TOAN 1E1_Slides.pdf

1/8/2016
1
08/1/2016 C01129 – Mở đầu 1
TOÁN 1E1
Mã môn học: C01029
Biên soạn: ThS. Lê Trung Nghĩa
Email: letrungnghia@tdt.edu.vn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG
KHOA TOÁN THỐNG KÊ
Bộ môn Toán Kỹ Thuật M C TIÊU MÔN H C
• Kiến thức: Môn học cung cấp những kiến
thức và khái niệm cơ bản nhất của toán giải
tích trong không gian một chiều cho sinh viên
ngành Điện điện tử và Kỹ thuật công trình.
Nội dung chủ yếu của môn học bao gồm : đại
cương về số phức; giải tích hàm một biến :
giới hạn, liên tục, vi phân, và tích phân trên
không gian thực một chiều.
08/1/2016 C01129 – Mở đầu 2
TÀI LI U H C T P
Giáo trình chính:
• [1]. K. A. Stroud and Dexter J. Booth,
Engineering Mathematics, Industrial Press, 7th
edition, 2013.
08/1/2016 C01129 – Mở đầu 3
TÀI LI U H C T P
Tài liệu tham khảo chính:
• [2]. James Stewart, Calculus, 7th edition,
McMaster University and University of Toronto,
Brooks/Cole, Cengage learning, 2012.
• [3]. Erwin Kreyszig, Advanced Engineering
Mathematics, Wiley, 10th edition, 2011.
08/1/2016 C01129 – Mở đầu 4
HÌNH TH C ĐÁNH GIÁ
Điểm quá trình 1 + 2: 10%+20% Trắc nghiệm tại
lớp.
Điểm giữa kì: 20% thi trắc nghiệm 45’.
Điểm cuối kì: 50% thi tự luận 90’.
08/1/2016 C01129 – Mở đầu 5
………………
Dẫn nhập
• Phương trình 1 0
x + = không có nghiệm trong ℕ. Do
đó, người ta đưa ra khái niệm số âm và dẫn đến sự xuất
hiện tập số nguyên ℤ.
• Phương trình 2 1 0
x + = không có nghiệm trong ℤ.
Do đó, người ta đưa ra khái niệm phân số và dẫn đến sự
xuất hiện tập số hữu tỉ ℚ.
§1. Số phức và các phép toán.
§2. Dạng lượng giác của số phức,
công thức Moivre, công thức Euler.
Chương 0. Số phức - Ma trận

1/8/2016
2
• Phương trình 2
2
x = không có nghiệm trong ℚ. Do
đó, người ta đưa ra khái niệm căn thức và dẫn đến sự
xuất hiện tập số thực ℝ.
• Một cách tự nhiên, phương trình 2
1 0
x + = không có
nghiệm trong ℝ. Do đó, người ta đưa ra khái niệm số i
thỏa 2
1
i = − và dẫn đến sự xuất hiện tập số phức ℂ.
Để làm được điều này mà vẫn đúng cho trường hợp số
thực, người ta đã xây dựng phép toán như sau:
Xét ánh xạ 2 2
:
f →
ℝ ℝ , với 2 phép toán cộng và nhân
( ; ) ( ; ) ( ; )
a b c d a c b d
+ = + + ,
( ; ).( ; ) ( ; )
a b c d ac bd ad bc
= − + .
Sau đó, đồng nhất ( ; 0)
a với a ∈ ℝ.
Với cách làm này thì các phép toán trên đúng cho số
thực. Chẳng hạn:
( ; 0) ( ; 0) ( ; 0)
a b a b a b
+ = + ≡ + ,
( ; 0).( ; 0) ( . ; 0)
a b a b ab
= ≡ .
Đặt (0; 1)
i = , ta có:
2
(0; 1).(0; 1) ( 1; 0) 1
i = = − ≡ − .
• Số phức ra đời đã thúc đẩy nền Khoa học phát triển
vượt bậc, đặc biệt là các ngành Điện – Viễn thông –
Hàng không…
§1. SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN
1.1. Các định nghĩa
• Số phức là số có dạng z x iy
= + , trong đó ,
x y ∈ ℝ.
Số i thỏa 2
1
i = − được gọi là đơn vị ảo.
x được gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu Rez .
y được gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu Imz .
VD 1. Re(2 3 ) 2
i
− = ; Im(2 3 ) 3
i
− = − .
3 3 0
i
− = − + ; 2 0 2
i i
= + .
Đặc biệt
0
z x i
= + là số thực, ( 0)
z iy y
= ≠ là số thuần ảo.
• Hai số phức 1 1 1
z x iy
= + và 2 2 2
z x iy
= + được gọi là
bằng nhau nếu 1 2
x x
= và 1 2
y y
= .
VD 2.
2
2 3 4
3.
x
x i iy
y

 = −


+ = − − ⇔ 
 = −



• Số phức z x iy
= − được gọi là số phức liên hợp của
số phức z x iy
= + , nghĩa là x iy x iy
+ = − .
VD 3. 2 3 2 3
i i
− − = − + ; 2 2
i i
= − ; 1 1
− = − .
• Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là ℂ.
{ }
,
z x iy x y
= = + ∈
ℂ ℝ .
Chú ý
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ.
Im 0
z z
∈ ⇔ =
ℝ .
Khi x = ∞ hoặc y = ∞, ta ký hiệu z x iy
= + = ∞.
Tập { }
= ∞
ℂ ℂ ∪ được gọi là tập số phức mở rộng.
1.2. Các phép toán trên số phức
Cho hai số phức 1 1 1
z x iy
= + và 2 2 2
z x iy
= + , ta định
nghĩa các phép toán như sau:
a) Phép cộng và trừ số phức
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ).
x iy x iy x x i y y
x iy x iy x x i y y
+ + + = + + +
+ − + = − + −
Chú ý. Phép cộng số phức có tính giao hoán và kết hợp.
VD 4. (2 ) ( 1 ) 1
i i
+ + − − = ; 3 ( 1 5 ) 1 8
i i i
− − − + = − .

1/8/2016
3
b) Phép nhân số phức
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
( )( ) ( ) ( ).
x iy x iy x x y y i x y x y
+ + = − + +
Chú ý
• Do 1 1 2 2
( )( )
x iy x iy
+ + 2
1 2 1 2 2 1 1 2
x x ix y ix y i y y
= + + +
1 2 1 2 1 2 2 1
( ) ( )
x x y y i x y x y
= − + + ,
nên ta nhân như hai đa thức và chú ý 2
1
i = − .
• Phép nhân số phức có các tính chất như nhân số thực.
VD 5. 2
2( 1 ) 2 2 2 2
i i i i i
− − + = − = + ;
2
(1 )( 2 3 ) 2 3 2 3 1 5
i i i i i i
− − + = − + + − = + ;
2
(1 2 )(1 2 ) 1 4 5
i i i
− + = − = .
c) Phép chia số phức
Giả sử 2
0
z ≠ , khi đó ta có:
1 1 2 1 1 2 2
1 2 2 2
2 2 2 2 2
( )( )
: .
z z z x iy x iy
z z
z z z x y
+ −
= = =
+
VD 6.
1 (1 )(2 ) 1 3 1 3
2 (2 )(2 ) 5 5 5
i i i i
i
i i i
− − − −
= = = −
+ + −
;
3 2 (3 2 )( ) 2 3
2 3
( ) 1
i i i i
i
i i i
+ + − −
= = = −
−
.
d) Lũy thừa bậc n của số phức
. ... ( ).
n
z z z z n z
= soá
VD 7. 2
1
i = − ; 3
i i
= − ; 4 2 2
( ) 1
i i
= = ;
3 2 3
(1 ) 1 3 3 2 2
i i i i i
− = − + − = − − .
e) Căn bậc n của số phức
.
n n
w z z w
= ⇔ =
VD 8. Tính 3 4i
+ .
VD 9. Tính 3
1.
1.3. Định lý
Cho z x iy
= + , 1 1 1
z x iy
= + , 2 2 2
z x iy
= + , ta có:
1) 1 2 1 2 1 2 1 2
; ; . .
z z z z z z z z z z
= + = + = .
2) 2Re 2 ; 2 Im 2
z z z x z z i z iy
+ = = − = = .
3) 2 2
. ( )( ) 0
z z x iy x iy x y
= + − = + ≥ .
4) 1 1
2
2 2
( 0)
z z
z
z z
 

  = ≠
 
 

 
.

1/8/2016
4
§2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
CÔNG THỨC MOIVRE, CÔNG THỨC EULER
a) Mặt phẳng phức
• Về mặt hình học, số phức z x iy
= + được biểu diễn
bằng điểm ( ; )
M x y trong mặt phẳng tọa độ Descartes
vuông góc Oxy.
Khi đó, mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng phức.
2.1. Dạng lượng giác của số phức
Do đó:
Trục hoành Ox được gọi là trục thực.
Trục tung Oy được gọi là trục ảo.
• Trong mặt phẳng phức, ta có:
Im 0
z z Ox
= ⇔ ∈ ; Re 0
z z Oy
= ⇔ ∈ .
O x
y
M
z x iy
= +
•
x
y
O x
y
M
•
x
y
b) Modul và argument của số phức
• Trong mặt phẳng phức, khoảng cách r từ gốc tọa độ O
đến điểm M được gọi là modul của z, ký hiệu là z .
Modul của z được xác định bởi:
2 2
.
z r OM x y
= = = +
r
O x
y
M
•
ϕ
• Góc định hướng ( )
,
Ox OM
ϕ = có tia đầu Ox và tia
cuối OM , được gọi là argument của z.
• Argument ϕ của z thỏa mãn
π ϕ π
− < ≤
được gọi là argument chính,
ký hiệu là argz .
O x
y
M
•
ϕ
• Nếu z là số thực dương thì arg 0
z = ,
z là số thực âm thì arg .
z π
=
0
z = thì argument của z không xác định.
• Ký hiệu tập hợp tất cả argument của z là Argz.
Vậy Arg arg 2 , .
z z k k
π
= + ∈ ℤ
Quy ước
Khi không nói rõ ϕ thuộc khoảng nào thì ta hiểu ϕ là
argument chính.
• Cách xác định argument chính của z = x + iy
Bước 1. Xác định điểm M biểu diễn z trên mpOxy.
Bước 2. argz ϕ
= thỏa mãn cos , sin
x y
r r
ϕ ϕ
= = ,
π ϕ π
− < ≤ và phụ thuộc vào vị trí của M .
VD 1. Xác định modul và argument của các số phức:
a) z i
= ; b) 3
z i
= − − .

1/8/2016
5
c) Dạng lượng giác của số phức
• Cho số phức z x iy
= + có | |
z r
= và argz ϕ
= .
Ta có: (cos sin )
x y
z r i r i
r r
ϕ ϕ
 


= + = +

 
 
 
.
Vậy dạng lượng giác của số phức z là:
(cos sin ).
z r i
ϕ ϕ
= +
VD 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) 4
z = − ; b) 1 3
z i
= − ; c) 2 2
z i
= − + .
Nhận xét
Nếu (cos sin )
z r i
ϕ ϕ
= + thì:
(cos sin ) [cos( ) sin( )]
z r i r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − = − + − .
Nếu z là số thực, 0
z x i
= + thì:
2 2
| | 0 | |
z x x
= + = .
2.2. Công thức Moivre
• Cho số phức cos sin
z i
ϕ ϕ
= + .
Khi đó: cos sin ( , 1).
n
z n i n n n
ϕ ϕ
= + ∈ ≥
ℤ
• Tổng quát, cho số phức (cos sin )
z r i
ϕ ϕ
= + .
Khi đó:
( )
1) (cos sin ),
2 2
2) cos sin
, 2, 0, 1
.
.
n
n n
k
n
k
z r n i n n
k
z w r i
n n
n n k n
ϕ ϕ π
ϕ ϕ
π
 
+ + 

= = + 
 
 
 
∈ ≥ =
= + ∈
−
ℤ
ℤ
VD 3. Tính a) 100
(1 )
i
− ; b) 3
8 .
2.3. Công thức Euler
Ta có: 4 4
( ) . (0 3)
n k r k r r
i i i i i r
+
= = = ≤ ≤ . Do đó:
• 1
n
i = nếu 0
r = , nghĩa là 4
n⋮ ;
• n
i i
= nếu 1
r = , nghĩa là : 4
n dư 1;
• 1
n
i = − nếu 2
n dư 2;
• n
i i
= − nếu 3
n dư 3.
Khai triển Maclaurin hàm ( )
i
e ϕ
ϕ ∈ ℝ , ta được:
0
( )
!
n
i
n
i
e
n
ϕ ϕ
∞
=
= ∑
2 4 3
1 ... ...
2! 4! 1! 3!
i
ϕ ϕ ϕ ϕ
   
 
 
 
= − + − + − +
 
 
 
 
 
   
cos sin .
i
ϕ ϕ
= +
Công thức Euler:
cos sin .
i
e i
ϕ
ϕ ϕ
= +
• Dựa vào công thức Euler, số phức z có | |
z r
= và
argz ϕ
= có thể được viết dưới dạng mũ:
.
i
z re ϕ
=
VD 4. Viết các số phức sau dưới dạng mũ:
a) 3
z = − ; b) z i
= − ; c) 3
z i
= − + .
Nhận xét
1) Nếu i
z re ϕ
= thì i
z re ϕ
−
= .
2) Với mọi 1 1 1 2 2 2
,
z x iy z x iy
= + = + , ta gọi
2 2
1 2 1 2 1 2
| | ( ) ( )
z z x x y y
− = − + −
là khoảng cách giữa 1
z và 2
z .
Khi đó | |
z a r
− = hay ( [0; 2 ])
i
z a re ϕ
ϕ π
= + ∈
là phương trình đường tròn tâm a, bán kính r .
Đặc biệt, | | 1
z = hay i
z e ϕ
= là phương trình của
đường tròn đơn vị.

1/8/2016
6
• Công thức cần nhớ
Với i
z re ϕ
= , 1
1 1 1 1 1
(cos sin )
i
z re r i
ϕ
ϕ ϕ
= = + ,
2
2 2 2 2 2
(cos sin )
i
z r e r i
ϕ
ϕ ϕ
= = + , ta có:
1) 1 2
( )
1 2 1 2
i
z z r r e
ϕ ϕ
+
=
1 2 1 2 1 2
[cos( ) sin( )]
r r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + + .
2) 1 2
( )
1 1
2 2
i
z r
e
z r
ϕ ϕ
−
=
1
1 2 1 2
2
[cos( ) sin( )]
r
i
r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + − .
3) ,
n n in
z r e n
ϕ
= ∈ ℤ.
4) ( )
2
. 2, 0, 1 .
k
i
n n n
k
z w r e n k n
ϕ π
+
= = ≥ = −
………………………
§1. Ma trận
§2. Định thức
…………………
§1. MA TRẬN
(Matrix)
a) Định nghĩa ma trận
• Ma trận A cấp m n
× trên ℝ là 1 hệ thống gồm
m n
× số ij
a ∈ ℝ ( 1, ; 1, )
i m j n
= = và được sắp
thành bảng gồm m dòng và n cột:
33
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 

 
 
 
 
 
=  
 

 
 
 


 
• Các số ij
a được gọi là các phần tử của A ở dòng thứ i
và cột thứ j .
• Cặp số ( , )
m n được gọi là kích thước của A.
• Khi 1
m = , ta gọi:
11 12 1
( ... )
n
A a a a
= là ma trận dòng.
34
• Khi 1
n = , ta gọi
11
1
...
m
a
A
a
 

 
 
 
=  
 
 
 


 
là ma trận cột.
• Khi 1
m n
= = , ta gọi:
11
( )
A a
= là ma trận gồm 1 phần tử.
• Ma trận (0 )
ij m n
O ×
= có tất cả các phần tử đều bằng 0
được gọi là ma trận không.
• Tập hợp các ma trận A trên ℝ được ký hiệu là
, ( )
m n
M ℝ , để cho gọn ta viết là ( )
ij m n
A a ×
= .
35
• Ma trận vuông
Khi m n
= , ta gọi A là ma trận vuông cấp n.
Ký hiệu là ( )
ij n
A a
= .
Đường chéo chứa các phần
tử 11 22
, ,..., nn
a a a được gọi
là đường chéo chính của
( )
ij n
A a
= ,
đường chéo còn lại được gọi
là đường chéo phụ.
2 3
5 8
7 4
2
4
6
6 5
7
3
1
1 0
 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 


 
36

1/8/2016
7
• Các ma trận vuông đặc biệt
Ma trận vuông có tất cả các
phần tử nằm ngoài đường
chéo chính đều bằng 0 được
gọi là ma trận chéo (diagonal
matrix).
Ký hiệu: 11 22
( , ,..., )
nn
diag a a a .
1 0 0
0 5 0
0 0 0
 
− 
 
 
 
 
 
 
 


 
Ma trận chéo cấp n gồm tất cả
các phần tử trên đường chéo
chính đều bằng 1 được gọi là
ma trận đơn vị cấp n (Identity
matrix). Ký hiệu là: n
I .
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 

