Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)

Bài số 5: TÍCH PHÂN ( TIẾT 1 )
I. Khái niệm tích phân
1. Diện tích hình thang cong .
• Giới thiệu cho học sinh về cách tính diện tích của một hình thang cong
• Từ đó suy ra công thức :
( ) ( )
( )0
0
0
0
lim
x x
S x S x
f x
x x→
−
=
−
2. Định nghĩa tích phân
• Cho hàm f liên túc trên một khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F
là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số : F(b)-F(a) được gọi là tích phân
của f đi từ a đến b , ký hiệu là : ( )
b
a
f x dx∫
• Có nghĩa là : ( ) ( )( )
b
a
f x dx F b F a= −∫
• Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) và ( ) ( ) ( )
b
F x F b F a
a
= − thì :
( ) ( ) ( )( )
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
= = −∫
• Trong đó :
- a : là cận trên , b là cận dưới
- f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân
- dx : gọi là vi phân của đối số
-f(x)dx : Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân
II. Tính chất của tích phân
Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K , a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta
có :
1. ( ) 0
a
a
f x dx =∫
2. ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫ . ( Gọi là tích chất đổi cận )
3. ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
4. [ ]( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ . ( Tích phân củ một tổng hoặc hiệu hai tích
phân bằng tổng hoặc hiệu hai tích phân ) .
5. ( ) . ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=∫ ∫ . ( Hằng số k trong dấu tích phân , có thể đưa ra ngoài dấu
tích phân được )
Ngoài 5 tính chất trên , người ta còn chứng minh được một số tính chất khác như :
6 . Nếu f(x) [ ]0 ;x a b≥ ∀ ∈ thì : [ ]( ) 0 ;
b
a
f x dx x a b≥ ∀ ∈∫

Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
7. Nếu : [ ]; : ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
x a b f x g x f x dx g x dx∀ ∈ ≥ ⇒ ≥∫ ∫ . ( Bất đẳng thức trong tích
phân )
8. Nếu : [ ];x a b∀ ∈ và với hai số M,N ta luôn có : ( )M f x N≤ ≤ . Thì :
( ) ( )( )
b
a
M b a f x dx N b a− ≤ ≤ −∫ . ( Tính chất giá trị trung bình của tích phân )
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
1.Trong phương pháp này , chúng ta cẩn :
• Kỹ năng : Cần biết phân tích f(x) thành tổng , hiệu , tích , thương của nhiều
hàm số khác , mà ta có thể sử dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản
tìm nguyên hàm của chúng .
• Kiến thức : Như đã trình bày trong phần " Nguyên hàm " , cần phải nắm trắc
các kiến thức về Vi phân , các công thức về phép toán lũy thừa , phép toán căn
bậc n của một số và biểu diễn chúng dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ .
2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
a/
( )4
2
2
1
2 1 1
1
x x
dx
x
− +
+
∫ b/
( )
1 2
3
0 1
x
dx
x +
∫
c/
( )
( )
3
1
2 2 ln 1
2 1
x x x x
dx
x x
− + +
+
∫ d/
2 3 2
4 2
2
1
2 1
x x x
dx
x x
+ − +
− +∫
Giải
a/
( )4
2 2 22 2
2
2 2 2 2
1 1 1
2 1 1 2 1 1
2 1
1 1 1 1
x x x x x x x
dx dx x x dx
x x x x
− +    − +
= + = − + ÷  ÷ ÷+ + + +  
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1
2 21 3
1 1 1 1 1 5 2
1 12 2
x d x d x x x⇒ − − + + = − + + = + −∫ ∫
b/
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 21 1 1 12
3 3 3 3 3 2 3
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
11 1 1 1 1 1 1
x xx x
dx dx dx dx
xx x x x x x x
   + − + +
= = − + = − +   
++ + + + + + +      
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 1
2 3 2
0 0 0
1 1 11 1 1 1 1 1 3
2 ln 1 2 ln 2
0 0 01 1 2 81 1 1
d x d x d x
I x
x xx x x
+ + +
⇒ = − + = + + − = +
+ ++ + +
∫ ∫ ∫
c/
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3
1 1 1
2 2 ln 1 ln 1 ln 11 1
1
22 1 1 1 1 2
x x x x x xx
dx dx x dx
xx x x x x x
   − + + + +−   = + = − +
   + + + +
   
∫ ∫ ∫
( )
( )
( ) ( ) ( )
3 3
3
2
1 1
ln 1 3 32
1 1 ln 1
1 131
x
I x dx d x x x x
x
+  
⇒ = − + + = − + + = +  
∫ ∫
( )2 2
2 3 4 ln 1 3 ln 2= − + + −
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218Trang 2

d/
( )
( ) ( )
32 2 2 23 2
24 2 4 2 2 2
2 2 2 2
41 1 1 2
2 1 4 2 1 1 1
x x dxx x x dx
dx dx
x x x x x x
 −+ − +
 = + +
− + − + −  − 
∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
4 2 22 2 2
4 2
2 2 2
2 11 1 1 1 1 1 1
2
4 2 1 1 4 1 12 1
d x x
dx dx
x x x xx x
− +    
= + − + − ÷  ÷
− + − +− +    
∫ ∫ ∫
= ( )
22
2 2 21 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln ln
4 2 1 2 1 1 12 2 2
x x
x
x x x x
−  − 
− + + − − − = + − + + 
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
a/ ( )22
0
2sin sin 1
1 osx
x x
dx
c
π
−
+∫ b/
3
2 2
0
sin 2
2sin 3cos
x
dx
x x
π
+∫
c/
1
2
1
1 2
ln
4 2
x
dx
x x−
+ 
 ÷
− − 
∫ d/
4
2
0
sinx+ 1+tanx
os
dx
c x
π
∫
a/
2
3
3
ln 1
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫ b/
( )
2 2
2
1
1
2 1
x
dx
x x
−
+∫
c/
34
2
6
4 sin 2
sin 2
x
dx
x
π
π
+
∫ d/
3
0
sin3 . osxdxx c
π
∫
B. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
I. Phương pháp đổi biến số dạng 1.
Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau
1/ Quy tắc :
• Bước 1: Đặt x=v(t)
• Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận
• Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt
• Bước 4: Tính
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
v bb
a v a
v b
f x dx g t dt G t
v a
= =∫ ∫
• Bước 5: Kết luận : I=
( )
( )
( )
v b
G t
v a
2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm )
* Chú ý :
a. Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :
Dấu hiệu Cách chọn
2 2
a x− sin
2 2
ost 0 t
x a t t
x a c
π π
π

= ↔ − ≤ ≤

= ↔ ≤ ≤
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Trang 3

2 2
x a−
[ ]
;
sin 2 2
0;
ost 2
a
x t
t
a
x t
c
π π
π
π
  
= ↔ ∈ −   
  
= ↔ ∈  
 
2 2
a x+
( )
tan ;
2 2
cot 0;
x a t t
x a t t
π π
π
  
= ↔ ∈ − ÷
 
 = ↔ ∈
a x a x
a x a x
+ −
∨
− +
x=a.cos2t
( ) ( )x a b x− − x=a+( ) 2
sinb a t−
b. Quan trọng nhất là các em phải nhận ra dạng :
- Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ :
*
( )2 222
1 1 1 1
0
ax b
a x+
2a 2
dx dx du
bx c a u k
a
β β β
α α α
∆ < = =
+ + +  −∆  +  ÷ ÷
    
∫ ∫ ∫
Với :
b
x+ , ,
2a 2
u k du dx
a
 −∆
= = = ÷ ÷
 
.
* áp dụng để giải bài toán tổng quát :
( )
( )2 12 2 k
dx
k Z
a x
β
α
+
∈
+
∫ .
*
( ) ( )
2 2 2
1 1
2 2 3 1
dx dx
x x x
β β
α α
=
+ − − −
∫ ∫ . Từ đó suy ra cách đặt : 1 3sinx t− =
3/ Một số ví dụ áp dụng :
a/
1
2
0
1 x dx−∫ b/
1
2
2
0
1
1 2
dx
x−
∫ c/
2
2
1
1
3 2
dx
x x+ −
∫
Giải
a/ Đặt x=sint với : ;
2 2
t
π π 
∈ −  
• Suy ra : dx=costdt và :
0 sin 0 0
1 sin 1
2
x t t
x t t
π
= ↔ = → =


