![2017 | PPs UNM
3KAPITA SELEKTA
3
C. Transformasi Linear dari ke
Transformasi linear didefinisikan dengan persamaan linear dalam bentuk:
atau dalam notasi matriks
[ ] [ ] [ ]
Atau singkatnya
Matriks disebut matriks standar (standart matrix) untuk transformasi linear
, dan disebut perkalian dengan (multiplication by A)
Contoh 2:
Transformasi linear didefinisikan dengan persamaan-persamaan
dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut
[ ] [ ] [ ]
Sehingga matriks standar untuk
[ ]
Oleh karena itu jika dimisalkan maka akan diperoleh](https://image.slidesharecdn.com/transformasilinear-171001084443/85/Transformasi-linear-3-320.jpg)
![2017 | PPs UNM
4KAPITA SELEKTA
4
D. Representasi Geometris dari Transformasi Linear
Jika adalah perkalian dengan dan jika penekanan sebagai matriks
standar untuk T adalah hal yang penting, maka kita akan menotasikan transformasi linear
sebagai , sehingga
Dari persamaan ini dapat dipahami bahwa vektor x pada dinyatakan sebagai suatu
matriks kolom.
(a) memetakan titik ke titik (b) memetakan vetor ke vektor
Contoh 3:
Transformasi nol dari ke
Jika 0 adalah matriks nol m x n dan 0 adalah vektor nol pada maka untuk setiap
vektor x pada .
Sehingga perkalian dengan nol memetakan setiap vektor pada ke vektor nol pada
sehingga sebagai transformasi nol (zero transformation) dari ke .
Kadang-kadang transformasi nol dinotasikan dengan 0. Walaupun ini merupakan
notasi yang sama yang digunakan untuk matriks nol, interpretasi yang sesuai biasanya
dapat diketahui dengan jelas dari konteksnya.
Untuk setiap matriks A, terdapat suatu transformasi linear TA (perkalian dengan A) yang
bersesuaian, dan untuk setiap transformasi linear T: 𝑅 𝑛
=> 𝑅 𝑚
terdapat matriks [T], m x
n (matriks standar untuk T) pada 𝑅 𝑛
ke suatu titik (atau vektor) baru](https://image.slidesharecdn.com/transformasilinear-171001084443/85/Transformasi-linear-4-320.jpg)
![2017 | PPs UNM
5KAPITA SELEKTA
5
Contoh 4:
Operator Identitas pada
Jika I adalah matriks identitas n x n, maka untuk setiap vektor pada .
Sehingga perkalian dengan I memetakan setiap vektor pada yang dinotasikan
dengan I. Meskipun notasi yang digunakan ini sama dengan notasi untuk matriks
identitas, interpretasi yang sesuai biasanya dapat dikethui dengan jelas dari
konteksnya.
E. Transformasi Linear Bidang
Transformasi bidang merupakan transformasi linear dari ke . Jika
adalah transformasi bidang dan
* +
adalah mariks baku untuk , maka:
(| |) * + * + [ ]
baik sebagai komponen-komponen vektor maupun koordinat-koordinat titik. Dengan
tafsiran yang pertama, memetakan panah menjadi panah, dan dengan tafsiran yang
kedua, memetakan titik menjadi titik. Pilihan tersebut hanyalah alternative bagi anda.
Dalam pembahasan berikutnya, kita meninjau transformasi linear bidang pemetaan titik
ke titik.
Contoh 5:
Misalkan adalah transformasi linear yang memetakan masing-masing
titik ke daam bayangan simetriknya terhadap sumbu . Carilah matriks baku untuk .](https://image.slidesharecdn.com/transformasilinear-171001084443/85/Transformasi-linear-5-320.jpg)
![2017 | PPs UNM
7KAPITA SELEKTA
7
a) Sudut rotasi b) aturan tangan kanan
Contoh 6:
Jika setiap vektor pada R2
mengalami rotasi sebesar sudut ,maka bayangan w dari vektor
* +
adalah
[ ] * + [
√
√
] * +
[
√
√
]
Sebagian contoh,bayangan dari vektor
* +
[
√
√
]
2. Operator Refleksi
Refleksi terhadap sebuah garis melalui titik asal adalah transformasi yang
memetakan masing-masing titik pada bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap
Secara umum, operator-operator pada dan yang memetakkan setiap vektor ke
bayangan simetriknya sendiri terhadap garis atau bidang tertentu disebut operator
refleksi (pencerminan) (reflection operator). Operator semacam ini adalah linear.](https://image.slidesharecdn.com/transformasilinear-171001084443/85/Transformasi-linear-7-320.jpg)
![2017 | PPs UNM
12KAPITA SELEKTA
12
Contoh 7:
Komposisi dari dua rotasi
Misalkan dan adalah operator-operator linear yang
merotasi vektor-vektor berturut-turut sebesar sudut dan . Jadi, operasi
Pertama-tama merotasi sebesar sudut ,kemudian merotasi sebesar sudut
maka dampak akhir dari adalah merotasi setiap vektor pada sebesar sudut
.