 
 
 
=  
 
 
 


 
37
1 0 2
0 1 1
0 0 0
A
 
− 
 
 
 
= −
 
 
 
 


 
3 0 0
4 1 0
1 5 2
B
 

 
 
 
=  
 
 
 
− 

 
Ma trận vuông cấp n có tất cả
các cặp phần tử đối xứng
nhau qua đường chéo chính
bằng nhau ( ij ji
a a
= ) được
gọi là ma trận đối xứng.
0
0
3
1
2
4
4
1
1
 

 
 
 

−
−

 
 
 


 
38
Ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử nằm phía
dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là
ma trận tam giác trên (tam giác dưới).
b) Ma trận bằng nhau
Hai ma trận ( )
ij
A a
= và ( )
ij
B b
= được gọi là bằng
nhau, ký hiệu A B
= , khi và chỉ khi chúng cùng
kích thước và , ,
ij ij
a b i j
= ∀ .
VD 1. Cho
1
2
x y
A
z t
 

 

= 
 


 
và
1 0 1
2 3
B
u
 
− 
 

= 
 


 
.
Ta có:
0; 1; 2; 2; 3
A B x y z u t
= ⇔ = = − = = = .
39
1.2. Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng và trừ hai ma trận
Cho hai ma trận ( )
ij m n
A a ×
= và ( )
ij m n
B b ×
= , ta có:
( ) .
ij ij m n
A B a b ×
± = ±
VD 2.
1 0 2 2 0 2 1 0 4
2 3 4 5 3 1 7 0 3
     
−   
  
  
  
+ =
  
  
  
− − −
  
  
     
;
1 0 2 2 0 2 3 0 0
2 3 4 5 3 1 3 6 5
     
− −
  
  
  
  
− =
  
  
  
− − − −
  
  
     
.
Nhận xét
Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp.
40
b) Phép nhân vô hướng
Cho ma trận ( )
ij m n
A a ×
= và λ ∈ ℝ, ta có:
( ) .
ij m n
A a
λ λ ×
=
VD 3.
1 1 0 3 3 0
3
2 0 4 6 0 12
   
− −
 
 
 
 
− =
 
 
 
− −  
 
   
;
2 6 4 1 3 2
2
4 0 8 2 0 4
   
 
 
 
 
=
 
 
 
− −
 
 
   
.
Chú ý
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép
cộng ma trận.
• Ma trận 1.A A
− = − được gọi là ma trận đối của A.
41
c) Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận ( )
j
i m n
A a ×
= và ( )
k
j n p
B b ×
= , ta có:
( ) .
ik m p
AB c ×
=
Trong đó, ( )
1
1, ; 1,
n
ik ij jk
j
c a b i m k p
=
= = =
∑ .
VD 4. Thực hiện phép nhân ( )
1
1 2 3 2
5
 
− 
 
 
 
 
 
 
 
− 

 
.
VD 5. Thực hiện phép nhân ( )
1 1 0
1 2
1 0 3
 
− 
 
 
 
− 

 
.
42

1/8/2016
8
VD 6. Tính
2 0
1 1 1
1 1
2 0 3
1 3
 


  

− 

  

 −
 

  

− 
  
  
− 

 
.
Tính chất
Cho các ma trận ,
, , ( )
m n
A B C M
∈ ℝ và số λ ∈ ℝ.
Giả thiết các phép nhân đều thực hiện được, ta có:
1) ( ) ( )
AB C A BC
= ;
2) ( )
A B C AB AC
+ = + ; 3) ( )
A B C AC BC
+ = + ;
4) ( ) ( ) ( )
AB A B A B
λ λ λ
= = ; 5) n m
AI A I A
= = .
43
VD 7. Cho
1 0 1
2 2 0
3 0 3
A
 
− 
 
 
 
= −
 
 
 
 
− 

 
và
1 2 1
0 3 1
2 1 0
B
 
− − 
 
 
 
= −
 
 
 
 
− 

 
.
Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA.
VD 8. Thực hiện phép nhân:
1 1 2 0 1 3 2 1 2 1
2 3 0 1 2 1 1 0 2 1
1 1 4 2 1 3 3 1 0 2
A
    
− − −
   
   
   
   
   
   
   
= − − − −
   
   
   
   
   
   
   
   
− − − −
   
   
    
.
Nhận xét
Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
44
Lũy thừa ma trận
Chương 0. Ma trận – Định thức
Cho ma trận vuông ( )
n
A M
∈ ℝ .
• Lũy thừa ma trận A được định nghĩa theo quy nạp:
0
n
A I
= ; 1
A A
= ; 1
. ,
k k
A A A k
+
= ∀ ∈ ℕ.
• Nếu {0; 1}
k
∃ ∈ ℕ sao cho (0 )
k
ij n
A = thì A được
gọi là ma trận lũy linh.
Số , 2
k k
∈ ≥
ℕ bé nhất sao cho (0 )
k
ij n
A = được
gọi là cấp của ma trận lũy linh A.
VD 9. Ma trận
0 1 0
0 0 1
0 0 0
A
 
 
=
 
 
 
là lũy linh cấp 3.
45
Tính chất
1) (0 ) 0
k
n n
= ; ( ) ,
k
n n
I I k
= ∀ ∈ ℕ
2) . , ( ), ,
k m k m
n
A A A A M k m
+
= ∀ ∈ ∀ ∈
ℝ ℕ
3) ( ) , ( ), ,
km k m
n
A A A M k m
= ∀ ∈ ∀ ∈
ℝ ℕ.
Chú ý
1) Nếu 11 22
( , ,..., ) ( )
nn n
A diag a a a M
= ∈ ℝ thì:
11 22
( , ,..., )
k k k k
nn
A diag a a a
= .
2) Nếu , ( )
n
A B M
∈ ℝ thỏa AB BA
= (giao hoán) thì
các hằng đẳng thức quen thuộc cũng đúng với A, B .
Khi AB BA
≠ thì các hằng đẳng thức đó không còn
đúng nữa.
Chương 0. Ma trận – Định thức 46
VD 10. Cho 3 2
( ) 2 4
f x x x
= − và
1 1
0 1
A
 
− 
 

= 
 


 
.
Tính 2
( )
f A I
+ .
VD 11. Cho
2 0
1 0
A
 

 

= 
 


 
, giá trị của 2011
2
( )
I A
− là:
A.
1 1
0 1
 
− − 
 
 
 


 
; B.
1 1
1 0
 
− 
 
 
 
− 

 
; C.
0 1
1 1
 
− 
 
 
 
− 

 
; D.
1 0
1 1
 
− 
 
 
 
− 

 
.
VD 12. Tìm ma trận 5
( )
D ABC
= , trong đó:
2 1 3 0 0 1
, ,
1 0 8 1 1 2
A B C
     
−   
  
  
  
= = =
  
  
  
−
  
  
     
.
47
VD 13. Cho ma trận
cos sin
( )
sin cos
A
α α
α
α α
 
− 
 

= 
 


 
.
Hãy tìm ma trận ( ) ,
n
A n
α
  ∀ ∈
 
  ℕ ?
VD 14. Cho ( )
ij
A a
= là ma trận vuông cấp 40 có các
phần tử ( 1)i j
ij
a +
= − . Phần tử 25
a của 2
A là:
A. 25
0
a = ; B. 25
40
a = − ; C. 25
40
a = ; D. 25
1
a = − .
48

1/8/2016
9
VD 15. Cho ( )
ij
A a
= là ma trận vuông cấp 100 có
các phần tử ( 1) .3
i j
ij
a = − . Phần tử 34
a của 2
A là:
A.
5
100
34
3
(1 3 )
4
a = − ; B.
5
100
34
3
(3 1)
4
a = − ;
C.
5
100
34
3
(3 1)
2
a = − ; D.
5
100
34
3
(1 3 )
2
a = − .
d) Phép chuyển vị (Transposed matrix)
Cho ma trận ( )
ij m n
A a ×
= .
Khi đó, ( )
T
ji n m
A a ×
= được gọi là ma trận chuyển vị
của A (nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột).
VD 16. Cho
1 2 3
4 5 6
A
 

 

= 
 


 
.
T
A
 

 
 
 
⇒ =  
 
 
 


 
1
2
3
4
5
6
Tính chất
1) ( )T T T
A B A B
+ = + ;
2) ( ) .
T T
A A
λ λ
= ;
3) ( )
T T
A A
= ;
4) ( )T T T
AB B A
= ;
5) T
A A A
= ⇔ là ma trận đối xứng.
VD 17.
1 1
0 1 2
0 2 ,
1 0 3
3 2
A B
 
− 
  

 −
 

  

= =
  

  
− − 

   
 
− − 

 
.
a) Tính ( )T
AB .
b) Tính T T
B A và so sánh kết quả với ( )T
AB .
1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận
(Gauss – Jordan)
Cho ma trận ( )
ij m n
A a ×
= ( 2)
m ≥ . Các phép biến đổi
sơ cấp (PBĐSC) dòng e trên A là:
1) 1
( ) :
e Hoán vị hai dòng cho nhau i k
d d
A A
↔
′
→ .
2) 2
( ) :
e Nhân 1 dòng với số 0
λ ≠ , i i
d d
A A
λ
→
′′

→ .
3) 3
( ) :
e Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần
dòng khác, i i k
d d d
A A
λ
→ +
′′′

→ .
Chú ý
1) Trong thực hành ta thường làm i i k
d d d
A B
µ λ
→ +

→ .
2) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên
cột của ma trận.
VD 18. Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận
2 1 1
1 2 3
3 1 2
A
 
− 
 
 
 
= −
 
 
 
 
− 

 
về
1 2 3
0 1 7 / 5
0 0 0
B
 
− 
 
 
 
= −
 
 
 
 


 
.

1/8/2016
10
1.4. Ma trận bậc thang
• Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử đều bằng
0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không).
• Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 dòng
trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.
• Ma trận bậc thang là ma trận khác không cấp m n
×
( , 2)
m n ≥ thỏa hai điều kiện:
1) Các dòng bằng 0 (nếu có) ở phía dưới các dòng
khác 0;
2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm bên phải
phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó.
VD 19. Các ma trận bậc thang:
1 0 2
0 0 3 ,
0 0 0
 

 
 
 
 
 
 
 


 
0 1 2 3
0 0 4 5 ,
0 0 0 1
 

 
 
 
 
 
 
 


 
1 0 ... 0
0 1 ... 0
.
... ... ... ...
0 0 ... 1
n
I
 

 
 
 
 
 
=  
 

 
 
 


 
Các ma trận không phải là bậc thang:
0 0 0
3 1 4
0 0 5
 

 
 
 
 
 
 
 


 
,
0 2 7
0 3 4
0 0 5
 

 
 
 
 
 
 
 


 
,
1 3 5
0 0 4
2 1 3
 

 
 
 
 
 
 
 


 
.
Ma trận bậc thang rút gọn
Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang có
phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ đều bằng 1 và là
phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa phần tử đó.
VD 20. n
I ,
1 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A
 

 
 
 
=  
 
 
 


 
,
0 1 0 3
0 0 1 2
0 0 0 0
B
 

 
 
 
=  
 
 
 


 
là các ma trận bậc thang rút gọn.
Ma trận
1 2 3
0 0 1
C
 

 

= 
 


 
không là bậc thang rút gọn.
1.5. Ma trận khả nghịch
a) Định nghĩa
• Ma trận ( )
n
A M
∈ ℝ được gọi là khả nghịch nếu tồn
tại ma trận ( )
n
B M
∈ ℝ sao cho:
.
n
AB BA I
= =
• Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A.
Ký hiệu 1
B A−
= . Khi đó:
1 1 1 1
; ( ) .
n
A A AA I A A
− − − −
= = =
Chú ý
Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì B là duy nhất
và A cũng là ma trận nghịch đảo của B.
VD 21.
2 5
1 3
A
 

 

= 
 


 
và
3 5
1 2
B
 
− 
 

= 
 
− 

 
là hai ma trận
nghịch đảo của nhau vì 2
AB BA I
= = .
VD 22. Cho biết ma trận
0 0 1
0 1 0
1 0 0
A
 

 
 
 
=  
 
 
 


 
thỏa:
3 2
3 3
A A A I O
− − + = . Tìm 1
A−
?
Chú ý
1) Nếu ma trận A có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì
không khả nghịch.
3) Nếu 0
ac bd
− ≠ thì:
1
1
. .
a b c b
d c d a
ac bd
−
   
−
 
 
 
 
=
 
 
 
−
−
 
 
   
2) 1
I I
−
= ; 1 1 1
( )
AB B A
− − −
= .

1/8/2016
11
VD 23. Cho
2 5
1 3
A
 

 

= 
 


 
và
2 1
3 2
B
 

 

= 
 


 
.
Thực hiện phép tính: a) 1
( )
AB −
; b) 1 1
B A
− −
.
VD 24. Cho hai ma trận
5 3 4 1
,
3 2 2 3
A B
   
− −
 
 
 
 
= =
 
 
 
− −
 
 
   
.
Tìm ma trận X thỏa AX B
= .
61
b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi
sơ cấp trên dòng (tham khảo)
Cho ( )
n
A M
∈ ℝ khả nghịch, ta tìm 1
A−
như sau:
Bước 1. Lập ma trận ( )
n
A I (ma trận chia khối) bằng
cách ghép ma trận n
I vào bên phải của A.
Bước 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa
( )
n
A I về dạng ( )
n
I B .
Khi đó: 1
A B
−
= .
VD 25. Tìm nghịch đảo của
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
A
 
− 
 
 
 
−
 
 
=  
 

 
 
 


 
.
§2. ĐỊNH THỨC
2.1. Định nghĩa
a) Ma trận con cấp k
Cho ( ) ( )
ij n
n
A a M
= ∈ ℝ .
• Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm
trên giao của k dòng và k cột của A được gọi là ma
trận con cấp k của A.
• Ma trận ij
M có cấp 1
n − thu được từ A bằng cách
bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận con
của A ứng với phần tử ij
a .
VD 1. Ma trận
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
 

 
 
 
=  
 
 
 


 
có các ma trận con ứng
với các phần tử ij
a là:
11
5 6
8 9
M
 

 

= 
 


 
, 12
4 6
7 9
M
 

 

= 
 


 
, 13
4 5
7 8
M
 

 

= 
 


 
,
21
2 3
8 9
M
 

 

= 
 


 
, 22
1 3
7 9
M
 

 

= 
 


 
, 23
1 2
7 8
M
 

 

= 
 


 
,
31
2 3
5 6
M
 

 

= 
 


 
, 32
1 3
4 6
M
 

 

= 
 


 
, 33
1 2
4 5
M
 

 

= 
 


 
.
b) Định thức (Determinant)
Định thức của ma trận vuông ( )
n
A M
∈ ℝ , ký hiệu
detA hay A , là 1 số thực được định nghĩa:
Nếu 11
( )
A a
= thì 11
detA a
= .
Nếu 11 12
21 22
a a
A
a a
 

 

= 
 


 
thì 11 22 12 21
detA a a a a
= − .
Nếu ( )
ij n
A a
= (cấp 3
n ≥ ) thì:
11 11 12 12 1 1
det ... n n
A a A a A a A
= + + +
trong đó, ( 1) det
i j
ij ij
A M
+
= − và số thực ij
A được
gọi là phần bù đại số của phần tử ij
a .
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ
đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt).
2) Tính
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
.
Chú ý
1) det 1, det 0
n n
I O
= = .
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
hoặc

1/8/2016
12
VD 2. Tính định thức của các ma trận sau:
3 2
1 4
A
 
− 
 

= 
 


 
,
1 2 1
3 2 1
2 1 1
B
 
− 
 
 
 
= −
 
 
 
 


 
.
VD 3. Tính định thức của ma trận:
0 0 3 1
4 1 2 1
3 1 0 2
2 3 3 5
A
 
− 
 
 
 
−
 
 
=  
 

 
 
 


 
.
67
2.2. Các tính chất cơ bản của định thức
Cho ma trận vuông ( ) ( )
ij n
n
A a M
= ∈ ℝ , ta có các
tính chất cơ bản sau:
a) Tính chất 1
( )
det det .
T
A A
=
VD 4.
1 3 2 1 2 1
2 2 1 3 2 1 12
1 1 1 2 1 1
−
− = − = −
−
.
b) Tính chất 2
Nếu hoán vị hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì
định thức đổi dấu.
VD 5.
1 3 2
2 2 1
1 1 1
−
−
1 1 1
2 2 1
1 3 2
−
= − −
1 1 1
2 2 1 .
3 1 2
−
= −
Hệ quả. Nếu định thức có ít nhất 2 dòng (hoặc 2 cột)
giống nhau thì bằng 0.
VD 6.
1
1
3 3
2 2
1 1
0
7
= ; 2 5
2
5
3
2
1 0
1
y y
y
x
y
x x
= .
c) Tính chất 3
Nếu nhân 1 dòng (hoặc 1 cột) với số thực λ thì
định thức tăng lên λ lần.
VD 7.
3.1 0 3.( 1) 1 0 1
2 1 2 3 2 1 2
3 1 7 3 1 7
− −
− = − ;
3 3
3 3
3 3
1 1
1 ( 1) 1
1 1
x x x x x
x y y x y y
x z z z z
+
+ = +
+
.
Hệ quả
1) Nếu định thức có ít nhất 1 dòng (hoặc 1 cột)
bằng 0 thì bằng 0.
2) Nếu định thức có 2 dòng (hoặc 2 cột) tỉ lệ với
nhau thì bằng 0.
VD 8. 2
3 2
0 1
0 0
0
x
x y
x y
= ;
6 6 9
2 2 3 0
8 3 12
− −
− =
− −
.
VD 9.
3 3 3
3 3 3
1 1 1 1 0
;
1 1 1
x x x x x x
x y y x y y x y y
z z z z z z
+ − −
= +
2 2
2 2
2 2
cos 2 3 sin 2 3 1 2 3
sin 5 6 cos 5 6 1 5 6 .
1 8 9
sin 8 9 cos 8 9
x x
x x
x x
+ =
d) Tính chất 4
Nếu định thức có 1 dòng (hoặc 1 cột) mà mỗi phần
tử là tổng của 2 số hạng thì ta có thể tách thành tổng
2 định thức.

