Vphnb

N i Dung

GI I TÍCH CƠ B N
4. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHI U BI N

PGS.TS Lê Hoàn Hoá

Khoa Toán-Tin h c, Đ i h c Sư Ph m TPHCM
http://math.hcmup.edu.vn

Ngày 19 tháng 12 năm 2009

PGS Lê Hoàn Hoá Ôn thi cao h c năm 2010

N i Dung

N i dung

1 S liên t c
Không gian n
Gi i h n và s liên t c :

2 S kh vi
Đ o hàm riêng
S kh vi
Hàm n


S liên t c Không gian n
S kh vi Gi i h n và s liên t c :

N i dung

1 S liên t c
Không gian n

2 S kh vi
Đ o hàm riêng
S kh vi
Hàm n



n
Không gian



n
Không gian

Chu n Euclide



n
Không gian

Chu n Euclide
V ix x1 x2 xn y y1 y2 yn n ,đ t:



n
Không gian

Chu n Euclide
1
i) x 2
x1 2
x2 2
xn 2 là chu n Euclide c a x



n
Không gian

Chu n Euclide
1
i) x 2
x1 2
x2 2
1
ii) d x y x y x1 y1 2 x2 y2 2 xn yn 2 2

là kho ng cách gi a x y .



n
Không gian

Chu n Euclide
1
i) x 2
x1 2
x2 2
1
ii) d x y x y x1 y1 2 x2 y2 2 xn yn 2 2

là kho ng cách gi a x y .
iii) B x r y n d x y r là qu c u m tâm x, bán
kính r .



Đ nh nghĩa



Đ nh nghĩa

Đi m biên



Đ nh nghĩa

Đi m biên
Cho D n , đi m x n đư c g i là đi m biên c a D n u v i
m i r 0 thì B x r D và B x r n D .



Đ nh nghĩa

Đi m biên

N u x là đi m biên c a D thì x cũng là đi m biên c a n D.



Đ nh nghĩa

Đi m biên


T p t t c các đi m biên c a D đư c g i là biên c a D, ký hi u
D.
Ta có: D n D



Đ nh nghĩa

Đi m biên


D.
Ta có: D n D

T pm



Đ nh nghĩa

Đi m biên


D.
Ta có: D n D

T pm
T p D đư c g i là m n u m i x D, có r 0 sao cho
B x r D. N u D là t p m , x D thì x không là đi m biên
c a D.



Đ nh nghĩa

Đi m biên


D.
Ta có: D n D

T pm
T p D đư c g i là m n u m i x D, có r 0 sao cho
B x r D. N u D là t p m , x D thì x không là đi m biên
c a D.
V y n u D là t p m thì D không ch a đi m biên c a D và ngư c
l i.


Đ nh nghĩa

T p đóng



Đ nh nghĩa

T p đóng
TpA n đư c g i là đóng n u n A là t p m . A là t p đóng
A A



Đ nh nghĩa

T p đóng
A A
Đ t:
0
D D D là t p m l n nh t ch a trong D và g i là ph n
trong c a D.



Đ nh nghĩa

T p đóng
A A
Đ t:
0
trong c a D.
D D D là t p đóng bé nh t ch a D và g i là bao đóng
c aD



Đ nh nghĩa

T p đóng
A A
Đ t:
0
trong c a D.
c aD

T p b ch n



Đ nh nghĩa

T p đóng
A A
Đ t:
0
trong c a D.
c aD

T p b ch n
Tâp D đư c g i là b ch n n u có M 0 sao cho x M v i
m ix D



n
Không gian

Đ nh lý



n
Không gian

Đ nh lý
i) n là không gian đ y đ , nghĩa là m i dãy cơ b n trong n

đ uh it .



n
Không gian

Đ nh lý
i) n là không gian đ y đ , nghĩa là m i dãy cơ b n trong n

đ uh it .
ii) Cho A là t p đóng b ch n trong n và xk k là dãy trong A.
Khi đó có dãy con xk i i c a dãy xk k sao cho lim xk i x
i
và x A