Jadi,matriks-matriks standar untuk operator-operator linear ini adalah :
[ ] [ ]
[ ]
Dengan bantuan beberapa identitas trigonometri dasar kita dapat menunjukan bahwa
berikut ini juga berlaku
[ ] [ ]](https://image.slidesharecdn.com/transformasilinear-171001084443/85/Transformasi-linear-12-320.jpg)
![2017 | PPs UNM
15KAPITA SELEKTA
15
G. Komposisi dari Tiga atau Lebih Transformasi Linear
Komposisi dapat didefinisikan untuk tiga atau lebih tranformasi linear.Sebagai
contoh, perhatikan tranformasi linear.
dapat didefinisikan dengan
( )
Con
Contoh 10:
Tentukan Matriks standar untuk operasi linear yang pertama-tama
merotasi suatu vektor berlawanan arah jarum jam terhadap sumbu z sebesar sudut ,
kemudian merefleksikan vektor yang dihasilkan terhadap bidang yz dan kemudian
memproyeksikan vektor tersebut secara orthogonal ke bidang xy.
Penyelesaian
Transformasi linear T dapat dinyatakan sebagai komposisi
Dimana adalah rotasi terhadap sumbu z, adalah refleksi terhadap bidang yz,
dan adalah proyeksi ortogonal pada bidang xy. Dapat dilihat bahwa matriks standar
dari transormasi tersebut adalah
[ ] [ ] [ ]
𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇
Komposisi dai dua atau lebih transformasi linear adalah suatu transformasi linear dan
bahwa matriks standar untuk 𝑇 𝑇 𝑇 berkaitan dengan matriks-matriks standar untuk
𝑇 𝑇 dan 𝑇 sebagaimana berikut](https://image.slidesharecdn.com/transformasilinear-171001084443/85/Transformasi-linear-15-320.jpg)
![2017 | PPs UNM
16KAPITA SELEKTA
16
Jadi dari matriks standar untuk T adalah yaitu
[ ] [ ] [ ]
[ ]](https://image.slidesharecdn.com/transformasilinear-171001084443/85/Transformasi-linear-16-320.jpg)
Transformasi linear
- 1. 2017 | PPs UNM 1KAPITA SELEKTA 1 TRANSFORMASI LINEAR DARI KE A. Fungsi dari ke Fungsi adalah suatu aturan yang mengasosiasikan setiap elemen himpunan dengan hanya satu elemen dalam himpunan . Jika mengasosiasikan elemen dengan elemen maka dan mengatakan bahwa adalah bayangan (image) dari karena atau adalah nilai (value) dari pada . Himpunan disebut domain dari dan himpuan disebut kodomain dari . Suatu subhimpunan dari yang terdiri dari semua nilai yang mungkin untuk ketika nilai bervariasi sepanjang disebut range dari . Terdapat beberapa jenis fungsi, yakni: 1. Fungsi bernilai real dari suatu variabel real 2. Fungsi bernilai real dari vektor pada atau Rumus Contoh Klasifikasi Keterangan Fungsi bernilai real dari satu variabel real Fungsi dari ke Fungsi bernilai real dari dua variabel real Fungsi dari ke Fungsi bernilai real dari tiga variabel real Fungsi dari ke Fungsi bernilai real dari variabel real Fungsi dari ke Dua fungsi dan dianggap sama (equal), yang ditulis sebagai , jika keduanya memiliki domain yang sama dan untuk semua pada domain tersebut.
