The boolean operation for Cubic Bezier
- 2. はじめに 2*1) 当時、周りの人はEagleフリー版等を使っていた。最近はEagle、KiCAD、MBE等が使われているかと。 【当時の目標】 ▸ お絵描き基板CAD ▸ ベジェ曲線が使える ▸ アンチエイリアシングがかかる ▸ Undo、Redo ▸ PCBEのファイルのインポート ▸ ガーバ出力 ▸ 入れ子構造のグループ化 ▸ レイヤー機能 2008年当時、ガーバ出力できるフリーの基板CAD*1としてPCBEを使用していたが、 Undo/Redoがない等の不満からmikan基板CADを作成
- 3. 本日のテーマ 3 mikan基板CADも製作から10年以上が経過し、機能的不足感が否めない 当時使った開発環境のTurbo C++はもはや入手不可に 【今の目標】 ▸ 図形のブーリアン演算 ▸ 各種カーソルスナップ（グリッド、ポイント、 垂線、交点、直線上、割り出し角度） ▸ 寸法入力補助 ▸ Visual C++によるフルスクラッチ ▸ アウトライン化 ▸ ネットリスト対応 ▸ Eagleライブラリインポート？ ▸ (FEMによる電磁界解析？) 本日のテーマ： ベジェ曲線図形に対するブーリアン演算
- 4. （3次）ベジェ曲線の基本 4 P0 P1 P2 P3 P5P7 P8 P9 P3 t0 1-t0 t0 1-t0P0 P1 P2 P5P7 P8 P9 P6 P4 P6 P4 (1) 頂点P0(P3)と制御点P1(P2)を結ぶ直線は接ベクトルになる (2) 頂点と制御点を結ぶ直線をt0：1-t0で分割していった点P9はベジェ曲線を t=t0で分割した分割点になる (3) 頂点P0,P3と制御点P1,P2からなる四角形に対して凸包性を有する (4) アフィン不変性を有する 𝑥 𝑡 = 1 − 𝑡 3 𝑥0 + 3 1 − 𝑡 2 𝑡𝑥1 + 3 1 − 𝑡 𝑡2 𝑥2 + 𝑡3 𝑥3 𝑦 𝑡 = 1 − 𝑡 3 𝑦0 + 3 1 − 𝑡 2 𝑡𝑦1 + 3 1 − 𝑡 𝑡2 𝑦2 + 𝑡3 𝑦3
- 6. 図形 MS PowerPoint Illustrator ? ? ? ? 図形の内外判定 6 ベクトル図形で、ある領域を塗りつぶすか否かはどうやって決めているのか？
- 7. 図形 MS PowerPoint (Even-odd) Illustrator*2 (Non-zero) 図形の内外判定（ワインディング規則） 7 一般にEven-odd ruleとNon-zero winding ruleが使われる ベクトル図形で、ある領域を塗りつぶすか否かはどうやって決めているのか？ *2) 初期設定における動作
- 8. 図形の内外判定 8 1 2 1 2 +1 +1 +1 -1 n=0 (zero) n=2 (non-zero) n=2 (even) n=2 (even) Even-odd rule 半直線と図形の交差回数が奇数の時、領域を塗りつぶす Non-zero winding rule 半直線に対して図形が左から右に交差した時に＋１、右から左に交差した時－１ して最終的に≠0だった場合(Non-zero)、領域を塗りつぶす 内外判定にはベジェ曲線と直線の交差判定が必要
- 9. ベジェ曲線と直線の交点（１） 9 P3 P0 P1 P2 直線の方程式に3次方程式を代入して tに関する3次方程式を解いてもよいが… 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑐 𝑥 = 1 − 𝑡 3 𝑥0 + 3 1 − 𝑡 2 𝑡𝑥1 + 3 1 − 𝑡 𝑡2 𝑥2 + 𝑡3 𝑥3 𝑦 = 1 − 𝑡 3 𝑦0 + 3 1 − 𝑡 2 𝑡𝑦1 + 3 1 − 𝑡 𝑡2 𝑦2 + 𝑡3 𝑦3 = 𝑦3 − 3𝑦2 + 3𝑦1 − 𝑦0 𝑡3 + 3 𝑦2 − 2𝑦1 + 𝑦0 𝑡2 + 3 𝑦1 − 𝑦0 𝑡 + 𝑦0 𝑘 𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥1 − 𝑥0 𝑡3 + 3 𝑥2 − 2𝑥1 + 𝑥0 𝑡2 + 3 𝑥1 − 𝑥0 𝑡 + 𝑥0 + 𝑐 まぁ、それほど複雑な式ではないので解ける 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑐
- 10. (1) アフィン変換Aを用いて4つの制御点を直線をX軸とする座標系に変換する (2) 変換後のベジェ曲線は、交点をY’に関する3次方程式を解くことで求められる (3) 3次方程式の解をカルダノの公式で求める*3 ベジェ曲線と直線の交点（２） 10 P3 P0 P1 P2 Y’ X’ L Y’ t 1.00.0 Y0 Y3 A 𝑨 = cos 𝜃 −sin 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 = 𝑥𝑖 𝑦𝑖 −𝑦𝑖 𝑥𝑖 アフィン不変性を使って、Yに関する単一の3次方程式におとしこむこともできる *3) 4次方程式までは代数的解法があるそうです 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑐 0 = 1 − 𝑡 3 𝑦′0 + 3 1 − 𝑡 2 𝑡𝑦′1 + 3 1 − 𝑡 𝑡2 𝑦′2 + 𝑡3 𝑦′3
- 14. アウトライン化（オフセットパス） 14 ベジェ曲線P(t)のオフセットパスP’(t)は、単純な制御点の法線方向移動では 実現不可。また必ずしも同数の制御点でオフセットパスを表現できるとは限らない (1) 分割点をオフセットして リファレンスポイントq1～qnを算出 P3 P0 P1 P2 P0’ P3’ q1 qn-1 P3 P0 P1 P2 P0’ P3’ q1 qn P1’=P0’+C0v0 P2’=P3’+C1v1 (2) 比例定数C0,C1を用いて 制御点P1’とP2’を定義
- 15. アウトライン化（オフセットパス） 15 ベジェ曲線P(t)のオフセットパスP’(t)は、単純な制御点の法線方向移動では 実現不可。また必ずしも同数の制御点でオフセットパスを表現できるとは限らない (1) 分割点をオフセットして リファレンスポイントq1～qnを算出 P3 P0 P1 P2 P0’ P3’ q1 qn-1 P3 P0 P1 P2 P0’ P3’ q1 qn P1’=P0’+C0v0 P2’=P3’+C1v1 (2) 比例定数C0,C1を用いて 制御点P1’とP2’を定義 𝑄 = 𝑖=1 𝑛 𝑃′ 𝑡𝑖 − 𝑞𝑖 2 (3) ベジェ曲線P0’～P3’に関して次式を 最小化するC0,C1を計算する*4 *4) 今回は最小2乗線形Taylor微分補正法で実装しました
- 16. アウトライン化（オフセットパス） 16 ベジェ曲線P(t)のオフセットパスP’(t)は、単純な制御点の法線方向移動では 実現不可。また必ずしも同数の制御点でオフセットパスを表現できるとは限らない (4) 誤差Qが大きい場合、ベジェ曲線P(t) を2分割してオフセットパスを計算 (1) 分割点をオフセットして リファレンスポイントq1～qnを算出 P3 P0 P1 P2 P0’ P3’ q1 qn-1 P3 P0 P1 P2 P0’ P3’ q1 qn P1’=P0’+C0v0 P2’=P3’+C1v1 (2) 比例定数C0,C1を用いて 制御点P1’とP2’を定義 𝑄 = 𝑖=1 𝑛 𝑃′ 𝑡𝑖 − 𝑞𝑖 2 (3) ベジェ曲線P0’～P3’に関して次式を 最小化するC0,C1を計算する*4 P6 P0 P3 P1 P2 P4 P5*4) 今回は最小2乗線形Taylor微分補正法で実装しました
