Kts c2-dai so boole

Chöông 2: ÑAÏI SOÁ BOOLE – COÅNG
LOGIC
I. Caáu truùc ñaïi soá Boole:
Laø caáu truùc ñaïi soá ñöôïc ñònh nghóa treân 1
taäp phaàn töû nhò phaân B = {0, 1} vaø caùc pheùp
toaùn nhò phaân: AND (.), OR (+), NOT (’).
x
y
x . y (x AND
y)
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
x y x + y (x OR
y)
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
x
x’ (NOT x, x
)
0
1
1
0

* Thöù töï pheùp toaùn: theo thöù töï daáu ngoaëc (),
2
NOT, AND, OR
1. Caùc tieân ñeà (Axioms):
a. Tính kín (Closure Property)
b. Phaàn töû ñoàng nhaát (Identity
Element):
x . 1 = 1 . x
= x
x + 0 = 0 + x =
x
c. Tính giao hoaùn (Commutative Property):
x . y = y .
x
x + y = y + x
d. Tính phaân boá (Distributive Property):
x . ( y + z ) = x . y + x . z
(x + z).(y + z) = x.y + z
(cm)
e. Phaàn töû buø (Complement Element):
x + x = 1 x . x =
0

3
2. Caùc ñònh lyù cô baûn (Basic Theorems):
a. Ñònh lyù 1: x = x
b. Ñònh lyù 2: x + x = x
x . x = x
c. Ñònh lyù 3: x + 1 = 1
x . 0 = 0
d. Ñònh lyù 4: ñònh lyù haáp thu (Absorption)
x + x . y = x
(e. Ñcòmn)h lyù 5: ñònh lyù keát hôïp (Associative)
x + (y + z) = (x + y) + z x . (y .
z) = (x . y) . z
f. Ñònh lyù 6: ñònh lyù De Morgan
x + y = x . y x . y = x + y
Môû r o äng: x1 + x2 + .. + xn = x1 . x2 ..
xn x1 . x2 .. xn = x1 + x2 + .. + xn

4
II. Haøm Boole (Boolean Function):
1. Ñònh nghóa:
* Haøm Boole laø 1 bieåu thöùc ñöôïc taïo bôûi
caùc bieán nhò phaân vaø caùc pheùp toaùn
nhò F phaân (x, y, NOT, z) = AND, x . y OR.
+ x . y . z
* Vôùi giaù trò cho tröôùc cuûa caùc bieán, haøm
Boole seõ coù giaù trò laø 0 hoaëc 1.
* Baûng giaù
trò:
x y z F
0 0 0
0
0 0 1
1
0 1 0
0
0 1 1
0
1 0 0
0
1 0 1
0
1 1 0
1
1 1 1
1

5
2. Buø cuûa 1 haøm:
- Söû duïng ñònh lyù De Morgan:
F = x . y + x . y . z
F = x . y + x . y . z
= ( x . y ) . ( x . y
. z ) F = ( x + y ) . ( x + y +
z )
- Laáy bieåu thöùc ñoái ngaãu vaø laáy buø
ca* ùTcí nbhie ñánoá: i ngaãu (Duality): Hai bieåu thöùc
ñöôïc goïi laø ñoái ngaãu cuûa nhau khi ta
thay pheùp toaùn AND baèng OR, pheùp
toaùn OR baèng AND, 0 thaønh 1 vaø 1
thaønh 0.
F = x . y + x . y . z
Laáy ñoái ngaãu: ( x + y ) . ( x
Buø + y caùc + z bieán:
) F = ( x + y ) . ( x + y +
z )

6
III. Daïng chính taéc vaø daïng chuaån cuûa
h1a.ø mCa Bùco otílceh: chuaån (minterm) vaø toång chuaån
(M- Taíxcthe rcmh)u: aån (minterm): mi (0 ≤ i ≤ 2n-1) laø
caùc soá haïng tích (AND) cuûa n bieán maø
haøm Boole phuï thuoäc vôùi quy öôùc bieán
ñoù coù buø neáu noù laø 0 vaø khoâng buø
neáu laø 1.
- Toång chuaån (Maxterm): Mi (0 ≤ i ≤ 2n-1) laø
caùc soá haïng toång (OR) cuûa n bieán maø
haøm Boole phuï thuoäc vôùi quy öôùc bieán
ñoù coù buø neáu noù laø 1 vaø khoâng buø
neáu laø 0.
x y z
0 0
0
0 0
1
0 1
0
0 1
1
1 0
0
minterm Maxterm
M0 = x + y +
z
m0 = x y
mz 1 = x y
mz 2 = x y
mz 3 = x y
mz 4 = x y
mz 5 = x y
mz 6 = x y
mz 7 = x y
z
M1 = x + y +
z
M2 = x + y +
Mz3 = x + y +
Mz4 = x + y +
Mz5 = x + y +
Mz6 = x + y +
z
M7 = x + y +
z
mi = Mi

