Me02202 c

Calculo diferencial para funciones reales de variable real 47

Cap tulo 6. Calculo diferencial para funciones reales de
variable real

1.- Estudiar la derivabilidad y calcular la derivada de las siguientes funciones reales:
p
f (x) = jxj + xjxj g (x) = x 1 + x2
p p
r(t) = sen(cos2t) + cos(sen2 t) s(t) = (t ; 1)(t ; 2) t + 3 3 t ; 4
x2
z(x) = (sen2x + 1)e y(x) = j cos xj
p
f (t) = (1 + 1=t)t h(t) = t t
g(x) = jx2; 11j
x f (x) = ejx2 ;;11
x+1

(; ( 2 j
h(u) = 1 ;uu u 0 f (x) = x sen(1=x) x 6= 0
e; u>0 0 x=0

2.-Dada la funcion real de variable real :
81
<
f (x) = : 4 (x ; 1)(x + 1) si jxj 1
2

jxj ; 1 si jxj > 1
Estudiar la derivabilidad en los puntos x = 1 y x = ;1.
3.- Sea f : IR2 ! IR A = Domf y (0 1) 2 A . De nimos g (x) def f (x 1 ; x).
=
Demostrar que si existe g 0(0) , entonces existe lim f (x y ) en la direccion de la
(x y )!(0 1)
recta y = 1 ; x.
4.- Sea f : (0 +1) ! IR derivable. Se de ne la funcion:
8
< jxjf 1 x 6= 0
g(x) = : jxj
0 x=0
i) Estudiar la derivabilidad de g .
ii) Demostrar que g es derivable en x = 0 , 9 x!+1 f (x) = 0.
lim

© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000

48 Calculo. Problemas y soluciones

5.- Sea f : IR ! IR, y g : IR2 ! IR de nida por:

g (x y) = f (yy ; f (x) si x 6= y
)
;x
i) Probar que si 9 lim g (x y ) = l, entonces f es derivable en a y f 0 (a) = l.
(x y )!(a a)
ii) Considerar la funcion:
(
g(x y ) si y 6= x
h(x y) = f 0 (x) si y = x
Si f 2 C 1(IR), probar que h es continua en IR2 .
6.- Consideremos la funcion f : IR2 ! IR de nida por:
8
> xy
> ;x y x2 x 0
> x
>
>
< y x > 0 y > x2
f (x y) = > 2 2
> x +y x 0 y
>
> x;y
>
: x+y y < 0 y < ;x
Si h es la restriccion de f sobre los puntos de la recta x = ;1, es decir, h(y ) =
f (;1 y) 8y 2 IR, entonces:
Estudiar el dominio de derivabilidad de h y calcular la funcion derivada. Demostrar
que h es inyectiva en todo su dominio de de nicion.
7.- Resolver los siguientes ejercicios:
i) Hallar los puntos en los que la tangente a la curva y = 3x4 + 4x3 ; 12x2 + 20 es
paralela al eje de abscisas.
ii) >En que punto (x0 y0) 2 IR2 de la curva y 2 = 2x3 es perpendicular la tangente a la
recta 4x ; 3y + 2 = 0?
iii) Hallar los valores de x para los que la recta tangente a la curva y = x ; 1=x es
paralela a la recta 2x ; y = 5.
iv) Hallar los valores de x para los que la recta tangente a la curva y = (x + 2)2 pasa
por el origen de coordenadas.
v) Hallar la parabola y = x2 + bx + c (b c 2 IR) que es tangente a la recta y = x en el
punto (1 1).
8.- Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes a rmaciones:
i) Toda funcion derivable es continua.
ii) Toda funcion continua es derivable.
iii) Si f (x) es una funcion real continua en IR tal que f (x0 ) = x0 para x0 2 IR, entonces
f 0 (x0) = 1.
iv) Si f : IR ! IR es continua en IR y derivable en IR ; fag, entonces la recta tangente
a la curva y = f (x) en x = a es horizontal.



9.-Sea f : A ! IR, A IR, A abierto, y f derivable en A. Demostrar que si x0 es un
punto de acumulacion de ceros de f , entonces x0 es un cero de f 0 .
10.- Demostrar que cada una de las siguientes funciones, satisface la ecuacion diferencial
ordinaria correspondiente:
y = xe;x satisface xy 0 = (1 ; x)y
y = 1 x2ex
2 satisface y 00 ; 2y 0 + y = ex
y = C1e;x + C2e;2x satisface y 00 + 3y 0 + 2y = 0 (8C1 C2 2 IR)

11.-Si f es una funcion de IR en IR derivable, calcular la derivada primera y la derivada
segunda de g en cada una de las situaciones siguientes:
g(x) = f (x2) g(x) = f (sen2x) + f (cos2 x)
g(x) = f (f (x)) g (x) = f (x)ef (x)
g(x) = ln(f (x2 + 1)) g (x) = cos(f (x2)) + (f (x))2 + 1

12.- Sean g (t) = f (sen t) + ef (t)+1 y h(t) = ln(2 + f (t)) + f (ln(1 + t)), donde f (t) es
una funcion real derivable tal que f (0) = ;1 y f 0 (0) = 1. Probar que g 0(0) = h0 (0).
13.- Un barco navega paralelamente a una costa recta a una velocidad de 12 millas por
hora y a una distancia de 4 millas. >Cual es la velocidad de aproximacion a un faro de
la costa en el instante en que la distancia al faro es de 5 millas?
14.- Un recipiente tiene la forma de un cono circular con el vertice en la parte superior.
La altura es de 10m y el radio de la base es de 4m. Se introduce agua en el recipiente
a una velocidad constante de 5 m3 por minuto. >A que velocidad se eleva el nivel del
agua cuando la profundidad de esta es de 5m?
15.- La ecuacion x3 + y 3 = 1 de ne una funcion impl cita y = y (x).
i) Suponiendo que existe la derivada y 0, y sin resolver la ecuacion respecto a y , demostrar
que y 0 satisface la ecuacion: x2 + y 2 y 0 = 0.
ii) Suponiendo que existe la derivada segunda y 00, demostrar que siempre que y 6= 0 se
veri ca que y 00 = ;2xy ;5 .
16.-La ecuacion x sen(xy ) + 2x2 = 0 de ne y = y (x), funcion impl cita derivable.
Demostrar que y 0 satisface la ecuacion:
y0x2 cos(xy) + xy cos(xy) + sen(xy) + 4x = 0



17.- Las siguientes ecuaciones de nen impl citamente una funcion derivable y = y (x)
en un entorno del punto indicado. Hallar la ecuacion de la recta tangente y de la recta
normal a la curva y = y (x) en el punto correspondiente:
2 ; y = yx en (0 1)
y = x ; ln y en (1 1)
x2 + y2 = 1 en (0 b)
a2 b2
18.- Se considera una funcion f : IR ! IR derivable tal que f (1) = 0. Demostrar que
la recta tangente a la curva x2 ; (f (x))2 + sen(xf (x)) + ef (x) = 2 en el punto (1,0) es
perpendicular a la recta y = x.
19.- Demostrar que las curvas de ecuaciones 2x2 + 3y 2 = 5 y y 2 = x3 se cortan en
el punto (1,1) y que sus tangentes en este punto son perpendiculares.
(Nota: se supone que localmente, en un entorno del punto (1,1), las curvas anteriores
son la representacion gra ca de una funcion y = y (x)).
20.- La ecuacion x2y 2 + xey ; 2x + y = ;1 de ne impl citamente y = y (x) derivable
en un entorno del punto (1,0). Probar que la recta tangente a y = y (x) en el punto
(1,0) es paralela a la recta x = 2y .
21.- Demostrar que un error relativo de un 1% al determinar la longitud del radio
da lugar a un error relativo aproximado de un 2% al calcular el area del c rculo y la
super cie de la esfera.
22.- >En cuanto aumenta aproximadamente el volumen de una esfera ( V (R) = 4 R3 )
3
si su radio R = 15 cm se alarga 2 mm?
23.- A partir de la ley de Ohm: I = E=R, demostrar que una variacion en la intensidad
de la corriente debida a una variacion de la resistencia puede calcularse de manera
aproximada por I ;I R=R.
24.- Sea la funcion f : (0 +1) ! 0 1] derivable tal que 8x 2 (0 +1), jf 0 (x)j < 1.
Demostrar que si (xn )n2N es una sucesion de (0 +1) estrictamente creciente,
entonces la sucesion (f ( x1n ))n2N es convergente en 0,1].
Sea la funcion f : (a +1) ! IR a > 0 derivable tal que x!+1 f 0 (x) =
25.- lim 2 IR.
Demostrar que existe x!+1(f (x + 1) ; f (x)) y calcularlo.
lim
Aplicar este resultado para calcular:
1 1
lim1((1 + x)1+ x+1 ; x1+ x )
x!+

26.- A pesar de que la funcion f (x) = j sen xj veri ca que f (; =2) = f ( =2) = 1 y
es continua en ; =2 =2] , no existe ningun a 2 (; =2 =2) tal que f 0 (a) = 0 .
>Acaso este hecho contradice al teorema de Rolle?



