Teori graph: Eulerian dan Hamiltonian Graph
10 likes23,615 views
Dokumen ini membahas tentang teori graph, khususnya eulerian dan hamiltonian graph, serta aplikasinya dalam matematik diskrit dan berbagai bidang seperti jaringan komunikasi dan transportasi. Penjelasan mencakup definisi, lemma, dan teorema terkait yang mendasari karakterisasi dari eulerian graph dan syarat bagi suatu graph untuk menjadi eulerian atau semi eulerian. Contoh-contoh nyata juga diberikan untuk menjelaskan penerapan konsep-konsep tersebut.
Teori graph: Eulerian dan Hamiltonian Graph
- 1. LAPORAN TUGAS TEORI GRAPH EULERIAN GRAPH DAN HAMILTONIAN GRAPH JEROL VIDEL LIOW 12/340197/PPA/04060 PROGRAM STUDI S2 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA YOGYAKARTA 2014
- 2. DAFTAR ISI DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii I PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 II EULERIAN DAN HAMILTONIAN GRAPH . . . . . . . . 3 2.1. EULERIAN GRAPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2. HAMILTONIAN GRAPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 IIIPENUTUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ii
- 3. BAB I PENDAHULUAN Teori Graph merupakan bagian dari matematika diskrit yang telah mengalami perkembangan yang sangat cepat. Masalah "Jembatan Konigs- berg" yang dipresentasikan oleh seorang ahli matematika bernama Leonhard Euler p ada tahun 1736 dikenal sebagai permulaan pembahasan teori gra- ph (Harju; 2007): Selain mengalami perkembangan secara teori dalam bidang matematika diskrit, teori graph sendiri telah memberikan manfaat dalam pe- nerapannya di bidang-bidang jaringan komunikasi, ilmu komputer, jaringan listrik, jalur transportasi, teknik kimia, dan lainnya. Seperti yang disinggung di atas, masalah "Jembatan Konigsberg" mem- beri sumbangan penting dalam teori graph. Kasusnya yaitu, dapatkah orang melalui "Jembatan Konigsberg" tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat semula? Dalam bahasa teori graph, setiap edge harus tepat satu kali dilewati dalam melakukan perlintasan untuk kembali ke verteks awal dalam suatu gra- ph yang diberikan. Jelas bahwa tidak semua graph memiliki sifat seperti ini. Dari sinilah muncul konsep mengenai Eulerian Graph. Dalam tulisan ini akan diberikan beberapa kajian mengenai Eulerian Graph: de
- 4. nisi serta beberapa hasil berupa lemma dan teorema mengenainya. Diperlukan beberapa konsep yang diharapkan dapat menjadi modal dalam pembahasan selanjutnya, yaitu pengertian-pengertian mengenai path, chain, cycle, cirkuit, connected graph, serta lemma yang sangat terkenal dalam pem- bahasan teori graph, yakni Handshaking Lemma. De
- 5. nisi-de
- 6. nisi dan lemma berikut berdasar dalam buku Teori Graph - Bahan Kuliah Pasca Sarjana Jurusan Matematika UGM karangan Prof. Se- tiadji. 1
- 7. 2 Path. Suatu barisan edge dengan sifat bahwa semua edge-nya tidak boleh ada yang sama, kecuali verteks-nya disebut path. Chain. Suatu barisan edge dimana baik edge maupun verteks-nya berlainan disebut chain. Cycle. Cycle merupakan path tertutup. Circuit. Circuit merupakan chain tertutup. Connected Graph. Suatu graph G dikatakan connected jika untuk setiap dua verteks dari G sekurang-kurangnya dihubungkan dengan satu chain. Gra- ph yang hanya terdiri atas satu verteks dikatakan connected. Graph dengan lebih dari satu komponen disebut disconnected. Handshaking Lemma. Jumlah semua degree dalam suatu graph G adalah genap, yakni dua kali banyaknya edge dalam graph G. Berikut diberikan suatu masalah yang disebut sebagai masalah "Perja- lanan Salesman". Seseorang berkunjung ke suatu provinsi dan berharap dapat mengunjungi setiap kota dengan biaya seminimal mungkin. Hal ini hanya da- pat dimungkinkan jika dia melakukan perjalanan dengan melalui semua kota tepat satu kali, dan secara langsung melalui hanya tepat satu jalan penghu- bung kota. Dalam bahasa teori graph, apakah terdapat graph yang mana setiap verteks-nya dapat dilalui dengan tepat satu kali, dan kembali ke ver- teks awal. Sudah tentu tidak semua graph memiliki sifat seperti ini, sehingga menuntun pada suatu kajian lagi mengenai Hamiltonian Graph. Tulisan ini membahas mengenai Eulerian Graph dan Hamiltonian Gra- ph. Pada bagian pertama diberikan pengertian serta beberapa hasil berkaitan dengan Eulerian Graph, di antaranya menyatakan kapan suatu connected gra- ph dikatakan sebagai Eulerian Graph. Di bagian berikutnya akan diberikan kajian mengenai Hamiltonian Graph, yaitu akan dinyatakan apa yang menjadi syarat cukup bagi suatu graph untuk menjadi Hamiltonian Graph.
