β) τα 12 s γ) τα 8 µs. 13) Αν ο χρόνος αντίδρασης ενός οδηγού όταν πατάει φρένο είναι t=0,5 s, τότε να υπολογίσετε το χρόνο αυτό σε ms. 14) Αν η επιτάχυνση της βαρύτητας για ένα σώµα που κάνει ελεύθερη πτώση είναι g=10m/s2 τότε να µετατρέψετε την επιτάχυνση της βαρύτητας σε Km/h. 15) Τη στιγµή που ξεκινά ένας Μαραθωνοδρόµος, το χρονόµετρο δείχνει 1h 10 min 40s, ενώ τη στιγµή του τερµατισµού το χρονόµετρο δείχνει 3h 56min 00s. Να βρείτε την επίδοση του Μαραθωνοδρόµου. 16) Τη στιγµή που ξεκινά ένας αθλητής να τρέχει το ρολόϊ του δείχνει 10h 10min 20sec ενώ τη στιγµή που τερµατίζει δείχνει 12h 15min 15sec. Πόσο είναι το ρεκόρ του αθλητή σε s;
- 38. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 37 17) α) Ένα φυσικό φαινόµενο ξεκίνησε ακριβώς 3h πριν την ένδειξη του ρολογιού. Πόσα s και πόσα min πριν ξεκίνησε αυτό β) Αν το µήκος του λεπτοδείκτη του συγκεκριµένου ρολογιού του σχήµατος είναι 12cm και το µήκος του ωροδείκτη είναι 5cm. Να βρείτε το µήκος τους σε mm και nm. 18)Η περίοδος περιστροφής ενός δορυφόρου της γης είναι T=12h. Να εκφράσετε το χρόνο αυτό σε ηµέρες (d) και σε λεπτά (min). Μάζα 19) Να βρείτε πόσα χιλιόγραµµα ή κιλά (Κg) είναι: α) οι 2,8 tn β) τα 2.000 mg γ) τα 1.250 g δ) τα 106 µg. ε) οι 0,0056 tn. 20) Τέσσερα σώµατα έχουν αντίστοιχα µάζες m1=0,3 Kg, m2=600g, m3=0,4⋅106 mg και m4=0,0002 tn. Να συγκρίνετε τις µάζες των τεσσάρων σωµάτων. 21) ∆ύο σώµατα Σ1 και Σ2 έχουν µάζες m1=0,025 Kg και m2=140 g. Να συγκρίνετε τις αδράνειες των δυο σωµάτων. 22) Η µάζα της Γης είναι MΓ=6⋅1024 Kg. Να υπολογίσετε τη µάζα αυτή σε g. 23) Αν η µάζα του πλανήτη Ερµή (ΜΕ) του ηλιακού µας συστήµατος, είναι ME=4% MΓ, όπου ΜΓ είναι η µάζα της Γης, τότε να υπολογίσετε τη µάζα του Ερµή σε tn. ∆ίνεται η µάζα της Γης MΓ=6⋅1027 g.
- 39. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 38 Εµβαδό 24) Να µετατραπούν σε m2 τα: α) 0,02Κm2 β) 2.000 cm2 γ) 4⋅103 mm2 . 25) Να µετατραπούν σε cm2 τα: α) 2,5 m2 β) 10.000 mm2 γ) 0,001 Km2 . 26) Ένα κυλινδρικό σχήµα έχει εµβαδό εγκάρσιας διατοµής Α=π mm2 . Να υπολογιστεί η ακτίνα του σε cm. 27) Μια ορθογώνια µαρµάρινη πλάκα έχει µήκος α=0,8m και πλάτος β=0,6 m. Να υπολογίσετε το εµβαδό της πλάκας σε cm2 . 28) Πόσο % είναι µεγαλύτερο το εµβαδό µιας ορθογώνιας πλάκας µε διαστάσεις 0,2m X 120 cm από το εµβαδό µιας τετράγωνης πλάκας πλευράς α=1.500 cm. Όγκος 29) Να µετατραπούν σε L τα: α) 5 m3 β) 224 mL γ) 100 dm3 δ) 10.000 cm3 . 30) Αν µια µπάλα ποδοσφαίρου έχει διάµετρο δ=22 cm, τότε να υπολογιστεί ο όγκος της σε L.
- 40. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 39 31) Ένας κύλινδρος έχει διάµετρο 20 mm και ύψος 50 cm. Να υπολογιστεί ο όγκος του σε cm3 . 32) Κύβος έχει ακµή α=250 mm. Να υπολογιστεί ο όγκος του σε m3 και σε L. 33) Να συγκρίνετε τους όγκους: V1=2⋅10-3 m3 , V2= 4 L και V3=8⋅103 mL. 34) Αγοράζουµε ένα φύλλο χαλκού µε διαστάσεις 0,8 m x 1m και µάζας 3,6 Κg. Αν κόψουµε απ’ το φύλλο αυτό ένα κοµµάτι µε ακανόνιστο σχήµα του οποίου η µάζα είναι 90 g, τότε να υπολογίσετε το εµβαδό αυτού του κοµµατιού. 35) Από το εσωτερικό κυλίνδρου, που έχει ύψος h=20 cm και ακτίνα R=4 cm, αφαιρούµε πλήρως ένα οµοαξονικό κύλινδρο ακτίνας r=1,2 cm, (r < R), όπως απεικονίζεται στο σχήµα. Αν η µάζα του κυλίνδρου είναι m=200 g, να υπολογίσετε σε Kg τη µάζα του κυλίνδρου που απέµεινε. Πυκνότητα 36) Η πυκνότητα του οινοπνεύµατος είναι ρ=0,8 g/cm3 . Να µετατρέψετε την πυκνότητα αυτή σε: α) Κg/m3 β) g/L γ) Kg/L δ) g/mL. 37) Η πυκνότητα του νερού είναι ρ=1.000 Kg/m3 . Να µετατρέψετε την πυκνότητα του νερού σε g/cm3 . 38) Σφαίρα έχει όγκο V=400 cm3 και µάζα m=80 g. Να βρείτε την πυκνότητά της σε Kg/L. 39) Η ακτίνα της γης είναι R=64⋅105 m και η µάζα της M=6⋅1024 Kg. Να υπολογίσετε τη µέση πυκνότητα της Γης.
- 41. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 40 40) Αν η µάζα του Ερµή είναι ΜΕ=0,04 ΜΓ όπου ΜΓ είναι η µάζα της Γης, και η πυκνότητά του είναι ρΕ=0,69 ρΓ, όπου ρΓ είναι η πυκνότητα της Γης, τότε να συγκρίνετε τους όγκους των δυο πλανητών, 41) Αν ΜΓ είναι η µάζα της Γης και ΜΣ είναι η µάζα της Σελήνης µε ΜΓ=81 ΜΣ, ενώ ακόµη RΓ είναι η ακτίνα της Γης και RΣ είναι η ακτίνα της Σελήνης, µε RΓ=3,6 RΣ, τότε να συγκρίνετε τη µέση πυκνότητα της Γης µε τη µέση πυκνότητα της Σελήνης. Ποια είναι µεγαλύτερη; 42) Από µια σφαίρα ακτίνας R και όγκου V=4L, αφαιρούµε ένα σφαιρικό κοµµάτι ακτίνας r= 2 R . Αν η κούφια σφαίρα που σχηµατίζεται έχει µάζα m=1 Kg, να υπολογίσετε την πυκνότητα του υλικού της σφαίρας. 43) ∆υο σφαίρες Α και Β, από το ίδιο υλικό έχουν αντίστοιχα όγκους VA και VB µε VA>VB. Τότε: α) ποια σφαίρα έχει µεγαλύτερη πυκνότητα; β) ποια σφαίρα έχει µεγαλύτερη µάζα;
- 42. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 41 1) ∆υο βασικές έννοιες που µας βοηθούν στην πληρέστερη ερµηνεία των φαινοµένων είναι η ενέργεια και η αλληλεπίδραση των σωµάτων . ( ) 2) Η χρήση µαθηµατικών εξισώσεων ή γραφικών παραστάσεων, καθώς και το πείραµα συνετέλεσαν στην τεράστια ανάπτυξη της φυσικής. ( ) 3) Φυσικά είναι τα φαινόµενα στα οποία µεταβάλλεται η σύσταση των σωµάτων που συµµετέχουν σ’ αυτά όπως είναι η έκρηξη της πυρίτιδας. ( ) 4) Λέµε ότι ένα σώµα έχει ενέργεια όταν µπορεί να προκαλέσει µεταβολές. ( ) 5) Ο χρόνος και η ταχύτητα είναι φυσικά µεγέθη. ( ) 6) Η µάζα είναι το µέτρο της αδράνειας ενός σώµατος. Όσο µεγαλύτερη µάζα έχει ένα σώµα τόσο µικρότερη είναι η αδράνειά του. ( ) 7) 1 kg είναι η µάζα ενός κυλίνδρου από φιδιούχο λευκόχρυσο που φυλάσσεται στο Μουσείο Μέτρων και Σταθµών που βρίσκεται στις Σέβρες κοντά στο Παρίσι. ( ) 8) Tο εµβαδόν, ο όγκος, η πυκνότητα, η ταχύτητα κτλ, είναι παράγωγα µεγέθη. ( ) 9) Η εξίσωση υ= V x t ⋅ είναι δυνατόν διαστατικά να είναι ορθή. (V=όγκος, x=διάστηµα, t=χρόνος) . ( )
- 43. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 42 10) Για τη µέτρηση της µάζας ενός σώµατος χρησιµοποιούµε το ζυγό ενώ για τη µέτρησης του βάρους του χρησιµοποιούµε το δυναµόµετρο. ( ) 1) Σε κάθε µεταβολή που συµβαίνει στη φύση, α. η συνολική ενέργεια µειώνεται. β. η συνολική ενέργεια αυξάνεται. γ. η συνολική ενέργεια άλλες φορές µειώνεται και άλλες αυξάνεται. δ. η συνολική ενέργεια διατηρείται σταθερή. 2) Τα φαινόµενα που µελετά η φυσική µπορούν να περιγραφούν µε τη χρήση κάποιων κοινών, βασικών εννοιών. Όπως είναι, α) ο χώρος. β) ο χρόνος. γ) η κίνηση των σωµάτων, και οι αλληλεπιδράσεις τους. δ) όλα τα παραπάνω. 3) Η διπλανή γραφική παράσταση δείχνει: α) ότι η µάζα m ενός σώµατος µεταβάλλεται ανάλογα µε τον όγκο του V. β) ότι η µάζα m ενός σώµατος µεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα µε τον όγκο του V. γ) ότι τη µάζα του σώµατος τη µετράµε σε Kg και τον όγκο του σε mL. δ) ότι η µάζα και ο όγκος δε συνδέονται µε κάποια µαθηµατική σχέση. 4) Θεµελιώδη φυσικά µεγέθη, α) ονοµάζονται τα φυσικά µεγέθη που προκύπτουν άµεσα από τη διαίσθησή µας. β)ονοµάζονται τα φυσικά µεγέθη που ορίζονται µε τη βοήθεια άλλων µεγεθών.
- 44. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 43 γ) είναι το εµβαδό και ο όγκος. δ) είναι ο χρόνος, η µάζα και η πυκνότητα. 5) Η θεµελιώδης µονάδα µέτρησης του µήκους είναι, α) το 1cm β) το 1dm γ) το 1m δ) το 1Å. 6) Η κίνηση του εκκρεµούς, α) είναι φυσικό φαινόµενο που πραγµατοποιείται µε τυχαίο τρόπο. β) είναι χηµικό φαινόµενο. γ) είναι αδύνατο να περιγραφεί µε µαθηµατικές σχέσεις. δ) είναι ένα φυσικό και περιοδικό φαινόµενο. 7) To 1ns ισούται µε: α) 10-9 s β) 10-6 s γ) 10-12 s δ) 103 s. 8) Μονάδα µέτρησης της αδράνειας ενός σώµατος στο S.I είναι: α) ο 1tn. β) το 1Kg. γ) το 1g. δ) το 1µg. 9) To βάρος ενός σώµατος συνδέεται µε τη µάζα του µε τη σχέση Α)w=m⋅g Β)w=m Γ) w=m/g ∆) w=g/m 10) Ένα σώµα έχει µάζα m και βάρος w στην επιφάνεια της Γης. Τότε στην επιφάνεια της Σελήνης θα έχει µάζα mΣ και βάρος wΣ για τα οποία ισχύει,
- 45. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 44 α) mΣ=m και wΣ=w. β) mΣ>m και wΣ>w. γ) mΣ=m και wΣ<w. δ) mΣ<m και wΣ<w. 11) Ο όγκος κυλίνδρου ακτίνας r=5cm και ύψους h=20cm, ισούται µε α) V=500 π m3 . β) V=5π⋅10-4 cm3 . γ) V=500 cm3 . δ) V=500 π cm3 . 12) Ένα κοµµάτι σιδήρου κόβεται σε τρία ίσα κοµµάτια. Η πυκνότητα του κάθε κοµµατιού είναι: α) το 1/3 εκείνης του αρχικού κοµµατιού. β) τριπλάσια εκείνης του αρχικού κοµµατιού. γ) διαφορετική για κάθε κοµµάτι σιδήρου. δ) η ίδια µε εκείνη του αρχικού κοµµατιού. 13) Η πυκνότητα του σώµατος του σχήµατος είναι: α) ρ=300. β) ρ=14,4 Kg. γ) ρ=48⋅10-3 g/L. δ) ρ=300 Kg/m3 . 14) Ένα κοµµάτι πλαστελίνης ακανόνιστου σχήµατος βυθίζεται σε ογκοµετρικό κύλινδρο και υπολογίζουµε τον όγκο του. Στη συνέχεια αλλάζουµε το σχήµα του κοµµατιού και επαναϋπολογίζουµε τον όγκο του. Ο καινούργιος όγκος της πλαστελίνης είναι: α) Μεγαλύτερος. β) Μικρότερος. γ) Ο ίδιος γιατί τα στερεά είναι ασυµπίεστα. δ) Τα στοιχεία δεν επαρκούν για να απαντήσουµε.
- 46. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 45 1) Τις διάφορες µεταβολές που συµβαίνουν γύρω µας στη φύση τις ονοµάζουµε ……………………………… 2) Η πτώση ενός σώµατος από κάποιο ύψος είναι …………………….. φαινόµενο. 3) Τα βασικά βήµατα της επιστηµονικής µεθόδου είναι η παρατήρηση, η υπόθεση και το…………………….. 4) Tα µεγέθη που χρησιµοποιούµε για την περιγραφή ενός φυσικού φαινοµένου λέγονται …………………… µεγέθη. 5) Ονοµάζουµε µέτρηση ενός µεγέθους τη ………………….του µε ένα άλλο …………………..µέγεθος το οποίο ονοµάζουµε …………………….. µέτρησης. Ο αριθµός που προκύπτει από τη σύγκριση ονοµάζεται ……………………..τιµή του µεγέθους. 6) Το 1Å ισούται µε ………….cm. 7) Περιοδικά ονοµάζονται τα φαινόµενα που επαναλαµβάνονται ακριβώς το ίδιο σε ………………… χρονικά διαστήµατα. Ο χρόνος για να επαναληφθεί µια φορά το περιοδικό φαινόµενο ονοµάζεται ……………………. του φαινοµένου. 8) Ο όγκος σφαίρας ακτίνας r υπολογίζεται µε τον τύπο: V= ………………..
- 47. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 46 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Μηχανική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΙΝΗΣΕΙΣ 2.1 Περιγραφή της κίνησης 1. Πότε ένα σώµα κινείται; Τι ονοµάζουµε κίνηση ενός αντικειµένου; Να αναφέρετε παραδείγµατα κινήσεων. Ένα σώµα κινείται όταν αλλάζει θέση ως προς ένα άλλο σώµα που θεωρείται ακίνητο (σύστηµα αναφοράς). Γενικά: «Κίνηση ενός αντικειµένου λέγεται η χρονική αλλαγή της θέσεώς του ως προς ένα σύστηµα αναφοράς». Έτσι η «ηρεµία» και η «κίνηση» είναι έννοιες που αποκτούν νόηµα εφόσον σχετίζονται µε ένα σύστηµα αναφοράς. Εποµένως η κίνηση είναι σχετική, δηλαδή αναφέρεται ως προς ένα σηµείο ή σώµα το οποίο θεωρείται ακίνητο. Το ίδιο σώµα µπορεί να κινείται για κάποιον παρατηρητή και να παραµένει ακίνητο για κάποιον άλλο. Έτσι το αυτοκίνητο του σχήµατος κινείται ως προς τον ακίνητο παρατηρητή ενώ ταυτόχρονα παραµένει ακίνητο για τον οδηγό του. Συνήθως, όταν µελετούµε την κίνηση των σωµάτων στο γήινο περιβάλλον µας, θεωρούµε ότι η γη είναι ακίνητη. Η κίνηση είναι χαρακτηριστική ιδιότητα της ύλης. Εµφανίζεται από τους µακρινούς γαλαξίες µέχρι το εσωτερικό των µικροσκοπικών ατόµων.
- 48. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 47 Μπορούµε να πούµε πως η κίνηση είναι τρόπος ύπαρξης της ύλης. ∆εν υπάρχει ύλη που να παραµένει ακίνητη στο σύµπαν. Έτσι: Η γη κάθε µέρα εκτελεί µια πλήρη περιστροφή γύρω από τον εαυτό της και κάθε χρόνο µια περιφορά γύρω από τον ήλιο. Ο ήλιος περιφέρεται γύρω από το κέντρο του γαλαξία µας. Τα δισεκατοµµύρια γαλαξίες του αχανούς σύµπαντος αποµακρύνονται µεταξύ τους και οι διαστάσεις του σύµπαντος αυξάνονται. Στο µικρόκοσµο συµβαίνουν κινήσεις που δεν µπορούµε να τις αντιληφθούµε άµεσα. Αντιλαµβανόµαστε όµως τα αποτελέσµατά τους. Όταν τα άτοµα και τα µόρια κινούνται περισσότερο έντονα, στα στερεά, στα υγρά ή στα αέρια, η θερµοκρασία των σωµάτων αυξάνεται. Όταν ηλεκτρόνια εκτελούν προσανατολισµένη κίνηση στα µέταλλα, δηµιουργείται το ηλεκτρικό ρεύµα. Όταν ηλεκτρόνια πάλλονται (ταλάντωση), στις κεραίες των ραδιοφωνικών σταθµών, παράγονται τα ραδιοφωνικά κύµατα. Μέσα σε κάθε άτοµο τα ηλεκτρόνια περιφέρονται γύρω από τον πυρήνα του . 2. Tι χρειαζόµαστε για να περιγράψουµε µια κίνηση όσο πολύπλοκη και να είναι; Για να περιγράψουµε την κίνηση ενός σώµατος µε ακρίβεια, πρέπει σε κάθε χρονική στιγµή να γνωρίζουµε πού βρίσκεται το σώµα. Για παράδειγµα, σε κάθε χρονική στιγµή πρέπει να γνωρίζουµε τη θέση του αυτοκινήτου ή της γης ή του δορυφόρου των, οποίων την κίνηση µελετάµε. Ο Γαλιλαίος µας δίδαξε ότι η περιγραφή της κίνησης µπορεί να γίνει σε µια ορισµένη γλώσσα η οποία περιέχει έννοιες όπως ο χώρος, ο χρόνος το σύστηµα αναφοράς η τροχιά και το σηµειακό αντικείµενο ή υλικό σηµείο. Η γλώσσα αυτή περιέχει επίσης και στοιχεία των µαθηµατικών.
- 49. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 48 Έτσι για να περιγράψουµε µια κίνηση χρειαζόµαστε έννοιες-φυσικά µεγέθη, όπως είναι: η θέση, η µετατόπιση, το χρονικό διάστηµα, η διανυσµατική ταχύτητα. Στη γλώσσα των µαθηµατικών τα παραπάνω φυσικά µεγέθη παριστάνονται µε σύµβολα και οι σχέσεις µεταξύ τους µε µαθηµατικές εξισώσεις. Επίσης χρησιµοποιούµε για την περιγραφή της κίνησης και τις γραφικές παραστάσεις που ονοµάζονται και διαγράµµατα, τα οποία αναπαριστούν πώς αυτά τα µεγέθη µεταβάλλονται π.χ µε το χρόνο. Το διπλανό διάγραµµα αναπαριστά µε οπτικό τρόπο τη µεταβολή της ταχύτητας του αυτοκινήτου µε το χρόνο. Εφοδιασµένοι µε τη γλώσσα της περιγραφής καταφεύγουµε στο πείραµα. 3. Ποιος κλάδος της φυσικής ονοµάζεται κινηµατική; Ο κλάδος της φυσικής που ασχολείται µε την περιγραφή της κίνησης αγνοώντας την αιτία που την προκαλεί ονοµάζεται κινηµατική. 4. Ποιά κίνηση ονοµάζεται ευθύγραµµη; Ευθύγραµµη κίνηση, ονοµάζεται η κίνηση που πραγµατοποιείται σε ευθεία γραµµή.
- 50. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 49 5. Τι ονοµάζουµε υλικό σηµείο (σηµειακό αντικείµενο); Ένα σώµα, ενώ έχει µάζα, µπορούµε να το θεωρήσουµε ως υλικό σηµείο αν οι διαστάσεις του είναι πολύ µικρότερες από τις άλλες διαστάσεις που χρησιµοποιούµε για την περιγραφή ενός φαινόµενου. Για παράδειγµα, όταν περιγράφουµε την κίνηση ενός δορυφόρου γύρω από τη Γη, τον αντιµετωπίζουµε ως ένα κινούµενο υλικό σηµείο που έχει µάζα (m), ίση µε τη µάζα του δορυφόρου. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Το υποθετικό αντικείµενο που έχει µάζα αλλά δεν έχει διαστάσεις ονοµάζεται υλικό σηµείο. ∆ηλαδή µπορούµε να πούµε ότι σηµειακό αντικείµενο (σωµάτιο) είναι η αναπαράσταση (µοντέλο) ενός αντικειµένου µε ένα σηµείο. Β=FK h
- 51. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 50 6. Πως καθορίζεται η θέση ενός κινητού πάνω σε ευθεία γραµµή; Η θέση καθορίζεται µ' έναν αριθµό (x) θετικό ή αρνητικό που δείχνει συγχρόνως δυο πράγµατα, α) την απόσταση και β) την φορά σε σχέση µε την αρχή δηλαδή την κατεύθυνση της θέσης. Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα, που βρίσκεται το αυτοκίνητο που φαίνεται στην εικόνα αρκεί να προσδιορίσουµε τη θέση του σηµείου Α. Γι' αυτό το λόγο στην εικόνα έχει τοποθετηθεί µια κλίµακα, για παράδειγµα µια µετροταινία. Την αρχή (O) που ονοµάζεται σηµείο αναφοράς την καθορίζουµε αυθαίρετα. Ο αριθµός (x) που µας δείχνει τη θέση ονοµάζεται συντεταγµένη (τετµηµένη) του σηµείου. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα το αυτοκίνητο βρίσκεται στο σηµείο Α µε τετµηµένη x1=-10m. Άρα ξέρουµε ότι αρχικά το αυτοκίνητο απέχει 10m από την αρχή (Ο) προς τα αριστερά. Όταν το αυτοκίνητο φτάσει στο σηµείο Β τότε λέµε ότι η θέση του είναι x2=15m, εννοώντας ότι απέχει από την αρχή (Ο) 15m προς τα δεξιά. Η επιλογή του 0 ως σηµείου αναφοράς δεν είναι η µοναδική δυνατή. 0 Ο x x 1 2 Α Β -10 10 15 Σηµείο αναφοράς
- 52. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 51 Στο παράδειγµα της εικόνας, θα µπορούσαµε να είχαµε διαλέξει ως σηµείο αναφοράς οποιοδήποτε άλλο σηµείο της κλίµακας. Αν διαλέξουµε άλλο σηµείο αναφοράς, θα µεταβληθεί και ο αριθµός που καθορίζει τη θέση του αυτοκινήτου. Έτσι η θέση ενός σώµατος καθορίζεται πάντα σε σχέση µε ένα σηµείο αναφοράς. Γενικά ένα πραγµατικό αντικείµενο (στερεό σώµα) µπορεί καθώς κινείται να περιστρέφεται ή να ταλαντώνεται. Η πιο απλή περίπτωση κίνησης είναι το σώµα να εκτελεί µόνο µεταφορική κίνηση (σωµάτιο). Βέβαια η κίνηση µπορεί να πραγµατοποιείται στο χώρο στο επίπεδο ή σε µια ευθεία. Στη µονοδιάστατη κίνηση δηλαδή την κίνηση που γίνεται πάνω σε µια ευθεία γραµµή, υπάρχουν όπως εύκολα µπορούµε να καταλάβουµε µόνο δυο δυνατές φορές για τη κίνηση του σώµατος η προς τα δεξιά και η προς τα αριστερά. Όµως το αριστερά και το δεξιά είναι ένας αυθαίρετος τρόπος για την περιγραφή της κίνησης αφού εξαρτώνται από τη θέση του παρατηρητή. Έτσι λοιπόν για την κίνηση στην ευθεία ορίζουµε ένα σηµείο (Ο), σαν αρχή και ονοµάζουµε την ευθεία από τη µια µεριά της θετική και από την άλλη αρνητική. Το σηµείο (Ο) ονοµάζεται σηµείο αναφοράς. Τότε όµως η θέση x ενός κινητού θα καθορίζεται µ’ έναν αριθµό θετικό ή αρνητικό που δείχνει συγχρόνως την απόσταση και τη φορά σε σχέση µε την αρχή. Ο αριθµός που µας δείχνει τη θέση ονοµάζεται συντεταγµένη (τετµηµένη) του σηµείου. Έτσι λοιπόν θέση ή αποµάκρυνση (x) σηµειακού αντικειµένου που βρίσκεται πάνω σε καθορισµένο άξονα, ονοµάζεται η τετµηµένη της θέσης του. 7. Πότε η θέση ενός αντικειµένου που κινείται στον άξονα των x είναι θετική και πότε αρνητική; Όταν το αντικείµενο βρίσκεται στο θετικό ηµιάξονα η θέση του είναι θετική ενώ όταν βρίσκεται στον αρνητικό ηµιάξονα η θέση του είναι αρνητική.
- 53. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 52 8. Ποια είναι η διαφορά µεταξύ απόστασης και θέσης ενός σώµατος που κινείται απάνω σε ευθεία γραµµή; Το αυτοκίνητο του σχήµατος λέµε ότι απέχει από την αρχή (Ο) διάστηµα ή απόσταση s=10m, ενώ λέµε ότι βρίσκεται στη θέση x=-10m ως προς το 0. Ο προσδιορισµός της απόστασης προϋποθέτει µόνο τη µέτρηση κάποιου µήκους και όχι την κατεύθυνση. Έτσι λέµε ότι η απόσταση (s) είναι µονόµετρο µέγεθος ενώ η θέση (x) είναι διανυσµατικό µέγεθος. Η απόσταση είναι µήκος και εποµένως προσδιορίζεται πλήρως από ένα θετικό αριθµό και µια µονάδα µέτρησης. To µέτρο (της απόστασης) (π.χ 10m) είναι ένας αριθµός που δηλώνει το αποτέλεσµα της σύγκρισης της συγκεκριµένης απόστασης µε τη µονάδα µέτρησης (εδώ το 1m). 9. Ποια µεγέθη ονοµάζονται µονόµετρα και ποια διανυσµατικά; Μονόµετρα ονοµάζονται τα φυσικά µεγέθη τα οποία προσδιορίζονται µόνο από έναν αριθµό (το µέτρο τους), που συνοδεύεται από τη µονάδα µέτρησής τους. Μονόµετρα µεγέθη είναι ο χρόνος (t), η µάζα (m), ο όγκος (V), η πυκνότητα (ρ) και η θερµοκρασία (T). ∆ιανυσµατικά ονοµάζονται τα φυσικά µεγέθη που για να καθοριστούν πλήρως εκτός από το µέτρο τους απαιτείται και η κατεύθυνσή τους (διεύθυνση και φορά). 0 Ο x Α Β -10 10 15 Σηµείο αναφοράς
- 54. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 53 ∆ιεύθυνση είναι η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διανυσµατικό µέγεθος και Φορά είναι ο προσανατολισµός του πάνω στην ευθεία. Ένα διανυσµατικό µέγεθος παριστάνεται µε ένα βέλος. Το µήκος του βέλους είναι ανάλογο µε το µέτρο του µεγέθους. Όσο πιο µεγάλο είναι το µέτρο τόσο µεγαλύτερο είναι και το µήκος του βέλους. ∆ιανυσµατικά µεγέθη είναι η θέση ( x r ) η µετατόπιση (∆ x r ), ταχύτητα ( υ r ), η επιτάχυνση ( α r ) η δύναµη ( F r ), η ορµή ( p r ) κ.λπ. 10. Τι ονοµάζουµε χρονική στιγµή και τι χρονικό διάστηµα; Η ένδειξη ενός ρολογιού ή χρονοµέτρου ονοµάζεται χρονική στιγµή και δεν έχει διάρκεια. Η χρονική στιγµή συµβολίζεται µε το γράµµα t και µας δείχνει πότε έγινε ένα φαινόµενο. Ισχύει ότι t≥0. ∆εν υπάρχει αρνητική χρονική στιγµή. Το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ δυο χρονικών στιγµών t1 και t2 συµβολίζεται µε ∆t και ισούται µε: ∆t=t2-t1. Το χρονικό διάστηµα µας δείχνει πόσο διαρκεί ένα φαινόµενο π.χ η κίνηση ενός αυτοκινήτου. Η χρονική διάρκεια (∆t) µιας κίνησης προκύπτει ως µεταβολή του χρόνου κατά την εξέλιξη της κίνησης και υπολογίζεται µε αφαίρεση της αρχικής t1 από την τελική χρονική στιγµή t2. Ισχύει t2>t1 και άρα είναι ∆t>0. Αν t2=t1 τότε µιλάµε για την ίδια χρονική στιγµή και άρα τότε η διάρκεια του φαινοµένου είναι ∆t=0. Τα σύµβολα t1 και t2 αναφέρονται σε συγκεκριµένες χρονικές στιγµές. Το ∆t είναι το χρονικό διάστηµα (χρόνος) στη διάρκεια του οποίου εξελίσσεται ένα φαινόµενο. * Η µεταβολή οποιουδήποτε φυσικού µεγέθους συµβολίζεται µε το κεφαλαίο ελληνικό γράµµα ∆.*
- 55. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 54 11. Τι ονοµάζεται µετατόπιση ενός σώµατος και πως καθορίζεται η µετατόπιση για κίνηση πάνω σε ευθεία; Η µεταβολή της θέσης ενός κινούµενου σώµατος ονοµάζεται µετατόπιση. Η µετατόπιση συµβολίζεται µε ∆x. H µετατόπιση καθορίζεται από την διαφορά της τελικής θέσης x2 µείον την αρχική θέση x1 δηλαδή, ∆x = x2 -x1. Όπου τα x1 και x2 παριστάνουν τις συντεταγµένες της αρχικής και τελικής θέσεως του κινητού, ενώ το x2-x1 την αλγεβρική τιµή της µετατόπισης. Για το διάνυσµα της µετατόπισης ∆ x r έχουµε: ∆x ρ =x ρ 2-x ρ 1 Η µετατόπιση ∆x ρ , όπως και η θέση x ρ , είναι ένα διανυσµατικό µέγεθος
- 56. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 55 12. Από τι εξαρτάται το πρόσηµο της µετατόπισης σε µια ευθύγραµµη κίνηση; Η µετατόπιση µπορεί να είναι θετική ή αρνητική και το πρόσηµό της εξαρτάται µόνο από τη φορά (κατεύθυνση) της κίνησης. ∆εν εξαρτάται από τη θέση που έγινε η µετατόπιση και ούτε από την αρχή της ευθείας των συντεταγµένων. Έτσι για τη διαδροµή του αυτοκινήτου από τη θέση Α µε x1=-3m στη θέση Β µε x2=-1m η µετατόπισή του είναι ∆x=x2-x1=-1-(-3)=+2m. Το θετικό πρόσηµο της µετατόπισης µας δείχνει τη φορά της κίνησης. Το αυτοκίνητο κινήθηκε προς το θετικό ηµιάξονα +x, εδώ προς τα δεξιά. Προσέξτε ότι ενώ η µετατόπιση έγινε στον αρνητικό ηµιάξονα –x (δηλαδή το αυτοκίνητο σε όλη τη διάρκεια της κίνησης από το Α στο Β έχει x<0), εντούτοις το πρόσηµό της µετατόπισης είναι (+) και εξαρτάται µόνο από τη φορά δηλαδή την κατεύθυνση της κίνησης. 0 Ο x ∆x x 1 2 Α Β -1 1 2 2 - 3 - 3
- 57. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 56 Στο παρακάτω σχήµα για τη διαδροµή του αυτοκινήτου από τη θέση Α µε x1=+3m στη θέση Β µε x2=+1m η µετατόπισή του είναι ∆x=x2-x1=1-(+3)=-2m. Το πρόσηµο της µετατόπισης µας δείχνει τη φορά της κίνησης. Το αυτοκίνητο κινήθηκε προς τον αρνητικό ηµιάξονα -x, εδώ προς τα αριστερά παρόλο που η µετατόπιση έγινε στο θετικό ηµιάξονα +x (δηλαδή το αυτοκίνητο σε όλη τη διάρκεια της κίνησης από το Α στο Β έχει x>0). 0 Ο x ∆x x 1 2 Α Β -1 1 2 2 - 3 - 3
- 58. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 57 13. Να δείξετε ότι η µετατόπιση ∆x είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σηµείου αναφοράς. Στο παρακάτω σχήµα αν επιλέξουµε σηµείο αναφοράς το δέντρο η θέση του αυτοκινήτου τη χρονική στιγµή t1 είναι x1=6m, ενώ τη χρονική στιγµή t2 είναι x2=4m. Άρα η µετατόπισή του είναι ∆x=x2-x1=4-6=-2m. 0 0 Ο Ο x t t t t x΄ x΄ ∆x ∆ ΄ x x x m) ( x m) ( 1 1 1 1 2 2 2 2 Α Α Β Β -1 1 1 2 2 2 - 3 - 3 4 5 6 3
- 59. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 58 Αν όµως επιλέξουµε σηµείο αναφοράς τον ανεµόµυλο η θέση του αυτοκινήτου τη χρονική στιγµή t1 είναι x1΄=3m, ενώ τη χρονική στιγµή t2 είναι x2΄=1m. Άρα η µετατόπισή του είναι ∆x=x2-x1=1-3=-2m. Η µετατόπιση και στις δυο περιπτώσεις είναι η ίδια και δεν εξαρτάται από την αρχή της ευθείας των συντεταγµένων, αλλά εξαρτάται µόνο από τη φορά δηλαδή την κατεύθυνση της κίνησης. 14. Τι ονοµάζουµε τροχιά ενός κινητού και πόσα είδη τροχιάς έχουµε; Όταν ένα υλικό σηµείο κινείται, αλλάζει θέση. Το σύνολο των διαδοχικών θέσεων από τις οποίες περνάει ένα κινούµενο σώµα βρίσκονται πάνω σε µια γραµµή. Η γραµµή αυτή ονοµάζεται τροχιά της κίνησης. Έτσι η συνεχής καµπύλη που προκύπτει αν ενώσουµε όλα τα διαδοχικά σηµεία από τα οποία περνάει το κινητό καθώς κινείται ονοµάζεται τροχιά του κινητού Σε µια ευθύγραµµη κίνηση η τροχιά του κινητού, είναι µια ευθεία γραµµή. Υπάρχουν όµως και άλλες πιο σύνθετες κινήσεις στις οποίες η τροχιά είναι καµπυλόγραµµη, κυκλική ή σπειροειδής. Προκειµένου να σχεδιάσουµε την τροχιά ενός κινητού, θα πρέπει να γνωρίζουµε τη θέση του κάθε χρονική στιγµή. Το µήκος της διαδροµής (µήκος της τροχιάς s) που κάνει η µέλισσα είναι διαφορετικό από την ευθύγραµµη απόσταση της αρχικής και τελικής της θέσης (µέτρο της µετατόπισης ∆x).
- 60. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 59 15. Ποια είναι η διαφορά µεταξύ διαστήµατος s και µετατόπισης ∆x; Πότε το µέτρο της µετατόπισης είναι ίσο µε το διάστηµα που διανύει το κινητό; Το διάστηµα ταυτίζεται µε το συνολικό µήκος της τροχιάς και είναι πάντα θετικός αριθµός. Ενώ η µετατόπιση είναι η διαφορά της τελικής θέσης x2 µείον την αρχική θέση x1 και παίρνει και θετικές και αρνητικές τιµές. Έτσι το διάστηµα είναι µονόµετρο µέγεθος και παίρνει πάντα θετικές τιµές ενώ η µετατόπιση είναι διανυσµατικό µέγεθος και παίρνει και θετικές και αρνητικές τιµές. Το διάστηµα που διανύει το κινητό είναι το ίδιο κατά µέτρο µε την µετατόπιση µόνο όταν η κατεύθυνση της κίνησης διατηρείται σταθερή. Στο παράδειγµα του σχήµατος το αυτοκίνητο ξεκινάει τη χρονική στιγµή t1 από τη θέση A, τη χρονική στιγµή t2 βρίσκεται στη θέση B και τη χρονική στιγµή t3 φτάνει στην τελική του θέση Γ. Τότε για την αρχική θέση Α έχουµε 0 Ο t t t ∆x x m) ( 1 3 2 Α Β Γ -1 1 2 2 - 3 - 3
- 61. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 60 xA=x1=3m και για την τελική του θέση Γ είναι xΓ=x2=1m. Άρα η µετατόπιση του αυτοκινήτου είναι ∆x=x2-x1=1-3=-2m. Όµως το µήκος της διαδροµής του είναι s=(AO)+(OB)+(BO)+(OΓ)=3+2+2+1=8m. Για τον υπολογισµό του διαστήµατος (µήκος της διαδροµής) δε λαβαίνουµε υπόψη µας τη φορά της κίνησης αλλά µόνο την απόσταση που κάθε φορά διανύει. Η απόσταση είναι µήκος και είναι πάντα θετικός αριθµός. Παρατηρήστε ακόµη πως για την διαδροµή ΑΟΒ, όπου η φορά της κίνησης δε µεταβάλλεται έχουµε s=(AO)+(OB)=3+2=5m και για τη µετατόπιση ∆x=x2-x1⇒ ∆x=-2-3=-5m, δηλαδή είναι κατά απόλυτη τιµή ίση µε το διάστηµα δηλαδή το µήκος της διαδροµής.
- 62. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 61 1) Σώµα κινείται από τη θέση x1=-15m στη θέση x2=8m, κατά µήκος του άξονα των x. Ποια είναι η µετατόπιση του κινητού; Από τι εξαρτάται το πρόσηµο της µετατόπισης; Λύση: Η µετατόπιση του σηµειακού αντικειµένου δίνεται από τη σχέση ∆x=x2-x1. Άρα στη συγκεκριµένη περίπτωση έχουµε ∆x=8-(-15)=8+15=23m. Η µετατόπιση ∆x µπορεί να είναι θετική ή αρνητική και το πρόσηµό της εξαρτάται µόνο από τη φορά της κίνησης του αντικειµένου. 2) Ένα σηµειακό αντικείµενο βρίσκεται στη θέση Α(-6cm) και µετατοπίζεται κατά α)∆x=+5cm και β)∆x=-5cm. Να βρείτε την τελική του θέση στις δυο περιπτώσεις. Λύση: α) Για τη µετατόπιση του σηµειακού αντικειµένου έχουµε ∆x=x2-x1. Τότε για την τελική θέση του αντικειµένου ισχύει x2=∆x+x1. Άρα x2=5+(-6)=5-6=-1m. β) Παρόµοια έχουµε, ∆x=x2-x1 και x2=∆x+x1. Άρα x2=-5+(-6)=-5-6=-11m.
- 63. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 62 3)Να σχεδιάσετε τις παρακάτω µετατοπίσεις στον άξονα x΄x. Α(-3m), Β(2m) Ο(0m), Γ(-3m) Λύση: α) Για τη µετατόπιση του σηµειακού αντικειµένου από τη θέση Α µε τετµηµένη x1=-3m στη θέση Β µε τετµηµένη x2=2m έχουµε ∆x=x2-x1. Άρα ∆x=2-(-3)=2+3=5m. Η µετατόπιση ∆x είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα. β) Παρόµοια έχουµε, ότι η µετατόπιση του σηµειακού αντικειµένου από τη θέση Ο µε τετµηµένη x1=0m στη θέση Γ µε τετµηµένη x2=-3m έχουµε ∆x=x2-x1. Άρα ∆x=-3-0=-3m και η µετατόπιση ∆x είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα. 0 Ο x ∆x x x m) ( 1 2 Α Β -1 1 2 2 - 3 - 3
- 64. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 63 4) Να υπολογιστεί το άθροισµα δυο µετατοπίσεων ∆x1=d1=3m και ∆x2=d2=4m αν η µεταξύ τους γωνία είναι: α) 00 , β) 1800 Λύση: α) Αν οι µετατοπίσεις σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία 00 τότε το σώµα µας (σηµειακό αντικείµενο), µετατοπίζεται κατά ∆x1=d1=3m προς το θετικό ηµιάξονα +x και στη συνέχεια µετατοπίζεται κατά ∆x2=d2=4m επίσης προς το θετικό ηµιάξονα +x. Τότε για τη συνολική µετατόπιση ∆x του σηµειακού αντικειµένου έχουµε ∆x= ∆x1+ ∆x2. Άρα ∆x=3+4=7m. β) Αν όµως η γωνία που σχηµατίζουν οι δυο µετατοπίσεις είναι 1800 ,τότε αν το σηµειακό αντικείµενο, µετατοπίζεται αρχικά κατά ∆x1=d1=3m προς το θετικό ηµιάξονα +x στη συνέχεια µετατοπίζεται κατά ∆x2=d2=4m προς τον αρνητικό ηµιάξονα -x. Τότε για τη συνολική µετατόπιση ∆x του σηµειακού αντικειµένου έχουµε ∆x= ∆x1- ∆x2. Άρα ∆x=3-4=-1m. ∆ηλαδή µετατοπίστηκε συνολικά κατά 1m προς τον αρνητικό ηµιάξονα -x. Αν όµως το σηµειακό αντικείµενο, µετατοπίζεται αρχικά κατά ∆x1=d1=3m προς αρνητικό ηµιάξονα -x και στη συνέχεια µετατοπίζεται κατά ∆x2=d2=4m προς τον το θετικό ηµιάξονα +x. Τότε για τη συνολική µετατόπιση ∆x του σηµειακού αντικειµένου έχουµε 0 Ο x =0 ∆x x x m) ( 1 2 Γ -1 1 2 2 - 3 - 3
- 65. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 64 d1 d2 d1 d2 ∆x= ∆x1- ∆x2. Άρα ∆x=-3+4=1m. ∆ηλαδή µετατοπίστηκε συνολικά κατά 1m προς το θετικό ηµιάξονα +x. 5) Να βρείτε τo άθροισµα d ρ = 1 d ρ + 2 d ρ των παρακάτω µετατοπίσεων µε µέτρα d1=20m και d2=15m. α) β) Λύση: α) Οι µετατοπίσεις σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία 00 . Τότε για τη συνολική µετατόπιση ∆x του σηµειακού αντικειµένου έχουµε ∆x= d1+ d2. Άρα ∆x=20+15=35m. β) Η γωνία που σχηµατίζουν οι δυο µετατοπίσεις είναι 1800 . Τότε για τη συνολική µετατόπιση ∆x του σηµειακού αντικειµένου έχουµε ∆x= d1- d2. Άρα ∆x=20-15=5m ή ∆x= d2- d1. Άρα ∆x=15-20=-5m.
- 66. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 65 6)Τη στιγµή που ξεκινά ένας αθλητής να τρέχει το ρολόι του δείχνει 9h 5min 20sec ενώ τη στιγµή που τερµατίζει δείχνει 10h 12min 15sec. Πόσο είναι το ρεκόρ του αθλητή; Λύση: Η αρχική χρονική στιγµή (ένδειξη του ρολογιού) είναι t1=9h 5min 20sec, ενώ η τελική χρονική στιγµή είναι t2=10h 12min 15sec=10h 11min 75sec. Άρα η χρονική διάρκεια της κίνησης του αθλητή (ρεκόρ του αθλητή) είναι ∆t=t2-t1. Τότε µε αφαίρεση έχουµε ∆t= 1h 6min 55sec.
- 67. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 66 1) Να επινοήσετε κάποιο σύστηµα αναφοράς µέσα στην τάξη και να καθορίσετε µε βάση το σύστηµα αυτό τη θέση δύο µαθητών. 2) Η απάντηση στο ερώτηµα «πού βρίσκεται ένα αντικείµενο ή µια τοποθεσία;» εξαρτάται από το σύστηµα αναφοράς που θα επιλέξουµε. Να επιβεβαιώσετε ή να απορρίψετε τον παραπάνω ισχυρισµό. 3)Να καθορίσετε τη θέση του σώµατος Β που φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. 4)Να βρείτε τη θέση των σωµάτων Α,Β,Γ που βρίσκονται πάνω στον άξονα xοx΄ (σύστηµα αναφοράς). x m) ( Α Γ Β m 1 3m 0 x m) ( x΄ Α Β Γ -3 3 6 6 - 9 - 9
- 68. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 67 5)Σώµα κινείται από τη θέση x1=-5m στη θέση x2=2m, κατά µήκος του άξονα των x. Ποια είναι η µετατόπιση του κινητού; Από τι εξαρτάται το πρόσηµο της µετατόπισης; 6)Ένα σηµειακό αντικείµενο βρίσκεται πάνω στον άξονα x΄x στη θέση Α(-4cm) και µετατοπίζεται στη θέση Β(6cm). Να βρείτε τη µετατόπισή του. 7)Να βρείτε τη µετατόπιση ενός σηµειακού αντικειµένου από τη θέση Α(-3m) στη θέση Β(-1m) και από τη θέση Γ(1m) στη θέση ∆(3m). Να συγκρίνετε τις δυο µετατοπίσεις. 8)Ένα σηµειακό αντικείµενο βρίσκεται στη θέση Α(-5cm) και µετατοπίζεται κατά α)∆x=7cm και β)∆x=-7cm. Να βρείτε την τελική του θέση στις δυο περιπτώσεις. 9) Ένα σηµειακό αντικείµενο βρίσκεται πάνω στον άξονα x΄x και στη θέση Α (-2cm). Το αντικείµενο ξεκινά τη χρονική στιγµή to = 3s, µετατοπίζεται κατά ∆x = 5cm σε χρονικό διάστηµα 5s και φθάνει στη θέση Β όπου παραµένει ακίνητο για χρονικό διάστηµα 2s. Στη συνέχεια επιστρέφει στη θέση Α κινούµενο για χρονικό διάστηµα 10s. Να βρείτε: α) Τη συντεταγµένη της θέσης Β του αντικειµένου. β) Τις χρονικές στιγµές κατά τις οποίες το αντικείµενο βρισκόταν στη θέση Α κατά τη διάρκεια της κίνησής του. 10) Ένας δροµέας των 100m ξεκινά από την αφετηρία τη χρονική στιγµή t = 0. Όταν περνάει από τις θέσεις 50m, 70m και 100m (τέρµα) το χρονόµετρο δείχνει αντίστοιχα 5,8s, 7,2s και 10,1s. Να βρείτε τα χρονικά διαστήµατα που χρειάστηκε για να διανύσει τις διαδροµές από 50m ως 70m και από 70m ως 100m. 11) Σε ποια θέση, πάνω στον άξονα xx΄ πρέπει να βρίσκεται ένας πεζοπόρος ώστε να απέχει.
- 69. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 68 α) 50m από το δένδρο β) 300m από το δένδρο γ) 45m από τον ανεµόµυλο. 12) Τη στιγµή που ξεκινά ένας Μαραθωνοδρόµος, το χρονόµετρο δείχνει 1h 10min 40s, ενώ τη στιγµή του τερµατισµού το χρονόµετρο δείχνει 3h 56min 00s. Να βρείτε την επίδοση του Μαραθωνοδρόµου. 13) Στον παρακάτω πίνακα ποιες µετατοπίσεις είναι ίσες; x1(m) x2(m) 1 5 8 2 7 -2 3 -5 -2 4 15 12 5 0 2 6 -5 -8 7 -5 0 0 x m) ( 200 x΄
- 70. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 69 14)Όταν λέµε ότι απέχουµε 5m από το φίλο µας που βρίσκεται ακίνητος στην αυλή του σχολείου µας τότε η θέση µας είναι πλήρως καθορισµένη; 15)Η θέση ενός σηµειακού αντικειµένου στο επίπεδο είναι Α(2cm, 4cm). Το αντικείµενο µετατοπίζεται αρχικά κατά -2 cm στον άξονα χ και στη συνέχεια κατά 6cm στον άξονα y. Να βρείτε τις συντεταγµένες της τελικής του θέσης. 16)Να υπολογιστεί το άθροισµα δυο µετατοπίσεων d1=6m και d2=8m αν η µεταξύ τους γωνία είναι: α) 00 , β) 1800 17)Ένας άνθρωπος περπατά ακολουθώντας την παρακάτω διαδροµή: 3m βόρεια, στη συνέχεια 4m δυτικά και τέλος 6m νότια. Πόσο θα απέχει τελικά από τη θέση που ξεκίνησε; 18)Θεωρείστε τις µετατοπίσεις d1=3m και d2=4m. ∆είξτε πως µπορούν αυτές να συνδυαστούν για να µας δώσουν συνισταµένη α)7m β)1m 19)Τι υπονοείται όταν ακούγεται στο ραδιόφωνο: Ώρα Ελλάδος 22:00 20)Ένας δροµέας των 400m ξεκινά από την αφετηρία τη χρονική στιγµή t=0. Όταν περνά από τις θέσεις 50m, 150m 200m και400m το χρονόµετρο δείχνει 6sec, 20sec, 28sec και 62sec αντίστοιχα. Να βρείτε τα χρονικά διαστήµατα που χρειάστηκε για να διανύσει τις διαδροµές από 50-150m και από 200- 400m. 21)Τη στιγµή που ξεκινά ένας αθλητής να τρέχει το ρολόϊ του δείχνει 10h 10min 20sec ενώ τη στιγµή που τερµατίζει δείχνει 12h 15min 15sec. Πόσο είναι το ρεκόρ του αθλητή; 22) Ένα σηµειακό αντικείµενο βρίσκεται πάνω στον άξονα x΄x και στη θέση Α (-10cm). Το αντικείµενο ξεκινά τη χρονική στιγµή to = 5s, µετατοπίζεται κατά ∆x = 20cm σε χρονικό διάστηµα 4s και φθάνει στη θέση Β όπου παραµένει ακίνητο για χρονικό διάστηµα 8s. Στη συνέχεια επιστρέφει στη θέση Α κινούµενο για χρονικό διάστηµα 7s. Να βρείτε:
- 71. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 70 α) Τη συντεταγµένη της θέσης Β του αντικειµένου. β) Τις χρονικές στιγµές κατά τις οποίες το αντικείµενο βρισκόταν στη θέση Α κατά τη διάρκεια της κίνησής του.
- 72. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 71 1) Ευθύγραµµες είναι οι κινήσεις που πραγµατοποιούνται σε ευθείες γραµµές. ( ) 2) Η θέση ενός σώµατος καθορίζεται σε σχέση µε ένα σηµείο αναφοράς. Η επιλογή του σηµείου αναφοράς είναι αυστηρά καθορισµένη και είναι µια και µοναδική θέση πάνω στον άξονα κίνησης. ( ) 3) Η κίνηση είναι έννοια σχετική, δηλαδή αναφέρεται ως προς ένα σηµείο ή σώµα το οποίο θεωρείται ακίνητο. ( ) 4) Η χρονική διάρκεια ∆t ενός φαινοµένου υπολογίζεται από τη σχέση ∆t=t2-t1 και µπορεί να πάρει και αρνητικές τιµές. ( ) 5)Για να καθορίσουµε τη θέση ενός αντικειµένου Σε µια ευθεία χρειαζόµαστε έναν αριθµό, στο επίπεδο δυο αριθµούς και στο χώρο τέσσερις αριθµούς ( ) 6)Το πρόσηµο της µετατόπισης ενός σηµειακού αντικειµένου εξαρτάται από τη φορά κίνησης. ( ) 7) ∆υο µετατοπίσεις είναι ίσες όταν έχουν το ίδιο µέτρο αλλά και την ίδια φορά (κατεύθυνση). ( ) 8)Η θέση ενός αντικειµένου στον αρνητικό ηµιάξονα είναι πάντα αρνητικός αριθµός. ( ) 9)Το χρονόµετρο των αθλητών µετράει χρονικές στιγµές ( )
- 73. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 72 10)Ο προσδιορισµός της θέσης ενός αεροπλάνου χρειάζεται έναν αριθµό. ( ) 11)Όταν µας ρωτούν πότε έγινε ένα γεγονός µας ζητούν χρονική διάρκεια. ( ) 12)Όταν µας ρωτούν πόσο διαρκεί ένα φαινόµενο µας ζητούν να προσδιορίσουµε τις συντεταγµένες της αρχικής και τελικής του θέσης. ( ) 13)Η χρονική διάρκεια συµβολίζεται σαν ∆t=t2-t1. ( ) 1)Υλικό σηµείο είναι το υποθετικό σώµα, α) που έχει διαστάσεις αλλά δεν έχει µάζα, β) που έχει µάζα αλλά δεν έχει διαστάσεις, γ) που οι διαστάσεις του είναι πολύ µεγαλύτερες από τις άλλες διαστάσεις που χρησιµοποιούµε για την περιγραφή ενός φαινόµενου, δ) που προσεγγίζουµε µε ένα στερεό. 2) Η απόσταση από το σηµείο αναφοράς για ένα κινητό, α) είναι µήκος και εποµένως προσδιορίζεται πλήρως από ένα θετικό αριθµό και µια µονάδα µέτρησης. β) είναι διανυσµατικό µέγεθος και εξαρτάται από την κατεύθυνση της κίνησης, γ) είναι ένας αριθµός θετικός ή αρνητικός που δηλώνει το αποτέλεσµα της σύγκρισης της µε τη µονάδα µέτρησης της, δ) ταυτίζεται κάθε χρονική στιγµή µε τη θέση του κινητού. 3) Ένα σώµα κινείται όταν, α) αλλάζει θέση ως προς οποιοδήποτε άλλο σώµα, β) µετατοπίζεται, γ) όλα τα υπόλοιπα είναι ακίνητα, δ) αλλάζει θέση, σε σχέση µε ένα σηµείο αναφοράς.
- 74. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 73 4) Η µετατόπιση , α) όπως και η θέση , είναι ένα διανυσµατικό µέγεθος, β) είναι ένα µονόµετρο µέγεθος, γ) είναι ένα διανυσµατικό µέγεθος, ενώ η θέση x είναι µονόµετρο µέγεθος, δ) δίνεται από τη σχέση: =x2-x1. 5)Ένα σηµειακό αντικείµενο που κινείται σε ευθεία έχει αρχική συντεταγµένη –5cm. Αν η µετατοπιστεί κατά –6cm η τελική του θέση θα έχει συντεταγµένη: α)-6cm β)11cm γ)-11cm δ)Τα στοιχεία είναι ελλιπή. 6)Ένα κινητό έχει αρχική θέση x0=2m και µετατοπίζεται αρχικά κατά ∆x1=-5m και στη συνέχεια κατά ∆x2=6m. Η τελική του συντεταγµένη είναι: α)-1m β)1m γ)3m δ)τίποτα από τα παραπάνω 7)Το πρόσηµο της µετατόπισης ενός αντικειµένου σε ευθεία γραµµή εξαρτάται: α)Από την αρχή του συστήµατος συντεταγµένων β)Από τον ηµιάξονα στον οποίο γίνεται η µετατόπιση γ)Από τη φορά κίνησης του αντικειµένου δ)Όλα τα παραπάνω. 8)Το χρονόµετρο απαντάει στην ερώτηση: α)Πότε β)Που γ)Πόσο διαρκεί δ)Πόσο µήκος έχει 9)Η φράση «Η θέση ενός σηµειακού αντικειµένου είναι αρνητική» σηµαίνει ότι: α)Το αντικείµενο κινείται προς τον αρνητικό ηµιάξονα β) Το αντικείµενο βρίσκεται στον αρνητικό ηµιάξονα γ) Το αντικείµενο κινείται προς τον θετικό ηµιάξονα
- 75. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 74 δ)Τίποτα από τα παραπάνω. 10) Με ποια από τις παρακάτω προτάσεις συµφωνείτε: α) Κάθε ευθεία ονοµάζεται προσανατολισµένη. β) Αν σε µια ευθεία θεωρήσουµε αυθαίρετα τη µια από τις δύο κατευθύνσεις σαν θετική, τότε η ευθεία αυτή ονοµάζεται προσανατολισµένη. γ) ∆ε µπορεί ποτέ µια ευθεία να είναι προσανατολισµένη. 11) Ένα σηµειακό αντικείµενο που κινείται σε ευθεία, έχει συντεταγµένη 2cm. Αν αυτό µετατοπιστεί κατά 6cm, η τελική του συντεταγµένη (σε cm) θα είναι: α) 6 γ) 4 β) 8 δ) τα στοιχεία είναι ελλιπή 12) Ένα κινητό που κινείται σε έναν άξονα µε αρχική συντεταγµένη 3cm µετατοπίζεται κατά 10cm και µετά κατά - 24cm. Η τελική του συντεταγµένη σε cm είναι: α) - 11 γ) - 14 β) 27 δ) τίποτα από τα παραπάνω 1) Για να καθορίσουµε τη θέση ενός αυτοκινήτου πάνω στον ευθύ δρόµο, πρέπει, εκτός από την απόσταση, να δηλώσουµε αν βρίσκεται δεξιά ή αριστερά του σηµείου αναφοράς. ∆ηλαδή, πρέπει να προσδιορίσουµε και την ………………………της θέσης. 2) Φυσικά µεγέθη όπως ο χρόνος, τα οποία προσδιορίζονται µόνο από έναν αριθµό (το µέτρο τους), ονοµάζονται………………………… Τέτοια µεγέθη είναι ακόµη ο………….., η ………………………..και η………………………. Αντίθετα, ο προσδιορισµός της θέσης, εκτός από το µέτρο, απαιτεί και την………………………. Ένα τέτοιο µέγεθος ονοµάζεται……………………………. Ένα ……………………….µέγεθος παριστάνεται µε ένα βέλος.
- 76. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 75 3) Συνήθως, όταν µελετούµε την κίνηση των σωµάτων στο γήινο περιβάλλον µας, θεωρούµε ότι η ………………..είναι ακίνητη. 4) Το σύνολο των διαδοχικών θέσεων από τις οποίες περνάει ένα κινούµενο σώµα βρίσκονται πάνω σε µια γραµµή, που ονοµάζεται ………………της κίνησης. 5) Σε µια ευθύγραµµη κίνηση η τροχιά του κινητού, είναι µια ………………… γραµµή. Υπάρχουν όµως και άλλες πιο σύνθετες κινήσεις στις οποίες η τροχιά είναι καµπυλόγραµµη, ………………… ή………………….. 6)Για την κίνηση σηµειακού αντικειµένου πάνω σε µια ευθεία το x είναι …………………. αν το αντικείµενο βρίσκεται σε σηµείο του αρνητικού ηµιάξονα. 7)Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα …………… πρέπει να προσδιορίσουµε µια χρονική στιγµή ενώ για να απαντήσουµε στο ερώτηµα ………… ……………….πρέπει να µετρήσουµε µια χρονική διάρκεια. 8) Η απάντηση στο ερώτηµα “πόσο απέχουν δύο σηµεία;” δίνεται από το µέγεθος .................................... . Για να µετρήσουµε ένα φυσικό µέγεθος το συγκρίνουµε µε τη ............................ µέτρησης.
- 77. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 76 9) Η αρχική θέση ενός κινητού που κινείται σε άξονα έχει συντεταγµένη 4cm. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Μετατόπιση 8cm - 2cm - 6cm Τελική συντεταγµένη 0cm 9cm
- 78. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 77 2.2 Η έννοια της ταχύτητας 1. Τι ονοµάζεται µέση ταχύτητα στην καθηµερινή γλώσσα; Ορίζουµε ως µέση ταχύτητα ενός σώµατος, το πηλίκο του µήκους της διαδροµής που διήνυσε ένα κινητό σε ορισµένο χρόνο (χρονικό διάστηµα) προς το χρόνο αυτό. ∆ηλαδή ισχύει: µέση ταχύτητα = διάστηµα ό χρονικ διαδροµής της κος ή µ ή υµ = t ∆ s . Για το ∆t ισχύει ότι ∆t=t-t0. Αν ως αρχή µέτρησης των χρόνων θεωρήσουµε τη χρονική στιγµή t0=0 s τότε ισχύει ότι ∆t=t. Για ∆t=t έχουµε υµ= t s . Η παραπάνω ταχύτητα ονοµάζεται µέση αριθµητική ταχύτητα είναι µονόµετρο µέγεθος και είναι πάντα θετική. 2. Ποια είναι η µονάδα µέτρησης της ταχύτητας στο ∆ιεθνές Σύστηµα µονάδων; Ποιες άλλες µονάδες µέτρησης της ταχύτητας γνωρίζετε; Η ταχύτητα είναι παράγωγο µέγεθος και η µονάδα µέτρησής της στο S.I όπως προκύπτει από τη σχέση υµ= t s είναι το 1m/s, δηλαδή το ένα µέτρο ανά δευτερόλεπτο. Όµως και κάθε συνδυασµός µονάδων µήκους και χρόνου µπορεί να επιλεγεί ως µονάδα µέτρησης της µέσης ταχύτητας. Έτσι: το χιλιόµετρο ανά ώρα (km/h) ή το µίλι ανά ώρα (mi/h) ή και το εκατοστό ανά ώρα (ταχύτητα σαλιγκαριού) (cm/h) κτλ. µπορούν να χρησιµοποιηθούν ως µονάδες ταχύτητας. Παρατήρηση: Για το 1Km/h ισχύει ότι 1Km/h= 1000 m 3600 s = 1 3,6 m/s. ∆ηλαδή αν θέλουµε να µετατρέψουµε µια ταχύτητα που είναι εκφρασµένη σε Km/h σε m/s τότε θα
- 79. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 78 πρέπει να διαιρέσουµε την τιµή της ταχύτητας που µας δίνουν µε το 3,6. Έτσι τα 108 Km/h είναι 108 3,6 =30m/s. Παρόµοια 1m/s = 1 Km 1000 1 h 3600 = 3600 Km 1000 h =3,6 Km/h. Άρα το 1m/s είναι µεγαλύτερη µονάδα ταχύτητας από ότι το 1 Km/h. 3. Τι σηµαίνει η έκφραση µέση ταχύτητα ίση µε 90Km/h; Πότε ένα κινούµενο σώµα έχει µεγαλύτερη µέση ταχύτητα από ένα άλλο; Αν διανύσουµε για παράδειγµα µ' ένα αυτοκίνητο 90 χιλιόµετρα σε µια ώρα, τότε λέµε ότι η µέση ταχύτητα του οχήµατος είναι 90 χιλιόµετρα την (ανά) ώρα και γράφουµε 90 km/h. Ένα κινούµενο σώµα έχει µεγαλύτερη µέση ταχύτητα από ένα άλλο, όταν διανύει την ίδια απόσταση σε µικρότερο χρόνο ή όταν στον ίδιο χρόνο διανύει µεγαλύτερη απόσταση. 4. Ένα σώµα που κινείται, έχει πάντοτε την ίδια ταχύτητα; Ένα σώµα που κινείται δεν έχει πάντοτε την ίδια ταχύτητα. Για παράδειγµα, ένα αυτοκίνητο κινείται σε µια λεωφόρο µε ταχύτητα 50 km/h. Όταν το αυτοκίνητο σταµατά στο κόκκινο φανάρι, η ταχύτητά του µηδενίζεται. Στη συνέχεια όταν αρχίζει να κινείται πάλι, εξαιτίας της έντονης κυκλοφορίας, φθάνει σταδιακά µόνο τα 30 km/h.
- 80. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 79 5. Πως ορίζεται η στιγµιαία ταχύτητα ενός σώµατος; Στιγµιαία ταχύτητα είναι η ταχύτητα του κινητού µια ορισµένη χρονική στιγµή. Η ένδειξη του ταχύµετρου του αυτοκινήτου είναι η στιγµιαία ταχύτητά του. Η µονάδα µέτρησης της στιγµιαίας ταχύτητας (όπως και της µέσης ταχύτητας) στο SI είναι 1m/s. 6. Η στιγµιαία ταχύτητα και η µέση ταχύτητα σε µια κίνηση έχουν την ίδια τιµή (ταυτίζονται); Στις περισσότερες κινήσεις, η στιγµιαία ταχύτητα δε διατηρείται σταθερή, έτσι γενικά είναι διαφορετική από τη µέση ταχύτητα η οποία έχει µια σταθερή τιµή. Μόνο στην περίπτωση που το κινητό κινείται µε σταθερή ταχύτητα, τότε η µέση και η στιγµιαία ταχύτητα του ταυτίζονται. Όµως όταν ένας οδηγός σχεδιάζει ένα ταξίδι µε αυτοκίνητο, ενδιαφέρεται για το συνολικό χρονικό διάστηµα που απαιτείται για να διανύσει τη συνολική διαδροµή που αντιστοιχεί στο ταξίδι. Ενδιαφέρεται, λοιπόν για τη µέση ταχύτητα που µπορεί να αναπτύξει στη διάρκεια όλου του ταξιδιού. Η µέση ταχύτητα, επειδή αναφέρεται στη συνολική διαδροµή, δε δίνει πληροφορίες για τις µεταβολές της στιγµιαίας ταχύτητας, στη διάρκεια της διαδροµής. ∆ιανυσµατική περιγραφή της ταχύτητας ( η έννοια της ταχύτητας στη Φυσική). 3. Πως ορίζεται η µέση διανυσµατική ταχύτητα ενός σώµατος; Είναι µονόµετρο ή διανυσµατικό µέγεθος; Από τι εξαρτάται το πρόσηµό της;
- 81. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 80 Η µέση διανυσµατική ταχύτητα στη Φυσική ορίζεται ως το πηλίκο της µετατόπισης του κινητού προς το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα. ∆ιανυσµατική µέση ταχύτητα = διάστηµα ό χρονικ πιση ό µετατ ή συµβολικά υ ρ = t ∆ x ∆ ρ ή για το µέτρο της ισχύει υ= ∆x ∆t . όπου = - και είναι η τελική θέση του κινητού και η αρχική του θέση. Ακόµη έχουµε ∆t=tτ - tα µε tτ και tα οι αντίστοιχες χρονικές στιγµές. Προσέξτε ότι: η διανυσµατική µέση ταχύτητα ορίζεται όχι µε βάση το µήκος της διαδροµής (s) που διανύει ένα κινητό και που είναι µονόµετρο µέγεθος, αλλά µε βάση τη µετατόπισή του ( ) που είναι διανυσµατικό µέγεθος. Η µέση διανυσµατική ταχύτητα είναι διανυσµατικό µέγεθος. Η κατεύθυνσή της συµπίπτει µε την κατεύθυνση της µετατόπισης. Από τον ορισµό της προκύπτει ότι οι µονάδες µέτρησης της µέσης διανυσµατικής ταχύτητας είναι ίδιες µε τις µονάδες της µέσης αριθµητικής ταχύτητας. Έτσι στο S.I η µονάδα µέτρησης της µέσης διανυσµατικής ταχύτητας είναι το 1m/s. Για να παραστήσουµε µε συµβολικό τρόπο τη διανυσµατική ταχύτητα ενός σώµατος, µπορούµε να χρησιµοποιούµε ένα βέλος που έχει µήκος ανάλογο του µέτρου της ταχύτητας και φορά που δείχνει τη φορά της κίνησης. Το πρόσηµο της ταχύτητας εξαρτάται από το πρόσηµο της µετατόπισης αφού το ∆t είναι πάντα θετικό. Στην ευθύγραµµη κίνηση έστω πάνω στον άξονα x΄οx, η φορά της ταχύτητας προσδιορίζεται από το πρόσηµό της. Αν η µετατόπιση είναι θετική τότε και η ταχύτητα είναι θετική (+) και το σώµα κινείται προς το θετικό
- 82. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 81 ηµιάξονα +x. Αν όµως η µετατόπιση είναι αρνητική τότε και η ταχύτητα είναι αρνητική (-), και το σώµα κινείται προς τον αρνητικό ηµιάξονα -x. 4. Πως ορίζεται η στιγµιαία διανυσµατική ταχύτητα ενός σώµατος; Η διανυσµατική ταχύτητα που έχει ένα κινούµενο σώµα µια συγκεκριµένη χρονική στιγµή ονοµάζεται στιγµιαία ταχύτητα. Για τον καθορισµό της διανυσµατικής ταχύτητας ενός αεροπλάνου, πλοίου ή αυτοκινήτου και γενικά ενός σώµατος που κινείται, εκτός από το ταχύµετρο που µας δείχνει το µέτρο της, χρειαζόµαστε και µια πυξίδα, µε τη βοήθεια της οποίας µπορούµε να προσδιορίσουµε την κατεύθυνσή της. Η στιγµιαία ταχύτητα παραµένει σταθερή όταν παραµένει σταθερό και το µέτρο της αλλά και η κατεύθυνσή της. Αν µεταβληθεί είτε το µέτρο της ταχύτητας είτε η κατεύθυνσή της, είτε και τα δυο µαζί τότε λέµε ότι η ταχύτητα του σώµατος µεταβλήθηκε. Στη Φυσική µε τον όρο «ταχύτητα» εννοούµε τη στιγµιαία ταχύτητα και µε τον όρο «µέση ταχύτητα» τη µέση διανυσµατική ταχύτητα.
- 83. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 82 1) i)Πόσα m/sec είναι τα 108 Km/h; ii) Πόσα Km/h είναι τα 20 m/sec; Λύση: i. 108 h km = 108 3600 1000 sec m = 3,6 108 sec m = 30 m/s ii. 20 sec m = 20 3600 1 1000 1 h km = 20 1000 3600 h km = 20 . 3,6 h km = 72 km/h. ∆ηλαδή για να µετατρέψουµε τα km/h σε m/s διαιρούµαι µε το 3,6 ενώ για να µετατρέψουµε τα m/s σε km/h πολλαπλασιάζουµε µε το 3,6. 2)Η απόσταση του γαλαξία Ανδροµέδα από τη γη είναι s=2.1019 Km. Πόσο χρόνο χρειάζεται το φώς για να φτάσει από τον γαλαξία στη γη; Θεωρείστε την ταχύτητα του φωτός ίση µε υ=3.108 m/s. Λύση: Επειδή η ταχύτητα του φωτός είναι σταθερή και για το κενό έχει τη µέγιστη τιµή υ= c = 3.108 m/s θα έχουµε: υ= t s ⇒ t = υ s ⇒ t = 8 3 19 3.10 .10 2.10 ⇒ t = 3 2 ⋅1014 s.
- 84. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 83 3) Ένα όχηµα κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο και µετατοπίζεται κατά ∆x1= 3600 m σε χρόνο ∆t1=3min και κατά ∆x2= -600 m σε χρόνο ∆t2=2min. α) Ποια είναι η µέση ταχύτητα του κινητού; β) Ποια είναι η µέση διανυσµατική του ταχύτητα; Λύση: α)Για τα πρώτα 3 min έχουµε ∆x1 = 3600 m άρα και s1 = 3600 m όπου ∆x1 η µετατόπιση του κινητού και s1 το διάστηµα που διάνυσε. Για τα επόµενα 2 min έχουµε ∆x2 =- 600 m και s2=600m αφού στο διάστηµα δεν λαµβάνουµε υπόψη µας τη φορά της κίνησης δηλαδή το πρόσηµο. Έτσι έχουµε ∆xολ=∆x1+∆x2=3600-600=3000 m και s=s1+s2=3600+600=4200 m. Ακόµη είναι ∆t=∆t1+∆t2=5min=5⋅60=300s. Για τη µέση ταχύτητα έχουµε υµ = s ∆t = 300 4200 = 14 m/s. β) Για τη µέση διανυσµατική ταχύτητα έχουµε : υ= ∆x ∆t ⇒ υ= 300 3000 ⇒ ⇒υ = 10 m/s. 4)α)Ένα κινητό κινείται µε σταθερή ταχύτητα από τη θέση Α µε x0=-3m στη θέση Β µε x=3m σε χρόνο ∆t=0,2sec. Ποια είναι η µέση ταχύτητα του κινητού; β) Στη θέση Β το κινητό παραµένει άλλα 0,2sec και στη συνέχεια κινείται και επιστρέφει στη θέση x2=1m σε χρόνο ∆t΄=0,4sec Ποια είναι η συνολική µέση διανυσµατική ταχύτητα του κινητού στη διάρκεια της κίνησής του; Λύση: α) Για την µέση ταχύτητα του κινητού έχουµε : υµ = t s . Στη µέση (αριθµητική) ταχύτητα µας ενδιαφέρει το συνολικό διάστηµα που διήνυσε το κινητό. Έτσι ξεκινώντας το κινητό από τη θέση xο = -3 m και φτάνοντας στη θέση x = 3m, έχει διανύσει διάστηµα s = 6 m. Άρα έχουµε υµ = t s = 0,2 6 =30 m/s.
- 85. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 84 Προσέξτε ότι εδώ και για το µέτρο της µέσης διανυσµατικής ταχύτητας του κινητού έχουµε: υ = ∆x ∆t = ∆t x x 0 − = 0,2 3) ( 3 − − = 0,2 6 = 30 m/s. β) Για την µέση διανυσµατική ταχύτητα του κινητού έχουµε υ ρ = t ∆ x ∆ ρ . Τότε το µέτρο της είναι υ= ∆x ∆t = ολ ολ ∆t ∆x = ολ 0 2 ∆t x x − = 0,8 3) ( 1 − − = 0,8 4 ⇒ υ = 5m/s. Όπου ∆tολ = 0,2 + 0,2 +0,4 = 0,8 sec. Για την µέση αριθµητική ταχύτητα του κινητού έχουµε υµ = ολ ολ t s = 0,8 8 ⇒ ⇒ υ =10 m/s. Προσέξετε, ότι στη µέση αριθµητική ταχύτητα µας ενδιαφέρει το συνολικό διάστηµα που διήνυσε το κινητό. Έτσι ξεκινώντας το κινητό από τη θέση xο = -3 m και φτάνοντας στη θέση x = 3m έχει διανύσει s1 = 6 m . Ακόµη από τη θέση x =3 m έως x2 = 1m κινείται άλλα 2 m δηλ. s2 = 2m. Τελικά sολ = 6 + 2 = 8 m. 5) Μαθητής ξεκινάει από το σπίτι του για το Σχολείο που απέχει απόσταση s=0,96Km απ' αυτό. Ο χρόνος που χρειάστηκε για να φτάσει εκεί ήταν ∆t1=8min. Στο Σχολείο παρέµεινε για χρόνο ∆t2=12min και στη συνέχεια επειδή θυµήθηκε πως ξέχασε τις φόρµες του επέστρεψε πίσω στο σπίτι του σε ∆t3=4min. α) Πόση είναι η µέση ταχύτητα του µαθητή για να φτάσει στο Σχολείο του; β) Πόση είναι η µέση ταχύτητα για ∆t=18min από τη στιγµή που ξεκίνησε να πάει στο Σχολείο του; γ) Με πόση ταχύτητα επέστρεψε σπίτι του; δ) Πόση είναι η µέση διανυσµατική ταχύτητα του µαθητή για ∆t=24min; Λύση: α) Η µέση ταχύτητα του µαθητή για να φτάσει στο σχολείο του είναι
- 86. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 85 υµ = 1 ∆t s ⇒ υµ = 960 8 60 ⋅ ⇒ υµ = 960 480 =2 m/s. β) Μετά από χρόνο ∆t = 18 min , ο µαθητής έχει φτάσει στο σχολείο µια και χρειάστηκε χρόνο ∆t1 = 8 min και παρέµεινε σ’ αυτό για τα υπόλοιπα 10 min από τα συνολικά ∆t2 = 12 min που µας λέει η εκφώνηση. Έτσι στα 10 min δεν έχουµε επιπλέον µετατόπιση, που σηµαίνει ότι για το συνολικό χρόνο ∆tολ = ∆t = 18 min , έχουµε s = 960 m . Άρα υµ = s ∆t = 960 18 60 ⋅ ⇒ υµ = 960 1080 = =0,88 m /s. γ) Για την επιστροφή στο σπίτι του µαθητή έχουµε s = 960 m και ∆t =∆t3=4 min . Άρα υµ = 3 s ∆t ⇒ υµ= 960 4 60 ⋅ = 960 240 ⇒ υµ = 4 m/s . δ) Σε χρόνο ∆t = 24 min , ο µαθητής ξεκινώντας από το σπίτι του xο=0, καταλήγει ξανά σ’ αυτό x = 0 . Άρα η συνολική του µετατόπιση είναι µηδέν , ∆x = x – xο= 0 . Τελικά υ = ∆x ∆t = 0 .Όπου υ η µέση διανυσµατική του ταχύτητα για ∆t=24 min.
- 87. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 86 1) Ένας αθλητής ξεκινάει να καλύψει την απόσταση (ΜΟ)=s=200m. Αν το ρεκόρ του αθλητή είναι 20s τότε ποια είναι η µέση ταχύτητα του αθλητή; 2) Ο µοτοσικλετιστής του σχήµατος ξεκινάει να πάει από την πόλη Α στην πόλη Β. Αν ο χρόνος που διήρκησε το ταξίδι του είναι ∆t=30min και αυτός κινήθηκε µε µέση ταχύτητα υµ=72Κm/h, τότε να υπολογίσετε την απόσταση των δυο πόλεων Α και Β. 3)α)Σώµα κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο από τη θέση Α µε x0=-13m στη θέση Β µε x1=13m σε χρόνο ∆t1=0,2sec .Ποια είναι η µέση ταχύτητα του κινητού; β) Στη θέση Β το κινητό παραµένει άλλα ∆t2=0,2sec και στη συνέχεια κινείται και επιστρέφει στη θέση x2=11m σε χρόνο ∆t3=0,4sec. Ποια είναι η µέση διανυσµατική ταχύτητα του κινητού; 4)Σε µια ευθύγραµµη κίνηση µε µέση διανυσµατική ταχύτητα σταθερού µέτρου υ=10m/s το κινητό βρίσκεται αρχικά στη θέση x0=-10m. α)Ποια είναι η µετατόπιση του τη χρονική στιγµή t=5sec και β) Ποια θα είναι η θέση του κινητού εκείνη τη στιγµή; 5) Αν κινητό κινείται µε µέση διανυσµατική ταχύτητα υ=-72 Km/h και τη χρονική στιγµή t0=0 βρίσκεται στη θέση x0=120 m. Που θα βρίσκεται µετά από χρόνο t=0,3min; M O υµ Β Α s 500R 500R Oastrol Oastrol υµ
- 88. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 87 6) Ποια ταχύτητα είναι µεγαλύτερη; Τα 1260 Km/h ή τα 350m/s; 7) Η τροχαία σταµατάει ένα αυτοκίνητο το οποίο έτρεχε µε ταχύτητα 20m/s, ενώ το όριο ταχύτητας είναι τα 50 Km/h. Νοµίζετε ότι ο οδηγός του αυτοκινήτου πρέπει να πληρώσει πρόστιµο ή όχι; 8)Η ταχύτητα του φωτός είναι c=3.108 m/s. Αν ο χρόνος για να φτάσει ένα ΗΛΜ σήµα από τη γη στη σελήνη, να ανακλαστεί σ' αυτή και να επιστέψει στη γη, είναι t=2sec, να υπολογιστεί η απόσταση της σελήνης από τη γη. 9)Τη στιγµή που πέφτει ένας κεραυνός µηδενίζουµε το χρονόµετρό µας. Αν ο χρόνος που περνάει µέχρι να ακούσουµε τον ήχο της βροντής είναι t=5sec, πόσο µακριά από µας έπεσε ο κεραυνός, δεδοµένου ότι η ταχύτητα του ήχου είναι υηχ=340 m/sec; 10)Ένα κινητό µετατοπίζεται κατά ∆x1=2,4 Κm σε χρόνο ∆t1=2min. Στη συνέχεια σταµατάει για ∆t2=3min και έπειτα αρχίζει να κινείται και µετατοπίζεται κατά ∆x2=9000 m σε χρόνο ∆t3=5min. Ποια είναι η µέση ταχύτητα του κινητού; 11) Ένα τρένο τρέχει µε µέση ταχύτητα υ1=80 Km/h, για ∆t1=0,5h, ύστερα µε υ2=40 Km/h για ∆t2=0,6h και τέλος µε υ3=100 Km/h για ∆t3=0,9h.Να βρείτε το συνολικό διάστηµα που διήνυσε κατά την κίνησή του.
- 89. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 88 1) Γενικά, το µήκος της διαδροµής που διανύει ένα σώµα είναι διαφορετικό από το µέτρο της µετατόπισης του. ( ) 2) Η ταχύτητα είναι παράγωγο µέγεθος και η µονάδα µέτρησής της στο διεθνές σύστηµα µονάδων (SI) είναι το 1 Κm/h. ( ) 3) Η ταχύτητα µεταβάλλεται µόνο όταν µεταβάλλεται το µέτρο της ( ) 4) Στις περισσότερες κινήσεις, η στιγµιαία ταχύτητα δε διατηρείται σταθερή, έτσι γενικά είναι διαφορετική από τη µέση ταχύτητα. ( ) 5) Αν ένα τρένο διέρχεται από το 40ό χιλιόµετρο του ταξιδιού του µε σταθερή ταχύτητα 2km/min, τότε µπορούµε να προβλέψουµε τη θέση του µετά από 1min χωρίς να χρειαζόµαστε κάποια επιπλέον πληροφορία. ( ) 6) Όταν η θέση ενός αντικειµένου πάνω στον άξξονα x΄ox είναι θετικός αριθµός τότε το αντικείµενο βρίσκεται στον θετικό ηµιάξονα αλλιώς βρίσκεται στον αρνητικό ηµιάξονα. ( ) 7)Αρνητική µετατόπιση σηµαίνει ότι το αντικείµενο κινείται προς τον αρνητικό ηµιάξονα x΄ox. ( ) 8)Στο S.I µονάδα µέτρησης της ταχύτητας είναι το 1Km/h. ( )
- 90. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 89 9)Η ταχύτητα είναι µονόµετρο µέγεθος. ( ) 10)Η µέση ταχύτητα ενός σηµειακού αντικειµένου δίνεται από τη σχέση υµ= s ∆t . ( ) 1) Ορίζουµε ως µέση ταχύτητα για ένα κινητό, α) το φυσικό µέγεθος υ=s⋅t, β) το φυσικό µέγεθος t= s υ , γ) το πόσο γρήγορα ή αργά διανύει το κινητό µια συγκεκριµένη απόσταση, δ) το πηλίκο του µήκους της διαδροµής που διήνυσε το κινητό σε ορισµένο χρόνο (χρονικό διάστηµα) προς το χρόνο αυτό. 2) Ως µονάδες µέτρησης της ταχύτητας µπορούν να χρησιµοποιηθούν α) το χιλιόµετρο ανά ώρα (km/h), το µίλι ανά ώρα (mi/h) και το εκατοστό ανά ώρα (ταχύτητα σαλιγκαριού) (cm/h), β) το Κm⋅s γ) το 1s δ) το 1m/s, το 1Κm/h και το 1Κm. 3) Η ταχύτητα του κινητού σε µια ορισµένη χρονική στιγµή λέγεται, α) στιγµιαία ταχύτητα και µονάδα µέτρησης της στιγµιαίας ταχύτητας στο SI είναι m/s. β) µέση ταχύτητα και ταυτίζεται µε την ένδειξη του ταχύµετρου (κοντέρ). γ) µέση διανυσµατική ταχύτητα δ) κάθε ταχύτητα που συνδέεται µε το µήκος της διαδροµής και µετριέται σε Km/h. 4) Η µέση ταχύτητα,
- 91. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 90 α) παίρνει και αρνητικές τιµές. β) είναι η ταχύτητα που έχει το κινητό σε όλη τη διάρκεια της διαδροµής. γ) αναφέρεται στην αρχή και το τέλος της διαδροµής και γενικά µας δείχνει πως µεταβάλλεται η στιγµιαία ταχύτητα του κινητού. δ) αναφέρεται στη συνολική διαδροµή, και δε δίνει πληροφορίες για τις µεταβολές της στιγµιαίας ταχύτητας, στη διάρκεια της διαδροµής. 5) Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι περίπου, α) 1200m/s β) 4m/s γ) 340m/s δ) 133 Km/h. 6)Η µετατόπιση ενός κινητού είναι α) µονόµετρο µέγεθος β) αριθµητικό µέγεθος γ) διανυσµατικό µέγεθος δ)τίποτα από τα παραπάνω 7) Η µέση διανυσµατική ταχύτητα α) είναι µονόµετρο µέγεθος β) είναι διανυσµατικό µέγεθος και η κατεύθυνσή της συµπίπτει µε την κατεύθυνση της µετατόπισης. γ) παίρνει µόνο θετικές τιµές δ) αναφέρεται στο συνολικό µήκος της διαδροµής όπως και η µέση ταχύτητα. 8) Θετική ταχύτητα στην ευθύγραµµη κίνηση σηµαίνει ότι το κινητό α) βρίσκεται στο θετικό ηµιάξονα β) κινείται προς το θετικό ηµιάξονα γ) κινείται είτε προς το θετικό είτε προς τον αρνητικό ηµιάξονα δ) κινείται προς την αρχή του συστήµατος συντεταγµένων 9) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση: α)Η ταχύτητα 50Km/h είναι µεγαλύτερη από την ταχύτητα 50m/s β)Το 1m/s είναι µικρότερο από το 1Km/h γ)το 1m/s είναι ίσο µε 3,6Km/h δ)τίποτα από τα παραπάνω
- 92. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 91 Ο Α x΄ x 10) Για ένα σώµα που κινείται κατά µήκος του άξονα των x και στη διαδροµή ΟΑΟ α) Η µετατόπιση του είναι 0 β) το συνολικό διάστηµα που διανύει είναι 0 γ) η ταχύτητα του είναι 0m/s δ) Η µέση διανυσµατική ταχύτητα είναι διάφορη του µηδενός. 1) Η ταχύτητα ενός σώµατος συνδέεται µε δυο µεγέθη: το …………….της διαδροµής και το ……………... 2) Αν διανύσουµε µ' ένα αυτοκίνητο 90 χιλιόµετρα σε µια ώρα, τότε λέµε ότι η µέση ταχύτητα του οχήµατος ήταν 90 ………….. 3) Όταν ένας οδηγός σχεδιάζει ένα ταξίδι µε αυτοκίνητο, ενδιαφέρεται για το χρονικό διάστηµα που απαιτείται για να διανύσει τη συνολική διαδροµή που αντιστοιχεί στο ταξίδι. Ενδιαφέρεται, λοιπόν για τη ……………… ………………….που µπορεί να αναπτύξει στη διάρκεια όλου του ταξιδιού. 4) Στην ευθύγραµµη κίνηση η φορά της ταχύτητας προσδιορίζεται από το …………….. της. 5)Η αλγεβρική τιµή της θέσης ενός σηµειακού αντικειµένου συµπίπτει µε τη …………………….του σηµείου στο οποίο βρίσκεται το αντικείµενο και εφόσον είναι θετική σηµαίνει ότι το αντικείµενο βρίσκεται στο ………………ηµιάξονα. 6) Αν ένα σώµα κινείται στον άξονα x΄x και η µετατόπιση του είναι θετική αυτό σηµαίνει ότι το αντικείµενο µετατοπίστηκε προς τη ………………..κατεύθυνση του ………………..
- 93. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 92 7)Η ταχύτητα είναι µια ποσότητα που δίνει απάντηση στα ερωτήµατα πόσο ………………… κινείται ένα αντικείµενο αλλά και ………………… κατευθύνεται. 8)Στο ∆ιεθνές Σύστηµα µονάδων (S.I) η µονάδα µέτρησης της ταχύτητας είναι το …………………… 9)Εφόσον η µετατόπιση (µεταβολή θέσης) είναι µέγεθος ………………..το πηλίκο της µετατόπισης προς τον χρόνο δηλαδή η µέση ……………………. ταχύτητα είναι και αυτή µέγεθος ………………….. 10)Ορίζουµε ως µέση διανυσµατική ταχύτητα ένα …………………….µέγεθος µε ……………. το πηλίκο της µετατόπισης προς το χρόνο και µε ………………… την κατεύθυνση της µετατόπισης. 11)Η εξίσωση ορισµού της µέσης διανυσµατική ταχύτητας είναι …………………….
- 94. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 93 2.3 Κίνηση µε σταθερή ταχύτητα 1. Ποια κίνηση ονοµάζεται ευθύγραµµη οµαλή; Μια κίνηση στην οποία η ταχύτητα διατηρείται σταθερή, ονοµάζεται ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Για την ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε τη χρήση µαθηµατικών σύµβολων γράφουµε: υ ρ = t ∆ x ∆ ρ = σταθερή. Σταθερή ταχύτητα σηµαίνει ταχύτητα σταθερού µέτρου, αλλά και σταθερής κατεύθυνσης. Σ' αυτή την περίπτωση, η κίνηση γίνεται σε ευθεία γραµµή και προς σταθερή κατεύθυνση. Αν η µέση ταχύτητα ( ) είναι ίδια για οποιοδήποτε χρονικό διάστηµα (∆t), τότε συµπίπτει µε τη στιγµιαία ταχύτητα και λέµε ότι το σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα. ∆ηλαδή στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η µέση και η στιγµιαία ταχύτητα ταυτίζονται. Μπορούµε ακόµη να πούµε πως Ευθύγραµµη οµαλή ονοµάζεται η κίνηση στην οποία το κινητό διανύει ίσες µετατοπίσεις σε ίσα χρονικά διαστήµατα. 2. Πότε λέµε ότι η ταχύτητα ενός κινητού παραµένει σταθερή; Η ταχύτητα παραµένει σταθερή όταν παραµένει σταθερή και η διεύθυνση και η φορά και το µέτρο της ταχύτητας. 3. Από τι εξαρτάται το πρόσηµο της ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση;
- 95. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 94 Είπαµε πως η ταχύτητα στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ορίζεται ως το σταθερό πηλίκο της µετατόπισης του κινητού προς τη χρονική διάρκεια που απαιτήθηκε για τη µετατόπιση αυτή. Για να βρούµε λοιπόν την ταχύτητα παίρνουµε τη µεταβολή της θέσεως ∆x και τη διαιρούµε µε το χρονικό διάστηµα ∆t που έγινε η µεταβολή. ∆ηλαδή ∆t x ∆ υ ρ ρ = Το πρόσηµο της ταχύτητας υ ρ εξαρτάται από το πρόσηµο της µετατόπισης ∆x r αφού το ∆t είναι πάντα θετικό. Από τη σχέση ορισµού της ταχύτητας, προκύπτει ότι η αλγεβρική της τιµή στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι: υ= ∆t ∆x = 0 0 t t x x − − =σταθερή. Αν η αλγεβρική τιµή της αποµάκρυνσης αυξάνεται κατά την κίνηση (x>x0), η ταχύτητα έχει θετική τιµή. Αν η αλγεβρική τιµή της αποµάκρυνσης µειώνεται κατά την κίνηση (x<x0), η ταχύτητα έχει αρνητική τιµή. 4. Ποια είναι η εξίσωση κίνησης στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση; Από τον ορισµό της ταχύτητας έχουµε ότι: υ= ∆t ∆x , άρα ∆x = υ ·∆t Αν υ=σταθερό, προκύπτει ότι σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση οι µετατοπίσεις είναι ανάλογες µε τα χρονικά διαστήµατα µέσα στα οποία πραγµατοποιούνται.
- 96. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 95 υ t Ακόµη από την εξίσωση ορισµού της ταχύτητας έχουµε ότι υ= ∆t ∆x ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒υ= 0 0 t t x x − − ⇒x-x0=υ(t-t0) ή x=x0+υ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(t-t0). Ακόµη αν t0=0 τότε το χρονικό διάστηµα ∆t=t-t0=t ταυτίζεται δηλαδή µε τη χρονική στιγµή t. Τότε η παραπάνω εξίσωση x=x0+υ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(t-t0) γίνεται: x=x0+υ⋅ ⋅ ⋅ ⋅t (t0=0) Ακόµη αν x0=0 τότε η µετατόπιση ∆x=x-x0 ταυτίζεται µε τη θέση x, δηλαδή ∆x=x και η σχέση x=x0+υ⋅t παίρνει τη µορφή x=υ⋅ ⋅ ⋅ ⋅t (x0=0) 5. Να κατασκευαστεί το διάγραµµα ταχύτητας χρόνου (για θετική ταχύτητα) στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Τι παριστάνει το εµβαδόν που περικλείεται από την καµπύλη της ταχύτητας - χρόνου και του άξονα του χρόνου; Tο διάγραµµα υ(t) για την ευθύγραµµη οµαλή κίνηση που είναι αυτό του σχήµατος.
- 97. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 96 υ t t1 t2 t3 1 2 3 Βλέπουµε ότι το διάγραµµα της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι µια ευθεία γραµµή παράλληλη προς τον άξονα του χρόνου. Αυτό συµβαίνει σε κάθε ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Τότε όµως το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που σχηµατίζεται είναι Ε=υ⋅∆t, άρα το Ε µας δείχνει τη συνολική µετατόπιση του κινητού ∆x=υ⋅∆t. Το συµπέρασµα αυτό είναι πολύ σηµαντικό γιατί ισχύει για κάθε διάγραµµα ταχύτητας-χρόνου. Πώς όµως συµβαίνει αυτό; Θεωρείστε την επιταχυνόµενη κίνηση ενός αυτοκινήτου που η ταχύτητά του µεταβάλλεται όπως στο σχήµα. Τότε στο χρονικό διάστηµα ∆t= t3-0= t3 µπορούµε να προσεγγίσουµε το διάγραµµα µε την κλιµακωτή καµπύλη του σχήµατος. Ξεκινώντας δηλαδή το κινητό τη χρονική στιγµή t=0 έστω ότι δεν µεταβάλλεται η ταχύτητά του όπως µας δείχνει η πραγµατική καµπύλη αλλά έστω ότι κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Τότε όµως το γραµµοσκιασµένο εµβαδόν (1) σύµφωνα µε τα προηγούµενα είναι η µετατόπιση ∆x1 για 0≤ t< t1. Έστω τώρα ότι τη χρονική στιγµή t1 το κινητό αποκτά την πραγµατική του ταχύτητα µε την οποία κινείται για t1 ≤ t< t2 τότε το εµβαδό (2) είναι η ∆x2 κ.ο.κ. Το σηµαντικό είναι να
- 98. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 97 παρατηρήσουµε πως όσο τα χρονικά διαστήµατα ∆t1, ∆t2 κ.τ.λ γίνονται πολύ µικρά δηλαδή όπως λέµε όταν το ∆t τείνει στο µηδέν (∆t→0) τα εµβαδά ∆Ε που περισσεύουν (δεν είναι γραµµοσκιασµένα) γίνονται πολύ µικρά δηλαδή τα εµβαδά αυτά τείνουν στο µηδέν (∆Ε→0). Έτσι λοιπόν η σκιασµένη επιφάνεια γίνεται ουσιαστικά όλη η επιφάνεια που περικλείεται από την καµπύλη της ταχύτητας µε το χρόνο και η οποία αποτελεί τη συνολική µετατόπιση. • Εδώ θα πρέπει να παρατηρήσουµε πως αν το εµβαδό είναι αρνητικό δηλ. αν η καµπύλη βρίσκεται κάτω από τον άξονα των χρόνων τότε και η µετατόπιση είναι αρνητική. • Τέλος θα πρέπει να προσέξουµε πως το εµβαδό που υπολογίζουµε είναι η µετατόπιση ∆x. Για να βρούµε τη θέση x για το κινητό κάθε χρονική στιγµή θα πρέπει να γνωρίζουµε που βρισκόταν το κινητό τη χρονική στιγµή t0 δηλαδή να γνωρίζουµε την αρχική του θέση x0. Τότε θα είναι ∆x=x-x0 ⇒x=x0+∆x Βέβαια αν τη χρονική στιγµή t0=0 το κινητό είναι στη θέση x0=0 τότε ∆x=x δηλαδή το εµβαδό θα µας δείχνει την τελική θέση x.
- 99. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 98 x x x0 t t Ξεκινάει από το 0 Ξεκινάει από το x0 ≠0 x=υ⋅ ⋅ ⋅ ⋅t x=x0+υ⋅ ⋅ ⋅ ⋅t 6. Αν η ταχύτητα είναι σταθερή και θετική τότε να σχεδιάσετε το διάγραµµα της θέσεως (x) του κινητού συναρτήσει µε το χρόνο (t). Για να κατασκευάσουµε το διάγραµµα της θέσης (x) σε συνάρτηση µε το χρόνο (t), δηλαδή το διάγραµµα x(t), προσδιορίζουµε τα σηµεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη τιµών χρόνου-θέσης. Όλα τα σηµεία βρίσκονται πάνω σε µια ευθεία γραµµή. Γενικά, σε κάθε ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το διάγραµµα της θέσης σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι ευθεία γραµµή. Έτσι για θετική ταχύτητα προκύπτουν τα παρακάτω διαγράµµατα θέσεως – χρόνου (x-t)
- 100. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 99 x0 x t0 t φ B A x t 7. Αν η ταχύτητα είναι σταθερή η γραφική παράσταση της θέσεως του κινητού σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι ευθεία γραµµή. Τι µας δείχνει η κλίση (εφφ), όπου φ η γωνία που σχηµατίζει η Γ.Π της θέσεως µε το χρόνο; Αν πάρουµε δυο άξονες x-t (θέσεως χρόνου) τότε έχουµε την παρακάτω γραφική παράσταση. H εφφ= ∆t ∆x όπου φ η γωνία που σχηµατίζει η γραφική παράσταση της θέσεως µε το χρόνο και µας δείχνει την κλίση της ευθείας δηλαδή πόσο απότοµη είναι η ευθεία. Όµως και υ= ∆t ∆x άρα εφφ=υ. ∆ηλαδή το µέτρο της εφφ είναι ίσο µε το µέτρο της ταχύτητας υ. Έτσι όσο πιο απότοµη είναι η κλίση τόσο ποιο µεγάλη είναι και η ταχύτητα υ. 8. Αν για δυο κινητά Α και Β δίνεται το διπλανό διάγραµµα θέσεως – χρόνου τότε ποιο από τα δυο κινητά έχει µεγαλύτερη ταχύτητα; Είπαµε πως όσο πιο απότοµη είναι η κλίση στο διάγραµµα x(t) τόσο ποιο µεγάλη είναι και η ταχύτητα υ. Επειδή η κλίση του διαγράµµατος του κινητού Β είναι πιο απότοµη από αυτή του κινητού Α για αυτό και η ταχύτητα του κινητού Β θα είναι µεγαλύτερη από την ταχύτητα του Α δηλαδή ισχύει υΒ>υΑ.
- 101. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 100 9. Να σχεδιάσετε τα διάγραµµατα ταχύτητας – χρόνου και θέσεως – χρόνου για ένα κινητό που βρίσκεται σε ηρεµία δηλαδή έχει µηδενική ταχύτητα (υ=0). Σώµα σε ηρεµία Η ακινησία ή η ηρεµία σε σχέση µε ένα σηµείο αναφοράς µπορεί να θεωρηθεί ως οµαλή κίνηση µε ταχύτητα υ = 0. Σ' αυτή την περίπτωση, το διάγραµµα της ταχύτητας συµπίπτει µε τον άξονα του χρόνου. Όταν το σώµα είναι ακίνητο, η θέση του είναι σταθερή, οπότε το διάγραµµα θέσης-χρόνου είναι ευθεία γραµµή παράλληλη µε τον άξονα των χρόνων, Για ακινησία δηλαδή έχουµε τα παρακάτω διαγράµµατα. ταχύτητα υ(m/s) χρόνος t (s) 0 θέση ( x m) χρόνος t (s)
- 102. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 101 Το διπλανό διάγραµµα θέσης-χρόνου αναφέρεται σε σώµα που παραµένει ακίνητο σε απόσταση 400 µ από την αφετηρία.
- 103. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 102 2.4 Κίνηση µε µεταβαλλόµενη ταχύτητα 1. Πότε µια κίνηση ονοµάζεται µεταβαλλόµενη; Εάν το µέτρο της ταχύτητας ή η κατεύθυνση της ή και τα δυο µεταβάλλονται, τότε το διάνυσµα της ταχύτητας µεταβάλλεται και η κίνηση ονοµάζεται µεταβαλλόµενη. ∆ιαγράµµατα και κινήσεις 2. Να περιγράψετε το είδος της κίνησης ενός δροµέα σε αγώνα δρόµου από την αφετηρία του και µέχρι να σταµατήσει στον τερµατισµό όπως περιγράφεται από το διάγραµµα υ(t) που ακολουθεί. Ο δροµέας ξεκινάει από την ηρεµία (υ = 0), η ταχύτητά του αρχικά αυξάνεται, (Α) στη συνέχεια σταθεροποιείται σε µια τιµή (Β) και κατόπιν αρχίζει να ελαττώνεται και τελικά µηδενίζεται (Γ), όταν ο δροµέας σταµατάει να κινείται. ταχύτητα υ(m/s) χρόνος t (s) 0
- 104. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 103 3. Από το διπλανό διάγραµµα θέσεως – χρόνου (x-t) για την ευθύγραµµη κίνηση ενός κινητού να κατασκευαστεί το αντίστοιχο διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου (υ-t) του κινητού. Από το διάγραµµα x(t) βλέπουµε ότι το κινητό ξεκινά από τη θέση x0=0 και κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα κατευθύνεται προς τη θέση x=8 m (τµήµα Α). Το ταξίδι της διαρκεί 2 s. Έτσι για 0≤t<2 s (τµήµα Α) έχουµε, υ= ∆x ∆t = 8-0 2-0 = 8 2 =4m/s. Στη θέση x=8m το κινητό σταµατά για 6 s (τµήµα Β). Έτσι για 2≤t<8 s (τµήµα Β) έχουµε, υ= ∆x ∆t = 8-8 8-2 = 0 6 =0m/s. Στη συνέχεια, κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα ίδιου µέτρου αλλά αντίθετης φοράς επιστρέφει στην αρχή x0=0 (τµήµα Γ). Έτσι για 8≤t<10 s (τµήµα Γ) έχουµε, υ= ∆x ∆t = 0-8 10-8 = -8 2 = -4m/s. Τελικά προκύπτει το παρακάτω διάγραµµα ταχύτητας χρόνου
- 105. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 104 4. Πως ορίζεται η στιγµιαία ταχύτητα και πως υπολογίζεται γεωµετρικά από το διάγραµµα x(t); Αν η ταχύτητα υ δεν είναι σταθερή τότε η γραφική παράσταση x(t) δεν είναι ευθεία αλλά έστω η καµπύλη του σχήµατος. Τότε η στιγµιαία ταχύτητα είναι η σταθερή τιµή ( όριο -λim) που παίρνει αυτή, όταν το χρονικό διάστηµα ∆t γίνει πολύ µικρό. Αυτό σηµαίνει πως το ∆t=t2-t1 τείνει στο 0 ή αλλιώς ∆t→0 αυτό που στη καθηµερινή ζωή έχουµε συνηθίσει να λέµε χρονική στιγµή. Τότε στη γλώσσα των µαθηµατικών γράφουµε υστιγµ= ∆t ∆x im 0 t ∆ → λ . Α Β Γ t1 t2 t3 t x
- 106. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 105 x t φ t1 Γ Για να βρούµε τη υστιγµ τη χρονική στιγµή t3 θα πρέπει όπως είπαµε το ∆t να γίνει πάρα πολύ µικρό (∆t=t2-t1→0)δηλαδή αν το t1 και το t2 τα πάρω πολύ κοντά στο t3 τότε πράγµατι ∆t→0. Προσέξτε πως τότε το καµπύλο τµήµα ΑΒ όσο το Α και το Β πλησιάζουν στο Γ τείνει να γίνει ευθύγραµµο τµήµα που έχει µε την καµπύλη ΑΒ ένα κοινό σηµείο το Γ. Είναι δηλαδή η εφαπτοµένη στην καµπύλη ΑΒ στο σηµείο Γ. Τότε όµως αν υπολογίσουµε την κλίση της εφαπτοµένης στο Γ αυτή θα είναι και η τιµή της σταθερής ταχύτητας τη χρονική στιγµή t3. Η στιγµιαία ταχύτητα κινητού που εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση µε µεταβλητή ταχύτητα, είναι ίση µε την κλίση της ευθείας που εφάπτεται στην γραφική παράσταση αποµάκρυνσης – χρόνου, τη συγκεκριµένη στιγµή. Έτσι για την τυχαία καµπύλη όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα µπορούµε να υπολογίσουµε την στιγµιαία ταχύτητα του κινητού µια χρονική στιγµή t1, αν φέρουµε την εφαπτοµένη στην καµπύλη στο τυχαίο σηµείο Γ και διαλέξουµε δυο «τυχαία» σηµεία πάνω στην εφαπτοµένη τα οποία έχουν γνωστές συντεταγµένες. Από τα σηµεία αυτά φέρνουµε τις παράλληλες προς τους δυο άξονες και από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηµατίζεται υπολογίζουµε την κλίση της εφαπτοµένης δηλαδή υπολογίζουµε τη στιγµιαία ταχύτητα. Σαν επεξήγηση της διαδικασίας προσδιορισµού της στιγµιαίας ταχύτητας στη µια διάσταση θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα δεδοµένων που πάρθηκε για
- 107. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 106 κίνηση στον άξονα των x. Οι τέσσερις πρώτες στήλες είναι πειραµατικά δεδοµένα. Το σώµα βρισκόταν στη θέση x1 (100 cm από την αρχή x0=0) τη στιγµή t1 (1 sec) και στη θέση x2 τη στιγµή t2. Παίρνοντας διαφορετικές τιµές για το x2 στις διαφορετικές αντίστοιχες τιµές t2, βρίσκουµε. x1 (cm) t1 (sec) x2 (cm) t2 (sec) ∆x=x2-x1 (cm) ∆t=t2-t1 (sec) ∆x/∆t cm/sec 100 1 200 11 100 10 10 100 1 180 9,6 80 8,6 9,3 100 1 160 7,9 60 6,9 8,7 100 1 140 5,9 40 4,9 8,2 100 1 120 3,56 20 2,56 7,8 100 1 110 2,33 10 1,33 7,5 100 1 105 1,69 5 0,69 7,3 100 1 103 1,42 3 0,42 7,1 100 1 101 1,14 1 0,14 7,1 Φαίνεται στον πίνακα ότι καθώς διαλέγουµε τιµές του x2 όλο κοντύτερα στο x1, το ∆t τείνει στο µηδέν (∆t→0) και ο λόγος ∆x/∆t τείνει στην οριακή τιµή των 7,1 cm/sec. Ακόµη αφού η υ είναι θετική έχει φορά προς τα δεξιά. Συµπερασµατικά υστιγµ= ∆t ∆x im 0 t ∆ → λ = 1 t 2 t 1 x 2 x im 0 t ∆ − − → λ δηλ. η στιγµιαία ταχύτητα δίνεται από το όριο ∆t ∆x καθώς το ∆t πλησιάζει το µηδέν. Και για να την υπολογίσω γεωµετρικά παίρνω την εφαπτοµένη στο συγκεκριµένο σηµείο και υπολογίζω την κλίση της.
- 108. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 107 x t φ A B x1 x2 t1 t2 Γ 5. Πως ορίζεται η µέση διανυσµατική ταχύτητα σε µια κίνηση µε µεταβαλλόµενη ταχύτητα και πως υπολογίζεται γραφικά; Εκτός όµως από τη στιγµιαία ταχύτητα που είναι η ταχύτητα που έχει ένα κινητό σε µια χρονική στιγµή µπορούµε να ορίσουµε και τη µέση ταχύτητα. Η µέση ταχύτητα είναι η σταθερή ταχύτητα, που θα άλλαζε τη θέση κατά ∆x στο χρονικό διάστηµα ∆t και ορίζεται σαν υµ= ∆t ∆x .Έστω ότι η γραφική παράσταση x(t) είναι η καµπύλη του σχήµατος Η µέση ταχύτητα για µετατόπιση του κινητού από το Α στο Β είναι όπως είπαµε η σταθερή ταχύτητα για να πάει το κινητό από το Α στο Β. Τότε όµως ξέρουµε πως για υ σταθερό το διάγραµµα x(t) είναι ευθεία. Έτσι Αν ενώσουµε µε ένα ευθύγραµµο τµήµα τα Α και Β και υπολογίσουµε την κλίση του ΑΒ τότε σύµφωνα µ΄ αυτά που ξέρουµε η κλίση αυτή είναι το µέτρο της υποθετικής σταθερής ταχύτητας που ονοµάσαµε υµ. Άρα από το σχήµα είναι εφφ= 1 t 2 t 1 x 2 x − − = ∆t ∆x έτσι και υµ= ∆t ∆x Συµπερασµατικά πλέον και αφού έχουµε κατανοήσει τις έννοιες της στιγµιαίας και της µέσης ταχύτητας µπορούµε να παρατηρήσουµε πως η στιγµιαία ταχύτητα θα είναι ίση µε τη µέση τις χρονικές στιγµές που η εφαπτοµένη στη καµπύλη x(t) είναι παράλληλη στην ευθεία της µέσης ταχύτητας.
- 109. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 108 Ενώ ακόµη στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η στιγµιαία ταχύτητα είναι πάντοτε ίση µε τη µέση ταχύτητα και ίση µε τη σταθερή ταχύτητα της κίνησης. 6. Σε ποια κίνηση η στιγµιαία ταχύτητα είναι πάντοτε ίση µε την µέση ταχύτητα. Μόνο στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. 7. Σε ποια σηµεία ενός διαγράµµατος θέσεως χρόνου η στιγµιαία ταχύτητα είναι ίση µε τη µέση ταχύτητα; Η στιγµιαία ταχύτητα θα είναι ίση µε τη µέση τις χρονικές στιγµές που η εφαπτοµένη της καµπύλης (x - t) είναι παράλληλη µε την γραµµή της µέσης ταχύτητας.
