Turunan (Differensial)

Bab 23
Diferensial
DIFERENSIAL. Untuk fungsi y = f(x), didefinisikan:
(a) dx, disebut diferensial x, dengan hubungan dx = Δx.
(b) dy, disebut diferensial y, dengan hubungan dy = f’(x)dx.
Dari definisi, diferensial peubah bebas adalah sama dengan pertambahan peubah tersebut,
tetapi diferensial peubah yang bergantung tidak sama dengan pertambahan peubah
tersebut. Lihatlah Gambar 23-1 di bawah ini.
Contoh 1:
Jika y = x2, dy = 2x • dx sedang Δy = (x + Δx)2 – x2 = 2x • Δx + (Δx)2 = 2x dx + (dx)2. Suatu
penjelasan geometrik diberikan dalam Gambar 23-2. Terlihat bahwa Δy dan dy berbeda
dengan bujur sangkar kecil dengan luas (dx)2.
+ x , +
x y y
d x y d y
x y
( )
x
( + + )
d x = x R
y
d y
y
0
x
Q
S
P
,
,
( )
x
x
x
d x
d x
1 d y = x d x
2
d x
x
d x
d x
x
d x
x
y = x 2
x
( d x )2
( a )
( d )
1 d y = x d x
2
( c)
Gambar 23-1 Gambar 23-2
DIFERENSIAL dy dapat dicari dengan menggunakan definisi dy = f’(x)dx atau dengan
bantuan ketentuan-ketentuan yang langsung diperoleh dari ketentuan-ketentuan untuk
mendapatkan turunan. Beberapa di antaranya adalah:
d(c) = 0, d(cu) = c du, d(uv) = u dv + v du,
d
u
v
æ ö
çè ø¸
v du -
u dv
= 2
v
, d(sin u) = cos u du, d(ln u) =
du
u
, dst.
Contoh 2: Cari dy untuk tiap fungsi berikut :
(a) y = x3 + 4x2 – 5x + 6
dy = d(x3) + d(4x2) – d(5x) + d(6) = (3x2 + 8x – 5) dx
(b) y = (2x3 + 5)3/2
dy = 32
(2x3 + 5)1/2 d(2x3 + 5) = 32
(2x3 + 5)1/2 • 6x2 dx = 9x2(2x3 + 5)1/2 dx
Lihat Soal-soal 1-5
PENDEKATAN DENGAN DIFERENSIAL. Jika dx = Δx relatif kecil bila
dibandingkan dengan x, dy adalah pendekatan yang cukup baik untuk Δy.
Contoh 3:
Ambillah y = x2 + x + 1 dan misalkan x berubah dari x = 2 menjadi x = 2,01. Perubahan y
yang sebenarnya adalah Δy = [(2,01)2 + 2,01 + 1] – [22 + 2 + 1] = 0,0501. Pendekatan
perubahan y, yang diperoleh dengan mengambil x = 2 dan dx = 0,01, adalah dx = 0,01,
adalah dy = f’(x) dx = (2x + 1)dx = [2(2) + 1] 0,01 = 0,05.
Lihat Soal-soal 6-10
PENDEKATAN AKAR-AKAR PERSAMAAN. Misalkan x = x1 adalah pendekatan
yang cukup dekat dari akar r persamaan y = f(x) = 0 dan misalkan f(x1) = y1 ≠ 0. Maka y1

berbeda dari 0 dengan jumlah yang kecil. Sekarang jika x1 diubah ke r, perubahan yang
bersangkutan dalam f(x1) adalah Δy1 = -y1. Pendekatan perubahan ini dalam x1 diberikan
oleh f’(x1)dx = -y1 atau dx1 = - ( )
y
f x . Jadi, pendekatan kedua dan lebih baik dari akar r
1
1 '
y
f x = x1 -
1
1 '
adalah x2 = x1 + dx1 = x1 - ( )
( )
( )
f x
f x . Pendekatan ketiga adalah x3 = x2 + dx2 =
1
1 '
x2 -
( )
( )
f x
f x , dan seterusnya.
1
1 '
x
y
Q (x 1 , f ( x 1 ))
0 ( x 1 , 0 ) P ( r , )
0 ( x 2 , 0 )
Gambar 23-3
Jika x1 tidak merupakan pendekatan yang cukup dekat dari suatu akar, maka akan terlihat
bahwa x2 berbeda jauh dari x1. Walaupun proses ini dari waktu ke waktu memperbaiki
dirinya sendiri, akan lebih mudah untuk membuat pendekatan pertama yang baru.
Lihat Soal-soal 11-12
Soal-soal yang Dipecahkan
1. Cari dy untuk tiap-tiap fungsi berikut:
(a) y =
3
x x
x
+ +
2
+
2 1
3
.
dy =
( x 2 + 3 ) g d ( x 3 + 2 x + 1 ) - ( x 3 + 2 x + 1 ) g
d ( x
2
+
3
)
( )
2 2
3
x
+
=
( 2 ) ( 2 ) ( 3
) ( )
x + 3 3 x + 2 dx - x + 2 x +
1 2
x dx
( )
2 2
3
x
+
4 2
x x x
+ - +
7 2 6
= ( )
2 2
3
x
+
dx
(b) y = cos2 2x + sin 3x.
dy = 2 cos 2x d(cos 2x) + d(sin 3x) = 2 cos 2x(-2 sin 2x dx) + 3 cos 3x dx
= -4 sin 2x cos 2x dx + 3 cos 3x dx = (-2 sin 4x + 3 cos 3x) dx
(c) y = e3x + arc sin 2x. dy = (3e3x + 2/ 1- 4x2 ) dx
Diferensiasi Soal-soal 2-5, dg menggunakan diferensial, dan dapatkan dy/dx.
2. xy + x – 2y = 5.
d(xy) + d(x) – d(2y) = d(5).
x dy + y dx + dx – 2 dy = 0 atau (x – 2) dy + (y + 1) dx = 0. Maka
dy
dx
= -
1
2
y
x
+
-
.
3. x3y2 – 2x2y + 3xy2 – 8xy = 6.

2x3y dy + 3x2y2 dx – 2x2 dy – 4xy dx + 6 xy dy + 3y2 dx – 8x dy – 8y dx = 0
dy
8 y - 3 y 2 + 4 xy -
3
x 2 y
2
=
dx
2 x 3 y - 2 x 2
+ 6 xy -
8
x
4.
2x
y -
3y
x
æ y dx - x dy
ö
ç ¸
è ø
= 8. 2 2
y
x dy y dx
æ - ö
çè ø¸
- 3 2
x
= 0 dan
dy
dx
=
2 3
2 3
x y +
y
xy +
x
2 3
3 2
5. x = 3 cos θ – cos 3θ, y = 3 sin θ – sin 3θ.
dx = (-3 sin θ + 3 sin 3θ)dθ, dy = (3 cos θ – cos 3θ)dθ, dan
dy
dx
=
q -
q
q q
cos cos3
sin sin 3
- +
6. Gunakan diferensial untuk mendekati : (a) 3 124 , (b) sin 60o1’.
1
3x
(a) Untuk y = x1/3, dy = 2/3
dx. Ambil x = 125 = 53 dan dx = -1. Maka dy =
1
3 125 (-1) =
( ) 2/3
-
1
75
= -0,0133 dan secara pendekatan 3 124 = y + dy = 5 –
0,0133 = 4,9867.
(b) Untuk x = 60o dan dx = 1’ = 0,0003 rad, y = sin x = 3 /2 = 0,866 03 dan dy = cos
x dx = ½(0,0003) = 0,000 15. Maka secara pendekatan sin 60o1’ = 0,866 03 +
0,000 15 = 0,866 18.
7. Hitung Δy, dy, dan Δy – dy, bila y = 1
2 x2 + 3x, x = 2, dan dx = 0,5
Δy = { 1
2 (2,5)2 + 3(2,5)} – { 1
2 (2)2 + 3(2)} = 2,625
Δy = (x + 3)dx = (2 + 3)(0,5) = 2,5 Δy – dy = 2,625 – 2,5 = 0,125.
8. Cari perubahan volume kubus sisi x cm yang didekati, yang disebabkan oleh
pertambahan sisi-sisinya dengan 1%.
V = x3 dan dV = 3x2 dx. Jika dx = 0,01x, dV = 3x2(0,01x) = 0,03x3 cm3.
9. Cari massa yang didekati suatu pipa tembaga yang panjangnya 2 m, jika diameter
dalam adalah 2,5 cm dan tebalnya 0,25 cm. Rapat massa tembaga adalah 8800 kg m-3.
Mula-mula cari perubahan volume jika jari-jari r = 1/80 diubah dengan dr = 1/400 m.
V = 2πr2 dan dV = 4πr dr = 4π(1/80)(1/400) = π/8000 m3
Massa yang ditanyakan adalah 8800(π/8000) = 3,46 kg.
10. Untuk nilai x berapa 5 x dapat dipakai sebagai ganti 5 x +1 , jika kesalahan yang
diperbolehkan harus lebih kecil dari 0,001?
Jika y = x1/5 dan dx = 1, dy = 1
5 x-4/5dx = 1
5 x-4/5.
Jika 1
5 x-4/5 < 10-3, maka x-4/5 < 5 • 10-3 dan x-4 < 55 • 10-15.
Jika x-4 < 10 • 55 • 10-16, maka x4 >
1016
31250
dan x >
4
4
10
31250
= 752,1.
11. Dekati akar-akar (riil) dari x3 + 2x – 5 = 0 atau x3 = 5 – 2x.
(a) Pada sumbu-sumbu sama, gambar grafik y = x3 dan y = 5 – 2x.
Absis titik-titik potong kurva adalah akar-akar persamaan yang diketahui.
Dari grafik, terlihat bahwa ada satu akar yang nilai pendekatannya adalah x1 = 1,3.
(b) Pendekatan kedua akar ini adalah
x2 = x1 -
( )
( )
f x
f x = 1,3 -
1
1 '
( ) 3
( )
+ -
1,3 2 1,3 5
3 1,3 2
( )
2
+
= 1,3 -
-
0,203
7,07
= 1,3 + 0,03 = 1,33

Pembagian dilakukan untuk mencapai dua desimal, karena hanya ada satu nol
yang segera mengikuti titik desimal. Ini sejalan dengan teorema: Jika dalam suatu
pembagian, k buah buah nol segera mengikuti titik desimal dalam hasil bagi,
maka pembagian dapat dilakukan sampai 2k desimal.
(c) Pendekatan ketiga dan keempat adalah:
x3 = x2 -
( )
( )
f x
f x = 1,33 -
2
2 '
( ) 3
( )
+ -
1,33 2 1,33 5
3 1,33 2
( )
2
+
= 1,33 – 0,0017 = 1,3283
x4 = x3 -
( )
( )
f x
f x = 1,3283 – 0,00003114 = 1,32826886
3
3 '
12. Dekati akar-akar 2 cos x – x2 = 0.
(a) Kurva-kurva y = 2 cos x dan y = x2 berpotongan pada dua titik yang absisnya
adalah kira-kira 1 dan -1. Perhatikan bahwa jika r adalah suatu akar, maka –r
adalah akar yang lain.
(b) Dengan menggunakan x1 = 1: x2 = 1 -
-
2 cos 1 1
2 sin1 2
- -
= 1 +
( )
( )
-
+ = 1 +
2 0,5403 1
2 0,8415 2
0,02 = 1,02.
(c) x3 = 1,02 - ( ) ( )
2 cos 1,02 -
1,02
2 2 sin 1,02 2 1,02
( ) ( )
- -
= 1,02 +
0,0064
3,7442 = 1,02 + 0,0017 = 1,0217.
Jadi, sampai empat desimal, akar-akarnya adalah 1,0217 dan -1,0217.
Soal-soal Tambahan
13. Cari dy untuk tiap fungsi berikut.
(a) y = (5 – x)3 Jawab: -3(5 – x)2 dx (d) y = cos bx2 Jawab: -2bx sin bx2 dx
(b) y = e4 x2 Jawab: 8 e4 x2 dx (e) y = arc cos 2x Jawab: 2
-
-
2
1 4x
dx
x cos x sin x
(c) y = (sin x)/x Jawab: 2
x
-
dx (f) y = ln tan x Jawab:
dx
x
2
sin 2
14. Cari dy/dx seperti dalam Soal-soal 2-5.
(a) 2xy3 + 3x2y = 1 Jawab: -
( 2
)
( )
y y +
x
x y +
x
2 3
3 2
2
(c) arc tan
y
x
= ln (x2 + y) Jawab:
x y
x y
2
+
-
2
(b) xy = sin (x – y) Jawab:
( )
( )
cos
cos
x y y
x y x
- -
- + (d) x2 ln y + y2 ln x = 2 Jawab: -
( 2 2
)
( )
x y y y
x x x x
2 ln
2 ln
+
+
2 2
15. Gunakan diferensial untuk mendekati : (a) 4 17 , (b) 5 1020 , (c) cos 59o, (d) tan 44°.
Jawab: (a) 2,0315, (b) 3,99688, (c) 0,5151, (d) 0,9651
16. Gunakan diferensial untuk mendekati perubahan dalam (a) x3 jika x berubah dari 5 ke
5,01; (b) 1/x jika x berubah dari 1 ke 0,98. Jawab: (a) 0,75, (b) 0,02
17. Suatu keping lingkaran muai karena pengaruh panas sehingga jari-jarinya bertambah
dari 12,5 cm ke 12,65 cm. Carilah pertambahan luas yang didekati. Jawab: 3,75π =
11,79 cm2

18. Suatu bola es jari-jari 10 cm menyusut hingga jari-jarinya 9,8 cm. Dekati
pengurangan dalam (a) volume dan (b) luas permukaan. Jawab: (a) 80π cm3, (b) 16π
cm2
19. Kecepatan (v ms-1) yang dicapai sebuah benda yang jatuh bebas dari jarak h m
diberikan oleh v = 19,6h . Carilah kesalahan dalam v karena kesalahan 0,15 m pada
pengukuran h sebesar 30 m. Jawab: 0,061 ms-1
20. Jika pilot terbang mengelilingi bumi pada jarak 2 km di atas khatulistiwa, berapa km
lebih banyak yang ditempuhnya dibandingkan seseorang yang melintas sepanjang
khatulistiwa? Jawab: 12,6 km
21. Jari-jari suatu lingkaran harus diukur kemudian luasnya dihitung. Jika jari-jarinya
dapat diukur sampai 0,001 cm dan luasnya harus mempunyai ketepatan 0,1 cm2,
carilah jari-jari maksimum dimana proses ini dapat digunakan. Jawab: Sekitar 16 cm
22. Jika pV = 20 dan p diukur sebesar 5 ± 0,02, carilah V. Jawab: V = 4 ± 0,016
23. Jika F = 1/r2 dan F diukur sebesar 4 ± 0,05, carilah r. Jawab: 0,5 ± 0,003
24. Carilah perubahan dalam permukaan total suatu kerucut lingkaran total jika (a) jari-jarinya
tetap sedang tingginya berubah dengan jumlah yang kecil, (b) tingginya tetap
sedang jari-jarinya berubah dengan jumlah yang kecil.
Jawab: (a) 2 2
rh dh
r h
p
+
, (b) π
ìï h 2 + 2r 2
ïü í + 2r
ý
îï r 2 + h
2
ïþ
dr
25. Cari sampai 4 desimal, (a) akar riil dari x3 + 3x + 1 = 0, (b) akar terkecil dari e-x = sin
x, (c) akar x2 + ln x = 2, (d) akar x – cos x = 0.
Jawab: (a) -0,32222, (b) 0,5885, (c) 1,3141, (d) 0,7391

Bab 24
Penjejakan Kurva
SUATU KURVA ALJABAR BIDANG adalah kurva yang persamaannya dapat ditulis
dalam bentuk
ayn + (bx + c)yn-1 + (dx2 + ex + f)yn-2 + . . . un(x) = 0
dengan un(x) adalah suatu polinomial dalam x dengan derajat n. Sifat kurva aljabar
dibahas di bawah ini.
SIMETRI. Suatu kurva adalah simetrik terhadap
(1) sumbu-x; jika persamaannya tidak berubah jika y diganti oleh –y.
(2) sumbu-y; jika persamaannya tidak berubah jika x diganti oleh –x.
(3) titik asal, jika persamaannya tidak berubah jika x diganti oleh –x dan y oleh –y secara
serentak
(4) garis y = x, jika persamaannya tidak berubah jika x dan y saling ditukarkan.
TITIK-TITIK POTONG. Titik-titik potong-x diperoleh dengan mengambil y = 0 dalam
persamaan dan mencari x. Titik-titik potong y diperoleh dengan mengambil x = 0 dan
mencari y.
LINGKUP. Lingkup horisontal diberikan oleh jangkauan x, yaitu selang x dimana kurva
ada. Lingkup vertikal suatu kurva diberikan oleh jangkauan y. Suatu titik (x0, y0) disebut
titik terisolasi dari kurva jika koordinatnya memenuhi persamaan kurva, sedang titik-titik
lain di dekatnya tidak.
TITIK-TITIK MAKSIMUM DAN MINIMUM. Titik balik, dan kecekungan. Ini telah
dibahas dalam Bab 8.
ASIMPTOT. Sebuah asimptot suatu kurva yang tak berhingga lingkupnya adalah sebuah
garis yang kedudukannya didekati sebagai limit oleh suatu sekan pada kurva, bila dua
buah titik potongnya dengan kurva menyusut secara tak tentu sepanjang kurva.
Suatu kurva akan mempunyai asimptot vertikal jika, bila persamaannya ditulis dalam
bentuk di atas, koefisien y dengan pangkat tertinggi adalah fungsi x yang tak konstan
yang mempunyai satu atau lebih faktor linear (riil). Untuk tiap faktor semacam itu, ada
sebuah asimptot vertikal.
Suatu kurva akan mempunyai asimptot horisontal jika, bila persamaannya ditulis dalam
bentuk axn + (by + c)xn-1 + (dy2 + ey + f)xn-2 + . . . = 0, koefisien x dengan pangkat
tertinggi adalah fungsi y yang tak konstan yang mempunyai satu atau lebih faktor linear
(riil). Untuk tiap faktor semacam itu, ada sebuah asimptot horisontal.
Untuk memperoleh persamaan asimptot miring:
(1) Ganti y dengan mx + b dalam persamaan kurva dan susun hasilnya dalam bentuk
a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + . . . + an-1x + an = 0
(2) Pecahkan secara serentak persamaan a0 = 0 dan a1 = 0 untuk m dan b.
(3) Untuk tiap pasangan pemecahan m dan b, tulis persamaan suatu asimptot y = mx +
b. Jika a1 = 0, berapapun nilai b, persamaan a0 = 0 dan a2 = 0 harus dipergunakan
dalam (3).

TITIK-TITIK SINGULAR. Suatu titik singular kurva aljabar adalah sebuah titik
dimana dy/dx mempunyai bentuk tak tentu 0/0.
Untuk menentukan titik singular suatu kurva, dapatkan
dy
dx
=
( )
( )
g x
h x , tanpa
menyederhanakan dengan menghilangkan faktor yang sama, dan cari akar-akar yang
sama dari g(x) = 0 dan h(x) = 0.
Jika (x0, y0) adalah titik singular kurva, penelitian lebih lanjut disederhanakan dengan
mensubstitusi x = x’ + x0, y = y’ + y0. Sekarang dalam sistem koordinat yang baru titik
singular adalah titik (0, 0).
TITIK SINGULAR DI TITIK ASAL. Jika titik asal adalah suatu titik pada suatu kurva,
persamaannya dapat ditulis dalam bentuk
(a1x + b1y) + (a2x2 + b2xy + c2y2) + (a3x3 + b3x2y + c3xy2 + d3y3) + . . . = 0
Jika a1 = b1 = 0, titik asal adalah titik singular kurva.
Jika a1 = b1 = 0, tetapi tidak semua a2, b2, c2 adalah nol, titik singular disebut titik ganda.
Jika a1 = b1 = a2 = b2 = c2 = 0, tetapi tidak semua a3, b3, c3, d3 adalah nol, titik singular
disebut titik rangkap tiga, dan seterusnya.
KLASIFIKASI TITIK GANDA DI TITIK ASAL
A. Kasus: c2 ≠ 0
(1) Ganti y dengan mx dalam suku-suku a2x2 + b2xy + c2y2 untuk memperoleh (c2m2 +
b2m + a2)x2.
(2) Pecahkan c2m2 + b2m + a2 = 0 untuk m.
Jika akar-akar m1 dan m2 adalah riil dan berbeda, kurva mempunyai dua tangent
yang berbeda y = m1x dan y = m2x di titik asal dan titik ganda adalah suatu simpul.
Jika akar-akar adalah riil dan sama, kurva pada umumnya mempunyai tangen
tunggal di titik asal dan di titik ganda tersebut
(a) cusp, bila kurva tidak terus ke titik asal.
(b) tacnode, bila kurva terus lewat titik asal.
Dalam kasus-kasus luar biasa, titik asal dapat merupakan titik yang terisolasi. Jika
akar-akarnya adalah khayal, titik asal adalah titik ganda terisolasi.
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
Node Cusp Cusp Tacnode Isolated Point
Gambar 24-1
B. Kasus: c2 = 0, a2 ≠ 0.
Ganti x dengan ny dalam suku-sukunya a2x2 + b2xy dan lanjutkan seperti di A.
C. Kasus: a2 = c2 = 0, b2 ≠ 0
Titik asal adalah suatu simpul, kedua tangen di sana adalah sumbu-sumbu koordinat.

ASIMPTOT
1. Cari persamaan asimptot dari y2(1 + x) = x2(1 - x).
Koefisien y dengan pangkat tertinggi adalah (1 + x); garis x + 1 = 0 adalah asimptot
vertikal. Tidak ada asimptot horizontal karena koefisien x dengan pangkat tertinggi
adalah konstanta.
Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b untuk memperoleh
(m2 + 1)x3 + (m2 + 2mb -1)x2 + b(b + 2m)x + b2 = 0 (1)
Pemecahan serentak koefisien-koefisien dari x dengan kedua pangkat tertinggi
disamakan dengan nol.
m2 + 1 = 0 dan m2 + 2mb – 1 = 0
adalah khayal. Tidak ada asimptot miring. (Lihatlah Gambar 24-2 di halaman 129).
2. Cari persamaan asimptot x3 + y3 – 6x2 = 0.
Tidak ada asimptot horisontal maupun vertikal karena koefisien x dan y dengan
pangkat tertinggi adalah konstanta. Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b
untuk mendapatkan
(m3 + 1)x3 + 3(m2b – 2)x2 + 3mb2x + b3 = 0 (1)
Pecahkan secara serentak m3 + 1 = 0 dan m2b – 2 = 0: m = -1, b = 2. Persamaan
asimptot adalah y = -x + 2.
Jika m = -1 dan b = 2 disubstitusikan ke dalam (1), persamaan menjadi -12x + 8 = 0.
Maka x = 2/3 adalah absis titik potong berhingga dari kurva dengan asimptotnya
(lihatlah gambar 24-3 di halaman 130).
3. Cari persamaan asimptot dari y2(x – 1) – x3 = 0.
Koefisien y dengan pangkat tertinggi adalah (x – 1), garis x – 1 = 0 adalah suatu
asimptot vertikal. Tidak ada asimptot horisontal.
Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b, untuk mendapatkan
(m2 – 1)x3 + m(2b – m)x2 + b(b – 2m)x – b2 = 0 (1)
Pecahkan secara serentak m2 – 1 = 0 dan m(2b – m) = 0: m = 1, b = 1
2 dan m = -1, b
= - 1
2 .
Persamaan-persamaan asimptot adalah y = x + 1
2 dan y = -x - 1
2
Asimptot y = x + 1
2 memotong kurva di titik terhingga yang absisnya diberikan oleh
1
2 ( 1
2 - 2)x - 1
4 = 0, yaitu x = - 1
3 . Absis titik potong terhingga dari kurva dan asimptot
y = -x - 1
2 adalah juga - 1
3 . (Lihat Gambar 24-4 di bawah).
TITIK-TITIK SINGULAR
4. Selidiki y2(1 + x) = x2(1 – x) untuk titik-titik singular.
Suku-suku dengan derajat terendah adalah derajat dua; titik asal adalah titik ganda.
Karena c2 ≠ 0, artinya suku y2 ada, ganti y dengan mx dalam suku-suku y2 – x2 dan
samakan koefisien x2 dengan nol untuk memperoleh m2 – 1 = 0.
Maka m = ± 1 dan garis y = x dan y = -x adalah tangen pada kurva di titik asal. Titik
asal adalah simpul. (Lihat Gambar 24-2 di halaman 129).
5. Selidiki x3 + y3 – 6x2 = 0 untuk titik-titik singular.
Suku derajat terendah adalah derajat dua, titik asal adalah titik ganda.
Karena c2 = 0, ganti x dengan ny dalam suku-suku derajat terendah dan samakan
koefisien y2 dengan nol untuk memperoleh n2 = 0. Terdapat tangen tunggal x = 0,
pada kurva di titik asal.

Titik ganda adalah sebuah cusp, karena jika y = -ξ, persamaan x3 – 6x2 – ξ3 = 0, dari
aturan tanda Descartes, mempunyai satu akar positif dan dua akar khayal, dan kurva
tidak meneruskan ke titik asal. (Lihat Gambar 23-3 di halaman 130).
6. Selidiki y2(x – 1) – x3 = 0 untuk titik-titik singular.
Suku-suku deraat terendah adalah derajat dua; titik asal adalah titik ganda.
Karena c2 ≠ 0, ganti y dengan mx dalam suku-suku derajat terendah dan samakan
koefisien x2 dengan nol untuk memperoleh m2 = 0. Titik asal adalah cusp, karena
untuk x < 0, y terdefinisikan, tetapi untuk 0 < x < 1, y adalah khayal. (Lihat Gambar
24-4 di halaman 130).
7. Selidiki y2(x2 – 4) = x4 untuk (a) titik-titik singular dan (b) asimptot.
(a) Titik asal adalah titik ganda. Karena a2 = b2 = 0 dan c2 ≠ 0, hasil substitusi y = mx
dan menyamakan dengan nol adalah m2 = 0, Titik asal adalah titik ganda terisolasi
karena untuk x dekat 0, y adalah khayal.
(b) Garis-garis x = 2 dan x = -2 adalah asimptot vertikal.
Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b untuk memperoleh
(m2 – 1)x4 + 2mbx3 + (b2 – 4m2)x2 – 8mbx – 4b2 = 0
Pecahkan secara serentak m2 – 1 = 0 dan mb = 0: m = 1, b = 0 dan m = -1, b = 0.
Persamaan asimptot adalah y = x dan y = -x.
Asimptot miring memotong kurva di titik asal. (Lihat Gambar 24-5 di halaman 130).
PENJEJAKAN KURVA
8. Bahas dan gambar kurva y2(1 + x) = x2(1 – x).
Simetri. Kurva simetrik terhadap sumbu-x.
Titik potong. Titik potong-x adalah x = 0 dan x = 1. Titik potong-y adalah y = 0.
Lingkup. Kurva ada dalam selang -1 < x £ 1 dan untuk semua nilai y.
Titik-titik maksimum dan minimum, dan seterusnya. Kurva terdiri dari dua cabang
0
- 1 1
x
y
y 2 ( 1 + x ) = x 2 ( 1 - x )
Gambar 24-2
y =
x x
-
+
1
1
x
dan y = -
x x
-
+
1
1
x
. Untuk yang pertama,
dy
dx
2
x x
x x
- -
+ -
1
1 1
= ( ) ( )
3/2 1/2
dan
2
2
d y
dx
x
-
2
x x
= ( 1 + ) 5/2 ( 1
-
) 3/2
Nilai-nilai kritis adalah x = 1 dan (-1 + 5 )/2. Titik, 1 5 , ( 1 5 ) 5 2
æ ö ç - + - + - ¸
çç 2 2
¸¸ è ø
adalah titik maksimum. Tidak ada titik balik. Cabang adalah cekung ke bawah.