Đ nh nghĩa

Đi m gi i h n



Đ nh nghĩa

Đi m gi i h n
Cho D n



Đ nh nghĩa

Đi m gi i h n
Cho D n

i) Đi m x0 n đư c g i là đi m gi i h n (hay đi m t ) c a D

n u v i m i r 0 thì

D B x0 r x0



Đ nh nghĩa

Đi m gi i h n
Cho D n

i) Đi m x0 n đư c g i là đi m gi i h n (hay đi m t ) c a D

n u v i m i r 0 thì

D B x0 r x0

ii) M nh đ : x0 là đi m gi i h n c a D n u và ch n u có dãy
xk k trong D, xk x0 , lim xk x0
k



Đ nh nghĩa

Gi i h n c a hàm s



Đ nh nghĩa

Gi i h n c a hàm s
Cho f D và x0 là đi m gi i h n c a D.
Ta nói:



Đ nh nghĩa

Gi i h n c a hàm s
Ta nói:
i)
lim f x a 0 0 x D 0 d x x0
x x0
f x a



Đ nh nghĩa

Gi i h n c a hàm s
Ta nói:
i)
x x0
f x a
ii)
lim f x A 0 x D 0 d x x0
x x0
f x A



Đ nh nghĩa

Gi i h n c a hàm s
Ta nói:
i)
x x0
f x a
ii)
x x0
f x A
ii)
x x0
f x A



Gi i h n và s liên t c




Gi i h n c a hàm s




Gi i h n c a hàm s
Ta có :
lim f x a xk k D xk x0 lim xk x0
x x0 k

lim f xk a
k




Gi i h n c a hàm s
Ta có :
x x0 k

lim f xk a
k

Ghi chú




Gi i h n c a hàm s
Ta có :
x x0 k

lim f xk a
k

Ghi chú
Đ ch ng minh không có lim f x ta c n ch ra có hai dãy
x x0
xk k yk k trong D xk x0 yk y0 lim xk x0 lim yk mà
k k
lim f xk lim f yk
k k



Đ nh nghĩa

Hàm s liên t c



Đ nh nghĩa

Hàm s liên t c
Cho f D và x0 D. Ta nói:



Đ nh nghĩa

Hàm s liên t c
f liên t c t i x0 0 0 x D d x x0
f x f x0



Đ nh nghĩa

Hàm s liên t c
f liên t c t i x0 0 0 x D d x x0
f x f x0
N u f liên t c t i m i x D ta nói f liên t c trên D




Hàm s liên t c




Hàm s liên t c
f liên t c trên D
x D 0 0 x D d x x
f x f x




Hàm s liên t c
f liên t c trên D
x D 0 0 x D d x x
f x f x
f liên t c đ u trên D
0 0 x x D d x x
f x f x




Hàm s liên t c
Ta có: N u x0 D và x0 là đi m gi i h n c a D thì:
f liên t c t i x0 lim f x f x0
x x0




Hàm s liên t c
x x0

Đ nh nghĩa




Hàm s liên t c
x x0

Đ nh nghĩa
TpD n đư c g i là liên thông n u không có hai t p m

O1 O2 sao cho :




Hàm s liên t c
x x0

Đ nh nghĩa
TpD n đư c g i là liên thông n u không có hai t p m

O1 O2 sao cho :
D Oi ,i 1 2
D O1 O2
D O1 O2 O



Đ nh lý



Đ nh lý

Đ nh lý



Đ nh lý

Đ nh lý
Cho A là t p đóng b ch n trong n và f A liên t c. Khi đó:



