Softwaredefined Radio For Engineers Alexander M Wyglinski Robin Getz Travis Collins Di Pu

Softwaredefined Radio For Engineers Alexander M
Wyglinski Robin Getz Travis Collins Di Pu
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Jouni Isoaho Fabio Garzia
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Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page i — #1
Software-Deﬁned Radio
for Engineers

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page ii — #2
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Mobile Communications, turn to the back of this book.

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page iii — #3
Software-Deﬁned Radio
for Engineers
Travis F. Collins
Robin Getz
Di Pu
Alexander M. Wyglinski

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
A catalog record for this book is available from the U.S. Library of Congress.
British Library Cataloguing in Publication Data
A catalog record for this book is available from the British Library.
ISBN-13: 978-1-63081-457-1
Cover design by John Gomes
© 2018 Travis F. Collins, Robin Getz, Di Pu, Alexander M. Wyglinski
All rights reserved. Printed and bound in the United States of America. No part
of this book may be reproduced or utilized in any form or by any means, elec-
tronic or mechanical, including photocopying, recording, or by any information
storage and retrieval system, without permission in writing from the publisher.
All terms mentioned in this book that are known to be trademarks or service
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accuracy of this information. Use of a term in this book should not be regarded
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10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page v — #5
Dedication
To my wife Lauren
—Travis Collins
To my wonderful children, Matthew, Lauren, and Isaac, and my patient wife,
Michelle—sorry I have been hiding in the basement working on this book. To
all my fantastic colleagues at Analog Devices: Dave, Michael, Lars-Peter, Andrei,
Mihai, Travis, Wyatt and many more, without whom Pluto SDR and IIO would
not exist.
—Robin Getz
To my lovely son Aidi, my husband Di, and my parents Lingzhen and Xuexun
—Di Pu
To my wife Jen
—Alexander Wyglinski

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page vi — #6

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page vii — #7
Contents
Preface xiii
CHAPTER 1
Introduction to Software-Deﬁned Radio 1
1.1 Brief History 1
1.2 What is a Software-Deﬁned Radio? 1
1.3 Networking and SDR 7
1.4 RF architectures for SDR 10
1.5 Processing architectures for SDR 13
1.6 Software Environments for SDR 15
1.7 Additional readings 17
References 18
CHAPTER 2
Signals and Systems 19
2.1 Time and Frequency Domains 19
2.1.1 Fourier Transform 20
2.1.2 Periodic Nature of the DFT 21
2.1.3 Fast Fourier Transform 22
2.2 Sampling Theory 23
2.2.1 Uniform Sampling 23
2.2.2 Frequency Domain Representation of Uniform Sampling 25
2.2.3 Nyquist Sampling Theorem 26
2.2.4 Nyquist Zones 29
2.2.5 Sample Rate Conversion 29
2.3 Signal Representation 37
2.3.1 Frequency Conversion 38
2.3.2 Imaginary Signals 40
2.4 Signal Metrics and Visualization 41
2.4.1 SINAD, ENOB, SNR, THD, THD + N, and SFDR 42
2.4.2 Eye Diagram 44
2.5 Receive Techniques for SDR 45
2.5.1 Nyquist Zones 47
2.5.2 Fixed Point Quantization 49
vii

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page viii — #8
viii Contents
2.5.3 Design Trade-offs for Number of Bits, Cost, Power,
and So Forth 55
2.5.4 Sigma-Delta Analog-Digital Converters 58
2.6 Digital Signal Processing Techniques for SDR 61
2.6.1 Discrete Convolution 61
2.6.2 Correlation 65
2.6.3 Z-Transform 66
2.6.4 Digital Filtering 69
2.7 Transmit Techniques for SDR 73
2.7.1 Analog Reconstruction Filters 75
2.7.2 DACs 76
2.7.3 Digital Pulse-Shaping Filters 78
2.7.4 Nyquist Pulse-Shaping Theory 79
2.7.5 Two Nyquist Pulses 81
2.8 Chapter Summary 85
References 85
CHAPTER 3
Probability in Communications 87
3.1 Modeling Discrete Random Events in Communication Systems 87
3.1.1 Expectation 89
3.2 Binary Communication Channels and Conditional Probability 92
3.3 Modeling Continuous Random Events in Communication Systems 95
3.3.1 Cumulative Distribution Functions 99
3.4 Time-Varying Randomness in Communication Systems 101
3.4.1 Stationarity 104
3.5 Gaussian Noise Channels 106
3.5.1 Gaussian Processes 108
3.6 Power Spectral Densities and LTI Systems 109
3.7 Narrowband Noise 110
3.8 Application of Random Variables: Indoor Channel Model 113
3.10 Additional Readings 114
References 115
CHAPTER 4
Digital Communications Fundamentals 117
4.1 What Is Digital Transmission? 117
4.1.1 Source Encoding 120
4.1.2 Channel Encoding 122
4.2 Digital Modulation 127
4.2.1 Power Efﬁciency 128
4.2.2 Pulse Amplitude Modulation 129

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page ix — #9
Contents ix
4.2.3 Quadrature Amplitude Modulation 131
4.2.4 Phase Shift Keying 133
4.2.5 Power Efﬁciency Summary 139
4.3 Probability of Bit Error 141
4.3.1 Error Bounding 145
4.4 Signal Space Concept 148
4.5 Gram-Schmidt Orthogonalization 150
4.6 Optimal Detection 154
4.6.1 Signal Vector Framework 155
4.6.2 Decision Rules 158
4.6.3 Maximum Likelihood Detection in an AWGN Channel 159
4.7 Basic Receiver Realizations 160
4.7.1 Matched Filter Realization 161
4.7.2 Correlator Realization 164
4.9 Additional Readings 168
References 169
CHAPTER 5
Understanding SDR Hardware 171
5.1 Components of a Communication System 171
5.1.1 Components of an SDR 172
5.1.2 AD9363 Details 173
5.1.3 Zynq Details 176
5.1.4 Linux Industrial Input/Output Details 177
5.1.5 MATLAB as an IIO client 178
5.1.6 Not Just for Learning 180
5.2 Strategies For Development in MATLAB 181
5.2.1 Radio I/O Basics 181
5.2.2 Continuous Transmit 183
5.2.3 Latency and Data Delays 184
5.2.4 Receive Spectrum 185
5.2.5 Automatic Gain Control 186
5.2.6 Common Issues 187
5.3 Example: Loopback with Real Data 187
5.4 Noise Figure 189
References 190
CHAPTER 6
Timing Synchronization 191
6.1 Matched Filtering 191
6.2 Timing Error 195
6.3 Symbol Timing Compensation 198

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page x — #10
x Contents
6.3.1 Phase-Locked Loops 200
6.3.2 Feedback Timing Correction 201
6.4 Alternative Error Detectors and System Requirements 208
6.4.1 Gardner 208
6.4.2 Müller and Mueller 208
6.5 Putting the Pieces Together 209
References 212
CHAPTER 7
Carrier Synchronization 213
7.1 Carrier Offsets 213
7.2 Frequency Offset Compensation 216
7.2.1 Coarse Frequency Correction 217
7.2.2 Fine Frequency Correction 219
7.2.3 Performance Analysis 224
7.2.4 Error Vector Magnitude Measurements 226
7.3 Phase Ambiguity 228
7.3.1 Code Words 228
7.3.2 Differential Encoding 229
7.3.3 Equalizers 229
References 230
CHAPTER 8
Frame Synchronization and Channel Coding 231
8.1 O Frame, Where Art Thou? 231
8.2 Frame Synchronization 232
8.2.1 Signal Detection 235
8.2.2 Alternative Sequences 239
8.3 Putting the Pieces Together 241
8.3.1 Full Recovery with Pluto SDR 242
8.4 Channel Coding 244
8.4.1 Repetition Coding 244
8.4.2 Interleaving 245
8.4.3 Encoding 246
8.4.4 BER Calculator 251
References 251
CHAPTER 9
Channel Estimation and Equalization 253
9.1 You Shall Not Multipath! 253

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page xi — #11
Contents xi
9.2 Channel Estimation 254
9.3 Equalizers 258
9.3.1 Nonlinear Equalizers 261
9.4 Receiver Realization 263
References 266
CHAPTER 10
Orthogonal Frequency Division Multiplexing 267
10.1 Rationale for MCM: Dispersive Channel Environments 267
10.2 General OFDM Model 269
10.2.1 Cyclic Extensions 269
10.3 Common OFDM Waveform Structure 271
10.4 Packet Detection 273
10.5 CFO Estimation 275
10.6 Symbol Timing Estimation 279
10.7 Equalization 280
10.8 Bit and Power Allocation 284
10.9 Putting It All Together 285
References 286
CHAPTER 11
Applications for Software-Deﬁned Radio 289
11.1 Cognitive Radio 289
11.1.1 Bumblebee Behavioral Model 292
11.1.2 Reinforcement Learning 294
11.2 Vehicular Networking 295
References 299
APPENDIX A
A Longer History of Communications 303
A.1 History Overview 303
A.2 1750–1850: Industrial Revolution 304
A.3 1850–1945: Technological Revolution 305
A.4 1946–1960: Jet Age and Space Age 309
A.5 1970–1979: Information Age 312
A.6 1980–1989: Digital Revolution 313
A.7 1990–1999: Age of the Public Internet (Web 1.0) 316
A.8 Post-2000: Everything comes together 319
References 319

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page xii — #12
xii Contents
APPENDIX B
Getting Started with MATLAB and Simulink 327
B.1 MATLAB Introduction 327
B.2 Useful MATLAB Tools 327
B.2.1 Code Analysis and M-Lint Messages 328
B.2.2 Debugger 329
B.2.3 Proﬁler 329
B.3 System Objects 330
References 332
APPENDIX C
Equalizer Derivations 333
C.1 Linear Equalizers 333
C.2 Zero-Forcing Equalizers 335
C.3 Decision Feedback Equalizers 336
APPENDIX D
Trigonometric Identities 337
About the Authors 339
Index 341

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page xiii — #13
Preface
Every sector of today’s society is entirely dependent on connectivity. As a result,
communication systems engineering has evolved into an essential profession where
practitioners are required to master a diverse set of skills and tools into order
to solve the latest technical challenges. This was not the case several decades
ago, where individuals on a design team each possessed complementary yet
different backgrounds needed in order to construct a communication system.
For example, in order to design a communication system it would take several
engineers, each of whom would be individually handling tasks such as algorithmic
development for the transceiver, theoretical performance analysis of the end-to-
end communication system, implementation of the platform in digital hardware,
design and implementation of the radio frequency front-end (RFFE), and so on.
These tasks were intentionally defined to be handled in silos such that each engineer
would not be responsible or extensively knowledgeable about the other concurrent
tasks. Now let us fast forward to today, where effectively all of these silos are
extensively overlapping with each other. An engineer is expected to know how
to provide solutions across several of these silos on the same project, such as
designing a communication system algorithm and masterfully implementing it on
a field programmable gate array (FPGA) or an embedded processing device. This
is mainly due to a new technology that has evolved over the past several decades
and matured into a mainstream communication system solution: software-defined
radio (SDR). The days of working in task silos when designing a communication
system are quickly coming to an end.
The objective of this book is to provide a hands-on learning experience using
SDR for engineering students and industry practitioners who are interested in
mastering the design, implementation, and experimentation of a communication
system. Building on the success of Digital Communication Systems Engineering
Using Software Defined Radio by Pu and Wyglinski (Artech House, 2013),
this book provides a fresh perspective on understanding and creating new
communication systems from scratch. Until now, there have been very few books
and other publications available to the community that provide an opportunity
not only to learn about the theoretical elements of a communication system but
also provide practical real-world experiments that help synthesize these important
lessons that would otherwise be omitted in a traditional communication systems
book or course. There is so much more that goes into the design of a communication
system than just drawing up a block diagram consisting of different functions and
deriving its performance characteristics. Communication system engineers need to
understand the impact of the hardware on the performance of the communication
algorithms being used and how well the overall system operates in terms of
xiii

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page xiv — #14
xiv Preface
successfully recovering the intercepted signal. What makes this hands-on learning
experience is the SDR platform itself. Several years ago, it was a significant financial
and technical investment to utilize SDR in order to prototype and experiment with
actual communication systems. The hardware was at least a couple of thousand
dollars and mastering the software was challenging to say the least. Nevertheless,
the last decade has witnessed significant advances in SDR technology such that these
platforms now cost on the order of a hundred dollars and the software is relatively
straightforward to use and reliable.
This book is ideally suited for individuals who possess a fundamental
understanding of continuous-time and discrete-time signals and systems, as well as
possess a solid understanding of computer engineering. Additionally, individuals
who already possess some basic knowledge about communication systems, for
example, amplitude modulation, frequency modulation, and phase shift keying,
would be beneficial. This book is written for both industry practitioners who are
seeking to enhance their skill set by learning about the design and implementation
of communication systems using SDR technology, as well as both undergraduate
and graduate students who would like to learn about and master communication
systems technology in order to become the next generation of industry practitioners
and academic researchers. The book contains theoretical explanations about the
various elements forming a communication system, practical hands-on examples
and lessons that help synthesize these concepts, and a wealth of important facts
and details to take into consideration when building a real-world communication
system.
The book is organized in such a way that it can be used in either a 7-week
academic term or a 14-week academic semester, as a guide for self-study on this
subject, or as a technical reference about communication systems engineering. The
book is structured in the following manner:
• Establishing a solid foundation
– Chapter 1 – Introduction to Software-Defined Radio: Provides a brief
overview of communication systems engineering and the evolution of SDR
technology.
– Chapter 2 – Signals and Systems: A condensed review of discrete-time
signal and systems, digital signal processing, filter design, and their
application to communication systems.
– Chapter 3 – Probability in Communications: An overview of the must-
know topics in probability theory required in designing and analyzing
communication systems.
– Chapter 4 – Digital Communications Fundamentals: A relatively
brief treatment of various digital communication principles, including
modulation, digital transmission, and receiver structures.
• Fundamental of SDR-based communication systems engineering
– Chapter 5 – Understanding SDR Hardware: A tutorial regarding SDR
technology with emphasis on the student targeted ADALM-PLUTO SDR,
which will be used in the hands-on elements of this book.
– Chapter 6 – Timing Synchronization: A detailed explanation of how to
obtain timing information from an intercepted signal.

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page xv — #15
Preface xv
– Chapter 7 – Carrier Synchronization: An extensive description of
methodologies used to obtain the carrier frequency of intercepted signals,
which also includes hands-on examples.
– Chapter 8 – Frame Synchronization and Channel Coding: An extensive
introduction to the theoretical and practical considerations when
performing frame synchronization.
• Advanced topics in communications design and implementation
– Chapter 9 – Channel Estimation and Equalization: Both theoretical
and experimental details on the design and implementation of several
equalization methodologies are provided.
– Chapter 10 – Orthogonal Frequency Division Multiplexing: A
detailed study of orthogonal frequency division multiplexing (OFDM)
communication systems, including their implementation in SDR.
– Chapter 11 – Applications for Software-Defined Radio: A brief
introduction into various application areas involving SDR technology,
including 5G communications and deep space satellite communications.
For a 7-week course, it is expected that the class would cover Chapters 4–8
throughout the term, while for a 14-week course it is expected that the class would
cover Chapters 4–9. As for industry practitioners seeking advanced knowledge in
SDR implementations, they can readily proceed with approaching Chapters 9–11.
Although this book covers a substantial amount of material, it is not designed
to cover topics in information theory, signal estimation and detection, RFFE
design, computer networking theory, or wireless channel modeling. We believe
that there are numerous other books available that handle these topics rigorously
and efficiently.
This book was made possible by the extensive support of numerous individuals
and organizations throughout the duration of this project. In particular, we are
deeply indebted to Walt Kester for extensively reviewing many drafts of this book
and providing us with valuable feedback and comments. Furthermore, we would
like to gratefully acknowledge the support of the folks at Artech House, including
Aileen Storry, through this entire project and helping us make this book a reality.
We would like to sincerely thank our collaborators at MathWorks for their support
and assistance with respect to many of the software elements of this book, especially
Darel Linebarger and Mike McLernon. The generous contributions of Analog
Devices with respect to providing us with the material support needed to create
the hands-on elements of this publication is duly acknowledged. We would like to
sincerely thank the entire class of ECE4305 Software-Defined Radio Systems and
Analysis at Worcester Polytechnic Institute for providing extensive feedback about
this book prior to its publication. Finally, we would like to thank our families for
their love, support, and constant encouragement.

Wyglinski: “fm” — 2018/3/26 — 11:43 — page xvi — #16

Wyglinski: “ch01_new” — 2018/3/26 — 11:42 — page 1 — #1
C H A P T E R 1
Introduction to Software-Defined Radio
Various forms of communication have evolved over the millennia. The spoken
word can be transmitted from one person, and heard or received by another. In
modern times town criers hold an annual contest to discover who can shout a
comprehensible message over the greatest distance [1]. However, while the world
record is for loudest crier is 112.8 decibels, it can only be understood at less than
100 meters. The desire to communicate more effectively than shouting, is old as
speech itself.
With modern advances in computing technologies, digital signal processing
and digital communication algorithms, artificial intelligence, radio frequency (RF)
hardware design, networking topologies, and many other elements have evolved
modern communication systems into complex, intelligent, high-performance
platforms that can adapt to operational environments and deliver large amounts
of information in real-time, error-free. The latest step in communication systems
technology is the software-defined radio, or SDR, which adopts the most recent
advances in all fields to yield the ultimate transmitter and receiver.
1.1 Brief History
Given the exciting history associated with advances that directly impact SDR
technology, Figure 1.1 provides a timeline describing several significant milestones
over the past four centuries. This history is dominated by various people
investigating ideas or concepts, publishing the results, then allowing their peers
and colleagues to build on their work. Many turned their work into commercial
products and became famous and rich; some became neither. For an exhaustive list
of major milestones relevant to SDR technology, the interested reader is referred to
Appendix A.
1.2 What is a Software-Defined Radio?
Every professional organization attempts to define a common framework of
terms and definitions to allow easy communication between professionals who
are working on similar areas of research or product development. Wireless
communications and SDR is no different. The Institute of Electrical and Electronic
Engineers (IEEE) P1900.1 Working Group has created the following definitions to
1

2 Introduction to Software-Deﬁned Radio
Figure
1.1
Timeline
of
several
key
milestones
in
communications.

ensure that everyone in the field has common terminology [2]:
Radio
1. Technology for wirelessly transmitting or receiving electromagnetic
radiation to facilitate transfer of information.
2. System or device incorporating technology as defined in (1).
3. A general term applied to the use of radio waves.
Radio Node
A radio point of presence incorporating a radio transmitter or receiver.
Software
Modifiable instructions executed by a programmable processing device.
Physical Layer
The layer within the wireless protocol in which processing of RF, IF, or
baseband signals including channel coding occurs. It is the lowest layer of
the ISO 7-layer model as adapted for wireless transmission and reception.
Data Link Layer
The protocol responsible for reliable frame transmission over a wireless
link through the employment of proper error detection and control
procedures and medium access control.
Software Controlled
Software controlled refers to the use of software processing within the
radio system or device to select the parameters of operation.
Software Defined
Software defined refers to the use of software processing within the radio
system or device to implement operating (but not control) functions.
Software Controlled Radio
Radio in which some or all of the physical layer functions are software
controlled.
Software-Defined Radio (SDR)
Radio in which some or all of the physical layer functions are software
defined.
Transmitter
Apparatus producing radio frequency energy for the purpose of radio
communication.
Receiver
A device that accepts a radio signal and delivers information extracted
from it.
Air Interface
The subset of waveform functions designed to establish communication
between two radio terminals. This is the waveform equivalent of the
wireless physical layer and the wireless data link layer.