- 2. 2017 | PPs UNM 2KAPITA SELEKTA 2 B. Fungsi dari ke Jika domain dari fungsi adalah dan kodomainnya adah ( dan mungkin sama) maka disebut sebagai peta (map) atau transformasi (transformation) dari ke . Secara ringkas disebut fungsi memetakan ke dan dinotasikan Fungsi - fungsi pada Tabel 1 adalah transformasi di mana . Pada kasus dimana , transformasi disebut operator pada . Baris pertama pada tabel adalah suatu operator pada . Transformasi didefinisikan dengan persamaan dalam bentuk Dinotasikan Contoh 1: Persamaan – persamaan Mendefinisikan suatu transformasi . Dengan transformasi ini, bayangan dari titik adalah , Jadi,
- 3. 2017 | PPs UNM 3KAPITA SELEKTA 3 C. Transformasi Linear dari ke Transformasi linear didefinisikan dengan persamaan linear dalam bentuk: atau dalam notasi matriks [ ] [ ] [ ] Atau singkatnya Matriks disebut matriks standar (standart matrix) untuk transformasi linear , dan disebut perkalian dengan (multiplication by A) Contoh 2: Transformasi linear didefinisikan dengan persamaan-persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut [ ] [ ] [ ] Sehingga matriks standar untuk [ ] Oleh karena itu jika dimisalkan maka akan diperoleh
- 4. 2017 | PPs UNM 4KAPITA SELEKTA 4 D. Representasi Geometris dari Transformasi Linear Jika adalah perkalian dengan dan jika penekanan sebagai matriks standar untuk T adalah hal yang penting, maka kita akan menotasikan transformasi linear sebagai , sehingga Dari persamaan ini dapat dipahami bahwa vektor x pada dinyatakan sebagai suatu matriks kolom. (a) memetakan titik ke titik (b) memetakan vetor ke vektor Contoh 3: Transformasi nol dari ke Jika 0 adalah matriks nol m x n dan 0 adalah vektor nol pada maka untuk setiap vektor x pada . Sehingga perkalian dengan nol memetakan setiap vektor pada ke vektor nol pada sehingga sebagai transformasi nol (zero transformation) dari ke . Kadang-kadang transformasi nol dinotasikan dengan 0. Walaupun ini merupakan notasi yang sama yang digunakan untuk matriks nol, interpretasi yang sesuai biasanya dapat diketahui dengan jelas dari konteksnya. Untuk setiap matriks A, terdapat suatu transformasi linear TA (perkalian dengan A) yang bersesuaian, dan untuk setiap transformasi linear T: 𝑅 𝑛 => 𝑅 𝑚 terdapat matriks [T], m x n (matriks standar untuk T) pada 𝑅 𝑛 ke suatu titik (atau vektor) baru
- 5. 2017 | PPs UNM 5KAPITA SELEKTA 5 Contoh 4: Operator Identitas pada Jika I adalah matriks identitas n x n, maka untuk setiap vektor pada . Sehingga perkalian dengan I memetakan setiap vektor pada yang dinotasikan dengan I. Meskipun notasi yang digunakan ini sama dengan notasi untuk matriks identitas, interpretasi yang sesuai biasanya dapat dikethui dengan jelas dari konteksnya. E. Transformasi Linear Bidang Transformasi bidang merupakan transformasi linear dari ke . Jika adalah transformasi bidang dan * + adalah mariks baku untuk , maka: (| |) * + * + [ ] baik sebagai komponen-komponen vektor maupun koordinat-koordinat titik. Dengan tafsiran yang pertama, memetakan panah menjadi panah, dan dengan tafsiran yang kedua, memetakan titik menjadi titik. Pilihan tersebut hanyalah alternative bagi anda. Dalam pembahasan berikutnya, kita meninjau transformasi linear bidang pemetaan titik ke titik. Contoh 5: Misalkan adalah transformasi linear yang memetakan masing-masing titik ke daam bayangan simetriknya terhadap sumbu . Carilah matriks baku untuk .
- 6. 2017 | PPs UNM 6KAPITA SELEKTA 6 Pemecahan: (* +) * +; (* +) * +; Dengan menggunakan dan sebagai vektor-vektor kolom akan kita peroleh matriks baku * + Sebagai pemeriksaan, maka * + * + * + Sehingga perkalian oleh akan memetakan titik ke dalam bayangan simetriknya terhadap sumbu . Terdapat lima jenis transformasi linier bidang yang mempunyai makna khusus: perputaran (rotasi), refleksi, ekspansi, kompresi, dan geseran. 1. Operator Perputaran (rotasi) Suatu operator yang merotasi setiap vekor pada sebesar suatu sudut tertentu disebut operator rotasi (rotation operator) pada . Operator Ilustrasi Persamaan Matriks Standar Rotasi sebesar sudut * + Cara yang paling umum untuk menggambarkan suatu sumbu rotasi umum adalah dengan menentukan suatu vektor taknol u2 yang bergerak sepanjang sumbu rotasi dan memiliki titik awal pada titik asal.Arah rotasi berlawanan jarum jam terhadap sumbu ,dapat ditentukan kemudian dengan “aturan tangan kanan”.Jika ibu jari tangan kanan menunjuk kearah u2 maka jari-jari yang tergenggam mengarah ke arah yang berlawanan arah jarum jam.
