Rm (parte ii)

09 10COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3ro. Año
Secundaria
La teoría de las series infinitas es una rama
importante del análisis matemático elemental.
Para entenderla por completo es preciso que el
estudiante tenga algún conocimiento de ciertos
temas e ideas fundamentales, tales como:
Relaciones, funciones, cotas, extremos, límites,
continuidad, derivadas e integrales de funciones,
etc.; la mayoría de los cuáles se estudia a nivel
universitario en nuestro país.
Debido a las limitaciones indicadas y para el
objeto de este texto, no podemos realizar un
estudio completo de las sucesiones y series, pero
sin embargo se dará los conceptos básicos de este
tema, teniendo en cuenta los diversos tipos de
ejercicios planteados en los exámenes de
admisión de la Universidad Nacional de Trujillo.
SUCESIÓN: Es el conjunto de términos, donde
cada término tiene un orden designado, es decir,
cada uno de ellos tiene un número ordinal, de tal
manera que uno de los términos designado como
el primero, otro como segundo, otro como
tercero, y así sucesivamente.
Se define también como una función donde el
Dominio de los Z+
y el Rango son los términos de
las sucesión.
1.
2.
3.
.
.
.
n.
. 1
. 2
. 3
.
.
.
. n
T
T
T
T
Z Sn
F
Dominio Rango
A continuación estudiaremos los tipos especiales
de sucesiones que se proponen en exámenes de
admisión a la UNT.
SUCESIÓN ARITMÉTICA: Para calcular la ley de
formación, fórmula de recurrencia; término
general o término “n-ésimo” de una sucesión
aritmética aplicaremos el sgte. Método.
“Método de las diferencias finitas”
Sea la sucesión:
n4321
T......;;T;T;T;T
Hallando las razones entre cada una de estos
términos, luego las razones de las razones, y así
sucesivamente hasta obtener razones iguales o
llegar a tener una sola razón.
T ; T ; T ; T ; ........... ; T
a a a
b b
c
1
1
1
1
2
2
2
3
3 4 n
razones diferentes
razones diferentes
Para hallar el término “n-ésimo”aplique las
siguientes fórmulas:
( ) ( )( )
( )( )( ) .......;
!3
3n2n1n
c
!2
2n1n
b
!1
1n
aTT
1
111n
−−−
+
−−
+
−
+=
SUCESIONES GEOMÉTRICAS: Para calcular el
término que continúa se halla multiplicando la
razón por el término anterior.
Ejemplos:
1) 2; 6; 18; 54; ...........Tn = 2. 3n-1
2)
1n
n
2
1
T.......;
8
1
;
4
1
;
2
1
;1
−






=
3)
1n
n
3
1
36T......;
3
4
;4;12;36
−






=
SUCESIÓN ARMÓNICA: Se llama sucesión
armónica, en la que a partir del segundo término,
es media armónica del término que le antecede y
del término que le sigue.
En general si: n321
a.....;;a;a;a
Es una sucesión armónica, entonces:
......;
aa
a.a2
a;
aa
a.a2
a;
aa
a.a2
a
53
53
3
42
42
2
31
31
1
+
=
+
=
+
=
*Importante:
1) Para hallar el número de términos de una
sucesión aritmética se aplica:
Razón
1alanterior.term.termÚltimo
.TérmdeN
°−
=°
2) Para calcular el término “n-ésimo” de una
sucesión geométrica (razón constante) se
aplica:
1n
1n
qtt
−
=
SERIE ARITMÉTICA: Para calcular la serie de
una sucesión aritmética, se aplica:
........CcCbCaCTS
n
41
n
31
n
21
n
11n
++++=
SERIE GEOMÉTRICA: Para calcular la serie de
una sucesión geométrica de razón constante, se
aplica:








−
−
=
1q
1q
tS
n
1n
Analicemos algunos ejemplos:
01.Hallar el término que sigue en la sucesión:
-2; -1; 2; 7; 14
Resolución:
-2; -1; 2; 7; 14
1 3 5 7
2 2 2
Para calcular el término que sigue empleamos la
fórmula:
( ) ( )( )
!2
2n1na
!1
1na
TT 21
1n
−−
+
−
+=
con n = 6
Reemplazando valores:
( ) ( )( )
2
26162
1
161
2T6
−−
+
−
+−=
23T6
=
02.Cuál es la fórmula general de la sucesión: 4,
7; 12; 19; ...............
Resolución:
4; 7; 12; 19; .....
3 5 7
2 2
S3RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación....”
SUCESIONES Y
SER

Secundaria
Ojo: Por tener razón de razón, se deduce que es
una sucesión cuadrática y que la fórmula general
es de segundo grado.
Empleando la fórmula:
( ) ( )( )
!2
2n1nb
!1
1na
TT 11
1n
−−
+
−
+=
Reemplazando valores:
( ) ( )( )
2
2n1n2
1
1n3
4Tn
−−
+
−
+=
Redacciones términos semejantes:
2n3n3n34T
2
n
+−+−+=
3nT
2
n
+=
03.¿Cuál es el término que ocupa el lugar 20 en
la sucesión:
-1; 1; 3; 17; .............?
Resolución:
Primero hallamos la fórmula general:
-1; 1; 3; 17; ..........
2 2 14
0 12
12
Entonces:
( ) ( )( )
( )( )( )
!3
3n2n1n12
!2
2n1n0
!1
1n2
1Tn
−−−
+
−−
+
−
+−=
( ) ( )( )( )3n2n1n21n21Tn
−−−+−+−=
Segundo, para hallar el término de lugar 20. se
reemplaza n=20
( ) ( )( )( )320220120212021T20
−−−+−+−=
66511T20
=
04.¿Cuántos términos tiene la sucesión?
1; 4; 7; 16; ..........; 2227
Resolución: Para determinar el número de
términos de la sucesión, primero debemos
encontrar su fórmula general y luego hallar “n”,
para Tn = 2227.
Entonces:
1; 4; 7; 16; .....
3 3 9
0 6
6
La fórmula general es:
( ) ( )( )
( )( )( )
!3
3n2n1n6
!2
2n1n0
!1
1n3
1Tn
−−−
+
−−
+
−
+=
6n11n6n3n31T
23
n
−+−+−+=
Reduciendo:
n14n6nT
23
n
+−= ; como
2227Tn
=
( )14n6nn2227
2
+−=
( )14n6nn14915
2
+−=×
15n =∴
La sucesión tiene 15 términos.
05.Calcular “S” en:
( )sumandos20....1910411S +++++=
Resolución:
S = 1 + 1 + 4 + 10 + 19 + ........
0 3 6 9
3 3 3
Entonces:
n
31
n
21
n
11
CbCaCTS ++= ; n = 20
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )321
181920
.3
21
1920
.0
1
20
.1S ++=
S = 3440
06.Calcular “R” en:
282320......
11631052941R
××+
+××+××+××=
Resolución:
La fórmula general es: n(n+3)(n+8)
Aplicamos sumatoria:
( )( )[ ] (∑∑
==
++=++=
20
1n
2320
1n
n24n11n8n3nnR
Aplicamos propiedad de sumatorias:
∑∑ ∑
== =
++=
20
1n
20
1n
20
1n
23
n24n11nR
Aplicamos:
( ) 2
3333
2
1nn
n........321)1 




 +
=++++
( )(
6
1n21nn
n.........321)2
2222 −+
=++++
( )
2
1nn
n.......321)3
+
=++++
Reemplazamos:
( )
( )
( )20............321
20....32111
20.........321R
2222
3333
++++
+++++
+++++=

