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Basisinformationstechnologie II – Sommersemester 2016 – 25. April 2016
Dr. Jan G. Wieners
Theoretische Informatik
Formale Sprachen und Automaten

 Formale Sprachen
 Alphabet
 Buchstabe
 Wort
 Automaten
 Deterministische endliche Automaten
 (Nichtdeterministische endliche Automaten)
 Anwendung endlicher Automaten
 Grammatiken
 Kellerautomat
 Turingmaschine
 & Co.
Themenüberblick „Theoretische Informatik“

mov al, 61h
vs.
SELECT uid, name, pass, mail FROM users
WHERE uid < 2

Grammatikbeispiel natürliche Sprache: deutsche Sprache
<Satz>  <Nominalsatz> <Verb>
<Nominalsatz>  <Artikel><Substantiv>
ODER
<Artikel><Adjektiv><Substantiv>
<Artikel>  das | die
<Adjektiv>  große | kleine
<Substantiv>  Klavier | Katze
<Verb>  schläft
Definition:
 Ausdrücke in spitzen Klammern, z.B. <Verb>: Variablen oder
Nichtterminalsymbole
 Andere Ausdrücke, z.B. „schläft“: Terminalsymbole
Grammatiken
Vgl.: Socher, Rolf: Theoretische Grundlagen der Informatik. München 2008, Carl Hanser Verlag. S. 65 f.

Grammatikalisch richtig und sinnvoll:
„Die kleine Katze schläft.“
Grammatikalisch falsch
(zwar richtig nach dem vorhergehenden Beispiel, jedoch falsch in der Grammatik des Deutschen):
„Das große Katze schläft.“
Grammatikalisch richtig, jedoch sinnlos:
„Das große Klavier schläft.“
Grammatiken

Formale Sprache
 z.B. Programmiersprache
 auf Basis einer verhältnismäßig kleinen Menge von Regeln
werden Programme formuliert, die der Rechner verstehen
kann
Zu klären (natürliche und formale Sprache):
 Alphabet
 Buchstabe
 Wort
 ...
Formale Sprachen

Definitorisches:
Alphabet, Wort, Sprache

Alphabet.
- endliche, nichtleere Menge von Zeichen (auch: Buchstaben oder Symbole 
formale Einheit, die nicht weiter definiert wird)
-V oder Σ (Sigma) als Abkürzung für Alphabete

Σ Binärcode = {0,1}
Σ Hexadezimalcode = {???}

Σ Binärcode = { 0,1 }
Σ Hexadezimalcode = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

Wort.
- Ein Wort über einem Alphabet Σ ist eine endliche Folge von
Zeichen aus Σ.
- Es existiert genau ein Wort über Σ der Länge 0, das Leerwort, das
wir mit ε (Epsilon) bezeichnen
-Beispiel: Aus den Zeichen „a“, „b“, „c“ lassen sich Wörter wie „cba“
oder „aab“ bilden.
w = Haus
|w| = 4

Σ = { Anweisung, Bedingung, if, then, else, begin, end, while }
w = if Bedingung then Anweisung end
|w| = 5
Die Menge aller Wörter, die mit Zeichen aus Σ gebildet werden
können, wird mit Σ* bezeichnet
 Jede beliebige Teilmenge von Σ* wird als formale Sprache
bezeichnet.
Alphabet? Wort?

Die wichtigste Operation für Wörter besteht aus dem Verketten
einzelner Wörter
 Komposita (z.B. Dampfschiffahrt).
Beispiel: Σ = {0, 1}
Die Wörter über Σ (Sigma) sind alle endlichen 0-1-Folgen inklusive des
Leerwortes ε (Epsilon), d.h.:
Σ * = { Epsilon, 0, 1, 00, 01, 10, 11, …}
 Wir bezeichnen Sprachen mit dem Buchstaben L(Language)
Eine typische Sprache L über Σ ist die Menge aller vorzeichenlosen
Binärzahlen ohne führende Nullen: L = {0, 1, 10, 11}
Sprache

 Formale- vs. natürliche Sprachen
 Grammatik
 Alphabet
 Buchstabe
 Wort
 ToDo  Konzepte: Automaten & Co.
Zwischenstand

Gemeinsamkeiten?
Automatencharakteristika?
 Zustände, Aktionen,
Zustandsübergänge / Transitionen

Beispiel Drehkreuzautomat:
 Verwendet wird das Alphabet
Σ = { „Chip“, „drehen“}
Endliche Automaten

Zustände / Zustandsübergänge:
 Verriegelt: Im verriegelten Zustand lassen sich die Arme nicht
drehen
 Chipeinwurf: Einwurf entriegelt Sperre
 Im entriegelten Zustand: Chipeinwurf wirkungslos
 Im entriegelten Zustand: Werden die Arme gedreht, geht der
Automat in den Zustand „verriegelt“ zurück
Endliche Automaten
Abb.: Socher, Rolf: Theoretische Grundlagen der Informatik. München 2008, Carl Hanser Verlag. S. 15.