- 110. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 109 1) Ένα αυτοκίνητο πραγµατοποιεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε σταθερή ταχύτητα υ=20 m/s. α) Να υπολογιστεί το διάστηµα που διανύει το αυτοκίνητο σε χρόνο ∆t= 5min. Β) Σε πόσο χρόνο το αυτοκίνητο θα διανύσει απόσταση ∆x=3,6Κm; Λύση: α) Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η ταχύτητα παραµένει σταθερή και ισχύει ότι υ= ∆x ∆t ή ∆x=υ⋅∆t, όπου ∆x είναι η µετατόπιση του αυτοκινήτου σε χρόνο ∆t. Για ∆t=5min==5⋅60=300s, προκύπτει ότι ∆x=20⋅300 ή ∆x=6000m ή 6Κm. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση όµως η φορά της ταχύτητας παραµένει σταθερή. ∆ηλαδή το διάστηµα που διανύει το κινητό έχει το ίδιο µέτρο µε την µετατόπιση του κινητού. Κατά συνέπεια και το συνολικό διάστηµα που διανύει το αυτοκίνητο σε χρόνο ∆t= 5min είναι s=∆x=6Κm. β) Από τη σχέση υ= ∆x ∆t προκύπτει ότι ∆t= ∆x υ , όπου ∆x=3,6Km=3600m. Τότε έχουµε ∆t= 3600 20 =180s ή 3min. 2) Σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε σταθερή ταχύτητα υ=-2m/s το κινητό βρίσκεται αρχικά στη θέση x0=-10m. Πόση θα είναι η µετατόπιση του κινητού τη χρονική στιγµή t=15sec και ποια είναι τότε η τελική του θέση;
- 111. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 110 Λύση: Για την ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ισχύει ότι ∆x=υ⋅∆t=-2⋅15 ή ∆x=-30m. Άρα η µετατόπιση του κινητού είναι ∆x=30m. Ακόµη έχουµε ότι ∆x=x-x0 ή -30=x-(-10) ή 30=x+10 ή x=20m. ∆ηλαδή το κινητό τη χρονική στιγµή t=15s θα βρίσκεται στη θέση x=20m. 3) α)Ένα αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα από τη θέση Α µε x0=-130 m στη θέση Β µε x=130m σε χρόνο ∆t=20 s. Ποια είναι η σταθερή ταχύτητα του κινητού; β) Στη θέση Β το κινητό παραµένει άλλα 3 s και στη συνέχεια κινείται και επιστρέφει στη θέση x2=110m σε χρόνο 1 s. Ποια είναι η µέση (διανυσµατική) ταχύτητα του κινητού; Λύση: α) Η µετατόπιση του κινητού είναι ∆x=x-x0=130-(-130)=130+130=260m. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ισχύει ότι υ= ∆x ∆t , όπου ∆x είναι η µετατόπιση του αυτοκινήτου σε χρόνο ∆t. Τότε έχουµε υ= 260 20 =13m/s. β) Σε χρόνο ∆t1=20s το αυτοκίνητο µετατοπίστηκε κατά ∆x1=260m. Στη συνέχεια το αυτοκίνητο παραµένει ακίνητο για χρόνο ∆t2=3 s, οπότε είναι ∆x2=0m και τέλος το αυτοκίνητο µετατοπίζεται κατά ∆x3=x2-x=110-130= =-20m σε χρόνο ∆t3=1s. Η συνολική µετατόπιση του αυτοκινήτου είναι: ∆x=∆x1+∆x2+∆x3=260-20=240m. Ο συνολικός χρόνος κίνησης του αυτοκινήτου είναι ∆t= ∆t1+∆t2+∆t3=20+3+1 ή ∆t=24s. Τότε η µέση ταχύτητα του αυτοκινήτου στο χρονικό διάστηµα των 24s υπολογίζεται από τη σχέση υµ= ∆x ∆t ή υµ= 240 24 ή υµ=10 m/s.
- 112. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 111 4) Από το διάγραµµα θέσεως χρόνου να υπολογιστεί η ταχύτητα του κινητού. Λύση: H µέση ταχύτητα του αυτοκινήτου υπολογίζεται από τη σχέση υµ= ∆x ∆t . Από το διάγραµµα θέσεως χρόνου παρατηρούµε ότι ∆x=x-x0=20- 0=20m και ∆t=4-0=4s. Τότε είναι υµ= ∆x ∆t ή υµ= 20 4 ή υµ= 5m/s. Για την εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η γραφική παράσταση της θέσης x του κινητού µε το χρόνο t ισχύει εφφ= απέναντι κάθετη προσκείµενη κάθετη = 20 4 =5. Παρατηρούµε ότι η µέση ταχύτητα είναι κατά µέτρο ίση µε την εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η γραφική παράσταση της θέσης x του κινητού µε το χρόνο t. 5) Αν κινητό κινείται µε ταχύτητα υ=-36 Km/h και τη χρονική στιγµή t0=0 βρίσκεται στη θέση x0=-20 m. α) Που θα βρίσκεται µετά από χρόνο t=0,1min; β) Ποια είναι η µετατόπιση του κινητού τη χρονική στιγµή t=20s αν η κατεύθυνση της κίνησής του παραµένει σταθερή; Λύση: x(m) 20 φ 4 t(s)
- 113. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 112 α) Γνωρίζουµε πως ισχύει x = xο + υ ⋅ t. Η σταθερή ταχύτητα του κινητού είναι κατά µέτρο 36 km/h ή 36 3,6 =10m/s. Επειδή η ταχύτητα είναι αρνητική το κινητό κινείται προς τον αρνητικό ηµιάξονα της ευθείας των µετατοπίσεων και έχουµε : x = xο + υ ⋅ t ⇒ x = -20 –10 ⋅ 0,1 ⋅ 60 ⇒ x= -20 – 60 ⇒ x = - 80 m. β) Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ισχύει ότι υ= ∆x ∆t , όπου ∆x είναι η µετατόπιση του κινητού σε χρόνο ∆t. Τότε έχουµε ∆x=υ⋅∆t. Όµως ∆t=t=20 s αφού t0=0 s. Τελικά έχουµε ∆x= -10⋅20=-200m. 6) Ένας µοτοσικλετιστής ξεκινάει από την πόλη (Α) για να πάει στην πόλη (Β). Στην αρχή κινείται µε υ1=84Km/h για χρόνο ∆t1=5min µέχρι το µισό της διαδροµής. Στη συνέχεια διανύει την υπόλοιπη διαδροµή µε υ2=140Κm/h. Να βρεθούν: α) η απόσταση των δυο πόλεων και β) η µέση ταχύτητα του µοτοσικλετιστή. Λύση: α) Στην αρχή για το χρονικό διάστηµα ∆t1 η ταχύτητα του µοτοσικλετιστή είναι σταθερή και ίση µε υ1=84Km/h. Τότε ισχύει ότι υ1= 1 1 ∆x ∆t , όπου ∆x1 είναι η µετατόπιση του µοτοσικλετιστή σε χρόνο ∆t1. Ισχύει ότι ∆t1=5min= 5 60 = 1 12 h. M Α Β 50 0R50 0R O a s tr o l O a s tr o l 50 0R50 0R O a s tr o l O a s tr o l
- 114. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 113 Τότε έχουµε ∆x1=υ1⋅∆t1=84⋅ 1 12 =7 Km. Όµως το διάστηµα s1=∆x1=7 Km είναι το µέσον της διαδροµής. Άρα η απόσταση των δυο πόλεων θα είναι s=2⋅s1= 14Km. β) Στη συνέχεια ο µοτοσικλετιστής διανύει τα υπόλοιπα ∆x2=∆x1=7Km, µε ταχύτητα υ2=140Κm/h. Άρα ο χρόνος που απαιτείται για αυτή την κίνηση είναι ∆t2= 2 2 ∆x υ ή ∆t2= 7 Κm 140 Km/h ή ∆t2=0,05 h ή 0,05⋅60=3min. Έτσι η συνολική µετατόπιση του µοτοσικλετιστή είναι ∆x=∆x1+∆x2 =7+7=14 Κm. Ακόµη ο συνολικός χρόνος κίνησης του µοτοσικλετιστή είναι ∆t= ∆t1+∆t2 =5+3 ή ∆t=8 min ή 8 60 h. Τότε η µέση ταχύτητα του µοτοσικλετιστή στο χρονικό διάστηµα των 8 60 = 2 15 h υπολογίζεται από τη σχέση υµ= ∆x ∆t ή υµ= 14 Km 2 h 15 ή υµ= 14 15 Km 2 h ⋅ =105 Km/h. 7) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κινητού για κάθε χρονικό διάστηµα ∆t από το παρακάτω διάγραµµα θέσεως χρόνου και να γίνει η γραφική παράσταση της υ(t). Λύση: Για το χρονικό διάστηµα από 0 έως 2 s από τον ορισµό της ταχύτητας παίρνουµε: x(m) 10 5 2 4 5 6 7 8 t(s) -10
- 115. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 114 υ = ∆t ∆x = 2 5 - 10 = 2,5 m/s. Παρόµοια για το χρονικό διάστηµα 2 – 4 s έχουµε υ = ∆t ∆x = 0. Ακολούθως από 4 – 6 s είναι υ = ∆t ∆x = 2 10 - 10 - = -10 m/s. Παρόµοια από 6 – 7 s έχουµε υ = ∆t ∆x = 0 και τέλος από 7 – 8 s έχουµε υ = ∆t ∆x = 1 (-10) - 0 = 1 10 = 10 m/s. Έτσι το διάγραµµα ταχύτητας χρόνου είναι αυτό του διπλανού σχήµατος. 8) Η ταχύτητα για ένα κινητό που κινείται ευθύγραµµα µεταβάλλεται όπως στο σχήµα: α) Πόση είναι η συνολική µετατόπιση του κινητού για ∆t=6 s; β)Πόση είναι η υµ για ∆t=4s από τη στιγµή που ξεκίνησε; γ)Πόση είναι η στιγµιαία ταχύτητα τη χρονική στιγµή t=2,3 s; δ) Να γίνει το διάγραµµα θέσης – χρόνου από 2 - 4 s, αν για t0=0 s είναι x0=0 m. 2 4 6 7 8 υ(m/s) t( ) s 2,5 10 -10 υ(m/s) 20 2 4 6 t(sec)
- 116. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 115 Λύση: α) Η µετατόπιση του κινητού , υπολογίζεται από το εµβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση υ (t) και του άξονα των χρόνων (t) . Έτσι έχουµε να υπολογίσουµε το εµβαδό τραπεζίου. ∆ηλαδή ∆xολ = Ετρ= 2 β Β + υ = = 2 2 6 + ⋅20 ή ∆xολ =80 m. β) Σε χρόνο ∆tολ = ∆t = 4 s όπως υπολογίζουµε από το εµβαδό µέχρι και τη χρονική στιγµή t = 4 s έχουµε ∆x = 2 2 4 + . 20 ή ∆x = 60m . Άρα υµ = ∆t ∆x = 4 60 ή υµ = 15 m/s. γ) Από τη χρονική στιγµή t = 2 s µέχρι και τη χρονική στιγµή t = 4 s, το κινητό κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ = 20 m/s. Άρα και τη χρονική στιγµή t= 2,3 sec είναι υ=20 m/s = σταθερή. δ) Στο χρονικό διάστηµα 0 -2 s όπως υπολογίζουµε από το εµβαδό του τριγώνου έχουµε ∆x = 2 20 2 ⋅ ή ∆x=20m. Όµως ισχύει ∆x=x1-x0 ή ∆x=x1 αφού x0=0m. Άρα το κινητό ξεκινώντας από τη θέση x0=0m έχει φτάσει τη χρονική στιγµή t1=2 s στη θέση x1=20m. Στο χρονικό διάστηµα 2 -4 s η ταχύτητα είναι σταθερή και ίση µε υ=20m/s. Άρα στο παραπάνω χρονικό διάστηµα η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλή και το διάγραµµα θέσης – χρόνου θα είναι µια ευθεία γραµµή. Τη χρονική στιγµή t2 =4 s το κινητό έχει διανύσει συνολικά µετατόπιση ∆x=60m και έχει βρεθεί στη θέση x2=60m αφού x0=0m.
- 117. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 116 Έτσι έχουµε το παρακάτω διάγραµµα x – t για το χρονικό διάστηµα από 2 - 4 s. 9) Από τις άκρες Α και Β ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ=120m, ξεκινούν ταυτόχρονα δυο κινητά µε υΑ=10m/sec και υΒ=30m/sec µε αντίθετες φορές. α) Σε πόσο χρόνο θα συναντηθούν β) Σε ποια απόσταση από το Α; Λύση: α) Σε ασκήσεις συνάντησης κινητών θα προσπαθούµε να βρίσκουµε κάποιο γνωστό άθροισµα ή κάποια γνωστή διαφορά στις µετατοπίσεις ή στους χρόνους. Κάποιες φορές µπορεί να έχουµε και κοινή µετατόπιση. Συνήθως ο χρόνος (όταν τα δυο κινητά ξεκινούν ταυτόχρονα), είναι κοινός. Έστω λοιπόν ότι τα δύο κινητά συναντούνται στο σηµείο Γ και το Α κινητό έχει µετατοπιστεί κατά xΑ ενώ το Β κατά xΒ. Τότε xΑ + xΒ = (ΑΒ) ή υΑ t + υΒ t = (ΑΒ) ή t⋅(υΑ + υΒ) = (ΑΒ ) ή A Γ Β υΑ xB υΒ 2 4 x m) ( t( ) s 20 60 0
- 118. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 117 t= Β Α υ υ (AB) + ή t = 120 40 ή t = 3 s. Τα δύο σώµατα συναντούνται στο σηµείο Γ σε χρόνο 3 s. β) Η απόσταση από το Α είναι xΑ = υΑ ⋅ t = 10 ⋅3 = 30 m ενώ από το Β είναι xΒ = 120 - 30 ή xΒ = 90m. Ή αλλιώς xΒ =υΒ⋅t = 30⋅3 = 90 m ( από την εξίσωση κίνησης). 10) Αν η µετατόπιση για δυο κινητά που κινούνται στην ίδια ευθεία είναι x1=10⋅t και x2=20⋅t-200 να βρείτε ποια χρονική στιγµή θα ανταµώσουν και σε πόση απόσταση από την αρχή Ο των συντεταγµένων; Λύση: Όταν τα δυο κινητά θα ανταµώσουν τότε θα πρέπει να βρίσκονται στην ίδια θέση άρα θα πρέπει να έχουν την ίδια τετµηµένη x. Έτσι ισχύει x1=x2 ή 10⋅t=20⋅t-200 ή 10⋅t=200 ή t=20 s. Άρα τα δυο κινητά θα συναντηθούν τη χρονική στιγµή t=20 s. Τότε όµως είναι x1=10⋅t ή x1= 200m. Παρόµοια είναι και x2=20⋅t-200 ή x2=400-200 ή x2=200 m=x1. ∆ηλαδή η συνάντηση των δυο κινητών θα γίνει τη χρονική στιγµή t=20 s στη θέση x=200m, πάνω στον άξονα x΄οx που γίνεται η κίνηση των δυο κινητών. 11)Ένα φορτηγό αυτοκίνητο µήκους 20m που κινείται στην εθνική οδό, µε σταθερή ταχύτητα υ=20m/s, περνά από ένα τούνελ, µήκους s=400m. α) Για πόσο χρόνο τµήµατα του φορτηγού θα βρίσκονται µέσα στο τούνελ; β) Για πόσο χρόνο θα βρίσκεται ολόκληρο το φορτηγό µέσα στο τούνελ; Λύση: α) Το συνολικό διάστηµα που διανύει το φορτηγό µέχρι και το τελευταίο τµήµα του να βγει από το τούνελ, από τη στιγµή που αρχίζει να µπαίνει σ’ αυτό είναι x = s + λ όπου λ το µήκος του φορτηγού.
- 119. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 118 Έτσι έχουµε υ = t x ή υ = t s λ + ή t = υ s λ + ή t = 20 20 400 + ή t = 20 420 ή t = 21 s. β) Για να βρίσκεται ολόκληρο το φορτηγό µέσα στο τούνελ θα πρέπει το συνολικό διάστηµα που θα διανύσει το φορτηγό από τη στιγµή που θα βρεθεί ολόκληρο µέσα στο τούνελ, µέχρι τη στιγµή που θα αρχίσει να βγαίνει από αυτό να είναι s-ℓ. Έτσι έχουµε υ = t x ή υ = s t − l ή t = s υ − l ή t = 400 20 20 − ή t = 380 20 ⇒ t = 19 s. 12)Ένα αυτοκίνητο περνάει µπροστά από τον παρατηρητή Π, µε σταθερή ταχύτητα υ1=20m/s. Μετά από χρόνο ∆t=10 s περνάει ένα περιπολικό µε ταχύτητα υ2=30m/s. Να βρείτε µετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν και σε πόση απόσταση από τον παρατηρητή Π; Λύση: Έστω ότι το περιπολικό και το αυτοκίνητο συναντιούνται στο σηµείο Α που απέχει απόσταση s = ∆x από τον παρατηρητή Π. Τότε το διάστηµα αυτό για το αυτοκίνητο είναι s = ∆x = υ1⋅t (1) . Για το περιπολικό όµως που πέρασε από τον παρατηρητή µετά από χρόνο ∆t = 10 sec άρα διήνυσε την απόσταση ∆x σε 10 sec λιγότερο από το αυτοκίνητο θα έχουµε s = ∆x = υ2⋅(t–10 ) (2). Επειδή στις σχέσεις (1) και (2) τα πρώτα µέλη είναι ίσα θα έχουµε και υ1 ⋅ t = υ2⋅(t–10) ή 20⋅t = 30⋅(t–10 ) ή 2⋅t=3t–30 ή ή 3⋅t – 2⋅t = 30 ή t = 30 s και ∆x = s = υ1⋅t = 20⋅30 = 600 m ή ∆x =s = υ2⋅(t–10)= 30⋅20 = 600 m .
- 120. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 119 1)Σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε σταθερή ταχύτητα υ=10m/s το κινητό βρίσκεται αρχικά στη θέση x0=-10m. Ποια θα είναι η θέση του κινητού τη χρονική στιγµή t=5sec και πόση είναι η µετατόπιση του; 2) Αν κινητό κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ=-72 Km/h και τη χρονική στιγµή t0=0 βρίσκεται στη θέση x0=120 m που θα βρίσκεται µετά από χρόνο t=0,3min; 3)α)Σώµα µάζας m κινείται µε σταθερή ταχύτητα από τη θέση Α µε x0=-3m στη θέση Β µε x=3m σε χρόνο ∆t=0,2s .Ποια είναι η σταθερή ταχύτητα του κινητού; 4)Η ταχύτητα για ένα κινητό που κινείται ευθύγραµµα µεταβάλλεται όπως στο σχήµα: α) Πόση είναι η συνολική µετατόπιση του κινητού για ∆t=15 s; β)Πόση είναι η υµ για ∆t=10 s από τη στιγµή που ξεκίνησε; γ)Πόση είναι η στιγµιαία ταχύτητα τη χρονική στιγµή t=5,75 s; 5)Η θέση για ένα κινητό που κινείται ευθύγραµµα µεταβάλλεται όπως στο σχήµα: α)Πόση είναι η µετατόπισή του για ∆t=7s; β)Πόση είναι η υµ για ∆t=5s από τη στιγµή που ξεκίνησε; γ)Πόση είναι η στιγµιαία ταχύτητα τη χρονική στιγµή t=5s; υ(m/s) 40 5 10 15 t(s) Χ(m) 20 5 7 9 14 t(s) -8
- 121. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 120 γ)Πόση είναι η υµ για ∆t=14s δ) Να γίνει η Γ.Π της υ(t) και να υπολογιστεί η συνολική µετατόπιση του κινητού. 6)Ποιο από τα δύο κινητά του σχήµατος κινείται γρηγορότερα; 7)Από τις άκρες Α και Β ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ=140m ξεκινούν ταυτόχρονα δυο κινητά µε υΑ=30m/sec και υΒ=40m/sec µε αντίθετες φορές. Α) Σε πόσο χρόνο θα συναντηθούν Β)Σε ποια απόσταση από το Α; Να απαντήσετε στα παραπάνω ερωτήµατα αν τα δυο κινητά κινούνται µε την ίδια φορά, έτσι ώστε κάποτε να συναντηθούν. 8)∆υο κινητά απέχουν απόσταση ΑΒ=210m. Από το Α ξεκινάει το κινητό µε υΑ=30m/sec και ύστερα από ∆t=5sec ξεκινάει το κινητό από τη θέση Β µε υΒ=30m/sec, αντίθετης φοράς. Μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν από τη στιγµή που ξεκίνησε το Α και σε ποια απόσταση απ' αυτό; 9) Το διάγραµµα ταχύτητας – χρόνου υ(t) για ένα κινητό είναι αυτό του διπλανού σχήµατος. Να γίνει το διάγραµµα θέσεως – χρόνου x(t) αν για t0=0 s είναι x0=0m. Χ B A t υ(m/s) 10 2 6 8 t(s) -5
- 122. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 121 10)Για δυο κινητά (Α) και (Β) οι ταχύτητες µεταβάλλονται όπως στο σχήµα: α) Ποια χρονική στιγµή έχουν την ίδια ταχύτητα; β)Πόσο απέχουν τότε µεταξύ τους; 11) Για τη µεταβαλλόµενη κίνηση του διπλανού σχήµατος και για το χρονικό διάστηµα από 0 έως t1 (s) ποια είναι η µέση ταχύτητα του κινητού; 12)Ένα σώµα κινείται στον άξονα των x έτσι, ώστε η θέση του κάθε στιγµή να δίνεται από τη σχέση x=5t2 +1, x(m) , t(s). Υπολογίστε τη υµ για α) t1=2s & t2=3s β) t1=2s & t2=2,1s γ) t1=2s & t2=2,00001s δ) Μπορείτε να προβλέψετε τη στιγµιαία ταχύτητα τη χρονική στιγµή t=2s; υ(m/s) (Β) 10 (Α) 2 4 6 t(s) υ(m/s) 0 t1 t(s)
- 123. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 122 13) Η θέση ενός κινητού σαν συνάρτηση του χρόνου φαίνεται στο σχήµα. ∆είξτε: α) Σε ποια χρονικά διαστήµατα η κίνηση γίνεται στη θετική και σε ποια στην αρνητική κατεύθυνση του άξονα x΄x; β) Πότε το κινητό κινείται µε σταθερή ταχύτητα και πότε ηρεµεί; γ)Πότε το κινητό περνάει από την αρχή των αξόνων και δ)Παραστήστε γραφικά την ταχύτητα σαν συνάρτηση του χρόνου. 14)Ένας αθλητής θέλει να διανύσει µια απόσταση s=3000m σε χρόνο t=8min. Για χρόνο t1=6min τρέχει µε σταθερή ταχύτητα υ=5m/s. Με πόση ταχύτητα πρέπει να τρέξει στη συνέχεια για να διανύσει την υπόλοιπη απόσταση σε 2 min; 15)Ένα αυτοκίνητο περνάει µπροστά από τον παρατηρητή Π, µε σταθερή ταχύτητα υ1=20m/s. Μετά από χρόνο ∆t=10sec περνάει ένα περιπολικό µε ταχύτητα υ2=30m/s. Να βρείτε µετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν και σε πόση απόσταση από τον παρατηρητή Π; 16)Αν η µετατόπιση για δυο κινητά που κινούνται στην ίδια ευθεία είναι x1=t και x2=2t-6 να βρείτε ποια χρονική στιγµή θα ανταµώσουν και σε πόση απόσταση από την αρχή Ο των συντεταγµένων; 17)∆υο κινητά (Α) και (Β) που απέχουν απόσταση s=500m αρχίζουν να κινούνται µε ταχύτητες υΑ=15m/s και υΒ=10m/s. Ένα τρίτο κινητό (Γ) που βρίσκεται µεταξύ των (Α) και (Β) ξεκινάει να κινείται ταυτόχρονα µε ταχύτητα Χ(m) 8 6 1 2 4 5 7 8 9 t(s) -4 -6
- 124. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 123 υΓ=50m/s από το (Α) στο (Β) και ξανά στο (Α), συνέχεια, µέχρι τα τρία σώµατα να συναντηθούν. Πόσο διάστηµα διήνυσε τότε κάθε κινητό αν τα (Α) και (Β) α)κινούνται µε αντίθετη φορά β)κινούνται µε την ίδια φορά; 18)∆υο ποδηλάτες ξεκινούν ταυτόχρονα από το ίδιο σηµείο (Μ) και κινούνται αντίθετα κατά µήκος ευθύγραµµου δρόµου µε ταχύτητες υΑ και υΒ. Μετά από χρόνο t1=150 s o (A) συναντά ένα φορτηγάκι που κινείται αντίθετα προς το (Μ) µε σταθερή ταχύτητα υ1=15m/s. To φορτηγάκι σταµατάει και παίρνει τον ποδηλάτη σε χρόνο ∆t=50 s και επιστρέφουν µαζί στο (Μ) µετά από χρόνο t2=100 s. Στη συνέχεια συναντούν το (Β) αφού διανύσουν απόσταση s=3000m από το (Μ). Να υπολογιστούν οι ταχύτητες υΑ και υΒ των δυο ποδηλατών. 19)∆υο δροµείς ξεκινούν να τρέχουν από το ίδιο σηµείο (Ο), µε αντίθετες φορές σε ευθύγραµµο δρόµο, µε διαφορά χρόνου ∆t=5 s. Ο δροµέας (Α) συναντάει µετά από χρόνο t1=50 s µοτοσικλέτα που κινείται αντίθετα προς το (Ο) µε ταχύτητα υ1=30m/s, η οποία φτάνει στο (Ο), µετά από χρόνο t2=15sec. Στη συνέχεια και αφού διανύσει διάστηµα s=600m, συναντάει τον (Β). Να υπολογιστούν οι ταχύτητες υΑ και υΒ των δυο δροµέων. 20)Ένας µοτοσικλετιστής ξεκινάει από την πόλη (Α) για να πάει στην πόλη (Β). Στην αρχή κινείται µε υ1=80Km/h µέχρι το µισό της διαδροµής και ύστερα διανύει την υπόλοιπη διαδροµή µε υ2=120Κm/h. Έτσι φτάνει στην πόλη (Β) κατά 20min νωρίτερα απ' ότι θα έφτανε να κινούταν σε όλη τη διαδροµή µε υ1. Να βρεθούν: α)η απόσταση των δυο πόλεων και β)η µέση ταχύτητα του µοτοσικλετιστή.
- 125. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 124 21)Είναι δυνατόν η γραφική παράσταση της διαδροµής ενός αυτοκινήτου που δίνεται στο σχήµα, να παριστάνει πραγµατική περίπτωση; Εξηγήστε. 22)α) Να βρείτε τη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή t=4 s. β)Πόση είναι η µέση ταχύτητα για τα πρώτα 6 s της κίνησης; 23)Ένα τρένο τρέχει µε ταχύτητα υ1=80 Km/h, για t1=0,5h, ύστερα µε υ2=40 Km/h για t2=0,6h και τέλος µε υ3=100 Km/h για t1=0,9h.Να βρείτε τη µέση ταχύτητά του. 24)Ένας άνθρωπος πηγαίνει µε σταθερή ταχύτητα υ ως τη γωνία του δρόµου, για να ταχυδροµήσει ένα γράµµα και επιστρέφει µε την ίδια σταθερή ταχύτητα. Να σχεδιάσετε τα διαγράµµατα της x(t) και της υ(t). 25)Αθλητής κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ κάθετη σε κατακόρυφο τοίχο. Τη στιγµή που απέχει απόσταση S απ' αυτόν πετάει ένα µπαλάκι µε ταχύτητα υ1=10m/sec το οποίο συγκρούεται ελαστικά µε τον τοίχο και επιστρέφει σ' x(m) t(s) x (m) 25 20 15 10 2 4 6 t(s)
- 126. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 125 αυτόν, αφού ο αθλητής, έχει διανύσει τα 3 2 της απόστασης S. Να βρείτε την ταχύτητα υ του αθλητή. 26)Από τα παρακάτω διαγράµµατα θέσεως χρόνου να υπολογιστεί η ταχύτητα του κινητού και να κατασκευάσετε τα αντίστοιχα διαγράµµατα ταχύτητας χρόνου υ(t). x(m) 30 10 4 t(s) x(m) 25 5 t(s) x(m) 20 10 t(s) x(m) 24 6 t(s)
- 127. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 126 27)Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κινητού για κάθε χρονικό διάστηµα ∆t από το παρακάτω διάγραµµα θέσεως χρόνου και να γίνει η γραφική παράσταση της υ(t). 28)Να υπολογιστεί η συνολική µετατόπιση του κινητού από το παρακάτω διάγραµµα ταχύτητας χρόνου. x(m) 10 5 2 4 5 6 7 8 t(s) -10 υ(m/s) 10 2 4 6 8 t(s) -10
- 128. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 127 29) Να υπολογιστεί η συνολική µετατόπιση του κινητού από τα παρακάτω διαγράµµατα ταχύτητας χρόνου. 30)Ένα φορτηγό αυτοκίνητο µήκους 10m που κινείται στην εθνική οδό, µε σταθερή ταχύτητα υ=16m/s, περνά από ένα τούνελ, µήκους s=390m. Για πόσο χρόνο τµήµατα του φορτηγού θα βρίσκονται µέσα στο τούνελ; 31)Ένα αυτοκίνητο µήκους s=4m περνά από γέφυρα µήκους λ=152m, µε σταθερή ταχύτητα υ=13m/s. Πόσο χρόνο θα χρειαστεί το αυτοκίνητο για να περάσει από τη γέφυρα; 32)1.Ένα αυτοκίνητο µήκους λ1=5m, κινείται στην εθνική οδό µε σταθερή ταχύτητα υ1=108Km/h και θέλει να προσπεράσει ένα λεωφορείο µήκους λ2=20m, που κινείται στην ίδια διεύθυνση µε σταθερή ταχύτητα υ2=72Km/h. Πόσο χρόνο θα διαρκέσει η προσπέραση; 2. Στη συνέχεια καθώς κινείται στην εθνική βλέπει από απέναντι σε απόσταση S=125m, να έρχεται ένα όµοιο λεωφορείο, µε την ίδια κατά µέτρο ταχύτητα. Για πόσο χρόνο οι επιβάτες του λεωφορείου που κάθονται στη γαλαρία, θα βλέπουν το αυτοκίνητο; υ(m/s) 10 2 3 5 6 t(s) -5 υ(m/s) 1 3 5 t(s)
- 129. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 128 1) Αν η µέση ταχύτητα ( ) είναι ίδια για οποιοδήποτε χρονικό διάστηµα (∆t), τότε συµπίπτει µε τη στιγµιαία ταχύτητα και λέµε ότι το σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα. ( ) 2)Κάθε κίνηση µε σταθερή ταχύτητα υ ρ λέγεται ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. ( ) 3)Η εξίσωση κίνησης στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι x=υt2 . ( ) 4)Η ταχύτητα ενός σηµειακού αντικειµένου µια ορισµένη χρονική στιγµή της κίνησης ορίζεται ως ο ρυθµός µεταβολής της θέσης κατά τη στιγµή εκείνη. ( ) 5)Το µέτρο της ταχύτητας µας πληροφορεί για το πόσο γρήγορα ή αργά κινείται το αντικείµενο ενώ η κατεύθυνση µας πληροφορεί για το προς τα πού κινείται το αντικείµενο εκείνη τη στιγµή. ( ) 6)Η ταχύτητα µεταβάλλεται µόνο όταν αλλάζει το µέτρο της. ( ) 7) Η ακινησία ή η ηρεµία σε σχέση µε ένα σηµείο αναφοράς µπορεί να θεωρηθεί ως οµαλή κίνηση µε ταχύτητα υ = 0. Σ' αυτή την περίπτωση, το διάγραµµα της ταχύτητας συµπίπτει µε τον άξονα του χρόνου. ( )
- 130. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 129 8) Το διπλανό διάγραµµα ταχύτητας χρόνου αναφέρεται σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. ( ) 1)Η εξίσωση κίνησης ενός κινητού στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι α) x=υ⋅t β)υ=σταθ. γ)α=σταθ. δ)x=υ⋅t2 2)Το µέτρο της ταχύτητας ενός κινητού στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση δίνεται από τη σχέση: α) υµ= σταθερή β) υµ= t x ∆ ∆ = σταθερή γ) υµ= t x im t ∆ ∆ → ∆ 0 λ δ) υµ=∆x⋅t 3)Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση α) η ταχύτητα του σώµατος αυξάνεται β) το µέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό γ) ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας είναι σταθερός δ) υ=x⋅t
- 131. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 130 x t (B) (A) 4)Σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση α)Η γραφική παράσταση θέσεως χρόνου είναι µια ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων β) Η γραφική παράσταση θέσεως χρόνου είναι µια ευθεία που µπορεί να περνάει ή όχι από την αρχή των αξόνων γ) Σε οποιαδήποτε ίσα χρονικά διαστήµατα οι επιµέρους µετατοπίσεις διαφέρουν δ)Η γραφική παράσταση θέσεως χρόνου είναι µια παραβολή 5) Σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το διάγραµµα της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι α) µια ευθεία γραµµή παράλληλη προς τον άξονα του χρόνου, β) µια ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων, γ) µια παραβολή, δ)ένα σηµείο. 6) Όταν το σώµα είναι ακίνητο, α) η ταχύτητά του είναι σταθερή. β) το διάγραµµα θέσης-χρόνου είναι ευθεία γραµµή παράλληλη µε τον άξονα των χρόνων. γ) το διάγραµµα θέσης-χρόνου συµπίπτει πάντα µε τον άξονα του χρόνου. δ) η µετατόπισή του είναι θετική. 7)Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση α) υ= t x ∆ ∆ β) υ=∆x.∆t γ) Η ταχύτητα είναι µονόµετρο µέγεθος δ) Η ταχύτητα έχει µονάδα µέτρησης το 1Km/h στο S.I 8)α)H ταχύτητα του κινητού Α είναι µεγαλύτερη απ’ αυτή του Β β) H ταχύτητα του κινητού Β είναι µεγαλύτερη απ’ αυτή του Α γ)∆εν µπορούµε να συγκρίνουµε τις ταχύτητες δ)οι κινήσεις των Α και Β είναι µεταβαλλόµενες
- 132. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 131 υ(m/s) t(s) 5 10 20 -10 υ(m/s) t(s) 2 15 9)Αν ένα κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε x=-10+5t τότε α) x0=-10m υ=5m/s t0=0 β) x0=5m υ=-10m/s γ) x0=-10m ∆υ ∆t =5m/s2 δ) x0=-10m t0=5s 10)Για ένα κινητό που εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση η ταχύτητα µεταβάλλεται όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραµµα: α) Η συνολική µετατόπιση του κινητού είναι 0 β)Το κινητό κινείται αρχικά για 5s προς το θετικό ηµιάξονα και στη συνέχεια για άλλα 5s κινείται προς τον αρνητικό ηµιάξονα γ) η µέση ταχύτητα του κινητού είναι 2,5m/s δ)Αν x0=0 τότε η τελική θέση του κινητού είναι x=100m. 11)Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση για την οποία η ταχύτητα µεταβάλλεται όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραµµα: α) Η κίνηση είναι µεταβαλλόµενη β) Η συνολική µετατόπιση του κινητού είναι 30m γ) η τελική θέση του κινητού είναι x=30m δ)Το κινητό κινείται προς τον αρνητικό ηµιάξονα 12)Κινητό κινείται ευθύγραµµα και οµαλά όταν: α) υ=σταθ. β) υ ρ =σταθ. γ) x=σταθ. δ) x r =σταθ. 13)Η µετατόπιση ενός κινητού είναι: α) µονόµετρο µέγεθος β) αριθµητικό µέγεθος γ) διανυσµατικό µέγεθος δ) τίποτα από τα παραπάνω
- 133. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 132 14) Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η µετατόπιση του κινητού είναι: α) αντιστρόφως ανάλογη της ταχύτητας β) ανάλογη της ταχύτητας γ) ανάλογη µε τη φορά της κίνησης δ) αντιστρόφως ανάλογο του χρόνου κίνησης. 1) Για την ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε τη χρήση µαθηµατικών σύµβολων γράφουµε: = ………=σταθερή )Κάθε κίνηση µε σταθερή ταχύτητα λέγεται ……………….. …………………. …………………. 3)Σε κάθε ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το διάγραµµα (x,t) θα είναι ………………. …………..….εφόσον η σχέση είναι πρωτοβάθµια. 4) Αν υ= σταθερό, προκύπτει ότι σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση οι µετατοπίσεις είναι ………………….µε τα χρονικά διαστήµατα µέσα στα οποία πραγµατοποιούνται. 5)Η ταχύτητα ενός σηµειακού αντικειµένου µια ορισµένη χρονική στιγµή της κίνησης ορίζεται ως ο ρυθµός ………………… της ……………….. εκείνη τη στιγµή . Υπολογίζεται από την τιµή στην οποία τείνει η µέση ταχύτητα όταν η χρονική διάρκεια µέτρησης τείνει στο ……………. 6) Η µετατόπιση ενός υλικού σηµείου δίνεται από τη σχέση ∆x=…………. 7) Μια κίνηση ονοµάζεται µεταβαλλόµενη αν είτε το ………………είτε η ……………….ή και τα δυο µεταβάλλονται.
- 134. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 133 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Μηχανική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ∆ΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναµης 1. Πότε δυο σώµατα αλληλεπιδρούν; ∆υο σώµατα αλληλεπιδρούν, όταν ασκούν δυνάµεις το ένα στο άλλο. Όπως η κίνηση έτσι και η αλληλεπίδραση αποτελεί ένα γενικό χαρακτηριστικό της ύλης. 2. Τι ονοµάζουµε δύναµη; ∆ύναµη ονοµάζουµε την αιτία που προκαλεί: 1. µεταβολή στην ταχύτητα των σωµάτων στα οποία ασκείται. 2. παραµόρφωση των σωµάτων στα οποία ασκείται. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ α. Οι δυνάµεις εµφανίζονται πάντοτε ανά δυο µεταξύ δυο σωµάτων. Αυτό είναι ένα κοινό χαρακτηριστικό όλων των δυνάµεων. Έτσι λέµε ότι δυο σώµατα αλληλεπιδρούν. Για παράδειγµα, το οδόστρωµα ασκεί δύναµη στα ελαστικά των αυτοκινήτων και τα ελαστικά στο οδόστρωµα, ο ήλιος στη γη και η γη στον ήλιο. β. Αυτό το οποίο αντιλαµβανόµαστε είναι τα αποτελέσµατα των δυνάµεων και όχι τις ίδιες τις δυνάµεις. Είναι λοιπόν φανερό ότι µια δύναµη γίνεται αισθητή από τα αποτελέσµατα που προκαλεί.
- 135. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 134 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ 1. ∆ύναµη και αλλαγή της κινητικής κατάστασης: α. Ένα παιδί µέσω ενός σχοινιού εξασκεί δύναµη σε µια ακίνητη βάρκα. Η βάρκα αρχίζει να κινείται, η ταχύτητα της βάρκας µεταβάλλεται (αυξάνεται). β. Αφήνουµε µια πέτρα από κάποιο ύψος να πέσει. Μόλις η πέτρα φθάσει στο έδαφος το έδαφος ασκεί δύναµη στην πέτρα και αυτή σταµατά. Η ταχύτητα της πέτρας µεταβάλλεται (µειώνεται). γ. Ο τερµατοφύλακας, για να αλλάξει την πορεία της µπάλας που κατευθύνεται προς το τέρµα του, χτυπάει τη µπάλα δυνατά µε το χέρι του. Λέµε ότι το χέρι ασκεί δύναµη στην µπάλα και η ταχύτητα της µπάλας µεταβάλλεται. 2. ∆ύναµη και παραµόρφωση των σωµάτων: α. Όταν φυσάει ο άνεµος τότε ασκεί δύναµη στα πανιά και τα πανιά του ιστιοφόρου «φουσκώνουν»-παραµορφώνονται. β. Κρατάµε στα χέρια µας ένα κοµµάτι πλαστελίνης και το πιέζουµε. Το χέρι µας ασκεί δύναµη στην πλαστελίνη και η πλαστελίνη παραµορφώνεται. γ. Τραβάµε ένα ελατήριο ασκώντας δύναµη µε το χέρι µας και το επιµηκύνουµε. Το ελατήριο παραµορφώνεται. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: 1. Πολλές φορές µια δύναµη προκαλεί και τα δύο αποτελέσµατα ταυτόχρονα. Για παράδειγµα, όταν χτυπάµε µε τη ρακέτα ένα µπαλάκι του τένις, το µπαλάκι παραµορφώνεται και η ταχύτητα του µεταβάλλεται.
- 136. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 135 2.Ποιες παραµορφώσεις σωµάτων ονοµάζονται ελαστικές και ποιες πλαστικές; Πλαστικές ονοµάζονται οι παραµορφώσεις στις οποίες µεταβάλλεται µόνιµα το σχήµα του σώµατος, ενώ ελαστικές είναι οι παραµορφώσεις στις οποίες το σώµα παίρνει το αρχικό του σχήµα όταν πάψει να εξασκείται η αιτία που το έχει µεταβάλλει. 3. Πως συµβολίζεται µια δύναµη; Και ποια είναι η µονάδα µέτρησης της δύναµης στο S.I; Η δύναµη συµβολίζεται µε το γράµµα F. (Force) Η µονάδα δύναµης στο ∆ιεθνές Σύστηµα Μονάδων (S.I.) ονοµάζεται 1 Ν (Newton-Νιούτον). 4. Τι µέγεθος είναι η δύναµη; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της γνωρίσµατα; Η δύναµη εκτός από µέτρο έχει και κατεύθυνση. Έτσι το αποτέλεσµα µιας δύναµης (η µεταβολή της ταχύτητας ή η παραµόρφωση ενός σώµατος) εξαρτάται όχι µόνο από το µέτρο της αλλά και από την κατεύθυνση στην οποία ασκείται η δύναµη. Εποµένως, είναι διανυσµατικό µέγεθος και θα την παριστάνουµε µε ένα βέλος που έχει την κατεύθυνση της δύναµης. Το σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος που παριστάνει τη δύναµη, είναι το σηµείο του σώµατος, στο οποίο ασκείται. Αν ένα σώµα θεωρηθεί υλικό σηµείο, τότε το σηµείο εφαρµογής της δύναµης ταυτίζεται µε αυτό. Το µέτρο της δύναµης ισούται µε το µήκος του διανύσµατος, αν αυτό σχεδιαστεί µε κατάλληλη κλίµακα. Εάν διαλέξουµε 1 cm να αντιστοιχεί σε 1 Ν, τότε η δύναµη 8 Ν παριστάνεται από διάνυσµα µήκους 8 cm. Άρα:
- 137. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 136 Τ Η δύναµη είναι διανυσµατικό µέγεθος και τα χαρακτηριστικά της γνωρίσµατα είναι το µέτρο, η διεύθυνση και η φορά (κατεύθυνση) και το σηµείο εφαρµογής της. 5. Από τι εξαρτάται το αποτέλεσµα µιας δύναµης που ασκείται σε ένα σώµα; Το αποτέλεσµα µιας δύναµης που ασκείται σε ένα σώµα εξαρτάται τόσο από την τιµή της όσο και από την κατεύθυνσή της, καθώς και από τα χαρακτηριστικά του σώµατος. 6. Ποιες κατηγορίες δυνάµεων γνωρίζετε; Α. ∆υνάµεις επαφής: Είναι οι δυνάµεις που ασκούνται κατά την επαφή δυο σωµάτων. Τέτοιες είναι: α. Οι δυνάµεις που ασκούν τα τεντωµένα σχοινιά ή νήµατα και τα ελατήρια. Αυτή δύναµη ονοµάζεται τάση (T) του σχοινιού ή του ελατηρίου. Τέτοια είναι η δύναµη που ασκεί ο αθλητής µέσω του νήµατος στη σφαίρα του σχήµατος. β. Οι δυνάµεις που ασκούνται κατά τη σύγκρουση δυο σωµάτων. F F
- 138. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 137 γ. Η κάθετη αντίδραση (Ν ή FN ) που ασκεί µια επιφάνεια πάνω σ’ ένα σώµα που στηρίζεται σ’ αυτή. δ. Η δύναµη της τριβής (T). δ. Η δύναµη που ασκούν τα υγρά στα τοιχώµατα του δοχείου που τα περιέχει ή στα σώµατα που βρίσκονται µέσα σε αυτά (άνωση A). Οι δυνάµεις από επαφή που ασκούνται σε ένα σώµα είναι τόσες όσα είναι τα σώµατα µε τα οποία αυτό έρχεται σε επαφή. Β. ∆υνάµεις από απόσταση (επαγωγής) Τέτοιες είναι: α. Η βαρυτική δύναµη ή βάρος ενός σώµατος (w) . Στο διπλανό σχήµα «βλέπουµε» τη βαρυτική αλληλεπίδραση Γης - Σελήνης. m w w T w T΄ A
- 139. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 138 β. Οι ηλεκτρικές δυνάµεις (Fηλ) Στο διπλανό σχήµα δυο ηλεκτρικά φορτία έλκονται. γ. Οι µαγνητικές δυνάµεις (F). Στο διπλανό σχήµα ο µαγνήτης έλκει τη µεταλλική σφαίρα από απόσταση. 7. Να αναφέρετε το νόµο του Hook για τις ελαστικές παραµορφώσεις. «Οι ελαστικές παραµορφώσεις είναι ανάλογες προς τις αιτίες (δυνάµεις) που τις προκαλούν». Έτσι εφαρµόζοντας διπλάσια και τριπλάσια δύναµη σ’ ένα ελατήριο, η επιµήκυνση του ελατηρίου διπλασιάζεται και τριπλασιάζεται, αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Αυτό σηµαίνει ότι: Η επιµήκυνση ενός ελατηρίου είναι ανάλογη µε τη δύναµη που ασκείται σε αυτό. Μαθηµατικά η παραπάνω πρόταση διατυπώνεται µε τη σχέση: F=K⋅ ⋅ ⋅ ⋅x (Νόµος του Hook)
- 140. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 139 Την παραπάνω ιδιότητα των ελατηρίων την εκµεταλλευόµαστε για την κατασκευή οργάνων µέτρησης δυνάµεων: των δυναµόµετρων 8. Τι παριστάνει το σύµβολο Κ στο νόµο του Hook; Το σύµβολο Κ παριστάνει ένα µέγεθος χαρακτηριστικό της σκληρότητας του ελατηρίου που ονοµάζεται «σταθερά του ελατηρίου». Έτσι όσο πιο σκληρό είναι ένα ελατήριο τόσο µεγαλύτερη είναι η σταθερά Κ, ενώ όσο πιο µαλακό είναι αυτό τόσο µικρότερη είναι η σταθερά του Κ. Η σταθερά Κ εξαρτάται από τη φύση (υλικό) και τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του ελατηρίου (µήκος, πάχος κ.λπ.) και x είναι η µεταβολή του µήκους του ∆ℓ σε σχέση µε το φυσικό µήκος ℓ0 του ελατηρίου. Ισχύει x=∆ℓ=ℓ- ℓ0, όπου ℓ είναι το τελικό µήκος του ελατηρίου. Φυσικό µήκος (ℓ0)του ελατηρίου ονοµάζουµε το µήκος που έχει το ελατήριο όταν είναι απαραµόρφωτο. ∆ηλαδή όταν δεν είναι ούτε επιµηκυµένο ούτε συµπιεσµένο. Η µονάδα µέτρησης της σταθεράς Κ του ελατηρίου στο S.I είναι το 1N/m. 9. Πως µπορούµε να µετρήσουµε µια δύναµη µε το νόµο του Hook; Μπορούµε να πούµε ότι τα παραµορφωτικά αποτελέσµατα των δυνάµεων µας βοηθούνε να τις υπολογίσουµε. Έτσι χρησιµοποιώντας ένα κατάλληλο ελατήριο µπορούµε να βασιστούµε στο νόµο του Hook για να κατασκευάσουµε ένα δυναµόµετρο. Στη συνέχεια το βαθµολογούµε βάση των επιµηκύνσεων που προκαλούν γνωστά βάρη, τα οποία κρεµάµε από το άκρο του. Έτσι µε το F x K, 0 Θ.Φ.Μ
- 141. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 140 δυναµόµετρο που κατασκευάσαµε µπορούµε στη συνέχεια να υπολογίζουµε το µέτρο µιας άγνωστης δύναµης. 1. Σ’ ένα δυναµόµετρο εξασκούµε διαδοχικά κατακόρυφες δυνάµεις (F) όπως φαίνεται στο σχήµα και αυτό επιµηκύνεται. Έτσι προκύπτει ο παρακάτω ηµισυµπληρωµένος πίνακας. Επιµήκυνση x: (cm) 2 9 12 20 ∆ύναµη F: (N) 25 100 α) Να υπολογίσετε τη σταθερά Κ του ελατηρίου του δυναµόµετρου. β) Να συµπληρώσετε τον πίνακα. γ) Να κάνετε το διάγραµµα της δύναµης F που επιµηκύνει το δυναµόµετρο σε συνάρτηση µε την επιµήκυνση x. δ) Να υπολογίσετε την κλίση της γραφικής παράστασης. Τι παρατηρείτε; Λύση: α) Σύµφωνα µε το Νόµο του Hook η επιµήκυνση ενός ελατηρίου είναι ανάλογη µε τη δύναµη που ασκείται σε αυτό δηλαδή ισχύει η σχέση: F=K⋅x . Από τις τιµές του πίνακα παρατηρούµε πως όταν στο δυναµόµετρο (ελατήριο) εξασκήσουµε δύναµη F=100Ν, τότε η επιµήκυνση του ελατηρίου είναι x=20cm. Τότε έχουµε: F=K⋅x ή K= F x = 100 20 =5N/cm ή 500Ν/m. β) Από το νόµο του Hook και για Κ=5Ν/cm έχουµε: Για επιµήκυνση x=2 cm, δύναµη F=K⋅x=5⋅2=10Ν. Παρόµοια για επιµήκυνση x=9 cm, δύναµη F=K⋅x=5⋅9=45Ν και για x=12 cm, δύναµη F=K⋅x=5⋅12=60Ν. Ακόµη για δύναµη F=25N είναι x= F K = 25 5 =5cm. F
- 142. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 141 Τελικά προκύπτει ο παρακάτω συµπληρωµένος πίνακας. γ) Από τη σχέση που περιγράφει το νόµο του Hook, F=K⋅x συµπεραίνουµε ότι η δύναµη και η επιµήκυνση του ελατηρίου είναι ποσά ανάλογα, οπότε η γραφική παράσταση είναι µια ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων. Έτσι προκύπτει το διάγραµµα F(x) που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. δ) Επιλέγοντας ένα οποιοδήποτε ζευγάρι τιµών από τη γραφική παράσταση π.χ το x=12cm και F=60N προκύπτει ότι εφφ= 60 12 =5. Παρατηρούµε ότι ακριβώς αυτή είναι και η τιµή της σταθεράς Κ του ελατηρίου. Άρα συµπεραίνουµε ότι εφφ= F x =Κ=5N/cm ή 500Ν/m. Επιµήκυνση (cm) 2 5 9 12 20 ∆ύναµη F (N) 10 25 45 60 100 F(N) x cm ( ) 2 20 0 25 45 60 100 10 5 12 9 φ
- 143. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 142 2. Ένα ελατήριο επιµηκύνεται x1=5 cm όταν ασκείται πάνω του µια δύναµη F1=20 Ν. α) Να βρείτε τη σταθερά Κ του ελατηρίου. β) Πόσο θα επιµηκυνθεί αυτό αν του ασκηθεί η τριπλάσια δύναµη; γ) Ποια δύναµη F2 πρέπει να ασκηθεί ταυτόχρονα µε την F1 για να αυξηθεί το φυσικό µήκος του ελατηρίου κατά x=8 cm; Λύση: α) Σύµφωνα µε το Νόµο του Hook ισχύει η σχέση: F1=K⋅x1. Όταν στο ελατήριο εξασκήσουµε δύναµη F1=20Ν, τότε η επιµήκυνση του ελατηρίου είναι x1=5cm. Τότε έχουµε, F=K⋅x ή K= 1 1 F x = 20 5 =4N/cm ή 400Ν/m. β) Για F=3⋅F1=60N προκύπτει από το Νόµο του Hook ότι x= F K = 60 4 =15cm. Παρατηρούµε λοιπόν πως όταν τριπλασιάζεται η δύναµη τότε τριπλασιάζεται και η επιµήκυνση του ελατηρίου. γ) Όταν στο ελατήριο ασκείται δύναµη F1=20N τότε αυτό επιµηκύνεται κατά x1=5cm. Για να επιµηκυνθεί επιπλέον το ελατήριο κατά x2=x-x1=8-5=3cm, θα πρέπει να του ασκηθεί µια επιπλέον δύναµη F2=K⋅x2=400⋅0,03=12N.
- 144. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 143 3. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος δείχνει πως µεταβάλλεται η επιµήκυνση ενός ελατηρίου σε συνάρτηση µε τη δύναµη που ασκείται σε αυτό. Να υπολογίσετε: α) Τη σταθερά Κ του ελατηρίου. β) Την επιµήκυνση του ελατηρίου για F=340N. γ) Τη δύναµη F για την οποία η επιµήκυνση του ελατηρίου είναι 11cm. Λύση: α) Σύµφωνα µε το Νόµο του Hook ισχύει η σχέση: F=K⋅x. Όταν στο ελατήριο εξασκήσουµε δύναµη F=100Ν, τότε η επιµήκυνση του ελατηρίου είναι x=4cm. Τότε έχουµε, F=K⋅x ή K= F x = 100 4 =25N/cm ή 2.500Ν/m. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Και για οποιοδήποτε άλλο ζευγάρι τιµών δύναµης επιµήκυνσης (F,x) από το νόµο του Hook θα βρίσκαµε το ίδιο αποτέλεσµα για τη σταθερά Κ του ελατηρίου. β) Για F=340N, έχουµε F=K⋅x ή x= 340 25 =13,6 cm. γ) Για x=11 cm, έχουµε F=K⋅x ή F=25⋅11=275 N. F(N) x cm ( ) 4 0 100 200 300 400 8 12 16
- 145. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 144 Κ Θ.Φ.Μ. φ 1) Σε ελατήριο σταθεράς Κ=160Ν/m και φυσικού µήκους λ0=38cm, εξασκούµε µέγιστη δύναµη Fmax=64N παράλληλη στον άξονα του ελατηρίου. Να υπολογίσετε: α) Τη µέγιστη επιµήκυνση xmax του ελατηρίου και β) το τελικό µήκος L του ελατηρίου. 2) ∆υο οριζόντια ελατήρια µε σταθερές Κ1=800Ν/m και Κ2=200Ν/m βρίσκονται αρχικά στις θέσεις φυσικού τους µήκους. Να υπολογιστεί ο λόγος των επιµηκύνσεών τους αν ασκηθεί σε αυτά κατάλληλα η ίδια οριζόντια δύναµη F. 3) Οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ=500Ν/m έχει φυσικό µήκος ℓ0=15cm. Αν ασκήσουµε στο ελατήριο συνολική οριζόντια δύναµη F, τότε αυτό επιµηκύνεται και το µήκος του γίνεται ℓ=28cm. Να υπολογιστεί η δύναµη F. 4) Ένα σώµα είναι δεµένο στη µια άκρη ελατηρίου σταθεράς Κ=600Ν/m. Στο σώµα ασκούµε δύναµη παράλληλη στον άξονα του ελατηρίου και συσπειρώνουµε το ελατήριο κατά x1=0,2m. Να υπολογιστεί η δύναµη που ασκήσαµε στο σώµα. Για ποια δύναµη η συσπείρωση του ελατηρίου υποδιπλασιάζεται; 5) Ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 100 Ν/m, είναι στερεωµένο µε το ένα του άκρο στη βάση λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ = 30°. Ο άξονας του ελατηρίου είναι παράλληλος µε τη διεύθυνση του κεκλιµένου επιπέδου. Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου ένας άνθρωπος εξασκεί δύναµη F1 = 40 Ν, παράλληλη στο
- 146. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 145 m1 K m2 κεκλιµένο επίπεδο και το ελατήριο συσπειρώνεται κατά x1. Ποια συνολική δύναµη πρέπει να εξασκήσει ο άνθρωπος, για να προκαλέσει επιπλέον συσπείρωση του παραµορφωµένου ελατηρίου κατά x2 = 0,2 m; 6) Στις δυο άκρες του οριζόντιου ελατηρίου του σχήµατος είναι δεµένες δυο µάζες m1 και m2, ενώ η σταθερά του ελατηρίου είναι Κ=40Ν/m. Συσπειρώνουµε το ελατήριο µέγιστα κατά x=0,4m. Να υπολογιστεί η δύναµη που ασκείται από το κάθε χέρι στις δυο µάζες όταν το ελατήριο είναι µέγιστα συσπειρωµένο. 7) Στο δυναµόµετρο του σχήµατος εξασκούµε διαδοχικά δυνάµεις (F) και αυτό επιµηκύνεται. Έτσι προκύπτει ο παρακάτω ηµισυµπληρωµένος πίνακας. α) Να υπολογίσετε τη σταθερά Κ του ελατηρίου του δυναµόµετρου. β) Να συµπληρώσετε τον πίνακα. γ) Να κάνετε το διάγραµµα της δύναµης F που επιµηκύνει το δυναµόµετρο σε συνάρτηση µε την επιµήκυνση x. δ) Να υπολογίσετε την κλίση της γραφικής παράστασης. Τι παρατηρείτε; 8) Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος δείχνει πως µεταβάλλεται η επιµήκυνση ενός ελατηρίου σε συνάρτηση µε τη συνολική δύναµη που ασκείται παράλληλα σε αυτό. Να υπολογίσετε: α) Τη σταθερά Κ του ελατηρίου. β) Την επιµήκυνση του ελατηρίου για F=22N. γ) Τη δύναµη F για την οποία η επιµήκυνση του ελατηρίου είναι 38,5cm. Επιµήκυνση: x(cm) 0 5 ∆ύναµη: F(N) 4 20 F F(N) X m ( ) 0,1 0 10 20 30 40 0,2 0,3 0,4
- 147. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 146 1) ∆υο σώµατα αλληλεπιδρούν, όταν ασκούν δυνάµεις το ένα στο άλλο. Όπως η κίνηση έτσι και η αλληλεπίδραση αποτελεί ένα γενικό χαρακτηριστικό της ύλης. ( ) 2) Κάθε µεταβολή στην ταχύτητα οποιουδήποτε σώµατος σηµαίνει ότι ασκείται σε αυτό δύναµη ( ) 3) Μεταβολή στην κινητική κατάσταση ενός σώµατος µπορεί να γίνει χωρίς κάποια επέµβαση ή επίδραση. ( ) 3) Κάθε φορά που εκδηλώνεται αλλαγή της ταχύτητας σ’ ένα αντικείµενο αυτό επιταχύνεται. ( ) 4) Μπορούµε να έχουµε µεταβολή στην ταχύτητα ενός σώµατος χωρίς να εξασκείται σ’ αυτό κάποια δύναµη. ( ) 5) Η δύναµη περιγράφει την αλληλεπίδραση δυο σωµάτων. ( ) 6) ∆ύναµη λέγεται η αιτία οποιασδήποτε ταχύτητας. ( ) 7) ∆εν έχει νόηµα να µιλάµε για την επίδραση ενός σώµατος σε κάποιο άλλο αλλά µόνο για αλληλεπιδράσεις. ( ) 8) Οι µεταβολές της ταχύτητας οφείλονται σε δυνάµεις ενώ οι παραµορφώσεις των σωµάτων όχι. ( )
- 148. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 147 9) Οι δυνάµεις προκαλούν παραµόρφωση των σωµάτων στα οποία ασκούνται. ( ) 10) Ελαστικές παραµορφώσεις ονοµάζονται οι παραµορφώσεις στις οποίες το σώµα αλλάζει µόνιµα το αρχικό του σχήµα. ( ) 11) Οι παραµορφώσεις σαν αυτή της πλαστελίνης είναι πλαστικές. ( ) 12) Η εκδήλωση της ελαστικότητας ενός σώµατος δεν εξαρτάται µόνο από το υλικό αλλά και από τη δύναµη που ασκούµε σ’ αυτό. ( ) 13) Οι ελαστικές παραµορφώσεις είναι αντιστρόφως ανάλογες µε τις αιτίες που τις προκαλούν. ( ) 14) Όταν ένα µπαλάκι του τένις βρίσκεται σε επαφή µε τη ρακέτα καθώς συγκρούεται µ’ αυτή, τότε η ρακέτα ασκεί δύναµη στο µπαλάκι και αυτό α) παραµορφώνεται και β) µεταβάλλεται η ταχύτητα του. ( ) 15) Στο νόµο του Hook, F=K⋅x, το Κ παριστάνει ένα µέγεθος χαρακτηριστικό της σκληρότητας του ελατηρίου και λέγεται σταθερά του ελατηρίου. ( ) 16) Τα όργανα µε τα οποία µετράµε το µέτρο µιας δύναµης ονοµάζονται δυναµόµετρα. ( ) 17) Τα παραµορφωτικά αποτελέσµατα των δυνάµεων δεν µας εξυπηρετούν στο να τις µετρήσουµε. ( ) 18) ∆υο δυνάµεις µε ίσα µέτρα F1=F2=8N είναι ίσες. ( ) 19) Η δύναµη είναι µέγεθος διανυσµατικό, έχει δηλαδή δυο στοιχεία ταυτότητος, µέτρο και κατεύθυνση. ( ) 20) Οι δυνάµεις, οι µετατοπίσεις και οι ταχύτητες προστίθενται όλες µε τον ίδιο τρόπο, γιατί είναι όλα µεγέθη διανυσµατικά. ( )
- 149. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 148 1) Κάθε µεταβολή στην ταχύτητα σώµατος σηµαίνει ότι ασκείται σ’ αυτό: α) Σταθερή δύναµη β) Μεταβλητή δύναµη γ) ∆ύναµη δ) ∆εν ασκείται καµία δύναµη 2) ∆ύναµη λέγεται η αιτία οποιασδήποτε: α) ταχύτητας. β) µεταβολής της ταχύτητας ∆υ. γ) µετατόπισης. δ) µεταβολής 3) ∆υνάµεις επαφής χαρακτηρίζουµε τις δυνάµεις οι οποίες ασκούνται όταν ένα σώµα βρίσκεται σε επαφή µε κάποιο άλλο. Παραδείγµατα δυνάµεων επαφής είναι: α) Το βάρος καθώς και οι δυνάµεις που ασκούν τα τεντωµένα σχοινιά ή τα ελατήρια σε σώµατα. β) Οι δυνάµεις που ασκούνται µεταξύ των σωµάτων κατά τις συγκρούσεις τους. γ) Η δύναµη της τριβής ανάµεσα σε δυο επιφάνειες και η ηλεκτρική δύναµη. δ)) Η δύναµη που ασκούν τα υγρά στα τοιχώµατα του δοχείου µέσα στο οποίο περιέχονται ή στα σώµατα που είναι µέσα σ' αυτά καθώς και η µαγνητική δύναµη. 4) Ελαστικές παραµορφώσεις ονοµάζονται οι παραµορφώσεις στις οποίες: α)το σώµα τείνει να αποκτήσει το αρχικό του σχήµα β)Το σώµα αλλάζει το σχήµα του µόνιµα γ)Το σώµα αλλάζει τη σύστασή του δ)Το σώµα αλλάζει την κινητική του κατάσταση. 5) Οι ελαστικές παραµορφώσεις είναι:
- 150. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 149 α) αντιστρόφως ανάλογες µε τις αιτίες που τις προκαλούν β) ανάλογες µε τις αιτίες που τις προκαλούν γ) ανάλογες µε την αρχική κατάσταση του σώµατος δ) ανάλογες µε τη σύσταση του σώµατος. 5) Ο νόµος του Hook διατυπώνεται µε τη σχέση: α)Κ=F⋅x β)x=F⋅K γ)F= x K δ) F=K⋅x. 6) ∆υο δυνάµεις µε µέτρα 8Ν είναι: α) ίσες β) παράλληλες γ) όµοιες δ) ∆εν φτάνουν τα στοιχεία για να απαντήσουµε. 7) Η δύναµη καθορίζεται πλήρως: α) από το µέτρο της β) από τη φορά της γ) από το µέτρο την κατεύθυνσή και το σηµείο εφαρµογής της δ) από την κατεύθυνσή της.
- 151. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 150 1) Κάθε φορά που εκδηλώνεται αλλαγή της ταχύτητας ενός σώµατος η αιτία είναι µια ………..……………… 2) Μονάδα µέτρησης της δύναµης στο S.I είναι το ………………. 3) Οι µεταβολές της ………………… και οι ……………….. των σωµάτων , είναι οι δυο κατηγορίες φαινοµένων, που η εκδήλωσή τους σηµαίνει ότι εξασκείται………………………... 4) Τις παραµορφώσεις σαν της πλαστελίνης τις ονοµάζουµε …………….………….,ενώ για τα αντικείµενα που εκδηλώνουν προσωρινή αλλαγή σχήµατος οι παραµορφώσεις χαρακτηρίζονται………………… 5) Οι ελαστικές …………..……….είναι ……………… µε τις αιτίες που τις προκαλούν. ∆ηλαδή ισχύει η σχέση ………………, όπου το Κ παριστάνει ένα µέγεθος χαρακτηριστικό της ……………….του ελατηρίου και ονοµάζεται ……………… του ελατηρίου. 6) Κάθε δύναµη έχει τουλάχιστον ……. στοιχεία ταυτότητας, το ………. και την …………………., είναι δηλαδή ………………… µέγεθος.
- 152. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 151 3.2 ∆ύο σηµαντικές δυνάµεις στον κόσµο. (Το βάρος w και η τριβή T). A. ΒΑΡΟΣ (W) 1. Τι ονοµάζεται βάρος (w) ενός σώµατος; Η ελκτική δύναµη που ασκεί η γη σε οποιοδήποτε σώµα , που βρίσκεται πάνω σε αυτή ή που ακόµα ανυψώνεται ή πέφτει ονοµάζεται βάρος w (βαρυτική δύναµη). Οι βαρυτικές δυνάµεις είναι πάντα ελκτικές. Σε κάθε τόπο το βάρος w, έχει τη διεύθυνση της ακτίνας της γης και φορά προς το κέντρο της. Η διεύθυνση της ακτίνας της γης στο συγκεκριµένο τόπο ονοµάζεται κατακόρυφος του τόπου. Το βάρος ενός σώµατος ελαττώνεται όσο αυξάνεται το ύψος που βρίσκεται από την επιφάνεια του εδάφους. Ένας αστροναύτης που βρίσκεται σε ύψος h ίσο µε την ακτίνα της γης RΓ, δηλαδή όταν h=RΓ=6.400Km, h=RΓ RΓ w 1 2 w RΓ w
- 153. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 152 έχει βάρος w2 ίσο µε το 1/4 του βάρους του w1 στην επιφάνεια της γης. Ισχύει δηλαδή w2= 1 w 4 . Ένα σώµα στην επιφάνεια της σελήνης θα έχει «σεληνιακό» βάρος που θα οφείλεται στην έλξη της σελήνης. Το βάρος ενός σώµατος στην επιφάνεια της σελήνης είναι περίπου το 6 1 του βάρους του στην επιφάνεια της γης. 2. Μέχρι πού επεκτείνεται η δράση της βαρυτικής δύναµης της γης; Ο Νεύτωνας (Newton), δέχτηκε ότι η βαρυτική δύναµη που προκαλεί την πτώση ενός µήλου, ασκείται και στη Σελήνη και προκαλεί τη (σχεδόν) κυκλική κίνηση της γύρω από τη γη. Έτσι, κατέληξε στο συµπέρασµα ότι οι βαρυτικές δυνάµεις ασκούνται µεταξύ όλων των σωµάτων στο σύµπαν. 3. Να αναφέρετε το νόµο της παγκόσµιας έλξης του Νεύτωνα. ∆υο οποιαδήποτε (σηµειακά) αντικείµενα του σύµπαντος έλκονται από απόσταση µε δύναµη ανάλογη προς το γινόµενο των µαζών τους και αντιστρόφως ανάλογη προς το τετράγωνο της µεταξύ τους απόστασης. Ο Νόµος της παγκόσµιας έλξης που πρότεινε ο Newton διατυπώνεται µε τη σχέση: Γη Σελήνη w w
- 154. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 153 F=G⋅ 1 2 2 m m r ⋅ Το σύµβολο G παριστάνει µια φυσική ποσότητα µε τιµή ανεξάρτητη από το υλικό που παρεµβάλλεται, ενώ εξαρτάται από το σύστηµα µονάδων. Είναι µια ποσότητα, που έχει την ίδια τιµή (G=6,67.10-11 N.m2 /kg2 στο S.I), για οποιεσδήποτε δυο µάζες σε οποιαδήποτε δυο σηµεία του σύµπαντος και αν βρεθούν. Η ποσότητα αυτή λέγεται σταθερά της παγκόσµιας έλξης. Η σταθερά της παγκόσµιας έλξης εκφράζει ότι, όταν δυο σώµατα µε µάζες 1Kg απέχουν µεταξύ τους απόσταση 1m, τότε η δύναµη που εξασκείται µεταξύ τους είναι 6,67.10-11 Ν. Η διεύθυνση της δύναµης είναι η διεύθυνση της ευθείας που συνδέει τα δυο σηµειακά αντικείµενα, ενώ η φορά της είναι από τη m1 προς τη m2 και αντίστροφα. 4. Τι ονοµάζεται βάρος των σωµάτων που βρίσκονται στο πεδίο βαρύτητας της γης; Με τι ισούται αυτό; Πεδίο βαρύτητας της γης είναι ο χώρος στον οποίο η γη ασκεί δύναµη σε κάθε µάζα που βρίσκεται στο χώρο αυτό. Θεωρητικά απλώνεται µέχρι το άπειρο. Η δύναµη της παγκόσµιας έλξης που ασκεί η Γη στα διάφορα σώµατα ονοµάζεται βάρος των σωµάτων. Από το νόµο της παγκόσµιας έλξης για m1=MΓ και για m2=m , όπου ΜΓ είναι η µάζα της γης και m η µάζα του σώµατος στο βαρυτικό πεδίο της Γης, που απέχει απόσταση r από το κέντρο της θα έχουµε w=G 2 Γ r M m Γη w m m m M w0 K r Γ RΓ
- 155. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 154 Στην ειδική περίπτωση που το σώµα βρίσκεται στην επιφάνεια της γης, είναι r=RΓ, όπου RΓ είναι η ακτίνα της γης και τότε για το βάρος του σώµατος έχουµε w0=G 2 Γ Γ R M m Γενικά το βάρος w ενός σώµατος στη γη, εξαρτάται από την απόσταση r του σηµείου από το κέντρο του πλανήτη. Έτσι Το βάρος ενός σώµατος µάζας m, ελαττώνεται καθώς αποµακρυνόµαστε από την επιφάνεια της Γης. Άρα το µέτρο του βάρους ενός σώµατος δηλαδή το µέτρο της βαρυτικής δύναµης που ασκεί η γη στο σώµα εξαρτάται: α) Από το ύψος που βρίσκεται το σώµα από την επιφάνεια της γης και µειώνεται καθώς αποµακρυνόµαστε απ’ αυτή. Στην κορυφή ενός πολύ ψηλού βουνού είναι µικρότερη από ότι στην επιφάνεια της θάλασσας στο ίδιο γεωγραφικό πλάτος. ΠΡΟΣΟΧΗ! Στη σχέση w=G 2 Γ r M m το r είναι η συνολική απόσταση από το κέντρο της γης. β) Από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου στον οποίο βρίσκεται το σώµα. Επειδή στους Πόλους η γη είναι πεπιεσµένη η ακτίνα της γης RΓ είναι µικρότερη και άρα η απόσταση r ενός σώµατος που βρίσκεται στους πόλους της γης από το κέντρο της Κ, είναι µικρότερη από την αντίστοιχη στον Ισηµερινό και άρα το βάρος του σώµατος είναι µεγαλύτερο. Έτσι καθώς µεταβαίνουµε από τον Ισηµερινό της γης στους Πόλους της, και καθώς το γεωγραφικό πλάτος αυξάνεται, αυξάνεται και το βάρος του σώµατος. Είναι σηµαντικό να τονιστεί ότι η µάζα m ενός σώµατος είναι σταθερή, ενώ το βάρος του w, µεταβάλλεται από τόπο σε τόπο.
- 156. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 155 B. ΤΡΙΒΗ (T) 5. Ποια δύναµη ονοµάζεται τριβή; Τριβή είναι η δύναµη που ασκείται µε επαφή από ένα σώµα σε ένα άλλο όταν βρίσκονται σε επαφή και το ένα κινείται ή τείνει να κινηθεί σε σχέση µε το άλλο. Η διεύθυνση της τριβής είναι παράλληλη προς τις επιφάνειες που εφάπτονται και έχει τέτοια φορά ώστε να αντιστέκεται στην ολίσθηση της µιας επιφάνειας πάνω στην άλλη. Η τριβή διακρίνεται σε στατική τριβή και σε τριβή ολίσθησης. 6.Τι ονοµάζεται στατική τριβή και τι τριβή ολίσθησης; Η στατική τριβή είναι η τριβή που εµφανίζεται µεταξύ δυο επιφανειών όταν προσπαθούµε να τις κινήσουµε και αυτές βρίσκονται σε σχετική ισορροπία δηλαδή όταν είναι ακίνητες η µία ως προς την άλλη (υ=0). Όταν το σώµα παραµένει ακίνητο, η τριβή ονοµάζεται στατική. • Η στατική τριβή T, έχει µεταβλητό µέτρο και η µέγιστη τιµή της ονοµάζεται οριακή τριβή. • Είναι πάντα αντίθετη µε τη δύναµη F, που τείνει να κινήσει το αντικείµενο και οφείλεται στις ανωµαλίες που παρουσιάζουν οι επιφάνειες του αντικειµένου και του επιπέδου που έρχονται σε επαφή. Η τριβή ολισθήσεως είναι η τριβή που εµφανίζεται µεταξύ δυο επιφανειών όταν βρίσκονται σε σχετική κίνηση δηλαδή όταν κινούνται η µία ως προς την m w
- 157. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 156 άλλη (υ≠0) και εκφράζει τη δύναµη που αντιστέκεται στην κίνηση του αντικειµένου. Όταν το σώµα ολισθαίνει µιλάµε για τριβή ολίσθησης. • Η κατεύθυνσή της τριβής ολίσθησης T, είναι πάντα αντίθετη της κίνησης • Η τριβή ολισθήσεως οφείλεται στις ανωµαλίες που παρουσιάζουν οι επιφάνειες του αντικειµένου και του επιπέδου που έρχονται σε επαφή. 7. Να αναφέρετε το νόµο της τριβής ολισθήσεως. Από ποια σχέση υπολογίζεται η τριβή; Η τριβή ολίσθησης: α. Είναι ανεξάρτητη του εµβαδού συνεπαφής. β. Είναι ανεξάρτητη της σχετικής ταχύτητας των σωµάτων. γ. Εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών επαφής και δ. Είναι ανάλογη της κάθετης αντίδρασης Ν. Ισχύει T=µ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Ν Όπου Ν ή FN, είναι το µέτρο της κάθετης αντίδρασης του επιπέδου στο σώµα και µ είναι ένα αδιάστατο µέγεθος (καθαρός αριθµός) που ονοµάζεται συντελεστής τριβής ολίσθησης και εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών που έρχονται σε επαφή. Όσο πιο λεία είναι µια επιφάνεια τόσο πιο µικρό είναι το µ, ενώ όσο πιο τραχιά είναι τόσο µεγαλύτερο είναι το µ. Το µ παίρνει συνήθως θετικές τιµές µικρότερες του 1. Υπάρχουν όµως και υλικά όπως το καουτσούκ για τα οποία το µ είναι µεγαλύτερο του 1. F m w
- 158. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 157 8. Πώς σχεδιάζουµε τις δυνάµεις; Για να προσδιορίσουµε τον τρόπο που κινείται ένα σώµα, θα πρέπει να συνδέσουµε την κίνηση του (αποτέλεσµα) µε την αιτία που την προκαλεί (δύναµη). Το πρώτο βήµα προς αυτή την κατεύθυνση είναι να προσδιορίσουµε τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα που µελετάµε. Σ' ένα σώµα είναι δυνατόν να ασκούνται περισσότερες από µια δυνάµεις. Για να σχεδιάσουµε όλες τις δυνάµεις που ασκούνται σ' ένα σώµα, ακολουθούµε την παρακάτω πορεία: Πρώτο: Επιλέγουµε το σώµα που µας ενδιαφέρει. Υπενθυµίζουµε ότι αντιµετωπίζουµε όλα τα σώµατα ως υλικά σηµεία. ∆εύτερο: Σχεδιάζουµε τις δυνάµεις από απόσταση που ασκούνται στο σώµα, όπως για παράδειγµα το βάρος του. Τρίτο: Εντοπίζουµε όλα τα υπόλοιπα σώµατα µε τα οποία αυτό βρίσκεται σε επαφή. Κάθε ένα από αυτά του ασκεί δύναµη. Όπως είναι η επιφάνεια στην οποία στηρίζεται το σώµα. w N
- 159. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 158 Τ Αν το σώµα βρίσκεται σε επαφή µε επιφάνεια και κινείται µε την επίδραση µιας δύναµης F, υπάρχουν δυο περιπτώσεις: α) Η επιφάνεια να είναι λεία (δεν υπάρχουν τριβές), οπότε η δύναµη που ασκεί στο σώµα είναι κάθετη προς την επιφάνεια µε φορά από την επιφάνεια προς το σώµα. β) Η επιφάνεια να είναι τραχιά (υπάρχουν τριβές), οπότε εκτός από την κάθετη δύναµη N, η επιφάνεια ασκεί στο σώµα και τη δύναµη της τριβής T, έτσι ώστε να αντιστέκεται στην κίνηση του σώµατος. Αν το σώµα είναι σε επαφή µε νήµα ή σύρµα, τότε η δύναµη που ασκεί το νήµα έχει τη διεύθυνση του νήµατος και φορά από το σώµα προς το νήµα. Το νήµα ασκεί δύναµη µόνον εφόσον είναι τεντωµένο. Η δύναµη αυτή ονοµάζεται τάση (T) του νήµατος. F T w N F w N
- 160. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 159 Αν το σώµα είναι σε επαφή µε ελατήριο, τότε αυτό ασκεί δύναµη στο σώµα που έχει τη διεύθυνση του ελατηρίου και φορά τέτοια, ώστε να τείνει να επαναφέρει το ελατήριο προς το φυσικό του µήκος. Τα ελατήρια ασκούν δυνάµεις µόνον εφόσον είναι σε συµπίεση ή επιµήκυνση. Ελατήρια που έχουν το φυσικό τους µήκος δεν ασκούν δυνάµεις. Θ.Φ.Μ: Θέση Φυσικού Μήκους. x x K, 0 Θ.Φ.Μ F F w w w N N N ελ ελ
- 161. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 160 r m2 m1 F ρ F ρ 1. ∆υο µάζες m1=50Kg και m2=20Kg βρίσκονται σε απόσταση r=1m. Πόση είναι η δύναµη που ασκείται µεταξύ των µαζών; Γιατί δεν παρατηρούµε κίνηση των µαζών; ∆ίνεται G=6,67⋅10-11 N⋅m2 /Kg2 . Λύση: α) Σύµφωνα µε το Νόµο της παγκόσµιας έλξη του Newton ισχύει: F=G⋅ 1 2 2 m m r ⋅ Όπου το σύµβολο G παριστάνει τη φυσική ποσότητα που λέγεται σταθερά της παγκόσµιας έλξης. Η διεύθυνση της δύναµης είναι η διεύθυνση της ευθείας που συνδέει τα δυο σηµειακά αντικείµενα, ενώ η φορά της είναι από τη m1 προς τη m2 και αντίστροφα. Τότε για το µέτρο της δύναµης F έχουµε: F=G⋅ 1 2 2 m m r ⋅ ή F=6,67⋅10-11 ⋅ 50 20 1 ⋅ ή F=6,67⋅10-11 ⋅103 ή F=6,67⋅10-8 Ν. Παρατηρούµε ότι η δύναµη είναι πολύ µικρή για να υπερνικήσει τις πιθανές τριβές. Ακόµη όµως και όταν δεν υπάρχουν τριβές, λόγω της αδράνειας του σώµατος µια τέτοια δύναµη δεν µπορεί να προκαλέσει σηµαντική µεταβολή της ταχύτητας. (Για την αδράνεια θα µιλήσουµε παρακάτω).
- 162. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 161 RΓ w h=RΓ RΓ w 2. Πόση είναι η δύναµη που ασκεί η γη σε ένα σώµα µάζας m=64Kg στην επιφάνειά της; ∆ίνεται η ακτίνα της γης RΓ=6400Κm, η µάζα της ΜΓ=6⋅1024 Κg και G=6,6710-11 N⋅m2 /Kg2 . Λύση: α) Σύµφωνα µε το Νόµο της παγκόσµιας έλξη του Newton ισχύει: F=G⋅ 1 2 2 m m r ⋅ Τότε για m1=MΓ και για m2=m , όπου ΜΓ είναι η µάζα της γης και m η µάζα του σώµατος στο βαρυτικό πεδίο της Γης, που απέχει απόσταση r από το κέντρο της θα έχουµε w=G 2 Γ r M m Στην ειδική περίπτωση που το σώµα βρίσκεται στην επιφάνεια της γης, ισχύει r=RΓ, όπου RΓ είναι η ακτίνα της γης και τότε για το βάρος του σώµατος έχουµε w0=G 2 Γ Γ R M m ή w0=6,6710-11 ⋅ ( ) 24 2 5 6 10 64 64 10 ⋅ ⋅ ⋅ ή w0= 6,67 6 64 ⋅ ⋅103 ή w0=0,625⋅103 ή w0=625 Ν. 3. Πόσο βάρος w έχει ένας άνθρωπος µάζας m=80Kg σε ύψος h=RΓ, από την επιφάνεια της γης; ∆ίνεται G⋅ Γ 2 Γ M R =10m/s2 . Πόση είναι η µάζα του στο παραπάνω ύψος;
- 163. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 162 Λύση: Σύµφωνα µε το Νόµο της παγκόσµιας έλξη του Newton και για µάζα m, που απέχει απόσταση r από το κέντρο της γης θα έχουµε: w=G 2 Γ r M m . Όµως για την απόσταση r από το κέντρο της γης ισχύει r=RΓ+h=2RΓ. Τότε προκύπτει w=G⋅ ( ) Γ 2 Γ M m 2R ⋅ ή w=G⋅ Γ 2 Γ M R ⋅ m 4 ή w=10⋅20 ή w=200N. Η µάζα του σώµατος παραµένει σταθερή και ίση µε m=80Kg. 4. Αν το βάρος µια γυναίκας σε ύψος h=RΓ από την επιφάνειά της είναι w=150Ν τότε πόσο είναι τότε το βάρος της, α)Στην επιφάνεια της γης και β)Σε απόσταση 20 RΓ από το κέντρο της γης; Λύση: α) Για ύψος h από την επιφάνεια της γης ισχύει, w=G 2 Γ r M m όπου η απόσταση r από το κέντρο της γης είναι r=RΓ+h=2RΓ. Τότε προκύπτει w=G⋅ ( ) Γ 2 Γ M m 2R ⋅ ⋅m ή w=G⋅ Γ 2 Γ M m 4R ⋅ =150Ν (1). Στην επιφάνεια της γης έχουµε w0=G⋅ Γ 2 Γ M m R ⋅ (2).
- 164. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 163 F ∆ιαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει 0 w w = Γ 2 Γ Γ 2 Γ M m 4R M m R ⋅ ⋅ ή 0 w w = 2 Γ Γ 2 Γ Γ M m R M m 4R ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ή 0 w w = 1 4 ή w0=4w=4⋅150=600N. β) Σε απόσταση r=20RΓ από το κέντρο της γης έχουµε w=G⋅ ( ) Γ 2 Γ M m 20R ⋅ ⋅m ή w=G⋅ Γ 2 Γ M m 400R ⋅ = 1 400 ⋅G⋅ Γ 2 Γ M m R ⋅ = 1 400 ⋅w0. Άρα έχουµε w= 0 w 400 = 600 400 ή w=1,5N. 5. Το σώµα του σχήµατος έχει βάρος w=300Ν και παρουσιάζει µε το οριζόντιο επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης µ=0,2. Αν εξασκήσουµε στο σώµα οριζόντια δύναµη F=90N αυτό ολισθαίνει. Τότε: α)Να σχεδιαστούν όλες οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα. β)Να υπολογιστεί η τριβή ολίσθησης T που παρουσιάζει το σώµα µε το οριζόντιο επίπεδο. Θεωρείστε Ν=w. Λύση: α) Οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα φαίνονται στο διπλανό διάγραµµα. Υπάρχει λοιπόν το βάρος w του σώµατος που είναι κατακόρυφο µε φορά προς το κέντρο της γης. Η κάθετη αντίδραση Ν από το οριζόντιο επίπεδο στο σώµα που είναι κατακόρυφη µε F T N w
- 165. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 164 φορά προς τα πάνω και η τριβή T που είναι οριζόντια µε φορά αντίθετη από τη δύναµη F που κινεί το σώµα. β) Για τον υπολογισµό της τριβής έχουµε T=µ⋅N όπου το µ είναι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης. Άρα προκύπτει T=0,2⋅300 ή T=60N. Παρατηρούµε πως TF και το σώµα ολισθαίνει µε φορά προς τα δεξιά. Τι ισχύει άραγε αν T=F και TF;
- 166. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 165 F 1) Πόση είναι η δύναµη που ασκεί η γη σε ένα σώµα µάζας m=40,96Kg στην επιφάνειά της; ∆ίνεται η ακτίνα της γης RΓ=6400Κm, η µάζα της ΜΓ=6⋅1024 Κg και G=6,6710-11 N⋅m2 /Kg2 . 2) Το βάρος ενός ανθρώπου στην επιφάνεια της γης είναι w0=900Ν. Να υπολογιστεί το βάρος του w σε ύψος h=2RΓ από την επιφάνεια της Γης. 3) Αν το w0 στην επιφάνεια της γης είναι 100N, να υπολογιστεί το w σ’ έναν άλλο πλανήτη που έχει µάζα ίση µε τη µάζα της γης και ακτίνα τη µισή της ακτίνας της γης. 4) Αν η µάζα της Γης είναι ΜΓ=81ΜΣ, όπου ΜΣ είναι η µάζα της Σελήνης και η ακτίνα της Γης είναι RΓ=3,6RΣ, όπου RΣ είναι η ακτίνα της Σελήνης, τότε να υπολογίσετε το βάρος wΣ ενός σώµατος στην επιφάνεια της Σελήνης, αν το βάρος του στην επιφάνεια της Γης είναι wΓ=400Ν. 5) Το σώµα του σχήµατος έχει βάρος w=100Ν και παρουσιάζει µε το οριζόντιο επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης µ=0,5. Αν εξασκήσουµε στο σώµα οριζόντια δύναµη F=55N αυτό ολισθαίνει. Τότε: α)Να σχεδιαστούν όλες οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα. β)Να υπολογιστεί η τριβή ολίσθησης T που παρουσιάζει το σώµα µε το οριζόντιο επίπεδο. Θεωρείστε Ν=w.
- 167. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 166 1) Οι δυνάµεις µεταξύ δύο µαγνητών είναι δυνάµεις από απόσταση ενώ το βάρος ενός σώµατος είναι δύναµη επαφής. ( ) 2)Η µαθηµατική διατύπωση του νόµου της παγκόσµιας έλξης είναι F=G 2 2 1 R m m ( ) 3) Στην περίπτωση οριζόντιας στερεής επιφάνειας η τιµή της κάθετης αντίδρασης Ν είναι ίση µε το βάρος w του σώµατος, δηλαδή ισχύει Ν=w. (Σ) 4) Η διεύθυνση της ακτίνας της γης στο συγκεκριµένο τόπο ονοµάζεται κατακόρυφος του τόπου ( ) 5) Όταν ένα σώµα είναι ακίνητο πάνω στο έδαφος τότε η δύναµη του βάρους του είναι µηδέν. ( ) 6) H τριβή ολίσθησης που δέχεται ένα σώµα είναι δύναµη από απόσταση. (Λ) 7) Για σώµα που βρίσκεται σε κεκλιµένο επίπεδο η κάθετη αντίδραση Ν από το κεκλιµένο επίπεδο στο σώµα, είναι µικρότερη από το βάρος του σώµατος. ( ) 8)Η στατική τριβή δεν είναι σταθερή αλλά αυξάνει καθώς αυξάνει η οριζόντια δύναµη που τείνει να κινήσει το σώµα και παίρνει τιµές 0≤Τσ≤µσΝ. ( ) 9)Η τριβή ολίσθησης εµφανίζεται κατά την επαφή δυο αντικειµένων τα οποία αλληλοσυµπιέζονται ενώ βρίσκονται σε σχετική ισορροπία. ( ) 10)Η τριβή ολίσθησης είναι πάντα αντίθετη της ταχύτητας του σώµατος. ( )
- 168. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 167 11)Η τριβή ολίσθησης εξαρτάται από τη σχετική ταχύτητα των σωµάτων ( ) 12)Τόσο η τριβή ολίσθησης όσο και η στατική τριβή υπάρχουν µόνο εφόσον υπάρχει κάθετη δύναµη στήριξης. ( ) 13)Όταν πατάµε φρένο και το αυτοκίνητο ολισθαίνει τότε το σταµατάει η στατική τριβή. ( ) 1)Η δύναµη του βάρους είναι: α) αντιστρόφως ανάλογη του r2 , από την επιφάνεια της γης β) αντιστρόφως ανάλογη του r2 , από το κέντρο της γης γ) ανάλογη της απόστασης από το κέντρο της γης δ) αντιστρόφως ανάλογη της µάζας της γης. 2) Αν µεταφέρουµε ένα σώµα από την επιφάνεια της Γης σε ύψος 500m τότε α) θα µεταβληθεί η µάζα του β) θα µεταβληθεί το βάρος του γ) θα µεταβληθούν και τα δύο δ) δε θα µεταβληθεί ούτε η µάζα αλλά ούτε και το βάρος του. 3)Στο σώµα του σχήµατος που κινείται µε σταθερή ταχύτητα στο όχι λείο οριζόντιο επίπεδο ,είναι: α) Tστατική=µσ⋅Ν β) Tολίσθησης=µ⋅Ν γ) Tολίθησης=0 δ) Tολίσθησης=w w T N=FΝ υ
- 169. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 168 4)Υπεύθυνη για την κύλιση των τροχών ενός αυτοκινήτου είναι: α) η στατική τριβή β) η τριβή ολίσθησης γ) άλλοτε η στατική τριβή και άλλοτε η τριβή ολίσθησης δ) τίποτε από τα παραπάνω. 5) Πάνω σε ένα φύλλο χαρτί τοποθετούµε κάποιο νόµισµα και έλκουµε το φύλλο οριζόντια µε το χέρι µας. Έτσι το νόµισµα κινείται µαζί µε το χαρτί χωρίς να ολισθαίνει. Ποια δύναµη από αυτές που ασκούνται στο νόµισµα, το αναγκάζει να κινείται µαζί µε το χαρτί; α) Η δύναµη του χεριού µας. β) Η τριβή ολίσθησης. γ) Η στατική τριβή. δ) Το βάρος του. 1) ∆ύο πλανήτες έχουν ίδια µάζα αλλά διαφορετική ακτίνα. Τότε η επιτάχυνση της βαρύτητας g, είναι µεγαλύτερη σ’ αυτόν µε τη …………………..ακτίνα. 2) Από πειράµατα που έγιναν στη σελήνη επιβεβαιώθηκε ότι το «σεληνιακό» βάρος ενός σώµατος είναι περίπου ίσο µε το ……………του γήινου βάρους του, που έχει όταν βρίσκεται στην επιφάνεια της γης. 3) Η τριβή ολίσθησης δίνεται από τη σχέση ………………… όπου µ είναι ο …………….. ……………. ………………και ο οποίος εξαρτάται από τη …………..των δυο επιφανειών επαφής και είναι …………………………… µέγεθος.
- 170. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 169 Γ Α Β ∆ 4) Για το σώµα του διπλανού σχήµατος που κινείται προς τα δεξιά, το βάρος του είναι το διάνυσµα……….., η κάθετη αντίδραση είναι το διάνυσµα ……………., η τριβή είναι το είναι το διάνυσµα………………….. και η κινούσα δύναµη είναι το διάνυσµα……………… . Α, Β, ∆, Γ.
- 171. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 170 F1 F2 Fολ F1 F2 Fολ 3.3 Σύνθεση και ανάλυση δυνάµεων 1. Τι ονοµάζεται συνισταµένη δυο δυνάµεων; Η δύναµη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσµατα µε το σύνολο των επιµέρους δυνάµεων, δηλαδή η συνολική δύναµη, λέγεται συνισταµένη. 2. Πως υπολογίζεται η συνισταµένη δυο δυνάµεων; Α. Εάν δυο δυνάµεις µε µέτρα F1 και F2 έχουν την ίδια διεύθυνση και φορά τότε η συνισταµένη τους έχει τη διεύθυνση και τη φορά των δυνάµεων αυτών και µέτρο Foλ=F1 + F2 Η συνισταµένη δυο οµόρροπων δυνάµεων έχει: ♦ ίδιο σηµείο εφαρµογής µε τις δυο δυνάµεις ♦ ίδια διεύθυνση µε τις δυο δυνάµεις ♦ ίδια φορά µε τις δυο δυνάµεις, ♦ µέτρο ίσο µε το άθροισµα των µέτρων των δυο δυνάµεων Β. Εάν οι δυο δυνάµεις έχουν αντίθετη φορά τότε η συνισταµένη τους έχει τη φορά της µεγαλύτερης και µέτρο Foλ=F1 - F2 όπου F1F2. Η συνισταµένη δυο αντίρροπων δυνάµεων έχει: ♦ ίδιο σηµείο εφαρµογής µε τις δυο δυνάµεις ♦ ίδια διεύθυνση µε τις δυο δυνάµεις ♦ ίδια φορά µε τη µεγαλύτερη δύναµη, ♦ µέτρο ίσο µε τη διαφορά των µέτρων των δυο δυνάµεων Στην ειδική περίπτωση που οι αντίρροπες δυνάµεις έχουν ίσα µέτρα, είναι δηλαδή αντίθετες τότε η συνισταµένη τους είναι µηδέν και τότε λέµε ότι το σώµα ισορροπεί.
- 172. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 171 F1 F2 F F4 F3 Παράδειγµα Να βρεθεί η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται σε ένα σώµα όπως φαίνεται στο σχήµα αν δίνονται F1=10N. F2=25N και F3=12N, F4=15N. α΄ τρόπος. Βρίσκουµε πρώτα τη συνισταµένη F1,2 των F1 και F2, ύστερα τη συνισταµένη F1,2,3 των F1,2 και F3 κ.ο.κ ∆ηλαδή είναι F1,2=F1+F2=10+25=35N F1,2,3=F1,2-F3=35-12=23N και τέλος F=F1,2,3-F4=23-15=8N Παρατηρούµε ότι η συνισταµένη είναι θετικός αριθµός άρα έχει φορά προς τα δεξιά την οποία θεωρήσαµε και θετική φορά. Αν το αποτέλεσµα ήταν αρνητικός αριθµός τότε η συνισταµένη θα είχε αρνητική φορά δηλαδή εδώ προς τα αριστερά β΄ τρόπος. Βρίσκουµε πρώτα τη συνισταµένη Fδ, όλων των δυνάµεων που έχουν φορά προς τα δεξιά, στη συνέχεια τη συνισταµένη Fα, όλων των δυνάµεων µε φορά προς τα αριστερά και στη συνέχεια αφαιρούµε τα µέτρα τους. ∆ηλαδή είναι Fδ=F1+F2=10+25=35N Fα=F3+F4=12+15=27N
- 173. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 172 F=Fδ-Fα=35-27=8Ν 3. Τι γνωρίζετε για τη σύνθεση δύο ή περισσοτέρων οµοεπίπεδων δυνάµεων; Πειραµατικά αποδεικνύεται ότι: «∆υο δυνάµεις που ασκούνται στο ίδιο σηµείο, µπορούν να αντικατασταθούν από τρίτη, η οποία δίνεται από τη διαγώνιο του παραλληλογράµµου, που σχηµατίζεται από τις δυο αυτές δυνάµεις». Η παραπάνω πρόταση είναι γνωστή σαν Νόµος ή κανόνας του παραλληλογράµµου. Γενικά λοιπόν η συνισταµένη δυο δυνάµεων µε διαφορετικές διευθύνσεις παριστάνεται από τη διαγώνιο του παραλληλογράµµου που αυτές σχηµατίζουν. Έτσι, για να συνθέσουµε δυο δυνάµεις F1 και F2 µε διαφορετικές διευθύνσεις, (εδώ οι δυο δυνάµεις σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία φ), όπως στο σχήµα, µπορούµε να χρησιµοποιούµε τον κανόνα του παραλληλογράµµου. ∆ηλαδή σχηµατίζουµε το παραλληλόγραµµο που έχει πλευρές τα διανύσµατα που παριστάνουν τις δυνάµεις. Η διαγώνιος του παραλληλογράµµου, που περνάει από την κοινή αρχή των διανυσµάτων, παριστάνει τη συνισταµένη Fολ των δυνάµεων. Το µέτρο της συνισταµένης καθορίζεται από το µήκος της διαγωνίου. Η διεύθυνση της προσδιορίζεται από τη γωνία που σχηµατίζει µε µια από τις δυο δυνάµεις ( π.χ εδώ η θ είναι η γωνία που σχηµατίζει η συνισταµένη Fολ µε την F1). Η θ µπορεί να µετρηθεί µε ένα µοιρογνωµόνιο. Για να υπολογίσουµε το µέτρο του αθροίσµατος δυο δυνάµεων µπορούµε να εφαρµόσουµε το «νόµο του συνηµιτόνου» στο τρίγωνο ΟΒΓ, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Τότε παίρνουµε τη σχέση: Fολ 2 =F1 2 +F2 2 -2F1⋅F2⋅συν(1800 -φ) ή Fολ 2 =F1 2 +F2 2 +2F1⋅F2⋅συνφ. F F F 1 2 φ φ θ
- 174. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 173 F1 F2 Fολ θ Έτσι για τον υπολογισµό του µέτρου της συνισταµένης δύναµης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη µαθηµατική σχέση: Fολ= συνφ F 2F F F 2 1 2 2 2 1 + + + όπου φ είναι η περιεχόµενη γωνία των δυο δυνάµεων που θέλουµε να βρούµε τη συνισταµένη τους. Η διεύθυνση της Fολ καθορίζεται από τη γωνία θ, την οποία υπολογίζουµε ως εξής: Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΓ ισχύει εφθ= ΓΑ ΟΑ (1). Όµως ισχύει και ΓΑ=F2⋅ηµφ και ΟΑ=ΟΒ+ΒΑ=F1+F2⋅συνφ. Με αντικατάσταση στον τύπο (1) πάιρνουµε υη σχέση εφθ= συνφ F + F ηµφ F 2 1 2 , όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζει η συνισταµένη δύναµη Fολ µε τη δύναµη F1. Έτσι λοιπόν υπολογίσαµε και την κατεύθυνση της συνισταµένης δύναµης ρ F. Αν οι δυο δυνάµεις είναι κάθετες µεταξύ τους (φ=900 ), τότε απ’ το πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε: F= 2 2 2 1 F + F µε εφθ= 1 2 F F 4. Τι γνωρίζετε για τη δύναµη που ασκεί µια τραχιά επιφάνεια; Μια τραχιά επιφάνεια ασκεί σ' ένα σώµα που κινείται (ή τείνει να κινηθεί επάνω της) την κάθετη στην επιφάνεια δύναµη Ν=FΝ και τη δύναµη της στατικής τριβής Τ. Προκειµένου να υπολογίσουµε τη δύναµη που ασκείται από την τραχιά επιφάνεια στο σώµα, θα πρέπει να F O A Γ Β F F 1 2 φ φ θ φ φ
- 175. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 174 συνθέσουµε τις δυο αυτές δυνάµεις που είναι πάντα κάθετες µεταξύ τους και εποµένως ισχύει: F2 = F2 N + T2 . Προσέξτε, η επιφάνεια ασκεί συνολικά µια δύναµη στο σώµα, την Α, που είναι η συνισταµένη της κάθετης αντίδρασης Ν και της τριβής Τ. Αυτή η συνισταµένη δύναµη Α είναι η συνολική αντίδραση που ασκεί η τραχιά επιφάνεια στο σώµα. Αν η επιφάνεια είναι λεία τότε δεν υπάρχει τριβή και οπότε η συνολική δύναµη που ασκεί η επιφάνεια στο σώµα είναι η κάθετη αντίδραση Ν ή FN.Άρα ισχύει F=N. A T w N F=Ν w
- 176. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 175 F ψ F F x φ Ανάλυση στις διανυσµατικές συνιστώσες 5. Τι ονοµάζεται ανάλυση δύναµης σε διανυσµατικές συνιστώσες; Κάθε δύναµη µπορεί να αναλυθεί σε δυο επιµέρους δυνάµεις που λέγονται συνιστώσες και την έχουν συνισταµένη. Το πρόβληµα της ανάλυσης δύναµης σε συνιστώσες είναι αόριστο. ∆ηλαδή µπορούµε να αναλύσουµε τη δύναµη F σε συνιστώσες σε οποιοδήποτε σύστηµα αξόνων. Συνήθως η ανάλυση γίνεται σε δυο διευθύνσεις κάθετες µεταξύ τους. Στο διπλανό σχήµα δείχνεται µια δύναµη που η αρχή της βρίσκεται στην αρχή Ο του συστήµατος συντεταγµένων. Οι ποσότητες Fx και Fy που σχηµατίζονται αν φέρουµε από το τέλος της F παράλληλες στους άξονες ονοµάζονται διανυσµατικές συνιστώσες. Είναι φανερό ότι, µε τη σύνθεση τους θα πάρουµε, πάλι, σαν συνισταµένη τη δύναµη F. Οι Fx και Fy είναι οι αντίστοιχες δυνάµεις στους άξονες x και y. Παρατηρούµε ακόµη από το σχήµα µας πως Fx=F⋅συνφ και Fy=F⋅ηµφ ενώ τα µέτρα των δυνάµεων συνδέονται µε τη σχέση : F= 2 2 x y F +F .
- 177. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 176 6. Ένα σώµα κινείται πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο. Να αναλύσετε το βάρος του w σε διανυσµατικές συνιστώσες; Ποιες άλλες δυνάµεις είναι δυνατό να ασκούνται στο σώµα; Συνήθως, όταν µελετάµε την κίνηση σε κεκλιµένο επίπεδο, παίρνουµε έναν άξονα xx΄ παράλληλο στο κεκλιµένο επίπεδο και έναν άξονα yy΄ κάθετο σ’ αυτό. Έτσι µπορούµε να αναλύσουµε το βάρος w σε: i) Μια συνιστώσα wy κάθετη και ii) Μια συνιστώσα wx παράλληλη στο κεκλιµένο επίπεδο. Άλλες δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα είναι η κάθετη αντίδραση Ν από το κεκλιµένο επίπεδο και η τριβή T αν αυτό δεν είναι λείο. Αν βέβαια το σώµα είναι ακίνητο τότε η T είναι η στατική τριβή. Αλλιώς η T είναι η τριβή ολίσθησης. Ακόµη από τη γεωµετρία του σχήµατος ισχύει wy=w⋅ ⋅ ⋅ ⋅συνφ και wx=w⋅ ⋅ ⋅ ⋅ηµφ. Επίσης από το πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε w2 =wx 2 +wy 2 . w φ R m φ R x x y y y΄ x΄ w w T N w φ R m φ R x x y y y΄ x΄ w w
- 178. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 177 1. Να υπολογιστεί η συνισταµένη δύναµη στις παρακάτω περιπτώσεις. F1=5Ν F2=10Ν α F1=40Ν F2=30Ν γ δ F1=5Ν φ=600 F2=10Ν F1=20ΝF2=100Ν β
- 179. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 178 Λύση: α) Οι δυο δυνάµεις έχουν την ίδια κατεύθυνση (διεύθυνση και φορά) είναι δηλαδή συγγραµµικές και οµόρροπες. Τότε η συνισταµένη τους έχει µέτρο Foλ=F1 + F2=5+10=15N, ενώ έχει την ίδια κατεύθυνση των δυο συνιστωσών δυνάµεων. β) Οι δυο δυνάµεις έχουν την ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά, είναι δηλαδή συγγραµµικές και αντίρροπες. Ακόµη είναι F2F1. Τότε η συνισταµένη τους έχει µέτρο Foλ=F2 – F1=100-20=80N, ενώ έχει την ίδια κατεύθυνση µε τη µεγαλύτερη απ’ αυτές δηλαδή την F2. γ) Για να σχεδιάσουµε τη συνισταµένη δύναµη εφαρµόζουµε τον κανόνα του παραλληλογράµµου. Όταν οι δυνάµεις είναι κάθετες µεταξύ τους τότε σχηµατίζεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα προκύπτει για το µέτρο της συνισταµένης δύναµης F2 =F1 2 +F2 2 ή F= 2 2 2 1 F + F ή F= 2 2 40 +30 ή F= 2.500 ή F=50N. Επειδή όµως η δύναµη F είναι διανυσµατικό µέγεθος πρέπει να υπολογίσουµε εκτός από το µέτρο της και την κατεύθυνσή της. Έτσι η συνισταµένη δύναµη F σχηµατίζει µε την οριζόντια δύναµη F2 γωνία θ µε εφθ= 1 2 F F ή εφθ= 4 3 . Όταν όµως είναι γνωστός ένας τριγωνοµετρικός αριθµός όπως η εφθ τότε η γωνία θ, άρα και η κατεύθυνση της δύναµης θεωρείται γνωστή. F 1 F 2 F ολ F 1 F 2 F ολ F 1 F 2 F θ
- 180. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 179 δ) Γενικά όπως έχουµε µάθει η συνισταµένη δυο δυνάµεων µε διαφορετικές διευθύνσεις παριστάνεται από τη διαγώνιο του παραλληλογράµµου που αυτές σχηµατίζουν. Έτσι, για να συνθέσουµε δυο δυνάµεις F1 και F2 µε διαφορετικές διευθύνσεις, όπως στο σχήµα µπορούµε να χρησιµοποιούµε τον κανόνα του παραλληλογράµµου. Για να υπολογίσουµε το µέτρο του αθροίσµατος χρησιµοποιούµε τη µαθηµατική σχέση: Fολ= συνφ F 2F F F 2 1 2 2 2 1 + + + όπου φ=600 είναι η περιεχόµενη γωνία µε συν600 = 1 2 . Άρα προκύπτει Fολ= 2 2 0 5 10 2 5 10 60 συν + + ⋅ ⋅ ⋅ ή Fολ = 1 25 100 100 2 + + ⋅ ή F= 175 Ν. Ακόµη για να υπολογίσουµε την κατεύθυνση της συνισταµένης δύναµης ρ Fολ, από το σχήµα µας έχουµε εφθ= συνφ F + F ηµφ F 2 1 2 , όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζει η συνισταµένη δύναµη Fολ µε τη δύναµη F1. Έτσι λοιπόν έχουµε εφθ= 3 10 2 1 5 10 2 ⋅ + ⋅ ή εφθ= 5 3 10 ή εφθ= 3 2 . F F F 1 2 φ φ θ
- 181. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 180 F1 F2 Fολ F4 F3 2. Να βρεθεί η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα που φαίνεται στο σχήµα, αν δίνονται F1=80N, F2=160N F3=50N και F4=70N. Λύση: Βρίσκουµε πρώτα τη συνισταµένη F1,2, των δυνάµεων που έχουν φορά προς τα δεξιά οπότε έχουµε F1,2= F1+F2= 240Ν. Στη συνέχεια υπολογίζουµε τη συνισταµένη F3,4, των δυνάµεων µε φορά προς τα αριστερά. ∆ηλαδή είναι F3,4=F3+F4=120N. Οι δυνάµεις F1,2 και F3,4 έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά, µε F1,2F3,4. Τότε η συνισταµένη τους θα έχει µέτρο Fολ =F1,2-F3,4=240-120=120Ν, ίδια διεύθυνση µε τις συνιστώσες δυνάµεις και φορά προς τα δεξιά (αφού F1,2F3,4). 3. Να υπολογιστεί η συνισταµένη των τεσσάρων δυνάµεων του σχήµατος. Λύση: Βρίσκουµε πρώτα τη συνισταµένη F1,3, των δυνάµεων που έχουν τη διεύθυνση του άξονα των x. Επειδή οι δυο δυνάµεις έχουν αντίθετες φορές έχουµε F1,3= F1-F3= 3Ν, µε φορά προς τα δεξιά (+x). Στη συνέχεια υπολογίζουµε τη συνισταµένη F2,4, των δυνάµεων που έχουν τη διεύθυνση του άξονα των y. Επειδή οι δυο δυνάµεις έχουν και εδώ αντίθετες φορές έχουµε F2,4= F4-F2= 4Ν, µε φορά προς τα κάτω (-y). Τότε προκύπτει το παρακάτω σχήµα: y F2=8Ν F3=10Ν F1=13Ν x F4=12Ν
- 182. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 181 Μ’ αυτόν τον τρόπο τελικά αντικαταστήσαµε τις τέσσερις δυνάµεις µε δυο µόνο που είναι κάθετες µεταξύ τους, τις F1,3 και F2,4. Για να σχεδιάσουµε τη συνισταµένη δύναµη εφαρµόζουµε τον κανόνα του παραλληλογράµµου. Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα προκύπτει για το µέτρο της συνισταµένης δύναµης Fολ 2 =F1,3 2 +F2,4 2 ή Fολ= 2 2 1,3 2,4 F +F ή Fολ= 2 2 3 + 4 ή F= 25 ή F=5N. Ακόµη η συνισταµένη δύναµη Fολ σχηµατίζει µε την οριζόντια δύναµη F1,3 γωνία θ µε εφθ= 2,4 1,3 F F ή εφθ= 4 3 . Έτσι η κατεύθυνση της συνισταµένης δύναµης είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα. 5. Να υπολογιστεί η συνισταµένη των δυνάµεων του σχήµατος. Λύση: Από το σχήµα είναι F1x = 2 – 1 = 1 N και F1y = 2 – 1 = 1 N. Όµοια F2x = - 1 – (- 2) = - 1 + 2 = 1 N και F2y = 1 – 2 = - 1 N . Τότε Fx = F1x + F2x = 1 + 1 = 2 N και Fy = F1y + F2y = 1 – 1 = 0. Άρα Fολ = 2 2 Fy Fx + = 2 Fx ή Fολ = Fx ⇒ Fολ = 2 N. ∆ηλαδή η συνισταµένη δύναµη βρίσκεται πάνω στον άξονα των x και έχει φορά προς τα δεξιά. x y θ F 1,3 F 2,4 F ολ F1 F2 -2 -1 1 2 2 1 x y
- 183. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 182 6. Να αναλυθεί η δύναµη F σε διανυσµατικές συνιστώσες. ∆ίνονται συν300 = 2 3 και ηµ300 = 2 1 Λύση: Στο διπλανό σχήµα δείχνεται η δύναµη F που η αρχή της βρίσκεται στην αρχή Ο του συστήµατος συντεταγµένων. Οι ποσότητες Fx και Fy που σχηµατίζονται αν φέρουµε από το τέλος της F παράλληλες στους άξονες eείναι οι διανυσµατικές συνιστώσες. Είναι δηλαδή οι αντίστοιχες δυνάµεις στους άξονες x και y. Παρατηρούµε ακόµη από το σχήµα µας πως Fx=F⋅συνφ και Fy=F⋅ηµφ. Έτσι έχουµε: Fx = F⋅ συν 60ο = 100 . 2 1 = 50 Ν και F1y = F1⋅ ηµ 60ο = 100⋅ 2 3 = 50⋅ 3 Ν. Ακόµη τα µέτρα των δυνάµεων συνδέονται µε τη σχέση F2 =Fx 2 +Fy 2 ή F= 2 2 x y F +F = ( ) 2 2 50 + 50 3 ⋅ =100Ν, όπως ακριβώς το περιµέναµε. y F=100Ν φ=600 x F Ο φ=60 0 Fy x y
- 184. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 183 F1 F2 600 300 7. ∆υο άντρες εξασκούν σε µια βάρκα δυνάµεις F1=300 3 N και F2=300N, όπως φαίνεται στο σχήµα. Να υπολογιστεί η δύναµη που πρέπει να εξασκεί ένα αγόρι για να κρατηθεί η βάρκα στη µέση του καναλιού. ∆ίνονται ηµ600 =συν300 = 2 3 και ηµ300 =συν600 = 2 1 . Λύση: Με ανάλυση σε διανυσµατικές συνιστώσες έχουµε: F1x = F1 . συν 60ο = 300⋅ 3 2 1 = =150 3 Ν. Ακόµη F1y = F1 ⋅ ηµ 60ο = =300 3 2 3 =450 Ν. Όµοια: F2x = F2 ⋅συν 30ο = 300 ⋅ 2 3 = =150⋅ 3 Ν. Και F2y = F2 ⋅ηµ 30ο = 300⋅ 2 1 = 150 Ν.
