csdcsv

Дорогие одиннадцатиклассники!
Видели ли вы когда-нибудь, как при строительстве отдельные блоки
и конструкции, дополняя друг друга, складываются в единое сооруже
ние? Именно такой процесс преобразования отдельных частей в единое
целое вы будете наблюдать, изучая геометрию в 11 классе.
В курсе стереометрии 10 класса вы познакомились с основными
фигурами в пространстве — точками, прямыми и плоскостями, исследо
вали их свойства и особенности взаимного расположения. Все эти про
стейшие фигуры вместе с хорошо известными вам плоскими фигурами
являются элементами геометрических тел, которые будут рассматривать
ся в курсе геометрии 11 класса.
Как известно, геометрия не является чисто абстрактной наукой —
фигуры и формы, которые она изучает, можно найти в реальной жизни,
даже не покидая школьный кабинет. Советуем вам обратить особое вни
мание на применение понятий и фактов, изложенных в этом учебнике,
в различных областях человеческой деятельности. Не забывайте, что лю
бые знания имеют настоящую ценность только тогда, когда они основаны
на опыте и применяются на практике.
Желаем, чтобы дорога к знаниям была для вас легкой и радостной,
а все препятствия, которые могут на ней встретиться, вы преодолевали
благодаря настойчивости и воле к победам в науке. В добрый путь!
Как пользоваться учебником
Учебник содержит четыре главы, каждая из которых состоит из па
раграфов, а параграфы — из пунктов. В тексте наряду с теоретическим
материалом приводятся примеры решения задач. Наиболее важные по
нятия и факты выделены полужирным шрифтом.
Упражнения и задачи, представленные в учебнике, разделены на
несколько групп. Устные упражнения (рубрика «Обсуждаем теорию*)
помогут вам понять, насколько успешно вы усвоили теоретический ма
териал. Эти упражнения не обязательно выполнять мысленно — для их
решения вы можете использовать рисунки, провести необходимые рас
суждения в черновике. После устных можно переходить к практическим
упражнениям (рубрика «Моделируем*). Далее идут письменные задачи
(рубрика «Решаем задачи*). Сначала проверьте свои знания, выполняя
задания уровня А. Некоторые из устных и практических упражнений
и задач уровня А отмечены значком «** как соответствующие начальному
3

уровню, остальные задания уровня А соответствуют среднему уровню.
Более сложными являются задачи уровня Б {достаточный уровень).
И, наконец, если вы хорошо усвоили материал и желаете проявить свои
творческие способности, вас ожидают задачи уровня В {высокий уровень).
После каждого параграфа в рубрике «Повторение» указано, какие именно
понятия и факты необходимо вспомнить для успешного изучения мате
риала следующей темы, и приведены задачи, которые подготовят вас к его
восприятию. Решать все задачи всех групп не обязательно.
Дополнительные задачи к главам помогут вам обобщить изученное,
а задачи повышенной сложности раскроют новые грани геометрии, красоту
нестандартного мышления и подарят вам радость научных открытий.
Устные упражнения, задания уровней А и Б и самые простые за
дания уровня В рассчитаны на тех, кто изучает геометрию на академи
ческом уровне. Для работы на профильном уровне предусмотрены задания
уровней Б, В, дополнительные задачи и задачи повышенной сложности.
Приобрести практические навыки при решении задач из рубрики «Моде
лируем» будет полезно независимо от уровня изучения геометрии.
В учебнике помещены контрольные вопросы и тестовые задания
для самопроверки, благодаря которым вы сможете лучше подготовиться
к тематическому оцениванию. Учащимся, изучающим геометрию на акаде
мическом уровне, достаточно решить первые девять заданий теста и одно
(на выбор) из заданий 10-12. Учащиеся, изучающие геометрию на про
фильном уровне, должны решить все 12 заданий теста.
Итоговые обзоры в конце каждой главы — своеобразный геоме
трический компас, с помощью которого вы сможете ориентироваться
в изученном материале. Приложения, приведенные в конце учебника,
будут способствовать углублению знаний по отдельным темам, которые
изучаются, а исторические справки к главам познакомят с некоторыми
интересными геометрическими фактами и деятельностью выдающихся
ученых-геометров.
Условные обозначения:
—^ — задачи, предназначенные для выполнения дома
П — начало доказательства теоремы
■ — конец доказательства теоремы
— материал, предназначенный для учащихся, изучающих
геометрию на профильном уровне
4

Глава I
Координаты, векторы и геометрические
преобразования в пространстве
(ив
§ 1. Декартовы координаты
в пространстве
§ 2. Движения в пространстве
§ 3. Подобие пространственных фигур
§ 4. Векторы в пространстве
§ 5. Применение метода координат
и векторов к решению стерео
метрических задач

Геометрия приближает разум к истине.
Платон, древнегреческий философ
С координатами, векторами и геометрическими пре
образованиями вы знакомились в курсе планиметрии. На
примерах из физики и информатики вы могли убедиться
в том, что эти геометрические понятия широко исполь
зуются в других науках.
Пространственная геометрия открывает новые воз
можности для реализации уже известных вам методов —
векторного, координатного, геометрических преобразова
ний. Поэтому, изучая данную главу, попробуйте выделить
общие и отличительные свойства координат, векторов,
преобразований на плоскости и в пространстве. Такой
сравнительный анализ поможет вам лучше понять и обоб
щить материал для того, чтобы эффективно применять
полученные знания на практике.
Особое внимание советуем уделить прикладным
и практическим заданиям — во многом благодаря им
складывается тот бесценный опыт, ради которого и изу
чают геометрию в школе.
6

§ 1. Декартовы координаты в пространстве
§ 1. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
1.1. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
Как известно, расположение точки на коор
динатной прямой однозначно описывается одной
координатой. Из курса планиметрии вы знакомы
с прямоугольной декартовой системой координат
на плоскости. Напомним, что для ее введения
через произвольную точку плоскости О прово-'
дят две взаимно перпендикулярные координат
ные оси Ох и Оу (рис. 1). При таких условиях
каждой точке плоскости А ставится в соответ
ствие упорядоченная пара чисел (х;у) — коор
динаты оснований перпендикуляров А А Х и ААу,
проведенных из данной точки к координат
ным осям. Числа х и у называют координата
ми точки А; эти две координаты однозначно
описывают расположение точки на плоскости.
Вполне естественно, что для описания рас
положения точки в пространстве необходимо
иметь три координаты — ведь, например, ба
бочка перемещается в воздухе не только вперед-
назад и вправо-влево, но и вверх-вниз.
Итак, рассмотрим три взаимно перпендику
лярные координатные оси Ох, Оу и Oz с общей
точкой О (началом координат) и равными еди
ничными отрезками на осях (рис. 2). Ось Ох на
зывают осью абсцисс, ось Оу — осью ординат,
ось Oz — осью аппликат, а плоскости Оху, Oxz
и Oyz — координатными плоскостями. Задан
ную таким образом систему координат называют
прямоугольной декартовой системой коорди
нат в пространстве.
Для определения координат произвольной
точки пространства А проведем из данной точки
перпендикуляры А А Х, ААу и А А г к осям Ох, Оу
и Oz соответственно (рис. 3). Тогда координа
ты х, у, z точек Ах, А и А2 на осях Ох, Оу и Oz
УА
А
— — -т
1
Рис. 1. Введение коорди
нат точки на плоскости
Рис. 2. Прямоугольная
система координат
Рис. 3. Определение
координат точки
7

Глава I. Координаты, векторы и геометрические преобразования в пространстве
соответственно являются координатами точки А в данной системе
координат. Коротко это записывают так: A (x;y;z), где х — абсцис
са, у — ордината, z — аппликата точки А.
Координаты точки А можно определить и по-иному. Напри
мер, для получения координаты Ах проведем перпендикуляр АА0
к плоскости Оху9 а потом из точки А0 проведем перпендику
ляр AqAx к о с и Ох (рис. 3). Тогда по теореме о трех перпендикулярах
ААХ± О х , то есть полученная таким образом координата Ах совпада
ет с определенной ранее и является абсциссой точки А (аналогичные
рассуждения для ординаты и аппликаты проведите самостоятельно).
Значения координат точки А можно также получить, если про
вести через эту точку три плоскости, параллельные координатным
плоскостям OyZy Oxz и Оху (рис. 3). В этом случае точки Ах>Ау и Аг
являются точками пересечения проведенных плоскостей с координат
ными осями (объясните почему).
Итак, в прямоугольной декартовой системе координат каж
дой точке пространства ставится в соответствие единственная упо
рядоченная тройка чисел (x;y;z), и наоборот: каждой тройке чи
сел (xyz) соответствует единственная точка пространства.
Очевидно, что если точка принадлежит одной
из координатных плоскостей, то некоторая ее коорди
ната равна нулю. Так, на рисунке 4 точка М принад
лежит плоскости Оху и имеет координаты (2;-1;0),
а точка N плоскости Oyz — координаты (0;2;-3).
Соответственно точки, принадлежащие координатным
осям, имеют две нулевые координаты: например, коор
динаты точки К оси Oz равны (0; 0; 2). Очевидно так
же, что все три координаты начала координат нулевые:
0(0;0;0). Условия, при которых та или иная коор
дината точки равна нулю, исследуйте самостоятельно.
Рис. 4. Точки, имеющие
одну или несколько
нулевых координат
Задача
Найдите координаты проекций точки
А(3;2;4) на координатные плоскости.
Решение
Проведем из данной точки перпендику
ляр АА0 к плоскости Оху и перпендикуляры ААХ
8

Р
и ААу к осям Ох и Оу соответственно (рис. 5). Найдем координаты
точки А0.
Так как А^АХ и AqA^ — проекции наклонных ААХ
и ААу на плоскость Охуу то по теореме о трех перпендикулярах
А 0А ХJ_Ох , А 0А у ± О у. Так как по определению координат точки
в пространстве координата точки Ах на оси Ох и координата точ
ки Ау на оси Оу равны соответствующим координатам точки А, то
А х (3;0; 0), А у (0; 2;0). Отсюда А0 (3; 2; 0).
Рассуждая аналогично, определяем, что проекции точки А на
плоскости 0x2 и Оуг имеют координаты (3;0;4) и (0;2;4) соот
ветственно.
Ответ: (3;2;0), (3;0;4), (0; 2;4).
1.2. Основные задачи в координатах
Опираясь на соответствующие свойства координат на плоско
сти, докажем формулы координат середины отрезка и расстояния
между точками в пространстве.
Напомним, что в планиметрии каждая координата середины
отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
Такое же свойство сохраняется и в стереометрии.
Теорема (формулы координат середины отрезка в пространстве)
Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
v _ * 1 + Х 2 1._ У 1 + У2 *1 + *2X—--------- у И—--------- у 2—-------- у
2 2 2
где А (х 1;у1;г1) и B(x2;y2;z2) - концы отрезка, C(x;y;z) - сере
дина отрезка.
Доказательство
□ Опустим из точек А, В и С перпендику
ляры на плоскость Оху. Основания этих перпен
дикуляров — точки А 0 (х1;у1;0), В0 (х2;у2;0)
и С0 (х; у; 0) соответственно. Рассмотрим случай,
когда точки А0, В0 и С0 не совпадают (рис. 6).
Так как проведенные к одной плоскости перпен
дикуляры параллельны и лежат в одной пло
скости, а точка С — середина отрезка АВ, то
по теореме Фалеса точка С0 является серединой
отрезка AqB0. По формулам координат середины
Рис. 6. К доказатель
ству формул координат
середины отрезка
9

отрезка на плоскости имеем: х = - L+ *2 У1+У2 TD
■----—> У= —— • В случае, ког-
2 2
да точки A q и Б0, а значит, и С0 совпадают, эти формулы также
справедливы (проверьте это самостоятельно).
Аналогично, проведя из данных точек перпендикуляры к пло-
Теорема доказана. ■
2 + 2
скости Охг, получаем г - —— -
2
Как известно из курса планиметрии, расстояние меж
ду точками A (x1;y1) и В (х2;у2) вычисляется по формуле
АВ = 'J(x1- х 2)2+(1/1 ~Уг)2 • Выведем пространственный аналог этой
формулы.
Теорема (формула расстояйия между точками в пространстве)
Расстояние между точками А { х 1у 1 г 1) и B(x2;y2;z2) вычис
ляется по формуле
AB = J(xt - x 2f +(У1- у 2)2+ (z1- z 2f .
□ Рассмотрим сначала случай, когда от
резок АВ не параллелен плоскости Оху (рис. 7).
Опустим из точек А я В перпендикуля
ры A A q и ВВ0 на плоскость Оху, АА0 1|ВВ0.
Ясно, что точки А$ и В0 имеют координаты
(х1;у1;.0) и (х2; у2; 0) соответственно. По фор
муле расстояния между точками на плоскости
AoBo=J(x1- x 2)2+(y1- y 2)2 . Плоскость, прохо
дящая через точку В параллельно Оху, пересе
кает прямую АА0 в некоторой точке Н, причем
ВН = А 0В0 как противолежащие стороны образо
ванного параллелограмма.
Более того, ZAHB = 90°, поскольку проведенная пло
скость параллельна Оху, а прямая АА0 перпендикуляр
на этим плоскостям. Так как Н (х1;у1;г2), то AH = zl - z 2 .
Следовательно, из треугольника АНВ по теореме Пифагора
ству формулы расстоя
ния между точками
1=у1в Н 2+АН2 =J{x1- x 2)2+(y1- y 2)2+{z1- z 2)2 .АВ - VВН +АН ‘
В случае, когда отрезок АВ параллелен оси Oz или при
надлежит ей, его длина равна { —г2 | . Такой же результат дает
и только что полученная формула при х 1= х 2, y t = у 2. Случай,
10

§ 1. Декартовы координаты в прострёнстве
когда отрезок АВ параллелен плоскости Оху, рассмотрите само
стоятельно. ■
оЗадача
Докажите, что четырехугольник АВСВ с вершинами А (-2; 1;0), j
В(4;-3; 2), С (б;3;-4), В (0; 7;-б ) является параллелограммом.
Решение
Найдем координаты середин отрезков АС и ВВ.
-2 + 6 Л 1+ 3 _ 0 + (-4 )
Для отрезка АС: х = --------= 2 , у= -------=2 , г = — -—- -
2 2 2
4 + О Л —3 + 7 Л
Для отрезка BD: х = ------= 2, у = —-— = 2, г =
= - 2 .
2 + ( - б ) _
= - 2 .
2 " 2 2
Следовательно, отрезки АС и BD имеют общую середину. Это
значит, что прямые АС и BD пересекаются, то есть точки А, В, С
и D лежат в одной плоскости. Диагонали четырехугольника ABCD
точкой пересечения делятся пополам, таким образом, ABCD — па
раллелограмм по признаку.
Отметим, что при решении аналогичной
задачи в курсе планиметрии мы использовали
и другой способ — доказывали попарное равенство
противолежащих сторон данного четырехуголь
ника. Но в пространстве этот способ неприемлем, А
так как из равенств АВ - CD и AD = ВС не сле
дует, что точки А, В, С и В лежат в одной пло
скости. Действительно, четырехугольник АВСВ
может оказаться пространственным (на рисун
ке 8 такой четырехугольник получен перегибом
параллелограмма АВСВ по прямой ВВ). Очевид
но, что в этом случае пространственный четырех
угольник АВСВ удовлетворяет условиям АВ = СВ
и АВ = ВС, но не является параллелограммом.
Второй способ решения этой задачи будет
рассмотрен в § 2.
Задача
На оси аппликат найдите точку С, равноудаленную от точек
А (1;0;3) и В(4;3;-1).

Решение
| Так как искомая точка лежит на оси аппликат, то С(0; 0; г ) .
v Найдем z, воспользовавшись условием АС = ВС. Имеем:
AC2 = (1-0)2+ (0 -0 )2+ (3 -z)2, ВС2= (4 -0 )2+ (3 -0 )2+ (-1 -z )2.
Приравняв эти выражения, получим l +(z -3 )2 =25+ (z+l)2,
откуда г = -2 . Следовательно, искомая точка С (0;0;-2).
Ответ: (0; 0; —2).
Ь о л о о с ы и з а д а ч и
ОБСУЖДАЕМ ТЕОРИЮ
1.* Даны точки А (-1; 0; 4), В(7;0;0), С (0;-3;-2), Д(1;7;0),
Е (0; - 5;0), F (0; 0;б ). Определите, какие из данных точек принад-
лежат:
а) плоскости Оху; в) оси Ог;
б) плоскости Oyz; г) оси Оу.
2* Определите расположение относительно прямоугольной декар
товой системы координат точки пространства, у которой:
а) ордината равна нулю;
б) аппликата равна нулю;
в) абсцисса и аппликата равны нулю;
г) абсцисса и ордината равны нулю.
3.# Точка С — середина отрезка АВ. Назовите:
а) аппликату точки С, если А (8;-1; т) , В (-3; 2; - т );
б) ординату точки В, если A (4;m ;-2), С(-1;т;0);
в) абсциссу точки А, если В(-тп;-1;0), С(0;3;2).
4 u Расстояние от точки А до начала координат равно у]а2+Ь2+ с2 .
Какими могут быть координаты точки А? Назовите несколько ва
риантов правильного ответа.
ШШ МОДЕЛИРУЕМ
5 “ По образцу, приведенному на рисунке 4, изобразите в пря
моугольной декартовой системе координат точки A(l;3;2),
B (l;-2 ;-l), С(-3;1;0), В (0;1;-4). Какие из данных точек при
надлежат координатным плоскостям?
12

—^ б.4 Сконструируйте из плотной бумаги модель куба. Приняв одну
из его вершин за начало координат, а ребра, выходящие из этой
вершины, за единичные отрезки координатных осей (см. рис. 3),
определите координаты остальных вершин куба.
Щ РЕШАЕМ ЗАДАЧИ
Уровень А
7* Дана точка А (-1; 3; 4). Найдите координаты оснований пер
пендикуляров, проведенных из данной точки:
а) к координатным плоскостям; б) к осям координат.
8.' Заполните таблицу по образцу:
Расположение точки l Координаты точки
Плоскость Оху (*; у; О)
Плоскость Охг
_________ Плоскость Оуг
Ось Ох_______________ [
Ось Оу
L. _____Ось Oz________________ __ ______ ______
—^ 9.* Найдите расстояния от точки А (6; - 8;15) до координатных
плоскостей.
:0 (опорная).Координатные плоскости Оху, Охг и Оуг попарно
перпендикулярны. Докажите.
11. Даны точки А (2;-3;4), В(1;7;4), С(-1;0;4). Какая коорди
натная плоскость параллельна плоскости ABC? Ответ обоснуйте.
12. Даны точки А (-3; 0; 2) и В(5;0;2). Какая координатная ось
параллельна прямой АВ? Ответ обоснуйте.
13. Найдите координаты середины отрезка АВ, если:
а) А (-6;3;0), В (0;-7;-4); в ) А(2а;-&;с), В (-4а; 55; - с) .
б) А (8;11;-5), В(-8;11;-1);
14. Отрезок ВМ — медиана треугольника ABC. Найдите
координаты:
а) точки С,если А (2;-9;0), М (-1;-2;3);
б) точки А,если М (0; -1; 4), С(-3; 1;0).
—^ i5. Отрезок АВ — диаметр окружности с центром О. Найдите
а) точки О,если А (9;-1;2), В (-3;-5;0);
б) точки А,если 0 (-3 ;-2 ;-l), В (-4;0;-1).
13

16. Дан параллелограмм ABCD. Найдите координаты вершины D,
если А (-1 ;-3 ;-1 ), В (б;-1;-3), С (0;-6;б).
17. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами А (4; 0; - 2),
Б(1;2;3), С(-3;2;б), D (0;0; 1) является параллелограммом.
18. Найдите расстояние между точками А я В, если:
а) А (-1;2;0), В(1;3;-2); в) А (8;2;-б), В(-4;1;б).
б) A (6;-4;l), B (2;-l;l);
19. Какая из точек: А (-2; 2; 4) или В(0;-3;4) — находится ближе
к началу координат?
20. Докажите, что треугольник ABC равносторонний, если
А (7; 1;—3), В (0;8;-3), С(0;1;4).
21. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек
М (2; —1;3) и У (1;-2;5).
22. Найдите длины ортогональных проекций отрезка CD на коор
динатные плоскости, если С(0;4;3), В (б;-4;9).
23. Расстояние между точками А(-3; 1;х) и В(-5;3;1) равно 3.
Уровень Б
24. На рисунке 9 ребро куба равно 2-^2 .
Определите координаты вершин куба.
25. Даны точки М {а-Ьс) и N (а;Ьс) ,
где а * 0 , Ъ*0 , с * 0 . Какие координатные
плоскости параллельны прямой MN? Какие
координатные плоскости перпендикулярны
прямой MN?
26. Дана точка А (-2;-4;3). Какое соотношение выполняется для
координат точки В, если прямая АВ:
а) параллельна плоскости Оуг;
б) перпендикулярна плоскости Оуг?
27. Середина отрезка MN принадлежит оси ординат. Найдите а
и Ь, если:
а) Af(а;-1;-3), ЛГ(-2;9;Ь); б) М (а-Ь ;-3;-4), У (-1;7;а+2&).
—^ 28. Точка А лежит на оси аппликат, а точка В — в плоскости Оху.
Найдите координаты этих точек, если середина отрезка АВ имеет
координаты (-4; 3;-1 ).
14 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Найдите х.

29. На отрезке АВ взята точка М так, что A M :MB = 1:3. Найдите
а) точки М , если А (-7;4;0), В(5;0;-8);
б) точки В, если А (2;-9;б), М (1;-6;4).
30. Найдите длину медианы BD треугольника ABC, если
А (-1;-5;3), В (0; 2;-5), С(5;-3;5).
^ 31. Докажите, что треугольник с вершинами А (-2; 6;-3 ),
В (2;-2; 5), С(0;-4;1) прямоугольный, и назовите его гипотенузу.
32. На координатной плоскости Оуг найдите точку, равноудален
ную от точек (0;—2; 2), (-2; 4; б) и (-4; 2; 4).
33. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами А (0; 1;2),
В (2; - 4;0), С(-2; - 3; - 4), D (-4; 2; - 2) является ромбом.
^ 34. Даны точки А (1;0; 0), В (х; 0; 2), С(1; 2; 2). При каких значе
ниях х треугольник ABC является равносторонним?
Уровень В
35. Расстояния от точки М до координатных плоскостей Оху, Оуг
и Охг равны 5, 6 и 7 соответственно. Найдите координаты точ
ки М. Сколько решений имеет задача?
36. Расстояния от точки М до координатных осей равны 16, 19
и 21. Найдите расстояние от данной точки до начала координат.
—^ 37. Длина отрезка, соединяющего точку М с началом координат О,
равна 1. Найдите координаты точки М, если прямая ОМ образует
с осями абсцисс и ординат углы, равные 60°. Сколько решений
имеет задача?
38. Серединами сторон треугольника являются точки (1;—3; —3),
(6;3; —1) и (2;—1;2). Найдите координаты вершин треугольника.
—^ 39. Докажите, что точки А (2;3;-1), В (0;-3;б), С(б; 15;-15) ле
жат на одной прямой. Какая из данных точек лежит между двумя
другими?
-ф- 40 (опорная). Если точка С(с1;с 2;с 3) делит отрезок с конца
ми А (а1;а 2;а 3) и В{Ь1;Ь2;Ь3) в отношении АС:СВ = т :п, то
с* = —- —а {+———bit где i = l,2 ,3 . Докажите.
т+п т+п
______________________________________________________________ 15

41, В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Найдите
координаты точки D, если АВ = б , ВС = 12, А (-6;1;2), С(3; - 5; -1 ).
—^ 42. На стороне АС треугольника ABC взята точка D. Найдите
ее координаты, если А (-11;7;2), С (5;-1;-б), а площади тре
угольников ABD и ABC относятся как 7:8.
43 (опорная). Точка пересечения медиан треугольника ABC
с вершинами А (а1;а 2;а3), В{Ъ1;Ъ2',Ь3) и С (с1;с 2;с 3) имеет
•а ( а,+Ъ,+с, Оо+Ьа+Со а~ +Ъ~+с~Л „
координаты 1 —*----£— —2 s— 2. . Докажите.
V 3 3 3 )
44. Точка М — точка пересечения медиан треугольника ABC. Най
дите координаты точки А, если В(3; 1; 2), С(2; 3; 1), М(2; 2; 2).
45. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC,
если А (0; -1; 1), В (19; 21; 27), С (-5;-3;15).
—^ 46. Найдите радиус окружности, описанной около треугольни
ка ABC, если А (2;-2; 5), В (-2;6;-3), C (0;-4;l).
47. Даны точки А (-1; - 2;3) и В (2; 3; 1). Найдите на оси аппликат
все точки С такие, чтобы треугольник ABC был прямоугольным.
—^ 48. Найдите углы и площадь треугольника с вершинами (—1;1;3),
(3; —1; 1), (1; —1; 3).
Повторение перед изучением § 2
Теоретический материал
• декартовы координаты на плоскости (9 класс)
♦ геометрические преобразования на плоскости (9 класс)
Задачи
49. На плоскости при повороте вокруг начала координат точ
ка А (1;7з ) переходит в точку В ^-1; л/з^. Определите угол пово
рота, если он является острым.
50. Постройте треугольник АВХС, в который переходит равно
бедренный треугольник ABC при симметрии относительно пря
мой, содержащей основание АС. Найдите расстояние ВВг, если
АС = 6 см, а площадь данного треугольника равна 12 см2.
16

§ 2 . ДВИЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
2.1. Свойства движений в пространстве
Напомним, что движением на плоскости мы называли геоме
трическое преобразование, сохраняющее расстояния между точками.
Так же определяют движение и в пространстве, причем все свойства
движений, известные из курса планиметрии, в стереометрии сохра
няются: при движении прямые переходят в прямые, лучи — в лучи,
отрезки — в отрезки, и углы между лучами не изменяются.
Новым свойством движения в пространстве
является то, что движение переводит плоскость
в плоскость.
Действительно, пусть точки А, В и С, не ле
жащие на одной прямой, при движении переходят
в точки А', В' и С', также не лежащие на одной
прямой (рис. 10). Покажем, что при этом движе
нии плоскость ABC переходит в плоскость А'В'С'.
Через произвольную точку X плоскости ABC про
ведем прямую, пересекающую две стороны тре
угольника ABC в точках М и N. Очевидно, что
при движении эти точки перейдут в точки М'
и N', лежащие на соответствующих сторонах тре
угольника А'В'С'. Таким образом, прямая M'N',
в которую переходит прямая MN, принадлежит
плоскости А'В'С', то есть точка X', в которую
переходит точка X, принадлежит прямой M'N',
а следовательно, и плоскости А'В'С'. Это зна
чит, что произвольная точка плоскости ABC при
движении переходит в точку плоскости А'В'С'.
Аналогично можно доказать, что каждую
точку плоскости А'В'С' можно получить из точки
плоскости ABC при рассматриваемом движении.
Итак, при движении плоскость ABC переходит
в плоскость А'В'С'.
Так же как и на плоскости, в пространстве
две фигуры называются равными, если они со
вмещаются движением.
Рис. 10. К обоснова
нию свойства движения
17

X О X
Рис. 11. Центральная
и осевая симметрии
Рис. 12. Точки X и X'
симметричны относи
тельно плоскости а
Рис. 13. Фигуры F и F'
симметричны относи
тельно плоскости а
2.2. Симметрия в пространстве
Симметрия как один из видов геометриче
ских преобразований знакома вам из курса плани
метрии. Преобразования симметрии относительно
точки (центральная симметрия) и относительно пря
мой (ооевая симметрия) в пространстве определяют
так же, как и на плоскости:
• точки X и X' называются симметричны
ми относительно точки О, если точка О — сере
дина отрезка XX' (рис. 11, а); точка О называется
центром симметрии;
• точки X и X' называются симметричными
относительно прямой I, если эта прямая перпенди
кулярна отрезку XX' и проходит через его середину
(рис. 11, б); прямая I называется осью симметрии.
Рассмотрим еще один вид симметрии в про
странстве. Пусть а — фиксированная плоскость,
X — произвольная точка вне ее. Проведем перпен
дикуляр ХО к плоскости а и на луче ХО отло
жим отрезок ОХ', равный ХО, но лежащий в дру
гом полупространстве относительно плоскости а
(рис. 12). Мы получили точку X', симметричную
точке X относительно плоскости а .
Определение -------------------------------------------------
Точки X и X' называются симметричными относи
тельно плоскости а , если эта плоскость перпендику
лярна отрезку XX' и проходит через его середину. Точ
ки плоскости а считаются симметричными сами себе.
При этом плоскость а называется плоско
стью симметрии.
Очевидно, что точкой, симметричной точ
ке X' относительно плоскости а , является точка X.
Определение ---------------------------------------------------
Преобразованием симметрии (симметрией) относи
тельно плоскости а называется такое преобразование
фигуры F в фигуру F, при котором каждая точка X
фигуры F переходит в точку X' фигуры F', симметрич
ную X относительно плоскости а .
При этом фигуры F и F' называются сим
метричными относительно плоскости а (рис. 13).
18

Наглядно представить симметрию относи
тельно плоскости можно с помощью плоского
зеркала. Любой объект и его изображение симме
тричны относительно плоскости зеркала (рис. 14).
Поэтому симметрию относительно плоскости ина
че называют зеркальной симметрией.
Если преобразование симметрии относитель
но плоскости. а переводит фигуру F в себя, то
такая фигура называется симметричной отно
сительно плоскости а , а сама плоскость а —
плоскостью симметрии фигуры F. Например,
плоскостью симметрии прямой является любая
перпендикулярная ей плоскость (рис. 15).
Центры, оси и плоскости симметрии фигу
ры, если они у нее есть, называются элемента
ми симметрии этой фигуры.
Несложно доказать, что точки, симметрич
ные точке A(x;y;z) относительно координатных
плоскостей, осей и начала координат, имеют сле
дующие координаты:
Элемент симметрии Координаты симметричной точки
Плоскость Оху (х;у;-г)
Плоскость Охг (х;-у; г)
Плоскость Оуг (-х; у; г)
Ось Ох (х ;-у ;-г)
Ось Оу (-х ;у;-г)
Ось Ог (-х;-у; г)
Точка О
I
'ТГ
I
&
I
н
j^
Теорема (основное свойство зеркальной симметрии)
Зеркальная симметрия является движением.
□ Пусть точки А и В при симметрии от- ,
носительно плоскости ос переходят в точки А
и В' соответственно. Введем систему координат
так, чтобы плоскость Оху совпала с а (рис. 16).
Рис. 14. Художник
Ф. Будкин.
Перед зеркалом
Рис. 15. Плоскость сим
метрии прямой
ству основного свойства
зеркальной симметрии
19

Так как точки, симметричные относительно плоскости Оху> имеют
одинаковые абсциссы и ординаты, но противоположные аппликаты,
то для точек А {хх;у1;гх)иВ(хполучим
В'(х2у 2, - г 2).Тогда по формуле расстояния между точками находим:
A B = Z(x 1 - * 2) 2 + 0 /i - !/ 2 )2 + (* i - * 2 ) 2 ,
А'в'=>/(*1“■*г)2+(j/i -Уг)2+("21-И г))2 = -*з)2+(^i -Уг)2+(*i -г 2)2.
Таким образом, АВ = А'В'. Значит, зеркальная симметрия со
храняет расстояния между точками, то есть является движением/
Теорема доказана, в
Из доказанной теоремы следует, что зеркальная симметрия об-
_ ладает всеми свойствами движения.
I Задача
!
"■» 5 Докажите, что если две прямые* зеркально симметричны, то
v они лежат в одной плоскости.
Решение
Рассмотрим произвольные точки А и В прямой а, которые
при зеркальной симметрии относительно плоскости а переходят
в точки А' и В' прямой а'. По определению симметрии относитель
но плоскости AA'-La, ВВ'1а,следователь
но, что точки А, А', В и В' лежат в плоскости этих параллельных
прямых, то есть прямые о и а' также лежат в этой плоскости..
Самые разнообразные виды пространственной симметрии мы
наблюдаем в живой и неживой природе, искусстве, технике и т. д.
В основе строения живых форм лежит принцип симметрии, причем
природа гармонично объединяет различные виды симметрий с поч
ти математической строгостью (рис. 17).
Рис. 17. Симметричные формы в природе
* Напомним: говоря «две точки», «две прямые», «две плоскости», мы счи
таем, что данные точки (прямые, плоскости) не совпадают.
20

Совершенную симметричную форму имеют природные много
гранники — кристаллы (подробнее рассмотрим их в § 12). Физики
утверждают, что симметрия является фундаментальным свойством
природы, с которым связаны законы сохранения энергии и импульса,
строение атомов и молекул, а также особенности природных явлений.
щтщ
Рис. 18. Храм Дртеми-
ды в Эфесе
Невозможно переоценить значение сим
метрии в искусстве. В древнегреческой архи
тектуре симметрия была воплощением законов
целесообразности и гармонии (рис. 18). Идеи
зеркальной симметрии широко отражены в жи
вописи Средневековья.
В литературных произведениях сущест
вует симметрия образов, ситуаций, мышления.
Вспомним хотя бы «закон мести» в греческой
трагедии: виновник преступления в конце концов
сам становится жертвой такого же преступления.
Яркими примерами симметрии образов яв
ляются персонажи комедии Н. В. Гоголя «Ре
визор» Добчинский и Бобчинский — сам автор
отмечает, что они чрезвычайно похожи друг на
друга (рис. 19). Симметричными можно считать
и литературные образы героев-антиподов, проти
востояние между которыми составляет основной
конфликт литературного произведения: Шерлок
Холмс и профессор Мориарти у А. Конана Дой
ля, доктор Джекил и мистер Хайд у P. JI. Сти
венсона и т. д.
В музыке построение отдельных мелодич
ных форм также подчиняется законам симме
трии. Прослушайте «Рондо-каприччио» великого
Бетховена — композитор использует основную
тему как своеобразную плоскость симметрии, от
которой как бы отражаются отдельные эпизоды
и вариации. Симметрия в музыке наглядно про
является даже через нотную запись (рис. 20).
Рис. 19. Добчинский л
и Бобчинский.
Рисунок художника 38
Д. Кардовского ^
Рис. 20. Гамма до мажор
т ч
21

Неисчерпаемые возможности симметрии и то широкое приме
нение, которое она получила в разных областях человеческой дея
тельности, подтверждают универсальность геометрических знаний
и значимость геометрии в общечеловеческой культуре.
2.3*. Поворот в пространстве
Напомним, что на плоскости мы выполняли поворот фигуры
вокруг данной точки О в заданном направлении на данный угол. Но
в пространстве такое описание поворота не является однозначным:
действительно, через фиксированную точку О проходит бесконечно
много плоскостей, и в каждой из них поворот фигуры вокруг точ
ки О на данный угол приведет к различным результатам.
Между тем, открывая дверь или переворачивая страницу кни
ги, мы поворачиваем все точки фигуры в одном направлении на
определенный угол, причем все точки некоторой прямой остаются
неподвижными. Попробуем на основании этих наглядных примеров
приблизиться к строгому определению поворота в пространстве.
Для этого рассмотрим фиксированную прямую I и произволь
ную точку X (рис. 21). Проведем через точку X плоскость а , пер
пендикулярную J, и обозначим точку О пересечения плоскости а
с прямой I. В плоскости ос выполним поворот точки X вокруг
точки О на угол ср, т. е. построим точку X' так, чтобы Х'еос,
ОХ'= ОХ и Z ХОХ' = ф . Такой переход точки X в точку X' назы
вается поворотом вокруг прямой I на угол ф.
Напомним, что на плоскости мы характеризовали поворот
и направлением — по часовой стрелке или против часовой стрелки.
В пространстве направление поворота на плоскости а зависит от
выбора стороны, с которой мы смотрим на эту плоскость (об этом,
в частности, речь будет идти в п. 2.5). Поэтому договоримся считать
прямую, вокруг которой выполняется поворот, ориентированной
Рис. 21. Поворот точки X вокруг прямой I на угол ф
* Здесь и далее звездочкой «*» обозначен материал, изучение кото
рого не является обязательным.
22

(т. е. осью с заданным направлением) и рассматри
вать поворот по часовой стрелке или против часо
вой стрелки, если смотреть на плоскость с поло
жительного направления этой оси. Например, на
рисунке 22 показано направление поворота точек
плоскости а вокруг оси I против часовой стрелки.
О п р ед ел ен и е---------------------------------------------- ;
Поворотом фигуры F вокруг ориентированной пря
мой I на угол <р называется преобразование фигу
ры F в фигуру F', при котором каждая точка X фигу
ры F (X г /) переходит в точку X' фигуры F' так, что
(Х О Х ')И , ОХ' = ОХ и Z ХОХ' = Ф, где О - точ
ка пересечения плоскости, проходящей через точку X
перпендикулярно прямой I, с прямой I.
Все углы измеряются по часовой стрелке
(или все — против часовой стрелки), точки пря
мой I при повороте переходят сами в себя.
Иначе говоря, при повороте вокруг ориен
тированной прямой I каждая точка фигуры F
смещается в заданном направлении на данный
угол по дуге окружности, плоскость которой
перпендикулярна прямой I, центр принадлежит
этой прямой, а радиус равен расстоянию от дан
ной точки фигуры F до прямой I. На рисунке 23
фигура F переходит в фигуру F1при повороте во
круг оси I на угол ф против часовой стрелки.
Прямую I называют осью поворота (или
осью вращения), а угол ф — углом поворота.
Теорема
(основное свойство поворота в пространстве)
Поворот вокруг прямой является движением.
□ Пусть при повороте вокруг оси I на
угол ф (0° <ф< 180°) точки А и В переходят в точ
ки А' и В' соответственно. Докажем, что АВ =А'В'.
Рассмотрим общий случай, когда пря
мые АВ и I скрещиваются и не являются перпен
дикулярными. Проведем через точки А и В
Рис. 22. Поворот против
часовой стрелки вокруг
оси I
Рис. 23. Поворот
фигуры F вокруг оси I
23

плоскости а и Р, перпендикулярные прямой I и пересекающие ее
в точках 0 1 и 0 2 соответственно (рис. 24).
Опустим из точки А перпендикуляр АС на плоскость Р . Рас
смотрим в плоскости а поворот вокруг точки Ov а в плоско
сти Р — поворот вокруг точки 0 2 на угол ф. При .таких поворо
тах точки А и В переходят в точки А' и В'. Опустим из точки А'
перпендикуляр А'С' на плоскость Р.
Очевидно, что плоскости а и р , перпендикулярные пря
мой I, параллельны. Отрезки АС, 0 10 2, А'С' перпендикулярны
этим плоскостям, параллельны и равны. Следовательно, четырех
угольники AC020 v A'C'020 v АССА' я в л я ю т с я прямоугольниками,
откуда следует равенство треугольников АО^А' и С02С' по трем
сторонам. Это значит, что углы AOjA' и С02С' являются равными
и равны углу ф. Поэтому при повороте в плоскости Р на угол ф
вокруг точки 0 2 точка С переходит в С'. По свойству поворота на
плоскости получаем, что ВС = Б'С'.
Прямоугольные треугольники ABC и А'В’С равны по двум кате
там ( Z АСВ = Z А'С'В' = 90°, АС =А'С', ВС =В'С'), откуда АВ = А'В',
что и требовалось доказать. ■
Другие случаи взаимного расположения прямых АВ и (, а так
же доказательство для случая ф>180° рассмотрите самостоятельно.
Если при повороте вокруг некоторой прямой I фигура F пере
ходит в себя, то говорят, что эта фигура имеет поворотную сим
метрию (или симметрию вращения). Примеры пространственных
фигур, обладающих поворотной симметрией, будут рассмотрены
дальше.
Заметим также, что поворот вокруг прямой I на 180° является
осевой симметрией относительно прямой I (докажите это само
стоятельно).
Рис. 24. К доказательству основного свойства поворота в пространстве
2 4 -------------------------------------------------------------------------------------------------- =-

2.4. Параллельный перенос в пространстве
Параллельный перенос в пространстве явля
ется разновидностью параллельного проектирова
ния для случая, когда плоскость проектируемой
фигуры параллельна плоскости проекции (или
совпадает с ней).
Напомним, что сонаправленными лучами
мы называли:
1) два луча одной прямой, один из кото
рых является частью другого (например, лучи АС
и ВС на рис. 25, а);
2) два параллельных луча, лежащих в пло
скости по одну сторону от прямой, проходящей
через их начальные точки (например, лучи АВ
и CD на рис. 25, б).
Определение параллельного переноса в сте-
рёометрии ничем не отличается от планиметри
ческого. Параллельным переносом фигуры F
в"направлении луча ОА на расстояние* а назы
вается преобразование фигуры F в фигуру F', при
котором каждая точка X фигуры F переходит
в точку X ' фигуры F* так, что лучи X X ' и ОА
сонаправлены и XX' = а (рис. 26).
Георема (основное свойство параллельного
переноса в пространстве)
Параллельный перенос в пространстве является
движением.
□ Пусть при параллельном переносе точ
ки А и В переходят в точки А и В' соответ
ственно. Покажем, что АВ = А'В' Если точ
ки А, В, А и В' не лежат на одной прямой
(рис. 27, а), то отрезки АА и ВВ' параллельны
и равны. Отсюда АА'В'В — параллелограмм,
то есть АВ = А'В' как противолежащие сторо
ны параллелограмма. В случае, когда точки А,
В, А и В' лежат на одной прямой (рис. 27, б),
получаем: А'В' = |AB'-AA'UI АВ'-ВВ'| = АВ . ■
А В С
В
С D
Рис. 25. Сонаправлен-
ные лучи
Рис. 26. Параллельный
перенос фигуры F в на
правлении луча ОА на
расстояние а
а
В А
б
В'
ству основного свойства
параллельного переноса
В дальнейшем, изучая векторы в пространстве, мы будем рассматривать
параллельный перенос на вектор О А .
25

Убедитесь самостоятельно в том, что рассмотренное доказа
тельство справедливо и для других случаев расположения точек А,
В, А' и В' на одной прямой.
Следствие 1
Параллельный перенос переводит прямую в параллельную прямую (или
в себя), отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол.
Следствие 2
Параллельный перенос переводит плоскость в параллельную плоскость
(или в себя).
Действительно, поскольку параллельный
перенос является движением, то он переводит
произвольную плоскость а в плоскость р. Если
эти плоскости не совпадают (рис. 28), то произ
вольные прямые ах и а2 плоскости а переходят
в параллельные им прямые Ьг и Ь2 соответственно,
Рис 28 и по признаку параллельности плоскостей а||р .
Так же как и на плоскости, в простр;ан-
стве при условии введения системы координат
(рис. 29) параллельный перенос, который перево
дит точку М (х; у;г) в точку ЛГ (х у '; z'), можно
задать формулами:
х' = х +а , у '-у + Ъ , z' = z +c ,
где а, & и с — некоторые числа, одни и те же
для всех точек пространства (доказательство это
го факта в стереометрии аналогично планиметри
ческому). В качестве примера применения фор
мул параллельного переноса рассмотрим другой
способ решения задачи п. 1.2.
Задача
Докажите, что четырехугольник ABCD
с вершинами А(-2;1;0), В (4;-3;2), С (б;3;-4),
Z>(0;7;-б) является параллелограммом.
Решение
Покажем, что параллельный перенос, ко
торый переводит точку В в точку С, переводит
точку А в точку D (рис. 30). Сначала найдем
формулы этого переноса. Подставив в общие
Рис. 30 формулы параллельного переноса координаты
Рис. 29. Параллельный
перенос в прямоугольной
системе координат в про
странстве
26

точек Б и С, получим уравнения, из которых определим а, 6 и с:
6 = 4 +а ; 3=-3+Ь ; -4 = 2 + с . Отсюда а = 2; 6 = 6 ; с = - 6 .
Следовательно, искомый перенос задается формулами
х' = х +2 , i/' = z/+6 , z'= z - 6 .
Подставив в эти формулы координаты точек А и Б, получим
правильные равенства: 0 - - 2 +2 , 7 = 1+6 , -6 = 0 - 6 .
Так как по условию ABCD — четырехугольник, его вершины
не лежат на одной прямой. Следовательно, по свойству параллель
ного переноса в четырехугольнике ABCD две стороны параллельны
и равны, то есть ABCD — параллелограмм.
2.5*. Об ориентации поверхности. Лента Мебиуса
При рассмотрении преобразования поворота было отмечено,
что направление поворота в данной плоскости фактически зависит
от выбора стороны, с которой мы смотрим на плоскость. Такой вы
бор стороны называется ориентацией плоскости.
Аналогично можно определить понятие ориентации и для дру
гих двусторонних поверхностей в пространстве (поверхности куба,
цилиндра, шара и др.). Представим себе, что мы закрасили одну из
сторон рассматриваемой поверхности — очевидно, что другая ее сто
рона останется незакрашенной.
Но эта «очевидность» только кажущаяся, так как существуют
поверхности, которые невозможно ориентировать. Самой простой
из них является так называемая лента Мебиуса (рис. 31), откры
тая в 1858 году немецким астрономом и математиком Августом Ме
биусом. Изготовить ее модель очень просто: для этого бумажную
ленту, имеющую форму прямоугольника ABCD (рис. 32, а), нужно
склеить так, чтобы вершина А совместилась с вершиной С, а вер
шина В — с вершиной D (рис. 32, б).
Удивительно, но лента Мебиуса является односторонней по
верхностью. Чтобы убедиться в этом, попробуйте начать закрашивать
ленту с любого места, постепенно перемещаясь по ее поверхности, —
А
В
D
С
а бРис. 31. Лента Мебиуса Рис. 32
27

Рис. 33. М. Эшер.
Лента Мебиуса
Рис. 34. Бутылка
Клейна
- 2 8 8 Е Ш
Топология -
от греческого
«топос» - место
и «логос» -
слово, учение.
в результате вся поверхность окажется закрашен
ной. Значит, муравьям, которые ползут по ленте
Мебиуса на гравюре М. Эшера (рис. 33), не нужно
переползать через край ленты, чтобы попасть на ее
«противоположную сторону».
Еще одно интересное свойство ленты Мебиу
са заключается в том, что она имеет только один
край. Действительно, если выбрать в любом месте
края ленты точку и начать от нее двигаться вдоль
края, со временем мы вернемся в ту же исходную
точку, причем все точки края будут пройдены
(проверьте это самостоятельно).
И наконец, предлагаем вам еще один экспе
римент: проведите на ленте Мебиуса среднюю ли
нию (т. е. отрезок, который соединяет середины
противолежащих сторон АВ и CD прямоугольни
ка, из которого была склеена лента) и попробуйте
разрезать по ней ленту. Оказывается, что вместо
двух отдельных частей получается дважды пере
крученная лента Мебиуса. Невероятно, но это так!
Лента Мебиуса стала первым примером неори
ентированной поверхности. Позднее были открыты
и другие — например, так называемая бутылка
Клейна (рис. 34).
Свойство односторонности ленты Мебиуса на
шло довольно широкое техническое применение.
В XX веке такую ленту использовали для записи
звука на непрерывную магнитную пленку, а так
же как красящую ленту в первых (матричных)
принтерах. Ременные передачи или ленты конвей
ера, имеющие форму ленты Мебиуса, применяют
и сегодня, ведь такие ленты служат вдвое дольше,
чем обычные, так.как изнашиваются вдвое медлен
нее (объясните почему). В современной математи
ке существует специальный раздел «топология»,
в котором рассматриваются, в частности, формы
и ориентация поверхностей. А в мировой культу
ре лента Мебиуса остается символом удивительных
открытий, которые до сих пор скрывает геометрия.
28

вопросы и задачи
Q ОБСУЖДАЕМ ТЕОРИЮ
51.* Могут ли два неравных отрезка совмещаться движением? Мо
гут ли острый и тупой углы совмещаться движением?
52. Два отрезка симметричны относительно плоскости а . Ле
жат ли данные отрезки в одной плоскости? Совпадает ли эта пло
скость с плоскостью а ?
53. Имеет ли плоскость симметрии отрезок; прямая; двугранный
угол?
54. Среди данных пространственных фигур (рис. 35) назовите те,
которые имеют:
а) центр симметрии; в) плоскость симметрии.
б) ось симметрии;
а б в г
Рис. 35
55. Дан параллелограмм, не являющийся ни прямоугольником,
ни ромбом. Имеет ли он ось симметрии на содержащей его плос
кости; в пространстве?
56. Совпадают ли множества осей симметрии окружности на плос
кости данной окружности и в пространстве?
57. В кубе закрасили две грани. Всегда ли существует поворот, при
котором куб переходит в себя, а одна из закрашенных граней —
в другую? В случае утвердительного ответа опишите такой поворот.
58.* Существует ли параллельный перенос, который переводит:
а) одну из двух параллельных прямых в другую;
б) одну из двух скрещивающихся прямых в другую;
в) одно из двух оснований цилиндра в другое;
г) одну из двух граней пирамиды в другую?
29

59. Ребро АА1 куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 35, б) при параллельном
переносе переходит в ребро DDV Определите, в какую фигуру при
таком переносе переходит:
а) вершина В; б) отрезок ВХА; в) треугольник А1ВВ1.
60. в какую перчатку (правую или левую) переходит правая пер
чатка при центральной симметрии; осевой симметрии; зеркальной
симметрии; параллельном переносе?
© МОДЕЛИРУЕМ
61.* Вырежьте из пенопласта две фигуры,
симметричные относительно плоскости а
(рис. 36). Можно ли в механизме, который
имеет такие детали, заменить одну из них
симметричной?
—^ 62.* Сконструируйте фигуру, которая состо
ит из куба ABCDA1B1C1D1 и фигуры, полу
ченной из данного куба при параллельном
переносе в направлении луча AD1 на рассто
яние, равное половине отрезка AD1.
Щ РЕШАЕМ ЗАДАЧИ
Уровень А
63.* В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали основания ABCD пересекают
ся в точке О. Определите:
а) точку, симметричную точке В относительно плоскости АССг;
б) прямую, симметричную прямой АВ относительно точки О;
в) плоскость, симметричную плоскости ВССг относительно
точки О;
г) прямую, симметричную прямой ССХ относительно плоско
сти BDDх;
д) плоскость, симметричную плоскости ADDl относительно
прямой B1DV
64.* Нарисуйте изображение куба ABCDAlBlClDl. Постройте
фигуру, симметричную данному кубу относительно:
а) точки Сх; б) прямой BD; в) плоскости AXAD.
/ /Г
/
/
У
/ а /
>
7 .
1/
Рис. 36
30

6 5 Даны точки А(4;2;-1), В(-3;5;2), С (7;-1;-б). Назовите
координаты точек, симметричных данным точкам относительно:
а) начала координат; б) плоскости Оуг; в) оси аппликат.
66. Точки А и В симметричны относительно плоскости Охг. Най
дите координаты точки В и длину отрезка АВ, если А (-4;-1;2).
—^ 67; Найдите координаты точек, симметричных точке М(5;-12;7)
относительно:
а) точки ЛГ(-1;0;2); б) плоскости Охг; в) оси абсцисс.
68. Точки А и В симметричны относительно точки М. Найдите
а) точки М, если A (-ll;8 ;3 ), B (-5;2;-l);
б) точки В, если А(2;1;-3), а точка М лежит на положитель
ной полуоси аппликат и удалена от начала координат на 1.
—^ 69. Точки А(0;-2;1) и В(4;0;5) симметричны относительно точ
ки С. Найдите координаты точки, симметричной точке С относи
тельно точки А.
70. Нарисуйте изображение куба ABCDAlB1ClDl. Постройте
фигуру, в которую переходит данный куб при повороте:
а) вокруг прямой ААХна 90° (рассмотрите два случая);
б) вокруг прямой ВС на 180°.
71. Плоскости а и ( 3 параллельны. При повороте на 60° вокруг
прямой, принадлежащей плоскости а , плоскость а переходит
в плоскость а '. Найдите угол между плоскостями а' и |3.
72. Перпендикулярные плоскости а и р пересекаются по пря
мой с. При повороте вокруг прямой с на 25° плоскость а пере
ходит в плоскость а '. Найдите угол между плоскостями а' и р.
73. Нарисуйте изображение куба ABCDA1B1C1D1. Постройте
фигуру, в которую переходит данный куб при параллельном пере
носе, если этот параллельный перенос переводит:
а) вершину С в вершину В; б) вершину А в вершину Cv
74. Параллельный перенос задан формулами х' = х - 1 , у' = у +4,
г'= г - 2 . Найдите координаты точки:
а) в которую переходит точка А (8;1;0);
б) которая переходит в точку В (-1; - 2;-3 ).
—^ 75. Существует ли параллельный перенос, при котором точ
ка М (0; -1; 6) переходит в точку М' (-1; 1;4), а точка N (1; - 2; - 2) —
в начало координат?

76 При параллельном переносе в направлении луча АВ плос
кость а переходит в себя. Докажите, что прямая АВ и плоскость а
не пересекаются.
77. Прямая а и плоскость а перпендикулярны. При параллельном
переносе прямая а переходит в прямую а'. Докажите, что a’L a .
Уровень Б
78. Нарисуйте изображение куба ABCDA1B1ClD1. Постройте фигу
ру, в которую переходит данный куб при симметрии относительно:
а) середины ребра С1П1; б) прямой АС.
79. Даны точки А(0;-2;3) и В (8;0; —1). Найдите точку, симме
тричную середине отрезка АВ относительно:
а) точки (—1;2; 3); б) плоскости Охг; в) оси абсцисс.
— 80. Точка М(3;1;5) принадлежит окружности с центром О. Най
дите радиус окружности, если при симметрии относительно оси
аппликат центр окружности переходит в точку 0' (-5;1;4).
81. Даны плоскости а и Р. Верно ли, что всегда существует плос
кость у , отйосительно которой данные плоскости симметричны?
Если да, то как построить плоскость у ?
82. При симметрии относительно плоскости а плоскость Р пере
ходит в плоскость Р'. Докажите, что:
а) если р ||а , то р'||а; б) если а ± р , то р' совпадает с р.
83. В тетраэдре РАВС все ребра равны. Назовите наименьший угол
поворота вокруг прямой РО, перпендикулярной плоскости ABC,
при котором тетраэдр переходит в себя. Изменится ли ответ, если
РА = РВ = PC = а , АВ = ВС = АС = b , а*Ь?
84. Плоскости а , Р и у имеют общую прямую с. При повороте
вокруг этой прямой на 70° плоскость а переходит в плоскость Р,
а плоскость Р — в плоскость у . Найдите угол между плоскостя
ми а и у .
— 85. Плоскости а и р пересекаются по прямой I. При повороте
вокруг прямой I на 220° плоскость а переходит в плоскость а ',
симметричную а относительно плоскости Р. Найдите угол между
плоскостями а и р .
•86. Три вершины параллелограмма ABCD имеют координаты
А(0;-1;9), В(3;8;4), С(2;9;1). При параллельном переносе вер
шина D переходит в точку (2; 2; 5). В какую точку переходит центр
симметрии параллелограмма?
32

—$ 87. Дан параллелограмм ABCD. С помощью геометрических пре
образований найдите координаты:
а) вершины А, "если В (-1; 2; 0), С (3; 4; 1), D (2; - 2; 4);
б) вершин Си D, еслиА (-5; 1;3), В (0; - 4; 1), а точка О(-3; 0; 2) —
точка пересечения диагоналей.
Уровень В
ЯЯ Существует ли движение, при котором совмещаются две скре
щивающиеся прямые? Приведите пример.
Все ребра тетраэдра РАВС равны. Точки Е и F — середины
ребер РА и ВС соответственно. Докажите, что прямая EF — ось
симметрии тетраэдра.
—^ гС В прямоугольной системе координат точку М подвергли сим
метрии относительно плоскости Оху> полученную точку — сим
метрии относительно начала координат, а полученную после
этого точку — симметрии относительно плоскости Охг. Дока
жите, что точка ЛГ, полученная в результате этих трех преоб
разований, симметрична точке М относительно плоскости Оуг.
91. Точка А(1;2;3) при повороте вокруг оси аппликат на 90° про
тив часовой стрелки переходит в точку А'. Найдите координаты
точки А'.
92. В каком направлении и на какое расстояние следует выполнить
параллельный перенос куба, чтобы общей частью данного куба
и куба, полученного при переносе, также был куб? Сделайте
рисунок.
0 Повторение перед изучением § 3
• подобие треугольников (8 класс)
• преобразование подобия на плоскости (9 класс)
33. На плоскости при гомотетии с центром 0 ( - 1;2) точка А(3;5)
переходит в точку А '(7; 8), а точка В — в точку В'. Найдите длину
отрезка OB', если ВВ' = 4 см.
94. Найдите площадь прямоугольного треугольника с наимень
шей высотой 12 см, если он подобен треугольнику с катетами 6 см
и 8 см.
33

§ 3 . ПОДОБИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР
3.1. Преобразование подобия в пространстве
Так же как и на плоскости, преобразование фигуры F в про
странстве называется преобразованием подобия, если при этом пре
образовании расстояния между точками изменяются в одном и том же
отношении. Это значит, что если две произвольные точки X и У
фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X' и У'
фигуры F то X'Y' = k X Y , где ft — коэффициент подобия (ft > 0).
Преобразование подобия в пространстве переводит прямые
в прямые, лучи — в лучи, отрезки — в отрезки, а также сохраняет
углы между лучами (доказательство этих свойств в стереометрии не
отличается от планиметрического). Новым свойством подобия в про
странстве является то, что преобразование подобия переводит пло
скости в плоскости (докажйте это утверждение самостоятельно,
аналогично соответствующему обоснованию для движения в п. 2.1).
Две фигуры в пространстве называются подобными, если они
переводятся одна в другую преобразованием подобия.
Напомним некоторые свойства подобия.
1) Любая фигура подобна сама себе: F™F (рефлексивность
подобия).
2) Если Fx F2 , то F2 Fx (симметричность подобия).
3) Если F^00F2 > a F2™FS, то F1(X>Fs (транзитивность по
добия).
4) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату ко-
^ F 9
эффициента подобия: если F1<X>F2 с коэффициентом ft, то — —= k .
S
не принадлежащие одной плоскости и пере
секающие параллельные плоскости а и р
в точках А , Б, С и Av В19 Сг соответствен
но (рис. 37). Докажите подобие треугольни
ков ABC и А 1В1С1.
Задача
Через точку Р проведены три луча,
Рис. 37
34

Решение
Согласно свойству параллельных плоскостей плоскость РАВ
пересекает плоскости а и (3 по параллельным прямым АВ и А1Б1.
Отсюда треугольники РАВ и РА1В1 подобны по двум углам, сле-
АВ РА РВ . А
довательно, -------= ------ = =k . Аналогично доказываем подо-
РАЛ РВЛА 1В 1 JTJrLx ±
бие треугольников РАС и РА1С1, РВС и РВ1С1. Так как эти пары
треугольников имеют с треугольниками РАВ и РА1В1 общие сто
роны, то коэффициенты подобия также равны k. Следовательно,
АВ ВС АС
=-------=------- =k , т. е. треугольники ABC и АЛВЛСЛподобны
А гВ х В гСг А 1С1 1 1 1
по трем сторонам.
3.2. Гомотетия в пространстве
Напомним, что гомотетией с центром в точке О и коэффи
циентом* k>0 называется такое преобразование фигуры F в фигу
ру Р при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку X'
фигуры F', лежащую на луче ОХ9 и ОХ' = Ю Х .
Гомотетия является преобразованием подобия (доказатель
ство этого факта в стереометрии аналогично планиметрическому).
Докажем еще одно свойство гомотетии в пространстве.
Теорема (свойство гомотетии в пространстве)
Гомотетия переводит плоскость, не проходящую через центр гомо
тетии, в параллельную плоскость или в себя.
□ Пусть а — данная плоскость, точ- О
ка О — центр гомотетии. Рассмотрим случай,
когда коэффициент гомотетии k не равен еди
нице (рис. 38).
Данная гомотетия переводит любые точки А
и В плоскости а в точки А и Б' соответствен
е н OB' _ m
но, причем -----= ------- k . Тогда треугольни-
ОА ОВ
ки АОВ и А'ОВ9подобны по двум пропорциональ
ным сторонам и углу между ними. Из подобия
_______________ Рис. 38. К доказатель
ству свойства гомотетии
В школьном курсе рассматривается только го
мотетия с положительным коэффициентом.
35

этих треугольников следует равенство соответствующих углов ОАВ
и ОА'В', а следовательно, параллельность прямых АВ и А'В
Аналогично, рассматривая в плоскости а прямую АС, пересе
кающуюся с АВ, можно доказать, что при гомотетии она переходит
в параллельную прямую А'С'. Следовательно, при данной гомотетии
плоскость а переходит в плоскость а ', содержащую точки А', В'
и С'. Так как А'В'||АВ и А'С'||АС, а плоскости а и а' не совпа
дают, то по признаку параллельности плоскостей а'||ос.
Очевидно, что в случае k = l плоскость а при гомотетии пере
ходит в себя. Теорема доказана, s
Ясно, что плоскость, проходящая через центр гомотетии, при
этом преобразовании также переходит в себя.
Обратим внимание и на такой интересный факт (даем его без
доказательства): если две фигуры подобны, то одну из них можно
получить из другой путем последовательного применения гомотетии
и движения.
Задача
При гомотетии с центром 0(2;-3;1) треугольник ABC пере
ходит в треугольник А'В'С'. Найдите координаты точек В' и С',
если А (6;-1;5), А '(4;-2;3), В(0;1;7), С (-4;-5;-7).
Решение
Найдем длины отрезков ОА и ОА
ОА = ^(2 -б )2+ (-3 -(-1 ))2+ (1-5)2 = 6 ,
OA' = yj(2 - 4)2+(-3 - (-2))2+(1- 3)2 = 3.
О
Так как по определению гомотетии
OA' = ftOA, то fe= —. Следовательно, точки А',
А С ка получаем:
В' и С' — середины отрезков ОА, ОВ и ОС со
ответственно (рис. 39).
По формулам координат середины отрез-
2
. В
Рис. 39
36

^ Следовательно, В' (1; -1; 4), С' (-1; - 4 - 3).
Ответ: В'(1;-1;4), С '(-1 ;-4 -3 ).
Подобие пространственных фигур находит
широкое применение на практике. Например, ар
хитекторы и строители, проектируя размещение но-
вых зданий и сооружений на местности, предлагают Рис. 40. Макет спорт-
заказчикам макеты строящихся объектов (рис. 40). комплекса «Металлист
Сити», г. Харьков
8»: Логическое отношение эквивалентности
Как мы уже отмечали, отношение подобия на множестве гео
метрических фигур является рефлексивным, симметричным и тран
зитивным. Эти три свойства присущи и некоторым другим отноше
ниям, причем не только геометрическим.
Например, для любых двух натуральных чисел а и b можно рас
сматривать отношение «число а дает при делении на 5 тот же остаток,
что и число Ь» (обоснуйте самостоятельно рефлексивность, симметрич
ность и транзитивность такого отношения). На множестве людей ука
занные свойства имеет отношение «а является гражданином той же
страны, что и Ъ» (если не принимать во внимание людей без граждан
ства и людей с двойным гражданством), а на множестве слов русского
языка — отношение «слово а имеет тот же корень, что и слово Ь».
В логике отношения, имеющие свойства рефлексивности, сим
метричности и транзитивности, называют отношениями эквива
лентности. Наличие такого отношения на множестве однородных
предметов позволяет разделить их на классы эквивалентности —
подмножества, элементы которых имеют общие свойства. Например,
отношение подобия на множестве многоугольников позволяет нам
рассматривать как отдельные классы равносторонние треугольники,
квадраты и т. д. Действительно, все фигуры одного класса имеют
общие геометрические свойства, которые сохраняются при преоб
разовании подобия. О таких фигурах, говорят, что они являются
равными с точностью до подобия (другими словами, имеют одина
ковую форму, но отличаются размерами). Для изучения геометри
ческих свойств фигур определенного класса достаточно рассмотреть
одну произвольную фигуру и на ее примере исследовать особенности
остальных фигур данного класса.
37

