PROGRAMACION LINEAL
- 1. www.senati.edu.pe ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES II PROGRAMACIÓN LINEAL
- 2. www.senati.edu.pe • Al terminar la sesión el alumno, identificará los problemas que impiden incrementar la productividad respecto a los recursos (programación lineal) OBJETIVO
- 3. Es una técnica matemática que consiste en una serie de métodos y que problemas permiten de procedimientos resolver optimización. Se maximiza o minimiza funciones que se encuentran sujetas a restricciones. Se aplica en la industria, economía, estrategia militar, entre otras cosas.
- 4. Origen de la programación lineal.- Conocer qué es programación lineal en investigación de operaciones implica acotar que esta no es procedente de los programas de ordenador, sino que su origen se sitúa en un término de corte militar, pues programar significa realizar propuestas o planes de tiempo para el entrenamiento, logística o despliegue de unidades de combate. Muchos consideran que este término fue utilizado por G. Monge en el año 1776, pero la verdad es que se considera a L.V Kantoróvich como uno de sus creadores, ya que lo presentó en su libro de métodos matemáticos para la organización y producción.
- 5. Definición Técnica.- La programación lineal es un método mediante el cual se optimiza, ya sea maximizando o minimizando, una función objetivo, donde las variables están elevadas a la potencia 1. Esto, tomando en cuenta distintas restricciones dadas. La programación lineal es, entonces, un proceso por el cual se maximizará una función lineal. Es decir, una ecuación de primer grado, donde las variables están elevadas a la potencia 1.
- 6. Características de la programación lineal.- La programación lineal tiene un alto impacto a escala general, es aplicable a una gran variedad de problemas organizacionales, se fundamenta en las siguientes características: Se debe establecer algún criterio de decisión. Las relaciones de las variables deben ser de tipo lineal. Objetivos de la programación lineal.- Objetivos de la programación lineal Encontrar soluciones a través de métodos matemáticos con el uso de sistemas lineales a problemas de carácter económico- técnico representados por la limitación de recursos. Resolver casos de combinación óptima de mezclas de producción, disposición interna de procesos, maximización de beneficios, minimización de costos, transporte, entre otros
- 7. Planteamiento de problemas con programación lineal.- La programación lineal es la base fundamental de la investigación operativa, la metodología para plantear un problema como se muestra en la figura , inicia con la definición de variables, definición de la función de objetivos, el establecimiento de las restricciones.
- 8. Planteamiento de problemas con programación lineal.-
- 9. Elementos de la programación lineal.- Los principales elementos de la programación lineal son los siguientes: Función objetivo: Es aquella función que se optimiza, ya sea maximizando o minimizando su resultado. Restricciones: Son aquellas condiciones que deben cumplirse al optimizar la función objetivo. Puede tratarse de ecuaciones o inecuaciones algebraicas. Ejercicio de programación lineal.- Veamos, para terminar, un ejercicio de programación lineal. Supongamos que tenemos la siguiente función, que expresa el beneficio que obtiene una persona al adquirir determinados productos, siendo la utilidad U y los productos, x e y. U=4x+7y
- 10. Asimismo, el individuo enfrenta una restricción presupuestaria, siendo su presupuesto de 70 unidades monetarias (um), y los precios de los productos x e y son de 6 y 14 um, respectivamente. U=4x+7y 70≥6x+14y En este caso, si graficamos las funciones, nos daremos cuenta de que la mayor utilidad se da cuando la persona compra solo del bien x (11 unidades), con lo que tiene una utilidad de 44(4×11+0x7). En cambio, si compra 9 unidades de x y 1 de y, por ejemplo, la utilidad sería 42 (9×4+1×7). En tanto, si gasta todo en el bien y, solo podría comprar 5, lo que le daría una utilidad de 35(4×0+5×7).