27.- Sea f : 0 1] ! (0 1) continua en 0,1] y derivable en (0,1) tal que f 0(x) 6= 1 8x 2
(0 1) . Demostrar que existe un unico punto x0 2 0 1] tal que f (x0 ) = x0 .
28.- Demostrar que la ecuacion funcional x2 = 18 ln x tiene una unica solucion en el
intervalo 1 e].
29.- Demostrar que la ecuacion senh t ; jt ; 1j = 0 tiene una unica ra z real.
30.- Sea la funcion f : (0 +1) ! IR derivable tal que f (2) = 0 x!+1 f (xx) = 1
lim
y 8x 2 (0 +1) f 0 (x) > 2=x. Demostrar que la ecuacion f (x) ; ln(x2) = 0 tiene
exactamente una ra z real.
31.- Sea f : IR ! IR continua tal que x!+1 fx(n ) = x!;1 fxn ) = 0. Demostrar que si
lim x lim (x
n es impar, entonces existe a 2 IR tal que f (a) + an = 0.
32.- Sean f y g dos funciones continuas en a b] y derivables en (a b). Demostrar
que si 8x 2 (a b) f 0(x) g 0(x), y 9x0 2 (a b) tal que f (x0) = g (x0), entonces
8x x0 f (x) g(x) y 8x x0 f (x) g(x).
33.-
a) Sea P (x) un polinomio tal que P 0 (x) tiene k ra ces reales. Demostrar que
P (x) tiene a lo sumo k + 1 ra ces reales.
b) Sean p q 2 IR , n 2 N . Demostrar que el polinomio P (x) = xn + px + q tiene
como maximo dos ra ces reales si n es par y tres si n es impar.

34.- Sea f : IR ! IR se de ne: x es un punto jo de f () f (x) = x.
def

i) Demostrar que si f es derivable y f 0(x) 6= 1 8x 2 IR, f tiene a lo sumo un punto
jo.
ii) Probar que la funcion f (x) = x + 1+ex no tiene puntos jos a pesar de cumplir que
1

0 < f 0 (x) < 1.
iii) Demostrar que si 9K < 1 tal que jf 0 (x)j K 8x 2 IR, entonces f posee un punto
jo.
iv) Probar que la ecuacion x = cos x tiene una unica solucion en el intervalo 0 3 ].
35.- Sea f : (0 +1) ! IR derivable tal que x!+1 f 0 (x) = 0. Se de ne la funcion
lim
g (x) = f (x + 1) ; f (x) demostrar que x!+1 g(x) = 0.
lim

36.- Demostrar que la ecuacion funcional x2 = x sin x +cos x se satisface exactamente
para dos valores de x.
37.-Probar que la ecuacion ex;1 ; x+1 = 0 tiene una unica ra z real, y hallarla de
1

forma aproximada.



Sea f una funcion continua en el intervalo cerrado 0 2a] y tal que f (0) = f (2a) .
38.-
Demostrar que 9c 2 0 a] tal que f (c) = f (c + a).
39.- Sean f y g dos funciones continuas y derivables en un intervalo acotado I ,
veri cando que f (x)g 0(x) ; f 0(x)g (x) = 0. Demostrar que entre dos ceros consecutivos
6
de f (x) existe a lo sumo un cero de g (x).
40.-Sea f : a b] ! IR, a b 2 IR , tal que 8x y 2 a b] , jf (x) ; f (y )j M jx ; yj ,
para > 1 y M > 0 . Demostrar que f es constante en a b].
41.- Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes a rmaciones:
i) Existe a 2 (;1 1) con f 0 (a) = 0, para f (x) = x + 1=x.
ii) Existe a 2 (;1 1) con f 0 (a) = 0 , para f (x) = x4 + jxj.
iii) La ecuacion ex = 1 + x tiene una unica ra z real.
iv) La ecuacion x3 ; 3x + 1 = 0 tiene tres ra ces reales.
v) La ecuacion 3 ln x = x tiene dos ra ces reales.
vi) Si f : IR ! IR es una funcion continua y derivable, cuya gra ca corta al eje de
abcisas en exactamente tres puntos, entonces existen al menos dos puntos en los que la
recta tangente a y = f (x) es horizontal.
42.- Calcular los siguientes l mites aplicando, si es posible, la regla de l'H^pital:
o
lim+ ln x ln(x ; 1) lim+ xx
x!1 x!0
lim ln x lim x
x!+1 x x!+1 ex
lim (cot x ; ln x) lim (tan x)cos x
x!0+ x! =2
lim1 x ; sin x
x!+ x + sin x
lim sin x ; x
x!0 x2
lim+ 1 ;1=x x
ln lim0 x sin(1=x)
2

x!0 e x! sin x
1
lim xe;x
x!+1
lim+ (x) ln x
x!0
x 1
lim+ (1 + x) ln
lim (x) x
x!+1
x!0

43.- Sea f : IR ! IR f 2 C 2(Br (0)) r > 0, tal que f 0 (0) 6= 0. Demostrar que:
0( ) 1 f 00
9 x!0( f (xf ;xf (0) ; x )= 2f 0(0)
lim ) (0)

44.-Calcular el polinomio de Taylor de cuarto grado, que localmente aproxima a cada
una de las siguientes funciones en un entorno del punto x = 0:
f (x) = e;x2 g(x) = ln(x2 + 1)
1
h(t) = 1 + t2 r(t) = sen(t2)



45.- Se desea aproximar el valor de f (x) = 1;x para x = 1=4 haciendo uso del desarrollo
1

de Taylor de f alrededor del origen de coordenadas con resto de Lagrange:
f (x) = f (0) + f 0(0)x + : : : + f n(0) xn + f(n +(1)!) xn+1 0 < < 1
n) n+1) x
!
i) Hallar un n tal que el error cometido al despreciar el resto sea menor que 0.01.
ii) Hallar directamente el m nimo n tal que el error cometido al despreciar el resto sea
menor que 0.01.
iii) Calcular el valor de para este ultimo valor de n, y explicar a que se debe la
diferencia entre los valores de n hallados en los apartados (i) y (ii).
46.- Sea f : IR ! IR 2-veces derivable y tal que f (1) ; f (0) = 7 y jf 00(x)j 3 8x 2
0 1]. Demostrar que f es monotona creciente en un entorno del cero.
Indicacion: Usar el desarrollo de Taylor de f entorno al cero.

47.- Sea f : ;1 1] ! IR 3-veces derivable en (-1,1) y tal que f (;1) = 0 f (0) =
0 f (1) = 1 f 0 (0) = 0. Demostrar que f 3)(x) 3 para algun x 2 (;1 1).
Sugerencia: Usar el desarrollo de Taylor de f entorno al cero, y evaluar la funcion en 1
y -1 para demostrar que existen 2 (0 1) y 2 (;1 0) tales que: f 3) (s)+ f 3) (t) = 6.
48.- Calcular los extremos de las siguientes funciones:
y(x) = j sin xj z(x) = jx2 ; 4j
r(t) = 3t ; (t ; 1)3=2 s(t) = jtj
t
u(t) = t2 + 2 1 ; t2
v (t) = 1 + t2
( ( 2
9;x x 3 ;t + 4t ; 4 t>1
f (x) = 2 h(t) =
x ;3 x> 3 e2t t 1

49.- Hallar los extremos relativos y absolutos de las siguientes funciones sobre el
conjunto indicado:
f (x) = sen x ; cos x en 0 ]
g(x) = 1 + j9 ; x j
2
en ;5 1]
h(x) = 1=x en fx 2 IR : jxj 1g
y(x) = j6 ; 4xj en fx 2 IR : jxj 3g
8
>
< 1=x ;2 x ;1
f (x) = > jxj jxj < 1 en ;2 2]
: 1 ; (x ; 1)2 1 x 2
(
x3 + 2x + 2 x<0
h(x) = 2 en ;2 2]
x ; 3x + 2 x 0



50.- Probar que se veri can las siguientes desigualdades:
sen x x 8x 2 0 2 ]
1 ; x cos x
2

2
8x 2 0 2 ]
ln x x 8x > 0
1
x+ x 2 8x > 0
1 + x < ex < 4x + 1 8x 2 (0 1)
x 8x 0
1 + x ln(1 + x)

51.- Sea la funcion h: IR ! IR de nida por:
(p
h(z) = 1 + z 2 sen(z 3) z 0
zjz j z<0
i) Demostrar que h 2 C 1(IR), es decir, h es derivable con continuidad en IR.
ii) Estudiar la monoton a de h en (;1 0], y hallar los extremos de h en -1,0].
52.- Sea f : 0 +1) ! IR de nida por:

f (x) = (1 + x)
p
1 + xp 8x 2 0 +1) p > 0
i) Calcular los extremos de f en 0 +1) segun los valores de p.
ii) Demostrar que se cumplen las siguientes desigualdades:
2p;1 (1 + xp ) (1 + x)p 1 + xp 0<p<1
1 + xp (1 + x)p 2p;1(1 + xp ) p>1

53.-Estudiar cuales de las funciones de nidas impl citamente en el ejercicio 17 tienen
un maximo o m nimo en los puntos indicados.
54.- >Cual es la recta tangente a la curva y = 2x ln x + x3 =6 ; 3x2=2 ; 2x que en 1,5]
tiene menor pendiente? >y la que tiene mayor pendiente?
55.- Hallar los puntos de la semicircunferencia x2 + y 2 = 80 para y 0 mas cercanos y
mas alejados del punto (1,2). (Nota: Hallar los extremos de una funcion f monotona
y positiva es equivalente a hallar los extremos de f 2 ).
56.-Cada lado de un cuadrado tiene longitud L. Calcular el lado del cuadrado de area
maxima que puede circunscribirse al cuadrado dado.
57.-Dada una esfera de radio R, calcular el radio r y la altura h del cono circular recto
de mayor volumen que puede inscribirse en dicha esfera.