Waveform
1. The set of transformations applied to information to be transmitted
and the corresponding set of transformations to convert received
signals back to their information content.
2. Representation of a signal in space.
3. The representation of transmitted RF signal plus optional additional
radio functions up to and including all network layers.
The combination of digital processing and analog RF has always made
up communication systems. In today’s modern systems signal processing has
progressed to such an extent that a majority of baseband functionality is being
implemented in software. The flexibility of the RF hardware to be re purposed and
reconfigured has led to one radio front-end handling most RF systems. Normally
the RF front-end is software controlled rather than software defined. This modern
combination of flexible RF front-ends and signal processing in software has lead
the birth of software-defined radio.
This can been seen in devices like Analog Devices’s AD7030, shown in
Figure 1.2. The ADF7030 is a low-power, high-performance, integrated radio
transceiver supporting narrow band operation in the 169.4-MHz to 169.6-MHz
ISM band. It supports transmit and receive operation at 2.4 kbps and 4.8 kbps using
2GFSK modulation and transmit operation at 6.4 kbps using 4GFSK modulation.
It includes an on-chip ARM Cortex-M0 processor that performs radio control and
calibration as well as packet management. That and a sensor is all that is needed
for smart metering or active tag asset tracking applications. This is just a side effect
of Moore’s law—system-level integration.
An SDR system is a complex device that performs several complicated tasks
simultaneously in order to enable the seamless transmission and reception of
data. In general, a digital communications system consists of an interdependent
sequence of operations responsible for taking some type of information, whether
it is human speech, music, or video images, and transmits it over-the-air to a
receiver for processing and decoding into a reconstructed version of the original
information signal. If the original information is analog (like audio), it must first be
digitized using techniques such as quantization in order for us to obtain a binary
representation of this information. Once in a binary format, the transmitter digitally
Figure 1.2 ADF7030 block diagram [3].

processes this information and converts it into an electromagnetic sinusoidal
waveform that is uniquely defined by its physical characteristics, such as its signal
amplitude, carrier frequency, and phase. At the other end of the communications
link, the receiver is tasked with correctly identifying the physical characteristics
of the intercepted modulated waveform transmitted across a potentially noisy
and distortion-filled channel, and ultimately returning the intercepted signal back
into the correct binary representation. The basic building blocks of a digital
communication system is shown in Figure 1.3.
Figure 1.3 shows that the input to the transmitter and output of the receiver
originate from or are fed into a digital source and digital sink, respectively.
These two blocks represent the source and destination of the digital information
to be communicated between the transmitter and receiver. Once the binary
information is introduced to the transmitter, the first task performed is to remove
all redundant/repeating binary patterns from the information in order to increase
the efficiency of the transmission. This is accomplished using the source encoder
block, which is designed to strip out all redundancy from the information. Note
that at the receiver, the source decoder re-introduces the redundancy in order to
return the binary information back to its original form. Once the redundancy has
been removed from the binary information at the transmitter, a channel encoder
is employed to introduced a controlled amount of redundancy to the information
stream in order to protect it from potential errors introduced during the transmission
process across a noisy channel. A channel decoder is used to remove this controlled
redundancy and return the binary information back to its original form. The
next step at the transmitter is to convert the binary information into unique
electromagnetic waveform properties such as amplitude, carrier frequency, and
phase. This is accomplished using a mapping process called modulation. Similarly,
at the receiver the demodulation process converts the electromagnetic waveform
back into its respective binary representation. Finally, the discrete samples outputted
Figure 1.3 An illustration describing some of the important components that constitute a modern
digital communications system. Note that for a SDR-based implementation, those components
indicated as programmable can be realized in either programmable logic or software.

by the modulation block are resampled and converted into a baseband analog
waveform using a digital-to-analog converter (DAC) before being processed by the
radio frequency (RF) front-end of the communication system and upconverted to an
RF carrier frequency. At the receiver, the reverse operation is performed, where the
intercepted analog signal is downconverted by the RFFE to a baseband frequency
before being sampled and processed by an analog-to-digital converter (ADC).
Given the complexity of an SDR platform and its respective components, it
is important to understand the limitations of a specific SDR platform and how
various design decisions may impact the performance of the resulting prototype.
For instance, it is very desirable to have real-time baseband processing for spectrum
sensing and agile transmission operations with high computational throughput
and low latency. However, if the microprocessor being employed by the SDR
platform is not sufficiently powerful enough in order to support the computational
operations of the digital communication system, one needs to reconsider either
the overall transceiver design or the requirements for low latency and high
throughput. Otherwise, the SDR implementation will fail to operate properly,
yielding transmission errors and poor communication performance.
Design considerations to think about when devising digital communication
systems based on an SDR platform include.
• The integration of the physical and network layers via a real-time protocol
implementation on an embedded processor. Note that most communication
systems are divided into logically separated layers in order to more readily
facilitate the design of the communication system (see Section 1.3). However,
it is imperative that each layer is properly designed due to the strong
interdependence between all the layers.
• Ensuring that a sufficiently wide bandwidth radio front-end exists with
agility over multiple subchannels and scalable number of antennas for spatial
processing. Given how many of the advanced communication system designs
involve the use of multiple antennas and wideband transmissions, it is
important to know what the SDR hardware is capable of doing with respect
to these physical attributes.
• Many networks employing digital communication systems possess a
centralize architecture for controlling the operations of the overall network
(e.g., control channel implementation). Knowing the radio network
architecture is important since it will dictate what sort of operations are
essential for one digital transceiver to communicate with another.
• The ability to perform controlled experiments in different environments
(e.g., shadowing and multipath, indoor and outdoor environments) is
important for the sake of demonstrating the reliability of a particular SDR
implementation. In other words, if an experiment involving an SDR prototype
system is conducted twice in a row in the exact same environment and
using the exact same operating parameters, it is expected that the resulting
output and performance should be the same. Consequently, being able to
perform controlled experiments provides the SDR designer with a sanity
check capability.

• Reconfigurability and fast prototyping through a software design flow for
algorithm and protocol description.
Instead of using fixed analog processing and fixed circuits, many of
the communication systems in use every day are being implemented using
microelectronic-based flexible IF, digital signal processors, programmable digital
logic, accelerators, and other types of computing engines. To take advantage of
new advances in processing engines, high-level languages such as MATLAB® and
Simulink are being used rather than C or assembly. This transition of computing
technology had the impact of enabling new communication functionalities and
capabilities, such as advanced satellite communications, mobile communications,
data modems, and digital television broadcasts.
1.3 Networking and SDR
With the evolution of digital communication system into highly complex devices,
it became apparent that a divide-and-conquer strategy was needed in order to
make the design and implementation of such systems feasible and manageable.
Consequently, researchers divided a digital communication system into a collection
of complementary layers, with each layer performing a specific function as part of
the overall process of transmitting and receiving information. As a result of this
divide-and-conquer strategy, communication systems rapidly evolved into highly
capable platforms performing a wide range of operations, such as Web surfing and
email to streaming multimedia content. In fact, this strategy of dividing up the
operations of a communication system into layers was so successful that there are
entire research communities that only focus on one of the layers and none of the
others; they take for granted the information coming from the layers above and
below their layer.
In general, there are two models for dividing up a communication system into
layers: the Open System Interconnection (OSI) 7-layer model and the Transmission
Control Protocol (TCP)/Internet Protocol (IP) 5-layer model, as shown in Figure 1.4.
Both models possess approximately the same functionality, but the TCP/IP model
amalgamates the top several layers into a single one. Focusing on the TCP/IP 5-layer
model, this consists of the following layers, from top to bottom:
• Application Layer: Interfaces user with the data from the communication
system. For instance, the application layer would include data originating
from or intended for software running Web browsers, email clients, and
streaming media interfaces. These applications are usually addressed via
designated socket.
• Transport Layer: Responsible for transporting application layer messages
between the client application and server application. This layer ensures
reliable data transmission.
• Network Layer: Responsible for moving network layer packets from one
host to another host. Defines format of datagrams and how end systems and
routers act on datagram, as well as determine routes that datagrams take
between sources and destinations.

Figure 1.4 Seven-layer OSI model compared to five-layer TCP/IP model.
• Link Layer: Handles problem of exchanging data between two or more
directly connected devices. Reliability: This includes error detection and error
correction as well as addressing of different communication systems.
• Physical Layer: Sends individual bits from one communication system
directly to another communication system. It also covers the physical
interface between data transmission device and transmission medium.
From the perspective of a radio system and its implementation, much of the
system design will focus on the physical layer (as does this text), but it can’t be
forgotten how the link layer may affect the physical layer. Nevertheless, given
that the baseband processing is all conducted in software, it is possible for the
communications system is to implement the higher layers of the stack in software
as well. Many communication standards have adopted this scheme, where the entire
communication system across all the layers are implemented in software, although
depending on data rate requirements, this can require significant computational
capabilities on the part of the system to achieve real-time operation. All software
implementations enable functional updates without hardware replacement. In
practice, this is normally only done on emerging standards or where data rates
are relatively low. However, imagine applying a software upgrade to a Wi-Fi
router and being able to implement the next standard without having to replace
the hardware. This software upgradeable system would be more complex, and
might cost more than a fixed hardware system, but would consumers be willing
to pay more? History indicates no. For those types of high-volume consumer
applications, many times price point is the most critical item to product success.
Most end consumers do not think about long-term maintenance and total cost of
ownership while looking at the variety of products on Amazon. The trade-offs of
which function or layer is done in fixed hardware versus flexible software is an
engineering decision based on volume, cost, power, complexity, and many other
factors.

There has been a growing amount of interest with respect to combining
SDR technology with software-deﬁned networks (SDNs), where the latter focuses
on adapting the higher communication layers to the prevailing operational
environment. This enables things like modiﬁcation of the routing to be tied to
heuristics provided by the physical layers. Self-healing mesh networks are an
implementation of this.
The link layer will also affect the physical (PHY) layer of a wireless
communication system as shown in Figure 1.5. For example, in 802.11 (Wi-Fi),
the PHY layer (layer 1) is actually broken further down into the Physical
Layer Convergence Protocol (PLCP) and the Physical Medium Dependent (PMD)
sublayer. The PMD sublayer provides transmission and reception of physical layer
data units between two stations via the wireless medium, and passes this to the
PLCP, which interfaces to the upper MAC layers, various management layer entities,
and generic management primitives to maximize data rates.
At the PHY layer the unit denoted in Figure 1.4 is bits; however, across the
wireless and wired links this data will be encoded in more analog-friendly forms
designed for transmission called symbols. The preamble, denoted in Layer 1 in
Figure 1.5 will most likely never be demodulated at the receiver from a symbol form.
Such sequences are only used by the PHY layer to compensate for nonidealities
in a link, and have little to no meaning to the above layers. However, for those
implementing with SDRs these simple sections are the main focus, and the remaining
portions of the frame are arbitrary data.
Figure 1.5 Packet structure effects SDR, PLCP = Physical Layer Convergence Protocol.

1.4 RF architectures for SDR
Next-generation communications systems introduce new challenges that require
solutions beyond what can be achieved through individual device optimization.
Integrating more software control and cognitive abilities to the radio demands
a more frequency- and bandwidth-flexible RF design. To achieve this goal static
filters need to be removed and replaced with tunable filters. Similarly, the concept
of a common platform would allow for shorter development times, reduced
manufacturing costs, and provide greater interoperability between systems. The
common platform demands that the RF system be capable of providing full
performance for applications that traditionally had very different architectures.
Finally, future platforms are pushing size and power demands to a new extreme.
Handheld radios are becoming more capable and complex, but simultaneously
requiring improved battery efficiency. Small UAVs lack the power generation of
large aircraft and every milliwatt that the RF system consumes directly translates to
payload battery weight, and thus, reduced flight time. To overcome these challenges
and create the next generation of aerospace and defense solutions, a new radio
architectures are being developed.
Since its inception, the superheterodyne architecture has been the backbone of
radio design. Whether it is a handheld radio, unmanned aerial vehicle (UAV) data
link, or a signal intelligence receiver, the single or dual mixing stage superheterodyne
architecture is the common choice (see Figure 1.6). The benefits of this design are
clear: proper frequency planning can allow for very low spurious emissions, the
channel bandwidth and selectivity can be set by the intermediate frequency (IF)
filters, and the gain distribution across the stages allows for a trade-off between
optimizing the noise figure and linearity.
For over 100 years of use (see the appendix for more information), there have
been significant gains in performance for the superheterodyne across the entire
signal chain. Microwave and RF devices have improved their performance while
decreasing power consumption. ADCs and DACs have increased the sample rate,
linearity, and effective number of bits (ENOB). Processing capability in FPGAs
and DSPs has followed Moore’s law and increased with time, allowing for more
efficient algorithms, digital correction, and further integration. Package technology
has shrunk device pin density while simultaneously improving thermal handling.
However, these device-specific improvements are beginning to reach the point
of diminishing returns. While the RF components have followed a reduced size,
weight, and power (SWaP) trend, high-performance filters remain physically large
and are often custom designs, adding to overall system cost. Additionally, the IF
filters set the analog channel bandwidth of the platform, making it difficult to create
a common platform design that can be reused across a wide range of systems. For
package technology, most manufacturing lines will not go below a 0.65-mm or
0.8-mm ball pitch, meaning there is a limit on how physically small a complex
device with many I/O requirements can become.
An alternative to the superheterodyne architecture, which has reemerged as a
potential solution in recent years, is the zero-IF (ZIF) architecture. A ZIF receiver
(see Figure 1.7) utilizes a single frequency mixing stage with the local oscillator (LO)
set directly to the frequency band of interest, translating the received signal down

1.4 RF architectures for SDR 11
Figure
1.6
Multistage
superheterodyne
receive
and
transmit
signal
chains
[4].

Figure 1.7 Zero IF architecture [4].
to baseband in phase (I) and quadrature (Q) signals. This architecture alleviates the
stringent filtering requirements of the superheterodyne since all analog filtering takes
place at baseband, where filters are much easier to design and less expensive than
custom RF/IF filters. The ADC and DAC are now operating on I/Q data at baseband,
so the sample rate relative to the converted bandwidth can be reduced, saving
significant power. For many design aspects, ZIF transceivers provide significant
SWaP reduction as a result of reduced analog front-end complexity and component
count.
This direct frequency conversion to baseband can introduce the possibility of
carrier leakage and an image frequency component. Due to real-world factors, such
as process variation and temperature deltas in the signal chain, it is impossible
to maintain a perfect 90◦ phase offset between the I and Q signals, resulting
in degraded image rejection. Additionally, imperfect LO isolation in the mixing
stage introduces carrier leakage components. When left uncorrected, the image and
carrier leakage can degrade a receivers sensitivity and create undesirable transmit
spectral emissions.
Historically, the I/Q imbalance has limited the range of applications that were
appropriate for the ZIF architecture. This was due to two reasons: first, a discrete
implementation of the ZIF architecture will suffer from mismatches both in the
monolithic devices and also in the printed circuit board (PCB). In addition to this,
the monolithic devices could pull from different fabrication lots, making exact
matching very difficult due to native process variation. A discrete implementation
will also have the processor physically separated from the RF components, making
a quadrature correction algorithm very difficult to implement across frequency,
temperature, and bandwidth.
Moore’s law, or integration of the ZIF architecture into a monolithic transceiver
device provides the path forward for next-generation systems. By having the analog
and RF signal chain on a single piece of silicon, process variation will be kept to
a minimum. Digital signal processing (DSP) blocks can be incorporated into the
transceiver, removing the boundary between the quadrature calibration algorithm
and the signal chain. This approach provides both unparalleled improvements
in SWaP and can also match the superheterodyne architecture for performance
specifications.

1.5 Processing architectures for SDR 13
Devices like the Pluto SDR shown in Figure 1.8 integrate the full RF, analog,
and digital signal chain onto a single CMOS device, and include digital processing
to run quadrature and carrier leakage correction in real time across all process,
frequency, and temperature variations. Devices like the AD9361 focuses on
medium-performance specifications and very low power, such as UAV data links,
handheld communication systems, and small form factor SDR applications. The
AD9371 is optimized for high-performance specifications and medium power.
Additionally, this device has refined calibration control, as well as an observation
receiver for power amplifier (PA) linearization and a sniffer receiver for white space
detection. This opens up new design potential for a different suite of applications.
Communication platforms using wideband waveforms or occupying noncontiguous
spectrum can now be implemented in a much smaller form factor.
1.5 Processing architectures for SDR
The microelectronic industry has rapidly evolved over the past six decades, resulting
in numerous advances in microprocessor systems that have enabled many of the
applications we take for granted every day. The rate at which this evolution
has progressed over time has been characterized by the well-known Moore’s
Law, which defines the long-term trend of the number of transistors that can be
accommodated on an integrated circuit. In particular, Moore’s law dictates that the
number of transistors per integrated circuit approximately doubles every 2 years,
which subsequently affects the performance of microprocessor systems such as
Figure 1.8 Integrated ZIF architecture used in the Pluto SDR.

processing speed and memory. One area that the microelectronics industry has
significantly influenced over the past half century is the digital communication
systems sector, where microprocessor systems have been increasingly employed
in the implementation of digital transceiver, yielding more versatile, powerful, and
portable communication system platforms capable of performing a growing number
of advance operations and functions. With the latest advances in microelectronics
and microprocessor systems, this has given rise to software-defined radio (SDR)
technology, where baseband radio functionality can be entirely implemented in
digital logic and software, as illustrated in Figure 1.3. There are several different
types of microprocessor systems for SDR implementations, including.
• General-purpose microprocessors are often used in SDR implementations
and prototypes due to their high level of flexibility with respect to
reconfigurability, as well as due to their ease of implementation regarding
new designs. On the other hand, general-purpose microprocessors are not
specialized for mathematical computations and they can be potentially power
inefficient.
• Digital signal processors (DSPs) are specialized for performing mathematical
computations, implementation of new digital communication modules can
be performed with relative ease, and the processor is relatively power efficient
(e.g., DSPs are used in cellular telephones). On the other hand, DSPs are not
well suited for computationally intensive processes and can be rather slow.
• Field programmable gate arrays (FPGAs) are efficient for custom digital signal
processing applications because they can implement custom, fully parallel
algorithms. DSP applications use many binary multipliers and accumulators
that can be implemented in dedicated DSP slices, as shown in Figure 1.9.
This includes 25 × 18 twos-complement multiplier, a 48-bit accumulator, a
power-saving preadder, single-instruction, multiple data (SIMD) arithmetic
unit, which includes a dual 24-bit or quad 12-bit add/subtract/accumulate.
Tools like MathWorks HDL Coder are making creating new modules and
targeting FPGAs easier, as it can generate portable, synthesizable Verilog
and VHDL code from MATLAB functions, Simulink models, and Stateflow
Figure 1.9 Basic DSP48E1 slice functionality [5].

