Quantenphysik
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Das Dokument bietet eine Einführung in die Quantenphysik, einschließlich der grundlegenden Konzepte der klassischen Mechanik, des Welle-Teilchen-Dualismus und der mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik, wie Hilberträume und Operatoren. Es erklärt den Zustand eines Teilchens in der Quantenmechanik, die Verwendung der Bra-Ket-Notation und die postulierte Struktur unter Quantenmessungen. Zudem werden fundamentale Postulate der Quantenmechanik beschrieben, die die Beziehungen zwischen beobachtbaren Größen und deren Messungen definieren.
![Kompatible Observablen
F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung
u a
von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm
des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das
u
Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden
Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B
(|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider
Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz
o
{|n, m } von Eigenvektoren besitzen. Dann sind die Observablen
vertauschbar:
AB |n, m = Abm |n, m = an bm |n, m = Ban |n, m = BA |n, m
Man sagt auch sie “kommutieren”. Dies ist genau dann der Fall,
wenn das Objekt “Kommutator” verschwindet:
[A, B] ≡ AB − BA](https://image.slidesharecdn.com/vortrag-130317130226-phpapp02/85/Quantenphysik-64-320.jpg)
![Der harmonische Oszillator
Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist gegeben
durch:
p2 1
H= + mω 2 x 2
2m 2
x: Ortoperator
p: Impulsoperator
[x, p] = i](https://image.slidesharecdn.com/vortrag-130317130226-phpapp02/85/Quantenphysik-66-320.jpg)
![Der harmonische Oszillator
Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist gegeben
durch:
p2 1
H= + mω 2 x 2
2m 2
x: Ortoperator
p: Impulsoperator
[x, p] = i
Durch Definition der Operatoren
1 mω
P= p X = x
mω
1 1
a = √ (X + i P) a† = √ (X − i P)
2 2
l¨sst sich der Hamilton-Operator umschreiben zu
a
ω 2 ω †
H= P + X2 = a a + aa†
2 2](https://image.slidesharecdn.com/vortrag-130317130226-phpapp02/85/Quantenphysik-67-320.jpg)
![Der harmonische Oszillator
[a, a† ] = 1, also
1 1
H = ω a† a + = ω N+
2 2](https://image.slidesharecdn.com/vortrag-130317130226-phpapp02/85/Quantenphysik-68-320.jpg)
![Der harmonische Oszillator
[a, a† ] = 1, also
1 1
H = ω a† a + = ω N+
2 2
¨
Die Eigenzust¨nde {|n } des Anzahl-Operators”N sind algebraisch
a
bestimmbar.
N |n = n |n n ∈ N0
Die Energie-Eigenwerte des Systems sind nun](https://image.slidesharecdn.com/vortrag-130317130226-phpapp02/85/Quantenphysik-69-320.jpg)
![Der harmonische Oszillator
[a, a† ] = 1, also
1 1
H = ω a† a + = ω N+
2 2
¨
Die Eigenzust¨nde {|n } des Anzahl-Operators”N sind algebraisch
a
bestimmbar.
N |n = n |n n ∈ N0
Die Energie-Eigenwerte des Systems sind nun
1
H |n = ω n + |n
2](https://image.slidesharecdn.com/vortrag-130317130226-phpapp02/85/Quantenphysik-70-320.jpg)
Quantenphysik
- 1. Hallo Ich bin der Carl und werde euch heute irgendwas uber ¨ Quantenphysik erz¨hlen. a
- 2. ¨ Ubersicht ¨ Ubersicht Einleitung Klassische Mechanik Teilchen Wellen Welle-Teilchen-Dualismus Mathematische Grundlagen Hilbert-R¨ume a Operatoren Postulate der Quantenmechanik Der harmonische Oszillator
- 3. Klassische Mechanik - Teilchen
- 4. Zeitentwicklung In der klassischen Mechanik werden in der Regel Massepunkte (aka Teilchen) betrachtet.
- 5. Zeitentwicklung In der klassischen Mechanik werden in der Regel Massepunkte (aka Teilchen) betrachtet. Sind Anfangsposition q i und Anfangsimpuls {pi } aller N Teilchen bekannt, ist dadurch die zeitliche Entwicklung des “Systems” gegeben.