- 19. ベジェ曲線同士の交点 19 𝑥 𝑠 = 1 − 𝑠 3 𝑥4 + 3 1 − 𝑠 2 𝑠𝑥5 + 3 1 − 𝑠 𝑠2 𝑥6 + 𝑠3 𝑥7 𝑦 𝑠 = 1 − 𝑠 3 𝑦4 + 3 1 − 𝑠 2 𝑠𝑦5 + 3 1 − 𝑠 𝑠2 𝑦6 + 𝑠3 𝑦7 𝑥 𝑡 = 1 − 𝑡 3 𝑥0 + 3 1 − 𝑡 2 𝑡𝑥1 + 3 1 − 𝑡 𝑡2 𝑥2 + 𝑡3 𝑥3 𝑦 𝑡 = 1 − 𝑡 3 𝑦0 + 3 1 − 𝑡 2 𝑡𝑦1 + 3 1 − 𝑡 𝑡2 𝑦2 + 𝑡3 𝑦3 さすがにこれを直接解くのはきつい… ブーリアン演算には、ベジェ曲線同士の交点計算が必須 ベジェ曲線同士の交点は最大9点→次数は9次以上 P7P0 P3 P4
- 23. ベジェ曲線同士の交点（Bezier-clipping法） 23 Bezier-clipping法 ベジェ曲線の凸包性を利用した手法で、囲い込み法の2次元版とも考えられる P3 P0 P1 P2 P4 P5 P6 P7 P3 P0 P1 P2 P4 P7 P’3 P’0 P’4 P’7 Path1 P3 P0 P’4 P’7 P’5 P’6 Path2 (4) Path1の凸包でPath2をクリップ(3) Path2の凸包でPath1をクリップ (2) Path1の凸包でPath2をクリップ(1) 初期状態
- 26. ブーリアン演算（加算） 26 2つのパスを加算したベジェ曲線を求めたい →交点で分割されたパスをアウトラインになるように繋ぎ変えればOK パスの交点では (a) 流入する枝が2本、流出する枝が2本存在する →たどるのは自パスか、相手パスのどちらか一方 (b) 交点の流入前後で、相手パスの内外境界をまたぐ →内外境界をまたがないパスをたどればよさそう Greiner-Hormann clipping algorithm 交点で相手パスに乗り換えるようにパスをたどる
- 29. ブーリアン演算（加算） 29 (3) 再度、交点で乗り換えながら 分割パスをトレースする (1) パスの交点を計算したのち、 交点でパスを分割 (2) 交点で乗り換えながら 分割パスをトレースする
- 30. ブーリアン演算（加算） 30 (3) 再度、交点で乗り換えながら 分割パスをトレースする (4) 不要なパスを削除する (1) パスの交点を計算したのち、 交点でパスを分割 (2) 交点で乗り換えながら 分割パスをトレースする
- 33. ブーリアン演算（減算） 33 (1) 切り取る側のポイントの並びを逆転 して、パスを交点分割 (2) 交点で乗り換えながら 分割パスをトレースする (3) 再度、交点で乗り換えながら 分割パスをトレースする
- 34. ブーリアン演算（減算） 34 (1) 切り取る側のポイントの並びを逆転 して、パスを交点分割*5 (2) 交点で乗り換えながら 分割パスをトレースする (3) 再度、交点で乗り換えながら 分割パスをトレースする (4) 不要なパスを削除する *5) ちなみに図形の積を求めるときは、両方のパスの並びを逆転します
- 37. おわりに 37 ベジェ曲線におけるブーリアン演算に係る、アルゴリズム諸々を紹介しました ブーリアン演算 ▸ パスを交点分割したのち、 交点で相手パスに乗り換えるようにパスをたどる → Greiner-Hormann clipping algorithm ベクトル図形の内外判定 ▸ Even-odd ruleと、Non-zero winding ruleの2種類がある ▸ 内外判定にはベジェ曲線と直線の交点計算が必要 ベジェ曲線と直線の交点計算 ▸ 交点計算は3次方程式の解に帰着できる アウトライン化 ▸ アウトライン化の基本はオフセットパス ベジェ曲線同士の交点計算 ▸ Bezier-clipping法が有効