- 7. 2017 | PPs UNM 7KAPITA SELEKTA 7 a) Sudut rotasi b) aturan tangan kanan Contoh 6: Jika setiap vektor pada R2 mengalami rotasi sebesar sudut ,maka bayangan w dari vektor * + adalah [ ] * + [ √ √ ] * + [ √ √ ] Sebagian contoh,bayangan dari vektor * + [ √ √ ] 2. Operator Refleksi Refleksi terhadap sebuah garis melalui titik asal adalah transformasi yang memetakan masing-masing titik pada bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap Secara umum, operator-operator pada dan yang memetakkan setiap vektor ke bayangan simetriknya sendiri terhadap garis atau bidang tertentu disebut operator refleksi (pencerminan) (reflection operator). Operator semacam ini adalah linear.
- 8. 2017 | PPs UNM 8KAPITA SELEKTA 8 Operator Ilustrasi Persamaan Matriks Standar Refleksi terhadap sumbu * + Refleksi terhadap sumbu * + Refleksi terhadap garis * + 3. Operator Ekspansi dan Kompresi Jika koordinat dari masing-masing titik pada bidang dikalikan dengan kontstanta yang positif, maka efeknya adalah memperluas atau mengkompresi masing-masing gambar dalam arah . Jika : a. maka hasilnya adalah kompresi b. , maka hasilnya adalah ekspansi Transformasi yang demikian dinamakan ekspansi/kompresi dalam arah dengan factor . Demikian juga jika koordinar dari masing-masing titik dikalikan dengan konstanta positif, maka didapatkan sebuah ekspansi/kompresi dalam arah dengan factor Ekspansi dan kompresi sepanjang sumbu-sumbu koordinat adalah transformasi linear.
- 9. 2017 | PPs UNM 9KAPITA SELEKTA 9 Jika adalah ekspansi dalam arah dengan factor , maka (* +) * +; (* +) * +; Sehingga matriks baku untuk adalah * + Demikian juga matriks baku untuk ekspansi atau kompresi untuk arah adalah * + Kompresi paling ekstrem terjadi ketika dimana tereduksi menjadi operator nol , yang memperkecil setiap vektor menjadi satu titik. Jika , maka tereduksi menjadi operator identitas sehingga setiap vektor tidak berubah. Operator Ilustrasi Persamaan Matriks Standar Operator kompresi dengan faktor pada * + Operator ekspansi dengan faktor pada * + 4. Operator Proyeksi Secara umum operator proyeksi (projection operator) (atau lebih tepatnya operator proyeksi orthogonal) pada adalah operator sebarang yang memetakan setiap vektor ke proyeksi orthogonalnya pada suatu garis atau suatu bidang yang melewati titik asal. Dapat diperlihatkan bahwa operator-operator semacam ini adalah linear.