1.6 Software Environments for SDR 15
charts, and is well suited for taking signal processing algorithms from concept
to production.
• Graphics processing units (GPUs) are extremely powerful computationally.
These processors have been driven to very high levels of performance and
low price points by the need for real-time computer graphics in mass market
gaming. Over the past 10 years, they have evolved into a general-purpose
programmable architecture and supporting ecosystem that makes it possible
to use them for a wide range of nongraphics applications [6]. GPU-accelerated
libraries provided by manufactures like Nvidea, provide highly optimized
functions that perform 2x to 10x faster than CPU-only alternatives. GPU-
accelerated libraries for linear algebra, signal processing, and image and video
processing lay the foundation for future software-defined radio applications
to run on these types of architectures [7].
• Advanced RISC Machines (ARMs) have received significant attention in
recent years fo their low cost, small size, low power consumption, and
computational capabilities. Such processors combined with a capable RFFE
make them suitable platforms for mobile communications and computing.
Additions of new SIMD instructions for the Arm Cortex-A series and Cortex-
R52 processors, known an NEON [8] are accelerate signal processing
algorithms and functions to speed up software-defined radio applications.
It is an exciting time for algorithm developers; there are many new and advanced
methods of implementing signal processing applications on hardware. The difficulty
is to ensure that no matter which hardware is chosen to run algorithms on, the
hardware and development methodology will be supported in 5 years.
1.6 Software Environments for SDR
As described in Section 1.2, at their most fundamental level, most commercially
available SDR platforms convert live RF signals to samples at digital baseband, and
use a software-defined mechanism for modulation and demodulation techniques to
transfer real-world data. Referring back to Figure 1.3, the boundary between the
analog and digital worlds for a communication system is located at the analog-to-
digital converter (ADC) and the digital-to-analog converter (DAC), where signal
information is translated between a continuous signal and a discrete set of signal
sample values. Typically, the radio can be configured to select center frequency,
sampling rate, bandwidth, and other parameters to transmit and receive signals
of interest. This leaves the modulation and demodulation techniques, which are
developed using a two-step development process.
1. Develop, tune, and optimize the modulation and demodulation algorithms
for a specific sample rate, bandwidth, and environment. This is normally
done on a host PC, where debugging and visualization is much easier. At
this phase of development, the modulation and demodulation of the RFFEs
are performed on a host, providing great flexibility to experiment and test
algorithm ideas.

2. Take the above algorithm, which may be implemented in a high-level
language in floating point, and code it in a production worthy environment,
making production trade-offs of a product’s size, weight, power and cost
(SWaP-C) in mind. These platforms become truly software-defined when
the onboard hardware and embedded processor are programmed to perform
application-specific digital communications and signal processing functions.
While this text focuses exclusively on the first algorithmic step of the SDR
development process, the second production step cannot be excluded when looking
at a development flow. Unless your goal is to publish a paper and never actually
have a path for a working prototype, a complete development process must be kept
in mind.
The first step requires a convenient mechanism to capture data for signal
analysis and development of algorithms that process those signals. This makes
it vitally important to have efficient and reliable PC-based software to develop
and test the data transmission and digital signal processing functions in a wireless
communications system.
One software environment that meets this requirement is MATLAB from
MathWorks. MATLAB is a technical computing environment and programming
language, allowing ease of use development and excellent visualization mechanisms.
An additional product, Communications Systems Toolbox, adds physical layer
algorithms, channel models, reference models, and connectivity to SDR hardware
to transmit and receive live signals. MATLAB is cross platform (Windows, Linux,
MAC) offering support for many of the popular commercial radio front-ends. Using
MATLAB enables an incremental and iterative development workflow for SDR
consisting of:
• Algorithm development and design validation with link-level simulations;
• Algorithm validation with live signals using connection to commercially
available SDR hardware.
MathWorks also offers Simulink, which is an environment for real-world
system simulation and automatic code generation for hardware and software
implementation. It allows the radio developer to continue to the second stage
of production development. These capabilities of Simulink provide a path to
production:
• Development and validation of a hardware-accurate model;
• Implementation of a prototype on SDR hardware using automatic HDL and
C code generation;
• Verification of the prototype versus the validated model;
• Deployment of the implementation to production SDR hardware.
Although Simulink will largely be ignored in this text, being able to have a single
environment from concept to production is very powerful and should not be
overlooked for those who are trying to make a real production radio.
Another SDR software architecture is the popular open-source GNU Radio
software [9], which is a free software (as in freedom) development toolkit that
provides signal processing blocks to implement software-defined radios and signal

1.7 Additional readings 17
processing systems. It can be used with external RF hardware to create software-
defined radios, or without hardware in a simulation-like environment. It is widely
used in hobbyist, academic, and commercial environments to support both wireless
communications research and real-world radio systems.
In GNU Radio, a variety of C++ libraries modeling different digital
communications and digital signal processing algorithms are integrated together
using Python and SWIG (a software development tool that connects programs
written in C and C++ with a variety of high-level programming languages including
Python). These libraries are produced by the open-source community and freely
shared with everyone.
The authors have used a variety of tools including MATLAB, Simulink, and
GNU Radio in research, product development, and teaching undergraduate and
graduate classes. Each tool has its advantages and disadvantages and can be used at
different places of the research or development cycle. It was believed by the authors
that all the various software environments can be used correctly or incorrectly
to teach wireless physical layer fundamentals, although the prerequisites for each
tool is different. For those who choose the GNU Radio path, the requirements to
have a working knowledge of Linux, Python, C++, and SWIG is very high. While
this is very common for a computer science student, it is not for most students
in communications, and asking someone to learn the tool at the same time as
the communications theory can prove difficult. One can use preexisting blocks
in GNU Radio and bypass the requirements of understanding Python and C++,
but then some opportunities to demonstrate and experiment with fundamental
communications theory are lost, as the student just uses a block that someone
else wrote, with little understanding of what it is doing. The same can be said for
Simulink; it is also a very powerful tool, with many preexisting blocks for timing
recovery and carrier synchronization. However, using these blocks does not allow
many students to understand what is happening inside the blocks, and therefore the
students have difficulty in understanding how to tune the blocks for their situation.
This is why MATLAB was chosen for this book. It is a cross-platform
environment, allowing students to use what they are familiar with, and all the
blocks presented are MATLAB scripts, with nothing to hide. If a student wants to
better understand something, the entire algorithm is defined in the MATLAB code,
with nothing to obfuscate the communications theory.
1.7 Additional readings
Although this chapter gave a brief introduction to the expanding area of SDR
technology, there are several books available in the open literature that can
provide a more detailed viewpoint of this topic. For instance, the book by Reed
extensively covers many of the issues associated with the software architecture of
an SDR platform [10], while many of the design considerations and approaches
used to construct SDR hardware prototype and their RFFE are covered in the
book by Kensington [11]. Another excellent reference regarding the hardware
implementation of SDR systems is by Grayver [12]. Furthermore, understanding
the importance of the analog-digital divide and how SDR systems bridge that

divide is the subject of the paper by Machado and Wyglinski [13]. Finally, an
excellent series of papers covering the latest advances in SDR technology and
providing some perspective on its evolution from 20 years ago are presented in
IEEE Communications Magazine [14, 15].
References
[1] American Guild Of Town Criers Website, 1997 http://www.americantowncriers.com/.
[2] IEEE Project 1900.1 - Standard Definitions and Concepts for Dynamic Spectrum Access:
Terminology Relating to Emerging Wireless Networks, System Functionality, and Spectrum
Management https://standards.ieee.org/develop/project/1900.1.html.
[3] Analog Devices ADF7030 http://www.analog.com/ADF7030
[4] Hall, B., and W. Taylor, X- and Ku-Band Small Form Factor Radio Design http://www.
analog.com/en/technical-articles/x-and-ku-band-small-form-factor-radio-design.html.
[5] Xilinx Inc. www.xilinx.com 7 Series DSP48E1 User Guide, UG479 (v1.9) September
27, 2016 https://www.xilinx.com/support/documentation/user_guides/ug479_7Series_
DSP48E1.pdf
[6] McCool, M., “Signal Processing and General-Purpose Computing on GPUs,” IEEE Signal
Processing Magazine, Vol. 24, No. 3, May 2007, http://ieeexplore.ieee.org/document/
4205095/.
[7] Nivdea GPU-accelerated Libraries for Computing https://developer.nvidia.com/
gpu-accelerated-libraries.
[8] ARM NEON https://developer.arm.com/technologies/neon.
[9] GNU Radio. Welcome to GNU Radio!. http://gnuradio.org/.
[10] Reed, J. H., Software Radio: A Modern Approach to Radio Engineering, Upper Saddle
River, NJ: Prentice Hall PTR, 2002.
[11] Kensington, P., RF and Baseband Techniques for Software Defined Radio, Norwood, MA:
Artech House, 2005.
[12] Grayver, E., Implementing Software Defined Radio, New York: Springer-Verlag, 2012.
[13] Machado, R. G. and A. M. Wyglinski, “Software-Defined Radio: Bridging the Analog to
Digital Divide,” Proceedings of the IEEE, Vol. 103, No. 3, March 2015, pp. 409–423.
[14] Mitola, J., P. Marshall, K. C. Chen, M. Mueck, and Z. Zvonar, “Software Defined
Radio - 20 Years Later: Part 1 [guest editorial], IEEE Communications Magazine,
Vol. 53, No. 9, September 2015, pp. 22–23, http://ieeexplore.ieee.org/document/
7263341/?section=abstract.
[15] Mitola, J., P. Marshall, K. C. Chen, M. Mueck, and Z. Zvonar, “Software Defined Radio -
20 Years Later: Part 2 [guest editorial], IEEE Communications Magazine, Vol. 54, No. 1,
January 2016, p. 58, http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=7378426.

C H A P T E R 2
Signals and Systems
SDR is an application-specific area of signal processing, and everyone involved in
SDR development needs to not only have a solid background in signals and systems,
but also RF and analog baseband processing. This chapter covers the many aspects
of linear time-invariant (LTI) signals and systems, analog processing, and RF that
forms the fundamental basis for the latter chapters. It is not expected that the reader
will go through each topic in detail, but if any of the short topics are new, the reader
should refer to the more comprehensive books on these subjects.
2.1 Time and Frequency Domains
The time and frequency domains are alternative ways of representing the
same signals. The Fourier transform, named after its initial instigator, French
mathematician and physicist Jean-Baptiste Joseph Fourier, is the mathematical
relationship between these two representations. If a signal is modified in one domain,
it will also be changed in the other domain, although usually not in the same way.
For example, convolution in the time domain is equivalent to multiplication in the
frequency domain. Other mathematical operations, such as addition, scaling, and
shifting, also have a matching operation in the opposite domain. These relationships
are called properties of the Fourier transform, which describe how a mathematical
change in one domain results in a mathematical change in the other domain.
The Fourier transform is just a different way to describe a signal. For example,
investigating the Gibbs phenomenon, which states if you add sine waves at specific
frequency/phase/amplitude combinations you can approximate a square wave, can
be expressed mathematically as (2.1), and shown in Figure 2.1.
x(t) = sin(t) +
sin(3t)
3
+
sin(5t)
5
+ ... =
n=∞

n=1
sin(n × t)
n
; n = odd (2.1)
When we look at the signal across the time axis that is perpendicular to the
frequency axis, we observe the time domain. We cannot see the frequency of
the sine waves easily since we are perpendicular to the frequency axis. When we
transform domains and observe phenomenon across the frequency axis, which is
perpendicular to the time axis, we observe the frequency or Fourier domain. We
can easily make out the signal magnitude and frequency, but have lost that time
aspect. Both views represents the same signal such that, they are just being observed
things from different domains via transforms.
19

20 Signals and Systems
Figure 2.1 Gibbs phenomenon, looking left, the time domain, looking right, the Fourier domain.
Q
Investigate the Gibbs phenomenon in MATLAB by using Code 2.1
to better understand how adding sine waves with variations in
frequency/phase/amplitude affect the time domain, and frequency
domains
Code 2.1 Gibbs phenomenon: gibbs.m
2 max = 9;
3 fs = 1000;
11 for i = 1:2:max
12 % dsp.SineWave(amp,freq,phase,Name,Value);
13 wave = dsp.SineWave(1/i, i*2*pi, 0, ...
14 ’SamplesPerFrame’, 5000, ’SampleRate’, fs);
15 y = wave();
16 if i == 1
17 wavesum = y;
18 else
19 wavesum = wavesum + y;
20 end
28 scope(wavesum());
29 pause(.5);
30 % waitforbuttonpress;
31 end
2.1.1 Fourier Transform
The Fourier transform includes four members in its family: the Fourier transform,
Fourier series, discrete Fourier transform (DFT), and discrete-time Fourier
transform (DTFT). The commonly referred to FFT (fast Fourier transform) and
its inverse, the inverse FFT (IFFT), is a speciﬁc implementation of the DFT.
The Fourier transform of x(t) is deﬁned as [1]:
X(ω) =
∞
−∞
x(t)e−jωt
dt, (2.2)
where t is the time variable in seconds across the time domain, and ω is the frequency
variable in radian per seconds across frequency domain.

2.1 Time and Frequency Domains 21
Applying the similar transform to X(ω) yields the inverse Fourier transform [1]:
x(t) =
∞
−∞
X(ω)ej2πωt
dω, (2.3)
where we write x(t) as a weighted sum of complex exponentials.
The Fourier transform pair above can be denoted as [2]:
x(t)
F
↔ X(ω), (2.4)
where the left-hand side of the symbol
F
↔ is before Fourier transform, while the
right-hand side of the symbol
F
↔ is after Fourier transform. There are several
commonly used properties of Fourier transform that are useful when studying SDR
Fourier domain, which have been summarized in Table 2.1 for your reference.
2.1.2 Periodic Nature of the DFT
Unlike the other three Fourier transforms, the DFT views both the time domain
and the frequency domain signals as periodic (they repeat forever). This can be
confusing and inconvenient since most of the signals used in many signal processing
applications are not periodic. Nevertheless, if you want to use the DFT (and its fast
implementation, the FFT), you must conform with the DFT’s view of the world.
Figure 2.2 shows two different interpretations of the time domain signal. First,
observing the upper signal, the time domain viewed as N points. This represents how
signals are typically acquired by SDRs, by a buffer of N points. For instance, these
128 samples might have been acquired by sampling some analog signal at regular
intervals of time. Sample 0 is distinct and separate from sample 127 because they
were acquired at different times. From the way this signal was formed, there is no
reason to think that the samples on the left of the signal are even related to the
samples on the right.
Unfortunately, the DFT does not see things this way. As shown in the lower part
of Figure 2.2, the DFT views these 128 points to be a single period of an inﬁnitely
long periodic signal. This means that the left side of the acquired signal is connected
to the right side of a duplicate signal. Likewise, the right side of the acquired signal
Table 2.1 Fourier Transform Properties∗
Property Time Signal Fourier Transform Signal
Deﬁnition x(t)
∞
−∞ x(t)e−jωtdt
Inversion formula
∞
−∞ X(ω)ej2πωtdω X(ω)
Linearity
N
n=1 anxn(t)
N
n=1 anXn(ω)
Symmetry x(−t) X(−ω)
Time shift x(t − t0) X(ω)e−jωt0
Frequency shift x(t)ejω0t X(ω − ω0)
Scaling x(αt) 1
|α| X(ω
α )
Derivative dn
dtn x(t) (jω)nX(ω)
Integration
∞
−∞ x(τ)dτ X(ω)
jω + πX(0)δ(ω)
Time convolution x(t) ∗ h(t) X(ω)H(ω)
Frequency convolution x(t)h(t) 1
2π X(ω) ∗ H(ω)
∗ based on [2]. Suppose the time signal is x(t), and its Fourier transform signal is X(ω)

Figure 2.2 Periodicity of the DFT’s time domain signal. The time domain can be viewed as N
samples in length, shown in the upper figure, or as an infinitely long periodic signal, shown in the
lower figures [4].
is connected to the left side of an identical period. This can also be thought of as
the right side of the acquired signal wrapping around and connecting to its left side.
In this view, sample 127 occurs next to sample 0, just as sample 43 occurs next
to sample 44. This is referred to as being circular, and is identical to viewing the
signal as being periodic. This is the reason that window [3] functions need to be
preapplied to signal captures before applying an FFT function, which is multiplied
by the signal and removes the discontinuities by forcing them to zero [4].
2.1.3 Fast Fourier Transform
There are several ways to calculate the DFT, such as solving simultaneous linear
equations or correlation method. The FFT is another method for calculating the
DFT. While it produces the same result as the other approaches, it is incredibly more
efficient, often reducing the computation time by multiple orders of magnitude.
While the FFT only requires a few dozen lines of code, it is one of the more
complicated algorithms in signal processing, and its internal workings details are
left to those that specialize in such things. You can easily use existing and proven
FFT routines [4, 5] without fully understanding the internal workings as long as
you understand how it is operating.
An FFT analysis using a generalized test setup shown in Figure 2.3. The spectral
output of the FFT is a series of M
2 points in the frequency domain (M is the size of
the FFT, the number of samples stored in the buffer memory). The spacing between

Figure 2.3 Generalized test set up for FFT analysis of ADC output [6].
the points is fs
M , and the total frequency range covered is DC to fs
2 , where fs is the
sampling rate. The width of each frequency bin (sometimes called the resolution of
the FFT) is fs
M .
Figure 2.4 shows an FFT output for an ideal 12-bit ADC using the Analog
Devices’ ADIsimADC®program. Note that the theoretical noise floor of the FFT
is equal to the theoretical signal-to-noise ratio (SNR) plus the FFT process gain
of 10log10(M
2 ). It is important to remember the value for noise used in the SNR
calculation is the noise that extends over the entire Nyquist bandwidth (DC to fs
2 ),
but the FFT acts as a narrowband spectrum analyzer with a bandwidth of fs
M that
sweeps over the spectrum. This has the effect of pushing the noise down by an
amount equal to the process gain—the same effect as narrowing the bandwidth of
an analog spectrum analyzer.
The FFT output can be used like an analog spectrum analyzer to measure the
amplitude of the various harmonics and noise components of a digitized signal. The
harmonics of the input signal can be distinguished from other distortion products
by their location in the frequency spectrum.
2.2 Sampling Theory
A continuous-time analog signal can be converted to a discrete-time digital signal
using sampling and quantization, as shown in Figure 2.5, where a continuous analog
input signal xa(t) is converted to a discrete digital output signal x[n]. Sampling
is the conversion of a continuous-time signal into a discrete-time signal obtained
by taking the samples of the continuous-time signal at discrete-time instants [1].
The quantization process converts the sample amplitude into a digital format.
Section 2.2.1 will introduce a frequently used sampling method; namely, uniform
sampling.
Similarly, a discrete-time signal can also be converted to a continuous-time
signal using reconstruction. However, reconstruction is not always successful.
Sometimes, the reconstructed signal is not the same as the original signal. Since for
a given sampled signal, it can represent an infinite number of different continuous-
time signals that can fit into the same quantized sample points. However, if the
sampling satisfies certain criterion, the signal can be reconstructed without losing
information. This criterion, called Nyquist sampling theorem, will be introduced in
Sections 2.2.3 and 2.5.1.
2.2.1 Uniform Sampling
There are many ways to perform sampling of an analog signal into a digital
representation. However, if we specify the sampling interval as a constant number

Figure 2.4 FFT output for an ideal 12-bit ADC, fa = 2.111 MHz, fs = 82 MSPS, average of 5 FFTs,
M = 8192. Data generated from ADIsimADC® [6].
Figure 2.5 Basic parts of an analog-to-digital converter (ADC) [1]. Sampling takes place in the
sampler block. xa(t) = analog continuous time signal; fs is the digital sample rate; xa[n] is the discrete
time continuous analog signal; xq[n] is the discrete time, discrete digital signal, which may come
out as grey code; and x[n] is the output of the coder in 2s complement form [7].
Ts, we get the most widely used sampling, called uniform sampling or periodic
sampling. Using this method, we are taking samples of the continuous-time signal
every Ts seconds, which can be deﬁned as
x[n] = x(nTs), −∞ n ∞, (2.5)
where x(t) is the input continuous-time signal, x[n] is the output discrete-time signal,
Ts is the sampling period, and fs = 1/Ts is the sampling frequency.
An equivalent model for the uniform sampling operation is shown in
Figure 2.6(a), where the continuous-time signal x(t) is multiplied by an impulse
train p(t) to form the sampled signal xs(t), which can be deﬁned as
xs(t) = x(t)p(t), (2.6)
where the signal p(t) is referred to as the sampling function.
The sampling function is assumed to be a series of narrow pulses, which is
either zero or one. Thus, xs(t) = x(t) when p(t) = 1, and xs(t) = 0 when p(t) = 0.
Since p(t) = 1 only at time instants Ts, the resulting xs(t) = x(nTs) = x[n], which
proves that this is indeed an equivalent model for the uniform sampling operation.
This model will help us to obtain the frequency domain representation of uniform
sampling in Section 2.2.2.