Đ nh lý

Đ nh lý
i) f liên t c đ u trên A



Đ nh lý

Đ nh lý
ii) f đ t c c đ i, c c ti u trên A, nghĩa là có x0 y0 A sao cho :

f x0 max f x x A

f y0 min f x x A



Đ nh lý

Đ nh lý
ii) f đ t c c đ i, c c ti u trên A, nghĩa là có x0 y0 A sao cho :

f x0 max f x x A

f y0 min f x x A

iii) N u gi s thêm A liên thông và đ t :
m min f x x A , M max f x x A
Khi đó :f A m M



Ví d 1



Ví d 1

1. Cho f x y 1 x 2 y 2 , mi n xác đ nh
Df x2 y2 1 là t p đóng, b ch n trong 2



Ví d 1

1. Cho f x y 1 x 2 y 2 , mi n xác đ nh
Df x2 y2 1 là t p đóng, b ch n trong 2
x2
Cho g x y y 2 1 ln 4 x 2 y 2 mi n xác đ nh:
4
x2
Dg x y 2
/x 2 y2 4
4
y2 1



Ví d 1

Biên c a Dg là hai đư ng cong :

x2
C1 y2 1 C2 x2 y2 4
4



Ví d 1


x2
C1 y2 1 C2 x2 y2 4
4

M i x y C1 x y 2 0 thì x y Dg



Ví d 1


x2
C1 y2 1 C2 x2 y2 4
4

M i x y C1 x y 2 0 thì x y Dg
M i x y C2 thì x y Dg
Dg là t p b ch n, Dg không là t p đóng cũng không là t p m .
Dg không liên thông



Ví d 1

Th t v y, đ t:
2 2
O1 x y /y 0 O2 x y /y 0

O1 O2 là t p m th a mãn:

Dg Oi i 1 2 Dg O1 O2 Dg O1 O2



Ví d 2



Ví d 2

2. Cho A x y 2 /x y 0 1
B x y 2 /x y 0 1
Khi đó :
0 0
A B 0 1 0 1 A B A B 0 1 0 1



Ví d 2

Th t v y , v i x y 0 1 0 1 và r 0, trong qu c u m
tâm x y bán kính r , g i D là hình vuông m ch a trong qu c u
r r r r
D x x y y
2 2 2 2



Ví d 2

r r r r
D x x y y
2 2 2 2
Do m i kho ng m khác r ng đ u ch a vô s s h u t và s vô t
nên D A D B D 2 A D 2 B



Ví d 2

r r r r
D x x y y
2 2 2 2
Do m i kho ng m khác r ng đ u ch a vô s s h u t và s vô t
nên D A D B D 2 A D 2 B

V y x y A x y B
Ngoài ra, t p các đi m gi i h n c a D cũng là 0 1 0 1



Ví d 3



Ví d 3

3. Tính các gi i h n:
sin xy sin t t
a) lim 3
lim 1 lim t 3
xy 01 1 xy t 0 1 1 t 3 t 0
3
(đ t t xy )
1 cos xy x2 1 cos xy
b) lim lim 0
xy 0 y2 xy 0 x 2y 2
c) lim x 2 y 2 e x y 0
xy



Ví d 3

x2 y2 x2 y2
Th t v y :
ex y ex ey
xy
lim
xy 0 x y
không t n t i.



Ví d 3

Hư ng d n:
xy
Th t v y, đ t: f x y ,
x y



Ví d 3

Hư ng d n:
xy
Th t v y, đ t: f x y ,ch n:
x y

1 1
xk yk 0 0 0 lim f 0 0
k k k

1 1 1
1 1 1 k2
xk yk 0 0 lim f xk yk lim k k
k k k2 k k 1
k2
x 2y
lim không t n t i.
xy 0 x4 y2