- 10. 2017 | PPs UNM 10KAPITA SELEKTA 10 Operator Ilustrasi Persamaan Matriks Standar Proyeksi orthogonal terhadap sumbu * + Proyeksi orthogonal terhadap sumbu * + 5. Operator Geseran Sebuah geseran dalam arah dengan faktor aalah transformasi yang menggerakkan masing-masing titi sejajar dengan sumbu sbanyak menuju kedudukan yang baru Titik-titik pada sumbu tidak digerakan karena . Akan tetapi, semakin jauh dari sumbu , besar semakin bertambah, sehingga titik-titik yang lebih jauh dari sumbu bergerak sejarak yang lebih besar dari titik-titik yang lebih dekat ke sumbu tersebut. Operator Ilustrasi Persamaan Matriks Standar Operator pergeseran dalam arah * + Operator pergeseran dalam arah * +
- 11. 2017 | PPs UNM 11KAPITA SELEKTA 11 F. Komposisi Transformasi Linear Jika dan adalah transformasi-transformasi linear .maka untuk setiap pada , pertama-tama kita dapat menghitung yang merupakan suatu vektor pada .dan kemudian kita dapat menghitung yaitu suatu vektor pada Transformasi ini disebut komposisi dengan (composition of with ) dan dinotasikan dengan (baca lingkaran ) Jadi, Komposisi adalah linear karena ( ) Sehingga adalah perkalian dengan , yang merupakan suatu transformasi linear. Dapat dilihat bahwa Mengailkan matriks-matriks adalah sama dengan menyusun transformasi linear yang bersesuaian dengan urutan faktor-faktor kanan dari kiri. 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 Jika 𝑇 𝑅 𝑛 𝑅 𝑘 dan 𝑇 𝑅 𝑘 𝑅 𝑚 1 adalah transformasi-transformasi linear maka karena matriks standar untuk komposisi 𝑇 𝑇 adalah hasil kali dari matriks-matriks standar 𝑇 dan 𝑇 kita memiliki
- 12. 2017 | PPs UNM 12KAPITA SELEKTA 12 Contoh 7: Komposisi dari dua rotasi Misalkan dan adalah operator-operator linear yang merotasi vektor-vektor berturut-turut sebesar sudut dan . Jadi, operasi Pertama-tama merotasi sebesar sudut ,kemudian merotasi sebesar sudut maka dampak akhir dari adalah merotasi setiap vektor pada sebesar sudut . Jadi,matriks-matriks standar untuk operator-operator linear ini adalah : [ ] [ ] [ ] Dengan bantuan beberapa identitas trigonometri dasar kita dapat menunjukan bahwa berikut ini juga berlaku [ ] [ ]
- 13. 2017 | PPs UNM 13KAPITA SELEKTA 13 Contoh 8: Komposisi Bersifat Tidak Komutatif Misalkan adalah operator refleksi terhadap garis ,dan misalkan adalah proyeksi orthogonal pada sumber y .Gambar di bawah memberikan ilustrasi secara grafis bahwa dan memiliki dampak yang berbeda terhadap suatu vektor . Kesimpulan yang sama dapat diperoleh dengan menunjukan bahwa matriks-matriks standar untuk T1 dan T2 tidak komutatif * + * + * + * + * + * + Sehingga Secara umum,urutan susunan transformasi linear merupakan hal yang menetukan.Ini telah diperkirakan sebelumnya,karena komposisi dari dua transformasi linear adalah sesuai dengan perkalian dari matriks-matriks standarnya
- 14. 2017 | PPs UNM 14KAPITA SELEKTA 14 Contoh 9: Komposisi Dari Dua Refleksi Misalkan adalah refleksi terhadap sumbu y, dan misalkan adalah refleksi terhadap sumbu . Pada kasus ini dan adalah sama keduanya memetakan setiap vektor ke negatifnya – Kesamaan dari dan juga dapat didukasi dengan menunjukkan bahwa matriks-matriks standar untuk T1 dan T2 adalah komut : * + * + * + * + * + * + Operator pada disebut refleksi terhadap titik asal (reflection abaout the origin).Sebagaimana ditunjukkan oleh perhitungan diatas matriks standar untuk operator ini pada R2 adalah * +
- 15. 2017 | PPs UNM 15KAPITA SELEKTA 15 G. Komposisi dari Tiga atau Lebih Transformasi Linear Komposisi dapat didefinisikan untuk tiga atau lebih tranformasi linear.Sebagai contoh, perhatikan tranformasi linear. dapat didefinisikan dengan ( ) Con Contoh 10: Tentukan Matriks standar untuk operasi linear yang pertama-tama merotasi suatu vektor berlawanan arah jarum jam terhadap sumbu z sebesar sudut , kemudian merefleksikan vektor yang dihasilkan terhadap bidang yz dan kemudian memproyeksikan vektor tersebut secara orthogonal ke bidang xy. Penyelesaian Transformasi linear T dapat dinyatakan sebagai komposisi Dimana adalah rotasi terhadap sumbu z, adalah refleksi terhadap bidang yz, dan adalah proyeksi ortogonal pada bidang xy. Dapat dilihat bahwa matriks standar dari transormasi tersebut adalah [ ] [ ] [ ] 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 Komposisi dai dua atau lebih transformasi linear adalah suatu transformasi linear dan bahwa matriks standar untuk 𝑇 𝑇 𝑇 berkaitan dengan matriks-matriks standar untuk 𝑇 𝑇 dan 𝑇 sebagaimana berikut
- 16. 2017 | PPs UNM 16KAPITA SELEKTA 16 Jadi dari matriks standar untuk T adalah yaitu [ ] [ ] [ ] [ ]