7
2. Daïng chính taéc (Canonical Form):
a. Daïng chính taéc 1:
laø daïng toång cuûa caùc tích chuaån
(minterm) laøm cho haøm Boole coù giaù
trò 1 x y z F
F(x, y,
0 0
0
z) =
0
1
0 0
1
1
0
0 1
0
0
1
0 1
1
1
1
1 0
0
1 0
1
1 1
0
+ x y
x y
z
+ x y
z
+ x y
z
+ x y
z
= + m+ m+ mz
2
5
6
m1
+ m7
= S m(1, 2, 5,
6, 7)
= S (1, 2, 5, 6,
7)
b. Daïng chính taéc 2:
laø daïng tích cuûa caùc toång chuaån
(Maxterm) laøm cho haøm Boole coù giaù
trò 0

8
* Tröôøng hôïp haøm Boole tuøy ñònh (don’t
carHe)a:ø m Boole n bieán coù theå khoâng ñöôïc
ñònh nghóa heát taát caû 2n toå hôïp cuûa n
bieán phuï thuoäc. Khi ñoù taïi caùc toå hôïp
khoâng söû duïng naøy, haøm Boole seõ
nhaän giaù trò tuøy ñònh (don’t care), nghóa
laø haøm Boole coù theå nhaän giaù tri 0
h xo a yë c z 1. F
0 0
X
F (x, y, z) = P (3, 4) . D
0
1
(0, 7)
0 0
1
1
0
0 1
0
0
1
0 1
1
1
X
1 0
0
1 0

= x y (z + z) + (x + x) (y +
= yx) y z z + x y z + x y z + x y z + x
= (x + y y + z) (x x + y + z)
= (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z)
9
3. Daïng chuaån (Standard Form):
a. Daïng chuaån 1: laø daïng toång caùc tích
(S.O.P – Sum of Product)
F (x, y, z) = x y +
* F (x, y, z)z = x y
+ z
y z + x y z
= m6 m7 + m1 + m5
+ m3 = S (1, 3, 5, 6, 7)
* F (x, y, z) = x y
+ z = (x + z) (y + z)
(x + y + z)
= M2 . M0 . M4
= P (0, 2, 4)

10
b. Daïng chuaån 2: laø daïng tích caùc toång
(P.O.S – Product of Sum)
F (x, y, z) = (x +
z) y
* F (x, y, z) = (x + z=) y x y + y
= x y (z + z) +z (x + x) y z
= x y z + x y z + x y z + x y z
= m4 + m5 + m0
= S (0, 4, 5)
* F (x, y, z) = (x + z) y
= (x + y y + z) (x x + y + z
z)
= (x + y + z) (x + y + z)
(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x
+ y + z)
= M3 . M1 . M7 . M6 . M2
= P (1, 2, 3, 6, 7)

11
x
IV. Coång logic:
1. Coång NOT:
x x
x t
2. Coång AND:
x
y
z =
x.y
x
y
z
Vôùi coång AND coù nhieàu ngoõ
vaøo,
ngoõ ra seõ laø 1 neáu taát caû
caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 1
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1

12
3. Coång OR:
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
x
y
z =
x+y
x
y
z
Vôùi coång OR coù nhieàu ngoõ
vaøo,
4. Coång NAND:
x
y
z =
x.y
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
x
y
z
Vôùi coång NAND coù nhieàu ngoõ
vaøo,

13
5. Coång NOR:
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
x
y
z
Vôùi coång NOR coù nhieàu ngoõ
vaøo,
x
y
z =
x+y
6. Coång XOR (Exclusive_OR):
x
y
z =
xÅy
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
x
y
z
Vôùi coång XOR coù nhieàu ngoõ
vaøo, ngoõ ra seõ laø 1 neáu toång
soá bit 1 ôû caùc ngoõ vaøo laø soá
z = xÅy = x y + x y = (x + y)

14
7. Coång XNOR (Exclusive_NOR):
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
1
x
y
z
Vôùi coång XNOR coù nhieàu ngoõ
vaøo, ngoõ ra seõ laø 1 neáu toång
soá bit 1 ôû caùc ngoõ vaøo laø soá
chaün
x
y
z =
xÅy
z = xÅy = x y + x y = (x + y)
(x + y)