Ví d 3

x 2y
Đ t: f x y ,
x4 y2



Ví d 3

x 2y
Đ t: f x y , ch n:
x4 y2

1 1
xk yk 0 0 0 lim f 0 0
k k k

1 1 1 1 1
xk yk 0 0 lim f
k k2 k k k2 2



Ví d 4



Ví d 4

4. Cho D là t p b đóng, b ch n trong n và x0 n. Ch ng
minh: có x1 y1 D sao cho :

d x0 x1 max d x0 x x D

d x0 y1 min d x0 x x D



Ví d 4

4. Cho D là t p b đóng, b ch n trong n và x0 n. Ch ng
minh: có x1 y1 D sao cho :

d x0 x1 max d x0 x x D

d x0 y1 min d x0 x x D
Hư ng d n:
Đ tf D đ nh b i: f x d x0 x thì f liên t c.
Do D là t p đóng, b ch n nên f đ t c c đ i, c c ti u trong D.



Ví d 5



Ví d 5

5. Cho D là t p đóng trong n và x0 n. Ch ng minh: có
x1 D sao cho :

d x0 x1 min d x0 x x D



Ví d 5

5. Cho D là t p đóng trong n và x0 n. Ch ng minh: có
x1 D sao cho :

d x0 x1 min d x0 x x D

Hư ng d n:
Đ t: f D đ nh b i: f x d x0 x thì f liên t c.
V i M 0 đ l n sao cho D B x0 M B x0 r là qu
c u đóng).
Đ t D1 D B x0 M thì D1 là t p đóng, b ch n.
V y có x1 D sao cho:

d x0 x1 min d x0 x x D1 M



Ví d 5

V ix D, xét hai trư ng h p:
x D1 thì d x0 x d x0 x1
x D thì d x0 x M d x0 x1
V y d x0 x1 min d x0 x x D



Ví d 6



Ví d 6

6. Cho f n liên t c và th a mãn: lim f x 0. Ch ng
x
minh: f liên t c đ u.



Ví d 6

x
Hư ng d n: V i 0, do lim f x 0, có M 0 sao cho khi
x

x thì: f x
3



Ví d 6

x
Hư ng d n: V i 0, do lim f x 0, có M 0 sao cho khi
x

x thì: f x
3
Khi đó: v i x y n x M y M thì
2
f x f y
3



Ví d 6

Do f liên t c đ u trên t p đóng, b ch n B 0 M 1 nên có
0 sao cho khi x y B 0 M 1 d x y thì
f x f y V y f liên t c đ u trên n .



Ví d 7



Ví d 7

7. Cho

x2 y2 x2 y2 x2 y2 0
f x y
a x y 0
2 y2
x2 y 2 ex x2 y2 0
g x y
b x y 0
Đ nh a b đ f g liên t c t i 0 0 .



Ví d 7

7. Cho

x2 y2 x2 y2 x2 y2 0
f x y
a x y 0
2 y2
x2 y 2 ex x2 y2 0
g x y
b x y 0
Đ nh a b đ f g liên t c t i 0 0 .
Hư ng d n:
Đ t t x 2 y 2 , ta có: lim x 2 y 2 x2 y2 lim t t 1
xy 0 t 0
(do lim ln t t lim t ln t 0)
t 0 t 0



Ví d 7

V y: f liên t c t i 0 0 a 1



Ví d 7

Do x y 0, có th gi s x 2 y 2 1. Khi đó:
x2 y2 x2 y2 x2 y2
x2 y2 x2 y2 x2 y2



Ví d 7

Do x y 0, có th gi s x 2 y 2 1. Khi đó:
x2 y2 x2 y2 x2 y2
x2 y2 x2 y2 x2 y2

Suy ra: lim x 2 y2 x2 y2 1
xy 0
V y g liên t c t i 0 0 b 1



Bài t p



Bài t p

1. Kh o sát các gi i h n sau:
y x2 y2
a) lim 2
xy 0y x2 y2 2
1
2
b) lim 1 xy x xy
x 0
y 1



Bài t p

2. Đ nh a đ các hàm s sau lên t c:
x3 y3
cos 2 x2 y2 0
a) f x y x y2
a x y 0
1
x cos 2 x2 y2 0
b) g x y x y2
a x y 0