- 185. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 184 F ψ F F x φ F Για να κρατηθεί η βάρκα στη µέση του καναλιού θα πρέπει ΣFy = 0 άρα θα πρέπει η δύναµη του αγοριού να είναι F = F1y – F2y = 300 N, µε φορά προς τα κάτω. Παρατηρούµε ακόµη ότι ΣFx = 300⋅ 3 ≠ 0. 8. Αν οι διανυσµατικές συνιστώσες της δύναµης F του σχήµατος είναι Fx=90N και Fy=120N τότε να υπολογιστεί η δύναµη F. Λύση: Ισχύει F = 2 2 Fy Fx + = 2 2 120 90 + ⇒ F = 150 N µε εφθ = Fx Fy = 3 4 . 9. Ένας εργάτης σπρώχνει ένα χάρτινο κιβώτιο κατά µήκος του δαπέδου, όπως φαίνεται στο σχήµα µε δύναµη F=60N και µε γωνία φ=450 , προς τα κάτω. Να βρεθούν η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης.
- 186. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 185 Λύση: 1ος τρόπος: Επειδή η γωνία φ=450 , το ορθογώνιο τρίγωνο που έχει πλευρές τις Fx, Fy και F είναι ισοσκελές. Άρα ισχύει Fx=Fy. Τότε από το Πυθαγόρειο θεώρηµα προκύπτει: F2 =Fx 2 +Fy 2 ή F2 =2Fx 2 ή Fx 2 = 2 F 2 ή Fx 2 = 2 60 2 ή Fx= 60 2 ή Fx= 60 2 2 2 ⋅ ⋅ ή Fx= 30 2 Ν. Άρα είναι Fx=Fy=30 2 Ν. 2ος τρόπος: Ισχύει συν450 =ηµ450 = 2 2 . Τότε θα έχουµε: Fx = F.συνφ = 60⋅ 2 2 = 30 2 Ν. και Fy = F⋅ηµφ = 60⋅ 2 2 = 30 2 Ν. Άρα είναι Fx=Fy=30 2 Ν. x y FX F F y φ
- 187. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 186 10. Ο άνθρωπος του σχήµατος µπορεί και βαδίζει µε ασφάλεια γιατί η επιφάνεια είναι τραχιά. Αν η κάθετη δύναµη FN που ασκείται από το έδαφος στον άνθρωπο είναι FN=800N ενώ η στατική τριβή ανάµεσα στο πόδι του ανθρώπου και το έδαφος είναι T=400N, τότε να υπολογίσετε τη συνολική δύναµη που ασκεί το έδαφος στον άνθρωπο. Λύση: Γνωρίζουµε ότι µια τραχιά επιφάνεια ασκεί σ' ένα σώµα που κινείται (ή τείνει να κινηθεί επάνω της) την κάθετη στην επιφάνεια δύναµη Ν=FΝ και τη δύναµη της στατικής τριβής Τ. Οι δυο αυτές δυνάµεις είναι πάντα κάθετες µεταξύ τους και εποµένως ισχύει: F2 = F2 N + T2 ή F= 2 2 N F +T ή F= 2 2 800 + 400 ή F=400⋅ 5 Ν µε τη συνισταµένη δύναµη να σχηµατίζει µε το έδαφος γωνία φ µε εφφ= N F T =2. Προσέξτε, ότι η επιφάνεια ασκεί συνολικά µια δύναµη στο σώµα, την F, που είναι η συνισταµένη της κάθετης αντίδρασης FN και της τριβής Τ. Αυτή η συνισταµένη δύναµη είναι η συνολική αντίδραση που ασκεί η τραχιά επιφάνεια στο σώµα.
- 188. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 187 11. Ένα σώµα βάρους w=100N κινείται πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=450 . Να αναλύσετε το βάρος του w σε διανυσµατικές συνιστώσες στους άξονες xx΄ και yy΄. Ποιες άλλες δυνάµεις είναι δυνατό να ασκούνται στο σώµα; Λύση: 1ος τρόπος: Ο άξονας xx΄ είναι παράλληλος στο κεκλιµένο επίπεδο και ο άξονας yy΄ είναι κάθετος σ’ αυτό. Έτσι το βάρος w αναλύεται σε: i) Μια συνιστώσα wy κάθετη και ii) Μια συνιστώσα wx παράλληλη στο κεκλιµένο επίπεδο. Επειδή η γωνία φ=450 , το ορθογώνιο τρίγωνο που έχει πλευρές τις wx, wy και w είναι ισοσκελές. Άρα ισχύει wx=wy. Τότε από το Πυθαγόρειο θεώρηµα προκύπτει: w2 =wx 2 +wy 2 ή w2 =2wx 2 ή wx 2 = 2 w 2 ή wx 2 = 2 100 2 ή w φ R m φ R x x y y y΄ x΄ w w T N w φ R m φ R x x y y y΄ x΄ w w
- 189. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 188 wx= 100 2 ή wx= 100 2 2 2 ⋅ ⋅ ή wx= 50 2 Ν. Άρα είναι wx=wy=50 2 Ν. 2ος τρόπος: Ισχύει συν450 =ηµ450 = 2 2 . Ακόµη από τη γεωµετρία του σχήµατος ισχύει: wx = w.συνφ = 100⋅ 2 2 = 50 2 Ν. και wy = w⋅ηµφ = 100⋅ 2 2 =50 2 Ν. Άρα είναι wx=wy=50 2 Ν. Άλλες δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα είναι η κάθετη αντίδραση Ν από το κεκλιµένο επίπεδο και η τριβή T αν αυτό δεν είναι λείο όπως φαίνεται στο σχήµα. Αν βέβαια το σώµα είναι ακίνητο τότε η T είναι η στατική τριβή. Αλλιώς η T είναι η τριβή ολίσθησης.
- 190. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 189 1) Αν F1=170N και F2=250N να υπολογίσετε τη συνισταµένη δύναµη. 2) Να υπολογίσετε τη συνισταµένη δύναµη των δυο δυνάµεων F1 και F2 του σχήµατος αν τα µέτρα τους είναι F1=100N και F2=80N. Τι ισχύει στην περίπτωση που τα µέτρα των δυνάµεων είναι ίσα; 3) Να υπολογιστεί η συνισταµένη των τεσσάρων δυνάµεων F1=8N, F2=10N, F3=6N και F4=4N. 4) Αν F1=100N, F2=50N και F3=150N, ποια είναι η συνισταµένη δύναµη; 5) Να υπολογιστεί η συνισταµένη δύναµη σε καθεµία από τις περιπτώσεις (α) , (β), (γ), (δ). ∆ίνεται συν1200 =- 1 2 F 1 F 2 F 1 F 2 F 1 F F F 2 3 4 F 1 F F 2 3 18 N 0 20N 15N 60N 10 N 0 20N φ= 0 12 0 (α) (β) (γ) 20N 20N (δ)
- 191. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 190 6) Να υπολογιστεί η συνισταµένη των τεσσάρων δυνάµεων του σχήµατος. 7) Να υπολογιστεί η συνισταµένη των τριών δυνάµεων του σχήµατος. ∆ίνεται F1=1N και F2=F3=3N. 8) Αν η δύναµη F του σχήµατος έχει µέτρο F=240N τότε να αναλυθεί σε διανυσµατικές συνιστώσες στο ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων xoy. ∆ίνεται θ=450 . 9) Έστω µια δύναµη F = 20N. Να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες F1 και F2, που είναι κάθετες µεταξύ τους και έχουν ίσες τιµές. 10) ∆ύο δυνάµεις F1 = 4N και F2 = 5N ασκούνται στο ίδιο υλικό σηµείο και είναι κάθετες µεταξύ τους. Να βρεθεί η συνισταµένη δύναµη. 120N 150N 50N 10N F 1 F F 2 3 x y θ F O
- 192. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 191 11) ∆ύο δυνάµεις µε τιµές 8Ν και 15Ν ενεργούν σ’ ένα σώµα. Να βρείτε τη συνισταµένη τους αν οι διευθύνσεις τους σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία α. 0o β. 900 γ. 180o 12) Στο διπλανό σχήµα φαίνεται ένα σώµα καθώς και οι δυνάµεις που δέχεται σε τρεις περιπτώσεις. Να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση την συνισταµένη δύναµη σε τιµή και κατεύθυνση. 13) Μια δύναµη F = 180N να αναλυθεί σε δυο συνιστώσες, F1 και F2 που είναι: α. συγγραµµικές οµόρροπες και F1 = 5F2 β. συγγραµµικές αντίρροπες και F1 = 3F2 γ. κάθετες µεταξύ τους και F1 = 4 3 F2. 14) Στο σώµα που φαίνεται στην εικόνα ασκούνται οι δυνάµεις F1 = 300N και F2 = 80N. Γνωρίζουµε ακόµη ότι η συνισταµένη όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα είναι µηδέν. ∆έχεται το σώµα άλλη δύναµη εκτός των F1 και F2 στη διεύθυνση της κίνησής του; Αν ναι να την προσδιορίσετε. 18N 7N 200N 10N 4N 3N 2N 50N 70N
- 193. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 192 15) Σ’ ένα σώµα ασκούνται οι οριζόντιες δυνάµεις που φαίνονται στο σχήµα Να υπολογίσετε τη συνισταµένη που δέχεται το σώµα σε κάθε περίπτωση. 16) Ένα σώµα βάρους w=300 2 N κινείται πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=450 . Να αναλύσετε το βάρος του w σε διανυσµατικές συνιστώσες στους άξονες xx΄ και yy΄. Ποιες άλλες δυνάµεις είναι δυνατό να ασκούνται στο σώµα; 70N 13N 1N 2,5N 40N 28N 120N 120N Α Β Γ ∆ w φ R m φ R x x y y y΄ x΄ w w
- 194. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 193 1)Συνιστώσα λέγεται µια δύναµη που µπορεί να αντικαταστήσει ένα σύνολο δυνάµεων που ασκούνται σε ορισµένο σώµα. ( ) 2)Η συνισταµένη δυο ή περισσοτέρων δυνάµεων προκαλεί στο σώµα το ίδιο µηχανικό αποτέλεσµα, που προκαλείται από το σύνολο των δυνάµεων που ασκούνται σ’ αυτό. ( ) 3)Η διαδικασία αντικατάστασης δυο ή περισσοτέρων δυνάµεων από µια, που προκαλεί τα ίδια µηχανικά αποτελέσµατα στο σώµα λέγεται σύνθεση. ( ) 4)Αν οι δυνάµεις έχουν την ίδια κατεύθυνση η συνισταµένη τους έχει αντίθετη κατεύθυνση και µέτρο ίσο µε το άθροισµα των µέτρων τους. ( ) 5)Αν δυο δυνάµεις έχουν αντίθετη κατεύθυνση τότε η συνισταµένη τους έχει τη φορά της µεγαλύτερης. ( ) 6)Η συνισταµένη δυο αντίθετων δυνάµεων που ασκούνται στο ίδιο σώµα είναι µηδέν. ( ) 7) Ο κανόνας του παραλληλογράµµου δεν µπορεί να εφαρµοστεί στη σύνθεση δυνάµεων ενώ εφαρµόζεται στη σύνθεση µετατοπίσεων. ( ) 8)Ανάλυση δύναµης σε δυο συνιστώσες είναι η αντικατάστασή της από δυο δυνάµεις που προκαλούν στο ίδιο σώµα το ίδιο αποτέλεσµα. ( )
- 195. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 194 9)Το πρόβληµα ανάλυσης δύναµης σε συνιστώσες είναι αόριστο. Μια ορισµένη λύση έχουµε αν µας δίνονται οι δυο διευθύνσεις. ( ) 10)Σε ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων οι συνιστώσες είναι οι προβολές του διανύσµατος της δύναµης. ( )
- 196. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 195 1) Η διαδικασία αντικατάστασης δυο ή περισσοτέρων δυνάµεων από µια που προκαλεί τα ίδια µηχανικά αποτελέσµατα ονοµάζεται : α) ανάλυση β) σύνθεση γ) συνισταµένη δ)συνιστώσα 2) Η συνισταµένη δυο παράλληλων και οµόρροπων δυνάµεων F1=50N και F2=70N είναι: α) 120Ν β) 3500Ν γ) 20Ν δ) -20Ν 3) Το µέτρο της συνισταµένης του σχήµατος είναι: α) 70Ν β) 10Ν γ) 50Ν δ) τίποτε από αυτά. 4) H συνισταµένη δυο αντίθετων δυνάµεων που ασκούνται στο ίδιο σώµα είναι: α) µηδέν β) η ελάχιστη δυνατή γ) η µέγιστη δυνατή δ) τίποτε από τα παραπάνω 5) H συνισταµένη των δυνάµεων του σχήµατος είναι: α)Fολ= 2 2 2 1 F F + β) Fολ=F1+F2 F1=40N F2=30N F2 F1 φ Fολ θ
- 197. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 196 F ψ F F x φ γ) Fολ= συνφ 2 1 2 2 2 1 2 F F F F + + µε εφθ= συνφ ηµφ 2 1 2 F F F + δ) Fολ= συνφ 2 1 2 2 2 1 2 F F F F − + 6) Οι συνιστώσες της F στους άξονες χ και ψ είναι αντίστοιχα: α) FX=0 , Fy= F β) FX=Fσυνφ , Fy=Fηµφ γ) FX=F , Fy=0 δ) FX=Fy=Fσυνφ. 7) ∆υο δυνάµεις 15Ν και 20Ν ασκούνται στο ίδιο σώµα. Πόση είναι η συνισταµένη δύναµη; α)35Ν β)5Ν γ)25Ν δ)Τα στοιχεία δεν επαρκούν για να υπολογίσω τη συνισταµένη. 1. Αδράνεια είναι η τάση των σωµάτων να αντιστέκονται σε οποιαδήποτε ……………………….της κινητικής τους κατάστασης (ταχύτητας). 2) ………………… λέγεται µια δύναµη που µπορεί να αντικαταστήσει ………… ή περισσότερες…………… και µπορεί να προκαλέσει στο σώµα το ίδιο ………………… αποτέλεσµα. Η διαδικασία ονοµάζεται ……………….δυνάµεων.
- 198. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 197 3) Αν δυο ή περισσότερες δυνάµεις έχουν την ίδια……………… η συνισταµένη τους έχει την ίδια …………………..µ’ αυτές και µέτρο ίσο µε το άθροισµα των …………… τους. Ενώ αν δυο δυνάµεις έχουν …………….κατεύθυνση η συνισταµένη τους, έχει την κατεύθυνση της ………………..και µέτρο ίσο µε την απόλυτη ….………….των µέτρων τους. Σ’ αυτή την περίπτωση αν τα µέτρα είναι …………… η συνισταµένη τους είναι ……………..και οι δυνάµεις ονοµάζονται αντίθετες. 4) Αν δυο δυνάµεις F1και F2 σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία φ τότε η συνισταµένη τους προσδιορίζεται µε τον …………………του …………………….και το µέτρο της συνισταµένης δύναµης δίνεται από τη σχέση Fολ=………………………, ενώ η κλίση της συνισταµένης δίνεται από τη σχέση εφθ=……………………..όπου θ η γωνία που σχηµατίζει η …………….µε την ………. 5) Ανάλυση µιας δύναµης σε δυο ……………….. είναι η ……………..της δύναµης από …….. δυνάµεις οι οποίες ασκούµενες στο ίδιο σώµα προκαλούν το ίδιο αποτέλεσµα.
- 199. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 198 3.4 ∆ύναµη και ισορροπία 1ος νόµος του Νεύτωνα 1. Τι ονοµάζεται αδράνεια και ποιο είναι το µέτρο της αδράνειας ενός σώµατος; Αδράνεια ονοµάζεται η τάση ενός σώµατος να αντιστέκεται σε κάθε µεταβολή της κινητικής του κατάστασης (ταχύτητας). ∆ηλαδή: Κάθε σώµα έχει την τάση να κρατά σταθερή την κινητική του κατάσταση. Το µέτρο της αδράνειας ενός σώµατος είναι η µάζα του σώµατος. Όσο µεγαλύτερη είναι η µάζα του σώµατος τόσο µεγαλύτερη είναι και η αδράνειά του. 2. Τι µας λέει ο νόµος του Γαλιλαίου για την αδράνεια ή ο πρώτος νόµος του Νεύτωνα; Ο Γαλιλαίος ισχυρίσθηκε ότι ένα τέλεια λείο αντικείµενο πάνω σε µια επίσης τέλεια λεία οριζόντια επιφάνεια θα µπορούσε να κινείται επ’ άπειρο σε ευθεία γραµµή Αργότερα ο Νεύτωνας χρησιµοποιώντας την έννοια της δύναµης διατύπωσε πιο ολοκληρωµένα την άποψη του Γαλιλαίου διατυπώνοντας τον πρώτο του νόµο ως εξής: Ένα σώµα συνεχίζει να παραµένει ακίνητο ή να κινείται ευθύγραµµα και οµαλά (µε σταθερή ταχύτητα), όταν δεν εξασκείται σε αυτό καµία δύναµη ή όταν εξασκούνται δυνάµεις που έχουν συνισταµένη µηδέν.
- 200. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 199 ∆ηλαδή ισχύει: Αν υ=0 ή υ r =σταθ. αν και µόνο αν F r ολ= 0 r . Π ρ ο σ έ ξ τ ε, ότι στον πρώτο νόµο δεν γίνεται διάκριση µεταξύ ενός σώµατος σε ηρεµία και ενός σώµατος που κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Και οι δυο καταστάσεις είναι «φυσικές» όταν δεν υπάρχουν δυνάµεις. Π ρ ο σ έ ξ τ ε επίσης, ότι ο πρώτος νόµος δηλώνει ότι, καµία διαφορά δεν υπάρχει στην περίπτωση που δεν υπάρχουν δυνάµεις και στην περίπτωση που υπάρχουν δυνάµεις µε συνισταµένη µηδέν. Για παράδειγµα αν η δύναµη του χεριού µας πάνω στο βιβλίο εξουδετερώνει ακριβώς την τριβή που εξασκείται πάνω του, το βιβλίο θα κινηθεί µε σταθερή ταχύτητα, σαν να µην εξασκείται καµία δύναµη. Αν θέλουµε να φωτίσουµε τα πιο σηµαντικά σηµεία του πρώτου νόµου της κίνησης θα προσέξουµε ότι: 1. Η αδράνεια είναι µια θεµελιακή ιδιότητα της ύλης. 2. Η ισχύς του νόµου επεκτείνεται και στα ουράνια σώµατα, είναι µε άλλα λόγια ένας νόµος παγκόσµιος. 3. Εισάγει µια ισοδυναµία ανάµεσα στις δυο καταστάσεις, την κατάσταση ακινησίας και την κατάσταση ευθύγραµµης οµαλής κίνησης. 3.5 Ισορροπία υλικού σηµείου 1. Πότε ένα σώµα ισορροπεί; Λέµε ότι ένα σώµα που θεωρείται υλικό σηµείο, ισορροπεί, όταν είναι ακίνητο ή κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Η συνθήκη ισορροπίας ενός υλικού σηµείου σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton γράφεται: F ρ ολικό= 0.
- 201. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 200 2. Ποιες δυνάµεις ονοµάζονται αντίθετες; ∆υο δυνάµεις που έχουν το ίδιο µέτρο και αντίθετη φορά, ονοµάζονται αντίθετες. Αν οι δυο αυτές δυνάµεις ασκούνται στο ίδιο σώµα (υλικό σηµείο), τότε λέµε ότι ισορροπούν γιατί η συνισταµένη δυο αντίθετων δυνάµεων είναι µηδέν. Στη σφαίρα του σχήµατος που ηρεµεί πάνω στο οριζόντιο δάπεδο ασκούνται δύο δυνάµεις. Το βάρος της w που προέρχεται από την έλξη της Γης και η δύναµη Ν, την οποία ασκεί το δάπεδο που είναι σε επαφή µε τη σφαίρα. Αφού η σφαίρα ισορροπεί, πρέπει οι δυο δυνάµεις που ασκούνται σ’ αυτή w και N µα είναι αντίθετες δηλαδή να έχουν συνισταµένη µηδέν. 3. Πότε ένα σώµα στο οποίο ασκούνται τρεις δυνάµεις ισορροπεί; Έστω ότι στο ίδιο σηµείο (δακτύλιο του σχήµατος) ασκούνται τρεις δυνάµεις F1, F2 και F3 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (οµοεπίπεδες) και αυτό ισορροπεί. Οι δυο δυνάµεις F1 και F2, µπορούν να αντικατασταθούν από τη συνισταµένη τους F1,2, οπότε πλέον ασκούνται στο δακτύλιο δυο δυνάµεις η F1,2 και η F3. Για να έχουµε ισορροπία, πρέπει οι δυο αυτές δυνάµεις να είναι αντίθετες. Έτσι προκύπτει ότι για την ισορροπία τριών οµοεπίπεδων δυνάµεων που ασκούνται στο ίδιο σηµείο, πρέπει η συνισταµένη των δυο να είναι αντίθετη µε την τρίτη. Τότε έχουµε ότι η συνισταµένη και των τριών δυνάµεων µαζί είναι ίση µε µηδέν και το σώµα ισορροπεί. w N
- 202. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 201 4. Στο σώµα του σχήµατος ασκούνται τέσσερις δυνάµεις και το σώµα ισορροπεί σε οριζόντιο δάπεδο. Τι ισχύει σ’ αυτή την περίπτωση για την ισορροπία του σώµατος; Όταν σ’ ένα σώµα ασκούνται πολλές δυνάµεις, το σώµα ισορροπεί όταν η συνισταµένη τους είναι µηδέν. Τότε όµως αυτό σηµαίνει ότι και η συνισταµένη των δυνάµεων σε οποιοδήποτε άξονα είναι επίσης ίση µε µηδέν. Εδώ έχουµε ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων xoy. Για τις κάθετες συνιστώσες στους άξονες x και y θα ισχύει: Fολx=0 και Fολy=0. Αν το σώµα του σχήµατος ισορροπεί σε οριζόντιο δάπεδο, ενώ το σπρώχνουµε µε το χέρι µας ασκώντας σταθερή οριζόντια δύναµη µέτρου F. Τότε οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα είναι: Από απόσταση: το βάρος W, κατακόρυφο µε φορά προς τα κάτω. Από επαφή: Η δύναµη F από το χέρι (τείνει να κινήσει το σώµα). Από το δάπεδο (η κάθετη αντίδραση N µε φορά από το δάπεδο προς το σώµα και η τριβή T που αντιτίθεται στην κίνηση). Από τη συνθήκη ισορροπίας στον οριζόντιο άξονα xx΄ έχουµε: Fολx = 0 ή F - T = 0 ή F = T F T w N x y y΄ x΄
- 203. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 202 Από τη συνθήκη ισορροπίας στον κατακόρυφο άξονα yy΄ έχουµε: Fολy = 0 ή w - Ν = 0 ή w = Ν Η συνολική δύναµη Α (αντίδραση από το δάπεδο), που ασκεί το δάπεδο στο σώµα είναι η συνισταµένη των Ν και T. ∆ηλαδή ισχύει: Α2 = Τ2 + Ν2 . ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Την κάθετη αντίδραση Ν από το δάπεδο τη συµβολίζουµε και FN. F T w N Α x y y΄ x΄
- 204. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 203 1. Σε σώµα που ζυγίζει w=140Ν και βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο εξασκείται οριζόντια δύναµη F=35N και το σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα (ισορροπεί). α) Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα. β) Να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής ολίσθησης ανάµεσα στο σώµα και το οριζόντιο επίπεδο στήριξης. Λύση: α) Στο σώµα εκτός από τη δύναµη F (δύναµη επαφής) ασκείται και το βάρος του w (δύναµη από απόσταση). Ακόµη το σώµα βρίσκεται σε επαφή µε το οριζόντιο δάπεδο, οπότε ασκούνται σ’ αυτό από το δάπεδο η τριβή T που είναι οριζόντια µε φορά αντίθετη της F που τείνει να κινήσει το σώµα και η κάθετη αντίδραση Ν. Σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton αφού το σώµα ισορροπεί ισχύει F ρ ολικό= 0 r . Από τη συνθήκη ισορροπίας στον οριζόντιο άξονα xx΄ έχουµε: Fολx=0 ή F-T=0 ή F=T ή T=35N. Παρόµοια Από τη συνθήκη ισορροπίας στον κατακόρυφο άξονα yy΄ έχουµε: Fολy=0 ή N-w=0 ή N=w ή N=140N. β) Από το νόµο της τριβής ισχύει T=µ⋅Ν ή µ= T N = 35 140 ή µ=0,25. x y y΄ x΄ F T w N x y y΄ x΄ F
- 205. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 204 2. Το σώµα που φαίνεται στην εικόνα ισορροπεί µε την επίδραση τριών οριζόντιων δυνάµεων F1, F2 και F3. Αν οι δυνάµεις F1 και F2 έχουν µέτρα F1 = 80N και F2 = 30N τότε να προσδιορίσετε το µέτρο και την κατεύθυνση της F3. Λύση: Σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton αφού το σώµα ισορροπεί ισχύει F ρ ολικό= 0 r . Οι δυνάµεις είναι οριζόντιες οπότε από τη συνθήκη ισορροπίας έχουµε: Fολ=0 ή F1-F2+F3=0 ή F3=F2-F1 ή F3=30-80= -50N. Θεωρήσαµε ότι η δύναµη F3, έχει φορά προς τα δεξιά (θετικό ηµιάξονα) και βρήκαµε ότι είναι F3=-50N. Αυτό σηµαίνει ότι η φορά της F3 είναι προς τον αρνητικό ηµιάξονα (εδώ προς τα αριστερά). Έτσι προκύπτει το διπλανό σχήµα. Παρατηρείστε ότι η F1 και η F2,3 έχουν το ίδιο µέτρο και αντίθετη φορά (η συνισταµένη τους είναι µηδέν). ∆υο τέτοιες δυνάµεις χαρακτηρίζονται ως αντίθετες. F 1 F 2 F 1 F 2 F 3
- 206. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 205 3. Σε σώµα που ζυγίζει w=20Ν και βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο εξασκείται δύναµη F=10N που σχηµατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ=300 και το σώµα ισορροπεί. Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα. ∆ίνεται συν300 = 3 2 και ηµ300 = 1 2 . Λύση: Όταν ένα ασώµα ισορροπεί (είναι ακίνητο ή κινείται µε σταθερή ταχύτητα), τότε η συνισταµένη όλων των δυνάµεων που ασκούνται σ’ αυτό είναι µηδέν (1ος Νόµος του Newton). Οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα είναι: Από απόσταση: το βάρος W, κατακόρυφο µε φορά προς τα κάτω. Από επαφή: Η δύναµη F που τείνει να κινήσει το σώµα. Από το δάπεδο (η κάθετη N µε φορά από το δάπεδο προς το σώµα και η στατική τριβή που αντιτίθεται στην κίνηση). Από τη συνθήκη ισορροπίας στον οριζόντιο άξονα έχουµε: Fολx = 0 ή Fx - T = 0 ή Fx = T ή T=F⋅συν300 =10⋅ 3 2 =5 ⋅ 3 Ν F T w N x x φ y y y΄ x΄ F F x φ y y΄ x΄ F
- 207. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 206 Από τη συνθήκη ισορροπίας στον κατακόρυφο άξονα έχουµε: Fολy = 0 ή w – Ν-Fy = 0 ή Ν = w-Fy ή Ν=w-F⋅ηµ300 =20-10⋅ 1 2 ή Ν=15Ν. Η συνολική αντίδραση που ασκείται στο σώµα από το δάπεδο είναι Α2 =Τ2 +Ν2 =75+225 ή Α2 =300 ή Α=10⋅ 3 Ν. 4. Το σώµα του σχήµατος ισορροπεί πάνω σ’ ένα λείο κεκλιµένο επίπεδο. Το σώµα βρίσκεται σ’ επαφή µε το κεκλιµένο επίπεδο και ένα εµπόδιο που το εµποδίζει να ολισθήσει. ∆ίνεται το βάρος του σώµατος w=100Ν. Τότε: α) Να βρεθεί η δύναµη που ασκείται στο σώµα από το κεκλιµένο επίπεδο και β) Η δύναµη που ασκείται στο σώµα απ’ το εµπόδιο. ∆ίνεται η γωνία κλίσης του κεκλιµένου επιπέδου φ=450 . Ακόµη ισχύει ηµ450 =συν450 = 2 2 . Λύση: Στο σώµα ασκείται το βάρος του w (δύναµη από απόσταση). Ακόµη το σώµα βρίσκεται σε επαφή µε το κεκλιµένο δάπεδο, το οποίο ασκεί στο σώµα την F T w N Α x x φ y y y΄ x΄ F F x y x φ y y΄ x΄ N w w w
- 208. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 207 κάθετη αντίδραση Ν. Τέλος το εµπόδιο ασκεί στο σώµα µία δύναµη επαφής F παράλληλη στο κεκλιµένο επίπεδο πάνω στον άξονα xx΄, όπως φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Στο σχήµα φαίνεται η δύναµη F. Ακόµη φαίνεται πως έχουµε επιλέξει ως άξονα xx΄ τον παράλληλο στο κεκλιµένο επίπεδο και ως άξονα yy΄ τον κάθετο στο κεκλιµένο επίπεδο. Τέλος η γωνία φ του κεκλιµένου επιπέδου είναι ίση µε τη γωνία ου σχηµατίζεται από το βάρος w και τον άξονα yy΄ γιατί είναι δυο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους ανά µία κάθετες. Σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton αφού το σώµα ισορροπεί ισχύει F ρ ολικό= 0 r . Από τη συνθήκη ισορροπίας στον άξονα xx΄ τον παράλληλο στο κεκλιµένο επίπεδο έχουµε: Fολx=0 ή F-wx=0 ή F=wx ή F=w⋅ηµφ ή F=100⋅ 2 2 =50 2 Ν. Άρα η δύναµη F που ασκείται από το εµπόδιο στο σώµα είναι F=50 2 Ν. Παρόµοια Από τη συνθήκη ισορροπίας στον άξονα yy΄ έχουµε: Fολy=0 ή N-wy=0 ή N=wy ή N= w⋅συνφ ή N=100⋅ 2 2 =50 2 Ν. Άρα η κάθετη αντίδραση Ν που ασκεί το κεκλιµένο επίπεδο στο σώµα είναι Ν=50 2 Ν. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα ισχύει w2 =wx 2 +wy 2 =2 wx 2 ή wx 2 = 2 w 2 ή wx= w 2 2 ή wx= 100 2 2 ή wx=50 2 Ν. Τότε και wy=wx=50 2 Ν. F x y x φ y y΄ x΄ N w w w φ
- 209. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 208 F2 F1 5. Αν στο σώµα του σχήµατος εξασκούνται οι κάθετες µεταξύ τους δυνάµεις F1=15N και F2=20N, τότε να υπολογιστεί η δύναµη F3, που πρέπει να ασκείται σε αυτό ώστε να ισορροπεί. Λύση: Σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton αφού το σώµα ισορροπεί ισχύει F ρ ολικό= 0 r . Βρίσκουµε τη συνισταµένη F1,2 των δυνάµεων F1 και F2. Τότε για να είναι η συνολική συνισταµένη ίση µε το µηδέν θα πρέπει η δύναµη F3, να είναι αντίθετη (ίσο µέτρο και αντίθετη φορά) µε την F1,2. Επειδή οι F1 και F2 είναι µεταξύ τους κάθετες για τη συνισταµένη τους ισχύει F1,2 2 =F1 2 +F2 2 ή F1,2= 2 2 1 2 F +F ή F1,2= 225+400 ή F1,2= 625 ή F1,2=25Ν µε την κατεύθυνση που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Τότε το µέτρο της F3 είναι F3= F1,2=25Ν, ενώ η κατεύθυνση της F3 είναι αυτή που φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. ∆ηλαδή για να ισορροπεί το σώµα (Fολ=0), θα πρέπει η F3 να είναι αντίθετη της F1,2 που είναι η συνισταµένη των F1 και F2. F 1 F 2 F 1,2 F 3 F 1 F 2 F 1,2
- 210. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 209 6. Το σώµα του σχήµατος κινείται προς τα πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο µε σταθερή ταχύτητα υ και µε την επίδραση της σταθερής δύναµης F. Να υπολογιστούν, α) το βάρος του σώµατος w, β) η κάθετη αντίδραση N και γ) η τριβή T. ∆ίνονται: F=30N, φ=300 , ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µ= 3 2 ,συν300 = 3 2 και ηµ300 = 1 2 . Λύση: α) Στο σώµα ασκείται η δύναµη F, το βάρος του w, η κάθετη αντίδραση Ν και η τριβή ολίσθησης T. Έχουµε επιλέξει ως άξονα xx΄ τον παράλληλο στο κεκλιµένο επίπεδο και ως άξονα yy΄ τον κάθετο στο κεκλιµένο επίπεδο. Τέλος η γωνία φ του κεκλιµένου επιπέδου είναι ίση µε τη γωνία που σχηµατίζεται από το βάρος w και τον άξονα yy΄ γιατί είναι δυο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους ανά µία κάθετες. Σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton αφού το σώµα ισορροπεί (υ=σταθερή) ισχύει: F ρ ολικό= 0 r . Από τη συνθήκη ισορροπίας στον άξονα xx΄ τον παράλληλο στο κεκλιµένο επίπεδο έχουµε: Fολx=0 ή F-wx-T=0 ή F=wx+T ή F=w⋅ηµφ+µ⋅Ν (1), αφού γνωρίζουµε πως για την τριβή T ισχύει T=µ⋅Ν. Από τη συνθήκη ισορροπίας στον άξονα yy΄ έχουµε: Fολy=0 ή N-wy=0 ή N=wy ή N= w⋅συνφ (2). Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ή F=w⋅ηµφ+µ⋅w⋅συνφ (φ=300 ). Τότε µε αντικατάσταση έχουµε 30=w⋅ 1 2 + 3 2 ⋅w⋅ 3 2 ή 30= w 2 + 3w 4 ή 5w 4 =30 ή w= 120 5 ή w=24N. x y x φ y y΄ x΄ N Τ F w w w φ
- 211. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 210 β) Από τη σχέση (2) έχουµε ότι N=w⋅συνφ ή Ν=24⋅ 3 2 ή Ν=12 3 Ν. γ) Για την τριβή ολίσθησης ισχύει T=µ⋅Ν= 3 2 12 3 ή T=18N. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ισχύει Fολx=0 ή F-wx-T=0 ή T=F-wx, όπου wx=w⋅ηµ300 =12Ν. Τότε είναι T=30-12=18N.
- 212. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 211 F1=10N F2 F1 F2 F1 1)Το σώµα του σχήµατος βάρους w=20N ισορροπεί µε την επίδραση της οριζόντιας δύναµης F1 . Να υπολογιστεί η οριζόντια δύναµη F2, που πρέπει να ασκείται στο σώµα ώστε αυτό να ισορροπεί. Ποιες άλλες δυνάµεις εξασκούνται στο σώµα; 2) Αν στο σώµα του σχήµατος εξασκούνται οι δυνάµεις F1=50N και F2=120N, τότε να υπολογιστεί η οριζόντια δύναµη F3, που πρέπει να ασκείται σε αυτό ώστε να ισορροπεί. 3) Αν F1=100N και F3=150N, να υπολογιστεί η δύναµη F2 ,ώστε το σώµα α) Να είναι ακίνητο. β) Να κινείται µε σταθερή ταχύτητα i) προς τα δεξιά και ii) προς τ’ αριστερά. 4)Αν στο σώµα του σχήµατος εξασκούνται οι δυνάµεις F1=12N και F2=16N, τότε να υπολογιστεί η δύναµη F3, που πρέπει να ασκείται σε αυτό ώστε να ισορροπεί. F 1 F F 2 3
- 213. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 212 y F2 F3 F1 x F4 y F2 F3 F1 600 x F4 φ N wX wy w F F2 F1 5) Αν στο σώµα του σχήµατος εξασκούνται οι δυνάµεις F1=F2=12N,που σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία φ=600 τότε να υπολογιστεί η δύναµη F3 (µέτρο και κατεύθυνση), που πρέπει να ασκείται σε αυτό ώστε να ισορροπεί. ∆ίνεται συν600 = 1 2 . 6)Αν το σώµα του σχήµατος ισορροπεί και F1=50N και F2=30N, τότε να υπολογιστούν οι δυνάµεις F3 και F4. 7)Αν F1=100N και F3=300N τότε να υπολογιστούν οι F2 και F4, ώστε το σώµα να ισορροπεί. ∆ίνονται ηµ600 = 3 2 και συν600 = 1 2 . 8)Αν το σώµα του σχήµατος ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο µε την επίδραση της δύναµης F, τότε να υπολογιστεί το βάρος του w και η κάθετη αντίδραση N. ∆ίνεται F=30N και φ=300 . Ακόµη ηµ300 = 1 2 και συν300 = 3 2 .
- 214. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 213 300 υ Ν 300 F wX wy w 9) Αν το σώµα του σχήµατος κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ=10m/s προς τα πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο, µε την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναµης F=1000N. Τότε: α) Να υπολογιστούν το βάρος του w και η κάθετη αντίδραση Ν. β) Να υπολογιστεί η µετατόπιση του σώµατος πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο σε χρόνο ∆t=0,3s. ∆ίνονται ηµ300 = 1 2 και συν300 = 3 2 . 10)To σώµα του σχήµατος βάρους w=80Ν, παρουσιάζει τριβή T=10N, µε το κεκλιµένο επίπεδο. Να υπολογιστούν: α) Η δύναµη F η παράλληλη στο κεκλιµένο επίπεδο αν θέλουµε το σώµα να ολισθαίνει προς τα πάνω µε σταθερή ταχύτητα. β) Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ του σώµατος και του κεκλιµένου επιπέδου. ∆ίνονται ηµ450 = =συν450 = 0,7. 11) Σε σώµα βάρους w=80Ν, που ηρεµεί πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, ασκείται κατακόρυφη δύναµη F=60N µε φορά προς τα πάνω και το σώµα ισορροπεί. Πόση δύναµη εξασκεί το δάπεδο στο σώµα; 12)Σώµα βάρους w=200Ν, ηρεµεί σε οριζόντιο τραπέζι. 1.Πόση είναι η κάθετη αντίδραση του τραπεζιού στο σώµα; 2.Αν ασκήσουµε κατακόρυφη δύναµη F=100N µε φορά προς τα κάτω, πόση γίνεται τότε η κάθετη αντίδραση του δαπέδου; Τ F 45 0 w
- 215. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 214 F Υ υ =20m/s w=80Ν α) F Υ υ =10m/s w=80Ν β) Α 45 0 45 0 ∆ Γ w 13)Να βρεθεί η δύναµη F σε κάθε µια από τις παρακάτω περιπτώσεις. 14)Ένα αυτοκίνητο µάζας m=1500Kg κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο. Αν η δύναµη του κινητήρα του είναι F=3000N να βρείτε τη συνολική αντίσταση που δέχεται αν κινείται α) µε σταθερή ταχύτητα υ=10m/s και β) µε σταθερή ταχύτητα υ=20m/s. 15)Ένα ασανσέρ έχει w=104 Ν. Να βρείτε την τάση του συρµατόσχοινου, αν το ασανσέρ 1.Ανεβαίνει µε σταθερή ταχύτητα υ=2m/s και 2.Κατεβαίνει µε σταθερή ταχύτητα υ=2m/s. 16) Σε ένα µικρό κινούµενο σώµα ασκούνται συνολικά τρεις σταθερές δυνάµεις. Οι δυο από αυτές έχουν την ίδια κατεύθυνση και µέτρα F1=0,6N και F2=1,1N αντίστοιχα. Η τρίτη έχει αντίθετη κατεύθυνση και µέτρο F3=1,7N.To σώµα µέσα σε τρία δευτερόλεπτα µετατοπίζεται ευθύγραµµα κατά 24m. Κατά πόσο θα µετατοπιστεί τα επόµενα 7sec; 17)Βαλίτσα w=400Ν, βρίσκεται πάνω σε ζυγαριά. α) Να βρεθεί η ένδειξη της ζυγαριάς. β) Να βρεθεί η ένδειξη της ζυγαριάς, όταν ένας άνθρωπος που στέκεται έξω από τη ζυγαριά, εξασκεί δύναµη F=100N προς τα πάνω. 18) Να υπολογιστούν οι τάσεις των σχοινιών ΑΓ και ∆Γ στα παρακάτω σχήµατα αν το βάρος του σώµατος είναι w=50Ν.
- 216. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 215 1) Όσο πιο λεία είναι η επιφάνεια, τόσο µεγαλύτερη είναι η τριβή που αντιστέκεται στην κίνηση του σώµατος. ( ) 2) Για να πετύχουµε µεγάλες ταχύτητες στα σύγχρονα µέσα µεταφοράς, προσπαθούµε να µειώσουµε όσο το δυνατόν περισσότερο τη δύναµη της τριβής. ( ) 3) Κατά την εφαρµογή της συνθήκης ισορροπίας, συχνά διευκολυνόµαστε µε την ανάλυση κάποιων δυνάµεων σε δυο κάθετες συνιστώσες κατά τις διευθύνσεις x, y. Τότε, η συνθήκη ισορροπίας σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton ισχύει χωριστά για κάθε διεύθυνση. ∆ηλαδή ισχύει Fολx = 0 και Foly = 0 ( ) 4) Για να κινείται ένα σώµα µε σταθερή ταχύτητα θα πρέπει να ασκείται σ’ αυτό µια δύναµη. ( ) 5)Η δύναµη δεν είναι αιτία κίνησης αλλά αιτία µεταβολής της κίνησης. ( ) 6)Ένα σώµα µπορεί να κινείται µε σταθερή ταχύτητα, χωρίς να ασκείται σ’ αυτό δύναµη. ( )
- 217. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 216 7)Αδράνεια είναι η ιδιότητα που έχουν όλα τα σώµατα να αλλάζουν την κινητική τους κατάσταση. ( ) 8)Ο Νόµος της αδράνειας δεν ισχύει για τα ουράνια σώµατα. ( ) 9)Όταν ένα σώµα ισορροπεί αυτό σηµαίνει ότι είναι ακίνητο ή κινείται µε σταθερή ταχύτητα. ( ) 10)∆ιαστηµόπλοιο που εκτοξεύεται µε σταθερή ταχύτητα στο διάστηµα µπορεί να διατηρήσει την ταχύτητά του χωρίς να το προωθεί καµία δύναµη. ( ) 11) Είναι αδύνατο να ασκούνται σ’ ένα σώµα δυνάµεις και να µην εκδηλώνεται καµία µεταβολή στην κινητική του κατάσταση. ( ) 12)Οι εξισώσεις ΣFX=0 και ΣFy=0, αποτελούν αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ισορροπία οµοεπίπεδων δυνάµεων. ( ).
- 218. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 217 1. Λέµε ότι ένα σώµα, που θεωρείται υλικό σηµείο, ισορροπεί α) όταν είναι ακίνητο. β) όταν δεν ασκείται πάνω του καµία δύναµη. γ) κινείται µε σταθερή ταχύτητα. δ) όταν είναι ακίνητο ή κινείται µε σταθερή ταχύτητα. 2. Σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton ένα σώµα συνεχίζει να παραµένει ακίνητο ή να κινείται ευθύγραµµα και οµαλά εφόσον: α) δεν ασκείται σε αυτό δύναµη ή η συνολική (συνισταµένη) δύναµη που ασκείται πάνω του είναι µηδενική ( ολικό = 0). β) ασκείται σ’ αυτό µια σταθερή δύναµη ( ολικό ≠ 0). γ) ασκείται σ’ αυτό η δύναµη της τριβής, δ) ασκούνται οµόρροπες δυνάµεις ίδιου µέτρου. 3. Όταν ένα σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα τότε η συνισταµένη δύναµη είναι: α) σταθερή β) µηδέν γ) Παράλληλη στην ταχύτητα δ) κάθετη στην ταχύτητα. 4. Σύµφωνα µε τον Νεύτωνα η δύναµη είναι αιτία: α) κίνησης β) εµφάνισης τριβής γ) µεταβολής της κίνησης δ) τίποτα από τα παραπάνω 5) Αδράνεια είναι η ιδιότητα των σωµάτων: α)να αλλάζουν την κινητική τους κατάσταση β)να κινούνται µε σταθερή ταχύτητα
- 219. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 218 γ)να παραµένουν ακίνητα δ)να αντιστέκονται σε κάθε µεταβολή της κινητικής τους κατάστασης. 6) Για να κινείται ένα διαστηµόπλοιο µε σταθερή ταχύτητα στο διάστηµα θα πρέπει: α) να υπάρχει µια κινητήρια δύναµη β) να µην εξασκείται καµία δύναµη γ) να έχει καύσιµα αρκετά για το ταξίδι του δ)τίποτα από τα παραπάνω. 7) Όταν σ’ ένα σώµα εξασκούνται δυνάµεις τότε αυτό: α) σίγουρα επιταχύνεται β) σίγουρα ηρεµεί γ) µπορεί και να επιταχύνεται και να ηρεµεί δ) ισορροπεί. 8)To µέτρο της αδράνειας ενός σώµατος είναι: α) Το βάρος του (w) β) Η µάζα του (m) γ)Η επιτάχυνσή του (α) δ)Η µεταβολή της ταχύτητάς του (∆υ). 9) Η αδράνεια ενός σώµατος είναι: α) µεγαλύτερη στη γη απ’ ότι στη σελήνη β) µεγαλύτερη στη σελήνη απ’ ότι στη γη γ) ελαττώνεται καθώς αποµακρυνόµαστε από τη γη δ) σταθερή ανεξάρτητα από το πού βρίσκεται το σώµα. 10)Ένας αστροναύτης κλωτσάει ένα βράχο στη σελήνη: α)η δύναµη που εξασκεί ο βράχος στο πόδι του αστροναύτη είναι µικρότερη απ’ ότι στη γη γιατί ο βράχος έχει µικρότερο βάρος β) είναι η ίδια και στη γη και στη σελήνη γιατί η αδράνεια του σώµατος παραµένει σταθερή γ) ο αστροναύτης πονάει λιγότερο στη σελήνη απ’ ότι στη γη δ) όλα τα παραπάνω.
- 220. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 219 1. Αδράνεια είναι η τάση των σωµάτων να αντιστέκονται σε οποιαδήποτε ……………………….της κινητικής τους κατάστασης (ταχύτητας). 2. Αυτό που φαντάστηκε ο Γαλιλαίος και διατύπωσε ο Νεύτωνας ήταν ότι ένα σώµα µπορεί να κινείται µε………………..ταχύτητα, χωρίς να ασκείται σε αυτό κάποια ……………… 3. Ο νόµος της αδράνειας ή 1ος Νόµος του Newton, εισάγει µια ισοδυναµία ανάµεσα στην κατάσταση ……………… και την ευθύγραµµη ……………. Κίνηση. 4. Είναι δυνατόν να ασκούνται δυνάµεις σ’ ένα σώµα και να µην εκδηλώνεται καµιά ……………… στην ………………. κατάσταση του σώµατος. Για δυο δυνάµεις F1 και F2 που δεν προκαλούν καµία µεταβολή στην κινητική κατάσταση του σώµατος ισχύει …………………. δηλαδή το διανυσµατικό τους άθροισµά τους είναι………………. Τότε όµως και το αλγεβρικό άθροισµα των δυνάµεων στον άξονα των xx΄ είναι ίσο µε ……………….., και το ίδιο ισχύει στον αντίστοιχο άξονα των yy΄. 5. Βασιζόµενοι στο νόµο της αδράνειας να συµπληρώσετε τις παρακάτω προτά- σεις: Η κατάσταση ευθύγραµµης οµαλής κίνησης και η ……………….. είναι ισοδύναµες. Μεταβολή στην κινητική κατάσταση ενός σώµατος έχουµε όταν το ολικό είναι ……………………… του ………………………..
- 221. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 220 3.6 ∆ύναµη και µεταβολή της ταχύτητας 2ος νόµος του Νεύτωνα 1. Με ποιο τρόπο συνδέεται η δύναµη µε τη µεταβολή της ταχύτητας; Όσο µεγαλύτερη είναι η δύναµη F, που ασκείται σ' ένα σώµα που έχει ορισµένη µάζα m, τόσο πιο γρήγορα µεταβάλλεται η ταχύτητα του. Ή αλλιώς στο ίδιο χρονικό διάστηµα ∆t έχουµε µεγαλύτερη µεταβολή της ταχύτητας ∆υ . Η µεταβολή της ταχύτητας ∆υ ενός σώµατος προς τον αντίστοιχο χρόνο ∆t, (ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας) ονοµάζεται επιτάχυνση α, του σώµατος. Άρα ισχύει α= ∆υ ∆t . Η µεταβολή ∆υ της ταχύτητας εξαρτάται επίσης από τη µάζα του σώµατος. Όσο µεγαλύτερη είναι η µάζα m, τόσο µικρότερη είναι η µεταβολή της ταχύτητας ∆υ που προκαλείται από την ίδια δύναµη, εφόσον αυτή ασκείται για το ίδιο χρονικό διάστηµα. Αυτό ισοδύναµη σηµαίνει πως όσο µεγαλύτερη είναι η µάζα ενός σώµατος, τόσο δυσκολότερα µπορεί να µεταβληθεί η ταχύτητα του. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας (επιτάχυνση), ∆υ ∆t είναι
- 222. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 221 α. Ανάλογος της δύναµης F δηλαδή, αν διπλασιάσουµε τη δύναµη διπλασιάζεται και η επιτάχυνση ∆υ ∆t . Εάν την τριπλασιάσουµε, τριπλασιάζεται. και β. Αντιστρόφως ανάλογος της µάζας m του σώµατος. Σε σώµα διπλάσιας µάζας η ίδια δύναµη προκαλεί τη µισή µεταβολή της ταχύτητας (∆υ) στον ίδιο χρόνο (∆t). Στη γλώσσα των µαθηµατικών αυτό διατυπώνεται µε τη σχέση: ∆υ ∆t = F m ή α= F m ή F=m⋅α. Η παραπάνω σχέση αποτελεί και τη µαθηµατική διατύπωση του 2ου Νόµου του Newton. 2. Να διατυπώσετε το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα ή τη θεµελιώδη εξίσωση της δυναµικής. Η ασκούµενη σε ένα σώµα δύναµη προκαλεί επιτάχυνση µε την κατεύθυνση της δύναµης και µέτρο ίσο µε το πηλίκο της δύναµης προς τη µάζα του σώµατος. ρ α = ρ F m ή ρ F = m . ρ α (διανυσµατική σχέση) ή αλλιώς ισχύει η αλγεβρική σχέση F=m⋅α. F 2F ∆t ∆t ∆t ∆t
- 223. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 222 Στην εξίσωση F=m.α θα πρέπει να προσέξουµε ότι η F είναι η συνολική δύναµη που εξασκείται στο σώµα. Οπότε έχουµε Fολ=m⋅α. Ο 2ος νόµος του Newton ισχύει και για κινούµενα σώµατα. Ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας (επιτάχυνση α) και η δύναµη F έχουν πάντοτε την ίδια κατεύθυνση αφού η µάζα m είναι πάντα θετική. Αν σ' ένα σώµα δεν ασκείται δύναµη, ή ασκούνται δυνάµεις µε συνισταµένη µηδέν, δηλαδή είναι Fολ = 0, τότε και η επιτάχυνση θα είναι µηδέν, δηλαδή α = 0. Αυτό σηµαίνει ότι, αν η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται σε ένα σώµα είναι ίση µε µηδέν, δεν αλλάζει η κινητική κατάσταση του σώµατος. Έτσι το σώµα ηρεµεί, αν αρχικά ηρεµούσε, ή κινείται ευθύγραµµα και οµαλά αν αρχικά είχε ταχύτητα (1ος νόµος του Νεύτωνα). ∆ηλαδή ο 2ος Νόµος του Newton εµπεριέχει και τον 1ο του Νόµο. Αν σ' ένα σώµα ασκείται σταθερή δύναµη, τότε και η επιτάχυνση που αποκτά είναι σταθερή. Αν η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται σε ένα σώµα είναι µεταβαλλόµενη τότε και η επιτάχυνση που αποκτά το σώµα θα είναι µεταβαλλόµενη.
- 224. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 223 3. Μάζα(m) - Βάρος (w) - Επιτάχυνση της βαρύτητας g. Η µάζα (m) ενός σώµατος παραµένει η ίδια σε οποιοδήποτε σηµείο του σύµπαντος και να µεταφερθεί αυτό. Το βάρος (w) όµως µεταβάλλεται. Η µάζα και το βάρος ενός σώµατος συνδέονται µε τη σχέση µέσω ενός µεγέθους που ονοµάζεται επιτάχυνση της βαρύτητας (g) και µεταβάλλεται από τόπο σε τόπο. Ισχύει: w=m⋅ ⋅ ⋅ ⋅g. Επιτάχυνση της βαρύτητας (g) σ’ έναν τόπο ονοµάζουµε το σταθερό πηλίκο του βάρους του σώµατος προς τη µάζα του. ∆ηλαδή ισχύει g= w m . Από το Νόµο της Παγκόσµιας έλξης και για την επιφάνεια της γης έχουµε Έχουµε w0=G⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 Γ Γ R M m . Τότε προκύπτει g0 = 0 w m ή g0=G⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Γ 2 Γ M R . Το g0 είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της γης. Παρατηρούµε ότι το g0 είναι σταθερό και ίδιο για όλα τα σώµατα ανεξάρτητα της µάζας τους m. Εξαρτάται µόνο από τη µάζα της γης (ΜΓ) και την ακτίνα της (RΓ). Η τιµή του g0 κοντά στην επιφάνεια της γης είναι περίπου 9,8 m/s2 . ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Εξαιτίας της περιστροφής της γης το βάρος ενός σώµατος είναι µικρότερο απ’ αυτό που υπολογίζουµε από την παραπάνω σχέση w=m⋅g. Γι’ αυτό και το g ονοµάζεται «φαινόµενο g» και όχι πραγµατικό. Η διαφορά αυτή µικραίνει καθώς µεταβαίνουµε από τον ισηµερινό στους πόλους. Στους πόλους η διαφορά αυτή µηδενίζεται.
- 225. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 224 1) Όσο µεγαλύτερη είναι η δύναµη που ασκείται σ' ένα σώµα που έχει ορισµένη µάζα, τόσο πιο γρήγορα µεταβάλλεται η ταχύτητα του. ( ) 2) Μεγάλη µάζα σηµαίνει µεγάλη αδράνεια, δηλαδή µεγάλη αντίσταση και άρα µικρή µεταβολή στην ταχύτητα (για δεδοµένη δύναµη). ( ) 3) Η µάζα του αστροναύτη Ώλτριν (Auldrin) όταν πάτησε το πόδι του στη Σελήνη έγινε το 1/6 της µάζας που είχε στη γη. ( ) 4) Η δύναµη που ασκεί ο πυρήνας του ατόµου του Υδρογόνου στο ηλεκτρόνιο του, δεν µεταβάλλει την ταχύτητά του γιατί αυτή έχει σταθερό µέτρο. ( ) 5) Ο λόγος των µαζών δυο σωµάτων είναι ανάλογος του λόγου των επιταχύνσεων που αποκτούν, υπό την επίδραση ίσων δυνάµεων δηλαδή: 2 1 m m = 2 1 α α . ( ) 6) Σταθερή δύναµη προκαλεί σταθερό ρυθµό µεταβολής της ταχύτητα ∆υ ∆t (επιτάχυνση) ενός σώµατος. ( ) 7)Η µεταβολή της ταχύτητας ενός σώµατος είναι ανάλογη µε τη δύναµη που ασκείται σ’ αυτό και έχει πάντα την ίδια κατεύθυνση µ’ αυτή. ( )
- 226. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 225 8)Η επιτάχυνση που αποκτά ένα σώµα µε την επίδραση σταθερής δύναµης δίνεται από τη σχέση α= F m . ( ) 1. Σύµφωνα µε τον 2ο Νόµο του Newton: α) Όσο µεγαλύτερη είναι η µάζα ενός σώµατος , τόσο µεγαλύτερη είναι και η µεταβολή της ταχύτητας που προκαλείται από την ίδια δύναµη, στο ίδιο χρονικό διάστηµα. β) Όσο µεγαλύτερη είναι η δύναµη που ασκείται σ’ ένα σώµα, τόσο δυσκολότερα µπορεί να µεταβληθεί η ταχύτητα του. γ) Ισχύει η σχέση ∆υ ∆t = F m ή α= F m ή F=m⋅α. δ) Η ίδια δύναµη προκαλεί τα ίδια αποτελέσµατα σ’ όλα τα σώµατα ανεξάρτητα από τη µάζα τους. 2. α) Η µάζα ενός σώµατος παραµένει η ίδια σε οποιοδήποτε σηµείο του σύµπαντος και αν µεταφερθεί αυτό. Το βάρος του, όµως, µεταβάλλεται από τόπο σε τόπο. β) Και η µάζα και το βάρος ενός σώµατος παραµένουν σταθερά. γ) Το βάρος ενός σώµατος παραµένει σταθερό ενώ η µάζα του µεταβάλλεται από τόπο σε τόπο. δ)Το βάρος και η µάζα ενός σώµατος συνδέονται µε τη σχέση m=w⋅g. 3. Σε σώµα διπλάσιας µάζας η ίδια δύναµη στον ίδιο χρόνο προκαλεί, α. την ίδια µεταβολή της ταχύτητας β. τη διπλάσια µεταβολή της ταχύτητας. γ. µηδενική µεταβολή της ταχύτητας.
- 227. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 226 δ. τη µισή µεταβολή της ταχύτητας. 4) Όταν σ’ ένα σώµα εξασκείται σταθερή δύναµη τότε: α) Η επιτάχυνση ολοένα αυξάνει β) Η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλή γ) Η επιτάχυνση είναι σταθερή δ) Η ταχύτητα αυξάνει µε µεταβαλλόµενο ρυθµό. 7) Το βάρος ενός σώµατος στη γη είναι: α) η φυσική τάση του σώµατος να πέφτει στη γη β) Η ελκτική δύναµη που ασκεί η γη στο σώµα γ) Η ελκτική δύναµη που ασκεί το σώµα στη γη δ) όλα τα παραπάνω. 8)Για το βάρος ενός σώµατος ισχύει: α)w=m⋅g β) w r =m⋅ g ρ γ) w r =m⋅υ ρ δ) w=m⋅α 9) Ο 2ος Νόµος του Newton δεν ισχύει: α) για ταχύτητες που πλησιάζουν την ταχύτητα του φωτός. β) στην περίπτωση της κίνησης των πλανητών. γ) όταν υπάρχουν τριβές. δ) στην περίπτωση της κυκλικής κίνησης.
- 228. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 227 1. ∆ύναµη είναι η αιτία που προκαλεί τη ………………….στην ταχύτητα των σωµάτων. 2. Η µάζα ενός σώµατος είναι το µέτρο της ………………..του, δηλαδή της αντίστασης που παρουσιάζει το σώµα στη µεταβολή της κινητικής του κατάστασης. Όταν ένα φορτηγό είναι φορτωµένο σταµατάει ……………….παρά όταν είναι άδειο. Η ταχύτητα του φορτηγού µπορεί να µεταβληθεί …………………όταν αυτό είναι άδειο. 3. Η µάζα (m) ενός σώµατος είναι …………………µέγεθος, ενώ το βάρος του (w) είναι …………………………….µέγεθος. 4. Με βάση τον 2ο νόµο του Newton ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας δηλαδή η …………………του σώµατος, καθορίζεται τόσο από τη συνολική ……………………., όσο και από τη……………..του σώµατος. 5. Το βάρος w ενός σώµατος µάζας m, είναι µια………………..δύναµη την οποία ασκεί η ………….στο σώµα. Σύµφωνα µε τον 2ο νόµο του Newton το βάρος w, ενός σώµατος συνδέεται µε τη µάζα του σύµφωνα µε τη σχέση ……………….. 6. Συµπληρώστε τα κενά στον παρακάτω πίνακα: Συνισταµένη δύναµη F (Ν) Μάζα m(Kg) Ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας ∆υ ∆t (m/s2 ) 20 προς τα δεξιά 2 5 6 προς τα κάτω 10 νότια 2 νότια
- 230. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 229 3.7 ∆ύναµη και αλληλεπίδραση 3ος νόµος του Νεύτωνα 1. Να αναφέρετε τον 3ο νόµο του Νεύτωνα ή Νόµο δράσης - αντίδρασης. Όταν ένα σώµα Α εξασκεί µια δύναµη (δράση) σε ένα σώµα Β τότε και το Β εξασκεί στο Α µια ίση και αντίθετη δύναµη (αντίδραση). F ρ Α,Β=- F ρ Β,Α ή διαφορετικά σε κάθε δράση αντιστοιχεί πάντα και µια αντίδραση. Οι δυο δυνάµεις ασκούνται ταυτόχρονα. Οι δύο δυνάµεις δράση και αντίδραση ασκούνται πάντα σε δυο διαφορετικά σώµατα. Οι δυο δυνάµεις του 3ου νόµου του Newton εξασκούνται σε διαφορετικά σώµατα και άρα δεν αλληλοεξουδετερώνονται. ∆εν µπορούµε δηλαδή να υπολογίσουµε τη συνισταµένη µιας δράσης και µιας αντίδρασης. F -F
- 231. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 230 Ο τρίτος νόµος αναφέρεται σε κάποια ιδιότητα όλων των δυνάµεων. Στη φύση ποτέ δεν εκδηλώνεται η δράση χωρίς την αντίστοιχη αντίδραση. Οι δυο δυνάµεις του 3ου νόµου του Newton ονοµάζονται δράση- αντίδραση . Η δράση δεν είναι το αίτιο της αντίδρασης. Η δράση και η αντίδραση συνυπάρχουν. ∆εν έχει σηµασία ποια από τις δυο δυνάµεις αποκαλούµε δράση και ποια αντίδραση, αρκεί να θυµόµαστε πάντα ότι συνυπάρχουν. Όταν µελετάµε την κίνηση ενός σώµατος ενδιαφερόµαστε µόνο για τις δυνάµεις που ασκούνται σ’ αυτό και όχι για τις δυνάµεις που ασκεί αυτό στα υπόλοιπα σώµατα.
- 232. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 231 2. Να αναζητήσετε τα ζεύγη δράσης-αντίδρασης των δυνάµεων που ασκούνται σ' ένα µήλο, το οποίο βρίσκεται σε ηρεµία πάνω στο τραπέζι. Στο µήλο ασκούνται δυο δυνάµεις. Το βάρος του (w) και η κάθετη αντίδραση (Ν). Το βάρος (w) είναι η δύναµη που ασκεί η γη στο µήλο, ενώ την κάθετη δύναµη (Ν), την ασκεί το τραπέζι στο µήλο. Εφαρµόζουµε τη σ συνθήκη ισορροπίας για το µήλο: η συνισταµένη δύναµη που ασκείται στο µήλο είναι µηδέν. Ισχύει Ν-w=0 ή Ν=w. ∆ηλαδή το βάρος του µήλου (w) εξισορροπείται από την κάθετη δύναµη (Ν) που το τραπέζι ασκεί στο µήλο. Οι δυνάµεις αυτές έχουν ίσα µέτρα και αντίθετες κατευθύνσεις. Ωστόσο, δεν αποτελούν ζεύγος δράση-αντίδραση. Η δράση και η αντίδραση πρέπει να εξασκούνται σε διαφορετικά σώµατα. Έτσι η αντίδραση του βάρους w του µήλου είναι το w΄ δηλαδή η δύναµη που ασκεί το µήλο στη γη. Ισχύει w΄ = - w. Παρόµοια η αντίδραση της δύναµης Ν που ασκεί το τραπέζι στο µήλο είναι η Ν΄ δηλαδή η δύναµη που ασκεί το µήλο στο τραπέζι. Ισχύει Ν΄ = - Ν. Όµως ισχύει και Ν= w από τη συνθήκη ισορροπίας του µήλου, οπότε τελικά και η Ν΄ έχει το ίδιο µέτρο αλλά και την ίδια κατεύθυνση µε το βάρος w του µήλου. w N N΄ w΄
- 233. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 232 3. Γιατί η δύναµη που ασκεί το µήλο στη γη δεν προκαλεί την κίνηση της γης; Όταν το µήλο πέφτει και κινείται προς το έδαφος οι βαρυτικές δυνάµεις ανάµεσα στο µήλο και τη γη, το w και το w' έχουν ίσα µέτρα και αντίθετες κατευθύνσεις. Το βάρος w προκαλεί την κίνηση του µήλου. Η µάζα (m) του µήλου όµως είναι πολύ µικρότερη από τη µάζα της γης. Εποµένως, η αδράνεια του µήλου είναι πολύ µικρότερη της αδράνειας της γης. Τότε όπως προκύπτει από το 2ο Νόµο του Newton ισχύει ∆υ ∆t = F m . Έτσι, η άσκηση δυνάµεων ίσου µέτρου (F), προκαλεί στον ίδιο χρόνο ∆t, πολύ µεγαλύτερη µεταβολή της ταχύτητας ∆υ, του µήλου γιατί αυτό έχει πολύ µικρότερη µάζα από τη γη. Η µεταβολή της ταχύτητας της γης είναι τόσο πολύ µικρή ( η µάζα της γης είναι πάρα πολύ µεγάλη), που δε γίνεται αντιληπτή. Έτσι, η γη πρακτικά παραµένει ακίνητη, ενώ το µήλο κινείται προς αυτή. ∆ηλαδή η ίδια δύναµη δεν προκαλεί σ’ όλα τα σώµατα τα ίδια αποτελέσµατα. Το µήλο κινείται επειδή έχει µικρή αδράνεια. Η γη παραµένει ακίνητη επειδή έχει µεγάλη αδράνεια. Εφαρµογές Ποια δύναµη ανυψώνει το ελικόπτερο; Τα φτερά της έλικας, όταν γυρίζουν, σπρώχνουν προς τα κάτω τα µόρια του αέρα (δράση). Τα µόρια του αέρα ωθούν την έλικα προς τα πάνω (αντίδραση). Η προς τα πάνω συνολική δύναµη που ασκούν τα µόρια του αέρα στην έλικα, λέγεται δυναµική άνωση. Όταν η δυναµική άνωση εξισωθεί µε το βάρος του ελικοπτέρου, αυτό µπορεί w m w΄ K
- 234. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 233 να διατηρηθεί σε σταθερό ύψος. Όταν η δυναµική άνωση γίνει µεγαλύτερη του βάρους, το ελικόπτερο κινείται προς τα πάνω. Ποια δύναµη ανυψώνει τα πουλιά; Όταν τα πουλιά πετούν τα φτερά τους παίρνουν τέτοιο σχήµα, ώστε να σπρώχνουν τον αέρα προς τα κάτω (δράση), οπότε ο αέρας τα σπρώχνει προς τα πάνω (αντίδραση). Ποια δύναµη κινεί ή αλλάζει την πορεία των αεροπλάνων; Με ελαφρά κλίση τµήµατος των φτερών του αεροπλάνου, ο αέρας που συναντά στρέφεται προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Έτσι, ο αέρας ασκεί δύναµη στο αεροπλάνο και το αναγκάζει να αλλάξει πορεία. Στα ελικοφόρα αεροπλάνα οι έλικες σπρώχνουν τον αέρα προς τα πίσω, οπότε ο αέρας τις σπρώχνει προς τα εµπρός. Στα αεριωθούµενα αεροπλάνα ο στροβιλοκινητήρας (τουρµπίνα) ρουφά αέρα από εµπρός και τον σπρώχνει προς τα πίσω. Αυτός µε τη σειρά του σπρώχνει το αεροσκάφος µπροστά Ποια δύναµη κινεί τα πλοία στη θάλασσα; Τα πλοία διαθέτουν την προπέλα, η οποία καθώς κινείται, σπρώχνει το νερό προς τα πίσω (δράση), οπότε το νερό τη σπρώχνει προς τα εµπρός (αντίδραση).
- 235. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 234 1. Σώµα ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο τραπέζι. Αν το βάρος του σώµατος είναι η δράση ποια είναι η αντίδραση του βάρους; Λύση: Όταν δυο σώµατα αλληλεπιδρούν τότε σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Newton οι δυνάµεις αλληλεπίδρασης µεταξύ των σωµάτων είναι ίσες και αντίθετες. Επειδή το βάρος w είναι η δύναµη που ασκεί η γη στο σώµα τότε η αντίδραση του βάρους θα είναι η δύναµη w΄ που ασκεί το σώµα στη γη. Προσέξτε ότι οι δύο δυνάµεις w και w΄, έχουν τη σχέση (δράση – αντίδραση) χωρίς να µας ενδιαφέρει ποια αποκαλούµε δράση και ποια αντίδραση. Η δράση δεν είναι το αίτιο της αντίδρασης. Απλώς οι δυο δυνάµεις συνυπάρχουν. Ακόµη πρέπει να προσέξουµε ότι οι δυο δυνάµεις ασκούνται σε διαφορετικά σώµατα. Το w ασκείται από τη Γη στο σώµα πάνω στο τραπέζι και η w΄ ασκείται από το σώµα στη Γη. Ακόµη βέβαια στο σώµα ασκείται η κάθετη αντίδραση Ν από το τραπέζι ΄(έστω δράση) οπότε τότε το σώµα ασκεί στο τραπέζι µια δύναµη ίση και αντίθετη τη Ν΄ (αντίδραση). Βέβαια από την ισορροπία του σώµατος και σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton ισχύει Fολ=0 ή Ν-w=0 ή Ν=w. Τότε όµως σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Newton για το µέτρο της δύναµης w΄ ισχύει w΄=w και N΄=Ν. Άρα τα µέτρα όλων των δυνάµεων είναι ίσα. w N N΄ w΄
- 236. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 235 2. Αν δεχτούµε ότι η δράση και η αντίδραση είναι δυο δυνάµεις ίσες και αντίθετες και ότι πάντα για µια δράση υπάρχει και µια αντίδραση, τότε πως µπορούµε να εξηγήσουµε την κίνηση των σωµάτων αφού Fολ =0; Που υπάρχει λάθος στο συλλογισµό; Λύση: Έχουµε µάθει ότι δυο δυνάµεις που έχουν το ίδιο µέτρο και αντίθετη φορά, ονοµάζονται αντίθετες. Αν οι δυο αυτές δυνάµεις ασκούνται στο ίδιο σώµα (υλικό σηµείο), τότε λέµε ότι ισορροπούν γιατί η συνισταµένη δυο αντίθετων δυνάµεων είναι µηδέν. Η δράση και η αντίδραση είναι δυο αντίθετες δυνάµεις. Όµως δεν µπορούµε να υπολογίσουµε τη συνισταµένη µιας δράσης και µιας αντίδρασης γιατί εξασκούνται σε διαφορετικά σώµατα. Οπότε η υπόθεση ότι Fολ=0 είναι λανθασµένη. 3. Στο σώµα του σχήµατος ασκούµε µε το χέρι µας µέσω του αβαρούς νήµατος τη δύναµη F (δράση). Να βρείτε και να σχεδιάσετε τις δυνάµεις που ασκούνται στις άκρες του νήµατος, καθώς και τη δύναµη που ασκείται από το νήµα στο χέρι µας; Λύση: Το νήµα ασκεί µε επαφή τη δύναµη F στο σώµα στο σηµείο Α. Τότε σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Newton και το σώµα m. ασκεί στο σηµείο επαφής στο νήµα µια δύναµη F΄ ίση και αντίθετη. ∆ηλαδή F m A B F -F F΄ - ΄ F A B
- 237. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 236 F΄=-F. Αν θεωρήσουµε το νήµα αβαρές τότε στο άκρο Β του νήµατος που βρίσκεται στο χέρι µας θα ασκείται από το χέρι µας µια δύναµη –F΄ ίση και αντίθετη της F΄ ώστε αυτό να ισορροπεί. ∆ηλαδή –F΄=-F΄=F.Τότε όµως σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Newton και το νήµα θα ασκεί στο χέρι µας µια δύναµη αντίθετη της -F΄ δηλαδή ίση µε –(-F΄)=F΄=-F. Η –F είναι η δύναµη που ασκεί το νήµα στο χέρι. Όµως κατά τη µελέτη της κίνησης ενός σώµατος µας ενδιαφέρουν µόνο οι δυνάµεις που εξασκούνται στο σώµα και όχι οι δυνάµεις που εξασκεί αυτό σε άλλα σώµατα. 4. Το σύστηµα των δύο σωµάτων m1 και m2 του σχήµατος ισορροπεί µε την επίδραση της δύναµης F=50N πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Αν δεχτούµε ότι τα νήµατα ΑΒ και ΒΓ που συνδέουν τα δυο σώµατα m1 και m2, καθώς και το σώµα m2 µε τον κατακόρυφο τοίχο αντίστοιχα, είναι αβαρή και συνεχώς τεντωµένα, τότε να υπολογίσετε τις τάσεις των νηµάτων. Λύση: Από την ισορροπία της µάζας m1 και από τον 1ο Νόµο του Newton έχουµε Fολ=0 ή F=T=50Ν, όπου T είναι η δύναµη που ασκεί µε επαφή το νήµα στο σώµα m1. Η δύναµη T, που ασκεί το νήµα στο σώµα ονοµάζεται τάση του νήµατος. Η δύναµη T΄ είναι η δύναµη που ασκεί το νήµα στο δεύτερο σώµα m2. Τότε όµως σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Newton ή αξίωµα δράσης – αντίδρασης στα άκρα του νήµατος θα ασκούνται δυο δυνάµεις –T και –T΄ από τα σώµατα m1 και m2 αντίστοιχα. Η –T είναι η αντίδραση της T και η -T΄ είναι η αντίδραση της T΄. Για την ισορροπία του αβαρούς νήµατος θα ισχύει Fολ=0 ή –T=-T΄ ή T=T΄. F T T΄ T΄ T m m 1 1 1 2 A Β Γ T -T T΄ - ΄ T A Β
- 238. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 237 Βλέπουµε λοιπόν ότι σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Newton ή αξίωµα δράσης – αντίδρασης αν το πρώτο σώµα εξασκεί µια δύναµη T΄ στο δεύτερο µέσω του αβαρούς νήµατος, τότε και το δεύτερο θα εξασκεί στο πρώτο µια δύναµη Τ ίση και αντίθετη της T΄ . Έτσι για τα µέτρα των δυνάµεων T και T΄ θα ισχύει Τ = T΄=50N . Από την ισορροπία της µάζας m2 και από τον 1ο Νόµο του Newton έχουµε Fολ=0 ή T΄=T1=50Ν, όπου T΄ είναι η δύναµη που ασκεί µε επαφή το νήµα ΑΒ στο σώµα m2. Η δύναµη T1 είναι η δύναµη που ασκεί µε επαφή το δεύτερο νήµα ΒΓ στο σώµα m2. Ακόµη το νήµα ΒΓ ασκεί και µια δύναµη T1΄ στον τοίχο όπου είναι δεµένο. Τότε όµως σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Newton στα άκρα του δεύτερου νήµατος ΒΓ θα ασκούνται δυο δυνάµεις –T1 και –T1΄ από το m2 και τον τοίχο αντίστοιχα. Η –T1 είναι η αντίδραση της T1 και η –T1΄ είναι η αντίδραση της T1΄. Για την ισορροπία του αβαρούς νήµατος ΒΓ θα ισχύει Fολ=0 ή –T1=-T1΄ ή T1=T1΄=50Ν. Βλέπουµε λοιπόν ότι σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Newton ή αξίωµα δράσης – αντίδρασης αν το δεύτερο σώµα m2 εξασκεί µια δύναµη T1΄ στον κατακόρυφο τοίχο µέσω του αβαρούς νήµατος, τότε και τοίχος εξασκεί στο m2 µια δύναµη Τ1 ίση και αντίθετη της T1΄ . Έτσι για τα µέτρα των δυνάµεων T1 και T1΄ θα ισχύει Τ1 = T1΄=50N . Βέβαια στις δυο µάζες ασκούνται και τα βάρη τους, καθώς και οι κάθετες αντιδράσεις από την οριζόντια επιφάνεια στήριξης, που όµως εδώ δεν επηρεάζουν τον υπολογισµό των τάσεων των νηµάτων. F T T΄ T΄ T m m 1 1 1 2 A Β Γ T΄ - ΄ T T -T 1 1 1 1 Β Γ
- 239. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 238 5. Αν δεχτούµε ότι σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα η δύναµη που ασκεί η γη σε ένα σώµα είναι ίση µε τη δύναµη που ασκεί το σώµα στη γη, τότε γιατί πάντα πέφτει το σώµα στη γη και όχι το αντίθετο; Λύση: Σύµφωνα µε το 2ο Νόµο του Newton η µεταβολή ∆υ της ταχύτητας ενός σώµατος εξαρτάται από τη µάζα του σώµατος. Όσο µεγαλύτερη είναι η µάζα m, τόσο µικρότερη είναι η µεταβολή της ταχύτητας ∆υ που προκαλείται από την ίδια δύναµη F στο ίδιο χρονικό διάστηµα ∆t. Στη γλώσσα των µαθηµατικών αυτό διατυπώνεται µε τη σχέση: ∆υ ∆t = F m (2ος Νόµος του Newton). Αυτό ισοδύναµα σηµαίνει πως όσο µεγαλύτερη είναι η µάζα ενός σώµατος, τόσο δυσκολότερα µπορεί να µεταβληθεί η ταχύτητα του. Έτσι επειδή η µάζα της γης (αδράνεια), είναι πολύ µεγαλύτερη απ’ αυτή του σώµατος γι’ αυτό πάντα πέφτει το σώµα στη γη και όχι το αντίθετο. ∆ηλαδή η ίδια δύναµη του βάρους, µεταβάλλει την ταχύτητα του σώµατος ενώ δεν µπορεί να µεταβάλει την ταχύτητα της Γης. Η µεταβολή της ταχύτητας της Γης είναι αµελητέα εξαιτίας της πολύ µεγάλης µάζας της. 6. Στο σύστηµα Ήλιος – Γη ποια δύναµη είναι µεγαλύτερη η δύναµη που ασκεί ο Ήλιος στη Γη ή το αντίθετο; Λύση: Σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Newton οι δυνάµεις είναι ίσες κατά µέτρο και έχουν αντίθετη φορά. Έτσι ισχύει w=-w΄. w w΄
- 240. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 239 7. Στο σύστηµα Γη – σώµα αν δεχτούµε ότι το βάρος του σώµατος είναι w=100Ν µπορούµε τότε να δεχτούµε ότι και το βάρος της γης είναι 100Ν; Αυτό σηµαίνει ότι και τα δυο σώµατα έχουν την ίδια µάζα; Λύση: Ναι, µπορούµε να πούµε ότι και το βάρος της γης είναι 100Ν, αφού σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Newton οι δυνάµεις που ασκούνται µεταξύ δυο σωµάτων είναι ίσες και αντίθετες. Αυτό όµως δεν σηµαίνει ότι και η µάζα της γης είναι ίση µε τη µάζα του σώµατος. Απλώς, επειδή η µάζα της γης είναι πολύ µεγαλύτερη , τότε σύµφωνα µε τον 2ο Νόµο του Newton α = ∆υ ∆t = m F , η επιτάχυνση που προκαλεί η ίδια δύναµη στη γη είναι πολύ µικρή και αυτό εξηγεί γιατί κινείται το σώµα προς τη γη. 8. Το σύστηµα των δυο σωµάτων Α και Β του σχήµατος, αποτελείται από τις µάζες m1 και m2. Αν η µάζα Α κινείται προς τα κάτω µε σταθερή ταχύτητα υ, τότε: α) Να υπολογίσετε τις τάσεις Τ1 και Τ2 των νηµάτων. β) Να υπολογίσετε την τριβή ανάµεσα στο σώµα Β και το οριζόντιο επίπεδο. Θεωρείστε ότι η τροχαλία είναι αβαρής. ∆ίνονται: m1=m2=10 Kg και g=10m/s2 . Λύση: α) Στο σώµα A που έχει βάρος w1=m1⋅g=100N, ασκούνται δυο δυνάµεις. Το βάρος του w1 (ελκτική δύναµη της Γης που ασκείται από απόσταση) και η A B T T 1 1 2
- 241. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 240 N υ2 υ1 w τάση T1 του νήµατος που ασκείται µ’ επαφή. Επειδή το σώµα ισορροπεί (κινείται µε σταθερή ταχύτητα) θα ισχύει σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton: Fολ=0 ή T1-w1=0 ή T1=w1=100Ν. Η δύναµη T1 είναι η δύναµη που ασκεί το σώµα Β στο σώµα Α µέσω του σχοινιού. Οπότε η αντίδρασή της θα είναι η δύναµη T2, που ασκεί το σώµα Α µέσω του νήµατος στο σώµα Β. Σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Newton για τα µέτρα των δυνάµεων T1 και T2 ισχύει T1=T2=100N. β) Στο σώµα Β και στην οριζόντια διεύθυνση ασκούνται δυο δυνάµεις. Η τάση T2 του νήµατος και η στατική τριβή T, ανάµεσα στη µάζα m2 και το οριζόντιο επίπεδο στήριξης. Θεωρούµε ότι το νήµα παραµένει συνεχώς τεντωµένο και άρα και το σώµα Β κινείται κάθε στιγµή µε σταθερή ταχύτητα. Τότε από τη συνθήκη ισορροπίας για το σώµα Β και σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton έχουµε: Fολ=0 ή T2-Τ=0 ή T=Τ2=100Ν. Βέβαια στο σώµα Β, ασκούνται ακόµη το βάρος του w2 (ελκτική δύναµη της Γης που ασκείται από απόσταση) µε w2=m2⋅g=100N, και η κάθετη αντίδραση Ν από την επιφάνεια στήριξης. Από την ισορροπία του σώµατος Β στον κατακόρυφο άξονα έχουµε 1ος Νόµος του Newton: Fολy=0 ή Ν-w2=0 ή Ν=w2=100N. 9. Το σώµα του σχήµατος έχει µάζα m=5Kg και κινείται προς τα κάτω µε ταχύτητα υ1=20m/s. Το σώµα χτυπά στο οριζόντιο δάπεδο και αναπηδά µε ταχύτητα υ2=10m/s ενώ η επαφή του µε το δάπεδο διαρκεί ∆t=0,1s. Τότε: α) Ποια είναι η µεταβολή ∆υ της ταχύτητας του σώµατος; β) Ποια είναι η µέση επιτάχυνση του σώµατος; Ν A B T T T 1 1 2 2
- 242. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 241 γ) Πόση είναι η κάθετη δύναµη Ν που ασκεί το δάπεδο στο σώµα τη στιγµή της σύγκρουσης; δ)Πόση είναι η κάθετη δύναµη που ασκεί το σώµα στο δάπεδο τη στιγµή της σύγκρουσης; Λύση: Για τη µεταβολή της ταχύτητας έχουµε υ ∆ ρ = υ r 2- υ r 1 . Θεωρώντας θετική την προς τα πάνω φορά θα είναι ∆υ = υ2 – (-υ1 ) ή ∆υ = υ2 + υ1 ή ∆υ =30 m/s µε φορά προς τα πάνω . β) Ισχύει α= ∆t ∆υ = 0,1 30 ή α = 300 m/s2 µε φορά προς τα πάνω. γ) Σύµφωνα µε το 2ο Νόµο του Newton έχουµε: Fολ =m⋅α ή N – w = m⋅α ή N= w + m⋅α ή N= m (g + α) ή N = 5⋅ (10 + 300) ή N= 5⋅ 310 ή N = 1.550 N. δ) Σύµφωνα µε το αξίωµα δράσης – αντίδρασης η δύναµη που εξασκεί το σώµα στο δάπεδο τη στιγµή της σύγκρουσης είναι ίση µε το Ν όµως έχει φορά προς τα κάτω δηλαδή Ν΄ = Ν = 1.550 Ν . N υ1 υ2 (+)
- 243. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 242 10. Αν το βάρος του σώµατος του σώµατος Σ του σχήµατος είναι w=15Ν, τότε να υπολογιστεί η ένδειξη του δυναµοµέτρου. Λύση: Στο σώµα Σ ασκούνται δυο δυνάµεις. Το βάρος του w=15Ν (ελκτική δύναµη της Γης που ασκείται από απόσταση) και η τάση T του νήµατος που ασκείται µ’ επαφή. Επειδή το σώµα ισορροπεί θα ισχύει σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton: Fολ=0 ή T-w=0 ή T=w=15Ν. Η δύναµη T (τάση του νήµατος) είναι η δύναµη που ασκεί το δυναµόµετρο µέσω του αβαρούς νήµατος, στο σώµα Σ. Τότε η αντίδραση T΄ της T είναι η δύναµη που ασκεί το σώµα Σ µέσω του νήµατος στο δυναµόµετρο. Σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Newton για τα µέτρα των δυνάµεων ισχύει T΄=T=15N. Η ένδειξη του δυναµοµέτρου είναι όσο και το µέτρο της δύναµης T΄( στην πραγµατικότητα η T΄ είναι η δύναµη Fελ της δύναµης του ελατηρίου του δυναµοµέτρου, όπως αυτή υπολογίζεται από το νόµο του Hook) . Αφού το δυναµόµετρο ισορροπεί οριζόντια αυτό σηµαίνει ότι στο άλλο άκρο του θα ασκείται µια δύναµη αντίθετη της T΄ η –T΄ η οποία ασκείται από τον κατακόρυφο τοίχο µέσω του νήµατος στο ελατήριο. Τότε σύµφωνα µε το αξίωµα ∆ράσης – αντίδρασης θα ασκείται και στον κατακόρυφο τοίχο µια δύναµη αντίθετη της –T΄ µε µέτρο ίσο µε T΄=15 Ν και τη φορά που φαίνεται στο σχήµα. . Σ T΄ T΄ - ΄ T . Σ T
- 244. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 243 11. Αν το βάρος κάθε σώµατος του σχήµατος είναι w=25Ν να υπολογιστεί η ένδειξη του δυναµοµέτρου. Λύση: Σε κάθε ένα σώµα Σ ασκούνται δυο δυνάµεις. Το βάρος του w=25Ν (ελκτική δύναµη της Γης που ασκείται από απόσταση) και η τάση T του νήµατος που ασκείται µ’ επαφή. Επειδή το κάθε σώµα ισορροπεί θα ισχύει σύµφωνα µε τον 1ο Νόµο του Newton: Fολ=0 ή T-w=0 ή T=w=25Ν. Τότε η αντίδραση T΄ και - T΄ της T είναι η δύναµη που ασκεί το κάθε σώµα Σ µέσω του νήµατος στο δυναµόµετρο. Η ένδειξη του δυναµοµέτρου είναι ίση µε την τάση του κάθε νήµατος δηλαδή όσο και το βάρος του κάθε σώµατος . Άρα ένδειξη δυναµοµέτρου = Τ = w = 25 Ν. . Σ Σ T΄ - ΄ T . Σ Σ T T
- 245. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 244 w Τ2 Τ1 w 1) Το παιδί του σχήµατος µέσω του σχοινιού εξασκεί δύναµη F (δράση) στη βάρκα. Να σχεδιάσετε τη δύναµη F΄( αντίδραση), που ασκείται από τη βάρκα µέσω του σχοινιού στο παιδί. Μπορούµε να υπολογίσουµε τη συνισταµένη των δυο αυτών δυνάµεων; 2) Αν το βάρος του σώµατος του σχήµατος είναι w=200Ν ποια είναι η δύναµη που εξασκεί το σώµα στο τραπέζι και ποια είναι η δύναµη που εξασκεί το τραπέζι σ’ αυτό; 3)Αν το βάρος του σώµατος του σχήµατος που ισορροπεί είναι w=180Ν, τότε να υπολογιστούν οι δυνάµεις Τ1 και Τ2 που ασκούνται από το σχοινί στον άνθρωπο και το σώµα αντίστοιχα. F
- 246. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 245 4) Ο µαθητής του σχήµατος σπρώχνει το αυτοκίνητο ασκώντας σ’ αυτό µια δύναµη F=200N. Ποια είναι τότε η δύναµη που ασκείται από το αυτοκίνητο στο µαθητή. Ποια είναι η συνισταµένη των δυο δυνάµεων; 5) Στο διπλανό σχήµα ποια δύναµη είναι µεγαλύτερη; Η δύναµη που ασκεί ο µαγνήτης στο µεταλλικό (σιδερένιο) αντικείµενο ή η δύναµη που ασκεί αυτό στον µαγνήτη; Εξηγείστε. Οι δυνάµεις αυτές εξασκούνται από το ένα σώµα στο άλλο µε επαφή ή από απόσταση; 6) Αν το χέρι µας στο διπλανό σχήµα ασκεί δύναµη στο ελατήριο ίση µε F=25 N, τότε να υπολογίσετε αφού τη σχεδιάσετε τη δύναµη που εξασκεί το ελατήριο στο χέρι µας. 7) Εξηγήστε γιατί µια βάρκα θα φύγει προς τα πίσω αν κάποιος πηδήξει από αυτήν στην προκυµαία. 8) Αν κρατήσουµε τα δύο διαφορετικά δυναµόµετρα του σχήµατος τεντωµένα, τότε τι θα παρατηρήσουµε στις ενδείξεις των δυναµοµέτρων. Είναι ίσες ή διαφορετικές; Εξηγείστε. 9) Ένα φορτηγό και ένα αυτοκίνητο συγκρούονται µετωπικά. Μεγαλύτερη δύναµη δρα πάνω στο αυτοκίνητο. Συµφωνείτε µε αυτή την άποψη; ∆ικαιολογήστε την απάντηση σας.
- 247. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 246 F ρ m1 m2 m3 10) Σε µια διελκυστίνδα είναι ένας γίγαντας και ένα παιδί. Ποιος από τους δύο ασκεί µεγαλύτερη δύναµη στον άλλο; ∆ικαιολογήστε την απάντηση σας. Ποιος νοµίζετε ότι θα κινηθεί προς τον άλλο. Εξηγείστε. 11)Αν για τις µάζες του διπλανού σχήµατος ισχύει ότι m1=m2=10Kg και m3=5Kg, τότε: α) Να υπολογιστεί η δύναµη F ώστε το σύστηµα των τριών µαζών να κινείται προς τα πάνω µε σταθερή ταχύτητα. β) Να υπολογιστεί η τάση σε κάθε σχοινί. Να θεωρήσετε ότι το g=10m/s2 . 12) Τα σώµατα που φαίνονται στην εικόνα έχουν ίσες µάζες m1 = m2 = 3kg. Το σύστηµα ισορροπεί. α. Να σχεδιάσετε τις δυνάµεις που δέχεται κάθε σώµα. β. Να υπολογιστεί η τάση στα άκρα του νήµατος. Να θεωρήσετε ότι το g=10m/s2 .
- 248. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 247 m2 m1 F 13) Τα σώµατα της εικόνας έχουν µάζες m1 =8Kg και m2 = 10kg. Το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο και η m1 κινείται προς τα κάτω µε σταθερή ταχύτητα. α. Να σχεδιάσετε τις δυνάµεις που δέχεται κάθε σώµα. β. Να εφαρµόσετε το 1ο Νόµο του Newton για κάθε σώµα και να υπολογίσετε τα µέτρα όλων των δυνάµεων που ασκούνται σε κάθε σώµα. γ. Να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής ολίσθησης µ του σώµατος µάζας m2 µε το δάπεδο. Θεωρείστε τη µάζα της τροχαλίας αµελητέα και άρα να θεωρήσετε ότι και τα δύο σώµατα δέχονται την ίδια τάση από το νήµα. ∆ίνεται: g = 10m/s2 . 14) Τα σώµατα Σ1 και Σ2 έχουν αντίστοιχα βάρος w1 = 50Ν και w2 = 80Ν και έλκονται από µια σταθερή δύναµη F, όπως φαίνεται στο σχήµα. Αν το σύστηµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα , να υπολογίσετε: α. Τη δύναµη F. β. Την τάση του νήµατος που συνδέει τα δύο σώµατα. ∆ίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ των σωµάτων και του οριζόντιου επιπέδου κίνησης µ=0,1 και ότι g = 10m/s2 . 15) Στο σχήµα έχουµε δυο µάζες m1=2Kg και m2=8Kg, ενώ η δύναµη F που ασκείται στην m1, είναι F=20N. Αν το σώµα m1 δεν παρουσιάζει τριβή µε το οριζόντιο επίπεδο τότε να υπολογιστεί η δύναµη που ασκεί η m1 στη m2, καθώς και η τριβή ολίσθησης ανάµεσα στο σώµα m2 και το οριζόντιο επίπεδο. Θεωρείστε ότι το σύστηµα των m1 και m2 κινείται οριζόντια µε σταθερή ταχύτητα.
- 249. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 248 1)Σε κάθε δράση αντιστοιχεί πάντα µια αντίθετη αντίδραση. ( ) 2) Οι δυο δυνάµεις δράση-αντίδραση ασκούνται πάντοτε σε δύο διαφορετικά σώµατα και δεν µπορούµε να υπολογίσουµε τη συνισταµένη τους. ( ) 3) Η ελκτική δύναµη που εξασκεί ένας µαγνήτης σε µια καρφίτσα είναι µεγαλύτερη από αυτή που ασκεί η καρφίτσα στον µαγνήτη. ( ) 4)Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα διατυπώνεται µε τη σχέση AB F ρ =- BA F ρ ( ) 5)Η δράση και η αντίδραση αλληλοεξουδετερώνονται δηλαδή η συνισταµένη τους είναι ίση µε το µηδέν. (Λ) 6)Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα ισχύει για όλα τα είδη των δυνάµεων. ( ) 7)Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα ισχύει µόνο για τα σώµατα που ισορροπούν και όχι γι’ αυτά που επιταχύνονται. ( ) 8)Οι δυο δυνάµεις που εµφανίζονται στον 3ο νόµο του Νεύτωνα έχουν σχέση δράσης- αντίδρασης. ( ) 9)Το βάρος είναι µια δύναµη που ασκείται µε επαφή. ( ) 10)Χαρακτηριστικό παράδειγµα δύναµης επαφής είναι η δύναµη (τάση) που ασκεί ένα τεντωµένο νήµα στο σώµα στο οποίο έχει προσδεθεί. ( ) 11)Η δύναµη του ελατηρίου είναι δύναµη επαφής, ενώ η κάθετη δύναµη στήριξης, η τριβή , η µυϊκή δύναµη του ανθρώπου και η άνωση όχι. ( ) 12)Οι ηλεκτρικές και οι µαγνητικές δυνάµεις είναι δυνάµεις από απόσταση. ( )
- 250. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 249 13)Σήµερα πιστεύουµε ότι τα διάφορα σώµατα του σύµπαντος αλληλεπιδρούν µεταξύ τους µε τα παρακάτω είδη αλληλεπιδράσεων: την ισχυρή και την ασθενή πυρηνική, την ηλεκτροµαγνητική και τη βαρυτική αλληλεπίδραση. ( ) 1. Όταν βαδίζουµε, ασκούµε µε το πόδι µας στο πάτωµα µια οριζόντια δύναµη προς τα πίσω. Τότε: α) η δύναµη που µας κινεί είναι η τριβή ολίσθησης. β) Το πάτωµα ασκεί στο πόδι µας µια δύναµη (δύναµη στατικής τριβής) προς τα εµπρός ίσου µέτρου. γ) Το πάτωµα δεν ασκεί κάποια δύναµη στο πόδι µας. δ) Η συνισταµένη δύναµη που ασκείται σε κάθε πόδι είναι µηδέν. 2. Το βάρος του µήλου (w) που ισορροπεί πάνω σε ένα τραπέζι εξισορροπείται από την κάθετη δύναµη (FΝ) που το τραπέζι ασκεί στο µήλο. α) Οι δυνάµεις αυτές έχουν ίσα µέτρα και αντίθετες κατευθύνσεις και άρα αποτελούν ζεύγος δράσης - αντίδρασης. β) Οι δυνάµεις αυτές δεν αποτελούν ζεύγος δράση-αντίδραση, διότι προέρχονται από την αλληλεπίδραση του µήλου µε δύο διαφορετικά σώµατα. γ) Το βάρος είναι η δύναµη που η γη ασκεί στο µήλο, ενώ την κάθετη δύναµη την ασκεί η γη στο τραπέζι . δ) Η αντίδραση του βάρους του µήλου είναι η δύναµη που ασκεί το µήλο στο τραπέζι. 3) Όταν ένα σώµα (Α) εξασκεί δύναµη 2Ν σ’ ένα σώµα (Β) µεγαλύτερης µάζας, τότε το (Β): α)εξασκεί µεγαλύτερη δύναµη στο (Α) β)εξασκεί δύναµη –2Ν στο (Α) γ)εξασκεί δύναµη 2Ν στο (Α) δ)εξασκεί γενικά διαφορετική δύναµη στο (Α). 4)Η δράση και η αντίδραση:
- 251. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 250 α) έχουν συνισταµένη µηδέν β) δεν έχουν συνισταµένη µηδέν γιατί εξασκούνται σε διαφορετικά σώµατα γ) Εφαρµόζονται στο ίδιο σώµα δ) έχουν διευθύνσεις κάθετες µεταξύ τους. 5) Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα ισχύει: α)µόνο για τα σώµατα ση γη β)µόνο για τις βαρυτικές δυνάµεις γ) για όλα τα είδη των δυνάµεων δ)µόνο για τα ουράνια σώµατα. 6) Ένα πορτοκάλι βάρους 2Ν πέφτει από το δέντρο του , τότε: α) Η δύναµη που ασκεί το πορτοκάλι στη γη έχει µέτρο 2Ν β)Η γη εξασκεί δύναµη στο πορτοκάλι µεγαλύτερη από 2Ν γ)∆εν µπορούµε να συγκρίνουµε τις δυο δυνάµεις δ)Η δύναµη που ασκεί το πορτοκάλι στη γη είναι µικρότερη από 2Ν. 7) Όταν το βάρος ενός σώµατος που ισορροπεί σ’ ένα τραπέζι είναι η δράση , τότε η αντίδραση του βάρους είναι: α)Η κάθετη δύναµη που ασκεί το τραπέζι στο σώµα β)Η κάθετη δύναµη που ασκεί το σώµα στο τραπέζι γ)Η συνισταµένη όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα δ) Η δύναµη που ασκεί το σώµα στη γη.
- 252. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 251 1. Σύµφωνα µε τον τρίτο νόµος του Νεύτωνα: Όταν ένα σώµα ασκεί δύναµη σ' ένα άλλο σώµα (……………..), τότε και το δεύτερο σώµα ασκεί δύναµη ίσου µέτρου και ……………………κατεύθυνσης στο πρώτο (…………………………….). 2. Όταν ένα µήλο πέφτει προς τη Γη, τότε, η αδράνεια του µήλου είναι πολύ ………………………της αδράνειας της Γης. Οι δυνάµεις που ασκούνται ανάµεσα στο µήλο και τη Γη είναι ………………………..Όµως, η άσκηση δυνάµεων ίσου µέτρου προκαλεί πολύ ………………………….µεταβολή της ταχύτητας του µήλου από την αντίστοιχη της γης. Η µεταβολή της ταχύτητας της γης είναι τόσο πολύ µικρή που δε γίνεται αντιληπτή. Έτσι, η γη παραµένει……………………... 3. Ένα άλογο τραβά ένα κάρο. Με βάση τον τρίτο νόµο του Newton η δύναµη την οποία ασκεί το άλογο στο κάρο είναι ……………….και αντίθετη µε αυτή που ασκεί το κάρο στο άλογο. 4. Ένας άνθρωπος που έχει βάρος 800Ν στέκεται ακίνητος στο έδαφος. Τότε η αντίδραση της δύναµης του εδάφους στον άνθρωπο …………………………..
- 253. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 252 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Μηχανική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΙΕΣΗ ΠΙΕΣΗ ΚΑΙ ∆ΥΝΑΜΗ: ∆ΥΟ ∆ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 4.1 Πίεση 1. Τι ονοµάζουµε πίεση; Πίεση ονοµάζουµε το πηλίκο της δύναµης που ασκείται κάθετα σε µια επιφάνεια προς το εµβαδόν της επιφάνειας αυτής. Ή µε µαθηµατικά σύµβολα έχουµε P= k F A όπου Fk είναι το µέτρο της ολικής δύναµης που ασκείται κάθετα σε επιφάνεια εµβαδού Α. Γενικότερα, η πίεση που δέχεται µια επιφάνεια είναι τόσο µεγαλύτερη όσο µεγαλύτερη είναι η δύναµη που ασκείται κάθετα σε αυτή και όσο µικρότερο είναι το εµβαδόν της. Συµπεράσµατα Η παραµόρφωση µιας επιφάνειας δεν εξαρτάται µόνο από τη δύναµη που ασκείται σε αυτήν, αλλά και από το εµβαδόν της επιφάνειας στην οποία ασκείται η δύναµη. Ο χιονοδρόµος φορώντας χιονοπέδιλα, τα οποία έχουν µεγαλύτερη επιφάνεια από τα κοινά παπούτσια, αν και δε µεταβάλλει τη δύναµη που
- 254. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 253 ασκεί στο χιόνι (έδαφος), παρόλα αυτά, προκαλεί σ' αυτό µικρότερη παραµόρφωση. Τότε λέµε ότι η πίεση στο χιόνι είναι µικρότερη. ∆ηλαδή το πηλίκο του βάρους δια του εµβαδού της επιφάνειας είναι µικρότερο αφού τώρα η επιφάνεια έχει µεγαλύτερο εµβαδό. Το ίδιο συµβαίνει και µε τα φαρδιά λάστιχα των αυτοκινήτων. Όσο πιο φαρδιά είναι τα λάστιχα (µεγάλο εµβαδό Α), τόσο µικρότερη είναι και η πίεση που ασκείται στην άσφαλτο από αυτά. Αντίθετα υπάρχουν και περιπτώσεις στις οποίες επιθυµούµε η πίεση να είναι µεγάλη. Αυτό επιτυγχάνεται αν κατανείµουµε τη δύναµη σε όσο το δυνατό µικρότερη επιφάνεια. Για παράδειγµα κάτι τέτοιο συµβαίνει στο µαχαίρι, ψαλίδι στις πινέζες, καρφιά κ.λ.π. Μονάδες της πίεσης 2. Ποιες µονάδες µέτρησης της πίεσης γνωρίζετε; Η πίεση είναι παράγωγο µέγεθος. Στο διεθνές σύστηµα µονάδων (S.I.), η µονάδα της δύναµης F είναι το 1Ν και του εµβαδού Α της επιφάνειας το 1m2 . Άρα, η µονάδα της πίεσης θα είναι το 1 2 N m . Η µονάδα αυτή λέγεται και Pascal (Πασκάλ) προς τιµή του Γάλλου µαθηµατικού, φυσικού και φιλοσόφου Μπλαιζ Πασκάλ δηλαδή: Πολύ συχνά χρησιµοποιείται και το kPa (Κιλοπασκάλ) που ισούται µε 1.000 Pa δηλαδή ισχύει 1 kPa=1.000=103 Pa. Ακόµη ισχύει 1atm=105 N/m2 =105 Pa=76cmHg=760mmHg=760Torr.
- 255. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 254 Προκύπτει λοιπόν ότι 1 Torr=1mmHg. Ακόµη στη Μετεωρολογία χρησιµοποιείται το 1 µιλιµπάρ (1mB) µε 1mB=100Pa. ΠΡΟΣΟΧΗ! Η δύναµη και η πίεση είναι δύο διαφορετικά φυσικά µεγέθη. Η δύναµη έχει κατεύθυνση, είναι διανυσµατικό µέγεθος και µετριέται σε Ν, ενώ η πίεση δεν έχει κατεύθυνση, δεν είναι διανυσµατικό µέγεθος (είναι µονόµετρο µέγεθος). Η πίεση εκφράζει τη δύναµη που ασκείται κάθετα στη µονάδα επιφάνειας και µετριέται σε 2 N m . Πίεση των ρευστών Το λάδι, το πετρέλαιο, το µέλι, ο αέρας είναι ρευστά. Ρευστά ονοµάζουµε τα σώµατα που δεν έχουν σταθερό σχήµα, αλλά παίρνουν το σχήµα του δοχείου στο οποίο τοποθετούνται. Τα ρευστά σώµατα επίσης έχουν τη δυνατότητα να ρέουν. Τα πιο κοινά ρευστά είναι το νερό και ο αέρας. Όταν ένα ρευστό βρίσκεται σε ισορροπία, πιέζει κάθε επιφάνεια µε την οποία βρίσκεται σε επαφή. Έτσι το νερό όταν βουτάµε σ' αυτό ή ο ατµοσφαιρικός αέρας πιέζουν τα τύµπανα των αυτιών µας. Η πίεση που ασκεί ένα υγρό που ισορροπεί ονοµάζεται υδροστατική πίεση. Η πίεση που ασκεί ο ατµοσφαιρικός αέρας ονοµάζεται ατµοσφαιρική πίεση.
- 256. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 255 1. Μια βελόνα πλεξίµατος έχει µάζα m=100g και στερεώνεται κατακόρυφα µε τη «µύτη» της σε οριζόντια επιφάνεια στήριξης. Αν το εµβαδό της «µύτης» της βελόνας είναι Α=0,01mm2 να υπολογιστεί η πίεση που ασκεί αυτή στην οριζόντια επιφάνεια. Λύση: Η βελόνα ασκεί στο οριζόντιο έδαφος συνολική κατακόρυφη δύναµη ίση µε το βάρος της w=m⋅g=0,1⋅10=1N. Τότε η πίεση που ασκείται από τη βελόνα στο έδαφος είναι p= w A = 1 0,01 =100N/mm2 . Επειδή 1mm2 =10-6 m2 η πίεση είναι και p= 6 100 10− =108 Ν/m2 =108 Pa. Επίσης 1atm=105 Pa οπότε p=1.000atm. 2. Ένα παιδί έχει βάρος w=700N και το εµβαδό του καθένα παπουτσιού του είναι Α=175cm2 . Τότε: α) Να υπολογιστεί η πίεση που ασκείται από το παιδί στο έδαφος. Πόση είναι η πίεση από το καθένα παπούτσι του; Τι γίνεται αν στηριχτεί στο ένα πόδι του; β) Αν το δάπεδο στο οποίο περπατάει το παιδί αντέχει σε πίεση 5Ν/cm2 , τότε είναι δυνατό να αντέξει το πάτωµα; Λύση: α) Το παιδί ασκεί στο δάπεδο κατακόρυφη δύναµη ίση µε το βάρος του w=700N. Ακόµη το συνολικό εµβαδό βάσης είναι 2Α=350 cm2 . Τότε η πίεση που ασκείται στο έδαφος είναι p= w 2A = 4 700 350 10− ⋅ =2⋅104 N/m2 .
- 257. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 256 Το κάθε πόδι του παιδιού ασκεί στο έδαφος δύναµη F= w 2 =350N και τότε προκαλεί πίεση p1= w 2 A = F A = 350 175 =2N/cm2 =2⋅104 N/m2 . Αν το παιδί στηριχτεί στο ένα πόδι του τότε είναι p΄= w A = 4 700 175 10− ⋅ =4⋅104 N/m2 , δηλαδή η πίεση που ασκεί το παιδί στο έδαφος διπλασιάζεται. β) Η πίεση στην οποία αντέχει το πάτωµα είναι 5Ν/cm2 =5⋅104 Ν/m2 . Πράγµατι λοιπόν το πάτωµα αντέχει σε κάθε περίπτωση. 3. Ένα σιδερένιο αντικείµενο έχει σχήµα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε εµβαδό µεγάλης βάσης Α1=20cm2 και µικρής βάσης Α2=2cm2 .Τότε να υπολογιστεί ο λόγος των πιέσεων που θα ασκούνται σε ένα οριζόντιο τραπέζι στήριξης, αν το αντικείµενο στηριχτεί πρώτα µε τη µικρή και στη συνέχεια µε τη µεγάλη του βάση. Λύση: Για την πίεση που ασκείται στο τραπέζι αν το αντικείµενο στηριχτεί µε τη µεγάλη του βάση Α1 έχουµε p1= 1 w A , ενώ αν στηριχτεί µε τη µικρή του βάση Α2 έχουµε p2= 2 w A . Ο λόγος των πιέσεων είναι τότε 2 1 p p = 2 1 w A w A = 1 2 w A w A ⋅ ⋅ = 1 2 A A = 20 2 =10. ∆ηλαδή η πίεση που ασκείται στο έδαφος όταν το αντικείµενο στηριχτεί µε τη µικρή του βάση είναι δεκαπλάσια από αυτή που ασκείται όταν στηρίζεται µε τη µεγάλη του βάση.
