1. Slide -
Slide - 1
1
V
Variabel
ariabel dan
dan F
Fungsi
ungsi
2. Slide -
Slide - 2
2
Sistem Bilangan
Bilangan Riil
Bilangan
Rasional
Bilangan
Irrasional
Bilangan bulat positif
Bilangan bulat negatif
Bilangan nol
Pecahan a/b,dengan a & b bulat
2 = 1,4142
= 3,14159
3. Slide -
Slide - 3
3
Dalam definisi selang a < x < b :
(i) simbol a & b menyatakan suatu bilangan tunggal & disebut
suatu konstanta
(ii) simbol x menyatakan tiap bilangan suatu himpunan
(kumpulan) bilangan-bilangan dan disebut peubah (variabel).
Jangkauan (range) suatu peubah ad. nama lain untuk
himpunan bilangan yang diwakilinya.
4. Slide -
Slide - 4
4
FUNGSI
Fungsi suatu bentuk hubungan matematis yang
menyatakan hubungan ketergantungan
(hubungan fungsional) antara satu variabel
dengan variabel lain.
Unsur-unsur pembentuk fungsi :
variabel,
koefisien dan
konstanta
Variabel Unsur pembentuk fungsi yg mencerminkan atau
mewakili faktor tertentu.
Berdasarkan kedudukan/sifatnya variabel dibedakan :
variabel bebas
variabel terikat.
5. Slide -
Slide - 5
5
Variabel
Variabel bebas : variabel yg nilainya tidak tergantung pada
variabel lain.
Variabel terikat (tetap) : variabel yg nilainya tergantung pada
variabel lain
Koefisien dan Konstanta
Koefisien : bilangan/angka yg terkait pada dan terletak
didepan suatu variabel dalam sebuah fungsi.
Konstanta : bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut
membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai
bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu.
6. Slide -
Slide - 6
6
Fungsi Dari Sebuah Variabel
y = f(x) variabel y merupakan fungsi dari variabel x jika terdapat
suatu hubungan, shg u/ setiap harga x dalam daerahnya dapat ditentukan
suatu nilai y : x = variabel bebas, sedang
y = variabel tdk bebas karena nilainya ditentukan pilihan
nilai x.
Simbol f(x) dibaca ”fungsi x” atau ”fungsi dari x” digunakan u/ menyatakan
fungsi dari x. Jika dalam soal yg sama dijumpai fungsi lain dari x, maka
digunakan notasi lain sbg berikut :
g(x), h(x), F(x), G(x), ........
Dlm mempelajari fungsi y = f (x) perlu diketahui daerah dari variabel bebas
x, juga disebut ”domain” yang menentukan dari fungsi.
a) Fungsi f(x) dikatakan tertentu dalam suatu interval jika dapat
ditentukan u/ tiap nilai x dari inteval tersebut.
b) Jika f(x) ad. fungsi dari x & a dalam domain yg menentukan, maka
f (a) diartikan sebuah bilangan yg diperoleh dari f (x) menggantikan x
oleh a.
8. Slide -
Slide - 8
8
Operasi pada Fungsi
Operasi pada fungsi Rumus
Penjumlahan (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Selisih (f – g)(x) = f(x) – g(x)
Hasil Kali (f . g)(x) = f(x) . g(x)
Hasil Bagi
Fungsi bukanlah bilangan.Tetapi seperti halnya dua bilangan a
dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan
baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan
untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g.
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
f
9. Slide -
Slide - 9
9
Fungsi Aljabar
Fungsi Aljabar terdiri dari :
Fungsi Linier
Fungsi Kuadrat
Fungsi pangkat banyak
Fungsi pecah
Fungsi Linier (fungsi garis lurus) :
Fungsi Linier (fungsi garis lurus) :
adl. st fungsi dimana variabel bebasnya paling tinggi
berpangkat satu.
Bentuk umum fungsi linier :
y = f(x) = ax + b b : konstanta
x : variabel bebas
y : variabel tidak bebas/yg
dipengaruhi
10. Slide -
Slide - 10
10
Contoh Fungsi Linier
x -2 -1 0 1 2
y -4 -1 2 5 8
1) y = 3x + 2
Penyelesaian :
Dengan menggunakan tabel x dan y :
Dgn menggambarkan grafik fungsi :
titik potong dgn sumbu y pd x =0
maka y =2 titiknya adl. A (0,2)
titik potong fungsi dgn sumbu x
pd y = 0, maka x = -2/3 titiknya
adl. B (-2/3 ; 0)
11. Slide -
Slide - 11
11
Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat merup. Suatu fungsi non-linier (garis tdk lurus) yang variabel
bebasnya berpangkat dua.