1/8/2016
13
e) Tính chất 5
Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng
(hoặc 1 cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác.
VD 10. Sử dụng tính chất 5 để đưa định thức sau về
dạng bậc thang:
1 2 3
1 2 1
2 3 4
∆ = − − .
VD 11. Sử dụng tính chất 5 để tính
2 2
2 2
2 2
x
x
x
∆ = .
Chú ý
Phép biến đổi
3 3 2
4
1 2 3 1 2 3
0 4 2 0 4 2
0 1 2 0 0 6
d d d
→ +
=====
− − −
là sai
vì dòng 3 (trước khi thay đổi) đã nhân với số 4.
74
2.3. Định lý (khai triển Laplace)
Cho ma trận vuông ( ) ( )
ij n
n
A a M
= ∈ ℝ , ta có các
khai triển Laplace của định thức A:
a) Khai triển theo dòng thứ i
1 1 2 2
1
det ... .
n
i i i i in in ij ij
j
A a A a A a A a A
=
= + + + = ∑
Trong đó, ( 1) det( )
i j
ij ij
A M
+
= − .
b) Khai triển theo cột thứ j
1 1 2 2
1
det ... .
n
j j j j nj nj ij ij
i
A a A a A a A a A
=
= + + + = ∑
VD 12. Tính định thức
1 0 0 2
2 0 1 2
1 3 2 3
3 0 2 1
bằng hai cách
khai triển theo dòng 1 và khai triển theo cột 2.
VD 13. Áp dụng tính chất và định lý Laplace, hãy tính
định thức
1 1 1 2
2 1 1 3
1 2 1 2
3 3 2 1
−
−
.
76
Các kết quả đặc biệt cần nhớ
1) Dạng tam giác
11 12 1 11
22 2 21 22
11 22
1 2
... 0 ... 0
0 ... ... 0
... .
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... ...
n
n
nn
nn n n nn
a a a a
a a a a
a a a
a a a a
= =
2) Dạng tích: det( ) det .det .
AB A B
=
3) Dạng chia khối
det .det
n
A B
A C
O C
=
⋮
… … …
⋮
, với , , ( )
n
A B C M
∈ ℝ .
VD 14. Tính
1 2 3 4
0 2 7 19
det
0 0 3 0
0 0 0 1
A
−
=
−
.
VD 15. Tính
0 0 3 4
3 2 7 19
det
1 2 3 7
0 0 8 1
B
−
=
−
.
78

1/8/2016
14
VD 16. Tính
1 1 1 2 1 4
det 2 0 3 2 1 3
1 2 3 1 2 1
C
  
−  
 
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
 
 
−  
 
  
.
VD 17. Tính
1 1 1 2 1 4 3 1 4
det 2 0 3 2 1 3 0 1 2 .
1 2 3 1 2 1 1 2 1
T
D
   
− −
  
  
  
  
  
  
  
=   
  
  
  
  
  
  
  
−   
  
   
79
là: A. 1
x = ± ; B. 1
x = ; C. 1
x = − ; D.
1
2
x
x
 = ±

 = ±

.
VD 18. Phương trình
1 0 0
1 0 0
0
2 2
3 8 2
x
x
x x
x
=
−
có nghiệm
80
2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo
a) Định lý
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi:
det 0.
A ≠
VD 19. Giá trị của tham số m để ma trận
2
1 0
1 0
0 1 1 1
T
m
m m
A
m m m
 
   − 
  
  
  
 
= 
  
  
 
− 
 
  
    
khả nghịch là:
A.
0
1
m
m
 =

 =

; B.
0
1
m
m

 ≠


 ≠


; C. 0
m ≠ ; D. 1
m ≠ .
b) Thuật toán tìm A–1
• Bước 1. Tính detA. Nếu det 0
A = thì kết luận A
không khả nghịch. Ngược lại, ta làm tiếp bước 2.
• Bước 2. Lập ma trận ( ) , ( 1) det
i j
ij ij ij
n
A A M
+
= − .
Suy ra ma trận phụ hợp (adjunct matrix) của A là:
( ) .
T
ij n
adjA A
 
=  
 
• Bước 3. Ma trận nghịch đảo của A là:
1 1
. .
det
A adjA
A
−
=
VD 20. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của:
1 2 1
1 1 2
3 5 4
A
 

 
 
 
=  
 
 
 


 
.
VD 21. Cho ma trận
1 2 1
0 1 1
1 2 3
A
 

 
 
 
=  
 
 
 


 
. Tìm 1
A−
.
2.5. Hạng của ma trận
a) Định thức con cấp k
Cho ma trận ( )
ij m n
A a
×
= . Định thức của ma trận con
cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A.
Định lý
Nếu ma trận A có tất cả các định thức con cấp k đều
bằng 0 thì các định thức con cấp 1
k + cũng bằng 0.
b) Hạng của ma trận (rank of matrix)
Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A
được gọi là hạng của ma trận A.
Ký hiệu là ( )
r A .

1/8/2016
15
Chú ý
• Nếu ( )
ij m n
A a
×
= khác 0 thì 1 ( ) min{ , }.
r A m n
≤ ≤
• Nếu A là ma trận không thì ta quy ước ( ) 0
r A = .
c) Thuật toán tìm hạng của ma trận
• Bước 1. Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang.
• Bước 2. Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính
là hạng của ma trận đã cho.
• Đặc biệt
Nếu A là ma vuông cấp n thì:
( ) det 0.
r A n A
= ⇔ ≠
VD 22. Điều kiện của tham số m để ma trận
1 2
0 3 2
0 1 1
m
A
 
− − 
 
 
 
=  
 
 
 


 
có hạng bằng 3 là:
A. 1
m ≠ ; B. 1
m ≠ − ; C. 1
m ≠ ± ; D. 0
m ≠ .
VD 23. Cho
1 3 4 2
2 5 1 4
3 8 5 6
A
 
− 
 
 
 
= −
 
 
 
 
− 

 
. Tìm ( )
r A .
86
VD 24. Cho
2 1 1 3
0 1 0 0
0 1 2 0
0 1 1 4
A
 
− 
 
 
 
−
 
 
=  
 

 
 
 
− − 

 
. Tìm ( )
r A .
VD 25. Giá trị của tham số m để ma trận
1 1 3
2 2 0
2 1 3
m
A m
m
 
+ 
 
 
 
= +
 
 
 
 


 
có ( ) 2
r A = là:
A.
2
1
m
m
 = −

 =

; B. 1
m = ; C. 2
m = − ; D.
1
0
m
m
 = −

 =

.
Chú ý
Ta có thể hoán vị cột của ma trận rồi đưa về bậc thang.
VD 26. Tùy theo giá trị m, tìm hạng của ma trận:
1 2 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1
1 2 2 1 1
m
A
m
 
− − 
 
 
 
− − −
 
 
=  
 

 
 
 
− 

 
.
Chương 0. Ma trận – Định thức 89 Chương 0. Hệ phương trình tuyến tính
§1. Hệ phương trình tổng quát
§2. Hệ phương trình thuần nhất
………………………
§1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT
1.1. Định nghĩa
Hệ gồm n ẩn i
x ( 1,2,..., )
i n
= và m phương trình:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
( )
..........................................
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
I
a x a x a x b

 + + + =


 + + + =






 + + + =



trong đó, hệ số , ( 1,..., ; 1,..., )
ij j
a b i n j m
∈ = =
ℝ ,
được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
90

1/8/2016
16
Đặt: ( )
11 1
1
...
... ... ...
...
n
ij m n
m mn
a a
A a
a a
×
 

 
 
 
= =
 
 
 
 


 
,
( )
1
...
T
m
B b b
= và ( )
1
...
T
n
X x x
=
lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và
ma trận cột ẩn.
Khi đó, hệ ( )
I trở thành AX B
= .
• Bộ số ( )
1
...
T
n
α α α
= hoặc ( )
1
; ...; n
α α α
=
được gọi là nghiệm của ( )
I nếu A B
α = .
Chương 0. Hệ phương trình tuyến tính 91
VD 1. Cho hệ phương trình:
1 2 3 4
1 2 3
2 3
2 4 4
2 4 3
2 7 5.
x x x x
x x x
x x

 − + + =


 + + = −


 − =



Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận:
1
2
3
4
1 1 2 4 4
2 1 4 0 3
0 2 7 0 5
x
x
x
x
 


   


−  

 

 

 

 

 

 
 = −
 

 

 
 
 
 
 


 
 


−  
 

   
 


 
và (1; 1; 1; 1)
α = − − là 1 nghiệm của hệ.
Chương 0. Hệ phương trình tuyến tính
1.2. Định lý Crocneker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính AX B
= . Gọi ma trận
mở rộng là ( )
11 12 1 1
1 2
...
... ... ... ... ...
...
n
m m mn m
a a a b
A A B
a a a b
 

 
 
 

= = 
 
 
 


 
.
Định lý
Hệ AX B
= có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ).
r A r A
=
Trong trường hợp hệ AX B
= có nghiệm thì:
Nếu ( ) :
r A n
= kết luận hệ có nghiệm duy nhất;
Nếu r(A) < n: kết luận hệ có vô số nghiệm
phụ thuộc vào n – r(A) tham số
93
VD 2. Tùy theo điều kiện tham số m, hãy biện luận số
nghiệm của hệ phương trình:
2
3 0
(1 ) 1.
x my z
m z m

 + − =


 − = −


VD 3. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình:
2
8 7 1
3 2 4
5 1
5 2 2
mx z t m
x my z t m
mz t m
z mt m

 + − = −


 + + + =



 + = −


 − = +



có nghiệm duy nhất là:
A. 0
m ≠ ; B. 1
m ≠ ; C. 1
m ≠ ± ; D. 5
m ≠ ± .
94
1.3. Phương pháp giải hệ phương trình tổng quát
a) Phương pháp ma trận (tham khảo)
Cho hệ phương trình tuyến tính AX B
= , với A là
ma trận vuông cấp n khả nghịch.
Ta có:
1
.
AX B X A B
−
= ⇔ =
VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng
phương pháp ma trận:
2 1
3 3
2 1.
x y z
y z
x y z

 + − =


 + =


 + + = −



95
Cho hệ AX B
= , với A là ma trận vuông cấp n.
• Bước 1. Tính các định thức:
11 1 1
1
... ...
det ... ... ... ... ...
... ...
j n
n nj nn
a a a
A
a a a
∆ = = ,
1 1
1
1
1
... ...
... ... ... ... , 1,
..
...
. ...
n
n
j
n nn
a a
j
b
a
b
n
a
∆ = =
(thay cột thứ j trong ∆ bởi cột tự do).
b) Phương pháp định thức (hệ Cramer)

1/8/2016
17
• Bước 2. Kết luận:
Nếu 0
∆ ≠ thì hệ có nghiệm duy nhất:
, 1, .
j
j
x j n
∆
= ∀ =
∆
Nếu 0
∆ = thì chưa có kết luận. Khi đó, ta giải tìm
tham số và thay vào hệ để giải trực tiếp.
Chú ý
Khi 1
m = thì hệ
( 7) 12 6
10 ( 19) 10 2
12 24 ( 13) 0
m x y z m
x m y z m
x y m z

 − + − =


− + + − =


− + + − =



có 1 2 3
0
∆ = ∆ = ∆ = ∆ = nhưng hệ vô nghiệm.
97
VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức:
2 1
3 3
2 1.
x y z
y z
x y z

 + − =


 + =


 + + = −



VD 6. Hệ phương trình
( 1) 2
( 1) 0
m x y m
x m y

 + + = +


 + + =


có nghiệm khi và chỉ khi:
A. 2
m = − ; B. 2 0
m m
≠ − ∧ ≠ ;
C. 0
m ≠ ; D. 2
m ≠ − .
98
c) Phương pháp ma trận bậc thang
(phương pháp Gauss)
Xét hệ phương trình tuyến tính AX B
= .
• Bước 1. Đưa ma trận mở rộng ( )
A B về dạng bậc
thang bởi PBĐSC trên dòng.
• Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên.
Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:
có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng;
có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó;
có 1 dòng dạng ( )
0...0 , 0
b b ≠ thì hệ vô nghiệm.
VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss:
2 1
3 3
2 1.
x y z
y z
x y z

 + − =


 + =


 + + = −



VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
5 2 5 3 3
4 3 2 1
2 7 = 1.
x x x x
x x x x
x x x

 − + − =


 + + − =


 + − −



100
VD 9. Tìm nghiệm của hệ
x 4 5 1
2 7 11 2
3 11 6 1
y z
x y z
x y z

 + + = −


 + − =


 + − =



.
A. 15, 4, 0
x y z
= = − = ; B. Hệ có vô số nghiệm;
C.
15 79
4 21
x
y
z
α
α
α

 = −


 = − −


 = ∈



ℝ
; D.
15 79
4 21
x
y
z
α
α
α

 = +


 = − −


 = ∈



ℝ
.
VD 10. Tìm nghiệm của hệ
3 2 3
2 2 7
x y z
x y z

 − + =


 + − =


.
A.
2
7 2
x
y
z
α
α

 =


 = −


 = ∈



ℝ
; B.
2
3 2
x
y
z
α
α

 =


 = +


 = ∈



ℝ
C. Hệ có vô số nghiệm; D. Hệ vô nghiệm.

1/8/2016
18
VD 11. Giá trị của tham số m để hệ phương trình
tuyến tính
2 (7 ) 2
2 4 5 1
3 6 3
x y m z
x y z
x y mz

 + + − =


 + − =


 + + =



có vô số nghiệm là:
A. 1
m = ± ; B. 1
m = ; C. 7
m = − ; D. 7
m = .
Chú ý
• Khi hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm, ta
gọi nghiệm phụ thuộc tham số là nghiệm tổng quát.
Nếu cho các tham số bởi các giá trị cụ thể ta được
nghiệm riêng hay còn gọi là nghiệm cơ bản.
§2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT
2.1. Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là trường hợp
đặc biệt của hệ phương trình tổng quát, có dạng:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
... 0
... 0
( )
.........................................
... 0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
II
a x a x a x

 + + + =


 + + + =






 + + + =



.
Hệ ( )
II tương đương với 1
(0 )
ij m
AX ×
= .
105 Chương 0. Hệ phương trình tuyến tính
Chú ý
• Do ( ) ( )
r A r A
= nên hệ thuần nhất luôn có nghiệm.
• Nghiệm (0; 0;…; 0) được gọi là nghiệm tầm thường.
2.2. Định lý 1
Hệ ( )
II chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi:
det 0.
A ≠
106
VD 1. Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất sau chỉ có nghiệm tầm thường:
2
3 ( 5) 0
( 2) 0
4 ( 2) 0.
x m y m z
m y z
y m z

 + + − =


 + + =


 + + =



107 Chương 1. Hàm số một biến số
………………
§1. Giới hạn dãy số
§2. Giới hạn hàm số
§3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn
§4. Hàm số liên tục
§1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
1.1. Các định nghĩa về dãy số thực
Định nghĩa 1
Một dãy số thực (gọi tắt là dãy số) là một ánh xạ f từ +
ℤ
vào ℝ cho tương ứng ( ) n
f n x
= ∈ ℝ.
Ký hiệu dãy số là { }, 1,2,...
n
x n =
Trong đó, 1 2
; ;...; ;...
n
x x x được gọi là các số hạng và n
x
là số hạng tổng quát của dãy số.