- 258. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 257 4. Πάνω σε ένα τραπέζι βάρους w=500N βρίσκεται όρθιος ένας άνθρωπος µάζας m=70Kg. Το καθένα από τα τέσσερα πόδια του τραπεζιού έχει εµβαδό βάσης στήριξης Α=12cm2 , α) Πόση είναι η συνολική πίεση που ασκεί το τραπέζι µε τον άνθρωπο στο οριζόντιο έδαφος; β) Πόση είναι η πίεση που προκαλείται από το καθένα πόδι του τραπεζιού στο οριζόντιο έδαφος; γ) Πόση είναι η πίεση που ασκείται από τον άνθρωπο στο τραπέζι, αν το καθένα πόδι του ανθρώπου έχει εµβαδό Αα=200cm2 ; (g=10m/s2 ). Λύση: α) Η συνολική κατακόρυφη δύναµη που ασκείται στο οριζόντιο έδαφος είναι ίση µε το βάρος του παιδιού w1 και του βάρους του τραπεζιού w, άρα Fολ=w+w1, όπου w1=m⋅g=700N. Έχουµε λοιπόν Fολ=500+700=1.200Ν. Ακόµη η συνολική βάση στήριξης έχει εµβαδό Αολ=4⋅Α=48cm2 =48⋅10-4 m2 . Τότε η πίεση που ασκείται στο έδαφος είναι p= ολ ολ F A = 4 1.200 48 10− ⋅ =25⋅104 N/m2 . β) Το καθένα πόδι του τραπεζιού ασκεί στο έδαφος κατακόρυφη δύναµη F= = ολ F 4 =300N. Εποµένως προκαλεί πίεση p΄= F A = 4 300 12 10− ⋅ =25⋅104 N/m2 . Παρατηρούµε λοιπόν πως η ολική πίεση, είναι όση και η πίεση που ασκεί το καθένα πόδι του τραπεζιού στο έδαφος. γ) Ο άνθρωπος ασκεί στο τραπέζι κατακόρυφη δύναµη ίση µε το βάρος του w1=700N. Ακόµη το συνολικό εµβαδό βάσης στήριξης του ανθρώπου είναι 2Αα=400 cm2 . Τότε η πίεση που ασκείται στο τραπέζι από τον άνθρωπο είναι pα= 1 α w 2A = 700 400 =1,75Ν/cm2 =1,75⋅104 N/m2 . 5. Ένα κουτί σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, έχει εµβαδό µεγάλης βάσης Α=35cm2 . Η µάζα του κουτιού είναι m=140g α) Πόση είναι η πίεση που ασκεί το κουτί στο οριζόντιο έδαφος; β) Πόση είναι η πίεση που ασκείται ανά cm2 από το κουτί έδαφος;
- 259. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 258 (g=10m/s2 ). Λύση: α) Για την πίεση που ασκείται στο έδαφος από το αντικείµενο έχουµε p= w A ή p= m g A ⋅ = 3 4 140 10 10 35 10 − − ⋅ ⋅ ⋅ = 2 140 10 35 ⋅ ή p=400Ν/m2 . β) Αν θεωρήσουµε ότι το βάρος του κουτιού κατανέµεται οµοιόµορφα στη βάση του τότε τα 1,4Ν ασκούνται στα Α=35cm2 , οπότε w΄; στο Α΄=1cm2 w΄= 1,4 35 =0,04Ν. Οπότε p΄= w A ′ ′ = 0,04 1 =0,04Ν/cm2 ή 0,04⋅104 Ν/m2 =400Ν/m2 . ∆ηλαδή η πίεση είναι η ίδια µε την ολική πίεση.
- 260. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 259 Σε όλες τις ασκήσεις όπου χρειάζεται θεωρείστε g=10m/s2 . 1. Να υπολογιστεί σε Ν/cm2 σε Pa και σε atm η πίεση που ασκεί ένας µεταλλικός κύλινδρος µάζας m=314g και ακτίνας βάσης r=5mm σε ένα οριζόντιο στήριγµα. 2.α) Αν ένας άνθρωπος έχει βάρος w=800N και εµβαδό του καθένα παπουτσιού του είναι Α=250cm2 , τότε µπορεί να περπατήσει χωρίς να βουλιάξει πάνω σε χιονισµένο οριζόντιο έδαφος; Θεωρείστε ότι το χιόνι αντέχει σε πίεση 0,5Ν/cm2 . β) Ποιο είναι το ελάχιστο εµβαδό που πρέπει να έχουν τα χιονοπέδιλά του, ώστε ο άνθρωπος να ολισθαίνει στο χιόνι χωρίς να βουλιάζει; 3. Ένα κουτί σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει διαστάσεις 8cmx5cmx2cm. Αν η µάζα του κουτιού είναι m=200g, τότε να υπολογιστεί η πίεση που ασκεί αυτό σε οριζόντιο δάπεδο αν τοποθετηθεί διαδοχικά πάνω σε αυτό µε την καθεµιά από τις τρεις βάσεις του. 4. Ένα τραπέζι βάρους w=450N στηρίζεται µε τρία πόδια εµβαδού βάσης στήριξης Α=15cm2 το καθένα. Τότε να υπολογιστούν α) η ολική πίεση που ασκείται από το τραπέζι σε οριζόντιο έδαφος. β) Η πίεση από το κάθε ένα πόδι του τραπεζιού στο οριζόντιο έδαφος.
- 261. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 260 1. Η δύναµη είναι διανυσµατικό µέγεθος και έχει στο S.I µονάδα µέτρησης το 1Ν, ενώ η πίεση είναι µονόµετρο µέγεθος και έχει στο S.I µονάδα µέτρησης το 1Ν/m2 . ( ) 2. Το µέγιστο κενό που µπορούµε να πετύχουµε στο εργαστήριο έχει πίεση της τάξης των 10-12 Pa. ( ) 3. Η πίεση είναι διανυσµατικό µέγεθος ( ) 4. Όταν πιέζουµε µε το δάχτυλό µας µια πινέζα σε µια επιφάνεια τότε το δάκτυλό µας δέχεται µικρότερη δύναµη αλλά και µικρότερη πίεση απ’ ότι η επιφάνεια στην οποία θέλουµε να καρφώσουµε την πινέζα. ( ) 1. Η πίεση που δέχεται µια επιφάνεια είναι τόσο µεγαλύτερη α) όσο µικρότερη είναι η δύναµη που ασκείται κάθετα σε αυτή β) όσο µικρότερο είναι το εµβαδόν της, γ) όσο µεγαλύτερη είναι η δύναµη που ασκείται κάθετα σε αυτή και όσο µικρότερο είναι το εµβαδόν της δ) όσο µεγαλύτερη είναι η δύναµη που ασκείται κάθετα σε αυτή και όσο µεγαλύτερο είναι το εµβαδόν της. 2. 1 Pa είναι ίσο µε α) 1 atm
- 262. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 261 β) 1Ν/m2 γ) 1N/cm2 δ) 105 atm. 3. Για να κοπεί εύκολα µια επιφάνεια µε ένα µαχαίρι, πρέπει α) η επιφάνεια να δεχτεί µεγάλη πίεση. β) η επιφάνεια να δεχτεί µεγάλη δύναµη. γ) το µαχαίρι να έχει µεγάλη επιφάνεια. δ) να ασκήσουµε µικρή δύναµη. 4. Αν διπλασιάσουµε τη δύναµη που ασκείται κάθετα σε µια επιφάνεια, τότε η πίεση: α) θα υποδιπλασιαστεί β) θα παραµείνει σταθερή γ) θα διπλασιαστεί δ) θα αυξηθεί ή θα ελαττωθεί ανάλογα µε τη φορά της δύναµης. 5. Αν το εµβαδό της επιφάνειας στην οποία ασκείται κάθετα µια δύναµη υποτριπλασιαστεί τότε η αρχική πίεση (p) γίνεται, α) 3p β) p/3 γ) 9p δ) p. 1. Ο αφρικανικός ή µαύρος ρινόκερος έχει µάζα 1,4 τόνους και τα πέλµατά του έχουν συνολικό εµβαδό 700cm2 . Τότε η συνολική πίεση µε την οποία πιέζει το έδαφος είναι ……… N/cm2 . 2. Η πίεση εκφράζει τη δύναµη που ασκείται …………………………. στη µονάδα επιφάνειας και µετριέται στο S.I σε …………
- 263. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 262 3. Οι σχεδιαστές διαστηµοπλοίων που προορίζονται να προσεδαφιστούν στη σελήνη ή σε άλλους πλανήτες τα εφοδιάζουν µε ειδικά µαλακά πέλµατα ………………………..εµβαδού ώστε να µη βυθίζονται σε άγνωστα εδάφη. 4. Ένα αντικείµενο έχει σχήµα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε εµβαδό µεγάλης βάσης Α1 και µικρής βάσης Α2.Τότε η πίεση που θα ασκείται σε ένα οριζόντιο τραπέζι στήριξης είναι µικρότερη αν το αντικείµενο τοποθετηθεί πάνω σε αυτό µε τη βάση ……………….
- 264. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 263 4.2 Υδροστατική πίεση 1. Τι γνωρίζετε για την υδροστατική πίεση; Η υδροστατική πίεση οφείλεται στη βαρύτητα. Η µέτρηση της υδροστατικής πίεσης γίνεται µε τα µανόµετρα. Ένα υγρό που βρίσκεται µέσα σε δοχείο λόγω του βάρους του πιέζει τον πυθµένα του δοχείου. Εφόσον το υγρό ισορροπεί, η δύναµη που ασκεί στον πυθµένα του δοχείου ισούται µε το βάρος του. Εποµένως, η πίεση σύµφωνα µε τον ορισµό της είναι ίση µε το πηλίκο του βάρους του υγρού προς το εµβαδόν του πυθµένα . Αν µεταφέρουµε ένα κλειστό δοχείο γεµάτο µε νερό από την επιφάνεια της γης στην επιφάνεια της σελήνης, θα διαπιστώναµε ότι η υδροστατική πίεση στον πυθµένα του έχει τιµή περίπου 6 φορές µικρότερη από την τιµή της στην επιφάνεια της γης. Αυτό συµβαίνει γιατί το βάρος του νερού στη σελήνη είναι 6 φορές µικρότερο από το βάρος του στη γη. 2. Να αναφέρετε το θεµελιώδη νόµο της υδροστατικής πίεσης. α. Η υδροστατική πίεση των υγρών είναι ανεξάρτητη του προσανατολισµού των επιφανειών που βρίσκονται µέσα σε αυτά. Τα υγρά ασκούν πίεση προς κάθε κατεύθυνση. β. Η υδροστατική πίεση αυξάνεται ανάλογα µε το βάθος (h). γ. Η υδροστατική πίεση είναι ανάλογη µε την πυκνότητα του υγρού (ρ). δ. Η υδροστατική πίεση είναι ανάλογη της επιτάχυνσης της βαρύτητας (g).
- 265. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 264 Νόµος της υδροστατικής πίεσης p= ρ⋅ ⋅ ⋅ ⋅g⋅ ⋅ ⋅ ⋅h ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ του θεµελιώδη νόµου της υδροστατικής πίεσης: Για να βρούµε την πίεση σ’ ένα σηµείο ενός υγρού που ισορροπεί, σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνειά του θεωρούµε µια κατακόρυφη κυλινδρική στήλη από το υγρό βάσεως Α και ύψους h. Τότε το βάρος του υγρού είναι w=m⋅g µε ρ=m/V άρα m=ρ⋅V=ρ⋅h⋅A οπότε w= ρ⋅V⋅g . Στη βάση της κατακόρυφης στήλης του υγρού ασκούνται το βάρος του υγρού και η κατακόρυφη δύναµη του υπόλοιπου υγρού στη βάση της κατακόρυφης κυλινδρικής στήλης µε φορά προς τα πάνω. Οι οριζόντιες δυνάµεις που ασκούνται στις παράπλευρες επιφάνειες της στήλης του υγρού αλληλοαναιρούνται. Όµως αφού η κατακόρυφη στήλη του υγρού βρίσκεται σε ισορροπία θα πρέπει η δύναµη F που ασκεί το υγρό στην κάτω βάση να είναι ίση µε το βάρος w. Άρα F=w= ρ⋅V⋅g= ρ⋅h⋅A⋅g. Όµως η δύναµη F δίνεται και από τη σχέση F=p⋅A ή ρ⋅h⋅A⋅g=P⋅A ή p=ρ⋅g⋅h. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η υδροστατική πίεση δεν εξαρτάται από το σχήµα του δοχείου ή τον όγκο του υγρού. Ακόµη σε όλα τα σηµεία οποιουδήποτε οριζόντιου επιπέδου, που θεωρείται µέσα στο υγρό, επικρατεί η ίδια υδροστατική πίεση, δεδοµένου ότι όλα τα σηµεία αυτά έχουν το ίδιο υψόµετρο h. Γενικότερη διατύπωση του θεµελιώδη νόµου της υδροστατικής πίεσης. F h mg Ο A
- 266. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 265 Η υδροστατική πίεση που υπολογίζουµε µε το θεµελιώδη νόµο της υδροστατικής πίεσης δίνεται από τη σχέση p=ρ⋅g⋅h, µόνο αν πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού η πίεση είναι ίση µε µηδέν. Όταν όµως στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού επικρατεί πίεση εξωτερική ίση µε pεξ τότε ο παραπάνω τύπος γράφεται ως εξής: p=pεξ+ρ⋅ ⋅ ⋅ ⋅g⋅ ⋅ ⋅ ⋅h Αν η εξωτερική pεξ είναι ίση µε την ατµοσφαιρική pεξ=pατµ τότε έχουµε p=pατµ+ρ⋅ ⋅ ⋅ ⋅g⋅ ⋅ ⋅ ⋅h. 3. Ελεύθερη επιφάνεια υγρών που ισορροπούν- Αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων. Αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων ∆ύο σηµεία ενός υγρού που ισορροπεί έχουν την ίδια πίεση όταν βρίσκονται στο ίδιο βάθος δηλαδή στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο ακόµη και όταν το υγρό βρίσκεται σε διαφορετικά, αλλά συγκοινωνούντα δοχεία. Αυτό σηµαίνει ακόµη ότι η ελεύθερη επιφάνεια σε όλα τα δοχεία ανεξαρτήτου σχήµατος θα βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. ΠΡΟΣΟΧΗ Η παραπάνω αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων ισχύει µόνο για υγρά που ισορροπούν και όχι για υγρά που ρέουν. ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ Γεµίζουµε µε υγρό µια σειρά από δοχεία διαφορετικού σχήµατος τα οποία συγκοινωνούν µέσω ενός σωλήνα Παρατηρούµε ότι σε όλα τα δοχεία η ελεύθερη επιφάνεια του
- 267. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 266 υγρού βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Για να συµβαίνει αυτό, θα πρέπει σε όλα τα σηµεία του να επικρατεί η ίδια πίεση. Αν σε κάποιο σηµείο η πίεση ήταν διαφορετική, τότε θα ασκούνταν επιπλέον δύναµη που θα προκαλούσε την κίνηση του υγρού. Από το νόµο της υδροστατικής προκύπτει ότι αν σε κάποιο από τα δοχεία η στάθµη του υγρού ήταν σε µεγαλύτερο ύψος, η πίεση Η αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων έχει πολλές εφαρµογές όπως στην κατασκευή των δεξαµενών ύδρευσης των πόλεων. Οι δεξαµενές κατασκευάζονται στα ψηλότερα σηµεία έτσι ώστε το νερό να µπορεί να φθάσει και στους ψηλότερους ορόφους των σπιτιών χωρίς να χρειάζεται αντλία.
- 268. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 267 Πειράµατα – ∆ραστηριότητες Γεµίζουµε µε νερό ένα πλαστικό δοχείο. Τοποθετούµε το δοχείο πάνω σ’ ένα θρανίο, και κάτω από αυτό βάζουµε µια γυάλινο λεκάνη. Με µια καρφίτσα ανοίγουµε τρύπες σε διάφορα σηµεία του δοχείου. Παρατηρούµε ότι απόσταση στην οποία εκτοξεύονται οι πίδακες του νερού στη λεκάνη είναι µεγαλύτερη για τις τρύπες που βρίσκονται κοντά στη βάση του πλαστικού δοχείου. Αυτό συµβαίνει γιατί στα µεγαλύτερα βάθη επικρατούν µεγαλύτερες υδροστατικές πιέσεις και άρα ασκούνται µεγαλύτερες δυνάµεις στους υδάτινους πίδακες της ίδιας διατοµής.
- 269. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 268 1. Να υπολογιστεί το ύψος µιας στήλης νερού αν η πίεση που ασκεί στη βάση της είναι p=5⋅103 Pa. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=103 Kg/m3 και g=10m/s2 . Λύση: Η υδροστατική πίεση σ’ ένα σηµείο ενός υγρού που ισορροπεί δίνεται από τη σχέση p=ρ⋅g⋅h, όπου ρ είναι η πυκνότητα του υγρού, g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας και h είναι το ύψος της στήλης του υγρού ή αλλιώς το βάθος στο οποίο βρίσκεται το σηµείο για το οποίο θέλουµε να υπολογίσουµε την πίεση, από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Τότε για την περίπτωση που το υγρό µας είναι το νερό έχουµε p=ρν⋅g⋅h ή h= p ρ g ⋅ ή h= 3 3 5 10 10 10 ⋅ ⋅ ή h=0,5m. ∆ηλαδή θα πρέπει το ύψος της υδάτινης στήλης να είναι h=0,5m ή 50cm.
- 270. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 269 2. Μέσα σ’ ένα κυλινδρικό δοχείο βρίσκεται σε ισορροπία νερό σε ύψος h1=20cm και λάδι πάνω από το νερό σε ύψος h2=10cm , όπως φαίνεται στο σχήµα. Τότε: α) Να υπολογίσετε την υδροστατική πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια των δυο υγρών καθώς και στον πυθµένα του δοχείου, β) Να κάνετε το ίδιο αν αντικατασταθεί το λάδι µε νερό ίδιου ύψους, γ) Τι ισχύει για τις παραπάνω πιέσεις αν χρησιµοποιήσουµε στενότερο δοχείο; δ) Να υπολογίσετε τη δύναµη που οφείλεται στην υδροστατική πίεση στη βάση του δοχείου όταν αυτό περιέχει νερό και λάδι όπως αναφέρεται στο ερώτηµα (α), αν το εµβαδό της βάσης του δοχείου είναι Α=15cm2 . ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1g/cm3 , η πυκνότητα του λαδιού ρλ=0,8 g/cm3 και g=10m/s2 . Λύση: α) Η πυκνότητα του νερού σε µονάδες ∆ιεθνούς Συστήµατος Μονάδων είναι ρν= 1g/cm3 =1⋅ -3 -6 3 10 Kg 10 m =1.000Kg/m3 . Παρόµοια για το λάδι είναι ρλ= 0,8g/cm3 =0,8⋅ -3 -6 3 10 Kg 10 m =800Kg/m3 . Η υδροστατική πίεση στο σηµείο Α που ανήκει στη διαχωριστική επιφάνεια των δυο υγρών και που οφείλεται στο λάδι είναι pA=ρλ⋅g⋅h2 ή pA=800⋅10⋅10-1 ή pA=800 Pa. Για τον πυθµένα του δοχείου θα πρέπει να λάβουµε υπόψη µας και την υδροστατική πίεση του νερού. Έτσι για την πίεση στο σηµείο Β που είναι ένα σηµείου του πυθµένα του δοχείου και από τη γενικότερη διατύπωση του θεµελιώδη Νόµου της υδροστατικής πίεσης (p=pεξ+ρ⋅g⋅h), έχουµε PB=pεξ+ρν⋅g⋅h1 ή PB=pΑ+ρν⋅g⋅h1 ή PB=800+1.000⋅10⋅0,2 ή PB=800+2.000 ή pB=2.800 Pa. 2 1 λάδι νερό h h B A
- 271. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 270 β) Αν αντικατασταθεί το λάδι µε νερό ίσου ύψους, τότε η υδροστατική πίεση στο σηµείο Α που ανήκει στη διαχωριστική επιφάνεια των δυο υγρών είναι pA=ρν⋅g⋅h2 ή pA=1.000⋅10⋅10-1 ή pA=1.000 Pa. Για την πίεση στο σηµείο Β που είναι ένα σηµείο του πυθµένα του δοχείου και από τη γενικότερη διατύπωση του θεµελιώδη Νόµου της υδροστατικής πίεσης (p=pεξ+ρ⋅g⋅h), έχουµε PB=pεξ+ρν⋅g⋅h1 ή PB=pΑ+ρν⋅g⋅h1 ή PB=1.000+1.000⋅10⋅0,2 ή PB=1.000+2.000 ή pB=3.000 Pa. γ) Η υδροστατική πίεση δεν εξαρτάται από το σχήµα του δοχείου και από το εµβαδό της βάσης του, αλλά µόνο από το ύψος h της στήλης του υγρού. Έτσι σε κάθε περίπτωση θα έχουµε την ίδια υδροστατική πίεση ανεξάρτητα από το σχήµα του δοχείου αρκεί να έχουµε το ίδιο ύψος h στήλης υγρού από την ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου. δ) Από τον ορισµό της πίεσης έχουµε p= F A ή F=p⋅A. Η υδροστατική πίεση στον πυθµένα του δοχείου είναι από το ερώτηµα (α), pB=2.800 Pa. Τότε έχουµε F=p⋅A ή F=2.800⋅15⋅10-4 =4,2Ν.
- 272. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 271 3. Μέσα σ’ ένα κυλινδρικό δοχείο σχήµατος U σταθερής διατοµής, ρίχνουµε νερό µέχρι του ίδιου οριζόντιου επιπέδου Γ, όπως φαίνεται στο σχήµα. Στη συνέχεια στο δεξιό σκέλος του δοχείου ρίχνουµε λάδι πάνω από το νερό, έτσι ώστε να σχηµατιστεί στήλη λαδιού ύψους h1=8cm. Τότε να βρεθεί µέχρι ποιού ύψους από την αρχική του θέση θα ανέλθει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού στο αριστερό σκέλος του δοχείου. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1g/cm3 , και η πυκνότητα του λαδιού ρλ=0,8 g/cm3 . Λύση: Αρχικά οι ελεύθερη επιφάνεια του νερού θα βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο Γ. Στη συνέχεια όταν θα προσθέσουµε λάδι οι ελεύθερες επιφάνειες του νερού και του λαδιού θα διαταχθούν όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Το ύψος Η στο οποίο θα ανέλθει το νερό στο αριστερό σκέλος του δοχείου θα είναι ίσο µε το ύψος Η, κατά το οποίο θα κατέλθει η στάθµη του νερού στο δεξιό σκέλος. Ακόµη το ύψος της στήλης του λαδιού είναι h1. Αφού το υγρό ισορροπεί τότε οι πιέσεις στα σηµεία Α και Β που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο θα είναι ίσες. Άρα έχουµε pA=pB ή ρλ⋅g⋅h1=ρν⋅g⋅2H ή Η= λ 1 ν ρ h 2ρ ⋅ ή Η= 0,8 8 2 ⋅ ή Η=3,2 cm. Γ 1 h H H Γ A B
- 273. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 272 4. Τα δυο ποτήρια Π1 και Π2 του διπλανού σχήµατος έχουν το ίδιο ύψος h=14cm. Το εµβαδό του πυθµένα του ποτηριού Π1 είναι Α1=30cm2 και του ποτηριού Π2 είναι Α2=20cm2 . Τότε: α) Να υπολογίσετε την υδροστατική πίεση στον πυθµένα του κάθε ποτηριού, β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της υδροστατικής πίεσης (p) σε συνάρτηση µε το βάθος (h) από την επιφάνεια του κάθε ποτηριού. γ) Να υπολογιστεί η δύναµη που ασκείται λόγω της υδροστατικής πίεσης στον πυθµένα του κάθε ποτηριού. Να συγκρίνετε τις δυνάµεις αυτές µε το βάρος του νερού στο κάθε δοχείο, δ) Να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστηµα αξόνων τη δύναµη (F) που ασκείται στον πυθµένα του κάθε ποτηριού σε συνάρτηση µε το ύψος (h) της στήλης του νερού. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=103 Kg/m3 και g=10m/s2 . Λύση: α) Η υδροστατική πίεση σ’ ένα σηµείο ενός υγρού που ισορροπεί δίνεται από τη σχέση p=ρ⋅g⋅h, όπου ρ είναι η πυκνότητα του υγρού, g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας και h είναι το ύψος της στήλης του υγρού ή αλλιώς το βάθος στο οποίο βρίσκεται το σηµείο από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Τότε για την περίπτωση που το υγρό µας είναι το νερό έχουµε p=ρν⋅g⋅h ή p=103 ⋅10⋅0,14 ή p=1.400 Pa. Η πίεση είναι η ίδια και στα δυο ποτήρια ανεξάρτητα από τη διάµετρο (πάχος) του ποτηριού. Εξαρτάται µόνο από το ύψος h της στήλης του νερού. 2 1 νερό νερό h h Π Π
- 274. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 273 β) Η υδροστατική πίεση σ’ ένα σηµείο ενός υγρού που ισορροπεί δίνεται από τη σχέση p=ρ⋅g⋅h=103 ⋅10⋅h=104 ⋅h , όπου h είναι το βάθος στο οποίο βρίσκεται το σηµείο από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Η συνάρτηση της πίεσης µε το βάθος p(h) είναι της µορφής y=α⋅x οπότε η γραφική παράσταση θα είναι ευθεία που θα διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Για h=0 έχουµε p=0 ενώ για h=14cm=0,14m είναι p=104 ⋅h=104 ⋅0,14 ή p=1.400 Pa ή 1.400 Ν/m2 . Έτσι έχουµε τη γραφική παράσταση του διπλανού σχήµατος. γ) Από τον ορισµό της πίεσης έχουµε p= F A ή F=p⋅A. Για τη δύναµη που οφείλεται στην υδροστατική πίεση στον πυθµένα του ποτηριού Π1 έχουµε F1=p⋅A1 ή F1=1.400⋅3⋅10-3 =4,2Ν, ενώ για τη δύναµη στο στον πυθµένα του ποτηριού Π2 έχουµε F2=p⋅A2 ή F2=1.400⋅2⋅10-3 =2,8Ν. Άρα µεγαλύτερη δύναµη δέχεται ο πυθµένας µε το µεγαλύτερο εµβαδό. Ο όγκος του πρώτου ποτηριού είναι V1=A1⋅h=30cm2 ⋅14cm=420 cm3 . Από τον τύπο της πυκνότητας ισχύει: ρν= 1 1 m V ή m1=ρν⋅V1 ή m1=1g/cm3 ⋅420cm3 =420 g ή 0,42 Kg. Τότε το βάρος του νερού στο ποτήρι Π1 είναι w1=m1⋅g ή w=0,42⋅10 ή w1=4,2 Ν=F1. Παρατηρούµε δηλαδή ότι η δύναµη F1 που οφείλεται στην υδροστατική πίεση είναι ίση µε το βάρος w1 του νερού. Παρόµοια ο όγκος του δεύτερου ποτηριού είναι V2=A2⋅h=20cm2 ⋅14cm=280 cm3 . Από τον τύπο της πυκνότητας ισχύει: p(N/m ) 14 700 1.400 0 2 h(cm)
- 275. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 274 ρν= 2 2 m V ή m2=ρν⋅V2 ή m2=1g/cm3 ⋅280cm3 =280 g ή 0,28 Kg. Τότε το βάρος του νερού στο ποτήρι Π2 είναι w2=m2⋅g ή w2=0,28⋅10 ή w2=2,8 Ν=F2. Παρατηρούµε δηλαδή ότι και σε αυτή την περίπτωση η δύναµη F2 που οφείλεται στην υδροστατική πίεση είναι ίση µε το βάρος w2 του νερού. δ) Για τη δύναµη που ασκείται στον πάτο του ποτηριού Π1 σε συνάρτηση µε το ύψος της στήλης του νερού έχουµε F1=p⋅A1 ή F1=ρ⋅g⋅h⋅A1 ή F1=103 ⋅10⋅h⋅3⋅10-3 ή F1=30⋅h. Παρόµοια για το δεύτερο ποτήρι Π2 έχουµε F2=p⋅A2 ή F2=ρ⋅g⋅h⋅A2 ή F2=103 ⋅10⋅h⋅2⋅10-3 ή F2=20⋅h. Οι συναρτήσεις στις οποίες καταλήγουµε είναι της µορφής y=α⋅x οπότε οι γραφικές παραστάσεις θα είναι ευθείες που θα διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Για h=0 έχουµε F1=F2=0N ενώ για h=14cm=0,14m είναι F1=30⋅0,14=4,2N και F2=20⋅0,14=2,8N. Έτσι έχουµε τις γραφικές παραστάσεις που φαίνονται στο διπλανό σχήµα. 5. Στη διπλανή εικόνα παριστάνονται τρία ποτήρια Π1, Π2 και Π3 διαφορετικού σχήµατος και ίδιας µάζας τα οποία περιέχουν νερό στο ίδιο ύψος h=10cm. Τα εµβαδά των βάσεων των ποτηριών είναι ίσα και ίσα µε Α=20cm2 . α) Να υπολογίσετε τις υδροστατικές πιέσεις στους πυθµένες των τριών ποτηριών. F(N) 14 Π Π 1,4 2,8 0 4,2 1 2 h(cm) h A 2 3 1 Π Π Π A A A
- 276. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 275 β) Να υπολογίσετε τις δυνάµεις που ασκούνται από το υγρό στους πυθµένες των τριών ποτηριών και που οφείλονται στην υδροστατική πίεση. γ) Να συγκρίνετε τις δυνάµεις που ασκούν τα δοχεία στο τραπέζι πάνω στο οποίο ισορροπούν. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=103 Kg/m3 και g=10m/s2 . Λύση: α) Η υδροστατική πίεση δίνεται από τη σχέση p=ρ⋅g⋅h. Τότε για την περίπτωση που το υγρό µας είναι το νερό και ισορροπεί έχουµε p=ρν⋅g⋅h ή p=103 ⋅10⋅0,1 ή p=1.000 Pa. Η πίεση είναι η ίδια και στα τρία ποτήρια ανεξάρτητα από τη διάµετρο (πάχος) τους και εξαρτάται µόνο από το ύψος h της στήλης του νερού. β) Από τον ορισµό της πίεσης έχουµε p= F A ή F=p⋅A. Για τη δύναµη που οφείλεται στην υδροστατική πίεση στον πυθµένα των τριών ποτηριών έχουµε F=p⋅A ή F=1.000⋅2⋅10-3 =2Ν. Οι δυνάµεις που ασκούνται από το υγρό στους πυθµένες των ποτηριών είναι ίσες. γ) Ο όγκος του νερού του πρώτου ποτηριού είναι V1 του 2ου είναι V2 και του 3ου V3. Από το σχήµα φαίνεται ότι V2V1V3. Από τον τύπο της πυκνότητας ισχύει: ρν= 1 1 m V ή m1=ρν⋅V1. Τότε το βάρος του νερού στο ποτήρι Π1 είναι w1=m1⋅g ή w1= ρν⋅V1⋅g. Παρόµοια έχουµε w2= ρν⋅V2⋅g και w3= ρν⋅V3⋅g. Όµως είπαµε πως V2V1V3 άρα έχουµε και w2w1w3. Τότε και το συνολικό βάρος του κάθε ποτηριού (βάροςποτηριού+βάροςνερού) θα ακολουθεί την ίδια σχέση αφού τα ποτήρια χωρίς το νερό έχουν την ίδια µάζα. Άρα και οι κάθετες αντιδράσεις που ασκεί το τραπέζι στο κάθε ποτήρι θα είναι κατά µέτρο όσο και το βάρος τους οπότε και οι δυνάµεις που ασκούν τα ποτήρια πάνω στο τραπέζι στο οποίο ισορροπούν θα είναι αντίστοιχα Ν1, Ν2 και Ν3 µε Ν2Ν1Ν3.
- 277. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 276 Ο όγκος του πρώτου ποτηριού που είναι κυλινδρικό είναι V1=A⋅h=20cm2 ⋅10cm=200 cm3 . Από τον τύπο της πυκνότητας ισχύει: ρν= 1 1 m V ή m1=ρν⋅V1 ή m1=1g/cm3 ⋅200cm3 =200 g ή 0, 2 Kg. Τότε το βάρος του νερού στο ποτήρι Π1 είναι w1=m1⋅g ή w=0,2⋅10 ή w1=2Ν=F. Παρατηρούµε δηλαδή ότι η δύναµη F που οφείλεται στην υδροστατική πίεση είναι ίση µε το βάρος w1 του νερού. Ο όγκος όµως του δεύτερου ποτηριού είναι V2V1 οπότε το βάρος του νερού w2 θα είναι µεγαλύτερο από το w1 του νερού στο 1ο ποτήρι άρα σε αυτή την περίπτωση το βάρος του νερού είναι µεγαλύτερο από τη δύναµη F που οφείλεται στην υδροστατική πίεση. Τέλος ο όγκος του τρίτου ποτηριού είναι V3V1, οπότε το βάρος του νερού w3 θα είναι µικρότερο από το w1 του νερού στο 1ο ποτήρι άρα σε αυτή την περίπτωση το βάρος του νερού είναι µικρότερο από τη δύναµη F που οφείλεται στην υδροστατική πίεση. Αυτό είναι και το λεγόµενο υδροστατικό παράδοξο. ∆ηλαδή υδροστατικό παράδοξο είναι το φαινόµενο κατά το οποίο ένα υγρό που ισορροπεί, µπορεί να ασκεί στον πυθµένα του δοχείου του δύναµη µεγαλύτερη από το βάρος του.
- 278. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 277 Το υδροστατικό παράδοξο Τον 17ο αιώνα ο Πασκάλ (Pascal) πραγµατοποίησε ένα πείραµα που έκανε µεγάλη εντύπωση και αναφέρεται συχνά ως παράδοξο της υδροστατικής. Πήρε ένα κλειστό βαρέλι (κάδος του Pascal), που περιείχε 1000 kg νερού και άνοιξε στην πάνω επιφάνεια µια µικρή τρύπα. Στην τρύπα προσάρµοσε ένα λεπτό κατακόρυφο σωλήνα που είχε ύψος 9,5m. Προσθέτοντας µια µικρή ποσότητα νερού, ο σωλήνας γέµισε µέχρι την κορυφή. Τότε µε µεγάλη έκπληξη είδε τα τοιχώµατα του βαρελιού να ανοίγουν και το νερό να χύνεται έξω. Πώς συνέβη αυτό; Ας θεωρήσουµε µια µικρή επιφάνεια εµβαδού Α = 1 cm2 του πλευρικού τοιχώµατος του βαρελιού που βρίσκεται σε απόσταση h = 0,5 m από το πάνω µέρος του βαρελιού. Πριν από την τοποθέτηση του νερού στο σωλήνα, η πίεση του νερού στο τοίχωµα ήταν: p = ρ·g·h = 103 ·10 ·0,5 m = 5.000 και η δύναµη σ' αυτό F = p·A = 5.000 ·10-4 m2 = 0,5 N. Όταν ο σωλήνας, µήκους 9,5 m, γεµίσει µε νερό, η πίεση γίνεται: p΄ =ρ·g·h΄ = 103 ·10 ·(9,5+0,5) m = 100.000 και η δύναµη F΄ = p΄·A = 100.000 ·10-4 m2 = 10 Ν δηλαδή, είκοσι φορές µεγαλύτερη. Γι’ αυτό άνοιξε το τοίχωµα. 9,5m
- 279. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 278 1. Στα τοιχώµατα ενός πλοίου και σε βάθος h=3m από την επιφάνεια της θάλασσας υπάρχει µια κυκλική ρωγµή ακτίνας R=10cm. Να υπολογιστεί η ελάχιστη δύναµη που πρέπει να ασκήσουµε κάθετα σ’ ένα ξύλινο πώµα που τοποθετούµε στη ρωγµή, ώστε να εµποδίσουµε την εισροή του νερού. ∆ίνεται η πυκνότητα του θαλασσινού νερού ρν=1.020 Kg/m3 και g=10m/s2 . 2. Μια κλειστή δεξαµενή σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει µήκος 4m πλάτος 2m και ύψος 0,5m. Αν γεµίσουµε τη δεξαµενή µε νερό , τότε να υπολογιστεί η δύναµη που ασκείται στον πυθµένα της δεξαµενής . ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=103 Kg/m3 και g=10m/s2 . 3. Σ’ ένα κλειστό βαρέλι περιέχεται κρασί. Κοντά στη βάση του βαρελιού, υπάρχει µια τρύπα εµβαδού Α=2⋅10-4 m2 . Η απόσταση του κέντρου της τρύπας από την ελεύθερη επιφάνεια του κρασιού είναι h=50cm. α) Να υπολογιστεί η ελάχιστη δύναµη που πρέπει να ασκήσουµε σε ένα ξύλινο πώµα, ώστε να κλείσουµε την τρύπα. β) Στο κλειστό βαρέλι και στην πάνω του επιφάνεια ανοίγουµε µια πολύ µικρή τρύπα και προσαρµόζουµε έναν λεπτό κατακόρυφο σωλήνα ύψους h1=2m. Τότε προσθέτοντας µια µικρή ποσότητα κρασιού, ο σωλήνας γεµίζει µέχρι την κορυφή του. Να υπολογιστεί η ελάχιστη δύναµη σ’ αυτή την περίπτωση. ∆ίνεται η πυκνότητα του κρασιού ρκ=103 Kg/m3 και g=10m/s2 . 4. ∆ίνονται τα δυο δοχεία ∆1 και ∆2 του σχήµατος για τα οποία γνωρίζουµε ότι το πρώτο είναι ένα κυλινδρικό δοχείο µε ύψος h=1m και εµβαδό βάσης Α=40cm2 , ενώ το δεύτερο δοχείο αποτελείται από δυο επιµέρους κυλινδρικά δοχεία το ένα µε ύψος h1=h/2=0,5m και εµβαδό βάσης Α=40cm2 , και το άλλο µε ύψος h2= h/2=0,5m και εµβαδό βάσης Α΄=10cm2 . Τα δοχεία είναι γεµάτα µε αποσταγµένο νερό. Τότε α) Να υπολογιστεί η πίεση στον πυθµένα των δυο δοχείων, 2 1 2 1 νερό νερό h h h ∆ ∆
- 280. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 279 β) Ποιο από τα δυο δοχεία περιέχει µεγαλύτερη ποσότητα νερού; Να υπολογίσετε το βάρος του νερού στα δυο δοχεία. γ) Να υπολογιστεί η δύναµη που οφείλεται στην υδροστατική πίεση στον πυθµένα των δυο δοχείων. Σε ποιο από τα δυο δοχεία παρατηρείται το υδροστατικό παράδοξο; ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=103 Kg/m3 και g=10m/s2 . 5. Σ’ ένα κυλινδρικό δοχείο περιέχεται υδράργυρος σε ύψος 5cm από τη βάση του. α) Πόσο ύψος πρέπει να έχει το νερό σ’ ένα δεύτερο όµοιο κυλινδρικό δοχείο, ώστε να προκαλεί την ίδια υδροστατική πίεση στον πυθµένα του δοχείου µε αυτή που προκαλείται από τον υδράργυρο; β) Αν αναµείξουµε τα δυο υγρά σε ένα κυλινδρικό δοχείο της ίδιας εγκάρσιας διατοµής και κατάλληλου ύψους, τότε να υπολογιστεί η συνολική υδροστατική πίεση που προκαλείται από τα δυο υγρά στον πυθµένα του δοχείου. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1g/cm3 η πυκνότητα του υδραργύρου ρυδρ.=13,6g/cm3 και g=10m/s2 . 6. Αν η πυκνότητα του πετρελαίου είναι ρπ=0,9 g/cm3 , τότε α) να βρείτε τη σχέση που δίνει την υδροστατική πίεση του πετρελαίου που ασκείται στον πυθµένα της δεξαµενής που περιέχει το πετρέλαιο, σε συνάρτηση µε το ύψος h, από τον πυθµένα. β) Να παραστήσετε γραφικά την παραπάνω πίεση σε συνάρτηση µε το ύψος h. γ) Πόση είναι η υδροστατική πίεση στην ελεύθερη επιφάνεια της δεξαµενής και πόση στον πυθµένα της δεξαµενής, όταν αυτή είναι γεµάτη πετρέλαιο; ∆ίνεται το ύψος της δεξαµενής H=1,4m. δ) Πόσο πρέπει να κατέβει η στάθµη του πετρελαίου ώστε η υδροστατική πίεση στον πυθµένα της δεξαµενής να γίνει το 1 4 της παραπάνω πίεσης; ∆ίνεται g=10m/s2 .
- 281. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 280 1. Τα όργανα µε τα οποία µετράµε την υδροστατική πίεση ονοµάζονται µανόµετρα. ( ) 2. Η υδροστατική πίεση εξαρτάται από τον προσανατολισµό της επιφάνειας που είναι βυθισµένη στο υγρό. ( ) 3. Σε δυο διαφορετικά υγρά στο ίδιο βάθος η υδροστατική πίεση είναι η ίδια ( ) 4. Αν µέσα σε ένα ποτήρι µε νερό αφήσουµε να βυθιστεί µια πέτρα τότε η υδροστατική πίεση στον πυθµένα του ποτηριού αυξάνεται γιατί αυξάνεται το ύψος της στάθµης του νερού. ( ). 5. Μεταφέρουµε ένα δοχείο µε νερό από την επιφάνεια της λίµνης Κερκίνης πάνω στην κορυφή του όρους Κερκίνη (Μπέλλες) Τότε η υδροστατική πίεση στον πάτο του δοχείου δε µεταβάλλεται. ( ) 6. Αισθανόµαστε την ίδια πίεση όταν κάνουµε µια βουτιά και το κεφάλι µας βυθιστεί κατά ένα µέτρο είτε σε µια µικρή πισίνα µε θαλασσινό νερό, είτε στη µέση του πελάγους. ( ) 7. Στα συγκοινωνούντα δοχεία η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού που ισορροπεί βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. ( ) 8. Ένα δοχείο έχει ύψος h και είναι γεµάτο µε υγρό πυκνότητας 0,8g/cm3 . Στον ίδιο τόπο ένα δεύτερο δοχείο έχει το µισό ύψος και είναι γεµάτο µε ένα δεύτερο υγρό. Αν η υδροστατική πίεση στον πυθµένα του δεύτερου δοχείου είναι 1,5 φορές µεγαλύτερη από την υδροστατική πίεση στον πυθµένα του πρώτου δοχείου, τότε η πυκνότητα του δεύτερου υγρού είναι 1,2 g/cm3 . ( )
- 282. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 281 1. Ένα υγρό που βρίσκεται µέσα σε ανοικτό δοχείο λόγω του βάρους του w πιέζει τον πυθµένα του δοχείου που έχει εµβαδό Α. Τότε: α) η συνολική πίεση στον πυθµένα του δοχείου ισούται µε p= w A . β) η υδροστατική πίεση στον πυθµένα του δοχείου ισούται µε p= w A . γ) η υδροστατική πίεση στον πυθµένα του δοχείου είναι όση και το βάρος w του υγρού. δ) η υδροστατική πίεση στον πυθµένα του δοχείου είναι σταθερή και ανεξάρτητη του βάρους w του υγρού. 2. Η υδροστατική πίεση ενός υγρού που ισορροπεί, α) εξαρτάται από τον όγκο του υγρού. β) είναι σταθερή ανεξάρτητη από το βάθος. γ) εξαρτάται από τον προσανατολισµό του σώµατος σε συγκεκριµένο βάθος. δ) αυξάνεται ανάλογα µε το βάθος. 3. Παίρνουµε δυο δοχεία, ένα µε καθαρό οινόπνευµα που έχει πυκνότητα pοιν = 800 και ένα άλλο µε αλατόνερο πυκνότητας pαλατ = 1600 . Τότε η υδροστατική πίεση στο ίδιο βάθος είναι, α) διπλάσια στο αλατόνερο. β) διπλάσια στο οινόπνευµα. γ) η ίδια και στις δυο περιπτώσεις. δ) τα στοιχεία δεν επαρκούν για να απαντήσουµε. 4. Σύµφωνα µε το νόµο της υδροστατικής πίεσης ισχύει:
- 283. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 282 α) p= ρ gh β) h= p ρ γ) p=F⋅A δ) p=ρ·g·h 5. Στα σηµεία Α και Β που φαίνονται στην εικόνα α) η πίεση του νερού είναι ίδια, διότι τα σηµεία Α και Β βρίσκονται στο ίδιο βάθος, β) η πίεση του νερού είναι µεγαλύτερη στο σηµείο Α, γιατί ο όγκος του νερού είναι µεγαλύτερος, γ) η πίεση του νερού είναι µεγαλύτερη στο σηµείο Β, γιατί βρίσκεται πιο ψηλά από τον πυθµένα της λίµνης, δ) Η δύναµη που ασκεί το νερό στο σηµείο Α είναι µεγαλύτερη από τη δύναµη που ασκεί στο σηµείο Β γιατί ο όγκος του νερού στην αβαθή λίµνη είναι πολύ µεγαλύτερος απ' ό,τι στη βαθιά λίµνη. 6. Τα δυο δοχεία ∆1 και ∆2 του σχήµατος περιέχουν νερό της ίδιας πυκνότητας. Ακόµη ισχύει h=h1+h2. Τότε α) µεγαλύτερη είναι η υδροστατική πίεση στον πυθµένα του δοχείου ∆1. β) µεγαλύτερη είναι η υδροστατική πίεση στον πυθµένα του δοχείου ∆2. γ) και στα δυο δοχεία έχουµε την ίδια υδροστατική πίεση στον πυθµένα τους. δ) η υδροστατική πίεση στον πυθµένα των δοχείων εξαρτάται από το σχήµα των δοχείων. 2 1 2 1 νερό νερό h h h ∆ ∆
- 284. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 283 7. Στη διπλανή εικόνα παριστάνονται τρία ποτήρια Π1, Π2 και Π3 διαφορετικού σχήµατος και ίδιας µάζας τα οποία περιέχουν νερό στο ίδιο ύψος h. Τα εµβαδά των βάσεων των ποτηριών είναι ίσα µε Α. Τότε α) Οι υδροστατικές πιέσεις στους πυθµένες των τριών ποτηριών είναι ίσες. β) για τις δυνάµεις που ασκούνται από το υγρό στους πυθµένες των τριών ποτηριών και που οφείλονται στην υδροστατική πίεση ισχύει F1F2F3. γ) Οι δυνάµεις που ασκούν τα δοχεία στο τραπέζι πάνω στο οποίο ισορροπούν είναι ίσες. δ) Το υδροστατικό παράδοξο ισχύει για το ποτήρι Π2. 1. Η υδροστατική πίεση οφείλεται στη …………….. 2. Αν µεταφέρουµε ένα κλειστό δοχείο γεµάτο µε νερό από την επιφάνεια της γης στην επιφάνεια της σελήνης, θα διαπιστώναµε ότι η υδροστατική πίεση στον πυθµένα του έχει τιµή περίπου 6 φορές …………….από την τιµή της στην επιφάνεια της γης. Αυτό συµβαίνει γιατί το βάρος του νερού στη σελήνη είναι 6 φορές ………………………από το βάρος του στη γη. 3. Τα υγρά ασκούν πίεση προς κάθε………………………. h A 2 3 1 Π Π Π A A A
- 285. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 284 4. Το φράγµα στο οποίο ασκείται µεγαλύτερη πίεση είναι εκείνο στο οποίο η λίµνη έχει …………………βάθος. 'Άρα στη βάση αυτού του φράγµατος ασκείται από το νερό …………………..δύναµη. Συνεπώς το φράγµα αυτό κατασκευάζεται µε …………………….. πάχος. 5. Στα αρτεσιανά φρέατα (πηγάδια) βρίσκει εφαρµογή η ………………..των, ……………………….. ……………………..
- 286. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 285 4.3 Ατµοσφαιρική πίεση 1. Τι γνωρίζετε για την ατµοσφαιρική πίεση; Η γη περιβάλλεται από ατµόσφαιρα. Η ατµόσφαιρα αποτελείται από ένα µείγµα αερίων που ονοµάζεται ατµοσφαιρικός αέρας. Ο αέρας είναι διαφανής. Έχει µάζα και από τη γη ασκείται σε αυτόν η δύναµη του βάρους. Εποµένως, όπως συµβαίνει µε όλα τα ρευστά σώµατα, ασκεί πίεση σε κάθε επιφάνεια που βρίσκεται µέσα σ' αυτόν. Η πίεση αυτή που οφείλεται στον ατµοσφαιρικό αέρα ονοµάζεται ατµοσφαιρική πίεση. Όπως ακριβώς η υδροστατική πίεση µιας κατακόρυφης στήλης νερού οφείλεται στο βάρος της, έτσι και η ατµοσφαιρική πίεση οφείλεται στο βάρος του αέρα . Τα αέρια έχουν λοιπόν βάρος και κατά συνέπεια τα ανώτερα στρώµατα του αέρα, πιέζουν εξαιτίας του βάρους τους τα κατώτερα, µε αποτέλεσµα στα στρώµατα αυτά να έχουµε µεγαλύτερη πυκνότητα. Εποµένως η πίεση θα µεταβάλλεται και στα αέρια µε το ύψος, όπως συµβαίνει και στα υγρά, µόνο που ο τύπος που συνδέει την πίεση µε το ύψος σε αυτή την περίπτωση είναι αρκετά πολύπλοκος. Οι διαφορές της πίεσης που οφείλονται στη βαρύτητα, είναι µικρές, αν τις συγκρίνουµε µε εκείνες των υγρών. Μόνο όταν οι διαφορές ύψους µέσα σε µια στήλη αέρα είναι αρκετά µεγάλες έχουµε σηµαντική διαφορά στην πίεση. Γενικά ισχύει πως όσο αυξάνεται το ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας, η ατµοσφαιρική πίεση µειώνεται. 2. Πόση είναι και από τι εξαρτάται η τιµή της ατµοσφαιρικής πίεσης; Η τιµή της ατµοσφαιρικής πίεσης εξαρτάται από το ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας. Τα ανώτερα στρώµατα της ατµόσφαιρας πιέζουν, λόγω του βάρους τους, τα κατώτερα µε αποτέλεσµα η τιµή της πίεσης να είναι µεγαλύτερη στην επιφάνεια της θάλασσας. Η τιµή της ατµοσφαιρικής πίεσης στην επιφάνεια της θάλασσας ονοµάζεται πίεση µιας ατµόσφαιρας (1 atm).
- 287. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 286 3. Μέτρηση της ατµοσφαιρικής πίεσης. Να περιγράψετε το πείραµα του Torricelli. Η ατµοσφαιρική πίεση µετρήθηκε για πρώτη φορά το 1643 από το µαθητή του Γαλιλαίου, το φυσικό Εβαγγελίστα Τορικέλι (Torricelli). Ο Τορικέλι χρησιµοποίησε ένα γυάλινο σωλήνα µήκους ενός µέτρου τον οποίο γέµισε µε υδράργυρο. Στη συνέχεια τον αντέστρεψε µέσα σε µια µικρή λεκάνη, η οποία επίσης περιείχε υδράργυρο όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Ο Τορικέλι παρατήρησε ότι το ύψος της στήλης του υδραργύρου µέσα στο σωλήνα έφθασε περίπου στα h=76 cm αν το πείραµα γίνει στην επιφάνεια της θάλασσας υπό κανονικές µετεωρολογικές συνθήκες. Ποια είναι όµως η δύναµη που συγκρατεί τον υδράργυρο σε αυτό το ύψος; Το υγρό µέσα στο σωλήνα και τη λεκάνη ισορροπεί, άρα σύµφωνα µε την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων θα ισχύει: pA=pΒ διότι τα Β, Α είναι σηµεία του ίδιου υγρού και βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Όµως η πίεση στο Α ισούται µε την ατµοσφαιρική πίεση: pA=patm Εποµένως, η στήλη του υδραργύρου συγκρατείται από τη δύναµη που ασκείται, λόγω της ατµοσφαιρικής πίεσης, στην ελεύθερη επιφάνεια του υδραργύρου της λεκάνης . ατµ κενό αέρα h cm =76 p Υδ ρά ργ υρ ος Υδράργυρος
- 288. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 287 Μέσα στο σωλήνα πάνω από τη στήλη του υδραργύρου δηµιουργήθηκε κενό. Η πίεση στην επιφάνεια της στήλης είναι ίση µε το µηδέν και συνεπώς η πίεση στο Β ισούται µε την υδροστατική πίεση της στήλης του υδραργύρου: pΒ=pυδρ. Συµπεραίνουµε ότι η ατµοσφαιρική πίεση είναι ίση µε την πίεση που ασκεί στη βάση της στήλη υδραργύρου ύψους h. Όταν h=76 cm ή 760 mm, λέµε ότι η ατµοσφαιρική πίεση ισούται µε 760 mmHg. Την υδροστατική πίεση που ασκεί στήλη υδραργύρου ύψους 1mm την ονοµάζουµε 1 Torr προς τιµή του Τορικέλι. Εποµένως µπορούµε να πούµε ότι η ατµοσφαιρική πίεση είναι 760 Torr. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Αν επαναλάβουµε το πείραµα του Torricelli µε σωλήνα άλλης διαµέτρου (παχύτερο ή στενότερο), θα βρούµε ότι το ύψος της στήλης του υδραργύρου παραµένει αµετάβλητο και ίσο µε 76cm. Αν ακόµη ανυψώσουµε ή βυθίσουµε το σωλήνα του Torricelli, ώστε να βρίσκεται λιγότερο ή περισσότερο βυθισµένος µέσα στη λεκάνη µε τον υδράργυρο επίσης θα παρατηρήσουµε ότι το ύψος της στήλης του υδραργύρου παραµένει αµετάβλητο και ίσο µε 76cm. Η τιµή των 76cm παραµένει αµετάβλητη ακόµη και να ο σωλήνας βυθιστεί υπό κλίση. Τα όργανα που χρησιµοποιούνται για τη µέτρηση της ατµοσφαιρικής πίεσης ονοµάζονται βαρόµετρα. Το πρώτο βαρόµετρο κατασκευάστηκε από τον Τορικέλι. Υπάρχουν δυο είδη βαροµέτρων τα υδραργυρικά και τα µεταλλικά. Τα όργανα µε τα οποία µετράµε την πίεση αερίων ή υγρών λέγονται µανόµετρα. 4. Πώς υπολογίζουµε την ατµοσφαιρική πίεση;
- 289. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 288 Η ατµοσφαιρική πίεση ισούται µε την υδροστατική πίεση της στήλης του υδραργύρου. Έτσι, για να την υπολογίσουµε, εφαρµόζουµε το νόµο της υδροστατικής πίεσης. Γνωρίζοντας ότι ο υδράργυρος έχει πυκνότητα ρ=13.600 και η επιτάχυνση της βαρύτητας (g) έχει τιµή g=9,8 µπορούµε να υπολογίσουµε την ατµοσφαιρική πίεση σε Pa (Πασκάλ). Ώστε patm = pυδρ = ρ·g·h ή patm = 13.600 ·9,8 ·0,76m ή patm = 101293Paή περίπου 100.000 Pa. Η πίεση αυτή ονοµάζεται πίεση µιας ατµόσφαιρας (1 atm): 1 atm = 100.000 Pa ή 1atm=105 Pa=105 Ν/m2 . Τα πειράµατα έδειξαν, ότι όταν ανεβαίνουµε από την επιφάνεια της θάλασσας κατά 10,5m, η ατµοσφαιρική πίεση µειώνεται κατά 1mmHg. Το συµπέρασµα αυτό µπορούµε να το αποδείξουµε αν δεχτούµε ότι τα κατώτερα στρώµατα της ατµόσφαιρας έχουν πυκνότητα ρ=0,001293 g/cm3 =1,293Kg/m3 . Τα 760mmHg είναι 1,01293⋅105 Ν/m2 , άρα το 1mmHg είναι 5 1,01293 10 760 ⋅ Ν/m2 . Εξάλλου για την ατµοσφαιρική πίεση έχουµε p=ρ⋅g⋅h άρα για να ελαττωθεί η ατµοσφαιρική πίεση κατά 1mmHg θα πρέπει να ανέλθουµε σε ύψος h= p ρg =
- 290. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 289 = 5 1,01293 10 760 1,293 9,8 ⋅ ⋅ = 133,28 12,67 =10,5m. Ο παραπάνω νόµος όµως ισχύει µόνο για πολύ µικρές µεταβολές του ύψους, γιατί η πυκνότητα του αέρα δεν είναι σταθερή αλλά µειώνεται καθώς ανεβαίνουµε σε µεγαλύτερα υψόµετρα. Ακόµη βέβαια θα πρέπει να λάβουµε υπόψη µας ότι αρχικά τουλάχιστον καθώς ανεβαίνουµε σε µεγαλύτερα υψόµετρα η θερµοκρασία ελαττώνεται κατά 0,50 C – 10 C για ανύψωση κατά 100m και άρα ο αέρας γίνεται πυκνότερος. 5. Τι γνωρίζετε για τις δυνάµεις που οφείλονται στην ατµοσφαιρική πίεση; Όταν πίνουµε το χυµό µας µε το καλαµάκι, τότε για να φθάσει η πορτοκαλάδα στο στόµα µας, ρουφάµε τον αέρα που υπάρχει µέσα στο καλαµάκι. Έτσι η πίεση πάνω από την επιφάνεια του χυµού µέσα στο καλαµάκι είναι µικρότερη από την πίεση που επικρατεί στη βάση του και η οποία είναι ίση µε την ατµοσφαιρική. Η δύναµη που ασκείται λόγω της ατµοσφαιρικής πίεσης ανεβάζει το χυµό στο στόµα σου. Στη σελήνη, όπου δεν υπάρχει αέρας, οι αστροναύτες δε θα µπορούσαν να πιουν µε το καλαµάκι την πορτοκαλάδα τους. 6.Πόσο µεγάλες είναι οι δυνάµεις που ασκούνται λόγω της ατµοσφαιρικής πίεσης; Η επιφάνεια που έχει το στόµιο στο καλαµάκι είναι περίπου A= 0,2 cm2 =2⋅10-5 m2 τότε η δύναµη που ασκείται λόγω της ατµοσφαιρικής πίεσης είναι p= F A ή F=p⋅A ή F=105 ⋅2⋅10-5 ή F=2Ν. Αντίστοιχα µε τον ίδιο τρόπο υπολογίζουµε ότι η δύναµη στην επιφάνεια του κουτιού της πορτοκαλάδας, η οποία έχει εµβαδόν περίπου 50 cm2 =5⋅10-3 m2 , είναι F=p⋅A ή F=105 ⋅5⋅10-3 ή F=500 Ν. Αυτές οι δυνάµεις πολύ µεγάλες και πάντως µπορούν να συνθλίψουν το κουτί του χυµού ή να συγκρατήσουν µια βεντούζα στον τοίχο.
- 291. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 290 Η δύναµη που ασκείται στο ανθρώπινο σώµα που έχει εµβαδόν µεταξύ ενός και δύο τετραγωνικών µέτρων είναι F=p⋅A ή F=105 ⋅1 ή F=100.000 Ν. Η δύναµη αυτή θα µας συνέθλιβε, αν η πίεση στο εσωτερικό του σώµατος µας δεν ήταν ίση µε την ατµοσφαιρική. Έτσι, η ολική δύναµη που ασκείται στο σώµα µας λόγω της εσωτερικής και της ατµοσφαιρικής πίεσης είναι µηδέν. Γι' αυτό το λόγο δεν αισθανόµαστε συνήθως την επίδραση της ατµοσφαιρικής πίεσης. Όταν όµως ανέβουµε σε σχετικά µεγάλο ύψος, λόγω της µείωσης της ατµοσφαιρικής πίεσης, αισθανόµαστε πόνο στα αυτιά µας.
- 292. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 291 Πειράµατα – ∆ραστηριότητες Μ’ ένα καλαµάκι ρουφάµε τον αέρα µέσα από το κουτί, όπως φαίνεται στο σχήµα. Τότε αυτό συνθλίβεται. Αυτό συµβαίνει γιατί η εξωτερική πίεση (ατµοσφαιρική) είναι µεγαλύτερη από την πίεση στο εσωτερικό του κουτιού αφού έχουµε αφαιρέσει τον αέρα. Παρόµοια η βεντούζα παραµένει κολληµένη στον τοίχο. Πιέζοντας την αφαιρούµε τον αέρα µέσα από αυτήν, οπότε η πίεση της ατµόσφαιρας στο εξωτερικό της µέρος την κρατά προσκολληµένη στον τοίχο. Παίρνουµε ένα δοχείο από ψευδάργυρο (τσίγκινο) και βάζουµε στο εσωτερικό του λίγο νερό. Το τοποθετούµε πάνω σε µια εστία θέρµανσης, έχοντας το καπάκι του ανοικτό. Το νερό αρχίζει να βράζει και οι ατµοί που παράγονται, καθώς κινούνται προς τα πάνω, συµπαρασύρουν και ένα µέρος από τον ατµοσφαιρικό αέρα που υπήρχε στο εσωτερικό του. Μόλις εξαερωθεί όλη η ποσότητα του νερού, αποµακρύνουµε το δοχείο από την εστία θέρµανσης, και κλείνουµε το καπάκι του. Βάζουµε το δοχείο κάτω από τη βρύση, οπότε ψύχεται απότοµα. Το δοχείο συνθλίβεται. Ποια δύναµη όµως προκαλεί τη σύνθλιψη του δοχείου; Η πίεση που επικρατεί στο εσωτερικό του δοχείου είναι µικρότερη από αυτή στο εξωτερικό. Αυτή η διαφορά της πίεσης προκαλεί και τη σύνθλιψή του.
- 293. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 292 1. Αν επαναλάβουµε το πείραµα του Torricelli µε νερό αντί για υδράργυρο τι θα παρατηρήσουµε και γιατί; ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1g/cm3 , η πυκνότητα του υδραργύρου ρυδρ=13,6g/cm3 και g=10m/s2 . Λύση: Ο Τορικέλι χρησιµοποίησε ένα γυάλινο σωλήνα µήκους 90cm περίπου τον οποίο γέµισε µε υδράργυρο. Στη συνέχεια τον αντέστρεψε µέσα σε µια µικρή λεκάνη, η οποία επίσης περιείχε υδράργυρο. Ο Τορικέλι παρατήρησε ότι το ύψος της στήλης του υδραργύρου µέσα στο σωλήνα έφθασε περίπου στα hυδρ =76 cm, αν το πείραµα γίνονταν στην επιφάνεια της θάλασσας υπό κανονικές µετεωρολογικές συνθήκες, οπότε έχουµε patm= pυδρ. (1) Αν τώρα µέσα στο σωλήνα και µέσα στη λεκάνη έχουµε νερό, τότε έστω ότι το ύψος της στήλης του νερού είναι hν. Το υγρό µέσα στο σωλήνα και τη λεκάνη ισορροπεί, άρα σύµφωνα µε την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων θα ισχύει: pA=pΒ διότι τα Α, Β είναι σηµεία του ίδιου υγρού και βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Όµως η πίεση στο Α ισούται µε την ατµοσφαιρική πίεση και η πίεση στο Β ισούται µε την πίεση της στήλης του νερού. Άρα έχουµε patm = pν (2) ν ατµ κενό αέρα νερό h p ν ε ρ ό
- 294. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 293 Τότε από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει pυδρ= pν ή ρυδρ⋅g⋅hυδρ= ρν⋅g⋅hν ή hν= υδρ ν ρ ρ ⋅hυδρ ή hν= 13,6 1 ⋅76 ή hν=1.033 cm ή hν=10,33 m. Επειδή λοιπόν η πυκνότητα του νερού είναι 13,6 φορές µικρότερη από την πυκνότητα του υδραργύρου γι’ αυτό και το ύψος της στήλης του νερού είναι 13,6 φορές µεγαλύτερο από αυτό της στήλης του υδραργύρου. 2. Να υπολογίσετε τη δύναµη η οποία απαιτείται για να αποχωριστούν δυο ηµισφαίρια του Μαγδεµβούργου ακτίνας R=10cm. ∆ίνεται ότι η ατµοσφαιρική πίεση είναι p=1atm=105 pa και ότι εντός των ηµισφαιρίων δηµιουργείται τέλειο κενό. Να θεωρήσετε ακόµη ότι η δύναµη που ασκείται από τον αέρα στη σφαίρα, ισούται µε τη δύναµη που ασκείται σε µια κυκλική επιφάνεια ίδιας ακτίνας. Λύση: Από τον ορισµό της πίεσης έχουµε p= F A ή F=p⋅A αυτή είναι και η δύναµη που οφείλεται στην ατµοσφαιρική πίεση p και εξασκείται εξωτερικά στα δυο ηµισφαίρια. Το Α είναι το εµβαδόν του κύκλου ακτίνας R όση δηλαδή είναι και η ακτίνα της σφαίρας. Άρα Α=π⋅R2 =3,14⋅10-2 =0,0314 m2 . Κατά συνέπεια για να αποχωριστούν τα δυο ηµισφαίρια θα πρέπει να ασκήσουµε ελάχιστη δύναµη όση είναι και η F που οφείλεται στην ατµοσφαιρική πίεση. Έτσι έχουµε F=p⋅A ή F=105 ⋅0,0314 ή F=3.140 Ν. Παρατήρηση: Επειδή όµως στο εσωτερικό των δυο ηµισφαιρίων δεν µπορούµε να πετύχουµε το τέλειο κενό αλλά υπάρχει έστω και µια µικρή πίεση µε τιµή 0,1atm για αυτό
- 295. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 294 και η συνολική πίεση που ασκείται από τον ατµοσφαιρικό αέρα στα δυο ηµισφαίρια είναι pολ=1-0,1=0,9 atm=0,9⋅105 pa. Τότε έχουµε F=pολ⋅A ή F=0,9⋅105 ⋅0,0314 ή F=3.140⋅0,9=2.826 Ν. 3. Εκτελούµε το πείραµα του Torricelli µε γλυκερίνη αντί για υδράργυρο. Να βρείτε σε ποιο ύψος θα ανέλθει η γλυκερίνη µέσα στο σωλήνα του πειράµατος. ∆ίνεται ότι η πυκνότητα της γλυκερίνης είναι ργλ=1,25g/cm3 , η πυκνότητα του υδραργύρου ρυδρ=13,6g/cm3 , g=10m/s2 και ότι η ατµοσφαιρική πίεση στον τόπο του πειράµατος είναι pατµ=75cmHg. Λύση: Από το πείραµα του Torricelli στον τόπο του πειράµατος έχουµε patm= pυδρ=ρυδρ⋅g⋅hυδρ (1) Αν τώρα µέσα στο σωλήνα και µέσα στη λεκάνη έχουµε γλυκερίνη, τότε έστω ότι το ύψος της στήλης της γλυκερίνης είναι h. Σύµφωνα µε την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων θα ισχύει: Το υγρό µέσα στο σωλήνα και τη λεκάνη ισορροπεί, άρα σύµφωνα µε την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων θα ισχύει: pA=pΒ, διότι τα Α, Β είναι σηµεία του ίδιου υγρού και βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Όµως η πίεση στο Α ισούται µε την ατµοσφαιρική πίεση και η πίεση στο Β ισούται µε την πίεση της στήλης της γλυκερίνης. Άρα έχουµε patm = pγλ= ργλ⋅g⋅h (2) Τότε από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει pυδρ= pγλ ή ρυδρ⋅g⋅hυδρ= ργλ⋅g⋅h ή ατµ κενό αέρα γλυκερίνη h p γ λ υ κ ε ρ ί ν η
- 296. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 295 h= υδρ γλ ρ ρ ⋅hυδρ ή h= 13,6 1,25 ⋅75 ή h=816 cm ή h=8,16 m. 4. Στην κορυφή του Έβερεστ (8.848 m) η ατµοσφαιρική πίεση είναι pατµ =0,35atm. Αν πραγµατοποιήσουµε το πείραµα του Torricelli σε αυτό το ύψος, τότε να βρείτε το ύψος της στήλης του υδραργύρου µέσα στο σωλήνα του πειράµατος. ∆ίνεται ότι η πυκνότητα του υδραργύρου ρυδρ=13,6⋅103 Κg/m3 και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας σε αυτό το ύψος είναι g=9,8m/s2 . Λύση: Από το πείραµα του Torricelli στον τόπο του πειράµατος έχουµε, patm= pυδρ=ρυδρ⋅g⋅hυδρ . Επειδή 1atm=105 pa προκύπτει ότι pατµ=0,35⋅105 pa=35⋅103 pa. Τότε hυδρ = ατµ υδρ ρ ρ g ⋅ ή hυδρ = 3 3 35 10 13,6 10 9,8 / ⋅ / ⋅ ⋅ ή hυδρ = 35 133,28 ή hυδρ = 0,26 m ή 26 cm. Παρατηρούµε πως η ατµοσφαιρική πίεση ελαττώνεται µε το ύψος, οπότε στην κορυφή του Έβερεστ είναι πολύ µικρότερη (περίπου το 1/3) απ' ό,τι στην επιφάνεια της θάλασσας. Τότε όµως και το ύψος της στήλης του Hg είναι περίπου το 1/3 του ύψους που έχει στην επιφάνεια της θάλασσας. 5. Στο εξωτερικό ενός παραθύρου εµβαδού Α=1m2 , επειδή φυσάει άνεµος η ατµοσφαιρική πίεση είναι ίση µε p1=0,9⋅105 N/m2 . Αν στο εσωτερικό του παραθύρου µέσα στο δωµάτιο, η ατµοσφαιρική πίεση είναι ίση µε p2=105 N/m2 , τότε να υπολογιστεί η συνολική δύναµη που ασκείται από την ατµόσφαιρα στο παράθυρο. Λύση:
- 297. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 296 Η συνολική πίεση που ασκείται από τον ατµοσφαιρικό αέρα στο παράθυρο είναι pολ= p2-p1=105 -0,9⋅105 =104 N/m2 (pa). Τότε έχουµε F=pολ⋅A ή F=104 Ν. 1. Αν επαναλάβουµε το πείραµα του Torricelli µε λάδι αντί για υδράργυρο τι θα παρατηρήσουµε και γιατί; ∆ίνεται η πυκνότητα του λαδιού ρλ=0,8g/cm3 , η πυκνότητα του υδραργύρου ρυδρ=13,6g/cm3 , g=10m/s2 και ότι η ατµοσφαιρική πίεση στον τόπο του πειράµατος είναι pατµ=60cmHg. 2. Να υπολογίσετε τη δύναµη η οποία απαιτείται για να αποχωριστούν δυο ηµισφαίρια του Μαγδεµβούργου ακτίνας R=50cm. ∆ίνεται ότι η ατµοσφαιρική πίεση είναι p=1atm=105 pa και ότι εντός των ηµισφαιρίων η πίεση είναι 0,1 atm. Να θεωρήσετε ακόµη ότι η δύναµη που ασκείται από τον αέρα στη σφαίρα, ισούται µε τη δύναµη που ασκείται σε µια κυκλική επιφάνεια ίδιας ακτίνας. 3. Στην κορυφή του Μύτικα στον Όλυµπο (2.917 m) η ατµοσφαιρική πίεση είναι pατµ =0,7atm. Αν πραγµατοποιήσουµε το πείραµα του Torricelli σε αυτό το ύψος, τότε να βρείτε το ύψος της στήλης του υδραργύρου µέσα στο σωλήνα του πειράµατος. ∆ίνεται ότι η πυκνότητα του υδραργύρου ρυδρ=13,6g/cm3 και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας σε αυτό το ύψος είναι g=9,8m/s2 . 4. Στο εξωτερικό µέρος ενός παραθύρου, εµβαδού Α=2m2 η ατµοσφαιρική πίεση είναι ίση µε p=105 N/m2 , τότε να υπολογιστεί η δύναµη που ασκείται από την ατµόσφαιρα στο εξωτερικό µέρος του παραθύρου. Γιατί δε σπάει το παράθυρο;
- 298. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 297 1. Η ατµοσφαιρική πίεση οφείλεται στο βάρος του αέρα. ( ) 2. Η ατµοσφαιρική πίεση αυξάνεται µε το ύψος, οπότε στην κορυφή του Έβερεστ είναι πολύ µεγαλύτερη, απ' ό,τι στην επιφάνεια της θάλασσας. ( ) 3. Στη σελήνη, όπου δεν υπάρχει αέρας, οι αστροναύτες δε µπορούν να πιουν µε το καλαµάκι την πορτοκαλάδα τους. ( ). 4. Αν επαναλάβουµε το πείραµα του Torricelli µε νερό αντί για υδράργυρο τότε θα παρατηρήσουµε ότι το ύψος της στήλης του νερού είναι το ίδιο, µε το ύψος της στήλης του υδραργύρου. ( ) 5. 1atm=105 Pa. ( ) 1. Στη σελήνη η ατµοσφαιρική πίεση: α) είναι ίση µε αυτή της γης. β) είναι µηδέν γιατί δεν υπάρχει ατµόσφαιρα. γ) είναι το 1/6 της ατµοσφαιρικής πίεσης της γης. δ) είναι πολύ µεγάλη. 2. Αν επαναλάβουµε το πείραµα του Torricelli µε σωλήνα µεγαλύτερης διαµέτρου (παχύτερο) στην επιφάνεια της θάλασσας, θα βρούµε ότι το ύψος της στήλης του υδραργύρου:
- 299. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 298 α) είναι ίσο µε 76cm. β) µικρότερο από 76cm. γ) µεγαλύτερο από 76cm. δ) µεγαλύτερο ή µικρότερο από 76cm, ανάλογα µε την κλίση µε την οποία βυθίζεται ο σωλήνας. 3. Εκτελούµε το πείραµα του Torricelli µε γλυκερίνη αντί για υδράργυρο όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Τότε ισχύει: α) pApB. β) pA=ργλ⋅g⋅h γ) pApB δ) pB=ργλ⋅g⋅h+patm. 4. Εκτελούµε το πείραµα του Torricelli στην επιφάνεια της θάλασσας και στη συνέχεια στην κορυφή ενός βουνού. Τότε το ύψος της στήλης του Ηg, α) είναι το ίδιο και στις δυο περιπτώσεις και µικρότερο από 76cm. β) είναι µεγαλύτερο στο βουνό. γ) είναι µεγαλύτερο στην επιφάνεια της θάλασσας. δ) είναι πάντα 76 cm. 1. Η τιµή της ατµοσφαιρικής πίεσης στην επιφάνεια της θάλασσας είναι ίση µε ……………….. 2. Η ολική δύναµη που ασκείται στο σώµα µας λόγω της εσωτερικής και της ατµοσφαιρικής πίεσης είναι………………….. ατµ κενό αέρα γλυκερίνη h p γ λ υ κ ε ρ ί ν η
- 300. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 299 3. Ο Τορικέλι για το πείραµά του χρησιµοποίησε ένα γυάλινο σωλήνα µήκους ενός µέτρου τον οποίο γέµισε µε ……………………… 4. Εκτελούµε το πείραµα του Torricelli µε οινόπνευµα (ροιν=0,8g/cm3 ) αντί για νερό (ρν=1g/cm3 ). Τότε το µήκος του σωλήνα που θα χρειαστούµε είναι µεγαλύτερο όταν χρησιµοποιήσουµε ………………………..
- 301. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 300 4.4 Μετάδοση των πιέσεων στα ρευστά. Αρχή του Πασκάλ 1. Να αναφέρετε την αρχή του Pascal (Πασκάλ). Αρχή του Pascal: Κάθε µεταβολή της πίεσης σε οποιοδήποτε σηµείο ενός περιορισµένου ρευστού που είναι ακίνητο, προκαλεί ίση µεταβολή της πίεσης σε όλα τα σηµεία του. ∆ηλαδή η πίεση που προέρχεται από έµβολο διαδίδεται αµετάβλητη σε όλα τα σηµεία του υγρού που ισορροπεί. Αυτή η πρόταση είναι γνωστή ως αρχή του Πασκάλ, από το όνοµα του Γάλλου φυσικού Μπλαιζ Πασκάλ (Blaise Pascal) (1623-1662), που τη διατύπωσε για πρώτη φορά. Η εικόνα δείχνει τον τρόπο λειτουργίας µιας υδραυλικής αντλίας. Η δύναµη F1 ασκείται στο έµβολο, που έχει εµβαδόν Α1. Έτσι στο υγρό της αντλίας (συνήθως λάδι) ασκείται, εκτός της ατµοσφαιρικής, πρόσθετη πίεση: p1= 1 1 F A . Εποµένως, σύµφωνα µε την αρχή του Πασκάλ, το υγρό ασκεί στο έµβολο που έχει εµβαδόν Α2 πίεση ρ2 ίση µε την ρ1. Το υγρό ασκεί στο έµβολο δύναµη F2: Αν το εµβαδόν του εµβόλου Α2 είναι διπλάσιο από το εµβαδόν του Α1, η δύναµη που ασκείται στο αυτοκίνητο είναι διπλάσια της δύναµης που ασκούµε µε το χέρι µας
- 302. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 301 Γενικά, η F2 είναι τόσες φορές µεγαλύτερη από την F1 όσες φορές είναι µεγαλύτερο το εµβαδόν του Α2 από το Α1. Σηµειώστε τη διαφορά µεταξύ πίεσης και δύναµης. Σε µια υδραυλική αντλία ή πιεστήριο η πίεση διατηρείται σταθερή, ενώ η δύναµη πολλαπλασιάζεται. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η πίεση µέσα σε ένα υγρό µπορεί να προέρχεται είτε από τη βαρύτητα είτε από κάποιο έµβολο, είτε και από τα δυο µαζί. Η αρχή του Pascal βρίσκει εφαρµογή στο υδραυλικό πιεστήριο αλλά και στα υδραυλικά φρένα των αυτοκινήτων. 2. Κάνοντας εφαρµογή της αρχής του Pascal να υπολογίσετε τη συνολική πίεση στον πυθµένα ενός ανοικτού δοχείου που περιέχει υγρό που ισορροπεί. Στην επιφάνεια ενός υγρού ασκείται η ατµοσφαιρική πίεση. Σύµφωνα µε την αρχή του Πασκάλ, η πίεση αυτή µεταδίδεται σε όλα τα σηµεία του υγρού. Εξ άλλου, σε κάθε σηµείο του υγρού υπάρχει και η υδροστατική πίεση. Εποµένως, η συνολική πίεση σε οποιοδήποτε σηµείο του υγρού, που βρίσκεται σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνειά του, είναι ίση µε το άθροισµα της ατµοσφαιρικής και της υδροστατικής πίεσης. Συνεπώς η ολική πίεση θα δίνεται από τη σχέση: pολική= pατµοσφαιρική + ρ·g·h
- 303. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 302 1. Μέσα στο κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος υπάρχει νερό σε ισορροπία. Το ύψος του νερού µέσα στο δοχείο είναι h=15 cm. Το έµβολο έχει βάρος w=800N και η εγκάρσια διατοµή του έχει εµβαδό Α=10cm2 .Τότε: Να υπολογίσετε την ολική πίεση στον πυθµένα του δοχείου. ∆ίνεται η ατµοσφαιρική πίεση pατµ=105 Pa, η πυκνότητα του νερού ρν=1.000 Kg/m3 και g=10m/s2 . Λύση: Σύµφωνα µε την αρχή του Pascal η πίεση που προέρχεται από το έµβολο καθώς και η ατµοσφαιρική πίεση διαδίδεται αµετάβλητη σε όλα τα σηµεία του υγρού που ισορροπεί. Έτσι η συνολική πίεση στον πυθµένα του δοχείου είναι το άθροισµα της ατµοσφαιρικής πίεσης, της πίεσης που οφείλεται στο βάρος του εµβόλου καθώς και της υδροστατικής πίεσης σε ύψος h. Όµως είναι pατµ=105 Pa. Ακόµη η πίεση που οφείλεται στο βάρος του εµβόλου είναι p= F A = w A = 4 800 10 10− ⋅ =8⋅105 Pa. Τέλος για την υδροστατική πίεση έχουµε pυδρ= ρν ⋅g⋅h ή pυδρ=1.000⋅10⋅0,15=1.500=0,015⋅105 Pa. Τελικά είναι p= pατµ+ w A +pυδρ= 105 +8⋅105 +0,015⋅105 =9,015⋅105 Pa. w h
- 304. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 303 2. Μέσα στο κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος υπάρχει υδράργυρος σε ισορροπία. Το έµβολο έχει βάρος w=400N και η εγκάρσια διατοµή του έχει εµβαδό Α=20cm2 .Τότε: α) Να υπολογίσετε την ολική πίεση στο σηµείο Β. β) Να υπολογίσετε την µανοµετρική πίεση στο ίδιο σηµείο. ∆ίνεται το ύψος h=0,1m, η ατµοσφαιρική πίεση pατµ=105 Pa, η πυκνότητα του υδραργύρου ρυδρ=13,6 g/cm3 και g=10m/s2 . Λύση: α) Η πυκνότητα του υδραργύρου σε µονάδες ∆ιεθνούς Συστήµατος Μονάδων είναι ρυδρ = 13,6g/cm3 =13,6⋅ -3 -6 3 10 Kg 10 m =13.600Kg/m3 . Σύµφωνα µε την αρχή του Pascal η πίεση που προέρχεται από το έµβολο καθώς και η ατµοσφαιρική πίεση διαδίδεται αµετάβλητη σε όλα τα σηµεία του υγρού που ισορροπεί. Έτσι η συνολική πίεση στο σηµείο Β θα είναι το άθροισµα της ατµοσφαιρικής πίεσης, της πίεσης που οφείλεται στο βάρος του εµβόλου καθώς και της υδροστατικής πίεσης σε ύψος h. Όµως είναι pατµ=105 Pa. Ακόµη η πίεση που οφείλεται στο βάρος του εµβόλου είναι p= F A = w A = 4 400 20 10− ⋅ =2⋅105 Pa. Τέλος για την υδροστατική πίεση έχουµε pυδρ= ρυδρ ⋅g⋅h ή pυδρ=13.600⋅10⋅0,1=0,136⋅105 Pa. Τελικά είναι pB= pατµ+ w A +pυδρ= 105 +2⋅105 +0,136⋅105 =3,136⋅105 Pa. β) H µανοµετρική πίεση δεν περιέχει την ατµοσφαιρική πίεση άρα είναι pB= w A +pυδρ= 2⋅105 +0,136⋅105 =2,136⋅105 Pa.
- 305. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 304 3. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται ένα υδραυλικός ανυψωτήρας (αρχή) που χρησιµοποιείται για την ανύψωση των αυτοκινήτων. Το µικρό έµβολο έχει διατοµή εµβαδού 4cm2 , ενώ το µεγάλο έχει διατοµή 200 cm2 . Τότε να υπολογιστεί η δύναµη που πρέπει να ασκηθεί στο µικρό έµβολο, ώστε το µεγάλο να ανυψώσει ένα αυτοκίνητο βάρους 10.000 Ν Λύση: Σύµφωνα µε την αρχή του Pascal έχουµε ότι η πίεση που προκαλείται από το µικρό έµβολο διαδίδεται αµετάβλητη σε όλα τα σηµεία του άρα είναι ίση µε την πίεση που ασκείται από το µεγάλο έµβολο. Άρα έχουµε p1=p2 ή 1 1 F A = 2 2 F A . Όµως η F1 είναι ίση µε το βάρος του αυτοκινήτου άρα έχουµε F1=104 N. Τότε από την προηγούµενη σχέση προκύπτει F2= 2 1 A A ⋅F1 ή F2= 4 200 ⋅104 ή F2= 10.000 50 ή F2=200Ν.
- 306. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 305 4. Στο διπλανό σχήµα το µεγάλο έµβολο έχει µάζα m=100Kg και έχει διατοµή εµβαδού A1=200 cm2 , ενώ το µικρό έµβολο δεν έχει µάζα και έχει διατοµή εµβαδού A2=20 cm2 . Το δοχείο είναι γεµάτο µε λάδι µε πυκνότητα ρλ=0,8g/cm3 . Τότε να υπολογιστεί η δύναµη που πρέπει να ασκηθεί στο µικρό έµβολο, ώστε το σύστηµα να ισορροπεί. ∆ίνεται Η=0,5 m και g=10m/s2 . Λύση: Το εµβαδό διατοµής του µεγάλου εµβόλου είναι Α1=200 cm2 = =200⋅10-4 m2 =0,02 m2 . Για το µικρό έµβολο είναι Α2=20 cm2 =20⋅10-4 = =0,002 m2 . Η πυκνότητα του λαδιού είναι ρλ=0,8g/cm3 = 800 Kg/m3 . Οι πιέσεις στα σηµεία Α και Β που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο είναι ίσες άρα ισχύει pA=pB. Η πίεση όµως στο σηµείο Α είναι αυτή που οφείλεται στο βάρος του µεγάλου εµβόλου. Άρα pA= 1 w A = 1 m g A ⋅ = 1.000 0,02 =50.000 Pa. Σύµφωνα µε την αρχή του Pascal έχουµε ότι η πίεση που προκαλείται από το µικρό έµβολο µεταφέρεται και στο σηµείο Β. Τότε η συνολική πίεση στο σηµείο Β είναι pΒ= 2 F A +ρλ⋅g⋅H= F 0,002 +800⋅10⋅0,5= F 0,002 +4.000 Pa. Την ατµοσφαιρική πίεση δε τη λάβαµε υπόψη µας αφού είναι η ίδια και στα δυο έµβολα. Τελικά έχουµε pA=pB ή 50.000= F 0,002 +4.000 ή F 0,002 =46.000 ή F=46.000⋅0,002 ή F=92N.
- 307. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 306 1) Το κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος περιέχει λάδι σε ύψος h=40cm. Το έµβολο έχει συνολικό βάρος w=50N και η εγκάρσια διατοµή του είναι Α=250cm2 . Τότε να υπολογιστούν, α) Η ολική πίεση στο σηµείο Α σε βάθος h1=10cm και β) Η υδροστατική πίεση στον πυθµένα του δοχείου. ∆ίνεται η πυκνότητα του λαδιού ρλ=0,8 g/cm3 η ατµοσφαιρική πίεση patm=105 Pa και g=10m/s2 . 2) Το κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος περιέχει αέριο οξυγόνο. Το έµβολο έχει µάζα m=5Kg και αρχικά ισορροπεί. α) Πόση είναι η πίεση του οξυγόνου µέσα στο δοχείο; β) Αν ασκήσουµε εξωτερικά µια κατακόρυφη δύναµη προς τα κάτω πάνω στο έµβολο F=150N τότε ο όγκος του αερίου ελαττώνεται και το έµβολο ισορροπεί σε µια καινούργια θέση. Πόση γίνεται τότε η πίεση του αερίου µέσα στο δοχείο; ∆ίνεται η ατµοσφαιρική πίεση patm=105 Pa το εµβαδό του εµβόλου Α=10- 4 m2 και g=10m/s2 . w A B h h 1 w F
- 308. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 307 3) Το κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος περιέχει νερό. α) Αν εξασκήσουµε οριζόντια δύναµη F=200N, τότε να υπολογιστεί η ολική πίεση στον πυθµένα του δοχείου. β) Πόση είναι η δύναµη που ασκείται στον πυθµένα του δοχείου; ∆ίνεται το εµβαδό του εµβόλου Α=200cm2 , και η ατµοσφαιρική πίεση patm=105 Pa. 4) Μέσα στο κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος υπάρχει υδράργυρος σε ισορροπία. Το ύψος του υδραργύρου µέσα στο δοχείο είναι h=10 cm. Το έµβολο έχει βάρος w=200N και η εγκάρσια διατοµή του έχει εµβαδό Α=300cm2 .Αν εξασκήσουµε στο έµβολο εξωτερικά µία δύναµη F=100N όπως φαίνεται στο σχήµα τότε να υπολογίσετε την ολική δύναµη στον πυθµένα του δοχείου. ∆ίνεται η ατµοσφαιρική πίεση pατµ=105 Pa, η πυκνότητα του υδραργύρου ρυδρ=13.600 Kg/m3 και g=10m/s2 . 5) Στο υδραυλικό πιεστήριο του σχήµατος στο µικρό έµβολο ασκούµε δύναµη F1=240N. Αν το εµβαδό του µικρού εµβόλου του πιεστηρίου είναι Α1=300cm2 και του µεγάλου είναι Α2=0,12m2 , τότε α) Να δείξετε ότι η πίεση στα σηµεία Α και Β θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό, β) Να υπολογίσετε το µέτρο της δύναµης F2 που θα ασκήσει το υγρό στο µεγάλο έµβολο, F F 1 2 F h F
- 309. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 308 γ) Να υπολογίσετε το έργο της δύναµης F1 και της F2 αν το µικρό έµβολο µετατοπιστεί κατά ∆x1=10cm. Πόσο θα µετατοπιστεί τότε το µεγάλο έµβολο; *** Η ερώτηση να απαντηθεί αφού διδαχτεί η έννοια του έργου W στο επόµενο κεφάλαιο. 6) Μέσα σ’ ένα κυλινδρικό δοχείο βρίσκεται σε ισορροπία νερό σε ύψος h1=20cm και λάδι πάνω από το νερό σε ύψος h2=10cm , όπως φαίνεται στο σχήµα. Τότε να υπολογίσετε την ολική πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια των δυο υγρών καθώς και στον πυθµένα του δοχείου. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1g/cm3 , η πυκνότητα του λαδιού ρλ=0,8 g/cm3 η ατµοσφαιρική πίεση patm=105 Pa και g=10m/s2 . 7) Στο υδραυλικό σύστηµα φρένων του σχήµατος η επιφάνεια του µικρού εµβόλου (εκεί που πιέζει το πόδι µας) είναι τέσσερις φορές µικρότερη από την επιφάνεια των σιαγόνων (µεγάλο έµβολο) που βρίσκεται στη ρόδα του αυτοκινήτου. Αν το πόδι µας πιέσει το µικρό έµβολο µε µια δύναµη F1= 10Ν, τότε να υπολογίσετε τη δύναµη F2 που θα ασκηθεί στη ρόδα από το σύστηµα πέδησης του αυτοκινήτου. F F F 1 2 2 2 1 λάδι νερό h h B A
- 310. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 309 8) Αν πιέσουµε το έµβολο του σχήµατος µε µια δύναµη F=10N, τότε να υπολογίσετε την αύξηση της πίεσης στα σηµεία Α, Β, Γ και ∆ του υγρού. Τι παρατηρείτε; Σε ποιο από τα παραπάνω σηµεία πιστεύετε ότι είναι µεγαλύτερη η συνολική πίεση και γιατί; ∆ικαιολογείστε την απάντησή σας. ∆ίνεται το εµβαδό του εµβόλου Α=10cm2 . A Γ ∆ B F
- 311. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 310 1. Στην αντλία του γρύλου που χρησιµοποιούµε για να ανυψώνουµε τα αυτοκίνητα, η πίεση που ασκούµε µε το ένα έµβολο στο υγρό της αντλίας µεταδίδεται αναλλοίωτη στο µεγάλο έµβολο. ( ) 2. Σύµφωνα µε την αρχή του Pascal η δύναµη που ασκούµε σ’ ένα υγρό που ισορροπεί, µεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σηµεία του. ( ) 3. Αν τα έµβολα του σχήµατος ισορροπούν τότε οι δυνάµεις F1 και F2 είναι ίσες. ( ) 1. Αν πιέσουµε το έµβολο του σχήµατος µε µια δύναµη F, τότε: α) η πίεση που ασκήσαµε στο υγρό µεταδόθηκε στα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ αναλλοίωτη. β) Η αύξηση της πίεσης είναι µεγαλύτερη στο σηµείο Γ γ) Η συνολική πίεση είναι µεγαλύτερη στο σηµείο ∆ A Γ ∆ B F F F 1 2
- 312. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 311 δ) δεν παρατηρούµε καµία µεταβολή της πίεσης. 2. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται ένα δοχείο το οποίο περιέχει νερό σε ισορροπία. Τότε η συνολική πίεση στο σηµείο Α στον πυθµένα του δοχείου είναι: α) όση και η ατµοσφαιρική δηλαδή pA= pατµοσφαιρική β) όση και η υδροστατική δηλαδή pA= ρ·g·h γ) όση και στην επιφάνεια του δοχείου δ) pA= pατµοσφαιρική + ρ·g·h 3. Το οριζόντιο κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος περιέχει νερό. Αν εξασκήσουµε µια οριζόντια δύναµη F, τότε η δύναµη που ασκείται στον πυθµένα του δοχείου είναι: α) ίση µε F β) µεγαλύτερη από F γ) µικρότερη από F δ) σταθερή και ίση µε τη δύναµη που οφείλεται στην ατµοσφαιρική πίεση. 1. Στην επιφάνεια ενός υγρού ασκείται η …………………….. πίεση. Σύµφωνα µε την αρχή του Πασκάλ, η πίεση αυτή ……………………… αµετάβλητη σε όλα τα σηµεία του υγρού. 2. Τα αεροζόλ περιέχουν ένα αέριο σε ……………. πίεση που ονοµάζεται προωθητικό. Η πίεση αυτή λόγω της αρχής του ……………..µεταφέρεται στο υγρό που περιέχει το αεροζόλ και το εξαναγκάζει να ανέβει στο σωλήνα και να εκτοξευθεί µε τη µορφή σταγονιδίων στην ατµόσφαιρα. F
- 313. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 312 4.5 Άνωση - Αρχή του Αρχιµήδη 1. Τι ονοµάζουµε άνωση; Κάθε υγρό ασκεί δύναµη στα σώµατα που βυθίζονται σε αυτό. Η δύναµη αυτή ονοµάζεται άνωση (Α). Άνωση ασκείται και στα σώµατα που βρίσκονται µέσα στον αέρα. 2. Γιατί το δυναµόµετρο δείχνει µικρότερη ένδειξη όταν η πέτρα είναι κρεµασµένη µέσα στο νερό; Το βάρος της πέτρας, δηλαδή η βαρυτική δύναµη που η γη ασκεί στην πέτρα, είναι η ίδια είτε η πέτρα βρίσκεται µέσα στο νερό είτε βρίσκεται στον αέρα. Το νερό ασκεί στην πέτρα µια δύναµη που την ονοµάσαµε άνωση: Α. Η ένδειξη του δυναµοµέτρου, Wφ, είναι ίση µε το µέτρο της δύναµης που ασκεί το δυναµόµετρο στην πέτρα. Η πέτρα ισορροπεί. Έτσι, όταν βρίσκεται στον αέρα, ισχύει: Wφ=W, ενώ όταν είναι βυθισµένη στο νερό: W'φ+A=W, δηλαδή W'φ=W-Α.
- 314. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 313 Εποµένως, η δύναµη που ασκεί το δυναµόµετρο στην πέτρα προκύπτει ως η συνισταµένη του βάρους της πέτρας (W), που έχει φορά προς τα κάτω και της άνωσης Α, που έχει φορά προς τα επάνω. 2. Πού οφείλεται η άνωση; Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα, θεωρούµε έναν κύβο βυθισµένο σε υγρό. Το υγρό ασκεί δύναµη στον κύβο η οποία οφείλεται στην υδροστατική πίεση. Έτσι, στην κάτω επιφάνεια του κύβου εµβαδού Α ασκείται δύναµη FA=pA.A και στην επάνω FB=pB.A. Σύµφωνα µε το νόµο της υδροστατικής, στην κάτω επιφάνεια του κύβου επικρατεί µεγαλύτερη πίεση απ' ό,τι στην επάνω, δηλαδή pA pB και εποµένως FAFB. Άρα η άνωση Α, οφείλεται στο βάρος του υγρού και κατά συνέπεια στη διαφορετική υδροστατική πίεση στο πάνω και το κάτω µέρος του σώµατος που είναι βυθισµένο στο υγρό. Η συνισταµένη όλων των δυνάµεων που ασκείται από το υγρό στον κύβο λόγω της υδροστατικής πίεσης έχει κατακόρυφη διεύθυνση και φορά προς τα πάνω. Η συνισταµένη αυτή δύναµη είναι η άνωση. Το κέντρο άνωσης, δηλαδή το σηµείο εφαρµογής της δύναµης της άνωσης είναι το κέντρο βάρους του εκτοπιζόµενου υγρού. Η κατανοµή όλων αυτών των δυνάµεων άρα η άνωση εξουδετερώνει το βάρος της υγρής µάζας που αντιστοιχεί στο χώρο που καταλάµβανε αυτή πριν βυθίσουµε τον κύβο. Άρα η άνωση οφείλει να έχει σηµείο εφαρµογής το κέντρο µάζας της υγρής εκτοπιζόµενης µάζας. Όµως προσοχή η συνισταµένη οριζόντια πλευρική δύναµη ασκείται στο κέντρο πίεσης, το οποίο βρίσκεται σε βάθος που είναι ίσο µε τα 2/3 του ύψους του βυθισµένου κοµµατιού του σώµατος.
- 315. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 314 3. Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η άνωση; Παίρνουµε δύο κοµµάτια πλαστελίνης ίδιου βάρους. Στο ένα δίνουµε το σχήµα κύβου και στο άλλο σφαίρας και τα βυθίζουµε πλήρως στο ίδιο υγρό στο ίδιο βάθος. Μετράµε την άνωση στα δυο σώµατα. Παρατηρούµε ότι είναι ίδια. Αντικαθιστούµε τη σφαίρα από πλαστελίνη µε µεταλλική ίδιας ακτίνας και µετράµε τις δύο ανώσεις. Παρατηρούµε ότι είναι ίδιες. Συµπεραίνουµε ότι η άνωση δεν εξαρτάται από το σχήµα και το βάρος του σώµατος που βυθίζεται. Βυθίζουµε το ένα από τα δύο σώµατα σε µεγαλύτερο βάθος και παρατηρούµε ότι η άνωση δε µεταβάλλεται. Συµπεραίνουµε ότι, εφόσον το σώµα είναι ολόκληρο βυθισµένο στο υγρό, η άνωση είναι ανεξάρτητη του βάθους στο οποίο βρίσκεται. Αν βυθίσουµε πλήρως τα δυο κοµµάτια πλαστελίνης σε δύο υγρά µε διαφορετικές πυκνότητες, ∆ιαπιστώνουµε ότι το υγρό µε τη µεγαλύτερη πυκνότητα ασκεί στην πλαστελίνη µεγαλύτερη άνωση. Έχεις αναρωτηθεί γιατί επιπλέουµε πιο εύκολα στη θάλασσα απ' ό,τι σε µια λίµνη ή πισίνα (µε «γλυκό» νερό); Μπορείς να απαντήσεις στο παραπάνω ερώτηµα, αν γνωρίζεις ότι το αλατόνερο (νερό της θάλασσας) έχει µεγαλύτερη πυκνότητα από το καθαρό νερό (νερό της λίµνης). Βυθίζουµε πλήρως στο ίδιο υγρό δύο κύβους, έναν αλουµινένιο και ένα σιδερένιο ίδιου βάρους. Ο κύβος από αλουµίνιο έχει µεγαλύτερο όγκο. ∆ιαπιστώνουµε ότι η άνωση που ασκείται στο σιδερένιο κύβο είναι µικρότερη, από αυτή που ασκείται στον αλουµινένιο. Βυθίζουµε σταδιακά τον έναν από τους κύβους στο υγρό. Συµπεραίνουµε ότι η άνωση αυξάνεται, όταν αυξάνεται ο όγκος του υγρού που εκτοπίζεται από το σώµα, που βυθίζουµε σ' αυτό.
- 316. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 315 ΠΡΟΣΟΧΗ: Άνωση δέχεται κάθε σώµα που βρίσκεται µέσα σε ένα υγρό, είτε είναι µερικά βυθισµένο σ’ αυτό, είτε είναι βυθισµένο εντελώς. 4.Να αναφέρετε την αρχή του Αρχιµήδη. Ο Αρχιµήδης συγκέντρωσε όλες τις παραπάνω παρατηρήσεις και διατύπωσε µια πρόταση που είναι γνωστή ως αρχή του Αρχιµήδη: Τα υγρά ασκούν δύναµη σε κάθε σώµα που βυθίζεται µέσα σε αυτά. Η δύναµη αυτή ονοµάζεται άνωση, είναι κατακόρυφη, µε φορά προς τα πάνω και το µέτρο της ισούται µε το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται από το σώµα. Η αρχή του Αρχιµήδη ισχύει και για σώµατα που βρίσκονται σε αέρια και διατυπώνεται στη γλώσσα των µαθηµατικών ως εξής: Όπου: Α: η άνωση που ασκείται σε σώµα βυθισµένο σε υγρό (ή αέριο) πυκνότητας ρ και V βυθισµένο:ο όγκος (ή το µέρος του όγκου) του σώµατος που είναι βυθισµένο στο υγρό (ή το αέριο).
- 317. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 316 Απόδειξη: Έστω ότι βυθίζουµε ολόκληρο το κυλινδρικό σώµα του σχήµατος µέσα στο δοχείο µε το υγρό. Τότε στο σώµα ασκούνται λόγω των υδροστατικών πιέσεων, οι εξής δυνάµεις: 1. Οι δυνάµεις στην παράπλευρη επιφάνεια που αλληλοαναιρούνται (έχουν συνισταµένη µηδέν) και 2. οι δυνάµεις F1 και F2 στις δυο βάσεις που η καθεµία έχει εµβαδό S, που δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις F1=p1⋅S ή F1=ρ⋅g⋅h1⋅S για την πάνω βάση και παρόµοια για την κάτω βάση F2=p2⋅S ή F2=ρ⋅g⋅h2⋅S. Η συνισταµένη δύναµη των F1 και F2 είναι η άνωση Α που ασκείται από το υγρό στο βυθισµένο σώµα. Άρα έχουµε Α=F2-F1= F2=ρ⋅g⋅h2⋅S- ρ⋅g⋅h1⋅S= ρ⋅g⋅(h2-h1)⋅S. Όµως h2-h1 είναι το ύψος του κυλινδρικού σώµατος και τότε ⋅(h2-h1)⋅S είναι ο όγκος του σώµατος που εδώ είναι ολόκληρο βυθισµένο στο υγρό. Άρα έχουµε V=(h2-h1)⋅S. Τελικά είναι Α= ρ⋅g⋅(h2-h1)⋅S= ρ⋅g⋅V, όπου ρ είναι η πυκνότητα του υγρού και V είναι ο όγκος του σώµατος που είναι βυθισµένο στο υγρό. Για το βάρος του εκτοπιζόµενου (από το σώµα που βυθίζεται) υγρού ισχύει η σχέση w=mg. Όµως η πυκνότητα του υγρού είναι ρ= m V ή m=ρ⋅V,όπου V είναι ο όγκος του υγρού που εκτοπίζεται . Όµως αυτός ο όγκος είναι ακριβώς ίσος µε τον όγκο του σώµατος που βυθίζεται στο υγρό. ∆ηλαδή το σώµα «σπρώχνει» για να βυθιστεί τόσο όγκο ακριβώς από το υγρό, όσο είναι και ο όγκος του που βυθίζεται στο υγρό. Έτσι στην παραπάνω σχέση µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το V του υγρού είναι ίσο µε τον όγκο του σώµατος που βυθίστηκε. Άρα w= ρ⋅V⋅g. Τότε όµως η άνωση είναι ακριβώς ίση µε το βάρος του υγρού που εκτοπίστηκε από το σώµα, δηλαδή ισχύει Α=w= ρ⋅V⋅g. h h F F 1 1 2 2
- 318. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 317 Πειραµατική απόδειξη της Αρχής του Αρχιµήδη: Από το άγκιστρο του δυναµόµετρου κρεµάµε ένα σώµα (π.χ µια πέτρα) και µετράµε το βάρος της π.χ 6Ν. Κατόπιν βυθίζουµε την πέτρα στο νερό και βρίσκουµε ότι η ένδειξη του δυναµόµετρου ελαττώνεται και γίνεται έστω 4Ν. Άρα η άνωση είναι 6-4=2Ν. Συλλέγουµε το νερό που εκτοπίστηκε σ’ ένα δοχείο και το ζυγίζουµε. Βρίσκουµε τότε ότι το βάρος του εκτοπιζόµενου νερού είναι w=2Ν. ∆ηλαδή βρήκαµε ότι η άνωση είναι ίση µε το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται. Αντίδραση στερεού βυθισµένου εντός υγρού. Όταν ένα στερεό σώµα βυθιστεί ολόκληρο ή κατά ένα µέρος του µέσα σε ένα υγρό τότε δέχεται από αυτό µια κατακόρυφη δύναµη προς τα πάνω την άνωση. Τότε όµως σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Newton (αξίωµα δράσης – αντίδρασης ) και το σώµα ασκεί στο υγρό µια ίση και αντίθετη δύναµη. Έτσι για παράδειγµα αν βυθίσουµε αργά το δάχτυλό µας µέσα σε ποτήρι µε νερό που βρίσκεται πάνω σε µια ζυγαριά προσέχοντας να µην αγγίξουµε τα τοιχώµατα του ποτηριού τότε η ένδειξη της ζυγαριάς θα αυξηθεί, δηλαδή θα δούµε τότε τη ζυγαριά να δείχνει µια µεγαλύτερη ένδειξη, τόση όση είναι και η άνωση που δέχεται το χέρι µας. Στην παραπάνω εικόνα η ένδειξη της ζυγαριάς είναι σε g. Παρατηρούµε πως αρχικά η συνολική µάζα πάνω στη ζυγαριά είναι 290 g ενώ
- 319. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 318 στη συνέχεια όταν βυθίζουµε το δάχτυλό µας γίνεται 300g. Αυτό σηµαίνει ότι αρχικά η δύναµη F που ασκείται στη ζυγαριά (ένδειξη της ζυγαριάς) είναι F=w=m⋅g=0,29⋅10=2,9N. Στη συνέχεια όταν βυθίσουµε το δάχτυλό µας η ένδειξη της ζυγαριάς αντιστοιχεί σε µάζα 300g δηλαδή είναι F=0,3⋅10=3Ν. Όµως είναι F=w+A ή Α=F-w=3-2,9=0,1N. Άρα η άνωση που δέχεται το δάχτυλό µας είναι Α=0,1Ν. Ο Αρχιµήδης ήταν διάσηµος Έλληνας σοφός που έζησε στις Συρακούσες γύρω στο 250π.χ. Μελέτησε τους µοχλούς («δός µοι πα στω και ταν γαν κινήσω»), βρήκε την ισότητα µεταξύ της επιφάνειας µιας σφαίρας και της παράπλευρης επιφάνειας του περιγεγραµµένου κυλίνδρου, την τιµή του αριθµού π κ.λπ. Ο τύραννος των Συρακουσών Ιέρων ανάθεσε στον Αρχιµήδη να βρει, αν σε χρυσό στεφάνι είχε γίνει νοθεία µε άργυρο. Το πρόβληµα αυτό το έλυσε απ’ τις διαφορές του ειδικού βάρους των δυο µετάλλων. Λέγεται ότι, όταν διαπίστωσε την ισχύ της οµώνυµης αρχής, ενώ βρισκόταν µέσα στο λουτρό, βγήκε στους δρόµους φωνάζοντας «Εύρηκα! Εύρηκα!». 4.6 Πλεύση 1. Πότε ένα σώµα βυθίζεται και πότε επιπλέει; Η σπουδαιότερη από τις εφαρµογές της ανώσεως είναι η πλεύση των σωµάτων. Ας θεωρήσουµε ένα σώµα το οποίο είναι ολόκληρο βυθισµένο σ' ένα υγρό. Στο σώµα ασκούνται δύο δυνάµεις. Το βάρος του και η µέγιστη άνωση. Το βάρος τείνει να κινήσει το σώµα προς τον πυθµένα, ενώ η άνωση προς την επιφάνεια. Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις: 1. Το βάρος (w) του σώµατος να είναι µεγαλύτερο από την άνωση (Α). Τότε η φορά της συνισταµένης δύναµης είναι προς τον πυθµένα. Το σώµα βυθίζεται. Αυτό συµβαίνει, όταν η πυκνότητα του σώµατος είναι µεγαλύτερη από την πυκνότητα του υγρού: WA, ή m·g ρυγρούV·g, ή ρσώµατος·V·g ρυγρούV·g ή ρσώµατος ρυγρού
- 320. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 319 2. Η άνωση (Α) είναι ακριβώς ίση µε το βάρος του σώµατος. Τότε το σώµα διατηρείται σε σταθερό βάθος και αιωρείται, δηλαδή ούτε βυθίζεται, ούτε αναδύεται. Αυτό συµβαίνει όταν: W=A, ή m·g=ρυγρούV·g, ή ρσώµατος·V·g=ρυγρούV·g ή ρσώµατος = ρυγρού 3. Η µέγιστη άνωση (Α) είναι µεγαλύτερη από το βάρος (w) του σώµατος. Τότε η φορά της συνισταµένης δύναµης είναι προς την επιφάνεια. Το σώµα κινείται προς την επιφάνεια και ένα µέρος του αναδύεται. Αυτό συµβαίνει όταν: WA, ή m·gρυγρούV·g, ή ρσώµατος·V·gρυγρούV·g ή ρσώµατος ρυγρού Καθώς µειώνεται όγκος του σώµατος που είναι βυθισµένο στο υγρό, η άνωση που δέχεται ελαττώνεται. Σε κάποια θέση του σώµατος η άνωση (Α') εξισώνεται µε το βάρος του σώµατος. Τότε, το σώµα επιπλέει: Α'= W, Συνθήκη πλεύσης Για να προβλέψουµε αν ένα σώµα επιπλέει ή βυθίζεται σ' ένα υγρό, συγκρίνουµε: α) τη µέγιστη άνωση µε το βάρος ή β) τις πυκνότητες του σώµατος και του υγρού. Ένα σώµα επιπλέει όταν: ρσώµατος ≤ ≤ ≤ ≤ ρυγρού
- 321. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 320 Σύµφωνα µε τη συνθήκη πλεύσης, αν αυξηθεί το βάρος ενός σώµατος που επιπλέει σε υγρό, θα πρέπει να αυξηθεί και η άνωση. Εποµένως, το σώµα θα πρέπει να βυθιστεί περισσότερο στο υγρό. Αν θέλετε να επιπλέετε πιο εύκολα στο νερό, πρέπει να µειώσετε την πυκνότητά σας. Πώς; Αυξάνοντας τον όγκο ή µειώνοντας τη µάζα του σώµατος σας. Επειδή είναι ιδιαίτερα δύσκολο να µειώσετε τη µάζα, χρησιµοποιείτε τα σωσίβια για να αυξήσετε τον όγκο σας. Τα σωσίβια έχουν µικρή µάζα και µεγάλο όγκο. Έτσι, όταν τα φοράµε, η «µέση» πυκνότητα του σώµατος µας µειώνεται και επιπλέουµε ευκολότερα. Ο σίδηρος έχει µεγαλύτερη πυκνότητα από το νερό. Έτσι, µια συµπαγής σιδερένια σφαίρα βυθίζεται στο νερό. Ωστόσο, µια κοίλη (κούφια) σιδερένια σφαίρα ίδιας µάζας µπορεί να επιπλέει. Η κοίλη σφαίρα µε την ίδια µάζα έχει µεγαλύτερο όγκο κι εποµένως µικρότερη «µέση» πυκνότητα. Για τον ίδιο λόγο τα πλοία που είναι κατασκευασµένα από λαµαρίνες επιπλέουν στη θάλασσα.
- 322. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 321 1.Μέσα σ’ ένα δοχείο µε νερό βυθίζουµε εξ’ ολοκλήρου ένα χάλκινο και ένα αλουµινένιο σώµα του ίδιου όγκου V=400cm3 . α) Να υπολογίσετε την άνωση που δέχεται κάθε σώµα όταν είναι βυθισµένο ολόκληρο µέσα στο νερό. Πόση είναι η άνωση αν βυθίσουµε το µισό όγκο του κάθε σώµατος; β) Να συγκρίνετε την άνωση που δέχεται κάθε σώµα αν το καθένα έχει µάζα 400 g και το βυθίσουµε ολόκληρο µέσα στο νερό. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1g/cm3 , η πυκνότητα του χαλκού ρχ=8,9g/cm3 , η πυκνότητα του αλουµινίου ραλ=2,7g/cm3 και g=10m/s2 . Λύση: α) Ο όγκος του σώµατος που είναι βυθισµένος στο νερό δηλαδή ο όγκος του εκτοπιζόµενου υγρού είναι και στις δυο περιπτώσεις ο ίδιος. Άρα τα δυο σώµατα δέχονται την ίδια άνωση όταν τα βυθίσουµε ολόκληρα µέσα στο νερό. Είναι ρν=1g/cm3 ή ρν=1.000 Κg/m3 . Ακόµη είναι V=400cm3 ή V=400⋅10-6 =4⋅10-4 m3 . Η άνωση λοιπόν και στις δυο περιπτώσεις είναι Α=ρν⋅g⋅V ή Α=1.000⋅10⋅4⋅10-4 ή Α=4Ν. Αν βυθίσουµε το µισό όγκο του κάθε σώµατος τότε θα έχουµε Α΄= ρν⋅g⋅ V 2 = A 2 =2Ν. β) Από τον τύπο της πυκνότητας για το χάλκινο σώµα έχουµε ότι ρχ= χ χ m V ή Vχ= χ χ m ρ . Παρόµοια για το αλουµινένιο σώµα είναι Vαλ= αλ αλ m ρ .
