![𝟏 𝟐 𝟑
= 𝒙−𝟑(𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) + (√𝒙)(𝟒𝒙 + 𝟏)
𝟑
𝟏
=
𝟑
𝟑
√𝒙𝟐
(𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) + (
𝟑
√𝒙)(𝟒𝒙 + 𝟏)
Regla del cociente: Si f y g son diferenciables en x y 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎,
entonces 𝒇 es diferenciable en x y se cumple que:
𝒈
𝒇 ′
( ) (𝒙) =
𝒈(𝒙)𝒇(𝒙)′
− 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)′
( ) 𝟐
𝒈 (𝒈 𝒙 )
Ejemplo: Sea 𝒇( 𝒙) =
(𝟐𝒙𝟐
+𝟏)
. Hallar
𝒙+𝟑
𝒇′
(𝒙)
Solución:
𝒇(𝒙)′
=
(𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)′ − (𝒙 + 𝟑)′(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙
+ 𝟑)𝟐
= (𝒙 + 𝟑)(𝟒𝒙) − (𝟏)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙
+ 𝟑)𝟐
= 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏
(𝒙 + 𝟑)𝟐
Regla de la Cadena
Si la función g es derivable en x y la función f lo es en g(x), entonces la función
compuesta (𝒇𝒐𝒈) es derivable en x, se cumple que:
(𝒇𝒐𝒈)′
(𝒙) = 𝒇′
(𝒈(𝒙))𝒈′
(𝒙)
Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) =
𝟑
√𝒙𝟔 − 𝟑𝒙. Hallar 𝒇′
(𝒙) Solución:
′ 𝟔 𝟏/
′ 𝟏 𝟔
𝟏
−𝟏 𝟔 ′
𝒇 (𝒙) = [
(
𝒙 − 𝟑𝒙) 𝟑] = (
𝒙
𝟑
− 𝟑𝒙)𝟑 . (𝒙 − 𝟑𝒙)](https://image.slidesharecdn.com/derivadas-230920015209-c5e62da8/85/Derivadas-docx-5-320.jpg)
![Bibliografía
Textos Físicos
Bracamonte M. y Vivas M. (2012) introducción al Calculo diferencial. Sáenz, J.
(2014) Calculo Diferencial con Funciones Transcendentes
Tempranas para Ciencias e Ingeniería. Editorial Hipotenusa,
Barquisimeto. Venezuela.
Textos digitales
https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/calculo_ay res.pdf
[Schaum] Calculo Diferencial e Integral, 1ra Edición - Frank Ayres](https://image.slidesharecdn.com/derivadas-230920015209-c5e62da8/85/Derivadas-docx-11-320.jpg)
Derivadas.docx
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”. Barquisimeto, Edo. Lara. DERIVADAS Integrantes: Leirry Pérez C.I.V- 22.272.310 Elianny Martinez C.I.V- 30.480.662 Jonathan Quintero C.I.V- 19.284.089 Annie Rivas C.I.V- 25.139.818 Sección 1202. Irene Díaz C.I.V- 31.654.688 Sección: DL1302 Profesor: Efrén escalona. Matemática I PNF Distribución y Logística. Barquisimeto, Julio de 2023.
- 2. Derivada por Definición La derivada es una medida de la tasa de cambio instantánea de una función en relación a una variable. Sea la derivada de la función f es la función f’ , tal que su valor en un numero x del dominio de f es la derivada de f en x: 𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙) 𝒉→𝟎 𝒉 Ejemplo: Hallar la derivada de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑. Solución: Sea x un punto cualquiera del dominio de f. 𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙) 𝒉 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 (𝒙 + 𝒉)𝟑 − 𝒙𝟑 𝒉 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎 (𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟐𝒉+𝟑𝒙𝒉𝟐+𝒉𝟑)−𝒙𝟑 𝒉 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎 (𝟑𝒙𝟐𝒉+𝟑𝒙𝒉𝟐+𝒉𝟑) 𝒉 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→ 𝟎 𝒉(𝟑𝒙𝟐+𝟑𝒙𝒉+𝒉𝟐) =𝐥𝐢𝐦 𝒉 𝒉→ 𝟎 (𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒉 + 𝒉𝟐) = 𝟑𝒙𝟐. Propiedades de la derivada Las propiedades de la derivada incluyen la regla de la suma, la regla del producto, la regla del cociente, la regla de la cadena y la regla de la derivada de una constante. Regla de la constante: Si f es la función constante f(x)=c, entonces 𝒇′ (𝒙) = 𝟎 Ejemplo: Si f(x)= 6, entonces 𝒇′(𝒙) = 𝟎 Regla de la Potencia: Si 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 y n un numero real, entonces 𝒇′ (𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏.