= ↔ = → =
• Do đó : f(x)dx= ( )2 2 2 1
1 1 sin ostdt=cos 1 os2t
2
x dx tc tdt c dt− = − = +
• Vậy :
( )1 2
0 0
1 os2t 1 1 1 1 1
( ) sin 2 2
2 2 2 2 2 2 4
0
c dt
f x dx t t
π
π
π π+ −   
= = + = − = ÷  ÷
   
∫ ∫
b/ Đặt : x =
1
sin ;
2 22
t t
π π 
∈ −  

• Suy ra : dx =
x=0 sint=0 t=0
1
ostdt 1 1 1
x= sin2
22 2 2
c
t t
π
↔ →

⇒ 
↔ = → =

• Do đó :
1 1
2 2 2 2
2 20 0 0 02
1 1 1 1 1 1 1 1
ostdt 2
12 2 2 2 2 2 211 2 1 sin 0
22
dx dx c dt t
x tx
π π
π
π
= = = = =
−   −− ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
c/ Vì : ( )
22
3 2 4 1x x x+ − = − − . Cho nên :
• Đặt : ( )
1
1 2sin ; sin *
2 2 2
x
x t t t
π π − 
− = ∈ − ↔ =  
• Suy ra : dx= 2 costdt và :
1 1
1 sin 0 0
2
0; ost>0
2 1 1 6
2 sin
2 2 6
x t t
t c
x t t
π
π
−
= ↔ = = → =  
⇒ ∈ →  −   = ↔ = = → =

• Do đó : f(x)dx=
( ) ( )2 2 2
1 1 1
2cos
3 2 4 1 sin4 1
dx dx tdt dt
x x tx
= = =
+ − −− −
• Vậy :
2 6
1 0
( ) 6
6
0
f x dx dt t
π
π
π
= = =∫ ∫
a/
2
2
1
12 4 5x x dx− −∫ b/
1
2
0
1
1
dx
x x+ +∫
c/
5
2
2
1
4 7
dx
x x− +∫ d/
( )
2
22
0
b
a x
dx
a x
−
+
∫
* Chú ý : Để tính tích phân dạng có chứa ( )2 2 2
,x a a x+ − , ta còn sử dụng phương
pháp đổi biến số : u(x)=g(x,t)
Ví dụ 1 : Tính tích phân sau
1
2
0
1
1
dx
x +
∫
Giải :
• Đặt :
2
2 1
1
2
t
x x t x
t
−
+ = − ⇒ =
• Khi đó : 2
2
0 1; 1 1 2
1
2
x t x t
t
dx
t
 = → = − = → = −

 +
=

• Do vậy : ( )
1 1 2 1 22
2 22
0 1 1
1 2 1 1 2
. ln ln 2 1
1 2 11
t t dt
dx dt t
t t tx
− −
− −
− + −
= = = = − −
+ −+
∫ ∫ ∫
Ví dụ 2: Tính tích phân :
1
2 2
0
1I x x dx= −∫
Giải

• Đặt : t=sinx , suy ra dt=cosxdx và khi x=0,t=0 ; Khi x=1 , t=
2
π
• Do đó : f(x)dx=
2 2 2 2 2 2 1 1 os4t
1 sin . 1 sin ostdt=sin cos
4 2
c
x x dx t tc t tdt dt
− 
− = − =  ÷
 
• Vậy : I= ( )
1 2
0 0
1 1 1 1
( ) 1 os4t sin 4 2
8 8 4 8 2 16
0
f x dx c dt t t
π
π
π π 
= − = − = = ÷
 
∫ ∫
II. Đổi biến số dạng 2
1. Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước
sau : )
• Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) .
• Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx
• Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt .
• Bước 4: Tính
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
u bb
a u a
u b
f x dx g t dt G t
u a
= =∫ ∫
• Kết luận : I=
( )
( )
( )
u b
G t
u a
2. Nhận dạng :
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
A. DẠNG : I= ( )
( )
0
ax+b
P x
dx a
β
α
≠∫
* Chú ý đến công thức : ln ax+b
ax+b
m m
dx
a
β
α
β
α
=∫ . Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc
bằng 2 thì ta chia tử cho mẫu dẫn đến
( ) 1
( ) ( )
ax+b ax+b ax+b
P x m
dx Q x dx Q x dx m dx
β β β β
α α α α
= + = +∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ 1 : Tính tích phân : I=
2 3
1
2 3
x
dx
x +∫
Giải
Ta có :
3
21 3 9 27 1
( )
2 3 2 4 8 8 2 3
x
f x x x
x x
= = − + −
+ +
Do đó :
2 23
2 3 2
1 1
21 3 9 27 1 1 3 9 27 13 27
ln 2 3 ln35
12 3 2 4 8 8 2 3 3 8 8 16 6 16
x
dx x x dx x x x x
x x
   
= − + − = − + − + = − − ÷  ÷
+ +   
∫ ∫
Ví dụ 2: Tính tích phân : I=
3 2
5
5
1
x
dx
x
−
+∫
Giải
Ta có : f(x)=
2
5 4
1
1 1
x
x
x x
−
= − −
+ +
.

Do đó :
3 32
2
5 5
35 4 1 5 1
1 4ln 1 5 1 4ln
1 1 2 45
x
dx x dx x x x
x x
 − +   
= − − = − − + = − +  ÷ ÷  ÷  ÷+ +     
∫ ∫
B. DẠNG : 2
( )
ax
P x
dx
bx c
β
α + +∫
1. Tam thức : 2
( ) axf x bx c= + + có hai nghiệm phân biệt
Công thức cần lưu ý :
'( )
ln ( )
( )
u x
dx u x
u x
β
α
β
α
=∫
Ta có hai cách
Cách 1: ( Hệ số bất định )
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
1
2
0
4 11
5 6
x
dx
x x
+
+ +∫ .
Giải
Ta có : f(x)=
( ) ( )
2
3 24 11 4 11
5 6 ( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3)
A x B xx x A B
x x x x x x x x
+ + ++ +
= = + =
+ + + + + + + +
Thay x=-2 vào hai tử số : 3=A và thay x=-3 vào hai tử số : -1= -B suy ra B=1
Do đó : f(x)=
3 1
2 3x x
+
+ +
Vậy : ( )
1 1
2
0 0
14 11 3 1
3ln 2 ln 3 2ln3 ln 2
05 6 2 3
x
dx dx x x
x x x x
+  
= + = + + + = − ÷
+ + + + 
∫ ∫
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
Ta có : f(x)=
( )
( ) ( )2 2 2
2 2 5 1 2 5 1 2 5 1 1
2. 2.
5 6 5 6 2 3 5 6 2 3
x x x
x x x x x x x x x x
+ + + +
= + = + −
+ + + + + + + + + +
Do đó : I=
1 1
2
2
0 0
12 5 1 1 2
( ) 2. 2ln 5 6 ln 2ln3 ln 2
05 6 2 3 3
x x
f x dx dx x x
x x x x x
+  +  
= + − = + + + = − ÷  ÷
+ + + + +   
∫ ∫
2. Tam thức : 2
( ) axf x bx c= + + có hai nghiệm kép
Công thức cần chú ý : ( )
'( )
ln ( )
( )
u x dx
u x
u x
β
α
β
α
=∫
Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t .
Ví dụ 4 : Tính tích phân sau : I=
3 3
2
0
2 1
x
dx
x x+ +∫
Giải
Ta có :
( )
3 33 3
22
0 0
2 1 1
x x
dx dx
x x x
=
+ + +
∫ ∫
Đặt : t=x+1 suy ra : dx=dt ; x=t-1 và : khi x=0 thì t=1 ; khi x=3 thì t=4 .
Do đó :
( )
( )
33 4 43
2
2 2 2
0 1 1
41 3 1 1 1 3
3 3 ln 2ln 2
12 21
tx
dx dt t dt t t t
t t t tx
−    
= = − + − = − + + = − ÷  ÷
   +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 5: Tính tích phân sau : I=
1
2
0
4
4 4 1
x
dx
x x− +∫
Giải
Ta có :
( )
22
4 4
4 4 1 2 1
x x
x x x
=
− + −
Đặt : t= 2x-1 suy ra :
0 11
2 ;
1 12
x t
dt dx dx dt
x t
= ↔ = −
= → = 
= ↔ =
Do đó :
( )
( )1 1 1 1
22 2 2
0 0 1 1
1
4. 1 14 4 1 1 1 12 ln 2
14 4 1 22 1
t
x x
dx dx dt dt t
x x t t t tx − −
+
   