- 323. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 322 Τότε η άνωση που δέχεται το χάλκινο σώµα είναι Αχ= ρν⋅g⋅Vχ (1) και η άνωση που δέχεται το αλουµινένιο σώµα είναι Ααλ= ρν⋅g⋅Vαλ (2). Αν διαιρέσουµε κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι χ αλ Α Α = χ αλ V V ή χ αλ Α Α = χ χ αλ αλ m ρ m ρ ή χ αλ Α Α = χ αλ αλ χ m ρ m ρ ⋅ ⋅ . Αφού mχ=mαλ προκύπτει χ αλ Α Α = αλ χ ρ ρ ή χ αλ Α Α = 2,7 8,9 ή Ααλ=3,3⋅Αχ. ∆ηλαδή το αλουµινένιο σώµα δέχεται 3,3 φορές µεγαλύτερη άνωση από το χάλκινο ίσης µάζας σώµα. 2. Βυθίζουµε µια σιδερένια σφαίρα όγκου V=80cm3 στο νερό και στη συνέχεια στο οινόπνευµα. Να υπολογίσετε την άνωση που δέχεται σε κάθε περίπτωση η σφαίρα. Πόσο % διαφέρουν αυτές; ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1 g/cm3 , η πυκνότητα του οινοπνεύµατος ροιν=0,8 g/cm3 και g=10m/s2 . Λύση: Είναι ρν=1g/cm3 ή ρν=1.000 Κg/m3 και ροιν=0,8 g/cm3 ή ροιν=800 Κg/m3 Ακόµη ο όγκος του σώµατος είναι V=80cm3 ή V=80⋅10-6 =8⋅10-5 m3 . Η άνωση που δέχεται η σφαίρα όταν βυθίζεται ολόκληρη µέσα στο νερό είναι Αν=ρν⋅g⋅V ή Α=1.000⋅10⋅8⋅10-5 ή Αν=0,8Ν. Παρόµοια η άνωση που δέχεται η σφαίρα όταν βυθίζεται ολόκληρη µέσα στο οινόπνευµα είναι Αοιν=ροιν⋅g⋅V ή Α=800⋅10⋅8⋅10-5 ή Αοιν=0,64Ν. Παρατηρούµε πως ν οιν Α Α = 0,8 0,64 =1,25. Άρα η άνωση που δέχεται η σφαίρα από το νερό είναι κατά 25% µεγαλύτερη από αυτή που δέχεται όταν βυθίζεται ολόκληρη µέσα στο οινόπνευµα.
- 324. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 323 3. Ένας ξύλινος κύβος µάζας m=400g και πυκνότητας ρξ=0,5 g/cm3 επιπλέει στο νερό. α) Να βρείτε τον όγκο του ξύλινου κύβου, β) Να υπολογίσετε τον όγκο του σώµατος που είναι βυθισµένος στο νερό, γ) Να βρείτε το % ποσοστό του όγκου του σώµατος που είναι πάνω από το νερό. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1g/cm3 και g=10m/s2 . Λύση: α) Από τον τύπο της πυκνότητας για το σώµα έχουµε ότι ρξ= m V ή V= ξ m ρ ή V= 400 0,5 =800 cm3 . β) Το σώµα ισορροπεί οπότε από τη συνθήκη ισορροπίας και για την κατακόρυφη διεύθυνση ισχύει: w=A ή m·g=ρν⋅V΄·g, ή ρξ·V·g=ρν⋅V΄·g όπου V΄ είναι ο όγκος του ξύλου που είναι βυθισµένος στο νερό. Τότε έχουµε V΄= ξ ν ρ ρ ⋅V ή V΄=0,5⋅800 ή V΄=400 cm3 . γ) Όταν το ξύλινο σώµα επιπλέει τότε µόνο ο µισός του όγκος είναι βυθισµένος στο νερό ενώ ο υπόλοιπος βρίσκεται έξω από το νερό. ∆ηλαδή το 50% του σώµατος βρίσκεται πάνω από το νερό. 4. Ένα ξύλινο σώµα είναι βυθισµένο κατά το 60% του όγκου του µέσα στο νερό και ισορροπεί. Αν η πυκνότητα του νερού είναι ρν=1.000 Κg/m3 , τότε να υπολογίσετε την πυκνότητα του ξύλου. Λύση:
- 325. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 324 Το σώµα ισορροπεί οπότε από τη συνθήκη ισορροπίας και για την κατακόρυφη διεύθυνση ισχύει: A=w ή ρν⋅V΄·g= m·g, ή ρν⋅V΄·g = ρξ·V·g όπου V΄=0,6V είναι ο όγκος του ξύλου που είναι βυθισµένος στο νερό. Τότε έχουµε ρξ= ρν⋅ V V ′ ή ρξ= 1.000⋅ 0,6V V / / ή ρξ= 1.000⋅0,6 ή ρξ= 600 Kg/m3 . 5. Ένα σώµα αναρτάται από ένα λεπτό αβαρές νήµα σ’ ένα δυναµόµετρο και τότε στον αέρα ζυγίζει 12Ν. Αν το βυθίσουµε ολόκληρο µέσα στο νερό τότε η ένδειξη του δυναµόµετρου γίνεται 10Ν. α) Να σχεδιάσετε τις δυνάµεις που δέχεται το σώµα στον αέρα και στο νερό, β) Να υπολογιστεί η τάση του νήµατος όταν το σώµα βρίσκεται έξω από το νερό, γ) Να υπολογιστεί η άνωση που δέχεται το σώµα µέσα στο νερό, δ) Να υπολογιστούν ο όγκος και η πυκνότητα του σώµατος, ε) Αν η άνωση που δέχεται το σώµα όταν το βυθίσουµε ολόκληρο µέσα στο οινόπνευµα είναι 1,6Ν, τότε να υπολογίσετε την πυκνότητα του οινοπνεύµατος. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1.000 Κg/m3 και g=10m/s2 . Λύση: α) Όταν το σώµα βρίσκεται έξω από το νερό οι δυνάµεις που ασκούνται σε αυτό είναι το βάρος του w και η τάση του νήµατος T. Μέσα στο νερό όµως ασκούνται το βάρος του w που είναι σταθερό και αµετάβλητο η καινούργια τάση του νήµατος T΄ καθώς και η άνωση Α. Το µέτρο της τάσης του νήµατος είναι κάθε φορά και η ένδειξη του δυναµόµετρου. β) Έξω από το νερό και από τη συνθήκη ισορροπίας στον κατακόρυφο άξονα έχουµε ΣF=0 ή T-w=0 ή T=w=12N. w T w T΄ A
- 326. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 325 γ) Μέσα στο νερό όµως η ένδειξη του δυναµόµετρου άρα η τάση του νήµατος είναι T΄=10Ν. Τότε από τη συνθήκη ισορροπίας στον κατακόρυφο άξονα έχουµε ΣF=0 ή T΄+Α-w=0 ή Α=w-T΄=12-10=2N. δ) Ο όγκος του σώµατος που είναι βυθισµένος στο νερό είναι ολόκληρος ο όγκος του σώµατος. Τότε για την άνωση έχουµε Α=ρν⋅g⋅V οπότε προκύπτει V= ν A ρ g ⋅ ή V= 2 1.000 10 ⋅ ή V=2⋅10-4 m3 ή V=200 cm3 . Για τη µάζα του σώµατος από τη σχέση w=m⋅g προκύπτει m= 12 10 =1,2Kg ή 1.200g. Από τον τύπο της πυκνότητας για το σώµα έχουµε ότι ρ= m V ή ρ= 1.200 200 ή . ρ=6 g/cm3 ή ρ=6.000 Kg/m3 . ε) Αν η άνωση που δέχεται το σώµα όταν το βυθίσουµε ολόκληρο µέσα στο οινόπνευµα είναι 1,6Ν, τότε για την άνωση έχουµε Α=ροιν⋅g⋅V οπότε προκύπτει ροιν= A V g ⋅ ή ροιν= 4 1,6 2 10 10 − ⋅ ⋅ ή ροιν= 1.600 2 =800 Kg/m3 ή ροιν=0,8g/cm3 . ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν το σώµα έχει µικρότερη πυκνότητα από το υγρό τότε δεν µπορεί να βυθιστεί ολόκληρο µέσα σε αυτό αλλά θα επιπλέει βυθισµένο µόνο κατά ένα µέρος του. 6. Ένα χρυσό αντικείµενο έχει µάζα 50g. Υπάρχει όµως η υποψία ότι ο χρυσός είναι αναµεµειγµένος µε ασήµι (άργυρο). Το σώµα αναρτάται από δυναµόµετρο και βυθίζεται ολόκληρο µέσα στο νερό και παρατηρούµε ότι η ένδειξη του δυναµόµετρου είναι 0,47Ν. Να υπολογίσετε τη µάζα του ασηµιού που περιέχεται στο αντικείµενο. Για τις πράξεις να θεωρήσετε ότι η πυκνότητα του χρυσού είναι ρχρ=20g/cm3 και η πυκνότητα του αργύρου είναι ραργ=10g/cm3 . ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1g/cm3 και g=10m/s2 . Λύση:
- 327. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 326 Για το βάρος του σώµατος ισχύει w=m⋅g=50⋅10-3 ⋅10=0,5N. Η διαφορά των ενδείξεων του δυναµόµετρου στον αέρα και στο νερό είναι η άνωση που δέχεται αυτό. Τότε είναι Α=0,5-0,47=0,03Ν. Όµως τότε για την άνωση έχουµε Α=ρν⋅g⋅V οπότε προκύπτει V= ν A ρ g ⋅ ή V= 0,03 1.000 10 ⋅ ή V=3⋅10-6 m3 ή V=3 cm3 . Όµως ο συνολικός όγκος V του αντικειµένου είναι V=Vχρ+Vαργ=3 cm3 (1). Από τον τύπο της πυκνότητας έχουµε ότι ρχρ= χρ χρ m V ή Vχρ= χρ χρ m ρ ή Vχρ= χρ m 20 cm3 . Τη µάζα θα τη µετράµε σε g. Παρόµοια για τον άργυρο έχουµε ότι ραργ= αργ αργ m V ή Vαργ= αργ αργ m ρ ή Vαργ= αργ m 10 cm3 . Από τη σχέση (1) προκύπτει τότε ότι χρ m 20 + αργ m 10 =3 ή mχρ+2mαργ=60 (2). Ακόµη για τη συνολική µάζα του αντικειµένου ισχύει m=50g ή mχρ+mαργ=50 ή mαργ=50- mχρ (3). Τότε η σχέση (2) µέσω της (3) γίνεται mχρ+2(50-mχρ )=60 ή mχρ+100-2mχρ=60 ή mχρ=40g. Τότε είναι mαργ=50- 40 ή mαργ=10g. Άρα η «νοθεία» ήταν 10g. 7. Ένα ξύλινο κυλινδρικό σώµα έχει ύψος h=10cm και ισορροπεί µε τον άξονά του κατακόρυφο µέσα σε λεκάνη µε νερό. Πόσο είναι τότε βυθισµένο το σώµα µέσα στο νερό; ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού είναι ρν=1g/cm3 , η πυκνότητα του ξύλου ρξ=0,6 g/cm3 και g=10m/s2 . Λύση: Αφού το σώµα ισορροπεί τότε από τη συνθήκη ισορροπίας και για την κατακόρυφη διεύθυνση ισχύει: A=w ή ρν⋅V΄· g = m· g ή ρν⋅V΄ = ρξ·V όπου V΄είναι ο όγκος του ξύλου που είναι βυθισµένος στο νερό και V είναι ο συνολικός όγκος του ξύλινου κυλινδρικού σώµατος. Γνωρίζουµε ότι ο όγκος κυλίνδρου δίνεται από τη σχέση V=h⋅S όπου h είναι το ύψος του και S είναι το εµβαδό της βάσης του. Άρα έχουµε ρν⋅V΄ = ρξ·V ή ρν⋅h΄⋅S = ρξ·h⋅S
- 328. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 327 ή ρν⋅h΄= ρξ·h ή h΄= ξ ν ρ ρ ·h ή h΄= 0,6 1 ·10 ή h΄=6 cm. 8. Ένα ξύλινο σώµα έχει όγκο V=500cm3 και επιπλέει στο νερό. Ποιος είναι ο όγκος του σώµατος που βρίσκεται έξω από το νερό; ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού είναι ρν=1g/cm3 , η πυκνότητα του ξύλου ρξ=0,7 g/cm3 και g=10m/s2 . Λύση: Από τη συνθήκη ισορροπίας του σώµατος ισχύει, A=w ή ρν⋅V΄· g = m· g ή ρν⋅V΄ = ρξ·V ή V΄= ξ ν ρ ρ ·V όπου V΄είναι ο όγκος του ξύλου που είναι βυθισµένος στο νερό και V είναι ο συνολικός όγκος του ξύλινου σώµατος. Τότε έχουµε V΄= 0,7 1 ·V ή V΄= 0,7·500 ή V΄= 350 cm3 . Άρα ο όγκος του σώµατος που βρίσκεται έξω από το νερό είναι 500-350=150 cm3 . 9. Ένα χάλκινο αντικείµενο µάζας m=80g αναρτάται από ένα δυναµόµετρο. Όταν βυθιστεί εξ’ ολοκλήρου µέσα σ’ ένα υγρό ζυγίζει 0,72Ν. Υπολογίστε την πυκνότητα του υγρού. ∆ίνεται ότι η πυκνότητα του χαλκού είναι ρχ=9 g/cm3 και g=10m/s2 . Λύση: Για το βάρος του σώµατος ισχύει η σχέση w=m⋅g οπότε προκύπτει w=80⋅10-3 ⋅10=0,8N. Η άνωση που δέχεται το σώµα δίνεται από τη διαφορά των δυο ενδείξεων του δυναµόµετρου άρα έχουµε Α=0,8-0,72=0,08Ν. Όµως η άνωση που δέχεται το σώµα όταν το βυθίσουµε ολόκληρο µέσα στο υγρό δίνεται από τη σχέση Α=ρυ⋅g⋅V. Για τον όγκο V του σώµατος ισχύει V= χ m ρ
- 329. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 328 οπότε προκύπτει Α=ρυ⋅g⋅ χ m ρ ή ρυ= χ A ρ m g ⋅ ⋅ ή ρυ= 0,08 9 0,08 10 ⋅ ⋅ ή ρυ= 9 10 =0,9 g/cm3 ή 900 Kg/m3 . 10. Η πυκνότητα του πάγου είναι ρπ=917 Κg/m3 . Ένα παγάκι επιπλέει µέσα σ’ ένα ποτήρι γεµάτο µε νερό. α) Να υπολογιστεί το κλάσµα του όγκου του πάγου που βρίσκεται πάνω από το νερό. β) Το παγάκι λιώνει. Θα µεταβληθεί η υδροστατική πίεση στον πάτο του ποτηριού; ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1.000 Κg/m3 . Λύση: α) Από τη συνθήκη ισορροπίας του σώµατος ισχύει, A=w ή ρν⋅V΄· g = m· g ή ρν⋅V΄ = ρπ·V ή V΄= π ν ρ ρ ·V όπου V΄είναι ο όγκος του πάγου που είναι βυθισµένος στο νερό και V είναι ο συνολικός όγκος που έχει το παγάκι. Τότε έχουµε V΄= 917 1.000 ·V ή V΄= 0,917V. Τότε ο όγκος του πάγου που βρίσκεται έξω από το νερό είναι Vέξω=V-V΄=V-0,917V =0,083V . Για το ποσοστό του πάγου που βρίσκεται έξω από το νερό έχουµε, α= V-V V ′ ⋅100%= 0,083V V ⋅100%=8,3%. β) Όταν το παγάκι ισορροπεί είναι Α=wπ ή ρν⋅g⋅V΄=mπ⋅g (1). Όµως όταν το παγάκι θα λιώσει τότε η µάζα του νερού που θα σχηµατιστεί θα είναι ίση µε τη µάζα που είχε αρχικά το παγάκι. Άρα ισχύει mπ=mν ή ρπ⋅V=ρν⋅Vν. Τότε η σχέση (1) γίνεται ρν⋅g⋅V΄=mν⋅g ή ρν⋅g⋅V΄= ρν⋅Vν⋅g ή V΄= Vν. ∆ηλαδή προκύπτει ότι το νερό που θα σχηµατιστεί από το λιώσιµο του πάγου θα έχει όγκο Vν, όσος ήταν και ο όγκος V΄ που είχε το βυθισµένο κοµµάτι από το παγάκι. Οπότε δε µεταβάλλεται ο συνολικός όγκος και άρα δεν ανεβαίνει η στάθµη του νερού w wπ A΄ A Ν Ν
- 330. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 329 µέσα στο ποτήρι. Άρα και η υδροστατική πίεση στον πάτο του ποτηριού παραµένει αµετάβλητη. Αλλιώς όπως φαίνεται στο σχήµα το δοχείο µε το νερό δέχεται µια δύναµη Α΄ που είναι η αντίδραση της άνωσης που ασκεί αυτό στο παγάκι. Έτσι η συνολική δύναµη που ασκείται στο ποτήρι είναι το συνολικό βάρος του ποτηριού µε το νερό w η Α΄ καθώς και η αντίδραση από την επιφάνεια στήριξης Ν. Τότε είναι Ν=w+A΄=w+ρν⋅g⋅V΄ (2), τότε βέβαια και η συνολική δύναµη στην επιφάνεια στήριξης θα είναι ίση και αντίθετη. Όταν το παγάκι λιώσει τότε η συνολική δύναµη στην επιφάνεια στήριξης δε θα αλλάξει και θα είναι Ν=w+wπ, όπου wπ είναι το βάρος που είχε το παγάκι. Τότε ισχύει Ν=w+mπ⋅g (3) Όµως η µάζα mπ που είχε αρχικά το παγάκι θα είναι ίση µε τη µάζα του νερού που σχηµατίστηκε όταν έλιωσε το παγάκι δηλαδή ισχύει mπ=mν ή ρπ⋅V=ρν⋅Vν (4). Τότε η σχέση (3) µε τη βοήθεια της (4) γίνεται Ν=w+ρν⋅Vν⋅g (5). Συγκρίνοντας τις σχέσεις (2) και (5) προκύπτει ότι V΄= Vν. ∆ηλαδή όπως και προηγουµένως προκύπτει ότι το νερό που θα σχηµατιστεί από το λιώσιµο του πάγου θα έχει όγκο Vν, όσος ήταν και ο όγκος V΄ που είχε το βυθισµένο κοµµάτι από το παγάκι και άρα δεν ανεβαίνει η στάθµη του νερού µέσα στο ποτήρι και άρα η υδροστατική πίεση στον πάτο του δε µεταβάλλεται. 11. Να υπολογιστεί ο όγκος που πρέπει να έχει ένα µεγάλο µπαλόνι γεµάτο µε αέριο Ήλιο πυκνότητας ρηλίου=0,18Kg/m3 αν θέλουµε να σηκώσει ένα σώµα µάζας m=2,24 Kg. ∆ίνεται η πυκνότητα του αέρα ραέρα=1,3 Κg/m3 . Λύση: Για να σηκώσει το µπαλόνι το ζητούµενο βάρος θα πρέπει η άνωση από τον αέρα να εξισορροπήσει το συνολικό βάρος (wολ) του µπαλονιού µε το αέριο Ήλιο και του σώµατος µάζας m. Από τη συνθήκη ισορροπίας ισχύει, A=wολ ή A=w1+w2 όπου w1=m⋅g και w2=mηλίου⋅g. Τότε προκύπτει ραέρα⋅g⋅V= m·g +mηλίου⋅g ή ραέρα⋅g⋅V= m·g +ρηλίου⋅g⋅V ή ραέρα⋅V= m+ρηλίου⋅V ή 1,3⋅V=2,24+0,18⋅V ή 1,12⋅V=2,24 ή V= 2,24 1,12 ή V=2m3 . ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Θεωρήσαµε ότι η µάζα του µπαλονιού είναι περίπου ίση µε τη µάζα του αερίου Ηλίου που περιέχει.
- 331. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 330 1. Ένα αλουµινένιο σώµα έχει µάζα m=54g. α) Να βρείτε τον όγκο του σώµατος. β) Στη συνέχεια το σώµα αναρτάται από ένα δυναµόµετρο µέσω ενός λεπτού και αβαρούς νήµατος. Να υπολογιστεί η τάση του νήµατος. γ) Να υπολογιστεί η τάση του νήµατος, όταν το σώµα βυθιστεί εξ’ ολοκλήρου µέσα στο νερό. ∆ίνεται ότι η πυκνότητα του νερού είναι ρν=1.000 Kg/m3 ,η πυκνότητα του αλουµινίου είναι ραλ=2.700 Kg/m3 και g=10m/s2 . 2. Μέσα σε αλατόνερο ισορροπεί βυθισµένο εξ’ ολοκλήρου ένα αβγό µάζας m=45g. Αν η πυκνότητα του αλατόνερου είναι ραλατ=1.200 Kg/m3 , τότε: α) Να υπολογιστεί ο όγκος του αβγού. β) Να υπολογίσετε τη δύναµη της άνωσης που δέχεται το αβγό από το αλατόνερο και να τη συγκρίνετε µε το βάρος του. γ) Αν προσθέσουµε επιπλέον αλάτι και η πυκνότητα του αλατόνερου γίνει 1,5 Kg/m3 , τότε να βρεθεί ο όγκος του αβγού που βρίσκεται έξω απ’ το αλατόνερο. δ) Αν αφήσουµε το αβγό σε ποτήρι µε καθαρό νερό τότε να εξηγήσετε γιατί αυτό βυθίζεται. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1.000 Kg/m3 και g=10m/s2 . 3. Η µέση πυκνότητα του ανθρώπου είναι ρανθρ=1,04 g/cm3 . α) Αν ένας άντρας µάζας m=83,2 Kg βυθιστεί ολόκληρος σε µια πισίνα µε καθαρό νερό τότε να υπολογιστεί το βάρος του καθώς και η άνωση που δέχεται από το νερό. β) Αν ο άνθρωπος αυτός µπει σε πισίνα µε αλατόνερο, πυκνότητας ραλατ=1,2Kg/m3 , τότε να υπολογιστεί το ποσοστό του όγκου του σώµατός του που βρίσκεται έξω από το νερό. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1 g/cm3 και g=10m/s2 . 4. Ένα κυλινδρικό σώµα µάζας m=54g και πυκνότητας ρ=2,7 g/cm3 , βυθίζεται εξ’ ολοκλήρου µέσα σε ένα υγρό και τότε ζυγίζεται και βρίσκεται ίσο µε w΄=0,38Ν. Να υπολογίσετε την άνωση που δέχεται αυτό καθώς και την πυκνότητα του υγρού. ∆ίνεται g=10m/s2 .
- 332. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 331 5. Ένα ξύλινο αντικείµενο πυκνότητας ρξ=0,8 g/cm3 και όγκου V=300cm3 , ισορροπεί βυθισµένο κατά το ένα µέρος του σε νερό και κατά το υπόλοιπο µέρος του σε λάδι. Αν δίνεται ότι η πυκνότητα του νερού είναι ρν=1 g/cm3 και ότι η πυκνότητα του λαδιού είναι ρλ=0,6 g/cm3 , τότε να βρεθεί ο όγκος του σώµατος που είναι βυθισµένος στο νερό και στο λάδι αντίστοιχα. 6. Μια σιδερένια σφαίρα όγκου 50 cm3 ζυγίζει στον αέρα 3,2 Ν και όταν βυθιστεί ολόκληρη στο νερό ζυγίζει 2,8Ν. Τότε: α) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση της βαρύτητας g. β) Να υπολογιστεί η µάζα και η πυκνότητα της σφαίρας. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1.000 Kg/m3 . 7. Ένα σώµα αναρτάται από ένα λεπτό αβαρές νήµα σ’ ένα δυναµόµετρο και τότε στον αέρα ζυγίζει 7Ν. Αν το βυθίσουµε ολόκληρο µέσα στο νερό τότε η ένδειξη του δυναµόµετρου γίνεται 4,5Ν. α) Να σχεδιάσετε τις δυνάµεις που δέχεται το σώµα στον αέρα και στο νερό. β) Να υπολογιστεί η τάση του νήµατος όταν το σώµα βρίσκεται έξω από το νερό. γ) Να υπολογιστεί η άνωση που δέχεται το σώµα µέσα στο νερό. δ) Να υπολογιστούν ο όγκος και η πυκνότητα του σώµατος. ε) Να υπολογιστεί το βάρος του νερού που εκτοπίζεται όταν βυθιστεί µέσα σ’ αυτό το σώµα. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=1.000 Κg/m3 και g=10m/s2 .
- 333. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 332 1. Η δύναµη που µας εµποδίζει να βυθίσουµε ένα µπαλόνι στο νερό είναι η άνωση. ( ) 2. Άνωση δεν ασκείται στα σώµατα που βρίσκονται µέσα στον αέρα. ( ) 3. Μια πέτρα που είναι βυθισµένη µέσα στο νερό έχει µικρότερο βάρος απ' ό,τι όταν βρίσκεται έξω από αυτό. ( ) 4. ∆υο διαφορετικά σώµατα έχουν την ίδια µάζα και βυθίζονται εξ’ ολοκλήρου στο νερό. Τότε η άνωση είναι η ίδια και για τα δυο σώµατα. ( ) 5. Ένας ξύλινος κύβος επιπλέει στο νερό. Τότε η πυκνότητά του είναι ίση ή µικρότερη από την πυκνότητα του νερού. ( ) 6. Ένα σώµα αναρτάται από ένα λεπτό αβαρές νήµα σ’ ένα δυναµόµετρο και στον αέρα ζυγίζει 8Ν. Αν το βυθίσουµε ολόκληρο µέσα στο νερό, τότε η ένδειξη του δυναµόµετρου γίνεται, 7Ν, άρα η άνωση που δέχεται το σώµα είναι 1Ν ( ). 7. Η άνωση εξαρτάται από το σχήµα και το βάρος του σώµατος που βυθίζεται. ( ) 8. Στη σελήνη ένα σώµα δέχεται µικρότερη άνωση απ’ ότι στη Γη. ( ) 9. Μια συµπαγής και µια κούφια σιδερένια σφαίρα, έχουν τον ίδιο όγκο. Τότε η συµπαγής σφαίρα βυθίζεται γιατί έχει µεγαλύτερο βάρος. ( )
- 334. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 333 1. Μέσα σ’ ένα δοχείο µε νερό βυθίζουµε ένα χάλκινο και ένα αλουµινένιο σώµα του ίδιου όγκου V. Τότε η άνωση που δέχεται κάθε σώµα όταν είναι βυθισµένο ολόκληρο µέσα στο νερό είναι: α) η ίδια και για τα δυο σώµατα αφού έχουν τον ίδιο όγκο. β) µεγαλύτερη στο χάλκινο αντικείµενο επειδή έχει µεγαλύτερη πυκνότητα. γ) µεγαλύτερη στο αλουµινένιο αντικείµενο επειδή έχει µικρότερη πυκνότητα. δ) δεν µπορούµε να συγκρίνουµε τις δυο δυνάµεις γιατί δεν γνωρίζουµε τις µάζες των δυο σωµάτων. 2. Ένα σώµα αναρτάται από ένα λεπτό αβαρές νήµα σ’ ένα δυναµόµετρο και τότε στον αέρα ζυγίζει 7Ν. Αν το βυθίσουµε ολόκληρο µέσα στο νερό, τότε η ένδειξη του δυναµόµετρου γίνεται, α) 10Ν β) 7Ν γ) 5Ν δ) 0 Ν. 3. Ένα παγάκι επιπλέει µέσα σ’ ένα ποτήρι γεµάτο µε νερό. Το παγάκι λιώνει. Τότε: α) αυξάνεται η στάθµη του νερού µέσα στο ποτήρι, β) αυξάνεται υδροστατική πίεση στον πάτο του ποτηριού, γ) δεν αυξάνεται ούτε η στάθµη του νερού µέσα στο ποτήρι, αλλά ούτε και η υδροστατική πίεση στον πάτο του ποτηριού, δ) η µάζα του νερού που θα σχηµατιστεί είναι ίση µε τη µάζα που είχε αρχικά το νερό µέσα στο ποτήρι. 4. Όταν βυθίσουµε το ίδιο σώµα σε µεγαλύτερο βάθος, µέσα σε ένα υγρό τότε παρατηρούµε ότι η α) άνωση δε µεταβάλλεται, β) άνωση αυξάνεται,
- 335. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 334 γ) άνωση µειώνεται, δ) άνωση µετά από κάποιο βάθος µηδενίζεται. 5. Το υγρό µε τη µεγαλύτερη πυκνότητα ασκεί στο ίδιο σώµα που είναι βυθισµένο ολόκληρο µέσα σ’ αυτό, α) µεγαλύτερη άνωση β) µικρότερη άνωση γ) την ίδια άνωση ανεξάρτητα από το υγρό. δ) άνωση που εξαρτάται από τον όγκο του υγρού. 6. Η αρχή του Αρχιµήδη διατυπώνεται στη γλώσσα των µαθηµατικών µε τη σχέση: α) A=wσώµατος β) Α= ρυγρού ⋅g⋅hσώµατος γ) Α= ρg V δ) A=ρυγρού · g· Vβυθισµένο 7. Μια ξύλινη και µια σιδερένια σφαίρα έχουν την ίδια µάζα. α) Η ξύλινη σφαίρα επιπλέει γιατί έχει µικρότερη πυκνότητα από το νερό. β) Η σιδερένια σφαίρα βυθίζεται γιατί έχει µεγαλύτερο βάρος γ) Η ξύλινη σφαίρα επιπλέει γιατί έχει µεγαλύτερη πυκνότητα από το νερό. δ) Η σιδερένια σφαίρα βυθίζεται γιατί δέχεται µικρότερη άνωση από την ξύλινη.
- 336. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 335 1. Αν βυθίσουµε µια µεταλλική σφαίρα πρώτα στο νερό και στη συνέχεια στο οινόπνευµα τότε η άνωση που δέχεται σε κάθε περίπτωση είναι ……………………………… 2. Αν βυθίσουµε ένα σώµα µέσα σε ένα υγρό τότε το ……………………… του παραµένει σταθερό, ενώ η ένδειξη του δυναµόµετρου ………………………………. 3. Η συνισταµένη όλων των δυνάµεων που ασκούνται από ένα υγρό σ’ ένα σώµα βυθισµένο µέσα σ’ αυτό λόγω της υδροστατικής πίεσης, έχει …………………………διεύθυνση και φορά προς τα πάνω. Η συνισταµένη αυτή δύναµη είναι η ………………………… και οφείλεται στο ………………. του υγρού. 4. Όταν αρχίζουµε να βυθίζουµε ένα σώµα µέσα σε ένα υγρό, τότε η άνωση αρχικά…………………………... Στη συνέχεια όταν ολόκληρο το σώµα βυθιστεί µέσα στο υγρό η άνωση γίνεται …………………….. ανεξάρτητη από το ……………………. στο οποίο βρίσκεται το σώµα. 5. Σύµφωνα µε την Αρχή του Αρχιµήδη τα υγρά ασκούν δύναµη σε κάθε σώµα που βυθίζεται µέσα σε αυτά. Η δύναµη αυτή ονοµάζεται άνωση, και ισούται µε το του υγρού που εκτοπίζεται από το σώµα.
- 337. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 336 6. Το αερόπλοιο δεν πέφτει, γιατί ο αέρας ασκεί σ' αυτό …………………..που εξουδετερώνει το βάρος του. Το πλοίο δε βυθίζεται, γιατί το νερό ασκεί σε αυτό ……………………… που εξουδετερώνει το βάρος του.
- 338. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 337 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Μηχανική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Ενέργεια 5.1 Έργο και Ενέργεια 1. Τι ονοµάζουµε ενέργεια (Ε); Η ρίζα της λέξης είναι αρχαιοελληνική από το εν (µέσα) και έργο, δηλαδή σηµαίνει την εσωτερική ικανότητα κάποιου να παράγει έργο. Άρα ο ορισµός της ενέργειας (E) γίνεται µέσω του έργου. Άρα µπορούµε να πούµε ότι ένα σώµα περιέχει ενέργεια όταν µπορεί να παράγει έργο (W). Ενέργεια (E) ενός σώµατος λέγεται το έργο (W), που µπορεί να δώσει ή να παράγει αυτό το σώµα. Γενικά λοιπόν ένα σώµα περικλείει ενέργεια (E) όταν µπορεί να παράγει κάποιο έργο (W). Λέµε ακόµη πως όταν η ενέργεια µεταφέρεται από ένα σώµα σε άλλο, ή µετατρέπεται από µια µορφή σε κάποια άλλη, µέσω του έργου προκαλεί µεταβολές. Άρα ο υπολογισµός της ενέργειας που µετατρέπεται από µια µορφή σε άλλη ή µεταφέρεται από ένα σώµα σε άλλο διευκολύνεται µε την εισαγωγή ενός νέου φυσικού µεγέθους: του έργου. Γενικά, η ύπαρξη της ενέργειας εκδηλώνεται, όταν αυτή µετατρέπεται από µια µορφή σε άλλη. 2. Τι εκφράζει το έργο (W) µιας δύναµης; Πότε µια δύναµη παράγει έργο; Το έργο (W) µιας δύναµης εκφράζει τη µεταφορά ενέργειας (E) από ένα σώµα σε κάποιο άλλο ή τη µετατροπή της από µια µορφή σ' άλλη. Η µεταφερόµενη ενέργεια (E) ονοµάζεται έργο (W).
- 339. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 338 F ∆x=x Μια δύναµη παράγει έργο (W) όταν µετατοπίζει το σηµείο εφαρµογής της κατά τη διεύθυνσή της. Σήµερα, µε την έννοια του έργου περιγράφουµε τη µεταφορά ή τη µετατροπή της ενέργειας κατά τη δράση µιας δύναµης. ∆ηλαδή χρησιµοποιούµε το φυσικό µέγεθος έργο για να εκφράσουµε την ποσότητα ενέργειας που µεταφέρεται από κάποιο σώµα σ’ ένα άλλο. Το 1829 ο Γάλλος φυσικός Κοριόλις αποκάλεσε το γινόµενο της δύναµης µε τη µετατόπιση, έργο. Όταν ένας αθλητής ανυψώνει οποιοδήποτε σώµα, ασκείται σ' αυτό µια δύναµη τουλάχιστον ίση µε το βάρος του. Λέµε ότι η δύναµη του αθλητή παράγει έργο πάνω στο σώµα, όσο το σώµα ανεβαίνει. Έτσι ενέργεια µεταφέρεται µέσω του έργου της δύναµης του αθλητή, από τον αθλητή στο σώµα. Όταν ο αθλητής κρατάει ακίνητη το σώµα σε κάποιο ύψος, η δύναµη δεν παράγει έργο. Πάντως και στις δυο περιπτώσεις ο αθλητής κουράζεται. 3. Πως ορίζεται το έργο W µιας σταθερής δύναµης F, που έχει τη διεύθυνση και τη φορά της µετατόπισης; Το γινόµενο της δύναµης επί την µετατόπιση του σηµείου εφαρµογής της ονοµάζεται έργο της δύναµης και δίνεται από τη σχέση: W=F⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆x Το έργο W είναι µονόµετρο µέγεθος και η µονάδα µέτρησης του έργου και κατά συνέπεια της ενέργειας στο S.I. είναι το 1Ν⋅ ⋅ ⋅ ⋅m=1Joule. 4. Πότε µια δύναµη παράγει έργο 1J; Έργο 1 Joule παράγει µια δύναµη 1Ν που ασκείται σε σώµα το οποίο µετατοπίζεται κατά 1m, κατά την κατεύθυνση της δύναµης. 1J= 1N⋅ ⋅ ⋅ ⋅m
- 340. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 339 w h F ∆x=x T w FN ή N Ακόµη ισχύει 1KJ=103 J και 1MJ=106 J. 5. Πότε το έργο µιας δύναµης είναι θετικό ή παραγόµενο και πότε αρνητικό ή καταναλισκόµενο; Όταν η δύναµη F έχει τη διεύθυνση και τη φορά της µετατόπισης x, τότε το έργο της δύναµης είναι θετικό W0 αλλιώς το έργο είναι αρνητικό W0. Επίσης αν η δύναµη είναι κάθετη στη µετατόπιση είναι W=0 δηλαδή: Μια δύναµη που είναι κάθετη στην µετατόπιση δεν παράγει έργο. Γενικά λοιπόν το έργο µιας δύναµης µπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή µηδέν. Είναι θετικό: όταν η δύναµη F έχει την ίδια κατεύθυνση µε τη µετατόπιση ∆x του σώµατος. Είναι αρνητικό: όταν η δύναµη έχει αντίθετη κατεύθυνση από τη µετατόπιση του σώµατος. ∆ηλαδή, όταν η δύναµη αντιτίθεται στην κίνηση, όπως π.χ συµβαίνει µε τη δύναµη της τριβής T. Είναι µηδέν: όταν η διεύθυνση της δύναµης είναι κάθετη στη διεύθυνση της µετατόπισης. Για παράδειγµα, για µια οριζόντια κίνηση το έργο του βάρους w ή της δύναµης στήριξης FN ισούται µε το µηδέν. Η δύναµη F παράγει έργο, ενώ οι FN και w, όχι. 6. Πως υπολογίζεται το έργο τους βάρους ενός σώµατος που κινείται κοντά στη γη; α) Κατά την κατακόρυφη κίνηση ενός αντικειµένου προς τα κάτω το έργο του βάρους για µετατόπιση h θα είναι: Ww=w⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆x=w⋅ ⋅ ⋅ ⋅h=m⋅ ⋅ ⋅ ⋅g⋅ ⋅ ⋅ ⋅h
- 341. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 340 w ∆x w h Προσέξτε ότι το έργο είναι θετικό γιατί η δύναµη και η µετατόπιση έχουν την ίδια φορά. β)Κατά την κατακόρυφη κίνηση προς τα πάνω το έργο του βάρους θα είναι: Ww=-w⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆x=-w⋅ ⋅ ⋅ ⋅h=-m⋅ ⋅ ⋅ ⋅g⋅ ⋅ ⋅ ⋅h Προσέξτε ότι το έργο είναι αρνητικό γιατί η δύναµη και η µετατόπιση έχουν αντίθετη φορά. γ)Για οποιαδήποτε οριζόντια µετατόπιση το έργο του βάρους είναι µηδέν µια και τότε το βάρος είναι κάθετο στην µετατόπιση. Έτσι είναι: W=0
- 342. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 341 7. Πόσο είναι το έργο σταθερής δύναµης όταν η δύναµη και η µετατόπιση δεν είναι παράλληλες; Έστω ότι η δύναµη σχηµατίζει γωνία φ µε το οριζόντιο επίπεδο. Τότε όπως φαίνεται στο σχήµα µπορώ να αναλύσω τη δύναµη F σε δυο συνιστώσες την µια παράλληλη στην µετατόπιση και την άλλη κάθετη σ’ αυτή. Εποµένως WF=WF1+WF2 .Όµως γνωρίζουµε ότι µια δύναµη κάθετη στην µετατόπιση δεν παράγει έργο άρα WF2=0 και τελικά προκύπτει WF=WF1=F1.∆x . Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ ισχύει συνφ= OA OB = 1 F F ή F1=F⋅συνφ. Τελικά για το έργο της δύναµης προκύπτει η σχέση WF=F1.∆x ή WF= F⋅∆x⋅συνφ. Πολλές φορές επειδή ∆x=x γράφουµε και WF= F⋅ ⋅ ⋅ ⋅x⋅ ⋅ ⋅ ⋅συνφ. Αν η F1 έχει την ίδια φορά µε την µετατόπιση x τότε WF0 αλλιώς WF0. Όπως αναφέραµε όταν η δύναµη F έχει τη διεύθυνση και τη φορά της µετατόπισης x, τότε W0 αλλιώς W0. Αυτό για τη γωνία φ που σχηµατίζει η δύναµη µε τη µετατόπιση σηµαίνει πως: Επίσης παρατηρούµε πως αν φ=900 δηλαδή αν η δύναµη είναι κάθετη στη µετατόπιση είναι συν900 =0 και άρα και W=0 δηλαδή πράγµατι αν µια δύναµη είναι κάθετη στην µετατόπιση δεν παράγει έργο. Παραδείγµατα δύναµης που το έργο τους είναι µηδέν επειδή είναι κάθετες στη µετατόπιση είναι: • Η Τάση (T) του νήµατος όταν ένα σώµα που είναι δεµένο σε νήµα κάνει κυκλική κίνηση, το βάρος ενός δορυφόρου που κάνει κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη κ.λπ. F F F ∆x=x 1 2 φ O A B Αν 0≤ ≤ ≤ ≤φ 900 τότε είναι συνφ0 και άρα W0 , ενώ αν 900 φ≤ ≤ ≤ ≤1800 τότε είναι συνφ0 και άρα W0.
- 343. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 342 x F Τ φ • Η κάθετη αντίδραση (Ν), που δέχεται ένα σώµα όταν κινείται σε µια επιφάνεια από την επιφάνεια. 8. Τι γνωρίζετε για το έργο της τριβής ολίσθησης; Το έργο της τριβής ολίσθησης για την κίνηση του σώµατος που φαίνεται στο σχήµα είναι, WT=T⋅x⋅συνφ ή WT=T⋅x⋅συν1800 . Όµως ισχύει συν1800 =-1, άρα προκύπτει ότι: WT=-T⋅ ⋅ ⋅ ⋅x . Παρατηρούµε λοιπόν ότι το έργο της τριβής είναι αρνητικό. Τo αρνητικό έργο, όπως είναι της τριβής, εκφράζει την ενέργεια που αφαιρείται από το σώµα. Ειδικότερα το έργο της τριβής εκφράζει την ενέργεια που µετατράπηκε τελικά σε θερµότητα. 9. Πόσο έργο παράγεται από το βάρος ενός σώµατος, όταν αυτό κατεβαίνει σ’ ένα κεκλιµένο ή πλάγιο επίπεδο; Το βάρος w του σώµατος που κινείται στο κεκλιµένο επίπεδο, είναι κατακόρυφο µε φορά προς τα κάτω. Για να υπολογίσουµε το έργο του βάρους του, πρέπει να το αναλύσουµε σε δύο συνιστώσες: µια κάθετη στο κεκλιµένο επίπεδο (w1), άρα κάθετη και στη µετατόπιση ∆x του σώµατος και µια παράλληλη σε αυτό (w2), άρα παράλληλη στη µετατόπιση ∆x. Τότε είναι Ww1=0 γιατί η συνιστώσα WW1 του βάρους είναι κάθετη στο κεκλιµένο επίπεδο δηλαδή είναι κάθετη στη µετατόπιση του σώµατος και άρα δεν παράγει κάποιο έργο. Ακόµη για τη συνιστώσα του βάρους WW2 την παράλληλη στο κεκλιµένο επίπεδο m φ φ 1 2
- 344. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 343 δηλαδή την παράλληλη στη µετατόπιση ∆x του σώµατος έχουµε: Ww2= w2 · ∆x. Οπότε, σύµφωνα µε τα προηγούµενα, το έργο (Ww) του βάρους του σώµατος µάζας m κατά την κίνησή του στο κεκλιµένο επίπεδο προκύπτει: Ww = Ww2= w2 · ∆x. Ακόµη όµως για τις συνιστώσες του βάρους ισχύει w1=w⋅συνφ και w2=w⋅ηµφ, άρα προκύπτει και Ww =w·∆x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ηµφ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Στο συγκεκριµένο παράδειγµα θεωρήσαµε το κεκλιµένο επίπεδο λείο οπότε δεν υπάρχει τριβή. Η κάθετη αντίδραση Ν είναι κάθετη στη µετατόπιση οπότε και αυτή δεν παράγει κάποιο έργο ή WN=0. Στην περίπτωση που υπάρχει και τριβή το έργο της τριβής είναι αρνητικό µια και η τριβή έχει αντίθετη φορά από τη µετατόπιση ∆x. Άρα είναι WT= -T⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆x Παρατηρείστε ότι η φορά της τριβής αλλάζει ώστε να είναι πάντα αντίθετη στη µετατόπιση ∆x. Άρα το έργο της τριβής ολίσθησης είναι πάντα αρνητικό! Κατά την άνοδο του σώµατος στο κεκλιµένο επίπεδο η συνιστώσα του βάρους w2 έχει αντίθετη φορά από τη µετατόπιση ∆x άρα το έργο του βάρους κατά την άνοδο του σώµατος είναι αρνητικό. Έτσι κατά την άνοδο του σώµατος στο κεκλιµένο επίπεδο έχουµε: Ww = Ww2= -w2 · ∆x m φ φ 1 2 m φ φ 1 2 m φ φ 1 2
- 345. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 344 mg h1 h2 x Α1 Α2 h Για µια τυχαία τέλος µετακίνηση ενός σώµατος µεταξύ των θέσεων Α1 και Α2 µπορεί να θεωρηθεί ότι πραγµατοποιείται µε στοιχειώδεις οριζόντιες και κατακόρυφες µετατοπίσεις οπότε το έργο του βάρους υπολογίζεται ως άθροισµα των αντίστοιχων στοιχειωδών έργων. Σε όλες όµως τις στοιχειώδεις οριζόντιες µετατοπίσεις το έργο του βάρους θα είναι µηδέν αφού βλέπουµε ότι το βάρος είναι κάθετο στη µετατόπιση. Έτσι έργο για το βάρος θα έχουµε µόνο για τις κατακόρυφες µετατοπίσεις που είναι παράλληλες στο βάρος. Το άθροισµα όµως όλων των κατακόρυφων µετατοπίσεων όπως φαίνεται στο σχήµα είναι h1-h2. Έτσι για ο του βάρους θα έχουµε: W=w⋅(h1-h2)=m⋅g⋅(h1-h2)=m⋅g⋅h. Άρα για το έργο του βάρους µας ενδιαφέρει µόνο η κατακόρυφη µετατόπιση µεταξύ της αρχικής και τελικής θέσης του σώµατος και όχι η συνολική του µετατόπιση. ∆εν µας ενδιαφέρει δηλαδή η διαδροµή που ακολουθεί το σώµα. 10. Να δείξετε ότι το έργο του βάρους του σώµατος του σχήµατος, για µετατόπιση του σώµατος από το σηµείο Α στο σηµείο Β δεν εξαρτάται από είδος της διαδροµής (τη µετατόπιση AB uuu r ) αλλά µόνο από τη διαφορά ύψους µεταξύ αρχικής και τελικής θέσης (κατακόρυφη µετατόπιση AΓ uuu r ). Έστω ότι αφήνουµε το σώµα να ολισθήσει κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου (ΑΒ). Τότε το έργο του βάρους του σώµατος είναι: Ww(ΑΒ) = =Ww1= w1·∆x= w1·(ΑΒ). Ακόµη όµως φ
- 346. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 345 για τις συνιστώσες του βάρους ισχύει w2=w⋅συνφ και w1=w⋅ηµφ, όπου φ= · ΑΒΓ είναι η γωνία κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου. Άρα προκύπτει και Ww(ΑΒ) =w·(ΑΒ)⋅ηµφ. Ακόµη στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΒ έχουµε ηµφ= ( ) ( ) ΑΓ ΑΒ ή (ΑΒ)⋅ηµφ=(ΑΓ), άρα προκύπτει Ww(ΑΒ) =w·(ΑΓ) ή Ww(ΑΒ) =w·h. Έστω τώρα ότι αφήνουµε το σώµα να πέσει κατακόρυφα από το Α στο Γ και στη συνέχεια το σπρώχνουµε πάνω στο οριζόντιο επίπεδο από το Γ έως το Β. Τότε το έργο του βάρους Ww(AΓ)=w⋅(AΓ)=w⋅h. Ακόµη το έργο του βάρους για τη µετατόπιση του σώµατος από το Γ στο Β είναι Ww(ΓΒ)=0 γιατί το βάρος w είναι κάθετο στη µετατόπιση ΓΒ. Τότε προκύπτει Ww(ΑΓΒ)= Ww(AΓ)+ Ww(ΓΒ)= Ww(AΓ)= w⋅(AΓ)=w⋅h. ∆ηλαδή πράγµατι όποια διαδροµή και να ακολουθήσουµε για να πάµε από το σηµείο Α στο σηµείο Β το έργο του βάρους είναι Ww=w⋅h ανεξάρτητο της διαδροµής. Στην πραγµατικότητα όποια από τις διαδροµές (1), (2) και (3) και να ακολουθήσει το σώµα για να πάει από το Α στο Β το έργο του βάρους είναι πάντα Ww=w⋅h ανεξάρτητο της διαδροµής. Ακόµη προσέξτε ότι αφού το Ww(ΑΒ) =w·h τότε το έργο του βάρους από το Β στο Α θα είναι Ww(ΒΑ) =-w·h. Άρα το συνολικό έργο Ww(ΑΓΒΑ) = Ww(ΑΓΒ)+ Ww(ΒΑ) = =w·h -w⋅h=0. ∆ηλαδή το έργο του βάρους κατά µήκος µιας κλειστής διαδροµής (ΑΓΒΑ) είναι ίσο µε µηδέν. Τέτοιες δυνάµεις ονοµάζονται συντηρητικές. (1) (2) (3) φ h
- 347. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 346 F x ∆x1 ∆x2 ∆x3 1 2 3 Ε1 Ε2 F1 F2 F x E=F.x 11. Τι γνωρίζετε για το έργο µεταβλητής δύναµης; • Αν η δύναµη που µετακινεί το σηµείο εφαρµογής της κατά τη διεύθυνσή της είναι σταθερή κατά µέτρο και κατεύθυνση, τότε το έργο της είπαµε πως είναι F⋅x. Μια τέτοια δύναµη σε άξονες δύναµη – µετατόπιση παριστάνεται από µια ευθεία παράλληλη στον άξονα των µετατοπίσεων, όπως φαίνεται στο σχήµα. Τότε όµως το εµβαδό του σκιασµένου παραλληλογράµµου είναι F⋅ ⋅ ⋅ ⋅x δηλαδή είναι ίσο αριθµητικά µε το έργο της δύναµης. • Αν η δύναµη όµως έχει σταθερή κατεύθυνση αλλά το µέτρο της µεταβάλλεται, (είναι µεταβλητή), τότε η γραφική της παράσταση σε άξονες δύναµης – µετατόπισης, είναι µια τυχαία καµπύλη γραµµή. Τότε παίρνουµε τις πολύ µικρές µετατοπίσεις ∆x1, ∆x2,…. κ.λπ. Για αυτές τις πολύ µικρές µετατοπίσεις µπορούµε να θεωρήσουµε τη δύναµη σταθερή κατά µέτρο. Έτσι έχουµε W1=F1⋅∆x1, W2=F2⋅∆x2,…….. και Wολ= F1⋅∆x1+ F2⋅∆x2+…………… ∆ηλαδή το συνολικό έργο ισούται µε το γραµµοσκιασµένο εµβαδό (1+2+3). Παρατηρούµε όµως τότε ότι µας περισσεύουν τα µικρά τριγωνάκια του σχήµατος. Αν όµως τα ∆x γίνουν πολύ µικρά, δηλαδή αν τα ∆x τείνουν στο 0, τότε και τα εµβαδά Ε1 , Ε2,………..τείνουν στο µηδέν. Τελικά προκύπτει τότε, ότι το συνολικό εµβαδό που περικλείεται από την καµπύλη της δύναµης και τον άξονα των µετατοπίσεων x, θα µας δίνει το συνολικό έργο της δύναµης. Συµπερασµατικά λοιπόν, αν η δύναµη δεν είναι σταθερή, δεν µπορούµε να χρησιµοποιούµε για τον υπολογισµό του έργου της τη σχέση F⋅ ⋅ ⋅ ⋅x, αλλά θα κάνουµε πάντα γραφική παράσταση.
- 348. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 347 F x Fελ Χαρακτηριστικό παράδειγµα µεταβλητής δύναµης είναι η δύναµη του ελατηρίου, για το µέτρο της οποίας σύµφωνα µε τον κανόνα του Hook έχουµε F=K⋅ ⋅ ⋅ ⋅x. 10. Να υπολογίσετε το έργο της δύναµης ελατηρίου WFελ. Έστω ότι η δύναµη που παραµορφώνει το ελατήριο είναι F. Αν το ελατήριο επιµηκύνεται µε σταθερή ταχύτητα τότε ισχύει F=Fελ. Όµως από το νόµο του Hook για το µέτρο της δύναµης του ελατηρίου ισχύει Fελ=Κ⋅x ,άρα και F=K⋅x. Για τον υπολογισµό του έργου της F δεν µπορούµε να καταφύγουµε στο γινόµενο δύναµη επί µετατόπιση, γιατί το µέτρο της δύναµης δεν παραµένει σταθερό. Έτσι θα χρειαστεί να κάνουµε γραφική παράσταση, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Το έργο της δύναµης F για επιµήκυνση του ελατηρίου από τη θέση x1 στη θέση x2 (όπου τα x1 και x2 είναι η αρχική και τελική επιµήκυνση του ελατηρίου) θα είναι ίσο µε το εµβαδό Εµβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆. Έχουµε λοιπόν: WF= Εµβαδό = B+β 2 υ ⋅ = 2 1 Κ x +Κ x 2 ⋅ ⋅ ⋅(x2-x1) ή WF= 2 1 ⋅K⋅(x2 2 -x1 2 ) ή WF= 2 1 K⋅x2 2 - 2 1 K⋅x1 2 . Η σχέση αυτή ισχύει τόσο κατά την επιµήκυνση όσο και κατά τη συµπίεσή του. Βέβαια το έργο της δύναµης του ελατηρίου θα είναι αντίθετο απ’ αυτό της F. Άρα WFελ=- WF ή WFελ= 2 1 Kx1 2 - 2 1 Kx2 2 . Αν το ελατήριο βρίσκεται αρχικά στη θέση φυσικού του µήκους άρα είναι x1=0, τότε το έργο της δύναµης F που επιµηκύνει το ελατήριο για επιµήκυνση x2=x, θα είναι WF= 2 1 Kx2 . x1 x2 Kx1 Kx2 F x Α Β Γ ∆
- 349. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 348 1. Να υπολογιστεί το έργο µιας δύναµης µέτρου F=10N, η οποία µετατοπίζει το σηµείο εφαρµογής της κατά τη διεύθυνσή της κατά ∆x = 4m. Λύση: Η δύναµη F έχει τη φορά της µετατόπισης ∆x, οπότε το έργο της δίνεται από τη σχέση W=F⋅∆x και είναι W=10⋅4=40J 2. Σώµα µάζας m=5Kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο µε την επίδραση οριζόντιας δύναµης F=200N µε σταθερή ταχύτητα υ. Να υπολογιστούν α) Όλες οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα και β) τα έργα όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα για µετατόπισή του κατά ∆x=15m. ∆ίνεται g=10m/s2 . Λύση: αΑ) Στο σώµα ασκούνται οι παρακάτω δυνάµεις: Το βάρος w του σώµατος µε w=m⋅g=50N, υ m F F ∆x T T N x ∆ N F F υ
- 350. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 349 που είναι κατακόρυφο µε φορά προς τα κάτω. Η κάθετη αντίδραση N, από το οριζόντιο επίπεδο στήριξης που είναι κατακόρυφη µε φορά προς τα πάνω Η οριζόντια δύναµη F και Η τριβή ολίσθησης T, από το οριζόντιο επίπεδο µε φορά αντίθετη της κίνησης. Από την ισορροπία του σώµατος στην κατακόρυφη διεύθυνση έχουµε Fολy=0 ή Ν=w=50N. Ακόµη από την ισορροπία το σώµατος (κινείται µε σταθερή ταχύτητα) στον οριζόντιο άξονα έχουµε Fολx=0 ή F=T=200N. β) Επειδή η δύναµη του βάρους w και της κάθετης αντίδρασης N είναι κάθετες στη µετατόπιση ∆x του σώµατος γι’ αυτό το έργο τους είναι µηδέν δηλαδή ισχύει Ww=WN=0. Για το έργο της δύναµης F ισχύει WF=F⋅∆x=200⋅15=3000 J. Επειδή η δύναµη της τριβής T έχει αντίθετη φορά από τη µετατόπιση ∆x το έργο της είναι αρνητικό ή καταναλισκόµενο και ισχύει WT= - T⋅∆x =-200⋅15=-3000 J. 3. Σώµα µάζας m=2Kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο µε την επίδραση οριζόντιας δύναµης F=30N. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος και επιπέδου είναι µ=0,2, να υπολογιστούν τα έργα όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα για µετατόπισή του κατά ∆x=0,5m. Έχουµε ισορροπία του σώµατος σ’ αυτή την περίπτωση; ∆ίνεται g=10m/s2 . Λύση: Το βάρος του σώµατος είναι w=m⋅g=20N. Από την ισορροπία του σώµατος στην κατακόρυφη διεύθυνση έχουµε Fολy=0 ή Ν=w=50N. Ακόµη γνωρίζουµε ότι για την τριβή ολίσθησης ισχύει T=µ⋅N=0,2⋅50=10Ν. T T N x ∆ N m F F
- 351. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 350 F Fx Fy N F T φ w Η δύναµη του βάρους w και η δύναµη της κάθετης αντίδρασης N είναι κάθετες στη µετατόπιση ∆x του σώµατος γι’ αυτό το έργο τους είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει Ww=0 και WN=0. Για το έργο της δύναµης F ισχύει WF=F⋅∆x=30⋅0,5=15 J. Για το έργο της τριβής ισχύει WT= - T⋅∆x =-10⋅0,5=-5 J. Παρατηρούµε ότι στον οριζόντιο άξονα είναι Fολx=F-T=30-10=20N≠0. Άρα το σώµα δεν ισορροπεί αλλά η ταχύτητά του µεταβάλλεται. 4. Σώµα µάζας m=10Kg κινείται µε σταθερή ταχύτητα σε οριζόντιο επίπεδο µε την επίδραση σταθερής δύναµης F=60N, που σχηµατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ=600 . Να υπολογιστούν τα έργα όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα για µετατόπιση του σώµατος στο οριζόντιο επίπεδο κατά ∆x=20m. ∆ίνεται συν600 = 1 2 . Λύση: Για τον υπολογισµό του έργου της δύναµης F ισχύει WF=F⋅∆x⋅συνφ=60⋅20⋅ 1 2 =600 J. Ακόµη από την ισορροπία το σώµατος (κινείται µε σταθερή ταχύτητα) στον οριζόντιο άξονα έχουµε Fολx=0 ή T=Fx=F⋅συνφ=60⋅ 1 2 =30N. Τότε για το έργο της τριβής ισχύει WT= - T⋅∆x =-30⋅20=-600 J. Η Fy συνιστώσα της δύναµης F δεν παράγει έργο γιατί είναι κάθετη στη µετατόπιση. Για τον ίδιο λόγο είναι µηδέν και το έργο του βάρους w αλλά και το έργο της κάθετης αντίδρασης Ν. ∆ηλαδή είναι και WN=Ww=0. Παρατηρείστε πως όταν το σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα το αλγεβρικό άθροισµα των έργων όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα είναι µηδέν. Αλλιώς αν είναι διάφορο του µηδενός, η ταχύτητα του σώµατος θα µεταβάλλεται.
- 352. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 351 w wy wx N F T υ φ φ 5. Σώµα βάρους w=200N, ολισθαίνει προς τα κάτω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=300 µε σταθερή ταχύτητα. α) Να υπολογιστούν όλες οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα και β) Να υπολογιστούν τα έργα όλων των δυνάµεων για µετατόπιση του σώµατος κατά ∆x=5m, πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. ∆ίνονται ηµ300 = 1 2 και συν300 = 3 2 . Λύση: α) Το σώµα ισορροπεί. Από τη συνθήκη ισορροπίας στον άξονα τον κάθετο στο κεκλιµένο επίπεδο έχουµε Fολy=0 ή Ν=wy. Για τη συνιστώσα wy του βάρους του σώµατος ισχύει wy=w⋅συνφ=200⋅συν300 =200⋅ 3 2 =100⋅ 3 Ν. Οπότε προκύπτει και N=100⋅ 3 Ν. Ακόµη από τη συνθήκη ισορροπίας στον άξονα τον παράλληλο στο κεκλιµένο επίπεδο έχουµε Fολx=0 ή wx=T. Για τη συνιστώσα wx του βάρους του σώµατος ισχύει wx=w⋅ηµφ=200⋅ηµ300 =200⋅ 1 2 =100Ν. Άρα και T=100N. β) Επειδή η κάθετη αντίδραση Ν και η συνιστώσα wy του βάρους είναι κάθετες στη µετατόπιση του σώµατος για αυτό το έργο τους είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει WN=Wwy=0. Για το έργο της συνιστώσας wx του βάρους είναι Wwx=wx⋅∆x= w⋅ηµφ⋅∆x= =100⋅5 =500 J. Άρα µπορούµε να πούµε ότι για κίνηση σε κεκλιµένο επίπεδο το συνολικό έργο του βάρους του σώµατος είναι όσο και το έργο της wx συνιστώσας του αφού η wy δεν παράγει έργο. Για το έργο της τριβής έχουµε WT= - T⋅∆x =-100⋅5=-500 J.
- 353. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 352 6. Από ύψος h=3m, αφήνουµε να πέσει µια µπάλα m=200 g. α) Πόσο είναι το έργο του βάρους στη µπάλα κατά την κάθοδο; β) Υποθέστε ότι η µπάλα αφού χτυπήσει στο έδαφος ανεβαίνει σε ύψος h΄=0,8m. Πόσο είναι τότε το έργο του βάρους κατά την άνοδο; ∆ίνεται g=10m/s2 . Λύση: α) Κατά την κατακόρυφη κίνηση της µπάλας προς τα κάτω, το έργο του βάρους για µετατόπιση h θα είναι: Ww=w⋅∆x=w⋅h=m⋅g⋅h=0,2⋅10⋅3=6 J. Προσέξτε ότι το έργο είναι θετικό γιατί η δύναµη και η µετατόπιση έχουν την ίδια φορά. β)Κατά την κατακόρυφη κίνηση της µπάλας προς τα πάνω το έργο του βάρους θα είναι: Ww=-w⋅∆x=-w⋅h΄=-m⋅g⋅h΄=-0,2⋅10⋅0,8 =-1,6 J. Προσέξτε ότι το έργο είναι αρνητικό γιατί η δύναµη και η µετατόπιση έχουν αντίθετη φορά.
- 354. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 353 A Β Γ ∆ h 7. Σώµα µάζας m=1Kg ολισθαίνει µε σταθερή ταχύτητα, τη µια φορά κατά µήκος της διαδροµής ΑΒΓ και τη δεύτερη φορά κατά µήκος της Α∆Γ. Αν h=2m να υπολογιστεί το έργο του βάρους Ww και το έργο της τριβής ολίσθησης WT στις δυο περιπτώσεις. Είναι η τριβή συντηρητική δύναµη; ∆ίνεται g=10m/s2 . Λύση: Για το έργο του βάρους µας ενδιαφέρει µόνο η κατακόρυφη µετατόπιση µεταξύ της αρχικής και τελικής θέσης του σώµατος και όχι η συνολική του µετατόπιση. ∆εν µας ενδιαφέρει δηλαδή η διαδροµή που ακολουθεί το σώµα. Έτσι για το έργο του βάρους ισχύει Ww=m⋅g⋅h=20 J. Έτσι όποια από τις διαδροµές (ABΓ), (Α∆Γ) και να ακολουθήσει το σώµα για να πάει από το Α στο Γ το έργο του βάρους είναι πάντα Ww=w⋅h ανεξάρτητο της διαδροµής. Τέτοιες δυνάµεις ονοµάζονται συντηρητικές δυνάµεις. Αφού το σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα αυτό σηµαίνει πως το έργο της τριβής θα είναι αντίθετο του έργου του βάρους σε κάθε διαδροµή. Άρα το έργο της τριβής θα είναι WT=-20 J και για τις δυο διαδροµές (ABΓ) και (Α∆Γ). Ακόµη προσέξτε ότι αφού το Ww(ΑΒΓ) = Ww(Α∆Γ) =w·h τότε το έργο του βάρους από το Γ στο Α θα είναι Ww(ΓΒΑ) = Ww(Γ∆Α) =-w·h. Άρα το συνολικό έργο του βάρους Ww(ολ), κατά µήκος κάθε κλειστής διαδροµής (ΑΒΓΑ) και (Α∆ΓΑ) είναι ίσο µε µηδέν. ∆ηλαδή ισχύει Ww(ολ)=0. Για το έργο της τριβής όµως αν αντιστρέψουµε τη φορά διαγραφής και µετατοπίσουµε το σώµα από το σηµείο Γ στο σηµείο Α θα αντιστραφεί και η φορά της τριβής η οποία είναι πάντα αντίθετη της κίνησης µε αποτέλεσµα το έργο της να είναι πάλι αρνητικό και ίσο µε WT=-20 J. Άρα το συνολικό έργο της τριβής κατά µήκος της κλειστής διαδροµής (ΑΒΓΑ) ή (Α∆ΓΑ) είναι ίσο µε
- 355. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 354 -20-20=-40 J. ∆ηλαδή το συνολικό έργο της τριβής ολίσθησης WΤ(ολ) κατά µήκος µιας κλειστής διαδροµής είναι διαφορετικό του µηδενός. . ∆ηλαδή ισχύει WΤ(ολ)=-40 J≠0. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η τριβή ολίσθησης είναι µη συντηρητική δύναµη. 8. Να βρείτε το έργο µιας δύναµης η οποία µετατοπίζει το σηµείο εφαρµογής της κατά x = 10m, κατά τη διεύθυνή της αν το µέτρο της είναι F=4-x. Θεωρείστε x0=0m. Λύση: Αν µια δύναµη δεν είναι σταθερή, δεν µπορούµε να χρησιµοποιούµε για τον υπολογισµό του έργου της τη σχέση F⋅x, αλλά θα κάνουµε πάντα γραφική παράσταση. Επειδή η δύναµη δίνεται από τη σχέση F=4-x πρόκειται για µια εξίσωση 1ου βαθµού άρα η γραφική της παράσταση είναι µια ευθεία γραµµή. Χρειαζόµαστε λοιπόν, τουλάχιστον δυο σηµεία για να χαράξουµε τη γραφική παράσταση. Για x=0 είναι F=4 Ν. Ακόµη για x=10m είναι F=-6N. Ακόµη παρατηρούµε πως η δύναµη µηδενίζεται όταν x=4m Έτσι προκύπτει η διπλανή γραφική παράσταση F(x). Το έργο W1 της δύναµης για µετατόπιση του σώµατος κατά x=4m είναι ίσο µε το εµβαδό του τριγώνου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της δύναµης και του άξονα των x (για x=0 µέχρι x=4m). Άρα έχουµε W1= 4 4 2 ⋅ =8 J. Ακόµη το έργο W2 της δύναµης για µετατόπιση του σώµατος από x=4m µέχρι x=10m είναι ίσο µε το εµβαδό του τριγώνου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της δύναµης και του άξονα των και από x=4m µέχρι x=10m. Άρα έχουµε W2= 6 ( 6) 2 ⋅ − =-18 J. Τελικά για το συνολικό έργο της δύναµης F έχουµε W=W1+W2=8-18=-10 J. 0 4 4 10 -6 F(N) x(m) F(N) W1 W2
- 356. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 355 9. Αβαρές ελατήριο φυσικού µήκους λ0=0,2m, επιµηκύνεται από τη θέση που έχει µήκος λ1=0,3m, στη θέση µε µήκος λ2=0,5m. Πόσο είναι το έργο της δύναµης του ελατηρίου για την παραπάνω επιµήκυνση; ∆ίνεται η σταθερά του ελατηρίου Κ=200Ν/m. Λύση: Η δύναµη του ελατηρίου είναι πάντα αντίθετη της παραµόρφωσης x του ελατηρίου. Έτσι από το νόµο του Hook λαβαίνοντας υπόψη µας και τη φορά για τη δύναµη του ελατηρίου ισχύει Fελ=-Κ⋅x. Παρατηρούµε ότι η δύναµη του ελατηρίου είναι µια µεταβλητή δύναµη. Για τον υπολογισµό του έργου της Fελ δεν µπορούµε να καταφύγουµε στο γινόµενο δύναµη επί µετατόπιση. Έτσι θα χρειαστεί να κάνουµε γραφική παράσταση. Για την επιµήκυνση του ελατηρίου στην αρχική του θέση έχουµε x1=λ1-λ0=0,1m. Τότε είναι Fελ(1)=-Κ⋅x1=-200⋅0,1=-20N. Για την επιµήκυνση του ελατηρίου στην τελική του θέση έχουµε x2=λ2-λ0=0,3 m. Τότε είναι Fελ(2)=-Κ⋅x2=-200⋅0,3=-60N. Τότε προκύπτει η γραφική παράσταση Fελ(x) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Το έργο της δύναµης του ελατηρίου είναι τότε ίσο µε το γραµµοσκιασµένο εµβαδό Εµβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆. Έχουµε λοιπόν: WFελ= Εµβαδό = B+β 2 υ ⋅ = 60 20 2 − − ⋅(0,3-0,1) ή WFελ=-40⋅0,2=-8 J. Βέβαια έχουµε πει ακόµη, πως το έργο της δύναµης του ελατηρίου δίνεται και από τη σχέση WFελ= 1 2 ⋅K⋅x1 2 - 1 2 ⋅K⋅x2 2 οπότε έχουµε: WFελ= 1 2 ⋅K⋅(x1 2 -x2 2 )= 1 2 ⋅200⋅(0,01-0,09)=100⋅(-0,08)=-8J. 0 -20 0,1 ελ Fελ 0,3 -60 Α Β Γ ∆ F (N) W x(m)
- 357. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 356 10. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται ένα υδραυλικός ανυψωτήρας που χρησιµοποιείται για την ανύψωση των αυτοκινήτων. Το µικρό έµβολο έχει διατοµή εµβαδού A1=4cm2 , ενώ το µεγάλο έχει διατοµή A2=200 cm2 . Τότε α) να υπολογιστεί η δύναµη F1 που πρέπει να ασκηθεί στο µικρό έµβολο, ώστε το µεγάλο να ανυψώσει ένα αυτοκίνητο βάρους w=10.000 Ν. β) Να υπολογίσετε τα έργα των δυο δυνάµεων F1 και F2 κατά την ανύψωση του αυτοκινήτου κατά 1cm. Λύση: α) Σύµφωνα µε την αρχή του Pascal έχουµε ότι η πίεση που προκαλείται από το µικρό έµβολο διαδίδεται αµετάβλητη σε όλα τα σηµεία του άρα είναι ίση µε την πίεση που ασκείται από το µεγάλο έµβολο. Άρα έχουµε p1=p2 ή 1 1 F A = 2 2 F A . Όµως η F2 είναι ίση µε το βάρος του αυτοκινήτου άρα έχουµε F2=104 N. Τότε από την προηγούµενη σχέση προκύπτει F1= 1 2 A A ⋅F2 ή F1=λ⋅F2 µε λ= 1 2 A A = 4 200 = 1 50 . Τελικά έχουµε F1= 10.000 50 ή F1=200Ν. β) Επειδή τα υγρά είναι ασυµπίεστα ο όγκος τους παραµένει σταθερός. Άρα αν το µικρό έµβολο κατέβει κατά ∆x1 τότε το µεγάλο θα ανέβει κατά ∆x2, ώστε ο όγκος ∆V1 του υγρού που αντιστοιχεί στη µετατόπιση ∆x1 του µικρού εµβόλου να είναι ίσος µε τον όγκο ∆V2 του υγρού που αντιστοιχεί στην αντίστοιχη µετατόπιση ∆x2 του µεγάλου εµβόλου. Άρα ισχύει ∆V1=∆V2. Όµως ισχύει και ∆V1=Α1⋅∆x1 και ∆V2=Α2⋅∆x2. Οπότε προκύπτει και Α1⋅∆x1=Α2⋅∆x2 ή
- 358. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 357 F Fx Fy N F T φ w Β F φ ∆x2= 1 2 A A ∆x1 ή ∆x2=λ⋅∆x1 µε ∆x2=1cm και λ= 1 50 . Άρα έχουµε ∆x1= 2 ∆x λ =50⋅1=50 cm. Τότε το έργο W1 της δύναµης F1 θα είναι W1=F1⋅∆x1=200⋅0,5=100 J και το έργο W2 της δύναµης F2 θα είναι W2=F2⋅∆x2=10.000⋅0,01=100 J . Παρατηρούµε ότι τα δυο έργα στο µικρό και το µεγάλο έµβολο είναι ίσα. 1) Να υπολογιστεί το έργο µιας δύναµης µέτρου F=80N, η οποία µετατοπίζει το σηµείο εφαρµογής της κατά τη διεύθυνσή της κατά ∆x =12 cm. 2) Σώµα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο µε σταθερή ταχύτητα υ=10m/s. Αν στο σώµα εξασκείται οριζόντια δύναµη F=150N να υπολογιστεί το έργο της τριβής για µετατόπιση του σώµατος κατά ∆x=3m. 3)Σώµα µάζας m=10Kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο µε την επίδραση σταθερής δύναµης F=60N που σχηµατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ=300 . Αν µ=0,5 να υπολογιστούν τα έργα όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα για µετατόπιση του σώµατος στο οριζόντιο επίπεδο κατά ∆x=1,5m. ∆ίνονται ηµ300 = 1 2 , συν300 = 3 2 και g=10m/s2 . 4) Ο εργάτης του σχήµατος σπρώχνει το κιβώτιο µε δύναµη F=10Ν όπως στο σχήµα. Αν φ=600 , και τριβές δεν υπάρχουν να υπολογίσετε τα έργα όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο
- 359. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 358 h F Fx Fy N F T φ w Β κιβώτιο για µετατόπιση του κιβωτίου κατά ∆x=5m. Ποια είναι η χηµική ενέργεια που ξόδεψε ο εργάτης; ∆ίνονται ηµ600 = 3 2 και συν600 = 1 2 . 5) Ένας εργάτης ανυψώνει µε σταθερή ταχύτητα ένα σώµα m=10Kg σε ύψος h=5m και το κρατά σε εκείνη τη θέση για 20sec. Πόσο έργο παράγει; ∆ίνεται g=10m/s2 . 6) Ένας άνθρωπος τραβά σώµα µάζας m=60Kg σε ύψος h=20m όπως στο σχήµα. α) Να υπολογιστεί το έργο του βάρους του σώµατος κατά την ανύψωση του σώµατος. β) Πόσο είναι το έργο της τάσης του νήµατος; γ) Πόσο έργο πραγµατοποιήθηκε από τον άνθρωπο; Θεωρείστε ότι το σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα και αγνοείστε οποιαδήποτε µεταβολή της ταχύτητας του σώµατος στην αρχή και το τέλος της κίνησης. ∆ίνεται g=10m/s2 . 7)Στο σώµα µάζας m=5Kg του σχήµατος εξασκείται δύναµη F=50N, που σχηµατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ=450 , προς τα κάτω. Αν µ=0,2 να υπολογίσετε το WF και το έργο της τριβής WT για µετατόπιση του σώµατος κατά ∆x=10m; ∆ίνονται ηµ450 =συν450 = 2 2 και 2 =1,4. 8) Σώµα βάρους w=40N, ολισθαίνει προς τα πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=300 µε σταθερή ταχύτητα. α) Να υπολογιστούν όλες οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα και β) Να υπολογιστούν τα έργα όλων των δυνάµεων για µετατόπιση του σώµατος κατά φ φ 1 2
- 360. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 359 F3 F2 F1 φ h F(N) x(m) 5 10 200 -100 ∆x=80cm, πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. ∆ίνονται ηµ300 = 1 2 και συν300 = 3 2 . 9)Ένα σώµα βάρους w=50N κινείται προς τα πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=300 υπό την επίδραση των τριών δυνάµεων του σχήµατος. Αν η F1 είναι οριζόντια µε F1=40N F2 κάθετη στο κεκλιµένο επίπεδο µε F2=20N και F3 παράλληλη στο κεκλιµένο επίπεδο µε F3=30N. Υπολογίστε το έργο κάθε δύναµης καθώς το σώµα υψώθηκε κατά h=80cm. Πόσο είναι τότε το έργο του βάρους του σώµατος; ∆ίνονται ηµ300 = 1 2 και συν300 = 3 2 . 10) Σε σώµα µάζας m εξασκείται η δύναµη του σχήµατος. Να υπολογίσετε το έργο της F για µετατόπιση του σώµατος κατά: α) 5m και β) 10m 11) Άνθρωπος κινείται σε οριζόντιο δρόµο κουβαλώντας βαλίτσα εξασκώντας µε το χέρι του κατακόρυφη προς τα πάνω δύναµη. Πόσο είναι το έργο της
- 361. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 360 F x κατακόρυφης αυτής δύναµης του ανθρώπου πάνω στη βαλίτσα; Γιατί ο άνθρωπος αισθάνεται κούραση για την προσπάθειά του αυτή; 12)Πόσο έργο παράγεται από το βάρος όταν δορυφόρος εκτελεί µισή περιφορά και πόσο όταν εκτελεί δυο περιφορές; 13)Σε σώµα µάζας m που κινείται στο οριζόντιο επίπεδο, µεταξύ των άλλων εξασκείται και µια οριζόντια δύναµη της µορφής F=10-2x. Να υπολογίσετε το έργο της δύναµης F για µετατόπιση του σώµατος κατά i)x=4m και ii)x=10m. ∆ίνεται x0=0 m. 14)Οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ=500Ν/m βρίσκεται στη θέση φυσικού του µήκους. Πόσο έργο παράγει µια δύναµη για επιµήκυνση του ελατηρίου κατά x=0,5m, µε σταθερή ταχύτητα; Πόσο είναι τότε το έργο της δύναµης του ελατηρίου;
- 362. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 361 1) Κάθε φορά που παράγεται έργο, δαπανάται ενέργεια ίση µε το παραγόµενο έργο. ( ) 2) Μια δύναµη που ασκείται σ' ένα σώµα παράγει έργο ακόµη και αν το σώµα δεν κινείται. ( ) 3) H δύναµη που ασκείται σ' ένα σώµα και το έργο της δύναµης για µια µετατόπιση είναι µεγέθη διανυσµατικά. ( ) 4) Το έργο του βάρους, κατά µήκος κλειστής διαδροµής, είναι ίσο µε µηδέν. ( ) 5) ο έργο του βάρους ενός σώµατος, κατά τη µετακίνησή του µεταξύ δύο θέσεων, δεν εξαρτάται από τη διαδροµή που ακολουθεί το σώµα αλλά µόνο από τις θέσεις αυτές. ( ) 6) Στη διπλανή εικόνα όταν ο αθλητής κρατάει ακίνητη την µπάρα, η δύναµη που ασκεί ο αθλητής παράγει έργο και ο αθλητής κουράζεται. ( ) 7) Το έργο µιας σταθερής δύναµης, είναι σταθερό. ( ) 8) Το έργο µιας δύναµης µπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή µηδέν. ( )
- 363. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 362 9) Σύρουµε τη βαλίτσα του σχήµατος πάνω σε οριζόντιο έδαφος. Τότε το έργο που παράγει η δύναµη F που ασκούµε στη βαλίτσα για µετατόπιση ∆x είναι ίσο µε WF=F1⋅∆x, όπου F1 είναι η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης F. ( ) 10) To έργο των βαρυτικών δυνάµεων είναι πάντα µηδέν. ( ) 11) Av ένα σώµα ολισθαίνει σε κεκλιµένο επίπεδο µε σταθερή ταχύτητα, το έργο του βάρους του είναι µηδέν. ( ) 12) To έργο του βάρους από το A έως το Γ είναι Ww=m⋅g⋅h. ( ) 13) Η δύναµη του ελατηρίου είναι µια µεταβλητή δύναµη και για να υπολογίσουµε το έργο της πρέπει να κάνουµε γραφική παράσταση. ( ) 1) Το έργο µιας δύναµης, που µετατοπίζει το σηµείο εφαρµογής της, είναι: α) ίσο µε το µηδέν, αν η δύναµη είναι σταθερή. β) µονόµετρο µέγεθος. γ) ίσο µε τη µεταβολή της ενέργειας του σώµατος. δ) ανεξάρτητο από τη διαδροµή του σηµείου εφαρµογής της. m φ φ 1 2
- 364. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 363 2) Για το σώµα του σχήµατος και για την οριζόντια µετατόπισή του ∆x, α) Το έργο της δύναµης F είναι αρνητικό. β) Το έργο της τριβής T είναι µηδέν. γ) Το έργο του βάρους είναι µηδέν γιατί η διεύθυνση της δύναµης του βάρους είναι κάθετη στη διεύθυνση της µετατόπισης. δ) Ισχύουν όλα τα παραπάνω. 3) Ανεβάζουµε µε σταθερή ταχύτητα µε το χέρι µας το τούβλο του σχήµατος βάρους w, κατά ∆x. Η δύναµη F που ασκεί το χέρι µας έχει την ίδια κατεύθυνση µε τη µετατόπιση. Τότε: α) Το έργο της F είναι µηδέν. β) Ισχύει WF=F·∆x= Ww. γ) Ισχύει Ww=w·∆x. δ) Ισχύει Ww=-w·∆x= -WF. 4) Μια δύναµη είναι συντηρητική όταν Α) το έργο της είναι µεγαλύτερο του µηδενός. Β) έχει σταθερό µέτρο. Γ) το σώµα στο οποίο ασκείται διαγράφει κλειστή διαδροµή. ∆) προκαλεί την ίδια µεταβολή στη κινητική ενέργεια ενός σώµατος, κατά τη µεταφορά του από µια θέση Α σε µια θέση Β, ανεξάρτητα από την ακολουθούµενη διαδροµή. 5) Σώµα που αρχικά ηρεµεί δέχεται την επίδραση δύο αντίρροπων δυνάµεων ρ F1 και ρ F2 διαφορετικού µέτρου. Το έργο της συνισταµένης δύναµης είναι α. µεγαλύτερο από τη µεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώµατος. β. ίσο µε το συνολικό έργο των δύο δυνάµεων. γ. ίσο µε το γινόµενο των έργων των δύο δυνάµεων. T T N x ∆ N F F υ
- 365. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 364 δ. µικρότερο από τη µεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώµατος. 6) Ένα σώµα µετατοπίζεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το έργο του βάρους του σώµατος είναι ίσο µε µηδέν, διότι α. το βάρος είναι δύναµη συντηρητική. β. το βάρος εξουδετερώνεται από την αντίδραση του επιπέδου. γ. το βάρος είναι κάθετο στη µετατόπιση. δ. το επίπεδο είναι λείο. 7) Όταν ανυψώνεται οποιοδήποτε σώµα, ασκείται σ' αυτό µια δύναµη τουλάχιστον ίση µε το βάρος του. Τότε: α) Λέµε ότι η δύναµη παράγει έργο πάνω στο σώµα, όσο το σώµα ανυψώνεται. β) Ακόµη και όταν το σώµα είναι ακίνητο παράγεται έργο. γ) Παράγεται έργο µόνο όταν η ταχύτητα του σώµατος αυξάνεται. δ) Παράγεται έργο µόνο όταν το σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα. 8) To έργο βάρος ενός υποβρυχίου καθώς βυθίζεται κατακόρυφα είναι α) µηδέν. β) θετικό. γ) αρνητικό. δ) άλλες φορές θετικό και άλλες φορές αρνητικό. 9) Το έργο της οριζόντιας δύναµης F=2⋅x που µετατοπίζει το σηµείο εφαρµογής της κατά τη διεύθυνσή της κατά x=5m (x0=0) είναι: α) 50 J. β) 25 J. γ) τα στοιχεία δεν επαρκούν για να απαντήσουµε. δ) 10 J.
- 366. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 365 1) Η ενέργεια εµφανίζεται µε διάφορες……………., µετατρέπεται από µια µορφή σε άλλη, αλλά κατά τις µετατροπές της η συνολική ενέργεια ………………………. 2) Με την έννοια του έργου περιγράφουµε τη …………………… ή τη ……………………..της ενέργειας κατά τη δράση µιας δύναµης. 3) Έργο 1 Joule παράγει δύναµη 1 Ν που ασκείται σε σώµα το οποίο µετατοπίζεται κατά…………, κατά την ………………………….της δύναµης. 4) Το έργο µιας δύναµης είναι αρνητικό όταν η δύναµη έχει αντίθετη ……………………..από τη µετατόπιση του σώµατος και είναι ……………. όταν η δύναµη είναι κάθετη στη µετατόπιση. 5) Το έργο του βάρους δεν εξαρτάται από τη µετατόπιση παρά µόνο από τη διαφορά ………………… µεταξύ αρχικής και τελικής θέσης. 6) Αν ένα σώµα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο το έργο του βάρους του είναι………………
- 367. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 366 h w Uβαρ.=0 5.2 ∆υναµική-Κινητική ενέργεια. ∆ύο βασικές µορφές ενέργειας 1. Τι ονοµάζουµε βαρυτική δυναµική ενέργεια (Uβαρ.), ενός σώµατος; Βαρυτική δυναµική ενέργεια (Uβαρ.), ενός σώµατος βάρους w σε ύψος h από την επιφάνεια της Γης, oνοµάζουµε την ενέργεια που έχει το σώµα λόγω της θέσης (h) στην οποία βρίσκεται. Αποδεικνύεται πως ισχύει η σχέση: Uβαρ.=w⋅ ⋅ ⋅ ⋅h=m⋅ ⋅ ⋅ ⋅g⋅ ⋅ ⋅ ⋅h • Η δυναµική ενέργεια εξαρτάται από το βάρος (w) του σώµατος και από την απόστασή του (h) από τη Γη. Η βαρυτική δυναµική ενέργεια που έχει ένα σώµα σε κάποιο ύψος είναι ανεξάρτητη από τη διαδροµή (δρόµο), που ακολούθησε αυτό για να βρεθεί σε αυτό το ύψος. Για παράδειγµα ανεβάζουµε µια πέτρα βάρους w=100 Ν σε ύψος 2 m µε τρεις τρόπους: (α) ασκώντας κατακόρυφη δύναµη 100 Ν, β) σπρώχνοντάς τη µε δύναµη 50 Ν σε ένα κεκλιµένο επίπεδο µήκους 4 m και (γ) ανεβάζοντάς τη διαδοχικά σε 4 σκαλοπάτια ύψους 0,5 m το καθένα. Και στις τρεις περιπτώσεις το έργο του βάρους είναι το ίδιο. Η πέτρα απέκτησε βαρυτική δυναµική ενέργεια σε σχέση µε το έδαφος Uβαρ.=w⋅h=100⋅2= 200 J.
- 368. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 367 w h F=w Η βαρυτική δυναµική ενέργεια αναφέρεται πάντα ως προς µια οριζόντια επιφάνεια (επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας ή επίπεδο αναφοράς), όπου θεωρούµε ότι εκεί η δυναµική ενέργεια του σώµατος είναι µηδέν. Το ίδιο σώµα µπορεί να έχει διαφορετικές δυναµικές ενέργειες, ανάλογα µε το επίπεδο αναφοράς που επιλέγουµε για να µετρήσουµε ως προς αυτό τη δυναµική του ενέργεια. Εδώ έχουµε επιλέξει ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος. Η δυναµική ενέργεια του σώµατος σ’ αυτή την περίπτωση είναι θετική και το σώµα αυθόρµητα από µόνο του πηγαίνει στη θέση µηδενικής δυναµικής ενέργειας. Γενικά στις ασκήσεις η επιλογή του επίπεδου µηδενικής δυναµικής ενέργειας εξαρτάται από τις συνθήκες του προβλήµατος και µπορεί να είναι η επιφάνεια της Γης, της θάλασσας του θρανίου κ.τ.λ Συνήθως για λόγους πρακτικούς ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας, θεωρούµε την κατώτερη θέση του σώµατος. Το ίδιο σώµα µάζας m, αν βρεθεί στο ίδιο ύψος πάνω από την επιφάνεια της σελήνης, έχει µικρότερη δυναµική ενέργεια γιατί έχει µικρότερο βάρος. Στη Σελήνη έχουµε wΣ=m⋅gΣ και άρα UβαρΣ.=wΣ⋅h= m⋅gΣ⋅h. To gΣ=1/6 gΓ, άρα και η δυναµική ενέργεια του ίδιου σώµατος στο ίδιο ύψος στην επιφάνεια της Σελήνης είναι το 1/6 της αντίστοιχης δυναµικής ενέργειας στη Γη. ∆ηλαδή ισχύει UβαρΣ=1/6⋅UβαρΓ. Η βαρυτική δυναµική ενέργεια (Uδυναµική) ενός σώµατος, µπορεί να πάρει και αρνητικές τιµές. Π.χ αν θεωρήσουµε ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας, την επιφάνεια του θρανίου, τότε ένα σώµα που βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια του θρανίου έχει αρνητική δυναµική ενέργεια. Τότε το σώµα δεν πηγαίνει αυθόρµητα από µόνο στη θέση µηδενικής δυναµικής ενέργειας αλλά πρέπει να δαπανήσουµε ενέργεια για να το ανεβάσουµε πάνω στο θρανίο. 2. Πως υπολογίζεται η δυναµική ενέργεια βαρύτητας (Uδυναµική=Uβαρ). Ένας γερανός ανυψώνει ένα κιβώτιο βάρους w=mg σε ύψος h από το έδαφος. Αν το κιβώτιο ανυψώνεται µε σταθερή ταχύτητα τότε η δύναµη F που ασκεί ο γερανός στο κιβώτιο είναι ίση µε το βάρος του w δηλαδή F=w.
- 369. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 368 Για να υπολογίσουµε την ενέργεια που δίνει ο γερανός ώστε να βρεθεί το κιβώτιο από το έδαφος, στο συγκεκριµένο ύψος αρκεί να υπολογίσουµε το έργο της δύναµης F που ασκήθηκε στο κιβώτιο κατά την ανύψωση. Έτσι θα έχουµε: WF=F⋅h. Επειδή όµως όπως είπαµε είναι F=w θα έχουµε WF=w⋅ ⋅ ⋅ ⋅h. Για την ίδια όµως µετατόπιση το έργο του βάρους είναι αρνητικό γιατί το βάρος w έχει αντίθετη κατεύθυνση από τη µετατόπιση h. Άρα έχουµε Ww=-w⋅ ⋅ ⋅ ⋅h. Παρατηρούµε λοιπόν ότι το έργο της δύναµης F, που ανυψώνει το σώµα είναι το αντίθετο του έργου τους βάρους του σώµατος για την ίδια ανύψωση. Έχουµε δηλαδή WF=-Ww=w⋅h=m⋅g⋅h. Ακριβώς αυτή την ποσότητα m⋅g⋅h είναι που την ονοµάζουµε βαρυτική δυναµική ενέργεια U και ισχύει: Uβ α ρ . =m⋅ ⋅ ⋅ ⋅g⋅ ⋅ ⋅ ⋅h Παρατηρούµε λοιπόν πως η βαρυτική δυναµική ενέργεια (Uδυναµική) ενός σώµατος είναι ίση µε το έργο της δύναµης που το ανύψωσε. Η ενέργεια αυτή είναι η ενέργεια που προσφέρθηκε από τον γερανό µέσω του έργου της δύναµης F και προέκυψε από την καύση του πετρελαίου (χηµική ενέργεια), και κατά την ανύψωση του σώµατος µετατράπηκε και αποθηκεύτηκε σ’ αυτό µέσω του έργου του βάρους w, µε τη µορφή δυναµικής ενέργειας. ∆ηλαδή ΕΧηµική=U(δυναµική)=m⋅g⋅h. 3. Μπορούµε να ορίσουµε τη δυναµική ενέργεια για ένα µόνο σώµα ή είναι ενέργεια αλληλεπίδρασης; Η δυναµική ενέργεια σώµατος - γης υπάρχει ακριβώς επειδή ανάµεσα στο σώµα και τη γη υπάρχει βαρυτική αλληλεπίδραση. ∆ηλαδή η δυναµική ενέργεια έχει νόηµα και αναφέρεται µόνο σε σύστηµα σωµάτων. ∆εν µπορούµε να ορίσουµε δυναµική ενέργεια για ένα µόνο σώµα. Επειδή όµως η γη έχει πολύ µεγαλύτερη µάζα από τα σώµατα των οποίων εξετάζουµε την κίνηση και µένει πρακτικά ακίνητη, µπορούµε να λέµε ότι το σώµα βρίσκεται στο βαρυτικό πεδίο της γης και να αναφερόµαστε σε βαρυτική δυναµική ενέργεια του σώµατος. 4. Πως υπολογίζεται το έργο βάρους µε τη µεταβολή της δυναµικής ενέργεια βαρύτητας;
- 370. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 369 h2 h1 h m Έστω ότι το σώµα µάζας m του σχήµατος, βρίσκεται αρχικά στην οροφή του κτιρίου σε ύψος h1 και αφήνεται να πέσει ελεύθερα. Για µετατόπιση του σώµατος µέχρι το ύψος h2 η µεταβολή της δυναµικής του ενέργεια θα είναι: Uαρχ-Uτελ= m⋅g⋅h1-m⋅g⋅h2=m⋅g⋅(h1- h2)=m⋅g⋅h=WB. ∆ηλαδή τελικά το έργο του βάρους του θα είναι WB= Uαρχ-Uτελ= =-( Uτελ- Uαρχ)=-∆U. WB =-∆U • Παρατηρείστε ότι το m⋅⋅g⋅h που συνήθως αναφέρεται ως δυναµική ενέργεια του σώµατος είναι στην πραγµατικότητα η διαφορά της δυναµικής ενέργειας Uαρχ-Uτελ του συστήµατος σώµα – Γη . 5. H δυναµική ενέργεια αφορά µόνο τις βαρυτικές αλληλεπιδράσεις; Όχι. Η δυναµική ενέργεια επεκτείνεται και σε αλληλεπιδράσεις που δεν είναι βαρυτικές. Σε κάθε σύστηµα σωµάτων, τα οποία αλληλεπιδρούν και οι αλληλεπιδράσεις περιγράφονται µε συντηρητικές δυνάµεις δηλαδή µε δυνάµεις που το έργο τους είναι ανεξάρτητο της διαδροµής για να πάει το σύστηµα από τη θέση Α σε µια θέση Β αντιστοιχεί κάποια δυναµική ενέργεια.. Έτσι και ένα σύστηµα δυο ηλεκτρικών φορτίων έχει δυναµική ενέργεια η οποία µάλιστα εξαρτάται από την µεταξύ τους απόσταση. Γενικά το έργο µιας τέτοιας δύναµης αλληλεπίδρασης θα είναι πάντα: WF(1→ → → →2)=U1-U2 δηλαδή ίσο µε τη διαφορά της αρχικής και της τελικής δυναµικής ενέργειας. Συνοψίζοντας µπορούµε να πούµε πως:
- 371. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 370 F x Fελ ένας πλανήτης που περιφέρεται γύρω από τον ήλιο έχει βαρυτική δυναµική ενέργεια λόγω της βαρυτικής ελκτικής δύναµης που ασκεί ο ήλιος στον πλανήτη. Αλλά και ένα ηλεκτρόνιο που περιφέρεται γύρω από τον πυρήνα ενός ατόµου έχει ηλεκτρική δυναµική ενέργεια λόγω της ελκτικής ηλεκτρικής δύναµης που του ασκεί ο πυρήνας. 6. Τι ονοµάζουµε δυναµική ενέργεια παραµόρφωσης; ∆υναµική ενέργεια δεν έχει ένα σώµα µόνο λόγω της θέσης στην οποία βρίσκεται, αλλά και λόγω της καταστάσεως στην οποία βρίσκεται. Έτσι και µια τεντωµένη χορδή, ένα συµπιεσµένο ελατήριο ή επιµηκυµένο ελατήριο µια παραµορφωµένη µπάλα έχουν επίσης δυναµική ενέργεια. Όµως αυτή τη δυναµική ενέργεια δεν την ονοµάζουµε δυναµική ενέργεια βαρύτητας αλλά δυναµική ενέργεια ελαστικής παραµόρφωσης. ** Υπάρχει και η δυναµική ενέργεια µόνιµης ή πλαστικής παραµόρφωσης** Σ' όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, η παραµόρφωση είναι ελαστική, δηλαδή τα σώµατα επανέρχονται στην αρχική τους κατάσταση όταν πάψει να ασκείται η δύναµη που τα παραµόρφωσε. Κάθε σώµα που έχει υποστεί ελαστική παραµόρφωση, έχει δυναµική ενέργεια, που εξαρτάται από το µέγεθος της παραµόρφωσής του. Η δυναµική ενέργεια καθενός από τα σώµατα αυτά ισούται µε το έργο της δύναµης που τους ασκήθηκε για να τα παραµορφώσει. Η δυναµική ενέργεια παραµόρφωσης ισούται µε το έργο της δύναµης που τους ασκήθηκε για να τα παραµορφώσει. Τέτοια περίπτωση είναι και η περίπτωση του ιδανικού ελατηρίου του σχήµατος. Έχουµε αποδείξει πως σε αυτή την περίπτωση, αν το ελατήριο βρίσκεται αρχικά στη θέση φυσικού του µήκους, το έργο της δύναµης F που επιµηκύνει το ελατήριο για επιµήκυνση x, είναι
- 372. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 371 h w (1) (2) Uβαρ=0 WF= 2 1 Kx2 . Άρα άµεσα συµπεραίνουµε πως ένα ελατήριο που έχει παραµορφωθεί κατά x, έχει ελαστική δυναµική ενέργεια Uελ=WF= 2 1 Kx2 . Ισχύει: Uελ= 2 1 Kx2 ∆υναµική ενέργεια λέγεται η ενέργεια, που έχει ένα σώµα, λόγω της θέσεως ή της καταστάσεως, στην οποία βρίσκεται. Γενικά αν σε ένα σώµα ασκείται δύναµη, τότε το έργο (W) που του προσφέρουµε µέσω της δύναµης αυτής, αποθηκεύεται στο σώµα µε τη µορφή δυναµικής ενέργειας ή αλλιώς λέµε ότι το σώµα έχει δυναµική ενέργεια που εξαρτάται: α. από το µέγεθος της δύναµης, β. τη θέση ή την κατάσταση (παραµόρφωση) του σώµατος ενώ η δυναµική ενέργεια δεν εξαρτάται από τη διαδροµή (τροχιά) που ακολούθησε το σώµα για να φτάσει στη θέση ή την κατάσταση αυτή. Η δυναµική ενέργεια που έχει ένα σώµα µπορεί να µετασχηµατιστεί σε άλλη µορφή ενέργειας ή να µεταφερθεί σε κάποιο άλλο σώµα µε άλλη µορφή. 7. Σε τι µετατρέπεται η βαρυτική δυναµική ενέργεια Uβαρ. όταν το σώµα φτάσει στο έδαφος; Το σώµα έχει αρχικά βαρυτική δυναµική ενέργεια Uβαρ.=m⋅g⋅h. Ακόµη το έργο της δύναµης του βάρους κατά την πτώση του σώµατος είναι Ww=w⋅h=m⋅g⋅h. ∆ηλαδή κατά την πτώση του σώµατος έχουµε δαπάνη ενέργειας ίση µε το παραγόµενο
- 373. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 372 υ x Θ.Φ.Μ m έργο Uβαρ.=m⋅ ⋅ ⋅ ⋅g⋅ ⋅ ⋅ ⋅h=Ww(1→ → → →2). Όταν το σώµα φτάσει στο έδαφος δεν έχει βαρυτική δυναµική ενέργεια ή Uβαρ.=0. Στην περίπτωση αυτή έχουµε θεωρήσει ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας το έδαφος θέση (2). Η ενέργεια αυτή δεν εξαφανίστηκε αλλά µετατράπηκε (µετασχηµατίστηκε) σε άλλη µορφή. Όταν το σώµα φτάσει στο έδαφος έχει αποκτήσει ταχύτητα υ. Στη Μηχανική η ενέργεια που έχει ένα σώµα λόγω της κινήσεώς του (ταχύτητας υ), ονοµάζεται κινητική ενέργεια (ΕΚ). Άρα η βαρυτική δυναµική ενέργεια (Uβαρ.) µέσω του έργου του βάρους του σώµατος (Ww) µετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του σώµατος (EK). 8. Το οριζόντιο ελατήριο του σχήµατος είναι συσπειρωµένο κατά x. Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου ακουµπάµε ένα σώµα µάζας m και αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο να κινηθεί. Σε τι µετατρέπεται η ελαστική δυναµική ενέργεια Uελ. του παραµορφωµένου ελατηρίου όταν το ελατήριο φτάσει στη θέση φυσικού του µήκους (Θ.Φ.Μ); Στην περίπτωση του συσπειρωµένου αβαρούς ελατηρίου του σχήµατος, όλη η δυναµική ενέργεια (Uελ) που έχει το ελατήριο όταν είναι συσπειρωµένο κατά x, µεταφέρεται στο σώµα µάζας m µέσω του έργου της δύναµης του ελατηρίου (WFελ) και µετατρέπεται σε κινητική ενέργεια του σώµατος (ΕΚ) στη θέση φυσικού µήκους (Θ.Φ.Μ) του ελατηρίου. ΠΡΟΣΟΧΗ: Σε µια ενδιάµεση θέση το σύστηµα ελατήριο - σώµα (m) έχει και δυναµική και κινητική ενέργεια. 9. Ποια ενέργεια ονοµάζεται κινητική ενέργεια (ΕΚ); Κινητική ονοµάζεται η ενέργεια που έχει ένα σώµα όταν κινείται.
- 374. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 373 Η κινητική ενέργεια ενός σώµατος που κάνει µεταφορική κίνηση εξαρτάται από τη µάζα και την ταχύτητα του κινούµενου σώµατος. Τότε για την κινητική ενέργεια του σώµατος ισχύει η σχέση: ΕΚ= 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅m⋅ ⋅ ⋅ ⋅υ2 . Όταν η ταχύτητα υ του σώµατος είναι σταθερή, τότε σε διπλάσια µάζα αντιστοιχεί διπλάσια κινητική ενέργεια. Όταν η µάζα του σώµατος είναι σταθερή, τότε σε διπλάσια ταχύτητα αντιστοιχεί τετραπλάσια κινητική ενέργεια. Κινητική ενέργεια µπορεί να έχει ένα µεταφερόµενο αλλά και ένα περιστρεφόµενο σώµα. Στην περίπτωση του στρεφόµενου σώµατος δεν ισχύει η παραπάνω σχέση για την κινητική ενέργεια. Μονάδα µέτρησης της κινητικής ενέργειας, αλλά και κάθε µορφής ενέργειας, όπως και του έργου στο S.I είναι το 1 Joule.
- 375. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 374 1. Από ύψος h=4m αφήνουµε να πέσει ένα σώµα βάρους w=30N . Πόση είναι η βαρυτική δυναµική ενέργεια του σώµατος ως προς το έδαφος; α) Πόση είναι η δυναµική του ενέργεια ως προς ένα τραπέζι που έχει ύψος H=1,2m; Τι παρατηρείτε; β) Ποια θα είναι η τελική δυναµική ενέργεια του σώµατος ως προς το έδαφος και ως προς το τραπέζι; Λύση: α) Η βαρυτική δυναµική ενέργεια που έχει ένα σώµα σε κάποιο ύψος εξαρτάται από το βάρος (w) του σώµατος και από την απόστασή του (h) από τη επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας και ισχύει η σχέση:Uβαρ.=w⋅h=m⋅g⋅h Εδώ έχουµε επιλέξει ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος. Η δυναµική ενέργεια του σώµατος σ’ αυτή την περίπτωση είναι θετική και το σώµα αυθόρµητα από µόνο του πηγαίνει στη θέση µηδενικής δυναµικής ενέργειας. Έτσι είναι Uβαρ.=w⋅h=30⋅4=120 J. Η βαρυτική δυναµική ενέργεια αναφέρεται πάντα ως προς µια οριζόντια επιφάνεια (επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας ή επίπεδο αναφοράς), όπου θεωρούµε ότι εκεί η δυναµική ενέργεια του σώµατος είναι µηδέν. Έτσι αν επιλέξουµε ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας την επιφάνεια του τραπεζιού που απέχει από το έδαφος απόσταση 1,2 m, τότε το σώµα απέχει αρχικά απόσταση από την οριζόντια επιφάνεια του τραπεζιού ίση µε h΄=4-1,2=2,8m. Τότε η αρχική δυναµική ενέργεια του σώµατος ως προς το τραπέζι είναι Uβαρ.=w⋅h΄=30⋅2,8=84 J.