- 8. BAB II EULERIAN DAN HAMILTONIAN GRAPH Masalah "Jembatan Konigsberg" seperti yang telah disinggung dalam bagian pendahuluan menampilkan suatu kasus bagaimana suatu graph dilalui sedemikian hingga setiap kali melakukan perlintasan sampai kembali ke titik awal, setiap edge dihindari untuk dilintasi sebanyak lebih dari satu kali. De- ngan kata lain, jika diberikan graph G seperti pada Gambar 2.1, apakah setiap edge dapat dilewati dengan tepat satu kali (verteks-nya dapat lebih dari sekali) dalam sekali perlintasan untuk kembali ke verteks awal? Gambar 2.1 Graph "Jembatan Konigsberg" Untuk menjawab persoalan ini, diperlukan beberapa konsep mengenai Eulerian Graph yang akan dibahas sebagai berikut. 2.1. EULERIAN GRAPH Konsep pertama yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah Eulerian Graph. De
- 9. nisi 2.1.1 (Setiadji) Suatu connected graph disebut Eulerian graph jika dapat ditemukan suatu path tertutup yang memuat semua edge dari graph G, sehingga juga memuat semua verteks dari graph G. Path yang demikian disebut 3
- 10. 4 Eulerian path. Jika tidak terdapat path tertutup, tetapi dapat ditemukan path yang tidak tertutup, maka graph tersebut dinamakan semi Eulerian. Suatu graph yang tidak dapat ditemukan sedikitnya satu path disebut non Eulerian. Berikut diberikan contoh Eulerian graph, semi Eulerian, dan non Eu- lerian. Contoh 2.1.2 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.2. Gambar 2.2 Eulerian Graph Dari graph G, dapat ditemukan barisan edge: v1 ! v2 ! v3 ! v4 ! v5 ! v6 ! v7 ! v5 ! v3 ! v7 ! v2 ! v6 ! v1: Barisan edge tersebut melaui semua edge dari graph G, yaitu merupakan Eu- lerian path. Dari sini maka graph G dinamakan Eulerian graph. Contoh 2.1.3 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.3. Gambar 2.3 semi Eulerian Graph Dari graph G, tidak terdapat path tertutup, tetapi dapat ditemukan barisan edge: v1 ! v2 ! v3 ! v4 ! v5 ! v6 ! v3 ! v5 ! v1 ! v6 ! v2:
- 11. 5 Barisan edge tersebut merupakan path yang tidak tertutup, tetapi melalui se- mua edge dari graph G. Dengan demikian graph G merupakan semi Eulerian. Contoh 2.1.4 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.4. Gambar 2.4 non Eulerian graph Dari graph G, tidak dapat ditemukan path yang memuat semua edge maupun semua verteks dari graph G. Dengan demikian, graph G merupakan non Eulerian. Berikut diberikan lemma yang menyatakan syarat cukup bagi suatu graph yang memiliki paling sedikit satu circuit. Lemma 2.1.5 (Setiadji) Jika G suatu graph dengan degree setiap verteksnya genap, maka G mempunyai sekurang-kurangnya satu circuit. Bukti. Jika G terdiri dari loop-loop atau multiple edges maka diperoleh penyelesaian yang trivial. Misalkan G adalah simple graph dan misalkan v adalah sembarang verteks dari graph G, maka akan dapat ditemukan edge sequence: v ! v1 ! v2 ! ; dimana v1 dipilih sedemikian sehingga berlainan dengan v sebab degree dari setiap verteks genap. Karena graph G adalah berhingga maka suatu waktu pasti diperoleh suatu verteks yang sama dengan verteks sebelumnya. Jadi pasti terdapat circuit dalam graph G.