Деление на классы эквивалентности используют не только
математики. Так, филологи, рассматривая для существительных
русского языка отношение «слова а и Ь имеют одинаковые окон
чания при склонении», делят все существительные на три скло
нения. Идея деления на классы эквивалентности лежит в основе
многих химических и биологических классификаций. Вспомните,
как использовал эту идею в периодической таблице химических
элементов Д. И. Менделеев.
Вопросы и задачи
^ ОБСУЖДАЕМ ТЕОРИЮ
95.* Два прямоугольных параллелепипеда подобны с коэффициен
том 3. Следует ли из этого, что:
а) измерения одного параллелепипеда втрое больше соответ
ствующих измерений другого;
б) диагональ одного параллелепипеда втрое больше диагонали
другого;
в) площадь основания одного параллелепипеда втрое больше
площади основания другого?
96.* Верно ли, что:
а) любые две гомотетичные фигуры подобны;
б) любые две подобные фигуры гомотетичны?
97. Опишите расположение относительно точки О прямых и плос
костей, которые при гомотетии с центром О и коэффициентом, не
равным единице, переходят сами в себя.
98. При гомотетии плоскость а переходит в плоскость р,
отличную от а . Каким может быть взаимное расположение
прямых а и &, если а с а , Ъс р ?
@ МОДЕЛИРУЕМ
99.* Изготовьте из пластилина модель куба. Отрежьте часть мо
дели так, чтобы получить куб, гомотетичный данному с коэффи
циентом 0,5.
100.*Сконструируйте макет одного из предметов мебели вашей
квартиры. Проведите необходимые измерения и определите масш
таб, в котором выполнен макет.
3 8 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ
У р о й с Tf А
101.*По данным рисунка 37 найдите:
а) длину отрезкаАС, если РА = 12 см, РА1=18 см, А1С1=9 см;
б) площадь треугольника А ^С ^, если РА1=40 см, ААХ=
= 15 см, а площадь треугольника ABC равна 25 см2.
102?Через точку О проведены три прямые, пересекающие плос
кость а в точках А, В и С, а параллельную ей плоскость (5 —
в точках Av Вх и Сг соответственно. Найдите неизвестные стороны
треугольников ABC и A jB ^ , если АВ = 4 см, ВС = 6 см, В1С1=
= 9 см, А 1С1=12 см.
103. Дан тетраэдр РАВС (рис. 41). Постройте р
фигуру, в которую переходит данный тетраэдр
при гомотетии:
а) с центром Р и коэффициентом —;
3
б) с центром А и коэффициентом 2. / ^ с
;04 Дан куб ABCDA1B1C1DV Постройте фигу
ру, в которую переходит данный куб при го
мотетии с центром Вг и коэффициентом 1,5.
105.При гомотетии с центром в начале координат и коэффициен
том ft точка А переходит в точку А'. Найдите:
а) ft, если А (-8;4; 8), А'(-6;3;6);
б) координаты точки А, если А '(2;-6;4), ft= 2;
в) координаты точки А', если А (-6;9;3), ft= —.
3
106. При гомотетии с центром в начале координат треугольник ABC
переходит в треугольник А'В'С'. Найдите координаты точек В' и С,
если А (2; 0;0), А'(б;0;0), В (0;-1;0), С'(0;0;9).
Уровет-гь Б
107. Прямые AD и ВС параллельны (рис. 42).
Подобны ли треугольники AOD и СОВ, если точ
ка О не лежит в плоскости прямых AD и ВС?
Изобразите данные точки и прямые в тетради,
выбрав наиболее удачную конфигурацию для
подтверждения собственного ответа.
D

108. На ребрах РА, РВ и PC тетраэдра РАВС
взяты точки А19 Вг и Сх соответственно так, что
РАг :А 1А = РВ1:В1В = РС1:С1С= 3 :1 .
а) Докажите подобие треугольниковABC иА1В1С1.
б) Найдите площадь треугольника A1B1CV если
площадь треугольника ABC равна 64 см2.
109. Треугольники ABC и DBA не лежат в одной плос-
кости, причем A ABC™ A DBA (рис. 43). По данным
рисунка найдите угол между плоскостями ABC и DBA.
ПО. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Постройте фигуру, в которую пере
ходит данный куб при гомотетии:
а) с центром в середине ребра Б£ 1 и коэффициентом 2;
б) с центром в центре грани ABCD и коэффициентом 0,5.
—£ 111. При гомотетии с центром О и коэффициентом 2 точка А пере
ходит в точку А'. Найдите координаты:
а) точки А', если О(-4; 2; -1 ), А (0; 1;1);
б) точки О, если А (-8;- 7; -1 ), А' (-2; 3;1).
У р и н е н ь Б
112. Треугольники ABC и А'В'С подобны, причем прямые АА', ВВ'
и СС пересекаются в точке О. Обязательно ли данные треугольники
гомотетичны?
113. Точка О не принадлежит ни одной из двух параллельных
плоскостей а и Р и не лежит между ними. Докажите, что данные
плоскости гомотетичны относительно точки О.
114. Докажите, что центры граней правильного тетраэдра явля
ются вершинами другого тетраэдра, подобного данному. Найдите
коэффициент преобразования подобия, которое переводит данный
тетраэдр в меньший.
• векторы на плоскости (9 класс)
115. На плоскости векторы а , & и с отложены от одной точки,
причем угол между любыми двумя из них равен 120°. Найдите
сумму а +Ъ+ с , если |а| = |б| = |с| = 1 .
116. Определите вид четырехугольника ABCDy если AD = 2£C,
A £ A D = 0 .
40

§ 4* ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
4/г Определение и свойства векторов
Большинство понятий и утверждений для
векторов непосредственно переносятся в стереоме
трию из планиметрии. Напомним основные поло
жения соответствующей геометрической теории,
подробно останавливаясь на тех из них, которые
в пространстве выглядят иначе, чем на плоскости.
Как известно из курса геометрии 9 класса,
вектором называется направленный отрезок. На
правление вектора (от начала к концу) на рисун
ках обозначают стрелкой. Вектор, начало и конец
которого совпадают, называется нулевым. Нуле
вой вектор не имеет какого-либо определенного
направления. На рисунке 44 изображены ненуле
вые векторы АВ и CD и нулевой вектор К К .
Нулевой вектор часто обозначают 0 .
Так же как и на плоскости, ненулевой век
тор в пространстве характеризуется не только
направлением, но и длиной. Это позволяет рас
сматривать параллельный перенос в направлении
луча АВ на расстояние, равное длине отрезка АВ,
как параллельный перенос на вектор АВ . В про
странстве, как и на плоскости, равными векто
рами называются векторы, если они совмещаются
параллельным переносом. На рисунке 45 изобра
жены равные векторы EF и M N , которые совме
щаются параллельным переносом на вектор ЕМ .
Так как положение точки в пространстве
задается тремя координатами, дополняется опре-
делейие координат вектора.
О пределение ----- ----- -------------------
Координатами вектора АВ с началом в точке
А {х 1>У’г ) и концом в точке В (х2; назы
ваются числа а1= х 2- х 1, a2= y 2- y lt as = z2- z 1.
4. Векторы в пространстве
Рис. 44. Векторы
F
М
Рис. 45. Равные век
торы
41

Соответственно длина (модуль) вектора A B (a1;a2‘,u s ) вы
числяется по формуле
| АВ |= ^аг2+а 22+а32 ,
Нулевой вектор имеет нулевые координаты, и его длина равна
нулю: | б |= 0 .
Так же как и на плоскости, в пространстве равные векторы
имеют равные координаты, и наоборот: если у векторов соответ
ствующие координаты равны, то эти векторы равны.
Напомним, что ненулевые векторы называются коллинеарны-
ми, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
В свою очередь, среди коллинеарных векторов
различают сонаправленные и противоположно на
правленные. Если лучи АВ и CD сонаправлены, то
ненулевые векторы АВ и CD также сонаправлены
(записывают АВ ТТCD ); если лучи АВ и CD противо
положно направлены, то векторы АВ и CD также
противоположно направлены (записывают A B tiC D ).
На рисунке 46 изображен куб ABCDA1B1ClD1. На этом
рисунке векторы AM и СС1 сонаправлены, а векто
ры AM и DXD противоположно направлены. Про
тивоположно направленные векторы, длины которых
равны, называются противоположными. На рисун
ке 46 такими являются, например, векторы СС1
и D XD (записывают CC1= -D lD ).
Задача
Даны точки А (-7; 4; 2) и B (-2 ;0 ;-l). Найдите координаты
концов вектора C D , равного вектору А В , если точка С лежит на
оси аппликат, а точка D — в плоскости Оху.
Решение
Пусть СП(а1;а 2;а3) . Так как CD = A B , то а 1= -2 --(-7 )= 5 ,
а 2 = 0 - 4 = - 4 , а 3 = - 1 - 2 = - 3 . Следовательно, С П (5 ;-4 ;-3 ). Учи
тывая условия расположения точек С и D, имеем: С(0;0;г),
D (x;y;0), то есть CD(х;у;- z ) . Остюда х = 5 , у = - 4 , г = 3.
Ответ: С (0; 0; 3), D (5; - 4; 0).
В, СJ
Рис. 46. Сонаправ
ленные и противо
положно направлен
ные векторы
о
42

4.2. Операции над векторами в пространстве
Операции сложения и вычитания для век
торов в пространстве определяют аналогично
тому, как их вводили на плоскости. Итак, для
векторов а[а1;а2;а3) и b(blb2b3):
a +b = (a1+Ьг;а2+ Ь2;а3+ Ь3) ,
а —Ъ= (с*! “ ^1»#2 “ ^2» ~^з) •
Так же сохраняются в пространстве и соот
ветствующие свойства этих операций. Для любых
векторов а , Ъ и с :
1) а + Ь = 6 + а ; 3) а + б = а ;
2) (а + bj+c = a + (b+ c ); 4) a -b = a + (-b).
Доказательство утверждений 1-4 несложно
получить с помощью геометрических построений
аналогично тому, как это проводилось на плоскости.
Для действий с неколлинеарными вектора
ми в геометрической форме в пространстве, как
и на плоскости, можно воспользоваться прави
лом треугольника (рис. 47, а) и правилом па
раллелограмма (рис. 47, б). Правила сложения
двух коллинеарных векторов иллюстрирует рису
нок 47, в, г.
Обобщением правила треугольника для
сложения нескольких векторов является прави
ло многоугольника (рис. 48, а). Особенность его
применения в пространстве заключается в том,
что векторы-слагаемые не обязательно принад
лежат одной плоскости (то есть многоугольник,
который получается при построении вектора-
суммы, может быть пространственным). Напри
мер, на рисунке 48, б в тетраэдре РАВС получим
векторное равенство АВ+ВР + РС = А С .
Опишем еще одно правило, которое слу
жит для. сложения трех векторов в пространстве.
Пусть векторы-слагаемые a , Ъ и с при отклады
вании их от общего начала О не лежат в одной
АВ +ВС = АС
а
AC = a +b, D B - a - b
б
ар Ъ^
а b
а + Ь
а
4 Ъ
а
а+Ъ Ъ
Рис. 47. Правила для
действий с векторами
43

I
Рис. 48. Сложение век
торов по правилу много
угольника
плоскости. Построим параллелепипед так, что
бы отрезки ОА, ОВ и ОС, которые изображают
векторы-слагаемые, были его ребрами (рис. 49).
Тогда, используя правило параллелограмма, по
лучаем ОА+OB = ОЕ, ОЕ +ОС= OD . Следователь
но, а -гЬ+с = OD , то есть вектор-сумма изобража
ется диагональю параллелепипеда, построенного
на векторах-слагаемых. Это правило сложения
векторов представляет собой пространственный
аналог правила параллелограмма и называется
правилом параллелепипеда.
Произведением вектора а(а1;а2;а3) на
число h (или произведением числа k на вектор а )
в пространстве называют вектор [ka1;ka2;kas) ,
который обозначают ka или ak . Если а Фб , то
вектор ka сонаправлен с вектором а при усло
вии k >0 и противоположно направлен век
тору а при условии k <0 , причем при любом
значении k |fea|= [ft11а | . В частности, (-1) •a = -а ,
где -а — вектор, противоположный вектору а .
Основные свойства умножения вектора на
число, известные из курса планиметрии, в сте
реометрии сохраняются. Для любых векторов а
и & и чисел k9 т:
1) ka = ak;
2) (km)a = k{ma);
3) k0 = 0a = 0;
4) (k+ m)a = ka + ma ;
5) k[a +b} = ka +kb.
Доказательство утверждений 1-5 аналогично случаю на
плоскости. Докажем, например, утверждение 4. Пусть дан век
тор a(a1;a2;a3). Тогда, по определению произведения вектора на
число и суммы векторов, имеем:
(k+ m)d = ([k+ m)a1;(k + m)a2;(k + m)as)= (ka1+ та1;ка2 + та2;каг+ та3)=
= (kaг;ka2;ka3)+(тах;та2;ma3)= ka + ma .
В
Рис. 49. Сложение
векторов по правилу
параллелепипеда
44

В пространстве сохраняется также необходимое и достаточное
условие коллинеарности векторов: если а и Ъ — коллинеарные
векторы, то существует число k такое, что b= k a , и наоборот: если
для ненулевых векторов а и & выполняется равенство Ь= к а , то
векторы а и & коллинеарны.
При решении задач векторное равенство b= ka для векторов
а(а1;а2;а3) и b(bxb2b^) часто применяют в координатной форме:
= kcij ,
<b2=ka2, Если данные векторы не имеют нулевых координат, удоб-
ьз = каз- ь ь ъ
нее использовать пропорциональные соотношения —; = —1- = к .
а &2 а3
В пространстве, как и на плоскости, необходимым и достаточ
ным условием принадлежности точек А, В и С одной прямой яв
ляется коллинеарность векторов АВ и А С . Рассмотрим еще одно
векторное условие принадлежности точек А, В и С одной прямой. ^
Опорная задача ^ :
(условие принадлежности трех точек одной прямой) !
Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то для лю
бой точки пространства О выполняется векторное равенство
OC = kOA +(l-k )O B , где к — некоторое число. Докажите.
Решение
Так как точки А, В и С лежат на одной прямой, то векто
ры ВС и ВА коллинеарны, то есть существует число k такое,
что BC = kBA. Учитывая, что ВС = ОС - ОВ, ВА = ОА - ОВ , имеем:
О С -Ш = к{О А -Ш ), OC = kOA +{l-k )O B ,
что и требовалось доказать.
4.3. Скалярное произведение векторов в пространстве
Скалярным произведением векторов а(а1;а2;а3) и &(&1;Ь2»&з)
называется число а1Ь1+а2Ь2+а3Ь3 .
Обычно скалярное произведение векторов а и Ъ обозначают
a b или a b .
45

Свойства скалярного произведения векторов, известные из
курсапланиметрии, в пространстве сохраняются. Для любых
векторов а , Ъ и с и числа h: 1) аЪ = Ъа; 2) (ka)b = k ( a b } ;
3) (a +bj-c = ci c +b c .
Доказательство утверждений 1-3 аналогично случаю на пло
скости. Докажем, например, утверждение 3. Пусть даны векторы
a(a1;a2»a3) 9 b(b1;b2lbB) и с (с15с2»сз)- Тогда, по определению ска
лярного произведения, имеем:
( а + ь ) с = ( ( а 1; а 2 ; а 3 ) + ( Ь 1; Ь 2 ; Ь з ) ) ( с 1; с 2 ; С з ) =
= (а1+&1;а 2 + Ь2;аз + Ь з)(с 1;с2;С з)= (а 1+ 61) с 1+ (а2+ &2) с 2+ (а з + Ь з )с 3 =
= (ai Ci + а2 с2 +а3 c3) +(&i Ci + fc2 с2+&з cs)= a c+b c .
В пространстве углом между ненулевы
ми векторами АВ и АС называют угол ВАС,
а углом между произвольными ненулевыми век
торами а и & — угол между векторами, которые
равны данным векторам и имеют общее начало
(рис. 50).
Точно так же как и на плоскости, в про
странстве доказывают, что скалярное произ
ведение векторов равно произведению их длин
на косинус угла между ними. Таким образом,
a •Ь= a +а 2Ь2+а 3Ь3 = |а |•|Ь|•cos Z(a, b). Отсюда
следует, что скалярный квадрат вектора а равен
квадрату его длины: a 2=a a = |a |2. Сохраняется
также необходимое и достаточное условие перпен
дикулярности двух векторов: если a _L&, то а •&= 0 ,
и наоборот: если для ненулевых векторов а
и Ъ выполняется равенство 5 6 = 0 , то a L b .
Задача
Докажите с помощью векторов, что пря
мая, перпендикулярная двум сторонам тре
угольника, перпендикулярна и третьей его сто
роне.
ъ
z(a ,b) =ZBAC
Рис. 50. Угол между
векторами
46

Решение
Пусть прямая MN перпендикулярна сторо
нам АВ и ВС треугольника ABC (рис. 51). Дока
жем, что MN J.АС . По свойству перпендикуляр
ных векторов MN •АВ = MN •ВС = 0. Так как АС =
= а в +в с , то л ш -а с =Ш !-(а в +в с )= Ш }-Ш +
+MN BC = 0 . Следовательно, по признаку пер
пендикулярности векторов векторы MN и АС,
а значит, прямые MN и АС перпендикулярны.
Свойства векторов широко применяются в фи
зике и технике, где исследователям часто приходится
рассматривать пространственные векторные величи
ны — силу, скорость, перемещение и др. Например,
электрический ток, направление которого задано век
тором Я, образует магнитное поле, которое в каждой
точке пространства характеризуется вектором магнит
ной индукции В (рис. 52).
В о п р о с ы и з а д а ч и
117.* д ан вектор АВ(а;Ь;с). Назовите коорди-
наты вектора ВА.
118.* в кубе ABCDA1B1C1D1 точки М и N —
середины ребер ААг и ССг соответственно
(рис. 53). Назовите векторы с началом и кон
цом в отмеченных на рисунке точках:
а) равные вектору AM;
б) сонаправленные с вектором C N , но
не равные ему;
в) противоположно направленные к век
тору M N ;
г) противоположные вектору В С ;
д) коллинеарные вектору А 1В 1 .
В
Рис. 52. Векторы
магнитной индук
ции магнитного
поля прямого про
водника тока
Рис. 53
47

i:) Известно, что AB=CD . Каким может быть взаимное распо
ложение:
а) прямых АС и BD;
б.) точки D и плоскости, проходящей через точки А, В и С;
в) прямой АВ и плоскости, проходящей через точки С и D?
123. По данным рисунка 53 укажите вектор с началом и концом
в вершинах куба ABCDAlBlC1Dl, равный:
а) АВг +BjC ; в) ВАХ+ВС: д) АВ +ВХСХ+BD[ .
б) AD+AjBj j г) CB+CB+CCj j
Представьте векторы А 1С1 и NM в виде разности двух векторов,
начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке
1<1. На рисунке 54 точки D, Е, F и М —
середины ребер тетраэдра РАВС. Определите
число k из векторного равенства:
а) AC = kD C ; в) E D =kPC ;
б) PF = kB P ; г) AB = kM D.
■22. Угол между векторами АВ и CD ра
вен ф. Найдите угол между векторами:
а) АВ и DC; в) ВА и DC.
б) ВА и CD ;
123. По данным рисунка 53 найдите угол
между векторами:
а) АВ и A D ; г) AD и А ХВ ;
б) ВгВ и BjC; д) СА и СВг .
в) CDX и ВХА ;
Назовите несколько пар векторов с началом
и концом в отмеченных на рисунке точ
ках, скалярное произведение которых равно
нулю.
& & МОДЕЛИРУЕМ
Изготовьте из проволоки модель параллелепипеда. Проде
монстрируйте применение правила параллелепипеда для сложения
трех векторов.
точками.
Р
С
Рис. 54
48

125ГИзготовьте модель бипирамиды (рис. 55).
По правилу многоугольника запишите сум
му векторов, которые изображаются ребра
ми бипирамиды, так, чтобы каждое ребро
входило в сумму ровно один раз, а сама сум
ма равнялась нулевому вектору. Можно ли
составить такую же нулевую сумму для тре
угольной пирамиды?
В
Р
Р
С
Рис. 55
РЕШАЕМ ЗАДАЧИ*
Урокам*. 4
126*Найдите координаты и длину вектора АВ, если:
а) А (-4; 0;2), В(-1;4;2);
б) А (б;1;-4), В (0;-1;-7);
в) А(3;7;О), В (-2;4;-1).
127ГДокажите равенство векторов АВ и CD, если А (-2;-1;0),
В (4; 1;—1), С(3;0;2), B(9;2;l).
128°От точки А(-1;0;4) отложен вектор ш (-2;3;б). Найдите ко
ординату конца этого вектора и его длину.
129 Докажите с помощью векторов, что четырехугольник ABCD —
параллелограмм, если А (4; -1; 7), В (-2; 3;6), С(-1; 5;l ) , D (5; 1;2).
"i30. Найдите значение т, при котором:
а) длина вектора а(-4;т;2) равна 6;
б) длина вектора а(Зтп;8;-4/п) равна 17.
131. В пространстве даны точки А, В, С и D. Укажите вектор с на
чалом и концом в данных точках, равный:
* В ответах к некоторым задачам этого параграфа приводится один из воз
можных вариантов правильного ответа.
а) АВ+ВС+CD:
б) BA-BC + DC;
—^ 132. Упростите выражение:
в) D B +A B +B D -C B .
а) K M + M N -K N
б) Ш -О В + А В + В С ;
в) E F -D C -C F + D M .
49

133. Дан куб ABCDA1B1ClDl. Укажите вектор с началом и концом
в вершинах куба, равный:
а) AA1+B1D ; г) DA +CC1+ A 1B1 ;
б) B C l-B A ; д) ЛЩ +A^D ;
в) AB1+AD + ClC ; е) DAl -A B 1+ BlB .
—^ 134. Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Укажите вектор с на
чалом и концом в вершинах призмы, равный:
а) ACj +BjB+CB: в) CBj + ВjA +BBj + AC.
б) B ^ A -C fi;
135. Даны векторы a(2;-3;l), b(-8;0; 2), с (4;- 2; l ) . Найдите коор
динаты вектора:
a) a + 2c; б) 3а - В ; в) 0,5Ь-Зс.
136. Известно, что АВ = 2АО. Докажите, что точки А и £ симме
тричны относительно точки О.
—^ 137. Найдите координаты и длины векторов а + В и а -В , если
а(0;-1;4), б(2; - 2;2).
138. Докажите, что векторы а и Ъ коллинеарны, если:
а) а (-3;9;6), b (l;-3;-2);
б) а(0 ;2 ;- 3 ) , б (0 ;8 ;- 1 2 );
в) а (10; -25; 20), b(-14; 35;- 28).
—^ 139, Коллинеарны ли векторы АВ и CD, если А (8;-3;0),
В(-1;2;3), С (0;6;-4), £>(9;1;-1)?
140. Найдите скалярное произведение векторов а и Ъ, если:
а) a (-3 ;2 ;-l), S(1;4;2); в) z (a ,б)= 90°.
б) 15 1= 3 , 15 1= 4 , z(a,S) = 120°;
141. Ребро куба ABCDAlB1C1D1 равно 1. Найдите скалярное про
изведение:
а) СВ СС1 ; г) BC D1A 1 ;
* б) а Щ -AD; д) AB[ DC[.
в) ВАг •ВВг ;
—^ 142. Даны векторы а(4;1;-2) и Ь(-1;8;лг). При каком значении т:
а) а-В = - 6 ; в) а±В ?
б) а-В = 8;
50

143. Среди векторов a (-l;-2 ;l), £>(3;-1;1), с (—5;1;0) выберите
пару векторов, угол между которыми является:
а) тупым; б) прямым.
—74 *44. Угол между векторами а и В равен 120°, а-В = - 9 . Найдите
длины этих векторов, если вектор а вдвое длиннее В .
Уровонь В
145. Найдите координаты концов вектора АВ(-9;1;3), если его на
чало лежит на оси ординат, а конец — в плоскости Охг.
-$> 146. С помощью векторов найдите координаты вершины А парал
лелограмма ABCD, если В (8;-1;3), C(-2;0;l), D (-3; 4; 5).
147. Дан куб ABCDAlB1C1D1. Найдите вектор а с началом и кон
цом в вершинах куба, удовлетворяющий равенству:
а) ВА+ABj +BjCj +o+CjAj =BZ);
б) ВА + а +ВВг + ВС = BD .
146. Дан параллелограмм ABCD, О — произвольная точка про
странства. Докажите, что OA + OC = OB+OD.
14S. Дан параллелепипед ABCDA1B1ClDv О — произвольная точка
пространства. Докажите, что OB+OD1=OD +OB1 .
150. Точки М и N — середины ребер РА и ВС тетраэдра РАВС, точ
ка О — середина отрезка MN. Докажите, что ОР+ ОА + ОВ +ОС = б .
(51. Дан параллелепипед Докажите^ что
ACl + B^D = 2BC.
152. Может ли быть равна нулевому вектору сумма трех векторов,
если их длины равны:
а) 1, 4 и 6; б) 2, 9 и 7; в) 5, б и 8?
Определите закономерности и обобщите полученные результаты.
153. К точке М (1;-2;4) приложены силы F1(2; -5; 0) и F2 (-1; 3; 2).
Найдите точку, в которую переходит точка М под действием равно
действующей этих сил.
154. Найдите координаты векторов а и В, если а + 6 = (4;-2;-1),
а-В = (-4; -4;3).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 51

155. Диагонали куба ABCDAxB-iClDl пересекаются в точке О. Най
дите значение к, при котором:
а) B1A -kD C 1; в) AA1+AB+AD=kC10 .
б) DA1+A 1B1=kDO;
156. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если:
а) А (6;-1;0), В (0;5;-3), С(4;1;-1);
б) А(-3;1;1), В (-1;4;-5), С (0;-2;-4);
в) А (-7;3;-2), В (-12; 14;-9), С(3;-19; 12)?
В случае утвердительного ответа определите, какая из данных то
чек лежит между двумя другими.
157. При гомотетии с центром О и коэффициентом 3 точка А пере
ходит в точку А'. Найдите координаты:
а) точки А', если 0(-4;2;-1), А(0;1;1);
б) точки О, если А (-8;-7;-1), А'(-2; 3;1).
158 Вершины четырехугольника ABCD имеют координаты
А (4; 0; -2 ), В (5; 2; 0), С(-3; 2;6), D (0; 0; 1). Докажите, что ABCD —
трапеция.
15S. Даны точки А (0;2;-1), В(0;1;-2), С(1;2;-2). Найдите
угол ABC.
160 Угол между векторами а и Ъ равен 60°, |а| = 4, |b| =3.
Найдите:
а) [а-Ь^-Ь', б) (2а+3б)-а; в) (a-2b) .
' г-овень U
161. Дан тетраэдр РАВС. Постройте точку М, удовлетворяющую
векторному равенству РА +РВ +PC - РМ =б .
—^ 162. Точки К, М и N — середины сторон треугольника ABC, точ
ка О — произвольная точка пространства. Докажите, что ОК +
+ Ш + Ш = ОА+ОВ+дС.
165. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон
четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М, точка О —
произвольная точка пространства.
Докажите, что ОМ = -^-(ОА+ОВ+ОС+01)).
52 -

Прямая АВ пересекает плоскость Оху в точке С. Найдите ее
координаты, если А (3;-8;7), В (-1; 2; -7).
—г Найдите координаты точки пересечения прямой АВ с осью ап
пликат, если А (2; 6;7), В (-1;-3;1).
too. Даны точки А(2;3;5), В(3;2;7), С(6;-1;13), П(5;0;11). Вер
но ли, что ABCD — параллелограмм?
Даны точки А (3;-2;7), В (5;-4;9), С (13;-8;-3), В(0;-12;б).
Докажите, что прямая АВ перпендикулярна плоскости BCD.
-'г : Даны точки А (2;-3;2), В(6;-1;3), С(9;—5;—1), В (5; - 7; - 2).
Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.
Угол между векторами а и b равен 60°. Каждый из данных
векторов перпендикулярен вектору с. Найдите |а+Ь+с|, если
|а|=|б|=|с|=1.
’ Векторы a, b и с — единичные взаимно перпендикуляр
ные векторы. Найдите углы, которые образует вектор у[2а-Ъ+с
с каждым из данных векторов.
rv
j Повторение перед изучением § 5
i ллескии материал
• аксиомы стереометрии и следствия из них (10 класс)
• метод координат и векторный метод на плоскости (9 класс)
•• '..u fu :
17' . Точки М и N — середины сторон ВС и CD параллелограм
ма ABCD. Выразите вектор АС через векторы a =AM и B=A N .
Точки А, В, С и D не лежат на одной прямой. Докажите, что
если АВ+AD = АС, то четырехугольник ABCD — параллелограмм»
53

§ 5 . ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ
И ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ
СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
5.1. Компланарные векторы. Разложение вектора по трем
компланарным векторам
Компланарные -
от латинского
«ком» - вместе
и «планум» - пло
скость - располо
женные в одной
плоскости.
Рассматривая векторы на плоскости, мы уде
ляли особое внимание коллинеарным векторам —
векторам, которые при условии откладывания их
от одной и той же точки лежат на одной прямой.
В пространстве важную роль играют векторы, ко
торые при условии откладывания их от одной точ
ки лежат в одной плоскости.
Рис. 56. Компланар
ные и некомпланар
ные векторы
Определение ------------------------------------- -----------------
Векторы называются компланарными, если при откла
дывании их от одной и той же точки они лежат в одной
плоскости.
Из определения компланарных векторов сле
дует, что направленные отрезки, изображающие
компланарные векторы, лежат в одной плоскости
или в параллельных плоскостях.
Очевидно, что любые два вектора компланар
ны. Компланарными являются также три вектора,
среди которых хотя бы один нулевой, и три векто
ра, среди которых хотя бы два коллинеарны. Дан
ные утверждения следуют непосредственно из опре
деления (объясните почему).
На рисунке 56 изображен куб ABCDA1B1C1D1.
Векторы ВА, ВС и BD компланарны, так как
отрезки ВА, ВС и BD лежат в одной плоскости;
векторы ВА, ВС и B1D1 также компланарны, так
как отрезки ВА, ВС и B1D1 лежат в параллельных
плоскостях ABC и AlBlCv Векторы ВА, ВС и ВВг
не компланарны, так как отрезки ВА, ВС и ВВХ
не лежат ни в одной плоскости, ни в параллельных
плоскостях.
54

§ 5. Применение метода координат и векторов к решению стереометрических задач
Опорная задача
(признак компланарности трех векторов)
Если вектор с можно разложить по век
торам а и Ь, то есть представить в виде
с = ma +nb, где т и п — некоторые числа, то
векторы а, Ь и с компланарны. Докажите.
Решение
Если векторы о и b коллинеарны, то ком
планарность векторов a, b и с очевидна.
Пусть векторы а и & не коллинеарны. От
ложим от произвольной точки пространства О век
торы ОА =а и ОВ =Ь (рис. 57). Очевидно, что эти
векторы, как и прямые ОА и ОВ, лежат в одной
плоскости. В этой же плоскости лежат векторы
ОА[ = тОА и ОВх= пОВ, а значит, и их сум-
компланарности трех — г ——* —
векторов ма — вектор ОС = тОА + пОВ, равный вектору с.
Итак, векторы ОА = а, ОВ-Ъ и О С -с лежат
в одной плоскости, то есть векторы а, Ъ и с
компланарны.
Заметим, что полученное векторное соотношение ОС =
= тОА + пОВ можно рассматривать как условие принадлежности
точки О плоскости ABC.
Напомним: в 9 классе было доказано, что на плоскости для
любого вектора с существует единственное представление в виде
с = та + rib, где т и п — некоторые числа, а и Ъ — фиксирован
ные неколлинеарные векторы (такое представление называют раз
ложением вектора с по векторам а и Ь ).
В отличие от плоскости, в пространстве вектор не всегда мож
но разложить по двум неколлинеарным векторам, но всегда можно
разложить по трем некомпланарным векторам.
Теорема (о разложении вектора по трем некомпланарным
векторам)
Любой вектор d можно разложить по трем некомпланарным век
торам а , Ь и с, то есть представить в виде d = ma + nb+р с , где т,
л и р - некоторые числа, причем такое разложение единственно.
о В В,
ъ
Рис. 57. К доказа
тельству признака
55

П Отложим от произвольной точки про
странства О векторы ОА - а , ОВ =Ь, ОС - с
и OD = d . Проведем через точку D прямую, па
раллельную ОС. Она пересечет плоскость АОВ
в некоторой точке Dv Рассмотрим случай, ког
да точка Dx не принадлежит ни одной из пря
мых ОА и ОВ (рис. 58). Проведем через точ
ку .Dj прямую, параллельную ОВ. Она пересечет
прямую ОА в некоторой точке D2. По правилу
многоугольника:
OD = OD2+D2D^+D-^D. (1)
Но 0D 2 и ОА, D2Dx и ОВ, DXD и ОС —
пары коллинеарных векторов, значит, суще
ствуют числа т, п и р такие, что OD2= mOA,
D2Dr = nOB, D1D =pOC. Подставив эти выра
жения в равенство (1), получим OD = mOA +
+ пОВ+рОС, то есть
d = та +пЪ+рс. (2)
Другие случаи расположения точки относительно плоско
сти АОВ рассмотрите самостоятельно.
Докажем теперь единственность разложения (2) методом от про
тивного. Допустим, что существует другой набор чисел mv пг и p v
для которых имеет место равенство d = m1a +n1b+ p1c . Вычитая это
равенство из равенства (2), получим б = (т -т 1)а + (п -п 1)Ь + (р -р 1)с .
Покажем, что полученное равенство выполняется только в слу
чае, когда т -т 1=0, п -п 1=0, p ~ P i= 0 . Действительно, если, на-
л —• 771 77Ь1 _» 71“ 7Ь1 I* ^
пример, р - р то тогда с = -----:— - а -Ь. Отсюда по при-
р - р 1 р - р 1
знаку компланарности векторов следует, что векторы а, Ъ и с
компланарны, но это противоречит условию теоремы. Следователь
но, наше предположение неверно, и тп= тп1, п = пг, р =р г. Таким
образом, разложение (2) единственно. ■
ству теоремы о разложе
нии вектора по трем не
компланарным векторам
56

Доказанная теорема имеет широкое
практическое применение. Например, некото
рые космические корабли (рис. 59) оснащены
тремя блоками двигателей, позволяющими
двигаться вдоль трех некомпланарных векто
ров. Управляя их взаимодействием, корабль
в пространстве можно перемещать в любом
направлении.
Отметим также связь доказанной тео
ремы с правилом параллелепипеда. На ри
сунке 60 диагональ DB1 параллелепипе
да ABCDA1BlC1D1 изображает сумму трех
векторов: DB[ = d = а+Ь +с.
Данная теорема применяется и в прямо
угольной системе координат: вектор а (а^ а2;а3)
часто раскладывают по единичным векторам
ё1(1;0;0), ё2 (0;1;0) и ё3 (0;0;1), сонаправлен-
ным с осями координат. Эти единичные векто
ры называют координатными векторами или
ортами (рис. 61). Нетрудно доказать, что ко
эффициенты такого разложения равны коорди
натам вектора а , то есть а = а1е1+ а2ё2+а3ё3 .
Рис. 59. Космический
корабль «Space Shuttle»
Bi Сх
Рис. 60. Разложение
вектора по правилу па
раллелепипеда
2
Р ис.61. Координатные
векторы
1 !
!
(о точке пересечения медиан треугольника)
Если М — точка пересечения медиан треуголь
ника ABC, О — произвольная точка пространства, то
ОМ = —( ОА +ОВ+ОС). Докажите.
Решение ^
Пусть BD — медиана треугольни
ка ABC (рис. 62). По свойству точки пересе
чения медиан треугольника BM =—BD. Тогда
3
Ш = Ш + Ш = Ш + - в 5 = Ш + - ( о З - о в ) =
3 3 ' '9 1
= —OD +—OB.
3 3
Рис. 62
57

Так как OD-^[OA+OC^ (объясните почему),.
то ом = — —(о а+ос+—о в=—(о а +^5в +ос .
3 2 ' > 3 3' >
Задача
В параллелепипеде ABCDAlBlClD1 диа
гонали грани CC^D^D пересекаются в точке О
(рис. 63). Разложите вектор АО по векторам
А В -а , AD =b, АА1=с.
Решение
По правилу треугольника AO =AD+DO.
Так как ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед,
P i
I
i
то АВ = DC =а , AA1=DD1=c у
Ш = - ( Ш + Ш 1) = - ( а + с).
Рис. 63
Отсюда АО =Ь+—(а + с) =—а +Ь+—с.
2 2 2
Ответ: —а +Ь+—с.
2 2
Щ 5.2L Векторный и координатный методы в пространстве
Так же как и на плоскости, в пространстве использование век
торов и векторных соотношений во многих случаях упрощает рас
суждения и расчеты в задачах и теоремах.
Применение векторного метода предусматривает три основных
этапа:
1) сформулировать задачу на «языке векторов» — для этого
необходимо рассмотреть векторы, связанные с данными отрезками,
и составить соответствующие условию задачи векторные равенства;
2) преобразовать составленные равенства, воспользовавшись
известными векторными соотношениями;
3) перевести полученные результаты на «язык геометрии».
Для перевода геометрических соотношений на «язык векто
ров» и наоборот обобщим некоторые результаты, полученные в те
оремах и задачах 9 и 11 классов, в приведенной ниже таблице.
58

Утверждение
на «языке геометрии»!
Утверждение
на «языке векторов»
АВ - б или ОА = ОВ ,
где О — некоторая точ-
пространства__
АВ = kCD,
(прямые АВ и CD
не совпадают)
A B -kA C или
ОС = р Ш + (1 -р )Ш ,
где О — некоторая точ
ка пространства
! АС = — СВ или
п
™ ОБ,
т + п т + п
где О — некоторая точ-i
ка пространства
АС-СВ или
С — середина АВ JОС = —(ОА + ОВ}>
где О — некоторая точ-j
ка пространства !
Б9

Окончание таблицы
Утверждение Утверждение
на «языке геометрии» на «языке векторов»
N М ~ середина АВ, Ш = - ( а Б+ВС)
' N — середина CD *' 'К ™ - " 1
М — точка пере- —— 1 /— • —-
ОМ ——(ОА+ОВ+ОС),сечения медиан 3 V г
(центроид) тре- где О — некоторая
угольника ABC точка пространства
Точка D ле^сит
в плоскости ABC
DC = тDA +пDB или
OD = mOA+nOB+
+(1 -т -п )О С ,
где О — некоторая
точка пространства
Рассмотрим сначала пример применения векторного метода
для доказательства уже известного стереометрического факта.
Задача
Докажите с помощью векторов признак
перпендикулярности прямой и плоскости: если
прямая перпендикулярна двум прямым, кото
рые лежат в плоскости и пересекаются, то она
перпендикулярна данной плоскости.
Решение
Пусть M N 1A B , MN L АС (рис. 64). До
кажем, что M N ±(АВС).
По признаку перпендикулярности пря
мой и плоскости необходимо доказать, что
прямая MN перпендикулярна любой прямой Рис. 64
60

I ; плоскости ABC. Пусть DE — произвольная прямая плоскости ABC.
' Докажем, что MN L DE , то есть MN ■DE = 0.
Так как векторы АВ и АС не коллинеарны, то любой век
тор плоскости ABC можно разложить по этим векторам, то есть
существуют числа т и п такие, что DE = mAJB+ nA C . Поэтому
M N ■W = W f{m A B + nAC)j = m M N A B +nM N АС.
По условию задачи MN _LА В , MN _LАС , следовательно,
MN АВ - MN АС = 0 , откуда MN ■DE = 0. Таким образом, пря
мая MN перпендикулярна любой прямой плоскости ABC, то есть
по признаку M N ±(АВС).
В ходе решения задач векторный метод часто объединяют с ме
тодом координат. Напомним, что решение геометрической задачи
методом координат также состоит из трех основных этапов:
1) задать систему координат и сформулировать данную задачу
на «языке координат»;
2) преобразовать алгебраические выражения, воспользовав
шись известными соотношениями и формулами;
3) перевести полученный результат на «язык геометрии».
Обычно на первом этапе решения систему координат выбира
ют так, чтобы как можно больше координат вершин рассматривае
мой фигуры были равны нулю или одному и тому же числу — это
позволяет максимально упростить дальнейшие алгебраические пре
образования. Методом координат в пространстве удобнее пользо
ваться тогда, когда элементами данной фигуры являются три вза
имно перпендикулярных отрезка с общим концом. В таком случае
систему координат целесообразно вводить так, чтобы эти отрезки
лежали на осях координат.
Задача
Найдите угол между скрещивающимися
прямыми, одна из которых содержит диагональ
куба, а вторая — диагональ его грани.
Решение
Разместим куб ABCDAlB1C1D1 с ребром а
в системе координат так, как показано на рисун
ке 65, и найдем угол между прямыми BDl и ВХА,
I
/ I
/V - -
D
Рис. 65
61

воспользовавшись формулой скалярного произведения векторов ("'j
= cos ^ {b d [,'b ^a ). j
Так как В(0;0;0), D1(a;a;a), B^OjOja), А (а; 0; 0), то
BD1(a;a;a), В1А (а;0;-а).
Следовательно, BD1 B1A = a a + a 0 +a (-a) = 0 , то есть дан
ные векторы перпендикулярны, и искомый угол равен 90°.
Ответ: 90°.
€ 1
Рис. 66
Рис. 67
173* На рисунке 66 изображен кубABCDA^B^C-J)^.
Определите, компланарны ли векторы:
а) А ХВ , А ХА и А ХВХ;
б) BDX, DDX и ААХ;
в) А ХВХ, DCX и A XDX;
г) АВХ, A XD и А С .
174.* Дан тетраэдр РАВС (рис. 67). Назовите век
тор с началом и концом в вершинах тетраэдра,
который вместе с двумя данными векторами
составляет тройку некомпланарных векторов
(в каждом случае приведите все возможные
варианты ответа):
а) РА , А С , ...;
б) ВС, ВР,
в) PC, АВ , ....
175. Компланарны ли любые три коллинеарных
вектора? Всегда ли коллинеарны любые три
компланарных вектора?
176. Векторы a , b и с лежат на трех попар
но скрещивающихся прямых. Могут ли данные
векторы быть компланарными? Приведите пример.
62

177, Векторы а , Ъ и с не компланарны. Компланарны ли векторы:
а) а , В и 2а; б) о , с и а + с ; в) За, -2Ь и 4с?
173. Векторы а , b и с компланарны; векторы b , с и d также
компланарны. Могут ли векторы а , Ь и d быть некомпланарными?
В каком случае?
179. Назовите координаты вектора а , если ёх, ё2, е3 являются
координатными векторами и известно, что:
а) а = - Зё1+8ё2+е3 ; в) а = -9ё2■
б) а -2 ё 1- ё 3;
180. Найдите коэффициенты лг, п и р в разложении а = тёх+
+пё2+ рёз , где ёх, ё2, ё3 — координатные векторы, если:
а) а(5;-3;1); б) а(-7;0;3); в) а = ё1.
ф , МОДЕЛИРУЕМ
181.* На модели куба зафиксируйте два вектора, изображаемые
скрещивающимися ребрами. Укажите ребро, которое должно изо
бражать третий вектор так, чтобы три зафиксированных вектора
были некомпланарными. Можно ли указать третье ребро такое,
чтобы три зафиксированных вектора были компланарными?
182ГИзготовьте модель четырех векторов с равными длинами и об
щим началом. Смоделируйте геометрическую конфигурацию, при
которой:
а) любые три из данных векторов компланарны;
б) только три из данных векторов компланарны.
Уровень А
183.* Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложите по векторам
а = А В , Ъ= AD и с - ААХ вектор:
а) АСХ; б) А ХСХ; в) BXD .
184.* Точки D и Е — середины ребер АВ и PC тетраэдра РАВС со
ответственно. Разложите вектор:
а) АР по векторам A D , ВС и СЕ;
б) BE по векторам А В , АС и PC .
_________________________________________________ :_________________________ 63

-9> 181'ГВне плоскости параллелограмма ABCD, диагонали которого
пересекаются в точке О, взята точка Р. Разложите вектор РО по
векторам а = А В , b = AD и с = А Р .
18*> На тело действуют три силы, изображаемые некомпланарными
векторами. Докажите, что равнодействующая этих сил не может
быть равна нулю.
—^ la? На тело, размещенное в начале координат, действуют три
силы, изображаемые координатными векторами , е2 и ?3 . Най
дите величину их равнодействующей, если величина каждой из
данных сил 1 Н.
IBS Векторы а , b и с не компланарны. Коллинеарны ли векторы:
а) d = a +b+ c и ё = а +В - с ;
б) d = Sa-2b + c и е = -9а+ 6Ь -Зс?
■*' Параллелограммы ABCD и A^BC^D не лежат в одной плоско
сти. Докажите векторным методом, что АА± ||СС1.
■90, Докажите векторным методом теорему о трех перпендикулярах.
«^ 191. Отрезок МА — перпендикуляр к плоскости прямоугольни
ка ABCD. Докажите векторным методом, что MD ± CD.
192. Дан куб ABCDA1B1ClDv Найдите векторным методом угол
между прямыми АВ1 и А1П.
—^ ‘О.: Докажите векторным методом, что если одна из двух
параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая пря
мая также перпендикулярна этой плоскости.
•9-1. В кубе ABCDA1B1ClD1 точки К и М — середины ребер В1С1
и CD соответственно. Разложите по векторам а = А В , b = AD
и с = ААх вектор:
а) А К ; б) МЩ ; в) К М .
Точки D и Е — середины реберАВ и PC тетраэдра РАВС. Докажи
те, что Ш 5= —(СА+ РВ. Компланарны ли векторы E D , СА и РВ?
2
■А г:,;,. Медианы грани ABC тетраэдра РАВС пересекаются в точке О.
Разложите вектор РА по векторам Р В , PC и РО .
Векторы а , Ь и с не компланарны. Докажите, что векторы
а +В, Ъ+ с и а + с не компланарны.
64

198. В тетраэдре РАВС медианы грани ABC пересекаются в точ
ке О. Докажите, что РО<-^(РА +РВ +РС).
199. В тетраэдре РАВС РА J. ВС, РВ L АС. Докажите, что PC L А В .
200.Докажите, что если в тетраэдре РАВС PC LA B , то AC2+ РВ2 =
= РА2+ВС2 . Верно ли обратное утверждение?
201. Лучи ОА, ОВ и ОС взаимно перпендикулярны. Найдите угол
между биссектрисами углов АОС и АОВ.
Уровень В
202 (опорная). Для того чтобы точка D принадлежала плоско
сти ABC, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось век
торное равенство OD = mOA +nOB +(l-m -n )O C , где О — неко
торая точка пространства, т и п — числа. Докажите.
203.Докажите, что диагональ АСг параллеле- в г с 1
пипеда ABCDA^B^C^D^ проходит через точки
пересечения медиан треугольников AXBD
и CBlD1 и делится ими на три равные части
(рис. 68).
204.Известно, что ОК = 3ОА+ЗОВ +3ОС, при
чем векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны.
В каком отношении плоскость ABC делит отре
зок ОК, считая от точки О?
205. Средней линией тетраэдра называют отрезок, соединяю
щий середины двух его скрещивающихся ребер, а медианой
тетраэдра — отрезок, соединяющий его вершину с точкой пере
сечения медиан противолежащей грани. Докажите, что:
а) средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке и де
лятся ею пополам;
б) медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся
ею в отношении 3:1, считая от вершины;
в) точка пересечения медиан тетраэдра совпадает с точкой пе
ресечения его средних линий.
206.Докажите, що если М — точка пересечения медиан
тетраэдра РАВС, О — произвольная точка пространства, то
Ш = —(Ш + Ш +ОС +ОР).
65

Рис. 69
Рис. 70
• угол между плоскостями (10 класс)
• перпендикулярность плоскостей (10 класс)
• многоугольник и его элементы (8 класс)
Задачи
207. Гипотенуза АС равнобедренного прямоугольного треугольни
ка ABC лежит в плоскости а , а вершина В удалена от этой плос
кости на 1,5 см. Найдите угол между плоскостями ABC и а , если
площадь треугольника ABC равна 9 см2.
208. Лучи ОА, ОВ и ОС имеют общее начало, причем
Z АОВ = Z ВОС = Z АОС = 60°. Найдите угол между прямой ОА
и плоскостью ВОС.
Тестовое задание для самопроверки № 1
1. Даны точки А (х г;ух;гх) и В {х2;у2;г2). Какая
величина всегда выражается разностью г 2- г 1?
а) одна из координат середины отрезка АВ;
б) длина отрезка АВ;
в) одна из координат вектора А В ;
г) длина вектора АВ .
2. На рисунке 69 А В ± а , а с а , АО = ОВ. Среди
данных утверждений выберите неверное.
а) точкиА и В симметричны относительно точки О;
б) точкиА и В симметричны относительно прямой а;
в) точки А и Б симметричны относительно плос
кости а ;
г) параллельный перенос на вектор АВ переводит
плоскость а в себя.
3. На рисунке 70 точка В не лежит в плоскости АОС.
Закончите предложение так, чтобы получилось вер
ное утверждение. Векторы ОА, ОВ и ОС являются...
а) коллинеарными; в) сонаправленными;
б) компланарными; г) некомпланарными.
66

4. Найдите координаты середины отрезка с концами М(-7;1;4)
и ЛГ(—1; —3; 0)
а) (—4; —1;4); б)(-4;-1;2); в) (-4;-2; 2); г)(-3;2;2).
5. Найдите сумму векторов CD + DE +EF.
а) б ; в) DF ;
б) CF ; г) СЁ.
6. Точка О не принадлежит плоскости а . При гомотетии с цен
тром О плоскость а переходит в плоскость Р, отличную от а .
Прямая а лежит в плоскости а . Каково взаимное расположение
прямой а и плоскости Р?
а) а ||Р; в)а принадлежит Р;
б) а пересекает Р; г) а ± р .
7. Прямая АВ перпендикулярна плоскости BCD. Среди данных
пар векторов выберите пару векторов, скалярное произведение
которых равно нулю.
а) СА и СВ; б) BD и A D ; в) АС и В С ; г) АВ и CD.
8. Дан кубABCDA1B1C1D1 (рис. 71). При
параллельном переносе отрезок АХВ перехо
дит в отрезок D1C. Назовите плоскость, в ко
торую при таком переносе переходит плос
кость ААХВХ.
а) Z)BXB; р) ААХСХ;
б) £>ССХ; г) ABC.
9. Плоскость а является плоскостью симме
трии треугольника ABC, не лежащего в дан
ной плоскости. Среди данных утверждений
выберите неверное.
а) (А В С )± а ;
б) треугольник ABC равнобедренный;
в) треугольник ABC имеет центр симметрии;
г) треугольник ABC имеет ось симметрии.
Рис. 71
10. Дан куб ABCDAlB1ClD1 (рис. 71). Найдите A 1B1^-BC-DD1 .
а) А^С;
б) BDX;
в) BXD ;
г) АСХ.

11. Среди данных геометрических преобразований выберите то,
при котором одна из двух скрещивающихся прямых может пере
ходить в другую:
а) параллельный перенос; в) поворот;
б) зеркальная симметрия; г) гомотетия.
12. При параллельном переносе вектор АВ переходит в век
тор DC. Среди данных утверждений выберите то, которое может
быть неверным.
а) AB = DC;
б) середины отрезков АС и BD совпадают;
в) векторы А В , АС и DC компланарны;
г) ABCD — параллелограмм.
Итоги гл авы i
Итоговый обзор главы I
Декартовы координаты в пространстве
Координаты середины отрезка
ZЛ л/ *А(хг; уг; гх)
ЧС(*; у; г)
Расстояние между точками
2 А
’В(х2; у2; г2)
У
Uli 2t)
'В(х2; у2; г2)
>
г _ * 1 + * 2 „ - У 1 + У 2 „ _ * 1 + * 2
х —---------- > и—-----------> z—---------
2 2 2
AB = J(x1 - х 2)2+(jf1- у 2)2+(«1 - z 2f
Движения в пространстве
Движением, называется преобразование одной
фигуры в другую, при котором сохраняются рас
стояния между точками
у> Две фигуры называются равными, если они
iпереводятся одна в другую движением
Движение в пространстве переводит прямые
в прямые, отрезки — в равные отрезки, углы —
в равные углы, плоскости — в плоскости __
68

Итоги главы I
Виды движений
Симметрия относительно
точки (центральная)
Симметрия относительно Симметрия относительно
прямой (осевая) плоскости (зеркальная)
F’
X'
Поворот в пространстве;
вокруг прямой
Параллельный перенос
F'
у' = у+Ъ
z’= z+c
Элементы симметрии фигуры
Центр симметрии Плоскость симметрии
Z Z Zl
I
I
J-
а I
- у-
/
69

Преобразование подобия в пространстве
Р' СО Р
Преобразованием подобия (подобием) на
зывается такое преобразование фигуры F в фи
гуру F', при котором расстояния между точками
изменяются в одном и том же отношении k (k > 0)
Число k >0 называют коэффициентом по
добия, а фигуры F и Ff — подобными
Преобразование подобия переводит прямые
в прямые, отрезки — в отрезки, плоскости —
в плоскости, а также сохраняет углы между лучами
Гомотетией с центром в точке О и ко
эффициентом k (k > 0 ) называется такое пре
образование фигуры F в фигуру F', при ко
тором каждая точка X фигуры F переходит
в точку X ' фигуры F', лежащую на луче ОХ,
и ОХ' = Ю Х
Число k называют коэффициентом гомо
тетии, а фигуры F и Ff — гомотетичными
Основное свойство гомотетии: гомоте
тия является преобразованием подобия
Гомотетия переводит плоскость, не прохо
дящую через центр гомотетии, в параллельную
плоскость или в себя
Векторы
а = АВ
Вектором называется направленный отрезок
Координатами вектора с началом в точ
ке А [х г; и концом в точке В(л:2;i/2;22) назы
ваются числа а1= х 2- х 1, а2= у 2 ~У и az = z2 ~zi :
а #2»аз)
Длина (модуль) вектора а(а1;а2;а3) вы
числяется по формуле d = yjai +а2 +а
70

Ненулевые векторы называются коллинеар-
ными, если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых
Векторы АВ и CD сонаправлены
Векторы АВ и EF противоположно на
правлены
Противоположными векторами называются
два противоположно направленных вектора одина
ковой длины
Два вектора называются равными, если они
совмещаются параллельным переносом
От любой точки можно отложить вектор, рав
ный данному, и притом только один
Критерии равных векторов:
1) векторы сонаправлены и имеют равные
длины;
2) векторы имеют равные координаты
Операции с векторами
Сложение^ векторов _________________
Суммой векторов а(а1;а2;д3) и b(b1;b2lbz) называется вектор
с(с1;с2;с3) с координатами с1= а1+Ь1, с2= а 2+62, с3= а3+Ь3, то есть
(^i>^2»^3)“^(fri>fr2>fr3)= (^i +5^;д2+&2;д3+Ь3)
Построение суммы векторов
Правило| Правило | Правило j Правило
треугольника |параллелограмма J многоугольника j параллелепипеда
AJBTTCD,
A B 'tlE F
-а а
< ■ »
а +(-а) = б

----------- v --------------------------- --------------------
Вычитание векторов
Разностью векторов а(а1;а2;а3) и В(Ьг;Ь2;Ь3) называется та
кой вектор с(с1;с2;с3), сумма которого с вектором В равна вектору а ,
то есть В + с = а :
(a i; а 2»а з ) “ (^1» ^з) = (a i а 2 "“^2> а з ” ^з)
Построение разности векторов
Умножение вектора на число
ka
k>0
Вектор ka сонаправлен
с вектором а
ka
k<0
Вектор ka противо
положно направлен
к вектору а
| Произведением вектора а(а1;а2;а3)
!на число k (или произведением числа k на
'вектор а) называется вектор (ka1;ka2;kas) ,
| который обозначают ka или a k :
|fea| =|fe||a|
Если а и В — коллинеарные векто-
| ры, то существует число k такое, что В = ka ,
!и наоборот: если для ненулевых векторов а
!и В выполняется равенство В = ka , то векто-
|ры а и В коллинеарны
| У коллинеарных векторов соответству-
| ющие координаты пропорциональны, и на-
!оборот: если у двух векторов соответствую-
Iщие координаты пропорциональны, то эти
Iвекторы коллинеарны
72

Скалярное произведение векторов
z(a,b) = ZBAC
Скалярным произведением векторов
j а(а1;а2;а3) и б(б1;Ь2;^з) называется чис-
ло alb1+ a2b2+ a3b3 . Обычно скалярное про
изведение векторов а и b обозначают a b
или ab
Скалярное произведение а •а назы
вается скалярным квадратом вектора а :!
2 2 , „2 , 2(L“ — — - |2а
Скалярное произведение векторов рав
но произведению их длин на косинус угла
между ними: a-& = |a||b |-cosz(a,B )
Свойство и признак перпендикуляр-,
| ных векторов: если аХ.В , то a b = 0, и на-
| оборот: если для ненулевых векторов а и b
jвыполняется равенство a b = 0, то a,Lb
Компланарные векторы
А ,В,С ,О е a
Ненулевые векторы называются компла
нарными, если при откладывании их от одной:
и той же точки они лежат в одной плоскости
I
Любой вектор d можно разложить по!
трем некомпланарным векторам a , b и с , то
есть представить в виде d = ma +nb +р с , где т,
п и р — некоторые числа, причем такое раз-:
ложение единственно

Контрольные вопросы к главе I
1. Докажите формулы координат середины отрезка и расстояния
между точками в пространстве.
2. Опишите виды симметрии в пространстве. Как построить точ
ку, симметричную данной точке относительно данной плоскости?
3. Опишите параллельный перенос в пространстве. Какими фор
мулами он задается?
4 Опишите преобразование подобия и гомотетию в пространстве.
5. Какие понятия и свойства, связанные с векторами, в стерео
метрии совпадают с планиметрическими? Дайте соответствующие
определения, запишите формулы.
6. Какие понятия и свойства, связанные с векторами, в стерео
метрии отличаются от планиметрических? Дайте соответствующие
определения, запишите формулы.
У. Какие векторы называются компланарными? Сформулируй
те и докажите теорему о разложении вектора по трем неком
планарным векторам.
Дополнительные задачи к главе I
209.Найдите расстояние от точки А(-4;1;3) до точек, симме
тричных ей относительно:
а) координатных плоскостей;
б) начала координат;
в) осей координат.
210. Векторы а(-7;1;4) и Ь(-1;4;2) отложены от общего начала.
Найдите расстояние между концами этих векторов.
211. При движении точка A(x;y;z) переходит в точку Б. Приведи
те пример такого движения, если:
а) В (-х ;-у;г);
б) В (х;-у;г);
в) B (y;x;z).
2 ;2. Докажите, что две плоскости, симметричные относительно
точки, через которую они не проходят, параллельны.
74

213. Основание четырехугольной пирами
ды PABCD — квадрат ABCD, а все боковые
ребра равны. При симметрии относитель-
Р
но плоскости основания точка Р переходит ^ С
в точку Рг (рис. 72). Докажите, что:
a) PA + PB +PC +PD = 2PP1 ;
б) PB -B P1=D B .
214. Векторы а + 2Ь и а-ЗЬ коллинеарны.
Докажите, что векторы а и В коллинеарны.
Рис. 72
215. Даны точки А (-4; 0; 3) и В(1;4;8). Под каким углом отре
зок АВ виден из начала координат?
216. Докажите, что точки А(-1;2;1), В (5; 4;-2), С(1;—1;7) явля
ются вершинами равнобедренного треугольника.
217. Определите вид четырехугольника ABCD, если A (l;l;-l),
218. Лучи ОА, ОВ и ОС попарно перпендикулярны. Докажите
векторным методом, что треугольник ABC остроугольный.
219. В плоскости Оху найдите точку С, лежащую на прямой АВ,
если А (1;-7;7), В (-3;3;-7). Какая из точек: А, В или С — лежит
между двумя другими?
220.Докажите с помощью векторов, что для любых чи
сел а1, а2, а3, 6Х, Ь2, Ь3 выполняется неравенство
(неравенство Коши — Буняковского — Шварца).
221. Дан куб, в котором три грани закрашены одним цветом.
Сколько плоскостей симметрии может иметь такой куб?
222.в треугольной призме АВСА1В1С1 точки К, М и N принадле
жат боковым ребрам ААХ, ВВХи ССХсоответственно. Докажите,
что точки пересечения медиан треугольников ABC, А1В1С1 и KMN
лежат на одной прямой.
223. Все ребра тетраэдра РАВС равны о. Найдите векторным мето
дом угол и расстояние между АВ и PC.
В (-3; 1;3), С(-7; 5;3), В (-7;9;-1).
Задачи повышенной сложности
75

224. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром а. Найдите векторным ме
тодом расстояние и угол между прямыми:
а) АС и BXD ; б) A XD и DXC .
225. В тетраэдре РАВС точка О — точка пересечения медиан тре
угольника ABC. На ребрах РА, РВ, PC взяты точки М, N, К так,
что PM = -^РА, PN = РВ, РК = | PC. Отрезок РО пересекается
с плоскостью MNK в точке S. Найдите векторным методом отно
шение PS:SO.
226. Из вершины параллелепипеда проведены три диагонали его
граней. На этих диагоналях (как на ребрах) построили новый па
раллелепипед. Докажите, что противолежащая вершина данного
параллелепипеда является серединой диагонали построенного па
раллелепипеда.
227. Дан прямоугольный параллелепипед, диагонали которого пе
ресекаются в точке О. Три ребра параллелепипеда, имеющие об
щую вершину, видны из точки О под углами a lt Рх, Yi- Три Ди'
агонали граней, выходящие из одной вершины, видны из точки О
под углами а 2, Р2> У2- Докажите, что:
а) cosocj+cosPj+cosYj = 1; б) cosa2+cosp2+cosY2= ~l-
228. Дан тетраэдр РАВС; bt , Ъг, Ь3 — биссектрисы углов ВРС,
СРА, АРВ соответственно. Докажите, что при условии ЪхJ.Ъ2 каж
дая из биссектрис Ъх, Ь2 перпендикулярна Ь3.
229. Найдите количество решений уравнения
yj(x-l)2+ у 2+2 2 +yjx2+ (y -l)2+г 2 =а при условии:
а) а = 1; б) а = л/2; в) а = 2.