- 11. Vale precisar que, en el gráfico superior, la línea gris es una de las curvas de indiferencia. En este punto, debemos recordar, además, que los bienes x e y pueden tomar solo valores enteros. El caso presentado puede ser el de dos bienes que satisfacen la misma necesidad, por ejemplo, el hambre. Sin embargo, uno de ellos, el bien x, aunque ofrece un poco menos de utilidad, es menos costoso, pues su precio es de 6 um, mientras que el bien y cuesta más del doble, 14 um. Para maximizar la función objetivo, se puede recurrir a herramientas online que permiten ingresar la ecuación lineal y las respectivas restricciones, dando automáticamente el resultado.
- 12. Función Objetivo La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables: f(x,y) = ax + by
- 13. La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 ≤ 𝑐1 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 ≤ 𝑐2 … … … 𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 ≤ 𝑐𝑛 Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano
- 14. Tipos de soluciones en la programación lineal.- Los programas lineales que tienen dos variables se clasifican de acuerdo al tipo de solución que presenten y, pueden ser los siguientes: Factibles: Cuando existe un conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones, estas pueden dividirse en solución única o con solución múltiple. Además, se puede encontrar una solución no acotada. En el área de optimización matemática, una región factible o un conjunto factible es un espacio de búsqueda o un espacio de solución, es decir, es el conjunto de todos los puntos posibles de un problema de optimización que satisface las restricciones del problema.
- 15. El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina una acotado o no que recibe el nombre de región factible
- 16. 1. Elegir las incógnitas 2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema 3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones 4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones 5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles 6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).
- 17. www.senati.edu.pe ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES II MÉTODO GRÁFICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
- 18. Introducción programación lineal Gráfica.-
- 19. Objetivos de la programación lineal Gráfica.- Facilitar la comprensión de los procedimientos de solución gráfica para los problemas de programación lineal. Metodología de resolución programación lineal gráfica.-
- 20. Métodos de programación lineal Gráfica.- A. PHP Simplex Su denominación se debe, al uso del plano cartesiano para representar las funciones lineales que modelan la relación entre una variable independiente “x” con otra dependiente “y”. Las funciones con las cuales trabaja la programación lineal, están relacionadas con procesos de producción a nivel de tiempos de fabricación, cantidad de mano de obra, materiales, equipos utilizados y costos de operación entre muchos otros aspectos. Todos los problemas de programación lineal incluidos los de tipo grafico, demandan la maximización o minimización de los diferentes recursos invertidos, a fin de obtener el mayor beneficio, como función de los objetivos que persiga tanto el área donde se presenta la problemática o necesidad como los directivos de la organización empresarial.
- 21. 1. Función Objetivo Z máx o mín = Ax1 + Bx2 + Cx3 + … + Zxn Esta función determina el objetivo que quiere alcanzar la organización con la solución del problema o necesidad. Por ejemplo: Maximizar los ingresos o Minimizar los costos. Las variables (X1, X2,…Xn) representan las “cantidades” optimas que resuelven el problema y siempre deben de ser positivas. Los coeficientes (A, B,…Z) representan la UTILIDAD, o VENTA, o COSTO por UNIDAD, de cada producto. Estructura General del Modelo SIMPLEX
- 22. Estructura General del Modelo SIMPLEX 2. Sistema de Inecuaciones o Restricciones Tipos de Procesos Matriz de Factores y Variables Tecnológicas asociadas al proceso productivo Tipo de Signo Recursos Limitantes Proceso 1 a11x1 + a12x2 + a13x3 + … a1nxn < > = b1 Proceso 2 a21x1 + a22x2 + a23x3 + … a2nxn < > = b2 … … … … … … … Proceso m am1x1 + am2x2 + am3x3 + … amnxn < > = bm El sistema de inecuaciones lineales, representa los diferentes procesos y/o actividades que delimitan el problema. Las variables (X1, X2,…Xn) representan las “cantidades” optimas que resuelven el problema. (a11, a12,…anm) son los factores tecnológicos asociados a cada proceso. El signo ( >, <, = ) condiciona cada proceso y/o actividad. (b1, b2,…bm) son la condición, restricción o limitante de recursos por proceso.