- 6. Hamiltonfunktion Die Zeitentwicklung l¨sst sich zum Beispiel durch die a Hamilton-Funktion H bestimmen. H pi , q i , t = T + V N pi2 = + V qi , t 2m i=1
- 7. Bewegungsgleichungen Die Geschwindigkeit des i-ten Teilchens ist dann gegeben durch ∂H qi = ˙ ∂pi Die Impuls¨nderung ist a ∂H pi = − ˙ ∂q i
- 8. Zusammenfassung In der klassischen Mechanik sind Teilchen Massepunkte und haben zu jedem Zeitpunkt einen eindeutigen Ort und einen eindeutigen Impuls.
- 9. Klassische Mechanik - Wellen
- 10. 4π ν Aν = j c
- 12. Quantenmechanik - Mathematische Grundlagen
- 13. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines “Teilchens” durch einen Vektor in einem “Zustandsraum” beschrieben.
- 14. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines “Teilchens” durch einen Vektor in einem “Zustandsraum” beschrieben. Alle m¨glichen Zust¨nde des Teilchens sind Vektoren in diesem o a Raum.
- 15. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines “Teilchens” durch einen Vektor in einem “Zustandsraum” beschrieben. Alle m¨glichen Zust¨nde des Teilchens sind Vektoren in diesem o a Raum. Dieser “Zustandsraum” ist ein komplexer Hilbert-Raum.
- 16. Hilbert-R¨ume a
- 17. Hilbert-R¨ume sind (vollst¨ndige) Vektorr¨ume mit einem a a a Skalarprodukt
- 18. Hilbert-R¨ume sind (vollst¨ndige) Vektorr¨ume mit einem a a a Skalarprodukt Also zum Beispiel der R2 : a1 b1 a, b = · = a1 b1 + a2 b2 a2 b2
- 20. i 2 = −1 z = a + ib z 2 = (a + i b)2 = a2 − b 2 + i 2ab z∗ = a − i b z z ∗ = a2 + b 2 = |z|2 z∗ ≡ z
- 22. Das Skalarprodukt Das Skalarprodukt eines komplexen Vektorraums V ist eine Abbildung zweier Vektoren des Vektoraums in die komplexen Zahlen: a, b ∈ C ∀a, b ∈ V
- 23. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a
- 24. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2
- 25. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2 c) a, a ≥ 0 und a, a = 0 ⇔ a = 0
- 26. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2 c) a, a ≥ 0 und a, a = 0 ⇔ a = 0 Aus a) und b) folgt: a1 + λ a2 , b = a1 , b + λ a2 , b
- 27. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2 c) a, a ≥ 0 und a, a = 0 ⇔ a = 0 Aus a) und b) folgt: a1 + λ a2 , b = a1 , b + λ a2 , b Außerdem folgt, dass sich uber das Skalarprodukt der Betrag der ¨ Vektoren (mathematisch: eine Norm) definieren l¨sst: a |a| = a, a
- 28. Ket-Vektoren In der Physik wird zur Darstellung der Zustandsvektoren im Hilbertraum meist die “Bra-Ket”-Notation verwendet.
- 29. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u
- 30. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u |Ich bin ein Ket-Vektor!
- 31. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u |Ich bin ein Ket-Vektor! |Ich auch!
- 32. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u |Ich bin ein Ket-Vektor! |Ich auch! |Ich beschreibe einen Zustand!
- 33. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u |Ich bin ein Ket-Vektor! |Ich auch! |Ich beschreibe einen Zustand! |Ich bin ein Basis-Vektor!