Figure 2.6 An equivalent model for the uniform sampling operation. (a) A continuous-time
signal x(t) is multiplied by a periodic pulse p(t) to form the sampled signal xs(t), and (b) a periodic
pulse p(t).
2.2.2 Frequency Domain Representation of Uniform Sampling
Since it is easier to derive the Nyquist sampling theorem in frequency domain, in this
section we will try to represent the uniform sampling process in frequency domain.
According to Figure 2.6(b), we can deﬁne the sampling function p(t) as
p(t) =
∞

k=−∞
δ(t − kTs), k = 0, 1, 2, ..., (2.7)
where at time instants kTs, we have p(t) = 1. According to [8], p(t) is a Dirac comb
constructed from Dirac delta functions.
Substitution of (2.7) into (2.6) gives
xs(t) = x(t)p(t) = x(t)
∞

k=−∞
δ(t − kTs). (2.8)
In order to understand the sampling process in frequency domain, we need to
take the Fourier transform of xs(t). According to frequency-domain convolution

property in Table 2.1, multiplication in time domain will lead to convolution
in frequency domain. Therefore, multiplication of x(t) and p(t) will yield the
convolution of X(ω) and P(ω):
Xs(ω) =
1
2π
X(ω) ∗ P(ω), (2.9)
where X(ω) is the Fourier transform of x(t), and P(ω) is the Fourier transform
of p(t).
The Fourier transform of a Dirac comb is also a Dirac comb [8], namely
P(ω) =
√
2π
Ts
∞

k=−∞
δ(ω − k
2π
Ts
) =
√
2π
Ts
∞

k=−∞
δ(ω − kωs), (2.10)
where ωs = 2πfs is the sampling frequency.
Performing convolution with a collection of delta function pulses at the pulse
location, we get
Xs(ω) =
1
√
2πTs
∞

k=−∞
X(ω − kωs). (2.11)
Equation (2.11) tells us that the uniform sampling creates images of the Fourier
transform of the input signal, and images are periodic with sampling frequency fs.
2.2.3 Nyquist Sampling Theorem
Based on (2.11), we draw the spectrum of original signal x(t) and the sampled signal
xs(t) on frequency domain, as shown in Figure 2.7. We assume the bandwidth of
the original signal is [−fh, fh], as shown in Figure 2.7(a). For now, we do not pay
attention to the signal amplitude, so we use A and As to represent them. Assuming
the sampling frequency is fs, then the sampled signal will have replicas at location
kfs. In order to reconstruct the original signal from the sampled signal, we will apply
a lowpass ﬁlter on the sampled signal, trying to extract the n = 0 term from Xs(f ),
as shown in Figure 2.7(b). Therefore, accomplishing reconstruction without error
requires that the portion of the spectrum of Xs(f ) at f = ±fs does not overlap with
the portion of the spectrum at f = 0. In other words, this requires that fs − fh fh
or fs 2fh, which leads to the Nyquist sampling theorem.
Nyquist sampling theorem applies for the bandlimited signal, which is a signal
x(t) that has no spectral components beyond a frequency B Hz [9]. That is,
X(ω) = 0, |ω| 2πB. (2.12)
The Nyquist sampling theorem states that a real signal, x(t), which is
bandlimited to B Hz can be reconstructed without error from samples taken
uniformly at a rate R 2B samples per second. This minimum sampling frequency,
Fs = 2B Hz, is called the Nyquist rate or the Nyquist frequency. The corresponding
sampling interval, T = 1
2B , is called the Nyquist interval [1]. A signal bandlimited
to B Hz, which is sampled at less than the Nyquist frequency of 2B (i.e., which was
sampled at an interval T 1
2B ), is said to be undersampled.

Figure 2.7 The spectrum of original signal x(t) and the sampled signal xs(t) in the frequency
domain. (a) The spectrum of original continuous-time signal x(t), with bandwidth −fh to fh, and
amplitude A. (b) The spectrum of the digitally sampled signal xs(t), fs fh which satisfies Nyquist
sampling theorem. (c) The spectrum of the digitally sampled signal xs(t), fs fh which does not
satisfies Nyquist sampling theorem and has aliasing.
When a signal is undersampled, its spectrum has overlapping spectral tails,
or images, where Xs(f ) no longer has complete information about the spectrum
and it is no longer possible to recover x(t) from the sampled signal. In this case,
the tailing spectrum does not go to zero, but is folded back onto the apparent
spectrum. This inversion of the tail is called spectral folding or aliasing, as shown
in Figure 2.7(c) [10].
Hands-On MATLAB Example: Let us now explain via computer simulation how
the Nyquist criteria requires that the sampling frequency be at least twice the highest
frequency contained in the signal or information about the signal will be lost.
Furthermore, in Section 2.5.1, the phenomena known as aliasing will occur and
the frequency will be folded back into the first Nyquist band. In order to describe
the implications of aliasing, we can investigate things in the time domain.
Consider the case of a time domain representation of a single tone sinewave
sampled as shown in Figure 2.8(a). In this example, the sampling frequency (fs) is

Figure 2.8 Aliasing in the time domain. Digital samples are the same in both figures. (a) Analog
input (FA) solid line; digital sample data (circles) at (fs), and (b) digital reconstruction dashed line;
digital sample data (circles) at (fs).
not at least two times the analog input frequeny (FA), but actually slightly more
than fs. Therefore, the Nyquist criteria is violated by definition. Notice that the
pattern of the actual samples produces an aliased sinewave at a lower frequency, as
shown in Figure 2.8(b).
Code 2.2 can create similar figures as shown in Figure 2.8(a) and Figure 2.8(b),
and may be helpful to better understand how aliasing works by manipulating
Fs and Fa. Figures 2.7 and 2.25 demonstrate the same effect in the frequency
domain.
Code 2.2 Time domain aliasing: nyquist.m
2 Fs = 1000; % Sample rate (Hz)
3 Fa = 1105; % Input Frequency (Hz)
4 % Determine Nyquist zones
5 zone = 1 + floor(Fa / (Fs/2));
6 alias = mod(Fa, Fs);
7 if ˜mod(zone,2) % 2nd, 4th, 6th, ... Nyquist Zone
8 % Its not really a negative amplitude, but it is 180 degrees out
9 % of phase, which makes it harder to see on the time domain side,
10 % so we cheat to make the graphs look better.
11 alias = -(Fs - alias)/Fs;
12 else % 3rd, 5th, 7th, ... Nyquist Zone
13 alias = (alias)/Fs;
14 end
15
16 % Create the analog/time domain and digital sampling vectors
17 N = 2*1/abs(alias) + 1; % Number of Digital samples
18 points = 256; % Analog points between digital samples
19 analogIndexes = 0:1/points:N-1;
20 samplingIndexes = 1:points:length(analogIndexes);
21 wave = sin(2*pi*Fa/Fs*analogIndexes);

2.2.4 Nyquist Zones
The Nyquist bandwidth itself is defined to be the frequency spectrum from DC to
fs
2 . However, the frequency spectrum is divided into an infinite number of Nyquist
zones, each having a width equal to 0.5 fs as shown in Figure 2.9. The frequency
spectrum does not just end because you are not interested in those frequencies.
This implies that some filtering ahead of the sampler (or ADC) is required to
remove frequency components that are outside the Nyquist bandwidth, but whose
aliased components fall inside it. The filter performance will depend on how close the
out-of-band signal is to fs
2 and the amount of attenuation required. It is important
to note that with no input filtering at the input of the ideal sampler (or ADC),
any frequency component (either signal or noise) that falls outside the Nyquist
bandwidth in any Nyquist zone will be aliased back into the first Nyquist zone.
For this reason, an analog antialiasing filter is used in almost all sampling ADC
applications to remove these unwanted signals.
Q
How do you think the relationship changes between the measured
frequency and the absolute frequency, as it goes up into the third
or fourth or higher Nyquist zones as shown in Figure 2.9? See if
you can confirm your hypothesis by modifying Code 2.2 to plot
absolute frequency on the x-axis, and measured frequency on the
y-axis.
2.2.5 Sample Rate Conversion
In real-world applications, we often would like to lower the sampling rate because
it reduces storage and computation requirements. In many cases we prefer a higher
sampling rate because it preserves fidelity. Sampling rate conversion is a general
term for the process of changing the time interval between the adjacent elements in
a sequence consisting of samples of a continuous-time function [10].
Decimation: The process of lowering the sampling rate is called decimation, which
is achieved by ignoring all but every Dth sample. In time domain, it can be defined as
y[n] = x[nD], D = 1, 2, 3, ..., (2.13)
where x[n] is the original signal, y[n] is the decimated signal, and D is the decimation
rate. According to (2.13), the sampling rates of the original signal and the decimated
Figure 2.9 Analog signal fa sampled at fs has images (aliases) at ±kFs ± Fa, k = 1, 2, 3, ....

signal can be expressed as
Fy =
Fx
D
, (2.14)
where Fx is the sampling rates of the original signal, and Fy is the sampling rates of
the decimated signal.
Since the frequency variables in radians, ωx and ωy, can be related to sampling
rate, Fx and Fy, by
ωx = 2πFTx =
2πF
Fx
, (2.15)
and
ωy = 2πFTy =
2πF
Fy
, (2.16)
it follows from the distributive property that ωx and ωy are related by
ωy = Dωx, (2.17)
which means that the frequency range of ωx is stretched into the corresponding
frequency range of ωy by a factor of D.
In order to avoid aliasing of the decimated sequence y[n], it is required that
0 ≤ |ωy| ≤ π. Based on (2.17), it implies that the spectrum of the original sequence
should satisfy 0 ≤ |ωx| ≤ π
D . Therefore, in reality, decimation is usually a two-step
process, consisting of a lowpass antialiasing filter and a downsampler, as shown in
Figure 2.10. The lowpass antialiasing filter is used to constrain the bandwidth of
the input signal to the downsampler x[n] to be 0 ≤ |ωx| ≤ π
D .
In frequency domain, the spectrum of the decimated signal, y[n], can be
expressed as [1]
Y(ωy) =
1
D
D−1

k=0
HD

ωy − 2πk
D

S

ωy − 2πk
D

, (2.18)
where S(ω) is the spectrum of the input signal s[n], and HD(ω) is the frequency
response of the lowpass filter hD[n]. With a properly designed filter HD(ω), the
aliasing is eliminated, and consequently, all but the first k = 0 term in (2.18)
vanish [1]. Hence, (2.18) becomes
Y(ωy) =
1
D
HD
ωy
D

S
ωy
D

=
1
D
S
ωy
D

, (2.19)
for 0 ≤ |ωy| ≤ π. The spectra for the sequence x[n] and y[n] are illustrated in
Figure 2.11, where the frequency range of the intermediate signal is 0 ≤ |ωx| ≤ π
D ,
and the frequency range of the decimated signal is 0 ≤ |ωy| ≤ π.
Figure 2.10 The structure of decimation, consisting of a lowpass antialiasing filter and a
downsampler.

Figure 2.11 The spectra for the sequence x[n] and y[n], where the frequency range of ωx is stretched
into the corresponding frequency range of ωy by a factor of D. (a) Spectrum of the intermediate
sequence, and (b) spectrum of the decimated sequence.
Interpolation: The process of increasing the sampling rate is called interpolation,
which can be accomplished by interpolating (stufﬁng zeros) I − 1 new samples
between successive values of signal. In time domain, it can be deﬁned as
y[n] =
x[n/I] n = 0, ±I, ±2I, ...
0 otherwise
, I = 1, 2, 3, ..., (2.20)
where x[n] is the original signal, y[n] is the interpolated signal, and I is the
interpolation rate.
According to (2.20), the sampling rates of the original signal and the
interpolated signal can be expressed as
Fy = IFx, (2.21)
where Fx is the sampling rates of the original signal, and Fy is the sampling rates
of the interpolated signal. Since (2.15) and (2.16) also hold here, it follows that ωx
and ωy are related by
ωy =
ωx
I
, (2.22)
which means that the frequency range of ωx is compressed into the corresponding
frequency range of ωy by a factor of I. Therefore, after the interpolation, there will
be I replicas of the spectrum of x[n], where each replica occupies a bandwidth of π
I .

Since only the frequency components of y[n] in the range 0 ≤ |ωy| ≤ π
I are unique
(i.e., all the other replicas are the same as this one), the images of Y(ω) above
ωy = π
I should be rejected by passing it through a lowpass filter with the following
frequency response:
HI(ωy) =
C 0 ≤ |ωy| ≤ π
I
0 otherwise
, (2.23)
where C is a scale factor.
Therefore, in reality, interpolation is also a two-step process, consisting of an
upsampler and a lowpass filter, as shown in Figure 2.12. The spectrum of the output
signal z[n] is
Z(ωz) =
CX(ωzI) 0 ≤ |ωz| ≤ π
I
0 otherwise
, (2.24)
where X(ω) is the spectrum of the output signal x[n].
The spectra for the sequence x[n], y[n] and z[n] are illustrated in Figure 2.13,
where the frequency range of the original signal is 0 ≤ |ωx| ≤ π, and the frequency
range of the decimated signal is 0 ≤ |ωz| ≤ π
I .
Hands-On MATLAB Example: Now let us experiment with decimation and
interpolation using MATLAB. The following example will manipulate two types
of signals: a continuous wave (CW) signal (a sine wave) and a random signal.
Furthermore, we will visualize the effects of upsampling and downsampling in
the the time and frequency domains. We begin by generating these signals using
MATLAB Code 2.3, and then pass the data through a lowpass filter in Code 2.4
to band-limit them. Using these band-limited versions we will observe the effects of
correct and incorrect up and downsampling in the time and frequency domains.
When left unfiltered in Figure 2.14(a) and Figure 2.14(e), the sine wave
signal mirrors a discrete version of a sine wave function. On the other hand in
Figure 2.14(b) and Figure 2.14(f), the random binary signal consist of a string of
random ones and negative ones.
Using the least-squares linear-phase FIR filter design or MATLAB’s firls
function, we are able to quickly generate FIR filter coefficients where the cut-off
frequency is approximately at 0.21π.
After passing the data through Code 2.4, the resulting filtered discrete time
signals (sine and random binary) represented in both the time and frequency
domains are presented in Figure 2.14(c) and Figure 2.14(g). The differences between
the original sine wave shown in Figure 2.14(e) and the band-limited sine wave in
Figure 2.14(g) are negligible since the frequency of the sine wave is less than the low
pass/band-limiting filter in Code 2.4. The differences of the random data shown in
shown in Figure 2.14(b) and the band-limited in Figure 2.14(d) can been seen easily,
and the reduction of bandwidth in the frequency domain show in Figure 2.14(h) is
very noticeable compared to the orginal in Figure 2.14(f). In the time domain, we
Figure 2.12 The structure of interpolation, consisting of an upsampler and a lowpass filter.