- 376. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 375 Παρατηρούµε πως το ίδιο σώµα µπορεί να έχει διαφορετικές δυναµικές ενέργειες, ανάλογα µε το επίπεδο αναφοράς που επιλέγουµε για να µετρήσουµε ως προς αυτό τη δυναµική του ενέργεια. β) Όταν το σώµα φτάσει στο έδαφος τότε θα έχει ως προς αυτό, τελική βαρυτική δυναµική ενέργεια ίση µε µηδέν Uβαρ=0. Ως προς το τραπέζι όµως θα έχει τελική βαρυτική δυναµική ενέργεια Uβαρ=-w⋅H=-30⋅1,2=-36 J. 2. Ένας εργάτης µάζας m=85Kg βρίσκεται µέσα σε ασανσέρ και ανεβαίνει µε σταθερή ταχύτητα υ, στον 10ο όροφο ουρανοξύστη που βρίσκεται σε ύψος h=30m από το έδαφος. α) Πόση είναι η βαρυτική δυναµική ενέργεια του εργάτη σε εκείνο το ύψος; β) Αν ο εργάτης ανέβαινε από τις σκάλες στον 10ο όροφο πόση θα ήταν τότε η δυναµική του ενέργεια σ’ εκείνο τον όροφο; γ) Πόσο είναι το έργο της κάθετης αντίδρασης Ν, που ασκείται από το πάτωµα του ασανσέρ στον εργάτη και δ) Πόσο είναι το έργο του βάρους του εργάτη για την παραπάνω ανύψωση; Πως σχετίζεται το έργο του βάρους του εργάτη µε τη µεταβολή της δυναµικής του ενέργειας; Θεωρείστε ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος. ∆ίνεται g=10m/s2 . Λύση: α) Η βαρυτική δυναµική ενέργεια που έχει ο εργάτης σε ύψος h=30m από το έδαφος (επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας) είναι Uβαρ.=w⋅h=m⋅g⋅h=85⋅10⋅30 ή Uβαρ.=25.500 J. β) Η βαρυτική δυναµική ενέργεια που έχει ένα σώµα σε κάποιο ύψος είναι ανεξάρτητη από τη διαδροµή (δρόµο), που ακολούθησε αυτό για να βρεθεί σε αυτό το ύψος. Έτσι και σ’ αυτή την περίπτωση έχουµε την ίδια δυναµική ενέργεια ως προς το έδαφος ίση µε Uβαρ.=25.500 J. γ) Αφού το ασανσέρ ανεβαίνει µε σταθερή ταχύτητα αυτό σηµαίνει πως Fολ=0 ή Ν-w=0 ή Ν=w=m⋅g=850N. Τότε για το έργο της κάθετης αντίδρασης Ν ισχύει WN=N⋅h=850⋅30=25.500 J. w N υ
- 377. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 376 δ) Το έργο του βάρους του εργάτη για την παραπάνω ανύψωση είναι Ww=-w⋅h=-25.500 J. Για τη µεταβολή της δυναµικής του ενέργειας έχουµε ∆U=Uτελ-Uαρχ=25.500-0=25.500 J. Παρατηρούµε ότι το έργο του βάρους είναι το αντίθετο της µεταβολής της δυναµικής ενέργειας του σώµατος. Άρα ισχύει WW= - ∆U. 3. Τρεις εργάτες µεταφέρουν από τις σκάλες ενός κτιρίου ένα κιβώτιο µάζας m=100Kg στον 5ο όροφο που βρίσκεται σε ύψος h=15m από το έδαφος. α) Πόση είναι η µεταβολή της δυναµικής ενέργειας του κιβωτίου για την παραπάνω ανύψωση; β) Αν παραπάνω εργάτες µετέφεραν το κιβώτιο, µε το ασανσέρ που κινείται προς τα πάνω µε σταθερή ταχύτητα υ , πόσο θα ήταν το έργο της δύναµης του πατώµατος του ασανσέρ στο κιβώτιο; Θεωρείστε ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος. ∆ίνεται g=10m/s2 . Λύση: α) Για τη µεταβολή της δυναµικής του ενέργειας έχουµε ∆U=Uτελ-Uαρχ, όπου Uυελ=m⋅g⋅h=100⋅10⋅15= 15.000 J. γ) Αφού το ασανσέρ ανεβαίνει µε σταθερή ταχύτητα αυτό σηµαίνει πως Fολ=0 ή Ν-w=0 ή Ν=w=m⋅g=1000N. Τότε για το έργο της κάθετης αντίδρασης Ν ισχύει WN=N⋅h=1000⋅15=15.000 J. w N υ
- 378. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 377 4. Από ύψος h=2m ρίχνουµε προς τα πάνω µια πέτρα m=100 g µε αρχική ταχύτητα υ0=5m/s, που σχηµατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ. Αν θεωρήσουµε ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που περνάει από το σηµείο βολής, τότε: α) Υπολογίστε τη δυναµική ενέργεια της πέτρας όταν φτάσει στο έδαφος. β) Υπολογίστε το έργο του βάρους Ww της πέτρας κατά την κίνηση της. γ)Πόσο θα ήταν το έργο του βάρους Ww, αν ρίχναµε την πέτρα µε υ0 και γωνία φ προς τα κάτω; δ) Ποια είναι η αρχική δυναµική ενέργεια της πέτρας ως προς το οριζόντιο επίπεδο που περνάει από το σηµείο Α που βρίσκεται σε ύψος H=1m από το έδαφος; Πόση είναι τότε η τελική δυναµική ενέργεια της πέτρας; ε)Υπολογίστε την αρχική κινητική ενέργεια της πέτρας. Πιστεύετε ότι η κινητική ενέργεια της πέτρας εξαρτάται από την επιλογή του επιπέδου µηδενικής δυναµικής ενέργειας; ∆ίνεται g=10m/s2 . Λύση: α) Για την τελική δυναµική ενέργεια της πέτρας ισχύει: Uτελ=-m⋅g⋅h=0,1⋅10⋅2= -2 J. β) Το έργο του βάρους ενός σώµατος, δεν εξαρτάται από το είδος της διαδροµής αλλά µόνο από τη διαφορά ύψους µεταξύ αρχικής και τελικής θέσης (κατακόρυφη µετατόπιση h). υ U =0 Β Α Γ Η βαρ 0 φ
- 379. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 378 Έτσι το έργο βάρους της πέτρας θα είναι Ww=m⋅g⋅h=2 J. ∆ηλαδή το έργο του βάρους είναι θετικό αφού η τελική θέση Γ βρίσκεται χαµηλότερα από την αρχική θέση Β. γ) Και σε αυτή την περίπτωση το έργο του βάρους της πέτρας θα είναι Ww=m⋅g⋅h=2 J αφού το έργο του βάρους δε εξαρτάται από τη διαδροµή που ακολούθησε το σώµα για να πάει από την αρχική στην τελική του θέση. δ) Η αρχική δυναµική ενέργεια της πέτρας ως προς το οριζόντιο επίπεδο που περνάει από το σηµείο Α που βρίσκεται σε ύψος H=1m από το έδαφος θα είναι Uαρχ=w⋅(h-H)=m⋅g⋅(h-H)=1 J. Ενώ η τελική δυναµική ενέργεια της πέτρας θα είναι Uτελ= -w⋅H= -m⋅g⋅H= -1 J. Παρατηρείστε πως και σε αυτή την περίπτωση η µεταβολή της δυναµικής ενέργειας του σώµατος είναι ∆U=Uτελ-Uαρχ=-1-1=-2 J δηλαδή είναι αντίθετη τυου έργου του βάρους της πέτρας που είναι 2J. Άρα ισχύει ∆U=-Ww. ε) Η αρχική κινητική ενέργεια της πέτρας είναι ΕΚ= 1 2 ⋅m⋅υ0 2 ή ΕΚ= 1 2 ⋅0,1⋅52 ή ΕΚ= 1,25 J. H κινητική ενέργεια της πέτρας δεν εξαρτάται από την επιλογή του επιπέδου µηδενικής δυναµικής ενέργειας 5. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια ενός σώµατος µάζας m=4Kg τη στιγµή που κινείται µε ταχύτητα υ=36km/h. Αν η ταχύτητά του διπλασιαστεί τότε πόση είναι η µεταβολή ∆ΕΚ της κινητικής ενέργειας του σώµατος; Ποια είναι η εκατοστιαία µεταβολή της κινητικής του ενέργειας; Λύση: Η ταχύτητα του σώµατος στο S.I είναι υ=10m/s. Τότε είναι ΕΚ= 1 2 ⋅m⋅υ2 ή ΕΚ= 1 2 ⋅4⋅102 ή ΕΚ= 200 J. Αν η ταχύτητα του σώµατος διπλασιαστεί και γίνει υ΄=2υ=20m/s τότε η τελική κινητική ενέργεια του σώµατος θα γίνει
- 380. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 379 Ε΄Κ= 1 2 ⋅m⋅υ΄2 ή Ε΄Κ= 1 2 ⋅4⋅202 ή Ε΄Κ= 800 J. Τότε για τη µεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώµατος έχουµε: ∆ΕΚ=ΕΚτελ-ΕΚαρχ=Ε΄Κ-ΕΚ=800-200=600 J. Το θετικό πρόσηµο της µεταβολής της κινητικής ενέργειας σηµαίνει πως αυτή αυξήθηκε , όπως εύκολα διαπιστώνουµε. Για την εκατοστιαία µεταβολή της κινητικής του ενέργειας σκεφτόµαστε ως εξής: Όταν ΕΚαρχ=200 J η µεταβολή ∆ΕΚ της κινητικής ενέργειας είναι 600 J Όταν ΕΚαρχ=100 J η µεταβολή ∆ΕΚ της κινητικής ενέργειας είναι α; Έτσι προκύπτει α= Κ Καρχ ∆Ε Ε ⋅100% = 600 200 ⋅100% = 300%. 6. Από το έδαφος ρίχνουµε κατακόρυφα προς τα πάνω σώµα µάζας m=2Kg µε αρχική ταχύτητα υ0=10m/s. α) Να υπολογιστεί η αρχική κινητική ενέργεια του σώµατος. β) Αν το µέγιστο ύψος που φτάνει το σώµα είναι hmax=5m, τότε να υπολογίσετε την τελική του δυναµική ενέργεια. Πόση είναι τότε η κινητική ενέργεια του σώµατος; Τι παρατηρείτε; γ) Πόσο είναι το έργο του βάρους Ww του σώµατος στην άνοδο και πόσο στην κάθοδο του; δ) Να σχεδιάσετε την επιτάχυνση της βαρύτητας g, όταν το σώµα βρίσκεται στο µέγιστο ύψος. ε) Πόσο είναι το συνολικό έργο του βάρους του σώµατος κατά µήκος της κλειστής διαδροµής σηµείο βολής→µέγιστο ύψος→σηµείο βολής; Πως χαρακτηρίζονται οι δυνάµεις αυτές; Θεωρείστε ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος. ∆ίνεται g=10m/s2 . υ υ=0 U =0 max βαρ 0
- 381. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 380 Λύση: α) Για την αρχική κινητική ενέργεια του σώµατος έχουµε, ΕΚ= 1 2 ⋅m⋅υ2 ή ΕΚ= 1 2 ⋅2⋅102 ή ΕΚ= 100 J. β) Η τελική δυναµική ενέργεια του σώµατος ως προς το έδαφος είναι Uβαρ=w⋅h=m⋅g⋅h=100 J. Στο µέγιστο ύψος η ταχύτητα του σώµατος είναι µηδέν. Αν δεν ήταν µηδέν τότε το σώµα θα ανέβαινε και άλλο ψηλά. Παρατηρούµε λοιπόν ότι στο µέγιστο ύψος όλη η κινητική ενέργεια του σώµατος µετατράπηκε σε δυναµική. γ) Στην άνοδο το έργο του βάρους είναι αρνητικό και ίσο µε Ww=-m⋅g⋅h=-100 J, ενώ στην κάθοδο είναι θετικό και ίσο µε Ww=m⋅g⋅h=100 J. δ) Στο µέγιστο ύψος η επιτάχυνση της βαρύτητας g είναι κατακόρυφη µε φορά προς τα κάτω. Προσέξτε πως ενώ στο µέγιστο ύψος η ταχύτητα του σώµατος είναι µηδέν (υ=0) η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι διάφορη του µηδενός µε g=10m/s2 ≠0. ε) Το συνολικό έργο του βάρους του σώµατος κατά µήκος της κλειστής διαδροµής σηµείο βολής→µέγιστο ύψος→σηµείο βολής είναι Wολ=-m⋅g⋅h+m⋅g⋅h=-100+100=0. Τέτοιες δυνάµεις που το έργο τους κατά µήκος κλειστής διαδροµής είναι µηδέν χαρακτηρίζονται ως συντηρητικές δυνάµεις. υ=0 U =0 max βαρ
- 382. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 381 7. ∆υο αυτοκίνητα µε µάζες m1=600Kg και m2=1200Kg είναι αρχικά ακίνητα. Αν σε κάθε αυτοκίνητο εξασκήσουµε συνολική δύναµη F= 2,5.103 Ν για διάστηµα ∆x= 400m, τότε: α) Τι σχέση έχουν τα έργα που παράγει η δύναµη σε κάθε αυτοκίνητο; Σε τι µετατρέπεται το έργο της δύναµης F που ασκείται στο κάθε αυτοκίνητο; β) Πως συγκρίνονται οι ταχύτητές τους; Λύση: α) Για το κάθε αυτοκίνητο το έργο της δύναµης F είναι WF=F⋅∆x=2,5⋅103 ⋅400 ή WF=2,5⋅103 ⋅400=106 J. Το έργο της δύναµης F σε κάθε αυτοκίνητο µετατρέπεται τελικά σε κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου. Άρα τα δυο αυτοκίνητα αποκτούν τελικά ίσες κινητικές ενέργειες ΕΚ1= ΕΚ2= WF=106 J. β) Ισχύει ΕΚ1= 1 2 ⋅m1⋅υ1 2 και ΕΚ2= 1 2 ⋅m2⋅υ2 2 . Οπότε προκύπτει ΕΚ1= ΕΚ2 ή 1 2 ⋅m1⋅υ1 2 = 1 2 ⋅m2⋅υ2 2 ή 2 1 2 2 υ υ = 2 1 m m ή 2 1 2 2 υ υ = 1200 600 =2 ή υ1 2 =2⋅υ2 2 ή υ1=υ2⋅ 2 . 8. Σώµα βάρους w=200N αφήνεται να ολισθήσει χωρίς τριβές κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου του σχήµατος. α) Πόση είναι η αρχική δυναµική ενέργεια του σώµατος αν αρχικά απέχει από το οριζόντιο έδαφος (επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας) ύψος h=2,5m; β) Σε τι µετατρέπεται η βαρυτική δυναµική ενέργεια του σώµατος όταν φτάσει στο έδαφος; ∆ίνεται g=10m/s2 . m φ φ 1 2 h
- 383. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 382 F x Λύση: α) Η βαρυτική δυναµική ενέργεια που έχει ένα σώµα στο ύψος h δίνεται από τη σχέση:Uβαρ.=w⋅h=m⋅g⋅h Εδώ έχουµε επιλέξει ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος. Η δυναµική ενέργεια του σώµατος σ’ αυτή την περίπτωση είναι θετική και ίση µε Uβαρ.=w⋅h=200⋅2,5=500 J. β) Όταν το σώµα φτάσει στο έδαφος δεν έχει βαρυτική δυναµική ενέργεια ή Uβαρ.=0. Στην περίπτωση αυτή έχουµε θεωρήσει ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας το έδαφος. Η ενέργεια αυτή δεν εξαφανίστηκε αλλά µετατράπηκε (µετασχηµατίστηκε) σε άλλη µορφή. Όταν το σώµα φτάσει στο έδαφος έχει αποκτήσει ταχύτητα υ. Άρα η βαρυτική δυναµική ενέργεια (Uβαρ.) µέσω του έργου του βάρους του σώµατος (Ww) µετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του σώµατος (EK). Έτσι όταν το σώµα φτάσει στο έδαφος θα έχει κινητική ενέργεια ίση µε τη δυναµική βαρυτική ενέργεια που είχε αρχικά. Άρα έχουµε ΕΚ= Uβαρ.=500 J. 9. Οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ=100Ν/m βρίσκεται στη θέση φυσικού του µήκους. α) Ποια είναι αρχική δυναµική του ενέργεια; β) Πόσο έργο παράγει µια δύναµη για επιµήκυνση του ελατηρίου κατά x=20 cm, µε σταθερή ταχύτητα; γ) Πόσο είναι τότε η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου; Λύση:
- 384. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 383 υ x Θ.Φ.Μ m α) Ένα ελατήριο που έχει παραµορφωθεί κατά x, έχει ελαστική δυναµική ενέργεια Uελ= 2 1 Kx2 . Όταν το ελατήριο βρίσκεται στη θέση φυσικού του µήκους είναι x=0 άρα και η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι Uελ=0. β) Αν το ελατήριο επιµηκύνεται µε σταθερή ταχύτητα τότε ισχύει F=Fελ. Όµως από το νόµο του Hook για το µέτρο της δύναµης του ελατηρίου ισχύει Fελ=Κ⋅x, άρα και F=K⋅x. Για τον υπολογισµό του έργου της F κάνουµε γραφική παράσταση, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Το έργο της δύναµης F για επιµήκυνση του ελατηρίου από τη θέση x1=0 στη θέση x2=x=0,2m (όπου τα x1 και x2 είναι η αρχική και τελική επιµήκυνση του ελατηρίου) θα είναι ίσο µε το εµβαδό Εµβαδό του τριγώνου ΑΒΓ. Έχουµε λοιπόν WF= Εµβαδό = β υ 2 ⋅ ή WF= 2 1 ⋅K⋅x2 2 ή WF= 2 1 K⋅x2 = 2 1 ⋅100⋅0,22 ή WF=2 J. γ) Στην περίπτωση που το ελατήριο έχει επιµηκυνθεί κατά x=0,2m έχει δυναµική ενέργεια Uελ= 2 1 Kx2 ή Uελ= 2 1 ⋅100⋅0,22 ή Uελ= WF=2 J. Βέβαια ξέρουµε πως τότε το έργο της δύναµης του ελατηρίου Fελ είναι το αντίθετο του έργου της δύναµης F. Άρα έχουµε WFελ=-W= -2 J. Ακόµη η µεταβολή της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου από x1=0 σε x2=x είναι ∆U=Uτελ- Uαρχ= Uτελ= 2J. Προκύπτει λοιπόν το συµπέρασµα πως το έργο της δύναµης του ελατηρίου είναι το αντίθετο της µεταβολής της ελαστικής δυναµικής του ενέργειας άρα WFελ=- ∆U. 10. Το ακίνητο σώµα του σχήµατος, έχει µάζα m=2,5 kg και ακουµπά στο ελατήριο που έχει συσπειρωθεί κατά x=5 cm. Αφήνουµε το ελατήριο ελεύθερο. x2 Kx2 F x Γ A B
- 385. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 384 Αν η σταθερά του ελατηρίου είναι K=1000 N/m και οι τριβές αµελητέες, να βρείτε: α) Πόση είναι η αρχική δυναµική ενέργεια του ελατηρίου. β) Πόση είναι η κινητική ενέργεια του σώµατος, τη στιγµή που το ελατήριο αποκτά το φυσικό του µήκος; γ) Πόση είναι τότε η ταχύτητα του σώµατος; Λύση: α) Όταν το ελατήριο έχει συσπειρωθεί κατά x=0,05 m έχει ελαστική δυναµική ενέργεια Uελ= 2 1 Kx2 ή Uελ= 2 1 ⋅1000⋅0,05 2 ή Uελ=1,25 J. β) Στην περίπτωση του συσπειρωµένου αβαρούς ελατηρίου του σχήµατος, όλη η δυναµική ενέργεια (Uελ) που έχει το ελατήριο όταν είναι συσπειρωµένο κατά x, µεταφέρεται στο σώµα µάζας m µέσω του έργου της δύναµης του ελατηρίου (WFελ) και µετατρέπεται σε κινητική ενέργεια του σώµατος (ΕΚ) στη θέση φυσικού µήκους (Θ.Φ.Μ) του ελατηρίου. Άρα ισχύει ΕΚ=Uελ=1,25 J. Βέβαια σε µια ενδιάµεση θέση το σύστηµα ελατήριο - σώµα (m) έχει και δυναµική και κινητική ενέργεια. γ) Για την κινητική ενέργεια του σώµατος ισχύει ΕΚ= 1 2 ⋅m⋅υ2 ή 1,25= 1 2 ⋅2,5⋅υ2 ή υ2 =1 ή υ=1m/s.
- 386. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 385 1) Σώµα µάζας m=1Kg αφήνεται να πέσει από ύψος h=1,2m πάνω σ’ ένα τραπέζι. Το τραπέζι έχει ύψος H=0,8m. Τότε: α) Να υπολογιστεί η αρχική βαρυτική δυναµική ενέργεια του σώµατος µάζας m, ως προς το επίπεδο του τραπεζιού και ως προς το έδαφος. β) Αν το σώµα ισορροπήσει τελικά πάνω στο τραπέζι, να υπολογιστεί η τελική δυναµική του ενέργεια ως προς το έδαφος. γ) Πόσο είναι το έργο του βάρους κατά την πτώση του σώµατος και µέχρι να φτάσει στο τραπέζι; Ποια είναι τότε η µεταβολή της δυναµικής ενέργειας του σώµατος όταν τη µετράµε ως προς το τραπέζι και ως προς το έδαφος; Τι παρατηρείτε; ∆ίνεται g=10m/s2 . 2) Ανεβάζουµε µια πέτρα βάρους w=50 Ν σε ύψος h=2,4 m µε σταθερή ταχύτητα µε τρεις τρόπους: 1) ασκώντας κατακόρυφη δύναµη F, 2) σπρώχνοντάς τη σε ένα κεκλιµένο επίπεδο µήκους s=4,8m και 3) ανεβάζοντάς τη διαδοχικά σε 6 σκαλοπάτια ύψους 0,4 m το καθένα. Τότε: α) Να υπολογιστεί και στις τρεις περιπτώσεις το έργο του βάρους. Τι παρατηρείτε; U =0 βαρ Η U =0 βαρ
- 387. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 386 β) Να υπολογιστεί το έργο της δύναµης F. γ) Να υπολογιστεί βαρυτική δυναµική ενέργεια που απέκτησε η πέτρα σε σχέση µε το έδαφος. δ) Πόση είναι η µεταβολή της δυναµικής ενέργειας της πέτρας κάθε φορά που ανεβαίνει ένα σκαλοπάτι; ε) Πόση είναι η δυναµική ενέργεια της πέτρας ως προς το έδαφος όταν θα έχει ανέβει 4 σκαλοπάτια; 3) Από ύψος h=5m και από το σηµείο Α, ρίχνουµε προς τα κάτω µια πέτρα m=200 g µε αρχική ταχύτητα υ0=2m/s, που σχηµατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ. Αν θεωρήσουµε ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που περνάει από το σηµείο βολής Α, τότε: α) Υπολογίστε το έργο του βάρους Ww της πέτρας κατά την κίνηση της και µέχρι να φτάσει στο έδαφος. Πιστεύετε ότι το έργο του βάρους Ww της πέτρας είναι διαφορετικό αν τη πετάξουµε µε διαφορετικό µέτρο ταχύτητας; β) Πόσο είναι το έργο του βάρους Ww, της πέτρας αν την πετάξουµε κατακόρυφα προς τα πάνω από το ίδιο σηµείο Α ; γ) Ποια είναι η αρχική δυναµική ενέργεια της πέτρας ως προς το οριζόντιο επίπεδο που περνάει από το σηµείο Β που βρίσκεται σε ύψος H=2,5m από το έδαφος; Πόση είναι η τελική δυναµική ενέργεια της πέτρας ως προς το οριζόντιο επίπεδο που περνάει από το σηµείο Α; δ)Υπολογίστε την αρχική κινητική ενέργεια της πέτρας. Πιστεύετε ότι η κινητική ενέργεια της πέτρας εξαρτάται από τη γωνία φ; ∆ίνεται g=10m/s2 . 4) ∆υο αυτοκίνητα µε µάζες m1=500Kg και m2=800Kg κινούνται µε την ίδια οριζόντια σταθερή ταχύτητα υ. α) Να συγκρίνετε τις κινητικές ενέργειες των δυο αυτοκινήτων. υ U =0 Β Α Γ Η βαρ 0
- 388. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 387 β) Αν εξασκήσουµε σ’ αυτά την ίδια οριζόντια σταθερή δύναµη F, αντίθετη της κίνησης τότε να συγκρίνετε τα διαστήµατα ∆x1 και ∆x2 που θα διανύσουν αυτά µέχρι να σταµατήσουν. Τι παρατηρείτε; 5) α)Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια ενός σώµατος µάζας m=200Kg τη στιγµή που κινείται µε ταχύτητα υ=72km/h. β) Αν η ταχύτητά του υποδιπλασιαστεί τότε πόση είναι η µεταβολή ∆ΕΚ της κινητικής ενέργειας του σώµατος; Ποια είναι η εκατοστιαία µεταβολή της κινητικής του ενέργειας; γ) Ποια είναι η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώµατος αν αλλάξει η φορά κίνησής του; 6) α) Μπορεί η κινητική ενέργεια ενός σώµατος να πάρει αρνητικές τιµές; Τι πιστεύετε; β) Η κινητική ενέργεια ενός σώµατος είναι ΕΚ1=800 J και η κινητική ενέργεια ενός δεύτερου σώµατος που κινείται µε αντίθετη φορά είναι ΕΚ2=200 J. Ποια είναι τότε η συνολική κινητική ενέργεια του συστήµατος των δυο σωµάτων; γ) Αν ο λόγος των ταχυτήτων των δυο σωµάτων είναι 1 2 υ υ = 1 5 , τότε να υπολογιστεί ο λόγος των µαζών 1 2 m m των δυο σωµάτων. 7) Οδηγός αυτοκινήτου που κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ0=30m/s τη χρονική στιγµή t0 αντιλαµβάνεται εµπόδιο και πατάει φρένο. Κάποια χρονική στιγµή t1 η ταχύτητα του αυτοκινήτου γίνεται υ1=20m/s. Τελικά τη χρονική στιγµή t2 το αυτοκίνητο ακινητοποιείται. Ποια είναι µεταβολή της κινητικής ενέργειας του αυτοκινήτου στα χρονικά διαστήµατα t0-t1, t1-t2 και t0-t2; ∆ίνεται η µάζα του αυτοκινήτου m=0,8tn. 8) Σώµα βάρους w=120N αφήνεται να ολισθήσει χωρίς τριβές κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου του σχήµατος. α) Πόση είναι η αρχική δυναµική ενέργεια του σώµατος αν αρχικά απέχει από το οριζόντιο έδαφος m φ φ 1 2 h
- 389. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 388 υ x Θ.Φ.Μ m (επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας) ύψος h=0,8m; β) Σε τι µετατρέπεται η βαρυτική δυναµική ενέργεια του σώµατος όταν φτάσει στο έδαφος; γ) Πόση είναι η ταχύτητα µε την οποία το σώµα φτάνει στο έδαφος; ∆ίνεται g=10m/s2 . 9) Το ακίνητο σώµα του σχήµατος, έχει µάζα m=500g και ακουµπά στο ιδανικό αβαρές ελατήριο, που έχει συσπειρωθεί κατά x=15 cm. Αφήνουµε το ελατήριο ελεύθερο. Αν η σταθερά του ελατηρίου είναι K=200 N/m και οι τριβές αµελητέες, να βρείτε: α) Πόση είναι η αρχική ελαστική δυναµική ενέργεια του ελατηρίου. β) Πόση είναι η κινητική ενέργεια του σώµατος, τη στιγµή που το ελατήριο αποκτά το φυσικό του µήκος; γ) Πόση είναι τότε η ταχύτητα του σώµατος;
- 390. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 389 1) Ένα µήλο βάρους 1 Ν, όταν βρίσκεται σε ύψος 2m από την επιφάνεια της γης, έχει βαρυτική δυναµική ενέργεια ίση µε 2 J, ενώ περιέχει και χηµική ενέργεια. ( ) 2) Η βαρυτική δυναµική ενέργεια ενός σώµατος, είναι ίση µε το έργο της δύναµης που το ανύψωσε, αν η ταχύτητά του δε µεταβάλλεται. ( ) 3) Ένα κινούµενο σώµα έχει σταθερή µάζα m. Η κινητική του ενέργεια είναι ανάλογη µε την ταχύτητά του και εξαρτάται από την κατεύθυνση της ταχύτητας. ( ) 4) Κατά την πτώση ενός σώµατος η δυναµική του ενέργεια παραµένει σταθερή. ( ) 5) Η κινητική ενέργεια ενός σώµατος δεν µπορεί να πάρει αρνητικές τιµές. ( ) 6) H ταχύτητα και η κινητική ενέργεια ενός σώµατος είναι διανυσµατικά µεγέθη. ( ) 7) H κινητική ενέργεια ενός συστήµατος σωµάτων, είναι ίση µε το άθροισµα των κινητικών ενεργειών των σωµάτων του συστήµατος. ( ) 8) Ένα σώµα που πέφτει κατακόρυφα µπορεί να έχει κινητική ενέργεια, αλλά δε µπορεί να έχει δυναµική ενέργεια. ( ) 9) Ένα αντικείµενο βάρους w βρίσκεται σε ύψος h από την επιφάνεια της Γης.
- 391. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 390 Τότε λέµε ότι το σύστηµα Γη - αντικείµενο έχει δυναµική ενέργεια w⋅h, γιατί η δυναµική ενέργεια είναι ενέργεια αλληλεπίδρασης και αναφέρεται σε σύστηµα σωµάτων. ( ) 1) Η βαρυτική δυναµική ενέργεια που έχει ένα σώµα βάρους w σε κάποιο ύψος h, α) είναι ανεξάρτητη από το δρόµο που ακολούθησε για να βρεθεί σ' αυτό το ύψος. β) εξαρτάται από τη διαδροµή που ακολούθησε το σώµα για να βρεθεί στο ύψος h. γ) είναι ίση µε Uβαρ= -w⋅h. δ) είναι ίση µε το έργο του βάρους για την ανύψωση του σώµατος στο παραπάνω ύψος δηλαδή ισχύει ∆U=Ww. 2) Σώµα ολισθαίνει από την κορυφή µέχρι τη βάση ενός λείου κεκλιµένου επιπέδου. Κατά την κίνησή του, η δυναµική του ενέργεια µετατρέπεται σε α. κινητική. β. µηχανική. γ. θερµική. δ. χηµική. 3) Μαθητής σπρώχνει ένα σώµα από τη βάση ενός µη λείου κεκλιµένου επιπέδου, προς τα πάνω, µε αποτέλεσµα να αυξάνεται η ταχύτητα του σώµατος. Η χηµική ενέργεια που ξοδεύει ο µαθητής µετατρέπεται εξ ολοκλήρου σε α. κινητική ενέργεια του σώµατος. β. δυναµική ενέργεια του σώµατος. γ. θερµότητα. δ. όλες τις παραπάνω µορφές ενέργειας. 4) Αν η ταχύτητα ενός σώµατος διπλασιαστεί, τότε η κινητική του ενέργεια. α) τετραπλασιάζεται
- 392. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 391 β) διπλασιάζεται γ) Παραµένει σταθερή δ) υποτετραπλασιάζεται. 5) Αν ένα σώµα αφεθεί να κινηθεί σε λείο κεκλιµένο επίπεδο µόνο µε την επίδραση του βάρους του, τότε το έργο του βάρους, είναι ίσο: α) µε τη µεταβολή της δυναµικής ενέργειας β) µε τη µείωση της κινητικής ενέργειας γ) την ελάττωση της δυναµικής ενέργειας η οποία είναι ίση µε την αύξηση της κινητικής του ενέργειας. δ) µε την αύξηση της θερµικής ενέργειας. 1) Η βαρυτική δυναµική ενέργεια ενός σώµατος είναι ……………………. του έργου του βάρους του για την παραπάνω ανύψωση. 2) Ένα ηλεκτρόνιο που περιφέρεται γύρω από τον πυρήνα ενός ατόµου έχει ………………….. δυναµική ενέργεια, λόγω της ελκτικής …………………δύναµης που του ασκεί ο πυρήνας. 3) Κάθε σώµα που κινείται έχει και µια µορφή ενέργειας η οποία ονοµάζεται …………………ενέργεια. 4) Όταν συσπειρώνουµε ένα ελατήριο, χηµική ενέργεια του ανθρώπου µετατρέπεται σε ............................ ενέργεια του ελατηρίου.
- 393. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 392 5) Η δυναµική ενέργεια ενός ελατηρίου δίνεται από τη σχέση U = ½ Kx2 . Το x εκφράζει την παραµόρφωση του ελατηρίου σε σχέση µε το ……………..του µήκος.
- 394. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 393 h υ Uβαρ=0 υ =0 h w Uβαρ=0 υ 5.3 Η µηχανική ενέργεια και η διατήρηση της 1. Μια µπάλα εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω από το οριζόντιο έδαφος. Να περιγράψετε τις ενεργειακές µεταβολές που έχουµε κατά την κίνηση της µπάλας του σχήµατος στην άνοδο αλλά και την κάθοδο. • Αν εκτοξεύσουµε κατακόρυφα προς τα πάνω από το έδαφος µια µπάλα µάζας m και βάρους w, µε αρχική ταχύτητα υ, τότε τη στιγµή της εκτόξευσης η µπάλα, έχει κινητική ενέργεια, (έχουµε επιλέξει ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας το οριζόντιο έδαφος). Καθώς όµως ανεβαίνει, µειώνεται η ταχύτητά της, συνεπώς και η κινητική της ενέργεια. Σε αυτή την περίπτωση λέµε ότι το σώµα χάνει κινητική ενέργεια µέσω του έργου του βάρους Ww= -w⋅ ⋅ ⋅ ⋅h. Ταυτόχρονα, όµως, αυξάνεται το ύψος της µπάλας από το έδαφος και εποµένως αυξάνεται η βαρυτική δυναµική της ενέργεια . Κατά την ανοδική κίνηση της µπάλας, η κινητική της ενέργεια µετατρέπεται σε δυναµική. • Όταν η µπάλα φθάσει στο ανώτερο σηµείο της τροχιάς, η ταχύτητά της µηδενίζεται στιγµιαία (υ=0), συνεπώς η µπάλα δεν έχει κινητική ενέργεια. Η δυναµική της ενέργεια όµως είναι µέγιστη. Όλη η κινητική ενέργεια της µπάλας µετατράπηκε σε δυναµική. • Στη συνέχεια η µπάλα αρχίζει να πέφτει κατακόρυφα προς τα κάτω, µε την επίδραση του βάρους της w, όπως φαίνεται στο σχήµα. Σε αυτή την περίπτωση λέµε ότι το σώµα κερδίζει κινητική ενέργεια σε βάρος της δυναµικής του ενέργειας µέσω του έργου του βάρους Ww=w⋅ ⋅ ⋅ ⋅h. Κατά την
- 395. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 394 καθοδική κίνηση της µπάλας λέµε ότι έχουµε µετατροπή δυναµικής ενέργειας σε κινητική. • Κατά την καθοδική κίνηση της µπάλας η ταχύτητά της αυξάνεται, εποµένως και η κινητική της ενέργεια. Ταυτόχρονα όµως το ύψος από το έδαφος µειώνεται, συνεπώς µειώνεται και η δυναµική ενέργεια του σώµατος. Συνοψίζοντας: • Καθώς η µπάλα ανεβαίνει, η κινητική της ενέργεια µειώνεται και η δυναµική της αυξάνεται. Όταν η µπάλα κατεβαίνει, η κινητική της ενέργεια αυξάνεται και η δυναµική της ενέργεια µειώνεται. • Και στις δυο περιπτώσεις (άνοδο και κάθοδο) η µετατροπή της ενέργειας της µπάλας από κινητική σε δυναµική (ή αντίστροφα) γίνεται µέσω του έργου του βάρους της µπάλας. 2. Ποια ενέργεια ονοµάζεται µηχανική; Το άθροισµα της δυναµικής και της κινητικής ενέργειας ενός σώµατος ή συστήµατος σωµάτων, ονοµάζεται µηχανική ενέργεια του σώµατος ή του συστήµατος των σωµάτων (Εµηχανική). Εµηχανική= U+EK 3. Να αναφέρετε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας. Όταν σ’ ένα σώµα ή σύστηµα σωµάτων επιδρούν µόνο βαρυτικές, ηλεκτρικές ή δυνάµεις ελαστικής παραµόρφωσης (συντηρητικές δυνάµεις), η µηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή.
- 396. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 395 υ x0 Θ.Φ.Μ m Μπορούµε να διατυπώσουµε το παραπάνω θεώρηµα ή αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας (Α.∆.Μ.Ε) και ως εξής: Κατά τις µετατροπές της δυναµικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα, η µηχανική ενέργεια (δηλ., το άθροισµα της δυναµικής και της κινητικής ενέργειας) παραµένει σταθερή, εφόσον δεν έχουµε µετατροπές αυτής σε ενέργεια άλλης µορφής (π.χ., θερµότητα). ∆ηλαδή ισχύει: Α.∆.Μ.Ε: Εµηχ(αρχ)=Εµηχ(τελ)=σταθερή ή Uαρχ+ΕΚαρχ = Uτελ+ΕΚτελ Το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας είναι ειδική περίπτωση µιας γενικότατης αρχής της Φυσικής, που είναι γνωστή ως αρχή διατήρησης της ενέργειας (Α.∆.Ε). Έτσι κατά την κίνηση της µπάλας του 1ου ερωτήµατος η µηχανική ενέργεια της µπάλας δε µεταβάλλεται κατά την κίνησή της αλλά παραµένει σταθερή, ισχύει δηλαδή η Α.∆.Μ.Ε: Εµηχ(αρχ)=Εµηχ(τελ)=σταθερή ή Uαρχ+ΕΚαρχ = Uτελ+ΕΚτελ. Ακόµη στην περίπτωση του συσπειρωµένου αβαρούς ελατηρίου του σχήµατος όπου στο ελεύθερο άκρο του ακουµπάει µια µάζα m, Αρχικά το ελατήριο είναι συσπειρωµένο µέγιστα κατά x0 και έχει µέγιστη δυναµική ενέργεια, ενώ η κινητική του ενέργεια είναι µηδέν. Σε µια ενδιάµεση θέση το σύστηµα ελατήριο - σώµα (m), έχει και δυναµική και κινητική ενέργεια.
- 397. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 396 Τελικά τη στιγµή που η µπάλα χάνει την επαφή της µε το ελατήριο (στη θέση φυσικού µήκους Θ.Φ.Μ) η µπάλα έχει µέγιστη κινητική ενέργεια ενώ η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι µηδέν. Σε κάθε περίπτωση όµως, το άθροισµα της κινητικής και της δυναµικής ενέργειας του συστήµατος ελατήριο- µάζα m είναι το ίδιο δηλαδή παραµένει σταθερό. ∆ηλαδή ισχύει και σ’ αυτήν την περίπτωση η Α.∆.Μ.Ε: Εµηχ(αρχ)=Εµηχ(τελ)=σταθερή ή Uαρχ+ΕΚαρχ = Uτελ+ΕΚτελ.
- 398. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 397 1. Από ύψος h=1,8m αφήνουµε να πέσει ένα σώµα µάζας m=5 Kg. α) Πόση είναι η αρχική µηχανική ενέργεια του σώµατος ως προς το έδαφος; β) Με ποια ταχύτητα φτάνει το σώµα στο έδαφος; γ) Πόση είναι η κινητική ενέργεια του σώµατος όταν έχει µετατοπιστεί από την αρχική του θέση κατά ∆x=0,8m; Θεωρείστε ότι η αντίσταση του αέρα είναι αµελητέα και ότι δίνεται g=10m/s2 . Λύση: α) Η βαρυτική δυναµική ενέργεια που το σώµα σε ύψος h από τη επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας είναι Uαρχ.=w⋅h=m⋅g⋅h=5⋅10⋅1,8=90 J. Επειδή το σώµα δεν έχει αρχική ταχύτητα (το σώµα ξεκινά από την ηρεµία) η αρχική του κινητική ενέργεια είναι µηδέν οπότε ισχύει ΕΚαρχ=0. Το άθροισµα της δυναµικής και της κινητικής ενέργειας του σώµατος, ονοµάζεται µηχανική ενέργεια του σώµατος και ισχύει Εµηχ(αρχ)= Uαρχ+ΕΚαρχ =90+0=90 J. ∆ηλαδή η αρχική µηχανική ενέργεια του σώµατος στη θέση Α είναι όση και η δυναµική του ενέργεια. β) Όταν το σώµα φτάσει στο έδαφος, όπου θεωρούµε ότι είναι το επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας (επίπεδο αναφοράς), η τελική δυναµική ενέργεια του σώµατος είναι µηδέν, δηλαδή έχουµε Uτελ=0. Κατά τις µετατροπές της δυναµικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα, η µηχανική ενέργεια (δηλ., το άθροισµα της δυναµικής και της κινητικής ενέργειας) παραµένει σταθερή, εφόσον δεν έχουµε µετατροπές αυτής σε ενέργεια άλλης µορφής (π.χ., θερµότητα). ∆ηλαδή για τις θέσεις Α και Β ισχύει: Α.∆.Μ.Ε: Εµηχ(αρχ)=Εµηχ(τελ) ή Uαρχ+ΕΚαρχ = Uτελ+ΕΚτελ ή 90=0+ ΕΚτελ ή ΕΚτελ=90 J ή 1 2 ⋅m⋅υ2 =90 ή 1 2 ⋅5⋅ υ2 =90 ή υ2 =36 ή υ=6m/s. Α Β Γ Η
- 399. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 398 γ) Όταν το σώµα µετατοπιστεί από την αρχική του θέση κατά ∆x=0,8m τότε βρίσκεται από το έδαφος σε ύψος H=h-∆x=1m. Έτσι στη θέση Γ έχει δυναµική ενέργεια Uτελ=m⋅g⋅H=50 J. Επειδή στο σώµα ασκείται µόνο το βάρος του ισχύει η Αρχή ∆ιατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (Α.∆.Μ.Ε) , οπότε µεταξύ της αρχικής θέσης Α και της τελικής θέσης Γ έχουµε: Α.∆.Μ.Ε: Εµηχ(αρχ)=Εµηχ(τελ) ή Uαρχ+ΕΚαρχ = Uτελ+ΕΚτελ ή 90=50+ ΕΚτελ ή ΕΚτελ=90- 50 ή ΕΚτελ=40 J. 2. Ένα σώµα µάζας m = 10kg συγκρατείται σε ύψος 20m από το έδαφος. α) Πόση είναι η δυναµική ενέργεια του σώµατος, στο ύψος h; β) Αν αφήσουµε το σώµα ελεύθερο να πέσει, να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστηµα αξόνων, (i) τη δυναµική του ενέργεια (ii) την κινητική του ενέργεια και (iii) τη µηχανική ενέργεια σε συνάρτηση µε το ύψος του από το έδαφος. ∆ίνεται g = 10m/s2 . Λύση: α) Το βάρος του σώµατος είναι w=m⋅g=100N. Η δυναµική ενέργεια του σώµατος σε ύψος 20 m θα είναι U=w⋅h=2000 J. β) i) Η δυναµική ενέργεια του σώµατος σε συνάρτηση µε το ύψος του από το έδαφος δίνεται από τη σχέση U=w⋅ ⋅ ⋅ ⋅h=100⋅ ⋅ ⋅ ⋅h. Η εξίσωση αυτή είναι 1ου βαθµού ως προς το ύψος άρα η γραφική παράσταση είναι µια ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων. Για την κατασκευή της ευθείας χρειαζόµαστε τουλάχιστο δυο σηµεία. ii) Αρχικά το σώµα απέχει από το έδαφος h=20m οπότε έχει όπως είπαµε αρχική δυναµική ενέργεια Uαρχ=100⋅20=2.000 J. Η αρχική κινητική ενέργεια του σώµατος είναι µηδέν δηλαδή ΕΚαρχ=0. Η αρχική Μηχανική ενέργεια του σώµατος είναι Εµηχ=Uαρχ+ΕΚαρχ=2.000 J. Επειδή κατά τη διάρκεια της κίνησης του σώµατος εξασκείται µόνο το βάρος του η Μηχανική του ενέργεια παραµένει σταθερή (διατηρείται). ∆ηλαδή είναι Εµηχ=2.000 J=σταθερή. Γενικά για οποιαδήποτε θέση του σώµατος ισχύει: U+ΕΚ=2.000 ή ΕΚ=2.000-U ή ΕΚ=2.000-100⋅ ⋅ ⋅ ⋅h. Η εξίσωση αυτή είναι 1ου βαθµού ως προς το ύψος h, άρα η γραφική παράσταση είναι µια ευθεία γραµµή.
- 400. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 399 iii) Η ολική µηχανική ενέργεια του σώµατος διατηρείται σταθερή και ίση µε Εµηχ=2.000 J=σταθερή. Άρα η γραφική παράσταση είναι µια ευθεία γραµµή παράλληλη προς τον άξονα των µετατοπίσεων h. Όταν το σώµα φτάσει στο έδαφος είναι h=0 οπότε η τελική βαρυτική δυναµική ενέργεια του σώµατος µηδενίζεται δηλαδή είναι Uτελ=w⋅ ⋅ ⋅ ⋅h ή Uτελ=0 και η κινητική του ενέργεια γίνεται ΕΚ=2.000-100⋅ ⋅ ⋅ ⋅h=2.000 J. Τότε προκύπτει η παρακάτω γραφική παράσταση: 0 100 K 10 E(J) U(h) E (h) E (h) h(m) µηχ
- 401. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 400 3. Με πόση αρχική ταχύτητα υ0 πρέπει να ρίξουµε κατακόρυφα προς τα κάτω µια τελείως ελαστική µπάλα από ύψος h=5m, ώστε αναπηδώντας στο δάπεδο να φτάσει σε διπλάσιο ύψος από αυτό που αρχικά βρίσκονταν; Θεωρούµε τις αντιστάσεις του αέρα αµελητέες και την κρούση µε το δάπεδο ελαστική. ∆ίνεται g = 10m/s2 . Λύση: Εφαρµόζουµε την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας στις θέσεις (Α) και (∆). Στη θέση Α η σφαίρα έχει κινητική ενέργεια 1 2 ⋅m⋅υ0 2 και δυναµική ενέργεια mgh, ενώ στη θέση ∆ η κινητική ενέργεια είναι µηδέν και η δυναµική m⋅g⋅2h. Από την Αρχή ∆ιατήρησης της µηχανικής ενέργειας έχουµε: Ε(Α) = 1 2 ⋅m⋅υ0 2 + m⋅g⋅h και Ε(∆) = m⋅g⋅2h. Έτσι: Ε(Α) = Ε(∆) ή 1 2 ⋅m⋅υ0 2 + m⋅g⋅h = m⋅g⋅2h και τελικά προκύπτει υ0 2 = 2gh ή υ0 = 2gh ή υ0=10m/s. 4. Ένα σώµα µάζας m=1 Kg, αφήνεται να κινηθεί κατά µήκος του λείου κεκλιµένου επιπέδου AΓ. To σώµα µετά από τη διαδροµή ΑΓ εισέρχεται στο λείο οριζόντιο επίπεδο ΓΖ. Av είναι AΓ =0,9m, να βρείτε την ταχύτητα µε την οποία φτάνει το σώµα στο σηµείο Ζ. ∆ίνεται g = 10m/s2 και ηµ300 =0,5 h Uβαρ=0 B
- 402. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 401 Λύση: Το σώµα στην αρχική του θέση Α, έχει µόνο βαρυτική δυναµική ενέργεια Uαρχ= =U(Α)=w⋅h=m⋅g⋅h. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ηµ300 = (AB) (AΓ) ή 0,5⋅(ΑΓ)=(ΑΒ) ή (ΑΒ)=0,5⋅0,9=0,45m ή h=0,45m. Τότε έχουµε U(Α)=w⋅h=m⋅g⋅h=4,5 J. Η αρχική κινητική ενέργεια του σώµατος στη θέση (Α) είναι µηδέν δηλαδή έχουµε ΕΚ(Α)=0. Αφού το κεκλιµένο επίπεδο είναι λείο η µόνη δύναµη που ασκείται στο σώµα και παράγει έργο, είναι το βάρος του και δεν έχουµε απώλεια µηχανικής ενέργειας. Άρα ισχύει η Α.∆.Μ.Ε ή Εµηχ(αρχ)=Εµηχ(τελ) ή U(Α)+ΕΚ(Α) = U(Γ)+ΕΚ(Γ). Στη θέση (Γ) είναι U(Γ)=0, οπότε προκύπτει 4,5= ΕΚ(Γ) ή 1 2 ⋅m⋅υΓ 2 =4,5 ή υΓ 2 =9 ή υΓ=3 m/s. Αφού το οριζόντιο επίπεδο ΓΖ είναι λείο αυτό σηµαίνει ότι η ταχύτητα του σώµατος κατά την κίνηση του σώµατος στο οριζόντιο επίπεδο παραµένει σταθερή. Άρα είναι και υΖ=υΓ=3 m/s. 5. Από το έδαφος ρίχνουµε κατακόρυφα προς τα πάνω σώµα µάζας m=2Kg µε αρχική ταχύτητα υ0=10m/s. α) Να υπολογιστεί το µέγιστο ύψος hmax στο οποίο φτάνει το σώµα. β) Να υπολογιστεί η µεταβολή της µηχανικής ενέργειας του σώµατος. γ) Να βρείτε σε ποια θέση η κινητική ενέργεια του σώµατος έχει το 1 4 της αρχικής της τιµής. δ) Με ποια ταχύτητα φτάνει το σώµα στο έδαφος; Τι παρατηρείτε; Θεωρείστε ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος, ότι η αντίσταση του αέρα είναι αµελητέα και ότι g=10m/s2 . Λύση: α) Επειδή κατά τη διάρκεια της κίνησης του σώµατος εξασκείται µόνο το βάρος του η Μηχανική του ενέργεια παραµένει σταθερή (διατηρείται). ∆ηλαδή ισχύει, υ υ=0 U =0 max βαρ 0 Α Β
- 403. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 402 Α.∆.Μ.Ε: Εµηχ(αρχ)=Εµηχ(τελ) ή Uαρχ+ΕΚαρχ = Uτελ+ΕΚτελ ή U(Α)+ΕΚ(Α) = U(Β)+ ΕΚ(Β). Όµως η U(Α)=0 γιατί εκεί θεωρήσαµε το επίπεδο µηδενικής ενέργειας και ΕΚ(Β)=0 γιατί στο µέγιστο ύψος η ταχύτητα και άρα και η κινητική ενέργεια του σώµατος µηδενίζεται στιγµιαία. Τότε έχουµε ΕΚ(Α) = U(Β) αφού U(Α)=0 και ΕΚ(Β)=0 ή 1 2 ⋅m⋅υ0 2 =m⋅g⋅hmax ή υ0 2 =2⋅g⋅hmax ή hmax= 2 0 υ 2g = 100 20 =5 m β) Η µηχανική ενέργεια του σώµατος διατηρείται σταθερή άρα η µεταβολή της είναι µηδέν δηλαδή ∆Εµηχ=0. γ) Έστω ότι σε µια θέση Γ που απέχει από το έδαφος απόσταση hΓ η κινητική ενέργεια του σώµατος έχει το 1 4 της αρχικής της τιµής δηλαδή είναι ΕΚ(Γ)= 1 4 ΕΚ(Α) . Τότε από την Α.∆.Μ.Ε έχουµε: Εµηχ(αρχ)=Εµηχ(τελ) ή Uαρχ+ΕΚαρχ = Uτελ+ΕΚτελ ή U(Α)+ΕΚ(Α) = U(Γ)+ ΕΚ(Γ) ή 0+ΕΚ(Α) = U(Γ)+ 1 4 ΕΚ(Α) ή U(Γ)= ΕΚ(Α) - 1 4 ΕΚ(Α) ή U(Γ)= 3 4 ΕΚ(Α) ή m⋅g⋅hΓ= 3 4 ⋅ 1 2 ⋅m⋅υ0 2 ή hΓ= 2 0 3υ 8g ή hΓ= 30 8 ή hΓ=3,75 m. δ) από την Α.∆.Μ.Ε προκύπτει ότι το σώµα θα επιστρέψει στην αρχική του θέση Α µε την ίδια κινητική ενέργεια άρα και µε την ίδια κατά µέτρο ταχύτητα. Άρα το σώµα θα επιστρέψει στο σηµείο βολής Α µε ταχύτητα µέτρου 10m/s αλλά όµως θα έχει αντίθετη φορά. Βέβαια µόλις το σώµα συγκρουστεί µε το δάπεδο το σώµα θα ακινητοποιηθεί. Έτσι όλη η κινητική του ενέργεια θα µετατραπεί σε θερµική ενέργεια του σώµατος και του δαπέδου καθώς και σε ενέργεια παραµόρφωσης και ενέργεια ηχητικού κύµατος.
- 404. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 403 6. Το βλήµα του σχήµατος έχει µάζα m=2Kg και εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα υ0=80m/s. Να βρείτε το µέγιστο ύψος στο οποίο θα ανέβει το βλήµα. Σε ποιο ύψος η δυναµική ενέργεια του βλήµατος γίνεται ίση µε την κινητική του ενέργεια; Θεωρείστε ως επίπεδο αναφοράς το σηµείο βολής, ότι η αντίσταση του αέρα είναι αµελητέα και ότι g=10m/s2 . Λύση: Κατά τη διάρκεια της κίνησης του βλήµατος εξασκείται µόνο το βάρος του και η Μηχανική του ενέργεια παραµένει σταθερή (διατηρείται). ∆ηλαδή ισχύει, Α.∆.Μ.Ε: Εµηχ(αρχ)=Εµηχ(τελ) ή Uαρχ+ΕΚαρχ = Uτελ+ΕΚτελ ή U(Α)+ΕΚ(Α) = U(Β)+ ΕΚ(Β). Όµως η U(Α)=0 γιατί εκεί θεωρήσαµε το επίπεδο µηδενικής ενέργειας και ΕΚ(Β)=0 γιατί στο µέγιστο ύψος η ταχύτητα και άρα και η κινητική ενέργεια του σώµατος µηδενίζεται στιγµιαία. Τότε έχουµε ΕΚ(Α) = U(Β) αφού ή 1 2 ⋅m⋅υ0 2 =m⋅g⋅hmax ή υ0 2 =2⋅g⋅hmax ή hmax= 2 0 υ 2g = 6.400 20 =320 m. β) Η µηχανική ενέργεια του σώµατος διατηρείται σταθερή. Έστω ότι σε µια θέση Γ που απέχει από το έδαφος απόσταση hΓ η δυναµική ενέργεια του βλήµατος γίνεται ίση µε την κινητική του ενέργεια τότε έχουµε U(Γ)=ΕΚ(Γ). Από την Α.∆.Μ.Ε έχουµε: Εµηχ(αρχ)=Εµηχ(τελ) ή Uαρχ+ΕΚαρχ = Uτελ+ΕΚτελ ή U(Α)+ΕΚ(Α) = U(Γ)+ ΕΚ(Γ) ή U(Α)+ΕΚ(Α) = 2U(Γ) ή 1 2 ⋅m⋅υ0 2 =2m⋅g⋅hΓ ή υ0 2 =4⋅g⋅hΓ ή hΓ= 2 0 υ 4g = 6.400 40 =160 m. Α Β hmax
- 405. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 404 Κ m x A B Θ.Φ.Μ υ0 7. Σώµα µάζας m=2Kg ρίχνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=200Ν/m µε αρχική ταχύτητα υ0=2m/s. Να βρείτε τη µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου αν δεν υπάρχουν τριβές. Λύση: Επειδή κατά τη διάρκεια της κίνησης του σώµατος εξασκείται κατά τη διεύθυνση της κίνησής του µόνο η δύναµη του ελατηρίου (τριβές δεν υπάρχουν), η Μηχανική του ενέργεια παραµένει σταθερή (διατηρείται). ∆ηλαδή ισχύει, η Α.∆.Μ.Ε. Έτσι έχουµε, Εµηχ(αρχ)=Εµηχ(τελ) ή Uαρχ+ΕΚαρχ = Uτελ+ΕΚτελ ή U(Α)+ΕΚ(Α) = U(Β)+ ΕΚ(Β). Όµως η U(Α)=0 γιατί όταν το σώµα µάζας m βρίσκεται στη θέση Α το ελατήριο βρίσκεται στη θέση φυσικού του µήκους (Θ.Φ.Μ) δηλαδή δεν είναι επιµηκυµένο ή συσπειρωµένο και ΕΚ(Β)=0 γιατί στη µέγιστη συσπείρωση x του ελατηρίου η ταχύτητα και άρα και η κινητική ενέργεια του σώµατος µηδενίζεται στιγµιαία, ενώ η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου γίνεται µέγιστη. Τότε έχουµε ΕΚ(Α) = U(Β) αφού U(Α)=0 και ΕΚ(Β)=0 ή 1 2 ⋅m⋅υ0 2 = 1 2 ⋅Κ⋅x2 ή m⋅υ0 2 =K⋅x2 ή x= 2 0 m υ K ⋅ = 8 200 =0,04m ή 4cm.
- 406. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 405 1) Ένα σώµα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h = 0,8m. Με τι ταχύτητα φτάνει το σώµα στο έδαφος; Τι ενέργεια είχε το σώµα σε ύψος h και σε ποια µορφή µετατρέπεται τελικά αυτή; ∆ίνεται g = 10m/s2 . 2) Μια µπάλα έχει µάζα m = 0,2kg και αφήνεται από ύψος h1 = 2m. Μόλις η µπάλα συγκρουστεί µε το δάπεδο αναπηδά σε ύψος h2 = 1,8m. Να βρείτε το ποσοστό της αρχικής µηχανικής ενέργειας της µπάλας που µετατράπηκε σε θερµότητα λόγω της σύγκρουσής της µε το δάπεδο. Θεωρείστε ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος, ότι η αντίσταση του αέρα είναι αµελητέα και ότι g=10m/s2 . 3) Ένας µαθητής πετάει µια πέτρα κατακόρυφα προς τα επάνω και το µέγιστο ύψος, που φτάνει αυτή από το σηµείο βολής είναι h = 20m. Σε ποιο ύψος η κινητική ενέργεια της πέτρας είναι η µισή της αρχικής της; Θεωρείστε ότι η αντίσταση του αέρα είναι αµελητέα. 4)Από ύψος h=8m πάνω από το έδαφος αφήνουµε να πέσει µια µπάλα m=200g α)Πόσο είναι το έργο του βάρους στη µπάλα µέχρι να φτάσει σε ύψος h΄=3m από το έδαφος. Ποια είναι τότε η ταχύτητα της µπάλας; β)Υποθέστε ότι η µπάλα αφού χτυπήσει στο έδαφος, λόγω κρούσης «χάνει» το 50% της µηχανικής της ενέργειας. Ποιο είναι το καινούργιο ύψος στο οποίο θα ανέβει η µπάλα; Θεωρείστε ότι η αντίσταση του αέρα είναι αµελητέα και ότι g=10m/s2 . 5) Από ύψος h=2,25m ρίχνουµε προς τα πάνω µια πέτρα m=100g µε αρχική ταχύτητα υ0=6m/s, που σχηµατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ. α) Υπολογίστε την ταχύτητα υ µε την οποία θα φτάσει η πέτρα στο έδαφος; Πόσο θα ήταν η ταχύτητα της πέτρας, αν τη ρίχναµε µε αρχική ταχύτητα υ0 και γωνία φ προς τα κάτω; β) Ποια είναι η µηχανική ενέργεια της πέτρας κατά τη διάρκεια της κίνησης; Θεωρείστε ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος, ότι η αντίσταση του αέρα είναι αµελητέα και ότι g=10m/s2 . 6) Από το έδαφος ρίχνουµε κατακόρυφα προς τα πάνω σώµα µάζας m=2Kg µε υ0=10m/s.
- 407. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 406 α)Να υπολογιστεί το µέγιστο ύψος που θα φτάσει το σώµα. β) Σε ποιο ύψος η ταχύτητα του σώµατος γίνεται η µισή της αρχικής; γ) Πόση είναι η κινητική ενέργεια του σώµατος σε ύψος ίσο µε το 1 5 του µέγιστου ύψους που φτάνει αυτό; δ) Εξαρτάται η µηχανική ενέργεια του σώµατος από το οριζόντιο επίπεδο που θεωρούµε ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας; Θεωρείστε ότι η αντίσταση του αέρα είναι αµελητέα και ότι g=10m/s2 . 7) Μπάλα ρίχνεται οριζόντια από ύψος h=4m µε αρχική ταχύτητα υ0 . Αν σε κάποιο σηµείο της τροχιάς της σε ύψος h΄=0,25m η ταχύτητά της είναι υ=10m/s, τότε να υπολογίσετε την αρχική ταχύτητα υο της µπάλας β) Να βρείτε την ταχύτητα µε την οποία η µπάλα φτάνει στο έδαφος. Θεωρείστε ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος, ότι η αντίσταση του αέρα είναι αµελητέα και ότι g=10m/s2 . 8) Σώµα ρίχνεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα υ0 από ύψος h=15m και όταν φτάνει στο έδαφος χτυπάει µε ταχύτητα διπλάσια της αρχικής. Ποια ήταν η αρχική ταχύτητα υ0 του σώµατος; Αντίσταση του αέρα δεν υπάρχει και θεωρείστε ότι g=10m/s2 . 9) Από ύψος h=45m από την επιφάνεια της γης αφήνεται να πέσει ένα σώµα που φτάνει στο έδαφος µε ταχύτητα υ=25 m/s. Θεωρείτε ότι υπάρχει αντίσταση από τον αέρα. ∆ικαιολογείστε την απάντησή σας. Θεωρείστε ότι g=10m/s2 . 10) Σώµα µάζας m=20Kg αφήνεται να πέσει στην επιφάνεια της Σελήνης από ύψος h=3,2m και φτάνει στην επιφάνεια της µε ταχύτητα υ=3,2 m/s. α) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Σελήνης. β) Υπολογίστε τη δυναµική ενέργεια του σώµατος στο ύψος h στη Σελήνη και στη Γη. Θεωρείστε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας κοντά στη Γη είναι g=10m/s2 .
- 408. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 407 Κ m x A B Θ.Φ.Μ υ0 11) Σώµα µάζας m=0,3Kg ρίχνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=120Ν/m µε αρχική ταχύτητα υ0. Αν η µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου είναι x=0,6m να βρείτε την αρχική ταχύτητα υ0 της µάζας m. Τριβές δεν υπάρχουν.
- 409. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 408 1) Κατά την πτώση ενός σώµατος και αν η αντίσταση του αέρα θεωρηθεί αµελητέα η µηχανική του ενέργεια παραµένει σταθερή. ( ) 2) Κατά τις µετατροπές της δυναµικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα, ισχύει η Αρχή ∆ιατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (Α.∆.Μ.Ε), εφόσον δεν έχουµε µετατροπές αυτής σε θερµότητα. ( ) 3) Αν ένα σώµα ολισθαίνει σε κεκλιµένο επίπεδο, η µηχανική του ενέργεια δε διατηρείται αν υπάρχει και τριβή ολίσθησης ανάµεσα στο σώµα και το κεκλιµένο επίπεδο. ( ) 4) Η αρχή διατήρησης της ενέργειας (Α.∆.Ε) εφαρµόζεται ακόµη και όταν υπάρχουν τριβές. ( ) 5) Αν η ταχύτητα ενός σώµατος διπλασιαστεί, θα διπλασιαστεί και η δυναµική του ενέργεια. ( ) 6) Όταν ένας τοξότης τεντώνει τη χορδή του τόξου, τότε το τόξο αποκτά δυναµική ενέργεια, η οποία προέρχεται από τη χηµική ενέργεια του τοξότη. ( ) 7) H µηχανική ενέργεια ενός συστήµατος σωµάτων διατηρείται πάντα. ( ) 8) Αν αφήσουµε από το ίδιο ύψος ένα µικρό πετραδάκι και µια µεγάλη πέτρα, θα φθάσουν στο έδαφος µε την ίδια ταχύτητα, εφόσον δε λάβουµε υπόψη την αντίσταση του αέρα. ( )
- 410. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 409 1) ∆ύο σώµατα Α και Β µε µάζες mAmB αφήνονται να πέσουν από το ίδιο ύψος, h στον ίδιο τόπο. Τη στιγµή που φθάνουν στο έδαφος και η αντίσταση του αέρα θεωρηθεί αµελητέα, ισχύει: α.υΑυΒ. β. υΑυΒ. γ. υΑ=υΒ. δ. υΑ=-υΒ. 2) Από ένα σηµείο (Σ) που βρίσκεται σε ύψος h, ρίχνονται δύο σώµατα Α και Β ίδιας µάζας mA=mB. To ένα προς τα πάνω µε κατακόρυφη ταχύτητα υ0 και το άλλο οριζόντια µε ταχύτητα ίσου µέτρου. Τότε οι ταχύτητες µε τις οποίες φτάνουν τα σώµατα στο οριζόντιο έδαφος είναι: α. υΑυΒ. β. υΑυΒ. γ. υΑ=υΒ. δ. υΑ=-υΒ. 3) Από το σηµείο (Α) του λείου κεκλιµένου επιπέδου του σχήµατος που βρίσκεται σε ύψος h, αφήνεται να ολισθήσει σώµα µάζας m. Όταν το σώµα φτάσει στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου στο σηµείο Β θα έχει κινητική ενέργεια: α. ΕΚ=m⋅g⋅h. β. ΕΚ=0. γ. ΕΚ= 1 2 ⋅m⋅υ. δ. ΕΚ=-m⋅g⋅h. m φ φ 1 2 h
- 411. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 410 4) Ένα αντικείµενο βάρους w=30N βρίσκεται ακίνητο σε ύψος h=2m από το οριζόντιο έδαφος. Τότε το αντικείµενο αν θεωρήσουµε ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος, α) δεν µπορεί να έχει ενέργεια. β) έχει κινητική ενέργεια ΕΚ=60 J. γ) έχει αρνητική δυναµική ενέργεια. δ) έχει µηχανική ενέργεια Εµηχ=60 J. 1) Η µετατροπή της κινητικής ενέργειας ενός σώµατος σε βαρυτική δυναµική (ή αντίστροφα) γίνεται µέσω του έργου του ………………..του σώµατος. 2) Ένας αλεξιπτωτιστής πέφτει από κάποιο ύψος προς τη Γη µε σταθερή ταχύτητα. Τότε η µηχανική του ενέργεια ……………………………. 3) Όταν σ' ένα σώµα ή σύστηµα σωµάτων επιδρούν µόνο………….., ……………….ή δυνάµεις ………………….παραµόρφωσης, η µηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή. 4) Ένα σώµα αφήνεται να πέσει από κάποιο ύψος. Στο ανώτατο σηµείο της τροχιάς του, η µηχανική του ενέργεια είναι 18 J. Θεωρώντας ίση µε µηδέν τη δυναµική του ενέργεια στο κατώτατο σηµείο της τροχιάς του, να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών ενέργειας, για τρία χαρακτηριστικά σηµεία της κίνησης του σώµατος. (Να θεωρήσετε ότι η αντίσταση του αέρα είναι αµελητέα.)
- 412. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 411 Είδος ενέργειας Ανώτατο Ενδιάµεσο Κατώτατο Κινητική α) ................ 8 J ζ) ................... ∆υναµική β) ................ δ) ................... η) ................... Μηχανική γ) ................ ε) ................... θ) ...................
- 413. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 412 5.4 Μορφές και µετατροπές ενέργειας 5.5 ∆ιατήρηση της ενέργειας 5.6 Πηγές ενέργειας 1. Τι γνωρίζετε για τη χηµική ενέργεια (Εχηµ); Οι έµβιοι οργανισµοί καθώς και οι τροφές περικλείουν ενέργεια η οποία είναι αποθηκευµένη στα µόρια ορισµένων χηµικών ενώσεων, όπως για παράδειγµα της γλυκόζης. Η ενέργεια αυτή οφείλεται στις δυνάµεις που ασκούνται µεταξύ των ατόµων που σχηµατίζουν τα µόρια των χηµικών ενώσεων είναι δηλαδή δυναµική ενέργεια, η οποία ονοµάζεται χηµική ενέργεια. Ο οργανισµός των αθλητών ή γενικότερα του ανθρώπου προσλαµβάνει ενέργεια από τις τροφές. Με την «καύση» της γλυκόζης, η αποθηκευµένη χηµική ενέργεια µεταφέρεται στους µυς, µετατρέπεται σε κινητική και έτσι προκαλείται η κίνηση των µυών. Στα καύσιµα όπως το πετρέλαιο, τη βενζίνη, το φυσικό αέριο κ.ά. υπάρχει αποθηκευµένη χηµική ενέργεια. Στα αυτοκίνητα η χηµική ενέργεια των καυσίµων µετατρέπεται αρχικά σε θερµική των καυσαερίων και στη συνέχεια σε κινητική ενέργεια του οχήµατος. Στα θερµοηλεκτρικά εργοστάσια η χηµική ενέργεια που είναι αποθηκευµένη στο καύσιµο υλικό (άνθρακα, πετρέλαιο ή φυσικό αέριο) µετατρέπεται σε θερµική και τελικά σε ηλεκτρική. Η µετατροπή αυτή πραγµατοποιείται µε καύση των χηµικών ενώσεων. Στα τρόλεϊ όµως και στα ηλεκτρικά τρένα η ηλεκτρική ενέργεια µετατρέπεται σε κινητική των οχηµάτων. Σε έναν ηλεκτρικό λαµπτήρα τον οποίο έχουµε συνδέσει µε µια µπαταρία η χηµική ενέργεια που είναι αποθηκευµένη στην µπαταρία µετατρέπεται αρχικά σε ηλεκτρική και στη συνέχεια σε θερµική και φωτεινή στο λαµπάκι.
- 414. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 413 2. Ποιες είναι οι δυο θεµελιώδεις µορφές ενέργειας που υπάρχουν στη φύση; Στη φύση ανάλογα µε τις µεταβολές που παρατηρούµε γύρω µας µπορούµε να διακρίνουµε ποικίλες µορφές ενέργειας, όπως: µηχανική θερµική, ηλεκτρική, χηµική, πυρηνική, ηχητική, φωτεινή, ακτινοβολίας Γνωρίζουµε ότι η ύλη αποτελείται από µικροσκοπικά σωµατίδια όπως τα µόρια, τα άτοµα, τους πυρήνες και τα ηλεκτρόνια. Σε κάθε σώµα αυτά βρίσκονται σε διαρκή αλληλεπίδραση ασκώντας δυνάµεις το ένα στο άλλο, δηλαδή έχουν δυναµική ενέργεια. Επιπλέον, ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά αυτών των σωµατιδίων είναι ότι βρίσκονται σε διαρκή κίνηση, δηλαδή έχουν κινητική ενέργεια. Βλέπουµε λοιπόν ότι η κινητική και η δυναµική ενέργεια αποτελούν τις δυο θεµελιώδεις µορφές ενέργειας στο µικρόκοσµο. Όλες οι µορφές ενέργειας που µπορούµε να διακρίνουµε στον κόσµο που ζούµε ανάγονται τελικά σε αυτές τις δύο. Για παράδειγµα, Η θερµική ενέργεια: είναι κινητική ενέργεια που συνδέεται µε την άτακτη κίνηση των µορίων ή των ατόµων της ύλης. Η ενέργεια του ηλεκτρικού ρεύµατος: είναι κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων.
- 415. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 414 Η χηµική ενέργεια: είναι δυναµική ενέργεια που σχετίζεται µε τις δυνάµεις µεταξύ των µορίων ή των ατόµων. Η πυρηνική ενέργεια: είναι η δυναµική ενέργεια που οφείλεται στις δυνάµεις µεταξύ των συστατικών του πυρήνα του ατόµου. 3. Μετατροπές ενέργειας Κατ' αρχήν κάθε µορφή ενέργειας είναι δυνατόν να µετατραπεί σ' οποιαδήποτε άλλη. Με την εφεύρεση των συσκευών-µηχανών ο άνθρωπος κατάφερε να πραγµατοποιεί µετατροπές ενέργειας µε ελεγχόµενο τρόπο, από µια µορφή σε άλλη και να χρησιµοποιεί προς όφελος του αυτές τις µετατροπές ενέργειας. Ας σκεφθούµε µερικά παραδείγµατα µηχανών από τη καθηµερινή µας ζωή: ο κινητήρας του αυτοκινήτου: µετατρέπει τη χηµική των καυσίµων αρχικά σε θερµική και στη συνέχεια σε κινητική, ο λαµπτήρας: µετατρέπει την ηλεκτρική σε φωτεινή, ο λύχνος του υγραερίου: µετατρέπει τη χηµική σε θερµική, ο ηλεκτρικός ανεµιστήρας: µετατρέπει την ηλεκτρική σε κινητική. 4. Τι γνωρίζετε για την αρχή διατήρησης της ενέργειας (Α.∆.Ε). Είτε πρόκειται για µελέτη ενός πολύπλοκου συστήµατος σωµάτων όπως ένας γαλαξίας, είτε ενός απλού όπως µια κούνια, υπάρχει πάντοτε ένα µέγεθος που διατηρείται σταθερό: η ενέργεια (E). Η ενέργεια είναι δυνατόν να µεταφέρεται από ένα σώµα σε άλλο ή να µετατρέπεται από µια µορφή σε άλλη, όµως η συνολική της ποσότητα διατηρείται σταθερή. Η µελέτη των διάφορων µορφών ενέργειας και των µετασχηµατισµών της από µια µορφή σε άλλη οδήγησε σε µια από τις γενικότερες αρχές της φυσικής, την αρχή διατήρησης της ενέργειας (Α.∆.Ε):
- 416. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 415 Η ενέργεια ποτέ δεν παράγεται από το µηδέν και ποτέ δεν εξαφανίζεται. Μπορεί να µετατρέπεται από τη µια µορφή στην άλλη, ή να µεταφέρεται από ένα σώµα σε άλλο αλλά η συνολική της ποσότητα παραµένει σταθερή. ∆ηλαδή σε κάθε ενεργειακή µεταβολή η ενέργεια παραµένει σταθερή. Αυτό σηµαίνει ότι η αρχική ενέργεια (Εαρχ) ενός σώµατος (ή συστήµατος σωµάτων), είναι ίση µε την τελική του ενέργεια (Ετελ). Ισχύει Α.∆.Ε: Εαρχ=Ετελ=σταθερή. 5. Να αναφέρετε τις ενεργειακές µετατροπές που έχουµε όταν σπρώχνουµε µια κούνια και τη θέτουµε σε κίνηση. Πως εφαρµόζεται σ’ αυτήν την περίπτωση η Αρχή ∆ιατήρησης της Ενέργειας; Αρχικά η χηµική ενέργεια του σώµατος µας µεταφέρεται µέσω του έργου της δύναµης που ασκούµε στην κούνια και αυτή αποκτά µηχανική ενέργεια. ∆ηλαδή η χηµική ενέργεια µετατρέπεται σε µηχανική ενέργεια της κούνιας. Αν στη συνέχεια αφήσουµε την κούνια να κινηθεί ελεύθερα, τότε µετά από λίγο σταµατά. Τι έγινε η µηχανική της ενέργεια; Η µηχανική ενέργεια της κούνιας δεν εξαφανίσθηκε αφού η ολική ενέργεια πρέπει να διατηρείται και να παραµένει σταθερή. Μέσω του έργου των δυνάµεων της τριβής του αέρα µε την κούνια, η µηχανική ενέργεια µετατράπηκε σε θερµική. Ισχύει λοιπόν ότι: Η χηµική ενέργεια που µεταφέρθηκε στην κούνια, η αρχική µηχανική ενέργεια της κούνιας και η θερµική ενέργεια που µεταφέρθηκε στον αέρα είναι ίσες δηλαδή, Α.∆.Ε: Εαρχ=Ετελ=σταθερή ή Εχηµ=Εµηχανική=Εθερµική=σταθερή.
- 417. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 416 6. Να αναφέρετε τις ενεργειακές µετατροπές που έχουµε κατά το ξεκίνηµα και το σταµάτηµα ενός αυτοκινήτου. Πως εφαρµόζεται σ’ αυτήν την περίπτωση η Αρχή ∆ιατήρησης της Ενέργειας; Κατά την εκκίνηση του αυτοκινήτου η χηµική ενέργεια των καυσίµων µετασχηµατίζεται σε κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου και σε θερµική του αέρα που µεταφέρεται σ' αυτόν µέσω των καυσαερίων και του νερού του ψυγείου του αυτοκινήτου. Το άθροισµα της κινητικής ενέργειας του αυτοκινήτου και της θερµικής που µεταφέρθηκε στον αέρα και το νερό του ψυγείου είναι ίσο µε τη χηµική ενέργεια των καυσίµων δηλαδή Εχηµ=ΕΚ+Ε(1)θερµική. Όταν το αυτοκίνητο σταµατά, η κινητική του ενέργεια µετατρέπεται σε θερµική, που διαχέεται στο περιβάλλον, µέσω του έργου των δυνάµεων τριβής που ασκούνται στο αυτοκίνητο. ΕΚ=Ε(2)θερµική. Τελικά µπορούµε να πούµε ότι όλη η χηµική ενέργεια της βενζίνης µετατράπηκε σε θερµική ενέργεια δηλαδή Α.∆.Ε: Εαρχ=Ετελ=σταθερή ή Εχηµ=Ε(1)θερµική+ Ε(2)θερµική=Εθερµική. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Παρατηρούµε λοιπόν ότι η συνολική ποσότητα ενέργειας διατηρείται. Όµως κατά τη µετατροπή της ενέργειας σε θερµική λέµε ότι η ενέργεια υποβαθµίζεται. ∆ηλαδή µειώνεται η ικανότητά της για την παραγωγή ωφέλιµου µηχανικού έργου W.
- 418. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 417 7. Πηγές ενέργειας Η κύρια πηγή ενέργειας για τον πλανήτη µας είναι: Α) ο Ήλιος. Στο εσωτερικό του ήλιου πραγµατοποιούνται πυρηνικές αντιδράσεις µε τις οποίες πυρηνική ενέργεια µετατρέπεται τελικά σε ενέργεια ακτινοβολίας. Β) Η βιοµάζα (το ξύλο, το ξυλοκάρβουνο, τα φυτικά υπολείµµατα) είναι µια πηγή ενέργειας που οφείλεται στη φωτοσύνθεση των φυτών. 8. Συµβατικές πηγές ενέργειας Σήµερα το µεγαλύτερο ποσοστό της ενέργειας που χρησιµοποιούµε παγκόσµια προέρχεται συµβατικές πηγές ενέργειας όπως είναι τα ορυκτά καύσιµα (γαιάνθρακες, πετρέλαιο και φυσικό αέριο) και το ουράνιο. Οι συµβατικές όµως αυτές πηγές ενέργειας παρουσιάζουν σοβαρά προβλήµατα: i) Πρώτο τα αποθέµατά τους θα εξαντληθούν και ii) ∆εύτερο η χρήση τους συµβάλλει στη ρύπανση και την καταστροφή του περιβάλλοντος. Το ουράνιο και το θόριο λέγονται πυρηνικά καύσιµα, γιατί χρησιµοποιούνται στους πυρηνικούς αντιδραστήρες µε τελικό σκοπό την παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας. 9. Ανανεώσιµες πηγές ενέργειας Ανανεώσιµες πηγές ενέργειας, είναι: Η ηλιακή ενέργεια Ένα µικρό ποσοστό της ηλιακής ενέργειας που φθάνει στη γη µπορεί να χρησιµοποιηθεί άµεσα για τη θέρµανση του χώρου κτιρίων ή του νερού
- 419. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 418 (ηλιακός θερµοσίφωνας) ή για τη µετατροπή της σε ηλεκτρική µέσω των φωτοβολταϊκών κυττάρων Η αιολική ενέργεια Από την αρχαιότητα οι άνθρωποι αξιοποίησαν την κινητική ενέργεια του ανέµου (αιολική ενέργεια) στις µετακινήσεις τους µε ιστιοφόρα και στο άλεσµα των δηµητριακών µε ανεµόµυλους. Οι ανεµόµυλοι µαζί µε τους νερόµυλους συγκαταλέγονται στις πρώτες µηχανές που αντικατέστησαν τους µυς των ζώων και του ανθρώπου ως πηγές ενέργειας. Η υδραυλική ενέργεια Το 10% περίπου της ηλεκτρικής ενέργεια στην Ελλάδα προέρχεται από τα υδροηλεκτρικά εργοστάσια. Το νερό της τεχνητής λίµνης έχει δυναµική ενέργεια, η οποία µετασχηµατίζεται σε κινητική καθώς αυτό πέφτει και τελικά µετασχηµατίζεται σε ηλεκτρική στη στροβιλογεννήτρια Εκτός της δυναµικής ενέργειας των υδατοταµιευτήρων, υπάρχουν και άλλες µορφές υδραυλικής ενέργειας. Το νερό των θαλασσών, εξαιτίας των κυµάτων που δηµιουργούνται από τους ανέµους, των ρευµάτων και των παλιρροιών, βρίσκεται σε διαρκή κίνηση. Η γεωθερµική ενέργεια Η γεωθερµική ενέργεια σχετίζεται µε τη θερµική ενέργεια των υπόγειων πετρωµάτων ή των υπόγειων νερών. Προκειµένου να τη µετασχηµατίσουµε σε άλλες µορφές, αξιοποιούµε τη διαφορά θερµοκρασίας ανάµεσα στα υπόγεια πετρώµατα ή νερά και στην επιφάνεια της γης. Τα υπόγεια υλικά που έχουν υψηλότερες θερµοκρασίες είναι πηγές θερµικής ενέργειας που µπορεί να χρησιµοποιηθεί είτε άµεσα είτε να µετασχηµατιστεί σε ηλεκτρική ενέργεια. Οι ανανεώσιµες πηγές ενέργειας θεωρούνται ανεξάντλητες.
- 420. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 419 1. Στο λαµπτήρα του σχήµατος και για το χρόνο λειτουργίας του προσφέρθηκε ηλεκτρική ενέργεια Eηλ=9⋅104 J. Αν µόνο το 5% είναι η ωφέλιµη φωτεινή ενέργεια, τότε υπολογίστε τη θερµική ενέργεια που ελευθερώθηκε στο περιβάλλον καθώς και τη χηµική ενέργεια της µπαταρίας που προσφέρθηκε στον ηλεκτρικό λαµπτήρα στον παραπάνω χρόνο. Λύση: Στο λαµπτήρα η ηλεκτρική ενέργεια µετατρέπεται σε θερµική ενέργεια και σε φωτεινή ενέργεια. Για τη φωτεινή ενέργεια της λάµπας έχουµε Eφωτ= 5 100 ⋅Eηλ ή Eφωτ= 5 100 ⋅9⋅104 ή Eφωτ=4.500 J. Άρα η θερµική ενέργεια θα είναι Εθερµ=Εηλ-Εφωτ ή Εθερµ=90.000-4.500=85.500 J. Η θερµική ενέργεια αποτελεί το 95% της συνολικής ηλεκτρικής ενέργειας που προσφέρεται στον ηλεκτρικό λαµπτήρα. Αν υπάρχει διαφορά θερµοκρασίας µε το περιβάλλον τότε αυτή η θερµική ενέργεια µεταφέρεται µε τη µορφή θερµότητας Q στο πειβάλλον. Η µπαταρία µετασχηµατίζει τη χηµική της ενέργεια σε ηλεκτρική που προσφέρεται στο λαµπτήρα. Έτσι αφού η χηµική ενέργεια της µπαταρίας είναι ίση µε την ηλεκτρική ενέργεια που δαπανάται στη λάµπα έχουµε Εχηµ=Eηλ=9⋅104 J. V
- 421. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 420 F ∆x 2. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε το κιβώτιο του διπλανού σχήµατος το οποίο είναι αρχικά ακίνητο και βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια χρονική στιγµή ένας άνθρωπος εξασκεί στο κιβώτιο µια σταθερή δύναµη F=100Ν. Έτσι Έχουµε µεταφορά (προσφορά) ενέργειας από τον άνθρωπο στο κιβώτιο. Αν το κιβώτιο µετατοπιστεί κατά ∆x=2m, τότε να υπολογιστούν: α) Το έργο της δύναµης του ανθρώπου. Τι εκφράζει αυτό το έργο; β) Πόση είναι η χηµική ενέργεια που δαπάνησε ο εργάτης; Σε τι µετατράπηκε τελικά η χηµική ενέργεια του ανθρώπου; Λύση: α) Το έργο της δύναµης του ανθρώπου είναι WF=F⋅∆x ή WF=100⋅2=200 J. Το έργο αυτό εκφράζει την ενέργεια που µεταφέρθηκε από τον άνθρωπο στο κιβώτιο (µεταφορά ενέργειας µέσω του έργου της δύναµης). β) Η παραπάνω µεταφερόµενη ενέργεια από τον άνθρωπο στο κιβώτιο είναι ίση µε τη χηµική ενέργεια που δαπάνησε αυτός. Άρα έχουµε Εχηµ= WF=200 J. Όµως η ενέργεια αυτή µετατράπηκε στο κιβώτιο σε κινητική ενέργεια (µετατροπή ενέργειας µέσω του έργου της δύναµης). Άρα ΕΚ= Εχηµ= WF=200 J. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην περίπτωση που υπήρχε και τριβή τότε ένα µέρος της χηµικής ενέργειας του ανθρώπου µετατρέπεται σε θερµική ενέργεια µέσω του έργου της τριβής και το υπόλοιπο µέρος της ενέργειάς του γίνεται κινητική ενέργεια του κιβωτίου.
- 422. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 421 3. Ένα αυτοκίνητο µάζας m=800 kg κινείται µε ταχύτητα υ=20 m/s. Ξαφνικά ο οδηγός πατάει φρένο και το αυτοκίνητο ολισθαίνει. Μεταξύ των τροχών του αυτοκινήτου και του οδοστρώµατος αναπτύσσεται δύναµη τριβής ολίσθησης, το µέτρο της οποίας ισούται µε T=8.000 Ν: α) Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου πριν από το φρενάρισµα. β) Σε ποια µορφή ενέργειας µετατρέπεται η κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου; Το έργο ποιας δύναµης εκφράζει αυτή τη µετατροπή; γ) Πόσο θα ολισθήσει το αυτοκίνητο µέχρι να σταµατήσει; Λύση: α) Για την κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου έχουµε ΕΚ= 1 2 ⋅m⋅υ2 ή ΕΚ= 1 2 ⋅800⋅202 ή ΕΚ=160.000 J. β) Η κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου κατά τη διάρκεια του φρεναρίσµατος µετατρέπεται σε θερµική ενέργεια (Q) µέσω του έργου της τριβής. Το έργο της τριβής είναι ίσο κατ’ απόλυτη τιµή µε αυτή τη θερµική ενέργεια. ∆ηλαδή έχουµε Q=|WT| γ) Η συνολική θερµική ενέργεια που παράγεται κατά τη διάρκεια του φρεναρίσµατος είναι ίση µε την αρχική του κινητική ενέργεια, αφού αυτό τελικά σταµατά. Άρα EK= Q=|WT|. Όµως ισχύει |WT|=T⋅∆x, άρα προκύπτει EK=T⋅∆x ή ∆x= K E T = 160.000 8.000 =20m. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τέτοιες δυνάµεις όπως είναι η τριβή ονοµάζονται µη συντηρητικές, επειδή όταν ασκούνται σε κάποιο σώµα ελαττώνουν (δε συντηρούν) τη µηχανική του ενέργεια. υ Τ ∆x
- 423. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 422 1) Ένα αυτοκίνητο µε µάζα m=1.000 Kg κινείται µε ταχύτητα 20 m/s. Ξαφνικά το αυτοκίνητο πέφτει πάνω σε µια κολόνα ηλεκτροφωτισµού. Η κολόνα παραµένει ακίνητη και το αυτοκίνητο σταµατάει. α) Υπολόγισε την κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου πριν τη σύγκρουση. Περίγραψε τις µετατροπές ενέργειας που συµβαίνουν κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης. β) Πόσο έργο παράχθηκε από τη δύναµη που ασκεί η κολόνα στο αυτοκίνητο; γ) Αν δεχθούµε ότι κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης η κολόνα ασκεί στο αυτοκίνητο σταθερή δύναµη και το µπροστινό µέρος του αυτοκινήτου µετατοπίσθηκε (βούλιαξε) κατά 40 cm, να υπολογίσεις το µέτρο της. 2) Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα ψυγείο µάζας m=50Kg σε απόσταση ∆x=1,5 m µέχρι τον τοίχο της κουζίνας µε σταθερή ταχύτητα υ. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ του ψυγείου και του πατώµατος είναι µ=0,5 να υπολογίσετε: α) το έργο που δαπάνησε ο άνθρωπος και β) Σε τι µετατράπηκε η χηµική ενέργεια του ανθρώπου σ’ αυτή την προσπάθεια. ∆ίνεται g=10m/s2 . 3) Από ύψος h=10m αφήνουµε να πέσει µια µπάλα m=200g Υποθέστε ότι η µπάλα αφού χτυπήσει στο έδαφος ανεβαίνει σε ύψος 8m. α) Πόσο έργο παράχθηκε από τη δύναµη που εξάσκησε το πάτωµα στη µπάλα; Σε τι µετατράπηκε το έργο αυτό; β) Ποια είναι η ταχύτητα της µπάλας ακριβώς πριν την κρούση και πόση ακριβώς µετά την κρούση µε το πάτωµα; ∆ίνεται g=10m/s2 . 4) Σώµα µάζας m=20Kg κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή το σώµα έχει ταχύτητα υ0=3m/s. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάµεσα στο σώµα και το οριζόντιο επίπεδο είναι µ=0,1, να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώµατος αφού διανύσει απόσταση ∆x=2,5m. Πόση είναι η θερµική ενέργεια κατά τη διάρκεια της κίνησης. Ποια είναι η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώµατος; Τι παρατηρείτε; ∆ίνεται g=10m/s2 .
- 424. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 423 5) Σώµα ρίχνεται προς τα πάνω κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου φ=300 µε υ0=3m/s. Αν µ= 6 3 , να υπολογίσετε το διάστηµα ∆x που θα διανύσει το σώµα µέχρι να σταµατήσει στιγµιαία. Πόση είναι η απώλεια µηχανικής ενέργειας αν η µάζα του σώµατος είναι m=2Kg; ∆ίνεται g=10m/s2 . 6) Σώµα µάζας m=0,2Kg πέφτει από ύψος h=5m πάνω σ’ ένα σωρό άµµου. Αν το σώµα εισχωρεί κατά 5cm στην άµµο πριν σταµατήσει να υπολογίσετε ποια σταθερή δύναµη εξάσκησε η άµµος στο σώµα. ∆ίνεται g=10m/s2 . 7) Η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου m=1200Kg αυξάνει από 36Km/h σε 108Km/h. Αν η δύναµη που ασκήθηκε από τον κινητήρα του αυτοκινήτου είναι F=2.400Ν, τότε να υπολογιστεί το έργο της δύναµης αυτής καθώς και η χηµική ενέργεια που προσφέρθηκε από τη βενζίνη στο αυτοκίνητο. Πόση είναι τότε η µετατόπιση ∆x του αυτοκινήτου; Τριβές και αντιστάσεις δεν υπάρχουν.
- 425. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 424 1) Στα αυτοκίνητα η χηµική ενέργεια των καυσίµων µετατρέπεται αρχικά σε θερµική των καυσαερίων και στη συνέχεια σε κινητική ενέργεια του οχήµατος. ( ) 2) Η ενέργεια που παίρνουµε από τις τροφές προέρχεται από τη δυναµική ενέργεια των ατόµων που σχηµατίζουν τα µόριά τους. ( ) 3) Αν κατά τη διάρκεια µιας χηµικής αντίδρασης, η ενέργεια που απαιτείται για το σπάσιµο των αρχικών δεσµών είναι µεγαλύτερη αυτής που ελευθερώνεται από τη δηµιουργία των νέων δεσµών, τότε κατά τη χηµική αντίδραση ελευθερώνεται ενέργεια. ( ) 4) Οι µηχανές µετατρέπουν µια µορφή ενέργειας σε άλλη. ( ) 5) Ένα βενζινοκινητήρας µετατρέπει τη χηµική ενέργεια των καυσίµων σε θερµική. ( ) 6) Σε µια ατοµική βόµβα η πυρηνική ενέργεια µετατρέπεται σε µηχανική και θερµική. ( ) 7) Η ενέργεια µπορεί να εξαφανίζεται και να δηµιουργείται από το µηδέν. ( ) 8) Στις ανανεώσιµες πηγές ενέργειας, ανήκει και η ηλιακή ενέργεια, που θεωρείται ανεξάντλητη. ( )
- 426. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 425 1) Στα καύσιµα όπως το πετρέλαιο, η βενζίνη, το φυσικό αέριο κ.ά. υπάρχει αποθηκευµένη.: α. µηχανική ενέργεια. β. ηλεκτρική ενέργεια. γ. χηµική ενέργεια. δ. πυρηνική ενέργεια. 2) Σε έναν ηλεκτρικό λαµπτήρα τον οποίο έχουµε συνδέσει µε µια µπαταρία η χηµική ενέργεια που είναι αποθηκευµένη στην µπαταρία µετατρέπεται: α) κυρίως σε φωτεινή ενέργεια. β) αποκλειστικά σε θερµική ενέργεια. γ) αρχικά σε ηλεκτρική και στη συνέχεια σε θερµική και φωτεινή στο λαµπάκι. δ) τελικά σε ηλεκτρική ενέργεια. 3) Η θερµική ενέργεια είναι: α) η κινητική ενέργεια που συνδέεται µε την άτακτη κίνηση των µορίων ή των ατόµων της ύλης. β) η κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων όταν εκτελούν προσανατολισµένη κίνηση. γ) η δυναµική ενέργεια που σχετίζεται µε τις δυνάµεις µεταξύ των µορίων ή των ατόµων. δ) η δυναµική ενέργεια που οφείλεται στις δυνάµεις µεταξύ των συστατικών του πυρήνα του ατόµου. 4) Στους µυς του ανθρώπου που πραγµατοποιεί µια εργασία, α) η χηµική ενέργεια µετατρέπεται σε µηχανική. β) η χηµική ενέργεια µετατρέπεται σε θερµική. γ) η µηχανική ενέργεια µετατρέπεται σε θερµική. δ) η µηχανική ενέργεια µετατρέπεται σε χηµική. 5) Η χρήση των ορυκτών καυσίµων έχει ως αποτέλεσµα, α) την ελάττωση της ρύπανσης της ατµόσφαιρας. β) την αύξηση του διοξειδίου του άνθρακα στην ατµόσφαιρα. γ) την µείωση της θερµοκρασίας του πλανήτη.
- 427. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 426 δ) την παραγωγή ανεξάντλητης ποσότητας ενέργειας. 6) Στις συµβατικές µορφές ενέργειας περιλαµβάνονται, α) µόνο τα ορυκτά καύσιµα. β) η ηλιακή και αιολική ενέργεια. γ) τα ορυκτά καύσιµα και η γεωθερµία. δ) τα ορυκτά και τα πυρηνικά καύσιµα. 7) Στις ανεµογεννήτριες η α) αιολική ενέργεια µετατρέπεται τελικά σε ηλεκτρική. β) µηχανική ενέργεια µετατρέπεται σε υδραυλική. γ) ηλεκτρική ενέργεια µετατρέπεται σε κινητική. δ) ηλιακή και η αιολική ενέργεια µετατρέπεται τελικά σε µηχανική. 1) Η δυναµική ενέργεια που οφείλεται στις δυνάµεις που ασκούνται µεταξύ των ατόµων που σχηµατίζουν τα µόρια των χηµικών ενώσεων ονοµάζεται ……………………………ενέργεια 2) Κατά τη καύση των χηµικών ενώσεων η χηµική ενέργεια µετατρέπεται σε ………………… 3) Η …………………… και η ………………………. ενέργεια αποτελούν τις θεµελιώδεις µορφές ενέργειας στο µικρόκοσµο. Όλες οι µορφές ενέργειας που µπορούµε να διακρίνουµε στον κόσµο που ζούµε ανάγονται τελικά σε αυτές τις δύο. 4) Κατά τη διαδικασία της ηλεκτρόλυσης η ……………………. ενέργεια µετατρέπεται σε χηµική.
- 428. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 427 5) Όταν ένα αυτοκίνητο που αρχικά κινείται στο δρόµο σταµατά, η κινητική του ενέργεια µετατρέπεται σε……………………., που διαχέεται στο περιβάλλον, µέσω του έργου των δυνάµεων …………………που ασκούνται στο αυτοκίνητο. 6) Η ενέργεια είναι δυνατόν να µεταφέρεται από ένα σώµα σε άλλο ή να µετατρέπεται από µια µορφή σε άλλη, όµως η συνολική της ποσότητα διατηρείται………………….. 7) Η ενέργεια που είναι αποθηκευµένη στα ορυκτά καύσιµα, στον άνθρακα, το πετρέλαιο και το φυσικό αέριο οφείλεται στον…………….. 8) Η υδραυλική ενέργεια, είναι η ενέργεια των …………………………. εργοστασίων. Στα εργοστάσια αυτά η βαρυτική …………………ενέργεια του νερού µετατρέπεται σε ηλεκτρική. 9) Τα υπόγεια υλικά που έχουν υψηλότερες θερµοκρασίες από το περιβάλλον, είναι πηγές θερµικής ενέργειας που ονοµάζεται, ………………………….. και µπορεί να χρησιµοποιηθεί είτε άµεσα, είτε να µετασχηµατιστεί σε ηλεκτρική ενέργεια.
- 429. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 428 5.7 Απόδοση µιας µηχανής 5.8 Ισχύς 1. Πως ορίζεται η απόδοση µιας µηχανής; Μια µηχανή ή συσκευή µετατρέπει ενέργεια από µια µορφή σε άλλη. Κατά τη µετατροπή όµως της ενέργειας από τη µια µορφή σε άλλη, ενώ η συνολική ενέργεια διατηρείται, σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, η χρήσιµη (ωφέλιµη) ενέργεια είναι πάντοτε µικρότερη της ενέργειας που προσφέρεται αρχικά. Η προσφερόµενη ενέργεια (Επροσφερόµενη), είναι ίση µε το άθροισµα της χρήσιµης ή ωφέλιµης ενέργειας (Εχρήσιµη) και της ενέργειας που διασκορπίζεται µε τη µορφή θερµικής ενέργειας (Εθερµική). Επροσφερόµενη=Εχρήσιµη+Εθερµική Η απόδοση µιας µηχανής ορίζεται ως το πηλίκο της χρήσιµης προς την προσφερόµενη ενέργεια. n= νη προσφερόµε χρήσιµη Ε E Όπως είπαµε όµως ισχύει πάντα ΕχρήσιµηΕπροσφερόµενη. Άρα το παραπάνω κλάσµα είναι µικρότερο της µονάδας, δηλαδή η απόδοση n µιας µηχανής είναι πάντα µικρότερη της µονάδας. Συνήθως, η απόδοση εκφράζεται ως ποσοστό % δηλαδή εκφράζεται ως n= νη προσφερόµε χρήσιµη Ε E ⋅ ⋅ ⋅ ⋅100% και είναι πάντοτε µικρότερη από 100%.
- 430. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 429 Για παράδειγµα σ' ένα λαµπτήρα πυράκτωσης µόνο το 5% της ηλεκτρικής ενέργειας µετατρέπεται σε χρήσιµη φωτεινή ενέργεια, ενώ το υπόλοιπο 95% απλώς θερµαίνει τον αέρα του δωµατίου. Ο συντελεστής απόδοσης του λαµπτήρα πυράκτωσης είναι n= νη προσφερόµε χρήσιµη Ε E =5%. 2. Πως ορίζεται η ισχύς (P); Η ισχύς είναι ένα µονόµετρο φυσικό µέγεθος που δείχνει πόσο γρήγορα παράγεται κάποιο έργο ή µετασχηµατίζεται κάποια µορφή ενέργειας και ορίζεται ως το πηλίκο του έργου (W) που παράγεται ή της ενέργειας (Ε) που µετασχηµατίζεται δια του αντίστοιχου χρονικού διαστήµατος ∆t=t. Ισχύς= διάστηµα χρονικό Έργο = διάστηµα χρονικό ίζεται µετασχηµατ που ενέργειας Ποσότητα P= t W = t E Από την παραπάνω σχέση προκύπτει πως η ισχύς µιας συσκευής ή µιας µηχανής είναι τόσο µεγαλύτερη, όσο: i) Περισσότερο έργο W παράγει ή περισσότερη ενέργεια E µετασχηµατίζει σε ορισµένο χρονικό διάστηµα ∆t=t. Ή, ii) Ισοδύναµα, η ισχύς είναι τόσο µεγαλύτερη, όσο µικρότερο χρονικό διάστηµα ∆t=t, απαιτείται για να παραχθεί ορισµένη ποσότητα έργου W, ή να µετασχηµατιστεί ορισµένη ποσότητα ενέργειας E. Για παράδειγµα το έργο W που παράγεται όταν ανεβαίνουµε µια σκάλα τρέχοντας µε σταθερή ταχύτητα σε µερικά δευτερόλεπτα (t1) , είναι το ίδιο µε αυτό που παράγεται όταν ανεβαίνουµε την ίδια σκάλα σε µερικά λεπτά (t2), περπατώντας µε σταθερή επίσης ταχύτητα. Για ανέβασµα το ίδιο ύψος h, ισχύει για το έργο της
- 431. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 430 δύναµης, W=w⋅h. Όµως t2t1 άρα από τη σχέση P= W t συµπεραίνουµε P1P2. Άρα σε όσο µικρότερο χρονικό διάστηµα παράγουµε κάποιο έργο, τόσο µεγαλύτερη είναι η ισχύς της δύναµης που ασκούµε και τόσο περισσότερο κουραζόµαστε. Για σταθερή δύναµη ισχύει W=F⋅∆x, έτσι έχουµε P= t W = t ∆ x ∆ . F =F⋅ t ∆ x ∆ . =F⋅υ. ∆ηλαδή η ισχύς που προσφέρεται από µια δύναµη F σε ένα σώµα που κινείται µε ταχύτητα υ, είναι εκείνη τη στιγµή, ανάλογη του µέτρου της δύναµης F και της ταχύτητας υ µε την οποία κινείται το σώµα. Από τη σχέση P= t W προκύπτει W=P⋅t. Με τη βοήθεια του τύπου αυτού µπορούµε να υπολογίσουµε το έργο που παράγει µια µηχανή, γνωστής ισχύος P, όταν λειτουργεί επί ορισµένο χρόνο t. 3. Ποιες µονάδες ισχύος γνωρίζετε; Η ισχύς Ρ (Power) είναι µονόµετρο µέγεθος και η µονάδα µέτρησής του στο S.I. είναι το 1Watt=1Joule/sec. 4. Πότε µια µηχανή έχει ισχύ 1W; Ισχύει 1W= 1J 1s , κατά συνέπεια µια µηχανή έχει ισχύ 1W, όταν παράγει έργο 1J σε χρόνο 1s. Τότε όµως προκύπτει και η σχέση 1J=1W⋅s. Το 1W είναι σχετικά µικρή µονάδα ισχύος και συνήθως χρησιµοποιούνται πολλαπλάσιά του. Έτσι άλλες µονάδες µέτρησης της ισχύος είναι:
- 432. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 431 1KW=1000W=103 W. 1MW=1.000.000=106 W. Ακόµη για τους κινητήρες των αυτοκινήτων χρησιµοποιείται ως µονάδα ισχύος ο ίππος (1HP). Ισχύει 1HP =746 W. Αν στον τύπο W=P⋅t βάλουµε P=1kW και t=1h, θα πάρουµε µια ακόµη µονάδα ενέργειας που ονοµάζεται κιλοβατώρα (1kWh). Η µια κιλοβατώρα (1kWh), είναι το έργο, που παράγει µηχανή ισχύος 1 kW, όταν λειτουργήσει επί µια ώρα. Κατά συνέπεια ισχύει: 1kWh=1000 Wh=1000W⋅1 h=1000W⋅3600s=3.600.000 W⋅s ή 1kWh=3.600.000 J. ΠΡΟΣΟΧΗ: Το 1kW είναι µονάδα ισχύος ενώ η 1kWh είναι µονάδα ενέργειας.
- 433. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 432 1. ∆ύο µαθητές Α, Β, αρχίζουν να ανεβαίνουν τις σκάλες του σχολείου µεταβαίνοντας στην αίθουσα της τάξης τους η οποία βρίσκεται στον 2ο όροφο, που βρίσκεται σε ύψος h=8m από το έδαφος. Ο µαθητής Α έχει µάζα mA=60kg και φθάνει στον 2ο όροφο σε t=1min. Ο µαθητής Β έχει µάζα mB=80kg και φθάνει στον όροφο σε t=1min επίσης. α) Ποιος από τους µαθητές έκανε µεγαλύτερο έργο; β) Ποιος από τους µαθητές ανέπτυξε µεγαλύτερη ισχύ; ∆ίνεται g=10m/s2 . Λύση: α) Το έργο που δαπάνησε ο κάθε µαθητής είναι ίσο µε την τελική δυναµική του ενέργεια, αν παραλείψουµε οποιαδήποτε µεταβολή της ταχύτητάς τους κατά τη διάρκεια της κίνησής τους. Τότε το έργο που παρήχθει από το µαθητή Α είναι WA=UA=mA⋅g⋅h=60⋅10⋅8=4.800 J. Παρόµοια το έργο που παρήχθει από το µαθητή Β είναι WΒ=UΒ=mΒ⋅g⋅h=80⋅10⋅8=6.400 J. Οπότε ο µαθητής Β (ο βαρύτερος) παρήγαγε µεγαλύτερο έργο. β) Η ισχύς είναι το µονόµετρο φυσικό µέγεθος που δείχνει πόσο γρήγορα παράγεται κάποιο έργο ή µετασχηµατίζεται κάποια µορφή ενέργειας και ορίζεται ως το πηλίκο του έργου (W) που παράγεται ή της ενέργειας (Ε) που µετασχηµατίζεται δια του αντίστοιχου χρονικού διαστήµατος ∆t=t. Άρα για το µαθητή Α έχουµε, PΑ= A W t = 60 4.800 =80 W. Παρόµοια για το µαθητή Β έχουµε, PΒ= B W t = 60 6.400 =106,7 W. Άρα µεγαλύτερη ισχύ ανέπτυξε ο µαθητής Β που στον ίδιο χρόνο παρήγαγε µεγαλύτερο έργο.
- 434. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 433 w h F=w 2. Ένας γερανός ανεβάζει µε σταθερή ταχύτητα ένα κιβώτιο µάζας m=400kg σε ύψος h = 12m. Αν η ανύψωση ολοκληρώθηκε σε χρόνο t = 2min, να βρείτε την ισχύ που απέδωσε ο γερανός. Αν η απόδοση του γερανού είναι n=0,3 (30%) να υπολογίσετε την χηµική ενέργεια που ξοδεύτηκε από το καύσιµο του γερανού. ∆ίνεται g = 10m/s2 . Λύση: Αφού το κιβώτιο ανυψώνεται µε σταθερή ταχύτητα ισχύει από τον 1ο Νόµο του Newton Fολ=0 ή F=w=m⋅g=4.000N. Τότε το έργο που παράγεται από τη δύναµη F που ασκεί ο γερανός για την παραπάνω ανύψωση είναι WF=F⋅h ή WF=4.000⋅12 ή WF=48.000 J. Η ισχύς που απέδωσε ο γερανός δίνεται από τη σχέση, P= F W t = 48.000 120 =400 W. Η απόδοση του γερανού ορίζεται ως το πηλίκο της χρήσιµης προς την προσφερόµενη ενέργεια δηλαδή έχουµε n= νη προσφερόµε χρήσιµη Ε E Η χρήσιµη ενέργεια είναι το έργο της δύναµη F που τελικά µετατρέπεται σε δυναµική ενέργεια του κιβωτίου. Άρα Εχρήσιµη=WF=48.000 J. Η προσφερόµενη ενέργεια είναι η χηµική ενέργεια από το καύσιµο που προσφέρεται στον κινητήρα και κινεί το γερανό. Άρα έχουµε Επροσφερόµενη= χρήσιµη E n = 48.000 0,3 =160.000 J.
- 435. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 434 F ∆x 3. Ο εργάτης του σχήµατος σπρώχνει το κιβώτιο µε σταθερή δύναµη F=10Ν και το σώµα µετατοπίζεται µε σταθερή ταχύτητα υ=2m/s όπως στο σχήµα. α) Nα υπολογίσετε το έργο του εργάτη για µετατόπιση ∆x=5m. β) Ποια είναι η ισχύς του εργάτη; γ) Να υπολογίσετε το ρυθµό µε τον οποίο η προσφερόµενη στο σώµα ενέργεια µετατρέπεται σε θερµότητα. Λύση: α) Για το έργο της σταθερής δύναµης F που ασκεί ο εργάτης έχουµε WF=F⋅∆x=10⋅5=50 J. β) Για τη σταθερή ταχύτητα µε την οποία κινείται το κιβώτιο ισχύει υ= ∆x t ή t= ∆x υ =2,5s. Τότε η ισχύς του εργάτη θα είναι P= F W t = 50 2,5 =20 W. Βέβαια γνωρίζουµε πως για σταθερή δύναµη ισχύει W=F⋅∆x, έτσι έχουµε P= t W = t ∆ x ∆ . F =F⋅ t ∆ x ∆ . =F⋅υ. ∆ηλαδή η ισχύς που προσφέρεται από τη δύναµη F στο κιβώτιο δίνεται και από τη σχέση P=F⋅υ=10⋅2=20 W. γ) Η ενέργεια µετατρέπεται σε θερµότητα µέσω του έργου της τριβής. Έτσι και ο ρυθµός µε τον οποίο ή προσφερόµενη ενέργεια από τον εργάτη στο σώµα µετατρέπεται σε θερµότητα είναι ίσος µε την ισχύ της τριβής. Από τον 1ο Νόµο του Newton ισχύει Fολ=0 ή F-T=0 ή T=F=10N. Τότε για την ισχύ της τριβής έχουµε PT= -T⋅υ=-10⋅2=-20 W.
- 436. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 435 4. Ένας ηλεκτρικός κινητήρας ασκεί δύναµη T=8.000 Ν σ’ έναν ανελκυστήρα και τον ανυψώνει κατά h=16 m σε t=20 s. α) Πόση είναι η ισχύς του κινητήρα; Εάν ο ανελκυστήρας ανέβαινε σε 32 s, θα άλλαζε το έργο; Θα άλλαζε η ισχύς του κινητήρα; Να δικαιολογήσεις την απάντησή σου. β) Αν ηλεκτρική ενέργεια που απορροφά ο κινητήρας του ανελκυστήρα είναι Εηλεκτρική=160.000 J, να υπολογίσετε την απόδοση του ηλεκτρικού κινητήρα. Λύση: α) Για το έργο της σταθερής δύναµης T του ανελκυστήρα έχουµε WT=T⋅h= =8.000⋅16=128.000 J. Τότε η ισχύς του κινητήρα είναι P= W t Τ = 128.000 20 =6.400 W ή 6,4ΚW. Αν αλλάξει ο χρόνος που απαιτείται για να ανέβει ο ανελκυστήρας στο παραπάνω ύψος, τότε το έργο της δύναµης T του ανελκυστήρα δε µεταβάλλεται. Όµως θα παράγεται το ίδιο έργο σε µεγαλύτερο χρόνο, οπότε η ισχύς του κινητήρα τώρα είναι διαφορετική (µικρότερη) και ίση µε P= W t Τ = 128.000 32 =4.000 W ή 4KW. β) Η απόδοση του ανελκυστήρα ορίζεται ως το πηλίκο της χρήσιµης προς την προσφερόµενη ενέργεια δηλαδή n= νη προσφερόµε χρήσιµη Ε E Η χρήσιµη ενέργεια είναι το έργο της δύναµη T. Άρα Εχρήσιµη=WT=128.000 J. Η προσφερόµενη ενέργεια είναι η ηλεκτρική ενέργεια Εηλεκτρική=160.000 J που προσφέρεται στον κινητήρα. Άρα έχουµε n= 128.000 160.000 =0,8 ή 80%. w Τ υ
- 437. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 436 5. Ένας καταρράκτης ύψους h=40m ρίχνει 200m3 νερό κάθε sec. Να υπολογίσετε το έργο του βάρους σε κάθε µια ώρα πάνω στον καταρράκτη. Ποια είναι η ισχύς του καταρράκτη; ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000Kgr/m3 . ∆ίνεται g=10m/s2 . Λύση: Σε µια ώρα πέφτει από τον καταρράκτη νερό όγκου V=200⋅3.600=72⋅104 m3 . Για τη πυκνότητα του νερού έχουµε ρ= m V ή m=ρ⋅V ή m=ρ⋅V=1.000⋅72⋅104 ή m=72⋅107 Kg. Τότε για το έργο του βάρους πάνω στον καταρράκτη είναι Ww=w⋅h ή Ww=m⋅g⋅h ή Ww=72⋅107 ⋅10⋅40 ή Ww=288⋅109 J. Για την ισχύ του καταρράκτη έχουµε: P= w W t = 9 288 10 3.600 ⋅ =8⋅ 107 W ή 80 MW.
- 438. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 437 1) Ένα σώµα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο µε σταθερή ταχύτητα υ = 4m/s µε την επίδραση οριζόντιας σταθερής δύναµης F = 40N. Να βρεθεί: α) Το έργο της τριβής για µετατόπιση ∆x = 5m. β) Η προσφερόµενη ισχύς. γ) O ρυθµός µε τον οποίο η προσφερόµενη στο σώµα ενέργεια µετατρέπεται σε θερµότητα. 2) Κατά τη διάρκεια ενός µαθήµατος γυµναστικής ένας µαθητής µάζας m=70 kg αναρριχάται σε µια κατακόρυφο δοκό µήκους 4 m σε 5 s. Πόση είναι η µέση ισχύς του µαθητή στη διάρκεια της άσκησης; ∆ίνεται g=10m/s2 . 3) Ένας ηλεκτρικός κινητήρας ασκεί δύναµη T=5.000 Ν σ’ έναν ανελκυστήρα και τον ανυψώνει κατά h=10 m σε t=15 s. Πόση είναι η ισχύς του κινητήρα; Αν η ηλεκτρική ενέργεια που προσφέρεται στον κινητήρα του ανελκυστήρα είναι Εηλεκτρική=104 J ποια είναι η απόδοση του κινητήρα; 4) Ένα αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ=72Km/h σε λείο οριζόντιο δρόµο. Στο αυτοκίνητο ασκείται από τον αέρα µια δύναµη αντίθετη µε την κίνησή του A=5.000 Ν. α) Ποιες δυνάµεις ασκούνται στο αυτοκίνητο κατά την οριζόντια διεύθυνση; β) Πόση ενέργεια προσφέρει η µηχανή του αυτοκινήτου σε χρόνο 20 s; δ) Πόση ισχύ αναπτύσσει η µηχανή του αυτοκινήτου, όταν κινείται µε αυτή την ταχύτητα; Εξαρτάται η ισχύς του κινητήρα του αυτοκινήτου από το χρόνο κίνησής του; 5) Για να ανυψώσει ένας γερανός µε σταθερή ταχύτητα, κατά h=30cm µια µαρµάρινη πλάκα, όγκου V=2m3 , απαιτείται χρόνος t=4min. Ποια είναι η ισχύς του γερανού; ∆ίνεται η πυκνότητα του µαρµάρου ρ=2,8g/cm3 και g=10m/s2 . 6) Ανελκυστήρας έχει µαζί µε το φορτίο του συνολικό βάρος w=15.000N. Ο ανελκυστήρας ξεκινάει από το ισόγειο του κτιρίου και ύστερα από χρόνο t=21 s περνάει από τον 4ο όροφο, που απέχει από το ισόγειο κατά h=15m, µε ταχύτητα υ=8m/s. Να υπολογιστεί η ισχύς του κινητήρα του ανελκυστήρα. ∆ίνεται g=10m/s2 .
- 439. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 438 7) Για την άρδευση χωραφιού χρησιµοποιείται ηλεκτρική αντλία ισχύος p=2ΚW. Η υψοµετρική διαφορά µεταξύ αγροκτήµατος και δεξαµενής νερού είναι h=25m και η απαιτούµενη ποσότητα νερού για την άρδευση του χωραφιού είναι 100m3 . α) Ποια είναι η δαπάνη για κάθε πότισµα του χωραφιού αν η απόδοση της ηλεκτρικής αντλίας είναι 40% και η απώλεια νερού από τη δεξαµενή µέχρι το χωράφι είναι 28%; β) Σε πόσο χρόνο θα τελειώσει το πότισµα του χωραφιού µε τη συγκεκριµένη αντλία; Θεωρείστε ότι στη ∆ΕΗ πληρώνουµε 0,18 ευρώ/ΚWh. ∆ίνεται ακόµη η πυκνότητα του νερού ρ=1.000 Kg/m3 και g=10m/s2 .