= = = + = − = − ÷  ÷
−− +    −
∫ ∫ ∫ ∫
3. Tam thức : 2
( ) axf x bx c= + + vô nghiệm :
Ta viết : f(x)= ( )2 2 22
( ) ( ) 2
;
22 2
b
u x
P x P x a
a u kb ka x aa a

= +
= 
  + −∆  −∆  = + +  ÷ ÷     
Khi đó : Đặt u= ktant
2
2
0
4 5
x
dx
x x+ +∫
Giải
• Ta có :
( )
2 2
22
0 0
4 5 2 1
x x
dx dx
x x x
=
+ + + +
∫ ∫
• Đặt : x+2=tant , suy ra : dx= 2
0 tan 21
;
2 tan 4os
x t
dt
x tc t
= ↔ =
⇒ 
= ↔ =
• Do đó :
( )
( ) ( )
2 2
1 1
2
2
2 2 2
10
tan 2 sin
2 ln ost 2 1
1 tan os ost2 1
t t
t t
tx t dt t
dx dt c t
tt c t cx
−  
= = − = − − ÷
+  + +
∫ ∫ ∫
Từ :
2 2
1
2 2
2
1 1
tan 2 1 tan 5 os ost
5 5
1 1
tan 4 1 tan 17 os ost
17 17
t t c t c
t t c t c

= ↔ + = ↔ = → =


= ↔ + = ↔ = → =

• Vậy : ( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 2 1 1 2 1
1 1
ost
ln ost 2 ln ost 2 ln cos 2 ln 2
cost
t c
c t c t t t t t
t
 − − = − − − − = − + − 
• ( ) ( ) ( )2
2 1
1
ost 1 1 5
ln 2 2 arctan4-arctan2 ln . 5 2 arctan4-arctan2 ln
cost 2 1717
c
t t⇔ − + − = − = −
2 3 2
2
0
2 4 9
4
x x x
dx
x
+ + +
+∫
Giải
• Ta có :
3 2
2 2
2 4 9 1
2
4 4
x x x
x
x x
+ + +
= + +
+ +
• Do đó :
2 2 23 2
2
2 2 2
0 0 0
22 4 9 1 1
2 2 6
04 4 2 4
x x x dx
dx x dx x x J
x x x
+ + +    
= + + = + + = + ÷  ÷
+ + +   
∫ ∫ ∫ (1)

Tính tích phân J=
2
2
0
1
4
dx
x +∫
• Đặt : x=2tant suy ra : dx = 2
0 0
2
; 0; ost>0
os 42
4
x t
dt t c
c t x t
π
π
= → =
  
↔ ∈ →  = → =  
• Khi đó :
2 4 4
2 2 2
0 0 0
1 1 1 2 1 1
4
4 4 1 tan os 2 2 8
0
dx dt dt t
x t c t
π π
π
π
= = = =
+ +∫ ∫ ∫
• Thay vào (1) : 6
8
I
π
= +
C. DẠNG : 3 2
( )
ax
P x
dx
bx cx d
β
α + + +∫
1. Đa thức : f(x)= ( )3 2
ax 0bx cx d a+ + + ≠ có một nghiệm bội ba
Công thức cần chú ý : 1
1 1 1
.
1m m
dx
x m x
β
α
β
α−
=
−∫
( )
1
3
0 1
x
dx
x +
∫
Giải
Cách 1:
• Đặt : x+1=t , suy ra x=t-1 và : khi x=0 thì t=1 ; khi x=1 thì t=2
• Do đó :
( )
1 2 2
3 3 2 3 2
0 1 1
21 1 1 1 1 1 1
12 81
x t
dx dt dt
t t t t tx
−    
= = − = − + = ÷  ÷
   +
∫ ∫ ∫
Cách 2:
• Ta có :
( )
( )
( ) ( ) ( )
3 3 2 3
1 1 1 1
1 1 1 1
xx
x x x x
+ −
= = −
+ + + +
• Do đó :
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
3 2 3 2
0 0
11 1 1 1 1 1
01 2 81 1 1 1
x
dx dx
xx x x x
   
= − = − + =   
++ + + +      
∫ ∫
Ví dụ 9 : Tính tích phân : I=
( )
0 4
3
1 1
x
dx
x− −
∫ .
Giải
• Đặt : x-1=t , suy ra : x=t+1 và : khi x=-1 thì t=-2 và khi x=0 thì t=-1 .
• Do đó :
( )
( )
40 1 1 14 4 3 2
3 3 3 2 3
1 2 2 2
1 4 6 4 1 6 4 1
4
1
tx t t t t
dx dt dt t dt
t t t t tx
− − −
− − − −
+ + + + +  
= = = + + + + ÷
 −
∫ ∫ ∫ ∫
•
1
2
2 3 2
2
16 4 1 1 4 1 1 33
4 4 6ln 6ln 2
22 2 8
t dt t t t
t t t t t
−
−
−   
⇔ + + + + = + + − − = − ÷  ÷
−   
∫
2. Đa thức : f(x)= ( )3 2
ax 0bx cx d a+ + + ≠ có hai nghiệm :
Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu
Ví dụ 10 : Tính tích phân sau : I=
( ) ( )
3
3
2
1
1 1
dx
x x− +
∫

Giải
Cách 1. ( Phương pháp hệ số bất định )
• Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
1 1 1 11
1 11 1 1 1 1
A x B x x C xA B C
x xx x x x x
+ + − + + −
= + + =
− +− + + − +
• Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số :
1
1 4 4
1 2 1
2
A
A
C
C

== 
⇔ 
= −  = −

. Khi đó (1)
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 1 1 1
1 1 1
4 2 41 1
A B x A C x A B C
A B C B A C
x x
+ + + + − −
⇔ ⇒ − − = ⇔ = − − = + − = −
− +
• Do đó :
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1
. .
4 1 4 1 21 1 1
dx dx
x xx x x
 
= + − ÷
 ÷− +− + + 
∫ ∫
( ) ( )
( )
31 1 1 1 3
ln 1 1 . ln8 ln 2
24 2 1 4 4
I x x
x
 
⇔ = − + + = = 
+ 
Cách 2:
• Đặt : t=x+1, suy ra : x=t-1 và khi x=2 thì t=3 ; khi x=3 thì t=4 .
• Khi đó : I=
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 4 4 4 4
2 2 2
2 3 3 2 3
21 1 1 1 1
2 2 2 2 21 1
t tdt
dx dt dt dt
t t t t t t tx x
 − −
= = = − ÷ ÷− − −− +  
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4 4
2 3
41 1 1 1 1 1 2 1 3
ln ln ln 2
32 2 2 4 2 4
t
I dt dt t
t t t t
   −  
⇔ = − − = − = ÷ ÷  ÷
−    
∫ ∫
Hoặc :
( ) ( )2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2
3 4 3 21 1 3 4 4 3 4 1 3 4 1 3 2
2 2 4 2 2 4 2 4
t t tt t t t t t
t t t t t t t t t t t t t
− +  − − − −  
= − = − = − + ÷    ÷
− − − − −     
• Do đó : I=
4 2
3 2
3 2 2
3
43 4 1 3 2 1 2 3
ln 2 3ln ln 2
32 4 4 4
t t
dt t t t
t t t t t
 −     
− + = − − − = ÷ ÷  ÷ ÷
−      
∫
Hoặc :
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
41 1 1 1 2 1 1 1 2
2 4 2 4 2 4 2
t t t
t t t t t t t t t
 − − +   
 ÷= = − = − − ÷  ÷ ÷− − − −    
• Do đó : I=
4
2
3
41 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1
ln ln ln ln3 ln 2
34 2 4 4 2 2 3 3 4 6
t
dt
t t t t t
 −      
− − = + = + − − = − − ÷  ÷  ÷ ÷
−      
∫
( ) ( )
3 2
2
2 1 2
x
dx
x x− +
∫
Giải
Đặt : x-1=t , suy ra : x=t+1 , dx=dt và : khi x=2 thì t=1 ; x=3 thì t=2 .
Do đó :
( ) ( )
( )
( ) ( )
23 2 22 2
2 2 2
2 1 1
1 2 1
3 31 2
tx t t
dx dt dt
t t t tx x
+ + +
= =
+ +− +
∫ ∫ ∫
Cách 1; ( Hệ số bất định )
Ta có :
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 22
2 2 2 2
3 3 32 1
3 3 3 3
At B t Ct A C t A B t Bt t At B C
t t t t t t t t
+ + + + + + ++ + +
= + = =
+ + + +