1/8/2016
19
Chương 1. Hàm số một biến số
VD 1.
• Dãy số { }
n
x được cho dưới dạng liệt kê:
1 2 3
1 1 1
1; ; ;...; ;...
2 3 n
x x x x
n
= = = =
• Dãy số { }, ( 1)n
n n
x x = − được cho ở dạng tổng quát.
• Dãy số { }
n
x sau được cho dưới dạng quy nạp (hồi quy):
1
0
1
1
: , 2
2
n
n
n
x
x x
x
−
−
−
= = .
Định nghĩa 2
• Dãy số { }
n
x được gọi là tăng (hay giảm) nếu 1
n n
x x +
≤
(hay 1
n n
x x +
≥ ) với mọi n +
∈ ℤ .
• Một dãy số tăng (hay giảm) được gọi là dãy đơn điệu.
VD 2.
• Dãy số 2
1
{ },
n n
x x
n
= − là dãy tăng.
• Dãy số
1
{ },
2
n n
n
x x
n
+
= là dãy giảm.
• Dãy số { }, ( 1)n
n n
x x = − không đơn điệu.
Định nghĩa 3
• Dãy số { }
n
x được gọi là bị chặn trên nếu M
∃ ∈ ℝ sao
cho ,
n
x M n +
≤ ∀ ∈ ℤ .
• Dãy số { }
n
x được gọi là bị chặn dưới nếu m
∃ ∈ ℝ sao
cho ,
n
x m n +
≥ ∀ ∈ ℤ .
• Dãy số { }
n
x được gọi là bị chặn nếu dãy bị chặn trên và
bị chặn dưới.
VD 3.
• Dãy số 2
1
{ },
n n
x x
n
= − bị chặn trên bởi số 0.
• Dãy số
1
{ },
2
n n
n
x x
n
+
= bị chặn dưới bởi số
1
2
.
• Dãy số { }, ( 1) sin
n
n n
x x n
= − bị chặn vì:
1,
n
x n +
≤ ∀ ∈ ℤ .
• Dãy số 1
{ }, ( )n
n n
x x n +
= − không bị chặn trên và cũng
không bị chặn dưới.
Định nghĩa 4
• Số a ∈ ℝ được gọi là giới hạn của dãy số { }
n
x nếu:
0, : n
N n N x a
∀ε > ∃ ∈ ∀ > ⇒ − < ε
ℝ .
Ký hiệu: lim n
n
x a
→∞
= hay n
x a
→ .
• Dãy số { }
n
x có lim n
n
x
→∞
= −∞ nếu:
, : n
m N n N x m
∀ ∈ ∃ ∈ ∀ > ⇒ <
ℝ ℝ .
• Dãy số { }
n
x có lim n
n
x
→∞
= +∞ nếu:
, : n
M N n N x M
∀ ∈ ∃ ∈ ∀ > ⇒ >
ℝ ℝ .
• Nếu dãy số { }
n
x có lim n
n
x a
→∞
= ∈ ℝ (hữu hạn) thì ta nói
dãy hội tụ, ngược lại thì ta nói dãy phân kỳ.
VD 4. Chứng tỏ rằng:
2 1 2
lim
3 1 3
n
n
n
→∞
−
=
+
.

1/8/2016
20
1.2. Các tính chất của dãy số hội tụ
Định lý 1
• Nếu dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.
• Nếu dãy số hội tụ thì dãy bị chặn.
• Nếu dãy số tăng và bị chặn trên thì dãy hội tụ.
• Nếu dãy số giảm và bị chặn dưới thì dãy hội tụ.
Định lý 2. Cho hai dãy số hội tụ { }, { }
n n
x y và
lim n
n
x a
→∞
= , lim n
n
y b
→∞
= . Khi đó:
• lim ( ) ,
n
n
kx ka k
→∞
= ∈ ℝ; lim ( )
n n
n
x y a b
→∞
+ = +
• lim ( )
n n
n
x y ab
→∞
= ; lim ; 0, 0
n
n
n
n
x a
y b
y b
→∞
= ≠ ≠ .
Định lý 3
• Cho hai dãy số { }, { }
n n
x y thỏa ,
n n
x y n N
≤ ∀ ≥ .
Nếu lim , lim
n n
n n
x a y b
→∞ →∞
= = thì a b
≤ .
• Cho ba dãy số { }, { }, { }
n n n
x y z thỏa n n n
x y z
≤ ≤ với
mọi n N
≥ . Nếu lim lim
n n
n n
x z a
→∞ →∞
= = thì lim n
n
y a
→∞
= .
VD 5. Ta có 2
1 1 1
0 sin
1
n n n
≤ ≤
+
nên:
2
1 1 1
0 lim sin lim 0
1
n n
n n n
→∞ →∞
≤ ≤ =
+
.
Vậy 2
1 1
lim sin 0
1
n n n
→∞
=
+
.
Định lý 4 (định lý Cantor)
Cho hai dãy số { }, { }
n n
x y thỏa:
1 1
, [ ; ] [ ; ],
lim( ) 0.
n n n n n n
n n
x
x y x y x y n
y x
+
+ +
→∞

 ≤ ⊂ ∀ ∈


 − =


ℤ
Khi đó, tồn tại số thực duy nhất [ ; ],
n n
c x y n +
∈ ∀ ∈ ℤ .
Định lý 5 (định lý Bolzano – Weierstrass)
• Định nghĩa. Cho dãy số { }
n
x . Từ đó, ta trích ra dãy số:
1 2 3
; ; ;...; ;...
k
n n n n
x x x x
với các chỉ số k
n +
∈ ℤ thỏa 1 2
... ...
k
n n n
< < < <
Khi đó, { }
k
n
x được gọi là dãy con trích ra từ dãy { }
n
x .
• Định lý. Từ mọi dãy số bị chặn, ta đều có thể trích ra
được một dãy con hội tụ.
VD 6. Cho dãy số bị chặn { }, sin
2
n n
x x n
π
= .
Từ dãy { }
n
x , ta có thể trích ra hai dãy con như sau:
2
: sin
k
x kπ
= , 4 1
: sin(4 1)
2
k
x k
π
+
= + .
Ta có: 2
0
k
x → (hội tụ) và 4 1
1
k
x +
→ (hội tụ).
Nhận xét
Do hai dãy con hội tụ về hai giới hạn khác nhau nên dãy
{ }
n
x không có giới hạn duy nhất. Vậy dãy { }
n
x phân kỳ.
Một số kết quả giới hạn cần nhớ
1) lim ,
n
k k k
→∞
= ∈ ℝ
2)
1
lim =0 lim =
n
n n
n
x
x
→∞ →∞
⇔ ∞; lim = lim =
n n
n n
x a x a
→∞ →∞
⇔ .
3)
1
lim 0, 0
n nα
α
→∞
= ∀ > ;
1
lim 0, 1
n
n
α
α
→∞
= ∀ > .
4) Nếu 1
a < thì lim 0
n
n
a
→∞
= ; 1
a > thì lim n
n
a
→∞
= ∞.
5) lim 1
n
n
a
→∞
= ( 0
a > ); lim 1
n
n
n
→∞
= ;
1
lim 1
n
n
e
n
→∞
 

 + =

 
 
 
.
6) Nếu 1, 1
α β
≥ > thì
ln
lim lim 0
n
n n
n n
n
α
α
β
→∞ →∞
= = .
7) Tính ( )
( )
lim
g n
n
L f n
→∞
=  
  (dạng 1∞
)
Ta áp dụng công thức ( )
( ) ( ) ( )
lim 1 .
lim n
f n g n
g n
n
L f n e →∞
−
 
 
→∞
= =
 
 

1/8/2016
21
1.3. Một số ví dụ về giới hạn dãy số
VD 8. Tìm
2
2
3 7
lim
5
n
n n
n
→∞
− −
+
.
VD 9. Tìm
2 4
6 3
( 1)(4 3)
lim
2
n
n n
n n n
→∞
− +
− +
.
VD 10. Tìm 2
3 1
lim
4
n
n
n
n
n
→∞
− +
+
.
VD 11. Tìm
2 2 2
3
1 2 3 ...
lim
5 1
n
n
L
n n
→∞
+ + + +
=
+ +
.
VD 12. Tìm
1
2 2
2
9 2 5
lim
1
n
n
n
n n
L
n
+
→∞
 
+ − 
 
=  
 
 +
 
.
VD 13. Tìm
4
2
lim 1
1
n
n
L
n
+
→∞
 


= − 
 
 
+
 
.
VD 14. Tìm ( )
lim 3 2 1
n
L n n
→∞
= + − − .
VD 15. Tìm giới hạn ( )
2 2
lim 3
n
L n n n
→∞
= − + ?
A. L = −∞; B. L = +∞; C.
3
2
L = − ; D. 0
L = .
3 2
3
lim 1
n
L n n n
→∞
= + − − ?
A. 0
L = ; B. L = +∞; C.
1
2
L = − ; D.
1
2
L = .
§2. GIỚI HẠN HÀM SỐ
2.1. Bổ túc về hàm số
2.1.1. Định nghĩa hàm số
Cho hai tập khác rỗng ,
X Y ⊂ ℝ.
Hàm số f (hoặc ánh xạ f ) từ X vào Y là một quy luật
mà mỗi x X
∈ xác định được duy nhất một y Y
∈ .
Khi đó:
Miền xác định (MXĐ) của f , ký hiệu f
D , là tập X .
Miền giá trị (MGT) của f là:
{ }
( )
G y f x x X
= = ∈ .
Nếu ( )
f X Y
= thì f là toàn ánh (hay tràn ánh).
Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh.
VD 1. Các hàm số:
• :
f →
ℝ ℝ với ( ) 2x
y f x
= = là đơn ánh.
• : [0; )
f → +∞
ℝ với 2
( )
f x x
= là toàn ánh.
• : (0; )
f +∞ → ℝ với ( ) ln
f x x
= là song ánh.
Hàm số ( )
y f x
= được gọi là hàm chẵn nếu:
( ) ( ), .
f
f x f x x D
− = ∀ ∈
Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
Nếu 1 2 1 2
( ) ( )
f x f x x x
= ⇒ = thì f là đơn ánh.
VD 2. Hàm số 2 2 2
2( 1) 1
y x x
= + − − là hàm hợp của
2
( ) 2
f x x x
= − và 2
( ) 1
g x x
= + .
Hàm số ( )
y f x
= được gọi là hàm lẻ nếu:
( ) ( ), .
f
f x f x x D
− = − ∀ ∈
Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.
Chú ý. ( )( ) ( )( ).
f g x g f x
≠
2.1.2. Hàm số hợp
Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện g f
G D
⊂ .
Khi đó, hàm số ( ) ( )( ) [ ( )]
h x f g x f g x
= = được gọi là
hàm số hợp của f và g.
2.1.3. Hàm số ngược
Hàm số g được gọi là hàm số ngược của hàm số f nếu:
( ), f
x g y y G
= ∀ ∈ .
Ký hiệu là: 1
g f −
= .
VD 3. Cho ( ) 2x
f x = thì:
1
2
( ) log , 0
f x x x
−
= > .
Nhận xét
Đồ thị của hàm số 1
( )
y f x
−
= đối xứng với đồ thị của
hàm số ( )
y f x
= qua đường thẳng y x
= .

1/8/2016
22
2.1.4. Hàm số lượng giác ngược
a) Hàm số y = arcsin x
• Hàm số sin
y x
= có hàm ngược trên ;
2 2
 
π π
 
−
 
 
là
1
: [ 1; 1] ;
2 2
f −
 
π π
 
− → −
 
 
arcsin
x y x
=
֏ .
VD 4. arcsin 0 0
= ;
arcsin( 1)
2
π
− = − ;
3
arcsin
2 3
π
= .
b) Hàm số y = arccos x
• Hàm số cos
y x
= có hàm ngược trên [0; ]
π là
1
: [ 1; 1] [0; ]
f −
− → π
arccos
x y x
=
֏ .
VD 5. arccos0
2
π
= ;
arccos( 1)
− = π;
3
arccos
2 6
π
= ;
1 2
arccos
2 3
− π
= .
Chú ý
arcsin arccos , [ 1; 1].
2
x x x
π
+ = ∀ ∈ −
c) Hàm số y = arctan x
• Hàm số tan
y x
= có hàm ngược trên ;
2 2
 
π π
− 
 
 
 
là
1
: ;
2 2
f −
 
π π

→ − 
 
 
 
ℝ
arctan
x y x
=
֏ .
VD 6. arctan 0 0
= ;
arctan( 1)
4
π
− = − ;
arctan 3
3
π
= .
Quy ước. ( ) ( )
arctan , arctan .
2 2
π π
+∞ = −∞ = −
d) Hàm số y = arccot x
• Hàm số cot
y x
= có hàm ngược trên (0; )
π là
1
: (0; )
f −
→ π
ℝ
cot
x y arc x
=
֏ .
VD 7. cot0
2
arc
π
= ;
3
cot( 1)
4
arc
π
− = ;
cot 3
6
arc
π
= .
Quy ước. cot( ) 0, cot( ) .
arc arc
+∞ = −∞ = π
2.2. Giới hạn hàm số
2.2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1. Cho hàm ( )
f x xác định trong ( ; )
a b .
Ta nói ( )
f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x tiến đến
0
[ ; ]
x a b
∈ nếu với mọi 0
ε > cho trước, ta tìm được số
0
δ > sao cho khi 0
0 x x
< − < δ thì ( )
f x L
− < ε.
Ký hiệu là:
0
lim ( )
x x
f x L
→
= .
Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)
Cho ( )
a b . Ta nói ( )
f x có giới hạn
là L (hữu hạn) khi 0
[ ; ]
x x a b
→ ∈ nếu với bất kỳ dãy
{ }
n
x trong 0
( ; ) { }
a b x mà 0
n
x x
→ thì ( )
n
f x L
→ .
Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)
• Ta nói ( )
f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞
nếu với mọi 0
ε > cho trước ta tìm được số 0
M > sao
cho khi x M
> thì ( )
f x L
− < ε.
Ký hiệu là: lim ( )
x
f x L
→+∞
= .
• Ta nói ( )
f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → −∞
nếu với mọi 0
ε > cho trước ta tìm được số 0
m < sao
cho khi x m
< thì ( )
f x L
− < ε.
Ký hiệu là: lim ( )
x
f x L
→−∞
= .

1/8/2016
23
Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)
• Ta nói ( )
f x có giới hạn là L = +∞ khi 0
x x
→ nếu với
mọi số 0
M > lớn tùy ý, ta tìm được số 0
δ > sao cho
khi 0
0 x x
< − < δ thì ( )
f x M
> .
Ký hiệu là:
0
lim ( )
x x
f x
→
= +∞.
• Ta nói ( )
f x có giới hạn là L = −∞ khi 0
x x
→ nếu với
mọi số 0
m < tùy ý, ta tìm được số 0
δ > sao cho khi
0
0 x x
< − < δ thì ( )
f x m
< .
Ký hiệu là:
0
lim ( )
x x
f x
→
= −∞.
Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)
• Nếu ( )
f x có giới hạn là L (L có thể là ∞) khi 0
x x
→
( 0
x hữu hạn) và 0
x x
> thì ta nói ( )
f x có giới hạn phải
tại 0
x . Ký hiệu:
0 0
lim ( )
x x
f x L
→ +
= hoặc
0
lim ( )
x x
f x L
+
→
= .
• Nếu ( )
f x có giới hạn là L (L có thể là ∞) khi 0
x x
→
( 0
x hữu hạn) và 0
x x
< thì ta nói ( )
f x có giới hạn trái
tại 0
x . Ký hiệu:
0 0
lim ( )
x x
f x L
→ −
= hoặc
0
lim ( )
x x
f x L
−
→
= .
Chú ý
0
0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) .
x x x x x x
f x L f x f x L
− +
→ → →
= ⇔ = =
2.2.2. Tính chất
Cho
0
lim ( )
x x
f x a
→
= và
0
lim ( )
x x
g x b
→
= . Khi đó:
1)
0
lim[ . ( )] . ( )
x x
k f x k a k
→
= ∈ ℝ
2)
0
lim[ ( ) ( )]
x x
f x g x a b
→
± = ±
3)
0
lim[ ( ) ( )]
x x
f x g x ab
→
= ; 4)
0
( )
lim ( 0)
( )
x x
f x a
b
g x b
→
= ≠
5) Nếu 0 0
( ) ( ), ( ; )
f x g x x x x
≤ ∀ ∈ − ε + ε thì a b
≤ .
6) Nếu 0 0
( ) ( ) ( ), ( ; )
f x h x g x x x x
≤ ≤ ∀ ∈ − ε + ε và
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x L
→ →
= = thì
0
lim ( )
x x
h x L
→
= .
Một số kết quả giới hạn cần nhớ
1)
( ) 0 ( ) 0
sin ( ) tan ( )
lim lim 1
( ) ( )
x x
x x
x x
α α
α α
α α
→ →
= = .
2) Nếu 1, 1
α β
≥ > thì
ln
lim lim 0
x
x x
x x
x
α
α
β
→+∞ →+∞
= =
3) Nếu
0 0
lim ( ) 0, lim ( )
x x x x
u x a v x b
→ →
= > = thì:
0
( )
lim [ ( )] .
v x b
x x
u x a
→
=
4) ( )
1
0
1
lim 1 lim 1
x
x
x x
x e
x
→±∞ →
 

 + = + =

 
 
 
.
2.2.3. Một số ví dụ
VD 1. Tìm giới hạn
0
1 3 1
lim
x
x
L
x
→
− +
= .
3
0
8 4 2
lim
x
x x
L
x
→
+ − −
= .
VD 3. Tìm giới hạn 2
lim 2
x
L x x x
→+∞
 


= + − 
 
 
.
VD 4. Tìm giới hạn 2
lim 2 1
x
L x x
→−∞
 


= + + + 
 
 
.
5) Tính ( )
( )
lim
g x
x a
L f x
→
=  
  (dạng 1∞
)
Ta áp dụng công thức ( )
( ) ( ) ( )
lim 1 .
lim x a
f x g x
g x
x a
L f x e →
−
 
 
→
= =
 
 
VD 5. Cho hàm số 2 2
2
tan 1 , 1
( ) sin 1
, 1.
3 3
x x
f x x
x
x

 − ≤



=  −
 >


 −

Tính (1)
f ,
1
lim ( )
x
f x
−
→
và
1
lim ( )
x
f x
+
→
.
2
1
2
1
lim
3
x
x
x
x x
L
x
−
→−∞
 

 − − 

= 
 
 
+ 

 
.
A. 9
L = ; B. 4
L = ; C. 1
L = ; D. 0
L = .