Bài t p

3. Ch ng minh hàm s sau liên t c đ u trên 2:

1
x y sin x2 y2 0
f x y x2 y2
0 x y 0



Bài t p

3. Ch ng minh hàm s sau liên t c đ u trên 2:

1
x y sin x2 y2 0
f x y x2 y2
0 x y 0

HD: lim f x y 0
x2 y2



Bài t p

4. Ch ng minh hàm s sau không liên t c đ u trên 2:

1
x2 y 2 cos x2 y2 0
f x y x2 y2
0 x y 0



Bài t p

4. Ch ng minh hàm s sau không liên t c đ u trên 2:

1
x2 y 2 cos x2 y2 0
f x y x2 y2
0 x y 0

HD: Hàm f x y tương đương v i hàm g x y x2 y 2 khi
x2 y2


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

N i dung

1 S liên t c
Không gian n

2 S kh vi
Đ o hàm riêng
S kh vi
Hàm n


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Đ nh nghĩa


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Đ nh nghĩa

Đ o hàm riêng
Cho D là t p m trong n, f D .
Đ t ei 0 0 1 0 0 (thành ph n th i b ng 1).


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Đ nh nghĩa

Đ o hàm riêng
Cho D là t p m trong n, f D .
Đ t ei 0 0 1 0 0 (thành ph n th i b ng 1).
f
V ix D, đ o hàm riêng c a f t i x theo bi n xi , ký hi u x ,
xi
đ nh b i:
f x tei f x
x lim (n u gi i h n t n t i, h u h n)
xi t 0 t


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

S kh vi


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

S kh vi

S kh vi


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

S kh vi

S kh vi
Cho D là t p m trong n , f D và x D. Gi s t n t i
f
các đ o hàm riêng x i 1 n.
xi


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

S kh vi

S kh vi
Cho D là t p m trong n , f D và x D. Gi s t n t i
f
các đ o hàm riêng x i 1 n.
xi
Ta nói f kh vi t i x n u v i h h1 h2 hn n sao cho

x h D thì:
n
f
f x h f x x hi h h
xi
i 1

trong đó xác đ nh trong lân c n c a O n th a: lim h 0
h O n


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

S kh vi

Vi phân


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

S kh vi

Vi phân
Vi phân c a f t i x, ký hi u là df x , đ nh b i:
n n
f f
df x x hi x dxi thay hi b ng dxi
xi xi
i 1 i 1


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

S kh vi

Vi phân
n n
f f
xi xi
i 1 i 1

M nh đ :


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

S kh vi

Vi phân
n n
f f
xi xi
i 1 i 1

M nh đ :
i) N u f kh vi t i x thì f liên t c t i x.


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

S kh vi

Vi phân
n n
f f
xi xi
i 1 i 1

M nh đ :
i) N u f kh vi t i x thì f liên t c t i x.
f
ii) N u các đ o hàm riêng i 1 2 n liên t c t i x thì f
xi
kh vi t i x


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ghi chú


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ghi chú

Ghi chú: Hàm
xy
x2 y2 0
f x y x2 y2
0 x y 0

f f
có 0 0 0 0 0 nhưng f không liên t c t i 0 0 (do
x y
không t n t i lim f x y ).
xy 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví du 1


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví du 1

Ví d 1:
x
sin
f x y e y
x
f 1 x sin y
x y cos e
x y y
x
f x x sin y
x y cos e
y y2 y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 1


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 1

y
y z z ln
f x y z e x
x
f z y z f z y z f y y z
x y z , , ln
x y x y y x z x x


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 1

x2 y2 2
f x y e t dt
sin x
f 2
y2 2 2
x y 2xe x cos xe sin x ,
x
f 2
y2 2
x y 2y e x
y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 2


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 2

Ví d 2:
a) Xét s kh vi c a các hàm sau t i 0 0
xy 2
x x2 y2 0
f x y x2 y2
0 x y 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 2 a)


