Derivada de una funcion2015

UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES
MATEMATICA APLICADA
DERIVADA DE UNA FUNCION
2 015

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función f(x) respecto a “x” es la función
f´(x) dada por:
𝑓´ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥+∆𝑥 − 𝑓 𝑥
∆𝑥
[ f´(x) se lee como “ f prima de x”]. el proceso de calcular la
derivada se denomina derivación, y se dice que f(x) es
derivable en x siempre que dicho limite exista y sea finito.
Ejemplo: Dado f(x) = x², calcular : f´(x)
𝑓 𝑥 = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥+∆𝑥 − 𝑓 𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑥 + ∆𝑥 2 − 𝑥2
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
2𝑥 + ∆𝑥 = 2x
𝑓´ 𝑥 = 2x

3
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA
DERIVADA
Sea la función y = f(x)
y la recta secante PQ
que corta a la curva
en los puntos :
P(x0,f(x0)) ; Q( (x0 + h), f( x0 +h) )
La pendiente de la secante es:
Según la figura , si consideramos que el punto Q se acerca a P lo más
cercano posible se tendrá que:
h
)f(xh)f(x
m 00
s


M(x0 ,0) N(x0+h , 0)
R(x0+h,f(x))
Q(x0 + h ,f(x0 + h)
)
( x0,f( x0))
P
Lt
Ls
)(xf
h
)f(xh)f(x
Límm 0
00
0h
t 



f  (x0) es la
pendiente de la recta
tangente a la gráfica
de f en el punto
P(x0 , f(x0)).
y=f(x)

4
NOTACIONES PARA LA DERIVADA
0
0
0xx
0
0,00
00
0h
0
x-x
)f(xf(x)
Lím)(xf
xx,0hx-xh,xhxhacemosSi
h
)f(xh)f(x
Lím)(xf(1)







(2) h =  x = x - x0 ;  y = f( x0 +  x ) -
f(x0)
x
y
Lím
x
)f(x)xf(x
Lím)(xf
0x
00
0x
0







dx
d[f(x)]
f(x)D
dx
dy
(x)f(3) x 

5
LA RECTA TANGENTE Y NORMAL
La derivada de una función en el punto P0(x0 ,f(x0)) ,
representa a la pendiente de la recta tangente a la curva en
dicho punto, del cual se tiene que: La ecuación de la recta
tangente en P0 será:
la ecuación de la recta normal Ln
perpendicular a la tangente en P0 será:
No olvidar que la pendiente de la recta tangente m = f’(x0)
en P
)x)(x(x'f)f(xy:L 000t 
x0
f(x0)
P0
N
)x(x
)(xf
1
)f(xy:L 0
0
0n 


Lt
Ln

FORMULAS DE DERIVADAS
ALGEBRAICAS
 2g(x)
(x)gf(x)-(x)fg(x)
dx
dy
g(x)
f(x)
ySi9.
(x).f(x)g(x).g(x)f
dx
dy
f(x).g(x)ySi8.
(x)g(x)f
dx
dy
g(x)f(x)ySi7.
(x)fk
dx
dy
kf(x)ySi6.
x
x
(x)f
dx
dy
xf(x)ySi5.
1nnx(x)f
dx
dynxf(x)ySi4.
x2
1
(x)f
dx
dy
xf(x)ySi3.
1(x)f
dx
dy
xf(x)ySi2.
0(x)f
dx
dy
cf(x)ySi1.











DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
1)Hallar la derivada de f(x)= 64
Solución
f(x) = 8
f´(x)= 0
2) Hallar la derivada de f(x)= 12 x
Solución
f(x) = 12 x
f´(x)= 12

3)Hallar la derivada de f(x)= 𝑥5
Solución
f(x)= 𝑥5
f´(x)= 5𝑥4
4) Hallar la derivada de: 𝑓 𝑥 = 5𝑥8 −3𝑥5 +2𝑥4 −4𝑥3 +8
Solución
𝑓 𝑥 = 5𝑥8 −3𝑥5 +2𝑥4 −4𝑥3 +8
f´(x) = 5.8𝑥7 − 3.5𝑥4 + 2.4𝑥3 − 4.3𝑥2
f´(x) = 40𝑥7 − 15𝑥4 + 8𝑥3 − 12𝑥2

5) Hallar la derivada de:
Solución

10
APLICACIÓN DE FORMULAS DE
DERIVADAS
(4)fy(x)fHallar;4)(xxf(x)Si 2

Solución
19
4
76
42
45(4)
(4)f
x2
45x
x2
4x4x
(x)f
(2x)x4)(x
x2
1
(x)f
)4-(xx4)(x)x((x)f
2
222
2
22










11
APLICACIÓN DE FORMULAS DE
DERIVADAS
(9)fy(x)fHallar;
1x
1x
f(x)Si 



Solución
22
2
2
1)x(x
1
1)x(
1)x-1x(
x2
1
(x)f
1)x(
x2
1
1)x(-
x2
1
1)x(
(x)f
1)x(
)1x1)(x(-)1x1)(x(
(x)f











f´(9) =1/12

Hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a la grafica
de f (x) = 𝑥3
- 4x en el punto de abscisa 1.
Solución
El punto de tangencia en x=1 entonces f(1)= 1 3 - 4(1) = - 3
Punto de tangencia:(1; - 3)
Calculo de la pendiente en x=1
𝑓 𝑥 ´ = 3𝑥2
− 4 entonces la pendiente f´(1) = 3 1 2
- 4= - 1
Ecuación de la recta tangente:
Y – (-3)= - 1( x – 1) 1
Y + 3 = - x +1
X + y + 2 = 0 - 3