1/8/2016
24
2 3
2
2
3
lim
1
x
x
x x
L
x
−
→∞
 
+ + 
 

= 
 

 +
 
.
A. L = ∞; B. 3
L e
= ; C. 2
L e
= ; D. 1
L = .
VD 8*. Tìm giới hạn
2
1
0
cos
lim
cos2
x
x
x
L
x
→
 


= 
 
 
 
.
A. L = ∞; B.
3
2
L e
= ; C.
1
2
L e
= ; D. 1
L = .
3.1. Đại lượng vô cùng bé
a) Định nghĩa
Hàm số ( )
x
α được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB)
khi 0
x x
→ nếu
0
lim ( ) 0
x x
x
→
α = ( 0
x có thể là vô cùng).
VD 1. ( )
3
( ) tan sin 1
x x
α = − là VCB khi 1
x −
→ ;
2
1
( )
ln
x
x
β = là VCB khi x → +∞.
§3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
(Tham khảo)
b) Tính chất của VCB
1) Nếu ( ), ( )
x x
α β là các VCB khi 0
x x
→ thì
( ) ( )
x x
α ± β và ( ). ( )
x x
α β là VCB khi 0
x x
→ .
2) Nếu ( )
x
α là VCB và ( )
x
β bị chận trong lân cận 0
x
thì ( ). ( )
x x
α β là VCB khi 0
x x
→ .
3)
0
lim ( ) ( ) ( )
x x
f x a f x a x
→
= ⇔ = + α , trong đó ( )
x
α là
VCB khi 0
x x
→ .
c) So sánh các VCB
• Định nghĩa
Cho ( ), ( )
x x
α β là các VCB khi 0
x x
→ ,
0
( )
lim
( )
x x
x
k
x
→
α
=
β
.
Khi đó:
– Nếu 0
k = , ta nói ( )
x
α là VCB cấp cao hơn ( )
x
β ,
ký hiệu ( ) 0( ( ))
x x
α = β .
– Nếu k = ∞, ta nói ( )
x
α là VCB cấp thấp hơn ( )
x
β .
– Nếu 0 k
≠ ≠ ∞, ta nói ( )
x
α và ( )
x
β là các VCB
cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu 1
k = , ta nói ( )
x
α và ( )
x
β là các VCB
tương đương, ký hiệu ( ) ( )
x x
α β
∼ .
VD 2.
• 1 cosx
− là VCB cùng cấp với 2
x khi 0
x → vì:
2
2 2
0 0
2 sin
1 cos 1
2
lim lim
2
4
2
x x
x
x
x x
→ →
−
= =
 

 
 
 
 
.
• 2 2
sin 3( 1) 9( 1)
x x
− −
∼ khi 1
x → .
• Tính chất của VCB tương đương khi x → x0
1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ( )) 0( ( ))
x x x x x x
α β ⇔ α − β = α = β
∼ .
2) Nếu ( ) ( ), ( ) ( )
x x x x
α β β γ
∼ ∼ thì ( ) ( )
x x
α γ
∼ .
3) Nếu 1 1 2 2
( ) ( ), ( ) ( )
x x x x
α β α β
∼ ∼ thì
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
α α β β
∼ .
4) Nếu ( ) 0( ( ))
x x
α = β thì ( ) ( ) ( )
x x x
α + β β
∼ .

1/8/2016
25
• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
Cho ( ), ( )
x x
α β là tổng các VCB khác cấp khi 0
x x
→
thì
0
( )
lim
( )
x x
x
x
→
α
β
bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp
nhất của tử và mẫu.
3
4 2
0
cos 1
lim
x
x x
L
x x
→
− +
=
+
.
Giải.
0 2
3
4
(1 cos
lim
)
x
x
L
x
x
x
→
−
+
=
+ 2
0
1 cos 1
lim
2
x
x
x
→
−
= = .
• Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0
1) sin x x
∼ ; 2) tanx x
∼ ;
3) arcsinx x
∼ ; 4) arctanx x
∼
5)
2
1 cos
2
x
x
− ∼ ; 6) 1
x
e x
− ∼ ;
7) ln(1 )
x x
+ ∼ ; 8) 1 1
n x
x
n
+ − ∼ .
Chú ý
Nếu ( )
u x là VCB khi 0
x → thì ta có thể thay x bởi
( )
u x trong 8 công thức trên.
VD 4. Tính giới hạn
2
2
0
ln(1 2 sin )
lim
sin .tan
x
x x
L
x x
→
−
= .
VD 5. Tính
( ) 2 2
3
0
sin 1 1 3 tan
lim
sin 2
x
x x x
L
x x
→
+ − + −
=
+
.
Chú ý
Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho
hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử
hoặc mẫu của phân thức.
3 3
0 0
lim lim
tan
x x
x x
x x x x
− −
→ →
= = −∞
− −
(Sai!).
VD.
2 2
0 0
2 ( 1) ( 1)
lim lim
x x x x
x x
e e e e
x x
− −
→ →
+ − − + −
=
2
0
( )
lim 0
x
x x
x
→
+ −
= = (Sai!).
Nhận xét. Hàm số ( )
f x là VCL khi 0
x x
→ thì
1
( )
f x
là VCB khi 0
x x
→ .
3.2. Đại lượng vô cùng lớn
a) Định nghĩa
Hàm số ( )
f x được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL)
khi 0
x x
→ nếu
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞ ( 0
x có thể là vô cùng).
VD 7.
3
cos x 1
là VCL khi x 0;
2x sin x
+
→
−
3 2
2
x 2x 1
là VCL khi x .
2x x
+ −
→ +∞
+
b) So sánh các VCL
• Định nghĩa
Cho ( ), ( )
f x g x là các VCL khi 0
x x
→ ,
0
( )
lim
( )
x x
f x
k
g x
→
= .
Khi đó:
– Nếu 0
k = , ta nói ( )
f x là VCL cấp thấp hơn ( )
g x .
– Nếu k = ∞, ta nói ( )
f x là VCL cấp cao hơn ( )
g x .
– Nếu 0 k
≠ ≠ ∞, ta nói ( )
f x và ( )
g x là các VCL
cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu 1
k = , ta nói ( )
f x và ( )
g x là các VCL
tương đương. Ký hiệu ( ) ( )
f x g x
∼ .

1/8/2016
26
VD 8.
•
3
3
x
là VCL khác cấp với
3
1
2x x
+
khi 0
x → vì:
3
3 3 3 3
0 0 0
3 1 2
lim : 3 lim 3 lim
2
x x x
x x x
x x x x x
→ → →
  +

  = = = ∞
 
 
 
+
.
• 3 3
2 1 2
x x x
+ − ∼ khi x → +∞.
…………………………
VD 9: Tính giới hạn sau:
2
2
4 2 3
lim
4
→+∞
+ + +
=
− +
x
x x x
I
x x
• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp
Cho ( )
f x và ( )
g x là tổng các VCL khác cấp khi 0
x x
→
thì
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất
của tử và mẫu.
§4. HÀM SỐ LIÊN TỤC
• Hàm số ( )
f x liên tục tại 0
x nếu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
= .
• Hàm số ( )
f x liên tục trên tập X nếu ( )
f x liên tục tại
mọi điểm 0
x X
∈ .
4.1. Định nghĩa
• Số 0 f
x D
∈ được gọi là điểm cô lập của ( )
f x nếu
0 0 0
0 : ( ; ) { }
x x x x
∃ε > ∀ ∈ − ε + ε thì f
x D
∉ .
Chú ý. Hàm ( )
f x liên tục trên đoạn [ ; ]
a b thì có đồ thị là
một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó.
Quy ước. Hàm ( )
f x liên tục tại mọi điểm cô lập của nó.
4.2. Định lý
• Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại
0
x là hàm số liên tục tại 0
x .
• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó.
• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất trên đoạn đó.
• Định lý
Hàm số ( )
f x liên tục tại 0
x nếu
0 0
0
lim ( ) lim ( ) ( ).
x x x x
f x f x f x
− +
→ →
= =
4.3. Hàm số liên tục một phía
• Định nghĩa
Hàm số ( )
f x được gọi là liên tục trái (phải) tại 0
x nếu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
−
→
= (
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
+
→
= ).
VD 1. Cho hàm số
2 2
3 tan sin
, 0
( ) 2
, 0
x x
x
f x x
x

 +

 >

= 

 α ≤



.
Giá trị của α để hàm số liên tục tại 0
x = là:
A. 0
α = ; B.
1
2
α = ; C. 1
α = ; D.
3
2
α = .
VD 2. Cho hàm số 2 2
ln(cos )
, 0
( ) arctan 2
2 3, 0
x
x
f x x x
x


 ≠


=  +

 α − =



.
Giá trị của α để hàm số liên tục tại 0
x = là:
A.
17
12
α = ; B.
17
12
α = − ; C.
3
2
α = − ; D.
3
2
α = .

1/8/2016
27
………………………………
4.4. Phân loại điểm gián đoạn
• Nếu hàm ( )
f x không liên tục
tại 0
x thì 0
x được gọi là
điểm gián đoạn của ( )
f x .
O x
y
( )
C
0
x
• Nếu tồn tại các giới hạn:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
−
−
→
= ,
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
+
+
→
=
nhưng 0
( )
f x−
, 0
( )
f x+
và 0
( )
f x không đồng thời bằng
nhau thì ta nói 0
x là điểm gián đoạn loại một.
Ngược lại, 0
x là điểm gián đoạn loại hai.
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số
§1. ĐẠO HÀM
………………………………………………………
a) Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số ( )
y f x
= xác định trong lân cận ( ; )
a b của
0
( ; )
x a b
∈ . Giới hạn:
0 0
0 0
( ) ( )
lim lim
x x
f x x f x
y
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
=
∆ ∆
(nếu có) được gọi là đạo hàm của ( )
y f x
= tại 0
x .
Ký hiệu là 0
( )
f x
′ hay 0
( )
y x
′ .
§1. Đạo hàm
§2. Vi phân
§3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị
§4. Công thức Taylor
§5. Quy tắc L’Hospital
§6. Khảo sát hàm số
Nhận xét. Do 0
x x x
∆ = − nên:
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim .
x x
f x f x
f x
x x
→
−
′ =
−
b) Đạo hàm một phía
Cho hàm số ( )
y f x
= xác định trong lân cận phải
0
( ; )
x b của 0
x . Giới hạn
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
+
→
−
−
(nếu có)
được gọi là đạo hàm bên phải của ( )
y f x
= tại 0
x .
Ký hiệu là 0
( )
f x+
′ . Tương tự, 0
( )
f x−
′ .
Nhận xét. Hàm số ( )
f x có đạo hàm tại 0
x khi và chỉ khi
0 0 0
( ) ( ) ( ).
f x f x f x
− +
′ ′ ′
= =
VD 1. Cho 3
( ) (0)
f x x f ′
= ⇒ = ∞,
( ) (0 )
f x x f +
′
= ⇒ = +∞.
c) Đạo hàm vô cùng
• Nếu tỉ số
y
x
∆
→ ∞
∆
khi 0
x
∆ → thì ta nói ( )
y f x
= có
đạo hàm vô cùng tại 0
x .
• Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng
một phía.
Chú ý
Nếu ( )
f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại 0
x thì tiếp
tuyến tại 0
x của đồ thị ( )
y f x
= song song với trục Oy.
1.2. Các quy tắc tính đạo hàm
1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số:
( )
u v u v
′ ′ ′
± = ± ; ( )
uv u v uv
′ ′ ′
= + ;
2
,
k kv
k
v v
′
  ′
−

 = ∈

 
 
 
ℝ; 2
u u v uv
v v
′
  ′ ′
−

 =

 
 
 
.
2) Đạo hàm của hàm số hợp ( ) [ ( )]
f x y u x
= :
( ) ( ). ( )
f x y u u x
′ ′ ′
= hay ( ) ( ). ( )
y x y u u x
′ ′ ′
= .
3) Đạo hàm hàm số ngược của ( )
y y x
= :
1
( )
( )
x y
y x
′ =
′
.
Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp
1) ( ) 1
.
x x
α α−
′
= α ; 2) ( ) 1
2
x
x
′
= ;
3) ( )
sin cos
x x
′ = ; 4) ( )
cos sin
x x
′ = − ;
5) ( ) 2
1
tan
cos
x
x
′ = 6) ( ) 2
1
cot
sin
x
x
′ = − ;
2
1 tan x
= + ;

1/8/2016
28
7) ( )
x x
e e
′
= ; 8) ( ) .ln
x x
a a a
′
= ;
9) ( ) 1
ln x
x
′
= ; 10) ( ) 1
log
.ln
a
x
x a
′
= ;
11) ( ) 2
1
arcsin =
1
x
x
′
−
; 12)( ) 2
1
arccos =
1
x
x
−
′
−
;
13) ( ) 2
1
arctan
1
x
x
′ =
+
; 14) ( ) 2
1
cot
1
arc x
x
−
′ =
+
.
VD 2. Tính ( )
y x
′ của hàm số cho bởi
2
3
2 1
, 0
4
x t
t
y t

 = −

 ≠

 =



.
1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số
Cho hàm số ( )
y f x
= có phương trình dạng tham số
( ), ( )
x x t y y t
= = . Giả sử ( )
x x t
= có hàm số ngược
và hàm số ngược này có đạo hàm thì:
( )
( ) .
( )
t
x
t
hay
y
y t
y x y
x t x
′
′
′ ′
= =
′ ′
VD 3. Tính (1)
x
y′ của hàm số cho bởi 2
2
t
x e
y t t

 =



 = −



.
1.4. Đạo hàm cấp cao
• Giả sử ( )
f x có đạo hàm ( )
f x
′ và ( )
f x
′ có đạo hàm thì
( )
( ) ( )
f x f x
′
′ ′′
= là đạo hàm cấp hai của ( )
f x .
• Tương tự ta có:
( )
( ) ( 1)
( ) ( )
n n
f x f x
− ′
= là đạo hàm cấp n của ( )
f x .
VD 4. Cho hàm số 2
( ) sin
f x x
= . Tính đạo hàm (6)
(0)
f .
A. (6)
(0) 32
f = ; B. (6)
(0) 32
f = − ;
C. (6)
(0) 16
f = − ; D. (6)
(0) 0
f = .
VD 5. Tính ( )
( )
n
f x của hàm số 1
( ) (1 )n
f x x +
= − .
VD 6. Tính ( )
n
y của hàm số
2
1
3 4
y
x x
=
− −
.
VD 7. Tính đạo hàm ( )
( )
n
f x của hàm số ( ) sin
f x x
= .
1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn
• Cho phương trình ( , ) 0
F x y = (*).
Nếu ( )
y y x
= là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó
sao cho khi thế ( )
y x vào (*) ta được đồng nhất thức thì
( )
y x được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*).
• Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được . 0
x y x
F F y
′ ′ ′
+ = .
Vậy , 0.
x
x y
y
F
y F
F
′
′ ′
= − ≠
′
( ) x
y x y
′ ′
= được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn ( )
y x .
VD 8. Cho hàm ẩn ( )
y x xác định bởi 0
x y
xy e e
− + = .
Tính ( )
y x
′ .
y x xác định bởi:
ln 0
x
xy e y
− + = (*). Tính (0)
y′ .
2 2
ln arctan
y
x y
x
+ = . Tính ( )
y x
′ .
Chú ý
Ta có thể xem hàm ẩn ( )
y x như hàm hợp ( )
u x và thực
hiện đạo hàm như hàm số hợp.
3 2 4
( 2) 2 0
y x y x
− − − = (*). Tính (1)
y′′ .