0
π
−
)
( x
X ω
x
ω
π
0
)
( y
Y ω
I
x
y
ω
ω =
I
π
I
π
3
I
π
5
0
)
( z
Z ω
I
x
z
ω
ω =
I
π
I
π
−
(c)
(b)
(a)
Figure 2.13 The spectra for the sequence x[n], y[n] and z[n], where the frequency range of ωx
is compressed into the corresponding frequency range of ωy by a factor of I. (a) Spectrum of the
original sequence, (b) spectrum of the intermediate sequence, and (c) spectrum of the interpolated
sequence.
Code 2.3 Create data sets: up-down-sample.m
19 % Create deterministic and stochastic digital data streams
20 n = 0:1/Fs1:100-(1/Fs1); % Time index vector
21 sin_wave = sin(5*n*2*pi); % Generation of sinusoidal
% signal
22 random = 2*round(rand(1,length(n)))-1; % Random string of +1 and
% -1 values

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zurückzuführen, daß der Halbmond das Abzeichen der Türkei
geworden ist.
Was den chemischen Inhalt der Baconischen Schriften811
anbetrifft,
so verdient hervorgehoben zu werden, daß Bacon ein Gemenge
erwähnt, dessen Entzündung eine furchtbare Erschütterung
hervorbringe. Als einen Bestandteil dieses Gemenges nennt er
Salpeter812
. Offenbar haben wir es hier mit dem Schießpulver zu tun,
das um diese Zeit von Ostasien her seinen Weg nach Europa
gefunden hatte. Es wurde zuerst in Bergwerken zum Sprengen
gebraucht813
. Seit dem 14. Jahrhundert führte das Pulver eine
Umwälzung in der Art der Kriegsführung herbei, die von großem
Einfluß auf die politische Gestaltung Europas wurde814
.
Gewissermaßen gehört Bacon auch zu den geistigen Urhebern der
großen Entdeckungsreisen. Er vertrat nämlich die Ansicht, Asien
erstrecke sich so weit nach Osten, daß seine östliche Küste durch
eine kurze Fahrt über den atlantischen Ozean erreicht werden
könne. Diese Ansicht Bacons nebst ihrer Begründung nahm Pierre
d'Ailly in sein »Imago mundi« betiteltes Werk815
auf. Und es ist
bekannt, daß Columbus später insbesondere auch durch das Lesen
dieses Werkes zu seiner Fahrt nach Westen angeregt wurde816
.
Aus allem geht hervor, daß wir es in Bacon mit einem
hochbedeutenden Menschen zu tun haben, der in der Entwicklung
der Wissenschaften eine hervorragende Rolle gespielt und die
Bewunderung, die man ihm gezollt, verdient hat817
. Bacon ist einer
der wenigen, das Dunkel des christlichen Mittelalters
durchdringenden Sterne. Daß er sich nicht völlig von den Vorurteilen
seiner Zeit frei zu machen wußte, darf die Anerkennung, die wir ihm
spenden müssen, nicht beeinträchtigen.
Auswüchse des mitteltalterlichen Denkens.
Auf dem Gebiete der Wissenschaften tritt die Eigenart des
Mittelalters besonders in den Bestrebungen der Astrologen und der

Alchemisten zutage. Astrologie und Alchemie sind Wörter, bei deren
Klang man sich sofort in jene Zeit, von der wir handeln,
zurückversetzt fühlt. Nicht nur die mit diesen Namen bezeichneten
Pseudowissenschaften, sondern mitunter auch Magie und
Nekromantie waren damals Gegenstand von
Universitätsvorlesungen.
Die größten alchemistischen Torheiten bezüglich der Wirkung der
Materia prima oder des Steins der Weisen gingen von Raymundus
Lullus aus. Lullus, der Doctor illuminatissimus, wurde um 1230
geboren. Seine Schriften, oder vielmehr was an solchen unter
seinem Namen ging, fanden besonders im 14. Jahrhundert
zahlreiche Leichtgläubige. Als eine Ausgeburt der Phantasie des
Lullus begegnet uns seine Lehre von der Multiplikation. Der Stein
der Weisen verwandelt danach zunächst die 1000fache Menge
Quecksilber in Materia prima. Und dies konnte mehrfach wiederholt
werden, bis nach einer gewissen Abschwächung der verwandelnden
Kraft die Materia prima die 1000fache Menge Quecksilber in reines
Gold verwandelte. In Anbetracht derartiger Übertreibungen des
alchemistischen Gedankens kann es nicht wundernehmen, wenn er
sich zu dem Ausspruch verstieg: »Mare tingerem, si Mercurius
esset« (das Meer würde ich in Gold verwandeln, wenn es aus
Quecksilber bestände).
Unter den Auswüchsen und Irrungen, die uns im Mittelalter
begegnen, sind neben der Alchemie, der Astrologie und der Magie
der Hexenglauben zu nennen. Auch von dieser so unheilvollen, in
der Hand des kirchlichen Fanatismus oft zur furchtbarsten Geißel818
gewordenen Verirrung wurde die Menschheit durch das
Emporkommen einer naturwissenschaftlichen Weltanschauung in
Jahrhunderte dauerndem Kampf befreit. Zu den ersten, die den
Kampf gegen die Astrologie aufnahmen, zählt der in der zweiten
Hälfte des 15. Jahrhunderts lebende Pico von Mirandola.
Pico von Mirandola gehörte den humanistischen Gelehrten an, die
im allgemeinen der Astrologie zugetan waren, da letztere ja dem
späteren Altertum entsprungen war. Gehörte doch selbst

Melanchthon zu ihren Anhängern, während Luther sich von den
Sterndeutereien abwandte und sie für grobe Lügen erklärte, denen
gegenüber man bei seinem einfachen Verstande bleiben müsse. Aus
diesem heraus ist auch Pico von Mirandolas Einspruch
hervorgegangen. Will man sich von der Trüglichkeit aller
Wahrsagerei überzeugen, so frage man die Sterndeuter und die
Handlinienbeschauer zu gleicher Zeit und sehe, wie sie einander
widersprechen. Ihre Wetterprophezeiungen sind nicht minder
unzuverlässig. So und ähnlich lauten seine Gründe. Daß der Himmel
die allgemeine Ursache des irdischen Geschehens sei, erkennt Pico
an. Alles Besondere müsse aber aus den nächstliegenden Ursachen
erklärt werden.
Über das Unheil, das die astrologische Lehre anrichtete, sagt Pico,
sie zerstöre die Philosophie, verfälsche die Heilkunde, untergrabe die
Religion, erzeuge den Aberglauben, begünstige die Abgötterei,
verunreinige die Sitten, verleumde den Himmel und mache den
Menschen zum unglücklichen Sklaven von Vorurteilen und
Verführern.
Schon ein Jahrhundert vor Pico hat einer der größten unter den
Humanisten, Francesco Petrarca, den Kampf gegen die Astrologie,
die Magie und andere Ausflüsse des Aberglaubens geführt. Sein
Bemühen war jedoch nicht minder erfolglos gewesen wie dasjenige
seines Nachfolgers. Beide Männer haben indessen das Verdienst, daß
sie den späteren Geschlechtern die Waffen in diesem Kampfe
geschmiedet haben819
.
Mit ähnlichen überzeugenden Gründen, wie Pico von Mirandola
die Astrologie, bekämpfte der Arzt Jacob Weyer den Hexenglauben
und die damit im Zusammenhange stehenden Verfolgungen. Er wies
z. B. nach, daß das Alpdrücken eine Folge körperlicher Zustände sei
und nicht etwa durch einen Dämon veranlaßt werde. Er erkannte die
Rolle, welche die Phantasie, sowie die Neigung der Frauen zur
Hysterie beim Zustandekommen abergläubischer Vorstellungen
spielt. Doch fand er nur wenig Anhänger und zahlreiche Widersacher.
Die angeblichen Hexen wurden noch bis in das 18. Jahrhundert

hinein von Geistlichen, Inquisitoren und der fanatisierten Menge
verfolgt und verbrannt.
Das Heilmittel für all diese Gebrechen der Zeit konnten nur die
Naturwissenschaften sein. Sie waren zwar auf dem Marsche. Um die
Beseitigung von Aberglauben und Vorurteilen, sowie um
Anerkennung als Bildungsmittel für die breite Masse des Volkes
mußten sie aber noch lange, ja selbst bis auf den heutigen Tag
ringen.
Die Naturwissenschaften im 14. Jahrhundert.
Von den naturwissenschaftlichen Kenntnissen und Vorstellungen, die
um die Mitte des 14. Jahrhunderts herrschten, erhält man ein in
mancher Hinsicht zutreffendes Bild durch Megenbergs Buch der
Natur.
Konrad von Megenberg wurde um 1309 in der Maingegend
geboren. Er empfing seine Vorbildung in Deutschland und Paris, wo
er den Doktorgrad erwarb. Darauf lehrte er in Wien und schließlich
wirkte er als Kanonikus in Regensburg. Dort schrieb er sein Werk,
das er um 1350 bekannt gab820
. Er starb in Jahre 1374.
Megenbergs Hauptquelle ist eine von Thomas von Cantimpré
um 1250 verfaßte Schrift: Über die Natur der Dinge (De naturis
rerum). Sie bietet eine Übersicht über das damalige Wissen von den
lebenden und den leblosen Naturgegenständen. Und zwar ist
Cantimprés Buch das erste Werk dieser Art, welches das Mittelalter
hervorbrachte821
. In zwanzig Büchern behandelt Thomas die
Anatomie des Menschen, die Tiere, die Pflanzen, die Metalle und
Edelsteine, die vier Elemente und das Himmelsgewölbe mit den
sieben Planeten. Das Werk ist indessen nicht auf eigene Anschauung
gegründet, sondern aus den verschiedensten Schriftstellern
geschöpft. Am meisten benutzt sind Aristoteles, Galen und
Plinius. Aber auch Theophrast, Isidor von Sevilla und die
Kirchenväter werden herangezogen.

Megenbergs Buch der Natur lehnt sich so eng an die besprochene
Schrift des Thomas an, daß es als eine gekürzte und dem
Fortschritt des seitdem verflossenen Jahrhunderts Rechnung
tragende deutsche Bearbeitung bezeichnet werden kann822
. Doch hat
Megenberg, wie er ausdrücklich bemerkt, wenn ihn das Buch des
Thomas im Stiche ließ, auch andere Bücher benutzt. Dabei ist er
durchaus kein bloßer Kompilator. Er weist sogar manches, was
Thomas unbeanstandet aufnimmt, als unglaubwürdig zurück. Daß
er trotzdem an Wunder, Zauberei und Beschwörungen glaubt, muß
man auf Rechnung des Geistes seiner Zeit setzen. So ist das Buch
Megenbergs eins der geeignetsten Zeugnisse für das vor dem
Wiederaufleben der Wissenschaften selbst bei aufgeklärten Männern
anzutreffende Fühlen und Denken. Einige Mitteilungen aus dem
Inhalt des Buches mögen dies des Näheren dartun.
Der erste Abschnitt betrifft den Menschen. Es sind die Lehren des
Aristoteles und des Galen, die uns hier in derjenigen Gestalt
begegnen, die sie durch spätere Schriftsteller erfahren haben823
. Das
Gehirn soll von Natur kalt, das Herz dagegen warm sein. Das Gehirn
liege oberhalb des Herzens, damit seine Kälte durch die Wärme des
Herzens gemildert werden könne. Die Natur lasse zuerst das Herz
entstehen und danach das Gehirn. Vom Auge heißt es, es sei von
dünnen Häuten umgeben. Diese umschlössen die kristallinische
Feuchtigkeit, auf welcher die Sehkraft beruhe. Der Sehnerv wird als
eine hohle Ader bezeichnet, deren Aufgabe es sei, den Augen die
eigentliche geistige Sinnestätigkeit zuzuführen. Man sieht, es sind
verworrene Vorstellungen, aus denen nicht ersichtlich ist, wie sich
Megenberg den Vorgang des Sehens eigentlich denkt. Über das
Herz und die Lungen äußert er sich mit folgenden Worten: Das Herz
ist das erste Lebendige und das letzte Organ, das stirbt. Es besitzt
zwei Kammern, eine rechte und eine linke. Sie bergen das Blut und
die besonderen Geister, welche das Leben bedingen. Die Geister und
das Blut strömen durch die Adern vom Herzen zu den übrigen
Organen hin. Das Herz ist der Lunge angelagert, weil die weiche
Lunge durch ihre Tätigkeit, Luft aufzunehmen, das Herz kühl halten
kann, so daß es nicht in seiner eigenen Hitze erstickt. Eine genauere

Unterscheidung zwischen Adern, Nerven und Sehnen findet auch bei
Megenberg noch nicht statt.
Der zweite Abschnitt handelt »von den Himmeln und den sieben
Planeten«. Außerhalb des Firmaments, an dem die Fixsterne
befestigt sind, unterscheidet Megenberg noch zwei Sphären, den
Wälzer und den Feuerhimmel. Nach innen folgen die sieben
Planetenhimmel, von denen jeder nur einen Stern trägt. Alles
bewegt sich in verschiedenen Zeiträumen um den Mittelpunkt der
Welt, die Erde. Jeder Planet hat seine besonderen Eigenschaften und
Wirkungen. So ist Jupiter warm und trocken. Deshalb macht er das
Erdreich fruchtbar und bringt ein gutes Jahr, wenn er in seiner vollen
Kraft und günstigsten Stellung scheint. Mars ist heiß und trocken;
daher erhitzt er der Menschen Herz und macht sie zornig. Der Sonne
werden fünfzehn Eigenschaften zugeschrieben, die dann in
allegorischer Weise auf die heilige Jungfrau bezogen werden.
Hinsichtlich der Kometen begegnen wir einer Auffassung, die von
Aristoteles bis zu Tychos und Keplers Zeiten die herrschende
blieb. Ein Komet ist danach kein eigentlicher Stern, sondern ein
»Feuer, das im obersten Luftreich brennt«. Genährt wird dieses
Feuer durch fettigen, der Erde entstammenden Dunst. Die Dauer des
Kometen hängt davon ab, wie lange dieser Dunst in hinreichender
Menge nachströmt. Betrachtete man die Kometen als
atmosphärische Erscheinungen, so war die Annahme, daß sie auf die
Erde eine tiefere Wirkung als die Gestirne ausüben, ganz
folgerichtig. Der Komet muß für das Land, dem er den Schweif
zukehrt »ein Hungerjahr bringen, weil dem Boden dort die
Feuchtigkeit entzogen wird«. Die Milchstraße endlich wird ganz
zutreffend auf »zahlreiche, nahe beieinander befindliche Sterne
zurückgeführt, deren Schein vereint leuchtet«.
Megenberg bespricht dann die atmosphärischen Vorgänge. Der
Wind wird nicht etwa als eine Bewegung der Luft in ihrer ganzen
Masse aufgefaßt, sondern als ein »angesammelter irdischer Dunst«
betrachtet, der sich durch die Luft bewegt. Aus dem irdischen fetten
Dunst, der gegen die Wolken stößt, sucht Megenberg auch Blitz

und Donner zu erklären. Die Kraft des Anpralls bewirke die
Entzündung, d. h. den Blitz. Der Regenbogen endlich wird als eine
Spiegelung des Sonnenlichtes in den Wolken aufgefaßt. Durch die
Annahme von Dünsten im Innern der Erde wird, unter
Zurückweisung alter Fabeleien, auch das Erdbeben erklärt. Auf die in
den Höhlen der Gebirge befindlichen Dünste sollen die Gestirne,
besonders Mars und Jupiter in der Art wirken, daß sie ihren Andrang
gegen die Wände der einschließenden Hohlräume vermehren.
Dadurch komme eine Erschütterung der Erde zustande. Megenberg
berichtet dann über ein starkes Erdbeben, das 1348 in den Alpen
und in Süddeutschland verspürt wurde. In demselben Jahre wurde
Europa durch den schwarzen Tod heimgesucht, das »größte Sterben,
das je nach oder vielleicht auch vor Christi Geburt dagewesen«.
Allein in Wien seien an dieser Seuche 40000 Menschen in wenigen
Monaten zugrunde gegangen. Megenberg ist nun geneigt,
zwischen dem Erdbeben und jener Krankheit einen ursächlichen
Zusammenhang anzunehmen. Bei dem Erdbeben entweiche nämlich
giftiger Dunst aus dem Innern der Erde. Das Weltbild, das sich das
Mittelalter nach dem Vorgange der Alten geschaffen und wie es uns
in Megenbergs Schrift entgegentritt, wird durch eine Schilderung
der Tiere, der Pflanzen und der wichtigsten anorganischen
Naturkörper vervollständigt. Auf die Beschreibung des Tieres im
allgemeinen, die ganz im Geiste und oft in wörtlicher
Übereinstimmung mit Aristoteles gehalten ist, folgen Mitteilungen
über das Aussehen und die Lebensweise der einzelnen Geschöpfe.
Von einer systematischen Einteilung nach irgend welchen
wissenschaftlichen Gesichtspunkten ist dabei noch keine Rede. Die
Anordnung ist vielmehr die alphabetische. Auch wird über manches
Tierwunder berichtet, das sich später als eine Ausgeburt der
Phantasie älterer Schriftsteller erwiesen hat. So wird auch die alte
Geschichte des Physiologus von dem Walfisch, dessen Rücken für
eine Insel gehalten wird, wieder aufgefrischt. Manche Bemerkung
über einheimische Tiere beruht auf eigener Beobachtung oder
wenigstens auf der Beobachtung Mitlebender. Doch fehlen auch
nicht Angaben alter Schriftsteller, die ohne Nachprüfung
aufgenommen werden, so heißt es beim Pferde, Aristoteles sage,

aus dem Haare dieses Tieres entstehe im Wasser ein Wurm. Nicht
selten wird aber derartigen Mitteilungen ein treuherziges: »Das
glaube ich nicht« hinzugefügt, so der Erzählung des Plinius, daß der
Luchs durch eine Wand zu sehen vermöge.
Die nächsten Abschnitte handeln – gleichfalls in alphabetischer Folge
– von den Bäumen und von den Kräutern. Die Beschreibungen
beschränken sich auf den äußeren Habitus der ganzen Pflanze und
das Aussehen der Früchte. Im Mittelpunkt der Darstellung stehen die
physiologischen Wirkungen, die von den Pflanzen ausgehen. Zur
Erklärung dieser wunderbaren Wirkungen genügt nach Megenberg
jedoch nicht die Mischung der in den Kräutern enthaltenen
Elemente, sondern er nimmt daneben den Einfluß der Gestirne an.
Oft komme auch der Einfluß der heiligen Worte in Betracht, mit
denen man Gott anrufe, und durch die man die Kräuter beschwöre
und segne, wie man ja auch das Weihwasser einsegne.
Durch den göttlichen Willen haben auch die Steine wunderbare
Eigenschaften und Kräfte, vor allem besitzen sie einen
segenbringenden Einfluß. Manche Mineralien sind giftwidrig, ja sie
zeigen sogar durch Ausschwitzungen an, ob sich Gift in der Nähe
befindet. Der Karneol besänftigt den Zorn und stillt Blutungen.
Offenbar wurde ihm seit jeher diese Eigenschaft seiner roten Farbe
wegen zugeschrieben. Auch bei den übrigen Mineralien werden die
Eigenschaften ganz obenhin erwähnt, dagegen um so ausführlicher
wird ihre Verwendung zu Amuletten gewürdigt, ohne daß
Megenberg Zweifel an der Richtigkeit der an die Mineralien sich
knüpfenden, damals herrschenden, abergläubischen Vorstellungen
kamen.
Wir haben das Buch der Natur etwas eingehender gewürdigt, weil
eine derartige Probe lehrreicher ist als lange Betrachtungen über den
Geist des Mittelalters. Erst wenn wir uns den geistigen Besitz und
das Fühlen und Denken jener Zeit an einem Schriftsteller wie
Megenberg oder Thomas von Cantimpré vergegenwärtigt
haben, können wir den Umschwung ermessen, der mit dem
Wiederaufleben der Wissenschaften eintrat und der neueren mit

Koppernikus, Galilei und Kepler anhebenden Naturforschung den
Weg bereiten half.