- 23. Ejemplo de producción La compañía de muebles el cid, produce una línea de comedores de cuatro puestos denominada “Virginia”, para proyectos de vivienda de interés social. Con base en la información suministrada por los departamentos de producción y ventas, se sabe que: Los operarios de Corte y Ensamble, y Pintura y Acabado disponen de 680 horas y 140 horas respectivamente a la semana para hacer su trabajo. Fabricar una silla demanda 4 horas en Corte y Ensamble, y media hora en pintura y acabado. Fabricar una mesa necesita de 5 y 2 horas en cada proceso respectivamente. La utilidad neta por unidad vendida es de $50 para las mesas y $30 para las sillas. Determine cuántas unidades de mesas y sillas se deben fabricar, de manera que la compañía con esta línea logre la máxima utilidad.
- 24. Ejemplo de producción ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN … 1. Identificación del problema. … Este primer análisis permite definir las variables del problema.
- 25. Proceso Productivo Tiempo de fabricación (hora/unidad) Disponibilidad de tiempo (hora/semana) Mesas Sillas Corte y Ensamble 5 4 680 Pintura y Acabado 1.4 0.5 140 Utilidad neta ($/unidad) $ 50.000 $ 30.000 Ejemplo de producción 2. Identificar las actividades y sus factores limitantes.
- 26. Proceso Productivo Tiempo de fabricación (hora/unidad) Disponibilidad de tiempo (hora/semana) Mesas Sillas Corte y Ensamble 5 4 680 Pintura y Acabado 2 0.5 140 Utilidad neta ($/unidad) $ 50.000 $ 30.000 Ejemplo de producción 3. Identificar los coeficientes tecnológicos. Tenga en cuenta que algunas veces requerirá de creatividad y lógica para definir los coeficientes tecnológicos.
- 27. Proceso Productivo Tiempo de fabricación (hora/unidad) Disponibilidad de tiempo (hora/semana) Mesas Sillas Corte y Ensamble 5 4 680 Pintura y Acabado 2 0.5 140 Utilidad neta ($/unidad) $ 50 $ 30 Ejemplo de producción 4. Determine los coeficientes de la función objetivo.
- 28. Ejemplo de producción 5X + 4Y ≤ 680 5(0) + 4Y ≤ 680 4Y ≤ 680 Y ≤ 680 4 Y ≤ 170 Cantidad de sillas (y) Cantidad de mesas (x)
- 29. Ejemplo de producción 5X + 4Y ≤ 680 5X + 4(0) ≤ 680 5X ≤ 680 X ≤ 680 5 X ≤ 136 Cantidad de sillas Cantida d de
- 30. Ejemplo de producción Cantidad de sillas Cantida d de
- 31. Ejemplo de producción 2X + 0.5Y ≤ 140 Y ≤ 280 X ≤ 70 Cantidad de sillas Cantida d de
- 32. Ejemplo de producción 2X + 0.5Y ≤ 140 Y ≤ 280 X ≤ 70 Cantidad de sillas Cantida d de
- 33. Ejemplo de producción 5X + 4Y ≤ 680 2X + 0.5Y ≤ 140 Cantidad de sillas Cantida d de
- 34. 5X + 4Y ≤ 680 2X + 0.5Y ≤ 140 Z = 50.000X + 30.000Y (0 , 0) (70 , 0) Óptimo (40 , 120) (0 , 170) Z = 50.000(0) + 30.000(0) Z = 50.000(70) + 30.000(0) Z = 0 Z = 3´500.000 Z = 50.000(40) + 30.000(120) Z = 5´600.000 Z = 50.000(0) + 30.000(170) Z = 5´100.000 Cantidad de sillas Cantida d de
- 35. Métodos de programación lineal Gráfica.- A. Método Algebraico