15
V. Ruùt goïn haøm Boole:
Ruùt goïn (toái thieåu hoùa) haøm Boole nghóa
laø ñöa haøm Boole veà daïng bieåu dieãn ñôn giaûn
nha-á Bt,i seaåou cthhoö:ùc coù chöùa ít nhaát caùc thöøa soá
vaø moãi thöøa soá chöùa ít nhaát caùc bieán.
- Maïch logic thöïc hieän coù chöùa ít nhaát caùc
1. Phvöiô mnga ïpchh asùopá. ñaïi soá:
Duøng caùc ñònh lyù vaø tieân ñeà ñeå ruùt
F g(Ao,ï nB h, aCø)m .= S (2, 3, 5, 6, 7)
= ABC + ABC + ABC + ABC +
ABC
= AB(C + C) + AC(B + B) +
AB(C + C)
= AB + AC + AB
= (A + A)B + AC
= B + AC

16
2. Phöông phaùp bìa KARNAUGH:
a. Caùch bieåu dieãn:
A
B
F
0 1
0
1
- Bìa K goàm caùc oâ vuoâng, moãi oâ vuoâng
bieåu dieãn cho toå hôïp n bieán. Nhö vaäy bìa K
cho n bieán seõ coù 2n oâ.
- Hai oâ ñöôïc goïi laø keà caän nhau khi toå
hôïp bieán maø chuùng bieåu dieãn chæ khaùc nhau
1 b i e-á Tnr. ong oâ seõ ghi giaù trò töông öùng cuûa haøm
Boole taïi toå hôïp đoù. ÔÛû daïng chính taéc 1 thì
ñöa caùc giaù trò 1 vaø X leân caùc oâ, khoâng ñöa
caùc giaù trò 0. Ngöôïc laïi, daïng chính taéc 2 thì chæ
ñöa giaù trò 0 vaø X.
* Bìa 2 bieán:
0
1
2
3
F (A, B) = S (0, 2) + d(3) = Õ
(1) . D(3)
A
B
F
0 1
0
1
1 1
X
A
B
F
0 1
0
1 0 X

F (A, B, C) = S (2, 4, 7) + d(0, 1) = Õ (3, 5,
6) . D(0, 1)
17
* Bìa 3 bieán:
F
AB
C
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0 2
6
4
0
1
3
7
5
F
AB
C
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
X
X
1
1
1
F
AB
C
0
1
0
0
0
1
1
1
1
X 0
0
X 0
0

18
F
* Bìa 4 bieán: AB
CD
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
11
11
0
0
1
4
5
8
9
3
2
1
2
1
3
1
5
7
6 1
0
1
4
1
1
* Bìa 5 bieán:
2
8
2
9
3
1
3
0
BC
DE
F
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
11
11
0
1
0
0
0
1
1
0
1
A 0 1
0
1
4
5
8
9
3
2
1
2
1
3
1
5
7
6 1
0
1
4
1
1
1
6
1
7
1
9
1
8
2
0
2
1
2
3
2
2
2
4
2
5
2
7
2
6

19
b. Ruùt goïn bìa Karnaugh:
* Nguyeân taéc:
- Lieân keát ñoâi: Khi lieân keát (OR) hai oâ coù
giaù trò 1 (OÂ_1) keà caän vôùi nhau treân bìa K, ta
seõ ñöôïc 1 soá haïng tích maát ñi 1 bieán so vôùi tích
chuaån (bieán maát ñi laø bieán khaùc nhau giöõa 2
oâ). Hoaëc khi lieân keát (AND) hai oâ coù giaù trò 0
(OÂ_0) keà caän vôùi nhau treân bìa K, ta seõ ñöôïc 1
soá haïng toång maát ñi 1 bieán so vôùi toång chuaån
(bieán maát ñi laø bieán khaùc nhau giöõa 2 oâ).
F
AB
C
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1 1 0
B C
F
AB
C
0
1
0
0
0
1
1
1
1
00
0
A +B

- Lieân keát 4: Töông töï nhö lieân keát ñoâi
khi lieân keát 4 OÂ_1 hoaëc 4 OÂ_ 0 keà caän vôùi
nhau, ta seõ loaïi ñi ñöôïc 2 bieán (2 bieán khaùc
nhau giöõa 4 oâ)
20
F
AB
C
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1 0
1
1
1
B
F
AB
C
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0 0 0 0
C