Историческая справка
Эпоха великих географических открытий
и обусловленное ими развитие производства, торгов
ли, мореплавания стали толчком к возникновению
аналитической геометрии. Этот раздел геометрии,
основанный на введении прямоугольных координат
и установлении соответствия между алгебраическими
уравнениями и геометрическими фигурами, стал ито
гом многолетних математических исследований.
Создателями аналитической геометрии считают
французских ученых Рене Декарта (1596-1650) и Пье
ра Ферма (1601-1665). Ферма в начале XVH века, за
нимаясь восстановлением утраченных работ древне
греческих ученых, в частности Аполлония Пергского,
определил общий подход к изучению геометрических
мест точек через алгебраические уравнения. Открытие
Декартом системы координат на плоскости позволи
ло создать математический аппарат для воплощения
идей аналитической геометрии. Но как Ферма, так
и Декарт только говорили о возможности использо
вания координат в пространстве. Трехмерную систе
му координат первым начал применять французский
математик Алексис Клод Клеро (1713-1765), а си
стематическое изложение аналитической геометрии
в пространстве представил в 1748 году выдающийся
ученый Леонард Эйлер.
В историю аналитической геометрии вписаны
также имена украинских ученых. Уроженец Винни-
чины Виктор Яковлевич Буняковский (1804-1889)
учился математике в Париже, у ведущих ученых свое
го времени — Коши, Лежандра, Пуассона, Лапласа,
а поздее работал в Петербурге. Он был автором око
ло ста работ по математическому анализу, алгебре,
геометрии, теории чисел и теории вероятностей. Так,
известное вам неравенство а-Ь<|а|-|ь| является век
торным представлением математического факта, обоб
щенного Буняковским на основании идей его учителя
Коши, и получило название «неравенство Коши — Бу-
няковского».
Пьер Ферма
Алексис Клод
Клеро
Щ »; ;V- ■Д |
В. Я. Буняков
ский
__________ 77

0 Тематика сообщений и рефератов к главе I
1. Расстояния между прямыми и плоскостями в пространстве.
2. Применение векторно-координатного метода к изображению
пространственных фигур на плоскости. Компьютерная графика.
3. Прикладные задачи оптимизации. Линейное программиро
вание.
4. История развития аналитической геометрии.
5. Жизнь и научное наследие П. Ферма и В. Я. Буняковского.
Рекомендованные источники информации
1. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X кл. — М.:
Просвещение, 1982.
2. Потоскуев Е. В. Векторы и координаты как аппарат решения
геометрических задач: Учеб. пособие. — М.: Дрофа, 2008.
3. Вивальнюк JI. М. Елементи лшшного програмування. — К.:
Вища шк., 1975.
4. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. Т. 1. Стерео
метрия, преобразования пространства. — М.: МЦНМО, 2006.
5. Бевз Г. П. Методика розв’язування стереометричних задач:
Пошбник для вчителя. — К.: Рад. шк., 1988.
6. Фокс А., Прат М. Вычислительная геометрия. Применение
в проектировании и на производстве. — М.: Мир, 1982.
7. Беккер Б. М., Некрасов В. Б. Применение векторов для реше
ния задач. — С.-Петербург: НПО «Мир и семья-95», 1997.
8. Кушнир И. А. Координатный и векторный методы решения
задач. — К.: Астарта, 1996.
9. Кушнир И. А. Векторные методы решения задач. — К.: Обе-
риг, 1994.
Ю. Шестаков С. А. Векторы на экзаменах. Векторный метод в сте
реометрии. — М.: МЦНМО, 2005.
78

§ 6. Двугранные и многогранные
углы. Многогранник
§ 7. Призма
§ 8. Пирамида
§ 9. Некоторые виды пирамид
§ 10. Сечения многогранников

Геометрия — это настоящая естественная наука,
только более простая, а значит, и более совершенная,
чем любая другая.
Огюст Конт, французский философ
Среди твердых тел естественного и искусственного
происхождения особенно важную роль играют много
гранники. Подобно многоугольникам на плоскости, они
наглядно демонстрируют, как объединение известных
свойств простейших геометрических фигур рождает но
вые, до сих пор неизвестные факты. Недаром, говоря
о всесторонне одаренном человеке, мы часто отмечаем
многогранность его таланта.
Для успешного изучения многогранников необхо
димо восстановить в памяти свойства многоугольников,
а также основные теоремы о расположении прямых
и плоскостей в пространстве. Именно на этом теорети
ческом материале базируются основные теоремы данной
главы.
Свойства многогранников находят широкое прак
тическое применение в искусстве и строительстве, кри
сталлографии и компьютерной графике. Выдающийся
архитектор XX столетия Jle Корбюзье справедливо отме
чал, что шедевры старинной архитектуры появились толь
ко благодаря законам геометрии. И значительную часть
этих бесценных для практической деятельности человека
законов таят в себе именно многогранники.

§ 6. Двугранные и многогранные углы. Многогранник
§ 6 . ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ.
МНОГОГРАННИК
6.1. Двугранный угол
Понятие двугранного угла рассматривалось
нами в курсе геометрии 10 класса. Вспомним,
как вводилось это понятие.
В планиметрии углом называется фигура,
состоящая из двух лучей с общим началом. По
аналогии в пространстве можно рассматривать
две полуплоскости с общей граничной прямой.
Если мы перегнем по прямой лист бумаги, то
получим модель такой пространственной фигуры.
Рис. 73. Двугранный
угол
Определение -----------------------------------------------
Двугранным углом называется фигура, состоящая
из двух полуплоскостей (граней двугранного угла)
с общей граничной прямой (ребром двугранного
угла).
На рисунке 73 изображен двугранный угол
с гранями а и р и ребром с. Наглядное пред
ставление о двугранных углах дают полураскры
тая книга или папка, двускатная крыша здания,
две соседние стены комнаты и т. д. (рис. 74).
Измерение двугранных углов сводится к из
мерению углов между лучами, выполнить кото
рое можно с помощью дополнительных постро
ений следующим образом.
Через точку О на ребре данного двугранного
угла (рис. 75) проведем плоскость, перпендику
лярную ребру угла. Она пересекает грани угла по
лучам ОА и ОВ, перпендикулярным ребру данно
го угла. Угол АОВ, образованный этими лучами,
называют линейным углом данного двугранно
го угла. Часто при построении линейного угла
двугранного угла плоскость, перпендикулярную
ребру, не строят, ограничиваясь проведением
Рис. 74. Модели дву
гранных углов
Рис. 75. Линейный угол
двугранного угла
81

Глава II. Многогранники
Рис. 76. К обоснрванию
равенства линейных
углов двугранного угла
в гранях данного угла лучей с общим началом,
перпендикулярных ребру угла.
Очевидно, что двугранный угол имеет мно
жество линейных углов. Покажем, что все ли
нейные углы двугранного угла равны.
Действительно, пусть А10 1В1 и А20 2В2 —
линейные углы двугранного угла (рис. 76). Па
раллельный перенос, который переводит точку Ог
в точку 0 2, переводит угол А 10 1В1 в угол А20 2В2.
Так как при параллельном переносе величины
углов сохраняются, то Z A 10 1B1= Z А 20 2В2 . Это
позволяет дать следующее определение.
«оеяедение
Градусной мерой двугранного угла называется гра
дусная мера его линейного угла.
Из доказанного следует, что градусная мера двугранного угла
не зависит от выбора линейного угла.
Согласно определению угла в планиметрии, градусная мера
двугранного угла лежит в пределах от 0° до 180° (случаи, когда
грани двугранного угла совпадают или принадлежат одной плоско
сти, как правило, не рассматриваются). Как и среди углов на пло
скости, среди двугранных углов различают острые (меньше 90°),
прямые (те, что равны 90°) и тупые (больше 90° и меньше 180°).
Итак, для обоснования градусной меры двугранного угла не
обходимо построить его линейный угол, то есть указать на гра
нях данного двугранного угла два луча с общим началом, перпен
дикулярных ребру угла.
Один из способов построения таких лучей описан в решении
следующей задачи.
Задача
На одной из граней двугранного угла, равного 45°, лежит
точка, удаленная на 8 см от ребра угла. Найдите расстояние от
этой точки до другой грани угла.
Решение
Пусть точка А принадлежит грани а данного двугранного
угла (рис. 77). Проведем АВ J_P; АВ — расстояние от точки А до
грани Р. Проведем AC J_с ;АС — расстояние от точки А до ребра с;
82

по условию А С -8 см. Отрезок ВС — проекция
наклонной АС на плоскость Р. По теореме о трех
перпендикулярах ВС ± с . Значит, угол АСВ —
линейный угол двугранного угла; по условию
Z АСВ = 45° . Из треугольника ABC { Z B - 90°)
sinC = ^ - , АВ = AC sinC = 8 — = 4л/2 (см).
АС 2
Ответ: 4V2 см.
Говорят, что точка М лежит внутри двугранного угла, если
существует линейный угол данного двугранного угла, во внутренней
области которого лежит точка М. Так, на рисунке 77 во внутренней
области данного двугранного угла лежит любая внутренняя точка
отрезка АВ. Множество всех точек, лежащих внутри двугранного
угла, называется внутренней областью двугранного угла.
6.2. Трехгранный и многогранный углы
Рассмотрим лучи a, ft и с с общим началом Р,
не лежащие в одной плоскости (рис. 78). Каждая
пара этих лучей определяет плоский угол с вер
шиной Р, а все они вместе — пространственную
фигуру, которая называется трехгранным углом.
Определение — ---------------------------------------
Трехгранным углом называется фигура, состоящая
из трех плоских углов с общей вершиной и попарно
общими сторонами, не лежащими в одной плоскости.
На рисунке 78 трехгранный угол с вер
шиной Р образован плоскими углами (а&), (Ьс)
и (ас). Эти плоские углы называются гранями
трехгранного угла, а их стороны а, Ь и с —
ребрами трехгранного угла. Каждые две грани
трехгранного угла определяют полуплоскости,
в которых они лежат, причем эти полуплоскости
ограничены общей прямой — ребром трехгран
ного угла. Двугранные углы, образованные таки
ми полуплоскостями, называются двугранными
углами трехгранного угла.
Рис. 78. Трехгранный
угол
83

(неравенство треугольника для трехгранного угла)
Любой плоский угол трехгранного угла
меньше суммы двух других плоских углов.
Докажите.
Решение
Пусть РА, РВ и PC — ребра трехгранного угла
с вершиной Р, а угол АРС — наибольший из пло
ских углов данного угла (рис. 79). В грани АРС
проведем луч РК так, чтобы ZAPK = Z A P B ,
и отложим на этом луче отрезок Р£>, равный РВ.
Тогда A PAD = А РАВ по двум сторонам и углу
между ними, откуда следует, что ABj=AD.
Пусть лучи AD и PC пересекаются в точке Е.
Тогда из треугольника АВЕ по неравенству тре
угольника АЕ<АВ +ВЕ , или AD + DE< АВ + ВЕ .
Так как АВ = AD , имеем DE < BE . В тре
угольниках DEP и ВЕР сторона ЕР общая,
РВ = РП, DE <BE .
Из теоремы косинусов для этих треугольников сле
дует, что cosZBPE < cosZD PE, откуда ZBPE> ZD PE .
Тогда ZBP£ + ZAPD>ZDP£.+ ZAPD. Но ZAPD = Z A P B ,
ZDPE + Z A P D =ZA PE , поэтому ZBPE + ZA PB >Z APE , to
есть ZBPC + ZAPB> ZAPC , что и требовалось доказать.
тельству неравенства
треугольника для
трехгранного угла
Рис. 80. Выпуклый
пятигранный угол
Аналогично трехгранному углу опреде
ляют четырехгранный, пятигранный и вообще
гс-гранный угол при п > 3. В школьном курсе мы
будем рассматривать только выпуклые многогран
ные углы — углы, лежащие по одну сторону от
плоскости любой своей грани или в самой этой
плоскости. Например, на рисунке 80 изображен
выпуклый пятигранный угол с вершиной Р.
84

(о сумме плоских углов выпуклого многогранного угла)
Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла мень
ше 360°. Докажите.
Решение
Пусть некоторая плоскость* пересекает ребра многогранного
угла с вершиной Р в точках А г, А 29 А п.Рассмотрим птрехгран
ных углов с вершинами А 19 А2, А п. Для каждого из этих углов,
вследствие неравенства треугольника для трехгранного угла, имеем:
Z А пА 1А 2< Z A nA tP + Z А 2А гР ,
Z A xA 2A s < Z A xA 2P -I-Z А3А2Р ,
£ А п-1А пА 1 < Z А п-1А пР + Z А 1А пР •
Заметим, что сумма левых частей данных неравенств являет
ся суммой углов выпуклого л-угольника А 1А 2...А п, то есть рав
на 180°(л -2 ). Сумма правых частей является суммой углов при
основаниях треугольников А ±РА2, А2РА3, ..., А пРАг , то есть
равна 1 8 0 ° л -5 , где S — сумма углов этих треугольников при
вершине Р, которая и является суммой плоских углов данного
многогранного угла. Итак, сложив полученные неравенства, имеем
180°(n-2)<180°n-S, откуда S<360°.
6.3. Многогранник
Среди пространственных фигур, изучаемых в курсе стерео
метрии, особое место занимают геометрические тела, или просто
тела. Наглядно геометрическое тело можно представить как конеч
ную часть пространства, занятую физическим телом и ограничен
ную поверхностью*.
Поверхность многих предметов, окружающих нас в повседнев
ной жизни, состоит из плоских многоугольников: например, спичеч
ный коробок, скворечник и т. д. (рис. 81). Такие предметы дают
представление о многогранниках.
Определение --------------------------------------------------------------------------
Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из ко
нечного числа плоских многоугольников.
* Определение геометрического тела будет дано в п. 14.3.
85

♦
Рис. 81. Модели многогранников
Плоские многоугольники, из которых состоит поверхность
многогранника, называются гранями многогранника. Стороны
и вершины этих многоугольников называются соответственно ре
брами и вершинами многогранника. Каждое ребро многогранника
принадлежит ровно двум его граням. При этом никакие две сосед
ние грани (то есть грани, имеющие общее ребро) не лежат в одной
плоскости. Например, многогранник на рисунке 82, а имеет во
семь граней, каждая из которых является треугольником, 12 ре
бер и 6 вершин. Грани многогранника, лежащие в параллельных
плоскостях, называются параллельными гранями.
Так же как и многоугольники, многогранники делятся на вы
пуклые и невыпуклые.
О п р е д е л е н и е ---------------------------------------------------— — ------------------
Выпуклым многогранником называется многогранник, все точки которого ле
жат по одну сторону от плоскости каждой его грани или в самой этой плоскости.
В противном случае многогранник называется невыпуклым.
Так, многогранник на рисунке 82, а является выпуклым,
а многогранник на рисунке 82, б — невыпуклым (объясните поче
му). Примерами выпуклых многогранников являются уже извест
ные вам призма, параллелепипед, тетраэдр. В дальнейшем мы будем
изучать свойства этих многогранников подробнее.
Двугранный угол, образованный полуплоскостями, в которых
лежат соседние грани данного выпуклого многогранника, называется
7
а б
Рис. 82. Выпуклый и невыпуклый многогранники
86

двугранным углом выпуклого многогранника. Заметим, что данный
многогранник лежит во внутренней области этого двугранного угла.
Если поверхность модели многогранника, изготовленной
из плотной бумаги, разрезать по некоторым ребрам и развернуть ее
на плоскости, получим многоугольник, который называется разверт
кой многогранника (или разверткой поверхности многогранника).
На рисунке 83 даны развертки некоторых многогранников: а —
правильного тетраэдра, б — четырехугольной пирамиды, в, г — куба.
Площадью полной поверхности (или просто площадью по
верхности) многогранника называется сумма площадей всех его гра
ней. Очевидно, что площадь поверхности многогранника равна пло
щади его развертки.
а б в г
Рис. 83. Развертки многогранников
^ ОБСУЖДАЕМ ТЕОРИЮ
230Г Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 84).
Назовите ребро и один из линейных углов
двугранного угла с гранями:
а) ВгВС и ABC;
б) AjAO и DxDO;
в) ВХАС и ABC;
г) AXBD и ВВС.
Какие из данных углов острые; прямые;
тупые?
Рис. 84
231 Один из двугранных углов, образованных при пересече
нии двух плоскостей, равен ф. Какую градусную меру может
иметь угол между данными плоскостями?

232. Возможен ли трехгранный угол, плоские углы которого равны:
а) 40°, 50° и 100°; в) 150°, 160° и 170°?
б) 20°, 60° и 80°;
233. Возможен ли выпуклый четырехгранный угол, плоские углы
которого равны:
а) 90°; б) 60°, 80°, 100° и 130°?
234. Сколько трехгранных углов имеет тетраэдр; треугольная приз
ма; куб?
235. Многогранник имеет т вершин и п ребер. Сколько у него
двугранных углов? Верно ли, что данный многогранник имеет
т, трехгранных углов? Выскажите предположение.
О
236Г Смоделируйте многогранник, который:
а) не является тетраэдром, но все его грани — треугольники;
б) не является кубом, но четыре его грани — квадраты.
237.* Изготовьте из плотной бумаги модель правильного тетраэдра.
Разрежьте ее по ребрам так, чтобы получить развертку, отличную
от развертки на рисунке 83, а. Равны ли площади двух разных
разверток данного тетраэдра? Ответ обоснуйте.
Уровень А
238.* По данным рисунка 85, a-в постройте и обоснуйте линейный
угол двугранного угла с ребром АВ.
С
CD JL(ARD)
б
Рис. 85
Здесь и далее в практических заданиях на склеивание разверток много
гранников необходимо учитывать припуски материала на склеивание.
88

239Г На одной из граней двугранного угла взята точка.
а) Найдите величину угла, если он является острым, а данная
точка удалена от ребра угла на 12 см и от плоскости другой
грани на бТз СМ.
б) Найдите расстояние от данной точки до плоскости другой
грани, если двугранный угол равен 30°, а расстояние от дан
ной точки до ребра угла составляет 14 см.
—^ 240.* Равносторонний треугольник ABC со стороной 2>/б см лежит
в одной из граней двугранного угла с ребром АС. Найдите расстояние
от точки В до плоскости другой грани, если двугранный угол равен 45°.
241. На разных гранях двугранного угла лежат точки А и В,
удаленные от граней, которым они не принадлежат, на 14 см
и 21 см соответственно. Во сколько раз расстояние от точки В до
ребра угла больше, чем расстояние от точки А до ребра угла?
—^ 242. На одной из граней острого двугранного угла лежат две точ
ки, первая из которых удалена от ребра угла на 7 см, а вторая —
на 21 см. Найдите расстояние от второй точки до плоскости дру
гой грани угла, если первая точка удалена от этой грани на 4 см.
243. Все плоские углы трехгранного угла прямые. Докажите, что
все его двугранные углы также прямые.
—^ 244. Все плоские углы выпуклого многогранного угла прямые.
Сколько граней может иметь такой угол?
245. Два плоских угла трехгранного угла прямые, а третий ра
вен 60°. На грани, содержащей наименьший плоский угол, лежит
точка М у удаленная от каждого из ребер этой грани на 4 см. Най
дите расстояние от точки М до третьего ребра угла.
246. Все плоские углы трехгранного угла прямые. На ребрах угла
лежат точки А, В и Су удаленные от его вершины на 3>/2 см. Най
дите площадь треугольника ABC.
247. Нарисуйте развертку:
а) правильного тетраэдра с ребром 4 см;
б) прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны
2 см, 3 см и 5 см.
Найдите площадь полной поверхности данных фигур.
Уровень Б
Щ 248 (опорная). Отношение площадей поверхностей подобных много
гранников равно квадрату коэффициента подобия. Докажите.
89

249. Плоскость у пересекает грани двугранного угла, равного 45°,
по параллельным прямым, удаленным от ребра угла на 3>/2 см
и 7 см. Найдите расстояние между этими прямыми.
—^ 250. В гранях двугранного угла проведены две прямые, парал
лельные ребру угла. Найдите величину двугранного угла, если
данные прямые удалены от ребра на 7 см и 8 см, а расстояние
между ними равно 13 см.
251. Ортогональная проекция прямой I на одну из граней двугран
ного угла перпендикулярна ребру угла. Докажите, что проекция
прямой I на другую грань также перпендикулярна ребру угла.
252. Из точек А и С, лежащих на разных гранях двугранного угла,
проведены к его ребру перпендикуляры АВ = 7 см и CD- 15 см.
Найдите величину двугранного угла, если BD = 84 см, АС = 85 см.
—^ 253. Из точек А и С, лежащих на разных гранях двугранного угла
величиной 45°, проведены к его ребру перпендикуляры АВ = 4/2 см
и CD = 1 см. Найдите длину отрезка АС, если BD = 12 см.
254 (опорная). Докажите, что:
а) каждый плоский угол трехгранного угла больше разно
сти двух других плоских углов;
б) каждый плоский угол выпуклого многогранного угла
меньше суммы остальных плоских углов.
—^ 255. Определите, в каких пределах может изменяться величина плос
кого угла трехгранного угла, если два других его плоских угла равны:
а) 60° и 80°; б) 90° и 100°.
256. Все плоские углы трехгранного угла прямые. Найдите рассто
яние от его вершины до точки, лежащей внутри угла* и уда
ленной:
а) от его граней на 2 см, 3 см и 6 см;
б) от его ребер на 20 см, 31 см и 33 см.
257. Каждый из плоских углов трехгранного угла равен 60°. Най
дите его двугранные углы.
—^ 258. Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. До
кажите, что плоскость, отсекающая на ребрах угла равные отрез
ки, перпендикулярна плоскости наибольшего плоского угла.
* Если по одну сторону от плоскости любой грани данного угла лежит
данная точка и остальные грани угла, то говорят, что точка лежит
внутри выпуклого многогранного угла.
90

259. Разверткой треугольной пирамиды является равнобедренный
треугольник с основанием 12 см и боковой стороной 10 см. Най
дите длины всех ребер и площадь полной поверхности пирамиды.
Уровень В
260. В одной из граней двугранного угла проведена прямая, образу
ющая с его другой гранью угол 45°, а с ребром — угол 60°. Най
дите величину двугранного угла.
—^ 261. Двугранный угол равен 60°. В одной из граней угла проведе
на прямая, образующая с ребром угол 45°. Найдите угол наклона
данной прямой к другой гранй двугранного угла.
262. У трехгранного угла с ребрами ОА, ОВ и ОС двугранный угол
при ребре ОС прямой, двугранный угол при ребре ОВ равен ос
(а< 90°), а плоский угол ВОС равен р (Р<90°). Найдите плоские
углы АОВ и АОС.
263. У трехгранного угла два плоских угла равны 45°, а двугранный
угол между ними прямой. Найдите величину третьего плоского угла.
264. Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. Най
дите величины двугранных углов, прилежащих к наибольшему
плоскому углу.
265. Докажите, что не существует многогранника, который имеет
ровно семь ребер.
• правильный многоугольник (9 класс)
• свойства и признаки параллелограмма (8 класс)
Задачи
266. Параллелограммы ABCD и ABC1D1 не лежат в одной плоско
сти. Докажите, что:
а) ССг ||DD1; б) плоскости ВССХи ADDXпараллельны.
267. Параллелограммы ABCD и ABC1D1 не лежат в одной плоско
сти. Задайте вектор параллельного переноса, переводящего тре
угольник ВССг в треугольник ADDV
91

к
Рис. 86. Призма
Призма -
«призма» ~
распиленная.
§ 7. ПРИЗМА
7.1. Призма и ее элементы
Рассмотрим два плоских многоугольника,
не лежащих в одной плоскости и совмещаемых
параллельным переносом (рис. 86). Такой пере
нос устанавливает соответствие между точками
этих многоугольников. Все отрезки, соединяю
щие соответствующие точки данных плоских
многоугольников, образуют многогранник.
О п р е д е л е н и е ------------------------------------------------
Призмой называется многогранник, который состоит
из двух плоских многоугольников, лежащих в разных
плоскостях и совмещаемых параллельным переносом,
и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки
этих многоугольников.
Многоугольники называются основаниями
призмы у а отрезки, соединяющие соответствую
щие вершины оснований, — боковыми ребрами
призмы. Все грани призмы, которые не являют
ся основаниями, называются боковыми граня
ми призмы. Призма на рисунке 86 имеет осно
вания А гА 2...Ап и В1В2...Вп9 боковые грани
А 1В1В2А 2у А2В2В3А3 , ..., А пВпВхА х и боко
вые ребра А1В1, А2В2, ..., АпВп. Основаниями этой
призмы являются плоские n-угольники, поэтому
ее называют п-угольной призмой и обозначают
А 1А 2...А пВ1В2...Вп. Заметим, что в школьном
курсе мы будем рассматривать только призмы,
основаниями которых являются выпуклые много
угольники; такие призмы являются выпуклыми
многогранниками.
Рассмотрим некоторые свойства призмы.
Так как параллельный перенос является дви
жением и переводит плоскость в параллельную пло
скость (или в себя), то основания призмы парал
лельны и равны.
92

§ 7. Призма
Кроме того, из определения параллельного переноса следует, что
боковые ребра призмы параллельны и равны, а боковые грани приз
мы — параллелограммы.
Изображение призмы строят по правилам параллельного про
ектирования. Построение обычно начинают с одного из оснований.
Затем из вершин основания проводят параллельные и равные от
резки — боковые ребра призмы. Последовательно соединив концы
боковых ребер, получают другое основание призмы. Невидимые ре
бра изображают штриховыми линиями.
О п р е д е л е н и е ------------------------------------------- --------------------------------
Высотой призмы называется перпендикуляр, проведенный из какой-
нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.
Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины,
не принадлежащие одной грани.
О п р е д е л е н и е ----------------------------------------------- ----------------------------
Прямой призмой называется призма, боковые ребра которой перпенди
кулярны плоскостям оснований.
Если призма не является прямой, то она называется наклонной
призмой.
На рисунке 87, а изображена прямая четырехугольная призма,
а на рисунке 87, б — наклонная треугольная призма.
Очевидно, что боковые ребра прямой призмы являются ее
высотами, а боковые грани прямой призмы — прямоугольники.
О п р е д е л е н и е ----------------------------------------------------------------------------
Правильной призмой называется прямая призма, основания которой -
правильные многоугольники.
На рисунке 88 изображена правильная шестиугольная призма.
Все боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.
/ N
Vа б
Рис. 87. Прямая и наклонная призмы
Рис. 88. Правильная
призма
93

г
V
А
Рис,
7.2. Боковая и полная поверхности призмы. Решение
стереометрических задач на вычисление
Площадью полной поверхности призмы называется сумма
площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности — сум
ма площадей ее боковых граней.
Площадь полной поверхности обычно обозначается <S„0JIH, а пло
щадь боковой поверхности — S6oK. Очевидно, что для любой при
змы 5 полн= S6oK+2SOCH, где <S0CH — площадь основания призмы.
Теорема (формула площади боковой поверхности прямой призмы)
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению
периметра ее основания на высоту:
& бок = *>си ' Н •
□ Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, одна
из сторон которых равна соответствующей стороне основания при
змы, а соседняя сторона — высоте призмы. Площадь боковой по
верхности призмы равна сумме площадей этих прямоугольников.
Таким образом, если av а2, ..., ап — стороны основания призмы,
то S6oK= a1H + a2H +... +a nH = (al +a2+ ... +an)H = POCB H .
Формула площади боковой поверхности наклонной призмы бу
дет доказана в § 10.
Задача
Диагональ правильной четырехугольной призмы равна d
и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь
боковой поверхности призмы.
Вг сг Решение
1. Пусть ABCDA1B1C1D1 — данная правиль
ная четырехугольная призма, BxD = d — ее диа
гональ (рис. 89). Так как правильная призма
является прямой, то ВВ1±(АВС). Тогда отре
зок BD — проекция диагонали В1В на плоскость
основания ABC. Значит, Z B XDB — угол накло
на диагонали призмы к плоскости основания; по
условию задачи Z BXDB = 60°.
Найдем площадь боковой поверхности
призмы.
г /1
,
!
и
1
■
в ! '•к — —
/
89
94

§ 7. Призма
2. S6ok=Poch-H , где Н = ВВ1 — боковое ребро призмы. Так
как данная четырехугольная призма является правильной, то ее
основание — квадрат ABCD; следовательно, = 4АВ . Таким об
разом, S6oK= 4АВ •ВВг .
3. Из треугольника BXDB (Z B = 90°, ZD = 60°, BxD = d ):
4. Так как основание призмы — квадрат ABCD, то AB = —j= ,
Опишем на примере данной задачи общий подход к решению
стереометрических задач на вычисление. Выделим четыре основных
этапа решения.
1 этап. Построение рисунка и обоснование расстояний
и углов из условия задачи.
На этом этапе необходимо на основании условия задачи опреде
лить особенности взаимного расположения элементов рассматриваемой
фигуры и отобразить их на рисунке, выбрав наиболее удачный способ
расположения фигуры и ее элементов. В тексте решения необходимо
установить соответствие между данными, приведенными в условии
задачи, и элементами рисунка. При этом отдельно обосновываются:
• расстояния от точки до прямой и плоскости;
• расстояния между параллельными прямыми и плоскостями,
расстояния и углы между скрещивающимися прямыми;
• углы между прямой и плоскостью, между скрещивающимися
прямыми;
• двугранные углы, углы между плоскостями.
Так, в решении данной задачй (шаг 1) мы отдельно обосновали
угол наклона диагонали к плоскости основания призмы.
2 этап. Выбор формулы и определение последовательности
решения.
На этом этапе необходимо выбрать формулу, по которой будет
вычисляться искомая величина, и установить, какие вспомогательные
величины и в каком порядке необходимо найти, чтобы применить
ВВХ=dsin60° =
2
BD = d cos60° = — .
2
BD
Я
2
сг2Ув
Ответ:
2
95

выбранную формулу. Как правило, последовательность определения
вспомогательных величин не является произвольной: решение задачи
обычно начинают с рассмотрения тех плоских фигур, у которых по
условию задачи известно больше элементов.
Например, в данной задаче (шаг 2), чтобы применить формулу
S6ok= PochH, необходимо найти боковое ребро и сторону основания
призмы.
3 этап. Вычисление вспомогательных величин.
В соответствии с намеченным планом решения необходимо
найти вспомогательные величины, определенные на предыдущем
этапе. Как правило, для этого нужно рассмотреть несколько плоских
фигур. Так, в данной задаче (шаги 3, 4) мы нашли вспомогательные
величины из прямоугольного треугольника BXDB и квадрата ABCD.
Заметим, что в некоторых случаях плоские фигуры, элементы
которых вычисляются, удобно изображать на отдельных (вынесен
ных) рисунках.
4 этап. Получение результата.
Найденные величины необходимо подставить в формулу, вы
бранную на втором этапе, и вычислить искомую величину (или
упростить полученное буквенное выражение).
Заметим, что в окончательном ответе желательно избавиться
от иррациональностей в знаменателях дробей (что и было сделано
на пятом шаге решения данной задачи).
Ясно, что реализация отдельных шагов, предусмотренных пла
ном, не отображается в записи решения: так, выбрать удачное рас
положение фигуры на рисунке можно мысленно или на черновике,
а порядок нахождения вспомогательных величин определяют устно.
Но все необходимые обоснования со ссылками на данные, приведен
ные в условии задачи, аксиомы, определения, теоремы и опорные
факты необходимо записать.
7,3. Параллелепипед. Куб
Частными случаями призм являются хорошо известные вам па
раллелепипед и куб. Поэтому если до сих пор они рассматривались
только на основании наглядного представления, то теперь мы можем
дать строгие определения этих фигур и исследовать их свойства.
О пределение ---------------------------------------------------------------------------
Параллелепипедом называется призма, основанием которой является
параллелограмм.
96

§ 7. Призма
На рисунке 90, а изображен наклонный па
раллелепипед, а на рисунке 90, б — прямой па
раллелепипед (то есть прямая призма, основани
ем которой является параллелограмм). Две грани
параллелепипеда, не имеющие общих вершин,
называются противолежащими гранями, а две
грани с общими вершинами (а значит, и общим
ребром) — соседними гранями.
Обратим внимание на то, что все грани па
раллелепипеда — параллелограммы, поэтому
любую грань параллелепипеда можно считать его
основанием (для произвольной призмы это не так).
Теорема (свойства параллелепипеда)
У параллелепипеда:
1) противолежащие грани параллельны и равны;
2) диагонали пересекаются в одной точке и точ
кой пересечения делятся пополам.
□ Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1
(рис. 91). Так как четырехугольники ABCD
и AA^BjB — параллелограммы, то ADBC9
АА1ВВ19 откуда, по признаку параллельности
плоскостей, плоскости граней ААiDxD и ВВгСгС
параллельны. Кроме того, так как все грани парал
лелепипеда — параллелограммы, то отрезки АВ,
АгВ19 D1C1 и DC параллельны и равны, то есть су
ществует параллельный перенос (на вектор АВ),
который переводит грань AA1Z)1D в грань ВВ1С1С.
Отсюда следует, что указанные грани равны. Па
раллельность и равенство двух других пар про
тиволежащих граней доказывается аналогично.
Докажем теперь свойство диагоналей па
раллелепипеда. Для этого рассмотрим четырех
угольник AjBjCO. Так как А1В1CD и А гВг - CD
(объясните почему), то этот четырехугольник —
параллелограмм. Отсюда следует, что его диаго
нали АХС и BXD9которые в то же время являются
диагоналями данного параллелепипеда, точкой
пересечения О делятся пополам. Аналогично,
б
Рис. 90. Наклонный
и прямой паралле
лепипеды
ству свойств параллеле
пипеда
97

рассматривая четырехугольник ABjC^D, можно доказать, что его
диагонали BXD и АСг (которые также являются диагоналями данно
го параллелепипеда) делятся точкой пересечения пополам. Но точ
ка О — середина ВгВ 9 а значит, и середина АСг. Таким образом,
диагонали параллелепипеда АгС9BXD и АСХпересекаются в точке О
и делятся ею пополам. И наконец, рассматривая четырехуголь
ник A1BCDV так же можно доказать, что диагональ BDX проходит
через точку О и делится ею пополам. Теорема доказана. ■
Следствие
Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является центром его симметрии.
Определение --------------------------------------------—
Прямоугольным параллелепипедом называется
прямой параллелепипед, основанием которого явля
ется прямоугольник.
Очевидно, что все грани прямоугольно
го параллелепипеда — прямоугольники, а все
его диагонали равны. Частным случаем прямо
угольного параллелепипеда является правильная
четырехугольная призма — прямоугольный па
раллелепипед с основанием-квадратом. Прямо
угольные параллелепипеды — наиболее рас
пространенный вид призм: предметы, имеющие
форму прямоугольных параллелепипедов, окру
жают нас практически везде (рис. 92).
Длины трех попарно непараллельных ребер
прямоугольного параллелепипеда называются его
измерениями и обычно обозначаются а, & и с.
Докажем теорему, позволяющую вычислить дли
ну диагонали прямоугольного параллелепипеда
по трем его измерениям.
Теорем а (о диагонали прямоугольного парал
лелепипеда)
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепи
педа равен сумме квадратов трех его измерений:
d 2 = а 2+ Ь2+с2.
□ Пусть в прямоугольном параллелепипе
де ABCDA1B1C1D1(рис. 93) АВ = a, AD = Ь9ААг - с.
Рассмотрим диагональ BXD = d данного парал
лелепипеда. Из треугольника BXDB (Z B = 90°)
Рис. 92. Предметы,
имеющие форму
прямоугольных
параллелепипедов
ству пространственной
теоремы Пифагора
98

§ 7. Призма
по теореме Пифагора BXD 2= BD2+ ВХВ 2. Из треугольника ABD
(Z А = 90°) потеоремеПифагора BD2 = АВ 2+ AD 2. Значит, BXD 2 - АВ2+
+AD 2+ВХВ 2. Так как ребраАВ, AD и ВгВ не параллельны, то их длины
являются измерениями данного параллелепипеда, то есть d2=а2+Ь2+с2. ■
Заметим, что данная теорема представляет собой пространствен
ный аналог теоремы Пифагора (для прямоугольного треугольника),
поэтому ее иногда называют пространственной теоремой Пифагора.
Задача
Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда рав
ны 4 м2, 8 м2 и 32 м2. Найдите диагональ параллелепипеда.
Решение
Пусть а, 6 и с — измерения данного параллелепипеда. Ис
ай =4,
ходя из условия задачи имеем систему уравнений: • Ъс= 8,
ас = 32.
Перемножив правые и левые части уравнений системы, полу
чим а 2Ь2с2=1024, откуда abc = 32. Из этого равенства и уравнений
системы находим а = 4 , 6= 1, с = 8 . По теореме о диагонали пря
моугольного параллелепипеда d 2= 4 2+ l2+ 8 2=81, откуда d = 9 м.
Ответ: 9 м.
Я
О п р е д е л ен и е--------------------------------------------------------
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у ко
торого все ребра равны.
На рисунке 94 изображен куб ABCDA1B1C1DV
Из определения куба следует, что все грани куба —
равные квадраты.
Связь между изученными видами призм иллю
стрирует схема на с. 100.
Вл
I
D
Рис. 94. Куб
7.4*. Правила определения понятий
Формулирование верных с точки зрения логики определений
основных понятий всегда является одной из наиболее сложных проблем
любой науки. Не является исключением и геометрия: оказывается, что
такие общеизвестные и легкие для распознавания фигуры, как при
зма, пирамида и т. п., таят логические ловушки, в которые попадали
даже известные ученые, пытаясь дать строгие определения этих фигур.
99

Призмы
Прямые Наклонные
| Другие прямые призмы!
Правильные!
прямые |
призмы I
Неправиль
ные прямые
j .призмы
'ж *
|Параллелепипеды!
Прямые; [ Наклонные
! Другие наклон-
! ные призмы
1
Прямоугольные
параллелепипеды
гI Другие прямые
jПравильные четырехугольные!
I призмы |
Другие прямоугольные
Кубы Другие правильные
J [ четырехугольные призмы
Особенно много логических ошибок связано
с определением призмы. Например, в одном из учеб
ников геометрии было приведено такое определение:
«Призмой называется многогранник, две грани кото
рого — равные многоугольники с соответственно па
раллельными сторонами, а остальные грани — парал
лелограммы». Казалось бы, все верно — любая призма
действительно удовлетворяет такому определению. Но
посмотрим на рисунок 95: фигура, изображенная на
нем, представляет собой объединение двух треуголь
ных призм — прямой (она находится внизу) и наклон
ной, в основаниях которых лежат равные треугольни
ки. Конечно же, такая фигура не является призмой,
но она полностью удовлетворяет приведенному выше
определению (убедитесь в этом самостоятельно).
В чем же кроется причина ошибки? В любом
определении мы имеем дело с двумя понятиями —
определяемым (в данном случае это понятие «при
зма») и тем, с помощью которого мы описываем
определяемое понятие (в данном случае это понятие
100

§ 7. Призма
«многогранник, две грани которого — равные многоугольники с со
ответственно параллельными сторонами, а остальные грани — па
раллелограммы»). Одно из основных требований к логически вер
ным определениям заключается в том, чтобы оба эти понятия были
тождественными, то есть описывали одно и то же множество пред
метов. А в нашем случае множество многогранников, грани которых
имеют описанные свойства, шире множества призм, то есть кроме
собственно призм включает в себя и другие многогранники (в част
ности, фигуру на рис. 95).
Чтобы помочь вам избежать подобных ошибок, определим три
основных правила формулирования определения понятий.
1) Определение должно быть соразмерным, то есть множество
предметов, которые представляют определяемое понятие, должно совпа
дать с множеством предметов, с помощью которых мы его описываем.
Если этого правила не придерживаться, возникают типичные ошибки:
• слишком широкое определение (описание включает кроме
предметов, являющихся представителями определяемого понятия,
и другие предметы): например, определение «Лампа — это источник
света» является неверным, так как кроме ламп существуют и другие
источники света;
• слишком узкое определение (определяемое понятие в полной
мере не соответствует приведенному описанию): например, опреде
ление «Дробь называется неправильной, если ее числитель больше
знаменателя» не учитывает неправильную дробь, равную единице;
• определение в одном смысле широкое, а в другом — узкое:
например, определение «Бочка — это емкость для хранения жид
костей», с одной стороны, широкое (емкостями для хранения жид
костей являются также ведра, бутылки и др.), а с другой — узкое
(в бочке можно хранить не только жидкости).
2) Определение не должно содержать «логического круга», то
есть определяемое понятие и понятие, с помощью которого его опреде
ляют, нельзя описывать друг через друга. Например, если мы опреде
ляем вращение как движение вокруг оси, то не можем определять ось
как прямую, вокруг которой осуществляется вращение. «Логический
круг» возникает и тогда, когда оба понятия в определении выражены
практически одними и теми же словами. Например: «Фильтр — это
прибор, с помощью которого осуществляется фильтрация» или «Гомо
тетией называется преобразование, которое переводит данную фигуру
в гомотетичную» (такие логические ошибки называют тавтологиями).
101

3) Определение должно быть четким и понятным, то есть
оно не должно содержать не свойственных науке двузначностей,
метафор, сравнений, как, например, «Повторение — мать учения»,
«Математика — царица наук» и т. д.
Придерживаясь этих правил, вы сможете четко выражать свои
мысли и объяснять собеседнику, что именно вы имеете в виду,—
а это умение является залогом успеха не только в геометрии, но
и в любой области вашей будущей деятельности.
268.* Сколько граней, вершин и ребер имеет я-угольная призма?
Существует ли призма, у которой 50 боковых ребер; ровно 50 ре
бер? Сколько ребер имеет многоугольник, лежащий в основании
призмы, у которой 100 граней?
269? Сравните:
а) боковые ребра прямой и наклонной призм, если высоты
этих призм равны;
б) высоты прямой и наклонной призм, если боковые ребра
этих призм равны.
270? Может ли боковая грань наклонной призмы быть прямо
угольником? Приведите пример.
271? Всегда ли:
а) призма, основание которой — правильный многоугольник,
является правильной;
б) правильная призма является прямой;
в) прямая призма является правильной?
272? Какую градусную меру имеет двугранный угол при боковом ребре:
а) правильной треугольной призмы;
б) правильной четырехугольной призмы?
273? Верно ли утверждение:
а) любой прямой параллелепипед является прямоугольным;
б) любой прямоугольный параллелепипед является прямым;
в) существует правильная четырехугольная призма, которая
не является прямоугольным параллелепипедом;
г) существует прямоугольный параллелепипед, который не яв
ляется правильной четырехугольной призмой?
102

§ 7. Призма
274. Площади трех граней параллелепипеда равны 1 м2, 2 м2 и 3 м2.
Чему равна площадь полной поверхности параллелепипеда?
275. Всегда ли:
а) прямой параллелепипед, все ребра которого равны, являет
ся кубом;
б) прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны,
является кубом?
276! Смоделируйте из проволоки каркасы двух треугольных призм
с соответственно равными основаниями и равными высотами —
прямую и наклонную. На какую призму ушло больше проволоки?
—^ 277! Четыре грани параллелепипеда — прямоугольники. Будет ли
данный параллелепипед прямоугольным? Ответ подтвердите с по
мощью модели.
@ РЕШАЕМ ЗАДАЧИ
Уровень А
278! Докажите, что если одно боковое ребро призмы перпендику
лярно плоскости основания, то призма является прямой.
—^ 279! Плоскости двух граней призмы перпендикулярны плоскости
основания. Докажите, что если эти грани имеют общее ребро, то
данная призма является прямой.
280. Боковое ребро наклонной призмы равно 12 см и наклонено
к плоскости основания под углом 45°. Найдите высоту призмы.
281. Диагональ грани правильной треугольной призмы равна 5 см,
а боковое ребро 3 см. Найдите площадь основания призмы.
—^ 282. В правильной четырехугольной призме диагональ равна 13 см,
а площадь основания 72 см2. Найдите высоту призмы.
283. Основанием прямой призмы является прямоугольный тре
угольник с катетами а и а>/3 . Найдите двугранные углы при
боковых ребрах призмы.
284. Все ребра правильной шестиугольной призмы равны 6 см.
Найдите диагонали призмы.
285.По стороне основания а и боковому ребру Ънайдите площадь
полной поверхности правильной n-угольной призмы, если:
а) п = 3 ; б) п = 4; в) п = 6 .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------103

286. Основанием прямой призмы является прямоугольный тре
угольник с катетами 9 см и 12 см. Найдите площадь боковой по-
верхнорти призмы, если ее наибольшая боковая грань — квадрат.
—^ 287. Основанием прямой призмы является равнобедренный тре
угольник с боковой стороной 5 см и основанием 8 см. Найдите
площадь полной поверхности призмы, если диагональ грани, со
держащей боковую сторону треугольника, наклонена к плоскости
основания под углом 45°.
288.Высота правильной треугольной призмы равна 10 см, а пло
щадь боковой поверхности — 240 см2. Найдите площадь основания
призмы.
—^ 289. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной
призмы равна 130 см2, а площадь основания — 25 см2. Найдите
диагональ призмы.
290. Для хранения торфа выкапывают траншею, дно и наклонные
стенки которой укрепляют досками (поперечное сечение траншеи
изображено на рис. 96, линейные размеры даны в метрах). Най
дите площадь укрепления траншеи длиной 10 м.
—^ 291. Потолок и боковые стенки гаража, длина которого равна 7 м, нуж
но обшить жестью (поперечное сечение гаража изображено на рис. 97,
линейные размеры даны в метрах). Найдите площадь обшивки.
292. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 см
и 9 см, а угол между ними 30°. Найдите площадь полной поверх
ности параллелепипеда, если его высота 10 см.
293. Все грани параллелепипеда — ромбы со стороной а и углом а .
Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
—^ 294. Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда рав
на 224 см2. Найдите высоту параллелепипеда, если его основа
ние — ромб со стороной 8 см и высотой 4 см.
295. Найдите диагональ и площадь полной поверхности прямо
угольного параллелепипеда, если его измерения равны:
а) 1, 4 и 8; б) 2, 5 и 14; в) 2, 6 и 9.
104

§ 7. Призма
296 (опорная). Докажите, что:
а) диагональ куба с ребром а равна ау/3 ;
б) ребро куба с диагональю d равно .
Vз
—^ 297. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 9 см,
а диагональ боковой грани — у[б5 см. Найдите сторону основания
и высоту призмы.
298. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образу
ет с плоскостями его боковых граней углы а и (J. Найдите пло
щадь основания параллелепипеда.
299. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 5, 12 и 13.
Найдите угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости его
наименьшей грани.
Уровень Б
300. Сколько диагоналей имеет /i-угольная призма?
301. Основанием наклонной призмы ЛВСА1В1С1 является равно
бедренный треугольникABC. Боковое ребро ВВг образует с боковыми
сторонами основания ВА и ВС равные углы. Докажите, что:
а) ВВг JLА С ; б) АА1С1С — прямоугольник.
302. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует
с плоскостью боковой грани угол 30°. Докажите, что боковое ре
бро призмы равно диагонали ее основания.
303. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник.
Диагонали боковых граней призмы равны 8 см, 14 см и 16 см.
Найдите высоту призмы.
^ 304. Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 10 см
и 24 см. Найдите большую диагональ призмы, если ее меньшая
диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°.
305. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 7 см
и 8 см и углом между ними 120°. Найдите площадь боковой поверхно
сти призмы, если площадь ее наибольшей боковой грани равна 65 см2.
306. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция
с боковой стороной 13 см и радиусом вписанной окружности 6 см. Най
дите площадь полной поверхности призмы, если диагональ наиболь
шей боковой грани наклонена к плоскости основания под углом 45°.
307. Основанием прямой призмы является треугольник со сторо
нами 9 см, 10 см и 17 см. Найдите боковое ребро призмы, если
площадь ее полной поверхности равна 360 см2.
105

308.Основание наклонной призмы — квадрат со стороной 4 см.
Две боковые грани призмы перпендикулярны плоскости основа
ния, а две другие образуют с ней углы 60°. Найдите площадь бо
ковой поверхности призмы, если ее высота равна 2~Jz см.
ЗОЭ.Основанием наклонной призмы является равнобедренный
прямоугольный треугольник с гипотенузой 4 см. Боковое ребро,
выходящее из вершины прямого угла основания, равно 5 см и об
разует с катетами треугольника углы 45°. Найдите площадь пол
ной поверхности призмы.
и 5 см, а угол между ними 60°. Найдите площадь боковой по
верхности параллелепипеда, если его бо'лыпая диагональ наклоне
на к плоскости основания под углом 45°.
и 10 см, а одна из диагоналей основания — 13 см. Найдите пло
щадь боковой поверхности параллелепипеда, если его меньшая
диагональ образует с боковым ребром угол 45°.
312. Докажите, что сумма квадратов диагоналей любого параллеле
пипеда равна сумме квадратов всех его ребер.
313. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с тремя
его гранями, имеющими общую вершину, углы а , Р и у . Дока
жите, что sin 2а +sin 2Р+sin 2у = 1.
314. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если:
а) диагонали трех его граней равны 11 см, 19 см и 20 см;
б) периметры трех его граней равны 10 см, 18 см и 24 см;
в) площади трех его граней равны 12 см2, 36 см2 и 48 см2.
315. Найдите расстояние от вершины куба с ребром а до его диаго
нали, не содержащей данную вершину.
316. Основание прямого параллелепипеда — ромб с большей диаго
налью d. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоско
стью его основания угол а , а диагональ боковой грани наклонена
к плоскости основания под углом р . Найдите боковую поверхность
параллелепипеда.
317. Площадь основания правильной четырехугольной призмы рав
на Q. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если угол
между ее диагональю и боковым ребром равен а .
106

§ 7. Призма
Уровень В
318- Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1
со стороной основания 4 см и боковым ребром 15 см. Найдите
кратчайшее расстояние по поверхности призмы от середины ре
бра ВС до середины ребра AtDv
319. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с острым
углом а . Меньшая диагональ параллелепипеда равна I и образует
с боковой гранью угол р. Найдите площадь боковой поверхности
параллелепипеда.
320. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с двумя
его ребрами, выходящими из одной вершины, углы 45° и 60°. Най
дите угол между данной диагональю и третьим ребром, выходящим
из этой же вершины.
—^ 321. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной
призмы равна S. Диагональ призмы образует с плоскостью осно
вания угол а . Найдите площадь основания призмы.
322. Все ребра наклонного параллелепипеда равны а. Основанием
параллелепипеда является квадрат, а одна из вершин верхнего
основания равноудалена от всех вершин нижнего основания. Най
дите площадь полной поверхности параллелепипеда.
—^ 323. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат
со стороной 6 см. Одна из вершин верхнего основания параллеле
пипеда равноудалена от всех сторон нижнего основания. Найдите
площадь полной поверхности параллелепипеда, если его высота
равна 4 см.
• правильные многоугольники (9 класс)
• теорема о трех перпендикулярах (10 класс)
Задачи
324. Точка М не лежит в плоскости ромбаABCD. Докажите, что если
МА = МС и MB = M D , то плоскости MAC и MBD перпендикулярны.
325. Точка Р не лежит в плоскости равностороннего треугольни
ка ABC и равноудалена от его вершин. Докажите, что точка Р
равноудалена от сторон треугольника ABC.
107

Р
Ах А2
Рис. 98. Пирамида
I с т а ю
Пирамида — гре
ческое слово. По
одной версии, проис
ходит от египетского
«пер о» — большой
дом (так египтяне
называли усыпаль
ницы фараонов), по
другой — от грече
ского «пор» — огонь
(пирамиды традици
онно связывали со
стихией огня).
Р
в
Рис. 99. Тетраэдр
108 ------------
§ 8 . ПИРАМИДА
8.1. Пирамида и ее элементы
Рассмотрим изображенный на рисунке 98
многоугольник А1А2...АЛ и точку Р, не лежа
щую в плоскости этого многоугольника. Отрезки,
соединяющие точку Р с точками плоского много
угольника А 1А 2...А п, образуют многогранник,
который называется пирамидой.
О пределение ------------------------------------------------
Пирамидой называется многогранник, который со
стоит из плоского многоугольника (основания пи
рамиды), точки, не лежащей в плоскости основания
(вершины пирамиды), и всех отрезков, соединя
ющих вершину с точками основания.
На рисунке 98 изображена пирамида с вер
шиной Р, основание которой — плоский п-уголь-
ник А 1А 2-..Ап. Такую пирамиду называют
п-угольной пирамидой и обозначают РА1А 2...Ап.
Отрезки PAV РА2, ..., РАп, соединяющие
вершину пирамиды с вершинами ее основания,
называют боковыми ребрами пирамиды, а тре
угольники РАгА 2, РА2А 3, ..., РАпА г , вершина
ми которых является вершина пирамиды и две
соседние вершины основания, — боковыми граня
ми пирамиды. Углы А гРА2, А 2РА3, ..., А пРА1
называют плоскими углами при вершине пи
рамиды. Двугранный угол, образованный полу
плоскостями, одна из которых содержит боковую
грань пирамиды, а другая — основание пирами
ды, называют двугранным углом при основании
пирамиды. Например, на рисунке 98 двугранный
угол при ребре А2А3 основания пирамиды опреде
ляется так: за ребро двугранного угла принима
ется прямая AgAg, а за грани — полуплоскости,
содержащие грани PAgA3 и А1А2...А „.
Треугольную пирамиду иначе называют
тетраэдром (рис. 99). Так как все грани тетра
эдра — треугольники, любую его грань можно

считать основанием (для произвольной пирами
ды это не так).
В школьном курсе мы будем рассматривать
только те пирамиды, основания которых — вы
пуклые многоугольники. Такие пирамиды явля
ются выпуклыми многогранниками.
О пределение ------------------------------------------------
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины
пирамиды к плоскости ее основания.
На рисунке 99 отрезок РО — высота треугольной пира
миды РАВС.
Изображение пирамиды строят по правилам параллельного
проектирования. Построение обычно начинают с основания. Затем
обозначают вершину пирамиды и соединяют ее с вершинами осно
вания. Для некоторых видов пирамид, которые будут рассматри
ваться дальше, целесообразно после построения основания пирами
ды сразу же построить ее высоту.
Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма
площадей ее боковых граней, а площадью полной поверхности —
сумма площадей основания и боковой поверхности:
®полн ®бок ®осн •
8.2. Правильная пирамида
О пределение ---------------------------------------------------------------------
Правильной пирамидой называется пирамида, основанием которой явля
ется правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды совпадает
с центром этого многоугольника.
На рисунке 100 изображена правильная че
тырехугольная пирамида PABCD. Ее основанием
служит квадрат ABCD, а основание высоты РО —
точка О — является точкой пересечения диагоналей
(центром) этого квадрата. Обоснуем на примере дан
ной пирамиды некоторые свойства правильных пи
рамид (для произвольной пирамиды доказательство
аналогично). Сначала докажем, что прямоуголь
ные треугольники РАО, РВО, РСО и PDO равны.
Действительно, так как точка О — центр окруж
ности, описанной около основания пирамиды, то
Р
четырехугольная пира
мида
Тетраэдр —
«тетраэдр» -
четырехгранник.
109

ОА = ОВ = ОС = OD . Тогда АРАО = АРВО = АРСО = APDO как пря
моугольные по двум катетам. Из равенства рассматриваемых тре
угольников следует, что все боковые ребра правильной пирамиды
равны, равнонаклонены к плоскости основания и образуют равные
углы с высотой пирамиды, а все боковые грани являются равны
ми равнобедренными треугольниками.
Определение ---------------------------------------------------------------------------------
Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, про
веденная из ее вершины.
На рисунке 100 отрезок РМ — апофема правильной пирами
ды PABCD. Так как все боковые грани правильной пирамиды рав
ны, то и все апофемы правильной пирамиды равны. А из этого,
в частности, следует, что все двугранные углы при основании пра
вильной пирамиды равны (обоснуйте это самостоятельно).
Теорема (формула площади боковой поверхности правильной
пирамиды)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине
произведения периметра ее основания на апофему:
□ Пусть сторона основания правильной л-угольной пирами
ды равна а, а апофема — I. Тогда площадь одной боковой грани
пирамиды равна —al. Боковая поверхность пирамиды состоит из
®бОК 2 ^"
2
п таких граней. Следовательно, = n —al = —(na)l = —Росъ1•
Задача
В правильной треугольной пирамиде двугранный
угол при основании равен а . Найдите площадь боко
вой поверхности пирамиды, если ее высота равна Н.
Решение
1. Пусть дана правильная треугольная пира-
А С мида РАВС (рис. 101), РО±(АВС), РО — высота
Рис. 101
В
пирамиды; по условию задачи РО = Н . Проведем
РМ ± А В , РМ — апофема правильной пирамиды РАВС.
Отрезок ОМ — проекция наклонной РМ на пло-
110

скость ABC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах ОМ J_АВ
Значит, ZPMO — линейный угол двугранного угла при ребре
основания АВ; по условию задачи Z РМО = а . Так как треуголь
ник ABC равносторонний, точка О — центр треугольника, при
надлежащий медиане, биссектрисе и высоте СМ.
Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
2- S6ok= | p och PM = | a B P M .
3. Из треугольника РМО ( А О - 90°, Z М = а , РО = Н ):
РМ = ОМ = Н ctga.
sina
4. Отрезок ОМ — радиус окружности, вписанной в треуголь
ник ABC. Тогда ОМ = , откуда АВ = 2/з ОМ , АВ = 2-v/3i/ctga.
5. .2 sina sin a
Ответ
зУзя2cosa
sin2a
Заметим, что при решении многих задач, связанных С пра
вильными пирамидами, отдельно рассматривают прямоугольные
треугольники РАО и РМО (рис. 101) В частности, в треугольнике РАО
РО — высота пирамиды, РА — боковое ребро, АО — радиус окруж
ности, описанной около основания пирамиды; в треугольнике РМО
РО — высота пирамиды, РМ — апофема, МО — радиус окружно
сти, вписанной в основание пирамиды.
8.3*. Нахождение расстояния от точки
до плоскости боковой грани пирамиды
В некоторых задачах, связанных с пирамидами,
необходимо найти расстояние от данной точки пира
миды до боковой грани, не содержащей данную точку.
Пусть, например, в правильной треугольной пирами
де РАВС (рис. 102) нужно построить расстояние от осно
вания высоты РО — точки О — до боковой грани РВС.
Ясно, что можно было бы опустить из точки О перпен
дикуляр ON к плоскости РВС. Но такое построение
не позволяет сразу определить особенности расположе- Рис. 102
ния точки N в треугольнике РВС9которые могут быть
111

использованы в процессе дальнейшего решения задачи. Между тем,
оказывается, что точка N принадлежит апофеме РМ данной пирамиды.
Для того чтобы получить этот факт в процессе нахождения рас
стояния от точки О до плоскости РВС, можно рассуждать следующим
образом.
1. Пусть РМ XВС, РМ — апофема данной правильной пирами
ды. Так как РОХ(АВС) , а отрезок ОМ — проекция наклонной РМ
на плоскость ABC, то по теореме о трех перпендикулярах ОМ L B C .
2. Так как прямая ВС перпендикулярна двум прямым плоско
сти РОМ (В С L P M , BCLOM ), то по признаку перпендикулярно
сти прямой и плоскости ВС X(РОМ).
3. Так как плоскость РВС содержит прямую ВС, перпендику
лярную плоскости РОМ, то по признаку перпендикулярности пло
скостей (РВС)±(РОМ).
4. Проведем в плоскости РОМ перпендикуляр ON к прямой РМ.
Тогда O N ±.(РВС) по свойству двух перпендикулярных плоскостей.
Значит, отрезок ON — расстояние от точки О до плоскости РВС.
Таким образом, мы построили отрезок ON не как перпенди
куляр к плоскости боковой грани пирамиды, а как перпендикуляр
к апофеме, и доказали, что он в то же время является перпенди
куляром к плоскости РВС.
Задача
Высота правильной четырехугольной пирамиды образует
с плоскостью боковой грани угол р. Расстояние от середины вы
соты пирамиды до боковой грани равно т. Найдите площадь пол
ной поверхности пирамиды.
Решение
1. Пусть дана правильная четырехугольная пирамида PABCD
(рис. 103, а), POL(ABC), РО — высота пирамиды. Проведем
РМ XА В , РМ — апофема правильной пирамиды PABCD. Отре
зок ОМ — проекция наклонной РМ на плоскость ABC. Тогда по
теореме о трех перпендикулярах ОМ LA B .
2. Так как A B L P M , A B L O M , то по признаку перпенди
кулярности прямой и плоскости АВ±(РОМ ).
3. Так как плоскость РАВ содержит прямую АВ, перпенди
кулярную плоскости РОМ, то по признаку перпендикулярности
плоскостей (РАВ) X(РОМ).
112

4. Проведем в плоскости РОМ из точ
ки О и из точки L — середины высоты РО —
перпендикуляры: ON LPM и LK L Р М . Тогда
ON±(PAB), LK L (РАВ) по свойству перпен
дикулярных плоскостей. Следовательно, отре
зок LK — расстояние от середины высоты пи
рамиды до боковой грани; по условию задачи
LK = т . Кроме того, отрезок PN — проекция на
клонной ОР на плоскость РАВ, то есть Z OPN —
угол между высотой пирамиды и плоскостью
боковой грани; по условию задачи Z OPN = Р .
Найдем площадь полной поверхности пира
миды.
5^ о ____2 , 1 п » /Г _ „ 2
S n0jin= a + — 4аР М = а +2а-РМ ,
2
где
а сторона основания пирамиды.
6. Из треугольникаPKL (Z K = 90°, Z Р = р ,
т
K L =m ) P L -
sinp
(рис. 103, б). Так как точ
ка L — середина высоты РО, то РО =
2т
sinp
Рис. 103
2т
РМ =
7. Из треугольника РОМ (Z O = 90°, Z P = р, РО = ):
sinp
РО 2т _Л , * 2/ntgP 2т
, РМ = ------------; ОМ = РО tgP, ОМ ------— = ------- .
cosP sinpcos р sinp cosP
8. Так как точка О — центр квадрата ABCD, ОМ L A B , то
ОМ — радиус окружности, вписанной в квадрат. Тогда ОМ = -
откуда а = 2ОМ , а =
4 — cosP )
4т
cosp
2
+ 2«
4т 2т 16md 16т
cosp sinpcosР cos Р cos2рsinp
16m
cos2p i •I sinpj
Ответ:
16m
cos2p
f i- Ц
I sinp J
113

326.* Сколько граней, вершин и ребер имеет n-угольная пирами
да? Существует ли пирамида, у которой 19 боковых ребер; ровно
19 ребер?
327? Обязательно ли точки высоты пирамиды являются точками
пирамиды? Приведите примеры.
328. По данным рисунка 104, а—в определите, является ли изо
браженная пирамида правильной (РО — высота пирамиды).
Р „ р
ABCD — квадрат
б
Рис. 104
A ABC
правильный
329. Все боковые грани пирамиды — равные равнобедренные тре
угольники. Обязательно ли такая пирамида является правильной?
Приведите контрпример.
330. Могут ли все плоские углы при вершине правильной пирамиды
быть тупыми; прямыми? В каких пределах может изменяться ве
личина плоского угла при вершине правильной пирамиды:
а) треугольной; в) шестиугольной?
б) четырехугольной
331. Могут ли быть равными все ребра правильной шестиугольной
пирамиды? Ответ обоснуйте.
332. Боковое ребро правильной пирамиды равно Ъ, высота — h,
а апофема — I. Сравните числа b, h и I.
333. Может ли площадь боковой поверхности правильной пира
миды быть равна площади ее основания? Ответ обоснуйте.
114