Grafik dari fungsi kuadrat apabila digambarkan merupakan garis tdk lurus
yg berbentuk parabola.
Bentuk umum fungsi kuadrat :
1) y = f(x) y = ax2
+ bx + c
dimana : a, b, c : adl. Konstanta
x : variabel bebas
y : variabel tdk bebas
2) x = f(y) x = ay2
+ by + c
dimana : a, b, c : adl. Konstanta
y : variabel bebas
x : variabel tdk bebas
12. Slide -
Slide - 12
12
Fungsi Kuadrat : y = f(x) y = ax2
+ by +c
1) diketahui : y = x2
– 5x + 6
Jawab :
* dengan menggunakan tabel x dan y ”curve tracing process” :
X -2 -1 0 1 2½ 3 4 5
Y 20 12 6 2 -¼ 0 2 6
* Gambarkan Grafik : dgn menghubungkan titik-titik koordinat
tersebut, grafik fungsi akan merupakan suatu garis tdk lurus
yang berbentuk parabola.
13. Slide -
Slide - 13
13
1) diketahui : y = x2
– 5x + 6
Jawab :
Grafik fungsi :
14. Slide -
Slide - 14
14
1) diketahui : y = x2
– 5x + 6
Jawab :
Ciri-ciri matematis dari fungsi kuadrat, bila y = f(x) = ax2
+ bx + c :
a) Titik potong fungsi dgn sumbu y adl. pada x = 0, maka y = c.
Titiknya adalah a (0,c)
b) Titik potong fungsi dengan sumbu x adl. Pada y = 0, jadi
ax2
+ bx + c = 0. Ada 3 kemungkinan yang terjadi, yaitu :
i) Bila deskriminan (D) b2
– 4ac > 0 , maka terdapat 2 buah
titik potong :
ii) Bila D adl. Sama dengan 0 (b2
– 4ac = 0), maka hanya
terdapat satu buah titik potong fungsi kuadrat dgn
sumbu x.
iii) Bila D < 0, maka tdk terdapat titik potong fungsi kuadrat dgn
sumbu x.
2a
4ac
b
1
2
2a
b
x
2a
4ac
b
2
2
2a
b
x
;
Lanjutan
15. Slide -
Slide - 15
15
Variabel & Fungsi KALKULUS - 1
1) diketahui : y = x2
– 5x + 6
Jawab :
c) Titik puncak, yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat
(parabola) kembali ke arah semula.
Titik puncak :
d) sumbu simetri : sumbu yg membagi/membelah dua grafik fungsi
kuadrat menjadi dua bagian yg sama.
Persamaan sumbu simetri :
Lanjutan
4a
4ac)
(b
y
;
4a
D
2a
b
x
P
2
2a
b
x
16. Slide -
Slide - 16
16
1) diketahui : y = x2
– 5x + 6
Jawab :
Untuk soal :
Titik potong fungsi dgn sumbu y adl. Pada x = 0, y = 6
titiknya : A (0,6)
Titik potong fungsi dgn sumbu x pd y = 0, dimana :
D = b2
– 4ac = 25 – 4(6) = 1 > 1. Maka terdapat 2 titik potong :
a) titiknya B1 (3,0)
b) titiknya B2 (2,0)
Titik puncak :
Lanjutan
3
2
4(6)
25
5
x1
2
2
4(6)
25
5
x2
1/4
4
4(6)
(25
y
;
2
5
x
P
17. Slide -
Slide - 17
17
1) diketahui : y = x2
– 5x + 6
Jawab :
Untuk soal :
Sumbu simetrinya :
Lanjutan
2
1
2
2
5
x
2) diketahui : y = -x2
+ 6x - 9
Gambarkan grafik fungsi tersebut.
18. Slide -
Slide - 18
18
Pembentukan Persamaan Linier
Pers. Linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, tergantung
pd data yg tersedia :
1. cara dwi-koordinat
2. cara koordinat-lereng
3. cara penggal-lereng
4. cara dwi-penggal
Apabila diketahui 2 buah titik A dan B dengan koordinat masing2
(x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan liniernya adalah :
1. Cara Dwi-koordinat
1
2
1
1
2
1
x
x
x
x
y
y
y
y
19. Slide -
Slide - 19
19
Pembentukan Persamaan Linier
contoh :
1. Tentukan pers. Linier yang garisnya melalui titik A (2, 3) dan B (6, 5).
Jawab :
2. Tentukan pers. linier yg garisnya melalui titik C (-1, 4) dan B (1, 0)
1. Cara Dwi-koordinat
1
2
1
1
2
1
x
x
x
x
y
y
y
y
2
6
2
3
5
3
x
y
4
2
2
3
x
y
4
2
12
4
x
y
x
y
x
y 5
,
0
2
8
2
4
20. Slide -
Slide - 20
20
Pembentukan Persamaan Linier
Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan lereng
garisnya adalah b, maka rumus persamaan liniernya adalah :
Contoh :
Jika diketahui bahwa titik A (2, 3) dan lereng garisnya adalah 0,5; maka
tentukan pers. Linier yg memenuhi kedua data tsb.