58.- La base de un triangulo esta en el eje OX, un segundo lado se encuentra sobre
la recta y = 3x, y el tercer lado pasa por el punto (1,1). Si se desea que el area del
triangulo sea m nima, >cual debe ser la pendiente del tercer lado?
59.- Una viga de madera tiene una seccion rectangular de altura h y anchura p. Si
la resistencia S de la viga es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de
la altura, >cuales son las dimensiones de la viga mas resistente que se puede cortar de
un tronco de 24 pulgadas de diametro?
60.- Se trata de excavar un tunel en la roca para la conduccion de agua. La forma del
tunel debe ser la de un semic rculo sobre un triangulo de seccion de K m2 . El coste
de la excavacion es proporcional a la suma de la altura total en el punto donde esta
es maxima, con el per metro de la semicircunferencia. Hallar las dimensiones del tunel
que minimizan el coste total.
61.- Un concierto tendra lugar en un recinto deportivo S semicircular de radio R:
S = f(x y) 2 IR2 : x2 + y2 R2 y 0g. Se trata de llevar un cable desde un punto A
de coordenadas (R 0) hasta otro punto B de coordenadas (;R=2 0). Para ello existen
dos posibilidades:
a) llevar un cable sencillo por la semicircunferencia desde A hasta un punto C , y desde
C , ir en l nea recta hasta B con un cable reforzado, o bien,
b) llevar directamente un cable reforzado desde A hasta B en l nea recta.
El cable sencillo cuesta una cantidad K1 por unidad de longitud, y el cable reforzado
una cantidad K2 = 2K1. Estudiar cual de las dos posibilidades es la optima para que
el coste sea m nimo.


Calculo diferencial para funciones reales de variable real. Soluciones 57

Calculo diferencial para funciones reales de variable real.
Soluciones

1.- Soluciones primera columna:
f derivable 8x 2 IR ; f0g:
r derivable 8t 2 IR:
z derivable 8x 2 IR :
f derivable 8t 2 IR ; ;1 0]:
g derivable 8x 2 IR ; f;1 1g:
h derivable 8u 2 IR:

Soluciones segunda columna:
g derivable 8x 2 IR:
s derivable 8t 2 (;3 +1):
y derivable 8x 2 IR ; fx = 2 + k k 2 Z g:
h derivable 8t 2 IR+ :
f derivable 8x 2 IR ; f;1 1g:
f derivable 8x 2 IR :
2.- f es derivable en x = 1 y en x = ;1 discontinuidad de salto.
3.-Como g es derivable en x = 0 es continua en x = 0 y por tanto f es continua en el
punto (0,1) en la direccion de la recta y = 1 ; x.
4.- Para que g sea continua en x = 0 f debe ser acotada.
5.-Indicacion: Aplicar la de nicion de derivada y la existencia de l mites direccionales
cuando existe el l mite global.
8 2y y > 0
<
6.- Domh0 = IR ; f0g y h0 (y ) = 2
: (1 ; y) y < 0 2

h es inyectiva en IR ya que es estrictamente creciente.



7.-

i) x = 0, x = 1 y x = ;2
ii) ( 81 ; 243 )
32 256

iii) x = 1 y x = ;1
iv) x = 2 y x = ;2
v) b = ;1 y c = 1.
8.-

i) V
ii) F
iii) F
iv) F

9.- Indicacion: Aplicar la caracterizacion por sucesiones de punto de acumulacion y el
criterio secuencial.
10.-

y0(x) = e;x(1 ; x)
y0(x) = xex(1 + x ) y00(x) = ex ( x22 + 2x + 1)
y0 (x) = ;c1e;x ; 2c2e;2x y00(x) = c1e;x + 4c2 e;2x.
2

11.- Indicacion: aplicar la regla de la cadena.
12.- g0(0) = h0(0) = 2.
13.- 5
36
millas/hora.
5
14.- 4

15.- Derivar implicitamente la ecuacion x3 + y 3 = 1.
16.- Derivar implicitamente la ecuacion xsen(xy ) + 2x2 = 0.
17.-
rT : y = 0 rN : x = 1
rT : y = 1=2x + 1=2 rN : y = 3 ; 2x
rT : y = b rN : x = 0

18.- Derivando la ecuacion y sustituyendo en el punto (1,0) obtenemos 2 + f 0 + f 0 = 0.
19.- La recta tangente a 2x2 + 3y 2 = 5 es y ; 1 = ; 2 (x ; 1).
3

20.- La ecuacion de la recta tangente a y = y (x) en el punto (1,0) es y = 1 (x ; 1).
2



21.- Indicacion: Utilizar la de nicion de diferencial de una funcion en un punto.
22.- 180 .
23.- Indicacion: Utilizar la de nicion de diferencial de una funcion en un punto.
24.- Teorema del valor medio y ver que 1
xn es convergente.
25.- Aplicar el teorema del valor medio lim (f (x + 1) ; f (x)) = y
x!+1
1 1
lim ((1 + x)1+ x+1 ; x1+ x ) = 1
x!+1

26.- No contradice porque f no es derivable en el intervalo.
27.- Aplicar Bolzano a la funcion g (x) = f (x) ; x.
28.- Aplicar los teoremas de Rolle y Bolzano.
31.- Aplicar Bolzano.
32.- Ver que h(x) = f (x) ; g (x) es creciente y h(x0 ) = 0.
33.- Rolle.
34.-

i) De nir g (x) = f (x) ; x
ii) Ver que 1+ex no puede valer 0.
1

iii) Aplicar el teorema del punto jo.
iv) Ver que f (x) = cos x veri ca el apartado iii).
35.- Aplicar el teorema del valor medio.
36.- Aplicar Rolle y Bolzano.
37.- Aplicar Rolle y Bolzano. x 2 (0 1).
38.- De nir g (x) = f (x) ; f (x + a) y aplicar el teorema de Bolzano.
39.- Aplicar el teorema de Rolle a la funcion h(x) = f ((x)) para estudiar la existencia y
g
x

a h(x) = f ((x)) para comprobar la unicidad.
g
x

40.- Probar que f 0(x) = 0.



41.-

i) F
ii) F
iii) V
iv) V
v) V
vi) V.
42.-
0 1
0 0
+1 1
1 0
0 0
0 e
1 1
43.- Indicacion: aplicar la regla de l'H^pital.
o
44.-

Tf (x) = 1 ; x2 + x Tg (x) = x2 ; x
4 4

2 2
Th(t) = 1 ; t + t
2 4
Tr (t) = t 2

45.-
i) n = 4.
ii) n = 3.
iii) = 0:2 . La diferencia entre los valores de n hallados en los apartados (i) y (ii) se
debe a que en (i) hemos tomado = 1, que es el peor valor posible para .
46.- Indicacion: Usar el desarrollo de Taylor de f entorno al cero y ver que f 0 (0) > 0.
47.- Indicacion: Usar el desarrollo de Taylor de f entorno al cero, y evaluar la funcion en
1 y -1 para demostrar que existen 2 (0 1) y 2 (;1 0) tales que: f 3) (s)+ f 3) (t) = 6.
48.-

z tiene m nimos absolutos en x = ;2 y en x = 2 y maximo relativo en x = 0.
s tiene m nimos absolutos en t = 0.
h tiene un maximo absoluto en t = 1 y un maximo relativo en t = 2.
49.-

h tiene un maximo absoluto en x = 1 y un m nimo absoluto en x = ;1.
y tiene un maximo absoluto en x = ;3 y un m nimo absoluto en x = 3 .
2
x = 3 es un maximo relativo.



50.-Indicacion: Usar la formula de Taylor y estudiar el signo del resto, o bien, estudiar
la monoton a de la funcion diferencia de los dos terminos de la desigualdad.
51.- ii) h es creciente y tiene un maximo en z = 0 y un m nimo en z = ;1.
52.-

i) Si p > 1 x = 0 m nimo y x = 1 maximo.
Si 0 < p < 1 x = 1 m nimo y x = 0 maximo.
ii) Evaluar la funcion en los extremos.
53.- Indicacion: derivar impl citamente, ver si la derivada se anula, y en caso
a rmativo estudiar el signo de las derivadas sucesivas (siempre suponiendo condiciones
de derivabilidad.)
54.- La recta de menor pendiente es la tangente en x = 2 y la de mayor pendiente la
tangente en x = 5.
p
55.- (4,8) es el punto mas cercano y (; 80 0) el mas alejado.
p
56.- lado= L 2.
p
57.- El radio r = 3
8
R y la altura h = 43 .
R

58.- La pendiente del tercer lado es m = ;3.
p p
59.- La altura h = 8 6 y la anchura p = 8 3.
p p
60.- El radio del semic rculo R = p1+ y la altura del triangulo h = K ; 2 R = p1+ .
K
R
K
2 2
61.- b).


Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 63

Cap tulo 7. Calculo diferencial para funciones de
variable vectorial
1.- Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones reales de variable
vectorial:
p
f (x y ) = x3 + y3 ; 3axy g(x y ) = xy + x=y + x2 + y 2
2
r(u v) = e; vu h(r s t) = erst + jtj
x+1 y2
z(x y ) = ln py h(x y z ) = x + cos
y
z

2.-Calcular, anal ticamente y geometricamente, las derivadas parciales en el origen de
coordenadas de las siguientes funciones reales de variable vectorial:
(
1 xy 6= 0
f (x y) = 3x + 5y xy = 0
( 2
g(x y) = x =y y 6= 0
0 y=0
( 2 2
x +y x 0
z(x y) = p 2 2
x +y x<0
(
2xy + x y 0
h(x y) =
x ; x2 ; y 2 y < 0
( 2 2
r(x y) = x + y + 1 xy 6= 0
x;y xy = 0
81
< sen(xy ) x 6= 0
u(x y) = : x
y x=0
3.- Calcular la derivada en el origen de coordenadas y en la direccion del vector
v = (1 ;1) para cada una de las funciones del ejercicio anterior.



4.- Para las funciones de los ejercicios 1 y 2, estudiar la diferenciabilidad y, si es posible,
calcular la diferencial en (0,0). Analogamente, para las siguientes funciones de variable
vectorial: ( 2
g(x y) = x (y + 1) sen(1=x) x 6= 0
0 x=0
8 x2 ; y 2
<
h(x y) = : xy x2 + y2 (x y ) 6= (0 0)
0 (x y ) = (0 0)

5.- Sea f : IRn ! IR tal que jf (x)j kxk2 8x 2 IRn . Probar que rf (0) = 0 y que f
es diferenciable en 0.
6.-Sea f : E ! IR diferenciable en E abierto conexo de IR n .
a) Demostrar que si D1 f (x) = 0 8x 2 E , entonces f solo depende de las variables
x2 x3 : : : xn .
b) Demostrar que si df (x) = 0 8x 2 E , entonces f es constante en E .

7.- Estudiar si son ciertas o falsas las siguientes a rmaciones, razonando las respuestas
y dando un contraejemplo en caso de falsedad:
i) Toda funcion real de variable vectorial f (x y ) continua en un punto (a b), es
diferenciable en (a b).
ii) Toda funcion real de variable vectorial f (x y ) para la cual existe rf (a b) (a b) 2
Domf , es continua en este punto (a b).
iii) Toda funcion real de variable vectorial f (x y ) continua en un punto (a b) y para
la cual existe rf (a b) , es diferenciable en (a b) y df (a b) = rf (a b).
iv) Toda funcion real de variable vectorial f (x y ) para la cual existen Dv f (a b) 8v 2
IR2 (a b) 2 Domf , es diferenciable en (a b).
8.- Sean a = 10cm y b = 24cm los lados de un rectangulo. >Cuanto variara la diagonal
d de este rectangulo si el lado a se alarga 4mm y el lado b se acorta 1mm? Calcular el
valor aproximado de esta variacion y compararlo con el valor exacto.
9.- Una caja cerrada de dimensiones 10cm, 8cm y 6cm, esta hecha de madera de 2mm
de grueso. Determinar el volumen aproximado del material utilizado para construirla.
10.-Demostrar que el error relativo de un producto es aproximadamente igual a la
suma de los errores relativos de los factores.
11.- Calcular la derivada direccional de las siguientes funciones, en el punto y segun el
vector que se indica:
p
z(x y) = ln x2 + y 2 en (x y ) = (1 1) v = (2 1)
f (x y z) = xy + xz + yz en (x y z ) = (;1 1 7) v = (3 4 ;12)
g(x y z) = z ; e sen y
x
en (x y z ) = (ln 3 3=2 ;3) v = (1 1 2)



12.- Dada la funcion real:
8 x2 + y 2
< xy 6= 0
f (x y) = : xy
x+y xy = 0
Calcular las derivadas parciales de f (x y ) en (0,0). Razonar si son ciertas o falsas las
siguientes a rmaciones:
i) Existe rf (0 0) = (1 1).
ii) 8v = (v1 v2) 2 IR 2 amb kv k = 1 Dv f (0 0) = v1 + v2 .
13.- Dada la funcion f (x y ) = x3 + y 3 ; xy + x + y , calcular la variacion de f (x y ) en
el punto (1,0) y en la direccion del vector (-1,1).
14.- Calcular la variacion de la funcion r(u v ) = u2 ; v 2 en el punto (1,1) y en la
direccion que forma un angulo de 60 con la direccion positiva del eje OX.
15.- Dada la funcion de densidad (x y ) = 48 ; 4x2=3 ; 3y 2 , calcular su coe ciente
de variacion:
i) En el punto (1,-1) y en la direccion de maxima variacion de esta densidad.
ii) En el punto (1,2) y en la direccion del eje de abcisas.
iii) En el punto (2,2) y en la direccion de la bisectriz.
16.- Estudiar la diferenciabilidad de las siguientes funciones vectoriales de variable
vectorial, y calcular la matriz jacobiana en el punto indicado:
f (x y ) = (x2 + y2 exy ) en (1 1)
g(x y) = (xy sen x x2y) en ( =2)
h(x y) = (ex+y ln x) en (1 0)
F (x y z) = (xyz x2z ) en (2 ;1 ;1)
H (x y z ) = (xy xz yz) en (1 1 ;1)

17.- Un lado de un rectangulo de 20m aumenta con una velocidad de 5m/s, y el otro
lado de 30m disminuye a una velocidad de 4m/s. >A que velocidad var an el per metro
y el area del rectangulo?
18.- Calcular las siguientes derivadas:
dz siendo z = f (t cos t et ) f diferenciable.
dt
du siendo u = x2 + y 2 + z2 con x = f (t) y = tf (t) z = f (t2) f derivable.
dt
@z @z siendo z = f (x y ) f diferenciable, con x = uv y = u=v:
@u @v



19.- Calcular dz
dt en las situaciones siguientes:
z = x+y con x = 4(t2 ; 1) y = ln t
p
z = x2 + y 2 con x = et y = sen t
z = xy + xu + yu con x = t y = cos(2t) u = sen(2t)

p
20.- Sea la funcion real f (x y z ) = x2 + y 2 + z 2 . Consideremos el cambio a
coordenadas cil ndricas y el cambio a coordenadas esfericas de nidos respectivamente
por las ecuaciones:
8 8
> x = r cos
< > x = r sen cos '
<
> y = r sen
: z=z > y = r sen sen '
: z = r cos
En ambos casos, calcular el jacobiano del cambio y la expresion de la funcion f en las
nuevas variables.
21.- Demostrar que si z = f (x + ay ) donde f es derivable y a 2 IR , entonces se
veri ca la siguiente relacion:
@z = a @z
@y @x
22.- Demostrar que la funcion z = yf (x2 ; y 2 ) , siendo f una funcion derivable,
satisface la ecuacion:
1 @z + 1 @z = z
x @x y @y y2
23.- Demostrar que la funcion z = f (x2 + y 2 ) , siendo f una funcion derivable,
satisface la ecuacion:
@z
y @x ; x @z = 0
@y
24.- Comprobar que si u(x y z ) = f (xyz ) , siendo f una funcion 3-veces derivable
en IR , se veri ca :
@ 3u = F (xyz )
@x@y@z
y hallar la funcion F .
25.- Sea la funcion f (x y z ) = xy + x2z + 3yz , donde x(s t) = s2 + t2 y (s t) =
s 2 ; t2 y z (s t) = 2st son tales que de nen una funcion F (s t). Calcular dF (s t).
26.-Sea f : IR2 ! IR2 tal que f (x y ) def (ex+2y sen(y +2x)), y sea g : IR3 ! IR2 tal que
=
def (u +2v 2 +3w3 2v ; u2). Calcular df (x y ) dg (u v w) y d(f g )(1 ;1 1).
g(u v w) =



27.- Estudiar si son verdaderas o falsas las siguientes a rmaciones, razonando las
respuestas y dando un contraejemplo en caso de falsedad:
i) La derivada direccional de h(x y ) = y 2=x en cualquier punto de la elipse
2x2 + y 2 = 1 y en la direccion de la normal a la misma es igual a cero.
ii) Dada la funcion f (x y ) = x + jy j , un vector normal a la super cie z = f (x y ) en
el punto (0,0,0) es vN = (1 1 ;1).
iii) La super cie z = f (x y ), donde f se de ne:
(
f (x y ) =
xy xy = 06
1 xy = 0
tiene un plano tangente horizontal en el punto (0,0,1) de ecuacion z = 1.
iv) El paraboloide 3x2 + 2y 2 = 2z + 1 y la esfera x2 + y 2 + z 2 ; 4y ; 2z + 2 = 0 se
cortan en el punto (1,1,2) formando un angulo recto.
28.- Calcular el plano tangente y la recta normal a las siguientes super cies en el punto
indicado:
x2y2 + xz ; 2y3 = 10 P = (2 1 4)
z = sen(xy) P = (1 0)
z = y + ln(x=z) P = (1 1 1)
29.- Calcular la recta tangente y el plano o recta normal, segun el caso, a las siguientes
curvas en el punto indicado:
x2y + y3 = 10 P = (1 2)
ln(2x ; y 2) + 3x2 y = 3 P = (1 1)
8
> x = t2 + 1
<
> y = 2t3; 1
: z = 4t
P = (2 1 4)

x2 + y2 + z 2 = 9 P = (2 1 ;2)
xy + z = 0
30.- Calcular la derivada direccional de f (x y z ) = 3x ; 5y + 2z en el punto (2,2,1)
y en la direccion de la normal exterior a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 9 en el mismo punto.
31.- Calcular la variacion de f (x y z ) = x2 + y 2 ; z 2 en el punto (3,4,5) y a lo largo
de la curva interseccion de las super cies z 2 = x2 + y 2 y 2x2 + 2y 2 ; z 2 = 25.
32.- Calcular como var a f (x y z ) = x2 ; y 2 en el punto (1,0,2) y en la direccion del
vector normal al cono de revolucion z 2 = 4(x2 + y 2 ) en el mismo punto.
p2 2 2
33.- Calcular la derivada direccional de la funcion f (x y z ) = x + y + z en el
punto (1,2,-2) y a lo largo de la curva r(t) = (t 2t2 ;2t4).