Đồng nhất hệ số hai tử số :
( )
2
2 2
1
31
5 2 1 1 3 4 1
3 2
9 3 9 9 3
3 1
4
9
B
A C
t t t
A B A
t t t t
B
C

=
+ = 
+ + + 
+ = ⇔ = ⇒ = + 
+ + = 
=

Do đó :
( )
2 22
2 2
1 1
22 1 1 1 3 4 1 1 3 4 17 4 7
ln ln 3 ln5 ln 2
13 9 9 3 9 9 6 9 9
t t
dt dt t t
t t t t t t
+ +         
= + + = − + + = + − ÷  ÷  ÷ ÷  ÷
+ +        
∫ ∫
Cách 2:
• Ta có :
( ) ( )
( )
( )
2 22 2 2 2
2 3 2 3 2 2 3 2 2
92 1 1 3 6 3 1 3 6 3 1 3 6 1
3 3 3 3 3 3 3 3 9 3
t tt t t t t t t t
t t t t t t t t t t t t
  − −    + + + + + +
  ÷= = + = +  ÷  ÷  ÷+ + + + + +        
2 2
3 2 2 3 2 2
1 3 6 1 1 1 3 1 3 6 1 1 1 1 3
3 3 9 3 9 3 3 9 3 9
t t t t t
t t t t t t t t t
    + − +  
= + − = + − −  ÷  ÷  ÷
+ + + +      
• Vậy :
( )
2 22 2
3 2
2 3 2 2
1 1
22 1 1 3 6 1 1 1 3 1 1 3 3
ln 3 ln
13 3 3 9 3 3 27
t t t t t
dt dt t t
t t t t t t t t t
    + + +  +  
= + − + = + + − ÷ ÷   ÷  ÷
+ + +       
∫ ∫
• Do đó I=
17 4 7
ln5 ln 2
6 9 9
+ −
3. Đa thức : f(x)= ( )3 2
ax 0bx cx d a+ + + ≠ có ba nghiệm :
( )
3
2
2
1
1
dx
x x −∫
• Ta có : f(x)=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 1 11 1
1 1 1 1 1 11
A x Bx x Cx xA B C
x x x x x x x x xx x
− + + + −
= = + + =
− + − + − +−
• Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm : x=0;x=1 và x=-1 vào
hai tử ta có :
1
0 1
1 1 1 1 1 1
1 1 2 ( )
2 2 1 2 1
1 1 2
1
2
A
x A
x C B f x
x x x
x B
C

 = −
= → = − 
     
= − → = ⇔ = ⇒ = − + +   ÷  ÷
− +    = → = 
=
• Vậy :
( )
( ) ( )( )
3 3
2
2 2
31 1 1 1 1 1 5 3
ln 1 1 ln ln 2 ln3
22 1 1 2 2 21
dx dx x x x
x x xx x
    
= + − = − + − = − ÷ ÷  − +−     
∫ ∫
Cách 2: ( Phương pháp nhẩy lầu )
Ta có :
( )
( )
( )
2 2
2 22 2
11 1 1 2 1
1 2 11 1
x x x x
x x x xx x x x
− −
= = − = −
− −− −

Do đó :
( )
( )
3 3 3
2
22
2 2 2
31 1 2 1 1 5 3
ln 1 ln ln 2 ln3
22 1 2 2 21
xdx
dx dx x x
x xx x
 
= − = − − = − ÷
−−  
∫ ∫ ∫
( )
4
2
3
1
4
x
dx
x x
+
−∫
Cách 1:
Ta có :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
4 2 21 1
2 2 2 24 4
A x Bx x Cx xx x A B C
x x x x x xx x x x
− + + + −+ +
= = + + =
− + − +− −
Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số :
Khi x=0 : 1= -4A suy ra : A=-1/4
Khi x=-2 : -1= 8C suy ra C=-1/8
Khi x=2 : 3= 8B suy ra : B=3/8 .
Do đó : f(x) =
1 1 1 1 3 1
4 8 2 8 2x x x
     
− − + ÷  ÷  ÷
− +     
Vậy :
( )
4 3 3 3
2
3 2 2 2
31 1 1 1 1 3 1 1 1 3
ln ln 2 ln 2
24 8 2 8 2 4 8 84
x
dx dx dx dx x x x
x x xx x
+  
= − − + = − − − + + = ÷
− +−  
∫ ∫ ∫ ∫
5 3 1
ln3 ln5 ln 2
8 8 4
= − −
Cách 2:
Ta có :
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
22 2 2 2
41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
4 2 2 4 4 2 2 2 44 4 4 4
x xx x
x x x x x xx x x x x x x
 − −+    
 ÷= + = − + = − + − ÷  ÷ ÷− + − + −− − − −    
Do đó :
( )
( )
4 4
2
22
3 3
41 1 1 1 1 2 1 1 2 1
ln ln 4 ln
34 2 2 2 4 4 2 24
x x x
dx dx x x
x x x x xx x
+  −  
= − + − = + − − ÷  − + − +−    
∫ ∫
Ví dụ 14: Tính tích phân sau :
( )( )
3 2
2
2 1 2
x
dx
x x− +∫
Giải
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
22 2
2 2
1 2 1 2 1
1 1 2 1 1 21 2 1 2
A x x B x x C xx x A B C
x x x x x xx x x x
+ + + − + + −
= = + + =
− + + − + +− + − +
Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số :
Thay : x=1 Ta cớ : 1=2A , suy ra : A=1/2
Thay : x=-1 ,Ta có :1=-2B, suy ra : B=-1/2
Thay x=-2 ,Ta có : 4= -5C, suy ra : C=-5/4
Do đó :
I=
( )( )
3 32
2
2 2
31 1 1 1 5 1 1 1 5 1 3
ln ln 2 ln
22 1 2 1 4 2 2 1 4 2 21 2
x x
dx dx x
x x x xx x
 −  
= − − = − + = ÷  − + + +− +    
∫ ∫
Cách 2.( Nhẩy tầng lầu )

Ta có :
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1 21 1 1 1 1 1
2 1 1 2 2 2 1 1 21 2 1 2
x x x xx x
x x x x x x x xx x x x
+ − − +− +
= = + = +
+ − + + + − + +− + − +
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 1 2 1 2 2 3 1 2 1
x
x x x x x x x x
    
= + − = + + − −   ÷ + − + + + − + +   
Từ đó suy ra kết quả .
D. DẠNG
( )
4 2
ax
R x
dx
bx c
β
α + +∫
Những dạng này , gần đây trong các đề thi đại học ít cho ( Nhưng không hẳn là
không cho ) , nhưng tôi vẫn đưa ra đây một số đề thi đã thi trong những năm các
trường ra đề thi riêng , mong các em học sinh khá ,giỏi tham khảo để rút kinh
nghiệm cho bản thân .
Sau đây tôi lấy một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
a.
( )
1
22
0
1
3 2
dx
x x+ +
∫ b.
1 2
3
1
2
1
1
x
dx
x
+
+∫
Giải
a.
( )
1
22
0
1
3 2
dx
x x+ +
∫
Ta có :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 22
1 1 1 1
3 2 1 2 ( )
1 21 23 2
x x x x f x
x xx xx x
 
+ + = + + ⇒ = = = − 
+ ++ + + +   
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 1
2
1 2 1 21 2 1 2x x x xx x x x
 
= + − = + − − ÷
+ + + + + + + +
. Vậy :
( ) ( ) ( )
1 1
2 2 22
0 0
11 1 1 1 1 1 1 1 2
2 2ln 2ln3
01 2 1 2 2 31 23 2
x
dx dx
x x x x xx xx x
   +  
= + − − = − − − = +  ÷  ÷
+ + + + + + +   + +  
∫ ∫
b.
1 2
3
1
2
1
1
x
dx
x
+
+∫
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 2 2
1 1 1
( )
1 1 1 1 1 1 1
x x x x x x x
f x
x x x x x x x x x x
+ − + + − +
= = = +
+ + − + + − + + − +
1
3 3
1
2
1 1 1 2
( )
1 1 1 2 1
x x
f x dx
x x x x
 