- 12. 6 Teorema berikut merupakan teorema yang sangat penting karena me- nyatakan karakterisasi dari Eulerian graph, yaitu syarat cukup dan syarat perlu dari suatu connected graph untuk menjadi Eulerian graph. Teorema 2.1.6 (Setiadji) Suatu connected graph G adalah eulerian jika dan hanya jika degree dari setiap verteksnya genap. Bukti. (=)) Misalkan P adalah Eulerian path dari graph G. Pasti P melalui sembarang verteks, dimana verteks tersebut memberikan dua degree kepada verteks itu. Karena setiap edge ada pada P tepat satu kali, maka setiap verteks mempunyai degree genap. ((=) Digunakan bukti dengan induksi matematik. Ambil sebarang connected graph G, setiap verteks dari G mempunyai degree sekurang-kurangnya dua. Dan menurut Lemma 2.1.5, G pasti mempunyai circuit C. Jika C memuat setiap edge dari G, maka persoalan selesai. Tetapi jika tidak, laluilah dalam G edge-edge dari C, buat graph H dimana jumlah edge-nya lebih kecil dari jumlah edge dalam G dan setiap verteks dari H mempunyai degree genap. Karena induksi hipotesa, setiap komponen dari H mempunyai Eulerian path. Mulailah dari salah satu komponen, misalnya H2. Pilihlah komponen yang lain (misal H1) untuk memperoleh Eulerian path P1 yang memuat komponen H2 dan H1. Demikian seterusnya (lihat Gambar 2.5) sampai diperoleh Eulerian path yang memuat semua verteks dan berakhir di verteks mula-mula (initial verteks). Gambar 2.5 Eulerian graph
- 13. 7 Akibat 2.1.7 (Wilson, 1996) Suatu connected graph G merupakan Eulerian jika dan hanya jika keluarga edgenya dapat dipisah-pisahkan atas circuit-circuit yang saling asing. Bukti. (=)) Diketahui connected graph G adalah Eulerian graph yang non- trivial. Berdasarkan Teorema 2.1.6, setiap verteks dari G memiliki degree genap. Jadi, degree terkecil dari G adalah dua. Dari Lemma 2.1.5, maka G pasti mempunyai circuit, katakan circuit Z. Penghapusan edge-edge dari Z menghasilkan spanning subgraph G1 dan setiap verteks dalam G1 mem- punyai degree genap. Jika G1 tidak mempunyai edge, maka terbukti. Jika sebaliknya ulangi proses diatas sehingga menghasilkan spanning subgraph G2 dimana setiap verteks-nya mempunyai degree genap. Dan seterusnya, proses terus diulangi sampai diperoleh totally disconnected graph Gn dan mempu- nyai partisi-partisi terdiri atas edge-edge dari G yang merupakan n-circuit. ((=) Diketahui connected graph G yang keluarga edge-nya dapat dipisah- pisahkan atas circuit-circuit yang saling asing. Karena circuit dapat dipan- dang sebagai cycle, maka G dapat dipandang terpartisi ke dalam cycle-cycle yang saling asing. Misal Z1 adalah salah satu cycle dari partisi. Jika G hanya memuat Z1, bukti selesai yaitu G Eulerian. Jika tidak, yaitu terdapat cycle lain katakan Z2 dengan verteks v dalam Z2 yang juga sekaligus merupakan verteks dari Z1, maka path dari G dimulai dari v serta memuat cycle Z1 dan Z2. Jadi terdapat path tertutup dimana semua edge-nya adalah cycle-cycle Z1 dan Z2. Teruskan proses diatas untuk semua cycle dalam G sehingga akhir dari proses diperoleh path tertutup yang memuat semua edge dari G. Dengan demikian, G meru- pakan Eulerian. Akibat 2.1.8 (Wilson, 1996) Suatu connected graph G adalah semi Eulerian jika dan hanya jika G mempunyai tepat dua verteks dengan degree ganjil. Bukti. (=)) Diketahui connected graph G adalah semi Eulerian. Berarti terdapat path P yang tidak tertutup dari graph G, dimana P melalui setiap