- 34. Operatoren Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt: u
- 35. Operatoren Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt: u a) Aλ |a = λA |a ∀λ ∈ C, |a ∈ H
- 36. Operatoren Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt: u a) Aλ |a = λA |a ∀λ ∈ C, |a ∈ H b) A (|a + |b ) = A |a + A |b ∀ |a , |b ∈ H
- 37. Operatoren Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt: u a) Aλ |a = λA |a ∀λ ∈ C, |a ∈ H b) A (|a + |b ) = A |a + A |b ∀ |a , |b ∈ H Zus¨tzlich betrachtet man in der Physik normalerweise Operatoren, a die in den Hilbertraum abbilden: A |a = |A a , |A a ∈ H ∀ |a ∈ H
- 38. Eigenvektoren Hat ein Operator (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die er nur um einen Faktor ¨ndert, so nennt man diese Eigenvektoren: a A |Vektor = λ |Vektor
- 39. Eigenvektoren Hat ein Operator (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die er nur um einen Faktor ¨ndert, so nennt man diese Eigenvektoren: a A |Vektor = λ |Vektor Den Wert λ bezeichnet man als Eigenwert.
- 40. Eigenvektoren Hat ein Operator (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die er nur um einen Faktor ¨ndert, so nennt man diese Eigenvektoren: a A |Vektor = λ |Vektor Den Wert λ bezeichnet man als Eigenwert. Gibt es mehrere linear unabh¨ngige Eigenvektoren mit gleichem a Eigenwert, spricht man von Entartung.
- 41. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich?
- 42. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich? Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt. Dieses schreiben wir a, b a, b ∈ H
- 43. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich? Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt. Dieses schreiben wir a, b a, b ∈ H In der Bra-Notation schreiben wir das Skalarprodukt nun a|b
- 44. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich? Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt. Dieses schreiben wir a, b a, b ∈ H In der Bra-Notation schreiben wir das Skalarprodukt nun a|b Dabei kann man den linken Teil als lineare Abbildung auffassen, die auf den rechten Teil wirkt a| (|b )
- 45. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich? Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt. Dieses schreiben wir a, b a, b ∈ H In der Bra-Notation schreiben wir das Skalarprodukt nun a|b Dabei kann man den linken Teil als lineare Abbildung auffassen, die auf den rechten Teil wirkt a| (|b ) Diesen linken Teil bezeichnet man als ”BraVektor, es ist also ein Vektor aus dem Raum der linearen Abbildungen von H. (Also dem Dualraum von H. Die Hilberr¨ume, die in der Physik anwendung finden, sind isometrisch isomorph zu a ihren Dualr¨umen.) a
- 46. Adjungierte Operatoren Als adjungierten Operator A† zu einem Operator A bezeichnet man einen Operator, f¨r den gilt: u A |φ = |ψ ⇔ φ| A† = ψ| (Der Operator A ”wirkt”nach rechts, A† aber nach links.) Daraus folgt: φ| A |ψ = ψ| A† |φ
- 47. Operatoren als Ket-Bras Ein Objekt, das ”Ket-Bra”geschrieben wird, ist ein Operator. Beispiel: |1 2| |1 = 2|1 |1 |1 2| |2 = 2|2 |1 Dieser Operator hat also den Eigenvektor |1 zum Eigenwert 2|1 .
- 48. LUFTHOLPAUSE
- 49. Nun: Ein einfaches Beispiel: C2 1 |1 ≡ 0 0 |2 ≡ 1
- 50. Nun: Ein einfaches Beispiel: C2 1 |1 ≡ 0 0 |2 ≡ 1 Daraus folgt f¨r die Bra-Vektoren: u 1| ≡ 1 0 2| ≡ 0 1 1 1 1 0 1|1 = 1 0 =1 |1 1| = 1 0 = 0 0 0 0 Matrixprodukt Dyadisches Produkt
- 51. Analog ist der Operator i |1 2| + 2i |2 1| = 1 0 0 i i 0 1 + 2i 1 0 = =A 0 1 2i 0 2| A |1 = 2| 2i |2 1| A |2 = 1| i |1 ⇒ 2| 2i |2 = 1| A† |2 ⇒ 1| i |1 = 2| A† |1 0 2i ⇒ A† = − = (A∗ )T i 0
- 53. 1. Postulat Zu einer festen Zeit t wird der Zustand eines Systems durch einen Ket-Vektor |ψ ∈ H beschrieben.
- 54. 2. Postulat Zu jeder Messgr¨ße A gibt es einen hermiteschen Operator A, der o in H wirkt.