1/8/2016
29
§2. VI PHÂN
Nhận xét
• 0
( ) . 0( )
f x A x x
∆ = ∆ + ∆ 0
( ) 0( )
f x x
A
x x
∆ ∆
⇒ = +
∆ ∆
2.1. Vi phân cấp một
Hàm số ( )
y f x
= được gọi là khả vi tại 0 f
x D
∈ nếu
0 0 0
( ) ( ) ( )
f x f x x f x
∆ = + ∆ − có thể biểu diễn dưới
dạng: 0
( ) . 0( )
f x A x x
∆ = ∆ + ∆
với A là hằng số và 0( )
x
∆ là VCB khi 0
x
∆ → .
Khi đó, đại lượng .
A x
∆ được gọi là vi phân của hàm
số ( )
y f x
= tại 0
x . Ký hiệu 0
( )
df x hay 0
( )
dy x .
VD 1. Tính vi phân cấp 1 của 2 3
( ) x
f x x e
= tại 0
1
x = − .
0
0
0
( )
( )
x
f x
A f x A
x
∆ →
∆
′
⇒ 
→ ⇒ =
∆
.
0 0
( ) ( ).
df x f x x
′
⇒ = ∆ hay ( ) ( ).
df x f x x
′
= ∆ .
• Chọn ( ) ( )
f x x df x x dx x
= ⇒ = ∆ ⇒ = ∆ .
Vậy ( ) ( ) .
df x f x dx dy y
h y x
a d
′ ′
= =
Ứng dụng vi phaân caáp 1 tính gaàn ñuùng:
( ) ( ) ( )
0 0 0
' .
f x x f x f x x
+ ∆ ≈ + ∆ vôùi 0
x
∆ →
VD 2. Tính vi phân cấp 1 của 2
arctan( 1)
y x
= + .
VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số ln(arcsin )
2 x
y = .
VD 4. Dùng vi phân cấp một của hàm số ( )
1
f x
x
= ,
tính gần đúng
1
25.5
.
f x arcsin x
= ,
tính gần đúng arcsin0,52.
f x ln x
= ,
tính gần đúng ln 2,75.
2.2. Vi phân cấp cao
Giả sử ( )
y f x
= có đạo hàm đến cấp n thì:
1 ( )
( )
n n n n
d y d d y y dx
−
= =
được gọi là vi phân cấp n của hàm ( )
y f x
= .
VD 7. Tính vi phân cấp 2 của hàm số ( )
y ln sin x
= .
VD 8. Tính vi phân cấp n của hàm số 2x
y e
= .
VD 9. Tính vi phân cấp 3 của ( )
f x tan x
= tại 0
x .
4
π
=
Chú ý
Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức
( )
n n n
d y y dx
= không còn đúng nữa.
Quy tắc tính vi phân cấp n
1) ( . ) .
n n
d k u k d u
= ; ( )
n n n
d u v d u d v
+ = + ;
2)
0
( ) .
n
n k n k k
n
k
d uv C d u d v
−
=
= ∑ với 0 0
,
d u u d v v
= = .
……………………
VD 10. Tính vi phân cấp 10 của hàm số: ( )
3 x
y x x e
= − .
§3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
3.1. Các định lý
3.1.1. Bổ đề Fermat
Cho hàm số ( )
a b và có đạo hàm tại
0
( ; )
x a b
∈ . Nếu ( )
f x đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất)
tại 0
x trong ( ; )
a b thì 0
( ) 0
f x
′ = .
3.1.2. Định lý Rolle
Cho hàm số ( )
f x liên tục trong [ ; ]
a b và khả vi trong
( ; )
a b . Nếu ( ) ( )
f a f b
= thì ( ; )
c a b
∃ ∈ sao cho ( ) 0
f c
′ = .

1/8/2016
30
3.1.3. Định lý Cauchy
Cho hai hàm số ( )
f x , ( )
g x liên tục trong [ ; ]
a b , khả vi
trong ( ; )
a b và ( ) 0, ( ; )
g x x a b
′ ≠ ∀ ∈ .
Khi đó, ( ; )
c a b
∃ ∈ sao cho:
( ) ( ) ( )
.
( ) ( ) ( )
f b f a f c
g b g a g c
′
−
=
′
−
3.1.4. Định lý Lagrange
Cho hàm số ( )
f x liên tục trong [ ; ]
a b , khả vi trong ( ; )
a b .
Khi đó, ( ; )
c a b
∃ ∈ sao cho:
( ) ( )
( ).
f b f a
f c
b a
−
′
=
−
3.2. Cực trị của hàm số
3.2.1. Hàm số đơn điệu
a) Định nghĩa
Cho hàm số ( )
f x liên tục trong trong ( ; )
a b .
Khi đó:
• ( )
f x được gọi là tăng ngặt trong ( ; )
a b nếu
1 2
1 2
( ) ( )
0
f x f x
x x
−
>
−
, 1 2
, ( ; )
x x a b
∀ ∈ và 1 2
x x
≠ .
• ( )
f x được gọi là giảm ngặt trong ( ; )
a b nếu
1 2
1 2
( ) ( )
0
f x f x
x x
−
<
−
, 1 2
, ( ; )
x x a b
∀ ∈ và 1 2
x x
≠ .
• ( )
f x được gọi là tăng hay giảm không ngặt trong ( ; )
a b
nếu 1 2
1 2
( ) ( )
0
f x f x
x x
−
≥
−
hay 1 2
1 2
( ) ( )
0
f x f x
x x
−
≤
−
,
1 2
, ( ; )
x x a b
∀ ∈ và 1 2
x x
≠ .
• ( )
f x được gọi là đơn điệu trong ( ; )
a b nếu
( )
f x tăng ngặt hay giảm ngặt trong ( ; )
a b .
• ( )
f x đơn điệu trong ( ; )
a b và liên tục trong ( ; ]
a b thì
( )
f x đơn điệu trong ( ; ]
a b (trường hợp khác tương tự).
b) Định lý 1
Cho hàm số ( )
f x khả vi trong trong ( ; )
a b . Khi đó:
• Nếu ( ) 0, ( ; )
f x x a b
′ > ∀ ∈ thì ( )
f x tăng ngặt trong ( ; )
a b .
• Nếu ( ) 0, ( ; )
f x x a b
′ < ∀ ∈ thì ( )
f x giảm ngặt trong ( ; )
a b .
• Nếu ( ) 0, ( ; )
f x x a b
′ ≥ ∀ ∈ hay ( ) 0, ( ; )
f x x a b
′ ≤ ∀ ∈ thì
( )
f x tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong ( ; )
a b .
c) Định lý 2
• Nếu ( )
f x tăng ngặt trong ( ; )
a b thì ( ) 0
f x
′ ≥ trong ( ; )
a b
và không tồn tại ( ; ) ( ; )
a b
α β ⊂ sao cho ( ) 0
f x ≡ .
• Nếu ( )
f x giảm ngặt trong ( ; )
a b thì ( ) 0
f x
′ ≤ trong
( ; )
a b và không tồn tại ( ; ) ( ; )
a b
α β ⊂ sao cho ( ) 0
f x ≡ .
VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của 2
ln( 1)
y x
= + .
VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của
2
2
1
( )
( 1)
x
f x
x
+
=
−
.
2
1
2
y
x x
=
−
.
3
4
x
y e −
= .
3.2.2. Cực trị
a) Định nghĩa
• Nếu ( )
f x liên tục trong ( ; )
a b chứa 0
x và 0
( ) ( )
f x f x
< ,
0
( ; ) { }
x a b x
∀ ∈ thì ( )
f x đạt cực tiểu tại 0
x .
• Nếu ( )
f x liên tục trong ( ; )
a b chứa 0
x và 0
( ) ( )
f x f x
> ,
0
( ; ) { }
x a b x
∀ ∈ thì ( )
f x đạt cực đại tại 0
x .
b) Định lý
Cho ( )
f x có đạo hàm đến cấp 2n trong ( ; )
a b chứa 0
x
thỏa (2 1)
0 0
( ) ... ( ) 0
n
f x f x
−
′ = = = và (2 )
0
( ) 0
n
f x ≠ .
• Nếu (2 )
0
( ) 0
n
f x > thì ( )
f x đạt cực tiểu tại 0
x .
• Nếu (2 )
0
( ) 0
n
f x < thì ( )
f x đạt cực đại tại 0
x .

1/8/2016
31
VD 5. Tìm cực trị của hàm số 6 3
( ) 2 3
f x x x
= − − + .
……………………
3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
a) Định nghĩa
Cho hàm số ( )
y f x
= có MXĐ D và X D
⊂ .
• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của ( )
f x trên X nếu:
0 0
: ( )
x X f x M
∃ ∈ = và ( ) ,
f x M x X
≤ ∀ ∈ .
Ký hiệu là: max ( )
x X
M f x
∈
= .
• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của ( )
f x trên X nếu:
0 0
: ( )
x X f x m
∃ ∈ = và ( ) ,
f x m x X
≥ ∀ ∈ .
Ký hiệu là: min ( )
x X
m f x
∈
= .
Chú ý
• Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X D
⊂ .
• Nếu max ( )
x X
M f x
∈
= và min ( )
x X
m f x
∈
= thì:
( ) ,
m f x M x X
≤ ≤ ∀ ∈ .
b) Phương pháp tìm max – min
Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
Cho hàm số ( )
y f x
= liên tục trên đoạn [ ; ]
a b .
Để tìm
[ ; ]
max ( )
x a b
f x
∈
và
[ ; ]
min ( )
x a b
f x
∈
, ta thực hiện các bước sau:
• Bước 1. Giải phương trình ( ) 0
f x
′ = . Giả sử có n
nghiệm 1
,..., [ ; ]
n
x x a b
∈ (loại các nghiệm ngoài [ ; ]
a b ).
• Bước 2. Tính 1
( ), ( ),..., ( ), ( )
n
f a f x f x f b .
• Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã
tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm.
VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 2
3
( ) 3
2
f x x x x
= − − + trên đoạn [0; 2].
Chú ý
• Nếu đề bài chưa cho đoạn [ ; ]
a b thì ta phải tìm MXĐ
của hàm số trước khi làm bước 1.
• Có thể đổi biến số ( )
t t x
= và viết ( ) ( ( ))
y f x g t x
= = .
Gọi T là miền giá trị của hàm ( )
t x (ta thường gọi là
điều kiện của t đối với x ) thì:
max ( ) max ( )
x X t T
f x g t
∈ ∈
= , min ( ) min ( )
x X t T
f x g t
∈ ∈
= .
2
( ) 5 6
f x x x
= − + + .
2
sin 1
sin sin 1
x
y
x x
+
=
+ +
.

1/8/2016
32
Hàm số liên tục trên khoảng (a; b)
Cho hàm ( )
y f x
= liên tục trên ( ; )
a b ( ,
a b có thể là ∞).
Để tìm
( ; )
max ( )
x a b
f x
∈
và
( ; )
min ( )
x a b
f x
∈
, ta thực hiện các bước:
• Bước 1. Giải phương trình ( ) 0
f x
′ = . Giả sử có n
nghiệm 1
,..., [ ; ]
n
x x a b
∈ (loại các nghiệm ngoài [ ; ]
a b ).
• Bước 2. Tính 1
( ),..., ( )
n
f x f x và hai giới hạn
1 2
lim ( ), lim ( )
x a x b
L f x L f x
+ −
→ →
= = .
• Bước 3. Kết luận:
1) Nếu 1 1 2
max{ ( ),..., ( )} max{ , }
n
f x f x L L
> thì
1
( ; )
max max{ ( ),..., ( )}
n
x a b
f f x f x
∈
= ;
2) Nếu 1 1 2
min{ ( ),..., ( )} min{ , }
n
f x f x L L
< thì
1
( ; )
min min{ ( ),..., ( )}
n
x a b
f f x f x
∈
= ;
3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt
max (hoặc min).
3
2
( )
1
x
f x
x
=
−
trên khoảng (1; )
+∞ .
Chú ý
Ta có thể lập bảng biến thiên của ( )
f x thay cho bước 3.
VD 10. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình
sau có nghiệm: ( )
2
2 1 0
m x x
+ − − = .
3.3. Khoảng lồi, lõm của đồ thị – điểm uốn
a) Định nghĩa
• Hàm số ( )
f x được gọi là hàm lồi trong ( ; )
a b nếu ( )
f x
′
tăng trong ( ; )
a b . Khi đó, đồ thị ( )
y f x
= được gọi là
đồ thị lõm trong ( ; )
a b .
• Hàm số ( )
f x được gọi là hàm lõm trong ( ; )
a b nếu
( )
f x
′ giảm trong ( ; )
a b . Khi đó, đồ thị ( )
y f x
= được
gọi là đồ thị lồi trong ( ; )
a b .
• Điểm 0 0 0
( ; )
M x y trên đồ thị nằm giữa phần lõm và lồi
được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số ( )
y f x
= .
VD 11. Hàm số 3 2
3 1
y x x
= − +
lõm và có đồ thị lồi trong ( ; 1)
−∞ ;
hàm 3 2
3 1
y x x
= − + lồi và có đồ
thị lõm trong (1; )
+∞ .
(1; 1)
M là điểm uốn của đồ thị.
b) Định lý
• Nếu ( ) 0
f x
′′ > (hay ( ) 0
f x
′′ < ) với mọi ( ; )
x a b
∈ thì
đồ thị hàm số ( )
y f x
= lõm (hay lồi) trong ( ; )
a b .
• Nếu 0
( ) 0
f x
′′ = và ( )
f x
′′ đổi dấu khi x chuyển từ trái
sang phải qua điểm 0
x thì 0 0 0
( ; )
M x y là điểm uốn của
đồ thị hàm số ( )
y f x
= .
VD 12. Xác định tính lồi, lõm của hàm số:
2
8ln
y x x
= − .
VD 13. Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số:
arccos
y x
= .
VD 14. Xác định tính lồi, lõm của hàm số arctan2
y x
=
và đồ thị của hàm số arctan2
y x
= .

1/8/2016
33
3.4. Tiệm cận của đồ thị
• Tiệm cận đứng
Đường cong ( )
y f x
= có tiệm cận đứng 0
x x
= nếu
0
lim ( ) .
x x
f x
→
= ∞
• Tiệm cận xiên
Đường cong ( )
y f x
= có tiệm cận xiên y ax b
= + nếu
( )
lim , lim ( ) .
x x
f x
a f x ax b
x
→∞ →∞
 
= − =
 
 
Chú ý. Khi 0
a = thì đồ thị có tiệm cận ngang y b
= .
VD 15. Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số:
2
3
ln(1 )
x
y
x
−
= .
VD 16. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số:
2
3
( 1)
y x x
= − .
VD 17. Tìm tiệm cận xiên (ngang) của đồ thị hàm số:
2
4 5
y x x x
= + − + .
2 2,
2
2,
x x x
x x
x
→∞

 − → +∞


→ + − = 
 → −∞


.
Cách giải nhanh:
2
2
1
( 2) 1 2 1
( 2)
y x x x x
x
= + − + = + − +
−
Tổng quát:
2
( 0) .
2
x b
ax bx c a a x
a
→∞
+ + > 
→ +
………………………
§4. CÔNG THỨC TAYLOR
4.1. Công thức khai triển Taylor
Cho hàm số ( )
f x liên tục trên [ ; ]
a b có đạo hàm đến cấp
1
n + trên ( ; )
a b với 0
, ( ; )
x x a b
∈ ta có các khai triển:
• Khai triển Taylor với phần dư Lagrange
( ) ( 1)
1
0
0 0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
! ( 1)!
k n
n
k n
k
f x f c
f x x x x x
k n
+
+
=
= − + −
+
∑
với ( ; )
c a b
∈ .
• Khai triển Taylor với phần dư Peano
( )
0
0 0
0
( )
( ) ( ) (( ) ).
!
k
n
k n
k
f x
f x x x O x x
k
=
= − + −
∑
b) Khai triển Maclaurin
• Khai triển Taylor với phần dư Peano tại 0
0
x = được
gọi là khai triển Maclaurin.
Vậy
( )
0
(0
( )
)
( ) .
!
n
k
n
k
k
f
f x x
k
O x
=
= +
∑
• Khai triển Maclaurin được viết lại:
2
( )
(0) (0)
( ) (0) ...
1! 2!
(0)
... .
!
( )
n
n
n
f f
f x f x x
f
x x
n
O
′ ′′
= + + +
+ +
4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ
1) 2
1
1 ... 0( )
1
n n
x x x x
x
= + + + + +
−
.
2)
2
1 ... 0( )
1! 2! !
n
x n
x x x
e x
n
= + + + + + .
3)
2 3 4
ln(1 ) ... 0( )
1 2 3 4
n
x x x x
x x
+ = − + − + + .
4)
2 4 6
cos 1 ... 0( )
2! 4! 6!
n
x x x
x x
= − + − + + .
5)
3 5 7
sin ... 0( )
1! 3! 5! 7!
n
x x x x
x x
= − + − + + .