Dari simetri, ada titik minimum di 1 5 , ( 1 5) 5 2
æ - + - ö ç - + çç - ¸ 2 2
¸¸ è ø
dan cabang
kedua adalah cekung ke atas.
Asimptot. Dari Soal 1, garis x = -1 adalah asimptot vertikal.
Titik-titik Singular. Dari Soal 4, titik asal adalah sebuah simpul, (titik ganda atau
simpul) tangen adalah garis-garis y = x dan y = -x.
9. Bahas dan gambar kurva y3 – x2(6 – x) = 0. Lihat Gambar 24-3 di halaman 130.
Simetri. Tidak ada simetri.
Titik potong. Titik potong adalah x = 0, x = 6 dan y = 0.
Lingkup. Kurva ada untuk semua nilai x dan y.
Titik-titik maksimum dan minimum, dan seterusnya.
dy
dx
-
- dan
4
6
x
= x 1/3 ( x
) 2/3
2
2
d y
dx
=
-
8
- .
( )4/3 5/3
x 6 x
Nilai-nilai kritis adalah x = 0, 4, 6; (0, 0) adalah titik minimum dan (4, 2 3 4 ) adalah
titik maksimum. Titik (6, 0) adalah titik balik, kurva adalah cekung ke bawah ke kiri
dan cekung ke atas ke kanan.
Asimptot. Dari Soal 2, garis y = -x + 2 adalah asimptot.
Titik-titik Singular. Dari Soal 5, titik asal adalah cusp, tangen (cuspidal) adalah
sumbu-y.
0
y
x
2
2 4 6
y
x
1
0
x3 + y3 - 6x2 = 0 y2(x – 1) – x3 = 0
10. Bahas dan gambar kurva y2(x – 1) – x3 = 0. Lihat Gambar 24-4 di atas.
Simetri. Kurva adalah simetrik terhadap sumbu-x.
Titik potong. Titik potong adalah, x = 0 dan y = 0.
Lingkup. Kurva ada pada selang -∞ < x < 0 dan x > 1, dan untuk semua nilai y.
Titik-titik maksimum dan minimum, dan lain-lain. Untuk cabang y = x
1
x
x -
,
dy
dx
=
( )
( )
1/2
3/2
x -
x
x
-
2 3
2 1
dan
2
2
d y
dx
3
= 4x 1/2 ( x -1
)5/2
Nilai-nilai kritis adalah x = 0 dan 3/2. Titik (3/2, 3 3 /2) adalah titik minimum. Tidak
ada titik balik.

Cabang cekung ke atas. Dari simetri, ada titik maksimum (3/2, -3 3 /2) pada cabang
y = -x
1
x
x -
dan cabang adalah cekung ke bawah.
Asimptot. Dari Soal 3, garis x = 1, y = x + 1
2 , dan y = -x - 1
2 adalah asimptot.
Titik Singular. Dari Soal 6, titik asal adalah cusp, garis y = 0 adalah tangen (cuspidal).
11. Bahas dan gambar kurva y2(x2 – 4) = x4.
Simetri. Kurva adalah simetrik terhadap sumbu-sumbu koordinat titik asal.
Titik potong. Titik-titik potong adalah x = 0 dan y = 0.
Lingkup. Kurva ada dalam selang -∞ < y £ -4 dan 4 £ y < +∞. Titik (0, 0) adalah titik
terisolasi.
2
Titik maksimum dan minimum, dan lain-lain. Untuk bagian y =
x
x -
2 4
, x > 2,
dy
dx
=
3
x -
8
x
x
-
4
( )
2 3/2
dan
2
2
d y
dx
2
4 32
= ( )
2 5/2
4
x
x
+
-
Nilai kritis adalah x = 2 2 . Bagian ini cekung ke atas dan (2 2 , 4) adalah titik
minimum.
Dari simetri, ada titik minimum di (-2 2 , 4) dan titik–titik maksimum di (2 2 , -4).
Asimptot, Titik Singular. Lihat Soal 7.
- 2 2
0
y
x
y2(x2 – 4) = x4
Gambar 24-5
12. Bahas dan gambar kurva (x + 3)(x2 + y2) = 4.
Mula-mula tentukan titik singular, bila ada, dan jadikan titik singular sebagai titik asal
baru sebelum membuat analisis.
dy
( x + 2 ) ( x + 2 + 3 ) ( x
+ 2 -
3
)
= -
dx
( ) 2
x +
3
y
. Jika x = -2, y = 0 dan
dy
dx
mempunyai bentuk
tak tentu
0
0
, titik (-2, 0) adalah titik singular.
Dengan transformasi x = x’ – 2, y = y’, persamaan menjadi y’2(x’ + 1) + x’2 – 3x2 = 0.
Simetri. Kurva adalah simetrik terhadap sumbu-x’.
Titik potong. Titik-titik potong adalah x’ = 0, x’ = 3 dan y’ = 0.
Lingkup. Kurva didefinisikan dalam selang -1 < x’ £ 3 dan untuk semua nilai y’.
Titik maksimum dan minimum, dan lain-lain.

Dari cabang y’ =
x -
x
x
+
' 3 '
' 1
dy
dx
2
x
-
3 '
= ( ) ( )
1/2 3/2
x x
- +
3 ' ' 1
dan
2
2
d y
dx
'
'
12
-
= ( 3 - x ' ) 3/2 ( x ' +
1
) 5/2
Nilai-nilai kritis adalah x’ = 3 dan 3. Titik ( 3, 6 3 - 9 ) adalah titik maksimum.
Cabang adalah cekung ke bawah.
Dari simetri, ( 3, 6 3 - 9 ) adalah titik minimum pada cabang lain yang cekung ke
atas.
Asimptot. Garis x’ = -1 adalah asimptot vertikal. Untuk asimptot miring, ganti y’
dengan mx’ + b untuk mendapatkan (m2 + 1)x’2 + . . . = 0. Tidak ada asimptot miring.
Mengapa?
Titik Singular. Titik asal adalah titik ganda jika y’ diganti oleh mx’ dalam suku-suku
derajat terendah y’2 – 3x’2, hasilnya adalah (m2 – 3)x’2. Dari m2 – 3 = 0, m = ± 3 dan
tangen (simpul) adalah y’ = ± 3 x’.
Dalam koordinat yang mula-mula, ( 3 - 2, 6 3 - 9 ) adalah titik maksimum dan
( 3 - 2,- 6 3 -9 ) adalah titik minimum. Garis x = -3 adalah asimptot vertikal.
Titik (-2, 0) adalah simpul, persamaan tangen (simpul) adalah y = ± 3 (x + 2).
x ’ = - 1
x = - 3
y ’ y
x
0 1 x ’
( - 2 , 0 )
(x + 3)(x2 + y2) = 4
Gambar 24-6
Soal-soal Tambahan
Bahas dan gambar masing-masing kurva berikut.
13. (x – 2)(x – 6)y = 2x2
14. x(3 – x2)y = 1
15. (1 – x2)y = x4
16. xy = (x2 – 9)2
17. 2xy = (x2 – 1)3
18. x(x2 – 4)y = x2 – 6
19. y2 = x(x2 – 4)

20. y2 = (x2 – 1)(x2 – 4)
21. xy2 = x2 + 3x + 2
22. (x2 – 2x – 3)y2 = 2x + 3
23. x(x – 1)y = x2 – 4
24. (x + 1)(x + 4)2y2 = x(x2 – 4)
25. y2 = 4x2(4 – x2)
26. y2 = 5x4 + 4x5
27. y3 = x2(8 – x2)
28. y3 = x2(3 – x)
29. (x2 – 1)y3 = x2
30. (x – 3)y3 = x4
31. (x – 6)y2 = x2(x – 4)
32. (x2 – 16)y2 = x3(x – 2)
33. (x2 + y2)2 = 8xy
34. (x2 + y2)3 = 4x2y2
35. y4 – 4xy2 = x4
36. (x2 + y2)3 = 4xy(x2 – y2)
37. y2 = x(x – 3)2
38. y2 = x(x – 2)3
39. 3y4 = x(x2 – 9)3
40. x3y3 = (x – 3)2

Bab 25
Rumus-rumus Integrasi Dasar
JIKA F(x) ADALAH SEBUAH FUNGSI yang turunan F’(x) = f(x) pada selang tertentu
dari sumbu-x, maka F(x) disebut anti-turunan atau integral tak tentu dari f(x). Integral tak
tentu dari suatu fungsi tidak unik; sebagai contoh x2, x2 + 5, x2 – 4 adalah integral tak
tentu dari f(x) = 2x karena
d
dx
(x2) =
d
dx
(x2 + 5) =
d
dx
(x2 – 4) = 2x. Semua integral tak
tentu dari f(x) = 2x kemudian dicakup dalam x2 + C, dengan C disebut konstanta
integrasi, adalah konstanta sebarang.
Simbol ò f ( x) dx digunakan untuk menyatakan bahwa integral tak tentu dari f(x) harus
dicari. Jadi ditulis ò2x dx = x2 + C.
RUMUS-RUMUS INTEGRASI DASAR. Sejumlah rumus-rumus di bawah segera
timbul dari rumus-rumus diferensiasi standar dalam bab-bab sebelum ini, sedang rumus
25 misalnya dapat diperiksa dengan menunjukkan bahwa
d
du
1 2 2 1 2
2 2 u a u a arc sin u C
ì ü í - + + î a
ý
þ
= a2 - u2
Tanda nilai mutlak muncul dalam beberapa rumus. Sebagai contoh, ditulis
5.
du
ò u = ln │u│ + C
sebagai ganti
5(a).
du
ò u = ln u + C, u > 0 5(b).
du
ò u = ln (-u) + C, u < 0
dan
10. ò tan u du = ln │sec u│ + C
sebagai ganti
10(a). ò tan u du = ln sec u + C, semua u sedemikian rupa, sehingga u ³ 1
10(b). ò tan u du = ln (-sec u) + C, semua u sedemikian rupa, sehingga u £ -1
1. ( ) d f x
ò éë ùû dx = f(x) + C
dx
2. ò( u + v) dx = òu dx + òv dx
3. òau dx = aòu dx , a konstanta sebarang
4. òum du =
1
1
um
m
+
+
+ C, m ≠ -1
5.
du
ò u = ln │u│ + C
6. òau du =
au
a
ln
+ C, a > 0, a ≠ 1

7. òau du = eu + C
8. òsin u du = -cos u + C
9. òcosu du = sin u + C
10. ò tan u du = ln │sec u│ + C
11. òcot u du = ln │sin u│ + C
12. òsecu du = ln │sec u + tan u│ + C
13. òcscu du = ln │csc u - cot u│ + C
14. òsec2 u du = tan u + C
15. òcsc2 u du = -cot u + C
16. òsec u tan u du = sec u + C
17. òcsc u cot u du = -csc u + C
18. 2 2
du
a - u ò = arc sin
u
a
+ C
du
ò a + u =
19. 2 2
1
a
arc tan
u
a
+ C
du
u u - a ò =
20. 2 2
1
a
arc sec
u
a
+ C
du
ò u - a =
21. 2 2
1
2a
ln
u -
a
u +
a
+ C
du
ò a - u =
22. 2 2
1
2a
ln
u +
a
u -
a
+ C
du
u + a ò = ln (u + u2 + a2 ) + C
23. 2 2
du
u - a ò = ln │u + u2 - a2 │ + C
24. 2 2
25. ò a2 - u2 du = 1
2 u a2 - u2 + 1
2 a2 arc sin
u
a
+ C
26. ò u2 + a2 du = 1
2 u u2 + a2 + 1
2 a2 ln (u + u2 + a2 ) + C
27. ò u2 - a2 du = 1
2 u u2 - a2 + 1
2 a2 ln │u + u2 + a2 │ + C
Soal-soal Dipecahkan
1. ò x5 dx =
6
6
x + C

dx
ò x = x-2 dx ò =
2. 2
x-
-
1
1
+ C = -
1
x
+ C
3. ò 3 z dz = ò z1/3 dz =
4/3
4 / 3
z + C =
3
4
z4/3 + C
dx
x ò = x-2/3 ò dx =
4. 3 2
1/3
1/ 3
x + C = 3x1/3 + C
5. ò( 2x2 -5x + 3) dx = 2 ò x2 dx - 5 ò x dx + 3 òdx =
2 3
3
x -
5 2
2
x + 3x + C
6. ò(1- x) x dx = ò( x1/2 - x3/2 ) dx = ò x1/2 dx - ò x3/2 dx = 2 3/2
8 x - 2 5/2
5 x + C
7. ( ) 2 ò 3s + 4 ds = ò( 9s2 + 24s +16) ds = 9( 1 2 )
3 s + 24( 1 2 )
2 s + 16s + C = 3s3 + 12s2 +
16s + C
8.
3 2
x 5x 4
ò + - dx = ò( x + 5 - 4x-2 ) dx =
2
x
1
2
x2 + 5x -
x-
-
4 1
1
+ C =
1
2
x2 + 5x +
4
x
+ C
2
x dx
x + ò
x dx
x + ò , (d) ( )
9. Hitung: (a) ( )ò x3 + 2 2 • 3x2 dx, (b) ( )ò x3 + 2 2 1/2x2 dx, (c) ( )
3 3
8
2
2
4 3
2
. Ambil x3 + 2 = u; maka du = 3x2 dx.
(a) ò( x3 + 2) • 3x2 dx = òu2 du = 1
3 u3 + C = 1
3 (x3 + 2)3 + C
(b) ( )ò x3 + 2 2 1/2x2 dx =
1
3 ( )ò x3 + 2 1/2 • 3x2 dx =
1
3
òu1/2 du =
1
3
•
3/2
3 / 2
u + C =
2
9
(x3 +
2)3/2 + C
2
x dx
x + ò = 8•
(c) ( )
3 3
8
2
1
3 ò( x3 + 2) -3 3x2 dx =
8
3
u-3 du ò = -
8
3
1 2
2
æ u- ö
çè ø¸
4
+ C = - 3 ( x 3 + 2
)2
+ C
(d)
2
ò x
dx =
4 x 3 + 2
1
3 ò( x3 + 2) -1/43x2 dx =
1
3
u-1/4 du ò =
1
3
•
4
3
u3/4 + C =
4
9
(x3 + 2)3/4
+ C
10. Hitung ò3x 1- 2x2 dx. Ambil 1 – 2x2 = u; maka du = -4x dx.
ò3x 1- 2x2 dx = 3
1
4
æ - ö çè ø¸ ò(1- 2x2 ) 1/2(-4x dx) = -
3
4
òu1/2 du
= -
3
4
•
2
3
u3/2 + C = -
1
2
(1 – 2x2)3/2 + C
11. Hitung
( x )
dx
( x 2 x
)1/3
+
+ ò . Ambil x2 + 6x = u; maka du = (2x + 6) dx.
3
6
( x )
dx
( x 2 x
)1/3
+
+ ò =
3
6
1
2 ò( x2 + 6x) -1/3(2x + 6) dx =
1
2
u-1/3 du ò

=
1
2
•
3
2
u2/3 + C =
3
4
(x2 + 6x)2/3 + C
12. ò 3 1- x2 x dx = -
1
2 ò(1- x2 ) 1/3(-2x dx) = -
1
2
•
3
4 (1- x2 ) 4/3 + C = -
3
8 (1- x2 ) 4/3 + C
13. ò x2 - 2x4 dx = ( )ò 1- 2x2 1/2 x dx = -
1
4 ( )ò 1- 2x2 1/2 (-4x dx)
= -
1
4
•
2
3 ( )1- 2x2 3/2 + C = -
1
6 ( )1- 2x2 3/2 + C
14. ( ) 2 1 x
+ ò dx =
x
2
1 2x x
ò + + dx = ò( x-1/2 + 2x1/2 + x3/2 ) dx = 2x1/2 +
1/2
x
4
3
x3/2 +
2
5
x5/2 + C
2
x x
x
ìï ïü í - ý
îï + ïþ
+
+ ò dx = ( ) 2
15. ( )
2
2
1
1 1
ò dx = x +
x 1
1
x +1
+ C’ =
2
1
x
x +
+ 1 + C’ =
2
1
x
x +
+ C
RUMUS-RUMUS 5-7
16.
dx
ò x = ln │x│ + C
17.
ò dx
( 2)
= x + 2
2
d x
x
+
ò + = ln │x + 2│ + C
18.
ò dx
=
2 x - 3
1
2
ln │u│ + C =
1
2
ln │2x - 3│ + C, dengan u = 2x – 3 dan du = 2 dx atau
ò dx
=
2 x - 3
1
2
( 2 3)
2 3
d x
x
-
ò - =
1
2
ln │2x - 3│ + C
x dx
ò x - =
19. 2
1
x dx
ò x - =
1
2 2
1
1
2
ln │x2 - 1│ + C =
1
2
ln │x2 - 1│ + ln c = ln c x2 -1
20.
2
ò x dx
= -
1 - 2
x 3
1
6
2
x dx
x
ò -
= -
- 2
6
1 2
1
6
c
- x
ln │1 – 2x3│ + C = ln 6 1 2 3
21.
2
1
x
x
+
ò + dx =
1 1
ò æ ö çè + ø¸ dx = x + ln │x + 1│ + C
x + 1
22. e-x dx ò = - e-x ò (-dx) = -e-x + C
23. òa2x dx =
1
2
òa2x (2 dx) =
1
2
æ a 2
x
ö
ç è ln
a
¸
ø
+ C
24. òe3x dx =
1
3
òe3x (3 dx) =
e x + C
3
3
25.
e x dx
æ- ö çè ø¸ ò = -e1/x + C
e 1/
x ò dx
= - 1/
x 2
2
x

26. ò( ex +1)3 ex dx = òu3 du =
u + C = ( )4 1
4
4
ex + + C dengan u = ex + 1 dan du = ex
4
dx, atau ( )3 ò ex +1 ex dx = ( ) ( ) 3 ò ex +1 d ex +1 = ( )4 1
ex + + C
4
27.
ò dx
=
e x + 1
-
ò + - = -
e dx
e
1
x
x
e dx
e
-
ò + = -ln (1 + e-x) + C = ln
1
x
x
-
-
1
x
x
e
+ e
+ C = x – ln (1 + ex) +
C Tanda nilai mutlak tidak diperlukan di sini karena 1 + c-x > 0 untuk semua nilai x.
RUMUS-RUMUS 8-17
28. 1
2 òsin x dx = 2 1
2 òsin x • 1
2 dx = -2 cos 1
2 x + C
29. òcos3x dx =
1
3
òcos3x • 3 dx =
1
3
sin 3x + C
30. òsin2 x cos x dx = òsin2 x (cos x dx) = òsin2 x d(sin x) =
sin3
3
x + C
31. ò tan x dx =
sin
cos
x
ò x dx = -
x dx
x
- ò = -ln │cos x│+ C = ln │sec x│+ C
sin
cos
32. ò tan 2x dx =
1
2
ò tan 2x • 2 dx =
1
2
ln │sec 2x│+ C
33. ò x cot x2 dx =
1
2
òcot x2 • 2x dx =
1
2
ln │sec 2x│+ C
òsec x sec x ( sec x +
tan x
)
34. dx = ò + dx =
x x
sec tan
sec tan sec2
sec tan
x x +
x
x x
ò + dx = ln │sec x + tan x│+
C
35. òsec x dx
x
= 2 òsec x1/2 •
1
2
x-1/2 dx = 2 ln│sec x + tan x │ + C
36. òsec2 2ax dx =
1
2a
òsec2 2ax • 2a dx =
ax
a
tan 2
2
+ C
37.
x x
ò sin + cos
dx = ò( tan x +1) dx = ln│sec x│+ x + C
cos
x
y dy
sin
cos
ò y = ò tan y sec y dy = sec y + C
38. 2
39. ( ) 2 ò 1+ tan x dx = ò(1+ 2 tan x + tan2 x) dx = ò( sec2 x + 2 tan x) dx = tan x + 2 ln │sec
x│ + C
40. òex cos ex dx = òcos ex • ex dx = sin ex + C
41. òe3cos2x sin 2x dx = -
1
6
òe3cos2x (-6 sin 2x dx) = -
e x + C
3cos2
6

42.
ò dx
1 cos
= 1 + cos
x 1 cos
2
x
x
-
ò - dx = 2
x
x
- ò dx = ò( csc2 x - cot x csc x) dx = -cot x + csc x
1 cos
sin
+ C
43. ( ) 2 ò tan 2x + sec 2x dx = ò( tan2 2x + 2 tan 2xsec 2x + sec2 2x) dx
= ò( 2sec2 2x + 2 tan 2x sec 2x -1) dx = tan 2x + sec 2x – x + C
44. òcsc u du =
du
ò du
= sin
u 1 1
ò u u =
2 2 2sin cos
2 1 1
ò g
2 2
u u du
1
2
sec
tan
= ln │tan 1
2 u│ + C
45. ( ) 2 ò sec 4x -1 dx = ò( sec2 4x - 2sec 4x +1) dx = 1
4 tan 4x - 1
2 ln│sec 4x + tan 4x│+ x +
C
46.
x x dx
sec tan
ò =
a + b sec
x 1
b
ò a + b x g
x x b dx
sec tan
sec
=
1
b
ln│a + b sec x│+ C
47.
dx
ò =
csc 2 x - cot 2
x x dx
sin 2
1 cos 2
ò - x =
1
2
ò - x g
x dx
sin 2 2
1 cos 2
=
1
2
ln(1 – cos 2x) + C’
RUMUS-RUMUS 18-20
48. 1 2
dx
- x ò = arc sin x + C
dx
ò + x = arc tan x + C
49. 1 2
dx
x x - ò = arc sec x + C
50. 2 1
dx
- x ò = arc sin
51. 4 2
x
+ C
2
dx
ò + x =
52. 9 2
1
3
arc tan
x
+ C
3
dx
- x ò =
53. 25 16 2
ò 4
dx
x =
5 - 4
1
4 ( ) 2 2
1
4
arc sin
x
+ C
4
5
dx
ò x + =
54. 4 2 9
ò 2
dx
2 x + 3
=
1
2 ( ) 2 2
1
6
arc tan
x
+ C
2
3
dx
dx
x x - ò =
x x - ò = ( ) 2 2
55. 4 2 9
2
2 2 3
1
3
arc sec
x
+ C
2
3
56.
2
ò x dx
=
1
- x 6
2
x dx
- x
1
3 ( )
3 2
3
1
ò =
1
3
arc sin x3 + C
x dx
ò x + =
57. 4
3
2
ò =
1
2 ( )2 2 2
1
x dx
x x -
1
2
•
1
3
arc tan
2
3
x
+ C = 3
6
arc tan
2 3
3
x + C

dx
x x - ò =
58. 4 1
2
ò =
1
2 2 ( 2 )2
1
x dx
x x -
1
2
arc sec x2 + C =
1
2
1
x
arc cos 2
+ C
dx
- x + ò = arc sin
59. ( ) 2 4 2
x +
2
2
+ C
dx
ò e + e- = 2
60. x x
1
x
x
e dx
ò e + = arc tan ex + C
61.
3 2
x - x +
x
x
3 4 3
æ - + ö çè + ø¸ ò dx =
ò dx = 2
+ 2
1
3 4 4
1
x
x
3 2
2
x - 4x + 4 arc tan x + C
x x dx
sec tan
9 4sec
ò + x =
62. 2
ò 2sec x tan
x dx
3 + 2sec
x =
1
2 ( ) 2 2
1
6
arc tan
2sec
3
x
+ C
63.
( )
x dx
x dx
- x ò + 3 1 2
ò +
= - 2
2
3
1
x
1
dx
- x ò = - 1- x2 + arc sin x + C
64. ( )
x dx
x
2 7
2
9
-
ò 2
x dx
- 7 x + 2 9
ò + = 2
9
dx
ò x + = ln (x2 + 9) -
7
3
arc tan
x
+ C
3
dy
ò y + y + = ( 2 10 25) 5
65. 2 10 30
dy
dy
y + + ò = 5
y + y + + ò = ( ) 2 5 5
5
arc tan ( 5) 5
y + + C
5
dx
+ x - x ò = 36 ( 2 8 16)
66. 20 8 2
dy
dx
- x - ò = arc sin
- x - x + ò = ( ) 2 36 4
x -
4
6
+ C
dx
ò x + x + = 2
67. 2 2 2 5
2
dx
dx
ò = 4 x + 4 x + 10
( ) 2
2
2 1 9
x + + ò =
1
3
arc tan
x +
2 1
3
+ C
x
x x
68. 2
+
1
4 8
ò - + dx =
1
2 2
x
+
2 2
4 8
ò - + dx =
x x
1
2
( )
2
x
x x
- +
2 4 6
ò - + dx =
4 8
1
2
( )
2
2 x -
4
dx
x x
ò - + + 3
4 8
dx
ò =
x 2 - 4 x + 8
1
2
( )
2
2 x -
4
dx
x x
ò - + + 3 ( ) 2 2 4
4 8
dx
x - + ò =
1
2
ln (x2 – 4x + 8) +
3
2
arc tan
x -
2
2
+
C
Tanda nilai mutlak tidak diperlukan di sini karena x2 – 4x + 8 > 0 untuk semua nilai x.
dx
- x - x ò = 64 ( 2 12 36)
69. 28 12 2
dx
dx
- x + ò = arc sin
- x + x + ò = ( ) 2 64 6
x +
6
8
+ C
x
x x
ò +
3
dx = -
- - 70. 2
5 4
x
x x
- -
- - ò dx = -
2 6
5 4
1
2 2
1
2
( )
2 4 2
5 4
2
x
x x
- - -
- - ò dx
= -
x
x x
ò - 2 -
4
dx + 5 - 4
- 5 4 2
1
2 2
dx
- x - x ò
= -
x
x x
ò - 2 -
4
dx + 5 - 4
- 9 ( 2
) 2 1
2 2
dx
- x + ò