⇔ = + ⇒ + ÷
+ + + + 
∫
a.
3 2
4 2
1
1
1
x
dx
x x
−
− +∫ b.
1 4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+∫
Giải

a.
3 2
4 2
1
1
1
x
dx
x x
−
− +∫ . Chia tử và mẫu cho 2
0x ≠ , ta có :
( )
3 3 22
2 21 1
2 2
11 11
( ) ( ) 1
1 1
1 1
dx
xxf x f x dx
x x
x x
 
−−  ÷
 = ⇒ =
 + − + − ÷
 
∫ ∫
Đặt :
2 2
2 2
1 2
1 1 1
2, 1 4
3
3
x t
t x x t dt dx
x tx x x
= → =
  = + ⇒ + = − = − ↔ ÷  = → = 

Vậy :
( )( )
4 4 4
3 3 3 3
2
1 2 2 2
1 1 1 1
( )
3 2 3 3 33 3
dt
f x dx dt dt
t t tt t
 
= = = − ÷− − +− +  
∫ ∫ ∫ ∫
( )
4
1 3 1 1 7 4 3 1
ln ln ln ln 7 4 33
7 72 3 3 2 3 2 3
2
t
I
t
 − −
= = − = + ÷ ÷+  
)
b.
1 4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+∫ . Vì :
( ) ( )( )
( ) ( )
36 2 2 4 2
26 3 2 3
1 1 1 1
1 1 1
x x x x x
x x t t x
 − = − = − + +


− = − = − =
Cho nên :
( )( ) ( ) ( )
1 14 4 2 2 2
2 26 22 4 2 3 3
0 0
1 1 1 1 3
( ) ( )
1 1 31 1 1 1
x x x x x
f x f x dx dx
x xx x x x x
 
+ − +  = = − ⇒ = −
 + ++ − + + + 
∫ ∫
Vậy : ( )21 11 1 1
arctan arctan 3x arctan1- arctan3 arctan3
0 03 3 4 3
I x
π
= − = = −
a.
1 12 2
4 4
0 0
1 1
1 1
x x
dx dx
x x
+ −
∨
+ +∫ ∫ b.
2
4
1
1
1
dx
x +∫
Giải
a.
1 12 2
4 4
0 0
1 1
1 1
x x
dx dx
x x
+ −
∨
+ +∫ ∫ . Ta có :
2 22 2
4 4
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
( ) , ( )
1 11 1
x xx xf x g x
x xx x
x x
+ −
+ −
= = = =
+ ++ +
. Cho nên
Đặt :
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 1 5
1 , 2, 1 2, 2
2
1 1 1 3
1 , 2, 1 0, 2
2
t x dt dx x t x t x t
x x x
t x dt dx x t x t x t
x x x
  
= + ⇒ = − + = − = → = = → = ÷
 
  
= − ⇒ = + + = + = → = = → =  ÷
 
. Vậy :
( )( )
5 5 5
2 2 2 2
2
1 2 2 2
5
1 1 1 1 1 2
( ) ln 2
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2
dt t
f x dx dt dt
t t t tt t
−  
⇔ = = = − = ÷  ÷− − + +   − +
∫ ∫ ∫ ∫

( )
3
2 2
2
1 0
1
( ) 1
2
g x dx dt
t
⇔ =
+∫ ∫ .
Đặt : 12
1 3 3 2
2 tan 2 0 0, arctan
os 2 4
t u dt du t u t u u
c u
= → = ↔ = → = = → = =
Do đó (1)
( )
1 1
1
12 2
0 0
2 2 2 2
02 2 2os 2 2tan
u u
udu
du u u
c u u
⇔ = = =
+∫ ∫
b.
2
4
1
1
1
dx
x +∫ . Ta có : ( )
2 2 2 2
4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 1 2
x x x x
F x f x g x
x x x x
   + + − + −
= = = − = − ÷  ÷
+ + + +   
Đã tính ở trên ( phần a)
a.
( )( )
2 2
2 2
1
1
5 1 3 1
x
dx
x x x x
−
− + − +∫ b.
5
2
4 2
3
2
4 3
dx
x x− +∫
c.
1 5
22
4 2
1
1
1
x
dx
x x
−
+
− +∫ d. I =
73
8 4
2
x
dx
1 x 2x+ −
∫
Giải
a.
( )( )
2 2
2 2
1
1
5 1 3 1
x
dx
x x x x
−
− + − +∫ . Ta có :
( )( )
( )
2 22 22
2 2
1 1
11 11
1
( ) ( ) 1
1 1 1 15 1 3 1 5 5 3
3
dx
x xxf x f x dx
x x x x x x x x
x x x x
 
−−  ÷−  = = ⇒ =
     − + − + + − + + − + − ÷ ÷  ÷ ÷
−     
∫ ∫
Đặt : 2
1 1 5
1 , 1 2, 2
2
t x dt dx x t x t
x x
 
= + → = − = → = = → = ÷
 
Vậy (1) trở thành :
( ) ( )
( )
5 5
2 2
2 2
5
1 1 1 1 5 1 1 5
ln ln5 ln3 ln2
5 3 2 5 3 2 3 2 2 3
2
dt t
dt
t t t t t
− 
= − = = − = ÷
− − − − − 
∫ ∫
b.
5
2
4 2
3
2
4 3
dx
x x− +∫ . Ta có :
( )( )4 2 2 22 2
1 1 1 1 1
( )
4 3 2 3 11 3
f x
x x x xx x
 
= = = − ÷
− + − −− −  
Do đó : ( )
5 5
2 2
2 2
3 3
2 2
1 1
( ) 1
3 1
f x dx dx I J
x x
 
= − = − ÷
− − 
∫ ∫ Với :
( )( ) ( )
5 5 5
2 2 2
2
3 3 3
2 2 2
5
1 1 1 1 1 1 3 1 37 20 32ln ln
33 2 3 3 3 2 3 3 2 33 3 65 7 4 3
2
x
I dx dx dx
x x x xx x
− − 
= = = − = = ÷− − + +− + − 
∫ ∫ ∫

( ) ( )
5
1 1 2
2
30 0
2
5
1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 152
ln ln ln ln
31 1 1 2 1 1 2 1 2 7 5 2 7
2
x
J dx dx dx
x x x x x x
−   
= = = − = = − = ÷  ÷
− − + − + +   
∫ ∫ ∫
c.
1 5
22
4 2
1
1
1
x
dx
x x
−
+
− +∫ .
Học sinh xem lại cách giải ví dụ 2-a . Chỉ khác là đặt :
1
t x
x
= − , sẽ ra kết quả .
d. I =
( )
( )
7 43 3
3
8 4 242 2
x x
dx x dx 1
1 x 2x x 1
=
+ − −
∫ ∫
Đặt :
( )
( )
3
4 4
3
2 24
3 , 2 15; 3 80
11 1 1 1 1 1
( ) 3
3 3 31
dt x dx x t x t
tt x x
f x dx x dx dt dt
t t tx
 = = → = = → =

+= − ⇒  
= = = + ÷ −  
Vậy :
80
2
15
801 1 1 1 1 1 16 13
ln ln
153 3 3 3 720
I dt t
t t t
   
= + = − = + ÷  ÷
   
∫
E. TRƯỜNG HỢP :
( )
( )
R x
dx
Q x
β
α
∫ ( Với Q(x) có bậc cao hơn 4 )
Ở đây tôi chỉ lưu ý : Đối với hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử thấp hơn bậc mẫu tới
hai bậc hoặc tinh ý nhận ra tính chất đặc biệt của hàm số dưới dấu tích phân mà có
cách giải ngắn gọn hơn . Phương pháp chung là như vậy , nhưng chúng ta khéo léo
hơn thì cách giải sẽ hay hơn .
Sau đay tôi minh họa bằng một số ví dụ
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau .
a.
( )
2
4
1 1
dx
x x +∫ b.
( ) ( )
1
22
2
0
1
1 3
x
dx
x x
+
− +
∫
Giải
a.
( )
2
4
1 1
dx
x x +∫ . Nếu theo cách phân tích bằng đồng nhất hệ số hai tử số thì ta có :
( )
( ) ( )
( )
4 3 23 2
44 4
11
( )
11 1
A x x Bx Cx Dx EA Bx Cx Dx E
f x
x xx x x x
+ + + + ++ + +
= = + = =
++ +
( )
( )
4 3 2 3
44
0 1
0, 0 1Ex+A 1
( ) ( )
0 0, 0, 11
1 0
A B A
C D BA B x Cx Dx x
f x f x
E C D x xx x
A E
+ = = 
 = = = −+ + + +  
⇔ = ⇒ ⇔ ⇒ = − 
= = = ++  
 = = 
Nhưng nếu ta tinh ý thì cách làm sau sẽ hay hơn .
Vì x và 3
x cách nhau 3 bậc , mặt khác [ ]1;2 0x x∈ ⇒ ≠ . Cho nên ta nhân tử và mẫu với
3
0x ≠ . Khi đó
( )
3
4 4
( )
1
x
f x
x x
=
+
. Mặt khác ( ) ( )4 3 3 4
4 4d x x dx dt x dx t x= ⇔ = = , cho nên :