Jawab :
2. Cara Koordinat -Lereng
garis
lereng
b
)
( 1
1 x
x
b
y
y
)
( 1
1 x
x
b
y
y
)
2
(
5
,
0
3
x
y
x
y
x
y 5
,
0
2
1
5
,
0
3
21. Slide -
Slide - 21
21
Pembentukan Persamaan Linier
Sebuah pers. Linier dapat dibentuk apabila diketahui penggalnya pd
salah satu sumbu dan lereng garis yg memenuhi persamaan tsb.
Persamaan liniernya adl :
Mis. Penggal & lereng garis y = f(x) masing-masing adalah 4 dan 2,
maka pers. Liniernya adalah :
3. Cara Penggal-Lereng
lereng)
b
penggal,
(a
bx
a
y
x
y 2
4
22. Slide -
Slide - 22
22
Pembentukan Persamaan Linier
Sebuah pers. Linier dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tsb
pd masing2 sumbu, yaitu penggal pd sumbu vertikal (pd saat x = 0) dan
Penggal pd sb horizontal (pd saat y = 0).
Apabila a & c adalah penggal pd sumbu vertikal & horizontal dari
sebuah garis lurus, maka pers. Garisnya adalah :
Contoh :
Mis. Penggal sebuah garis pd sumbu vertikal & sb horizontal adalah 2
dan 4, maka pers. Linier yg memenuhi adalah :
4. Cara Dwi-Penggal
horizontal
penggal
b
vertikal;
penggal
a
x
c
a
a
y
x
c
a
a
y
x
y
x
y 5
,
0
2
)
4
(
2
2
23. Slide -
Slide - 23
23
Pencarian Akar-akar Persamaan Linier
akar-akar pers. Linier besarnya nilai variabel-variabel didalam
persamaan tsb.
Penyelesaian pers. Linier dapat dilakukan dengan :
1. cara subsitusi
2. cara eliminasi
3. cara determinan
1. Cara Subsitusi
2 buah persamaan dgn 2 bilangan/variabel yg belum diketahui nilainya
dapat diselesaikan dgn cara :
selesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan u/ salah satu variabel
subsitusikan hasilnya ke dalam persamaan yg lain.
24. Slide -
Slide - 24
24
1. Cara Subsitusi
Contoh :
Carilah nilai-nilai variabel x dan y dari 2 persamaan berikut :
2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Jawab :
Mis. Selesaikan dahulu pers (2), diperoleh : x = 23 – 4y, kemudian
subsitusikan hasil ( x = 23 – 4y) ke dalam pers. (1), sehingga :
2x + 3y = 21
2 (23 – 4y) + 3y = 21
46 – 8y + 3y = 21
46 – 5y = 21 y = 5
Hasil y = 5, masukkan ke dalam salah satu pers. untuk memperoleh nilai x :
2x + 3y = 21
2x + 3 (5) = 21 x = 3
Jadi, akar-akar pers. Tsb adalah : x = 3 dan y =5
25. Slide -
Slide - 25
25
2. Cara Eliminasi
2 buah persamaan dgn 2 bilangan/variabel yg belum diketahui nilainya
dapat diselesaikan dgn cara :
menghilangkan sementara (mengeliminasi) salah satu dari variabel yg
ada, shg dapat dihitung nilai dari variabel yg lain.
Contoh :
Carilah nilai variabel x dan y dari 2 persamaan berikut :
2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Jawab :
Mis. Variabel yg akan dieliminasi adalah x, maka kalikan pers. (1) dgn 1 dan
pers (2) dgn 2, sehingga :
2x + 3y = 21
2x + 8y = 46 (-)
-5y = -25
y = 5
Dgn memasukkan hasil y = 5 ke dalam salah
satu persamaan, diperoleh x =3.