= - 5 - 4x - x2 + arc sin
x +
2
3
+ C
ò - + dx =
71. 2
x
+
2 3
x x
9 12 8
x
x x
1
9 2
+
18 27
9 12 8
ò - + dx =
1
9
( )
x
x x
18 12 39
9 2
12 8
- +
ò - + dx +
dx
x - + ò
13
3 ( ) 2 3 2 4
=
1
9
ln (9x2 – 12x + 8) +
13
18
arc tan
x -
3 2
2
+ C
x
x x
ò +
2
dx = -
- 72. 2
4
x
x x
- -
2 4
4
1
2 2
- ò dx = -
1
2
( )
2 4 8
4
2
x
x x
- + -
- ò dx
= -
x
x x
ò 4 -
2
dx + 4 4
- 4 ( 2
) 2 1
2 2
dx
- x - ò = - 4x - x2 + 4 arc sin
x -
2
2
+ C
RUMUS-RUMUS 21-24
ò dx
1
x
-
1
73. =
ln
x 2 - 1
2
x
+
1
+ C
dx
ò - x =
74. 1 2
1
2
ln
1
1
x
x
+
-
+ C
dx
ò x - =
75. 2 4
1
4
ln
2
2
x
x
-
+
+ C
dx
ò - x =
76. 9 2
1
6
ln
3
3
x
x
+
-
+ C
dx
x + ò = ln (x + x2 +1 ) + C
77. 2 1
dx
x - ò = ln │x + x2 -1│ + C
78. 2 1
dx
x + ò =
79. 4 2 9
ò 2
dx
x =
2 + 3
1
2 ( ) 2 2
1
2
ln (2x + 4x2 + 9 ) + C
dz
z - ò =
80. 9 2 25
1
3 2
dz
3
9 25
ò z - =
1
3
ln │3z + 9z2 - 25 │ + C
dx
ò x - =
81. 9 2 16
ò 3
dx
3 x - 16
=
1
3 ( ) 2
1
24
ln
x
x
-
+
3 4
3 4
+ C
dy
ò - y =
82. 25 16 2
ò 4
dy
25 - 4
y =
1
4 ( ) 2
1
40
ln
5 4
5 4
y
y
+
-
+ C
dx
ò x + x + = ( ) 2 3 1
83. 2 6 8
dx
x + - ò =
1
2
ln
( )
( )
3 1
3 1
x
x
+ -
+ +
+ C =
1
2
ln
2
4
x
x
+
+
+ C
dx
ò x - x = ( ) 2 4 2
84. 4 2
dx
- x - ò =
1
4
ln
( x
)
( x
)
+ -
- -
2 2
2 2
+ C =
1
4
ln
4
x
- x
+ C

ds
s + s ò = ( ) 2 2 4
85. 4 2
ds
s + - ò = ln │s + 2 + 4s + s2 │ + C
86. 2
2
9
x
x
+
+ ò dx =
2 4
1
2 2
9
x
x
+
+ ò dx =
ò 2
x dx
+ 2 x + 2 9
1
2 2
9
dx
x + ò
= x2 + 9 + 2 ln (x + x2 + 9 ) + C
x
x
2 3
4 11
87. 2
-
ò - dx =
x
x
-
1
4 2
8 12
4 11
ò - dx =
x dx
ò x - -
1
4 2
8
4 11
3
2 2
dx
2
4 11
ò x -
=
1
4
ln │4x2 - 11│ - 3 11
44
ln
x
x
-
+
2 11
2 11
+ C
x
x x
+
+ - ò dx =
88. 2
2
2 3
x
x x
+
+ - ò dx =
2 4
2 3
1
2 2
x
x x
ò 2 +
2
dx + + 2 - 3
( 1 ) 2 4
1
2 2
dx
x + - ò
= x2 + 2x -3 + ln │x + 1 + x2 + 2x -3 │ + C
ò + - = -
89. 2
2
x
-
x x
4 4 3
x
x x
1
8 2
-
8 16
4 4 3
ò + - dx = -
x
x x
1
8 2
+
8 4
4 4 3
ò + - dx +
dx
x + - ò
5
2 ( ) 2 2 1 4
= -
1
8
ln │4x2 + 4x - 3│ +
5
16
ln
x
x
-
+
2 1
2 3
+ C
RUMUS-RUMUS 25-27
90. ò 25 - x2 dx =
1
2
x 25 - x2 +
25
2
arc sin
x
+ C
5
91. ò 3- 4x2 dx =
1
2
ò 3- 4x2 • 2 dx =
1
2
æ 2 x ç 3 - 4 x 2 + 3 arc sin 2
x ö è 2 2 3
¸
ø
+ C
=
1
2
x 3- 4x2 +
3
4
x + C
arc sin 2 3
3
92. ò x2 -36 dx =
1
2
x x2 - 36 - 18 ln │x + x2 - 36 │ + C
93. ò 3x2 + 5 dx =
1
3
ò 3x2 + 5 • 3 dx
=
1
3 3 3 2 5 5 ln ( 3 3 2 5)
é ù
ê x x + + x + x
+ ú
ë 2 2
û
+ C
=
1
2
x 3x2 + 5 + 5 3
6
ln ( 3 x + 3x2 + 5 ) + C
94. ò 3- 2x - x2 dx = ( ) 2 ò 4 - x +1 dx =
x + 3- 2x - x2 + 2 arc sin
1
2
x +
1
2
+ C
95. ò 4x2 - 4x + 5 dx =
1
2 ( ) 2 ò 2x -1 + 4 • 2 dx

=
1
2 2 1 4 2 4 5 2ln (2 1 4 2 4 5 )
é x - êë x - x + + x - + x - x + ù 2
úû
+ C
= 2 ( 2 ) 2 1 4 4 5 ln 2 1 4 4 5
x - x - x + + x - + x - x + + C
4
Soal-soal Tambahan
Lakukanlah integrasi-integrasi berikut ini.
96. ò( 4x3 + 3x2 + 2x + 5) dx = x4 + x3 + x2 + 5x + C
97. ò( 3- 2x - x4 ) dx = 3x – x2 – x5/5 + C
98. ò( 2 -3x + x3 ) dx = 2x – 3x2/2 + x4/4 + C
99. ( )ò x2 -1 2 dx = x5/5 – 2x3/3 + x + C
100. ( 1 )
2 2 / x x x - + ò dx = 23
x2/3 - 1
4 x2 + 4x1/2 + C
101. ( )3 ò a + x dx = 1
4 (a + x)4 + C
102. ( )3/2 ò x - 2 dx = 2
5 (x – 2)5/2 + C
dx
ò x = - 2
103. 3
1
2x
+ C
dx
x - ò = - ( ) 2
104. ( )3 1
1
2 x -1 + C
105.
ò dx
= 2 x + x + 3 + C
3
106. ò 3x -1 dx = 2
9 (3x – 1)3/2 + C
107. ò 2 - 3x dx = - 2
9 (2 – 3x)3/2 + C
108. ( )ò 2x2 + 3 1/3x dx = 3
16 (2x2 + 3)4/3 + C
109. ( ) 2 ò x -1 x dx = 1
4 x4 - 23
x3 + 1
2 x2 + C
110. ò( x2 -1) x dx = 1
4 (x2 – 1)2 + C
111. ò 1+ y4 y3 dy = 1
6 (1 + y4)3/2 + C
112. ò( x3 + 3) x2 dx = 1
6 (x3 + 3)2 + C
113. ( )ò 4 - x2 2 x2 dx = 16
3 x3 - 8
5 x5 + 17
x7 + C
dy
- y ò = ( ) 2
114. ( )3 2
1
2 2 - y + C
x dx
x + ò = - ( )2 2
115. ( 2 4
)3
1
4 x + 4 + C

116. ò(1- x3 )2 dx = x - 1
2 x4 + 17
x7 + C
117. ( )ò 1- x3 2 x dx = 1
2 x2 - 2
5 x5 + 18
x8 + C
118. ( )2 3 1 x - ò x2 dx = - 19
(1 – x3)3 + C
119. ( )ò x2 - x 4 (2x – 1) dx = 1
5 (x2 – x)5 + C
ò 3
t dt
=
t + 120. 3 2
3
9
4
(t2 + 3)2/3 + C
121.
( )
2
x dx
x x
+
+ - ò = x2 + 2x - 4 + C
1
2 4
dx
a + bx ò =
122. ( )1/3
3
2b
(a + bx)2/3 + C
( 2
1 x
)123. +
ò dx =
x
2
3
(1 + x )3 + C
124. ò x ( 3- 5x) dx = 2x3/2(1 – x) + C
125. ( x 1) ( x 2)
+ - ò dx =
x
2
5
x5/2 -
2
3
x3/2 – 4x1/2 + C
126.
ò dx
= ln │x - 1│+ C
x - 1
127.
ò dx
=
3 x + 1
1
3
ln │3x + 1│ + C
ò 3
x dx
=
x + 128. 2
2
3
2
ln (x2 + 2) + C
129.
2
ò x dx
= -
1
- x 3
1
3
ln │1- x3│ + C
130.
1
1
x
x
-
ò + dx = x – 2 ln │x + 1│ + C
131.
2 2 2
x x
x
+ +
ò + dx =
2
1
2
x2 + 2 ln │x + 2│ + C
x
x x
132. 2
+
1
2 2
ò + + dx =
1
2
ln (x2 + 2x + 2) + C
133.
dx dx
x x
ò æ - ö çè ø¸ = ln
2 - 1 2 + 1
x
x
-
+
2 1
2 1
+ C
134. òa4x dx =
1
4
a x
a
4
ln
+ C
135. òe4x dx = 1
4 e4x + C

136.
1/ 2
3
e x
ò x dx = -
1
2
e1/ x2 + C
137. e-x2 +2 ò x dx = - 1
2
e-x2 +2 + C
138. ò x2ex3 dx = 1
3
ex3 + C
139. ( )2 ò ex +1 dx = 1
2
e2 x + 2 ex + x + C
140. ò( ex - xe ) dx = ex -
1
1
xe
e
+
+
+ C
141. ( )2 ò ex +1 ex dx = 1
3 (ex + 1)3 + C
142.
x
x
2
2 3
e
ò e + dx =
1
2
ln (e2x + 3) + C
143.
2 x 1
ò æ e
+ ö çè ø¸ dx =
e
x 1
2
1
2e x
e2x + 2x - 2
+ C
144. 1
1
x
x
e
e
-
ò + dx = ln (ex + 1)2 – x + C
145.
2
2
1
3
x
x
e
e
-
ò + dx = ln (e2x + 3)2/3 -
1
3
x + C
dx
x - x ò = ln ( )2
146. (1 )
1
C
- x , C > 0
dx
ò x + x =
147. 1/3
3
2
ln C(x2/3 + 1), C > 0
148. òsin 2x dx = - 1
2 cos 2x + C
149. òcos 1
2 x dx = 2 sin 1
2 x + C
150. òsec 3x tan 3x dx = 1
3 sec 3x + C
151. òcsc2 2x dx = - 1
2 cot 2x + C
152. ò x sec2 x2 dx = 1
2 tan x2 + C
153. ò tan2 x dx = tan x – x + C
154. ò tan 1
2 x dx = 2 ln │sec 1
2 x │ + C
155. òcsc3x dx = 1
3 ln │csc 3x – cot 3x│ + C
156. òb sec ax tan ax dx =
b
a
sec ax + C
157. ( ) 2 ò cos x - sin x dx = x + 1
2 cos 2x + C
158. òsin ax cos ax dx =
1
2a
sin2 ax + C = -
1
2a
cos2 ax + C’ = -
1
4a
cos 2ax + K

159. òsin3 x cos x dx = 1
4 sin4 x + C
160. òcos4 x sin x dx = - 1
5 cos5 x + C
161. ò tan4 3x csc2 3x dx = 1
6 tan6 x + C
162. òcot4 3x csc2 3x dx = - 1
15 cot5 3x + C
dx
ò - x = 2(tan 1
163. 1
2 1 sin
2 x + sec 1
2 x) + C
164.
dx
ò =
1 + cos3
x x
x
-
1 cos3
3sin 3
+ C
165.
ò dx
= x +
1 + sec
ax 1
a
(cot ax – csc ax) + C
166. òsec2 x
a
tan
x
a
dx =
1
2
a tan2
x
a
+ C
167.
sec2 3
tan 3
x
ò x dx =
1
3
ln │tan 3x│ + C
168.
sec5
csc
x
ò x dx =
1
4
sec4 x + C
169. òetan 2x sec2 2x dx = 1
2
etan 2x + C
170. òe2sin3x cos 3x dx = 1
6
e2sin3x + C
dx
- x ò = arc sin 5
171. 5 2
x + C
5
dx
ò + x = 5
172. 5 2
5
x + C
arc tan 5
5
dx
x x - ò = 5
173. 2 5
5
x + C
arc sec 5
5
x
e dx
- e ò = arc sin ex + C
174. 2
1
x
175.
2
ò e dx
=
1
+ e 4
x
x
1
2
arc sin e2x + C
dx
- x ò =
176. 4 9 2
1
3
arc sin
x
+ C
3
2
dx
ò x + =
177. 9 2 4
1
6
arc tan
x
+ C
3
2
x
sin8
9 sin 4
ò + x dx =
178. 4
1
12
arc tan
sin2 4
3
x + C
179.
2
x dx
2
sec
1 4 tan
- x ò =
1
2
arc sin (2 tan x) + C

dx
x - x ò =
180. 4 9ln2
1
3
arc sin ln x3/2 + C
181.
4 2
2
x -
x
x
2
2 1
ò + dx =
1
3
x3 – x + 2
2
arc tan x 2 + C
cos 2
sin 2 8
182. 2
x dx
ò x + = 2
8
arc tan
x
+ C
sin 2
2 2
183. ( )
ò + + = ( )
x dx
x x
2 3
6 13
2
-
x dx
x x
2 6
6 13
2
+
dx
ò x + x + = ln (x2 + 6x + 13) -
ò + + - 9 2 6 13
9
2
arc tan
x +
3
2
+ C
184. ( )
x dx
x x
ò =
2
- + 1
-
3 4 3
1
6
( )
x dx
x x
6 4
3 2
4 3
-
dx
ò x - x +
ò - + - 9 2 12 9
=
1
6
ln (3x2 – 4x + 3) - 5
15
arc tan
x -
3 2
5
+ C
x dx
+ x - x ò = - 27 + 6x - x2 + 3 arc sin
185. 2
27 6
x -
3
6
+ C
186.
( )
x dx
-
- - ò = 12x - 4x2 -8 -
5 4
12 x 4 x
2
8
1
2
arc sin (2x – 3) + C
dx
ò x - =
187. 2 4
1
4
ln
2
2
x
x
-
+
+ C
dx
ò x - =
188. 4 2 9
1
12
ln
x
x
-
+
2 3
2 3
+ C
dx
ò - x =
189. 9 2
1
6
ln
3
3
x
x
+
-
= C
dx
ò - x =
190. 25 9 2
1
30
ln
x
x
+
-
3 5
3 5
+ C
dx
x + ò = ln (x + x2 + 4 ) + C
191. 2 4
dx
x - ò =
192. 4 2 25
1
2
ln │2x + 4x2 - 25 │ + C
193. ò 16 - 9x2 dx =
1
2
x 16 - 9x2 +
8
3
arc sin
x
+ C
3
4
194. ò x2 -16 dx = 1
2 x x2 -16 - 8 ln │x + x2 -16 │ + C
195. ò 4x2 + 9 dx = 1
2 x 4x2 + 9 + 9
4 ln (2x + 4x2 + 9 ) + C
196. ò x2 - 2x - 3 dx = 1
2 (x – 1) x2 - 2x - 3 - 2 ln │x – 1 + x2 - 2x - 3 │ + C
197. ò 12 + 4x - x2 dx = 1
2 (x – 2) 12 + 4x - x2 + 8 arc sin 1
4 (x – 2) + C
198. ò x2 + 4x dx = 1
2 (x + 2) x2 + 4x - 2 ln │x + 2 + x2 + 4x │ + C

199. ò x2 -8x dx = 1
2 (x - 4) x2 -8x - 8 ln │x – 4 + x2 -8x │ + C
200. ò 6x - x2 dx =
1
2
(x - 3) 6x - x2 +
9
2
arc sin
x -
3
3
+ C

Bab 26
Integrasi Bagian
INTEGRASI BAGIAN. Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi
d(uv) = u dv + v du
u dv = d(uv) – v du
(i) òu dv = uv - òv du
Untuk menggunakan (i) dalam menghitung suatu integrasi yang ditanyakan, integral yang
diberikan harus dipisahkan menjadi dua bagian, satu bagian adalah u dan bagian lain,
bersama dengan dx, adalah dv. (Untuk alasan ini, integrasi dengan menggunakan (i)
disebut integrasi bagian). Dua aturan umum dapat ditulis:
(a) bagian yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasi.
(b) òv du tidak boleh lebih sulit dari pada òu dv.
Contoh 1: Cari ò x3ex2 dx.
Ambil u = x2 dan dv = ex2 x dx; maka du = 2x dx dan v = 1
2
ex2 . Sekarang dengan aturan
di atas, ò x3ex2 dx = 1
2
x3ex2 - ò xex2 dx = 1
2
x3ex2 - 1
2
ex2 + C
Contoh 2: Cari òln ( x2 + 2) dx .
Ambil u = ln (x2 + 2) dan dv = dx; maka du = 2
x dx
x +
2
2
dan v = x. dengan aturan,
òln (x2 + 2)dx = x ln (x2 + 2) -
2
2
æ - ö çè + ø¸ ò dx
ò 2
x dx
= x ln (x2 + 2) - x + 2
2
2 4
x 2
= x ln (x2 + 2) – 2x + 2 2 arc tan x/ 2 + C
Lihat Soal-soal 1-10.
RUMUS REDUKSI. Usaha yang diberikan dalam penggunaan integrasi bagian berturut-turut
(lihat Soal 9) untuk menghitung suatu integral dapat banyak dikurangi dengan
penggunaan rumus reduksi. Umumnya, rumus reduksi menghasilkan integral baru dengan
bentuk yang sama dengan aslinya tetapi dengan eksponen yang bertambah atau
berkurang. Suatu rumus reduksi berhasil bila akhirnya ia menghasilkan suatu integral
yang dapat dihitung. Beberapa rumus reduksi adalah:
du
a ± u ò = 2
(A) ( 2 2 )m
ìï u + 2 m - 3
du
ïü í ý î ï - ± - ± þ
ï 1
a ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1
ò , m ≠ 1
2 2 2 2 m m
m a u m a u - -
(B) ( 2 2 )m ò a ± u du = ( 2 2 )
m u a u
±
+
m
2 1
+
2 2
2 1
ma
m+ ( ) 2 2 m 1 a u - ò ± du, m ≠ -1/2
du
u - a ò = - 2
(C) ( 2 2 )m
ìï u + 2 m - 3
du
ïü í ý î ï - - - - þ
ï 1
a ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1
ò , m ≠ 1
2 2 2 2 m m
m u a m u a - -

(D) ( 2 2 )m ò u - a du = ( 2 2 )
m u u a
-
+
m
2 1
-
2 2
2 1
ma
m+ ( ) 2 2 m 1 u a - ò - du, m ≠ -1/2
(E) òumeau du =
1
a
umeau -
m
a
um-1 ò eau du
(F) sinm ò u du = -
sinm 1 u cosu
m
-
+
m 1
m
- sinm-2 ò u du
(G) cosm ò u du =
cosm 1 u sin u
m
-
+
m 1
m
- cosm-2 ò u du
(H) sinm ò u cosn u du =
sinm 1 u cosn 1 u
+ -
+
m n
+
n -
1
m +
n
sinm ò u cosn-2 u du
= -
sinm 1 u cosn 1 u
- +
+
m n
+
m -
1
m +
n
sinm-2 ò u cosn u du, m ≠ -n
(I) òum sin bu du = -
um
b
cos bu +
m
b
um-1 ò cos bu du
(J) òum cos bu du =
um
b
sin bu -
m
b
um-1 ò sin bu du
Lihat Soal 11.
1. Cari ò x sin x dx.
Kita mempunyai pilihan-pilihan berikut;
(a) u = x sin x, dv = dx; (b) u = sin x, dv = x dx; (c) u = x, dv = sin x dx.
(a) u = x sin x, dv = dx. Maka du = (sin x + x cos x) dx, v = x, dan
ò x sin x dx = x • x sin x - ò x (sin x + x cos x) dx
Integral yang dihasilkan tidak semudah yang asli dan pilihan ini ditolak.
(b) u = sin x, dv = x dx. Maka du = cos x dx, v = 1
2 x2, dan
ò x sin x dx = 1
ò 2 x2 cos x dx
2 x2 sin x - 1
Integral yang dihasilkan tidak semudah yang asli dan pilihan ini ditolak.
(c) u = x, dv = sin x dx. Maka du = dx, v = -cos x, dan
ò x sin x dx = -x cos x - ò- cos x dx = -x cos x + sin x + C
2. Cari ò xex dx.
Ambil u = x, dv = ex dx. Maka du = dx, v = ex, dan
ò xex dx = xex - òex dx = xex – ex + C
3. Cari ò x2 ln x dx.
Ambil u = ln x, dv = x2 dx. Maka du =
dx
x
, v =
3
3
x , dan

ò x2 ln x dx =
3
3
x ln x -
3
3
x ò •
dx
x
=
3
3
x ln x -
1
3
ò x2 dx =
3
3
x ln x -
1
9
x3 + C
4. Cari ò x 1+ x dx.
Ambil u = x, dv = 1 x + dx. Maka du = dx, v = 23
(1 + x)3/2, dan
ò x 1+ x dx =
2
3
x(1 + x)3/2 -
2
3 ( )3/2 ò 1+ x dx =
2
3
x(1 + x)3/2 -
4
15
(1 + x)5/2 + C
5. Cari òarc sin x dx.
Ambil u = arc sin x, dv = dx. Maka du = dx/ 1- x2 , v = x, dan
òarc sin x dx = x arc sin x - 2
ò x dx
= x arc sin x + + C
1
- x 1- x2 6. Cari òsin2 x dx.
Ambil u = sin x, dv = sin x dx. Maka du = cos x dx, v = -cos x, dan
òsin2 x dx = -sin x cos x + òcos2 x dx
= -sin x cos x + ò(1- sin2 x) dx = - 1
2 sin 2x + òdx - òsin2 x dx
Pindahkan integral dari kanan,
2 òsin2 x dx = - 1
2 sin 2x + x + C’ dan òsin2 x dx = 1
2 x - 1
4 sin 2x + C
7. Cari òsec2 x dx.
Ambil u = sec x, dv = sec2 x dx. Maka du = sec x tan x, v = tan x, dan
òsec2 x dx = sec x tan x - òsec x tan2 x dx = sec x tan x - òsec x (sec2 x – 1)dx
= sec x tan x - òsec2 x dx + òsec x dx
Maka 2 òsec2 x dx = sec x tan x + òsec x dx = sec x tan x + ln │ sec x + tan x │+ C’
dan òsec2 x dx = 1
2 (sec x tan x + ln │ sec x + tan x │) + C
8. Cari ò x2 sin x dx.
Ambil u = x2, dv = sin x dx. Maka du = 2x dx, v = -cos x, dan
ò x2 sin x dx = -x2 cos x + 2 ò x cos x dx
Untuk hasil integral, ambil u = x dan dv = cos x dx. Maka du = dx, v = sin x, dan
ò x2 sin x dx = -x2 cos x + 2{x sin x - òsin x dx}
= -x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
9. Cari ò x3 e2x dx.
Ambil u = x3, dv = e2x. Maka du = 3x2 dx, v = 1
2 e2x, dan
ò x3 e2x dx =
1
2
x3e2x -
3
2
ò x2 e2x dx
Untuk hasil integral, ambil u = x2 dan dv = e2x dx. Maka du = 2x dx, v = 1
2 e2x, dan

ò x3 e2x dx =
1
2
x3e2x -
3
2
1 2 2 2
2
ìí x e x - xe x dxüý
î þ ò =
1
2
x3e2x -
3
4
x2e2x +
3
2
ò xe2x dx
Untuk hasil integral, ambil u = x dan dv = e2x dx. Maka du = dx, v = 1
2 e2x, dan
ò x3 e2x dx =
1
2
x3e2x -
3
4
x2e2x +
3
2
1 2 1 2
2 2
ìí xe x - e x dxüý
î þ ò
=
1
2
x3e2x -
3
4
x2e2x +
3
4
xe2x -
3
8
e2x + C
x dx
a ± x ; maka du = dx, v = ( ) ( ) 2 2 1
10. (a) Ambil u = x, dv = ( 2 2 )
m
1
m
2 2 m m a x - - ±
, dan
2
x
x dx
a ± x ò = ( ) ( ) 2 2 1
( 2 2
)
m
m
2 2 m
m a x - - ±
±
dx
1
ò
m - 1
2m- 2 ( a 2 ± x 2 ) (b) Ambil u = x, dv = x(a2 ± x2)m-1 dx; maka du = dx, v =
±
1
2m
(a2 ± x2)m, dan
ò x2 (a2 ± x2)m-1 dx =
2
x
m
±
(a2 ± x2)m m
1
2m ( 2 2 )m ò a ± x dx
dx
+ x ò , (b) ( )ò 9 + x2 3/2 dx.
11. Cari (a) ( )1 2 5/2
(a) Karena Rumus Reduksi (A) mereduksi eksponen di penyebut dengan 1, maka
rumus ini digunakan dua kali untuk memperoleh
ò dx
x
( 1 + x 2 )5/2
= 3 ( 1 + x 2 )3/2
+
dx
+ x ò = ( )3 1 2 3/2
2
3 ( )1 2 3/2
x
+ x +
dx
+ x + C
2
3 ( )1 2 1/2
(b) Dengan menggunakan Rumus Reduksi (B),
( )ò 9 + x2 3/2 dx =
1
4
x( )9 + x2 3/2 +
27
4 ( )9 + x2 1/2 dx
=
1
4
x( )9 + x2 3/2 +
27
8
{x ( )9 + x2 1/2 + 9 ln (x + 9 + x2 )} + C
Soal-soal Tambahan
12. ò x cos x dx = x sin x + cos x + C
13. òarc cos 2x dx = x arc cos 2x - 1
2
1- 4x2 + C
15. òarc tan x dx = x arc tan x - ln 1- x2 + C
16. ò x2 1- x dx = - 2
105 (1 – x)3/2(15x2 + 12x + 8) + C
2
xe dx
+ x ò =
17. ( )
2
1
1
ex
+ x
+ C
18. ò x arc tan x dx = 1
2 (x2 + 1) arc tan x - 1
2 x + C