- 55. 2. Postulat Zu jeder Messgr¨ße A gibt es einen hermiteschen Operator A, der o in H wirkt. Ein hermitescher Operator ist ein Operator, der gleich seinem adjungierten Operator ist. Insbesonder haben hermitesche Operatoren reelle Eigenwerte.
- 56. 2. Postulat Zu jeder Messgr¨ße A gibt es einen hermiteschen Operator A, der o in H wirkt. Ein hermitescher Operator ist ein Operator, der gleich seinem adjungierten Operator ist. Insbesonder haben hermitesche Operatoren reelle Eigenwerte. A wird als Observable bezeichnet.
- 57. 3. Postulat Die einzig m¨glichen Messwerte einer Messung von A ist einer der o Eigenwerte von A.
- 58. 4. Postulat A sei Obervable mit A |n = an |n , n ∈ N Sind {|n } die normierten Eigenvektoren von A, so bilden sie eine Orthonormalbasis von H. ∞ |n n| = 1 n=1 Befindet sich das System im Zustand |ψ , so ist die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert an zu messen, gerade P(an ) = | n|ψ |2 f¨r ψ|ψ = 1 u n|ψ wird als Wahrscheinlichkeitsamplitude bezeichnet und ist gerade der Vorfaktor in der Zerlegung von |ψ nach {|n }: ∞ |ψ = n|ψ |n n=1
- 59. 5. Postulat Wenn eine Messung von A f¨r ein System den Wert an ergibt, so u befindet sich das System unmittelbar nach der Messung im Zustand |n .
- 60. 6. Postulat Die zeitliche Entwicklung des Zustandes |ψ ist gegeben durch die Schr¨dinger-Gleichung: o d i |ψ(t) = H |ψ(t) dt Dabei ist H (der ”Hamilton-Operator”) die Observable der totalen Energie des Systems.
- 61. Kompatible Observablen F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung u a von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das u Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A.
- 62. Kompatible Observablen F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung u a von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das u Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B (|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz o {|n, m } von Eigenvektoren besitzen.
- 63. Kompatible Observablen F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung u a von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das u Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B (|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz o {|n, m } von Eigenvektoren besitzen. Dann sind die Observablen vertauschbar: AB |n, m = Abm |n, m = an bm |n, m = Ban |n, m = BA |n, m
- 64. Kompatible Observablen F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung u a von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das u Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B (|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz o {|n, m } von Eigenvektoren besitzen. Dann sind die Observablen vertauschbar: AB |n, m = Abm |n, m = an bm |n, m = Ban |n, m = BA |n, m Man sagt auch sie “kommutieren”. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Objekt “Kommutator” verschwindet: [A, B] ≡ AB − BA
- 66. Der harmonische Oszillator Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist gegeben durch: p2 1 H= + mω 2 x 2 2m 2 x: Ortoperator p: Impulsoperator [x, p] = i
- 67. Der harmonische Oszillator Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist gegeben durch: p2 1 H= + mω 2 x 2 2m 2 x: Ortoperator p: Impulsoperator [x, p] = i Durch Definition der Operatoren 1 mω P= p X = x mω 1 1 a = √ (X + i P) a† = √ (X − i P) 2 2 l¨sst sich der Hamilton-Operator umschreiben zu a ω 2 ω † H= P + X2 = a a + aa† 2 2
- 68. Der harmonische Oszillator [a, a† ] = 1, also 1 1 H = ω a† a + = ω N+ 2 2
- 69. Der harmonische Oszillator [a, a† ] = 1, also 1 1 H = ω a† a + = ω N+ 2 2 ¨ Die Eigenzust¨nde {|n } des Anzahl-Operators”N sind algebraisch a bestimmbar. N |n = n |n n ∈ N0 Die Energie-Eigenwerte des Systems sind nun
- 70. Der harmonische Oszillator [a, a† ] = 1, also 1 1 H = ω a† a + = ω N+ 2 2 ¨ Die Eigenzust¨nde {|n } des Anzahl-Operators”N sind algebraisch a bestimmbar. N |n = n |n n ∈ N0 Die Energie-Eigenwerte des Systems sind nun 1 H |n = ω n + |n 2