Secundaria
( ) ( )( )
88075R
2
21.20
6
412120
11
2
2120
R
2
=






+





+





=
PRÁCTICA DE CLASE
01.Hallar la suma de los 30 primeros términos de
la sucesión, cuya fórmula de resurrección es:
3n4Tn
−=
02.Hallar la serie:
902..............2920112S +++++=
03.Hallar la suma de los 100 primeros términos
de la sucesión
..............13951S ++++=
04.Hallar el término 100 de la sucesión:
..........;23;15;9;5;3
05.Hallar el término que sigue en:
.................;29;4;3;2;1
06.La Ley de formación de la sucesión:
:es......;;58;39;24;13;6;3
07.Para que se cumpla:
150.......202224 =+++
¿Cuántos términos debe tener la serie?
08.Se afirma que la ley de formación que
corresponde a la sucesión:
:es.......;;90;64;42;24;10;0
09.El término que ocupa el lugar 31 en la
sucesión:
:es,t........;;78;59;43;30;20 31
10.Referente a la sucesión cuyo término general
es:
( )1n3
n2
+
. De las afirmaciones
siguientes:
a) Los 3 primeros términos en las posiciones
impares suman:
40
29
1 .
b) Los 2 primeros términos en las posiciones
pares suman: .
91
108
c) El término general de la sucesión que
incluye sólo a los términos en las
proposiciones pares e:
( )
.
1n6
n4
+
Son verdaderas:
EJERCICIOS PROPUESTOS 02
01.¿Cuál es el término que armoniza con la serie
incompleta siguiente
46; 30; 10; 6 ?
a) 20 b) 22 c) 12
d) 16 e) 18
02.El término general de la sucesión:
2; 5; 8; 11; ..... es:
a) 2n + 1 b) 3n - 2 c) 3n - 1
d) n2
+ 1 e) N.a.
03.La letra que corresponde al número que sigue
en la sucesión siguiente es:
................;2;
8
1
;2;
2
1 42 −−
−−
a)
5
2
1






b) 6
2
−
− c) 5
2
−
−
d)
128
1−
e)
6
2
1





 −
04.Sean los términos: 2; 8; 18; 32; ......
Hallar el término general de esta serie:
a) 2
n b) 2
n2 c) 2
n3
d) 2
n4 e) N.a.
05.El término 20 de la sucesión:
1; 3; 11; 25; 45; .........; es:
a) 1065 b) 1660 c) 1060
d) 1000 e) 1050
06.Hallar el trigésimo quinto término de la
sucesión:
:es..;..........;
6
35
;
3
10
;
2
3
;
3
1
;
6
1−
a)
6
70
b)
6
82
c) 36
d) 40 e) 42.
07.De las siguientes sucesiones:
1. .........;
2
45
;
6
45
;
2
5
;
6
5
2.
..................;96;48;12;2
3. .........;81;27;9;3
Son progresiones geométricas:
a) Sólo 1 b) Sólo 2 c) Sólo 3
d) 1 y 2 e) 1 y 3.
08.En la sucesión: 2; 10; 30; 68; ....; el número
que sigue es:
a)98 b) 130 c) 134
d) 136 e) 148
09.En la sucesión:
( ) ( ) ( ) ( k9;4k7;3k5;2k3 +−+−+−+
El término de lugar 80 es:
a) 178 + k - 81 b) 163 + k - 81
c) 163 + k - 79 d) 161 + k - 79
e) 161 + k - 81
10.Hallar el término general de la sucesión:
4; 9; 18; 31; 48; .....................
a) nn2
2
− b) 3nn2
2
−+
c) 3nn2
2
+− d) 3n2n
2
−+
e) N.a.
11.Si “n” es un entero positivo, el valor de “A”
es:
A = 3+ 33+ 333+ ....... +33.........3; es
“n” cifras
a)
27
10n910
n
−−
b)
27
10n910
1n
−−
+
c)
27
10n910
1n
+−
−
d)
27
10n910
n
+−
e) N.a.

Secundaria
12.Hallar la suma:
122.........1710521S ++++++=
a) 580 b) 518 c) 528
d) 530 e) 524
13.Si:
( )1n...........321Sn
+++++=
Hallar:
30321
S.........SSSS ++++=
a) 45 b) 4544 c) 5445
d) 5455 e) 5545
14.La serie:
:es;
5150
1
..........
43
1
32
1
21
1
×
++
×
+
×
+
×
a)
50
51
b)
50
49
c)
49
50
d)
50
1
e)
51
50
15.Hallar la serie:
44x42x40
1
........
10x8x6
1
8x6x4
1
6x4x2
1
+++
a)
115
4
b)
3696
115
c)
924
230
d)
7392
115
e)
7690
230

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