- Lieân keát 8: lieân keát 8 oâ keà caän vôùi
nhau, ta seõ loaïi ñi ñöôïc 3 bieán (3 bieán khaùc
nhau giöõa 8 oâ)
21
AB
F
CD
0
0
0
1
1
1
1
0 0
00
11
11
0
1 1 1
1
1 1 1
1
D
AB
F
CD
0
0
0
1
1
1
1
0 0
00
11
11
0
0
0
0
0
0
0
0 0
B
- Lieân keát 2k: khi ta lieân keát 2k OÂ_1
hoaëc 2k OÂ_0 keà caän vôùi nhau ta seõ loaïi ñi
ñöôïc k bieán (k bieán khaùc nhau giöõa 2k oâ)

00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
1
1
00 01 11 10
F
AB
CD
00
0
01
11
10 0
Các ví dụ về 2 ô kế cận
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
0
10 0
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10 1 1

00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
1 1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1
C D
A D
A D
B D

F AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
F AB
CD
00 01 11
10
00
01
11
10
F AB
CD
00 01 11
10
00
01
11
10
F AB
CD
00 01 11
10
00
01
11
10
0 0 0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
C+ D
A + D
A + D
B+ D

00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
0 0 0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
C +D
A + C
B+C
B+ D

00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
1 1 1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
C D
A C
B D
B C

00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
00 01 11
A
F AB
CD
10
00
01
11
10
1 1 1
1
0 0
0 0
1 1 1
1
1 1 1
1
1 1 1
1
0 0
0 0
0 0 0
0
0 0 0
0
C
D D

= A B + A C + B C + A
B C
28
* Caùc böôùc thöïc hieän ruùt goïn theo daïng
S.O.P:
- Bieåu - Thöïc hdiieeäãnn ccaaùùcc lOieÂâ_n1 kleeâánt cboìùa tKhaerån caouùg hsa o cho
caùc OÂ_1 ñöôïc lieân keát ít nhaát 1 laàn; moãi
lieân keát cho ta 1 soá haïng tích.
(Neáu OÂ_1 khoâng coù keà caän vôùi caùc OÂ_1
khaùc thì ta coù lieân keát 1: soá haïng tích chính
-b aBèinegå um tihnötùercm ru cùutû gao oïnâ cñooùù )ñ. öôïc baèng caùch
laáy toång (OR) cuûa caùc soá hạng tích lieân keát
treâFn(.A , B, C) = S (0, 1,
3, 5, 6)
F
AB
C
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1 1
0
1 1
1
A
C
A
A B C
B B
C

29
* Caùc böôùc thöïc hieän ruùt goïn theo daïng
P.O.S:
- Bieåu dieãn caùc OÂ_0 leân bìa Karnaugh
- Thöïc hieän caùc lieân keát coù theå coù sao cho
caùc OÂ_0 ñöôïc lieân keát ít nhaát 1 laàn; moãi
lieân - Bieå kue táhtö cùhco r tuaù 1t gsooïán h caoïùn gñ ötổônïcg .b aèng caùch
laáy tích (AND) cuûa caùc soá hạng tổng lieân
keát treân.
F(A, B, C, D) = P (0, 4, 8, 9, 12, 13, 15)
AB
F
CD
0
0
= (C + D) (A + C) (A +
B + D)
0
1
1
1
1
0 0
0 0 0 0
(C + D) (A + C)
00
11
11
0
(A + B +
D)
0 0
0

Rut́ goṇ ham̀
sau
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
1 1
1
1
1
1
1
F(A, B,C,D) = A B C D+ A B + B C

Rut́ goṇ ham̀
sau
F(A,B,C,D) =å(0,1,4,5,6,7,14,15)
00 01 11
F AB
CD
10
00
01
11
10
1
1
1
1
1
1
1
1
F(A,B,C,D) = A C + B C

* Tröôøng hôïp ruùt goïn haøm Boole coù tuøy ñònh:
thì ta coù theå coi caùc OÂ tuøy ñònh naøy laø OÂ_1
hoaëc OÂ_0 sao cho coù lôïi khi lieân keát (nghóa laø
coù ñöôïc lieân keát nhieàu OÂ keà caän nhaát)
32
F(A, B, C, D) = S (0, 4, 8, 10) + d (2,
12, 15)
AB
1 1 1
X
X
X 1
F
CD
0
0
0
1
1
1
1
0 0
00
11
11
0
C D
B D
= B D + C D

A, B, C, D) = P (0, 2, 3, 4, 6, 10, 14) . D (8, 9, 11, 12, 13)
33
D
(B +
C)
= D (B + C)
0 0 X
X
X
0
0 0
0
X
X
0
AB
F
CD
0
0
0
1
1
1
1
0 0
00
11
11
0