( ) ( )
3
4 4
1 3 1 1 1 1
( ) ( )
3 3 1 3 11
x dx dt
f x dx f t
t t t tx x
 
= = = − = ÷
+ ++  
. Bài toán trở nên đơn giản hơn rất
nhiều . ( Các em giải tiếp )
b.
( ) ( )
1
22
2
0 1 3
x
dx
x x− +
∫
Nhận xét :
* Nếu theo cách hướng dẫn chung ta làm như sau :
-
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3 2
1
( )
1 31 3 1 1
x A B C D
f x
x xx x x x
+
= = + + +
− +− + − −
- Sau đó quy đồng mẫu số , đồng nhất hệ số hai tử số , ta có :
1 3 5
, ,
2 8 32
A B C D= = = − =
Do vậy :
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
3 2
0
1 3 5 5
32 1 32 32 1 8 1
I dx
x xx x
 
= + + − ÷
 ÷− +− − 
∫
( ) ( )2
1
1 3 5 5 5 1
ln 1 ln 3 ln2
8 1 32 32 32 288 1 0
x x
xx
 
= − − + − − + = 
−−  
a.
3 4
6
2
1
1
x
dx
x
−
−∫ b.
2 2
6
1
1
1
x
dx
x
+
+∫ c.
( )
2
4
1 1
dx
x x+∫
d.
( )
1 3
32
0 1
x
dx
x+
∫ e.
( )
1 4 2
32
0
3 1
1
x x
dx
x
+ +
+
∫ f.
( )
1
31 3
4
1
3
x x
dx
x
−
∫
Giải
a.
( )( ) ( ) ( )
2 2 3 34 4 2 2 2
6 2 3 32 22 4 2 3 3
1 1 2 2
1 1 2 1 1 1
1 1 1 11 1 1 1
x x x x x
dx dx dx dx
x x x xx x x x x
   
− + + + ÷  ÷
= − = + + − ÷  ÷− − − +   − + + − − ÷  ÷         
∫ ∫ ∫ ∫
Tính J : J= artanx
3
artan3-artan2
2
= .
Tính K . Đặt
( )
2
3 2
3 2
3 , 2 8; 3 27
1 1 1 1 1
( )
1 3 3 2 1 11
dt x dx x t x t
t x x dt
g x dx dx dt
x t tt
 = = → = = → =

= ⇒   = = = − ÷ − − +−  
Do đó : K= ( )
3 27
2 8
27 271 1 1 1 1 1 1 117
( ) ln 1 ln 1 ln ln
8 86 1 1 6 6 1 6 98
t
g x dx dt t t
t t t
− 
= − = − − + = = ÷
− + + 
∫ ∫
Tính E=
( ) ( )
3 3
3 2
2 2
1 1
1 1 1
dx dx
x x x x
=
− − + +∫ ∫
Ta có :
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
32 2 2
11 1
( )
11 1 1 1 1 1
x x x x
h x
xx x x x x x x x x
− − −
= = = −
−− + + − + + − + +

( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
3 3 2 3 2 22
1 1 1 1 2 1 1
1 1 1 1 2 1 11 1
x xx x x x x
x x x x x x x x xx x x
− + + + 
= − = − = − + ÷
− − + + − + + + +− + +  
Vậy :
( )3 3 32
23 2 2
2 2 2
2 11 3 1 1
3 1 2 1 1 3
2 2
xx
I dx dx dx
x x x
x
+
= − −
− + +   
+ +  ÷ ÷
   
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )3 23 31 1 1 28 1 13
ln 1 ln 1 ln ln 2
2 23 2 3 9 2 6
x x x F F= − − + + − = − −
Tính F : Đặt :
2
3 1
1 3 2 ostan
2 2 5 10
2 tan ; 3 tan
3 3
dx dt
c tx t
x t t a x t t b

=

+ = ⇒ 
 = → = → = = → = → =

Do đó F=
( )
2
2
3 1
5 5 102 os t ant= artan ; artan
3 3 3 3
1 tan
2
b b
a a
dt bc t dt t b a t a b
a
t
 
= = = − → = = = ÷
 
+
∫ ∫
Thay vào (2) ta có kết quả .
b. ( )( ) ( ) ( )( )
2 1 2 22 2
26 2 4 2 2 22 2
1 0 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 11
x x
dx dx dx dx
x x x x x x x xx x
+ +
= = =
+ + − + + + − +− −
∫ ∫ ∫ ∫
Ta có :
( )( ) 2 22 2
1 Ax+B
1 11 1
Cx D
x x x xx x x x
+
= +
+ + − ++ + − +
( ) ( ) ( ) ( )3 2
4 2
1
A C x B A C D x A B C D x B D
x x
+ + − + + + − + + + +
=
− +
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :
1
2
0 1
0 1 2 0 2
0 0 1
21 1
1
2
A
A C A C
C
B A C D C
A B C D B D
D
B D B D
B

= −
+ = = − 
 = − + + = − =  
⇔ ⇔  
− + + = − + =   =
  + = + = 

 =

Vậy : ( ) ( )
2 2
2 2
1 1
1 1 1 1
1
2 1 1 2
x x
I dx dx J K
x x x x
 − +
= + = + ÷
+ + − + 
∫ ∫
Tính J=
( )
2 2 2 2
2
22 2 2 2
1 1 1 1
21 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1
ln 1 2
11 2 1 2 1 2 21 3
2 2
x x x
dx dx dx dx x x E
x x x x x x
x
− + + − +
= − = − + = − + + +
+ + + + + +   
+ +  ÷ ÷
   
∫ ∫ ∫ ∫
Tính E =
2
22
1
3 1
2 1 3
2 2
dx
x
  
+ +  ÷ ÷
   
∫
, học sinh tự tính bằng cách đặt :
1 3
tan
2 2
x t+ =
Tính K

( )
2 2 2 1
2
22 2 2 2
1 1 1 0
21 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1
ln 1 2
11 2 1 2 1 2 21 3
2 2
x x x
K dx dx dx dx x x F
x x x x x x
x
+ − + −
= = = + = − + +
− + − + − +   
− + ÷ ÷
   
∫ ∫ ∫ ∫
Tính F=
2
22
1
3 1
2 1 3
2 2
dx
x
  
− +  ÷ ÷
   
∫
, học sinh tự tính bằng cách đặt :
1 3
tan
2 2
x t− =
c.
( ) ( )
( ) ( )4 42 2 23 4
4 4 44 4 4
1 1 1
21 3 1 1 1 32
ln ln
13 3 1 3 1 3 171 1
d x d xdx x x
dx
x x xx x x x
   
 ÷= = − = = ÷ ÷+ ++ +   
∫ ∫ ∫
d.
( ) ( )
( )
1 13 2
3 32 2
0 0
1
2 1
21 1
x x
dx xdx
x x
=
+ +
∫ ∫ . Đặt :
2
2 1; 2
1
0 1, 1 2
x t dt xdx
t x
x t x t
 = − =
= + ⇒ 
= → = = → =
Do đó
2 2
3 2 3 2
1 1
21 1 1 1 1 13
14 16
t
I dt dt
t t t t t
−    
= = − = − + = ÷  ÷
   
