Quantum challenge 2021 exercise1
- 1. Quantum Challenge 2021 exercise1まとめ 解法１ Uゲートを用いる 解法２ Tゲートを用いる 解法３ 自分の解法 以下ではRz,SX,X,CXゲートのこと を基本ゲートと呼びます。 課題：CCXゲートをRz,SX,X,CXゲートで表す 静岡県立磐田南高校2年 田野拓実
- 4. U3ゲートを基本ゲートを用いて表す。 左の図はXゲートの例。XゲートはU3ゲー トの(𝜃, 𝜑,λ)= (𝜋,0,𝜋)で表せる。 SXゲート Rzゲート Hゲート その他のゲートをU3ゲートを用いてあらわ すと下のようになる。 (𝜃, 𝜑,λ)= (𝜋 6,-𝜋 2,𝜋 2) (𝜃, 𝜑,λ)= (𝜋 6,-𝜋 2,𝜋 2) (𝜃, 𝜑,λ)= (𝜋 2,0,𝜋)
- 6. この回路の行列を出すと左のようになる。行列の要 素の比が重要なので、0.92388-0.38268iで割ると右 の行列のようになる。 これはCCXゲートの行列と同じになる。 実部 虚部 実部 虚部
- 8. Tゲートを用いてCCXゲートを表せる。これを基本ゲートで表すと 左のようになる。（U3ゲートを用いた場合と一致する。） qiskit textbook さらなる回路の等価性 より https://qiskit.org/textbook/ja/preface.html Hゲートは下のように置き換えられるので
- 9. 解法３ 自分の解法 制御制御操作をできる回路をうまく加工して、CCXを作ろうとした。 CCPゲートをCCRzに置き換えて回路の両端にSXをつけて、Xを最後につけることでできそ うだったが、 |111>→-|110>となってしまうので、CCPをつけて解消をした。 回路の後半では、 -|110>のみが |110>に変わる。 前半 後半 回路の前半では、q0=q1=|1>のときに X(SX)Rz(𝜋)(SX)= 0 −1 1 0 が、それ以外の 時はX(SX)(SX)= 1 0 0 1 がq2にかかり |110>→|111>,|111>→-|110>となる。 この回路を基本 ゲートで置き換え ていく
- 11. SXゲートを両端につけ,最後にXゲートをつけて CRzゲートを基本ゲートで置き換えると 前半完成 |110>→|111>となるが|111>→-|110>となってしまうので これを後半で解決する
- 14. 以上より ↖完成した回路の行列
- 15. 補足 なぜ前半ではRz,後半ではPゲートを使うのか。 →CCRzとCCPは行列が一致しないから。 RzとPについて ⇧Pゲートの行列 ⇧Rzゲートの行列 |𝜑>=a|0>+b|1>のとき P|𝜑 >=a|0>+𝑒𝑖𝜃 b|1 > Rz|𝜑>=𝑒−𝑖 𝜃 2(a|0>+𝑒𝑖𝜃 b|1>) 制御ゲートでない場合は全体の係数は無視できるので この場合だとPとRzは等価 1 0 0 𝑒𝑖𝜃 𝑒−𝑖 𝜃 2 0 0 𝑒𝑖 𝜃 2
- 17. 前半でCCRz,後半 でCCPを使う理由 前半で、q0=q1=|1>のときq2にはSX,Rz,SX,Xがかかっていると考えることができる。 X(SX)Z(SX)= 0 1 1 0 1 2 1 + 𝑖 1 − 𝑖 1 − 𝑖 1 + 𝑖 1 0 0 −1 1 2 1 + 𝑖 1 − 𝑖 1 − 𝑖 1 + 𝑖 = 0 −𝑖 𝑖 0 RzをP(Z)ゲートで考えると、行列を考えると虚数が出てきてしまう。 （制御制御ゲートの場合は、16ページにあるように行列の要素の比が異なるので 全体の係数比が無視できない） 前半でCCRz(𝜋)によるRzの代わりにCCP(𝜋)(CCZ)によるZゲートを用いると q0=q1=1の時のq2は
- 18. 後半で、q0=q1=1のとき、q2にはX,Z,Xがかかっていると考えられる。 XRz(𝜋)X= 0 1 1 0 −𝑖 0 0 𝑖 0 1 1 0 = 𝑖 0 0 −𝑖 ZをRz(𝜋)として、行列を考えると虚数が出てきてしまう。 以上より、前半ではCCRz、後半ではCCPを使わなければならない。 （前半でCCP,後半でCCRzを使ってもよい。） 後半でCCP(𝜋)(CCZ)によるP(Z)の代わりにCCRz(𝜋)によるRZを用いると q0=q1=1の時のq2は