- 3. Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟔, entonces 𝒇′ (𝒙) = 𝟔𝒙𝟔−𝟏 = 𝟔𝒙𝟓. Derivada de la Identidad: Si 𝒇(𝒙) = 𝒙 y n un numero real, entonces 𝒇′ (𝒙) = 𝟏. Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙. Hallar 𝒇′ (𝒙)
- 4. Solución: 𝒇′ (𝒙) = 𝟏𝒙𝟏−𝟏 = 𝟏𝒙𝟎 = 𝟏. Derivada de la función Exponencial: Si 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 , entonces 𝒇′ (𝒙) = (𝒆𝒙)′ = 𝒆𝒙. Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒆𝒙 . Hallar 𝒇′ (𝒙) Solución: 𝒇′ (𝒙) = 𝟑(𝒆𝒙)′ = 𝟑𝒆𝒙. Regla de la suma y diferencia: Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces 𝒇 ± 𝒈 es diferenciable es diferenciable en x y se cumple que: (𝒇 ± 𝒈)′ (𝒙) = 𝒇′ (𝒙) ± 𝒈(𝒙). Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒆𝒙 + 𝒙𝟓. Hallar 𝒇′ (𝒙) Solución: 𝒇′ (𝒙) = (𝟒𝒆𝒙)′ + (𝒙𝟓)′ = 𝟒(𝒆𝒙)′ + 𝟓𝒙𝟓−𝟏 = 𝟒𝒆𝒙 + 𝟓𝒙𝟒. Regla del producto: Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces 𝒇𝒈 es diferenciable en x y se cumple que (𝒇𝒈)′ (𝒙) = 𝒇′ (𝒙)′ 𝒈(𝒙) + 𝒇′ (𝒙) 𝒈(𝒙)′. Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝟑 √𝒙(𝟐𝒙𝟐 + 𝒙). Hallar 𝒇′ (𝒙) Solución: 𝒇′ (𝒙) = ( 𝟑 √𝒙) ′ (𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) + ( 𝟑 √𝒙) (𝟐𝒙𝟐 + 𝒙)′ 𝟏 𝟏 𝟑 = 𝒙𝟑−𝟏 (𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) + (√𝒙)(𝟒𝒙𝟐−𝟏 + 𝟏) 𝟑
- 5. 𝟏 𝟐 𝟑 = 𝒙−𝟑(𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) + (√𝒙)(𝟒𝒙 + 𝟏) 𝟑 𝟏 = 𝟑 𝟑 √𝒙𝟐 (𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) + ( 𝟑 √𝒙)(𝟒𝒙 + 𝟏) Regla del cociente: Si f y g son diferenciables en x y 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎, entonces 𝒇 es diferenciable en x y se cumple que: 𝒈 𝒇 ′ ( ) (𝒙) = 𝒈(𝒙)𝒇(𝒙)′ − 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)′ ( ) 𝟐 𝒈 (𝒈 𝒙 ) Ejemplo: Sea 𝒇( 𝒙) = (𝟐𝒙𝟐 +𝟏) . Hallar 𝒙+𝟑 𝒇′ (𝒙) Solución: 𝒇(𝒙)′ = (𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)′ − (𝒙 + 𝟑)′(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙 + 𝟑)𝟐 = (𝒙 + 𝟑)(𝟒𝒙) − (𝟏)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙 + 𝟑)𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 (𝒙 + 𝟑)𝟐 Regla de la Cadena Si la función g es derivable en x y la función f lo es en g(x), entonces la función compuesta (𝒇𝒐𝒈) es derivable en x, se cumple que: (𝒇𝒐𝒈)′ (𝒙) = 𝒇′ (𝒈(𝒙))𝒈′ (𝒙) Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝟑 √𝒙𝟔 − 𝟑𝒙. Hallar 𝒇′ (𝒙) Solución: ′ 𝟔 𝟏/ ′ 𝟏 𝟔 𝟏 −𝟏 𝟔 ′ 𝒇 (𝒙) = [ ( 𝒙 − 𝟑𝒙) 𝟑] = ( 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙)𝟑 . (𝒙 − 𝟑𝒙)
- 6. 𝟏 −𝟐 = (𝒙𝟔 − 𝟑𝒙) 𝟑 . (𝟔𝒙𝟓 − 𝟑) = 𝟑 (𝟔𝒙𝟓 − 𝟑) 𝟐 𝟑(𝒙𝟔 − 𝟑𝒙)𝟑 Recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. Ecuación de la recta tangente La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a). Ejemplo: Se ha trazado una recta tangente a la curva 𝒚 = 𝒙𝟑, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,-2). Hallar el punto de tangencia. Sea el punto de tangencia (a, f(a)) f' (x)= 3x2 ⇒f' (a)= 3a2 , es decir que 3a2 =3a = ±1 Las ecuaciones de las rectas tangentes son: a = 1 f(a) = 1 implica que y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2 a = −1 f(a) = −1 es decir, y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2 El punto (0, −2) pertenece a la recta y = 3x−2. Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) . Derivada Implícita Para derivar implícitamente, derivamos la ecuación término a término, considerando a la variable dependiente como función de la independiente. Luego, despejar la derivada