10. Das Wiederaufleben der Wissenschaften.
Bis zur Beendigung der Kreuzzüge hatte Westeuropa unter einer
überwiegend kirchlichen Führung gestanden. Probleme religiöser
und scholastisch-philosophischer Art nahmen während dieser Zeit
das Denken vorzugsweise in Anspruch. Das nunmehr eintretende
Sinken der Hierarchie hatte zur Folge, daß man sich auch anderen
Gegenständen zuwandte.
Es sind vor allem zwei mächtige neue Bewegungen von nie
versiegender Wirkung, welche die europäische Menschheit gegen
den Ausgang des Mittelalters ergreifen, die Wiederbelebung des
klassischen Altertums und die durch die Entdeckungsreisen
erfolgende Ausdehnung des geographischen Gesichtskreises über die
gesamte Erde.
Vorbereitet wurde der große geistige Umschwung, dessen Vorboten
bis in das 13. Jahrhundert zurückreichen, durch einen
wirtschaftlichen Vorgang, nämlich durch das Emporblühen des
Städtewesens. Vor allem sind hier Pisa, Florenz, Venedig und Genua
zu nennen. Diese waren durch den Handel zu Wohlstand und Macht
und schließlich sogar zu einer meerbeherrschenden Stellung gelangt.
Die Berührung mit sämtlichen Völkern des Mittelmeeres, das
Emporblühen der Kunst und der Gewerbe, kurz die Erweiterung des
gesamten Gesichtskreises brachten es mit sich, daß an diesen
Stätten die Nacht des Mittelalters zuerst der Morgenröte eines
neuen, besseren Tages wich.
Die ältere Geschichtsschreibung liebte es, die Renaissance als ein
fast blitzartiges Aufleuchten hinzustellen, wodurch das tiefe Dunkel
des Mittelalters verscheucht und von Italien aus das übrige Europa
allmählich erhellt worden sei. Es war dies die besonders durch
Burkhardt824
vertretene Anschauung. Burkhardt stand noch
allzusehr unter dem Einflüsse Vasaris, des frühesten

Geschichtsschreibers der Renaissance. Vasari825
, der um die Mitte
des 16. Jahrhunderts schrieb, stand offenbar den von ihm
geschilderten Begebenheiten zeitlich noch zu nahe, um ein
zutreffendes, allgemeines Urteil fällen zu können. Auch war er
bestrebt, die von ihm behandelte Epoche der vorangehenden Zeit
gegenüber in hellem Glanze hervortreten zu lassen826
.
Die neuesten Forschungen über die Entwicklung des geistigen
Lebens und der Kunst lassen immer deutlicher erkennen, daß sich
zwischen Mittelalter und Renaissance keine scharfe Grenze ziehen
läßt. Vielmehr reicht die Bewegung, die wir mit dem Worte
Renaissance kennzeichnen, in ihren Anfängen bis in das 13.
Jahrhundert zurück. Auch war sie keineswegs auf den Boden Italiens
beschränkt. Erlebte sie auch dort ihre höchste Blüte, so begegnet
uns die Wiedergeburt der Künste und der Wissenschaften doch auch
in Frankreich, in Deutschland und den Niederlanden. Und zwar
lassen sich auch in diesen Ländern das Streben nach selbständiger
Auffassung und eine dadurch bedingte Abkehr von der bisherigen
Denkweise, gewissermaßen eine allmähliche Umwertung der Werte,
bis in das 13. Jahrhundert zurückverfolgen. Dennoch darf man, im
Gegensatz zur älteren historischen Schule (Burkhardt, Voigt, Libri)
nicht so weit gehen, die Renaissance »als das Resultat und die
feinste Blüte des Mittelalters« zu bezeichnen827
. Ist doch die
Renaissance, die wenn auch lange vorbereitete, allmähliche
Überwindung derjenigen Momente, welche das christliche Mittelalter
kennzeichnen. Als diese im geistigen Leben des Mittelalters
überwiegenden Momente werden stets gelten müssen: erstens die
Unterordnung der wissenschaftlichen und künstlerischen Betätigung
unter den Einfluß der Kirche, ferner die Herrschaft der Autorität des
geschriebenen Wortes und drittens die Abkehr von realistischer und
die Versenkung in die spiritualistische Denkweise.
Die Wiederbelebung der römischen und der griechischen Literatur
erfolgte seit dem 14. Jahrhundert in immer größerem Umfange und
führte zu einer wachsenden Vertiefung in den Geist der Antike. Es
entstand die Richtung, die man als den Humanismus bezeichnet.
Brachte sie den Naturwissenschaften auch keinen unmittelbaren

Gewinn, so bewirkte sie doch, daß mit den erwähnten
mittelalterlichen Elementen, welche das Denken bisher gefangen
hielten, gebrochen und für die Behandlung und die Darstellung
wissenschaftlicher Gegenstände Vorbilder gewonnen wurden. Es
wurde, wie ein hervorragender Geschichtsschreiber der Periode des
Humanismus sagt828
, »die vergessene Tiefe der Vorzeit
heraufbeschworen und diese in ihren edelsten Schöpfungen noch
einmal durchlebt«. Das Land, wo der Humanismus seine erste Blüte
erlebte, war Italien. Dort waren nämlich die Scholastik, die
romantische Poesie und die gotische Baukunst nie zur vollständigen
Herrschaft gelangt und immer noch eine Erinnerung an das Altertum
übrig geblieben, die endlich im 15. Jahrhundert alle Geister ergriff
und der Literatur ein neues Leben einhauchte829
.
Auf dem Boden Italiens hatte die Berührung der antiken Welt mit
dem germanischen Elemente vorzugsweise stattgefunden. War
Italien dabei auch von vielen Völkern zertreten worden, so hatten
sich doch manche Reste und Vermächtnisse der alten Kultur in die
neue Zeit hinübergerettet. Die führenden Männer, denen wir die
Wiederbelebung dieser Keime verdanken, waren vor allem Petrarka
und Boccaccio. In den Beginn der großen literarischen Epoche,
welche diese Männer verkörpern, gehört der bewundertste Dichter
der italienischen Nation, Dante. Geboren wurde Dante 1265 in
Florenz; er starb im Jahre 1321. Dante hat zwar von den besten
römischen Dichtern, wie Horaz, Ovid und Vergil, manche
Anregung empfangen, doch gehört er noch nicht zu den Erneuerern
der alten Literatur. Seine Bildung beruht vielmehr noch vorzugsweise
auf dem Trivium und dem Quadrivium der mittelalterlichen
Philosophen. Der Geist, der aus Dante spricht, ist aus der
Vereinigung der Scholastik mit der provenzalischen Romantik
hervorgegangen. Und diesen Geist verrät auch sein geniales
Meisterwerk, die göttliche Komödie. Sie ist nicht nur als ein
hervorragendes Werk der Dichtkunst, sondern auch als eine
Fundgrube für den Stand der Kenntnisse zu Beginn des 14.
Jahrhunderts zu schätzen830
. Es war nicht viel mehr als eine dunkle
Ahnung, mit der Dante das Wesen der Antike erfaßte, in ihre Tiefen

ist er noch nicht eingedrungen. Das geschah erst durch Francesco
Petrarka831
.
Petrarkas Vater besaß einige Schriften Ciceros. Sie und die
Dichtungen Vergils, die das Mittelalter nie vergessen hatte, kamen
dem jungen Petrarka in die Hände und wurden von ihm weniger
des Inhalts als des Wohllauts der Sprache und des beredten
Ausdrucks wegen mit Begeisterung gelesen. Da man nur einen
kleinen Teil der Schriften Ciceros besaß – die Briefe z. B. waren in
Vergessenheit geraten –, so begann Petrarka, als er heranwuchs,
nach den verschollenen Werken des von ihm so hoch verehrten
Schriftstellers zu suchen. Sein Umherstöbern in alten
Klosterbibliotheken wurde mit Erfolg belohnt. Er selbst begab sich
ans Abschreiben und wußte zahlreiche Männer in den Dienst seiner
Bestrebungen zu stellen. Nach Spanien, Frankreich, Deutschland und
Britannien, ja selbst nach Griechenland sandte er die Aufforderung,
nach bestimmten, verschollenen Schriften zu forschen. Oft fügte er
seinen Bitten und Mahnungen auch Geldbeträge bei. Die Schriften
der Alten wurden aber nicht nur gesammelt und vervielfältigt, man
betrachtete sie auch als Muster für den Ausdruck und bemühte sich,
den eigenen Ausdruck danach zu vervollkommnen.
Petrarka wandte sein Interesse nicht nur den Literaturwerken,
sondern auch allen übrigen antiken Überresten, wie Bauwerken,
Münzen usw. zu, an denen der Boden Italiens so reich ist. Auch auf
die griechische Kultur lenkten Petrarka und seine Nachfolger die
Aufmerksamkeit des Abendlandes. Zwar fehlte es im 14. Jahrhundert
zunächst noch sehr an der Kenntnis der griechischen Sprache. Hierin
trat aber eine Änderung nach dem Fall Konstantinopels ein, da viele
griechische Flüchtlinge infolge dieses Ereignisses sich nach Italien
wandten. Der treueste und eifrigste Jünger Petrarkas war
Giovanni Boccaccio. Der Eifer von den alten Schätzen zu
sammeln, was noch zu retten war, wurde fast durch die Besorgnis
übertroffen, daß es schon zu spät sein möchte. Daß diese Besorgnis
sehr gerechtfertigt war, beweist Boccaccios Bericht über seinen
Besuch der Bibliothek zu Monte Cassino. Er fand sie in einem
vernachlässigten Raume und weder durch Schlösser noch durch

Türen abgesperrt. Als er die Codices öffnete, bemerkte er
Verstümmelungen aller Art. Weinend vor Unwillen verließ er den
Raum. Seine Frage, warum man die herrlichen Schätze so
schmählich behandle, wurde von den Mönchen dahin beantwortet,
daß man das herausgeschnittene Pergament zu Psaltern und Breven
verwende, die an Frauen und Kinder verkauft würden832
. Und das
geschah in Monte Cassino, einer Pflanzstätte der Gelehrsamkeit.
Die Wissenschaften im Zeitalter des
Humanismus.
Auf die Zeit des Beginns des Humanismus folgte seine Ausbreitung.
Sie geschah besonders durch Wanderlehrer und durch die Gründung
von Gelehrtenrepubliken nach platonischem Muster. Es ist als eine
große Tat der ersten Humanisten zu betrachten, daß sie die Fürsten,
vor allem die Mediceer, ja den gesamten Adel des Landes, aber nicht
minder das wohlhabende Bürgertum der italienischen
Stadtrepubliken für ihre Bemühungen zu begeistern wußten. Dies
war um so schwieriger, als ja zu jener Zeit die beweglichen Lettern
noch nicht der Wissenschaft Flügel verliehen hatten, sondern die
gehobenen literarischen Schätze noch durch Abschreiben
vervielfältigt werden mußten. Per Humanismus fand auch an den
Universitäten und bei den kirchlichen Machthabern eine Heimstätte.
Vor allem war es Papst Nikolaus V., der nach mediceischem Vorbilde
große Mittel für literarische Bestrebungen hergab. Auf seine
Anregung hin wandte man sich besonders der griechischen Literatur
zu. An Stelle der alten scholastischen Bearbeitungen traten jetzt im
Abendlande die wirklichen aristotelischen und platonischen Schriften.
Papst Nikolaus, dem es in erster Linie auf das Sammeln der Bücher
ankam, der Begründer der großen, dem Ansehen des Papsttums
entsprechenden vatikanischen Bibliothek, zog viele griechische
Gelehrte nach Rom und ließ nach dem Fall Konstantinopels durch
reisende Händler zahlreiche Bücher in Griechenland und in Kleinasien
aufkaufen. Seitdem die humanistischen Bestrebungen durch

Nikolaus V. ihren Mittelpunkt in Rom gefunden hatten, dehnte sich
ihr Einfluß auch nördlich von den Alpen aus. Mit den Gelehrten
waren zahlreiche griechische Texte, darunter z. B. die Werke des
Archimedes, von Konstantinopel nach Italien gelangt. Der
Humanismus erlebte jetzt nicht nur hier die Zeit seiner höchsten
Blüte, sondern auch im übrigen Europa, vor allem in Deutschland,
wo er durch den Kardinal Nicolaus von Cusa besonders Eingang
fand, sowie in England.
Hatte Papst Nikolaus V. die humanistischen Studien mehr aus
Liebhaberei und in der Absicht gefördert, Rom zum Mittelpunkt auch
für die geistigen Bestrebungen zu machen, so bestieg bald nach ihm
in Pius II.833
ein wirklicher Humanist den päpstlichen Stuhl. Er
wandte sich der Geographie und der Geschichte zu, suchte beide
Wissenschaften in Beziehung zu setzen und schuf eine
Kosmographie, die auch Columbus angeregt hat834
.
Pius II. verdient um so mehr Anerkennung, als die übrigen
Humanisten dem wissenschaftlichen Vermächtnis des Altertums
zunächst wenig Interesse und Verständnis entgegenbrachten.
Mathematik, Naturwissenschaften und Medizin, kurz, strengere
Wissenschaften fanden nur geringe Beachtung. Der Humanismus
war herrschende Mode geworden und diese verlangte schöngeistige
Leistungen. Das größte Gewicht wurde bei allem literarischen
Schaffen auf die Form gelegt, und durch dieses Bestreben erlangte,
wiederum unter der Führung Petrarkas und Boccaccios, die
heimatliche Sprache eine solche Vollendung, daß Galilei und seine
Schüler es vorzogen, in der Sprache ihres Landes zu schreiben,
während in Deutschland und den übrigen Ländern unter den
Gelehrten kaum jemand daran dachte, sich einer anderen Sprache
als der lateinischen zu bedienen.
Trotz aller Bestrebungen der Päpste, Rom zum Mittelpunkt der
humanistischen Bestrebungen zu machen, gebührt Florenz der
Ruhm, nicht nur die Wiege, sondern in der Folge auch der
bedeutendste Hort des Humanismus gewesen zu sein. Die Geschicke
von Florenz hingen während des gesamten 15. Jahrhunderts auf das

Engste mit der über ungemessene Reichtümer verfügenden,
gleichzeitig aber für Kunst und Wissenschaft begeisterten Familie der
Mediceer zusammen. In Cosmo und in seinem Enkel Lorenzo, dem
»Prächtigen«, fanden die Künstler und die Gelehrten Gönner, die
ihren Bestrebungen nicht nur eine jederzeit offene Hand, sondern
auch ein volles Verständnis entgegenbrachten. Cosmo selbst war
der Stifter einer Akademie, in der sich die geistig und künstlerisch
hervorragenden Männer aneinanderschlossen. Dem Beispiele der
Päpste und der Mediceer folgte, wie nicht anders zu erwarten, alles,
was Anspruch auf Reichtum und vornehme Herkunft machte. Auch
die Frauen nahmen einen hervorragenden Anteil an dieser
Bewegung, die ihre Kehrseite leider in den politischen und sittlichen
Zuständen des damaligen Italiens fand. Die Freude, welche jene
Bewegung in ihrer Lebensfülle hervorruft, wandelt sich in Anbetracht
mancher Ergebnisse der neueren Geschichtsforschung mitunter in
das Gefühl des Schauderns, während die älteren Schilderer jenes
Zeitalters jene Kehrseite zu wenig beachteten und in dem Gemälde,
das sie uns von der Renaissance entwarfen, nur die lichten Seiten
hervortreten ließen835
.
Es war für die weitere Entwicklung des geistigen Lebens von der
größten Bedeutung, daß mit dem Einsetzen der humanistischen
Strömung die Erfindung des Buchdrucks und die Errichtung der
ersten Universitäten auf deutschem Boden zusammenfielen. Das
Universitätswesen war im 13. Jahrhundert in Spanien, Italien,
Frankreich und England herangeblüht. In Deutschland fehlte es zwar
nicht an Privat-, Pfarr- und Stadtschulen, eine weitergehende
wissenschaftliche Bildung und akademische Würden konnten aber
nur im Auslande erlangt werden. Eine Änderung trat erst ein, als
Karl IV., gestützt auf Erfahrungen, die er selbst in Paris gemacht
hatte, die erste deutsche Universität in Prag (1348) begründete.
Noch in demselben Jahrhundert wurden die Universitäten zu Wien
(1365) und Heidelberg (1386) ins Leben gerufen. Auch die
norddeutschen Städte wollten nicht zurückstehen. Unter ihnen sind
vor allem Köln und Erfurt zu nennen, weil sie gleichfalls noch im 14.
Jahrhundert in ihren Mauern Hochschulen gründeten.

Die wissenschaftliche Bedeutung dieser Institute war, mit heutigem
Maßstabe gemessen, allerdings noch gering. Ihre wichtigste Aufgabe
erblickten sie in der Vorbildung der Geistlichkeit. Im
Zusammenhange damit war im Universitätswesen der geistliche
Einfluß der überwiegende. Die freie Forschung sollte sich an diesen
Stätten erst allmählich und mit Überwindung des hartnäckigsten
Widerstandes entwickeln. Im 15. Jahrhundert und weit darüber
hinaus übte Hand in Hand mit der Kirche die scholastische
Philosophie eine fast unbestrittene, jedes freiere Geistesleben
einengende Herrschaft aus. Der Universitätsunterricht regte nicht
zum Forschen an, sondern er vermittelte wesentlich durch Diktate
und Disputierübungen Wortglauben und Autoritätsdünkel.
Durch das Eindringen des Humanismus in Deutschland wurden die
deutschen Universitäten wesentlich gehoben. Sie übernahmen die
Pflege jener neuen Richtung, wodurch ein freierer Zug in die
bisherigen Stätten scholastischen Gezänkes, theologischer
Disputierwut und Unduldsamkeit kam. Am erfreulichsten trat dieser
günstige Einfluß in der Um- und Fortbildung des Unterrichts in die
Erscheinung. Man schuf bessere Lehrbücher, ersetzte das Diktieren
und Auswendiglernen durch fleißige Lektüre der durch bessere
Textkritik geläuterten, alten Schriften und kehrte mit offenerem Blick
zu den Erscheinungen zurück, die Natur- und Menschenleben
darboten. Auch das Emporblühen einer volkstümlichen Kunst wirkte
in dem Deutschland des 15. Jahrhunderts befreiend und fördernd836
.
Erlebte doch Deutschland damals in Albrecht Dürer eine
Verbindung von Kunst und Wissenschaft, wie wir sie in Italien an
Lionardo da Vinci bewundern.
Die hervorragendsten unter den Humanisten Mitteleuropas waren
Agricola, Erasmus von Rotterdam, dem wir die erste griechische
Ausgabe des Neuen Testaments verdanken, Reuchlin, der die
hebräischen Studien ins Leben rief, und Melanchthon. Letzterer
entfaltete eine ähnliche Tätigkeit wie Rhabanus Maurus und hat
deshalb in der Geschichte des Bildungswesens gleichfalls den
Ehrentitel eines Praeceptor Germaniae erhalten. Er setzte sich vor
allem das Ziel, in der Philosophie eine Reformation durch das