34.- Dada la funcion:
(
2xy + x y 0
f (x y) =
x ; x2 ; y2 y<0
i) Estudiar la diferenciabilidad de f en (0,0).
ii) Calcular la variacion de f en (0,0) y a lo largo de la recta y = ;2x.
iii) Probar que el plano tangente a la super cie z = f (x y ) en el punto (0,0,0)
proyectado sobre el plano y = 0 forma un angulo de 45 con el eje OX.
35.- Demostrar que los planos tangentes a la super cie xyz = a3 forman con los
planos de coordenadas tetraedros de volumen constante, y calcular este volumen.
36.- Demostrar que la suma de las distancias al origen de las intersecciones con los ejes
p p p
de un plano tangente a la super cie x + py + z = a es independiente del punto
de tangencia.
37.- Sea la funcion f (x y ) = (sen(x + y 3 ) cos x ; ey ). Justi car que f es localmente
inversible en (0,0). Calcular df ;1 (0 0).
38.- Sea la funcion g (x y z ) = (e2y + e2z e2x ; e2z x ; y ). Justi car que en un entorno
de cada punto de IR3 , g admite una funcion inversa diferenciable y que, ademas, g es
globalmente inversible.
39.- Sea f (x y ) = (x cos y x sen y ) de nida en A = IR+ IR. Justi car que f es
0
localmente inversible en cualquier punto de A , pero no lo es globalmente.
40.- Estudiar si cada una de las siguientes ecuaciones de ne localmente una funcion
impl cita y = y (x) en un entorno del punto (a b) indicado. En caso a rmativo, calcular
y0(a):
x2y + 3y3x4 = 4 en (1 1)
x3 + 4y sen(xy ) = 0 en (0 )

41.- Probar si la ecuacion x + y + z + cos(xyz ) = 0 de ne localmente una funcion
impl cita z = f (x y ) en un entorno del punto (0,0,-1). En caso a rmativo, calcular
D1f (0 0) y D2f (0 0):
42.- Probar si, localmente, el sistema de ecuaciones
(
x = u2 ; v 2
y = 2uv
de ne en un entorno del punto (x y u v ) = (0 2 1 1) dos funciones impl citas
u = u(x y) v = v(x y ). En caso a rmativo, comprobar si los vectores normales
a las super cies u = u(x y ) y v = v (x y ) son ortogonales en el punto (0,2,1).



43.- Probar si el sistema de ecuaciones
(
u + v + x2 ; y2 + z2 = 0
u2 + v 2 + u ; 2xyz = 0
de ne en un entorno del punto (x y z u v) = (0 0 0 ;1=2 1=2), dos funciones
impl citas u = u(x y z ) v = v (x y z ). En caso a rmativo, calcular du y dv en el
origen de coordenadas.
44.- Supongamos que la ecuacion F (x y z ) = 0 de ne tres funciones impl citas
x = x(y z) y = y(x z) z = z(x y ) . Demostrar que se veri ca la relacion:
@x @y @z = ;1
@y @z @x

45.- Probar si el sistema de ecuaciones
( t 2 2
e ;x +y =1
t ; xy = 1
de ne impl citamente dos funciones x = x(t) y = y (t) en un entorno del punto
(t x y ) = (0 ;1 1). En caso a rmativo, dicho sistema de ecuaciones de ne localmente
una curva C IR3 , expresada en coordenadas parametricas por r(t) = (t x(t) y (t)).
Calcular la variacion de f (t x y ) = txy ; x + y en el punto (0,-1,1) y a lo largo de
esta curva C .
46.- La ecuacion f (y=x z=x) = 0 de ne impl citamente a z como una funcion
z = z(x y). Demostrar que se veri ca:
x @x + y @z = z
@z
@y

47.- Demostrar que la funcion z = arctan(y=x) satisface la ecuacion de Laplace:
@ 2z + @ 2z = 0
@x2 @y2

48.- Demostrar que la funcion u = A sen(a t + ') sen( x) A a ' constantes,
satisface la ecuacion de las vibraciones de cuerda:
@ 2u = a2 @ 2u
@t2 @x2



49.- Sea z = f (x + ay ) ; g (x ; ay ) , donde f y g son funciones dos veces derivables
de una variable, y a es una constante. Demostrar que se veri ca:
@2 2
a2 @xz = @ z = a2 (f 00(x + ay) ; g00(x ; ay))
2 @y 2

50.- Probar que la funcion z = ;x2 y + f (xy ) + g (x) , donde f y g son funciones
derivables de IR en IR, satisface la relacion:
@2 @ 2z
y @yz ; x @y@x + @z = x2
2 @y

51.- Calcular el polinomio de Taylor de grado 2 asociado a cada una de las siguientes
funciones, en un entorno del punto indicado:
f (x y ) = x3 + y 2 + xy 2 P = (1 2)
g (x y z ) = x3 + y3 + z 3 ; 3xyz P = (1 1 1)
z(r t) = sen(r2 + t2 ) P = (0 0)
h(x y z ) = ex+y+z P = (0 0 0)

52.- Estudiar si son verdaderas o falsas las siguientes a rmaciones, razonando las
respuestas y dando un contraejemplo en caso de falsedad:
i) Si (a b) es un punto estacionario de una funcion real f (x y ) , entonces existe el
plano tangente a la super cie z = f (x y ) en el punto (a b f (a b)) y es horizontal.
ii) Si (a b) es un punto de ensilladura de una funcion real f (x y ) , entonces no puede
existir un plano tangente a la super cie z = f (x y ) en el punto (a b f (a b)) .
iii) Una funcion real f (x y ) que no es diferenciable en un punto (a b) 2 Domf no
tiene extremos.
iv) Una funcion real f (x y ), diferenciable en (a b) 2 IR 2 y para el cual rf (a b) = ~ ,
0
tiene un extremo local en (a b).
v) Una funcion real f (x y ), tal que 8(x y ) 2 Domf se veri ca que rf (x y ) 6= ~ , 0
no puede alcanzar ningun extremo en su dominio.
53.- Calcular los puntos estacionarios y estudiar los extremos locales y puntos de
ensilladura, si existen, de las siguientes funciones:
f (x y) = x2 + xy + y2 ; 6x + 2
g(x y ) = 4x + 2y ; x2 + xy ; y2

54.- > En que punto la derivada de la funcion f (x y ) = x3 + 3y 3 ; x2 + y 2 segun
la direccion del vector (1,2) alcanza un extremo? >De que tipo de extremo se trata?
>Cual es el valor de la derivada direccional en este punto?



55.- Encontrar el volumen maximo de un paralelep pedo rectangular contenido en el
primer octante con un vertice en el origen y el vertice opuesto en el plano x + y + z = 1.
56.- Un pentagono esta compuesto por un rectangulo y un triangulo isosceles con la
base sobre uno de sus lados. Sabiendo que el per metro del pentagono tiene un valor
jo p, encontrar las dimensiones de sus lados para que el area sea maxima.
57.- Comprobar si la funcion z = z (x y ), de nida impl citamente por la ecuacion
xyz + sen(z ; 3) ; x2y2 ; x ; y = 0, tiene un maximo o un m nimo en el punto
(x y ) = (1 1).
58.- Dada la ecuacion x2 + y 2 ; z 2 + 2z = 0, determinar los puntos en cuyo entorno
z es funcion impl cita de x y de y, y estudiar los extremos relativos de esta funcion
z(x y).
59.- Sea la distribucion de puntos:
(;4 1) (;3 2) (;2 3) (;1 4) (0 4):
Ajustar a esta distribucion una recta por el metodo de los m nimos cuadrados.
60.- Hallar los coe cientes que mejor ajusten los datos al utilizar el metodo de m nimos
cuadrados en los siguientes casos:
i) y (x) = ax2 + bx + c.
ii) y (x) = aebx .
61.- Estudiar si son ciertas o falsas las siguientes a rmaciones, razonando las respuestas
y dando un contraejemplo en caso de falsedad:
i) Una funcion real f , continua en la region A = fz 2 C : jz + 1j 1g , alcanza un
maximo y un m nimo absolutos en A.
ii) Una funcion real f (x y ) continua en todos los puntos del rectangulo R =
a b] c d] a b c d 2 IR tal que rf (x y ) 6= ~ 8(x y) 2 (a b) (c d), no alcanza
0
ningun extremo en R.
iii) En caso de que existan el maximo y m nimo absolutos de la funcion real f (x y ) =
x2 + (y ; 2)2 sobre el c rculo x2 + y2 1 , estos se alcanzan en la frontera.
62.- Calcular, si existen, el maximo y el m nimo absolutos de las siguientes funciones
sobre el conjunto indicado:
f (x y) = x2 + y 2 sobre el segmento fx + y = 1 0 x 1g
f (x y) = x2 + y 2 sobre la region fy + x2 1 y 0g
g(x y) = x3 + y 3 + 9xy + 27 sobre el cuadrado ;5 5] ;5 5]
z(x y) = x + y si x2 + y 2 1 y y 0
r(x y z) = xyz si x + y + z 1 x 0 y 0 z 0