19. ò x2 e-3x dx = - 1
3 e-3x(x2 + 23
x + 2
9 ) + C
20. 3 sin ò x dx = - 23
cos3 x – sin2 x cos x + C
21. ò x3 sin x dx = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x – 6 sin x + C
22.
x dx
a + bx ò = ( )
bx a a bx
- + + C
2
2 2
b
3
23.
2
1
x dx
+ x ò =
2
15
(3x2 – 4x +8) 1+ x + C
24. ò x arc sin x2 dx = 1
2 x2 arc sin x2 + 1
2
1- x4 + C
25. sin ò x sin 3x dx = 18
sin 3x cos x - 3
8 sin x cos 3x + C
26. òsin (ln x) dx = 1
2 x(sin ln x – cos ln x) + C
òeax eax ( bsin bx a cosbx
)
27. cos bx dx = +
+
2 2
a b
+ C
òeax eax ( a sin bx b cosbx
)
28. sin bx dx = -
+
2 2
a b
+ C
2
a dx
a ± x ò =
29. (a) Tulis ( 2 2
)
m
( )
( )
2 2 2
a x x
a x
±
± ò m
2 2 m
dx
x dx
a ± x ò dan
a x - ± ò m ( )
dx = ( ) 2 2 m 1
2
2 2
m
gunakan Soal 10(a) untuk mendapatkan rumus reduksi (A).
(b) Tulis ( 2 2 )m ò a ± x dx = a2 ( ) 2 2 m 1 a x - ò ± dx ± ò x2 ( ) 2 2 m 1 a x - ± dx dan gunakan
hasil Soal 10(b) untuk mendapatkan rumus reduksi (B).
30. Turunkan rumus reduksi (C)-(J).
31. ò dx
( 1 - x 2 )3
=
( 2
)
( )
x x
5 3
8 1
2 2
x
-
-
+
3
16
ln
1
1
x
x
+
-
+ C
dx
+ x ò = ( )4 4 2 1/2
32. ( )4 2 3/2
x
+ x + C
33. ( )ò 4 - x2 3/2 dx = 1
4 x(10 – x2) 4 - x2 + 6 arc sin 1
2 x + C
dx
x - ò =
34. ( )2 16 3
1
2048
( )
( )
ìï x 3 x 2
- 80 + 3 ln
x
- 4 ïü í 2
8 x
+ 4
ý î ï x 2 - 16 þ
ï + C
35. ( )ò x2 -1 5/2 dx = 1
48 x(8x4 – 26x2 + 33) x2 -1 - 5
16 ln │x + x2 -1│ + C
36. òsin4 x dx = 3
8 x - 3
8 sin x cos x - 1
4 sin3 x cos x + C
37. òcos5 x dx = 1
15 (3 cos4 x + 4 cos2 x + 8) sin x + C
38. òsin3 x cos2 x dx = - 1
5 cos3 x (sin2 x + 23
) + C

39. 4 sin ò x cos5 x dx = 19
7 cos2 x + 8
35 ) + C
sin5 x (cos4 x + 4
34
Suatu cara 34
lain untuk beberapa soal yang lebih sulit dalam bagian ini dapat dicari
dengan mengingat bahwa (lihat Soal 9).
(i) ò x3 e2x dx = 1
2 x3e2x - x2e2x + xe2x - 3
8 e2x + C
Suku-suku di sebelah kanan, terlepas dari koefisien-koefisien, adalah suku-suku lain
yang diperoleh dari diferensiasi integrasi x3e2x berulang-ulang. Jadi, segera dapat
ditulis
(ii) ò x3 e2x dx = Ax3e2x - Bx2e2x + Dxe2x - Ee2x + C
dan dari sana, dapatkan dengan diferensiasi
x3e2x = 2Ax3e2x + (3A + 2B)x2e2x + (2B + 2D)xe2x + (D + 2E)e2x
Samakan koefisien-koefisien, diperoleh:
2A = 1, 3A + 2B = 0, 2B + 2D = 0, D + 2E = 0
sehingga A = 1
2 , B = - 32
A = - 34
, D = -B = 34
2 D = - 3
8 . Substitusi A, B, D, E
, E = - 1
dalam (ii), diperoleh (i).
Cara ini dapat digunakan untuk mencari ò f ( x) dx jika diferensiasi f(x) yang
berulang-ulang menghasilkan hanya suatu bilangan berhingga dalam suku-suku yang
berbeda.
40. Cari òe2x cos 3x dx = 1
13 e2x(3 sin 3x + 2 cos 3x) + C dengan menggunakan
òe2x cos 3x dx = Ae2x sin 3x + Be2x cos 3x + C
41. Cari òe3x (2 sin 4x – 5 cos 4x)dx = 1
25 e3x(-14 sin 4x – 23 cos 4x) + C dengan
menggunakan
òe3x (2 sin 4x – 5 cos 4x)dx = Ae3x sin 4x + Be3x cos 4x + C
42. Cari òsin 3x cos 2x dx = - 1
5 (2 sin 3x sin 2x + 3 cos 3x cos 2x) + C dengan
menggunakan
òsin 3x cos 2x dx = A sin 3x sin 2x + B cos 3x cos 2x + D cos 3x sin 2x + E sin 3x cos
2x + C
43. Cari òe3x x2 sin x dx =
e x [25x2(3 sin x – cos x) – 10x(4 sin x – 3 cos x) + 9 sin x –
3
250
13 cos x] + C

Bab 27
Integral Trigonometrik
HUBUNGAN-HUBUNGAN BERIKUT digunakan untuk mencari integral
trigonometrik dalam bab ini.
1. sin2 x + cos2 x = 1
2. 1 + tan2 x = sec2 x
3. 1 + cot2 x = csc2 x
4. sin2 x = 1
2 (1 – cos 2x)
5. cos2 x = 1
2 (1 + cos 2x)
6. sin x cos x = 1
2 sin 2x
7. sin x cos y = 1
2 [sin (x – y) + sin (x + y)]
8. sin x sin y = 1
2 [cos (x – y) - cos (x + y)]
9. cos x cos y = 1
2 [cos (x – y) + cos (x + y)]
10. 1 – cos x = 2 sin2 1
2 x
11. 1 + cos x = 2 cos2 1
2 x
12. 1 ± sin x = 1 ± cos( 1
2 π – x)
SINUS DAN COSINUS
1. òsin2 x dx = 1
ò 2 (1 – cos 2x) dx = 1
2 x - 1
4 sin 2x + C
2. òcos2 3x dx = 1
ò 2 (1 + cos 6x) dx = 1
2 x - 1
12 sin 6x + C
3. òsin3 x dx = òsin2 x sin x dx = ò(1- cos2 x) sin x dx = -cos x + 1
3 cos3 x + C
4. òcos5 x dx = òcos4 x cos x dx = ( )ò 1- sin2 x 2 cos x dx
23
= òcos x dx - 2 òsin2 x cos x dx + òsin4 x cos x dx
= sin x - sin3 x + 1
5 sin5 x + C
5. òsin2 x cos3 x dx = òsin2 x cos2 x cos x dx = òsin2 x(1 – sin2 x)cos x dx
= òsin2 x cos x dx - òsin4 x cos x dx = 1
3 sin3 x - 1
5 sin5 x + C
6. òcos4 2x sin3 2x dx = òcos4 2x sin2 2x sin 2x dx = òcos4 2x(1 – cos2 2x)sin 2x dx
= òcos4 2x sin 2x dx - òcos6 2x sin 2x dx = - 1
10 cos5 2x + 1
14 cos7 2x + C
7. òsin3 3x cos5 3x dx = ò(1- cos2 3x) cos5 3x sin 3x dx
= òcos5 3x sin 3x dx - òcos7 3x sin 3x dx = - 1
18 cos6 3x + 1
24 cos8 3x + C
atau
òsin3 3x cos5 3x dx = òsin3 3x(1 – sin2 3x)2 cos 3x dx
= òsin3 3x cos 3x dx - 2 òsin5 3x cos 3x dx + òsin7 3x cos 3x dx
= 1
12 sin4 3x - 19
sin6 3x + 1
24 sin8 3x + C
æ - x ö çè ø¸ ò cos
x
dx = 1 sin2
8. òcos3 3
3
x
dx = 3 sin
3
x
- sin3
3
x
+ C
3

9. òsin4 x dx = ( )ò sin2 x 2 dx =
1
4 ( ) 2 ò 1- cos 2x dx
=
1
4
òdx -
1
2
òcos 2x dx +
1
4
òcos2 2x dx
=
1
4
òdx -
1
2
òcos 2x dx +
1
8
ò(1+ cos 4x) dx
=
1
4
x -
1
4
sin 2x +
1
8
x +
1
32
sin 4x + C =
3
8
x -
1
4
sin 2x +
1
32
sin 4x + C
10. òsin2 x cos2 x dx =
1
4
òsin2 2x dx =
1
8
ò(1- cos 4x) dx =
1
8
x -
1
32
sin 4x + C
11. òsin4 3x cos2 3x dx = ò( sin2 3x cos2 3x) sin2 3x dx =
1
8
òsin2 6x(1 – cos 6x) dx
=
1
8
òsin2 6x dx -
1
8
òsin2 6x cos 6x dx
=
1
16
ò(1- cos12x) dx -
1
8
òsin2 6x cos 6x dx
=
1
16
x -
1
192
sin 12x -
1
144
sin3 6x + C
12. òsin 3x sin 2x dx =
1
ò 2 {cos (3x – 2x) – cos (3x + 2x)}dx =
1
2
ò( cos x - cos5x) dx
=
1
2
sin x -
1
10
sin 5x + C
13. òsin 3x cos 5x dx =
1
ò 2 {sin (3x – 5x) + sin (3x + 5x)}dx =
1
4
cos 2x -
1
16
cos 8x + C
14. òcos 4x cos 2x dx =
1
2
ò( cos 2x + cos 6x) dx =
1
4
sin 2x +
1
12
sin 6x + C
15. ò 1- cos x dx = 2 òsin 1
2 x dx = -2 2 cos 1
2 x + C
16. ( )3/2 ò 1+ cos3x dx = 2 2 3 cos ò 32
x dx = 2 2 ( ) 2 32
1 sin x - ò cos 32
x dx
= 2 2 ( 23
sin 32
9 sin3 32
x - 2
x) + C
17.
dx
ò dx
= 1 - sin 2
x ( 1 )
- p - x ò = 2
2 1 cos 2
dx
ò p - x = 2
2 sin
( 1 )
4 2
òcsc ( 1 )
4 p - x dx
= - 2
2
ln │csc( 1 )
4 p - x - cot ( 1 )
4 p - x │+ C
TANGEN, SEKAN, KOTANGEN, KOSEKAN
18. ò tan4 x dx = ò tan2 x tan2 x dx = ò tan2 x(sec2 x – 1)dx = ò tan2 x sec2 x dx - ò tan2 x dx
= ò tan2 x sec2 x dx - ò( sec2 x -1) dx = 1
3 tan3 x – tan x + x + C
19. ò tan5 x dx = ò tan3 x tan2 x dx = ò tan3 x(sec2 x – 1)dx

= ò tan3 x sec2 x dx - ò tan3 x dx = ò tan3 x sec2 x dx - ò tan x(sec2x – 1)dx
= 1
4 tan4 x - 1
2 tan2 x + ln │sec x│+ C
20. òsec4 2x dx = òsec2 2x sec2 2x dx = òsec2 2x(1 + tan2 2x)dx
= òsec2 2x dx + ò tan2 2x sec2 2x dx = 1
2 tan 2x + 1
6 tan3 2x + C
21. ò tan3 3x sec4 3x dx = ò tan3 3x(1 + tan2 3x)sec2 3x dx
= ò tan3 3x sec2 3x dx + ò tan5 3x sec2 3x dx = 1
12 tan4 3x + 1
18 tan6 3x + C
22. ò tan2 x sec3 x dx = ò( sec2 x -1) sec3 x dx = òsec5 x dx - òsec3 x dx
= 1
4 sec3 x tan x - 18
sec x tan x - 18
ln │sec x + tan x│+ C, diintegrasi per bagian
23. ò tan3 2x sec3 2x dx = ò tan2 2x sec2 2x • sec 2x tan 2x dx
= ò( sec2 2x - 2) sec2 2x • sec 2x tan 2x dx
= òsec4 2x • sec 2x tan 2x dx - òsec2 2x • sec 2x tan 2x dx
= 1
10 sec5 2x - 1
6 sec3 2x + C
24. òcot3 2x dx = òcot 2x (csc2 2x – 1)dx = - 1
4 cot2 2x + 1
2 ln │csc 2x│+ C
25. òcot4 3x dx = òcot2 3x(csc2 3x – 1) dx = òcot2 3x csc2 3x dx - òcot2 3x dx
= 2 cot ò 3x csc2 3x dx - ( ) 2 csc 3 1 x - ò dx = - 19
cot3 3x + 1
3 cot 3x + x + C
26. òcsc6 x dx = òcsc2 x(1 + cot2 x)2 dx
23
= òcsc2 x dx + 2 òcot2 x csc2 x dx + òcot4 x csc2 x dx
= -cot x - cot3 x - 1
5 cot5 x + C
27. òcot 3x csc4 3x dx = òcot 3x (1 + cot2 3x) csc2 3x dx
= òcot 3x csc2 3x dx + òcot3 3x csc2 3x dx = - 1
6 cot2 3x - 1
12 cot4 3x + C
28. òcot3 x csc5 x dx = òcot2 x csc4 x • csc x cot x dx = ò( csc2 x -1) csc4 x • csc x cot x dx
17
= òcsc6 x • csc x cot x dx - òcsc4 x • csc x cot x dx
= - csc7 x + 1
5 csc5 x + C
Soal-soal Tambahan
29. òcos2 x dx = 1
2 x + 1
4 sin 2x + C
30. òsin3 2x dx = 1
6 cos3 2x - 1
2 cos 2x + C
31. òsin4 2x dx = 3
8 x - 18
sin 4x + 1
64 sin 8x + C
32. òcos4 1
2 x dx = 3
8 x - 1
2 sin x + 1
16 sin 2x + C
33. 7 sin ò x dx = 17
cos7 x - 35
cos5 x + cos3 x – cos x + C
34. òcos6 1
2 x dx = 5
16 x + 1
2 sin x + 3
32 sin 2x - 1
24 sin3 x + C

35. òsin2 x cos5 x dx = 1
3 sin3 x - 2
5 sin5 x + 17
sin7 x + C
5 cos5 x - 1
3 cos3 x + C
48 cos3 2x - 1
16 cos 2x + C
128 (3x – sin 4x + 18
sin 8x) + C
39. òsin 2x cos 4x dx = 1
4 cos 2x - 1
12 cos 6x + C
40. òcos 3x cos 2x dx = 1
2 sin x + 1
10 sin 5x + C
41. sin ò 5x sin x dx = 18
sin 4x - 1
12 sin 6x + C
42.
cos3
1 sin
x dx
ò - x = sin x +
1
2
sin2 x + C
43.
2/3
8/3
cos
sin
x
ò x dx = -
3
5
cot5/3 x + C
44.
3
4
cos
sin
x
ò x dx = csc x -
1
3
csc3 x + C
45. ò x (cos3 x2 – sin3 x2)dx = 1
12 (sin x2 + cos x2)(4 + sin 2x2) + C
46. ò tan3 x dx = 1
2 tan2 x + ln │cos x│+ C
47. 3 tan ò 3x sec 3x dx = 19
sec3 3x - 1
3 sec 3x + C
48. ò tan3/2 x sec4 x dx = 2
5 tan5/2 x + 2
9 tan9/2 x + C
49. 4 tan ò x sec4 x dx = 17
sec7 x + 1
5 tan5 x + C
50. òcot3 x dx = - 1
2 cot2 x – ln │sin x│+ C
51. òcot3 x csc4 x dx = - 1
4 cot4 x - 1
6 cot6 x + C
52. òcot3 x csc3 x dx = - 1
5 csc5 x + 1
3 csc3 x + C
53. òcsc4 2x dx = - 1
2 cot 2x - 1
6 cot3 2x + C
54.
sec
x
4 tan
x
1
3tan x
æ ö
çè ø¸ ò dx = - 3
-
1
tan x
+ C
55.
cot3
csc
x
ò x dx = -sin x – csc x + C
56. ò tan x sec x dx = 2 sec x + C
57. Gunakan integrasi bagian untuk menurunkan rumus reduksi
(a) secm ò u du =
1
m-1
secm – 2 u tan u +
2
1
m
m
-
-
secm-2 ò u du
(b) cscm ò u du = -
1
m-1
cscm – 2 u cot u +
2
1
m
m
-
-
cscm-2 ò u du
Gunakan rumus reduksi Soal 57 untuk menghitung Soal-soal 58-60.

58. òsec3 x dx = 1
2 sec x tan x + 1
2 ln │sec x + tan x│+ C
59. òcsc5 x dx = - 1
4 csc3 x cot x - 3
8 csc x cot x + 3
8 ln │csc x – cot x│+ C
60. òsec6 x dx = 1
5 sec4 x tan x + 4
15 sec2 x tan x + 8
15 tan x + C
= 1
5 tan5 x + 23
tan3 x + tan x + C

Bab 28
Substitusi Trigonometrik
SUATU INTEGRAN, yang terdiri dari salah satu bentuk a2 - b2u2 , a2 + b2u2 , atau
b2u2 - a2 tetapi bukan factor irrasional lain, dapat diubah ke dalam bentuk lain yang
menyangkut fungsi trigonometric peubah baru sebagai berikut:
Untuk gunakan untuk memperoleh
a2 - b2u2 u =
a
b
sin z a 1-sin2 z = a cos z
a2 + b2u2 u =
a
b
tan z a 1+ tan2 z = a sec z
b2u2 - a2 u =
a
b
sec z a sec2 z -1 = a tan z
Untuk tiap bentuk, integrasi menghasilkan pernyataan dalam peubah z. Pernyataan yang
bersangkutan dalam peubah semula dapat diperoleh dari segitiga siku-siku seperti yang
ditunjukkan dalam penyelesaian soal-soal di bawah ini.
dx
x + x ò .
1. Cari 2 4 2
Ambil x = 2 tan z; maka dx = 2 sec2 z dz dan 4 + x2 = 2 sec z.
dx
ò 2sec
z dz
4 tan z 2sec
z =
ò = x 2 4 + x 2
( ) ( )
2
2
1
sec
4 tan
2
z
ò z dz
=
1
4
sin-2 ò z cos z dz = -
1
4sin z
+ C = -
4 x
2
4
x
+ + C
x
2
z
4 + x 2
Gambar 28-1
2. Cari
2
ò x
dx.
x 2 - 4
Ambil x = 2 sec z; maka dx = 2 sec z tan z dz dan x2 - 4 = 2 tan z.
2
ò x
dx=
x 2 - 4
4sec2
2 tan
z
ò z (2 sec z tan z dz) = 4 òsec3 z dz
= 2 sec z tan z + 2 ln │ sec z + tan z │+ C’
= 1
2 x x2 - 4 + 2 ln │x + x2 - 4 │+ C

x
z
x 2
2
- 4
Gambar 28-2
3. Cari
9 4x2
x
- ò dx.
Ambil x = 32
sin z; maka dx = 32
cos z dz dan 9 - 4x2 = 3 cos z.
9 4x2
x
3cos
sin
- ò dx = 32
z
ò z ( 32
cos z dz) = 3
cos2
sin
z
ò z dz
= 3
1 sin2
sin
z
z
- ò dz = 3 òcsc z dz - 3 òsin z dz
= 3 ln │csc z – cot z│+ 3 cos z + C’
3 - 9 -
4x2
= 3 ln
x
+ 9 - 4x2 + C
2 x
3
z
9 - 4 x 2
Gambar 28-3
dx
x + x ò .
4. Cari 9 4 2
Ambil x = 32
tan z; maka dx = 32
sec2 z dz dan 9 + 4x2 = 3 sec z.
dx
ò =
x 9 + 4 x 2
2 32
32
z dz
sec
tan 3sec
ò z g z =
1
3
ln
9 + 4x2 -
3
x
+ C
2 x
3
z
9 + 4 x 2
Gambar 28-4
( 2 )3/2
5. Cari 16 9x
6
x
-
ò dx.
Ambil x = 43
sin z; maka dx = 43
cos z dz dan (16 - 9x2 ) = 4 cos z.
( 16 9x
2 )3/2
6
x
-
ò dx =
3 43
4096 6
729
64cos cos
sin
z dz
ò z g
=
243
16
4
6
cos
sin
z
ò z dz
=
243
16
òcot4 z csc2 z dz = -
243
80
cot5 z + C
= -
243
80
• ( )2 5/2
- + C = -
5
x
x
16 9
243
1
80
( 2 )5/2
• 16 9x
- + C
5
x

4 3 x
z
1 6 - 9 x 2
Gambar 28-5
6. Cari
2
x dx
- x - ò .
ò x dx
= 2
x - x 2
( )
2
2
1 1
x – 1 = sin z; maka dx = cos z dz dan 2x - x2 = cos z.
2
ò x dx
= ( 1 sin
) 2 2
x - x 2
cos
z
z
+ ò cos z dz = ( ) 2 ò 1+ sin z dz
= ( 3 1 )
2 2 2sin cos 2 z z + - ò dz = 32
z – 2 cos z - 1
4 sin 2x + C
= 32
arc sin (x - 1) - 2 2x - x2 - 1
2 (x – 1) 2x - x2 + C
= 32
arc sin (x - 1) - 1
2 (x + 3) 2x - x2 + C
1 x - 1
z
2 x - x 2
Gambar 28-6
dx
ò .
x - x + ò = {( ) }2 3/2 3 9
7. Cari ( )4 2 24 27 3/2
dx
x - -
Ambil x – 3 = 32
sec z; maka dx = 32
sec z tan z dz dan 4x2 - 24x + 27 = 3 tan z.
dx
x - x + ò =
( )4 2 24 27 3/2
32
z z dz
sec tan
27 tan
ò 3
z
=
1
18
sin-2 ò z cos z dz
= -
1
18
csc z + C
= -
x
x x
1
9 2
-
3
- +
4 24 27
+ C
2 - 6 x
3
z
4 x 2 - 2 4 x + 2 7
Gambar 28-7
Soal-soal Tambahan
dx
- x ò = 4 4 2
8. ( )4 2 3/2
x
- x
+ C

9.
25 x2
x
- ò dx = 5 ln
5 - 25 -
x2
x
+ 25 - x2 + C
dx
x a - x ò = -
10. 2 2 2
2 2
2
a x
a x
- + C
11. ò x2 + 4 dx = 1
2 x x2 + 4 + 2 ln (x + x2 + 4 ) + C
2
x dx
a - x ò = 2 2
12. ( )
2 2 3/2
x
a - x
- arc sin
x
a
+ C
13. ò x2 - 4 dx = 1
2 x x2 - 4 - 2 ln │x + x2 - 4 │+ C
14.
x2 a2
x
+ ò dx = x2 + a2 +
a
ln
2
2 2
a + x -
a
a 2 + x 2
+
a
+ C
2
x dx
- x ò = ( )
15. ( )
2 5/2
4
3
x
- x
12 4 2 3/2
+ C
dx
a + x ò = 2 2 2
16. ( )2 2 3/2
x
a a + x
+ C
dx
x - x ò = -
17. 2 9 2
9 x
2
9
x
- + C
18.
2
ò x dx
=
x 2
- 16
1
2
x x2 -16 + 8 ln │x + x2 -16 │+ C
19. ò x2 a2 - x2 dx =
1
5
(a2 – x2)5/2 -
2
3
a (a2 – x2)3/2 + C
dx
x - x + ò = ln (x – 2 + x2 - 4x +13 ) + C
20. 2 4 13
dx
x - x ò = 2
21. ( )4 2 3/2
x
2
x x
4 4
-
-
+ C
dx
+ x ò =
22. ( )9 2 2
1
54
arc tan
x
+ 18( 9 2 )
3
x
+ x + C
Dari Soal-soal 23-24, integrasikanlah dalam bagian dan gunakanlah metode dalam bab
ini.
23. ò x arc sin x dx = 1
4 (2x2 – 1) arc sin x + 1
4 x 1- x2 + C
24. ò x arc cos x dx = 1
4 (2x2 – 1) arc cos x - 1
4 x 1- x2 + C

Bab 29
Integrasi dengan Pecahan Parsial
SEBUAH POLINOMIAL DALAM x adalah fungsi dalam bentuk a0xn + a1xn-1 + . . . +
an – 1x + an, di mana semua a adalah konstanta, a0 ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat positif
termasuk nol.
Jika dua polinomial dengan derajat sama adalah sama untuk semua nilai peubah,
koefisien peubah dengan pangkat sama dalam kedua polinomial tersebut adalah sama.
Tiap polinomial dengan koefisien riil dapat dinyatakan (paling sedikit, secara teoritis)
sebagai hasil kali faktor linear riil dengan bentuk ax + b dan faktor kuadratik riil yang tak
dapat direduksi dengan bentuk ax2 + bx + c.
f (x)
g x , di mana f(x) dan g(x) adalah polinomial, disebut
SEBUAH FUNGSI F(x) = ( )
pecahan rasional.
Jika derajat f(x) lebih kecil dari derajat g(x), F(x) disebut baik; bila tidak, F(x) disebut
tidak baik.
Suatu pecahan rasional yang tidak baik dapat dinyatakan sebagai jumlah polinomial dan
sebuah pecahan rasional yang baik. Jadi,
2
2 1
x
x +
= x -
2
2 1
x
x +
.
Tiap pecahan rasional yang baik dapat dinyatakan (paling sedikit, secara teoritis) sebagai
jumlah pecahan yang lebih sederhana (pecahan parsial) yang penyebutnya berbentuk (ax
+ b)n dan (ax2 + bx + c)n, n adalah bilangan bulat positif. Empat kasus, yang tergantung
pada wujud faktor-faktor dalam penyebut, muncul.
KASUS I. FAKTOR LINEAR BERBEDA.
Untuk tiap faktor linear ax + b yang muncul sekali dalam penyebut suatu pecahan
rasional yang baik, terdapat sebuah pecahan parsial tunggal berbentuk
A
ax + b
, di mana A
adalah konstanta yang harus ditentukan.
KASUS II. FAKTOR LINEAR BERULANG
Untuk tiap faktor linear ax + b yang muncul n kali dalam penyebut suatu pecahan
rasional yang baik, terdapat suatu penjumlahan n buah pecahan parsial berbentuk
1 A
ax + b
A
2
ax + b + . . . + ( )
+ ( )
2
n
n
A
ax + b
di mana semua A adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan.
KASUS III. FAKTOR KUADRATIK BERBEDA

Untuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat direduksi ax2 + bx + c yang muncul sekali
dalam penyebut pecahan rasional yang baik, terdapat pecahan parsial tunggal berbentuk
Ax +
B
ax 2
+ bx +
c
, di mana A dan B adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan.
KASUS IV. FAKTOR KUADRATIK BERULANG
Untuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat direduksi ax2 + bx + c yang muncul n kali
dalam penyebut suatu pecahan rasional yang baik, terdapat suatu penjumlahan dari n
pecahan parsial berbentuk
A x +
B
1 1
ax 2
+ bx +
c
A x B
ax bx c
+
+ + + . . . + ( 2 )
2 2
2 2
+ ( )
n n
n
A x +
B
ax + bx +
c
di mana semua A dan B adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan.
dx
ò x - .
1. Cari 2 4
(a) Uraikan penyebut x2 – 4 = (x – 2)(x + 2).
1
x - 4
Tulis 2
=
2
A
x -
+
2
B
x +
dan hilangkan pecahan hingga diperoleh
(1) 1 = A(x + 2) + B(x – 2) atau (2) 1 = (A + B)x + (2A – 2B)
(b) Tentukan konstanta
Metode umum. Samakan koefisien-koefisien x dengan pangkat sama dalam (2)
dan pecahkan secara serentak untuk mendapatkan konstanta-konstanta.
Jadi, A + B = 0 dan 2A – 2B = 1; A = 1
4 dan B = - 1
4 .
Metode singkat. Substitusi dalam (1) nilai-nilai x = 2 dan x = -2 untuk
mendapatkan 1 = 4A di 1 = -4B; maka A = 1
4 dan B = - 1
4 , seperti yang lalu.
(Perhatikan bahwa nilai-nilai x yang digunakan adalah nilai-nilai yang
menyebabkan penyebut dalam pecahan parsial menjadi 0).
1
x - 4
(c) Dengan salah satu metode 2
=
1
4
x - 2
-
1
4
x + 2
dan
ò dx
=
x 2 - 4
dx
ò x - -
1
4 2
dx
ò x + =
1
4 2
1
4
ln │x - 2│-
1
4
ln │x + 2│+ C
=
1
4
ln
2
2
x
x
-
+
+ C
2. Cari ( )
x +
1
dx
x x 6
x
ò .
3 + 2
- +
+ -
(a) x3 + x2 – 6x = x(x – 2)(x + 3). Maka 3 2
1
6
x
x x x
=
A
x
+
2
B
x -
+
3
C
x +
dan
(1) x + 1 = A(x – 2)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x – 2) atau
(2) x + 1 = (A + B + C)x2 + (A + 3B – 2C)x – 6A

(b) Metode umum. Pecahkan secara serentak sistem persamaan-persamaan
A + B + C = 0, A + 3B – 2C = 1, dan -6A = 1
untuk mendapatkan A = -1/6, B = 3/10, dan C = -2/15.
Metode singkat. Substitusi dalam (1) nilai-nilai x = 0, x = 2, dan x = -3 untuk
mendapatkan 1 = -6A atau A = -1/6, 3 = 10B atau B = 3/10, dan -2 = 15C atau C =
-2/15.
(c) ( )
x +
1
dx
x x 6
x
ò = -
3 + 2
- 1
6
dx
ò x +
dx
x -
3
10 2
-
dx
ò x +
2
15 3
= -
1
6
ln │x│+
3
10
ln │x - 2│-
2
15
ln │x + 3│+ C = ln
3/10
-
+
2
3
x
x x
1/6 2/15
+ C
( 3 +
5
)
3. Cari ò .
3 - 2
- + 1
x dx
x x x
+
3 5
x3 – x2 – x + 1 = (x +1)(x – 1)2. Maka 3 2
1
x
x x x
- - +
=
1
A
x +
+
1
B
x -
C
x - dan
+ ( ) 2 1
3x + 5 = A(x – 1)2 + B(x + 1)(x – 1) + C(x + 1)
Untuk x = -1, 2 = 4A dan 4 = 1
2 . Untuk x = 1, 8 = 2C dan C = 4. Untuk
menentukan konstanta yang lain, gunakan sebarang nilai x lain, misalnya x = 0; untuk
x = 0, 5 = A – B + C dan B = - 1
2 . Jadi
( 3 +
5
)
3 2
ò - - + =
1
x dx
x x x
dx
ò x + -
1
2 1
dx
ò x - + 4 ( ) 2 1
1
2 1
dx
x - ò
=
1
2
ln │x + 1│-
1
2
ln │x - 1│-
4
x -1
+ C = -
4
x -1
+
1
2
ln
1
1
x
x
+
-
+ C
4. Cari
4 3
x x x 1
x x
ò - - -
dx.
3 - 2
Integran adalah pecahan yang tidak baik. Dengan membagi
4 3
x - x - x -
1
x 3 -
x
2
x +
1
x -
x
= x - 3 2
+
-
1
1
x
x x
= x - 2 ( )
+
- =
1
1
x
x x
Tulis 2 ( )
A
x
B
x
+ 2
+
1
C
x -
Maka
x + 1 = Ax(x – 1) + B(x – 1) + Cx2
Untuk x = 0, 1 = -B dan B = -1. Untuk x = 1, 2 = C. Untuk x = 2, 3 = 2A + B + 4C
dan A = -2.
Jadi
4 3
x x x 1
x x
ò - - -
dx = ò x dx + 2
3 - 2
dx
ò x + 2
ò dx
- 2
x ò dx
x -
1
=
1
2
x2 + 2 ln │x│-
1
x
- 2 ln │x - 1│+ C =
1
2
x2 -
1
x
+ 2 ln
1
x
x -
+ C
5. Cari
3 2
4 2
ò + + +
2
dx.
+ + x x x
x x
3 2

x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 1)(x2 + 2). Tulis
3 2
4 2
2
x x x
x x
+ + +
+ +
3 2
Ax +
B
x
+
= 2 1
Cx +
D
x
+
+ 2 2
. Maka
x3 + x2 + x + 2 = (Ax + B)(x2 + 2) + (Cx + D)(x2 + 1)
= (A + C)x3 + (B + D)x2 + (2A + C)x + (2B + D)
Jadi A + C = 1, B + D = 1, 2A + C = 1, dan 2B + D = 2. Pecahkan secara serentak, A =
0, B = 1, C = 1, D = 0. Jadi
3 2
4 2
ò + + +
2
dx = + + 2 1
x x x
x x
3 2
dx
ò x + + 2
2
x dx
ò x + = arc tan x +
1
2
ln (x2 +2) + C
6. Pecahkan persamaan
2
4 4
x dx
ò a - x = òk dt yang ada di Kimia Fisika.
Tulis
2
x
a - x
4 4
=
A
a - x
+
B
a + x
Cx +
D
a +
x
+ 2 2
. Maka
Untuk x = a, a2 = 4Aa3 dan A = 1/4a. Untuk x = -a, a2 = 4Ba3 dan B = 1/4a. Untuk
x = 0, 0 = Aa3 + Ba3 + Da2 = a2/2 + Da2 dan D = -1/2. Untuk x = 2a, 4a2 = 15Aa3 –
5Ba3 – 6Ca3 – 3Da2 dan C = 0.
Jadi
2
4 4
x dx
ò a - x =
1
4a
dx
ò a - x +
1
4a
dx
ò a + x -
dx
ò a + x
1
2 2 2
= -
1
4a
ln │a - x│-
1
2a
arc tan
x
a
+ C
dan òk dt = kt =
1
4a
ln
a +
x
a -
x
-
1
2a
arc tan
x
a
+ C
5 4 3 2
x x x x x
- + - + -
4 4 8 4
+ ò dx.
7. Cari ( )
2 2
2
x
5 4 3 2
x x x x x
- + - + -
4 4 8 4
Tulis ( )
2 2
2
x
+
Ax +
B
x
+
= 2 2
Cx D
x
+
+ + ( )2 2 3
+ ( )2 2 2
Ex F
x
+
+ . Maka
x5 – x4 + 4x3 – 4x2 + 8x – 4 = (Ax + B)(x2 + 2)2 + (Cx + D)(x2 + 2) + Ex + F
= Ax5 + Bx4 + (4A + C)x3 + (4B + D)x2 + (4A + 2C + E)x + (4B + 2D + F)
dari sini A = 1, B = -1, C = 0, D = 0, E = 4, F = 0. Jadi integral yang diberikan sama
dengan 2
1
2
x
x
x dx
x + ò =
ò -
dx + 4 + ( 2 2
)3
1
2
ln (x2 + 2) - 2
2
arc tan
x
- 2
2
( 2 )1
x + 2 + C
2
2 3
8. Cari ( )
2 2
1
x
x
+
+ ò dx.
2
2 3
Tulis ( )
2 2
1
x
x
+
+
Ax +
B
x
+
= 2 1
Cx D
x
+
+ . Maka
+ ( )2 1 2
2x2 + 3 = (Ax + B)(x2 + 1) + Cx + D = Ax3 + Bx2 + (A + C)x + (B + D)
dari sini A = 0, B = 2, A + C = 0, B + D = 3. Jadi A = 0, B = 2, C = 0, D = 1 dan
ò 2 x
2
+
3
2
dx
( )
2
dx = ò + ò
dx
2
x
2 + 1
x 2
+ 1
( x 2 + 1 )

Untuk integral kedua di bagian kanan, ambil x = tan z. Maka
ò dx
sec
2
ò z dz
òcos2 1
1
( x 2 + 1)2
=
= z dz =
z +
sin 2x + C
sec
4
z 2
4
2
2 3
dan ( )
2 2
1
x
x
+
+ ò dx = 2 arc tan x +
1
2
arc tan x +
x
x +
1
2
2 1
+ C =
5
2
arc tan x +
x
x +
1
2
2 1
+ C
Soal-soal Tambahan
dx
ò x - =
9. 2 9
1
6
ln
3
3
x
x
-
+
+ C
dx
ò x + x + =
10. 2 7 6
1
5
ln
1
6
x
x
+
+
+ C
x dx
ò x - x - =
11. 2
3 4
1
5
ln │(x + 1)(x – 4)4│+ C
12.
2
2
x x
x x
+ -
ò - - dx = x + ln │(x + 2)(x – 4)4│+ C
3 4
2 8
13.
2
3 2
x - 3 x
-
1
x x x
ò + - dx = ln
2
( )1/2 2 3/2
1
x x
x
+
-
+ C
x dx
x - ò = ln│x - 2│-
14. ( 2
) 2
2
x - 2
+ C
4
x
- x ò dx = -
15. ( )
3 1
1
2
x2 – 3x – ln (1 – x)6 -
4
1- x
1
2 1- x + C
+ ( ) 2
dx
ò x + x = ln 2 1
16. 3
x
x +
+ C
3 2
2 2
ò + + +
3
+ + dx = ln x2 + 3 + arc tan x + C
x x x
x x
17. ( 1 ) ( 3
)
18.
4 3 2
x x x x
ò - 2 + 3 - +
3
dx =
3 - 2
+ x 2 x 3
x
1
2
x
x2 + ln x 2 - 2 x +
3
+ C
3
x dx
x + ò = ln (x2 + 1) + 2
19. ( )
2 2
2
1
1
x +1
+ C
3 2
x x
x
ò 2 + +
4
dx = ln (x2 + 4) +
+ 20. ( )
2 2
4
1
2
arc tan
1
2
4
x + 4
x + 2
+ C
3
x x
x
+ -
+ ò dx = ln x2 +1 -
1
1
21. ( )
2 2
1
2
arc tan x -
x
x
1
2 2 1
æ ö
çè + ø¸
+ C

4 3 2
x x x x
+ - + +
8 2 1
x - x +
x
x
+
+ + ò dx = ln ( )
22. ( x 2 x ) ( x
3
1
)
3 2
2 1
-
3
x +1
+
2
3
arc tan
x -
2 1
3
+ C
3 2
2 2
x x x
x x x
ò + - 5 +
15
+ + + dx = ln x2 + 2x + 3 +
23. ( 5 ) ( 2 3
)
5
2
arc tan
x +
1
2
- 5 arc tan
x
+ C
5
6 5 4 3 2
x x x x x x
+ + + + + -
7 15 32 23 25 3
+ + + ò dx = 2
24. ( ) ( )
2 2 2
x x x
2 1
1
x + x + 2
3
x +1
- 2
+ ln
2
2
1
2
x
x x
+
+ +
+ C
dx
ò e - e =
25. 2x 3 x
1
3e x
+
1
9
ln
x 3
x
e
e
-
+ C (Ambil ex = u).
sin
x dx
x + x ò = ln
26. cos ( 1 cos
2 )
1 cos2
cos
x
x
+
+ C (Ambil cos x = u).
27. ( 2 ) 2
q q dq
2 tan sec
ò = ln│1 + tan θ│+
+ 3
q 1 tan
2
3
arc tan
q -
2 tan 1
3
+ C

Bab 30
Macam-macam Substitusi
BILA INTEGRAN ADALAH RASIONAL kecuali untuk bentuk akar:
1. n au + b , substitusi au + b = zn akan menggantikan bentuk itu dengan integran
rasional.
2. q + pu + u2 , substitusi q + pu + u2 = (z – u)2 akan menggantikannya dengan
integran rasional.
3. q + pu - u2 = (a + u) ( b -u) , substitusi q + pu + u2 = (α + u)2z2 atau q + pu + u2
= (β – u)2z2 akan menggantikannya dengan integran rasional.
SUBSTITUSI u = 2 arc tan z akan menggantikan tiap fungsi rasional dari sin u dan cos u
dengan fungsi rasional z, karena
z
+ z
2
1
sin u = 2
, cos u =
2
2
1
1
z
z
-
+
dz
+ z
2
1
, dan du = 2
2 x
u
1 + z 2
1 - z 2
Gambar 30-1
Hubungan pertama dan kedua diperoleh dari Gambar 30-1, dan hubungan ketiga dari
diferensiasi
u = 2 arc tan z
Setelah mengintegrasi, gunakan z = tan 1
2 u untuk kembali ke peubah semula.
SUBSTITUSI EFEKTIF sering dapat diduga dari bentuk fungsi integran.
1. Cari
ò dx
. Ambil 1 – x = z2. Maka x = 1 – z2, dx = -2z dz, dan
x 1
- x ò dx
= x 1
- x ( 2 )
2
1
z dz
z z
-
- ò = -2 1 2
dz
ò - z = -ln
1
1
z
z
+
-
+ C = ln
1 1
1 1
x
x
- -
+ -
+ C
dx
x - x + ò . Ambil x + 2 = z2. Maka x = z2 – 1, dx = 2z dz, dan
( 2) 2
2. Cari ( 2) 2
dx
ò 2
z dz
z z - = 2 2 4
ò x - x + = ( 2 4
)
dz
ò z - =
1
2
ln
2
2
z
z
-
+
+ C =
1
2
ln
2 2
2 2
x
x
+ -
+ +
+ C

dx
ò x - x . Ambillah x = z4. Maka dx = 4z3 dz dan
3. Cari 1/2 1/4
dx
ò =
x 1/2 - x 1/4
3
2
4z dz
ò z - z = 4
2
1
z
ò z - dz = 4
1 1
ò æ ö çè z
+ + dz
z
- 1
ø¸ 2 z2 + z + ln│z - 1│) + C = 2 x + 4 4 x + ln( )4
= 4( 1
4 x -1 + C
dx
x x + x + ò . Ambil x2 + x + 2 = (z – x)2. Maka
4. Cari 2 2
x =
z
2 -
2
1 +
2
x
( 2
)
, dx = z z dz
+ +
+
2 2
( )
2
1 2
z
, x2 + x + 2 =
2 2
1 2
z z
+ +
+
z
, dan
dx
ò =
x x 2 + x + 2
( z 2
+ z
+
)
( +
)
2 2
1 2
z
2
z 2 - 2 z 2
+ z
+
2
1 + 2 x 1 +
2
z
ò
g
dz
ò z - =
dz = 2 2 2
1
2
ln
2
2
z
z
-
+
+ C
=
1
2
ln
x x x
x x x
+ + + -
+ + + +
2 2 2
2 2 2
+ C
x dx
- x - x ò . Ambil 5 – 4x – x2 = (5 + x)(1 – x) = (1 – x)2z2. Maka
5. Cari ( 5 4
2 )3/2
x =
2
5
2
z
z
1
-
+
z dz
+ z , 5- 4x - x2 = (1 – x)z = 2
12
1
, dx = ( )2 2
z
+ z
6
1
, dan
x dx
- x - x ò =
( 5 4
2 )3/2
z -
5 g
12
z
+ z +
z
( )
( )
2
2 2 2
1 1
3
z
z
2 3
216
1
+
dz =
1 5
1
18 2
ò æ ö çè - dz
z
ø¸ =
1
18
z 5
æ ö çè + z
ø¸
5 2
+ C = 2
9 5 4
x
x x
-
- -
+ C
6.
dx
ò =
1 + sin x - cos
x dz
z
2
z z
z z
ò 2
= (1 )
+
+ - -
+ +
2 2
2
1
1 2 1
1 1
dz
ò z + z = ln │z│- ln │1 + z│+ C
= ln
1
z
+ z
+ C = ln
tan
1 tan
x
1
2
1
2
+ x
+ C
7.
dx
ò =
3 - 2cos
x dz
z
2
z
z
dz
ò + z = 2 5
ò = 2
2
2
2
1
3 21
+
- -
1
+
2
1 5
5
arc tan z 5 + C

= 2 5
5
arc tan ( 5 tan 1
2 x) + C
8. òsec x dx =
2
2 2
z dz
z z
+
ò - + g = 2 1 2
1 2
1 1
dz
ò - z = ln
1
1
z
z
+
-
+ C = ln
1
2
1
2
1 tan
1 tan
z
z
+
-
+ C
= ln│tan ( 1
2 x + 1
4 π)│+ C
9.
ò dx
=
2 + cos
x dz
z
z
z
2
2
2
2
1
2 1
+
+ -
+
ò = 2 3 2
1
dz
ò + z =
2
3
arc tan
z
+ C
3
=
2
3
æ ö
çç ¸¸ è ø
arc tan 1
2
3 tan
3
x
+ C
10.
dx
ò =
5 + 4sin
x dz
z
2
z
z
dz
ò = 2
2
2
1
+
5 +
4 2
1
+
2
ò =
5 + 8 z + 5
z dz
2
ò
5 ( z + 4 ) 2 + 9
5 25
=
2
3
arc tan
z +
4 / 5
3 / 5
+ C =
2
3
arc tan
1
2 5tan 4
3
x +
+ C
11. Gunakan substitusi 1 – x3 = z2 untuk mencari ò x5 1- x3 dx. x3 = 1 – z2, 3x2 dx = -2z
dz, dan
5 3 1 x x - ò dx = 3 3 1 x x - ò dx • x2 dx = ( ) ( ) 2 23
ò 1- z z - z dz = -
2
3 ò(1- z2 ) z2 dz
= -
2
3
æ z 3 z 5
ö
ç - è 3 5
¸
ø
+ C = -
2
45
(1 – x3)3/2(2 + 3x3) + C
12. Gunakan x =
1
z
untuk mencari
2
x x
x
ò - dx. Maka dx = - 4
2
dz
z
, x - x2 =
1
z z -1 ,
dan
2
x x
x
z dz
- æ- ö çè ø¸ ò = - ò z z -1 dz
ò - dx = z z
2
4
4
1 1
1/
z
Ambil z – 1 = s2. Maka
- ò z z -1 dz = - ò( s2 +1) s´2s ds = -2
æ s 5 s 3
ö
ç + è 5 3
¸
ø
+ C
= -2
( ) ( ) 5/2 3/2 1 1
æ z - z - ö
ç + ¸
çè 5 3
ø¸
+ C = -2
( ) ( ) 5/2 3/2
æ 1 - x 1
- x
ö
ç + ¸
çè 5 x 5/2 3
x
3/2
ø¸
+ C
Soal-soal Tambahan
13.
ò x
dx = 2 x - 2 arc tan x + C
1
+ x

dx
x + x ò = 2 ln (1 + x ) + C
14. (1 )
15.
ò dx
= 2 x + 2 - 6 ln (3 + + x + x + 2 ) + C
3 2
16.
x
x
- +
+ + ò dx = -x +
1 3 2
1 3 2
4
3 { 3x + 2 - ln (1+ 3x + 2 )} + C
dx
x - x + ò = ln 2 x2 - x +1 + 2x -1 + C
17. 2 1
ò dx
= 2 arc tan ( x2 + x -1 + x) + C
x x + x - 18. 2 1
dx
+ x - x ò = arc sin
19. 6 2
x -
2 1
5
+ C
20.
- 2
ò ( 2 )3/2
dx = - 4x x
x
3
x x
x
- + C
3
4
6
dx
x + + x + ò = 2(x + 1)1/2 – 4(x -1)1/4 + 4 ln (1 + (x + 1)1/4) + C
21. ( ) ( ) 1/2 1/4 1 1
22.
ò dx
=
2 + sin
x 2
3
arc tan
x +
1
2 2 tan 1
3
+ C
23.
dx
ò = 3
1 - 2sin
x 3
ln
tan 2 3
tan 2 3
1
2
1
2
x
x
- -
- +
+ C
24.
dx
ò =
3 + 5sin
x 1
4
ln
x
x
3tan 1
tan 3
1
2
1
2
+
+
+ C
25.
dx
ò = ln │tan 1
sin x - cos x - 1
2 x - 1│+ C
26.
ò dx
=
5 + sin
x 1
2
arc tan
1
2 5tan 3
4
x +
+ C
x dx
sin
1 sin
ò + x = 2
27. 2
4
ln
2 1
2
2 1
2
x
x
+ -
+ +
tan 3 2 2
tan 3 2 2
+ C
28.
dx
ò = ln │1 + tan 1
1 + sin x + cos
x 2 x │+ C
29.
ò dx
=
2 - cos
x 2
3
arc tan ( 3 tan 1
2 x) + C
30. òsin x dx = -2 x cos x + 2 sin x + C
ò dx
1
-
x
31. = -arc sin
x 3 x 2 + 2 x - 1
2
x
+ C Ambil x = 1/z.