ECUACION DE LA RECTA NORMAL
Hallar la ecuación de la recta normal a la curva:
f(x) = 3𝑥2 - 2x+3 en el punto de abscisa 1.
Solución
Calculo del punto de contacto: f(1)= 3 1 2
- 2(1) + 3 = 4
Coordenadas del punto de contacto: (1; 4)
Calculo de la pendiente: f´(x) = 6x – 2
f (1) = 6(1) – 2 = 4
Calculo de la pendiente perpendicular (recta normal)= - ¼
Ecuación de la recta normal: LT
y – 4 = −
1
4
( x – 1) LN
4y – 16 = - x + 1 (1;4)
x + 4y – 17= 0

14
COMPUESTASi y es una función de u : y = f(u),u es una función de x:
u=g(x)
y se puede expresar en función de x es decir: y = f(u) =
f(g(x)) = (f o g)(x)
y u x
(x)g(g(x))f
dx
dy
(fog)(x)ySi
dx
du
du
dy
dx
dy


(x)fn[f(x)]
dx
dy
[f(x)]ySi 1nn
 

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA
Ejemplo: Hallar la derivada de f(x)= (3x +1)²
Solución
f(x)= (3x +1)²
Hacemos:
u= 3x+1 y f(u)= u²
= 6(3x+1)= 18x + 6

DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA
Hallar la derivada de: f(x)= (x²+2)³ - 3(x²+2)² +1
Solución
Hacemos: u= x²+2 ;
f(u)= u³ - 3u² + 1
= 6x³(x²+2)

Derivar la función f(x)= 𝑥2 + 3𝑥 + 2
Solución:
f(x)= x2 + 3x + 2, entonces hacemos u= x²+3x+2

REGLA GENERAL DE LA DERIVADA DE UNA
POTENCIA
Para cualquier numero real n y cualquier
función derivable f :
Ejemplo: Derivar f(x)= (2x⁴ - x)³
Solución
Aplicamos la propiedad :
f´(x)= 3(2x⁴ - x)² (8x³ – 1)

Hallar la derivada de la siguientes funciones:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 4
Solucion
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 3𝑥 + 1 4
f´(x) = 4 𝑥2
− 3𝑥 + 1 3
( 2x – 3)
b) 𝑓 𝑥 =
5
𝑥3 − 4𝑥 + 32
Solución
𝑓 𝑥 =
5
𝑥3 − 4𝑥 + 32
𝑓´ 𝑥 =
3𝑥2−4
5
5
𝑥3−4𝑥+32 4
f´(0) = -4 / 80 = - 1/20

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥
3
𝑥2 + 4𝑥 + 1
Solución
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥
3
𝑥2 + 4𝑥 + 1
f´(x)= 𝑥2
− 2𝑥 ´
3
𝑥2 + 4𝑥 + 1 + (𝑥2
− 2𝑥)(
3
𝑥2 + 4𝑥 + 1 )´
f´(x)=(2x - 2)
3
𝑥2 + 4𝑥 + 1 +
𝑥2−2𝑥 2𝑥+4
3
3
𝑥2+4𝑥+1 2
f´(0)= - 2

Sean f y g dos funciones derivables tales que: f´(2)= 3,g(1)= 2,
y g´(1)= 4/3. Si h(x)=f(g(x))= fog(1)
Solución
h´(x) = f´(g(x)).g´(x)
Reemplazando
h´(x) = f´(g(x)).g´(x)
h´(1) = f´(g(1)).g´(1)
h´(1) = f´(2).(4/3)
h´(1) = 3. 4/3
h´(1) = 4

DERIVADA DE UNA FUNCION LOGARITMICA
Derivada de un Logaritmo
Sea f(x)= Lnx ; 𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑥
Ejemplo:
Hallar la derivada de f(x)=
f(x)=
f´(x)=

DERIVADA DE UN LOGARITMO
Determinar la derivada de:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 ln 𝑥2 + 5
Solución
f´(x) = (𝑥2
)′ ln 𝑥2
+ 5 + 𝑥2
(ln 𝑥2
+ 5 )’
f’ (x) = 2x ln 𝑥2 + 5 + 𝑥2 .
2𝑥
𝑥2+5
f’(x) = 2x ln 𝑥2 + 5 +
2𝑥3
𝑥2+5

DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL
Si la función:
Sea la función:
Sea la función:

Hallar la derivada de
Solución:
Hallar la derivada de
Solución

EJERCICIOS DE DERIVADAS
Calcular las siguientes derivadas de:
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 + 1
2. 𝑓 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥2+1
3. 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒2−𝑥2
4 𝑓 𝑥 = ln 𝑥3
+ 2𝑥2
− 2
5.𝑓 𝑥 = 4𝑥4
− 2𝑥3
+ 3 3

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