Jadi, akar-akar persamaannya adalah :
X = 3 dan y = 5
26. Slide -
Slide - 26
26
3. Cara Determinan
Digunakan u/ menyelesaikan persamaan yang jumlahnya besar 2
2 buah pers. Dengan 2 buah variabel :
ax + by = c
dx + ey = f
penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan sbb :
db
ae
fb
ce
e
d
b
a
e
f
b
c
D
Dx
x
db
ae
d
a
e
d
b
a
f
d
c
a
D
Dy
y
c
f
27. Slide -
Slide - 27
27
3. Cara Determinan
3 buah pers. dengan 3 buah variabel :
ax + by + cz = k
dx + ey + fz = l
gx + hy + iz = m
penyelesaian untuk x, y dan z dapat dilakukan sbb :
afh
dbi
gec
chd
bfg
aei
i
h
g
f
e
d
c
b
a
D
kfh
lbi
mec
chl
bfm
kei
i
h
m
f
e
l
c
b
k
Dx
28. Slide -
Slide - 28
28
3. Cara Determinan
3 buah pers. dengan 3 buah variabel :
Sehingga :
afm
dki
glc
cmd
kfg
ali
i
m
g
f
l
d
c
k
a
Dy
alh
dbm
gek
khd
blg
aem
m
h
g
l
e
d
k
b
a
Dz
D
D
x x
D
D
y
y
dan
D
D
z z
29. Slide -
Slide - 29
29
3. Cara Determinan
Contoh :
1. Tentukan nilai variabel x dan y dari kedua persamaan berikut :
2x + 3y = 21
x + 4y = 23
Jawab :
Maka :
5
)
3
)(
1
(
)
4
).(
2
(
4
1
3
2
D 15
)
3
)(
23
(
)
4
).(
21
(
4
23
3
21
Dx
25
)
21
)(
1
(
)
23
).(
2
(
23
1
21
2
Dy
3
5
15
D
D
x x
5
5
25
D
D
y
y
31. Slide -
Slide - 31
31
3. Cara Determinan
2. Jawab :
Maka :
14
7)
(1)(2)(
3)
(2)(0)(
1)
(0)(14)(
7)(2)
1)(
(
(0)(2)(0)
3)
(1)(14)(
3
-
7
-
0
2
14
2
1
-
0
1
Dy
21
(1)(14)(1)
7)
(2)(2)(
(0)(5)(0)
(0)(1)(2)
(2)(14)(0)
7)
(1)(5)(
7
-
1
0
14
5
2
0
2
1
Dz
1
7
7
D
D
x x
2
7
14
D
D
y
y 3
7
21
D
D
z z
32. Slide -
Slide - 32
32
Fungsi Trigonometri
Sifat-sifat dasar Sinus dan Kosinus
Andaikan t menentukan titik P(x,y) seperti ditunjukkan diatas. Maka
sin t = y dan cos t = x
x dan y bervariasi antara -1 dan 1, sehingga :
Karena t dan t + 2 menentukan titik P(x , y) yang sama,
Kesamaan penting yang menghubungkan fungsi-fungsi sinus dan kosinus :
1
sin
t 1
cos
t
t
t sin
)
2
sin(
t
t cos
)
2
cos(
t
t cos
2
sin
t
t sin
2
cos
1
cos
sin 2
2
t
t
t
t
t
sin
cos
cot
t
t
t
cos
sin
tan
t
t
cos
1
sec
t
t
sin
1
csc
33. Slide -
Slide - 33
33
Buktikan :
dan
t
sec
t
tan
1 2
2
t
csc
t
cot
1 2
2
Penyelesaian :
t
cos
t
sin
t
cos
2
2
2
t
cos
t
sin
1
t
tan
1
a) 2
2
2
t
sec
t
cos
1 2
2
t
sin
t
cos
1
t
cot
1
b) 2
2
2
t
csc
t
sin
1
t
sin
t
cos
t
sin
2
2
2
2
2
34. Slide -
Slide - 34
34
Soal-soal tambahan :
1. Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini
dan perlihatkan himpunan penyelesaiannya pada garis riil :
a) c) (x + 3)(x -2)(x – 4) < 0
b) d)
0
70
17
2
x
x
0
4
5
2 2
x
x 0
)
3
(
)
1
( 2
x
x
2. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang
diberikan dibawah ini :
a) c)
b) d)
4
5
2
x
3
7
2
x
10
2
x
4
7
x
3
2
x
3. Diketahui : f(x) = sin (2x) + cos (x), maka tentukan f(/2) !
35. Slide -
Slide - 35
35
4) Jika diketahui :
Buktikan bahwa :
3) Diberikan
Hitung : f (0) ; f (2a) ; dan
4
2
)
( 2
x
x
x
f
x
f
1
x
1
)
x
(
f
a
b
ab
f
b
f
a
f )
(
)
(