- 7. Ejemplo: hallar 𝒚′ si 𝒙𝟑𝒚 − 𝒚𝟕𝒙 = 𝟓 Solución: Derivamos término a término (𝒙𝟑𝒚)′ − (𝒚𝟕𝒙)′ = (𝟓)′ → ((𝒙𝟑)′(𝒚) + (𝒙𝟑)(𝒚)′) − ((𝒚𝟕)′(𝒙) + (𝒚𝟕)(𝒙)′) = 𝟎 → ((𝟑𝒙𝟐)(𝒚) + (𝒙𝟑)(𝟏𝒚′)) − ((𝟕𝒚𝟔𝒚′)(𝒙) + (𝒚𝟕)(𝟏)) = 𝟎 → 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝟑𝒚′ − 𝟕𝒚𝟔𝒚′𝒙 + 𝒚𝟕 = 𝟎 → 𝒚′ (𝒙𝟑 − 𝟕𝒚𝟔𝒙) = 𝒚𝟕 − 𝟑𝒙𝟐𝒚 → 𝒚′ = 𝒚𝟕 − 𝟑𝒙𝟐𝒚 𝟕 𝒙𝟑 − 𝟕𝒚𝟔𝒙 Derivación Logarítmica Para derivar logarítmicamente, se deben seguir los siguientes pasos 1. Tomar logaritmos naturales en ambos miembros y, usando las propiedades logarítmicas, transformar los productos, cocientes y exponentes en sumas, restas y multiplicaciones respectivamente. 2. Derivar implícitamente. 3. Despejar la derivada y simplificar. Ejemplo: Hallar la derivada de y mediante derivación logarítmica. Si 𝒚 = 𝒙(𝒙𝟐−𝟏) √𝒙𝟐+𝟏 Solución: Paso 1: Aplicamos logaritmos y simplificamos, es decir 𝒚 = 𝒙(𝒙𝟐−𝟏) ⇒ 𝑰𝒏𝒚 = 𝑰𝒏 ( 𝒙(𝒙𝟐−𝟏) ) √𝒙𝟐+𝟏 √𝒙𝟐+𝟏
- 8. ⇒ 𝑰𝒏𝒚 = 𝑰𝒏( 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏 )– 𝑰𝒏(√𝒙𝟐 + 𝟏) ⇒ 𝑰𝒏𝒚 = 𝑰𝒏𝒙 + 𝑰 𝒏 (𝒙𝟐 − 𝟏 )– 𝟏 𝟐 𝑰𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏) Paso 2: Derivamos implícitamente 𝟏 𝒚′ = 𝟏 (𝒙)′ + 𝟏 ( 𝒙𝟐 − 𝟏)′ − 𝟏 𝟏 (𝒙𝟐 + 𝟏)′ 𝒚 𝒙 𝒙𝟐−𝟏 𝟐 (𝒙𝟐+𝟏) ⇒ 𝟏 𝒚′ = 𝟏 + 𝟏 (𝟐𝒙) − 𝟏 𝟏 (𝟐𝒙) 𝒚 𝒙 𝒙𝟐−𝟏 𝟐 (𝒙𝟐+𝟏) ⇒ 𝟏 𝒚′ = 𝟏 + 𝟐 𝒙 𝟐𝒙 − 𝒚 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 𝟐(𝒙𝟐 + 𝟏) ⇒ 𝟏 𝒚′ = 𝟏 + 𝟐𝒙 − 𝒙 𝒚 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 (𝒙𝟐 + 𝟏) Paso 3: Despejamos la derivada ⇒ 𝒚′ 𝟏 = 𝒚 ( + 𝟐𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐 ) 𝒙 𝒙 − 𝟏 (𝒙 + 𝟏) 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏) 𝟏 ⇒ 𝒚′ = ( + √𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙 𝟐𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 − 𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏) ) Derivadas de Orden Superior La derivada de una función se conoce como primera derivada. Si ésta es a su vez una función derivable, su derivada se denomina segunda derivada de la función original, que se denota como: La derivada de la segunda derivada, en caso de existir, se conoce como tercera
- 9. derivada de la función:
- 10. El proceso es sucesivo, y mientras exista, la derivada enésima es: Ejemplo: Obtener la tercera derivada de la siguiente función: 1. 𝒚 = 𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟐 Solución: 𝒚 = 𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟐 ⇒ 𝒚′ = (𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟐)′ ⇒ 𝒚′ = 𝟓𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟐. ⇒ 𝒚′ ′ = (𝟓𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟐)′. ⇒ 𝒚′ ′ = (𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐). ⇒ 𝒚′′′ = (𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐)′. ⇒ 𝒚′′′ = (𝟔𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝟒)′.
- 11. Bibliografía Textos Físicos Bracamonte M. y Vivas M. (2012) introducción al Calculo diferencial. Sáenz, J. (2014) Calculo Diferencial con Funciones Transcendentes Tempranas para Ciencias e Ingeniería. Editorial Hipotenusa, Barquisimeto. Venezuela. Textos digitales https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/calculo_ay res.pdf [Schaum] Calculo Diferencial e Integral, 1ra Edición - Frank Ayres