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 2 a)

Ta có:
f f t 0 f 0 0 f f 0 t f 0 0
0 0 lim 1, 0 0 lim
x t 0 t y t 0 t
V ih s t ,
1 f f
s t f s t f 0 0 0 0s 0 0t
s 2 t 2 x y
st 2
s t . Suy ra: lim s t 0
s2 t2 st 0
V y f kh vi t i 0 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 2

3
b) f x y x3 y3
f f t 0 f 0 0
0 0 lim 1,
x t 0 t
f f 0 t f 0 0
0 0 lim 1
y t 0 t
V ih s t ,
1 f f
s t f s t f 0 0 0 0s 0 0t
s 2 t2 x y
1 3
s t s3 t3 s t
s2 t2


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 2 b)


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 2 b)

1 3 1 3
Ch n s t 0, s s s 2 2s 2 2
s 2 2
Suy ra: không có lim s t 0
st 0
V y f không kh vi t i 0 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 3


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 3

Ví d 3: Cho
1
x 2 sin x2 y2 0
f x y x2 y2
0 x y 0

Xét s kh vi c a f t i m i x y 2. Xét s liên t c c a
f f
t i 0 0.
x y
Ti x y 0 0:


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 3

f 1 2x 3 1
x y 2x sin cos
x x2 y2 x2 y2 2 x2 y2
f 2x 2y 1
x y 2 2 2
cos 2
y x y x y2
f f
Do liên t c t i m i x y 0 0 nên f kh vi t i m i
x y
x y 0 0.
Ti 0 0:


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 3

f f t 0 f 0 0 f f 0 t f 0 0
0 0 lim 0, 0 0 lim
x t 0 t y t 0 t
s2 1
V ih s t , s t sin 2
s2 t 2 s t2
Suy ra: lim s t 0
st 0
V y f kh vi t i 0 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 3

Ch n:
1 f 1 f 1
xk yk 0 0 0, 0 0, 0 0
k x k y k
1 1
xk yk 0 0,
2 k 2 k
f f
x y x y 16 k
x k k y k k
f f
Suy ra không t n t i lim x y , lim x y
xy 0 x xy 0 y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 3

f f
V y không liên t c t i 0 0
x y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p

1) Cho
sin xy
f x y x 0
x
Đ nh giá tr c a f t i 0 y đ f liên t c. Khi đó tính
f f
0 0 0 0
x y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p

2) Cho
x2 2y 2
x y
f x y x y
0 x y
a) Xét tính liên t c c a f t i 0 0 và 1 1
f f
b) Tính 0 0 0 0
x y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p

3) Cho
x sin y
x2 y2 0
f x y x2 y2
0 x y 0
Xét s kh vi c a f t i 0 0 .


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p

4) Cho
1
1
e x2 y2 x2 y2 0
f x y x2 y2
0 x y 0

f f
Tính x y x y và xét tính liên t c c a chúng t i m i
x y
x y , đ c bi t t i 0 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p

4) Cho
1
1
e x2 y2 x2 y2 0
f x y x2 y2
0 x y 0

f f
Tính x y x y và xét tính liên t c c a chúng t i m i
x y
x y , đ c bi t t i 0 0
tn
HD: Dùng lim t 0
t e


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p

f f
5) Ch ng t các hàm sau có đ o hàm riêng không liên t c
x y
t i 0 0 nhưng f kh vi t i 0 0 :
1
x2 y 2 sin x2 y2 0
a) f x y x2 y2
0 x y 0
1
ln 1 x2 y 2 sin x2 y2 0
b) f x y x2 y2
0 x y 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p

6) Cho

1
x 2 sin 1 3
x2 y2 0
f x y x2 y2
0 x y 0

f f
Ch ng minh các đ o hàm riêng liên t c t i m i
x y
x y đ c bi t t i 0 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Hư ng d n