32. ( 2)
x x
e e
e
ò + dx = ex – 3 ln (ex + 1) + C Ambil ex + 1 = z.
1
-
x
33.
x x
sin cos
1 cos
ò - x dx = cos x + ln (1 – cos x) + C Ambil cos x = z.
dx
x - x ò = -
34. 2 4 2
4 x
2
4
x
- + C Ambil x = 2/z.
dx
x + x ò = -
35. 2 ( 4 2 )
1
4x
+
1
8
arc tan
2
x
+ C
36. ò 1+ x dx = 4
5 (1 + x )5/2 - 43
(1 + x )3/2 + C
dx
- x - + x - x ò =
37. 3(1 2 ) ( 5 4 ) 1 2
2 1
x
+
x x
+ - -
3 1 1
+ C

Bab 31
Integrasi Fungsi Hiperbolik
KETENTUAN-KETENTUAN INTEGRASI
òsinh u du = cosh u + C òsech2 u du = tanh u + C
òcosh u du = sinh u + C òcsch2 u du = -coth u + C
ò tanh u du = ln cosh u + C òsech u tanh u du = -sech u + C
òcoth u du = ln │sinh u│ + C òcsch u coth u du = -csch u + C
ò du
u
= sinh-1 u 2 + a 2
a
du
ò a - u =
+ C 2 2
1
a
tanh-1 u
a
+ C, u2 < a2
ò du
u
= cosh-1 u 2 - a 2
a
du
ò u - a = -
+ C, u > a > 0 2 2
1
a
coth-1 u
a
+ C, u2 > a2
1. òsinh 1
2 x dx = 2 cosh 1
2 x + C
2. òcosh 2x dx = 1
2 sinh 2x + C
3. òsech2 (2x – 1)dx = 1
2 tanh (2x -1) + C
4. òcsch 3x coth 3x dx = - 1
3 csch 3x + C
5. òsech x dx =
ò 1
cosh
dx = cosh x cosh
2
x
x
cosh
1 sinh
ò x = 2
ò + x dx = arc tan (sinh x) + C
6. òsinh2 x dx =
1
2
ò( cosh 2x -1) dx = 1
4 sinh 2x - 1
2 x + C
7. ò tanh2 2x dx = ò(1- sech22x) dx = x - 1
2 tanh 2x + C
2 x dx = ( ) 2 1
8. òcosh2 1
2 ò 1+ sinh x cosh 1
2 x dx = 2 sinh 1
2 x + 23
sinh3 1
2 x + C
9. òsech4 x dx = ò(1- tanh2 x) sech2 x dx = tanh x - 1
3 tanh3 x + C
æ ex + e-x ö
ç ¸
è ø
10. òex cosh x dx = òex 2
dx =
1
2 ò( e2x +1) dx =
1
4
e2x +
1
2
x + C
æ ex + e-x ö
ç ¸
è ø
11. ò x sinh x dx = ò x 2
dx =
1
2
ò x ex dx -
1
2
ò x e-x dx
=
1
2
(xex – ex) -
1
2
(-xe-x – e-x) + C = x
æ ex + e-x ö
ç ¸
è 2
ø
-
ex - e-x + C
2
= x cosh x – sinh x + C
dx
x - ò =
12. 4 2 9
1
2
cosh-1 2
x
+ C
3

dx
ò x - = -
13. 9 2 25
1
15
coth-1 3
x
+ C
5
14. Cari ò x2 + 4 dx. Ambil x = 2 sinh z. Maka dx = 2 cosh z dz, x2 + 4 = 2 cosh z, dan
ò x2 + 4 dx = 4 òcosh2 z dz = 2 ò( cosh 2x +1) dz = sinh 2z + 2z + C
= 2 sinh z cosh z + 2z + C = 1
2 x x2 + 4 + 2 sinh-1 1
2 x + C
dx
x - x ò . Ambil x = sech z. Maka dx = -sech z tanh z dz, 1 – x2 = tanh z, dan
15. Cari 1 2
ò dx
= -
x 1 - x 2
z z
sech tanh
sech tanh
ò z z dz = - òdz = -z + C = -sech-1 x + C
Soal-soal Tambahan
16. òsinh 3x dx = 1
3 cosh 3x + C
17. òcosh 1
4 x dx = 4 sinh 1
4 x + C
18. coth ò 32
x dx = 23
ln │sin 32
x│+ C
19. òcsch2 (1 + 3x) dx = - 1
3 coth (1 + 3x) + C
20. òsech 2x tanh 2x dx = - 1
2 sech 2x + C
x
x
-
+
21. òcsch x dx = ln cosh 1
cosh 1
+ C
22. òcosh2 1
2 x dx = 1
2 (sinh x + x) + C
23. òcoth2 3x dx = x - 1
3 coth 3x + C
24. òsinh3 x dx = 1
3 cosh3 x – cosh x + C
25. òex sinh x dx = 1
4 e2x - 1
2 x + C
26. òe2x cosh x dx = 1
6 e3x + 1
2 ex + C
27. ò x cosh x dx = x sinh x – cosh x + C
28. ò x2 sinh x dx = (x2 + 2) cosh x – 2x sinh x + C
29. òsinh3 x cosh2 x dx = 1
5 cosh5 x - 1
3 cosh3 x + C
30. òsinh x ln cosh2 x dx = cosh x (ln cosh2 x – 2) + C
31. ò dx
x
= sinh-1
+ C
x 2 + 9
3
dx
x - ò = cosh-1
32. 2 25
x
+ C
5

dx
ò - x =
33. 4 9 2
1
6
tanh-1 3
2
x + C
dx
ò x - = -
34. 16 2 9
1
12
coth-1 4
3
x + C
35. ò x2 -9 dx =
1
2
x x2 - 9 -
9
2
cosh-1
x
+ C
3
dx
x -
x - x + ò = sinh-1 1
36. 2 2 17
4
+ C
dx
ò x + x + = -
37. 4 2 12 5
1
4
coth-1 3
æç x + ö¸ è 2
ø
+ C
2
x
x + ò dx = sinh-1 1
38. ( )
2 4 3/2
2
x -
2
x
x +
2 4
+ C
39.
2
2
x 1
x
+ ò dx = sinh-1 x -
1 x2
x
- + C

Bab 32
Pemakaian Integral Tak Tentu
BILA PERSAMAAN y = f(x) suatu kurva diketahui kemiringan m di tiap titik P(x, y)
pada kurva tersebut diberikan oleh m = f’(x). Sebaliknya, bila kemiringan suatu kurva di
titik P(x, y) padanya diberikan oleh m = dy/dx = f’(x), kumpulan kurva, y = f(x + C) dapat
ditemukan lewat integrasi. Untuk mengambil salah satu kurva tertentu dari kumpulan itu,
perlu ditetapkan atau ditentukan suatu nilai C. Ini dapat dilakukan dengan menyatakan
bahwa kurva melalui suatu titik tertentu.
SUATU PERSAMAAN s = f(t), di mana s adalah jarak suatu benda pada saat t terhadap
suatu titik tetap pada lintasannya (garis lurus), dengan lengkap mendefinisikan gerakan
benda. Kecepatan dan percepatan pada saat t diberikan oleh
v =
ds
dt
= f’(t) dan a =
dv
dt
=
2
2
d s
dt
= f’’(t)
Sebaliknya bila kecepatan (percepatan) pada saat t diketahui, bersama dengan posisi
(posisi dan kecepatan) pada suatu saat yang diketahui, biasanya pada t = 0, persamaan
gerakan dapat diperoleh.
1. Carilah persamaan kumpulan kurva-kurva yang kemiringannya di tiap titik adalah
sama dengan negatif dua kali absis titik itu. Carilah kurva kumpulan tersebut yang
lewat titik (1, 1).
Diketahui bahwa dy/dx = -2x. Maka dy = -2x dx, òdy = ò-2x dx, dan y = -x2 + C. Ini
adalah persamaan dari kumpulan parabola.
Ambil x = 1, y = 1 dalam persamaan kumpulan, 1 = -1 + C dan C = 2.
Persamaan kurva kumpulan yang lewat titik (1, 1) adalah y = -x2 + 2.
2. Carilah persamaan kumpulan kurva yang kemiringannya di titik P(x, y) adalah m =
3x2y dan persamaan kumpulan kurva yang melalui titik (0, 8).
m =
dy
dx
= 3x2y atau
dy
y = 3x2 dx. Maka ln y = x2 + C = x3 + ln c dan y = cex3 .
Jika x = 0 dan y = 8, 8 = ce0 = c. Persamaan kurva yang ditanyakan adalah y = 3 8e x
3. Di setiap titik pada kurva tertentu, y’’ = x2 – 1. Cari persamaan kurva yang lewat titik
(1, 1) dan di titik tersebut tangen pada garis x + 12y = 13.
2
2
d y
dx
=
d
dx
(y’) = x3 – 1. Maka
d
ò dx (y’)dx = ò( x2 -1) dx dan y’ =
2
3
x - x + C1.
Di (1, 1) kemiringan y’ dari kurva sama dengan kemiringan garis, - 1
12 . Maka - 1
12 = 1
3
- 1 + C1, C1 = 7
12 , dan
y’ =
dy
dx
3 x3 – x + 7
12 , òdy = ( ) 1 3 7
= 1
3 12 ò x - x + dx, y = 1
12 x4 - 1
2 x3 + 7
12 x + C2

12 - 1
2 + 7
12 + C2 dan C2 = 56
Di (1, 1), 1 = 1
. Persamaan yang ditanyakan adalah y = 1
12
2 x3 + 7
12 x + 56
x4 - 1
.
4. Kumpulan lintasan ortogonal suatu sistem kurva tertentu adalah sistem kurva lain
yang masing-masing memotong tiap kurva dari sistem yang diberikan dengan sudut
siku-siku. Cari persamaan lintasan ortogonal kumpulan hiperbola x2 – y2 = c.
Di tiap titik P(x, y), kemiringan hiperbola lewat titik diberikan oleh m1 = x/y, dan
kemiringan lintasan ortogonal lewat P diberikan oleh m2 = dy/dx = -y/x. Maka
dy
y = -
dx
x
, ln │x│+ ln C’ dan │xy│= C’
Sekarang persamaan yang ditanya adalah xy = ± C’ atau dengan mudah, xy = C.
5. Suatu besaran tertentu q bertambah dengan kelajuan yang sebanding dengan besarnya
sendiri. Jika q = 25 bila t = 0 dan q = 75 bila t = 2, cari q bila t = 6.
Karena
dq
dt
= kq, diperoleh
dq
q = k dt. Maka ln q = kt + ln c atau q = cekt.
Bila t = 0, q = 25 = ce0 = c; jadi q = 25ekt.
Bila t = 2, q = 25e2k = 75 ; maka e2k = 3 = e1.10 dan k = .55.
Bila t = 6, q = 25e.55t = 25e3.3 = 25(e1.1)3 = 25(27) = 675.
6. Suatu zat diubah menjadi zat lain dengan kelajuan yang sebanding dengan jumlah zat
yang tak diubah. Jika jumlah mula-mula adalah 50 dan adalah 25 bila t = 3,
bilamanakah 1
10 zat akan tetap tidak diubah?
Misalkan q menyatakan jumlah zat yang diubah dalam waktu t. Maka
dq
dt
dq
- q = k dt, ln (50 – q) = -kt + ln c, dan 50 – q = ce-kt
= k(50 – q), 50
Jika t = 0, q = 0 dan c = 50; maka 50 – q = 50e-kt.
t = 3, 50 – q = 25 = 50e-3k; maka e-3k = 0,5 = e-0,60, k = 0,23, dan 50 – q = 50e-0,23t
Jika jumlah yang tak diubah adalah 5, 50e-0,23t = 5; maka e-0,23t = 0,1 = e-2,30 dan t = 10.
7. Sebuah bola digelindingkan pada lapangan rumput datar dengan kecepatan awal 8 ms-
1. Karena gesekan, kecepatan berkurang dengan kelajuan 2 ms-2. Berapa jauhkah bola
akan menggelinding?
dv
= -2 dan v = -2t + C1. Bila t = 0, v = 8; jadi C1 = 8 dan v = -2t + 8.
dt
v = ds/dt = -2t + 8 dan s = -t2 + 8t + C2. Jika t = 0, s = 0 ; jika C2 = 0 dan s = -t2 + 8t.
Jika v = 0, t = 4, artinya bola menggelinding 4 sekon sebelum berhenti.
Jika t = 4, s = -16 + 32 = 16 m.
8. Sebuah batu dilempar lurus ke bawah dari balon yang diam, 300 m di atas tanah,
dengan kecepatan 15ms-1. Tentukan letak batu dengan kecepatan 20 sekon kemudian.
Ambil arah ke atas sebagai arah positif. Bila batu meninggalkan balon.
a = dv/dt = -9,8 ms-2 dan v = -9,8t + C1
Bila t = 0, v = -15; jadi C1 = -15. Maka v = ds/dt = -9,8t – 15 dan s = -4,9t2 – 15t + C2
Bila t = 0, s = 3000; jadi C2 = 3000; dan s = -4,9t2 -15t + 3000.
Bila t = 20, s = -4,9(20)2 – 15(20) + 3000 = 750 dan v = -9,8(20) – 15 = -211.
Setelah 20 sekon, batu berada 750 m di atas tanah dan kecepatannya adalah 211 ms-1.
9. Sebuah bola dijatuhkan dari balon yang berada 196 m di atas tanah. Jika balon naik
dengan laju 14,7 ms-1, cari.

(a) jarak terjauh di atas tanah yang ditempuh bola,
(b) waktu selama bola berada di udara,
(c) kecepatan bola bila ia menumbuk tanah.
Ambil arah ke atas sebagai arah positif, maka
a = dv/dt = -9,8 ms-2 dan v = -9,8t + C1
Jika t = 0, v = 14,7 jadi C1 = 14,7, maka v = ds/dt = -9,8t + 14,7 dan s = -4,9t2 + 14,7t
+ C2.
Jika t = 0, s = 196 jadi C2 = 196 dan s = -4,9t2 + 14,7t + 196.
(a) Bila v = 0, t = 3/2 dan s = -4,9(3/2)2 + 14,7(3/2) + 196 = 207. Ketinggian terjauh
yang dicapai bola adalah 207 m.
(b) Bila s = 0, -4,9t2 + 14,7t + 196 = 0 dan t = -5,8. Bola ada di udara selama 8 detik.
(c) Bila t = 8, v = -9,8(8) + 14,7 = -63,7. Bola menumbuk tanah dengan kecepatan
63,7 ms-1.
10. Kecepatan air yang mengalir dari suatu lubang kecil pada kedalaman h m di bawah
permukaan adalah 0,6 2gh ms-1, dengan g = 9,8 ms-2. Cari waktu yang dibutuhkan
untuk mengosongkan tangki silinder tegak, yang tingginya 1,225 m dan jari-jarinya
0,3 m, lewat lubang 2,5 cm pada dasar tangki.
Misalkan h adalah kedalaman air pada saat t. Air yang mengalir ke luar dalam waktu
dt menghasilkan sebuah silinder dengan tinggi v dt m, jari-jari 1/80 m dan volume
π(1/80)2v dt = 0,6π(1/80)2 2gh dt m3.
Misalkan –dh m menyatakan penurunan ketinggian permukaan yang bersangkutan.
Pengurangan volume adalah –π(0,3)2 dh m2.
Bila tangki kosong, h = 0 dan t = 480 sekon = 8 menit.
Soal-soal Tambahan
11. Cari persamaan berkas kurva-kurva yang mempunyai kemiringan diketahui, dan
persamaan kurva dan berkas, yang lewat titik yang diketahui.
(a) m = 4x; (1, 5)
(b) m = x ; (9, 18)
(c) m = (x - 1)3; (3, 0)
(d) m = 1/x2; (1, 2)
(e) m = x/y; (4, 2)
(f) m = x2/y3; (3, 2)
(g) m = 2y/x; (2, 8)
(h) m = xy/(1 + x2); (3, 5)
Jawab: (a) y = 2x2 + C; y = 2x2 + 3
(b) 3y = 2x3/2 + C; 3y = 2x3/2
(c) 4y = (x – 1)4 + C; 4y = (x – 1)4 – 16
(d) xy = Cx – 1; xy = 3x – 1
(e) x2 – y2 = C; x2 – y2 = 12
(f) 3y4 = 4x3 + C; 3y4 = 4x3 – 60
(g) y = Cx2; y = 2x2
(h) y2 = C(1 + x2); 2y2 = 5(1 + x2)
12. (a) Untuk kurva tertentu y’’ = 2. Cari persamaan kurvanya bila lewat P(2, 6) dengan
kemiringan 10. Jawab: y = x2 + 6x – 10

(b) Untuk kurva tertentu y’’ = 6x – 8. Cari persamaan kurvanya bila diketahui bahwa
kurva lewat P(1, 0) dengan kemiringan 4. Jawab: y = x3 – 4x2 + 9x – 6
13. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus dari titik asal O pada t = 0, dengan
23
kecepatan v. Cari jarak yang ditempuh partikel selama sedang t = t1 sampai t = t2:
(a) v = 4t + 1; 0, 4
(b) v = 6t + 3; 1, 3
(c) v = 3t2 + 2t; 2, 4
(d) v = t + 5; 4, 9
(e) v = 2t – 2; 0, 5
(f) v = t2 – 3t + 2; 0, 4
Jawab: (a) 36, (b) 30, (c) 68, (d) 37 , (e) 17, (f) 17/3
14. Cari persamaan berkas kurva yang subtangennya pada tiap titik adalah sama dengan
dua kali absis titik itu. Jawab: y2 = Cx
15. Cari persamaan berkas lintasan ortogonal dari sistem parabola y2 = 2x + C
Jawab: y = Ce-x
16. Sebuah partikel bergerak pada suatu garis lurus dari titik asal (pada t = 0) dengan
kecepatan awal v0 dan percepatan a yang diketahui. Cari s pada saat t.
(a) a = 32; v0 = 2, (b) a = -32; v0 = 96, (c) a = 12t2 + 6t; v0 = -3, (d) a = 1/ t ; v0 = 4
Jawab: (a) s = 16t2 + 2t, (b) s = -16t2 + 96t, (c) s = t4 + t3 – 3t, (d) s = 43(t3/2 + 3t)
17. Sebuah mobil diperlambat dengan perlambatan 0,025 ms-2. Berapa jauhkah mobil
akan bergerak sebelum ia berhenti, bila kecepatan awalnya 25 kmh-1. Jawab: 96,5 m
18. Sebuah partikel dilemparkan vertikal ke atas dari suatu titik 34,3 m di atas tanah
dengan kecepatan awal 29,4 ms-1. (a) Berapa kecepatannya ketika partikel berada 73,5
m di atas tanah? (b) Bilamana partikel mencapai titik tertinggi dari lintasannya? (c)
Dengan kecepatan berapa partikel menumbuk tanah?
Jawab: (a) 9,8 ms-1, (b) setelah 3 sekon, (c) 39,2 ms-1
19. Sebuah balok es meluncur lewat luncuran dengan percepatan 1 ms-2. Panjang
luncurannya 20 m dan es mencapai dasar dalam waktu 5 sekon. Berapakah kecepatan
awal es dan kecepatannya bila ia berada 6 m dari dasar luncuran? Jawab: 1,5 ms-1, 5,5
ms-1
20. Percepatan konstan berapakah yang dibutuhkan (a) untuk menggerakkan sebuah
partikel sejauh 25 m dalam waktu 5 sekon, (b) untuk memperlambat suatu partikel
dari kecepatan 15 ms-1 sampai berhenti pada jarak 5 m? Jawab: (a) 2 ms-2 (b) -22,5
ms-2
21. Bakteri dalam suatu tempat pembiakan tertentu bertambah menurut rumus dN/dt =
0,25 N. Bila mula-mula N = 200, cari N bila t = 8. Jawab: 1478

Bab 33
Integral Tertentu
(Definite Integral)
INTEGRAL TERTENTU. Misalkan a < x < b adalah selang di mana fungsi f(x) yang
diketahui, kontinu. Bagi selang menjadi n sub selang h1, h2, . . ., hn, dengan menyisipkan
n – 1 titik-titik ξ1, ξ2, . . ., ξn-1, di mana a < ξ1 < ξ2 < . . . < ξn-1 < b, dan ganti nama a
menjadi ξ0 dan b menjadi ξn. Nyatakan panjang sub selang h1 dengan Δ1x = ξ1 – ξ0, h2
dengan
a x 1
1
x 2 x k
x 2 x
k x
x n
n x
b
0 0 1 2 k - 1 k n - 1 n
Gambar 33-1
Δ2x = ξ2 – ξ1, hn dengan Δnx = ξn – ξn-1. (Ini adalah jarak yang berarah, masing-masing
adalah positif berdasarkan ketaksamaan di atas). Pada tiap sub selang pilihlah sebuah titik
–x1 pada sub selang h1, x2 pada h2, . . ., xn pada hn – dan bentuk penjumlahan
(i) Sn =
1
n
k
f
= å
(xk)Δkx = f(x1)Δ1x + f(x2)Δ2x + . . . + f(xn)Δnx
tiap suku adalah perkalian panjang suatu sub selang dan nilai fungsi di titik yang dipilih
pada sub selang tersebut. Nyatakan dengan λn panjang sub selang yang terpanjang yang
muncul dalam (i). Sekarang misalkan jumlah sub selang menuju tak berhingga dengan
cara sedemikian rupa, sehingga λπ → 0. (Salah satu cara untuk melakukan ini adalah
dengan membagi dua sama besar tiap sub selang yang mula-mula, secara bergilir bagi
dua tiap sub selang yang mula-mula, secara bergilir bagi dua tiap sub selang, dan
seterusnya). Maka
(ii) lim
n®+¥ Sn = lim
n®+¥
1
n
k
f
= å
(xk)Δkx
ada dan adalah sama untuk semua metode dalam membagi lebih lanjut selang a < x < b,
selama syarat λn → 0 dipenuhi, dan untuk semua pilihan titik-titik xk dalam hasil sub
selang.
Bukti teorema itu ada di luar lingkup buku ini. Dari Soal-soal 1-3 limit dihitung untuk
fungsi f(x) yang dipilih. Namun harus dimengerti, bahwa untuk fungsi sebarang cara ini
terlampau sulit ditempuh. Lagipula, supaya berhasil dalam perhitungan yang dibuat di
sini, perlu ditentukan beberapa hubungan antara panjang sub selang-sub selang (diambil
semua panjangnya sama) dan diikuti beberapa pola dalam memilih sebuah titik pada tiap
sub selang (misalnya, pilih ujung kiri atau ujung kanan atau titik tengah tiap sub selang).
Dengan perjanjian, ditulis
b
a
ò f (x) dx = lim
n®+¥ Sn = lim
n®+¥
1
n
k
f
= å
(xk)Δkx
Simbol b
a
ò f (x) dx dibaca “integral tertentu dari f(x), terhadap x, dari x = a sampai x = b”.
Fungsi f(x) disebut dengan integran, sedang a dan b masing-masing disebut batas bawah
dan batas atas (batas-batas) integrasi.

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU. Jika f(x) dan g(x) kontinu pada selang
integrasi a < x < b:
1. a
a
ò f (x) dx = 0
2. b
a
ò f (x) dx = - a
b
ò f (x) dx
3. b
a
ò c f(x) dx = c b
a
ò f (x) dx, untuk tiap konstanta c.
4. { ( ) ( )} b
a
ò f x ± g x dx = b
a
ò f (x) dx ± b
a
ò g (x) dx
5. ( ) c
a
ò f x dx + ( ) b
c
ò f x dx = b
a
ò f (x) dx, jika a < c < b
6. Teorema Nilai Rata-rata pertama:
b
a
ò f (x) dx = (b – a)f(x0) untuk paling sedikit nilai x = x0 antara a dan b.
Sebagai bukti, lihat Soal 5.
7. Jika F(u) = ( ) u
a
ò f x dx, maka
d
du
F(u) = f(u) Sebagai bukti, lihat Soal 6.
TEOREMA DASAR KALKULUS INTEGRAL. Jika f(x) kontinu dalam selang a < x <
b dan jika F(x) adalah integral tak tentu dari f(x), maka
b
a
ò f (x) dx = ( ) b
a F x = F(b) – F(a)
Sebagai bukti, lihat Soal 7.
Contoh 1:
(a) Ambil f(x) = c, suatu konstanta dan F(x) = cx; maka b
a
ò c dx = b
a cx = c(b – a).
2 x2; maka 5
(b) Ambil f(x) = x dan F(x) = 1
0
ò x dx =
1
2
2 5
0
x =
25
2
- 0 =
25
2
.
4 x4; maka 3 3
(c) Ambil f(x) = x3 dan F(x) = 1
1
ò x dx =
1
4
4 3
1
x =
81
4
-
1
4
= 20.
Hasil-hasil ini harus dibandingkan dengan Soal-soal 1-3. Pembaca akan menunjukkan
bahwa tiap integral tak tentu dari f(x) dapat dipakai dengan memecahkan kembali (c)
dengan F(x) = 1
4 x4 + C.
TEOREMA BLISS. Jika f(x) dan g(x) kontinu dalam selang a < x < b, jika selang dibagi
menjadi sub selang seperti yang lalu, dan bila dua titik dipilih dalam tiap sub selang
(yaitu xk dan x’k dalam sub selang ke k), maka
lim
n®+¥ ( )
1
n
k
k
f x
= å
• g(x’k)Δkx = ( ) b
a
ò f x • g(x) dx
Mula-mula harus dicatat bahwa teorema ini benar bila titik-titik xk dan x’k adalah identik.
Keunggulan teorema ini adalah bahwa jika titik-titik tiap pasangan berbeda, hasilnya
sama seperti bila titik-titik itu berimpit. Suatu intuisi untuk keabsahan teorema timbul
dengan menuliskan

( )
1
n
k
k
f x
= å
• g(x’k)Δkx = ( )
1
n
k
k
f x
= å
• g(x’k)Δkx + ( )
1
n
k
k
f x
= å
{g(x’k) – g(xk)}Δkx
dan mencatat bahwa bila n → +∞ (artinya, Δkx → 0)xk dan x’k harus menjadi lebih
mendekati identik dan, karena g(x) adalah kontinu g(x’k) – g(xk) harus → 0.
Dalam Soal-soal 1-3 hitung integral tertentu dengan membentuk Sn dan mendapatkan
limitnya bila n → +∞.
1. b
a
ò c dx = c(b – a), c adalah konstanta.
Misalkan selang a < x < b dibagi menjadi n sub selang yang sama dengan panjang Δx
= (b – a)/n. Karena integran adalah f(x) = c, maka f(xk) = c untuk tiap pilihan titik xk
pada sub selang ke-k, dan
Sn =
1
n
k
f
= å
(xk)Δkx =
1
n
k
f
= å
c(Δx) = (c + c + . . . + c)(Δx) = nc • Δx = nc
b -
a
n
= c(b – a)
Jadi b
a
ò c dx = lim
n®+¥ Sn = lim
n®+¥ c(b – a) = c(b – a)
2. 5
0
ò x dx = 25/2.
0 x 1 x 2
x x
0 1 2 3 4
x k
k - 1
x
k
x n
x n - 1
5
n - 2 n - 1 n
Gambar 33-2
Misalkan selang 0 < x < 5 dibagi menjadi n sub selang dengan panjang Δx = 5/n yang
sama. Ambil ujung kanan sub selang sebagai titik-titik xk, artinya, x1 = Δx, x2 = 2Δx, . .
., xn = nΔx. Maka
Sn =
1
n
k
f
= å
å gD Δx = (1 + 2 + ... + n)(Δx)2 = ( 1)
(xk)Δkx = ( )
1
n
k
k x
=
n n + 2 5
2
æ ö
çè n
ø¸
=
25
2
1 1
æ ö çè + n
ø¸
dan 5
0
ò x dx = lim
n®+¥ Sn = lim
n®+¥
25
2
1 1
æ ö çè + n
ø¸
=
25
2
3. 3 3
1
ò x dx = 20.
Misalkan selang 1 < x < 3 dibagi menjadi n sub selang dengan panjang Δx = 2/n.
I. Ambil ujung-ujung kiri sub selang sebagai titik-titik xk seperti dalam Gambar 33-3
di bawah, artinya, x1 = 1, x2 = 1 + Δx, ..., xn = 1 + (n – 1)Δx. Maka
Sn =
1
n
k
f
= å
(xk)Δkn = 3
1 x • Δx + 3
2 x • Δx + . . . + 3
n x • Δx
= [1 + (1 + Δx)3 + (1 + 2 • Δx)3 + ... + {1 + (n – 1)Δx}3] Δx
= [n + 3{1 + 2 + ... + (n – 1)}Δx + 3{12 + 22 + ... + (n – 1)2}(Δx)2 + {13 + 23
+ ... + (n – 1)3}(Δx)3]Δx
=
( ) ( ) ( ) ( )
é n - 1 n æ 2 ö n - 1 n 2 n - 1 æ 2 ö 2 n - 1 2 n
2 ê n
+ 3 æ 2 ö 3
ù 1 g 2 ç n ¸+ 3
è ø 1 g 2 g 3 è ç n ø ¸ + ú êë ( 1 g 2
)
2
è ç n
ø ¸ úû
2
n

= 2 +
6 6
æ ö çè - n
ø¸
8 12 4
æ - + ö çè ø¸
+ 2
n n
4 8 4
æ - + ö çè ø¸
+ 2
n n
= 20 -
26
n
8
n
+ 2
dan 3 3
1
ò x dx = lim
20 26 8
æ - + ö çè ø¸
n®+¥ 2
n n
= 20
x 1 x 2 x 3
1
x x
x
0 1 2 3
x k x k + 1
x
k - 1 k
x n 3
n - 1 n
Gambar 33-3
1 x 1 x 2 x 3
x x
x
0 1 2 3
x k x n 3
k - 1 k
n - 1 n
Gambar 33-4
II. Ambil titik tengah sub selang sebagai titik-titik xk, seperti dalam Gambar 33-4 di
atas, artinya,
x1 = 1 + 1
2 Δx, x2 = 1 + 32
Δx, . . ., xn = 1 +
n -
2 1
2
Δx. Maka
é 1 + D x + 1 + D x +´´´+ æ 1 + 2 n - 1
D x
ö ù ê ç ú êë è ø ¸ úû
Sn = ( ) ( )
3
1 3 3 3
2 2
2
Δx
= { ( 1 ) ( 1 ) 2 2 ( 1 )3 3} { ( 3 ) ( 3 ) 2 2 ( 3 )3 3}
2 2 2 2 2 2 1 3 3 1 3 3 x x x x x x é + D + D + D + + D + D + D +´´´ êë
+ ( ) ( ) ( )
ìï 2 3
ïüù í 1 + 3 æ 2 n - 1 ö D x + 3 æ 2 n - 1 ö D x 2 + æ 2 n - 1 ö D x
3
è ç ýú îï 2 ø ¸ è ç 2 ø ¸ è ç 2
ø ¸ ïþúû
Δx
= n
2
n
æ ö
çè ø¸
+
3
2
n2
2 2
n
æ ö
çè ø¸
+
1
4
(4n3 – n)
3 2
n
æ ö
çè ø¸
+
1
8
(2n4 – n2)
4 2
n
æ ö
çè ø¸
8 2
æ - ö çè ø¸
= 2 + 6 + 2
n
4 2
æ - ö çè ø¸
+ 2
n
4
n
= 20 - 2
dan
20 4
ò 3
æ ö çè - 2
ø¸ = 20
1 n
4. Buktikan:
(a) ( ) a
a
ò f x dx = 0. Di sini selang integrasi panjangnya 0; jadi Δx = 0, Sn = 0 dan
( ) a
a
ò f x = lim
n®+¥ Sn = 0.
a x 1 x 2 x k x n b a x n x n - 1 x k x 1 b
0 1 2 k - 1 k n - 1 n
n n - 1 k k - 1 1 0
(b) b
a
ò f (x) dx = - a
b
ò f (x) dx. Misalkan selang a < x < b dibagi dan titik-titik xk
dipilih seperti dalam Gambar 33-5 dan bila dihitung dari Gambar 33-6 adalah
identik kecuali untuk tanda Δkx yang adalah positif pada bagian pertama dan
negatif pada yang kedua. Jadi b
a
ò f (x) dx = - a
b
ò f (x) dx.