1/8/2016
34
2
( 1)
6) (1 ) 1 ...
2!
( 1)...( 1)
... 0( ).
!
m
n n
m m
x mx x
m m m n
x x
n
−
+ = + + +
− − +
+ +
VD 2. Khai triển Maclaurin của
1
( )
1
f x
x
=
+
đến 3
x .
VD 1. Khai triển Maclaurin của ( ) tan
f x x
= đến 3
x .
Chú ý
Nếu ( )
u x là VCB khi 0
x → thì ta thay x trong các
công thức trên bởi ( )
u x .
VD 3. Khai triển Maclaurin hàm
2
1
1 3
y
x
=
+
đến 6
x .
VD 4. Khai triển Maclaurin của 2
ln(1 2 )
y x
= − đến 6
x .
VD 5. Khai triển Maclaurin của hàm số 2x
y = đến 4
x .
VD 6. Khai triển Maclaurin của sinx
y e
= đến 3
x .
VD 7. Khai triển Maclaurin của hàm số:
2
2
1
( )
1
x x
f x
x x
+ +
=
− +
đến 4
x và tính (4)
(0)
f .
VD 8. Cho hàm 3
( ) cos2
f x x x
= . Giá trị của (7)
(0)
f là:
A. (7)
(0) 480
f = ; B. (7)
(0) 560
f = ;
C. (7)
(0) 3360
f = ; D. (7)
(0) 6720
f = .
4.3. Ứng dụng của công thức Taylor
• Từ công thức khai triển Taylor, ta có:
( )
0
0
0
( )
( ) ( )
!
k
n
k
k
f x
f x x x
k
=
≈ −
∑
với sai số
( 1)
1
0
( )
( ) ( )
( 1)!
n
n
n
f c
R x x x
n
+
+
= −
+
, ( ; )
c a b
∈ .
• Nếu ( 1)
( ) , [ ; ]
n
f x M x a b
+
≤ ∀ ∈ thì ta có đánh giá
sai số:
1
0
( )
( 1)!
n
n
M
R x x x
n
+
≤ −
+
.
4.3.1. Tính giá trị gần đúng của hàm số (tham khảo)
VD 9. Tính số e chính xác đến 3
10−
ε = .
Giải. Ta có:
2
1 ... 0( )
1! 2! !
n
x n
x x x
e x
n
= + + + + +
1 1
1 1 ...
2! !
e
n
⇒ ≈ + + + + .
với sai số ( ) , (0; 1)
( 1)!
c
n
e
R x c
n
ε = = ∈
+
3
6
( 1)!
n
n
⇒ ε < ⇒ =
+
.
Vậy
1 1 1 1 1
2
2! 3! 4! 5! 6!
e ≈ + + + + + .
4.3.2. Tìm giới hạn tỉ số của hai VCB
a) Phần chính của VCB α(x) khi x → 0 (tham khảo)
Nếu ( )
x
α là VCB khi 0
x → thỏa ( 1)
(0) 0
k−
α = và
( )
(0) 0
k
α ≠ ( 1,2,...)
k = thì đại lượng
( )
(0)
!
k
k
x
k
α
được
gọi là phần chính của ( )
x
α . Khi đó,
( )
(0)
( )
!
k
k
x x
k
α
α ∼ .
VD 10. Xét tan
( ) 1
x
x e
α = − . Khi 0
x → , ta có:
(0) 0
α = , (0) 1 0
′
α = ≠ ⇒ phần chính của ( )
x
α là x .
Nhận xét. Khi 0
x → thì tan
1
x
e x
− ∼ .

1/8/2016
35
b) Các ví dụ tìm giới hạn
0
2
lim
sin
x x
x
e e x
L
x x
−
→
− −
=
−
.
VD 12. Tính
0 6 3
ln(1 ) sin 2 1
lim
1 1
x
x
x e x
L
x
→
+ + − −
=
+ −
.
§5. QUY TẮC L’HOSPITAL
Định lý (quy tắc L’Hospital)
Cho hai hàm số ( )
f x , ( )
g x khả vi trong lân cận của điểm
0
x và ( ) 0
g x
′ ≠ trong lân cận của 0
x (có thể 0
( ) 0
g x
′ = ).
Nếu
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x x x
f x g x
→ →
= = (hoặc ∞) và
0
( )
lim
( )
x x
f x
k
g x
→
′
= ∈
′
ℝ thì
0
( )
lim
( )
x x
f x
k
g x
→
= .
Chú ý
Chiều ngược lại trong định lý là không đúng.
Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.
2
0
2
lim
x x
x
e e
L
x
−
→
+ −
= .
2 2
2 2
0
sin
lim
.arctan
x
x x
L
x x
→
−
= .
A. 0
L = ; B. L = ∞; C.
1
2
L = ; D.
1
3
L = .
3
0
lim ln
x
L x x
+
→
= (dạng 0×∞).
Tổng quát:
( )
0
lim ln 0, 0.
x
x x
+
α
→
= ∀α >
VD 4. Tính
0
1
lim cot
x
L x
x
→
 


= − 
 
 
 
(dạng ∞− ∞).
1
1
1
lim x
x
L x −
→
= (dạng 1∞
).
1
lim ( 3 )
x x
x
L x
→+∞
= + (dạng 0
∞ ).
…………………………
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số
§1. Tích phân bất định
§2. Tích phân xác định
§3. Ứng dụng của tích phân xác định
§4. Tích phân suy rộng
…………………………
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1.1. Định nghĩa
• Hàm số ( )
F x được gọi là một nguyên hàm của ( )
f x trên
khoảng ( ; )
a b nếu ( ) ( ), ( ; )
F x f x x a b
′ = ∀ ∈ .
Ký hiệu ( )
f x dx
∫ (đọc là tích phân).
Nhận xét
• Nếu ( )
F x là nguyên hàm của ( )
f x thì ( )
F x C
+ cũng là
nguyên hàm của ( )
f x .
Tính chất
1) . ( ) ( ) ,
k f x dx k f x dx k
= ∈
∫ ∫ ℝ
2) ( ) ( )
f x dx f x C
′ = +
∫
3) ( ) ( )
d
f x dx f x
dx
=
∫
4) [ ( ) ( )] ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫ .

1/8/2016
36
MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
1) . , a
a dx ax C
= + ∈
∫ ℝ
2)
1
, 1
1
x
x dx C
α+
α
= + α ≠ −
α +
∫
3) ln
dx
x C
x
= +
∫ ; 4) 2
dx
x C
x
= +
∫
5) x x
e dx e C
= +
∫ ; 6)
ln
x
x a
a dx C
a
= +
∫
7) cos sin
xdx x C
= +
∫ ; 8) sin cos
xdx x C
= − +
∫
9)
2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫ ; 10)
2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫
11) ( )
2 2
1
arctan 0
dx x
C a
x a a a
= + >
+
∫
12) ( )
2 2
arcsin 0
dx x
C a
a
a x
= + >
−
∫
13)
( )( )
( )
1
ln
dx x a
C a b
x a x b a b x b
−
= + ≠
− − − −
∫
14) ln tan
sin 2
dx x
C
x
= +
∫ 15) ln tan
cos 2 4
dx x
C
x
π
 
= + +
 
 
∫
16) ( )
2
2
ln 0
dx
x x a C a
x a
= + + + >
+
∫
VD 1. Tính
2
4
dx
I
x
=
−
∫ .
A.
1 2
ln
4 2
x
I C
x
+
= +
−
; B.
1 2
ln
4 2
x
I C
x
−
= +
+
;
C.
1 2
ln
2 2
x
I C
x
−
= +
+
; D.
1 2
ln
2 2
x
I C
x
+
= +
−
.
VD 2. Tính
2
6
dx
I
x x
=
− −
∫ .
1.2. Phương pháp đổi biến
a) Định lý
Nếu ( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫ với ( )
t
ϕ khả vi thì:
( ( )) ( ) ( ( )) .
f t t dt F t C
′
ϕ ϕ = ϕ +
∫
VD 3. Tính
2
3 ln
dx
I
x x
=
−
∫ .
VD 4. Tính
3
( 3)
dx
I
x x
=
+
∫ .
VD 5. Tính
4
cot
2 sin 3
x
I dx
x
=
+
∫ .
VD 6. Tính
2
tan
, 0;
2
cos cos 1
x
I dx x
x x
 
π

= ∈ 
 
 
 
+
∫ .
Dạng 1: 2
, 0.
( )
x
I dx a
ax b
α + β
= ≠
+
∫
Cách giải. Biến đổi
2
( )
p q
I dx
ax b ax b
 

 

= + 
 
+ 
 +
 
∫ .
VD 7.
2 2
4 3 2(2 1) 1
4 4 1 (2 1)
x x
dx dx
x x x
+ + +
=
+ + +
∫ ∫
2
2 1
2 1 (2 1)
dx
x x
 

 

= + 
 
+ 
 +
 
∫
b) Một số dạng tích phân hữu tỉ

1/8/2016
37
1
ln 2 1
2(2 1)
x C
x
= + − +
+
.
Dạng 2: 2
, 0, 0.
x
I dx a
ax bx c
α + β
= ≠ ∆ >
+ +
∫
1 2
1 p q
I dx
a x x x x
 

 
= +
 
 
 − −
 
∫ ,
( 1 2
,
x x là nghiệm của mẫu thức).
VD 8.
2
3 2 1 3 2
2 5
2 3 5
( 1)
2
x x
dx dx
x x
x x
+ +
=
 
+ − 

− + 
 
 
 
∫ ∫
3 2 5 1 11 1
. .
( 1)(2 5) 7 1 7 2 5
x
dx dx
x x x x
 
+ 

= = + 
 
 
− + − +
 
∫ ∫
5 11
ln 1 ln 2 5
7 14
x x C
= − + + + .
Dạng 3: 2
, 0, 0.
x
I dx a
ax bx c
α + β
= ≠ ∆ <
+ +
∫
2 2
X p
I dx
X X
 

 
=  + 
 

 + γ + γ
 
∫ .
VD 9.
2 2
(2 1) 2
2 1
4 4 5 (2 1) 4
x
x
I dx dx
x x x
− +
+
= =
− + − +
∫ ∫
1 2
2 2
2 1 2
(2 1) 4 (2 1) 4
I I
x
dx dx
x x
−
= +
− + − +
∫ ∫ .
•
2
2
1 2
1 [(2 1) 4] 1
ln[(2 1) 4]
4 4
(2 1) 4
d x
I x C
x
− +
= = − + +
− +
∫ .
• 2 2
2 1
2
1 1 2 1
arctan
2 2 2
2 1
1
2
x
d
x
I C
x
 
− 
 
 
  
 −
  

= = +

 
 
 
 
− 

+ 
 
 
 
∫ .
Vậy ( )
2
1 1 2 1
ln 4 4 5 arctan
4 2 2
x
I x x C
 
− 

= − + + +

 
 
 
.
Dạng 4. Tích phân hàm hữu tỉ bậc cao
Cách giải. Biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các
phân thức tối giản.
VD 10. Tính 2
( 1)
dx
I
x x
=
−
∫ .
Giải. Ta có: 2 2
1
1
( 1)
A B C
x x
x x x
= + +
−
−
2
2
( ) ( )
( 1)
B C x A B x A
x x
+ + − −
=
−
.
Đồng nhất các hệ số, ta được:
1, 1, 1
A B C
= − = − = .

1/8/2016
38
Vậy 2
1 1 1 1 1
ln
1
x
I dx C
x x x x
x
  −


= − − + = + +

 
 
−
 
∫ .
VD 11. Tính
2
2
4 4
( 1)
x x
I dx
x x
+ +
=
−
∫ .
Giải. Ta có:
2
2 2
4 4
1
( 1) ( 1)
x x A B C
x x
x x x
+ +
= + +
−
− −
.
Đồng nhất các hệ số, ta được: 4, 3, 9
A B C
= = − = .
Vậy 2
4 3 9
1 ( 1)
dx dx dx
I
x x x
= − +
− −
∫ ∫ ∫
9
4 ln 3ln 1
1
x x C
x
= − − − +
−
.
VD 12. Tính
2
3
3
7 6
x
I dx
x x
 
− 
 
=  
 
 − +
 
∫ .
Giải. Ta có:
2 2
3
3 3
( 1)( 2)( 3)
7 6
x x
x x x
x x
− −
=
− − +
− +
1 2 3
A B C
x x x
= + +
− − +
.
Đồng nhất các hệ số, ta được:
1 1 3
, ,
2 5 10
A B C
= = = .
Vậy
1 1 3
2 1 5 2 10 3
dx dx dx
I
x x x
= + +
− − +
∫ ∫ ∫
1 1 3
ln 1 ln 2 ln 3
2 5 10
x x x C
= − + − + + + .
c) Tích phân hàm lượng giác
(sin ,cos ) .
I R x x dx
= ∫
Cách giải
• Nếu ( sin ,cos ) (sin ,cos )
R x x R x x
− = − (nghĩa là bậc
của sin lẻ) thì ta đặt cos
t x
= .
• Nếu (sin , cos ) (sin ,cos )
R x x R x x
− = − (nghĩa là bậc
của cosin lẻ) thì ta đặt sin
t x
= .
• Nếu ( sin , cos ) (sin ,cos )
R x x R x x
− − = (nghĩa là bậc
của sin và cosin chẵn) thì ta đặt tan
t x
= hoặc hạ bậc.
• Nếu
1
(sin ,cos )
sin cos
R x x
a x b x c
=
+ +
thì ta đặt:
2
2 2
2 1
tan sin , cos
2 1 1
x t t
t x x
t t
−
= ⇒ = =
+ +
.
VD 13. Tính 3 2
sin 2 cos
I x x dx
= ∫ .
VD 14. Tính
2 2
sin sin 2 cos
dx
I
x x x
=
+ −
∫ .
VD 15. Tính
4 sin 3cos 5
dx
I
x x
=
+ +
∫ .
1.3. Phương pháp tích phân từng phần
a) Công thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u x v x dx u x v x u x v x dx
′ ′
= −
∫ ∫
hay .
udv uv vdu
= −
∫ ∫
VD 16. Tính ln
I x x dx
= ∫ .
VD 17. Tính
2x
x
I dx
= ∫ .
Chú ý
• Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trước khi
lấy từng phần.

1/8/2016
39
VD 18. Tính 3 sin
cos x
I x e dx
= ∫ .
VD 19. Tính 3
cos
I x dx
= ∫ .
VD 20. Tính cos(ln )
I x dx
= ∫ .
b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp
• Đối với dạng tích phân ( ) x
P x e dx
α
∫ , ( )
P x là đa thức,
thì ta đặt:
( ), .
x
u P x dv e dx
α
= =
• Đối với dạng tích phân ( )ln
P x x dx
α
∫ ,
( )
P x là đa thức, thì ta đặt:
ln , ( ) .
u x dv P x dx
α
= =
……………………………
0 1 1
... n n
x a x x x b
−
= < < < < = .
Lấy điểm 1
[ ; ]
k k k
x x
−
ξ ∈ tùy ý ( 1,
k n
= ).
Lập tổng tích phân: 1
1
( )( )
n
k k k
k
f x x −
=
σ = ξ −
∑ .
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )
f x xác định trên [ ; ]
a b .
Ta chia đoạn [ ; ]
a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
Ký hiệu là ( ) .
b
a
I f x dx
= ∫
Giới hạn hữu hạn (nếu có)
1
max( ) 0
lim
k k
k
x x
I
−
− →
= σ được gọi
là tích phân xác định của ( )
f x trên đoạn [ ; ]
a b .
Tính chất
1) . ( ) ( ) ,
b b
a a
k f x dx k f x dx k
= ∈
∫ ∫ ℝ
2) [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
3) ( ) 0; ( ) ( )
a b a
a a b
f x dx f x dx f x dx
= = −
∫ ∫ ∫
4) ( ) ( ) ( ) , [ ; ]
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx c a b
= + ∈
∫ ∫ ∫
5) ( ) 0, [ ; ] ( ) 0
b
a
f x x a b f x dx
≥ ∀ ∈ ⇒ ≥
∫
6) ( ) ( ), [ ; ] ( ) ( )
b b
a a
f x g x x a b f x dx g x dx
≤ ∀ ∈ ⇒ ≤
∫ ∫
7) ( ) ( )
b b
a a
a b f x dx f x dx
< ⇒ ≤
∫ ∫
8) ( ) , [ ; ]
m f x M x a b
≤ ≤ ∀ ∈
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a
⇒ − ≤ ≤ −
∫
9) Nếu ( )
f x liên tục trên đoạn [ ; ]
a b thì
[ ; ] : ( ) ( )( )
b
a
c a b f x dx f c b a
∃ ∈ = −
∫ .
Khi đó, đại lượng
1
( ) ( )
b
a
f c f x dx
b a
=
− ∫ được gọi là
giá trị trung bình của ( )
f x trên đoạn [a; b].