Verwendung in der Informatik: u.a. Prüfung von
Zeichenketten, d.h. Prüfung, ob die Eingabe definierten
Kriterien genügt
Beispiel:
<html>
<head>
<title>Ein HTML-Dokument</title>
</head>
<body>Inhalt des HTML-Dokumentes</boby>
</html>
Endliche Automaten

Formale Definition DEA:
Ein deterministischer endlicher Automat […] besteht
[…] aus
◦ einem Alphabet Σ, das die zulässigen Eingabezeichen auflistet,
◦ einer endlichen Menge Z von Zuständen
◦ und einer Vorschrift δ (Delta), die die Zustandsübergänge
beschreibt.
Zusätzlich verfügt ein Automat über einen speziellen
Startzustand sowie einen oder mehrere akzeptierende
Zustände (auch Endezustände genannt).
Vgl.: Socher, Rolf: Theoretische Grundlagen der Informatik. München 2008, Carl Hanser Verlag. S. 18.

Formale Definition DEA, kurz und knackig:
Ein DEA besteht aus den fünf Komponenten („fünf-
Tupel“) Z, Σ, δ, z0, E
◦ Z ist eine endliche Menge von Zuständen
◦ Σ ist ein Alphabet, das Eingabealphabet
◦ δ : Z x Σ  Z ist die Übergangsfunktion
◦ z0 ∈ Z ist der Startzustand
◦ E ⊆ Z ist die Menge der Endezustände (E ist Teilmenge der Menge von
Zuständen Z)

Der Automat ALA=(Z, Σ, δ, z0, E) prüft, ob die Eingabe eine
korrekt geschriebene ganze Zahl ohne führende Nullen
darstellt.
Gültige Eingabezeichen:
Σ = {-, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Beispiel: Automat zur lexikalischen Analyse

Übergangsdiagramm:
 Jeder in Z enthaltene Zustand wird durch einen Knoten
dargestellt
 Für jeden Zustand z0 aus Z und für jedes Eingabesymbol a aus
Σ sei δ(z0, a)=p
 Das Übergangsdiagramm enthält dann einen Pfeil, der von
Knoten z0 zu Knoten p führt und mit a beschriftet ist
 Knoten, die akzeptierenden Zuständen entsprechen, werden
durch eine doppelte Kreislinie gekennzeichnet.
Deterministischer endlicher Automat

Zustands-/Übergangsdiagramm:
Deterministischer endlicher Automat

Fall I:
Zu Beginn, d.h. im Startzustand z0, können drei Fälle
unterschieden werden:
 Ist das erste Eingabezeichen eine 0, so springt der Automat
in den Zustand z3: (z0, 0)  (z3, ε)
 z3 muss ein akzeptierender Zustand sein, da 0 ein gültiges
Eingabewort ist.
 Anschließend darf kein weiteres Zeichen mehr kommen,
weil führende Nullen nicht erlaubt sind.
Z.B.: (z3, 0)  (z4, ε)

Fall II:
 Ist das erste Eingabezeichen nicht 0 und auch nicht das
Minuszeichen, so springt der Automat in den Zustand z2.
Z.B.: (z0, 3)  (z2, ε)
 Anschließend dürfen beliebig viele Ziffern, jedoch kein
Vorzeichen kommen.
Z.B.: (z2, 5)  (z2, ε)
oder (kein gültiger Endzustand) (z2, -)  (z4, ε)

Fall III:
 ???

Fall III:
 Ist das erste Eingabezeichen das Vorzeichen, so springt der
Automat in den Zustand z1.
 Folgt nun eine weitere Ziffer ungleich 0, so springt der
Automat in den Zustand z2.