(c) b
a
ò c • f(x) dx = c b
a
ò f (x) dx, untuk pembagian selang yang baik dan tiap pilihan
titik pada sub selang, Sn =
1
n
k
c
= å
f(xk)Δkx = c
1
n
k
f
= å
(xk)Δkx
Maka b
a
ò c f(x) dx = c lim
n®+¥
1
n
k
f
= å
(xk)Δkx = c b
a
ò f (x) dx
5. Buktikan Teorema Nilai Tengah pertama dari Kalkulus Integral. Jika f(x) kontinu
dalam selang a < x < b, maka ( ) b
a
ò f x dx = (b – a) • f(x0) untuk paling sedikit satu
nilai x = x0 antara a dan b.
Teorema ini dibenarkan, lewat Contoh 1 (a), bila f(x) = c, konstanta. Dengan cara lain
misalkan m adalah nilai minimum mutlak dan M adalah nilai maksimum mutlak dari
f(x) pada selang a < x < b. Untuk tiap pembagian selang yang baik dan tiap pilihan
titik xk pada sub selang,
1
n
k
m
= å
Δkx < ( )
1
n
k
k
f x
= å
Δkx <
1
n
k
M
= å
Δkx
Sekarang bila n → +∞, maka
b
a
ò mdx < ( ) b
a
ò f x dx < b
a
ò M dx
yang dari Soal 1, menjadi
m(b – a) < ( ) b
a
ò f x dx < M(b – a)
Maka m <
1
b - a ( ) b
a
ò f x dx < M
sehingga
1
b - a ( ) b
a
ò f x dx = N, dengan N adalah suatu bilangan antara m dan M.
Sekarang, karena f(x) adalah kontinu dalam selang a < x < b, dari Teorema, Bab 3, N
harus muncul paling sedikit sekali tiap nilai dari m sampai M. Jadi harus ada suatu
nilai x, misalnya x = x0, sedemikian rupa, sehingga f(x0) = N. Maka
1
ò b
f ( x ) dx = N = f(x0) dan ò b
f ( x ) dx = (b – a)f(x0)
b - a a
a
6. Buktikan: Jika F(u) = ( ) u
a
ò f x dx, maka
d
du
F(u) = f(u).
Dari ketentuan bertahap untuk mencari turunan
F(u + Δu) – F(u) = ( ) u u
ò +D f x dx - u
( ) a
a
ò f x dx
yang dengan menggunakan Sifat-sifat 2, 5, dan 6 secara bergilir menjadi
F(u + Δu) – F(u) = ( ) a
u
ò f x dx + ( ) u u
ò +D f x dx = u u
( ) a
ò +D f x dx
u
= f(u0) • Δu, dengan u < u0 < u + Δu
Maka

F ( u u) F ( u)
+ D -
D
u
= f(u0) dan
dF
du
lim
Du®
= 0
F ( u u) F ( u)
+ D -
D
u
lim
Du® f(u0) = f(u)
= 0
karena Δu → 0, u0 → u.
Sifat ini sering dinyatakan sebagai
(i) Jika F(x) = ( ) x
a
ò f x dx, maka F’(x) = f(x).
Penggunaan penggunaan dari huruf u di atas hanya merupakan suatu percobaan untuk
menghindari kemungkinan mengacaukan sejumlah peranan x. Perhatikanlah secara
seksama (i) bahwa F(x) merupakan fungsi batas dari integrasi x dan bukan dari huruf
dumi x dalam f(x)dx. Dengan kata lain, sifat tersebut dapat juga dinyatakan:
Jika F(x) = ( ) x
a
ò f t dt, maka F’(x) = f(x).
Dari (i) maka F(x) adalah integral tak tentu dari f(x).
7. Buktikan: Jika f(x) kontinu dalam selang a < x < b dan jika F(x) adalah sebarang
integral tak tentu dari f(x) maka ( ) a
b
ò f x dx = F(b) – F(a)
Gunakan pernyataan terakhir dalam Soal 6 untuk menulis
( ) x
a
ò f x dx = F(x) + C
Bila batas atas integral adalah x = a, maka
( ) a
a
ò f x dx = 0 = F(a) + C dan C = -F(a)
Maka ( ) x
a
ò f x dx = F(x) – F(a) dan bila batas atas integrasi adalah x = b, maka seperti
yang harus dibuktikan ( ) b
a
ò f x dx = F(b) – F(a)
Gunakan Teorema Dasar Kalkulus Integral untuk menghitung Soal-soal berikut:
8. ( ) 1 2 3
ò 2x - x
dx =
-
1
3 4 1
1
x x
2
3 4
-
é ù
ê - ú
ë û
=
2 1
3 4
æ - ö çè ø¸
-
2 1
3 4
æ - - ö çè ø¸
=
4
3
9.
1 1
x x
ò -
1
æ ö -
3 çè - 2 3
ø¸ dx =
1
2
3
1 1
x 2x
-
-
é- + ù êë úû
=
1 1
æ ö çè + 2
ø¸
-
1 1
3 18
æ + ö çè ø¸
=
10
9
10.
ò 4
dx
=
1
x 4
1
2 xùû
= 2( 4 - 1 ) = 2
11. 3 /2
ò e-x
dx = /2 3
- 2
- ùû = -2(e-3/2 – e) = 4.9904
2
2e-x
-
12.
dx
x
-
ò- + = 10
10
6 2
6 ln x 2 -
- + ùû = ln 8 – ln 4 = ln 2
sin p
p ò x dx = ]3 /4
13. 3 /4
/2
/2 cos x p
p - = -
1 2 0
2
æ - - ö çè ø¸
=
1 2
2
14.
ò- 2
dx
=
2 x 2 + 4
1
2
arc tan
2
2
1
2
x
-
ùúû
=
1
2
éê 1 p -æç - 1
p ö¸ùú ë 4 è 4
øû
=
1
4
p
x 4 -
-
ò - dx =
15. 3 2
5
3
2 2
5
1 x x 4 2ln x x
4
2
-
-
é - - + - ù êë úû
=
5 21
2
-
3 5
2
- 2 ln
-
-
3 5
5 21

16.
ò- 2
dx
=
1 x 2 - 9
1
6
ln
2
x
x -
1
- 3
ù
+ 3
úû
=
1
6
ln 1 ln 2
5
æ - ö çè ø¸
=
1
6
ln 0.1
17.
ò e ln x dx = [ x ln x - x ]e = (e ln e – e) – (ln 1 – 1) = 1
1
1 18. Cari 6
3
ò xy dx bila x = 6 cos θ, y = 2 sin θ.
Di sini x, y dan dx dinyatakan dalam parameter θ dan dθ, batas-batas integrasi diubah
sesuai dengan nilai-nilai parameter yang bersangkutan, dan integral hasilnya dihitung.
dx = -6 sin θ dθ. Bila x = 6 cos θ = 6, θ = 0; dan bila x = 6 cos θ = 3, θ = π/3. Maka
ò 6
xy dx = ò 0
( 6cos
q ) (2 sin θ)(-6 sin θ) dθ
3
p
/3
= -72 0 2
ò sin
θ cos θ dθ = 3 0
p /3
- q ùû = -24{0 – ( 3 /2)3} = 9 3
/3
24sin
p
19. Cari
p dq
ò + q .
2 /3
0 5 4cos
dq
ò + q =
5 4cos
dz
z
2
z
z
dz
ò + z .
ò = 2
2
2
2
1
5 41
+
+ -
1
+
2
9
Untuk menentukan batas integrasi z (θ = 2 arc tan z): Bila θ = 0, z = 0; bila θ 2π/3, arc
tan z = π/3 dan z = 3 . Maka
dq
dz
2
3
ò 2 p /3
3
= 2
=
arc tan
0 5 + 4cos
q ò 0 9 + z 2
3
zùúû
0 3
p
=
9
2 z
1 + z 2
1 - z 2
Gambar 33-7
20. Cari
dx
p
ò - .
/3
0 1 sin
x
ò dx
=
1 - sin
x dz
z
2
z
z
2
2
1
+
1 -
2
1
+
ò 2
dz
1
- z .
ò = ( ) 2
Jika x = 0, arc tan z = 0 dan z = 0; bila x = π/3, arc tan z = π/6 dan z = 3 /3. Maka
dx
dz
- z ò =
ò p
/3
= 2 0 1 - sin
x
( )
3/3
0 1 2
3/3
0
2
1 z
ùú
- û
=
2
1- 3 / 3
- 2 = 3 + 1.
Soal-soal Tambahan
21. Hitung b
a
ò c dx dari Soal 1 dengan membagi selang a < x < b ke dalam n sub selang
dengan lebar Δ1x, Δ2x, . . ., Δnx. Perhatikan bahwa
åD = b – a.
1
n
k
k
x
=
22. Hitung 5
0
ò x dx dari Soal 2 dengan menggunakan sub selang yang sama lebarnya dan
(a) memilih ujung kiri sub selang sebagai xk, (b) memilih titik tengah sub selang

sebagai xk, (c) memilih titik xk, pada titik sepertiga dari tiap sub selang, artinya,
mengambil x1 = 1
3 Δx, x2 = 43
Δx, . . .
23. Hitung 4 2
1
ò x dx = 21 dengan menggunakan sub selang yang sama lebarnya dan
memilih titik xk adalah (a) ujung kanan sub selang, (b) ujung kiri sub selang, (c) titik
tengah sub selang.
24. Dengan menggunakan pilihan sub selang dan titik-titik yang sama seperti pada Soal
1
ò x dx dan ( ) 4 2
23(a), hitung 4
1
ò x + x dx, dan buktikan bahwa { ( ) ( )} b
a
ò f x + g x dx =
b
a
ò f (x) dx + b
a
ò g (x) dx.
25. Hitung 2 2
1
ò x dx dan 4 2
2
ò x dx. Bandingkan jumlahnya dengan hasil Soal 23, untuk
membuktikan ( ) c
a
ò f x dx + ( ) b
c
ò f x dx = ( ) b
a
ò f x dx jika a < c < b.
26. Hitung 1
0
ò ex dx = e – 1.
å D = eΔx(e – 1)
Petunjuk. Sn = .
1
n
k x
k
e D x
=
x
eD
D
-
x 1
dan lim
x
eD
D
-
n®+¥ x 1
lim
Dx® x 1
= 0
x
eD
D
-
adalah
bentuk tak tentu dengan jenis 0/0.
27. Buktikan sifat-sifat integral tentu ke 4 dan 5.
28. Gunakan Teorema Dasar untuk menghitung:
(a) ( ) 2
0
ò 2 + x dx = 6
(b) ( ) 2 2
0
ò 2 - x dx = 8/3
(c) ( ) 3 2
0
ò 3- 2x + x dx = 9
(d) ( ) 2 2
ò 1 - t
t dt = -9/4
-
1
(e) ( ) 4
1
ò 1-u u du = -116/15
(f) 8
1
ò 1+ 3x dx = 26
(g) 2 2
0
ò x (x3 + 1)dx = 40/3
(h)
ò 3
dx
= 2
0 1
+ x (i) 1
0
ò x (1 - x )2 dx = 1/30
(j)
ò 8
x dx
= 6
4 x 2
- 15
a ò a - x dx = 1
(k) 2 2
0
4 a2π
(l) 1 2
ò 23
x
4 - x 2 dx = - 1
p - 1
2 3

(m)
ò 4
dx
=
3 25 - x 2
1
5
ln
3
2
0 3
(n) 1
2
2
1
x dx
p -
ò- x + x + = 3
9
5
8
(o)
4 2
2
16 x
x
- ò dx = 4 ln (2 + 3 ) - 2 3
(p)
dx
27
8 1/3
ò x - x =
3
2
ln
8
3
(q) 1
0
ò ln (x2 + 1)dx = ln 2 + 1
2 π – 2
sin p ò 1
(r) 2
0
2 t dt = 4
x p ò sin 3x dx = 1
(s) /3 2
0
27 (π2 – 4)
(t)
dx
p
p
ò + = 2
/2
0 3 cos 2
x
8
29. Buktikan
ò 5
dx
=
3 x 2 + 16
dx
x
-
- + ò .
3
5 2 16
ò q =
p
y dx = 3π, diketahui x = θ – sin θ, y = 1 – cos θ.
q
= 30. Hitung 2
0
31. Hitung ( ) 4 2
1
ò 1+ y ' dx = 15
2 + 1
2 ln 2, diketahui y = 1
2 x2 - 1
4 ln x.
32. Hitung
2 2
3
2
dx dy
dt dt
æ ö + æ ö çè ø¸ èç ø¸ ò dt = 2 e2(e – 1), diketahui x = et cos t, y = et sin t.
33. Gunakan rumus reduksi yang tepat (Bab 26) untuk membentuk rumus Wallis.
ò p /2
sinn x dx = /2
0
ò p cosn x dx =
0
( n ) ( n
)
( n )
n
- - p
-
g
1 3... 3 1
g
2 4... 2 2
g jika n genap dan > 0
=
( ) ( )
( )
g
n - n
-
g n -
n
jika n gasal dan > 1
2 4... 3 1
1 3... 2
ò p /2
sinm x cosn x dx =
0
( ) ( )
( ) ( )
g g g
m n
m n m n
- - p
+ - +
1 3... 1 1 3... 1
g
2 4... 2 2
g jika m dan n genap dan > 0
=
( m - ) ( m
-
)
2 4... 3 1
( n + 1 ) ( n + 3 ) ...
( n +
m
)
g
jika m gasal dan > 1
=
( n - ) ( n
-
)
g
2 4... 3 1
1 3 ...
( m + ) ( m + ) ( m +
n
)
jika n gasal dan > 1
34. Hitung :
(a) 11
3
ò 2x + 3 dx = 98/3
(b)
ò p /4
-
dx =
0
+ x
x
cos 2 1
cos 2 1
1 p -
1
4

(c) 9
4
1
1
x
x
-
+ ò dx = 4 ln
3
4
- 1
(d) 2 3 2
0
ò x ex dx = 1
2 (e2 + 1)
(e)
ò3 p
/4
=
p /4 2
- + sin
x dx
x x
cos 5cos 4
1
3
ln
+
-
7 3 2
7 3 2
(f)
x
x x
ò 1
-
dx = ln
2 2
- + 1
4 3
-
-
-
-
3 2 2
4 15
+ 2 2 - 15
(g)
dx
x
p
p ò = ln 3
/3
/6 sin 2
(h) 3
1
ò ln (x + x2 -1 )dx = 3 ln (3 + 2 2 ) - 2 2
(i)
dx
x x
-
- + + ò = ln ( 2 - 1)
2
1 2 2 2
(j)
( )
( )
x dx
x x
3/4
1/4 2
1
1
+
ò - = 4 ln
1
3
-
8
3
(k)
( )
( )
x dx
x x
+
- ò =
2
2
-
-
3
8 2
1
2
ln
3
4
+
1
5
(l)
dx
p
ò + =
/4
0 2 tan
x
1
5
ln 3 2
4
p
+
10

Bab 34
Luas Bidang dengan Integrasi
LUASAN SEBAGAI LIMIT PENJUMLAHAN. Jika f(x) kontinu dan tidak negatif
dalam selang a < x < b, integral tertentu ( ) b
a
ò f x dx = lim
n®+¥
1
n
k
f
= å
(xk)Δkx dan dijelaskan
secara geometris. Misalkan selang a < x < b dibagi dan titik xk dipilih seperti pada bab
yang lalu. Pada tiap titik ujung ξ0 = a, ξ1, ξ2, ..., ξn = b tarik garis tegak lurus pada sumbu-x,
jadi membagi bagian dari bidang dengan batas bagian atas oleh kurva y = f(x), di
bawah oleh sumbu-x, dan secara lateral oleh ordinat x = a dan x = b menjadi n pita.
Dekati tiap pita dengan suatu persegi panjang yang alasnya adalah alas pita dan tingginya
adalah ordinat yang didirikan di titik xk dari sub selang. Luas wakil persegi panjang yang
didekati yang ditunjuk dalam Gambar 34-1 adalah f(xk) Δkx. Jadi
1
n
k
f
= å
(xk)Δkx adalah
jumlah luas n buah persegi panjang yang didekati. y
y = f ( x )
O a
x
P k ( x k , y k )
x k
y = f x k k ( )
k - 1 k k x b
Gambar 34-1
Limit jumlah ini, ( ) b
a
ò f x dx, bila jumlah pita menuju tak terhingga seperti dijelaskan
dalam Bab 33, dari definisi adalah luas bagian bidang yang digambarkan di atas, atau
secara singkat, luas di bawah kurva dari x = a hingga x = b.
Dengan cara yang sama, bila x = g(y) adalah kontinu dan tidak negatif dalam selang c < y
< d, maka integral tertentu ( ) d
c
ò g y dy dari definisi adalah luas yang dibatasi kurva x =
g(y), sumbu-y dan absis y = c serta y = d.
Lihat Soal 3.
Jika y = f(x) adalah kontinu dan tidak positif pada selang a < x < b, maka ( ) b
a
ò f x dx
adalah negatif, menunjukkan bahwa luasan terletak di bawah sumbu-x. Dengan cara yang
sama, jika x = g(y) adalah kontinu dan tidak positif dalam selang c < y < d, ( ) d
c
ò g y dy
adalah negatif, menunjukkan bahwa luasan terletak di kiri sumbu-y.
Lihat Soal 4.

Jika y = f(x) berubah tanda dalam selang a < x < b atau jika x = g(y) berubah tanda dalam
selang c < y < d, maka luasan ”di bawah kurva” diberikan oleh jumlah dua atau lebih
integral tertentu.
Lihat Soal 5.
LUASAN DENGAN INTEGRASI. Langkah-langkah yang perlu untuk membentuk
integral tertentu yang menghasilkan luas yang diminta adalah:
(1) Buat suatu gambar, yang menunjukkan (a) luas yang dicari, (b) wakil pita, dan (c)
persegi panjang yang didekati. Sebagai suatu kebijaksanaan, akan ditunjukkan wakil
sub selang yang lebarnya Δx (atau Δy) dan titik xk (atau yk) pada sub selang ini sebagai
titik tengah.
(2) Tulis luas persegi panjang yang didekati dan jumlahnya untuk n buah persegi
panjang.
(3) Misalkan jumlah persegi panjang menuju tak terhingga dan gunakan Teorema Dasar
pada bab sebelum ini.
1. Cari luas yang dibatasi kurva y = x2, sumbu-x dan ordinat x = 1 dan x = 3.
Gambar 34-2 menunjukkan luas KLMN yang dicari, wakil pita RSTU, dan persegi
panjang yang didekati RVWU. Untuk persegi panjang ini, alas adalah Δkx, tingginya
yk = f(xk) = 2
k x dan luas adalah 2
k x •Δkx. Maka
A = lim
n®+¥
2
1
n
k
k
x
= å
Δkx = 3 2
1
ò x dx
=
3 3
x
1 3
= 9 -
1
3
=
26
3
satuan kuadrat
P k ( x k , y k ) T
L
O
K
y k
k x
R U
N
V W
S
M
y
x
y = x 2
1 x k 3
Gambar 34-2
2. Cari luas yang terletak di atas sumbu-x dan di bawah parabola y = 4x – x2.
Kurva yang diberikan memotong sumbu-x di x = 0 dan x = 4. Jika pemotongan secara
vertikal digunakan, maka nilai-nilai ini menjadi batas-batas integrasi. Untuk persegi
panjang yang didekati yang ditunjuk dalam Gambar 34-3, lebar adalah Δkx, dan tinggi
adalah yk = 4xk - 2
k x , dan luas adalah (4xk - 2
k x )•Δkx. Maka
n®+¥ ( 2 )
A = lim
å - Δkx = ( ) 4 2
1
4
n
k k
k
x x
=
0
ò 4x - x dx
=
4
éê x 2 - x 3
ùú ë û
0
2 1
3
= 32/3 satuan kuadrat

Dengan selalu mengingat cara lengkap seperti diberikan di atas, penyingkatan kerja
dimungkinkan. Akan terlihat bahwa, di samping batas-batas integrasi, integral
tertentu dapat diformulasikan bila luas persegi panjang yang didekati telah
ditentukan. y
P k ( x k , y k )
y k
O x
k x
4
Gambar 34-3
3. Cari luas yang dibatasi parabola x = 8 + 2y – y2, sumbu-y, dan garis y = -1 dan y = 3.
Di sini luasan dipotong menjadi pita-pita horisontal. Untuk persegi panjang yang
didekati yang ditunjukkan dalam Gambar 34-4, lebar adalah Δy, panjang adalah x = 8
+ 2y – y2, dan luas adalah (8 + 2y – y2)Δy. Luas yang ditanya adalah
( ) 3 2
ò 8 + 2y - y
dy =
-
1
3 3
y y 2
y
1
8
3
-
é ù
ê + - ú
ë û
=
92
3
satuan kuadrat
y
x P ( x , y )
x
3
y
O
- 1
Gambar 34-4
4. Cari luas yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 7x + 6, sumbu-x dan garis-garis x = 2
dan x = 6.
Untuk persegi panjang yang didekati yang ditunjukkan dalam Gambar 34-5, lebar
adalah Δx, tinggi adalah –y = -(x2 – 7x + 6) dan luas adalah -(x2 – 7x + 6) Δx. Luas
yang ditanyakan adalah
A = 6
2
ò - (x2 – 7x + 6)dx = -
3 2 6
2
æ x - 7 x öù
ç + 6
x
è 3 2
¸ú
øû
=
56
3
satuan kuadrat
P ( x , y )
- y
O
y
1 2 x 6 x
Gambar 34-5
5. Cari luas antara kurva y = x3 – 6x2 + 8x dan sumbu-x.