63.- Hallar los extremos de las siguientes funciones, sujetos a la condicion indicada:
d(x y) = x2 + y2 sobre la hiperbola x2 ; y 2 = 1
z(x y) = xy sobre la elipse 2x2 + 9y 2 = 18
u(x y) = xy2 sobre la circunferencia x2 + y 2 = 1
g(x y z ) = xyz sobre la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1
h(x y) = ex + ey sobre la circunferencia x2 + y 2 = 1

64.- Calcular el maximo y el m nimo absolutos, si existen, de las siguientes funciones
sobre el conjunto indicado:
f (x y) = x2 ; y2 sobre x2 + y 2 1
h(x y z) = x + y + z sobre x2 + y 2 + z 2 4
r(x y z) = xy 2z 2 sobre x+y+z =5 x 0 y 0 z 0
z(x y) = (x ; 1)2 + y2 sobre x2 + y 2 4

65.-Hallar los puntos de la super cie de la esfera x2 + y 2 + z 2 ; 2x ; 2y ; 2z = 9 cuya
suma de coordenadas es maxima.
66.- Calcular la distancia maxima y m nima del origen a la elipse 5x2 +6xy +5y 2 = 8.
67.-Hallar los extremos de la funcion f (x y ) = (x ; 1)2 + (y ; 1)2 sobre el conjunto
A = f(x y) 2 IR2 : x2 + y2 4 x 0 o y 0g.
68.- Estudiar los extremos de la funcion real f (x y x) = x2 y 2 z 2 sobre la esfera
x2 + y 2 + z 2 = r2.
69.- Hallar los puntos de la curva
( 2
x ; xy + y2 + z 2 = 1
x2 + y 2 = 1
que estan mas cerca del origen de coordenadas.
70.- Se tiene que construir un deposito en forma de cilindro circular recto y base
semiesferica de volumen constante dado V . Calcular las dimensiones que hacen el area
m nima.
71.- Se desea hacer una construccion sobre un terreno T que cumple: T = f(x y ) 2
IR2 : y 2 4x x2 ; y 2 5g. Un ingeniero pretende trazar dos l neas rectas de
ferrocarril que vayan del punto (6,0) del plano al punto mas proximo y al punto mas
alejado del terreno. >Que longitud de v a debera construirse ?



Anexo
72.- Demostrar que, localmente, el sistema de ecuaciones
( 2
x y + et = 2
xy + etx = 2
de ne x = x(t) y y = y (t), funciones impl citas derivables en un entorno del punto
(t x y ) = (0 1 1).
Sea r: IR ! IR 2 r(t) def (x(t) y (t)) tal que Imr de ne una curva C en el plano,
=
y sea la funcion f : IR 2 ! IR de nida por f (x y ) = x2 + y 2 ; 3x + sen(xy ; 1).
i) Si la curva C es regular en t = 0, calcular la variacion de f en el punto (1,1) a lo
largo de C .
ii) Demostrar que la curva C y la curva de nivel -1 de f (x y ) se cortan en el punto
(1,1) formando un angulo recto.
73.- Demostrar que, localmente, el sistema de ecuaciones
( 3 2 3
xz + y u = 1
2xy 3 + u2z = 0
de ne x = x(z u) y y = y (z u), funciones impl citas diferenciables en un entorno del
punto (x y z u) = (0 1 0 1). Demostrar que la funcion F (z u) def (x(z u) y (z u))
=
admite funcion inversa diferenciable en un entorno del punto (0,1).
74.- Considerar h: IR2 ! IR de nida por h(x y ) = x2 + y 3 + xy + x3 + ay a 2 IR .
i) >Para que valores de a la ecuacion h(x y ) = 0 de ne impl citamente una funcion
y = y (x) y 2 C 1 , en un entorno de (0,0)? >La ecuacion anterior de ne impl citamente
x = x(y) derivable en un entorno de (0,0) para algun valor de a?
ii) Sea y = f (x) la funcion impl cita determinada por h(x y ) = 0, de nida en cierto
entorno abierto U de 0. Calcular el valor del parametro a para que el polinomio de
Taylor de segundo grado de f en el origen tome el valor 1 en el punto x = 1. >Para
que valores de a tiene f un extremo en x = 0?
iii) Sea F : U IR ! IR2 de nida por F (x y ) = (ex+y + x2 ; 1 f (x) + y cos x), (U
es el entorno de 0 donde f esta de nida). Demostrar que F admite funcion inversa
diferenciable en un entorno de (0,0). Demostrar que la funcion G = F F + F ;1 es
diferenciable en (0,0) y calcular dG(0 0).
75.- Considerar la funcion f : IR2 ! IR de nida por f (x y ) = x2 ; xy + y 2.
i) Hallar los puntos de la curva de nivel f (x y ) = k k > 0 para los que el modulo
del gradiente de f (x y ) toma sus valores maximo y m nimo respectivamente.
ii) Sobre la curva de nivel del apartado anterior, dibujar el vector gradiente de f en los
puntos hallados, y con la informacion obtenida dibujar de forma aproximada el mapa
de curvas de nivel de f .



76.- Sean A IR n un abierto y f : A IRn ! IR. Sea h: IR ! IR estrictamente
creciente (o estrictamente decreciente), y considerar la funcion G = h f .
i) Demostrar que los puntos de extremo relativo para f y G coinciden.
ii) Si f es diferenciable en a 2 A y h es derivable en f (a), demostrar que a es un punto
estacionario de G si y solo si a es un punto estacionario de f .
iii) Determinar la distancia maxima y m nima del punto (-1,0) al conjunto del plano
A = f(x y) 2 IR 2 : x2 + y2 2x y x ; 1g.
77.- Sea la funcion f : IR2 ! IR de nida por:
( 2 2
f (x y ) = x + 4y ; 1 xy 0
jx ; 2yj ; 1 xy < 0
i) Estudiar la continuidad de f en IR 2.
ii) Calcular el gradiente de f en (0,0). Hallar la derivada direccional de f en (0,0) y
en la direccion de la recta y = ;x . Deducir de los calculos anteriores que f no es
diferenciable en (0,0) razonar la respuesta.
iii) Hallar los puntos de la curva plana que resulta de la interseccion de la super cie
z = f (x y) con el plano z = 0, para los que la suma de coordenadas es maxima o
m nima.

78.- Sea la funcion f : IR2 ! IR de nida por:
( 22 2 2
(x y ) 6= (0 0)
f (x y) = x y ln(x + y )
0 (x y ) = (0 0)
i) Estudiar la diferenciabilidad de f en IR2 .
ii) Demostrar que la ecuacion f (x y ) + z 2 + ez+1 = 2 de ne impl citamente
z = z(x y) en un entorno V Br (;1) del punto (1 0 ;1) y que (1 0) es un
punto estacionario de z (x y ).
iii) Considerar la funcion H : V IR2 ! IR2 de nida por:
H (x y) = (xyz(x y ) x2 + y 2 + z2(x y)) (x y ) 2 V
(donde V es el entorno de (1,0) del apartado anterior, y z (x y ) es la funcion impl cita
local). Demostrar que H es localmente inversible en un entorno de (1,0) y calcular
dH ;1(0 2) justi cando su existencia.
79.- Calcular el maximo de la funcion f (x1 : : : xn) = (x1 x2 xn )2 condicionado
por x2 + + x2 = 1.
1 n
Usar este resultado para demostrar la siguiente desigualdad, que es valida para
a1 : : : an numeros reales positivos cualesquiera:
(a1 an )1=n a1 + + an
n



80.- Sea f : IR ! IR funcion tal que f 2 C 1(IR) y 8t 2 IR jf 0 (t)j K < 1.
i) Demostrar que la funcion F : IR2 ! IR2 F (x y ) def (x + f (y ) y + f (x)), admite una
=
inversa local 8(x y ) 2 IR2 .
ii) Demostrar que f tiene un unico punto jo.
iii) Suponed que f (0) = 0 , y considerar la funcion real h: IR ! IR de nida por
h(x) = (f f )(x) + x 8x 2 IR. Demostrar que la ecuacion h(x) = 0 tiene una unica
ra z real.
81.- Demostrar que u = x3 f (y=x z=x), donde f es una funcion diferenciable, satisface
la ecuacion:
x @u + y @u + z @u = 3u
@x @y @z
82.- Sea f : IR2 ! IR diferenciable y sea g : IR3 ! IR 2 g = (u v ) tal que u(x y z ) =
x2 + y 2 + z 2 y v(x y z ) = x + y + z. Considerar h = f g . Demostrar que:

krh(x y z)k2 = 4u @f 2 + 4v @f @f + 3 @f 2
@u @u @v @v

83.- Sea F : A IRn+1 ! IR F 2 C 2(A) A abierto. Sea (x y ) = (x1 : : : xn y ) 2
IRn+1 y (a b) = (a1 : : : an b) 2 A tal que F (a b) = 0 y @F (a b) 6= 0. Sea y (x) la
@y
funcion impl cita de nida por F (x y ) = 0 en un entorno de (a b) tal que y (a) = b.
i) Demostrar que si y (x) tiene un extremo relativo en el punto a, entonces:
@F (a b) = 0 1 i n
@xi
ii) Demostrar que los elementos de la matriz Hessiana Hy (a), siendo a el extremo
relativo de y (x), son de la forma:
@ 2y (a) = ; @ 2 F (a b) @F (a b) ;1 1 i j n
@xi@xj @xi @xj @y
iii) Hallar los extremos relativos de y (x) para el caso particular:
F (x y ) = x2 + xy + y2 ; 27