Beispiel: Eingabe „-153“
Ist das Eingabewort „-153“ eine korrekt geschriebene ganze Zahl?
Übung

Beispiel: Eingabe „-153“
 Verlauf: (z0, -153)  (z1, 153)  (z2, 53)  (z2, 3)  (z2, ε)
 Fazit: Die Verarbeitung endet im Zustand z2, der ein Endezustand ist. Das
Eingabewort „-153“ ist folglich eine korrekt geschriebene ganze Zahl.
 Die Menge aller Eingabewörter, die vom Automaten A akzeptiert werden,
wird als die von A akzeptierte Sprache bezeichnet
Übung

Wie reagiert der folgende DEA auf die Eingabe
„111001“? Verarbeitet der Automat die Eingabe?
Übung

Automaten
 Deterministische endliche A.
 [Nichtdeterministische A.]
ToDo:
 Grammatiken
 Kellerautomat
 Turingmaschine
Zwischenstand II

Grundfrage: Wie erkennen wir, ob ein „Satz“ einer
Programmiersprache wohlgeformt, d.h. korrekt ist?
Lösung: Grammatik  Regelwerk, das beschreibt, wie
syntaktisch korrekte Wörter und Sätze einer Sprache, z.B.
einer Programmiersprache gebildet werden
Grammatiken

Grammatikbeispiel natürliche Sprache: deutsche Sprache
<Satz>  <Nominalsatz> <Verb>
<Nominalsatz>  <Artikel><Substantiv>
||
<Artikel><Adjektiv><Substantiv>
<Artikel>  das | die
<Adjektiv>  große | kleine
<Substantiv>  Klavier | Katze
<Verb>  schläft
Definition:
 Ausdrücke in spitzen Klammern, z.B. <Verb>: Variablen oder
Nichtterminalsymbole
 Andere Ausdrücke, z.B. „schläft“: Terminalsymbole
Grammatiken

Definition: Eine Grammatik G ist ein Quadrupel
(d.h. ein System mit 4 charakteristischen Bestandteilen):
G = {V, Σ, P, S}
 V bezeichnet eine endliche Menge von Variablen
 Σ ist das Terminalalphabet, d.h. die Menge der Terminalen Symbole.
Terminale Symbole bilden das Alphabet der Sprache, sind nicht weiter
zerlegbar (notiert als Kleinbuchstaben)
 P ist eine Menge von Produktionen, d.h. eine endliche Menge von Regeln.
Beispiel: <Satz>  <Nominalsatz><Verb>
 S ist die Startvariable
Grammatiken

Chomsky-Hierarchie (sowohl für natürliche, als auch für
formale Sprachen):
 Chomsky-Typ 0, auch: allgemeine Grammatik.
Chomsky-Typ 1, auch: kontextsensitive Grammatik.
Chomsky-Typ 2, auch: kontextfreie Grammatik.
Chomsky-Typ 3, auch: reguläre Grammatik.
Grammatiken

Für jeden Grammatik-Typ der Chomsky-Hierarchie
existiert ein Typ von Automat, der die aus den
Grammatiken resultierenden
Sprachen verarbeiten kann:
 Typ 0 (allgemein)  Turing-Maschine
 Typ 1 (kontextsensitiv)  linear beschränkter
Automat
 Typ 2 (kontextfrei)  Kellerautomat
 Typ 3 (regulär)  endlicher Automat
Grammatiken und die Praxis

Wofür der Aufwand?
 Compilierung: Stellt die Eingabe ein zu akzeptierendes
Programm dar?
Grammatiken und die Praxis

Intention: Endlichen Automaten fehlt ein Speicher, der
beliebig viele Informationen speichern kann und nicht –
wie DEA – von vornherein, d.h. durch die Anzahl ihrer
Zustände, beschränkt ist.
Lösung: Kellerautomat
Kellerautomat

Formale Definition: Ein nichtdeterministischer Kellerautomat
(mit Endzuständen) ist ein 7-Tupel):
M =(Z, V, U, δ, qM, KM, F)
 Z ist die Zustandsmenge
 V ist das Eingabealphabet
 U ist das Kelleralphabet.
 δ (Delta) ist die Überführungsrelation. Die Elemente aus δ heißen
Anweisungen.
 qM ist der Startzustand. Der Kellerautomat befindet sich in diesem
Zustand, bevor ein Zustandsübergang erfolgt ist.
 KM ist das Anfangskellerzeichen. Anfangs enthält der Kellerspeicher
nur das Startsymbol.
 F ist die Menge der akzeptierenden Zustände oder Endzustände.
Kellerautomat

Anforderung: Entwurf eines allgemeineren Automaten
Auflösung der Beschränkungen des Kellerspeichers, u.a.
dass nur an dem einen Ende des Speichers ein- und
ausgelesen werden kann
 Automat, der wahlfreien Zugang (random access) auf
alle Speicherplätze erlaubt
Formuliert von Alan M. Turing in „On computable
numbers, with an application to the
Entscheidungsproblem“ (1937)
Turing-Maschine

Turing-Maschine
Abb.: Schöning, Uwe: Ideen der Informatik. München 2008, Oldenbourg Wissenschaftsverlag. S. 102.

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