Zurückgehen auf die echten Schriften des Aristoteles zu bewirken,
wie sie Luther in der Theologie dadurch herbeizuführen suchte, daß
er einzig und allein das reine Evangelium als die wahre Quelle des
religiösen Glaubens hinstellte837
.
In Deutschland wurde Wittenberg zum Mittelpunkt des
Humanismus. Von hier ging auch, durch letzteren gefördert,
diejenige freiere Gestaltung des religiösen Lebens aus, die für das
mittlere und nördliche Europa einen Aufschwung von nie gesehenem
Umfang einleiten sollte. Hatte doch bis dahin die hierarchische
Gewalt nicht nur die Normen für den Glauben, sondern alle
weltlichen Einrichtungen und Anschauungen beherrscht. Daß diese
Gewalt ins Wanken geriet, mußte nicht nur in den Zuständen jener
Zeit, sondern auch im Reiche der Gedanken eine unermeßliche
Veränderung hervorbringen838
. Zu diesen beiden Elementen, der
Renaissance, die erst wieder »das Auge für den Menschen und für
die Dinge öffnete«839
und als das Grundelement bezeichnet werden
muß, und zu der Reformation trat die Naturwissenschaft hinzu, um
im Verein mit ihnen die Weltanschauung und die Welt von Grund aus
umzugestalten. An die Stelle der Lehre wurde die Forschung und an
die Stelle des Himmels die veredelte Weltlichkeit gesetzt. Die
Verheißung lautete nicht mehr »Unsterblichkeit«, sondern »ewiger
Ruhm«840
.
Der Angriff des Humanismus gegen die Scholastik ging besonders
von Erasmus von Rotterdam aus. Er machte den Kampf gegen
die Scholastiker der Klöster und der Universitäten zu seiner
Lebensaufgabe. Sein »Lob der Narrheit« ist voll Spott und Bitterkeit
gegen die Fesseln, welche die Philosophie und die Theologie jener
Zeit beengten und jede freie Regung erstickten841
. Das Büchlein, das
in zahllosen Auflagen erschien und in viele Sprachen übersetzt
wurde, hat besonders dazu beigetragen, dem 16. Jahrhundert eine
antiklerikale Richtung zu geben842
. Mit dem populären Angriff
verband Erasmus den gelehrten. Wie die Humanisten Italiens
forderte er, man solle die Wissenschaften aus den Schriften des
Altertums erlernen, so die Naturgeschichte aus Plinius, die

Erdbeschreibung aus Platon, die Gottesgelehrtheit nicht aus den
Kirchenvätern, sondern aus dem neuen Testamente, usw. Es war
also noch kein Kampf gegen den Autoritätsglauben, der mit den
Humanisten anhob, sondern zunächst nur ein Zurückgehen auf
ursprüngliche, reinere Quellen. Indes schon diese Wandlung,
obgleich so maßvoll in ihren Zielen, ging nicht ohne den heftigsten
Widerstand von seiten der kirchlichen Scholastiker vor sich.
Mit welcher Erbitterung gekämpft wurde, zeigt uns der Lebensgang
eines Hutten. Daß es den Führern an Siegeszuversicht und an
Begeisterung für die große Sache nicht fehlte, bekundet uns
derselbe Hutten durch sein Wort: »O Jahrhundert, die Studien
blühen, die Geister erwachen; es ist eine Lust zu leben«843
. Dieses
Erwachen der Geister machte sich zunächst weniger durch
Neuschöpfungen geltend, als dadurch, daß man den Unterricht
naturgemäßer gestaltete und auf wertvolleren Grundlagen errichtete,
sowie vor allem dadurch, daß das ausschließlich kirchliche Denken,
die »hierarchische Weltansicht«, wenn auch nicht gebrochen, so
doch eingeschränkt und daneben wenigstens die Duldung anders
gearteter Ansichten erkämpft wurde.
Fast unvermittelt schloß sich an das Zeitalter des Humanismus für
die Naturwissenschaften die Periode an, die auch den alten
Schriftstellern keine unbedingte Autorität zuerkannte, mit dem
Glauben brach und an seine Stelle die freie, unabhängige Forschung
setzte. Diese Periode wird in Deutschland vor allem durch
Koppernikus und durch Paracelsus, sowie durch die Begründung
der neueren Naturbeschreibung (Brunfels, Bock, Gesner und
Agricola) eröffnet. Mit dem Wirken dieser Männer werden wir uns
in den nächsten Abschnitten eingehend zu befassen haben.
Die Wiederbelebung der Wissensschätze des Altertums kam auf
naturwissenschaftlichem Gebiete vor allem der Astronomie zu gute,
für welche selbst die Kirche immer ein, wenn auch zunächst nur
praktisches, Interesse bewiesen hatte. Kleriker wie Laien waren
nämlich ängstlich darauf bedacht, eine Verschiebung der Fasttage
auf profane Tage, wie sie jede Unvollkommenheit des Kalenders mit

sich bringen mußte, zu vermeiden. So waren, um ein Beispiel zu
erwähnen, die Begleiter Magelhaens in hohem Grade bestürzt, als
sich nach der ersten Weltumsegelung bei ihrem Eintreffen in Spanien
aus der Schiffsrechnung ergab, daß man um einen Tag hinter dem
Kalender zurückgeblieben war und infolgedessen zu unrechter Zeit
gefastet hatte. Anfangs glaubte man an einen Irrtum, bis man die
Notwendigkeit einer solchen Erscheinung einsah und infolgedessen
später die Datumsgrenze einführte844
.
Nicolaus von Cusa.
Bei der Wiederbelebung der naturwissenschaftlichen Forschung
spielte in diesem Zeitalter der Kardinal Nicolaus von Cusa eine
bedeutende Rolle. Wie einst Roger Bacon, so machte er845
Vorschläge zur Verbesserung des Kalenders, sowie der alfonsinischen
Tafeln, ohne jedoch damit durchzudringen. Nicolaus von Cusa
wurde im Jahre 1401 zu Cues an der Mosel als Sohn eines armen
Fischers geboren. Seiner Begabung wegen fand er Unterstützung,
studierte in Padua und zeichnete sich durch große, mit gewandtem
Wesen vereinigte Gelehrsamkeit aus. In päpstlichem Auftrage reiste
er nach Konstantinopel und brachte von dort wertvolle griechische
Manuskripte nach Italien. Hier war er auch mit dem fast
gleichaltrigen Paolo Toscanelli (geb. 1397 zu Florenz) bekannt
geworden, welcher, durch die alten Schriftsteller angeregt, die
beobachtende Astronomie auf europäischem Boden zu neuem Leben
erweckte. Toscanelli hatte im Dome zu Florenz einen Gnomon
angebracht, mit dem er die Kulmination der Sonne auf die Sekunde
genau zu ermitteln vermochte. Die Einrichtung bestand in einer
Platte, die sich 270 Fuß über dem Boden des Domes befand. Sie
besaß eine Öffnung, durch welche ein Sonnenstrahl auf den Boden
fiel. Nicolaus von Cusa zählte zu den Schülern Toscanellis, der
auch eine, leider verloren gegangene, Seekarte entwarf. Sie ist sehr
wahrscheinlich von Behaim bei der Anfertigung seines Globus
verwertet worden. Zur Zeit Toscanellis kamen wahrscheinlich auch

die ersten in Kupfer gestochenen Karten auf. Daran schlossen sich
noch vor Ablauf des 15. Jahrhunderts die ersten in Holz
geschnittenen und gedruckten Karten846
.
In Italien wurde Nicolaus von Cusa mit den aristotelischen
Schriften im griechischen Original bekannt, und zwar geschah dies
zu einer Zeit, als man in Deutschland nur die arabisch-lateinischen
Bearbeitungen des Aristoteles kannte. Die Folge war, daß Nicolaus
sich um die Ausbreitung des Humanismus in seiner deutschen
Heimat sehr verdient gemacht hat. Im Verein mit dem Papste
Nicolaus V. bemühte er sich, griechische Werke durch Übersetzung
ins Lateinische zugänglicher zu machen. So hat er an der
Herausgabe des Archimedes auf Grund des griechischen Originals
hervorragenden Anteil genommen. Bei seiner Beschäftigung mit
Mathematik, Mechanik und Astronomie knüpfte er überall an Euklid,
Archimedes und andere alte Schriftsteller an. Er war es auch, der
zuerst unter den Neueren die eingewurzelte Ansicht, daß die Erde
der Mittelpunkt der Welt sei, erschütterte. Nach seiner Lehre ist sie
ein Gestirn und befindet sich, wie alles in der Natur, in Bewegung.
Gleich einer Stelle aus dem Dialog des Galilei mutet es uns an,
wenn Nicolaus von Cusa847
schreibt: »Es ist jetzt klar, daß die Erde
sich wirklich bewegt, wenn wir es gleich nicht bemerken, da wir die
Bewegung nur durch den Vergleich mit etwas Unbeweglichem
wahrnehmen.« Auf den Gedanken, daß die Fixsterne ein solches
Unbewegliches sind, kam Nicolaus von Cusa indessen nicht. Er
würde sonst den Kern der koppernikanischen Lehre vorweg
genommen haben. »Wüßte jemand nicht,« so fährt er fort, »daß das
Wasser fließt und sähe er das Ufer nicht, wie würde er, wenn er in
einem auf dem Wasser dahingleitenden Schiffe steht, bemerken, daß
das Schiff sich bewegt? Da es daher jedem, er mag auf der Erde,
der Sonne oder einem anderen Sterne sich befinden, vorkommen
wird, als stände er im unbeweglichen Mittelpunkte, während alles
um ihn her sich bewege, so würde er in der Sonne, im Monde, im
Mars stehend, immer wieder andere Pole angeben.«

Die Bewegung der Erde um die Sonne hat Nicolaus von Cusa
indessen noch nicht gelehrt. Auch gründen sich seine Behauptungen
oft mehr auf allgemeine Überlegungen, denn auf Beobachtungen
und mathematische Schlüsse. Blieb somit sein System848
auch weit
von der Wahrheit entfernt, so wurde doch zum erstenmal an der
durch tausendjähriges Bestehen geheiligten Autorität des
Ptolemäos gerüttelt und der großen Umwälzung, die 100 Jahre
später durch Koppernikus auf dem Gebiete der Astronomie eintrat,
vorgearbeitet849
.
Auch um die Kartographie hat Nicolaus von Cusa sich Verdienste
erworben. Sogar der Versuch, eine Weltkarte zu entwerfen, rührt
von ihm her. Er bediente sich dabei der Kegelprojektion. Seine Karte,
die während der Renaissancezeit sehr geschätzt wurde, ist noch in
mehreren Exemplaren erhalten850
.
Auch mit mechanischen Dingen hat sich Nicolaus von Cusa
beschäftigt. So erdachte er zur Bestimmung der Tiefe eines
Gewässers ein Bathometer. Eine leichte Kugel sollte mit einem
Gewichte beschwert und dadurch zum Untersinken gebracht werden.
Beim Berühren des Bodens sollte sich das Gewicht loslösen und die
Kugel emporsteigen. Aus dem für beide Bewegungen erforderlichen
Zeitaufwand konnte man dann die Tiefe des Gewässers berechnen.
Nicolaus von Cusa ist einer der ersten gewesen, der verlangte,
man solle bei allen Untersuchungen messend verfahren. Er knüpft
diese Bemerkung an seine Betrachtungen über die Wage851
und
erläutert sie durch Beispiele. So heißt es, man könne leicht
feststellen, ob die Pflanzen ihre Nahrung aus der Luft oder aus dem
Boden bekämen. Man brauche nur die Samen und die erforderliche
Menge Erde abzuwägen und die Wägung nach dem Heranwachsen
der Pflanze zu wiederholen. Solche Anregungen blieben jedoch
zunächst noch vereinzelt. Sie wurden oft von denen, die sie
aussprachen, nicht einmal verfolgt. So sollten noch zwei
Jahrhunderte verfließen, bis Stephan Hales als der Erste die
Methode des Wägens und des Messens in ausgedehnten
Versuchsreihen auf pflanzenphysiologische Vorgänge anwandte.

Lionardo da Vinci.
Ein ähnliches Verhältnis wie zwischen dem Cusaner und
Koppernikus begegnet uns auf dem Boden Italiens zwischen
Lionardo da Vinci und Galilei. Lionardo da Vinci wurde im
Jahre 1452 in der Nähe von Florenz geboren. (Er starb 1519.) Da er
frühzeitig künstlerische Begabung zeigte, führte ihn sein Vater einem
Meister zu, bei dem er malen und modellieren, sowie Metall gießen
und Gold schmieden lernte. Ein späterer Kunsthistoriker852
erzählt,
Lionardo sei die Darstellung einer kleinen Nebenfigur auf dem
Gemälde dieses Meisters in solchem Grade gelungen, daß letzterer
sich verschworen habe, keinen Pinsel mehr anzurühren, weil ihn ein
Knabe übertroffen. Im beginnenden Mannesalter entwickelte
Lionardo eine Vielseitigkeit sondergleichen. Er vereinigte mit
körperlichen Vorzügen ungewöhnliche Verstandesschärfe und
Genialität des künstlerischen Wirkens. Als Architekt, Bildhauer und
Maler hat er Werke von unübertroffener Schönheit geschaffen853
.
Der Herzog Ludwig Sforza zog Lionardo nach Mailand. Den Anlaß
dazu bot ein Sieg, den letzterer als Violinspieler in einem
musikalischen Wettstreit errungen hatte. Und wie lohnte der Künstler
die fürstliche Gunst! Er beteiligte sich mit Eifer an dem Bau des
Mailänder Domes und gründete, indem er schon damals seine
Vorliebe für die mathematisch-naturwissenschaftliche Richtung
bekundete, eine Art Akademie. Auch die Schöpfung des
Abendmahles, jenes Kolossalgemäldes, durch das sich Lionardo mit
Raphael und Michel Angelo auf eine Stufe stellte, fällt in die Zeit
seines Aufenthalts in Mailand.
Später sehen wir Lionardo da Vinci an verschiedenen Orten seines
Vaterlandes als Ingenieur und Architekt mit Arbeiten großen
Umfangs, wie Kanalbauten854
, der Anlage von Befestigungswerken,
sowie der Anfertigung von Maschinen aller Art – selbst
Flugmaschinen fehlen nicht – beschäftigt. Aus dieser, auf das
Praktische gerichteten Tätigkeit erklärt es sich, daß er viel über
mechanische Probleme nachgedacht und Schriften darüber verfaßt

hat, die allerdings infolge ungünstiger Umstände die Entwicklung der
Wissenschaften wenig beeinflußt und erst in neuerer Zeit ihre
Würdigung gefunden haben855
. Diese Aufzeichnungen enthalten
nämlich manche bemerkenswerten Ansätze, die zu den Arbeiten
Galileis hinüberleiten.
Zwölf Codices von Lionardos Manuskripten werden in der Bibliothek
der französischen Akademie aufbewahrt. Vorher befanden sie sich in
der Ambrosianischen Bibliothek zu Mailand. Von dort wurden sie
1796 von den Franzosen nach Paris gebracht, wo sie Venturi
eingehend studierte. Er bezeichnete die dreizehn Folianten mit den
Buchstaben A bis N. Im Jahre 1815 erhielt die Ambrosiana den
Codex atlanticus (N), der sich besonders mit technischen Dingen
befaßt, zurück. Mit der Veröffentlichung dieses wertvollen Nachlasses
wurde erst 1881 begonnen: Les manuscrits de Lionarde de Vinci,
publiés en facsimilés avec transcription littérale, traduction française
etc. Im Druck erschienen war vor dem Ende des 19. Jahrhunderts
nur Lionardos Abhandlung über die Malkunst (1651).
Lionardos wissenschaftliche und technische Bedeutung wurde
anfangs kaum beachtet. Erst nachdem Libri und Venturi darauf
hingewiesen hatten, fand Lionardo auch auf diesen Gebieten die
verdiente Anerkennung, die allerdings nicht selten in ein kritikloses
Überschätzen ausartete856
.
Unter den alten Schriftstellern, auf welchen Lionardo da Vinci
fußt, ist besonders Heron zu nennen. Er findet sich im Codex
Atlanticus auch zitiert. W. Schmidt wies darauf hin, daß manche
Ausführungen Lionardos augenfällig mit solchen der Heronschen
Pneumatik übereinstimmen (Math. Bibl. [3.] III. 180–187).
Eine genauere Untersuchung über die Quellen, welche Lionardo
benutzt hat, verdankt man dem französischen Physiker P. Duhem
(Études sur Léonard de Vinci, ceux qu'il a lus et ceux qui l'ont lu.
Paris 1906.). Danach hat da Vinci weit mehr gelesen, als es den
Anschein hat. Er zitiert nämlich sehr selten. Infolgedessen kann man
seine Quellen nur schwer ermitteln.
É

Nach Duhem (Études sur Léonard de Vinci, Troisième série. Paris
1913) und nach den »Origines de la Statique« (2 Bde. Paris 1905/6)
desselben Verfassers hat die Scholastik auf dem Gebiete der
Mechanik weit mehr geleistet als man bisher anzunehmen geneigt
war. Duhem kommt zu dem Ergebnis, daß die dynamischen Lehren,
die im 14. Jahrhundert insbesondere von französischen Scholastikern
ausgingen, die Grundlagen gebildet haben, auf der Galilei und seine
unmittelbaren Vorgänger weiter arbeiten konnten. Bei der
Beurteilung der Ergebnisse Duhems darf aber nicht vergessen
werden, daß der französische Historiker dazu neigt, dasjenige
besonders hoch einzuschätzen, was für das eigene Land und Volk als
rühmlich gelten kann. Unter den Scholastikern, die zu richtigen
dynamischen Vorstellungen gelangten, ist auch Albert von
Sachsen zu nennen. Er erkannte etwa 1368, daß der freie Fall ein
Beispiel für die gleichförmig beschleunigte Bewegung sei. Man darf
dabei aber nicht vergessen, daß es den Scholastikern mehr um
spekulative Definitionen als um die Untersuchung physikalischer
Vorgänge zu tun war857
.
Auf dem Gebiete der Mechanik stützte sich Lionardo auf Heron,
Vitruv und auf die mittelalterlichen Lehrbücher des Jordanus
Nemorarius und anderer. Die Lehre vom Erdschwerpunkt und die
Gleichgewichtstheorie der Meere läßt sich auf Albert von Sachsen
zurückführen, den Lionardo auch gelegentlich zitiert. Bezüglich der
Erklärung von Ebbe und Flut stützt sich Lionardo auf den
Scholastiker Themon. Andererseits hat Lionardo aber auch einen
nachweisbaren Einfluß auf Roberval, Cardano, Palissy und andere
ausgeübt858
.
Bekannt ist Lionardos Ausspruch, daß die Mechanik das Paradies
der mathematischen Wissenschaften sei, weil man durch die
Mechanik erst zu den Früchten dieser Wissenschaften gelange.
Lionardo da Vinci handelt aber auch nach diesem Ausspruch,
dessen Bedeutung erst die nächsten Jahrhunderte in vollem Maße
gewürdigt haben. So untersucht er die Wirkung des Hebels für den
Fall, daß die Kräfte in beliebiger Richtung auf ihn wirken. Die Rolle
und das Rad an der Welle werden auf den Hebel zurückgeführt.