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Hư ng d n

HD:
f 1 2 x3 1
x y 2x sin 1 4 cos 1
x x2 y2 3 3 x2 y2 3 x2 y2 3

f 2 x 2y 1
x y cos
y 3 x2 y2 4 3 x2 y2
1
3

x 3 x 1
0 4 1 x 3
x2 y2 3 x2 y2 3
x 2 y y 1
0 4 1 y 3
x 2 y 2 3 x 2 y 2 3


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Hàm n


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Hàm n

Đ nh nghĩa


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Hàm n

Đ nh nghĩa
Cho A n B p , m i ph n t c a A B ghi là x y v i
x A y B. Cho f A B p. M i

x y A B f x y p ghi là:

f x y f1 x y f2 x y fp x y

Các hàm f1 f2 fp A B đư c g i là hàm thành ph n
c a f.


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Hàm n

Đ nh nghĩa
Cho A n B p , m i ph n t c a A B ghi là x y v i
x A y B. Cho f A B p. M i

x y A B f x y p ghi là:

f x y f1 x y f2 x y fp x y

Các hàm f1 f2 fp A B đư c g i là hàm thành ph n
c a f.
M i hàm thành ph n là m t hàm s th c theo n p bi n s th c
x y x1 x2 xn y1 y2 yp


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Phương trình vectơ


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


Đ nh nghĩa


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


Đ nh nghĩa
Phương trình

f x y O p (1)

tương đương v i h th ng g m p phương trình:

f1 x y 0
f2 x y 0
(2)
fp x y 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


Ánh x n


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


Ánh x n
Khi nào t phương trình vectơ (1) có th gi i đư c y x ?
Ánh x xác đ nh trong t p con c a n có giá tr trong p , n u

có, đư c g i là ánh x n suy ra t phương trình vectơ (1).


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


Hàm n
Đi u này tương đương v i bài toán: khi nào t h phương trình (2)
có th gi i đư c y1 y2 yp là các hàm theo các bi n
x1 x2 xn :
y1 1 x1 x2 xn
y2 2 x1 x2 xn

yp p x1 x2 xn
Các hàm 1 2 p, n u có, đư c g i là hàm n suy ra t h
phương trình (2)


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Đ nh lý hàm n i)


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Đ nh lý hàm n i)

Sau đây là đ nh lí hàm n cho trư ng h p đ c bi t
i) Phương trình f x y 0:
f f
Cho f có đ o hàm riêng liên t c trong lân c n c a x0 y0 .
x y
f
Gi s : f x0 y0 0 và x0 y0 0
y
Khi đó, có kho ng m I ch a x0 , hàm y I kh vi liên t c
th a mãn:

y x0 y0 f x y x 0 x I


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Đ nh lý hàm n ii)


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


ii) Phương trình f x y z 0:
Cho f có đ o hàm riêng liên t c trong lân c n c a x0 y0 z0
f
Gi s f x0 y0 z0 0 và x0 y0 z0 0
z
Khi đó có t p m D 2 x y D, hàm z D có đ o
0 0
hàm riêng liên t c th a mãn:

z x0 y0 z0 , f x y z x y 0, x y D


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


và

f f
x y z x y x y z x y
z x z y
x y , x y , x y
x f y f
x y z x y x y z x y
z z


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Đ nh lý hàm n iii)


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


iii) H phương trình:

f x y z 0
g x y z 0

Cho f g có các đ o hàm riêng liên t c trong lân c n c a
M0 x0 y0 z0 . Gi s :

f f
f x0 y0 z0 0 M0 M0
và x y 0
g x0 y0 z0 0 g g
M0 M0
x y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


Khi đó có kho ng m I ch a z0 và các hàm x y I kh vi
liên t c th a mãn:

x z0 x0 , y z0 y0

f x z y z z 0
v i z I
g x z y z z 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


dx dy
và đ o hàm đư c tính t h phương trình tuy n tính:
dz dz
f dx f dy f
0
x dz y dz z
g dx g dy g
0
x dz y dz z