∫ ∫
e.
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
221 1 1 14 2 2 2
3 3 3 322 2 2 2
0 0 0 0
13 1 1
1
11 1 1 1
xx x x x
dx dx dx dx J K
xx x x x
 ++ +  ÷= + = + = +
 ÷ ++ + + + 
∫ ∫ ∫ ∫
Tính J : Bằng cách đặt tan
4
x t J
π
= ⇒ =
Tính K=
( ) ( )
( )
1
2 32 2
0
1 1
2
1 1
dx E F
x x
 
 ÷− = +
 ÷+ + 
∫
Tính E : Bằng cách đặt
2
1
os
tan
0 0; 1
4
dx dt
c t
x t
x t x t
π

=
= ↔ 
 = → = = → =

Vậy :
2 21 4 4 4
2
2 2 2 2
0 0 0 0
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1
os
12 1 2 1 tan os 2 os 2
os
E dx dt dt c tdt
x t c t c t
c t
π π π
   
= = = = ÷  ÷
+ +   
∫ ∫ ∫ ∫
( )
4
0
1 1 1 1 1 2
1 os2t sin 2 4
4 4 2 4 4 2 16
0
c dt t t
π
π
π π +   
= + = + = + = ÷  ÷
   
∫
Tính F. Tương tự như tính E ;
Bằng cách đặt
2
1
os
tan
0 0; 1
4
dx dt
c t
x t
x t x t
π

=
= ↔ 
 = → = = → =

Vậy :
3 31 4 4 4
4
2 2 2 2
0 0 0 0
6
1 1 1 1 1 1 1 1 1
os
12 1 2 1 tan os 2 os 2
os
F dx dt dt c tdt
x t c t c t
c t
π π π
   
= = = = ÷  ÷
+ +   
∫ ∫ ∫ ∫

( )
4 4
2
0 0
1 1 1 os4t
1 os2t 1 2 os2 4
8 8 2
0
c
c dt c t dt
π π
π
+ 
= + = + + = ÷
 
∫ ∫
( )
4
0
1 1 1 1 3 8
3 4cos2 os4t 3 2sin 2 sin 4 3 24
16 16 4 16 4 64
0
t c dt t t t
π
π
π π +   
+ + = + + = + = ÷  ÷
   
∫
f.
( )
1 1 1
31 1 13 3 3 3
4 3 3 2 2
1 1 1
3 3 3
1 1 1
1 .
x x x x dx
dx dx
x x x x x x
−  −  
= = − ÷  ÷
  
∫ ∫ ∫
Đặt : 2 2
1 1
1 1
1
8; 1 0
3
dx
dt
x
t t
x x
x t x t

= − 
= − ⇒ + = ⇔  ÷
   = → = = → =

Khi đó ( )
0 81 4 1 7 4
7 43 3 3 3 3
8 0
83 3 3 3 24 3 468
1 .2 .2 16
07 4 7 4 7 4 7
I t t dt t t dt t t
     
= − + = + = + = + = + = ÷  ÷  ÷
    
∫ ∫
* Chú ý : Còn có cách khác
Vì :
1
;1 0
3
x x
 
∈ → ≠  
. Đặt
( )
1
3 1
2 3 33
42 2
1 1
1 1 1
; ( )
1
t t tt t
x dx dt f x dx dt dt
t t t t
t
 
− ÷ −  = ⇒ = − = − = − ÷
  
 ÷
 
( )
1
1
3
3 23
2
1
1t t t dt dt t dt
t
 
= − − = = − − ÷
 
(2) . Đặt : 2 2
1 1 1
1 1 ;u u du dt
t t t
= − ⇔ = − =
a.
1
2
2
2
1
1
p
p
e
p
x
dx
x
+
+
+∫ b.
( )
3
3
2 20 2
a
x dx
x a+
∫
c.
1
0
x
x e
e dx+
∫ d.
2
2
0
2
a
x ax x dx−∫
Giải
a..
1
2
2
2
1
1
p
p
e
p
x
dx
x
+
+
+∫ ( ĐHTNguyên-98) : Ta có :
2
22
2
( )
1
p
p
x dx
f x dx
x
+
=
 
+ ÷
 
.
- Đặt :
2 2
1
2 2
21
12
1
1 1;
p
ep p
p
dt x dx dt
t x x I
t
x t x e t e
+
+
+

=
= = ⇒ ⇔ = +
 = → = = → =
∫
- Đặt :
( )
1 12
11 2 2
2
1 4 4
os
tan
4os 1 tan
1 ,
4
u u
du
dt
duc u
t u I du u
c u u
t u t e u u π π
π
π

=
= ⇒ ⇔ = = = −
+
= → = = → =
∫ ∫
- Từ : 1tan artan e artan e
4
u e u u I
π
= ⇒ = = ⇔ = −

b.
( )
3
3
2 20 2
a
x dx
x a+
∫ . Đặt :
( )
2
3 3 3
3
3 3 2
2 2 2 2
3
2
dt
dx=a ; 0 0,
cos 4
tan dtatant ( ) cos .tan
cos1
os
x t x a t
t
x dx a tx f x a a t tdt
t
x a a
c t
π
= → = = → =

= ⇒  = = =

 +  ÷  
Vậy : ( )23 34 4 4 4
3
3 2 2
0 0 0 0 0
1 os sinsin sin
( ) cos .tan cos . .
os os os
a
c t tt t
I f x dx a t tdt a t dt a dt a dt
c t c t c t
π π π π
−
= = = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
- Đặt :
( )
( )
2
2 2
1
sintdt;t= ; 0 1
4 2
ost=u
1 1
( ) 1
du u t u
c
u
f t dt du du
u u
π
= − → = = → =

⇒ 
−   = − = − ÷  
Vậy :
2
2
2
1
2
1 1 2 2 3 3 2 3 2 4
1 2 2 22
2 2 22 2
1
I du u
u u
−   
= − = + = + − = − = − = ÷  ÷
   
∫
c.
1 1
0 0
x x
x e x e
e dx e e dx+
=∫ ∫ . Đặt :
; 0 1; 1
( )
x
x
x
x e t
dt e dx x t x t e
t e
f x dx e e dx e dt
 = = → = = → =
= ⇒ 
= =
Vậy :
1
0 1
( )
1
e
t t ee
I f x dx e dt e e e= = = = −∫ ∫
d. ( )
2 2
22 2
0 0
2
a a
x ax x dx x a x a dx− = − −∫ ∫
Đặt :
( ) 2 2
. ostdt,x=0 t=- ;x=2a t=
2 2.sin
( ) .sin os . . ostdt
dx a c
x a a t
f x dx a a t a c t a c
π π
= → →
− = ⇒ 
 = +
Vậy :
( ) ( )
2 2 2 2 2
3 2 3 2 2 3 2
2 2 2 2 2
1 os2
1 sin os os os sin os os
2
c t
I a t c tdt a c tdt c t tdt a dt c td c t
π π π π π
π π π π π
− − − − −
   
+   
= + = + = −   
      
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3 3 3 31 1 1 12 2
sin 2 cos
2 2 3 2 2 2 2
2 2
a t t t a a
π π
π π π
π π
 
       = + − = + = ÷  ÷ 
     − −  
a.
3
5 2
2
dx
x x−∫ b.
( )
1 7
24
0 1
x dx
x+
∫
c.
( )
1 3
22
0
2
1
x x
dx
x
−
+
∫ d.
2 3
4
1
1 x
dx
x
+
∫
Giải

a.
( ) ( )
( )
3 3
5 2 2 2
2 2
1
1
1 1
dx
dx
x x x x x x
=
− − + +∫ ∫
Xét : ( ) ( ) 2 22 2
1
( )
1 11 1
A B Cx D E
f x
x x x x xx x x x
+
= = + + +
+ + −− + +
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 ( 1)
1 1
A x x x Bx x x x Cx D x x E x x x
x x x x
+ + − + − + + + + − + + +
=
− + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 3 2
2 2
1 1
B C E x A D C E x E D x Bx A
x x x x
+ + + + − + + − − −
=
− + +
.
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :
2 2
1
3
0 1
1 1 10 1 3
1 3 3 30 0 0 ( )
1 1
0 1
31 1
1
D
B C E C E
C
A D C E E E E x
E D B B f x
x x x x
B E D
E
A A
A

=
+ + = = −   = − + − + = + + =  − +   
− = ⇔ = ⇔ = ⇒ = − + +  
+ + −  = =
   =
= − = −   
 = −