* Chuù yù:
- Öu tieân lieân keát cho caùc oâ chæ coù 1 kieåu
lieân keát (phaûi laø lieân keát coù nhieàu oâ nhaát).
- Khi lieân keát phaûi ñaûm baûo coù chöùa ít nhaát
1 oâ chöa ñöôïc lieân keát laàn naøo.
- Coù theå coù nhieàu caùch lieân keát coù keát quaû
- tVödô:n Ta Rg coi uñùötô caùc gnogï nn tuøy hcaauù ñònh c haøm
nhö laø nhöõng oâ ñaõ lieân
keát F(A, 1roài.
B, C, D) = S (1, 3, 5, 12, 13, 14, 15) + d (7,
8, 9)
F2(A, B, C, D) = P (1, 3, 7, 11, 15) . D(0, 2, 5)
F1(A, B, C, D, E) = S (1, 3, 5, 7, 12, 14, 29, 31)
+ d (13, 15, 17,
19, 20, 21, 22, 23)
F(A, B, C, D, E) = P (0, 8, 12, 13, 16, 18, 28,
234
30)

35
VI. Thöïc hieän haøm Boole baèng coång logic:
1. Caáu truùc coång AND _ OR:
Caáu truùc AND_OR laø sô ñoà logic thöïc hieän
cho haøm Boole bieåu dieãn theo daïng toång
caùc tích (S.O.P)
F(A, B, C, D) = A B D + C D
F(A, B, C,
D)
A
B
C
D
AND 0R

36
2. Caáu truùc coång OR _ AND :
Caáu truùc OR_AND laø sô ñoà logic thöïc hieän
cho haøm Boole bieåu dieãn theo daïng tích caùc
toång (P.O.S).
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)
OR AND
F(A, B, C,
D)
A
B
C
D

37
3. Caáu truùc coång AND _ OR _ INVERTER (AOI):
Caáu truùc AOI laø sô ñoà logic thöïc hieän cho
haøm Boole bieåu dieãn theo daïng buø (INVERTER
= NOT) cuûa toång caùc tích.
F(A, B, C, D) = A D + B C
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
AND NOR

38
4. Caáu truùc coång OR _ AND _ INVERTER (OAI):
Caáu truùc OAI laø sô ñoà logic thöïc hieän cho
haøm Boole bieåu dieãn theo daïng buø cuûa tích caùc
toång.
A
B
C
D
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C)
F(A, B, C, D)
OR NAND

39
5. Caáu truùc toaøn coång NAND:
Caáu truùc NAND laø sô ñoà logic thöïc hieän cho
haøm Boole coù bieåu thöùc laø daïng buø cuûa 1 soá
haïng tích.
Duøng ñònh lyù De-Morgan ñeå bieán ñoåi soá haïng toång thaønh - Coång NOT cuõng ñöôïc thay theá baèng coång
NAND
F(A, B, C, D) = A B D + C D
= A B D . C D
A
B
C
D
F(A, B, C,
D)
NAND NAND

40
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)
= A D . B C D
A
B
C
D
F(A, B, C,
D)

- Trong thöïc teá ngöôøi ta chæ söû duïng 1 loaïi coång
NAND 2 ngoõ vaøo; khi ñoù ta phaûi bieán ñoåi bieåu
thöùc sao cho chæ coù daïng buø treân 1 soá haïng tích
chæ coù 2 bieán
41
F (A, B, C, D) = A B D . C D
= A B D . C D
A
B
C
D
F(A, B, C,
D)

42
6. Caáu truùc toaøn coång NOR:
Caáu truùc NOR laø sô ñoà logic thöïc hieän cho
haøm Boole coù bieåu thöùc laø daïng buø cuûa 1 soá
haïng toång.
Duøng ñònh lyù De-Morgan ñeå bieán ñoåi soá haïng tích thaønh - Coång NOT cuõng ñöôïc thay theá baèng coång
NOR
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)
= (A + D) + (B + C+ D)
A
B
C
D
F(A, B, C,
D)
NOR NOR

43
F(A, B, C, D) = A B D + C D
= (A + B + D) + (C + D)
A
B
C
D
F(A, B, C,
D)

44
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C) (C + D)
= (A + D) + (B + C) + (C
+ D)
= (A + D) + (B + C) + (C
+ D)
A
B
C
D
F(A, B, C,
D)

Kts c2-dai so boole

More Related Content

What's hot (17)

Viewers also liked (15)

More from Wang Ruan (6)

Kts c2-dai so boole