334.* Нарисуйте пирамиду, все грани которой — прямоугольные
треугольники. Изготовьте ее модель из проволоки. Имеет ли такая
пирамида вершину, все плоские углы при которой прямые? Мо
гут ли все грани пирамиды быть равнобедренными прямоугольными
треугольниками?
335* Нарисуйте на плотной бумаге развертку правильной четырех
угольной пирамиды. Может ли апофема такой пирамиды быть
вдвое меньше ребра основания? Почему? Вырежьте полученную
развертку и склейте из нее модель пирамиды.
Уровень А
336.* Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпенди
кулярны и равны. Докажите, что основанием пирамиды является
равносторонний треугольник. Найдите площадь этого треугольни-
ка, если каждое боковое ребро пирамиды равно З-v/iT см.
337* Основанием пирамиды является ромб с диагоналями 10 см
и 18 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диа
гоналей ромба и равна 12 см. Найдите боковые ребра пирамиды.
—^ 338* Основанием пирамиды РАВС является прямоугольный тре
угольник ABC с гипотенузой АС. Боковое ребро РВ является
высотой пирамиды. Найдите площадь основания пирамиды, если
РА = 17 см, РВ = 8 см, PC = 10 см.
339.* Изобразите правильную треугольную пирамиду. По рисунку
обоснуйте:
а) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;
б) двугранный угол при основании пирамиды.
340Г Найдите:
а) сторону основания правильной пирамиды с боковым ре
бром 13 см и апофемой 12 см;
б) апофему правильной четырехугольной пирамиды со сторо
ной основания 18 см и высотой 12 см;
в) высоту правильной треугольной пирамиды со стороной осно
вания 4n/3 см и боковым ребром 5 см.
115

341. Найдите:
а) апофему правильной пирамиды со стороной основания 12 см
и площадью боковой грани 24 см2;
б) площадь основания правильной четырехугольной пирамиды
с апофемой 5 см и высотой 4 см.
342. В правильной четырехугольной пирамиде найдите:
а) высоту, если апофема равна 5 см, а боковое ребро V34 см;
б) боковое ребро, если высота равна -/з см, а двугранный
угол при основании 60°;
в) площадь основания, если боковое ребро равно см и на
клонено к плоскости основания под углом 45°.
—^ 343.В правильной треугольной пирамиде найдите:
а) высоту, если площадь основания равна эТз см2, а боковое
ребро образует с плоскостью основания угол 60°;
б) боковое ребро, если сторона основания равна 2>/з см,
а двугранный угол при основании 45°.
344. Знаменитая пирамида Хеопса в Египте изна
чально имела форму правильной четырех
угольной пирамиды с ребром основания 230 м
и боковым ребром 218 м (рис. 105). Найдите
высоту пирамиды Хеопса (ответ округлите
до метров).
345. Найдите площадь боковой поверхности:
а) правильной треугольной пирамиды со сто
роной основания 6 см и апофемой 4 см;
Пирамида б) правильной четырехугольной пирамиды с диа
гональю основания 8 см и апофемой 5^2 см;
в) правильной шестиугольной пирамиды со сто
роной основания 10 см и боковым ребром 13 см.
346. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно
8 см, а плоский угол при вершине 30°. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
347. Найдите площадь боковой поверхности правильной треуголь
ной пирамиды, апофема которой равна 4 см, а плоские углы при
вершине прямые.
348.Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды
равна 36 см2, а площадь ее полной поверхности 96 см2. Найдите
высоту пирамиды.
Хеопса
116

349. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при
основании равен |3. Найдите площадь боковой поверхности пира
миды, если отрезок, соединяющий середину апофемы с серединой
высоты, равен т.
—^ 350. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырех
угольной пирамиды, если ее боковое ребро образует со стороной
основания угол (3, а апофема равна I.
Уровень Б
351. Основанием пирамиды PABCD является параллелограммABCD,
диагонали которого пересекаются в точке О. Известно, что
РА-P C , PB = PD, АВ = 7 м, AD = 9 м, АС = 8 м. Найдите боко
вые ребра пирамиды, если ее высота равна 3 м.
—^ 352. Основание пирамиды — параллелограмм со сторонами 6 см
и 16 см и углом 60°. Высота пирамиды проходит через точку
пересечения диагоналей основания. Найдите ее длину, если боко
вое ребро, выходящее из вершины тупого угла параллелограмма,
равно 25 см.
353 (задача И. Ф. Шарыгина*). Докажите, что все грани треуголь
ной пирамиды РАВС — равные треугольники, если:
а) АВ = PC, АС = Р В , ВС = Р А ;
б) АВ = PC, АС = Р В , Z АВР = Z ВРС;
в) АВ - PC, Z АВР - ZB A C , Z РАВ = Z ABC ;
г) Z АВР = Z ВРС , Z АРВ = Z СВР, Z АРС = Z ВАР.
354.Докажите, что скрещивающиеся ребра правильной треуголь
ной пирамиды попарно перпендикулярны.
355. Все ребра четырехугольной пирамиды равны. Докажите, что
данная пирамида является правильной.
356. В правильной треугольной пирамиде найдите:
а) высоту, если сторона основания равна 6 см, а плоский угол
при вершине равен 90°;
б) боковое ребро, если площадь основания пирамиды равна
Зл/З см2, а двугранный угол при основании равен 45°;
в) апофему, если радиус окружности, описанной около боко
вой грани, равен R, а угол между боковым ребром и ребром
основания равен а .
* И. Ф. Шарыгин (1937-2004) — известный российский математик,
педагог и ученый, популяризатор геометрии.
117

357. В правильной четырехугольной пирамиде найдите:
а) высоту, если площадь основания равна 8 см2, а угол между
апофемами двух смежных боковых граней равен 60°;
б) сторону основания, если все ребра пирамиды равны, а ее
высота равна 5^2 см.
358. В правильной треугольной пирамиде сторона основания вдвое
больше апофемы. Найдите площадь боковой поверхности пирами
ды, если ее высота равна -у/б см.
—^ 359. Найдите площадь полной поверхности правильной шести
угольной пирамиды, если площадь ее основания равна 6^3 см2,
а боковое ребро — ТПГ см.
360. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной
пирамиды, у которой угол между высотой и апофемой равен (J,
а основание высоты пирамиды удалено от апофемы на расстояние т.
—^ 361. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды накло
нена к плоскости основания под углом а . Отрезок, соединяющий
основание высоты пирамиды с серединой апофемы, равен d. Най
дите площадь полной поверхности пирамиды.
362. Площадь основания правильной пирамиды составляет поло
вину площади ее боковой поверхности. Найдите двугранный угол
при основании пирамиды.
363. Основание правильной пирамиды — треугольник со сторо
ной 4 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основа
ния под углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Уровень В
364. Все ребра n-угольной пирамиды равны. Каким может быть
значение п? Проведите исследование.
365. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 1,
а плоский угол при вершине равен у . Найдите:
а) ребро основания; в) боковое ребро пирамиды.
б) апофему пирамиды;
366. Основание высоты правильной четырехутольной пирами
ды PABCD удалено от плоскости боковой грани на 6 см. Найдите
расстояние от вершины D до плоскости РАБ.
367. Двугранный угол при основании правильной треугольной
пирамиды равен а . Точка высоты пирамиды, лежащая на рассто
янии а от ее вершины, равноудалена от плоскости основания и бо
ковой грани. Найдите:
а) высоту пирамиды; б) сторону основания.
118

368. Докажите, что если скрещивающиеся ребра треугольной
пирамиды попарно равны, то сумма плоских углов при каждой ее
вершине равна 180°.
—^ 369. В треугольной пирамиде сумма плоских углов при каждой
вершине основания равна 180°. Найдите площадь боковой поверх
ности пирамиды, если площадь ее основания равна S.
370. В правильной треугольной пирамиде высота образует с боковой
гранью угол р . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды,
если расстояние от вершины ее основания до противолежащей бо
ковой грани равно I.
371. В правильной четырехугольной рирамиде двугранный угол при
основании равен а . Найдите площадь полной поверхности пирамиды,
если расстояние от середины ее высоты до боковой грани равно т.
372. В правильной треугольной пирамиде отрезок, соединяющий
основание высоты с серединой бокового ребра, наклонен к плоско
сти основания под углом Р. Найдите площадь боковой поверхно
сти пирамиды, если ее апофема равна I.
373. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Н и об
разует с плоскостью боковой грани угол р. Найдите площадь пол
ной поверхности пирамиды.
© Повторение перед изучением § 9
• вписанные и описанные четырехугольники (8 класс)
• решение треугольников (9 класс)
• свойства точек, равноудаленных от вершин и сторон много
угольника (10 класс)
• площадь ортогональной проекции многоугольника (10 класс)
Задачи
374. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен сто
роне треугольника. Найдите угол, противолежащий данной сторо
не, если она является наибольшей стороной данного треугольника.
375. Площадь ортогональной проекции равнобедренного треуголь
ника равна 6 см2. Найдите стороны треугольника, если его высота,
проведенная к основанию, равна 3 см, а угол между плоскостью
треугольника и плоскостью проекции равен 60°.
119

Р
Рис. 106. Пирамиды,
в которых две боко
вые грани перпенди
кулярны плоскости
основания
Р
В
б
Рис. 107. Пирами
ды, в которых одна
боковая грань перпен
дикулярна плоскости
основания
§ 9. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ПИРАМИД
9.1. Пирамиды, в которых высота принадлежит
плоскостям одной или двух боковых граней
Решение стереометрических задач, связанных
с пирамидами, обычно начинается с построения
рисунка. Но во многих случаях для правильного
отображения на рисунке взаимного расположения
элементов пирамиды (в частности, положения ее вы
соты) необходимо провести предварительный анализ
условия задачи и на основании существующих дан
ных определить свойства пирамиды. Попробуем уста
новить такие свойства для отдельных видов пирамид.
Рассмотрим сначала пирамиду, в которой две
боковые грани перпендикулярны плоскости осно
вания. По теореме о двух плоскостях, перпендику
лярных третьей, прямая пересечения плоскостей,
содержащих данные боковые грани, перпендику
лярна плоскости основания. Следовательно, если
две боковые грани пирамиды перпендикулярны
плоскости основания, то прямая их пересечения
содержит высоту пирамиды. Например, на рисун
ке 106, а соседние грани РАВ и РАС пирамиды РАВС
перпендикулярны плоскости основания ABC, а вы
сотой пирамиды является их общее ребро РА. На
рисунке 106, б изображен более сложный случай:
грани РАВ и PCD, которые не являются соседними,
перпендикулярны плоскости основания пирамиды,
а высота пирамиды РО лежит на прямой пересече
ния плоскостей РАВ и PCD вне данной пирамиды
(объясните, почему эти плоскости пересекаются).
Рассмотрим теперь пирамиду РАВС, в которой
одна боковая грань РАС перпендикулярна плоско
сти основания ABC (рис. 107). Нетрудно догадаться,
что высота данной пирамиды РО будет принадле
жать плоскости грани РАС. Но если провести из
вершины пирамиды перпендикуляр РО к плоско
сти ABC, то обоснование принадлежности точки О
120

прямой АС будет достаточно громоздким. В этом случае стоит при
бегнуть к «хитрости» — воспользоваться тем, что перпендикуляр,
проведенный в одной из двух перпендикулярных плоскостей к пря
мой пересечения этих плоскостей, является перпендикуляром к дру
гой плоскости. Итак, проведем в плоскости РАС перпендикуляр РО
к прямой АС; тогда по упомянутому свойству перпендикулярных
плоскостей РО±(АВС), РО — высота пирамиды.
Таким образом, если в пирамиде одна боковая грань перпенди
кулярна плоскости основания, то высота пирамиды принадлежит
плоскости этой грани и является перпендикуляром, проведенным
из вершины пирамиды к прямой пересечения плоскости данной гра
ни с плоскостью основания. Заметим, что основание высоты РО может
лежать как на отрезке АС (рис. 107, а), так и вне его (рис. 107, б).
Задача
Основанием пирамиды является правильный треугольник.
Одна боковая грань пирамиды перпендикулярна основанию, а две
другие наклонены к нему под углом Р. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды, если ее высота равна Н.
Решение
1. Пусть дана треугольная пирами
да РАВС, в основании 'которой лежит пра
вильный треугольник ABC, (РАС) ±(АВС) р
(рис. 108, а). Проведем в плоскости РАС
РО L АС . Тогда по свойству перпендикуляр
ных плоскостей РО±(АВС), РО — высота
пирамиды; по условию задачи РО = Н .
2. Проведем из точки О перпендикуляры
к сторонам основания: ОМ L A B , ONLBC.
Отрезки ОМ и ON — проекции наклонных РМ
и PN на плоскость ABC. По теореме о трех
перпендикулярах РМ XА В , PN L ВС . Зна
чит, углы РМО и PNO — линейные углы
двугранных углов при ребрах основания АВ
и ВС; по условию задачи Z РМО = Z PNO = Р.
Найдем площадь боковой поверхности
пирамиды.
Рис. 108. См. так
же с. 122
121

Глава li. Многогранники
3- - S PAC+S PAB+ S PBC.
4. Прямоугольные треугольники РМО и PNO
равны по общему катету РО и противолежащему углу
(Z РМО = Z PNO = р по условию). Отсюда ОМ = ON .
Тогда Л АОМ =Д CON (рис. 108, б) как прямоуголь
ные по катету (ОМ = O N ) и противолежащему углу
( Z МАО - Z NCO = 60° , так как треугольник ABC
равносторонний). Значит, АО = СО. Тогда РА = РС
как наклонные с равными проекциями, проведен
ные из точки Р к плоскости ABC. Таким образом, Рис> 108.Окон-
чание
Л РАВ = Л РСВ по трем сторонам (РВ — общая,
РА = PC по доказанному, АВ = СВ как стороны равно
стороннего треугольника ABC). Следовательно,
®бок= ^р ас +2Sрве = “ ^*0•AC+PN- ВС .
5. Из треугольника PON ( ZO = 90° , Z N = Р, РО = Н ):
PN = ON = H ctgp.
sinP
6. Из треугольника ONC ( Z N = 90° , Z С = 60°, ON = Н ctgP):
о с = - ™ - , о с = .
sin60° V3
Так как О — середина АС, то AC = 20C= *Hct^
Я '
7. S ~ 1 II 4HctgP I Н 4HctgP= 2V3H2ctgp L ( 2
6014 2 у[з sinp yfs 3 V, sinp
2/3if 2ctgp ( 2
Ответ: ------------— 1+-
sinP
Заметим, что геометрическая конфигурация данной задачи по
зволяет получить еще один полезный факт: если две соседние бо
ковые грани пирамиды наклонены к ее основанию под равными
углами, то основание высоты пирамиды лежит на биссектрисе
угла между ребрами основания, принадлежащими данным боко
вым граням. Обоснуйте этот факт самостоятельно.
Другой способ вычислений, который можно использовать для
решения этой задачи, будет описан в п. 9.3.
1 2 2 -----------------------------------------------------

9.2. Пирамиды, в которых основанием высоты является центр
окружности, описанной около основания пирамиды
В пункте 9.1 мы рассмотрели случаи, когда предварительный
анализ условия задачи существенно влияет на построение рисунка
и ход решения. Рассмотрим еще один подобный пример.
Задача
Основанием пирамиды является прямо
угольный треугольник с катетами 6 см и 8 см.
Все боковые ребра пирамиды равны 13 см.
Найдите высоту пирамиды.
Решение
Решение этой задачи можно начать с по
строения изображения данной пирамиды РАВС
с основанием ABC (Z B = 90°, АВ - 6 см, ВС =
= 8 см), боковыми ребрами РА = РВ = РС =
= 13 см и высотой РО ±(АВС). Такое изобра
жение представлено на рисунке 109, а. Но со
ответствует ли оно условию задачи?
Так как точка Р равноудалена от вершин
треугольника ABC, то основание перпендику
ляра, проведенного из данной точки к плоско
сти ABC, является центром окружности, опи
санной около основания пирамиды. Значит,
точка О — центр окружности, описанной около
треугольника ABC. Так как в прямоугольном
треугольнике центр описанной окружности
является серединой гипотенузы, то точка О —
середина отрезка АС. Таким образом, условию
данной задачи соответствует рисунок 109, б.
Завершим теперь решение задачи.
Из треугольника ABC по теореме Пифаго
ра АС = 10 см, значит, АО = ОС = 5 см.
Из треугольника РОА (Z О=90°, РА =13 см,
АО = 5 см) по теореме Пифагора РО = 12 см.
Ответ: 12 см.
Рис. 109
123

Только что приведенные рассуждения мож
но обобщить для произвольной пирамиды.
(о пирамиде с равными боковыми ребрами)
Если все боковые ребра пирамиды рав
ны, то основанием ее высоты является
центр окружности, описанной около основа
ния пирамиды. Докажите.
Решение
Для данной пирамиды РА1А 2...Ап с вы
сотой РО (рис. 110) прямоугольные треуголь
ники POAv РОА2, ..., РОАп равны по гипоте-
Рис. 110 нузе и катету. Отсюда ОАх= ОА2= ... = ОАп, то
есть точка О является центром окружности,
описанной около многоугольника А 1А 2...Ап.
Опираясь на другие признаки равенства прямоугольных тре
угольников, нетрудно получить еще одно полезное обобщение.
Если в пирамиде выполняется хотя бы одно из условий:
1) все боковые ребра равны;
2) все боковые ребра образуют равные углы с плоскостью
основания пирамиды;
3) все боковые ребра образуют равные углы с высотой пира
миды,
то основанием высоты пирамиды является центр окружности, опи
санной около основания пирамиды.
Наличие хотя бы одного из этих условий ука
зывает на то, что около основания данной пирамиды
D можно описать окружность, центр которой является
основанием ее высоты. Более того, имеет место об
ратное утверждение. Сформулируйте и докажите его
самостоятельно.
Заметим также, что при решении многих задач,
связанных с пирамидами, имеющими описанные выше
свойства, отдельно рассматривают прямоугольный тре
угольник РАхО (рис. 111). В нем РО — высота пирами
ды, РАХ— боковое ребро, АхО — радиус окружности,
описанной около основания пирамиды.
124

9.3. Пирамиды, в которых основанием высоты является
центр окружности, вписанной в основание пирамиды
Рассмотрим еще одну задачу, важным этапом решения которой
является определение положения основания высоты пирамиды. _
Задача
Основанием пирамиды является ромб с диа
гоналями 10 см и 24 см. Все двугранные углы при
основании пирамиды равны 60°. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды.
Решение
Пусть дана пирамида PABCD, основание ко
торой — ромб ABCD ( BD = 24 см, АС = 10 см),
РО±(АВС), РО — высота пирамиды (рис. 112, а).
Определим положение точки О в ромбе ABCD.
Проведем из точки Р перпендикуля
ры: РК LAB, PLLBC, PMLCD, PN LAD .
Отрезки OK, OL, ОМ и ON — проекции на
клонных РК, PL, РМ и PN на плоскость осно
вания пирамиды. Тогда по теореме о трех пер
пендикулярах OK L А В , OL L ВС , ОМ L CD,
ON L A D . Таким образом, углы РКО, PLO, РМО
и PNO — линейные углы двугранных углов
при основании, пирамиды; по условию задачи
Z РКО = Z PLO '= Z РМО = Z PNO = 60°.
Прямоугольные треугольники РКО, PLO, РМО
и PNO равны по катету и противолежащему углу.
Отсюда следует, что OK = OL = ОМ = O N. Так как
по доказанному эти равные отрезки перпендикуляр
ны сторонам ромба ABCD, то точка О равноудалена
от прямых, содержащих стороны ромба, значит, яв
ляется центром окружности, вписанной в ромб, —
точкой пересечения его диагоналей (рис. 112, б).
Треугольники АОВ, ВОС, COD и AOD —
ортогональные проекции боковых граней
пирамиды APB, ВРС, CPD и APD на плоскость
v
~ D
Рис. 112
125

г
основания. По теореме о площади ортогональной проек-
J ции многоугольника SAOB= SAPB cos60°, S вос = S BPC-cos60°,
&COD ~ &CPD 'CO860° , S AOD = &APD 'cos60° .
Складывая эти равенства, получим: SAOB+SBOC+SCOD+
SAOD ~ APB ^BPC ^CPD ^APD )'co860° , И ЛИ ^ABCD ~ “^бок'COS60° .
Отсюда SfoK= —&£££-. Так как площадь ромба равна половине про-
cos60° j
изведения его диагоналей, то S^cn = —•10-24 = 120 (см2).
2
12П
Итак, S6ok= _ ^ L _ =240 (см2).
сое60
Ответ: 240 см2.
Обобщим только что приведенные рассуждения.
(о пирамиде с равными двугранными углами при основании)
Если все двугранные углы при основании
р пирамиды равны, то основанием ее высоты яв
ляется центр окружности, вписанной в осно
вание пирамиды. Докажите.
Решение
Для данной пирамиды РА1А2...Ап с высо-

той РО и высотами боковых граней PHV
РН2, ..., PHп, проведенными из вершины,
прямоугольные треугольникиРОН, РОН2, ...,
РОНп равны по катету и противолежащему
а углу (рис. 113, а). Отсюда получим: ОНг = ОН2 =
Рис. 113 = ... = ОНп. Но по теореме о трех перпендикуля
рах OHj OH2 J.A2A 2, ..., ОЯя !A jA n .
Таким образом, точка О является центром окружности, впи
санной в многоугольник АгА2..Л п*.
Следует заметить, что если вместо равенства двугранных углов
при основании рассматривать равенство углов наклона плоско
стей боковых граней пирамиды к плоскости основания, возможна
Напомним, что мы рассматриваем только те пирамиды, основаниями
которых являются выпуклые многоугольники.
126

геометрическая ситуация, когда высота пирамиды лежит вне пирами
ды. Но рассмотрение таких случаев выходит за пределы нашего курса.
Еще одно важное обобщение решенной задачи касается способа
вычисления площади боковой поверхности пирамиды.

Опорная задача (об ортогональной проекции боковых граней
пирамиды на плоскость основания)
Если все двугранные углы при основании пирамиды рае-
ны Р, т о 5 ^ =
cosp
Докажите.
Решение
Для данной пирамиды РА1А 2...А п с высо
той РО треугольники ОА1А2, ОА2А 3, ..., ОАпА г
являются ортогональными проекциями боковых
граней РАхА 2, РА2А 3, ..., РАпА 1 (рис. 113, б).
Тогда, по формуле площади ортогональной про
екции многоугольника, имеем:
^ОАгАг + &ОА2Аг + ... +SOAnAi =
= s p a 1a 2 cosp+ SPAsA3 cosp+...+SPA)(Ai cosp.
Отсюда = (sPAiA2 +SPa2a3 +... +SPAnAi) cosp. 6
Рис. 113. Окончание
или
Окончательно получим: =S6oK cosp,
cosp
Эту формулу удобно применять, в частности, для вычисления
площади боковой поверхности правильной пирамиды.
Аналогично можно доказать следующее утверждение.
Если основание пирамиды состоит из ортогональных про
екций нескольких боковых граней, каждая из которых образует
с плоскостью основания двугранный угол р, то сумма S площа
дей этих граней вычисляется по формуле S =
СО&Р
Докажите это утверждение самостоятельно.
Данным фактом можно воспользоваться в задаче п. 9.1, где
cosp
127

Обратим внимание на то, что при решении
многих задач, связанных с пирамидами, име
ющими описанное выше свойство, отдельно рас
сматривают прямоугольный треугольник PH-fi
(рис. 114). В нем РО — высота пирамиды,
РНХ— высота боковой грани, НхО — радиус
окружности, вписанной в основание пирамиды.
Рис. 115
Рис. 116
376.* Могут ли два боковых ребра пирамиды быть
перпендикулярными плоскости основания?
Могут ли три боковые грани пирамиды быть
перпендикулярными плоскости основания?
377. В пирамиде РАВС (рис. 115, о, б) РА = Р В -
= PC , РО — высота пирамиды. Определите
вид треугольника ABC по величине углов.
378. Может ли основанием четырехугольной пира
миды, все ребра которой равны, быть:
а) прямоугольник;
б) ромб с диагоналями 6 и 8;
в) равнобедренная трапеция;
г) прямоугольная трапеция?
379. Все боковые ребра пирамиды равны.
а) Может ли только одна боковая грань дан
ной пирамиды быть перпендикулярной плос
кости основания?
б) Могут ли две боковые грани данной пи
рамиды быть перпендикулярными плоскости
основания?
380. В треугольной пирамиде РАВС (рис. 116)
двугранные углы при основании равны, РО —
высота пирамиды. Сравните углы ABD и CBD.
128

381. Может ли основанием четырехугольной пирамиды, в которой
все двугранные углы при основании равны, быть:
а) прямоугольник со сторонами 6 и 8;
б) ромб;
в) равнобедренная трапеция с основаниями 6 и 10 и боковой
стороной 9?
382. В пирамиде все боковые ребра равны и все двугранные углы при
основании равны. Может ли основанием данной пирамиды быть:
а) прямоугольный треугольник;
б) тупоугольный треугольник;
в) параллелограмм с углом 60°;
г) квадрат?
383Г Нарисуйте на плотной бумаге развертку треугольной
пирамиды, основание которой — правильный треугольник, а две
боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Сколько
граней пирамиды являются прямоугольными треугольниками?
Вырежьте развертку и склейте из нее модель пирамиды.
—^ 384.* Изготовьте из проволоки модель треугольной пирамиды, в ко
торой все плоские углы при одной вершине прямые, а все ребра,
выходящие из этой вершины, равны. Рассматривая разные грани
пирамиды в качестве ее оснований, укажите высоту пирамиды
в каждом случае.
Уровень А
385.* Основанием пирамиды РАВС является
прямоугольный треугольник ABC (рис. 117).
Боковые грани пирамиды, содержащие катет АВ
и гипотенузу АС, перпендикулярны плоскости
основания, а третья боковая грань наклонена
к ней под углом 45°.
а) Докажите, что Z РВА = 45° .
б) Найдите высоту пирамиды, если
АС = 10 см, ВС = 6 см.
в) Найдите площадь грани РВС. Рис. 117
129

—^ 386. Основанием пирамиды РАВС является рав
нобедренный треугольник ABC (рис. 118). Боко
вая грань РАС, содержащая основание треуголь
ника, перпендикулярна плоскости ABC, а две
другие боковые грани наклонены к плоскости
основания под углом 60°.
а) Обоснуйте линейные углы двугранных углов,
равных 60°.
б) Докажите, что основание высоты пирамиды —
точка О — является серединой отрезка АС.
в) Найдите площадь основания пирамиды, если
РО = 4л/з см, АВ = ВС = 12 см.
387. Основанием пирамиды является квадрат со стороной а. Две
боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания,
а две другие наклонены к ней под углом р .
а) Докажите, что данная пирамида имеет две пары равных
боковых граней.
б) Докажите, что сумма площадей боковых граней пирамиды,
Рис. 118
не перпендикулярных плоскости основания, равна
cosp
в) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
388.Основание четырехугольной пирамиды — ромб, а все ее боковые
ребра равны. Докажите, что данная пирамида является правильной.
389. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами
12 см и 16 см. Все боковые ребра пирамиды равны 26 см. Найдите
высоту пирамиды. )
390. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, один
из углов которого равен 60°. Высота пирамиды равна 4 см. Все
боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°.
Найдите площадь основания пирамиды.
391. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с боковой
стороной а и углом при основании а . Все боковые ребра пирамиды
образуют с ее высотой углы у . Найдите высоту пирамиды.
392. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом о
и противолежащим углом а . Все боковые ребра пирамиды наклонены
к плоскости основания под кутом р. Найдите высоту пирамиды.
393. Основанием четырехугольной пирамиды является параллело
грамм, а все двугранные углы при основании пирамиды равны.
Докажите, что основание данной пирамиды — ромб.
130

394. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами
4 см, 13 см и 15 см. Все двугранные углы при основании пирамиды
равны 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
—^ 395. Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см
и углом 60°. Все двугранные углы при основании пирамиды равны
30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
396. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°.
Найдите:
а) площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь ее
основания равна 24 см2;
б) площадь полной поверхности пирамиды, если площадь ее
боковой поверхности равна 24 см2.
—^ 397. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, основание
которой — прямоугольный треугольник с катетами а и 6, а все
двугранные углы при основании равны а .
Уровень Б
398. В основании пирамиды лежит ромб со стороной 6 см и углом 120°.
Две боковые грани, содержащие стороны данного угла, перпен
дикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней
под углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
—^ 399. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник
с углом при вершине а и радиусом описанной окружности R. Бо
ковые грани пирамиды, содержащие стороны данного угла, перпен
дикулярны плоскости основания, а третья грань наклонена к ней
под углом р. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
400. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с кате
том а и прилежащим острым углом а . Боковая грань пирамиды,
содержащая второй катет, перпендикулярна плоскости основания,
а две другие грани наклонены к основанию под углом (3.
а) Обоснуйте линейные углы двугранных углов, равных Р.
б) Докажите, что основание высоты пирамиды принадлежит
биссектрисе угла а .
в) Найдите высоту пирамиды.
—^ 401. Основание пирамиды — правильный треугольник со сторо
ной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости
основания, а третья наклонена к ней под углом р. Найдите пло
щадь боковой поверхности пирамиды.
131

402. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция с меньшим
основанием 7 см и острым углом 60°. Диагональ данной трапеции
является биссектрисой ее острого угла. Все боковые ребра пирамиды
наклонены к плоскости основания под углом 60°. Определите положе
ние основания высоты пирамиды и найдите длины ее боковых ребер.
403. В основании пирамиды лежит треугольник с углами а и р ,
а все боковые ребра пирамиды равны. Перпендикуляр, проведенный
из основания высоты пирамиды к боковому ребру, равен тп и об
разует с высотой угол у . Найдите площадь основания пирамиды.
404. Все двугранные углы при основании треугольной пирамиды
равны р. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если
ее основание — прямоугольный треугольник с гипотенузой с
и острым углом а .
—^ 405. Основание пирамиды — треугольник, две стороны которого рав
ны Ъи образуют угол а . Все двугранные углы при основании пира
миды равны р. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
406. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция с острым
углом а . Все двугранные углы при основании рирамиды равны р . Най
дите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна if.
407. Основанием пирамиды является ромб с тупым углом а . Все
высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, рав
ны I и образуют с высотой пирамиды углы р. Найдите площадь
Уровень В
408. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с осно
ванием а и углом при вершине а . Боковая грань, содержащая
основание треугольника, перпендикулярна плоскости основания,
а две другие грани наклонены к основанию под углом Р. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
—^ 409. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник
с катетами 21 см и 28 см. Боковая грань пирамиды, содержащая
гипотенузу треугольника, перпендикулярна плоскости основания,
а две другие грани наклонены к основанию под углом 60°. Най
дите площадь боковой поверхности пирамиды.
410. Основание пирамиды — прямоугольник. Одна из боковых
граней перпендикулярна плоскости основания, а радиус окруж
ности, вписанной в эту грань, равен г. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды, если все остальные ее боковые грани
наклонены к плоскости основания под углом Р.
132

411. Основание пирамиды — ромб с острым углом а . Две грани
пирамиды, содержащие стороны данного угла, перпендикуляр
ны плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней
под углом р. Точка высоты пирамиды, находящаяся на расстоя
нии т от вершины пирамиды, равноудалена от плоскости основа
ния и плоскостей наклонных боковых граней. Найдите площадь
—^ 412. Основание пирамиды — прямоугольная трапеция с большей диа
гональю <2. Две боковые грани, содержащие стороны острого угла
трапеции, перпендикулярны плоскости основания, а две другие
грани наклонены к ней под углом Р. Найдите высоту пирамиды.
413. В основании пирамиды, все боковые ребра которой равны, ле
жит прямоугольный треугольник с острым углом а и радиусом
вписанной окружности г. Отрезок, соединяющий середину высоты
пирамиды с вершиной основания, наклонен к плоскости основания
под углом Р. Найдите высоту пирамиды.
414. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция с острым
углом а . Все двугранные углы при основании пирамиды равны р ,
а основание высоты пирамиды удалено от боковой грани на расстоя
ние d. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
—^ 415. Основание пирамиды — ромб с тупым углом а , а все двугран
ные углы при основании равны р. Точка высоты пирамиды, на
ходящаяся на расстоянии а от плоскости основания, равноудалена
от вершины пирамиды и стороны основания. Найдите площадь бо
ковой поверхности пирамиды.
• аксиома пересечения плоскостей (10 кла<ф
• параллельность прямой и плоскости (10 класс)
• параллельность плоскостей (10 класс)
Задачи
416. Прямая а лежит в плоскости а . Плоскость Р, параллельная
прямой а, пересекает плоскость а по прямой с. Докажите, что са.
417. Точка М — середина ребра ААХкуба ABCDA1B1C1D1. Построй
те точку пересечения плоскости ABC:
а) с прямой ВХМ; б) с прямой СгМ.
133

Рис. 119. Сечение
тела плоскостью
С
F
Рис. 120. Сечение
куба
§ 10. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
10.1. Секущая плоскость и сечение.
Сечения призмы
С простейшими случаями сечений тетраэдра
и куба вы уже встречались в 10 классе. Придадим
представлениям о сечениях геометрических тел
определенную математическую строгость.
Пусть в пространстве даны тело и некоторая
плоскость. Если хотя бы две точки тела лежат по
разные стороны от данной плоскости, то говорят,
что плоскость пересекает тело. В таком случае она
является секущей плоскостью данного тела. Напри
мер, на рисунке 119 плоскость а является секущей
плоскостью тела F.
О п р едел ен и е ----- ;-----------------------------------------------------
Сечением геометрического тела плоскостью называ
ется фигура, состоящая из всех общих точек тела и се
кущей плоскости.
На рисунке 119 закрашенная фигура является
сечением тела F плоскостью а .
Если данное тело — многогранник, то секу
щая плоскость пересекает его грани по отрезкам.
Эти отрезки ограничивают плоский многоугольник,
являющийся общей частью данного многогранника
и секущей плоскости. Коротко говорят, что сечени
ем многогранника является многоугольник (имея
в виду соответствующий плоский многоугольник).
Очевидно, что если многогранник имеет
п граней, то количество сторон многоугольника,
являющегося сечением данного многогранника,
не превышает п. Например, сечением паралле
лепипеда (он имеет 6 граней) может быть только
треугольник, четырехугольник, пятиугольник или
шестиугольник. На рисунке 120 сечение куба —
шестиугольник ABCDEF.
Для построения сечения многогранника до
статочно построить все точки пересечения секущей
плоскости с ребрами данного многогранника, после
134

чего соединить отрезками каждые две построенные точки, принад
лежащие одной грани. Напомним, что если секущая плоскость пере
секает плоскости двух параллельных граней, то прямые пересечения
параллельны. Так, на рисунке 120 ABDE, BCEF, С£>|| A F.
Постройте сечение куба ABCDA^B^-J)^^ плоскостью, проходя
щей через точки М, N я К (рис. 121, а).
Так как точки М и N принадлежат грани АА1В1В, а точки N
и К — грани ВВ1С1С, то MN и NK — прямые пересечения секущей
плоскости с плоскостями этих граней. Следовательно, отрезки MN
и NK — стороны искомого сечения (рис. 121, б).
Так как грани куба ВВ1С1С и AA^D^D параллельны, то секу
щая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Проведем
через точку М прямую, параллельную NK.
Пусть G — точка пересечения этой прямой с ребром AD
(рис. 121, в). Рассуждая аналогично, проводим через точку К пря
мую, параллельную MN.
Пусть Т — точка пересечения проведенной прямой с ре
бром CD. Так как точки G и Т принадлежат одной грани ABCD, то
отрезок GT — сторона искомого сечения. Следовательно, искомым
сечением является пятиугольник MNKTG (рис. 121, г).
а б в г
Рис. 121. Построение сечения куба
Подробнее о построении сечений речь пойдет в п. 10.3.
Заметим, что часто задачи на вычисление площадей сечений
объединяют в себе задачи на вычисление и на построение: действи
тельно, при решении таких задач необходимо не только вычислить
Задача
Решение
135

площадь некоторого сечения, но и описать его построение и обо
сновать, что полученное сечение является искомым.
Задача
В правильной четырехугольной призме через диагональ
одного основания и противолежащую ему вершину другого осно
вания проведено сечение плоскостью Q. Найдите площадь боковой
поверхности призмы, если данное сечение образует с плоскостью
основания угол а .
-Dj Cj Решение
Пусть дана правильная четырехугольная
призма АВСПА1В1С1Х>1 (рис. 122). Рассмотрим
сечение, проходящее через диагональ основа
ния АС и вершину Dx. Так как точки С и Dt
принадлежат грани ССXDXD , то CDX — прямая
пересечения секущей плоскости с плоскостью
Рис. 122 этой грани.
Рассуждая аналогично, определяем, что прямые АС и ADX
являются прямыми пересечения секущей плоскости с плоскостя
миABCD и AAXDXD . Значит, треугольник ACDX— искомое сечение.
По условию S ACDi = Q . Пусть О — точка пересечения АС и BD.
Так как DO А.АС и DXD ±(АВС) , то DxO±AC по теореме о трех
перпендикулярах. Следовательно, угол DxOD является углом меж
ду плоскостями ACDXи.ABCD. По условию Z DxOD = а . Пусть ребро
основания равно о. Так как ABCD — квадрат, Росв = 4а . Из прямо
угольного треугольника DxDO (Z D = 90°, DO = - j= , Z D,OD = a )
V2
a 4a 2
имеем: DD1 = -j= -tga. Отсюда S6oR=POCB h = —j= -tg a . По формуле
площади ортогональной проекции многоугольника SADC=Q cosa ,
откуда = 2Qcosa = о 2 . Итак, a = -y/2Qcosa .
Окончательно получаем: = * ^Qcosa ^ga _ 4 J2 Qsin a .
Ответ: 4-J2Qsin a.
136

Рассмотрим подробнее простейшие сечения
призм.
Любое сечение призмы плоскостью, параллель
ной боковому ребру, является параллелограммом.
Так, параллелограммом является диагональное се
чение призмы — сечение плоскостью, проходящей
через боковое ребро и диагональ основания. На ри
сунке 123 параллелограмм AAjCjC — диагональное
сечение параллелепипеда ABCDA1BiCxDv Очевидно,
что диагональное сечение прямой призмы представ
ляет собой прямоугольник.
При изучении наклонных призм особую роль
играет сечение призмы плоскостью, пересекающей
все боковые ребра и перпендикулярной этим ребрам
(рис. 124, а). Но существуют наклонные призмы,
у которых такого сечения может и не быть. По
этому будем считать перпендикулярным сечени
ем призмы многоугольник, вершинами которого
являются точки пересечения плоскости, перпен
дикулярной боковым ребрам призмы, с прямыми,
содержащими эти ребра (рис. 124, о, б).
Теорема (формула площади боковой поверх
ности наклонной призмы)
Площадь боковой поверхности наклонной призмы
равна произведению периметра перпендикулярного
сечения на боковое ребро:
□ Пусть перпендикулярное сечение наклон
ной n-угольной призмы — n-угольник, стороны
которого равны h^h2^..^hn. Примем за основа
ния параллелограммов, являющихся боковыми гра
нями призмы, боковые ребра длиной I. Очевидно,
что соответствующие стороны перпендикулярного
сечения будут высотами этих параллелограммов.
Следовательно,
S60K= h1l+ h2l+ ... + hnl = {h1 + h2 +... + hn)l = P1 l.
Вг Сх
Рис. 123. Диагональ
ное сечение призмы
б
Рис. 124. Перпен
дикулярное сечение
наклонной призмы
137

Р
В С
Рис. 125. Диагональное
сечение пирамиды
Р
ству теоремы о сечении
пирамиды плоскостью,
параллельной плоскости
основания
В
Рис. 127. Усеченная
треугольная пирамида
10.2. Сечения пирамиды. Усеченная пирамида
Рассмотрим простейшие сечения пирамид.
Любое сечение пирамиды плоскостью, про
ходящей через ее вершину, является треугольни
ком. Так, треугольником является диагональное
сечение пирамиды — сечение плоскостью, прохо
дящей через вершину пирамиды и диагональ ее
основания. На рисунке 125 треугольник PBD —
диагональное сечение пирамиды PABCD. Важным
случаем сечения пирамиды является сечение, па
раллельное плоскости основания.
Теорема (о сечении пирамиды, параллельном
плоскости основания)
Плоскость, параллельная плоскости основания пи
рамиды и пересекающая ее боковые ребра, от
секает пирамиду, подобную данной.
□ Пусть дана пирамида с вершиной Р
(рис. 126). Через точку Ах на боковом ребре РА
проведена секущая плоскость а , параллельная
основанию пирамиды. Рассмотрим гомотетию
данной пирамиды с центром Р и коэффициен-
РА
том k = ---- . При этой гомотетии плоскость
РА
основания пирамиды переходит в параллельную
плоскость, содержащую точку А19 то есть в плос
кость а , а вся пирамида — в пирамиду, отсекае
мую от данной плоскостью а . Так как гомотетия
является преобразованием подобия, то отсекае
мая плоскостью а пирамида подобна данной. ■
^ Рассмотрим теперь другую часть пира
миды, которую отсекает плоскость сечения, па
раллельная основанию. Эта часть представляет
собой многогранник, который называют усечен
ной пирамидой. Две ее грани (основания усечен
ной пирамиды) — подобные многоугольники, ле
жащие в параллельных плоскостях, а остальные
грани (боковые грани усеченной пирамиды) —
трапеции.
138

На рисунке 127 изображена усеченная треугольная пирами
да АВСА1В1С1 с основаниями ABC и А1В1С1 и боковыми граня
ми AAxBxBy В В ^ С и СС^АуА. Отрезки AAt, ВВг и CCV соединя
ющие соответствующие вершины оснований, являются боковыми
ребрами усеченной пирамиды.
Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр,
проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости
другого основания. Например, на рисунке 127 высотой усеченной
пирамиды является отрезок АгО.
Изображение усеченной пирамиды обычно строят таким обра
зом. Сначала изображают соответствующую полную пирамиду, а за
тем строят ее сечение плоскостью, параллельной плоскости основания.
Если секущая плоскость правильной пира
миды параллельна основанию, то в результате
пересечения получается правильная усеченная
пирамида. Основаниями такой пирамиды явля
ются правильные подобные многоугольники, а от
резок, соединяющий центры этих многоугольни
ков, является высотой пирамиды. Очевидно, что
боковые ребра правильной усеченной пирамиды
равны, значит, ее боковые грани — равнобедрен
ные трапеции. Высоты этих трапеций называ
ются апофемами правильной усеченной пира
миды. Например, на рисунке 128 изображена
правильная четырехугольная усеченная пирами
да ABCDA1B1C1D1 с высотой ООг и апофемой АгМ.
^ Теорем а (формула площади боковой поверхности пра
вильной усеченной пирамиды)
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды рав
на произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему:
о _ ^ 1 + ^ 2 I
^бок - 2
□ Пусть стороны оснований правильной л-угольной усе
ченной пирамиды с апофемой I равны аг и а2. Тогда каж
дая ее боковая грань — равнобедренная трапеция с основания-
а-j н-ап
ми аг и а2 и высотой I. Площадь одной грани равна —---- -Л .
четырехугольная усе
ченная пирамида
139

О!
□_
К о
в
Отсюда площадь боковой поверхности данной усеченной пирамиды
CL1“ЬCLп _ TtCL-I TICLл _
бок~ п ' 2 — 2— ГД6 П— количество вершин основания
пирамиды. Так как произведения пах и па2 равны периметрам Рг
Р +Р
и Р2 оснований пирамиды, то S6oK= —----- I . Теорема доказана. ■
2
Задача
Найдите площадь боковой поверхности пра
вильной четырехугольной усеченной пирамиды,
если ее диагональное сечение — трапеция с осно
ваниями 2V2 см и 8V2 СМ ИВЫСОТОЙ л/7~ см.
Решение
Пусть трапеция А А ^С (рис. 129, а) — диа
гональное сечение правильной четырехугольной
усеченной пирамиды ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 128),
A 1C1 =2yf2 см, АС = 8>/2 см, АХК — высота тра
пеции, А гК = V*7 см.
Так как данная пирамида правильная,
то трапеция А4.1С1С равнобедренная; значит,
АК = (АС - А1С1): 2 (обоснуйте это самостоя
тельно), АК = 3/2 см. Тогда из треугольника
(Z K = 90°) по теореме Пифагора
1= ^3>/2)2+ (V7)2 =5 (см).
Рассмотрим теперь боковую грань пирамиды — равнобе
дренную трапецию ВВ^А^А (рис. 129, б). Так как основания дан
ной пирамиды — квадраты с диагоналями 2V2 см и 8yf2 см, то
АВ = 8 см, А1Б1=2 см — стороны оснований пирамиды. Тогда
если АгМ — апофема данной пирамиды, то AM = (А В -А 1В1): 2,
AM = 3 см. Из треугольника ААгМ ( Z М = 90°) по теореме Пифа
гора А гМ = 4 см.
М
б
Рис. 129
ААХК
ААЛ
Следовательно, .4 = 80 (см2).
140

Следует знать, что для проведения вычисле
ний при решении задач об усеченных пирамидах
иногда удобно рассматривать такие фрагменты
их сечений:
• фрагмент сечения, проходящего через бо
ковое ребро и центры окружностей, описанных
около оснований,— в случае, если боковые ребра
пирамиды равны (рис. 130, а, б):
ООх — высота пирамиды,
ОА и ОхА х — радиусы окружностей, описанных
около оснований,
ААг — боковое ребро,
Z A xAO — угол наклона бокового ребра к пло
скости большего основания;
• фрагмент сечения, проходящего через цен
тры окружностей, вписанных в основания, пер
пендикулярно ребру основания,— в случае, если
боковые грани наклонены к основанию под рав
ными углами (рис. 130, в, г):
ООг — высота пирамиды,
OD и 0 1D1 — радиусы окружностей, вписанных
в основания,
DDX — высота боковой грани,
ZD1Z)0 — линейный угол двугранного угла при
большем основании.
Заметим также, что при решении некото
рых задач целесообразно достроить данную усе
ченную пирамиду до полной.
Рис. 130. Фрагменты
сечений усеченной
пирамиды
10.3*. Построение сечений многогранников
При решении задач на построение сечений многогранников
часто возникает необходимость построить прямую пересечения се
кущей плоскости с плоскостью грани многогранника. Такую пря
мую называют следом секущей плоскости на плоскости данной
грани. След легко построить, если известны две точки плоскости
данной грани, принадлежащие секущей плоскости. Но такие точ
ки не всегда даны — для их нахождения применяют специальный
метод следов.
141

Рассмотрим данный метод на примере уже известной вам за
дачи из п. 10.1.
Пусть требуется построить сечение куба АВСПА1В1С1П1 пло
скостью, проходящей через точки М, N и К (рис. 131, а). Так как
точки М и N принадлежат грани АА^В^В, а точки N и К — гра
ни ВВ1С1С, то отрезки MN и NK — стороны искомого сечения.
Построим теперь точку пересечения прямой MN с плоскостью
основания ABC. Для этого определим прямую пересечения гра
ни AAjBjB, в которой лежит прямая MN, с плоскостью ABC — это
прямая АВ. Построим точку Е — точку пересечения прямых MN и АВ
(рис. 131, б), которая и будет точкой пересечения прямой MN
с плоскостью основания ABC. Аналогично построим точку F — точ
ку пересечения прямой NK с плоскостью ABC, которая является
точкой пересеченна прямых NK и ВС. Прямая EF (рис. 131, в) —
след секущей плоскости MNK на плоскости основания ABC. Как
видим, эта прямая пересекает ребра AD и CD в точках G и Т соот
ветственно. Следовательно, отрезок GT — сторона искомого сечения.
Так как точки М и G принадлежат грани AA1D1Z), а точки Т
и К — грани C^-Dj-D, то остается провести отрезки MG и ТК й по
лучить искомое сечение — пятиугольник MNKTG (рис. 131, г).
Рис. 131. Построение сечения куба методом следов
1 4 2 -------------------------------------------------------

Как видим, самый «тонкий» момент применения метода сле
дов — построение точки пересечения прямой, принадлежащей се
кущей плоскости, с плоскостью грани многогранника. Для этого
используют известное свойство параллельного проектирования: про
екцией прямой является прямая, причем если данная прямая не
параллельна плоскости проекции, то она пересекается со своей про
екцией. Обобщим различные случаи таких построений для призмы
и пирамиды, представив их в виде таблицы.
Построение точки X пересечения прямой АВ
с плоскостью о с н о в а н и я многогранника.
143

В С
б
Р
В с
г
Рис. 132. Построение се
чения методом проекций
144 ---------------------------
Заметим, что метод следов не всегда удоб
но применять, если построенная прямая сечения
«почти параллельна» плоскости основания много
гранника (то есть пересекает ее под углом, близ
ким к 0°),— в таком случае искомая точка пере
сечения X может выйти за пределы рисунка.
Рассмотрим еще один метод, с помощью ко
торого можно строить сечения многогранников,
не выходя за их пределы.
Пусть требуется построить сечение четырех
угольной пирамиды PABCD плоскостью, прохо
дящей через точки М, N и К на ребрах пирами
ды (рис. 132, а). Сначала, как и в предыдущих
случаях, построим отрезки MN и N K y которые
являются сторонами искомого сечения. Но для
построения точки пересечения секущей плоско
сти M NK с ребром PC применим метод, отлич
ный от метода следов.
Проведем диагонали основания АС й BD
и обозначим точку их пересечения Г. Соединим
полученную точку Т с вершиной пирамиды Р
(рис. 132, б). Плоскость диагонального сечения PBD
и секущая плоскость MNK имеют общие точ
ки М и К у а значит, пересекаются по прямой МК.
Прямые МК и РТ пересекаются (объясните по
чему) в некоторой точке Тг (рис. 132, в), так
же принадлежащей секущей плоскости MNK.
Аналогично плоскости РАС и MNK имеют
общие точки N и Tv а значит, пересекаются по
прямой NTV Прямая NTX пересекает ребро PC
в некоторой точке L (рис. 132, г), которая также
является общей точкой плоскостей MNK и РАС,
а следовательно, принадлежит искомому сече
нию. Соединив точку L с точками М и К, по
лучим искомое сечение MNKL.
Описанный метод построения сечений на
зывают методом внутреннего проектирования
или методом проекций. Такое название неслож
но объяснить: действительно, точка Т основания

пирамиды является проекцией точки сечения Тх на плоскость основания
в направлении прямой РТ; таким образом, получив сначала проекцию
точки Тг, мы «восстановили» и саму точку.
418.* Может ли сечением тетраэдра быть треугольник; четырех
угольник; пятиугольник?
419. На рисунке 133, а—в изображены сечения куба. Есть ли на
этих изображениях ошибки? В чем они заключаются?
а б в
Рис. 133
420.* Четырехугольник ААХСХС — диагональное сечение прямой
четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1. Определите вид этого
четырехугольника.
421. Может ли диагональным сечением правильной четырехуголь
ной пирамиды быть:
а) равносторонний треугольник;
б) прямоугольный треугольник;
в) треугольник со сторонами 3, 4 и 5?
422. Через середину высоты пирамиды проведено сечение, парал
лельное плоскости основания. Во сколько раз площадь сечения
меньше площади основания?
423. Основание пирамиды — правильный многоугольник. Обяза
тельно ли сечение, параллельное основанию, отсекает от данной
пирамиды:
а) правильную усеченную пирамиду;
б) пирамиду, подобную данной?
424. Является ли усеченная пирамида частным случаем пирамиды?
Ответ обоснуйте.
14Б

О
425? Изготовьте из проволоки модель куба. С помощью нити
смоделируйте сечение куба, имеющее форму треугольника;
четырехугольника; пятиугольника; шестиугольника.
426? Изготовьте модель треугольной пирамиды. Разрежьте мо
дель так, чтобы плоскость сечения была параллельна плоскости
основания пирамиды. Опишите элементы полученной усеченной
пирамиды.
Уровень А
427? Постройте сечение куба ABCDA1B1C1Dl плоскостью, проходя
щей через:
а) ребра А1В1 и СП;
б) вершину Вх и диагональ основания АС',
в) ребро ССХи середину ребра А1В1;
г) середины ребер АП и А1П1 параллельно диагонали основа
ния АС.
данного428? Постройте
(рис. 134, а—в).
сечение куба плоскостью MNK
а б в
Рис. 134
429? Постройте сечение правильной треугольной пирамиды РАВС
плоскостью, проходящей через:
а) ребро АВ и середину ребра PC;
б) вершину Р и высоту основания АП;
в) середины ребер РА и ВС параллельно ребру АС.
430. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник
с боковой стороной 13 см и основанием 24 см. Высота призмы рав
на 10 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое
ребро и биссектрису угла между боковыми сторонами основания.
146

431. Диагональное сечение правильнойчетырехугольной призмы —ква
драт площадью 32 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
—^ 432. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны
9 см и 12 см. Найдите площадь диагонального сечения параллелепи
педа, если его диагональ образует с плоскостью основания угол 45°.
433. Сторона основания правильной треугольной призмы рав
на 6 см, а боковое ребро 3 см. Найдите площадь сечения, прове
денного через вершину верхнего основания и противолежащую
сторону нижнего основания.
—^ 434. В правильной четырехугольной призме ABCDA1BlCiDl пло
щадь сечения BCXD равна 15 см2, а площадь основания — 18 см2.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
435. Боковое ребро наклонной призмы равно 10 см. Найдите пло
щадь боковой поверхности призмы, если ее перпендикулярное се
чение — прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см.
—^ 436. Перпендикулярное сечение наклонной призмы — треугольник
со сторонами 5 см и 16 см и углом между ними 120°. Найдите
площадь боковой поверхности призмы, если ее боковое ребро равно
наибольшей стороне сечения.
437. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD точки К, М
и N — середины ребер АВ, CD и РВ соответственно.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью KMN. Определите
вид сечения.
б) Найдите площадь построенного сечения, если расстояние
от точки N до прямой КМ равно 5 см, а сторона основания
пирамиды 8 см.
438. Все ребра тетраэдра РАВС равны 6 см. Найдите площадь сече
ния, проведенного через ребро ВС и середину ребра РА.
439. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно Ъи на
клонено к плоскости основания под углом а . Найдите плоскость
сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пирамиды.
440.Изобразите правильную четырехугольную усеченную пирами
ду. Обоснуйте:
а) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;
б) линейный угол двугранного угла при большем основании
пирамиды.
441. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды
равна 4 см, а стороны оснований — 2 см и 8 см. Найдите боковое
ребро и апофему пирамиды.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 4 7

442.Стороны оснований правильной треугольной усеченной пира
миды равны 4s/3 СМ и бТз см. Найдите боковое ребро пирамиды,
если оно наклонено к плоскости большего основания под углом 60°.
443.Найдите площадь полной поверхности правильной четырех
угольной усеченной пирамиды со сторонами оснований 4 см и 10 см
и апофемой 5 см.
444.Колпак кузнечного горна имеет форму правильной четырех
угольной усеченной пирамиды (без оснований) со сторонами осно
ваний 20 см и 80 см и высотой 40 см. Сколько квадратных деци
метров жести потребуется для изготовления колпака, если на швы
и отходы уйдет 20 % материала?
445.Найдите площадь боковой поверхности правильной треуголь
ной усеченной пирамиды со сторонами оснований 4 см и 14 см
и боковым ребром 13 см.
Уровень Б
446.Постройте сечение
(рис. 135, а—г).
N
данного
В,
куба
N С,
ПЛОСКОСТЬЮ
В,
MNK
С,
М
В>-
tк м
11
1 N1
1 Т
--------
/
/ А
A D A D
Ke{CDD}) Уе(ВВ1С1)
а б в г
Рис. 135
447. Постройте сечение данной четырехугольной пирамиды плоско
стью MNK (рис. 136, а-в).
Рис. 136
148

448. В прямоугольном параллелепипеде через диагональ основа
ния проведено сечение, параллельное диагонали параллелепипе
да. Найдите площадь сечения, если стороны основания паралле
лепипеда равны 6 см и 8 см, а высота 24 см.
449. Через сторону основания и середину бокового ребра правиль
ной треугольной призмы проведено сечение, образующее с плос
костью основания угол а . Найдите площадь боковой поверхности
призмы, если ее высота равна Н.
450. Основание прямой призмы — параллелограмм со сторонами
7 см и 9 см и диагональю 8 см. Найдите площадь боковой поверх
ности призмы, если площадь ее наибольшего диагонального сече
ния равна 56 см2.
451. Докажите, что сумма квадратов площадей диагональных се
чений прямого параллелепипеда равна сумме квадратов площадей
всех его боковых граней.
452. Две боковые грани наклонной треугольной призмы взаимно
перпендикулярны. Их общее боковое ребро равно 10 см и удалено
от других боковых ребер на 7 см и 24 см. Найдите площадь боко
вой поверхности призмы.
453. Расстояния между боковыми ребрами наклонной треугольной
призмы равны 10 см, 35 см и 39 см, а боковое ребро призмы рав
но диаметру окружности, вписанной в перпендикулярное сечение.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
454. В правильной четырехугольной пирамиде через диагональ осно
вания проведено сечение, параллельное скрещивающемуся с этой
диагональю боковому ребру. Найдите площадь сечения, если сто
рона основания пирамиды равна 8 см, а высота 7 см.
455. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а,
а двугранный угол при основании р. Найдите площадь сечения,
проходящего через середины двух сторон основания параллельно
боковой грани, содержащей третью сторону.
456. Высота пирамиды равна 8yf2 м. На каком расстоянии от
вершины пирамиды находится параллельное основанию сечение,
площадь которого равна половине площади основания пирамиды?
—^ 457. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды накло
нено к плоскости основания под углом а . Отрезок, соединяющий
основание высоты пирамиды с серединой бокового ребра, равен т.
Найдите площадь параллельного основанию сечения, которое де
лит высоту пирамиды в отношении 3 :4 , начиная от вершины.
149

458. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырех
угольной усеченной пирамиды, если площадь ее диагонального се
чения равна 20-/2 см2, высота — 4 см, а боковое ребро — /34" см.
459. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пира
миды равны а и b (а<Ь ). Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды, если двугранный угол при ее большем основании равен а .
Уровень В
460. Постройте сечение данной фигуры
(рис. 137, а-г).
В,
ш
ВУ
/
N
К
iVe(ADD1),
Ke{CDDx)
М
А
ы/Pi
ВУ
,к
Ке(АВС)
плоскостью MNK
N е(РВС) ,
Ke(PCD)
N е (РВС)
Рис. 137
461. Постройте сечение куба АВСПА1В1С1П1, проходящее через
середины ребер АХВХ, AD и CCV Определите вид построенного се
чения и найдите его площадь, если ребро куба равно а.
462. Площади диагональных сечений прямого параллелепипеда,
основанием которого является ромб, равны 42 см2 и 56 см2. Най
дите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
463. Найдите площади диагональних сечений правильной шести
угольной пирамиды со стороной основания а и двугранным углом
при основании 45°.
464. Боковая грань и диагональное сечение правильной четырех
угольной пирамиды равновелики. Найдите двугранный угол при
основании пирамиды.
150

465 Сторона основания и боковое ребро правильной треугольной
пирамиды равны 15 см и 14 см соответственно. Найдите площадь
сечения, проходящего через середину медианы основания перпен
дикулярно этой медиане.
466. Две боковые грани пирамиды, основанием которой являет
ся квадрат, перпендикулярны плоскости основания. Площади
диагональных сечений пирамиды равны 48 см2 и 80 см2. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
467. Найдите площади двух сечений пирамиды, параллельных осно
ванию, если данные сечения делят боковое ребро на три равные
части, а разность их площадей составляет 12 см2.
46S. Площадь основания пирамиды равна 108 см2. Найдите
высоту пирамиды, если расстояние между двумя сечениями,
параллельными основанию, равно 8 см, а площади данных сече
ний — 12 см2 и 27 см2.
469. Площади оснований правильной треугольной усеченной пира
миды равны 9yl3 см2 и збТз см2. Расстояние от вершины мень
шего основания до противолежащей стороны большего основания
равно 7 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
—^ 470. Площади оснований и диагонального сечения правильной
четырехугольной усеченной пирамиды равны 16 см2, 324 см2
и 88 см2 соответственно. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
• правильные многоугольники (9 класс)
• многогранные углы (11 класс, § 7)
• симметрия в пространстве (11 класс, § 2)
-Задачи
471. Плоский угол при вершине правильной л-угольной пирамиды
равен 60°. Может ли значение п быть большим 5?
47? Найдите площадь равностороннего треугольника, в котором
разность радиусов описанной и вписанной окружностей состав
ляет СМ.
151

§ 11. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
11.1. Виды правильных многогранников
Как известно, в планиметрии для любого натурального чис
ла л, не меньшего 3, существует правильный /г-угольник — много
угольник, в котором все стороны равны и все углы равны. Про
странственными аналогами правильных многоугольников являются
правильные многогранники.
Определение ---------------------------------------------------------------------------------
Правильным многогранником называется выпуклый многогранник,
у которого все грани являются равными правильными многоугольниками
и в каждой вершине сходится одинаковое число ребер.
Примером правильного многогранника является куб: все его гра
ни — равные квадраты, а в каждой вершине сходится по три ребра.
Из данного определения следует, что все ребра правильного
многогранника равны. Можно также доказать, что все двугранные
углы правильного многогранника, содержащие две грани с общим
ребром, равны.
С древних времен человечеству были из
вестны пять видов правильных многогранников,
причем доказано, что других видов правильных
многогранников не существует. Прежде чем рас
смотреть каждый вид отдельно, обоснуем, что
гранями правильного многогранника могут
быть только треугольники, четырехуголь
ники или пятиугольники. Действительно, при
п > б угол правильного л-угольника не меньше
120° (убедитесь в этом самостоятельно). Так как
любой многогранный угол правильного много
гранника имеет не меньше трех граней, то при
условии п > 6 сумма плоских углов многогран
ного угла будет не меньше чем 120°-3 = 360° , что
противоречит доказанному свойству суммы пло
ских углов выпуклого многогранного угла. Зна
чит, вершина правильного многогранника может
быть вершиной либо трех, четырех или пяти
равносторонних треугольников, либо трех ква
дратов, либо трех правильных пятиугольников.
С О Ш )
Названия пра
вильных много
гранников имеют
древнегреческое
происхождение.
В переводе с грече
ского тетраэдр —
четырехгранник,
гексаэдр — шести
гранник,
октаэдр — восьми
гранник,
додекаэдр —
двенадцатигранник,
икосаэдр —
двадцатигранник.
152