84.- Sean f g : IR2 ! IR de nidas por
( 2
f (x y) = xy sen (1=y ) y 6= 0
0 y=0

g (x y ) = 1 ex+y + Z x p t2 dt
0 t4 + 1
i) Calcular rf (a 0) y rg (a b), 8a b 2 IR.
ii) Calcular la variacion de g en el punto (0,0) y en la direccion de la recta y = x . >En



que direccion es maxima la derivada direccional de g en (0,0), y cual es el coe ciente
de maxima variacion?
iii) Demostrar que la funcion F : IR2 ! IR 2 F def (f g ) , es diferenciable en (0,0).
=
Deducir que G = F F es diferenciable en (0,0) y calcular dG(0 0).
iv) Si existen el plano tangente a la super cie z = f (x y ) en el punto (0,0,0) y plano
tangente a z = g (x y ) en el punto (0 0 1= ), > son ortogonales?
85.- Sea la funcion f : ;1 1] ;1 1] IR2 ! IR de nida por:
Z 3x p Z y2
f (x y) = 1 + x3 + y 2 + 2 1 + t2 dt + x et2 =2dt
0 0
i) Demostrar que f 2 C 2 ( ;1 1] ;1 1]).
ii) Calcular el polinomio de Taylor de segundo grado, que aproxima a f (x y ) en
un entorno del origen de coordenadas calcular el plano tangente a la super cie
z = f (x y) en el punto (0 0 1) y comparar resultados.
iii) Justi car la existencia de extremos absolutos de f en el subdominio: 0 1] 0 1],
y hallar los puntos en los que f alcanza el maximo y el m nimo absoluto.
iv) Demostrar que la ecuacion f (x y ) = z 2 + ln z de ne localmente una funcion
impl cita z = z (x y ) en un entorno de (0,0,1), y comprobar si (0,0) es un punto
estacionario de z (x y ).
86.- En el plano XY , se considera el recinto T triangular de vertices
(0 0) (a 0) y (0 b) a > 0 b > 0.
i) Dado un punto (x y ) 2 T , al unirlo con los vertices de T se obtienen tres triangulos.
Si A1 A2 y A3 son las areas de los tres triangulos, demostrar que hay un unico punto
(x y ) 2 T , que minimiza la suma de las areas al cuadrado, es decir, que es un m nimo
de la funcion Q(x y ) = A2 + A2 + A2 .
1 2 3
ii) Hallar, si existen, los extremos absolutos de Q(x y ) en T .
87.- Probar que los puntos (1 1) y (;1 ;1) son dos m nimos para la funcion
f (x y) = (x + 1)2+(y + 1)2 sobre la curva y = 1=x, mientras que son, respectivamente,
un maximo y un m nimo para f (x y ) sobre la circunferencia x2 + y 2 = 2. Razonar
geometricamente la a rmacion anterior e interpretar el resultado.


Calculo diferencial para funciones de variable vectorial. Soluciones 77

Calculo diferencial para funciones de variable vectorial.
Soluciones
1.-
@f (x y) = 3x2 ; 3ay @g (x y ) = y + 1 + p x
@x @x y x2 + y 2
@f (x y) = 3y 2 ; 3ax @g (x y) = x ; x + p y
@y @y y2 x2 + y2

2.-

D1f (0 0) = 3 D2f (0 0) = 5
D1g (0 0) = 0 D2g(0 0) = 0
no existe D1 z (0 0) D2z (0 0) = 0
D1h(0 0) = 1 D2h(0 0) = 0
D1r(0 0) = 1 D2r(0 0) = ;1
D1u(0 0) = 0 D2u(0 0) = 1
p
3.- El valor de la derivada para la ultima funcion del ejercicio anterior es ; 22 .
4.-

g es diferenciable 8(x y) 2 IR 2 y rg(0 0) = (0 0), luego dg(0 0) = 0.
h es diferenciable 8(x y) 2 IR2 y rh(0 0) = (0 0), luego dh(0 0) = 0.

5.- Probar que f (0) = 0 y usar la de nicion de derivada parcial y de diferenciabilidad
en un punto.
6.-

a) Indicacion: Demostrar que foi1 es constante.
b) Se deduce de a).
7.-

i) F



ii) F
iii) F
iv) F
8.- Valor aproximado = 0:0615385. Valor exacto = 0:064727.
9.- 75:2cm3.
10.- Usar la de nicion de diferencial de una funcion en un punto.
11.-

D( p25 p15 ) z(1 1) = p6
10
D( 13 13 ;13 )f (;1 1 7) = 48
3 4 12
13
3 ;3) = ; p sin 3 ; p cos 3 + p :
D( p16 p16 p26 ) g(ln 3 2 3 3 2
6 2 6 2 6

12.-

i) V
ii) F
p
13.- ;2 2.
p
14.- 1 ; 3.

15.-

i) 3194
p
97
ii) ; 38

iii) ; 3522
p

16.-

df (1 1) = 2 2
e e
0 1
) = @ ;1 0A
2
dg( 2
2 2

dh(1 0) = e 0
1
e

dF (2 ;1 ;1) = ;4 ;2 ;2
1
0 4



01 1 0
1
dH (1 1 ;1) = @ ;1 0 1A
0 ;1 1

17.- El per metro var a a una velocidad de 2m/s y el area del rectangulo a una velocidad
de 70m2=s.
18.-
dz = D f (cos t ; t sin t) + D fet
dt 1 2

du = 2f (t)f 0(t) + 2tf (t) f (t) + tf 0(t)] + 4f (t2 )tf 0 (t2 )
dt
@z = @f v + @f 1 @z = @f u ; @f u
@u @x @y v @v @x @y v 2
19.-

dz = 8t + 1
dt t
dz = p x et + p y cos t = p e2t + psen t cos t2
dt x +y
2 2
x +y
2 2 e + sen t
2t 2
e2t + sen t
dz = cos(2t) + sen(2t) ; 2t sen(2t) ; 2 sen2(2t) + 2t cos(2t) + 2 cos2(2t)
dt

20.- ndricas vale r y la expresion de la
El jacobiano del cambio a coordenadas cil p
funcion f en las nuevas variables es f (r z ) = r2 + z 2 .
El jacobiano del cambio a coordenadas esfericas vale r2 sen y la expresion de la
funcion f en las nuevas variables es f (r ') = r.
21.- Derivar impl citamente.
24.- F (x y z ) = f 0(xyz) + 3xyzf 00(xyz ) + x2y2 z2 f 000(xyz)
25.-

dF (s t) = (4s3 + 10s4t + 8s2t2 + 2t5 + 4s2t3 + 6s2 t ; 6t3 )ds + (6s3 ; 4t3 + 2s5 +
10st4 + 12s3 t2 ; 18st2 )dt
26.-

df (x y) = 2 cos(y + 2x) cos(ey + 2x)
ex+2y 2 x+2y

dg(u v w) = ;1 u 42v 9w
2

2 0



d(f g )(1 ;1 1) = ;3 ;6 cos 9 18 cos 9
0
0 9

27.-

i) F
ii) F
iii) F
iv) V

rn : x ; 2 = y ; 1 = z ; 4 Pt : 4x + y + z = 13
28.-

4 1 1
rn : x;1 = y; = z Pt : x + y + z + 2 = 0
;
rn : x ; 1 = y ; 1 = z;21 Pt : x + y ; 2z = 0

29.- La recta tangente a x2 y + y 3 = 10 en el punto P = (1 2) es 4x + 13y = 30 y la
;
recta normal x;1 = y132 .
La recta tangente a la curva (x(t) y (t) z (t)) = (t2 + 1 2t ; 1 4t3) en el punto
4

P = (2 1 4) es (x y z ) = (2 1 4) + (1 1 6) y el plano normal x + y + 6z = 27.
30.- ;2
3

31.- 0
32.- p
4
5

25
33.- 27

34.-

35.- V = 9 a3
2

36.- Indicacion: Si (x0 y0 z0) es el punto de tangencia, las distanciasp origen de
px (px + al + pz ) ,
tangente son: x = 0 0
las intersecciones con los ejes del plano p y0
y = py0(px0 + py 0 + pz0 ) , z = pz0 ( x0 + py0 + pz0).
0

37.- Aplicar el teorema de la funcion inversa.
df ;1 (0 0) = 1 ;1
0
0

38.- Aplicar el teorema de la funcion inversa y demostrar que g es inyectiva.
39.- Aplicar el teorema de la funcion inversa y demostrar que f no es inyectiva.