- 14. 8 edge dengan tepat satu kali dan dengan demikian P melalui setiap verteks dari G. Misalkan v dan w merupakan verteks awal dan verteks akhir dari P. Karena setiap edge pada P dilalui dengan tepat satu kali, maka setiap kali melalui verteks dalam G, harus ada dua edge yang dilalui. Ini berlaku untuk semua verteks dalam G, kecuali v dan w. Ini berarti setiap verteks dari G memiliki degree genap, kecuali v dan w. Selain edge awal dan edge akhir, terdapat dua edge setiap kali melalui verteks v maupun w. Dengan demikian, verteks yang memiliki degree ganjil hanya v dan w. ((=) Diketahui connected graph G yang mempunyai tepat dua verteks de- ngan degree ganjil. Katakan dua verteks dengan degree ganjil tersebut dengan u dan v. Misalkan H graph baru yang diperoleh dari G dengan menambahkan verteks baru w dan menghubungkannya dengan verteks u dan v. Dari sini maka diperoleh H merupakan connected graph dengan semua verteks memi- liki degree genap. Berdasarkan Teorema 2.1.6, maka H merupakan Eulerian graph. Misalkan P Eulerian path dari H dengan verteks w sebagai initial point. Dari sini maka dengan menghapus kembali w, terdapat path yang tidak tertutup P0 yang memuat semua edge dari G, dengan u sebagai verteks awal dan v sebagai verteks akhir. Dengan demikian, G merupakan semi Eulerian graph. Jika dalam semi Eulerian graph mempunyai tepat dua verteks dengan degree ganjil, maka pasti ada semi Eulerian path yang dimulai dari salah satu verteks dengan degree ganjil dan diakhiri pada verteks dengan degree ganjil yang lain. Dengan menggunakan Handshaking Lemma, suatu graph tidak dapat dengan tepat mempunyai suatu verteks dengan degree ganjil. Sebab jumlah degree dari seluruh verteks harus genap. Dari sini maka diambil suatu kesimpulan yang kemudian dapat diangkat menjadi sebuah teorema, tetapi sekaligus dapat dipandang sebagai algoritma untuk mendapatkan Eulerian path dalam graph G. Algoritma ini sering pula disebut sebagai Algoritma Fleury.
- 15. 9 Teorema 2.1.9 (Setiadji) Misal G adalah connected graph, maka kalimat- kalimat berikut ekuivalen : (i) G adalah Eulerian. (ii) Setiap verteks dari G mempunyai degree genap. (iii) Himpunan edge dari G dapat digolong-golongkan (dipisah-pisahkan) men- jadi cycle-cycle yang saling asing. Bukti. (i) =) (ii) Misalkan P adalah Eulerian path dari graph G. Pasti P melalui sembarang verteks, dimana verteks tersebut memberikan dua degree kepada verteks itu. Karena setiap edge ada pada P tepat satu kali, maka setiap verteks mempunyai degree genap. (ii) =) (iii) Pandang G connected graph yang non-trivial, dan setiap verteks mempunyai degree genap. Jadi degree terkecil adalah dua. Selanjutnya G pas- ti mempunyai cycle katakan Z. Penghapusan edge-edge dari Z menghasilkan spanning subgraph G1 dan setiap verteks dalam G1 mempunyai degree ge- nap. Jika G1 tidak mempunyai edge, maka (iii) terbukti. Jika sebaliknya ula- ngi proses diatas sehingga menghasilkan spanning subgraph G2 dimana setiap verteks-nya mempunyai degree genap. Dan seterusnya, proses terus diulangi sampai diperoleh totally disconnected graph Gn dan mempunyai partisi-partisi terdiri atas edge-edge dari G yang merupakan n-cycle. (iii) =) (i) Misal Z1 adalah salah satu cycle dari partisi. Jika G hanya me- muat Z1, bukti selesai yaitu G Eulerian. Jika tidak, yaitu terdapat cycle lain katakan Z2 dengan verteks v dalam Z2 yang juga sekaligus merupakan verteks dari Z1, maka path dari G dimulai dari v serta memuat cycle Z1 dan Z2. Jadi terdapat path tertutup dimana semua edge-nya adalah cycle-cycle Z1 dan Z2. Teruskan proses diatas untuk semua cycle dalam G sehingga akhir dari proses diperoleh path tertutup yang memuat semua edge dari G. Dengan demikian, G merupakan Eulerian.
