Tugas sistem non linear 03 trisni wulansari(1410501026)
Download as PPTX, PDF0 likes186 views
Dokumen ini membahas tentang stabilitas Lyapunov, sebuah metode untuk menganalisis kestabilan sistem linier dan nonlinier. Terdapat penjelasan mengenai stabilitas asimptotik baik lokal maupun global, serta bentuk kuadrat dan hermitian Lyapunov. Metode kedua Lyapunov juga dijelaskan beserta syarat-syarat untuk mencapai kestabilan asimptotik global.
Tugas sistem non linear 03 trisni wulansari(1410501026)
- 1. Stabilitas Lyapunov Nama : Trisni Wulansari / 1410501026 Dosen Pengampu : R. Suryoto Edy Raharjo, S.T., M.Eng. Teknik Elektro, Fakultas Teknik Universitas Tidar
- 2. Outline Pengertian Stabilitas Lyapunov Stabilitas secara asimptotik Stabilitas secara asimptotik bersifat lokal ataupun global Penyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan. Bentuk kuadrat Lyapunov Bentuk Hermitian Lyapunov Metode kedua Lyapunov
- 3. Stabilitas Lyapunov Aleksandr Mikhailovich Lyapunov merupakan penemu materi lyapunov. Stabilitas Lyapunov merupakan jenis metode yang digunakan untuk menyelidiki kinerja (terutama kestabilan) sistem linier maupun nonlinier , yang : • Tak berubah dengan waktu maupun berubah dengan waktu • Dengan order rendah maupun order tinggi. hanya berlaku bagi sistem nonlinier , dengan sifat nonlinieritas tidak diskontinyu atau mendadak perubahannya .
- 4. Stabilitas secara asimptotik Sistem dengan dinamika dapat dikatakan stabil secara asimptotik jika terdapat satu fungsi V(x) , yang disebut kandidat fungsi Lyapunov, yang memenuhi sifat-sifat berikut ini. , , dan hanya bernilai nol untuk Pada saat waktu t menjadi tak berhingga (menuju kekekalan), maka semua state pada sistem tersebut sudah menuju ke titik kesetimbangan, dan pada saat itu, gangguan sebesar apapun akan mengakibatkan pergeseran (lokal) yang pada akhirnya dengan berjalannya waktu, semua state pada sistem bergerak kembali menuju kesetimbangan.
- 5. Stabilitas secara asimptotik bersifat lokal ataupun global 1. Lokal, bila hanya berlaku untuk nilai-nilai state awal (initial state) di sekitar titik kesetimbangan (the neighborhood of the equilibrium point). 2. Global, bila untuk semua nilai-nilai state awal, semua state akan bergerak menuju 1 titik kesetimbangan yang sama. Jikakeadaanasimptotikberlakuuntuksemuakeadaantitikawaltrayektori,makak eadaankesetimbangantersebutstabilasimptotikglobal. Keadaankesetimbanganxedarisistemdisebutstabilasimptotikglobaljikakeadaa nsetimbangtersebutstabil,danjikasetiapjawabkonvergenkexedenganmembesar nyawaktutmenunjutakhingga. Syaratyangperluuntukkestabilanasimptotikglobaladalahbahwahanyaadasatu keadaankesetimbangandalamseluruhkeadaan
- 6. Penyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan. Gambar: Kondisi yang menggambarkan pergerakan perluru setimbangstabil Terlihat pada gambar, menunjukkan lintasan peluru dari kondisi awal x0dengan batas keadaan awal S(δ). Kondisi setimbang stabil sesuai hukum Lyapunov.
- 7. Penyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan. Kondisikeadaan setimbang secara garis lurus pergerakan peluru dari titik awal x0pada daerah batas keadaan awal S(δ) menuju ke daerah ini kembali, pergerakan ini dikatakan sebagai kondisi setimbang secara garis lurus
- 8. Penyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan. Kondisi tidak stabil pergerakan peluru dari kondisi awal x0menuju keluar dari batas kesetimbangan S(ε) menunjukkan bahwa kondisi setimbang tidak stabil.
- 9. Bentuk kuadrat Lyapunov Beberapa contoh dari fungsi skalar Lyapunov yang menunjukkan sifat – sifat seperti disebutkan diatas,
- 10. Bentuk kuadrat Lyapunov Untuk memahami bahwa fungsi skalar dari Lyapunov, menunjukkan suatu kondisi kestabilan, maka dinyatakan dalam bentuk kuadrat, dalam persamaan berikut, X merupakan vektor bernilai real, dan P adalah matriks simetri bernilai real.
- 11. Bentuk Hermitian Lyapunov Jika x adalah n – vektor bernilai kompleks dan P adalah sebuah matriks Hermitian, maka bentuk kuadrat kompleks dikatakan sebagai bentuk Hermitian.
- 12. Metode kedua Lyapunov Teorema 1 : Jika diketahui, suatu sistem dinyatakan dalam bentuk : Dimana : f(0,t) = 0 untuk sembarang t. Jika ada suatu parameter V(x,t) yang mempunyai turunan parsial pertama kontinyu dan memenuhi syarat : • V(x,t) definit positif • definit negatif Maka keadaan kesetimbangan di titik asal adalah stabil asimptotik secara uniform. Jika ternyata V(x,t) → ~ untuk ║x║→ ~, maka keadaan kesetimbangan di titik asal adalah stabil asimptotik global secara uniform.
- 13. Metode kedua Lyapunov Teorema 2 : Jika diketahui, suatu sistem dinyatakan dalam bentuk : untuk sembarang t .Jika ada suatu parameter V(x,t) yang mempunyai turunan parsial pertama kontinyu dan memenuhi syarat : • V(x,t) definit positif • definit negatif tidak terjadi nol pada t ≥ t0 , untuk t0 dan x0 dimana Φ(t, x0 , t0 ) menyatakan trayektori atau jawab dengan titik awal di x0 pada t0 , maka keadaan kesetimbangan di titik asal dari sistem adalah stabil asimptotik global secara uniform.
- 14. Contoh Stabilitas Lyapunov )( 1 1 32 10 tuxx 0 0 0 32 10 getwe ,0)(Set 2 1 2 1 e e e e x x x x tu 1x Equilibrium point