- 440. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 439 1) Η απόδοση µιας µηχανής είναι ίση µε το πηλίκο της ωφέλιµης ενέργειας προς την ενέργεια που η µηχανή απορροφά. ( ) 2) Η ωφέλιµη ενέργεια (φωτεινή) είναι µεγαλύτερη στο λαµπτήρα φθορισµού απ' ό,τι στο λαµπτήρα πυράκτωσης. ( ) 3) Η ισχύς µιας συσκευής ή µιας µηχανής είναι τόσο µικρότερη, όσο περισσότερο έργο παράγει σε ορισµένο χρονικό διάστηµα. ( ) 4) 1 HP=746 W. ( ) 5) Μονάδα µέτρησης ισχύος στο S.I είναι το 1W. ( ) 1) Σ' ένα λαµπτήρα πυράκτωσης, α. µόνο το 5% της ηλεκτρικής ενέργειας µετατρέπεται σε χρήσιµη φωτεινή ενέργεια. β. το 95% είναι ηλεκτρική ενέργεια. γ. το 5% της ηλεκτρικής ενέργειας απλώς θερµαίνει τον αέρα του δωµατίου. δ. το 100% της ηλεκτρικής ενέργειας µετατρέπεται σε φωτεινή ενέργεια. 2) Η απόδοση n µιας µηχανής είναι: α) n1
- 441. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 440 β) n≤1 γ) n=0 δ) πάντοτε µικρότερη της µονάδας. 3) Η ισχύς, α) ορίζεται από τη σχέση P= W t β) είναι διανυσµατικό µέγεθος γ) έχει µονάδα µέτρησης τη µια βατώρα (1Wh) δ) είναι ανάλογη µε το χρόνο στον οποίο µια δύναµη παράγει έργο. 4) Η απόδοση µιας µηχανής είναι 0,3. Αυτό σηµαίνει ότι α. η ωφέλιµη ισχύς είναι το 70% της απορροφούµενης. β. η ισχύς που χάνεται είναι το 30% της απορροφούµενης. γ. η προσφερόµενη ενέργεια είναι το 70% της απορροφούµενης. δ. η ωφέλιµη ισχύς είναι το 30% της απορροφούµενης. 5) Για µια πραγµατική µηχανή που βρίσκεται σε λειτουργία α. η προσφερόµενη σ’ αυτήν ισχύς είναι µεγαλύτερη από την ισχύ που η µηχανή αποδίδει. β. η προσφερόµενη σ’ αυτήν ισχύς είναι µικρότερη από την ισχύ που η µηχανή αποδίδει. γ. η προσφερόµενη σ’ αυτήν ισχύς είναι ίση µε την ισχύ που η µηχανή αποδίδει. δ. η ενέργεια που “χάνεται” είναι πάντα µεγαλύτερη από την ενέργεια που η µηχανή αποδίδει. 6) Η ισχύς µιας δύναµης F=100N που ασκείται σε σώµα που κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ=3m/s είναι: α) p=F/υ=33,3 W. β) p=F⋅υ=300 W. γ) p=F⋅∆x= F⋅υ⋅∆t=300⋅∆t, άρα ανάλογη του χρόνου κίνησης. δ) ανεξάρτητη της δύναµης. 7) To κόστος λειτουργίας ενός λαµπτήρα εξαρτάται, α) από την ισχύ του. β) το χρόνο που αυτός λειτουργεί.
- 442. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 441 γ) και από τα δύο. δ) κανένα από τα δυο. 8) To 1MW είναι ίσο µε, α) 103 W β) 10-6 W γ) 106 J δ) 106 W. 9) Ένα αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα και σε χρόνο 8s διανύει απόσταση 160m. Av η µηχανή του αυτοκινήτου ασκεί σταθερή δύναµη 2.000Ν, τότε η µέση ισχύς που αναπτύχθηκε είναι: α) 320 KW β) 40 KW γ) 1280 W δ) 100 W. 1) Κατά τη µετατροπή της ενέργειας από τη µια µορφή σε άλλη, ενώ η συνολική ενέργεια διατηρείται, η χρήσιµη (ωφέλιµη) είναι πάντοτε …………………της ενέργειας που προσφέρεται αρχικά. 2) Το φυσικό µέγεθος που συνδέει το παραγόµενο έργο ή την ποσότητα της παραγόµενης ενέργειας µε τον αντίστοιχο ……………….ονοµάζεται ισχύς. 3) Η ισχύς ορίζεται ως το πηλίκο .............................. που παράγει µια µηχανή σε χρόνο t δια του χρόνου αυτού.
- 443. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 442 4) Ένας ανεµιστήρας απορροφά 400 W και έχει συντελεστή απόδοσης 0,8. Η προσφερόµενη ισχύς είναι (α)................W, και η ωφέλιµη είναι (β)............ W. 5) H 1 KWh είναι µονάδα µέτρησης …………………………. και είναι ίση µε ……………………… J.
- 444. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 443 ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Θερµότητα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Θερµότητα 6.1 Θερµόµετρα και µέτρηση θερµοκρασίας 1. Ποιο φυσικό µέγεθος ονοµάζουµε θερµοκρασία; Με ποια όργανα τη µετράµε; Θερµοκρασία είναι το φυσικό µέγεθος µε το οποίο περιγράφουµε πόσο ζεστό ή κρύο είναι ένα σώµα. Τη θερµοκρασία µπορούµε να τη µετρήσουµε υποκειµενικά µε την αίσθηση της αφής. Ακόµη όµως τη θερµοκρασία µπορούµε να τη µετρήσουµε αντικειµενικά µε τα θερµόµετρα. Τα θερµόµετρα είναι όργανα, που η λειτουργία τους στηρίζεται στη µεταβολή ορισµένων χαρακτηριστικών – ιδιοτήτων κάποιων υλικών, όταν µεταβάλλεται η θερµοκρασία τους. Για να µετρήσουµε σωστά τη θερµοκρασία πρέπει το θερµόµετρο να είναι σε επαφή, µόνο µε το σώµα που θερµοµετρούµε µέχρι να σταθεροποιηθεί η ένδειξή του. 2. Ποιες κλίµακες µέτρησης της θερµοκρασίας γνωρίζετε; Υπάρχουν διάφορες κλίµακες µέτρησης της θερµοκρασίας. Η πιο συνηθισµένη κλίµακα είναι η κλίµακα
- 445. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 444 Κελσίου (Celsius), Σε κάποιες χώρες χρησιµοποιείται και η κλίµακα Φαρενάιτ (Fahrenheit) Οι επιστήµονες χρησιµοποιούν και την κλίµακα Κέλβιν (Kelvin). Αυτή που έχει καθιερωθεί στην Ευρώπη και χρησιµοποιείται τόσο στη επιστήµη όσο και στην καθηµερινή ζωή και τη βιοµηχανία είναι η εκατονταβάθµια ή κλίµακα Κελσίου. Το θερµοσκόπιο του Γαλιλαίου. Το θερµοσκόπιο, ήταν το πρώτο όργανο µε το οποίο µπορούσαµε να εκτιµήσουµε τη θερµοκρασία ενός σώµατος. ∆εν ονοµάζεται θερµόµετρο, γιατί η κλίµακα που χρησιµοποιούσε είναι αυθαίρετη. Η σφαίρα που υπάρχει στην κορυφή είναι ο αισθητήρας. Καθώς θερµαίνεται ή ψύχεται, ο αέρας που περιέχεται σε αυτήν και το σωλήνα διαστέλλεται ή συστέλλεται και η επιφάνεια του υγρού κατεβαίνει ή ανεβαίνει αντίστοιχα. 3. Τι γνωρίζετε για την κλίµακα Κελσίου; Για τη δηµιουργία της κλίµακας ο Σουηδός Κέλσιος χρησιµοποίησε δυο σταθερές θερµοκρασίες. Βύθισε το υδραργυρικό θερµοσκόπιο του σε πάγο που λιώνει. Αντιστοίχισε αυτή τη θερµοκρασία στο µηδέν της κλίµακας Κελσίου. ∆ηλαδή αυτή η θερµοκρασία αντιστοιχεί στους µηδέν βαθµούς Κελσίου (00 C). Στη συνέχεια βύθισε το θερµοσκόπιο σε καθαρό νερό που βράζει σε πίεση µιας ατµόσφαιρας. Αντιστοίχισε αυτή τη θερµοκρασία στο 100. ∆ηλαδή αυτή η θερµοκρασία αντιστοιχεί στους εκατό βαθµούς Κελσίου (1000 C).
- 446. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 445 Χωρίζοντας το διάστηµα µεταξύ των δύο αυτών αριθµών σε 100 ίσα τµήµατα προέκυψε η κλίµακα. Σ' αυτή την κλίµακα καθένα από τα τµήµατα αντιστοιχεί σε µεταβολή θερµοκρασίας κατά ένα βαθµό Κελσίου (1°C). Ο Κέλσιος επέκτεινε την κλίµακά του για θερµοκρασίες µεγαλύτερες από 100 °C και για µικρότερες από 0°C. Οι τελευταίες εκφράζονται µε αρνητικούς αριθµούς. 4. Τι γνωρίζετε για την κλίµακα Φαρενάιτ; Το 1717 ο Γερµανός φυσικός και κατασκευαστής οργάνων Φαρενάιτ, επειδή δεν ήθελε να χρησιµοποιεί αρνητικές θερµοκρασίες, όρισε ως 0 τη χαµηλότερη θερµοκρασία που είχε πετύχει στο εργαστήριο του: τη θερµοκρασία ενός µείγµατος ίσων ποσοτήτων από πάγο, νερό και θαλασσινό αλάτι. Τη θερµοκρασία του υγιούς ανθρώπινου σώµατος την όρισε ως το 96 της κλίµακας και χώρισε το διάστηµα µεταξύ των δυο αυτών αριθµών σε 96 ίσα τµήµατα. Με βάση αυτές τις υποδιαιρέσεις, η κλίµακα µπορεί να επεκταθεί σε υψηλότερες ή χαµηλότερες θερµοκρασίες. Έτσι, η θερµοκρασία στην οποία λιώνει ο πάγος ή που πήζει το καθαρό νερό αντιστοιχεί στους 32 βαθµούς Φαρενάιτ (320 F) και αυτή στην οποία βράζει το καθαρό νερό αντιστοιχεί στους 2120 F. Παρατηρούµε πως οι 100 0 C αντιστοιχούν σε 212-32=180 0 F. Οπότε ο 1 0 C αντιστοιχεί σε 1,8 0 F. Για να µετατρέψουµε τους βαθµούς της κλίµακας Κελσίου σε βαθµούς κλίµακας Φαρενάιτ, χρησιµοποιούµε τη σχέση: TF = 32° + 1,8·TC όπου TF η θερµοκρασία σε βαθµούς Φαρενάιτ και TC η θερµοκρασία σε βαθµούς Κελσίου.
- 447. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 446 5. Τι γνωρίζετε για την απόλυτη κλίµακα θερµοκρασιών ή κλίµακα Κέλβιν; Στην κλίµακα Κέλσιου όπως και στη Φαρενάιτ οι θερµοκρασίες αναφοράς 0 και 100 ορίζονται αυθαίρετα. Υπάρχει άραγε κλίµακα που να µη βασίζεται σε κάποιο αυθαίρετο σηµείο αναφοράς; Τα πειράµατα έδειξαν ότι κανένα υλικό δεν µπορεί να ψυχθεί σε θερµοκρασία µικρότερη από -273 °C. Έτσι, οι επιστήµονες αντιστοίχισαν το µηδέν µιας νέας κλίµακας θερµοκρασιών στους - 273 °C η οποία είναι και η χαµηλότερη δυνατή θερµοκρασία που µπορεί να υπάρξει στη φύση. Έτσι, Οι επιστήµονες µετρούν τη θερµοκρασία χρησιµοποιώντας την κλίµακα Κέλβιν. Ο βαθµός της είναι το Κέλβιν και συµβολίζεται µε Κ. Μεταβολή θερµοκρασίας κατά ένα Κέλβιν είναι ίση µε µεταβολή θερµοκρασίας κατά ένα βαθµό Κελσίου. Άρα 1 0 C αντιστοιχεί σε 1 Κ. Η θερµοκρασία σε Κέλβιν δεν είναι όσο η θερµοκρασία σε βαθµούς Κελσίου. Όµως η µεταβολή της θερµοκρασίας σε Κέλβιν είναι όσο η µεταβολή της θερµοκρασίας σε βαθµούς Κελσίου. Το µηδέν αυτής της κλίµακας ονοµάζεται απόλυτο µηδέν και η κλίµακα αυτή ονοµάζεται απόλυτη κλίµακα ή κλίµακα Κέλβιν. Η κλίµακα Κέλβιν έχει µόνο θετικές τιµές. Η θερµοκρασία είναι µονόµετρο µέγεθος και η µονάδα της στο SI είναι το 1 Κ. Για να µετατρέψουµε τους βαθµούς Κελσίου (TC) σε βαθµούς Κέλβιν (TK), χρησιµοποιούµε την αριθµητική σχέση: TK = TC + 273
- 448. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 447 ∆ηλαδή για να µετατρέψουµε µια τιµή θερµοκρασίας της κλίµακας Κελσίου (ΤC), στην αντίστοιχη τιµή θερµοκρασίας της κλίµακας Κέλβιν (TK), προσθέτουµε στην ΤC το 273. Έτσι, η θερµοκρασία που λιώνει ο πάγος είναι 273 Κ και η θερµοκρασία που βράζει το νερό 373 Κ. Στη γη η µικρότερη θερµοκρασία αέρα που έχει παρατηρηθεί είναι 184 Κ (-89 °C) και η µεγαλύτερη 332 Κ (59 °C). Θερµοκρασίες που αγγίζουν το απόλυτο µηδέν, υπάρχουν στα πέρατα του διαστήµατος και επιτυγχάνονται µε τεχνητά µέσα στα γήινα επιστηµονικά εργαστήρια. Θερµοκρασίες 20.000.000 Κ υπάρχουν στο εσωτερικό των αστέρων, όπως στον Ήλιο.
- 449. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 448 1. Σε πόσους 0 C αντιστοιχεί το µηδέν της κλίµακας Φαρενάιτ (Fahrenheit) και σε πόσους βαθµούς 0 C, αντιστοιχεί το 100 της ίδιας κλίµακας; Λύση: Για να µετατρέψουµε τους βαθµούς της κλίµακας Κελσίου σε βαθµούς κλίµακας Φαρενάιτ, χρησιµοποιούµε τη σχέση: TF = 32 + 1,8·TC όπου TF η θερµοκρασία σε βαθµούς Φαρενάιτ και TC η θερµοκρασία σε βαθµούς Κελσίου. Τότε έχουµε 0= 32+ 1,8·TC ή 1,8·TC=-32 ή TC= - 32 1,8 ή TC= -17,8 0 C. Ακόµη 100=32+ 1,8·TC ή 1,8·TC= 68 ή TC= 68 1,8 ή TC= 37,8 0 C. Ο Fahrenheit πήρε σα µηδέν τη χαµηλότερη θερµοκρασία, που µπορούσε να πετύχει µε ψυκτικά µίγµατα (-17,80 C) και σαν 100 τη θερµοκρασία υγιούς ανθρώπου κατά τι ψηλότερη (37,8 0 C). 2. Κατά τη ρύθµιση ενός θερµοµέτρου διαπιστώθηκε ότι από λάθος, το σηµείο τήξεως του πάγου αντιστοιχεί στην ένδειξη +2 του θερµοµέτρου και το σηµείο ζέσεως του νερού στην ένδειξη +97. Ποια είναι η θερµοκρασία σε 0 C που αντιστοιχεί στην ένδειξη +28,6 του θερµοµέτρου αυτού; Λύση: Οι 95 0 της κλίµακας αυτής αντιστοιχούν σε 100 0 C. Τότε ο 10 C αντιστοιχεί σε 0,95 0 της καινούργιας κλίµακας. Έχουµε «ανακαλύψει» µια καινούργια κλίµακα για την οποία ισχύει ΤΧ= 2+ 0,95·TC. Για Τx= 28,6 0 προκύπτει 28,6= 2+ 0,95·TC ή 26,6=0,95·TC ή TC= 26,6 0,95 =280 C.
- 450. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 449 3. Το θερµόµετρο σε ένα δωµάτιο µάς δείχνει 17 0 C. Ποια είναι η θερµοκρασία του αέρα του δωµατίου µας σε Κέλβιν (Κ); Λύση: Η σχέση που συνδέει τη θερµοκρασία σε βαθµούς Κελσίου µε τη θερµοκρασία σε Κέλβιν είναι: TK= ΤC+273 άρα: ΤΚ =(17+273) Κ ή ΤΚ=290 Κ Άρα η θερµοκρασία του δωµατίου είναι 290 Κ.
- 451. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 450 1. Σε ποια θερµοκρασία οι ενδείξεις δυο διαφορετικών θερµοµέτρων βαθµονοµηµένων σε βαθµούς Κελσίου και σε βαθµούς Φαρενάιτ είναι ίδιες; 2. Σε ένα θερµόµετρο οι ακραίες θερµοκρασίες είναι – 30 0 C και 90 0 C. Ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες ενδείξεις σε ένα θερµόµετρο βαθµολογηµένο σε βαθµούς Φαρενάιτ; 3. Να µετατρέψετε σε βαθµούς Κελσίου τις παρακάτω ενδείξεις της κλίµακας Φαρενάιτ: 86 0 F, -4 0 F, 212 0 F. 4. Κάποια ηµέρα η θερµοκρασία στην Αθήνα είναι 25 0 C, ενώ την ίδια ώρα η θερµοκρασία στο Λονδίνο είναι 68 0 F. Πόση είναι η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των δυο πόλεων στην κλίµακα Κελσίου και πόση στην κλίµακα Φαρενάιτ; 5. Κατά τη ρύθµιση ενός θερµοµέτρου διαπιστώθηκε ότι από λάθος, το σηµείο τήξεως του πάγου αντιστοιχεί στην ένδειξη +4 του θερµοµέτρου και το σηµείο ζέσεως του νερού στην ένδειξη +98. Ποια είναι η θερµοκρασία σε 0 C που αντιστοιχεί στην ένδειξη +13,4 του θερµοµέτρου αυτού; (Απ: 10 0 C) 6. Σε µια πόλη κάποια µέρα το µεσηµέρι η θερµοκρασία είναι 300 Κ. Πιστεύετε ότι οι άνθρωποι της πόλης κυκλοφορούν µε καλοκαιρινά ή µε χειµωνιάτικα ρούχα; 7. Τα συνηθισµένα ιατρικά θερµόµετρα έχουν κλίµακα από 35 0 C έως 42 0 C. Ποια είναι η κλίµακά τους αν η βαθµολόγηση γίνει σε βαθµούς α) Φαρενάιτ και β) Κέλβιν; 8. Μια ηµέρα, στις 12 το µεσηµέρι, η θερµοκρασία στις Σέρρες ήταν 300 Κ, στην Καβάλα 26°C και στα Χανιά 77 F. Σε ποια πόλη η θερµοκρασία ήταν υψηλότερη και σε ποια χαµηλότερη; Να δικαιολογήσεις την απάντησή σου.
- 452. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 451 9. Να µετατρέψεις τις παρακάτω θερµοκρασίες από την κλίµακα Κελσίου στις κλίµακες Φαρενάιτ και Κέλβιν: α. θερµοκρασία δωµατίου 15°C β. ζεστή µέρα του καλοκαιριού 40°C γ. κρύα µέρα του χειµώνα - 5°C.
- 453. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 452 1) Όταν ακουµπάµε µε το χέρι µας το µεταλλικό πόµολο της ξύλινης πόρτας, το πόµολο µας φαίνεται πιο κρύο από την πόρτα γιατί έχουν διαφορετική θερµοκρασία. ( ) 2) Η κλίµακα Κέλβιν έχει µόνο θετικές τιµές. ( ) 3) Καθώς το σύµπαν διαστέλλεται η θερµοκρασία του ελαττώνεται συνεχώς. ( ) 4) Μπορεί να υπάρξει θερµοκρασία ΤF=-508 0 F ( ) 1) Στο υδραργυρικό θερµόµετρο, α. όταν η θερµοκρασία αυξάνεται, το µήκος της στήλης του υδραργύρου µεγαλώνει. β. όταν η θερµοκρασία αυξάνεται, το µήκος της στήλης του υδραργύρου µικραίνει. γ. δεν µεταβάλλεται καµία από τις ιδιότητες του υδραργύρου. δ. η θερµοκρασία διατηρείται πάντα σταθερή.
- 454. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 453 2) Η θερµοκρασία σε µια περιοχή της Γης δεν µπορεί να είναι: α) -25 0 C β) 400 K γ) -280 K δ) 32 0 F 3) 1 0 C, α) είναι µεγαλύτερος από 1 Κ β) αντιστοιχεί σε 1 Κ γ) είναι µικρότερος από 1 Κ δ) είναι περίπου ίσος µε 1Κ. 1) Για να µετρήσουµε µε αντικειµενικό τρόπο τη θερµοκρασία ενός σώµατος, χρησιµοποιούµε τα …………………………….. 2) Θερµοκρασία είναι το φυσικό µέγεθος µε το οποίο περιγράφουµε πόσο ………………….ή ………………………είναι ένα σώµα. 3) Η µικρότερη θερµοκρασία που µπορεί να υπάρξει στη φύση είναι ………….. Κ. Αυτή η θερµοκρασία ονοµάζεται απόλυτο …………………. 4) Οι 27 0 C είναι ………………….. Κ και …………………..0 F.
- 455. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 454 6.2 Θερµότητα: Μια µορφή ενέργειας 1. Ποιο φυσικό µέγεθος ονοµάζουµε θερµότητα; Θερµότητα ονοµάζουµε την ενέργεια που µεταφέρεται από ένα σώµα σε ένα άλλο λόγω της διαφοράς θερµοκρασίας µεταξύ των δυο σωµάτων. Η αυθόρµητη µεταφορά θερµότητας γίνεται πάντα από το σώµα της µεγαλύτερης προς το σώµα της µικρότερης θερµοκρασίας. Τότε λέµε ότι υπάρχει θερµική αλληλεπίδραση µεταξύ των δυο σωµάτων. Η θερµοκρασία του θερµότερου σώµατος ελαττώνεται ενώ του ψυχρότερου αυξάνεται. Η µεταφορά θερµότητας σταµατάει µόλις εξισωθούν οι δυο θερµοκρασίες. Τότε λέµε ότι τα δύο σώµατα βρίσκονται σε θερµική ισορροπία. Αφού η θερµότητα είναι ποσότητα ενέργειας, η µονάδα µέτρησής της στο ∆ιεθνές σύστηµα µονάδων SI είναι το 1 joule (1 J). Πολλές φορές στην καθηµερινή µας ζωή χρησιµοποιείται ως µονάδα ενέργειας για τη θερµότητα και το 1 calorie (1 cal) ή θερµίδα. Αποδεικνύεται πειραµατικά ότι η σχέση του 1 Joule µε το 1 cal είναι: 1 cal = 4,2 j. Μια θερµίδα (1cal) είναι η θερµότητα, που χρειάζεται για να υψώσει τη θερµοκρασία 1g νερού κατά 1 0 C (από τους 14,50 C στους 15,50 C ). Ακόµη χρησιµοποιούµε και τη 1 χιλιοθερµίδα (1Kcal) η οποία είναι: 1 Kcal=1000 cal Προσοχή ! Μη συγχέετε τη θερµοκρασία µε τη θερµότητα. 2. Είναι δυνατόν να έχουµε µεταβολή της θερµοκρασίας χωρίς µεταφορά θερµότητας;
- 456. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 455 Ναι είναι δυνατόν να έχουµε µεταβολή της θερµοκρασίας χωρίς µεταφορά θερµότητας, π.χ όταν δυο σώµατα τρίβονται µεταξύ τους. Πολλές θερµικές µεταβολές, όπως η µεταβολή της θερµοκρασίας, η θερµική διαστολή, η τήξη, ο βρασµός κτλ. οφείλονται στη µεταφορά θερµότητας. Υπάρχουν, όµως, αντίστοιχες µεταβολές οι οποίες δεν οφείλονται σε µεταφορά θερµότητας. Η θερµοκρασία του νερού σ' ένα δοχείο είναι δυνατόν να αυξηθεί λόγω της περιστροφής ενός αναδευτήρα. Συγχρόνως αυξάνεται και η θερµοκρασία του αναδευτήρα. Η πτώση του βαριδιού προκαλεί την περιστροφή του αναδευτήρα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Όταν περιστρέφονται τα πτερύγια, µεταφέρεται ενέργεια στο νερό µέσω έργου. Η θερµοκρασία του νερού αυξάνεται. Σε αυτό το πείραµα δεν υπάρχει διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ του αναδευτήρα και του νερού, δε µεταφέρεται θερµότητα από το ένα στο άλλο. Η αύξηση της θερµοκρασίας προκαλείται από την περιστροφή του αναδευτήρα. 3. Πότε λέµε ότι δυο σώµατα βρίσκονται σε θερµική επαφή (αλληλεπίδραση) και πότε λέµε ότι έχουµε θερµική ισορροπία; Λέµε ότι δυο σώµατα βρίσκονται σε θερµική αλληλεπίδραση ή επαφή όταν είναι δυνατόν να µεταφερθεί θερµότητα από το ένα σώµα στο άλλο χωρίς να αλλάξει η φυσική κατάσταση των σωµάτων. α) Θερµότητα µεταφέρεται (ροή θερµότητας) από ένα σώµα (Α) υψηλότερης θερµοκρασίας, προς ένα σώµα (Β) χαµηλότερης θερµοκρασίας.
- 457. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 456 β) Τότε η θερµοκρασία του σώµατος Α µειώνεται, και του (Β) αυξάνεται. Έχουµε δηλαδή µεταβολή της θερµοκρασίας των σωµάτων τα οποία βρίσκονται σε θερµική αλληλεπίδραση (εφόσον αυτά δεν αλλάζουν φυσική κατάσταση). Μετά από κάποιο χρονικό διάστηµα, η θερµοκρασία του (Β) γίνεται ίδια µε τη θερµοκρασία του (Α). Η µεταφορά θερµότητας σταµατάει. Λέµε τότε ότι το (Β) βρίσκεται σε θερµική ισορροπία µε το (Α). Εφαρµογή της θερµικής ισορροπίας έχουµε στη µέτρηση της θερµοκρασίας ενός σώµατος. Για να τη µετρήσουµε σωστά, πρέπει το θερµόµετρο να βρίσκεται σε θερµική επαφή µε το σώµα µέχρι να σταθεροποιηθεί η ένδειξή του. Το θερµόµετρο δείχνει τη θερµοκρασία του σώµατος όταν βρίσκεται σε θερµική ισορροπία µε αυτό.
- 458. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 457 6.3 Πως µετράµε τη θερµότητα 1. Όταν δύο σώµατα βρίσκονται σε θερµική αλληλεπίδραση, µεταφέρεται θερµότητα από το ζεστό στο κρύο. Πώς µπορεί να µετρηθεί η θερµότητα που ανταλλάσσεται; Να αναφέρετε το νόµο της θερµιδοµετρίας. Το ποσό θερµότητας (Q) που µεταφέρεται προς ή από ένα σώµα είναι ανάλογο µε τη µεταβολή της θερµοκρασίας (∆θ) του σώµατος. Έτσι, για διπλάσια αύξηση της θερµοκρασίας, απαιτείται η µεταφορά προς το σώµα διπλάσιας ποσότητας θερµότητας κτλ. Παρόµοια, για διπλάσια µείωση της θερµοκρασίας, απαιτείται να µεταφερθεί από το σώµα διπλάσια ποσότητα θερµότητας. Το ποσό θερµότητας (Q) που πρέπει να µεταφερθεί για µια δεδοµένη µεταβολή της θερµοκρασίας (∆θ) ενός σώµατος είναι ανάλογο µε τη µάζα (m) του σώµατος. Για παράδειγµα, για να αυξηθεί κατά 30°C η θερµοκρασία 2 kg νερού, απαιτείται διπλάσια ποσότητα θερµότητας απ' ό,τι για την ίδια αύξηση θερµοκρασίας 1 kg. Το ποσό θερµότητας (Q) που πρέπει να µεταφερθεί, ώστε να µεταβληθεί η θερµοκρασία ενός σώµατος µάζας m κατά ∆θ, εξαρτάται και από το είδος του υλικού από το οποίο αποτελείται το σώµα. Για παράδειγµα, για να µεταβληθεί κατά 30°C η θερµοκρασία ίσων µαζών λαδιού και νερού, χρειάζεται να µεταφερθεί στο λάδι περίπου η µισή ποσότητα θερµότητας απ' ό,τι στο νερό. Τα γενικά αυτά τα συµπεράσµατα εκφράζονται στη γλώσσα των µαθηµατικών µε τη σχέση: Q = m·c·∆θ
- 459. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 458 όπου µε Q συµβολίζουµε την ποσότητα της θερµότητας που µεταφέρεται από ή προς σώµα που έχει µάζα m, µε ∆θ=θ2-θ1, συµβολίζουµε τη µεταβολή της θερµοκρασίας του σώµατος σε Κέλβιν ή βαθµούς Κελσίου, ενώ η ποσότητα c είναι µια σταθερά, που εξαρτάται από το υλικό του σώµατος και ονοµάζεται ειδική θερµότητα. Η σχέση αυτή είναι γνωστή και ως «νόµος της θερµιδοµετρίας». Ο νόµος γράφεται και ως Q = m⋅ ⋅ ⋅ ⋅c⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆Τ όπου όπως είπαµε ∆Τ είναι η αντίστοιχη µεταβολή της θερµοκρασίας σε Κέλβιν ή βαθµούς Κελσίου. Επειδή δε µας ενδιαφέρει αν η µεταβολή της θερµοκρασίας µετριέται σε 0 C ή K για αυτό χρησιµοποιούµε το 1grad. 2. Τι ονοµάζουµε ειδική θερµότητα c κάποιου υλικού; Η ποσότητα της θερµότητας που χρειάζεται για να µεταβληθεί η θερµοκρασία 1 kg κάποιου υλικού κατά 1°C ονοµάζεται ειδική θερµότητα και εξαρτάται από το υλικό του σώµατος. Συµβολίζεται µε c και χαρακτηρίζει το κάθε υλικό. Για να ορίσουµε τη µονάδα ειδικής θερµότητας, λύνουµε το θεµελιώδη νόµο της θερµιδοµετρίας Q = m·c·∆θ, ως προς c και έχουµε c= Q m ∆θ ⋅ . Αν βάλουµε στην εξίσωση αυτή Q=1J, m=1Kg και ∆θ=1 0 C (καλύτερα 1grad) διαπιστώνουµε ότι η µονάδα της ειδικής θερµότητας είναι το: 0 J 1 Kg C ⋅ ή J 1 Kg grad ⋅ . Ακόµα χρησιµοποιείται σαν µονάδα ειδικής θερµότητας και η cal 1 g grad ⋅ . Η ειδική θερµότητα του νερού είναι ίση µε c= cal 1 g grad ⋅ όπως προκύπτει από τον ορισµό της µονάδας 1cal. Ακόµη επειδή 1cal=4,2 J µπορούµε να πούµε ότι η ειδική θερµότητα του νερού είναι ίση µε c= J 4,2 g grad ⋅ ή c= J 4200 Kg grad ⋅
- 460. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 459 Έτσι, για να µεταβληθεί η θερµοκρασία 1 kg νερού κατά 1°C, χρειάζεται θερµότητα 4200 J. Η ειδική θερµότητα του πάγου είναι ίση µε c= cal 0,5 g grad ⋅ ή c= J 2100 Kg grad ⋅ . Αυτό σηµαίνει πως για να αυξήσουµε τη θερµοκρασία 1 g πάγου κατά 1 0 C, πρέπει να προσφέρουµε σε αυτό θερµότητα, ίση µε 0,5 θερµίδες. Στον πίνακα φαίνεται η ειδική θερµότητα κάποιων υλικών. Παρατηρούµε ότι η ειδική θερµότητα του νερού έχει σχετικά µεγάλη τιµή. Επίσης, παρατηρούµε ότι το νερό έχει πολύ µεγαλύτερη ειδική θερµότητα από την άµµο. Αυτό εξηγεί γιατί στην παραλία το νερό θερµαίνεται το πρωί πολύ αργότερα από την άµµο και το βράδυ, ψύχεται αντίστοιχα, πολύ αργότερα από αυτή. Για τον ίδιο λόγο η θάλασσα διατηρείται σχετικά θερµή κατά το φθινόπωρο, µε αποτέλεσµα το κλίµα των παραθαλάσσιων περιοχών να είναι ήπιο. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το γινόµενο m·c της µάζας ενός σώµατος επί την ειδική θερµότητα του υλικού, του σώµατος ονοµάζεται θερµοχωρητικότητα του σώµατος. Από το θεµελιώδη νόµο της θερµιδοµετρίας Q = m·c·∆θ, έχουµε m⋅c= Q ∆θ . Άρα µονάδα θερµοχωρητικότητας είναι το: J 1 grad ή cal 1 grad . Άρα η θερµοχωρητικότητα εκφράζει το ποσό της θερµότητας που πρέπει να προσφέρουµε ώστε να ανεβεί η θερµοκρασία όλου του σώµατος κατά 1 0 C. Έτσι η θερµοχωρητικότητα είναι ένα µέγεθος που χαρακτηρίζει ένα δεδοµένο σώµα ενώ η ειδική θερµότητα αναφέρεται στο υλικό από το οποίο είναι κατασκευασµένο ένα σώµα.
- 461. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 460 Αποδεικνύεται ότι η ειδική θερµότητα ενός οποιουδήποτε στερεού προκύπτει αν διαιρέσουµε το 6 µε τη σχετική ατοµική του µάζα. (Νόµος των Dulong – Pettit). c= 6 Ar ( cal g grad ⋅ ). Λέµε δηλαδή ότι όλα τα στερεά έχουν την ίδια θερµοχωρητικότητα ανά γραµµοάτοµο (6 cal/γραµµοάτοµο). Έτσι π.χ η ειδική θερµότητα του Al είναι: c= 6 Ar = 6 27 =0,22 cal g grad ⋅ που είναι περίπου η τιµή που φαίνεται στον παραπάνω πίνακα.
- 462. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 461 1. Μια ποσότητα νερού µάζας m=500g βρίσκεται σε θερµοκρασία θ1=15 0 C. Πόση θερµότητα Q, πρέπει να προσφέρουµε στην παραπάνω ποσότητα νερού, ώστε η θερµοκρασία της να αυξηθεί και να γίνει θ2=35 0 C. ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του νερού c= J 4200 Kg grad ⋅ . Λύση: Η µεταβολή της θερµοκρασίας του νερού από 15 °C σε 35 °C είναι 20 °C. Με εφαρµογή του νόµου της θερµιδοµετρίας, υπολογίζουµε το ζητούµενο ποσό θερµότητας: Q = m·c·∆θ ή Q = 0,5⋅4200 ⋅20=42.000 J ή 42KJ. 2. Αναµειγνύουµε µια ποσότητα νερού µάζας m1=400 g και θερµοκρασίας θ1=80 0 C µε µια δεύτερη ποσότητα νερού µάζας m2=600 g και θερµοκρασίας θ2=20 0 C. Τότε: α) Να βρεθεί η τελική θερµοκρασία του µίγµατος που προκύπτει και β) Να υπολογιστεί το ποσό της θερµότητας που µεταφέρθηκε αν η ειδική θερµότητα του νερού είναι c= J 4200 Kg grad ⋅ . Λύση: α) Το ποσό της θερµότητας Q1 που έδωσε το σώµα που ψύχθηκε είναι ίσο µε το ποσό της θερµότητας Q2 που έλαβε το σώµα που θερµάνθηκε. Άρα Q1=Q2=Q. Από το θεµελιώδη νόµο της θερµιδοµετρίας, ισχύει Q1 = m1·c·(θ1-θ) και Q2 = m2·c·(θ-θ2). Τότε ισχύει Q1=Q2 ή m1·c·(θ1-θ)= m2·c·(θ-θ2) ή m1·(θ1-θ)= m2·(θ-θ2) ή 0,4⋅(80-θ)=0,6⋅(θ-20) ή 0,2⋅(80-θ)=0,3⋅(θ-20) ή 16-0,2θ=0,3θ-6 ή 0,5θ=22 ή θ=44 °C. β) Το ποσό της θερµότητας που µεταφέρθηκε µπορεί να υπολογιστεί είτε από τη σχέση Q1 = m1·c·(θ1-θ) είτε από την Q2 = m2·c·(θ-θ2). Από την πρώτη σχέση , προκύπτει Q1 = 0,4·4200·(80-44) ή
- 463. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 462 Q1 = 0,4·4200·36 ή Q1 = 60.480 J ή Q1= Q2=Q= 60,48 KJ. 3. ∆υο ποσότητες mA και mB από ένα υγρό, βρίσκονται σε θερµοκρασίες 10 °C και 40 °C αντίστοιχα. Αν θέλουµε να σχηµατίσουµε µίγµα θερµοκρασίας θ=30 °C , τότε να υπολογιστεί η αναλογία µαζών A B m m µε την οποία πρέπει να αναµείξουµε τις δυο ποσότητες του υγρού. Λύση: α) Το ποσό της θερµότητας Q1 που έδωσε το σώµα που ψύχθηκε είναι ίσο µε το ποσό της θερµότητας Q2 που πήρε το σώµα που θερµάνθηκε. Άρα Q1=Q2⇒ ⇒ mA·c·(θ-10) =mB·c·(40-θ)⇒ A B m m = 40-θ θ-10 ⇒ A B m m = 40-30 30-10 ⇒ A B m m = 10 20 ⇒ ⇒ A B m m = 1 2 . 4. Σε δοχείο µε θερµοµονωτικά τοιχώµατα υπάρχει νερό µάζας m1=1 kg και θερµοκρασίας θ1=10 0 C. Μέσα στο νερό ρίχνουµε ένα καυτό κοµµάτι σίδηρου µάζας m2=0, 4 kg και θερµοκρασίας θ2. Μεταφέρεται θερµότητα από το σίδηρο στο νερό, µέχρι την επίτευξη θερµικής ισορροπίας. Η τελική θερµοκρασία στη θερµική ισορροπία βρέθηκε θ=22 0 C. Οι ειδικές θερµότητες του νερού και του σίδηρου είναι: c1= J 4200 Kg grad ⋅ και c2= J 450 Kg grad ⋅ , αντίστοιχα. Να βρεθούν: α) Η θερµότητα που µεταφέρθηκε από το σίδηρο στο νερό, θεωρώντας ότι στα τοιχώµατα του δοχείου δε µεταφέρεται θερµότητα. β) Η µεταβολή ∆θ της θερµοκρασίας του σιδήρου. γ) Η θερµοκρασία θ2 που είχε στην αρχή το κοµµάτι του σιδήρου. Λύση:
- 464. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 463 α) Η µεταβολή της θερµοκρασίας του νερού από 10 °C σε 22 °C είναι 12 °C. Με εφαρµογή του νόµου της θερµιδοµετρίας, υπολογίζουµε το ζητούµενο ποσό θερµότητας: Q1 = m1·c1·∆θ, ή Q1 = 4200 ⋅12=50400 J β) Το ποσό θερµότητας Q1 που µεταφέρθηκε στο νερό θα είναι ίσο µε το ποσό θερµότητας που µεταφέρθηκε από το σίδηρο, µια και δεν έχουµε µεταφορά θερµότητας προς τα τοιχώµατα του δοχείου. (Αρχή διατήρησης της ενέργειας). Άρα ισχύει Q1 = Q2. Με εφαρµογή του νόµου της θερµιδοµετρίας, µπορούµε να υπολογίσουµε τη µεταβολή της θερµοκρασίας του σιδήρου. Q2 = m2·c2·∆θ⇒ ∆θ= 2 2 2 Q m c ⋅ ⇒ ∆θ= 1 2 2 Q m c ⋅ ⇒ ∆θ= 50400 0,4 450 ⋅ ⇒ ∆θ=280 0 C. γ) Η θερµοκρασία του σιδήρου µειώθηκε κατά 280 0 C , ενώ η τελική τιµή της θερµοκρασίας του είναι θ=22 0 C. Άρα έχουµε ∆θ= θ2-θ⇒ θ2=θ+∆θ⇒ θ2=22+280⇒ θ2=302 0 C.
- 465. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 464 1. Να υπολογιστεί σε J και σε cal η θερµότητα που πρέπει να προσφέρουµε σε νερό µάζας m=200g, ώστε να αυξηθεί η θερµοκρασία του κατά 1 0 C. ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του νερού c= 1 cal g grad ⋅ . 2. Να υπολογιστεί η µεταβολή της θερµοκρασίας ποσότητας νερού ίσης µε m=0,4Kg, όταν προσφέρουµε σε αυτή θερµότητα Q=500 cal. ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του νερού c= 1 cal g grad ⋅ . 3. Αν η θερµότητα που πρέπει να προσφέρουµε σε ελαιόλαδο µάζας m, ώστε να αυξηθεί η θερµοκρασία του κατά 5 0 C είναι Q=985 J, τότε να υπολογιστεί η µάζα του λαδιού. ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του λαδιού cλ= J 1970 Kg grad ⋅ . 4. Σε ένα δοχείο µε θερµοµονωτικά τοιχώµατα που περιέχει νερό όγκου V=0,5L θερµοκρασίας θ1=20 0 C, βυθίζουµε ένα θερµαινόµενο κοµµάτι αλουµινίου µάζας 125 g και θερµοκρασίας θ2=80 0 C. Αν η τελική θερµοκρασία στη θερµική ισορροπία είναι θ=23 0 C, τότε να υπολογιστεί η ειδική θερµότητα του αλουµινίου. ∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1kg/L και η ειδική θερµότητα του νερού c= 1 cal g grad ⋅ . 5. Σιδερένια σφαίρα κινείται µε ταχύτητα υ=300 m/s και προσκρούει σε τοίχο, οπότε το 25% της κινητικής της ενέργειας δαπανάται κατά τη διάρκεια της κρούσης για την ανύψωση της θερµοκρασίας της. Αν η ειδική θερµότητα του σιδήρου είναι cσ= J 450 Kg grad ⋅ , τότε να υπολογιστεί η ανύψωση της θερµοκρασίας της σφαίρας. 6. Στερεό αλουµίνιο έχει µάζα m1=150g και άγνωστη ειδική θερµότητα c1. Ένα θερµιδόµετρο (δοχείο µε θερµικά µονωµένα τοιχώµατα), έχει µάζα m2=500g
- 466. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 465 και ειδική θερµότητα c2=0,1 cal g grad ⋅ , ενώ το νερό που βρίσκεται µέσα σε αυτό έχει µάζα m3=0,4Kg και έχει ειδική θερµότητα c3=1 cal g grad ⋅ . Αρχικά το δοχείο και το νερό βρίσκονται σε θερµική ισορροπία και έχουν θερµοκρασία θ=10 0 C. Θερµαίνουµε το κοµµάτι του αλουµινίου σε θερµοκρασία θ1=80 0 C και στη συνέχεια το βυθίζουµε στο θερµιδόµετρο. Όταν αποκατασταθεί η τελική θερµική ισορροπία τότε το σύστηµα (δοχείο – νερό – αλουµίνιο) έχει θερµοκρασία θτελ=15 0 C µε θθτελθ1. Τότε να υπολογιστεί η άγνωστη ειδική θερµότητα c1 του αλουµινίου. 7. Αναµειγνύουµε 200g νερού θερµοκρασίας 80 0 C µε 300g νερού θερµοκρασίας 20 0 C, Α) Ποια είναι η τελική θερµοκρασία του νερού; Β) Πόση θερµότητα «έχασε» το ζεστό νερό και πόση θερµότητα πήρε το κρύο νερό; ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του νερού c= 1 cal g grad ⋅ . 8. Πόση θερµότητα απαιτείται για να ανυψωθεί η θερµοκρασία 180 g νερού κατά 10 0 F; ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του νερού c= 1 cal g grad ⋅ . 9. Η ειδική θερµότητα του σιδήρου είναι cσ= J 460 Kg grad ⋅ και του χαλκού είναι cχ= J 380 Kg grad ⋅ . Αν προσφέρουµε σε ίσες µάζες σιδήρου και χαλκού ίσες θερµότητες και η αύξηση της θερµοκρασίας του σιδήρου είναι 38 0 C, τότε πόση θα είναι η αντίστοιχη αύξηση της θερµοκρασίας του χαλκού; 10. Πόσο νερό θερµοκρασίας 15 0 C και πόσο νερό θερµοκρασίας 40 0 C πρέπει να αναµείξουµε, για να πάρουµε τελικά 1000g νερού θερµοκρασίας 20 0 C; 11. Να υπολογιστεί η µάζα του µολύβδου που απορροφά την ίδια θερµότητα, για την ίδια ανύψωση της θερµοκρασίας µε αυτή που απορροφά 1L νερό. ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του νερού c= 4200 0 joule Kg C ⋅ και του µολύβδου
- 467. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 466 cµ= 140 0 joule Kg C ⋅ και η πυκνότητα του νερού ρ=1kg/L. 12. Για να αυξηθεί η θερµοκρασία 0,4Κg σιδήρου κατά 10 0 C απαιτείται θερµότητα 440 cal, α) Να υπολογιστεί η ειδική θερµότητα του σιδήρου σε cal g grad ⋅ και σε 0 joule Kg C ⋅ . β) Να υπολογιστεί η µεταβολή της θερµοκρασίας 500g σιδήρου όταν µεταφερθεί θερµότητα 4,62ΚJ από αυτόν στο περιβάλλον, γ) Να υπολογιστεί η θερµότητα που απαιτείται για να αυξηθεί η θερµοκρασία 2Κg σιδήρου κατά 25 0 C. 13. Αν για να θερµάνουµε µια ποσότητα νερού κατά 5 0 C απαιτείται να προσφέρουµε σε αυτή ποσό θερµότητας Q1=5Kcal, τότε αν θέλουµε να ψύξουµε την ίδια ποσότητα νερού κατά 15 0 C, πόση θερµότητα πρέπει να αφαιρέσουµε; 14. Προσφέρουµε ένα ποσό θερµότητας σε 1 Kg νερό και αυτό θερµαίνεται κατά 20 0 C. Αν προσφέρουµε το ίδιο ποσό θερµότητας σε 1 Kg χαλκού θερµοκρασίας 20 0 C, τότε ποια θα είναι η τελική του θερµοκρασία; ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του νερού cν= 4200 0 joule Kg C ⋅ και του χαλκού cχ= 400 0 joule Kg C ⋅ .
- 468. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 467 1)Η αυθόρµητη µεταφορά θερµότητας µεταξύ δυο σωµάτων που βρίσκονται σε επαφή σταµατάει µόλις τα δυο σώµατα βρεθούν σε θερµική ισορροπία. ( ) 2) 1 J=4,2 cal. ( ) 3) Η θερµοκρασία και η θερµότητα αποτελούν δυο διαφορετικές εκφράσεις του ίδιου φυσικού µεγέθους. ( ) 4) Όταν µεταφέρεται διπλάσια ποσότητα θερµότητας σε κάποιο σώµα τότε και η µεταβολή της θερµοκρασίας του είναι διπλάσια. ( ) 5) Η ποσότητα θερµότητας που απαιτείται για συγκεκριµένη µεταβολή της θερµοκρασίας δυο σωµάτων ίδιας µάζας, δεν εξαρτάται από το είδος του υλικού των σωµάτων. ( ) 6) Το γινόµενο m⋅c ενός σώµατος µάζας m και ειδικής θερµότητας c, ονοµάζεται θερµοχωρητικότητα του σώµατος. ( ) 7) Η ειδική θερµότητα του νερού είναι µεγαλύτερη από ό,τι είναι στα συνηθισµένα υλικά. Αυτό σηµαίνει ότι το νερό µεταφέρει προς το περιβάλλον ή απορροφά από το περιβάλλον µεγαλύτερο ποσό θερµότητας από ένα συνηθισµένο υλικό για την ίδια µεταβολή θερµοκρασίας. ( )
- 469. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 468 1) Η θερµότητα µεταφέρεται αυθόρµητα, α. πάντα από το σώµα µικρότερης προς το σώµα µεγαλύτερης θερµοκρασίας. β. µεταξύ δυο σωµάτων που βρίσκονται σε θερµική ισορροπία. γ. από ένα ψυχρό σε ένα θερµό σώµα. δ. πάντα από το σώµα µεγαλύτερης προς το σώµα µικρότερης θερµοκρασίας. 2) Η θερµότητα είναι µονόµετρο µέγεθος και η µονάδα µέτρησής της στο S.I είναι α) 1 cal β) 1 0 C γ) 1 K δ) 1 J. 3) Αν η θερµοκρασία ενός σώµατος Α είναι TΑ=200 K και ενός σώµατος Β είναι TB=0 0 C τότε έχουµε αυθόρµητη µεταφορά θερµότητας α) από το σώµα Α στο σώµα Β. β) από κανένα γιατί τα σώµατα βρίσκονται σε θερµική ισορροπία. γ) άλλες φορές από το Α και άλλες φορές από το Β ανάλογα µε τη θερµοκρασία του περιβάλλοντος. δ) από το σώµα Β στο σώµα Α. 4) Για να επιτύχουµε την ίδια µεταβολή θερµοκρασίας σε διπλάσια µάζα νερού στον ίδιο χρόνο, α) Πρέπει να µεταφέρουµε σ' αυτό διπλάσια ποσότητα θερµότητας. β) Πρέπει να µεταφέρουµε σ' αυτό µισή ποσότητα θερµότητας. γ) Πρέπει να µεταφέρουµε σ' αυτό σταθερή ποσότητα θερµότητας ίδια κάθε φορά. δ) Πρέπει να µεταφέρουµε σ' αυτό τετραπλάσια ποσότητα θερµότητας. 5) για να αυξηθεί κατά 30°C η θερµοκρασία 2 kg νερού, απαιτείται
- 470. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 469 α) διπλάσια ποσότητα θερµότητας απ' ό,τι για την ίδια αύξηση θερµοκρασίας 1 kg β) διπλάσια ποσότητα θερµότητας απ' ό,τι για την ίδια αύξηση θερµοκρασίας 4 kg γ) διπλάσια ποσότητα θερµότητας απ' ό,τι για την ίδια αύξηση θερµοκρασίας 0,5 kg δ) η µισή ποσότητα θερµότητας απ' ό,τι για την ίδια αύξηση θερµοκρασίας 1 kg 6) Μονάδα µέτρησης της ειδικής θερµότητας ενός σώµατος µπορεί να είναι: α) το J 1 Kg β) το J 1 grad γ) το 1 J δ) το 0 J 1 Kg C ⋅ 7) ∆υο σώµατα Α και Β είναι κατασκευασµένα από το ίδιο υλικό. Αν mA= B m 2 τότε η θερµοχωρητικότητα, α) του Α είναι διπλάσια της θερµοχωρητικότητας του Β. β) του Α είναι ίση µε τη θερµοχωρητικότητα του Β. γ) του Β είναι διπλάσια της θερµοχωρητικότητας του Α. δ) του Α είναι τετραπλάσια της θερµοχωρητικότητας του Β. 1) Θερµότητα ονοµάζουµε την ………………..που µεταφέρεται από ένα σώµα σε ένα άλλο λόγω της διαφοράς ………………………..µεταξύ των δυο σωµάτων.
- 471. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 470 2) Μια θερµίδα (1cal) είναι η θερµότητα, που χρειάζεται για να υψώσει τη θερµοκρασία 1g νερού κατά …………………(από τους ………….στους……………). 3) Το θερµόµετρο δείχνει τη θερµοκρασία του σώµατος όταν βρίσκεται σε θερµική ………………………….µε αυτό. 4) Η µεταβολή της θερµοκρασίας ενός σώµατος είναι ανάλογη της ποσότητας της ……………………………..που µεταφέρεται προς ή από αυτό. Έτσι, για διπλάσια µείωση της θερµοκρασίας, απαιτείται να µεταφερθεί από το σώµα ………………..ποσότητα θερµότητας. 5) Η ποσότητα της θερµότητας που χρειάζεται για να µεταβληθεί η θερµοκρασία 1 kg κάποιου υλικού κατά 1°C ονοµάζεται ειδική ………………………και εξαρτάται από το ……………………….του σώµατος.
- 472. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 471 6.4 Θερµοκρασία, θερµότητα και µικρόκοσµος. 1. ∆οµικοί λίθοι στερεών υγρών και αερίων σωµάτων. Οι δοµικοί λίθοι ενός σώµατος είναι τα µικροσκοπικά σωµατίδια από τα οποία φτιάχνεται το σώµα. Στα περισσότερα σώµατα οι δοµικοί λίθοι είναι: τα µόρια, σε µερικά όµως µπορεί να είναι τα άτοµα ή και τα ιόντα. Αρχές της κινητικής θεωρίας της θερµότητας. Η κινητική θεωρία της θερµότητας κάνει τις παρακάτω δυο παραδοχές: 1. Η ύλη αποτελείται από άτοµα µόρια ή ιόντα και 2. Σε κάθε θερµοκρασία (εκτός από τη θερµοκρασία του απόλυτου µηδενός) τα άτοµα µόρια ή ιόντα κινούνται (θερµική κίνηση) και µάλιστα η ενέργειά τους είναι ανάλογη της απόλυτης θερµοκρασίας τους. Η άτακτη θερµική κίνηση των µορίων ονοµάζεται και κίνηση Brown (Μπράουν). Οι παραπάνω παραδοχές ισχύουν και για τις τρεις φάσεις της ύλης. Έτσι οι µακροσκοπικές ιδιότητες όλων των σωµάτων, αερίων υγρών και στερεών µπορούν να ερµηνευτούν µε βάση τον τρόπο κίνησης των δοµικών τους λίθων. Αέρια: Τα µόρια των αερίων κινούνται ευθύγραµµα και ισοταχώς προς κάθε κατεύθυνση, µε µεγάλες ταχύτητες. Τα φανταζόµαστε σαν µικρές ελαστικές σφαίρες που αλληλεπιδρούν µόνο τη στιγµή που συγκρούονται, είτε µεταξύ τους, είτε µε τα τοιχώµατα του δοχείου που τα περιέχει. Συνεπώς, τα µόρια των αερίων έχουν πρακτικά µόνο κινητική ενέργεια (ενέργεια λόγω θερµικής κίνησης ή θερµική ενέργεια).
- 473. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 472 Υγρά: Τα µόρια των υγρών είναι αρκετά κοντά µεταξύ τους. Έτσι τα υγρά έχουν σταθερό όγκο, αλλά δεν έχουν συγκεκριµένο σχήµα. Παίρνουν κάθε φορά το σχήµα του δοχείου που τα περιέχει. Επίσης ρέουν. Φανταζόµαστε ότι στα υγρά οι δοµικοί λίθοι κινούνται άτακτα «γλιστρώντας» ο ένας επάνω στον άλλο, διατηρώντας σταθερές αποστάσεις, αλλά οι δυνάµεις αλληλεπίδρασης δεν µπορούν να τα κρατήσουν σε σταθερές θέσεις. Στερεά: Τα στερεά έχουν συγκεκριµένο σχήµα και συγκεκριµένο όγκο. Οι δοµικοί τους λίθοι είναι τοποθετηµένοι σε καθορισµένες θέσεις γύρω από τις οποίες κινούνται άτακτα (ταλαντώνονται). Τα µόρια των στερεών και των υγρών αλληλεπιδρούν συνεχώς. Άρα, εκτός από κινητική ενέργεια έχουν και δυναµική ενέργεια. 2. ∆οµικοί λίθοι και θερµοκρασία. Η συνεχής, άτακτη κίνηση των δοµικών λίθων συνδέεται στενά µε τη θερµοκρασία ενός σώµατος. Έτσι, όσο υψηλότερη είναι η θερµοκρασία µιας ποσότητας αερίου, τόσο ταχύτερα κατά µέσο όρο κινούνται τα µόριά του. Γενικά όσο υψηλότερη είναι η θερµοκρασία ενός σώµατος, τόσο µεγαλύτερη µέση κινητική ενέργεια έχουν οι δοµικοί του λίθοι λόγω της άτακτης κίνησής τους. ∆ηλαδή µπορούµε να πούµε ότι: Η θερµοκρασία ενός σώµατος αποτελεί µέτρο της µέσης κινητικής ενέργειας των µορίων του.
- 474. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 473 3. Γιατί µεταβάλλονται οι θερµοκρασίες δύο σωµάτων όταν έλθουν σε θερµική επαφή, µε βάση τη θερµική κίνηση των δοµικών λίθων τους; Όταν έρχονται σε επαφή δύο σώµατα διαφορετικών θερµοκρασιών, τα µόριά τους αλληλεπιδρούν µε τυχαίο τρόπο και έτσι µεταφέρεται ενέργεια από τα µόρια µεγαλύτερης κινητικής ενέργειας στα µόρια µικρότερης κινητικής ενέργειας. Ας θεωρήσουµε ότι ένας µεταλλικός κύλινδρος τοποθετείται µέσα σε δοχείο µε καυτό νερό. Παρατηρούµε ότι ύστερα από ορισµένο χρονικό διάστηµα οι θερµοκρασίες των δυο σωµάτων γίνονται ίσες. α) Αρχικά επειδή η θερµοκρασία του νερού είναι υψηλότερη από του µετάλλου, οι δοµικοί λίθοι του νερού έχουν µεγαλύτερη κινητική ενέργεια από τους δοµικούς λίθους του µετάλλου (κινούνται εντονότερα). β) Όταν ο κύλινδρος βυθιστεί στο νερό, οι δοµικοί λίθοι του νερού συγκρούονται (αλληλεπιδρούν), µε τους δοµικούς λίθους του κυλίνδρου και κινητική ενέργεια µεταφέρεται από τους πρώτους στους δεύτερους. Έτσι, η θερµοκρασία του νερού ελαττώνεται και του µετάλλου αυξάνεται. γ) Η µεταφορά ενέργειας µεταξύ των δοµικών λίθων µέσω συγκρούσεων (τυχαίων αλληλεπιδράσεων), αντιστοιχεί στην αυθόρµητη µεταφορά θερµότητας από το σώµα υψηλότερης θερµοκρασίας, προς το σώµα χαµηλότερης θερµοκρασίας. δ) Μετά από λίγο χρόνο, η θερµοκρασία του µεταλλικού κυλίνδρου γίνεται ίση µε του νερού και παραµένει σταθερή. ∆ηλαδή, το µέταλλο βρίσκεται σε θερµική ισορροπία µε το νερό. Τότε, οι δοµικοί λίθοι του µετάλλου έχουν την ίδια κινητική ενέργεια µε τους δοµικούς λίθους του νερού και η µεταφορά θερµότητας από το νερό στο µέταλλο σταµατά. 4. Τι ονοµάζουµε εσωτερική ενέργεια (U) ενός σώµατος;
- 475. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 474 Η κινητική και δυναµική ενέργεια που έχουν συνολικά οι δοµικοί λίθοι, επειδή κινούνται άτακτα και επειδή ασκούνται δυνάµεις µεταξύ τους, ονοµάζεται εσωτερική ενέργεια του σώµατος. Οι δοµικοί λίθοι (µόρια) κάθε αερίου κινούνται ελεύθερα µακριά ο ένας από τον άλλο. Μεταξύ των δοµικών λίθων µορίων ενός αερίου δεν ασκούνται δυνάµεις. Οι δοµικοί λίθοι ενός αερίου δεν αλληλεπιδρούν. Άρα η εσωτερική ενέργεια ενός αερίου είναι µόνο η ολική κινητική ενέργεια των µορίων του αφού δεν έχουµε δυναµική ενέργεια (ενέργεια αλληλεπίδρασης). Οι δοµικοί λίθοι ενός υγρού αλληλεπιδρούν, µε αποτέλεσµα να συγκρατούνται µεταξύ τους και να δηµιουργούν σταγόνες. Οι δοµικοί λίθοι ενός στερεού σώµατος επίσης αλληλεπιδρούν, αλλά ισχυρότερα από ό,τι στα υγρά. Έτσι, στα στερεά συγκρατούνται σε καθορισµένες θέσεις, µε αποτέλεσµα να συνθέτουν ένα σώµα µε σταθερό όγκο και συγκεκριµένο σχήµα. Εποµένως στα υγρά και στα στερεά κάθε δοµικός λίθος εκτός από κινητική ενέργεια έχει επίσης και δυναµική ενέργεια λόγω της αλληλεπίδρασής του µε τους άλλους δοµικούς λίθους. Άρα η εσωτερική ενέργεια στα υγρά και τα στερεά είναι το άθροισµα της ολικής κινητικής ενέργειας των µορίων του και της δυναµικής ενέργειας αυτών. 5. Τι ονοµάζουµε θερµική ενέργεια ενός σώµατος; Το µέρος της εσωτερικής ενέργειας που οφείλεται µόνο στην άτακτη κίνηση των µορίων (κινητική ενέργεια) ονοµάζεται θερµική ενέργεια. Η εσωτερική ενέργεια των αερίων είναι εξολοκλήρου θερµική ενέργεια, αφού τα µόρια των αερίων δεν έχουν δυναµική ενέργεια δηλαδή ενέργεια αλληλεπίδρασης. Η θερµική ενέργεια ενός σώµατος εξαρτάται από τη θερµοκρασία του και από τον αριθµό των µορίων του, άρα από τη µάζα του. Άρα και η εσωτερική ενέργεια συγκεκριµένης ποσότητας αερίου εξαρτάται µόνο από τη θερµοκρασία του.
- 476. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 475 Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα είναι δυνατόν να έχει περισσότερη θερµική ενέργεια από ένα άλλο σώµα µε µικρότερη µάζα, έστω και αν το δεύτερο έχει πολύ υψηλότερη θερµοκρασία. Έτσι, το νερό µιας λίµνης έχει περισσότερη θερµική ενέργεια από το καυτό νερό που υπάρχει στο φλιτζάνι µας. Επίσης για παράδειγµα, ένα παγάκι στην πορτοκαλάδα µας και ένα παγόβουνο έχουν την ίδια θερµοκρασία. Κάθε δοµικός λίθος στο παγόβουνο και στο παγάκι έχει την ίδια µέση κινητική ενέργεια. Ωστόσο, η συνολική κινητική ενέργεια των δοµικών λίθων είναι διαφορετική για το παγάκι και το παγόβουνο: η θερµική ενέργεια του παγόβουνου είναι ασύγκριτα µεγαλύτερη αφού έχει ασύγκριτα µεγαλύτερη µάζα. Σηµείωση: Στα υγρά και στα στερεά, επειδή τα µόριά τους αλληλεπιδρούν, εκτός από την κινητική έχουν και δυναµική ενέργεια. Έτσι, στην περίπτωση των σωµάτων αυτών, εσωτερική ενέργεια είναι το άθροισµα της ολικής κινητικής και της δυναµικής ενέργειας των δοµικών τους λίθων. (U=Kολ+Uδυναµική) Όταν υπολογίζουµε µόνο τη συνολική κινητική ενέργεια των δοµικών λίθων την ονοµάζουµε θερµική ενέργεια του σώµατος και είναι µέρος της εσωτερικής του ενέργειας. Θέρµανση ενός σώµατος, σηµαίνει αύξηση της εσωτερικής του ενέργειας εις βάρος της εσωτερικής ενέργειας κάποιου άλλου σώµατος, του οποίου η εσωτερική ενέργεια µειώνεται και συνεπώς αυτό ψύχεται.
- 477. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 476 6) Περιγράψτε τα φαινόµενα που συµβαίνουν όταν φέρουµε σε επαφή δυο σώµατα µε διαφορετικές θερµοκρασίες. Ποια κατάσταση ονοµάζεται κατάσταση θερµικής ισορροπίας; Η αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του ενός σώµατος και η ταυτόχρονη µείωση της εσωτερικής ενέργειας του άλλου, συνεχίζονται έως ότου αυτά αποκτήσουν την ίδια θερµοκρασία. Τη διαδικασία αυτή µπορούµε να τη διαπιστώσουµε πειραµατικά µε τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στην εικόνα Πρόκειται για δυο δοχεία τα οποία περιέχουν νερό σε διαφορετικές θερµοκρασίες. Το µικρό δοχείο έχει µεταλλικά λεπτά τοιχώµατα και περιέχει ζεστό νερό θερµοκρασίας θ1 (σε ο C). Το µεγάλο δοχείο έχει κρύο νερό θερµοκρασίας θ2 (σε ο C). Στα δύο δοχεία υπάρχουν θερµόµετρα µε τα οποία µετράµε τις θερµοκρασίες του νερού των δυο δοχείων. Αρχικά οι θερµοκρασίες είναι θ1 και θ2. Στη συνέχεια η θερµοκρασία του νερού στο δοχείο ∆1 µειώνεται ενώ αυξάνεται η θερµοκρασία στο δοχείο ∆2. Η µεταβολή των θερµοκρασιών συνεχίζεται έως ότου το νερό στα δυο δοχεία αποκτήσει την ίδια θερµοκρασία. Όσο χρόνο οι θερµοκρασίες είναι διαφορετικές, γίνεται ανακατανοµή στις εσωτερικές ενέργειες, το αποτέλεσµα της οποίας το ονοµάζουµε απορρόφηση θερµότητας από το νερό στο δοχείο ∆2. Όταν οι θερµοκρασίες γίνουν ίσες σταµατά η ανακατανοµή των εσωτερικών ενεργειών και τότε ούτε προσφέρεται ούτε απορροφάται θερµότητα. Η κατάσταση αυτή ονοµάζεται θερµική ισορροπία.
- 478. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 477 7. Να αναφέρετε την αρχή διατήρησης της ενέργειας στην περίπτωση που έχουµε µια µεταβολή ενός αερίου που γίνεται: α) µε σταθερό όγκο και β) στην περίπτωση που ο όγκος µεταβάλλεται. Εάν θερµάνουµε και τα δύο αέρια εξίσου, δηλαδή προσφέρουµε και στα δύο την ίδια ποσότητα θερµότητας θα έχουµε το ίδιο αποτέλεσµα; Στο πρώτο δοχείο και µε την προϋπόθεση πως αυτό διατηρεί τον όγκο του σταθερό, το αέριο θερµαίνεται χωρίς καµία µεταβολή στον όγκο του. Αυτό σηµαίνει πως η προσφερόµενη θερµότητα απορροφήθηκε εξολοκλήρου από τα µόρια του αερίου, τα οποία αύξησαν έτσι την κινητική τους ενέργεια, δηλαδή ότι αυξήθηκε η εσωτερική ενέργεια του αερίου. Μπορούµε λοιπόν να διατυπώσουµε την αρχή διατήρησης της ενέργειας µε την απλή εξίσωση: Προσφερόµενη θερµότητα = αύξηση εσωτερικής ενέργειας αερίου Q = ∆U Στο δεύτερο δοχείο η θερµοκρασία του αερίου αυξάνεται λιγότερο και διαστελλόµενο ανυψώνει σιγά - σιγά το έµβολο, βάρους w και εµβαδού A, κατά µικρό ύψος x. Το γεγονός πως το έµβολο ισορροπεί και µετά τη διαστολή, σηµαίνει πως η πίεση Ρ του αερίου παρέµεινε σταθερή.
- 479. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 478 Αντίθετα λοιπόν µε ότι συµβαίνει στο πρώτο δοχείο όπου η προσφερόµενη θερµότητα µετατράπηκε εξ' ολοκλήρου σε εσωτερική ενέργεια του αερίου, στο δεύτερο δοχείο η εξέλιξη είναι διαφορετική. Συγκεκριµένα η ανύψωση του εµβόλου κατά x, σηµαίνει πως το αέριο διαστελλόµενο πρόσφερε ενέργεια ίση µε το έργο της σταθερής δύναµης P⋅A, το οποίο είναι W = P⋅A⋅x και επειδή A⋅x = ∆V, προκύπτει: W = P⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆V Στη σχέση αυτή, ∆V είναι η αύξηση του όγκου του αερίου κατά τη θέρµανσή του. Αν λοιπόν αγνοήσουµε κάθε άλλη ενεργειακή µεταβολή, εκτός από τη θέρµανση του αερίου και την ανύψωση του εµβόλου, η διατήρηση της ενέργειας περιγράφεται από την εξίσωση: Προσφερόµενη θερµότητα = αύξηση της εσωτερικής ενέργειας αερίου και ενέργεια απαιτούµενη για την ανύψωση του εµβόλου. Η θερµότητα που απορροφήθηκε προκάλεσε αύξηση της εσωτερικής ενέργειας και παραγωγή έργου. Η µαθηµατική έκφραση της εξίσωσης αυτής είναι: Q = ∆U + W
- 480. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 479 1ος Θερµοδυναµικός Νόµος Παρατήρηση: Η παραπάνω σχέση ονοµάζεται και πρώτος θερµοδυναµικός νόµος και διατυπώθηκε πρώτη φορά από τον Γερµανό φυσικό και γιατρό Μάγιερ, το 1844. Λίγα χρόνια αργότερα, ο Γερµανός φυσικός Κλαούζιους τον διατύπωσε µε µεγαλύτερη σαφήνεια. Ο πρώτος θερµοδυναµικός νόµος, εκφράζει την αρχή διατήρησης της ενέργειας Όπως το έργο W µετράει την ενέργεια που µεταφέρεται από ένα σώµα σε κάποιο άλλο λόγω άσκησης δύναµης, έτσι και η θερµότητα Q µετράει την ενέργεια που µεταφέρεται από ένα σώµα σε κάποιο άλλο, λόγω διαφοράς θερµοκρασίας. Παραδείγµατος χάρη, καθώς ανυψώνουµε µε το χέρι µας µια µεταλλική σφαίρα έχουµε µεταφορά ενέργειας W λόγω της δύναµης που της ασκούµε και µεταφορά ενέργειας Q λόγω διαφοράς θερµοκρασίας ανάµεσα στο χέρι µας και στη σφαίρα. Η ενέργεια W εµφανίζεται ως µηχανική ενέργεια της σφαίρας, ενώ η ενέργεια Q ως αύξηση της εσωτερικής της ενέργειας, δηλαδή ως αύξηση της θερµοκρασίας της. 8. Τι ονοµάζουµε µηχανή και πως µπορεί να παρασταθεί σχηµατικά µια µηχανή; Μηχανή ονοµάζουµε κάθε διάταξη που µετατρέπει ενέργεια µιας µορφής σε κάποια άλλη µορφή.
- 481. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 480 Σχηµατικά, µια µηχανή π.χ. ο ηλεκτρικός κινητήρας, µπορεί να αναπαρασταθεί µε τον τρόπο που φαίνεται στην εικόνα . Μια µηχανή (π.χ. ηλεκτρικός κινητήρας) απορροφά µια ποσότητα ενέργειας µορφής Α (ηλεκτρική) και µέσω έργου την αποδίδει υπό µορφή Β (µηχανική) στον αποδέκτη (σώµα που ανυψώνεται). Ταυτόχρονα λόγω τριβών στα κινούµενα εξαρτήµατα του κινητήρα και αντιστάσεων παράγεται θερµότητα. 9. Πως ορίζεται ο συντελεστής απόδοσης µιας µηχανής και τι εκφράζει αυτός; Ας θεωρήσουµε ένα κινητήρα ο οποίος χρησιµοποιεί ηλεκτρική ενέργεια για να ανυψώσει σε ύψος h, τα κιβώτια που βρίσκονται στο έδαφος. Για να ανυψώσει ο κινητήρας ένα κιβώτιο σε ύψος h απορροφά ενέργεια, έστω W1, ενώ το σώµα αποκτά δυναµική ενέργεια W2. Η ενέργεια W2, όπως αναφέραµε στην προηγούµενη παράγραφο, θα είναι µικρότερη από W1 διότι υπάρχουν τριβές στα κινούµενα µέρη του κινητήρα και οι αγωγοί θερµαίνονται όταν διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύµα. Η διαφορά W1 - W2 είναι η ποσότητα της ηλεκτρικής ενέργειας η οποία µετατρέπεται σε θερµότητα. Η ποσότητα W1 - W2 συνήθως αναφέρεται ως απώλεια ενέργειας. Στη Φυσική και στην Τεχνολογία αντί για την απώλεια ενέργειας, δηλαδή το W1 - W2, χρησιµοποιούµε το πηλίκο W2/W1 το οποίο ονοµάζεται απόδοση της µηχανής και εκφράζει: το ποσοστό επί τοις εκατό της προσφερόµενης ενέργειας που µετατρέπεται σε ωφέλιµο έργο. ∆ηλαδή:
- 482. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 481 Η έννοια της απόδοσης επεκτείνεται και σε άλλες περιπτώσεις στις οποίες µια µορφή ενέργειας µετατρέπεται σε µια άλλη. Ας εξετάσουµε για παράδειγµα την ενεργειακή µετατροπή σ' έναν ηλεκτρικό λαµπτήρα πυράκτωσης Ο λαµπτήρας φωτοβολεί, όταν το νήµα, θερµαίνεται σε υψηλή θερµοκρασία, επειδή διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύµα. Συνεπώς η ηλεκτρική ενέργεια µετατρέπεται σε θερµική και σε φωτεινή ενέργεια. Η απόδοση του λαµπτήρα θα είναι: α = φωτεινή ενέργεια /ηλεκτρική ενέργεια ·100 % Για ένα τυπικό λαµπτήρα πυρακτώσεως η απόδοση είναι µόλις 5%. Αυτό σηµαίνει ότι το 95% της προσφερόµενης ηλεκτρικής ενέργειας µετατρέπεται σε θερµότητα! 10. Μπορούµε να κατασκευάσουµε µηχανές που να έχουν απόδοση 100%; Ποιο φαινόµενο ονοµάζεται υποβάθµιση ενέργειας; Σε οποιαδήποτε µηχανή το ωφέλιµο ποσό ενέργειας που παίρνουµε είναι µικρότερο από αυτό που δαπανήσαµε. Η διαφορά µεταξύ των δύο αυτών ποσών ενέργειας θα µετατραπεί σε άλλες µορφές, π.χ. θερµική. ∆εν µπορούµε να κατασκευάσουµε µηχανές µε απόδοση 100%. ∆ηλαδή δεν υπάρχουν µηχανές που να µετατρέπουν εξολοκλήρου την ποσότητα της ενέργειας µε την οποία τις τροφοδοτούµε, στη µορφή ενέργειας που εµείς επιθυµούµε. 2ος Θερµοδυναµικός Νόµος Αν και είναι δυνατό να κατασκευαστούν µηχανές µε απόδοση περίπου 99% δεν υπάρχουν µηχανές µε απόδοση 100%; Οι απώλειες της ενέργειας σε µια µηχανή είναι το ποσό της αρχικής ενέργειας που µετατρέπεται σε θερµότητα. Όµως η θερµότητα που παράγεται
- 483. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 482 από τη χρήση των µηχανών δεν µπορεί να αξιοποιηθεί. Το γεγονός αυτό χαρακτηρίζεται ως υποβάθµιση της ενέργειας. Έτσι µπορούµε να λέµε ότι πληρώνουµε το λογαριασµό της ∆ΕΗ όχι επειδή χαλάµε ή καίµε ή καταστρέφουµε την ηλεκτρική ενέργεια, αλλά επειδή την υποβαθµίζουµε σε θερµότητα η οποία δεν µπορεί να αξιοποιηθεί. 11. Ποιες µηχανές ονοµάζονται θερµικές; Οι θερµικές µηχανές είναι οι µηχανές που µετατρέπουν τη θερµότητα σε µηχανική ενέργεια ή έργο. Παραδείγµατα τέτοιων µηχανών είναι: οι µηχανές των αυτοκινήτων, οι ατµολέβητες των εργοστασίων παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας κτλ. Η απόδοση κάθε θερµικής µηχανής είναι µικρότερη της µονάδας.
- 484. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 483 1. Ιδανικό αέριο απορροφά θερµότητα 80J ενώ ταυτόχρονα παράγει έργο 30J. Να υπολογίσετε τη µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. Λύση: Σύµφωνα µε τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο ισχύει Q = ∆U + W Ο πρώτος θερµοδυναµικός νόµος, εκφράζει την αρχή διατήρησης της ενέργειας. Tο Q είναι η θερµότητα, δηλαδή η ενέργεια που µεταφέρεται από ένα σώµα σε κάποιο άλλο, λόγω διαφοράς θερµοκρασίας, ενώ το W είναι το µηχανικό έργο και µετράει την ενέργεια που µεταφέρεται από ένα σώµα σε κάποιο άλλο λόγω της εξάσκησης κάποιας δύναµης. Το ∆U είναι η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. Τότε προκύπτει Q = ∆U + W ή 80=∆U + 30 ή ∆U=80-30 ή ∆U=50J. 2. Ιδανικό αέριο απορροφά θερµότητα Q=180J και η εσωτερική του ενέργεια αυξάνεται κατά ∆U=40j. Να υπολογίσετε το έργο που παράγεται από το αέριο. Λύση: Από τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο ισχύει Q = ∆U + W ή 180=40 + W ή W=180-40 ή W=140J.
- 485. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 484 3. Στο κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος ισορροπεί στο πάνω µέρος του κινητό έµβολο εµβαδού A=10cm2 , ενώ το βάρος του είναι w=100Ν. Αν η ατµοσφαιρική πίεση είναι Pατµ=105 Ν/m2 , τότε: α) Να υπολογιστεί η πίεση του αερίου µέσα στο δοχείο, β) Αν θερµάνουµε το αέριο µέσα στο δοχείο προσφέροντάς του θερµότητα Q=60j τότε αυτό µετατοπίζεται προς τα πάνω κατά ∆x=10cm. Πόση είναι τότε η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου; Λύση: α) Όπως γνωρίζουµε η πίεση, Ρ, ορίζεται από το πηλίκο της κάθετης δύναµης F, που ασκείται σε µια επιφάνεια, προς το εµβαδόν A της επιφάνειας αυτής. ∆ηλαδή: P= F A . Στο συγκεκριµένο παράδειγµα η πίεση που ασκεί το αέριο στο έµβολο είναι ίση µε το άθροισµα της πίεσης που οφείλεται στη δύναµη του βάρους w του εµβόλου και της ατµοσφαιρικής πίεσης. Έτσι έχουµε P= Patm+ w A , όπου w είναι το βάρος του εµβόλου, Α το εµβαδόν του εµβόλου και Patm η ατµοσφαιρική πίεση. Έτσι έχουµε P= Patm+ w A ή P= 105 + 3 100 10− ή P= 105 +105 ή P=2⋅105 N/m2 . β) Η ανύψωση του εµβόλου κατά ∆x, σηµαίνει πως το αέριο διαστελλόµενο πρόσφερε ενέργεια ίση µε το έργο της σταθερής δύναµης F.
- 486. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 485 Όµως P= F A ή F=P⋅A. Ακόµη είναι W = F⋅∆x ή W = P⋅A⋅∆x και επειδή Α⋅∆x = ∆V, όπου ∆V είναι ο όγκος του κυλίνδρου που αντιστοιχεί σε ύψος ∆x δηλαδή είναι η αύξηση του όγκου του αερίου κατά τη θέρµανσή του. Έτσι είναι ∆V= Α⋅∆x=10-3 ⋅10-1 =10-4 m3 . Τότε προκύπτει W = P⋅∆V=2⋅105 ⋅10-4 ή W =20 J. Αν λοιπόν αγνοήσουµε κάθε άλλη ενεργειακή µεταβολή, εκτός από τη θέρµανση του αερίου και την ανύψωση του εµβόλου, η διατήρηση της ενέργειας περιγράφεται από τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο Q = ∆U + W, ή ∆U=Q-W ή ∆U=60-20 ή ∆U=40 J.
- 487. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 486 1. Σε µια εκτόνωση µιας ποσότητας ιδανικού αερίου παράγεται µηχανικό έργο W=280j ενώ η εσωτερική του ενέργεια παραµένει σταθερή. Πόση είναι η θερµότητα Q που ανταλλάσει το αέριο µε το περιβάλλον του; Προσφέρεται ή αφαιρείται η παραπάνω θερµότητα από το ιδανικό αέριο; 2. Σε µια εκτόνωση µιας ποσότητας ιδανικού αερίου παράγεται µηχανικό έργο W=1800j. Αν το αέριο κατά τη διάρκεια αυτής της µεταβολής δεν ανταλλάσει θερµότητα µε το περιβάλλον τότε πόση είναι η µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας; Θερµαίνεται ή ψύχεται το αέριο; 3. Ένα δοχείο σταθερού όγκου ψύχεται και η εσωτερική του ενέργεια ελαττώνεται κατά 100 j. Τότε: α) Πόσο είναι το µηχανικό έργο του αερίου και β) Πόση είναι η θερµότητα που αποβάλλεται από το αέριο στο περιβάλλον; 4. Πόση θερµότητα ανταλλάσσεται µεταξύ αερίου - περιβάλλοντος σε µια διαδικασία κατά την οποία το παραγόµενο έργο είναι 50J και η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου είναι 30J; 5. Κατά τη συµπίεση ενός αερίου, η εσωτερική του ενέργεια διατηρείται σταθερή, ενώ στο αέριο µεταβιβάζεται ενέργεια µέσω έργου 50J. Πόση θερµότητα ανταλλάσσεται µεταξύ αερίου και περιβάλλοντος; 6. Κατά τη θέρµανση αερίου µέσα σε δοχείο µε έµβολο, µεταβιβάζεται στο αέριο θερµότητα 400J. Η εσωτερική ενέργεια του αερίου µεταβάλλεται κατά 250J. To αέριο ασκεί στο έµβολο σταθερή δύναµη 1.500Ν, όπως φαίνεται στην εικόνα. Πόσο θα µετακινηθεί το έµβολο;
- 488. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 487 7. Ένα σώµα µάζας m=1kg αφήνεται από ύψος h=5m, πέφτει σε άµµο και ακινητοποιείται. α) Ποια είναι η ταχύτητα µε την οποία φτάνει αυτό στο έδαφος; Β) Πόσο αυξάνεται η εσωτερική ενέργεια του συστήµατος; ∆ίνεται g=10m/s2 και ότι στο σώµα κατά την πτώση του επενεργεί µόνο το βάρος του. 8. Ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται σε δοχείο όγκου V1=4L. Το αέριο εκτονώνεται µε σταθερή πίεση P=105 N/m2 , µέχρι ο όγκος του να διπλασιαστεί. α) Πόσο είναι το µηχανικό έργο W που παράγεται κατά τη διάρκεια της µεταβολής; β) Αν η θερµότητα Q που προσφέρεται στο αέριο είναι Q=7500j τότε να υπολογιστεί η µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας 9. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου συµπιέζεται µε σταθερή πίεση P=2⋅105 N/m2 από όγκο VA σε VA/2 µε VA=4⋅10-3 m3 . Τότε: α) Πόσο είναι το µηχανικό έργο που προσφέρεται στο αέριο; β) Αν το αέριο καθώς συµπιέζεται και ψύχεται µεταβάλει την εσωτερική του ενέργεια κατά ∆U= -600 j, τότε πόση είναι η θερµότητα που φεύγει από το αέριο στο περιβάλλον; 10. Σε µια µεταβολή ορισµένης ποσότητας ιδανικού αερίου η θερµοκρασία του T, παραµένει σταθερή ενώ προσφέρουµε σε αυτό µηχανικό έργο 420j. Τότε α) ∆U=; β) Q=; 11. Σε µια µεταβολή ορισµένης ποσότητας ιδανικού αερίου δεν ανταλλάσσεται θερµότητα µεταξύ του αερίου και του περιβάλλοντός του. Τότε για µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας κατά ∆U=100j, έχουµε συµπίεση ή εκτόνωση του αερίου; 12. Σε µια µεταβολή ορισµένης ποσότητας ιδανικού αερίου η πίεση µεταβάλλεται µε τον όγκο, όπως φαίνεται στο σχήµα: Τότε να υπολογιστεί το συνολικό µηχανικό έργο W, που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον. 1 2 5 2 4 V(L) P(10 N/m) Α Β 2
- 489. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 488 1) Η συνεχής, άτακτη κίνηση των δοµικών λίθων των σωµάτων συνδέεται µε τη θερµοκρασία του σώµατος. ( ) 2) Τα υγρά σώµατα έχουν σταθερό όγκο αλλά και σταθερό σχήµα. ( ) 3) Ένα σώµα θερµοκρασίας 30 0 C έχει δοµικούς λίθους µεγαλύτερης κινητικής ενέργειας από ένα σώµα 40 0 C. ( ) 4) Ηθερµική ενέργεια ενός σώµατος εξαρτάται από τη θερµοκρασία αλλά και από τη µάζα του σώµατος. ( ) 5) Στα αραιά αέρια, σ' αυτά δηλαδή που οι αποστάσεις µεταξύ των µορίων θεωρούνται σχετικά µεγάλες, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι ασκούνται δυνάµεις µόνο κατά τη διάρκεια των συγκρούσεων µεταξύ τους ή µε τα τοιχώµατα του δοχείου στο οποίο βρίσκονται. ( ) 5) Ο κάθε δοµικός λίθος στο παγάκι στην πορτοκαλάδα µας και σ’ ένα παγόβουνο έχουν την ίδια µέση κινητική ενέργεια. ( ) 6) o 1ος Θερµοδυναµικός νόµος εκφράζει την αρχή διατήρησης της µάζας. ( ) 7) Θέρµανση ενός σώµατος, σηµαίνει αύξηση της εσωτερικής του ενέργειας. ( )
- 490. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 489 8) Όταν οι θερµοκρασίες δυο σωµάτων σε επαφή γίνουν ίσες σταµατά η ανακατανοµή των εσωτερικών ενεργειών και τότε ούτε προσφέρεται ούτε απορροφάται θερµότητα. Η κατάσταση αυτή ονοµάζεται θερµική ισορροπία. ( ) 9) Η θερµότητα Q µετράει την ενέργεια που υπάρχει σε κάποιο σώµα, λόγω διαφοράς θερµοκρασίας. ( ) 10) Η µηχανική ενέργεια δεν µπορεί να µετατραπεί σε θερµότητα. ( ) Μηχανή ονοµάζουµε κάθε διάταξη που µετατρέπει ενέργεια µιας µορφής σε κάποια άλλη µορφή. 11) ∆εν µπορούµε να κατασκευάσουµε µηχανές µε απόδοση 100%. ( ) 12) Οι απώλειες της ενέργειας σε µια µηχανή είναι το ποσό της αρχικής ενέργειας που µετατρέπεται σε θερµότητα. Όµως η θερµότητα που παράγεται από τη χρήση των µηχανών µπορεί να αξιοποιηθεί. Άρα λέµε ότι η ενέργεια δεν υποβαθµίζεται. ( ) 1) Όσο υψηλότερη είναι η θερµοκρασία ενός σώµατος, α) τόσο µικρότερη κινητική ενέργεια έχουν οι δοµικοί του λίθοι λόγω της άτακτης κίνησής τους. β) τόσο µεγαλύτερη κινητική ενέργεια έχουν οι δοµικοί του λίθοι λόγω της άτακτης κίνησής τους. γ) η κινητική ενέργεια των δοµικών του λίθων είναι σταθερή και ανεξάρτητη της θερµοκρασίας. δ) τόσο µεγαλύτερη δυναµική ενέργεια έχουν οι δοµικοί του λίθοι λόγω της άτακτης κίνησής τους. 2) Όταν οι δοµικοί λίθοι δυο σωµάτων που έρχονται σε επαφή έχουν την ίδια κινητική ενέργεια τότε τα δύο σώµατα, α) έχουν αποκτήσει την ίδια θερµοκρασία.
- 491. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 490 β) την ίδια εσωτερική ενέργεια. γ) την ίδια θερµική ενέργεια. δ) όλα τα παραπάνω. 3) Μεγαλύτερη θερµική ενέργεια, α) έχει ο καυτό νερό στο φλιτζάνι µας. β) έχει ο χλιαρό νερό µιας κατσαρόλας. γ) έχει ο κρύο νερό µιας λίµνης. δ) έχουν τα παγάκια στο ποτήρι µας. 4) Εσωτερική ενέργεια ενός αερίου είναι, α) η ολική ταχύτητα των µορίων του. β) η δυναµική ενέργεια των µορίων του. γ) το άθροισµα της ολικής κινητικής και δυναµικής ενέργειας των µορίων του. δ) µόνο η ολική κινητική ενέργεια των µορίων του. 5) Στην περίπτωση που η µεταβολή ενός αερίου γίνεται µε σταθερό όγκο ισχύει: α) Q=0 β) ∆U=0 γ) Q=W δ) Q=∆U. 6) Σύµφωνα µε την κινητική θεωρία: α) Τόσο τα άτοµα όσο και τα µόρια έχουν δυο βασικά χαρακτηριστικά να βρίσκονται σε διαρκή άτακτη κίνηση και να αλληλεπιδρούν ασκώντας ελκτικές και απωστικές δυνάµεις. β) Τα µόρια ενός σώµατος έχουν µόνο κινητική ενέργεια, γ) Τα µόρια ενός σώµατος είναι ακίνητα δ) Τα µόρια ενός σώµατος έχουν µόνο δυναµική ενέργεια. 7) Η ταχύτητα των µορίων ενός αερίου α) είναι ανάλογη του όγκου του β) εξαρτάται από τη θερµοκρασίας στην οποία βρίσκεται γ) δεν εξαρτάται από το είδος του αερίου δ) είναι σταθερή 8) Η εσωτερική ενέργεια των µορίων του ιδανικού αερίου α) εξαρτάται µόνο από τη θερµοκρασία του β) εξαρτάται µόνο από τη θερµοκρασία για συγκεκριµένη ποσότητα αερίου
- 492. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 491 γ) αποδίδεται στη κινητική του ενέργεια, αλλά και στην αλληλεπίδραση και κατά συνέπεια τη δυναµική ενέργεια των µορίων του αερίου. δ) εξαρτάται από το είδος του αερίου 9) Η µαθηµατική έκφραση του 1ου θερµοδυναµικού Νόµου είναι α) Q = ∆U + W β) Q = ∆U - W γ) ∆U = Q + W δ) Q = ∆U = W 10) Σε µια µεταβολή µιας ορισµένης ποσότητας ιδανικού αερίου που γίνεται µε σταθερή πίεση ισχύει: α) W=P⋅∆V β) Q=P⋅∆V γ) ∆U=P⋅∆V δ) Q = ∆U. 11) Σύµφωνα µε τον 2ο θερµοδυναµικό Νόµο α) ισχύει Q = ∆U + W β) δεν µπορεί να κατασκευαστεί θερµική µηχανή µε απόδοση 100% ή και µεγαλύτερη γ) όλες οι µηχανές έχουν απόδοση µεγαλύτερη από 100% δ) είναι εφικτή η κατασκευή του αεικίνητου. 1) Η θερµοκρασία ενός σώµατος αποτελεί µέτρο της µέσης …………………….. ενέργειας των µορίων του. 2) Τα µόρια του ζεστού νερού έχουν ………………….κινητική ενέργεια από τα µόρια του κρύου νερού.
- 493. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 492 3) Το άθροισµα της κινητικής και της δυναµικής ενέργειας που έχουν συνολικά οι δοµικοί λίθοι, ενός σώµατος, ονοµάζεται ……………………..ενέργεια του σώµατος. 4) Ο 1ος θερµοδυναµικός νόµος εκφράζεται µε τη µαθηµατική εξίσωση Q=…………….. και εκφράζει την αρχή διατήρησης της …………………. 5) Στην περίπτωση των αερίων θεωρούµε τα µόρια ως συµπαγείς ………………….. που κινούνται …………………… προς όλες τις κατευθύνσεις. Στα αραιά αέρια, σ' αυτά δηλαδή που οι αποστάσεις µεταξύ των µορίων θεωρούνται σχετικά µεγάλες, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι ασκούνται δυνάµεις µόνο κατά τη διάρκεια των συγκρούσεων µεταξύ τους ή µε τα τοιχώµατα του δοχείου στο οποίο βρίσκονται. Κατά συνέπεια η ενέργεια που έχουν τα µόρια είναι µόνο …………………………... 6) Στα στερεά δεν υπάρχει η άτακτη κίνηση των µορίων, αλλά σ' αυτά τα µόρια ……………………………….. γύρω από τη θέση ισορροπίας τους. 7) Η αύξηση της ………………………….. σχετίζεται µε την αύξηση της ταχύτητας των µορίων ενός σώµατος. 8) Στα υγρά και στα στερεά, επειδή τα µόριά τους αλληλεπιδρούν, εκτός από την …………………… έχουν και ……………………………… ενέργεια. Έτσι, στην περίπτωση των σωµάτων αυτών, εσωτερική ενέργεια είναι το άθροισµα της
- 494. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 493 …………………………. και της ……………………………… ενέργειας των δοµικών τους λίθων. 9) Όταν οι θερµοκρασίες δυο σωµάτων γίνουν ίσες σταµατά η ανακατανοµή των εσωτερικών ενεργειών και τότε ούτε προσφέρεται ούτε απορροφάται θερµότητα. Η κατάσταση αυτή ονοµάζεται …………………………….. ισορροπία. 10) Μια µηχανή (π.χ. ηλεκτρικός κινητήρας) απορροφά µια ποσότητα ενέργειας µορφής Α (ηλεκτρική) και µέσω έργου την αποδίδει υπό µορφή Β (µηχανική) στον αποδέκτη (σώµα που ανυψώνεται). Ταυτόχρονα λόγω τριβών στα κινούµενα εξαρτήµατα του κινητήρα και αντιστάσεων παράγεται ……………………………….. 11) Σε οποιαδήποτε µηχανή το ωφέλιµο ποσό ενέργειας που παίρνουµε είναι ……………………………. από αυτό που δαπανήσαµε. Η διαφορά µεταξύ των δύο αυτών ποσών ενέργειας θα µετατραπεί σε άλλες µορφές, π.χ. θερµική. 12) ∆εν µπορούµε να κατασκευάσουµε µηχανές µε απόδοση ………………%. ∆ηλαδή δεν υπάρχουν µηχανές που να µετατρέπουν ……………………………. την ποσότητα της ενέργειας µε την οποία τις τροφοδοτούµε, στη µορφή ενέργειας που εµείς επιθυµούµε ( 2ος Θερµοδυναµικός Νόµος). 13) Η θερµότητα που παράγεται από τη χρήση των µηχανών δεν µπορεί να αξιοποιηθεί. Το γεγονός αυτό χαρακτηρίζεται ως …………………………. της ενέργειας.
- 495. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 494 6.5 Θερµική διαστολή και συστολή. 1. Τι ονοµάζουµε θερµική διαστολή και τι θερµική συστολή των σωµάτων; Όλα σχεδόν τα σώµατα στερεά, υγρά και αέρια, όταν αυξάνεται η θερµοκρασία τους (θερµαίνονται), διαστέλλονται, αυξάνεται δηλαδή ο όγκος τους, ενώ όταν µειώνεται η θερµοκρασία τους (ψύχονται), συστέλλονται. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται θερµική διαστολή και το αντίθετο της φαινόµενο, συστολή. Ανεξάρτητα από τον τρόπο θέρµανσης τα υλικά σώµατα διαστέλλονται όταν αυξάνεται η θερµοκρασίας τους. Η διαστολή του σώµατος κατά µία διάστασή του ονοµάζεται γραµµική διαστολή. Πειραµατικά έχει βρεθεί ότι η διαστολή είναι: ανάλογη της θερµοκρασίας του σώµατος, δεδοµένο που αξιοποιείται στην κατασκευή των θερµοµέτρων τα οποία περιέχουν υδράργυρο ή οινόπνευµα. 2. Τι ονοµάζουµε γραµµική διαστολή των στερεών σωµάτων; Οι γραµµικές διαστάσεις ενός στερεού σώµατος είναι το µήκος, το πλάτος και το ύψος του. Η µεταβολή οποιασδήποτε γραµµικής διάστασης του στερεού, όταν µεταβάλλεται η θερµοκρασία του, λέγεται γραµµική διαστολή. Όταν θερµάνουµε µια µεταλλική ράβδο ή ένα σύρµα, το µήκος τους αυξάνεται πολύ περισσότερο συγκριτικά µε τις άλλες διαστάσεις τους. Η διαστολή αυτή ονοµάζεται γραµµική διαστολή ή διαστολή κατά µήκος. Αν θερµάνουµε ράβδους από διαφορετικά υλικά και µετρήσουµε τη µεταβολή της θερµοκρασίας τους (∆θ) καθώς και την αντίστοιχη µεταβολή του µήκους τους (∆L), διαπιστώνουµε ότι η µεταβολή του µήκους: 1. είναι ανάλογη µε τη µεταβολή της θερµοκρασίας (∆θ)
- 496. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 495 2. είναι ανάλογη µε το αρχικό µήκος του σώµατος (L0) 3. εξαρτάται από το υλικό από το οποίο είναι κατασκευασµένη η ράβδος (αL) Οι παραπάνω παρατηρήσεις µπορούν να διατυπωθούν και µε τη γλώσσα των µαθηµατικών: ∆L = L0·αL·∆θ Όπου: ∆L η µεταβολή του µήκους, ∆θ η µεταβολή της θερµοκρασίας, L0 το αρχικό µήκος της ράβδου και αL ο συντελεστής της γραµµικής διαστολής και εξαρτάται από το υλικό της ράβδου. Το αL δείχνει πόσο µεταβάλλεται το µήκος µιας ράβδου 1 m, όταν η θερµοκρασία της µεταβληθεί κατά 1°C. Η µονάδα του συντελεστή γραµµικής διαστολής προκύπτει από την εξίσωση ∆L = L0·αL·∆θ αν λύσουµε ως προς αL, οπότε παίρνουµε αL= 0 ∆L L ∆θ ⋅ . Επειδή η µεταβολή του µήκους ∆L, και το αρχικό µήκος L0 της ράβδου µετριούνται µε τις ίδιες µονάδες µέτρησης (π.χ σε m), έπεται ότι η µονάδα µέτρησης του συντελεστή γραµµικής διαστολής είναι το 1 Κ-1 ή 1 0 C-1 , ή γενικά το 1 grad-1 . Ακόµη προκύπτει από την εξίσωση ∆L = L0·αL·∆θ προκύπτει ότι L-L0= L0·αL·∆θ ή L=L0+L0·αL·∆θ ή L=L0(1+αL·∆θ). Αν βέβαια γνωρίζουµε το µήκος L0 της ράβδου στους θ0= 0 0 C, τότε µπορούµε να γράφουµε ∆θ=θ-θ0=θ και η παραπάνω σχέση γίνεται L=L0(1+αL·θ).
- 497. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 496 Η σχέση L=L0(1+αL·θ) είναι πρώτου βαθµού, οπότε παριστάνεται γραφικά µε µια ευθεία γραµµή. Παρατηρείστε ότι για το ίδιο αρχικό µήκος L0 αλλά για υλικό µε µεγαλύτερο συντελεστή γραµµικής διαστολής η κλίση της ευθείας θα ήταν µεγαλύτερη. Βέβαια για αL=0 προκύπτει µια οριζόντια γραµµή. 3. Τι γνωρίζετε για την επιφανειακή διαστολή και τι για τη διαστολή όγκου των στερεών σωµάτων; Όταν θερµαίνεται µια µεταλλική ράβδος, δεν αλλάζει µόνο το µήκος της αλλά η διαστολή γίνεται ταυτόχρονα σε όλες τις διαστάσεις της. Αυξάνεται, δηλαδή, και το εµβαδόν των επιφανειών, αλλά και ο όγκος της ράβδου. Η αύξηση του εµβαδού της επιφάνειας ενός αντικειµένου, όταν αυξάνεται η θερµοκρασία του, ονοµάζεται επιφανειακή διαστολή. Στην περίπτωση που οι δυο διαστάσεις ενός σώµατος (µήκος και πλάτος), είναι πολύ µεγαλύτερες από την τρίτη, το πάχος, τότε η θερµική διαστολή του πάχους είναι πολύ µικρότερη από τη θερµική διαστολή του πλάτους και του µήκους. ∆ηλαδή, οι δυο διαστάσεις αυξάνονται πολύ περισσότερο από την τρίτη. Η διαστολή αυτή είναι η επιφανειακή διαστολή. Ανάλογα, η αύξηση του όγκου ενός στερεού αντικειµένου, όταν αυξάνεται η θερµοκρασία του, ονοµάζεται κυβική διαστολή ή διαστολή όγκου. Μπορούµε να διαπιστώσουµε ότι η θερµική διαστολή του όγκου ενός στερεού ή υγρού: 1. είναι ανάλογη µε τη µεταβολή της θερµοκρασίας του (∆θ), 2. είναι ανάλογη µε τον αρχικό όγκο του (V0) και L L θ 0 C 0 0
- 498. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 497 3. εξαρτάται από είδος του υλικού του σώµατος (αV) Τα παραπάνω συµπεράσµατα ισχύουν τόσο για τα υγρά όσο και για τα στερεά σώµατα και µπορούν να διατυπωθούν µε µαθηµατικά σύµβολα: ∆V=V0·αν·∆θ Όπου: ∆V είναι η µεταβολή του όγκου, V0 είναι ο αρχικός όγκος και ∆θ η µεταβολή της θερµοκρασίας του σώµατος. Το αν είναι ο συντελεστής διαστολής όγκου (κυβικής διαστολής) του υλικού. Ο αν εξαρτάται από το υλικό και εκφράζει τη µεταβολή του όγκου ενός σώµατος µε αρχικό όγκο 1 m3 όταν η θερµοκρασία του µεταβληθεί κατά 1°C. Η µονάδα µέτρησης του συντελεστή διαστολή όγκου του υλικού είναι 1 Κ-1 ή 1 (ο C)-1 ή grad-1 . Η σχέση ∆V=V0·αν·∆θ γράφεται και V-V0 =V0·αν·∆θ ή V=V0 +V0·αν·∆θ ή V=V0⋅(1+αν·∆θ). Αν πάρουµε σαν αρχική θερµοκρασία τη θ0=0 0 C τότε η σχέση γράφεται και V=V0⋅(1+αν·θ). Αποδεικνύεται ότι ι συντελεστής κυβικής διαστολής αv είναι αv=3⋅ ⋅ ⋅ ⋅αL. Παρόµοια όπως στα στερεά έτσι και στα υγρά έχουµε αύξηση του όγκου τους κατά τη θέρµανσή τους. Και για τη διαστολή των υγρών ισχύει ότι ∆V=V0·αν·∆θ. όπου αν είναι ο συντελεστής κυβικής διαστολής του υγρού. Για το νερό ο συντελεστής κυβικής διαστολής από τους 4 0 C και πάνω, είναι αν=21·10-5 grad-1 . Τα υγρά όµως διαστέλλονται περισσότερο από τα στερεά. Έτσι η διαστολή του όγκου του (υγρού) υδραργύρου είναι σχεδόν 8 φορές µεγαλύτερη από αυτή του γυαλιού. Στο θερµόµετρο υδραργύρου όταν αυξάνεται η θερµοκρασία, αυξάνεται τόσο ο όγκος του γυάλινου δοχείου, όπου βρίσκεται ο υδράργυρος, όσο και ο όγκος του υδραργύρου. Όµως καθώς ο
- 499. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 498 υδράργυρος διαστέλλεται πολύ περισσότερο, «ξεχειλίζει» από το γυάλινο δοχείο και ανεβαίνει στο λεπτό σωλήνα. 4. Τι γνωρίζετε για διαστολή των αερίων σωµάτων; Στα στερεά και τα υγρά, η διαστολή λόγω θέρµανσης είναι σχεδόν, ανεξάρτητη από την πίεση. Στα αέρια όµως, προκειµένου να µελετήσουµε το αποτέλεσµα της θερµάνσεώς τους είναι απαραίτητο να καθορίσουµε τις συνθήκες πίεσης. Αποδεικνύεται ότι όταν η θερµοκρασία ενός αερίου µεταβάλλεται ενώ η πίεση του διατηρείται σταθερή, η αύξηση ή ελάττωση του όγκου του είναι ανάλογη µε τον όγκο που έχει το αέριο στους 0°C και µε τη µεταβολή της θερµοκρασίας του. Ο Gay – Lussac βρήκε πειραµατικά ότι για σταθερή πίεση ισχύει η σχέση: Vθ=V0⋅ ⋅ ⋅ ⋅(1+α·θ) όπου α είναι µια σταθερά, η οποία λέγεται θερµικός συντελεστής του όγκου υπό σταθερή πίεση. Σε αντίθεση όµως µε τα στερεά και τα υγρά, η µεταβολή του όγκου δεν εξαρτάται από το είδος του αερίου. Σε όλα τα αέρια, όταν η θερµοκρασία µεταβληθεί κατά 1°C, χωρίς να αλλάξει η πίεσή τους, ο όγκος µεταβάλλεται κατά το 1/273 του όγκου που είχαν στους 0°C. Έτσι για όλα τα αέρια η τιµή της σταθεράς α είναι α= 1 273 grad-1 =366⋅10-5 grad-1 . ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Για τελική θερµοκρασία θ= -273 0 C θεωρούµε ότι ο όγκος του αερίου έχει µηδενιστεί, δηλαδή ισχύει ότι V=0. Από τη σχέση ∆V= V0·α·∆θ , όπου V0 είναι ο όγκος του αερίου στους 00 C προκύπτει ότι ∆V= V0·α·∆θ ή V-V0= V0·α·(-273) ή -V0= -V0·α·273 ή α= 273 1 grad-1 . Έτσι γενικά για τα αέρια ισχύει ∆V= 273 V0 ·∆θ.
- 500. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 499 Η εξίσωση Vθ=V0⋅(1+α·θ) είναι πρώτου βαθµού, και παριστάνεται µε ευθεία γραµµή όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραµµα. Αν συγκρίνουµε την τιµή α= 1 273 grad-1 , προς τις τιµές των συντελεστών κυβικής διαστολής των στερεών και υγρών, βρίσκουµε ότι είναι ασύγκριτα µεγαλύτερη από αυτές. 5. ∆υνάµεις κατά τη διαστολή και συστολή. Κατά τη διαστολή η µεταβολή του µήκους ή του όγκου των σωµάτων είναι σχετικά µικρή, όταν όµως αυτή εµποδίζεται, εµφανίζονται έντονα µηχανικά φαινόµενα όπως το λύγισµα, το σπάσιµο κ.ά. Κατά τη διαστολή οι δοµικοί λίθοι επεκτείνονται στο χώρο κι η επέκταση αυτή εκδηλώνεται ως τεράστια δύναµη διαστολής. Έτσι, όταν απότοµα γεµίσουµε ένα ποτήρι µε καυτό νερό, το εσωτερικό τοίχωµα του ποτηριού θερµαίνεται αµέσως και η θερµοκρασία του γίνεται πολύ µεγαλύτερη από εκείνη του εξωτερικού τοιχώµατος. Το εσωτερικό τοίχωµα λοιπόν διαστέλλεται πιο έντονα από το εξωτερικό. Μία δύναµη από µέσα προς τα έξω προκαλεί ρωγµές στο ποτήρι. Γι' αυτό το λόγο, τα γυάλινα σκεύη που χρησιµοποιούνται για το ψήσιµο των φαγητών κατασκευάζονται από ειδικό πυρίµαχο γυαλί (pyrex). Η διαστολή αυτού του είδους του γυαλιού είναι πολύ µικρότερη συγκριτικά µε εκείνη του κοινού γυαλιού γιατί έχει µικρό συντελεστή διαστολής και έτσι το σκεύος δεν κινδυνεύει µε θραύση. Κατά την αύξηση της θερµοκρασίας των στερεών, αναπτύσσονται πολύ µεγάλες δυνάµεις, αν εµποδιστεί η ελεύθερη διαστολή τους. Αυτές οι δυνάµεις είναι δυνατόν να προκαλέσουν παραµόρφωση στις σιδηροτροχιές V V p=σταθ. θ -273 0 C 0 0 0
- 501. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 500 κατά τους καλοκαιρινούς µήνες. Αρχικά το ενδεχόµενο αυτό αντιµετωπίστηκε µε την ύπαρξη διάκενων µεταξύ των σιδηροτροχιών. Αυτά τα διάκενα προκαλούσαν ταλαντώσεις (σκαµπανεβάσµατα) του τρένου και δηµιουργούσαν δυσάρεστο αίσθηµα στους επιβάτες. Σήµερα στα διάκενα τοποθετούν κατάλληλο υλικό που διαστέλλεται ελάχιστα. Επίσης στις σιδερένιες γέφυρες, το ένα άκρο τους δε στερεώνεται ακλόνητα, αλλά είναι τοποθετηµένο πάνω σε κυλιόµενους κυλίνδρους κ.ο.κ. 6. Τι γνωρίζετε για την ανωµαλία διαστολής του νερού; Στα περισσότερα υγρά αύξηση της θερµοκρασίας τους οδηγεί στη διαστολή τους, δηλαδή στην αύξηση του όγκου τους. Το νερό όµως παρουσιάζει µια ιδιόµορφη συµπεριφορά. Όταν θερµαίνεται από τους 0 °C έως 4 °C, ο όγκος του ελαττώνεται (ανώµαλη συστολή), ενώ αν ψύχεται από τους 4 °C έως τους 0 °C, ο όγκος του αυξάνεται (ανώµαλη διαστολή) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Πάνω από τους 4°C και µέχρι τη θερµοκρασία βρασµού το νερό διαστέλλεται κανονικά. Έτσι ο συντελεστής κυβικής διαστολής του νερού είναι αρνητικός µεταξύ των θερµοκρασιών 0 0 C και 4 0 C και είναι θετικός από τους 4 0 C και πάνω. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι και η πυκνότητα του νερού µεταβάλλεται µε τη θερµοκρασία αφού ισχύει ρ= m V . Επειδή λοιπόν στους 4 °C το νερό έχει το µικρότερο δυνατό όγκο θα έχει τη µεγαλύτερη δυνατή πυκνότητα.
- 502. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 501 Το φαινόµενο της ανώµαλης διαστολής του νερού έχει τεράστια οικολογική σηµασία. Μεταξύ δυο στρωµάτων νερού αυτό που έχει τη µεγαλύτερη πυκνότητα βυθίζεται. Ας δούµε τι συµβαίνει, όταν κατά τη διάρκεια του χειµώνα η θερµοκρασία της επιφάνειας του νερού ελαττώνεται. Όταν η θερµοκρασία είναι µεγαλύτερη των 4 °C, το νερό της επιφάνειας έχει µικρότερη πυκνότητα και η θερµοκρασία µειώνεται από την επιφάνεια προς τον πυθµένα. Όταν όµως η θερµοκρασία του επιφανειακού στρώµατος φθάσει στους 4 °C, αυτό το στρώµα ως πυκνότερο βυθίζεται προς τον πυθµένα. Το νερό µικρότερης θερµοκρασίας έχει µικρότερη πυκνότητα και επιπλέει. Η µεταβολή της θερµοκρασίας τώρα αντιστρέφεται. Τελικά µπορεί να σχηµατισθεί πάγος στην επιφάνεια της λίµνης ή της θάλασσας, ενώ στο εσωτερικό η θερµοκρασία είναι µεγαλύτερη και µάλιστα 4 °C στον πυθµένα και το νερό διατηρείται στην υγρή µορφή.
- 503. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 502 1. Ένα χάλκινο σύρµα έχει µήκος L0=1,2m στους 20 0 C. Ποιο θα είναι το µήκος του σύρµατος όταν αυτό θερµανθεί στους 120 0 C και πόσο όταν ψυχθεί στους – 80 0 C; ∆ίνεται ο συντελεστής γραµµικής διαστολής του χαλκού αχ=16⋅10-6 grad-1 ( 0 1 C ). Λύση: Όταν θερµάνουµε µια µεταλλική ράβδο ή ένα σύρµα, το µήκος τους αυξάνεται και η διαστολή αυτή ονοµάζεται γραµµική διαστολή ή διαστολή κατά µήκος. ∆ιαπιστώνουµε ότι η µεταβολή του µήκους του σύρµατος δίνεται από τη σχέση ∆L = L0·αL·∆θ όπου ∆L=L-L0, είναι η µεταβολή του µήκους του σύρµατος ή της ράβδου και L είναι το τελικό της µήκος. ∆θ=120-20=100 0 C είναι η µεταβολή της θερµοκρασίας, L0=1,2m είναι το αρχικό µήκος του σύρµατος ή της ράβδου και αL= αχ=16⋅10-6 grad-1 είναι ο συντελεστής της γραµµικής διαστολής που εξαρτάται από το υλικό του σύρµατος. Έτσι προκύπτει ∆L = L0·αχ·∆θ ή ∆L = 1,2·16⋅10-6 ·100 ή ∆L =19,2⋅10-4 m ή ∆L =1,92⋅10-3 m=0,00192 m ή ∆L =1,92⋅mm. Οπότε ∆L=L-L0 ή L=L0+∆L ή L=1,2+0,00192 =1,20192m. Όταν ψύξουµε το παραπάνω σύρµα στους – 80 0 C τότε έχουµε ∆θ=-80-20=-100 0 C ∆L = L0·αχ·∆θ ή ∆L = -1,2·16⋅10-6 ·100 ή ∆L =-19,2⋅10-4 m ή ∆L =-1,92⋅10-3 m=-0,00192 m ή ∆L =-1,92⋅mm. Οπότε ∆L=L-L0 ή L=L0+∆L ή L=1,2-0,00192 =1,19808m. Παρατηρούµε ότι έχουµε την ίδια κατά απόλυτη τιµή µεταβολή του µήκους του σύρµατος ∆L.