§ 11. Правильные многогранники
Перейдем к описанию каждого из пяти ви
дов правильных многогранников.
Правильный тетраэдр — это многогранник,
поверхность которого состоит из четырех равно
сторонних треугольников (рис. 138). В каждой
вершине правильного тетраэдра сходится по три
ребра. Заметим, что правильный тетраэдр явля
ется правильной треугольной пирамидой, у ко
торой боковые ребра равны ребрам основания.
Куб (правильный гексаэдр) — шестигран
ник, поверхность которого состоит из шести
квадратов (рис. 139). В каждой вершине куба
сходится по три ребра. Напомним, что куб явля
ется правильной четырехугольной призмой, у ко
торой боковые ребра равны ребрам основания.
Правильный октаэдр — восьмигранник,
гранями которого являются равносторонние тре
угольники (рис. 140). В отличие от правильного
тетраэдра, в каждой вершине правильного окта
эдра сходится по четыре ребра.
Правильный додекаэдр — многогранник,
поверхность которого состоит из двенадцати пра
вильных пятиугольников (рис. 141). Каждая вер
шина правильного додекаэдра является вершиной
трех правильных пятиугольников, то есть из нее
выходит по три ребра.
Правильный икосаэдр — многогранник, по
верхность которого состоит из двадцати равносто
ронних треугольников (рис. 142). Каждая верши
на правильного икосаэдра является вершиной
пяти правильных треугольников, то есть в ней
сходится по пять ребер.
Рассмотрим элементы симметрии некото
рых правильных многогранников.
Правильный тетраэдр не имеет центра сим
метрии. Осью симметрии этого многогранника яв
ляется прямая, проходящая через середины двух
скрещивающихся ребер. Таким образом, правиль
Рис. 138. Правильный
тетраэдр
Рис. 139. Куб (правиль
ный гексаэдр)
октаэдр
додекаэдр
икосаэдр
153

Рис. 143. Элементы
симметрии правиль
ного тетраэдра
X
[ 1
/
J
/
/
ч 1
1
N
L _ J _ ^
1
т X
Рис. 144. Элементы
симметрии куба
ный тетраэдр имеет три оси симметрии (рис. 143, а).
Плоскость симметрии правильного тетраэдра про
ходит через его ребро перпендикулярно скрещива
ющемуся с ним ребру (рис. 143, б). Итак, правиль
ный тетраэдр имеет шесть плоскостей симметрии.
Куб имеет один центр симметрии — точку
пересечения его диагоналей. Осями симметрии
куба являются прямые, проходящие через центры
двух противолежащих граней (таких прямых три),
и прямые, проходящие через середины двух па
раллельных ребер, не принадлежащих одной гра
ни (таких прямых шесть). Итак, куб имеет девять
осей симметрии, каждая из которых проходит че
рез его центр симметрии (рис. 144, а).
Плоскостями симметрии куба являются три
плоскости, каждая из которых проходит через
середины четырех параллельных ребер, и шесть
плоскостей, проходящих через пару параллельных
ребер, не принадлежащих одной грани. Таким об
разом, куб имеет девять плоскостей симметрии
(рис. 144, б).
Остальные правильные многогранники имеют
центр симметрии и несколько осей и плоскостей
симметрии (попробуйте определить их число само
стоятельно).
Свойства правильных многогранников из
давна привлекают ученых, строителей, архитекто
ров, ювелиров. Великий древнегреческий философ
Платон связывал с правильными многогранни
ками четыре природные стихии: с правильным
тетраэдром — Огонь, с кубом — Землю, с пра
вильным октаэдром — Воздух, с правильным до
декаэдром — Воду. Он высказал гипотезу о том,
что существует еще одна, пятая стихия, связанная
с правильным икосаэдром, — Божественный эфир.
И хотя эта гипотеза была позднее опровергнута на
укой, исследования Платона по-прежнему вызыва
ют интерес как одна из первых попыток матема
тического моделирования в естествознании, а сами
154

правильные многогранники и сегодня называют
П л а т о н о в ы м и т е л а м и .
Совершенные формы правильных много
гранников не могли не отобразиться на полотнах
знаменитых художников. На рисунке 145 вы ви
дите гравюру М. Эшера «Звезды», среди элемен
тов которой есть правильные многогранники.
11.2*. Полуправильные многогранники.
Другие виды многогранников
Достаточно жесткие условия определения
правильных многогранников существенно огра
ничивают их число. Поэтому наряду с правиль
ными многогранниками внимание исследователей
привлекают также и те, которые удовлетворяют
условиям определения правильного многогранни
ка лишь частично. Это, например, полуправиль
ные многогранники — выпуклые многогран
ники, гранями которых являются правильные
многоугольники нескольких видов, а в каждой
вершине сходится одинаковое число ребер.
Среди известных вам видов многогран
ников к полуправильным относятся правиль
ные д-угольные призмы, боковые ребра кото
рых равны ребрам основания (за исключением
куба, являющегося правильным многогранни
ком). На рисунке 146 изображена правильная
шестиугольная призма, все боковые грани кото
рой — квадраты; такая призма является полу
правильным многогранником. К полуправиль
ным многогранникам относятся и так называемые
антипризмы, основаниями которых являются рав
ные правильные д-угольники, а боковыми граня
ми — равносторонние треугольники (рис. 147).
Кроме этих двух бесконечных серий —
призм и антипризм, существует еще 14 видов
полуправильных многогранников, 13 из которых
открыл и описал Архимед (их называют телами
Архимеда), а четырнадцатый был открыт только
в XX веке.
Рис. 145. М. Эшер.
Звезды
призма с равными
ребрами
Рис. 147. Антипризма
155

Охарактеризуем тела Архимеда, изображенные на рисунке 148.
Самые простые из них можно получить путем «срезания» углов пра
вильных многогранников плоскостями. Например, срезав углы пра
вильного тетраэдра так, чтобы каждая секущая плоскость отсекала
третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, получим
усеченный тетраэдр (рис. 148, а).
Усеченный
тетраэдр
а
Усеченный
октаэдр
б
Усеченный
икосаэдр
в
куб
г
Усеченный
додекаэдр
Д
Усеченный
икосододекаэдр
и
ж
Усеченный
кубооктаэдр
з
м
Рис. 148. Тела Архимеда
156

Аналогичным образом, срезав углы правильных октаэдра
и икосаэдра, получим усеченный октаэдр (рис. 148, б) и усечен
ный икосаэдр (рис. 148, в) — последний многоугольник напомнит
многим из вас футбольный мяч. Так же из куба получают усечен
ный куб (рис. 148, г)у а из правильного додекаэдра — усеченный
додекаэдр (рис. 148, д).
Если в кубе провести секущие плоскости через середины ребер,
выходящих из одной вершины, то в результате отсекания этими
плоскостями частей куба получим кубооктаэдр (рис. 148, е). Его
название объясняется тем, что он имеет шесть граней-квадратов
(как куб) и восемь граней — правильных треугольников (как пра
вильный октаэдр). Если указанным способом отсечь углы правиль
ного додекаэдра, получим икосододекаэдр (рис. 148, ж).
К последним двум многогранникам можно снова применить
операцию срезания углов. В результате получим еще два полупра-
вильных многогранника — усеченный кубооктаэдр (рис. 148, з)
и усеченный икосододекаэдр (рис. 148, и).
Другие четыре архимедовых тела — это ромбокубооктаэдр
(рис. 148, /с), ромбоикосододекаэдр (рис. 148, л), плосконосый куб
(рис. 148, м) и плосконосый додекаэдр (рис. 148, н)*.
И, наконец, единственный полуправильный многогранник, от
крытый не Архимедом,— это псевдоромбокубооктаэдр (рис. 149).
Его открыл в 1950 году немецкий математик Й. Миллер, а немного
позднее, независимо от него и друг от друга,—г советские ученые
В. Ашкинузе и JI. Есаулова.
Форму полуправильных многогранников ювелиры часто при
дают драгоценным камням при огранке (рис. 150).
Среди других видов многогранников большую эстетическую
и декоративную ценность представляют звездчатые многогран
ники — невыпуклые многогранники, гранями которых являются
Рис. 150. Драгоценные камни
Рис. 149. Псевдоромбокубооктаэдр в форме многогранников
* Для плосконосого куба и плосконосого додекаэдра приняты также на
звания: курносый куб и курносый додекаэдр.
157

Рис. 151. Правильные
звездчатые много
гранники
Рис. 152. Снежинки —
природные звездчатые
многогранники
Рис. 153. Тела Федорова
Рис. 154. Кристалличе
ская решетка графита
правильные многоугольники. Особенно выделя
ются правильные звездчатые многогранники —
так называемые тела Кеплера — Пуансо. Их
всего четыре (рис. 151). Такие многогранни
ки можно получить из правильных додекаэдра
и икосаэдра продолжением их ребер или граней.
Многочисленные формы звездчатых много
гранников созданы самой природой: например, та
кие формы имеют снежинки (рис. 152). С давних
пор ученые занимались исследованием их форм.
Сейчас известно несколько тысяч видов снежинок.
Большое значение в химии и кристаллогра
фии имеют другие природные многогранники —
параллелоэдры. Это выпуклые многогранники,
которыми можно заполнить пространство так,
чтобы они не входили друг в друга и не оставляли
между собой пустот. Пять типов параллелоэдров
открыл в 1881 году один из основателей кристал
лографии русский ученый Е. С. Федоров, в честь
которого эти многогранники были названы тела
ми Федорова (рис. 153). А знаменитая теорема
теории параллелоэдров носит имя выдающегося
украинского математика Георгия Феодосьевича
Вороного (1868-1908). Вообще кристаллография
как наука многим обязана геометрии, ведь физи
ческие свойства кристаллов зависят от структу
ры их кристаллических решеток, а те, в свою
очередь, состоят из многогранников (рис. 154).
473Г Всегда ли является правильным мно
гогранником:
а) правильная пирамида;
б) правильная призма?
Существует ли правильная пирамида
(призма), являющаяся правильным много
гранником?
158

4 /4 “ Объясните отличия между понятиями «те- А
траэдр», «правильная треугольная пирамида» / /
и «правильный тетраэдр». / /_ _
475 Два правильных тетраэдра имеют общее осно- 7
вание (рис. 155). Является ли составленный из /
них многогранник правильным? Ответ обоснуйте. /
476. Может ли сечение правильного октаэдра рис 155
быть девятиугольником? Ответ обоснуйте.
477. Сколько плоскостей симметрии правильного тетраэдра РАВС
содержат его высоту РО?
478 В одной из вершин правильного многогранника сходятся
четыре ребра. Имеет ли данный многогранник вершину, в которой
сходятся три ребра? Какой это многогранник?
479." На модели куба покажите, как проходят плоскости его сим
метрии. Разрезав по двум плоскостям симметрии модель куба, из
готовленную из пластилина, выясните, какие многогранники при
этом получаются.
480Г На рисунке 156 даны развертки правильного октаэдра
(см. рис. 140), правильного додекаэдра (см. рис. 141) и правильно
го икосаэдра (см. рис. 142). Перерисуйте их на плотную бумагу
в большем масштабе, вырежьте развертки и склейте из них модели
этих многогранников.
МОДЕЛИРУЕМ
а б
в
Рис. 156. Развертки правильных многогранников

Уровень А
481* Рассмотрите известные вам правильные многогранники и за
полните таблицу:
Вид правиль
ного много
гранника
Вид
грани
Сумма пло- j Число
I
ских углов | вершин i
при вершине В
I Число
|
граней
!
Число
ребер
Р
I
В+Г-Р
Правильный
тетраэдр ! I
!
Куб
I ;
: j
Правильный ;
октаэдр
I ; [
>Правильный
;додекаэдр j
i i
! j
!
;Правильный
икосаэдр
! I
! I I
i_ _ _ _L _ _J
Для каждого правильного многогранника вычислите значение
выражения В +Г-Р, где В — число вершин, Г — число граней,
Р — число ребер. Какие результаты вы получили?
482.* По данному ребру а найдите площадь полной поверхности:
а) правильного тетраэдра; в) правильного октаэдра;
б) куба; г) правильного икосаэдра.
—^ 483ГПлощадь полной поверхности правильного многогранника
равна 180/3 см2. Найдите площадь его грани, если данный много
гранник является:
а) правильным тетраэдром; в) правильным додекаэдром;
б) кубом; г) правильным икосаэдром.
484.Дан куб ABCDA1BlC1Dv Докажите, что пирамида D1ACB1 —
правильный тетраэдр.
1 6 0 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

485.Найдите:
а) площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью ВгАС,
если ребро куба равно 2 см;
б) площадь полной поверхности правильного октаэдра, если
высота его грани равна т.
—^ 486.Найдите:
а) площадь полной поверхности правильного тетраэдра с вы
сотой 6 см;
б) площадь поверхности куба с диагональю d.
487.Докажите, что отрезки, соединяющие центры граней правиль
ного тетраэдра, равны.
—^ 488.Докажите, что правильный октаэдр имеет шесть пар парал
лельных ребер.
Уровень Б
489.Найдите двугранные углы:
а) правильного тетраэдра; б) правильного октаэдра.
490.Докажите, что сечение правильного октаэдра, проведенное че
рез четыре его вершины, — квадрат.
491. Ребро правильного октаэдра равно 4 см. Найдите площадь се
чения октаэдра плоскостью его симметрии. Сколько решений име
ет задача?
—^ 492.Найдите площадь сечения правильного тетраэдра с ребром а
плоскостью его симметрии.
493.Площади поверхностей правильного тетраэдра и правильного
октаэдра равны. Докажите, что ребро тетраэдра равно диагонали
октаэдра.
—^ 494.Точка М — середина высоты РО правильного тетра
эдра РАВС. Докажите, что плоские углы при вершине М правиль
ной пирамиды МАВС прямые.
Уровень В
495.Докажите, что:
а) центры граней куба являются вершинами правильного
октаэдра;
б) центры граней правильного октаэдра являются вершинами
куба.
161

496. Докажите, что середины ребер правильного тетраэдра являют
ся вершинами правильного октаэдра.
497. Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являют
ся вершинами другого правильного тетраэдра. Найдите отношение
площадей поверхностей этих тетраэдров.
498.Постройте сечение правильного тетраэдра плоскостью, которая
перпендикулярна отрезку, соединяющему середины двух скрещи
вающихся ребер, и проходит через середину этого отрезка. Опре
делите вид сечения.
499.Докажите, что противолежащие грани правильного октаэдра
параллельны. Найдите расстояние между плоскостями этих гра
ней, если ребро правильного октаэдра равно а.
Теоретический материя л
• окружность и круг (7 класс)
• длина окружности и площадь круга (9 класс)
Задачи
500.Найдите площадь круга, в котором хорда длиной 12-у/з см стя
гивает дугу в 120°.
501. Из точки окружности проведены две хорды, угол между
которыми равен 30°. Найдите отношение длин этих хорд, если
одна из них проходит через центр окружности.
Тестовое задание для самопроверки т 2 .
1. Среди данных фигур выберите четырехугольную призму.
162

2. Отрезок РО —высота правильной четырехугольной пирами
ды PABCD. Какие из данных отрезков пересекаются в точке О?
а) РА и РВ; в)АС и BD;
б) АВ и CD; г)РА и BD.
3. Среди данных геометрических тел выберите то,которое не яв
ляется правильным многогранником.
а) куб;
б) правильный октаэдр;
в) правильный икосаэдр;
г) правильная четырехугольная пирамида.
4. Отрезок РМ — апофема правильной тре- р
угольной пирамиды РАВС с высотой РО (см. ри
сунок). Назовите линейный угол двугранного
угла при ребре АВ основания пирамиды.
а) РМО;
б) РАО;
в) РАМ;
г) РОМ.
5. Дана правильная треугольная призма АВСАХВХСХ. Среди
данных утверждений выберите неверное.
а) ВВХСХС — прямоугольник;
б) треугольник ABC равносторонний;
в) ААХВХС — параллелограмм;
г) ААХВС — пространственный четырехугольник.
6. Среди данных многоугольников выберите тот, который не мо
жет быть сечением пятиугольной призмы.
а) треугольник; в) пятиугольник;
б) четырехугольник; г) восьмиугольник.
7. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см,
а боковое ребро 5 см. Найдите площадь полной поверхности пира
миды.
а) 80 см2; в) 96 см2;
б) 84 см2; г) 48 см2.
8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 17 см. Най
дите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если стороны
его основания равны 8 см и 9 см.
а) 289 см2; в) 408 см2;
б) 204 см2; г) 216 см2.
163

9. Высота правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна I.
Найдите площадь сечения призмы плоскостью АВ1С, если плос
кость сечения образует с плоскостью основания угол а .
ч л/зг2cosа ч -Узг2cosа
a) ;— ; ®) — -— ;
sin а 3
fsi2cosa ч V3i2
б) —— ;— ; г)
3sin2a 3cosa
10. Основание треугольной пирамиды — прямоугольный треуголь
ник, а основание высоты пирамиды — середина гипотенузы этого
треугольника. Среди данных утверждений выберите неверное.
а) все боковые ребра пирамиды равны;
б) все боковые ребра пирамиды образуют равные углы с плос
костью основания пирамиды;
в) все боковые ребра пирамиды образуют равные углы с высотой
пирамиды;
г) все высоты боковых граней пирамиды равны.
11. В треугольной пирамиде РАВС с высотой РО боковая
грань РАС перпендикулярна плоскости основания, а две другие
грани наклонены к ней под углом a . Среди данных утверждений
выберите верное.
а) точка О — центр окружности, вписанной в треуголь
ник ABC;
б) Z. РАО = Z РСО = a ;
в) Z РВО = а ;
г) ВА:ВС = ОА:ОС.
12. Расстояние между серединами двух скрещивающихся ребер
правильного тетраэдра равно а. Найдите площадь полной поверх
ности этого тетраэдра.
а) 2 ^/За 2; в)
V ia2
2 5
2
б) 3-Уза 2 ; г) Зл^ а
164

COL
Итоги главы II
Итоговый обзор главы II
Двугранные и многогранные углы
Двугранным углом называется фигура, со
стоящая из двух полуплоскостей (граней двугран
ного угла) с общей граничной прямой (ребром
двугранного угла)
Угол АОВ — линейный угол двугранного
Iугла
Все линейные углы двугранного угла равны
| Градусной мерой двугранного угла называ-
Iется градусная мера его линейного угла
| Трехгранным углом называется фигура, со-
Iстоящая из трех плоских углов с общей верши-
jной и попарно общими сторонами, не лежащими
iв одной плоскости
Многогранники
вершина
Многогранником называется тело, поверх
ность которого состоит из конечного числа плос
ких многоугольников
Плоские многоугольники, из которых состо
ит поверхность многогранника, называются гра
нями многогранника. Стороны и вершины этих
многоугольников называются соответственно ре
брами и вершинами многогранника
Выпуклым многогранником называется
многогранник, все точки которого лежат по одну
сторону от плоскости каждой его грани или в са
мой этой плоскости
165

Призмы
i Призмой называется многогранник, кото-
}рый состоит из двух плоских многоугольников,
|лежащих в разных плоскостях и совмещаемых
|параллельным переносом, и всех отрезков, сое
диняющих соответствующие точки этих много-
jугольников
Многоугольники называют основаниями
1призмы. Все грани призмы, не являющиеся
!основаниями, называют боковыми гранями
призмы
• Основания призмы параллельны и равны
• Боковые грани призмы — параллелограммы
Боковыми ребрами призмы называются
отрезки, соединяющие соответствующие верши
ны оснований
j• Боковые ребра призмы параллельны и равны
I Высотой призмы называется перпендику-
jляр, проведенный из какой-нибудь точки одного
Iоснования к плоскости другого основания
Диагональю призмы называется отрезок,
|соединяющий две вершины, не принадлежащие!
;одной грани j
Площадью полной поверхности призмы j
jназывается сумма площадей всех ее граней, |
ja площадью боковой поверхности — сумма!
1площадей ее боковых граней__________________ j
Виды призм
Прямой призмой называется призма, боковые ре
бра которой перпендикулярны плоскостям оснований
Площадь боковой поверхности прямой призмы
равна произведению периметра ее основания на высоту:
бок
Наклонной призмой называется призма, которая
не является прямой
Площадь боковой поверхности наклонной призмы
равна произведению периметра перпендикулярного св
ечения на боковое ребро: S6oK=P± l
166

fw > l
Правильной призмой называется прямая призма,
основания которой — правильные многоугольники
Параллелепипедом называется призма, основание
которой — параллелограмм
• Противолежащие грани параллелепипеда параллель
ны и равны
• Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной
точке и точкой пересечения делятся пополам
• Точка пересечения диагоналей параллелепипе
да — центр его симметрии^ _____
Прямым параллелепипедом называется пря
мая призма, основанием которой является паралле
лограмм
Прямоугольным параллелепипедом называется
прямой параллелепипед, основанием которого являет
ся прямоугольник
Пространственная теорема Пифагора. Квадрат
диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов трех его измерений: d 2
Л2 . L2 . Л2-а +о +с
Кубом называется прямоугольный параллелепи
пед, у которого все ребра равны
Пирамиды
Пирамидой называется многогранник, который со
стоит из плоского многоугольника (основания пирами
ды), точки, не лежащей в плоскости основания (верши
ны пирамиды), и всех отрезков, соединяющих вершину
с точками основания
Тетраэдром называют треугольную пирамиду
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, про
веденный из вершины пирамиды к плоскости ее основания
Площадью боковой поверхности пирамиды на
зывается сумма площадей ее боковых граней, а пло
щадью полной поверхности — сумма площадей
основания и боковой поверхности: Sn0JlH=S6oK+SOCH

Виды пирамид
Две боко
вые грани
перпендику
лярны
основанию
Правильной пирамидой называется пирамида,
основанием которой является правильный многоуголь
ник, а основание высоты пирамиды совпадает с центром
этого многоугольника
Апофемой правильной пирамиды называется вы
сота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды
• Все боковые ребра правильной пирамиды равны
• Все боковые ребра правильной пирамиды равно-
наклонены к плоскости основания
9 Все боковые ребра правильной пирамиды обра
зуют равные углы с высотой пирамиды
• Все боковые грани правильной пирамиды — рав
ные равнобедренные треугольники
• Все двугранные углы при основании правильной
пирамиды равны
Площадь боковой поверхности правильной пира
миды равна половине произведения периметра ее осно
вания на апофему:
® б О К 2 ^ОСВ. 'I
Одна боковая
грань перпенди
кулярна
основанию
Боковые ребра
равны
РА — высота
пирамиды
РО — высота
пирамиды
Двугранные углы
при основании
равны
РО — высота пи
рамиды,
О — центр окруж
ности, описанной
около основания
РО — высота пира
миды,
О — центр окруж
ности, вписанной
в основание
168

Усеченная пирамида
Плоскость, параллельная плоскости основания
пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает
пирамиду, подобную данной, и многогранник, который
называют усеченной пирамидой
Основаниями усеченной пирамиды являются осно
вание данной пирамиды и подобный ему многоугольник,
j полученный в сечении
Высотой усеченной пирамиды называется перпен-
| дикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного
I основания к плоскости другого основания
Если секущая плоскость правильной пирамиды па
раллельна основанию, то в результате пересечения по
лучается правильная усеченная пирамида
Апофемой правильной усеченной пирамиды на
зывается высота боковой грани
• Основания — правильные многоугольники
• Отрезок, соединяющий центры оснований,— высота
• Боковые грани — равные равнобедренные трапеции
Площадь боковой поверхности правильной усечен
ной пирамиды равна произведению полусуммы периме-
Р + Р
j тров ее оснований на апофему: 8 ^ = —*-— —I
Правильные многогранники
тетраэдр
Куб
(правильный гексаэдр)
октаэдр
ф
Л /
r-irjr*.-
/
1 ✓ L. ■**
I С / '
I 'Ф* /
1 Ф у.....................1 ■ ...................................... - .......................
Правильный додекаэдр Правильный икосаэдр

& Контрольные вопросы к главе II
1 Дайте определение двугранного угла. Изобразите двугранный
угол и обоснуйте его линейный угол.
2. Нарисуйте трехгранный угол, опишите его элементы и связи
между ними.
3. Дайте определение многогранника.
4. Дайте определение призмы. Изобразите призму и опишите ее
элементы.
5. Дайте определение прямой призмы. Как вычислить площадь
ее боковой поверхности?
6. Дайте определение правильной призмы. Опишите ее свойства.
7. Сформулируйте и докажите теорему о площади боковой по
верхности наклонной призмы.
8. Дайте определение параллелепипеда. Какой параллелепипед
называется прямым; прямоугольным? Как вычислить длину диа
гонали прямоугольного параллелепипеда по его измерениям?
9. Дайте определение пирамиды. Изобразите пирамиду и опиши
те ее элементы.
10. Какая пирамида называется правильной? Как вычислить пло
щадь боковой поверхности правильной пирамиды?
11. Как отражаются свойства боковых ребер и граней пирамиды
на расположении ее высоты? Сформулируйте и докажите соответ
ствующие утверждения.
12. Дайте определение сечения геометрического тела. Изобразите
сечение куба плоскостью, пересекающей все его боковые ребра.
13. Какую форму имеет сечение пирамиды, параллельное плоско
сти основания? Дайте определение усеченной пирамиды. Изобрази
те усеченную пирамиду и опишите ее элементы.
14. Назовите пять видов правильных многогранников. Какие
элементы симметрии имеют правильный тетраэдр и куб?
Дополнительные задачи к главе II
502. Докажите, что диагональное сечение правильной пятиуголь
ной призмы параллельно одной из боковых граней.
503. В правильной четырехугольной призме АВСДА1В1С11)1 диа
гонали BXD и В-Dj перпендикулярны. Найдите угол между диаго
налями АХС и B^D.
170

504. Высота правильной шестиугольной призмы равна 4 см, а диа
гонали двух соседних боковых граней, проведенные из одной
вершины, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь боковой
поверхности призмы.
505. Основание прямой призмы — трапеция с основаниями 3 см
и 10 см, а три боковые грани призмы — квадраты. Найдите пло
щадь боковой поверхности призмы.
и 31 см, а его диагонали образуют с площадью основания углы
45° и 60°. Найдите высоту параллелепипеда.
507. Площадь основания правильной треугольной призмы равна S,
а площадь сечения, проведенного через сторону одного основания
и противолежащую вершину другого основания, равна Q. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
508. Площадь боковой поверхности правильной треугольной
пирамиды вдвое больше площади основания. Докажите, что сто
рона основания пирамиды вдвое больше ее высоты.
509. Какую наибольшую площадь полной поверхности может иметь
треугольная пирамида, пять ребер которой равны а?
510. Основание пирамиды — квадрат со стороной а. Одна боковая
грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две со
седние с ней боковые грани образуют с основанием острые углы а
и (3. Найдите высоту пирамиды.
511. Основание пирамиды — ромб со стороной а и углом 60°. Две
боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания,
а две другие наклонены к ней под углом 60°. Найдите высоту
пирамиды.
512. Основание пирамиды — треугольник со стороной с и при
лежащими к ней углами а и (3. Найдите площадь боковой по
верхности пирамиды, если все двугранные углы при основании
равны 60°.
513. Основание пирамиды — прямоугольник с углом между диа
гоналями у . Все боковые ребра пирамиды равны I и наклонены
к плоскости основания под углом а . Найдите площадь основания
пирамиды.
171

514. Отрезок длиной 27 см, соединяющий центры оснований пра
вильной усеченной четырехугольной пирамиды, делит ее диаго
наль на части длиной 20 см и 25 см. Найдите площади оснований
пирамиды.
515. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите площадь поверх
ности куба, вершинами которого являются центры граней данного
октаэдра.
516 (опорная). Если основание высоты пирамиды является
центром окружности, вписанной в ее основание, то в данной
пирамиде:
1) все двугранные углы при основании равны;
2) все высоты боковых граней, проведенные из вершины
пирамиды, равны;
3) все высоты боковых граней, проведенные из вершины
пирамиды, образуют равные углы с высотой пирамиды;
4) высота пирамиды образует равные углы с плоскостями
всех боковых граней.
Докажите.
517. Докажите, что существует трехгранный угол, все плоские
углы которого равны 60°.
518 (опорная). Дан трехгранный угол с плоскими углами а ,
Р, у и противолежащими им двугранными углами А, В, С со
ответственно. Тогда существует полярный трехгранний угол
с плоскими углами 180° - А , 180° - В , 180° -С и двугранными
углами 180°-а, 180°- Р, 180°-у . Докажите.
519 (опорная). Дан трехгранный угол с плоскими углами а ,
Р, у и противолежащими им двугранными углами А, В, С со
ответственно. Тогда:
а) cosy = cosacosP +sinasinPcosC (первая теорема косинусов
для трехгранного угла);
б) cosC = -cos.AcosB + sin.AsinBcosy (вторая теорема коси
нусов для трехгранного угла);
sina sinP siny . .
в) ------ -= -----—= ------ (теорема синусов для трехгранного
sin.4 sinВ sinC
угла).
Докажите.
172

520.Каждое ребро правильной шестиугольной призмы равно а.
Найдите площадь сечения, проведенного через середины двух
параллельных сторон основания под углом 45° к плоскости осно
вания. Изменится ли ответ, если боковое ребро пирамиды рав
но Ъ(Ь > а )?
521. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 9 см, 12 см
и 15 см. Вершина пирамиды удалена от каждой стороны основа
ния на 5 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через
высоту и наибольшее боковое ребро пирамиды.
522. Площадь боковой грани правильной четырехугольной пира
миды равна S. Найдите площадь сечения, проведенного через се
редину высоты пирамиды параллельно ее боковой грани.
523.Дан куб ABCDA1BlC1D1 и точки Р, Q, R на ребрах ААХ,
AjDj, А1В1 соответственно. Точки М, N, К лежат внутри много
угольников PQR, B1C1Z)1Qi?, CC^D^D соответственно. Постройте
сечение многогранника ABCDPQD-fi^-Ji (куба со «спилом») пло
скостью MNK.
524.Тетраэдр называется ортоцентрическим, если все его четыре
высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Дока
жите свойства, связанные с ортоцентрическим тетраэдром.
а) Дан тетраэдр РАВС, в котором А Р±В С . Тогда высоты,
проведенные из вершин Б и С (а также высоты, проведенные
из вершин А и Р), пересекаются в одной точке, причем эта
точка лежит на общем перпендикуляре к АР и ВС.
б) Дан тетраэдр РАВС, в котором высоты, проведенные из вер
шин Б и С, пересекаются в одной точке. Тогда APLBC.
в) Тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда,
когда две пары его противолежащих ребер перпендикулярны
(в этом случае третья пара противолежащих ребер также пер
пендикулярна).
г) Тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда,
когда суммы квадратов его противолежащих ребер равны.
173

525. Тетраэдр называется равногранным, если все его грани явля
ются равными треугольниками. Докажите, что тетраэдр является
равногранным тогда и только тогда, когда выполняется одно из
следующих условий:
а) суммы плоских углов при любых трех вершинах тетраэдра
равны 180°;
б) суммы плоских углов при любых двух вершинах тетраэдра
равны 180° и, кроме того, равны какие-нибудь два противоле
жащих ребра;
в) сумма плоских углов при любой вершине равна 180° и, кро
ме того, в тетраэдре есть две пары равных противолежащих
ребер.
526.Тетраэдр называется прямоугольным, если три плоских угла
при одной вершине прямые. Докажите следующие утверждения:
а) каждый прямоугольный тетраэдр является ортоцентри-
ческим;
б) длины отрезков, соединяющих середины противолежащих
ребер прямоугольного тетраэдра, равны;
в) сумма квадратов трех площадей граней прямоугольного
тетраэдра равна квадрату площади четвертой грани.
527. Дан правильный тетраэдр РАВС. Точки К, М и N — середины
ребер СР, АР и АВ соответственно, а точка О — центр треугольни
ка ABC. Найдите угол между прямыми МО и KN.
528.Каждое ребро призмы АВСА1В1С1 равно 2. Точки М и N —
середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Найдите расстояние от
точки М до прямой CN, если известно, что Z A lAC =60°, а пря
мые А±А и АВ перпендикулярны.
174

И сто р и ческая сп р ав к а
Многогранники как наиболее распростра
ненные геометрические тела интересовали ученых
издавна. В разные эпохи математики предлага
ли собственные определения призмы и пирами
ды. В результате возникло несколько подходов
к определению многогранника — в частности,
многогранник рассматривают либо как поверх
ность, либо как тело, ограниченное поверхно
стью. Каждый из этих подходов корректен с на
учной точки зрения и имеет своих сторонников.
Учение о правильных многогранниках из
ложено в последней книге знаменитых «Начал»
Евклида, но некоторые историки приписывали
первенство в исследовании правильных много
гранников Пифагору. Между тем, почти все из
вестные древнегреческие геометры так или иначе
затрагивали в своих работах свойства правильных
многогранников. В Средние века большой интерес
к этой теме проявили художники и архитекторы.
Выдающийся немецкий астроном и мате
матик Иоганн Кеплер (1571-1630) на основании
теории правильных многогранников построил
модель Солнечной системы (так называемый «ку
бок Кеплера»). Правда, в дальнейших исследо
ваниях астрономов гипотезы Кеплера не нашли
подтверждения. Но идея использования много
гранников для моделирования природных явле
ний дала толчок многим исследованиям в разных
областях науки.
Кубок Кеплера
(модель Солнечной
системы)
Иоганн Кеплер
Памятник Кеплеру
в Вайлъ-дер-Штадте
Кратер Кеплера
на Луне

0 Тематика сообщений и рефератов к главе II
1. Геометрические свойства трехгранных углов.
2. Геометрия тетраэдра.
3. Звездчатые многогранники. Тела Кеплера — Пуансо.
4. Моделирование правильных и полуправильных многогранников.
5. Многогранники в изобразительном искусстве.
6. Геометрические элементы в деревянной архитектуре Украины.
7. Георгий Вороной — выдающийся украинский геометр.
8. Биография И. Кеплера.
9. Теорема Эйлера В + Г - Р = 2 и ее применение.
Рекомендованные источники информации
2. Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. —
М.: Наука, 1989.
3. Бевз Г. П. Геометр1я трикутника i тетраедра.— К.: Вежа,
2009.
5. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 3 т. Т. 3. Треуголь
ники и тетраэдры. — М.: МЦНМО, 2009.
6. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Правильные, полуправильные
и звездчатые многогранники.— М.: МЦНМО, 2010.
7. Тадеев В. О. Геометр1я. Основи стереометри. Многогранники:
Двор1вневий шдручник для 10 класу загальноосвггтх навчальних
заклад1в / За ред. В. I. Михайловського.— Тернотль: Навчальна
книга — Богдан, 2003.
8. Шаскольская М. П. Кристаллы. — М.: Наука, 1985.
9. Сайт «Многогранники», http://geometry.elabugae.ru,/
10. Сайт «Модели многогранников», http://polygran.boom.ru/
11. М. Веннинджер. Модели многогранников. http://www.
wenninger.narod.ru/
12. Дерев’я т храми Украйга. http://www.derev.org.ua/
13. Иоганн Кеплер, http://space.rin.ru/
176

Глубокое изучение природы является дающим жизнь
источником математических открытий.
Жан Батист Фурье,
французский математик
Многочисленные геометрические объекты и даже
направления геометрических исследований ученым под
сказывает сама природа. Так, множество созданных ею
предметов имеют форму тел вращения.
В этой главе мы рассмотрим три классических тела
вращения — цилиндр, конус и шар. Все они являют
ся лишь абстрактными моделями реальных предметов,
окружающих нас в повседневной жизни, но общие иссле
довательские подходы к их изучению и полученные ре
зультаты могут быть использованы в архитектуре, искус
стве, технике.
Изучение тел вращения опирается на известные из
курса планиметрии свойства окружностей и многоуголь
ников. В процессе усвоения нового материала вам по
могут также модели рассматриваемых тел, которые вы
можете изготовить своими руками.

§ 12. Цилиндр
§ 12. ЦИЛИНДР
12Л. Поверхности и тела вращения
При вращении вокруг оси I на угол 360°
произвольная точка М, не принадлежащая пря
мой Z, описывает окружность (рис. 157, а). Центр
этой окружности О лежит на прямой Z, а сама
окружность — в плоскости, проходящей через
точку М и перпендикулярной прямой I.
Рассмотрим теперь линию тп, которая лежит
в одной плоскости с прямой I и не пересекает
ее. При вращении вокруг прямой I каждая точ
ка линии т описывает окружность с центром на
этой прямой. Линия т при таком вращении опи
сывает некоторую поверхность (рис. 157, б). Эту
поверхность называют поверхностью вращения.
Вернемся к рисунку 157, а и рассмотрим
вращение вокруг прямой I отрезка ОМ, .один из
концов которого принадлежит этой прямой. При
таком вращении получается круг с центром О и ра
диусом ОМ. Тогда при вращении вокруг прямой I
плоской фигуры OMMlOl (на рисунке 157, б она
закрашена) получается геометрическое тело, кото
рое называют телом вращения. Прямую I в этом
случае называют осью тела вращения, а совокуп
ность точек окружностей, описывающих точки
линии MMV — поверхностью тела вращения.
Очевидно, что любое сечение тела враще
ния плоскостью, перпендикулярной его оси, яв
ляется кругом. Рассмотрим сечение тела враще
ния плоскостью, проходящей через его ось.
Такое сечение называется осевым. На рисун
ке 158 шестиугольник ABCDEF — осевое сече
ние тела вращения. Данное тело получено вра
щением плоского пятиугольника АВСКМ вокруг
прямой, содержащей сторону* КМ.
Рис. 157. Линии,
поверхности и тела
вращения
Рис. 158. Осевое сечение
тела вращения
Далее вместо слов «плоский многоугольник вращается вокруг пря
мой, содержащей его сторону», мы будем говорить «многоугольник
вращается вокруг стороны».
179

Глава III. Тела вращения
Форму тел вращения имеют элементы архитектурных сооруже
ний, многие технические детали, различные виды посуды и т. д.
(рис. 159). Заметим, что дать определение любого тела вращения
можно двумя способами — через описание самого тела или через опи
сание способа его получения вращением плоской фигуры вокруг оси
(о видах определений речь пойдет в п. 12.3). В дальнейшем мы будем
придерживаться более традиционного, первого, способа определения,
но также указывать, как получить данную фигуру вращением.
а б в
Рис. 159. Предметы, имеющие форму тел вращения
ЖСЕЕЕВ
Цилиндр —
«килиндро» —
вращаю.
12.2. Цилиндр. Сечения цилиндра
О пределение -----------------------------------
Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называ
ется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих
в одной плоскости и совмещаемых параллельным пе
реносом, и всех отрезков, соединяющих соответствую
щие точки этих кругов.
Круги называются основаниями цилиндра,
а отрезки, соединяющие соответствующие точки
окружностей, ограничивающих основания,— об
разующими цилиндра.
Цилиндр называется прямым, если его об
разующие перпендикулярны плоскостям основа
ний. Так как в школьном курсе мы будем рас
сматривать только прямые круговые цилиндры,
в дальнейшем договоримся называть их просто
цилиндрами.
180

Радиусом цилиндра называется радиус его
основания.
Высотой цилиндра называется перпендику
ляр, проведенный из точки одного основания ци
линдра к плоскости другого основания. Очевид
но, что высота цилиндра равна его образующей.
На рисунке 160 изображен цилиндр с центрами
оснований О и Ov Отрезок ААг — образующая это
го цилиндра, а отрезки ОА и 0 1А 1 — его радиусы.
Рассмотрим некоторые свойства цилиндра.
Так как параллельный перенос является дви- рис iqq Цилиндр
жением, то основания цилиндра — равные круги,
лежащие в параллельных плоскостях.
Из свойств параллельного переноса следует и то, что образу
ющие цилиндра параллельны и равны.
Цилиндр является телом вращения, которое получается враще
нием прямоугольника вокруг его стороны. Например, на рисунке 160
изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника ОАА10 1
вокруг стороны OOj. Таким образом, прямая, проходящая через
центры оснований, является осью цилиндра. Заметим также, что
отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра, равен обра
зующей, а значит, и высоте цилиндра.
Цилиндрические формы часто встречаются в архитектуре, тех
нике, спорте и в быту (рис. 161).
а б в г
Рис. 161. Цилиндрические формы
Рассмотрим некоторые виды сечений цилиндра. Сечение ци
линдра плоскостью, параллельной плоскости основания, представ
ляет собой круг, равный основанию. Действительно, параллельный
перенос на вектор 0 20 переводит плоскость сечения а в плоскость
основания, а само сечение — в основание цилиндра. В частности,
плоскость, параллельная плоскости основания и проходящая через
I
181

'а
А
♦Оо
" -т ____
I-----
б
Рис. 162. Сечения
цилиндра
А
cJ^+ ~
Рис. 163
середину высоты цилиндра, является плоскостью
его симметрии (рис. 162, а).
Так как образующие цилиндра параллельны
друг другу и его оси, равны и перпендикулярны
основаниям, то сечение цилиндра плоскостью,
параллельной его оси, является прямоуголь
ником (рис. 162, б). Две стороны этого прямо
угольника — образующие цилиндра, а две дру
гие — параллельные хорды его оснований. Осевое
сечение цилиндра также является прямоугольни
ком (рис. 162, в), две стороны которого — обра
зующие цилиндра, а две другие — параллельные
диаметры его оснований.
В случае, когда высота цилиндра равна диа
метру его основания, осевое сечение цилиндра
является квадратом, а сам цилиндр называется
равносторонним.
Плоскость осевого сечения является плоско
стью симметрии цилиндра (обоснуйте этот факт
самостоятельно).
^ Плоскость, проходящая через обра
зующую цилиндра и перпендикулярная осевому
сечению, содержащему эту образующую, назы
вается касательной плоскостью к цилиндру.
Плоскость р на рисунке 162, в является каса
тельной к цилиндру.
Задача
Радиус цилиндра равен 5 см. Площадь се
чения, параллельного оси цилиндра и удален
ного от нее на 4 см, равна 42 см2. Найдите
высоту цилиндра.
Решение
Пусть дан цилиндр с осью ООг (рис. 163),
ААгВгВ сечение цилиндра плоскостью, па-
2
раллельной оси, SAAiBiB=42 см2. Так как
А гА±(АОВ) как образующая цилиндра, то по
признаку перпендикулярности плоскостей пло-
182

скость данного сечения перпендикулярна плоскости основания. I i
Кроме того, так как сечение цилиндра, параллельное оси, пред-
42
ставляет собой прямоугольник, то А А г = ---- .
АВ
Проведем в плоскости АОВ перпендикуляр ОС к прямой АВ.
Тогда ОС А(А хАВ) как перпендикуляр к прямой пересечения двух
перпендикулярных плоскостей. Следовательно, отрезок ОС — рас
стояние от оси цилиндра до плоскости сечения; по условию задачи
ОС= 4 см. Найдем высоту цилиндра.
Проведем радиусы цилиндра ОА и ОВ. Отрезок ОС — медиа
на и высота равнобедренного треугольника АОВ. Таким образом,
из треугольника АОС (ZC = 90°, ОА- 5 см, ОС= 4 см) по теореме
Пифагора АС = 3 см. Тогда АВ = 2АС, АВ = б см.
42
Следовательно, А А 1 = — = 7 (см).
6 Ответ: 7 см.
12.2* Виды определений
Как мы уже отмечали, в геометрии существуют разные под
ходы к определению основных фигур. Разные способы определения
понятий используются и в других науках. Опишем наиболее рас
пространенные виды определений.
Определение как логическая операция должно решать две за
дачи — выделять определяемый предмет и отличать его от всех
других. Поэтому большинство научных определений — это опреде
ления, данные через ближайший род и видовое отличие (в логике
такие определения называют классическими). Поясним особенности
классического определения на примере известного вам определения
куба: «Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого
все ребра равны». В этом определении сначала выделяется ближай
ший род многогранников, к которому относится куб, — прямоуголь
ные параллелепипеды, а затем описывается отличие куба от осталь
ных прямоугольных параллелепипедов, — равенство всех ребер.
К классическим относится и большинство определений в есте
ственных и гуманитарных науках. Например, в филологии архаиз
мом называется устарелое слово, вышедшее из общего употребления.
Для этого определения архаизма используется ближайший род («сло
во») и видовое отличие, заключающееся в устарелости данного слова.
183

Разновидностью классических являются так называемые гене-
тические определения, в которых видовое отличие описывает способ
образования определяемого предмета. Например, вместо определения
цилиндра, приведенного в п. 12.2, можно было бы дать равносильное
генетическое определение: «Цилиндром называется тело, которое по
лучается при вращении прямоугольника вокруг его стороны».
Кроме определений, явно указывающих на тождество двух
понятий — определяемого и того, которое определяет, существуют
и другие, неявные определения. Вспомним, например, определение
пирамиды: «Пирамидой называется многогранник, который состоит
из плоского многоугольника (основания пирамиды), точки, не лежа
щей в плоскости основания (вершины пирамиды), и всех отрезков,
соединяющих вершину с точками основания». В контексте этого
определения мы описали, кроме пирамиды, еще два понятия —
основание пирамиды и вершина пирамиды, иначе говоря, дали кон-
текстуальное определение этих двух понятий.
Другим видом неявных определений являются определения
путем показа. Представим, например, что нам нужно объяснить со
беседнику, какой цвет называется «индиго». Конечно, наиболее дей
ственный способ объяснения — показать предмет или изображение
определяемого цвета. Определения путем показа в логике называют
остенсивными. Так, в курсе геометрии мы использовали остенсив-
ные определения для отдельных видов полуправильных и звездча
тых многогранников (п. 11.2).
В науке, учебе, повседневной жизни в зависимости от кон
кретной ситуации целесообразными могут оказаться разные виды
определений. Но главная цель, с которой они используются, всегда
остается неизменной — определения должны способствовать процес
су общения между людьми, помогать им лучше понимать друг дру
га. Недаром знаменитый древнегреческий философ Сократ говорил,
что благодаря правильным определениям он продолжает дело своей
матери-акушерки, помогая рождению истины в споре.
В о п р о с ы м з а д а ч и
i H ОБСУЖДАЕМ ТЕОРИЮ
Какие из предметов, изображенных на рисунке 164,
имеют форму тел вращения?
184

а б в г
Рис. 164
53СЗГ Какое из тел, изображенных на рисунке 165, а -г, получается
при вращении прямоугольной трапеции вокруг меньшей боковой
стороны; вокруг меньшего основания?
I
i l l I
а б в г
Рис. 165
531Г Имеет ли цилиндр центр симметрии; ось симметрии? Сколь
ко плоскостей симметрии имеет цилиндр? Существуют ли плоско
сти симметрии цилиндра, не содержащие его ось?
532. Два сечения цилиндра, параллельные его оси, имеют площади
Sj и S29 причем Sx<S2. Какое из данных сечений находится ближе
к оси цилиндра? Какое из сечений цилиндра, перпендикулярных
плоскости основания, имеет наибольшую площадь?
533’ Заполните водой до половины стакан цилиндрической формы
и немного наклоните его. Изобразите линию, по которой поверх
ность воды касается стенок стакана. Является ли эта линия окруж
ностью?
—^ 534* Разрежьте конфету цилиндрической формы так, чтобы плос
кость сечения не была перпендикулярна оси цилиндра. Является
ли полученное сечение кругом?
,185

(§) РЕШАЕМ ЗАДАЧИ
Уровень А
535* Найдите площадь осевого сечения цилиндра с радиусом 2 см
и высотой 3 см.
536.* Радиус цилиндра равен R, высота Н , а площадь осевого сече
ния равна S. Найдите:
а) S, если Д = 4 м, Н = 3 м;
б) Н 9 если S = 36 см2, R = 2 см;
в) Д, если S = 24 см2, Н = 4 см.
537. Прямоугольник со сторонами 8 см и 3 см вращается вокруг
стороны. Найдите диагональ осевого сечения полученного цилин
дра. Сколько решений имеет задача?
538.Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и наклонена
к плоскости основания под углом 60°. Найдите радиус и высоту
цилиндра.
539. Осевое сечение цилиндра — квадрат с диагональю 8>/2 см.
Найдите площадь сечения, параллельного оси цилиндра, если диа
гональ этого сечения равна 10 см.
540.Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра рав
на 64 см2. Найдите площадь основания цилиндра.
541. Радиус цилиндра равен 10 см, а высота 9 см. Параллельно
оси цилиндра проведено сечение, диагональ которого равна 15 см.
Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
542.Диагональ сечения цилиндра, параллельного оси, наклонена
к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь сечения,
если радиус цилиндра равен 6 см, а хорда, по которой плоскость
сечения пересекает основание, стягивает дугу в 60°.
—^ 543.Высота цилиндра равна 24 см. Сечение цилиндра, параллель
ное оси и удаленное от нее на 5 см, имеет форму квадрата. Най
дите площадь основания цилиндра.
Уровень Б
544.Найдите площадь осевого сечения тела, полученного враще
нием:
а) равнобедренного треугольника с основанием а и углом 120°
вокруг боковой стороны;
б) правильного шестиугольника со стороной 4 см вокруг стороны.
Сделайте соответствующие рисунки.
186

545. Найдите площадь осевого сечения тела, полученного враще
нием:
а) параллелограмма со сторонами 7 см и 15 см и диагона
лью 20 см вокруг наибольшей стороны;
б) ромба со стороной а и углом 45° вокруг стороны.
Сделайте соответствующие рисунки.
546.Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости
основания под углом а . Найдите:
а) высоту и радиус цилиндра, если площадь сечения равна S;
б) площадь осевого сечения, если хорда основания, стягиваю
щая дугу в 60°, равна т.
—^ 547. Сечение цилиндра, параллельное оси и удаленное от нее на
расстояние, равное половине радиуса, имеет площадь S. Найдите
площадь осевого сечения цилиндра.
548.Хорду основания цилиндра видно из центра этого основания
под углом а . Отрезок, соединяющий центр другого основания с се
рединой данной хорды, равен d и образует с плоскостью основания
угол р. Найдите высоту и радиус цилиндра.
—^ 549.Площадь основания цилиндра относится к площади осево
го сечения как к :4 . Докажите, что данный цилиндр равносто
ронний.
550.Плоскость, параллельная оси цилиндра и удаленная от нее
на расстояние т9 отсекает от окружности основания дугу а .
Угол между диагональю полученного сечения и образующей ци
линдра равен Р. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
—^ 551. Сечение цилиндра, параллельное оси, отсекает от окружности
основания дугу а . Отрезок, соединяющий центр основания цилин
дра с точкой окружности другого основания, равен I и образует
с плоскостью основания угол р. Найдите площадь сечения.
552. Через образующую цилиндра проведены два взаимно
перпендикулярных сечения, площади которых равны 11 см2
и 60 см2. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
553. Через образующую цилиндра ААг проведено осевое сече
ния АА1В1В, площадь которого равна Q, и сечение АА1С1С, плос
кость которого образует с плоскостью данного осевого сечения
угол ф. Найдите площадь сечения ВВ1С1С.
187

—^ Б54. Сечение цилиндра, площадь которого равна S, параллельно
оси цилиндра и отсекает от окружности основания дугу ос. Най
дите площадь осевого сечения цилиндра.
Уровень В
555 Плоскость, образующая с плоскостями оснований цилиндра
углы 60°, пересекает основания цилиндра по хордам длинами 6 см
и 8 см. Радиус цилиндра равен 5 см. Найдите его высоту. Сколько
решений имеет задача?
556. Плоскость а пересекает плоскости оснований цилиндра по
прямым, которые касаются оснований цилиндра в точках А и В.
Найдите длину отрезка АВ, если угол между плоскостью а и плос
костью основания равен ф (ф^90°), а радиус цилиндра В.
557. Концы отрезка АВ, длина которого равна 25 см, лежат на
окружностях оснований цилиндра. Найдите:
а) расстояние от данного отрезка до оси цилиндра, если высота
цилиндра равна 15 см, а радиус 26 см;
б) площадь осевого сечения цилиндра, если радиус цилиндра ра
вен 20 см, а расстояние от оси до прямой АВ составляет 16 см.
558.Вершины квадрата лежат на окружностях оснований цилин
дра, радиус которого равен 10,5 см, а высота 3 см. Найдите сто
рону квадрата. Сколько решений имеет задача?
—^ 559.Сечение цилиндра, параллельное оси, пересекается с осевым
сечением, причем прямая пересечения делит осевое сечение на час
ти величиной 4 см2 и 36 см2, а сечение, параллельное оси, — на две
равновеликие части. Найдите площадь сечения, параллельного оси.
@ Повторение перед изучением § 13
• длина окружности и площадь круга (9 класс)
• решение прямоугольных треугольников (8 класс)
Задачи
560.Из точки А, не принадлежащей плоскости а , проведены к этой
плоскости перпендикуляр AD и две равные наклонные АВ и АС.
Найдите угол между плоскостями ABC и а , если АВ = АС = 26 см,
ВС = 48 см, AD = 5 см.
561. Из точки окружности проведены две взаимно перпенди
кулярные хорды. Найдите радиус окружности, если расстоя
ния от центра окружности до данных хорд равны 9 см и 12 см.
188

§ 13. Конус
§ 13. КОНУС
13.1. Конус и его элементы
О пределение ----------------------------------------------------------------------------
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит
из круга (основания конуса), точки, не принадлежащей плоскости этого
круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса
с точками основания.
Отрезки, соединяющие вершину конуса
с точками окружности основания, называются об
разующими конуса.
Конус называется прямым, если прямая,
проходящая через вершину конуса и центр
окружности основания, перпендикулярна пло
скости основания (рис. 166). Так как в школь
ном курсе будут рассматриваться только прямые
круговые конусы, в дальнейшем договоримся на
зывать их просто конусами.
На рисунке 166 изображен конус с верши
ной Р и центром основания О. Отрезок РА — об
разующая этого конуса, а отрезок ОА — радиус
его основания (или радиус конуса).
Высотой конуса называется перпендику
ляр, проведенный из вершины конуса к плоско
сти основания. Очевидно, что в конусе высота
соединяет вершину с центром основания. Напри
мер, на рисунке 166 высотой конуса является от
резок РО.
Все образующие конуса являются наклонными к плоскости
основания, которые проведены из вершины конуса и имеют рав
ные проекции. Отсюда следует, что все образующие конуса равны
ц составляют равные углы с плоскостью основания.
Конус является телом вращения, которое получается враще
нием прямоугольного треугольника вокруг его катета. Например,
на рисунке 166 изображен конус, полученный вращением прямо
угольного треугольника РОА вокруг катета РО. Таким образом, пря
мая, содержащая высоту конуса, является его осью.
/тррррр
Конус т- от
греческого «ко-
нос» — сосно
вая шишка.
р
Рис. 166. Конус
189

Формы конусов (иначе их называют коническими формами)
имеют многие тела, встречающиеся в природе и технике, в архи
тектуре и быту (рис. 167).
а
Рис. 168. Коническая
насыпь
б
Рис. 169. Сечения ко
нуса, проходящие через
его вершину
б в г
Рис. 167. Конические формы
В физике, строительстве, сельском хозяй
стве и горном деле используется понятие угла
естественного уклона сыпучего материала, то есть
угла наклона образующей к плоскости основания
конуса, который образуется свободной поверхно
стью насыпи (рис. 168). Этот угол связан с коэф
фициентом трения и зависит от состава, формы,
влажности и удельного веса материала (для пе
ска он составляет от 20° до 40°, для грунта — от
17° до 55°, для зерна — от 20° до 30°). По углу
естественного уклона определяют, в частности,
максимально допустимые углы скоса карьеров,
насыпей, штабелей и т. п,
13.2. Сечения конуса. Усеченйый конус
Рассмотрим некоторые виды сечений конуса.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через
его вершину, представляет собой равнобедренный
треугольник, боковые стороны которого — об
разующие данного конуса (рис. 169, а). В част
ности, равнобедренным треугольником является
осевое сечение конуса (рис. 169, б), причем вы
сотой этого треугольника служит высота конуса,
а основанием — диаметр основания конуса. Если
диаметр основания конуса равен образующей,
то осевое сечение конуса — равносторонний
190

§ 13. Конус
треугольник; такой конус называется равносторонним. Плоскость
осевого сечения является плоскостью симметрии конуса (обоснуйте
этот факт самостоятельно).
^ Плоскость, проходящая через образующую конуса и пер
пендикулярная плоскости осевого сечения, содержащего эту образу
ющую, называется касательной плоскостью к конусу. Плоскость (3
на рис. 169, б является касательной к конусу.
Отдельного рассмотрения заслуживает сечение конуса, парал
лельное плоскости основания.
Теорема (о сечении конуса, параллельном плоскости основания)
Сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания, яв
ляется кругом, центр которого лежит на оси конуса. Образующая и вы
сота конуса делятся плоскостью этого сечения на пропорциональные
части.
U Пусть плоскость а , параллельная
плоскости основания конуса, пересекает его
высоту РО в точке Ov а образующую РА —
в точке Аг (рис. 170).
Рассмотрим преобразование гомотетии
с центром Р, которое переводит плоскость
основания конуса в плоскость а . Оно совме
щает основание конуса с его сечением пло
скостью а , а точку О — с точкой Ov Зна
чит, сечение конуса плоскостью а является
кругом, центр которого лежит на оси конуса.
Рассмотрим теперь треугольники РОгАг и РОА. Они гомоте
тичны, поэтому подобны. Из подобия треугольников следует про-
РАХ РОх РАг РОх m
порциональность их сторон: --- = ----- , тоесть-----—= -----. Так как
РА РО А гА ОхО
РА — произвольная образующая конуса, то плоскость а делит об
разующую и высоту конуса на пропорциональные части. в
Следствие
Площадь сечения конуса, параллельного плоскости основания, и площадь
основания относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до пло
скостей сечения и основания.
Таким образом, плоскость, параллельная плоскости основания
конуса и пересекающая его образующие, отсекает конус, подобный
Р
Рис. 170. Сечение кону
са, параллельное пло
скости основания
191

А
Рис. 171. Усеченный
конус
А
Рис. 172. Осевое сечение
усеченного конуса
Р.1
!
М
А 1 Ог Вг
А Н О В
Рис. 173
192
данному, и тело, которое называется усеченным
конусом. Основание данного конуса и круг, полу
ченный в сечении, называются основаниями усе
ченного конуса, а перпендикуляр, проведенный
из точки одного основания к плоскости другого
основания,— высотой усеченного конуса. Оче
видно, что высотой усеченного конуса является,
в частности, отрезок, соединяющий центры его
оснований. Отрезки образующих данного конуса,
ограниченные плоскостями оснований усеченно
го конуса, называются образующими усеченного
конуса. Все образующие усеченного конуса равны
и наклонены к плоскости каждого из оснований
под равными углами (объясните почему).
На рисунке 171 изображен усеченный конус
с высотой ООг и образующей AAV
Усеченный конус является телом, которое
получается вращением прямоугольной трапеции
вокруг ее меньшей боковой стороны. Так, на ри
сунке 171 изображен усеченный конус, получен
ный вращением прямоугольной трапеции ООгА ±А
вокруг стороны OOv Таким образом, прямая,
проходящая через центры оснований усечен
ного конуса, является его осью.
Осевое сечение усеченного конуса представля
ет собой равнобедренную трапецию, основаниями
которой являются диаметры оснований усеченно
го конуса, а боковыми сторонами — его образу
ющие. Так, на рисунке 172 осевое сечение усечен
ного конуса — равнобедренная трапеция АА^В^В.
Задача
Радиусы оснований усеченного конуса
равны R и г (R > r), а образующая наклонена
к плоскости основания под углом 45°. Найдите
площадь осевого сечения.
Решение
Пусть равнобедренная трапеция АА^В^В
(рис. 173) — осевое сечение усеченного конуса

§ 13. Конус
с центрами оснований О и 0 1 (см. рис. 172). По условию зада
чи АО = R , А гОг = г , следовательно, АВ = 2В , А15 1= 2г. Так
как плоскость сечения содержит прямую OOv то по призна
ку перпендикулярности плоскостей плоскость сечения перпен
дикулярна плоскости основания. Проведем A XH L A B . Тогда
прямая АгН перпендикулярна плоскости основания конуса по
свойству перпендикуляра к прямой пересечения двух перпенди
кулярных плоскостей. Отрезок АН — проекция образующей АгА
на плоскость большего основания конуса. Тогда угол АгАН —
угол между образующей и плоскостью основания; по условию
задачи Z A 1Af7 = 45°. Так как ОгО и АгН — высоты трапеции,
то ОН = 0 1А 1 = г , АН = R - r . Из треугольника АгАН (Z H = 90°,
ZA = 45°, А Н - R - r ) имеем А гН = R - r . Итак, для площади осе
вого сечения АА1В1В получаем:
АЛВЛл-АВ 2r+2В / 9 9
S = 1 1 АН, S= (R -r) = R 2 - г 2.
2 2 v '
Ответ: R 2 - r 2.
Заметим, что в некоторых задачах об усеченных конусах целе
сообразно рассматривать полный конус, из которого получен данный
усеченный конус.
А ОБСУЖДАЕМ ТЕОРИЮ
562.* Всегда ли образующая конуса больше его высоты? Всег
да ли высота конуса больше радиуса его основания?
563.* Может ли осевое сечение конуса быть:
а) прямоугольным треугольником;
б) треугольником с углами 50°, 60° и 70°;
в) треугольником с углами 15°, 15° и 150°?
564. Сечение конуса, параллельное плоскости основания,
проходит через середину высоты. Во сколько раз площадь
сечения меньше площади основания конуса?
565. Является ли усеченный конус частным случаем конуса?
193

566.* Заполните водой до половины стакан конической формы и не
много наклоните его. Изобразите линию, по которой поверхность
воды касается стенок стакана. Является ли эта линия окруж
ностью?
—^ 567.* Насыпьте на стол немного сахара, муки, крупы так, чтобы
образовались конусообразные горки. Одинаковую ли форму они
имеют? Какой из взятых сыпучих материалов имеет наибольший
угол естественного уклона?
ф РЕШАЕМ ЗАДАЧИ
Уровень А
568Г Образующая конуса равна 25 см, а высота 24 см. Найдите
радиус основания конуса и площадь осевого сечения.
569! Прямоугольный треугольник с гипотенузой 18 см и острым
углом 30° вращается вокруг катета, прилежащего к данному углу.
Найдите высоту и радиус основания полученного при вращении
конуса. Определите вид его осевого сечения.
570.* Высота конуса равна Н. Найдите образующую и радиус осно
вания конуса, если образующая наклонена к плоскости основания
под углом а .
571. Куча песка высотой 1,5 м имеет форму конуса. Найдите пло
щадь той части строительной площадки, которую занимает куча
песка, если угол естественного уклона песка равен 25°.
572. Радиус основания конуса равен 4 см, а осевое сечения ко
нуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь сечения,
проведенного через две образующие, угол между которыми ра
вен 30°.
—^ 573. Радиус основания конуса равен R, а угол между образующей
и высотой 60°. Найдите площадь сечения, проведенного через две
взаимно перпендикулярные образующие.
574. Высота конуса равна 12 м, а радиус основания Vl45 м. Сече
ние, проведенное через вершину, пересекает основание конуса по
хорде, удаленной от центра основания на 9 м. Найдите площадь
сечения.
194

§ 13. Конус
575. Через вершину конуса с радиусом основания 4 см проведено
сечение площадью 2V2T см2. Данное сечение пересекает основа
ние конуса по хорде, которую видно из центра основания конуса
под углом 60°. Найдите высоту конуса.
576. Высота конуса равна 24 см. На расстоянии 8 см от вершины
конуса проведено сечение, параллельное плоскости основания.
Найдите:
а) длины отрезков, на которые данное сечение делит образую
щую, если длина образующей равна 30 см;
б) площадь основания конуса, если площадь данного сечения
равна 9л см2.
577. Радиус основания конуса равен 16 см. Параллельно плоскости
основания проведено сечение, площадь которого равна 16л см2.
Найдите высоту конуса, если данное сечение удалено от вершины
конуса на 5 см.
578. Прямоугольная трапеция ABCD
(рис. 174) вращается вокруг стороны АВ.
Определите длины радиусов оснований
и высоты полученного усеченного конуса.
579. Дан усеченный конус. Найдите:
а) образующую, если радиусы оснований конуса равны 2 м
и 5 м, а высота 4 м;
б) высоту, если радиусы оснований конуса равны 3 м и 5 м,
а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°.
580. Прямоугольная трапеция с боковыми сторонами 12 см и 13 см
и меньшим основанием 3 см вращается вокруг меньшей боковой
стороны. Найдите площадь осевого сечения полученного усеченно
го конуса.
581. Площади оснований усеченного конуса равны 9л см2и 49л см2.
Найдите площадь сечения, параллельного плоскостям оснований
и проходящего через середину высоты конуса.
Уровень Б
582. Площадь осевого сечения конуса равна 9>/з см2. Найдите ра
диус основания и высоту конуса, если его образующая наклонена
к плоскости основания под углом 30°.
19Б

