Statistics 06
- 1. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 36 ้ 6. การวัดการกระจายของข้อมูล Measures of Dispersion การวัดการกระจาย (Measures of Dispersion) เป็นสถิติประเภทหนึ่งที่คํานวณออกมาเป็นตัวเลข เพื่อใช้ อธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูล การที่ข้อมูลชุดหนึ่งๆ ประกอบด้วยคะแนนที่มีค่าต่างๆ กันเราเรียกว่า เป็นข้อมูลที่มี การกระจาย ถ้าข้อมูลชุดนั้นประกอบด้วยคะแนนที่มีค่าต่างกันมาก เรียกว่า เป็นข้อมูลที่มีกระจายมาก ถ้าข้อมูลชุดนั้น ประกอบด้วยคะแนนที่มีค่าต่างกันน้อย เรียกว่า เป็นข้อมูลที่มีการกระจายน้อย และถ้าข้อมูลชุดนั้นประกอบด้วยคะแนนที่มี ค่าเท่ากันหมด เรียกว่า เป็นข้อมูลที่ไม่มีการกระจาย ดังตัวอย่าง ตารางที่ 1 แสดงข้อมูลซึ่งมีการกระจายต่างกัน ข้อมูลชุดที่ คะแนนในชุดข้อมูล ลักษณะการกระจาย 1 7 10 35 70 100 มีการกระจายมาก 2 50 58 60 61 67 มีการกระจายน้อย 3 30 30 30 30 30 ไม่มีการกระจาย การวัดการกระจายนิยมใช้ควบคู่กับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง เพราะจะช่วยอธิบายลักษณะของข้อมูลได้ ชัดเจนขึ้น ทั้งนี้ เนื่องจากการวัดแนวโน้มเข้าสู่กลางเป็นเพียงการบอกค่ากลางของข้อมูลชุดนั้น แต่เราก็ยังไม่ทราบชัดเจนถึง ลักษณะการกระจายของข้อมูลว่าคะแนนต่างๆ ในชุดข้อมูลนั้นมีค่าใกล้เคียงกัน หรือแตกต่างกันมาก ถ้าเรามีทั้งค่าแนวโนม้ เข้าสู่สวนกลางและค่าการกระจายก็จะทําให้เข้าใจลักษณะข้อมูลนั้นได้ชัดเจนขึ้นมากกว่ามีแต่ค่าแนงโน้มเข้าสู่ส่วนกลางเพียง ่ อย่างเดียว ตัวอย่างเช่น นักเรียน 2 กลุ่ม ได้รับการทดสอบก่อนเรียนในวิชาเดียวกัน ด้วยข้อสอบชุดเดียวกัน ผลปรากฏว่า คะแนนทดสอบของทั้ง 2 กลุ่มมีค่าเฉลี่ย (Mean) 40 คะแนนเท่ากัน ถ้าผู้สอนทราบเพียงว่า นักเรียน 2 กลุ่มทําแบบทดสอบก่อนเรียน ได้ค่าเฉลี่ยเท่ากัน คือ 40 คะแนน ก็จะเข้าใจ เพียงว่านักเรียน 2 กลุ่มนี้มีความรู้พื้นฐานพอๆ กัน แต่จะไม่ทราบว่าการกระจายของคะแนนหรือความรู้พื้นฐานของ นักเรียนแต่ละกลุ่มเป็นอย่างไร นักเรียนแต่ละกลุ่มมีความรู้พื้นฐานแตกต่างกันมากน้อยเพียงไรลองพิจารณาข้อมูลคะแนนใน แต่ละกลุ่มดังต่อไปนี้ กลุ่ม ก 45 31 60 54 21 28 41 (Mean = 40) กลุ่ม ข 39 45 30 41 32 50 43 (Mean = 40) เมื่อพิจารณาอย่างคร่าว ๆ จะพบว่า ในกลุ่ม ก คะแนนแตกต่างกันมากกว่ากลุ่ม ข นั่นคือ นักเรียนในกลุ่ม ก มีความรู้พื้นฐานแตกต่างกันมากกว่ากลุ่ม ข ช่วยให้ผู้สอนเข้าใจถึงความแตกต่างของความรู้พื้นฐานของ นักเรียนในแต่ละกลุ่มว่าต่างกัน กลุ่ม ก นักเรียนมีความรู้พื้นฐานแตกต่างกันมากกว่า ในกลุ่ม ข ซึ่งจะเป็นประโยชน์ใน การจัดการเรียนการสอนต่อไป จะเห็นได้ว่า การทราบเพียงค่าแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางเพียงอย่างเดียวก็อาจอธิบายลักษณะของข้อมูลได้ไม่ สมบูรณ์ ถ้าทราบลักษณะการกระจายด้วยก็จะช่วยให้เข้าใจเกี่ยวกับข้อมูลละเอียดขึ้น และเป็นประโยชน์มาก การวัดการกระจายของข้อมูล แบ่งได้เป็น 2 วิธี คือ 1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) คือการวัดการกระจายของข้อมูลเพียงชุดเดียว เพื่อดู ว่าข้อมูลชุดนั้นแต่ละค่ามีความแตกต่างกันมากหรือน้อยเพียงไร นิยมใช้กันอยู่ 4 ชนิด คือ พิสัย (range) ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (quartile deviation) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (mean deviation หรือ average deviation) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 2. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 37 ้ 2. การวัดการกระจายสัมพัทธ์ (Relative Variation) คือการวัดการกระจายของข้อมูลที่มากกว่า 1 ชุด โดย ใช้อัตราส่วนของค่าที่ได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์ กับค่ากลางของข้อมูลนั้นๆ เพื่อใช้ในการเปรียบเทียบการกระจาย ของข้อมูลเหล่านั้น มีอยู่ 4 ชนิด คือ สัมประสิทธิ์ของพิสัย (coefficient of range) สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (coefficient of quartile deviation) สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (coefficient of average deviation) สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน (coefficient of variation) 6.1 การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) พิสัย (Range) เป็นค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยการหาความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ําสุดของข้อมูลชุดใดชุด หนึ่ง ซึ่งอาจอยู่ในรูปของค่าผลต่างระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ําสุดหรืออยู่ในรูปช่วงคะแนนจากค่าต่ําสุดถึงค่าสูงสุด นับเป็น วิธีการกระจายอย่างคร่าวๆ และง่ายที่สุด เนื่องจากคะแนนเพียง 2 ค่า เท่านั้นในการคํานวณ คือค่าสูงสุดและค่าต่ําสุด คะแนนค่าอื่นๆ ไม่ได้นาเอามาใช้เลย ํ ถ้าพิสยมีค่ามากแสดงว่ามีการกระจายมาก ถ้าพิสัยมีค่าน้อยแสดงว่ามีการกระจายน้อย ั การวัดการกระจายด้วยค่าพิสัย มักใช้ควบคู่กับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางด้วยค่าฐานนิยม (Mode) หรืออาจ ใช้ควบคู่กับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางวิธีอื่นๆ ในกรณีที่มีข้อมูลจํานวนน้อยหรือเมื่อต้องการทราบการกระจายอย่าง คร่าวๆ โดยรวดเร็ว วิธีการหาค่าพิสัย กรณีของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ ใช้สูตร พิสัย = ค่าสูงสุด ค่าต่ําสุด หรือ Range = x max x min กรณีของข้อมูลที่แจกแจงความถี่โดยแบ่งเป็นอัตราภาคชั้น ใช้สูตร พิสัย = ขอบเขตบนของอันตรภาคชั้นที่มีข้อมูลที่มีค่าสูงสุด ขอบเขตล่างของอันตรภาคชั้นที่มข้อมูลที่มีค่าต่ําสุด ี ตัวอย่างที่ 42 จงหาพิสัยของข้อมูลคะแนนทดสอบความรู้พื้นฐานก่อนเรียนวิชาสิถิตของนักเรียน 2 กลุ่มดังต่อไปนี้ กลุ่ม ก 45 31 60 54 21 28 41 กลุ่ม ข 39 45 30 41 32 50 43 ตัวอย่างที่ 43 จงหาพิสัยของข้อมูลต่อไปนี้ คะแนน จํานวนนักเรียน 30 39 8 40 49 10 50 59 12 60 69 45 70 79 50 80 89 20 90 99 5 Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 3. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 38 ้ ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quartile deviation : Q.D.) เป็นค่าที่ใช้วัดการกระจายข้อข้อมูลรอบๆ ค่ามัธยฐาน (Median) ซึ่งมีคาเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างระหว่างควอไทล์ที่ 3 กับควอไทล์ที่ 1 ถ้าส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์มีค่ามากแสดงว่า ่ มีการกระจายมากถ้าส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์มีค่าน้อยแสดงว่ามีการกระจายน้อย วิธีการหาค่าส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ Q3Q1 ใช้สูตร Q.D. = 2 จากสูตรจะเห็นได้ว่าค่า Q.D. แสดงถึงการกระจายของคะแนนว่าห่างจากมัธยฐาน (Median) ซึ่งเป็นค่าตําแหน่ง กึ่งกลางของชุดข้อมูลมากน้อยเพียงไร จึงมักใช้ควบคู่กันกับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางด้วยค่ามัธยฐาน ตัวอย่างที่ 44 จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์กรณีข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่ 60 31 25 80 77 52 39 45 68 74 ตัวอย่างที่ 45 จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ของข้อมูลต่อไปนี้ ชั้นคะแนน ความถี่ บอบเขต ความถี่สะสม 93 97 8 88 92 9 83 87 7 78 82 4 73 77 7 68 72 5 63 67 4 58 62 2 53 57 2 48 52 2 Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 4. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 39 ้ แบบฝึกทักษะ 6.1 1. กําหนดข้อมูล 9 14 6 8 5 12 8 6 8 11 9 จงหาพิสัย และส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ 2. จงหาพิสัยและส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ของข้อมูลต่อไปนี้ ตารางต่อไปนี้แสดงคะแนนของนักเรียน คะแนน จํานวนนักเรียน 10 14 2 15 24 3 25 34 6 35 44 5 45 54 4 Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 5. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 40 ้ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean deviation : M.D.) เป็นค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลรอบๆ ค่าเฉลี่ย (Mean) โดยการหาค่าเฉลี่ยของผลรวมของผลต่างระหว่างคะแนนแต่ละตัวกับค่าเฉลี่ย ถ้าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยมีค่ามากแสดงว่ามีการ กระจายมาก ถ้าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยมีค่าน้อยแสดงว่ามีการกระจายน้อย วิธีการหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ข้อมูลไม่ไดแจกแจงความถี่ ข้อมูลแจกแจงความถี่ N k x i åf i xi - m M .D. i 1 M .D. = i =1 N N (ข้อมูลระดับตัวอย่างยังคงใช้สูตรทํานองเดียวกัน) ตัวอย่างที่ 46 จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ของข้อมูลดังต่อไปนี้ 4 12 7 6 11 ตัวอย่างที่ 47 จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลต่อไปนี้ ชั้นคะแนน ความถี่ ( fi ) จุดกึ่งกลาง ( x i ) xi x fi x i 93 97 8 88 92 9 83 87 7 78 82 4 73 77 7 68 72 5 63 67 4 58 62 2 53 57 2 48 52 2 เนื่องจากการหาค่า M.D. ไม่คํานึงถึงเครื่องหมายของผลต่างระหว่างคะแนนแต่ละตัวกับค่าเฉลี่ยแต่เป็นค่าสัมบูรณ์ (Absolute value) ซึ่งไม่เหมาะกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ต่อไป จึงไม่เป็นที่นิยมใช้และมีผู้คิดวัดการกระจายที่ เหมาะสมมากกว่าขึ้นมา คือ วิธีการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งจะได้กล่าวถึงในหัวข้อต่อไป Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 6. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 41 ้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : S.D.) เป็นการวัดการกระจายของคะแนนรอบๆ ค่าเฉลี่ย (Mean) คล้ายๆ กับส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย แต่แก้ปัญหาค่าสัมบูรณ์โดยใช้วิธียกกําลังสอง ค่าผลต่างระหว่างคะแนนแต่ละตัว กับค่าเฉลี่ย ทําให้เครื่องหมายลบหมดไปเมื่อหาค่าเฉลี่ยของผลรวม กรณีข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่ มีสูตรดังนี้ ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร แทนด้วย ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง แทนด้วย s N n (x i )2 (x i x )2 i 1 s i 1 N n 1 จะเห็นได้ว่า ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานก็คือรากที่สองของความแปรปรวน เขียนเป็นสูตรได้ ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน2 = ความแปรปรวน ดั้งนั้นถ้าทราบความแปรปรวนของข้อมูลแล้ว จะสามารถหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ โดยการถอดรากที่สองของความแปรปรวนนั้น เขียนเป็นสูตรในรูปสัญลักษณ์ได้ดังนี้ 2 หรือ s s2 ในทางกลับกันถ้าทราบค่าส่วนเบี่ยงเบนมาจรฐานแล้ว จะสามารถหาค่าความแปรปรวนได้ โดยการยกกําลังสอง ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้น ส่วนสูตรในการคํานวณหาค่าความแปรปรวนและค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งเป็นสูตรที่อยู่ในรูปคะแนน เบี่ยงเบน (ผลต่าง) ตามนิยามที่กล่าวมาข้างต้นเขียนสรุปได้ดงต่อไปนี้ ั สําหรับประชากร ความแปรปรวน ส่วนเบียงเบนมาตรฐาน ่ กรณีข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่ สูตรในรูปคะแนนเบี่ยงเบน 2 x 2 x 2 N N สูตรที่อยู่ในรูปคะแนนดิบ 2 x N 2 2 x 2 2 N กรณีข้อมูลแจกแจงความถี่ สูตรในรูปคะแนนเบี่ยงเบน 2 f x 2 f x 2 N N สูตรที่อยู่ในรูปคะแนนดิบ 2 fx N 2 2 fx 2 2 N สําหรับตัวอย่าง ความแปรปรวน ส่วนเบียงเบนมาตรฐาน ่ กรณีข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่ สูตรในรูปคะแนนเบี่ยงเบน s2 x x 2 x x 2 n 1 s n 1 สูตรที่อยู่ในรูปคะแนนดิบ s n 1 2 x 2 nx 2 s x 2 nx 2 n 1 กรณีข้อมูลแจกแจงความถี่ สูตรในรูปคะแนนเบี่ยงเบน s2 f x x 2 f x x 2 n 1 s n 1 สูตรที่อยู่ในรูปคะแนนดิบ s2 2 fx nx n 1 2 s 2 fx nx 2 n 1 Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 7. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 42 ้ ตัวอย่างที่ 48 จงหาค่าความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาสถิติเพื่อการวิจัย ของนักเรียนกลุ่มตัวอย่างจํานวน 10 คน ซึ่งมีค่าดังต่อไปนี้ 87 61 75 77 85 92 83 73 65 58 วิธีทํา ก. สูตรในรูปคะแนนเบี่ยงเบน วิธีทํา ข. สูตรในรูปคะแนนดิบ ตัวอย่างที่ 49 ครูวิทยาศาสตร์ทานหนึ่ง ่ ต้องการทราบความสามารถในการใช้อุปกรณ์การทดลอง วิทยาศาสตร์ของ นักเรียนห้องหนึง จึงสุ่มตัวอย่างนักเรียนมา 25 คน และวัดความสามารถในการทดลองวิทยาศาสตร์ของ ่ นักเรียนแต่ละคน คะแนนที่ได้นํามาแจกแจงความถี่ได้ดังต่อไปนี้ จงคํานวณหาความแปรปรวนและส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนความสามารถในการใช้อุปกรณ์การทดลองวิทยาศาสตร์ของนักเรียนห้องนี้ ชั้นคะแนน ความถี่ 79 81 2 76 78 3 73 75 4 70 72 7 67 69 5 64 66 2 61 63 1 รวม 25 Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 8. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 43 ้ แบบฝึกทักษะ 6.2 1. กําหนดข้อมูลประชากร 9 14 6 8 5 12 8 6 8 11 9 จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2. จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของข้อมูลประชากรต่อไปนี้ ตารางต่อไปนี้แสดงคะแนนของนักเรียน คะแนน จํานวนนักเรียน 10 14 2 15 24 3 25 34 6 35 44 5 45 54 4 Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 9. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 44 ้ จะเห็นได้ว่าการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้นมีการคํานวณที่ยุ่งยาก และหลายขั้นตอน นอกจากสูตรดังกล่าวแล้ว เราสามารถหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสําหรับประชากรโดยวิธีทอนค่าของข้อมูล ดังนี้ I N I N d 2 2 2 f (d d ) fd หรือ ตัวอย่างที่ 50 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยวิธีทอนค่าของข้อมูลประชากรต่อไปนี้ ชั้นคะแนน ความถี่ 79 81 2 76 78 3 73 75 4 70 72 7 67 69 5 64 66 2 61 63 1 รวม 25 ตัวอย่างที่ 51 จงหาสูตรเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยวิธีทอนค่าสําหรับข้อมูลระดับตัวอย่าง โจทย์ท้าทาย การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อกําหนดค่ากลางอื่นๆ มาให้ 10 10 ตัวอย่างที่ 52 ข้อมูลประชากรชุดหนึ่ง ถ้า x i 1 i 60 และ (x i i 1 5)2 46 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 10. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 45 ้ N 2 (xi 30) ตัวอย่างที่ 53 ข้อมูลชุดหนึ่งมี N ตัว มี i 1 N 30 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 33 จงหาความแปรปรวนของ ข้อมูลชุดนี้ การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด ตัวอย่างที่ 54 ข้อมูลประชากรชุดหนึ่งมี 100 ตัว หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ 9 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ 5 แต่เมื่อนํามา ทบทวนภาพหลังพบว่าสิ่งที่คํานวณนั้นผิด เพราะผู้ทําการคํานวณอ่านข้อมูลผิดไป 1 ตัว คือ จาก 1.0 อ่าน เป็น 10 ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิคและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องเป็นเท่าใด สมบัติที่สําคัญของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าเป็นบวกเสมอ ถ้าคํานวณหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้คากลางของมูลชนิดชนิดอื่นๆ ที่ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบน ่ มาตรฐานที่จะได้จะมีค่ามากกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ใช้คาเฉลี่ยเลขคณิตเสมอ นั่นคือ ่ 2 2 f x a f x N N อสมการนี้เป็นจริงเสมอ เมื่อ a เป็นจํานวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ถ้ามีข้อมูล 2 ชุด ประกอบด้วยข้อมูล N 1 และ N 2 จํานวน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน แต่มีความแปรปรวนเป็น 2 2 N 1 1 N 2 2 12 และ 2 สําหรับข้อมูลชุดที่ 1 และ 2 ตามลําดับ ความแปรปรวนของข้อมูลทั้งสองชุดจะเท่ากับ 2 N 1 N 2 ตัวอย่างที่ 55 ข้อมูล 2 ชุด ชุดแรกมี 5 จํานวน ความแปรปรวน 18 ชุดหลังมี 3 จํานวน ความแปรปรวน 24 ข้อมูลทั้ง สองชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน จงหาความแปรปรวนรวมของข้อมูลทั้งสองชุด Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 11. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 46 ้ ข้อสังเกตเกี่ยวกับใช้ค่าการวัดการกระจาย ค่าพิสัย 1. พิสัยเป็นการวัดการกระจายโดยใช้คะแนนเพียง 2 ตัว ไม่ได้นาคะแนนทุกตัวมาใช้ในการคํานวณจึงเป็นวิธีการ ํ กระจายอย่างหยาบๆ 2. พิสัยเหมาะสําหรับวัดการกระจายอย่างคร่าวๆ เมื่อต้องการทราบค่าการกระจายอย่างรวดเร็ว เพราะใช้เวลา น้อยในการคํานวณ 3. พิสัยเหมาะกับชุดข้อมูลขนาดเล็กมากกว่าขนาดใหญ่ถ้าข้อมูลใหญ่มีแนวโน้มค่าพิสยสูง ั 4. ไม่ควรใช้พิสยในการเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลที่มีขนาดไม่เท่ากัน ถ้าเป็นข้อมูลกลุ่มใหญ่มีแนวโน้มที่ ั ค่าพิสยจะสูง ั ค่าส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ 1. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ เป็นการวัดการกระจายที่ดีกว่าการวัดด้วยค่าพิสัย แต่ก็ยังใช้เพียงบางค่าไม่ได้ใช้ขอมูล ้ ทุกค่าในการคํานวณ 2. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ เหมาะสําหรับใช้วัดการกระจายกรณีมีคะแนนบางค่าสูงหรือต่ํากว่าคะแนนตัวอื่นๆ ใน ชุดมาก 3. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์เหมาะสําหรับใช้ควบคู่กับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางด้วยค่ามัธยฐาน ค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 1. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย เป็นการวัดการกระจายที่ละเอียดกว่าการวัดด้วยค่าพิสัยและส่วนเบี่ยงเบน ควอไทล์ เพราะได้ใช้คะแนนทุกๆ ตัวในการคํานวณ 2. การคํานวณค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยไม่ได้คํานึงถึงเครื่องหมายของผลต่างระหว่างคะแนนแต่ละตัวกับค่าเฉลี่ย ซึ่ง ขัดต่อหลักคณิตศาสตร์ จึงไม่เป็นที่นยมใช้ ิ ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นการวัดการกระจายของข้อมูลที่ใช้คะแนนทุกตัว ในการคํานวณจึงเป็นการวัดการ กระจายที่ละเอียดกว่าการหาโดยพิสัย พิสัยควอไทล์ และส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ 2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นการวัดการกระจายของข้อมูลที่นิยมใช้มากที่สุดโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิจัย 3. ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นค่าการกระจายที่มีหน่วยเช่นเดียวกับหน่วยของข้อมูลที่เก็บรวบรวมมา ส่วนค่า ความแปรปรวน ซึ่งมีค่าเป็นกําลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นค่าการกระจายที่มีหน่วยเป็นกําลังสองของหน่วยของ ข้อมูลที่เก็บรวบรวมมา Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 12. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 47 ้ ท้าทาย 1. จงแสดงว่า ถ้าข้อมูลมีค่าเท่ากันหมดทุกตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับศูนย์ หรือถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มีค่าเท่ากับศูนย์ แล้วข้อมูลแต่ละตัวจะมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต 2. จงแสดงว่า ถ้านําจํานวนจริงไปบวกหรือลบกับข้อมูลแต่ละตัว ส่วนเบี่ยงมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่ จะมีค่าเท่าเดิม 3. จงแสดงว่า ถ้านําจํานวนจริงไปคูณหรือหารกับข้อมูลแต่ละตัว ส่วนเบี่ยงมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่ จะมีค่าเท่ากับ |a| เท่าของส่วนเบี่ยงมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม 4. ถ้าความสัมพันธ์ระหว่าง x i และ yi เป็นสมการเชิงเส้น Y aX b โดยที่ a และ b เป็นค่าคงตัว จะได้ y a x 5. ข้อมูล 2 ชุดมีจํานวนเท่ากัน เมื่อทําการคํานวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตปรากฏว่า 1 : 2 3:5 และได้ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานเท่ากัน ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งคือ 1, 4, 6, 9, 10 จงหาข้อมูลอีกชุดหนึ่ง Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 13. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 48 ้ 6.2 การวัดการกระจายสัมพัทธ์ ในกรณีที่ต้องการเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลต่างกลุ่ม (ต่างชุด) ถ้าข้อมูลแต่ละชุดเป็นคะแนนที่มีหน่วย วัดเดียวกัน คะแนนเต็มเท่ากัน ขนาดเท่ากัน และค่าแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางเท่ากันก็สามารถนําค่าการกระจายมา เปรียบเทียบกันได้เลย ตัวอย่างเช่น คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียน 2 ห้อง ซึ่งมีจํานวนนักเรียนเท่ากัน สอบด้วยข้อสอบชุด เดียวกัน มีคะแนนเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ดังนี้ ห้อง ค่าเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 60 10 2 60 12 กรณีน้สามารถบอกได้ว่า คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนห้อง 2 มีการกระจายมากกว่าห้อง 1 ี แต่ถ้าเป็นกรณีที่ข้อมูลแต่ละชุด เป็นคะแนนที่มีหน่วยวัดต่างกันหรือมีคะแนนเต็มไม่เท่ากันหรือขนาดไม่เท่ากัน หรือค่าแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางไม่เท่ากัน จะไม่สามารถนําค่าการกระจายมาเปรียบเทียบกันได้ทันทีแต่ต้องคํานวณหาค่า สัมประสิทธิ์การกระจาย (Coefficient of Dispersion) ของคะแนนแต่ละชุดแล้วจึงนําค่าสัมประสิทธิ์การกระจายนั้นมา เปรียบเทียบกัน ตัวอย่างเช่น คะแนนสอบวิชาภาษาไทยกับคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งมีค่าดังนี้ วิชา คะแนนเต็ม ค่าเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ภาษาไทย 100 60 10 คณิตศาสตร์ 150 90 12 กรณีนี้ไม่สามารถบอกได้ว่าคะแนนสอบวิชาใดมีการกระจายมากกว่ากัน แม้ว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนน วิชาคณิตศาสตร์จะมีค่ามากกว่าก็ตาม กรณีนี้จะต้องหาค่าสัมประสิทธิ์การกระจายเพื่อนํามาเปรียบเทียบกัน การหาค่าสัมประสิทธิ์การกระจายมีหลายชนิด แล้วแต่ชนิดของสถิติที่ใช้วัดการกระจายดังต่อไปนี้ กรณีวัดการกระจายด้วยพิสย ั ใช้สัมประสิทธิ์ของพิสัย (Coefficient of Range : C.R.) x max x min C.R. = x max x min กรณีวัดการกระจายส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ใช้สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Coefficient of Quartile Deviation : C.Q.) Q3 Q1 C.Q. = Q3 Q1 กรณีวัดการกระจายด้วยส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ใช้สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (coefficient of average deviation) M .D. M .D. C.A. = หรือ x กรณีวัดการกระจายด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ใช้สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน (Coefficient of Variation : C.V.) s C.V. = หรือ x Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 14. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 49 ้ ตัวอย่างที่ 56 นักศึกษาปริญญาโท 2 กลุ่ม มีอายุดงนี้ ั กลุ่มที่ 1 30 34 38 28 35 27 42 35 37 39 กลุ่มที่ 2 28 35 24 33 44 26 33 37 40 29 จงเปรียบเทียบการกระจายของอายุของนักศึกษา 2 กลุ่มนี้ เมื่อวัดค่าการกระจายด้วยพิสัย x max x min วิธีทํา ใช้สูตร สัมประสิทธิ์ของพิสัย C.R. = x max x min 42 27 15 C.R.1 = = 0.217 42 27 69 44 24 20 C.R.2 = = 0.294 44 24 68 C.R.2 C.R.1 อายุของนักศึกษาปริญญาโทกลุ่ม 2 มีการกระจายมากกว่ากลุ่ม 1 ตัวอย่างที่ 57 จงเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูล 2 ชุดนี้ มัธยฐาน Q3 Q1 ข้อมูลชุดที่ 1 25 40 15 ข้อมูลชุดที่ 2 30 50 10 ตัวอย่างที่ 58 นําวัตถุ 2 ชนิดไปชั่งบนเครื่องชั่ง 5 อัน ได้ผลดังตาราง วัตถุชนิดที่ 1 (กรัม) 6 7 9 8 12 วัตถุชนิดที่ 2 (กรัม) 50 52 49 55 44 จงหาสัมประสิทธ์ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของวัตถุทั้งสองชนิด ตัวอย่างที่ 59 จงเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลคะแนนสอบ 3 วิชา ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งซึ่งมีค่าดังนี้ วิชา คะแนนเต็ม Mean S.D. ภาษาไทย 100 60 10 คณิตศาสตร์ 150 90 12 วิทยาศาสตร์ 200 110 16 Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 15. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 50 ้ แบบฝึกทักษะ 6.3 1. ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาสถิติของนักเรียนเป็นดังตาราง คะแนนวิชาสถิติ 6 5 4 2 1 คะแนนวิชาคณิตศาสตร์ 9 6 5 3 2 จงหาอัตราส่วนของสัมประสิทธ์ของการแปรผันระหว่างคะแนนวิชาสถิติ และคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ 2. บริษัทผลิตหลอดไฟฟ้าแห่งหนึ่ง ผลิตหลอดไฟออกจําหน่าย 2 ชนิด ชนิดแรกอายุการใช้งานเฉลี่ย 1,495 ชั่วโมง ส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐาน 280 ชั่วโมง ชนิดที่สอง อายุการใช้งานเฉลี่ย 1,875 ชั่วโมง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 310 ชั่วโมง จงพิจารณาว่าหลอดไฟชนิดใดมีการกระจายมากกว่ากัน และหลอดไฟใดคุณภาพดีกว่ากัน Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 16. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 51 ้ ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงความถี่ ค่ากลาง และการกระจายของข้อมูล จากข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่ ถ้านําข้อมูลเหล่านี้มาเขียนให้เป็นเส้นโค้งของความถี่ จะได้เส้นโค้งของความถี่ 3 ลักษณะ (ในระดับสูงขึ้น นักเรียนจะได้ศึกษาเส้นโค้งของความถี่มากกว่า 3 ลักษณะ) ดังนี้ 1. เส้นโค้งปกติ หรือเส้นโค้งรูประฆังคว่ํา (normal curve or bell-shaped curve) 2. เส้นโค้งเบ้ลาดทางขวา หรือเส้นโค้งเบ้ทางบวก (positively curve) 3. เส้นโค้งเบ้ลาดทางซ้าย หรือเส้นโค้งเบ้ทางลบ (negatively curve) ลักษณะของโค้งเป็นดังนี้ เส้นโค้งของความถี่ของข้อมูลมีความสัมพันธ์กับค่ากลางของข้อมูล คือ 1. โค้งปกติ จะพบว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = มัธยฐาน = ฐานนิยม 2. เส้นโค้งเบ้ลาดทางขวา จะพบว่า ฐานนิยม < มัธยฐาน < ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 3. เส้นโค้งเบ้ลาดทางซ้าย จะพบว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนิยม เส้นโค้งของความถี่ที่พบเสมอๆ ไม่ว่าจะเป็นข้อมูลทางด้านประชากร เกษตร สังคม เศรษฐกิจ หรือวิทยาศาสตร์ ส่วนใหญ่มักเป็นข้อมูลที่เกิดขึ้นหรือเป็นไปตามธรรมชาติ และจะมีเส้นโค้งความถี่เป็นรูปเส้นโค้งปกติ เช่น ข้อมูลเกี่ยวกับ ความสูง น้ําหนัก ราคา ผลผลิตทางการเกษตร มักมีรูปเป็นเส้นโค้งปกติ ลักษณะของเส้นโค้งปกติ เส้นโค้งปกติมีความโด่งมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับการกระจายของข้อมูล ถ้าข้อมูลมีการกระจายมากเส้นโค้งปกติจะโด่ง น้อย หรือค่อนข้างแบน แต่ถ้าข้อมูลมีการกระจายน้อย เส้นโค้งปกติจะโด่งมากหรือค่อนข้างสูง ดังรูป Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 17. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 52 ้ ลักษณะของเส้นโค้งปกติกับการกระจายของข้อมูล ลักษณะของเส้นโค้งปกติ บทสรุป 1 2 1 2 ข้อมูลชุดที่ 1 กระจายมากกว่าชุด 2 1 2 1 2 ข้อมูลชุดที่ 1 กระจายมากกว่าชุด 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ยังสรุปไม่ได้ จนกว่าจะทราบ และ ของข้อมูลทั้งสองชุด ตัวอย่างที่ 60 ข้อมูล 2 ชุดมีการแจกแจงความถี่เป็นเส้นโค้งปกติดังรูป 0 ข้อใดต่อไปนี้กล่าวถูกต้อง ก. 1 2 และ 1 2 ข. 1 2 และ 1 2 ค. 1 2 และ 1 2 ง. 1 2 และ 1 2 Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 18. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 53 ้ แบบฝึกทักษะ 6.4 1. จงพิจารณาดูวา ข้อความต่อไปนี้ ถูกหรือผิด ่ ..................1) พิสัยของข้อมูลใดๆ จะต้องมีค่าเป็นบวกเสมอ ..................2) สัมประสิทธิ์ของพิสัยของข้อมูลอาจเป็นจํานวนลบได้ ..................3) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปปรวนของข้อมุลชุดเดียวกันต้องมีค่าต่างกัน ..................4) ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดียวกัน อาจมีค่าเท่ากันได้ ..................5) ถ้าในข้อมูลชุดหนึ่ง มีค่าของข้อมูลทุกตัวเท่ากัน พิสัย ค่าเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย ค่าค่า เบี่ยงเบนมาตรฐาน จะเท่ากันหมด ..................6) ถ้าข้อมูลชุดที่ 1 มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกว่าข้อมูลชุดที่ 2 แสดงว่าข้อมูลชุดที่ 1 มีการกระจายมากกว่า ข้อมูลชุดที่ 2 ..................7) ถ้าข้อมูลชุดที่ 1 มีค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยน้อยกว่าข้อมูลชุดที่ 2 แสดงว่าข้อมูลชุดที่ 1 มีการกระจายน้อยกว่า ข้อมูลชุดที่ 2 ..................8) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และสัมประสิทธิ์ของค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมุลชุดเดียวกันจะไม่เท่ากัน ..................9) ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย และสัมประสิทธิ์ของค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมุลชุดเดียวกันจะไม่เท่ากัน ..................10) สัมประสิทธิ์ของความแปรผันของข้อมูลชุดหนึ่ง จะมีค่ามากกว่าสัมประสิทธิ์ของค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูล ชุดนั้นเสมอ ..................11) ความแปรปรวนของข้อมูลชุดหนึ่งจะมากกว่าหรือเท่ากับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมุลชุดนั้น ..................12) ถ้าความแปรปรวนของข้อมูลชุดหนึ่งมีค่า 0 แสดงว่าค่าของข้อมูลทุกค่าจะเท่ากันหมด ..................13) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตต่างกัน จะต้องมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานต่างกันด้วย ..................14) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตต่างกัน จะต้องมีค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยต่างกันด้วย ..................15) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตต่างกัน จะต้องมีพิสัยต่างกันด้วย ..................16) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน การแจกแจงของข้อมูลจะต้องเหมือนกัน ..................17) ถ้าพิสัยของข้อมูลเท่ากับ 0 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยจะต้องเท่ากัน 0 ด้วย ..................18) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน เส้นโค้งความถี่จะต้องโด่งเท่ากัน ..................19) สัมประสิทธิ์ของพิสัยของข้อมูลชุดหนึ่งเท่ากับ 1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะต้องมากกว่า 0 ..................20) กําหนดเส้นโค้งความถี่ดงรูปั ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุด 1 มากกว่าข้อมูลชุด 2 ..................21) จากข้อ 20 ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อชุด 1 น้อยกว่าข้อมูลชุด 2 ..................22) ถ้าค่ามากที่สุดของข้อมูล มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเท่ากับ 0 ..................23) ถ้าค่าต่ําที่สุดของข้อมูล มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเท่ากับ 0 ..................24) ถ้าสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ 0 แล้วค่าทุกค่าจะเท่ากันหมด ..................25) ถ้าสัมประสิทธิ์ของพิสัยของข้อมูลมีค่า 0 แล้วค่าทุกค่าจะเท่ากันหมด Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011
- 19. ค30203 สถิตเิ บืองต้น | หน้าที่ 54 ้ 2. โรงงานแห่งหนึ่งจ่ายเงินเดือนให้คนงานทั้งหมดมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 4,600 บาท เงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานชายและ พนักงานหญิงเท่ากับ 5,200 บาท และ 4,200 บาท ถ้าคนงานชายมี 60 % คนงานหญิงจะมีกี่เปอร์เซ็นต์ 3. ในการสอบวิชาสถิติ นักเรียนห้อง ก. จํานวน 20 คน สอบได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 75 คะแนน นักเรียนห้อง ข. จํานวน 30 คน สอบได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 คะแนน นักเรียนห้อง ค. จํานวน 25 คน สอบได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 65 คะแนน จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของวิชาสถิติของนักเรียนทั้ง 3 ห้อง 4. จากการสุ่มตัวอย่างเด็ก 10 คน ชั่งน้ําหนัก (กิโลกรัม) ได้ข้อมูลดังนี้ 34, 49, 43, 46, 51, 45, 52, 49, 54, 47 จงหาค่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของเด็ก 10 คนนี้ 5. ถ้านาย ก. จะต้องตัดสินใจเลือกซื้อหุ้นบริษัทใดบริษัทหนึ่ง จากที่มีให้เลือก 3 บริษัทที่มีอัตราเงินปันผลดังนี้ บริษัท A เงินปันผลเฉลี่ย 15.6 ต่อปี และค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3.7 บริษัท B เงินปันผลเฉลี่ย 13.7 ต่อปี และค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2.5 บริษท C เงินปันผลเฉลี่ย 18.9 ต่อปี และค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5.8 ั ถ้าท่านเป็นนาย ก. ท่านจะตัดสินใจเลือกลงทุนซื้อหุ้นของบริษัทใด Deaw Jaibun Mahidol Wittayanusorn School update: October 14, 2011