Vậy :
( )
3 3
2 2 2 2
2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 13 3 3
1 1 3 1 3 1
x
x
I dx dx
x x x x x x x x
 
− +   ÷ − 
= − + + = − − + ÷ ÷  ÷ ÷+ + − + + −   ÷
 
∫ ∫
( )
23
2
2 22
2
3 311 1 1 1 1 1 2x+1
ln 1 ln 1 ln arctan
2 26 3 6 1 3 31 3
2 2
xdx
x x x
x x x x
x
 − 
= − + + + − − = + + ÷ ÷  ÷+ +      + +  ÷ ÷
   
∫
1 1 7 5
arctan arctan
6 3 3 3
 
= + − ÷
 
b.
( ) ( )
( )
1 17 4
3
2 24 4
0 0
1
3 1
31 1
x dx x
x dx
x x
=
+ +
∫ ∫ .
Đặt :
3
4
2 2
3 , 0 1; 1 2
1 1 1 1 1 1
( )
3 3
dt x dx x t x t
t x t
f x dx dt dt
t t t
 = = → = = → =

= + ⇒  −   
= = − ÷  ÷
   
Vậy :
2
2
0
21 1 1 1 1 1 1
ln ln 2
13 3 3 2
I dt t
t t t
     
= − = + = − ÷  ÷  ÷
     
∫
c.
( )
( )
( )
( )
21 13
2 22 2
0 0
22 1
2 1
21 1
xx x
dx xdx
x x
−−
=
+ +
∫ ∫

Đặt :
2 2
2 2
2 ; 0 1; 1 2
1 2 3 1 3 1 1 3
( )
2 2
dt xdx x t x t
t x x t t
f x dx dt dt
t t t
= = → = = → =

= + ⇔ − = − ⇒ −    
= = − ÷  ÷
   
Vậy :
2
2
1
21 1 3 1 3 1 3
ln ln 2
12 2 2 2
I dt t
t t t
     
= − = + = − ÷  ÷  ÷
     
∫
d. ( )
2 23 3
2
4 6
1 1
1 1
1
x x
dx x dx
x x
+ +
=∫ ∫ .
Đặt :
( ) ( )
2
3 2 3 3 2
2
2 26 2 2
2 3 ; 1 2, 2 3
1 1 1 1 1 2
( ) 3 2
3 3 31 1
tdt x dx x t x t
t x t x x t t
f x dx x dx tdt dt
x t t
 = = → = = → =

= + ↔ = + ↔ +
= = =
− −
Vậy :
( ) ( )
2 23 3 3
2 2
2 2 2
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 2 1 1 3 4 1 1 6 1 11 1
I dt dt
t t t t t t tt t
        
= + − = − = + − − ÷  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷+ − + + − − +     + −      
∫ ∫ ∫
( ) ( )2
3 31 1 1 1 1 2 1 8 2 3 1
ln ln ln 2 2 2
6 1 1 1 6 1 24 312 2
t t t
t t t tt
  −  − − −
 ÷= − − − = − = + −   ÷+ − + +−   
a.
4
2
7 9
dx
x x +
∫ b.
( )21
2
0 1
x x dx
x
−
+
∫
c.
3 5 3
2
0
2
1
x x
dx
x
−
+
∫ d. ( )
1
32
0
1 x dx−∫
Giải
a. ( )
4 4
2 2 2
7 7
1
9 9
dx xdx
x x x x
=
+ +
∫ ∫ .
Đặt :
2 2 2 2
2
9 , 9
9
7 4, 4 5
t x tdt xdx x t
t x
x t x t
 = + ↔ = = −
= + ⇒ 
= → = = → =
. Do đó :
( ) ( ) ( )
5 5
2
4 4
3 39
dt dt
I
t t tt t
= =
− +−∫ ∫
Ta có :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
9 3 31
( )
3 3 3 3 9
A t Bt t C t tA B C
f t
t t t t t t t t
− + + + −
= = + + =
− + − + −
Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay lần lượt các nghiệm vào hai tử số ta có :
- Với x=0 : -9A=1
1
9
A→ = −
- Với x=-3 : 9C=1
1
9
C→ =
- Với x=3 : 9B=1
1
9
B→ =
Vậy : ( )
5 2
2
4
5 51 1 1 1 1 1 9 1 144
ln 9 ln ln ln
4 49 3 3 9 9 9 35
t
I dt t t
t t t t
  −   = − + + = − − = =  ÷  − +  
∫
* Chú ý : Nếu theo phương pháp chung thì đặt : 3sin 3cosx t dx tdt= → = .

Khi :
7
7 7 3sin sin
3
4
4 4 3sin sin 1
3
x t t
x t t

= → = ↔ =

 = → = ↔ = >

. Như vậy ta không sử dụng được phương pháp
này được .
b.
( )
( )
21 1 12
2 2 2
0 0 0
1
1 1 1
x x dx x x
dx dx J K
x x x
−
= − = −
+ + +
∫ ∫ ∫
* Để tính J :
Đặt :
2
2
22
2
1
, 0 0; 1
os 4
tan 1
tan .
tanos( )
ost1 tan
dx dt x t x t
c t
x t
t dt
tc tf x dx dt
ct
π
= = → = = → =

= ⇒ 

= =
+
. Tính tích phân này không đơn
giản , vì vậy ta phải có cách khác .
- Từ :
1 1 12 2
2 2
2 2 2 2
0 0 0
1 1 1 1
( ) 1 ( ) 1
1 1 1 1
x x
g x x g x dx x dx dx
x x x x
+ −
= = = + − ⇒ = + −
+ + + +
∫ ∫ ∫
- Hai tích phân này đều tính được .
+/ Tính :
1 1 1 12
2 2 2
2 2
0 0 0 0
1 1
1 1 2 1
0 1 1
x
E x dx x x dx x dx dx
x x
 
= + = + − = − + − ÷
+ + 
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )2 1 2 1
2 ln 1 2 2 ln 1 2 ln 1 2
0 2 2
E x x E E= − + + + ⇒ = + + ⇔ = + +
* Tính K=
1
2
2
0
1
1 2 1
01
x
dx x
x
= + = −
+
∫ ; ( )
1
2
2
0
11
ln 1 ln 1 2
01
dx x x
x
= + + = +
+
∫
Do vậy : I= ( ) ( ) ( )2 1 2 3
ln 1 2 ln 1 2 ln 1 2
2 2 2 2
+ + + + = + +
c. ( )
3 3 35 3 5 3
2 2 2
0 0 0
2
2 1
1 1 1
x x x x
dx dx dx J K
x x x
−
= − = −
+ + +
∫ ∫ ∫
- Tính J: Đặt ( )
( )
2 2
22 24
4 2
2
1; ; 0 1, 3 2
1 1
( ) 2 1
1
x t xdx tdt x t x t
t x t tdtx xdx
f x dx t t dt
tx
 = − = = → = = → =

= + ⇒  −
= = = − +
 +
Suy ra : J= ( )
2
4 2 5 3
1
21 2 38
2 1
15 3 15
t t dt t t t
 
− + = − + = ÷
 
∫
- Tính K: Đặt ( )
( )
2 2
2 22
2
2
1; ; 0 1, 3 2
1 1
( ) 1
1
x t xdx tdt x t x t
t x t tdtx xdx
f x dx t dt
tx
 = − = = → = = → =

= + ⇒ −
= = = −
+
Suy ra : K= ( )
2
2 3
1
21 4
1
13 3
t dt t t
 
− = − = ÷
 
∫
Vậy : I=
28 4 48 16
15 3 15 5
+ = =

d. ( )
1
32
0
1 x dx−∫ . Đặt :
( )
32 6 4
ostdt. x=0 t=0;x=1 t=
2sin
( ) 1 os ostdt=cos
dx c
x t
f x dx x dx c tc tdt
π
= → →
= → 
 = − =

Do đó I=
22 2 2
0 0 0
1 os2t 1 1 os4t 3 1 1
1 2cos2 os2t+ os4t
2 4 2 4 2 8
c c
dt t dt c c dt
π π π
− +     
= − + = − ÷  ÷  ÷
     
∫ ∫ ∫
3 1 1 3
sin 2 sin 4 2
4 4 32 8
0
t t t
π
π 
= − + = ÷
 

Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

Similar to Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2) (20)

More from Oanh MJ (20)

Recently uploaded (20)

Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)