—^ 583. Найдите площадь осевого сечения конуса, если радиус его осно
вания равен 15 см, а центр основания удален от образующей на 12 см.
584. Сечение, проведенное через вершину конуса, пересекает его
основание по хорде длиной 18 см, которую видно из центра основа
ния под углом 60°. Площадь данного сечения равна 162 см2. Найди
те угол наклона плоскости сечения к плоскости основания конуса.
585. Через вершину конуса проведено сечение, площадь которого
равна S. Плоскость сечения пересекает основание конуса по хорде,
которую видно из вершины конуса под углом р. Найдите площадь
осевого сечения конуса, если его образующая наклонена к плоско
сти основания под углом а .
—^ 586. Через вершину конуса, высота которого равна if, проведена
плоскость, наклоненная к плоскости основания под углом (р. По
лученное сечение пересекает основание конуса по хорде, стягива
ющей дугу а ( а <180°). Найдите площадь сечения.
587. Высота конуса равна 18 см, а площадь его основания 63я см2.
Найдите длины отрезков, на которые делят высоту два сечения,
параллельные плоскостям оснований, если площади этих сечений
составляют 7л см2 и 28я см2.
—^ 588. Радиус основания конуса равен 12 см. Найдите площади сече
ний, которые перпендикулярны высоте конуса и делят ее на три
равные части.
589.Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 2:5.
Найдите площадь осевого сечения конуса, если его образующая
равна 6yf2 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°.
590. Площади оснований усеченного конуса равны 49я см2
и 625я см2. Найдите площадь осевого сечения конуса, если из
вестно, что это сечение можно вписать в окружность большего
основания.
—^ 591. Найдите образующую усеченного конуса, радиусы оснований
которого равны 4 см и 8 см, а диагональ осевого сечения образует
с плоскостью основания угол 30°.
Уровень В
592. Радиус основания конуса равен 12 см, а высота 5 см. Какую
наибольшую площадь может иметь сечение, проходящее через вер
шину конуса?
196

§ 13. Конус
—^ 593. Через середину высоты конуса проведена прямая, параллель
ная его образующей L Найдите длину отрезка этой прямой, заклю
ченного внутри конуса.
594.Через вершину конуса проведена секущая плоскость под
углом а к плоскости основания. Она пересекает основание кону
са по хорде, стягивающей дугу Р (Р<180°). Точка высоты ко
нуса, удаленная от данной хорды на расстояние d, равноудалена
от плоскости сечения и плоскости основания. Найдите площадь
сечения.
595. Плоскость сечения конуса, прохбдящая через его вершину,
удалена от середины высоты на 6 см. Найдите площадь сечения,
если радиус основания конуса равен 25 см, а высота 20 см.
596. Высота конуса равна 24 см, а образующая — 26 см. Прямая,
пересекающая конус и параллельная плоскости его основания,
удалена от высоты конуса на 3 см, а от плоскости основания —
на 12 см. Найдите длину отрезка данной прямой, заключенного
внутри конуса.
597•Образующая усеченного конуса равна сумме радиусов его
оснований, а высота — их разности. Найдите отношение радиу
сов оснований конуса.
• окружность; касательная к окружности (7 класс)
• уравнение окружности (9 класс)
Задачи
595. На плоскости прямая АВ касается окружности радиуса 12 см
в точке С. Найдите длину отрезка АВ, если точки А и В удалены
от центра окружности на 15 см и 20 см соответственно.
599. Отрезок АО — перпендикуляр к плоскости окружности с цен
тром О и радиусом 6 см. Найдите расстояние от точки А до:
а) касательной к данной окружности, если АО = 8 см;
б) хорды окружности, стягивающей дугу в 60°, если
АО = 5 см.
197

б
Рис. 175. Шар
I < з ш в
Сфера -
«сфайра» -
круглое тело.
§ 14. ШАР И СФЕРА
14.1. Шар и его сечения
Как известно, множество всех точек плоско
сти, удаленных от данной точки на расстояние,
не превышающее заданное, называется кругом.
В пространстве все точки, обладающие аналогич
ным свойством, образуют шар (рис. 175, а).
Определение ---------------------------------------------------
Шаром называется множество всех точек простран
ства, удаленных от данной точки на расстояние, не
превышающее заданное.
Данную точку называют центром шара,
а заданное расстояние — радиусом шара.
Сферой называется поверхность шара.
Таким образом, сфера состоит из всех точек
пространства, удаленных от центра шара (он яв
ляется также и центром сферы) на заданное рас
стояние R (радиус сферы). Радиусом шара (сферы)
называется также любой отрезок, соединяющий
центр с точкой сферы. На рисунке 175, а таким
является отрезок ОА.
Отрезок, соединяющий две точки сферы,
называется хордой сферы. Хорда, проходящая
через центр сферы, называется диаметром
шара (сферы). Концы диаметра называются
диаметрально противоположными точками.
На рисунке 175, а точки А и В — диаметраль
но противоположные точки сферы, АВ — диа
метр шара (сферы).
Шар является телом вращения, которое по
лучается вращением полукруга вокруг его диа
метра (рис. 175, б).
Рассматривая взаимное расположение шара
и плоскости в пространстве, целесообразно про
вести аналогию с расположением круга и прямой
198

§ 14. Шар и сфера
на плоскости (рис. 176, а-в). Три случая распо
ложения шара относительно плоскости определя
ются соотношением между радиусом шара и рас
стоянием от его центра до плоскости:
1) если расстояние от центра шара до пло
скости больше радиуса шара, то шар и плоскость
не имеют общих точек (рис. 177, а): действитель
но, если ОА ± а , то для любой точки М плоско
сти a O M >O A>Ry то есть плоскость а не со
держит точек шара;
2) если расстояние от центра шара до плоско
сти равно радиусу шара, то плоскость имеет с ша
ром (и сферой, которая его ограничивает) един
ственную общую точку (рис. 177, б): в этом случае
для произвольной точки М плоскости a , которая
не совпадает с А, ОМ > ОА = R , то есть плоскость a
имеет с шаром единственную общую точку А (более
подробно этот случай будет рассмотрен в п. 14.2);
3) если расстояние от центра шара до пло
скости меньше радиуса шара, то шар и плоскость
пересекаются по кругу (рис. 177, в).
Рассмотрим последний случай подробно.
Теорем а (о сечении шара)
Если расстояние от центра шара до плоскости
меньше радиуса шара, то сечение шара данной
плоскостью является кругом. Центр этого кру
га находится в основании перпендикуляра, про
веденного из центра шара к плоскости сечения.
Рис. 176. Взаимное рас
положение круга и пря
мой на плоскости
Рис. 177. Взаимное расположение шара и плоскости в пространстве
---------------------------------------- 199

ству теоремы о сечении
шара
Рис. 179. Диаметральная
плоскость и большой
круг
б
Рис. 180. Применение
сечений шара в гео
графии
□ Пусть а — секущая плоскость шара
с центром О и радиусом R, ОА-La (рис. 178).
Рассмотрим произвольную точку М шара, при
надлежащую плоскости а . Из прямоугольного
треугольника ОАМ (Z A = 90°) по теореме Пи
фагора ОМ 2 = ОА 2 + AM 2. Так как ОМ < R , то
A M < I r 2 - ОА2 , то есть расстояние от точки А
до точки М не превышает r = V-R2-О А 2 . Это
значит, что любая точка М сечения принадле
жит кругу с центром А и радиусом г, и наоборот:
любая точка М этого круга принадлежит шару
(обоснуйте данный факт самостоятельно). Следо
вательно, сечение шара плоскостью а является
кругом с центром в точке А .
Следствие
Если расстояние от центра сферы до плоскости мень
ше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью
является окружностью. Центр этой окружности нахо
дится в основании перпендикуляра, проведенного из
центра сферы к плоскости сечения.
Заметим, что в случае, когда секущая пло
скость проходит через центр шара (такая пло
скость называется диаметральной), центры
шара и сечения совпадают, а радиус сечения
равен радиусу шара (рис. 179).
Любая диаметральная плоскость шара яв
ляется его плоскостью симметрии (докажите это
самостоятельно).
Сечение шара диаметральной плоскостью
называется большим кругом, а окружность это
го сечения — большой окружностью.
На географическом глобусе линия эква
тора представляет собой большую окружность
(рис. 180, а). Географические параллели — это
линии сечений поверхности Земли плоскостями,
параллельными плоскости экватора, а градусы
2 0 0

северной ц южной широты указывают угол между соответствующи
ми радиусами земного шара — например, город Харьков находится
на 50° северной широты (рис. 180, б).
Задача
Через конец радиуса шара проведена плоскость под углом 45°
к данному радиусу. Найдите площадь получившегося сечения,
если радиус шара равен 6 см.
Решение
Пусть круг с центром Ох — сечение шара
с центром О и радиусом ОА = 6 см (рис. 181). Тог
да по теореме о сечении шара 0 0 1 — перпендику
ляр к плоскости сечения. Значит, ОхА — проекция
радиуса ОА на плоскость сечения, Z ОАОх — угол
между ОА и плоскостью сечения; по условию за
дачи Z 0 A 0 1= 45°. Найдем площадь сечения.
Из треугольника OAOt (Z O 1=90°, ZA = 45°, ОА = 6 см)
0 1А = 0Асos45°, 0 1A = 6 - ^ - = 3f2 (см).
2
Искомая площадь S равна кг 2 , где г = 0 1А . Следовательно,
S = Jt-(3>/2)2=187i (см2).
Ответ: 18л см2.
14.2. Касательная плоскость к сфере
Рассмотрим более подробно случай, когда шар
и плоскость имеют единственную общую точку.
Определение ---------------------------------------------------
Касательной плоскостью к сфере (шару) называется
плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку.
Общая точка касательной плоскости и сферы
называется точкой касания. На рисунке 182 пло
скость а касается сферы (шара) с центром О в точ
ке А.
Определим взаимное расположение касатель
ной плоскости и радиуса сферы, проведенного в точ
ку касания.
Рис. 182. Касатель
ная плоскость
к сфере
201

ству свойства касатель
ной плоскости
Рис. 184. Касательная
прямая к сфере
202 ------------------------
Теорема (свойство касательной плоскости)
Касательная плоскость к сфере перпендикулярна
радиусу сферы, проведенному в точку касания.
□ Пусть плоскость а касается сферы с цен
тром О в точке А (рис. 183). Докажем методом
от противного, что ОА.La.
Если это не так, то отрезок ОА является на
клонной к плоскости а . Проведем перпендику
ляр ОВ к плоскости а . Очевидно, что ОВ<ОА,
то есть расстояние от центра сферы до точки В
меньше радиуса сферы. Отсюда следует, что сфе
ра и плоскость а пересекаются по окружности.
Но это противоречит тому, что плоскость а ка
сательная, то есть сфера и плоскость а имеют
единственную общую точку. Значит, наше пред
положение неверно, и ОА-La. а
Имеет место также обратное утверждение
(признак касательной плоскости): если радиус
сферы является перпендикуляром, проведенным
из центра сферы к плоскости, проходящей через
другой конец радиуса, то данная плоскость явля
ется касательной к сфере.
Докажите это утверждение самостоятельно.
Определение -----------------------------------------
Касательной прямой к сфере (шару) называется
прямая, принадлежащая касательной плоскости к дан
ной сфере (шару) и проходящая через точку касания.
Из только что доказанного свойства ка
сательной плоскости следует, что касательная
прямая перпендикулярна радиусу сферы (шара),
проведенному в точку касания. На рисунке 184
плоскость a — касательная плоскость к сфере
с центром О, прямая а — касательная прямая,
которая касается данной сферы в точке А, ОА L a.
Очевидно, что все прямые плоскости а ,
проходящие через точку А, являются касатель
ными прямыми к сфере. Более того, прямая,
проходящая через точку сферы перпендикулярно

радиусу, проведенному в эту точку, является касательной прямой
к сфере (обоснуйте этот факт самостоятельно).
Задача
Шар касается всех сторон правильного треугольника. Найди
те радиус шара, если сторона треугольника равна 8-Тз см, а рас
стояние от центра шара до плоскости треугольника 3 см.
Решение
Пусть стороны треугольника ABC каса
ются шара с центром О в точках К, М и N
(рис. 185). Проведем перпендикуляр 0 0 хк пло
скости ABC. Так как АВ, ВС и АС — касатель
ные к шару, то OK LA B , OM LBC, ON LAC.
Отрезки ОхК, ОхМ и OxN — проекции наклон
ных ОК, ОМ и ON на плоскость ABC. По
теореме о трех перпендикулярах ОхК 1 А В ,
OxM LB C , OxN L АС. Так как ОК = ОМ = ON
как радиусы шара, точка О равноудалена от
сторон треугольника ABC.
Следодательно, точка Ох — центр окружности, вписанной
в треугольник ABC, а отрезки ОхК, ОхМ, OxN — радиусы этой
окружности. По формуле радиуса вписанной окружности для пра-
Qyjs
вильного треугольника ОхК = ОхМ = OxN - —т=-= 4 (см). Из прямо
г о
угольного треугольника ООхК (Z O x= 90°, ООх= 3 см, ОхК = 4 см)
по теореме Пифагора ОК = 5 см.
Ответ: 5 см.
Рис. 185
П
)
14.3*. Геометрические тела и их поверхности
Понятие «геометрическое тело* — одно из центральных по
нятий стереометрии. Но для того чтобы дать строгое определение
геометрического тела, нужно ввести несколько вспомогательных по
нятий.
Итак, точка называется граничной точкой фигуры, если сре
ди сколь угодно близких к ней точек есть точки, как принадлежа
щие данной фигуре, так и не принадлежащие ей. Пусть, например,
203

Рис. 186. Граничные
и внутренние точки
фигуры
в
Рис. 187. К определению
замкнутой области
на рисунке 186 точка А — граничная точка
фигуры F. Это значит, что любой шар с центром А
содержит как точки фигуры F, так и точки, не
принадлежащие данной фигуре. Множество всех
граничных точек образует границу фигуры.
Точка фигуры, не принадлежащая ее гра
нице, называется внутренней точкой фигуры.
Каждая внутренняя точка фигуры характери
зуется тем, что все точки пространства, рас
положенные достаточно близко к ней, также
принадлежат фигуре. Пусть на рисунке 186
точка В — внутренняя точка фигуры F. Тогда
существует шар с центром В, все точки которого
принадлежат фигуре F.
Фигура называется ограниченной, если ее
можно поместить внутрь какой-нибудь сферы.
Очевидно, что отрезок, куб, тетраэдр — ограни
ченные фигуры, а прямая, плоскость, двугран
ный угол — неограниченные.
И, наконец, фигура называется областью,
если все ее точки внутренние и любые две из них
можно соединить непрерывной линией, полно
стью принадлежащей этой фигуре. Область вме
сте с ее границей называется замкнутой обла
стью. Так, тетраэдр на рис. 187, а — замкнутая
область. Однако фигура на рисунке 187, б, со
стоящая из двух тетрэдров с общей вершиной,
не является замкнутой областью, так как любая
линия, соединяющая внутренние точки разных
тетраэдров, проходит через их общую вершину,
которая не является внутренней точкой фигу
ры. Не является замкнутой областью и фигура
на рисунке 187, в, представляющая собой конус
со «шпилем» в виде отрезка, так как все точки
«шпиля», кроме одной, не являются граничны
ми точками области, ограниченной данным ко
нусом (объясните почему).
Итак, перейдем к определению геометриче
ского тела и его поверхности.
204

Определени е ------------------------------ —--------------------------------------------
Геометрическим телом (или просто телом) называется ограниченная
замкнутная область в пространстве.
Поверхностью геометрического тела называется его граница.
Заметим, что понятия внутренней и граничной точек и обла
сти можно ввести и на плоскости, если в определениях, приведен
ных в этом пункте выше, вместо шара и сферы рассматривать круг
и окружность соответственно. Например, плоский многоугольник —
это ограниченная замкнутая область, границей которой является
многоугольник.
р о с ы и з а д а ч и
б00Г Диаметр шара равен 18 см. Принадлежит ли данному шару
точка, удаленная от его центра:
а) на 11 см; б) на 9 см; в) на 6 см?
Какая из данных точек принадлежит сфере, ограничивающей дан
ный шар?
601Г Дан шар с центром в точке О и точка пространства А. Опи
шите расположение точки А относительно данного шара, если дли
на отрезка ОА:
а) больше радиуса шара;
б) равна половине диаметра шара;
в) меньше радиуса шара.
602Г Точки А и В принадлежат сфере с центром О и радиусом 6 см.
Являются ли данные точки диаметрально противоположными, если:
а) АВ = 3 см; в) АВ = 12 см;
б) АВ = 6 см; г) АО = ВО?
603 Плоскость а и сфера с центром О имеют общую точку А .
Имеют ли они другие общие точки, если:
а) O ALа;
б) отрезок ОА является наклонной к плоскости а?
604. Радиусы трех сечений шара равны г19 г2 и г3. Одно из данных
сечений является большим кругом. Чему равен радиус шара, если
Г1 < Г 3 < Г 2 ?
205

МОДЕЛИРУЕМ
605Г Диаметр шара можно измерить с помощью штангенциркуля
(рис. 188). Объясните принцип такого измерения.
так, чтобы плоскость сечения не проходила через центр шара.
Какой фигурой является сечение? Как провести перпендикуляр
к плоскости сечения, проходящего через центр шара?
Уровень А
607.* Точки А и В принадлежат сфере с центром О, точка С — се
редина отрезка АВ. Найдите:
а) расстояние от точки О до прямой АВ, если ОА = 17 см,
АВ - 16 см;
б) радиус сферы, если АВ = 12 см, ОС = 8 см;
в) длину отрезка АВ, если диаметр шара 30 см, ОС = 12 см.
608.* Точки А л В лежат на сфере с центром О. Найдите радиус
сферы, если АВ = 8 [з см, Z АОВ = 120°.
609.* На расстоянии d от центра шара радиуса R проведено сечение
площадью S. Найдите:
а) S, если d = 12 см, К = 13 см;
б) R, если d = 40 см, а длина окружности сечения равна
18я см;
в) d, если S = 16л см2, а диаметр шара равен 10 см.
Рис. 188. Измерение шара штангенциркулем
606. Изготовьте из пластилина модель шара. Разрежьте модель
Ш РЕШАЕМ ЗАДАЧИ
206

610. Каждый из 70 шаров на городской новогодней елке решили
украсить гирляндой по большой окружности. Сколько метров
гирлянд для этого понадобится, если диаметр каждого шара ра
вен 50 см?
611. Длина сечения сферы равна 6л см. Найдите расстояние от
центра сферы до плоскости сечения, если радиус, проведенный
в точку сечения, наклонен к его плоскости под углом 60°.
612. Если два сечения шара равноудалены от его центра, то они
равновелики. Докажите. Верно ли обратное утверждение?
613 (опорная). Если из точки пространства к сфере проведены
две касательные прямые, то расстояния от данной точки до
точек касания равны. Докажите.
614. Все стороны квадрата, площадь которого равна 100 см2, каса
ются сферы радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы
до плоскости квадрата.
—^ 615. Все стороны правильного треугольника касаются сферы ради
уса 4 см. Найдите площадь треугольника, если его плоскость уда
лена от центра сферы на 2 см.
616. Все вершины прямоугольного треугольника с гипотенузой
20 см лежат на сфере, радиус которой равен 26 см. Найдите рас
стояние от центра сферы до плоскости треугольника.
—^ 617. Найдите радиус сферы, содержащей все вершины прямо
угольника со сторонами 18 см и 24 см, если центр сферы удален
от плоскости'прямоугольника на 8 см.
Урн;;.-;!!. Б
518. Точки А и В лежат на поверхности шара радиуса 6 см. Найди
те расстояние между точками А я В, если расстояние между ними
по поверхности шара равно 2л см.
619, Точка А принадлежит шару радиуса 5 см и удалена от центра
шара на 3 см. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от
точки А до точек сферы, ограничивающей данный шар.
620. Точки А я В — диаметрально противоположные точки сферы
радиуса 20 см, точка М принадлежит данной сфере. Найдите рас
стояния МА я MB, если МА = 0,75МВ.
207

621. Через точку М, принадлежащую диаметру шара АВ, проведе
но сечение данного шара, перпендикулярное АВ. Найдите:
а) площадь сечения, если AM = 8 см, MB = 2 см;
б) радиус шара, если AM :MB = 3:1, а площадь сечения равна
Зл см2.
622. Площадь большого круга шара равна S. Найдите расстояние от
3 0
центра шара до плоскости сечения, площадь которого равна —S.
v 4
—т 623. Радиус шара равен В. Через точку его поверхности проведены
две плоскости, одна из которых является касательной к шару,
а другая наклонена к ней под углом 30°. Найдите площадь сече
ния шара второй плоскостью.
624. Город Харьков находится на 50° северной широты (см.
рис. 180, б). Считая этот город материальной точкой, вычислите
путь, который он совершает в течение суток вследствие вращения
Земли вокруг своей оси (В3* 6000 км).
625. Определите географическую широту населенного пункта, где
вы живете, и вычислите путь, который он совершает в течение часа
вследствие вращения Земли вокруг своей оси (В3« 6000 км).
626.К сфере с центром О проведена касательная плоскость а. Че
рез точку А данной плоскости проведена прямая АО, пересекаю
щая данную сферу в точках С и D. Найдите расстояние от точки А
до точки касания, если АС = 1 см, АО = 49 см.
—^ 627. Точка касательной плоскости удалена от точки касания этой
плоскости со сферой на 12 см. Найдите расстояние от данной точ
ки до центра сферы, если радиус сферы равен 9 см.
628. Сфера касается граней двугранного угла, который равен 60°.
Найдите радиус сферы, если расстояние от ее центра до ребра дву
гранного угла равно а.
—^ 629. Сфера касается граней двугранного угла. Найдите его градус
ную меру, если радиус сферы равен 8 см, а расстояние между точ
ками касания 8V2 СМ.
630. Все вершины плоского многоугольника принадлежат сфере ра
диуса 25 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости
многоугольника, если данный многоугольник является:
а) равнобедренным треугольником с основанием 24 см и углом
при основании 75°;
б) равнобедренной трапецией с боковой стороной 18 см и диа
гональю 24 см, перпендикулярной боковой стороне.
208

631. Все стороны плоского многоугольника касаются сферы, центр
которой удален от плоскости многоугольника на 3 см. Найдите ра
диус сферы, если данный многоугольник является:
а) треугольником со сторонами 10 см, 35 см и 39 см;
б) равнобедренной трапецией с основаниями 4 см и 16 см.
Уровень В
632.Радиус шара равен 18 см. Два взаимно перпендикулярных се
чения шара, площади которых относятся как 4:9, имеют общую
хорду длиной 2 см. Найдите радиусы этих сечений.
633. В шаре проведены два параллельных сечения, площадь мень
шего из которых равна 81л см2. Диаметр шара, проведенный через
центры данных сечений, делится ими в отношении 2:7:1. Найди
те длину диаметра.
634 (опорная). Линией пересечения двух сфер является окруж
ность. Центр этой окружности принадлежит прямой, про
ходящей через центры данных сфер, а плоскость окружности
перпендикулярна этой прямой. Докажите.
—^ 635.Радиусы двух сфер равны 10 см и 17 см, расстояние между их
центрами 21 см. Найдите длину линии пересечения данных сфер,
бЗб.Найдите геометрическое место:
а) центров сфер, проходящих через две данные точки;
б) центров сфер радиуса Ry касающихся данной плоскости;
в) центров сечений шара радиуса R, площадь которых равна S.
—^ 637. Найдите геометрическое место:
а) центров сфер радиуса R, проходящих через данную точку А;
б) центров сфер, касающихся данной плоскости а в данной
на ней точке А;
в) середин всех хорд данного шара, параллельных данной
прямой.
@ Повторение перед изучением § 15
• площадь прямоугольника (8 класс)
• площадь круга (9 класс)
• призма (11 класс, § 7)
• цилиндр (11 класс, § 12)
209

Задачи
638.В правильной четырехугольной призме площадь основания
равна S, а, высота — h. Найдите площадь диагонального сечения.
639. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, представляю
щее собой квадрат. Диаметр цилиндра равен d, а высота — Л. На
каком расстоянии от оси цилиндра проведено сечение?
1. Среди данных тел выберите то, которое не является телом вра
щения.
а) шар; в) призма;
б) цилиндр; г) конус.
2. Назовите тело, которое получается при вращении прямоуголь
ного треугольника вокруг катета.
а) конус; в) цилиндр;
б) усеченный конус; г) пирамида.
3. Закончите предложение так, чтобы получилось верное утверж
дение. Сечение конуса, отсекающее от него меньший конус, про
ходит...
а) через вершину конуса;
б) перпендикулярно высоте конуса;
в) через две образующие конуса;
г) перпендикулярно плоскости основания конуса.
4. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра рав
на 36 см2. Найдите площадь основания цилиндра.
а) 9 см2; в) 9л см2;
б) 36л см2; г) 6л см2.
5. Площадь большого круга шара равна 16л см2. Найдите рассто
яние от центра шара до плоскости, касательной к данному шару.
а) 4 см; в) 2 см;
б) 8 см; г) 4л см.
6. Осевое сечение конуса с радиусом основания R, высотой Н
и образующей I — равнобедренный прямоугольный треугольник.
Среди приведенных равенств выберите неверное.
а) R = H ;
б) l = Ry[2 ;
V2
в) Н = —^-1;
г) 1= 2Н .
210

7. Сечение, параллельное оси цилиндра с радиусом R и высо
той Н, имеет форму квадрата и отсекает от окружности основания
дугу в 60°. Среди приведенных соотношений выберите верное.
а) R <H ; в) R > H ;
б) Д = Я ; г) R = 2H.
8. На рисунке точки А и В принад
лежат сфере с центром О и радиусом R,
точка Ох — центр закрашенного сечения
сферы, Z ОАОг = 30°. Найдите длину отрез
ка ОгВ, если точка О принадлежит ему.
к
а) 0.5Д; в) — R;
2
б) R; г) 1,57?.
9. Радиусы оснований усеченного конуса равны R n г (R > r), а об
разующая наклонена к плоскости большего основания под углом а
( а *45°). Найдите высоту усеченного конуса.
а) (-R-r)tga; в) (-R-r)sina;
б) (-R-r)ctga; г) (-R-r)cosa.
10. Два параллельных сечения шара имеют площади 9л см2
и удалены друг от друга на 8 см. Найдите площадь большого кру
га шара.
а) 9л см2; в) 25л см2;
б) 16л см2; г) 36л см2.
11. Через образующую цилиндра проведены два взаимно
перпендикулярных сечения, площади которых равны S и Q. Най
дите площадь осевого сечения цилиндра.
а) s/SQ ; в) S +Q ’,
. SQ
б) Vs 2+Q2 ;
S +Q
12. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с бо
ковой стороной 6 см и углом 120°. Какую наибольшую площадь
может иметь сечение конуса, проведенное через его вершину?
а) 9-v/jT см2; в) 9 см2;
б) 18л/з см2; г) 18 см?.
211

Итоги главы III
Итоговый обзор главы III
Цилиндр
Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) на
зывается тело, которое состоит из двух кругов (основа
ний цилиндра), не лежащих в одной плоскости и со
вмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков,
соединяющих соответствующие точки этих кругов
Прямым цилиндром (далее — цилиндром) на
зывается цилиндр, образующие которого перпендику
лярны плоскостям оснований
Образующими цилиндра называются отрезки,
соединяющие соответствующие точки окружностей,
ограничивающих основания
Радиусом цилиндра называется радиус его осно
вания
Высотой цилиндра называется перпендикуляр,
проведенный из точки одного основания цилиндра
к плоскости другого основания
Осью цилиндра называется прямая, проходящая
через центры оснований
• Основания цилиндра — равные круги, лежащие
в параллельных плоскостях
• Все образующие цилиндра параллельны и равны
• Высота цилиндра равна его образующей
• Отрезок, соединяющий центры оснований цилин
дра, равен образующей, а значит, и высоте цилиндра
• Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его
оси, является прямоугольником
Конус
Конусом (точнее, круговым конусом) назы
вается тело, которое состоит из круга (основания
конуса), точки, не принадлежащей плоскости это
го круга (вершины конуса) 9 и всех отрезков, сое
диняющих вершину конуса с точками основания
212

Прямым конусом (далее — конусом) называ
ется конус, у которого прямая, проходящая через
вершину конуса и центр окружности основания,
перпендикулярна плоскости основания
Образующими конуса называются отрезки,
соединяющие вершину конуса с точками окруж
ности основания
Высотой конуса называется перпендику-
|ляр, проведенный из вершины конуса к плоскости
основания
Осью конуса называется прямая, содержа
щая высоту конуса
! • Все образующие конуса равны и составляют
равные углы с плоскостью основания
• Сечение конуса плоскостью, проходящей
через его вершину, является равнобедренным тре
угольником, боковые стороны которого — обра
зующие данного конуса
• Сечение конуса плоскостью, параллельной
плоскости основания, является кругом, центр ко
торого лежит на оси конуса. Образующая и высота
конуса делятся плоскостью этого сечения на про
порциональные части
Площадь сечения конуса, параллельного пло
скости основания, и площадь основания относятся
как квадраты расстояний от вершины конуса до
плоскостей сечения и основания
Усеченный конус
Плоскость, параллельная плоскости основания
конуса и пересекающая его образующие, отсекает ко
нус, подобный данному, и тело, которое называется
усеченным конусом
Основаниями усеченного конуса являются осно
вание данного конуса и круг, полученный в сечении
Высотой усеченного конуса называется пер
пендикуляр, проведенный из точки одного основания
к плоскости другого основания
213

Образующими усеченного конуса называются
отрезки образующих данного конуса, ограниченные
плоскостями оснований усеченного конуса
Осью усеченного конуса называется прямая,
которая проходит через центры его оснований
• Все образующие усеченного конуса равны
и наклонены к плоскости каждого из оснований под
равными углами
• Осевое сечение усеченного конуса представ
ляет собой равнобедренную трапецию, основаниями
которой являются диаметры оснований усеченного
конуса, а боковыми сторонами — его образующие
Шар и сфера
Шаром называется множество всех точек
пространства, удаленных от данной точки (цен
тра шара) на расстояние, не превышающее за
данное (радиус шара)
Сферой называется поверхность шара
Хордой сферы называется отрезок, соеди
няющий две точки сферы
Диаметром шара (сферы) называется
хорда, проходящая через центр сферы
Если расстояние от центра шара до пло
скости меньше радиуса шара, то сечение шара
данной плоскостью является кругом. Центр это
го круга находится в основании перпендикуляра,
проведенного из центра шара к плоскости сечения
Если расстояние от центра сферы до пло
скости меньше радиуса сферы, то сечение сферы
плоскостью является окружностью. Центр этой
окружности находится в основании перпендику
ляра, проведенного из центра сферы к плоскости
сечения
214

Диаметральной плоскостью называется j
|секущая плоскость, проходящая через центр шара |
Сечение шара диаметральной плоскостью |
|называется большим кругом, а окружность это- j
!го сечения — большой окружностью
| Касательной плоскостью к сфере (шару) j
|называется плоскость, имеющая со сферой един- i
ственную общую точку (точку касания)
Свойство касательной плоскости. Каса
тельная плоскость к сфере перпендикулярна ра
диусу сферы, проведенному в точку касания
Признак касательной плоскости. Если
радиус сферы является перпендикуляром, про-|
веденным из центра сферы к плоскости, прохо-!
дящей через другой конец радиуса, то данная |
плоскость является касательной к сфере j
Касательной прямой к сфере (шару) на-;
зывается прямая, принадлежащая касательной
йлоскости к данной сфере (шару) и проходящая
через точку касания
о Контрольные вопросы к главе III
1. Дайте определение цилиндра. Изобразите цилиндр и опишите
его элементы.
2. Какой фигурой является осевое сечение цилиндра; сечение, парал
лельное основаниям цилиндра; сечение, параллельное оси цилиндра?
3. Дайте определение конуса. Изобразите конус и опишите его
элементы.
4. Какой фигурой является сечение, проходящее через вершину ко
нуса; осевое сечение конуса; сечение, параллельное основанию конуса?
5. Изобразите усеченный конус и опишите его элементы.
6. Дайте определение шара и сферы. Какими фигурами являют
ся их сечения?
7. Дайте определение касательной плоскости к сфере. Сформули
руйте и докажите свойство касательной плоскости.
Дополнительные задачи к главе III
640. Радиус цилиндра равен R. На каком расстоянии от оси ци
дра проходит параллельное ей сечение, площадь которого вдвое
меньше площади осевого сечения?
215
I

641. Цилиндр радиуса R погружен в зазор
между двумя плитами, ширина которого рав
на d (d<2B ), так, что ось цилиндра парал
лельна краям плит (рис. 189). На какую глу
бину цилиндр погружен в зазор?
642. Три образующие конуса длиной I попар-
Рис. 189 но образуют углы 60°. Найдите высоту и ра
диус основания конуса.
643. Осевое сечение конуса равновелико квадрату, построенному на
радиусе основания как на стороне. Найдите угол наклона образу
ющей к плоскости основания щшуса.
644. Периметр осевого сечения конуса равен 32 см, а высота 8 см.
Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты
конуса параллельно плоскости основания.
645. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 150°, а пло
щадь этого сечения равна Q. Найдите площадь наибольшего сече
ния конуса, которое проходит через его вершину.
646. Тело ограничено двумя сферами с общим центром. Докажите, что
площадь сечения тела плоскостью, проходящей через центры сфер,
равна площади его сечения плоскостью, касательной к меньшей сфере.
647. Через точки А и В, которые делят радиус шара ОС на три
равные части, проведены сечения шара, перпендикулярные ОС.
Найдите отношение площадей этих сечений.
648. Дан конус с высотой РО и равносторонний цилиндр с центрами
оснований Р и О. В каком отношении образующая конуса делит
образующую цилиндра, если угол при вершине осевого сечения
конуса равен 120°?
649. Концы отрезка длиной V41 см принадлежат окружностям
оснований цилиндра, радиус которого равен 2 см. Какой должна
быть высота цилиндра, чтобы данный отрезок пересекал его ось?
650. Два правильных треугольника не лежат водной плоскости и имеют
общую сторону. Докажите, что все их вершины лежат на одной сфере.
Существует ли сфера, касающаяся всех сторон данных треугольников?
651. Сфера радиуса R проходит через все вершины одной грани
куба и касается противолежащей грани. Найдите ребро куба.
652. Докажите, что все общие точки цилиндра (конуса) и плоско
сти, касательной к нему, расположены на образующей цилиндра
(конуса), которая является их общим отрезком.
216

Историческая справка
Понятие тела вращения было известно еще
с догреческих времен. Определения цилиндра,
конуса и шара приведены в «Началах» Евкли
да, но немалая заслуга в исследовании этих тел
принадлежит его современникам и последова
телям — Евдоксу, Аполлонию, Архимеду, Пап-
пу. Так, Аполлоний Пергский (ок. 262-190 гг.
до н. э) в своей работе «Конические сечения»
установил, что сечениями конической поверх
ности могут быть окружность, эллипс, парабо
ла или гипербола.
Новым толчком к изучению поверхностей
и тел вращения стало возникновение и раз
витие дифференциальной геометрии, которая
позволила исследовать плоские и простран
ственные кривые и поверхности методами мате
матического анализа. Ее возникновение было,
в свою очередь, обусловлено практическими
потребностями математической картографии,
в частности необходимостью полностью или
частично изображать земную поверхность на
плоскости.
В историю развития дифференциальной
геометрии вписаны и имена ученых, чья науч
ная деятельность связана с Украиной. Выдаю
щийся математик и педагог, автор «Очерков
по теории поверхностей» Вениамин Федорович
Каган (1869-1953), который экстерном окон
чил Киевский университет, в начале XX века
занимался плодотворной научной и просвети
тельской деятельностью в Одессе. Профессор
Киевского университета, автор работы «Эле
менты теории поверхностей» Борис Яковлевич
Букреев (1859-1962) — один из основателей
Киевского математического общества, которое
было и остается центром передовых научных
идей.

0 Тематика сообщений и рефератов к главе III
1. Сечения конуса и цилиндра, их уравнения и свойства.
2. Фигуры вращения. Гиперболоид и параболоид.
3. Винтовые линии (спирали) и их применение.
4. Поверхности вращения в архитектуре и искусстве.
5. Изучение Птолемеем размеров Земли.
© Рекомендованные источники информации
2. Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. —
М.: Наука, 1989.
4. Тадеев В. О. Геометр1я. Фшури обертання. Векторно-коор-
динатний метод: Двор1вневий шдручник для 11 класу загально-
oceiT H ix навчальних заклад1в / За ред. М. Й. Ядренка.— Терно-
шль: Навчальна книга — Богдан, 2004.
5. Дорфман А. Г. Оптика конических сечений.
http://www.math.ru/lib/plm/Sl
6. Миракьян Г. М. Прямой круговой цилиндр.
http://www.math.ru/lib/plm/18
7. В1зантшська архй-ектура. http://www.byzantium.ru/arch.ph.
218

Глава IV. Объемы и площади поверхностей геометрических тел
То, чем в предыдущие эпохи занимались только зрелые умы
ученых мужей, в более позднее время стало доступным
для понимания юношей.
Георг Вильгельм Фридрих Гегель,
немецкий философ
С древних времен люди применяли геометрию для реше
ния конкретных житейских проблем — нахождения объемов
сосудов, строений и кораблей, количества краски, необходимой
для ремонта помещения. На основании практического опыта
были разработаны методы вычисления объемов тел и площа
дей поверхностей. Но нахождение соответствующих формул,
а тем более их доказательств заняло немало страниц в истории
геометрической науки. Многие выдающиеся ученые внесли
свой вклад в развитие теории объемов, а популяризаторы ма
тематики — в упрощение и доступное изложение этой теории.
Основной целью данной главы является формирование
представлений об объемах и площадях поверхностей, обоснова
ние соответствующих формул для основных пространственных
фигур. Вы научитесь использовать различные методы нахож
дения объемов, как строго геометрические, так и те, которые
объединяют в себе геометрию и начала анализа. При изуче
ний объемов тел полезно будет вспомнить и систематизировать
материал о площадях фигур на плоскости. Подходы, которые
применялись для получения основных формул площадей; бу
дут надежным фундаментом для построения теории объемов.
В данной главе речь пойдет о всех основных фигурах,
которые вы изучали в течение года, в частности о тесной связи
многогранников и тел вращения. Это даст вам возможность,
с одной стороны, вспомнить основные факты из курса геоме
трии, а с другой — на основании формул для площадей по
верхностей многогранников получить соответствующие резуль
таты для тел вращения.
Задачи данной главы содержат" много геометрических
конфигураций, что позволит вам переосмыслить весь курс
стереометрии с точки зрения применения своих знаний на
практике, в частности для нахождения, пожалуй, самых рас
пространенных в жизни геометрических величин ■-*- объемов
и площадей поверхностей. Ради этого бесценного опыта вы
и изучали, в конце концов, геометрию в пространстве.
220

§ 15. Объем многогранников. Объем параллелепипеда, призмы и цилиндра
§ 15. ОБЪЕМ МНОГОГРАННИКОВ. ОБЪЕМ
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. ПРИЗМЫ И ЦИЛИНДРА
15.1. Понятие объема многогранников
Понятие объема хорошо известно на уровне повседневного опы
та: мы покупаем пакет сока определенного объема, рассчитываем,
какой объем займет в квартире новая мебель, берем для приготов
ления блюда кастрюлю соответствующего объема. Придадим этим
наглядным представлениям об объеме тела определенную матема
тическую строгость.
Для дальнейших рассуждений полезно объединить практиче
ский опыт и известную уже теорию площадей многоугольников. По
аналогии с ней мы и будем строить теорию объемов пространствен
ных тел, в первую очередь многогранников.
Объем характеризует величину части пространства, которую зани
мает геометрическое тело, и измеряется, как и площадь, в определен
ных единицах. Единицей измерения площадей является площадь еди
ничного квадрата, а за единицу измерения объема принимается объем
единичного куба, то есть куба, ребро которого равно единице длины.
Например, если за единицу измерения длины принимается 1 мм, 1 см,
1 дм или 1 м, то за единицу измерения объема принимается объем
куба с ребром 1 мм, 1 см, 1 дм или 1 м. Соответствующая единица
объема называется кубическим миллиметром (1 мм3), кубическим сан
тиметром (1 см3), кубическим дециметром или литром (1 дм3 или 1 л),
кубическим метром (1 м3). Таким образом, вычисление объемов тел
разной формы основано на сравнении с объемом единичного куба.
Измерить объем тела на практике можно, например, погрузив
его в воду и подсчитав количество вытесненной телом воды. Но во
многих случаях это не целесообразно, поэтому очень полезно выве
сти и научиться применять формулы для вычисления объемов. Соот
ветствующая теория основана на аксиомах объема многогранников.
1. Равные многогранники имеют равные объемы.
2. Если многогранник составлен из нескольких многогранни
ков, то его объем равен сумме объемов этих многогранников.
3. Объем куба с ребром, равным единице длины, равен еди
нице объема.
г Итак, объем многогранника — это положительная величина,
яисловое значение которой удовлетворяет аксиомам объема.
Как правило, объем обозначают буквой V.
2 2 1

Приведенные аксиомы имеют и практическую основу. Действи
тельно, все пакеты, имеющие форму прямоугольного параллелепи
педа и одинаковые размеры, содержат одинаковое количество сока.
Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.
Если же каждый из двух пакетов можно разлить в одинаковое
количество маленьких пакетиков, то сумма объемов этих пакетиков
будет равна объему каждого из них, то есть данные пакеты имеют
одинаковый объем.
Тела, составленные из одних и тех же многогранников, назы
ваются равносоставленными. Например, равносоставленными бу
дут тела, изображенные на рисунке 190, а, б: прямая треугольная
призма и прямой параллелепипед. Действительно, каждая из этих
фигур составлена из двух одинаковых прямых призм, таких как на
рисунке 190, в.
Очевидно, что объемы равносоставленных многогранников рав
ны по второй аксиоме. Интересно, что обратное утверждение неверно
(в отличие от аналогичной теоремы для площадей). Так, многогран
ники равного объема не всегда можно разбить на конечное число
равных многогранников. В частности, куб и правильный тетраэдр
равных объемов (рис. 190, г) не являются равносоставленными.
71
L _ _
Vx=l ^2=1
Рис. 190. Примеры равносоставленных и неравносоставленных тел
222

15.2. Объем параллелепипеда
Простейшей фигурой с точки зрения вычисления объема яв
ляется прямоугольный параллелепипед.
Теорема (формула объема прямоугольного параллелепипеда)
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех
его измерений:
V = аЬс,
где а, Ь. с — измерения прямоугольного параллелепипеда.
Приведем рассуждения, на которых основано доказательство
данной теоремы.
Сначала рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измере
ниями а, 1, 1. Так как в отрезке а единица измерения длины по
мещается а раз, то единичный куб помещается в параллелепипед
также а раз. Значит, объем прямоугольного параллелепипеда ра
вен а (рис. 191, а).
Аналогично объем прямоугольного параллелепипеда с измере
ниями а, Ь, 1 равен аЬ (рис. 191, б), а прямоугольного параллеле
пипеда с измерениями а, Ь, с — равен аЪс (рис. 191, в).
Полное доказательство данной теоремы приведено в Приложе
нии 2.
Следствие (формула объема куба)
Объем куба равен кубу его ребра:
V = a 3,
где а - ребро куба.
Нам известно, что площадь прямоугольника равна произведе
нию двух его измерений, а параллелограмма — произведению его
стороны на проведенную к ней высоту. По аналогии нетрудно пред
положить, что объем произвольного параллелепипеда также можно
найти через площадь основания и соответствующую высоту.
J-
/
/
— г-
- Т -
/
1
га
н
а
а
л
- Г Г -
-Г -
'"П
П Г~ ■
/— Т - ■■/-----
( с___ с____
,=Г-Г"-
/
{
-)—
/
-)---
/
V2=ab V3 =abc
Рис. 191. К обоснованию формулы объема прямоугольного параллелепипеда
223

D d 2 с г а
ству формулы объема
параллелепипеда
Рис. 193. Объемы пря
мого и прямоугольного
параллелепипедов
Теорема (формула объема параллелепипеда)
Объем параллелепипеда равен произведению
площади его основания на высоту:
V = SOCHh .
где S0CH — площадь основания параллелепипеда,
h — высота.
□ Очевидно, что для прямоугольного парал
лелепипеда данная формула верна. Докажем ее
для наклонного параллелепипеда ABCDA1BlClDl
(рис. 192). Проведем через ребра ВС и AD пло
скости, перпендикулярные основанию ABCD. До
полним наклонный параллелепипед треугольной
призмой ВВ1В2СС1С2 и отсечем треугольную
призму AA1A 2DDlD2. Эти призмы равны, так
как совмещаются параллельным переносом на
вектор АВ. Значит, полученный параллелепипед
имеет тот же объем, что и исходный.
При описанном преобразовании параллеле
пипеда площадь его основания и высота сохра
няются, а две боковые грани становятся перпен
дикулярными плоскости основания ABC. Если
выполнить аналогичное преобразование с помо
щью плоскостей, проходящих через АВ и DC пер
пендикулярно основанию ABCDy получим прямой
параллелепипед с основанием ABCD, равновели
кий исходному. При этом высоты параллелепи
педов также сохраняются.
Теперь проведем через точки А и В плоско
сти, перпендикулярные АВ (рис. 193). Дополняя
прямой параллелепипед одной треугольной при
змой (1 ) и отсекая равную ей другую призму (2),
получим прямоугольный параллелепипед, равно
великий предыдущему.
Объем полученного прямоугольного парал
лелепипеда равен abc. Так как при описанных
выше преобразованиях данного параллелепипеда
в прямоугольный каждый раз образуется паралле
лепипед, равновеликий предыдущему, а площадь
224

основания и высота сохраняются, то и объем исходного параллеле
пипеда можно вычислить с помощью полученной формулы. Итак,
объем наклонного параллелепипеда V = abc = S •h .
Таким образом, объем произвольного параллелепипеда вычис
ляется по формуле V = S0CH•h .
Задача
В основании наклонного параллелепипеда лежит прямо
угольник со сторонами 3 см и 4 см. Боковое ребро параллелепипеда
равно 6 см. Найдите объем данного параллелепипеда, если две его
боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две дру
гие наклонены к ней под углом 30°.
Решение
Пусть дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1
(рис. 194), в основании которого лежит прямо
угольник ABCD со сторонами 3 см и 4 см. Бо
ковые ребра параллелепипеда равны и имеют
длину 6 см. Противолежащие боковые грани
параллелепипеда параллельны, следовательно,
наклонены к плоскости его основания под рав- Рис
ными углами.
Пусть грани AAXDXD и BBj^C перпендикулярны гра
ни ABCD, а грани А А ^ В и ВВ1С1С образуют с ABCD угол 30°.
Проведем в плоскости AAtDr перпендикуляр DXK к AD. По свой
ству перпендикулярных плоскостей DXK L[ABC) 9 следовательно,
DXK — высота данного параллелепипеда. Так как DXK является
перпендикуляром, DXD — наклонной, KD — ее проекцией на пло
скость ABC, причем KD _LCD, то по теореме о трех перпендикуля
рах DXD LC D . Значит, угол DXDK равен углу между плоскостя
ми DDXCX и ABC. По условию Z D 1DK = 30°. Из прямоугольного
треугольника DXKD получим: DXK = D1D sin30° = 3 см.
Таким образом,
v abcda^ c^ = ^осн •Л= 3•4 •3 = 36 (см3).
о
225

15.3. Объем призмы
На плоскости для получения формулы площади треугольни
ка было удобно дополнить треугольник до параллелограмма. Далее,
для получения формулы площадей других многоугольников, целесо
образно было разбить их на треугольники. Применим аналогичные
приемы для вывода формулы объема призмы.
Теорема (формула объема призмы)
Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту:
V = S 0CBh.
где S 0CB — площадь основания призмы, h — ее высота.
□ Пусть дана треугольная призма АВСА1В1С1. Дополним ее до
параллелепипеда ABDCA^B^D-fi-^, как показано на рисунке 195. До
полняющая призма симметрична данной относительно центра сим
метрии параллелепипеда точки О. Значит, она равна данной призме.
Тогда, по аксиомам объема, объем параллелепипеда равен удвоен
ному объему данной призмы. Но УAbdca1b1d1c1 = ^abdc '^ -^ ^abc h,
значит, VABCAlBlcl = s a b c ■h •
Применим только что выведенную формулу объема треуголь
ной призмы к рассмотрению произвольной призмы.
Разобьем основание призмы на треугольники, а призму — на
соответствующие треугольные призмы с высотой h (рис. 196).
По аксиоме, объем данной призмы равен сумме объемов со
ставляющих ее треугольных призм:
V = Si •Л+S2•Л+... +S n•Л= + S2+... + 5 Л),Л= <S0CH*h ,
где Sl9 S2, Sn — площади треугольников, на которые разбито
основание призмы.
Рис. 195. К доказательству формулы
объема треугольной призмы
Рис. 196. К доказательству
формулы объема призмы

Объем наклонной призмы равен произведению бокового р е
бра на площадь перпендикулярного ему сечения: V = S ± l, где
I — боковое ребро призмы, S ± — площадь перпендикулярного
ему сечения. Докажите.
Решение
Рассмотрим наклонную призму Fx с ребром
ААХ~ I (рис. 197). Проведем два ее перпендику
лярных сечения, расстояние между плоскостями
которых I и которые не имеют с данной призмой
общих точек. При этом получим прямую приз
му F2 и многогранник F3 (рис. 197). Много
гранник,
гранник,
составленный из F. и F,
составленный из F3 и F.
как совмещаются параллельным
з , и много-
2, равны, так
переносом на
вектор ААХ. Поэтому их объемы равны. Эти
многогранники имеют общую часть F3 . Отсюда
по аксиоме объема следует, что объемы призм Fx
и F2 также равны. Но последняя призма явля
ется прямой, и ее объем равен S 0CH-J. Значит,
объем данной призмы равен V = S ± ■I .
15.4. Объем цилиндра
При обосновании формулы площади круга
в планиметрии мы использовали вписанные в окруж
ности и описанные около них многоугольники. При
меним аналогичные рассуждения и в пространстве,
заменив круг на цилиндр, а многоугольники — на
призмы. Дадим соответствующие определения.
Определение ---------------------------------------------------------
Прямая призма называется вписанной в цилиндр,
если ее основания вписаны в основания цилиндра.
При этом цилиндр называется описанным
около призмы. Очевидно, что боковые ребра приз
мы — образующие цилиндра, а высоты прямой
призмы и описанного около нее цилиндра равны
(рис. 198).
Рис. 197. К нахож
дению объема наклон
ной призмы
Рис. 198. Призма,
вписанная в ци
линдр
227

Рис. 199. Призма, опи
санная около цилиндра
Определение ---------------------------------------------------
Прямая призма называется описанной около цилин
дра, если ее основания описаны около оснований ци
линдра.
При этом цилиндр называется вписанным
в призму (рис. 199). Очевидно, что высоты пря
мой призмы и вписанного в нее цилиндра равны.
Теорема (формула объема цилиндра)
Объем цилиндра равен произведению площади
его основания на высоту:
F = S 0CH h = nR2h.
где S OCH — площадь основания цилиндра, h — вы
сота, R — радиус цилиндра.
□ Впишем в данный цилиндр ради
уса R и высоты Л правильную n-угольную при
зму с площадью основания S'n и опишем около
него правильную n-угольную призму с площадью
основания S" (рис. 200). Тогда, по доказанному
при обосновании формулы для площади круга,
limSJ, = limS" -n R 2.
П—>°° П—
Отсюда следует, что при неограниченном
возрастании п объемы вписанных призм S'n■h
и объемы описанных призм S" ■h стремятся
к величине nR2h . Значит, существуют призмы,
содержащиеся в данном цилиндре, и призмы, со
держащие его, объемы которых сколь угодно мало
отличаются от лR zh . Тогда объем цилиндра вы
ражается формулой V = nR2h .
Задача
Основание прямой призмы — треугольник со стороной с ■
и прилежащими к ней углами а и Р. Диагональ грани, содержа
щей сторону с, образует с плоскостью основания призмы угол <р.
Найдите объем цилиндра, описанного около призмы.
цилиндра
228

Решение
Пусть дана прямая треугольная призма
АВСА1В1С1, в основании которой лежит тре
угольник ABC (АВ = с, Z А = а , ZB = p). Так как
В1В±(АВС), т о АВг — наклонная, АВ — ее
проекция на плоскость ABC. Значит, по опреде
лению угол ВгАВ равен углу между АВ и плоско
стью ABC. По условию Z B 1AB = cp (рис. 201).
, Рассмотрим цилиндр, описанный около дан
ной призмы. Его основания описаны около осно
ваний призмы, высота равна высоте призмы.
По теореме синусов для треугольника ABC
имеем:
п АВ _______ с_______ с
2sinZC 2sin(l80°-(a +p)) 2sin(a +|3)
Из прямоугольного треугольника ABBX
ВВг = АВ •tg Z В1АВ = с•tg ф.
Следовательно, объем цилиндра равен:
/ 2
V = nR2h = n-
2sin(a +P)
(ctgcp) =
тсс3tg<p
4sin2(a +p)
‘5 ч
a
Рис. 201
Ответ:
тсс tg<p
4sin2(a +p)
653. Какой высоты (в метрах) будет столбик, если кубический метр
разрезать на кубические сантиметры и поставить их друг на друга?
654. Изменится ли объем прямоугольного параллелепипеда с ква
дратом в основании, если сторону квадрата уменьшить в 2 раза,
а высоту увеличить в 4 раза? Если да, то увеличится или умень
шится объем и во сколько раз?
229

655. Изменится ли объем цилиндра, если его радиус увеличить
в 2 раза, а высоту уменьшить в 2 раза. Если да, то увеличится
или уменьшится объем и во сколько раз?
656. Свинцовый цилиндр высотой 1 дм переплавили в цилиндр
с радиусом, в 2 раза меньшим. Какой станет высота цилиндра?
657. Докажите, что из всех призм с общим основанием и боковыми
ребрами одинаковой длины наибольший объем имеет прямая призма.
658. Изготовьте из пластилина куб, правильную треугольную
призму и цилиндр с одинаковыми высотами и объемами. Измерь
те, какое из оснований имеет наибольшую площадь и какое наи
меньшую.
^ 659. Изготовьте из плотной бумаги правильные треугольную
и четырехугольную призмы, все ребра которых равны. Выполните
соответствующие измерения и найдите отношение объемов этих
призм.
© РЕШАЕМ ЗАДАЧИ
Уровень А
660.* Найдите объем куба, если:
а) его ребро равно 6 см;
б) его диагональ равна 5>/з дм;
в) площадь его грани равна 49 см2.
661. Емкость для льда имеет форму кубика. Найдите объем емко
сти, если лед, замороженный в ней, имеет массу 1,834 г, а плот
ность льда равна 917 кг/м3.
—^ 662.# Найдите объем куба, если:
а) его ребро равно 0,2 м;
б) диагональ его грани равна 3>/2 дм.
66ЗГ Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если:
а) его измерения равны 4 см, 5 см и 8 см;
б) его длина равна 32 см, ширина 24 см, а диагональ 41 см;
в) стороны его основания равны, а и Ь, а диагональ наклонена
к основанию под углом а.
230

664. Стальной прямоугольный параллелепипед с измерениями
45 дм, 12 дм и 50 дм переплавлен в куб. Найдите длину ребра куба.
665.* Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если:
а) его измерения равны 3,2 см, 4 см и 0,5 см;
б) его длина равна 16 м, ширина 12 м, а диагональ грани 13 м;
в) стороны его основания равны 12 см и 16 см, а диагональ
наклонена к основанию под углом 30°.
666Г Найдите объем прямого параллелепипеда, если:
а) его основанием является параллелограмм, стороны которо
го равны 3/2 см и 7 см, острый угол 45°, а площадь мень
шего диагонального сечения 20 см2;
б) его основанием является ромб со стороной а и углом а ,
а площадь боковой грани равна S.
667. Найдите объем прямого параллелепипеда с ромбом в основа
нии, острый угол которого равен 30°, а площадь основания равна
площади боковой грани и составляет 18 см2.
668. Запишите формулу объема правильной n-угольной призмы
со стороной а и боковым ребром Н для п = 3, 4, 6.
669. Периметр основания правильной треугольной призмы равен
12 см, а периметр боковой грани — 18 см. Найдите объем призмы.
670. Площадь основания правильной четырехугольной призмы
равна 81 см2, а площадь боковой грани — 36 см2. Найдите объем
призмы.
671.* Найдите объем прямой треугольной призмы, если:
а) ее высота равна 6 см, а основанием является прямоугольный
треугольник с катетом 15 см и гипотенузой 17 см;
б) ребра ее основания равны 5 см, 5 см и 8 см, а диагональ
большей боковой грани 10 см;
в) ее боковое ребро равно 3 см, два ребра основания равны
1з см и 4 см, а угол между ними 60°.
672. Объем прямой треугольной призмы равен 120 см3, а ребра
основания — 4 см, 13 см, 15 см. Найдите боковое ребро призмы.
673. Найдите объем прямой четырехугольной призмы с боковым
ребром 5 см и трапецией в основании, диагонали которой взаимно
перпендикулярны и равны 4 см и 7 см.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------231

674. В основании прямой призмы лежит равнобедренный тре
угольник с высотой 4 см и боковой стороной 5 см. Найдите объем
призмы, если диагональ наибольшей боковой грани равна 10 см.
675.* Найдите объем цилиндра, если:
а) радиус его основания равен 5 см, высота 3 см;
б) его осевое сечение — квадрат со стороной 4 см;
в) площадь его основания равна 9к см2, высота равна диаметру.
676.* Найдите объем цилиндра, если:
а) диаметр его основания равен 8 см, высота 5 см;
б) площадь его осевого сечения равна 60 дм2, площадь осно
вания 25я дм2.
677. Диаметр основания цилиндра равен d, а объем — V. Найдите
площадь осевого сечения.
678. Поместятся ли 193 т бетона в цилиндрическую цистерну, ди
аметр которой равен 6 м, а высота — 3 м, еслиплотность бетона
равна 2300 кг/м3?
679. Угол между диагоналями осевого сечения цилиндра равен ф,
а его диагональ — d. Найдите объем цилиндра. Сколько решений
имеет задача?
Уровень Б
680. Найдите объем куба с диагональю d.
681. Найдите объем куба с площадью грани Q.
682. Если каждое ребро куба увеличить на 3 см, то его объем уве
личится на 117 см3. Найдите ребро куба.
683. Если каждое ребро куба уменьшить на 2 см, то его объем
уменьшится на 98 см3. Найдите ребро куба.
684. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагонали
граней которого равны 5 см, 6 см и 7 см.
685. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ
которого равна 70 см, а его измерения относятся как 3 : 2 : 6 .
и 8 см, а одна из диагоналей основания — 7 см. Найдите объем
параллелепипеда, если его меньшая диагональ равна 25 см.
687. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб площа
дью S. Площади диагональных сечений равны Sj и S2. Найдите
объем параллелепипеда.
232

688. Высота прямого параллелепипеда с ромбом в основании рав
на 2л/з см, а диагонали наклонены к основанию под углами 45°
и 60°. Найдите объем призмы.
689. Найдите объем наклонной призмы, в основании которой ле
жит треугольник со сторонами 6 см, 5 см и 5 см, а боковое ребро
равно 4 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°.
690. Основанием наклонного параллелепипеда является прямо
угольник со сторонами 5 см и 8 см. Одно из боковых ребер рав
но 4 см и образует со смежными сторонами основания углы в 60°.
Найдите объем параллелепипеда.
т
691. В основании наклонного параллелепипеда лежит параллело
грамм со сторонами 3 см, 7 см и диагональю 6 см. Диагональное
сечение, проходящее через большую диагональ параллелограм
ма, перпендикулярно плоскости основания, и его площадь равна
80 см2. Найдите объем параллелепипеда.
692. Боковое ребро наклонной треугольной призмы равно 7 см, две
боковые грани призмы взаимно перпендикулярны, а их площади
равны 56 см2 и 63 см2. Найдите объем призмы.
693. В правильной шестиугольной призме площади двух граней
равны бТз см2 и 24V3 см2. Найдите объем призмы. Сколько ре
шений имеет задача?
694. В правильной шестиугольной призме сторона основания рав
на 3 см, а большая диагональ наклонена к основанию под углом 30°.
Найдите объем призмы.
695. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треуголь
ник с углом а при основании и боковой стороной а. Диагональ
боковой грани, содержащей основание треугольника, образует
с плоскостью основания угол р. Найдите объем призмы.
696. Основанием прямой призмы является прямоугольный треуголь
ник с острым углом а и противолежащим катетом а. Площадь боко
вой грани, содержащей этот катет, равна S. Найдите объем призмы.
697. В основании прямой призмы лежит прямоугольная трапеция
с острым углом а и диагональю d, которая является биссектрисой
этого угла. Большая диагональ прцзмы образует угол р с боковым
ребром. Найдите объем призмы.
233

—^ 698. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция
с тупым углом а и диагональю d7 которая является биссектрисой
этого угла. Диагональ призмы образует с основанием угол р. Най
дите объем призмы.
699. Найдите объем цилиндра с площадью основания S и площа
дью осевого сечения Q.
700. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, отсекающая
от окружности основания дугу а . Диагональ сечения равна d и об
разует со второй диагональю угол (р. Найдите объем цилиндра.
Сколько решений имеет задача?
701. В основании цилиндра проведена хорда, стягивающая дугу а .
Отрезок, соединяющий центр другого основания с серединой этой
хорды, равен т и образует с плоскостью основания угол р. Най
дите объем цилиндра.
Уровень В
702. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 30 см2,
а площади боковых граней 5 см2, 12 см2 и 13 см2. Найдите объем
данной призмы.
—^ 703. Два цилиндра, осевые сечения которых — равные квадраты,
пересекаются так, что образующая одного является осью другого.
Найдите объем общей части этих цилиндров, если их образующая
равна I.
704. В цилиндр вписана призма, основание которой — прямоуголь
ник со сторонами а и Ъ. Диагональ призмы наклонена к основанию
под углом у. Найдите объем цилиндра.
—^ 705. В цилиндр вписана призма, основанием которой являет
ся прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим
углом а . Найдите объем цилиндра, если высота призмы равна Н.
706. В призму, основанием которой является прямоугольная тра
пеция, вписан цилиндр с диаметром основания d и образующей I.
Найдите объем призмы, если большая боковая сторона трапеции
равна 6.
707. В правильную треугольную призму вписан цилиндр с радиу
сом основания г и образующей I. Найдите объем призмы.
234

708. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в приз
му — цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.
—^ 709. В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр,
а в цилиндр — правильная треугольная призма. Найдите отноше
ние объемов призм.
710. В основании прямой призмы лежит ромб с тупым углом а .
Сечение, проведенное через большую диагональ нижнего основа
ния и противолежащую вершину верхнего основания, наклонено
к основанию под углом р. Площадь этого сечения равна Q. Най
дите объем цилиндра, вписанного в данную призму.
—^ 711. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треуголь
ник с углом а . Через противолежащий катет нижнего основания
и вершину угла а верхнего основания проведено сечение, образую
щее с плоскостью осования угол р. Найдите объем цилиндра, опи
санного около данной призмы, если перпендикуляр, проведенный
из вершины угла а нижнего основания к сечению, равен d.
Теоретический .материал
• свойства подобных фигур (9 класс)
• пирамида (11 класс, § 8)
• усеченная пирамида (11 класс, п. 10.2)
• конус (11 класс, § 13)
• шар и сфера (11 класс, § 14)
Задачи
712. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро на
клонено к основанию под углом 60°. Найдите угол, под которым
наклонены к основанию боковые грани пирамиды.
713, Площадь основания конуса равна S, а угол при вершине осе
вого сечения — а . Найдите высоту конуса.
235

§ 16. ОБЪЕМЫ ПИРАМИДЫ, КОНУСА И ШАРА
16.1. Общая формула объема
Рассмотрим способ вычисления объемов тел, в основе которого
лежит понятие интеграла, известное из курса алгебры и начал анализа.
Пусть тело Т, объем которого требуется вычислить, распо
ложено между двумя параллельными плоскостями а и р . Введем
систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна
плоскостям а и Р (рис. 202). Пусть плоскость а задана уравнением
х = а, а плоскость Р — х -b (а<Ь).
Будем рассматривать случай, когда любое сечение тела Ф(х)
плоскостью, перпендикулярной-оси Ох и пересекающей эту ось
в точке (х;0;0), является кругом или многоугольником (такой
случай возможен, если Ф(х) — точка).
Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(x). Допустим, что
S(x) — непрерывная функция при хе[а;б]. Разобьем отрезок [a; b]
на п равных отрезков точками а - х 0, x lt х 2, ..., х п=Ъ и через
точки с абсциссами х ь проведем плоскости, перпендикулярные
оси Ох (рис. 203).
Эти плоскости разобьют тело Т на га тел: 7, Т2, ..., Тп. Если
сечение Ф(л:<) — круг, то объем тела Tt приближенно равен объему
( ч Ъ — а
x i ) и высотой Axi = x i - x i_1= . Если
п
сечение Ф(**) — многоугольник, то объем тела Tt приближенно
равен объему прямой призмы с основанием Ф(я*) и высотой Ахг
а х Ъ х а=х0х1х. х=Ьх
Рис. 202. К обоснованию общей
формулы объема тела
Рис. 203. Разбиение тела
на п тел
236

§ 16. Объемы пирамиды, конуса и шара
Учитывая, что объем цилиндра и призмы равен произведению
площади основания на высоту, то есть VTi Axt, получаем:
Fr «S(xi)-Axi +S(*2)-Axa+...+S(xn)-A*B.
При неограниченном возрастании п правая часть данной фор
мулы приближается сколь угодно близко к объему тела Т. С дру
гой стороны, так как S(x) непрерывна на [а;Ь], это же выражение
ь
приближается к соответствующему интегралу. Итак, VT=js(x)dx.
а
Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема тела
с помощью интеграла. Будем называть ее интегральной формулой
объема.
Из этой формулы вытекает интересное и удобное в примене
нии следствие, формулировка которого принадлежит итальянскому
математику Бонавентуре Кавальери.
Принцип Кавальери
Если при пересечении двух тел Fx
и F2 плоскостями, параллельными одной
и той же плоскости а, в сечениях полу
чаются фигуры с равными площадями, то
объемы данных тел равны.
Это утверждение легко вывести из
интегральной формулы объема, если рас
положить систему координат так, чтобы
ось Ох была перпендикулярна плоско
сти а (рис. 204). Применение интеграла
и принципа Кавальери позволяет значи
тельно упростить нахождение формул,
выражающих объемы многих важных тел.
Рис. 204. К обоснованию прин
ципа Кавальери
16.2. Объем пирамиды и конуса
В пунктах 15.3 и 15.4 мы установили, что объемы призмы
и цилиндра определяются одной и той же формулой:
V = SOCHh.
Поэтому вполне естественно предположить, что будут совпа
дать формулы для объемов пирамиды и конуса.
237

пирамиды
Теорема (формула объема пирамиды)
Объем пирамиды равен трети произведения пло
щади основания на высоту:
v - ^ s ^ h .
где S 0CH — площадь основания пирамиды, h —
высота.
□ Разместим пирамиду в системе координат
так, чтобы ось Ох была направлена вдоль высо
ты, а основание' принадлежало бы плоскости yOz
(рис. 205). Пусть некоторая плоскость параллель
на основанию пирамиды и пересекает ее высоту
в точке (лс;0;0). Обозначим через S(x) площадь
сечения пирамиды этой плоскостью. По доказан
ному в п. 10.2 она отсекает пирамиду, подобную
данной. В частности, подобными являются мно
гоугольники основания и сечения. Пусть k — ко-
S(jt) о ( h—5е*
эффициент подобия. Тогда —^ - = й = ------ .
(и 2 с? 5 ОСИ V ^ /
Отсюда S(*)= ^ 0011 .
Л2
Применяя теперь для пирамиды интеграль
ную формулу объема, получим:
Следствие (формула объема усеченной пи
рамиды)
Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:
f = | a(s 1+ s 2+ 7^ s 7),
где h - высота усеченной пирамиды, и S 2 “ пло
щади ее оснований.
238

□ Дополним данную усеченную пирамиду до
полной с высотой Н (рис. 206). Тогда высота допол
няющей пирамиды будет равна H - h . Из подобия
полной и дополняющей пирамид, площади оснований
которых равны Sj и S2 соответственно, получаем:
Отсюда 1 - — =,
«1
тельству формулы
объема усеченной
пирамиды
По аксиомам объема, объем усеченной пира
миды равен разности объемов полной и дополня
ющей пирамид. Следовательно,
V = - S t H - - S 2 (H-h) = -
3 1 3 v ; 3
-S , - h
уУ
_1ьsiy[s^-s2Js^+s2T i T _ 1ь«17^7-«2л/«Г_
» =3 V s T - V S T =
_ i 4 |S i+ S2+
Формула доказана. ■
Заметим, что при доказательстве теоремы об
объеме пирамиды и ее следствия, кроме интеграль
ной формулы объема, мы применили только тот
факт, что плоскость, параллельная основанию, отсе
кает пирамиду, для площади основания S(x) и вы-
s (*) ( h~ x 42соты п - х которой верна формула — ------
Но эта формула, по доказанному в п. 13.2,
также верна и для конуса (рис. 207). Поэтому ана
логичными формулам объема и их доказательствам
для пирамиды и усеченной пирамиды будут форму
лы объема и их доказательства для конуса и усечен
ного конуса.
нию формулы объема
конуса
239

Рис. 208. Пирамида,
вписанная в конус
Рис. 209. Пирамида,
описанная около
конуса
Рис. 210. К обоснованию
формулы объема конуса
с помощью пирамид
Теорема (формула объема конуса)
Объем конуса равен трети произведения площади
основания на высоту:
^ = - 5 осв h = - K R zh.
3 3
где — площадь основания конуса, R — ра
диус, h — высота.
-ф» Следствие (формула объема усеченного
конуса)
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле
V = Л(Sj + S2+ /SiS2 )= -i-jifc(Дf + Rl + RXR2),
где h - высота усеченного конуса, и S 2 - площа
ди его оснований, Rx и R2 - радиусы его оснований.
С помощью вписанных и описанных призм
мы вывели формулу для объема цилиндра. По
добную связь можно установить также для ко
нусов и пирамид.
Определение --------------------------------------- ------------
Пирамида называется вписанной в конус, если их
вершины совпадают, а основание пирамиды вписано
в основание конуса.
При этом конус называется описанным око
ло пирамиды.
Очевидно, что высоты пирамиды и описан
ного конуса равны, а боковые ребра пирамиды
являются образующими конуса (рис. 208).
Определение — -----------------------------------------------
Пирамида называется описанной около конуса, если
их вершины совпадают, а основание пирамиды опи
сано около основания конуса.
При этом конус называется вписанным
в пирамиду.
Очевидно, что высоты пирамиды и вписанно
го конуса равны, а высоты боковых граней пира
миды являются образующими конуса (рис. 209).
Рассмотрим правильные л-угольные пира
миды, вписанные в данный конус, и правиль
ные л-угольные пирамиды, описанные около него
(рис. 210).
240

Если число п сторон оснований этих пирамид неограниченно
возрастает, то площади их оснований стремятся к площади круга,
лежащего в основании конуса. Следовательно, их объемы стремятся
1 о
к —n R h . Тогда существуют вписанные в конус и описанные око-
3
ло него пирамиды с объемами, сколь угодно мало отличающимися
от —TiR2h .
3
Из этих рассуждений становится понятным другое обоснование
1 2
формулы объема конуса V = —kR Л.
3
16.3. Объем шара и его частей
Непосредственно получить только из геометрических рассу
ждений формулу для объема шара очень сложно. Но с помощью ин
тегральной формулы объема и принципа Кавальери доказательство
соответствующих результатов является простым и наглядным.
Теорема (формула объема шара)
4 о
Объем шара радиуса R вычисляется по формуле V = —kR .
3
□ Найдем сначала объем полушара, применив принцип Кава
льери.
Пусть дан полушар Fx радиуса R. На плоскость а , содержа
щую основание полушара, поставим цилиндр, радиус и высота ко
торого также равны R. В цилиндр впишем конус, вершина которо
го совпадает с центром основания цилиндра в плоскости а ,
а основание — с другим основанием цилиндра (рис. 211).
Рис. 211. К доказательству формулы объема шара
241

Сравним объем Vx полушара Fx с объемом V2 тела F2, огра
ниченного нижним основанием цилиндра и боковыми поверхностя
ми цилиндра и конуса.
Проведем плоскость |3, параллельную плоскости а и удален
ную от нее на расстояние х (0 <x< R). Эта плоскость пересечет дан
ный полушар по кругу радиуса I r2 - х 2 и площади k ( r 2 - х 2^,
а тело F2 — по кольцу. Так как осевое сечение конуса является рав
нобедренным прямоугольным треугольником, внешний радиус коль
ца равен R, а внутренний — х. Значит, площадь полученного коль
ца составит n (R2 - * 2) и будет равна площади сечения полушара.
По принципу Кавальери, объем полушара равен объему тела F2, то
1 2
есть разности объемов цилиндра и конуса: nR2 R rci?2•i? = —nRs.
3 3
Объем шара вдвое больше объема полушара, следовательно, вычис-
4 о
ляется по формуле V = —nR .
Сечение шара, удаленное от его центра на 1 см, имеет пло
щадь 8л см2. Найдите объем шара.
Пусть дан шар с центром О. Сечение шара некоторой плоско
стью а является кругом с центром Ох, причем 0 0 х± а . Так как О
удалена от а на 1 см, то ООг = 1 см.
Задача
Решение
Пусть точка К сферы, ограничивающей
шар, принадлежит данному сечению (рис. 212).
Тогда площадь сечения равна я-ОгК 2 = 8л, от
куда ОхК = 2/2 (см). Из прямоугольного тре
угольника 0 0 гК по теореме Пифагора имеем:
По формуле объема шара
Рис. 212 V = —лД3 = — я-27 = 36л (см3).
3 3
Ответ: 36л см3.
242

Найдем теперь объемы частей шара.
А
-Jlf- Определение
Шаровым сегментом называется часть шара, отсе
каемая от него некоторой плоскостью.
На рисунке 213 плоскость сечения, прохо
дящая через точку В, разделяет шар на два ша
ровых сегмента. Круг, получившийся в сечении,
называется основанием этих сегментов, а длины
отрезков диаметра, перпендикулярного плоско
сти сечения,— высотами сегментов. Так, на ри
сунке 213 АВ = Н 1 — высота меньшего сегмента,
ВС = Н 2 — высота большего сегмента.
Теорема (формула объема шарового сегмента)
Объем шарового сегмента вычисляется по фор
муле
где R — радиус шара, Н — высота сегмента.
□ Применим для шарового сегмента инте
гральную формулу объема.
Введем декартову систему координат так,
чтобы ее начало совпадало с центром шара.
Тогда часть шара, ограниченная плоскостя
ми х = Н -Н и x = R, является шаровым сегмен
том с высотой Н (рис. 214).
Радиус сечения шарового сегмента плоско
стью, пересекающей ось Ох в точке (дс;0;0), ра
вен 4 r 2 - x 2 . Следовательно, площадь этого се-
В
Рис. 213. Шаровые
сегменты
/ /1
t
' 1
•
/Л
Л ?
1 ° R-H
1
. / .
V
шарового сегмента
По интегральной формуле объема для ша
рового сегмента получаем:
243

V = j {k (r 2 - x 2^dx = n
R - H
- R 3 - R 2 ( R - H ) + (R~H)
R 2x ~ —
R - H
= % ^ R 3 - R 3 + R 2H + ^ ( r 3 -3 R 2H +3R H 2 - H 3)jj = j { S R H 2 - H 3)=
H )-= kH
Рис. 215. Шаровые
секторы
шарового сектора
Заметим, что при H = 2R из только что до
казанной формулы следует еще один способ на
хождения формулы объема шара:
V = 7С(2Д)2 - - Y j = ^ n R z.
•ф- Определение-----------------------------------------------
Шаровым сектором называется тело, ограниченное
сферической поверхностью шарового сегмента и бо
ковой поверхностью конуса, основанием которого
является основание сегмента, а вершиной - центр
шара.
Очевидно, что если шаровой сегмент меньше
полушара, его дополняют конусом для получения
шарового сектора; если же шаровой сегмент боль
ше полушара, то для получения шарового секто
ра конус из него удаляют (рис. 215).
Теорема (формула объема шарового сектора)
Объем шарового сектора вычисляется по формуле
V = - n R 2H,
3
где R — радиус шара, Н — высота соответствую
щего шарового сегмента.
□ Рассмотрим случай шарового сектора,
высота Н соответствующего шарового сегмента
для которого меньше R (рис. 216).
244

Тогда его объем равен сумме объема сегмента Vx и объема ко
нуса V2. Следовательно,
F = +F2= лЯ 2 - у j +j я (Д 2- (Д - Я )2)(Д - Я )=
= К
2R2H 2RH H 2R н
= —лД2Я .
33 3 3 3 3 /
Случай, когда высота Н больше или равна ii, рассмотрите са
мостоятельно.
^ Определение -----------------------------------------------
Шаровым слоем (поясом) называется часть шара,
заключенная между двумя параллельными секущими
плоскостями.
Расстояние между этими плоскостями на
зывается высотой шарового слоя, а сечения,
ограничивающие слой,— основаниями шарового
слоя (рис. 217).
Заметим, что объем шарового слоя можно
вычислить двумя способами:
1) как разность объемов двух шаровых сег
ментов;
2) как разность объема шара и объемов
двух сегментов, не входящих в слой.
Рис. 217. Шаровой слой
(пояс)
16.4. Объемы подобных тел
Из повседневного опыта нам хорошо из
вестно, что при увеличении размеров предмета
его объем также увеличивается. Например, лег
ко сравнить объемы двух аквариумов, размеры
одного из которых вдвое меньше соответствую
щих размеров другого (рис. 218): объемы отли
чаются в 8 раз.
Кроме того, можно проследить за подоб
ными с коэффициентом k многоугольниками на
Рис. 218. Сравнение
объемов подобных тел
245

плоскости. Как известно, их периметры отличаются в к раз, площа
ди — в к2 раз. Естественно предположить, что объемы подобных
с коэффициентом к пространственных тел отличаются в к г раз.
Проверим это для тел, формулы объема которых нам уже известны.
246

]V 1= - n r 3
3
i
!
i r 2 = * 3 V,
Итак, для всех рассмотренных тел верно следующ ее утверж де
ние: объемы тел, подобных с коэффициентом А, относятся как А3.
Шар
247

Этот факт верен и для любых простых тел, то есть тел,
которые можно разбить на конечное число треугольных пирамид.
В частности, любые многогранники, подобные с коэффициентом k,
имеют объемы, которые отличаются в ks раз.
Задача
Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, па
раллельная основанию. В каком отношении она делит объем пи
рамиды?
Решение
Пусть дана пирамида с вершиной S и вы
сотой SO. Плоскость, параллельная основанию
пирамиды, пересекает SO в точке Ог (рис. 219).
Рис. 219
тт SOi 1 хтПо условию - = —. Но отсекаемая пирамида
SO 2
подобна данной, причем отношение их высот
равно коэффициенту подобия, то есть k = —. По
2
свойству объемов подобных т;ел объем отсекае
мой пирамиды в 8 раз меньше объема данной
пирамиды. Следовательно, данная плоскость,
параллельная основанию пирамиды, делит ее
объем в отношении 1:7.
Ответ: 1:7.
714. Как изменится объем правильной пирамиды, если:
а) ее высоту увеличить в 3 раза, а сторону основания
уменьшить в 3 раза;
б) ее высоту уменьшить в 2 раза, а сторону основания
увеличить в 2 раза?
715. Найдите отношение объемов двух конусов, если:
а) их радиусы равны, а высоты относятся как 1:3;
б) их высоты равны, а радиусы бтносятся как 1:3.
248 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

716. Отношение объемов двух шаров равно 8. Как относятся их
диаметры?
717. Сколько нужно взять пластилиновых шариков радиуса 2 см,
чтобы сделать один шарик радиуса б см?
718. Из бумаги вырежьте круговой сектор с центральным углом 300°
и радиусом 5 см. Используя этот сектор, изготовьте модель конуса.
Найдите объем полученного конуса.
719. Уменьшите размеры пирамиды Хеопса в 1000 раз и смодели
руйте ее аналог из картона. Найдите объем модели.
720. Возьмите 10 тетрадей и смоделируйте из них прямоугольный
параллелепипед. Потом слегка раздвиньте полученную пачку.
Сравните объемы исходной и полученной фигур. Сделайте выводы
на основании аксиом объема и принципа Кавальери.
721. Сравните объемы мягкой (съедобной) части толстокожего
апельсина и его кожуры.
Уровень А
722.* Найдите объем пирамиды с высотой 10 см, если основанием
пирамиды является:
а) треугольник со сторонами 3 см и 8 см и углом 30° между
ними;
б) ромб с диагоналями б дм и 8 дм;
в) трапеция с основаниями 8 см и 12 см и высотой 9 см.
—^ 723.* Найдите объем пирамиды с высотой 8 см, если основанием
пирамиды является:
а) параллелограмм со сторонами 5 см и 12 см и углом 150°;
б) треугольник со сторонами 4 см, 51 см и 53 см;
в) прямоугольник с диагональю 15 дм и отношением сторон 3:4.
724. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если:
а) ее апофема равна а, а двугранный угол при основании ра
вен а ;
б) угол между ее боковым ребром и основанием равен Р, а ра
диус окружности, описанной около основания, равен R.
249

725. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если:
а) ее высота равна h, а апофема равна а;
б) ее боковое ребро равно /, а плоский угол при вершине ра
вен ф.
726. Высота пирамиды равна Л, а боковое ребро наклонено к осно
ванию под углом а . Найдите объем:
а) правильной четырехугольной пирамиды;
б) правильной треугольной пирамиды.
727. В основании пирамиды лежит прямоугольник с диагональю
30 см и углом между диагоналями 60°. Все боковые ребра накло
нены к основанию под углом 30°. Надите объем пирамиды.
728. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 3 см,
4 см и 5 см. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости
основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
729. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник
с основанием 10 см, периметр которого равен 36 см. Все боковые гра
ни наклонены к основанию под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
730. В основании пирамиды лежит ромб со стороной 4 см и тупым
углом 120°. Каждый двугранный угол при основании пирамиды
равен 60°. Найдите объем пирамиды.
731. Высота усеченной пирамиды равна 6 см, объем равен 28 см3,
а площадь одного из оснований — 8 см2. Найдите площадь другого
основания.
732. Найдите объем правильной четырехугольной усеченной
пирамиды, площади оснований которой равны 4 см2 и 16 см2,
а апофема равна VlO^ см.
733.* Найдите объем конуса, если:
а) его высота равна 6 см, а радиус 2 см;
б) его образующая равна 13 см, а диаметр 10 см;
в) его образующая равна 3>/2 см, а угол между образующей
и основанием конуса 45°.
734.* Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 6 см,
а образующая — 5 см. Найдите объем конуса.
735.* Диаметры оснований усеченного конуса равны 12 см и 18 см,
а объем — 399л см3. Найдите высоту конуса.
736. Площадь осевого сечения конуса равна Q, а объем — V. Най
дите радиус конуса.
250

—^ 737. Площадь основания конуса равна S, а объем — F. Найдите
высоту конуса.
738? Найдите объем шара, если:
а) его радиус равен 3 см;
б) его диаметр равен 12 см;
в) площадь его большого круга равна 4я см?.
—^ 739. Найдите радиус шара, который переплавили из металлическо
го куба с ребром 2 см.
Уровень Б
740. В правильной четырехугольной пирамиде высота образует с бо
ковым ребром угол а . Расстояние от середины высоты до бокового
ребра равно d. Найдите объем пирамиды.
—^ 741. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро обра
зует с плоскостью основания угол р. Найдите объем пирамиды,
если расстояние между серединой высоты и серединой бокового
ребра равно т.
742. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует
с высотой угол а , а расстояние от основания высоты до бокового
ребра равно а. Найдите объем пирамиды.
—^ 743. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует
с плоскостью основания угол р, а расстояние от основания высоты
до середины бокового ребра равно d. Найдите объем пирамиды.
744. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник
с гипотенузой с и острым углом а . Все боковые ребра наклонены
к плоскости основания под углом сс. Найдите объем пирамиды.
с основанием Ь и углом р при вершине. Все боковые ребра обра
зуют с высотой угол а. Найдите объем пирамиды.
746. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с бо
ковой стороной с и острым углом а . Диагональ трапеции явля
ется биссектрисой острого угла. Найдите объем пирамиды, если
все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом у .
с углом а при основании и радиусом вписанной окружности г.
Найдите объем пирамиды, если все двугранные углы при основа
нии равны у.
251

—^ 748.Основанием пирамиды является ромб с острым углом р. Все
высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды,
равны h и наклонены к плоскости ее основания под углом у . Най
дите объем пирамиды.
с углом а при основании и радиусом вписанной окружности г.
Две неравные боковые грани перпендикулярны основанию, а тре
тья — наклонена к нему под углом (р. Найдите объем пирамиды.
750. В основании пирамиды лежит квадрат. Две смежные боковые
грани перпендикулярны основанию, а две другие — наклонены
к нему под углом у. Найдите объем пирамиды, если наименьшее
боковое ребро пирамиды равно а.
751. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник
с катетом а и противолежащим углом а . Боковая грань, содер
жащая этот катет, перпендикулярна основанию, а две другие —
наклонены к нему под углом р. Найдите объем пирамиды.
—^ 752. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник
с боковой стороной Ъи углом р при вершине. Боковая грань, содер
жащая основание треугольника, перпендикулярна основанию, а две
другие — наклонены к нему под углом у . Найдите объем пирамиды.
753. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны осно
ваний равны а и Ъ (а>&), а боковое ребро наклонено к большему
основанию под углом ср. Найдите объем пирамиды.
754. Сторона одного из оснований правильной четырехугольной усе
ченной пирамиды равна 3 см, высота — 15 см, а объем — 185 см3.
Найдите сторону другого основания.
755. Через две образующие конуса, угол между которыми равен
120°, проведено сечение. Площадь сечения равна 4л/з см2. Най
дите объем конуса, если угол между высотой и образующей ра
вен 60°.
—^ 756. Через вершину конуса проведена плоскость под углом 45°
к основанию. Плоскость пересекает основание конуса по хорде,
равной радиусу основания конуса и удаленной от его центра на
3 см. Найдите объем конуса.
757. Равнобедренный треугольник с основанием а и высотой Л,
проведенной к основанию, вращается вокруг основания. Найдите
объем фигуры вращения.
252

—^ 758. Равносторонний треугольник со стороной а вращается вокруг
стороны. Найдите объем фигуры вращения.
759. Объем усеченного конуса равен 31л см3, а образующая — ра
диусу большего основания. Найдите радиусы оснований конуса,
если отношение высоты к образующей равно 3:5.
—^ 760. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна 42 см2.
Найдите радиусы оснований конуса, если его объем равен 78л см3,
а высота — б см.
761. Найдите объем шара, если площадь сечения, удаленного от
центра шара на расстояние d, равна S.
—^ 762. Сечение шара плоскостью имеет диаметр 24 см. На каком рас
стоянии от центра шара проходит плоскость сечения, если объем
шара равен 4500л см3?
763. В шаре проведены две плоскости перпендикулярно диаметру.
Найдите объем каждой части шара, если диаметр шара равен 18 см,
а плоскости делят диаметр на три равные части.
764. Определите объем меньшего шарового сектора шара радиуса i?,
если угол осевого сечения сектора равен а.
—^ 765. Шар разрезали на две части. Плоскость сечения проходит на
расстоянии 12 см от центра шара. Найдите объем каждой части,
если объем шара равен 4500л см3.
Уровень В
766. В правильной треугольной пирамиде апофема образует с бо
ковым ребром угол (3. Найдите объем пирамиды, если радиус
окружности, вписанной в боковую грань, равен г.
767. Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым
ребром I и плоским углом при вершине а .
768. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с вы
сотой h и плоским углом при вершине а ..
769. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при бо
ковом ребре равен р. Найдите объем пирамиды, если ее боковое
ребро равно Ъ.
770. В правильной четырехугольной пирамиде отрезок, соединяю
щий основание ее высоты с серединой бокового ребра, наклонен
к плоскости основания под углом а. Найдите объем пирамиды,
если ее апофема равна 6.
253

771. В основании пирамиды лежит остроугольный треугольник
с углами а и р . Все боковые ребра пирамиды наклонены к плос
кости основания под углом у. Расстояние от основания высоты
**пирамиды до общей стороны заданных углов треугольника равно Z.
Найдите объем конуса, описанного около данной пирамиды.
—^ 772. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник
с основанием а и углом а при вершине. Все двугранные углы при
основании пирамиды равны у . Найдите объем конуса, вписанного
в данную пирамиду.
773. Объемы тел, полученных при вращении прямоугольного тре
угольника вокруг катетов и гипотенузы, равны Va9 Vb и Vc со-
1 1 1ответственно. Докажите, что —- = —- +——.
V . F 2 V 2c a b
774. В правильной треугольной пирамиде расстояние от основания
высоты до боковой грани равно с. Найдите объем пирамиды, если
боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом у .
• длина окружности (9 класс)
• призмы, описанные около цилиндра (11 класс, п. 15.4)
• пирамида, описанная около конуса (11 класс, п. 16.2)
• шаровые сегмент и пояс (11 класс, п. 16.3)
Задачи
775. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диаго
наль которого равна 41 см. Высота цилиндра равна 9 см, а радиус
основания — 25 см. На каком расстоянии от оси проведено это
сечение?
776. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересе
кающая основание конуса по хорде длиной 4 см. Хорду видно
из центра основания под углом 60°. Площадь полученного се
чения равна 8 см2. Вычислите угол между плоскостью сечения
и плоскостью основания конуса.
254

§ 17. Площади поверхностей геометрических тел
ем сумму площадей всех его граней. Как же определить площадь
поверхности тела, не являющегося многогранником? На практи
ке это делают так. Разбивают поверхность на такие части, кото
рые уже мало отличаются от плоских. Тогда находят площади
этих частей, как будто они являются плоскими. Сумма получен
ных площадей является приближенной площадью поверхности.
Например, площадь крыши здания определяется как сумма пло
щадей кусков листового металла. Еще лучше это видно на при
мере Земли. Приблизительно она имеет форму шара. Но площа
ди небольших ее участков измеряют так, как будто эти участки
являются плоскими. Более того, под площадью поверхности
тела будем понимать предел площадей полных поверхностей
описанных около него многогранников. При этом должно выпол
няться условие, при котором все точки поверхности этих много
гранников становятся сколь угодно близкими к поверхности дан
ного тела. Для конкретных тел вращения понятие описанного
многогранника будет уточнено.
Рассмотрим периметры Рп и площади S n правильных
/i-угольников, описанных около круга радиуса R. При доказа
тельстве формул для площади круга и длины окружности было
получено, что lim Sn=nR2, limРп- 2 nR.
Опишем около данного цилиндра радиу- ^ 22Q R обоеватввю
са R и высоты h правильную л-угольную приз- ф0р„улы’ площади боковой
Применим данные соотношения к обосно
ванию формулы для площади боковой поверх
ности цилиндра.
При вычислении объема цилиндра были
использованы правильные вписанные в него
призмы. Найдем при помощи в чем-то анало
гичных рассуждений площадь боковой поверх
ности цилиндра.
w- 1-^
I V.
I h I 1
му (рис. 220). поверхности цилиндра
2ББ

Площадь боковой поверхности призмы равна
®бок. прп ~ ^оси п ^ 9
где Р^и — периметр основания призмы.
При неограниченном возрастании п получим:
S = lim SeMt =lim P0CH h = 2izRh,
П — п П —>оо П
так как периметры оснований призмы стремятся к длине окруж
ности основания цилиндра, то есть к 2tlR.
Учитывая, что сумма площадей двух оснований призмы стре
мится к 2nR2, получаем, что площадь полной поверхности цилин
дра равна S + 2nR2. Но сумма площадей двух оснований цилиндра
равна 2tlR2. Поэтому найденную величину S принимают за площадь
боковой поверхности цилиндра.
Итак, площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется
по формуле
®бок = ,
где R — радиус цилиндра, h — его высота.
Заметим, что эта формула аналогична соответствующей фор
муле площади боковой поверхности прямой призмы = р •h .
За площадь полной поверхности цилиндра
принимается сумма площадей боковой поверхно
сти и двух оснований:
«полн = «бок + 2-S*» = 2%Rh+ 2яЯ 2= 2 kR(R + h ).
Если боковую поверхность цилиндра ради
уса R и высоты h разрезать по образующей АВ
и развернуть на плоскость, то в результате по
лучим прямоугольник ABB1AV который называ
ется разверткой боковой поверхности цилиндра
(рис. 221).
Очевидно, что сторона ВВг этого прямо
угольника есть развертка окружности основания
цилиндра, следовательно, ВВг = 2nR. Сторона АВ
равна образующей цилиндра, то есть АВ = h. Зна
чит, площадь развертки боковой поверхности
цилиндра равна 2nRh. Таким образом, площади
боковой поверхности цилиндра равна площади
ее развертки.
h
В 2 n R В г
Рис. 221. Развертка
боковой поверхности
цилиндра
256

Задача
Параллельно оси цилиндра на расстоянии d от нее проведе
на плоскость, отсекающая от основания дугу р. Диагональ полу
ченного сечения наклонена к плоскости основания под углом а .
Определите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение
Пусть дан цилиндр, в основаниях кото
рого лежат равные круги с центрами О и Ох,
OOl — ось цилиндра. Рассмотрим плоскость,
параллельную ООх. Сечение цилиндра данной
плоскостью представляет собой прямоуголь
ник ААХВХВ (рис. 222).
Пусть хорда АВ отсекает от окружности
основания дугу р< 180°. Тогда, по определению,
ZAOB = р. Так как образующие цилиндра пер
пендикулярны основаниям, В1В±(АОВ). Зна
чит, АВ — проекция АВХ на плоскость АОВ,
тогда угол между АВХ и плоскостью АОВ равен
углу В1АВ. По условию Z В1А В -а .
В равнобедренном треугольнике АОВ (АО = ВО = R) проведем
медиану ОК. Тогда ОК А.А В , Z АОК = ^ . Так как ВХВ J.(АОВ),
то (А4.1В1)х(АОВ) по признаку перпендикулярных плоскостей.
Но тогда О К±(АА1В1) по свойству перпендикулярных пло
скостей. Значит, ОК — расстояние между точкой О и плоско
стью АА1В1. Учитывая, что 0 0 х||(А4.1В1), по определению рас
стояния между параллельными прямой и плоскостью получаем,
что
По
т -
в
Рис. 222
ОК равно расстоянию между ООх и плоскостью AAXBX.
условию OK = d. Из прямоугольного треугольника АКО
Рч d .(ZAKO = 90°, OK = d, Z АОК = —) имеем: АО =
2
Из прямоугольного
рcos—
2
треугольника
A K -d tg—,
2
откуда АВ = 2dtg-^-.
( Z АВВХ= 90°, Z B tAB = a , AB = 2dtg£): ВВХ= 2 d tg - tga.
2 2
АВВЛ
257

Итак, = 2nRh =2я•АО• =2тс•-
cos
^ p -2 d tg -|tg a =
2 Р4nd sin—tga
2 Pcos —
AO =
В случае, когда (3> 180
d
ZAOB = 360°-p, ZAOK = 180°--^,
2
Y= ^ = d t g f l8 0 ° - |] = - d t g |.
cos— ^ '
J 2c o s^ 1 8 0 ° - - ^ -
Аналогично предыдущему, и в этом случае получаем тот же
результат для площади боковой поверхности.
Ответ:
2 РAnd sin—tga
2____
2РCOS —
2
17.2. Площадь поверхности конуса и усеченного конуса
Связь между цилиндрами и призмами полностью аналогична
связи между конусами и пирамидами. В частности, это касается
формул для площадей их боковых поверхностей.
Опишем около данного конуса с радиу
сом основания R и образующей I правильную
/i-угольную пирамиду (рис. 223). Площадь ее
боковой поверхности равна
бок.пирп 2
где РосЯп — периметр основания пирамиды,
1п — апофема.
При неограниченном возрастании п получим:
S lim S 6qKПИр ^ lira..P^n^•limZn= —•2tlR•I= nRl,
формулы площади боко
вой поверхности конуса
П -+00 ‘ ' П 2 71 Ц —>оо П 2
так как периметры оснований пирамиды стре
мятся к длине окружности основания конуса,
а апофемы 1п равны I.
Учитывая, что площадь основания пира
миды стремится к яД2, получаем, что площадь
полной поверхности конуса равна S +яД2. Но
площадь основания конуса равна nR2. Поэтому
найденную величину S принимают за площадь
258

боковой поверхности конуса. Итак, площадь боко
вой поверхности конуса вычисляется по формуле
^ бок ~ 9
где R — радиус основания, I — образующая.
За площадь полной поверхности конуса при
нимается сумма площадей его основания и боко
вой поверхности:
«поле = S ocm+ S 6oK=nR2+nRl = nR(R + l).
Если боковую поверхность конуса разрезать
по образующей РА и развернуть на плоскость, то
в результате получим круговой сектор PAAV ко
торый называется разверткой боковой поверхно
сти конуса (рис. 224).
Очевидно, что радиус сектора развертки ра
вен образующей конуса Z, а длина дуги ААг —
длине окружности основания конуса, то есть
2nR. Учитывая, что площадь соответствующего
т>2 5 сектШ
круга равна kR , получаем: ■■■--■; = ------, значит,
nR 2nR
£>сект= . Таким образом, площадь боковой по
верхности конуса равна площади ее развертки.
^ Учитывая формулу для площади боко
вой поверхности конуса, нетрудно найти площадь
боковой поверхности усеченного конуса.
Рассмотрим усеченный конус, полученный
при пересечении конуса с вершиной Р некоторой
секущей плоскостью (рис. 225).
Пусть АХА — образующая усеченного кону
са (ААг = Z), точки О и Ог — центры большего
и меньшего оснований с радиусами R и г соот
ветственно. Тогда площадь боковой поверхности
усеченного конуса равна разности площадей бо
ковых поверхностей двух конусов:
S6oK= K R P A -n rP A 1 =KR(PAl +A 1A )-n rP A 1 =
=nRl + n-PA1(R -r ) .
Из подобия треугольников РА10 1 и РАО
РА* РА РА* г
следует, что --- = ------, или--------—= — .
г R PA1--l R
Р
2nR
Рис. 224. Развертка
боковой поверхности
конуса
Р
площади боковой поверх
ности усеченного конуса
259

Тогда получаем РАЛ= ----- .
R - r
1т
Таким образом, S6oK= nRl + n--------(Д -г) = n(R+r)l.
R — r
Итак, мы получили формулу для вычисления площади боко-
вой поверхности усеченного конуса: S 6oK= n(R + r)l> где R и г —
радиусы оснований усеченного конуса, I — его образующая.
Отсюда ясно, что площадь полной поверхности усеченного ко
нуса равна 5 полн= n(R + r)l + n[R2+ г 2}.
Такой же результат можно было бы получить, если найти пло
щадь развертки боковой поверхности усеченного конуса или исполь
зовать правильные усеченные пирамиды, описанные около него.
Попробуйте дать соответствующие определения и провести необхо
димые рассуждения самостоятельно.
17.3. Связь между площадями поверхностей и объемами
При рассмотрении объемов и площадей поверхностей цилин
дра и конуса мы видели, что существует тесная взаимосвязь между
этими фигурами и призмами и пирамидами соответственно. Оказы
вается, что и сфера (шар), вписанная в многогранник, связана с ве
личиной его объема.
Определение ---------------------------------------------------
Сфера (шар) называется вписанной в выпуклый
многогранник, если она касается каждой его грани.
При этом многогранник называется описан
ным около данной сферы (рис. 226).
Рассмотрим, например, сферу, вписанную
в тетраэдр (рис. 227).
Плоскости, содержащие грани тетраэдра,
являются касательными к вписанной сфере,
а точки касания лежат в гранях тетраэдра. За
метим, что по доказанному в п. 14.2 радиусы
вписанной сферы, проведенные в точку касания
с поверхностью многогранника, перпендикуляр
ны плоскостям граней этого многогранника.
Для описанных многоугольников на пло
скости было доказано, что их площадь равна про
изведению полупериметра на радиус вписанной
Рис. 226. Многогранник,
описанный около сферы
Рис. 227. Сфера, впи
санная в тетраэдр
260

окружности. Аналогичное свойство связывает объем описанного
многогранника и площадь его поверхности.
Теорема (о связи площади поверхности и объема описанного
многогранника)
Объем описанного многогранника вычисляется по формуле
V = - S m г,
где <эполн — площадь полной поверхности многогранника, г — радиус
вписанной сферы.
□ Соединим центр вписанной сферы О со
всеми вершинами многогранника А г, А 2, А 3, ...
(рис. 228). Получим п пирамид, основаниями ко
торых являются грани многогранника, вершины
совпадают с точкой О, высоты равны г. Тогда
объем многогранника, по аксиоме, равен сумме
объемов этих пирамид. Используя формулу объема
пирамиды, найдем объем данного многогранника:
r=i Sir + 3 Sj r + - + 3 s "'r=
=^‘г ‘(®1 + ®2 + *"+®п)= '^®1юлн’г .
S -, So » s площади граней много-
3
где S 2,
гранника.
Оказывается, что в любой тетраэдр можно
вписать сферу, и только одну. Но не каждый вы
пуклый многогранник обладает этим свойством.
Рассматривают также сферы, описанные
около многогранника.
Определение ---------------------------------------------------
Сфера называется описанной около многогранника,
если все его вершины лежат на сфере.
При этом многогранник называется вписан
ным в сферу (рис. 229).
Также считается, что соответствующий шар
описан около многогранника.
Около любого тетраэдра можно описать
единственную сферу, но не каждый многогран
ник обладает соответствующим свойством.
тельству связи между
площадью поверхности
и объемом описанного
многогранника
Рис. 229. Вписанный
многогранник
261

формулы площади сфе
ры. Описанный много
гранник
Л
нию формулы площади
сферы
S^=4nR2 =4SKp
Рис. 232. Связь площа
дей сферы и большого
круга
17.4. Площадь сферы
Применим полученную связь для объемов
и площадей поверхностей описанных многогран
ников к выводу формулы площади сферы.
Опишем около сферы радиуса R выпуклый
многогранник (рис. 230).
Пусть S' — площадь полной поверхно
сти данного многогранника, а любые две точ
ки одной грани удалены друг от друга меньше
чем на е . Тогда объем многогранника равен
V = —S 'R . Рассмотрим расстояние от центра
3
сферы О до любой вершины многогранника, на
пример А х (рис. 231).
По неравенству треугольника ОАх< 0 0 ' +
+ 0'A1 <R +e, где О' — точка касания. Отсюда
следует, что все вершины данного многогранника
лежат внутри шара с центром О и радиусом R +e.
Итак, объем V данного многогранника боль
ше объема шара радиуса R и меньше объема шара
радиуса Л +е, то есть —яД3 <—S' R < —л(Л+е)3.
3 3 3 v 7
Отсюда получаем 4nR2 <S' <4n(R + e) 2 +
Если неограниченно уменьшать размеры
граней многогранника, то есть при е, стремя
щемся к нулю, левая и правая части последнего
неравенства будут стремиться к 4rtR2, а много
гранник все плотнее примыкать к сфере. Поэто
му полученную величину для предела S' прини
мают за площадь сферы.
Итак, площадь сферы радиуса R вычисля
ется по формуле S = 4nR2.
Доказанная формула означает, что площадь
сферы равна четырем площадям ее большого кру‘
га (рис. 232).
262

Исходя из аналогичных рассуждений, можно получить формулу для
площади сферической части шарового сегмента с высотой Н:
S ^ 4 =2kRH.
Оказывается, что эта формула справедлива и для площади сфери
ческой поверхности шарового слоя (пояса):
*®сф.ч- 2kR H ,
где Н — высота слоя (пояса).
© ОБСУЖДАЕМ ТЕОРИЮ
777* Может ли развертка боковой поверхности цилиндра быть ква
дратом?
778. Может ли развертка боковой поверхности конуса быть кругом?
779.’ Как изменится площадь поверхности шара, если объем шара
увеличится в 27 раз?
780. Существует ли невыпуклый многогранник, вписанный в сферу?
781. Из плотной бумаги сделайте круг и разрежьте его на два сек
тора, площади которых относятся как 1:2. Используя данные
секторы, сделайте два конуса. Найдите отношение площадей
полных поверхностей полученных конусов.
—^ 782. Из плотной бумаги изготовьте два одинаковых прямоугольни
ка, стороны которых относятся как 1:2. Используя данные пря
моугольники, склейте два разных цилиндра. Найдите отношение
площадей полных поверхностей полученных цилиндров.
783. Измерьте диаметр волейбольного мяча и найдите площадь его
поверхности. Используя полученный результат, найдите площадь
одного кожаного кусочка поверхности мяча.
Уровень А
784Г Найдите площадь:
а) боковой поверхности цилиндра радиуса 3 см и высоты 5 см;
б) полной поверхности конуса с диаметром 6 см и образующей 5 см;
в) полной поверхности цилиндра, осевое сечение которого яв
ляется квадратом со стороной а;
г) боковой поверхности конуса, осевое сечение которого явля
ется прямоугольным треугольником с гипотенузой с.
--------------------------------------------------------------------------------- 263

785. Прямоугольник со сторонами 1 см и 3 см вращается вокруг
меньшей стороны. Найдите боковую поверхность полученного тела
вращения.
—^ 786. Угол между высотой и образующей конуса составляет 30°.
Найдите полную поверхность конуса, если образующая равна 14 см.
787. Образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена
к основанию под углом 45°. Найдите полную поверхность данного
конуса, если его высота равна радиусу меньшего основания.
—^ 788. Осевое сечение усеченного конуса является равнобедренной
трапецией с высотой 3 см и основаниями 12 см и 20 см. Найдите
боковую поверхность усеченного конуса.
789Г Найдите площадь поверхности шара, если:
а) его радиус равен 2 см;
б) длина его большой окружности равна бтс см.
790. Земная суша составляет около 29 % земной поверхности.
Во сколько раз площадь земной суши больше поверхности Луны,
если диаметр Земли приблизительно равен 13 ООО км, а диаметр
Луны — 3500 км?
—^ 791.* Найдите площадь поверхности шара, объем которого равен
288я см3.
Уровень Б
792. Площади боковой и полной поверхностей цилиндра относят
ся как 2:3. Найдите угол между диагоналями осевого сечения ци
линдра.
793. Угол между диагональю осевого сечения цилиндра и площа
дью основания равен у . Найдите площадь полной поверхности ци
линдра, если диагональ равна d.
794. В цилиндре высота h равна радиусу основания г. Докажите,
что площадь полной поверхности цилиндра равна площади круга
радиуса Л+ г.
795. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, пересекаю
щая нижнее основание по хорде, которую видно из центра этого
основания под углом 2а. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра, если диагональ полученного сечения равна d и накло
нена к плоскости основания под углом р.
264

—^ 796. Длила хорды нижнего основания цилиндра, которую видно из
центра этого основания под углом 2а, равна а. Отрезок, соединя
ющий середину этой хорды с центром верхнего основания, обра
зует с плоскостью основания угол (}. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра.
797. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая
его основание по хорде, которую видно из центра основания под
углом а , а из вершины — под углом р. Определите боковую по
верхность конуса, если расстояние от центра его основания до
середины образующей равно т.
798. Площадь боковой поверхности конуса втрое больше площади
основания. Найдите площадь полной поверхности конуса, если
диаметр основания равен 4 см.
799. Отрезок, соединяющий центр основания конуса с серединой
образующей, наклонен к плоскости основания под углом ф. Длина
этого отрезка равна d. Найдите полную поверхность конуса.
800. В шаре по разные стороны от центра проведены два парал
лельных сечения на расстоянии 14 см друг от друга. Площади се
чений равны 64л см2 и 36л см2. Найдите площадь поверхности
шара.
801. Радиус шара равен Л, а радиус его сечения плоскостью — г.
Найдите площадь полной поверхности меньшего шарового сегмента.
—^ 802. На каком расстоянии от центра шара радиуса 6 см должен
находиться точечный источник света, чтобы им освещалась треть
поверхности шара?
803. Радиусы оснований шарового пояса равны 10 см и 12 см, а его
высота — 11 см. Найдите площадь сферической поверхности ша
рового пояса, если параллельные плоскости, пересекающие шар,
расположены по разные стороны от центра шара.
—^ 804. Радиус шара равен Л, а радиус его сечения плоскостью — г.
Найдите площадь сферической части поверхности большего шаро
вого сегмента.
Уровень В
805. Высота правильной треугольной пирамиды равна А, а плоский
угол при вершине — а. Найдите площадь вписанной сферы.
265

—^ 806. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Н 9
а плоский угол при вершине — |1. Найдите площадь поверхности
описанного шара.
807. в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник,
сторона основания которого равна а и угол при основании а . Все
боковые грани наклонены к основанию под углом р. Найдите пло
щадь поверхности вписанного шара^—
808. в правильной четырехугольной пирамиде расстояние от се
редины высоты пирамиды до боковой грани равно d. Найдите
полную поверхность вписанного в пирамиду конуса, образующая
которого наклонена к плоскости основания под углом ф.
809. в правильной четырехугольной пирамиде расстояние от сере
дины высоты пирамиды до бокового ребра равно т. Найдите пол
ную поверхность описанного около пирамиды конуса, образующая
которого составляет с высотой угол а .
810- Цилиндр вписан в прямую призму, в основании которой ле
жит ромб с острым углом а . Большая диагональ призмы равна d,
а меньшая — наклонена к плоскости основания под углом ф. Най
дите боковую поверхность цилиндра.
—^ 811. Цилиндр описан около прямоугольного параллелепипеда,
большая сторона основания которого равна а. Диагональ парал
лелепипеда образует с основанием угол а , а с большей боковой
гранью — угол ф. Найдите полную поверхность цилиндра.
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с измерения
ми 3 см, 2 дм, 1 м.
а) 6 см3; б) 60 см3; в) 600 см3; г) 6000 см3.
2* Образующая конуса равна 5 см, а диаметр основания — 8 см.
Найдите объем конуса.
а) 48л см3; б) 16л см3; в) 20л см3; г) 40л см3.
3- Площадь поверхности куба равна 6 см2. Найдите его объем,
а) 1 см3; б) 2 см3; в) 1,5 см3; г) 3 см3.
4- Высота цилиндра равна диаметру основания d. Найдите объем
цилиндра.
а) — ; б) nd3; в) nd2; г) 2?*_.
4 4

5. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, площадь
наибольшего диагонального сечения которой равна 36 см2, а высота
вдвое меньше ребра основания.
а) 27>/з см3; в) 16873 см3;
б) 162%/з см3; г) 81у/з см3.
6. Найдите площадь поверхности шара, объем которого равен
4,5л см3.
а) 9 см2; б) 90л см2; в) 9л см2; г) 90 см2.
7. Образующая конуса равна 6 см и наклонена к основанию под
углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
а) 18 см2; б) 18>/Зл см2; в) Збл см2; г) 18л см2.
8. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды
равна 64 см2, а площадь боковой поверхности — 80 см2. Найдите
объем пирамиды.
а) 192 см3; б) 64 см3; в) 144 см3; г) 16 см3.
9. В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом 60°.
Меньшая диагональ призмы равна 12 см и наклонена к основанию
под углом 45°. Найдите объем призмы.
а) 216у/б см3; в) 21бТз^ см3;
б) 216n/2 см3; г) 144^6 см3.
10. Найдите объем правильного тетраэдра с реброма.
. а373 а37 2 . a372 . a376
а) ; б)---------; в) ; г) .
12 12 6 12
11. Осевое сечение конуса является прямоугольным треугольни
ком. Площадь боковой поверхности конуса равна площади поверх
ности некоторого шара. Найдите отношение их объемов.
а) 1:2; 6 ) 7 2 : 7 ! ; в) 7 2 :7 2 ; г) 1:72.
12. В основании пирамиды лежит трапеция, основания которой
равны 12 см и 16 см, а одна из боковых сторон — 13 см. Высота
пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды, если все грани
наклонены к основанию под одним и тем же углом.
а) 1008 см2; б) 672 см2; в) 336 см2; г) 364 см2.
267

Итоги главы IV
Итоговый обзор главы IV
268

Цилиндр
л:
1^_^ ♦___ ^
V = nR2h
S6oK=2nRh
Sa<mu=2nR(R+h)
Конус
/ ь i
V = —nR2h
3
5 б о к = ^
SaojlB= nR(R + l)
Усеченный конус
1/ ^ >
1
!j
Г = -|яЛ(г2+ Д 2+ гй) |
S6oK=n(R + r)l
Saojm= n(R + r)l + n(R2 + r 2)
Шар и сфера
V = - n R 3 S = 4nR2
3
Шаровой слой (пояс)
!
Scit).4 = 2KRH
Шаровой сектор
2 о
V = —n R H
3 /
j
Шаровой сегмент |
j
V = nH2 ^ R ~ Y j 5 сфч-2llRH
1
269

© Контрольные вопросы к главе IV
1- Сформулируйте аксиомы объема для многогранников.
2. Сформулируйте теоремы об объеме прямоугольного параллеле
пипеда и куба.
3. Сформулируйте теорему об объеме параллелепипеда.
4- Докажите формулу объема призмы.
Дайте определение призмы, вписанной в цилиндр, и призмы,
описанной около него.
6. Обоснуйте формулу объема цилиндра.
7. Сформулируйте интегральную формулу объема.
8- Сформулируйте принцип Кавальери.
8- Докажите формулу объема пирамиды.
Ю- Сформулируйте формулу объема усеченной пирамиды.
11- Дайте определение пирамиды, вписанной в конус, и пирамиды,
12. Сформулируйте теоремы об объеме конуса и объеме усеченного
конуса.
13- Докажите формулу объема шара.
"4. Дайте определение шарового сегмента и сектора, приведите фор
мулы для вычисления их объемов.
15. Сформулируйте правило, по которому связаны объемы подобных
тел.
16- Сформулируйте правила для нахождения площадей поверхно
стей конуса, усеченного конуса и цилиндра.
17. Дайте определение сферы, вписанной в многогранник, и сферы,
18. Сформулируйте правила для нахождения площади сферы и сфе
рического сегмента.
270

Дополнительные задачи к главе IV
812. Боковые ребра треугольной пирамиды равны 1 см, 2 см и 3 см,
а плоские углы при вершине — 90°. Найдите объем пирамиды.
813. Найдите объем правильного октаэдра с ребром а.
814. Найдите объем и полную поверхность равностороннего цилин
дра радиуса R.
815. Найдите объем и полную поверхность равностороннего конуса
радиуса R.
816. Высота пирамиды разделена на четыре равные части. Через
точки деления проведены плоскости, параллельные основанию.
Найдите отношение объемов четырех полученных частей пирамиды.
817. Параллелограмм вращается последовательно вокруг своих сто
рон а и Ь. Найдите отношение объемов тел вращения.
818. Радиус шара равен R. Определите полную поверхность шаро
вого сектора, если дуга в осевом сечении сектора равна 90°.
819 (опорная). Пусть тело, полученное при вращении вокруг
оси Ох графика функции y = f(x)> заключено между параллель
ными плоскостями а и |3, перпендикулярными оси Ох. Тогда
ь
его объем можно вычислить по формуле V = n jf 2 (x)dx, где
а
а и Ъ — абсциссы координат точек пересечения оси Ох с пло
скостями а и Р соответственно (а<Ъ). Обоснуйте.
820. Докажите, что объем шара диаметра d равен П^
6
821. Если в перпендикулярное сечение призмы можно вписать
окружность, то объем призмы равен половине произведения ра
диуса этой окружности на площадь боковой поверхности призмы.
Докажите.
271

822. Найдите геометрическое место точек — вершин всех пирамид
с объемом V, общим основанием которых является данный много
угольник с площадью S.
823. Если два цилиндра равновелики, то площади их боковых по
верхностей обратно пропорциональны радиусам данных цилин
дров. Докажите.
824. В правильной треугольной пирамиде сторона основания рав
на а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под
углом а . Через сторону основания проведено_сечение, перпендику
лярное противолежащему боковому ребру. Найдите объемы частей
пирамиды.
825. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а, а двугранный угол при боковом ребре — ф. Найдите
объем пирамиды.
826. Полная поверхность конуса равна S. Образующая конуса на
клонена к плоскости основания под углом а. Найдите объем ко
нуса.
827. Докажите, что среди всех прямоугольных параллелепипедов
с данной диагональю наибольший объем имеет куб.
828. Дана треугольная пирамида РАВС. На лучах РА, РВ, PC
выбраны точки М, N , К соответственно таким образом, что
РМ , PN - РК - _ VPMNK - . .
= КХ, = Л2, = Л3. Докажите, что — - = Л1Л2А3.
РА РВ PC VPABC
829. Докажите, чтообъем тетраэдраРАВС равенd AB CP sт ф ,
где d —расстояние между прямыми АВ и СР, ф— уголмежду
ними.
830. В треугольной пирамиде все двугранные углы при ребрах осно
вания равны а . Найдите объем пирамиды, если длины этих ребер
равны а, Ь, с.
272

831. Докажите, что объем шарового слоя можно вычислить по фор-
радиусы его оснований.
832. Площадь полной поверхности шарового сектора можно
диус шара, Н — высота соответствующего сегмента. Обоснуйте.
8^3 (опорная). Для любой правильной пирамиды существует
ровно один вписанный шар и ровно один описанный шар. Центр
вписанного шара лежит на высоте, центр описанного — на
прямой, содержащей высоту. Докажите.
834 (опорная). Шар можно вписать в прямую призму тогда
и только тогда, когда в ее основания можно вписать окруж
ности, а высота призмы равна диаметрам этих окружностей.
Шар можно описать около прямой призмы тогда и только
тогда, когда около ее оснований можно описать окружности.
Центром вписанного (описанного) шара является середина
высоты призмы, соединяющей центры вписанных (описанных)
окружностей ее оснований. Докажите.
835 (опорная). В любую пирамиду с равными двугранными угла
ми при основании можно вписать шар и только один. Его центр
лежит на высоте пирамиды. Около любой пирамиды с равны
ми боковыми-ребрами можно описать шар и только один. Его
центр лежит на прямой, содержащей высоту. Докажите.
836 (опорная). Для любого тетраэдра существует ровно один
вписанный шар и ровно один описанный шар. Докажите.
муле высота слоя, гг и г2
вычислить по формуле Suojih= kR [2.H +4 2 R H -H 2 J, где R — ра
273

Глава IV. Объемы и площади
Бонавентура
Кавальери
Чертова лестница
поверхностей геометрических тел
И <то р и ческая с11рав ка
Многие формулы для вычисления объемов
многогранников были известны уже в Древнем
Египте. В так называемом Московском папирусе,
созданном около 4000 лет назад, вероятно, впер
вые в истории вычисляется объем усеченной пи
рамиды. Но четкие доказательства большинства
формул для объемов появились позднее, в рабо
тах древнегреческих ученых.
Так, доказательства формул для объемов
конуса и пирамиды связаны с именами Демокри
та из Абдеры (ок. 460-370 гг. до н. э.) и Евдокса
Книдского (ок. 408-355 гг. до н. э.). На основа
нии их идей выдающийся математик и механик
Архимед (287-212 гг. до н. э.) вычислил объем
шара, нашел формулы для площадей поверхно
стей цилиндра, конуса, сферь£г
Дальнейшее развитие методы, предложен
ные Архимедом, получили благодаря трудам
средневекового итальянского монаха и мате
матика Бонавентуры Кавальери (1598-1647).
В своей книге «Геометрия неделимых» он сфор
мулировал принцип сравнения объемов, при ко
тором используются площади сечений. Его рас
суждения стали основой интегральных методов
вычисления объемов, разработанных Исааком
Ньютоном (1642 (1643)-1727) и Готфридом Виль
гельмом фон Лейбницем (1646-1716). Во мно
гих учебниках по геометрии объем пирамиды
находится с помощью «чертовой лестницы» —
варианта древнегреческого метода вычерпыва
ния, предложенного французским математиком
А. М. Лежандром (1752-1833).
На II Международном конгрессе математи
ков, который состоялся в 1900 году в Париже, Да
вид Гильберт сформулировал, в частности, такую
проблему: верно ли, что любые два равновеликих
многогранника являются равносоставленными?
Уже через год отрицательный ответ на этот
274

вопрос был обоснован учеником Гильберта Мак
сом Деном (1878-1952). Другое доказательство
этого факта предложил в 1903 году известный
геометр В. Ф. Каган, который в начале XX века
вел плодотворную научную и просветительскую
деятельность в Одессе. В частности, из работ
Дена и Кагана следует, что доказательство фор
мулы объема пирамиды невозможно без приме
нения пределов.
Весомый вклад в развитие теории площа
дей поверхностей внесли немецкие математики
XIX века. Так, в 1890 году Карл Герман Аман-
дус Шварц (1843-1921) построил пример после
довательности многогранных поверхностей, впи
санных в боковую поверхность цилиндра («сапог
Шварца»). Уменьшение их граней не приводит
к приближению суммы площадей этих граней
к площади боковой поверхности цилиндра. Это
стало толчком к созданию выдающимся немец
ким математиком и физиком Германом Минков-
ским (1864-1909) современной теории площа
дей поверхностей, в которой последние связаны
с объемом слоя около данной поверхности.
Учитывая огромный вклад Архимеда в раз
витие математики, в частности теории объемов
и площадей поверхностей, именно его изобра
зили на Филдсовской медали — самой почет
ной в мире награде для молодых математиков.
В 1990 году ею был награжден Владимир Дрин-
фельд (род. в 1954 г.), который учился и некото
рое время работал в Харькове. Вот так юные та
ланты, успешно изучающие геометрию в школе,
становятся в дальнейшем всемирно известными
учеными.
Филдсовская
медаль
Г. Минковский
Сапог Шварца
275

© Тематика сообщений и рефератов к главе IV
1. Измерение объемов в древние времена.
2. Комбинации тел.
3. Принцип Кавальери.
4. Равновеликие и равносоставленные многогранники.
5. Площадь поверхности по Г. Минковскому.
0 Рекомендованные источники информации
1. Математична хрестоматчя. Т. 1, 2. — К.: Рад. шк., 1970.
2. Глейзер Г. И. Историяматематики в школе.IX-X кл. — М.:
3. Перельман Я. И. Занимательная геометрия. — М.: Физматгиз,
1959. 4
5. 1нтернет-б1блютека МЦНМО. http://ilib.mirrorl.mccme.ru/
6. Калинин А. Ю., Терёшин Д. А. Стереометрия-11. — М.: Изда
тельство МФТИ, 2001.
7. Тадеев В. О. Геометр1я. Основи стереометри. Многогранники:
Двор1вневий тдручник для 10 класу загальноосвггтх навчальних
заклад1в / За ред. В. I. Михайловського. — Тернотль: Навчальна
книга — Богдан, 2003.
276

Приложение 1. Уравнения фигур в пространстве
Напомним, что уравнением фигуры F на плоскости называет
ся уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки
фигуры F и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не при
надлежащей фигуре F. Так же определяют и уравнение фигуры в про
странстве; но, в отличие от плоскости, где уравнение фигуры со
держит две переменные х и у, в пространстве уравнение фигуры
является уравнением с тремя переменными х, у и г.
Выведем уравнение плоскости, прямой и сферы в пространстве.
Для получения уравнения плоскости рас
смотрим в прямоугольной системе координат пло
скость а (рис. 233) и определим свойство, с по
мощью которого можно описать принадлежность
произвольной точки данной плоскости. Пусть не
нулевой вектор й(А;В;С) перпендикулярен а (то
есть принадлежит прямой, перпендикулярной дан
ной плоскости,— такой вектор называют вектором
нормали или нормалью к плоскости а), а точ- Рис* 233* к получению
/ „ уравнения плоскости
ка М 0 [x0;y0;z0) принадлежит данной плоскости.
Так как п ± а , то вектор п перпендикулярен любому вектору пло
скости а . Поэтому если М (х;у; г) — произвольная точка плоскости а ,
то п ± М 0М , тр есть п-М 0М = 0. Более того, если векторы п и М 0М
перпендикулярны, то, поскольку плоскость, проходящая через точ
ку М0 перпендикулярно вектору п , единственна, имеем М 0М с а ,
то есть M e а . Таким образом, уравнение п •М 0М = 0 — критерий
принадлежности точки М плоскости а . На основании этого век
торного критерия выведем уравнение плоскости в пространстве.
Теорема (уравнение плоскости в пространстве)
В прямоугольной системе координат уравнение плоскости имеет вид
Ax + By + Cz + D = 0 , где А, В, С и D —некоторые числа, причем числа
А, В л С одновременно не равны нулю.
□ Запишем в координатной форме векторное равенство Я М0М = 0,
где й(А;В;С) — вектор нормали к данной плоскости,
(х 0’Уо'*2 о) — фиксированная точка плоскости, М (#; у; г) —
произвольная точка плоскости. Имеем М 0М (х -х 0 ;y - y 0 ',z -z 0).
277