1/8/2016
40
VD 1. Tích phân
1
2 2
0 cos
dx
x x
+
∫ bị chặn (hữu hạn) vì
hàm số
2 2
1
( )
cos
f x
x x
=
+
liên tục trên đoạn [0; 1].
VD 2. Giá trị trung bình của hàm số
1
( )
f x
x
= trên [1; ]
e
là
1
1 1
1 1
e
dx
e x e
=
− −
∫ .
2.2. Công thức Newton – Leibnitz
Cho hàm ( )
f x khả tích trên [ ; ]
a b , với mỗi [ ; ]
x a b
∈ thì
hàm số ( ) ( )
x
a
x f t dt
ϕ = ∫ liên tục tại mọi 0
[ ; ]
x a b
∈
và ( ) ( )
x f x
′
ϕ = .
VD 3. Xét
2
0
( ) , 0
x
t
x e dt x
ϕ = >
∫ .
Ta có:
2
( ) t
f t e
= và
2
( ) ( ) x
x f x e
′
ϕ = = .
2.2.1. Tích phân với cận trên thay đổi
sin
0
tan
0
0
2
lim
sin
x
x
x
t dt
L
t dt
+
→
=
∫
∫
.
2
0
2
(arctan )
lim
1
x
x
t dt
L
x
→+∞
=
+
∫
.
Nếu ( )
f x liên tục trên [ ; ]
a b và ( )
F x là một nguyên hàm
tùy ý của ( )
f x thì ( ) ( )
x
a
x f t dt
ϕ = ∫ và ( ) ( )+
F x x C
= ϕ
là nguyên hàm của ( )
f x trên [ ; ]
a b .
Vậy ta có:
( ) ( ) ( ) ( ).
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
2.2.2. Công thức Newton – Leibnitz
Nhận xét
1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1.
2) Hàm số ( )
f x liên tục và lẻ trên [ ; ]
−α α thì:
( ) 0.
f x dx
α
−α
=
∫
3) Hàm số ( )
f x liên tục và chẵn trên [ ; ]
−α α thì:
0
( ) 2 ( ) .
f x dx f x dx
α α
−α
=
∫ ∫
4) Để tính ( )
b
a
f x dx
∫ , ta dùng bảng xét dấu của ( )
f x để
tách ( )
f x thành tổng của các hàm trên mỗi đoạn nhỏ.
Đặc biệt
( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
=
∫ ∫ nếu ( ) 0, ( ; )
f x x a b
≠ ∀ ∈ .

1/8/2016
41
VD 6. Tính tích phân
3
2
1 2 5
dx
I
x x
=
− +
∫ .
2
1
( 1)ln
e
x x
I dx
x
+
= ∫ .
1
2 3
1
1.sin
I x x dx
−
= +
∫ .
3
3
3
4
I x x dx
−
= −
∫ .
………………………………
§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
3.1. Tính diện tích S của hình phẳng
3.1.1. Biên hình phẳng cho trong tọa độ Descartes
a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát
S
2 1
( ) ( )
b
a
S f x f x dx
 
= −
 
 
∫
S
2 1
( ) ( )
d
c
S g y g y dy
 
= −
 
 
∫
VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường 2
y x
= và 4
y x
= .
A.
1
15
S = ; B.
2
15
S =
C.
4
15
S = ; D.
8
15
S = .
các đường 1
x
y e
= − , 2
3
x
y e
= − và 0
x = .
A.
1
ln 4
2
− ; B.
ln 4 1
2
−
; C.
1 ln 2
2
−
; D.
1
ln 2
2
−
2
4 3
y x x
= − + và trục hoành.
VD 4. Tính diện tích hình elip
2 2
2 2
: 1
x y
S
a b
+ ≤ .
b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số
Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình
( ), ( )
x x t y y t
= = với [ ; ]
t ∈ α β thì:
( ). ( ) .
S y t x t dt
β
α
′
= ∫
VD 5. Tính diện tích S giới hạn bởi đường cong:
2 3
( ) 1, ( ) 4
x t t y t t t
= − = − .
3.1.2. Diện tích hình quạt cong trong tọa độ cực
Diện tích hình quạt cong S có
biên được cho trong tọa độ cực
(xem §6. Chương 2) giới hạn
bởi ( ), [ ; ]
r r
= ϕ ϕ ∈ α β là:
2
1
( ) .
2
S r d
β
α
= ϕ ϕ
∫
VD 6. Tính diện tích hình quạt cong S giới hạn bởi:
2cos 4 , 0;
8
r
 
π
 
= ϕ ϕ ∈
 
 
.
VD 7. Tính diện tích hình
quạt cong S giới hạn bởi:
2 2
0,
3 ,
2 0.
y
y x
x y x

 =



 =



 + − =



VD 8. Tính diện tích hình quạt cong S giới hạn bởi:
0,
x y x
= = và 2 2
2 0
x y y
+ + = .
A.
1
4 2
S
π
= + ; B.
3 1
2 2
S
π
= + ; C.
3
4
S
π
= ; D.
2
S
π
= .

1/8/2016
42
3.2. Tính độ dài l của đường cong
a) Đường cong có phương trình tổng quát
Cho cung AB có phương trình ( ), [ ; ]
y f x x a b
= ∈ thì:
2
1 [ ( )] .
b
AB
a
l f x dx
′
= +
∫
VD 9. Tính độ dài l của cung ln(cos ), 0;
4
y x x
 
π
 
= ∈
 
 
.
Cho cung AB có phương trình tham số
( )
, [ ; ]
( )
x x t
t
y y t

 =
 ∈ α β

 =


thì:
2 2
[ ( )] [ ( )] .
AB
l x t y t dt
β
α
′ ′
= +
∫
b) Đường cong có phương trình tham số
VD 10. Tính độ dài l của cung C có phương trình:
2
2
1
, 0; 1
ln 1
x t
t
y t t

 = +


  
∈
    
 
 

= + +
 
 
 



.
c) Đường cong có phương trình trong tọa độ cực
Cho cung AB có phương trình trong tọa độ cực là
( ), [ ; ]
r r
= ϕ ϕ ∈ α β thì:
2 2
( ) [ ( )] .
AB
l r r d
β
α
′
= ϕ + ϕ ϕ
∫
VD 11. Tính độ dài l của cung:
(1 cos ), [0; ]
r a
= + ϕ ϕ ∈ π .
3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay
a) Vật thể quay quanh Ox
Thể tíchV của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
( ), 0
y f x y
= = , x a
= , x b
= quay quanh Ox là:
2
[ ( )] .
b
a
V f x dx
= π∫
VD 12. Tính thể tíchV do hình phẳng S giới hạn bởi
ln , 0, 1,
y x y x x e
= = = = quay xung quanh Ox.
VD 13. TínhV do
2 2
2 2
( ) : 1
x y
E
a b
+ = quay quanh Ox .
b) Vật thể quay quanh Oy
Thể tíchV của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
( )
x g y
= , 0
x = , y c
= và y d
= quay quanh Oy là:
2
[ ( )] .
d
c
V g y dy
= π∫
VD 14. Tính thể tíchV do hình phẳng S giới hạn bởi
2
2 , 0
y x x y
= − = quay xung quanh Oy.
Chú ý
Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
( )
y f x
= , 0
y = , x a
= và x b
= quay xung quanh Oy
còn được tính theo công thức:
2 ( ) (*).
b
a
V xf x dx
= π∫
VD 15. Dùng công thức (*) để giải lại VD 14.

1/8/2016
43
3.4. Tính diện tích mặt tròn xoay
a) Diện tích mặt tròn xoay S do đường cong ( )
y f x
= ,
a x b
≤ ≤ , quay xung quanh trục Ox là:
2
2 ( ) 1 [ ( )] .
b
a
S f x f x dx
′
= π +
∫
VD 16. Tính diện tích mặt cầu 2 2 2 2
x y z R
+ + = .
b) Diện tích mặt tròn xoay S do đường cong ( )
x g x
= ,
c y d
≤ ≤ , quay xung quanh trục Oy là:
2
2 ( ) 1 [ ( )] .
d
c
S g y g y dy
′
= π +
∫
VD 17. Tính diện tích mặt tròn xoay do đường cong
2
y x
= , 0 1
x
≤ ≤ xoay quanh Oy.
………………………………
§4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
• Khái niệm mở đầu
Cho hàm số ( ) 0, [ ; ]
f x x a b
≥ ∀ ∈ . Khi đó, diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )
y f x
= và trục hoành là:
( )
b
a
S f x dx
= ∫ .
Cho hàm số ( ) 0, [ ; )
f x x a
≥ ∀ ∈ +∞ (b → +∞). Khi đó,
diện tích S có thể tính được cũng có thể không tính được.
Trong trường hợp tính được hữu hạn thì:
( ) lim ( )
b
b
a a
S f x dx f x dx
+∞
→+∞
= =
∫ ∫ .
4.1. Tích phân suy rộng loại 1
4.1.1. Định nghĩa
• Cho hàm số ( )
f x xác định trên [ ; )
a +∞ , khả tích trên
mọi đoạn [ ; ] ( )
a b a b
< .
Giới hạn (nếu có) của ( )
b
a
f x dx
∫ khi b → +∞ được gọi
là tích phân suy rộng loại 1 của ( )
f x trên [ ; )
a +∞ .
Ký hiệu là: ( ) lim ( ) .
b
b
a a
f x dx f x dx
+∞
→+∞
=
∫ ∫
• Định nghĩa tương tự:
( ) lim ( ) ;
b b
a
a
f x dx f x dx
→−∞
−∞
=
∫ ∫
( ) lim ( ) .
b
b
a
a
f x dx f x dx
+∞
→+∞
−∞ →−∞
=
∫ ∫
• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói
tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.
• Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là
khảo sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó).

1/8/2016
44
VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân
1
dx
I
x
+∞
α
= ∫ .
Giải
• Trường hợp α = 1:
1
1
lim lim ln
b
b
b b
dx
I x
x
→+∞ →+∞
 


= = = +∞

 

 
∫ (phân kỳ).
• Trường hợp α khác 1:
1
1
1
1
lim lim
1
b
b
b b
dx
I x
x
−α
α
→+∞ →+∞
 


= = 
 
 
− α  
∫
( )
1
1
, 1
1
lim 1 1
1 , 1.
b
b −α
→+∞


 α >

= − = α −

− α  + ∞ α <


Vậy
Với 1
α > :
1
1
I =
α −
(hội tụ).
Với 1
α ≤ : I = +∞ (phân kỳ).
0
2
(1 )
dx
I
x
−∞
=
−
∫ .
2
1
dx
I
x
+∞
−∞
=
+
∫ .
Chú ý
• Nếu tồn tại lim ( ) ( )
x
F x F
→+∞
= +∞ , ta dùng công thức:
( ) ( ) .
a
a
f x dx F x
+∞
+∞
=
∫
• Nếu tồn tại lim ( ) ( )
x
F x F
→−∞
= −∞ , ta dùng công thức:
( ) ( ) .
b
b
f x dx F x
−∞
−∞
=
∫
• Tương tự:
( ) ( ) .
f x dx F x
+∞
+∞
−∞
−∞
=
∫
4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
a) Tiêu chuẩn 1
• Nếu 0 ( ) ( ), [ ; )
f x g x x a
≤ ≤ ∀ ∈ +∞ và
( )
a
g x dx
+∞
∫ hội tụ thì ( )
a
f x dx
+∞
∫ hội tụ.
• Các trường hợp khác tương tự.
VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân
1
cos 3
x
I e x dx
+∞
−
= ∫ .
b) Tiêu chuẩn 2
• Nếu ( )
a
f x dx
+∞
a
f x dx
+∞
∫ hội tụ (ngược lại
không đúng).
10
1
x
I e dx
+∞
−
= ∫ .

1/8/2016
45
c) Tiêu chuẩn 3
• Cho ( ), ( )
f x g x liên tục, luôn dương trên [ ; )
a +∞
và
( )
lim
( )
x
f x
k
g x
→+∞
= . Khi đó:
Nếu 0 k
< < +∞ thì:
( )
a
f x dx
+∞
∫ và ( )
a
g x dx
+∞
∫ cùng hội tụ hoặc phân kỳ.
Nếu 0
k = và ( )
a
g x dx
+∞
a
f x dx
+∞
∫ hội tụ.
Nếu
( )
a
k
g x dx
+∞

 = +∞









∫ phaân kyø
thì ( )
a
f x dx
+∞
∫ phân kỳ.
2 3
1 1 2
dx
I
x x
+∞
=
+ +
∫ .
Chú ý
Nếu ( ) ( ) ( )
f x g x x → +∞
∼ thì
( )
a
f x dx
+∞
∫ và ( )
a
g x dx
+∞
∫ có cùng tính chất.
1
1 sin
dx
I
x x
+∞
=
+ +
∫ .
VD 8. Điều kiện của α để
3
1 . ln 1
dx
I
x x
+∞
α
=
+
∫ hội tụ là:
A. 3
α > ; B.
3
2
α > ; C. 2
α > ; D.
1
2
α > .
VD 9. Điều kiện của α để
2
4
1
( 1)
2 3
x dx
I
x x
+∞
α
+
=
+ −
∫ hội tụ?
4.2. Tích phân suy rộng loại 2
4.2.1. Định nghĩa
• Cho hàm số ( )
f x xác định trên [ ; )
a b và không xác định
tại b, khả tích trên mọi đoạn [ ; ] ( 0)
a b − ε ε > .
Giới hạn (nếu có) của ( )
b
a
f x dx
−ε
∫ khi 0
ε → được gọi là
tích phân suy rộng loại 2 của ( )
f x trên [ ; )
a b .
Ký hiệu:
0
( ) lim ( ) .
b b
a a
f x dx f x dx
−ε
ε→
=
∫ ∫
• Định nghĩa tương tự:
0
( ) lim ( )
a
b b
a
f x dx f x dx
ε→
+ε
=
∫ ∫ (suy rộng tại a);
0
( ) lim ( )
b b
a a
f x dx f x dx
−ε
ε→
+ε
=
∫ ∫ (suy rộng tại a, b).
• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói
tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.
VD 10. Khảo sát sự hội tụ của
0
, 0
b
dx
I b
xα
= >
∫ .
Giải
• Trường hợp α = 1:
0 0 0
lim lim ln ln lim ln
b
b
dx
I x b
x
+ + +
ε
ε→ ε→ ε→
ε
 


= = = − ε = +∞

 

 
∫ .
• Trường hợp α khác 1:
1
0 0 0
1
lim lim lim
1
b b
b
dx
I x dx x
x
−α −α
α
ε→ ε→ ε→ ε
ε ε
 


= = = 
 
 
− α  
∫ ∫

1/8/2016
46
( )
1
1 1
0
1 , 1
lim 1
1 , 1.
b
b
−α
−α −α
ε→


 α <

= − ε =  − α

− α  + ∞ α >


Vậy
Với 1
α < :
1
1
b
I
−α
=
− α
(hội tụ).
Với 1
α ≥ : I = +∞ (phân kỳ).
1
3
2
1
6
3
1 9
dx
I
x
=
−
∫ .
A.
3
I
π
= − ; B.
3
I
π
= ; C.
6
I
π
= ; D. I = +∞.
3 2
1 . ln
e
dx
I
x x
= ∫ .
2
2
1
dx
I
x x
=
−
∫ .
VD 14. Tích phân suy rộng
1
0 ( 1)(2 )
x dx
I
x x x
α
=
+ −
∫
hội tụ khi và chỉ khi:
A. 1
α < − ; B.
1
2
α < − ; C.
1
2
α > − ; D. α ∈ ℝ.
4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1.
Chú ý
Nếu ( ) ( ) ( )
f x g x x b
→
∼ thì ( )
b
a
f x dx
∫ và ( )
b
a
g x dx
∫
có cùng tính chất (với b là cận suy rộng).
VD 15. Tích phân suy rộng
1
2
0
1
( 1)sin
x
I dx
x x
α
+
=
+
∫
phân kỳ khi và chỉ khi:
A. 1
α ≤ − ; B.
1
2
α ≤ − ; C.
1
2
α ≥ − ; D. α ∈ ℝ.
Chú ý
• Cho 1 2
I I I
= + với 1 2
, ,
I I I là các tích phân suy rộng
ta có:
1) 1
I và 2
I hội tụ I
⇒ hội tụ.
2) 1
2
( )
0
I
I

 → −∞


 ≤


phaân kyø
hoặc 1
2
( )
0
I
I

 → +∞


 ≥


phaân kyø
thì I phân kỳ.
3) 1
2
( )
0
I
I

 → −∞


 >


phaân kyø
hoặc 1
2
( )
0
I
I

 → +∞


 <


phaân kyø
thì chưa thể kết luận I phân kỳ.
VD 16.
1
2
0
1
sin
x
I dx
x x
α
+
= ∫ phân kỳ khi và chỉ khi:
A.
1
4
α ≤ ; B.
1
4
α ≤ − ; C.
1
2
α ≤ − ; D. α ∈ ℝ.
1
sinx
I dx
x
+∞
= ∫ .

TOAN 1E1_Slides.pdf

More Related Content

Similar to TOAN 1E1_Slides.pdf (20)

Recently uploaded (9)

TOAN 1E1_Slides.pdf