- 504. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 503 2. Ένα δοχείο περιέχει αρχικά V0= 100L νερού, σε θερµοκρασία θ1=10 0 C. Αν ο όγκος του νερού αυτού σε θερµοκρασία θ2=50 0 C αυξάνεται κατά 840 mL, τότε να υπολογιστεί για το νερό ο συντελεστής κυβικής διαστολής του. Λύση: Παρόµοια όπως στα στερεά έτσι και στα υγρά έχουµε αύξηση του όγκου τους κατά τη θέρµανσή τους. Και για τη διαστολή των υγρών ισχύει ότι ∆V=V0·αν·∆θ, όπου αν είναι ο συντελεστής κυβικής διαστολής του υγρού. Η µεταβολή του όγκου του νερού είναι ∆V=840 mL ή 0,84 L, ενώ έχουµε ∆θ=θ2-θ1=50-10=40 0 C. Τότε από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι αν= 0 ∆V V ∆θ ⋅ ή αν= 0,84 100 40 ⋅ ή αν= 0,84 100 40 ⋅ ή αν=21⋅10-5 grad-1 . Άρα για το νερό ο συντελεστής κυβικής διαστολής είναι αν=21⋅10-5 grad-1 . 3. Μια µάζα αερίου µεθανίου έχει στους 0 0 C όγκο V0. Τότε σε ποια θερµοκρασία πρέπει να θερµάνουµε την παραπάνω ποσότητα µεθανίου µε σταθερή πίεση ώστε ο όγκος του να διπλασιαστεί; Λύση: Όταν η θερµοκρασία ενός αερίου µεταβάλλεται ενώ η πίεση του διατηρείται σταθερή, η αύξηση ή ελάττωση του όγκου του είναι ανάλογη µε τον όγκο V0, που έχει το αέριο στους 0°C και µε τη µεταβολή της θερµοκρασίας του ∆θ. Ο Gay – Lussac βρήκε πειραµατικά ότι για σταθερή πίεση ισχύει η σχέση: Vθ=V0⋅(1+α·θ) όπου α είναι µια σταθερά, η οποία λέγεται θερµικός συντελεστής του όγκου υπό σταθερή πίεση.
- 505. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 504 Σε αντίθεση όµως µε τα στερεά και τα υγρά, για όλα τα αέρια η τιµή της σταθεράς α είναι σταθερή α= 1 273 grad-1 =366⋅10-5 grad-1 και δεν εξαρτάται από το είδος του αερίου. Από τη σχέση Vθ=V0⋅(1+α·θ) προκύπτει ότι Vθ=V0+ V0⋅α·θ ή Vθ-V0=V0⋅α·θ ή ∆V= V0·α·∆θ , όπου V0 είναι ο όγκος του αερίου στους 00 C και α= 273 1 grad-1 . Έτσι γενικά για τα αέρια ισχύει ∆V= 273 V0 ·∆θ. Από τη σχέση Vθ=V0+ V0⋅α·θ µε Vθ=2V0 προκύπτει ότι 2V0=V0+ V0⋅α·θ ή 2V0-V0=V0⋅α·θ ή V0=V0⋅α·θ ή α·θ=1 ή θ= 1 α ή θ=273 0 C. 4. Να δείξετε ότι ο Νόµος του Gay – Lussac µπορεί να γραφεί και σαν 1 1 V T = 2 2 V T , όπου V1 είναι ο όγκος του αερίου σε θερµοκρασία T1 και V2 είναι ο όγκος του αερίου σε θερµοκρασία T2, όταν η πίεση του αερίου παραµένει σταθερή. Λύση: Ο Gay – Lussac βρήκε πειραµατικά ότι για σταθερή πίεση ισχύει η σχέση: Vθ=V0⋅(1+α·θ) όπου α είναι µια σταθερά, η οποία λέγεται θερµικός συντελεστής του όγκου υπό σταθερή πίεση και για όλα τα αέρια η τιµή της σταθεράς α είναι α= 1 273 grad-1 =366⋅10-5 grad-1 . Τότε για τον όγκο V1 του αερίου σε θερµοκρασία T1 από τη σχέση Vθ=V0⋅(1+α·θ) έχουµε V1=V0⋅(1+α·θ1) και για τον όγκο V2 του αερίου σε θερµοκρασία T2 έχουµε V2=V0⋅(1+α·θ2). Τότε µε διαίρεση κατά µέλη των δυο σχέσεων προκύπτει 1 2 V V = 0 1 0 2 V (1+α θ ) V (1+α θ ) ⋅ ⋅ ή 1 2 V V = 1 2 1 1+ ( 273) 273 1 1+ ( 273) 273 ⋅ Τ − ⋅ Τ − ή
- 506. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 505 1 2 V V = 1 2 1+ 1 273 1+ 1 273 Τ − Τ − ή 1 2 V V = 1 2 273 273 Τ Τ ή 1 2 V V = 1 2 Τ Τ ή 1 1 V T = 2 2 V T . 1. Μια µεταλλική ράβδος βρίσκεται σε θερµοκρασία θ1 και έχει το ίδιο µήκος µε µια άλλη ράβδο από το ίδιο υλικό σε µια άλλη θερµοκρασία θ2. α) Αν µεταβάλλουµε τις παραπάνω θερµοκρασίες κατά το ίδιο ποσό ∆θ, θα εξακολουθούν αυτές να έχουν το ίδιο µήκος; β) Τι θα ίσχυε αν οι δυο ράβδοι ήταν κατασκευασµένες από διαφορετικό µέταλλο; 2. Μια χάλκινη ράβδος βαθµολογήθηκε σε cm σε θερµοκρασία 0 0 C. Πόση γίνεται η απόσταση µεταξύ δυο διαδοχικών χαραγών της ράβδου, όταν η θερµοκρασία της γίνει 80 0 C; ∆ίνεται ο συντελεστής γραµµικής διαστολής του χαλκού αχ=16⋅10-6 grad-1 .( 0 1 C ) 3. Να υπολογιστεί η επιµήκυνση µιας σιδερένιας ράβδου µήκους ℓ0=20cm, όταν αυτή θερµαίνεται από τους -10 0 C στους 50 0 C. ∆ίνεται ο συντελεστής γραµµικής διαστολής του σιδήρου ασ=12⋅10-6 grad-1 . 4. Να υπολογιστεί το µήκος ενός νικελένιου σύρµατος στους 20 0 C αν το µήκος του στους 0 0 C είναι L0=1Km. ∆ίνεται ο συντελεστής γραµµικής διαστολής του νικελίου αν=13⋅10-6 grad-1 . 5. Μια σιδερένια ράβδος έχει µήκος 80 cm σε θερµοκρασία 10 0 C. Σε ποια θερµοκρασία πρέπει να τη θερµάνουµε ώστε να επιµηκυνθεί κατά 1,92 mm; ∆ίνεται ο συντελεστής γραµµικής διαστολής του σιδήρου ασ=12⋅10-6 grad-1 . 6. Μια ράβδος αλουµινίου έχει σε θερµοκρασία θ1=12 0 C µήκος 1m. Αν σε θερµοκρασία 52 0 C έχει µήκος 1,001 m, τότε ποιος είναι ο συντελεστής γραµµικής διαστολής του υλικού της ράβδου;
- 507. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 506 7. Μια σιδερένια σφαίρα έχει διάµετρο 40 mm στους 0 0 C. Ποια είναι η διάµετρός της στους 200 0 C; ∆ίνεται ο συντελεστής γραµµικής διαστολής του σιδήρου ασ=12⋅10-6 grad-1 . 8. Σε θερµοκρασία 15 0 C µια σιδερένια σφαίρα έχει διάµετρο 8,2 cm, ενώ στην ίδια θερµοκρασία ένας ορειχάλκινος δακτύλιος έχει διάµετρο 8 cm. Αν θερµάνουµε το σύστηµα τότε σε ποια θερµοκρασία η σιδερένια σφαίρα, θα περάσει ίσα – ίσα από το δακτύλιο; ∆ίνεται ο συντελεστής γραµµικής διαστολής του σιδήρου ασ=12⋅10-6 grad-1 και ο συντελεστής γραµµικής διαστολής του ορείχαλκου αορ=20⋅10-6 grad-1 . 9. Μια γυάλινη ράβδος από pyrex έχει στους 0 0 C µήκος 1m, ενώ όταν θερµανθεί σε θερµοκρασία 100 0 C επιµηκύνεται κατά ∆L=0,4mm. Ποιος είναι ο συντελεστής γραµµικής διαστολής του γυαλιού; 10. Ένα δοχείο περιέχει 1L νερό σε θερµοκρασία θ1=15 0 C. Ποιος είναι ο όγκος του νερού αυτού σε θερµοκρασία θ2=65 0 C; Για το νερό ο συντελεστής κυβικής διαστολής είναι αν=21⋅10-5 grad-1 . 11. Μια δεξαµενή περιέχει V0=1000L πετρέλαιο σε θερµοκρασία θ1=10 0 C. Ποιος είναι ο όγκος του πετρελαίου στους θ2=25 0 C; ∆ίνεται ο συντελεστής κυβικής διαστολής του πετρελαίου απ=96⋅10-5 grad-1 . 12. Μια ποσότητα αερίου υδρογόνου έχει όγκο V0=400cm3 σε θερµοκρασία Τ1=273 Κ. Αν θερµάνουµε το αέριο µε σταθερή πίεση µέχρι τους Τ2=327,6 Κ, τότε ποιος είναι ο τελικός όγκος του υδρογόνου; 13. Μια µάζα αερίου αζώτου έχει στους 27 0 C όγκο V. Τότε σε ποια θερµοκρασία πρέπει να ψύξουµε την παραπάνω ποσότητα αζώτου µε σταθερή πίεση ώστε ο όγκος του να υποδιπλασιαστεί; 14. Αν η πυκνότητα του υδραργύρου στους 0 0 C είναι ρ=13,6 g/cm3 , τότε να υπολογιστεί η πυκνότητά του στους 20 0 C. Για τον υδράργυρο ο συντελεστής κυβικής διαστολής του είναι αυδρ=18⋅10-5 grad-1 .
- 508. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 507 1) Ένα καπάκι, που είναι συνήθως φτιαγµένο από σίδηρο ή αλουµίνιο, συστέλλεται περισσότερο από το γυάλινο βάζο γι' αυτό και σφηνώνεται στο στόµιο του βάζου, όταν µπει στο ψυγείο όπου και ψύχεται. ( ) 2) Mία ράβδος αλουµινίου επιµηκύνεται 25 φορές περισσότερο από µία ράβδο από κράµα Invar για την ίδια µεταβολή στη θερµοκρασία τους. ( ) 3) Όταν ένα σώµα διαστέλλεται τότε αυξάνεται η µάζα του. ( ) 4) Όσο το µήκος µιας ράβδου είναι µεγαλύτερο, τόσο περισσότεροι δοµικοί λίθοι παρεµβάλλονται µεταξύ των άκρων της. Εποµένως, κατά τη διαστολή η συνολική αποµάκρυνση των δοµικών λίθων είναι µεγαλύτερη. ( ) 5) Αν γεµίσουµε ένα γυάλινο βάζο µε λάδι και το θερµάνουµε, τότε δε διαστέλλεται το γυάλινο βάζο αλλά µόνο το λάδι µέσα σ’ αυτό. ( ) 6) Τα στερεά διαστέλλονται περισσότερο από τα υγρά. ( ) 7) Για σταθερή πίεση ο όγκος των αερίων µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση Vθ=V0⋅(1+α⋅θ). ( ) 8) Για όλα τα αέρια η τιµή της σταθεράς α (θερµικός συντελεστής υπό σταθερή πίεση) είναι α= 1 273 grad-1 . ( ) 9) 1 L πάγου στους 0 0 C έχει µεγαλύτερο βάρος από 1 L νερό στους 4 0 C. ( )
- 509. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 508 1) Η µεταβολή του µήκους µιας ράβδου που θερµαίνεται, α) είναι ανάλογη µε τη µεταβολή της θερµοκρασίας (∆θ). β)είναι η υποδιπλάσια σε διπλάσια µεταβολή θερµοκρασίας. γ) είναι ανεξάρτητη της θερµοκρασίας. δ) είναι ανεξάρτητη του υλικού της ράβδου. 2) Ο συντελεστής γραµµικής διαστολής αL , α) έχει µονάδα µέτρησης το 1Κ. β) δεν εξαρτάται από το υλικό της ράβδου. γ) δείχνει πόσο µεταβάλλεται το µήκος µιας ράβδου 1 m, όταν η θερµοκρασία της µεταβληθεί κατά 1°C. δ)εξαρτάται από τη µάζα της ράβδου. 3) Αν διπλασιάσουµε τον αρχικό όγκο µιας χάλκινης σφαίρας από V0 σε 2V0, τότε για την ίδια µεταβολή της θερµοκρασίας της κατά ∆θ=20 0 C, έχουµε, α) διπλάσια µεταβολή του όγκου της. β) δεκαπλάσια µεταβολή του όγκου της. γ) την ίδια µεταβολή όγκου. δ) τη µισή µεταβολή του όγκου της. 4) Η µεταβολή του όγκου των αερίων, α) δεν εξαρτάται από το είδος της µεταβολής που υφίσταται αυτό. β) είναι αντιστρόφως ανάλογη της θερµοκρασίας. γ) δεν εξαρτάται από τον αρχικό τους όγκο. δ) δεν εξαρτάται από το είδος του αερίου.
- 510. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 509 5) Οι δυνάµεις διαστολής, α) είναι γενικά πολύ µικρές δυνάµεις και εµφανίζονται όταν εµποδίζεται η ελεύθερη διαστολή των σωµάτων. β) αναπτύσσονται γενικά στα υλικά µε µικρό συντελεστή διαστολής. γ) είναι δυνατόν να προκαλέσουν παραµόρφωση στις σιδηροτροχιές κατά τους καλοκαιρινούς µήνες. δ) γίνονται πολύ εµφανείς σε σκεύη από πυρίµαχο γυαλί (pyrex). 6) Όταν το νερό θερµαίνεται από τους 0 0 C στους 4 0 C α) ο όγκος του αυξάνεται. β) ο όγκος του µειώνεται. γ) η πυκνότητά του παραµένει σταθερή. δ) η πυκνότητά του µειώνεται. 1) Σε δύο ράβδους από το ίδιο υλικό, που η µία έχει διπλάσιο µήκος από την άλλη, όταν η θερµοκρασία µεταβάλλεται εξίσου, η µεταβολή του µήκους της πρώτης είναι …………………………από τη µεταβολή του µήκους της δεύτερης. 2) Ο συντελεστής διαστολής όγκου (κυβικής διαστολής) αV, εξαρτάται από το ……………………. του σώµατος και εκφράζει τη µεταβολή του όγκου ενός σώµατος µε αρχικό όγκο ……………………όταν η θερµοκρασία του µεταβληθεί κατά 1°C. 3) Στο σίδηρο κάθε δοµικός λίθος αλληλεπιδρά ισχυρότερα µε τους γειτονικούς του από όσο οι δοµικοί λίθοι του αλουµινίου. Εποµένως, οι δοµικοί λίθοι του σιδήρου αποµακρύνονται ………………….µεταξύ τους απ' ό,τι εκείνοι του αλουµινίου.
- 511. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 510 4) Στα στερεά και τα υγρά, η συστολή τους λόγω ψύξης είναι σχεδόν ανεξάρτητη από την ……………….. τους. 5) Σε όλα τα αέρια, όταν η θερµοκρασία µεταβληθεί κατά 1°C, χωρίς να αλλάξει η πίεσή τους, ο όγκος µεταβάλλεται κατά το ……………………..του όγκου που είχαν στους 0°C. 6) Στους 4 0 C το νερό έχει το ………………………… όγκο και τη ……………………….. πυκνότητα.
- 512. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 511 ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Θερµότητα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΑΛΛΑΓΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ 7.1 Αλλαγές κατάστασης και θερµότητα 1. Ποιες είναι οι τρεις συνηθισµένες φυσικές καταστάσεις της ύλης; Είναι δυνατό η φυσική κατάσταση ενός σώµατος να αλλάξει; Οι τρεις συνηθισµένες φυσικές καταστάσεις της ύλης είναι, η στερεή, η υγρή και η αέρια. Η κατάσταση της ύλης ενός σώµατος είναι δυνατόν να αλλάξει. Ένα στερεό σώµα µπορεί να µετατραπεί σε υγρό και αντίστροφα ή ένα υγρό σώµα σε αέριο και αντίστροφα. Η φυσική κατάσταση ενός σώµατος εξαρτάται από τις εξωτερικές συνθήκες πίεσης και θερµοκρασίας. Αν αυτές µεταβληθούν, µπορεί ένα στερεό σώµα να µετατραπεί σε υγρό και αντίστροφα. Παρόµοια ένα υγρό µπορεί να µετατραπεί σε αέριο ή ένα αέριο σε υγρό. Είναι λοιπόν δυνατόν η κατάσταση των σωµάτων να αλλάζει. Αυτές οι αλλαγές ονοµάζονται αλλαγές κατάστασης. 2. Ποιο φυσικό φαινόµενο ονοµάζουµε τήξη και ποιο πήξη; Τι ονοµάζουµε σηµείο τήξης και τι σηµείο πήξης ενός σώµατος; Τήξη: ονοµάζουµε το φαινόµενο της µετατροπής ενός στερεού σε υγρό, ενώ Πήξη: ονοµάζουµε το φαινόµενο της µετατροπής ενός υγρού σε στερεό. Πρόκειται δηλαδή για το αντίστροφο φαινόµενο της τήξης.
- 513. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 512 Τη σταθερή θερµοκρασία στην οποία λιώνει ένα στερεό την ονοµάζουµε θερµοκρασία ή σηµείο τήξης του στερεού. Το σηµείο τήξης εξαρτάται από το υλικό. Τη σταθερή θερµοκρασία στην οποία στερεοποιείται ένα υγρό την ονοµάζουµε θερµοκρασία ή σηµείο πήξης του υγρού. Το σηµείο πήξης εξαρτάται από το υλικό και είναι το ίδιο ακριβώς µε το σηµείο τήξης. Η θερµοκρασία τήξης ενός στερεού συµπίπτει µε τη θερµοκρασία πήξης του, δηλαδή το σηµείο πήξης και το σηµείο τήξης ενός υλικού ταυτίζονται. Στα άµορφα υλικά (όπως τα µίγµατα) , η µετατροπή της στερεής φάσης σε υγρή, δε γίνεται σε ορισµένη θερµοκρασία, αλλά σε µια περιοχή θερµοκρασιών. Τέτοιο παράδειγµα έχουµε στο γυαλί, το κερί κλπ. 3. Να αναφέρετε τους νόµους της τήξης και της πήξης ενός σώµατος. 1. Κατά τη διάρκεια της τήξης ή της πήξης συνυπάρχουν και οι δυο καταστάσεις (φάσεις) της ύλης: η στερεή και η υγρή. 2. Κατά τη διάρκεια της τήξης ή της πήξης η θερµοκρασία του µείγµατος στερεού-υγρού διατηρείται σταθερή και ίση µε τη θερµοκρασία του σηµείου τήξεως. 3. Κάθε καθαρό σώµα έχει τη δική του θερµοκρασία τήξης/πήξης που ονοµάζεται σηµείο τήξης ή πήξης, και χαρακτηρίζει το υλικό του σώµατος. Είναι, όπως λέµε, µια φυσική σταθερά του υλικού του σώµατος. 4. Περιγράψτε τα φαινόµενα της τήξης και πήξης του καθαρού νερού. Τοποθετούµε τριµµένα παγάκια σ' ένα δοχείο και µέσα σε αυτά βυθίζουµε ένα θερµόµετρο και το τοποθετούµε σε εστία θέρµανσης όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Η θερµοκρασία του πάγου αρχίζει να αυξάνεται. Όταν φθάσει στους 0 °C, τότε ο πάγος αρχίζει να λιώνει, οπότε εµφανίζεται και νερό µέσα στο ποτήρι. Παρατηρούµε ότι µέχρι να λιώσει όλος ο πάγος, η θερµοκρασία του µείγµατος νερού-πάγου διατηρείται
- 514. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 513 σταθερή στους 0 °C. Η θερµοκρασία αυτή ονοµάζεται θερµοκρασία τήξης του πάγου. Μόλις λιώσει όλος ο πάγος, η θερµοκρασία του νερού αρχίζει να αυξάνεται. Τοποθετούµε ένα δοχείο µε νερό µέσα σε µια λεκάνη µε πάγο θερµοκρασίας -10 °C. Παρατηρούµε ότι η θερµοκρασία του νερού µειώνεται. Όταν φθάσει στους 0 °C, το νερό αρχίζει να γίνεται στερεό, δηλαδή πάγος. Αυτή η θερµοκρασία διατηρείται σταθερή µέχρι να γίνει πάγος όλο το νερό. Την ονοµάζουµε θερµοκρασία πήξης του νερού. Καθ' όλη τη διάρκεια της τήξης ή πήξης και όσο συνυπάρχουν το καθαρό νερό και ο πάγος η θερµοκρασία διατηρείται σταθερή. Το σηµείο τήξεως µεταβάλλεται όταν µεταβάλλεται η εξωτερική πίεση. Όµως για µικρές µεταβολές της πίεσης η µεταβολή του σηµείου τήξεως είναι αµελητέα. Το σηµείο τήξεως ενός υλικού σε πίεση 1atm ονοµάζεται κανονικό σηµείο τήξεως. 5. Ποιο φυσικό φαινόµενο ονοµάζουµε βρασµό και ποιο υγροποίηση; Βρασµός: ονοµάζεται το φαινόµενο της µετατροπής ενός υγρού σε αέριο µε τη µορφή φυσαλίδων που βγαίνουν από όλη τη µάζα του υγρού και γίνεται σε ορισµένη θερµοκρασία, ενώ Υγροποίηση: ονοµάζουµε τη µετάβαση από την αέρια στην υγρή φάση. Πρόκειται δηλαδή για το αντίστροφο φαινόµενο του βρασµού. Ο βρασµός είναι µια περίπτωση εξαέρωσης. Η εξαέρωση ενός υγρού µπορεί να γίνεται µόνο από την ελεύθερη επιφάνειά του οπότε το φαινόµενο
- 515. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 514 ονοµάζεται εξάτµιση ή από ολόκληρη τη µάζα του υγρού οπότε ονοµάζεται βρασµός. Η εξάτµιση ενός υγρού γίνεται σε οποιαδήποτε θερµοκρασία ενώ ο βρασµός ενός υγρού (σε ορισµένη εξωτερική πίεση), γίνεται σε ορισµένη θερµοκρασία, χαρακτηριστική για κάθε υγρό που ονοµάζεται θερµοκρασία βρασµού και αποτελεί µια φυσική σταθερά του υγρού. 6. Να αναφέρετε τους νόµους ζέσεως ή βρασµού. 1. Σε όλη τη διάρκεια του βρασµού η θερµοκρασία του υγρού διατηρείται σταθερή και την ονοµάζουµε θερµοκρασία ζέσεως ή βρασµού. 2. Κάθε υγρό σε δεδοµένη εξωτερική πίεση βράζει, σε διαφορετική θερµοκρασία. Η θερµοκρασία βρασµού είναι χαρακτηριστική για κάθε υγρό και αποτελεί µια φυσική σταθερά των καθαρών σωµάτων. Παρατήρηση: Όταν η εξωτερική πίεση γίνει µικρότερη από την ατµοσφαιρική πίεση στην επιφάνεια της θάλασσας (1Atm), τότε η θερµοκρασία βρασµού ελαττώνεται. Έτσι το καθαρό νερό όταν βρίσκεται σε µεγάλα υψόµετρα (π.χ πάνω σε ένα βουνό), τότε βράζει σε θερµοκρασία σηµαντικά µικρότερη από τους 100 0 C. Στην κορυφή του Ολύµπου (2.917 m), το νερό βράζει στους 90 0 C. Ενώ στην κορυφή του Έβερεστ (8.848m), όπου η ατµοσφαιρική πίεση είναι 0,35 ατµόσφαιρες το σηµείο βρασµού του νερού είναι 80°C. Από την άλλη στη χύτρα ταχύτητας το νερό βράζει στους 120 °C, γιατί ο ατµός που εγκλωβίζεται ασκεί επιπλέον πίεση στην επιφάνεια του νερού. 7. Να περιγράψτε το φαινόµενο του βρασµού και της υγροποίησης του καθαρού νερού. Γεµίζουµε ένα γυάλινο δοχείο νερό, το τοποθετούµε πάνω από µια εστία θέρµανσης και παρατηρούµε τι συµβαίνει µέσα στο δοχείο.
- 516. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 515 Αρχικά η θερµοκρασία του νερού αυξάνεται και παράγονται υδρατµοί µε αργό ρυθµό από την επιφάνεια του νερού. Όταν η θερµοκρασία φθάσει τους 100 ο C (P=1 atm), εκδηλώνεται στο νερό µία έντονη αναταραχή. Οι υδρατµοί παράγονται γρήγορα και σχηµατίζουν µεγάλες φυσαλίδες σε όλο τον όγκο του νερού. Το νερό βράζει. Κατά τη διάρκεια του βρασµού συνυπάρχουν η υγρή και η αέρια κατάσταση. Σε όλη τη διάρκεια του βρασµού η θερµοκρασία διατηρείται σταθερή και ίση µε τη θερµοκρασία βρασµού. Το αντίστροφο φαινόµενο του βρασµού λέγεται υγροποίηση. Οι υδρατµοί υγροποιούνται στους 100°C, δηλαδή σε θερµοκρασία ίση µε τη θερµοκρασία βρασµού. Τριπλό σηµείο του νερού: Σε κάθε σώµα έτσι και στο νερό για ορισµένες τιµές της πίεσης και της θερµοκρασίας είναι δυνατό να συνυπάρχουν και οι τρεις φάσεις του (στερεή – υγρή – αέρια ). Το συγκεκριµένο σηµείο ονοµάζεται τριπλό σηµείο. Για το νερό το τριπλό του σηµείο αντιστοιχεί σε θερµοκρασία Tc=0,01 0 C και πίεση P=4,58 Torr=4,58mmHg=6,03⋅10-3 atm. Το τριπλό σηµείο αποτελεί χαρακτηριστική ιδιότητα του κάθε σώµατος. 8. Τι ονοµάζουµε θερµότητα τήξης και τι θερµότητα ζέσης ή βρασµού; Η θερµότητα που µεταφέρεται σε ένα στερεό σώµα κατά την τήξη του, καταναλώνεται για τη µετατροπή του στερεού σε υγρό για αυτό και δεν αυξάνεται η θερµοκρασία του. Η θερµότητα αυτή είναι ανάλογη της µάζας του σώµατος και εξαρτάται από το υλικό από το οποίο αποτελείται το σώµα. Η θερµότητα αυτή δίνεται από την παρακάτω σχέση: Q = LT·m όπου το Q είναι η θερµότητα τήξης και εκφράζει τη συνολική ποσότητα θερµότητας που µεταφέρεται στο σώµα για να µετατραπεί όλη η µάζα του m σε υγρό ίδιας θερµοκρασίας.
- 517. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 516 Το LT ονοµάζεται λανθάνουσα θερµότητα τήξης (ή ειδική θερµότητα τήξης) και εξαρτάται από το υλικό. Η ονοµασία «λανθάνουσα» προέρχεται από το ότι η θερµότητα τήξης δε γίνεται αντιληπτή µε θερµόµετρο αφού κατά τη διάρκεια του φαινοµένου η θερµοκρασία διατηρείται σταθερή, Από τον παραπάνω τύπο προκύπτει πως για m=1Kg έχουµε Q=LT. Άρα το LT εκφράζει την ποσότητα θερµότητας που απαιτείται για την πλήρη τήξη 1 kg από το υλικό. Το LT ορίζεται σαν LT= Q m και άρα έχει µονάδα µέτρησης στο S.I το 1 J Kg . Ακόµη µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και το 1 cal g . Αντίστοιχα, η ποσότητα της θερµότητας που µεταφέρεται σε ένα υγρό σώµα κατά το βρασµό, είναι ανάλογη της µάζας του σώµατος και εξαρτάται από το υλικό από το οποίο αποτελείται το σώµα: Q = LB·m όπου Q είναι η συνολική ποσότητα θερµότητας που µεταφέρεται στο σώµα για να µετατραπεί όλη η µάζα του m σε αέριο ίδιας θερµοκρασίας. Το LB ονοµάζεται λανθάνουσα θερµότητα βρασµού και εξαρτάται από το υλικό. Το LB εκφράζει την ποσότητα θερµότητας που απαιτείται για την πλήρη εξαέρωση 1 kg από το υλικό. 9. Ποιο φαινόµενο ονοµάζεται εξάχνωση; Να αναφέρετε παραδείγµατα. Εξάχνωση ονοµάζουµε το φαινόµενο της απευθείας µετάβασης από τη στερεή στην αέρια φάση (φυσική κατάσταση), χωρίς προηγουµένως να µεσολαβήσει η υγρή φάση.
- 518. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 517 Μέσα σ' ένα δοχείο από πορσελάνη θερµαίνουµε ήπια κρυστάλλους ιωδίου. Παρατηρούµε ότι το στερεό ιώδιο µετατρέπεται απευθείας σε αέριο χωρίς να περάσει από την υγρή κατάσταση. Ακόµη το στερεό διοξείδιο του άνθρακα (ξηρός πάγος) και οι κρύσταλλοι της ναφθαλίνης, µεταβαίνουν απευθείας από τη στερεά στην αέρια κατάσταση. ∆ηλαδή όπως λέµε εξαχνώνονται. Σε ξηρό περιβάλλον και µε έντονη ηλιακή ακτινοβολία το χιόνι και ο πάγος επίσης εξαχνώνονται. Το αντίθετο συµβαίνει όταν υδρατµοί βρεθούν σε ψυχρό αέρα, οπότε σχηµατίζεται στερεό χιόνι. 10. Να αναφέρετε τα σκαλοπάτια των µεταβολών κατάστασης ενός σώµατος. Παίρνουµε 1 Kg H2Ο (πάγου) αρχικής θερµοκρασίας -10 °C. Αρχίζουµε να προσφέρουµε θερµότητα σε αυτόν. Τότε έχουµε τα παρακάτω 5 σκαλοπάτια µεταβολής της κατάστασης του στερεού πάγου. 1. Αύξηση της θερµοκρασίας του πάγου από την αρχική θπ=-10 °C στη θερµοκρασία τήξης θΤ=0 °C. Η θερµότητα που απορροφάται από τον πάγο είναι: Qπ = cπ·m·(θΤ - θπ) 2. Η θερµοκρασία του µείγµατος του υγρού νερού και του πάγου διατηρείται σταθερή ίση µε θΤ. Είναι το σκαλοπάτι της τήξης. Η θερµότητα είναι ίση µε τη θερµότητα τήξης: QT=m·LT 3. Η θερµοκρασία του νερού αυξάνεται από θT µέχρι τη θερµοκρασία βρασµού θβ. Η θερµότητα που απορροφάται από το νερό είναι: Qv=cv·m·(θβ - θΤ)
- 519. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 518 4. Η θερµοκρασία του µείγµατος του νερού και των υδρατµών διατηρείται σταθερή και ίση µε θβ. Είναι το σκαλοπάτι του βρασµού. Η θερµότητα που απορροφά το νερό είναι ίση µε τη θερµότητα βρασµού: Qβ=m·LB 5. Η θερµοκρασία των υδρατµών αυξάνεται. Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνονται τα σκαλοπάτια των µεταβολών κατάστασης του νερού.
- 520. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 519 1. Να υπολογιστεί η θερµότητα που αποβάλλεται στο περιβάλλον όταν 5 Kg νερού 0 0 C µετατρέπονται σε ίση ποσότητα πάγου 0 0 C. ∆ίνεται η λανθάνουσα θερµότητα τήξης του πάγου LT=80 cal/g=336J/g. Λύση: Για να µετατραπεί νερό 0 0 C σε ίση ποσότητα πάγου 0 0 C, τότε αποδίδει στο περιβάλλον θερµότητα που είναι ίση µε τη θερµότητα τήξης του πάγου άρα ισχύει Q=m⋅LT=5⋅103 ⋅336=1.680.000J ή Q=1.680 ΚJ. Κατά τη διάρκεια του φαινοµένου η θερµοκρασία παραµένει σταθερή και ίση µε 0 0 C. 2. Να υπολογιστεί η θερµότητα που πρέπει να προσφέρουµε για να µετατρέψουµε 200g νερού 100 0 C, σε ίση ποσότητα υδρατµών 100 0 C. ∆ίνεται η λανθάνουσα θερµότητα βρασµού του νερού LΒ=540 cal/g=2,268 ΚJ/g. Λύση: Για να µετατραπεί νερό 100 0 C σε ίση ποσότητα υδρατµών 100 0 C, τότε πρέπει να προσφέρουµε θερµότητα είναι ίση µε τη θερµότητα βρασµού του νερού άρα ισχύει Q=m⋅LΒ=200⋅2,268=453,6 ΚJ. Κατά τη διάρκεια του φαινοµένου η θερµοκρασία παραµένει σταθερή και ίση µε 100 0 C. 3. Να υπολογιστεί η θερµότητα που πρέπει να προσφέρουµε για να µετατρέψουµε 1g πάγου -10 0 C, σε ίση ποσότητα νερού 45 0 C. ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του πάγου cπ=0,5 cal/g⋅grad, η ειδική θερµότητα του νερού cν=1 cal/g⋅grad και η λανθάνουσα θερµότητα τήξης του πάγου LT=80 cal/g. Λύση:
- 521. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 520 Η θερµότητα που πρέπει να προσφέρουµε για να ανυψωθεί η θερµοκρασία του πάγου από τους -10 0 C στους 0 0 C είναι Q1=m⋅cπ⋅∆θ ή Q1=1⋅0,5⋅[0-(-10)] ή Q1=0,5⋅10 ή Q=5 cal. Η θερµότητα που να προσφέρουµε για να λιώσει ο πάγος των 0 0 C και να γίνει νερό 0 0 C είναι Q2=m⋅LT=1⋅80 ή Q2=80 cal. Τέλος η θερµότητα που απαιτείται για να ανυψωθεί η θερµοκρασία του νερού από τους 0 0 C στους 45 0 C είναι Q3=m⋅cν⋅∆θ ή Q3=1⋅1⋅(45-0) ή Q3=45 cal. Έτσι η συνολική θερµότητα που πρέπει να προσφέρουµε είναι Q=Q1+Q2+Q3 ή Q=5+80+45 ή Q=130 cal ή 130⋅4,2=546 J. (Ισχύει 1cal=4,2J). 4. Να υπολογιστεί η θερµότητα που µεταφέρεται στο περιβάλλον κατά τη µετατροπή 10g υδρατµών 100 0 C, σε ίση ποσότητα πάγου 0 0 C. ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του νερού cν=1 cal/g⋅grad, η λανθάνουσα θερµότητα βρασµού του νερού LΒ=540 cal/g και η λανθάνουσα θερµότητα τήξης του πάγου LT=80 cal/g. Λύση: Για να µετατραπούν 10 g υδρατµών 100 0 C σε ίση ποσότητα νερού 100 0 C, τότε αποδίδεται στο περιβάλλον θερµότητα ίση µε τη θερµότητα βρασµού του νερού άρα ισχύει Q1=m⋅LΒ=10⋅540=5.400 cal. Στη συνέχεια για να ψύξουµε το νερό των 100 0 C σε θερµοκρασία 0 0 C θα πρέπει να αφαιρέσουµε θερµότητα Q2= m⋅cν⋅∆θ ή Q2=10⋅1⋅100 ή Q2=1.000 cal. Στην πραγµατικότητα η θερµότητα Q2 είναι αρνητική. Αυτό ακριβώς σηµαίνει ότι προσφέρεται από το νερό στο περιβάλλον. Τέλος για να µετατραπεί το νερό των 0 0 C σε ίση ποσότητα πάγου 0 0 C, αποδίδεται στο περιβάλλον θερµότητα που είναι ίση µε τη θερµότητα τήξης του πάγου άρα ισχύει Q3=m⋅LT=10⋅80=800 cal. Έτσι η συνολική θερµότητα που προσφέρεται στο περιβάλλον είναι Q=Q1+Q2+Q3 ή Q=5.400+1.000+800 ή Q=7.200 cal ή 30,24 ΚJ.
- 522. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 521 5. ∆ιαθέτουµε 100g πάγου µιας κάποιας αρχικής θερµοκρασίας θ1 0 C. Στην ποσότητα αυτή του πάγου προσφέρουµε συνολική θερµότητα Q=9.500 cal και τον µετατρέπουµε πλήρως σε νερό 0 0 C. Να υπολογιστεί η αρχική θερµοκρασία θ1 του πάγου. ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του πάγου cπ=0,5 cal/g⋅grad και η λανθάνουσα θερµότητα τήξης του πάγου LT=80 cal/g. Λύση: Η θερµότητα που πρέπει να προσφέρουµε για να ανυψωθεί η θερµοκρασία του πάγου από τους θ1 0 C στους 0 0 C είναι Q1=m⋅cπ⋅∆θ ή Q1=100⋅0,5⋅ ∆θ ή Q1=50⋅∆θ cal. Η θερµότητα που να προσφέρουµε για να λιώσει ο πάγος των 0 0 C και να γίνει νερό 0 0 C είναι Q2=m⋅LT=100⋅80 ή Q2=8.000 cal. Έτσι η συνολική θερµότητα που πρέπει να προσφέρουµε είναι Q=Q1+Q2 ή 9.500=50⋅∆θ+8.000 ή 50⋅∆θ =1.500 ή ∆θ =30 0 C ή 0-θ1=30 0 C ή θ1=-30 0 C. 6. Μέσα σε δοχείο µε ασήµαντη θερµοχωρητικότητα υπάρχουν 40 g πάγου θερµοκρασίας -18 0 C. Πόση µάζα νερού θα σχηµατιστεί και πόσος πάγος θα περισσέψει αν προσφέρουµε συνολική θερµότητα Q=1.960 cal; ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του πάγου cπ=0,5 cal/g⋅grad και η λανθάνουσα θερµότητα τήξης του πάγου LT=80 cal/g. Λύση: Η θερµότητα που πρέπει να προσφέρουµε για να ανυψωθεί η θερµοκρασία του πάγου από τους -18 0 C στους 0 0 C είναι Q1=m⋅cπ⋅∆θ ή Q1=40⋅0,5⋅18 ή Q1=360 cal. Οπότε από τη συνολική θερµότητα Q που προσφέραµε αποµένουν άλλα Q2=Q-Q1=1.960-360=1.600 cal. Με αυτή τη θερµότητα Q2 υπολογίζουµε πόσα g πάγου 0 0 C µπορούν να µετατραπούν σε νερό 0 0 C. Έχουµε λοιπόν Q2=m΄⋅LT ή m΄= 2 T Q L ή m΄= 1.600 80 ή m΄=20 g πάγου. Έτσι υπολογίσαµε ότι µόνο τα 20 g πάγου θα µετατραπούν σε ίσης µάζας νερό 0 0 C. Τελικά θα περισσέψουν 20 g πάγου και θα έχουν σχηµατιστεί 20 g νερό 0 0 C.
- 523. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 522 7. Σε 250g νερό 100 0 C, προσφέρουµε θερµότητα Q=140 cal. Θα αυξηθεί η θερµοκρασία του νερού; ∆ίνεται η λανθάνουσα θερµότητα βρασµού του νερού LΒ=540 cal/g. Λύση: Για να µετατραπούν τα 250 g νερού 100 0 C σε ίση ποσότητα υδρατµών 100 0 C, πρέπει να προσφέρουµε θερµότητα ίση µε τη θερµότητα βρασµού του νερού άρα ισχύει Q1=m⋅LΒ=250⋅540=135.000 cal ή 135 Κcal. Έτσι η θερµότητα που προσφέραµε δηλαδή τα 140 Kcal είχε σαν αποτέλεσµα να µετατραπεί ολόκληρη η ποσότητα του νερού σε υδρατµούς και επίσης προσφέραµε επιπλέον 5Kcal οπότε η θερµοκρασία των υδρατµών αυξήθηκε περαιτέρω. 8. Μέσα σε δοχείο περιέχονται 50g νερού και 50 g πάγου. Να υπολογιστεί η µάζα των υδρατµών 100 0 C που πρέπει να διαβιβαστεί στο σύστηµα ώστε να έχουµε τελικά νερό 20 0 C. ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του νερού cν=1 cal/g⋅grad, η λανθάνουσα θερµότητα βρασµού του νερού LΒ=540 cal/g και η λανθάνουσα θερµότητα τήξης του πάγου LT=80 cal/g. Λύση: Αρχικά το νερό και ο πάγος βρίσκονται σε ισορροπία οπότε η κοινή θερµοκρασία τους είναι 0 0 C. Τότε για να µετατραπεί ο πάγος σε νερό 0 0 C πρέπει να προσφερθεί θερµότητα Q1=m⋅LT=50⋅80=4.000 cal. Έτσι έχουµε τώρα συνολικά mολ= 50+50=100g νερό θερµοκρασίας 0 0 C. Για να αυξηθεί η θερµοκρασία των 100 g νερού από του 0 στους 20 πρέπει να προσφερθεί θερµότητα Q2= mολ⋅cν⋅∆θ ή Q2= 100⋅1⋅20 ή Q2= 2.000 cal. Οπότε η συνολική θερµότητα που πρέπει να προσφερθεί είναι Q=Q1+Q2=6.000 cal. Η θερµότητα αυτή θα πρέπει να προσφερθεί από τη µάζα m των υδρατµών. Η θερµότητα που ελευθερώνεται όταν οι υδρατµοί υγροποιούνται και µετατρέπονται σε νερό 100 0 C είναι Q3=m⋅LB=540⋅m cal. Κατά την ψύξη της µάζας m του νερού από τους 100 0 C στους 20 0 C ελευθερώνεται θερµότητα Q4= m⋅cν⋅∆θ ή Q4= m⋅1⋅(100-20) ή Q4= 80⋅m. Τότε θα πρέπει να ισχύει
- 524. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 523 Q1+Q2=Q3+Q4 ή 6.000=540⋅m+80⋅m ή 6.000=620⋅m ή m= 6.000 620 ή m=9,67 g υδρατµών. 1. Να υπολογιστεί η θερµότητα σε Κcal και ΚJ, που προσφέρεται από το περιβάλλον όταν 1 Kg πάγου 0 0 C µετατρέπονται σε ίση ποσότητα νερού 0 0 C. ∆ίνεται η λανθάνουσα θερµότητα τήξης του πάγου LT=80 cal/g=336J/g. 2. Να υπολογιστεί η θερµότητα σε Κcal και ΚJ, που πρέπει να προσφέρουµε για να µετατρέψουµε 1Kg νερού 100 0 C, σε ίση ποσότητα υδρατµών 100 0 C. ∆ίνεται η λανθάνουσα θερµότητα βρασµού του νερού LΒ=540 cal/g=2,268 ΚJ/g. 3. Να υπολογιστεί η θερµότητα που πρέπει να προσφέρουµε για να µετατρέψουµε 10g πάγου -20 0 C, σε ίση ποσότητα υδρατµών 100 0 C. ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του πάγου cπ=0,5 cal/g⋅grad, η ειδική θερµότητα του νερού cν=1 cal/g⋅grad, η λανθάνουσα θερµότητα τήξης του πάγου LT=80 cal/g και η λανθάνουσα θερµότητα βρασµού του νερού LΒ=540 cal/g. 4. ∆ιαθέτουµε 80g πάγου µιας κάποιας αρχικής θερµοκρασίας θ1 0 C. Στην ποσότητα αυτή του πάγου προσφέρουµε συνολική θερµότητα Q=6.800 cal και τον µετατρέπουµε πλήρως σε νερό 0 0 C. Να υπολογιστεί η αρχική θερµοκρασία θ1 του πάγου. ∆ίνεται η ειδική θερµότητα του πάγου cπ=0,5 cal/g⋅grad και η λανθάνουσα θερµότητα τήξης του πάγου LT=80 cal/g. 5. Μέσα σε δοχείο µε ασήµαντη θερµοχωρητικότητα υπάρχουν 100 g πάγου θερµοκρασίας 0 0 C. Πόση µάζα νερού θα σχηµατιστεί και πόσος πάγος θα περισσέψει αν προσφέρουµε συνολική θερµότητα Q=3.200 cal; ∆ίνεται η λανθάνουσα θερµότητα τήξης του πάγου LT=80 cal/g.
- 525. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 524 6. Σε 200g πάγου 0 0 C, προσφέρουµε θερµότητα Q=15.000 cal. Θα αυξηθεί η θερµοκρασία; ∆ίνεται η λανθάνουσα θερµότητα τήξης του πάγου LΤ=80 cal/g.
- 526. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 525 1) Οι τρεις συνηθισµένες καταστάσεις της ύλης είναι η στερεή, η υγρή και η αέρια. Η κατάσταση της ύλης ενός σώµατος δεν είναι δυνατόν να αλλάξει. ( ) 2) Το χιόνι είναι νερό σε στερεά κατάσταση. ( ) 3) Η µετατροπή του στερεού σε υγρό, ή σύµφωνα µε την επιστηµονική ορολογία η τήξη του, γίνεται µε µεταβολή της θερµοκρασίας έως ότου µετατραπεί ολόκληρη η ποσότητα σε υγρό. ( ) 4) Κατά το βρασµό η θερµοκρασία του υγρού παραµένει σταθερή ενώ αυτό σταδιακά µετατρέπεται σε αέριο. ( ) 5) Η µονάδα της πίεσης στο ∆ιεθνές Σύστηµα Μονάδων S.I. είναι η 1 atm. ( ) 6) Κάθε υγρό βράζει, αλλά σε διαφορετική θερµοκρασία. Η θερµοκρασία βρασµού είναι µια φυσική σταθερά των καθαρών σωµάτων. ( ) 7) Το LT ονοµάζεται λανθάνουσα θερµότητα τήξης και δεν εξαρτάται από το υλικό. ( ) 8) Το σηµείο τήξεως µεταβάλλεται όταν µεταβάλλεται η εξωτερική πίεση. ( ) 9) Τριπλό σηµείο του νερού ονοµάζουµε το σηµείο στο οποίο συνυπάρχουν και οι τρεις φάσεις του. ( )
- 527. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 526 1) Κατά τη διάρκεια της τήξης ή της πήξης, α) η θερµοκρασία µεταβάλλεται. β) δεν έχουµε καµία µεταφορά θερµότητας. γ) σχηµατίζονται φυσαλίδες αερίου. δ) συνυπάρχουν και οι δυο καταστάσεις (φάσεις) της ύλης: η στερεά και η υγρή. 2) Κατά το βρασµό, α) η θερµοκρασία του υγρού παραµένει σταθερή ενώ αυτό σταδιακά µετατρέπεται σε αέριο. β) Η θερµοκρασία αυξάνεται. γ) Η θερµοκρασία µειώνεται. δ) ∆εν έχουµε καµιά µετατροπή φάσης. 3) Η θερµοκρασία πήξης, α) είναι µεγαλύτερη από τη θερµοκρασία τήξης β) είναι µικρότερη από τη θερµοκρασία τήξης γ) συµπίπτει µε τη θερµοκρασία τήξης. δ) µεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα µε τη θερµοκρασία τήξης. 4) Η θερµότητα που µεταφέρεται σε ένα στερεό σώµα κατά την τήξη του, α) είναι αντιστρόφως ανάλογη της µάζας του σώµατος β) δεν εξαρτάται από το υλικό από το οποίο αποτελείται το σώµα: γ) δίνεται από τη σχέση Q = LT·m ,όπου Q είναι η συνολική ποσότητα θερµότητας που µεταφέρεται στο σώµα για να µετατραπεί όλη η µάζα του m σε υγρό ίδιας θερµοκρασίας. δ) ονοµάζεται λανθάνουσα θερµότητα τήξης. 5) Για να λιώσει µια ποσότητα πάγου ίση µε 30 g απαιτείται θερµότητα Q. Για να λιώσει µια ποσότητα πάγου ίση µε 10 g απαιτείται θερµότητα α) 3Q β) Q/3 γ) Q
- 528. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 527 δ) 9Q. 6) Κατά τη διάρκεια της πήξης ενός σώµατος έχουµε, α) προσφορά θερµότητας στο σώµα. β) αποβολή θερµότητας από το σώµα. γ) δεν έχουµε καµία ανταλλαγή θερµότητας µε το περιβάλλον. δ) η θερµοκρασία του σώµατος µειώνεται. 7) Η λανθάνουσα θερµότητα βρασµού, α) δεν εξαρτάται από το υλικό. β) εκφράζει την ποσότητα θερµότητας που απαιτείται για την πλήρη εξαέρωση όλου του υλικού. γ) ορίζεται από τη σχέση LB= m Q . δ) έχει µονάδα µέτρησης στο S.I το 1 J Kg . 1) α) Κατά τη θέρµανση ενός στερεού σώµατος (π.χ πάγος) αυξάνεται η θερµοκρασία του σώµατος µέχρις ότου αρχίσει η µετατροπή του σε ………………………... β) Η µετατροπή του στερεού σε υγρό, ή σύµφωνα µε την επιστηµονική ορολογία η …………………………. του, γίνεται χωρίς να αυξηθεί η θερµοκρασία η οποία παραµένει ……………………. έως ότου µετατραπεί ολόκληρη η ποσότητα σε υγρό. Στη συνέχεια αυξάνει η θερµοκρασία του υγρού και εµφανίζονται ατµοί στην επιφάνειά του, εµφανίζεται δηλαδή το φαινόµενο της ……………………….. Καθώς αυξάνει η θερµοκρασία του υγρού σχηµατίζονται φυσαλίδες στο εσωτερικό του των οποίων ο αριθµός διαρκώς αυξάνει.
- 529. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 528 γ) Όταν οι φυσαλίδες παράγονται από ολόκληρη τη µάζα του υγρού, σύµφωνα µε την επιστηµονική ορολογία συµβαίνει το φαινόµενο του ………………….. Κατά τη διάρκεια του φαινοµένου η θερµοκρασία του υγρού παραµένει σταθερή ενώ αυτό σταδιακά µετατρέπεται σε αέριο. 2) Κάθε καθαρό σώµα έχει τη δική του θερµοκρασία τήξης/πήξης, που χαρακτηρίζει το ………………..του σώµατος. Είναι, όπως λέµε, µια φυσική ………………………..του υλικού του σώµατος. 3) Το αντίστροφο φαινόµενο του βρασµού λέγεται………………... Οι υδρατµοί υγροποιούνται στους 100°C, δηλαδή σε θερµοκρασία ίση µε τη θερµοκρασία……………………. 4) Ο βρασµός είναι µια περίπτωση…………………... Η εξαέρωση ενός υγρού µπορεί να γίνεται µόνο από την ελεύθερη επιφάνειά του οπότε το φαινόµενο ονοµάζεται …………………ή από ολόκληρη τη µάζα του υγρού οπότε ονοµάζεται………………………... 5) Το LT ορίζεται σαν LT=………………. και άρα έχει µονάδα µέτρησης στο S.I το………………... Q m ,1 J Kg 6) Εξάχνωση ονοµάζουµε το φαινόµενο της απευθείας µετάβασης από τη ……………………στην ……………..φάση (φυσική κατάσταση), χωρίς προηγουµένως να µεσολαβήσει η …………………..φάση.
- 530. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 529 7.2 Μικροσκοπική µελέτη των αλλαγών κατάστασης 1. Πώς συµπεριφέρονται οι δοµικοί λίθοι ενός στερεού και ενός υγρού σώµατος ως προς την κίνησή τους όταν µεταφέρεται σε αυτό θερµότητα; Σε κάθε θερµοκρασία (εκτός από τη θερµοκρασία του απόλυτου µηδενός) τα άτοµα ή µόρια κινούνται (θερµική κίνηση) και µάλιστα η ενέργειά τους είναι ανάλογη της απόλυτης θερµοκρασίας τους. Αυτό ισχύει και για τις τρεις φάσεις της ύλης. ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ: Στα στερεά σώµατα τα άτοµα (ή µόρια) βρίσκονται σε ορισµένες θέσεις γύρω από τις οποίες ταλαντώνονται. Αρχικά η µεταφερόµενη θερµότητα σ’ ένα στερεό σώµα έχει σαν αποτέλεσµα οι ταλαντώσεις των δοµικών λίθων να γίνονται όλο και πιο έντονες δηλαδή αυξάνεται η κινητική ενέργεια των δοµικών λίθων του σώµατος και εποµένως αυξάνεται και η θερµοκρασία του σώµατος. Όταν όµως η θερµοκρασία φτάσει στο σηµείο τήξεως, οι ταλαντώσεις είναι τόσο έντονες, ώστε οι δυνάµεις µεταξύ των δοµικών λίθων δεν µπορούν να τα συγκρατήσουν πλέον στις θέσεις τους. Το πλάτος της ταλάντωσης έχει γίνει πολύ µεγάλο και οι δοµικοί λίθοι αποµακρύνονται από την αρχική τους θέση και δεν επιστρέφουν πλέον σ’ αυτή, αλλά κινούνται πέφτοντας ο ένας πάνω στον άλλο.
- 531. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 530 Τότε οι δοµικοί λίθοι αρχίζουν να «γλιστρούν» ο ένας επάνω στον άλλο και οι µεταξύ τους δυνάµεις µειώνονται, οπότε µειώνεται κατά απόλυτη τιµή και η δυναµική ενέργεια αλληλεπίδρασης των δοµικών λίθων: το στερεό γίνεται υγρό, όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Η αντίστροφη διαδικασία συµβαίνει κατά την πήξη. Εποµένως µε την απορρόφηση θερµότητας µειώνεται κατά απόλυτη τιµή η δυναµική ενέργεια χωρίς ωστόσο να µεταβάλλεται η κινητική ενέργεια και άρα η θερµοκρασία του σώµατος. Έτσι στη διάρκεια των αλλαγών φάσης η θερµοκρασία παραµένει σταθερή. Αν όµως συνεχίσουµε περεταίρω τη θέρµανση οι ταχύτητες µε τις οποίες κινούνται οι δοµικοί λίθοι αυξάνονται οπότε τότε αυξάνεται και η θερµοκρασία του σώµατος. ΥΓΡΟ ΣΩΜΑ: Όταν θερµότητα µεταφέρεται σε ένα υγρό, αρχικά αυξάνεται η κινητική ενέργεια των δοµικών του λίθων, οπότε οι κινήσεις τους γίνονται όλο και πιο έντονες, η θερµοκρασία του υγρού αυξάνεται. Σε ορισµένη θερµοκρασία οι δυνάµεις µεταξύ των δοµικών λίθων δεν µπορούν να τους συγκρατήσουν κοντά τον ένα στον άλλο, οπότε αρχίζουν να κινούνται ελεύθερα: το υγρό γίνεται αέριο όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Τότε, η αλληλεπίδραση µεταξύ των δοµικών λίθων έχει σχεδόν µηδενιστεί. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα να µηδενιστεί η δυναµική ενέργεια µεταξύ των δοµικών λίθων. Η αντίστροφη διαδικασία συµβαίνει κατά την υγροποίηση. Κατά τη διάρκεια της τήξης ή του βρασµού, οι δοµικοί λίθοι του
- 532. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 531 σώµατος διατηρούνται αναλλοίωτοι. ∆ε λιώνουν και δεν εξαερώνονται. Απλώς µεταβάλλεται ο τρόπος που κινούνται και αλληλεπιδρούν. 2. Γιατί κατά τη διάρκεια των αλλαγών κατάστασης η θερµοκρασία διατηρείται σταθερή αν και στο σώµα µεταφέρεται θερµότητα; Κατά τη διάρκεια των αλλαγών κατάστασης αλλάζουν οι δυνάµεις µεταξύ των δοµικών λίθων (ατόµων µορίων ή ιόντων) των σωµάτων και κατά συνέπεια µεταβάλλεται η δυναµική τους ενέργεια. Έτσι , η κινητική ενέργεια των δοµικών λίθων του σώµατος διατηρείται σταθερή, η δυναµική τους ενέργεια αλλάζει. Η εσωτερική ενέργεια δίνεται από τη σχέση U=Κολ+Uδυναµική. Στις αλλαγές φάσης, εποµένως, η εσωτερική ενέργεια (U) του σώµατος µεταβάλλεται, επειδή µεταβάλλεται η συνολική δυναµική ενέργεια (Uδυναµική) των δοµικών λίθων, αν και η θερµική, δηλαδή η κινητική ενέργεια (Κολ) του σώµατος, µένει σταθερή. Έτσι αφού δε µεταβάλλεται η κινητική ενέργεια του σώµατος, δεν µεταβάλλεται και η θερµοκρασία του σώµατος. Στην πραγµατικότητα δεν µπορούµε να γνωρίζουµε την εσωτερική ενέργεια ενός σώµατος. Αυτό που µπορούµε να µετράµε είναι η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ενός σώµατος ή ενός συστήµατος. Όµως η εσωτερική ενέργεια ενός σώµατος αυξάνεται, όταν αυτό απορροφά από το εξωτερικό περιβάλλον µια ή περισσότερες µορφές ενέργειας όπως µηχανική, θερµική, ηλεκτρική κά. Έτσι καθώς µεταβαίνουµε από τη στερεή στην υγρή και στη συνέχεια στην αέρια φυσική κατάσταση, η εσωτερική ενέργεια του σώµατος αυξάνεται. Για παράδειγµα,
- 533. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 532 Το νερό θερµοκρασίας 0°C έχει µεγαλύτερη εσωτερική ενέργεια από ίση ποσότητα πάγου ίδιας θερµοκρασίας. Η διαφορά στην εσωτερική ενέργειά τους ισούται µε τη θερµότητα τήξης που απορρόφησε. Επίσης για τον ίδιο λόγο, υδρατµοί στους 100 °C έχουν µεγαλύτερη εσωτερική ενέργεια από ίση ποσότητα νερού ίδιας θερµοκρασίας. Ακόµη: Κάθε ένα µόριο πρέπει να απορροφήσει ορισµένη ενέργεια για να αλλάξει ο τρόπος σύνδεσής του µε τα υπόλοιπα. Άρα, η θερµότητα τήξης ή βρασµού είναι ανάλογη µε τη µάζα του σώµατος: διπλάσια µάζα πάγου (διπλάσιος αριθµός µορίων) χρειάζεται διπλάσια θερµότητα για να λιώσει. Εξάλλου, επειδή οι δυνάµεις µεταξύ των δοµικών λίθων δεν είναι εξίσου ισχυρές στα διάφορα υλικά, η θερµότητα τήξης και βρασµού (για την ίδια µάζα) διαφέρει από υλικό σε υλικό. Η λανθάνουσα θερµότητα τήξης, για παράδειγµα, του χαλκού είναι διπλάσια από του χρυσού. Για το ίδιο υλικό η λανθάνουσα θερµότητα βρασµού είναι πάντοτε µεγαλύτερη από τη θερµότητας τήξης δηλαδή η διαφορά των εσωτερικών ενεργειών στην 1η περίπτωση είναι µικρότερη από ότι στη δεύτερη. Συµπερασµατικά λοιπόν ισχύει ότι: i) η θερµότητα εξαρτάται από τη µάζα του σώµατος, ii) η λανθάνουσα θερµότητα εξαρτάται από το υλικό του σώµατος και iii) η λανθάνουσα θερµότητα βρασµού ενός σώµατος είναι πάντα µεγαλύτερη από τη λανθάνουσα θερµότητα τήξης του. 3. Μεταβάλλεται η µάζα και όγκος κατά την τήξη;
- 534. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 533 Σε κάθε αλλαγή φάσης είπαµε ότι η θερµοκρασία του για σταθερή πίεση παραµένει σταθερή. Όπως επίσης σταθερή παραµένει και η µάζα του σώµατος. Όµως σε κάθε αλλαγή φάσης έχουµε µεταβολή του όγκου και της πυκνότητας του σώµατος. Στα περισσότερα υλικά ο όγκος αυξάνεται κατά την τήξη και ελαττώνεται κατά την πήξη. Για παράδειγµα, όταν το λάδι ή ο υγρός µόλυβδος στερεοποιείται, ο όγκος του ελαττώνεται. ∆εν ισχύουν όµως τα ίδια και για το νερό. Το νερό που προκύπτει από την τήξη του πάγου έχει ίδια µάζα, αλλά µικρότερο όγκο. Όταν ο πάγος τήκεται, ο όγκος του ελαττώνεται. Αντίθετα, όταν το νερό γίνεται πάγος στους 0 °C, ο όγκος του αυξάνεται. Στο διπλανό διάγραµµα φαίνεται πως µεταβάλλεται ο όγκος του νερού κατά τη θέρµανσή του από τους -10 στους +10 0 C. Παρατηρούµε ότι κατά τη θέρµανση του νερού από τους 0 0 C µέχρι τους +4 0 C ο όγκος του ελαττώνεται αντί να αυξάνεται. Τότε όµως αυξάνεται η πυκνότητά του. Έτσι ο πάγος των 0 0 C έχει µεγαλύτερο όγκο και άρα µικρότερη πυκνότητα από το νερό των 4 0 C, και άρα ο πάγος επιπλέει στο νερό. πάγος νερό -10 -5 0 +5 +10 V C 0 στερεό Μόλυβδος υγρό V C 0
- 535. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 534 Η ελάττωση αυτή του όγκου του νερού από τους 0 0 C στους +4 0 C ονοµάζεται ανωµαλία της διαστολής του νερού. Μετά τους 0 0 C ο όγκος του νερού αυξάνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας του. Εποµένως: Κατά την τήξη ενός στερεού ή την πήξη ενός υγρού, η µάζα του διατηρείται σταθερή, ενώ ο όγκος του µεταβάλλεται. Ο πάγος έχει µεγαλύτερο όγκο από ίση µάζα νερού ίδιας θερµοκρασίας, οπότε έχει µικρότερη πυκνότητα από το νερό. Για αυτό το λόγο ένα γυάλινο µπουκάλι γεµάτο µε νερό, όταν παγώσει στην κατάψυξη του ψυγείου µας, σπάει και τα παγάκια επιπλέουν στην πορτοκαλάδα µας. 4. Πώς µπορούµε να ερµηνεύσουµε µικροσκοπικά την αύξηση του όγκου του νερού κατά την πήξη; Στο νερό τα µόρια γλιστρούν το ένα πάνω στο άλλο ενώ βρίσκονται σχεδόν σε επαφή µεταξύ τους. Όταν το νερό γίνεται πάγος, τα µόρια σχηµατίζουν εξάγωνα, οπότε ο χώρος που καταλαµβάνουν αυξάνεται. Έτσι στο νερό των 0 °C παραµένουν ακόµη «µικροσκοπικοί κρύσταλλοι» πάγου. Από 0 °C µέχρι 4 °C, αυτοί οι «µικροσκοπικοί κρύσταλλοι» πάγου λιώνουν σιγά-σιγά. Έτσι, ο όγκος του νερού που προκύπτει από το λιώσιµο αυτών είναι µικρότερος. Στους 4 °C όλοι σχεδόν οι µικροκρύσταλλοι πάγου έχουν λιώσει. Άρα, από 0 °C µέχρι 4 °C ο όγκος του νερού ελαττώνεται. Αντίθετα κατά την ψύξη από 4 °C µέχρι 0 °C, ο όγκος του υγρού νερού αυξάνεται. 5. Πώς µπορούµε να µεταβάλλουµε το σηµείο τήξης και το σηµείο βρασµού ενός σώµατος; α) Επίδραση διαλυµένων ουσιών
- 536. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 535 Όταν σε πάγο ρίξουµε αλάτι, µεταξύ των µορίων του πάγου παρεµβάλλονται κρυσταλλάκια αλατιού. Οι δυνάµεις µεταξύ των µορίων του πάγου λοιπόν εξασθενούν και ο πάγος λιώνει σε χαµηλότερη θερµοκρασία από 0 °C. Έτσι το θαλασσινό νερό, που είναι µείγµα νερού και αλατιού, πήζει σε χαµηλότερη θερµοκρασία από 0 °C, η οποία εξαρτάται από την περιεκτικότητά του σε αλάτι. Παρόµοια, αν στο νερό του ψυγείου του αυτοκινήτου προσθέσουµε κατάλληλο υγρό, το µείγµα πήζει στους -10 °C. Με αυτόν τον τρόπο, το σύστηµα ψύξης του κινητήρα προστατεύεται από την αύξηση του όγκου του νερού που θα συνέβαινε κατά την πήξη του. β) Επίδραση της πίεσης στο σηµείο τήξεως και βρασµού. Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται η επίδραση της πίεσης στο σηµείο τήξεως του πάγου. Παρατηρούµε ότι σε πίεση 1 atm ο πάγος λιώνει στους 0 °C ενώ όταν αυξάνεται η πίεση το σηµείο τήξεως ελαττώνεται κάτω από τους 0 °C. Όταν ο πάγος γίνεται νερό, τα µόρια πλησιάζουν µεταξύ τους. Αν συµπιέζουµε (αυξήσουµε την πίεση) τον πάγο, βοηθάµε, τα µόρια να πλησιάσουν µεταξύ τους και ο πάγος λιώνει σε χαµηλότερη θερµοκρασία από 0 °C. Έτσι για παράδειγµα τα παγοπέδιλα που φορούν οι παγοδρόµοι καταλήγουν σε καµπύλες µεταλλικές λάµες, των οποίων η επιφάνεια είναι αρκετά µικρότερη από την επιφάνεια των επίπεδων πελµάτων. Συνεπώς, στον πάγο που βρίσκεται κάτω από τα παγοπέδιλα ασκείται µεγάλη πίεση µε αποτέλεσµα να Κ α µ π ύ λ η τ ή ξ η ς P C 0 0 1 Atm
- 537. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 536 λιώνει. Έτσι, µεταξύ των παγοπέδιλων και του πάγου σχηµατίζεται ένα λεπτό στρώµα νερού. Παρόµοια όσο η πίεση που ασκεί ο αέρας στο νερό είναι υψηλότερη, τόσο δυσκολότερα τα µόρια του νερού αποµακρύνονται µεταξύ τους. Έτσι, το νερό βράζει σε υψηλότερη θερµοκρασία. Στη χύτρα ταχύτητας το νερό βράζει στους 120 °C, γιατί ο ατµός που εγκλωβίζεται ασκεί επιπλέον πίεση στην επιφάνεια του νερού. 7.3 Εξάτµιση και συµπύκνωση 1. Ο βρασµός είναι ο µοναδικός τρόπος µε τον οποίο ένα υγρό γίνεται αέριο; Ο βρασµός ανήκει σε ένα γενικότερο φαινόµενο που ονοµάζεται εξαέρωση. Εξαέρωση: Ονοµάζουµε τη µετάβαση από την υγρή φάση στην αέρια, οπότε παράγονται ατµοί του υγρού. Η εξαέρωση ενός υγρού µπορεί να γίνει µε 2 τρόπους: α) την εξάτµιση και β) το βρασµό. 2. Τι ονοµάζουµε εξάτµιση ενός υγρού; Ορισµένα µόρια, όταν βρεθούν στην επιφάνεια του υγρού και κινούνται µε µεγάλη ταχύτητα, καταφέρνουν να υπερνικήσουν την ελκτική δύναµη των υπόλοιπων και να διαφύγουν στο περιβάλλον (για παράδειγµα στον αέρα), τότε λέµε ότι το υγρό εξατµίζεται.
- 538. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 537 Εξάτµιση: Ονοµάζουµε την εξαέρωση (µετατροπή υγρού σε αέριο), που γίνεται µόνο από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού και σε οποιαδήποτε θερµοκρασία. Ακόµη και στη διάρκεια του χειµώνα και στις πολικές περιοχές το νερό των λιµνών και των ωκεανών εξατµίζεται και έτσι δηµιουργούνται τα σύννεφα και συντηρείται ο κύκλος του νερού. ∆εν αντιλαµβανόµαστε άµεσα αυτή τη διαδικασία γιατί οι υδρατµοί, δηλαδή το νερό σε αέρια κατάσταση, είναι αόρατοι. Χάριν του φαινοµένου της εξάτµισης, ο βρεγµένος δρόµος και τα απλωµένα ρούχα στεγνώνουν. Κατά την εξάτµιση ενός υγρού πρέπει να προσφέρεται θερµότητα σε αυτό. Για παράδειγµα αν ρίξουµε λίγο οινόπνευµα στο χέρι µας το οινόπνευµα εξατµίζεται παίρνοντας θερµότητα από το χέρι µας, το οποίο έτσι ψύχεται. Έχουµε λοιπόν ψύξη λόγω εξάτµισης. 3. Τι ονοµάζουµε συµπύκνωση και πως µπορούµε να πετύχουµε συµπύκνωση ενός αερίου; Συµπύκνωση: ονοµάζουµε τη µετάβαση από την αέρια στην υγρή φάση σε θερµοκρασία µικρότερη της θερµοκρασίας υγροποίησης. Πρόκειται δηλαδή για φαινόµενο που είναι αντίστροφο από την εξάτµιση. Συµπύκνωση – υγροποίηση µπορούµε να επιτύχουµε ή µε ψύξη του αερίου ή µε συµπίεση αυτού. α) Συµπύκνωση µε ψύξη:
- 539. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 538 Όταν εκπνέουµε µπροστά από ένα ψυχρό τζάµι, από τους αόρατους υδρατµούς της θερµής ανάσας µας σχηµατίζονται σταγονίδια νερού. ∆ηλαδή ψύχονται οι υδρατµοί της αναπνοής µας και υγροποιούνται. β) Συµπύκνωση µε συµπίεση: Είναι δυνατό αυξάνοντας την πίεση ενός αερίου που βρίσκεται σε ένα κλειστό δοχείο σταθερής θερµοκρασίας να ελαττώσουµε τον όγκο του. Μόλις ο όγκος του αερίου πάρει µια ορισµένη τιµή τότε µε περαιτέρω συµπίεση παρατηρούµε ότι η πίεση του αερίου παραµένει σταθερή ενώ ένα µέρος των ατµών του υγροποιείται. Με συµπύκνωση των υδρατµών της ατµόσφαιρας σχηµατίζονται η οµίχλη και τα σύννεφα. Ενώ κατά την εξάτµιση θερµότητα µεταφέρεται από το περιβάλλον στο υγρό, κατά τη συµπύκνωση θερµότητα µεταφέρεται από τους ατµούς στο περιβάλλον. Γι' αυτό το λόγο όταν βρέχει ή χιονίζει η θερµοκρασία είναι πάντα λίγο πιο υψηλή. 4. Τι ονοµάζουµε ταχύτητα εξάτµισης και από ποιους παράγοντες εξαρτάται η ταχύτητα εξάτµισης ενός υγρού; Ταχύτητα εξάτµισης ονοµάζουµε το πηλίκο της µάζας του υγρού που εξατµίζεται σε κάποιο χρόνο προς το χρόνο αυτό και εκφράζει το πόσο γρήγορα ή αργά εξατµίζεται ένα υγρό. Η ταχύτητα εξάτµισης ενός υγρού εξαρτάται: Έναρξη υγροποίησης P
- 540. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 539 Α. Από την επιφάνεια του υγρού. Όσο µεγαλύτερη είναι η επιφάνεια ενός υγρού, τόσο πιο γρήγορα εξατµίζεται. Β. Από τη θερµοκρασία του υγρού. Όσο υψηλότερη είναι η θερµοκρασία ενός υγρού, τόσο εντονότερα κινούνται τα µόριά του και τόσο ευκολότερα διαφεύγουν από το υγρό. Γ. Από την ύπαρξη ρευµάτων και την υγρασία του αέρα. Τα µόρια που διαφεύγουν, δεν εγκαταλείπουν οριστικά το υγρό. Συχνά, συγκρούονται µε άλλα ίδια µόρια και επιστρέφουν στο υγρό. Με αυτό τον τρόπο η εξάτµιση γίνεται πιο αργά. Όταν λοιπόν ρεύµα αέρα παρασύρει µακριά από την επιφάνεια τα µόρια του υγρού που διαφεύγουν, η εξάτµιση γίνεται πιο γρήγορα. ∆. Από το είδος του υγρού. Σε κάποια υγρά, όπως το οινόπνευµα, η βενζίνη και ο αιθέρας, οι δυνάµεις µεταξύ των µορίων είναι ασθενείς. Έτσι, τα µόριά τους εύκολα διαφεύγουν από την επιφάνεια του υγρού. Τέτοια υγρά που εξατµίζονται γρήγορα ονοµάζονται πτητικά. Αµέσως µετά από ένα ζεστό µπάνιο, ο ατµοσφαιρικός αέρας πάνω από το λουτήρα περιέχει πολύ περισσότερους υδρατµούς απ' ό,τι ο αέρας στον υπόλοιπο χώρο του δωµατίου. Έτσι η εξάτµιση γίνεται πιο αργά. Όταν µετά το µπάνιο αποµακρυνόµαστε από το χώρο του λουτήρα η εξάτµιση γίνεται πιο γρήγορα λόγω έλλειψης υδρατµών. Όµως για να γίνει η εξάτµιση του νερού από το σώµα µας αυτό απορροφά θερµότητα απ’ το σώµα µας µε αποτέλεσµα να κρυώνουµε. Κατά την εξάτµιση τα µόρια τα οποία έχουν µεγαλύτερη κινητική ενέργεια άρα και µεγαλύτερη θερµοκρασία από τα υπόλοιπα διαφεύγουν, στο περιβάλλον µε αποτέλεσµα η θερµοκρασία του υγρού να ελαττώνεται. Η εξάτµιση λοιπόν είναι µια διαδικασία ψύξης. Προκειµένου να διατηρηθεί σταθερή η θερµοκρασία του υγρού που αποµένει, θα πρέπει θερµότητα να µεταφερθεί από το περιβάλλον σ' αυτό, όπως συµβαίνει και στο βρασµό. Μάλιστα η θερµότητα που απαιτείται για την εξάτµιση είναι µεγαλύτερη από την αντίστοιχη θερµότητα βρασµού. Για την εξάτµιση του νερού από τα ρούχα, τις λίµνες ή τους ωκεανούς, η απαιτούµενη θερµότητα προέρχεται από τον ήλιο.
- 541. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 540 Όταν ρίξουµε λίγο οινόπνευµα στο χέρι µας, αισθανόµαστε ψύχος. Πώς ερµηνεύεται αυτό το φαινόµενο; Καθώς το οινόπνευµα εξατµίζεται, η θερµοκρασία του ελαττώνεται και από το χέρι µας µεταφέρεται θερµότητα στο ψυχρότερο οινόπνευµα. Με συµπύκνωση των υδρατµών της ατµόσφαιρας σχηµατίζονται η οµίχλη και τα σύννεφα. Ενώ κατά την εξάτµιση θερµότητα µεταφέρεται από το περιβάλλον στο υγρό, κατά τη συµπύκνωση θερµότητα µεταφέρεται από τους ατµούς στο περιβάλλον. Γι' αυτό και είναι πάντα λίγο πιο υψηλή η θερµοκρασία όταν βρέχει ή χιονίζει παρά όταν δε συµβαίνει κάτι τέτοιο.
- 542. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 541 1) Κατά τη διάρκεια της τήξης ή του βρασµού, οι δοµικοί λίθοι του σώµατος διατηρούνται αναλλοίωτοι. ∆ε λιώνουν και δεν εξαερώνονται. Απλώς µεταβάλλεται ο τρόπος που κινούνται και αλληλεπιδρούν. ( ) 2) Το νερό θερµοκρασίας 0°C έχει µεγαλύτερη εσωτερική ενέργεια από ίση ποσότητα πάγου ίδιας θερµοκρασίας. Η διαφορά στην εσωτερική ενέργειά τους ισούται µε τη θερµότητα τήξης δηλαδή τη θερµότητα που προσφέραµε για να λιώσει ο πάγος. ( ) 3) Όταν σε πάγο ρίξουµε αλάτι, µεταξύ των µορίων του πάγου παρεµβάλλονται κρυσταλλάκια αλατιού. Οι δυνάµεις µεταξύ των µορίων του πάγου λοιπόν εξασθενούν και ο πάγος λιώνει σε υψηλότερη θερµοκρασία από 0 °C. ( ) 4) Όταν αυξάνουµε την πίεση τότε ο πάγος λιώνει σε θερµοκρασία µικρότερη από 0 0 C. ( ) 5) Ο βρασµός είναι ο µοναδικός τρόπος µε τον οποίο ένα υγρό γίνεται αέριο. ( ) 6) Κατά τη διάρκεια του χειµώνα και στις πολικές περιοχές το νερό των λιµνών και των ωκεανών σταµατάει να εξατµίζεται και έτσι δε συντηρείται ο κύκλος του νερού. ( ) 7) Όταν οι θερµοί υδρατµοί της ανάσας µας συναντούν το ψυχρό τζάµι, συµπυκνώνονται και σχηµατίζονται σταγονίδια νερού. ( )
- 543. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 542 8) Η θερµότητα που απαιτείται για την εξάτµιση είναι µεγαλύτερη από την αντίστοιχη θερµότητα βρασµού. ( ) 1) Κατά τη διάρκεια των αλλαγών κατάστασης, α) η δυναµική τους ενέργεια διατηρείται σταθερή. β) η εσωτερική ενέργεια του σώµατος µεταβάλλεται, επειδή µεταβάλλεται η συνολική δυναµική ενέργεια των δοµικών λίθων. γ)η εσωτερική ενέργεια του σώµατος παραµένει σταθερή. δ) η κινητική ενέργεια των δοµικών λίθων του σώµατος µεταβάλλεται. 2) Για το ίδιο υλικό η λανθάνουσα θερµότητα βρασµού είναι πάντοτε, α) ίση µε τη θερµότητας τήξης. β) µικρότερη από τη θερµότητας τήξης. γ) µεγαλύτερη από τη θερµότητας τήξης. δ) ανάλογη µε τη µάζα του. 3) κατά τη θέρµανση του λαδιού, α) Ο όγκος του µειώνεται. β) Η πυκνότητά του µειώνεται. γ) Η µάζα του αυξάνεται. δ) Η πυκνότητα του παραµένει σταθερή. 4) Όταν το νερό ψύχεται και γίνεται πάγος στους 0 0 C, α) ο όγκος του αυξάνεται γι’ αυτό το γυάλινο µπουκάλι που το περιέχει µπορεί να σπάσει. β) ο όγκος του µειώνεται και η πυκνότητά του αυξάνεται. γ) η µάζα του παραµένει σταθερή αλλά η πυκνότητά του αυξάνεται. δ) η µάζα του αυξάνεται γι’ αυτό το γυάλινο µπουκάλι που το περιέχει µπορεί να σπάσει. 5) Στη χύτρα ταχύτητας,
- 544. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 543 α) το νερό βράζει στους 120 °C, γιατί ο ατµός που εγκλωβίζεται ασκεί επιπλέον πίεση στην επιφάνεια του νερού. β) το νερό βράζει στους 100 0 C γιατί η θερµοκρασία βρασµού είναι σταθερή. γ) όσο η πίεση που ασκεί ο αέρας στο νερό είναι υψηλότερη, τόσο δυσκολότερα τα µόρια του νερού αποµακρύνονται µεταξύ τους. Έτσι, το νερό βράζει σε χαµηλότερη θερµοκρασία . ∆) το νερό βράζει στους 80 0 C άρα βράζει γρηγορότερα. 6) Στην κορυφή του όρους Κερκίνη, α) Η ατµοσφαιρική πίεση είναι µικρότερη άρα το φαγητό βράζει γρηγορότερα. β) Η ατµοσφαιρική πίεση είναι µικρότερη, άρα το σηµείο βρασµού του νερού είναι µικρότερο από 100 0 C και άρα το φαγητό βράζει πιο αργά. γ) το σηµείο βρασµού του νερού είναι 1000 C. δ)το σηµείο βρασµού του νερού είναι 1000 C γιατί είναι ανεξάρτητο της εξωτερικής πίεσης. 7) Συµπύκνωση ενός αερίου µπορούµε να πετύχουµε, α) µόνο µε ψύξη αυτού. β) µόνο µε συµπίεση αυτού. γ) και µε ψύξη και µε συµπίεση αυτού. δ) εξαιρετικά δύσκολα και µόνο σε πολύ χαµηλές πιέσεις. 8) Η ταχύτητα εξάτµισης ενός υγρού εξαρτάται: α. από την επιφάνεια του υγρού. β. από τη θερµοκρασία και το είδος του υγρού. γ. από την ύπαρξη ρευµάτων και την υγρασία του αέρα. δ. από όλα τα παραπάνω. 9) Όταν βρέχει ή χιονίζει, α) έχουµε συµπύκνωση οπότε θερµότητα µεταφέρεται από τους ατµούς στο περιβάλλον γι' αυτό και η θερµοκρασία είναι λίγο πιο υψηλή. β) έχουµε εξάτµιση και η θερµοκρασία «πέφτει». γ) θερµότητα µεταφέρεται από το περιβάλλον στις σταγόνες της βροχής ή το χιόνι. δ) η θερµοκρασία δε µεταβάλλεται.
- 545. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 544 1) Η αλλαγή κατάστασης συνοδεύεται και από µεταβολή της …………………..ενέργειας. Έτσι υδρατµοί στους 100 °C έχουν …………………. …………………. ενέργεια από ίση ποσότητα νερού ίδιας θερµοκρασίας. 2) Κατά την τήξη ενός στερεού ή την πήξη ενός υγρού, η µάζα του διατηρείται………………., ενώ ο όγκος του…………………….. 3) Ο πάγος έχει …………………..όγκο από ίση µάζα νερού ίδιας θερµοκρασίας, οπότε έχει ………………….πυκνότητα από το νερό και συνεπώς θα επιπλέει στο νερό. 4) Η εξάτµιση ενός υγρού γίνεται µόνο από την ελεύθερη ………………………..του υγρού και σε …………………………………….θερµοκρασία. 5) Η εξάτµιση είναι µια διαδικασία ……….............
- 546. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 545 ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Θερµότητα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ∆ΙΑ∆ΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 8.1 ∆ιάδοση θερµότητας µε αγωγή 1. Με πόσους τρόπους διαδίδεται η θερµότητα; Η θερµότητα διαδίδεται µε τρεις τρόπους. α) Με αγωγή β) Με ρεύµατα µεταφοράς και γ) Με ακτινοβολία. ∆ιάδοση θερµότητας µε αγωγή έχουµε και στις τρείς φυσικές καταστάσεις της ύλης στερεή, υγρή και αέρια. ∆ιάδοση θερµότητας µε ρεύµατα µεταφοράς έχουµε µόνο στα ρευστά (υγρά και αέρια), ενώ διάδοση θερµότητας µε ακτινοβολία έχουµε διαµέσου διαφανών σωµάτων όπως ο αέρας το γυαλί κ.λ.π. αλλά ακόµη και διαµέσου του κενού. Γενικά διάδοση θερµότητας µε ακτινοβολία µπορούµε να έχουµε και στα στερεά και στα υγρά αλλά και στα αέρια σώµατα. 2. Τι γνωρίζετε για τη διάδοση θερµότητας µε αγωγή; Κρατάµε µε το ένα χέρι ένα αναµµένο κερί και µε το άλλο το ένα άκρο µιας µεταλλικής βελόνας. Τοποθετούµε το άλλο άκρο της βελόνας πάνω από τη φλόγα ενός κεριού. Πολύ γρήγορα αισθανόµαστε το χέρι που κρατάει τη µεταλλική βελόνα να θερµαίνεται. Γνωρίζουµε ότι η θερµότητα µεταφέρεται πάντοτε από περιοχές
- 547. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 546 υψηλής προς περιοχές χαµηλότερης θερµοκρασίας. Θερµότητα µεταφέρεται από τη φλόγα δια µέσου της ράβδου στο χέρι µας. Ο τρόπος διάδοσης της θερµότητας από σηµείο σε σηµείο ενός στερεού και από περιοχές υψηλής προς περιοχές χαµηλότερης θερµοκρασίας, κατά τον οποίο δεν έχουµε µετακίνηση ύλης – µάζας, ονοµάζεται αγωγή της θερµότητας. Λέµε ότι στο εσωτερικό ενός στερεού ή όταν δύο σώµατα βρίσκονται σε επαφή, η θερµότητα διαδίδεται µε αγωγή. 3. Ποια σώµατα ονοµάζονται θερµικοί αγωγοί ή καλοί αγωγοί της θερµότητας και ποια ονοµάζονται θερµικοί µονωτές ή κακοί αγωγοί της θερµότητας; Η ταχύτητα µε την οποία διαδίδεται η θερµότητα δια µέσου ενός υλικού εξαρτάται από το είδος του υλικού. Τα µέταλλα χαρακτηρίζονται ως «καλοί αγωγοί της θερµότητας» ή θερµικοί αγωγοί. Ενώ άλλα στερεά σώµατα όπως το ξύλο, το γυαλί, τα πλαστικά, το χαρτί, ο φελλός, η πολυστερίνη ή το λίπος στο σώµα µας, έχουν µικρή ή πολύ µικρή θερµική αγωγιµότητα Αυτό σηµαίνει ότι η θερµότητα διαδίδεται µέσα από αυτά πολύ αργά. Τα χαρακτηρίζουµε λοιπόν ως «κακούς» αγωγούς της θερµότητας ή αλλιώς λέµε ότι είναι θερµικοί µονωτές. Γι' αυτό το λόγο, τα µαγειρικά σκεύη κατασκευάζονται από µέταλλο µε µεγάλη θερµική αγωγιµότητα, ενώ οι λαβές τους από υλικό που είναι µονωτής Τα περισσότερα υγρά εκτός από τον υδράργυρο (ο οποίος είναι µέταλλο), είναι κακοί αγωγοί της θερµότητας. Εκτός από τα υγρά πολύ κακοί αγωγοί της θερµότητας είναι και τα αέρια.
- 548. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 547 4. Γιατί αισθανόµαστε πιο κρύο το µεταλλικό σκελετό ενός θρανίου από την ξύλινη επιφάνεια, παρόλο που και τα δύο σώµατα έχουν την ίδια θερµοκρασία; Ο µεταλλικός σκελετός του θρανίου και η ξύλινη επιφάνειά του έχουν την ίδια θερµοκρασία. Τα µέταλλα, ωστόσο, είναι καλύτεροι αγωγοί της θερµότητας από το ξύλο. Όταν πιάνουµε το µεταλλικό σκελετό, µεταφέρεται γρήγορα θερµότητα από το χέρι µας προς αυτό. Αντίθετα, όταν πιάνουµε την ξύλινη επιφάνεια, η µεταφορά της θερµότητας γίνεται πολύ πιο αργά και η θερµοκρασία του χεριού µας παραµένει σχεδόν σταθερή. Έτσι, λόγω της διαφορετικής αγωγιµότητας και όχι λόγω διαφορετικής θερµοκρασίας, ξεγελιόµαστε νοµίζοντας ότι ο µεταλλικός σκελετός έχει µικρότερη θερµοκρασία από την ξύλινη επιφάνεια. 5. Πώς ερµηνεύεται η διάδοση της θερµότητας µε αγωγή; Οι δοµικοί λίθοι ενός σώµατος στην περιοχή που επικρατεί υψηλή θερµοκρασία, έχουν µεγαλύτερη κινητική ενέργεια. Συγκρούονται µε τους γειτονικούς (της γύρω περιοχής που έχει µικρότερη θερµοκρασία) και µεταφέρουν σε αυτούς ένα µέρος της κινητικής τους ενέργειας. Αυτοί µε τη σειρά τους µεταφέρουν ενέργεια στους γειτονικούς τους κτλ. Με τον τρόπο αυτό, µεταφέρεται ενέργεια δια µέσου του σώµατος από περιοχές µε υψηλότερη θερµοκρασία προς άλλες µε χαµηλότερη. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται, µέχρι όλες οι περιοχές να αποκτήσουν την ίδια θερµοκρασία. Οι δοµικοί λίθοι δε µετακινούνται από περιοχή σε περιοχή, όµως ένα µέρος της ενέργειάς τους µεταφέρεται. Αυτός ο τρόπος διάδοσης της θερµότητας είτε µέσα σε ένα σώµα είτε µεταξύ δύο σωµάτων που βρίσκονται σε επαφή, ονοµάζεται διάδοση µε αγωγή.
- 549. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 548 6. Γιατί τα µέταλλα εµφανίζουν µεγαλύτερη θερµική αγωγιµότητα από άλλα στερεά υλικά; ∆ιάδοση θερµότητας µε αγωγή γίνεται σε όλα τα υλικά µέσω των συγκρούσεων των δοµικών τους λίθων. Η διαφορά προέρχεται από το είδος των δοµικών λίθων. Ενώ οι θερµικοί µονωτές αποτελούνται µόνο από µόρια, στους δοµικούς λίθους των µετάλλων περιλαµβάνονται και ηλεκτρόνια που έχουν αποσπαστεί από τα άτοµα, τα οποία ονοµάζονται ελεύθερα. Τα ηλεκτρόνια έχουν πολύ µικρότερη µάζα από τα µόρια ή τα άτοµα και άρα είναι περισσότερο ευκίνητα. Με τις συγκρούσεις λοιπόν των ελεύθερων ηλεκτρονίων µεταξύ τους και µε τα άτοµα του µετάλλου, µεταφέρεται πιο γρήγορα η κινητική ενέργεια απ' ό,τι µε τις συγκρούσεις µεταξύ ατόµων ή µορίων. Εποµένως, η ύπαρξη των ελεύθερων ηλεκτρονίων είναι ο σηµαντικότερος παράγοντας διάδοσης της θερµότητας µε αγωγή στα µέταλλα. 8.2 ∆ιάδοση θερµότητας µε ρεύµατα 1. Τι γνωρίζετε για τη διάδοση της θερµότητας µε ρεύµατα µεταφοράς; Στα υγρά και τα αέρια η θερµότητα διαδίδεται κυρίως µε ρεύµατα µεταφοράς. Κατά τη µεταφορά αυτή ποσότητες υγρού αερίου θερµαίνονται και µεταφέρονται σε ψυχρότερη περιοχή όπου και προκαλούν τη θέρµανσή της. Όταν µια ποσότητα υγρού ή αερίου θερµαίνεται, τότε διαστέλλεται, οπότε η πυκνότητά της µειώνεται. Έτσι, κινείται προς τα πάνω και αντικαθίσταται από άλλη πυκνότερη και ψυχρότερη. ∆ηµιουργούνται, λοιπόν, ρεύµατα µεταφοράς θερµότητας.
- 550. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 549 Με τέτοια ρεύµατα µεταφοράς νερού, θερµότητα µεταφέρεται από το λέβητα της κεντρικής θέρµανσης στα θερµαντικά σώµατα. Στη συνέχεια, µε ρεύµατα µεταφοράς αέρα η θερµότητα διαδίδεται από το σώµα στο χώρο του δωµατίου και ζεσταίνεται το δωµάτιό µας. Ακόµη Το φαγητό ψήνεται στην κατσαρόλα µας λόγω των ρευµάτων µεταφοράς του νερού, που δηµιουργούνται καθώς αυτό συνεχώς θερµαίνεται. Τα τρόφιµα ψύχονται στο θάλαµο του ψυγείου Το σώµα µας θερµαίνεται µε τη ροή του αίµατος. Αλλά διάδοση θερµότητας µε ρεύµατα µεταφοράς έχουµε και σε φαινόµενα µεγάλης κλίµακας όπως είναι η κυκλοφορία του αέρα στην ατµόσφαιρα, που προκαλεί τους ανέµους και η µετακίνηση τεράστιων ποσοτήτων νερού στους ωκεανούς µε τα θαλάσσια ρεύµατα που ξεκινούν από τις θερµές τροπικές περιοχές ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Γνωρίζουµε ότι όταν η θερµότητα διαδίδεται µε αγωγή, τα µόρια του υλικού δε µετακινούνται από τη µια περιοχή στην άλλη. Αντιθέτως, όταν δηµιουργούνται ρεύµατα µεταφοράς, ύλη, δηλαδή µόρια, µετακινούνται από µία περιοχή που έχει υψηλή θερµοκρασία προς µια ψυχρότερη. Αυτό συνεχίζεται µέχρι όλο το υγρό ή το αέριο να αποκτήσει την ίδια θερµοκρασία. Αν εµποδίσουµε την κυκλοφορία του αέρα γύρω από ένα ζεστό αντικείµενο, τότε σχεδόν µηδενίζεται η µεταφορά θερµότητας από αυτό, µέσω ρευµάτων µεταφοράς. Αυτό επιτυγχάνεται µε την
- 551. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 550 επένδυση, λόγου χάρη, των σωλήνων µεταφοράς ζεστού νερού µε θερµοµονωτικά υλικά, µε τα µάλλινα ρούχα στο σώµα µας, µε τα φτερά και τα πούπουλα στα πουλιά κτλ. Αυτά τα υλικά παγιδεύουν µέσα σε µικρές κοιλότητες (πόρους), αέρα, αποτρέποντας τη δηµιουργία ρευµάτων µεταφοράς. Για αυτό και τα µάλλινα ρούχα µας «ζεσταίνουν» το χειµώνα. 8.3 ∆ιάδοση θερµότητας µε ακτινοβολία 1. Τι γνωρίζετε για τη διάδοση της θερµότητας µε ακτινοβολία; Για τη διάδοση της θερµότητας µε αγωγή ή ρεύµατα µεταφοράς είναι απαραίτητη η παρουσία ύλης. Η θερµότητα όµως µπορεί να διαδίδεται και διαµέσου του κενού. Ο τρόπος αυτός διάδοσης της θερµότητας ονοµάζεται διάδοση θερµότητας µε ακτινοβολία. Η ακτινοβολία είναι µια µορφή ενέργειας, που διαδίδεται µε ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Η ακτινοβολία µεταφέρει ενέργεια. Σώµατα που φωτοβολούν εκπέµπουν ενέργεια ακτινοβολίας που περιλαµβάνει τόσο φωτεινή ενέργεια όσο και θερµότητα. Όλα τα σώµατα, ανεξάρτητα από τη θερµοκρασία τους, εκπέµπουν και απορροφούν ακτινοβολία. Υπάρχουν όµως διαφορές στο είδος και στην ισχύ της ακτινοβολούµενης ενέργειας. Σε θερµοκρασίες του γήινου περιβάλλοντος, τα σώµατα εκπέµπουν ενέργεια ακτινοβολίας που περιλαµβάνει κυρίως θερµότητα. Σε θερµοκρασίες µεγαλύτερες από περίπου 500 °C η ενέργεια ακτινοβολίας που εκπέµπουν τα σώµατα συµπεριλαµβάνει και φωτεινή ενέργεια. Με αυτό τον τρόπο,
- 552. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 551 Μεταφέρεται θερµότητα από το αναµµένο τζάκι σε σώµατα που βρίσκονται απέναντι του. ( δε διαδίδεται µε αγωγή, διότι ο αέρας του δωµατίου είναι µονωτής, ούτε όµως µε ρεύµατα µεταφοράς, διότι το ζεστό ρεύµα αέρα δηµιουργείται πάνω και όχι απέναντι από τα θερµαντικά σώµατα). Μεταφέρεται θερµότητα από τον ήλιο στη γη µέσω του κενού διαστήµατος. Αλλά και η σόµπα, η πλάκα του αναµµένου σίδερου σιδερώµατος, το σώµα του καλοριφέρ, ακόµα και το ανθρώπινο σώµα ακτινοβολούν. Από τα σώµατα αυτά η διάδοση της θερµότητας γίνεται µε ακτινοβολία, η οποία όµως δεν είναι ορατή. Γενικά, µια ακτινοβολία µπορεί να είναι ορατή ή αόρατη. 2. Τι γνωρίζετε για την εκποµπή και την απορρόφηση ακτινοβολίας; Όλα τα σώµατα εκπέµπουν διαρκώς προς το περιβάλλον τους θερµότητα µε τη µορφή ακτινοβολίας. Συγχρόνως απορροφούν διαρκώς θερµότητα µε τη µορφή ακτινοβολίας από το περιβάλλον τους. Όταν η θερµοκρασία του σώµατος είναι ίση µε τη θερµοκρασία του περιβάλλοντος, τότε η ενέργεια (θερµότητα) που ακτινοβολεί προς το περιβάλλον του κάθε δευτερόλεπτο, είναι ίση µε την ενέργεια που απορροφά µε ακτινοβολία από αυτό στον ίδιο χρόνο. Έτσι, η θερµική ενέργεια του σώµατος, άρα και η θερµοκρασία του, διατηρείται σταθερή. Όταν η θερµοκρασία του σώµατος είναι µεγαλύτερη από τη θερµοκρασία του περιβάλλοντος, τότε ακτινοβολεί περισσότερη ενέργεια από όση απορροφά. Εποµένως, η θερµική του ενέργεια, άρα και η θερµοκρασία του, ελαττώνεται. Η διαδικασία συνεχίζεται µέχρις ότου η θερµοκρασία του σώµατος εξισωθεί µε τη θερµοκρασία του περιβάλλοντος. Ένας λαµπτήρας πυράκτωσης που φωτοβολεί, έχει σταθερή θερµοκρασία, µεγαλύτερη από τη θερµοκρασία του αέρα που τον περιβάλλει. Πώς συµβαίνει αυτό;
- 553. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 552 Για να διατηρείται η θερµοκρασία του λαµπτήρα σταθερή, στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει κάποια άλλη µορφή ενέργειας να µετατρέπεται σε θερµική ενέργεια του λαµπτήρα. Η θερµική του ενέργεια διατηρείται σταθερή λόγω της συνεχούς µετατροπής της ηλεκτρικής ενέργειας σε θερµική. Παρόµοια, ο πολύ θερµός ήλιος ακτινοβολεί διαρκώς ενέργεια προς το ψυχρό διάστηµα και η θερµοκρασία του διατηρείται σταθερή. Αυτό συµβαίνει, διότι στο εσωτερικό του πυρηνική ενέργεια µετατρέπεται σε θερµική. 3. Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η ποσότητα της ενέργειας που ακτινοβολεί ένα σώµα κάθε δευτερόλεπτο; Το ποσό της ενέργειας που ένα σώµα ακτινοβολεί ανά δευτερόλεπτο, δηλαδή η ισχύς της ακτινοβολούµενης ενέργειας, εξαρτάται από: 1. Τη θερµοκρασία του σώµατος. Όσο υψηλότερη είναι η θερµοκρασία ενός σώµατος, τόσο µεγαλύτερη είναι η ισχύς της ακτινοβολούµενης ενέργειας 2. Το εµβαδόν της επιφάνειας του σώµατος. Όσο µεγαλύτερη είναι η επιφάνειά του σώµατος, τόσο µεγαλύτερη είναι και η ισχύς της ακτινοβολούµενης ενέργειας. 3. Την υφή της επιφάνειας. Οι τραχιές επιφάνειες εκπέµπουν θερµότητα µε ακτινοβολία εντονότερα από τις λείες. 4. Το χρώµα της επιφάνειας του σώµατος. Οι σκουρόχρωµες επιφάνειες εκπέµπουν θερµότητα µε ακτινοβολία εντονότερα από τις ανοιχτόχρωµες. Από τους ίδιους παράγοντες και ακριβώς µε τον ίδιο τρόπο εξαρτάται και η ισχύς της ενέργειας που απορροφάται από ένα σώµα. Γι' αυτό τις καλοκαιρινές ηµέρες φοράµε συνήθως ανοιχτόχρωµα ρούχα, τα οποία απορροφούν µικρότερη ποσότητα θερµότητας που διαδίδεται από τον ήλιο. 4. Πως µεταφέρεται η ενέργεια ακτινοβολίας; Η ενέργεια ακτινοβολίας µεταφέρεται µε τα φωτόνια. Κάθε φωτόνιο µεταφέρει ορισµένη ποσότητα ενέργειας. Η ενέργεια των φωτονίων µιας ακτινοβολίας καθορίζει και το είδος της. Για παράδειγµα, κάθε
- 554. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 553 φωτόνιο της φωτεινής ενέργειας έχει µεγαλύτερη ενέργεια από κάθε φωτόνιο της ενέργειας ακτινοβολίας µε την οποία διαδίδεται η θερµότητα. Τα σώµατα εκπέµπουν διάφορα είδη ακτινοβολίας, δηλαδή εκπέµπουν µείγµα φωτονίων διαφορετικής ενέργειας. Όσο υψηλότερη είναι η θερµοκρασία ενός σώµατος, τόσο µεγαλύτερη και η ενέργεια των φωτονίων που εκπέµπει. Τα φωτόνια τα οποία, όταν απορροφώνται από το δέρµα µας, προκαλούν το αίσθηµα της ζέστης, λέµε ότι ανήκουν στην υπέρυθρη ακτινοβολία. Η θερµότητα διαδίδεται κυρίως µε την υπέρυθρη ακτινοβολία.
- 555. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 554 1) Η θερµότητα διαδίδεται άλλοτε από περιοχές υψηλότερης προς περιοχές χαµηλότερης θερµοκρασίας και άλλοτε το αντίθετο. ( ) 2) Όταν αφήνουµε ανοικτή την πόρτα του σπιτιού µας µια χειµωνιάτικη µέρα τότε µέσα στο ζεστό σπίτι µπαίνει «κρύο». ( ) 3) Τα µέταλλα έχουν µεγάλη θερµική αγωγιµότητα, ενώ τα πλαστικά πολύ µικρή. ( ) 4) Θέρµανση - ψύξη µε αγωγή έχουµε στις περιπτώσεις που δύο σώµατα µε διαφορετική θερµοκρασία βρίσκονται σε επαφή µεταξύ τους. ( ) 5) Κατά την επαφή δυο σωµάτων που βρίσκονται σε διαφορετική θερµοκρασία µεταφέρεται θερµότητα από το σώµα που βρίσκεται σε υψηλή θερµοκρασία στο σώµα που βρίσκεται σε χαµηλή θερµοκρασία. ( ) 6) Η ύπαρξη των ελεύθερων ηλεκτρονίων είναι ο σηµαντικότερος παράγοντας διάδοσης της θερµότητας µε αγωγή στα µέταλλα. ( ) 7) Η ψύξη του φαγητού όταν κλείσουµε το µάτι της κουζίνας γίνεται µε ρεύµατα µεταφοράς. ( ) 8) Όταν δηµιουργούνται ρεύµατα µεταφοράς, µόρια, µετακινούνται από µία περιοχή που έχει υψηλή θερµοκρασία προς µια ψυχρότερη µέχρι όλο το υγρό ή το αέριο να αποκτήσει την ίδια θερµοκρασία. ( ) 9) Τα σώµατα που βρίσκονται σε υψηλότερη θερµοκρασία ακτινοβολούν ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία σε διάφορα µήκη κύµατος. ( )
- 556. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 555 10) Μια σκουρόχρωµη επιφάνεια θερµαίνεται πιο γρήγορα αλλά και ψύχεται πιο γρήγορα από µια ανοιχτόχρωµη επιφάνεια. ( ) 1) Όταν πιάνουµε το µεταλλικό σκελετό ενός τραπεζιού, α) τότε µεταφέρεται αργά θερµοκρασία από το χέρι µας προς αυτό. β) η µεταφορά της θερµότητας γίνεται πολύ αργά και η θερµοκρασία του χεριού µας παραµένει σχεδόν σταθερή. γ) λόγω της µεγάλης αγωγιµότητας του µετάλλου µεταφέρεται γρήγορα θερµότητα από το χέρι µας προς αυτό. δ) λόγω διαφορετικής θερµοκρασίας, ο µεταλλικός σκελετός έχει µικρότερη θερµοκρασία από την ξύλινη επιφάνεια του τραπεζιού. 2) Η Θέρµανση - ψύξη ενός σώµατος γίνεται: α) µόνο µε αγωγή. β) µόνο µε ρεύµατα µεταφοράς. γ)µόνο µε ακτινοβολία. δ) µε όλους τους παραπάνω τρόπους. 3) Κατά την επαφή δυο σωµάτων που βρίσκονται σε διαφορετική θερµοκρασία: α) µεταφέρεται θερµότητα από το σώµα που βρίσκεται σε υψηλή θερµοκρασία στο σώµα που βρίσκεται σε χαµηλή θερµοκρασία. β) έχουµε πάντα θερµική ισορροπία. γ) δεν µεταφέρεται θερµότητα. δ) µεταφέρεται αυθόρµητα θερµότητα από το ψυχρότερο στο θερµότερο σώµα. 4) Κάθε µάλλινο, πουλόβερ ή κουβέρτα, α) είναι πηγή θερµότητας.
- 557. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 556 β) είναι µονωτής και εµποδίζει τη θερµική ενέργεια να διαφύγει πολύ γρήγορα προς το περιβάλλον. γ) έχει µεγάλη αγωγιµότητα. δ) απορροφά θερµότητα. 5) Στα συστήµατα κεντρικής θέρµανσης των πολυκατοικιών µεταφέρονται ποσά θερµότητας από το λέβητα του καλοριφέρ στα διαµερίσµατα, µέσω του νερού που κυκλοφορεί στο σύστηµα σωληνώσεων άρα έχουµε θέρµανση: α) µε ακτινοβολία. β) µε ρεύµατα µεταφοράς. γ) µε αγωγή. δ) µε τίποτα από τα παραπάνω. 6) Κατά τη θέρµανση ή την ψύξη µε ακτινοβολία, α) απαραίτητη προϋπόθεση είναι η διαµεσολάβηση κάποιου υλικού µέσου. β) η ενέργεια µεταφέρεται από το ένα σώµα στο άλλο χωρίς να έχουµε εκποµπή ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. γ) τα σώµατα δεν µπορούν να θερµανθούν µε ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία. δ) χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η θέρµανση της γης από τον ήλιο µέσω της ορατής (φως) και της αόρατης, δηλαδή της υπεριώδους και της υπέρυθρης ακτινοβολίας. 7) Όταν η θερµοκρασία του σώµατος είναι ίση µε τη θερµοκρασία του περιβάλλοντος, α) τότε το σώµα δεν ακτινοβολεί ενέργεια. β) τότε η ενέργεια (θερµότητα) που ακτινοβολεί το σώµα προς το περιβάλλον του κάθε δευτερόλεπτο, είναι ίση µε την ενέργεια που απορροφά µε ακτινοβολία από αυτό στον ίδιο χρόνο. γ) η θερµική ενέργεια του σώµατος, µειώνεται. δ) το σώµα δεν διαθέτει ενέργεια. 8) Κατά τη λειτουργία του ηλεκτρικού λαµπτήρα πυράκτωσης τα σώµατα που βρίσκονται γύρω από αυτόν θερµαίνονται διότι: α) ο λαµπτήρας ακτινοβολεί φως. β) ο λαµπτήρας βρίσκεται σε επαφή µε τον αέρα και τον θερµαίνει.
- 558. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 557 γ) ρεύµατα µεταφοράς του αέρα µεταφέρουν τη θερµότητα στα ψυχρότερα µέρη του χώρου. δ) µε όλους τους παραπάνω τρόπους. 9) Ο κύριος στη φωτογραφία θερµαίνεται, α) µε ακτινοβολία. β) µε ρεύµατα µεταφοράς. γ) µε αγωγή. δ) δε θερµαίνεται. 10) Μεγαλύτερη ενέργεια έχουν, α) τα κόκκινα φωτόνια. β) τα µπλε φωτόνια. γ) τα φωτόνια της υπέρυθρης ακτινοβολίας. δ) κανένα από τα παραπάνω, γιατί η ενέργεια ακτινοβολίας δε µεταφέρεται µε φωτόνια. 1) Το νερό, ο πάγος και το χιόνι σε σύγκριση µε τα µέταλλα συµπεριφέρονται σαν …………………... 2) Θέρµανση - ψύξη µε ………………………. έχουµε στις περιπτώσεις που δύο σώµατα µε διαφορετική θερµοκρασία βρίσκονται σε επαφή µεταξύ τους. Τότε θερµότητα από το σώµα που βρίσκεται σε ………………………. θερµοκρασία µεταφέρεται στο σώµα που βρίσκεται σε ……………………………… θερµοκρασία. 3) Στη Θέρµανση - ψύξη µε µεταφορά, οι ζεστές αέριες µάζες, δηλαδή ο ζεστός άνεµος, προερχόµενος από µια περιοχή µε …………………………….
- 559. Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 558 θερµοκρασία θερµαίνει µιαν άλλη που έχει ………………………… θερµοκρασία. Με τον ίδιο επίσης τρόπο στα συστήµατα κεντρικής θέρµανσης των πολυκατοικιών µεταφέρονται ποσά ……………………………………. από το λέβητα του καλοριφέρ στα διαµερίσµατα, µέσω του νερού που κυκλοφορεί στο σύστηµα σωληνώσεων. 4) Τα µάλλινα ρούχα παγιδεύουν µέσα σε µικρές κοιλότητες (πόρους), αέρα, αποτρέποντας τη δηµιουργία ……………… µεταφοράς. Για αυτό και τα µάλλινα ρούχα µας «ζεσταίνουν» το χειµώνα. 5) Για τη θέρµανση ή την ψύξη µε ακτινοβολία δεν είναι προϋπόθεση η διαµεσολάβηση κάποιου …………………….. µέσου. Η ενέργεια µεταφέρεται από το ένα σώµα στο άλλο µέσω ……………………………… ακτινοβολίας ακόµα και στο κενό. 6) Η ενέργεια ακτινοβολίας περιλαµβάνει τόσο ……………….. ενέργεια όσο και ……………... 7) Η θερµότητα διαδίδεται κυρίως µε την …………………. ακτινοβολία
- 560. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1) (Σ) 2) (Σ) 3) (Λ) 4) (Σ) 5) (Σ) 6) (Λ) 7) (Σ) 8) (Σ) 9) (Λ) 10) (Σ) 1) δ. 2) δ 3) α) 4) α) 5) γ) 6) δ) 7) α) 8) β) 9 ) Α) 10) γ) 11) δ) 12) δ) 13) δ) 14) γ) 1) φαινόµενα. 2) φυσικό 3) πείραµα 4) φυσικά 5) σύγκρισή, οµοειδές, µονάδα, αριθµητική 6) 10-8 7) ίσα, περίοδος 8) 4 3 π⋅r3. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Μηχανική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΙΝΗΣΕΙΣ 2.1 Περιγραφή της κίνησης 1)) (Σ)2) (Λ)3) (Σ)4) (Λ) 5) (Λ)6) (Σ)7) (Σ)8) (Σ)9) (Σ)10) (Λ)11) (Λ)12) (Λ) 13) (Σ) 1)β) 2