- 16. 10 Berikut diberikan contoh sebagai penerapan untuk Teorema 2.1.9 Contoh 2.1.10 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.6. Gambar 2.6 Eulerian graph Dari graph G, himpunan edge dari G dapat digolong-golongkan (dipisah- pisahkan) menjadi cycle-cycle yang saling asing. Dengan demikian, graph G merupakan Eulerian. Penyelesaian bagi masalah Jembatan Konigsberg diberikan dalam Contoh 2.1.11 berikut. Contoh 2.1.11 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.7. Gambar 2.7 Graph Jembatan Konigsberg Dari graph G, himpunan edge dari G tidak dapat digolong-golongkan (dipisah-pisahkan) menjadi cycle-cycle yang saling asing. Selain itu, terdapat verteks yang berderajat ganjil, yaitu (v1) = (v3) = (v4) = 3 dan (v2) = 5. Dari sini, maka graph G merupakan Eulerian. Dengan demikian, berdasarkan Contoh 2.1.11, diperoleh jawaban untuk kasus: Apakah 'Jembatan Konigsberg' dapat dilalui dengan tepat satu kali
- 17. 11 dan kembali lagi ke tempat semula?, yakni tidak dapat. Hal ini dikarenak- an Jembatan Konigsberg tidak memenuhi syarat cukup sebagai Eulerian graph. Berikut diperhatikan suatu kasus yang sering disebut sebagai masalah Perjalanan Salesman. Seseorang berkunjung ke suatu provinsi dan berha- rap dapat mengunjungi setiap kota dengan biaya seminimal mungkin. Hal ini hanya dapat dimungkinkan jika dia melakukan perjalanan dengan melalui se- mua kota tepat satu kali, dan secara langsung melalui hanya tepat satu jalan penghubung kota. Dalam bahasa teori graph, maka masalah ini adalah apakah terdapat graph yang mana setiap verteks-nya dapat dilalui dengan tepat satu kali saja, untuk dapat kembali ke verteks awal. Sudah tentu tidak semua gra- ph memiliki sifat seperti ini, sehingga menuntun pada suatu kajian mengenai Hamiltonian Graph. 2.2. HAMILTONIAN GRAPH Di atas telah dibahas adanya path tertutup yang memuat setiap edge dari connected graph G yang diberikan. Persoalan yang hampir sama seperti di atas, tetapi lebih sulit yaitu adanya path tertutup yang melalui setiap verteks dari G dengan tepat satu kali. Sekarang akan diberikan kajian mengenai Ha- miltonian Graph, yaitu selain memberikan de
- 18. nisinya, juga akan dinyatakan apa yang menjadi syarat cukup bagi suatu graph untuk menjadi Hamiltonian Graph. De
- 19. nisi 2.2.1 (Setiadji) Diberikan graph G. Circuit dalam graph G yang me- muat semua verteks dari G, yakni circuit tersebut incident dengan setiap ver- teks dari graph G, dinamakan Hamiltonian circuit. Graph G yang memiliki Hamiltonian circuit disebut Hamiltonian graph. Graph yang mempunyai chain yang melalui setiap verteks dari G disebut semi Hamiltonian graph, chain-nya disebut Hamiltonian chain.
- 20. 12 Bipartite graph mempunyai beberapa Hamiltonian chain yang tidak merupakan Hamiltonian circuit. Tidak ada bipartite graph dengan jumlah verteks ganjil yang mempunyai Hamiltonian circuit (setiap simple circuit dalam suatu bipartite graph mempunyai jumlah edges genap yang incident dengan setiap verteks dengan jumlah genap juga). Jadi setiap Hamiltonian graph pasti mempunyai Hamiltonian chain tetapi tidak sebaliknya. Sehingga setiap Hamiltonian graph pasti semi Hamiltonian graph. Tidak setiap graph mempunyai Hamiltonian chain maupun Hamiltonian circuit; graph yang tidak mempunyai Hamiltonian circuit juga tidak mempunyai Hamiltonian chain disebut non Hamiltonian graph (misalkan tree). Berikut diberikan contoh Hamiltonian Graph, semi Hamiltonian Graph, dan non Hamiltonian Graph. Contoh 2.2.2 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.8. Gambar 2.8 Hamiltonian Graph Dari graph G, dapat ditemukan barisan edge: v1 ! v2 ! v3 ! v4 ! v5 ! v6 ! v7 ! v8 ! v1: Barisan edge tersebut merupakan circuit, dan karena circuit tersebut melalui setiap verteks dari graph G, maka circuit tersebut dinamakan Hamiltonian circuit, sehingga graph G dinamakan Hamiltonian graph.