Seine auf das Praktische gerichtete Tätigkeit brachte es mit sich, daß
er theoretisch und durch Versuche den Einfluß untersuchte, den der
Reibungswiderstand auf die Bewegung der Maschinen ausübt. Es
sind die ersten genaueren Untersuchungen dieser Art, die uns bei
Lionardo begegnen. Ferner werden der freie Fall und der Fall auf
der schiefen Ebene in Betracht gezogen, wenn auch hier Galilei die
erschöpfende Behandlung vorbehalten blieb. In einigen Äußerungen
Lionardos lassen sich schon die Keime des Trägheits- und des
Energiegesetzes erkennen; so, wenn er sagt, jedes Ding »trachte in
seinem gegebenen Zustande zu verharren« oder der bewegte Körper
besitze »Wirkungsfähigkeit« und »wuchte in der Richtung seiner
Bewegung«.
Für die einfachen Maschinen sprach Lionardo schon das Prinzip aus,
daß die im Gleichgewicht befindlichen Kräfte sich umgekehrt wie die
virtuellen Geschwindigkeiten verhalten859
. Seine klare Auffassung des
Beharrungsvermögens bezeugen folgende Sätze860
: »Keine
vernunftlose Sache bewegt sich von selbst.« »Jeder Impuls neigt zu
ewiger Dauer.«
Ferner stellt Lionardo die Möglichkeit des Perpetuum mobile861
in
Abrede und entwickelt unter Ablehnung aller Wunder- und
Geheimkräfte, insbesondere der scholastischen qualitates occultae,
den Kraftbegriff in einem fast modernen Sinne. So heißt es bei
Lionardo da Vinci: »Kraft ist Ursache der Bewegung und die
Bewegung ist die Ursache der Kraft«. Wenn er letztere eine geistige
Wesenheit nennt, die sich mit den schweren Körpern verbinde, so
erläutert er dies mit folgenden Worten: »Geistig, sage ich, weil in ihr
unsichtbares Leben ist, weil der Körper, in dem sie geboren wird,
weder in der Form noch im Gewichte wächst. Die berührte Saite
einer Laute bewegt ein wenig eine andere gleiche Saite von gleicher
Stimme einer anderen Laute. Du wirst dies sehen durch Auflegen
eines Strohhalmes auf die zweite Saite862
.«

Abb. 56. Lionardos Hygrometer.
Beobachtungen, die Lionardo beim Wägen hygroskopischer
Substanzen machte, führten ihn zur Konstruktion eines, wenn auch
noch recht unvollkommenen Hygrometers. An den Enden eines
zweiarmigen Hebels brachte er zwei gleich schwere Kugeln an, von
denen die eine mit Wachs, die zweite dagegen mit Baumwolle
überzogen war. Nahm die Feuchtigkeit der Luft zu, so sank die
zweite Kugel. Der Ausschlag konnte auf einer ringförmigen Skala
abgelesen werden.
Ein Seitenstück zu diesem Feuchtigkeitsmesser ist der von Lionardo
abgebildete und beschriebene Windmesser863
. Er besteht aus einem
mit Gradeinteilung versehenen Quadranten, der, wie aus der
Abbildung ersichtlich ist, mit einer beweglichen Platte verbunden
wird. Diese wird durch den Wind gehoben, so daß man die jeweilige
Stärke des Windes auf der Gradeinteilung ablesen kann. Die gleiche
Einrichtung besaß das fast 200 Jahre später erfundene
Pendelanemometer Hookes, der bisher als der Erfinder dieses
Instrumentes galt864
.

Abb. 57. Lionardos Windmesser.
Auch die Theorie der Reibung und das schwierige Gebiet der
Festigkeitslehre865
beschäftigten Lionardo da Vinci, der auf fast
allen Gebieten der Naturwissenschaft Anschauungen entwickelte, die
ihn als einen seine Zeit und deren Denken überragenden Geist
erkennen lassen.
So spricht er sich über die Rolle, welche die Luft bei der
Verbrennung und der Atmung spielt, mit folgenden Worten aus: »Wo
eine Flamme entsteht, da erzeugt sich ein Luftstrom um sie. Dieser
dient dazu, die Flamme zu erhalten. Das Feuer zerstört ohne
Unterlaß die Luft, durch die es unterhalten wird. Sobald die Luft
nicht geeignet ist, die Flamme zu unterhalten, kann in ihr kein
Geschöpf leben. Die Flamme disponiert zuerst die Materie, aus der
sie entsteht, und kann sich dann davon ernähren. Indem sie
Nahrung für die Flamme wird, formt sie sich in sie um.« Daß
Lionardo mit diesen Erklärungen fast überall den wahren
Sachverhalt traf, setzt geradezu in Erstaunen. Um das Zuströmen der
Luft zu erhöhen und dadurch die Leuchtkraft zu vergrößern, erfand
Lionardo den Lampenzylinder. Auch die Idee des Fallschirmes, »mit
dem sich ein Mensch aus beliebiger Höhe herunterlassen könne«, ist
auf Lionardo zurückzuführen. Der Gedanke wurde erst dreihundert
Jahre später verwirklicht866
.

Auf die Versteinerungen und andere geologische Dinge, z. B. die
Entstehung der Schichten durch Ablagerung, sowie auf
mineralogische Fragen war Lionardo gelegentlich der
Wasserbauten, die er als Ingenieur ausführte, aufmerksam
geworden.
Die Versteinerungen, die man, entgegen den Lehren der Alten,
immer noch meist für Naturspiele hielt, wurden von ihm als
Überreste von Lebewesen gedeutet.
Um Lionardo voll zu würdigen, muß man bedenken, daß er einem
vom Mystizismus noch ganz durchdrungenen Zeitalter angehörte. So
mußte er in seinen Betrachtungen über die Versteinerungen
besonders die Ansicht zurückweisen, daß die Versteinerungen als
Naturspiele unter dem Einfluß der Sterne hervorgebracht seien. Auch
zwei andere Vorstellungen seiner Zeit, die Quadratur des Zirkels und
das Perpetuum mobile, bekämpfte Lionardo schon mit
wissenschaftlichen Gründen.
Seine Tätigkeit als Künstler hat ihn veranlaßt, sich eingehend mit
anatomischen Studien zu befassen. Zu diesem Zwecke setzte er sich
mit einem Arzte in Verbindung867
. Die Frucht der gemeinsamen
Tätigkeit des Künstlers und des Naturforschers sind etwa 800 Bilder,
die wir als die ersten, naturgetreuen anatomischen Zeichnungen
ansprechen müssen868
. Sie betreffen vor allem das Knochen- und das
Muskelsystem. Doch sind auch Abbildungen der inneren Organe
(Herz, Leber usw.) vorhanden.
Lionardo war wohl der erste, der sich eingehender mit
Untersuchungen über die Mechanik des Körpers beschäftigte. Er
studierte die Beugung und Streckung der Glieder, sowie das Gehen
ganz im Sinne der heutigen Physiologie. Ferner setzte er
auseinander, wie die Beschäftigung auf die Haltung wirkt, und
welche Muskeln beim Werfen, Heben, Tragen usw. in Betracht
kommen. Mit Vorliebe belehrte er sich und seine Schüler auf dem
Fechtboden über die verschiedenen Bewegungen des Körpers. Aus
künstlerischem Drange hat sich Lionardo auch mit der Anatomie
des Pferdes beschäftigt869
.

Eine der wichtigsten unter den wissenschaftlichen Grundlagen der
Kunst hat Lionardo erst geschaffen. Das ist die Lehre von der
Perspektive, um die sich außer ihm auch die Brüder van Eyck und
Battista Alberti verdient gemacht haben. Daß die Alten mit den
Lehren der Perspektive nicht vertraut waren, haben schon
Lessing870
und Lambert nachgewiesen. Lambert pries Lionardo
als »den ersten, der an die Verfeinerung der Malkunst und an die
Perspektive gedacht« habe. Dem Verfahren lag folgender Gedanke
zugrunde. Bringt man zwischen das Auge und den Gegenstand, den
man perspektivisch richtig zeichnen will, eine durchsichtige Tafel, so
wird jeder Lichtstrahl die Tafel in einem bestimmten Punkte
schneiden. Die Gesamtheit dieser Schnittpunkte gibt uns das
perspektivische Bild, und die Lehre von der Perspektive läuft darauf
hinaus, wie man ein solches Bild zeichnet, ohne die zur Erläuterung
dienende Tafel zu benutzen.
Vom Auge handelt Lionardo eingehender im Manuskript D871
. Seine
Ausführungen betreffen die Größe des Gesichtswinkels und den
Vorgang des Sehens. Aus Versuchen wird geschlossen, daß der
Gesichtssinn seinen Sitz in den Endigungen des Sehnerven habe
(Manuskript D. S. 3). Zu dieser Erkenntnis war übrigens auch schon
Roger Bacon gelangt. Im Manuskript C wird die Lehre vom
Schatten durch viele Zeichnungen erläutert. Hier wie überall finden
sich nur Ansätze. Ihre Bedeutung liegt darin, daß stets experimentell
und geometrisch verfahren, und daß jedes Problem frei von
vorgefaßten Meinungen in Angriff genommen wird.
Bemerkenswert sind auch Lionardos gelegentliche Äußerungen
über astronomische Gegenstände. Von der Erde heißt es, sie müsse
den Bewohnern des Mondes und anderer Gestirne als
Himmelskörper erscheinen, auch befinde sie sich nicht im
Mittelpunkt der Sonnenbahn, ebensowenig wie sie die Mitte des
Weltalls einnehme. »Die Erde«, heißt es an einer Stelle872
, »ist ein
Stern ähnlich wie der Mond.« Und ferner: »Mache Gläser, um den
Mond groß zu sehen«873
.

Abb. 58. Lionardos Erläuterung des Sehens874
.
Das Sehen führt Lionardo darauf zurück, daß das Auge nach Art
einer Camera obscura Bilder hervorbringe. Er erläutert dies in
folgender Weise: »Man lasse durch eine kleine Öffnung (Abb. 58, M)
das Bild eines beleuchteten Gegenstandes in ein dunkles Zimmer
treten. Dann fange man dieses Bild auf einem weißen Papier, das
man in dem dunklen Raum nahe der Öffnung anbringt, auf. Man
wird dann den Gegenstand auf dem Papier in seiner wirklichen
Gestalt und Farbe sehen, aber viel kleiner und umgekehrt. Es sei
ABCDE der von der Sonne erleuchtete Gegenstand. ST sei der
Schirm, der die Strahlen auffängt. Weil die Strahlen gerade sind,
wird der von A ausgehende nach K, der von E ausgehende nach F
gelangen. Dasselbe findet bei der Pupille statt«. Dazu bemerkt er
noch beim Studium der Natur des Auges875
: »Hier sind die Figuren,
die Farben, alle Wirkungen des Weltalls in einem Punkt gesammelt,
und dieser Punkt ist ein solches Wunder! O staunenswerte
Notwendigkeit! Du zwingst mit deinem Gesetz alle Wirkungen, auf
kürzestem Wege an ihren Ursachen teilzuhaben. Schreibe in deiner
Anatomie, wie in dem winzigen Raume des Auges das Bild der
sichtbaren Dinge wiedergeboren wird und sich in seiner Ausdehnung
wiederherstellt«.
Ähnlich tief empfunden zeigt sich die Darstellung Lionardos an
vielen Stellen seiner Aufzeichnungen. Man wird an die später von
Fechner entwickelten Anschauungen erinnert, wenn man bei
Lionardo da Vinci liest, die Erde sei gleichsam ein organisches

Wesen, das Meer ihr Herz und das Wasser ihr Blut. Und wenn er
schließlich das Wasser als den »Kärrner der Natur« bezeichnet, so
dürfte der moderne Geologe kaum einen treffenderen Ausdruck für
die Rolle des flüssigen Elementes finden.
Die Sonne hielt Lionardo für einen sehr heißen Weltkörper. Auch
wußte er das sogenannte aschfarbene Licht des Mondes, das wir
neben der leuchtenden Sichel wahrnehmen, aus dem Wiederschein
des von der Sonne auf die Erde gelangenden Lichtes zu erklären876
.
Leider haben sich die Aufzeichnungen Lionardo da Vincis nirgends
zu einer abgeschlossenen, in sich abgerundeten Leistung verdichtet.
Es sind meist geistreiche, treffende Einzeleinfälle, die erst die neuere
Zeit voll Staunen über die Eigenart des Menschen, dem sie
entstammen, der Vergessenheit entrissen hat. Die gelehrte Zunft
würde ihn wohl schwerlich verstanden und gewürdigt haben. Für sie
galt in erster Linie die Autorität, die Lionardo mit den Worten
geißelt: »Wer sich auf die Autorität beruft, verwendet nicht seinen
Geist, sondern sein Gedächtnis«. »Das Experiment irrt nie«, ruft er
den Zeitgenossen zu, »sondern es irren nur eure Urteile«. Auf den
Weg, den seiner Meinung nach die Forschung zu gehen hat, weist
Lionardo mit folgenden Worten hin: »Der Interpret der
Wunderwerke der Natur ist die Erfahrung. Sie täuscht niemals; es ist
nur unsere Auffassung, die zuweilen sich selbst täuscht. Wir müssen
die Erfahrung in der Verschiedenheit der Fälle und der Umstände
solange zu Rate ziehen, bis wir daraus eine allgemeine Regel ziehen
können. Wenngleich die Natur mit der Ursache beginnt und mit dem
Experiment endet, so müssen wir doch den entgegengesetzten Weg
verfolgen, d. h. wir beginnen mit dem Experiment und müssen mit
diesem die Ursache untersuchen«877
.
Diese Worte bekunden, daß Lionardo schon ein Jahrhundert vor
Francis Bacon die Induktion für die allein sichere Methode der
Naturwissenschaft hielt. Auf Grund dieser Erkenntnis vermochte er
es, einen bewunderungswürdig tiefen Einblick in die Natur zu tun.
Die Vorstellungen, zu denen er gelangte, blieben leider in seinen
Manuskripten vergraben, sonst würde sein Einfluß auf die

Entwicklung der neueren Naturwissenschaft ein ganz anderer
gewesen sein, worauf schon A. v. Humboldt hinwies.
Haben Männer wie Lionardo da Vinci878
und Nicolaus von Cusa
auch keine derartigen Grundlagen für die weitere Entwicklung
geschaffen, wie Koppernikus und Galilei, welche das zur
Ausführung brachten, wozu jenen das volle Vermögen fehlte, so
erkennen wir doch aus der Betrachtung, die wir ihnen widmeten,
daß das Wirken der großen Begründer der Wissenschaft kein
unvermitteltes ist und keineswegs mit dem bisher Erstrebten und
Erreichten außer Beziehung steht. Jene Großen haben häufig das,
was ihre Zeitgenossen zwar ahnten, aber nur unvollkommen zum
Ausdruck zu bringen vermochten, in voller Klarheit erfaßt und so
begründet, daß es zum unveräußerlichen Besitz der Menschheit
wurde. Auf dieser Errungenschaft bauten dann bescheidenere Kräfte
weiter, bis ihr unverdrossenes Mühen, das für den Fortgang der
Entwicklung aber unumgänglich nötig ist und nicht gering geachtet
werden darf, wieder einem der Großen auf dem Gebiete der
Wissenschaft den Weg geebnet. So hatte auch die Astronomie,
bevor Koppernikus sein Wirken begann, in Deutschland eine
besondere Pflege durch Peurbach und Regiomontan gefunden.
Diese Männer, die ihrerseits wieder an die Alten anknüpften, haben
Koppernikus besonders dadurch vorgearbeitet, daß sie die
Beobachtungskunst förderten.
Das Wiedererwachen der astronomischen
Wissenschaft.
Die Astronomie war zwar durch Cusa und Toscanelli zu neuem
Leben erweckt worden. An Einsicht und an Kenntnissen standen
diese Männer jedoch tief unter Hipparch und Ptolemäos. Die
astronomische Wissenschaft mußte zunächst wieder auf diejenige
Höhe gebracht werden, die sie im Altertum zur Zeit der Alexandriner
besaß. Daß dies geschah, war vor allem das Verdienst Peurbachs,

des Begründers der beobachtenden und rechnenden Astronomie im
Abendlande879
. Georg Peurbach wurde im Jahre 1423 in
Oberösterreich geboren. Als Zwanzigjähriger war er in Rom mit
Nicolaus von Cusa in Berührung gekommen. Um 1450 kehrte er
nach Wien, wo er studiert hatte, zurück und erhielt dort den
Lehrstuhl für Astronomie und Mathematik.
Peurbach übersetzte den Almagest. Er erkannte, daß eine
Verbesserung der vorhandenen Planetentafeln die erste Bedingung
für jeden weiteren Fortschritt der Astronomie sei. Die Abweichungen,
die sich zwischen den alfonsinischen Tafeln880
und Peurbachs
Beobachtungen ergaben, erreichten für den Mars z. B. Werte von
mehreren Graden. Auch die trigonometrischen Tafeln des Almagest
erfuhren durch Peurbach eine wesentliche Verbesserung, indem er
statt der Sehne den Sinus einführte und eine Berechnung für alle
Werte von 10 zu 10 Sekunden unter Zugrundelegung eines Radius
von 60000 Einheiten lieferte.
Abb. 59. Peurbachs Quadratum geometricum881
.
Für seine astronomischen Messungen benutzte Peurbach das
»Quadratum geometricum« (s. Abb. 59). Dies ist ein quadratischer
Rahmen, an dem ein bewegliches Lineal mit Dioptervorrichtungen
angebracht ist. Die Seiten des Quadrats waren in 120 Abschnitte

eingeteilt. Auf diese Weise ließ sich die Tangente des beobachteten
Winkels mit ziemlicher Genauigkeit ablesen.
Mit dem Almagest, dem Hauptwerk der griechischen Astronomie,
war das Abendland zuerst durch die im 10. und 11. Jahrhundert in
Spanien entstandenen arabischen Hochschulen bekannt geworden.
Der Almagest, die Schriften des Euklid und des Aristoteles wurden
von hier aus den Hochschulen des christlichen Abendlandes in
lateinischer Übersetzung zugänglich. Durch diese Übertragung und
die Vermengung mit Zutaten aller Art hatte der ursprüngliche Text
natürlich manche Änderung erlitten und dadurch viel von seinem
Werte eingebüßt. Auch die Astronomie der Griechen hatte durch die
Araber keine wesentliche Förderung, dagegen eine Vermengung mit
astrologischen Zutaten erfahren und so an wissenschaftlichem
Gehalt Einbuße erlitten. Es war daher ein wichtiges Ereignis, daß im
15. Jahrhundert das astronomische Werk des Ptolemäos von
Griechenland nach Italien gelangte. Peurbach war zwar auf das
griechische Manuskript aufmerksam geworden882
. Er benutzte aber
dennoch den aus dem Arabischen ins Lateinische übersetzten
minderwertigen Text, da er die griechische Sprache nicht verstand.
Erst sein begabter Schüler, sein Nachfolger auf dem Wiener
Lehrstuhl, Johann Müller aus Königsberg883
, genannt
Regiomontanus (1436–1476) fußte auf dem griechischen Text des
Almagest. Er gab im Jahre 1475 neue Tafeln heraus, die nicht nur für
die Astronomie, sondern auch für die Entdeckungsreisen jener Zeit
ein wichtiges Hilfsmittel wurden.
Regiomontan war ferner in Deutschland einer der ersten, der das
Studium der Algebra förderte. Auch soll er die alte Hypothese von
der Erdbewegung, die ihm schon wenigstens 60 Jahre vor
Koppernikus zu gleicher Zeit mit Cusa »in den Sinn gekommen sei,
zum besseren Verständnis der Astronomie wieder hervorgeholt
haben«884
. In mechanischen Dingen, erzählt sein Biograph885
weiter,
war er einer der ersten, der »eine künstliche Einrichtung mit Rädern,
durch welche die eigentliche Bewegung der Sterne wiedergegeben
wurde, zu vieler Verwunderung anfertigte«. Ferner stellte
Regiomontan einen parabolischen Brennspiegel von fünf Fuß

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