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1. Problemas. Límites, continuidad y aspectos elementales de
derivación
Cálculo en una y varias variables- Propedeútico
Mayo de 2012
1. Calcule los siguientes límites
(a) limx!3
x29
x2+2x3
(b) limx!0 cos(x + sin x)
(c) limv!4+
4v
j4vj
(d)
p
x+6x
x33x2
(e) lims!16
p
s
4
s16
2. Evalúe limx!0+
1
x 1
sin x

(a) 0
(b) 1
(c) 1
(d) e
(e) 1

3. Diga si existe una función f : R ! R continua en x = 2 tal que
f(x) = x33x2
x2 para x6= 2.
4. Sea f : R ! R dada por f(x) =
(
a
p
x x 0
ax x 0
. Muestre que f es
continua en todo R.
5. Considere la función dada por f(x) =
8
:
p
x x 0
3 x x 2 [0; 3)
(x 3)2 x 3
(a) Evalúe cada uno de los siguientes límites, en caso de que existan
i. limx!0+ f(x)
ii. limx!0 f(x)
1

iii. limx!0 f(x)
iv. limx!3 f(x)
v. limx!3+ f(x)
vi. limx!3 f(x)
(b) ¿Dónde es discontinua la función f(x)?
(c) Bosqueja la gráfica de f.
6. Muestre que la ecuación 2 sin x = 3 2x tiene una raíz en el intervalo
(0; 1).
7. Justifique la existencia o no de los siguientes límites para las funciones
dadas.
(a) limx!1 f(x), f(x) =
(
1 x2; x 1
1
x1 ; x 1
(b) limx!0 f(x), f(x) = sin(
x )
(c) limx!0

x + 1
x

.
8. Encuentre la más grande que “funciona para la dada
(a) limx!4 5x = 20, = 0:5.
9. Sea f la función para la cual solo se sabe que
0 jx 3j 1 ) jf(x) 5j 0:1
¿Cuáles de las siguiente afirmaciones son necesariamente ciertas?
(a) jx 3j 1 ) jf(x) 5j 0:1
(b) jx 2:5j 0:3 ) jf(x) 5j 0:1
(c) limx!3 f(x) = 5
(d) 0 jx 3j 2 ) jf(x) 5j 0:1
(e) 0 jx 3j 0:5 ) jf(x) 5j 0:1
(f) 0 jx 3j 1
4 ) jf(x) 5j 1
4(0:8)
(g) 0 jx 3j 1 ) jf(x) 5j 0:2
(h) 0 jx 3j 1 ) jf(x) 4:95j 0:05
2

(i) limx!3 f(x) = l ) 4:9 L 5:1
10. Calcular los siguientes límites
(a) limx!1
x21
x1
(b) limx!2
x38
x2
(c) limx!1
p
x
1x
1
(d) limx!1
1
p
1x2
x2
(e) limx!1 x sin
1
x

(f) limx!1 x2 sin
1
x

11. Prueba que limx!a f(x) = limh!0 f(a + h) (Este ejercicio es sobre la
comprensión del significado de límite)
(a) limx!0
sin 2x
x
(b) limx!0
sin2 x
x
(c) limx!0
tan2 x+2x
x+x2
(d) limh!0
sin(x+h)sin x
h
13. Encuentre el error en el siguiente cálculo donde se ha hecho uso de la
regla de L’H^opital
lim
x!1
x3 + x 2
x2 3x + 4
= lim
x!1
3x2 + 1
2x 3
= lim
x!1
6x
2
= 3
(Observación: el límite es igual a 4)
(a) limx!0
x
tan x
(b) limx!0
cos2 x1
x2
3

15. Pruebe que si limx!a f(x) = l, entonces limx!a jfj(x) = jlj.
16. Pruebe que no existe l 2 R tal que
lim
x!0
1
x
= l
17. Define “limx!1 f(x) = l.
18. ¿Existe alguna función continua F, Dom(F) = R tal que F(x) = f(x),
8x 2 Dom(f), cuando f(x) = jxj
x ? Justifique tu respuesta.
19. Dar un ejemplo de una función f que no sea continua en ninguna parte,
pero que jfj sea continua en todas partes.
20. Muestre que si f es continua en a entonces jfj también lo es.
21. Considere el polinomio f(x) = x3 x + 3. Encuentre n 2 Z tal que
f(x) = 0 para algún x 2 [n; n + 1].
22. Pruebe que existe un número x 2 R tal que
sin x = x 1
23. Propiedad del punto fijo: Sea f : [0; 1] ! [0; 1] continua
f ([0; 1]) = [0; 1]. Muestre que existe x0 2 [0; 1], tal que f(x0) = 0.
(Como sugerencia considere h(x) = x f(x)).
24. Sean f; g : [a; b] ! [a; b] continuas tal que f(a) g(a) y g(b) f(b).
Muestre que existe al menos un valor x0 2 (a; b) tal que f(c) = g(c).
(Como sugerencia considere h(x) = f(x) g(x)).
25. Del problema 23 sabemos que si: f : [0; 1] ! [0; 1], continua, Im(f) =
[0; 1] entonces la gráfica de f intersecta la parte de la gráfica de la
función identidad contenida en el cuadrado unitario [0; 1] [0; 1].
Muestre que bajo estas condiciones
(a) La gráfica de f también intersecta la otra diagonal del cuadrado
unitario.
(b) Más generalmente, si g es continua en [0; 1], (g(0) = 0 y g(1) = 1)
ó (g(0) = 1 y g(1) = 0) entonces la gráfica de f intersecta la
gráfica de g.
4

26. Muestre que la ecuación cúbica x3 +Ax2 +Bx+C = 0 tiene al menos
una raíz real.
27. Encontrar los valores de las constantes a; b 2 R para los cuales la
función k(x) definida por
k(x) =
(
2x + 1; x 2 R n [2; 2]
ax2 + bx; x 2 [2; 2]
es continua.
28. Usando directamente la definición de derivada muestre que
x entonces f0(a) = 1
a2 si a6= 0.
(a) Si f(x) = 1
(b) Si f(x) =
p
x entonces f0(a) = 1
2
p
a para a 0.
(c) Si f(x) = x3 calcula f0(9), f0(a2) y f0(x2).
29. Suponga que f(a) = g(a) y que la derivada de f en a, por la izquierda
es igual a la derivada de g en a por la derecha. Si definimos
h(x) =
(
f(x); x a
g(x); x a
Pruebe que h es diferenciable en x = a.
30. Suponiendo que f es diferenciable en x, pruebe que
f0(x) = lim
h!0
f(x + h) f(x h)
2h
(Como sugerencia usa el viejo truco de sumar y restar lo mismo en el
numerador)
31. Para las siguientes funciones f calcular f0 (f(x))
(a) f(x) = 1
1+x
(b) f(x) = x2
Observación: no es calcular (f f)0(x)
32. Para las siguientes funciones f, calcular f(f0(x))
(a) f(x) = 1
x
(b) f(x) = x2
5

33. Considere la función
f(x) =
(
x si x6= 0;
tan xsin x
0 si x = 0:
Determinar si las siguientes afirmaciones son veraderas o falsas
(a) f es continua en x = 0.
(b) f0(0) = 1
2 .
(c) f(x) ! 1 cuando x !
2 .
(d) f es diferenciable.
34. ¿Cuál de las gráficas en la figura 1 representa la gráfica de una solución
de la ecuación dy
dx = 1 + y4? No resuelva la ecuación.
Figure 1: Problema 34
6

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