40.-
y0(1) = ; 7
5
No cumple las hipotesis del teorema de la funcion impl cita

41.- Aplicar el teorema de la funcion impl cita. D1 f (0 0) = ;1 y D2f (0 0) = ;1.
42.- El teorema de la funcion impl cita de ne en un entorno del punto (x y u v ) =
(0 2 1 1), dos funciones impl citas u = u(x y ) v = v (x y ). Los vectores normales a
las super cies u = u(x y ) y v = v (x y ) no son ortogonales en el punto (0,2,1) ya
que ru(0 2) = ( 1 1 ;1) y rv (0 2) = (; 1 4 ;1).
4 4 4
1

43.- Aplicar el teorema de la funcion impl cita. du(0 0 0) = 0 y dv (0 0 0) = 0.
44.- Derivar impl citamente la ecuacion F (x(y z ) y z ) = 0 respecto de y , la ecuacion
F (x y(x z) z) = 0 respecto de z , y la ecuacion F (x y z (x y )) = 0 respecto de x.
45.- Aplicando el teorema de la funcion impl cita se demuestra que el sistema de
ecuaciones de ne localmente la curva C , x0(0) = 1 y y 0 (0) = ; 4 . La variacion de
4
3

f (t x y ) = txy ; x + y en el punto (0,-1,1) y a lo largo de esta curva C es ; p826 .
46.- Derivar impl citamente la ecuacion f (y=x z=x) = 0.
47.- Derivar parcialmente la funcion z = arctan(y=x).
48.- Calcular las derivadas segundas de la funcion u = A sen(a t + ') sen( x) que
aparecen en la ecuacion
@ 2 u = a2 @ 2u
@t2 @x2
49.- Aplicar la regla de la cadena y derivar dos veces.
50.- Aplicar la regla de la cadena.
51.-

P2(f )(x y) = 9 + 7(x ; 1) + 8(y ; 2) + 3(x ; 1)2 + 4(x ; 1)(y ; 2) + 2(y ; 2)2

52.-

i) V
ii) F
iii) F
iv) F
v) F
53.- (4,-2) es un m nimo local para f , y ( 10 8 ) es un maximo para g .
3 3



54.- En el punto ( 1 ; 9 ) hay un valor m nimo de la derivada direccional y su valor es
3
1

; 9p5 .
5

55.- V = 27
1

p p p
56.- (x y z ) = ( 23 p(2 ; 3) 1 p 2 p(2 ; 3))
4
1

57.- z = z (x y ) tiene un m nimo local en el punto (x y ) = (1 1).
58.- 8(x y z) 2 IR3 con z 6= 1, (0,0,0) maximo relativo y (0,0,2) m nimo relativo.
59.- y = 5 x + 5
4 22

Indicacion para el apartado ii): Encontrar el punto (a b) que minimiza la funcion:
P
60.-
n
f (a b) = (ln yi ; ln a + bxi ])2.
i=1

61.-

i) V
ii) F
iii) V
62.- El valor maximo absoluto de f (x y ) = x2 + y 2 sobre el segmento fx + y =
1 0 x 1g vale 1 y se alcanza en los puntos (0,1) y (1,0). El valor m nimo absoluto
vale 2 y se alcanza en ( 2 1 ).
1 1
2

El valor maximo absoluto de f (x y ) = x2 + y 2 sobre la region fy + x2 1 y 0g
vale 1 y se alcanza en los puntos (0,1), (1,0) y (-1,0). El valor m nimo absoluto vale 0
para (0,0).
El valor maximo absoluto de g (x y ) = x3 + y 3 + 9xy + 27 sobre el cuadrado
p
;5 5] ;5 5] vale 502 para (5 5). El valor m nimo absoluto vale ;30 15 ; 98 para
p p
los puntos (;5 15) y ( 15 ;5).
p
p Elpvalor maximo absoluto de z (x y ) = x + y si x2 + y 2 1 y 0 vale 2 para
( 22 22 ). El valor m nimo absoluto vale ;1 para (-1,0).
El valor maximo absoluto de r(x y z ) = xyz si x + y + z 1 x 0 y
0 z 0 se obtiene en ( 1 3 1 ), y el valor m nimo absoluto en los puntos (x y z ) con
3
1
3
x = 0 o y = 0 o z = 0 que cumplan la condicion x + y + z 1.
63.-La funcion d(x y ) = x2 + y 2 sobre la hiperbola x2 ; y 2 = 1 alcanza al valor
m nimo en (1,0) y en (-1,0).
p
La funcion z (x y ) = xy sobre la elipse 2x2 +9y 2 = 18 p valor maximo 3 2 2 para
tiene
los puntos ( p2 1) y (; p2 ;1), y valor m nimo ; 3 2 2 en los puntos ( p2 ;1),
3 3 3



(; p2 1).
3

La funcion g (x y z ) = xyz sobre la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 tiene valor maximo
p en los puntos ( p3 p3 p3 ), (; p3 ; p3 p3 ), ( p3 ; p3 ; p3 ), (; p3 p3 ; p3 ) y
1
3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

valor m nimo ; 3p3 en los puntos ( p3 ; p3 p3 ), (; p3 p3 p3 ), ( p3 p3 ; p3 ),
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(; p3 ; p3 ; p3 ).
1 1 1

La funcion p (xpy ) = ex + ey sobre la circunferencia p 2 + yp = 1 tiene valor maximo
h x 2
absoluto en ( 22 22 ) y valor m nimo absoluto en (; 22 ; 22 ).
64.- El maximo absoluto de la funcion f (x y ) = x2 ; y 2 sobre x2 + y 2 1 se alcanza
en los puntos (1,0) y (-1,0) y el m nimo absoluto en los puntos (0,1) y (0,-1).
El maximo absoluto de z (x y ) = (x ; 1)2 + y 2 sobre x2 + y 2 4 esta en (-2,0) y
el m nimo absoluto en (1,0).
65.- (3,3,3)
66.- La distancia maxima p origen a la elipse 5x2 + 6xy + 5y 2 = 8 vale 2 y se
del p p p
encuentra en plos puntos ( 2 ; 2) (; 2 2) y la distancia m nima vale 1 en
p2 p2 p2
( 2 2 ) (; 22 ; 2 ).
67.-El valor maximo de f sobre A se encuentra en los puntos (-2,0) y (0,-2) y el valor
m nimo en el punto (1,1).
68.- El valor maximo absoluto de f es ( r32 )3 y se obtiene para (x y z ) : x2 =
y2 = z2 = r32 . El valor m nimo absoluto de f es 0 y se obtiene en los puntos
(x y z ) : x = 0 o y = 0 o z = 0.
69.- (1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0) y (0,-1,0).
q
70.- r=h= 3 3V
5

p
71.- Debera construirse una via de longitud 6 + 13, siendo (3,2), o bien, (3,-2) el
punto mas proximo y (0,0) el punto mas alejado.



Anexo
72.-

i) -3
ii) r0 (0) = (0 ;1) y rf (1 1) = (0 3).
73.- Aplicar los teoremas de la funcion impl cita e inversa.

JF (0 1) = ; 2 ; 3
0
1

0 2

74.-

i) a 2 IR ; f0g. No
ii) a = ;1, 8a 2 IR ; f0g.
iii)
dG(0 0) = 2 1
0 2

75.-

76.-

i) Indicacion: utilizar la de nicion de extremo relativo y que h es estrictamente
creciente.
ii) Aplicar la regla de la cadena.
iii) La distancia maxima del punto (-1,0) al conjunto del plano A = f(x y ) 2 IR2 :
q 5+p2 p p
x + y 2x y x ; 1g es
2 2
2
y se alcanza en (1 + 22 22 ). La distancia
m nima vale 1 y se obtiene en (0,0).
77.-

i) f es continua en (IR2 ; fxy = 0g) f(0 0) (1 0) (;1 0) (0 1 ) (0 ; 1 )g.
ii) rf (0 0) = (0 0). La derivada direccional de f en (0,0) y en la direccion de la recta
2 2

y = ;x no existe, luego f no es diferenciable en (0,0).
iii) Para el punto ( p5 2p5 ) la suma de coordenadas es maxima y para el punto
2 1

(; p5 ; 2p5 ) la suma de coordenadas es m nima.
2 1

78.-

i) f es diferenciable en IR2 .
ii) Aplicar el teorema de la funcion impl cita y comprobar que rz (1 0) = (0 0).
iii) Aplicar el teorema de la funcion inversa.
0 2
dH ;1(0 2) = ;1 0
1



79.-El maximo de la funcion f (x1 : : : xn ) = (x1 x2 xn )2 condicionado por
x2 + + x2 = 1 se encuentra en los puntos (x1 : : : xn) con x1 = pn = : : : = xn .
1 n
1

80.-

i) Aplicar el teorema de la funcion inversa.
ii) Demostrar que f es una contraccion.
iii) Demostrar que h es estrictamente monotona y h(0) = 0.
81.- Aplicar la regla de la cadena y derivar impl citamente.
82.- Derivar impl citamente h(x y z ) = f (x2 + y 2 + z 2 x + y + z ).
83.-

i) Derivar impl citamente F (x y (x)) = 0
ii) Derivar impl citamente dos veces F (x y (x)) = 0
iii) (3,-6) m nimo y (-3,6) maximo.


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