Kurva memotong sumbu-x di x = 0, x = 2 dan x = 4 seperti dalam Gambar 34-6.
Dengan menggunakan irisan-irisan vertikal, luas persegi panjang yang didekati
dengan alas pada selang 0 < x < 2 adalah (x3 – 6x2 + 8x)Δx, dan luas bagian yang
terletak di atas sumbu-x diberikan oleh ( ) 2 3 2
0
ò x - 6x + 8x dx. Luas persegi panjang
yang didekati dengan alas pada selang 2 < x < 4 adalah -(x3 – 6x2 + 8x)Δx, dan luas
bagian yang terletak di bawah sumbu-x diberikan oleh ( ) 4 3 2
2
ò - x - 6x +8x dx. Karena
itu luas yang ditanyakan adalah
A = ( ) 2 3 2
0
ò x - 6x + 8x dx + ( ) 4 3 2
2
ò - x - 6x +8x dx
=
4 2
é x ù
ê - x 3 + x
2
ú
ë û
0
2 4
4
-
4 4
é x ù
ê - x 3 + x
2
ú
ë û
2
2 4
4
= 4 + 4 = 8 satuan kuadrat
Penggunaan dua integral tertentu di sini penting, karena integran berubah tanda pada
selang integrasi. Kegagalan dalam menyadari hal ini akan menghasilkan integral yang
tidak benar ( ) 4 3 2
0
ò x - 6x + 8x dx = 0.
y
O 2 x 4 x
x
P ( x , y )
y
P ( x , y )
- y
Gambar 34-6
6. Cari luas yang dibatasi x = 4 – y2 dan sumbu-y.
Parabola memotong sumbu-sumbu-x di titik (4, 0) dan sumbu-y di titik-titik (0, 2) dan
(0, -2). Akan diberikan dua penyelesaian.
P ( x , y )
2
y
O
y
x
- 2
4
x = 4 - y 2
P ( x , y )
2
O
y
x
- 2
4
x
2 y
Gambar 34-7 (a) Gambar 34-7 (b)
Menggunakan irisan horisontal. Untuk persegi panjang yang didekati pada Gambar
34-7 (a), lebar adalah Δy, panjang adalah 4 – y2, dan luas adalah (4 – y2)Δy. Batas-batas
integrasi hasil integral tertentu adalah y = -2 dan y = 2. Namun harus diingat
bahwa luas yang terletak di bawah sumbu-x adalah sama dengan yang terletak di atas.
Jadi untuk luas yang ditanya diperoleh

ò 2 ( 4 - y
2
) dy = 2 2 ( 2
) -
2
0
ò 4 - y dy = 2
3 2
0
æ öù
ç 4
y - y
¸ú
è 3
øû
=
32
3
satuan kuadrat
Menggunakan irisan vertikal. Untuk persegi panjang yang didekati pada Gambar 34-
7(b), lebar adalah Δx, tinggi adalah 2y = 2 4 - x , dan luas adalah 2 4 - x Δx. Batas-batas
integrasi adalah x = 0 dan x = 4. Jadi luas yang ditanyakan adalah
4
0
ò 2 4 - x dx = - ( )
4
3/2
0
4 4
3
x ù - úû
=
32
3
satuan kuadrat
7. Cari luas yang dibatasi parabola y2 = 4x dan garis y = 2x – 4.
Garis memotong parabola di titik-titik (1, -2) dan (4, 4). Dapat dilihat dari dua
gambar di bawah bahwa bila irisan vertikal digunakan, beberapa pita bergerak antara
garis ke parabola dan yang lain-lain dari bagian parabola ke bagian lain parabola,
sedang bila irisan horisontal digunakan, tiap pita bergerak dari parabola ke garis. Di
sini akan diberikan kedua penyelesaian tersebut untuk menunjukkan keunggulan yang
satu terhadap yang lain dan untuk menunjukkan bahwa kedua cara mengiris harus
dipertimbangkan sebelum mulai menghitung integral tertentu.
P ( x , y )
P ( x , y )
y
x
y y ( ) + 2 12
O
( 4 , 4 )
( 1 , - 2 )
y - 12
2
P ( x , y )
P ( x , y )
y
x
O
( 4 , 4 )
( 1 , - 2 )
2 x - ( 2 x - 4 )
x
4 x
x
1
2
y = 2 x - 4 y 2 = 4 x
Gambar 34-8 (a) Gambar 34-8 (b)
Menggunakan irisan horisontal. Lihat Gambar 34-8 (a). Untuk persegi panjang yang
didekati pada Gambar 34-8(a), lebar adalah Δy, panjang adalah {(nilai x dari garis) –
(nilai x dari parabola)} = ( 1
2 y + 2) - 1
4 y2 = 2 + 1
2 y - 1
4 y2, dan luas adalah (2 + 1
2 y - 1
4
y2)Δy. Luas yang ditanyakan adalah
( ) 4 2 1 1
ò 2 + y - y
dy =
-
2 2 4
2 3 4
2
2
y y y
4 12
-
é ù
ê + - ú
ë û
= 9 satuan kuadrat.
Menggunakan irisan vertikal. Lihat Gambar 34-8(b). Bagi luasan dengan garis x = 1.
Untuk persegi panjang yang didekati di kiri garis ini, lebar adalah Δx, tinggi (dengan
menggunakan simetri) adalah 2y = 4 x dan luas adalah 4 x Δx. Untuk persegi
panjang yang didekati di kanan, lebar adalah Δx, tinggi adalah 2 x - (2x – 4) = 2 x
- 2x + 4, dan luas adalah (2 x - 2x + 4) Δx. Luas yang ditanyakan adalah
1
ò 1
4 x dx + ò 4 ( 2 x - 2x + 4 ) dx =
3/2
0
0
8
3
é x ù
êë úû
+
4
3/2 2
1
4 4
3
éê x - x + xùú ë û
=
8
3
+
19
3
= 9
satuan luas
8. Cari luas yang dibatasi oleh parabola y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x.

Parabola-parabola berpotongan di titik-titik (0, 0) dan (4, 8). Segera terlibat bahwa
pengirisan vertikal akan menghasilkan penyelesaian yang lebih mudah.
Untuk persegi panjang yang didekati, lebar adalah Δx, tinggi adalah {(nilai y batas
atas) – (nilai y batas bawah)} = (6x – x2) – (x2 – 2x) = 8x – 2x2, dan luas adalah (8x –
2x2)Δx. Luas yang ditanyakan adalah
( ) 4
ò 4 8x - 2x 2
dx =
0
éê x 2 - x 3
ùú ë û
0
4 2
3
=
64
3
satuan kuadrat
O
y
y = x - 2 x
y = 6 x - x 2
x
P ( x , y ) 2
( 4 , 8 )
( 6 x - x 2 ) - ( x 2 - 2 x )
2 x P ( x , y 1 ) 6
Gambar 34-9
9. Cari luas yang dilingkupi kurva y2 = x2 – x4.
Kurva adalah simetrik terhadap sumbu-sumbu koordinat.
Jadi luas yang ditanyakan adalah empat kali bagian yang terletak di kuadran pertama.
Untuk persegi panjang yang didekati, lebar adalah Δx, tinggi y = x2 - x4 = x 1- x2
dan luas adalah x 1- x2 Δx. Jadi luas yang ditanyakan adalah
4 1 2
1
ò x 1- x dx = ( 2 ) 3/2
0
0
4 1
3
éê- - x ùú ë û
=
4
3
satuan kuadrat
x
y
P ( x , y )
x y
O
Gambar 34-10
10. Cari luas potongan yang kecil dari lingkaran x2 + y2 = 25 oleh garis x = 3. (Lihat
Gambar 34-11 di bawah).
A = 5
3
ò 2y dx = 2 5 2
3
ò 25 - x dx = 2
5
é x - x 2
x ù êë + úû
3
25 25 arc sin
2 2 5
=
25 12 25arc sin 3
2 5
æç p - - ö¸ è ø
satuan kuadrat
P ( x , y )
y
x
O 3 5
x
x
y
y
O
( 1 , 3 )
( 1 , - 3 )

11. Cari luas yang berimpit dari lingkaran-lingkaran x2 + y2 = 4 dan x2 + y2 = 4x. Lihat
Gambar 34-12 di atas.
Lingkaran-lingkaran berpotongan di titik-titik (1, ± 3 )
Persegi panjang yang didekati berkisar dari x = 2 - 4 - y2 ke x = 4 - y2 .
3 A = 2 ò { 4 - y 2 - ( 2 - 4 - y 2
)} dy = 4 ò 3 ( 4 - y 2
-1 ) dy
0
0
= 4
3
é y - y 2
êë + y - yù úû
0
4 2arc sin 1
2 2
=
æ 8 p çè - 2 3
ö 3
ø¸
satuan kuadrat
12. Cari luas ikal kurva y2 = x4(4 + x). Lihat Gambar 34-13 di bawah.
A = 0
ò 2y
dx = 2 0 2
- 4
ò x
4 + x dx. Ambil 4 + x = z2; maka
- 4
A = 4 ( ) 2 2 2
0
ò z - 4 z2 dz = 4
7 5 3 2
0
é z - 8 z + 16
z ù
ê ë 7 5 3
ú
û
=
4096
105
satuan kuadrat
P ( x , y )
y
x
- 4 x O
P ( x , y )
x
x
y
O 2
O
y
x
Gambar 34-13 Gambar 34-14 Gambar 34-15
13. Cari luas lengkungan sikloida x = θ – sin θ, y = 1 – cos θ. Lihat Gambar 34-15 di atas.
Lengkungan digambarkan dengan θ yang berubah dari 0 sampai 2π, maka dx = (1 –
cos θ)dθ dan
A = 2
ò q =
p
y dx = 2
( ) ( ) q
= 0
ò p 1 - cos q 1 - cos q dθ =
0
2
0
3 2cos 1 cos 2
2 2
p æç - q + q ö¸ è ø ò dθ
=
2
0
3 2sin 1 sin 2
2 4
p
éê q - q + q ùú ë û
= 3π satuan kuadrat
14. Cari luas yang dibatasi kurva x = 3 + cos θ, y = 4 sin θ. Lihat Gambar 34-15 di atas.
Batas daerah yang diberi garis-garis miring dalam gambar ( 1
4 luas yang ditanyakan),
2p .
dinyatakan dari kanan ke kiri bila θ berubah dari 0 hingga 1
4sin p ò q (-sin θ)dθ = 16 /2 2
A = -4 ( ) /2
0
ò p sin θ dθ = 8 /2
( ) 0
ò p 1 - cos 2 q dθ
0
= 8
/2
0
1 sin 2
2
p
éêq - q ùú ë û
= 4π satuan kuadrat.
Soal-soal Tambahan
15. Cari luas-luas yang dibatasi garis-garis sebagai berikut:
(a) y = x2, y = 0, x = 2, x = 5
(b) y = x2, y = 0, x = 1, x = 3
(c) y = 4x – x2, y = 0, x = 1, x = 3

(d) x = 1 + y2, x = 10
(e) x = 3y2 – 9, x = 0, y = 0, y = 1
(f) x = y2 + 4y, x = 0
(g) y = 9 – x2, y = x + 3
(h) y = 2 – x2, y = -x
(i) y = x2 - 4, y = 8 – 2x2
(j) y = x2 – 4x2, y = 4x2
(k) Ikal y2 = x2(a2 – x2)
(l) Ikal 9ay2 = x(3a – x)2
(m)y = ex, y = e-x, x = 0, x = 2
(n) y = ex/a + e-x/a, y = 0, x = ± a
(o) xy = 12, y = 0, x = 1, x = e2
(p) y = 1/(1 + x2), y = 0, x = ± 1
(q) y = tan x, x = 0, x = 1
4p
(r) Sektor lingkaran berjari-jari r dan sudut α.
(s) Elips x = a cos t, y = b sin t.
(t) x = 2 cos θ – cos 2θ – 1, y = 2 sin θ – sin 2θ.
(u) x = a cos3 t, y = a sin3 t.
(v) Busur pertama y = e-ax sin ax.
(w)y = xe-x2 , y = 0, dan ordinat maksimum.
(x) Kedua cabang (2x – y)2 = x3 dan x = 4.
(y) Antara y = 25 – x2, 256x = 3y2, 16y = 9x2.
Jawab:(a) 39 satuan kuadrat, (b) 20, (c) 22/3, (d) 36, (e) 8, (f) 32/3, (g) 125/6, (h) 9/2,
(i) 32, (j) 512 2 /15, (k) 2a3/3, (l) 8 3 a2/5, (m) (e2 + 1/e2 – 2), (n) 2a(e – 1/e), (o)
24, (p) 1
2p , (q) 1
2 ln 2, (r) 1
2 r2a, (s) πab, (t) 6π, (u) 3πa2/8, (v) (1 + 1/eπ)/2a, (w) 1
2 (1 -
1 e ), (x) 128/5, (y) 98/3 satuan kuadrat.
Dengan ordinat rata-rata kurva y = f(x) pada selang a < x < b dimaksudkan besaran
Luas
b
( ) = Alas
a
f x dx
b - a
ò
16. Cari ordinat rata-rata (a) suatu setengah lingkaran, (b) parabola y = 4 – x2 dari x = -2
ke x = 2. Jawab: (a) πr/4, (b) 8/3
17. (a) Cari ordinat rata-rata busur sikloida x = a(θ – sin θ), y = a(1 – cos θ) terhadap x.
(b) Sama, terhadap θ.
Jawab: (a)
1
2p a
ò 2 p a 2
(1 – cos θ)2 dθ =
0
a
, (b)
3
2
1
2p
ò 2
p a (1 – cos θ)dθ = a
0
18. Untuk benda jatuh bebas, s = 1 2
2 gt dan v = gt = 2gs .
(a) Tunjukkan bahwa nilai rata-rata v terhadap t untuk selang 0 < t < t1, adalah
setengah kecepatan akhir.
(b) Tunjukkan bahwa nilai rata-rata v terhadap s untuk selang 0 < s < s1, adalah dua
pertiga kecepatan akhir.

Bab 35
Volume Benda Putar
BENDA PUTAR, dibentuk dengan memutar suatu bidang datar sekeliling sebuah garis,
disebut sumbu putar pada bidang datar. Volume benda putar dapat ditemukan melalui
salah satu cara di bawah ini.
METODE CAKRAM
A. Sumbu putar merupakan bagian batas bidang datar.
(1) Buatlah sketsa daerah yang dimaksud, suatu pita wakil tegak lurus sumbu putar,
dan persegi panjang yang didekati pita itu seperti telah disebutkan pada bab
terdahulu.
(2) Tulislah volume dari cakram (tabung) yang terbentuk, jika persegi panjang yang
didekati itu diputar sekeliling sumbu putar dan hitung jumlah volume n buah
persegi panjang yang didekati.
(3) Andaikan banyaknya persegi panjang yang didekati, menuju tak berhingga dan
gunakan Teorema Dasar (Fundamental Theorem).
B. Sumbu putar tidak merupakan bagian batas bidang datar.
(1) Seperti (1) di atas.
(2) Perpanjang sisi persegi panjang ABCD yang didekati, sampai bertemu sumbu
putar di E dan F seperti Gambar 35-3 Soal 3 di halaman 180. Apabila persegi
panjang yang didekati ini diputar sekeliling sumbu putar, suatu cincin penutup
terbentuk, volumenya adalah selisih antara hasil putaran persegi panjang EABF
dan ECDF sekeliling sumbu putar. Tulislah selisih antara kedua volume itu dan
lanjutkan seperti (2) di atas.
(3) Seperti (3) di atas.
METODE RUMAH SIPUT
(1) Buatlah sketsa daerah yang dimaksud, suatu pita wakil sejajar sumbu putar dan
persegi panjang yang didekati.
(2) Tulislah volume (= keliling rata-rata x tinggi x tebal) rumah siput yang berbentuk
tabung, yang terjadi apabila persegi panjang yang didekati itu diputar sekeliling
sumbu putar dan hitung jumlah volume n buah persegi panjang yang didekati.
(3) Andaikan banyaknya persegi panjang yang didekati, menuju tak terhingga dan
gunakan Teorema Dasar.
1. Cari volume benda yang terbentuk oleh perputaran daerah di kuadran I, yang dibatasi
oleh parabola y2 = 8x dan latus rectumnya* (x = 2) sekeliling sumbu-x. (Latus rectum
ialah garis yang melalui fokus parabola dan tegak lurus sumbu simetri).
Lihat Gambar 35-1 di bawah. Bagilah daerah itu dengan irisan vertikal. Jika persegi
panjang yang didekati dari Gambar 35-1 diputar sekeliling sumbu-x, suatu cakram

berjari-jari y, tingginya Δx, dan volumenya πy2Δx, terbentuk. Jumlah volume n buah
cakram, sesuai dengan n buah persegi panjang yang didekati, ialah Σπy2Δx dan
volume yang ditanyakan ialah
V = b
a
ò dV = 2
0
ò p y2 dx = π 2
ò 8x dx = 4 p x 2 2
0
ùû
0
= 16π satuan kubik
( 2 , 4 )
2 x
( 2 , - 4 )
P ( x , y )
y
O
y
x
y
P ( x , y )
( 2 , 4 )
2 - x
( 2 , - 4 )
y
O 2 x
2. Cari volume benda yang terbentuk karena perputaran daerah yang dibatasi oleh y2 =
8x dan latus rectumnya (x = 2) sekeliling latus rectum itu.
Lihat Gambar 35-2 di atas. Bagilah daerah itu dengan irisan horisontal. Jika persegi
panjang yang didekati dari Gambar 35-2 diputar sekeliling latus rectum parabola,
maka terbentuk cakram dengan jari-jari 2 – x, tingginya Δy, volumenya π(2 – x)2Δy.
Volume yang ditanyakan ialah
V = 4
ò p
(2 – x)2dy = 2π 4 ( ) 2
- 4
0
ò 2 - x dy = 2π
2 2 4
0
ò æ ö
ç 2
- y ¸
dy =
è 8
ø 256
15
π satuan kubik
3. Cari volume benda yang terbentuk karena perputaran daerah yang dibatasi oleh y =
8x dan latus rectumnya (x = 2) sekeliling sumbu-y.
Lihat Gambar 35-3 di bawah. Bagilah daerah itu dengan irisan horisontal. Jika persegi
panjang yang didekati Gambar 35-3 diputar sekeliling sumbu-y, yang membentuk
sebuah pembersih yang volumenya berbeda dari volume yang dibentuk dengan
perputaran ECDF (dimensi 2 x Δy) dan persegi panjang EABF (dimensi x x Δy)
sekeliling sumbu-y, yaitu π(2)2Δy - π(x)2Δy. Volume yang ditanyakan ialah
V = 4
p x
- ò dy = 2π ( ) 4 2
ò 4p
dy - 4 2
- 4
4
0
ò 4 - x dy = 2π
ò 4 æ 4
- y 4
ö
ç ¸
dy =
0
è 64
ø 128
5
π satuan
kubik
x
y ( 2 , 4 )
P ( x , y )
O 2
( 2 , - 4 )
E
F
C
D
A
B
y
y
x
O
y = 6
P ( x , y )
x
4
4. Cari volume benda yang terbentuk oleh perputaran daerah perpotongan parabola y =
4x – x2 dengan sumbu-x, sekeliling garis y = 6.

Lihat Gambar 35-4 di atas. Bagilah daerah itu dengan irisan vertikal. Benda padat
yang terbentuk oleh perputaran persegi panjang yang didekati sekeliling y = 6 ialah
cincin penutup, volumenya π(6)2Δx - π(6 - y)2Δx. Volume yang ditanyakan ialah
V = π {( ) ( ) } 4 2 2
0
ò 6 - 6 - y dx = π ( ) 4 2
0
ò 12y - y dx
= π ( ) 4 2 3 4
0
ò 48x - 28x + 8x - x dx =
p
satuan kubik
1408
15
5. Lihat Gambar 35-5 di bawah. Misalkan volume yang ditanyakan terbentuk oleh
perputaran sekeliling sumbu-y, daerah kuadran I di bawah kurva y = f(x) dari x = a ke
x = b. Daerah terbagi atas n pita dan setiap pita didekati oleh persegi panjang. Jika
persegi panjang yang mewakili itu diputar sekeliling sumbu-y, suatu rumah siput yang
berbentuk tabung dengan tinggi yk, jari-jari dalam ξk-1, jari-jari luar ξk dan volumenya
(i) ΔkV = π( x 2 - x 2 )
k k - 1 yk
Terbentuk dengan ketentuan rata-rata untuk turunan,
d x
dx =
k k 1 x x - - = ( 2 )
(ii) 2 2
x x'k
• ( ) k k 1 x x - - = 2x’kΔkx
di mana ξk-1 < x’k < ξk. Maka (i) menjadi
ΔkV = 2πx’kykΔkx = 2πx’kf(xk)Δkx
dan V = 2π lim
n®+¥
1
'
n
k
k
x
= å
f(xk)Δkx = 2π b
a
ò x f(x) dx dengan Teorema Bliss
Catatan: Jika kebijaksanaan dalam memilih xk sebagai titik tengah dari selang bagian,
yang dipergunakan pada bab sebelumnya, diikuti, Teorema Bliss tidak dibutuhkan.
Karena, dari Soal 17(b), Bab 21, x’k didefinisikan oleh (ii) di atas, maka x’k = 1
2 (ξk +
ξk-1) = xk. Jadi volume yang terbentuk karena perputaran n buah persegi panjang
sekeliling sumbu-y ialah
1
2
n
k
k
p x
= å
f(xk)Δkx = ( )
1
n
k
k
g x
= å
Δkx dari (i) pada Bab 33.
y
x
O a b
y = f ( x )
x k
x k
k - 1
k
y k
O x
( 2 , - 4 )
2
A B
x
x
y
P ( x , y )
( 2 , 4 )
6. Cari volume benda yang terbentuk karena perputaran daerah yang dibatasi oleh y2 =
8x dan latus rectumnya sekeliling latus rectum. Gunakan metode rumah siput. (Lihat
Soal 2).
Lihat Gambar 35-6 di atas. Bagilah daerah itu dengan irisan vertikal dan, untuk
memudahkan, pilihlah titik P sedemikian rupa, sehingga x merupakan titik tengah
dari garis AB.

Persegi panjang yang didekati pada Gambar 35-6, tingginya ialah 2y = 4 2x ,
lebarnya Δx dan jarak rata-rata dari latus rectumnya ialah 2 – x. Jika persegi panjang
itu diputar sekeliling latus rectumnya, volume rumah siput yang berbentuk silinder
yang terjadi ialah 2π(2 – x) • 4 2x Δx. Volume yang ditanyakan ialah
V = 8 2 π ( ) 2
0
ò 2 - x x dx = 8 2 π ( ) 2 1/2 3/2
0
ò 2x - x dx =
p
satuan kubik
256
15
7. Cari volume torus yang terbentuk oleh perputaran lingkaran x2 + y2 = 4 sekeliling
garis x = 3.
Dipergunakan metode rumah siput. Persegi panjang yang didekati mempunyai tinggi
2y, tebal Δx, dan jarak rata-rata dari sumbu putar 3 – x. Volume yang ditanyakan ialah
V = 2π 2
ò 2y
(3 – x)dx = 4π 2
( ) - 2
ò 3 - x
4 - x2 dx
-
2
= 12π 2 2
ò 4 - x
dx - 4π 2
-
2
ò x
4 - x2 dx
- 2
p x x x p x
= ( )
2
2 2 3/2
2
12 4 arc sin 4 4
2 2 3
-
é æ - + ö + - ù ê çè ø¸ ú ë û
= 24π2 satuan kubik y
x
x = 3
2
3 x
P ( x , y )
- 2 O
Gambar 35-7
8. Cari volume benda yang terbentuk oleh perputaran sekeliling sumbu-y, daerah antara
busur pertama sikloida x = θ – sin θ, y = 1 – cos θ dan sumbu-x. Gunakan metode
rumah siput.
V = 2π 2
ò q =
p
xy dx = 2π 2
( ) q
= 0
ò p q - sin q (1 – cos θ)(1 – cos θ)dθ
0
= 2π ( ) 2 2 2
ò p q - 2 q cos q +q cos q - sin q + 2sin q cos q - cos q sin q dθ
0
= 2π 3 2 ( ) 1 ( 1 1 )
4 2 2 4 éë q - 2 q sinq + cosq + q sin 2q + cos 2q
+ cos q + sin 2 q + 2 p 1
cos 3 q ùû = 6π3 satuan kubik
3 0
y P ( x , y )
x
O x 2
Gambar 35-8
9. Cari volume benda, jika daerah yang dibatasi oleh y = -x2 – 3x + 6 dan x + y – 3 = 0
diputar (a) sekeliling x = 3, (b) sekeliling y = 0.
(a) V = 2π ( ) 1
ò y - y
C L (3 – x)dx
-
3 = 2π ( ) 1 3 2
ò x - x - 9x + 9
dx = 256π/3 satuan kubik
-
3

(b) V = π {( ) ( ) } 1 2 2
ò y - y
dx
-
3 C L = π ( ) 1 4 3 2
ò x + 6x - 4x - 30x + 27
dx = 1792π/15 satuan kubik
-
3
x
x = 3
O
( 1 , 2 )
( - 3 , 6 )
y
( x , y )
( x , y )
C
L
Gambar 35-9
Soal-soal Tambahan
Dari Soal 10-19, cari volume yang terbentuk oleh perputaran daerah yang diketahui
sekeliling garis yang diketahui, gunakan metode cakram A. (Jawaban dalam satuan
kubik).
10. y = 2x2, y = 0, x = 0, x = 5; sumbu-x Jawab: 2500π
11. x2 – y2 = 16, y = 0, x = 8; sumbu-x Jawab: 256π/3
12. y = 4x2, x = 0, y = 16; sumbu-y Jawab: 32π
13. y = 4x2, x = 0, y = 16; y = 16 Jawab: 4096π/15
14. y2 = x3, y = 0, x = 2; sumbu-x Jawab: 4π
15. y = x3, y = 0, x = 2; x = 2 Jawab: 16π/5
16. y2 = x4(1 – x2); sumbu-x Jawab: 4π/35
17. 4x2 + 9y2 = 36; sumbu-x Jawab: 16π
18. 4x2 + 9y2 = 36; sumbu-y Jawab: 24π
19. Di dalam x = 9 – y2, di antara x – y – 7 = 0, x = 0; sumbu-y Jawab: 963π/
sekeliling garis yang diketahui, gunakan metode cakram B. (Jawaban dalam satuan
kubik).
20. y = 2x2, y = 0, x = 0, x = 5; sumbu-y Jawab: 625π
21. x2 – y2 = 16, y = 0, x = 8; sumbu-y Jawab: 128 3 π
22. y = 4x2, x = 0, y = 16; sumbu-x Jawab: 2048π/5
23. y = x3, x = 0, y = 8; x = 2 Jawab: 144π/5
24. y = x2, y = 4x – x2; sumbu-x Jawab: 32π/3
25. y = x2, y = 4x – x2; y = 6 Jawab: 64π/3
26. x = 9 – y2, x – y – 7 = 0; x = 4 Jawab: 153π/5
sekeliling garis yang diketahui, gunakan metode rumah siput. (Jawaban dalam satuan
kubik).
27. y = 2x2, y = 0, x = 0, x = 5; sumbu-y
28. y = 2x2, y = 0, x = 0, x = 5; x = 6
29. y = x3, y = 0, x = 2; y = 8
30. y = x2, y = 4x – x2; x = 5

31. y = x2 – 5x + 6, y = 0; sumbu-y
32. Di dalam x = 9 – y2, di antara x – y – 7 = 0, x = 0, y = 3
Jawab: (27) 625π, (28) 375π, (29) 320π/7, (30) 64π/3, (31) 5π/6, (32) 369π/2
Dari Soal 33-39, cari volume yang terbentuk oleh perputaran daerah yang diketahui,
sekeliling garis yang diketahui, gunakan metode yang cocok.
33. y = e-x2 , y = 0, x = 0, x = 1; sumbu-y Jawab: π(1 – 1/e) satuan kubik
34. Satu busur y = sin 2x; sumbu-x Jawab: 1 2
4 x satuan kubik
35. Busur pertama y = ex sin x; sumbu-x Jawab: π(e2π – 1)/8 satuan kubik
36. Busur pertama y = ex sin x; sumbu-y Jawab: π[(π – 1)eπ – 1] satuan kubik
37. Busur pertama x = θ – sin θ, y = 1 – cos θ; sumbu-x Jawab: 5π2 satuan kubik
38. Kardioida x = 2 cos θ – cos 2θ – 1, y = 2 sin θ – sin 2θ; sumbu-x Jawab: 64π/3 satuan
kubik
39. y = 2x2, 2x – y + 4 = 0; x = 2 Jawab: 27π satuan kubik
40. Dapatkan volume kerucut terpancung, yang alas bawahnya berjari-jari R, alas atasnya
berjari-jari r, dan tingginya h. Jawab: 1
3 πh(r2 + rR + R2) satuan kubik

Turunan (Differensial)

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Turunan (Differensial) (20)

More from fauz1 (8)

Recently uploaded (13)

Turunan (Differensial)