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Đ nh lý hàm n iv)


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


iv)H phương trình:

f x y u v 0
g x y u v 0

Cho f g có các đ o hàm riêng liên t c trong lân c n c a
M0 x0 y0 u0 v0 . Gi s :

f f
f x0 y0 u0 v0 0 M0 M0
và u v 0
g x0 y0 u0 v0 0 g g
M0 M0
u v


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


Khi đó có m t lân c n m D c a x0 y0 và hai hàm u v D
có đ o hàm riêng liên t c theo x y th a mãn:

u x0 y0 u0 , v x0 y0 v0

f x y u x y v x y 0
v i x y D
g x y u x y v x y 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n


u u v v
Các đ o hàm riêng cho b i h 4 phương trình:
x y x y

f u f v f
0
u x v x x
g u g v g
0
u x v x x
f u f v f
0
u y v y y

g u g v g
0
u y v y y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 1

Ví d 1: Cho z z x y xác đ nh t h phương trình

x u v
y u2 v 2 u v
z u3 v 3

z z
Tính
x y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 1

Hư ng d n:
Ta xem u u x y v v x y z z x y là hàm n.
T ba phương trình trên, đ o hàm theo x y :
u v
1
x x u v v u
u v x v u x v u
0 u v
x x


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 1

u v
0
y y u 1 v 1
u v y 2v u y 2v u
1 2u 2v
y y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 1

z u v z
3u 2 3v 2 uv
x x x x
z u v z 3
3u 2 3v 2 u v
y y y y 2


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 2

Ví d 2: Cho u u x y v v x y là hàm n suy ra t h
phương trình:
e uv u v x 1
uv u2 v x y
v i gi thi t u 0 0 0 v 0 0 0
u u v v
Tính 0 0 0 0 0 0 0 0
x y x y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 2

Hư ng d n:
Xem u u x y v v x y là hàm n, t hai phương trình đ o
hàm theo x y :

u v uv u v
u v e 1
x x x x
u v u v
u v 2u 1
x x x x


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 2

u v uv u v
u v e 0
y y y y

u v u v
u v 2u 1
y y y y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 2

Thay u 0 0 0 v 0 0 0, ta đư c:
u v
0 0 0 0 1
x x u
0 0 0
v x
0 0 1
x


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Ví d 2

u v
0 0 0 0 0
y y u
0 0 1
v y
0 0 1
y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p

Bài 1: Cho z z x y là hàm n suy ra t các phương trình sau,
z z
tính :
x y
xy
a) z ln x z 0
z
b) xz e z y x 3 y 3 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p

Bài t p 2: Cho x x z y y z là hàm n suy t h :

z2
x2 y2 0
2
x y z 2

Tính x 2 y 2


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p

Bài t p 3: Cho u u x y v v x y z z x y là hàm n suy
ra t :
x u ln v
y v ln u
z 2u v
z z
Tính t i đi m u 1 v 1.
x y


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p

Bài t p 4: Cho u u x y v v x y là hàm n suy t :

xe u v 2uv 1 0
u
ye u v 2x 0
1 v
u v u v
Tính 1 2 1 2 1 2 1 2 bi t
x y x y
u 1 2 0 v 1 2 0


Đ o hàm riêng
S liên t c
S kh vi
S kh vi
Hàm n

Bài t p

Bài t p 4: Cho u u x y v v x y là hàm n suy t :

xe u v 2uv 1 0
u
ye u v 2x 0
1 v
u v u v
Tính 1 2 1 2 1 2 1 2 bi t
x y x y
u 1 2 0 v 1 2 0
HD: Sau khi đ o hàm riêng hai phương trình theo x y thay đi u
ki n u 1 2 0 v 1 2 0.


Vphnb

More Related Content

Viewers also liked (7)

Vphnb