г
V
Следовательно, A (x -x 0 )+ B (y -y 0 )+ C (z-z0)= 0.
После раскрытия скобок и приведения подобных членов это
уравнение примет вид: Ах +Ву + С г+(-А х0 ~Ву0 -С г0)= 0 .
Обозначив числовое выражение в скобках через D, получим ис
комое уравнение, в котором числа А, В и С одновременно не равны
нулю, так как пф 0.
Покажем теперь, что любое уравнение вида Ах + Ву +
+Cz+D = 0 задает в пространстве плоскость. Действительно,
пусть (х0;г/0;го) — одно из решений данного уравнения. Тогда
AxQ+By0 +Cz0 +D = Q. Вычитая это равенство из данного, получим
А(х - х0 )+В(у - у 0 )+C(z - z0)= 0. Так как это уравнение является ко
ординатной записью векторного равенства п-М 0М = 0, то оно явля
ется уравнением плоскости, проходящей через точку М 0 (x0;y0;z0)
перпендикулярно вектору п[А;В;С). ■
Обратим внимание на то, что в доказательстве теоремы при
веден способ составления уравнения плоскости по данным коорди
натам произвольной точки плоскости и вектора нормали.
Задача 1
Напишите уравнение плоскости, которая перпендикуляр
на отрезку MN и проходит через его середину, если Л/(-1;2;3),
N (5 ;-4 ;-l).
Решение
Найдем координаты точки О — середины отрезка MN:
2 2 2
Значит, О (2; -1; 1). Так как данная плоскость перпендикулярна
отрезку MN, то вектор ON (3; - 3; - 2) — вектор нормали к данной
плоскости. Поэтому искомое уравнение имеет вид: Зх - Зу - 2z +D = 0.
И наконец, так как данная плоскость проходит через точ
ку 0(2;-1;1), то, подставив координаты этой точки в уравнение,
получим: 3-2-3 -(-1 )-2 1 + П = 0, 7+ Z)= 0, D = - 7.
Таким образом, уравнение Зх - Зу - 2г - 7 = 0 искомое.
Ответ: 3 x -3 y -2 z -7 = 0.
Заметим, что правильным ответом в данной задаче является
также любое уравнение, полученное из приведенного умножением
обеих частей на число, отличное от нуля.
278

Значения коэффициентов А, В, С и D в уравнении плоскости
определяют особенности расположения плоскости в системе коорди
нат. В частности:
• если А * 0, В ф0, С Ф0, D = 0, уравнение плоскости примет
вид Ax +By + Cz = 0 ; очевидно, что такая плоскость проходит через
начало координат (рис. 234, а);
• если один из коэффициентов А, В и С равен нулю, a Б фО,
плоскость параллельна одной из координатных осей: например, при
условии А = 0 вектор нормали й(0;В;С) перпендикулярен оси Ох,
а плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох (рис. 234, б);
• если два из коэффициентов А, В и С равны нулю, а В фО,
плоскость параллельна одной из координатных плоскостей: напри
мер, при условиях А = 0 и В = 0 вектор нормали й(0;0;С) перпен
дикулярен плоскости Оху, а плоскость Cz + D = 0 параллельна пло
скости Оху (рис. 234, в);
• если два из коэффициентов А, В и С равны нулю и D = 0, пло
скость совпадает с одной из координатных плоскостей: например, при
условиях А * О и В = С = В = 0 уравнение плоскости имеет вид Ах = 0,
или х = 0, то есть является уравнением плоскости Оуг (рис. 234, г).
Предлагаем вам самостоятельно составить полную таблицу
частных случаев расположения плоскости Ax + By + Cz + D = 0 в пря
моугольной системе координат в зависимости от значений коэффи
циентов А, В, С и D.
Рис. 234. Частные случаи расположения плоскости в системе координат
Опорная задача (о расстоянии от точки до плоскости)
Расстояние от точки K (x 0 ;y0 ;z0) до плоскости а , за
данной уравнением Ax +By + Cz + D = 0 , вычисляется по формуле
d(K, а) =
Ах0 +Ву0 +Сгй+Р
si.A ll+B£+C‘
. Докажите.
279

Решение
Если К е а , то по уравнению плоскости Ах0 + By0 +Cz0 +
+£>= О, откуда d(K, а) = 0.
Если К ё а , то проведем перпендикуляр КМ к плоскости а ,
M ( x 1;y1;z1)e а.
Тогда КМ[х1 - х 0‘,у 1 - у 0;г1 - г 0 )п(А",В;С), поэтому КМ = Хп,
то есть х 1 = х 0 + ХА, у г = у0 +ХВ, г г = г 0 + ХС. Так как
M (x1;j^1;z1)e a , то А (х0+ ХА)+В[у0 + АЛ})+С(г0+ A£)+D = 0, от
куда
A x 0 + B y 0 +Cz0 +D
А 2 + В 2 + С 2
Таким образом, d (K ,сх)= IК М I= (ХА;ХВ;ХС)
Ах q+ By q '’Czq + D
а 2 + в 2 + с 2
■4 а 2 + в 2 + с 2 =
А х 0 + Ву0 +CzQ+D
4 а 2 + в 2 + с 2
Рассмотрим теперь возможность описания прямой в простран
стве с помощью уравнений.
Пусть в пространстве дана прямая k
(рис. 235). Выберем ненулевой вектор р(1тп) 9
параллельный данной прямой или принадлежа
щий ей (такой вектор называют направляющим
вектором прямой k)> и зафиксируем точку
Af0(я0;1/0;;г0), принадлежащую данной прямой.
Тогда произвольная точка пространства М (х; у; z)
будет принадлежать прямой k в том и только в том
случае, когда векторы р и М 0М коллинеарны,
то есть существует число t такое, что M 0M - t p .
Представим это векторное равенство в ко
ординатной форме. Если ни одна из координат
направляющего вектора не равна нулю, из дан
ного равенства можно выразить t и приравнять
полученные результаты:
Рис. 235. Направля
ющий вектор прямой
I
У ~ У о Z - Z о
т п
Эти равенства называют каноническими
уравнениями прямой в пространстве.
280

Задача
Напишите уравнение прямой, проходящей через точки
А(1;-3;2) и B (-l;0;l).
Решение
Так как точки А и В принадлежат данной прямой, то
АВ(-2;3;-1) — направляющий вектор прямой АВ. Таким обра
зом, подставив вместо jc0, у0 и г0 координаты точки А, получим
уравнение прямой АВ:
х - 1 _ у + 3 _ г - 2
-2 ” 3 ” -1
х - 1 у + 3 г - 2
Ответ:
-2
Заметим, что ответ в этой задаче может иметь и другой вид:
так, в числителях дробей можно использовать координаты точки В,
а как направляющий вектор рассматривать любой ненулевой ‘век
тор, коллинеарный АВ (например, вектор ВА).
Вообще, если прямая в пространстве задана двумя точками
М 0 (х0 ;у0;г0) и M 1 (x1;y1;zl ), то M 0M 1 (x1 - x 0 ;y1 - y 0;z1 - z 0) —
направляющий вектор прямой, а в случае, если соответствующие
координаты данных точек не совпадают, канонические уравнения
о х ~ х пУ~Уо z ~zo
прямой М0М 1 имеют вид -------—= -------—= ----- —.
x i ~ x o У1-У 0 zi ~ zo
С помощью уравнений удобно иссле
довать взаимное расположение прямых
и плоскостей в пространстве. Рассмотрим
прямые а и b с направляющими векторами
и <7(/25^ 2^ 2) соответственно.
Определение угла между данными прямы
ми связано с определением угла между их
направляющими векторами. Действитель
но, пусть ф — угол между прямыми а и 6.
Так как по определению фе[0°;90°], а угол
между векторами может быть больше 90°, то
Z(p,q) либо равен углу ф (рис. 236, а), либо
дополняет его до 180° (рис. 236, б).
a
Рис. 236. Определение угла
между прямыми в про
странстве
281

*
Так как cos(l80°-<p) = -cos<p, имеем coscp=|cosZ(p,g)|, то есть
I112 +т1т 2 +И1Л2'COS<p= -n7j “
р Ш ф ^ + т ^ +п, 2 ф 22 +т22 +п22 '
Отсюда, в частности, следует необходимое и достаточное усло
вие перпендикулярности прямых а и Ь:
Z1/2 ^ j7TVg j1%2 0•
Кроме того, прямые а и &параллельны тогда и только тогда,
когда их направляющие векторы коллинеарны, то есть существует
число t такое, что q - t p , или, при условии отсутствия у векторов р
и q нулевых координат,
^2 _ ^2 _ ^2
Zj TTlj
Проанализируем теперь отдельные случаи взаимного рас
положения двух плоскостей в пространстве. Очевидно, что если
Я(А; Б; С) — вектор нормали к плоскости а , то все ненулевые век
торы, коллинеарные Я, также являются векторами нормали к пло
скости а . Из этого следует, что две плоскости, заданные уравнения
ми A 1x +B1y +C1z + D 1 =0 и A 2X’-B2y+C 2z+ D 2 =0;
•совпадают, если существует число t такое, что (А 2;В2;С2)=
= t(A1;B1;C1) и D2 = tDl9 или, если числа A v Бх, Сг и Dx ненуле-
А 2 &2 ^2 ^2
вые, —- - — —-л о г »Аг Вг Сх D
• параллельны, если существует число t такое, что (А2;В2;С2)=
= t(A 1;S 1;C1) и D2 * tD lt или, если координаты Ах, Bv Сг и Dt не-
Ал Bn С, D , .
нулевые,—- = —- = —- Ф —- (напрактике этоозначает, что уравне-
A j Вг Cj Dj
ния данных плоскостейможнопривести к виду Ax+By+Cz +D1 =0
и Ax +By+Cz+D2 =0, где В г ФВ2).
В остальных случаях данные плоскости а и |3 пересекаются,
причем угол между ними связан с углом между векторами нормалей
йх(.ApBjjCj) и п2 (А2;В2;С2). Предлагаем вам самостоятельно обо
сновать формулу для определения угла между плоскостями а и |3:
-/ о 1 ./- — I I "**^1^2 ^*1^2 IcosZ(a, P)= |cosZ(n1,n 2)|= 1 = - = = ------ S=-----
+ B j + С , y A 2 + B 2 + C 2
282

В частности, необходимое и достаточное условие пер
пендикулярности плоскостей а и р выражается равенством
А^А2+BjB2 +С1С2 =0.
Заметим также, что прямая в пространстве может быть описана
как линия пересечения двух плоскостей, то есть системой уравнений
{
A 1x +B1y +C1z + D 1 = 0,
А 2х + В2у +C2z + D2 = 0,
где векторы га1(А1;В1;С1) и п2 (А2;В2 ;С2) не коллинеарны.
/"Л
Задача
Напишите уравнение плоскости, которая проходит через
точку М (4;2;3) и параллельна плоскости x - y +2 z - S = 0 .
Решение
Так как искомая плоскость параллельна данной, то вектор
нормали к данной плоскости Я(1; —1;2) является также векто
ром нормали к искомой плоскости. Значит, искомое уравнение
имеет вид x - y + 2 z +D = 0 . Так как точка М принадлежит ис
комой плоскости, ее координаты удовлетворяют уравнению пло
скости, то есть 4 -2 +2-3 +2) = 0, £>= - 8 . Следовательно, уравне
ние x - y + 2z - S = 0 искомое.
Ответ: х - у +2 г-8 = 0.
Аналогично уравнению окружности на плоскости, в простран
ственной декартовой системе координат можно вывести уравнение
сферы с заданным центром и радиусом.
Трирема (уравнение сферы)
В прямоугольной системе координат уравнение
сферы радиуса R с центром в точке 0(а;Ь;с)
имеет вид ( х - а ) 2 +(у- Ь) 2 +(z~c) 2 = R Z.
□ Пусть M(x;y;z) — произвольная точка
сферы радиуса R с центром О(а; 6;с) (рис. 237).
Расстояние между точками О и М вычисляется Рис 237 к докаэатель.
по формуле ОМ = J(x - а) 2 +(у -Ь) 2 +(z - е) 2 . СТВУтеоремы об уравне-
v нии сферы
283

Так как O M - R , то есть ОМ2= Д 2, то координаты точки М
удовлетворяют уравнению (х-а) +(y-b) +(z-c) = R 2 . Если же
точка М не является точкой сферы, то ОМ^Д, значит, координа
ты точки М не удовлетворяют данному уравнению. ■
С ледствие
Сфера радиуса R с центром в начале координат задается уравнением вида
х 2 + у 2 + z 2 = R 2.
Заметим, что фигуры в пространстве, как и на плоскости,
могут задаваться не только уравнениями, но и неравенствами. На
пример, шар радиуса R с центром в точке 0(а;Ь;с) задается нера
венством ( х - а ) 2 +( y - b ) 2 +( z - c ) 2 < R 2 (убедитесь в этом самостоя
тельно).
I Задача
Напишите уравнение сферы с центром А (2;-8; 16), которая
проходит через начало координат.
Решение
Так как данная сфера проходит через точку 0(0;0;0), то
отрезок АО является ее радиусом. Значит,
R = AO = yJ(2-0) 2 + (-8 -0 )2+ (16-0)2 =18.
Таким образом, искомое уравнение имеет вид:
( х - 2 ) 2 +(у +8)2+ (г-1б)2 =324.
Ответ: (дс-2)2+(i/ + 8)2+(г-1б)2=324.
837. Назовите координаты вектора нормали к плоскости, заданной
уравнением З х - у + 22-1-5= 0. Является ли вектором нормали к дан
ной плоскости вектор й(б;-2;4)? Можно ли записать уравнение
данной плоскости в виде 6jc-2j/ + 42+ 5 = 0?
838. Назовите координаты направляющего вектора прямой
х - 1 у - 1 г __ „
= = —. Назовите координаты любой точки, принадлежащей
2 1 4
данной прямой. Принадлежит ли данной прямой точка (3;-3;4)?
284 ---------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------

839. Прямая имеет направляющий вектор р(-3;1;0). Как располо
жена данная прямая относительно координатных плоскостей? Мо
жет ли она проходить через начало координат?
840. Плоскость задана уравнением х + 4 у - z + 1= 0 . Определите вза
имное расположение этой плоскости и плоскости, заданной урав
нением:
а) x +4 y - z = 0 ;
б) x - 4 y + z + l = 0 ;
в) 2 x +8 y - 2 z +2 = 0 .
841. Назовите центр и радиус сферы, заданной уравнением:
а) (* -1 )2+(г/+ 3)2+ (г-2 )2=64;
б) (х +5)2+ у 2 + (г-б )2 =121;
в) х 2 + у 2 + г 2 =8.
(3) РЕШАЕМ ЗАДАЧИ *
Уровень А
842. Среди точек A (l;2;-4), В (-1 ;-2 ;-3 ), С(3;1;-2), £>(2;0;3),
{ Е(0; 1;4) выберите те, которые принадлежат плоскости, заданной
уравнением 2x-3z/ + z - l = 0.
843.Найдите точки пересечения плоскости х + 2 у - 32-6 = 0 с ося
ми координат.
844.Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точ
ку К (2; -1; - 2) и перпендикулярна вектору Я(-3; 2; 1).
845.Напишите уравнение плоскости, которая:
а) проходит через точку С перпендикулярно вектору АВ, если
А (1;-2;3), В(5;0;4), С(2;1;-3);
б) проходит через начало координат О перпендикулярно век
тору ОМ, если М(7;1;-2).
846.Напишите уравнение плоскости, которая перпендикуляр
на отрезку АВ и проходит через его середину, если А(-6;1;0),
В (4;3;-8).
* Ко всем задачам на составление уравнений плоскостей и прямых
приведен один из возможных вариантов записи правильного ответа.
285

847.Среди точек А (7;-7;8), B (l;-3;0), С (-2;-5;4), £ (4 ;-5 ;-4 ),
£(-0,5;-2; 2) выберите те, которые принадлежат прямой * 1 =
3
_ у+3 _ г
-2 ~ -4 '
843.Напишите уравнение прямойс направляющим вектором
р(1; -4; 3), которая проходит через точку M (l;l;l).
84-2 Напишите уравнение прямой АВ, если Л (4;0;-3), В (1;1;2).
о —> тт - - У г - 1
8^0. Наидите координаты точек пересечения прямой = —= -——
с координатными плоскостями. 3 2 - 1
85'! . Докажите, что:
ч х + 2 у - 3 г-7 х - 1 у + 5 г
а) прямые ------ = ------ = ------ и — —= =— параллельны;
2 8 - 4 - 1 - 4 2
б) плоскости 2 x - y - z + 9 = 0 и Зх +2у +4г-1 = 0 перпен
дикулярны.
852. Докажите, что:
. * +4 у-1 г +2 х у + 5 2+9
а) прямые-----=-------= и —=
-
= — —перпендикулярны;
-6 3 4 3 -2 6
б) плоскости у +г - 1= 0 и лс+у+1 = 0 пересекаются под углом 60°.
84.5 Напишите уравнение сферы:
а) с центром 0(-3;2;1) и радиусом 5;
б) с центром в начале координат идиаметром 14.
У Q "5JTV- £■>
854 (спорная). Плоскость, пересекающая оси координат в точ
ках (а; 0; 0), (0; Ь;0) и (0; 0; с), где а Ф 0, Ъф 0, с ф 0 , задается
х у Z
уравнением —+ —+—= 1 (уравнение плоскости в отрезках на
а Ъ с
осях). Докажите.
855. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки:
а) А (3;0;0), В(0;-2;0), С(0;0;1);
б) А (1;2;3), В(4;3;2), С(7;0;-1).
856. Напишите уравнение плоскости, которая параллельна плоско
сти x - 2 y +3 z-4 = 0 и проходит через точку М(-1;1;3).
286 — --------------------------------------------------------

Ч'
857. Одна из граней параллелепипеда лежит в плоскости
3a:-j/-2 +4 = 0. Напишите уравнение плоскости, содержащей про
тиволежащую грань, если одна из вершин параллелепипеда имеет
координаты (3;1;2).
858. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точ-
ъж(л л У+ 1 г ~Ьку М(1;1;2) и параллельна прямой ------ = ------= -------.
4 6 5
859. Найдите координаты точки пересечения прямой —— =
Z/+1 2-5 2
= ------= ------- иплоскости x + y + z - o = Q.
3 6
860, Напишите уравнение прямой, которая проходит через начало
координат и делит пополам отрезок АВ, если А(-2;1;5), В(б;-3;1).
361 (опорная; Угол ф между прямой с направляющим векто
ром р и плоскостью с вектором нормали п определяется из
р-п „
формулы вшф = - , . г*Докажите.
р -л
862. Найдите угол между:
а) плоскостями x + y - 2 z + 4 = 0 и x - z - 5 = 0;
х -3 у+1 2+5 х у - 4 2+6
б) прямыми ------ = ------= ------ и —= ------ = ------ ;
8 2 - 1 1 - 2 4
+2 п+9 2—3
в) плоскостью * - z - 3 = 0 и прямой ------ =-—---- = -------.
1 - 1 - 2
Бог. Найдите значения а и Ь, при которых:
*+8 у -1 г - _ Л
а) прямая ------= -------= — и плоскость ax +by+2z+7 = 0
3 —2 1
перпендикулярны;
б) плоскости ax + b y - z - 3 = 0 и 2 *-6i/-2z+ 5 = 0 параллельны.
864. Напишите уравнение сферы:
а) с диаметром АВ, если А(-3;2;0), В(1;-2;2);
б) с центром 0(-2;3;4), которая касается плоскости Оху;
в) центр которой совпадает с центром сферы х 2 - 2 х +у 2 +4у +
+z 2 - 62+10 = 0, а радиус равен диаметру этой сферы.
865, Напишите уравнение сферы:
а) с радиусом MN, если M (0;l;2), JV(—1;5; —6);
б) с центром 0(-3;4;1), которая касается оси аппликат.
_______________________________________________________________________ 287

Уровень В
866. Найдите геометрическое место точек пространства, равноуда
ленных от начала координат и точки М (8;-4;б).
—^ 867. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точ
ки А(4;1;-3) и В(10;-2;5) параллельно оси аппликат.
868.Напишите уравнение плоскости, проходящей через парал-
х у + 2 г - 1 х - 1 у - 2 г + 2
лельные прямые —= ------= ------- и = ---= -------.
7 3 5 7 3 5
869.Определите взаимное расположение прямых, заданных урав
нениями:
. х-1 у -2 2-3 х -2 у - 5 г-9
а) ------= - -----= ------ и ------= - — = -----;
2 3 6 4 6 12
х +1 у -2 г х-1 у +2 2+4
б) ------= - ----- = — и =-- --= -------;
3 - 1 2 -3 1 -2
. Х-2 у —1 2+1 Х-1 у 2-1
в) ------= - — = ------ и ------ = —= ------ ;
2 3 4 3 4 2
. х+1 У+1 2+2 х у г
г) ------= - -----= ------ и —= — = — .
2 4 5 7 11 13
V о-,п тт X _1 J/+3 2 + 2
—^ 870. Докажите, что прямая = = ------ принадлежит плос
кости 4дс+3у-г+ 3 = 0.----------- 2 - 1 5
871. Найдите геометрическое место точек С(х;у;г) таких, что тре
угольник ABC является прямоугольным с гипотенузой АВ, ебли
А (-6;1;8), В(12;-11;4).
—^ 872. Найдите расстояние между параллельными плоскостями,
заданными уравнениями х + у + г - 1=0 и х + у +г - 3 = 0.
873. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки сферы,
описанной около куба, до вершин куба не зависит от выбора точки.
874. С помощью координатного метода найдите высоту треуголь
ной пирамиды, боковые ребра которой попарно перпендикулярны
и равны а, Ь, с.
875. Дан куб ABCDAlB1C1Dl с ребром а. С помощью координатно
го метода найдите:
а) угол и расстояние между прямыми A XD и В 1С;
б) угол между плоскостями AB1D1 и AjC^D;
в) угол между прямой АВг и плоскостью ADjC;
г) расстояние между плоскостями A^BD и CBXDV

Приложение 2. Доказательство формулы объема прямоугольного параллелепипеда
Приложение 2. Доказательство формулы объема
прямоугольного параллелепипеда
Теорема (формула объема прямоугольного
параллелепипеда)
Объем прямоугольного параллелепипеда равен
произведению трех его измерений:
V = аЪс f
где а, Ъ, с — измерения параллелепипеда.
□ Докажем сначала, что объемы двух пря
моугольных параллелепипедов с равными основа
ниями относятся как длины их высот.
Пусть Рг и Р2 — два прямоугольных па-
Лг
раллелепипеда с равными основаниями и объема
ми Vx и V2 соответственно. Совместим данные па
раллелепипеды. Для этого достаточно совместить
их основания. Теперь рассмотрим объемы парал
лелепипедов ABCDA1B1C1D1 и ABCDA2B2C2D2
(рис. 238). Для определенности будем считать,
что АА2 <ААг. Разобьем ребро ААХ на п равных
отрезков. Пусть на отрезке АА2 лежит т точек
деления. Тогда:
^.4^1 j./n< АА2 j (m+l), то есть
или
АА 2
ААг
а а 2
АА,
т+1
(1)
п ААХ п п
Теперь проведем через точки деления
плоскости, параллельные основанию ABCD
(рис. 239). Они разобьют параллелепипед Р, на
п равных параллелепипедов.
V,
Каждый из них
имеет объем — . Очевидно, что параллелепи-
п
пед Р2 содержит в себе объединение т парал
лелепипедов и сам содержится в объединении
(т + 1) параллелепипедов.
D*r-/Г
1
1
1
1
Р)-
/
/ /
Рис. 238. Совмещение
оснований параллеле
пипедов
Pi Ci
- - -в
УI
I------------
'D y ----------
В
Рис. 239. Разбиение
на равные параллеле
пипеды
289

Приложение 2. Доказательство формулы объема прямоугольного параллелепипеда
V V т V
Таким образом, т- — <V2 + !)• — , откуда — < — <
т +1
или
£L < 21< £L + 1 .
п Ул п п
(2)
Сравнивая выражения (1) и (2), видим, что оба отноше-
АА
ния 2 т т
и —1- находятся между — и — +—, то есть отличают-
ААЛ V1 п п п
1
ся не больше чем на — '(п — натуральное число). Докажем методом
п
от противного, что эти отношения равны.
Допустим, что это не так, то есть
V2 АА2
ААг
= 8 > 0. Тогда най-
1
дется такое натуральное число* п, что —<8. Отсюда
1 П
< —<8. Из полученного противоречия следует, что
п
■8=
v 2 А А 2
ААХ
V АА
——= ---- —, то есть объемы двух прямоугольных параллелепипедов
v i
с равными основаниями относятся как длины их высот.
Рассмотрим теперь прямоугольные параллелепипеды с измере
ниями а, Ь, с; 1 , Ь, с; 1, 1, с и 1, 1, 1, объемы которых равны V,
У1 > У29 Уг соответственно (рис. 240).
Рис. 240. Сравнение объема параллелепипеда с объемом единичного куба
V а V* Ъ
По аксиомеобъема F3=1. Подоказанному — = —,—±-= —,
V с ^1 ^ ^2 ^
— = —.Перемножив эти отношения, получим:V-аЪ с.
Выберем п >—, например, п = —и-1 , где — — целая часть дроби —.
б LeJ [ ь 8
290

Ответы
Ответы
Глава I
11. Оху. 12. Ох. 14. а) (-4;5;6); б) (3;-3;8). 15. а) (3;-3;1
б) (—2;—4;—1). 16. £ (-7 ;-8 ;8 ). 18. а) 3; б) 5; в) 17. 19. А. 21. (0;-8;0^
22. 10; 6-J2; 10. 23. 0 или 2. 26. а) В (-2;у;г), где у, г такие, что точ
ки А и В не совпадают; б) В(х;~4;3), где хФ-2. 27. а) а = 2, 5 = 3
б) а = 2; 6 = 1. 28. А (0;0;-2), В(-8;6;0). 29. а) ЛГ(-4;3;-2); б) В (-2;3;-2)
30. 11. 31. АВ. 32. (0; 2;3). 34. -1; 3. 35. 8 решений: (±6; ±7; ±5). 36. 23f / __ V
1 1 1 ' V2 .38. (—3; —7;0), (5;1;-б), (7;5;4). М- А37. 8 решений: М ±—;± —;± —
2 2 2
Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника. 41. В (-3;-1;1)
42. В(3;0;-5). 44. А(1;2;3). 45. 6. 46. 6. Указание. Докажите, что данный
треугольник прямоугольный с гипотенузой АВ. 47. (0;0;9,5), (0;0;-9,5),
79. а) (-6;5;5); б) (4; 1;1); в) (4;1;-1). 80. 3. 83. 120°: нет. 84. 40°. 85. 70°.
86. (4; 6; 4). 87. а) А (-2;-4;3); б) С(-1;-1;1), 2>(-6;4;3). 91. (-2;1;3).
92. В направлении луча, содержащего диагональ куба, на расстояние,
меньшее длины диагонали. 93. 8 см. 94. 150 см2. 101. а) 6 см; б) 64 см2.
102. АС = 8 стл, А1В1=6 см. 105. а) —; б) А (1; —3; 2); в) А'(-2;3;1).
106. В'(0;-3;0), С(0;0;3). 107. Не обязательно. 108. б) 36 см2. 102. 90°.
111. а) А'(4;0;3);б) О(-14;-17;-3). 112, Нет. 114. 115. б. 116. Прямо
угольная трапеция. 128. (-3;3;10); 7. 130. а) -4 и 4; б) - 3 и 3. 131. a) AD;
б) DA; в) АС. 132. а! б; б) ВС; в) J M . 133. a) BD; б) АС^; в) АС;
г) DBX; д) АС; е) СХА. 134. а) АВ; б) ВА; в) ССг . 139. Нет. 141. а) 0; б) 0;
в) 1; г) -1; д) 2. 142. а) 5; б) -2; в) 2. 143. а) 6 и с; б) а и 6. 144. |а| = 6,
|б| = 3. 145. А (0;-1;0), В(-9;0;3). 1М. А(7;3;7). 147. a) A^D; б) DtD.
152. а) Нет; б) да; в) да. 153. (2;-4;б). 154. а(0;-3;1), б(4;1;-2).
155. a) -1; б) 2; в) -2. 156. а) С лежит между А и В; б) не лежат;
в) А лежит между В и С. 157. а) А'(8;-1;5); б) О(-11;-12;-2).
159. 60°. 160. а) -3; б) 50; в) 28. 161. Указание. Достройте данный
тетраэдр до параллелепипеда. 164. С(1;-3;0). Указание. Восполь
зуйтесь коллинеарностью векторов АС и ВС. 166. Нет. 169. 2. Ука
зание. Найдите (а+6+с] или найдите о +6 и примените теорему
о 2 -
Пифагора. 170. 45°, 120°, 60°. 171. АС = —а + —6. 178. Да, если век-
3 3
торы б и с коллинеарны. 183. в) -a + 6 -c . 184. а) 2AD+BC+2CE;
б) А С -А В -—РС. 13а- —а +—6 - с . 181. л/3 Я. 188. а) Нет;
2 2 2
---------- 291

Ответы
б) да. 192. 60°. 194. а) а + 0,5Ь +с ; б) 0,55-5 + с; в) -0,55 +0,5& -с.
195. Да. Указание. Воспользуйтесь тем, что ED = EC+CD = EP +PD.
196. 3Р О -РВ -Р С . Указание. Воспользуйтесь опорной задачей о точ
ке пересечения медиан треугольника. 197. Указание. Воспользуйтесь
доказательством от противного и признаком компланарности векто
ров. 198. Указание. Воспользуйтесь опорной задачей о точке пересе
чения медиан треугольника и неравенством треугольника. 199. Указа
ние. Разложите векторы АВ, ВС и АС по векторам РА, РВ и PC.
200. Указание. Разложите векторы ребер основания по векторам РА,
РВ и PC. 201. 60°. Указание. Введите систему координат с началом О так,
чтобы данные лучи лежали на положительных полуосях осей координат.
203. Указание. Воспользуйтесь правилом параллелепипеда и опорной за
дачей о точке пересечения медиан треугольника. 204. 1:8. Указание. Вос-
Д
пользуйтесь результатом предыдущей задачи. 207. 30°. 208. arccos .Q
Ответы к тестовому заданию № 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
в г г б б а г б в а в г
209. а) 6, 2, 8; б) 2л/26; в) 2л/1о, 10, 2^17 . 210. 7. 215. arccos—.
217. Трапеция. 218. Указание. Разложите векторы, изображаемые сторо
нами треугольника, по векторам ОА, ОВ и ОС. 219. С(-1;--2;0); точка С.
ау[2 — *
221. Две или три. 223. 90°; ------. Указание. Рассмотрите вектор L K ,
2
перпендикулярный векторам АВ и PC. Разложите все указанные векто-
ры по векторам а = РА, Ь= РВ, с = РС. 224. а) а^ ; 90°; б) а^ ; 60°.
6 3
225. 1:2. Указание. Разложите вектор PS = x PO по векторам а = РМ ,
b - P N , с = РК. Воспользуйтесь результатом задачи 202 для то
чек М, N, К, S и найдите х. 227. Указание. Примените свой
ства скалярного произведения векторов. 228. Указание. Примени
те векторный критерий перпендикулярности прямых. 229. а) Ни
одного; б) бесконечно много; в) бесконечно много. Указание. Рассмо
трите расстояния от точки М(х;у;г) до точек А(1;0;0) и В(0;1;0).
Глава II
239. а) 60°; 6)7 см. 240. 3 см. 241. В 1,5 раза. 242. 12 см. 244. Три.
245. 8 см. 246. 9-Тз см2. 247. а) 1б7з см2; б) 62 см2. 249. 5 см. 250. 120°.
252. 60°. 253. 13 см. 255- а) (20°; 140°); б) (10°; 180°). 256. а) 7 см;
б) 35 см. 257. arccos—. 259. Два ребра по 6 см и четыре ребра по 5 см;
3 /д /д А_D
48 см2. 260. arcsin . 261. arcsin . 262. Z АОВ = arctg ,
3 4 cosa
292 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ответы
>/з
Z АОС = arctg(tgasinP). 263. 60°. 264. arccos . 265. Указание.
3
Пусть искомый многогранник имеет п граней. Если все его грани — тре-
3 71
угольники, то он имеет — ребер, но 7 не кратно 3. Если же хотя бы одна
из граней — не треугольник, то число ребер не меньше 8. 280. бТЛГсм.
281. 4-у/з см2. 282. 5 см. 283. 90°, 60°, 30°. 2§4- 12 см и бТб см.
2 /о"
285. а) ЗаЬ+ — б) 4аЬ+2а2; в) 6а&+3>/3а2. 286. 540 см2.
2
287. 114 см2. 288. 16>/3 см2.2§9. Тбб см. 290. 90 м2. 281. 70 м2. 292. 296 см2.
293. 6a2sina. 294. 5 см. 297. 4 см, 7 см. 298. rf2sinasinp. 299. 45°.
300. n(n-3). 303. 2 см. 304. 26 см. 305. 140 см2. 306. 1248 см2. 3Q7. 8 см.
308. (32+16>/з)см2. 309. 48 см2. 310. 112 см2. 311. 270 см2. 314. а) 21 см;
б) 9 см; в) 13 см. 315. а^ ~. 316. 4d2tg 2actgp. 317. 4-j2Qctga.
318. 17 см. Указание. Определите искомое расстояние по развертке поверх-
> 4*2sinp Jc.„2 a QOn ало ooi JZsctgaности призмы. 319. --------- — J c o s ----- sin 6 . 320. 60°. 321.
a V 2 8
sina cos—
2
322. 2а2^1+7 з |. 323. 192 см2. 330. Указание. Воспользуйтесь свойства
ми многогранных ^глов. 336. 9-Уз см2. 337. 13 см и 15 см. 338. 45 см2.
340. а) 10 см; б) 15 см; в) 3 см. 341. а) 4 см; б) 36 см2. 342. а) 4 см;
б) -Уб см; в) 32 см2. 343. а) 6 см; б) Тб см. 344. «145 м. 345. а) 36 см2;
б) 80 см2; в) 360 см2. 346. 96 см2. 347. 48 см2. 348. 4 см. 349. W**7"2 .
cos(3
350- 4J2ctgp. 351. 5 м и >/58 м. 352. 24 см. 356. а) >/бсм; б) Тб см;
в) 2i?sin2a . 357. а) 72 см; б) 10 см. 358. 27 см2. £§9. 18>/3 см2.
360.
з Т з т 2 /
cos (3
1+-^—1.361. 16d2cosa(l +cosa ).362.60°. 363.8 см2.364.3,4,5.
sinp) v '
Y Y2sin— cos— -
365. a) — ■?=; 6 ) -= J L ; в) —= = . 367. a) a(1+cosa); 6) 2>/3acosactg—.
yjcosy vcosy yjcosy 2
369. 3S. Указание. Разрежьте пирамиду по боковым ребрам и докажите,
что полученная развертка — треугольник, а стороны оснований пира-
^0^2 16/М2 ( 1 ^
миды — его средние линии. 370. ------ . 371. 1+------- .
г- 2 2 3cos рsinр sin2av cosay
372. —=!LJLL=-. 373. ^(l + sin(3). 374. 150°. 375. 5 см, 5 см и 8 см.
yl +4tg213 cos Р
--------------------------------------------------------------------------------------------- 293

Ответы
2
385. б) 8 см; в) 24л/2 см2. 386. в) 48 см2. 387. в) (l + sinp). 389. 24 см
cosp
/— л actgy а
390. 8V3 см . 391. — ----- . Указание. Воспользуйтесь формулой R = — —
2sin а 2sin а
аЪ
392. atgP. 394. 72 см2. 395.36 см2. 396. а) 48 см2; б) 36 см2. 397.
2sina 0 _a 2cosa
4R cos — /
398. 54 см2. 399.-------------------—Isin—+ sinB I. 400. в) a tg —tgB
cosp 2 ) 2
a 2V3
401. (l+2sinP). 402. Середина большего основания; 14 см
4cosp
403 2m2sin<xsinPsin(a +P) 404 с2sin2a 4Q5 fr2sina 4Q6 4 g 2ctgP
sin 2у 4cosp 2cosp sinasinP
2 , a
i12 • q a ctg-
41407. 4/28Шр. 408. ---------—fl + sin—sinpl. 409. (210л/з+588) см
sina 4cosP V 2 J ' '
410. m'(UCI” |3)% ttg('3lna + .412.
cosp sina ^ sinpj 2
r « p ( l +ctt | ) 4d, ia
413. ------------------- 414. ------------------ .41o. 430. 50 cmz.
cosa sin psin a cosp sin a cosp
431. 64yf2 cm2. 432. 225 cm2. 433. 18 cm2. 434. 48>/2 cm2. 435. 400 cm2.
436. 760 cm2. 437. а) Равнобедренная трапеция; б) 30 см2. 438. 9^2 см2.
439. —62sin2a. 441. л/зТ см; 5 см. 442. 4 см. 443. 256 см2. 444. 125 дм2.
В
445. 324 см2. 448. 65 см2. Указание. Докажите, что высота сечения, прове
денная к диагонали основания, параллельна диагонали параллелепипеда.
449. > /3 # 2ctga. 450. 128 см2. 452. 560 см2. М 3. 672 см2.
454. 18лУ2 см2. Указание. Докажите, что высота сечения, проведен
ная к диагонали основания, параллельна боковому ребру и равна его по-
2 I
ловине. 455. —— — . 456. 8 м. 457. — т.2cos2а . 458. 100 см2.
48cosP 49
>/з(б2- а 2) ^ „ За2у1з tM ллл 2
459. 461. Правильный шестиугольник; ---------- . 462. 140 см .
4cosa 4
a2l3
463. . Указание. Докажите, что все диагональные сечения
2
2 9 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------- --------------------------------

Ответы
данной пирамиды равновелики. 464. 45°. 465. 30,9375 см2.
460. 16>/2(з+л/4Т) см2. 467. 4 см2 и 16 см2. 468' 48 см. 469. 54 см2.
170. 396 см2. 471. Нет. 472. 9>/з см2. 482. а) а 2у/3; б) 6а2; в) 2а2л/3;
г) 5а27з . 483. а) 45>/з см2; б) 30л/з см2; в) 15-Тз см2; г) 9-/з см2.
485. а) 2у/з см2; б) 8т ^ . 486. а) 54л/з см2; б) 2d2. 489. а) агссоз-;
3 3
2 /*""
б) я -arccos—. 491. 16 см2 или 8 [2 см2. 492. —— —. 497. 9:1. 498. Ква-
3 4
драт. Указание. Воспользуйтесь перпендикулярностью скрещивающихся
ребер правильного тетраэдра. 499. . 500. 144я см2. 501. >/з :2.
3
Ответы к тестовому заданию М 2
I "1 2 j 3 i 4 5 6 : 7 .
00;
Ь—
со
10 1 11 12 I
; б в г
; ! ■ i
а в г б !
1 (
в j б | г iL. .. _! г
i
а :
2
508. 60°. 504. 96-J2 см2. 505. 330 см2. 506. 25л/3 см. 507. "
a 2(v3+ 2| а За _ c2sinasin[i
509. — -------- -. эЮ. . 511.— . 012.----------------- 4-.
2 ctga+ctgP 2 sin(a+P)
4a2
513. 2J2cos2asiny. 514. 512 см2, 800 см2. 515. ----- . 518. Указание. Рас-
/' 3
смотрите трехгранный угол, вершина которого лежит внутри данного
трехгранного угла, а ребра перпендикулярны граням данного трехгран
ного угла. 520. , нет. 521. 8-v/l() см2. 522. 524. в, г. Указа-
4 16
ние. Воспользуйтесь результатами задач 199, 200. 525. Указание. Рассмо
трите развертку данного тетраэдра. 526. б. Указание. Достройте тетраэдр
л/г
до прямоугольного параллелепипеда. 527. arccos-^-. Указание. Примени
те векторный метод. 528. ^*^5 Указание. Примените векторный метод.
6
Глава III
537. 10 см или >/265 см. 538. 3 см; 6л/з см. 539. 48 см2. 540. 16я см2.
2 /
541. 8 см. 542. 12л/з см2. 543. 169я см2. 544. а) а б) 48^3 см2.
6
545. а) 168 см2; б) а 2^ 2 . 546. a) J s t g a , —yjSctga. ; б) 4/n2tga.
2
------------------ 295

Ответы
2 Ot
о Го с л ft sin — ctgp
547. £ !£ £ .. 548. dsinp, ^ 2 £ E . 550. ----------- 2------- 55* *2sin a_sin2p
3 a 2 a 2cos— cos —
2 2
552. 61 cm2. 553. Qsin®. 554. — — . 555. 7>/3 CM или >/3 CM.
. ОС
sm —
2
2R
556. -------. 557. a) 24 cm; 6) 280 cm2. 558. 15 см или 3 см. Указание. Орто-
cos<p
тональной проекцией данного квадрата на плоскость основания цилиндра
является прямоугольник или отрезок. 559. 24 см2. 560. 30°. 561. 15 см.
569. 9>/з см, 9 см; равносторонний треугольник. 570. , Н ctg a .
sina
2Д2
571. «32,5 м2. 572. 8 см2. 573. 574. 120 м2. 575. 3 см.
3
576. а) 10 см и 20 см; б) 81л см2. 577. 20 см. 579. а) 5 м;
б) 2 м.580* 132 см2. 581. 25л см2. 582. 3>/з см, 3 см. 583. 300 см2.
2 OL
о . о Н tg—coscp
584. 30°. 585. —— — . 586. -----------------. 587. Три отрезка по 6 см.
sinp sin ф
588. 16л см2, 64л см2. 589. 84 см2. 590. 768 см2. Указание. Докажите, что
диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей, с которой она
имеет общий конец. 591. 8 см. 592. 84,5 см2. Указание. Искомое сечение
проходит через две взаимно перпендикулярные образующие. 593. 0,75/.
,2 2 a х Рd cos —tg —
594. --------- 2---- 2_. 595. 500 см2. 596. 8 см. 597. (3 + 2 ^ ):1 . 598. 25 см
cosa ' '
или 7 см. 599. а) 10 см; б) 2л/ЙГ см. 607. а) 15 см; б) 10 см; в) 18 см.
608. 8 см. 609. а) 25л см2; б) 41 см; в) 3 см. 610. «110 м. 611. зТз см.
614. 12 см. 615. 36л/3 см2. 616. 24 см. 617. 17 см. 618. 6 см.
I о —ту2
619. 8 см, 2 см. 620. 24 см, 32 см. 622. J — . 623. ------ . 624. « 24 233 км.
V4л 4
626. 7 см. 627. 15 см. 628. 0,5а. 629. 90°. 630. а) 7 см; б) 20 см.
631. а) 5 см; б) 5 см. 632. 10 см и 15 см. 633. 30 см. 635. 16л см.
636. а) Плоскость, перпендикулярная отрезку с концами в данных точках
и проходящая через его середину; б) две плоскости, параллельные дан
ной и удаленные от нее на R; в) сфера с центром в центре данного шара
296 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ответы
и радиусом
f 4
637. а) Сфера с центром А и радиусом R; б) пря
мая, перпендикулярная плоскости а и проходящая через точку А (кроме
точки А); в) большой круг, плоскость которого перпендикулярна данной
прямой. 638. W2S . 639. —'Jd2 -Л 2 .
2
1 2 3 4 5 ! 6 7 8 9 10 11 12
в a 6 в a | 6 6 г a в 6 г
640. . 641. R - - y j 4 R z - d 2 .642. а) — ; б) — . 643. 45°. 644. 9л см2.
2 2 3 3
645. 2Q. 647. 5 :8 . 648. (2> /3+l):ll. 649. 5. 651. -1Д.
Глава IV
653. 10 000 м. 654. Нет. 655. Да, увеличится в 2 раза. 656. 4 дм.
660. а) 216 см3; б) 125 дм3; в) 343 см3. 661. 2 см3. 662. а) 0,008 м3; б) 27 дм3.
663. а) 160 см3; б) 6912 см3; в) abja2 +b2 tg а . 664. 30 дм. 665. а) 6,4 см3;
б) 960 м3; в) 1280>/3 см3. 666. а) 84 см2; б) aS sin а . 667. 54 см3.
ль.3 • 2 а4h sin
-2-. 669. 20л/з см3. 67fi. 324 см3.668. Н ; а 2Н ;
4 3cosa
671. а) 360 см3; б) 72 см3; в) 9 см3. 672. 5 см. 673. 70 см3. 614. 96 см3.
675. а) 75л см3; б) 16л см3; в) 54л см3. 676. а) 80л см3; б) 150л дм3.
amr 4V Cf7Q CFrn яd 3 _:СГ2Ф Ф ____ nd3___ф __ 2 Ф V id3
077. -----. Ь7о. Да. Ь79. sm —cos— или sin —COS —.boU. -------- .
лd 4 2 2 4 2 2 9
681. QyjQ. 682. 2 CM. 683. 5 cm. 684. б795 см3. 6S&. 36 000 см3.
686. 480V3 см3. 687. .688. 12 см3. 69a. 80>/2 см3. 692. 252 см3.
693. 216 см3 или 108 см3. 694. 81 см3. 695. a 3sin2acosatg|3.
d 3 sina+tg— I
aS ___ V 2 J
696.
2tga
697.
4tgP
-. 698. - d 3sina tgp. 699. Q^ ~
2 2
700.
wd3sin2—cos—
^ • 2 «4sm —
nd3 sin—cos2—
или ^ - l . J D L 702. 30 см».
2 a. . 2 a
4sm — cos
297

Ответы
j*
l3 / i- к(а2+Ь2) 2 tgy na2H dl(d+b)
703. — |4я-3л /з). 704. - i --------. 705. " . 706. —*-----
24' * 4 4sin a 2
707. 3y/Srzl. 708. 4:1. 709. 16:3^3. 710. —jcQsinasinp./Qcospctg— .
ndA 2 V 2
711. ------ . Указание. Докажите, что данный перпенди-
4sin Pcos acosP J~~S
куляр лежит в боковой грани призмы. 712.arctg-v/б . 713. ----- — .
714. а) Уменьшится в 3 раза; б) увеличится в 2 раза. 715. а) 1:3;
б) 1:9. 716. 2:1. 717. 27. 722. а) 20 см3; б) 80 дм3; в) 300 см3. 723. а) 80 см3;
б) 240 см3; в) 288 дм3. 724. а) ТЗа3sin acos2а; б) .
4
7 2 5 .. a) - h l a 2- h 2;б) —f3sin2—^/costp. 726. а)—ft3ctg2a;
.— 3 ' ' 3 2 у 3
б) ctg2a . 727. 1125 см3. 728. 5 см3. 729. 66j см3. 730. 8>/3 см3.
731. 2 см2. 732. 28 см3. 733. а) 8п см3; б) 100я см3; в) 9я см3.
3V 3V
734. 52л см3. 735. 7 см. 736. — . 737. — . 738. а) 36я см3;
nQ S
32л , _ „Гб” 16d8 _ 16
б) 288л см3; в) — см3. 739. . 740. ----- , . 741. — m3tgp.
3 V* 3sina cos a 3
742. ^ - 8 — . 743. 2V3d3sinpcos2p. 744. — c 3sin 2 a tg y .
4sina cos a 24
745. _*1Ё£7 746. - с 3cos3—tg y . 747. - r 3tg a tgy ctg2— .
. 0 . 2 P 3 2 1 3 1 2
48sin —
2
_ 4ft3sinycos2y 2 3 . 3 a . , ___ 1 3 j. 2
748. - . 749. —r ctg —sm a -tg a . 750.—actgy.
3sinp 3 2 3
751. —a 3ctg2a tg — tgp. 752. — b3sin2p-tgy. 753. — tg<p(a3- b 3) .
6 2 12 12 ' 1
754. 4 cm. 755. 8л см3. 756. 12л см3. 757. - a h 2. 758. - я а 3.
3 з 4
759. 1 см и 5 см. 760. 2 см и 5 см. 761. —я(<22+ — | . 762. 9 см.
3 I
763. 252л см3, 468л см3, 252л см3. 764. —7tB3sin2— . 765. 126л см3,
3 4
298 — -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ответы
4374л см3. 766. —r 3ctg3f—- — |/3ctg2B -l . 767. — sin2—-y/l+2cosa .
„ 3 U 2 У 6 K 3 2
769. — 53ctg ^ -f3 -ctg 2^-l. 770. 3>/2ft3tgot
12 2 ^ 2 ' зГ1+21в2оГ’
4A3sin2—
77i. -
3cosa
nl3 tgy 1
z -. <72. — na3 tg y t g 3
3cos (a +p) 24 I1?)- 774.
l(l +2tg2a)
£
V3c3^l+4tg2y) 2
4tg2у
4+4л
1+4л
775. 15 см. 776. 30°. 777. Да. 778. Нет. 780. Да. 781. 9:2. 782.
j 2
784. а) 30л см2; б) 24л см2; в) —ла2; г) 2яс . 785. 6л см2. 786. 147л см2
2 4
787. 2л(з>/2 +5) см. 788. 80л см. 789. а) 16л см2; б) 36л см2. 790. В 4 раза
221. 144л см2. 7*2. 90". 793. ■Чгсоег(соат+2 * .т) 795
2 * 2sina
796. ’“ 8c°S a W . 797.
2sin2a
2 P4nm sin —
oc
sin—
2
798. 16л см2. 799. 8nd2cos<pcos2-|-
800. 400л см2. 801. яг2+ 2 я д (д -л /я 2 - г 2 ). 802. 18 см
803. 275л см2. 804. 2 л д (д + V-R2- г 2 J. 805.
4яЛ
807. rai2tg 2—tg 2—. 808.
2лсГ
| l + > /3 C t g y j
809.
. 806.
2кт*
cos р
810.
. 2 Фsm — созф
.2 • • ®х 2nd sin asm — tgф 2
_____________2 яа cosa(2sm a + cosa)
sin2^45° - -^jsina
2^cos2- | +sin2- |t g 29j 2(cos2a -sin 29)
! 1 2
1
3 | 4 5 6 Г 7 Г
! г j б I а I г б в
1
Г !
8 9 10 11 | 12
б а
------ .^ ......
... в
812. 1 см3. Указание. Выберите в качестве основания пирамиды одну
I д
из боковых граней. 813. —^-а3. 814. 2лД3, 6яД2. 815. , ЗлД2.
3 V3
299

Ответы
и яД2(4-л/2)
816. 1:7:19:37. 817. —. 818. ---- ----------. 822. Две плоскости, парал-
а 2
S V
лельные плоскости данного многоугольника и удаленные от нее на ---- .
S
з Ф- - a cos—
824. — a 3sin2a; — a 3tga(2-3cos2a). 825. — . . - -2... .
16 24 V / Зд/^совф
Stg— l2nScosa
826. .829. Указание. Рассмотрите параллел
6rtCOS—
пипед, который образуется при проведении через каждое ре
бро тетраэдра плоскости, параллельной противолежащему ребру.
830. — (a+ b-c)(a+c-b)(b +c-a ) tg a . 837. (3; —1;2); да; нет.
24
838. (2;-1;4), (1;1;0), нет. 839. Пересекает плоскости xOz, yOz,
параллельна хОу (или лежит в ней); может. 840. а) Параллель
ны; б) пересекаются; в) совпадают. 841. а) (1; -3; 2), R = 8 ;
б) (-5; 0; 6), Л= 11; в) (0; 0; 0), Д = 2^2. 842. В, С, Е. 843. (6; 0; 0),
(0; 3; 0), (0; 0; -2). 844. -3x +2y + z+19 =Q. 845. а) 4x + 2y +z - 7 = 0;
б) 7* +9-2г = 0. 846. 5x +y - 4 z - 1 3 = 0. 847. В, D, Е. 848. = =
= — . 849. i^ ± = J U i ± i . 850. (6; 2; 0), (3; 0; 1), (0; -2; 2).
3 “3 1 5
853. а) (х + 3) +(у-2) +( z- l) =25; б) х 2 +у 2 + г 2 =49. 855. а) 2х-3у +
+6 г-6 = 0; б) х - у + 22-5 = 0.857. З х - у - г - 6 = 0. 858. .f z l = I z I = f z i .
4 6 5
859. (1; -1; 5). 860. ^- = JL = £ . 862. а) 30°; б) 90°; в) 60°. 863. а) а = 6,
Ь= - 4; б) а = 1, Ь= —3. 864. a) (х + 1) 2 +у 2 + ( z - l ) 2 = 9; б) (х +2) 2 + ( у - 3 ) 2 +
+ (г -4 )2= 16; в) (дс-1)2+(р+ 2)2+ (г -3 )2= 16. 865. а) (х + 1 ) 2 +( у - 5 ) 2 +
+(г +б)2 =81 или х 2+ (р -1 )2+ (г -2 )2 = 81; б) (дг+З)2+ (у -4 )2+ (г -1 )2=25.
866. Плоскость 4 x-2 y +3z-29 = 0. 867. х + 2 у -6 = 0. 868. 1 7x -1 3y -1 6z -
-1 0 = 0.869. а) Совпадают; б) параллельны; в) пересекаются в точке (4; 4; 3);
г ) скрещиваются. 871. Сфера (х - 3 ) 2 +(у +5) 2 +( z - 6 ) 2 =121 без точек А
2V» ef7/< оЬс в17К ^ апо а _ 1

Предметный указатель
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Апофема правильной
пирамиды 110, 168
— — усеченной пирамиды 139, 169
Б
Боковая поверхность конуса 259
— — пирамиды 109
— — призмы 94
— — усеченного конуса 260
— — цилиндра 256
Большая окружность 200
Большой круг 200
В
Вектор 41, 70
— нормали 277
— нулевой 41
Векторы компланарные 54, 73
Г
Гомотетия 35, 70
Градусная мера двугранного
угла 82, 165
Граница фигуры 204
д
Движение 17, 68
Диаметральная плоскость
шара 200, 215
Диаметр шара (сферы) 198, 214
Длина (модуль) вектора 42, 70
Додекаэдр правильный 153
И
Измерения прямоугольного
параллелепипеда 98
Икосаэдр правильный 153
Интегральная формула объема 237
к 1
Касательная плоскость к конусу 191
— — — сфере (шару) 201, 215
— — — цилиндру 182
— прямая к сфере (шару) 202, 215
Конус 189, 212
— вписанный в пирамиду 240
— описанный около пирамиды 240
— прямой 189, 213
— усеченный 192, 213
Координаты вектора 41, 70
— середины отрезка 9, 68
Куб (правильный
гексаэдр) 99, 153, 167, 169
Л
Лента Мебиуса 27
М
Многогранник 85
— вписанный в сферу 261
— выпуклый (невыпуклый) 86, 165
— описанный около сферы 260
— правильный 152
Многогранники звездчатые 157
— полуправильные 155
О
Образующая конуса 189
— усеченного конуса 192
— цилиндра 181
Объем конуса 240
— куба 223
— многогранника 221
— — описанного 261
— параллелепипеда 224
— прямоугольного
параллелепипеда 223
— пирамиды 238
— призмы 226
— — наклонной 227
— усеченного конуса 240
— усеченной пирамиды 238
^ ц и л и н д р а 227
— шара 241
— шарового сегмента 243
— — сектора 244
Объемы подобных тел 246
Октаэдр правильный 153
Орт 57
Ось поворота 23
— симметрии 18, 69
— тела вращения 179
П
Параллелепипед 96
— прямоугольный 98
Параллельный перенос 25, 69
Пирамида 108, 167
— вписанная в конус 240
— описанная около конуса 240
— правильная 109, 168
— усеченная 138, 169
-------------------------------------------------------- 301

Предметный указатель
Поворот 23, 69
Преобразование подобия 34, 70
Принцип Кавальери 237
Площадь боковой поверхности
конуса 259
— — — пирамиды 109, 167
— — — призмы 94, 166
— — — усеченного конуса 259
— — — цилиндра 256
Площадь поверхности тела 255
— полной поверхности конуса 259
— — — пирамиды 109
— — — призмы 94
— — — усеченного конуса 260
— — — цилиндра 256
— сферы 262
Правило многоугольника 43, 71
— параллелепипеда 44, 71
— параллелограмма 43, 71
— треугольника 43, 71
Призма 92, 166
— вписанная в цилиндр 227
— наклонная 93, 166 ^
— описанная около цилиндра 228
— правильная 93, 167
— прямая 93, 166
Р
Радиус шара 198
Расстояние между точками 10
Разность векторов 43, 72
С
Сечение геометрического
тела 134
— осевое тела вращения 179
— пирамиды диагональное 138
— призмы диагональное 137
— — перпендикулярное 137
Симметрия
— зеркальная 19
— относительно плоскости 18, 69
— — прямой (осевая) 18, 69
— — точки (центральная) 18, 69
— поворотная 24
Скалярное произведение
векторов 45, 73
След 141
Сумма векторов 43, 71
Сфера 198, 214
— вписанная в выпуклый
многогранник 260
— описанная около
многогранника 261
Т
Тетраэдр 108, 167
— правильный 153, 169
Тела Архимеда 155
— Платоновы 154
— равновеликие 222
— равносоставленные 222
— Федорова 158
Тело геометрическое 205
— вращения 179
Точка касания 201
— внутренняя 204
— граничная 203
У
Угол двугранный 81, 165
— — выпуклого многогранника 87
— — при основании пирамиды 108
— — трехгранного угла 83
— линейный двугранного угла 81
— многогранный 84
— трехгранный 83
Уравнение плоскости 277
— сферы 283
Уравнения прямой канонические 280
Усеченная пирамида 138, 169
Усеченный конус 192, 223
Ф
Фигуры гомотетичные 70
— подобные 34, 70
— равные 17, 68
Ц
Центр симметрии 18, 69
— шара (сферы) 198
Цилиндр 180, 212
— вписанный в призму 228
— описанный около призмы 227
— прямой 180, 212
Ш
Шар 198
Шаровой сегмент 243
— сектор 244
— слой (пояс) 245
302

СОДЕРЖАНИЕ
Как пользоваться учебником................................................................. 3
Глава I. Координаты, векторы и геометрические
преобразования в пространстве
§ 1. Декартовы координаты в пространстве............................................. 7
§ 2. Движения в пространстве...................................................................... 17
§ 3. Подобие пространственных фигур......................................................34
§ 4. Векторы в пространстве........................................................................ 41
§ 5. Применение метода координат и векторов
к решению стереометрических задач.................................................54
Тестовое задание для самопроверки № 1 ................................................66
Итоги главы I .................................................................................................... 68
§ 6. Двугранные и многогранные углы. Многогранник...................81
§ 7. П ри зм а........................................................................................................ 92
§ 8. Пирамида..................................................................................................108
§ 9. Некоторые виды пирамид .................................................................120
§ 10. Сечения многогранников................................................................... 134
§ 11. Правильные многогранники............................................................ 152
Тестовое задание для самопроверки № 2 ...................................162
Итоги главы II ..................................................................................................165с
§ 12. Цилиндр....................................................................................................179
§ 13. Конус...........................................................................................................189
§ 14. Шар и сф ер а...........................................................................................198
Тестовое задание для самопроверки № 3 .....................................210
Итоги главы I I I ..................................................................................................212
Предисловие....................................................................................................3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 303

§ 15. Объем многогранников. Объем параллелепипеда,
призмы и цилиндра....................................................... 221
§ 16. Объемы пирамиды, конуса и ш а р а .............................................. 236
§ 1 7 . Площади поверхностей геометрических т е л ..............................255
Тестовое задание для самопроверки № 4 .................................................266
Итоги главы I V ..................................................................................................268
Приложение 1. Уравнения фигур в пространстве..............................277
Приложение 2. Доказательство формулы объема
прямоугольного параллелепипеда..............................289
Ответы.................................................................................................................... 291
Предметный указатель....................................................................................302
Н а в ч а л ь н е в и д а н н я
6РШ ОВА Алла ПетрЬвна
ГОЛОБОРОДЬКО Вадим Володимирович
КРИЖ АНОВСЬКИЙ Олександр Фелтсович
6РШ ОВ Сергш Володимирович
ГЕОМЕТРШ. 11 клас. Академ1чний р1вень. Профшьний р1вень
Подручник для загальноосвштх навчальних заклад1в
(росшсъкою мовою)
Редактор О. В. Костта. Техшчний редактор С. В. Захарченко
Коректор Н. В. Красна
Шдписано до друку 20.12.2011. Формат 70x90/16. Патр друкарський.
Гарттура Штльна. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 22,17.
ТОВ Видавництво «Ранок». Свщоцтво ДК № 3322 вщ 26.11.2008.
61071 Хартв, вул. Шбальчича, 27, к. 135.
Для лшгпв: 61045 Хартв, а/с 3355. E-mail: office@ranok.com.ua
Тел. (057)719-48-65, тел./факс (057)719-58-67.
3 питань peaлiзaцiI: (057)712-91-44, 712-90-87. E-mail: commerce@ranok.com.ua
«Книга поштою»: (057)717-74-55, (067)546-53-73. E-mail: pochta@ranok.com.ua
www.ranok.com.ua

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ПЛАНИМЕТРИИ
ТРЕУГОЛЬНИКИ
Теорема синусов
° = Ь= с =2й
sina sinP sin у
/а. у
Ъ
Теорема косинусов
с2- а 2+&2-2a6cosy
Площадь треугольника
S =—аЛаfгде ha—высота к стороне а
2
f у о м
S = —absiny
^ ■ ^ S l
Формула Герона
8 = у1р (р ~а)(р “ &)(Р“ с) ■
a^ f
а + Ь+ с
где р = ---------- —полупериметр
2
Формулы радиусов
л abc 2S S
R v — —
с 4S a+6+c р
^ РаВяоЕтбР1§»н.ииаЖе^о^БН^Ш1
иу/з
Формула высоты п = -— —
Л
П О «Площадь S = — - —
/ ■ А
Формулы радиусов
/?- a г - а
л/3 2>/з

Прямоугольныйтреугольник'
Теорема Пифагора а 2+Ь2= с 2
Тригонометрические функции
а а
sina = — tga = —
. с b
Ъ ' Ь
cosa = — ctga = —
Метрические соотношения
лс=-^г = л/«7а Г
Ъ2 =ЪС-с
Площадь S = —ab = —chc
2
1 « 1
2
_ „ с a + b -c
Формулы радиусов R = —, г = -----------
2 2
7П,= - ^ 2 a 3+262- с 2

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ПЛАНИМЕТРИИ
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Пйоизвольнышпарал'лелограмм
Соотношения между диагоналями
и сторонами
cf12+d |= 2 (a 2+b2)
Площадь
S - a h a S = absina S = —dtd2sin у
2
Прямоугольник Н Н н М Н Й
1 2
Площадь S = ab, S = —d sin у
2
Радиус описанной окружности R -
d
1111В .V“-‘.
А Аi Площадь
/
д д д р
2 1
S = ah S = a sina S ~ —did2
2
Щ 7
у AРадиус вписанной окружности г = —
2
ж
Квадрат
Площадь S = а 2 , S 2
2
d a а
Формулы радиусов R = —= —j=-, r = —
2 v2 2
и ! яТрапеция
Площадь
„ а+Ь 1 .
S = я S =—ajagSinY

ОКРУЖНОСТЬ
С D
7 * V
1 Y o j
щ Ш 1 CD — касательная,
v >
A M ■ВМ = СМ ■DM CD2 =CB CA PA PB =PC PD
*Окр^жнксй>, круг и их элементы
Длина
окружности
C =2nR
Площадь круга
C =kR 2
I
Длина дуги
кВ
1п = а
“ 180
Площадь
кругового сектора
L

csdcsv

More Related Content

What's hot (9)

Similar to csdcsv (20)

More from Sergii Perun (20)

csdcsv