- 21. 13 Contoh 2.2.3 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.9. Gambar 2.9 semi Eulerian Graph Dari graph G, tidak terdapat chain tertutup, tetapi dapat ditemukan barisan edge: v4 ! v6 ! v5 ! v7 ! v3 ! v1 ! v2: Barisan edge tersebut merupakan chain yang tidak tertutup, dan melalui se- mua verteks dari graph G, sehingga chain tersebut merupakan Hamiltonian chain. Dengan demikian, graph G merupakan semi Hamiltonian graph. Contoh 2.2.4 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.10. Gambar 2.10 non Hamiltonian graph Dari graph G, tidak dapat ditemukan chain yang memuat semua verteks dari graph G. Dengan demikian, graph G merupakan non Hamiltonian.
- 22. 14 Teorema 2.2.5 (Setiadji) Jika G adalah simple graph dengan banyak verteks n 3, dan (v) 1 2 n untuk setiap verteks v, maka G adalah Hamiltonian. Bukti. Diketahui G adalah simple graph dengan banyak verteks n 3, dan (v) 1 2 n untuk setiap verteks v. Diambil k verteks baru yang dihubungkan dengan semua verteks dari G. Misal k adalah banyak minimum verteks baru sedemikian hingga G = G+G1 Hamiltonian, dengan G1 = fp1; p2; p3; ; pkg. Akan dibuktikan bahwa k = 0. Diandaikan k6= 0 atau k 0, maka karena G Hamiltonian, ada Hamiltonian circuit untuk G, misal : v ! p1 ! w ! x ! y ! ! v: Maka v atau w tidak ajacent (sebab jika v dan w ajacent, maka p1 tidak di- perlukan atau dapat dihapus. Dalam hal ini, tidak mungkin sebab k = banyak minimum verteks baru sedemikian sehingga G Hamiltonian). Jika x titik se- barang yang ajacent dengan v, maka x pasti tidak berada di Hamiltonian circuit di atas, sehingga x tidak ajacent dengan w. Jadi, (x ajacent dengan v ) =) (x ajacent dengan w). Sekarang diambil : = fx 2 G0jx ajacent dengan vg
- 23. = fx 2 G0jx tidak ajacent dengan wg Sehingga
- 24. , yaitu jj j
- 25. j. Diperhatikan jj 1 2n + k sehingga j
- 26. j 1 2n + k. Dari sini maka, banyak titik dalam G yang tidak ajacent dengan w 1 2n+k, dan banyak titik dalam G yang adjacent dengan w 1 2n + k. Sehingga diperoleh banyak titik dalam G = n + k 1 2n + k. Hal ini merupakan kontradiksi, sehingga pengandaian ditolak dan terbukti k = 0 atau G = G Hamiltonian.
- 27. 15 Penerapan dari Teorema 2.2.5 diberikan dalam contoh berikut. Contoh 2.2.6 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.11. Gambar 2.11 Hamiltonian graph Dari graph G, diperoleh sejumlah enam verteks, dan (vi) = 1 2 6 = 3, untuk setiap i = 1; 2; :::; 6: Berdasarkan Teorema 2.2.5, maka graph G meru- pakan Hamiltonian graph. Hamiltonian circuit dari graph G: a1, a7, a8, a5, a6, a2, atau v1 ! v2 ! v5 ! v3 ! v6 ! v4 ! v1:
- 28. BAB III PENUTUP 3.1. Kesimpulan 3.2. Saran 16
- 29. DAFTAR PUSTAKA Harju,T, 2007, Lecture Notes on GRAPH THEORY, Department of Mathe- matics University of Turku : Finland. Setiadji, - , Teori Graph - Bahan Kuliah Pasca Sarjana Jurusan Matematika UGM, Jurusan Matematika UGM: Yogyakarta. Wilson, 1996 , Introduction to Graph Theory, edisi ke 4, Addison Wesley Lo- ngman Limited: Edinburgh Gate. 17